Экспресс подготовка к экзамену физика 9 11 класс

Укажите регион, чтобы мы точнее рассчитали условия доставки

Начните вводить название города, страны, индекс, а мы подскажем

Например: 
Москва,
Санкт-Петербург,
Новосибирск,
Екатеринбург,
Нижний Новгород,
Краснодар,
Челябинск,
Кемерово,
Тюмень,
Красноярск,
Казань,
Пермь,
Ростов-на-Дону,
Самара,
Омск

                    ФИЗИКА
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ
Л.Э. Генденштейн
А. А. Булатова
И. Н. Корнильев
А. В. Кошкина
ЕГЭ
ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ ПО ФИЗИКЕ
МАТЕРИАЛЫ
ДЛЯ ЭКСПРЕСС-ПОДГОТОВКИ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПОДРОБНЫЕ УКАЗАНИЯ К ТРУДНЫМ ЗАДАЧАМ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ
Л.Э. Генденштейн
А. А. Булатова
И. Н.Корнильев
А. В. Кошкина
ФИЗИКА
ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
МАТЕРИАЛЫ
ДЛЯ ЭКСПРЕСС-ПОДГОТОВКИ
• ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
• ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
• ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
• ПОДРОБНЫЕ УКАЗАНИЯ К ТРУДНЫМ ЗАДАЧАМ
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2018

УДК373.167.1:53
ББК 22.3я721
Г34
Авторы:
JI. Э. Генденштейн, А. А. Булатова,
И. Н. Корнильев, А. В. Кошкина
Генденштейн JI. Э.
Г34 Физика. Готовимся к ЕГЭ. Материалы для экспресс-под¬
готовки : учебно-методическое пособие / JI. Э. Генденштейн,
А. А. Булатова и др. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,
2018. — 240 с. : ил.
ISBN 978-5-9963-3643-2
Пособие предназначено для подготовки школьников к единому го¬
сударственному экзамену по физике в соответствии с требованиями по
данному экзамену. Содержит основные теоретические сведения по всему
школьному курсу физики, вопросы и задания для повторения, вопросы
и задания двух уровней сложности, соответствующих первой и второй
частям заданий ЕГЭ, для самостоятельной работы, а также подробные
указания к решению трудных задач.
Пособие можно использовать в классах с базовым и углублённым
уровнями изучения физики, физико-математического, инженерно-тех¬
нологического, универсального и других профилей, а также на индиви¬
дуальных занятиях. Используемый математический аппарат согласует¬
ся с учебным предметом «Математика».
Соответствуют федеральному государственному образовательному
стандарту среднего общего образования и примерной основной образо¬
вательной программе среднего общего образования.
Предназначено для общеобразовательных организаций: школ, лице¬
ев, гимназий, центров образования и пр.
УДК 373.167.1:53
ББК 22.3я721
Генденштейн Лев Элевич,
Булатова Альбина Александровна и др.
ФИЗИКА
Готовимся к ЕГЭ. Материалы для экспресс-подготовки
Редактор Г. Ершова. Методист Н. Лукиенко
Оформление Н. Новак. Художник Ю. Корчмарь
Технический редактор Е. Денюкова. Корректор И. Копылова
Компьютерная вёрстка А. Борисенко
Подписано в печать 26.01.18. Формат 84x108/16. Уел. печ. л. 19,5.
Тираж 3000 экз. Заказ6088.
ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний»
127473, Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 1,
тел. (495)181-53-44, e-mail: binom@lbz.ru, http://lbz.ru, http://metodist.lbz.ru
Отпечатано в ООО «Типография «Миттель Пресс»,
г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89.
E-mail: mittelpress@mail.ru
ISBN 978-5-9963-3643-2
© ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2018
© Художественное оформление ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2018
Все права защищены

Тому, кто ГОТОВИТСЯ к ЕГЭ по физике
Чтобы успешно сдать ЕГЭ по физике, надо прежде всего уметь решать задачи. Эта
книга поможет Вам научиться решать задачи, а не заучивать готовые решения. Вы об¬
наружите, что решать задачи намного интересней и к тому же намного надёжней, чем
вспоминать заученные решения на экзамене.
В этой книге Вы найдёте достаточное количество вопросов и заданий для повторения
по каждому разделу школьной программы по физике. Многие вопросы и задания состав¬
лены по ситуациям, использованным в задачах ЕГЭ в течение последних лет. Уровень их
сложности постепенно повышается — от самых простых до довольно сложных.
Успешно справиться с заданиями высокого уровня сложности Вам помогут предло¬
женные здесь «ступеньки», по которым Вы будете шаг за шагом подниматься на высокий
уровень (туда и правда трудно «запрыгнуть» одним прыжком).
Наши «ступеньки» — это вопросы постепенно возрастающей сложности по одной и
той же ситуации, описанной в условии задачи. Их последовательность тщательно подобра¬
на так, чтобы научить Вас правильному (исследовательскому!) подходу к решению задач.
Вы убедитесь на собственном опыте, что не стоит пытаться сразу найти ответ на по¬
ставленный в задаче вопрос — это далеко не всегда возможно. Чтобы решить задачу, надо
исследовать ситуацию, описанную в условии задачи, то есть записать все соотношения,
справедливые для данной ситуации (не обращая внимания на то, какие величины заданы,
какие надо найти, а о каких вообще ничего не сказано в условии).
В результате Вы получите систему уравнений. Это — ключ к решению задачи: Вам
останется только решить систему относительно искомой величины (или величин).
Описанный подход к решению задач мы кратко сформулировали на следующей стра¬
нице в виде «Золотого' правила» решения задач.
В каждом разделе после вопросов и заданий для повторения приведены вопросы и за¬
дания для самостоятельной работы двух уровней сложности, соответствующих первой и
второй частям ЕГЭ. Не пропускайте простых заданий, даже если Вы уверены в себе: они
помогут Вам справиться с более трудными задачами, к которым не всегда даны «ступеньки».
Ко многим заданиям приведены советы непосредственно после условий. Они помогут
Вам наметить путь решения.
К наиболее трудным задачам в конце книги приведены подробные указания. Они по¬
могут Вам составить систему уравнений, открывающую путь к решению.
Тому, кто ГОТОВИТ к ЕГЭ по физике
Эту книгу Вы сможете использовать как в классе, так и на индивидуальных занятиях.
Она поможет Вам подготовить школьников к ЕГЭ по физике — прежде всего, научить их
решать задачи.
Вы лучше других знаете, как трудно научить школьников решать задачи по физике.
Эта трудность имеет простую причину: дело в том, что не существует самого по себе «уме¬
ния решать задачи по физике». Это умение — «побочный продукт» исследовательского
подхода. Тот, кто овладел этим подходом, сможет решить задачу даже высокого уровня
сложности. А развить исследовательский подход у Ваших учеников как раз и поможет
эта книга.
Вы найдёте в ней много вопросов и заданий для повторения по всем разделам школь¬
ного курса физики. В этих вопросах и заданиях ставится ряд постепенно усложняющихся
вопросов по одной и той же ситуации — именно в той последовательности, которая со¬
ответствует исследовательскому подходу.
В книге исследованы указанным образом практически все ситуации, встречавшиеся на
заданиях ЕГЭ по физике.
Работая с учениками, не предлагайте им сразу все вопросы по данной ситуации — сна¬
чала задавайте вопросы по одному в порядке усложнения, а потом постепенно предлагайте
3

им самим задавать вопросы по рассматриваемой ситуации. Так Вы поможете своим уче¬
никам скорее овладеть исследовательским подходом, в результате чего они будут получать
радость не только от решения задач, но и от их постановки.
Если трудная задача не поддаётся, предложите ученикам ознакомиться с подробными
указаниями, приведёнными в конце книги для большинства трудных задач. Эти указа¬
ния — не решения, которые можно «списать»: они помогут Вашим ученикам «сдвинуться
с мёртвой точки» и справиться с задачей.
Желаем от всей души удачи всем, кто будет работать по этой книге!
Авторы

«ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО» РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Закройте поставленный в задаче вопрос
и сосредоточьтесь на ситуации, описанной
в условии задачи:	какие закономерности
справедливы для этой ситуации?
2. Запишите эти закономерности в виде
системы уравнений. При этом не бойтесь
использовать величины, не упомянутые в
условии задачи.
3. Откройте вопрос задачи и решите
полученную систему уравнений относительно
искомых величин.
        .
4

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КУРСА ФИЗИКИ 10 КЛАССА
Механика
axt2
vx = u0x + ax*
1 2 21
, K~Uh
o2
to = 2jtv =
2n
х ~ х0 t v0xt +
L — LL —
2 а
r
T
F = Gm1"»
R
F = ft|x|
Етр. ск —
■^тр. ПОК — M-A
р = mv
Ap = FM
А = Fscosa
P = — = Fv
t
Ер = mgh
_kx2
E’~ 2
Я*- 2
Емек = Ep + Ek
М = FI
F
p = pgh
EA ~ P^^norp
Молекулярная физика и термодинамика
is?
>
II
т = vM
pV = —RT = vRT
M
1 2
P = 2nmov
2	s
p = —nE
3
Ё = -kT
2
-7 3 kT 3 RT
v2 =	=
m0 M
cp = — ■ 100%
Pn
Q = cm{tK - tB)
Q = qrn
Q = Д1/ + Ap
U = -vRT
2
U = -pV
2
Ар = pAV
r) = • 100%
Qi
Л =
Qx ~ Q2 100%
Qx
Лшах - 1 2 ' Ю0%
il
Q = Xm
Q =
Lm
Электростатика и постоянный электрический
TOK
er
ёЛ
Я
A = qU С
_ 9.
C7
c _ £гоЕ
d
W ^ - CC/2
p 2 2
= il в =
2С
I2Rt A = IUt
P = IU
QP _ -^CT
I - *
U = %> — Ir IK 3 =
g’
m m°q
Q
R + г
r
en

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КУРСА ФИЗИКИ 11 КЛАССА
Fa = B/Zsina
Электродинамика
= Bqv sin a
Ф = BS cosa
ДФ
At
Ф = LI
= -L
AI
At
LI*
= —
2
Колебания и волны
* = ^maxCOSCO t
T = 2jiJ—
rr, ^ m
T = 2nJ—
V *
71 = 2nVZc
и1
=
юС
X£ = coL
и = — = Xv
T
Оптика и элементы теории относительности
sin(3 щ
sma0 = —
п
DBi
F
Г=*
h
I I - 1
d + f F
Ad = AX
<Zsin(|)t = AX
с
n = —
V
E0 = me
Квантовая физика
E = hv
Лтах = eUz
kv = Лык + Лтах
Ль
P =
Av
= Ek ~ En
X
N(t) = N0 ■ 2 г
AM = Zmp + Nmn - Мя
Ecs= AM- c'

МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Система отсчёта, траектория,
путь и перемещение
Тело можно рассматривать как материальную точку, если:
а) размеры тела малы по сравнению с расстоянием, пройденным телом.
б) тело движется поступательно, то есть все его точки движутся одинаково.
1. Поступательно ли движутся педали велосипеда, едущего по прямой дороге?
Совет. Тело движется поступательно, если все его точки движутся одинаково.
2. Автомобиль проехал дважды по всему кольцевому шоссе длиной 100 км. Чему равен
пройденный автомобилем путь?
Совет. Если тело проходит какой-то участок траектории п раз, то пройденный путь равен длине
этого участка, умноженной на п.
3. Только один из графиков, изображённых на рисунке 1, может быть графиком зависи¬
мости пути от времени. Какой?
Совет. Путь не может быть отрицательным и не может уменьшаться со временем.
4. Какова траектория тела, если: а) модуль перемещения тела равен пройденному пути;
б) перемещение тела равно нулю, но путь не равен нулю?
5. Длина минутной стрелки часов равна 10 см. а) Чему равен путь, пройденный кон¬
цом стрелки за 1 ч? б) Чему равен модуль перемещения конца стрелки за 1 ч? в) Чему
равен путь, пройденный концом стрелки за полчаса? г) Чему равен модуль перемещения
конца стрелки за полчаса?
6. Автомобиль проехал от пункта А до пункта В по прямой дороге и на обратном
пути остановился в пункте С, находящемся между А и Б. Известно, что АВ = 10 км,
АС = 4 км. а) Сделайте чертёж по описанию данной ситуации, б) Выразите пройден¬
ный автомобилем путь I через АВ и АС. в) Выразите модуль перемещения автомобиля s
через АС. г) Во сколько раз пройденный автомобилем путь больше модуля его перемеще¬
ния?
Совет, г) Выразите отношение — через АВ и АС.
s
/
t
0
гч	/ t
0
t
0
t
а	б	в	г
Рис. 1
7

7.	Падающий с начальной высоты мяч после удара о землю поднялся на некоторую
высоту. Какую долю начальной высоты она составляет, если пройденный мячом к этому
моменту путь оказался в 4 раза больше модуля его перемещения?
Прямолинейное равномерное движение.
Сложение скоростей
Средняя скорость
на двух участках
иср =
к+к
к + ^2
X = vJ
X = Xq + vxt
Сложение скоростей
8. На рисунке 2 изображены графики зависимости x(t) для пешехода и велосипедиста,
движущихся вдоль оси х. а) Какой цифрой отмечен график зависимости x(t) для велоси¬
педиста? б) Для какого графика проекция скорости на ось х отрицательна?
Совет, а) Найдите скорости движения, соответствующие каждому графику, и оцените, с какой
скоростью может двигаться пешеход (не бегун).
Средняя скорость
9. Автобус проезжает расстояние 40 км между двумя посёлками за 1 час. На сколько
уменьшилась его средняя скорость, когда в расписании автобуса появились три оста¬
новки по 5 мин каждая?
Совет. Найдите время движения автобуса после добавления остановок.
10. Женя некоторое время ехал на велосипеде со скоростью
15 км/ч, а потом велосипед сломался, и Женя ещё столько же
времени шёл, ведя велосипед со скоростью 5 км/ч. Чему равна
средняя скорость Жени на всём пути?
11. Женя некоторое расстояние проехал на велосипеде со скоро¬
стью 15 км/ч, а потом ещё такое же расстояние прошёл, ведя
велосипед со скоростью 5 км/ч. Чему равна средняя скорость
Жени на всём пути?
Сложение скоростей
12. По реке плывёт плот со скоростью и1, причём vx = 0,3 м/с,
а по плоту идёт человек со скоростью v21 относительно плота,
причём v21 = 1 м/с. а) Чему равна и как направлена скорость д2
Рис. 2
8

человека относительно берега, если он идёт по плоту в направлении течения реки
(рис. 3)? б) Чему равна и как направлена скорость v2 человека относительно берега, если
он идёт по плоту противоположно течению реки (рис. 4)?
13. От пристани А к пристани В отплыли одновременно плот и катер. Скорость катера
относительно воды в 3 раза больше, чем скорость течения. Плот приплыл к пристани В
через 1 час после отправления, а) Во сколько раз скорость катера относительно берега
больше скорости течения, когда он плывёт по течению? против течения? б) За какой
промежуток времени катер проплыл от А до В? от В до А?
Совет, а) Скорость катера относительно берега является векторной суммой скорости катера отно¬
сительно воды и скорости течения.
14. Вертолёт пролетел при попутном ветре от А до В за 1,5 часа. Во время обрат¬
ного перелёта направление и скорость ветра оставались прежними, а перелёт длился
1 ч 50 мин. Скорость вертолёта относительно воздуха всё время оставалась постоянной.
а) Обозначьте модуль скорости вертолёта относительно воздуха и , модуль скорости
ветра пвет, а расстояние между А и В обозначьте d. Времена перелёта при попутном и
при встречном ветре обозначьте tno и tnpoT. Запишите систему уравнений, описывающих
движение вертолёта при попутном и встречном ветре, б) Используя полученную систему
уравнений, найдите, во сколько раз скорость вертолёта относительно воздуха больше ско¬
рости ветра, в) Сколько времени занял бы перелёт от А до В при отсутствии ветра?
Совет, б) Можно разделить одно уравнение системы на другое: левую часть первого уравнения
разделить на левую часть второго, а правую часть первого — на правую часть второго, в) Запи¬
шите систему уравнений для времён движения по ветру, против ветра и без ветра. «Переверните»
потом каждое из этих уравнений и составьте одно уравнение, в которое входят только указанные
три промежутка времени. После сокращений вы получите одно уравнение с одним неизвестным.
15. Рыбак на моторной лодке переправляется через реку. При этом скорость лодки отно¬
сительно воды перпендикулярна скорости течения и равна 2 м/с. Ширина реки 60 м,
скорость течения 1 м/с. На рисунке 5 схематически показаны некоторые положения
лодки во время переправы, а) Чему равен модуль скорости лодки относительно берега?
б) За какое время рыбак переправится через реку? в) На какое расстояние вдоль берега
снесёт лодку за время переправы? г) Чему равен угол между направлением скорости
лодки относительно берега и перпендикуляром к берегу? д) Чему равен модуль переме¬
щения лодки относительно берега за время переправы?
21
V2
Рис. 3
V	1
21	«,,,4
Рис. 4
а
Рис. 5
9

Совет, а) Согласно правилу сложения скоростей бл6 = илв + vT, где ил6 — скорость лодки относи¬
тельно берега, илв — скорость лодки относительно воды, иТ — скорость течения (рис, 6). Восполь¬
зуйтесь теоремой Пифагора, б) Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с плотом, плывущим
по течению: в этой системе отсчёта скорость лодки направлена перпендикулярно берегу, откуда
d
следует, что время переправы t =	,	где илв — скорость лодки относительно воды, а — ширина
Члв
реки, в) Поскольку скорость лодки относительно воды направлена перпендикулярно берегу, рас¬
стояние Ъ, на которое снесёт лодку, выражается формулой b = vTt, где ит — скорость течения.
г) Воспользуйтесь тем, что tga = ——.
°ЛВ
16.	Лодочнику надо переправиться на моторной лодке через реку шириной 60 м в
точку Б, расположенную точно напротив начальной точки А (рис. 7). Скорость лодки
относительно воды 2 м/с, а скорость течения 1 м/с. На рисунке показаны промежуточ¬
ные положения лодки, чтобы обратить внимание на то, что для переправы в точку Б
лодка должна держать курс на точку, расположенную выше по течению. Поставьте три
вопроса по этой ситуации и найдите ответы на них.
Совет. Найдите с помощью чертежа скорость лодки относительно берега как векторную сумму ско¬
рости лодки относительно воды и скорости течения. Возможные вопросы: а) Какой угол составляет
скорость лодки относительно воды с перпендикуляром к берегу? б) Чему равна скорость лодки
относительно берега? в) Сколько времени займёт переправа?
Г
^Б
Рис. 6
Рис. 7
Прямолинейное равноускоренное движение
V
Х‘
At

Ускорение
17. Как изменяется модуль скорости тела, если: а) ускорение направлено так же, как
начальная скорость; б) ускорение направлено противоположно начальной скорости?
18. Зависимость цД£) для четырёх автомобилей, движущихся вдоль оси х, выражается
следующими формулами (в единицах СИ):
1) vx = 8 + 2t;	2)	vx	=	20 - At;
3)	vx = -10 + t;	4)	vx	=	-15 - 31.
Какие автомобили разгоняются в течение первых трёх секунд наблюдения, а какие —
тормозят?
Совет. Модуль скорости тела увеличивается, если начальная скорость и ускорение направлены
одинаково, то есть если проекции начальной скорости и ускорения имеют одинаковый знак.
График зависимости скорости от времени
при прямолинейном равноускоренном движении
19. На рисунке 8 изображены графики зависимости проекции скорости от времени для
двух автомобилей, движущихся вдоль оси х. а) Какой из автомобилей тормозит? Чему
равен модуль его ускорения? б) У какого автомобиля модуль ускорения меньше? Чему
он равен? в) Запишите формулы, выражающие зависимость vx(t) для каждого автомо¬
биля в единицах СИ.
20. Зависимость проекций скорости на ось х от времени для двух тел выражается в еди¬
ницах СИ формулами й1х = 6-31, и2х = 2 + t. а) Постройте графики vlx(t) и v2x(t) на
одном чертеже, б) В какой момент времени скорости тел равны? в) В какие моменты
времени скорости тел равны по модулю^
Совет, б) Векторные величины равны, если они равны по модулю и одинаково направлены.
Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
21. Тело движется из состояния покоя с ускорением 2 м/с2. Чему равны пути, пройден¬
ные телом: за 1 с; 2 с; 3 с; 4 с? Заметили ли вы простую закономерность?
22. Автомобиль трогается с места и движется с постоянным ускорением. За первые 4 с
он проехал 20 м. Определите устно, какое расстояние проедет автомобиль: а) за 8 с;
б)	за 16 с?
Совет. Воспользуйтесь тем, что пройденный путь пропорционален квадрату времени движения:
например, при увеличении времени движения в 2 раза пройденный путь увеличивается в 4 раза.
23. Зависимость координаты тела от времени выражается в единицах СИ формулой
х = 6 — 51 + t2. а) Чему равна начальная координата тела? б) Чему равна проекция
начальной скорости? в) Чему равна проекция ускорения?
24. Автомобиль тронулся с места и, двигаясь с постоянным
ускорением, достиг скорости 10 м/с, проехав 40 м. Опреде¬
лите устно, какой путь проехал автомобиль к моменту, когда
его скорость равна: а) 20 м/с; б) 40 м/с?
Совет. При равноускоренном движении без начальной скорости прой¬
денный путь пропорционален квадрату конечной скорости.
25. Проехав 200 м, автомобиль разогнался от скорости 10 м/с
до 30 м/с. а) С каким ускорением двигался автомобиль? б) За
какое время автомобиль проехал указанный путь? в) Чему
равна средняя скорость автомобиля?	Рис. 8
11

26. Путь, пройденный тормозящим автомобилем до остановки, называют тормозным
путём. При экстренном торможении ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с2.
Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости 60 км/ч (максимальная
разрешённая скорость в городе)?
27. Автомобиль въехал на некоторый участок прямой дороги со скоростью vl = 40 км/ч,
а съехал с него со скоростью v2 = 80 км/ч. Весь участок автомобиль проехал с посто¬
янным ускорением за время t = 2 мин. а) Выведите формулу, выражающую длину
участка d через vv v2 и t. б) Чему равна длина участка?
Совет, а) Воспользуйтесь тем, что путь численно равен площади фигуры, заключённой под графи¬
ком зависимости скорости от времени, а также тем, что площадь трапеции равна произведению
полусуммы её оснований на высоту.
28. Автобус отошёл от остановки и за 12 с разогнался до скорости 72 км/ч, двигаясь с
постоянным ускорением. Какова средняя скорость автобуса во время разгона? Есть ли в
условии лишние данные?
29. Докажите, что пути, проходимые за равные последовательные промежутки времени
при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости, относятся как
последовательные нечётные числа, начиная с единицы:
h-h- 1з- = 1:3: 5...
Совет. См. рисунок 9.
30. Автомобиль разгоняется с места, двигаясь равноускоренно. За первую секунду он
проехал 2 м. Какое расстояние он проехал за третью секунду? Попробуйте решить
задачу устно.
Движение с ускорением свободного падения
Свободное падение тела без начальной скорости
31. Выразите конечную скорость v свободно падающего без начальной скорости тела
через время падения t и ускорение свободного падения g.
32. Свободно падающее без начальной скорости тело упало на землю со скоростью
40 м/с. Сколько времени падало тело?
33. Выразите начальную высоту h, с которой свободно падает тело без начальной скоро¬
сти, через время падения t и ускорение свободного падения.
34. Найдите пути, проходимые свободно падающим телом за первую, вторую, третью и
четвёртую секунды падения. Заметили ли вы простую закономерность?
35. Найдите выражение для конечной скорости и тела, свободно падающего без началь¬
ной скорости с высоты h.
36. Чему была бы равна скорость дождевых капель, падающих с высоты 2 км, если бы
они падали свободно?
Движение тела, брошенного вертикально вверх1*
37. Зависимость скорости от времени для тела, движущегося с уско¬
рением свободного падения, выражается формулой v = v0 + gt. Запи¬
шите это уравнение в проекциях на вертикально направленную
ось у. Постройте график зависимости проекции скорости от вре¬
мени.
!) Далее в этом разделе мы предполагаем, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. Если началь¬
ная высота тела не указана, предполагается, что тело брошено с поверхности земли.
Рис. 9
12

38. Тело брошено вертикально вверх. Выразите время подъёма тела £под до верхней точки
траектории через и0 и g.
Совет. Время подъёма £под удовлетворяет уравнению v0 - gtnoA =	0.
39. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с.	Сколько	времени	тело	будет
двигаться вверх?
40. Выведите формулу, выражающую зависимость y(t) для тела, брошенного вертикально
вверх со скоростью vQ. Ось у направлена вертикально вверх.
41. Тело брошено вверх со скоростью 30 м/с. На какой высоте будет находиться тело
через 2 с после броска? через 4 с? Как объяснить полученные ответы?
42. Выведите формулу, выражающую высоту h верхней точки траектории брошенного
вертикально вверх тела, через vQ и g.
43. Выразите время полёта брошенного вертикально вверх	тела	£пол	до	его	падения	на
землю через модуль начальной скорости v0 и g.
44. Два тела одновременно бросили вверх. Второе тело упало на землю на 4 с позже,
чем первое. Насколько начальная скорость второго тела больше, чем начальная скорость
первого тела?
45. Два тела одновременно бросили вверх. Когда первое тело упало на землю, второе
тело находилось в верхней точке траектории. Во сколько раз: а) начальная скорость вто¬
рого тела больше, чем начальная скорость первого тела; б) высота подъёма второго тела
больше, чем высота подъёма первого?
Совет. В данном случае время подъёма второго тела в 2 раза больше времени подъёма первого тела.
Движение тела, брошенного горизонтально
При решении задач о движении тела, брошенного горизонтально со скоростью v0 с
высоты h над поверхностью земли, удобно выбрать систему координат так, как пока¬
зано на рисунке 10.
46. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью v0. Запишите выражения для
проекций б0 и ё на оси координат. Ось х направьте горизонтально по направлению
начальной скорости тела, а ось у — вертикально вверх.
47. Запишите выражения для проекций v0 и g на оси координат и, используя их, запи¬
шите уравнение v = и0 + gt в проекциях на оси координат в виде системы двух уравне¬
ний.
48. Выведите формулы, выражающие зависимость координат х и у тела от времени.
49. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью 20 м/с с высоты 10 м. На какой
высоте будет находиться тело через 1 с после броска? Есть ли в условии лишние данные?
50. Как записать условие падения тела на землю?
51. Выведите формулу для времени tnoji полёта тела до его падения на землю.
gt2
Совет. Время полёта tnoji удовлетворяет уравнению h = 0.	У	t
Rгпя -> 11 Tfi Tfя 77J-.iи / ттпттётя трття пп О'гп ттяттрттття 17;1 т ч 11Л стрпря 7?
Совет. Дальность полёта I удовлетворяет уравнению I = и(/пол. Воспользуйтесь
найденным выражением для времени полёта £пол.
х
53.	Как изменится дальность полёта горизонтально брошенного тела,	0
если увеличить в 4 раза: а) начальную скорость тела; б) начальную
высоту тела?	I
Рис.10
13

54. С отвесной скалы высотой 5 м горизонтально бросают камешки с начальными ско¬
ростями 5 м/с, 10 м/с и 20 м/с. На каком расстоянии от основания скалы упадут
камешки? Задачу можно решить устно.
Совет. Найдите время движения каждого камешка.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
55. Тело брошено с начальной скоростью о0 под углом а к горизонту (рис. 11). Запи¬
шите выражения для проекций начальной скорости и0 на оси координат, показанные на
рисунке.
56. Запишите уравнение v = v0 + gt в проекциях на оси координат (см. рис. 11) в виде
системы двух уравнений.
57. Выведите формулы, выражающие зависимость координат х и у тела от времени.
58. Тело брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. а) На каком
расстоянии от точки бросания (по горизонтали) будет находиться тело через 1 с после
броска? через 2 с после броска? б) На какой высоте будет находиться тело через 1 с
после броска? Через какой промежуток времени после броска координата у тела станет
снова равной нулю?
Совет, а) Воспользуйтесь формулой, выражающей зависимость x(t). б) Воспользуйтесь формулой,
выражающей зависимость y(t).
59. Выразите время полёта тела (до падения на землю) через и0 и а. Докажите, что
время всего полёта в 2 раза больше времени подъёма тела до верхней точки траектории.
gt2
Совет. Воспользуйтесь формулой у = и0 sin а • t и учтите, что в момент падения тела его коор-
2
дината у = 0. Время подъёма тела можно определить из условия vy = 0.
60. Выразите дальность I полёта тела через vQ и а.
„	_	„	„	2unsina
Совет. Воспользуйтесь формулой х = v0 cos а • t и формулой f ол = —   для времени полета тела,
g
полученной при решении предыдущей задачи.
61. Футболист ударил по мячу, придав ему начальную скорость 20 м/с. Мяч упал на
землю на расстоянии 34,6 м от начального положения.
а) Под каким углом к горизонту могла быть направлена начальная скорость мяча?
б) Какой вывод следует из того, что в этой задаче есть два ответа?
62. При каком угле бросания дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту
с одной и той же по модулю начальной скоростью, максимальна?
„	^	...	nnsm2a
Совет. Воспользуйтесь формулой для дальности полета I = —	.	Максимальное	значение синуса
g
угла равно 1.
63. Выразите высоту h подъёма тела в общем случае через vQ и а.
64. При каком угле бросания высота подъёма тела, брошенного под углом к горизонту с
той же по модулю начальной скоростью, максимальна?
Совет. Вспомните, при каком угле значение синуса угла максимально.
65. Посылая ударами ноги лежащий на земле мяч в полёт с одной и той
же по модулю начальной скоростью, но под разными углами к горизонту,
футболист обнаружил, что мяч падает на землю не далее 40 м от его
начального положения. На какую максимальную высоту мог подниматься
мяч при ударах?
Совет. Найдите начальную скорость мяча, исходя из того, что максимальная
дальность полёта равна 40 м. Вспомните, при каком угле бросания высота подъ¬
ёма максимальна.	Рис.	11
14

Последний этап падения тела
66. Тело, свободно падающее с некоторой высоты без начальной скорости, пролетело
последний участок пути длиной I за промежуток времени т. а) Что ещё известно о дви¬
жении тела на последнем этапе? б) Запишите систему уравнений, справедливую для
последнего этапа падения. Обозначьте vK конечную скорость тела (непосредственно перед
касанием земли), а — скорость тела в момент, когда ему осталось пролететь до земли
расстояние I. в) Используя записанную систему уравнений, получите одно уравнение с
одним неизвестным — конечной скоростью vR. г) Выразите конечную скорость тела vR
через величины, данные в описании ситуации, д) Выразите начальную высоту тела h
через величины, данные в описании ситуации.
67. Свободно падающее без начальной скорости тело пролетело за последнюю секунду
падения 30 м. а) Чему была равна скорость тела непосредственно перед падением?
б) Сколько времени падало тело? в) С какой высоты падало тело?
68. Свободно падающее без начальной скорости тело пролетело за последнюю секунду
падения в 2 раза большее расстояние, чем за предпоследнюю секунду, а) Сколько вре¬
мени падало тело? б) Чему была равна скорость тела непосредственно перед падением на
землю? в) С какой высоты падало тело?
Совет. Запишите выражения для путей, пройденных телом за одну и две последние секунды.
Воспользуйтесь приведённым в условии соотношением между этими путями, и вы получите одно
уравнение с одним неизвестным — конечной скоростью тела.
Одинаковая дальность полёта при двух разных углах бросания
69. Как связаны углы бросания (% и а2, для которых дальность полёта тела одинакова
при одинаковой по модулю начальной скорости?
70. Дальность I полёта двух тел, брошенных под различными углами к горизонту с оди¬
наковой по модулю начальной скоростью, одинакова и равна 60 м. Один угол больше
другого на 48°. а) Чему равны углы бросания? б) Чему равна начальная скорость тел?
в) На какое максимальное расстояние можно бросить тело с той же по модулю началь¬
ной скоростью? г) На какую максимальную высоту можно бросить тело с той же по
модулю начальной скоростью?
Совет, а) Воспользуйтесь тем, что сумма углов, для которых дальность полёта одинакова при той
же начальной скорости, равна 90°. б) Воспользуйтесь выражением для дальности полёта тела,
брошенного под углом к горизонту.
Равномерное движение по окружности
15

71. Тело равномерно движется по окружности и совершает один полный оборот за 4 с.
В начальный момент тело находится в точке А (рис. 12). Перенесите рисунок в тетрадь
и изобразите на нём скорость тела в точках А, В, С, D. На какой угол поворачивается
скорость тела за каждую секунду? За каждую 0,1 с?
Совет. Угол поворота скорости пропорционален времени движения.
72. Чему равны: а) периоды обращения секундной и минутной стрелок часов; б) частоты
их обращения?
73. Радиус вращающегося горизонтального колеса аттракциона 8 м. Чему равны период
и частота его обращения, когда пассажиры движутся с ускорением, равным по модулю
ускорению свободного падения?
74. Чему равны угловые скорости секундной и минутной стрелок часов?
В задачах о движении транспорта (например, автомобиля или велосипеда) указывается
часто, что колёса катятся без проскальзывания. Это означает, что скорость нижней точки
колеса, которая в данный момент соприкасается с дорогой, равна нулю в системе отсчёта,
связанной с дорогой. На это может указывать, например, чёткий отпечаток шин.
Чтобы найти скорость и ускорение любой точки колеса (например, автомобиля) в системе
отсчёта, связанной с дорогой, удобно перейти сначала в систему отсчёта, связанную с
данным автомобилем, а затем снова вернуться в систему отсчёта, связанную с дорогой.
75. Автомобиль едет с постоянной скоростью и по прямой дороге, а) Изобразите схема¬
тически колесо автомобиля, катящееся без проскальзывания, и обозначьте на рисунке
ось колеса О и точку А обода колеса, скорость которой равна нулю в системе отсчёта,
связанной с дорогой. Изобразите скорость точки О в системе отсчёта, связанной с доро¬
гой. б) Сделайте другой рисунок, на котором изобразите скорость точек О и А в системе
отсчёта, связанной с автомобилем, в) Изобразите на том же рисунке скорость верхней
точки колеса В в системе отсчёта, связанной с автомобилем, г) Сделайте третий рисунок,
на котором изобразите скорости точек О, А и В в системе отсчёта, связанной с дорогой.
Совет, б) При переходе в систему отсчёта, связанную с автомобилем, надо из скорости каждой
точки векторно вычесть скорость автомобиля v (чтобы скорость самого автомобиля в связанной с
ним системе отсчёта была равна нулю), в) Скорости всех точек обода колеса в системе отсчёта,
связанной с автомобилем, равны по модулю, г) Согласно правилу сложения скоростей при переходе
в систему отсчёта, связанную с дорогой, надо к скорости каждой точки прибавить скорость авто¬
мобиля V.
Конический маятник представляет собой подвешенный на нити груз, который равно¬
мерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (рис. 13).
76. При движении конического маятника нить длиной I образует с вертикалью угол а.
а)	Выразите радиус окружности г, по которой движется груз, через I и а. б) Выразите
скорость груза через I, а и период обращения Т. в) Выразите центростремительное уско¬
рение а груза через (, а и Т.
16

77.	Подвешенный на нити длиной 80 см шарик движется со скоростью 2 м/с по окруж¬
ности в горизонтальной плоскости. При этом ускорение шарика равно по модулю ускоре¬
нию свободного падения. На какой угол от горизонтали отклонена нить?
Совет. Выразите центростремительное ускорение шарика через скорость шарика, длину нити и
угол отклонения нити.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
78. Спортивный самолёт с пропеллером летит равномерно по горизонтали. Какова форма
траектории точки на конце лопасти пропеллера в системе отсчёта, связанной: а) с каби¬
ной пилота; б) с Землёй; в) с пропеллером?
79. Отчалив от пристани, катер проплыл 600 м на юг, затем повернул на восток и про¬
плыл ещё 800 м. Сделайте чертёж, найдите пройденный путь и модуль перемещения
катера.
80. Найдите место и время встречи двух велосипедистов, движущихся вдоль прямой
дороги, если зависимость координаты х от времени t в единицах СИ для первого и вто¬
рого велосипедистов выражается формулами; хг = 5f, х2 = 150 — 10f.
Совет. В момент встречи значения координаты х велосипедистов одинаковы.
81. Автомобиль в течение 20 мин ехал со скоростью 72 км/ч, а затем 10	мин	—	со	ско¬
ростью 90 км/ч. Чему равна средняя скорость автомобиля?
Совет. Найдите путь, пройденный автомобилем, на каждом участке и за всё время движения.
82. По двум перпендикулярным шоссе едут автомобиль со скоростью 15 м/с и мотоцикл
со скоростью 20 м/с. Чему равен модуль скорости мотоцикла в системе отсчёта, связан¬
ной с автомобилем?
Совет. Сделайте схематический рисунок и воспользуйтесь теоремой Пифагора.
83. Схематически изобразите в тетради лифт, а рядом с ним — его скорость	и	ускорение
для следующих случаев: а) лифт разгоняется, двигаясь вверх; б) лифт разгоняется, дви¬
гаясь вниз; в) лифт тормозит, двигаясь вверх; г) лифт тормозит, двигаясь вниз.
Совет. Вектор ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости. Направление
скорости значения не имеет.
84. Автомобиль за 10 с разгоняется с места до скорости 20 м/с, двигаясь прямолинейно
равноускоренно, а) С каким ускорением двигался автомобиль? б) Постройте график зави¬
симости модуля скорости автомобиля от времени, в) Чему равна скорость автомобиля
через 5 с после старта?
85. Рассмотрите график зависимости проекции скорости материальной точки от времени
(рис. 14). Чему равна средняя скорость материальной точки?
Совет. Найдите путь, пройденный материальной точкой за всё время движения. Путь численно
равен площади фигуры, заключённой под графиком зависимости vx(t).
86. На рисунке 15 изображён график зависимости от времени проекции ускорения авто¬
мобиля, движущегося вдоль оси х. В начальный момент скорость автомобиля равна нулю,
а)	Чему равна скорость автомобиля через 3 с? б) Какой путь пройдёт автомобиль за 5 с?
, 2
ах, м/с
vx, м/с
3 -
2-
1 ■■
0	40	100	180	t,	мин
0
2	4	t,	с
Рис. 14
Рис. 15
17

Совет. Постройте график зависимости проекции скорости на ось х от времени. Путь численно
равен площади фигуры, заключённой под графиком зависимости v (t).
87. С поверхности земли вертикально вверх со скоростью 20 м/с бросили камешек, а) На
какую высоту поднимется камешек и сколько времени длится подъём? б) Сколько вре¬
мени камешек будет находиться в полёте? в) Чему равен модуль скорости камешка
через 3 с после начала движения? Непосредственно перед ударом о землю?
88. Используя график зависимости от времени проекции скорости мяча, брошенного вер¬
тикально вверх (рис. 16), найдите: а) начальную скорость мяча; б) в течение какого вре¬
мени мяч поднимался до максимальной высоты; в) максимальную высоту подъёма мяча;
г)	любые два момента времени, в которые скорость мяча одинакова по модулю, но про¬
тивоположна по направлению.
Совет, б) При достижении мячом максимальной высоты его скорость изменяет направление.
89. Сравните ускорения двух тел, равномерно движущихся по окружностям радиусом
1 м и 10 см, если: а) скорости тел одинаковы; б) периоды обращения тел одинаковы;
в)	частоты обращения тел одинаковы.
90. Автомобиль проезжает по выпуклому мосту, имеющему форму дуги окружности
радиусом 60 м. Чему равна скорость автомобиля, если в момент, когда он проезжает
середину моста, ускорение автомобиля равно ускорению свободного падения?
91. Диск диаметром 0,6 м совершает 20 оборотов в минуту. Найдите период, частоту и
угловую скорость вращения диска, а также скорость и ускорение точек на его ободе.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
92. Турист прошёл по дороге 2 км на юг, а потом ещё 4 км — на юго-восток. Чему
равны модуль перемещения туриста и угол между вектором перемещения и направле¬
нием на юг?
Совет. Сделайте в тетради схематический чертёж и воспользуйтесь теоремами косинусов и синусов.
93. Обгоняя плывущий по реке плот длиной 20 м, лодка сместилась относительно берега
на 30 м. Чему равно смещение плота относительно берега за это время?
Совет. Смещение лодки относительно берега равно векторной сумме смещения лодки относительно
плота и смещения плота относительно берега.
94. Сколько времени плывёт плот по реке от города М до города Н, если из М до Н
теплоход плывёт 6 ч, а из Н до М — 8 ч?
Совет. Запишите систему уравнений, описывающих движение плота, а также движение теплохода
по течению и против течения.
95. Аист совершает перелёт между посёлками А и Б в без¬
ветренную погоду за 1 ч. Во время следующего полёта дует
ветер, направленный перпендикулярно отрезку АБ, причём
модуль скорости ветра в 3 раза меньше скорости аиста отно¬
сительно воздуха. Поставьте два вопроса по этой ситуации и
найдите ответы на них. Модуль скорости аиста относительно
воздуха не изменяется.
Совет. Например: а) Сколько времени будет длиться перелёт при
указанном ветре? б) Какой угол составляет скорость аиста относи¬
тельно воздуха с отрезком АБ?
96. Тело движется равноускоренно из состояния покоя. За
вторую секунду оно прошло 15 см. Какой путь пройдёт тело
за пятую секунду?
Совет. Пути, проходимые за равные последовательные промежутки
времени при прямолинейном равноускоренном движении без началь¬
ной скорости, относятся как последовательные нечётные числа, начи¬
ная с единицы:	:	12	:	13...	=	1:3: 5...
Рис.16
18

97. Автомобиль, трогаясь с места, в течение 15 с движется с постоянным ускорением
2 м/с2. Какой была скорость автомобиля на середине пройденного за это время пути?
Совет. Найдите скорость автомобиля в конце данного участка пути и воспользуйтесь тем, что
при равноускоренном движении без начальной скорости путь пропорционален квадрату скорости.
98. На участке длиной 100 м скорость автомобиля, движущегося с ускорением 2 м/с2,
увеличилась в 3 раза. Чему была равна скорость автомобиля в начале участка?
Совет. Выразите путь, пройденный автомобилем, через у, и() и а.
99. В течение первой секунды наблюдения мотоциклист, движущийся прямолинейно
с постоянным ускорением, проехал 10 м, а в течение первых двух секунд — 22 м.
а)	Какое расстояние он проехал за три секунды наблюдения? б) Чему равна его началь¬
ная скорость?
100. Шарик толкнули снизу вверх по наклонному жёлобу. У флажка, установленного на
расстоянии 30 см от нижнего края жёлоба, шарик побывал через 1 с и через 3 с после
толчка. Чему равен пройденный шариком путь к моменту, когда он вернулся в начальную
точку? Шарик движется вверх и вниз по жёлобу с одинаковым по модулю ускорением.
Совет. Запишите систему уравнений для положения шарика в указанные моменты времени. Выра¬
зите с её помощью начальную скорость и ускорение шарика через величины, заданные в условии.
101. Свободно падающее без начальной скорости тело за последнюю секунду падения
пролетело 35 м. С какой скоростью тело упало на землю? С какой высоты и сколько
времени падало тело?
102. Какой путь пройдёт брошенное вертикально вверх тело за первые 4 с полёта, если
начальная скорость тела равна 30 м/с?
Совет. Определите, в каком направлении будет двигаться тело через 4 с после начала полёта.
103. После удара футбольный мяч пролетает над воротами, слегка касаясь горизонталь¬
ной планки в верхней точке траектории через 0,7 с после удара. Чему равна началь¬
ная скорость мяча, если расстояние от футболиста до ворот равно 6,4 м? Примите, что
размером мяча и толщиной планки можно пренебречь.
Совет. Через указанный промежуток времени проекция скорости мяча на вертикально направленную
ось у стала равной нулю. Найдите проекции начальной скорости на оси х и у и воспользуйтесь
теоремой Пифагора.
104. От карниза крыши оторвались с некоторым промежутком времени две капли. Спу¬
стя 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями равно 20 м.
Чему равен промежуток времени между отрывом капель?
105. Петя бросает Васе мяч под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью
13 м/с. На каком расстоянии друг от друга находятся мальчики, если максимальной
высоты мяч достиг через 1 с после броска?
106. На рисунке 17 изображена ремённая передача. С какой частотой вращается малый
шкив, если большой шкив совершает 135 оборотов в минуту? Чему равна скорость точек
ремня? Диаметр большого шкива равен 0,64 м, а диаметр малого — на 40 см меньше.
Совет. Скорость точек на ободьях шкивов равна скорости точек ремня.
107. Пропеллер самолёта совершает 2000 оборотов в минуту, длина лопасти пропеллера
1,5 м. Чему равна скорость точки на конце лопасти пропеллера относительно земли,
когда самолёт летит со скоростью 500 км/ч? Нарисуйте примерную
траекторию её движения.
Совет. Найдите скорость точек пропеллера, обусловленную его вращением,
и воспользуйтесь теоремой Пифагора.
108. Два вращающихся с частотой 1600 об/мин диска насажены
на общую горизонтальную ось на расстоянии 0,5 м друг от друга.
С какой скоростью летит пуля вдоль оси вращения дисков, если за
время пролёта пули между дисками они поворачиваются на 12°?	Рис. 17
19

ДИНАМИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Три закона Ньютона
Первый
закон Ньютона
Инерциальная
система отсчёта:
v =const
Второй
закон Ньютона
F = та
а
—
т
Третий
закон Ньютона
109. Тело равномерно движется по окружности. Как направлена равнодействующая при¬
ложенных к телу сил?
Совет. Вспомните, как направлено ускорение тела, равномерно движущегося по окружности.
110. Может ли тело двигаться в направлении, противоположном направлению равнодей¬
ствующей всех сил, приложенных к телу? Приведите пример, подтверждающий ваш ответ.
Совет. Рассмотрите движение тела, брошенного вертикально вверх.
111. К покоящемуся шару массой 2 кг приложены две силы, модуль каждой из которых
равен 1,2 Н. За 2 с шар переместился на 1,2 м. а) С каким ускорением двигался шар?
б)	Чему равна равнодействующая приложенных к шару сил? в) Изобразите на чертеже
приложенные к телу силы и их равнодействующую, г) Чему равен угол между прило¬
женными к шару силами?
112. К шару массой 5 кг приложены силы, равные по модулю 4 Н и 3 Н. При каком
угле между направлениями этих сил ускорение шара равно 1 м/с2?
Силы тяготения
Закон всемирного тяготения
т,т9
Для материальных точек F = G-
R2
G= 6,67-10 11 Н-м2/кг2
Условия применимости
. О'--
т
1
'Зем а = Ст Зем
Г?2
Зем
Первая космическая скорость
1»
ё
20

113. Обозначим F модуль сил, с которыми две материальные точки массой т каждая
притягивают друг друга. Чему равны модули сил, с которыми притягиваются материаль¬
ные точки массой 2т и 3т, находящиеся на таком же расстоянии?
114. Обозначим Мс массу Солнца, т — массу планеты, R — радиус её орбиты, v —
модуль скорости планеты, а) Выразите ускорение а планеты через заданные величины,
б)	Выразите модуль F силы притяжения планеты Солнцем через заданные величины
и гравитационную постоянную, в) Выразите скорость планеты через гравитационную
постоянную, массу Солнца и радиус орбиты планеты.
Совет, а) Вспомните формулу для центростремительного ускорения, в) Воспользуйтесь найденными
выражениями для силы и ускорения и вторым законом Ньютона.
115. Выразите скорость движения Земли по орбите через массу Солнца, расстояние от
Земли до Солнца и гравитационную постоянную. Найдите численное значение этой ско¬
рости.
Совет. Воспользуйтесь справочными данными.
116. Выразите период Т обращения планеты через гравитационную постоянную, массу
Солнца и радиус орбиты планеты.
Совет. Вспомните или выведите формулу, которая связывает период обращения, скорость и радиус
окружности при равномерном движении тела по окружности.
117. Выразите ускорение свободного падения g через гравитационную постоянную, массу
Земли и её радиус.
Совет. Приравняйте выражение для силы тяжести, полученное с использованием закона всемирного
тяготения, выражению F = mg.
118. Выразите ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли
через h, гравитационную постоянную, массу Земли и её радиус.
Совет. Тело, находящееся на высоте h над поверхностью Земли, находится на расстоянии Л3ем + h
от центра Земли.
119. Тело находится над поверхностью Земли на расстоянии, равном радиусу Земли. Во
сколько раз ускорение свободного падения для этого тела меньше, чем ускорение свобод¬
ного падения на поверхности Земли?
120. Выразите первую космическую скорость через радиус Земли и ускорение свобод¬
ного падения на поверхности Земли.
Совет. Воспользуйтесь тем, что центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяжести.
121. Выразите первую космическую скорость через гравитационную постоянную, массу
Земли и её радиус.
122. Используя закон всемирного тяготения, докажите, что для всех планет Солнечной
системы отношение куба радиуса орбиты к квадрату периода обращения одинаково (тре¬
тий закон Кеплера).
123. Выразите ускорение свободного падения g на поверхности планеты через её радиус R
и среднюю плотность р.
Совет. Сначала выразите массу планеты через Лир. Затем приравняйте два выражения для
силы тяжести, действующей на тело, находящееся на поверхности этой планеты: первое —
через ускорение свободного падения, второе — с использованием формулы закона всемирного
тяготения.
124. Выразите первую космическую скорость для планеты через радиус планеты R и её
среднюю плотность р.
125. Найдите выражение для периода обращения искусственного спутника, движущегося
вокруг планеты радиусом R и средней плотностью р на низкой орбите.
126. Астронавт высадился на неизвестную планету радиусом R = 3000 км. Поверхность
планеты оказалась усеянной небольшими камешками, и астронавт стал бросать их под
21

разными углами к горизонту с начальной скоростью vQ = 15 м/с. Оказалось, что все
камешки упали на расстоянии от астронавта, не превышающем I = 45 м. Чему равна
средняя плотность этой планеты? Атмосфера на планете отсутствует.
Совет. Наибольшая дальность полёта достигается при угле бросания 45°.
Силы упругости
Закон Гука
а = О
Вес тела
Р = mg Р = m(g + а) Р = m(g - а)
Закон Гука
127. Когда к недеформированной пружине подвешивают груз массой 1 кг, длина пру¬
жины увеличивается на 5 см. Чему равна жёсткость пружины?
128. На рисунке 18 приведены графики зависимости модуля силы упругости от модуля
деформации для трёх пружин, а) У какой пружины наибольшая жёсткость? б) Во
сколько раз жёсткость первой пружины больше, чем жёсткость третьей? в) Чему равна
жёсткость второй пружины?
Вес тела, движущегося с ускорением
129. В каких из приведённых случаев вес человека больше действующей на него силы
тяжести, а в каких — меньше? а) Лифт разгоняется при подъёме, б) Лифт разгоняется
при спуске, в) Лифт тормозит при подъёме, г) Лифт тормозит при спуске.
Совет. Ускорение человека направлено вверх, когда лифт разгоняется при подъёме или тормозит
при спуске, и направлено вниз, когда лифт разгоняется при спуске или тормозит при подъёме.
130. На весах в движущемся лифте лежит килограммовая гиря. В некоторый момент
времени весы показывают 800 г. а) Как направлено при этом ускорение лифта? б) Чему
оно равно? в) Как направлена скорость лифта?
131. Шарик брошен вертикально вверх. В какие моменты полёта он находится в состоя¬
нии невесомости? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Совет. Если можно пренебречь сопротивлением воздуха, то на тело во время всего полёта дей¬
ствует только сила тяжести.
Удлинение и длина пружины
133.	Когда пружина растянута силой Fx = 20 Н, её длина
11 = 14 см, а когда она растянута силой F2 = 40 Н, её длина
12 = 16 см. а) Обозначьте длину недеформированной пружины lQ,
а жёсткость пружины k. Запишите систему уравнений, связыва¬
ющих эти величины с величинами, данными в описании ситу¬
ации. б) Выразите длину недеформированной пружины через
величины, данные в описании ситуации, в) Выразите жёсткость
132.	К пружине длиной 10 см и жёсткостью 300 Н/м подвешивают груз массой 600 г.
Чему будет равна длина пружины, когда груз будет находиться
в равновесии?
Совет. Надо определить не удлинение, а длину пружины.
х, см
Рис. 18
22

пружины через величины, данные в описании ситуации, г) Чему равны длина недефор-
мированной пружины и её жёсткость?
Совет, б) Разделите одно из уравнений системы на другое: получится одно уравнение с одним
неизвестным 10.
Последовательное соединение пружин
134. Две пружины соединены последовательно (рис. 19). Жёсткость первой пружины
fej = 100 Н/м, а жёсткость второй пружины k2 = 200 Н/м. К пружинам подвешен груз
массой 200 г. а) Чему равно удлинение каждой пружины? б) Чему равно удлинение х
системы двух последовательно соединённых пружин? в) Чему равна жёсткость системы
данных последовательно соединённых пружин? г) Докажите, что жёсткость k системы
двух последовательно соединённых пружин жёсткостью k1 и k2 можно найти по формуле
1	1	1
- = — + д) Докажите, что жёсткость системы двух последовательно соединённых
k fej	«2
пружин меньше жёсткости любой из этих пружин.
135. К двум последовательно соединённым пружинам подвешен груз массой 3 кг. Удли¬
нение системы пружин равно 6 см. Жёсткость первой пружины в 3 раза больше, чем
второй, а) Чему равна жёсткость системы пружин? б) Чему равна жёсткость каждой
пружины? в) Чему равно удлинение каждой пружины?
136. Пружину жёсткостью 100 Н/м разрезали пополам. Чему равна жёсткость каждой из
получившихся пружин?
Совет. Исходную пружину можно рассматривать как последовательно соединённые одинаковые
половинки пружины.
Параллельное соединение пружин
137. Две одинаковые пружины жёсткостью 100 Н/м каждая соединены параллельно
(рис. 20). К пружинам подвешен груз массой 200 г. При этом удлинения пружин одина¬
ковы. а) Чему равна сила упругости каждой пружины? б) Чему равно удлинение каждой
пружины? в) Чему равно удлинение х системы этих пружин? г) Чему равна жёсткость
системы этих пружин? д) Докажите, что жёсткость k системы двух параллельно соеди¬
нённых пружин жёсткостью kx и k2 можно найти по формуле k =	+ k2. е) Докажите,
С.  С.
р
I	I,
J	J.
■о	V
Рис. 19	Рис.	20
23

что жёсткость системы двух параллельно соединённых пружин больше жёсткости любой
из этих пружин.
138. Пружину жёсткостью k = 50 Н/м разрезали на три равные части и соединили
параллельно. Чему равна жёсткость этой системы пружин?
Совет. Учтите, что жёсткость каждой из получившихся пружин в 3 раз больше жёсткости исход¬
ной пружины.
Применение закона Гука к движению тела с ускорением
139. В гладкий стол вмонтирован вертикальный стержень, к кото¬
рому прикреплена горизонтальная пружина жёсткостью k = 100 Н/м.
К другому концу пружины прикреплён шарик массой т = 100 г
(на рисунке 21 показан вид сверху). Шарик равномерно движется по
окружности радиусом R = 20 см со скоростью и = 2 м/с. а) С каким
ускорением движется шарик? б) Какая сила сообщает шарику уско¬
рение? в) Чему равна сила упругости? г) Чему равно удлинение пру¬
жины? д) Чему равна длина недеформированной пружины?
Совет, а) Воспользуйтесь формулой для центростремительного ускорения,
в)	Воспользуйтесь вторым законом Ньютона.
140. Подвешенный на пружине жёсткостью 200 Н/м шар массой 400 г совершает верти¬
кальные колебания. В начальный момент шар находится на 3 см ниже положения рав¬
новесия, причём скорость шара равна нулю, а) Чему равно ускорение шара в начальный
момент? Как оно направлено? б) Чему равен вес шара в начальный момент?
Совет. Найдите деформацию пружины в начальном состоянии. Затем найдите силу упругости и
равнодействующую сил, приложенных к шару в начальный момент.
Силы трения
Рис. 21
Сила трения скольжения
141. На рисунке 22 приведены графики зависимости силы трения скольжения от силы
нормальной реакции для двух брусков, скользящих по столу, а) Для какого бруска коэф¬
фициент трения больше? б) Чему равны коэффициенты трения для каждого из брусков?
142. По столу после толчка скользит брусок массой 200 г. Начальная скорость бруска
1 м/с. Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2. а) Изобразите на чертеже
все действующие на брусок силы. Какие из них уравновешивают друг друга? б) Чему
равна действующая на брусок сила нормальной реакции? в) Чему равна действующая на
брусок сила трения? г) Чему равна равнодействующая всех приложенных к бруску сил?
д)	Чему равно ускорение бруска и как оно направлено? е) Какой путь проедет брусок до
остановки? ж) Как изменились бы ответы на предыдущие вопросы, если бы начальная
скорость бруска была равна 2 м/с?
24

Сила трения покоя
Модуль силы трения покоя F пок не превышает некоторого предельного значения, кото¬
рое называют максимальной силой трения покоя. При решении школьных задач по
физике её принимают равной силе трения скольжения1*.
Отсюда следует, что сила трения покоя удовлетворяет двум соотношениям:
она равна по модулю силе Fcm
и стремящейся сдвинуть тело:
а) она равна по модулю силе Fc , направленной вдоль соприкасающихся поверхностей
F = F •
тр. пок сдв’
б)	она не превышает максимальную силу трения покоя, которую при решении школьных
задач принимают равной силе трения скольжения:
F < U.N.
тр. ПОК г*
Из этих двух соотношений следует, что тело сдвинется с места, если выполняется
неравенство
F > U.N.
СДВ г-
143. На столе лежит брусок массой 300 г. Коэффициент трения между бруском и столом
равен 0,5. а) Чему равна максимальная сила трения покоя между бруском и столом?
б)	Какая или какие из приведённых горизонтально направленных сил сдвинут брусок с
места: 1 Н; 2 Н; 3 Н?
Совет. Брусок сдвинется с места, если приложенная к нему сила превышает максимальную силу
трения покоя.
144. К лежащему на столе бруску массой 1 кг прикладывают горизонтальную силу, рав¬
ную по модулю F. Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3. Чему равна
действующая на брусок со стороны стола сила трения, если: a) F = 2 Н; б) F = 5 Н?
145. На столе находится брусок массой 1 кг. На рисунке 23 изображён график зави¬
симости действующей на брусок силы трения от приложенной к нему горизонтально
направленной силы F. а) Перенесите график в тетрадь и надпишите, какая часть гра¬
фика соответствует силе трения скольжения, а какая — силе трения покоя, б) Чему равен
коэффициент трения между бруском и столом?
Совет, б) Сила трения покоя равна по модулю сдвигающей силе, а сила трения скольжения зависит
только от силы нормальной реакции и коэффициента трения. Найдите силу нормальной реакции,
действующую на брусок.
Сила трения покоя действует на ведущие колёса автомобиля при разгоне автомобиля.
Ведущие колёса приводятся во вращение двигателем и толкают дорогу назад. А дорога
согласно третьему закону Ньютона толкает автомобиль вперёд.
В условиях задач о максимально возможном ускорении авто¬
мобиля при заданном коэффициенте трения между колёсами
и дорогой обычно оговаривают, что все колёса автомобиля —
ведущие. В таком случае максимальная сила трения покоя
между колёсами и дорогой, сообщающая автомобилю уско¬
рение, равна произведению силы нормальной реакции на
коэффициент трения.
146.	Чему равно максимально возможное ускорение автомо¬
биля со всеми ведущими колёсами, если коэффициент трения
между колёсами и дорогой равен 0,5?
О В действительности максимальная сила трения покоя несколько превышает силу трения скольжения,
но при решении задач в школьном курсе физики это обычно не учитывают.
25

Движение под действием силы, направленной под углом к горизонту
147. Брусок массой т = 200 г равномерно перемещают по столу, прикладывая силу Т,
направленную под углом а = 30° к горизонту (рис. 24). Коэффициент трения между
бруском и столом и = 0,4. а) Введите оси координат, как показано на рисунке 25.
Перенесите чертёж в тетрадь и изобразите на нём все силы, действующие на брусок,
б)	Запишите выражения для проекций всех приложенных к бруску сил. в) Чему равна
равнодействующая приложенных к бруску сил? г) Запишите второй закон Ньютона для
бруска в проекциях на оси х, у. д) Какое ещё соотношение справедливо для данной
ситуации? е) Используя полученную систему трёх уравнений, выразите Т, N, FTp через пг,
а, ц, g. ж) Чему равны Т, N, FTp?
Совет, а) На брусок действуют сила тяжести, сила нормальной реакции, сила трения скольжения
(по условию брусок движется) и сила Т. в) По условию брусок движется равномерно, д) Вспом¬
ните, как выражается сила трения скольжения через силу нормальной реакции и коэффициент
трения, е) Удобно сначала подставить выражение для силы трения в первое из двух уравнений,
выражающих второй закон Ньютона в проекциях. Вы получите систему двух линейных уравнений
с двумя неизвестными — Т и N.
148. По столу движется брусок массой 500 г под действием силы, равной по модулю 2 Н
и направленной вверх под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения между бруском и
столом 0,3. Чему равно ускорение бруска?
Совет. Выберите оси координат как в рассмотренной выше ситуации, запишите второй закон
Ньютона в проекциях на эти оси, а также соотношение между силой трения скольжения и силой
нормальной реакции.
149. Движущийся вертикально вверх брусок прижимают к стене силой, равной по
модулю 10 Н и направленной вверх под углом 30° к вертикали. Масса бруска 1 кг,
коэффициент трения между бруском и стеной 0,25. Чему равно и как направлено уско¬
рение бруска?
Совет. Обратите внимание на то, что в начальный момент брусок движется вертикально вверх.
Это позволяет определить направление действующей на него силы трения скольжения.
Тело на наклонной плоскости
Тело на гладкой наклонной плоскости
150.	На рисунке 26 изображены силы, действующие на брусок массой т, находящийся
на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а. а) Назовите действующие на брусок
силы, б) Запишите второй закон Ньютона для бруска в векторной форме, в) Запишите
выражения для проекций сил, действующих на брусок, и ускорения бруска на показан¬
ные на рисунке 26 оси координат, г) Запишите второй закон Ньютона для бруска в про¬
екциях на оси координат в виде системы уравнений, д) Найдите выражение для модуля
ускорения бруска, е) Почему ускорение бруска не зависит от его массы? ж) При каком
угле наклона плоскости модуль ускорения бруска в 2 раза меньше модуля ускорения
свободного падения? з) Найдите выражение для модуля действующей на брусок силы
Рис. 24
26

нормальной реакции. Оно понадобится далее, когда надо будет учитывать силу трения,
и)	При каком угле наклона плоскости модуль действующей на брусок силы нормальной
реакции в 2 раза меньше силы тяжести?
151. Брусок соскальзывает с верхней точки гладкой наклонной плоскости с углом
наклона 30° до её нижней точки. Начальная скорость бруска равна нулю, а длина
наклонной плоскости равна 2 м. а) С каким ускорением движется брусок? б) Сколько
времени будет скользить брусок вдоль всей наклонной плоскости? в) Чему равна ско¬
рость бруска в конце спуска?
152. Брусок скользит после толчка вверх по гладкой наклонной плоскости и возвра¬
щается в начальную точку. Начальная скорость бруска vQ, угол наклона плоскости а.
а) Запишите выражение для времени движения бруска по наклонной плоскости вверх.
б) Запишите выражение для времени t2 движения бруска по наклонной плоскости вниз.
в) Запишите выражение для пути I, пройденного бруском до возвращения в начальную
точку.
Совет, в) Пройденный бруском путь в 2 раза больше, чем расстояние, которое пройдёт брусок
вверх вдоль наклонной плоскости после толчка.
Тело на шероховатой наклонной плоскости
153. Может ли тело покоиться на гладкой наклонной плоскости? Обоснуйте свой ответ.
Совет. Чтобы тело находилось в покое, равнодействующая приложенных к нему сил должна быть
равна нулю.
154. На рисунке 27 изображены силы, действующие на брусок массой т, покоящийся
на шероховатой наклонной плоскости с углом наклона а. а) Назовите действующие
на брусок силы, б) Почему сила трения покоя направлена вдоль наклонной плоскости
вверх? в) Запишите второй закон Ньютона для покоящегося бруска в векторной форме.
г) Запишите выражения для проекций сил, действующих на брусок, на показанные на
рисунке 27 оси координат, д) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях
на оси координат в виде системы уравнений, е) Получите из этой системы уравнений
выражения для силы трения покоя и силы нормальной реакции, ж) Запишите неравен¬
ство, справедливое для силы трения покоя, з) Подставив в написанное неравенство полу¬
ченные выражения для силы трения покоя и силы нормальной реакции, получите нера¬
венство, которое связывает угол наклона плоскости а с коэффициентом трения ц.
Итак, тело может находиться в покое на наклонной плоскости, если выполняется нера¬
венство
tga < р.
Это неравенство можно использовать для измерения коэффициента трения на опыте.
155. Брусок начал соскальзывать с доски длиной 1 м, когда один из её концов подняли
на 40 см. Чему равен коэффициент трения между доской и бруском?
Совет. Синус угла наклона, при котором брусок начал скользить, равен 0,4. Найдите значение этого
угла, а затем — значение его тангенса. Искомый коэффициент трения равен тангенсу этого угла.
27

Рис. 28
156. На рисунке 28 изображены силы, действующие на бру¬
сок массой т, скользящий вниз по шероховатой наклонной
плоскости с углом наклона а. а) Назовите действующие на
брусок силы, б) Почему сила трения скольжения направлена
вдоль наклонной плоскости вверх? в) Запишите второй закон
Ньютона для скользящего бруска в векторной форме, г) Запи¬
шите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси
координат в виде системы уравнений, д) Выразите силу тре¬
ния скольжения через коэффициент трения и силу нормальной
реакции, е) Подставьте выражение для силы трения скольже¬
ния в систему уравнений, выражающих второй закон Ньютона.
Вы получите систему двух уравнений. Считая в них неизвест¬
ными ускорение бруска а и силу нормальной реакции N, выразите ускорение бруска
через угол наклона плоскости и коэффициент трения.
157. На наклонную плоскость с углом наклона а = 30° кладут брусок. Коэффициент тре¬
ния между бруском и плоскостью равен 0,4. Начнёт ли брусок соскальзывать с наклон¬
ной плоскости, и если да, то чему будет равно его ускорение?
158. Брусок движется по наклонной плоскости вниз с начальной скоростью 2 м/с. Угол
наклона плоскости 30°. Коэффициент трения между бруском и плоскостью 0,7. а) Будет
скорость бруска увеличиваться или уменьшаться? б) Чему равен модуль ускорения бру¬
ска? в) Какой путь пройдёт брусок до остановки?
Совет, а) Сравните значения силы трения скольжения со значением равнодействующей силы тяжести
и силы нормальной реакции (напомним, что она выражается в данном случае формулой mgsina).
Равномерное движение по окружности
под действием нескольких сил
Поворот транспорта на горизонтальной дороге
Центростремительное ускорение автомобиля при повороте на горизонтальной дороге обу¬
словлено силой трения покоя FTp пок между шинами и дорогой (рис. 29).
У
N
р х
х тр.пок
*о
mg
Рис. 29
159.	Автомобиль, движущийся со скоростью и, совершает поворот на горизонтальной
дороге по дуге окружности радиусом г. Коэффициент трения между колёсами автомобиля
и дорогой равен ц. а) Используя рисунок 29, запишите второй закон Ньютона для авто¬
мобиля в проекциях на показанные на рисунке оси координат в виде системы двух урав¬
нений. б) Запишите неравенство, которому удовлетворяет сила трения покоя, в) Выве¬
дите неравенство, которому должна удовлетворять скорость автомобиля v при заданных
значениях г и ц. г) Выведите неравенство, которому должен удовлетворять радиус пово¬
рота г при заданных значениях v и ц. д) Выведите неравенство, которому должен удов¬
летворять коэффициент трения ц при заданных значениях о и г.
28

160. Каков наименьший радиус окружности, по которой автомобиль может равномерно
двигаться со скоростью 60 км/ч, если коэффициент трения между колёсами и дорогой
равен 0,5?
Конический маятник
161. На рисунке 30 изображены силы, действующие на груз массой т, подвешенный на
нити длиной I и движущийся по окружности радиуса г со скоростью v в горизонтальной
плоскости (конический маятник), а) Назовите эти силы, б) Как направлена равнодейству¬
ющая этих сил? в) Запишите выражения для проекций сил, действующих на груз, а
также для проекций ускорения груза на эти оси. г) Запишите второй закон Ньютона для
груза в проекциях на показанные на рисунке оси координат, д) Выразите FHaT и v через
т, I и а. е) Выразите период обращения груза Т через I и а.
Совет,, а) Вспомните, как направлена равнодействующая сил, приложенных к телу, которое
равномерно движется по окружности, г) Вспомните выражение для центростремительного уско¬
рения. Выразите радиус окружности г, по которой движется груз, через I и а. е) Воспользуйтесь
гг, 2яг	,	.
соотношениями Т =	,	г	=	(sina	и уже полученным выражением для и.
162. Подвешенный на нити длиной 50 см груз массой 100 г движется по окружности в
горизонтальной плоскости. Сила натяжения нити равна 2 Н. а) На какой угол отклонена
нить от вертикали? б) Чему равен радиус окружности? в) Чему равна скорость груза?
г)	Чему равен период обращения груза?
Движение по окружности в полусфере и в конусе
163. Небольшая шайба .массой m = 50 г равномерно движется со скоростью 2 м/с по
горизонтальной окружности радиусом г = 20 см внутри гладкой полусферы (рис. 31).
а)	Изобразите на чертеже все силы, действующие на шайбу. Какая из этих сил «играет
роль» силы натяжения нити для конического маятника? б) Чему равно ускорение
шайбы? в) Чему равен угол между действующей на шайбу силой нормальной реакции и
вертикалью? г) Чему равна действующая на шайбу сила нормальной реакции? д) Чему
равен радиус полусферы? е) Чему равна частота обращения шайбы?
Совет. В этой задаче главное — «узнать» конический маятник, хотя в условии речь идёт о полу¬
сфере. Сделайте чертёж (см. рис. 32).
164. Небольшая шайба движется по горизонтальной окружности радиусом г = 30 см по
гладкой внутренней поверхности конуса (рис. 33). Угол между образующей конуса и вер¬
тикалью a = 60°. Чему равен период обращения шайбы Т?
v
У
х
Л
Рис. 30
Рис. 31
Рис. 32
Рис. 33
29

Движение системы тел
При рассмотрении движения системы тел надо:
• изобразить на чертеже все силы, действующие на каждое тело системы;
• записать уравнения второго закона Ньютона для каждого тела в проекциях на
выбранные оси координат; учесть при этом третий закон Ньютона;
• учесть уточняющие слова в условии: например, что связывающая тела нить явля¬
ется лёгкой и нерастяжимой.
В результате получится система уравнений. С её помощью можно вывести соотношения
между заданными и искомыми величинами.
Тела движутся в одном направлении
165. На гладком столе находятся два бруска массами тг и т2, связанные лёгкой нерас¬
тяжимой нитью (рис. 34). К первому бруску приложена горизонтально направленная
сила F. а) Используя рисунок, назовите силы, действующие на каждый брусок, б) Какие
силы уравновешивают друг друга? в) Почему силы Тг и Т2 равны по модулю? г) Равны
ли ускорения брусков? Обоснуйте свой ответ, д) Запишите уравнение второго закона
Ньютона для первого бруска в проекциях на показанные оси координат. Модуль силы
натяжения нити обозначьте Т, а ускорения брусков обозначьте а. е) Запишите уравнение
второго закона Ньютона для второго бруска в проекциях на показанные оси координат,
ж)	Используя полученные системы уравнений, найдите выражения для модуля ускоре¬
ния брусков а и модуля силы натяжения нити Т.
Совет, г) Учтите, что по условию нить нерастяжимая, ж) Достаточно использовать первые урав¬
нения каждой системы.
166. Два бруска, связанные лёгкой нерастяжимой нитью, скользят с ускорением 2 м/с2
по гладкому столу под действием горизонтальной силы 4 Н, приложенной к первому
бруску. Сила натяжения нити 1 Н. Чему равны массы брусков?
Тела движутся в разных направлениях
167. Брусок массой тб находится на гладком столе (рис. 35). Он связан лёгкой нерас¬
тяжимой нитью, переброшенной через блок, с грузом массой тт. Трением в блоке и
массой блока можно пренебречь, а) Изобразите на чертеже силы, действующие на бру¬
сок и на груз. Назовите эти силы, б) Равны ли по модулю ускорения тел? Равны ли
по модулю силы натяжения нити, действующие на брусок и на груз? Обоснуйте свои
ответы, в) Запишите второй закон Ньютона для бруска и груза в проекциях на показан¬
ные на рисунке оси координат (обозначьте а модуль ускорения тел, Т — модуль силы
натяжения нити), г) Используя полученные уравнения, выразите модуль ускорения тел и
силу натяжения нити через т6 и тт.
168. Два груза массами m и М подвешены на концах лёгкой нерастяжимой нити, пере¬
брошенной через блок (рис. 36), причём М > т. Трением в блоке и его массой можно
пренебречь, а) Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём силы, действующие на
У
О
х
О
У
х
а
Тг
F
m2g
mjg
Рис. 34
Рис. 35
Рис. 36
30

каждый груз. Назовите эти силы, б) Как направлены ускорения грузов? Изобразите их
на чертеже, в) Равны ли по модулю ускорения грузов? Равны ли по модулю силы натя¬
жения нити, действующие на грузы? Обоснуйте свои ответы, г) Запишите второй закон
Ньютона для грузов в проекциях на ось х, направленную вертикально вниз (обозначьте
а модуль ускорения грузов, Т — модуль силы натяжения нити), д) Используя получен¬
ные уравнения, выразите модуль ускорения грузов и силу натяжения нити через Мит.
е) Одинаков ли вес грузов? Обоснуйте свой ответ.
169. Два груза, массами М = 450 г каждый, подвешены на концах лёгкой нерастяжимой
нити, переброшенной через блок. Когда на один из грузов положили перегрузок мас¬
сой т, грузы стали двигаться с ускорением, модуль которого а - 1 м/с2. Трением в
блоке и его массой можно пренебречь, а) Чему равна масса перегрузка т? б) Чему равен
вес перегрузка Р во время его движения?
170. Цилиндры массами т1 = 100 г и т2 = 150 г подвешены с помощью одного под¬
вижного и одного неподвижного блоков (рис. 37). Нить лёгкая и нерастяжимая, трением
в блоках и их массой можно пренебречь, а) Запишите соотношение между проекциями
ускорений цилиндров, б) Запишите второй закон Ньютона для цилиндров в проекциях на
ось х в виде системы уравнений. Обозначьте модуль силы натяжения нити Т. в) Исполь¬
зуя полученные уравнения, найдите выражения для проекций ускорений цилиндров
через их массы, г) Как направлены ускорения первого и второго цилиндров? д) Выразите
силу натяжения нити через массы цилиндров, е) Чему равен вес каждого цилиндра?
171. Брусок массой тх = 400 г находится на гладкой наклонной плоскости с углом
наклона а = 30° (рис. 38). Брусок связан лёгкой нерастяжимой нитью с цилиндром мас¬
сой т2 = 100 г. а) Запишите соотношение между проекциями ускорений бруска и цилин¬
дра на соответствующие оси координат, б) Запишите второй закон Ньютона для бруска и
цилиндра в проекциях на оси координат, показанные на рисунке, в) Выразите проекцию
ускорения бруска на ось хх через массы бруска и цилиндра и угол наклона плоскости,
г)	Как направлены ускорения бруска и цилиндра при заданных значениях массы тел и
угла наклона плоскости? д) Чему равны ускорения бруска и цилиндра?
Совет., г) Найдите знак проекции ускорения бруска на ось х1.
172. На гладком столе один на другом лежат два бруска (рис. 39). Масса верхнего бру¬
ска тв = 1 кг, масса нижнего бруска тв = 200 г. Коэффициент трения между брусками
и = 0,4. К верхнему бруску прикладывают горизонтально направленную силу F, равную
по модулю 20 Н. а) Какие силы действуют на верхний брусок? б) Какие силы действуют
на нижний брусок? в) Запишите второй закон Ньютона в проекциях на ось х для каж¬
дого бруска, предположив, что между ними действуют силы трения скольжения. Под¬
ставьте в эти уравнения выражения для сил трения скольжения, г) Найдите ускорения
брусков при заданных в условии значениях величин, д) Могут ли полученные значения
ускорений брусков быть правильными? Обоснуйте ваш ответ.
Итак, предположение, что между брусками действуют силы трения скольжения, привело
к противоречию. Значит, между брусками действуют силы трения покоя.
е) Запишите второй закон Ньютона в проекциях на ось х для каждого бруска, пред¬
положив, что между ними действуют силы трения покоя, ж) Найдите ускорение
  	У'
У
х
тИ 0
х
Рис. 37
Рис. 38
Рис. 39
31

брусков при заданных в условии значениях величин, з) Чему равен модуль сил тре¬
ния покоя, действующих между брусками? и) Сила трения покоя не может превы¬
шать силу трения скольжения. Выполняется ли это неравенство для силы трения
покоя в данном случае? к) С каким максимально возможным ускорением может дви¬
гаться нижний брусок? л) Какую горизонтальную силу надо приложить к верхнему
бруску, чтобы «сорвать» его с нижнего бруска?
Совет, д) Учтите, что нижний брусок не может двигаться с большим ускорением, чем верхний,
е)	В этом случае оба бруска движутся с одинаковым ускорением, модуль которого можно обо¬
значить а. ж) Сложите уравнения, и) Найдите значение силы трения скольжения, к) Найдите
максимальную силу трения, которая может действовать на нижний брусок, л) Чтобы приложен¬
ная к верхнему бруску сила сдвинула его относительно нижнего бруска, верхний брусок должен
двигаться с ускорением, которое превышает максимально возможное ускорение нижнего бруска.
Модуль равнодействующей приложенных к верхнему бруску сил равен F - xmBg.
173. На рисунке 40 изображена система тел. Стол гладкий, нить лёгкая и нерастяжимая,
массы брусков тя = 0,5 кг, тв = 0,3 кг, масса груза тт = 0,2 кг. В начальный момент
груз придерживают, все тела покоятся. Трением в блоке и массой блока можно прене¬
бречь. В некоторый момент груз отпускают без толчка, а) При каком коэффициенте тре¬
ния между брусками они будут двигаться как единое целое? б) Чему будут равны уско¬
рения брусков, если коэффициент трения между ними равен 0,5? в) Чему будут равны
ускорения брусков, если коэффициент трения между ними равен 0,1?
Совет. Обратите внимание: в данном случае с большим ускорением может двигаться только ниж¬
ний брусок.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
174. Чему равна равнодействующая сил, действующих на дождевую каплю, движущуюся
равномерно со скоростью 5 м/с? Есть ли в условии лишние данные?
Совет. Обратите внимание на то, что ускорение капли равно нулю.
175. С каким ускорением может двигаться тело, к которому приложены действующие
вдоль одной прямой силы 4 Н и 8 Н, если масса тела 4 кг?
Совет. Приложенные силы могут-быть направлены одинаково или противоположно.
176. В инерциальной системе отсчёта сила F сообщает телу массой т ускорение а. Какое
F
ускорение сообщит телу массой 2т сила, равная —?
2
177. Притягивает ли Земля Луну с большей силой, чем Луна Землю?
Совет. Воспользуйтесь третьим законом Ньютона.
178. Тело движется вдоль оси х. По графику зависимости проекции скорости тела от
времени (рис. 41) определите, на каких интервалах времени равнодействующая прило¬
женных к телу сил равна нулю.
Совет. Воспользуйтесь вторым законом Ньютона.
т..
т..
ТО
т,
Рис. 40
32

