Экономические задачи на оптимизацию егэ по математике 2021 профильный уровень

ЕГЭ Профиль №17. Экономические задачи на оптимизациюadmin2018-10-16T12:57:25+03:00

Методичка по решению экономических задач

(задание 17 ЕГЭ)

Составитель: Мокина В.С.,

учитель математики

МАОУ гимназия №83

Тюмень 2021 год

Содержание

l. Задачи на оптимальный выбор.

2. Задачи на кредит с аннуитетным платежом

3. Задачи на дифференцированный платеж 

4. Задачи на нахождение суммы кредита

5. Задачи на нахождение суммы вклада

Все представленные в банке ЕГЭ задачи (задание 17), можно условно разделить на группы и подгруппы:

Задачи, не связанные с банковскими операциями (задачи на оптимизацию)

Банковские задачи на вклады

1) нахождение срока вклада;

2) вычисление процентной ставки по вкладу;

3) нахождение суммы вклада;

4) нахождение ежегодной суммы пополнения вклада

Банковские задачи на кредиты:

1) нахождение количества лет выплаты кредита;

2) вычисление процентной ставки по кредиту;

3) нахождение суммы кредита;

4) нахождение ежегодного транша.

В методичке показаны методы решения задач экономического содержания, связанные с банковскими кредитами, оптимизацией производства товаров и услуг.

Рассмотрим решение задач (задание 17), в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.

Задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

Величина дохода фермера будет зависеть от того как будет распределена площадь поля между картофелем и свёклой. Пусть х га, засажено картофелем на первом поле, тогда (10 – х) га, засаженных свеклой на первом поле. Полученная прибыль с первого поля, равна:

S(х) = х·500·5000 + (10 – х)·300·8000 = 24000000 + 100000х (руб.)

Функция возрастающая, т.к. к>0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наибольшем значении х = 10 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 24000000 + 100000·10 = 25000000 рублей.

Обозначим через у — количество гектар, засаженных картофелем на втором поле, а (10- у) — количество гектар, засаженных свеклой на втором поле. Прибыль со второго поля составит:

S(у) = 300·5000·у + (10 – у)·500·8000 = 40000000 – 2500000у ( руб.)

Функция убывающая, т.к. к<0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наименьшем значении х = 0 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 40000000 рублей.

Таким образом, максимальная прибыль с обоих полей, равна: S = 25000000 + 40000 = 65000000 рублей, что составляет 65 млн. рублей.

Ответ: 65млн. рублей.

Реши самостоятельно:

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 200 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 15 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 18 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

5) Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение:

Пусть у — число номеров «люкс», а  х — число стандартных номеров и S = 981м2. Тогда должно соблюдаться неравенство: 27х + 45у = 981

Выразим число обычных номеров т.е.

х = 981 – 45у, х = = 36 + = 36 +

Найдем решение этого уравнения подбором, где х, у N

Если у = 2, то х = 33 у = 14, то х = 15

у = 5, то х = 28 у = 17, то х = 8

у = 11, то х =18 у = 20, то х = 3

f(х,у) = 2000х + 4000у.

Очевидно, что максимальная прибыль будет при максимальном числе номеров «люкс», поэтому выбираем у = 20, х = 3.

Тогда в сутки предприниматель получит:

4000·20 + 2000·3 = 80000 + 6000 = 86000 рублей.

Проверим оставшиеся варианты

2·4000 + 33·2000 = 74000 рублей

5·4000 + 28·2000 = 76000 рублей

11·4000 + 18·2000 = 74000 рублей

2·4000 + 33·2000 = 80000 рублей

14·4000 + 15·2000 = 86000 рублей

17·4000 + 8·2000 = 84000 рублей

Ответ: 86000 рублей

Реши самостоятельно:

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 м2. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 м2. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2200 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0), но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 9000 – 2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Решение:

Обозначим Q(t) = 9000- 2t единиц товара, Q(t)- объем производства. Тогда налоговые сборы составляют S(t) = Q ·t, S(t) = (9000 — 2t)·t = 9000t – 2t2 руб. Рассмотрим функцию S(t) = 9000t – 2t2. Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимального значения эта функция достигает в вершине параболы. t = t = = 2250, 2250 руб. за единицу товара. При t= t0 налоговые сборы составляют 9000t0 – 2t02 руб. При t= 2,5t0 налоговые сборы составляют 9000·2,5t0 – 2·(2,5t0)2 = 22505t0 – 12,5t02 руб. Так как сумма налоговых поступлений не изменилась, то 9000t0 – 2t02 = 22505t0 – 12,5t02 / : t0 0 получим 9000 – 2t0 = 22505 – 12,5t0 , 10,5 t0 = 13500, t0 = 13500: 10,5 = , значит за единицу товара был налог руб., а стал руб. Теперь этот налог надо уменьшить на r%, чтобы налог стал равным 22500 руб. за единицу товара.

Значит государству необходимо на 30% уменьшить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов.

Ответ: уменьшить на 30%

Решить самостоятельно

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0),но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 7000–2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2t0 рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2t единиц и это число положительно?

lll. 1. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4 000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале каждого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?

Решение:

Используем арифметическую прогрессию, в которой а1=11000 — цена за бумагу в первый год покупки году, d=4000 — увеличение стоимости бумаги, аn — пока еще неизвестный нам год продажи бумаги (по счету от года покупки), n — номер года.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии: an=a1+d(n-1).

Используя ее находим числа, отвечающие за стоимость бумаги на начало n-го года (по счету от года покупки).

Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10% = 0,1 от данной суммы, и эти 10% должны быть больше или равны 4000.

Составим неравенство: 0,1·(a1+d(n-1)) ≥ 4000.

Подставим а1=11000, d=4000 и решим неравенство:

0,1·(11000+4000(n-1)) ≥ 4000 обе части неравенства умножим на 10, чтобы избавится от десятичной дроби, получим

11000+4000(n — 1) ≥ 40000;

11000+4000n — 4000 ≥ 40000;

4000n ≥ 33000;

n ≥ 8,25, n ∈Ν ⇒ n=8

через 8 лет надо продать бумагу, т.е. в 2001+8=2009 году

Или рассуждаем так: на восьмом году (т.е. в 2008) 10% от стоимости будет больше 4000, значит бумагу надо продать в следующем (т.е. 2009)).

Ответ: 2009 год.

Другое решение этой задачи.

Чтобы извлечь наибольшую прибыль, Алексей должен воспользоваться банковским депозитом, когда 10% от суммы, вырученной за ценную бумагу, превысит 4000 руб. Найдем значение суммы, от которой 10% будут равны 4000, получим: х·0,1 = 4000

х = 4000: 0,1 = 40000

То есть ценную бумагу в 11000 рублей нужно довести до суммы большей или равной 40000 рублей и полученную сумму положить в банк. Ценная бумага дойдет до этого уровня через 40000 – 11000 = 4000·n

n = 29000: 4000 = 7,25 n ∈Ν ⇒ n=8

то есть через 8 лет, и в начале 2009-го года полученную сумму нужно положить на банковский депозит.

Ответ: 2009.

Реши самостоятельно:

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счет будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000руб. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 руб. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение экономических задач: банки, проценты, кредиты.

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные платежи, растянутые на весь срок кредитования. В сумму платежа включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер платежа всегда остается одинаковым.

Задачи на кредит с аннуитетным платежом

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:

Ответ: 5 месяцев

Реши самостоятельно:

1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей.

1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

1 ян­ва­ря 2019 года Павел Васильевич взял в банке 1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%), затем Павел Васильевич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Павел Васильевич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 125 тыс. руб­лей?

