Прежде чем изучать готовые решения задачи по электротехнике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теоретические основы электротехники», после которой подробно решены задачи.
Эта страница подготовлена для школьников и студентов.
Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!
Теоретические основы электротехники
Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.
Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.
Электрические цепи постоянного тока. Пассивные элементы электрической цепи
Величина сопротивления (рис. 1, а), измеряемая в омах, равна отношению напряжения на его зажимах , измеряемого в вольтах, к протекающему через сопротивление току измеряемому в амперах:
Поводимость — обратна сопротивлению и измеряется в сименсах.
Величина индуктивности (рис. 1, б), измеряемая в генри, определяется отношением потокосцепления самоиндукции протекающему через неё току :
Потокосцепление равно произведению магнитного потока , измеряемого в веберах, и числа витков катушки индуктивности .
Магнитный поток равен произведению магнитной индукции , измеряемой в теслах на сечение магнитопровода катушки индуктивности:
Взаимная индуктивность двух катушек индуктивностей и определяется отношением
где — потокосцепление катушки , обусловленное током второй катушки ; — потокосцепление катушки , обусловленное током первой катушки .
Гак же как и индуктивность , взаимная индуктивность измеряется в генри. Величина ёмкости (рис. 1, в) определяется отношением заряда , накопленного на этом элементе, к напряжению , приложенному к этому элементу:
Заряд измеряется в кулонах, емкость — в фарадах, напряжение — в вольтах.
Эквивалентные преобразования схем электрической цени с пассивными элементами
Последовательное соединение резисторов (рис. 2, а) равно сумме их сопротивлений (рис. 2, б):
Задача №1 с решением
Найти эквивалентное сопротивление электрической цепи (рис. 3), если
Решение:
При параллельном соединении двух резисторов и (рис. 4, а) их эквивалентное сопротивление(рис. 4, б)
При параллельном соединении трёх резисторов и (рис. 4, в) их эквивалентное сопротивление (рис. 4, г)
Задача №2 с решением
Найти эквивалентное сопротивление и электрической цепи (см. рис. 4, а и в), если
Решение: Для рис. 4, а
Для рис. 4, получим
Последовательное соединение катушек индуктивное гей и рассчитывается по формуле (7)
параллельное соединение для и рассчитывается по формуле (8)
параллельное соединение для и рассчитывается по формуле (9)
Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5, а) даёт сумму их ёмкостей (рис. 5, б)
При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) эквивалентная ёмкость
Для эквивалентного преобразования схем с соединением сопротивлений в виде треугольника (рис. 7, а) и звезды (рис. 7. б) необходимо, чтобы проводимость между любой парой узлов 1, 2, 3 в «треугольнике» и «звезде» были одинаковы при любых сопротивлениях в преобразованной части цепи (в том числе и при сопротивлениях, равных бесконечности), т. е.
В левых частях уравнений (15) — (17) записаны проводимости между соответствующими узлами «треугольника» сопротивлений, а в правых частях -проводимости между соответствующими узлами «звезды» сопротивлений.
Считая известными сопротивления и сторон «треугольника», можно найти неизвестные сопротивления и «звезды» следующим образом: из равенства (15) почленно вычитают равенство (17) и прибавляют равенство (16). В результате
Аналогичным образом находят и
Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник», считая известными сопротивления и , даёт следующие результаты:
Дополнительные задачи:
- Задача №3 с решением
- Задача №4 с решением
Эквивалентные преобразования схем электрической цепи с активными элементами
К активным элементам электрической цепи относят источник ЭДС (рис. 13) с внутренним сопротивлением и источник тока (рис. 14) с внутренней проводимостью . На рис. 13 и 14 — сопротивление нагрузки.
Для эквивалентной замены источников ЭДС и необходимо, чтобы ток и напряжение па выходе источников при заданной нагрузке остались без изменений.
Для источника ЭДС (см. рис. 13)
или
Для источника тока (см. рис. 14)
или
Из выражений (25) и (26) следует, что при замене источника ЭДС источником тока
и
Из выражений (24) и (27) следует, что при эквивалентной замене источника тока источником ЭДС
и
Задача №5 с решением
В электрической цепи (рис. 15) Произвести эквивалентные преобразования от источника ЭДС к источнику тока и обратно.
Решение: Перейдя от источников ЭДС к источникам тока, получим эквивалентную схему, приведенную на рис. 16, где
Источники тока и на рис. 16 образуют один эквивалентный источник тока (рис. 17), где
Перейдя от источника тока (см. рис. 17) к источнику ЭДС, получим схему цепи (рис. 18), эквивалентную исходной, где
Задача №6 с решением
Для цепи рис. 19 заданы параметры: Определить ток , применив метод преобразований.
Решение: Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС (рис. 20, 21): . Тогда получим .
Чтобы дальше свернуть схему, источник ЭДС преобразуем в источник тока (рис. 22).
Окончательно получим (рис. 23):
Тогда ток
Дополнительные задачи:
- Задача №7 с решением
- Задача №8 с решением
Meтод уравнений Кирхгофа
Суть метода заключается в составлении системы уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов.
Если сложная электрическая цепь имеет узлов и ветвей, а следовательно, и неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему линейных независимых уравнений.
По 1-му закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т. е. уравнений. Однако линейно независимыми будут только уравнений, т. е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи.
Остальные линейно независимых уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа.
Таким образом, общее число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей цепи, а значит, и числу независимых токов.
Порядок расчета электрических цепей с помощью законов Кирхгофа следующий:
- Определяется число узлов и число ветвей в цепи, и в соответствии с этим определяется количество уравнений, которые необходимо составить по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
- Обозначаются на схеме цепи тока в ветвях и произвольно выбираются их направления. Выбираются независимые замкнутые контуры цепи таким образом, чтобы в каждый исследуемый контур входила одна новая ветвь. Произвольно задаются направления обхода контуров.
- Составляется уравнений по 1-му закону Кирхгофа. При этом токи, входящие в узел, берутся со знаком «+», а выходящие из узла со знаком « ».
- Составляется уравнений по 2-му закону Кирхгофа. При составлении этих уравнений величина ЭДС берёгся со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-». если не совпадает. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутых контурах берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением токов в ветвях, и со знаком «-», если не совпадает.
- Производится расчёт составленной системы уравнении относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным направлениям.
Задача №9 с решением
В электрической цепи (рис. 31) Определить токи в ветвях цепи с помощью законов Кирхгофа.
Решение: В заданной электрической цепи два узла и два независимых контура. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа составляется одно уравнение, а по второму два.
Для узла
Для контуров:
После подстановки цифровых данных система уравнений имеет следующий вид:
Решение: этой даст токи ветвей: Для проверки правильности решения задачи составляется уравнение баланса мощностей:
При подстановке численных данных получается, что т. е. мощности источника и нагрузки практически совпадают. Значит, токи в ветвях цепи рассчитаны правильно.
Дополнительные задачи:
- Задача №10 с решением
- Задача №11 с решением
Метод контурных токов
Расчёт сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только но 2-му закону Кирхгофа. Причём число уравнений в системе равно числу независимых контуров в электрической цепи.
В общем случае для электрической цепи, содержащей независимых контурных уравнении, система контурных уравнений имеет вид
где — собственные сопротивления 1, 2, …, -го контуров; и т. д. — взаимные сопротивления между контурами 1 и 2, 2 и 3 и т. д.; — контурные токи; — контурные ЭДС I, II, …, -го контуров.
Взаимные сопротивления между контурами имеют положительные значения, если контурные токи, протекающие через них, имеют одинаковые направления, и отрицательны, если направления контурных токов через взаимные сопротивления встречны.
Контурные токи по абсолютной величине равны токам в ветвях, по которым протекает только один из контурных токов. Если по ветви протекают два контурных тока одного направления, то ток в этой ветви равен сумме контурных токов. Если контурные токи в ветви встречны, то ток в ветви равен разности контурных токов (по абсолютной величине).
Собственное сопротивление контура — это сумма всех сопротивлений, входящих в данный контур.
Контурная ЭДС — это алгебраическая сумма всех ЭДС контура.
Расчёт электрических цепей методом контурных токов производится в следующем порядке:
- Определяется число независимых контуров в электрической цепи и произвольно задаются направления контурных токов.
- Вычисляются собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.
- Составляется система управлений для контурных токов в соответствии со 2-м законом Кирхгофа, причем число уравнений должно быть равно числу независимых контуров схемы.
- Осуществляется решение системы уравнений (например, путём подстановки или с помощью определителей) с целью получения контурных токов.
- Определяются токи в ветвях.
Примечание. Вели по условию задачи часть источников энергии задана в виде источников тока, то перед началом расчёта их следует преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.
Задача №12 с решением
В электрической цепи (рис. 34) методом контурных токов определить токи в ветвях, если
Решение: В электрической цепи три независимых контура. Произвольно выбраны направления контурных токов и токи в ветвях. Система из трех контурных уравнений имеет вид
Собственные сопротивления:
Взаимные сопротивления:
Собственные ЭДС контуров:
Тогда система контурных уравнений примет вид
Контурные токи через определители равны:
Определители:
Контурные токи:
Токи в ветвях:
Проверим правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей.
Мощность источников ЭДС, отдаваемая в электрическую цепь:
Мощность, потребляемая нагрузкой:
Мощности и практически совпадают, значит, токи в ветвях рассчитаны правильно.
Дополнительные задачи:
- Задача №13 с решением
- Задача №14 с решением
- Задача №15 с решением
Метод наложения
Метод наложения позволяет определять токи в ветвях электрической цепи непосредственно по закону Ома без составления и решения системы уравнений. Метод основан на принципе наложения (или суперпозиции), который утверждает, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.
Таким образом, по методу наложения вначале находят частичные токи в ветвях электрической цепи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю (т. е. заменив их короткозамкнутой перемычкой) и оставляя в схеме только сопротивления и внутренние сопротивления источников ЭДС, а затем находят токи в ве1вях как алгебраические суммы частичных токов.
Задача №16 с решением
Определись токи в ветвях электрической цепи (рис. 38, а) методом наложения, если
Решение: 1. Приняв получим схему, приведенную на рис. 38, б. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС :
В ветви с резистором токи и направлены встречно и , поэтому
В ветви с резистором ток
В ветви с резистором ток
Дополнительные задачи:
- Задача №17 с решением
- Задача №18 с решением
- Задача №19 с решением
Метод узловых потенциалов
Расчёт электрических цепей методом узловых потенциалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по 1-му закону Кирхгофа. Из этих уравнений вначале определяют потенциалы (напряжения) в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а затем токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.
Таким образом, при расчёте электрических цепей методом узловых потенциалов целесообразно придерживаться следующего порядка:
- Принять потенциал одного из узлов равным нулю. т. е. заземлить один из узлов, а остальные узлы пронумеровать. Произвольно выбрать направления токов в ветвях.
- Используя 1-й закон Кирхгофа, составить систему уравнений для не-заземлённых узлов.
- Вычислить узловые токи в пронумерованных узлах алгебраически, суммируя токи источников, подсоединённых к этим узлам.
- Определить собственные и взаимные проводимости узлов. Причём взаимные проводимости в данном методе всегда отрицательные.
- Подставить полученные в пп. 3 и 4 узловые токи и проводимости в систему уравнений узловых потенциалов (напряжений) и решить её относительно узловых потенциалов.
- Найти токи в ветвях по закону Ома.
Задача №20 с решением
Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 49), если
Решение: Пусть потенциал узла 3 равен нулю. Тогда система узловых уравнений для определения потенциалов узлов имеет вид
Собственные и взаимные проводимости узлов 1 и 2:
Узловые токи:
Тогда система узловых уравнений в числах имеет вид:
В результате решения этой системы потенциалы узлов 1 и 2 равны
По закону Ома определяем токи в ветвях:
Примечание. Знак «-» у токов и означает, что истинные направления этих токов в схеме противоположны произвольно выбранным.
Дополнительные задачи:
- Задача №21 с решением
- Задача №22 с решением
- Задача №23 с решением
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора применяется, как правило, для расчета тока в одной из ветвей электрической цепи. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения, которая утверждает, что ток в любой ветви аб (рис. 53) линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения (рис. 54), ЭДС которого равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви а и б, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению между точками а и б при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями.
При расчёте электрических цепей методом эквивалентного генератора целесообразно придерживаться следующего алгоритма:
- Произвести разрыв ветви, ток в которой требуется определить.
- Определить сопротивление между точками разрыва, заменив источники электрической энергии короткозамкнутой перемычкой (для источника ЭДС) и разрывом (для источника тока).
- Определить напряжение между точками разрыва ветви.
- Определить ток в ветви по формулам в соответствии с точками разрыва (рис. 55):
1) разрыв в точках а и б:
2) разрыв в точках а и в:
3) разрыв в точках а и г:
4) разрыв в точках в и г:
Задача №24 с решением
В схеме электрической цепи, приведенной на рис. 56, найти ток методом эквивалентного генератора, если
Решение: Разорвём ветвь схемы электрической цепи в точках а и б. Ток
Сопротивление между точками разрыва
Напряжение между точками разрыва
но
тогда
Таким образом, ток
Дополнительные задачи:
- Задача №25 с решением
- Задача №26 с решением
- Задача №27 с решением
- Задача №28 с решением
Электрические цени синусоидальною тока. Представление синусоидальною тока с помощью комплексных чисел
Синусоидальный ток может быть представлен либо как проекции вращающегося против часовой стрелки вектора (рис. 148) на вертикальную и горизонтальную оси, причем проекция вектора тока на вертикальную ось в любой момент времени равна мгновенному значению тока , изменяющегося по синусоидальному закону, а проекция вектора тока на горизонтальную ось — по косинусоидальному, либо как комплексное число на комплексной плоскости (рис. 149) точкой с радиусом-вектором в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической:
где — модуль комплексного числа; — вещественная часть комплексного числа; — мнимая часть комплексного числа; — аргумент комплексного числа.
Если , т. е. если аргумент комплексного числа является линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде
где аналогично представлению синусоидальною тока вращающимися векторами мнимая часть представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная по закону косинуса, т. е.
Таким образом, комплексный мгновенный синусоидальный ток
В последнем выражении — есть комплексная амплитуда, а функция — оператор вращения, значения которого приведены в табл. 1
Если обе части уравнения разделить на , то получим
или
где — комплексный действующий синусоидальный ток, или комплексный ток.
Задача №29 с решением
По известному комплексному току записать выражение для его мгновенного значения. Решение:
Находим
Таким образом
Задача №30 с решением
Найти комплексную амплитуду и комплексный ток, если его мгновенное значение равно
Решение:
Задача №31 с решением
Преобразовать комплексные числа из алгебраической формы в показательную:
Задача №32 с решением
Преобразовать комплексные числа из показательной формы в алгебраическую:
Решение:
Последовательное соединение комплексных сопротивлений
В цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлений (рис. 150) на основании второго закона Кирхгофа:
где
Причем равно арифметической сумме активных сопротивлений цепи, a — алгебраической, т. к. реактивное сопротивление емкости отрицательно.
Задача №33 с решением
В электрической цепи (рис. 151) с последовательным соединением элементов определить ток , напряжение на элементах и мощность, если
Решение: Полное комплексное сопротивление цепи:
Комплекс действующего тока:
Напряжения на элементах цепи:
Мощность:
Таким образом, полная мощность активная реактивная
Параллельное соединение комплексных сопротивлений
В цепи с параллельным соединением комплексных сопротивлений (рис. 152) на основании первого закона Кирхгофа
где
Причем активная проводимость равна арифметической сумме активных проводимостей цепи, а реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных приводимостей.
Задача №34 с решением
В электрической цепи (рис. 153) определить токи и полную мощность, потребляемую схемой, если
Решение: Определим комплексные сопротивления ветвей
Рассчитаем токи ветвей:
Полная мощность:
где активная мощность реактивная
Смешанное соединение комплексных сопротивлении
Порядок расчета целей синусоидального тока со смешанным соединением комплексных сопротивлений (рис. 154) следующий.
Комплексное эквивалентное сопротивление всей цепи
где
Комплексный ток в неразветвленной части цепи
Комплексное напряжение на параллельном участке цепи
Комплексные токи в параллельных ветвях
Задача №35 с решением
Методом преобразования найти мгновенные значения токов в ветвях схемы (рис. 155), если
Решение: Ответ будем искать в виде где
Определим комплексное входное сопротивление цепи
Тогда входной ток будет
а токи ветвей соответственно
Мгновенные значения токов ветвей примут вид
Дополнительные задачи:
- Задача №36 с решением
- Задача №37 с решением
- Задача №38 с решением
- Задача №39 с решением
- Задача №40 с решением
- Задача №41 с решением
- Задача №42 с решением
Цепи с индуктивной связью
У двух индуктивно связанных катушек (рис. 163) в первой катушке наводится ЭДС самоиндукции , а во второй — ЭДС взаимной индукции где — взаимная индуктивность, измеряемая в генри.
Взаимная индуктивность равна отношению потокосцеплсния к току: где — потокосцепление первой катушки индуктивности, обусловленное током во второй катушке; — потокосцепление второй катушки, обусловленное током в первой катушке.
Если соединить между собой зажимы второй катушки, то в ней будет наводиться ЭДС самоиндукции а в первой катушке — ЭДС взаимной индукции .
Степень связи второй катушки с первой:
а степень связи первой катушки со второй:
Среднее геометрическое степеней связи есть коэффициент связи:
При согласном включении катушек результирующая ЭДС, наводимая в катушках, равна сумме их ЭДС самоиндукции и взаимной индукции:
При встречном включении
При последовательном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 164) на основании второго закона Кирхгофа или в комплексной форме
где
т. е. при согласном включении катушек их эквивалентная индуктивность при встречном —
При параллельном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 165) на основании второго закона Кирхгофа для каждой из параллельных ветвей система уравнений имеет вид
Задача №43 с решением
Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 166). Определить токи в этой цепи при согласном и встречном включении катушек, если
Решение: Эквивалентное сопротивление катушек при согласном включении:
Ток в цепи при согласном включении катушек:
Эквивалентное сопротивление катушек при встречном включении:
Ток в цепи при встречном включении катушек:
Вывод: ток при встречном включении катуигек больше, чем при согласном.
Задача №44 с решением
Две индуктивно связанные катушки (рис. 167) включены параллельно.
При согласном включении катушек определить токи если
Решение: Система уравнении
Из системы токи и :
Ток в неразветвленной части цепи:
Колебательные контуры. Расчет параметров и частотных характеристик последовательною контура
Частотные свойства контура (рис. 168) характеризуют:
1) комплексное входное сопротивление
2) комплексная входная проводимость
3) комплексный коэффициент передачи по напряжению на активном сопротивлении
4) комплексный коэффициент передачи по напряжению на емкости
5) комплексный коэффициент передачи по напряжению на индуктивности
Комплексная входная проходимость
где — есть фактор расстройки; — добротность контура, тогда откуда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фазовая характеристика (ФЧХ) нормированная АЧХ
Полоса пропускания контура диапазон частот, в пределах которого нормированная АЧХ (или резонансная кривая) превышает уровень максимальною значения.
Граничные значения и фактора расстройки можно получить из выражения: откуда или тогда где а полоса контура , резонансная частота и относительная полоса пропускания контура есть отношение или .
Вторичные параметры контура: резонансная частота или волновое (характеристическое) сопротивление контура добротность контура где — внутреннее сопротивление контура; — затухание контура.
Задача №45 с решением
Для последовательного колебательного контура (рис. 169) определить вторичные параметры, если Построить АЧХ и ФЧХ контура по напряжению на активном сопротивлении.
Решение: Резонансная частота контура
Волновое сопротивление контура
Добротность и затухание контура
Полоса пропускания контура
Комплексная передаточная функция по напряжению на активном сопротивлении
Откуда аналитическое выражение для АЧХ
Нормированное АЧХ
ФЧХ
В табл. 2 приведены рассчитанные значения для и
Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 170.
Расчет параметров и частотных характеристик параллельного колебательного контура
Вторичные параметры простого параллельного колебательного контура (рис. 171):
1) резервная частота высокодобротного контура
2) характеристическое сопротивление
3) входная проводимость контура
при
4) активная проводимость контура на резонансной частоте
где
5) резонансное сопротивление контура
6) добротность контура
7) затухание
внутреннее сопротивление подключенного к контуру (рис. 172) источника (сопротивление шунта) ухудшает добротность контура, т. к. ухудшенная добротность
Частотные характеристики простого параллельного колебательного контура:
1) входное сопротивление
или
2) амплитудно-частотная характеристика
3) нормированная АЧХ
4) фазочастотная характеристика
5) комплексная передаточная функция по току в индуктивной ветви
АЧХ;
6) комплексная передаточная функция по току в емкостной ветви
АЧХ:
Задача №47 с решением
У параллельного колебательного контура (рис. 173)
Определить добротность, полосу пропускания изобразить качественно резонансные кривые для двух случаев: без учёта шунтирующею действия источника энергии; с учётом шунтирующего действия источника энергии; определить мощность контура при резонансе.