179. К материальной точке массой 5 кг приложены три силы (рис. 42). Чему равен
модуль ускорения материальной точки?
180. Силы притяжения двух одинаковых самолётов, находящихся на расстоянии 500 м
друг от друга, равны 6 • 10“8 Н. Найдите массу каждого самолёта.
181. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 2 раза
меньше, чем на её поверхности?
182. К системе, состоящей из кубика массой 1 кг и двух пружин жёсткостью
kx = 300 Н/м и k2 = 600 Н/м, приложена постоянная горизонтальная сила F (рис. 43).
Когда система находится в равновесии, удлинение второй пружины равно 2 см. Чему
равна сила упругости каждой пружины, если можно пренебречь трением между кубиком
и опорой? Чему равно удлинение первой пружины?
Совет. Когда система находится в равновесии, силы упругости пружин одинаковы.
183. Груз массой 100 кг, висящий на тросе, поднимают вертикально вверх с ускорением
2 м/с2, а) Сделайте рисунок и укажите на нём все силы, действующие на груз, б) Чему
равна равнодействующая этих сил и как она направлена? в) Чему равен вес груза и во
сколько раз он превышает действующую на груз силу тяжести?
Совет, б) Воспользуйтесь вторым законом Ньютона.
184. По графику зависимости модуля силы упругости _Fynp от длины пружины I (рис. 44)
определите длину недеформированной пружины и её жёсткость.
185. Какую горизонтально направленную силу надо приложить к бруску массой 0,5 кг,
покоящемуся на горизонтальном столе, чтобы сдвинуть его с места? Чтобы он двигался
с ускорением, равным 2 м/с2? Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3.
Совет. Брусок сдвинется с места, если приложенная к нему сила превышает максимальную силу
трения покоя.
186. Брусок с одинаково обработанными гранями, площади которых равны 10 см2, 20 см2
и 40 см2, равномерно перемещают по столу, прикладывая горизонтально направленную
силу. Зависит ли модуль этой силы от того, какой гранью брусок касается стола?
Совет. Сила трения скольжения практически не зависит от площади соприкосновения тел и от
скорости их движения.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
187. Найдите первую космическую скорость для планеты, радиус которой в 2 раза
меньше радиуса Земли, а средняя плотность равна средней плотности Земли.
188. Высадившись на новую планету радиусом 3400 км, астронавты решили измерить
её среднюю плотность. Чему равна средняя плотность планеты, если в пропасть глуби¬
ной 200 м камешек падал без начальной скорости 10 с, а атмосфера на планете отсут¬
ствует?
1Н
) пииты ti ^
2 F
<XJ HHHIiUilU О”- Hfc
Рис. 42
Рис. 43
33

189. К пружине жёсткостью 300 Н/м подвешен груз массой 600 г. Чему равно удлине¬
ние пружины, когда груз движется вниз с ускорением 5 м/с2, направленным вверх?
Совет. Удлинение пружины не зависит от направления движения груза, а зависит только от
направления и модуля его ускорения.
190. Грузовик массой 4 т движется со скоростью 54 км/ч по выпуклому мосту, имею¬
щему форму дуги радиусом 100 м. Чему равен вес грузовика в верхней точке траекто¬
рии? С какой минимальной скоростью должен ехать грузовик, чтобы в этой точке он
находился в состоянии невесомости?
Совет. Сделайте схематический рисунок и изобразите на нём силы, действующие на грузовик
в верхней части выпуклого моста. Учтите, что при движении по окружности грузовик движется
с центростремительным ускорением.
191. На гладком столе находится брусок, к которому с обеих сторон прикреплены пру¬
жины жёсткостью 200 Н/м и 800 Н/м, как показано на рисунке 45. В начальный
момент времени пружины не деформированы. На сколько надо сдвинуть брусок влево,
чтобы равнодействующая приложенных к нему сил стала равной 20 Н? Изменится ли
ответ, если сдвинуть брусок вправо?
Совет. Изобразите на рисунке все силы, действующие на сдвинутый брусок, и найдите их равно¬
действующую .
192. Грузы массами т1 = 200 г и т2 = 100 г соединены нитью и подвешены к пружине,
как показано на рисунке 46. С каким ускорением будет двигаться верхний груз сразу
после того, как нить пережгут?
Совет. Найдите силы, действующие на верхний груз до пережигания нити. Затем найдите равно¬
действующую сил, действующих на верхний груз сразу после пережигания нити.
193. Автомобиль массой 1 т со всеми ведущими колёсами тянет по горизонтальной дороге
бревно с постоянной скоростью. Чему равна максимально возможная масса бревна, если
коэффициент трения между колёсами автомобиля и дорогой равен 0,5, а между бревном
и дорогой — 0,6?
Совет. Найдите максимально возможную силу, с которой автомобиль может тянуть бревно.
194. На столе лежит книга массой 400 г. К ней прикладывают горизонтально направлен¬
ную силу, равную по модулю 1. Н. Чему будут равны ускорение книги и действующая
на неё сила трения, если коэффициент трения между книгой и столом равен 0,3? Как
изменятся ответы, если приложенную к книге силу увеличить в 2 раза?
Совет. Найдите максимальную силу трения покоя.
195. Брусок массой 200 г после толчка скользит по столу. При этом зависимость коор¬
динаты х бруска от времени t выражается в единицах СИ формулой х = 41 - t2. Ось х
направлена вдоль начальной скорости бруска и совпадает с ней по направлению, а) Чему
равно ускорение бруска и как оно направлено? б) Чему равна действующая на брусок
сила трения скольжения? в) Чему равен коэффициент трения между бруском и столом?
t
К
umuuutH*’
k2
<xJ каишапй 1
Рис. 45
| т
| т
0
Рис.
46
34

196.	Брусок массой 2 кг прижимают к вертикальной стене силой F, как показано на
рисунке 47. Коэффициент трения между стеной и бруском равен 0,4, угол между направ¬
лением силы и вертикалью а = 30°. С какой силой F надо действовать на брусок, чтобы
он: а) равномерно двигался вверх? б) равномерно двигался вниз?
Совет. Сделайте рисунок с указанием всех сил, действующих на брусок в каждом из описанных
197. Брусок массой 10 кг, прикреплённый пружиной жёсткостью 200 Н/м к стене, поко¬
ится на горизонтальном столе (рис. 48). Пружина в начальный момент времени сжата на
10 см. Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,4. Какой горизонтальной
силой надо подействовать на брусок, чтобы сдвинуть его влево? вправо?
Совет. Равнодействующая приложенной к бруску силы F и силы упругости со стороны пружины
должна превысить максимальную силу трения покоя.
198. Брусок массой 2 кг прижимают к вертикальной стене силой F, направленной под
углом 30° к вертикали, как показано на рисунке 49. Коэффициент трения между стеной
и бруском равен 0,3. В начальный момент брусок движется вниз. Найдите проекцию
ускорения бруска на ось х, если приложенная к бруску сила равна 10 Н.
199. Чему равно ускорение шайбы, скользящей по гладкой наклонной плоскости, состав¬
ляющей угол а = 60° с горизонтом, если начальная скорость шайбы направлена горизон¬
тально (поперёк наклонной плоскости)?
Совет: Ускорение шайбы определяется равнодействующий всех приложенных к ней сил. Учтите,
что наклонная плоскость гладкая.
200. Чему равен коэффициент трения между доской и лежащим на ней телом, если тело
начинает скользить по доске, когда угол её наклона превышает 35°?
201. Мальчик скатывается на санках со снежной горки длиной 19 м и углом наклона 30°.
Чему равен коэффициент трения между полозьями саней и снегом, если из состояния
покоя мальчик скатывается вдоль всей горки за 3 с?
202. На наклонной плоскости с углом наклона 30° находится брусок массой 1 кг. Коэф¬
фициент трения между бруском и плоскостью равен 0,6. Какую направленную вдоль
наклонной плоскости силу надо прикладывать к бруску, чтобы он двигался с постоянной
скоростью по наклонной плоскости вниз? вверх?
Совет. Учтите, что сила трения скольжения направлена противоположно скорости бруска.
203. На тележке установлен штатив, к которому на нити подвешен шарик массой т.
Тележка съезжает по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. При
этом шарик покоится относительно тележки. Чему равна сила натяжения нити и угол (3,
который нить составляет с вертикалью? Примите, что трением между тележкой и пло¬
скостью можно пренебречь.
Совет. Равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити сообщает шарику ускорение,
равное ускорению тележки. Докажите, что отсюда следует, что нить перпендикулярна наклонной
плоскости.
случаев.
х

UUUUIUIU1*'-
Рис. 47
Рис. 48
Рис. 49
35

204. По гладкой наклонной плоскости, пересекающейся с горизонтальной плоскостью по
прямой АВ, из точки А начинает скользить шайба с начальной скоростью 2 м/с под
углом 60° к прямой АВ. Через некоторое время шайба оказывается в точке В. Чему
равно расстояние АВ, если угол наклона плоскости равен 30° (рис. 50)?
Совет. Рассмотрите движение шайбы по наклонной плоскости, как движение тела, брошенного под
углом к горизонту. Найдите проекции ускорения шайбы на оси координат, лежащие в плоскости
движения шайбы.
205. Шарик, подвешенный на нити длиной 50 см, равномерно движется по окружно¬
сти, расположенной в горизонтальной плоскости. Нить составляет угол 30° с вертикалью.
С каким ускорением движется шарик? Есть ли в условии лишние данные?
Совет. Сделайте в тетради рисунок с указанием всех сил, действующих на шарик. Запишите второй
закон Ньютона в проекциях на оси координат. Решите полученную систему уравнений делением
левых и правых частей уравнения друг на друга соответственно.
206. Горизонтально расположенный диск вращается с частотой 0,5 с-1 вокруг верти¬
кальной оси, проходящей через его центр. На каком расстоянии от оси вращения диска
можно положить монетку, чтобы она покоилась относительно диска? Коэффициент тре¬
ния между монеткой и диском равен 0,3.
Совет. Когда монетка покоится относительно диска, центростремительное ускорение ей сообщает
сила трения покоя.
207. Небольшая шайба равномерно движется по окружности внутри гладкой полусферы
радиусом 30 см. Чему равна скорость шайбы, если она всё время остаётся на высоте
15 см от нижней точки полусферы? Чему равен период обращения шайбы?
Совет. Найдите радиус окружности, по которой вращается шайба.
208. Маленький шарик массой т - 10 г подвешен на лёгкой нити, направленной по
касательной к гладкой полусфере, как показано на рисунке 51. Угол а = 30°, радиус
полусферы R = 0,1 м. Когда шарику сообщили горизонтальную скорость и = 0,5 м/с, он
стал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости, не отрываясь от полусферы,
а)	Чему равна сила, с которой шарик давит на полусферу? б) Какую минимальную ско¬
рость надо сообщить шарику, чтобы он перестал давить на полусферу?
209. Поезд, движущийся со скоростью 15 м/с, совершает поворот. К потолку вагона на
пружине жёсткостью 200 Н/м подвешен груз массой 2 кг, при этом удлинение пружины
во время поворота равно 11 см. Чему равен радиус дуги, по которой поезд совершает
поворот?
210. Бруски массами 100 г и 200 г, связанные нитью, поднимают вертикально вверх,
прикладывая к верхнему бруску массой 100 г силу, равную 6 Н. а) Чему равен модуль
ускорения брусков? б) Найдите силу натяжения нити.
211. Два бруска массами тх = 3 кг и т2 = 2 кг, соединённые пружиной жёсткостью
k = 300 Н/м, под действием силы F = 30 Н, направленной под углом а = 30° к гори¬
зонту, движутся по гладкому столу (рис. 52). Найдите удлинение пружины.
п
F
В
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
36

Совет. Найдите общее ускорение системы брусков и учтите, что это ускорение сообщает второму
бруску сила упругости пружины.
212. На гладком столе покоится тележка массой 100 г, на которой лежит брусок мас¬
сой 2 кг. К тележке прикладывают горизонтально направленную силу, которая «выдёр¬
гивает» тележку из-под бруска (рис. 53). Каким может быть модуль этой силы? Коэффи¬
циент трения между бруском и тележкой — 0,2.
Совет. Найдите условие для приложенной силы, при котором тележка и брусок будут двигаться
как единое целое. Тележку можно выдернуть из-под бруска, если найденное условие не будет
выполняться.
213. На гладком столе покоится тележка массой 100 г, на которой лежит брусок массой
2 кг. К бруску прикладывают горизонтально направленную силу, под действием которой
брусок начинает скользить по тележке (рис. 54). Каким может быть модуль этой силы?
Коэффициент трения между бруском и тележкой — 0,2. Сравните полученный результат
с результатом предыдущей задачи.
Совет. Найдите условие для приложенной силы, при котором тележка и брусок будут двигаться как
единое целое. Брусок будет скользить по тележке, если найденное условие не будет выполняться.
214. На краю доски длиной 2 м и массой 2 кг, лежащей на гладком столе, покоится
небольшой брусок массой 1 кг (рис. 55). Коэффициент трения между доской и бруском
равен 0,1. К доске прикладывают горизонтально направленную силу, равную 6 Н. Нач¬
нёт ли брусок скользить по доске? Если да, то через какой промежуток времени после
начала действия силы он соскользнёт с доски?
Совет. Брусок соскользнёт с доски в тот момент, когда пройденный доской путь будет больше,
чем путь, пройденный бруском относительно стола, на длину доски.
Ж
ж
Рис. 53
'а  (•>.:
Рис. 54
Рис. 55
37

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Импульс. Закон сохранения импульса
Импульс тела	Импульс	силы
p=mv	FAt
Соотношение между изменением импульса тела
и импульсом равнодействующей
Ар = FAt
Закон сохранения импульса
Для замкнутой системы тел
Д +р2 + ... = const
Импульс
215. Грузовик массой 3 т движется по шоссе на север со скоростью 40 км/ч. По тому
же шоссе едет легковой автомобиль массой 1 т. Как направлена и чему равна его ско¬
рость, если векторная сумма импульсов грузовика и легкового автомобиля равна нулю?
Совет. Векторная сумма двух векторов равна нулю, если эти векторы равны по модулю и направ¬
лены противоположно.
216. Бильярдный шар массой 300 г, движущийся со скоростью 2 м/с, ударяется о бор¬
тик. В результате удара направление скорости шара изменяется на противоположное, а
модуль скорости не изменяется. Обозначим рг начальный импульс шара, а р2 — конеч¬
ный. а) Чему равен модуль импульса шара до удара и после удара? б) Запишите соотно¬
шение между рг и р2. в) Найдите изменение импульса Ар = р2 - рг графически с помощью
правила вычитания векторов. Выразите Ар через начальный импульс pv Как направлен
вектор Ар? г) Чему равно — ?
Pi
Импульс силы и изменение импульса тела
217. Мяч после удара о стену отскочил от неё. Непосредственно перед ударом и сразу
после удара скорость мяча направлена горизонтально и равна по модулю 5 м/с. Чему
равна средняя сила давления мяча на стену во время удара, если масса мяча 400 г, а
продолжительность удара 0,04 с?
Совет. Найдите, чему равен модуль изменения импульса мяча при ударе.
218. Шар массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 1 м/с. а) Чему
равен модуль изменения импульса шара за один полный период обращения? б) Чему
равен модуль изменения импульса шара за половину периода обращения? в) Чему равен
модуль изменения импульса шара за четверть периода обращения? г) Как направлено
изменение импульса шара за очень малый (по сравнению с периодом обращения) проме¬
жуток времени?
Совет, б) Сделайте пояснительный чертёж, в) Сделайте пояснительный чертёж, г) Воспользуйтесь
тем, что изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей приложенных к телу сил.
Вспомните, как направлена равнодействующая сил, приложенных к телу, которое равномерно
движется по окружности.
38

219. Камень массой 100 г брошен под углом 30° к горизонту со скоростью 20 м/с. При¬
мите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, а) Через какой промежуток вре¬
мени после броска импульс камня будет направлен горизонтально? б) Чему равен модуль
изменения импульса камня за промежуток времени, о котором говорится в предыдущем
вопросе?
Совет, а) Импульс камня направлен горизонтально в верхней точке траектории, б) Воспользуйтесь
формулой Ар = FAt и найденным значением времени полёта до верхней точки траектории.
220. Лежащему на столе бруску массой т = 400 г сообщили толчком начальную ско¬
рость 4 м/с. Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2. а) Чему равен
модуль равнодействующей сил, действующих на брусок при его скольжении по столу?
б) Чему равен модуль изменения импульса бруска за первую секунду после толчка?
в) Чему равен модуль изменения импульса бруска за вторую секунду после толчка?
г) Чему равен модуль изменения импульса бруска за третью секунду после толчка?
Совет, г) Найдите время движения бруска до остановки.
221. С лежащим на столе бруском массой 300 г сталкивается шайба массой 100 г и
отскакивает от него. В результате удара направление скорости шайбы изменяется на
противоположное. Скорость шайбы непосредственно перед ударом 2 м/с, а сразу после
удара — 1 м/с. После столкновения брусок скользит по столу и останавливается, пройдя
путь, равный 25 см. а) Чему равен модуль изменения импульса шайбы? б) Чему равен
модуль импульса бруска сразу после столкновения? в) Чему равна скорость бруска сразу
после столкновения? г) С каким по модулю ускорением двигался брусок после столк¬
новения до остановки? д) Чему равен коэффициент трения между бруском и столом?
Совет, а) Учтите, что в результате удара направление скорости шайбы изменилось на противо¬
положное. б) Воспользуйтесь законом сохранения импульса, г) Выведите формулу, связывающую
начальную скорость с тормозным путём, д) Запишите уравнение второго закона Ньютона для
скользящего бруска.
Применение закона сохранения импульса
Условия применения закона сохранения импульса
Внешние силы уравновешивают
друг друга
или ими можно пренебречь.
Проекция внешних сил
на некоторую ось координат
равна нулю.
Тела действуют друг на друга
с силами, которые намного превышают
внешние силы.
222.	В движущуюся по рельсам тележку с песком падает груз (рис. 56, а). Обозначим
тт и тт массы груза и тележки, ин — начальную скорость тележки, a vK — конечную
скорость тележки с грузом (рис. 56, б). Трением между колёсами тележки и рельсами
можно пренебречь, а) Какие внешние силы действуют на систему тел «тележка + груз»?
б) Как направлены внешние силы, действующие на систему тел «тележка + груз»?
в) Могут ли внешние силы изменить проекции импульсов тележки и груза на горизон¬
тально направленную ось х? г) Чему равна проекция суммарного начального импульса
39

груза и тележки на ось х? д) Чему равна проекция суммарного конечного импульса
груза и тележки на ось х? е) Выразите и через v , т и т . ж) Сохраняется ли в дан¬
ном случае суммарный импульс груза и тележки.'
а
©
©
У
©
©
Рис. 56
Совет, е) Воспользуйтесь тем, что проекция суммарного импульса груза и тележки на ось х оста¬
ётся неизменной, ж) Рассмотрите проекцию суммарного импульса груза и тележки на ось у.
223. Из пушки при выстреле вылетает ядро со скоростью оя = 300 м/с в горизонталь¬
ном направлении. Масса пушки 400 кг, а масса ядра 2 кг. Чему равен модуль скорости
пушки ип при отдаче?
Абсолютно неупругим столкновением (ударом) называют такое столкновение тел, в
результате которого тела движутся как единое целое.
224. Пластилиновые шары массами mг и т2 движутся вдоль одной прямой со скоро¬
стями и и2. В результате столкновения шары слипаются и движутся как одно тело.
Обозначим и скорость этого тела, а) Направьте ось х вдоль скорости любого из шаров и
запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса, в векторной форме и в
проекциях на ось х. б) Выразите проекцию скорости образовавшегося тела v через про¬
екции скоростей шаров и массы шаров.
225. Пусть массы шаров в предыдущей задаче т1 = 300 г и т2 = 200 г, а шары дви¬
жутся вдоль одной прямой навстречу друг другу со скоростями иг = 1 м/с и v2 = 2 м/с.
Направьте ось х по скорости первого шара, а) Запишите, чему равны проекции скоростей
шаров на ось х. б) Найдите проекцию скорости образовав¬
шегося тела на ось х. в) Направлена ли скорость образовав-	 *-
шегося тела так же, как скорость первого шара до столкно¬
вения, или противоположно ей?
226. На левом конце покоящейся тележки длиной 12 м
и массой т = 120 кг стоит человек массой т = 60 кг
Т	Ч
(рис. 57, а). В некоторый момент человек начинает идти
по тележке вправо со скоростью ичз = 0,8 м/с относительно
земли (рис. 57, б). Трением между колёсами тележки и
рельсами можно пренебречь, а) Обозначьте итз модуль ско¬
рости тележки относительно земли во время движения чело¬
века по тележке. Запишите уравнение, выражающее закон
сохранения импульса в проекциях на ось х. б) Найдите,
чему равен модуль скорости тележки относительно земли.
в) Чему равна скорость человека относительно тележки?
г) За какой промежуток времени человек пройдёт вдоль
всей тележки? д) Чему будут равны скорости человека и
тележки относительно земли, когда человек остановится	_	__
Рис. 57
а
б
40

относительно тележки у правого её конца (рис. 57, в)? е) Насколько сдвинется теле¬
жка относительно земли по сравнению с её начальным положением? ж) Насколько пере¬
местится человек относительно земли по сравнению с его начальным положением?
Совет, а) Учтите, что проекция скорости тележки на ось х отрицательна, в) Воспользуйтесь правилом
сложения скоростей. Учтите, что человек и тележка движутся в противоположных направлениях,
д)	Воспользуйтесь законом сохранения импульса.
227. На рельсах покоится тележка с песком массой тт = 20 кг. В неё влетает шар мас¬
сой тш = 10 кг со скоростью иш = б м/с, направленной под углом а = 60° к горизонту
(рис. 58). Трением между колёсами тележки и рельсами можно пренебречь, а) Сохраня¬
ется ли суммарный импульс тележки и шара в результате их столкновения? б) Сохраня¬
ется ли проекция суммарного импульса тележки и шара на какую-либо ось координат?
в)	Запишите уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса. Конеч¬
ную скорость тележки с шаром обозначьте v. г) Выразите конечную скорость тележки с
шаром через величины, данные в описании ситуации. Найдите её численное значение.
228. В деревянный брусок массой М = 1 кг, лежащий на длинном столе, попадает пуля
массой т = 10 г и застревает в бруске. Скорость пули ип = 500 м/с, причём она направ¬
лена вдоль стола. Коэффициент трения между бруском и столом ц = 0,5. а) Запишите
уравнение, выражающее сохранение проекции суммарного импульса. Начальную скорость
бруска с пулей обозначьте и. б) Выразите модуль ускорения бруска а при его движении
по столу через заданные в описании условия величины, в) Выразите путь I, пройденный
бруском до остановки, через заданные в описании условия величины и найдите его чис¬
ленное значение.
Совет, б) Воспользуйтесь вторым законом Ньютона и выражением для силы трения скольжения.
229. Шар массой 190 г бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Через 2 с после
броска в шар попала пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 600 м/с,
и застряла в шаре. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, а) Чему равна скорость
шара с пулей сразу после попадания пули в шар? б) На каком расстоянии от точки бро¬
сания шара упал шар с пулей? в) Чему равна скорость шара с пулей непосредственно
перед падением?
Совет, а) Найдите скорость шара непосредственно перед попаданием в него пули, в) Воспользуй¬
тесь теоремой Пифагора.
X
© ' ©
Рис. 58
41

Механическая работа. Мощность
.	:	^тттшшшшш&атштяшшвт
Механическая работа A = Fs cos а
А = О
яжшшюве?
Работа силы тяжести
АТ= mg(hn - hj
При перемещении по замкнутой траектории
работа силы тяжести и работа силы упругости равны нулю,
а работа силы трения скольжения не равна нулю.
Механическая работа
230. На нити длиной I = 50 см висит шар массой т = 200 г. Шар отводят в сторону,
поднимая на высоту подвеса нити, сохраняя нить натянутой, и отпускают, а) Сделайте
чертёж, на котором изображён шар в положении равновесия и когда он отведён в сто¬
рону. б) Какую работу совершает сила тяжести при отведении шара от положения равно¬
весия? в) Чему равна работа силы тяжести при возвращении шара в положение равно¬
весия?
Совет. Воспользуйтесь формулой для работы силы тяжести.
231. Пружину жёсткостью 200 Н/м растягивают так, что удлинение пружины изменя¬
ется от 0 до 2 см. Чему равна работа силы упругости пружины?
Совет. Учтите знак работы силы упругости пружины при увеличении деформации.
232. Находящийся на столе брусок массой 1 кг переместили по сторонам квадрата.
Суммарная работа силы трения оказалась равной при этом -6 Дж. Коэффициент трения
между бруском и столом равен 0,3. Чему равна сторона квадрата?
233. Цепь длиной I = 10 м и массой т = 10 кг равномерно поднимают на крышу зда¬
ния высотой 10 м. В начальный момент нижний конец цепи касается земли, а) Какую
силу надо прикладывать для подъёма цепи вначале? б) Изобразите график зависимости
силы, которую надо прикладывать для подъёма цепи, от длины свисающей части цепи,
в)	Чему равна работа по подъёму всей цепи?
Совет, б) Сила, которую надо прикладывать для подъёма цепи, пропорциональна длине свисающей
части цепи, в) Работа численно равна площади фигуры, заключённой под графиком зависимости
силы, которую надо прикладывать для подъёма цепи, от длины свисающей части цепи.
Мощность
234. Человек равномерно поднимает гирю массой 16 кг на высоту 1 м в течение 1 с.
Какую он при этом развивает мощность?
235. Чему равна сила тяги, действующая на автобус, движущийся со скоростью 72 км/ч,
если развиваемая двигателем мощность равна 20 кВт?
42

236.	С какой скоростью подъёмный кран равномерно поднимает бетонный блок массой
1 т, если двигатель крана развивает при этом мощность 4 кВт?
Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергия
Механическая энергия
tj>	тр mv
Кинетическая энергия	Е.=
2
Потенциальная энергия
поднятого груза
h
Нулевой ф
уровень
Ер = nigh
237. При растяжении пружины совершили работу, равную 3 Дж. а) Какую работу совер¬
шила при этом сила упругости пружины? б) Как изменилась при этом энергия пру¬
жины?
238. В начальном состоянии пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 1 см, а в конеч¬
ном — растянута на 1 см. Чему равно изменение потенциальной энергии пружины?
Совет. Потенциальная энергия пружины зависит только от модуля деформации.
239. В начальном состоянии пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 1 см, а в конеч¬
ном — растянута на 2 см. Чему равно изменение потенциальной энергии пружины?
Совет. Потенциальная энергия пружины зависит только от модуля деформации.
240. По шоссе едут грузовик массой 4 т и легковой автомобиль массой 1 т. Их кинети¬
ческие энергии равны, а) Чему равно отношение их скоростей? б) Чему равно отношение
модулей их импульсов?
Закон сохранения энергии в механике
Ер + Ek = const
Изменение механической энергии
при наличии трения скольжения
241.	Подвешенный на нити небольшой груз отклонили в сторону, держа нить натянутой,
ц отпустили без толчка. В начальном положении угол отклонения нити от вертикали 60°.
Какова длина нити, если при прохождении равновесия скорость груза равна 2 м/с?
Совет. Выразите начальную высоту груза h через длину нити и угол её отклонения от вертикали.
Потенциальная энергия
упругой деформации
Пружина
не деформирована
43

242. Первоначально растянутая горизонтальная пружина с укреплённым на ней шаром
возвращается в недеформированное состояние. В начальном положении скорость шара
равна нулю. Если начальная деформация пружины равна б см, то шар проходит поло¬
жение равновесия со скоростью 2 м/с. При какой начальной деформации пружины шар
будет проходить положение равновесия со скоростью 3 м/с?
Совет. Используя закон сохранения энергии в механике, найдите соотношение между начальной
деформацией пружины и скоростью, с которой шар проходит положение равновесия.
243. Шайба массой т соскальзывает с гладкой горки высотой h, прикреплённой к столу
и плавно переходящей в гороизонтальную поверхность. В конце спуска шайба абсолютно
неупруго сталкивается с покоящимся на столе бруском массой М. а) Чему равна ско¬
рость шайбы о1 в конце спуска? б) Чему равна скорость шайбы с бруском v2 сразу после
столкновения?
244. Санки массой 10 кг соскользнули без начальной скорости с горки высотой 5 м, при¬
чём их скорость в конце спуска оказалась равной 9 м/с. а) Сохранялась ли механиче¬
ская энергия при соскальзывании санок? б) Чему равна работа силы трения скольжения
при соскальзывании санок?
Совет, б) Работа силы трения скольжения равна изменению механической энергии санок.
245. Покоящемуся на столе деревянному бруску толчком сообщили скорость 2 м/с.
Насколько нагреется брусок при движении до остановки? Примите, что на нагревание
бруска пошло 50 % изменения внутренней энергии бруска и стола вследствие трения.
Удельная теплоёмкость дерева 2,5 кДж/(кг • °С).
Совет. Воспользуйтесь тем, что сумма механической и внутренней энергий сохраняется. Масса
бруска при вычислении сократится.
246. Небольшой шар массой т висит на лёгком стержне длиной I (рис. 59, а). Стер¬
жень может вращаться без трения вокруг точки подвеса О. Шару сообщают начальную
горизонтальную скорость v0, в результате чего стержень с шаром начинает вращаться
вокруг точки О (рис. 59, б). а) Какие слова в описании ситуации позволяют считать, что
полная механическая энергия шара сохраняется? б) Обозначим скорость шара в верхней
точке уг Запишите уравнение, которое выражает сохранение механической энергии шара,
в)	Выразите скорость шара в верхней точке через v0 и I. г) Какую скорость надо сообщить
шару в нижней точке, чтобы он совершил полный оборот вокруг точки О?
Совет, г) При минимальной возможной скорости шара в нижней точке его скорость в верхней
точке обращается в нуль. Чтобы шар прошёл это неустойчивое положение равновесия, надо, чтобы
его скорость в верхней точке была больше нуля.
247. На концах лёгкого стержня длиной 21 укреплены небольшие шары массой т и М,
причём М > т (рис. 60). Стержень может вращаться без трения вокруг горизонтальной
оси, проходящей через его середину. В начальном положении стержень удерживают в
горизонтальном положении (рис. 60, а). Когда его отпускают, он приходит в движение и
через некоторое время проходит положение равновесия (рис. 60, б), а) Какое соотношение
выражает сохранение механической энергии шаров при переходе из начального положе¬
ния в положение равновесия? б) Чему равны скорости шаров в момент, когда стержень с
шарами проходит положение равновесия (рис. 60, 6)1
Совет. Поскольку шары укреплены на одном стержне и находятся на одинаковых расстояниях от
центра вращения О, их скорости в любой момент равны по модулю.
а
б
а
О
I
О
О
О
м
Рис. 59
Рис. 60
44

Неравномерное движение по окружности
в вертикальной плоскости
248. Подвешенный на нити в точке О шарик отклонили в сторону так, что нить стала
горизонтальной (рис. 61), и отпустили без толчка. Длина нити I, масса шарика т. Сопро¬
тивлением воздуха можно пренебречь, а) Запишите уравнение, выражающее закон сохра¬
нения энергии в механике для шарика в положении, показанном на рисунке 62. б) На
рисунке 63 изображены силы, действующие на шарик в этом положении: сила тяжести
•ng и сила натяжения нити Т. Запишите уравнение второго закона Ньютона в проекции
на ось х для шарика в положении, показанном на рисунке, в) Представьте записанные
уравнения в виде системы двух уравнений, г) Используя полученную систему уравне¬
ний, выразите модуль силы натяжения нити Т через массу шарика тп и угол отклоне¬
ния нити от горизонтали а. д) Используя полученное выражение, определите: в каких
пределах изменяется сила натяжения нити, когда шарик движется из начального поло¬
жения к положению равновесия? е) Найдите выражение для модуля тангенциального
ускорения шарика в положении, показанном на рисунке 63. ж) Найдите выражение для
модуля нормального ускорения шарика в положении, показанном на рисунке 63. з) Най¬
дите выражение для модуля ускорения шарика в положении, показанном на рисунке 63.
н) В каких пределах изменяется модуль ускорения шарика, когда он движется из
начального положения к положению равновесия?
Совет, б) В данном случае шарик движется по дуге окружности радиусом I, поэтому проекция
равнодействующей приложенных к шарику сил на радиус равна произведению массы шарика на
его нормальное ускорение, г) Удобно воспользоваться тем, что в каждое уравнение входит выраже¬
ние то2, е) Тангенциальное ускорение шарику сообщает проекция силы тяжести на направление
скорости шарика, ж) Найдите проекцию равнодействующей приложенных к шарику сил на ось х.
з)	Воспользуйтесь теоремой Пифагора и тем, что sin2 а + cos2 а = 1.
249. На нити подвешен шарик. На какой угол от вертикали надо отклонить нить, держа
её натянутой, чтобы при прохождении шариком положения равновесия сила натяжения
нити была в 2 раза больше силы тяжести? Шарик отпускают без толчка, сопротивлением
зоздуха можно пренебречь.
Совет. Составьте систему уравнений, выражающих закон сохранения энергии в механике и второй
закон Ньютона при прохождении шариком положения равновесия.
250. Висящему на нити длиной I шарику массой т сообщают толчком такую скорость,
-:то он начинает двигаться по окружности в вертикальной плоскости. На рисунке 64
V,
В
О*
Рис. 61
I
I
т
т
Рис. 62
Рис. 63
Рис. 64
45

показаны последовательные положения шарика через равные промежутки времени. Обо¬
значим иш модуль скорости шарика в нижней точке траектории, а ив — модуль его ско¬
рости в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, а) Может
ли скорость шарика в верхней точке траектории быть равной нулю? б) Почему в верхней
части рисунка последовательные положения шарика расположены на меньших расстояниях
друг от друга, чем на нижней? в) Изобразите на чертеже силы, действующие на шарик
в верхней и нижней точках траектории. Силы натяжения нити в этих точках обозначьте
соответственно Тв и 7^. г) Запишите в проекциях на ось х уравнение второго закона Нью¬
тона для шарика, находящегося в верхней точке траектории. Ось х направьте из поло¬
жения шарика к центру окружности, д) Найдите выражение для минимально возможной
скорости шарика в верхней точке траектории, е) С каким ускорением движется шарик
в верхней точке траектории, когда его скорость равна минимально возможной? ж) Запи¬
шите в проекциях на ось х уравнение второго закона Ньютона для шарика, находя¬
щегося в нижней точке траектории. Ось х направьте из положения шарика к центру
окружности, з) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения энергии в механике
при движении шарика от нижней точки траектории до верхней, и) Найдите выражение
для минимально возможной скорости шарика в нижней точке траектории, к) Найдите
выражение для минимально возможной силы натяжения нити в нижней части траек¬
тории. л) С каким по модулю ускорением движется шарик в нижней точке траектории
при минимально возможной скорости? Как направлено это ускорение?
Совет, а) Рассмотрите, как двигался бы шарик из верхней точки, если бы его скорость в этой точке
была равна нулю, б) Воспользуйтесь Законом сохранения энергии в механике, д) При минимально
возможной скорости в верхней точке траектории сила натяжения нити обращается в нуль, когда
шарик проходит эту точку траектории, е) В таком случае сила натяжения нити в верхней точке
траектории равна нулю, и) Минимально возможной скорости в нижней точке траектории соот¬
ветствует минимально возможная скорость и в верхней точке траектории. Чтобы связать скорость
шарика в верхней и нижней точках траектории, воспользуйтесь уравнением, выражающим закон
сохранения энергии в механике, к) Сила натяжения нити при прохождении шариком нижней
точки траектории минимальна, когда его скорость при этом равна минимально возможной, л) Вос-
mv2
пользуйтесь полученными выше соотношениями —j3- = Тн - mg. Тнпйп = 6mg.
251. Висящему на лёгком стержне' длиной I шарику массой тп сообщают толчком такую
скорость, что он начинает двигаться по окружности в вертикальной плоскости, а) Чему
равна минимально возможная скорость шарика в верхней точке траектории? б) Чему
равна минимально возможная скорость шарика в нижней точке? в) С каким по модулю
ускорением движется шарик в нижней точке траектории при минимально возможной
скорости? Как направлено это ускорение? г) Чему равен вес шарика в нижней точке
траектории?
Совет, а) Учтите, что со стороны стержня на шарик может действовать сила, направленная и от
центра. Стержень «не даёт» шарику сойти с окружности.
Сравнивая движение	шарика, подвешенного на нити, с
движением шарика,	подвешенного на лёгком стержне,
мы видим, что во втором случае ему надо сообщить мень¬
шую скорость в нижней точке, чтобы он мог двигаться по
окружности.
252. Небольшая шайба массой т скользит по жёлобу, пере¬
ходящему в окружность радиусом г, и совершает полный н
оборот (рис. 65). Обозначим Н начальную высоту шайбы,
он — модуль скорости шайбы в нижней точке жёлоба, а
ив — модуль её скорости в его верхней точке. Сопротив¬
лением воздуха и трением можно пренебречь, а) Изобра¬
зите на чертеже силы, действующие на шайбу в верхней и
нижней точках кругового жёлоба. Силу нормальной реак¬
ции, действующую на	шайбу в этих точках, обозначьте	Рис.	65
46

соответственно Nв и Nn. б) Запишите в проекциях на ось х уравнение второго закона
Ньютона для шайбы, находящейся в верхней точке кругового жёлоба. Ось х направьте
из положения шайбы к центру окружности, в) Запишите выражение для минимально
возможной скорости шайбы в верхней точке кругового жёлоба, г) Запишите уравнение,
выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из начального
положения в верхнюю точку кругового жёлоба, д) Запишите выражение для минимально
возможной начальной высоты Н, при которой шайба совершит полный оборот.
Совет, д) Минимально возможной высоте соответствует минимально возможная скорость шайбы
в верхней точке жёлоба.
Если начальная высота шайбы меньше найденной при решении последней задачи, то
шайба не сможет совершить полный оборот по окружности: в некоторой точке она
оторвётся от жёлоба и будет двигаться затем по параболе — как тело, брошенное под
углом к горизонту (рис. 66).
Чтобы найти положение точки, в которой шайба оторвётся от жёлоба, надо учесть, что
в этой точке сила нормальной реакции, действующая на шайбу со стороны жёлоба,
обращается в нуль.
253. Небольшая шайба массой т скользит по жёлобу, переходящему в окружность ради¬
усом г. Начальная высота шайбы Н = 2г. Сопротивлением воздуха и трением можно пре¬
небречь. Обозначим h высоту, на которой шайба оторвётся от жёлоба, а) Изобразите на
чертеже силы, действующие на шайбу в момент отрыва от жёлоба, б) Запишите уравне¬
ние, выражающее закон сохранения энергии в механике при переходе шайбы из началь¬
ного положения в точку, где происходит отрыв шайбы от жёлоба. Обозначьте v скорость
шайбы в этот момент, в) Запишите в проекциях на ось х уравнение второго закона Нью¬
тона для шайбы в момент отрыва от жёлоба. Ось х направьте из положения шайбы к
центру окружности, г) Найдите выражение для высоты h, на которой шайба оторвётся
от жёлоба.
Совет, в) В этот момент на шайбу действует только сила тяжести. Выразите косинус угла между
вертикалью и радиусом, проведённым в точку отрыва шайбы, через г и ft.
254. В нижней точке горизонтально расположенного закреплённого цилиндра радиусом
30 см лежит небольшая, шайба (рис. 67). Трением можно пренебречь, а) Чему равна
минимальная начальная горизонтальная скорость о0, которую надо сообщить шайбе,
чтобы она совершила полный оборот по окружности? б) Чему равна начальная скорость
шайбы, если она оторвалась от цилиндра на высоте 40 см?
255. На вершине гладкой закреплённой полусферы радиусом г лежит небольшая шайба,
которая начинает соскальзывать от очень слабого толчка (рис. 68). а) Запишите уравне¬
ние, выражающее сохранение механической энергии шайбы для момента, когда она ещё
скользит по полусфере. Обозначьте v скорость шайбы в этот момент, h — высоту, на
которой находится шайба, б) Запишите в проекциях на ось х уравнение второго закона
Ньютона для шайбы в тот же момент. Обозначьте N модуль силы нормальной реакции,
47

действующей на шайбу со стороны полусферы, ось х направьте из положения шайбы к
центру окружности, в) Найдите выражение для высоты, на которой шайба оторвётся от
полусферы.
Совет, в) В момент отрыва сила нормальной реакции обращается в нуль.
256.	Небольшая шайба массой 100 г удерживается на вершине гладкой сферы (рис. 69).
Шайба соединена нитью с грузом массой М. Шайбу отпускают без толчка. Шайба отры¬
вается от сферы в момент, когда радиус, проведённый из центра сферы к шайбе, состав-
я
ляет угол а = — с вертикалью, а) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения
6
энергии в механике для движения шайбы до момента отрыва от сферы. Угол а удобно
использовать в радианной мере, б) Запишите в проекциях на ось х уравнение второго
закона Ньютона для шайбы в тот же момент, в) Чему равна масса груза Ml
Совет, а) Воспользуйтесь тем, что груз опустился на расстояние, равное длине дуги, пройденной
шайбой по сфере, б) Учтите, что в момент отрыва сила нормальной реакции обращается в нуль,
в)	Решите полученную систему уравнений относительно М.
Применение законов сохранения в механике
к движению нескольких тел или системы тел
Согласно закону сохранения импульса, импульс снаряда перед его разрывом равен век¬
торной сумме импульсов осколков снаряда сразу после разрыва. При дальнейшем дви¬
жении осколков можно использовать закон сохранения энергии в механике, если сопро¬
тивлением воздуха можно пренебречь. Если иное не оговорено, то принимают, что масса
снаряда равна сумме масс его осколков.
257. Снаряд вылетел из пушки вертикально вверх и разорвался на два осколка в верх¬
ней точке траектории. Скорости осколков сразу после разрыва направлены горизон¬
тально. Первый осколок массой 0,6 кг упал на землю на расстоянии 500 м от пушки,
а второй — на расстоянии 1 км 500 м. Чему равна масса второго осколка? Сопротивле¬
нием воздуха можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения импульса и формулами для полёта тела, брошенного
горизонтально.
258. Из пушки вылетел снаряд со скоростью н0 = 400 м/с под
углом а = 60° к горизонту. В верхней точке траектории сна¬
ряд разорвался на два осколка равной массы, скорости кото¬
рых сразу после разрыва направлены горизонтально. Первый
осколок упал рядом с пушкой, из который был произведён
выстрел. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, а) Сде¬
лайте пояснительный чертёж, на котором укажите скорость
снаряда непосредственно перед разрывом и скорости осколков
сразу после разрыва, б) Чему равны скорости осколков сразу
после разрыва? в) На каком расстоянии d от пушки упал
второй осколок?
Совет, в) До разрыва снаряд летел как тело, брошенное под углом
к горизонту, с известной начальной скоростью. После разрыва вто¬
рой осколок летел как тело, брошенное горизонтально с известной
начальной скоростью. Чтобы найти дальность полёта этого осколка,
достаточно найти его начальную высоту.
259. В брусок массой М = 1 кг, подвешенный на лёгкой нити
длиной I = 1м, попадает горизонтально летящая пуля массой
т = 10 г и застревает в нём (рис. 70). Скорость пули перед
попаданием в брусок ип = 400 м/с. Сопротивлением воздуха
можно пренебречь, а) Выразите скорость бруска с пулей V,	Рис.	70
б
48

сразу после попадания пули в брусок через величины, заданные в описании ситуации,
б)	Сохраняется ли механическая энергия в процессе столкновения пули с бруском? Если
нет, то какую долю начальной кинетической энергии пули составляет кинетическая энер¬
гия бруска с пулей?
Обратите внимание: на первом этапе (когда пуля движется внутри бруска) суммарная
механическая энергия пули и бруска не сохраняется. Но поскольку взаимодействие про¬
исходит в течение очень краткого промежутка времени, можно считать, что суммарный
импульс бруска и пули сохраняется.
в)	Сохраняется ли механическая энергия бруска с застрявшей в нём пулей при его
движении по дуге окружности? г) На какую высоту поднялся брусок с пулей? д) На
какой максимальный угол отклонилась нить от вертикали?
Совет, а) Воспользуйтесь законом сохранения импульса.
260. На покоящуюся на гладком столе гладкую горку налетает шайба (рис. 71, а). Масса
горки М = 200 г, её высота Н = 20 см, масса шайбы т = 20 г. Когда шайба скользит
по горке, она не отрывается от горки. В конечном состоянии горка и шайба движутся
как единое целое (рис. 71, б), а) Сохраняется ли суммарный импульс горки и шайбы
при их взаимодействии? б) Сохраняется ли проекция суммарного импульса горки и
шайбы на горизонтальную ось х? в) Запишите уравнение, выражающее сохранение сум¬
марного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось х. Обозначьте общую скорость
шайбы и горки V. г) Сохраняется ли суммарная механическая энергия горки и шайбы?
д)	Запишите уравнение, выражающее сохранение суммарной механической энергии горки
и шайбы, е) С помощью полученной системы уравнений выведите выражения для скоро¬
сти горки с шайбой V и начальной скорости шайбы vQ.
Совет, а) Рассмотрите, например, движение шайбы при подъёме на горку: при этом суммарный
импульс горки и шайбы направлен не горизонтально.
261. На гладком столе покоится гладкая горка массой 100 г с двумя вершинами высотой
8 см и 2 см (рис. 72). С более высокой вершины начинает соскальзывать влево шайба
массой 20 г. Шайба не отрывается от горки, а) Как будут направлены скорости горки
и шайбы относительно стола в момент, когда шайба будет находиться на менее высо¬
кой вершине? б) Чему будут равны скорости горки и шайбы относительно стола в этот
момент?
Совет, б) Воспользуйтесь законом сохранения энергии в механике и тем, что горизонтальная про¬
екция суммарного импульса горки и шайбы сохраняется.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
262. Чему равен импульс хоккейной шайбы массой 150 г, движущейся по льду со скоро¬
стью 20 м/с? Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате её столкнове¬
ния с бортиком, если при этом направление скорости шайбы изменилось на противопо¬
ложное, а модуль скорости остался тем же?
49

263. Чему будет равна скорость тележки массой 1 т, едущей со скоростью 6 м/с, сразу
после того как в неё насыплют сверху 2 т песка?
Совет. При взаимодействии песка с вагонеткой проекция их суммарного импульса на горизонтально
направленную ось х остаётся неизменной.
264. Школьник массой 50 кг, стоя на гладком льду, бросает горизонтально камень мас¬
сой 1,5 кг со скоростью 5 м/с относительно земли. С какой скоростью будет двигаться
школьник после броска?
Совет. Указание на то, что лёд гладкий, означает, что трением можно пренебречь.
265. Из сопла покоящейся в некоторой системе отсчёта ракеты массой 600 кг вылетают
одной порцией продукты сгорания массой 15 кг со скоростью 800 м/с. Какую скорость
приобретёт ракета в этой системе отсчёта?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения импульса.
266. Камень массой 200 г бросили под углом к горизонту в море с отвесной скалы высо¬
той 10 м. Камень в полёте поднялся до высоты 15 м над уровнем моря и упал в воду,
а)	Какую работу совершает сила тяжести при движении камня вверх? б) Какую работу
совершает сила тяжести при движении камня вниз? в) Какую работу совершает сила
тяжести за всё время полёта камня?
267. Удлинение пружины жёсткостью 400 Н/м в начальном состоянии равно 3 см. Пру¬
жину растягивают ещё на 2 см. а) Чему теперь равна деформация пружины? б) Чему
равна работа силы упругости пружины при указанном растяжении?
Совет. Учтите знак работы силы упругости пружины при увеличении деформации.
268. Какую мощность развивает двигатель подъёмного крана, равномерно поднимающего
бетонный блок массой 300 кг на высоту 20 м за 1 мин?
269. Шар массой 200 г равномерно поднимают со стола, а затем равномерно опускают на
стол. На рисунке 73 изображён график зависимости высоты шара над столом от времени.
Нулевому уровню потенциальной энергии шара соответствует положение шара на столе.
Найдите: а) потенциальную энергию шара через 4 с после начала подъёма; б) потенци¬
альную энергию шара через 12 с после начала подъёма; в) работу силы тяжести в тече¬
ние промежутка времени от 4 с до 12 с.
270. Чему равна кинетическая энергия автомобиля, движущегося со скоростью 72 км/ч,
если его импульс равен 2 • 104 кг ■ м/с?
Совет. Выразите кинетическую энергию тела через его импульс и скорость.
271. С балкона высотой 20 м брошен горизонтально со скоростью 10 м/с мячик массой
200 г. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. Чему равны значения
потенциальной и кинетической энергии мячика: а) сразу после броска; б) через 1 с после
броска; в) непосредственно перед падением на землю? Заметили ли вы какую-либо зако¬
номерность?
Совет. Найдите скорость и высоту мячика в заданные моменты времени.
272. Мячик массой 0,2 кг брошен горизонтально с высоты 20 м со скоростью 10 м/с.
Сопротивлением воздуха можно пренебречь, а) Чему равна начальная кинетическая энер¬
гия мячика? б) Чему равна начальная потенциальная энергия мячика? в) Чему равна
начальная механическая энергия мячика? г) Чему равна ^
механическая энергия мячика непосредственно перед ’
ударом о землю? д) Чему равна скорость мячика непо-	40
средственно перед ударом о землю?
Совет. Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, меха-	20
ническая энергия мячика во время всего полёта остаётся посто¬
янной.
273. На какой высоте кинетическая энергия тела, бро-	о
шенного вертикально вверх с начальной скоростью
20 м/с, равна его потенциальной энергии?	Рис. 73
50

274. Камень бросили с поверхности земли под углом к горизонту со скоростью 20 м/с.
Чему была равна скорость камня в моменты, когда он находился на высоте 15 м? При¬
мите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
275. Горизонтально летящая пуля массой 10 г пробила доску. Движение пули внутри
доски продолжалось 100 мкс, начальная скорость пули 700 м/с, конечная — 300 м/с.
а)	Чему равен модуль изменения импульса пули? б) Чему равна средняя сила, с которой
пуля действовала на доску? в) С каким ускорением пуля двигалась внутри доски?
Совет, б) Воспользуйтесь тем, что изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей
приложенных к телу сил. В данном случае силой тяжести можно пренебречь, в) Воспользуйтесь
вторым законом Ньютона.
276. Два шара, модули импульсов которых равны рг = 3 кг • м/с и р2 = 4 кг • м/с, дви¬
жутся по взаимно перпендикулярным направлениям и сталкиваются друг с другом. Чему
равен модуль импульса второго шара после столкновения, если первый шар в результате
столкновения остановился?
Совет. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.
277. Чему равен модуль изменения импульса мяча массой 0,5 кг, брошенного с поверх¬
ности земли под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с: а) за время дви¬
жения до верхней точки траектории; б) за время всего полёта? Примите, что сопротивле¬
нием воздуха можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь тем, что изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей при¬
ложенных к телу сил.
278. На какое расстояние сместится первоначально покоившаяся тележка массой 100 кг
и длиной 3 м, когда Человек массой 50 кг перейдёт с одного её края на другой? Тре¬
нием между тележкой и рельсами можно пренебречь.
Совет. Предположите, что человек идёт по тележке с постоянной скоростью. Выразите скорость
человека относительно земли через скорость тележки и скорость человека относительно тележки.
279. Два пластилиновых шарика массами т1 = 50 г и т2 = 100 г движутся по взаимно
перпендикулярным направлениям со скоростями v1 = 2 м/с и v2 = 3 м/с. С какой по
модулю скоростью будут двигаться шарики после абсолютно неупругого столкновения?
Совет. Найдите начальные импульсы шаров, воспользуйтесь законом сохранения импульса и тео¬
ремой Пифагора.
280. С берега на плывущий по реке плот массой 100 кг бросают груз массой 60 кг со
скоростью 1 м/с, направленной горизонтально перпендикулярно течению реки. С какой
по модулю скоростью и под каким углом к скорости	течения реки будет плыть плот
сразу после попадания на него груза? Скорость течения	реки 1 м/с.
281. Необходимо увеличить скорость движения космического корабля с 10 км/с до
11 км/с. Сколько времени должен работать двигатель корабля массой 10 т, если его
сила тяги равна 50 кН? Изменением массы ракеты за время разгона можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь тем, что изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей при¬
ложенных к телу сил.
282. Водомётный двигатель катера каждую секунду выбрасывает 0,1 м3 воды. Масса
катера равна 2000 кг, скорость струи воды относительно катера — 90 км/ч. Катер дви¬
жется прямолинейно равномерно, а) Чему равно изменение импульса выбрасываемой дви¬
гателем воды за 1 с? б) Чему равна сила тяги двигателя? в) Чему равна суммарная сила
сопротивления воды и воздуха, действующих на катер?
Совет. В условии задачи есть лишние данные. Учтите, что катер движется с постоянной скоростью.
283. Маленькая ракета поднимается вертикально вверх	на максимальную	высоту	200	м,
выбросив одной порцией продукты сгорания массой 50	г. Масса корпуса	ракеты	250	г.
Чему равна скорость продуктов сгорания относительно земли? Примите, что сопротивле¬
нием воздуха можно пренебречь.
Совет. Найдите начальную скорость ракеты.
51

284. Стартовавшая с Земли ракета в некоторый момент времени находится на высоте
1 км и движется со скоростью 200 м/с, направленной вертикально вверх. В этот
момент от ракеты «отстреливается» вертикально вниз относительно ракеты первая сту¬
пень массой 1 т, вследствие чего скорость оставшейся части ракеты массой 3 т дости¬
гает 220 м/с. Сколько времени ступень ракеты будет падать на землю? Примите, что
сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь формулами для движения тела, брошенного вертикально, и законом сохра¬
нения импульса.
285. Две ракеты А и В с выключенными двигателями покоятся друг относительно друга.
Связанную с ними систему отсчёта можно считать инерциальной. В некоторый момент
из сопла двигателя ракеты А выбрасывается порция газа массой т. Масса ракеты А до
выбрасывания газа равна М, а скорость выброшенной порции газа относительно ракеты
А после выбрасывания газа равна vr. Обозначим v скорость порции газа, а V скорость
ракеты А после выбрасывания газа в системе отсчёта, связанной с ракетой В. а) Запи¬
шите в векторном виде уравнение закона сохранения импульса для ракеты А и порции
выброшенного из неё газа в системе отсчёта, связанной с ракетой В. б) Запишите соотно¬
шение, связывающее v , V и иг. в) Запишите выражение для модуля скорости, которую
приобретёт ракета А относительно ракеты В.
Совет, б) Воспользуйтесь правилом сложения скоростей.
286. Чему равна работа силы трения, действующей на тело массой 0,5 кг при его пере¬
мещении по столу на 50 см с помощью горизонтально направленной силы, если коэффи¬
циент трения между телом и столом равен 0,3?
Совет. Учтите знак работы силы трения скольжения.
287. Какую работу совершает двигатель лифта массой 1,5 т в течение первых четырёх
секунд подъёма с ускорением 1 м/с2?
Совет. Найдите высоту, на которую поднимется лифт за 4 с и учтите, что вес лифта больше силы
тяжести вследствие ускоренного движения лифта.
288. Тело массой 10 кг движется вдоль оси х. Зависимость проекции скорости тела на
ось х от времени в единицах СИ выражается формулой vx = 15 + 2t. Чему равна работа,
совершаемая равнодействующей сил, приложенных к телу, в течение первых пяти
секунд?
Совет. Найдите начальную скорость тела, его ускорение и пройденный телом путь.
289. Брусок покоится на горизонтальном столе. К бруску прикладывают горизонтальные
силы, равные по модулю 3 Н и 4 Н и направленные перпендикулярно друг к другу.
Чему равна работа равнодействующей приложенных сил и работа каждой из этих сил
при перемещении бруска на 20 см?
Совет. Сделайте в тетради рисунок с изображением всех сил, действующих на брусок. Восполь¬
зуйтесь теоремой Пифагора. Найдите угол между вектором каждой силы и перемещением.
290. Находящейся на наклонной плоскости шайбе массой т сообщают начальную ско¬
рость о0, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Какую работу совершает
сила трения за всё время движения шайбы, если шайба вернулась обратно? Угол
наклона плоскости равен а, а коэффициент трения между шайбой и наклонной плоско¬
стью равен ц.
Совет. Найдите модуль перемещения шайбы при её движении вверх вдоль наклонной плоскости.
291. Чему равно минимальное значение кинетической энергии снаряда массой 5 кг,
вылетевшего из пушки с начальной скоростью 500 м/с под углом 60° к горизонту? При¬
мите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Совет. Определите сначала, в какой точке траектории кинетическая энергия снаряда принимает
минимальное значение.
292. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость тела в 2 раза, если началь¬
ная кинетическая энергия тела равна 10 Дж?
52

293. Шайба, скользящая по гладкому столу со скоростью 2 м/с, налетает на горизон¬
тально расположенную пружину, прикреплённую к стене, и сжимает её. Чему равна
максимальная деформация пружины, если масса шайбы равна 0,2 кг, а жёсткость пру¬
жины 400 Н/м?
Совет. Воспользуйтесь теоремой об изменении кинетической энергии.
294. Шар соединён с пружинами жёсткостью 400 Н/м и 1000 Н/м, как показано на
рисунке 74, и лежит на гладком столе. Чему будет равна потенциальная энергия системы
пружин, если сместить шар вправо на 3 см? влево на 3 см? В начальный момент вре¬
мени пружины не деформированы.
Совет. Модули деформации пружин в обоих случаях равны.
295. Скорость падающего с высоты 20 м без начальной скорости камня массой 3 кг в
момент удара о землю равна 18 м/с. Какую работу совершила сила сопротивления воздуха?
296. Брусок массой 100 г соединён с пружиной жёсткостью 200 Н/м и лежит на глад¬
ком столе (рис. 75). Другой конец пружины закреплён в стене. Брусок сдвинули так,
что пружина растянулась на 6 см, и отпустили без толчка. Найдите скорость бруска в
момент, когда растяжение пружины составит 2 см.
Совет. Сумма кинетической энергии бруска и потенциальной энергии пружины остаётся постоянной.
297. Между двумя лежащими на гладком столе брусками массами т1 = 700 г и
т2 = 100 г находится сжатая пружина. Бруски соединены нитью (рис. 76). У какого бру¬
ска кинетическая энергия будет больше, когда нить пережгут? Во сколько раз больше?
Чему она будет равна, если потенциальная энергия сжатой пружины равна 400 Дж?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения импульса, а также законом сохранения энергии в
298. Пуля массой 8 г, летящая горизонтально, попадает в брусок массой 0,5 кг, лежа¬
щий на гладком столе, и углубляется в него на 3 см. Чему была равна скорость пули,
если средняя сила сопротивления движению пули в бруске равна 20 кН? Примите, что
смещением бруска за время движения пули в бруске можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения импульса для нахождения скорости бруска с пулей,
а также тем, что изменение суммарной кинетической энергии пули и бруска равно работе силы
сопротивления (эта работа отрицательна).
299. Из пружинного ружья, наклонённого под углом 30° к горизонту, стреляют шариком.
Пролетев в стволе ружья 50 см, шарик попадает в точку А, находящуюся на расстоянии
1 м от конца ствола ружья (рис. 77). Чему равна масса шарика, если потенциальная
энергия сжатой пружины равна 0,5 Дж, а трением в стволе ружья и сопротивлением
воздуха можно пренебречь?
Совет. Используя закон сохранения энергии в механике, найдите, с какой скоростью шарик выле¬
тит из ружья. Дальше рассмотрите движение тела, брошенного под углом к горизонту.
300. Маленькая шайба массой т движется по закреплённой гладкой полусфере радиу¬
сом R (рис. 78). В начальный момент скорость шайбы равна нулю и она находится на
pininiPTп	(ГШШШШ	ншшш'ш
механике.
Рис. 74
Рис. 75
Рис. 76
А
Рис. 77
Рис. 78
53

высоте —, считая от нижней точки полусферы. Рассмотрим момент, когда шайба дви-
2
R
жется вверх и находится на высоте —. а) Чему равна скорость v шайбы в этот момент?
6
б)	Чему равно центростремительное ускорение шайбы в этот момент? в) Чему равен
модуль N действующей на шайбу в этот момент силы нормальной реакции? г) Найдите
построением направление равнодействующей F приложенных к шайбе сил в этот момент,
д)	Найдите построением направление ускорения а шайбы в этот момент.
301. С высоты Н по гладкому жёлобу, переходящему в окружность радиусом г = 0,3 м,
скользит маленькая шайба массой т = 50 г. На высоте h = 0,4 м (рис. 79) шайба отры¬
вается от жёлоба, а) С какой высоты Н шайба начинала движение? б) Чему равна сила,
с которой шайба давит на жёлоб, находясь на уровне центра окружности?
Совет, а) Запишите закон сохранения энергии и второй закон Ньютона для момента отрыва
шайбы от жёлоба. Ось х направьте из положения шайбы к центру окружности, б) Воспользуйтесь
законом сохранения энергии, чтобы найти скорость шайбы в момент её нахождения на уровне
центра окружности. Запишите второй закон Ньютона в проекции на горизонтально расположен¬
ную ось х в этот момент времени. Воспользуйтесь третьим законом Ньютона.
302. Шайба, находящаяся на вершине закреплённой на столе гладкой полусферы ради¬
усом R, соскальзывает с неё из состояния покоя. С какой скоростью шайба упадёт на
стол?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии в механике.
303. Подвешенный на нити шарик отклонили в сторону так, что нить стала горизонталь¬
ной, и отпустили без толчка. Какой угол с вертикалью образует нить в момент, когда
сила натяжения нити равна по модулю действующей на шарик силе тяжести?
Совет. Составьте систему уравнений, выражающих закон сохранения энергии в механике и второй
закон Ньютона при прохождении шариком положения, в котором сила натяжения нити равна по
модулю силе тяжести.
304. Внутри закреплённого цилиндра с горизонтальной осью лежит маленькая шайба,
которой сообщают горизонтально направленную скорость uQ. Чему равен внутренний диа¬
метр цилиндра, если модуль начальной скорости шайбы равен 3 м/с, а шайба на высоте
40 см отрывается от поверхности цилиндра (рис. 80)?
Совет. Составьте систему уравнений, выражающих закон сохранения энергии в механике и второй
закон Ньютона для момента отрыва шайбы от поверхности цилиндра.
305. Шайбе, находящейся в нижней точке наклонной плоскости с углом наклона а = 30°
и длиной I = 1 м, сообщают некоторую начальную скорость (рис. 81). Наклонная пло¬
скость в точке В переходит в вертикально расположенный обруч радиусом г = 30 см.
Чему равна минимальная начальная скорость шайбы, при которой она отрывается от
опоры в точке В? Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен 0,2.
Совет. Учтите, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку
касания (в данном случае — в точку В). В точке В нормальное ускорение направлено к центру
окружности. При минимальной скорости, когда шайба отрывается от опоры в точке В, нормальное
ускорение в момент отрыва сообщается шайбе проекцией силы тяжести на радиус окружности,
проведённый в точку В.
54

306. Снаряд вылетел из орудия вертикально вверх и разорвался на два осколка в верх¬
ней точке траектории. Скорость одного из осколков сразу после разрыва направлена
горизонтально. Масса первого осколка в 3 раза меньше массы второго осколка. На каком
расстоянии от орудия упал второй осколок, если первый осколок упал на землю на рас¬
стоянии 900 м от орудия? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения импульса и формулами для полёта тела, брошенного
горизонтально.
307. На шар массой 100 г, висящий на лёгком стержне, налетает пластилиновый шар
массой 50 г (рис. 82, а) и прилипает к нему. В результате абсолютно неупругого удара
шары поднимаются на h = 40 см. Чему был равен модуль скорости пластилинового
шара перед ударом, если она в этот момент была направлена под углом 30° к горизонту
Совет. Учтите, что в данном случае сохраняется проекция импульса на ось х, направленную гори¬
зонтально. Воспользуйтесь законом сохранения энергии в механике.
308. На покоящуюся на гладком столе гладкую горку налетает шайба (см. рис. 71, а).
Масса горки М = 100 г, её высота Н = 12 см, масса шайбы 20 г. В конечном состоянии
горка и шайба движутся как единое целое (см. рис. 71, б). Чему равна начальная ско¬
рость шайбы?
Совет. Запишите уравнение, выражающее сохранение суммарного импульса горки и шайбы в про¬
екции на горизонтальную ось х, а также уравнение, выражающее сохранение суммарной механи¬
ческой энергии горки и шайбы.
309. Подвешенный на нити шар отводят от положения равновесия, как показано на
рисунке 83, и отпускают. В момент, когда нить вертикальна, шар пробивает насквозь
пуля массой 10 г, причём скорость пули направлена противоположно скорости шара.
В результате скорость пули уменьшается на 100 м/с. На какой угол от вертикали будет
отклоняться нить при колебаниях пробитого пулей шара? Масса шара 1 кг, длина нити
0,9 м. Сопротивлением воздуха, а также изменением массы шара в результате пробива¬
ния его пулей можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии в механике и законом сохранения импульса.
(рис. 82, а, 6)1
а
б
П
Рис. 82
Рис. 83
55

СТАТИКА И ГИДРОСТАТИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Условия равновесия тела
Первое
условие равновесия
Момент силы
M=-Fl
Второе
условие равновесия
М1+М2 + ... + Мп = о
Первое условие равновесия
310. Подвешенный на трёх лёгких тросах груз массой т = 10 кг покоится (рис. 84, а).
Угол а = 30°. Обозначим силы натяжения тросов Tv Т2 и Т3. а) Запишите первое условие
равновесия для узла А в проекциях на оси координат, показанные на рисунке 84, б.
б)	Получите выражения для сил натяжения тросов 1 я 2 и найдите эти силы, в) При
каком значении угла а силы натяжения всех трёх тросов будут равны?
311. Фонарь массой 4 кг подвешен на тросах, как показано на рисунке 85. Трос 1 рас¬
положен горизонтально, а = 30°. а) Запишите первое условие равновесия для узла А
в проекциях на оси координат, которые использовались при рассмотрении предыдущей
ситуации, б) Найдите силы натяжения тросов.
Условие равновесия тела, закреплённого на оси
312. Для какой из двух сил (рис. 86) плечо силы равно расстоянию от оси О до точки
приложения силы? Обоснуйте ваш ответ.
Совет.. Плечо силы равно длине перпендикуляра, проведённого из оси вращения к линии действия
Момент силы считают положительным, если сила стремится вращать тело против часо¬
вой стрелки, и отрицательным — если по часовой стрелке.
силы.
а
Рис. 84
Рис. 85
Рис. 86
56

313. Чему равны моменты изображённых на рисунке 87 сил относительно точки О?
Одной клетке соответствует расстояние 1 м или сила 1 Н.
Совет. Учтите знаки моментов.
314. На лёгком стержне, закреплённом на оси О, подвешены гирлянды брусков (рис. 88).
Масса каждого бруска 100 г. а) В каких точках стержня и какие грузы можно подве¬
сить, чтобы стержень оказался в равновесии? Предложите как можно больше вариантов,
б)	В какой точке стержня надо приложить направленную вертикально вверх силу 3 Н,
чтобы стержень оказался в равновесии?
Второе условие равновесия
315. На рисунке 89 изображены две приложенные к стержню силы. Какую силу надо
приложить к стержню в точке А, чтобы он находился в равновесии? Массой стержня
можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь вторым условием равновесия и выберите ось, проходящую через точку при¬
ложения любой из заданных в условии сил.
При использовании второго условия равновесия ось, относительно которой записывают
правило моментов, удобно проводить через точку приложения силы, модуль и направ¬
ление которой неизвестны: тогда момент этой силы равен нулю.
Если в описании ситуации говорится о лёгком стержне, то это означает, что его массой
можно пренебречь.
316. Нижний конец лёгкого стержня закреплён в шарнире и может вращаться без тре¬
ния вокруг точки О (рис. 90). Верхний конец стержня соединён тросом со стеной. Трос
расположен горизонтально. К середине стержня подвешен груз массой т. В равновесии
угол между стержнем и вертикалью равен а. а) Относительно какой оси удобно в данном
случае записать правило моментов для стержня? б) Изобразите на чертеже силы, дей¬
ствующие на стержень и не приложенные в точке О. Силу натяжения троса обозначьте
Г. в) Запишите правило моментов относительно точки О. Длину стержня обозначьте L.
г)	Выразите Т через m и а. д) Чему равна по модулю сила, действующая со стороны
шарнира на стержень?
Совет, в) Плечо силы тяжести равно ^s*na г а плечо силы натяжения троса равно Lcosa. Алгебра-
2
ическая сумма моментов сил mg и Т относительно оси, проходящей через точку О, равна нулю.
д)	Воспользуйтесь первым условием равновесия и теоремой Пифагора (силы mg и Т перпендику¬
лярны друг другу).
V
О*
F2
I _□= L-L
о
Пн
Рис. 87
Рис. 88
Рис. 89
Рис. 90
57

Центр тяжести
317.	Однородный стержень массой 9 кг и длиной 1 м подвешен в горизонтальном поло¬
жении на двух вертикально расположенных тросах. Точка крепления первого троса нахо¬
дится на расстоянии 10 см от левого конца стержня, а точка крепления второго — на
расстоянии 30 см от правого конца, а) Изобразите на чертеже силы, действующие на
стержень, и плечи этих сил относительно центра тяжести стержня, б) Чему равны плечи
этих сил? в) Чему равны силы натяжения тросов?
Совет. Воспользуйтесь первым условием равновесия и правилом моментов относительно центра
тяжести стержня, который находится в середине стержня.
Потенциальная энергия тела, обусловленная его притяжением к Земле, определяется
высотой центра тяжести тела. Изменение потенциальной энергии при изменении поло¬
жения тела выражается формулой
АЕр = mg Ah,
где т — масса тела, Ah — изменение высоты центра тяжести.
Отсюда следует, что минимальная работа, которую надо совершить, чтобы поднять на Ah
центр тяжести тела массой т, выражается формулой
А = mg Ah.
318. На земле лежит труба длиной 2 м и массой 10 кг. Какую минимальную работу
надо совершить, чтобы поставить трубу вертикально?
Совет. Найдите, насколько увеличивается высота центра тяжести трубы при указанном изменении
её положения.
319. К гладкой стене прислонена доска длиной I и массой т (рис. 91). Угол между
доской и стеной равен а, коэффициент трения между доской и полом равен ц. а) Изо¬
бразите на чертеже силы, действующие на доску. Обозначьте силы нормальной реакции,
действующие со стороны стены и пола, Nc и Nn, а силу трения FTp. б) Запишите пер¬
вое условие равновесия для доски в проекциях на показанные на рисунке оси коорди¬
нат. в) Запишите соотношение для силы трения, действующей на доску со стороны пола.
г) Относительно какой оси удобнее использовать в данной ситуации правило моментов?
д) Запишите второе условие равновесия для доски относительно выбранной оси. е) Выве¬
дите из полученных соотношений условие равновесия для доски в виде неравенства для
угла а и коэффициента трения ц.
Совет, а) Учтите, что центр тяжести доски находится в её середине, в) Учтите, что на доску со
стороны пола действует сила трения покоя, е) Докажите сначала, что из соотношений, полученных
при выполнении предыдущих заданий, следует неравенство Nc < xmg.
320. Один конец горизонтального однородного стержня массой т = 10 кг закреплён в
шарнире и может вращаться без трения вокруг точки О (рис. 92). Другой конец стержня
соединён тросом со стеной. Трос образует угол а = 30° с горизонтом, а) Относительно
какой оси удобно использовать в данной ситуации правило моментов? б) Изобразите на
У
а
О
Рис. 91
58

чертеже в тетради действующие на стержень силу тяжести mg и силу натяжения троса Т.
в)	Запишите выражения для моментов этих сил относительно выбранной оси. Каковы
знаки этих моментов? Обозначьте длину стержня I. г) Чему равна по модулю сила Т
натяжения троса? д) Чему равна по модулю сила, действующая со стороны шарнира на
стержень?
Совет, в) Учтите, что центр тяжести стержня находится в его середине, г) Воспользуйтесь прави¬
лом моментов относительно оси шарнира, д) Воспользуйтесь первым условием равновесия. Сила,
действующая со стороны шарнира на стержень, равна по модулю равнодействующей силы тяжести
и силы натяжения троса и направлена противоположно ей. Обратите внимание, что сила, действу¬
ющая на стержень со стороны шарнира, не перпендикулярна стене.
321.	Гладкая тонкая палочка длиной I и массой т покоится в гладком цилиндрическом
стакане, опираясь на его край (рис. 93). а) Изобразите на чертеже в тетради силы, дей¬
ствующие на палочку, б) Относительно какой оси удобно использовать в данной ситу¬
ации правило моментов? в) Запишите второе условие равновесия для палочки относи¬
тельно выбранной оси. г) Найдите силу, с которой палочка длиной 15 см давит на край
стакана, если масса палочки равна 100 г, высота стакана 8 см, а его диаметр 6 см.
Совет, а) Учтите, что по условию стакан и палочка гладкие, то есть силой трения можно прене¬
бречь. В таком случае на палочку могут действовать со стороны стакана только силы, перпендику¬
лярные поверхности их соприкосновения, г) Воспользуйтесь третьим законом Ньютона (требуется
найти силу, с которой палочка давит на край стакана).
Равновесие жидкости и газа
Гидростатическое давление р = рgh
Закон Архимеда	FA	= P&V
Условие плавания тел F = F
А т
Зависимость давления жидкости от глубины
322. В цилиндрический сосуд налита жидкость до высоты h. Плотность жидкости р,
площадь основания сосуда S. а) Чему равна сила F давления жидкости на дно сосуда?
б)	Чему равно давление р жидкости на дно сосуда?
Совет, а) Сила давления жидкости на дно сосуда — это вес жидкости. Выразите массу жидкости
через её плотность и объём.
На поверхность жидкости может оказывать внешнее давление атмос¬
фера или поршень. В таком случае давление жидкости на глубине h
является суммой внешнего и гидростатического давления.	т
323. На какой глубине в озере давление в 2 раза превышает давление	/
атмосферы?
324. В цилиндрический сосуд налили воду и керосин (они не смеши¬
ваются). Общая высота столба жидкостей h = 30 см. Гидростатическое
давление жидкости у дна сосуда р = 2,8 кПа. а) Запишите формулу,
выражающую давление р жидкости у дна сосуда через плотности жид¬
костей (рв и рк) и высоты столбов жидкости hB и hK. б) Чему равна
высота столба каждой жидкости?
Совет, б) Составьте систему уравнений с двумя неизвестными h и h .
d
Рис. 93
59

325. В U-образную трубку налита вода (рис. 94). В левое колено трубки доливают неко¬
торую массу керосина. При этом вода в правом колене поднялась на 4 см по сравнению
с начальным уровнем, а) Нарисуйте в тетради U-образную трубку, в которую налиты
вода и керосин в соответствии с условием. Отметьте пунктиром на чертеже нижний уро¬
вень керосина, б) Чему равно отношение высот столбов жидкости в коленах над отме¬
ченным вами уровнем? в) Какова высота столба воды над отмеченным вами уровнем?
г)	Какова высота столба керосина над отмеченным вами уровнем?
Совет, б) Оба столба жидкости оказывают одинаковое давление на отмеченном уровне, в) Поскольку
объём воды не изменился, уровень воды в колене с керосином опустился по сравнению с началь¬
ным настолько же, насколько он поднялся в другом колене.
Закон Архимеда
326. На концах лёгкого стержня, подвешенного в середине, уравновешены стальной и
медный шары, а) Объём какого шара больше? б) Нарушится ли равновесие, если шары
опустить в воду? Почему? в) Какой шар перевесит? г) В сторону какого шара надо сдви¬
нуть точку подвеса, чтобы восстановить равновесие?
Совет, б) Равновесие стержня нарушится, потому что действующие на шары силы Архимеда не
равны.
327. На дне аквариума лежит шар плотностью 2000 кг/м3. На сколько процентов умень¬
шилась сила давления шара на дно аквариума, когда в аквариум налили воду так, что
половина шара оказалась в воде?
Плавание тел
328. Плавающий деревянный брусок вынимают из воды и опускают в сосуд с кероси¬
ном, где брусок также плавает, а) Изменилась ли действующая на брусок сила тяжести?
б)	Изменилась ли действующая на брусок сила Архимеда? в) Что изменилось при пере¬
носе бруска из воды в керосин?
Совет, б) Воспользуйтесь условием плавания тел.
329. Однородный брусок плавает на границе раздела воды и керосина. При этом брусок
полностью погружён в жидкость и погружён в воду на 2 см. Чему равна плотность бру¬
ска, если высота бруска равна 5 см?
Воздухоплавание
330. Воздушный шар объёмом V1 = 400 м3 находится в равновесии, когда плотность
окружающего воздуха = 1,28 кг/м3. Из корзины шара сбрасывают балласт (мешки с
песком), вследствие чего шар поднимается до высоты, на которой плотность окружаю¬
щего воздуха уменьшается в 2 раза. При подъёме объём шара увеличился в 1,5 раза.
Примите, что объёмом балласта можно пренебречь по сравнению с объ¬
ёмом шара, а) Запишите условие равновесия шара вблизи поверхности
земли. Введите обозначения всех необходимых для этого физических
величин, б) Запишите условие равновесия шара после сброса балласта.
Введите обозначения всех необходимых для этого физических величин, в)
Выразите массу балласта т через заданные в условии величины, г) Чему
равна масса балласта?
331. Груз какой массы сможет поднять наполненный гелием воздушный
шар-зонд на высоту, на которой плотность воздуха равна 1 кг/м3? Плот¬
ность гелия в 7,25 раза меньше плотности воздуха при той же темпера¬
туре и давлении. Объём шара на искомой высоте равен 10 м3, масса обо¬
лочки шара 2 кг, объёмом оболочки и груза можно пренебречь.
Совет. Вес груза вместе с весом гелия в объёме шара равен весу воздуха в объ¬
ёме, равном объёму шара.
60