1 ян­ва­ря 2018 года Тимофей Ильич взял в банке 1,1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Тимофей Ильич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Тимофей Ильич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

IV.1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%) затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение:

Пусть S = 9282000 рублей  размер взятого в банке кредита. 31 декабря каждого года размер кредита увеличился на 10%, а затем, Алексей переводит в банк X рублей, т.е. остаток через четыре года будет равен нулю.

Решим уравнение: ((1,12 S – 1,1х –х)1,1 – х)1,1 – х = 0

1,14 S – 1,13 х — 1,12 х — 1,1х –х = 0

Х =

Х =

Х = 2928200

Ответ: 2928200.

31 декабря 2018 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2019 года Виктор взял в банке 3276000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем Виктор переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Виктор выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2020 года Георгий взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Георгий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Георгий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

IV.2. В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга. Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 56 595 рублей, или за два года равными платежами по 81 095 рублей. Найдите r.

Решение:

Пусть S рублей сумма кредита, ежегодные выплаты x руб., r % годовых,

к = 1 + r/100. Выплаты: b = 81095 руб., х = 56595 руб. По условию долг на июль меняется так:

Если долг выплачен двумя равными платежами b руб., то (кS – b)к – b = 0

к2 S – кb — b = 0; к2 S = (к + 1)b; S = ((к+1) b)/к2

Если долг выплачен тремя равными платежами х руб., то

((кS – х)к – х)к – х = 0

к3 S – к2 х – кх — х = 0

S = ((к2 + к+1) х)/к3

Решим систему уравнений

=

(к+1)к b = х(к2 + к+1)

(к2 + к) b = х(к2 + к) + х

(к2 + к) b — х(к2 + к) – х = 0

(к2 + к)( b – х) –х = 0

(81095 – 56595) (к2 + к) – 56595 = 0

24500к2 + 24500к — 56595 = 0

100к2 + 100к – 231 = 0

D = 102400, к = 1,1 к = -21 не удовлетворяет условию

к = 1 + r/100, r = 10%

Ответ: 10

Реши самостоятельно:

31 декабря 2017 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 38 016 рублей, или за два года равными платежами по 52 416 рублей.

Найдите r.

В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы: — каждый год долг увеличивается на r — процентов с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга Кредит можно выплатить за 4 года равными платежами по 777600 руб. или за 2 года равными платежами по 1317600 руб. Найдите r.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

V. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.

Решение:

Пусть S млн. рублей сумма первоначального кредита. В середине каждого года действия кредита долг возрастает на 25 %, x млн.рублей заёмщик выплачивает в конце 3-го и 4-го годов. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному.

В сумме за 2 года он погашает сумму 0,25S + 0,25S = 0,5S.

В последние два года (3-й и 4-й) сумма долга сначала возрастает в 1,25 раза, а затем, погашается равными долями в x млн.рублей.

На конец 4-го года, сумма долга составляет 0 рублей. Отсюда получаем

1,252 S — 1,25 х –х = 0,

1,252 S — 2,25 х = 0, х = =

За 4 года сумма выплат составила 0,5S + 2х. По условию общая сумма выплат превышает 9 млн. рублей, то есть, 0,5S + 2>9, 4,5S + 12,5S > 81,

17S > 81, S > 4 . При минимальном целом значении S = 5 это неравенство выполняется, следовательно, размер кредита составил 5 млн. рублей.

Ответ: 5 000 000

Реши самостоятельно:

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 10 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 5 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 15% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 7 млн. рублей.

Планируется  выдать  льготный  кредит  на  целое  число  миллионов  рублей  на  четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 %  по сравнению  с  началом  года. По договоренности с  банком в конце 1-го и 3 – го года заемщик выплачивает только проценты  по  кредиту, начисленные  за  соответствующий  текущий  год.  В  конце  2‐го  и  4‐го  годов  заёмщик  выплачивает  одинаковые  суммы,  погашая  к  концу  4‐го  года  весь  долг  полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 100 млн. рублей. 

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат будет меньше 8 млн. рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы кредита

VI. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн. рублей.

Решение:

Долг перед банком (в млн. рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом: S; 0,8S; 0,5S; 0

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен: 1,25S; 1,25∙0,8S; 1,25∙0,5S

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

1,25S — 0,8S = 0,45S 1,25∙0,8S — 0,5S = 0,5S 1,25∙0,5S – 0 = 0,725S

По условию, каждая из выплат должна быть меньше 4 млн. рублей. Это будет верно, если максимальная из выплат меньше 4 млн.рублей, т. е.

0,725S< 4; S< 6,4 S = 6

Наибольшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, искомый размер кредита 6 млн. рублей.

Ответ: 6 млн. рублей.

Реши самостоятельно:

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. рублей.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы: ‐ каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; ‐ в июле каждого года величина долга задается таблицей

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн. рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — натуральное число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы вклада

VII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течении первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение:

Обозначим через Х размер кредита, взятого в банке. Во втором месяце долг увеличивается на 3% и, затем, осуществляется выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т.е. в первый раз выплата будет составлять , и сумма долга во втором месяце составит:

1,03х – () = х — = . Аналогично для следующего месяца, только долг теперь будет составлять получаем остаток долга в размере

1,03· – () = — = .

Вторая выплата будет равна:

Аналогично третья выплата:

Аналогично четвертая выплата: и т.п.

………………………………………………………..

12- тая выплата:

Сумма выплат за первые 12 месяцев составит:

… + 13) =

В скобках получилась арифметическая прогрессия сумму, которой находим по формуле =

= + = = .

По условию в течении первого года нужно выплатить 466,5 тыс. руб.

= 466,5 Х= Х= 600 тыс. руб. или это 600000 руб.

Ответ: 600000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го января планируется взять кредит в банке на 20 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 10 месяцев нужно вернуть банку 1179 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за последние 12 месяцев нужно вернуть банку 1597,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 16 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 8 месяцев нужно вернуть банку 900 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

5-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

5)15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

VIII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1- го по 25 – й месяц долг должен быть на 40 тыс. руб. меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

— к 15 – му числу 26 – го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб.

Решение:

Обозначим через S исходную сумму кредита. В течение первого месяца эта сумма возрастает на 3%, становится равной S+0,03S = 1,03 S. Выплату нужно сделать так, чтобы исходная сумма S уменьшилась на 40 тыс. рублей, то есть, нужно выплатить

0,03S+40 тыс. рублей.

Оставшаяся сумма S-40 в следующем месяце снова увеличивается на 3%, становится равной 1,03(S-40), и следует выплатить0,03(S-40) + 40 тыс. руб., Таким образом, в течении 25-ти месяцев, сумма выплат составит:

0,03S+40 + (0,03(S-40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) +… + (0,03(S-24·40) + 40) = 0,03S·25 + 40·25 – 0,03·40·( 1 + 2 + 3 +… + 24) =

S24 = 1 + 2 + 3 +… + 24 =   24 = 25·12 = 300

= 0,75 S + 1000 – 360 =0,75 S + 640

В последний 26-й месяц выплачивается остаток  1,03(S -25·40) = 1,03(S – 1000)

В сумме за 26 месяцев имеем: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000). По условию общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб. Составим и решим уравнение: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000) = 1924

1,78 S = 1924 + 390

S = 2314/ 1,78

S = 1300 тыс.руб.

Ответ: 1300000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 11 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 10-й долг дол­жен быть на 80 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— к 15-му числу 11-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1198 тысяч руб­лей?

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 тысяч руб­лей на 21 месяц. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 20-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— 15-го числа 20-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 100 тысяч руб­лей;

— к 15-му числу 21-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Ответы:

1) 84 млн. руб., 2) 69 млн. руб., 3) 90 млн. руб., 4)53500 руб., 5) 2685000 руб.

