-
Русский -
11 недель
-
от 5 до 6 часов в неделю
-
3 зачётных единицы
Теория игр изучает принципы принятия решений в условиях стратегического взаимодействия нескольких агентов — людей, компаний или правительств. Курс будет интересен желающим разобраться в том, как конкурируют друг с другом несколько компаний и можно ли гарантированно выиграть в шашки, есть ли смысл угрожать на переговорах и с кем стоит объединяться в коалиции в парламенте.
- О курсе
- Формат
- Информационные ресурсы
- Требования
- Программа курса
- Результаты обучения
- Направления подготовки
О курсе
В течение жизни мы постоянно взаимодействуем с другими людьми. Маленькие дети, пытаясь добиться того, чтобы родители купили понравившуюся конфетку, часто шантажируют родителей своими слезами. Принимая решение заплакать, ребенок рискует — он не знает, как поведут себя папа с мамой. В чуть более взрослом возрасте абитуриенты, выбирающие вуз, принимают сложное решение о том, в какие университеты подать документы. Ошибка может стоить дорого: при неправильной стратегии можно оказаться в слабом университете или вообще остаться без заветного студенческого билета. Окончив вуз, юноши и девушки начинают искать работу. Перед интервью с работодателем они штудируют статьи в интернете о том, что можно и чего нельзя говорить на интервью, — они пытаются найти наилучшую стратегию своего поведения, исходя из ожиданий компании, в которую они устраиваются. Все эти ситуации объединяет то, что решения, которые принимают одни люди, оказывают влияние на других людей. Такие взаимодействия называются стратегическими. Именно их изучает теория игр.
Чтобы проанализировать ту или иную реальную жизненную ситуацию стратегического взаимодействия и найти оптимальный вариант поведения в ней, необходимо сделать две вещи. Во-первых, необходимо формально записать ситуацию на языке теории игр, то есть создать модель (игру). Во-вторых, после того как модель (игра) составлена, ее необходимо решить. Этому мы будем учиться в течение курса. Мы разберем основные виды игр (одновременные и последовательные, с совершенной и несовершенной информацией, коалиционные и некоалиционные), приведем способы их решения и обсудим их на многочисленных примерах.
Формат
Курс включает в себя 11 видеолекций, состоящих из коротких видеофрагментов продолжительностью около 10—15 минут. Каждую неделю мы будем задавать домашнее задание в форме теста, а в конце курса предложим для выполнения итоговый экзамен (также в формате теста), который будет включать вопросы по всему пройденному материалу.
Информационные ресурсы
Предполагается, что материалов курса будет достаточно для его освоения.
Рекомендуемая литература
1. А. В. Захаров. (2015). Теория игр в общественных науках. М.: Изд. дом Высшей школы экономики.
2. Osborne, M. J. (2002). An introduction to game theory. New York: Oxford University Press.
3. К. И. Сонин. (2011). Уроки экономики. М.: ООО «Юнайтед Пресс».
4. Dixit, A., Nalebuff, B. (2008). The Art of Strategy. New York: W. W. Norton and Company. Русский перевод: А. Диксит, Б. Нэйлбафф. Теория игр. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2015. Глава I. Стратегические ходы: отрывок из книги А. Диксита и Б. Нэлбаффа (в открытом доступе).
5. Т. Шеллинг. (2007). Стратегия конфликта. (Перевод с английского). М.: ИРИСЭН.
6. В. И. Данилов. (2002). Лекции по теории игр. М.: Российская экономическая школа.
7. Osborne, M. J., & Rubinstein, A. (1994). A course in game theory. MIT press.
8. Mas-Colell, A., Whinston, M. D., Green, J. R. (1995). Microeconomic theory. Oxford University Press. (Chapters 7—9).
Требования
Курс является базовым, поэтому он не требует специальной подготовки. Для его успешного освоения достаточно уверенных знаний курса математики в объеме школьной программы. В одном-двух примерах могут пригодиться знания начал математического анализа (дифференцирование функций одной переменной, необходимое условие экстремума) и знания начал теории вероятностей (понятие математического ожидания случайной величины).