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
332. На двух тросах одинаковой длины, прикреплённых к потолку, угол между кото¬
рыми равен 120°, подвешен груз массой 20 кг. Чему равна сила натяжения каждого
троса?
Совет. Сделайте в тетради чертёж с указанием всех сил, действующих на груз. Запишите первое
условие равновесия для точки крепления груза в проекции на вертикально направленную ось у.
333. Лёгкий горизонтальный стержень опирается концами на две опоры. К середине
стержня подвешен груз массой 6 кг. С какой силой стержень давит на каждую опору?
Совет. Сделайте пояснительный рисунок и воспользуйтесь условиями равновесия для стержня.
334. Лёгкий стержень длиной 1,2 м, расположенный горизонтально, поднимают на двух
параллельных тросах, один из которых закреплён на конце стержня, а другой — на рас¬
стоянии 20 см от другого его конца. К середине стержня подвешен груз массой 15 кг.
Чему равны силы натяжения тросов?
Совет. Воспользуйтесь условиями равновесия для стержня.
335. Грузы массой 3 кг и 4 кг подвешены на разных концах лёгкого горизонтального
стержня длиной 80 см. К середине стержня подвешен груз массой 3 кг. Где находится
точка опоры, если стержень находится в равновесии?
Совет. Воспользуйтесь правилом моментов.
336. Если груша лежит на левой чаше неравноплечих рычажных весов, её уравновеши¬
вают четыре одинаковых яблока на правой чаше, а если груша лежит на правой чаше,
её уравновешивает одно яблоко на левой чаше. Чему равны отношение масс груши и
яблока и отношение плеч весов? Массой самих весов можно пренебречь.
Совет. Воспользуйтесь правилом рычага для каждого взвешивания.
337. Стержень длиной 1 м изготовлен из двух частей одинакового сечения длиной 50 см
каждая. Одна часть изготовлена из свинца, а другая — из железа. Где находится центр
тяжести стержня?
Совет. Центр тяжести каждой части стержня находится в её середине, а массы частей стержня
относятся как плотности металлов, из которых они сделаны.
338. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы поднять лежащую на полу цепь
длиной 10 м и массой 10 кг за один её конец так, чтобы другой конец касался пола?
Совет. Найдите, насколько надо поднять центр тяжести цепи.
339. К вертикальной гладкой стене на верёвке длиной I подвешен однородный шар мас¬
сой т и радиусом R (рис. 95). Чему равна сила натяжения нити Т и сила давления N
стены на шар?
Совет. Со стороны гладкой стены на шар действует только сила нормальной реакции, момент
которой относительно центра шара равен нулю. Докажите, что вследствие этого нить и радиус,
проведённый в точку крепления нити к шару, лежат на одной прямой. Восполь¬
зуйтесь первым условием равновесия.
340. Цепь длиной I удерживается на гладком столе так, что половина цепи
свисает со стола. Цепь отпускают, и она начинает соскальзывать со стола.
Чему будет равна скорость цепи в момент, когда она оторвётся от стола?
Совет. Найдите, насколько опустится центр тяжести цепи к моменту, когда цепь
оторвётся от стола, и воспользуйтесь законом сохранения энергии в механике.
341. На шероховатом полу лежит куб массой т. а) Какой горизонтальной		/R
силой можно опрокинуть этот куб через ребро? б) Какой минимальной	q
силой можно опрокинуть этот куб через ребро? Примите, что проскальзы¬
вания между полом и кубом нет.
Совет, б) Сила, приложенная к кубу, будет минимальной, если она направлена
под углом 45° к боковой грани куба.	Рис.	95
61

342. Чему равны силы давления воды на дно и стенку доверху наполненного аквариума,
имеющего форму куба со стороной о? Атмосферное давление не учитывайте.
Совет. При расчёте силы давления воды на боковую стенку аквариума воспользуйтесь усреднением.
343. Какую вертикально направленную силу надо приложить к льдине массой 100 кг,
чтобы утопить её в воде?
Совет. Приложенная к льдине сила вместе с силой тяжести уравновешивают силу Архимеда.
344. К динамометру подвесили металлический брусок. Из какого металла может быть
изготовлен этот брусок, если при полном погружении бруска в воду показания динамо¬
метра уменьшились на 14 %?
Совет. Используя закон Архимеда, найдите плотность вещества, из которого изготовлен брусок,
и затем воспользуйтесь справочными данными.
345. В левое колено U-образной трубки со ртутью налили керосин, высота столба керо¬
сина равна 13,6 см. Чему стала равной разность уровней ртути в сообщающихся сосу¬
дах?
Совет. Воспользуйтесь тем, что ниже границы раздела «ртуть — керосин» в обоих коленах нахо¬
дится одна и та же жидкость.
346. Медный цилиндр, подвешенный к динамометру, погружают полностью сначала в
воду, а затем в керосин. Разность показаний динамометра в этих опытах равна 2 Н.
Чему равна масса цилиндра?
Совет. Запишите условия равновесия цилиндра в керосине и в воде.
347. Чему может быть равна масса полого стального шара, который не тонет в воде,
если объём полости в шаре 200 см3?
Совет. Действующая на шар сила тяжести не должна превышать силу Архимеда при полном
погружении шара.
348. С воздушного шара объёмом 100 м3, парящего вблизи поверхности земли, сбросили
балласт массой 45 кг. В результате шар поднялся на высоту, на которой плотность воз¬
духа в 2 раза меньше его плотности вблизи поверхности земли, и находился там в рав¬
новесии. Как изменился при этом подъёме объём шара? Плотность воздуха у поверхно¬
сти земли равна 1,29 кг/м3?
349. Льдина толщиной 10 см плавает в бассейне с водой, а) Какой толщины слой нефти
надо налить поверх воды, чтобы уровень нефти находился на одном уровне с верхней
гранью льдины? б) Изменится ли при этом глубина погружения льдины в воду? Если
да, то насколько?
350. К деревянному кубу массой 20 кг и объёмом 50 дм3 прикреплена стальная цепь
длиной 100 м и массой 200 кг. Когда куб с цепью погрузили в воду, он ушёл под воду,
а часть цепи легла на дно. Считайте, что размерами куба по сравнению с глубиной
погружения можно пренебречь. Чему равна длина вертикальной части цепи?
Совет. Куб находится в равновесии, когда выталкивающая сила, действующая на него и верти¬
кальную часть цепи, уравновешивает действующую на них силу тяжести.
62

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Строение вещества
Постоянная Авогадро
масса атома углерода ®	,
1 а.е.м. =	^	—	Аа	=	6	•	10	——
моль
В одном моле любого вещества 6 • 10 23 молекул.
Молярная масса — масса одного моля.
N = vNa	т	=	vM
Основные положения молекулярно-кинетической теории
351. Какое положение (или положения) молекулярно-кинетической теории подтверждает
броуновское движение? .
352. Какое положение (или положения) молекулярно-кинетической теории подтверждает
диффузия?
353. Опыты показывают, что диффузия происходит в газах, жидкостях и даже твёрдых
телах. Как вы думаете: где она происходит быстрее всего, а где — медленнее всего? Обо¬
снуйте свой ответ.
354. Какие наблюдения указывают на то, что молекулы притягиваются; отталкиваются?
Количество вещества
355. Сравните число молекул в трёх молях водорода и в одном моле кислорода.
356. Сколько молей водорода и кислорода нужно взять для того, чтобы в результате
реакции между ними получить два моля воды?
Совет. Вспомните химическую формулу воды и учтите, что водород и кислород — двухатомные газы.
357. Выразите массы атома и молекулы кислорода в атомных единицах массы.
358. Чему равно число молекул, содержащихся: а) в трёх молях воды; б) в 0,1 моля
углекислого газа? Чему равно число атомов в приведённых выше примерах?
359. Имеется несколько образцов вещества, число молекул в которых равно соответ¬
ственно 6 • 1024; 3 • 1022 ; 3,3 • 1024 и 6 • Ю20. Чему равно количество вещества в каждом
образце?
360. Цилиндрический стакан высотой 10 см и диаметром 6 см наполнили водой. Вода
полностью испарилась за 20 дней, а) Какой объём воды испарялся за день? б) Какой
объём воды испарялся ежесекундно? в) Какая масса воды испарялась ежесекундно?
г)	Сколько молекул воды испарялось ежесекундно?
Совет, г) Найдите, какому количеству вещества соответствует найденная масса воды.
63

Изопроцессы и другие газовые процессы
Соотношение между значениями температуры
по шкале Кельвина и шкале Цельсия Т = t + 273
при р = const
Изопроцессы
при V = const
при Т = const
pV = const
361. Температура тела увеличилась на 10 °С. Какому изменению температуры по шкале
Кельвина это соответствует?
362. Данная масса газа расширяется изобарно. Начальная и конечная температура газа
27 °С и 327 °С. Изобразите в тетради графики зависимости V(T), p(V) и р(Т) для данного
процесса, а) Во сколько раз увеличилось значение абсолютной температуры газа? б) Во
сколько раз увеличился объём газа?
363. Начальная и конечная температура данной массы газа в изохорном процессе равны
соответственно 327 °С и 27 °С. Изобразите графики зависимости р(Т), V(T) и p(V) для
данного процесса, а) Во сколько раз уменьшилась абсолютная температура газа? б) Во
сколько раз уменьшилось давление газа?
364. При изотермическом расширении объём данной массы газа увеличился в 2 раза.
Начальное давление газа равно нормальному атмосферному давлению (10® Па), а) Изо¬
бразите графики зависимости p(V), р(Т) и V(T) для данного процесса, б) Во сколько раз
уменьшилось давление газа? в) Насколько уменьшилось давление газа?
365. На рисунке 96 изображён график процесса, происходящего с данной массой газа
при переходе из состояния 1 в состояние 2. а) Является ли данный процесс каким-либо
изопроцессом? б) Перенесите рисунок 96 в тетрадь и проведите изобары а и Ь, прохо¬
дящие соответственно через состояния 1 и 2. в) Как изменяется давление газа в изо¬
термическом процессе при переходе из состояния 1 в некоторое состояние, лежащее на
изобаре Ы г) Как изменяется давление газа в изохорном процессе при переходе из состо¬
яния 1 в некоторое состояние, лежащее на изобаре Ы д) Как изменяется давление газа
при переходе из состояния 1 в состояние 21
Совет, а) По графику видно, что ни объём, ни температура газа не остаются постоянными. А чтобы
выяснить, остаётся ли постоянным давление газа, определите, лежат ли все точки графика на
одной изобаре.
Рис. 96
64

366. На рисунке	97 изображён	график процесса, происходящего	с данной	массой	газа
при переходе из	состояния 1 в	состояние 2. а) Как изменилась	температура газа	при
данном переходе; б) как изменилось давление газа при данном переходе; в) как изме¬
нился объём газа при данном переходе?
367. На рисунке	98 изображён	график процесса, происходящего	с данной	массой	газа
при переходе из	состояния 1 в	состояние 2. а) Как изменился объём газа	при данном
переходе? б) Как изменилось давление газа при данном переходе? в) Как изменилась
температура газа при данном переходе?
Уравнение Клапейрона
368. При переходе данной массы газа из состояния 1 в состояние 2 давление газа увели¬
чилось в 3 раза, а абсолютная температура увеличилась в 2 раза. Как изменился объём
газа?
369. В цилиндрическом сосуде под лёгким поршнем площадью S = 10 см2 находится газ
при нормальном атмосферном давлении. Цилиндр помещён в смесь воды со льдом. Затем
цилиндр перемещают в кипяток, а на поршень начинают давить с силой 100 Н и ждут,
когда поршень снова окажется в положении равновесия. Трением между поршнем и
стенкой сосуда можно пренебречь, а) Каковы начальная и конечная температура газа по
шкале Кельвина? б) Как изменилось давление газа? в) Чему равно отношение конечного
объёма газа к начальному?
Совет, б) Согласно условию поршень лёгкий — это означает, что его массой можно пренебречь.
Чтобы в конечном состоянии поршень находился в равновесии, давление газа в сосуде должно
увеличиться так, чтобы сила давления газа на поршень стала равной возросшей силе внешнего
давления, в) Воспользуйтесь уравнением Клапейрона и известными отношениями давления и тем¬
пературы газа в двух рассматриваемых состояниях.
370. В некотором газовом процессе давление данной массы газа прямо пропорционально
объёму газа, а) Может ли данный процесс быть каким-либо изопроцессом? б) Запишите
систему двух уравнений, одно из которых справедливо только для данного процесса,
а другое представляет собой уравнение Клапейрона, в) Используя полученную систему
Уравнение состояния идеального газа
Уравнение Клапейрона
Ру
—— = const
Т
Уравнение состояния идеального газа
(уравнение Менделеева — Клапейрона)
pV = vRT
Закон Дальтона
Р = Р1+Р2 + Р3 + -
pk 1
Р
0
т
о
V
Рис. 97
Рис. 98
65

уравнений, напишите соотношение, в которое входят только р и Т, и соотношение, в
которое входят только V и Т. г) Как изменяется в данном процессе давление, когда абсо¬
лютная температура газа увеличивается в 4 раза? д) Как изменяется в данном процессе
температура, когда объём газа увеличивается в 2 раза?
Совет, б) Введите обозначения для величин, которые остаются постоянными, в) Чтобы получить
т	Р	PV
соотношение, в которое входят только р и Т, умножьте уравнение — = а на уравнение -— = с.
Чтобы получить соотношение, в которое входят только V и Т, разделите уравнение — = а на урав-
pV
нение —— = с.
Т
371. В некотором процессе давление данной массы газа обратно пропорционально абсолют¬
ной температуре. Как изменяется давление газа, когда его объём увеличивается в 4 раза?
Совет. Введите обозначение для постоянной величины — произведения давления на абсолютную
температуру.
372. В некотором процессе температура и объём данной массы газа связаны соотноше¬
нием TV2 = const, а) Какое соотношение между р и V справедливо для данного процесса;
б) какое соотношение между р и Т справедливо для данного процесса; в) как изменится
давление газа, если его объём увеличится в 2 раза; г) как изменится давление газа, если
его абсолютную температуру уменьшить в 2 раза?
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона)
Напомним, что нормальными условиями называют давление, равное нормальному атмо¬
сферному давлению (105 Па), и температуру, равную О °С.
Воздух представляет собой смесь газов (в основном азота и кислорода). В расчётах воз¬
дух обычно считают газом с молярной массой 29 • 1СГ3 .
моль
373. В сосуде объёмом 20 л содержится газ при нормальных условиях. Чему равна масса
этого газа, если это: а) водород; б) кислород; в) углекислый газ?
374. Горизонтально расположенный цилиндрический сосуд разделён подвижным металли¬
ческим поршнем на две части. В одной части находится водород, а в другой — кисло¬
род. Массы газов равны. Какую часть всего объёма сосуда занимает водород, а какую —
кислород?
Совет. По условию поршень подвижный — следовательно, давления газов равны. Кроме того,
поршень металлический, а металлы обладают хорошей теплопроводностью. Значит, температуры
газов тоже равны. Запишите уравнение Менделеева — Клапейрона для водорода и кислорода и
учтите, какие параметры газов одинаковы.
375. Найдите плотность воздуха при нормальных условиях. Во сколько раз она меньше
плотности воды?
376. В вертикальном цилиндрическом сосуде под не очень плотно пригнанным подвиж¬
ным поршнем находится газ. Сосуд погружён в кипяток. Когда сосуд перенесли в ванну,
содержащую воду со льдом, объём газа уменьшился в 2 раза. Трением между поршнем
и стенкой сосуда можно пренебречь, а) Какой была начальная и конечная температура
газа по шкале Кельвина? б) Изменилось ли давление газа? в) Во сколько раз изменился
бы объём газа, если бы не было утечки? г) Какая доля начальной массы газа осталась в
сосуде?
377. В сосуде объёмом 2 л при нормальных условиях содержится смесь газов, состоящая
из 4 г кислорода и 4 г гелия, а) чему равно парциальное давление кислорода; б) чему
равно парциальное давление гелия; в) чему равно давление смеси газов?
66

Абсолютная температура
и средняя кинетическая энергия молекул
Связь между абсолютной температурой	_	3
и средней кинетической энергией	Е =
поступательного движения молекул
3 RT
Среднеквадратичная скорость молекул U V М
Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории идеального газа
1	—	9	—
p=-nm0v2	Р=^пЕ
378. В сосуде объёмом 20 л содержится 1 моль неона при нормальном атмосферном дав¬
лении. а) Сколько молекул газа в сосуде? б) Чему равна концентрация молекул? в) Чему
равна средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул? г) Есть ли в
условии лишние данные?
379. В сосуде содержится смесь аргона и неона. Чему равна средняя кинетическая энер¬
гия молекул1* этих газов при нормальных условиях? Есть ли в условии лишние данные?
Среднеквадратичной скоростью молекул v называют корень квадратный из среднего
квадрата скорости молекул:
380. Чему равны среднеквадратичные скорости молекул водорода, кислорода и радона
при 20 °С?
381. В сосуде находится 30 г криптона при нормальных условиях. Объём сосуда 5 л.
Чему равна среднеквадратичная скорость молекул газа?
382. Как изменилось бы давление газа на стенку сосуда, если бы она стала поглощать
все налетающие на неё молекулы?
Совет. Найдите, чему была бы равна в этом случае передача импульса одной молекулой.
Насыщенный пар. Влажность
Насыщенный пар
Находится в динамическом
Р
/
равновесии с жидкостью.
/
Давление насыщенного пара
/
зависит только от температуры.
/
При температуре кипения
J
давление насыщенного пара
0
	/ ,
t
равно внешнему давлению: рн = рвнеш
Относительная влажность
Ф= -£-100%.
Рн
Точка росы — температура, при которой водяной пар
становится насыщенным.
!) Это одноатомные молекулы, поэтому их кинетическая энергия — это кинетическая энергия только
поступательного движения.
67

В таблице приведены значения давления насыщенного водяного пара при некоторых
значениях температуры. Эта таблица понадобится для решения следующих задач.
о
о
0
20
40
60
80
100
120
ри, кПа
0,61
2,34
7,4
20
47
100
200
383. Пустой герметически закрытый сосуд объёмом 20 л заполнили насыщенным водя¬
ным паром при температуре 100 °С. а) Чему равно давление пара? б) Чему равна масса
пара?
Совет, а) Воспользуйтесь приведённой таблицей значений давления насыщенного пара при различ¬
ных температурах, б) Воспользуйтесь уравнением Менделеева — Клапейрона (не забудьте выразить
температуру по шкале Кельвина). Молярная масса водяного пара равна молярной массе воды.
384. Чему равна относительная влажность воздуха в помещении, если сухой термометр
показывает 20 °С, а влажный показывает 16 °С?
Совет. Воспользуйтесь психрометрической таблицей в справочных данных.
Приведённая ниже таблица понадобится для решения следующих задач.
t, °С
8
9
10
11
12
13
14
15
20
Рш, кПа
1,07
1,15
1,23
1,31
1,40
1,50
1,60
1,70
2,34
385. Когда Саша зашёл в дом, его очки запотели. Посмотрев на термометр и психрометр,
Саша установил: температура равна 20 °С, относительная влажность 60 %. Примите,
что сразу после входа в дом температура стёкол очков равна наружной температуре,
а)	Почему стёкла очков дома запотели? б) Чему равно парциальное давление водяного
пара в комнате? в) При какой температуре содержащийся в воздухе комнаты водяной
пар стал бы насыщенным? г) Какова температура воздуха на улице?
Совет, б) Воспользуйтесь данными из условия об относительной влажности воздуха в комнате и
таблицей зависимости давления насыщенного пара от температуры, в) Воспользуйтесь таблицей
зависимости давления насыщенного пара от температуры, г) Учтите, что в воздухе, прилегающем
к стёклам очков, началась конденсация водяного пара. Температуру прилегающего к стёклам воз¬
духа можно приближённо считать равной температуре стёкол.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
386. Можно ли беспорядочное движение пылинок в воздухе считать броуновским движе¬
нием? Обоснуйте свой ответ.
387. Как связаны между собой: а) число молекул N в образце вещества массой т с мас¬
сой одной молекулы т0; б) число молекул N в образце вещества объёмом V с разме¬
ром одной молекулы d? Примите для оценки, что объём молекулы равен объёму куба с
ребром d.
388. В закрытом сосуде объёмом 10 л содержится аммиак (NH3), плотность которого
равна 0,8 кг/м3, а) Чему равна молярная масса аммиака? б) Чему равна масса одной
молекулы аммиака? в) Чему равна масса аммиака, содержащегося в сосуде? г) Какое
число молекул аммиака содержится в сосуде?
389. На столе лежат алюминиевый и медный шары. Сравните количество атомов, содер¬
жащихся в шарах, если: а) шары имеют равные массы; б) шары имеют равные объёмы.
390. Во сколько раз увеличивается давление данной массы газа, когда его объём изотер¬
мически изменяют от 12 м3 до 3 м3? Постройте графики зависимости V(T), p(V) и р(Т)
для данного процесса.
68

391. По графику зависимости давления р данной массы газа от объёма V (рис. 99) опре¬
делите, чему равна температура газа в состояниях 2 и 3, если температура в состоя¬
нии 1 равна 50 К.
392. По графику зависимости давления р данной массы газа от абсолютной темпера¬
туры Т (рис. 100) определите, в каком состоянии объём газа минимальный.
Совет. Проведите через каждую из точек 1, 2, 3 и 4 изохору.
393. По графику зависимости объёма V данной массы газа от абсолютной температуры Т
(рис. 101) определите, в каком состоянии давление газа максимально.
Совет. Проведите через каждую из точек 1, 2, 3 и 4 изобару.
394. По графику зависимости давления р данной массы газа от объёма V (рис. 102) опре¬
делите, на каких этапах процесса температура газа увеличивалась, а на каких уменьша¬
лась.
Совет. Воспользуйтесь тем, что каждый из четырёх этапов представляет собой изобарный или
изохорный процесс, для которого легко определить, как изменялась температура.
395. В сосуде под поршнем содержится данная масса воздуха при температуре 300 К.
Объём воздуха уменьшают в 16 раз, при этом его давление увеличивается в 20 раз. Чему
равна конечная температура воздуха?
396. В закрытом сосуде объёмом 100	см3 содержится газ при	давлении	1 МПа и темпе¬
ратуре 27 °С. Чему равно количество	вещества в газе?
397. Во сколько раз при одних и тех же значениях температуры и давления плотность
гелия меньше плотности кислорода?
Совет. Воспользуйтесь уравнением Менделеева — Клапейрона и учтите, что молекула кислорода
состоит из двух атомов.
398. Чему равно давление аргона, помещённого в сосуд при температуре 25 °С, если кон¬
центрация молекул газа равна 2 • 1025 м“3?
399. В сосуде объёмом 5 л при температуре 0 °С содержится смесь газов, состоящая из
16 г кислорода и 8 г гелия. Чему равно давление смеси газов?
Совет. Воспользуйтесь законом Дальтона.
400. Как изменится давление газа,	а) если концентрацию	молекул	газа	увеличить
в 4 раза при неизменной среднеквадратичной скорости молекул; б)	если	среднеква¬
дратичную скорость молекул газа увеличить в 4 раза при неизменной концентрации
молекул; в) если среднюю кинетическую энергию молекул увеличить в 3 раза при неиз¬
менной концентрации молекул; г) если среднюю кинетическую энергию молекул уве¬
личить в 4 раза, а концентрацию молекул уменьшить в 2 раза; д) если концентрацию
молекул газа увеличить в 2 раза, а среднеквадратичную скорость уменьшить в 4 раза?
401. Чему равно давление газа плотностью 1,2 кг/м3, если среднеквадратичная скорость
его молекул равна 600 м/с?
402. Как изменится кинетическая энергия поступательного движения молекул и средне¬
квадратичная скорость их движения, если газ нагреть от 27 °С до 627 °С?
Ро +
0
V
V
Рис. 99
Рис. 100
Рис. 101
Рис. 102
69

403. Сколько молекул газа содержится в сосуде объёмом 2 л при нормальном атмосфер¬
ном давлении, если средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул
равна 1,5 • 10”19 Дж?
Совет. Воспользуйтесь формулой, связывающей давление газа с его концентрацией и средней
кинетической энергией поступательного движения молекул.
404. При температуре 7 °С давление насыщенного водяного пара равно 1 кПа. Чему
равна плотность этого пара?
Совет. Воспользуйтесь уравнением Менделеева — Клапейрона.
405. Используя таблицу зависимости давления насыщенного водяного пара от темпера¬
туры, найдите температуру кипения воды при внешнем давлении 47,3 кПа.
С. Воспользуйтесь тем, что жидкость кипит при температуре, при которой давление её насыщенного
пара равно внешнему давлению.
406. Чему равна относительная влажность воздуха, если: а) сухой термометр психроме¬
тра показывает 25 °С, а разность показаний сухого и влажного термометров составляет
2 °С; б) влажный термометр психрометра показывает 26 °С, а разность показаний сухого
и влажного термометров составляет 4 °С; в) сухой термометр психрометра показывает
20 °С, а показания влажного термометра равны 17 °С?
Совет. Воспользуйтесь психрометрической таблицей.
407. Чему равно парциальное давление водяного пара, если при температуре 30 °С отно¬
сительная влажность воздуха составляет 40 %?
Совет. Воспользуйтесь таблицей зависимости давления насыщенного водяного пара от темпе¬
ратуры.
408. После того, как в пустой стакан, стоящий на столе в комнате, температура воздуха
в которой равна 20 °С, налили холодную воду, стенки стакана запотели. Чему может
быть равна температура воды, налитой в стакан, если относительная влажность воздуха
в комнате составляет 53 %? Примите, что изменением температуры воды за рассматрива¬
емый промежуток времени можно пренебречь.
Совет. Определите, при какой температуре водяной пар становится насыщенным.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
409. Сколько молей вещества содержится в кристалле поваренной соли кубической
формы, если плотность соли равна 2100 кг/м3, а длина ребра куба составляет 2 см?
410. Сравните число молекул, содержащихся в 28 г азота и 44 г углекислого газа. Срав¬
ните число содержащихся в этих газах атомов.
Совет. В одной молекуле азота содержится два атома, в одной молекуле углекислого газа содер¬
жится три атома.
411. В наполненном пресной водой бассейне длиной 25 м, шириной 10 м и глубиной 2 м
растворили кристаллик соли массой 0,1 г. Сколько ионов натрия окажется в стакане
воды объёмом 200 мл, которую зачерпнули из бассейна спустя длительное время?
412. Чему равна начальная температура газа данной массы, если при изобарном нагрева¬
нии на 15 °С его объём увеличился на 4 %?
413. Газ данной массы, находящийся в сосуде под поршнем, сначала изотермически сжи¬
мают, а затем изобарно расширяют до первоначального объёма. Начертите в тетради гра¬
фики зависимости р(Т), V(T) и p(V) для указанных процессов.
414. Газ данной массы, находящийся в сосуде под поршнем, сначала изобарно охлаж¬
дают, затем изотермически расширяют и наконец изохорно возвращают в начальное
состояние. Начертите в тетради графики зависимости р(Т), V(T) и p{V) для указанных
процессов.
415. За время, пока пузырёк воздуха всплывает со дна озера на поверхность, его объём
увеличивается в 6 раз. Чему равна глубина озера, если давление воздуха равно нормаль¬
ному атмосферному давлению? Считайте процесс изотермическим.
70

Совет. Давление в воде равно сумме гидростатического давления и давления атмосферы.
416. Чему равна абсолютная температура данной массы газа в состоянии 2 (рис. 103),
если температура газа в состоянии 1 равна Tv в состоянии 3 она равна Т3, а состояния
2 vl 4 лежат на одной изотерме?
Совет. Докажите, что в процессе 1—2 температура повышается во столько же раз, во сколько раз
она понижается в процессе 3—4.
417. В открытом стеклянном сосуде нагрели сухой воздух до 100 °С, затем сосуд герме¬
тично закрыли и понизили температуру воздуха в нём до 20 °С. На сколько процентов
изменилось в результате давление воздуха в сосуде?
418. По графику зависимости давления данной массы газа от объёма (рис. 104) опреде¬
лите, чему равна температура газа в состоянии 2, если в состоянии 1 она равна Tv
419. Газ, находящийся в вертикальном цилиндрическом сосуде под неплотно подогнан¬
ным подвижным поршнем при температуре 46 °С, охлаждают до —7 °С. При этом объём
газа уменьшается в 3 раза по сравнению с начальным. Какая доля начальной массы газа
вытекла из сосуда? Давление газа остаётся постоянным.
420. Вертикальный закрытый цилиндрический сосуд высотой 0,8 м разделён на две
части лёгким скользящим без трения металлическим поршнем. В верхней части сосуда
находится гелий, а в нижней — азот. На какой высоте находится поршень, если массы
газов одинаковы?
Совет. То, что поршень лёгкий, означает, что его массой можно пренебречь. Металл хорошо про-
421. В вертикальном цилиндре под лёгким поршнем, находящимся на высоте 0,6 м от
дна цилиндра, содержится воздух при температуре 7 °С. Площадь поршня 100 см2, дав¬
ление над поршнем равно 150 кПа. На сколько сантиметров и в каком направлении сме¬
стится поршень по сравнению с первоначальным положением, если воздух в цилиндре
нагреть до 47 °С, а давление над поршнем увеличить на 100 кПа? Примите, что трением
можно пренебречь.
422. В открытом сосуде находится воздух. Как изменятся при увеличении его абсолют¬
ной температуры на 25 %: а) давление газа; б) концентрация молекул газа; в) средняя
кинетическая энергия поступательного движения молекул газа; г) среднеквадратичная
скорость движения молекул?
Совет. Учтите, что давление газа в открытом сосуде не изменяется.
423. В запаянном сосуде, объём которого равен 1,1 л, содержится 100 г кипятка и водя¬
ной пар при температуре 100 °С. Чему равна масса водяного пара?
Совет. Давление водяного пара при 100 °С равно нормальному атмосферному давлению. Найдите
объём, занимаемый водяным паром, и воспользуйтесь уравнением Менделеева — Клапейрона.
424. В сосуде объёмом 3 м3 содержится насыщенный водяной пар при температуре 18 °С.
Чему равно число молекул водяного пара в этом сосуде?
Совет. Воспользуйтесь таблицей зависимости давления насыщенного водяного пара от температуры
и формулой р = nkT.
водит тепло.
Р
Р
2
3
2
1
4
0
V
о
V
Рис. 103
Рис. 104
71

425. В герметично закрытом сосуде объёмом 10 л содержится насыщенный водяной пар
при температуре 80 °С. Содержимое сосуда охлаждают на 70 °С. а) Чему равно началь¬
ное давление пара? б) Чему равна начальная масса насыщенного водяного пара? в) Чему
равно конечное давление пара в сосуде? г) Чему равна конечная масса водяного пара?
д)	Чему равна масса воды в сосуде в конечном состоянии?
426. В закрытом сосуде объёмом 5 л находится воздух при температуре 40 °С и относи¬
тельной влажности 80 %. Какая масса воды образуется в сосуде, если его охладить до
20 °С?
Совет. Учтите, что водяной пар в сосуде стал насыщенным.
427. В закрытом сосуде объёмом 0,01 м3 находится сухой воздух при температуре 10 °С
и давлении 100 кПа. Чему станет равно давление в сосуде, если в него налить 10 г
воды, а сосуд нагреть до 100 °С?
Совет. Используя уравнение Менделеева — Клапейрона выясните, вся ли вода испарится. Давление
влажного воздуха равно сумме парциальных давлений сухого воздуха и водяного пара.
428. В цилиндрическом сосуде под поршнем содержится воздух при температуре 10 °С и
относительной влажности 60 %. а) Чему станет равна влажность воздуха, если воздух в
сосуде нагреть до 100 °С, а его объём уменьшить в 4 раза? б) Как изменится ответ, если
начальная температура воздуха была равна 80 °С?
Совет. Воспользуйтесь уравнением Менделеева — Клапейрона и таблицей зависимости давления
насыщенного водяного пара от температуры.
429. В сосуде под поршнем содержится водяной пар. Поршень медленно вдвигают в
сосуд, при этом температура содержимого сосуда остаётся постоянной. По графику
зависимости давления пара от его объёма (рис. 105) определите: а) температуру пара;
б) массу пара в начальном состоянии; в) массу воды в конечном состоянии.
Совет. Конденсация пара начнётся тогда, когда давление пара в сосуде станет равно давлению
насыщенного пара. Воспользуйтесь таблицей зависимости давления насыщенного водяного пара
от температуры и уравнением Менделеева — Клапейрона.
72

ТЕРМОДИНАМИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Первый закон термодинамики
Два способа
изменения
внутренней энергии
/ 
A Q
Первый закон
термодинамики
AU = Q + А
Q = AU + Аг
Какими формулами выражается количество теплоты?
430. Какое количество теплоты надо передать двум литрам воды, чтобы нагреть воду от
0 °С до температуры кипения?
431. Какое количество теплоты выделяется при сгорании 1 кг бензина?
432. Как изменяется температура газа при адиабатном сжатии и при адиабатном расши¬
рении?
Совет. Адиабатный процесс происходит без теплообмена с окружающей средой. Воспользуйтесь
первым законом термодинамики и учтите, что абсолютная температура газа пропорциональна его
внутренней энергии.
433. Попробуйте объяснить образование облаков.
434. При адиабатном расширении данной массы газа газ совершил работу, равную 200 Дж.
Чему равно изменение внутренней энергии газа?
Совет. Воспользуйтесь первым началом термодинамики и тем, что в адиабатном процессе Q = 0.
435. На рисунке 106 приведены графики зависимости р(У) для данной массы газа при изо¬
термическом и адиабатном расширении. Какой график описывает адиабатное расширение?
Совет. При адиабатном расширении температура газа уменьшается.
Следствия первого закона термодинамики
для изопроцессов и для адиабатного процесса
Изотермический процесс
436. Изменяется ли внутренняя энергия данной массы газа в изотермическом процессе?
437. Запишите первый закон термодинамики для изотермического процесса.
438. Какой знак имеет работа газа при изотермическом расширении? при изотермиче¬
ском сжатии?
439. Получает или отдаёт газ некоторое количество теплоты при изо¬
термическом расширении? изотермическом сжатии?
Изохорный процесс
440. Совершает ли газ работу при изохорном процессе?
441. Запишите первый закон термодинамики для изохорного процесса.
442. Как изменяется внутренняя энергия данной массы газа при изо¬
хорном нагревании? при изохорном охлаждении?	Рис.	106
73

443. Получает или отдаёт газ некоторое количество теплоты при изохорном нагревании?
при изохорном охлаждении?
Изобарный процесс
444. Как изменяется внутренняя энергия данной массы газа при изобарном нагревании?
при изобарном охлаждении?
445. Какой знак имеет работа газа при изобарном нагревании? при изобарном охлажде¬
нии?
446. Получает или отдаёт газ некоторое количество теплоты при изобарном нагревании?
изобарном охлаждении?
Адиабатный процесс
447. Получает или отдаёт газ некоторое количество теплоты в адиабатном процессе?
Совет. Воспользуйтесь определением адиабатного процесса.
448. Запишите первый закон термодинамики для адиабатного процесса.
449. Какой знак имеет работа газа при адиабатном расширении? при адиабатном сжа¬
тии?
450. Как изменяется внутренняя энергия данной массы газа при адиабатном расшире¬
нии? при адиабатном сжатии?
Применение первого закона термодинамики
к газовым процессам
Внутренняя энергия
одноатомного
идеального газа
U = — vRT
2
Изменение внутренней энергии
одноатомного
идеального газа
AU = ^vR/AT
&
AU = -A(pV)
Адиабатный
процесс
<? = 0
AU = -Аг
451. В металлическом баллоне, погружённом в воду с тающим льдом, содержится неон.
После того как баллон погрузили в кипяток, внутренняя энергия газа	увеличилась	на
500 Дж. а) Чему равно количество вещества в газе?	б) Чему равна масса неона?
Совет, а) Воспользуйтесь формулой для изменения внутренней энергии одноатомного газа.
452. Запишите выражение для изменения внутренней энергии данной массы одноатом¬
ного идеального газа при изобарном расширении, если начальное давление газа равно р0,
а объём газа увеличился от VQ до 3KQ.
Совет. При изобарном процессе давление газа не	изменяется, поэтому	в данном	случае
A(pV) = р0АУ = p0(3V0 - F0) = 2p0V0.
74

453. Чему равно изменение внутренней энергии 2 л аргона при изохорном охлаждении,
если начальное давление газа было в 3 раза больше нормального атмосферного давления,
а конечное — равно нормальному атмосферному давлению?
Совет. При изохорном процессе объём газа не изменяется, поэтому A(pV) = НАр. Учтите, что
аргон — одноатомный газ.
454. В вертикальном цилиндрическом сосуде под лёгким подвижным поршнем площадью
5 см2 находится криптон. Давление над поршнем равно 200 кПа. Начальный объём газа
равен 5 л. Давление над поршнем увеличили на 200 кПа и нагрели газ так, что его
объём стал равным 10 л. а) Чему равно начальное значение внутренней энергии газа?
б) Чему равно конечное значение внутренней энергии газа? в) Чему равно изменение
внутренней энергии газа при переходе из начального состояния в конечное?
3
Совет, в) Криптон — одноатомный газ. Воспользуйтесь формулой AU = — (p2V2 - PiFj).
Работа газа
Для нахождения работы газа удобнее всего использовать график зависимости давления
газа от объёма, то есть p(V). Поэтому если в условии задачи спрашивается о работе газа
и приведён график газового процесса в координатах (р, Т) или (V, Т), то первым делом
надо изобразить график этого же процесса в координатах (р, V).
455. На рисунке 107 изображён график зависимости объёма от температуры для v молей
одноатомного газа. Начальная и конечная температуры газа равны соответственно Т1 и Т,2.
а)	Выразите работу газа через величины, данные в условии, б) Выразите изменение вну¬
тренней энергии газа AU через величины, данные в условии, в) Выразите полученное
газом количество теплоты Q через величины, данные в условии.
Совет, а) По графику видно, что объём газа прямо пропорционален абсолютной температуре
газа — следовательно, это изобарный процесс. Воспользуйтесь уравнением Менделеева — Клапей-
3
рона. б) Воспользуйтесь формулой AU = — vRAT. в) Воспользуйтесь первым законом термодинамики.
456. Данную массу газа переводят из состояния 1 в состояние 2 двумя различными спо¬
собами: а и б (рис. 108). а) При каком способе работа газа больше? Во сколько раз
больше? б) При каком способе изменение внутренней энергии газа больше? Во сколько
раз больше?
Совет, а) Воспользуйтесь тем, что работа газа при расширении равна площади фигуры под графиком
p(V). б) Воспользуйтесь тем, что начальное состояние газа, как и конечное, при обоих способах
перехода одно и то же.
457. Данную массу газа переводят из состояния 1 в состояние 2 двумя различными спо¬
собами: а и б (рис. 109). При каком из этих способов перехода переданное газу количе-
гтво теплоты больше? Во сколько раз больше?
Совет. Воспользуйтесь первым законом термодинамики.
Циклические процессы
Полезная работа газа за один цикл численно равна площади фигуры, заключённой
внутри цикла в координатах (р, V). Эта фигура закрашена на рисунке 110.
И
0	7	Т2	Т
Рис. 107
Р о
к о
Рис. 108
Р
Ро
0 Fn
V
Рис. 109
Рис. 110
75

458. На рисунке 111 изображён график циклического процесса, состоящий из четырёх
этапов: а, Ъ, с, d. а) На каких этапах внутренняя энергия газа увеличивалась, а на
каких — уменьшалась? б) На каком этапе газ совершал положительную работу? в) На
каком этапе положительную работу совершали внешние силы? г) На каких этапах газ
получал некоторое количество теплоты, а на каких — отдавал? д) Выразите полезную
работу газа через приведённые на рисунке значения давления и объёма.
Совет. Этапы цикла представляют собой изохорные и изобарные процессы. Воспользуйтесь первым
законом термодинамики.
459. На рисунке 112 изображён график циклического процесса, происходящего с некото¬
рой массой одноатомного идеального газа. Одним из этапов этого процесса является изо¬
термический процесс, а другим — адиабатный, а) Какой из этапов процесса представляет
собой изотермический процесс, а какой — адиабатный? б) На каких этапах процесса
работа газа положительна, а на каких этапах работа газа отрицательна (то есть работу
совершают над газом)? в) На каких этапах процесса газ получает некоторое количество
теплоты, а на каких этапах — отдаёт?
Совет, а) Воспользуйтесь тем, что при адиабатном расширении температура газа понижается, а
при адиабатном сжатии — повышается, б) Газ совершает положительную работу при любом рас¬
ширении и отрицательную — при любом сжатии, в) Воспользуйтесь определением адиабатного
процесса и первым законом термодинамики.
460. Рассмотрим циклический процесс, происходящий с данной массой одноатомного газа
(см. рис. 112). Одним из этапов этого процесса является изотермический процесс. Обо¬
значим v количество вещества в газе, Тг, Т2 и Т3 — значения его абсолютной темпера¬
туры соответственно в состояниях 1, 2, 3. а) Есть ли среди значений Tv Т2 и Т3 оди¬
наковые? б) Выразите работу газа в изобарном процессе через величины, приведённые
в условии, в) Выразите изменение внутренней энергии газа в изобарном процессе через
величины, приведённые в условии, г) Выразите количество теплоты, полученное газом в
изобарном процессе, через величины, приведённые в условии, д) Выразите работу газа в
адиабатном процессе через величины, приведённые в условии, е) Как связаны количество
теплоты, отданное газом в изотермическом процессе, с работой внешних сил над газом?
Совет, б) Воспользуйтесь уравнением Менделеева — Клапейрона, д) Учтите, что в адиабатном
процессе Q = 0, воспользуйтесь первым законом термодинамики и выражением для изменения
внутренней энергии газа, е) Учтите, что в изотермическом процессе внутренняя энергия газа не
изменяется, и воспользуйтесь первым законом термодинамики.
Рис. 111
Рис. 112
76

Тепловые двигатели1*. Второй закон термодинамики
Тепловые двигатели
Нагреватель
Q
1 Рабочее тело
Охладитель
....... ..
Коэффициент
полезного действия
Л,
Q1
• 100 %
Qj Qj
Qi
_ Tj -T2
т.
100 %
100 %
Второй закон термодинамики
Невозможен процесс, единственным результатом которого
была бы передача некоторого количества теплоты
от холодного тела к горячему
Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя
461. За некоторое время тепловой двигатель получил от нагревателя количество теплоты,
равное 5 кДж. Чему равно количество теплоты, отданное за это же время охладителю,
если КПД теплового двигателя равен 20 %?
462. На рисунке 113 изображён график состоящего из четырёх этапов цикла для одно¬
атомного идеального газа, а) Назовите четыре этапа цикла, б) На каком этапе газ совер¬
шает положительную работу? Выразите её через р0 и VQ. в) Чему равно количество
теплоты Qv полученное газом от нагревателя за один цикл? г) Чему равна полезная
работа газа? д) Чему равен КПД данного цикла?
Совет, б) Воспользуйтесь тем, что работа газа численно равна площади фигуры под графиком зави¬
симости p(V). в) Воспользуйтесь первым законом термодинамики и выражением для внутренней
энергии одноатомного газа через его давление и объём, г) Полезная работа газа равна площади
фигуры, заключённой внутри графика цикла в координатах (р, V).
463. На рисунке 114 изображён график циклического процесса, происходящего с некото¬
рой массой одноатомного газа. Чему равен КПД цикла?
Р
2Ро
Ро
Ь
а>
< >
' с

d

F0 2V0 у
Рис. 113
-1 Охладитель теплового двигателя часто называли ранее холодильником, что приводило к недоразуме¬
ниям, потому что холодильником называют также устройство для охлаждения различных предметов
(например, продуктов). В настоящее время более точное название «охладитель» для одного из основ¬
ных элементов теплового двигателя получает всё большее распространение, что обусловлено также
единообразием терминов нагреватель и охладитель.
77

Фазовые переходы
Количество теплоты Q, необходимое для того,
чтобы полностью расплавить тело,
взятое при температуре плавления,
пропорционально массе т этого тела:
Q = 1т,
X — удельная теплота плавления вещества
Количество теплоты Q, необходимое для того,
чтобы превратить жидкость в пар
при постоянной температуре,
пропорционально массе т жидкости:
Q = Lm,
L — удельная теплота парообразования
Плавление и кристаллизация
464. Кусок льда, взятый при температуре О °С, полностью превратили в воду при той же
температуре, сообщив ему некоторое количество теплоты. До какой температуры нагре¬
ется образовавшаяся вода, если сообщить ей такое же количество теплоты?
465. На рисунке 115 приведён график зависимости температуры образца вещества массой
1 кг от переданного ему количества теплоты, а) Какова удельная теплоёмкость вещества
в твёрдом состоянии? б) Чему равна температура плавления вещества? в) Чему равна
удельная теплота плавления вещества? г) Какова удельная теплоёмкость вещества в жид¬
ком состоянии? д) Какое это вещество?
Совет, а) Воспользуйтесь тем, что для нагревания образца на 10 градусов ему надо сообщить
количество теплоты, равное 21 кДж. в) Определите по графику, какое количество теплоты надо
сообщить образцу, взятому при температуре плавления, для полного плавления образца, г) Опре¬
делите по графику количество теплоты, которое надо сообщить данному образцу для нагревания
на 50 градусов.
Парообразование и конденсация
466. Почему при испарении жидкость охлаждается?
467. Почему обжечься паром опаснее, чем кипятком?
Рис. 115
78

Уравнение теплового баланса при наличии фазовых переходов
При решении задач, в которых идёт речь о плавлении кристаллического тела, надо
помнить, что если начальная температура тела не равна температуре плавления, то
ему надо сообщить некоторое количество теплоты для того, чтобы нагреть его до этой
температуры.
468. В атмосферу Земли влетает железный метеорит, имеющий температуру -260 °С.
Вследствие сопротивления воздуха при движении сквозь атмосферу 80 % кинетиче¬
ской энергии метеорита переходит в его внутреннюю энергию. Удельная теплоёмкость
дж
железа равна 460  —, температура плавления 1540 °С, удельная теплота плавления
270 кДж/кг. а) При какой минимальной скорости входа в атмосферу метеорит нагреется
до температуры плавления? б) Какая часть массы метеорита расплавится, если при входе
в атмосферу его скорость равна 1,6 км/с?
469. В калориметр, содержащий 1,5 л воды при температуре 20 °С, кладут кусок льда
при температуре -10 °С. Чему равна начальная масса льда, если после установления
теплового равновесия в калориметре находится: а) только лёд; б) только вода; в) лёд и
вода в тепловом равновесии?
470. В калориметр, в котором находится 1 л воды при температуре 20 °С, впускают
100 г водяного пара при температуре 100 °С. Чему будет равна температура в калориме¬
тре после установления теплового равновесия?
Совет. Прежде всего надо выяснить: сконденсируется ли весь водяной пар, который впустили в
калориметр? Учтите, что после того, как водяной пар сконденсируется, образовавшаяся из него
вода должна остыть до конечной температуры, отдав некоторое количество теплоты воде, уже
содержавшейся в калориметре.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
471. По графику зависимости температуры двух тел массой по 100 г от переданного им
количества теплоты (рис. 116) определите, чему равна удельная теплоёмкость вещества,
из которого изготовлено каждое тело.
472. Какую работу совершил газ данной массы, если его внутренняя энергия уменьши¬
лась на 300 Дж и при этом газ отдал количество теплоты 300 Дж?
473. Насколько изменилась внутренняя энергия данной массы газа, если газ получил
количество теплоты, равное 300 Дж, и совершил при этом работу 200 Дж?
474. Какую работу совершила данная масса газа при ади¬
абатном расширении, если внутренняя энергия газа при
этом уменьшилась с 300 до 150 Дж?
475. Какую работу совершил газ данной массы, если его
внутренняя энергия увеличилась от 100 до 500 Дж и при
этом газу передали количество теплоты 2 кДж?
476. После того, как в некотором процессе газ данной
массы получил количество теплоты, равное 6 кДж, вну¬
тренняя энергия газа стала равной 7 кДж. Начальная
внутренняя энергия газа равна 1 кДж. Каким изопроцес¬
сом был данный процесс?
79

477. По графикам зависимости давления данной массы газа от его объёма (рис. 117,
а—в) найдите, чему равна работа газа в каждом случае.
478. Температуру пяти молей одноатомного газа, находящегося в закрытом стеклянном
сосуде, увеличили на 20 К. Какое количество теплоты получил газ?
479. Как изменилась температура пяти молей одноатомного газа, находящегося в закры¬
том металлическом сосуде, если ему передали количество теплоты, равное 5 кДж?
Совет. Металл хорошо проводит тепло.
480. На сколько процентов увеличится внутренняя энергия данной массы одноатомного
газа, если его температуру увеличить от 0 °С до 127 °С?
481. График зависимости давления данной массы газа от объёма представляет собой
отрезок прямой. Чему равна работа газа, давление которого при расширении от 3 до 6 л
уменьшилось с 300 до 100 кПа?
Совет. Изобразите график данного процесса в координатах (р, У).
482. Во сколько раз количество теплоты, полученное тепловым двигателем от нагревателя,
больше совершённой двигателем работы, если КПД теплового двигателя равен 30 % ?
483. Чему равны полезная работа, совершённая двигателем за один цикл, и КПД тепло¬
вого двигателя, если нагреватель передал рабочему телу теплового двигателя за один
цикл количество теплоты, равное 1 кДж, а рабочее тело отдало охладителю количество
теплоты, равное 650 Дж?
484. Чему равен максимально возможный КПД теплового двигателя, если температура
нагревателя теплового двигателя равна 1500 К, а температура охладителя равна 77 °С?
Может ли реальный КПД этого двигателя быть равным максимальному?
Совет. Переведите значение температуры из шкалы Цельсия в шкалу Кельвина.
485. Чему равна абсолютная температура нагревателя, если максимально возможный
КПД теплового двигателя равен 80 %, а температура охладителя 7 °С?
486. Абсолютная температура нагревателя теплового двигателя в 5 раз больше абсолют¬
ной температуры охладителя. Чему равен максимально возможный КПД этого двигателя?
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
487. Какое количество теплоты получила данная масса газа, если работа, совершённая
газом, равна 200 Дж, а полученное газом количество теплоты в 3 раза больше измене¬
ния его внутренней энергии? Чему равно изменение внутренней энергии газа?
488. Чтобы определить удельную теплоёмкость вещества, тело из этого вещества массой
0,4 кг, нагретое до температуры 100 °С, опустили в железный стакан массой 0,1 кг,
содержащий 200 мл воды при температуре 30 °С. Чему равна удельная теплоёмкость
вещества, если после установления теплового равновесия температура оказалась равной
40 °С?
а
р, МПа
2
0
Рис. 117
V, м
б
р, кПа
400
0
80

489. Объём газа массой 20 г при изобарном расширении увеличился в 4 раза, при этом
газ совершил работу 6,23 кДж. Какой это может быть газ, если его начальная темпера¬
тура равна 127 °С?
490. Начальная температура одного моля одноатомного газа равна 300 К. Насколько
изменилась внутренняя энергия газа, если состояние газа изменялось по закону
рЗу — const, а его объём увеличился в 8 раз?
Совет. Запишите систему уравнений, первое из которых справедливо только для данного процесса,
второе представляет собой уравнение Клапейрона, а третье — изменение внутренней энергии одно¬
атомного газа.
491. Какое количество теплоты получили 2 моля одноатомного газа в процессе 2—3
(рис. 118), если начальная температура газа равна 400 К?
Совет. Воспользуйтесь первым законом термодинамики для процесса 2—3. Воспользуйтесь клеточ¬
ным фоном, чтобы найти соотношения между объёмами, а также температурами газа в различных
состояниях.
492. Одноатомный газ сжимается сначала адиабатно, а затем изобарно так, что конечная
температура газа равна начальной (рис. 119). Чему равна работа внешних сил в процессе
2—3, если при адиабатном сжатии внешние силы совершили работу, равную 6 кДж?
Совет. Воспользуйтесь первым законом термодинамики и уравнением Менделеева — Клапейрона,
чтобы связать значения работы внешних сил в двух процессах.
493. В сосуде под поршнем содержится насыщенный водяной пар при температуре 80 °С.
Чему равна работа пара, если при медленном вдвигании поршня в сосуде образовался
1 г воды, а температура содержимого сосуда не изменилась?
Совет. Воспользуйтесь тем, что давление насыщенного пара остаётся постоянным, а также урав¬
нением Менделеева — Клапейрона. Учтите, что при сжатии работа газа отрицательна.
494. Какая масса керосина сжигается за один час полёта самолёта со скоростью
2000 км/ч, если сила тяги двигателя равна 90 кН, а его КПД равен 45 % ? Удельная
теплота сгорания керосина 45 МДж/кг.
Совет. Переведите значение скорости в единицы СИ.
495. По графику зависимости давления данной массы одноатомного газа от объёма
(рис. 120) определите: а) работу газа за один цикл; б) количество теплоты, которое полу¬
чил газ за один цикл; в) КПД цикла.
496. Чему равен КПД циклического процесса, происходящего с данной массой одно¬
атомного газа (рис. 121)?
497. Циклический процесс, который осуществляется с пятью молями одноатомного газа,
состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжа¬
тия. Чему равен КПД цикла, если в изохорном процессе температура газа уменьшается
на 300 К, а работа, совершённая газом в изотермическом процессе, равна 25 кДж?
Совет. Определите, в каком из процессов газ получает количество теплоты, а в каком — отдаёт.
Работа, совершённая рабочим телом за цикл, равна разности работ в изотермическом и адиабатном
процессах.
81

498. В калориметр поместили 100 г льда при температуре 0 °С, а затем впустили пар
при температуре 100 °С. Чему будет равна масса воды в калориметре, когда весь лёд
растает, а температура воды будет равна 0 °С?
Совет. Вода в калориметре образуется из имевшегося там льда и поступающего пара.
499. В калориметр, содержащий 1 кг льда, добавили 4 кг воды при температуре 20 °С.
Какой была начальная температура льда в калориметре, если после установления тепло¬
вого равновесия в калориметре оказалась только вода при температуре 0 °С?
500. Для нагревания на плите некоторой массы воды от 20 °С до температуры кипения
потребовалось 6 мин. Сколько потребуется времени, чтобы эта вода выкипела, если поте¬
рями тепла можно пренебречь?
501. В воду объёмом 1,5 л, содержащуюся в калориметре при температуре 20 °С, кладут
лёд, температура которого равна -10 °С. Теплообменом с окружающей средой и тепло¬
ёмкостью калориметра можно пренебречь. Какая температура установится в калориметре,
если масса льда равна: а) 40 кг; б) 200 г?
Совет. Выясните, каким будет агрегатное состояние вещества, содержащегося в калориметре.
502. В калориметре начали нагревать некоторую массу вещества в кристаллическом
состоянии. На рисунке 122 изображён график зависимости температуры содержимого
калориметра от времени. Чему равна удельная теплота плавления данного вещества,
дж
если его удельная теплоёмкость в жидком состоянии равна 4200 	?	Теплоёмкостью
кг ■ °С
калориметра и тепловыми потерями можно пренебречь, мощность нагревателя считайте
постоянной.
503. В калориметр налили 1 л воды при температуре 20 °С. Чему станет равна темпе¬
ратура содержимого калориметра после того, как в воду опустят 100 г мокрого снега,
содержание воды в котором (по массе) равно 60 %, и в калориметре установится тепло¬
вое равновесие? Потерями тепла можно пренебречь.
Совет. Учтите, что мокрый снег представляет собой смесь воды и льда при температуре 0 °С.
В процессе установления теплового равновесия нагреваться будет вода, которая образуется изо
льда, а также вода, содержащаяся в мокром снеге.
504. Свинцовая пуля массой 10 г, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется о стальную
плиту и отскакивает от неё со скоростью 100 м/с. Примите, что изменение внутренней
энергии пули составляет 0,6 от модуля изменения её механической энергии. Чему равна
масса расплавленного свинца? Температуру пули до удара о плиту примите равной 50 °С.
Удельная теплота плавления свинца равна 25 кДж/кг.
82

ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Электрические взаимодействия
1 1
505. При трении двух нейтральных тел некоторая часть электронов перешла с тела 1 на
тело 2. Какое из этих тел оказалось заряженным отрицательно?
506. Каков знак заряда иона, образовавшегося в результате потери атомом электрона?
507. Объясните, почему в опыте, показанном на рисунке 123, обе гильзы оказались заря¬
женными, хотя их не касались заряженными телами. Одинаковы ли по модулю заряды
гильз?
+ + +
+ + +
V
42
+ + +
+ + +
Рис. 123
83

508. На рисунке 124 схематически изображён опыт, в кото¬
ром к незаряженной металлической гильзе подносят поло¬
жительно заряженную палочку, не касаясь ею гильзы.
Используя рисунок, объясните, почему незаряженная гильза
притягивается к палочке.
509. Два небольших заряженных шарика поместили на неко¬
тором расстоянии друг от друга. Изменятся ли, и если да,
то как, силы взаимодействия шариков, если: а) знак заряда
каждого шарика изменить на противоположный, сохранив
модули зарядов; б) изменить знак заряда только одного из
шариков, сохранив модули зарядов; в) увеличить модуль
заряда каждого шарика в п раз; г) уменьшить расстояние
между шариками в п раз; д) увеличить заряд одного шарика	Рис.	124
и расстояние между шариками в п раз?
510. Небольшие шарики с положительными зарядами q и 4д закреплены на концах
пластмассового стержня длиной 15 см. По стержню может скользить третий заряжен¬
ный шарик. Трением можно пренебречь, а) Где надо поместить третий шарик, чтобы он
находился в равновесии? б) Каким должен быть знак заряда третьего шарика, чтобы его
положение равновесия было устойчивым?
Совет, а) Воспользуйтесь законом Кулона, б) Сравните силы, действующие на третий шарик со
стороны первых двух при отклонении третьего шарика вдоль стержня от положения равновесия.
511. На некотором расстоянии друг от друга поместили два одинаковых разноимённо
заряженных металлических шарика с зарядами q и —5q. Шарики привели в соприкосно¬
вение и раздвинули на прежнее расстояние. Как изменится модуль сил взаимодействия
шариков?
Совет. После соприкосновения заряды шариков станут равными. Воспользуйтесь законом сохра¬
нения электрического заряда.
Напряжённость электрического поля.
Линии напряжённости
Напряжённость поля Принцип суперпозиции полей
Е — — Е — Еi + Е2 + ...
noj
точечногс
'I
те
заряда
А
V
Поле равномерно
заряженной сферы
512.	Чему равна сила, действующая на отрицательный заряд, равный -20 нКл, в точке
пространства, в которой напряжённость электрического поля составляет 100 Н/Кл? Как
направлена эта сила, если напряжённость поля Е направлена вверх?
Совет. Воспользуйтесь формулой F = qE.
84

513. Изобразите в тетради векторы напряжённости электрического поля, созданного
отрицательным точечным зарядом в нескольких точках пространства, находящихся на
одинаковых расстояниях от данного заряда.
514. Модуль напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии 10 см
от заряда, равен 3,6 кН/Кл. а) Чему может быть равен данный заряд? б) Чему равен
модуль напряжённости поля на расстоянии 20 см от данного заряда? 30 см? 1 м?
515. Два положительных точечных заряда 1 и 2 по 1 нКл каждый расположены на рас¬
стоянии 6 см друг от друга, а) Изобразите в тетради положение этих зарядов в мас¬
штабе 1 : 1 и отметьте на рисунке точку А, находящуюся точно посередине между ними,
б) Изобразите векторы напряжённости полей Ег и Е2, созданных каждым из зарядов в
точке А. Выберите масштаб, при котором 1 см соответствует 104 Н/Кл. в) Чему равен
модуль напряжённости поля, созданного обоими зарядами в точке А?
Совет, в) Воспользуйтесь принципом суперпозиции полей и учтите направления напряжённости
поля, созданного каждым из зарядов в данной точке.
516. На рисунке 125 изображены положительные точечные заряды и точка А, которая
находится на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды, а) Перене¬
сите чертёж в тетрадь и изобразите на нём направление напряжённости поля в точке А.
б) Выразите модуль напряжённости поля, создаваемого одним из зарядов q в точке А,
через q, I и h. в) Выразите модуль напряжённости поля, создаваемого обоими зарядами в
точке А, через q, I и h.
Совет, а) Воспользуйтесь принципом суперпозиции полей, б) Воспользуйтесь выражением для
напряжённости поля точечного заряда и теоремой Пифагора, в) Воспользуйтесь подобием тре¬
угольников.
Поле равномерно заряженной сферы
517. Электрический заряд 6 нКл равномерно распределён по поверхности металлической
сферы радиусом 5 см. Чему равна по модулю напряжённость созданного этим зарядом поля:
а)	на расстоянии 3 см от центра сферы; б) на расстоянии 6 см от центра сферы?
Совет, б) Воспользуйтесь тем, что вне равномерно заряженной сферы созданное ею поле совпадает
с полем точечного заряда, равного суммарному заряду сферы и расположенного в центре сферы.
518. В центре металлической равномерно заряженной сферы радиусом 10 см с отрица¬
тельным зарядом, равным —9 нКл, помещён точечный положительный заряд 6 нКл.
Чему равна по модулю напряжённость результирующего поля: а) на расстоянии 6 см от
центра сферы; б) на расстоянии 12 см от центра сферы?
Совет, б) Учтите, что вне сферы векторы напряжённости поля, созданного точечным зарядом, и
поля, созданного равномерно заряженной сферой, направлены противоположно.
• А
h
Рис. 125
85

Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Проводники в электрическом поле
При равновесии зарядов
электрическое поле внутри
проводника равно нулю:
Е = О
Сила взаимодействия двух точечных зарядов,
погружённых в диэлектрик
519. На рисунке 126 схематически показано, что металлический шар вносят в однород¬
ное электрическое поле. В каком направлении начнут двигаться свободные электроны в
шаре — влево или вправо?
Совет. Заряд электрона отрицательный, а направление напряжённости поля совпадает с направ¬
лением силы, действующей на помещённый в доле положительный заряд.
520. Маленький шарик с зарядом 20 нКл помещают в большой аквариум с дистилли¬
рованной водой. Чему будет равна напряжённость поля на расстоянии 25 см от центра
шарика?
Совет. Воспользуйтесь выражением для напряжённости поля точечного заряда и используйте зна¬
чение диэлектрической проницаемости воды.
521. Небольшие шарики с зарядом 30 нКл каждый погружены в некоторую жидкость
и находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Какая это может быть жидкость, если
шарики отталкиваются с силами, равными 7,8 мкН?
Совет. Найдите, чему равна диэлектрическая проницаемость данной жидкости, и воспользуйтесь
справочными данными.
522. На нитях одинаковой длины I подвешены в воздухе два шарика массой т каждый.
Положительные заряды шариков равны q1 и q2 (рис. 127). Шарики находятся в равнове¬
сии. а) Почему нити отклонились от вертикали? б) На одинаковый ли угол отклоняются
обе нити от вертикали? в) Сделайте чертёж и изобразите на нём все силы, действую¬
щие на каждый шарик, г) Запишите соотношение между действующими на один шарик
силой тяжести, силой отталкивания со стороны другого шарика и углом а между нитью
и вертикалью, д) Выразите расстояние г между шариками через I и а. е) Запишите соот¬
ношение, которое связывает т, I, a, q1 и q2. ж) Какие задачи можно поставить, исполь¬
зуя это соотношение?
Е
А
Я +
Рис. 126
Рис. 127
86

Совет, б) Воспользуйтесь третьим законом Ньютона, в) На каждый шарик действуют три силы:
сила тяжести, сила натяжения нити и сила отталкивания со стороны другого шарика, г) Восполь¬
зуйтесь тем, что равнодействующая приложенных к шарику сил равна нулю, когда он находится
в равновесии.
Работа электрического поля.
Разность потенциалов (напряжение)
Разность потенциалов (напряжение) q)j - ср2 = ——
Ё
523. Положительный заряд движется вдоль линии напряжённости электрического поля,
причём направление перемещения заряда совпадает с направлением вектора напряжённо¬
сти. Каков знак работы поля по перемещению заряда? Изменится ли знак работы, если
изменить знак заряда?
524. Запишите выражения для работы поля по перемещению точечного заряда q по сто¬
ронам и диагоналям квадрата ABCD в однородном электростатическом поле (рис. 128).
Сторона квадрата равна а, модуль напряжённости поля равен Е. Сколько различных зна¬
чений работы вы получили?
Совет. Воспользуйтесь формулой F = qE и выражением для работы силы.
525. Чему равна работа поля по перемещению заряда по замкнутой траектории, состоя¬
щей из четырёх сторон квадрата?
526. На рисунке 129 изображены линии напряжённости некоторого электростатического
поля. Одинаковую ли работу совершает поле при перемещении заряда из точки 1 в
точку 2 по траекториям а и б?
Ё
—-#•
А

527. Положительный заряд перемещается в направлении линии напряжённости электро¬
статического поля. Какой знак имеет работа поля? Как изменяется потенциальная энер¬
гия заряда — увеличивается или уменьшается?
528. На рисунке 130 показаны линии напряжённости электростатического поля и отме¬
чено несколько точек. В начальный момент положительный заряд находится в точке М.
Перенесите рисунок в тетрадь и обведите красным точки, в которых потенциальная энер¬
гия заряда больше, чем в точке М, синим — точки, в которых потенциальная энергия
заряда меньше, чем в точке М, зелёным — точки, в которых потенциальная энергия
заряда равна потенциальной энергии заряда в точке М.
529. При перемещении заряда 10 нКл из точки 1 в точку 2 электростатическое поле
совершило работу 10-6 Дж. Чему равна разность потенциалов между этими точками?
530. Отрицательный заряд q = —50 нКл перемещают из точки с потенциалом 300 В в
точку с потенциалом 100 В. а) Каков знак работы поля по перемещению заряда? б) Чему
равна работа поля?
531. На рисунке 131 показаны линии напряжённости однородного электростатического
поля. Пунктирной линией обозначена плоскость, перпендикулярная этим линиям. Чему
равна разность потенциалов между любыми двумя точками, находящимися на этой пло¬
скости?
532. Является ли эквипотенциальной поверхность проводника, если заряды на нём нахо¬
дятся в равновесии? Обоснуйте ваш ответ.
Совет. Если заряды на проводнике находятся в равновесии, напряжённость электрического поля
внутри проводника равна нулю, а перенести заряд из одной точки поверхности проводника в любую
другую точку его поверхности можно по траектории, лежащей внутри проводника.
Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле
533. Электрон переместился в однородном электростатическом поле со скоростью, направ¬
ленной вдоль линий напряжённости поля, из точки с потенциалом 700 В в точку с
потенциалом 200 В. а) Увеличилась или уменьшилась скорость электрона? б) Изменилась
ли сумма потенциальной и кинетической энергий электрона? в) Чему равно изменение
потенциальной энергии электрона? г) Чему равно изменение кинетической энергии элек¬
трона? д) Какова минимальная начальная скорость электрона?
Совет, а) Учтите знак заряда электрона.
534. Заряженная частица с зарядом q и массой т влетает в однородное электростатиче¬
ское поле с начальной скоростью и0, направленной перпендикулярно линиям напряжён¬
ности поля. Модуль напряжённости равен Е. а) По какой траектории будет двигаться
частица? б) Чему будет равен модуль а ускорения частицы? в) Чему будет равен модуль
скорости частицы v через промежуток времени t?
Ё
А • В • С •
D •	М*	F •
G • Я* К•
Рис. 130	Рис.	131
88

Электроёмкость. Энергия электрического поля
Электроёмкость
Плоский конденсатор
с-ь

Энергия заряженного
_ es0S
конденсатора
d
w _ яЕ w = £- w си2
р ~ 2 Р 2 С W?~ 2
535. Чему равна электроёмкость конденсатора, если при напряжении между обкладками,
равном 200 В, заряд конденсатора равен 1 мКл?
536. Изменится ли электроёмкость конденсатора, и если да, то как, если: а) увеличить
заряд конденсатора в 3 раза; б) уменьшить напряжение между обкладками в 10 раз?
537. Найдите, как изменится электроёмкость плоского конденсатора, если:	а) пло¬
щадь каждой обкладки увеличить в 4 раза; б) расстояние между обкладками увеличить
в 2 раза; в) заполнить всё пространство между обкладками диэлектриком с диэлектриче¬
ской проницаемостью е = 3.
538. Расстояние между обкладками плоского конденсатора равно 5 мм. Чему равен
заряд конденсатора, если его электроёмкость равна 20 пФ, а напряжённость поля между
обкладками равна 50 кВ/м?
539. Расстояние между двумя изолированными металлическими пластинами, заряды
которых равны по модулю и имеют противоположные знаки, увеличили в 4 раза. При
этом расстояние между пластинами осталось намного меньшим размеров пластин. Как
изменились при этом: а) напряжённость поля между пластинами; б) напряжение между
пластинами?
Совет. Данные пластины можно рассматривать как обкладки плоского конденсатора, заряд кото¬
рого не изменяется. Воспользуйтесь тем, что поле между пластинами однородно, а также тем, что
при неизменном заряде пластин напряжённость этого поля практически не зависит от расстояния
между пластинами.
Энергия электрического поля
540. Изолированные обкладки заряженного конденсатора удаляют друг от друга. Как при
этом изменяется энергия конденсатора — увеличивается или уменьшается?
Совет. Разноимённо заряженные обкладки притягиваются друг к другу.
541. Обкладки заряженного конденсатора, отключённого от источника тока, удаляют
друг от друга. Как при этом изменяются: а) заряд конденсатора; б) электроёмкость кон¬
денсатора; в) напряжение между обкладками; г) энергия конденсатора?
542. Обкладки конденсатора, соединённые с полюсами источника постоянного напряже¬
ния, приближают друг к другу. Как при этом изменяются: а) напряжение между обклад¬
ками; б) электроёмкость конденсатора; в) заряд конденсатора; г) энергия конденсатора?
CU2
д)	Соответствует ли полученный вывод формуле Wp =	?
89

Движение заряженной частицы в конденсаторе
543. Частица с зарядом q и массой т влетает в заряженный плоский конденсатор в точке,
находящейся посередине между обкладками (рис. 132). Начальная скорость частицы равна
по модулю vQ и параллельна обкладкам. Расстояние между обкладками равно d, а напря¬
жение между ними равно U. Длина каждой обкладки равна I. а) Запишите выражения
для проекций ускорения частицы на показанные оси координат, б) Запишите выражения
для проекций скорости частицы на те же оси координат, в) Запишите выражения для
зависимости координат частицы от времени, г) При какой начальной скорости частица
пролетит сквозь конденсатор, то есть не попадёт на обкладку?
Совет, г) Частица не попадёт на обкладку конденсатора, если за время пролёта сквозь весь кон¬
денсатор она сместится в направлении, перпендикулярном обкладкам, на расстояние, меньшее d/2.
I
Время пролёта частицы сквозь весь конденсатор £|1ПОЛ = —.
vo
544. Точно посередине между вертикальными обкладками конденсатора в начальный
момент удерживают в покое шарик с зарядом q и массой т (рис. 133). Напряжение между
обкладками U, а расстояние между ними d. Шарик отпускают, и через некоторый проме¬
жуток времени он сталкивается с одной из обкладок, а) По какой траектории движется
шарик между обкладками? б) Запишите выражение для проекции ускорения шарика на
показанную на рисунке ось х. в) Запишите выражение для модуля ускорения шарика,
г) Запишите выражение для времени t движения шарика до столкновения с обкладкой.
Совет, а) Учтите, что начальная скорость шарика равна нулю.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
545. На нитях одинаковой длины висят рядом, не соприкасаясь, две одинаковые гильзы:
левая гильза заряжена, а правая — не заряжена. Какая нить сильнее отклонена от вер¬
тикали?
Совет. Воспользуйтесь третьим законом Ньютона.
546. Почему незаряженная лёгкая металлическая гильза притягивается как к эбонитовой
палочке, потёртой о шерсть, так и к стеклянной палочке, потёртой о шёлк? Сделайте
схематические рисунки, на которых изображено перераспределение зарядов в гильзе.
Совет. Вспомните о перераспределении свободных электрических зарядов в гильзе под действием
заряженной палочки. Учтите знак заряда обеих палочек.
547. Когда к заряженному электрометру поднесли заряженную палочку, отклонение
стрелки электрометра уменьшилось, а) Что можно сказать о знаке зарядов палочки и
электрометра: они одинаковы или противоположны? Поясните свой ответ, б) Увеличился
или уменьшился по модулю заряд сферы электрометра при поднесении палочки? Пояс¬
ните свой ответ.
+ + + + 4~ + - 4~ ~4~
Vn
■'о
х
т
—
я
т
—
+
-
+
-
+
-
+
У
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Рис. 132
Рис. 133
90

Совет, а) Если отклонение стрелки уменьшилось, то уменьшился заряд на стержне и стрелке.
Значит, часть заряда перетекла на сферу электрометра вследствие притяжения к палочке.
548. Каплю, имеющую заряд -8е, освещают ультрафиолетовыми лучами. Каким стал
заряд капли, когда она потеряла: а) три электрона; б) восемь электронов; в) одиннадцать
электронов?
549. Чему равен модуль каждого из двух одинаковых точечных зарядов, взаимодейству¬
ющих в вакууме с силами 6 мН, если расстояние между ними 0,5 м?
550. Чему равен модуль напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом 2 мкКл,
на расстоянии 1 м от этого заряда? С какой по модулю силой это поле будет действо¬
вать на заряд 5 нКл, если заряды находятся на указанном расстоянии друг от друга?
551. Перенесите рисунки 134, а—г в тетрадь и укажите на них, как направлен вектор
напряжённости Е электрического поля, созданного двумя равными по модулю зарядами
в точке О, равноудалённой от зарядов (рис. 134, а—г).
Совет. Воспользуйтесь принципом суперпозиции полей.
552. Каждый из четырёх одинаковых зарядов, расположенных в вершинах квадрата, соз¬
даёт в точке А электрическое поле, модуль напряжённости которого равен Е (рис. 135,
а, б). Чему равен в каждом случае модуль напряжённости поля в точке А?
Совет. Воспользуйтесь принципом суперпозиции полей.
553. Какое ускорение сообщает электрону электрическое поле, напряжённость которого
равна 2,7 кН/Кл?
554. В однородном электрическом поле, модуль напряжённости которого равен Е, заря¬
женная пылинка массой т движется с ускорением, равным по модулю а. С каким по
модулю ускорением будет двигаться пылинка массой 2т в поле напряжённостью Е/3,
если заряды обеих пылинок одинаковы? Примите, что силой тяжести можно пренебречь.
555. Неподвижные точечные заряды — q и -3q расположены в точках А и С, причём
АВ = ВС (рис. 136). Каким зарядом надо заменить заряд —д, чтобы: а) напряжённость
поля в точке В стала равной нулю; б) модуль напряжённости поля в точке В стал в 2
раза больше по сравнению с начальным; в) модуль напряжённости поля в точке В стал
в 2 раза меньше по сравнению с начальным?
Совет, б) Задача имеет два решения, в) Задача имеет два решения.
aS	6	Ф	вФ	г	Ф
О
о
О
о
ф	ф	ф	ф
Рис. 134
a q
б -<7
q	-q
Рис. 135
А
~Ч
В
Рис. 136
С
-3 q
91

556. К состоящему из двух частей А и В незаряженному телу поднесли положительно
заряженную палочку, как показано на рисунке 137. Части тела развели в стороны и
после этого убрали палочку, а) Будут ли заряжены части, и если будут, то как, если
тело изготовлено из проводника? б) Будут ли заряжены части, и если будут, то как,
если тело изготовлено из диэлектрика? в) Как изменятся ответы, если палочка будет
заряжена отрицательно?
557. Как изменятся силы взаимодействия двух точечных зарядов после того, как их из
воздуха перенесут в керосин, не изменяя расстояния между зарядами?
558. Чему равна работа по перемещению заряда 10 мкКл в однородном электростати¬
ческом поле напряжённостью 2 кВ/м на расстояние 10 см, если: а) заряд перемещают
вдоль линий напряжённости поля; б) заряд перемещают перпендикулярно линиям напря¬
жённости поля?
Совет. Воспользуйтесь формулой для работы А = Fscosa, где a — угол между направлением силы
и направлением перемещения.
559. Сравните значения работы по перемещению протона из точки А в точки В, С, D в
электростатическом поле, линии напряжённости которого изображены на рисунке 138.
560. Разность потенциалов между двумя точками электростатического поля равна 100 В.
Какую работу надо совершить, чтобы переместить заряд 40 мкКл между этими точками?
561. Точечный заряд 10 нКл переместили в однородном электростатическом поле, напря¬
жённость которого 400 кВ/м. Вектор перемещения составляет угол 30° с вектором напря¬
жённости, а модуль перемещения равен 0,2 м. а) Чему равна работа поля по перемеще¬
нию заряда? б) Как при этом изменилась потенциальная энергия заряда? в) Потенциал
какой точки выше — начальной или конечной? Насколько выше?
562. На какой конденсатор надо подать большее напряжение: на конденсатор электроём¬
костью 200 пФ или на конденсатор электроёмкостью 600 пФ, чтобы заряды конденсато¬
ров стали равными? Во сколько раз большее?
Совет. Воспользуйтесь выражением для электроёмкости.
563. Конденсатор зарядили до напряжения 400 В и отключили от источника напряже¬
ния. Чему будет равно напряжение на обкладках конденсатора, если после этого расстоя¬
ние между пластинами увеличить с 0,1 мм до 0,5 мм?
Совет. Учтите, что заряд конденсатора, отключённого от источника напряжения, не изменяется.
564. Какая энергия выделится, если соединить проводником пластины конденсатора элек¬
троёмкостью 1 мкФ, заряженного до напряжения 100 В?
565. Заряд плоского воздушного конденсатора увеличили в 3 раза, а пространство между
пластинами заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 6. Уве¬
личилась или уменьшилась энергия электрического поля конденсатора? Во сколько раз?
Ё
Рис. 137	Рис.	138
92