1) 125000 руб., 2)104500 руб. 3)86600 рублей.

1) 2 2) 25

III. l. 1) 2008 2) 2005

1) 6 месяцев 2) 6 месяцев 3) 9 месяцев 4) 6 месяцев

IV.1. 1) 3703860 рублей 2) 155520 рублей 3) 1064800 рублей

IV.2. 1) 20% 2) 20% 3) 20% 4) 10%

1) 6 млн. руб., 2) 3 млн. руб., 3) 5 млн. руб., 4) 77 млн. руб.,

5 млн. руб.

VI. 1) 11млн.руб. 2) 200 тыс. руб. 3) 400 тыс. руб. 4) 36 млн.руб.

5) 8 млн.руб.

VII. 1) 1200000руб. 2) 3000000 руб. 3) 1200000руб. 4) 0,8 млн. руб.

5) 411000 руб.

VIII. 1) 200000 руб. 2) 384000 руб. 3) 1100000 руб.

Используемая литература:

Шестаков С.А. ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задачи 17(профильный уровень)/Под ред.И.В.Ященко.-М.:МЦНМЩ, 2017

30 тренировочных вариантов ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко» – 2021.

Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+

АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 г. (без ограничения срока действия).

ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.

25 декабря 2016

В закладки

Обсудить

Жалоба

Сборник экономических задач и задач на оптимизацию по математике

В данном учебном пособии представлен материал по решению практико-ориентированных задач, экономических задач которые были включены на ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 года.

→ Задачи о кредитах.
→ Экономические задачи на оптимизацию.

→ econim-z.doc
→ Другое пособие к этому номеру

В 2021 году на ЕГЭ по математике «экономические» задачи №17 оказались однотипными. Не было оптимизации. Только кредиты, причем везде – схема с дифференцированными платежами. И кажется, что уже нечего придумать по этой теме – но составители заданий ЕГЭ постарались и придумали!

Подробно о том, какими бывают «экономические» задачи на ЕГЭ, читайте здесь.

Вообще-то было понятно, что в задаче 17 должно появиться что-то новое. Не принципиально новое, конечно, а какие-то вариации на тему дифференцированных платежей.

О том, что такое схема погашения кредита с дифференцированными платежами, читайте здесь.

Мы разберем 3 задачи реального ЕГЭ-2021, а потом мою авторскую задачу, предложенную в ЕГЭ-Студии накануне экзамена на Математических тренингах. Чем-то они похожи.

1. ЕГЭ-2021

В июле 2022 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе 2023. 2024 и 2025 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года:
— в январе 2026. 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года:
— к июлю 2028 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма выплат составит 984 тыс. рублей?

Решение:

Составим схему погашения кредита.

Пусть – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов в 2023, 2024 и 2025 годах,

– аналогичный коэффициент для 2026, 2027, 2028 годов.

B = 984 тыс. руб. – общая сумма выплат. Сумма долга уменьшается равномерно, т.е. на

Выплаты:

Год
2023
2024
2025
2026
2027
2028

Общая сумма выплат:

2. Вторая задача похожа на первую.

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 13% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равна сумма всех выплат?

Решение:

тыс. рублей, лет, — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга в 2026-2030 годах.

— аналогичный коэффициент для 2031-2035 годов. Долг уменьшается равномерно, т.е. ежегодно на

Составим схему погашения кредита:

Выплаты:

Общая сумма выплат:

тыс. рублей.

Ответ: 1020 тыс. рублей.

3. Третья задача похожа на «Кошмар-2018». Вы знаете, как это было в 2018 году. Все знали, что «экономическая» задача – это халява. Многие абитуриенты рассчитывали решить Часть 1 и задания 13, 15 и 17 – и получить 80 баллов, а с ними поступать куда угодно. Это было бы удобно: без изучения планиметрии и стереометрии, без «параметров» и задач на числа и их свойства – в общем, почти без усилий.

И вот на экзамене – вместо элементарной задачки – появилась задача такого типа. Надежды абитуриентов на легкое поступление растаяли, как лед на июньском солнце.

Подробно о «Кошмаре-2018» здесь.

К 2021 году чудовище приручили, и теперь оно не кажется страшным. Вот точно такая же задача из ЕГЭ-2021. Ну и что?

В середине января 2026 года планируется взять кредит на 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— Первого числа каждого месяца кредит увеличивается на 1%.

— Со 2 по 15 числа каждого месяца, на протяжении следующих 30 месяцев, долг должен уменьшаться на одну и ту же величину но сравнению с предыдущим месяцем.

— На тридцать первый месяц, перед начислением процентов, остаток кредита будет составлять 300 тысяч, после чего он погашается одним платежом.

Чему равна общая сумма выплат?

Решение:

тыс. рублей

X – величина, на которую уменьшается сумма долга с первого по 30-й месяцы.

тыс. рублей – сумма долга на 31-й месяц.

Составим схему погашения кредита.

Ежемесячные выплаты:

тыс. рублей, тыс. рублей.

Общая сумма выплат:

Найдём

Мы нашли суммы арифметических прогрессий:

тыс. рублей

Общая сумма выплат:

тыс. рублей.

Ответ: 1429 500 рублей

А теперь – авторская задача Анны Малковой. Кто решил ее за день до ЕГЭ – тот на реальном экзамене знал, что делать.

4. В 2015 году Федор взял в кредит сумму S на 6 лет под 25% годовых, причем вначале банк начисляет проценты, затем Федор переводит в банк определенную сумму денег. По условиям кредита, в 2016, 2017, 2018 и 2019 годах после очередной выплаты сумма долга ежегодно уменьшается на 1/10 первоначальной величины, выплаты 2020 и 2021 годов равны. Всего Федор выплатил 250 тысяч рублей. Найдите S.

Решение:

Составим схему погашения кредита в 2016-2019 годах.

Первые 4 выплаты:

Сумма выплат за 4 года:

Пусть выплаты 2020 и 2021 годов равны X;

Выплаты за 2020 и 2021 годы:

Всего выплачено

тыс. рублей,

тыс. рублей.

5. (Резервный день) 15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ с 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐го числа каждого месяца с 1‐го по 30‐й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно)
долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца;
‐ 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;
‐ 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

Решение:

Обозначим S — сумму кредита, n = 31 месяц, p = 2%, x — сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 30-й месяц; составим схему погашения кредита.

Общая сумма выплат B = 555 тыс. рублей.

Выплаты:

Общая сумма выплат:

Найдем сумму арифметической прогрессии.

По условию,

тысяч рублей.

А вы готовы к таким задачам? Научиться их решать можно на нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Научно-образовательный форум школьников Республики Мордовия

Лицей федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Секция: Математический калейдоскоп

Автор работы:	Душутина К. A.
	10 класс Лицей МГУ им. Н. П. Огарева
Руководитель работы:	Кубанцева А. В.
	учитель математики Лицей МГУ им Н. П. Огарева

Саранск

2021

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        3

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        5

1.1        Содержательный смысл определения экономической науки        5

1.2        Взаимосвязь двух наук: экономики и математики        5

1.3        Основные определения и понятия        6

1.3.1        Понятие процента и процентной ставки        7

1.3.2        Понятие арифметической и геометрической прогрессий        8

1.3.3        Понятия фиксированных, аннуитетных и дифференцируемых платежей        10

2        ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ        12

2.1        Типы экономических задач и способы их решения        12

2.1.1        Кредиты        12

2.1.2        Вклады        21

2.1.3        Задачи на оптимальный выбор        23

2.1.4        Нестандартные задачи        24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ        27

ВВЕДЕНИЕ

Современная экономическая обстановка актуализирует проблему экономического воспитания подрастающего поколения. Экономические знания современной молодежи носят сугубо теоретический характер, оторванный от реальной действительности. Причем все больше осознается необходимость в формировании экономической грамотности у старшеклассников, тех, кто стоит на пороге самостоятельной жизни и которым в ближайшем будущем предстоит занять активную позицию в обществе. От экономической грамотности выпускников школы во многом будет зависеть их успешная адаптация к социально – экономическим условиям общества. Проблема обучения старшеклассников решению задач с экономическим содержанием складывается из нескольких составляющих: наличие в таких задачах большого количества терминов, неизвестных учащимся; старшеклассники плохо ориентируются в материале, изученном в 5-9 классах и необходимом для решения задач с экономическим содержанием: темы процентов, арифметической, геометрической прогрессий вызывают затруднения.