Программа курса
1. Стратегические взаимодействия
2. Доминирующие и доминируемые стратегии
3. Равновесие Нэша
4. Модель Хотеллинга — Даунса и модель Курно
5. Игры в развернутой форме
6. Равновесие Нэша, совершенное на подыграх
7. Игры с несовершенной информацией
8. Смешанные стратегии
9. Задача о стабильных мэтчингах
10. Коалиционные игры
11. Краткая история теории игр
Результаты обучения
Освоение дисциплины вносит вклад в формирование следующих компетенций:
- владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
- способность использовать основные положения и методы гуманитарных и социально-экономических наук при решении профессиональных задач (ОК-9);
- способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10)
Направления подготовки
Новую концепцию описали в январе на научном семинаре стратегического проекта «Социальная политика устойчивого развития и инклюзивного экономического роста». Об этом сообщает HSE Daily.
На семинаре эксперты напомнили, что в 2021 году в систему приёма внесли ряд изменений, включая отмену второй волны зачисления. У абитуриентов остался один шанс на поступление, и многие выпускники с высокими баллами ЕГЭ не стали рисковать и дожидаться результатов конкурса в ведущих университетах — и подали согласия на зачисление в вузы попроще. Преимущество получили те, кто готов был ждать до конца, и некоторым абитуриентам с посредственными баллами удалось таким образом пройти в топовые учебные заведения на бюджет.
Приём в одну волну с самого начала вызывал возражения. Чтобы разработать оптимальную альтернативу, команда Международной лаборатории теории игр и принятия решений Санкт-Петербургской школы экономики и менеджмента НИУ ВШЭ сравнила механизмы приёма в вузы в разных странах. Учёные применили алгоритмы теории игр для создания максимально выгодного и поступающим, и университетам механизма. Его эффективность удалось проверить с помощью компьютерного моделирования.
Основное отличие предложенной модели в том, что приём должен происходить после двустороннего отбора — со стороны вузов и со стороны поступающих
«Раньше мы зачисляли школьников мгновенно, а теперь мы зачислим их условно, то есть сначала поместим в список ожидания и, только когда все списки ожидания стабилизируются, проведём зачисление окончательно», — пояснил заведующий лабораторией Александр Нестеров.
Предполагается, что сначала абитуриент должен выбрать до 30 приоритетных программ и составить перечень предпочтений. После этого по каждой программе необходимо сформировать список всех, кто хотел бы на неё поступить. Далее предстоит ранжировать кандидатов по баллам ЕГЭ и прочим критериям, которые учитывают при зачислении.
Затем стартует процесс, который авторы назвали динамичным приёмом, — одна волна продолжительностью в 20 дней. В первый же день этого периода каждая программа должна разослать приглашения абитуриентам, находящимся на верхних строчках списков. Разумеется, количество приглашений должно соответствовать численности вакантных мест.
У поступающих тоже формируется список программ — в соответствии с их предпочтениями. В течение 48 часов им предписано принять или отклонить приглашения. При бездействии автоматически выбирается приглашение, находящееся на первой позиции. Причём эти согласия не окончательные — предусмотрена возможность выбирать новые опции, которые появляются в ходе приёмной кампании.
Отвергнутые приглашения отправляются абитуриентам, которые находятся на следующих строчках в списках кандидатов. Далее описанный алгоритм действует до тех пор, пока по каждой программе не иссякнут списки кандидатов, рассматривающих их. После этого происходит окончательное зачисление. При компьютерном моделировании такой системы за 20 дней распределилось 90% мест. Оставшиеся места предполагается заполнить на втором этапе, предложив их другим абитуриентам.
Помимо этого, механизм включает систему рекомендаций, призванную помочь вчерашним школьникам определить оптимальный пул предпочтительных программ. Она основана на аналогиях — рассматриваются предпочтения абитуриента и его баллы ЕГЭ, а рекомендации формируются на базе списков ребят с похожими интересами. Подобные алгоритмы используют системы рекомендаций фильмов и книг.