566. Конденсатор отключают от источника тока, а затем удаляют заполнявший конденса¬
тор диэлектрик и увеличивают расстояние между пластинами в 2 раза. При этом энер¬
гия конденсатора увеличилась в 12 раз. Чему равна диэлектрическая проницаемость диэ¬
лектрика?
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
567. Когда к подвешенной на лёгкой нити незаряженной алюминиевой гильзе поднесли
стеклянную палочку, потёртую о шёлк, гильза сначала притянулась к палочке, а коснув¬
шись её, оттолкнулась от палочки. Объясните наблюдаемые явления и сделайте поясни¬
тельные рисунки.
568. Между двумя металлическими пластинами подвешен шарик из фольги (рис. 139).
Что будет происходить, если сообщить пластинам разноимённые заряды и затем кос¬
нуться шариком одной из них?
569. Если расстояние между двумя точечными зарядами уменьшить на 0,5 м, то силы
взаимодействия между ними увеличатся в 2 раза. На каком расстоянии друг от друга
находятся точечные заряды первоначально?
570. Перенесите рисунок 140 в тетрадь и укажите на рисунке направление силы, дей¬
ствующей на заряд, помещённый в центр квадрата.
571. Точечный заряд -8 нКл помещают в точку А, а точечный заряд 4 нКл — в точку В
(рис. 141). В точку С помещают третий точечный заряд, равный 5 нКл. Определите
модуль и направление силы, действующей на заряд, помещённый в точку А, со стороны
других зарядов, если АВ = 0,4 м, АС = 1 м.
572. Снизу к подвешенному на нити маленькому шарику массой 2 г с зарядом, равным
по модулю 30 нКл, подносят на изолированной ручке другой шарик с зарядом, равным
по модулю 0,2 мкКл, причём расстояние между шариками составляет 6 см (рис. 142).
Найдите силу натяжения нити, если шарики заряжены: а) одноимённо; б) разноимённо.
Совет. Сделайте в тетради рисунок с указанием всех сил, действующих на шарик, подвешенный
на нити. Воспользуйтесь вторым законом Ньютона и законом Кулона.
573. Два металлических шара А и В, закреплённых на изолирующих подставках, при¬
вели в соприкосновение и сообщили им положительный заряд. Какими станут заряды
этих шаров после того, как к ним поднесут положительно заряженную палочку, как
показано на рисунке 143, затем шар А отодвинут от шара В и после этого уберут
палочку?
Совет. Учтите электризацию через влияние и перераспределение зарядов.
+
#
ч
А В
Рис. 139
С
А
Рис. 140
В
Рис. 141
Рис. 142
Рис.143
93

574. Суммарный заряд двух маленьких металлических шариков равен 6 мкКл. Во
сколько раз заряд одного шарика больше заряда другого, если они отталкиваются с
силами, равными 72 мН, когда находятся на расстоянии 1 м друг от друга?
575. Заряженные равными зарядами шарики подвешены на нитях (рис. 144), причём
силы натяжения нитей равны. Масса каждого шарика 8,1 г, длина каждой нити 0,2 м.
Чему равен заряд каждого шарика? Чему равна сила натяжения каждой нити?
Совет. Изобразите силы, действующие на каждый шарик, и воспользуйтесь законом Кулона и
вторым законом Ньютона.
576. Маленький заряженный шарик массой 0,2 г подвешен на нити в однородном элек¬
трическом поле, напряжённость которого направлена горизонтально. Чему равен заряд
шарика, если угол отклонения нити от вертикали равен 30°, а модуль напряжённости
поля равен 50 кН/Кл?
577. Капелька воды радиусом 0,01 мм, потеряв тысячу электронов, находится в равнове¬
сии в однородном электрическом поле. Чему равен модуль напряжённости этого электри¬
ческого поля и как направлен вектор напряжённости?
578. Точечные заряды 10 нКл и -10 нКл расположены в двух вершинах равностороннего
треугольника со стороной 1 м. Чему равен модуль напряжённости электрического поля в
третьей вершине треугольника?
579. Два одинаковых заряда по 100 нКл каждый расположены на концах гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами длиной 30 см и 40 см. Чему равен модуль
напряжённости электрического поля в вершине прямого угла?
580. Точечные заряды qA и qB создают в точке С электрическое поле, вектор напряжён¬
ности которого изображён на рисунке 145. Каков знак каждого заряда? Модуль какого
заряда больше и во сколько раз?
Совет. Воспользуйтесь принципом суперпозиции полей и клеточным фоном, чтобы найти направ¬
ления и сравнить модули напряжённости полей, создаваемых в точке С каждым зарядом.
581. На двух нитях равной длины, верхние концы которых закреплены в одной точке,
подвешены два положительно заряженных шарика массой т каждый. Заряды шариков
равны д1 и q2. Шарики находятся в равновесии, когда одна из нитей отклонена от верти¬
кали на угол а. а) На одинаковые ли углы отклонены нити от вертикали? б) Чему равен
модуль напряжённости электрического поля в точке, находящейся в середине отрезка, сое¬
диняющего шарики?
582. Шарик массой т, имеющий положительный заряд q, падает с высоты h на гори¬
зонтально закреплённую отрицательно заряженную пластину, создающую электрическое
поле с модулем напряжённости Е. Чему равен модуль импульса, который шарик пере¬
даст пластине в результате абсолютно упругого удара?
Совет. Воспользуйтесь вторым законом Ньютона в импульсной форме. Учтите, что в результате
абсолютно упругого удара скорость шарика изменяется только по направлению.
583. Проводящему полому шару с толстыми стенками сообщили положительный заряд.
На рисунке 146 показано сечение шара. В какой (каких) из областей А, В, С напряжён-
Е
ABC
Qa
Чв
Рис. 144
Рис. 145
Рис. 146
94

ность электрического поля будет равна нулю? Изменится ли ответ, если шару сообщить
отрицательный заряд?
584. Два одинаковых точечных заряда, находящихся в керосине, взаимодействуют с
такими же по модулю силами, что и в случае, когда эти заряды находились в воздухе
на расстоянии 20 см друг от друга. Чему равно расстояние между зарядами в керосине?
585. Чему равна диэлектрическая проницаемость жидкого диэлектрика, если заряд
8 нКл, помещённый в него, создаёт электрическое поле, напряжённость которого на рас¬
стоянии 5 см от заряда равна 4,8 кН/Кл?
586. Два одноимённо заряженных шарика соединены горизонтальной пластмассовой
пружиной. Когда шарики находятся в воздухе, длина пружины равна 18 см, а когда
шарики с пружиной погружены в керосин, длина пружины равна 16 см. Чему будет
равна длина пружины, если её отсоединить от шариков?
Совет. Воспользуйтесь законами Кулона и Гука, а также тем, что силы взаимодействия шариков
при погружении в керосин уменьшаются.
587. Проводящий шар радиусом 10 см с зарядом 6 нКл окружён сферической
диэлектрической оболочкой радиусом 20 см. Чему равна напряжённость поля в точ¬
ках А к В (рис. 147), если диэлектрическая проницаемость вещества оболочки равна 3?
Точки А та В находятся внутри диэлектрика вблизи границ соответственно с заряженным
шаром и с воздухом.
588. Пылинка массой 20 мг находится в равновесии между двумя большими горизон¬
тальными заряженными пластинами, разность потенциалов между которыми равна 50 В.
Чему равно расстояние между пластинами, если заряд пылинки равен 1 мкКл?
589. Шарик массой 10 г и зарядом 20 мкКл подвешен на нити между двумя горизон¬
тальными непроводящими заряженными пластинами (рис. 148). Чему равна сила натя¬
жения нити, если расстояние между пластинами равно 5 см, а напряжение между ними
80 В?
590. Протон переместился на 20 см в однородном электростатическом поле со скоростью,
направленной вдоль линий напряжённости поля. При этом его потенциальная энергия
уменьшилась на 2 • 10~18 Дж. а) Как при этом изменилась его кинетическая энергия?
б)	Чему равен модуль напряжённости поля? в) Изменились бы, и если да, то как, кине¬
тическая и потенциальная энергии протона, если бы он двигался в противоположную
сторону при прочих равных условиях?
591. Шарик массой 0,3 г с зарядом 6 нКл движется из состояния покоя в однородном
горизонтальном электростатическом поле так, что его траектория образует с вертикалью
угол 45°. Чему равен модуль напряжённости электростатического поля?
592. Шарик массой т с зарядом +q, подвешенный на длинной нити, находится в элек¬
тростатическом поле, модуль напряжённости которого равен Е, а вектор напряжённости
направлен вниз. Нить отклоняют на 90° от вертикали и отпускают без толчка. Чему
равен модуль силы натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия?
А• »В
Рис. 147
+ + + + + + + + -!-
Рис.
148
95

593. В пространство между обкладками плоского воздушного конденсатора влетает элек¬
трон с начальной	скоростью	5 • 107 м/с,	направленной параллельно	обкладкам, на рас¬
стоянии 5 мм от каждой из	них. Длина	каждой обкладки 10 см. а)	Какой должна быть
разность потенциалов между обкладками конденсатора, чтобы электрон не смог проле¬
теть сквозь весь конденсатор? б) На какую из обкладок попадёт электрон в этом слу¬
чае? в) На каком расстоянии от положительно заряженной обкладки будет находиться
электрон при вылете из конденсатора, если разность потенциалов между его обклад¬
ками будет равна	100 В? г)	Чему будет	равен тангенс угла между	скоростью электрона
и горизонталью в	момент его вылета из	конденсатора при разности	потенциалов между
его обкладками 100 В? д) Изменится ли потенциальная энергия электрона за время его
движения в конденсаторе? Если да, то как: увеличится или уменьшится? е) Изменится
ли кинетическая энергия электрона за время движения в конденсаторе? Если да, то как:
увеличится или уменьшится?
594. Маленький заряженный шарик массой 0,2 г с зарядом 30 нКл подвешен на нити
между вертикальными обкладками воздушного конденсатора, расстояние между которыми
5 см. Когда шарик находится в равновесии, нить отклонена на угол 30° от вертикали,
а)	Чему равна сила, действующая на шарик со стороны электрического поля? б) Чему
равен модуль напряжённости электрического поля в конденсаторе? в) Чему равно напря¬
жение на конденсаторе?
595. На точечный заряд 1 нКл, помещённый между пластинами плоского конденсатора,
со стороны электрического поля действует сила 30 мкН. Чему равна энергия электриче¬
ского поля конденсатора, если его электроёмкость 100 пФ, а расстояние между обклад¬
ками конденсатора 1 см?
96

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Закон Ома для участка цепи
Закон Ома для участка цепи
1
Сопротивление провода
Л=Рд
Последовательное соединение
1 2
Параллельное соединение
1
а b
—п 2 _
d О
1 ~ 11 ~ h R =RX + R2
U - L 4- UA
I = h +12 1 =± + ±
и = U1 = U2 R R1 R2
Закон Ома для участка цепи
596. На рисунке 149 изображены графики зависимости I(U) для двух различных про¬
водников. а) Сопротивление какого проводника больше? б) Чему равны сопротивления
проводников?
Совет, а) Сравните силу тока в проводниках при одном и том же напряжении и воспользуйтесь
законом Ома для участка цепи, б) Воспользуйтесь законом Ома для участка цепи.
597. Масса медного провода длиной 10 м равна 89 г. а) Найдите площадь поперечного
сечения провода, б) Найдите сопротивление провода.
598. На рисунке 150 приведены примеры графиков вольтамперной характеристики метал¬
лического провода и электролита (вольтамперной характеристикой называют зависимость
силы тока в проводнике от напряжения на его концах). Какой цифрой отмечен график,
который соответствует вольтамперной характеристике металлического провода?
Совет. При увеличении силы тока любой проводник нагревается, а при нагревании сопротивление
металлов увеличивается.
97

Последовательное и параллельное соединение проводников
599. Может ли сопротивление нескольких последовательно соединённых проводников
быть равным 10 Ом, если сопротивление одного из них равно 12 Ом?
600. Проводники сопротивлениями R1 = 1 Ом и R2 = 3 Ом соединены последовательно.
На участке цепи, состоящем из этих проводников, напряжение U = 40 В. а) Чему равно
ui
отношение напряжений на проводниках —— ? б) Чему равны напряжения на проводни¬
ках?	1
Совет, а) Воспользуйтесь законом Ома для участка цепи и тем, что при последовательном соеди¬
нении проводников сила тока в них одинакова.
601. Участок цепи состоит из двух последовательно соединённых проводников. Напряже¬
ние на всём участке 12 В, напряжение на первом проводнике 4 В, а сила тока во вто¬
ром проводнике 2 А. а) Каково напряжение на втором проводнике? б) Чему равна сила
тока в каждом проводнике? в) Чему равно сопротивление каждого проводника?
Совет, б) Воспользуйтесь тем, что при последовательном соединении проводников сила тока в них
одинакова.
602. Может ли сопротивление нескольких параллельно соединённых проводников быть
равным 12 Ом, если сопротивление одного из них равно 10 Ом?
603. Проводники сопротивлением R1 = 1 Ом и R2 = 3 Ом соединены параллельно. Во
всём участке цепи, состоящем из этих проводников, сила тока / = 4 А. а) Чему равно
L
отношение сил тока в проводниках —? б) Чему равна сила тока в каждом проводнике?
2
Совет, а) Воспользуйтесь законом Ома для участка цепи и тем, что при параллельном соединении
проводников напряжение на них одинаково. •
604. Сила тока в участке цепи, состоящем из двух проводников, равна 3 А. При этом
сила тока в первом проводнике равна 1 А, а напряжение на втором проводнике равно
6 В. а) Как соединены эти проводники — последовательно или параллельно? б) Чему
равна сила тока во втором проводнике? в) Чему равно сопротивление каждого провод¬
ника?
Совет, а) Если бы проводники были соединены последовательно, сила тока в каждом проводнике
была бы равна равна силе тока во всём участке цепи.
605. Когда два проводника соединили параллельно, сила тока в первом проводнике ока¬
залась равной 2 А, а во втором — 6 А. Затем эти же проводники соединили последова¬
тельно и подключили к источнику напряжения 20 В. Чему равно напряжение на каж¬
дом проводнике?
Совет. Воспользуйтесь тем, что при параллельном соединении проводников отношение сил тока в
них обратно отношению их сопротивлений, а при последовательном соединении отношение напря¬
жений на проводниках равно отношению их сопротивлений.
Работа и мощность тока
Работа тока
A =IUt
Закон Джоуля — Ленца
Q = I2Rt
Мощность тока
P=IU
98

Работа тока. Закон Джоуля — Ленца
606. Два проводника сопротивлениями Rx = 1 Ом и Д2 = 4 Ом соединены последова¬
тельно и включены в электрическую цепь. В первом проводнике за 10 мин выдели¬
лось количество теплоты Qx = 600 Дж. а) Какой формулой для количества теплоты
удобнее пользоваться для сравнения количества теплоты, выделившегося в последова¬
тельно соединённых проводниках? Обоснуйте свой ответ, б) Какое количество теплоты
выделилось за то же время во втором проводнике? в) Чему равна сила тока в каждом
проводнике?
607. Два проводника сопротивлениями = 1 Ом и R2 = 4 Ом соединены параллельно
и включены в электрическую цепь. В первом проводнике за 10 мин выделилось коли¬
чество теплоты Q1 = 600 Дж. а) Какой формулой для количества теплоты удобнее поль¬
зоваться для сравнения количества теплоты, выделившегося в параллельно соединён¬
ных проводниках? Обоснуйте свой ответ, б) Какое количество теплоты выделилось за
то же время во втором проводнике? в) Чему равно напряжение на каждом проводнике?
Совет, а) На параллельно соединённых проводниках напряжение одинаково.
608. Участок цепи состоит из двух проводников и подключён к источнику тока. За неко¬
торое время в проводниках выделилось количество теплоты Qx = 300 Дж, Q2 = 1,2 кДж.
Чему равно отношение сопротивлений проводников, если они соединены: а) параллельно;
б)	последовательно?
Мощность тока
609. Два проводника сопротивлениями Rx = 1 Ом и R2 = 4 Ом соединены последо¬
вательно и включены в электрическую цепь. В первом проводнике мощность тока
Рх = 9 Вт. а) Какой формулой для мощности тока удобнее пользоваться для сравнения
значений мощности в последовательно соединённых проводниках? Обоснуйте свой ответ,
б)	Чему равна мощность тока во втором проводнике? в) Чему равна сила тока в каждом
проводнике?
Совет, а) В последовательно соединённых проводниках силы тока одинаковы.
610. Два проводника сопротивлениями Rx = 1 Ом и R2 = 4 Ом соединены параллельно
и включены в электрическую цепь. В первом проводнике мощность тока Рх = 64 Вт.
а) Какой формулой для мощности тока удобнее пользоваться для сравнения значений
мощности в параллельно соединённых проводниках? Обоснуйте свой ответ, б) Чему равна
мощность тока во втором проводнике? в) Чему равно напряжение на каждом прово¬
днике?
Совет, а) На параллельно соединённых проводниках напряжения одинаковы.
611. На электрочайнике указано, что он рассчитан на напряжение 220 В и его мощность
равна 2 кВт. а) Чему равно сопротивление нагревательного элемента в рабочем режиме?
б) Чему равна сила тока в нагревательном элементе в рабочем режиме? в) За какое
время нагрелся бы в чайнике 1 л воды от 20 °С до кипения, если бы теплообменом с
окружающим воздухом и другими предметами можно было пренебречь?
612. Два нагревательных элемента имеют сопротивления Rx и R2. Напряжение в сети
равно U. Как надо их соединить, чтобы общая мощность тока была максимальной?
минимальной (но не равной нулю)? Запишите выражения для этих значений мощ¬
ности.
99

Закон Ома для полной цепи
Источник тока
%
Закон Ома для полной цепи
I =
R + r
Напряжение на полюсах источника тока
U = g-Ir
Сила тока при коротком замыкании
I = *
■*кз у
613. Если к источнику тока подключить резистор сопротивлением 2 Ом, то сила тока
в цепи будет равна 1,5 А, а если последовательно соединить с этим резистором второй
такой же, то сила тока в цепи станет равной 1 А. а) Чему равно внутреннее сопротивле¬
ние источника? б) Чему равна ЭДС источника?
614. Запишите соотношение между напряжением на разомкнутых полюсах источника
тока и ЭДС этого источника.
Совет. Докажите, что U = W - 1г.
615. На рисунке 151 изображён полученный из опыта график зависимости напряже¬
ния U на полюсах источника от силы тока I в цепи, а) Чему равна ЭДС данного источ¬
ника тока? б) Чему равно внутреннее сопротивление источника тока?
Совет, а) ЭДС источника тока равна напряжению на его полюсах, когда они разомкнуты. При
этом сила тока в цепи равна нулю, б) Из формулы закона Ома для полной цепи следует, что наи¬
большая сила тока достигается при сопротивлении внешней цепи, равном нулю.
616. При силе тока в цепи 2 А напряжение на полюсах источника равно 8 В, а при
силе тока 4 А напряжение на полюсах равно 4 В. а) Нанесите по полученным данным
точки в координатах (/, U). б) Используя эти точки, постройте график зависимости £/(/).
в)	Найдите ЭДС источника тока и его внутреннее сопротивление.
617. Когда полюса батарейки замыкают на амперметр, он показывает 2 А; а когда
последовательно с амперметром подключают резистор сопротивлением 4 Ом, сила тока
становится равной 1 А. а) Чему можно считать равным сопротивление внешней цепи в
первом случае? во втором случае? б) Как изменилось полное сопротивление цепи после
подключения резистора? в) Чему равно внутреннее сопротивление батарейки?
Совет, а) Если о сопротивлении амперметра в условии задачи ничего не сказано, его принимают
равным нулю, б) Обратите внимание на то, как изменилась сила тока
в цепи, и воспользуйтесь законом Ома для полной цепи, в) Составьте U, В
систему уравнений, выражающих закон Ома для полной цепи при корот¬
ком замыкании батарейки и при подключении к ней резистора.	5
618. ЭДС источника тока равна 12 В, а его внутреннее сопротив¬
ление равно 2 Ом. а) При каком значении сопротивления внеш¬
ней цепи КПД источника тока равен 50 % ? 80 % ? 99 % ? б) Чему
равны соответствующие значения силы тока? в) Имеет ли смысл
приближать КПД источника тока к 100 %, изменяя сопротивление
внешней цепи?	q
Совет, в) Исследуйте, при каком сопротивлении внешней цепи КПД
источника тока приближается к 100 %.	Рис. 151
100

Дополнительные примеры расчёта электрических цепей
Соединение проводников, при котором часть проводников соединена друг с другом после¬
довательно, а часть — параллельно, называют смешанным.
Для расчёта сопротивления участка цепи при смешанном соединении часто используют
метод эквивалентных схем. Он состоит в том, что данную схему преобразуют в более
простую, но имеющую такое же сопротивление.
619. Рассмотрите схему участка цепи, изображённую на рисунке 152. Сопротивления
резисторов (в омах) равны номерам резисторов (например, сопротивление резистора 3
равно 3 Ом), а) Какие пары резисторов можно заменить одним резистором? Каким
должно быть сопротивление этого резистора, чтобы сопротивление участка цепи не изме¬
нилось? Начертите соответствующую эквивалентную схему, б) Какие следующие ана¬
логичные упрощения схемы можно сделать, не изменяя сопротивления участка цепи?
в)	Чему равно общее сопротивление R данного участка цепи?
620. На рисунке 153 изображена схема участка электрической цепи. Сопротивление каж¬
дого резистора 1 Ом. а) Используя метод эквивалентных схем, начертите схемы последо¬
вательного упрощения данной схемы, содержащие меньше резисторов, б) Найдите общее
сопротивление R участка цепи.
Использование точек с равным потенциалом
621. На рисунке 154 изображена схема участка электрической цепи. Сопротивления рези¬
сторов (в омах) равны номерам резисторов, а) Для каких пар точек разность потенциа¬
лов равна нулю? б) Перечертите схему данного участка цепи, объединив в одну точку те
точки, разность потенциалов между которыми равна нулю, в) Чему равно общее сопро¬
тивление R данного участка цепи?
Совет, в) Воспользуйтесь формулой для параллельного соединения проводников.
622. На рисунке 155 изображена схема участка электрической цепи. Сопротивления рези¬
сторов (в омах) равны номерам резисторов, а) Для какой пары (или каких пар) точек
разность потенциалов равна нулю? б) Перечертите схему данного участка цепи, объеди¬
нив в одну точку точки, разность потенциалов между которыми равна нулю, в) Чему
равно общее сопротивление R данного участка цепи?
Рис. 152	Рис.	153
Рис. 154
Рис. 155
101

623. На рисунке 156 изображена схема электрической цепи. Выразите мощность тока во
внешней цепи через W, г и R.
Совет. Воспользуйтесь выражениями для мощности тока и законом Ома для полной цепи.
624. Выразите выделяемую во внешней цепи мощность Р через силу тока I в цепи, ЭДС
источника I? и его внутреннее сопротивление г.
Совет. Воспользуйтесь формулой Р = UI и законом Ома для полной цепи.
625. Начертите график зависимости мощности тока во внешней цепи от силы тока Р(1)
для схемы, изображённой на рисунке 156. а) Используя этот график, найдите выраже¬
ние для силы тока, при котором функция Р(1) достигает максимума, б) При каком соот¬
ношении между Лиг сила тока максимальна?
Совет, б) Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи.
626. Для данного источника тока мощность тока во внешней цепи максимальна, если
сопротивление внешней цепи равно 2 Ом. Чему равен КПД этого же источника тока,
если внешнее сопротивление равно 8 Ом?
Совет. Можно воспользоваться результатом предыдущей задачи.
Конденсаторы в цепи постоянного тока
627. Может ли через конденсатор течь постоянный электрический ток? Обоснуйте свой
ответ.
628. На рисунке 157 показана схема электрической цепи. ЭДС источника тока 8? = 12 В,
его внутреннее сопротивление г = 2 Ом, сопротивление резистора R = 1 Ом, электро¬
ёмкость конденсатора С = 2 мкФ. а) Чему равно напряжение между точками А и Б?
б)	Чему равно напряжение между точками В и Б? в) Чему равно напряжение между
точками А и D1 г) Чему равен заряд конденсатора?
Совет, а) Напряжение между полюсами разомкнутого источника равно его ЭДС. б) Учтите, что
сила тока в цепи равна нулю, и воспользуйтесь законом Ома для участка цепи, в) Воспользуйтесь
тем, что напряжение между полюсами разомкнутого источника равно его ЭДС, а также тем, что
напряжение между точками В и D равно нулю, г) Воспользуйтесь соотношением между электро¬
ёмкостью конденсатора, зарядом конденсатора и напряжением на нём.
629. На рисунке 158 изображена схема электрической цепи, в которой З5 = 24 В,
г = 2 Ом, R = 10 Ом, С = 4 нФ. а) Чему равно напряжение U между полюсами источ¬
ника? б) Чему равен заряд q конденсатора?
Совет, а) Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи и соотношением U = IR. б) Напряжение
на конденсаторе равно в данном случае напряжению между полюсами источника.
630. На рисунке 159 изображена схема электрической цепи, в которой I = 6 В, г = 1 Ом,
R1 = 3 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 8 Ом, С = 8 мкФ. а) Перечертите схему в тетрадь и обведите
те элементы цепи, через которые будет течь ток. б) Чему равно сопротивление внешней
цепи Б? в) Чему равно полное сопротивление цепи? г) Чему равна сила тока в рези¬
сторе 3? д) Чему равно напряжение между точками А и D1 е) Чему равно напряже¬
ние на конденсаторе? ж) Чему равен заряд конденсатора? з) Каков знак заряда обкладки
конденсатора, соединённой с резистором 21
Рис. 156	Рис.	157	Рис.	158	Рис.	159
102

Совет, в) Полное сопротивление цепи равно сумме сопротивления внешней цепи и внутреннего
сопротивления источника тока, г) Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи и учтите, что ток
будет течь только через резисторы 1 и 3. д) Напряжение между точками А и D равно напряже¬
нию на резисторе 3. Воспользуйтесь законом Ома для участка цепи, е) Учтите, что напряжение
на резисторе 2 равно нулю, потому что через него не течёт ток.
Электрический ток в полупроводниках
В полупроводниках п-типа основные носители заряда —
электроны.
В полупроводниках p-типа основные носители заряда —
дырки.
-ей-
Полупроводниковый диод
Ток идёт
-и-
Ток не идёт
631. Совпадает ли направление электрического тока, обусловленное движением электро¬
нов, с направлением электрического тока, обусловленного движением дырок?
Совет. Учтите, что электроны и дырки будут двигаться в противоположные стороны.
632. Используя таблицу Менделеева, укажите, атомы каких химических элементов можно
добавить в кристалл кремния, чтобы получить полупроводник: а) га-типа; б) р-типа?
Предлагаемые элементы для примесей: индий, сурьма, фосфор, скандий, галлий.
На рисунке 160 показана простейшая электрическая схема с прямым подключением
диода, когда ток идёт через диод, а на рисунке 161 -— с обратным подключением,
когда ток не идёт через диод. Обратите внимание на то, как обозначают диоды на
электрических схемах: стрелка-треугольник показывает направление тока через диод
при прямом подключении.
Ток идёт
Ток не идёт
Рис. 160
Рис. 161
633.	К клеммам А и В (рис. 162) подключают источник тока с ЭДС,
равной 12 В, и внутренним сопротивлением 2 Ом. Сопротивления
резисторов Rl = 2 Ом, R2 = 4 Ом. а) Чему равно полное сопротив¬
ление цепи, если положительный полюс источника тока подключён
к клемме А? б) Чему равны при этом мощность тока в резисторе и
КПД источника тока? в) Чему равны мощность тока в резисторе и
КПД источника тока, если положительный полюс источника тока под¬
ключён к клемме В?
Совет, а) Определите, через какой резистор идёт ток.
<■
■£>
Ri
—о о—
А В
R0
Рис. 162
103

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ1)
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
634. Чему равна сила тока в проводнике, если через его поперечное сечение за 7 мин
проходит 4-Ю20 электронов?
635. Изменится ли, и если изменится, то как, сила тока, протекающего через алюмини¬
евый провод при постоянной	температуре,	если: а)	длину	провода	уменьшить	в	2	раза, а
напряжение на его концах увеличить в	2	раза; б)	длину	провода	уменьшить	в	1,5	раза,
а напряжение на его концах	уменьшить	в	3 раза;	в) длину провода уменьшить	в	2	раза,
а напряжение на его концах	уменьшить	в	2 раза?
636. Обмотка реостата изготовлена из никелиновой проволоки длиной 25 м и площадью
поперечного сечения 1 мм2. Чему равна сила тока в реостате, если напряжение на его
зажимах равно 42 В?
637. Чему равна сила тока в гирлянде, состоящей из 20 одинаковых соединённых парал¬
лельно лампочек сопротивлением 1,1 кОм каждая, если гирлянда подключена к источ¬
нику напряжения 220 В?
638. Начертите схемы всех возможных соединений трёх резисторов сопротивлением
30 Ом каждый и найдите сопротивление для каждой схемы.
639. Сопротивления резисторов, изображённых на рисунке 163, равны R1 = 8 Ом,
R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом. Напряжение между точками а и Ъ равно 4 В. Чему равно
напряжение на втором и третьем резисторах?
640. Сопротивления резисторов, изображённых на рисунке 164, равны Rt = 12 Ом,
R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом. Сила тока в первом резисторе равна 5 А. Чему равно напряже¬
ние на каждом из резисторов и напряжение на концах участка цепи?
Совет. Определите тип соединения резисторов.
641. На рисунке 165 изображены графики зависимости сопротивления от длины для двух
проводов, изготовленных из одинакового материала. Диаметр какого провода больше? Во
сколько раз?
642. Чему равна длина медной проволоки массой 300 г, если сопротивление проволоки
равно 57 Ом?
643. Напряжение на концах стальной спирали увеличили в 2 раза. Можно ли утверж¬
дать, что сила тока в спирали увеличилась при этом тоже в 2 раза? Обоснуйте свой
ответ.
Совет. Учтите зависимость сопротивления металлического проводника от температуры.
Рис. 163
Рис. 164
!) При решении задач этого раздела примите, что если иное не оговорено в условии, то сопротивлением
диода при его прямом подключении можно пренебречь, а его сопротивление при обратном подклю¬
чении можно считать бесконечно большим.
104

644.	Какую работу совершает ток при прохождении через резистор в течение 10 мин,
если напряжение на резисторе 20 В, а сила тока в нём 5 А?
645. Чему равен заряд, который проходит через резистор сопротивлением 20 Ом за
10 мин, если за это время в нём выделяется количество теплоты, равное 120 Дж?
Совет. Воспользуйтесь законом Джоуля — Ленца и тем, что сила тока I = у.
646. Проводники сопротивлениями 300 Ом и 100 Ом соединены последовательно и под¬
ключены к источнику постоянного напряжения. В первом проводнике за некоторое время
выделилось количество теплоты, равное 21 кДж. Какое количество теплоты выделится во
втором проводнике за это же время?
Совет. Для сравнения количества теплоты, выделившегося в последовательно соединённых прово¬
дниках, удобнее использовать формулу Q = I2Rt.
647. Проводники сопротивлениями 300 Ом и 100 Ом соединены параллельно и подклю¬
чены к источнику постоянного напряжения. В первом проводнике за некоторое время
выделилось количество теплоты, равное 21 кДж. Какое количество теплоты выделится во
втором проводнике за это же время?
Совет. Для сравнения количества теплоты, выделившегося в параллельно соединённых проводни-
U2
ках, удобнее использовать формулу Q = —t.
R
648. Какое количество теплоты выделяется в лампочке мощностью 100 Вт за 10 мин,
если её рабочее сопротивление равно 484 Ом?
Совет. В задаче есть лишнее данное.
649. По графику зависимости силы тока в резисторе от напряжения на нём (рис. 166)
определите: а) чему равно сопротивление резистора; б) чему равна мощность тока в рези¬
сторе, если сила тока в нём равна 6 А. Постройте в тетради график зависимости мощ¬
ности тока в резисторе от напряжения на нём.
650. При протекании заряда 2 Кл по замкнутой электрической цепи сторонними силами
была совершена работа 6 Дж. Чему равна ЭДС источника тока?
651. Резистор сопротивлением 5 Ом подключён к источнику тока с ЭДС, равной 18 В, и
внутренним сопротивлением 1 Ом. Чему равна сила тока в резисторе и напряжение на
клеммах источника?
Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи и законом Ома для участка цепи.
652. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока с ЭДС, равной 20 В, если
сила тока короткого замыкания равна 10 А?
Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи и учтите, что в
этом случае можно считать сопротивление внешней цепи R равным 0.
653. Нагреватель подключён к источнику тока с ЭДС, равной
24 В, и внутренним сопротивлением 2 Ом. Чему равно количе¬
ство теплоты, выделившееся в нагревателе за 5 мин, если сила
тока в цепи равна 2 А?
Совет. Используя закон Ома для полной цепи, найдите сопротивле¬
ние нагревателя.
654. Две параллельно соединённые лампы сопротивлениями
10 Ом и 40 Ом подключены к источнику тока с ЭДС, равной
20 В. Чему равно внутреннее сопротивление источника, если
сила тока в цепи равна 2 А?
105

655. Элемент с какой валентностью надо добавить в качестве примеси в кремний, чтобы
получить полупроводник n-типа? полупроводник ц-типа? Приведите примеры таких при¬
месей.
Совет. Воспользуйтесь таблицей Менделеева.
656. На рисунках 167, а, б изображены схемы цепей, в которые включён ц-п-переход.
На какой из схем р-п-переход изображён при прямом подключении, а на какой — при
обратном?
657. Используя вольтамперную характеристику полупроводникового диода (рис. 168),
определите, во сколько раз его сопротивление при обратном подключении больше, чем
при прямом, если модуль напряжения при прямом подключении равен 0,2 В, а при
обратном — 400 В.
Совет. Обратите внимание на различные масштабы на осях для прямого и обратного подключе¬
ния. Воспользуйтесь законом Ома для участка цепи.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
658. Перенесите рисунки 169, а—г в тетрадь. Сопротивление каждого резистора 1 Ом, а
напряжение на всей цепи 4 В. Возле каждой схемы напишите, чему равно соответству¬
ющее ей общее сопротивление. Напишите рядом с обозначением каждого резистора силу
тока в нём и напряжение на нём.
659. Чему равны сопротивления двух резисторов, если при их последовательном соедине¬
нии общее сопротивление равно 10 Ом, а при параллельном соединении — 1,6 Ом?
Совет. Составьте и решите систему двух уравнений с двумя неизвестными.
660. Резистор сопротивлением 4 Ом подключают к источнику постоянного напряжения
один раз последовательно с резистором неизвестного сопротивления, а другой раз —
параллельно с ним. Сила тока в одном из опытов в 6,25 раза больше, чем в другом.
При каком соединении резисторов сила тока в цепи больше? Чему равно сопротивление
второго резистора?
Совет. В этой задаче больше одного ответа.
661. Чему равна напряжённость электрического поля в прямолинейном алюминиевом
проводе площадью поперечного сечения 1,4 мм2, если сила тока в нём равна 2 А? Элек¬
трическое поле внутри проводника считайте однородным.
Г Р П
— -1
+
I— п
Рис. 167
I, мА
1
90-
1
- 1
„
-400 о
1 1 1
• L — 1...
-2
Рис.
0,2
168
U, В
4ZZH
-cz> —
D-C
D—C
— HZZh
Рис. 169
106

Совет. Воспользуйтесь соотношением, связывающим напряжение на концах участка цепи и напря¬
жённость однородного электрического поля на этом участке, законом Ома для участка цепи и
выражением для сопротивления металлического проводника.
662. Электроплита, рассчитанная на напряжение 220 В, содержит два нагревательных
элемента сопротивлением 100 Ом каждый. С помощью переключателя можно включать
как один, так и оба нагревательных элемента. Чему равна мощность электроплиты в
случае, если: а) включён один нагревательный элемент; б) последовательно включены два
нагревательных элемента; в) параллельно включены два нагревательных элемента?
663. Электронагревателем, включённым в сеть с напряжением 220 В, можно нагреть 4 л
воды на 40 °С за 10 мин. Нагревательный элемент изготовлен из никелиновой проволоки
длиной 36 м и площадью поперечного сечения 0,5 мм2. Чему равен КПД нагревателя?
664. Четыре одинаковых резистора соединены так, как показано на рисунке 170, и под¬
ключены к источнику постоянного напряжения. Зависимостью сопротивления резистора
от температуры можно пренебречь, а) На каком из резисторов (или на каких резисто¬
рах) напряжение наибольшее? наименьшее? б) В каком из резисторов (или в каких рези¬
сторах) сила тока наибольшая? наименьшая? в) В каком из резисторов (или в каких
резисторах) мощность тока наибольшая? наименьшая? г) Как изменится мощность тока
в каждом из резисторов, если заменить резистор 1 соединительным проводом с пренебре¬
жимо малым сопротивлением? д) Как изменится мощность тока в каждом из резисторов,
если убрать из цепи резистор 1, оставив на его месте разрыв?
665. На рисунке 171 изображена схема участка электрической цепи. Чему равно отно-
шение количеств теплоты —-, выделившихся за одинаковое время на резисторах 2 и 3,
Яз
если сопротивления В1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, В3 = 3 Ом, В4 = 5 Ом?
666. На сколько процентов увеличится мощность тока в проводе, если уменьшить длину
провода на 25 % при том же напряжении на концах провода?
Совет. При постоянном напряжении выделяемая мощность обратно пропорциональна сопротивле¬
нию резистора.
667. Суммарная мощность тока в двух последовательно соединённых резисторах, подклю¬
чённых к источнику тока с напряжением 100 В, равна 40 Вт. Если эти же два рези¬
стора соединить параллельно и подключить к тому же источнику, суммарная мощность
тока в них будет равна 250 Вт. Чему равны сопротивления резисторов?
Совет. Запишите выражения для мощности тока при последовательном и параллельном соединениях
резисторов. Решите систему двух уравнений с двумя неизвестными — сопротивлениями резисторов.
668. В приборе для нагревания воды есть два нагревательных элемента. Если вклю¬
чить только первый элемент, вода закипит через 20 мин, а если только второй — через
30 мин. Через сколько времени закипит вода, если подключить оба элемента последо¬
вательно? параллельно? Считайте, что тепловыми потерями можно пренебречь. Масса и
начальная температура воды во всех случаях одинаковы.
Совет. Продолжительность нагревания воды до закипания обратно пропорциональна мощности тока.
Рис. 170
Рис. 171
107

669. Электрическая цепь состоит из источника тока, реостата и подключённого к нему
вольтметра. При первом положении ползунка реостата сила тока в цепи равна 0,4 А, а
при втором положении ползунка напряжение на реостате равно 1,6 В. ЭДС источника
тока 2,4 В, его внутреннее сопротивление равно 4 Ом. При каком положении ползунка
сопротивление реостата было больше? Насколько больше?
670. Чему равна ЭДС источника тока и его внутреннее сопротивление, если при увеличе¬
нии сопротивления подключённого к нему реостата от 4 Ом до 9,5 Ом сила тока в цепи
уменьшается от 8 А до 3,6 А?
671. Когда к источнику тока с ЭДС 16 В подключают резистор сопротивлением 24 Ом,
мощность тока в резисторе равна 6 Вт. Чему будет равна сила тока короткого замыка¬
ния источника тока?
Совет. Найдите внутреннее сопротивление источника тока.
672. При подключении к источнику тока только первого резистора сила тока равна
5 А, а мощность тока в резисторе равна 30 Вт. При подключении к тому же источ¬
нику только второго резистора сила тока в резисторе равна 10 А, а мощность тока равна
40 Вт. Чему равна сила тока короткого замыкания для этого источника?
673. Если подключить к источнику тока резистор сопротивлением 12 Ом, КПД источ¬
ника будет равен 60 %. Чему будет равен КПД этого источника, если последовательно с
первым резистором подключить второй сопротивлением 60 Ом?
674. На рисунке 172 изображена схема участка электрической цепи. Сопротивление каж¬
дого резистора 6 Ом. Что покажет амперметр, если на концы данного участка подать
напряжение 18 В?
Совет. Используя метод эквивалентных схем, начертите схемы последовательного упрощения дан¬
ной схемы, содержащие меньше резисторов.
675. Напряжение на концах участка цепи, изображённой на рисунке 173, равно 36 В.
Чему равна сила тока в каждом резисторе, если R4 = R2 = R5 = R6 = 3 Ом, i?3 = 20 Ом,
R4 = 24 Ом?
Совет. Воспользуйтесь методом эквивалентных схем.
676. Амперметр, включённый в цепь, схема которой изображена на рисунке 174, пока¬
зывает силу тока 3 А. Чему равно напряжение на концах участка цепи, если сопротив¬
ления резисторов R4 = R2 = 4 Ом, R3 = i?4 = R6 = R6 = 2 Ом?
Совет. Воспользуйтесь методом эквивалентных схем.
2 1
Рис. 172
Рис. 173
а
Ка>
Рис. 174
108

677. Чему равна сила тока в цепи, если ЭДС источника тока 36 В, его внутреннее
сопротивление 1 Ом, а сопротивления резисторов Ях = 6 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 12 Ом,
Я4 = 24 Ом (рис. 175)?
Совет. Перечертите схему данного участка цепи, объединив в одну точку точки, разность потен¬
циалов между которыми равна нулю.
678. В цепи, схема которой изображена на рисунке 176, ЭДС источника 30 В, его
внутреннее сопротивление 2 Ом, а сопротивления резисторов Я4 = 5 Ом, R2 = 7 Ом,
R3 = 10 Ом, R4 = 14 Ом, Я5 = 2 Ом. Будет ли течь ток через резистор Я5? Чему равна
сила тока в резисторе Я4?
Совет. Докажите, что через резистор Л5 ток идти не будет. Отсюда будет следовать, что этот рези¬
стор можно удалить, не изменив общего сопротивления цепи.
679. К источнику тока с внутренним сопротивлением 2 Ом подключён реостат, сопротив¬
ление которого можно изменять в пределах от 1 до 5 Ом. Чему равна ЭДС источника,
если максимальная мощность тока при этом равна 4,5 Вт?
680. Напряжение на концах участка цепи, изображённого на рисунке 177, равно 140 В.
Известно, что Сх = 2 мкФ, С2 = 5 мкФ, Ях = 10 Ом, Д2 = 20 Ом, Я3 = 40 Ом. Заряд
какого из двух конденсаторов больше? Во сколько раз больше?
Совет. Напряжение на конденсаторе Сх равно сумме напряжений на резисторах Ri и R2, а напря¬
жение на конденсаторе С2 равно сумме напряжений на резисторах R2 и Rs.
681. Сопротивление каждого резистора в единицах СИ в цепи, схема которой изображена
на рисунке 178, равно номеру этого резистора. ЭДС источника равна 7,5 В, сила тока в
резисторе 2 равна 0,5 А. Чему равно внутреннее сопротивление источника?
Совет. Найдите внешнее сопротивление цепи и воспользуйтесь законом Ома для полной цепи.
682. Заряд конденсатора электроёмкостью 5 мкФ, включённого в электрическую цепь
(рис. 179), равен 1 мКл. Сопротивления резисторов Я4 = 90 Ом, Д2 = 30 Ом, Я3 = 60 Ом,
Д4 = 40 Ом. Чему равна ЭДС источника, если его внутреннее сопротивление 2 Ом?
Совет. Напряжение на конденсаторе равно в данном случае напряжению между полюсами источника.
Рис. 175	Рис.	176	Рис.	177
Рис. 178	Рис.	179
109

683. Какой заряд пройдёт через ключ после его замыкания (рис. 180)? Электроёмко¬
сти конденсаторов Сг = 4 мкФ, С2 = 2 мкФ, сопротивления резисторов R1 = 0,5 Ом,
R2 = 2 Ом, напряжение на полюсах источника тока U = 10 В. Внутренним сопротивле¬
нием источника можно пренебречь.
Совет. До замыкания ключа заряды конденсаторов были одинаковыми, а после его замыкания
напряжение на каждом из конденсаторов равно напряжению на параллельно соединённом с ним
резисторе.
684. В зависимости от полярности подключения источника тока напряжением 30 В к
участку цепи, изображённому на рисунке 181, мощность тока в участке цепи равна либо
20 Вт, либо 60 Вт. Перенесите рисунок в тетрадь и укажите на нём направление тока в
резисторах в обоих случаях, а также сопротивления резисторов. Внутренним сопротивле¬
нием источника тока можно пренебречь.
685. Сопротивление каждого резистора в цепи, схема которой изображена на
рисунке 182, равно внутреннему сопротивлению источника тока г, ЭДС источника тока
равна IP. а) Перенесите схему в тетрадь и укажите на ней направление электрического
тока в каждом резисторе, б) Найдите сопротивление всей цепи, в) Найдите мощность
тока в цепи, г) Найдите КПД источника, д) Как изменятся результаты, если изменить
полярность подключения источника тока?
Сг
Рис. 181
Рис. 182
110

Э Л ЕКТРО Д И НАМ И КА
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Магнитные взаимодействия. Магнитное поле
686.	В какой паре витков с токами из изображённых на рисунках 183, а, б витки при¬
тягиваются, а в какой — отталкиваются?
б
I .... 1
I I
11 Л
I I
ФФ ФФ
Рис. 183
111

687. На каком из рисунков 184, а, б изображены катушки, токи в которых направлены
одинаково? противоположно?
688. На горизонтальном столе лежит проволочный виток. Мы смотрим на него сверху,
а) Как направлен вектор магнитной индукции поля в центре витка, если по нему течёт
ток, направленный по часовой стрелке? против часовой стрелки? б) В каком направле¬
нии движутся по витку свободные электроны (по часовой стрелке или против неё), если
магнитная индукция поля, созданного током в витке, направлена в центре витка вниз?
вверх?
Совет., б) Учтите, что заряд электрона — отрицательный, а за направление тока выбирают направ¬
ление движения положительных носителей заряда.
Мы будем использовать обозначения, показанные на рисунке 185. Слева изображены
векторы магнитной индукции, ток и сила, направленные «от нас», а справа — направ¬
ленные «к нам».
689. На рисунках 186, а, б изображены прямолинейные проводники с токами и отме¬
чены точки А и С. Перенесите рисунки в тетрадь и укажите на них направление век¬
тора магнитной индукции поля, созданного каждым из токов, в отмеченных точках.
690. На рисунках 187, а, б изображены две пары параллельных проводников с токами.
Силы тока в проводниках одинаковы, точка А находится точно посередине между про¬
водниками в одной плоскости с ними. Обозначим В модуль магнитной индукции поля,
созданного в точке А одним из проводников с током. Укажите на рисунках векторы
магнитной индукции поля, созданного в точке А обоими проводниками. Запишите, чему
равен в обоих случаях модуль вектора магнитной индукции этого поля.
Совет. Примените правило буравчика для прямолинейного проводника с током и принцип супер¬
позиции для магнитных полей.
а
Рис. 184
б
« 1 2
б 1	2
Ё X	Б 0
IX	I 0
I
•с
А»
I
F X	F	©
С •
Рис.185
Рис.186
Рис.187
112

770. На рисунке 234 изображена экспериментальная установка, с помощью кото¬
рой можно получить индукционный ток в катушке 2. На рисунке 235 изображён гра¬
фик зависимости силы тока в катушке 1 от времени. В какие промежутки времени в
катушке 2 будет течь индукционный ток?
771. Линии магнитного поля пронизывают металлическое кольцо так, как показано на
рисунке 236. Увеличивается или уменьшается модуль магнитной индукции внешнего поля,
если вследствие этого в кольце возникает индукционный ток, направление которого пока¬
зано на рисунке?
Совет. Воспользуйтесь правилом буравчика и правилом Ленца.
772. Металлический стержень скользит по горизонтальным П-образным металлическим
рельсам, находящимся в однородном магнитном поле (рис. 237, вид сверху), а) Укажите
направление силы Лоренца, действующей на свободные заряды в стержне, б) Укажите
направление индукционного тока в стержне.
Совет, б) Воспользуйтесь правилом левой руки и учтите, что электроны имеют отрицательный заряд.
773. По графику зависимости от времени магнитного потока через замкнутый контур
сопротивлением 2 Ом (рис. 238) определите: а) в каком промежутке времени модуль ЭДС
индукции максимален; б) в каком промежутке времени индукционный ток в контуре
отсутствует; в) чему равен модуль ЭДС индукции при t = 4 с; г) чему равна сила тока в
контуре при t = 4с.
Совет, а) ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, б) Индукционный ток в
замкнутом контуре возникает при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур,
г)	Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи.
774. Чему равна ЭДС индукции в катушке, содержащей 500 витков, если магнитный
поток через один виток убывает со скоростью 40 мВб/с?
Совет. Учтите, что витки в катушке соединены последовательно.
775. Самолёт, размах крыльев которого 30 м, летит со скоростью 900 км/ч в магнит¬
ном поле Земли. В той местности, где летит самолёт, горизонтальная составляющая
магнитной индукции поля Земли равна 0,03 мТл, а вертикальная составляющая равна
0,04 мТл. Чему равна максимальная ЭДС, которая может возникнуть при горизонталь¬
ном полёте самолёта?
Совет. Воспользуйтесь выражением для ЭДС индукции в движущемся проводнике. Учтите, что при
горизонтальном полёте самолёта ЭДС индукции определяется только вертикальной составляющей
магнитной индукции поля Земли.
Рис.235
Рис. 237
Ф, мВб
с
Рис. 238
129

776. На рисунке 239 изображена схема электрической цепи. Опишите, что будет проис¬
ходить с каждой лампой после замыкания ключа. Обоснуйте ваш ответ.
Совет. Вспомните, при каком подключении диода через него будет идти ток. Учтите, что в катушке
после замыкания ключа возникает ЭДС самоиндукции.
777. Сила тока в катушке с индуктивностью 6 мГн за 20 мс равномерно убывает от 4 до
1 А. Чему равна ЭДС самоиндукции?
778. Чему равна индуктивность катушки, если сила тока в ней за 0,2 с равномерно уве¬
личивается на 10 А, а ЭДС самоиндукции равна 20 В?
779. На рисунке 240 приведён график зависимости силы тока в катушке индуктивностью
0,2 Гн от времени. Чему равна ЭДС самоиндукции в катушке?
780. Чему равна энергия магнитного поля катушки с индуктивностью 0,6 Гн, если сила
тока в катушке 2 А? Как изменится энергия магнитного поля, если сила тока увели¬
чится в 2 раза?
781. При одинаковой силе тока энергия магнитного поля первой катушки в 9 раз больше
энергии магнитного поля второй катушки. Чему равно отношение индуктивностей кату¬
шек —?
^2
Совет. Воспользуйтесь выражением для энергии магнитного поля тока в катушке.
782. По графику зависимости силы тока в катушке от времени (рис. 241) определите,
в какой момент времени модуль ЭДС самоиндукции принимает наименьшее значение.
Чему он равен?
Совет. Модуль ЭДС самоиндукции пропорционален скорости изменения функции I(t).
783. По графику зависимости силы тока в катушке индуктивностью 40 мГн от времени
(рис. 242) определите: а) значение энергии магнитного поля в начальный момент; б) зна¬
чение энергии магнитного поля через 10 мс после начала наблюдения.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
784. С одинаковой высоты в вертикальном положении одновременно начинают падать
три одинаковых магнита (рис. 243). При этом магнит 2 пролетает сквозь закреплённое
+Э—<gF"
Hi
Рис.239
1
Рис. 243
130

разомкнутое металлическое кольцо, а магнит 3 — сквозь закреплённое замкнутое метал¬
лическое кольцо. Опишите особенности падения магнитов.
Совет. Воспользуйтесь правилом Ленца.
785. На рисунке 244 изображена схема электрической цепи, состоящая из гальваниче¬
ского элемента, реостата, трансформатора, ключа и амперметра. Определите направление
индукционного тока в нижней катушке трансформатора, если смотреть на неё справа: а)
при замыкании ключа; б) при размыкании ключа; в) при перемещении ползунка рео¬
стата вправо; г) при перемещении ползунка реостата влево.
786. По горизонтальным П-образным проводящим направляющим перемещают металли¬
ческий стержень (на рисунке 245 показан вид сверху). Вся система находится в маг¬
нитном поле. Как направлена действующая на стержень сила Ампера, если: а) стержень
движется вправо; б) стержень движется влево?
Совет. Воспользуйтесь правилом Ленца.
787. В длинной вертикальной медной трубе, из которой откачан	воздух,	падает	магнит.
Опишите характер движения магнита, указав, какие	физические	законы	и закономерно¬
сти вы использовали.
788. Медная рамка падает между полюсами магнита (рис. 246). а) Определите направле¬
ние вектора магнитной индукции поля, созданного индукционным током, в положениях
рамки, отмеченных цифрами 1, 2, 3. б) Определите направление индукционного тока в
нижней стороне рамки в положениях рамки, отмеченных цифрами 1, 2, 3. в) Определите
направление равнодействующей приложенных к рамке со стороны магнитного поля сил в
положениях рамки, отмеченных цифрами 1, 2, 3.
Совет. Учтите, что в положении 1 большая сила Ампера	действует на	нижнюю	сторону	рамки, а
в положении 3 — на верхнюю.
789. Замкнутый проволочный виток площадью 20 см2 расположен в однородном магнит¬
ном поле с индукцией 20 мТл, причём линии магнитной индукции перпендикулярны
плоскости витка. Какой заряд проходит по витку при выключении магнитного поля,
если сопротивление витка 2 Ом?
Совет. Воспользуйтесь тем, что Aq = Itt, законом электромагнитной индукции и законом Ома для
г «л
полной цепи, который в данном случае имеет вид It - —-.
R
790. Замкнутый проволочный прямоугольный виток площадью 2000 см2 расположен в
однородном магнитном поле так, что линии магнитной индукции перпендикулярны пло¬
скости витка. При повороте витка вокруг одной из его сторон на 90° по витку проходит
заряд, равный 80 мКл. Чему равно сопротивление витка, если модуль вектора магнитной
индукции равен 0,4 Тл?
Совет. Воспользуйтесь законом электромагнитной индукции и законом Ома для полной цепи.
1
3
ш
Рис. 244
Рис. 245
Рис. 246
131

791. Квадратная проволочная рамка со стороной 20 см и сопротивлением 0,03 Ом распо¬
ложена в однородном магнитном поле, причём плоскость рамки перпендикулярна линиям
магнитной индукции. Модуль магнитной индукции уменьшается на 0,6 Тл за каждую
секунду. Какое количество теплоты выделится в рамке за 2 с?
Совет. Воспользуйтесь законом Джоуля — Ленца, законом электромагнитной индукции, законом
Ома для полной цепи.
792. На рисунке 247, а изображён полосовой магнит, начинающий свободное падение из
состояния покоя. Когда магнит пролетает сквозь закреплённое проволочное кольцо, он
создаёт в кольце индукционный ток. На рисунке 247, б приведён график зависимости
силы индукционного тока в кольце от времени (разным знакам силы тока соответствуют
противоположные направления тока). Объясните, почему индукционный ток в кольце
изменяет направление.
Совет. Воспользуйтесь правилом Ленца.
793. На рисунке 248 изображена схема электрической цепи. Как будут изменяться показа¬
ния приборов при движении ползунка реостата вправо?
794. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равноускоренно из состояния
покоя движется проводник длиной 2 м (рис. 249). Магнитная индукция перпендику¬
лярна проводнику и скорости его движения. Чему равно ускорение проводника, если в
момент, когда проводник переместился на 4 м, ЭДС индукции на его концах равна 4 В?
795. По двум параллельным рельсам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга в
горизонтальной плоскости в однородном магнитном поле с индукцией 0,3 Тл, в противо¬
положные стороны движутся перемычки со скоростью 2 м/с каждая (рис. 250). Чему
равна сила тока в цепи, если сопротивление каждой перемычки равно 3 Ом, а сопротив¬
лением рельсов и контактов можно пренебречь?
796. Катушка с площадью поперечного сечения 6 см2 содержит 1000 витков. Когда сила
тока в катушке равна 2 А, магнитная индукция поля внутри неё равна 1 мТл. Чему
равна индуктивность катушки? Магнитное поле внутри катушки считайте однородным;
магнитные потоки, пронизывающие витки катушки — одинаковыми.
Совет. Воспользуйтесь определением индуктивности и учтите, что ЭДС индукции возникает в каж¬
дом витке катушки.
797. Параллельно соединённые проволочную катушку и резистор подключили к источ¬
нику тока через ключ. Индуктивность катушки 0,8 Гн, сопротивление резистора 4 Ом,
ЭДС источника тока 6 В, его внутреннее сопротивление 2 Ом. Чему равно количество
теплоты, которое выделится в резисторе после размыкания ключа?
£©0(3
© .. . . .
а
б
I
V © 0
©00 Э000О
©0© Э000©
1 s
Рис.249
0
t
Рис.247
Рис. 248
Рис.250
132

Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи и законом сохранения энергии. Учтите, что
при замкнутом ключе ток не течёт через резистор, поскольку сопротивление катушки по условию
намного меньше сопротивления резистора.
798. На рисунке 251 изображена схема электрической цепи. ЭДС источника тока равна
12 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом, электроёмкость конденсатора 2 мФ, индуктив¬
ность катушки 36 мГн, сопротивление лампы 5 Ом. В начальный момент ключ замкнут.
Какое количество теплоты выделится в лампе после размыкания ключа?
Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи, выражениями для энергии электрического
поля в конденсаторе и для энергии магнитного поля в катушке, а также законом сохранения
энергии. Учтите, что постоянный ток через конденсатор не идёт и что после размыкания ключа
всё количество теплоты выделится в лампочке.
799. На рисунке 252 изображена схема электрической цепи. ЭДС источника тока равна
5 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом, электроёмкость конденсатора 0,1 мкФ, сопро¬
тивление резистора 1 кОм. В начальный момент ключ замкнут. После размыкания ключа
в резисторе выделилось количество теплоты, равное 3,75 мкДж. Чему равна индуктив¬
ность катушки?
800. На рисунке 253, а изображена схема электрической цепи. В начальный момент
ключ разомкнут. График зависимости силы тока от времени после замыкания ключа
изображён на рисунке 253, б. а) Почему при замыкании ключа сила тока плавно уве¬
личивается от постоянного значения IQ до постоянного значения /1? б) Чему равна сила
тока Iv если внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь?
а
R
б
t
Рис. 251
Рис. 252
Рис.253
133

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
КОЛЕБАНИЯ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Свободные механические колебания
Свободные механические колебания
Примеры механических колебаний
fi
|S
Соотношения между периодом, частотой
и циклической частотой колебаний
1
Т
0) =
2к
со = 2jtv
Уравнение
гармонических колебаний
X = XrmxCOSC0i
График
гармонических колебаний
X
т
тах^
0
V/
t
801.	Рассмотрите рисунки 254 и 255. а) Какими буквами обозначены рисунки, изобража¬
ющие положения грузов, между которыми происходит одно полное колебание? б) Какими
буквами обозначены рисунки, изображающие положения грузов, разделённые во времени
половиной периода колебаний?
О
Рис. 254
134

в	г
Рис. 255
802. Сколько раз груз проходит через положение равновесия за один период? Примите,
что в начальный момент груз не находится в положении равновесия.
803. Какая часть периода колебаний проходит между двумя последовательными прохож¬
дениями грузом положения равновесия?
804. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 2 см. Какой путь проходит груз за
один период колебаний? За три периода колебаний?
Совет. За время одного периода колебаний груз четырежды проходит расстояние от положения
равновесия до одного из крайних положений.
805. Подвешенный на пружине груз совершает колебания с амплитудой 2 см и частотой
5 Гц. а) Чему равен период колебаний? б) Чему равен путь, который проходит груз за
1 мин? в) Сколько раз груз проходит через положение равновесия за 1 мин?
806. Уравнение гармонических колебаний в единицах СИ имеет вид х = 0,05cosl0i.
а) Чему равна амплитуда колебаний? б) Чему равна циклическая частота колебаний?
в)	Чему равна частота колебаний? г) Чему равен период колебаний? д) Чему равно сме¬
щение тела через половину периода после начального момента времени? е) Чему равно
смещение тела через четверть периода после начального момента времени?
807. На рисунке 256 изображён график гармонических колебаний, а) Перенесите рисунок
в тетрадь. Обозначьте на нём амплитуду и период колебаний, б) Отметьте красным цве¬
том любые две точки на оси времени, разделённые промежутком времени, равным поло¬
вине периода колебаний, в) Отметьте синим цветом любые две точки на оси времени,
разделённые промежутком времени, равным четверти периода колебаний, г) Обведите
красным цветом любой участок графика, соответствующий положительному значению
смещения от положения равновесия, д) Обведите синим цветом любой участок графика,
соответствующий отрицательному значению смещения от положения равновесия.
808. Чему равны амплитуда, период, частота и циклическая частота колебаний, графики
которых изображены на рисунке 257? Запишите уравнение каждого колебания в едини¬
цах СИ.
Рис. 256
3 С с
135

Динамика механических колебаний
Период колебаний
пружинного маятника
Период колебаний
математического маятника
Т = 2п, -г
[т
п
Т = 2п
^тях СОХ,
max
max
а,
'max
= со2х
max
809. Груз пружинного маятника заменили другим грузом, масса которого в 4 раза
больше. Как изменился период колебаний?
810. Пружину маятника заменили другой пружиной, жёсткость которой в 2 раза больше.
Как изменилась частота колебаний?
811. Подвешенная к пружине гиря находится в равновесии, когда удлинение пружины
равно 2,5 см. а) Чему равен период вертикальных колебаний гири? б) При какой ампли¬
туде колебаний гири пружина будет оставаться всё время растянутой?
Совет. Когда груз находится в равновесии, действующая на него со стороны пружины сила упру¬
гости уравновешивает силу тяжести.
812. Колеблющийся на нити небольшой грузик проходит положение равновесия с интер¬
валом 1 с. а) Чему равен период колебаний груза? б) Чему равна длина нити?
813. Маленький заряженный шарик с положительным зарядом q и массой т подвешен
на нити длиной I. Вся система находится в однородном электростатическом поле. Модуль
напряжённости поля Е, вектор напряжённости направлен вниз. Чему равен период Т
малых колебаний шарика?
Совет. Учтите, что на шарик, кроме силы тяжести, действует ещё направленная вертикально вниз
сила со стороны электростатического поля.
814. К потолку лифта подвешена нить длиной I, а к нити подвешен небольшой шарик.
Чему равна частота колебаний шарика, если лифт будет двигаться с ускорением, мень¬
шим по модулю, чем ускорение свободного падения, в следующих случаях: а) лифт
движется вниз со скоростью, равной по модулю V, и ускорением, равным по модулю а
и направленным вниз? б) лифт движется вниз со скоростью, равной по модулю и,
и ускорением, равным по модулю а и направленным вверх? в) лифт движется вверх со
скоростью, равной по модулю и, и ускорением, равным по модулю а и направленным
вниз? г) лифт движется вверх со скоростью, равной по модулю V, и ускорением, равным
по модулю а и направленным вверх?
Совет. Можно считать, что в ускоренно движущемся лифте во всех формулах, содержащих уско¬
рение свободного падения g, оно заменяется выражением g + а, если ускорение направлено вверх,
и выражением g - а, если ускорение направлено вниз. Направление и модуль скорости лифта
значения не имеют.
815. Амплитуда колебаний нитяного маятника равна 4 см. С какой скоростью груз про¬
ходит положение равновесия, если длина нити 70 см?
Совет. При прохождении положения равновесия модуль скорости груза принимает наибольшее
значение. Воспользуйтесь соотношением отах = (шстах.
816. Колеблющийся на горизонтальной пружине груз массой 0,5 кг проходит положение
равновесия со скоростью 2 м/с. Амплитуда колебаний хтах = 5 см. а) Какова цикличе¬
ская частота колебаний? б) Какова жёсткость пружины?
Совет, а) Воспользуйтесь соотношением пшах = сохтах.
136

Энергия механических колебаний.
Вынужденные колебания
Энергия свободных колебаний
817. На рисунке 258 изображены различные положения колеблющегося груза, а) В каких
положениях кинетическая энергия груза максимальна? минимальна? б) В каких положе¬
ниях потенциальная энергия груза максимальна? минимальна? в) Сколько раз в течение
одного периода колебаний кинетическая энергия груза достигает максимального значе¬
ния? минимального? г) Сколько раз в течение одного периода колебаний потенциальная
энергия груза достигает максимального значения? минимального?
818. На рисунке 259 изображены различные положения колеблющегося горизонтального
пружинного маятника, а) В каком положении (положениях) кинетическая энергия груза
максимальна? минимальна? б) В каких положениях потенциальная энергия деформации
пружины максимальна? минимальна? в) Сколько раз в течение одного периода коле¬
баний кинетическая энергия груза достигает максимального значения? минимального?
г)	Сколько раз в течение одного периода колебаний потенциальная энергия деформации
пружины достигает максимального значения? минимального?
819. При каком смещении пружинного маятника из положения равновесия кинетическая
энергия груза равна потенциальной энергии упругой деформации пружины? Амплитуда
колебаний равна *max-
Резонанс
820. Собственная частота колебательной системы равна 2 Гц. При каком периоде колеба¬
ний внешней силы амплитуда вынужденных колебаний наибольшая?
821. На рисунке 260 приведены графики зависимости амплитуды вынужденных колеба¬
ний от частоты для двух аналогичных колебательных систем. В какой системе трение
больше?
б	в
Рис.258
Пружина не
а деформирована
I wnmmm
б
-1
Рис.259
Рис.260
137

Колебательный контур. Переменный электрический ток
Колебательный контур
i	_	i
Е
В	В
»г ЦЁ
В
Е
Е
■7Т7
Формула Томсона Аналогия между электромагнитными
и механическими величинами
Т = 2WZC
(у «is# X
У
L ♦*•* ш
h~k
<12
kx2
2С *“*
Li2
ти2
2
2
Трансформатор
Повышающий	Понижающий
U,
mm ... . i
И
Ut ' N,
/**
.
I
С/,
С/,
Ёмкостное сопротивление Хс =
1
wC
Индуктивное сопротивление X, = coL
822. Как изменится период электромагнитных колебаний в контуре, если: а) увеличить
индуктивность катушки в 2 раза; б) увеличить электроёмкость конденсатора в 4 раза?
823. Электроёмкость конденсатора контура равна 2 мкФ, а индуктивность катушки равна
2 мГн. Чему равны период и частота электромагнитных колебаний?
824. Индуктивность катушки колебательного контура равна 2 мкГн. При какой электро¬
ёмкости конденсатора период колебаний равен 0,25 мс?
825. Заряд конденсатора колебательного контура достигает максимального значения qrmix
= 3 мкКл, а сила тока в катушке достигает максимального значения imax = 6 мА. Элек¬
троёмкость конденсатора равна 50 мкФ. а) Чему равна циклическая частота колебаний?
б)	Чему равен период колебаний? в) Чему равна индуктивность катушки?
826. В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл равномерно вращается прямоу¬
гольная проволочная рамка со сторонами 20 см и 5 см. Рамка соединена с резистором.
Общее сопротивление рамки и резистора равно 20 Ом. В начальный момент плоскость
рамки перпендикулярна вектору магнитной индукции. Частота вращения рамки 50 Гц.
Запишите формулу, выражающую зависимость силы тока в цепи от времени.
Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи. Поскольку по условию в начальный момент
магнитный поток через рамку максимален, зависимость магнитного потока через рамку от времени
выражается по закону косинуса (так как coscof = 1 при t = 0).
138

827. Зависимость напряжения в сети от времени выражается формулой и = nmax coscot.
Через какой наименьший промежуток времени после t = 0 выполняется равенство
и = U? Выразите этот промежуток времени через период колебаний напряжения Т.
Совет. Найдите, при каком наименьшем значении t справедливо равенство coscot = —L.
V 2
828. На каком из рисунков 261, а, б изображён повышающий трансформатор? Почему
диаметр провода обмотки, содержащей меньшее число витков, больше?
829. Напряжение на первичной обмотке трансформатора, содержащей 110 витков, равно
220 В. а) Что покажет вольтметр, соединённый с проводом, обвитым вокруг одной из
обмоток один раз? десять раз? б) Сколько витков во вторичной обмотке, если напряже¬
ние на ней равно 42 В?
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ1)
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
830. В таблице представлены значения координаты тела, колеблющегося вдоль оси х, в
различные моменты времени. Чему равен период колебаний?
t, с
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
х, см
0
2,8
4
2,8
0
-2,8
-4
Совет. Используя таблицу, изобразите примерный график зависимости x(t) и с его помощью най¬
дите период колебаний шарика.
831. Подвешенный к нити груз колеблется с периодом 4 с и амплитудой 2 см. В началь¬
ный момент скорость груза равна нулю. Чему равен путь, пройденный грузом за 5 с
после начального момента?
832. Зависимость от времени координаты тела, совершающего колебания вдоль оси х,
nt
выражается формулой х = 0,02sin—. Значения всех физических величин заданы в СИ.
2
Чему равны: а) амплитуда колебаний; б) циклическая частота колебаний; в) период коле¬
баний; г) частота колебаний?
Совет. Уравнение гармонических колебаний имеет вид х = xmaxsincof. Воспользуйтесь соотношени-
2п	о
ями (о = —; со = 2jrv.
Т
833. На рисунке 262 изображён график зависимости смещения от времени для тела,
совершающего гармонические колебания. Чему равны амплитуда, период и частота коле¬
баний тела? Запишите уравнение гармонических колебаний в единицах СИ.
Рис. 261
Рис. 262
О При решении задач этого раздела считайте, что потерями энергии на излучение и нагревание можно
пренебречь.
139

834. В начальный момент скорость груза пружинного маятника равна нулю. Чему равен
период колебаний маятника, если за 5 с груз проходит путь, в 5 раз больший ампли¬
туды колебаний?
835. Пружинный маятник совершает колебания с периодом 1 с. Чему будет равен период
колебаний, если массу груза увеличить в 2 раза, а пружину заменить другой, жёсткость
которой в 2 раза меньше?
Совет. Воспользуйтесь формулой периода колебаний пружинного маятника.
836. Груз какой массы надо прикрепить к пружине жёсткостью 100 Н/м, чтобы полу¬
чившийся пружинный маятник совершал колебания с частотой 2 Гц?
Совет. Воспользуйтесь формулой периода колебаний пружинного маятника и тем, что v =
837. Какова длина нити нитяного маятника, который совершал бы на Луне колебания с
периодом 5 с? Ускорение свободного падения на Луне равно 1,6 м/с2.
Совет. Воспользуйтесь выражением для периода колебаний математического маятника.
838. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид
х = 0,04cos2ni. Запишите формулы зависимости проекции скорости тела от времени и
проекции ускорения тела от времени.
Совет. Воспользуйтесь тем, что vx = х', ах = х", и формулами для производных тригонометриче¬
ских функций.
839. На рисунке 263 изображён пружинный маятник, совершающий гармонические коле¬
бания между точками А и С. Точка В соответствует положению равновесия маятника.
Как изменяются (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) кинетиче¬
ская энергия груза, модуль скорости груза и потенциальная энергия пружины: а) при
движении груза от точки В к точке С; б) при движении груза от точки В к точке А;
в)	при движении груза от точки А к точке Б?
840. Сколько раз в течение 16 с кинетическая энергия маятника достигнет наибольшего
значения, если частота колебаний равна 0,5 Гц и в начальный момент груз маятника не
находится в положении равновесия?
841. Один конец горизонтальной пружины жёсткостью 500 Н/м закреплён, а другой при¬
креплён к бруску массой 0,2 кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхно¬
сти. В начальный момент брусок сдвигают, сжимая пружину, и отпускают без толчка.
Какова величина начальной деформации пружины, если максимальная скорость бруска
при колебаниях равна 2 м/с?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
842. Увеличится или уменьшится период электромагнитных колебаний в контуре
(рис. 264), если ключ К перевести из положения 1 в положение 21 из положения 1 в
положение 31 Во сколько раз?
I
А В
Рис.263
140

843. Увеличится или уменьшится период электромагнитных колебаний в контуре
(рис. 265), если ключ К перевести из положения 1 в положение 21 из положения 1 в
положение 31 Во сколько раз?
844. Период колебаний колебательного контура равен 0,4 мкс. Чему равны частота коле¬
баний контура, циклическая частота, а также индуктивность катушки, если электроём¬
кость конденсатора 500 пФ?
Совет. Воспользуйтесь формулой Томсона и тем, что аз = 2nv.
845. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,4 мГн и конденсатора
электроёмкостью 20 нФ. Чему равно максимальное напряжение на обкладках конденса¬
тора, если максимальное значение силы тока в катушке равно 30 мА?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
846. Проволочная рамка вращается в однородном магнитном поле так, что в ней инду¬
цируется ЭДС, зависимость которой от времени в единицах СИ выражается форму¬
лой et = 80соа(500я£). Найдите значения амплитуды, циклической частоты, периода и
частоты колебаний ЭДС.
Совет. Зависимость от времени ЭДС индукции в рамке выражается формулой et = l?maxcos(0t.
847. Чему равны амплитудное и действующее значения напряжения на клеммах генера¬
тора, если оно изменяется в единицах СИ по закону и = 311sin(314£)?
Совет. Амплитудное значение напряжения связано с действующим значением формулой U = Um,Ш-.
V2
848. Напряжение на концах первичной обмотки трансформатора равно 200 В, сила тока в
ней 4 А. Чему равна сила тока во вторичной обмотке, если напряжение на её концах 50 В?
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
849. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид
х = 0,04 sin 4nt. Какой путь пройдёт точка за 1 мин?
Совет. Найдите амплитуду и период колебаний.
850. Уравнение гармонических колебаний тела в единицах СИ имеет вид х = 0,02cos0,5rc£.
Через какой наименьший промежуток времени после начального момента координата
тела будет равна -0,02 м?
Совет. За искомый промежуток времени тело переместится из одного крайнего положения в другое
крайнее положение.
851. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид
Tit
х = 0,02sin—. За какой минимальный промежуток времени после начального момента
6
точка сместится от начального положения на 1 см?
Совет. Составьте тригонометрическое уравнение для нахождения искомого промежутка времени.
852. Груз на пружине сместили от положения равновесия и отпустили без толчка. За
какую долю периода колебаний он пройдёт первую половину пути до положения равно¬
весия? вторую половину пути?
Совет. В данном случае смещение тела в начальном положении максимально, поэтому зависимость
853.	Подвешенный к пружине медный шар совершает верти¬
кальные колебания. Как изменится период колебаний, если:
а)	заменить шар другим медным шаром, радиус которого в
2 раза меньше? б) медный шар заменить алюминиевым, радиус
которого равен радиусу медного? в) данную пружину заменить
половиной такой же пружины? г) перенести начальную систему
на Луну?
Совет, в) Учтите, что жёсткость половины пружины в 2 раза больше
жёсткости целой пружины.
141

854. Частоты колебаний шарика, подвешенного на нити длиной 15 см, и груза на пру¬
жине жёсткостью 200 Н/м одинаковы. Чему равна масса груза?
Совет. Воспользуйтесь выражениями для периода колебаний математического и пружинного маят¬
ников, а также тем, что Т = —.
v
855. В таблице представлены значения координаты шарика, совершающего колебания
вдоль оси х, через равные промежутки времени. Чему равна максимальная скорость
шарика?
t, с
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
X, см
8
5,7
0
-5,7
-8
-5,7
0
5,7
Совет. Используя таблицу, изобразите примерный график зависимости x(f) и с его помощью най¬
дите период колебаний шарика, а также определите амплитуду колебаний шарика. Воспользуйтесь
тем, что утах = сохтах.
856. На горизонтальной пластине, совершающей гармонические горизонтальные коле¬
бания с периодом 0,9 с, лежит груз. Коэффициент трения между грузом и пластиной
равен 0,4. а) При каком максимальном значении ускорения пластины груз неподвижен
относительно пластины? б) При какой амплитуде колебаний пластины груз скользит по
пластине?
Совет. Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое при
решении школьных задач принимают равным силе трения скольжения.
857. Нитяной маятник длиной 1Х = 10 см совершает колебания вдоль стены, в которую
на расстоянии 12 = 6,4 см от точки подвеса вбит гвоздь (рис. 266). Чему равен период
колебаний этого маятника?
858. Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника в единицах СИ имеет
вид х = xmax coscof. Период колебаний равен 4 с. Через какой минимальный промежуток
времени после начального момента потенциальная энергия маятника вернётся к своему
начальному значению?
Совет. Потенциальная энергия маятника достигает своего максимального значения дважды за
период.
859. Уравнение гармонических колебаний горизонтального пружинного маятника в еди¬
ницах СИ имеет вид х = 0,2cos4nt. Масса груза, прикреплённого к пружине, равна
0,5 кг. а) Запишите формулы, выражающие зависимость потенциальной и кинетической
энергии колеблющейся системы от времени, б) Чему равна полная энергия колеблющейся
системы?
Совет, а) Учтите, что их = х'. б) Воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством.
860. По графику зависимости амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты
вынуждающей силы (рис. 267) определите: а) чему равна собственная частота колебаний
X
max’
Рис.266
142

маятника; б) чему равно отношение максимальной скорости маятника при частоте 0,5 Гц
к его максимальной скорости при частоте 2,5 Гц.
Совет, а) Амплитуда вынужденных колебаний максимальна, когда частота внешней силы равна
частоте собственных колебаний системы.
861. Пространство между обкладками воздушного конденсатора, включённого в колеба¬
тельный контур, заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 8.
Как при этом изменился период электромагнитных колебаний?
Совет. Выясните, как при этом изменяется электроёмкость конденсатора, и воспользуйтесь фор¬
мулой Томсона.
862. Индуктивность катушки колебательного контура равна 0,2 Гн, а электроёмкость
конденсатора равна 15 мкФ. Чему равно амплитудное значение силы тока в контуре,
если при напряжении на конденсаторе 2 В сила тока в катушке равна 20 мА?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
863. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 3 Гн и конденсатора
электроёмкостью 2 мкФ. Чему равен модуль заряда конденсатора в некоторый момент
времени, если сила тока в катушке в этот же момент времени равна 2,4 мА, а макси¬
мальный заряд конденсатора равен 6 мкКл?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
864. Индуктивность катушки колебательного контура равна 0,2 мГн, а заряд конденса¬
тора изменяется по закону q = 10~3 cos(103£) (в единицах СИ). Чему равна полная энер¬
гия колебательного контура?
Совет. Полная энергия колебательного контура равна сумме энергии электрического поля конден¬
сатора и энергии магнитного поля катушки. Воспользуйтесь формулой Томсона и найдите макси¬
мальное значение заряда конденсатора.
865. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 80 мГн и конденса¬
тора электроёмкостью 2 мкФ. В начальный момент конденсатор заряжен, сила тока в
катушке равна нулю. Через какой минимальный промежуток времени после начального
момента энергия электрического поля в конденсаторе станет равной энергии магнитного
поля в катушке?
Совет. Запишите уравнение зависимости напряжения на обкладках конденсатора от времени, вос¬
пользуйтесь законом сохранения энергии и формулой Томсона.
866. Конденсатору электроёмкостью 10 мкФ, соединённому с катушкой индуктивности, сооб¬
щили заряд 1 мКл, после чего в контуре возникли затухающие электромагнитные коле¬
бания. Чему равно количество теплоты, выделившееся в контуре к моменту, когда мак¬
симальное напряжение на конденсаторе уменьшилось в 4 раза по сравнению с начальным
моментом? Примите, что затухание колебаний было обусловлено только выделением тепла.
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
867. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равномерно вращается прямоу¬
гольная проволочная рамка со сторонами 10 см и 20 см, содержащая 40 витков. Частота
вращения рамки равна 8 Гц, ось её вращения перпендикулярна линиям магнитной
индукции. Рамка соединена с резистором сопротивлением 10 Ом. Сопротивлением рамки
можно пренебречь, а) Чему равно амплитудное значение ЭДС индукции в одном витке
рамки? б) Чему равно амплитудное значение ЭДС индукции в рамке? в) Чему равно
амплитудное значение силы тока в цепи? г) Чему равно действующее значение силы
тока в цепи? д) Какое количество теплоты выделится в цепи за 10 мин?
Совет, а) Воспользуйтесь законом электромагнитной индукции и учтите, что зависимость от времени
пронизывающего рамку магнитного потока выражается формулой Ф = BScoscof. в) Воспользуйтесь
законом Ома для участка цепи, д) Воспользуйтесь законом Джоуля — Ленца.
868. Зависимость ЭДС индукции от времени в единицах СИ выражается формулой
et = 100sin507it. Через какой минимальный промежуток времени после начального
момента значение ЭДС будет равно 50 В?
143