Задачи о вкладах и кредитовании, а также задачи оптимизации производства товаров и услуг сравнительно недавно включены во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня и вызывают значительные затруднения у большинства выпускников.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что в курсе математики, изучаемой в школе, решению задач с экономическим содержанием не уделено достаточно времени. Жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений. Однако основные практические навыки и умения у большинства учеников сформированы на уровне, не удовлетворяющем требованиям подготовки к ЕГЭ и повседневной жизни.

Гипотеза исследования – в современном мире необходимы знания об экономике и в этом может помочь математика.

Объект исследования – процесс подготовки к единому государственному экзамену по математике профильного уровня.

Предмет исследования – экономические задачи №17, встречающиеся в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Цель исследования – исследование методов решения задач с экономическим содержанием.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретико-методологические основы экономики.

2. Провести классификацию и систематизацию типов экономических задач, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений.

Методы исследования – теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы по теме исследования, сравнение, систематизация информации, обобщение, вывод, подбор и решение задач.

Научная новизна работы заключается в обобщении, систематизация, анализе экономических задач, входящих в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Практическое значимость – возможность использования обобщенных данных при подготовке выпускников к сдаче единого государственного экзамена по математике профильного уровня, отработке решения задач экономического содержания.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Содержательный смысл определения экономической науки

У всякой науки свой предмет, т.е. своя главная тема исследований. В центре внимания экономической теории – хозяйственная деятельность людей, которая осуществляется при определенных условиях, в определенной обстановке, экономической среде. [2]. В зависимости от условий, обстановки и экономической среды, термин «экономика» имеет различные определения. Приведем одно из определений экономики (экономической теории) как науки:

Экономика – это наука, изучающая типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ. [6].

Другими словами, экономика – наука об оптимальном, т.е. наилучшем в конкретных условиях, использовании ограниченных ресурсов [8].

1. Взаимосвязь двух наук: экономики и математики

Математика настолько практична, что немногое из окружающего мира может без нее функционировать. От банков и магазинов, бирж и страховых компаний до штрихкодов, прослушивания дисков и разговоров по мобильному телефону – все это и многое другое работает благодаря процессорам и математическим моделям, задача которых – постоянное выполнение математических операций.

Особенности математики, как отличительной области знаний, которые делают ее неповторимой, заключаются в следующем:

• недопустимость расхождения в определении правил и создании математических формул;
• математические формулы составляются из ряда аксиом, на основе строгих условий;  
• возможность владеть теми или иными понятиями, не раскрывая их смысла.

Именно благодаря всем вышеперечисленным особенностям математический аппарат является многофункциональным аналитическим инструментом для всех отраслей знаний. [4].

Экономика представляет собой науку, которая изучает объективные причины и условия ведения в обществе хозяйственной деятельности. В этой связи экономике изначально были присущи различные количественные характеристики, исследование и описание которых потребовало использование большого числа математических методов. Экономические объекты, процессы и явления изучаются математически формализованным образом. Роль математики в экономике заключается в том, что ее язык позволяет сформулировать содержательные и проверяемые гипотезы о многих сложных экономических явлениях. Причем большая часть этих явлений вообще не может быть изучена без привлечения математического аппарата. В частности, его использование привело к созданию математических моделей, в которых нашли отражение некоторые теоретические экономические взаимосвязи.

На сегодняшний день обширное использование математического аппарата в своих исследованиях способствует достижению наибольших успехов в разных областях. Поэтому применение математики на практике позволяет достичь более значительных результатов в изучении явлений природы и общества.

1. Основные определения и понятия

Решение финансовых задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной. Прежде чем рассмотреть способы решения экономических задач, целесообразно привести основные определения, понятия, таблицы и формулы.

1. Понятие процента и процентной ставки

Процентом называют одну сотую часть числа. С точки зрения экономики, процент – это абсолютная часть дохода, получаемая в результате финансовой операции за определенный период времени при наращении.

При решении экономических задач часто используется определение процентной ставки за определенный период времени – величины, характеризующей относительное изменение денежной суммы F за этот период:

где – абсолютная величина изменения суммы F.

Определенная таким образом процентная ставка измеряется в процентах (%). Если относительное изменение денежной суммы не умножать на 100, то ставка будет измеряться в долях единицы (дробях).

Отрезок времени, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

В зависимости от того, какая из сумм дана и какую нужно найти, выделяют два направления финансовых расчетов: наращение и дисконтирование.

Наращение – определение величины итоговой стоимости по заданной текущей стоимости. Дисконтирование – определение текущей стоимости по ожидаемой итоговой сумме в будущем. [3].

Различают простые и сложные процентные ставки, или проценты.

Для начисления простых процентов применяют постоянную базу начисления. В этом случае начисленные за весь срок проценты I составят:

 где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.

Наращенная сумма представляет собой сумму первоначальной денежной суммы и наращенных процентов:

Когда за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения (дисконтирования), используют сложные процентные ставки. В этом случае база начисления последовательно изменяется, то есть проценты начисляются на проценты.

В конце первого года проценты будут равны величине I = Р * i, а наращенная сумма составит S = Р + Р * i = Р * (1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р * (1 + i) + Р * (1 + i) * i = Р * (1 + i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:

где P – первоначальная денежная сумма, n – период начисления процентов, i – ставка наращения процентов в виде десятичной дроби.

Проценты за этот срок составят:

.

1. Понятие арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d. [7].

 

Очевидно, что арифметическая прогрессия представляется возрастающей последовательностью, если d > 0, и убывающей, если d < 0.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (an) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

 

то (аn) – арифметическая прогрессия. [5].

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии. [1].

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (bn) такова, что для любого n > 1 выполняется равенство:

 то (bn) – геометрическая прогрессия. [1].

1. Понятия фиксированных, аннуитетных и дифференцируемых платежей

Фиксированные платежи – платежи, которые четко оговариваются в условии задачи. Аннуитетный платеж – это платеж, который устанавливается в равной сумме через равные промежутки времени. Месячный аннуитетный платеж находится по формуле:

где X – месячный платеж, S – сумма кредита, P – 1/12 процентной ставки, N – количество месяцев.

Дифференцируемый платеж – это платеж, который представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Если при аннуитетной схеме неизменным является сам аннуитетный платеж, то при дифференцируемой – не меняется именно взнос, идущий на погашение тела кредита. Рассчитывается он по формуле:

где St – сумма, которая идет на погашение тела кредита, S – сумма кредита, N – количество месяцев. Для расчёта доли процентов в дифференцированных платежах пользуются следующей формулой:

где In – сумма, которая идёт на погашение процентов по кредиту в данный расчётный период, Sn — остаток задолженности по кредиту, P – годовая процентная ставка. Зная долю тела кредита и долю процентов, мы можем рассчитать дифференцированный платёж, используя формулу:

где X — размер дифференцированного платежа по кредиту, St – сумма, которая идёт на погашение тела кредита, In – сумма уплачиваемых процентов. [3].