В результате список выбранных поступающими программ дополняется рекомендуемыми, и только после этого запускается динамический механизм. То есть кому-то система может посоветовать более амбициозные программы, а кому-то — варианты попроще. Уточняется, что выпускники с низким социально-экономическим статусом часто не решаются выбрать престижные программы, а самоуверенные ребята, наоборот, склонны выбирать только их, хотя это и не всегда обоснованно с точки зрения их шансов.
Александр Нестеров добавил, что это простая и прозрачная система, в рамках которой поступающие могут без риска ждать более привлекательных предложений. Кроме того, вузы получают наиболее способных студентов.
Помимо этого, предложенная альтернатива решает ещё две задачи. Во-первых, она помогает решить проблему низкой мобильности. Абитуриенты обычно рассматривают вуз либо в своих регионах, либо в городах-миллионниках. При этом они могут не знать о подходящих программах университетов, расположенных в соседних регионах. Благодаря новому механизму эти пробелы удалось бы заполнить. Во-вторых, система помогла бы повысить конкуренцию между образовательными программами.
Напомним, схема приёма в одну волну с самого начала вызывала возражения — в 2021-м даже появилась петиция об отмене нового порядка приёма. Авторы петиции предложили альтернативный механизм зачисления. А в прошлом году изменения раскритиковали специалисты СПбГУ, которые тоже выступили с идеей, как можно было бы исправить возникшие сложности. Отметим: оба предложенных варианта похожи на тот, что предложили в НИУ ВШЭ, однако последний описан более подробно.
Кстати, Минобрнауки ещё в прошлом августе прислушалось к критике и заявило, что внесёт коррективы. Новый порядок уже составлен, однако поможет ли он упростить приёмную кампанию и сделать её прозрачнее для абитуриентов — большой вопрос.
Курс «Теория игр» предназначен для тех, кто стремится реализовывать успешные игровые модели и просчитывать действия своих соперников. Вы узнаете о видах игр и их различиях, научитесь реализовывать успешные поведенческие стратегии.
Создатели курса утверждают, что полученные знания вы сможете применить в реальных жизненных ситуациях, связанных со стратегическим взаимодействием.
Вам подойдет этот курс, если вы:
- интересуетесь теорией игр или вопросами стратегического взаимодействия;
- желаете выбирать беспроигрышные стратегии, чтобы выигрывать в различных ситуациях;
- хотите изучить методологию одновременных и последовательных, коалиционных и некоалиционных игр.
Ключевые навыки, которыми вы овладеете:
- анализирование информации;
- постановка цели и её достижение;
- выработка максимально эффективной стратегии действий.
Учебная программа:
- стратегические взаимодействия;
- доминируемые стратегии;
- равновесие Нэша;
- модель Хотеллинга-Даунса;
- модель Курно;
- развернутая игровая форма и несовершенная информация;
- виды смешанных стратегий;
- стабильные мэтчинги;
- антагонистические коалиционные игры;
- историческая часть.
Для прохождения уроков необходимо от пяти до шести часов в неделю. Каждую неделю вы просматриваете небольшие видеолекции — от десяти до пятнадцати минут — посвященные изучаемой теме. Во время обучения вы выполняете текущие тестирования для проверки усвоенного материала. После завершения обучения предусмотрены финальные испытания с итоговой аттестацией. В случае его успешной сдачи вы можете получить сертификат за отдельную плату. Курс создан специалистами Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».
Ректор РЭШ Антон Суворов и проректор НИУ ВШЭ Дмитрий Дагаев
14.02,2023
1.10 – Что такое теория игр?
2.10 – Простое определение рациональности от экономистов
4.39 – В какой ситуации равновесие обязано существовать
6.44 – Все зависит от того, против кого вы играете
10.12 – Конкурс красоты на финансовых рынках
12.05 – Есть два равновесия, но что выберут люди?