Решение: I. Без учёта шунтирующего действия источника энергии добротность
тогда
Полоса пропускания контура
С учетом шунтирующего действия источника энергии
полоса пропускания
Мощность контура при резонансе
Резонансные кривые приведены на рис. 174.
Вывод: шунтирование источником энергии контура увеличивает полосу его пропускания, а значит, ухудшает качество контура.
Классический (временной) метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в цепях первого порядка с источником постоянного напряжения. Свободные токи и напряжения в цепях первого порядка
Определение начальных условий
Задача №48 с решением
В схеме на рис. 1 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Необходимо определить напряжение , возникающее на сопротивлении в момент размыкания ключа.
Решение: В задаче необходимо определить зависимые начальные условия . Для решения задачи сначала определим независимые начальные условия, к которым в задаче относится ток в индуктивности. До коммутации ток в индуктивности
В соответствии с законом коммутации ток в индуктивности не может изменяться мгновенно:
В результате коммутации образовалась одноконтурная цепь, состоящая из индуктивности и сопротивлений и . Ток во всех элементах цепи равен
Следовательно, искомое напряжение
Численный результат решения задачи показывает важность изучения процессов в электрических цепях в переходных режимах. Представим, что вместо сопротивления в рассматриваемой цепи включён вольтметр с высоким входным сопротивлением. В момент размыкания ключа на зажимах вольтметра возникает большое напряжение, которое может привести к аварийной ситуации, если не принять мер по защите оборудования.
Задача №49 с решением
На рис. 2 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:
Составить эквивалентную схему замещения цепи для момента времени для расчёта зависимых начальных условий.
Решение: Рассчитаем цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий:
Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации равна
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в цепи до коммутации равна
По найденным комплексным амплитудам тока в индуктивности и напряжения на ёмкости запишем соответствующие мгновенные значения:
Полагая в последних выражениях определим независимые начальные условия:
С учетом законов коммутации:
Напряжение источника ЭДС в момент коммутации было равным 0:
Следовательно, источник ЭДС на эквивалентной схеме заменим его внутренним сопротивлением, которое равно 0, т. е. перемычкой. Для эквивалентной замены реактивных элементов в момент воспользуемся табл. 1, следующей из законов коммутации. Из таблицы следует, что в момент при нулевых начальных условиях индуктивность может быть заменена источником тока , а ёмкость — источником ЭДС с напряжением .
Так как и при расчёте получились отрицательными, на
эквивалентной схеме полярность на включении можно заменить на противоположную, заменив минус в числителях на плюс.
С умётом изложенного эквивалентная схема рассматриваемой цепи, справедливая для момента времени , будет иметь вид (рис. 3).
По полученной схсмс можно рассчитать требуемые зависимые начальные условия, используя любые методы расчёта электрических цепей.
Переходный процесс в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) первого порядка с сосредоточенными параметрами (рис. 4) описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:
Решение этого уравнения записывается в виде
Здесь — свободная составляющая, в которой — постоянная интегрирования, определяемая законами коммутации и начальными условиями в цепи, — корень характеристического уравнения — принужденная составляющая, т. е. ток или напряжение установившегося после окончания переходного процесса режима при :
Свободные процессы в rC-цепи
Задача №50 с решением
В схеме на рис. 5 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти и построить зависимости и .
Решение: До коммутации (рис. 5) ёмкость заряжена до напряжения . После замыкания ключа ёмкость начинает разряжаться через сопротивление и в цепи возникает переходный процесс. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для цепи после коммутации можно записать Так как то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение
общее решение которого ищем в виде
Для нахождения корня составим характеристическое уравнение: откуда , где постоянная времени цепи после коммутации .
Постоянная интегрирования определяется из начальных условий и закона коммутации:
Так как а то откуда . Тогда
При
График приведен на рис. 6.
Ток
При
График приведен на рис. 7.
Задача №51 с решением
На рис. 8 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:
Найти и классическим методом и построить графики.
Решение: После коммутации Так как и то Решение этого уравнения:
Из характеристического уравнение следует
где
Постоянную интегрирования найдём из начальных условий и закона коммутации:
Так как то
Тогда а
При График приведен на рис. 9.
При
График приведен на рис. 10.
Переходные процессы в цепях первого порядка
Задача №52 с решением
На рис. 11 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти и временным методом и построить графики.
Решение: Согласно второму закону Кирхгофа в цепи после коммутации
Решение будем искать в виде
Принуждённая составляющая в цепи после коммутации в установившемся режиме Свободная составляющая
Их характеристического уравнения найдем
где
Постоянную интегрирования найдем из начальных условий и закона коммутации:
откуда
Окончательно
На графике (рис. 12.)
На графике (рис. 13)
Задача №53 с решением
На рис. 14 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: . Найти временным методом и построить графики.
Решение: В цепи после коммутации по второму закону Кирхгофа
или
Решение последнего уравнения ищем в виде
Из схемы (см. рис. 14) следует, что принужденная составляющая Свободная составляющая имеет вид
Корень характеристического уровня равен а
Постоянную интегрирования найдём исходя из начальных условий и закона коммутации
Если
получаем
Тогда
откуда
Окончательно
На графике (рис. 15)
Ток
На графике (рис. 16)
Задача №54 с решением
На рис. 17 определить напряжение на конденсаторе если
Решение: Определим независимое начальное условие — напряжение на конденсаторе до коммутации. Ключ разомкнут и конденсатор разряжен, поэтому
ля составления характеристического уравнения запишем систему интегродифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Направления обхода контуров указаны на схеме рис. 17.
где
Решив систему уравнений относительно одной переменной, например , получим
Тогда характеристическое уравнение
имеет один корень поэтому свободная составляющая будет
Искомое напряжение запишется в виде двух составляющих
В установившемся режиме
Искомая величина
При
По закону коммутации независимое начальное условие — напряжение на емкости
Следовательно, постоянная интегрирования Записываем искомую величину:
Построим ее график (рис. 18).
Переходные процессы в цепях первого порядка без составления дифференциального уравнения
Задача №55 с решением
На рис. 19 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Необходимо определить переходный процесс по напряжению на участке цепи.
Решение: Рассчитаем переходный процесс как сумму принуждённой и свободной составляющих:
К независимым начальным условиям относится напряжение на ёмкости в момент коммутации. Если не оговорено значение , то примем его равным 0: . Но истечении достаточно большого времени после замыкания ключа ёмкость зарядится до напряжения источника ЭДС и зарядный ток станет равным 0. Следовательно, напряжение на сопротивлении будет равным 0 и принуждённое напряжение на зажимах
Так как цепь содержит только один реактивный элемент цепи, то характеристическое уравнение цепи будет иметь один корень и свободная составляющая искомых переходных процессов будет иметь вид
Из характеристического уравнения цепи находим значение корня:
Тогда Подставим найденные принужденную и свободную составляющие в искомое решение:
Для нахождения постоянной интегрирования рассмотрим решение при Для вычисления необходимо знать , т. е. зависимые начальные условия, которые легко определить по эквивалент ной схеме цени, изображённой на рис. 20 для момента (см. пример 2).
Подставив найденное значение определим постоянную интегрирования: тогда
С учетом найденного значения закон изменения напряжения на замах после коммутации запишем в виде
График приведен на рис. 21.
Длительность переходного процесса:
Задача №56 с решением
Па рис. 22 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти без составления дифференциального уравнения.
Решение: После коммутации напряжение на емкости в установившемся режиме
- Свободную составляющую найдем, используя закон коммутации и начальные условия:
а
откуда
Тогда
где
График приведен на рис. 23.
Переходные процессы при скачкообразном изменении схемы цепи
Задача №57 с решением
На рис. 24 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: . Найти ток классическим методом и построить график.
Решение: После коммутации ток в цепи будет проходить через коротко-замкнутую перемычку минуя сопротивление . По второму закину Кирхгофа в цепи, изменившейся скачком, можем записать
или
Решение данного уравнения ищем в виде
где
Из закона коммутации или откуда тогда
График тока приведен на рис. 25.
Дополнительные задачи:
- Задача №58 с решением
- Задача №59 с решением
- Задача №60 с решением
- Задача №61 с решением
- Задача №62 с решением
Переходные процессы в цепях первою порядка с источником синусоидального напряжения
Задача №63 с решением
На рис. 35 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти классическим методом.
Решение: Напряжение на емкости будем искать в виде
Принужденную составляющую находим из уравнения
где
Тогда
а свободная составляющая имеет вид
где
Постоянную интегрирования находим из начального условия и закона коммутации: или откуда . Окончательно
Дополнительные задачи:
- Задача №64 с решением
- Задача №65 с решением
Переходные процессы в цепях второго порядка с источником постоянною напряжения
При подключении -цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 41) дифференциальное уравнение переходного процесса следующее:
где
Решение этого уравнения ищем в виде
Так как при и то Для определения постоянных интегрирования при берем производную от выражения Из системы уравнений
найдем
Корни характеристического уравнения
Тогда окончательно
Переходный процесс зависит от вида корней и харакгеристического уравнения. Возможны три случая.
В первом случае корни вещественные, отрицательные и разные и при переходный процесс носит апериодический характер. Во втором случае при корни вещественные, отрицательные и равные и переходный процесс — критический апериодический. В третьем случае при корни комплексно-сопряжённые и характер переходного процесса в схеме после коммутации будет затухающим колебательным:
где
Задача №66 с решением
На рис. 42 происходит отключение источника. Параметры схемы: Найти классическим методом
Решение: Согласно второму закону Кирхгофа после коммутации в цени происходит только свободный процесс , а дифференциальное уравнение
решение которого будем искать в виде
Так как
и
Тогда напряжение
где
Задача №67 с решением
На рис. 43 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Найти классическим методом выражение для и .
Решение: Вычисляем и :
Так как меньше более чем на один порядок, то можно принять тогда
Максимальное значение наступает при
тогда
Переходные процессы в цепях второго порядка с источником синусоидального напряжения
При подключении к цепи второго порядка (рис. 44) источника синусоидального напряжения дифференциальное уравнение переходного режима будет следующим:
Принужденную составляющую ищем в виде
где
Свободную составляющую ищем в виде
При
где
График в этом случае является изохронизмом (рис. 45).
Если то в цепи возникают биения (рис. 46).
Задача №68 с решением
В цепи рис. 47 происходит замыкание ключа. Параметры схемы
Найти временным методом.
Решение: Решение ищем в виде Принужденное напряжение
Тогда
а
Из закона коммутации свободное напряжение на конденсаторе равно
Окончательно имеем
Временные характеристики электрических цепей. Переходная и импульсная характеристики
Если на входе линейной электрической цепи (рис. 48) при нулевых начальных условиях — единичная функция воздействия то выходная величина — переходная характеристика, т. е. .
Физический смысл .
- Если на входе цепи напряжение и на выходе также измеряется напряжение , то переходная характеристика — это коэффициент передачи цепи по напряжению , если же на выходе цепи измеряется ток , то в этом случае переходная характеристика есть проводимость
- Если же на входе цепи ток и на выходе также измеряется ток , то переходная характеристика — это коэффициент передачи цепи по току если же па выходе измеряется напряжение то в этом случае переходная характеристика есть сопротивление
- Если же на входе цепи (рис. 49) дельта-функция, т. е. , то на выходе импульсная характеристика: .
Так как -функция является первой производной от единичной функции, то между и существует следующая связь:
При нулевых начальных условиях
Для схемы рис. 50
Тогда переходные характеристики соответственно по напряжению на ёмкости, на сопротивлении и но току в цени:
а импульсные характеристики равны:
Задача №69 с решением
На рис. 51
Найти и по выходному напряжению цепи временным методом.
Решение: При подаче на вход цепи единичной функции включения выходное напряжение где
Принужденная составляющая
Постоянная интегрирования
т.к.
то
Тогда
а
Импульсная характеристика
Графики и представлены соответственно на рис. 52 и 53.
Задача №70 с решением
На рис. 54 На вход цепи действует единичная функция включения . Найти и временным методом
Решение: Значение переходной характеристики в момент подключения
т.к. поэтому
Так как то
Переходная характеристика
Импульсная характеристика
Графики и приведены на рис. 55 и 56 соответственно.
Интеграл Дюамеля
При определении реакции цепи на воздейсчвие произвольной формы используется принцип наложения: входное произвольное воздействие цепи представляют в виде суммы типовых воздействий (в частности, в виде единичных функций включения или дельта-функций), затем определяют отклик цепи на типовое воздействие и далее, суммируя отклики на типовые воздействия, получают отклик цепи на входное воздействие.
Например, отклик цепи па ступенчатое воздействие записывается в виде
Перейдя от суммы к интегралу, получим первую форму интеграла наложения или интеграла Дюамеля:
Все шесть форм интеграла Дюамеля приведены в прил. 1.
Если входное произвольное воздействие цепи представить в виде суммы такого типового воздействия, как дельта-функция или суммы коротких импульсов, то отклик будет равен интегралу от свертки входного сигнала и импульсной характеристики цепи:
Задача №71 с решением
На рис. 57 входное воздействие имеет вил, как показано на рис. 58, где Найти методом интегралов наложения и построить график.
Решение: Аналитическая запись входного воздействия
Переходная характеристика по выходному напряжению
где
откуда
В результате
Импульсная характеристика по выходному напряжению
Определим выходное напряжение , используя пятую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1): Реакция цепи (т. е. выходное напряжение) на интервале
Реакция цепи на интервале
Проверка решения. В точке на графике при и
Числовые значения и :
График зависимости приведен на рис. 59.
Задача №72 с решением
На вход цепи (рис. 60) с параметрами и подаётся линейно нарастающее напряжение (рис. 61) с углом .
Найти выходное напряжение с помощью интегралов Дюамеля и построить график.
Решение: Переходная характеристика -цепи имеет вид
Входное напряжение
где
Найдем напряжение , используя первую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1):
Поскольку
то
График напряжений приведен на рис. 62.
Дополнительные задачи:
- Задача №73 с решением
- Задача №74 с решением
Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Основные свойства и теоремы преобразований Лапласа
Суть операторного метода, основанного на преобразованиях Лапласа, заключается в том, что функции действительной переменной (т. е. временные) преобразуют в функции комплексной переменной (т. е. переносят на комплексную плоскость). При этом снижается на единицу степень дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи, что упрощает решение задачи.
Облегчает решение задачи и обратный переход от переменной к с помощью таблиц преобразовании, которые созданы Лапласом для большого числа функций.
Переход от временной функции , которую называют оригиналом, к функции на комплексной плоскости , которую называют изображением , осуществляют с помощью прямою преобразования Лапласа:
Переход от функции комплексной переменной к функции действительной переменной осуществляют с помощью обратного преобразования Лапласа:
Свойства преобразований Лапласа приведены в прил. 2. Теоремы преобразований Лапласа приведены в прил. 3. Таблица преобразований Лапласа для некоторых функций приведена в прил. 4.
Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
Для схемы на рис. 113 и ее эквивалентной операторной схемы (или схемы замещения) на рис. 114 можно записать соответственно ннтегродифференциальное уравнение:
и на основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования (см. прил. 2 и 3) операторное уравнение для изображений:
откуда закон Ома в операторной форме имеет вид , где — операторное сопротивление — приведенная операторная ЭДС.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме
Второй закон Кирхгофа в операторной форме
где
или
здесь
Задача №75 с решением
В схеме на рис. 115 . Найти ток операторным методом и построить график.
Решение: Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 116.
Ток в индуктивности по закону Ома в операторной форме
Оригинал тока по таблице изображений Лапласа (см. прил. 4)
где
Ток в индуктивности до коммутации
Тогда
График тока приведен на рис. 117.
Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.
Дополнительные задачи:
- Задача №76 с решением
- Задача №77 с решением
- Задача №78 с решением
- Задача №79 с решением
- Задача №80 с решением
- Задача №81 с решением
- Задача №82 с решением
Связь операторных передаточных функций цепи с временными характеристиками
Для четырехполюсника рассматривают операторную передаточную функцию по напряжению , по току , операторное передаточное сопротивление и операторную передаточную проводимость . Для двухполюсника это операторное входное сопротивление и проводимость . При замене у комплексной передаточной функции переменной оператором получают операторную передаточную функцию:
Связь между операторной передаточной функцией и временными характеристиками и следует из уравнения (рис. 134.)
Так как изображение единичной функции включения (рис. 135), то для переходной характеристики . Если изображение дельта—функции (рис. 136), то импульсная характеристика имеет изображение , т.е. .
Задача №83 с решением
На рис. 137 . Найти операторную передаточную функцию по напряжению и временные характеристики и . Построить графики и .
Решение: Операторная передаточная функция по напряжению
где
Импульсная характеристика
Из преобразований Лапласа (см. прил. 4) следует, что
Переходная характеристика
Используя прил. 4, получим
Графики и представлены на рис. 138.
Теоретические основы электротехники с примерами решения задач и заданий
Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.
Основные явления электромагнитного поля
- Основные явления электромагнитного поля, применяемые в теории электрических цепей
- Проводники, диэлектрики и полупроводники
- Электрические токи проводимости, переноса и смещения
- Электродвижущая сила (ЭДС)
Основные понятия и законы магнитного поля
- Магнитная индукция и напряженность магнитного поля
- Понятие магнитного потока
- Закон полного тока
Явление электромагнитной индукции
- Закон электромагнитной индукции
- Электродвижущая сила самоиндукции и коэффициент самоиндукции
- Электродвижущая сила взаимной индукции. Взаимная индуктивность контуров. Принцип электромагнитной инерции.
- Энергия магнитного поля катушки индуктивности, плотность энергии магнитного поля
Основные понятия и законы теории электрических цепей
- Электрическая цепь и ее основные элементы
- Пассивные идеальные элементы. Идеальный резистор. Идеальная катушка индуктивности. Идеальный конденсатор.
Задачи с решением
Задача №2.1.
Определить внешнюю индуктивность провода длиной (рисунок 2.3), при условии, что а среда — воздух. Магнитное потокосцепление, созданное током провода, учитывать через площадку с размером . Вычислить внешнюю индуктивность единицы длины провода.
Решение:
Магнитное поле провода длиной обладает осевой симметрией, т.е. все точки цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью провода, равноудалены от источника поля и величина вектора напряженности магнитного поля одинакова, а направление вектора напряженности магнитного поля определим разбив весь провод на симметричные пары элементов и с током провода . Определяем приращение индукции магнитного поля от элементов и по закону Био — Савара — Лапласа (1.28):
Так как выбираем равным , а катет общий, то учитывая, что отрезок перпендикулярен проводу с током , , т.е. и величина .
Направления векторов и находим по правилу раскрытия векторного произведения. Т.е. направления векторов и совпадают. Аналогичные направления будут от приращения всех пар с током . Поскольку вектора и направлены перпендикулярно к плоскости, в которой лежит треугольник , то вектор магнитной индукции и вектор напряженности от всего провода будут всегда перпендикулярны к радиусу окружности с центром в точке 0. в соответствии с законом полного тока (1.25)
учитывая, что для всех точек окружности и ,
Рассчитаем магнитное потокосцепление провода. Введем ось переменной с началом в центре провода (рисунок 2.5).
На рисунке 2.5 представлен разрез провода и вектор индукции магнитного поля . Магнитное потокосцепление провода вычислим через площадку (рисунок 2.3), учитывая симметричный характер магнитного поля.
Вектор магнитной индукции для всех точек площадки (рисунок 2.3):
Внешняя индуктивность провода :
Индуктивность единицы длины провода :
Задача №2.2.
Рассчитать внешнюю индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии с током , если (рисунок 2.6).
Решение:
В этом случае воспользуемся принципом наложения для линейных сред и рассчитаем магнитное поле линии как результат векторного суммирования магнитных полей, созданных каждым проводом в отдельности. Тогда в некоторой точке на оси индукция результирующего магнитного поля :
Здесь — индукция магнитного поля, созданного первым током , а , -индукция магнитного поля, созданного током второго провода. Величины
Направления векторов и совпадают, что позволяет перейти к алгебраическому суммированию векторов:
Рассчитаем поток вектора магнитной индукции через площадь прямоугольника (рисунок 2.6):
Индуктивность единицы длины линии :
Если , то . Т.е. индуктивность двухпроводной линии будет в два раза больше, чем одного провода. При уменьшении величины внешняя индуктивность двухпроводной линии уменьшается до нуля.