869. Некоторый элемент электрической цепи подключили к выходу генератора перемен¬
ного тока с изменяемой частотой гармонических колебаний при неизменной амплитуде
колебаний напряжения. На рисунке 268 изображён график зависимости силы перемен¬
ного тока в этом элементе от частоты колебаний. Какой это может быть элемент (рези¬
стор, катушка или конденсатор)?
Совет. Ёмкостное сопротивление обратно пропорционально частоте переменного тока, а индуктив¬
ное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока. Воспользуйтесь законом Ома
для участка цепи.
870. Некоторый элемент электрической цепи подключили к выходу генератора перемен¬
ного тока с изменяемой частотой гармонических колебаний при неизменной амплитуде
колебаний напряжения. На рисунке 269 изображён график зависимости силы перемен¬
ного тока в этом элементе от частоты колебаний. Какой это может быть элемент (рези¬
стор, катушка или конденсатор)?
871. В цепь переменного тока включена катушка с индуктивностью 0,5 Гн. Чему равно
индуктивное сопротивление катушки, если частота переменного тока 50 Гц?
872. В цепь переменного тока с частотой 50 Гц включён конденсатор, электроёмкость
которого равна 1 мкФ. Чему равно ёмкостное сопротивление конденсатора?
873. Напряжение на первичной обмотке трансформатора равно 220 В, напряжение на
вторичной обмотке 14 В. Чему равен КПД трансформатора, если сила тока в его первич¬
ной обмотке равна 0,8 А, а во вторичной обмотке 12 А?
874. На рисунке 270 схематически изображён школьный разборный трансформатор,
включённый в сеть переменного тока. Ко вторичной обмотке трансформатора подклю¬
чают нагрузку, в результате в первичной обмотке незначительно возрастает сила тока.
Как изменится сила тока в каждой обмотке трансформатора, если удалить верхнюю
часть сердечника?
Совет. Вследствие удаления части сердечника магнитное поле в обеих катушках уменьшится.
Вследствие этого уменьшатся ЭДС индукции и самоиндукции.
875. Трансформатор понижает напряжение с 220 В до 42 В. Через отверстие замкнутого
сердечника пропущен провод, концы которого соединены с вольтметром, показывающим
напряжение 0,5 В. Сколько витков в каждой обмотке трансформатора?
Совет. Провод с подключённым к нему вольтметром можно рассматривать как дополнительную
обмотку трансформатора, содержащую один виток. Этот виток пронизывается таким же магнитным
потоком, как и любой из витков.
t
I
I
0
/
■о
■о
V
V
Рис. 268
Рис. 269
Рис. 270
144

770. На рисунке 234 изображена экспериментальная установка, с помощью кото¬
рой можно получить индукционный ток в катушке 2. На рисунке 235 изображён гра¬
фик зависимости силы тока в катушке 1 от времени. В какие промежутки времени в
катушке 2 будет течь индукционный ток?
771. Линии магнитного поля пронизывают металлическое кольцо так, как показано на
рисунке 236. Увеличивается или уменьшается модуль магнитной индукции внешнего поля,
если вследствие этого в кольце возникает индукционный ток, направление которого пока¬
зано на рисунке?
Совет. Воспользуйтесь правилом буравчика и правилом Ленца.
772. Металлический стержень скользит по горизонтальным П-образным металлическим
рельсам, находящимся в однородном магнитном поле (рис. 237, вид сверху), а) Укажите
направление силы Лоренца, действующей на свободные заряды в стержне, б) Укажите
направление индукционного тока в стержне.
Совет, б) Воспользуйтесь правилом левой руки и учтите, что электроны имеют отрицательный заряд.
773. По графику зависимости от времени магнитного потока через замкнутый контур
сопротивлением 2 Ом (рис. 238) определите: а) в каком промежутке времени модуль ЭДС
индукции максимален; б) в каком промежутке времени индукционный ток в контуре
отсутствует; в) чему равен модуль ЭДС индукции при t = 4 с; г) чему равна сила тока в
контуре при t - 4с.
Совет, а) ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, б) Индукционный ток в
замкнутом контуре возникает при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур,
г)	Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи.
774. Чему равна ЭДС индукции в катушке, содержащей 500 витков, если магнитный
поток через один виток убывает со скоростью 40 мВб/с?
Совет. Учтите, что витки в катушке соединены последовательно.
775. Самолёт, размах крыльев которого 30 м, летит со скоростью 900 км/ч в магнит¬
ном поле Земли. В той местности, где летит самолёт, горизонтальная составляющая
магнитной индукции поля Земли равна 0,03 мТл, а вертикальная составляющая равна
0,04 мТл. Чему равна максимальная ЭДС, которая может возникнуть при горизонталь¬
ном полёте самолёта?
Совет. Воспользуйтесь выражением для ЭДС индукции в движущемся проводнике. Учтите, что при
горизонтальном полёте самолёта ЭДС индукции определяется только вертикальной составляющей
магнитной индукции поля Земли.
I
0	2	4	С	с
Рис. 235
Рис.234
Ф, мВб
4
Рис. 236
Рис. 237
0	2	4	С	с
Рис. 238
129

776. На рисунке 239 изображена схема электрической цепи. Опишите, что будет проис¬
ходить с каждой лампой после замыкания ключа. Обоснуйте ваш ответ.
Совет. Вспомните, при каком подключении диода через него будет идти ток. Учтите, что в катушке
после замыкания ключа возникает ЭДС самоиндукции.
777. Сила тока в катушке с индуктивностью 6 мГн за 20 мс равномерно убывает от 4 до
1 А. Чему равна ЭДС самоиндукции?
778. Чему равна индуктивность катушки, если сила тока в ней за 0,2 с равномерно уве¬
личивается на 10 А, а ЭДС самоиндукции равна 20 В?
779. На рисунке 240 приведён график зависимости силы тока в катушке индуктивностью
0,2 Гн от времени. Чему равна ЭДС самоиндукции в катушке?
780. Чему равна энергия магнитного поля катушки с индуктивностью 0,6 Гн, если сила
тока в катушке 2 А? Как изменится энергия магнитного поля, если сила тока увели¬
чится в 2 раза?
781. При одинаковой силе тока энергия магнитного поля первой катушки в 9 раз больше
энергии магнитного поля второй катушки. Чему равно отношение индуктивностей кату¬
шек ^?
Совет. Воспользуйтесь выражением для энергии магнитного поля тока в катушке.
782. По графику зависимости силы тока в катушке от времени (рис. 241) определите,
в какой момент времени модуль ЭДС самоиндукции принимает наименьшее значение.
Чему он равен?
Совет. Модуль ЭДС самоиндукции пропорционален скорости изменения функции I(t).
783. По графику зависимости силы тока в катушке индуктивностью 40 мГн от времени
(рис. 242) определите: а) значение энергии магнитного поля в начальный момент; б) зна¬
чение энергии магнитного поля через 10 мс после начала наблюдения.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
784. С одинаковой высоты в вертикальном положении одновременно начинают падать
три одинаковых магнита (рис. 243). При этом магнит 2 пролетает сквозь закреплённое
I,
t, мс
Рис. 242
Рис. 241
2 t, с
Рис.240
Рис.239
130

разомкнутое металлическое кольцо, а магнит 3 — сквозь закреплённое замкнутое метал¬
лическое кольцо. Опишите особенности падения магнитов.
Совет. Воспользуйтесь правилом Ленца.
785. На рисунке 244 изображена схема электрической цепи, состоящая из гальваниче¬
ского элемента, реостата, трансформатора, ключа и амперметра. Определите направление
индукционного тока в нижней катушке трансформатора, если смотреть на неё справа: а)
при замыкании ключа; б) при размыкании ключа; в) при перемещении ползунка рео¬
стата вправо; г) при перемещении ползунка реостата влево.
786. По горизонтальным П-образным проводящим направляющим перемещают металли¬
ческий стержень (на рисунке 245 показан вид сверху). Вся система находится в маг¬
нитном поле. Как направлена действующая на стержень сила Ампера, если: а) стержень
движется вправо; б) стержень движется влево?
Совет. Воспользуйтесь правилом Ленца.
787. В длинной вертикальной медной трубе, из которой откачан воздух, падает магнит.
Опишите характер движения магнита, указав, какие физические законы и закономерно¬
сти вы использовали.
788. Медная рамка падает между полюсами магнита (рис. 246). а) Определите направле¬
ние вектора магнитной индукции поля, созданного индукционным током, в положениях
рамки, отмеченных цифрами 1, 2, 3. б) Определите направление индукционного тока в
нижней стороне рамки в положениях рамки, отмеченных цифрами 1, 2, 3. в) Определите
направление равнодействующей приложенных к рамке со стороны магнитного поля сил в
положениях рамки, отмеченных цифрами 1, 2, 3.
Совет. Учтите, что в положении 1 большая сила Ампера действует на нижнюю сторону рамки, а
в положении 3 — на верхнюю.
789. Замкнутый проволочный виток площадью 20 см2 расположен в однородном магнит¬
ном поле с индукцией 20 мТл, причём линии магнитной индукции перпендикулярны
плоскости витка. Какой заряд проходит по витку при выключении магнитного поля,
если сопротивление витка 2 Ом?
Совет. Воспользуйтесь тем, что Дq = ItAt, законом электромагнитной индукции и законом Ома для
полной цепи, который в данном случае имеет вид /г = —-.
Н
790.	Замкнутый проволочный прямоугольный виток площадью 2000 см2 расположен в
однородном магнитном поле так, что линии магнитной индукции перпендикулярны пло¬
скости витка. При повороте витка вокруг одной из его сторон на 90° по витку проходит
заряд, равный 80 мКл. Чему равно сопротивление витка, если модуль вектора магнитной
индукции равен 0,4 Тл?
Совет. Воспользуйтесь законом электромагнитной индукции и законом Ома для полной цепи.
1
ЯГ
В Х|Х X j «<-Х X X
X X X Ж: X X X
2
£f
3
Рис.244
Рис. 245
Рис.246
131

791. Квадратная проволочная рамка со стороной 20 см и сопротивлением 0,03 Ом распо¬
ложена в однородном магнитном поле, причём плоскость рамки перпендикулярна линиям
магнитной индукции. Модуль магнитной индукции уменьшается на 0,6 Тл за каждую
секунду. Какое количество теплоты выделится в рамке за 2 с?
Совет. Воспользуйтесь законом Джоуля — Ленца, законом электромагнитной индукции, законом
Ома для полной цепи.
792. На рисунке 247, а изображён полосовой магнит, начинающий свободное падение из
состояния покоя. Когда магнит пролетает сквозь закреплённое проволочное кольцо, он
создаёт в кольце индукционный ток. На рисунке 247, б приведён график зависимости
силы индукционного тока в кольце от времени (разным знакам силы тока соответствуют
противоположные направления тока). Объясните, почему индукционный ток в кольце
изменяет направление.
Совет. Воспользуйтесь правилом Ленца.
793. На рисунке 248 изображена схема электрической цепи. Как будут изменяться показа¬
ния приборов при движении ползунка реостата вправо?
794. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равноускоренно из состояния
покоя движется проводник длиной 2 м (рис. 249). Магнитная индукция перпендику¬
лярна проводнику и скорости его движения. Чему равно ускорение проводника, если в
момент, когда проводник переместился на 4 м, ЭДС индукции на его концах равна 4 В?
795. По двум параллельным рельсам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга в
горизонтальной плоскости в однородном магнитном поле с индукцией 0,3 Тл, в противо¬
положные стороны движутся перемычки со скоростью 2 м/с каждая (рис. 250). Чему
равна сила тока в цепи, если сопротивление каждой перемычки равно 3 Ом, а сопротив¬
лением рельсов и контактов можно пренебречь?
796. Катушка с площадью поперечного сечения 6 см2 содержит 1000 витков. Когда сила
тока в катушке равна 2 А, магнитная индукция поля внутри неё равна 1 мТл. Чему
равна индуктивность катушки? Магнитное поле внутри катушки считайте однородным;
магнитные потоки, пронизывающие витки катушки — одинаковыми.
Совет. Воспользуйтесь определением индуктивности и учтите, что ЭДС индукции возникает в каж¬
дом витке катушки.
797. Параллельно соединённые проволочную катушку и резистор подключили к источ¬
нику тока через ключ. Индуктивность катушки 0,8 Гн, сопротивление резистора 4 Ом,
ЭДС источника тока 6 В, его внутреннее сопротивление 2 Ом. Чему равно количество
теплоты, которое выделится в резисторе после размыкания ключа?
132

Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи и законом сохранения энергии. Учтите, что
при замкнутом ключе ток не течёт через резистор, поскольку сопротивление катушки по условию
намного меньше сопротивления резистора.
798. На рисунке 251 изображена схема электрической цепи. ЭДС источника тока равна
12 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом, электроёмкость конденсатора 2 мФ, индуктив¬
ность катушки 36 мГн, сопротивление лампы 5 Ом. В начальный момент ключ замкнут.
Какое количество теплоты выделится в лампе после размыкания ключа?
Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи, выражениями для энергии электрического
поля в конденсаторе и для энергии магнитного поля в катушке, а также законом сохранения
энергии. Учтите, что постоянный ток через конденсатор не идёт и что после размыкания ключа
всё количество теплоты выделится в лампочке.
799. На рисунке 252 изображена схема электрической цепи. ЭДС источника тока равна
5 В, его внутреннее сопротивление 1 Ом, электроёмкость конденсатора 0,1 мкФ, сопро¬
тивление резистора 1 кОм. В начальный момент ключ замкнут. После размыкания ключа
в резисторе выделилось количество теплоты, равное 3,75 мкДж. Чему равна индуктив¬
ность катушки?
800. На рисунке 253, а изображена схема электрической цепи. В начальный момент
ключ разомкнут. График зависимости силы тока от времени после замыкания ключа
изображён на рисунке 253, б. а) Почему при замыкании ключа сила тока плавно уве¬
личивается от постоянного значения 10 до постоянного значения /:? б) Чему равна сила
тока Iv если внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь?
a	R
Рис.253
133

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
КОЛЕБАНИЯ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Свободные механические колебания
Свободные механические колебания
Примеры механических колебаний
?!■
Соотношения между периодом, частотой
и циклической частотой колебаний
СО
2л
Т
Уравнение
гармонических колебаний
X = XmoxCOSat
со = 2xv
График
гармонических колебаний
XI
I.
Т
К   *
/ 
801.	Рассмотрите рисунки 254 и 255. а) Какими буквами обозначены рисунки, изобража¬
ющие положения грузов, между которыми происходит одно полное колебание? б) Какими
буквами обозначены рисунки, изображающие положения грузов, разделённые во времени
половиной периода колебаний?
Рис.254
134

а	б	в	г	д
Рис. 255
802. Сколько раз груз проходит через положение равновесия за один период? Примите,
что в начальный момент груз не находится в положении равновесия.
803. Какая часть периода колебаний проходит между двумя последовательными прохож¬
дениями грузом положения равновесия?
804. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 2 см. Какой путь проходит груз за
один период колебаний? За три периода колебаний?
Совет. За время одного периода колебаний груз четырежды проходит расстояние от положения
равновесия до одного из крайних положений.
805. Подвешенный на пружине груз совершает колебания с амплитудой 2 см и частотой
5 Гц. а) Чему равен период колебаний? б) Чему равен путь, который проходит груз за
1 мин? в) Сколько раз груз проходит через положение равновесия за 1 мин?
806. Уравнение гармонических колебаний в единицах СИ имеет вид х = 0,05cosl0i.
а)	Чему равна амплитуда колебаний? б) Чему равна циклическая частота колебаний?
в)	Чему равна частота колебаний? г) Чему равен период колебаний? д) Чему равно сме¬
щение тела через половину периода после начального момента времени? е) Чему равно
смещение тела через четверть периода после начального момента времени?
807. На рисунке 256 изображён график гармонических колебаний, а) Перенесите рисунок
в тетрадь. Обозначьте на нём амплитуду и период колебаний, б) Отметьте красным цве¬
том любые две точки на оси времени, разделённые промежутком времени, равным поло¬
вине периода колебаний, в) Отметьте синим цветом любые две точки на оси времени,
разделённые промежутком времени, равным четверти периода колебаний, г) Обведите
красным цветом любой участок графика, соответствующий положительному значению
смещения от положения равновесия, д) Обведите синим цветом любой участок графика,
соответствующий отрицательному значению смещения от положения равновесия.
808. Чему равны амплитуда, период, частота и циклическая частота колебаний, графики
которых изображены на рисунке 257? Запишите уравнение каждого колебания в едини¬
цах СИ.
135

Динамика механических колебаний
Период колебаний
пружинного маятника
Период колебаний
математического маятника
Т = 2п
Т=2п
vmax = <лх
max
'шах
809. Груз пружинного маятника заменили другим грузом, масса которого в 4 раза
больше. Как изменился период колебаний?
810. Пружину маятника заменили другой пружиной, жёсткость которой в 2 раза больше.
Как изменилась частота колебаний?
811. Подвешенная к пружине гиря находится в равновесии, когда удлинение пружины
равно 2,5 см. а) Чему равен период вертикальных колебаний гири? б) При какой ампли¬
туде колебаний гири пружина будет оставаться всё время растянутой?
Совет. Когда груз находится в равновесии, действующая на него со стороны пружины сила упру¬
гости уравновешивает силу тяжести.
812. Колеблющийся на нити небольшой грузик проходит положение равновесия с интер¬
валом 1 с. а) Чему равен период колебаний груза? б) Чему равна длина нити?
813. Маленький заряженный шарик с положительным зарядом q и массой т подвешен
на нити длиной I. Вся система находится в однородном электростатическом поле. Модуль
напряжённости поля Е, вектор напряжённости направлен вниз. Чему равен период Т
малых колебаний шарика?
Совет. Учтите, что на шарик, кроме силы тяжести, действует ещё направленная вертикально вниз
сила со стороны электростатического поля.
814. К потолку лифта подвешена нить длиной I, а к нити подвешен небольшой шарик.
Чему равна частота колебаний шарика, если лифт будет двигаться с ускорением, мень¬
шим по модулю, чем ускорение свободного падения, в следующих случаях: а) лифт
движется вниз со скоростью, равной по модулю V, и ускорением, равным по модулю а
и направленным вниз? б) лифт движется вниз со скоростью, равной по модулю и,
и ускорением, равным по модулю а и направленным вверх? в) лифт движется вверх со
скоростью, равной по модулю и, и ускорением, равным по модулю а и направленным
вниз? г) лифт движется вверх со скоростью, равной по модулю и, и ускорением, равным
по модулю а и направленным вверх?
Совет. Можно считать, что в ускоренно движущемся лифте во всех формулах, содержащих уско¬
рение свободного падения g, оно заменяется выражением g + а, если ускорение направлено вверх,
и выражением g - а, если ускорение направлено вниз. Направление и модуль скорости лифта
значения не имеют.
815. Амплитуда колебаний нитяного маятника равна 4 см. С какой скоростью груз про¬
ходит положение равновесия, если длина нити 70 см?
Совет. При прохождении положения равновесия модуль скорости груза принимает наибольшее
значение. Воспользуйтесь соотношением итах = сохтах.
816. Колеблющийся на горизонтальной пружине груз массой 0,5 кг проходит положение
равновесия со скоростью 2 м/с. Амплитуда колебаний хтах = 5 см. а) Какова цикличе¬
ская частота колебаний? б) Какова жёсткость пружины?
Совет, а) Воспользуйтесь соотношением птах = шхтах.
136

Энергия механических колебаний.
Вынужденные колебания
Энергия свободных колебаний
817. На рисунке 258 изображены различные положения колеблющегося груза, а) В каких
положениях кинетическая энергия груза максимальна? минимальна? б) В каких положе¬
ниях потенциальная энергия груза максимальна? минимальна? в) Сколько раз в течение
одного периода колебаний кинетическая энергия груза достигает максимального значе¬
ния? минимального? г) Сколько раз в течение одного периода колебаний потенциальная
энергия груза достигает максимального значения? минимального?
818. На рисунке 259 изображены различные положения колеблющегося горизонтального
пружинного маятника, а) В каком положении (положениях) кинетическая энергия груза
максимальна? минимальна? б) В каких положениях потенциальная энергия деформации
пружины максимальна? минимальна? в) Сколько раз в течение одного периода коле¬
баний кинетическая энергия груза достигает максимального значения? минимального?
г)	Сколько раз в течение одного периода колебаний потенциальная энергия деформации
пружины достигает максимального значения? минимального?
819. При каком смещении пружинного маятника из положения равновесия кинетическая
энергия груза равна потенциальной энергии упругой деформации пружины? Амплитуда
колебаний равна х .
с	max
Резонанс
820. Собственная частота колебательной системы равна 2 Гц. При каком периоде колеба¬
ний внешней силы амплитуда вынужденных колебаний наибольшая?
821. На рисунке 260 приведены графики зависимости амплитуды вынужденных колеба¬
ний от частоты для двух аналогичных колебательных систем. В какой системе трение
больше?
а	б	в	г	д
Рис.258
Пружина не
а деформирована
|ЙП1Н1ПЩТ
-л-»-»-»-)-»-»-»-»-»-»:»-»
в щ
jhuuuumu	—:—
Рис.259
Рис. 260
137

Колебательный контур. Переменный электрический ток
Колебательный контур
i	-	i	i
В
В
в
:Е‘
Е ' Я
'
■ы
£
Формула Томсона Аналогия между электромагнитными
и механическими величинами
Т = 2n-jLC
(j X
q2
kx2
1 D
2С
1Г
L <—• m
1
Li2
mv2
i-k
2
2
Трансформатор
Повышающий
SJ
17, ~ А,
Понижающий
С/,
I ■
14
4/,
Ёмкостное сопротивление Х(
о) С
Индуктивное сопротивление X, = соL
822. Как изменится период электромагнитных колебаний в контуре, если: а) увеличить
индуктивность катушки в 2 раза; б) увеличить электроёмкость конденсатора в 4 раза?
823. Электроёмкость конденсатора контура равна 2 мкФ, а индуктивность катушки равна
2 мГн. Чему равны период и частота электромагнитных колебаний?
824. Индуктивность катушки колебательного контура равна 2 мкГн. При какой электро¬
ёмкости конденсатора период колебаний равен 0,25 мс?
825. Заряд конденсатора колебательного контура достигает максимального значения ^тах
= 3 мкКл, а сила тока в катушке достигает максимального значения /шах = 6 мА. Элек¬
троёмкость конденсатора равна 50 мкФ. а) Чему равна циклическая частота колебаний?
б)	Чему равен период колебаний? в) Чему равна индуктивность катушки?
826. В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл равномерно вращается прямоу¬
гольная проволочная рамка со сторонами 20 см и 5 см. Рамка соединена с резистором.
Общее сопротивление рамки и резистора равно 20 Ом. В начальный момент плоскость
рамки перпендикулярна вектору магнитной индукции. Частота вращения рамки 50 Гц.
Запишите формулу, выражающую зависимость силы тока в цепи от времени.
Совет. Воспользуйтесь законом Ома для полной цепи. Поскольку по условию в начальный момент
магнитный поток через рамку максимален, зависимость магнитного потока через рамку от времени
выражается по закону косинуса (так как coscot = 1 при t = 0).
138

827. Зависимость напряжения в сети от времени выражается формулой и = z/max coscot.
Через какой наименьший промежуток времени после t = 0 выполняется равенство
и = U? Выразите этот промежуток времени через период колебаний напряжения Т.
Совет. Найдите, при каком наименьшем значении t справедливо равенство cosoH = -J=.
828. На каком из рисунков 261, а, б изображён повышающий трансформатор? Почему
диаметр провода обмотки, содержащей меньшее число витков, больше?
829. Напряжение на первичной обмотке трансформатора, содержащей 110 витков, равно
220 В. а) Что покажет вольтметр, соединённый с проводом, обвитым вокруг одной из
обмоток один раз? десять раз? б) Сколько витков во вторичной обмотке, если напряже¬
ние на ней равно 42 В?
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ1)
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
830. В таблице представлены значения координаты тела, колеблющегося вдоль оси х, в
различные моменты времени. Чему равен период колебаний?
t, с
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
х, см
0
2,8
4
2,8
0
-2,8
-4
Совет. Используя таблицу, изобразите примерный график зависимости x(t) и с его помощью най¬
дите период колебаний шарика.
831. Подвешенный к нити груз колеблется с периодом 4 с и амплитудой 2 см. В началь¬
ный момент скорость груза равна нулю. Чему равен путь, пройденный грузом за 5 с
после начального момента?
832. Зависимость от времени координаты тела, совершающего колебания вдоль оси х,
nt
выражается формулой х = 0,02sin—. Значения всех физических величин заданы в СИ.
2
Чему равны: а) амплитуда колебаний; б) циклическая частота колебаний; в) период коле¬
баний; г) частота колебаний?
Совет. Уравнение гармонических колебаний имеет вид х = xmax sin cot. Воспользуйтесь соотношени-
2п
ями со = —; со = 2jtv.
Т
833. На рисунке 262 изображён график зависимости смещения от времени для тела,
совершающего гармонические колебания. Чему равны амплитуда, период и частота коле¬
баний тела? Запишите уравнение гармонических колебаний в единицах СИ.
!) При решении задач этого раздела считайте, что потерями энергии на излучение и нагревание можно
пренебречь.
139

834. В начальный момент скорость груза пружинного маятника равна нулю. Чему равен
период колебаний маятника, если за 5 с груз проходит путь, в 5 раз больший ампли¬
туды колебаний?
835. Пружинный маятник совершает колебания с периодом 1 с. Чему будет равен период
колебаний, если массу груза увеличить в 2 раза, а пружину заменить другой, жёсткость
которой в 2 раза меньше?
Совет. Воспользуйтесь формулой периода колебаний пружинного маятника.
836. Груз какой массы надо прикрепить к пружине жёсткостью 100 Н/м, чтобы полу¬
чившийся пружинный маятник совершал колебания с частотой 2 Гц?
Совет. Воспользуйтесь формулой периода колебаний пружинного маятника и тем, что v =
837. Какова длина нити нитяного маятника, который совершал бы на Луне колебания с
периодом 5 с? Ускорение свободного падения на Луне равно 1,6 м/с2.
Совет. Воспользуйтесь выражением для периода колебаний математического маятника.
838. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид
х = 0,04cos27rt. Запишите формулы зависимости проекции скорости тела от времени и
проекции ускорения тела от времени.
Совет. Воспользуйтесь тем, что vx = х', ах = х", и формулами для производных тригонометриче¬
ских функций.
839. На рисунке 263 изображён пружинный маятник, совершающий гармонические коле¬
бания между точками А и С. Точка В соответствует положению равновесия маятника.
Как изменяются (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) кинетиче¬
ская энергия груза, модуль скорости груза и потенциальная энергия пружины: а) при
движении груза от точки В к точке С; б) при движении груза от точки В к точке А;
в)	при движении груза от точки А к точке В?
840. Сколько раз в течение 16 с кинетическая энергия маятника достигнет наибольшего
значения, если частота колебаний равна 0,5 Гц и в начальный момент груз маятника не
находится в положении равновесия?
841. Один конец горизонтальной пружины жёсткостью 500 Н/м закреплён, а другой при¬
креплён к бруску массой 0,2 кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхно¬
сти. В начальный момент брусок сдвигают, сжимая пружину, и отпускают без толчка.
Какова величина начальной деформации пружины, если максимальная скорость бруска
при колебаниях равна 2 м/с?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
842. Увеличится или уменьшится период электромагнитных колебаний в контуре
(рис. 264), если ключ К перевести из положения 1 в положение 21 из положения 1 в
положение 31 Во сколько раз?
I
А В
Рис. 263
140

843. Увеличится или уменьшится период электромагнитных колебаний в контуре
(рис. 265), если ключ К перевести из положения 1 в положение 2? из положения 1 в
положение 3? Во сколько раз?
844. Период колебаний колебательного контура равен 0,4 мкс. Чему равны частота коле¬
баний контура, циклическая частота, а также индуктивность катушки, если электроём¬
кость конденсатора 500 пФ?
Совет. Воспользуйтесь формулой Томсона и тем, что со = 2яу.
845. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,4 мГн и конденсатора
электроёмкостью 20 нФ. Чему равно максимальное напряжение на обкладках конденса¬
тора, если максимальное значение силы тока в катушке равно 30 мА?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
846. Проволочная рамка вращается в однородном магнитном поле так, что в ней инду¬
цируется ЭДС, зависимость которой от времени в единицах СИ выражается форму¬
лой et - 80соа(500тЦ). Найдите значения амплитуды, циклической частоты, периода и
частоты колебаний ЭДС.
Совет. Зависимость от времени ЭДС индукции в рамке выражается формулой е; = J?maxcoscot.
847. Чему равны амплитудное и действующее значения напряжения на клеммах генера¬
тора, если оно изменяется в единицах СИ по закону и = 311sin(314f)?
Совет. Амплитудное значение напряжения связано с действующим значением формулой U =	.
V2
848. Напряжение на концах первичной обмотки трансформатора равно 200 В, сила тока в
ней 4 А. Чему равна сила тока во вторичной обмотке, если напряжение на её концах 50 В?
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
849. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид
х = 0,04sin4jr?. Какой путь пройдёт точка за 1 мин?
Совет. Найдите амплитуду и период колебаний.
850. Уравнение гармонических колебаний тела в единицах СИ имеет вид х = 0,02cos0,5nC
Через какой наименьший промежуток времени после начального момента координата
тела будет равна —0,02 м?
Совет. За искомый промежуток времени тело переместится из одного крайнего положения в другое
крайнее положение.
851. Уравнение гармонических колебаний материальной точки в единицах СИ имеет вид
7It
х = 0,02sin—. За какой минимальный промежуток времени после начального момента
6
точка сместится от начального положения на 1 см?
Совет. Составьте тригонометрическое уравнение для нахождения искомого промежутка времени.
852. Груз на пружине сместили от положения равновесия и отпустили без толчка. За
какую долю периода колебаний он пройдёт первую половину пути до положения равно¬
весия? вторую половину пути?
Совет. В данном случае смещение тела в начальном положении максимально, поэтому зависимость
смещения от времени выражается формулой х = xmaxcoscof.
853. Подвешенный к пружине медный шар совершает верти¬
кальные колебания. Как изменится период колебаний, если:
а)	заменить шар другим медным шаром, радиус которого в
2 раза меньше? б) медный шар заменить алюминиевым, радиус
которого равен радиусу медного? в) данную пружину заменить
половиной такой же пружины? г) перенести начальную систему
на Луну?
Совет, в) Учтите, что жёсткость половины пружины в 2 раза больше
жёсткости целой пружины.
141

854. Частоты колебаний шарика, подвешенного на нити длиной 15 см, и груза на пру¬
жине жёсткостью 200 Н/м одинаковы. Чему равна масса груза?
Совет. Воспользуйтесь выражениями для периода колебаний математического и пружинного маят-
m 1
ников, а также тем, что Т = —.
v
855. В таблице представлены значения координаты шарика, совершающего колебания
вдоль оси х, через равные промежутки времени. Чему равна максимальная скорость
шарика?
t, с
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
X, см
8
5,7
0
-5,7
-8
-5,7
0
5,7
Совет. Используя таблицу, изобразите примерный график зависимости x(t) и с его помощью най¬
дите период колебаний шарика, а также определите амплитуду колебаний шарика. Воспользуйтесь
тем, что итах = сохтах.
856. На горизонтальной пластине, совершающей гармонические горизонтальные коле¬
бания с периодом 0,9 с, лежит груз. Коэффициент трения между грузом и пластиной
равен 0,4. а) При каком максимальном значении ускорения пластины груз неподвижен
относительно пластины? б) При какой амплитуде колебаний пластины груз скользит по
пластине?
Совет. Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое при
решении школьных задач принимают равным силе трения скольжения.
857. Нитяной маятник длиной 1Х = 10 см совершает колебания вдоль стены, в которую
на расстоянии 12 = 6,4 см от точки подвеса вбит гвоздь (рис. 266). Чему равен период
колебаний этого маятника?
858. Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника в единицах СИ имеет
вид х = xmax cosmt. Период колебаний равен 4 с. Через какой минимальный промежуток
времени после начального момента потенциальная энергия маятника вернётся к своему
начальному значению?
Совет. Потенциальная энергия маятника достигает своего максимального значения дважды за
период.
859. Уравнение гармонических колебаний горизонтального пружинного маятника в еди¬
ницах СИ имеет вид х = 0,2cos4jtC Масса груза, прикреплённого к пружине, равна
0,5 кг. а) Запишите формулы, выражающие зависимость потенциальной и кинетической
энергии колеблющейся системы от времени, б) Чему равна полная энергия колеблющейся
системы?
Совет, а) Учтите, что vx = х'. б) Воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством.
860. По графику зависимости амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты
вынуждающей силы (рис. 267) определите: а) чему равна собственная частота колебаний
Рис. 266	Рис.267
142

маятника; б) чему равно отношение максимальной скорости маятника при частоте 0,5 Гц
к его максимальной скорости при частоте 2,5 Гц.
Совет, а) Амплитуда вынужденных колебаний максимальна, когда частота внешней силы равна
частоте собственных колебаний системы.
861. Пространство между обкладками воздушного конденсатора, включённого в колеба¬
тельный контур, заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 8.
Как при этом изменился период электромагнитных колебаний?
Совет. Выясните, как при этом изменяется электроёмкость конденсатора, и воспользуйтесь фор¬
мулой Томсона.
862. Индуктивность катушки колебательного контура равна 0,2 Гн, а электроёмкость
конденсатора равна 15 мкФ. Чему равно амплитудное значение силы тока в контуре,
если при напряжении на конденсаторе 2 В сила тока в катушке равна 20 мА?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
863. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 3 Гн и конденсатора
электроёмкостью 2 мкФ. Чему равен модуль заряда конденсатора в некоторый момент
времени, если сила тока в катушке в этот же момент времени равна 2,4 мА, а макси¬
мальный заряд конденсатора равен 6 мкКл?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
864. Индуктивность катушки колебательного контура равна 0,2 мГн, а заряд конденса¬
тора изменяется по закону q = 10-3cos(103£) (в единицах СИ). Чему равна полная энер¬
гия колебательного контура?
Совет. Полная энергия колебательного контура равна сумме энергии электрического поля конден¬
сатора и энергии магнитного поля катушки. Воспользуйтесь формулой Томсона и найдите макси¬
мальное значение заряда конденсатора.
865. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 80 мГн и конденса¬
тора электроёмкостью 2 мкФ. В начальный момент конденсатор заряжен, сила тока в
катушке равна нулю. Через какой минимальный промежуток времени после начального
момента энергия электрического поля в конденсаторе станет равной энергии магнитного
поля в катушке?
Совет. Запишите уравнение зависимости напряжения на обкладках конденсатора от времени, вос¬
пользуйтесь законом сохранения энергии и формулой Томсона.
866. Конденсатору электроёмкостью 10 мкФ, соединённому с катушкой индуктивности, сооб¬
щили заряд 1 мКл, после чего в контуре возникли затухающие электромагнитные коле¬
бания. Чему равно количество теплоты, выделившееся в контуре к моменту, когда мак¬
симальное напряжение на конденсаторе уменьшилось в 4 раза по сравнению с начальным
моментом? Примите, что затухание колебаний было обусловлено только выделением тепла.
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
867. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равномерно вращается прямоу¬
гольная проволочная рамка со сторонами 10 см и 20 см, содержащая 40 витков. Частота
вращения рамки равна 8 Гц, ось её вращения перпендикулярна линиям магнитной
индукции. Рамка соединена с резистором сопротивлением 10 Ом. Сопротивлением рамки
можно пренебречь, а) Чему равно амплитудное значение ЭДС индукции в одном витке
рамки? б) Чему равно амплитудное значение ЭДС индукции в рамке? в) Чему равно
амплитудное значение силы тока в цепи? г) Чему равно действующее значение силы
тока в цепи? д) Какое количество теплоты выделится в цепи за 10 мин?
Совет, а) Воспользуйтесь законом электромагнитной индукции и учтите, что зависимость от времени
пронизывающего рамку магнитного потока выражается формулой Ф = BS cos oof. в) Воспользуйтесь
законом Ома для участка цепи, д) Воспользуйтесь законом Джоуля — Ленца.
868. Зависимость ЭДС индукции от времени в единицах СИ выражается формулой
е; = 100sin50nf. Через какой минимальный промежуток времени после начального
момента значение ЭДС будет равно 50 В?
143

869. Некоторый элемент электрической цепи подключили к выходу генератора перемен¬
ного тока с изменяемой частотой гармонических колебаний при неизменной амплитуде
колебаний напряжения. На рисунке 268 изображён график зависимости силы перемен¬
ного тока в этом элементе от частоты колебаний. Какой это может быть элемент (рези¬
стор, катушка или конденсатор)?
Совет. Ёмкостное сопротивление обратно пропорционально частоте переменного тока, а индуктив¬
ное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока. Воспользуйтесь законом Ома
для участка цепи.
870. Некоторый элемент электрической цепи подключили к выходу генератора перемен¬
ного тока с изменяемой частотой гармонических колебаний при неизменной амплитуде
колебаний напряжения. На рисунке 269 изображён график зависимости силы перемен¬
ного тока в этом элементе от частоты колебаний. Какой это может быть элемент (рези¬
стор, катушка или конденсатор)?
871. В цепь переменного тока включена катушка с индуктивностью 0,5 Гн. Чему равно
индуктивное сопротивление катушки, если частота переменного тока 50 Гц?
872. В цепь переменного тока с частотой 50 Гц включён конденсатор, электроёмкость
которого равна 1 мкФ. Чему равно ёмкостное сопротивление конденсатора?
873. Напряжение на первичной обмотке трансформатора равно 220 В, напряжение на
вторичной обмотке 14 В. Чему равен КПД трансформатора, если сила тока в его первич¬
ной обмотке равна 0,8 А, а во вторичной обмотке 12 А?
874. На рисунке 270 схематически изображён школьный разборный трансформатор,
включённый в сеть переменного тока. Ко вторичной обмотке трансформатора подклю¬
чают нагрузку, в результате в первичной обмотке незначительно возрастает сила тока.
Как изменится сила тока в каждой обмотке трансформатора, если удалить верхнюю
часть сердечника?
Совет. Вследствие удаления части сердечника магнитное поле в обеих катушках уменьшится.
Вследствие этого уменьшатся ЭДС индукции и самоиндукции.
875. Трансформатор понижает напряжение с 220 В до 42 В. Через отверстие замкнутого
сердечника пропущен провод, концы которого соединены с вольтметром, показывающим
напряжение 0,5 В. Сколько витков в каждой обмотке трансформатора?
Совет. Провод с подключённым к нему вольтметром можно рассматривать как дополнительную
обмотку трансформатора, содержащую один виток. Этот виток пронизывается таким же магнитным
потоком, как и любой из витков.
t
I
I
о
о
о
V
V
Рис. 268
Рис. 269
Рис. 270
144

волны
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Механические волны. Звук
Поперечные и продольные волны
Направление распространения волны
V - AV
Высота звука определяется частотой звуковой волны.
Громкость звука определяется амплитудой звуковой волны
Скорость звука в различных средах
330 м/с
1500 м/с
5000 м/с
876. За 12 с мимо стоящего на берегу реки человека прошло шесть гребней волны. Чему
равны период и частота волны?
877. Рассмотрите волны, схематически изображённые в одном масштабе на рисунке 271.
Какие волны имеют одинаковую длину волны? Амплитуда каких волн одинакова?
878. По морю движутся волны, расстояние между соседними гребнями которых равно
2 м. На волнах колеблется мяч. За 10 с мяч совершил пять колебаний, а) Чему равны
частота волны и её период? б) Чему равна скорость волны?
879. Частота колебаний, соответствующая ноте «ля», равна 440 Гц. Чему равна длина
волны ноты «ля»: а) в воздухе; б) в воде?
880. Человеческое ухо наиболее чувствительно к звуку частотой от 3 кГц до 5 кГц.
Какому диапазону длин волн в воздухе соответствуют эти частоты?
Рис. 271
145

Электромагнитные волны
Электромагнитная волна
V = с  —
881. Диапазон длин волн видимого света в вакууме и в воздухе — от 3,8 • 10 7 м (фиоле¬
товый цвет) до 7,6 • 10-7 м (красный цвет). Каков диапазон частот видимого света?
882. После увеличения частоты электромагнитной волны в 3 раза длина волны умень¬
шилась на 2 см. а) Какова была первоначальная частота волны? б) К каким диапазонам
электромагнитных волн относятся начальная и конечная волны?
Совет. Скорость электромагнитной волны в данном случае не изменяется.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
883. Поплавок поднимался на волне 8 раз за 20 с. Чему равен период волны?
Совет. За промежуток времени, равный периоду волны, через данную точку пространства про¬
ходит один гребень волны.
884. На рисунке 272 схематически изображена продольная волна. Какой из отрезков
соответствует длине волны?
885. Саксофон издаёт звуки в диапазоне от 80 Гц до 8 кГц. Чему равно отношение наи¬
большей длины волны этих звуков к наименьшей?
886. Чему равно кратчайшее расстояние от охотника до отвесной скалы, если эхо от сво¬
его выстрела охотник услышал через 4 с после выстрела?
Совет. Расстояние от охотника до скалы звук от выстрела проходит дважды.
887. Звуковая волна частотой 750 Гц распространяется в воде. Чему равно расстояние
между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в противофазе?
Совет. Искомое расстояние равно половине длины волны.
888. Звуковая волна переходит из воздуха в воду. Во сколько раз изменяется длина
волны при таком переходе?
Совет. Когда звуковая волна переходит из одной среды в другую, неизменной остаётся частота
волны, равная частоте колебаний источника звука.
889. Какой (какие) из перечисленных объектов, согласно классической электродинамике,
излучает электромагнитные волны? а) Проводник, по которому протекает переменный
ток. б) Проводник, по которому протекает постоянный ток. в) Заряд, движущийся с
постоянной скоростью, г) Электрон, движущийся в электрическом поле, д) Покоящийся
j	j	jjjj	л	j	4	s	л	jjj.jjj	л
Н	з	и
Рис.272
146

электромагнит, подключённый к источнику постоянного тока, е) Заряд, движущийся с
ускорением, ж) Постоянный магнит, лежащий в равномерно движущемся автомобиле,
з) Ион, движущийся в магнитном поле.
890. Найдите шкалу электромагнитных волн в каком-либо учебнике или в Интернете.
Какие волны имеют минимальную частоту? минимальную длину волны?
891. К какому диапазону относятся электромагнитные волны с частотой 3 • 1013 Гц?
892. Электромагнитная волна распространяется вдоль оси z так, что вектор напряжённо¬
сти электрического поля направлен параллельно оси у. Вдоль какой оси направлен век¬
тор магнитной индукции этой волны?
Совет. Электромагнитная волна является поперечной волной.
893. На какую длину волны нужно настроить радиоприёмник, чтобы слушать передачи
радиостанции, работающей на частоте 120 МГц?
Совет. Воспользуйтесь формулой, связывающей длину волны с частотой колебаний источника
волн. Учтите, что электромагнитная волна распространяется со скоростью, равной скорости света
в вакууме.
894. Какие частоты соответствуют длинам волн от 1,5 м до 6 м, на которых передаётся
видеоизображение?
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
895. Рабочий ударяет молотком по рельсу. Через какой промежуток времени после удара
услышит звук этого удара другой рабочий, находящийся у того же рельса на расстоянии
500 м от первого?
Совет. Учтите, что звуковая волна распространяется от первого рабочего ко второму по стали
(в рельсе) и по воздуху.
896. Из ружья выстрелили вертикально вверх. Пуля достигла высоты 660 м одновре¬
менно со звуком выстрела. Какой максимальной высоты достигла пуля? Примите, что
сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Совет. Рассмотрите равномерное движение звуковой волны и движение пули, как тела, брошен¬
ного вертикально вверх.
897. Звук от удара камня о дно шахты был услышан через 6 с после начала падения.
Какова глубина шахты и сколько времени длилось падение камня? Сопротивлением воз¬
духа можно пренебречь.
898. Чему равна частота звуковой волны, если при её переходе из воздуха в воду длина
волны увеличилась на 1,17 м?
899. Сколько колебаний происходит в колебательном контуре радиопередатчика за про¬
межуток времени, равный одному периоду звуковых колебаний с частотой 5 кГц, если
длина несущей волны передатчика равна 60 м?
900. Индуктивность колебательного контура при настройке радиопередатчика уменьшили.
Как при этом изменились: период колебаний тока в контуре, частота излучаемых волн и
длина волны излучения?
Совет. Воспользуйтесь формулой Томсона, выражением, связывающим частоту и период колебаний,
а также формулой для расчёта длины волны.
901. Радиоприёмник настроен на частоту 6 МГц. Как надо изменить электроёмкость кон¬
денсатора колебательного контура радиоприёмника, чтобы он принимал радиоволны с
длиной волны 150 м?
902. На какую длину волны настроен колебательный контур, если зависимость
заряда от времени в единицах СИ на обкладках конденсатора выражается формулой
q = 5 • 10_6 cos(6,28 ■ 107i)?
Совет. Из уравнения зависимости q(t) найдите период колебаний.
147

903. Приёмник настроен на длину волны 25 м. Как изменится длина принимаемых волн,
если заполнить воздушный конденсатор контура диэлектриком — увеличится или умень¬
шится? Насколько изменится длина принимаемой волны, если диэлектрическая проница¬
емость диэлектрика равна 6?
Совет. Воспользуйтесь формулой Томсона и формулой для электроёмкости плоского конденсатора.
904. Колебательный контур приёмника содержит две сменные катушки, причём L2 > Lv
Электроёмкость колебательного контура радиоприёмника можно увеличивать от Сг до С2.
а)	Чему равны наименьшая и наибольшая частоты радиоволн, которые может принимать
приёмник? б) Чему должно быть равно значение С2, чтобы диапазоны принимаемых волн
не перекрывались, если Сх = 5 пФ, = 10 мкГн, а Ь2 = 40 мкГн?
Совет, б) Учтите, что наибольшая частота в «нижнем» диапазоне частот должна быть меньше
наименьшей частоты в «верхнем» диапазоне частот.
148

ОПТИКА
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Законы геометрической оптики
Закон отражения света
р = а
Закон преломления света
sina
  = п
sin у
Полное внутреннее отражение
Предельный угол
полного отражения
1
sman =
п
905. Плоскость непрозрачного диска параллельна экрану. Расстояние от диска до экрана
20 см. Диск освещён точечным источником света. Тень от диска имеет форму круга,
площадь которого в 9 раз больше площади диска. Где находится источник света?
Совет. Сделайте вспомогательный рисунок. Воспользуйтесь подобием треугольников и тем, что
площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса.
906. Непрозрачный диск диаметром 10 см расположен параллельно экрану. Он освеща¬
ется светящимся диском диаметром 20 см, расположенным тоже параллельно экрану.
Расстояние между дисками 50 см, а их центры находятся на одном перпендикуляре к
экрану, а) На каком минимальном расстоянии от непрозрачного диска надо поместить
149

экран, чтобы на нём была только полутень? б) Чему при этом равен диаметр полутени
на экране?
Совет, а) Воспользуйтесь подобием треугольников.
907. Каковы углы падения и отражения света в опыте, изображённом на рисунке 273?
908. Могут ли падающий и отражённый лучи идти вдоль одной прямой? Подтвердите
ваш ответ примером.
909. При каком угле отражения падающий и отражённый лучи перпендикулярны друг
другу?
910. Угол падения увеличивают на 15°. Как при этом изменяется угол между падающим
и отражённым лучами?
911. Мальчик освещает солнечным зайчиком дно глубокого колодца в момент, когда угол
между солнечными лучами и горизонтом равен 50°. Под каким углом к горизонту рас¬
положена плоскость зеркала? Сделайте пояснительный рисунок.
Совет. Докажите сначала с помощью геометрического построения, что искомый угол равен углу
падения света на зеркало.
912. На рисунке 274 изображена стрелка АВ, расположенная перед зеркалом (зеркало
мы видим сбоку). Перенесите рисунок в тетрадь, а) Постройте изображения точек А и В.
б) Постройте изображение стрелки АВ. в) Изменится ли, и если да, то как, изображение
стрелки, если оставить только часть зеркала?
Совет, в) Изображение формируется любой частью зеркала. Для построения изображения в неболь¬
шом зеркале его надо мысленно увеличить (оставив в той же плоскости).
913. Обозначим пс показатель преломления стекла. Для какого из двух изображённых на
sina „ _
рисунке 275 опытов справедливо соотношение 	=	п 1 Запишите, чему равно отноше-
siny
ние синусов углов падения и преломления для другого опыта.
ъ
V
Рис. 274
а
Рис.275
150

914. При каком угле падения угол преломления равен углу падения?
915. Определите, чему равен показатель преломления того сорта стекла, из которого
изготовлен полуцилиндр в опытах, изображённых на рисунках 275, а, б.
Совет. Определите по любому рисунку углы падения и преломления, а затем воспользуйтесь зако¬
ном преломления света.
916. Каков максимально возможный угол преломления при падении света из воздуха в
воду?
Совет. Воспользуйтесь тем, что максимально возможный угол падения луча равен 90°.
917. На рисунке 276 изображён ход луча при прохождении сквозь плоскопараллельную
прозрачную пластинку, а) Перенесите рисунок в тетрадь и обозначьте на нём все углы
падения и преломления, б) Объясните, почему в результате прохождения сквозь пла¬
стинку направление луча не изменилось, в) Чему равно смещение луча d, если толщина
пластинки h = 2 см, угол падения а = 60°, а показатель преломления материала пла¬
стинки п = 1,5?
918. На рисунке 277 изображён ход луча при прохождении сквозь стеклянную призму.
Обратите внимание: луч света отклоняется к основанию треугольника в сечении призмы,
а)	Перенесите рисунок в тетрадь и укажите на нём углы падения и преломления при
прохождении через границу раздела «воздух — стекло» и «стекло — воздух», б) При
прохождении через стеклянную призму, в основании которой лежит равносторонний треу¬
гольник, луч света повернулся на 60°. При этом внутри призмы луч шёл параллельно ниж¬
ней стороне треугольника в сечении призмы. Чему равен показатель преломления стекла,
из которого сделана данная призма?
Совет, б) Докажите, что в данном случае угол преломления на границе «воздух — стекло»
равен 30°. Найдите угол падения, учитывая то, что при прохождении через призму луч света
повернулся на 60°.
919. Посреди большого бассейна глубиной 2 м установлен вертикальный стержень высо¬
той 3 м. Солнечные лучи направлены под углом 30° к горизонту, а) Сделайте в тетради
чертёж и постройте на нём ход луча света, прошедшего очень близко от вершины
стержня и упавшего на поверхность воды. Укажите угол падения этого луча на поверх¬
ность воды, б) Найдите длину тени стержня на поверхности воды, в) Чему равен угол
преломления солнечных лучей? г) Чему равна длина тени стержня на дне бассейна?
Совет, а) Обратите внимание на то, что в условии задан угол между солнечными лучами и гори¬
зонтом.
920. На поверхности воды посреди большого озера плавает тонкий деревянный диск
радиусом 20 см. Небо полностью затянуто облаками, а) Каковы в данном случае углы
падения лучей света на поверхность воды? б) Сделайте в тетради чертёж, поясняющий,
почему под диском образуется тень, в) Чему равен в данном случае максимально воз¬
можный угол преломления? г) Чему равна максимальная глубина тени под диском?
Совет, а) Учтите, что в пасмурный день источником света является всё небо. А поскольку по усло¬
вию озеро большое, можно считать, что лучи света падают на поверхность воды под всевозможными
151

углами, б) Учтите, что при переходе в оптически более плотную среду угол преломления не может
превышать определённого значения, в) Максимальный угол преломления будет при максимальном
угле падения, равном в данном случае 90°.
921. Чему равен предельный угол полного отражения для луча, падающего из воды на
границу раздела «вода — воздух»?
1
Совет. В данном случае sina0 = — , где л — показатель преломления воды.
Пв
922. На рисунках 278, о, б схематически изображён ход двух лучей, падающих на боко¬
вую грань прозрачных призм, в основании которых — равнобедренный прямоугольный
треугольник, а) В каком случае (случаях) имеет место полное внутреннее отражение
света от одной из граней призмы? б) Чему равно минимальное значение показателя пре¬
ломления вещества, из которого сделана первая призма?
Совет, б) Воспользуйтесь тем, что угол падения луча света при полном внутреннем отражении
равен в данном случае 45°.
а	б
Рис.278
152

Линзы. Построение изображений в линзах
Ход луча, идущего через
оптический центр линзы
А	/
О
f
О
А
Ход луча, идущего
параллельно главной
оптической оси линзы
А
/Ч
! ■ •
Построение
предмета
/
.
13ображения
в линзе
V
F
h
: F

: d
/
f
г 1
Ж
I . h
F


Ь 5 < ^
'ГН* 
f
/
F
)
>,
Ss s
V-
ч
	J
Фокальная плоскость — плоскость, параллельная плоскости
линзы и проходящая через один из её главных фокусов.
Оптическая сила линзы
D = -
F
Увеличение линзы
г = ?
п
1 + 1 = А
d f F
Формула тонкой линзы
действительное изображение f	>	О
мнимое изображение	/	<	О
собирающая линза	F	>	О
рассеивающая линза	F	<	О
923. Оптическая сила линзы равна 4 дптр. Чему равно фокусное расстояние линзы?
924. Постройте изображение точки S в собирающей линзе в случае, если точка S рас¬
положена: а) дальше фокальной плоскости линзы; б) ближе фокальной плоскости линзы.
925. Линза даёт действительное изображение предмета, находящееся на расстоянии 30 см
от линзы. При этом расстояние от линзы до предмета равно 15 см. а) Какая это линза —
собирающая или рассеивающая? б) Чему равно фокусное расстояние линзы?
Совет, а) Действительное изображение даёт только собирающая линза, б) Воспользуйтесь формулой
тонкой линзы.
153

926. Когда предмет находится на расстоянии 20 см от линзы, его мнимое изображе¬
ние находится на расстоянии 25 см от линзы, а) Является линза собирающей или
рассеивающей? б) Чему равно фокусное расстояние линзы F? в) Где будет находиться
изображение предмета и каковы будут свойства этого изображения, если расстояние
от линзы до предмета увеличить на 30 см? г) Как надо переместить предмет по отно¬
шению к его начальному положению, чтобы изображение предмета было в натураль¬
ную величину?
Совет, а) Используя формулу тонкой линзы, определите знак F. Если окажется, что F > 0, это
будет означать, что линза собирающая, а если окажется, что F < 0, это будет означать, что линза
рассеивающая, б) Учтите, что по условию изображение мнимое, поэтому при использовании формулы
тонкой линзы расстояние от линзы до изображения следует считать отрицательным, в) Расстояние
от линзы до предмета станет равным 50 см. Воспользуйтесь уже найденным значением фокусного
расстояния линзы, г) Изображение предмета будет в натуральную величину, когда он находится
на двойном фокусном расстоянии от линзы.
927. Линза с фокусным расстоянием 10 см находится между предметом и экраном, на
котором получено чёткое изображение предмета. При этом расстояние от предмета до
экрана в 3 раза больше расстояния от линзы до экрана, а) Какие надо брать знаки /
и F для использования формулы тонкой линзы в данном случае? б) Чему равно отно¬
шение d/f в данном случае? в) Чему равно расстояние от линзы до экрана? г) Явля¬
ется изображение предмета увеличенным, уменьшенным или в натуральную величину?
д)	Чему равно увеличение Г предмета в линзе? е) На сколько и в каком направлении
надо переместить линзу, чтобы снова получить чёткое изображение на экране? ж) Каким
при этом станет изображение — увеличенным или уменьшенным? Чему будет равно уве¬
личение предмета в линзе?
Совет, а) Изображение на экране может быть только действительным, а действительное изображе¬
ние может дать только собирающая линза, б) Обратите внимание на то, что в условии говорится о
расстоянии от предмета до экрана, то есть от предмета до его изображения, е) Воспользуйтесь
тем, что в формуле тонкой линзы f и d можно «поменять значениями»: вместо значения f под¬
ставить значение d и наоборот.
928. Линза находится между предметом и его чётким изображением на экране. При этом
расстояние от линзы до предмета равно 9 см. Когда линзу передвинули на 9 см вдоль
оптической оси, получили другое чёткое изображение предмета на экране. Чему равно
фокусное расстояние линзы?
Совет. Если бы линзу передвинули на 9 см ближе к предмету, то линза оказалась бы располо¬
женной вплотную к предмету. Действительного изображения в таком случае линза дать не могла
бы. Значит, линзу отодвинули от предмета. Используя формулу тонкой линзы, докажите, что при
неизменном расстоянии от предмета до экрана два положения линзы, при которых она даёт чёткое
изображение на экране, отличаются тем, что d и f «поменялись местами».
Если точка А лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения
можно взять следующие два луча (рис. 279):
— произвольный луч а, исходящий из данной точки и проходящий через линзу;
— параллельный ему луч Ъ, идущий через оптический центр линзы и не изменяющий
поэтому своего направления.
После прохождения через линзу параллельные падающие
лучи а и Ъ пересекаются в фокальной плоскости. Это позво¬
ляет построить ход луча а после преломления в линзе.
Точка Av в которой преломлённый луч пересекает главную
оптическую ось, является изображением точки А.
929. Постройте изображение точки, лежащей: а) на главной
оптической оси ближе фокуса собирающей линзы; б) на глав¬
ной оптической оси рассеивающей линзы.	Рис.	279
У

а
At
A F
•F
Ь

г
154

930. Перенесите рисунок 280 в тетрадь и найдите положение фокусов линзы.
Совет. Постройте ход второго луча, параллельного падающему на линзу лучу и проходящего
через оптический центр линзы. После преломления в линзе эти два луча пересекутся в фокальной
плоскости.
931. На рисунке 281 показано построение изображения А1Б1С1 треугольника ABC.
а) Объясните построение хода луча АВ при его прохождении через плоскость линзы.
б) Объясните построение изображения В^С1 отрезка ВС.
Совет, а) Обратите внимание на ход луча, идущего через оптический центр линзы параллельно
лучу АВ, и воспользуйтесь тем, что параллельные лучи после преломления в линзе пересекаются
в фокальной плоскости, б) Использован ход луча АВ при его преломлении в линзе и ход луча,
проходящего через оптический центр линзы.
932. На рисунке 282 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник, располо¬
женный перед собирающей линзой. Катет треугольника равен 4 см. Оптическая сила
линзы 2,5 дптр. а) Перенесите рисунок в тетрадь и постройте изображение треугольника
в линзе, б) Найдите площадь треугольника-изображения.
V
Рис. 280
Рис. 281
В
2 F С	F
Рис. 282
Глаз и оптические приборы1*
Глаз
Фотоаппарат
933.	В каком случае оптическая сила глаза больше: при рассматривании близких или
удалённых предметов?
Совет. Воспользуйтесь формулой тонкой линзы и учтите, что расстояние от линзы до изображения
в данном случае остаётся неизменным — это расстояние от хрусталика до сетчатки.
!) При решении задач этого раздела, если иное не оговорено, примите расстояние от хрусталика до
сетчатки равным 17 мм. Светочувствительный слой фотоаппарата для краткости всюду назван
«плёнкой».
155

Человеку со здоровым зрением наиболее удобно рассматривать мелкие предметы, когда
они находятся на расстоянии около 25 см от глаза. Это расстояние называют расстоя¬
нием наилучшего зрения.
934. Расстояние от хрусталика до сетчатки примите равным 17 мм. а) Чему равна опти¬
ческая сила этого глаза при рассматривании удалённых предметов? б) Чему равна опти¬
ческая сила этого глаза при рассматривании предмета, расположенного на расстоянии
наилучшего зрения?
Совет, а) Воспользуйтесь формулой тонкой линзы, считая расстояние до предмета бесконечно
большим, б) Воспользуйтесь формулой тонкой линзы, приняв расстояние до предмета равным рас¬
стоянию наилучшего зрения.
Для выполнения следующего задания воспользуйтесь тем, что оптическую силу D
системы, состоящей из двух близко расположенных линз с оптической силой Z>j и £>2,
можно рассчитать по формуле
D = Д + Dg .
При этом оптическую силу собирающей линзы надо считать положительной, а рассеи¬
вающей линзы — отрицательной.
935. Человек не может чётко видеть детали предмета, расположенного ближе 1 м от
глаза. Расстояние от хрусталика до сетчатки примите равным 17 мм. а) У этого человека
близорукость или дальнозоркость? б) Чему равна оптическая сила глаза этого человека,
когда он рассматривает предмет, расположенный на расстоянии 1 м от глаза? в) Линзы
с какой оптической силой должен использовать этот человек, чтобы чётко видеть пред¬
мет, находящийся от глаза на расстоянии наилучшего зрения?
Совет, в) Воспользуйтесь формулой тонкой линзы.
936. Фокусное расстояние объектива фотоаппарата равно 15 мм. а) Чему должно быть
равно расстояние от объектива до плёнки при фотографировании удалённых предметов?
б) Чему должно быть равно расстояние от объектива до плёнки при фотографировании
предмета, расположенного на расстоянии 1,5 м от объектива? в) Чему равен размер изо¬
бражения на плёнке человека высотой 1 м 70 см, находящегося на расстоянии 10 м
от фотоаппарата?
Совет, в) Если расстояние от линзы до предмета намного больше фокусного расстояния линзы,
можно считать, что изображение предмета находится в фокальной плоскости линзы. Воспользуй¬
тесь подобием треугольников.
937. Спутник движется по круговой орбите на высоте 120 км над поверхностью Земли.
Со спутника ведётся фотосъёмка поверхности Земли фотоаппаратом с фокусным расстоя¬
нием 12 см. Расстояние между соседними светочувствительными элементами на матрице
фотоаппарата равно 2 мкм. Изображения не будут смазанными, если за время экспози¬
ции (пока объектив фотоаппарата был открыт) изображение сместится не более чем на
один светочувствительный элемент, а) Чему равен размер предмета, изображение кото¬
рого попало на 10 соседних светочувствительных элементов? б) С какой скоростью дви¬
жется спутник? в) Чему равна скорость движения изображения по матрице? г) Каким
должно быть время экспозиции при фотографировании, чтобы изображения предметов не
были смазаны из-за движения спутника?
Совет, а) Можно считать, что изображение находится в фокальной плоскости объектива, б) Если
высота орбиты спутника намного меньше радиуса Земли, скорость спутника можно прибли¬
жённо считать равной первой космической скорости, в) Скорость движения изображения будет
во столько же раз меньше скорости спутника, во сколько раз изображение предмета меньше
самого предмета.
938. Экран находится на расстоянии 10 м от проекционного аппарата. Высота экрана
2 м, а высота слайда 2 см. Чему равно фокусное расстояние объектива аппарата?
Совет. Воспользуйтесь тем, что расстояние от слайда до объектива можно приближённо считать
равным фокусному расстоянию объектива. Воспользуйтесь также подобием треугольников.
156

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
939. Точечный источник света расположен на высоте 1,2 м над столом. Между источни¬
ком света и столом располагают горизонтально картонный диск диаметром 20 см. Чему
равен диаметр тени от диска, если источник света, центр диска и центр тени от диска
лежат на одном перпендикуляре к столу, причём расстояние от источника до диска
равно 30 см?
940. Зеркало приближают к предмету со скоростью 0,5 м/с. С какой скоростью движется
изображение предмета в зеркале?
Совет. Учтите, что расстояние от изображения предмета до зеркала равно расстоянию от предмета
до зеркала.
941. Луч света падает из воды на поверхность стекла под углом 45°. а) Чему равен синус
угла преломления? б) Чему равен угол преломления?
Совет. Воспользуйтесь законом преломления света.
942. Предельный угол полного отражения на границе «жидкость — воздух» равен 47,3°.
Какая это может быть жидкость?
943. Луч света падает на поверхность стекла под углом 60°. Под каким углом падает
этот луч на поверхность воды, если углы преломления в стекле и в воде равны?
944. При переходе луча света из воздуха в стекло угол между лучом и перпендикуляром
к поверхности стекла уменьшился вдвое. Чему равен угол падения?
945. Предельный угол полного отражения при переходе света из стекла в некоторое про¬
зрачное вещество равен 38,7°. Какое это может быть вещество?
946. Перенесите рисунки 283, а—е в тетрадь и постройте изображение предмета АВ в
линзах. Укажите вид полученного в каждом случае изображения.
947. Светящаяся точка расположена на расстоянии от линзы, равном половине фокус¬
ного расстояния линзы. Постройте изображение этой точки, если: а) линза собирающая;
б) линза рассеивающая.
948. Точечный источник света находится на расстоянии 30 см от линзы, а расстояние от
линзы до изображения этого источника на экране равно 20 см. Является линза собираю¬
щей или рассеивающей? Чему равно её фокусное расстояние?
Совет. На экране может быть получено только действительное изображение. Воспользуйтесь фор¬
мулой тонкой линзы.
А
В
а  г
А
В
Рис.283
157

949. Чему равно фокусное расстояние рассеивающей линзы, если светящаяся точка
находится на расстоянии 40 см от линзы, а её изображение — на расстоянии 20 см от
линзы?
Совет. Воспользуйтесь формулой тонкой линзы с учётом знаков для f и F.
950. Линза даёт мнимое увеличенное в 4 раза изображение предмета, находящегося на
расстоянии 12 см от линзы. Является линза собирающей или рассеивающей? Чему равно
её фокусное расстояние?
Совет. Воспользуйтесь формулой для увеличения линзы и формулой тонкой линзы с учётом знака
перед /.
951. Расстояние от линзы до экрана, на котором видно чёткое изображение предмета,
равно 1,2 м. Оптическая сила линзы равна 2,5 дптр. а) Является линза собирающей или
рассеивающей? б) Чему равно фокусное расстояние линзы? в) Чему равно расстояние от
линзы до предмета? г) Является изображение предмета уменьшенным или увеличенным?
Во сколько раз?
Совет, а) Изображение на экране является действительным, б) Оптическая сила линзы обратно
пропорциональна её фокусному расстоянию, выраженному в метрах, в) Воспользуйтесь формулой
тонкой линзы, г) Воспользуйтесь выражением для увеличения линзы.
952. Чему равно расстояние от предмета до рассеивающей линзы с фокусным расстоя¬
нием 15 см, если изображение, даваемое линзой, меньше предмета в 2 раза?
953. Человек хорошо различает детали предметов, расположенных не ближе 40 см от
глаза, а) Какой дефект зрения (близорукость или дальнозоркость) у этого человека?
б)	Чему равна максимально возможная оптическая сила глаза этого человека? в) Какие
линзы (собирающие или рассеивающие) должен использовать этот человек, чтобы чётко
видеть предмет, находящийся от глаза на расстоянии наилучшего зрения? Чему равна
оптическая сила этих линз?
Совет, б) Максимальная оптическая сила у глаза тогда, когда человек рассматривает детали пред¬
мета на наименьшем возможном расстоянии предмета от глаза, в) Расстояние наилучшего зрения
человека со здоровым зрением равно 25 см.
954. Человек хорошо различает детали предметов, расположенных не дальше 10 см от
глаза, а) Какой дефект зрения (близорукость или дальнозоркость) у этого человека?
б)	Чему равна минимально возможная оптическая сила глаза этого человека? в) Какие
линзы (собирающие или рассеивающие) должен использовать этот человек, чтобы чётко
видеть предмет, находящийся от глаза на расстоянии наилучшего зрения? Чему равна
оптическая сила этих линз?
Совет, б) Минимальная оптическая сила у глаза тогда, когда человек рассматривает детали пред¬
мета на наибольшем возможном расстоянии предмета от глаза.
955. Чему равна высота изображения дерева высотой 20 м на сетчатке глаза, если рас¬
сматривать дерево с расстояния 170 м?
Совет. Рассмотрите ход луча, идущего через оптический центр глаза и воспользуйтесь подобием
треугольников.
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
956. Светящийся диск диаметром 2 м прикреплён к потолку на высоте 4 м от пола.
Непрозрачный диск диаметром 2 м расположен горизонтально под светящимся диском на
высоте 2 м от пола так, что центры дисков лежат на одной вертикали. Чему равны пло¬
щадь полной тени и площадь полутени на полу?
Совет. Учтите, что полутень имеет форму кольца.
957. На поверхности жидкости с показателем преломления 1,6 лежит прозрачная пло¬
скопараллельная пластинка с показателем преломления 1,4. На пластинку падает сверху
луч света под углом 30°. Чему равен угол преломления этого луча в жидкости?
Совет. Дважды воспользуйтесь законом преломления света. В условии есть лишнее данное.
158

958. На поверхности озера плавает куб с длиной ребра 10 см, как показано на
рисунке 284. Небо обложено облаками. Плотность куба р = 600 кг/м3, а) Чему равна глу¬
бина погружения куба? б) Каковы форма и размеры тени от куба в воде? в) Объясните,
почему нельзя увидеть тень от куба, глядя сверху. Сделайте пояснительный рисунок.
Совет, б) Найдите максимально возможный угол преломления в воде, в)	Учтите	явление	полного
внутреннего отражения лучей света при падении на поверхность воды снизу.
959. Юноша стоит на горизонтальном дне водоёма глубиной 15 м. На каком минималь¬
ном расстоянии от ступней юноши находится на дне реки камень, изображение которого
он может увидеть отражённым от поверхности воды? Примите, что глаза юноши нахо¬
дятся на высоте 1,7 м от его подошв.
960. Верхнюю половину собирающий линзы закрыли. Изменилось ли (и если измени¬
лось, то как) изображение, получаемое с её помощью на экране?
Совет. Учтите, что изображение каждой точки создаётся всеми лучами,	вышедшими	из	точки	и
прошедшими через линзу. Закрывая половину линзы, перекрывают только часть лучей, проходя¬
щих через линзу, а ход остальных лучей не изменяется.
961. Собирающую стеклянную линзу погрузили в воду. Как изменились при этом фокус¬
ное расстояние и оптическая сила линзы? Сделайте пояснительный рисунок.
Совет. Учтите, что показатель преломления воды больше показателя преломления воздуха и меньше
показателя преломления стекла.
962. Перенесите рисунок 285 в тетрадь и постройте изображение стрелки.
963. Два точечных источника света находятся на расстоянии 32 см друг от друга. Где
между ними надо поместить собирающую линзу, чтобы изображения обоих источников
оказались в одной точке? Фокусное расстояние линзы равно 12 см.
Совет. Докажите, что одно из изображений мнимое, а другое — действительное.
964. На расстоянии 45 см от экрана находится предмет. С помощью собирающей линзы
на экране получают его уменьшенное изображение. Затем линзу перемещают так, что на
экране получают другое изображение того же предмета, которое в 4 раза больше первого
изображения. Чему равно фокусное расстояние линзы?
965. Линзу, изготовленную из двух тонких сферических стёкол постоянной толщины и
одинакового радиуса, между которыми находится воздух (выпуклая воздушная линза),
погрузили в воду. Как действует эта линза? Сделайте пояснительный рисунок.
Совет. Показатель преломления воды больше показателя преломления воздуха. Рассмотрите ход
луча света, идущего параллельно главной оптической оси и преломляющегося в двух тонких
стёклах.
966. Стеклянную линзу поместили в жидкость, показатель преломления которой больше,
чем у стекла. Как изменятся свойства линзы, если линза двояковыпуклая? двояко¬
вогнутая?
967. Чему равно фокусное расстояние объектива фотоаппарата, если: а) предмет нахо¬
дится на расстоянии 1 м от объектива, а размер изображения в 10 раз меньше размеров
предмета? б) фотографирование производится с расстояния 1 км, а на плёнке получается
уменьшенное изображение предмета в масштабе 1 : 5000?
Совет, а) Воспользуйтесь формулой тонкой линзы и выражением для увеличения линзы, б) В дан¬
ном случае можно принять, что изображение находится в фокальной плоскости объектива.
/
А
F
Рис. 284
А
Рис. 285
159

968. Экран расположен на расстоянии 10 м от объектива проекционного аппарата с опти¬
ческой силой 4,1 дптр. Каких размеров надо взять экран, чтобы на нём уместилось изо¬
бражение диапозитива размером 6x9 см?
Совет. Воспользуйтесь формулой тонкой линзы и выражением для увеличения линзы.
969. С помощью фотоаппарата с фокусным расстоянием объектива 40 мм фотографируют
автомобиль, движущийся мимо фотографа со скоростью 54 км/ч на расстоянии 10 м от
него. Каким должно быть время экспозиции At, чтобы размытие контура изображения
на плёнке не превышало 50 мкм?
Совет. Докажите, что в данном случае можно считать, что изображение объектива находится
в его фокальной плоскости, и воспользуйтесь ходом луча, идущего через оптический центр
объектива.
970. Будем считать изображение на плёнке фотоаппарата достаточно резким, если вместо
изображения точки на плёнке получается изображение пятна радиусом не более 20 мкм.
На каком расстоянии от объектива должен находиться предмет, чтобы его изображение
было достаточно резким, если радиус объектива равен 2 мм, а его фокусное расстояние
равно 50 мм?
Совет. Учтите, что изображение находится за фокальной плоскостью линзы на расстоянии f — F
от фокальной плоскости. Воспользуйтесь подобием треугольников.
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Интерференция волн
971. Расстояние между точечными источниками волн, колеблющихся в одной фазе, равно
12 см. Длина волны равна 2 см. Под какими углами наблюдаются линии: а) первых
160

интерференционных максимумов; б) вторых интерференционных максимумов; в) третьих
интерференционных максимумов; г) четвёртых интерференционных максимумов?
Совет. Найдите синусы искомых углов, используя условие интерференционных максимумов.
972. Каков наибольший порядок интерференционных максимумов, который может наблю¬
даться в условии предыдущей задачи?
Совет. Учтите, что угол <р/; не может превышать 90°.
973. На рисунке 286 схематически изображён ход лучей при отражении от стеклянной
поверхности, покрытой прозрачной плёнкой с показателем преломления п меньшим, чем
показатель преломления стекла (просветление оптики). Докажите, что минимальная тол¬
щина плёнки h, при которой происходит взаимное гашение отражённых волн 1 и 2 с
длиной волны X, выражается формулой
Совет. Учтите, что волна 2 проходит сквозь плёнку дважды, а также то, что длина волны света в
плёнке в п раз меньше, чем в воздухе. Воспользуйтесь тем, что минимальная разность хода волн
1 и 2, при которой эти волны будут в противофазе, равна половине длины волны.
974. Длина волны света зелёного цвета равна 0,55 мкм. Чему равна минимальная тол¬
щина просветляющей плёнки с показателем преломления 1,3?
975. Между квадратными стеклянными пластинками со стороной L зажат волос диаме¬
тром D (схематически это показано на рис. 287). Сверху падает свет, пропущенный через
зелёный светофильтр. При наблюдении сверху видны параллельные волосу полосы
(рис. 288). Их называют полосами равной толщины. Они возникают вследствие интерфе¬
ренции световых волн 1 и 2, отражённых от двух поверхностей стекла, между которыми
находится узкий воздушный «клин», то есть от нижней поверхности верхнего стекла и
верхней поверхности нижнего стекла (рис. 289). а) Пусть один из интерференционных
максимумов (светлая полоса) наблюдается в точке А, а соседний максимум — в точке В
(рис. 290). При падении света сверху интерференция происходит между лучом, отражён¬
ным в точке А, и лучом, отражённым в точке Аг, а также между лучом, отражённым в
точке В, и лучом, отражённым в точке В1. Отметим на отрезке ВВ1 точку С, такую, что
ВС = ААу Исходя из того, что соседние максимумы в точках А и В могут наблюдаться
только при условии, что изменение разности хода отражённых волн для этих точек равно
Ап
Плёнка
L
Стекло
Рис.286
Рис.287
Рис. 288
Рис.289
L
Рис. 290
161

подобия двух равнобедренных треугольников, боковыми сторонами одного из которых
являются АгС и А1В1, а боковыми сторонами другого — стеклянные пластинки, дока¬
жите, что
СЩ_ _ D
АгС ~ L'
в) Исходя из того, что расстояние s между соседними светлыми полосами равно АВ,
докажите, что
~KL
s =	.
2D
г) Найдите толщину волоса в описанном выше опыте, приняв, что рисунок 288 дан с
тройным увеличением. Длина волны зелёного цвета 0,55 мкм, а сторона стеклянной
пластинки 20 см. д) Чему станет равным расстояние между соседними светлыми
полосами, если вместо зелёного светофильтра использовать красный, который про¬
пускает свет с длиной волны 0,7 мкм?
Совет, а) Свет, отражённый в точке В1, проходит расстояние СВ1 дважды (сверху вниз и снизу
вверх). Учтите, что соседним максимумам соответствует разность хода волн, равная одной длине
волны, г) Чтобы найти расстояние на рисунке между соседними светлыми полосами, воспользуй¬
тесь методом рядов.
976.	На квадратной рамке находится мыльная плёнка. Две стороны рамки горизон¬
тальны, плоскость рамки вертикальна. При освещении рамки горизонтально направлен¬
ным светом с длиной волны 0,66 мкм в отражённом свете наблюдаются параллельные
светлые и тёмные полосы. Показатель преломления плёнки можно принять равным пока¬
зателю преломления воды. Длина световой волны в воде в п раз меньше длины волны
света в воздухе, где га — показатель преломления воды, а) Как расположены полосы —
вертикально или горизонтально? б) Насколько толщина плёнки у нижней стороны рамки
больше, чем у верхней, если наблюдается 10 светлых полос?
Совет, а) Учтите, что под действием силы тяжести плёнка книзу утолщается, то есть превраща¬
ется в своеобразный «клин», б) Используйте соотношение между длиной световой волны в воде и
в воздухе. Учтите, что внутри плёнки отражённый свет проходит дважды. Поэтому расстоянию
между двумя светлыми полосами соответствует увеличение толщины плёнки на половину длины
волны (в плёнке).
Дифракция волн. Дисперсия света
Дифракционная решётка
977. Под какими углами наблюдаются интерференционные максимумы первого порядка
для волн, соответствующих фиолетовому и красному цветам? Для этих цветов длины
волн Аф = 0,38 мкм и А,к = 0,76 мкм. Расстояние между щелями 1 мм.
162