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Экономические задачи были введены в задания ЕГЭ по математике профильного уровня (№17) в 2015 году. По своей сложности задачи с экономическим содержанием находятся на одном уровне с заданиями, содержащие параметры и теорию чисел.

Низкий процент успешной сдачи решения задания №17 (за 2015 – 2020 годы – 2, 5) объясняется как трудностью самих задач, так и их отсутствием в школьном курсе математики.

Основными ошибками, которыми допускали учащиеся при решении задач финансовой математики, являются:

• неверное составление модели;
• вычислительными, или арифметические;
• прекращение решения на промежуточном шаге, то есть без доведения ответа до числового значения;
• решение методом перебора без обоснования единственности;
• решение без вывода формул. В ряде случаев трактуется как неумение строить математическую модель.

С целью подготовки учащихся к успешной ЕГЭ имеет смысл подробно рассмотреть типы экономических задач и методы их решения.

1. Типы экономических задач и способы их решения

Условно выделяют несколько типов задач экономического содержания.

Далее приведем подробные разборы примеров задания №17 каждого типа.

1. Кредиты

ПРИМЕР №1 (Подтип 1: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита). 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей? [10].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Сначала найдем минимальное количество месяцев, за которое Павел Витальевич сможет погасить основную сумму долга, если его ежемесячный платеж будет составлять 125 тыс. рублей: 1 000 000 : 125 000 = 8 (месяцев).

Но банк ежемесячно начисляет 1% на оставшуюся сумму долга. Тем самым получаем, что общая сумма долга будет превышать 1 млн рублей.

Составим таблицу, наглядно показывающую схему кредита, и найдем № месяца, когда задолженность будет меньше, чем ежемесячная выплата:

Месяц, №	Задолженность в начале месяца, руб.	Задолженность после погашения, руб.
1	1 000 000 + 1% = 1 010 000	1 010  000 – 125 000 = 885 000
2	885 000 + 1% =893 850	893 850 – 125 000 = 768 850
3	768 850 + 1% = 776 538, 5	776 538, 5 – 125 000 = 651 538,5
4	651 538,5 + 1% = 658 054	658 054 – 125 000 = 533 054
5	533 054 + 1% = 538 385	538 385 – 125 000 = 413 385
6	413 385 + 1% = 417 519	417 519 – 125 000 = 292 519
7	292 519 + 1% = 295 445	295 445 – 125 000 = 170 445
8	170 445 + 1% = 172 150	172 150 – 125 000 = 47 150
9	47 150 + 1% = 47 622	0

СПОСОБ №2. За 8 месяцев Павел Витальевич сможет оплатить за кредит не более, чем 125 000 * 8 = 1 000 000 рублей, но с учетом начисляемых процентов общая сумма долга будет превышать 1 млн рублей.

За 9 месяцев банк начислит не более, чем 9 сумм процентов за первый месяц (максимально начисленные проценты будут составлять 10 000 рублей), то есть 10 000 * 9 = 90 000, что составляет меньше, чем ежемесячный платеж. Таким образом, Павел Витальевич полностью погасит кредит за 9 месяцев.

ОТВЕТ: на 9 месяцев.

ПРИМЕР №2 (Подтип 1: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита). В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1, 4 млн руб.? [11].

РЕШЕНИЕ: Чтобы найти минимальное количество лет, надо обозначить размер максимального первого платежа – 1,4 млн рублей.

Дата	Долг до выплаты, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг после выплаты, млн руб.
Июль 0-ого года	5
Январь 1-ого года	5 + 15% = 5,75
Февраль 1-ого года		1,4	5,75 — 1,4 = 4,35
Июль 1-ого года	4,35 (разница 0,65)
Июль 2-ого года	4,35 – 0,65 = 3,7
Июль 3-его года	3, 7 – 0,65 = 3,05
Июль 4-ого года	3,05 – 0,65 = 2,4
Июль 5-ого года	2,4 – 0,65 = 1,75
Июль 6-ого года	1,75 – 0,65 = 1,1
Июль 7-ого года	1,1 – 0,65 = 0,45
Июль 8-ого года	0

Мы можем найти оставшуюся сумму долга на июль данного года, найдя фиксированную разницу между 1-ым и 2-ым годами выплаты кредита. Как только, оставшаяся сумма долга будет меньше, чем разница, кредит будет считаться полностью оплаченным в этот год.

ОТВЕТ: 8 лет.

ПРИМЕР №3 (Подтип 2: Вычисление процентной ставки по кредиту). В июле 2019 планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 52 500 рублей, а во второй год – 67 500 рублей? [11].

РЕШЕНИЕ: Пусть банк начисляет r процентов, умножая сумму долгу на x = (1 + ). Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
1.7.2019	100
1.1.2020	100x
1.2.2020		52,5
1.7.2020			100x – 52,5
1.1.2021	(100x – 52,5) * x = 100x2 – 52,5x
1.2.2021		67,5
1.7.2021			100x2 – 52, 5x – 67,5 = 0

Решив квадратное уравнение: 100x2 – 52, 5x – 67,5 = 0, получаем, что x1= = — 0,6 (не подходит, т. к. процентная ставка не может быть отрицательным числом) и x2 = 1, 125. Отсюда получаем: x = 1 +  = 1, 125; r = 12, 5.

ОТВЕТ: 12,5

ПРИМЕР №4 (Подтип 3: Нахождение суммы кредита). Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн. [10].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Обозначим за S полную сумму кредита. Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, млн руб.	Выплата, млн руб.	Долг после выплаты, млн руб.
Начало 1/2/3-ого годов	S
Середина 1/2/3-ого годов	S + 20%=1,2S
Конец 1/2/3-ого годов		0,2S	S
Начало 4-ого года	S
Середина 4-ого года	S + 20%=1,2S
Конец 4-ого года		X	1,2S — X
Начало 5-ого года	1,2S — X
Середина 5-ого года	(1,2S– X)+20% =1,44S-1,2X
Конец 5-ого года		X	1,44S — 1,2X – X = 0

Решаем уравнение 1,44S — 1,2X – X = 0. Получаем, что X = .

Общая сумма выплат составляет 0,6S + 2X = 0,6S + S = S. По условию: S > 10 млн. Получаем, что S > 5, 24 (Минимальное целочисленное решение неравенства – S = 6).

СПОСОБ №2. Обозначим за S полную сумму кредита. Каждый год заёмщик выплачивает по 0,2S млн. Всего 0,6S за три года.

Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до 1,2S млн. Обозначим через X размер выплаты в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен (1,2S — X), а в середине 5-го года он равен 1,2(1,2S — X). В конце 5-го года весь долг должен быть погашен. Отсюда следует, что последняя выплата равна 1,2(1,2S- X), а по условию равна X. Получаем, что X = S.

Общая сумма выплат составляет 0,6S + 2X = 0,6S + S = S. По условию, S > 10 млн. Получаем: S > 5, 24 (Минимальное целочисленное решение неравенства – S = 6).

ОТВЕТ: 6 млн рублей.

ПРИМЕР №5 (Подтип 4: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша). 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? [10].

РЕШЕНИЕ: Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, руб.	Выплата, руб.	Долг после выплаты, руб.
31.12.2014	4 290 000
31.12. 2015	4 290 000 + 14,5% = 4 912 050	X	4 912 050 — X
31.12. 2016	(4 912 050 – X) + 14,5% =     5 624 298 – 1,145X	X	5 624 298 – 2,145X = 0

Решаем уравнение 5 624 298 – 2,145X = 0. Получаем, что X = 2 622 050.

ОТВЕТ: 2 622 050 рублей.