13.16 – Люди систематически ведут себя нерационально
14.33 – Поведенческая экономика возникла как атака варваров на стройное здание экономической науки
15.01 – Эффект якоря: как рулетка влияет на мнение людей о количестве стран Африки в ООН
17.01 – Как попасть на встречу в Нью-Йорке
19.44 – Чтобы найти лучшее решение, нужно лучше понимать игру
20.29 – Теория игр стимулирует эмпатию
21.07 – Она не только про поведение в конфликтах
22.58 – Поведенческая экономика – платформа, где встретились экономисты и психологи
23.49 – Как повлиять на поведение человека
26.34 – С 1990-х прорывов в теории игр не было, но начали появляться новые инструменты
29.38 – Примеры применения теории игр – поступление в университеты и проведение аукционов
Описание
Поведенческая экономика давно привлекла внимание не только профессиональных экономистов, но и широкой аудитории. Вышло множество научно-популярных книг с описанием экспериментов, демонстрирующих нерациональность поведения людей в самых разных ситуациях. При этом рациональность поведения остается ключевой предпосылкой большинства разделов экономической теории. В частности, теория игр — наука о поведении в условиях стратегического взаимодействия — тоже опирается на предположение о рациональности экономических агентов.
Во время Просветительских дней РЭШ, которые прошли в декабре, мы поговорили с ректором РЭШ Антоном Суворовым и проректором НИУ ВШЭ Дмитрием Дагаевым о том, как теория игр и поведенческая экономика помогают нам лучше понимать поведение людей. На основе этого материала мы создали выпуск, который стал юбилейным для «Экономики на слух». В честь этого мы приглашаем вас пройти в нашем телеграм-канале тест, подготовленный на основе выпусков «Экономики на слух» и получить шанс выиграть «Карту профессий» РЭШ.
Выпуск также доступен во всех подкаст-плеерах: Apple Podcasts, Google Podcasts, «Яндекс.Музыка», Castbox и др.
Полный список подкаст-плееров.
Задачи для внутреннего экзамена по теории игр
Знаком «*» выделены задачи повышенной трудности.
Модель 1. Кооперативный рынок.
Рассмотрим следующую кооперативную игру, моделирующую рынок одного ресурса (с производством или без такового): есть n игроков, каждый из которых в начальный момент обладает некоторым ресурсом в объеме xi ³ 0 ,
i N = {1,…,n}. Полезность (трансферабельная) каждого игрока – непрерывная
|
вогнутая неотрицательная (на отрезке [0,å |
xi ]) функция fi (xi ) от |
|
i N |
количества ресурса в распоряжении данного игрока.
Игроки могут образовывать коалиции и перераспределять ресурс и полезность между участниками коалиции (и только между ними).
Задача 1.1. Написать выражение для характеристической функции данной игры при рациональном поведении участников коалиций.
Задача 1.2. Доказать, что игра супераддитивна.
Задача 1.3. Доказать, что игра выпукла, если все игроки имеют одинаковые функции полезности, а весь ресурс сначала находится у первого игрока.
Подсказка: по определению выпуклости:
S T Þ v(S + i) − v(S) ≤ v(T + i) − v(T ) .
Задача 1.4*. Доказать, что полученная игра имеет непустое C—ядро.
Подсказка: Воспользуйтесь теоремой Бондаревой, вогнутостью функций
|
полезности, |
а также |
равенствами: åS:i S δ S = 1 |
для |
всех |
i N , |
|||||||
|
å |
S N |
δ S å |
i S |
g(i, S) = å |
i N |
å |
S:i S |
δ S g(i, S) |
для произвольной функции |
g(i, S) |
||
|
и произвольного сбалансированного покрытия δ S . |
||||||||||||
|
Задача 1.5*. Доказать равенство å |
S N |
δ S å |
i S |
g(i, S) = å |
i N |
å |
S:i S |
δ S g(i, S) . |
||||
Задача 1.6*. «Размножим» каждого из игроков k раз следующим образом: пусть ресурс в распоряжении каждого из новых игроков с «прототипом» i – ~xi = xi / k ,
|
~ ~ |
~ |
|
а его полезность – fi (xi ) = |
fi (kxi ) / k . Качественно проследите, как изменяется |
C—ядро данной игры с ростом k (расширяется, сужается?) Найдите «предельное» C—ядро.