Синусы и тангенсы малых углов с хорошей точностью можно считать равными самим
углам в радианной мере. Это позволяет легко находить расстояние между интерферен¬
ционными полосами на удалённом экране.
978. Расстояние между соседними интерференционными максимумами на экране для
света с некоторой длиной волны равно 2,6 мм. Расстояние от щелей	до	экрана	20	м,	а
расстояние между щелями 0,5 см. Чему равна длина волны света?
Совет. Используя радианную меру углов, формулу dsincpj, = kX для малых углов (рк можно записать
в виде d ■ q>k = kX. Воспользуйтесь также тем, что sk = L(рА.
979. Пучок оранжевого света с длиной волны 0,6 мкм падает на дифракционную	решётку
с периодом 1 мкм, помещённую перед собирающей линзой с фокусным расстоянием
10 см. Экран находится в фокальной плоскости линзы, а) Под каким углом наблюдается
первый интерференционный максимум? б) На каком расстоянии от центрального макси¬
мума находится первый интерференционный максимум?
Совет, б) Воспользуйтесь тем, что расстояние до экрана равно фокусному расстоянию линзы.
Поэтому отношение искомого расстояния к фокусному расстоянию линзы равно тангенсу угла, под
которым наблюдается первый интерференционный максимум.
980. На дифракционную решётку с периодом 2 мкм падает пучок света с длиной волны
0,55 мкм. Каков наибольший порядок наблюдаемого интерференционного максимума?
Совет. Воспользуйтесь формулой dsincpfe = kX и тем, что значение синуса не может превосходить 1.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
981. Разность хода волн от двух источников в некоторой точке пространства в 4 раза
больше длины волны. Что будет наблюдаться в данной точке (усиление или ослабление
волн), если источники волн колеблются в одной фазе?
Совет. Воспользуйтесь условием интерференционных максимумов.
982. В данную точку пространства приходят световые волны от двух когерентных источ¬
ников. Сдвига фаз между источниками нет. Разность хода волн равна 1,8 мкм. Наблюда¬
ется ли в данной точке интерференционный максимум или минимум, если длина свето¬
вой волны равна: а) 600 нм; б) 400 нм?
Совет. Воспользуйтесь условием интерференционных максимумов и минимумов.
983. Чему равна длина когерентных световых волн, если минимальная разность хода
этих волн, при которой они ослабляют друг друга, равна 250 нм?
Совет. Воспользуйтесь условием интерференционных минимумов.
984. Свет с длиной волны 656 нм падает на дифракционную решётку перпендикулярно её
плоскости. Чему равен период дифракционной решётки, если максимум второго порядка
наблюдается под углом 15°?
985. Дифракционная решётка содержит 100 штрихов на 1 мм длины. Перпендикулярно
решётке на неё падает свет с длиной волны 600 нм. Под каким углом наблюдается
интерференционный максимум третьего порядка?
986. Сравните отклонение световых волн с разной длиной волны при преломлении света
стеклянной призмой и при прохождении света сквозь дифракционную решётку. В чём
заключается главное отличие?
987. Используя данные о показателе преломления света для воды, найдите, чему равна
скорость света в воде.
163

988. Скорость каких световых волн в стекле больше: соответствующих красному цвету
или фиолетовому?
Совет. Воспользуйтесь тем, что при прохождении света через треугольную призму «фиолетовые»
лучи отклоняются сильнее, чем «красные».
989. Чем характеризуется цвет более точно: длиной световой волны или её частотой?
990. На зелёную траву смотрят через красный светофильтр. Каким кажется цвет травы
при этом?
Совет. Трава отражает в основном лучи, соответствующие зелёному цвету, а красный светофильтр
пропускает в основном лучи, соответствующие красному цвету.
991. В оптоволоконном кабеле с показателем преломления п = 1,5 световой луч распро¬
страняется в течение 60 не. Какое расстояние пройдёт свет за это время?
992. Показатель преломления воды для световых волн, соответствующих красному цвету,
равен 1,331, а соответствующих фиолетовому цвету — 1,343. Скорость каких световых
волн в воде больше и насколько больше?
993. Монохроматическая световая волна переходит из воздуха в среду, в которой ско¬
рость света равна 200 ООО км/с. а) Чему равен показатель преломления данной среды?
б)	Изменяется ли частота световой волны при данном переходе, и если да, то как:
увеличивается или уменьшается? Во сколько раз? в) Изменяется ли длина свето¬
вой волны при данном переходе, и если да, то как: увеличивается или уменьшается?
Во сколько раз?
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
994. Наблюдатель рассматривает интерференционную картину волн на поверхности
воды, исходящих из двух точечных источников, колеблющихся в одинаковой фазе. Он
заметил, что интерференционные максимумы 6-го порядка лежат на одной линии с обо¬
ими источниками, а) Сколько линий, соответствующих интерференционным максимумам
с различными значениями k, наблюдается в этом опыте? б) Чему равно отношение рас¬
стояния между источниками волн к длине волны? в) Чему равны углы, под которыми
наблюдаются интерференционные максимумы второго и третьего порядков?
Совет, а) Учтите, что центральному максимуму соответствует k = 0. б) Воспользуйтесь тем, что для
максимумов 6-го порядка разность хода волн равна 6л. в) Воспользуйтесь формулой d sin ф;, = k'k.
995. Чему равна минимально возможная разность фаз колебаний двух точечных коге¬
рентных источников волн, если в точке, находящейся на равном расстоянии от обоих
источников, наблюдается интерференционный минимум?
Совет. Интерференционный минимум наблюдается в случаях, когда в данную точку пространства
волны приходят в противофазе.
996. На расстоянии 6 м от двух когерентных источников света расположен экран. Две
ближайшие светлые полосы, лежащие по разные стороны от центрального максимума,
расположены на расстоянии 4,8 мм друг от друга. Чему равна длина световой волны,
если расстояние между источниками равно 1 мм?
Совет. Воспользуйтесь условием интерференционного максимума. Указанное расстояние между
ближайшими светлыми полосами в 2 раза больше расстояния от каждой из этих полос до цен¬
трального максимума. Синусы и тангенсы малых углов можно принять равными самим углам,
измеренным в радианной мере.
997. Расстояние между двумя когерентными источниками света
равно 2 мм, расстояние между двумя соседними интерференцион¬
ными полосами на экране 2,1 мм. Чему равно расстояние между
источниками света и экраном, если длина волны равна 600 нм?
998. На рисунке 291 показано, как можно наблюдать интерфе¬
ренцию света, используя один точечный источник света и зер- g°
кало. а) Опишите схему опыта, воспользовавшись изображением
точечного источника света в зеркале. Приведите пояснительный	Рис.	291
Зеркало
164

рисунок, б) Найдите, чему будет равно расстояние между соседними интерференцион¬
ными максимумами на экране, если источник испускает монохроматический свет с дли¬
ной волны 500 нм. Расстояние от источника света до экрана равно 20 м, а расстояние
от источника света до зеркала равно 5 мм.
Совет. Интерферируют лучи, исходящие от источника света и его изображения в зеркале. Расстояние
между точечным источником света S и его изображением в зеркале равно 2Л. Синусы и тангенсы
малых углов можно приближённо считать равными значениям самих углов в радианной мере.
Поэтому для соседних максимумов можно записать: 2/i(sin9A+1 - sin(pft) = 2h(ipk+1 - (pft) = 2h ■ Дф = к.
g
При этом Дф = —.
999. Тонкая проволочка диаметром 85 мкм помещена между краями двух хорошо отшли¬
фованных тонких стеклянных пластинок, противоположные концы которых плотно при¬
жаты друг к другу (рис. 292). Расстояние от проволочки до линии соприкосновения пла¬
стинок равно 25 см. Перпендикулярно поверхности верхней пластинки сверху падает
пучок света с длиной волны 700 нм. Чему равно расстояние между соседними интерфе¬
ренционными полосами при наблюдении сверху?
1000. Под действием силы тяжести мыльная плёнка, натянутая на квадратную рамку,
две стороны которой горизонтальны, приняла форму клина: внизу она на 5 мкм толще,
чем вверху. На плёнку перпендикулярно ей падает монохроматический свет с частотой
4,5 • 1014 Гц. Сколько горизонтальных интерференционных полос наблюдается на плёнке
в отражённом свете?
Совет. Учтите, что внутри плёнки отражённый свет проходит дважды.
1001. При какой длине световой волны интерференционному максимуму второго порядка
соответствует разность хода волн 1,4 мкм? Какому цвету соответствует эта длина волны
в воздухе?
1002. На дифракционную решётку с периодом 5 мкм перпендикулярно ей падает моно¬
хроматический свет с длиной волны 675 нм. Интерференционные максимумы каких
порядков можно при этом наблюдать?
Совет. Наибольший порядок спектра соответствует углу 90°.
1003. На дифракционную решётку, содержащую 200 штрихов на 1 мм, перпендикулярно
ей падает пучок белого света. На каком расстоянии от решётки находится экран, если
ближайшие первые интерференционные максимумы, соответствующие красному и синему
цветам, находятся на расстоянии 6 см друг от друга? При расчёте примите, что крас¬
ному цвету соответствует длина волны 740 нм, а синему — 440 нм.
Совет. Сделайте схематический рисунок и найдите значение тангенса угла между направлением
на интерференционный максимум и перпендикуляром к решётке для волн обоих цветов. Восполь¬
зуйтесь формулой dsinpj = kk.
1004. На рисунке 293 схематически показан ход луча монохроматического света с дли¬
ной волны 500 нм, соответствующего первому интерференционному максимуму при
165

прохождении света через дифракционную решётку, помещённую в прозрачный сосуд с
водой. Период решётки равен 1 мкм. а) Найдите длину световой волны в воде, б) Чему
равен угол а? в) Чему равен угол (3?
1005. Источник света, дифракционную решётку и экран, не меняя расстояния между
ними, перемещают из воздуха в воду. Опишите, какие изменения будут при этом наблю¬
даться. Обоснуйте свой ответ.
1006. Чему равна скорость света в одном из сортов стекла, если предельный угол пол¬
ного отражения на границе с воздухом для этого сорта стекла равен 30°?
Совет.. Найдите коэффициент преломления света для данного сорта стекла.
1007. Длина монохроматической световой волны при переходе из воды в воздух изме¬
нилась на 0,12 мкм. а) Как изменилась длина волны: увеличилась или уменьшилась?
Во сколько раз? б) Чему равна длина волны света в воде и в воздухе? в) Изменился ли
цвет, соответствующий этой волне, при переходе из воды в воздух? Если да, то в какую
сторону произошёл сдвиг цвета — в сторону красного конца спектра или фиолетового?
Совет. Учтите, что скорость света в воздухе больше, чем в воде. При переходе из одной среды в
другую частота световой волны не изменяется.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Постулаты специальной теории относительности
1) Все физические явления протекают одинаково
во всех инерциальных системах отсчёта.
2) Скорость света в вакууме одинакова во всех
инерциальных системах отсчёта и не зависит
ни от скорости источника света,
ни от скорости приёмника света.
Некоторые следствия
специальной теории относительности
Полная энергия
Энергия покоя Е0 = тс
движущегося тела
р тс2
Изменение энергии покоя
L v2
при изменении массы
 с2
АЕ0 = Ат ■ с2
Импульс
движущейся частицы
Соотношение между
mv
энергией и импульсом
Р~ I 7*
фотона
1- —
V с2
Е = рс
1008. Чем отличается принцип относительности Эйнштейна от принципа относительности
Галилея?
1009. Космический корабль А удаляется от космического корабля В. С корабля А посы¬
лают световой сигнал, который отражается от зеркала, установленного на корабле В,
166

и возвращается к наблюдателю на корабле А. а) С какой скоростью движется свет
от А к В в системе отсчёта, связанной с кораблём А? В системе отсчёта, связанной с
кораблём В? б) С какой скоростью движется свет от В к А в системе отсчёта, связанной
с кораблём А? В системе отсчёта, связанной с кораблём В?
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
1010. Две ракеты летят навстречу друг другу. С первой ракеты посылают луч света в
направлении второй ракеты. Относительно какой ракеты скорость света больше?
1011. Представим, что из космического корабля, движущегося относительно Земли со
скоростью, равной половине скорости света, испускают свет в направлении движения
корабля. Чему равна скорость этого света относительно Земли?
1012. Насколько увеличивается масса 3 л воды при нагревании от 22 °С до кипения?
1013. Один литр воды, взятой при температуре 0 °С, превращают в лёд при той же тем¬
пературе. Как изменяется при этом масса вещества — уменьшается или увеличивается?
Насколько?
1014. Чему равна энергия покоя электрона?
1015. Насколько уменьшается масса Солнца за 1 с, если оно ежесекундно излучает энер¬
гию, равную примерно 3,75 ■ 1026 Дж ?
1016. Частица движется в вакууме со скоростью с. Чему равна масса этой частицы?
Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
1017. Чему равна скорость частицы, если её полная энергия в 2 раза больше энергии
покоя?
1018. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы от 0,6с до 0,8с,
если масса частицы равна т?
Совет. Работа равна разности энергий в начальном и конечном состояниях.
167

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
КВАНТЫ И АТОМЫ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Фотоэффект. Фотоны
1019. Задерживающее напряжение в одном из опытов по изучению фотоэффекта оказа¬
лось равным 5 В. Чему равна максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов?
1020. Для калия красная граница фотоэффекта соответствует жёлтому цвету, а для
цезия — оранжевому. Для какого из этих металлов частота, соответствующая красной
границе фотоэффекта, больше?
1021. В опыте по фотоэффекту с поверхности некоторого металла при облучении све¬
том с частотой 1,21 • 1015 Гц вылетают электроны с максимальной кинетической энергией
2 эВ. а) Чему равна энергия одного фотона в электронвольтах? б) Чему равна работа
выхода электронов для данного металла?
Совет, а) Воспользуйтесь уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.
1022. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 6 • 1014 Гц. При какой
частоте падающего света задерживающее напряжение равно 3 В?
1023. Свет падает на полностью поглощающую поверхность площадью 10 м2. Мощ¬
ность поглощаемого излучения равна 3 кВт. а) Чему равна энергия, поглощённая за
1 с? б) Чему равен импульс, переданный за 1 с? в) Чему равна сила давления света на
поверхность? г) Чему равно давление света? д) Во сколько раз это давление меньше нор¬
мального атмосферного давления?
168

Совет, б) Воспользуйтесь формулой р = —. в) Сила давления на поверхность равна отношению
с
импульса, переданного поверхности за некоторый промежуток времени, к этому промежутку вре¬
мени.
Строение атома. Атомные спектры
ЛЬ
Строение атома. Атомные спектры
Опыт Резерфорда	Теория	атома	Бора
/ ✓
/ / ✓
# f /
1 1 I
1 s I
l 4 
 % 4
hvkn =Ek-En
Длина волны
де Бройля
Р
Энергетические
уровни атома
Е
Е
2
Ег
Е0
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
1024. Чему равна энергия фотона ультрафиолетового излучения с частотой 6 • 1015 Гц?
Выразите значение этой энергии в джоулях и электронвольтах.
Совет. Воспользуйтесь формулой для энергии фотона.
1025. Чему равна работа выхода электронов для некоторого металла, если длина волны
света, соответствующего красной границе фотоэффекта для этого металла, равна 650 нм?
Совет. Воспользуйтесь уравнением Эйнштейна для фотоэффекта и выражением, связывающим
длину волны с частотой колебаний.
1026. При поглощении фотонов с энергией 4 эВ фотоэлектроны вылетают из металла с
максимальной кинетической энергией 1,8 эВ. Чему равна работа выхода электронов для
этого металла?
Совет. Воспользуйтесь уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.
169

1027. Чему равна частота света, падающего на пластину из некоторого металла, если
максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 1,6 • 10“19 Дж, а красная гра¬
ница фотоэффекта для этого металла равна 600 нм?
Совет. Воспользуйтесь уравнением Эйнштейна для фотоэффекта и выражением, связывающим
длину волны с частотой колебаний.
1028. Чему равна (в эВ) максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, вырыва¬
емых светом с длиной волны 400 нм из металла, красная граница для которого равна
5 • 1014 Гц?
1029. В каком состоянии находится атом, если он не может при этом излучить энергию?
1030. На рисунке 294 изображены уровень энергии электрона, при котором его энергия
равна нулю (этот электрон находится вне атома), и основной уровень, соответствующий
минимально возможной энергии атома водорода (—13,6 эВ). В результате поглощения
фотона электрон покинул атом водорода. Какова минимально возможная энергия этого
фотона, если атом находился в основном состоянии?
1031. Насколько увеличивается энергия атома при поглощении фотона с частотой
6 • 1014 Гц?
1032. Рассмотрите перечисленные ниже переходы электрона в атоме. Для каждого пере¬
хода определите: поглощает атом энергию или излучает, а) Электрон переходит с пер¬
вого энергетического уровня на второй, б) Электрон переходит с третьего энергетического
уровня на второй, в) Электрон переходит с четвёртого энергетического уровня на первый,
г)	Электрон переходит с четвёртого энергетического уровня на пятый.
1033. Перенесите рисунок 295 в тетрадь и изобразите на нём все возможные переходы
между уровнями, при которых излучается фотон. Сколько различных значений энергии
может иметь этот фотон?
Совет. Атом излучает фотон при переходе на более низкую стационарную орбиту.
1034. По рисунку 296, на котором изображена диаграмма энергетических уровней атома,
определите, какой стрелкой изображён переход, при котором происходит: а) излучение
фотона наибольшей частоты; б) поглощение фотона наименьшей частоты; в) излучение
фотона наибольшей длины волны; г) поглощение фотона наименьшей длины волны.
1035. На рисунке 297 схематически изображены энергетические уровни некоторого
атома. Основному уровню соответствует энергия, равная -12 эВ. При переходах между
указанными уровнями атом может излучать фотоны со значениями энергии 10 эВ, 6 эВ
и 4 эВ. Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём схематически данные пере¬
ходы, а также укажите значения энергии для всех уровней.
1036. Чему равна длина волны де Бройля, соответствующая электрону, движущемуся со
скоростью 107 м/с?
Е, эВ
0
-13,6 эВ
Е
Е2
Е1
Е г
Рис. 294
Рис. 295
Е
Е3
е2
Ег
Еп
12 3 4
Рис. 296
Е
е2
Е,
Еп
Рис.297
170

Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
1037. Максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цезия, равна
2000 км/с. Излучение с какой длиной волны падает на поверхность цезия?
Совет. Воспользуйтесь справочными данными о работе выхода электронов из этого материала.
1038. Чему равна красная граница фотоэффекта для некоторого металла, если макси¬
мальная скорость электронов, выбиваемых с поверхности металла при облучении, равна
1600 км/с? Длина волны падающего на поверхность металла излучения равна 100 нм.
1039. Фотоны с энергией 5 эВ вырывают из металла электроны. Чему равен максимальный
импульс фотоэлектронов, если работа выхода электронов из этого металла равна 4,7 эВ?
Совет. При установлении связи между импульсом фотоэлектрона и его скоростью учтите, что
скорость фотоэлектронов намного меньше скорости света.
1040. Фотоны с энергией 2,5 эВ вырывают из некоторого металла фотоэлектроны с мак¬
симальной кинетической энергией 0,5 эВ. Во сколько раз увеличится максимальная
кинетическая энергия фотоэлектронов, если увеличить частоту падающего света в 2 раза?
1041. Чему равна работа выхода электронов из некоторого металла, если при облучении
этого металла светом с длиной волны 500 нм задерживающее напряжение равно 1 В?
1042. При облучении некоторого металла светом с длиной волны 400 нм задерживаю¬
щее напряжение равно 2 В. Чему будет равно задерживающее напряжение для этого же
металла при облучении светом с длиной волны 770 нм?
1043. Фотоэлектроны вылетают из некоторого металла при облучении светом, длина
волны которого очень близка к длине волны, соответствующей красной границе фотоэф¬
фекта для данного металла. Вылетевшие электроны оказываются в однородном электри¬
ческом поле с напряжённостью 1,7 кВ/м. Через какой промежуток времени после вылета
из металла скорость электрона будет в 10 раз меньше скорости света?
Совет. Под действием электрического поля электроны движутся с ускорением а. В данном слу¬
чае движение фотоэлектронов происходит без начальной скорости. Поскольку скорость электро¬
нов намного меньше скорости света, при рассмотрении их движения можно использовать законы
классической физики.
1044. Фотоэлектроны, вырванные из металла светом некоторой частоты, попадают в
однородное магнитное поле с индукцией 0,4 мТл и движутся в нём по окружностям,
максимальный радиус которых равен 10 мм. Чему равна частота падающего света, если
работа выхода электронов из данного металла равна 4,42 ■ 10-19 Дж?
Совет. В однородном магнитном поле электроны движутся по окружностям под действием силы
Лоренца.
1045. При какой температуре средняя кинетическая энергия атомов одноатомного иде¬
ального газа равна максимальной кинетической энергии фотоэлектронов, вылетающих из
металла при облучении светом с длиной волны 270 нм, если работа выхода электронов
для данного металла равна 4 эВ?
1046. Незаряженный конденсатор электроёмкостью 8 нФ подключают к двум электродам,
покрытым цезием. Когда один из электродов освещают электромагнитным излучением с
частотой 1015 Гц, в цепи в течение некоторого времени будет идти фототок, заряжающий
конденсатор. Чему будет равен заряд конденсатора после прекращения фототока?
Совет. Фототок прекратится, когда напряжение на конденсаторе станет равным задерживающему
напряжению.
1047. Солнечные лучи падают на солнечную батарею площадью 50 м2 перпендикулярно
её поверхности. Чему равна сила давления солнечного света на батарею, если половину
падающего на неё света она поглощает, а половину — отражает? Мощность солнечного
излучения, падающего на 1 м2, равна 1,4 кВт.
1048. Электрон в атоме перешёл из стационарного состояния с энергией -0,85 эВ в дру¬
гое стационарное состояние, при этом был излучён фотон с частотой 5,43 • 1014 Гц. Чему
равна энергия электрона в конечном состоянии?
171

Совет. Электрон излучает фотон с энергией, равной разности энергий электрона на стационарных
орбитах.
1049. Энергия атома водорода в основном состоянии равна -13,6 В. С какой скоростью
электрон вылетит из атома, находившегося в основном состоянии, после поглощения
—1R
фотона с энергией 4 • 10 Дж?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии.
1050. Лазер излучает свет с длиной волны 630 нм, мощность излучения 40 мВт. Сколько
фотонов излучает лазер ежесекундно?
1051. Чему равна длина волны фотона А13, поглощаемого атомом при переходе с энерге¬
тического уровня 1 на уровень 3, если при переходах атома с уровня 2 на уровень 1 и
с уровня 3 на уровень 2 атом излучает соответственно фотоны с длиной волны Я21 и Х32?
Совет. Воспользуйтесь формулой hvkn = Ek - Еп и соотношением между частотой и длиной волны
света.
АТОМНОЕ ЯДРО И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
ншкяпшншншшшшвшншжшяянвд
Атомное ядро
Атомное ядро состоит из
положительно заряженных протонов
и нейтральных нейтронов.
+ I
,Н
,Н
н
1 1 1 2
Обозначение атомного ядра
хХ
А = Z + N
Не 2 Не
+
1- +
Li
А — массовое число
N — число нейтронов
Z — зарядовое число
Виды радиоактивных излучений
4Не
а-лучи — ядра гелия 21
(3-лучи — электроны
у-лучи — фотоны (у-кванты)
Уравнение а-распада
£X->f4Y+<He
Уравнение (3-распада
► Лл1
Z+1
zX ~»z+iY + Xе
Закон
радиоактивного распада
N(t) = N0-2
172

1052. На рисунке 298 схематически изображён опыт Резерфорда по изучению состава
радиоактивного излучения. Определите знаки зарядов частиц, входящих в состав а, (3 и
у-лучей.
1053. Как изменяются массовое и зарядовое числа ядра при а-распаде (испускании
а-частицы)?
ппл	999
1054. В результате а-распада ядро радия 88Ra превратилось в ядро радона 86Rn. Напи¬
шите уравнение этого распада.
1055. Как изменяются массовое и зарядовое числа ядра при (3-распаде (испускании элек¬
трона)?
1056. В результате Р-распада ядро свинца 28гРЬ превратилось в ядро висмута 288Bi.
Напишите уравнение этого распада.
1057. Изменяются ли массовое и зарядовое числа ядра вследствие излучения гамма-
кванта?
Совет. Фотон не имеет ни заряда, ни массы.
1058. Становится ли атомное ядро ядром другого элемента вследствие излучения гамма-
кванта?
1059. На рисунке 299 изображён график зависимости количества нераспавшихся атом¬
ных ядер от времени для некоторого радиоактивного изотопа, а) Чему равен период
полураспада этого изотопа? б) Какая доля начального числа ядер останется через 6 ч?
в)	Какая доля начального числа ядер останется через сутки?
1060. Запишите уравнение ядерной реакции, в результате которой возникают две
а-частицы при бомбардировке ядра изотопа лития gLi быстрыми протонами.
1061. Найдите дефект масс ядра изотопа углерода *дС (в атомных единицах массы) и
энергию связи этого ядра (в джоулях и электронвольтах).
Совет. Учтите, что масса ядра этого изотопа равна 12 а. е.м.
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ1)
Вопросы и задания уровня первой части ЕГЭ
1062. Определите количество протонов, нейтронов и электронов в атомах углерода 18С,
Q	99ft	1 оо
бериллия 4Ве, радия 89Ra, цезия 55CS.
О В заданиях к этому разделу буквой X обозначено ядро или частица, вид которых требуется
определить.
173

1063. Сколько нейтронов и протонов содержится в ядре атома серебра, если в ядре
содержится 108 частиц?
1064. Какие из	радиоактивных излучений: а) не отклоняются магнитным	и	электриче¬
ским полями; б)	отклоняются и магнитным, и электрическим полями?
1065. Какую частицу испустило ядро тория 2|дТЬ, если в результате радиоактивного рас¬
пада оно превратилось в ядро радия 2ggRa?
1066. В результате fi-распада ядра какого химического элемента образовался висмут-210?
1067. В результате двух последовательных а-распадов ядра некоторого элемента образова¬
лось ядро 2g^Po.	Ядром какого химического элемента оно было до распада?
1068. Напишите	уравнение распада для радиоактивного изотопа свинца ^РЬ,	который
испытал один а-распад и два (3-распада. Какой элемент образовался в результате этой
последовательности распадов?
1069. Пусть N0 — число радиоактивных атомов в начальный момент времени. Сколько
радиоактивных ядер распадётся за время, равное: а) одному периоду полураспада?
б) двум периодам полураспада? в) трём периодам полураспада?
Совет. Воспользуйтесь законом радиоактивного распада.
1070. Могут ли отличаться заряды двух ядер с одним и тем же массовым числом? Если
да, то являются ли эти ядра ядрами одного и того же химического элемента?
Совет. Заряд ядра определяется зарядовым, а не массовым числом.
1071. Радиоактивный атом 2|oTh после нескольких а- и (3-распадов превратился в атом
2ggBi. Сколько а- и p-распадов произошло?
1072. Ядро радия 2ggRa испытало а-распад. Какое количество протонов и нейтронов
содержит ядро, образовавшееся в результате этого распада?
1073. Какая часть первоначальных ядер некоторого изотопа останется через 5 с, если
период его полураспада равен 1 с?
Совет. Воспользуйтесь законом радиоактивного распада.
1074. За 10 мин распалось 75 % начального числа ядер некоторого радиоактивного изо¬
топа. Чему равен период полураспада этого изотопа?
Совет. Воспользуйтесь законом радиоактивного распада.
1075. Миллиард ядер данного радиоактивного изотопа распадается в течение 20 мин.
Сколько ядер распадётся за следующие 20 мин, если период полураспада данного изо¬
топа равен 20 мин?
1076. Определите, какой частице соответствует X в уравнении реакции
2Не + gLi -> ™В + X.
1077. Запишите уравнение ядерной реакции, описывающее бомбардировку ядер алюми¬
ния 13AI нейтронами, если в результате ядерной реакции образуются а-частица и изотоп
некоторого химического элемента.
1078. При поглощении ядра дейтерия ядро бериллия ®Be превращается в ядро бора 1gB.
Запишите уравнение ядерной реакции и определите, какая частица образуется при этой
реакции.
1079. Допишите уравнения ядерных реакций: a) gLi + р -» gHe + X; б) + „га —» X + р-,
в) + р -» gHe + X; г) X +	-»	22Na + gHe.
1080. Ядро урана 2g|U после поглощения нейтрона делится на два ядра: цезий 145°5Cs и
рубидий g^Rb. Сколько нейтронов выделяется в такой ядерной реакции деления?
174

Вопросы и задания уровня второй части ЕГЭ
1081. Из образца, содержащего радиоактивные изотопы, ежесекундно вылетает 3,7 • Ю10
а-частиц, средняя скорость которых равна 1,5 • 107 м/с. Какая энергия выделяется при
этом за 1 ч? Масса а-частицы равна 6,7 • 10-27 кг.
Совет. Найдите энергию одной движущейся а-частицы.
1082. Радиоактивный препарат, испускающий 1,7 ■ 1011 а-частиц в секунду, помещён
в медный контейнер массой 0,5 кг. Средняя энергия одной а-частицы равна 5,3 МэВ.
За какое время температура контейнера повысится на 2 К? Примите, что энергия всех
а-частиц переходит во внутреннюю энергию медного контейнера.
1083. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией, равной по модулю В, поко¬
ится радиоактивное нейтральное ядро. Оно испытывает а-распад, в результате которого
образуются а-частица и ион с таким же по модулю зарядом. Масса а-частицы т, масса
иона М, их суммарная кинетическая энергия равна Е. Ион и а-частица движутся в маг¬
нитном поле по окружностям. Чему равны радиусы этих окружностей? Чем будет разли¬
чаться движение иона и а-частицы?
Совет. Воспользуйтесь законом сохранения энергии и законом сохранения импульса.
1084. При бомбардировке ядер изотопа бора ^В а-частицами вылетают нейтроны. Напи¬
шите уравнение ядерной реакции. Чему равен энергетический выход этой реакции?
1085. Ядерный реактор атомной электростанции работает на уране-235, при распаде каж¬
дого ядра которого выделяется энергия 200 МэВ. Мощность атомной электростанции
1 ГВт, КПД электростанции 20 %. Какая масса урана расходуется в сутки?
Совет. Найдите число распавшихся за сутки ядер урана.
1086. Чему равна энергия, выделяющаяся при превращении электрона и позитрона
(античастицы электрона) в два фотона? Примите, что кинетической энергией электрона и
позитрона можно пренебречь.
Совет. При столкновении электрона и позитрона происходит их взаимное уничтожение, при этом
выделяется энергия Е = 2Еа.
1087. Элементарная частица пи-нуль-мезон (л0-мезон) распадается на два у-кванта. Чему
равна частота у-излучения, если масса л°-мезона в 264 раза больше массы электрона?
Начальной кинетической энергией л°-мезона можно пренебречь.
Совет. Найдите энергию я°-мезона и воспользуйтесь зависимостью энергии кванта от частоты
излучения.
1088. тг°-мезон распадается на два у-кванта. Чему равен модуль импульса одного из
у-квантов? Необходимые данные возьмите из условия предыдущей задачи. Кинетической
энергией мезона можно пренебречь.
175

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
МЕХАНИКА
Кинематика
14. Обозначения: овер — скорость вертолёта относительно воздуха; нвет — скорость ве¬
тра; d — расстояние от А до Б.
а) Время перелёта при попутном ветре
d
*по =     •	(1)
^вер ^вет
Время перелёта при встречном ветре
*прот = —	 .	(2)
V — V
вер вет
б) Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим одно уравнение для нахождения
^вер
в)	Время перелёта при отсутствии ветра
d
^безвет	•
инер
Уравнения (1-3) можно переписать в виде
^вер ^вет	1	_	^вер	^вет	1	_	^вер
^по	d	^ п рот	d	^безвет	d
Используя эти уравнения, можно выразить £безветр через tno и £прот.
68. Обозначения: 1Д — путь, пройденный телом за последнюю секунду падения,
/пп — путь, пройденный телом за предпоследнюю секунду падения, 12х — путь, пройденный
телом за последние две секунды падения, т — промежуток времени, равный 1 с, ( — время
3
падения тела. Из соотношений 12х = 1П + 1ПП и 1д = 21пп следует, что /2т = Путь, прой¬
ди2	g(t — т)2
денный телом за последнюю секунду падения 1П =	.	Путь, пройденный телом
2 2
gt2 g(t - 2т)2
за последние две секунды падения 12т =	.	Используя	написанные уравнения,
2 2
получаем одно уравнение для нахождения времени падения тела t.
92. Рассмотрим треугольник, две стороны которого — отрезки пути туриста длиной
2 км и 4 км. По условию угол между этими сторонами равен 135°. Используя теорему
косинусов, находим длину третьей стороны — она равна модулю перемещения туриста.
Используя далее теорему синусов применительно к этой третьей стороне и стороне, рав¬
ной 4 км, находим синус угла между вектором перемещения и направлением на юг. Зная
синус угла, находим сам угол.
94.	Обозначения: отепл — скорость теплохода относительно воды, итеч — скорость те¬
чения (равная скорости плота), I — расстояние между городами М и Н. Время движе-
I
ния теплохода по течению tn0 =	.	Время движения теплохода против течения
^тепл ^теч
176

^прот =	• Время движения плота £плот =	.	Используя	написанные	уравнения,
^тепл ^теч	^теч
можно выразить £плот через £по и £прот. Для этого удобно «перевернуть» предварительно все
три уравнения.
95.	Обозначения: I — расстояние между посёлками, va3 — модуль скорости аиста от¬
носительно воздуха, va3 — модуль скорости аиста относительно земли во время перелёта
при боковом ветре, ив — модуль скорости бокового ветра. Время перелёта в безветренную
I	I
погоду tx =	.	Время	перелёта	при	боковом	ветре t2 =	. Скорость аиста относительно
Чав	Уаз
земли является векторной суммой скорости аиста относительно воздуха и скорости ветра.
По условию ветер направлен перпендикулярно отрезку АБ, вдоль которого летит аист. По¬
этому векторы скорости аиста относительно воздуха, скорости ветра и скорости аиста от¬
носительно земли составляют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого — скорость
аиста относительно воздуха. Следовательно, согласно теореме Пифагора иаз = л]иав - va. Ис-
уя
пользуя написанные уравнения, можно выразить £„ через t, и отношение 	,	заданное	в
Уав
условии. Синус угла между скоростью аиста относительно воздуха и отрезком АБ выра-
жается формулой since = —1—.
иав
100. Обозначения: и0 — модуль начальной скорости шарика, а — модуль ускорения
шарика, tv t2 — промежутки времени (1 с и 3 с), через которые шарик оказался на за¬
данном в условии расстоянии от начальной точки (30 см). Модуль перемещения шари¬
ат
ка за указанные в условии промежутки времени выражается формулами s =		—,
.2 2
2 XX
s = v0t2 . Используя эти уравнения, можно выразить v0 и а через величины, задан-
2
ные в условии. Путь, пройденный шариком до возвращения в начальную точку, в 2 раза
vo
больше пути, пройденного шариком вверх до остановки. Следовательно, I = 2—. Подставив
2 а
в эту формулу полученные ранее выражения для vQ и а, получим выражение для прой¬
денного шариком пути.
105. Обозначения: vQx — проекция начальной скорости мяча на горизонтально направ¬
ленную ось х, vQy — проекция начальной скорости мяча на направленную вертикально
вверх ось у, t — время полёта мяча от начального момента до верхней точки траектории,
d — расстояние между мальчиками, v0 — модуль начальной скорости мяча. Всё время
полёта мяча в 2 раза больше, чем время полёта мяча до верхней точки траектории. По¬
этому дальность полёта мяча, то есть расстояние между мальчиками выражается формулой
2 2 2
v0x ■ 2t = d. Согласно теореме Пифагора v0 = v0x + v0y. Используя написанные уравнения,
можно выразить v0x через величины, заданные в условии. Зная время полёта мяча, можно
найти расстояние между мальчиками.
108. Обозначения: d — расстояние между дисками, v — скорость пули на участке
между дисками, со — угловая скорость вращения дисков, v — частота обращения дисков.
d
Расстояние между дисками пуля пролетает за время t = —. За это же время диски пово-
v
рачиваются на угол а = соt. Угловая скорость дисков со связана с частотой их вращения v
соотношением со = 2nv. Используя написанные уравнения, можно выразить v через вели¬
чины, заданные в условии. При этом значение частоты обращения дисков надо выразить
в об/с, а угол поворота дисков — в радианах.
177

Динамика
111. Модуль F равнодействующей двух сил, равных по модулю Fl каждая, равен длине
диагонали ромба со сторонами Fv проведенной из угла, равного углу между силами-сла¬
гаемыми.
126. Обозначения: R — радиус планеты, М — масса планеты, р — средняя плотность
планеты, vQ — начальная скорость камешков, I — максимальная дальность полёта камеш¬
ков, g — ускорение свободного падения вблизи поверхности планеты. Максимальная даль¬
ность полёта тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле бросания 45° и
выражается через начальную скорость тела и ускорение свободного падения формулой (на
Vn
экзаменах её надо выводить, а не брать в качестве готовой): I = —. Ускорение свободного
g
м
падения g можно выразить через массу планеты и ее радиус: g = G—-. Массу планеты
R
4jlR3
можно выразить через ее среднюю плотность и радиус: М = р. Используя написанные
3
уравнения, можно найти р.
135. Обозначения: kx, k2 — жёсткости пружин, х — общее удлинение системы пру¬
жин при подвешивании груза массой т, k — жёсткость системы пружин. Справедливы
следующие уравнения: k1xl = mg, k2x2 = mg, kx = mg, xx + x2 = x, kx = 3k2. Используя
эти уравнения, можно выразить искомые величины через величины, заданные в условии.
149. Обозначения: т — масса бруска, F — сила, с которой брусок прижимают к стене,
а — ускорение бруска, а — угол между силой F и вертикалью, ц — коэффициент трения
между бруском и стеной, N — модуль силы нормальной реакции, действующей со стороны
стены на брусок. Направим ось х горизонтально к стене, а ось у — вертикально вверх.
Второй закон Ньютона для бруска в проекциях на эти оси имеет вид:
Ox: Fsince - N = 0;
Оу: Fcosa - mg - yN = тау.
Используя эту систему уравнений, можно выразить ау через величины, данные в усло¬
вии. Если ау < 0, то ускорение бруска направлено вниз, а если ау > 0, то вверх.
164. Обозначения: т — масса шайбы, г — радиус окружности, по которой движется
шайба, v — скорость шайбы, N — модуль силы нормальной реакции, а — угол между
образующей конуса и вертикалью, Т — период обращения шайбы. Направим ось х гори¬
зонтально к центру окружности, по которой скользит шайба, а ось у — вертикально вверх.
Второй закон Ньютона для шайбы в проекциях на оси координат имеет вид:
Ox: iVcosa = mV ;
г
Оу: N sin a - mg = 0.
2 кг
Период обращения Т связан со скоростью шайбы v соотношением Т =	.	Используя
v
написанные уравнения, можно выразить Т через величины, заданные в условии.
173. Обозначения: тв, ти — массы верхнего и нижнего брусков, тг — масса груза,
а — модуль общего ускорения тел, когда бруски движутся как единое целое, ц — коэф¬
фициент трения между брусками, Т — модуль силы натяжения нити, NB — модуль силы
нормальной реакции, действующей на верхний брусок, N — модуль силы нормальной
178

реакции, действующей на нижний брусок, ав	—	модуль ускорения	верхнего	бруска,	когда
бруски движутся друг относительно друга, ая	—	модуль ускорения	нижнего	бруска,	когда
бруски движутся друг относительно друга, аг	—	модуль ускорения	груза. Направим	ось х
горизонтально вправо, а ось у — вертикально вниз.
а)	Если бруски движутся как единое целое, между ними действуют силы трения покоя.
Второй закон Ньютона для верхнего и нижнего брусков в проекциях на оси координат
имеет вид:
Ох: ЕТр.пок = тва;
Оу: mBg - NB = 0;
Ox: Т - FTV пок = mna;
Оу: msg + NB-NH = 0.
Второй закон Ньютона для груза:
mTg - Т = тта.	(3)
Из первых уравнений систем (1, 2) и уравнения (3) можно выразить а через заданные
в условии величины. Подставляя это выражение в первое уравнение системы (1), получим:
mBmrg
тр‘пок тв + тн + тТ	’
Теперь надо учесть, что сила трения покоя не может превышать максимальной силы
трения покоя. Мы принимаем её равной силе трения скольжения, то есть произведению
коэффициента трения на силу нормальной реакции. Таким образом, должно выполняться
неравенство
F	< цN	.	(5)
тр. пок “в	v	'
Из второго уравнения системы (1) следует, что в данном случае
NB = mBg.	(6)
Из соотношений (4-6) следует: чтобы бруски двигались как единое целое, должно вы¬
полняться неравенство
mBmTg
тп„ +
VmBg.	(7)
Из этого неравенства следует искомое неравенство для ц.
б) Значение коэффициента трения 0,5 превышает наименьшее значение коэффициента
трения между брусками, при котором они движутся как единое целое. Поэтому выразить
общее ускорение брусков через величины, заданные в условии, можно, используя системы
уравнений (1, 2) и уравнение (3).
в) Значение коэффициента трения 0,1 меньше наименьшего значения коэффициента
трения между брусками, при котором они движутся как единое целое. Следовательно, в
этом случае бруски будут двигаться друг относительно друга, то есть между ними будут
действовать силы трения скольжения. В этом случае второй закон Ньютона для верхнего
и нижнего брусков в проекциях на оси координат имеет вид:
Ox: yNB = mBaB;
Оу: mBg - NB = 0;
Ox: T - цЛГв = mHaB;
Oy: mng + NB - NB = 0.
179

Второй закон Ньютона для груза:
mvg - Т = ттат.	(10)
Поскольку нижний брусок связан с грузом нерастяжимой нитью,
аш = ат.	(11)
Используя уравнения (8-11), можно выразить ускорения брусков через величины,
заданные в условии.
188. Обозначения: R — радиус планеты, р — средняя плотность планеты, h — высота
обрыва, t — время падения камня с обрыва, g — ускорение свободного падения вблизи
_	, gt2 „М	4л R3
поверхности планеты. Справедливы следующие уравнении: * , —. , = G-, М - —р.
Используя эти уравнения, можно найти р.
190. Обозначения: m — масса грузовика, v — модуль скорости грузовика, R — радиус
дуги, а — модуль ускорения грузовика в верхней точке траектории, Р — модуль веса гру¬
зовика в верхней точке траектории, N — модуль силы нормальной реакции, действующей
на грузовик в верхней точке траектории, — модуль минимальной скорости грузовика в
верхней точке траектории, при которой вес грузовика в этой точке равен нулю. Поскольку
грузовик движется по дуге окружности, он испытывает направленное к центру окружно-
V2
сти (в данном случае — вниз) центростремительное ускорение а = —. Уравнение второго
R
закона Ньютона для грузовика в верхней точке траектории в проекциях на направленную
вертикально вниз ось х имеет вид mg - N = rrLU—_ Согласно третьему закону Ньютона вес
R
грузовика равен по модулю силе нормальной реакции: Р = N. Используя написанные урав¬
нения, можно выразить Р через величины, заданные в условии. Вес грузовика в верхней
точке траектории будет равен нулю, если сила нормальной реакции в этой точке равна
2
тил
нулю. В таком случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид: mg =	.	Используя
R
это уравнение, можно получить выражение для Uj.
191. Обозначения: kv k2 — жёсткости пружин, х1 — модуль деформации пружин при
смещении бруска, F — модуль равнодействующей приложенных к бруску сил. Действу¬
ющие на брусок сила тяжести и сила нормальной реакции уравновешивают друг дру¬
га, поэтому равнодействующая всех приложенных к бруску сил — это равнодействующая
сил упругости, действующих не него со стороны пружин. При смещении бруска влево
или вправо из начального положения одна пружина растягивается, а другая — сжимает¬
ся. Поэтому действующие на брусок силы упругости пружин направлены в одну сторону
(противоположную направлению смещения бруска — независимо от того, смещают бру¬
сок влево или вправо). Поскольку величина деформации пружин одинакова, для модуля
равнодействующей приложенных к бруску сил упругости можно записать: F = (k1 + k2)x.
Используя это уравнение, можно выразить х через величины, заданные в условии.
192. Обозначения: mv т2 — массы грузов, Fynp — модуль силы упругости пружины в
начальный момент, а — модуль ускорения первого груза сразу после пережигания нити.
До пережигания нити сила упругости пружины уравновешивала силу тяжести обоих грузов:
Fynp = (m1 + m2)g. Сразу после пережигания нити на первый груз будут действовать сила
тяжести и такая же сила упругости пружины (она не изменится мгновенно, потому что
первый груз не успеет сместиться из своего начального положения). Поэтому в этот момент
второй закон Ньютона для первого груза в проекциях на направленную вертикально вверх
180

ось х имеет вид: Еупр — mxg - тха. Используя написанные уравнения, можно выразить а
через величины, заданные в условии.
196. Обозначения: т — масса бруска, Д — сила, приложенная к бруску при его равно¬
мерном движении вверх, F2 — сила, приложенная к бруску при его равномерном движении
вниз, ц — коэффициент трения между бруском и стеной, а — угол между приложенной
к бруску силой и вертикалью, N — модуль силы нормальной реакции, действующей со
стороны стены на брусок. Направим ось х горизонтально к стене, а ось у — вертикально
вверх. Когда брусок движется вверх, действующая на него со стороны стены сила трения
скольжения направлена вниз. Поэтому второй закон Ньютона при равномерном перемеще¬
нии бруска вверх в проекциях на эти оси имеет вид:
[Ox: Fx cosa - mg - piV = 0;
1 Oy: Fx sin a - N = 0.
Используя эту систему уравнений, можно выразить Fx через величины, заданные в
условии.
Когда брусок движется вниз, действующая на него со стороны стены сила трения
скольжения направлена вверх. Поэтому второй закон Ньютона при равномерном переме¬
щении бруска вниз в проекциях на эти оси имеет вид:
[Ox: F2 cosa - mg + xN = 0;
[Oy: E2sina - N = 0.
Используя эту систему уравнений, можно выразить F2 через величины, заданные в
условии.
197. Обозначения: т — масса бруска, k — жёсткость пружины, х — начальное сжатие
пружины, р — коэффициент трения между бруском и столом, Fx — сила, которую нужно
приложить к бруску, чтобы сдвинуть его влево, F2 — сила, которую нужно приложить к
бруску, чтобы сдвинуть его вправо, Fynp — сила упругости, действующая на брусок со сторо¬
ны пружины. Брусок сдвинется с места, если приложенная к нему горизонтальная сила F
превышает по модулю максимальную силу трения покоя, которую принимают равной силе
трения скольжения. Поэтому должно выполняться неравенство: F > xN. Горизонтальная
сила F является равнодействующей приложенной к бруску силы и силы упругости пру¬
жины. По условию пружина сжата, поэтому действующая на брусок сила упругости на¬
правлена вправо. Согласно закону Гука F = kx.
При сдвигании бруска влево равнодействующая F сил Fx и Fynp направлена влево,
причём F = Fx - Fyap. Используя написанные соотношения, можно выразить неравенство
для Fx через величины, данные в условии.
При сдвигании бруска вправо равнодействующая F сил Fx и Fynp направлена вправо,
причём F = F2 + Fynp. Используя написанные соотношения, можно выразить неравенство
для F2 через величины, данные в условии.
198. Обозначения: т — масса бруска, F — сила, приложенная к бруску, ц — коэф¬
фициент трения между бруском и стеной, a — угол между приложенной к бруску силой
и вертикалью, N — модуль силы нормальной реакции, действующей со стороны стены на
брусок, а — ускорение бруска. Направим ось х вертикально вверх, а ось у — горизонталь¬
но к стене. По условию брусок движется вниз, поэтому действующая на него со стороны
стены сила трения скольжения направлена вверх. Следовательно, второй закон Ньютона
в проекциях на указанные оси координат имеет вид:
lOx: Fcosa - mg + iN = тах;
| Oy: Fsina - N = 0.
Используя эту систему уравнений, можно выразить ах через величины, заданные в
условии. Если ах < 0, то ускорение бруска направлено вниз, а если ах > 0, то вверх.
181

201. Обозначения: т — масса санок с мальчиком, I — длина горки, t — время ска¬
тывания санок с горки, а — угол наклона горки, ц — коэффициент трения между по¬
лозьями саней и снегом. Направим ось х вдоль горки вниз, а ось у — перпендикулярно
горке вверх. Когда сани с мальчиком движутся по наклонной плоскости вниз, действующая
на них сила трения скольжения направлена вдоль наклонной плоскости вверх. Поэтому
второй закон Ньютона для саней с мальчиком в проекциях на оси координат, с учётом
выражения для силы трения скольжения, имеет вид:
Г Ox: mgsina - цА = тах;
I Оу: mg cosa - N = 0.
По условию сани с мальчиком начали движение из состояния покоя, следовательно,
at2
а > 0. При равноускоренном движении без начальной скорости I =	.	Используя	напи-
* 2
санные уравнения, можно выразить р через величины, данные в условии.
202. Обозначения: т — масса бруска, а — угол наклона плоскости, р — коэффициент
трения между бруском и плоскостью, — сила, которую надо прикладывать к бруску
для его равномерного движения вниз, F2 — сила, которую надо прикладывать к бруску
для его равномерного движения вверх. Направим ось х вдоль наклонной плоскости вниз,
а ось у — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.
Прежде всего, надо определить, как должна быть направлена приложенная к бруску
сила: вверх вдоль наклонной плоскости или вниз?
Если брусок равномерно движется по наклонной плоскости вверх, то приложенная к
нему сила может быть направлена вдоль наклонной плоскости только вверх, потому что
без этой силы брусок может либо покоиться на наклонной плоскости, либо скользить по
ней вниз.
А вот если брусок равномерно движется по наклонной плоскости вниз, то направление
приложенной к бруску силы зависит от соотношения между углом наклона плоскости и
коэффициентом трения между бруском и плоскостью.
Если брусок «сам по себе» покоится на наклонной плоскости, то для того, чтобы он
равномерно двигался по наклонной плоскости вниз, к нему надо прикладывать силу, на¬
правленную вдоль наклонной плоскости тоже вниз.
Если же брусок «сам по себе» соскальзывает с наклонной плоскости, то для того,
чтобы он равномерно двигался по наклонной плоскости вниз, к нему надо прикладывать
силу, направленную вдоль наклонной плоскости вверх.
Докажите, что тело может покоиться на наклонной плоскости, если справедливо не¬
равенство tga < ц. Подставляя в это неравенство данные из условия задачи, мы видим,
что в данном случае это неравенство выполнено. Следовательно, когда брусок равномерно
движется по наклонной плоскости вниз, приложенная к нему сила направлена вдоль на¬
клонной плоскости вниз, то есть проекция этой силы на ось х положительна.
Когда брусок движется по наклонной плоскости вниз, действующая на него сила тре¬
ния скольжения направлена вдоль наклонной плоскости вверх. Поэтому второй закон Нью¬
тона для бруска в проекциях на оси координат, с учётом выражения для силы трения
скольжения и того, что брусок движется равномерно, имеет вид:
Ох: mgsina - iN + Fx = 0;
[Оу: mg cosa - N = 0.
Используя эту систему уравнений, можно выразить Fx через величины, данные в ус¬
ловии.
Когда брусок движется по наклонной плоскости вверх, действующая на него сила
трения скольжения направлена вдоль наклонной плоскости вниз. Поэтому второй закон
182

Ньютона для бруска в проекциях на оси координат, с учётом выражения для силы трения
скольжения и того, что брусок движется равномерно, имеет вид:
[Ox: mg sin а + yN - F2 = 0;
[Оу: mgcosa - N = 0.
Используя эту систему уравнений, можно выразить F2 через величины, данные в ус¬
ловии.
203. Обозначения: т — масса шарика, Т — сила натяжения нити, а — угол наклона
плоскости. Так как шарик покоится относительно тележки, он движется относительно
земли с таким же ускорением, как и тележка. Поскольку трением между тележкой и
плоскостью можно пренебречь, тележка движется с ускорением а = gsina. Направим ось х
вдоль наклонной плоскости вниз, а ось у — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.
Второй закон Ньютона для шарика в проекциях на оси координат имеет вид:
[Ох: Тх + mgsina = та;
|Оу: Ту - mgcosa = 0.
Подставляя выражение для ускорения в первое уравнение системы, находим, что
Тх = 0. Это означает, что нить перпендикулярна наклонной плоскости. В таком случае
она составляет угол а с вертикалью. Поскольку Т = 0, получаем Т = Т .
X	у
204. Движение шайбы по наклонной плоскости аналогично движению тела, брошенного
под углом к горизонту. Направим ось х от А к В, а ось у вверх вдоль наклонной пло¬
скости. Используя второй закон Ньютона, можно показать, что при скольжении по глад¬
кой наклонной плоскости шайба движется с ускорением, направленным вдоль наклонной
плоскости вниз, причём а = gsina. Используя формулы для движения тела, брошенного
под углом к горизонту, получаем выражения для дальности и высоты «полёта» шайбы, в
котором вместо g стоит а, а вместо а стоит |3.
207. Обозначения: m — масса шайбы, R — радиус полусферы, N — модуль силы нор¬
мальной реакции, a — угол между силой нормальной реакции и вертикалью, г — радиус
окружности, по которой движется шайба, v — модуль скорости шайбы, Т — период обра¬
щения шайбы. Направим ось х горизонтально к центру окружности, по которой скользит
шайба, а ось у — вертикально вверх. Из условия, что шайба находится на высоте R/2
от нижней точки полусферы, следует, что cosa = 0,5. Это равенство позволяет определить
значение угла а. Сделав чертёж, можно убедиться, что г = R sina. Второй закон Ньютона
для шайбы в проекциях на оси координат имеет вид:
Ох: N sina = —J ;
г
Оу: N cosa - mg = 0.
Период обращения Т связан со скоростью шайбы v соотношением Т =	Используя
v
написанные уравнения, можно выразить v и Т через величины, заданные в условии.
208. Обозначения: m — масса шарика, R — радиус полусферы, г — радиус окруж¬
ности, по которой движется шарик, a — угол между нитью и вертикалью, N — модуль
силы нормальной реакции, действующей на шарик, Т — модуль силы натяжения нити,
v — модуль скорости шарика в первом опыте, vmiD — минимальная скорость шарика, при
которой он не давит на полусферу. Направим ось х горизонтально к центру окружности,
по которой движется шарик, а ось у — вертикально вверх. Сделав чертёж, можно убе¬
диться, что г = Rcosa.
183

а)	С учётом того, что нить направлена по касательной к полусфере, второй закон Нью¬
тона для шарика в проекциях на оси координат можно записать в виде:
mv2
Ox: Тsinct - iVcosa =	:
г
Оу: Тcosa + iVsina - mg = 0.
Используя написанные уравнения, можно выразить N через величины, заданные в
условии. Согласно третьему закону Ньютона искомая сила, с которой шарик давит на
полусферу, равна по модулю силе нормальной реакции, с которой полусфера действует
на шарик.
б) Чтобы получить выражение для nmin, можно воспользоваться уже полученным вы¬
ражением для N. Приравняв N нулю, получим искомое выражение для umin.
209. Обозначения: m — масса груза, v — скорость поезда, k — жёсткость пружины,
х — удлинение пружины, Fynp — модуль силы упругости пружины, г — радиус дуги по¬
ворота, a — угол между нитью и вертикалью. Направим ось х горизонтально к центру
окружности, по которой движется поезд, а ось у — вертикально вверх. Второй закон
Ньютона для шарика в проекциях на оси координат можно записать в виде:
П 77	•	ml>2
Ox: -FynpSina = ——;
Оу: Fynp cosa - mg = 0.
Чтобы «исключить» из этой системы уравнений угол а, можно воспользоваться основ¬
ным тригонометрическим тождеством (sin2a + cos2a = 1). Мы получим Fynp =
2
?71V	,	ч2
1 +(mgf.
V J
Согласно закону Гука Fynp = kx. Используя написанные уравнения, можно выразить г через
величины, заданные в условии.
211. Обозначения: mv m2 — массы брусков, k — жёсткость пружины, F — модуль
приложенной силы, Fynp — модуль силы упругости пружины, х — удлинение пружины,
a — угол между направлением силы и горизонталью, N1 — модуль силы нормальной
реакции, действующей на первый брусок, N2 — модуль силы нормальной реакции, дей¬
ствующей на второй брусок. Направим ось х горизонтально вправо, а ось у — вертикально
вверх.
Второй закон Ньютона для первого и второго брусков в проекциях на оси координат
имеет вид:
Ox: Fcosa -	= пи а;
упр	(1)
Оу: F sin a +	-	mxg = 0;
Ox: Fynp = m2a;
Oy: N2 - m2g = 0.
Складывая первые уравнения систем (1, 2), получим одно уравнение, с помощью ко¬
торого можно выразить общее ускорение системы брусков а через величины, заданные в
условии. Подставляя это выражение в первое уравнение системы (2), получим выражение
для Fynp. Используя закон Гука, получим выражение для х.
212. Обозначения: тб — масса бруска, тТ — масса тележки, N6 — модуль силы нор¬
мальной реакции, действующей на брусок, NT — модуль силы нормальной реакции, дей¬
ствующей на тележку, а — модуль общего ускорения тел в случае, когда они движутся
как единое целое.
184

Условие, при котором тележка и брусок будут двигаться друг относительно друга,
можно найти, выяснив, при каком условии тележка и брусок будут двигаться как единое
целое. Тогда при невыполнении этого условия тележка и брусок будут двигаться друг от¬
носительно друга, то есть тележка будет «выдёргиваться» из-под бруска.
Направим ось х горизонтально вправо, а ось у — вертикально вниз.
Если тележка и брусок движутся как единое целое, между ними действуют силы тре¬
ния покоя. В таком случае ускорения тел одинаковы и второй закон Ньютона для тележки
и бруска в проекциях на оси координат имеет вид:
| Ox: F - Етр пок = тта;
[Оу. mTg + N6-NT=0;
|0х: ^тр.пок =
[Оу. m6g - N6 = 0.
Складывая первые уравнения систем (1-2), получим:
F
а =	.	(3)
тб + тТ
Подставляя это выражение для ускорения в первое уравнение системы (2), получаем:
F = F—— .	(4)
тр'пок тб+тТ	W
Учтём теперь, что сила трения покоя не может превышать своего максимального зна¬
чения, которое принимают равным силе трения скольжения, равной в данном случае цЛС.
Используя второе уравнение системы (2), находим, что должно выполняться неравенство
тр. ПОК
ym5g.	(5)
Подставляя в это неравенство выражение (4), получаем искомое неравенство для модуля
силы F, выраженное через величины, заданные в условии.
213.	Обозначения: пг6 — масса бруска, тпт — масса тележки, N6 — модуль силы нор¬
мальной реакции, действующей на брусок, 2VT — модуль силы нормальной реакции, дей¬
ствующей на тележку, а — модуль общего ускорения тел в случае, когда они движутся
как единое целое.
Условие, при котором тележка и брусок будут двигаться друг относительно друга,
можно найти, выяснив предварительно, при каком условии тележка и брусок будут дви¬
гаться как единое целое. Тогда при невыполнении этого условия тележка и брусок будут
двигаться друг относительно друга, то есть тележка будет «выдёргиваться» из-под бруска.
Направим ось х горизонтально вправо, а ось у — вертикально вниз.
Если тележка и брусок движутся как единое целое, между ними действуют силы
трения покоя. В таком случае ускорения тел одинаковы, и второй закон Ньютона для
тележки и бруска в проекциях на оси координат имеет вид:
°х: Кр.иок = "V*;
[Оу: mTg + N6-NT= 0;
[Ох: Е-Етрпок =m6a;
[Oy: m6g - N6 =0.
Складывая первые уравнения систем (1-2), получим:
F
а =	.	(3)
185

Подставляя это выражение для ускорения в первое уравнение системы (1), получаем:
т
F = F	1	.	(4)
тр. пок	•	V’/
тб + тт
Учтём теперь, что сила трения покоя не может превышать своего максимального зна¬
чения, которое принимают равным силе трения скольжения, равной в данном случае Ц.Уб.
Используя второе уравнение системы (2), находим, что должно выполняться неравенство
^тр. пок *	(5)
Подставляя в это неравенство выражение (4), получаем искомое неравенство для модуля
силы F,	выраженное	через	величины, заданные	в	условии.
Обратите	внимание	на	то,	что	сила, которую	надо	приложить к массивному бруску,
чтобы сорвать его с лёгкой тележки, намного больше, чем сила, которую надо приложить
к лёгкой тележке, чтобы выдернуть её из-под массивного бруска (сравните с предыдущей
задачей)!
214.	Обозначения: тпд — масса доски, mQ — масса бруска, F — прикладываемая к до¬
ске сила, N6 — модуль силы нормальной реакции, действующей на брусок, Ыд — модуль
силы нормальной реакции, действующей на доску, FTp пок — модуль сил трения покоя,
действующих на брусок и доску. Направим ось х горизонтально вправо, а ось у — вер¬
тикально вниз.
Если доска и брусок движутся как единое целое, между ними действуют силы трения
покоя. В таком случае ускорения тел одинаковы и второй закон Ньютона для доски и
бруска в проекциях на оси координат имеет вид:
Ох: F - FTJ> пок = тда;
[Oy: m^g + N6-NJl= 0;
ГОх. FTp пок — nigCi,
[Oy: m6g - N6 = 0.
Складывая первые уравнения систем (1—2), получим:
F
а =	.	(3)
тб + тд
Подставляя это выражение для ускорения в первое уравнение системы (2), получаем:
F = F——  (4)
TD. ПОК	,	*
т6+тд
Учтём теперь, что сила трения покоя не может превышать своего максимального зна¬
чения, которое принимают равным силе трения скольжения, равной в данном случае Ц-Л/д.
Используя второе уравнение системы (2), находим, что должно выполняться неравенство
пок * vm6g-	(5)
Подставляя в это неравенство выражение (4), получаем неравенство для модуля силы F,
выраженное через величины, заданные в условии. Подставляя значения этих величин, на¬
ходим, что в данном случае условие (5) не выполняется, то есть брусок начнёт скользить
по доске.
В таком случае между бруском и доской будут действовать силы трения скольжения,
равные произведению коэффициента трения на модуль силы нормальной реакции, дей¬
186

ствующей на брусок. Используя это выражение для силы трения скольжения, получаем
из второго закона Ньютона для доски и бруска:
F - xmbg = тлал,	(6)
im6g = тбаб.	(7)
С помощью уравнений (6, 7) можно выразить ускорения доски и бруска через вели¬
чины, заданные в условии.
Брусок соскользнёт с доски в тот момент, когда пройденный доской путь будет больше,
чем путь, пройденный бруском, на длину доски. В этот момент выполняется равенство
1Д-16 = Ь.	(8)
Пути, пройденные бруском и доской, можно выразить через их ускорения и время
движения:
аЛ2
1* - 1г’	(9)
h =	(10)
Подставляя эти выражения в уравнение (8), выражаем t через величины, заданные в
условии.
Законы сохранения в механике
247. Обозначения: М и т — массы шаров (М > т), и — модуль скоростей шаров,
когда стержень находится в вертикальном положении (поскольку шары находятся на оди¬
наковых расстояниях от оси вращения, модули их скоростей в любой момент равны). При
переходе стержня от горизонтального положения к вертикальному потенциальная энергия
более массивного шара уменьшается на Mgl, а потенциальная энергия менее массивного
шара увеличивается на mgl. Поскольку в начальном состоянии шары покоились, согласно
Mv2 mv2	тт
закону сохранения энергии в механике получаем 	+	= Mgl - mgl. Используя это
2 2
уравнение, можно выразить v через величины, данные в условии.
249. Обозначения: т — масса шарика, I — длина нити, а — угол отклонения нити
от вертикали в начальном состоянии, v — модуль скорости шарика при прохождении по¬
ложения равновесия, h — высота, на которой находится шарик в начальном положении
по сравнению с положением равновесия, Т — модуль силы натяжения нити при прохож¬
дении шариком положения равновесия. Согласно закону сохранения энергии в механике
mv2
 = mgh. Справедливо соотношение h = 1(1 - cosa). Уравнение второго закона Ньютона при
2
прохождении шариком положения равновесия в	проекциях	на направленную	вертикально
mv2 _	_	_
вверх ось х: —-— = Т - mg. Согласно условию Т	= 2mg. Используя	написанные	уравнения,
можно выразить а через величины, заданные в	условии.
254. а) Обозначения: г — радиус цилиндра, m — масса шайбы, vb — модуль скорости
шайбы в верхней точке цилиндра. При минимально возможной скорости шайбы в верх¬
ней точке цилиндра на шайбу, находящуюся в этой точке, не действует сила нормальной
реакции со стороны цилиндра, то есть действует только сила тяжести. Поэтому уравнение
второго закона Ньютона для шайбы в проекции на направленную вертикально вниз ось х
187

имеет вид  — = mg. Согласно закону сохранения энергии в механике 	—	+	2mgr
г	2	^
Используя написанные уравнения, можно выразить о0 через rug.
б)	Обозначения: г — радиус цилиндра, т — масса шайбы, h — высота, на которой
шайба отрывается от цилиндра, v — модуль скорости шайбы в момент отрыва, ин — мо¬
дуль скорости шайбы в нижней точке цилиндра. В момент отрыва шайбы от цилиндра
на неё действует только сила тяжести, поэтому уравнение второго закона Ньютона в про¬
екциях на ось х, направленную из точки отрыва шайбы к центру окружности, имеет вид
mv2	h-r	_	_
 = mg . Дробь в правой части этого уравнения — косинус угла между вертикалью
г	г
и радиусом, проведённым в точку отрыва шайбы. Согласно закону сохранения энергии в
mv2 , mv2 tt
механике, 	+	mgh	=	.	Используя	написанные уравнения, можно выразить он через
2 2
г, h и g.
257. Обозначения: mv т2 — массы осколков, у15 v2 — модули скоростей осколков
сразу после разрыва снаряда, 1г, 12 — дальности полёта осколков. В верхней точке траек¬
тории скорость снаряда равна нулю. Поэтому из закона сохранения импульса следует, что
m1v1 = m2v2. Скорости осколков направлены горизонтально и у них одинаковая начальная
высота. Поскольку горизонтальная проекция скорости для тела, брошенного под углом
L	v,
к горизонту, остаётся постоянной, отсюда следует, что — = —. Обозначим т, массу более
к и2
массивного осколка. Тогда согласно условию тг = 3т2. Используя написанные уравнения,
можно найти т2.
258. Обозначения: vQ — начальная скорость снаряда, а — угол между начальной ско¬
ростью снаряда и горизонталью, vlx, v2x — проекции скоростей первого и второго осколков
на ось х, направление которой совпадает с направлением скорости снаряда в момент раз¬
рыва, т — масса любого из осколков, I — расстояние по горизонтали от пушки, до точки,
над которой разорвался снаряд, lv 12 — расстояния по горизонтали от точки, над которой
разорвался снаряд, то мест падения первого и второго осколков, t — время полёта сна¬
ряда до разрыва. В верхней точке траектории отлична от нуля только проекция скорости
снаряда на ось х. Тогда из закона сохранения импульса следует: mvlx + mv2x = 2mv0 cosa.
Из того что первый осколок упал рядом с пушкой, следует, что он летел по той же тра¬
ектории, что и снаряд, но в обратном направлении, поэтому vlx = -o0cosa. Из написанных
уравнений следует, что v2x = Зи0 cosa. Поскольку начальные скорости осколков направлены
горизонтально, время их полёта после разрыва снаряда одинаково и равно времени t полё-
„	L
та снаряда до разрыва. Поэтому —
к
Согласно условию lx = I. Используя написанные
уравнения, можно выразить 12 через I. Значение I можно найти через данные в условии
начальную скорость снаряда и угол бросания. Согласно условию d = I + 12.
261.	Обозначения: т — масса шайбы, М — масса горки, Н — высота более высокой
вершины, h — высота менее высокой вершины, V, v — модули скоростей горки и шайбы в
момент, когда шайба находится на менее высокой вершине. Проекция суммарного импульса
горки и шайбы на горизонтальную ось сохраняется. Отсюда следует, что скорости горки
и шайбы в рассматриваемый момент времени направлены противоположно. Кроме того,
МУ2 mv2
MV = mv. Из закона сохранения энергии в механике получаем 	+	+	mgh	=	mgH.
2 2
Используя написанные уравнения, можно выразить V и v через М, т, Н и h.
188

278. Обозначения: тт — масса тележки, тч — масса человека, L — длина тележки,
ит — скорость тележки относительно земли, ич — скорость человека относительно земли,
/,г — путь, пройденный тележкой относительно земли, 1ч — путь, пройденный человеком
относительно земли, t — промежуток времени, в течение которого человек переходит от
одного края тележки до другого. Направим ось х горизонтально в направлении движения
человека.
Поскольку трением между тележкой и рельсами по условию можно пренебречь, про¬
екция суммарного импульса тележки и человека на ось х не изменяется, то есть остаётся
равной нулю (в начальный момент человек и тележка покоились). Отсюда следует, что
когда человек начнёт идти по тележке, она начнёт перемещаться в противоположном на¬
правлении. Так как проекция суммарного импульса человека и тележки на ось х равна
нулю, получаем для проекций скоростей: mTVTX + m4V4X = 0. Отсюда для модулей скоростей
следует: ттит = тчич.
За время движения по тележке человек и тележка пройдут пути, выражаемые форму¬
лами 1ч = u4t, lT = v,t. Поскольку человек и тележка перемещаются относительно земли
в противоположных направлениях, 1щ + 1т = L. Используя написанные уравнения, можно
выразить 1т через величины, заданные в условии.
290.	При движении шайбы вверх и вниз вдоль наклонной плоскости работа силы
трения скольжения одинакова, потому что одинаков модуль этой силы FTp и модуль пере¬
мещения s. В обоих случаях сила скольжения направлена противоположно перемещению,
поэтому полная работа силы трения Атр = -2F s. Модуль силы трения скольжения можно
выразить через данные в условии величины. Модуль s перемещения шайбы при движении
вдоль наклонной плоскости вверх можно выразить через начальную скорость шайбы v0 и
её ускорение при движении вдоль наклонной плоскости вверх. Используя второй закон
Ньютона, это ускорение можно выразить через данные в условии величины.
296.	Обозначения: пг — масса бруска, k — жёсткость пружины, — начальное удли¬
нение пружины, х2 — удлинение пружины в данный момент (2 см), v — модуль скорости
„,„2	Ь~2	UJ2
бруска в тот же момент. Согласно закону сохранения энергии в механике
mv _ kx1 kx2
2 2 2
Используя это уравнение, можно выразить v через величины, заданные в условии.
297. Обозначения: mv m2 — массы брусков, vv v2 — модули скоростей брусков при
их движении после пережигания нити, Е — потенциальная энергия сжатой пружины,
Ekl, Ek2 — кинетические энергии брусков при их движении после пережигания нити. В
данном случае сохраняется суммарный импульс брусков и полная механическая энергия
2 2
тт	nhV2	т, тт
системы «бруски + пружина». Поэтому m1u1 = m2v2,  н = Е. Из первого уравнения
2 2
V1	m2	ТЧ	Ekl	m2	TI
следует, что — =	.	Отсюда	получаем	 =	.	Используя	написанные	уравнения, можно
Щ	Щ	Ек2	т
выразить кинетические энергии брусков через величины, заданные в условии.
298. Обозначения: т — масса пули, М — масса бруска, v0 — модуль скорости пули,
vQ — модуль скорости бруска с застрявшей в нём пулей сразу после попадания пули в
брусок, F — модуль силы сопротивления движению пули, s — модуль перемещения пули
внутри бруска. Согласно закону сохранения импульса mv0 = (М + m)v6. Согласно теореме об
(М + m)v% mvl
изменении кинетической энергии	=	-Fs.	Используя	написанные уравнения,
2 2
можно выразить и0 через величины, заданные в условии.
299. Обозначения: т — масса пули, v — модуль скорости пули в момент вылета из
ружья, d — длина ствола ружья, а — угол наклона ружья, I — дальность полёта пули
189

(расстояние между концом ствола ружья и точкой А), Е — потенциальная энергия сжатой
mv2
пружины. Согласно закону сохранения энергии в механике mgdsina +	=	Е.	Дальность
2
полёта тела, брошенного под углом к горизонту, I = ^—sin2ot ^ дСПОЛЬЗуЯ написанные урав-
ё
нения, можно выразить т через величины, заданные в условии.
300. Обозначения: т — масса шайбы, v — скорость шайбы в момент, когда она на¬
ходится на высоте h = —, N — модуль силы нормальной реакции, действующей на шайбу
6
в данный момент.
а) Согласно закону сохранения энергии в механике получаем для данного момента
mv2 mgR	mgR
времени 	+	=	.
2	6	2
в)	В указанный момент уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось х, направ-
mv2 ЛТ
ленную из точки нахождения шайбы к центру окружности, имеет вид 	=	N	-	mgcosa.
R
Здесь N — модуль силы нормальной реакции, a — угол между вертикалью и радиусом,
проведённым в точку нахождения шайбы. В данный момент cosa =	'-	= -. Используя
R 6
написанные уравнения, можно выразить N через mug.
301. а) Обозначения: г — радиус окружности, h — высота, на которой шайба отрыва¬
ется от жёлоба, Н — начальная высота шайбы, и1 — модуль скорости шайбы в момент
отрыва от жёлоба. Согласно закону сохранения энергии в механике получаем для момента
mv?
времени, когда шайба отрывается от жёлоба: 	+	mgh = mgH. В момент отрыва шайбы
2
уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось х, направленную из точки нахож-
mv?	^
дения шайбы к центру окружности, имеет вид  — = mg cosa. В рассматриваемый момент
г
cosa = ———. Используя написанные уравнения, можно выразить Н через /гиг.
г
б) Обозначения: v2 — модуль скорости шайбы в момент, когда она находится на вы¬
соте г, N — модуль действующей на шайбу силы нормальной реакции в этот момент.
Согласно закону сохранения энергии в механике получаем для рассматриваемого момента
mv?	rr	г,
времени  — + mgr = mgH. Поскольку в момент, когда шайба находится на уровне цен-
2
тра окружности, проекция силы тяжести на ось х, направленную из точки нахождения
шайбы к центру окружности, равна нулю, уравнение второго закона Ньютона в проекции
mv?
на эту ось имеет вид 	=	N. Используя выражение для Н, полученное при выполнении
г
задания а), а также написанные уравнения, можно выразить N через m, h, г и g. Соглас¬
но третьему закону Ньютона шайба давит на жёлоб с такой же по модулю силой, что и
жёлоб давит на шайбу.
303.	Обозначения: I — длина нити, т — масса шарика, a — угол с вертикалью в мо¬
мент, когда сила натяжения нити равна по модулю действующей на шарик силе тяжести,
v — модуль скорости шарика в этот момент, Т — модуль силы натяжения нити в этот
190

момент. Согласно закону сохранения энергии в механике получаем для рассматриваемого
1711)2
момента времени 	= mgl cos а. В рассматриваемый момент уравнение второго закона
2
Ньютона в проекции на ось х, направленную из точки нахождения шарика к центру
mv2
окружности, имеет вид —-— - Т - mg cosa. Согласно условию Т = mg. Используя написан¬
ные уравнения, можно найти значение cosa, а потом и угол а.
304. Обозначения: г — радиус цилиндра, m — масса шайбы, v — модуль скорости
шайбы в момент отрыва от цилиндра, h — высота отрыва шайбы (считая от нижней точ¬
ки цилиндра), vQ — модуль начальной скорости шайбы. Из закона сохранения энергии в
1711)2	,	mVC) тч	„
механике получаем 	+ mgh =	—. В момент отрыва от цилиндра на шайбу действует
2 2
только сила тяжести, поэтому уравнение второго закона Ньютона для шайбы в проекции
на ось х, направленную от точки нахождения шайбы к центру окружности, имеет в этот
mv2
момент вид 	=	mg	cosa. Здесь a — угол между вертикалью и радиусом, проведённым
г
из точки нахождения шайбы. В рассматриваемый момент cosa = —. Используя написан-
г
ные уравнения, можно выразить г через величины, данные в условии. Надо учесть, что в
задаче спрашивается о диаметре цилиндра.
305. Обозначения: m — масса шайбы, I — длина наклонной плоскости, г — радиус об¬
руча, a — угол наклона плоскости, ц — коэффициент трения между шайбой и плоскостью,
а — модуль ускорения шайбы при движении вверх вдоль наклонной плоскости, vQ — мо¬
дуль минимальной начальной скорости шайбы, при которой она отрывается от опоры в
точке В, v — модуль скорости шайбы в точке В. Второй закон Ньютона для шайбы в про¬
екции на ось х, направленную вверх вдоль наклонной плоскости: mgsina + pmgcosa = та.
Используя формулы равноускоренного движения, получаем Vq - и2 = 2al. В момент отрыва
от опоры на шайбу действует только сила тяжести, поэтому уравнение второго закона
Ньютона для шайбы в проекции на ось х, направленную от точки нахождения шайбы к
1711,2	уд
центру окружности, имеет в этот момент вид 	=	mg	cosa.	Используя написанные урав-
г
нения, можно выразить и0 через величины, данные в условии.
306. Обозначения: тх, т2 — массы осколков, иг, v2 — модули скоростей осколков
сразу после разрыва снаряда, 1Х, 12 — дальности полёта осколков. В верхней точке траек¬
тории скорость снаряда равна нулю. Поэтому из закона сохранения импульса следует, что
m1v1 = m2v2. Скорости осколков направлены горизонтально и у них одинаковая начальная
L и,
высота. Поэтому — = —. Согласно условию т„ = 3т.. Используя написанные уравнения,
к V2
можно выразить 12 через величины, данные в условии.
307. Обозначения: тг — масса налетающего шара, т2 — масса подвешенного шара,
— модуль скорости первого шара перед столкновением, a — угол между скоростью
первого шара и горизонталью, v — модуль общей скорости шаров сразу после столкнове¬
ния, h — высота подъёма шаров после столкновения. В данном случае при столкновении
сохраняется проекция суммарного импульса шаров на горизонтально направленную ось х,
потому что внешние силы направлены вертикально. Поэтому т1и1 cosa. = {т1 + m2)v. Соглас-
.	ч , (щ + т2)и2
но закону сохранения энергии в механике (т1 + m2)gh =	5	. Используя написанные
2
уравнения, можно выразить о1 через величины, заданные в условии.
191

