Эквивалентные цепи егэ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 399    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 399    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Введение

Решение задач — неотъемлемая часть обучения
физике, поскольку в процессе решения задач
происходит формирование и обогащение физических
понятий, развивается физическое мышление
учащихся и совершенствуется их навыки
применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и
успешно реализованы следующие дидактические
цели:

• Выдвижение проблемы и создание проблемной
  ситуации;
• Обобщение новых сведений;
• Формирование практических умений и навыков;
• Проверка глубины и прочности знаний;
• Закрепление, обобщение и повторение материала;
• Реализация принципа политехнизма;
• Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников
воспитываются трудолюбие, пытливость ума,
смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес
к учению, воля и характер, упорство в достижении
поставленной цели. Для реализации перечисленных
целей особенно удобно использовать
нетрадиционные задачи.

§1. Задачи по расчету электрических
цепей постоянного тока

По школьной программе на рассмотрение данной
темы очень мало отводится времени, поэтому
учащиеся более или менее успешно овладевают
методами решения задач данного типа. Но часто
такие типы задач встречаются олимпиадных
заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету
электрических цепей постоянного тока можно
отнести задачи, схемы которых:

1) содержат большое число элементов –
резисторов или конденсаторов;

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений
элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать,
используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не
входят в школьную программу. К тому же, правильно
решить систему из большого числа уравнений со
многими неизвестными под силу не многим учащимся
и этот путь не является лучшим способом тратить
время. Поэтому нужно уметь пользоваться
методами, позволяющими быстро найти
сопротивления и емкости контуров.

§2. Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что
исходную схему надо представить в виде
последовательных участков, на каждом из которых
соединение элементов схемы либо
последовательно, либо параллельно. Для такого
представления схему необходимо упростить. Под
упрощением схемы будем понимать соединение или
разъединение каких-либо узлов схемы, удаление
или добавление резисторов, конденсаторов,
добиваясь того, чтобы новая схема из
последовательно и параллельно соединенных
элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при
подаче одинаковых напряжений на исходную и
преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет
одинаков на соответствующих участках. В этом
случае все расчеты производятся с
преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи
со сложным смешанным соединением резисторов
можно воспользоваться несколькими приемами. Мы
ограничимся рассмотрением в подробностях лишь
одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в
симметричных схемах отыскиваются точки с
равными потенциалами. Эти узлы соединяются между
собой, причем, если между этими точками был
включен какой-то участок схемы, то его
отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов
на концах ток по нему не течет и этот участок
никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных
потенциалов приводит к более простой
эквивалентной схеме. Но иногда бывает
целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что
не нарушает электрических условий в остальной
части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

З а д а ч а №1

Рассчитать сопротивление между точками А и В
данного участка цепи. Все резисторы одинаковы и
их сопротивления равны r.

Решение:

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д
являются эквипотенциальными. Поэтому резистор
между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные
точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень
простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение:

В точках F и F` потенциалы равны, значит
сопротивление между ними можно отбросить.
Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны
между собой и равны R1:

1/R1=1/2r+1/r=3/2r

R1=2/3*r

С учетом этого получается новая эквивалентная
схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи
RАВ равно:

1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r

RАВ=(7/6)*r.

З а д а ч а № 3.

Решение:

Точки С и Д имеют равные потенциалы.
Исключением сопротивление между ними. Получаем
эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r

RАВ=r/2.

З а д а ч а № 4.

Решение:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные
потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют
тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2.
Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно
сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

R1=R3=r/3

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

З а д а ч а № 5.

Решение:

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один
узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь
следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Rас=r/2

Сопротивление на участке FN:

R_FN =

Сопротивление на участке DB:

R_DB =r/2

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

R_AB= r.

Задача №6

Решение:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными
потенциалами О, О₁ , О₂. Получим
эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

R₁=(3/2)*r

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

R₂= (8/3)*r

Сопротивление на участке ACВ

R₃ = 2r.

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB
равно:

R_AB= (8/10)*r.

Задача №7.

Решение:

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных
угла О₁ и О₂. Теперь схему можно
представить, как параллельные соединение двух
одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно
рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R₁ равно:

R₁ = 3r

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

R_AB = (3/2)*r

З а д а ч а №8

Решение:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим
их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные
– соединимих в другой узел II. Эквивалентная
схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно
сопротивлению на участке B- II и равно:

R_I =

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

R_II = 2r

Cопротивление участка I- II равно:

R_III =

Получаем окончательную эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB=(7/12)*r.