Подсказка: размер ядра зависит от того, с каким «запасом» выполняется неравенство в теореме Бондаревой.
Модель 2. «Фермеры на общем поле».
|
Имеются |
n |
игроков |
( N = {1,…,n}) |
с |
целевыми |
функциями |
|
fi (x) = xi (nX − åj N x j ) , |
xi [0,+∞) , i N . |
Задача 2.1. Найти все равновесия Нэша в чистых стратегиях для n = 2 .
Задача 2.2. Найти все равновесия Нэша в чистых стратегиях при произвольном числе игроков.
Задача 2.3. Найти все оптимальные по Парето исходы для n = 2 .
Подсказка: множество оптимальных по Парето исходов совпадает со
|
множеством точек, на |
которых достигает максимума функция |
|
αf1(x1, x2 ) + (1−α) f2 (x1, x2 ) |
при различных α [0,1]. |
Задача 2.4. Найти все оптимальные по Парето исходы для произвольного числа игроков.
Задача 2.5. Сравнить суммарный выигрыш игроков в равновесии Нэша с суммарным их выигрышем в оптимальной по Парето точке.
Задача 2.6. Найти предел равновесных стратегий игроков с ростом n, предел их выигрышей, суммарного выигрыша и суммарного оптимального по Парето выигрыша.
На данном примере можно проиллюстрировать применение гипотезы слабого влияния.
Задача 2.7*. Доказать, что для произвольной игры множество оптимальных по Парето исходов совпадает с множеством точек, на которых достигает
|
максимума функция å |
i N |
αi fi (x) при различных αi [0,1] |
таких, что |
|
|
å |
αi = 1. |
|||
|
i N |
||||
Подсказка: воспользуйтесь определением оптимальности по Парето.
Задача 2.8*. Есть ли в этой игре равновесия Нэша в смешанных стратегиях для n = 2 ?
Подсказка: воспользуйтесь линейностью целевой функции игрока по стратегиям противника и вогнутостью по своей стратегии.
Модель 3.
Задана игра n лиц с целевыми функциями fi (x) = αxi − β åj N x j и
стратегиями xi [0,1] .
Задача 3.1. Найти все равновесия Нэша в чистых стратегиях.
Задача 3.2. Найти все равновесия в доминантных стратегиях.
Задача 3.3. Найти все оптимальные по Парето ситуации.
Задача 3.4. При каких значениях исходных параметров α и β равновесие Нэша оптимально по Парето?
Модель 4. Равновесия Нэша в смешанных стратегиях и равновесия Байеса.
Игра двух лиц задается следующей матрицей:
|
Стратегии |
первого |
Стратегии второго игрока |
||||
|
игрока |
L |
R |
||||
|
T |
0, 0 |
0, -1 |
||||
|
B |
1, 0 |
-1, 3 |
||||
Задача 4.1. Найдите все равновесия Нэша в смешанных стратегиях.
Задача 4.2. Пусть игроки имеют личные типы: первый игрок – α , второй игрок
– β и матрица игры видоизменяется следующим образом:
|
Стратегии |
первого |
Стратегии второго игрока |
||
|
игрока |
L |
R |
||
|
T |
εα , εβ |
εα , -1 |
||
|
B |
1, εβ |
-1, 3 |
Здесь ε — некоторое фиксированное число из интервала (0, 1), а α и β –
независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале
(0, 1).
Найти все равновесия Байеса в чистых стратегиях для данной игры.
Задача 4.3. Найти «предел» равновесия Байеса при ε → +0 .
Модель 5. Функции полезности и выявление предпочтений.
Пусть задана система событий: А – не ходить на экзамен
Б – идти на экзамен не подготовленным В – прочитать учебник и идти на экзамен
Г – прочитать учебник, узнать имя преподавателя, порешать задачи и идти на экзамен.