ПРИМЕР №6 (Подтип 4: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша). Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 18 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? [10].

РЕШЕНИЕ: Через год банк начисляет 18% годовых, то есть долг увеличивается в 1,18 раз. Получится, что клиент должен банку 18 000 * 1,18 = 21 240 рублей. Соответственно ежемесячная выплата составит:

 21 240 / 12 = 1 770 рублей.

ОТВЕТ: 1 770 рублей.

ПРИМЕР №7 (Подтип 5: Нахождение разницы). 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? [10].

РЕШЕНИЕ: Построим схему выплаты кредита:

Дата	Долг до выплаты, руб.	Выплата, руб.	Долг после выплаты, руб.
31.12.2014	7 007 000
31.12.2015	7 007 000 + 20% = 8 408 400	X	8 408 400 – X
31.12.2016	(8 408 400 – X) + 20% = 10 090 080 – 1,2X	X	10 090 080 – 2,2X
31.12.2017	(10 090 080 – 2,2X) + 20% = 12 108 096 – 2,64X	X	12 108 096 – 3,64X

Схема №1 (3 равных платежа). Последним платежом Тимофей полностью погасит кредит. Решим уравнение 12 108 096 – 3,64X1 = 0. Получаем, что X1 = 3 326 400.

Схема №2 (2 равных платежа). Решим уравнение 10 090 080 – 2,2X2 = 0. Получаем, что X2 = 4 586 400.

Находим разницу: 3X1 – 2X2 = 9 979 200 – 9 172 800 = 806 400 рублей.

ОТВЕТ: на 806 400 рублей.

ПРИМЕР №8 (Подтип 6: Задачи, связанные с известным остатком). В январе 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый ноябрь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• в декабре каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в январе каждого года долг (в тыс. рублей) должен соответствовать следующей таблице:

Месяц и год	Январь 2020	Январь 2021	Январь 2022	Январь 2023
Долг, тыс. руб.	800	600	300	0

Сколько тыс. рублей нужно заплатить по кредиту в декабре 2021 года? [11].

РЕШЕНИЕ:

СПОСОБ №1. Составим схему погашения кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
Январь 2020	800
Ноябрь 2020	800 + 20% = 960
Декабря 2020		X1 = 960 – 600 = 360
Январь 2021			960 – X1 = 600
Ноябрь 2021	600 + 20% = 720
Декабрь 2021		X2 =720 – 300 = 420
Январь 2022			720 – X2 = 300
Ноябрь 2022	300 + 20% = 360
Декабрь 2022		X3 = 360
Январь 2023			360 – X3 = 0

По таблице видим, что в декабре 2021 года клиент должен будет заплатить банку 420 тыс. рублей.

СПОСОБ №2. В ноябре 2021 года долг в размере 600 тыс. руб., который остался в 2021 году, увеличится на 20% и будет составлять 600 *1,2 = 720 тыс. руб. В январе 2022 года долг должен стать равным 300 тысячам рублей, так что в декабре 2021 года должно быть выплачено 720 – 300 = 420 тыс. руб.

ОТВЕТ: 420 руб. тыс.

ПРИМЕР №9 (Подтип 7: Задачи, связанные с дифференцированными платежами). 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц кредитования нужно выплатить 57,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования? [11].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S размер кредита, взятого в банке 15 января. 1-го февраля он уже вырастет на 3% и будет составлять 1,03S. После этого происходит выплата так, чтобы долг менялся каждый месяц на одну и ту же величину, то есть выплата в первый месяц составит: . Составим схему выплаты кредита:

Дата	Долг до выплаты, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг после выплаты, тыс. руб.
15.01	S
01.02	1,03S
14.02
15.02
1.03
14.03
15.03
15.04
15.05
15.06		=57,5

Решим уравнение: . Получаем, что S = 450 тыс. руб.

Рассчитаем всю сумму, выплаченную банку за 9 месяцев:

. Подставим S = 450. Получаем:

ОТВЕТ: 517,5 тыс. руб.

ПРИМЕР №10 (Подтип 7: Задачи, связанные с дифференцированными платежами). Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. [9]

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S полную сумму кредита. По условию долг должен уменьшатся до нуля равномерно. Составим геометрическую прогрессию: S; ; …; ; ; 0.

К концу каждого месяца долг увеличивается на r%, то есть умножается на коэффициент k, равный : S; ; …; ; ; 0.

Отсюда следует, что ежемесячные выплаты должны быть представлены в следующем виде:  ; ; …; ; ; 0.

Всего следует заплатить: .

Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит. Получаем: ; k =  = 1,02; r = 2%.

ОТВЕТ: 2%.

1. Вклады

ПРИМЕР №11. В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год (опять после начисления процентов) снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил? [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S общую сумму вклада. Составим схему начисления процентов по вкладу:

Год, №	Реальная сумма, руб.	Запланированная сумма, руб.
0	S	S
1	1,1S	1,1S
2	1,1(1,1S – 2000)	1,1 * 1,1S
3	1,1(1,1(1,1S – 2000) + 2000) = 1,1 * (1,21S – 200) = 1, 331S -220	1,1 * 1,1 * 1,1S = 1, 331S

Найдем разницу:

 1,1(1,1(1,1S – 2000) + 2000) — 1,1 * 1,1 * 1,1S = 1, 331S – 220 – 1,331S = — 220. Таким образом, вкладчик получил на 220 рублей меньше запланированной суммы.

ОТВЕТ: на 220 рублей.

ПРИМЕР №12. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. [11].

РЕШЕНИЕ: Составим схему увеличения вклада:

Год	Сумма вклада	Год	Сумма вклада
0	10	3	((1,15 * 10 + 4) * 1,15 +4) *1,15 + m = 21,825 * 1, 15 + m = 25,099 + m
1	1,15 * 10 + n	4	(25,099 + m) * 1, 15 + m
2	(1,15 * 10 + n) * 1,15 + n

В условии задачи сказано, что за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, значит, можно составить неравенство:

(1,15 * 10 + n) * 1,15 + n ≥ 20. Получаем, что n ≥ 3,5. (Минимальное целочисленное решение n = 4).

За четыре года первоначальные вложения утроятся. Составим неравенство: (25,099 + m) * 1, 15 + m ≥ 30. Получаем, что m ≥ 0,528. (Минимальное целочисленное решение m = 1).

ОТВЕТ: 4 и 1 млн рублей.

1. Задачи на оптимальный выбор

ПРИМЕР №13. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х% годовых, тогда как в январе 2001 года она составила у% годовых, причем известно, что x + y = 30. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной. [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за S сумму вклада, которую положили в банк в январе 2000 года. В январе 2001 года вклад будет уже составлять S(1+0,01x), но вкладчик снял 0,2S. Поэтому на январь 2021 на вклад приходится: S(1+0,01x) – 0,2S = 0,8S +0,01Sx. В январе 2002 года вклад увеличится на y%, то есть умножится на (1 + 0,01y) = (1 + 0,01(30 – x), и будет составлять (0,8S +0,01Sx) * (1 + 0,01(30 — x)) = — 0,0001Sx2 + 0,005Sx + 1, 04S.

Функция f(x) = — 0,0001Sx2 + 0,005Sx + 1, 04S является убывающей. Найдем ее максимальное значение x0 =   = 25.

ОТВЕТ: 25.

1. Нестандартные задачи

ПРИМЕР №14. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов? [10].

РЕШЕНИЕ: Найдем ежемесячное увеличение валютной массы, находящейся в обращении: 100 – 50 = 50 тыс. долларов. Через n месяцев в стране будет – (1 000 + 50n) тыс. долларов.