Задача №2.3.
Задана двухпроводная воздушная линия постоянного тока , в магнитном поле которой расположена катушка индуктивности (рисунок 2.7 а) прямоугольной формы со сторонами и и числом витков . Считая длину
линии намного больше расстояния между проводами, рассчитать коэффициент взаимной индукции между линией и катушкой, если катушка расположена в параллельной плоскости проводов на расстоянии .
Решение:
Воспользуемся принципом наложения для расчета магнитного потока, созданного двухпроводной линией и сцепленного с одним витком катушки.
Для расчета магнитного потокосцепления, созданного первым проводом с одним витком катушки, воспользуемся сечением на рисунке 2.7 6 и результатом расчета вектора магнитной напряженности одного провода с током (пример 2.1):
где — площадь одного витка катушки; — ток первого провода; — расстояние от оси первого провода до произвольной точки на поверхности витка (изменяется от до ); — угол между вектором и единичным вектором .
В процессе интегрирования угол изменяется от 90° в точке до величины в точке .
На рисунке 2.7 6 из точки восстановлена ось , совпадающая по направлению с шириной рамки . Вектора напряженности магнитного поля и индукции магнитного поля построены по направлению, совпадающему с направлением касательной к окружности (силовой линии) в точках поверхности витка.
Учитывая осевую симметрию поля (во всех точках площадки величина индукции одинакова), перейдем к одной переменной интегрирования так как , получим:
Расчет магнитного потокосцепления выполняем аналогично по рисунку 2.8. На рисунке 2.8. построены вектора магнитной индукции , напряженности магнитного поля , от второго проводника с учетом обратного направления тока (к нам):
где — площадь одного витка катушки; — ток второго провода; — расстояние от оси второго провода до произвольной точки на поверхности витка (изменяется от до ); — угол между вектором и единичным вектором .
С учетом осевой симметрии поля , перейдем к одной переменной интернирования так как , получим:
Магнитное потокосцепление всех витков :
Коэффициент магнитной индукции определяем из соотношения:
Полученная формула универсальна. Для любого нового расположения катушки при соблюдении параллельности сторон катушки результат вычисления в общем виде аналогичен.
Для данного примера:
Задача №2.4.
Рассчитать энергию, запасенную в магнитном поле катушки с кольцевым сердечником, предполагая это поле равномерным (рисунок 2.9), и коэффициент самоиндукции . Все величины заданы на рисунке в общем виде, как и .
Решение:
Воспользуемся формулой (1.42) для расчета энергии магнитного поля:
В соответствии с законом полного тока:
Учитывая равномерность поля в катушке:
что позволяет рассчитать напряженность магнитного поля:
Следовательно:
где
Индуктивность катушки можно определить для внешнего магнитного поля, воспользовавшись общим определением:
Подставив в последнюю формулу выражение , получим:
Задача №2.5.
Рассчитать индуктивность одножильного кабеля (рисунок 2.13) полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. Магнитным потоком в обратном проводе пренебречь ввиду малой толщины этого провода. Геометрические размеры и величину магнитной проницаемости материалов считать заданными в общем виде, где: — длина кабеля; — радиус жилы; — внутренний радиус оболочки.
Решение:
Расчет магнитного поля для заданного примера выполняем с учетом осевой симметрии поля по диапазонам значения (см. пример 2.1).
При значениях выбираем силовую магнитную линию. Так как все точки этой окружности равноудалены от источника поля, величина напряженности магнитного поля постоянна и в соответствии с законом полного тока:
где — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется ; — площадь круга с радиусом .
Эта формула верна при постоянном токе . Рассчитаем магнитное потокосцепление внутри внутреннего провода (жилы) через площадку , где — длина кабеля. Магнитное потокосцепление через заштрихованную площадку :
а через всю площадь :
Магнитное поле обратного провода не учитывается в соответствии с законом полного тока.
Расчет магнитного потокосцепления в слое изоляции , т.е. через площадку (рисунок 2.11).
Напряженность магнитного поля в слое изоляции в соответствии с законом полного тока определяется как в примере 2.1:
Магнитное потокосцепление в слое изоляции:
Индуктивность кабеля:
Задача №2.6.
Рассчитать емкость плоского конденсатора в общем виде (рисунок 2.12), пренебрегая искажением поля у краев пластин и считая поле между пластинами однородным.
Решение:
Для случая можно считать при параллельном расположении пластин и идеальном диэлектрике, что в любой плоскости между пластинами и параллельной пластинам все точки одинаково расположены по отношению к заряженным пластинам и, следовательно, имеют равные потенциалы и характеристики и . Если воспользоваться теоремой Гаусса для параллелепипеда , учитывая, что поток вектора через грань равен нулю, из-за отсутствия поля вне объема конденсатора, поток вектора электрической индукции будет равен:
где — поверхностная плотность электрических зарядов пластины; — площадь поверхности электрода.
Так как величина заряда пластины не зависит от размера , следовательно, учитывая , приходим к выводу о равномерности поля для всех точек внутри конденсатора. Уменьшая размеры параллелепипеда до элементарного объема, можно получить равенство , или для любой точки на поверхности пластины.
По определению:
где — напряженность электрического поля, равная
Задача №2.7.
Получить формулу для емкости одножильного кабеля (рисунок 2.13) в общем виде. Размеры указаны на чертеже. — радиус внутреннего электрода (жилы), a — внутренний радиус второго электрода (оболочки). Диэлектрическая проницаемость диэлектрика — — длина кабеля.
Решение:
Рассмотрим сечение кабеля на рисунке 2.14. Внутренняя жила кабеля 1 подключена к положительному зажиму источника питания, а оболочка 2 подключена к отрицательному зажиму источника питания. В результате происходит зарядка жилы зарядом + и оболочки зарядом — .
Рассмотрим характер электростатического поля, созданного электродами. Выбираем произвольную точку в диэлектрике и соединим центральную точку с точкой а отрезком . Так, как свободные электрические заряды жилы и оболочки противоположного знака, то под действием сил притяжения они перемещаются на поверхность. Так как система проводников носит коаксиальный характер (соосный), то заряды располагаются по поверхности проводников равномерно с плотностью и .
Выбираем на поверхности жилы на расстоянии две одинаковые площадки и , симметрично расположенные относительно точки к. центры этих площадок — точки и Заряды на площадках и соответственно и , одинаковы: . Прямоугольные треугольники и равны друг другу, так как , а сторона общая, следовательно, .
Напряженность электрического поля в точке а, созданная зарядами и :
где
так как
Следовательно, , а вектор имеет только радиальную составляющую, совпадающую по направлению с отрезком .
Если окружность с радиусом разбить на симметричные пары участков, то все пары внесут в вектора напряженности электрического поля в точке а только радиальные составляющие.
Все точки окружности с радиусом , как и все точки цилиндрической поверхности, имеют одинаковую напряженность электрического поля в связи с одинаковым расположением относительно заряженных поверхностей. Такое поле называют осесимметричным. Так как вектор электрической индукции , то воспользуемся теоремой Гаусса для определения вектора напряженности электрического поля по потоку вектора через цилиндрическую поверхность единицы длины кабеля:
где — площадь поверхности цилиндра с радиусом ; — площадь поверхности жилы; — заряд жилы на единицу длины, — поверхностная плотность заряда.
Следовательно, , .
Разность потенциалов между жилой и оболочкой (точки 1, 2 рисунок 2.14):
Следовательно:
Задача №2.8.
Получить выражение для емкости единицы длины двухпроводной линии передачи электрической энергии длиной с цилиндрическими проводами (рисунок 2.15) без учета влияния земли. При этом следует считать, что радиус провода поперечного сечения проводов значительно меньше расстояния между ними и .
Решение:
Для воздушных линий электропередачи обычно и заряды распределяются равномерно по длине каждого провода и влиянием конечного размера длины можно пренебречь.
Результирующее электрическое поле можно рассчитать по принципу наложения двух электрических полей проводов (жил) заряженных линейными плотностями равных зарядов + и — по величине и противоположных по знаку. Напряженность электрического поля, созданного первым проводом, можно определить по формуле для жилы предыдущего примера 2.7:
а напряженность электрического поля, созданного вторым проводом:
Характер электрического поля каждого из проводов носит осимметричный характер и имеет только радиальную составляющую.
Напряженность результирующего электрического поля:
так как оба вектора направлены одинаково, можно перейти к скалярному уравнению:
На основании формулы (1.6) рассмотрим разность электрических потенциалов между проводами 1 и 2 вдоль линейного отрезка:
Для второго интеграла перейдем к новой переменной интегрирования , следовательно, и разность потенциалов определяется выражением:
Следовательно, искомая емкость:
Схемы замещения реальных электротехнических устройств
- Схемы замещения реальных электротехнических устройств
- Линейные и нелинейные идеальные пассивные элементы и электрические цепи
- Электрические цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами
- Активные идеальные элементы
- Основные топологические понятия схемы электрической цепи
Основные задачи теории электрических цепей
Задачи теории электрических цепей делят на две группы. К первой группе относят задачи анализа. Целью задач анализа является расчет электрических процессов в заданных электрических цепях: при заданной конфигурации электрической цепи и заданными величинами всех элементов цепи необходимо рассчитать величины токов в ветвях и падений напряжений на элементах.
Вторая группа задач — задачи синтеза, когда необходимо отыскать конфигурацию электрической цепи и характеристики элементов, при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданному режиму, заданным величинам токов и напряжений, т.е. целью синтеза является обратная задача. В данном пособии решается первая группа задач.
При этом, линейные электрические цепи постоянного тока являются наиболее простыми для вывода основных методов расчета и доказательства теорем. При расчете линейных цепей синусоидального тока применимы в дальнейшем все методы расчета, формулы и теоремы, полученные для линейных цепей постоянного тока.
- Основные законы теории электрических цепей
Линейные электрические цепи постоянного тока с сосредоточенными параметрами. Основные положения и законы
- Определение линейных электрических цепей постоянного тока и законы Кирхгофа
- Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС
- Потенциальная диаграмма
- Баланс мощностей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Сущность и цель преобразований
Цель преобразования электрических цепей состоит в упрощении схем путем эквивалентных преобразований, приводящих к уменьшению числа ветвей и узлов. Эквивалентные преобразования входят во все методы расчета в качестве первого шага в последовательностях расчета. Под эквивалентными преобразованиями мы будем понимать преобразования одной части схемы, при которых в остальной части величины токов и напряжений остаются неизменными, как и сама схема.
- Метод эквивалентного преобразования электрических цепей. Расчет цепи при последовательном соединении элементов и закон Ома для ветви, содержащей ЭДС. Расчет цепи при параллельном соединении элементов. Расчет цепи при смешанном соединении элементов.
Задачи с решением
Задача №3.4.
Рассчитать напряжение (рисунок 3.17), если величины элементов имеют значения:
Решение:
Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. По первому закону Кирхгофа можно составить уравнение для расчета тока :
По второму закону Кирхгофа можно составить уравнение и рассчитать :
Следовательно:
Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»
- Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»
Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии
- Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
- Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (МНЗ)
- Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (МНЗ)
Примеры расчета по методу непосредственного применения законов Кирхгофа
Задача №3.7.
Рассчитать токи и методом непосредственного применения законов Кирхгофа, если:
Решение:
Первый этап. Выбираем направления токов в ветвях схемы и упрощаем электрическую цепь путем преобразования ветви с источником тока . Так как внутреннее сопротивление источника тока бесконечно,a конечное, последнее исчезает, а вместо одной ветви с источником тока можно зарисовать две ветви с источником тока (рисунок 3.42).
Применяем эквивалентное преобразование параллельных ветвей с источником тока, получаем упрощенную цепь (рисунок 3.43.), где .
В упрощенной схеме на две ветви и на два узла меньше, чем в предыдущей схеме. Число неизвестных токов три, а узлов — два.
Второй этап. По первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение для первого узла:
Третий этап. По второму закону Кирхгофа составляем два недостающих уравнения для независимых контуров I и II.
Подставляем значения величин в уравнения (3.28) и (3.29), получаем:
Четвертый этап. Решаем полученную систему с помощью определителей:
Ток в схеме, изображенной на рисунке 3.41, находим по первому закону Кирхгофа для узла 4:
Ток находим по уравнению для узла 3.
Пятый этап. Проверим достоверность полученных результатов по выполнению баланса мощностей для заданной электрической цепи (рисунок 3.41):
Напряжение на зажимах источника тока можно вычислить по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа для контура III (рисунок 3.41):
Следовательно:
Подставляем полученные значения в уравнение 3.31:
Расчет выполнен верно.
Недостаток метода непосредственного применения законов Кирхгофа связан с необходимостью составления и решения большого количества уравнений, если не производить упрощения электрических цепей.
Задача №3.8.
Рассмотрим пример решения задачи, где необходимо рассчитать параметры источника энергии. Рассчитать токи и напряжения на всех участках электрической цепи и значение напряжения источника ЭДС для схемы на рисунке 3.44, если
Направление токов указано на схеме (рисунок 3.44).
Решение:
Схема достаточно проста, поэтому по второму этапу составим уравнение по первому закону Кирхгофа для второго узла. А по третьему этапу составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров:
для узла 2
для первого контура
для второго контура
Общее число неизвестных величин токов и ЭДС — четыре, поэтому систему уравнений (3.33) — (3.35) дополняем четвертым уравнением по закону Ома:
По четвертому этапу решаем уравнение (3.35) относительно тока , подставляя параметры элементов откуда:
Из уравнения (3.33) находим:
Величину ЭДС вычисляем из уравнения (3.34):
Для линейных электрических цепей наиболее часто применяется метод контурных токов и метод узловых потенциалов, которые основаны на различных вариантах решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа.
Примеры расчёта методом контурных токов (MKT)
- Метод контурных токов (MKT)
Задача №3.10.
Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.49 выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов имеют следующие значения:
Решение:
На первом этапе упростим электрическую схему, заменив источник тока на источник ЭДС:
На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительными направлениями.
Так как независимых контуров три, схема будет содержать три неизвестных контурных тока .
На третьем этапе составляем стандартную систему из трёх уравнений:
Для данной схемы:
Решаем систему (3.65) с помощью определителей:
На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:
Ток , исходной схемы рисунка 3.49 вычисляем для узла :
На пятом этапе выполняем проверку расчётов по балансу мощности. Уравнение энергетического баланса для схемы рисунка 3.50 имеет вид:
Задача №3.11.
Для условия примера 3.9. выполнить расчет методом контурных токов,
не заменяя источники тока на источники ЭДС, то есть без первого этапа упрощения электрической цепи.
Решение:
На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительные направления.
Кроме неизвестных контурных токов вводим три известных контурных тока:
На рисунке 3.51 представлены все шесть контуров с контурными токами. На третьем этапе составим стандартную систему уравнений по MKT для трёх неизвестных контурных токов :
Здесь:
Переносим слагаемые с известными контурными токами в правую часть системы уравнений (3.68). Получим:
Сравниваем полученную систему уравнений (3.69) с системой уравнений (3.57), приходим к выводу об их полном совпадении. Дальнейшие вычисления токов полностью повторяют решение предыдущего примера 3.9.
Примеры расчёта методом узловых потенциалов (МУП)
- Метод узловых потенциалов (МУП)
Задача №3.13.
Выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи рисунка 3.56 в общем виде: считая заданными параметры элементов; сопротивлением амперметра пренебрегаем, а сопротивление вольтметра учитываем при расчете.
Решение:
На первом этапе упростим электрическую цепь рисунка 3.56, объединяем узлы связанные ветвями без элементов, и выберем положительные направления токов.
На втором этапе пронумеруем узлы, выбрав самый старший по номеру узел 5, ограничивающий ветви с бесконечной проводимостью. «Заземляем» узел 5, а потенциалы узлов 2, 3, 4 являются известными:
Неизвестным потенциалом является потенциал только первого узла.
На третьем этапе составляем одно уравнение с одним неизвестным потенциалом:
Здесь:
Очевидно, что:
На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи рисунка 3.57 по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС:
На пятом этапе рассчитываем остальные токи по первому закону Кирхгофа для рисунка 3.56 заданной схемы:
Задача №3.14.
Для электрической цепи примера 3.10. выполнить расчет токов в ветвях методом узловых потенциалов.
Решение:
Выбираем упрощенную схему 3.50. По второму этапу проставляем направления токов и пронумеруем узлы электрической схемы.
Принимаем потенциал узла 4 равным нулю .
На третьем этапе для трех неизвестных потенциалов и составляем стандартную систему уравнений:
Подставляем формулы коэффициентов в уравнения (3.94):
Решаем полученную систему (3.96) с помощью определителей:
Здесь:
На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи по закону Ома для ветви содержащей ЭДС:
Пятый и шестой этапы выполнены в примере 3.11.
Основные теоремы теории линейных электрических цепей
- Основные теоремы теории линейных электрических цепей
Метод эквивалентного генератора
- Метод эквивалентного генератора
Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника в нагрузку (приемник)
- Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника в нагрузку (приемник)
Теорема компенсации
- Теорема компенсации
Линейные соотношения в линейных электрических цепях
- Линейные соотношения в линейных электрических цепях
Готовые задачи с решениями по всем темам: теоретических основ электротехники (ТОЭ)
Теоретические основы электротехники (ТОЭ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.
Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.
Примеры решения задач по теме электрические цепи постоянного тока
Пример решения соответствует разделу программы «Электрические цени постоянною тока». Для успешного выполнения и защиты задачи №1 студенту необходимо изучить и научиться практически применять следующие методы расчета цепей постоянного тока:
- метод уравнении Кирхгофа;
- метод контурных токов:
- метод узловых напряжений;
- метод наложения;
- метод преобразования (упрощения);
- метод эквивалентного генератора напряжения (тока);
- топологические методы.
Необходимо научиться определять напряжения на элементах схемы, мощность, отдаваемую или потребляемую источниками энергии, составлять баланс мощностей и изображать потенциальную диаграмму для замкнутого контура схемы.
Определение токов электрической схемы методом уравнений Кирхгофа
Этот метод основан на применении первого и второго законов Кирхгофа, не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи. Количество уравнений, составленных по этому методу, равно количеству неизвестных токов. Положительные направления токов задаются произвольно. Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для цепи, имеющей узлов, равно . Недостающее число уравнений составляется по второму закону Кирхгофа. При выборе контуров по второму закону Кирхгофа нужно придерживаться правила, что каждый из контуров должен отличаться от других хотя бы одной новой ветвью. Такие контуры называются независимыми. Ветви с источниками тока учитываются только при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа и не должны быть включены в выбранные независимые контуры.
Пример №1.
Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.1), если
Решение:
В схеме необходимо задать направление четырех неизвестных токов (рис. 1.2). Схема содержит 3 узла, поэтому по первому закону составим два уравнения (для 2 и 3 узлов):
Два недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа, для чего выберем два контура (см. рис. 1.2):
Подставив численные значения, получим систему из четырех уравнений:
В результате решения системы уравнений получим токи:
Для проверки правильности решения задачи составим баланс мощностей:
где — мощность, отдаваемая источниками; мощность, потребляемая элементами схемы.
где — напряжение между узлами 3-1; .
Тогда
Метод контурных токов
Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. что позволило уменьшить число уравнении. Достигается это разделением схемы на независимые контуры и введением для каждого контура своего тока -контурного, являющегося определяемой величиной. Количество уравнений соответствует количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и может быть определено из уравнения
где — число ветвей; — число узлов; — число ветвей с источником тока. Контуры, для которых составляются уравнения, не должны содержать ветви с источником тока, но учет падения напряжения от источников тока обязателен. Для этого рекомендуется обозначать контуры, которые содержат источник тока, но только один. В этом случае контурный ток известен и равен но величине источнику тока. Источник тока не может быть включен в несколько контуров.
Пример №2.
Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.3), если
Решение:
Определим количество уравнений но формуле
Обозначим контурные токи а также известный контурный ток . Уравнения для определения неизвестных контурных токов и :
Подставим численные значения:
откуда
Обозначим токи в ветвях схемы (рис. 1.4). Определим токи в ветвях исходя из известных контурных токов:
Контурный ток берёгся со знаком плюс, если направление контурного тока и тока в ветви совпадают, и со знаком минус, если токи направлены в разные стороны. Для проверки правильности решения составим баланс мощностей:
Метод узловых напряжений
Метод основан на использовании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, составляемых по этому методу, определяется из выражения
где — число узлов; — число источников напряжения, включенных между узлами без сопротивления.