З а д а ч а №9

В ветви ОС заменим сопротивление на два
параллельно соединенных сопротивления по 2r.
Теперь узел С можно разделить на 2
эквипотенциальных узла С₁ и С₂.
Эквивалентная схема в этом случае выглядит так:

Сопротивление на участках ОС_IB и DC_IIB
одинаковы и равны, как легко подсчитать 2r. Опять
чертим соответствующую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке AOB равно
сопротивлению на участке ADB и равно (7/4)*r. Таким
образом получаем окончательную эквивалентную
схему из трех параллельно соединенных
сопротивлений:

Ее общее сопротивление равно R_AB= (7/15)*r

З а д а ч а № 10

Точки СОD имеют равные потенциалы – соединим их
в один узел О^I .Эквивалентная схема
изображена на рисунке :

Сопротивление на участке А О^I равно . На участке
О^IВ сопротивление равно .Получаем совсем
простую эквивалентную схему:

ЕЕ сопротивление равно искомому общему
сопротивлению

R_AB=(5/6)*r

Задачи № 11 и № 12 решаются несколько иным
способом, чем предыдущие. В задаче №11 для ее
решения используется особое свойство
бесконечных цепей, а в задаче № 12 применяется
способ упрощения цепи.

Задача № 11

Решение

Выделим в этой цепи бесконечно повторяющееся
звено, оно состоит в данном случае из трех первых
сопротивлений. Если мы отбросим это звено, то
полное сопротивление бесконечной цепи R не
измениться от этого , так как получится точно
такая же бесконечная цепь. Так же ничего не
измениться, если мы выделенное звено подключим
обратно к бесконечному сопротивлению R, но при
этом следует обратить внимание , что часть звена
и бесконечная цепь сопротивлением R соединены
параллельно. Таким образом получаем
эквивалентную схему :

Получается уравнения

R_AB=2ч +

R_AB = R

Решая систему этих уравнений, получаем:

R=ч (1+ ).

§3. Обучение решению задач по расчету
электрических цепей способом эквипотенциальных
узлов

Задача – это проблема, для разрешения которой
ученику потребуются логические рассуждения и
выводы. Строящиеся на основе законов и методов
физики. Таким образом, с помощью задач происходит
активизация целенаправленного мышления
учащихся.

В то же время. Теоретические знания можно
считать усвоенными только тогда, когда они
удачно применяются на практике. Задачи по физике
описывают часто встречающиеся в жизни и на
производстве проблемы, которые могут быть решены
с помощью законов физики и, если ученик успешно
решает задачи, то можно сказать, что он хорошо
знает физику.

Для того, чтобы ученики успешно решали задачи,
недостаточно иметь набор методов и способов
решения задач, необходимо еще специально учить
школьников применению этих способов.

Рассмотрим план решения задач по расчету
электрических цепей постоянного тока методом
эквипотенциальных узлов.

1. Чтение условия.
2. Краткая запись условия.
3. Перевод в единицы СИ.
4. Анализ схемы:
1. установить, является ли схема симметричной;
2. установить точки равного потенциала;
3. выбрать, что целесообразнее сделать –
   соединить точки равных потенциалов или же,
   наоборот, разделить одну точку на несколько
   точек равных потенциалов;
4. начертить эквивалентную схему;
5. найти участки только с последовательным или
   только с параллельным соединением и рассчитать
   общее сопротивление на каждом участке по законам
   последовательного и параллельного соединения;
6. начертить эквивалентную схему, заменяя участки
   соответствующими им расчетными сопротивлениями;
7. пункты 5 и 6 повторять до тех пор, пока не
   останется одно сопротивление, величина которого
   и будет решением задачи.
5. Анализ реальности ответа.

Подробнее об анализе схемы

а) установить, является ли схема симметричной.

Определение. Схема симметрична, если одна ее
половина является зеркальным отражением другой.
Причем симметрия должна быть не только
геометрической, но должны быть симметричны и
численные значения сопротивлений или
конденсаторов.

Примеры:

1)

Схема симметричная, так как ветви АСВ и АДВ
симметричны геометрически и отношение
сопротивления на одном участке АС:АД=1:1 такое же,
как и на другом участке СД:ДВ=1:1.

2)

Схема симметричная, так как отношение
сопротивлений на участке АС:АД=1:1 такое же, как и
на другом участке СВ:ДВ=3:3=1:1

3)

Схема не симметрична, так как отношения
сопротивлений численно

не симметричны -1:2 и 1:1.

б) установить точки равных потенциалов.