Ежемесячно количество фальшивых купюр уменьшается на 50 * 0,3 – 100 * 0, 1 = 5 тыс. долларов. Изначально их было 1 000 000 * 0, 2 = 200 000. Тогда, через n месяцев их будет – (200 – 5n) тыс. долларов, что составляет 5% от общего количества долларов. Получаем: (1 000 + 50n) * 0, 05 = 200 – 5n.

n = 20.

ОТВЕТ: через 20 месяцев.

ПРИМЕР №15. При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того, за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца. [10].

РЕШЕНИЕ: Обозначим за Х м глубину колодца. Тогда, часть выплат, зависящая от глубины колодца, представляет собой арифметическую прогрессию, где a1 = 1000, а d = 500. Последний член прогрессии имеет вид: 1000 + 500(X –1).

Найдем сумму всех выплат по формуле суммы n – членов арифметической прогрессии: .

Поскольку сверх этого было выплачено еще 10 000 руб., а средняя стоимость 1 м при этом составила 6250 руб., то имеет место уравнение вида: 250X2 + 750X + 10 000 = 6250X. Решим, получаем: Х1 = 2 (не подходит, т. к. Х> 10 м) и Х2 = 20.

ОТВЕТ: 20 м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы по классификации и систематизации типов задач финансовой математики, включенных во вторую часть ЕГЭ по математике профильного уровня, и методов их решений были получены следующие выводы и результаты:

1. Было дано определение экономики как науки, изучающей типичные мотивы и модели поведения людей в процессах производства, обмена и потребления жизненных благ, а также установлена ее связь с математикой, заключающаяся в построении теоретических моделей математическим методом при анализе экономических явлений и процессов.

2. Были выделены четыре типа, один из которых содержит в себе семь подтипов, экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня и приведены различные способы их решений.

В ходе исследования было замечено, что наиболее наглядным и понятным методом решения задач с экономических содержанием оказался табличный метод. Именно этот способ решения рекомендуется использовать учащимся для построения точной теоретической модели экономической задачи.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Алимов, Ш. А. Алгебра: учебник для учащихся 9 кл. средней школы / Ш.А. Алимов. – М.: Просвещение, 2012. – 287 с.
2. Ермаков, С. Л. Экономика: учебное пособие (Бакалавриат) / С.Л. Ермаков, С.В. Устинов, Ю.Н. Юденков. – Москва: КНОРУС, 2020. – 270 с.
3. Копнова, Е. Д. Финансовая математика: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Е. Д. Копнова. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 413 с.
4. Лагошина Ю.С. Взаимосвязь математики с экономическими отраслями / Ю.С. Лагошина // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4 – С. 4.
5. Мордкович, А.Г. Алгебра: Учебник. 9 класс / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2010. – 224 с.
6. Носова, С.С. Основы экономики: учебник (Среднее профессиональное образование) /С. С. Носова. – Москва: КНОРУС, 2020. – 312 с.
7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7-9 кл. средн. Шк. / Л.Ф. Пичурин. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.
8. Шимко, П. Д. Основы экономики: учебник (Среднее профессиональное образование) / П.Д. Шимко. – Москва: КНОРУС, 2021. – 292 с.
9.  fipi.ru: сайт. – 2009. – URL: https://fipi.ru/
10.  ege.sdamgia.ru: образовательный портал: сайт. – 2011. —  URL: https://ege.sdamgia.ru/ 
11.  yandex.ru/tutor: образовательный портал: сайт. – 2018. – URL: https://yandex.ru/tutor/

На этой странице вы узнаете

• Как между двумя товарами выбрать наиболее выгодный? 
• Что можно выразить с помощью функции?
• Каким способом можно решать задачи на оптимизацию, не прибегая к параболе?

Что выгоднее: купить упаковку чипсов весом 210 граммов за 150 рублей или упаковку весом 90 граммов за 70 рублей? Сегодня мы узнаем, что удачные покупки — это не только товары по скидке или два по цене одного. Заодно разберем одну из важных тем в экономике. 

Оптимизация

С задачами на оптимальный выбор мы сталкиваемся чаще, чем может показаться на первый взгляд. Когда в магазине пытаемся немного сэкономить деньги, когда ищем лучшую модель гаджета по соотношению цена – качество. При любой покупке нам хочется получить выгоду, и задачи на оптимизацию как раз про это.

Вернемся к чипсам. Может показаться, что купить маленькую пачку чипсов выгоднее: она дешевле. Но что если посмотреть на стоимость одного грамма? 
Для маленькой пачки получим (frac{70}{90} approx 0,78) рублей за грамм. 
А для большой пачки: (frac{150}{210} approx 0,71) рублей за грамм. 
Получается, что в большой пачке один грамм чипсов стоит немного дешевле, чем в маленькой. То есть выгоднее купить большую пачку. 

В чем заключаются задачи на оптимизацию? Решим пример, который поможет лучше понять всю суть задач на оптимизацию.  

Пример 1. Среди прямоугольников с периметром p найти прямоугольник с наибольшей площадью. 

Решение. Вспомним, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = xy, где x, y – его стороны. 

Периметр находится по формуле p = 2x + 2y. 

Выразим y:

(y = frac{p − 2x}{2}). 

Теперь подставим полученное значение в формулу площади:

(S = frac{p — 2x}{2} * x = frac{px — 2x^2}{2} = −x^2 + frac{p}{2} * x)

Заметим: у нас получилось уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Условно изобразим ее. Подробнее, почему мы нарисовали параболу именно так, можно прочесть в статье «Основные элементарные функции». 

Представим, что вместо параболы мы сложили слитки золота. Если мы возьмем золото только из нижнего ряда, то получим всего 4 слитка. Если все, что ниже второго, то уже 4 + 3 = 7. Чтобы получить максимум золота, нам нужно собрать все слитки от самого верхнего ряда.   

Тогда, чтобы получить наибольшую площадь, нам нужно взять значение х в верхней точке параболы, то есть в ее вершине. 

Найдем вершину параболы по формуле:

(x_в = frac{−b}{2a} = frac{−frac{p}{2}}{−2} = frac{p}{4})

Вспомним, что (y = frac{p − 2x}{2} = frac{p}{2} − x) и подставим полученное ранее значение х, следовательно, (y = frac{p}{2} − frac{p}{4} = frac{p}{4}). 

Получаем, что (x = y = frac{p}{4}), а значит, наибольшая площадь будет достигаться, если прямоугольник будет квадратом. 

Ответ: квадрат со стороной (frac{p}{4}). 

Подходы к оптимизации

Для каждой задачи или загадки нужен свой подход, идея. Какие идеи заложены в задачи по оптимизации?

• Необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 

• Необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 

• Исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 

Решим несколько задач, чтобы понять на практике все идеи. 

Пример 2.
Вика владеет двумя цветочными магазинами в городах Е. и П. В магазинах продают одинаковую продукцию, однако магазин в городе П. использует более современные технологии. Работники магазина в городе Е. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 3t единиц продукции. Работники магазина в городе П. трудятся t² часов в неделю и за эту неделю производят 6t единиц продукции. 

За каждый час работы Вика платит сотрудникам 500 рублей. Но перед сотрудниками стоит важная задача: еженедельно они должны производить 300 единиц продукции. Какую наименьшую сумму может выплачивать Вика сотрудникам?

Решение.

Переведем задачу с языка математики. 
Например, в магазине в городе Е. работает два флориста. Первый работает по 8 часов в день с понедельника по пятницу, а второй по 10 часов в день с понедельника по субботу. Всего они еженедельно будут работать 8 * 5 + 10 * 6 = 100 часов. 

По условию эти 100 часов будут равны t². Мы можем найти (t = sqrt{100} = 10). Сколько единиц продукции будут производить эти флористы? Из задачи следует, что это 3t = 3 * 10 = 30. 