При составлении уравнений в качестве базисного узла (узел, потенциал которою принимается равным нулю) целесообразно выбрать тот узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Если в схеме имеется ветвь с источником напряжения без сопротивления, то в качестве базисного выбирают один из тех узлов, к которому присоединена эта ветвь. Если схема содержит две и более подобных ветвей (причем эти ветви не имеют общих узлов), то такую схему необходимо преобразовать.
В результате решения системы узловых уравнении определяются напряжения между узлами схемы. Токи в ветвях находятся с помощью закона Ома.
Пример №3.
а) определить токи в ветвях схемы (рис. 1.5), если
б) построить потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.
Решение:
Определим количество уравнений, необходимых для решения. Для этого обозначим узлы схемы и воспользуемся формулой
Базисным узлом выберем узел 3, тогда напряжение , а уравнения будут иметь вид
Подставив численные значения, получим систему 2 линейных уравнений:
В результате решения определяем узловые напряжения:
Вычисляем напряжения между остальными узлами как разность узловых напряжений:
На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома составим уравнения для определения токов в ветвях схемы (рис.1.6):
отсюда
На основании первого закона Кирхгофа для узла 1:
Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:
или
Для построения потенциальной диаграммы необходимо знать напряжение на всех элементах контура, а также сопротивления всех элементов контура. На рис. 1.7 показан контур, для которого необходимо построить потенциальную диаграмму.
Базисную точку выберем произвольно, например . Построение будем производить, обходя контур по часовой стрелке.
Определим потенциалы точек:
По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов, а по оси ординат — значения потенциалов точек Базисную точку помещаем в начало координат (рис. 1.8).
Метод наложения
Метод основан на том, что в любой линейной электрической цепи токи могут быть получены как алгебраическая сумма токов, вызываемых действием каждого источника энергии в отдельности. Эти токи называются частичными токами. При определении частичных слагающих токов необходимо учитывать внутреннее сопротивление тех источников энергии, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы идеальные источники энергии, го при определении токов, вызываемых каким-либо одним источником, все остальные источники напряжения закорачиваются, а ветви, в которых находятся источники тока, -разрываются.
Пример №4.
Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.9), если
Решение:
1. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником напряжения . Разорвем ветвь с источником тока. Токи в цени (рис. 1.10) определим методом преобразований.
Вычислим сопротивление, эквивалентное сопротивлениям :
тогда
Определим напряжение
тогда
Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником тока . Закоротим ветвь, где находится (это равносильно равенству нулю внутреннего сопротивления данного источника) (рис. 1.11).
Сопротивление включены параллельно, заменим их сопротивлением
Определим токи и по правилу плеч:
Аналогично определим токи и :
Для узла 1 составим первое уравнение Кирхгофа и определим ток :
Найдем искомые токи в ветвях схемы (см.рис. 1.9) как алгебраическую сумму частичных слагающих токов:
Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:
где — напряжение на зажимах источника тока :
В данном случае источник тока отдает энергию в схему (его мощность больше нуля):
а источник напряжения потребляет энергию (его мощность отрицательна):
Метод преобразования
Суть метода заключается в преобразовании электрической схемы различными методами с целью уменьшения числа ветвей и узлов, а значит, и количества уравнений, определяющих электрическое состояние схемы.
Но всех случаях преобразования заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием.
Пример №5.
Определить токи в ветвях схемы (рис. 1.12), если
Решение:
Преобразуем треугольник в звезду на основании следующих формул (рис. 1. 13):
Обозначим последовательно включенные сопротивления
и сопротивления , объединим две ветви ( и ), включенные параллельно, в одну. Общее сопротивление:
Общий источник напряжения:
Преобразованная схема показана на рис. 1.14:
Определим напряжение :
Напряжение на схеме (см. рис. 1.13) позволяет определить ток и ток :
На этой же схеме определим напряжения и :
Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:
На основании первого закона Кирхгофа для узла :
для узла :
Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:
или
Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)
Метод позволяет привести сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии к схеме с одним источником, что упрощает расчет.
Существуют два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.
Метод эквивалентного генератора напряжении (МЭГН)
Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис. 1.15, а) данным методом, необходимо:
Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, величина которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви , а внутреннее сопротивление источника равняется входному сопротивлению пассивной электрической цени со стороны выводов и при разомкнутой ветви . Напряжение на зажимах определятся любым, ранее изученным методом (рис. 1.15, 6). Так как для определения напряжения исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают .
При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис. 1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на месте источников напряжения включить перемычки.
Определить искомый ток по формуле
Пример №6.
Определить ток в ветви с (рис. 1.16) МЭГН, если
Решение:
1 Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную (рис. 1.17).
Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:
Ток в сопротивлении равен нулю. Определим напряжение :
Для определения источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением (так как , то на месте включим перемычку), ветвь с источником разорвём (рис. 1.18):
Определим ток :
Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)
Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис. 1.19, а), необходимо:
а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами и (рис. 1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи (рис.1.19, в) со стороны выводов и ;
б) определить искомый ток в ветви по формуле
где
Пример №7.
Определить ток в ветви с МЭГТ (рис.1.20), если
Решение:
1. Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления перемычкой (рис. 1.21). Используя метод наложения (см. подразд. 1.4), определим ток . При воздействии только источника напряжения
при воздействии только источника тока получаем
Сумма частичных токов и даст общий ток .
Для того чтобы определить , исключим из схемы источник напряжения и источник тока (рис. 1.22):
Определим ток :
или
Указания к расшифровке типового расчета №1
Решение задачи подготовлено с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.
Расположить шесть узлов цени в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис. 1.23).
Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1.24).
Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис. 1.25).
Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечною узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис. 1.26).
Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.
Расчет токов методом преобразования
Расчет токов методом преобразования
На схеме рис. 1.26 преобразуем источник тока в источник напряжения :
источник тока — в источник напряжения :
а также объединим последовательно включенные сопротивления и :
Полученная схема показана на рис 1.27. На этой схеме объединим источники напряжения и :
Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения в источник тока :
Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис. 1.28 а,б), где
Источник тока преобразуем в источник напряжения и :
В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис. 1.29):
С целью дальнейшего упрощения схемы объединим источники напряжения и сопротивления:
Схема примет вид, указанный на рис. 1.30.
Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для определения напряжения необходимо составить одно уравнение:
Отсюда
Определим токи в схеме рис. 1.30 на основании закона Ома:
По схеме рис. 1.29 определим напряжения между узлами 6, 3, 5:
Определим токи и (см. рис. 1.28):
Для определения неизвестных токов составим уравнения но первому закону Кирхгофа (см. рис. 1.26) для узлов 4, 6 и 2:
для узла 4
для узла 6
для узла 2
Составление баланса мощностей
Мощность источника ЭДС () положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви (рис. 1.31):
Мощность источника тока () определяется произведен нем тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлениях напряжения на зажимах источника тока и тока источника (рис. 1.32):
Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна и равна
Баланс мощности записывается в виде :
где — число источников ЭДС в схеме; — число источников тока в схеме; — число активных сопротивлении в схеме. Составим баланс мощностей для схемы рис. 1.26:
где
Определение тока в ветви с сопротивлением методом эквивалентного генератора напряжения
Пусть требуется определить ток методом эквивалентного генератора напряжения. Для этого необходимо следующее.
Определить напряжение эквивалентного генератора напряжения, для чего исключим сопротивление из исходной схемы (рис. 1.33). Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Уравнения имеют вид:
В этих уравнениях контурные токи и равны токам источников тока. После подстановки численных значений получается система уравнений:
отсюда
Токи в ветвях схемы (см. рис. 1.33)
Значения этих трех токов даст возможность определить напряжение :
Далее, закоротив источники ЭДС и разомкнув ветви с источниками тока, находим эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов 2 — 6() (рис. 1.34).
Эквивалентное сопротивление генератора можно определить, преобразовав треугольник сопротивлении в эквивалентную звезду (рис. 1.35) но формулам:
Определить ток в искомой ветви схемы (см. рис. 1.26) по формуле
Примеры решения задач по теме Электрические цепи синусоидального тока
Решение задачи соответствует разделу программы »Электрические цепи синусоидального тока». Синусоидальный ток описывается выражением
где — мгновенное значение тока; — амплитудное значение тока; — угловая частота; — начальная фаза тока; — фаза синусоидального колебания.
Кроме этого, синусоидальный ток характеризуется еще следующими значениями: действующим
средним
средним за полпериода или средним выпрямленных значением
Такими же значениями характеризуются синусоидальные напряжения. Для расчета целей синусоидального тока пользуются методом комплексных амплитуд (символическим методом) При этом оперируют не с реальными гармоническими токами и напряжениями, а с их комплексными амплитудами:
или с комплексами действующих значении
где — амплитуды тока и напряжения; — действующие значения тока и напряжения; — начальные фазы тока и напряжения.
Рассмотрим взаимосвязь между синусоидальными токами и напряжениями на основных элементах электрической цепи.
Синусоидальный ток в активном сопротивлении
Мгновенные значения напряжения и тока на активном сопротивлении связаны выражением Если , то , где. Таким образом, на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе. Для комплексных амплитуд запишем
Для комплексов действующих значений
Синусоидальный ток в индуктивности
Мгновенные значения напряжения и тока в индуктивности связаны выражением
Если то где Отсюда следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на . Индуктивность в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением , величина которого пропорциональна частоте .
Комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности запишутся следующим образом:
Для комплексов действующих значений
Комплексное сопротивление индуктивности определяется выражением
Синусоидальный ток в емкости
Мгновенные значения напряжения и тока в емкости связаны выражением
Если то , где . Отсюда следует, что ток в емкости опережает напряжение на 90″. Емкость в цени синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением . величина которого обратно пропорциональна частоте
Комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости запишутся следующим образом:
Для комплексов действующих значений
Комплексное сопротивление емкости определяется выражением
Комплексное сопротивление линейного пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости:
где — полное реактивное сопротивление;
— модуль полного сопротивления;
— угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника.
Комплексная проводимость линейного пассивного двухполюсника, состоящего из параллельного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости:
где — активная проводимость;
— реактивная проводимость емкости;
— реактивная проводимость индуктивности;
— полная реактивная проводимость;
— модуль полной проводимости;
— угол сдвига фаз между током и напряжением двухполюсника.
Для расчета цепей синусоидального тока можно пользоваться любыми методами расчета цепей, рассмотренными в методических указаниях к выполнению задачи № 1. Однако при этом обязательно используется символический метод. В процессе расчета необходимо уметь переходить от алгебраической формы записи комплексною числа к показательной и обратно:
Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы . Это происходит в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Избежав ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.
Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока
Пример №8.
Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость цепи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:
Решение:
Для определения комплексного входного сопротивления необходимо вычислить его модуль и сдвиг фаз :
Проводимость величина, обратная сопротивлению:
Определяя алгебраическую форму записи и , находим активные и реактивные сопротивления и проводимости:
Следовательно:
Знак «+» перед мнимой частью говорит об активно индуктивном характере нагрузки.
Последовательная и параллельная схемы замещения представлены соответственно на рис.2.1, а, б.
Пример №9.
Определить токи в схеме (рис. 2.2, а) при:
Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.
Решение:
Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем параллельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением :
Участки и соединены последовательно, поэтому входное полученное сопротивление цепи:
Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резонанс напряжений. Находим токи:
Составим баланс мощностей. Активная мощность источника
Реактивная мощность источника
Активная мощность приемников
Реактивная мощность приемников
Баланс мощностей выполняется : , значит, токи найдены правильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис.2.2, б Масштабы: .
Пример №10.
Для схемы (рис.2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на се элементах. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.
Параметры элементов цепи
Решение:
Определим сопротивление индуктивности и емкости:
Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов
где
Вычислим контурный ток :
Откуда
Ток ветвей:
Напряжения на элементах цепи:
Баланс мощностей:
Баланс мощностей выполняется.
Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлены на рис. 2.4. Масштабы по току и напряжению:
Пример №11.
Па рис.2.5 приведена схема электрической цепи с двумя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС
Определить действующие значения токов ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.
Решение:
Находим узловые напряжения цепи при
Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:
Действующие значения токов ветвей
Уравнения мгновенных значений токов ветвей
Пример №12.
Параметры цепи (рис.2.6):
Графоаналитическим методом рассчитаем токи и напряжения на участках цени. Графоаналитический метод — совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цени токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжении и токов.
Решение:
Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответствующей отрицательной полярности источника ЭДС:
Принимаем масштабы:
Задаемся действующим значением тока . Вектор (рис.2.7) откладывается в заданном масштабе в горизонтальном направлении. Вектор напряжения на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором тока .
Действующие значение тока находим по закону Ома:
Ток на индуктивности отстает от напряжения па угол . Вектор тока строим из конца вектора .
По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем , что соответствует сложению векторов на комплексной плоскости. Ток (определен в масштабе диаграммы). Определяем и строим на диаграмме напряжения на участках
Вектор напряжения отстает от тока на строим этот вектор из точки под углом к току в сторону отставания. Напряжение совпадает по фазе с током , вектор строим из точки параллельно вектору тока . Теперь соединим начало координат (точку ) с точкой , получим вектор приложенной к цепи ЭДС, равный 30 В (в масштабе диаграммы): . Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действием указанной в условии задачи ЭДС = 100 В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:
Входная ЭДС имеет начальную фазу . С учетом этого построим систему координат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором . Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений. Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:
Построенная в такой последовательности диаграмма напряжений является топографической.
Пример решения расчета цени с одним источником ЭДС
При выполнении контрольной работы необходимо:
- Расшифровать задание. Листок с заданием вклеить в контрольную работу.
- Рассчитать любым известным методом токи во всех ветвях заданной цепи. Результаты расчетов представить в виде комплексов действующих значений и в виде мгновенных значений токов.
- Составить баланс мощностей для заданной цепи.
- Определить показания ваттметра, включенного в заданную цепь.
- По результатам расчетов построить векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую векторную диаграмму напряжений.
- Полагая наличие индуктивной связи между любыми двумя индуктивными элементами, записать для заданной цепи уравнения по законам Кирхгофа.
Каждый студент получает задание, вариант которого приведен ниже:
Токовая обмотка ваттметра включена в ветвь 2, зажим — к узлу 3, — к узлу 3, — к узлу 2. За пулевой потенциал принять потенциал узла №3.
Расшифровку задания производим следующим образом: изобразим в произвольном порядке шесть точек и пронумеруем их цифрами 01 1 до 6. Соединив точки в соответствии с колонкой «начало — конец» задания, получим граф цепи (рис. 2.8).
Перерисуем полученный граф таким образом, чтобы исключить пересечсения ветвей (рис.2.9). На данном рисунке цифрами в кружках обозначены точки цепи, определенные заданием, а цифрами без кружков — номера ветвей цепи в соответствии с колонкой «Номер ветви» задания. Точки 4, 5, 6 являются узлами цепи.
В каждую ветвь последовательно включаются активные сопротивления, индуктивности, емкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Каждому элементу цепи присваивается индекс в соответствии с номером ветви, r которой он находится. Направление включения источника ЭДС определяется по колонке «начало — конец»задания.
Схема электрической цепи, полученная для рассматриваемого варианта задания, изображена на рис.2.10.
Запишем параметры элементов цепи дня приведенной схемы:
Расчет пени с одним источником ЭДС целесообразно проводить методом преобразования. Обозначим направления токов в ветвях заданной цепи (см.рис.2.10). Запишем комплексные сопротивления каждой из ветвей:
Преобразуем заданную цепь. Сопротивление между узлами 4 и 6 цепи определится как сопротивление двух параллельных ветвей: ветви с сопротивлением и ветви, образованной последовательным соединением и :
Сопротивление образовано последовательным соединением и :
Сопротивление определяется как параллельное соединение сопротивлений и :
Эквивалентное сопротивление пассивной части цепи относительно источника ЭДС находим как последовательное соединение и :
Определим токи во всех ветвях заданной цепи. Так как в цепи имеется только один источник ЭДС. то токи в ветвях направим в сторону уменьшения потенциалов.
Комплекс тока в первой и второй ветвях определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению:
Комплекс тока в пятой и шестой ветвях определится выражением
Комплекс тока в седьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 5:
Находим комплекс тока в третьей и четвертой ветвях:
Комплекс тока в восьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 6:
По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения:
Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС:
Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС:
а реактивная мощность
Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи:
Реактивная мощность нагрузки определится выражением
Таким образом, активные и реактивные мощности и цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой.
Для нахождения показания ваттметра, включенного в цепь в соответствии с вариантом задания, необходимо определить напряжение на зажимах ваттметра. При этом первый индекс у напряжения соответствует узлу, к которому подключен зажим , а второй индекс — узлу, к которому подключен зажим .
В рассматриваемом примере
Необходимо также знать величину тока, протекающего через токовую обмотку ваттметра. При этом за положительное направление тока принимается ток, втекающий в зажим ваттметра. В нашем примере это ток . Тогда показание ваттметра определится выражением , где — разность фаз между напряжением на зажимах ваттметра и протекающим через прибор током:
Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме:
Анализ приведенных значений показывает, что для тока удобно выбрать масштаб
Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цени откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю.
При этом порядок расположения векторов напряжения на диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цени соответствует определенная точка на диаграмме.
На схеме электрической цепи (см. рис.2.10) определены заданием точки 1 — 6, остальные точки обозначим числами 7-12. По условию задачи нулевой потенциал имеет точка 3:
Определим потенциалы остальных точек:
Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 3 и 9 этою контура включен источник ЭДС. Вычислим напряжение
Напряжение оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчетов но определению потенциалов. Найдем потенциалы остальных точек:
Сравним значение с полученным выше потенциалом точки 5. Они оказываются равными:
Потенциал совпадает с полученным ранее значением.
По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и напряжений были соизмеримы.
Принимаем . Диаграмма, построенная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис. 2.11. 6. Полагаем, что существует индуктивная связь между индуктивностями и .
Наличие индуктивной связи обозначим на рис.2.10 двухсторонней стрелкой, возле которой указывается взаимная индуктивность . Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначены на этом же рисунке точками. Так как токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково, то имеет место согласное включение индуктивностей.
Определим число уравнений, необходимое для описания цепи по законам Кирхгофа. Неизвестных токов в цепи — пять, число узлов в цепи — три. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать два уравнения. Остальные три уравнения запишем по второму закону Кирхгофа. Для мгновенных значений токов и напряжений уравнения будут иметь вид:
Запишем эти же уравнения в комплексной форме:
Примеры задач на расчёт переходных процессов в электрических цепях
Пример №13.
Определить ток- в индуктивности классическим методом и построить его график, если .
Решение:
Закон изменения тока ищем в виде
Здесь — принужденная составляющая тока;
— свободная составляющая тока. Данная схема — с нулевыми начальными условиями. Независимое начальное условие
где — значение тока непосредственно перед коммутацией; — значение тока сразу после коммутации.
Определим принужденную (установившуюся) составляющую тока:
Получим характеристическое уравнение. Для этого в цепи после коммутации мысленно разомкнём ветвь с индуктивностью, а источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением, т.е. закоротим его зажимы. Запишем сопротивление цепи в операторной форме относительно точек размыкания и приравняем его к нулю. Можно определять сопротивление в операторной форме относительно зажимов источника:
Характеристическое уравнение
откуда
Свободная составляющая имеет вид
Определим постоянную интегрирования из начальных условий
Подставим соответствующие значения в данное уравнение и найдем пишем решение в окончательном виде
График тока имеет вид (рис. 3.2)
Пример №14.
Определить и классическим методом, если .
Решение:
Решение для имеет вид
Независимое начальное условие
Принужденное значение
Характеристическое уравнение и его решение
Свободная составляющая
Запишем исходное уравнение для и определим постоянную интегрирования
Решение для напряжения на ёмкости
Вычислим ток
Графики напряжения и тока приведены на рис. 3.4
Пример №15.
Определить ток классическим методом, если
Решение:
Запишем закон изменения тока :
Независимое начальное условие
Находим принуждённый ток символическим методом
Для определения характеристического уравнения для цепи после коммутации запишем сопротивление в операторном виде относительно зажимов источника ЭДС и приравняем его к нулю:
Характеристическое уравнение
Корень характеристическою уравнения
Свободная составляющая
Находим постоянную интегрирования, используя начальные условия:
Левая часть этого уравнения — зависимое начальное условие. Исходя из того, что , емкость представляет собой коротко замкнутый участок при :
откуда
Окончательно
График тока показан на рис. 3.6.
Пример №16.
Определить ток операторным методом (рис. 3.7), если .
Решение:
Находим независимое начальное условие.