Пример:

Из соображений симметрии делаем вывод, что в
симметричных точках потенциалы равны. В данном
случае симметричными точками являются точки С и
Д. Таким образом, точки С и Д – эквипотенциальные
точки.

в) выбрать, что целесообразно сделать –
соединить точки равных потенциалов или же,
наоборот, разделить одну точку на несколько
точек равных потенциалов.

Мы видим в этом примере, что между точками
равных потенциалов С и Д включено сопротивление,
по которому ток не будет течь. Следовательно, мы
можем отбросить это сопротивление, а точки С и Д
соединить в один узел.

г) начертить эквивалентную схему.

Чертим эквивалентную схему. При этом получаем
схему с соединенными в одну точку точками С и Д.

д) найти участки только с последовательным или
только с параллельным соединением и рассчитать
общее сопротивление на каждом таком участке по
законам последовательного и параллельного
соединения.

Из полученной эквивалентной схемы видно, что на
участке АС мы имеем два параллельно соединенных
резистора. Их общее сопротивление находится по
закону параллельного соединения:

1/ Rобщ=1/R1+1/R2+1/R3+…

Таким образом 1/RAC=1/r+1/r=2/r,откуда RAC= r/2.

На участке СВ картина аналогичная:

1/RCB= 1/r+1/r =2/r, откуда RCB=r/2.

е)начертить эквивалентную схему, заменяя
участки соответствующими им расчетными
сопротивлениями.

Чертим эквивалентную схему подставляя в нее
рассчитанные сопротивления участков RAC и RCB:

ж)пункты д) и е) повторять до тех пор, пока
останется одно сопротивление, величина которого
и будет решением задачи.

Повторяем пункт д): на участке АВ имеем два
последовательно соединенных сопротивления. Их
общее сопротивление находим по закону
последовательного соединения:

Rобщ= R1+R2+R3+… то есть, RAB=RAC+RCB = r/2+r/2 =2r/2 = r.

Повторяем пункт е): чертим эквивалентную
схему:

Мы получили схему с одним сопротивлением,
величина которого равна сопротивлению исходной
схемы. Таким образом, мы получили ответ RAB = r.

Далее, для проверки усвоения данного материала
можно учащимся предложить задания для
самостоятельной работы, взятые из
дидактического материала. (см. приложение)

Литература

1. Балаш. В.А. задачи по физике и методы их решения. —
   М: Просвещение,1983.
2. Лукашик В.И. Физическая олимпиада.- М:
   Просвещение, 2007
3. Усова А.В., Бобров А.А. Формирование учебных
   умений и навыков учащихся на уроках физики.- М:
   Просвещение,1988
4. Хацет А. Методы расчета эквивалентных схем
   //Квант.
5. Чертов А. Г. Задачник по физике. – М.: Высшая
   школа,1983
6. Зиятдинов Ш.Г., Соловьянюк С.Г. (методические
   рекомендации) г. Бирск,1994г
7. Марон А.Е., Марон Е.А. Физика. Дидактические
   материалы. Москва, “Дрофа”, 2004г

При расчёте электрических цепей грамотно проведённые преобразования позволяют уменьшить число уравнений, описывающих работу схемы. Далее приведены основные эквивалентные преобразования.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

• Последовательное соединение пассивных элементов
• Параллельное соединение пассивных элементов
• Параллельное соединение большого количества ветвей
• Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС
• Преобразование источника ЭДС в источник тока
• Преобразование источника тока в источник ЭДС
• Преобразование звезды сопротивлений в треугольник
  • Калькулятор преобразования звезды сопротивлений в треугольник
• Преобразование треугольника сопротивлений в звезду
  • Калькулятор преобразования треугольника сопротивлений в звезду

Последовательное соединение пассивных элементов

Пример схемы приведён на рис. 1.

Рис. 1. Преобразование последовательно соединённых элементов

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}. $$

В общем случае при последовательном соединении N элементов

$$ underline{Z}=sumlimits_{i=1}^{N}{{{underline{Z}}_{i}}}. $$

Параллельное соединение пассивных элементов

Пример схемы приведён на рис. 2.

Рис. 2. Преобразование параллельно соединённых элементов

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$

Параллельное соединение большого количества ветвей

Пример схемы приведён на рис. 3.

Рис. 3. Преобразование параллельно соединённых ветвей

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{1}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС

Пример схемы приведён на рис. 4.

