Экзамены прошлых лет мфти матан

В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

Используем формулу «синус двойного угла»:

   

Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим за скобки:

   

Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:

   

   

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:

1) .

2)

Умножим обе части последнего уравнения на и введём замену :

   

Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как ), либо . Из последнего уравнения получаем .

Ответ: .

Преобразуем выражение с суммой кубов:

   

В скобках заменим член на разность . От этого равенство не нарушится. В результате получим:

   

   

Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:

   

Теперь используем замену: и . Тогда система принимает вид:

   

Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:

   

Корень этого уравнения угадывается автоматически: . Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении .

Итак, , значит . Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:

   

В результате приходим к окончательному ответу: и .

В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: . Известно, что эта прямая проходит через точку , то есть имеет место равенство:

(1)  

Кроме того, прямая касается графика функции . Значит уравнение

   

должно иметь ровно один корень. Введём замену . Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения

(2)  

равен нулю, и корень при этом неотрицателен. То есть получаем:

   

Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:

   

Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: ( и ) или ( и ). При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень . При и уравнение (2) имеет один неотрицательный корень .

То есть из двух прямых и нужно выбрать такую, которая пересекает график функции  в двух различных точках.

• Решаем сперва уравнение:

   

Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.

• Решаем теперь уравнение:

   

Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.

Ответ: .

Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:

4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

Пусть радиус окружности равен . Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:

   

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

   

Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:

   

Поделим обе части этого уравнения на и обозначит разность за . В результате приходим к следующему уравнению:

   

Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна .

Ответ: 24.

Введём замену: . Тогда неравенство принимает вид:

   

Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:

   

Введём ещё одну замену: . Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число неравенство принимает вид:

   

Последовательно возвращаемся к исходной переменной :

   

   

Окончательно получаем следующий ответ:

Пусть в первую бочку долили кг воды, а во вторую — кг. Пусть в первой бочке находится кг, а во второй кг соли.

Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:

   

а после доливания воды оно стало равно:

   

Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:

   

а после доливания воды оно стало равно:

   

Тогда справедливы равенства:

(3)  

(4)  

Из уравнения (3) выражаем , из уравнения (4) выражаем , а из уравнения  выражаем . Мы ищем минимальное значение суммы . Проще всего найти его, используя неравенство Коши:

   

   

   

Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.

Этот случай реализуется при , когда неравенство Коши преобразуется в равенство. То есть при . Подставляя это в выражение , получаем после преобразований, что . Отрицательный корень мы в расчёт не берём.

Ответ: 80 кг.

7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.

Выполним следующие дополнительные построения:

• проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
• проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.

Переходим к решению:

• сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
• так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
• ∠CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
• значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
• из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что , то есть ;
• тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна .

Ответ: 40.

Преобразуем данное неравенство, раскрыв в нём скобки и использовав основное тригонометрическое тождество. В результате после всех преобразований получаем следующее неравенство:

   

Ведём замену , причём . Тогда получим следующее неравенство:

   

Задача свелась к тому, чтобы найти все значения параметра , при котором последнее неравенство выполняется при всех .

Для решения этой задачи представим последнее неравенство в виде:

   

Легко видеть, что при любых значениях , так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Поэтому мы можем разделить обе части последнего неравенства на положительное выражение , при этом знак неравенства не поменяется:

(5)  

Исследуем функцию на возрастание. Для этого определим при каких значениях её производная положительна:

   

   

Так как , а , то на промежутке данная функция возрастает. Поэтому неравенство (5) будет выполняться при любом при условии, что , то есть .

Ответ: .

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!