Согласно закону коммутации,
Составим операторную схему замещения цепи для послекоммутационной цепи (рис. 3.8). Определим изображение тока :
Вычислим оригинал тока , используя табличные формулы соответствия между оригиналами и изображениями:
Известно, что
Используя эти формулы, получим
График тока изображен на рис. 3.9.
Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.
Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов
Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов.
Задание для контрольной работы генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально.
Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис. 3.10.
В задаче необходимо:
- Записать шифр задания и вклеить листок с распечаткой задания в контрольную работу.
- Получить и записать исходные данные контрольной работы по распечатке, начертить схему цепи.
- Рассчитать классическим методом переходные процессы но току в индуктивности и по напряжению на ёмкости .
- По результатам расчётов построить графики переходных процессов .
Рассмотрим выполнение варианта типового расчета, представленного на рис. 3.10. с необходимыми комментариями:
- Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.
- Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо — ёмкость, вместо — индуктивность, вместо — источник ЭДС. Ключ должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа . Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и ёмкостей — в строке «КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД»: . Для всех вариантов задания . Схема электрической цепи приведена на рис. 3.11
- Расчет переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. >го частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений. И электротехнике указанные составляющие называются принуждённой и свободной. Принужденная составляющая переходного процесса, или установившийся режим, рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчёта цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения. Расчёт переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:
- рассчитывается цепь до коммутации для определения независимых начальных условий:
- рассчитываются установившийся режим после коммутации;
- составляется характеристическое уравнение цепи и определяются его корни;
- записываются общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принуждённой и свободной составляющих;
- рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования;
- найденные постоянные интегрирования подставляются в полное решение. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 3.11, произведём в предложенном порядке.
Начальные условия это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на ёмкости, так как они в момент коммутации не могут измениться скачком. Это определяется законами коммутации:
Остальные начальные условия относятся к зависимым.
До коммутации в рассматриваемом варианте цепи отсутствует ёмкость (сё зажимы закорочены ключом ). Следовательно, напряжение на емкости до коммутации будет равно нулю и, согласно закону коммутации, не измени гея непосредственно после размыкания ключа: .
Расчёт тока в индуктивности до коммутации проведём по схеме электрической цени, представленной на рис. 3.12.
Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.
Реактивное сопротивление индуктивности
Реактивное сопротивление емкости
Комплексное сопротивление цепи относительно источника
Комплексная амплитуда тока в цепи источника определится по закону Ома:
Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч:
Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде
Полагая в последнем выражении , получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:
По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком. Следовательно, .
Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на емкости определим по схеме цепи на рис. 3.11.
Комплексное сопротивление цепи относительно источника
Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:
Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим но правилу плеч:
Мгновенное значение тока в индуктивности, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде
Комплексную амплитуду тока в цепи с ёмкостью определим по правилу плеч:
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости определится по закону Ома:
Мгновенное значение напряжения на ёмкости, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде
Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цени после коммутации исключают источники (вместо источников необходимо включить их внутренние сопротивления). В полученной пассивной цепи разрываю!любую ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивление . В выражении заменяют на . Выражение приравнивают к нулю. Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рис 3.11 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с емкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде
Полагая в последнем выражении , получим
После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение в юрою порядка
Подставляя численные значения параметров цени, находим
Корни уравнения
По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходною процесса. Так как число корней равно двум и они действительные, то
Для случая комплексно-сопряженных корней
или
Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:
В последнем уравнении неизвестными являются и следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого
Полагая в вышеприведенных уравнениях , получим
Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени послекоммутационной схемы
Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий и значение , получим
Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид
Постоянные интегрирования будут равны
Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде
Переходной процесс по напряжению на емкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для как сумму двух составляющих:
Принуждённая составляющая переходною процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы двух экспонент. С учётом этого
Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого
Полагая в обоих уравнениях , получим
Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим сё значение но выражению
Значение определим из системы уравнений но законам Кирхгофа для момента времени , записанной выше. Тогда
Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид
Решая полученную систему уравнений, определим постоянные интегрирования
Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости
При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени . За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при .
Постоянная времени определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения
Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи
Графики переходных процессов и представлены соответственно на рис. 3.13 и 3.14.
Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов
Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов». Задание для задачи расчета генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально. Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис.3.10. В задаче расчете необходимо:
Записать шифр задания.
Получить и записать исходные данные задачи по распечатке, начертить схему цепи.
Рассчитать операторным методом переходные процессы по току в индуктивности и по напряжению на емкости .
По результатам расчётов построить трафик переходных процессов. Рассмотрим выполнение варианта задачи, представленного рис. 3.10, с необходимыми комментариями:
Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.
Для получения исходных данных задачи необходимо изобразить схему электрической цени. Для этого вместо у на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо — емкость, вместо индуктивность. вместо — источник ЭДС. Ключ должен быть разомкнут. Коммутация происходит путём переключения ключа из положения 1 в положение 2. Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и емкостей — в строке «ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД»: рис. 4.1
Для всех вариантов задания .
Схема электрической цени приведена на рис. 4.1.
Расчёт переходных процессов операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа. Это позволяет перейти от непосредственного решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь во временной области, к решению алгебраических уравнений в области изображений.
Расчёт переходных процессов операторным методом производится в следующем порядке:
- рассчитывается цепь до коммутации с целыо определения независимых начальных условий;
- составляется операторная схема замещения цепи:
- производится расчёт операторной схемы замещения. в результате чего определяются изображения по Лапласу искомых функций;
- на основе обратного преобразования Лапласа от найденных изображений переходят к оригиналам. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 4.1, произведем в предложенном порядке.
До коммутации в цепи был включён источник постоянного напряжения На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а ёмкость-бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчёта независимых начальных условий, изображенной на рис. 4.2, реактивные элементы показаны как короткое замыкание и обрыв.
Ток в цепи с индуктивностью определится выражением
Напряжение на емкости:
Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут измениться скачком. Следовательно.
При составлении операторной схемы замещения все элементы цени замещаются их операторными эквивалентами. Так, индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением . ёмкость операторным ёмкостным сопротивлением ; активное сопротивление не изменяется. При этом ненулевые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и с ёмкостью дополнительными источниками ЭДС (рис 4.3).
Операторная схема замещения послекоммутационной цепи для рассматриваемого примера, построенная в соответствии с изложенным выше, приведена на рис. 4.4.
Для расчёта операторной схемы замещения может быть применён любой известным метод: метод узловых потенциалов, метод наложения, метод контурных токов и т.д. Однако целесообразно использовать метод контурных токов, который при надлежащем выборе независимых контуров обеспечивает наиболее быстрое получение конечного результата.
Выберем независимые контуры таким образом, чтобы общая ветвь содержала только сопротивление . Тогда контурные токи и будут равны изображениям токов в ёмкости и в индуктивное!и.
Уравнения, описывающие цепь на рис. 4.4 по методу контурных токов, запишутся в виде
Решая полученную систему с помощью определителей, получим
Разделив числитель и знаменатель в двух последних выражениях на и подставив численные значения, получим
Ёмкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на ёмкости запишется в виде
После подстановки получим
Для перехода от найденных операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения двух полиномов
то оригинал находится по выражению
где — -й корень характеристического уравнения ; — порядок характеристического уравнения; — производная полинома . Для тока в индуктивности запишем
Решая характеристическое уравнение , находим два корня и . При этом ток в индуктивности в соответствии с теоремой разложения запишется в виде
Коэффициенты при экспонентах в случае комплексно-сопряжённых корней тоже будут комплексно-сопряжёнными.
Поэтому при суммировании мнимая часть будет равна нулю и ток можно определить как удвоенное значение вещественной части первого или второго слагаемых.
После подстановки в последнее выражение численных значений получим
Переходное напряжение на ёмкости вычислим, используя полученное раньше изображение и свойство линейности преобразования Лапласа.
Сумме изображений
будет соответствовать сумма оригиналов
Введем обозначения
Изображению в области оригиналов будет соответствовать константа .
Оригинал определим, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение имеет три корня: . Следовательно,
После подстановки численных значений и выполнения всех преобразований получим
Складывая и , находим полное переходное напряжение на ёмкости
Длительность переходного процесса равна трём постоянным времени. Постоянная времени определяется как величина, обратная действительной части корня характеристического уравнения.
Графики переходных процессов по току в индуктивности и по напряжению на ёмкости представлены соответственно на рис. 4.5 и 4.6.
Пример решения задачи по теме цепи с распределенными параметрами
Решение задачи соответствует разделу программы «Цепи с распределенными параметрами»Примеры решения задач по электротехнике». В нем исследуется однородная длинная линия без потерь в установившемся и переходном режимах.
Исходные данные контрольной работы определяются числом , где — порядковый номер фамилии студента в журнале; номер столбца из табл. 5.1; — номер строки из табл. 5.2; — номер схемы нагрузки из рис. 5.1.
Первичные параметры линии для всех вариантов одинаковы и равны: .
Входное напряжение линии определяется выражениями:
где Длина линии
В контрольной работе необходимо:
- Рассчитать исходные данные работы согласно варианту задания и записать их.
- Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики .
- Произвести расчёт установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики .
- Произвести расчёт установившегося значения в линии при отключенной нагрузке (режим холостого хода). Построить графики .
- Построить графики распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.
- Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики .
- Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики .
- Построить графики u0(x), i0(x) распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отражённой волны достигнет точки на расстоянии «» от конца линии.
- Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии «» от конца линии.
- Построить графики при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии «» от конца линии.
Изобразим линию в виде, представленном на рис. 5.2. где — расстояние от начала линии до некоторого сечения;
Пусть номер варианта определяется числом 30357, где — порядковый номер фамилии студента в журнале; — номер столбца из табл. 5.1; — номер строки из табл. 5.2; — схема нагрузки 7 из рис. 5.1. Тогда
Параметры нагрузки: . Схема нагрузки приведена ниже
Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики .
Напряжение и ток в произвольном сечении линии без потерь, находящемся на расстоянии от конца линии, описываются выражениями:
где
Преобразуем уравнение 5.1:
где
Согласно варианту задания,
Полагая , из первого уравнения (5.2) выразим выражение :
Подставляя численные значения, получим
Тогда ток в конце линии определится выражением
Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящемся на расстоянии от её конца, получим из уравнений (5.2) с учётом найденных значении и :
В комплексных выражениях и выделяем действительные и мнимые части:
Модули действующих значений и напряжения и тока определятся выражениями:
По выражениям и с учётом численных значений построены графики, представленные на рис. 5.3 и 5.4.
При выполнении этого пункта задания в контрольной работе необходимо привести окончательные выражения и для построения соответствующих графиков.
Произвести расчет установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики и . Полагая , из уравнений (5.2) получим
Модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии не зависят от расстояния .
В линии имеет место режим бегущих волн. Напряжение и ток в произвольном сечении линии равны входным напряжению и току:
Графики и представлены на рис. 5.5, 5.6.
Произвести расчёт установившегося режима в линии при отключённой нагрузке (режим холостого хода). Построить графики и . И режиме холостою хода ток , тогда уравнения (5.1) запишутся в виде
Полагая в первом уравнении , определим напряжение :
Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии от её конца получим из последней системы уравнений с учетом найденного значения :
Из этих уравнений получим модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии от её конца:
Графики и представлены на рис. 5.7. 5.8.
Построить графики распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.
К линии подключается источник постоянного напряжения . При этом возникают падающие волны напряжения и тока и , распространяющиеся вдоль линии с фазовой скоростью
Величины напряжения и тока падающих волн равны . Графики распределения падающих волн и представлены на рис. 5.9, 5.10.
Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики .
Эквивалентная схема цепи для расчёта переходного напряжения и тока в нагрузке линии представлена на рис.5.11.
Произведем расчет классическим методом. Решение найдем в виде суммы принужденной и свободной составляющих:
Определим принужденную составляющую переходного напряжения на нагрузке:
Решая характеристическое уравнение цепи
определим , следовательно .
Для определения постоянной интегрирования решения
рассмотрим при
Зависимые начальные условия определим с учётом независимых начальных условий .
тогда
Окончательно получим . Аналогично определяем
Графики и приведены на рис. 5.12, 5.13.
Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики .
Если сопротивление нагрузки линии не равно волновому сопротивлению, то возникают отраженные волны напряжения и тока. Напряжение и ток в любом сечении линии, в том числе и в сечении нагрузки, складываются соответственно из напряжения и тока падающей волны и напряжения и тока отражённой волны:
Для сечения нагрузки
Из последних соотношений с учетом результатов пп. 5, 6 получим
Графики и представлены на рис. 5.14, 5.15.
Построить графики распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии от конца линии.
Возникнув в сечении нагрузки, отраженные волны тока и напряжения распространяются к началу линии с фазовой скоростью. Точки, отстоящей от конца линии на , фронт отраженной волны достигнет спустя время . Напряжение и ток отражённой волны в произвольном сечении линии из интервала определяем но выражениям и . полученным в п.7, задаваясь значениями времени . При этом принимает значения из диапазона . Графики и представлены на рис. 5.16, 5.17.
Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии от конца линии. Так как в произвольном сечении линии напряжение и ток складываются из падающих и отраженных волн , то соответствующие распределения, представленные на рис. 5.18, 5.19, получаются из графиков на рис.5.9, 5.16 и из графиков на рис. 5.16 и 5.17 с учётом последних соотношений
Построить графики при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии от конца линии.
Падающие волны напряжения и тока, возникающие в линии при подключении источника напряжения, достигнут точки на расстоянии от конца линии (или па расстоянии от начала линии) спустя время
Далее падающие волны распространяются к нагрузке. Возникшие в сечении нагрузки отражённые волны достигают точки спустя время
После этого в точке появляются отражённые волны, которые складываются с падающими. Закон изменения отражённых волн получен в п.7. Построенные с учётом изложенного графики и представлены на рис. 5.20, 5.21.
Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны:
- Предмет электротехника
- Построение векторных диаграмм токов и напряжений
- Заказать работу по электротехнике
- Помощь по электротехнике
- Контрольная работа по электротехнике
В.В. АФОНИН И.Н. АКУЛИНИН А.А. ТКАЧЕНКО
СБОРНИК
ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Часть 1
• ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •
Министерство образования и науки Российской Федерации
Тамбовский государственный технический университет
В.В. АФОНИН, И.Н. АКУЛИНИН, А.А. ТКАЧЕНКО
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Часть 1
Рекомендовано Ученым советом университета в качестве учебного пособия
Тамбов
• Издательство ТГТУ •
2004
УДК 621.3 ББК Á 29-5 я 73-5
А44
Рецензент
Кандидат технических наук, доцент
Н.Г. Шахов
Афонин В.В., Акулинин И.Н., Ткаченко А.А.
А44 Сборник задач по электротехнике: Учеб. пособие. В 3-х ч. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. Ч. 1. 80 с.
Содержит краткий учебный материал и примеры решения типовых задач по теме «Линейные электрические цепи постоянного тока».
Предназначено для студентов неэлектротехнических специальностей дневной и заочной форм обучения.
УДК 621.3 ББК Á 29-5 я 73-5
ISBN 5-8265-0276-2 |
© Афонин В.В., Акулинин И.Н., Ткаченко А.А., 2004 |
© Тамбовский государственный |
|
технический университет |
|
(ТГТУ), 2004 |
Учебное издание
АФОНИН Владимир Васильевич, АКУЛИНИН Игорь Николаевич, ТКАЧЕНКО Александр Алексеевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Часть 1
Учебное пособие
Редактор В.Н. Митрофанова Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова
Подписано к печати 29.03.2004.
Формат 60 × 84/16. Гарнитура Times. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 4,65 усл. печ. л.; 4,5 уч.-изд. л.
Тираж 100 экз. С. 259
Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета
392000, Тамбов, ул. Советская, 106, к. 14
ВВЕДЕНИЕ
Целью настоящего пособия является закрепление теоретического материала по теме «Линейные электрические цепи постоянного тока». Пособие предназначено для студентов, изучающих курс элек-
тротехники и основы электроники.
Сборник содержит задачи по основным методам расчета электрических цепей постоянного тока. В
начале каждого параграфа даются теоретические положения метода и решение двух–трех типовых за-
дач. В параграфах пособия для удобства пользования принята тройная нумерация задач и рисунков. Ряд задач имеют ответы.
Предлагаемый сборник будет полезен для студентов очной и заочной форм обучения.
1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРОСТЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1.1ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПЕЙ
1Электродвижущая сила (эдс) E характеризует способность стороннего поля вызывать электрический ток и численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру
E = AQст ,
где E – электродвижущая сила, В; Aст – работа сторонних сил, Дж; Q – заряд, Кл.
2 Электрический ток – направленное движение свободных носителей заряда. Характеристикой электрического тока является сила тока i, равная скорости изменения электрического заряда
i = dqdt .
Для постоянного тока
I = Qt ,
где Q – весь заряд, переносимый за время t.
Из последнего соотношения определяется единица измерения силы тока
Q |
Кл |
= А. |
||
[I] = |
= |
|||
с |
||||
t |
3 Напряжение – скалярная величина, равная линейному интегралу напряженности электрического поля
U = ∫Erdl ,
l
т.е. напряжение – это работа сил кулоновского поля, затрачиваемая на перенос единицы положительного заряда
U = QA ,
где U – напряжение, В.
4Электрический потенциал и разность потенциалов. Электрическое напряжение вдоль пути вне источника между точками a и b называют также разностью потенциалов Uab = ϕa – ϕb между этими точками. Однозначно определяется только разность потенциалов, равная соответствующему напряжению. Чтобы определить потенциал, нужно придать нулевое значение потенциалу одной из точек цепи (например, узлу), тогда потенциал любой другой точки будет равен напряжению между этой точкой и точкой, потенциал которой выбран равным нулю.
5Электрическое сопротивление. Сопротивление внешнего участка цепи (вне источников) равно отношению постоянного напряжения на участке к току в нем
R = UI ,
где R – сопротивление, Ом.
Для проводов сопротивление определяется по формуле
R = ρ Sl ,
где ρ – удельное сопротивление, Ом·м; S – площадь поперечного сечения провода, м2; l – длина провода, м.
Сопротивление проводов, резисторов зависит от температуры t окружающей среды
R = R20[1 + α(t – 20o)],
где R20 – сопротивление при температуре 20 °С; α – температурный коэффициент сопротивления. Значения ρ и α приводятся в справочниках.
6 Электрическая проводимость – величина обратная сопротивлению
G = R1 .
Единица проводимости
[G] = R1 = Ом1 = AB = См.
Примеры решения задач
1.1.1)В цепи постоянного тока (рис. 1.1.1) напряжением U = 110 В непрерывно в течение одних суток горят лампы H1 и H2 мощностью 60 Вт и 40 Вт соответственно. Определить токи ламп, общий ток в цепи, сопротивление нитей накала горящих ламп и стоимость энергии, полученной лампами от сети пи-
тания, |
если |
стоимость |
1 |
кВт |
ч |
электроэнергии |
равна |
|
Х рублей. |
||||||||
Рис. 1.1.1
Решение. К каждой из ламп приложено напряжение 110 В. Токи в лампах H1 и H2 соответственно
I1 = UP1 = 11060 = 0,545 A;
I2 = UP2 = 11040 = 0,364 A.
Ток в цепи
I = I1 + I2 = 0,545 + 0,364 = 0,909 A.
Сопротивления ламп
R1 |
= |
U 2 |
= |
1102 |
= 220 Ом; |
P |
60 |
||||
1 |
|||||
R2 |
= |
U 2 |
= |
1102 |
= 303 Ом. |
P |
40 |
||||
2 |
Общая мощность ламп
P = P1 + P2 = 60 + 40 = 100 Вт.
Полученная энергия за одни сутки
W = Pt = 100 24 = 2400 Вт ч = 2,4 кВт ч.
Стоимость полученной энергии
C = WX = 2,4X р.
1.1.2)Для схемы рис. 1.1.2. заданы: внутреннее сопротивление источника Rвт = 0,1 Ом и сопротивление проводов линии Rл = 0,5 Ом. Определить кпд цепи, если напряжение приемника Ucd и сопротивление Rн те же, что и в примере 1.1.1.
ab |
cd |
|||
b |
d |
|||
Рис. 1.1.2
Решение. Очевидно, что мощность ламп P1 + P2 и ток I те же, что и в примере 1.1.1. Мощность потерь в линии I2Rл и во внутреннем сопротивлении источника I2Rвт. Поэтому кпд
η = |
Pн |
= |
P1 + P2 |
= |
60 +40 |
= 0,995 . |
|
P |
Pвт + Pл + P1 + P2 |
0,9092 0,1+0,9092 0,5 +60 +40 |
|||||
1.1.3)Допустимая плотность тока в нихромовой проволоке нагревательного элемента кипятильника j = 10 A/мм2. Какой ток I можно пропустить по нихромовой проволоке диаметром d = 0,4 мм?