Студент предпочитает пойти на экзамен не подготовленным, чем совсем не идти на экзамен. Однако он понимает, что лучше почитать учебник, чем идти на экзамен не готовым совсем. В то же время студент понимает, что чтения одного учебника недостаточно, чтобы сдать экзамен, поэтому предпочитает остаться дома, чем потратить ночь на чтение учебника. В то же время, всем другим
исходам он предпочитает хорошо подготовиться к экзамену и получить отличную оценку.
Задача 5.1. Построить матрицу отношения предпочтения f студента.
Задача 5.2. Построить отношение нестрогого предпочтения, если отношение неразличимости совпадает с тождественным отношением ( x ≈ y x = y ).
Задача 5.3. Является ли отношение f асимметричным?
Задача 5.4. Является ли отношение f полным?
Задача 5.5. Какую аксиому полезности нарушает данное предпочтение f ?
Задача 5.6. Какое минимальное изменение следует внести в матрицу отношения для того, чтобы оно удовлетворяло аксиомам полезности?
Задача 5.7. Построить линейную функцию полезности студента, если он индифферентен между лотереей 0.5Б + 0.5В и лотереей 0.5A + 0.5Г , а также индифферентен между лотереей 0.3А + 0.7Г и исходом В.
Задача 5.8. Может ли студент предпочитать исходу В лотерею, в которой исход Б имеет вероятность не менее 0.6? А лотерею, в которой исход Г имеет вероятность не более 0,6, а исход В – вероятность, равную нулю?
Модель 6. «Ящик Эджворта».
Два игрока могут обмениваться одним из двух видов ресурса. Начальное
|
количество ресурсов |
у первого |
игрока x0 |
= 1, |
x0 = 0 , у второго – y0 |
= 0 , |
|
|
y20 = 1. Полезность |
1 |
2 |
1 |
|||
|
первого |
игрока |
от |
обладания |
ресурсами |
– |
|
|
f1(x1, x2 ) = x1(x2 + 0.1) , второго – |
f2 (y1, y2 ) = (y1 + 0.1) * y2 . |
Задача 6.1. Найти переговорное множество и контрактную кривую (множество оптимальных по Парето исходов обмена).
Задача 6.2. Найти равновесие Вальраса данной игры (точка, в которой прямая цен касается одновременно линий уровня функций полезностей обоих игроков).
Задача 6.3. Найти множество равновесий Нэша игры, в которой оба игрока одновременно называют объемы товаров для обмена, после чего сделка совершается при условии, что заявки совпали.
Задача 6.4. Найти равновесия Штакельберга для игры, в которой сначала первый игрок предлагает объемы товаров для обмена, а второй игрок может или согласиться, или не согласиться на это предложение (в случае отказа обмен не происходит).
Задача 6.5. Найти совершенные равновесия по подыграм для игры, в которой: Этап 1. Первый игрок предлагает объемы товаров для обмена, а второй игрок может или согласиться, или не согласиться на это предложение.
В случае приема предложения происходит обмен, в случае отказа:
Этап 2. Второй игрок предлагает свой вариант обмена, и первый игрок может или согласиться, или нет. Если первый игрок соглашается на обмен, то обмен происходит, но оба игрока теряют 0.1 единицу полезности. В противном случае обмен не происходит и оба игрока теряют 0.1 единицу полезности.
Задача 6.6. Найти равновесия Штакельберга для игры, в которой сначала первый игрок заявляет цену, а второй игрок – объем первого товара для обмена по этой цене.
Задача 6.7*. Придумать для данной постановки задачи игру, равновесие Нэша которой было бы единственно и совпадало бы с равновесием Вальраса.
Модель 7. Модель сотрудничества с неполной информацией.
Две страны решают, куда вкладывать средства – в развитие теории игр (Т) или в создание новых вооружений (В). Если президент второй страны привержен идеям пацифизма, то матрица выигрышей имеет следующий вид
|
Стратегии |
первой |
Стратегии второй страны |
||
|
страны |
Т |
В |
||
|
Т |
2, 2 |
0, 0 |
||
|
В |
0, 0 |
1, 1 |
То есть совместная работа в одной области приводит игроков к успеху.