А сколько заработают за эту неделю флористы? Вместе их зарплата составит 500 * 100 = 50000 рублей. 

Так можно проследить зависимость одной переменной от другой. 

 Перейдем к решению задачи. 

Шаг 1. У нас есть два магазина, в которых работает неизвестное количество сотрудников неизвестное количество времени. Что делать, если мы чего-то не знаем? Вводить переменную.

Введем переменную на время работы сотрудников. В этом случае нам неважно, сколько их и как долго работает каждый. Мы берем все их часы суммарно. 

Пусть в городе Е. сотрудники работают x² часов в неделю, а в городе П. сотрудники работают y² часов в неделю. 

Для удобства составим небольшую таблицу. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции
Сумма зарплаты

Следующую строку, которую необходимо заполнить — это количество произведенной продукции. По условию в городе Е. за x²  часов произведут 3x единиц товара, а в городе П. за  y² часов произведут 6y единиц товара. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции	3x	6y
Сумма зарплаты

А какую зарплату Вика должна выплатить сотрудникам? Для этого необходимо количество часов умножить на ставку за час. 

Город	Е.	П.
Время работы сотрудников	x2	y2
Количество произведенной продукции	3x	6y
Сумма зарплаты	500x2	500y2

Шаг 2. Пусть S — сумма, которую Вика выплачивает сотрудникам. Получаем уравнение:

S = 500(x² + y²)

Также следует вспомнить о целях, которые поставила Вика: еженедельно должно производиться 300 единиц товара, следовательно, 3x + 6y = 300. Выразим из этого уравнения y:

(y = frac{300 − 3x}{6} = 50 − 0,5x)

Шаг 3. Теперь можно подставить значение у в первое уравнение:

S = 500(x² + (50 − 0,5x))² = 500(x² + (2500 − 50x + 0,25x²)) = 500(1,25x² − 50x + 2500)

Получаем, что S = 625x² − 25000x + 1250000. 

Шаг 4. Заметим, что это парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент перед x² положителен. Изобразим ее условный график.

Наименьшее значение достигается в вершине параболы. Найдем ее. 

Шаг 5. (x_в = frac{−b}{2a} = frac{25000}{2 * 625} = 20)

Шаг 6. Вычислим значение у:

y = 50 − 0,5x = 50 − 0,5 * 20 = 50 − 10 = 40. 

Шаг 7. Вика должна выплачивать еженедельно:

S = 500(20² + 40²) = 500(400 + 1600) = 500 * 2000 = 1000000 рублей. 

Ответ: 1000000 рублей. 

Кажется, Вике стоит пересмотреть свою бизнес-модель…

Алгоритм решения задач на оптимизацию

Итак, перед нами уже складывается алгоритм решения задач на оптимизацию. Распишем его чуть подробнее. 

Чтобы закрепить алгоритм в памяти, обратимся к следующему примеру.

Пример 3.
Городские власти собрали команду художников из 44 человек, которые должны расписать два объекта в городе. Если на первом объекте работает t художников, то власти должны выплатить им 5t² тысяч рублей. Если на втором объекте работает t художников, то власти должны выплатить им t² тысяч рублей. Как нужно распределить художников по объектам, чтобы власти города выплатили им наименьшую сумму? Сколько тысяч рублей власти города должны будут заплатить в этом случае? 

Решение.

Шаг 1. Мы не знаем, сколько человек работает на каждом объекте — то есть получаем неизвестные переменные. 

Мы можем выразить количество художников на каждом объекте через х и у. Тогда x + y = 44. Можно ли сократить количество переменных?

Отвлечемся на минутку и решим небольшую задачу. Перед котом разложили 5 игрушек, некоторыми из которых он поиграл. Сколько игрушек остались нетронутыми?

Если кот поиграл х игрушками, то нетронутыми останутся (5−x) игрушек. Например, при x=3 получим, что нетронутыми останутся 2 игрушки. 

Применим аналогичные рассуждения к задаче. Было 44 художника, из них х отправились работать на первый объект. Сколько художников отправится работать на второй объект? Получим (44−x).

Шаг 2. Найдем, какую зарплату необходимо будет выплатить художникам на каждом объекте. 

Поскольку на первом объекте работает х человек, по условию им необходимо выплатить 5x² тысяч рублей. 

Поскольку на втором объекте работает (44 − x) человек, им необходимо выплатить:

(44 − x)² = 1936 − 88x + x². 

В сумме власти города должны будут выплатить:

5x² + 1936 − 88x + x² = 6x² − 88x + 1936 тысяч рублей. 

Шаг 3. Это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине.

(x_в = frac{−b}{2a} = frac{88}{12} = 7frac{1}{3})

Шаг 4. В этом моменте необходимо задуматься: может ли х принимать нецелые значения? По условию нет, поскольку за х мы взяли количество человек. Ситуация, когда один и тот же человек на треть находится на одном объекте, а другая его часть на другом, невозможна ни с биологической, ни с физической точки зрения. Значит, х — целое число.

Как быть в этом случае? Рассмотрим параболу, начертив ее условный график. 

Заметим, что чем дальше будет располагаться значение х от вершины параболы, тем больше будет сумма выплат. Нам необходимо найти сумму выплат в ближайших от вершины целых значениях х. 

Есть ещё и шаг 5. Поскольку вершина лежит в точке (7frac{1}{3}), получаем два случая: x = 7, x = 8.

При x = 7 власти выплатят художникам

6 * 7² − 88 * 7 + 1936 = 294 − 616 + 1936 = 1614 тысяч рублей. 

При x = 8 власти выплатят художникам

6 * 8² − 88 * 8 + 1936 = 384 − 704 + 1936 = 1616 тысяч рублей. 

Наименьшая возможная сумма выплат художникам — это 1614 тысяч рублей. 

Ответ: 1614.

Фактчек

• В задачах на оптимизацию необходимо найти наилучшее решение для заданной ситуации: наименьшую сумму выплат, наибольшую производительность и так далее. 
• Чтобы решить задачи на оптимизацию, необходимо следовать алгоритму и идеям, которые в них заложены. 
• Идея 1: необходимо понять, от каких величин зависит искомая переменная, чтобы найти ее максимальное или минимальное значение. 
• Идея 2: необходимо сократить количество неизвестных переменных в полученной зависимости. 
• Идея 3: исследовать полученную зависимость и найти наибольшее или наименьшее значение. 
• В задачах на оптимизацию очень часто встречается функция, которая задает ситуацию из условия. Для ее исследования можно прибегнуть к графикам или производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что выгоднее купить: большую или маленькую порцию картошки фри? В большой порции 150 грамм, а стоит она 80 рублей. В маленькой порции 70 грамм, а стоит она 60 рублей. 

1. большую порцию
2. маленькую порцию
3. порции одинаковы по выгоде
4. невозможно определить

Задание 2. 
Дана парабола с ветвями, направленными вверх. В какой точке достигается ее наименьшее значение?

1. при x=0
2. при y=0
3. в вершине параболы
4. невозможно определить

Задание 3. 
Выплаты зарплаты работникам в фирме Огонек считается по формуле x² − 24x + 1000, где х — количество отработанных часов. Какую наименьшую зарплату может выплатить фирма? 

1. 12
2. 100
3. 856
4. 1

Задание 4. 
В зависимости от условий, на поле может вырасти ((−2a^2+60a+300)) килограмм урожая, где a — скорость роста культур. Какое наибольшее количество килограмм может вырасти на поле?

1. 300
2. 750
3. 15
4. 1000

Ответы: 1. — 1; 2. — 3; 3. — 3; 4. — 2.