Решение. Поперечное сечение нихромовой проволоки
S = |
πd 2 |
= |
3,14 (0,4)2 |
= 0,126 мм2. |
|
4 |
4 |
||||
Допустимый ток проволоки
I = jS = 10 0,126 = 1,26 A.
Задачи
1.1.4)Определить сопротивление медных проводов телефонной линии длиной l = 28,5 км, диамет-
ром |
провода |
d |
= |
4 |
мм |
при |
температуре |
|
20 °С. |
||||||||
1.1.5)Определить |
сопротивление |
медного |
проводника |
диаметром |
||||
d = 5 мм, длиной l = 57 км при t = 40 °C. |
||||||||
1.1.6) |
Приемник |
номинальной |
мощностью |
1 |
кВт |
с |
напряжением |
220 В включен в сеть напряжением 110 В. Определить мощность приемника, токи при номинальном напряжении и при напряжении 110 В.
1.1.7)К двухпроводной линии постоянного тока (эквивалентная схема на рис. 1.1.2) с сопротивлением Rл = 4 Ом присоединен приемник сопротивлением Rн, изменяющимся от 0 до ∞. Напряжение в начале линии Uab. Определить ток I в линии, напряжение Ucd на выводах приемника, мощность P1, отдаваемую источником, мощность P2 приемника. Вычисления производить для значений сопротивлений при-
емника Rн = 0; Rл; 2Rл; 5Rл; 10Rл; ∞.
1.1.8)По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток 1 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3.
1.1.9)Как изменится сила тока, проходящего через неактивную цепь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t1 = 20 °С до t2 = 1200 °С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным 3,65 10–3 K–1.
1.1.10) По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление меди 17 мОм м.
1.1.11) Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от I0 = 3 А до I = 0 за 30 с. Определить выделившуюся за это время в проводнике количество теплоты.
1.1.12) Плотность электрического поля в алюминиевом проводе равна 5 А/см2. Определить удель-
ную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 мОм м. |
|||||||||
1.1.13) Эдс |
источника |
Е |
= |
12 |
В; |
внутреннее |
сопротивление |
Rвт |
= |
= 1 Ом. При каком значении внешнего сопротивления его мощность будет максимальной и чему она равна?
1.1.14) Обмотка возбуждения электрической машины присоединена к сети напряжением U = 120 В.
В первое время после включения показаний амперметра в цепи обмотки I1 = 1,2 А, а после нагрева обмотки до установившейся температуры I2 = 1 А. Учитывая, что температура воздуха в помещении 20 °С
и |
температурный |
коэффициент |
сопротивления |
меди |
||||||
4 10–3 K–1, найти температуру обмотки. |
||||||||||
1.1.15) Определить сопротивление проводов воздушной линии при температурах +40 и –40 °С. Дли- |
||||||||||
на линии l = 28,5 км, диаметр медных проводов d = 5 мм. |
||||||||||
1.1.16) Приемник |
за |
пять |
суток |
непрерывной |
работы |
израсходовал |
||||
24 кВт ч электроэнергии при напряжении 220 В. Определить ток и сопротивление приемника. |
||||||||||
1.1.17) Определить плотность тока в проводах диаметром 4 мм, соединяющих приемник с генерато- |
||||||||||
ром. Суточная выработка энергии генератора, составляет 48 кВт ч при напряжении U = 220 В. |
||||||||||
U |
1.1.18) Электрическая |
цепь |
мощностью |
P |
= |
5 |
кВт |
при |
напряжении |
|
= |
220 |
В |
подключена |
к |
генератору |
с |
внутренним |
сопротивлением |
Rвт = 0,22 Ом. Определить эдс и кпд генератора.
1.1.19) Механическая мощность электродвигателя постоянного тока 8,5 кВт при напряжении U = 220 В, кпд 85 %. Определить электрическую мощность и ток двигателя.
1.1.20) На изготовление катушки израсходовано 200 м медного провода диаметром 0,5 мм. На какое постоянное напряжение можно включать эту катушку, если допустимая плотность тока j = 2 А/мм2?
1.1.21) Составить схему электрической цепи, в которой к аккумуляторной батарее присоединены три резистора. Один – регулируемый, включен последовательно с группой из двух нерегулируемых, соединенных между собой параллельно. В схеме предусмотреть управление с помощью двухполюсного выключателя, защиту плавкими предохранителями, измерение общего тока в цепи и напряжения на зажимах батареи.
1.1.22) Составить схему электрической цепи, в которой четыре резистора (один из них регулируемый) образуют замкнутый контур в виде четырехугольника. В одной диагонали четырехугольника – гальванический элемент, присоединенный к цепи через однополюсный выключатель, в другой находится гальванометр, который можно включить и выключить кнопочным выключателем.
1.1.23) Составить схему электрической цепи, в которой последовательно включены два нерегулируемых резистора, аккумуляторная батарея и генератор, которые можно включить согласно или встречно. В схеме предусмотреть защиту цепи плавкими предохранителями, измерение тока, измерение напряжения на зажимах батареи и генератора одним вольтметром с помощью переключателя.
1.1.24) Составить схему электрической цепи, в которой генератор постоянного тока и аккумуляторная батарея, включенные параллельно, снабжают энергией внешнюю часть цепи, состоящей из трех нерегулируемых резисторов, включенных также параллельно. Каждый элемент цепи присоединяется к ней однополюсным выключателем. В схеме предусмотреть измерение общего напряжения, тока в каждом источнике и общего тока приемников энергии.
1.1.25) Два генератора постоянного тока, работая круглосуточно на общий приемник, выработали вместе за месяц 96 000 кВт ч энергии. В течение 10 суток этого месяца первый генератор находился в ремонте. За это время счетчик электрической энергии, установленный на линии к приемнику, показал 2 400 кВт ч. Определить мощность и эдс каждого генератора, если амперметр в цепи первого генератора во время работы показывал 500 А, а в цепи второго – 100 А.
1.1.26) Источник электрической энергии имеет в качестве нагрузки реостат с переменным сопротивлением R, эдс источника Е = 24 В, а его внутреннее сопротивление R = 1 Ом. Построить графики зависимости напряжения U на зажимах источника, мощности источника Pи, мощности приемника Pп, кпд источника, мощности потерь внутри источника Pвт от тока в цепи при изменении сопротивления нагрузки от R = ∞ (холостой ход) до R = 0 (короткое замыкание), считая эдс источника постоянной.
1.2ЗАКОН ОМА
1В электрической цепи за положительное направление эдс Е принимается направление, совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т.е. от «–» источника к «+» источника питания.
За положительное направление напряжения U принято направление, совпадающее с направлением действия электрического поля, т.е. от «+» к «–» источника.
За положительное направление тока I принято направление, совпадающее с перемещением положительных зарядов, т.е. от «+» к «–» источника.
Электродвижущая сила источника в электрической цепи может иметь одинаковое и противоположное направление с током. В первом случае источник эдс работает в режиме генератора, т.е. является источником электрической энергии. При этом эдс оказывается больше напряжения на его зажимах (Е > U). При направлении эдс в цепи противоположно току источник становится потребителем электрической энергии, и эдс оказывается меньше напряжения U на зажимах источника (Е < U) на величину внутреннего падения напряжения IRвт, где Rвт – внутреннее сопротивление источника.
При расчетах электрических цепей реальные источники электрической энергии заменяются схемами замещения. Схема замещения источника эдс содержит эдс и внутреннее сопротивление Rвт источника, которое много меньше сопротивления Rн потребителя электроэнергии (Rвт << Rн). При расчетах часто приходится внутреннее сопротивление источника эдс приравнивать нулю.
2В идеализированном источнике эдс падение напряжения на внутреннем сопротивлении IRвт = 0, при этом напряжение на зажимах источника U = const не зависит от тока I и равно эдс источника (U = E). В этом случае источник электроэнергии работает в режиме, близком к режиму холостого хода.
3В источниках тока внутреннее сопротивление во много раз превосходит сопротивление потреби-
теля электроэнергии (Rвт >> Rн), при этом в источнике тока ток является величиной практически постоянной, не зависящей от нагрузки (j = const).
4Реальный источник электрической энергии можно представить в схеме замещения последова-
тельным соединением идеального источника эдс и внутреннего сопротивления Rвт или параллельным соединением
идеального |
источника |
тока |
и |
внутренней |
проводимости |
|||
Gвт = |
1 |
. При расчетах электрических цепей источник тока может быть заменен эквивалентным источ- |
||||||
R |
||||||||
вт |
ником эдс, и наоборот, что в ряде случаев упрощает расчет.
5 Для участка цепи, не содержащего источник энергии (например, для схемы пассивного участка на рис. 1.2.1), связь между током I и напряжением U12 определяется законом Ома для участка цепи
I = ϕ∑1 −Rϕ2 = ∑U12R ,
где ϕ1 и ϕ2 – потенциалы точек 1 и 2 цепи соответственно; U12 = ϕ1 – ϕ2 – напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2 цепи; ∑R – арифметическая сумма сопротивлений на участке цепи; R1 и
R2 – сопротивления участков цепи.
1 |
2 |
||||||
ϕ1 |
ϕ > ϕ |
2 |
ϕ2 |
||||
1 |
|||||||
Рис. 1.2.1
Для участка цепи, содержащего источники эдс (рис. 1.2.2), т.е. для активного участка цепи, связь между током I, напряжением U12 и эдс источников определяется обобщенным законом Ома
I = U12∑+∑E ,
R
где ∑E – алгебраическая сумма всех эдс участка цепи, причем со знаком «+» в нее входят эдс, совпадающие с направлением тока I.
1 |
2 |
||||||||
ϕ1 |
ϕ2 |
||||||||
ϕ1 |
> ϕ |
2 |
|||||||
Рис. 1.2.2
6 На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии
∑EI = ∑I 2 R ,
где ∑EI – сумма мощностей, развиваемых источниками; ∑I 2 R – сумма мощностей всех приемников и
необратимых преобразований энергии внутри источников (потери мощности на внутренних сопротивлениях).
Приведенное равенство называется балансом мощностей электрической цепи.
Если положительное направление тока совпадает с направлением эдс и в результате расчета получено положительное значение тока, то источник вырабатывает (генерирует) электрическую энергию, т.е. работает в режиме генератора. Если же получено отрицательное значение тока, то произведение EI отрицательно, т.е. источник работает в режиме потребителя и является приемником электрической энергии (например, электродвигатель, аккумулятор в режиме зарядки).
7 Коэффициент полезного действия (кпд) электрической цепи – это отношение мощности приемника (полезной) к суммарной мощности всех потребителей
η = |
P |
I 2R |
R |
, |
||||||
н |
= |
н |
= |
н |
||||||
+ I 2R |
+ I 2R |
R |
+ R + R |
|||||||
P I 2R |
||||||||||
вт |
л |
н |
вт |
л |
н |
где I2Rн – мощность приемника (полезная мощность); I2Rвт, I2Rл – мощности потерь в источнике и в линии.
8 Потенциальной диаграммой называется график зависимости ϕ(R), построенный при обходе контура или участка цепи. Потенциальную диаграмму строят в прямоугольной системе координат, при этом по оси абсцисс откладывают в соответствующем масштабе сопротивления всех участков цепи, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. При построении потенциальной диаграммы одна из точек цепи (произвольно) условно заземляется, т.е. принимается, что потенциал ее ϕ = 0. На диаграмме эта точка помещается в начале координат.
9 Правила, определяющие характер изменения потенциала:
•на участке, где действует эдс, потенциал возрастает в направлении действия эдс;
•на участке, где величина сопротивления и напряжения совпадает с током, потенциал понижается по ходу тока и повышается против тока, так как ток направлен от большего потенциала к меньшему.
Примеры решения задач
1.2.1)Для цепи (рис. 1.2.3) заданы: Е = 100 В; Rвт = 1 Ом; Rл = 3 Ом;
Rн = 6 Ом. Определить показания приборов.
Теоретические основы электротехники (ТОЭ) — это техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. Технико-экономическое обоснование разделено на две части — теория электрических цепей и теория поля. Изучение технико-экономического обоснования является обязательным во многих технических вузах, так как знание этой дисциплины является основой для всех следующих дисциплин: электротехника, автоматизация, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.
Электрическая энергия широко применяется во всех областях промышленности, сельского хозяйства, связи, транспорта, автоматики, вычислительной техники, электроники, радиотехники и в быту благодаря своим весьма ценным свойствам:
- универсальность, т.е. легко преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую, химическую и др.). В свою очередь другие виды энергии (тепловая, механическая, химическая, ядерная, гидро- и др.) преобразуются в электрическую;
- передается на большие расстояния с небольшими потерями. В настоящее время действуют линии электропередачи протяженностью тысячи километров;
- легко дробится и распределяется по потребителям любой мощности (от десятков тысяч киловатт до долей ватта);
- легко регулируется и контролируется различными электроприборами.
Содержание:
- Теоретические основы электротехнки
- Элементы электрических цепей. Активные и пассивные части электрических цепей
- Физические явления в электрических цепях. Цепи с распределенными параметрами
- Параметры электрических цепей. Линейные и нелинейные электрические и магнитные цепи
- Связи между напряжением и током в основных элементах электрической цепи
- Условные положительные направления тока и ЭДС в элементах цепи и напряжения на их зажимах
- Источники ЭДС и источники тока
- Схемы электрических цепей
- Теоретические основы электротехники как наука
- Электрический заряд
- Напряженность электрического поля
- Напряженность поля точечных зарядов
- Теорема Гаусса
- Потенциал и напряжение в электрическом поле
- Электропроводность. Проводники
- Электропроводность. Диэлектрики
- Электропроводность. Полупроводники
- Электрические цепи постоянного тока
- Ток в электрической цепи
- ЭДС и напряжение в электрической цепи
- Закон Ома для участка цепи
- Электрическое сопротивление
- Закон Ома для замкнутой цепи
- Энергия и мощность электрического тока
- Закон Джоуля — Ленца
- Режимы работы электрических цепей
- Электрические цепи
- Правила преобразований
- Примеры расчета простых цепей
- Метод контурных токов
- Метод межузлового напряжения
- Метод эквивалентного генератора
- Примеры расчета сложных цепей различными методами
- Однофазные цепи переменного тока
- Представление синусоидальных величин комплексными числами
- Арифметические операции с комплексными числами
- Основные законы в комплексной форме
- Резонанс
- Трехфазные цепи
- Симметричная трехфазная цепь
- Расчет электрических цепей постоянного тока. Основные определения и законы
- Закон ома
- Законы кирхгофа
- Эквивалентные схемы источников электрической энергии
- Расчёт простейших электрических цепей
- Расчёт смешанного соединения резисторов
- Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот
- Примеры решения задач по электротехнике (ТОЭ)
- Лекции по электротехнике
Теоретические основы электротехнки
Любое электромагнитное явление, происходящее в системе заряженных тел и контуров с токами, т. е. в любом электротехническом устройстве, определяется не только физическими процессами на самих заряженных телах и в проводниках, образующих контуры с токами, но и не в меньшей мере физическими процессами в диэлектрике, окружающем эти тела и проводники.
Даже можно сказать больше — именно электромагнитное поле в диэлектрике, окружающее заряженные тела и проводники с токами, является носителем энергии системы, которая может передаваться от одной части системы к другой.
Электрическое поле заряженных тел целиком находится вне этих тел — в окружающем их диэлектрике.
Магнитное и электрическое поля электрических токов, протекающих по проводникам, существуют и вне проводников, и внутри их. Однако электрическое поле внутри проводников с током связано только с конечным удельным сопротивлением материала этих проводников и, соответственно, определяет потери энергии в проводниках. Энергия же, передаваемая вдоль проводников, целиком относится к электромагнитному полю в среде, окружающей проводники. Электрическая емкость и индуктивность любых элементов электротехнического устройства определяются их электрическими и магнитными полями при заданных зарядах и токах.
Таким образом, рассматривая явление во всей его полноте, во всех случаях необходимо изучать электромагнитное поле исследуемого устройства.
Математическое описание электромагнитных полей хотя и дает нам полную картину явлений, оказывается сложным; этому будет посвящена последняя, четвертая, часть курса.
В большинстве случаев представляется возможным достаточно точно описать процессы в электротехнических устройствах, пользуясь только такими интегральными величинами, как электродвижущая сила , в
электрическое напряжение , электрический заряд , электрический ток , магнитный поток не рассматривая распределения в пространстве и изменения во времени величин и В, характеризующих электромагнитное поле во всех его точках. Такая возможность возникает вследствие того, что мы обычно стремимся создать определенные, достаточно узкие пути для электрического тока, располагая вдоль этих путей проводники из материалов с высокой электрической проводимостью, окруженных хорошо изолирующей средой, например в линиях электропередачи, в электрических сетях, в обмотках электрических машин и т. д., или помещая вдоль этих путей какие-либо другие хорошо проводящие, ограниченные по размерам устройства, например электронные лампы, полупроводниковые приборы, электролитические ванны и т. д.
Совокупность устройств и объектов, образующих пути для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении, называют электрической цепью.
Точно так же мы во многих случаях стремимся создать определенный путь, по которому должны замыкаться линии магнитной индукции, располагая вдоль этого пути тела из ферромагнитного материала с высокой магнитной проницаемостью, окруженные средой со значительно меньшей магнитной проницаемостью, например воздухом. В этом случае представляется возможным с достаточной точностью описывать процесс с помощью таких интегральных понятий, как магнитодвижущая сила и магнитный поток
Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий о магнитодвижущей силе и магнитном потоке, называют магнитной цепью.
Переход от полной картины явлений в электромагнитном поле к упрощенной картине процессов в электрических цепях с учетом допускаемых при этом отклонений от действительной сложной картины явлений и, следовательно, принимаемых при этом абстракций и будет нашей основной задачей в этой главе. Здесь же введем основные общие понятия теории электрических цепей, относящиеся ко всем ее разделам, и дадим им определения. Развитию этой теории посвящаются вторая и третья части настоящего курса.
Элементы электрических цепей. Активные и пассивные части электрических цепей
Основными элементами электрических цепей являются источники электромагнитной энергии, устройства для передачи и преобразования электромагнитной энергии и приемники этой энергии.
Источниками электромагнитной энергии являются различные генерирующие устройства, в которых энергия того или иного вида — тепловая, химическая, ядерная, энергия механического движения и т. д. — преобразуется в электромагнитную. Таковыми являются, например, электрические вращающиеся генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы и т. д. В настоящее время разрабатываются новые устройства для прямого преобразования тепловой, ядерной и химической энергии в электромагнитную, такие, как, например, магнитогидродинамические генераторы и топливные элементы.
Передающими электромагнитную энергию элементами цепи являются, например, линии электропередачи, электрические сети, линии связи.
Преобразование электромагнитной энергии осуществляется с помощью трансформаторов, изменяющих напряжение и ток, преобразователей частоты, усилителей, а также ионных и полупроводниковых инверторов, преобразующих постоянный ток в переменный, выпрямителей, преобразующих переменный ток в постоянный, и т. п.
Приемниками в электрической цепи являются устройства, в которых осуществляется преобразование электромагнитной энергии в энергию другого вида, например в электродвигателях — в механическую работу, в электролизерах и в заряжаемых аккумуляторах — в химическую энергию, в электрических печах и нагревательных устройствах — в тепловую энергию, в радиоприемниках — в акустическую энергию и т. д.
Во всех случаях, когда то или иное устройство — элемент электрической цепи — имеет основным назначением генерирование, передачу, преобразование или потребление электромагнитной энергии, на первый план выдвигается требование его высокого коэффициента полезного действия.
Во многих случаях главным назначением тех или иных элементов электрической цепи является передача или преобразование электрических сигналов, а также выполнение операций измерения тех или иных величин или управления какими-нибудь процессами. Это — телефонные и телеграфные линии связи и их концевые устройства, весьма разнообразные элементы устройств автоматики, электроизмерительных устройств, счетно-решающих и управляющих электронных вычислительных машин, различных радиотехнических устройств и т. д. Для всех них главным требованием является получение определенного качества передаваемого или преобразуемого сигнала. Естественно, и в этих случаях происходят передача и преобразование электромагнитной энергии и имеет значение, хотя и не основное, достижение как можно более высокого коэффициента полезного действия.
Наряду с упомянутыми требованиями элементы электрических цепей должны удовлетворять также многим другим требованиям — надежности работы, долговечности, если необходимо — быстродействию, устойчивости работы, точности действия и т. д.