308. Обозначения: М — масса горки, т — масса шайбы, Н — высота горки, vQ — мо¬
дуль начальной скорости шайбы, V — модуль общей скорости горки и шайбы в результа¬
те столкновения. Проекция суммарного импульса горки и шайбы на горизонтальную ось
сохраняется. Поэтому (М + m)V = mvQ. Согласно закону сохранения энергии в механике
(М + m)V2 „ mvj} тт
	+	mgH	=	——. Используя написанные уравнения, можно выразить и0 через ве-
2 2
личины, данные в условии.
309. Обозначения: М — масса шара, т — масса пули, I — длина нити, — модуль
начальной скорости пули, V1 — модуль скорости шара непосредственно перед попаданием
в него пули, V2 — модуль скорости шара непосредственно после попадания в него пули,
и2 — модуль скорости пули после пробивания шара, ос — начальный угол отклонения
нити, (3 — максимальный угол отклонения нити при колебаниях пробитого пулей шара.
MV?
Согласно закону сохранения энергии в механике  — = Mgl( 1 - cosa). Согласно закону со-
2
хранения импульса при пробивании шара пулей mv2 - MV2 = mvx - MVv Согласно закону
MVy
сохранения энергии в механике Mgl( 1 - cos (3) = —. Используя написанные уравнения,
2
можно выразить cos (3 через величины, данные в условии, и найти его значение. Определив
значение cos (3, можно найти значение (3.
В данной задаче требуется найти только численное значение (3. Поэтому можно не
решать задачу в общем виде, а находить значения Vv V2 и cos(3 поэтапно, используя на¬
писанные уравнения. Это значительно сокращает вычисления.
Статика
327. Действующая на шар выталкивающая сила равна весу воды в объёме, равном
половине объёма шара. При заданной в условии плотности шара вес этой воды равен
четверти веса всего шара.
339. Обозначения: R — радиус шара, I — длина нити, a — угол между нитью и сте¬
ной, N — сила нормальной реакции, действующая на стену со стороны шара, Т — сила
натяжения нити. По условию стена гладкая, следовательно, со стороны стенки на шар дей¬
ствует только сила нормальной реакции N, направленная перпендикулярно стене. Момент
этой силы относительно центра тяжести шара равен нулю. Отсюда следует, что момент
силы натяжения нити относительно центра тяжести шара тоже равен нулю. Следовательно,
нить и радиус, проведённый в точку крепления нити к шару, лежат на одной прямой.
Введём систему координат, направив ось х горизонтально от стены, а ось у — вертикально
вверх. В проекциях на оси координат первое условие равновесия имеет вид:
I Ох: - Т sina + N = 0;
[Оу: Tcosa - mg = 0.
д
Кроме того, sina =	.
R + I
Используя написанные уравнения, а также тождество sin2 a + cos2 a = 1, можно выра¬
зить Т и N через величины, заданные в условии.
340. Обозначения: I — длина цепи, m — масса цепи, v — скорость цепи в момент, ког¬
да она оторвалась от стола. Согласно закону сохранении энергии в механике mV = mgh.
2
Здесь h — расстояние, на которое опустился центр тяжести цепи за время её соскальзы¬
192

вания со стола. Центр тяжести цепи в начальный момент находится на середине отрезка,
соединяющего середины двух частей цепи — лежащей на столе и свисающей со стола.
Расстояние от этого центра тяжести до уровня стола можно найти с помощью геометриче¬
ского построения. Центр тяжести цепи в момент, когда она оторвалась от стола, находится
ниже уровня стола на 1/2.
341.	Обозначения: т — масса куба, а — длина ребра куба, F — сила, приложенная
к ребру куба (предполагается, что она направлена перпендикулярно этому ребру). На куб
действуют сила тяжести, сила F, сила нормальной реакции и сила трения покоя со сто¬
роны пола.
а) Если сила F направлена горизонтально, то правило моментов относительно ребра
куба, через которое начинают переворачивать куб, можно записать в виде mg— - Fa = 0.
2
б) Сила F будет наименьшей по модулю, когда плечо этой силы максимально воз¬
можное. Это будет тогда, когда сила F направлена вверх под углом 45° к горизонтали.
Для такого случая правило моментов относительно ребра куба, через которое начинают
переворачивать куб, можно записать в виде mg— - Fa^f2 = 0.
2
346. Обозначения: т — масса цилиндра, V — объём цилиндра, Рк — показания дина¬
мометра, когда цилиндр погружён в керосин, Рв — показания динамометра, когда цилиндр
погружён в воду, рк — плотность керосина, рв — плотность воды. Используя закон Архи¬
меда, условия равновесия цилиндра, погружённого в керосин и в воду, можно записать в
виде: mg = Рк + рKgV; mg = Рв + р^gV. Вычитая из первого уравнения второе, получим одно
уравнение, с помощью которого можно найти выражение для объёма цилиндра. Умножив
это выражение на плотность меди, получим выражение для массы цилиндра.
347. Обозначения: рв — плотность воды, т — масса шара, V — объём стали,
Vn — объём полости в шаре. Шар плавает, если действующая на него сила Архимеда
уравновешивает силу тяжести. Наибольшей возможной массе шара соответствует случай,
когда он плавает, полностью погрузившись в воду. В этом случае условие равновесия для
шара имеет вид рв(Нс + Vn)g = mg. Выражая объём стали через массу и плотность, полу¬
чаем уравнение, с помощью которого можно выразить массу шара через плотности воды
и стали и объём полости.
349. Обозначения: т — масса льдины, S — площадь льдины, а — толщина льдины,
р — плотность льда, рн — плотность нефти, рв — плотность воды, h — глубина погру¬
жения льдины, когда она плавает в воде, х — толщина слоя нефти. Действующая на
льдину сила тяжести уравновешивает выталкивающую силу, которая равна весу жидко¬
сти в объёме, занятом льдиной. Поэтому условие равновесия льдины до наливания нефти
можно записать в виде mg = рBhSg. Выражая массу льдины через её плотность и объём,
получаем h = — а. После наливания слоя нефти условие равновесия льдины имеет вид
Рв
mg = [рнх + рв(а - x)]Sg. Из написанных уравнений следует, что рвЛ = рнх + рв(а - х). Ис¬
пользуя написанные уравнения, можно выразить х через величины, заданные в условии,
и справочные данные.
350. Обозначения: тк — масса куба, рк — плотность куба, М — масса всей цепи,
L — длина всей цепи, т — масса вертикальной части цепи, I — длина вертикальной
части цепи, рв — плотность воды, рс — плотность стали, FAk — модуль силы Архи¬
меда, действующей на куб,	— модуль силы Архимеда, действующей на вертикаль¬
ную часть цепи. Куб находится в равновесии, когда выталкивающая сила, действующая
на куб и вертикальную часть цепи, уравновешивает действующую на них силу тяжести.
193

Поэтому (тк + m)g = FAk + FAu- Используя закон Архимеда, можно записать: FAk = mK—g;
Рк
faц = m—g. Кроме того, справедливо соотношение т = М—. Используя написанные урав-
Рс	F
нения, можно выразить I через величины, заданные в условии, и справочные данные.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Молекулярная физика
То р9 То Do
416. Процессы 1-2	и 3-4 —	изохорные, поэтому — = —; — = —. Учтём	теперь, что
Fi Pi Ti Pi
To Do
p3 = p2, p4 = pv T4 = T2. Поэтому второе уравнение можно переписать так: — = —. Ис-
F2 Pi
пользуя написанные уравнения, можно выразить Т2 через Тг и Т3.
421. Обозначения: pv Vv Тх и р2, V2, Т2 — параметры газа соответственно в начальном
и конечном состояниях. Согласно уравнению Клапейрона Fl^ = Fz^2. в любом состоянии
F F2
объём газа V связан с высотой h, на которой находится поршень, и площадью поршня S
соотношением V = hS. Используя то, что массой поршня можно пренебречь (в условии
сказано, что поршень лёгкий), а также написанные уравнения, можно выразить конечную
высоту столба газа через величины, заданные в условии.
426. Начальную и	конечную	массу водяного	пара в сосуде можно найти	с помощью
уравнения Менделеева	— Клапейрона, используя	табличные значения давления насыщен¬
ного водяного пара. Надо учесть, что при температуре 20° водяной пар стал насыщенным.
427. Прежде всего, надо выяснить, будет ли в конечном состоянии водяной пар на¬
сыщенным. Для этого с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона можно найти,
чему равна масса насыщенного водяного пара в данном объёме при температуре 100 °С, и
сравнить её с заданной с условии массой воды. В данном случае масса воды больше массы
насыщенного водяного пара, поэтому пар будет насыщенным. Конечное давление в сосуде
равно сумме давления насыщенного водяного пара при 100 °С и давления воздуха, которое
можно найти, используя данные, приведённые в условии, а также то, что нагревание про¬
исходит при постоянном объёме. Объёмом воды, оставшейся в сосуде, можно пренебречь
по сравнению с объёмом сосуда.
428. а) Используя данные из условия и табличные значения давления насыщенного во¬
дяного пара, найдём парциальное давление водяного пара в начальном состоянии. Давление
водяного пара при температуре 100 °С и объёме, уменьшенном в 4 раза, можно определить
с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона. Сравнивая найденное значение давления
водяного пара с давлением насыщенного водяного пара при 100 °С, находим, чему станет
равна относительная влажность воздуха.
б)	Используя те же соображения, что и в пункте а), обнаружим, что если бы не на¬
чалась конденсация пара, то давление водяного пара стало бы больше давления насыщен¬
ного водяного пара при 100 °С, что невозможно. Следовательно, в данном случае начнётся
конденсация пара, то есть водяной пар станет насыщенным.
429. а) По графику зависимости давления пара от объёма видно, что давление пере¬
стало зависеть от объёма, когда оно стало равным 20 кПа. Это означает, что пар в состо¬
194

янии 2 стал насыщенным, причём давление насыщенного пара равно 20 кПа. Используя
табличные значения, находим температуру пара.
б) Массу пара в начальном состоянии можно найти, зная его температуру и используя
уравнение Менделеева — Клапейрона.
в) При переходе из состояния 2 в состояние 3 объём водяного пара уменьшился
в 3 раза. Поскольку пар при этом оставался насыщенным, масса пара уменьшилась тоже
в 3 раза. Это позволяет найти массу воды в конечном состоянии с помощью уравнения
Менделеева — Клапейрона.
Термодинамика
463. Найдём сначала количество теплоты, полученное газом за один цикл. Согласно
первому закону термодинамики
Работа газа на этапе 2-3 численно равна площади фигуры под графиком зависимо¬
сти p(V) на этом этапе:
Используя формулы (1), (4), (5), можно выразить Q23 через р0 и VQ.
Несложно убедиться, что на этапе 3—1 газ не получает, а отдаёт некоторое количество
теплоты.
Получив выражения для Q12 и Q23, можно найти выражение для = Q12 + Q23 че¬
рез р0 и V0.
Полезная работа Апол численно равна площади фигуры, заключённой внутри цикла в
координатах (р, V).
Коэффициент полезного действия цикла равен выраженному в процентах отноше-
468.	Обозначения: М — масса метеорита, v — модуль начальной скорости метеорита
(при вхождении в атмосферу), vk — модуль конечной скорости метеорита (непосредственно
перед падением на Землю), с — удельная теплоёмкость железа, t — начальная темпера¬
тура метеорита (при вхождении в атмосферу), tK — конечная температура метеорита (непо¬
средственно перед падением на Землю), t — температура плавления железа, А, — удельная
теплота плавления железа, т — масса расплавившейся части метеорита.
а)	С учётом того, что при движении сквозь атмосферу 80 % кинетической энергии
метеорита переходит в его внутреннюю энергию, получаем, что увеличение внутренней
энергии метеорита вследствие его торможения атмосферой выражается формулой
Q — AU + Ар.
Изменение внутренней энергии на этапе 1-2
(1)
AU12 = |д(pV) = |(3PoV0 - p0V0) = 3p0V0.
(2)
(3)
Используя формулы (1-3), можно выразить Q12 через р0 и VQ.
Изменение внутренней энергии на этапе 2—3
AU23 = |д(рК) = |(р0 ■ 4И0 - 3p0V0) = |р0И0.
(4)
^•23 б^о-
(5)
нию А к Q..
ПОЛ	^	1
пол
(1)
195

Если метеорит не начал плавиться, увеличение его внутренней энергии проявляется
только в увеличении его температуры. Следовательно,
AU = cM(tK -tj.	(2)
Минимальную	начальную	скорость метеорита, при которой	он	нагреется	до	темпера¬
туры плавления, можно получить из формул (1, 2), приняв конечную скорость метеорита
равной нулю, а его конечную температуру равной температуре плавления.
б) Чтобы метеорит начал плавиться, он должен сначала нагреться до температуры
плавления железа. Если масса расплавившейся части метеорита равна т, можно записать
AU = сМ(<пл - ts) + Хт.	(3)
Используя уравнение	(1),	в	котором ик = 0, и уравнение	(3),	можно	выразить	отноше-
т
ние — через величины, заданные в условии.
М
469. Обозначения: тв — начальная масса воды в калориметре, св — удельная те¬
плоёмкость воды, тл — масса льда, сл — удельная теплоёмкость льда, tB — начальная
температура воды в калориметре, tji — начальная температура льда, который кладут в
калориметр, X — удельная теплота плавления льда.
Наименьшая масса льда т1, при которой в конечном состоянии в калориметре будет
только лёд, соответствует случаю, когда при установлении теплового равновесия в кало¬
риметре находится лёд при температуре О °С. В таком случае уравнение теплового баланса
имеет вид
- О °С) + Хтв =	°С	-	tn).
Если тл > т1, в конечном состоянии в калориметре будет находиться только лёд при
температуре ниже О °С.
Наибольшая масса льда т2, при которой в конечном состоянии в калориметре будет
только вода, соответствует случаю, когда при установлении теплового равновесия в кало¬
риметре находится вода при температуре О °С. В таком случае уравнение теплового баланса
имеет вид
™всв(*в - 0°С) = Хт2 + т2сл(0°С - tj.
Если тл < т2, в конечном состоянии в калориметре будет находиться только вода при
температуре выше О °С.
Если начальная масса льда т удовлетворяет двойному неравенству т.2 < тл < тх, то
в конечном состоянии в калориметре будут находиться лёд и вода при температуре О °С.
470. Обозначения: тв — начальная масса воды в калориметре, св — удельная теплоём¬
кость воды, tB — начальная температура воды в калориметре, тп — масса пара, который
впускают в калориметр, tB — начальная температура пара, который впускают в калори¬
метр, L — удельная теплота парообразования воды.
Прежде всего, надо выяснить: сконденсируется ли весь водяной пар, который впустили
в калориметр? Для этого надо сравнить количество теплоты, выделяющееся при конден¬
сации данного пара, с количеством теплоты, которое надо сообщить воде в калориметре,
чтобы нагреть её до 100 °С. Сравнение показывает, что при заданных в условии значениях
физических величин весь пар сконденсируется.
При установлении теплового равновесия в калориметре пар сконденсируется, а обра¬
зовавшаяся из него вода остынет до конечной температуры tK, отдав при этом некоторое
количество теплоты воде, уже содержавшейся в калориметре. Поэтому уравнение теплового
баланса в данном случае имеет вид т.BCB(tK - tB) = Lmn + тпсв(100 °C - tK). Используя это
196

уравнение, можно выразить t через величины, заданные в условии, и удельную теплоту
парообразования воды.
489. Обозначения: Т1 — начальная температура газа, m — масса газа, М — молярная
масса газа. Работа газа при изобарном процессе = pAV. Из уравнения Менделеева —
m
Клапейрона следует, что в данном случае pAV = —RAT. Если при изобарном процессе
М
объём газа увеличился в 4 раза, то и его абсолютная температура тоже увеличилась
в 4 раза. Отсюда следует, что АТ = ЗТ,. Используя написанные уравнения, можно выра¬
зить М через величины, заданные в условии. Зная молярную массу газа, можно определить
его возможный химический состав.
490. Найдём соотношение, связывающее объём газа с его абсолютной температурой.
Для этого воспользуемся тем, что в данном случае согласно условию p3V = а, где а — не-
pV
которая постоянная величина. Кроме того, согласно уравнению Клапейрона = Ь, где
Ъ — другая постоянная величина. Исключая из написанных уравнений давление, получаем,
V2
что в данном случае —— = с, где с — тоже постоянная величина. Из последнего уравнения
следует, что при увеличении объёма газа в 8 раз его абсолютная температура увеличива¬
ется в 4 раза. Поскольку по условию абсолютная температура раза увеличилась в 4 раза,
3
получаем АТ = ЗТг. Изменение внутренней энергии газа AU = —vRAT. Используя последние
2
два уравнения, можно выразить AU через величины, заданные в условии.
491. Обозначения: рх, Vv Т1 — параметры газа в состоянии 1 (начальное состо¬
яние), р2, V2, Т2 — параметры газа в состоянии 2 (промежуточное состояние), р3, V3,
Т3 — параметры газа в состоянии 3 (конечное состояние). Поскольку процесс 2-3 —
изобарный, А23 = p2(V3-V2). Используя уравнение Менделеева — Клапейрона, получаем
g
А23 = vR(T3 - Т2). Согласно первому закону термодинамики Q23 = ^23 + АН23 = ~v-^(^3 ~
2
Используя это уравнение, а также то, что Т3 = Tv Т2 = ^Т1; можно выразить Q23 через
заданные в условии величины.
492. Обозначения: pv Vv Тг — параметры газа в состоянии 1 (начальное состояние),
р2, V2, Т2 —- параметры газа в состоянии 2 (промежуточное состояние), р3, V3, Т3 — пара¬
метры газа в состоянии 3 (конечное состояние). Работа внешних сил в изобарном процессе
Аш23 =	~ У )• По условию р2 = р3, поэтому Авн23 = p2V2 - р3V3. Используя уравнение
Менделеева — Клапейрона, получаем Авн2з =	-	Т3).	Согласно первому закону термоди¬
намики AU12 = Авн12 + Q12. По условию процесс (1-2) — адиабатный, поэтому AZ712 = A,Hi2*
3
Изменение внутренней энергии газа AU12 = —vR(T2 - Д). Согласно условию Т3 = Тг Исполь-
2
зуя написанные уравнения, можно выразить Авн 23 через величины, заданные в условии.
493. Обозначения: р — давление насыщенного пара при температуре Т, Vx, V2 — на¬
чальный и конечный объём пара, mv тп2 — начальная и конечная масса пара, тпъ — масса
образовавшейся воды. Поскольку давление насыщенного пара при постоянной температу¬
ре остаётся постоянным, работа пара А = p(V2 - Fx). При сжатии насыщенного пара при
постоянной температуре происходит его конденсация, то есть масса пара уменьшается.
197

Используя уравнение Менделеева — Клапейрона и то, что температура пара не изменяется,
формулу для работы пара можно переписать в виде А = ——— КГ. Масса образовавшейся
М
воды тв = т1 — т2. Используя написанные уравнения, можно выразить А через величины,
заданные в условии.
494.	Обозначения: F — модуль силы тяги, v — модуль скорости самолёта, t — время
полёта самолёта (1 ч), q — удельная теплота сгорания керосина, т — масса керосина, сго¬
ревшего за время t. Развиваемую двигателем мощность можно найти по формуле Р = Fv.
Полезная работа двигателя Апол = Pt. Выделившееся при сгорании керосина количество
А
теплоты Q = qm. Коэффициент полезного действия двигателя г] = —— • 100%. Используя
Q
написанные уравнения, можно выразить т через величины, заданные в условии.
497.	Обозначения: pv — начальные значения давления и объёма данной массы
газа, р2, V2 — значения давления и объёма газа после изотермического расширения, р3,
V3 — значения давления и объёма газа после изохорного охлаждения, АТ — работа газа
в изотермическом процессе 1—2, |ДТ| — модуль изменения температуры газа в изохорном
процессе 2-3. Газ получает некоторое количество теплоты только в процессе 1—2. Согласно
первому закону термодинамики
Это и есть количество теплоты, переданное газу во время цикла. Чтобы найти полез¬
ную работу за цикл, заметим, что газ совершает работу только в процессе 1—2, потому
что процесс 2-3 — изохорный. Внешние силы совершают работу на этапе 3-1. В этом
процессе работа газа отрицательна.
Полезная работа за цикл
А =А+А„.	(2)
пол г	31	4 '
Процесс 3-1 — адиабатный, поэтому Q31 = 0.
Следовательно, согласно первому закону термодинамики применительно к процессу 3—1,
(отрицательная) работа газа в этом процессе выражается формулой
Используя уравнения (1-3), можно выразить КПД цикла через величины, заданные в
условии.
498.	Обозначения: тп — масса пара, который впустили в калориметр, тл — началь¬
ная масса пара, св — удельная теплоёмкость воды, X — удельная теплота плавления льда,
L — удельная теплота парообразования воды.
Уравнение теплового баланса имеет в данном случае вид Ьтп + 7Ппсв(100°С - 0°С) = Хтл.
Масса воды в калориметре тв = тл + тп. Используя написанные уравнения, можно вы¬
разить тв через величины, заданные в условии, и справочные данные.
500.	Обозначения: т. — масса воды, св — удельная теплоёмкость воды, L — удельная
теплота парообразования воды, ts — начальная температура воды, two — температура кипе¬
ния воды (100 °С), Tj — время нагревания воды от начальной температуры до температуры
кипения, т2 — время, в течение которого вся вода после закипания выкипает, Р — мощ¬
ность нагревателя. Для нагревания воды справедливо уравнение cBm(tW0 - tu) = Ртг. Для
выкипания воды справедливо уравнение Ьтп = Рх2. Используя написанные уравнения, мож¬
но выразить т2 через величины, заданные в условии.
Q = Ш + АГ.
Процесс 1—2 — изотермический, поэтому AU12 = 0. Следовательно,
®12 = 'Аг*
(1)
(3)
198

501.	В данном случае при составлении уравнения теплового баланса надо учесть,
что в зависимости от начальных значений массы и температуры воды и льда возможны
три вида конечного состояния содержимого калориметра: 1) только вода (в жидком со¬
стоянии), 2) лёд и вода, 3) только лёд. Выбираем тот вид конечного состояния, который
представляется наиболее вероятным, и составляем уравнение теплового баланса, учитывая
следующее.
1) Если мы предположили, что в конечном состоянии есть только вода, то при со¬
ставлении уравнения теплового баланса надо учесть, что весь лёд нагрелся до 0 °С, затем
растаял, и образовавшаяся из него вода нагрелась до конечной температуры (или её темпе¬
ратура осталась равной 0 °С), а имевшаяся первоначально в калориметре вода охладилась
до конечной температуры. Таким образом, неизвестной величиной в уравнении теплового
баланса является конечная температура. Условием правильности предположения о том,
что в конечном состоянии есть только вода, является то, что полученная при решении
уравнения теплового баланса конечная температура окажется не ниже 0 °С.
2) Если мы предположили, что в конечном состоянии есть лёд и вода, то при состав¬
лении уравнения теплового баланса надо учесть, что конечная температура может быть
только равной 0 °С. А неизвестной величиной в уравнении теплового баланса является в
таком случае либо масса растаявшего льда, либо масса воды, превратившейся в лёд. Ус¬
ловием правильности предположения о том, что растаяла некоторая масса льда, является
то, что эта величина не может превышать начальную массу льда. А условием правиль¬
ности предположения, что некоторая масса воды превратилась в лёд, является то, что эта
величина не может превышать начальную массу воды.
3) Если мы предположили, что в конечном состоянии есть только лёд, то при состав¬
лении уравнения теплового баланса надо учесть, что вся вода охладилась до 0 °С, затем
превратилась в лёд и образовавшийся из воды лёд охладился до конечной температуры
(или его температура осталась равной 0 °С), а имевшийся первоначально в калориметре лёд
нагрелся до конечной температуры. Таким образом, неизвестной величиной в уравнении
теплового баланса является конечная температура. Условием правильности предположения о
том, что в конечном состоянии есть только лёд, является то, что полученная при решении
уравнения теплового баланса конечная температура оказалась не выше 0 °С.
503. При составлении уравнения теплового баланса надо учесть, что температура мокро¬
го снега равна 0 °С. Содержащийся в мокром снеге лёд (40 % по массе) должен растаять,
а образовавшаяся из него вода вместе с водой, первоначально содержащейся в мокром
снеге (60 % по массе) должна нагреться до конечной температуры. Первоначально налитая
в калориметр вода должна остыть до той же конечной температуры.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК
Электростатика
575. Поскольку по условию силы натяжения нитей одинаковы, действующую на верх¬
ний шарик силу тяжести уравновешивает сила отталкивания, действующая на верхний
шарик со стороны нижнего. Это позволяет найти модули зарядов шариков. Действующая
на нижний шарик сила натяжения нити уравновешивает силу тяжести и силу отталки¬
вания, действующую на нижний шарик со стороны верхнего. Это позволяет найти силу
натяжения нитей.
580.	Обозначим ЁА, Ёв и Е — напряжённости поля, создаваемых в точке С соответ¬
ственно зарядами qA, qB и обоими зарядами. Векторы ЁА и Ёв направлены вдоль прямых,
проходящих, соответственно, через точки А, С и В, С. Согласно принципу суперпозиции
Е = ЁА + Ёв. Это позволяет определить графически одно из двух возможных направлений
для ЁА и Ёв, а также отношение модулей зарядов.
199

581. Обозначения: Fa — модуль сил электрического взаимодействия между шариками,
FT — модуль силы тяжести, действующей на любой шарик, а — угол отклонения нитей от
вертикали, Ъ — расстояние между шариками, когда они находятся в положении равновесия.
а) На каждый шарик действует сила тяжести и сила электрического отталкивания со
стороны другого шарика. Силы электрического отталкивания согласно третьему закону
Ньютона равны по модулю, поэтому нити, на которых подвешены шарики, отклонены на
одинаковые углы от вертикали.
б) Из условия равновесия любого шарика следует, что tga = — = ^. Модуль напря-
FT b mg
жённости поля в точке, находящейся в середине отрезка, соединяющего шарики, можно
ki -
найти с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции полей: Е = к- г-1. Используя
(Ь/2)2
написанные уравнения, можно выразить Е через величины, заданные в условии.
582. На шарик действуют сила тяжести и сила электрического притяжения со стороны
пластины. Модуль ускорения а шарика можно найти с помощью второго закона Ньютона.
Это позволяет получить выражение для модуля скорости шарика непосредственно перед
ударом о пластину.
Чтобы найти переданный пластине при ударе импульс, надо учесть, что при абсолютно
упругом ударе скорость шарика изменяется только по направлению.
586. Обозначения: д1, q2 — заряды шариков, кж — жёсткость пружины, 1Х — длина
пружины в воздухе, /2 — длина пружины в керосине, 10 — длина недеформированной
пружины, е — диэлектрическая проницаемость керосина. Когда шарики находятся в воз¬
духе, справедливо соотношение к = кж(11.-10). А когда шарики находятся в керосине,
к
справедливо соотношение k<k~- = k.M(l2 - /0). Используя написанные уравнения, можно вы-
е/2
разить 10 через справочные данные и заданные в условии величины.
587. При решении этой задачи надо учесть следующие обстоятельства:
1) заряд заряженного проводящего шара равномерно распределён по его поверхности,
поэтому такой шар можно заменить равномерно заряженной сферой;
2) напряжённость электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой,
совпадает вне сферы с напряжённостью электрического поля, создаваемого точечным за¬
рядом, равным заряду сферы, и находящимся в центре этой сферы;
3) в сплошном диэлектрике напряжённость поля уменьшается по модулю (по сравнению
с вакуумом) в е раз, где е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика.
591. Если угол между скоростью шарика и вертикалью не изменяется, то шарик дви¬
жется прямолинейно, а это значит, что его ускорение и скорость направлены вдоль одной
прямой, направление которой задано. Это позволяет связать силу, действующую на шарик
со стороны электрического поля, с силой тяжести.
592. Обозначения: т — масса шарика, q — заряд шарика, I — длина нити, на которой
подвешен шарик, v — модуль скорости шарика в нижней точке траектории, Е — модуль
напряжённости электрического поля, Т — модуль силы натяжения нити. Второй закон
Ньютона в проекции на направленную вверх ось х в момент, когда шарик проходит по-
_	mv2
ложение равновесия, имеет вид Т - mg - qE = —-—. Согласно закону сохранения энергии
2
 = (mg + qE)l. Используя написанные уравнения, можно выразить Т через заданные в
2
условии величины.
200

Постоянный электрический ток
661. Обозначения: Е — модуль напряжённости электрического поля в проводе, U — на¬
пряжение на концах провода, I — длина провода, R — сопротивление провода, р — удель¬
ное сопротивление материала, из которого изготовлен провод, -S — площадь поперечного
сечения провода, I — сила тока в проводе. Согласно закону Ома U = IR. Электрическое
поле в прямолинейном проводнике можно считать однородным, откуда следует, что U = Е1.
Сопротивление проводника R можно выразить через р, I и S. Используя написанные урав¬
нения, можно выразить Е через величины, заданные в условии.
665. Обозначения: 1а — сила тока в резисторах 1 и 2, 1Ь — сила тока в резисторах
3 и 4.
Количества теплоты, выделяющиеся в резисторах 2 и 3 за время t, выражаются фор¬
мулами Q2 = I2R2t, Q3 = If, R:it.
Qo
Из этих формул следует, что для нахождения отношения —- надо найти отношение
j.	Фз
сил тока —. Это отношение можно найти из уравнения Ia(Ri + R2) = Ib(R^ + -R4), которое
h
следует из того, что участок цепи, содержащий резисторы 1 и 2, подключён параллельно
участку, содержащему резисторы 3 и 4.
667.	Суммарная мощность, выделяемая в резисторах при их последовательном под-
U2
ключении, Рпосл = — —. Суммарная мощность, выделяемая в резисторах при их парал-
Ri + R2
U2(R1+R2)
лельном подключении, Рпар =	.	С	помощью	этой	системы уравнений можно
RiR2
выразить Rx и R2 через заданные в условии величины.
668.	Обозначения: Q — количество теплоты, которое необходимо сообщить заданной
массе воды для нагревания её до кипения, Rv R2 — сопротивления нагревательных элемен¬
тов, U — напряжение в цепи, tv t2 — промежутки времени, необходимые для нагревания
воды до кипения при включении только первого или только второго элемента.
Промежутки времени t1 и t2 выражаются формулами
Q _ QRi
Pi ~ U2
о_ _ ящ	-2.
Ч~ Рг и*-	<2>
Промежуток времени, необходимый для нагревания воды до кипения при последова¬
тельном соединении элементов
_ Q(Px + R2)
^посл	jj2 *	*	'
Промежуток времени, необходимый для нагревания воды до кипения при параллельном
соединении элементов
t =  QRlR2 	(4)
пар uHr, + r2)	( }
Используя уравнения (1-4), можно выразить £досл и £пар через величины, заданные в
условии. Для нахождения t удобно предварительно «перевернуть» обе части уравнений
(1, 2, 4).
201

672. Обозначения: Pv Р2 — мощность тока при силе тока 11 и I2, Rv R2 — сопро¬
тивления внешней цепи при силе тока 11 и 12, г — внутреннее сопротивление источника
тока, If — ЭДС источника тока. Мощность тока в резисторах выражается формулами
Р1 = ifRi, Р2 = I2R2- Используя эти уравнения, находим значения Rt и R2. Записав затем
уравнения закона Ома для полной цепи, соответствующие внешним сопротивлениям Д1
и R2, получаем систему двух уравнений для нахождения If и г. Зная If и г, находим силу
тока короткого замыкания.
673. Обозначим г внутреннее сопротивление источника тока. КПД источника при внеш-
R.
нем сопротивлении Л1. Тогда =	 —	•	100	%. После подключения второго резистора
R^ + г
6jR
КПД источника г|2 =  — 100%. Используя написанные уравнения, можно найти г|2.
6Kj + г
674. Часть цепи, содержащую 5 резисторов, можно представить как параллельное со¬
единение трёх резисторов, два из которых — сопротивлением 12 Ом, а третий — сопро¬
тивлением 6 Ом.
677. Из того, что сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь, следует,
что резисторы 1 и 3 соединены параллельно.
678. Удалим сначала мысленно резистор 5, разомкнув точки А и В. После этого най¬
дём общее сопротивление внешней цепи и, используя закон Ома для полной цепи, найдём
силу тока во всей цепи. Затем найдём силу тока в резисторах 1 и 3, что позволит найти
напряжения на этих резисторах. Мы обнаружим, что эти напряжения равны — а отсюда
следует, что разность потенциалов между точками А и Б равна нулю. Следовательно, если
между этими точками включить резистор, ток через него идти не будет. Это означает, что
добавление резистора 5 не изменит уже найденного значения силы тока в резисторе 1.
680. Конденсатор С2 подключён параллельно соединённым последовательно резисто¬
рам 2 и 3, поэтому напряжение на нём равно напряжению на участке цепи, содержащем
резисторы 2 и 3.
681. Зная ЭДС источника и сопротивления всех резисторов, можно, используя закон
Ома для всей цепи, написать уравнение, связывающее внутреннее сопротивление источника
с силой тока во всей цепи. Используя соотношения для сил тока в параллельно соеди¬
нённых проводниках, можно написать уравнение, связывающее силу тока во всей цепи с
силой тока в резисторе 2. В результате получится система двух уравнений с двумя неиз¬
вестными — внутренним сопротивлением источника и силой тока во всей цепи.
682. Обозначения: U — напряжение на конденсаторе, If — ЭДС источника, I — сила
тока в цепи, г — внутреннее сопротивление источника. Напряжение на конденсаторе мож¬
но выразить через величины, данные в условии. Оно равно в данном случае напряжению
на полюсах источника: U = I? - 1г. Зная сопротивления всех резисторов и внутреннее со¬
противление источника, можно, используя закон Ома для всей цепи, записать уравнение,
связывающее силу тока в цепи с ЭДС источника. В результате получится система двух
уравнений с двумя неизвестными — ЭДС источника и силой тока во всей цепи.
683. До замыкания ключа алгебраическая сумма зарядов обкладок конденсаторов, со¬
единённых с точкой А, равна нулю, поскольку система этих обкладок при разъединённом
ключе является электроизолированной. Следовательно, до замыкания ключа заряды кон¬
денсаторов равны (по определению зарядом конденсатора называют модуль заряда любой
из его обкладок). Обозначим заряды конденсаторов после замыкания ключа и Q2. Тогда
заряды обкладок, соединённых с точкой А, равны соответственно -Q1 и Q2. Алгебраическая
сумма зарядов этих обкладок равна Q2 - Q1. Следовательно, через ключ при замыкании
пройдёт заряд, модуль которого выражается формулой |Q| = |Q2 - QjJ. Чтобы найти выра¬
202

жения для зарядов конденсаторов после замыкания ключа, воспользуемся тем, что после
замыкания ключа напряжения на конденсаторах станут равными напряжениям U1 и U.-,
на параллельно соединённых с ними резисторах: Qx = С/1С1; Q2 = U2C2. Кроме того, для
последовательно соединённых резисторов справедливы соотношения U1 + U2 = U, Ь'г = IRV
U2 = IR2. Здесь I — сила тока в резисторах. Используя написанные уравнения, можно
выразить Q через величины, заданные в условии.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Магнитное поле
699.	Обозначения: N — модуль силы нормальной реакции, действующей на стержень
со стороны рельсов, FA — модуль силы Ампера, действующей на стержень.
а) Чтобы определить направление тока в стержне, надо узнать, как направлена дей¬
ствующая на него сила Ампера. Направим ось х горизонтально вправо, а ось у верти¬
кально вверх. Тогда, записав второй закон Ньютона в проекциях на ось х, пслучим:
/Vsina + FAx - ц/V cos a = 0. Здесь учтено, что по условию стержень скользит вниз: это по¬
зволяет определить направление силы трения скольжения. Из написанного уравнения сле¬
дует, что FAx > 0, если ц > tga, FAx < 0, если ц < tga. Используя заданные в условии
значения величин, находим знак проекции FАх. Если она оказалась положительной, то
сила Ампера направлена вправо (от рельсов), а если отрицательной — то влево (в сторону
рельсов). Выяснив направление силы Ампера, находим с помощью правила левой руки
направление тока в стержне.
б) Зная направление силы Ампера и силы трения скольжения, записываем вторюй за¬
кон Ньютона в проекциях на указанные выше оси координат. Полученная система урав¬
нений позволяет выразить силу тока в стержне через величины, заданные в условии.
701.	Обозначения: q — начальный заряд конденсатора, I — сила тока в стержне во
время разрядки конденсатора.
а) Используя закон сохранения энергии в механике, можно выразить скорость стерж¬
ня сразу после разрядки конденсатора через величины, заданные в условии.
б) Модуль действующей на стержень во время разрядки конденсатора силы Ампера
Fa = BII. Импульс этой силы за время At разрядки конденсатора BlIAt = Blq■ Из второго
закона Ньютона в импульсной форме следует, что таково же выражение для импульса
стержня сразу после разрядки конденсатора. Используя полученное выражение для vx и
выражение для q через U и С, можно выразить U через величины, заданные в условии.
718. Сопротивление проводника можно выразить через удельное сопротивление металла,
длину проводника и площадь его поперечного сечения.
731. Та сторона рамки, на которую действует направленная вверх сила Ампера, нач¬
нёт приподниматься, если момент силы Ампера будет превышать момент силы тяжести
относительно той стороны рамки, на которую действует сила Ампера, направленная вниз.
733. На каждый небольшой участок гибкого провода будет действовать сила Ампера,
направленная перпендикулярно этому участку наружу контура, образованного проводом.
735. На проводник действуют сила тяжести, сила Ампера и равнодействующая сил
упругости двух пружин. Эти силы образуют прямоугольный треугольник, гипотенузой ко¬
торого является упомянутая выше равнодействующая.
747.	Обозначения: т — масса протона, е — заряд протона (элементарный заряд), v —
модуль скорости протонов, I — сила тока в пучке, т — заданный промежуток времени
(1 с). Количество теплоты Q, выделившейся за промежуток времени т, равно суммарной
кинетической энергии протонов, поглощённых пластиной за это время. Следовательно,
203

n	mij2 XJ	••
Q = n . Число протонов, поглощенных пластиной за промежуток времени т, выража-
2
1т
ется формулой п = —. Скорость протонов v можно найти из условия, что в магнитном
е
поле с заданным модулем магнитной индукции В они движутся по окружности заданного
радиуса г.
Электромагнитная индукция
794. ЭДС индукции на концах проводника выражается формулой = Bvl. Скорость
V2
проводника v связана с пройденным им путём L и ускорением а формулой L = —.
2 а
%■
795. Согласно закону Ома для полной цепи I = —-, где R — полное сопротивление
R
всей цепи, равное в данном случае удвоенному сопротивлению одной из перемычек. Для
нахождения ЭДС индукции в контуре можно воспользоваться либо законом электромагнит¬
ной индукции, либо рассматривать перемычки как последовательно соединённые источники
тока, ЭДС каждого из которых равен Bvl.
796. Обозначения: L — индуктивность катушки, Ф — магнитный поток, пронизываю¬
щий катушку, Ф1 — магнитные поток, пронизывающий один виток, п — число витков в
Ф
катушке, I — сила тока в катушке. Из определения индуктивности следует, что L = —.
При определении магнитного потока, пронизывающего катушку, надо учесть, что он про¬
низывает все её витки. По условию магнитные потоки, пронизывающие все витки катушки,
одинаковы. Следовательно, Ф = пФ^ Согласно условию магнитное поле внутри катушки
можно считать однородным, поэтому Ф2 = BS. Используя написанные уравнения, можно
выразить L через величины, заданные в условии.
798. Обозначения: L — индуктивность катушки, I — сила тока в цепи при замкнутом
ключе, С — электроёмкость конденсатора, U — напряжение на конденсаторе при замкну¬
том ключе. До тех пор, пока ключ был замкнут, конденсатор был заряжен и в катушке
ы2
был ток. Энергия магнитного поля в катушке выражается формулой WM =	.	Энергия
2
CU2
электрического поля в конденсаторе выражается формулой Wa =	.	Постоянный	ток шёл
2
только через катушку и лампу, поэтому сила тока согласно закону Ома для полной цепи
Г
I =	. Напряжение на конденсаторе при замкнутом ключе U = IR. После размыкания
R + г
цепи ток прекратился и конденсатор разрядился. Согласно закону сохранения энергии
количество теплоты, выделившееся в результате в лампе, Q = Wg + Жм. Используя напи¬
санные уравнения, можно выразить Q через величины, заданные в условии.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Колебания
834. Поскольку начальная скорость груза равна нулю, в начальный момент он нахо¬
дится в одном из крайних положений: его смещение по модулю равно амплитуде колеба¬
ний. Начиная с этого момента за каждую четверть периода груз проходит путь, равный
амплитуде колебаний.
204

851. Из условия можно получить, что в искомый момент времени t смещение х = 1 см,
. nt 1
следовательно, sin-^r =
856. Обозначения: т — масса груза, а — ускорение пластины, ц — коэффициент тре¬
ния между грузом и пластиной, со — циклическая частота колебаний пластины.
а) Если груз неподвижен относительно горизонтально колеблющейся пластины, на него
при колебаниях со стороны пластины действует сила трения покоя. При этом ускорение
груза равно ускорению пластины. Поэтому согласно второму закону Ньютона Гтр пок = та.
Сила трения покоя не превышает своего максимального значения, которое мы принима¬
ем равным силе трения скольжения. Поскольку пластина горизонтальна и колеблется в
горизонтальном направлении, сила нормальной реакции равна по модулю силе тяжести.
Следовательно, Етр пок < irng. Из написанных соотношений следует искомое неравенство
для максимально возможного ускорения пластины, при котором груз покоится относи¬
тельно пластины.
б) При гармонических колебаниях наибольшее значение модуля ускорения атах связа¬
но с амплитудой колебаний хтах соотношением атах = сз2хтах. Используя это соотношение,
найденное значение атах и соотношение, связывающее циклическую частоту колебаний со
с известным периодом колебаний Т, можно выразить хтах через величины, заданные в
условии.
857. Период колебаний данного маятника состоит из половины периода колебаний ма¬
ятника с длиной нити lv и половины периода колебаний маятника с длиной нити — 12.
Волны
897. Обозначения: t — промежуток времени от начала падения камня до момента,
когда был услышан звук от удара (6 с), изв — скорость звука в воздухе. Глубина шах-
gtf
ты h и время падения камня t1 связаны соотношением h = —Промежуток времени t2
между падением камня на дно шахты и моментом, когда звук был услышан, связан с
глубиной шахты h и скоростью звука изв уравнением t2 = Согласно условию, tx +12 = t.
Чзв
Используя написанные уравнения, можно составить квадратное уравнение для нахожде¬
ния [h.
898. Обозначения: АЛ — разность значений длины волны в воде и воздухе. При пере¬
ходе из одной среды в другую частота волны v не изменяется. Скорость волны в воздухе,
длина волны в воздухе и частота волны связаны соотношением нв03д = Лвозду. Скорость
волны в воде, длина волны в воде и частота волны связаны соотношением ивод = Лводу.
Согласно условию Лвод - Лвозд = АЛ. Написанные уравнения представляют собой систему трёх
уравнений с тремя неизвестными, одним из которых является искомая частота волны.
ОПТИКА
Геометрическая оптика
911. Согласно условию вследствие отражения от зеркала луч, идущий от солнца под
углом (3 к горизонту, стал идти вертикально вниз. С помощью геометрического построе¬
ния можно убедиться, что при этом угол между падающим и отражённым лучами равен
90° + р. Это позволяет найти углы падения и отражения луча. Рассматривая зеркало,
отражённый от него луч и перпендикуляр к зеркалу, проведённый в точку падения луча,
можно доказать, что искомый угол между плоскостью зеркала и горизонтом равен углу
отражения.
205

917. Обозначения: а — угол падения луча на пластинку, у — угол преломления луча
при переходе из воздуха в пластинку, в) Построив ход луча света в пластинке, находим,
что искомое смещение луча d является катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого равна пути I, пройденному лучом в пластинке, а прилежащий к катету угол равен
90° - а + у. Используя формулы приведения, получаем отсюда d = Zsin(a - у). Путь I выра-
h
жается формулой I =	. Угол преломления находим, используя закон преломления света.
cosy
Задачу удобнее решать не в общем виде, а подстановкой конкретных численных данных.
918. б) Построив согласно условию ход луча света в призме, находим, что угол пре¬
ломления равен 30°. Из условия, что при прохождении сквозь призму луч повернулся на
60°, получаем, что при каждом из двух преломлений на гранях призмы луч повернулся
на 30°. Отсюда с помощью геометрического построения можно доказать, что угол падения
луча равен 60°.
958. Обозначения: а — длина ребра куба, b — глубина, на которой находится нижняя
грань куба, рк — плотность дерева, из которого изготовлен куб, рв — плотность воды, пв —
показатель преломления воды, h1 — расстояние от нижней точки тени до нижней грани
куба. Используя условия плавания тел, можно показать, что — = —.
а Рв
б) В пасмурный день источником света является всё небо, следовательно, лучи света
падают на поверхность воды под всевозможными углами, то есть в том числе и под угла¬
ми, очень близкими к 90°. Используя закон преломления света, находим для максималь¬
но возможного угла преломления света утах в воде (соответствующий углу падения 90°)
sinymax = —. Учитывая, что границу тени под кубом образуют лучи, которым соответствует
n=	а
угол преломления Ymax, получаем 	=	tgymax.	Искомая	глубина,	на которой находится
нижняя точка тени, h = Ъ + h1.
в) Лучи, выходящие из области тени, испытывают на поверхности воды полное вну¬
треннее отражение.
959. При наименьшем возможном расстоянии от ступней водолаза до камня луч, иду¬
щий от камня в глаз водолазу, испытывает полное внутреннее отражение, падая на поверх¬
ность воды снизу под углом а0, равным предельному углу полного внутреннего отражения.
Исходя из этого и используя геометрические построения, находим расстояние Ъ от камня
до перпендикуляра к поверхности воды, проведённого в точке, в которой произошло от¬
ражение луча света от поверхности воды. Аналогично находим расстояние &1 от подошв
водолаза до того же перпендикуляра.
963. Обозначения: F — фокусное расстояние линзы, dv d2 — расстояния от линзы до
источников света, L — расстояние между источниками света. Точка, в которой находятся
изображения обоих источников, расположена между линзой и одним из источников. Следо¬
вательно, даваемое линзой изображение этого источника (назовём его для определённости
первым) является мнимым, а изображение второго источника в этой же точке является
действительным. Обозначим х расстояние от линзы до точки, в которой находятся изо¬
бражения обоих источников. С учётом того, что изображение первого источника является
мнимым, формулу тонкой линзы для источников и их изображений можно записать в
1	1	1 1	1	1	__ . т „
виде	=	—, — + — = —. Кроме того, а. + а„ = L. Используя написанные уравнения,
dj	х	F d2	х	F
можно получить два уравнения для двух неизвестных dx и d2.
964. Обозначим L одинаковое в обоих опытах расстояние от предмета до экрана (на
котором получено действительное изображение предмета). Тогда расстояние d от линзы
206

до предмета и расстояние f от линзы до изображения связаны соотношением d + f = L.
^ 11 1 „
Поэтому формулу тонкой линзы можно записать в виде — +	=	—. Это уравнение
d L - d F
L + lI? - 4FL , L-lL2 - 4FL n
имеет два решения: cL^ =	,	d2	=	•	Этим	решениям	соответствуют
2 2
. L - lb2 - AFL . L + Il2 - 4FL „
Тг =	,	f2	=	. Обратите внимание на полезные при решении под об-
2 2
ных задач соотношения: fx = d2, /2 = dv Из них следует, что при неизменном расстоянии
от предмета до экрана найденные значения fad можно «поменять» местами, получив
второе возможное положение линзы, при котором она даёт действительное изображение на
f
экране. Увеличение изображения выражается формулой Г = —. По условию изображение в
d
первом опыте было уменьшенным, откуда следует, что < dv Следовательно, выражения
для dv fx соответствуют первому опыту, а выражения для d2, f2 — второму. Согласно ус-
/	f
ловию Г2 = 4Г1; откуда следует, что — = 4 —. Используя написанные уравнения, можно
d2	d^
получить линейное уравнение для нахождения F.
969. В данном случае можно считать, что изображение автомобиля находится в фо¬
кальной плоскости объектива, поскольку расстояние от объектива до автомобиля во много
раз больше фокусного расстояния объектива. Используя подобие треугольников, можно
доказать, что скорость движения изображения пи во столько же раз меньше скорости ав¬
томобиля иа, во сколько раз фокусное расстояние объектива F меньше расстояния до авто-
v F
мобиля d: — = —. Размытие контура изображения Ъ за время экспозиции At выражается
иа d
формулой Ъ = ииАt. Используя написанные уравнения, можно выразить наименьшее время
экспозиции At через величины, заданные в условии.
970. Из формулы тонкой линзы следует, что если изображение является действитель¬
ным, то f > F, то есть действительное изображение любого предмета находится дальше
фокальной плоскости. Рассмотрим светящуюся точку, находящуюся на главной оптической
оси на расстоянии d от линзы. Все исходящие из этой точки лучи пересекаются в точке,
находящейся на расстоянии / от линзы, то есть на расстоянии f — F от её фокальной
плоскости, в которой по условию находится плёнка. Поэтому на фокальной плоскости ис¬
ходящие из данной светящейся точки лучи после преломления в линзе будут образовывать
светлое пятно. Обозначим г радиус этого пятна. Точки пятна, находящиеся на расстоянии г
от его центра, образованы лучами, прошедшими через точки объектива, находящиеся на
расстоянии R от оптического центра, где R — радиус объектива. Построив ход одного из
г f - F
таких лучей и используя подобие треугольников, получаем — =	.	С другой стороны из
R f
Ff
формулы тонкой линзы получаем d =	. Используя последние два уравнения, получим
f - F
уравнение, с помощью которого можно выразить d через R, г и F. Искомое наименьшее
расстояние d соответствует наименьшему допустимому диаметру пятна г.
Волновая оптика
976.	Обозначения: s — расстояние между соседними светлыми полосами, а — сторона
квадратной рамки, X — длина световой волны в воздухе (0,66 мкм), Хвод — длина свето¬
вой волны в воде, п — показатель преломления воды, с(ниж — толщина плёнки у ниж-
207

ней стороны рамки, dBepx — толщина плёнки у верхней стороны рамки. Докажите, что
А
вод
Согласно условию, наблюдается 10 полос, откуда следует, что а = 10s.
s
® 2(с?ниж dBepx)
Длина световой волны в воде в п раз меньше длины волны в воздухе: X = —. Используя
д п
написанные уравнения, можно выразить с/ниж — dBepx через величины, заданные в условии.
996.	Обозначения: D — расстояние между двумя ближайшими светлыми полосами, ле¬
жащими по разные стороны от центрального максимума (4,8 мм), d — расстояние между
источниками света, L — расстояние от источников света до экрана, X — длина волны
света. Указанное в условии расстояние D (4,8 мм) — это расстояние между первыми ин¬
терференционными максимумами, расположенными по разные стороны от центрального
максимума. Следовательно, расстояние от центрального максимума до любого из первых
максимумов равно D/2. Отсюда следует, что этот максимум наблюдается под углом фр для
которого tgcpj = Из условия интерференционных максимумов dsincpft = Xk получаем для
2 L
угла срр под которым наблюдается первый максимум (k = 1): dsimpj = X. В данном случае
расстояние от источников до экрана во много раз больше расстояния между источниками,
поэтому углы, под которыми наблюдаются интерференционные максимумы, малы. В таком
случае синусы и тангенсы углов можно заменять самими углами, измеренными в ради-
анной мере. Поэтому можно записать	dф1	= X. Используя написанные уравнения,
2L
можно выразить X через величины, заданные в условии.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Кванты и атомы
1046. Фототок будет продолжаться до тех пор, пока напряжение на конденсаторе не
станет равным задерживающему напряжению U . При этом заряд конденсатора будет вы¬
ражаться формулой q = CU3. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана
с задерживающим напряжением соотношением -Eftmax = eU3. Из написанных уравнений и
уравнения Эйнштейна для фотоэффекта следует, что hv = Авых + eU3. Используя написанные
уравнения, можно выразить q через справочные данные и величины, заданные в условии.
1047. Из второго закона Ньютона в импульсной форме следует, что сила давления
света на поверхность выражается через передаваемый светом поверхности импульс Ар за
Ар
промежуток времени At формулой F = —. Если поверхность полностью отражает свет, то
At
передаваемый светом импульс связан с импульсом всех фотонов р падающего света соот¬
ношением Ар = 2р. Если же поверхность полностью поглощает свет, то передаваемый све¬
том импульс связан с импульсом всех фотонов р падающего света соотношением Ар - р.
Ел
Импульс одного фотона рг связан с его энергией Е1 соотношением рх = —-. Следовательно,
суммарный импульс р всех фотонов связан с суммарной энергией Е падающего света со-
Е
отношением р = —. Энергию падающего света за промежуток времени At можно выразить
с
через заданную в условии мощность излучения, падающего на 1 м2, и площадь поверх¬
ности. При численном расчёте надо учесть, что поверхность батареи согласно условию по¬
ловину падающего света поглощает, а половину — отражает.
208

Атомное ядро и элементарные частицы
1083. Обозначения: о — модуль скорости а-частицы, V — модуль скорости иона, Е —
суммарная кинетическая энергия а-частицы и иона. Из закона сохранения импульса сле¬
ти2 MV2
дует, что mv - MV. Согласно закону сохранения энергии ь = Е. Используя эти
3	2
уравнения, можно выразить и и И через величины, заданные в условии. На заряженную
частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Записывая второй закон
Ньютона для а-частицы и иона, получаем уравнения, с помощью которых можно выра¬
зить радиусы окружностей, по которым они движутся, через и, И и величины, заданные
в условии.
209

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
МЕХАНИКА
Кинематика
Система отсчёта, траектория, путь и перемещение
1. Да. 2. 200 км. 4. а) Траектория — отрезок прямой, по которому тело движется в одном направлении.
б) Траектория является замкнутой. 5. а) 62,8 см. б) Нулю, в) 31,4 см. г) 20 см. 6. б) £ = 2АВ - АС.
в) s = АС. г) В 4 раза. 7. 0,6.
Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей
9. На 8 км/ч. 10. 10 км/ч. 11. 7,5 км/ч. 12. a) v2 = 1,3 м/с; скорость человека относительно берега
направлена по течению реки, б) v2 = 0,7 м/с; скорость человека относительно берега направлена
d
противоположно течению реки. 13. а) В 4 раза; в 2 раза, б) За 15 мин; за 30 мин. 14. а)
^вер	^вет	,
по
d
^вер	Цзет	— ,
Прот
б)	В 10 раз. в) 1 ч 39 мин. 15. a) 'lb м/с. б) t = 30 с. в) На 30 м. г) 27°. д) 67 м. 16. а) 30°.
б)	1,7 м/с. в) 35 с.
Прямолинейное равноускоренное движение
18. Первый и четвертый автомобили разгоняются, а второй и третий — тормозят. 19. а) Первый;
2 м/с2, б) У второго; 1 м/с2, в) Для первого: vx(t) = 12 - 21; для второго: v (t) = 4 + t. 20. б) При
t = 1 с. в) При 1 = 1 с и 1 = 4 с. 21. 1 м; 4 м; 9 м; 16 м. Путь пропорционален квадрату времени дви¬
жения. 22. а) 80 м. б) 320 м. 23. а) 6 м. б) -5 м/с. в) 2 м/с2. 24. а) 160 м. б) 640 м. 25. а) 2 м/с2.
Vi + Vo
б)	10 с. в) 20 м/с. 26. 27,8 м. 27. a) d = —-—t. Обратите внимание: при равноускоренном движении
в одном направлении средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной ско¬
рости. б) 2 км. 28. 10 м/с; лишним данным является время разгона. 30. 10 м. 31. v = gt. 32. 4 с.
gt^
33. h =	. 34. 5 м; 15 м; 25 м; 35 м. Пути, пройденные за последовательные равные промежутки
времени, относятся как последовательные нечётные числа 1 : 3 : 5 : 7 и т. д. 35. v = ^2gh.
2
36. 200 м/с (720 км/ч). 37. vy = v0 - gt. 38. taon = —. 39. 3 с. 40. у = v0t -	41. 40 м; 40 м. Пер-
& 2 у2
вый раз тело будет находиться на этой высоте при подъёме, а второй раз — при спуске. 42. h = —.
2 g
2d
43. 4пол =	44. На 20 м/с. 45. а) В 2 раза, б) В 4 раза. 46. v0x = v0, v0y =0; gx = 0, gy = -g.
Г Ox: vx = v0;	gt2
47.  „	48.	x	=	vnt,	у	=	h	. 49. На высоте 5 м. Лишнее данное — начальная скорость
Оу. vy = -gt.	0	у	2
тела: если тело брошено горизонтально, то высота тела в данный момент времени определяется толь-
2h	2h
ко его начальной высотой и временем полёта. 50. у = 0. 51. t = —. 52. I = v0 —. 53. а) Увели-
V g	V	g
чится в 4 раза, б) Увеличится в 2 раза. 54. 5 м, 10 м, 20 м. 55. v0x = o0cosa, v0y = u0sinoc.
I Ox: vx = d0coscc;	gt2
56. (	57.	x	=	i>ncosa t, у = onsin(x-f . 58. a) 17,3 m; 34,6 м. 6) 5 м; через
|Ог/: vy = D0sina - gt.	0	0	2
_	2onsina	,	2i>nsinacosa	Unsin2a	„	_
2 c. 59. t „„ = —2	.	60.	I	=	—9	.	61.	a)	30° или 60°. б) Дальность полета при
g	g	g
одной и той же начальной скорости может быть одинаковой при различных углах бросания. 62. 45°.
210

v2 sin2 ex.
63. h = —	.	64.	90°, то есть когда тело брошено вертикально вверх. 65. 20 м. 66. а) Тело дви-
2 g
галось с ускорением свободного падения: в описании ситуации сказано, что тело падало свободно.
2
б)
ик =	+	ёъ
ёт
I +
gz2 в) 1 =	г)	V*	=
I = Ц,т +	.	2
-2-. д)* = £-
т	2я
. 67. а) 35 м/с. б) 3,5 с. в) 61 м
(округлено). 68. а) 2,5 с. б) 25 м/с. в) 31 м (округлено). 69. Дальность полёта при одинаковой по
модулю начальной скорости будет равной для углов W+ и а2, если sin2ах = sin2a2. Отсюда получаем:
2ах = 180° - 2а2 =>	+ а2 = 90°. 70. а) 21° и 69°. б) 30 м/с. в) 90 м. г) 45 м.
Равномерное движение по окружности
71. На 90°; на 9°. 72. а) 60 с; 3600 с. б) —с-1; —
60	3600
,	2л	рад
с-1. 73. Т = 5,6 с; v = 0,18 с'1. 74.
2л рад
3600 ~
. 75. а) См. рисунок 1. б) См. рисунок 2. в) См. рисунок 3. г) См. рисунок 4.
Рис. 1
76. а) г = Zsinoe. б) и =
Рис. 2
Рис. 3
2nZsina
в) а =
4л Z sin a
. 77. 30°.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
78. а) Окружность, б) Спираль, в) Точка. 79. 1,4 км; 1 км. 80. 10 с; 50 м. 81. 78 км/ч. 82. 25 м/с.
84. а) 2 м/с2, в) 10 м/с.	85. 20 м/с. 86. а)	9 м/с.	б) 31,5 м.	87.	а) 20 м; 2 с. б) 4 с. в) 10 м/с;
20 м/с. 88. а) 10 м/с. б)	1 с. в) 5 м. г) Например,	0,5 с и 1,5 с.	89. а) Ускорение второго тела в
10 раз больше, б) Ускорение первого тела в 10 раз больше, в) Ускорение первого тела в 10 раз
больше. 90. 24,5 м/с. 91. 3 с; 0,33 с-1; 2,1 рад/с; 0,63 м/с; 1,3 м/с2. 92. 5,6 км; 30,3°. 93. 10 м.
94. 2 суток. 95. а) 1,06	ч. б) 19,5°. 96. 45	см. 97.	21,2 м/с.	98.	7,1 м/с. 99. а) 36 м. б) 9 м/с.
100. 80 см. 101. 40 м/с;	80 м; 4 с. 102. 50	м. 103.	11,5 м/с.	104. 0,83 с. 105. 16,6 м. 106. 6 с'1;
4,52 м/с. 107. 343 м/с. Траектория — винтовая линия. 108. 400 м/с.
ДИНАМИКА
Три закона Ньютона
109. К центру окружности. 110. Может. Например, скорость брошенного вверх тела направле¬
на противоположно действующей на него силе тяжести до тех пор, пока тело движется вверх.
111. а) 0,6 м/с2, б) 1,2 Н. г) 120°. 112. Если силы перпендикулярны друг другу.
Силы тяготения
113. 6F. 114. а) а = б) F = G —с™. в) v =	.	Обратите внимание: чем больше радиус орбиты,
тем меньше скорость планеты, причём скорость движения планеты не зависит от её массы.
.М,
115. 30 км/с. 116. Т = 2л
Ra
GMr
117. g = G-
Зем
R
. 118. g(h) = G
M.
Зем
'Зем
(■^Зем +
120. Uj = V-R3eMg. 121.	=
GM.
Зем
R
AnGpR
. 124. Vj = 2R
'Зем
Gnp
119. В 4 раза.
Зл
. 125. T = J—. Обратите
Gp
211

внимание, что период обращения спутника вокруг планеты на низкой орбите зависит только от её
-^L_ = 6103^.
4nGRl	м3
плотности. 126. р =
Силы упругости
127. 200 Н/м. 128. а) У первой, б) В 4 раза, в) 500 Н/м. 129. Вес больше силы тяжести в случаях
а) и г), вес меньше силы тяжести в случаях б) и в). 130. а) Вниз, б) 2 м/с2, в) О направлении ско¬
рости лифта ничего сказать нельзя: она может быть направлена как вверх, так и вниз. 131. Шарик
[*i = Hh - k>);
находится в состоянии невесомости во время всего полёта. 132. 12 см. 133. а)
F2 = Mh - lo)-
Fjh Fh
*2—
2Н
. в) k
h h
—. г) Z0 = 12 см; k = 1000 Н/м. 134. а) хг = 2 см; х2 = 1 см. б) х = 3 см.
OU	TJT
в) k =	=	=	67—.	135. а) 500 Н/м. б) к. = 2 кН/м; к9 = 667 Н/м. в) 1,5 см; 4,5 см.
Зем 0,03 м	м
136. 200 Н/м. 137. а) 1 Н. б) 1 см. в) 1 см. г) k = 200—. 138. 450 Н/м. 139. а) 20 м/с2, б) Сила упру-
м
гости со стороны пружины, в) 2 Н. г) 2 см. д) 18 см. 140. а) 15 м/с2; вверх, б) 10 Н.
Силы трения
141. а) Для второго, б) Цг = 0,25; ц2 = 0>75. 142. а) См. рис. 5. Уравнове¬
шивают друг друга сила тяжести и сила нормальной реакции, б) 2 Н.
в) 0,4 Н. г) 0,4 Н. д) 2 м/с2; см. рисунок 5. е) 25 см. ж) Ответы на все
предыдущие вопросы, кроме вопроса е, не изменятся, новый ответ на этот
вопрос: 1 м, так как пройденный бруском до остановки путь пропорциона¬
лен квадрату его начальной скорости. 143. а) 1,5 Н. б) 2 Н и 3 Н.
144. а) 2 Н. б) 3 Н. 145. а) Наклонный участок графика соответствует силе	_
трения покоя, а горизонтальный участок — силе трения скольжения.	.Ftp*
б) 0,3. 146. 5 м/с2. 147. а) См. рисунок 6. б) mgx = 0; mgy = -mg;
Nx = 0; Ny = N; FTpx = -FTp; FTpy =0; Tx = Tcosa; Ty = Tsina. в) Нулю.
г)
N =
Ox: - FTp + Tcosa = 0;
Oy: - mg + N + Tsina = 0.
Д)
mg cosa
psina + cosa
pmg cosa
psina + cosa
KP = MFT-
ж) T =
e)
T =
p mg
psma + cosa
0,75 H; N = 1,62 H;
Якв
mg
Рис. 5
FTp = 0,65 H. 148. 1,06 м/с2. 149. 2,6 м/с2; вниз.
Тело на наклонной плоскости
150. а) Сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны наклонной
плоскости, б) mg + N = та. в) mgx = mgsina; mgy = -mgcosa; Nx = 0;
Ox: mg sina = та
N
N; ax = a; ay = 0. r)
. д) a = gsina. e) Потому
[Oy: - mg cosa + N = 0
что все действующие на брусок силы пропорциональны массе бруска,
ж) 30°. з) N = mgcosa. и) 60°. 151. а) 5 м/с2, б) 0,9 с. в) 4,5 м/с.
V,
о
б) t2 =
в) I =
V,
'о
-. 153. Не может, потому что
152. а) =
gsina " g’sina	gsina
сила тяжести и сила нормальной реакции не могут уравновесить друг дру¬
га, так как они направлены не противоположно. 154. а) Сила тяжести, сила
нормальной реакции со стороны наклонной плоскости и сила трения покоя.
б) Потому что сила трения покоя уравновешивает равнодействующую силы
тяжести и силы нормальной реакции, а их равнодействующая направлена
212

вдоль наклонной плоскости вниз, в) mg + N + FT р пок = 0. г) mgx = mg sin a; mgy = -mg cosa; Nx = 0;
Л7 TP	17	1?	0 4	^8	sinct	—	-^тр.	ПОК	~	4 77	■	J.T
и —	' п>. пок .v —	’i>. пок1 г)j. пок u — 0. д) -I	at о	гр.пок “ mgsma, N — mgcosa.
[Oy: - mgeosa + N = 0.
ж)	j^rp.noK < Й-У. з) Угр noK < pN => mg sin a < pmgeosa ==> tga < p. 155. 0,44. 156. а) Сила тяжести, сила
нормальной реакции со стороны наклонной плоскости и сила трения скольжения, б) Потому что сила
трения	скольжения направлена противоположно	скорости	тела. в) mg + N + Frp ск = та.
fOx: mgsina - F ск = та;
г)	<	д) F ск = xN. е) а = g(sina - pcosa). 157. Брусок начнёт соскальзывать;
[Оу: - mgeosa + N = 0.
а = 1,54 м/с2. 158. а) Скорость бруска будет уменьшаться со временем, потому что значение силы
трения скольжения больше значения равнодействующей силы тяжести и силы нормальной реакции,
б)	а = 1,06 м/с2, в) I = 1,88 м.
Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил
159. а)
п ■ v - mv	v2	v2
х■ тР. пок - г	> б) F OK<xN. в) л/pgr . г)	г>—	. д) р >	—	. 160. 56 м. 161. а) На груз
Оу: mg-N = 0.	W	Гё
действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити .FHaT, являющаяся силой упругости, б) Равнодей¬
ствующая этих сил направлена к центру окружности, по которой движется груз, в) mgx = 0; mgy = -mg;
v2
„	.	„	т,	«	ч	Ох:	AVTsina = т ; . „ mg	.	Гgl
Чтт* - ^,aTSm«; А = -РнатСОва; ах = а’ау = °- г)	I	sina	Д)	^Нат	=	 5	V	=	sm«,		•
*	'	^	.	cosa	cosa
Оу: FuaTcosa - mg = 0.
11 CQg (X
e)	T = 2k. 	.	162. a) 60°. 6) 43 cm. b) 2,74 м/с. г) 1 c. 163. а) Сила нормальной реакции со сто-
V 8
роны полусферы. Чертёж в точности повторяет рисунок 30 с единственным отличием: сила натяжения
нити заменяется на силу нормальной реакции, б) 20 м/с2, в) 63°. г) 1,12 Н. д) 22,4 см. е) 1,59 с-1.
164. 27!^—^^ = 1,43 с.
Движение системы тел
165. а) На первый брусок действуют сила тяжести, сила нормальной реакции, сила F и сила натя¬
жения нити Т1. На второй брусок действуют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила натяже¬
ния нити Т2. б) Сила тяжести и сила нормальной реакции, действующие на каждый брусок. Силы Г,
и Т2 не уравновешивают друг друга, так как приложены к разным телам! в) Вследствие третьего
закона Ньютона с учётом того, что массой нити можно пренебречь (по условию нить лёгкая), г) По¬
скольку нить нерастяжима, модули перемещения брусков за любой промежуток времени одинаковы.
Ох: - Т + F = тух;
Отсюда следует, что скорости брусков и их ускорения в любой момент равны, д)
Оу: - mxg + N1 = 0.
е)
Ох: Т = m2a;	F	т.,
ж)	а =	;	Т	=	F		—. 166. 1,5 кг и 0,5 кг. 167. а) На брусок действу-
Оу: - m2g + N2 = 0.	тщ	+	m2	m1+	m2
ют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила натяжения нити. На груз действуют сила тяжести
и сила натяжения нити, б) Ускорения тел равны по модулю вследствие того, что нить нерастяжима,
силы	натяжения нити равны потому, что	массой	нити	можно	пренебречь (нить лёгкая).
Ох: Т = тба;	яг	т^тГ
в)	(	Оу:	m g - Т = т а. г) а = g	1—;	Т = g 5—168. а) На каждый груз дей-
I Оу: m6g - N6 = 0;	тб + тТ	тб	+	тТ
ствуют сила тяжести и сила натяжения нити, б) Ускорение более массивного груза направлено вниз,
а ускорение менее массивного груза направлено вверх, в) Ускорения грузов равны по модулю вслед¬
ствие того, что нить нерастяжима, силы натяжения нити равны потому, что массой нити можно
213

Mg-T = Ma;	M-m	2Mm
пренебречь (нить легкая), г) (	д)	а	=	g	;	Т	=	g	.	е)	Вес грузов одинаков,
mg - Т = -та.	М	+	т	М	+ т
поскольку вес каждого груза равен силе натяжения нити. Вес более массивного груза меньше дей¬
ствующей на него силы тяжести, потому что этот груз движется с ускорением, направленным вниз,
а вес менее массивного груза больше действующей на него силы тяжести, потому что этот груз дви¬
жется с ускорением, направленным вверх. 169. а) т = 100 г. б) Р = 0,9 Н. 170. а) а1х - -2а2х.
mi§ ~ Т = тща1х;	2т,	- т2	т2	-	2тп,	,
б)	(	в)	а, _ = 2g 4а,,.. = g—  -. г) Ускорение первого цилиндра направле-
m2g -2Т = т2а2х.	4тг	+	т2	2х 4тг + т2
но вниз, а второго - вверх, д) Т =	е)	Р: =	=	0.82Н; Р2 = -®*Ml = 1>64н.
4 тх + т2	4	т1	+	т2	4тг	+ т2
171. а) = а2у. б)
OjXj: Т - wijg'sina = тга1х-,
^	г. ч т,-то, sina ч тг
AT - nijgcosa = 0; в) а1х = — 	  g.	г)	Ускорение бруска направлено
т, + т2
02у2: m2g - Т = т2а2у.
вдоль наклонной плоскости вниз, ускорение цилиндра направлено вертикально вверх, д) 2 м/с2.
172. а) На верхний брусок действуют сила F, сила тяжести, сила нормальной реакции со стороны
нижнего бруска и сила трения со стороны нижнего бруска, б) На нижний брусок действуют сила
тяжести, сила давления со стороны верхнего бруска, сила нормальной реакции со стороны стола и
сила трения со стороны верхнего бруска. Со стороны стола на нижний брусок сила трения не дей-
Ох: F - imBg = тъав-,	F	м	|xmBg	м
ствует: стол по условию гладкий, в) <	г)	aR	=	ig = 16 —; ан =	—	=	20 —.
[Ox: xmBg = ткан.	тв	с2	тпн	с2
д) Полученные значения ускорений не могут быть правильными, потому что нижний брусок не может
,	„ fOx. F — FT1p пок — тва,	р	^
двигаться с большим ускорением, чем верхний, е) i	ж)	а	=	=	1о,7
(О*: ^.пок = тИа.	тв	+	тш	’с2
з)	FTD = F—— = 3,3 Н. и) Выполняется, потому что сила трения скольжения в данном случае
тв +тн
равна 4 Н. к) 20 м/с2, л) Чтобы сорвать верхний брусок с нижнего, к нему надо приложить горизон-
м
тальную силу, превышающую 24 Н. 173. а) ц > 0,2. б) Оба бруска будут двигаться с ускорением а = 2—^.
ч , м	м	с
в)	ав = l-у; ан = 2,4-г-,
с	с
Вопросы и задания для самостоятельной работы
174. Равнодействующая сил равна нулю. Лишнее данное — скорость капли. 175. 1 м/с2 или 3 м/с2.
176. 0,25а. 177. Земля и Луна притягивают друг друга с равными по модулю силами. 178. От 10 с
до 20 с; от 25 с до 35 с. 179. 1 м/с2. 180. 15 т. 181. Около 2500 км. 182. Сила упругости каждой
пружины равна 12 Н; на 4 см. 183. б) 200 Н, вверх, в) 1,2 кН; в 1,2 раза. 184. 8 см; 100 Н/м.
185. Больше 1,5 Н; 2,5 Н. 186. Нет. 187. 4 км/с. 188. 4200 кг/м3. 189. 3 см. 190. 31 кН; 31,6 м/с.
191.	На 2 см; не изменится. 192. 5 м/с2. 193. Около 830 кг. 194. 0 м/с2, 1 Н; 2 м/с2, 1,2 Н.
195. а) 2 м/с2, противоположно начальной скорости бруска, б) 0,4 Н. в) 0,2. 196. а) 30 Н. б) 18,8 Н.
197. Больше 60 Н. Больше 20 Н. 198. -4,9 м/с2. 199. 8,7 м/с2. 200. 0,7. 201. 0,09. 202. 0,2 Н;
10,2 Н. 203. Р = a; Т = mg'cos а. 204. 0,69 м. 205. 5,77 м/с2. Лишнее данное — длина нити. 206. Не более
.2'
30,4 см. 207. 2,12 м/с; 0,77 с. 208. а) N = m
v
gsma
R )
= 25 мН. б) umin = jgRsinы =0,71 м/с.
209.	49 м. 210. а) 10 м/с2, б) 4 Н. 211. х = -m= з)46 см. 212. F > 4,2 Н. 213. F > 84 Н.
k(m1 + т2)
Сравнивая с ответом предыдущей задачи, видим: чтобы «сдёрнуть» брусок с тележки, надо приложить
намного большую силу, чем для того, чтобы выдернуть тележку из-под бруска. 214. Брусок начнёт
скользить по доске и соскользнёт с неё через 1,63 с после начала действия силы.
214

Законы сохранения в механике
Импульс. Закон сохранения импульса
215.	Легковой автомобиль едет на юг со скоростью 120 км/ч. 216. а) рх = р2 = 0,6 КГ М. б) р2 = -рг.
с
в) Ар = р2 - Pi = ~Pi - Pi = -2Pi, противоположно начальному импульсу, г) 2. 217. 100 Н. 218. а) Нулю.
б)	Ар = 2 ———. в) Ар = 1,41 ———. г) Изменение импульса шара за очень малый (по сравнению с пе-
с	с
риодом обращения) промежуток времени направлено к центру окружности, по которой движется шар.
219. а) Через 1 с. б) Ар = 1 KI- М. 220. а) 0,8 Н. б)	Ар = 0,8 КГ М.	в)	Ар = 0,8	КГ	М.	г) Нулю,	потому
с	с	с
что через 2 с после толчка брусок остановится. При решении подобных задач	надо прежде	всего най-
кг • м	кг • м
ти время движения тела до остановки! 221. а) Арш	= 0,3	. б)	рб	= 0,3	.	в)	1 м/с.	г)	2 м/с2.
с	с
д) 0,2. 222. а) На каждое из этих тел действует сила тяжести. Кроме того, на тележку действует ещё
сила нормальной реакции, б) Все внешние силы направлены вертикально, в) Нет. г) psx = mTvB.
т
д)	ркх - (тТ + mr)vK. е) vK = vB	1—.	ж) Суммарный импульс груза и тележки не сохраняется. Со-
тТ + тг
храняется только проекция суммарного импульса груза и тележки на горизонтально направленную
ось х. 223. 1,5 м/с. 224. а) (тг + m2)v = т^ + m2v2; (т1 + m2)vx = тхоХх + m2v2x. б) их = т1°1х + m2v2x ^
тг + т2
225. a) vlx = 1м/с; v2x = -2м/с. б) vx = -0,2м/с. в) Скорость образовавшегося тела направлена противо¬
положно начальной скорости первого шара (на это указывает отрицательный знак проекции скорости).
226. а) тчпча - ттита = 0. б) чтз = 0,4 м/с. в) 1,2 м/с. г) За 10 с. д) Когда человек остановится у право¬
го конца тележки, скорости человека и тележки относительно земли станут равными нулю, е) На
4 м. ж) На 8 м. 227. а) Нет, потому что на них действуют внешние силы, которые не уравновеши¬
вают друг друга, б) Сохраняется проекция суммарного импульса тележки и шара на ось х, направ¬
ленную горизонтально, потому что все внешние силы направлены вертикально, в) (тТ + тш)v = mmvm cosct.
г) v = mmvmcosa _ iM/c_ 228. а) (М + m)v = тип. б) a = xg. в) I = ——f т°п 1 = 2,45м. 229. а) 30 м/с.
тТ + тш	п	2pgM	+ m)
б)	60 м. в) 36 м/с.
Механическая работа. Мощность
230. б) -1 Дж. в) 1 Дж. 231. -0,04 Дж. 232. 50 см. 233. а) F = mg = 100Н. в) А = — = 500Дж.
234. 160 Вт. 235. 1 кН. 236. 0,4 м/с.	2
Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергия
237. а) -3 Дж. б) Увеличилась на 3 Дж. 238. Нулю. 239. 0,03 Дж. 240. а) Скорость легкового авто¬
мобиля в 2 раза больше, б) Модуль импульса грузовика в 2 раза больше.
Закон сохранения энергии в механике
241. 40 см. 242. 9 см. 243. а) Oj = л/2gh. б) v2 = j2gh———. 244. а) При соскальзывании санок ме-
М + т
ханическая энергия не сохранялась, б) —95 Дж. 245. 4 • 10“ °С. 246. а) То, что стержень лёгкий,
означает, что его массой, а следовательно, и кинетической энергией можно пренебречь; то, что
стержень может вращаться без трения, означает, что на шар при его движении действуют
2 2
mv Л	тип	Г~о	I—
только сила упругости и сила тяжести, б)  — + 2mgl = —. в) = yjv0 - 4gl. г) v0 > 2yjgl.
2	2
, Ml)2 , mv2	,	(M	+	m)v2
247. a)	Mgl	H	b	mgl	=	0	=>	  =	gl(M	-	m).	Здесь	v	—	модуль скорости шаров в момент,
215