Рис. 4. Преобразование параллельно соединённых ветвей с источниками ЭДС

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$

Эквивалентная ЭДС определяется по формуле

$$ underline{E}=frac{{{underline{E}}_{1}}{{underline{Z}}_{2}}+{{underline{E}}_{2}}{{underline{Z}}_{1}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$

В общем случае при параллельном соединении N ветвей с источниками ЭДС эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{1}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Эквивалентная ЭДС при параллельном соединении N ветвей определяется по формуле

$$ underline{E}=frac{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{{{underline{E}}_{i}}}{{{underline{Z}}_{i}}}}}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Преобразование источника ЭДС в источник тока

Пример схемы приведён на рис. 5.

Рис. 5. Преобразование источника ЭДС в источник тока

Сила тока источника тока определяется по формуле

$$ underline{J}=frac{underline{E}}{underline{Z}}. $$

Проводимость ветви, параллельной источнику току, определяется по формуле

$$ underline{Y}=frac{1}{underline{Z}}. $$

Преобразование источника тока в источник ЭДС

Пример схемы приведён на рис. 6.

Рис. 6. Преобразование источника тока в источник ЭДС

ЭДС определяется по формуле

$$ underline{E}=frac{underline{J}}{underline{Y}}. $$

Сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{1}{underline{Y}}. $$

Преобразование звезды сопротивлений в треугольник

Пример схемы приведён на рис. 7.

Рис. 7. Преобразование звезды в треугольник

Сопротивления треугольника определяются по формулам

$$ {{underline{Z}}_{12}}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}+frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{3}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{23}}={{underline{Z}}_{2}}+{{underline{Z}}_{3}}+frac{{{underline{Z}}_{2}}cdot {{underline{Z}}_{3}}}{{{underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{31}}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{3}}+frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{3}}}{{{underline{Z}}_{2}}}. $$

Калькулятор преобразования звезды сопротивлений в треугольник

$ underline{Z}_1 = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_2 = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_3 = $ $ textrm{Ом} $

Преобразование треугольника сопротивлений в звезду

Пример схемы приведён на рис. 8.

Рис. 8. Преобразование треугольника в звезду

Сопротивления звезды определяются по формулам

$$ {{underline{Z}}_{1}}=frac{{{underline{Z}}_{31}}cdot {{underline{Z}}_{12}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{2}}=frac{{{underline{Z}}_{23}}cdot {{underline{Z}}_{12}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{3}}=frac{{{underline{Z}}_{31}}cdot {{underline{Z}}_{23}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}. $$

Калькулятор преобразования треугольника сопротивлений в звезду

$ underline{Z}_{12} = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_{23} = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_{31} = $ $ textrm{Ом} $

Список использованной литературы

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Метод эквивалентных замен для вычисления сопротивления участка цепи

На рисунке 1, представлен участок цепи, в котором видны блоки, где резисторы соединены последовательно или параллельно.

Рис.1

Резисторы R₁ и R₂ соединены последовательно, резисторы R₄ и R₅ — параллельно, а резистор R₆ присоединён параллельно ко всему блоку, содержащему все остальные резисторы. Для вычисления сопротивления всего участка следует заменять эквивалентными сопротивлениями те блоки, в которых способ соединения элементов очевиден, постепенно упрощая цепь. Заменяя R₁и R₂ на R₁₂= R₁ + R₂, а R₄ и R₅ на R₄₅ = R₄  R₅ / R₄ + R₅ , получим схемы, представленные на рис.1а.

а)

б) в)

г)

Замена R₃ и R₁₂ на R₁₂₃ приводит к эквивалентной схеме рис.б.

Далее заменяем последовательно соединённые сопротивления R₁₂₃ и R₄₅ на эквивалентное сопротивление R₁₂₃₄₅ рис.в. Заменяем два параллельных резистора на один R₁₂₃₄₅₆, эквивалентный всему исходному участку цепи рис.г.

Пример решения задачи

Вычислить общее сопротивление участка цепи, изображённой на рис.2, если R₁ = 2 Ом, R₂ = 10 Ом, R₃ = 4 Ом.

Определите силу токов и напряжения в цепи, если известно, что сила тока на третьем сопротивлении равна 2 А.

Рис.2

Решение: Резисторы R_{2 и} R₃ соединены параллельно – заменяем их на R₂₃ (рис_. а), R₂₃ = R₂  R₃ / R₂ + R₃

а)

Резисторы R₁, R₂₃ и R₄ соединены последовательно – заменяем их на эквивалентное сопротивление R₁₂₃4, (рис. б)

б)

R₁₂₃₄ = R₁ + R₂₃ + R₄

(Рис. в) — распределение токов и напряжений в блоках.

в)

Ответ:

R₁₂₃₄ = 12 Ом; U₃ = U₂; I₂ = 3A; I₁ = I₄ = 5A;

U₁ = 10B; U₄ = 20 B.