Соответственно этому электрические цепи современных электротехнических устройств являются весьма сложными. Поэтому и теория электрических цепей все время развивается и ей становятся свойственными все более обобщенные методы. В настоящем курсе, начав с исследования простейших электрических цепей, мы постепенно перейдем к общим методам расчета сложных электрических цепей.
Условимся в дальнейшем часть электрической цепи, в которой действуют источники электромагнитной энергии, называть активной частью цепи, или короче — активной цепью. Ее будем нередко обозначать прямоугольником с буквой А в середине и с тем ииныли иным числом выводов (проводников), с помощью которых она присоединяется к остальной части цепи (рис. 3.1).
Часть электрической цепи, в которой нет источников электромагнитной энергии, будем называть пассивной частью цепи,
или короче — пассивной цепью. Ее будем обозначать также прямоугольником с соответствующим числом выводов для присоединения к остальной части цепи, но с буквой П в середине прямоугольника (рис. 3.2). Предполагается, что внутри этих прямоугольников находятся все элементы рассматриваемой части цепи, со всеми соединениями между ними.
Физические явления в электрических цепях. Цепи с распределенными параметрами
Наиболее простые явления имеют место в электрических цепях постоянного тока. Длительный постоянный ток в электрической цепи может быть только или током проводимости, или током переноса. Ток смещения в диэлектрике не может быть постоянным сколь угодно долгое время, так как электрическое смещение и поляризованность диэлектрика не могут возрастать беспредельно без нарушения электрической прочности диэлектрика. Поэтому в цепь постоянного тока могут входить только такие устройства, в которых ток существует в виде тока проводимости, например провода линии передачи, обмотки машин, электролитические ванны, гальванические элементы, аккумуляторы и т. д., или такие, в которых ток существует в форме тока переноса, например электронные лампы. Конденсаторы с идеальным диэлектриком, удельная проводимость которого предполагается равной нулю, не проводят постоянного тока.
Хотя вокруг цепи постоянного тока существует магнитное поле, но оно не изменяется во времени и, следовательно, в цепи постоянного тока не индуцируются ЭД С.
Если изолирующая среда между проводами обладает хотя и малой, но конечной удельной проводимостью, то под действием постоянного напряжения между проводами через нее будет протекать ток утечки. Ток утечки будет отходить в изолирующую среду от всех элементов проводов, соприкасающихся с ней, в результате чего ток вдоль провода будет иметь разные значения. Здесь мы имеем простейшую цепь с распределенными вдоль нее параметрами, а именно с распределенной вдоль цепи проводимостью утечки.
При переменных токах и напряжениях явления в электрической цепи оказываются более сложными. Переменный ток, т. е. изменяющийся во времени ток, может существовать и в диэлектрике в виде тока смещения. Поэтому в электрическую цепь переменного тока могут входить также конденсаторы, обкладки которых разделены диэлектриком. При переменном напряжении на конденсаторе возникает переменное электрическое поле между его металлическими обкладками, и следовательно, в разделяющем обкладки диэлектрике возникает ток смещения. С учетом тока электрического смещения линии тока, как было отмечено в § 1.7, оказываются всегда замкнутыми.
Рассмотрим процессы в электрической цепи с последовательно включенным конденсатором, происходящие при зарядке и при разрядке конденсатора. Если не принимать во внимание токов смещения, то эта цепь кажется разомкнутой.
Предположим, что при помощи ключа К незаряженный конденсатор включается в некоторый момент времени в цепь источника постоянной ЭДС (рис. 3.3). Конденсатор заряжается; электрические заряды, переносимые от источника ЭДС к обкладкам конденсатора по соединяющим их проводникам, собираются на этих обкладках. По мере увеличения заряда на обкладках возрастает электрическое поле между ними, и в диэлектрике возникают токи электрического смещения. Если охватим одну из обкладок, например обкладку А, замкнутой поверхностью s, то во время, когда по проводнику, пересекающему эту поверхность, протекает к обкладке А ток проводимости , в диэлектрике образуется ток смещения, проходящий сквозь поверхность s изнутри наружу и в точности равный току в проводнике. Линии тока смещения в диэлектрике являются продолжением линий тока в проводнике. Действительно, электрическое поле направлено от положительной обкладки А к отрицательной В и при этом возрастает. Следовательно, линии тока смещения направлены также от положительной обкладки к отрицательной. Электрический ток, протекающий в проводнике к положительной обкладке в виде тока проводимости, продолжает протекать в диэлектрике как ток смещения и далее от отрицательной обкладки в проводнике — вновь в виде тока проводимости. Таким образом, цепь электрического тока является замкнутой.
Если отключить заряженный конденсатор от источника ЭДС и затем замкнуть его на резистор с сопротивлением г (рис. 3.4),
то конденсатор начнет разряжаться. Ток в проводнике будет протекать от положительной обкладки А к отрицательной В. В диэлектрике электрическое поле по-прежнему остается направленным от положительной обкладки к отрицательной. Однако теперь поле ослабевает, и следовательно, вектор плотности тока направлен против вектора смещения D. Линии тока смещения направлены от отрицательной обкладки к положительной и являются продолжением линий тока в проводнике.
Согласно принципу непрерывности электрического тока (см. § 1.7), в любой момент времени как при зарядке, так и при разрядке конденсатора ток смещения в диэлектрике между обкладками конденсатора в точности равен току в проводниках.
Ток смещения при переменном напряжении возникает не только в конденсаторах, т. е. в устройствах, построенных специально для использования их емкости, но также и в диэлектрике, окружающем любые элементы цепи переменного тока, поскольку между этими элементами существует переменное напряжение, т. е. переменное электрическое поле. Так, например, ток смещения возникает в диэлектрике между проводами линии передачи, если напряжение между проводами изменяется во времени (см. рис. 1.19). Вследствие этого переменный ток в проводах линии неодинаков в разных местах линии, даже если удельная проводимость диэлектрика равна нулю, так как вдоль всей линии ток ответвляется от проводов через диэлектрик в виде тока смещения. Очевидно, поэтому провода линии по отношению друг к другу, так же как и конденсатор, обладают емкостью. Сказанное справедливо для любого устройства при переменном токе. Так, например, в реостате при переменном токе появляется переменное падение напряжения, т. е. в проволоке реостата и в окружающем его диэлектрике возникает переменное электрическое поле. Поэтому между отдельными участками проволоки реостата через диэлектрик проходят токи смещения, вследствие чего, принципиально говоря, ток в разных местах проволоки реостата имеет различные значения. Очевидно, поэтому отдельные участки реостата обладают по отношению друг к другу электрической емкостью.
Если по индуктивной катушке проходит переменный ток, то в катушке в отдельных ее витках индуцируется переменная ЭДС. На зажимах катушки и между ее витками появляется переменное напряжение, т. е. переменное электрическое поле, что приводит к возникновению в диэлектрике между витками катушки токов смещения. И в этом случае, строго говоря, ток в различных местах проволоки катушки имеет разные значения. Очевидно, поэтому существует электрическая емкость между витками катушки.
Итак, электрическая емкость принципиально всегда распределена вдоль всей цепи.
То же следует сказать и об индуктивности цепи. Нет такого участка цепи, который при прохождении по нему тока не охватывался бы магнитным потоком. Поэтому при переменном токе на каждом участке цепи индуцируются ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Очевидно, поэтому каждый участок, каждый элемент цепи обладает индуктивностью. Индуктивность имеют не только катушки, но и провода линии, реостаты и любые другие элементы цепи переменного тока. Даже конденсаторы обладают индуктивностью, хотя и очень малой. Таким образом, индуктивность также всегда распределена вдоль всей цепи.
Поглощение электромагнитной энергии и преобразование ее в тепловую энергию при переменном токе происходят точно так же во всех элементах цепи. Не только реостаты, но и индуктивные катушки, и провода линии, а также другие элементы цепи обладают отличным от нуля электрическим сопротивлением, и при прохождении тока в них поглощается электромагнитная энергия и происходит выделение теплоты. Если катушка имеет сердечник из ферромагнитного материала, то, кроме потерь энергии в обмотке катушки, происходят потери энергии в сердечнике на гистерезис и на вихревые токи. В конденсаторах при переменном напряжении имеют место потери в диэлектрике. В электронных лампах теплота выделяется на аноде, так как ускоренные в электрическом поле электроны теряют здесь свою скорость. В ионных приборах электромагнитная энергия переходит в тепловую не только на электродах, но и в газовом промежутке между электродами.
Характеризуя способность какого-либо участка цепи при прохождении по нему тока поглощать электромагнитную энергию электрическим сопротивлением этого участка, мы в соответствии со сказанным должны утверждать, что электрическое сопротивление распределено по всей электрической цепи.
Электрическая цепь, в которой электрические сопротивления и проводимости, индуктивности и электрические емкости распределены вдоль цепи, называют электрической цепью с распределенными параметрами. Соответственно, токи и напряжения в таких цепях меняются в зависимости от времени и от одной пространственной координаты и, следовательно, являются функциями двух переменных. Это обстоятельство существенно усложняет анализ процессов в цепи.
В отдельных участках цепи может происходить преобразование электромагнитной энергии не только в тепловую, но и в другие виды энергии, например в аккумуляторах при их зарядке — в химическую энергию, в двигателях — в механическую работу и т. д. Однако эти преобразования совершаются не обязательно во всех элементах электрической цепи.
При изучении энергетических процессов в электрических цепях переменного тока нам придется обратить особое внимание на то, что электрическое и магнитное поля являются носителями определенного количества энергии. При переменных токах и напряжениях эти поля изменяются во времени. При усилении полей запас энергии в них возрастает, при ослаблении полей — убывает, переходя в другие виды энергии или возвращаясь к источникам энергии, действующим в цепи.
При изменениях тока и напряжения в электрической цепи, как увидим в конце четвертой части курса при рассмотрении переменного электромагнитного поля, вообще говоря, происходит излучение электромагнитного поля с присущей ему энергией. Однако в обычных цепях при сравнительно низких частотах тока и напряжения излучением можно пренебречь.
Наконец, обратим внимание еще на одно существенное обстоятельство, отмеченное уже в § 1.12, а именно на то, что напряжение между двумя любыми точками А и В цепи переменного тока зависит от выбора пути между этими точками, в вдоль которого определяется напряжение. Действительно, имеем Но А два разных пути, например путь и путь (см. рис. 1.35), образуют замкнутый контур , с которым сцепляется переменный магнитный поток Ф, существующий около рассматриваемой электрической цепи. Изменяющийся поток Ф индуцирует в контуре ЭДС. Следовательно,
т. е.
Таким образом, если быть совершенно строгими, то нельзя при переменном токе говорить о напряжении между какими-либо двумя точками цепи, в частности, о напряжении на зажимах цепи, как о некоторой вполне определенной величине. Следует говорить о напряжении между двумя точками цепи вдоль определенного, заданного пути между этими точками.
Все изложенное свидетельствует о большой сложности физических процессов, происходящих в цепях переменного тока.
Параметры электрических цепей. Линейные и нелинейные электрические и магнитные цепи
Из изложенного в предыдущих параграфах ясно, что основными параметрами электрических цепей являются сопротивление r, емкость С и индуктивность L. Если имеет место электромагнитное воздействие на данную цепь со стороны других цепей или даже если внутри данной цепи наблюдается такое воздействие со стороны одного ее участка на другой, то в число параметров цепи войдет еще взаимная индуктивность М.
Строго говоря, параметры цепи почти всегда в какой-то мере зависят от тока и напряжения. Сопротивление г меняется с изменением тока хотя бы потому, что в этом случае изменяется температура проводников. Емкость конденсатора может зависеть от напряжения, если диэлектрическая проницаемость вещества диэлектрика в конденсаторе зависит от напряженности электрического поля. Индуктивность катушки зависит от тока, если магнитная проницаемость вещества сердечника катушки зависит от напряженности магнитного поля.
В общем случае зависимости параметров r, L и С от значений токов, напряжений или их направлений приводят к тому, что характеристики элементов электрической цепи оказываются нелинейными (кривые 1 на рис. 3.6).
Зависимость напряжения на зажимах элемента электрической цепи от тока в нем называют вольтамперной характеристикой (ВАХ) (рис. 3.6, а).
Зависимость заряда конденсатора от приложенного к нему напряжения называют к улон-вольтной характеристикой (рис. 3.6, б).
Зависимость потокосцепления элемента или участка электрической цепи от тока в ней называют вебеpамперной характеристикой (рис. 3.6, в).
Однако во многих случаях, когда нелинейности характеристик выражены весьма слабо, ими можно пренебречь и полагать параметры цепи не зависящими ни от тока, ни от напряжения. В этих случаях характеристики элементов электрической цепи определяются на диаграммах прямыми линиями (кривые 2 на рис. 3.6). Такие элементы цепи называют линейными. Процессы в цепях, содержащих только линейные элементы, описываются при постоянных токах линейными алгебраическими уравнениями, а при изменяющихся во времени токах — линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Соответственно, такие цепи называют линейными электрическими цепями. Вся вторая часть будет посвящена теории линейных электрических цепей.
Когда параметры элементов электрической цепи существенно зависят от тока или напряжения и, соответственно, характеристики этих элементов имеют на диаграммах криволинейный характер, такие элементы называют нелинейными. Если электрическая цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, то она является нелинейной электрической цепью.
Магнитные цепи, содержащие участки из ферромагнитных материалов, как правило, нелинейны, так как магнитная проницаемость этих материалов зависит от напряженности магнитного поля.
Изучение нелинейных электрических и магнитных цепей имеет большое практическое значение в связи с широким использованием особых свойств таких цепей в современных электротехнических устройствах, особенно в устройствах автоматического управления и регулирования, в электроизмерительной технике, в радиотехнике и т. д. Явления в нелинейных цепях более сложны, чем в линейных, а поэтому более сложны и методы анализа явлений в нелинейных цепях. Основные положения теории нелинейных электрических и магнитных цепей будут рассмотрены в третьей части.
В дальнейшем в настоящей главе и во второй части будем предполагать, что параметры цепи не зависят от тока и напряжения, а также, если это не будет оговорено особо, и от времени, т. е. что они постоянны.
В виде примеров расчета величин Си! получим их выражения для некоторых простых элементов цепи.
Емкость плоского конденсатора определим, пренебрегая искажением поля у его краев. Применим постулат Максвелла к
замкнутой поверхности, охватывающей заряд q одной пластины. След этой замкнутой поверхности изображен на рис. 3.7 штриховой линией. Часть поверхности внутри конденсатора проведем нормально к линиям напряженности поля. Линии поля пересекают только эту часть замкнутой поверхности, равную поверхности пластины. Таким образом,
Разность потенциалов пластин конденсатора равна линейному интегралу вектора Е вдоль некоторого пути между пластинами. Пусть d — расстояние между пластинами. Избирая путь интегрирования вдоль линии напряженности поля и замечая, что в однородном поле Е = const, получим
Следовательно,
Определим еще емкость отрезка концентрического кабеля длиной , с радиусом внутреннего провода и внутренним радиусом наружного провода (рис. 3.8). Окружим внутренний провод замкнутой поверхностью, образованной цилиндрической поверхностью с радиусом r и двумя плоскими торцевыми поверхностями на концах отрезка кабеля. Поток вектора D сквозь торцевые поверхности равен нулю. Применяя к этой замкнутой поверхности постулат Максвелла, получаем
причем q — заряд рассматриваемого отрезка кабеля.
Разность потенциалов между внутренним и наружным проводами определяется интегралом:
и, следовательно,
Найдем выражение для индуктивности того же концентрического кабеля, полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. На рис. 3.9 изображены линии напряженности магнитного поля в таком кабеле. Магнитным потоком в теле обратного провода пренебрегаем ввиду малой толщины этого провода. Магнитное поле вне кабеля отсутствует, так как сумма токов в прямом и обратном проводах равна нулю, и следовательно, равен нулю линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по любому контуру, охватывающему весь кабель. Таким образом, остается учесть поток в изолирующем веществе и поток в теле внутреннего провода. Оба эти потока определяются только током i во внутреннем проводе. Рассматриваемый пример особенно интересен тем, что здесь необходимо рассчитать потокосцепление, которое определяется линиями магнитной индукции, проходящими в теле самого провода. Напряженность поля в изолирующем слое найдем из закона полного тока:
Напряженность поля в теле внутреннего провода получаем из этого закона, учитывая, что магнитные линии здесь охватывают только часть тока, равную
причем г — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Н. Последняя формула справедлива только при условии равномерного распределения тока по сечению провода, т. е., строго говоря, как увидим дальше, только при постоянном токе.
Разделим поток на кольцевые трубки, имеющие прямоугольное поперечное сечение , где — длина отрезка кабеля. Поток сквозь сечение такой трубки
Трубки магнитной индукции, расположенные в слое изоляции, сцепляются один раз со всем током i, и, следовательно, приняв для вещества изоляции для этих трубок имеем
Потокосцепление , определяемое линиями магнитной индукции, расположенными в изолирующем слое, равно
Трубки магнитной индукции, расположенные в теле внутреннего провода, сцепляются только с частью тока, равной . Если весь провод рассматривать как один виток, то отношение представляет собой часть витка, охватываемую данной трубкой магнитной индукции. Поэтому поток в трубке дает потокосцепление со всем током i, равное
где — абсолютная магнитная проницаемость материала провода. Потокосцепление , определяемое линиями магнитной индукции, замыкающимися в теле провода, имеет значение
Искомая индуктивность выражается формулой
Из приведенных примеров становятся ясны высказанные в §1.8 и 1.11 общие положения, что емкость С определяется параметром среды, где существует электрическое поле, и геометрическими размерами, а индуктивность L определяется абсолютными магнитными проницаемостями р сред, в которых существует магнитное поле, и геометрическими размерами.
Для емкости и индуктивности кабеля характерна также прямая зависимость их от длины отрезка кабеля. Возможность представления кабеля сосредоточенной емкостью или индуктивностью, как было отмечено в § 3.4, зависит от того, насколько в кабеле меньше произведение скорости света на промежуток времени, за который процесс повторяется (период Т для периодических процессов), его длины. Пусть частота рассматриваемого процесса равна 50 кГц. Тогда период процесса равен то такой кабель может быть рассмотрен как участок цепи, имеющий сосредоточенные параметры.
Связи между напряжением и током в основных элементах электрической цепи
Обратимся вновь к простой электрической цепи, изображенной на рис. 3.5.
Первый участок цепи ah мы охарактеризовали сопротивлением г. Зная г, при заданном токе i можно, пользуясь законом Ома, найти напряжение необходимое для преодоления сопротивления этого участка цепи, а именно
Второй участок цепи Ьс представляет собой конденсатор. Зная емкость конденсатора С, можно при заданном значении его заряда q найти напряжение ис из соотношения . Между током i и зарядом q существует связь . Следовательно,
где q(0) — заряд конденсатора в момент t = 0, т. е. в момент, от которого начинаем отсчет времени. Соответственно,
где ис(0) — напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t= 0.
Третий участок цепи cd представляет собой индуктивную катушку. Зная индуктивность катушки £, можно при заданном токе определить потокосцепление самоиндукции и при заданной скорости изменения тока найти возникающую в цепи ЭДС самоиндукции , а также напряжение на зажимах катушки
Выражая ток i в катушке и поток в ней через напряжение uL на ее зажимах, получим
где — ток и поток в начальный момент времени t = 0.
При наличии взаимной индуктивности соответственно будем иметь
Выражая ток через напряжение , найдем
Напряжение на любом участке цепи равно линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого участка. Так как мы полностью пренебрегли электродвижущими силами, индуцируемыми переменными магнитными потоками в первом и во втором участках, то электрическое поле около этих участков является потенциальным. Следовательно, в выражениях
пути интегрирования между точками а и b и между точками b и с могут быть заданы произвольно. Эти пути только не должны проходить через область магнитного поля катушки. В частности, они могут проходить вдоль проволоки реостата и внутри диэлектрика конденсатора. Но они могут пролегать и около реостата или около конденсатора, где также существует электрическое поле.
В выражении
интеграл должен быть взят также вдоль пути, не проходящего в магнитном поле катушки, но отнюдь не вдоль проволоки катушки. Поясним это положение. Для простоты предположим, что катушка имеет один виток, совмещенный с плоскостью
рисунка (рис. 3.10). Магнитный поток Ф, сцепляющийся с витком, проходит сквозь площадь, охватываемую витком (заштрихована на рисунке). Линейный интеграл напряженности электрического поля, взятый по пути внутри проволоки витка, равен нулю, так как мы полностью пренебрегли сопротивлением витка, а следовательно, напряженность электрического поля внутри материала проволоки равна нулю.