Однако если президент второй страны – милитарист, то он объявит первой
стране войну и тогда в зависимости от действий игроков их выигрыши выглядят так:
|
Стратегии |
первой |
Стратегии второй страны |
||
|
страны |
Т |
В |
||
|
Т |
1, 1 |
-1, 3 |
||
|
В |
3, -1 |
0, 0 |
Президент первой страны считает вероятность того, что второй игрок – пацифист, равной 0 < α < 1 .
Задача 7.1. Построить развернутую форму данной игры.
Задача 7.2. Определить стратегии игроков, построить игру в нормальной форме и найти ее равновесия Нэша в чистых стратегиях.
Задача 7.3. Построить байесову игру, соответствующую описанной ситуации. Вычислить равновесия Байеса в чистых стратегиях.
Задача 7.4*. Чем равновесия Байеса данной игры отличаются от равновесий Нэша?
Модель 8. Рефлексивные игры и информационные равновесия.
Олигополия Курно с нулевыми затратами на производство.
В игре участвуют три агента с целевыми функциями следующего вида:
fi(θ, x1, x2, x3) = (θ – x1– x2– x3) xi, где xi ³ 0, i Î N = {1, 2, 3}; θ Î W = {1, 2}.
Содержательно, xi – объем выпуска продукции i—м агентом, θ – величина, характеризующая спрос на производимую продукцию. Для краткости будем называть агента, считающего, что спрос низкий (θ = 1), пессимистом, а считающего, что спрос высокий (θ = 2) – оптимистом.
Построить граф рефлексивной игры и найти информационное равновесие в следующих ситуациях:
Задача 8.1. Первый и второй агенты оптимисты и считают всех трех агентов одинаково информированными оптимистами. Третий агент пессимист и считает всех трех агентов одинаково информированными пессимистами.
Задача 8.2. Первый и второй агенты оптимисты и считают всех трех агентов одинаково информированными оптимистами. Третий агент пессимист и адекватно информирован о первых двух.
Задача 8.3. Первый агент считает общим знанием, что спрос будет низким; второй агент считает общим знанием, что спрос будет высоким. Третий агент оптимист и адекватно информирован о первых двух.
Задача 8.4. Каждый из агентов является оптимистом и считает, что остальные двое считают общим знанием низкий спрос.
Задача 8.5. Пусть в игре участвуют два агента с целевыми функциями
fi(θ, x1, x2) = (θ – x1– x2) xi,
где xi ³ 0, i = 1, 2; θ ³ 0.
Привести пример информационной структуры, в котором первый агент адекватно информирован о втором, представление первого агента о неопределенном параметре соответствует действительности, однако в равновесии второй агент получает больший выигрыш, чем первый.
Задача 8.6. Привести пример ситуации с тремя участниками и неопределенным параметром θ, в которой в действительности имеет место θ =θ0 и общим знанием среди агентов является θ =θ1¹θ0.
Задача 8.7. Привести пример ситуации с тремя участниками и неопределенным параметром θ, в которой в действительности имеет место θ =θ0 и если бы общим знанием среди агентов было бы θ =θ0, то выигрыш всех агентов в равновесии был бы меньше, чем в исходной ситуации.
Модель 9. Рефлексивные отображения и информационное управление
Проверить, являются ли стационарными рефлексивные отображения в игре двух
агентов с целевыми функциями
Задача 9.1.
f1(θ, x1, x2) = (θ – x1+ x2) x1, f2(θ, x1, x2) = (θ + x1–x2) x2, где xi ³ 0, i = 1, 2; θ Î [0, 1].
Задача 9.2.
f1(θ, x1, x2) = (θ – x1– x2) x1, f2(θ, x1, x2) = (θ x1– x2) x2, где xi ³ 0, i = 1, 2; θ Î [1, 2].