когда стержень с шарами проходит положение равновесия, нулевому уровню потенциальной энергии со-
12(М - m)gl	mv2	.	mu2
поставлено начальное состояние, б) v = ,	.	248.	а)	 =	mgr	sina.	б)	Т	-	mg	sina	=	.
М + m	2	Z
в)
mv2
 = mgl sina;
г)	T = 3mgsina. д) От нуля до 3/тг^Г. е) ат = g cosa. ж) ara = 2gsina.
«гУ2
Т - /ngsina = —-—.
з)	a = ^a2 + a2 = gVl + 3sin2a. и) От g до 2g. 249. 60°. 250. а) Если бы скорость шарика в верхней
точке была равна нулю, то под действием силы тяжести шарик начал бы двигаться вертикально вниз
с ускорением свободного падения. А он по условию движется по окружности. Следовательно, скорость
шарика в верхней точке траектории не может быть равной нулю, б) Когда шарик проходит нижнюю
mv2
часть траектории, его скорость больше, г) —~ = Тв + mg. д) vB min = s[gl. е) С ускорением свободного
падения, ж)	= Тн - mg. з)	+ 2mgl. и) vBmin = Jbgl. к) THmln = 6mg. л) 5g; вверх.
L	£	/L
251. а) Минимально возможную скорость шарика в верхней точке траектории можно принять прак-
mv 2
тически равной нулю, б) oBmin = 2-Jgl. в) 4g; вверх, г) 5mg. 252. б) = NB + mg. в) oBmin = Jgr.
Г
ч Л	тип	ТТ	ч	ТТ	_ео _ч	.	mv2	ТТ	.	mv2	h-r	.	_	5	г
г)	2mgr +	  =	mgH.	д)	Hmin	=	—. 253. б) mgh +	=	mgH. в) 	=	mg	. г) h - —.
2	2	2	гг	3
2	2	т.	n
254. а) 3,87 м/с. б) 3 м/с. 255. а) mgh + TnV = mgr. б) ~V - = mg N. в) h = —.
2	г	г	3
ч mv2 Ми2	„	тн2	ч	3cosa	-	2
256. а)  н = mgr(l - cosa) + Mgra. б) 	=	mg	cosa.	в)	M = m	=	330г.
2	2	г	2a	- cosa
Применение законов сохранения в механике к движению нескольких тел или системы тел
257. 0,2 кг. 258. б) 200 м/с и 600 м/с. в) d = sin^a _ 27,7км. 259. а) нй = ш———.
g	М	+	m
б)	— = ——— = 0,01. в) Сохраняется, г) —I ——— I = 0,78м. д) На 78°. 260. а) Нет. б) Да.
Еп	М + т	2 gM + m;
в)	(М + m)V = mv0. г) Да. д)	+	mgH	=	е)	V	=	m	l	—7	=	0,19	м/с;
2	2		М(М	+	пг)
v0 = ^2gH ~~ = 2,1м/с. 261. а) Скорость горки будет направлена вправо, а скорость шайбы — влево,
б)	Скорость горки 0,2 м/с, скорость шайбы 1 м/с.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
262.	3 кг • м/с; 6 кг м/с. 263. 2 м/с. 264. 0,15 м/с. 265. 20 м/с. 266. а) -10 Дж.
б)	30 Дж. в) 20 Дж. 267. а) 5 см. б) -0,32 Дж. 268. 1 кВт. 269. а) 0,4 Дж. б) 0,4 Дж. в) 0 Дж.
270. 2 • 10® Дж. 271. а) Ек = 10 Дж; Ер = 40 Дж. б) Ек = 20 Дж; Ер = 30 Дж. в) Ек = 50 Дж;
Е = 0 Дж. Сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий мячика. 272. а) 10 Дж.
б)	40 Дж. в) 50 Дж. г) 50 Дж. д) 22,4 м/с. 273. 10 м. 274. В оба указанных момента скорость камня
была равна 10 м/с. 275. а) 4 -Г б) 40 кН. в) 4- 10® м/с2. 276. 5 кг • м/с. 277. а) Зкг м/с.
с
б)	6 кг м/с. 278. 1 м. 279. 2,11 м/с. 280. 0,73 м/с; 31°. 281. 3 мин 20 с. 282. а) 2500 кг ■ м/с.
216

б) 2,5 кН. в) 2,5 кН. 283. 316 м/с. 284. 33,9 с. 285. a) mv + (М - m)V = 0. б) v = vr + V. в) V = ~VT-
286. -0,75 Дж. 287. 132 кДж. 288. 2 кДж. 289. 1 Дж; 0,36 Дж; 0,64 Дж. 290. А
i>0p/ncosa
sina + pcosa
291.	156 кДж. 292. 30 Дж. 293. 4,5 см. 294. В обоих случаях 0,63 Дж. 295. -114 Дж. 296. 2,53 м/с.
297.	У второго бруска; в 7 раз больше; Ек2 = 350 Дж. 298. 390 м/с. 299. 60 г. 300. а) v =
2 Rg
б)	ап = — = —g. в) N = —mg. г) См. рис. 7. д) См. рис. 8.
R 3	2
Рис. 7
301.	а) 45 см. б) 0,5 Н. 302. v = ^2gR. 303. 71°. 304. 60 см. 305. o0min = 2g7(sin« + pcosa) + gr cosa = 4 м/с.
306.	300 м. 307. 9,8 м/с. 308. v0 = j2gHM^m = 1,7м/с. 309. 39°.
Статика
Условия равновесия тела
[Ох: - Ti sina + T?sina = 0;	mg	[Ox: Tosina - T, =0;
310.	a) 	1	2	б)	T,	=	T2	=	—	=	58	H. в) При a = 60°. 311. a) i 2	1
[Oy: T'jcosa + T^cosa - mg = 0.	2cosa	[Oy: T2 cos a - mg = 0.
6)	Tl = 23,1 H; T2 = 46,2 H; T3 = 40 H. 312. Для силы Fv 313. Мг = -2 Н-м; M2 = 0; М3 = 0;
М4 = 2 Н-м. 315. Приложенная в точке А сила должна быть направлена вверх и равна одному нью¬
тону. 316. а) Относительно оси, проходящей через точку О, потому что модуль и направление силы,
^Sin0t Г¥1 Т
действующей на стержень со стороны оси шарнира, неизвестны, в) -mg	+	1L	cosa	=	0.
г) т д)
Центр тяжести
317. б) 0,4 м; 0,2 м. в) Сила натяжения первого троса равна 30 Н, а второго троса — 60 Н.
318. 100 Дж. 319. б)
Ox: Nc - FTp = 0;
в)	Fr_ < рУп. г) Относительно нижнего
[Oy: Nu - mg = 0.	'	тр
конца доски, потому что только к нижнему концу приложены две силы: в осталь-
1	tga
ных точках приложено только по одной силе, д) —Nclcosa + mg—sina = 0. e) 	<	p..
2	2
320. а) Относительно оси шарнира, потому что неизвестна сила, приложенная к
стержню со стороны шарнира, в) Момент силы тяжести отрицателен и выражает-
„ mgl
ся формулой ——, а момент силы натяжения троса положителен и выражается
формулой 77 sin а. г) Т
mg
= 100 Н. д) 100 Н. 321. а) См. рис. 9, на котором
2 sin а
силы, действующие на палочку со стороны края стакана, дна стакана и его стен-
217

ки обозначены, соответственно, NK, Nn и Nc. б) Относительно оси, проходящей через нижний конец
палочки, потому что нам неизвестны	силы, действующие	на палочку	в	этой	точке,	в)
iVKVft2 + d2 - mg——j=~	= 0. г) 0,45 Н.
2 V^Td2
Равновесие жидкости и газа
322. a) F = рghS. б) р = рgh. 323. На глубине 10 м. 324. а) р = рBghB + рKghK. б) hB = 20 см, Лк = 10 см.
h 5
325. б) — = —. в) 8 см. г) 10 см. 326. а) Стального, в) Медный, г) В сторону медного шара. 327. На
К 4
25 %. 328. а) Нет. б) Нет. в) Когда брусок плавает в керосине, объём погружённой	в жидкость части
бруска больше, чем когда он плавает в	воде. 329. 880 кг/м3.	330. в) т =	0,25p1V1.	г) 128	кг.
331. 6,6 кг.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
332. 200 Н. 333. 30 Н. 334. 60 Н и 90 Н. 335. На расстоянии 36 см от точки подвеса груза массой
4 кг. 336. Масса груши в 2 раза больше массы яблока; — = 2. 337. На расстоянии 4,6 см от центра
гпр
стержня в части стержня, изготовленной из свинца. 338. 0,5 кДж. 339. Т =	+
Jl(l + 2 R)	Jl(l + 2 R)
340.	v =	341. a) F = —. б) F =	342.	^дно	=	pga3;	Дстен	= ^. 343. Ill Н. 344. Например,
2	2	2л/2	2
из чугуна. 345. 8 мм. 346. 8,9 кг. 347. Не более 229 г. 348. Объём шара увеличился в 1,3 раза.
349. а) 5 см. б) Уменьшилась на 4 см. 350. 17,2 м.
Молекулярная физика
Строение вещества
351.	То, что вещество состоит из атомов и молекул, и то, что они находятся в непрерывном хаоти¬
ческом движении. 352. То, что вещество состоит из атомов и молекул, и то, что они находятся в
непрерывном хаотическом движении. 353. Быстрее всего в газах, а медленнее всего — в твёрдых
телах. 354. На притяжение молекул указывает существование жидкостей и твёрдых тел, а на оттал¬
кивание молекул указывает несжимаемость жидкостей и твёрдых тел. 355. В трёх молях водорода в
3 раза больше молекул, чем в одном моле кислорода. 356. 2 моля водорода и 1 моль кислорода.
357. 16 а. е. м. и 32 а. е. м. 358. а) 1,8 • 1024; б) 6 • 1022. Число атомов 5,4 • 1024; 1,8 ■ 1023.
359. 10 моль; 0,05 моль; 5,5 моль; 0,001 моль. 360. а) 14,1 см3; б) 1,64 • 10-4 см3; в) 1,64 10^4 г;
г)	5,45 • 1018.
Изопроцессы и другие газовые процессы
361. Температура тела увеличилась на 10 К. 362. а) В 2 раза, б) В 2 раза. 363. а) В 2 раза, б) В 2
раза. 364. б) В 2 раза; в) на 5 ■ 104 Па. 365. а) Данный процесс не является каким-либо изопроцес¬
сом. в) Увеличивается, г) Увеличивается, д) Увеличивается. 366. а) Увеличилась; б) уменьшилось;
в)	увеличился. 367. а) Увеличился, б) Увеличилось, в) Увеличилась.
Уравнение состояния идеального газа
368. ^>1^1 =	=$ Yz. =	. Tz. Yz =	—	=	Объём	газа	уменьшился	в	1,5	раза.	369.	а)	273	К
Т Т2 Vx Р2 Тг Fj 3	1	3
и 373 К. б) Увеличилось на 105 Па. в) Объём газа уменьшился: отношение конечного объёма газа к
218

начальному равно 0,68. 370. а) Не может; б)
Р =
V
pV
а;
где а и с — некоторые постоянные величины;
= с,
р	Т
в)	— = Ь, —5- = d, где bud — константы; г) давление увеличивается в 2 раза; д) температура уве-
Т	V
з	Т3
личивается в 4 раза. 371. Давление газа уменьшается в 2 раза. 372. a) pV = const; б) —5- = const;
Р
в)	уменьшится в 8 раз; г) уменьшится в 2,8 раз. 373. а) 1,76 г; б) 28,2 г; в) 38,8 г. 374. Водород
занимает объём, в 16 раз больший, чем кислород. Это означает, что водород занимает 16/17 объёма
сосуда, а кислород — только 1/17 часть. 375. 1,29^; примерно в 780 раз. 376. а) 373 К
м
и 273 К; б) нет, потому что он находился под подвижным поршнем и трением можно пренебречь;
в)	в 1,37 раза; г) 0,68. 377. а) 1,4 • 105 Па; б) 11,3 ■ 105 Па; в) 12,7 • 105 Па.
Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул
378. а) 6 • 1023; б) 3 ■ 1025 -Дг; в) 5 • 10-21 Дж; г) лишним данным является вид газа. 379. 5,7 ■ 10~21 Дж.
м
Лишними данными являются названия газов (достаточно было указать, что газы одноатомные), а
также давление. 380. 1900 м/с; 480 м/с; 180 м/с. 381. 224 м/с. 382. Давление газа на стенку сосуда
уменьшилось бы в 2 раза.
Насыщенный пар. Влажность
383. а) 100 кПа. б) 11,6 г. 384. 66 %. 385. а) Прилежащий к холодным стёклам очков слой воздуха
охладился, вследствие чего водяной пар в нём стал сначала насыщенным, а затем началась конденса¬
ция пара; б) согласно условию относительная влажность воздуха в комнате равна 60 %. Это означает,
что давление водяного пара составляет 0,6 от давления насыщенного пара при той же температуре
(20 °С). Используя данные из таблицы, получаем, что парциальное давление водяного пара в комнате
равно 1,4 кПа; в) при 12 °С; г) ниже 12 °С.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
386. Нет. Видимые глазом пылинки слишком велики, чтобы удары молекул газа по ним могли быть
о кг
заметными. Такое движение пылинок обусловлено потоками воздуха. 388. а) 17 10	 ;
моль
б)	2,8 • 10~26 кг; в) 8 г; г) 2,8 • 1023. 389. а) В алюминиевом в 2,37 раза больше; б) в медном в 1,4 раза
больше. 390. Давление газа увеличивается в 4 раза. 391. Т2 = 150 К; Т3 = 450 К. 392. В первом.
393. В четвёртом. 394. На этапах 1-2 и 2—3 температура газа увеличивалась, а на этапах 3-4 и 4-1
уменьшалась. 395. 375 К. 396. 0,04 моль. 397. В 8 раз. 398. 82,2 кПа. 399. 1,13 МПа. 400. а) Дав¬
ление увеличится в 4 раза; б) давление увеличится в 16 раз; в) давление увеличится в 3 раза;
г)	давление увеличится в 2 раза; д) давление уменьшится в 8 раз. 401. 144 кПа. 402. Кинетическая
энергия молекул увеличится в 3 раза, а их среднеквадратичная скорость увеличится в V3 раз.
403. 2 • 1021. 404. 7,7 г/м3. 405. 80 °С. 406. а) 84 %; б) 73 %; в) 74 %. 407. 1,7 кПа. 408. Не более
10 °С. 409. 0,29 моль. 410. Одинаковое число молекул. Число атомов, содержащихся в 28 г азота, в
1,5	раза меньше числа атомов, содержащихся в 44 г углекислого газа. 411. N = 4 ■ 1014. 412. 375 К.
415. 50 м. 416. Т2 =	417. Давление воздуха уменьшилось на 21 %. 418. Т2 = 9ТГ 419. 0,6.
420. 10 см от дна сосуда. 421. Поршень опустится на 19 см. 422. а) Не изменится; б) уменьшится
в 1,25 раза; в) увеличится в 1,25 раза; г) увеличится в 1,1 раза. 423. 0,58 г. 424. 1,5 1024.
425. а) 47 кПа; б) 2,9 г; в) 1,23 кПа; г) 0,094 г; д) 2,8 г. 426. 0,12 г. 427. 232 кПа. 428. а) 3,9 %;
б)	100 %. 429. а) 60 °С; б) 0,39 г; в) 0,26 г.
219

Термодинамика
Первый закон термодинамики
432. При адиабатном сжатии температура газа повышается, а при адиабатном расширении — пони¬
жается. 433. В воздухе всегда содержится некоторое количество водяного пара. Его плотность мень¬
ше, чем плотность воздуха, потому что молярная масса воды меньше, чем молярная масса газов,
входящих в состав воздуха (азота и кислорода), поэтому водяной пар поднимается вверх. При этом
он попадает в более разрежённые и более холодные слои атмосферы. В результате содержащийся в
воздухе водяной пар может сконденсироваться, то есть превратиться в капельки воды или кристал¬
лики льда, это и есть образование облаков. 434. Внутренняя энергия газа уменьшилась на 200 Дж.
435. Адиабатному расширению соответствует график 2. 436. В изотермическом процессе внутренняя
энергия газа не изменяется. 437. Q = Аг. 438. При любом расширении работа газа положительна, а
при любом сжатии — отрицательна. 439. При изотермическом расширении газ получает некоторое
количество теплоты, а при изотермическом сжатии — отдаёт. 440. При изохорном процессе работа
газа равна нулю, потому что газ не расширяется и не сжимается. 441. Q = AU. 442. При изохорном
нагревании внутренняя энергия газа увеличивается, а при изохорном охлаждении — уменьшается.
443. При изохорном нагревании газ получает некоторое количество теплоты, а при изохорном охлаж¬
дении — отдаёт. 444. При изобарном нагревании внутренняя энергия газа увеличивается, а при изо¬
барном охлаждении — уменьшается. 445. При изобарном нагревании работа газа положительна, а
при изобарном охлаждении — отрицательна. 446. При изобарном нагревании газ получает некоторое
количество теплоты, а при изобарном охлаждении — отдаёт. 447. Не получает и не отдаёт.
448. AU + Аг = 0. 449. При любом расширении работа газа положительна, а при любом сжатии —
отрицательна. 450. При адиабатном сжатии внутренняя энергия газа увеличивается, а при адиабатном
расширении — уменьшается.
Применение первого закона термодинамики к газовым процессам
451. а) 0,4 моля; б) 8 г. 452. AU = 3p0V0. 453. Внутренняя энергия газа умень-	Р
шилась на 600 Дж. 454. а) 2 • 105 Па; б) 4 105Па; в) AU = 4,5кДж. 455. а) Изо¬
бразим график данного процесса в координатах (р, F) (рис. 10). Работа газа в	Ро
изобарном процессе Ат = p0(F2 - ИД, где р0 — постоянное давление газа, Vx и
V2 — начальный и конечный объём газа. Из уравнения Менделеева — Клапей-	о' у у **у
рона следует, что в изобарном процессе p()AV = у RAT. Следовательно, Аг = vR(T2 - 7);
3	5	РиС"
б) Д{7 = —vR(T2 - Т,); в) Q = —vR(T2 - ТД. 456. а) Работа газа при переходе спосо-
2	2
бом а в 2 раза больше, чем при переходе способом б; б) изменение внутренней энергии при обоих
способах перехода одинаково. 457. Переданное газу количество теплоты при переходе способом а
в 3 раза больше, чем при переходе способом б. 458. а) Увеличивалась на этапах а и Ь, уменьшалась
на этапах с и d; б) на этапе Ь; в) на этапе cl; г) получал на этапах а и 6, отдавал на этапах cud;
д)	(р2 - р1)(Р2 - F,). 459. а) Процесс 2—3 представляет собой адиабатное расширение, а процесс
3—1 — изотермическое сжатие; б) газ совершает положительную работу на этапах 1—2 и 2—3; газ
совершает отрицательную работу на этапе 3—1; в) газ получает некоторое количество теплоты на
этапе 1—2 и отдаёт некоторое количество теплоты на этапе 3—1. 460. а) Тх = Т,у б) А12 - vR(T2 - 7Д.
3	5	3
в) ДН12 = —vR(T2 - 7Д; г) Q12 = А12 + ДП12 = g v^(^2 ~ ^1)> Д) А23 = —vR(T3 - Т2); е) количество теплоты,
отданное газом в изотермическом процессе, равно работе внешних сил над газом.
Тепловые двигатели. Второй закон термодинамики
461. 4 кДж. 462. а) а — изохорное нагревание, Ъ — изобарное расширение, с — изохорное охлажде¬
ние, d — изобарное сжатие; б) газ совершает положительную работу на этапе Ь. Аг = 2p0VQ; в) ис¬
пользуя первый закон термодинамики, находим, что газ получает некоторое количество теплоты
только на этапах а и Ъ. Для нахождения изменения внутренней энергии газа на этих этапах вос-
3
пользуемся формулой U = —pV. Произведение pV на этапах а и Ъ изменилось от p0V0 до 2р0 ■ 2V0 = 4p0V0.
2
3	9
Следовательно, AU = — (4p0F0 - p0V0) = —p0V0. Согласно первому закону термодинамики Q1 = AU + Ат.
2	2
220

Подставляя в эту формулу найденное выше выражение для работы газа (Аг = 2p0V0), получаем:
1 Q	9
Qi = уРо^о; г) Апол = p0VQ; д) Л = — = 15 %. 463. 29 %.
Фазовые переходы
464. До 78,6 °С. 465. а) 2,1 К5-Ж . б) О °С. в) 330 кДж/кг. г) 4,2 кД--. д) Вода. 466. В процессе ис-
кг•°С	кг	•	°С
парения жидкость покидают наиболее «быстрые» молекулы, поэтому средняя кинетическая энергия
оставшихся молекул уменьшается. 468. а) 1,44 км/с. б) 73 %. 469. а) Не менее 29,6 кг; б) не более
359 г; в) больше 359 г, но меньше 29,6 кг. 470. 77 °С.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
д.ж	Длс
471. с, = 500 	;	с2	=	250	 .	472.	Работа газа равна нулю. 473. Внутренняя энергия газа уве-
кг•К	кг•К
дичилась на 100 Дж. 474. 150 Дж. 475. 1,6 кДж. 476. Изохорным. 477. а) 8 МДж; б) 2,4 кДж;
в) 2,4 МДж. 478. 1,25 кДж. 479. Увеличилась на 80 К. 480. На 46,5 %. 481. 600 Дж. 482. В 3,3 раза.
483. 350 Дж; 35 %. 484. 67 %; не может, потому что максимально возможный КПД теплового двига¬
теля реализуется только в цикле Карно, а все реальные тепловые двигатели работают по другим циклам,
со значительно меньшими КПД. 485. 1400 К. 486. 80 %. 487. 300 Дж; 100 Дж. 488. 369 Дж~.
кг • К
газа увеличилась на 11,2 Дж. 491. 12,5 кДж.
400 Дж; б) 1,8 кДж; в) 22%. 496. 15 %.
-2,9 °С. 500. 41 мин. 501. а) -2,5 °С; б) 7,8 °С.
502. 3,36 105 Дж/кг. 503. 15,3 °С. 504. 3,6 г.
489. Например, кислород. 490. Внутренняя энергия
492. 4 кДж. 493. -163 Дж. 494. 8,9 т. 495. а)
497. р =
1-
ЗуЛ|ДГ|
9 л
•100% = 25%. 498. 112 г. 499.
Электростатика
Электрические взаимодействия
505. Тело 2. 506. Положительный. 507. Часть свободных электронов, притягиваясь к заряженной
палочке, переместится с гильзы 2 на гильзу 1. Модули зарядов гильз одинаковы — это следует из
закона сохранения электрического заряда. 508. Свободные электроны гильзы притянутся к положи¬
тельно заряженной палочке, поэтому на ближней к палочке части гильзы появится отрицательный
электрический заряд, а на дальней её части из-за недостатка электронов возникнет положительный
заряд. В результате гильза будет притягиваться к палочке: отрицательные заряды на гильзе находят¬
ся ближе к палочке, поэтому они будут взаимодействовать с палочкой сильнее, чем положительные.
509. а) Силы взаимодействия шариков не изменятся; б) направление каждой силы, действующей на
шарик, изменится на противоположное: если шарики притягивались, то они станут отталкиваться, а
если шарики отталкивались, то они станут притягиваться. Модуль сил взаимодействия не изменится;
в) силы взаимодействия шариков увеличатся в п2 раз; г) силы взаимодействия шариков увеличатся
в п2 раз; д) силы взаимодействия шариков уменьшатся в п раз. 510. а) На расстоянии 5 см от шарика
с зарядом q; б) заряд третьего шарика должен быть положительным. В таком случае, при смещении
третьего шарика в сторону любого из заряженных шариков, на концах стержня будет «побеждать»
сила отталкивания со стороны того шарика, к которому он приближается. В результате равнодейству¬
ющая приложенных к третьему шарику сил будет стремиться вернуть шарик в положение равновесия.
511. Уменьшится в 1,25 раза.
Напряжённость электрического поля. Линии напряжённости
512. 2 мкН; вниз. 514. а) 4 нКл или -4 нКл; б) 900 Н/Кл; 400 Н/Кл; 36 Н/Кл. 515. в) Нулю.
516. б) Ег - „feg .. в) Е = 2 , -kqk 517. а) Нулю; б) 15 кН/Кл. 518. а) 1,5 • 104 Н/Кл; б) 1,9 кН/Кл.
h+1	J(h2	+	г2)3
221

Проводники и диэлектрики в электрическом поле
519. Влево. 520. 36 Н/Кл. 521. Например, спирт. 522. а) Вследствие электрического отталкивания
. F3 ,	.	п,	.	.	4/2mgsin3a
одноименно заряженных шариков; о) да; г) — = tga; д) г = 2/sina; е) например, q±q2 =	;
FT	ft cos a
ж)	можно выразить любую из величин т, I, q1 и q2 через остальные величины и угол а (угол а вы¬
разить через другие величины будет сложно). Например, если заданы все величины, кроме массы
giffoftcosa
шариков т, ее можно наити по формуле т = - ■	-—.
4/ gsin сс
Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение)
523. Работа поля положительна, потому что в этом случае направление силы совпадает с направле¬
нием перемещения. Если изменить знак заряда, то работа поля станет отрицательной, потому что
направление силы будет противоположно направлению перемещения. 524. Три: qEa, 0, -qEa.
525. Нулю. 526. Одинаковую. 527. Работа поля положительна. Потенциальная энергия заряда умень¬
шается. 528. Красным надо обвести три точки, находящиеся левее точки М на рисунке, синим — три
точки правее точки М, а зелёным — две точки, находящиеся на одной вертикали с точкой М.
529. 100 В. 530. а) Поле совершает отрицательную работу; б) -10 5 Дж. 531. Нулю, потому что при
перемещении заряда вдоль линии, перпендикулярной напряжённости поля, работа поля равна нулю.
532. Да, является. 533. а) Уменьшилась, б) Не изменилась, в) Потенциальная энергия электрона уве¬
личилась на 8 • 10-17 Дж. г) Кинетическая энергия электрона уменьшилась на 8 • 10-17 Дж; д) 1,3 ■ 107 м/с.
qE	I	2	,	f	qEtn2
534. а) По параболе; б) а = —; в) и = , н0 + -—	.
т		V	т	'
Электроёмкость. Энергия электрического поля
535. 5 мкФ. 536. а) Не изменится; б) не изменится. 537. а) Увеличится в 4 раза; б) уменьшится
в 2 раза; в) увеличится в 3 раза. 538. 5 нКл. 539. а) Напряжённость поля между пластинами не из¬
менилась; б) напряжение между пластинами увеличилось в 4 раза. 540. Энергия конденсатора увели¬
чивается, потому что при удалении обкладок друг от друга мы совершаем положительную работу:
направление прикладываемой нами силы совпадает с направлением перемещения. 541. а) Не изменя¬
ется; б) уменьшается; в) увеличивается; г) увеличивается. 542. а) Не изменяется; б) увеличивается;
в) увеличивается вследствие увеличения электроёмкости при неизменном напряжении между обклад¬
ками; г) увеличивается за счёт энергии источника тока, потому что увеличивается заряд обкладок
.	.	.	qU	qUt	qUt2
конденсатора; д) соответствует. 543. а) а = 0; а = -—. б) v = и„; v = -—; в) х = u0t; у =   ;
у md	и и mci	2	md
г) Начальная скорость частицы должна удовлетворять неравенству и0 > — .р—-. 544. а) По прямоли-
	   dm
qU	If	qU)	2	w j
нейной; б) ax = —-; в) a = . —- + g ; г) t = d
md	){md J		qU
Вопросы и задания для самостоятельной работы
545. Нити отклонены на одинаковый угол от вертикали. 547. а) заряды палочки и электрометра
имеют противоположные знаки; б) увеличился. 548. а) -5е; б) 0. в) Зе. 549.	4,1 • 10-7 Кл.
551. а) Вправо; б) влево; в) вниз; г) вверх. 552. В обоих случаях модуль напряжённости поля равен
нулю. 553. 4,75 ■ 1014 м/с2. 554. а/6. 555. а) -Зд; б) +q и -7q; в) -2q и -4q. 556. а) Часть А будет
заряжена положительно, часть В — отрицательно, б) Части А и В будут не заряжены, в) Если тело
изготовлено из проводника, то часть А будет заряжена отрицательно, часть В — положительно. Если
тело изготовлено из диэлектрика, то части А и В будут не заряжены. 557. Уменьшатся в 2,1 раза.
558. а) 2 мДж; б) 0. 559. Значения работы одинаковы. 560. 4 мДж. 561. а) 0,7 мДж; б) Уменьшилась
на 0,7 мДж; в) Потенциал начальной точки выше, чем конечной, на 69,3 кВ. 562. На первый;
в 3 раза. 563. 2 кВ. 564. 5 мДж. 565. Энергия электрического поля конденсатора увеличилась
в 1,5 раза. 566. 6. 568. Шарик станет совершать колебания, касаясь поочерёдно то одной пластины,
то другой до тех пор, пока пластины не разрядятся. 569. 1,7 м. 570. Сила направлена вертикально
222

вниз. 571. 1,44 мкН; вправо. 572. а) 5 мН; б) 35 мН. 573. Шар А останется заряженным положи¬
тельно, а шар В, в зависимости от расстояния между ним и палочкой, может стать заряженным
отрицательно, стать нейтральным или остаться положительно заряженным. 574. В 2 раза.
575. 0,6 мкКл; 162 мН. 576. 23 нКл. 577. 262 кН/Кл; вертикально вверх. 578. 90 Н/Кл.
579. 11,5 кН/Кл. 580. Заряд qA положительный, а заряд qB — отрицательный. Модуль заряда дл в
А.ТП§с[л Qz
2 раза больше, чем модуль заряда q„. 581. а) Углы отклонения нитей одинаковы; б) Е =	1	tga.
?1«2
582.	Ар = 2sj2mh(mg + qE). 583. В областях А и В напряжённость электрического поля будет равна
нулю независимо от знака заряда, сообщённого шару. 584. 13,8 см. 585. е = 6. 586. 13 см.
587.	1800 Н/Кл; 450 Н/Кл. 588. 25 см. 589. 132 мН. 590. а) Кинетическая энергия протона увели¬
чилась на 2 10~18Дж; б) Напряжённость электрического поля равна 62,5 В/м; в) Потенциальная
энергия протона увеличилась бы на 2 • 10-18 Дж, а его кинетическая энергия уменьшилась бы на
2 • 10~18 Дж. 591. 500 кВ/м. 592. Т = 3(mg + qE). 593. а) Больше 142 В; б) на положительно заряжен¬
ную пластину; в) 1,5 мм; г) 0,07; д) потенциальная энергия уменьшится; е) кинетическая энергия
увеличится. 594. а) 1,2 мН; б) 3,8 104 В/м; в) 1,9 кВ. 595. 4,5 мкДж.
Постоянный электрический ток
Закон Ома для участка цепи
596. а) Сопротивление проводника 2 больше; б) Rx = 0,25 Ом; R2 = 1,5 Ом. 597. а) 1 мм2; б) 0,17 Ом.
598. Вольтамперной характеристике металлического провода соответствует график, отмеченный циф¬
рой 1. 599. Не может. 600. а) ^	б)	Ux = 10 В; U2 = 30 В. 601. а) 8 В; б) 2 А; в) Rx = 2 Ом;
U2	R-2
R2 = 4 Ом. 602. Не может. 603. а) — = —; б) 1Х = 3 A; I2 = 1 А. 604. а) Параллельно, б) 2 А;
I2 Kj
в)	Rx = 6 Ом; R2 = 3 Ом. 605. Ux = 15 В; U2 = 5 В.
Работа и мощность тока
606. а) Для сравнения количества теплоты, выделившегося в последовательно соединённых проводни¬
ках, удобнее использовать формулу Q = I2Rt; б) Q2 = 2,4 кДж. в) 1Х = /2 = 1 А. 607. а) Для сравнения
количества теплоты, выделившегося в параллельно соединённых проводниках, удобнее использовать
U2
формулу Q = —t; б) Q2 = 150 Дж; в) Ux = U2 = 1 В. 608. а) Если проводники соединены параллель-
R
R	R
но, —— = 4; б) Если проводники соединены последовательно, —— = 0,25. 609. а) Для сравнения зна-
R2	r2
чений мощности в последовательно соединённых проводниках удобнее использовать формулу Р = I2R;
б)	Р2 = 36 Вт; в) 1Х = 12 = 3 А. 610. а) Для сравнения значений мощности в параллельно соединённых
U2
проводниках удобнее использовать формулу Р = —; б) Р2 = 16 Вт; в) Ux = U2 = 8 В. 611. а) 24,2 Ом;
R
б)	9,1 А; в) за 2 мин 48 с. 612. Максимальная мощность выделяется при параллельном соединении
элементов, она выражается формулой Р = —	^ —^2 Минимальная (не равная нулю) мощность вы-
R1R2
U2
деляется при последовательном соединении элементов, она выражается формулой Р =	.
Rx + R2
Закон Ома для полной цепи
613. а) 2 Ом; б) 6 В. 615. а) 6 В; б) 3 Ом. 616. % = 12В; г = 2 Ом. 617. а) Rx = 0; R2 = 4 Ом; б) Уве¬
личилось в 2 раза; в) 4 Ом. 618. а) 2 Ом; 8 Ом; 198 Ом; б) ЗА; 1,2 А; 0,06 А; в) чем ближе КПД
источника тока к 100 %, тем больше сопротивление внешней цепи и тем меньше сила тока в цепи.
Когда КПД источника тока стремится к 100 %, сопротивление внешней цепи стремится к бесконеч¬
ности, а сила тока в цепи стремится к нулю — это соответствует размыканию цепи.
223

Дополнительные примеры расчёта электрических цепей
619. а) Параллельно соединённые резисторы 1 и 2 можно заменить одним резистором сопротивлени-
2
ем R12 = — Ом. Последовательно соединённые резисторы 4 тл. 5 можно заменить одним резистором
3
сопротивлением Д45 = 9 Ом; б) последовательно соединённые резисторы Д12 и R3 можно заменить
2
одним резистором R123 = 3— Ом. После этого параллельно соединённые резисторы R123 и Д(5 можно
3
заменить одним резистором, сопротивление которого равно сопротивлению данного участка цепи;
99	19
в)	R = — Ом. 620. R = — Ом. 621. а) Равны нулю разность потенциалов между точками А и С, а
38	26
также разность потенциалов между точками В и D, потому что точки каждой пары этих точек соеди¬
нены проводом с пренебрежимо малым сопротивлением; б) см. рис. 11. Точка АС представляет собой
«объединение» точек А и С, а точка BD — «объединение» точек В и D. Обратите внимание: рези¬
сторы 1, 2, 3 на самом деле соединены параллельно, хотя при первом взгляде на схему можно было
0
решить, что они соединены последовательно; в) R = — Ом. 622. а) Равна
нулю разность потенциалов между точками В и D, потому что они со¬
единены проводом. Обратите внимание: разность потенциалов между точ-
13
ками А и С в данном случае не равна нулю! б) См. рис. 12. в) R = — Ом.
16
623. Р =
R
(Я + г)
2 '
624. Р = (I? - Ir)I. 625. а) Функция Р{1) достигает
Рис. 11
максимума при I = —. б) При R = г. 626. 80 %. 627. Через конденсатор
2г
не может течь постоянный электрический ток. 628. а) 12 В; б) напря¬
жение между точками В и D равно нулю; в) 12 В; г) 2,4 10~°Кл.
629. a) U =
WR
R + г
= 20 В; б) q
= 80 нКл. 630. а) Ток будет течь
через источник тока и резисторы 1, 3. б) R = R3 + R3 = 11 Ом.
в) 12 Ом. г) 0,5 А. д) 4 В. е) 4 В. ж) 32 мкКл. з) Отрицательный.
Рис. 12
Электрический ток в полупроводниках
631. Совпадает. 632. а) Сурьма, фосфор; б) индий, скандий, галлий. 633. а) 6 Ом; б) 16 Вт; 67 %;
в)	18 Вт; 50 %.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
634. 0,15 А. 635. а) Увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 2 раза; в) не изменится. 636. 4 А.
637. 4 А. 639. 10 В и 15 В. 640. 60 В; 60 В; 60 В; 120 В. 641. Диаметр второго провода в 2 раза
больше. 642. 336 м. 644. 60 кДж. 645. 60 Кл. 646. 7 кДж. 647. 63 кДж. 648. 60 кДж. 649. а) 13,3 Ом;
б)	480 Вт. 650. 3 В. 651. 3 А; 15 В. 652. 2 Ом. 653. 12 кДж. 654. 2 Ом. 655. а) С валентностью,
большей чем 5, например мышьяк; б) с валентностью, меньшей чем 4, например галлий. 656. На
рисунке 167, а — в прямом направлении, на рисунке 167, б — в обратном. 657. В 9,1 • 104 раз.
659. 2 Ом и 8 Ом. 660. 1 Ом или 16 Ом. 661. 40 мВ/м. 662. а) 484 Вт; б) 242 Вт; в) 968 Вт.
663. 70 %. 664. а) Наибольшее напряжение на резисторе 4, наименьшее — на резисторах 1 и 2;
б)	Наибольшая сила тока в резисторе 4, наименьшая — в резисторах 1 и 2; в) Наибольшая мощность
тока в резисторе 4, наименьшая — в резисторах 1 и 2; г) Р2 станет равной нулю, Р3 увеличится,
Р. не изменится; д) Р,. увеличится, Р„ уменьшится, Р. не изменится. 665.
Qj _
Q3
2,37. 666. На 33 %.
667. 50 Ом и 200 Ом. 668. 50 мин; 12 мин. 669. Сопротивление реостата при втором положении
ползунка больше на 6 Ом. 670. 36 В; 0,5 Ом. 671. 2 А. 672. 20 А. 673. 90 %. 674. 1 А.
675.	R = 18 Ом; 1Х = 16 = 2 А, 13 = 1,2 А, 12 = 14 = 15 = 0,8 А. 676. 12 В. 677. 4 А. 678. Нет; 2 А.
224

679.	6 В. 680. Заряд второго конденсатора в 5 раз больше, чем заряд первого. 681. 1,32 Ом. 682. 211 В.
683.	8 мкКл. 684. 40 Ом; 25 Ом. 685. б) 3г; в) 	; г) 67 %; д) 4г; —; 75 %.
9г	16г
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Магнитное поле
Магнитные взаимодействия. Магнитное поле
686. Витки, в которых токи направлены одинаково, притягиваются, а витки, в которых токи на¬
правлены противоположно, — отталкиваются. 687. Токи направлены одинаково в катушках, которые
притягиваются. 688. а) Вниз; вверх, б) Против часовой стрелки; по часовой стрелке. 690. В случае а
модуль магнитной индукции в точке А равен нулю, в случае б он равен 2В.
Закон Ампера
691. Если проводник с током параллелен вектору магнитной индукции поля.
693. а) Провода отклонились в плоскости, перпендикулярной рисунку, б) Нет. в) К нам.
F	ВЦ
694 а) См. рисунок 13. б) —— = tga. в) 	=	tga	.	695.	Направление	вектора магнит-
mg	mg
ной индукции поля, созданного током в рамке, совпадает внутри рамки с направлени¬
ем вектора магнитной индукции внешнего поля. 696. б) Рамка будет поворачиваться
вокруг оси ООг в) Силы Ампера, действующие на стороны рамки, будут стремиться
растянуть рамку.
Примеры применения закона Ампера	Рис.	13
, „ pmg	BII	-	iimg	т	pmg	_	„	2(BII - amg)L
697. a) a = 0, если I < ———; a =	,	если I > - — . б) От нас. в) v = .	 .
Bl	m	Bl	V	m
Ox: mg sina - BII cosa = max;	mg	sina-pcosa
698. а)	б)	Вверх, в) 9,7 см. 699. а) К нам. б) I =	   .
[Oy: N - mg cosa = 0.	Bl	cosa + psina
700.	a) -	.	б)	^минверх	~	1$. в) ^миннач " J&Lg. г) <7МИн —	,,	,	«	701.	а) — l2gh .
т	гм
ТТ m^2gh ^	„	г
б)	и = —zrrz— • Длина нитеи L не вошла в ответ.
В1С
Сила Лоренца
702.	Если скорость частицы параллельна вектору магнитной индукции. 704. а) В горизонтальной пло¬
скости. б) Протон движется по часовой стрелке, а электрон — против часовой стрелки, в) Электрон;
Е
1836. г) Период обращения протона больше в 1836 раз. 705. б) v = —. в) Потому что сквозь прибор
В
пролетают только заряженные частицы с заданной скоростью, определяемой соотношением между
модулем напряжённости электрического поля Е и модулем магнитной индукции В.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
706. Нет. Магнитная стрелка развернётся на 180°. 711. а) Вниз, б) Вверх. 712. В точке С вектор
магнитной индукции направлен к нам, а в точке D — от нас перпендикулярно плоскости чертежа.
713. а) Вниз, б) Вверх, в) Вправо, г) Влево. 714. а) 0; б) 0,05 Н. 715. а) В - 3,1 Тл. 716. a = 30°.
718. 1 Н. 719. 62,5 мТл; окружность. 722. а) 3,2 ■ 10~12 Н. б) 3,5 • 1018 м/с2, в) Не будет. 723. В со¬
седних витках пружины направление тока будет одинаковым, поэтому после замыкания ключа пру¬
жина сожмётся. Это приведёт к размыканию цепи, и под действием силы тяжести пружина вернётся
к начальному состоянию, замкнув цепь. В результате в пружине снова возникнет ток, и она опять
сожмётся, разомкнув цепь. Таким образом, после замыкания ключа будут наблюдаться колебания:
пружина будет попеременно сжиматься и разжиматься, касаясь пластины. 724. Полосовой магнит
начнёт подниматься вверх, отталкиваясь от катушки с током. 726. 30°. 727. 46 см. 728. 12,5 см.
225

729. Больше 0,25 Тл. Направление вертикального вектора магнитной индукции значения не имеет.
730. 10 г. 731. Большей 2,5 А. 732. 24 мН; 32 мН; 40 мН; 0 Н. 733. Провод примет форму окруж¬
ности. 734. Рамка начнёт поворачиваться по часовой стрелке и после нескольких колебаний около
положения равновесия установится так, что вверху расположится сторона, подключённая к отрица-
J(2kxf - (IBlf
тельному полюсу источника тока, а внизу — к положительному. 735. а) р =
ISg
BI
б)	а = arctg -	. 736. 1 А. 737. Ток направлен от нас; 8,86 м/с2. 738. 42,5 мТл. 739. 18°.
Р Sg
mg(sma + pcosoc)	•	mg(pcosa	-	sina)
740. а) 1 =	:	;	. б) Ток должен быть направлен от нас; I =	.
Bl(cosa - psina)	Bl(cosa + psina)
CUBI _ m mg (CUBlf	„
741. a) umax =	.	6)	i	=	——	+	——	. 742. Скорость а-частицы в 6 раз больше скорости про-
яг	2	2	Lm
тона. 743. ^ = 16;	= 4. 744.	71 не. 745.	5,33 мм. 746. А, А, = 2t7K Т mzl. 747_ 383 Дж_
т2	р2	dB	q
Электромагнитная индукция
Явление электромагнитной индукции
748.	а) 0,01 Вб. в) 60°. 749. В опытах а, б, в возникновение индукционного тока обусловлено измене¬
нием модуля магнитной индукции, в опыте г — изменением угла между перпендикуляром к контуру
и вектором магнитной индукции, в опыте д — изменением площади контура. 750. а) Нет. б) Нет.
в)	Нет. г) Да. д) Да. 751. а) Уменьшается, б) Да, потому что изменяется магнитный поток через контур,
образованный стержнем и направляющими, в) Вверх, потому что создаваемое индукционным током
магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего данный ток. г) От нас.
д) Да, потому что стержень представляет собой проводник с током, находящийся в магнитном поле.
е) Вправо. 752. Стержень 2 будет двигаться тоже влево, чтобы уменьшить обусловленное движением
стержня 1 изменение магнитного потока через контур, образованный стержнями и направляющими.
Закон электромагнитной индукции
753. а) На 0,02 Вб. б) 4 мВ. в) 2 ■ 10“4 А. 755. 9,8 10“5Кл. 756. 4 м/с. 757. а) 0,01 В. б) 2 мА.
в)	2 • 10_оВт. 758. а) Если равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю, б) Сила Ампера,
в)	В стержне возникает индукционный ток вследствие изменения магнитного потока через контур,
образованный стержнем, направляющими и резистором. А на проводник с током в магнитном поле
v(Bl)2	mgR
действует сила Ампера, г) F» =	.	д)	v	=	j-.
R	(ВО
Самоиндукция. Энергия магнитного поля
759. Лампы 3 и 4 загорятся сразу, а лампы 1 и 2 будут разгораться постепенно вследствие явления
самоиндукции. 760. а) Ток будет течь только через лампу 1 и катушку, то есть будет направлен по
часовой стрелке (на схеме). Вследствие явления самоиндукции накал лампы 1 будет увеличиваться
постепенно, а лампа 2 светить не будет, б) В течение некоторого времени после размыкания клю¬
ча ток будет течь в контуре, образованном лампами 1 и 2, катушкой и диодом в направлении по
часовой стрелке (на схеме). Лампа 2 на некоторое время загорится, и затем обе лампы погаснут.
в) Нет, потому что не будет резкого уменьшения силы тока в катушке: после размыкания ключа ток
может идти некоторое время через лампу 2. 761. 5 мГн. 762. ЭДС самоиндукции в первой катушке
в 3 раза больше, чем во второй. 763. а) 0,5 мГн. б) 3 мВ. 764. 2 А. 765. а) 2 А. б) 60 мДж. в) 60 мДж.
г) Qj = 36 мДж; Q2 = 24 мДж.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
766. 2 мВб. 767. Индукционный ток возникнет в случаях а, б, в. 768. Индукционный ток возникнет
в случаях б, в. 770. В промежутки времени 0—1 с, 2—3 с, 4—5 с. 771. Увеличивается. 772. а) Вверх
в плоскости чертежа, б) Вниз в плоскости чертежа. 773. а) От 0 с до 1 с. б) От 1 с до 2 с.
в)	0,5 мВ. г) 0,25 мА. 774. 20 В. 775. 0,3 В. 776. Лампа 2 загорится сразу, лампа 1 будет загорать¬
ся постепенно, а лампа 3 не будет гореть вообще. 777. 0,9 В. 778. 0,4 Гн. 779. 2 В. 780. 1,2 Дж.
226

Энергия магнитного поля увеличится в 4 раза. 781. — = 9. 782. В момент времени t = 6 с; нулю.
^2
783. а) 800 мкДж. б) 200 мкДж. 784. Магниты 1 и 2 будут падать свободно, а на магнит 3 будет
действовать сила со стороны магнитного поля, созданного индукционным током в замкнутом кольце.
Эта сила будет уменьшать ускорение магнита. 785. а) Против часовой стрелки, б) По часовой стрелке,
в)	По часовой стрелке, г) Против часовой стрелки. 786. в) Влево, б) Вправо. 787. При движении маг¬
нита в трубе возникают индукционные токи, направление которых (согласно правилу Ленца) противо¬
действует падению магнита. С увеличением скорости падения возрастает тормозящая сила. Постепенно
ускорение магнита уменьшается, и через некоторое время (если труба достаточно длинная) движение
магнита станет практически равномерным. 788. а) В положении 1 вектор магнитной индукции поля,
созданного индукционным током, направлен вправо, в положении 2 индукционного тока нет, в по¬
ложении 3 вектор магнитной индукции поля, созданного индукционным током, направлен влево.
б) В положении 1 индукционный ток в нижней стороне рамки направлен от нас, в положении 2
сила тока равна нулю, в положении 3 индукционный ток в нижней стороне рамки направлен к нам.
в) В положении 1 равнодействующая направлена вверх, в положении 2 равнодействующая равна
нулю (индукционного тока нет), в положении 3 равнодействующая направлена вверх. 789. 20 мкКл.
790. 1 Ом. 791. 38,4 мДж. 793. При движении ползунка реостата вправо его сопротивление будет
увеличиваться, значит, по закону Ома для полной цепи показания амперметра будут уменьшать¬
ся. В катушке, замкнутой на вольтметр, возникнет индукционный ток, поэтому показания вольтме¬
тра увеличатся. 794. 2 м/с2. 795. 0,1 А. 796. 3 ■ 10~4 Гн. 797. 3,6 Дж. 798. 172 мДж. 799. 0,2 Гн.
800.	а) Сила тока в цепи увеличивается постепенно вследствие явления самоиндукции, б) До замыка-
g’
ния ключа сила тока в цепи 10 = — = 4 А. После замыкания ключа ЭДС самоиндукции препятствует
R
мгновенному изменению силы в катушке. 11 = 8 А.
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Колебания
Свободные механические колебания
801.	а) а и д. б) а и в; б и г; в и д. 802. 2 раза. 803. Половина периода колебаний. 804. 8 см; 24 см.
805. а) 0,2 с. б) 24 м. в) 600. 806. а) 5 см. б) 10 рад/с. в) 1,6 Гц. г) 0,63 с. д) -5 см. е) Нулю.
Динамика механических колебаний
809. Увеличился в 2 раза. 810. Увеличилась в V2 раз. 811. а) 0,314 с. б) Амплитуда колебаний должна
lm	I s-а	1	g + а
быть меньше 2,5 см. 812. а) 2 с. б) 1 м. 813. Т = 2л — . 814. a) v = —.1—-— . б) v = ——.—-—.
mg + qE	2л у I	2л	у I
в)	v =	—	. г) v = ——. —— . 815. 15 см/с. 816. а) 40 рад/с. б) 800 Н/м.
2л у I	2л	у	I
Энергия механических колебаний. Вынужденные колебания
817. а) Кинетическая энергия груза максимальна в положениях б, г, минимальна в положениях а,
в, д. б) Потенциальная энергия груза максимальна в положениях а, в, д, минимальна в положениях
б, г. в) Два раза; два раза, г) Два раза; два раза. 818. а) Кинетическая энергия груза максимальна
в положении а, минимальна в положениях б, в. б) Потенциальная энергия деформации пружины
максимальна в положениях б, в, и минимальна в положении а. в) Два раза; два раза, г) Два раза;
V2
два раза. 819. При х = ±—xmax. 820. 0,5 с. 825. Во второй.
2
Колебательный контур. Переменный электрический ток
822. а) Увеличится в V2 раз. б) Увеличится в 2 раза. 823. 0,4 мс; 2,5 кГц. 824. 0,79 мФ.
825. а) 2000 рад/с. б) 3,14 ■ 10~3 с. в) 5 мГн. 826. i = 0,314sinl00nt. 827. t = —. 828. На рисунке 261, а.
8
Потому что сила тока больше в обмотке, содержащей меньшее число витков. 829. а) 2 В; 20 В. б) 21.
227

Вопросы и задания для самостоятельной работы
830. 4 с. 831. 10 см. 832. а) 2 см. б) — рад/с. в) 4 с. г) 0,25 Гц. 833. 2 см; 1 с; 1 Гц; х = 0,02cos2rct.
2
834. 4 с. 835. 2 с. 836. 0,63 кг. 837. 1 м. 838. vx = -0,08nsin27tf, ах = -0,16л2 cos2nt. 839. а) Умень¬
шается, уменьшается, увеличивается, б) Уменьшается, уменьшается, увеличивается, в) Увеличивает¬
ся, увеличивается, уменьшается. 840. 16 раз. 841. 4 см. 842. Увеличится в 2 раза; уменьшится в 3
раза. 843. Уменьшится в 2 раза; увеличится в л/2 раз. 844. 2,5 МГц; 1,57 • 107 рад/с; 8 мкГн.
845. 4,24 В. 846. 80 В; 500л рад/с; 4 мс; 250 Гц. 847. 311 В; 220 В. 848. 16 А. 849. 19,2 м.
т т
850. Через 2 с. 851. За 1 с. 852. —; —. 853. а) Уменьшится в 2у[2 раз. б) Уменьшится в 1,8 раза,
в)	Уменьшится в V2 раз. г) Не изменится. 854. 3 кг. 855. 0,63 м/с. 856. а) 4 м/с2, б) Больше 8,2 см.
857.	0,5 с. 858. Через 2 с. 859. а) Ер = 1,6cos24ji*; Ek = l,6sin24nf. См. рисунок 14. б) Е = 1,6 Дж.
См. рисунок 14.
860. а) 1,5 Гц. б) 0,2. 861. Увеличился в 2[2 раз. 862. 26,5 мА. 863. 1,2 мкКл. 864. 10 4 Дж.
865. Через 314 мкс. 866. 47 мДж. 867. а) 0,5 В. б) 20 В. в) 2 А. г) 1,41 А. д) 12 кДж. 868. Через
3,3 мс. 869. К генератору переменного тока подключён конденсатор. 870. К генератору переменного
тока подключена катушка индуктивности. 871. 157 Ом. 872. 3,2 кОм. 873. 95,5 %. 874. Сила тока в
первичной обмотке трансформатора увеличится, а во вторичной — уменьшится. 875. IV/ = 440;
N2 = 84.
Волны
Механические волны. Звук
876. 2 с; 0,5 Гц. 878. а) 0,5 Гц; 2 с. б) 1 м/с. 879. а) 0,75 м. б) 3,4 м. 880. От 6,6 см до 11 см.
Электромагнитные волны
881. От 3,95 • 1014 Гц до 7,9 • 1014 Гц. 882. а) Ю10 Гц. б) Обе волны относятся к СВЧ-волнам.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
883. 2,5 с. 884. 2. 885. 100. 886. 660 м. 887. 1 м. 888. Длина волны увеличится в 4,5 раза.
889. а, г, е, з. 890. Минимальная частота волн у низкочастотных колебаний, минимальная длина
волны у гамма-лучей. 891. К инфракрасному излучению. 892. Параллельно оси Ох. 893. 2,5 м.
894. От 50 МГц до 200 МГц. 895. Другой рабочий услышит звук удара дважды: через 0,1 с и через
1,5	с после удара. 896. 5,8 км. 897. 153 м; 5,54 с. 898. 1 кГц. 899. 1000. 900. Период колебаний
уменьшился, частота излучаемых волн увеличилась, длина волны уменьшилась. 901. Увеличить
в 9 раз. 902. 30 м. 903. Длина волны увеличится на 36,2 м. 904. а) Наименьшая частота
наибольшая 	.	б)	С»	<	20	пФ.
2 2
228

ОПТИКА
Геометрическая оптика
Законы геометрической оптики
905. На одном перпендикуляре к экрану с центром диска, на расстоянии 10 см от диска.
906. а) 50 см. б) 40 см. 907. 50°. 908. Могут: когда угол падения равен 0°, то есть падающий луч
перпендикулярен зеркалу. 909. 45°. 910. Увеличивается на 30°. 911. 70°. 912. в) Положение изобра¬
жения стрелки не изменится, но уменьшится область видения, то есть область пространства, из кото¬
рой можно видеть это изображение в зеркале. 913. Соотношение smot = пс справедливо для опыта а.
Для опыта б справедливо соотношение
sma
sin у
sin у
—. 914. 0°. 915. 1,53.
916. 48,8°. 917. в) d = —Ш(СС—^ = 1,02см. 918. б) 1,73. 919. б) 1,73 м.
cosy
в) 40,6°. г) 3,44 м. 920. а) От 0° до 90°. б) См. рисунок 15. в) 48,8°.
г) 17,5 см. 921. 48,8°. 922. а) Полное внутреннее отражение имеет
!>
место в обоих случаях, б) п
1,41.
Рис. 15
Линзы. Построение изображений в линзах
923. 25 см. 925. а) Собирающая, б) 10 см. 926. а) Собирающей, б) 1 м. в) Изображение будет находиться
на расстоянии 1 м от линзы; оно будет мнимым, прямым и увеличенным, г) Предмет надо отодвинуть
от линзы на 1 м 80 см по сравнению с его начальным положением. 927. а) Положительные, б) 2.
в)	15 см. г) Уменьшенным, д) 0,5. е) Линзу надо переместить на 15 см к предмету, ж) Изображение
станет увеличенным; 2. 928. 6 см. 932. 9,9 см2.
Глаз и оптические приборы
933. Оптическая сила глаза больше при рассматривании близких предметов. 934. а) 58,8 дптр.
б)	62,8 дптр. 935. а) Дальнозоркость, б) 59,8 дптр. в) Собирающие линзы с оптической силой 3 дптр.
936. а) 15 мм. б) 15,15 мм. в) 2,55 мм. 937. а) 20 м. б) 8 км/с. в) 8 мм/с. г) 2,5 • 10 4 с. 938. 10 см.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
939. 80 см. 940. 1 м/с. 941. а) 0,63. б) 38,8°. 942. Например, этиловый спирт. 943. 50,2°. 944. 83°.
945. Например, алмаз. 948. Собирающая; 12 см. 949. -40 см. 950. Собирающая; 16 см. 951. а) Линза
собирающая, б) 40 см. в) 60 см. г) Увеличенным; Г = 2. 952. 15 см. 953. а) Дальнозоркость.
б) 61,3 дптр. в) Собирающие линзы с оптической силой 1,5 дптр. 954. а) Близорукость, б) 68,8 дптр.
в) Рассеивающие линзы с оптической силой -6 дптр. 955. 2 мм. 956. 3,14 м2; 25,12 м2. 957. 18,2°.
958. а) 6 см. б) Тень имеет форму правильной пирамиды с квадратным основанием. Высота этой
пирамиды 4,4 см. 959. 32,3 м. 960. Изображение станет менее ярким, а его положение и размер не
изменятся. 961. Фокусное расстояние увеличилось, оптическая сила уменьшилась. 963. На расстоя¬
нии 8 см от одного из источников и на расстоянии 24 см от другого. 964. 10 см. 965. Как рассеива¬
ющая линза. 966. Собирающая линза станет рассеивающей, а рассеивающая линза — собирающей.
967. а) 9,1 см. б) 20 см. 968. 2,4 х 3,6 м. 969. At < 0,83 мс. 970. 5 м.
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Интерференция волн
971.	а) 9,6°. б) 19,5°. в) 30°. г) 41,8°. 972. Шестой. 974. 106 нм. 975. г) 55 мкм. д) 1,27 мм. 976. а) Го¬
ризонтально. б) На 2,5 мкм.
Дифракция волн. Дисперсия света
977.	Первый максимум для фиолетового цвета наблюдается под углом 0,0218°, а первый максимум
для красного цвета — под углом 0,0435°. 978. 650 нм. 979. а) 36,9°. б) 7,5 см. 980. 3.
229

Вопросы и задания для самостоятельной работы
981. Усиление волн. 982. а) Максимум, б) Минимум. 983. 500 нм. 984. 5 мкм. 985. 10,4°. 986. При
преломлении света в призме сильнее всего отклоняются волны, соответствующие фиолетовому цве¬
ту, а в результате дифракции сильнее всего отклоняются волны, соответствующие красному цвету.
8 м
987. 2,26 • 10 —. 988. Скорость света в стекле больше для световых волн, соответствующих красному
с
цвету. 989. Частотой, потому что длина световой волны одной и той же частоты будет различной в
различных средах. 990. Чёрным. 991. 12 км. 992. Скорость волн, соответствующих красному цвету,
примерно на 2000 км/с больше. 993. а) 1,5. б) Частота световой волны не изменяется, в) Длина
световой волны увеличивается в 1,5 раза. 994. а) 7. б) 6. в) 19,5°; 30°. 995. п рад. 996. 400 нм.
LX
997.	7 м. 998. б) s = — = 1 мм. 999. 1 мм. 1000. 20. 1001. 700 нм; красному. 1002. До 7-го включи-
2h
тельно. 1003. 1 м. 1004. а) 376 нм. б) 22°. в) 29,4°. 1005. Длина световой волны уменьшается в воде
в п раз, где п — показатель преломления воды. Поэтому (согласно формуле дифракционной решётки)
уменьшается ширина спектральных полос на экране. 1006. 1,5 • 108 м/с. 1007. а) Увеличилась в 1,33
раза, б) 484 нм, 364 нм. в) Цвет не изменился.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1008. Принцип относительности Галилея относился только к механическим явлениям, а принцип от¬
носительности Эйнштейна относится ко всем физическим явлениям. 1009. а) В обоих случаях скорость
света равна с. б) В обоих случаях скорость света равна с.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
1010. Скорость света равна с относительно любой ракеты. 1011. с. 1012. На 1,1 • 10-11 кг. 1013. Умень¬
шается на 3,7 • 10-12 кг. 1014. 8,19 • 10-14 Дж. 1015. На 4,2 • 109 кг. 1016. Масса частицы равна нулю.
1017. 0,866с. 1018. 0А2тс2.
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Фотоэффект. Фотоны
1019. 8 • 10-19 Дж. 1020. Для калия. 1021. а) 5 эВ.	б)	3 эВ.	1022. 1,3 Ю15 Гц.	1023.	а)	3	кДж.
б)	Ю~5 Н/Л. в) ю-s н г) 10-б Па. д) В 10й раз.
с
Строение атома. Атомные спектры
Вопросы и задания для самостоятельной работы
1024. Е = 4 • 10“18 Дж = 25 эВ. 1025. 1,9 эВ. 1026. 2,2	эВ.	1027.	7,4 1014 Гц.	1028.	1 эВ.	1029.	В ос-
новном состоянии. 1030. 13,6 эВ. 1031. На 4 • 10 19 Дж. 1032. а)	Поглощает,	б) Излучает,	в)	Излуча¬
ет. г) Поглощает. 1033. 6. 1034. а) 3. б) 5. в) 1. г) 4. 1036. 7,3 • 10"11 м. 1037. 94 нм. 1038. 1,24 • 1015 Гц.
1039. 3 10“25	Ю40.	В	6	раз.	1041.	1,49	эВ. 1042. 0,51 В. 1043. 0,1 мкс. 1044. 1015 Гц.
с
1045. 4670 К. 1046. 19 нКл. 1047. 350 мкН. 1048. -3,1 эВ. 1049. 2 • 10® м/с. 1050. 1,27 • 1017.
Ю51. -^22_.
^•21 + 32
Атомное ядро и элементарные частицы
1052. Частицы, входящие в состав а-лучей, имеют положительный заряд; частицы, входящие в со¬
став |3-лучей, имеют отрицательный заряд; а частицы, входящие в состав у-лучей, не имеют элек¬
трического заряда. 1053. Массовое число ядра уменьшается на 4, а зарядовое — уменьшается на 2.
рос	ООО	А
1054. ggRa —> 8gRn + 2Не. 1055. Массовое число ядра не изменяется, а зарядовое увеличивается на 1.
1056. 2^Pb -> 2ggBi + e. 1057. Нет. 1058. Нет. 1059. а) 1 ч. б) 1/64. в) 6 10"8. 1060. ^Li + р -» ^Не + 4Не.
1061. Ш = 0,096 а.е.м.; Есв = 1,43 • 1011 Дж = 89 МэВ.
230

Вопросы и задания для самостоятельной работы
1065. ос-частицу. 1066. Свинец-210. 1067. 2g|Ra. 1068. 2g2Pb -> |Не + _?е + _Je + ^Pb; 2g|Pb.
1069. а) ^2-. б) . в) -^°. 1070. Могут; не являются. 1071. Пять а-распадов и три (3-распада.
2	4	8
1072. 86 протонов, 136 нейтронов. 1073. 0,031. 1074. 5 мин. 1075. 500 миллионов. 1076. Нейтрон.
1078. Нейтрон. 1080. 2. 1081. На 100 Дж. 1082. 46 мин. 1083. Ион и а-частица будут двигаться по
1 2EmM
окружностям радиуса ,	,	совершая	обороты	в	противоположных	направлениях	и	с	различ-
2Вет +М
ными периодами. 1084. ХдВ + гНе —>	+	In;	W	=	0,17 МэВ. 1085. 5,3 кг. 1086. 1 МэВ.
1087. 1,6 ■ 1022 Гц. 1088. 3,6 • Ю“20 HjJl.
231

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
МНОЖИТЕЛИ И ПРИСТАВКИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ
ДЕСЯТИЧНЫХ КРАТНЫХ И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
Наименование
Обозначение
Множитель
Наименование
Обозначение
Множитель
тера
Т
1012
деци
Д
ю-1
гига
Г
109
санти
с
10“2
мега
м
106
милли
м
10“3
кило
к
103
микро
мк
10-6
гекто
г
102
нано
н
10-9
дека
да
10
пико
п
Ю-12
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Длина окружности I = kD = 2пВ
_	„	kD2
Площадь круга 6 =	= тсВ
4
Площадь поверхности шара S = 4пВ2
4 о
Объём шара V = — кВ
Объём прямоугольного параллелепипеда V = аЪс
Объём цилиндра V = Sh = nB2h
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЗЕМЛЕ,
СОЛНЦЕ И ЛУНЕХ>
Радиус Земли
6400 км
Радиус Солнца
700 000 км
Радиус Луны
1 740 км
Расстояние от Земли до Солнца
150 млн км
Расстояние от Земли до Луны
380 000 км
Период обращения Луны вокруг Земли
27,3 сут.
Масса Земли
6 • 1024 кг
Масса Солнца
2 • Ю30 кг
Масса Луны
7,3 • 1022 кг
1) Приведены с округлением.
232

НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Гравитационная постоянная
G
= 6,67 • ИГ11 Н •
м2/кг2
Скорость света в вакууме
с
= 3 • 108 м/с
Элементарный электрический заряд
е
= 1,6 • ИГ19 Кл
Атомная единица массы
1
а.е.м. = 1,66 • 10
-27 кг
Масса электрона
т
е = 9,1 • 10-31 кг
= 0,00055 а. е
м.
Масса протона
т
р = 1,6726 • 10-27
кг = 1,00728
а. е. м.
Масса нейтрона
т
= 1,6749 • 10-27
п 7
кг = 1,00866
а. е. м.
Электронвольт
1
эВ = 1,6 • 10-19 Дж
Постоянная Планка
h
= 6,63 • 10-34 Дж
• с
ПЛОТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ
ВЕЩЕСТВ
Вещество
Плотность, кг/м3
Алюминий
2700
Вода
1000
Железо
7800
Золото
19300
Керосин
800
Лёд
900
Медь
8900
Нефть
800
Ртуть
13600
Свинец
11300
Сталь
7800
Чугун
7000
ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Сталь по льду
0,015
Сталь по стали
0,03—0,09
Дерево по дереву
0,2—0,5
Шины по сухому асфальту
0,5—0,7
Шины по мокрому асфальту
0,35—0,45
Шины по гладкому льду
0,15—0,20
233

ПСИХРОМЕТРИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА
Показания
сухого термометра, °С
Разность показаний сухого и влажного термометров, °С
0
1
2
3
4
5
Относительная влажность, %
20
100
91
83
74
66
59
21
100
91
83
75
67
60
22
100
92
83
76
68
61
23
100
92
84
76
69
61
24
100
92
84
77
69
62
25
100
92
84
77
70
63
26
100
92
85
78
71
64
27
100
92
85
78
71
65
28
100
93
85
78
72
65
29
100
93
86
79
72
66
30
100
93
86
79
73
67
ЗАВИСИМОСТЬ ДАВЛЕНИЯ НАСЫЩЕННОГО
ВОДЯНОГО ПАРА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Температура f, °С	Давление	ри,	кПа
0
0,61
3
0,76
6
0,93
10
1,23
15
1,71
17
1,93
18
2,07
19
2,20
20
2,33
25
3,17
30
4,24
50
12,34
80
47,3
90
70,11
100
100
234

УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЁМКОСТЬ
НЕКОТОРЫХ ВЕЩЕСТВ
Вещество
Дж
кг К
Алюминий
900
Вода
4200
Железо, сталь
460
Лёд
2100
Медь
400
Свинец
130
Удельная теплота парообразования воды 2,3 МДж/кг.
Удельная теплота плавления льда 3,3 • 105 Дж/кг.
Температура плавления свинца 327 °С.
УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
НЕКОТОРЫХ
МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
Вещество
10 8 Ом • м
Никелин
0,42
Алюминий
0,028
Медь
0,017
Сталь
0,12
Нихром
1,1
Латунь
0,071
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ
ПРОНИЦАЕМОСТЬ
НЕКОТОРЫХ ВЕЩЕСТВ
Вещество
Диэлектрическая
проницаемость
Вода
81
Воздух
1
Керамика
20
Керосин
2,1
Парафин
2
Слюда
7,5
Спирт
26
Эбонит
3
ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Вещество
Алмаз
2,4
Вода
1,33
Спирт этиловый
1,36
Стекло
1,5
РАБОТА ВЫХОДА ЭЛЕКТРОНОВ
Вещество
эВ
Вещество
эВ
Платина
6,3
Цезий
1,8
Оксид бария
1,0
Цинк
4,2
Серебро
5,3
Кальций
2,6
235

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ АТОМНАЯ МАССА НЕКОТОРЫХ ИЗОТОПОВ1*
Изотоп
Масса
нейтрального
атома, а.е.м.
Изотоп
Масса
нейтрального
атома, а.е.м.
}н (водород)
1,00783
126С (углерод)
12,00000
jH (дейтерий)
2,01410
1 о
6С (углерод)
13,00335
iH (тритий)
3,01605
1yN (азот)
14,00307
2 Не (гелий)
3,01602
X®N (азот)
15,00011
gHe (гелий)
4,00260
”0 (кислород)
16,99913
gLi (литий)
6,01513
27
13А1 (алюминий)
26,98146
gLi (литий)
7,01601
(кремний)
29,97376
4 Be (бериллий)
8,00531
28®Ra (радий)
226,02435
Х5В (боР)
10,01294
292и (УРан)
238,05077
“В (бор)
11,00931

237
ТАБЛИЦА Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
ч
о
ес
Г Р У п
П Ы Э Л Е М Е
н т о в
£ц
а
0)
И
0}
Он
I
И
III
IV
V
VI
VII
VIII
I
1
(Н)
Н 1
1,00797
Водород
Не 2
4,0026
Гелий
Обозначение
элемента
1
Атомный
номер
1
II
2
Т i 3
*'** 6.939
Литий
Be 4
Ь 9,0122
Бериллий
В 5
" 10,811
Бор
Г 6
^ 12.01115
Углерод
N 7
14.0067
Азот
О 8
v 15.9994
Кислород
F 9
18.9984
Фтор
Ne 10
20.179
Неон
Li
Литий
3
6,939
III
3
N Я 11
22.9898
Натрий
Mg 12
24,305
Магний
А1 13
•гжж 26,9815
Алюминий
Si 14
^ж 28.086
Кремний
р 15
* 30,9738
Фосфор
S 16
^ 32,064
Сера
С1 17
35,453
Хлор
Ат*
лж 39,948
Аргон
Относительная
атомная масса
IV
4
К 19
39.102
Калий
Ся 20
40,08
Кальций
21 Sc
44,956 ^
Скандий
22 пп;
47,90 х ж
Титан
23 V
50,942 ¥
Ванадий
24 fV
51,996
Хром
25 МП
54,9380
Марганец
26 Fe
55,847 А С
Железо
27 Го
58,9330
Кобальт
28 Ni
58,71 А^ж
Никель
5
29 Ги
63.546
Медь
30 Zn
65,37 "жж
Цинк
ГтЯ 31
69,72
Галлий
Ge 32
UC 72.59
Германий
Ая 33
74,9216
Мышьяк
Se 34
78,96
Селен
Вг 35
79,904
Бром
Кг 36
83,80
Криптон
V
6
Rh 37
85,47
Рубидий
Sr 38
*^ж 87.62
Стронций
39 у
88,905
Иттрий
40 Zr
91,22
Цирконий
41 Nb
92,906
Ниобий
42 Мо
95,94
Молибден
43 ТС
[99] х v
Технеций
44 Ru
101,07
Рутений
45 Rh
102,905 х*жж
Родий
46 Pd
106.4
Палладий
7
47 До-
107,868
Серебро
48 ГЛ
112.40
Кадмий
In 49
хжж 114,82
Индий
Sn 50
118.69
Олово
Sb ш«
Сурьма
Те 52
127,60
Теллур
Т 53
* 126,9044
Иод
Хе 54
131,30
Ксенон
VI
8
По 55
132,905
Цезий
Кя 36
137,34
Барий
57 Т
138,91 **
Лантан
72 Hf
178,49 ХХЖ
Гафний
73 Тя
180.948 х а
Тантал
74 W
183,85 тт
Вольфрам
75 Re
186,2 XVC
Рений
76 Г)я
190,2
Осмий
77 1Г
192.2
Иридий
78 р+
195,09 * “
Платина
9
79 Ап
196.967 W
Золото
во Hg
200.59 АХЬ
Ртуть
Т1 81
Х ж 204.37
Таллий
Pb 82
м 207,19
Свинец
Bi 83
* 208.980
Висмут
Ро 84
[210]*
Полоний
At 35
[210]
Астат
Rn 86
1X11 [222)
Радон
VII
10
Fr 87
* * 12231
Франций
Ra 88
[226)
Радий
89 Др**
[227]
Актиний
104 Rf
[261) XV1
Резерфордий
105 Db
[262]
Дубний
106 Se
1263] иО
Сиборгий
107 Bh
[262] ХХ1Ж
Борий
108 Ня
[265J
Хасс и й
109 Mt
|266] 111
Мейтнерий
110
Е а
X 5
* 5
^ X
58 Се
140.12
Церий
59 рг
140,907
Празеодим
60 Nd
144,24
Неодим
61 Рш
[1471*
Прометий
62 Sm
150,35
Самарий
63 Ей
151,96
Европий
64 Gd
157,25
Гадолиний
65 ТЬ
158,924
Тербий
66 Х)у
162,50 *
Диспрозий
67 Но
164,930
Гольмий
68 Ег
167,26
Эрбий
69 Тт
168,934
Тулий
70 Yb
173,04
Иттербий
71 Lu
174,97
Лютеций
*
5 я
II
X
90 Th
232,038
Торий
91 Ра
[231}
Протактиний
92 и
238,03
Уран
93 Np
[237] &
Нептуний
94 Ри
[244J
Плутоний
95 Ат
[2431
Америций
96 Cm
‘“Чкюрий
97 Вк
1247)
Берклии
98 Cf
1252]*
Калифорний
99 Es
1254]
Эйнштейний
100 Fm
[2571
Фермий
101 Md
1257]
Менделевий
102 N0
[2551
Нобелий
юз Ег
[256}
Лоуренсий

Содержание
ТОМУ, КТО ГОТОВИТСЯ К ЕГЭ ПО ФИЗИКЕ  	 3
ТОМУ, КТО ГОТОВИТ К ЕГЭ ПО ФИЗИКЕ	 3
«ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО» РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	 4
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 	 5
КИНЕМАТИКА
Вопросы и задания для повторения 	 7
Система отсчёта, траектория, путь и перемещение	 7
Прямолинейное равномерное движение. Сложение скоростей 	 8
Прямолинейное равноускоренное движение	 10
Движение с ускорением свободного падения	 12
Равномерное движение по окружности	 15
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 17
ДИНАМИКА
Вопросы и задания для повторения 	  20
Три закона Ньютона	 20
Силы тяготения	 20
Силы упругости	   22
Силы трения	 24
Тело на наклонной плоскости	 26
Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил	 28
Движение системы тел	 30
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 32
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ
Вопросы и задания для повторения 	 38
Импульс. Закон сохранения импульса	 38
Применение закона сохранения импульса	 39
Механическая работа. Мощность	 42
Энергия и работа. Потенциальная и кинетическая энергия	 43
Закон сохранения энергии в механике	 43
Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости	 45
Применение законов сохранения в механике
к движению нескольких тел или системы тел	 48
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 49
СТАТИКА И ГИДРОСТАТИКА
Вопросы и задания для повторения 	 56
Условия равновесия тела	 56
Центр тяжести	 58
Равновесие жидкости и газа	 59
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 61
238

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Вопросы и задания для повторения 	 63
Строение вещества	 63
Изопроцессы и другие газовые процессы	 64
Уравнение состояния идеального газа	 65
Абсолютная температура и средняя кинетическая энергия молекул	 67
Насыщенный пар. Влажность	 67
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 68
ТЕРМОДИНАМИКА
Вопросы и задания для повторения 	 73
Первый закон термодинамики	 73
Применение первого закона термодинамики к газовым процессам	 74
Тепловые двигатели. Второй закон термодинамики	 77
Фазовые переходы	 78
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 79
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Вопросы и задания для повторения 	 83
Электрические взаимодействия	 83
Напряжённость электрического поля. Линии напряжённости	 84
Проводники и диэлектрики в электрическом поле	 86
Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение)	 87
Электроёмкость. Энергия электрического поля	 89
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 90
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Вопросы и задания для повторения 	 97
Закон Ома для участка цепи	 97
Работа и мощность тока	 98
Закон Ома для полной цепи	 100
Дополнительные примеры расчёта электрических цепей	 101
Электрический ток в полупроводниках	 103
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 104
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Вопросы и задания для повторения 	 111
Магнитные взаимодействия. Магнитное поле	 111
Закон Ампера	 113
Примеры применения закона Ампера	 114
Сила Лоренца	 116
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 117
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Вопросы и задания для повторения 	 124
Явление электромагнитной индукции	 124
Закон электромагнитной индукции	 126
Самоиндукция. Энергия магнитного поля	 127
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 128
239

КОЛЕБАНИЯ
Вопросы и задания для повторения 	 134
Свободные механические колебания	 134
Динамика механических колебаний	 136
Энергия механических колебаний. Вынужденные колебания	 137
Колебательный контур. Переменный электрический ток	 138
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 139
ВОЛНЫ
Вопросы и задания для повторения 	 145
Механические волны. Звук	 145
Электромагнитные волны	 146
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 146
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Вопросы и задания для повторения 	 149
Законы геометрической оптики	 149
Линзы. Построение изображений в линзах	 153
Глаз и оптические приборы	 155
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 157
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Вопросы и задания для повторения 	 160
Интерференция волн	   160
Дифракция волн. Дисперсия света	 162
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 163
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	 166
Вопросы и	задания для	повторения 	 166
Вопросы и	задания для	самостоятельной	работы	 167
КВАНТЫ И	АТОМЫ
Вопросы и	задания для	повторения 	 168
Фотоэффект. Фотоны	 168
Строение атома. Атомные спектры	 169
Вопросы и задания для самостоятельной работы	 169
АТОМНОЕ ЯДРО И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ 	 172
Вопросы и	задания для	повторения 	 172
Вопросы и	задания для	самостоятельной	работы	 173
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
Механика	 176
Молекулярная физика и термодинамика	 194
Электростатика и постоянный ток	 199
Электродинамика	 203
Колебания и волны	   204
Оптика	 205
Квантовая физика	 208
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	 210
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ	 232
240