Согласно закону электромагнитной индукции, имеем
Так как , то
При сделанных допущениях и оговорках можно, согласно сказанному в § 1.8 и 1.12, применять для величин наряду с термином напряжение также и термин разность потенциалов.
Условные положительные направления тока и ЭДС в элементах цепи и напряжения на их зажимах
При анализе процессов в электрической цепи необходимо обязательно задать условные положительные направления токов и ЭДС в элементах цепи и напряжений на их зажимах, обозначив такие направления на рисунке стрелками. Эти условные положительные направления можно задать произвольно. Действительные мгновенные ток напряжение и ЭДС будут положительны, если действительные направления тока, напряжения и ЭДС в данный момент времени совпадают с условно заданными положительными их направлениями. В дальнейшем для краткости часто вместо «условное положительное направление» будем говорить «положительное направление», всегда понимая под этим, если не оговорено особо, именно условное положительное, а не действительное направление соответствующей величины.
Иногда удобно выражать условное положительное направление токов, напряжений или ЭДС не стрелками, а двойными индексами у их буквенного обозначения — Эти индексы должны соответствовать обозначениям точек на графическом изображении цепи, причем положительным считается направление от точки цепи, отвечающей первому индексу, к точке цепи, отвечающей второму индексу. Например. , когда действительное напряжение направлено от точки а к точке Ь.
Приняв приведенные в предыдущем параграфе связи между и между и , и между мы должны считать условные положительные направления тока, напряжения и ЭДС в каждом отдельном элементе цепи ориентированными в одну и ту же сторону, что показано стрелками на рис. 3.11.
В самом деле, согласно связи u, величины должны быть при одного знака, т. е.
одновременно положительны (знаки «+» и «-» на рис. 3.11) или одновременно отрицательны, что и соответствует одинаковому выбору их условных положительных направлений, т. е. одинаковому направлению стрелок. Это соответствует также тому, что всегда мощность
Для конденсатора имеем связь , так как для того чтобы было С > 0, как сказано в § 1.8, необходимо брать заряд той пластины, от которой отсчитывается напряжение, т. е.
Согласно этой связи, величины — одного знака. Пусть в некоторый момент времени ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму Пусть конденсатор заряжается, т. е. (знаки « + » и «-» на рис. 3.11), а следовательно, и , что соответствует выбору условных положительных направлений , т. е. выбору стрелок, в одном направлении. Это соответствует также тому, что при зарядке конденсатора энергия поступает в него и мощность на его зажимах положительна:
Для катушки имеем связь , причем всегда
а поток самоиндукции ,. и ток в катушке i всегда одного знака — направление тока и направление линий потока самоиндукции связаны между собой правилом правого винта. Если ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму Ь, то Пусть при этом ток возрастает, т. е. , тогда (знаки «+» и «-» на рис. 3.11).
Таким образом, и для катушки, выбрав связь мы тем самым выбираем условные положительные направления тока i и напряжения uL, т. е. направления их стрелок, в одну сторону. Все это соответствует также тому, что при возрастании положительного тока, т. е. при возрастании абсолютного значения тока, увеличивается энергия магнитного поля в катушке и мощность на ее зажимах положительна:
Условное положительное направление для ЭДС следует принимать таким же, как и для , так как при этом в соответствии со связью — всегда действительные направления будут противоположны, т. е. если, например, действительное направление величины на зажимах катушки будет по ее стрелке (от «+» к «-» на рис. 3.11), то действительное направление величины в катушке в тот же момент времени окажется против ее стрелки (от «-» к « + » на рис. 3.11). Напряжение , как было разъяснено в предыдущем параграфе, следует брать по пути между зажимами катушки вне ее магнитного поля, например от зажима с к зажиму d по пути на рис. 3.10.
Рассмотрим теперь взаимную индуктивность М между двумя контурами. Важно иметь в виду, что если для всякого электрического контура то взаимная индуктивность М может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю, так как знаки потоков взаимной индукции зависят при выбранных положительных направлениях токов в контурах также еще и от взаимного расположения контуров. Положительные направления токов в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно. Поскольку эти направления выбраны, то величину М мы должны считать положительной, когда при положительных токах потоки взаимной индукции, сцепляющиеся с контурами, оказываются также положительными, т. е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции. Иными словами, М > 0, если при положительных токах магнитные потоки в контурах направлены согласно, и М < 0, если при положительных токах потоки направлены встречно.
При этих условиях, исходя из принятых в § 1.11 выражений для ЭДС взаимнои индукции и принимая связи между напряжениями и ЭДС в виде (с учетом, что ) мы должны условные положительные направления для этих величин принять такими же, как и для , т. е. совпадающими с условными положительными направлениями токов , что и показано стрелками на рис. 3.12.
Часто вместо этого маркируют один из зажимов каждой катушки жирной точкой (•) (рис. 3.12). Это значит, что если положительное направление тока в обмотке одной из катушек принято от точки, то и положительное направление напряжения на зажимах другой катушки и ЭДС взаимной индукции в ней также принимается от точки.
Соответственно выбранным положительным направлениям токов или соответственно выбранной маркировке точками должен быть задан знак взаимной индуктивности, например М = +0,5 Гн или М = -0,5 Гн.
Мы будем стремиться, как правило, выбирать положительное направление токов и маркировку точками согласованными между собой, как это сделано на рис. 3.12.
При этом то и другое обозначения взаимно заменяют друг друга. Если бы в особых случаях выбор положительных направлений токов оказался не согласованным с маркировкой точками, а знак М мы по-прежнему связали бы с маркировкой точками, то это значило бы, что надо писать
Источники ЭДС и источники тока
Источники энергии в электрических цепях принято рассматривать как источник и ЭДС или как источники тока. К источникам ЭДС обычно относят источники электромагнитной энергии, в которых ЭДС е не зависит или практически не зависит от тока, идущего от источника в приемник, и внутреннее сопротивление которых мало, так что напряжение на зажимах источника сравнительно мало изменяется в пределах изменения тока от нуля до номинального . На рис. 3.13 приведена так называемая внешняя характеристика, т. е. зависимость , такого источника при
Она представляет собой прямую линию. Линейная цепь должна содержать только источники ЭДС с такой линейной характеристикой. Если и и такой источник будем называть идеальным источником ЭДС. Если у реального источника, имеющего , условно вынести его внутреннее сопротивление, то получим условное изображение источника ЭДС, приведенное на рис. 3.14, а. Необходимо указать стрелкой положительное направление ЭДС е. В общем случае это есть условное положительное направление ЭДС, так как ЭДС может быть переменной, например периодической, величиной. Если теперь отнести к приемнику, добавив его к сопротивлению приемника (рис. 3.14, б), то цепь будет рассматриваться как содержащая идеальный источник ЭДС.
В случае когда характеристика криволинейна, что может быть, если величина е нелинейно зависит от i или когда
зависит от i цепь, содержащая такой источник, является нелинейной цепью.
Во второй части, посвященной теории линейных электрических цепей, будем предполагать, что источники ЭДС обладают линейной характеристикой. Источниками ЭДС в указанном смысле являются, например, аккумуляторы, гальванические элементы, вращающиеся электрические генераторы постоянного тока.
К источникам тока обычно относят источники электромагнитной энергии, в которых ток не зависит или практически не зависит от напряжения и, которое создается источником на зажимах приемника. Условимся в дальнейшем заданный ток источника тока обозначать буквой 3, чтобы отличать его от токов i в приемнике и в различных его участках. Это будет соответствовать принятому отличию обозначения заданной ЭДС е источника ЭДС от обозначения
напряжения и на зажимах приемника и на его различных участках. Предполагается, что источник тока имеет достаточно малую внутреннюю проводимость , так что ток поступающий в приемник, мало изменяется в пределах изменения напряжения и от нуля до номинального . На рис. 3.15 показана внешняя линейная характеристика источника тока при Здесь же приведена характеристика идеального источника тока, имеющего при котором
Если условно вынести проводимость , то получим условное изображение источника тока, приведенное на рис. 3.16, а. Необходимо указать стрелкой условное положительное направление тока 3. Если отнести проводимость к приемнику, добавив ее к проводимости приемника (рис. 3.16, б), то цепь будет рассматриваться как содержащая идеальный
источник тока. При изучении теории линейных цепей будем предполагать, что источники тока обладают линейной характеристикой. Источниками тока в указанном смысле являются, например, источники энергии, основанные на излучении заряженных частиц, выделяющихся при радиоактивном распаде вещества, так как при этом ток источника определяется скоростью распада.
Важными разновидностями источников ЭДС и тока являются зависимый источник ЭДС и зависимый источник тока. Зависимым источником электродвижущей силы называют такой источник, в котором ЭДС зависит от тока или напряжения в некотором участке цепи. Часто такие источники также называют управляемыми. Если значение ЭДС источника зависит от тока (или напряжения), то говорят, что такой источник управляем током (или напряжением).
Аналогично источник тока, в котором ток зависит от тока или напряжения в некотором участке цепи, называют зависимым источником тока. Если значение тока источника зависит от напряжения (или тока), то говорят, что такой источник управляем напряжением (или током).
При задании значений ЭДС или тока зависимых источников должны быть одновременно даны коэффициенты пропорциональности между управляемыми и управляющими величинами при их заданных условно-положительных направлениях и месторасположение управляющей величины.
На рис. 3.17 показаны различные зависимые источники: зависимый источник ЭДС, управляемый током (рис. 3.17, а) или напряжением (рис. 3.17, б); зависимый источник тока, управляемый током (рис. 3.17, в) или напряжением (рис. 3.17, г). На рис. 3.17 коэффициент а имеет размерность сопротивления, коэффициенты — безразмерные величины, а коэффициент имеет размерность проводимости. При изменении условно-положительного направления управляющего тока или управляющего напряжения при сохранении направления ЭДС или тока источника следует менять знаки или все зависимости записать со знаком минус. Например, пусть ЭДС зависимого источника направлена, как показано на рис. 3.17, а. Если ток в ветви q направлен от b к а, то для ЭДС в ветви р будем иметь выражение
Примером зависимого источника может служить операционный усилитель, в котором входной и выходной величинами являются напряжения (рис. 3.17, д). Эквивалентная схема операционного усилителя, который имеет бесконечно большое входное и пренебрежимо малое выходное сопротивления, показана на рис. 3.17, е. В случае, когда полярности напряжений на входе и выходе усилителя противоположны, коэффициент усиления принимается равным k, и такой усилитель называют инвертирующим.
На входе операционного усилителя может действовать несколько напряжений, а некоторые из них могут быть подключены к так называемому инвертирующему входу (рис. 3.17, ж). Операционный усилитель с двумя входами, один из которых является инвертирующим, представлен эквивалентной схемой, показанной на рис. 3.17, з. В этом случае .
Схемы электрических цепей
Электрическую цепь на чертежах изображают в виде схемы, под которой понимают графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения этих элементов. Например, на рис. 3.18 представлена электрическая схема цепи, в которую входят следующие устройства: генератор переменного тока 1, трансформаторы 2 и 5, линии электропередачи 3 и 4, преобразователь переменного тока в постоянный 6, нагрузка 7.
Исследование процессов в электрической цепи требует знания связей между токами и напряжениями отдельных ее участков. Эти связи могут быть определены в виде математических соотношений (например, вида .).
Они могут быть заданы и в виде вольт-амперных или иных характеристик.
Как правило, задание связей в виде вольт-амперных или иных характеристик — результат либо невозможности математического описания процессов в данном устройстве, либо сложности решения полевых уравнений, либо незнания внутренней структуры устройства. В таких случаях единственным способом получения и описания характеристик устройства остается опыт, при помощи которого могут быть измерены интересующие нас токи, напряжения, заряды, потокосцепления и построены соответствующие характеристики. При наличии таких характеристик можно с тем или иным приближением описать их в виде математических связей, чтобы иметь возможность выполнить аналитическое исследование процессов в цепи. Разумеется, такой переход в общем случае не нужен, если анализ процессов в цепи производится численными методами.
Записанные в аналитической форме соотношения между токами, напряжениями, зарядами, потокосцеплениями элемента электрической цепи являются математической моделью этого элемента. Так, например, есть математическая модель резистора; — математическая модель идеальной индуктивной катушки; — приближенная математическая модель либо реальной катушки при условии пренебрежения токами смещения между витками катушки, либо цепи, содержащей резистор и идеальную индуктивную катушку, включенные последовательно.
И наоборот, математическим соотношениям, приведенным выше, могут быть поставлены в соответствие электрические цепи, содержащие идеальные индуктивные катушки и резисторы.
Условные изображения таких основных идеализированных элементов электрической цепи, каковыми являются резистор, конденсатор, индуктивная катушка, катушки с индуктивной связью, источники ЭДС и тока, были приведены на рис. 3.11, 3.12, 3.14, 3.16.
Математическим соотношениям между токами, напряжениями, потокосцеплениями, зарядами и другими величинами, следовательно, могут быть поставлены в соответствие электрические цепи, содержащие только идеализированные элементы и др. Очевидно, схемы таких цепей и сами цепи тождественны, так как каждому элементу схемы соответствует единственный элемент идеализированной цепи.
Таким образом, для расчета процессов в электрической цепи следует определить математические соотношения для отдельных участков исходной цепи, по этим соотношениям построить некую другую цепь, анализ процессов в которой заменит анализ процессов в исходной реальной цепи.
Схему этой другой электрической цепи, отображающей при определенных условиях свойства реальной цепи, называют схемой замещения электрической цепи или кратко — схемой замещения.
Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, схема которой изображена на рис. 3.18. Можно составить некоторую схему замещения (рис. 3.19) этой цепи, если принять во внимание соображения, приведенные в § 3.2-3.8. Пусть источником энергии служит конструкция (генератор), описанная в § 4.1 (см. рис. 4.2 и 4.3). Такой генератор является источником периодической ЭДС. Если частота этой ЭДС, а следовательно, и токов в цепи достаточно низка, то можно приближенно пренебречь токами смещения между витками обмотки генератора и представить эту обмотку в виде индуктивной катушки и резистора, являющегося активным сопротивлением обмотки генератора. Электродвижущую силу, индуцируемую в обмотке статора за счет вращения магнитного поля ротора, представим идеальным источником ЭДС. Таким образом, схема замещения генератора будет состоять из трех идеальных элементов: (рис. 3.19, а).
Эти три элемента должны быть соединены последовательно, так как и энергия магнитного поля , и потери энергии Ргв проводниках обмотки, и напряжение ir определяются током в обмотке. Трансформаторы 2 и 5 могут быть представлены в виде двух индуктивно-связанных катушек ( для трансформатора 2 и, соответственно, для трансформатора 5), если пренебречь потерями энергии в ферромагнитных элементах конструкции трансформатора и нелинейными свойствами ферромагнитного материала (подробнее см. ч. III, § 3.9). Резистор г2 является активным сопротивлением обмотки трансформатора 2. Линии передачи 3 и 4 для данной частоты даны в виде совокупности элементов и , которые включены в схему замещения линии исходя из следующих соображений.
Путь тока в линии и связанные с ним энергия магнитного поля и потери энергии представлены в виде последовательно соединенных элементов , . Наличие энергии электрического поля, которая определяется напряжением линии, учитывается двумя конденсаторами ( для линии 3 и для линии 4), включенными в начале и в конце линии. Можно было включить и один конденсатор либо в начале, либо в конце линии.
Естественно, что при этом должны быть скорректированы параметры линии для того, чтобы оставить неизменными потери энергии в линии и разность напряжений в начале и в конце линии. Именно эти величины взяты в качестве определяющих, так как для характеристик линии экономически важны значение потерь в линии и падение напряжения на линии. Разумеется, такая простая схема замещения линии не учитывает распределенный характер параметров линии (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в т. II, гл. 17 и 18).
Преобразование переменного тока в постоянный производится при помощи использования особых свойств нелинейных элементов НЭ6 (в данном случае диодов), вольт-амперная характеристика которых приведена на рис. 3.19, б. Благодаря такой ВАХ происходит выпрямление переменного тока. Нагрузка представлена резистором и конденсатором . Наличие конденсатора дает возможность улучшить форму кривой тока в резисторе, уменьшая ее пульсации.
Приведенная на рис. 3.19, а схема замещения электрической цепи, схема которой дана на рис. 3.18, является приближенной в пределах тех допущений, которые сделаны при представлении схем замещений отдельных устройств, входящих в состав цепи.
Для каждого элемента схемы рис. 3.19, а могут быть записаны в аналитическом или графическом виде соотношения между токами, напряжениями, зарядами и потокосцеплениями. Составление математических соотношений, а следовательно, и схем замещений является специфической для инженера задачей, решение которой требует глубокого понимания особенностей электромагнитных процессов, умения решать в общем случае задачи исследования распределения электромагнитного поля.
В дальнейшем, если не сделаны специальные оговорки, будем употреблять термин «электрическая цепь» применительно к цепи с идеализированными элементами, электрическая схема и схема замещения которой тождественны.
Электрическая цепь и, соответственно, ее схема имеют в общем случае ветви и узлы.
Ветвью электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют весь участок электрической цепи, в котором в любой момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего участка.
Ветвь может содержать любое число последовательно соединенных элементов цепи: участков с сопротивлением, конденсаторов, индуктивных катушек, источников ЭДС. При этом последовательным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток.
Примером схемы цепи с последовательным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.14.
Узлом электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют место соединения ветвей. На схеме узел изображают точкой.
Параллельным соединением участков (ветвей) электрической цепи называют соединение, при котором все участки (ветви) цепи присоединяются к одной паре узлов и на всех этих участках (ветвях) имеется одно и то же напряжение. Примером схемы цепи с параллельным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.16.
Смешанным соединением участков электрической цепи называют сочетание последовательного и параллельного соединений.
Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и параллельному соединению участков (пример — схемы цепей на рис. 3.23, а и 3.22, а).
Электрическую цепь называют плоской (планарной), если она может быть изображена на плоскости в виде схемы с непересекающимися ветвями. Пример схемы плоской цепи дан на рис. 3.23, а; на рис. 3.22, а изображена неплоская (непланарная) цепь.
Контуром электрической цепи называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Пример — контур abca на рис. 3.22, а.
В заключение отметим, что любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником. Двухполюсник условно на схеме изображают прямоугольником с двумя выводами (рис. 3.20). Рассмотрение целой части как одного двухполюсника полезно при выяснении общих свойств этих частей цепи. Различают активные (рис. 3.20, а) и пассивные (рис. 3.20, б) двухполюсники.
Активным называют двухполюсник, содержащий источники электрической энергии. Для линейного двухполюсника обязательным дополнительным условием является наличие на его разомкнутых зажимах напряжения, обусловленного источниками электрической энергии внутри двухполюсника, т. е. необходимо, чтобы действия этих источников энергии не компенсировались взаимно внутри двухполюсника.
Пассивным называют двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии. Линейный двухполюсник может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых зажимах равно нулю.
Оговорка о возможности наличия взаимно компенсирующихся источников, при которых двухполюсник остается пассивным, необходима, так как сама идея представления целой части цепи как двухполюсника заключается в рассмотрении общих свойств этой части цепи лишь со стороны ее входных зажимов. Эта оговорка относится исключительно к линейным цепям, потому что в нелинейных цепях такая компенсация может быть только для одного или только для нескольких определенных режимов и не будет иметь места для других режимов, так как параметры нелинейной цепи зависят от тока или напряжения.
Теоретические основы электротехники как наука
Электротехника как наука, изучающая свойства и особенности электрической энергии, легла в основу развития многих отраслей знаний — таких как медицина, биология, астрономия, геология, математика и др.
Азбукой электротехники являются ее теоретические основы. В настоящем учебнике теоретические вопросы электротехники рассматриваются в неразрывной связи с практическими задачами, что обеспечивает студентам знание качественных и количественных соотношений в различных процессах.
Данный курс является базой для изучения специальных предметов, поэтому является одной из важнейших дисциплин в процессе подготовки студентов по электро-, приборо-, радио-, кибернетическим и другим специальностям.
В учебнике условные обозначения соответствуют Единой системе конструкторской документации (ЕСКД).
Электрический заряд
Каждый химический элемент (вещество) состоит из совокупности мельчайших материальных частиц — атомов.
В состав атомов любого вещества входят элементарные частицы, часть которых обладает электрическим зарядом. Атом представляет собой систему, состоящую из ядра, вокруг которого вращаются электроны.
В ядре атома сосредоточены протоны, несущие в себе положительный заряд. Электроны имеют отрицательный электрическим заряд. В электрически нейтральном атоме заряд электронов равен по абсолютной величине заряду протонов.
Электроны вращаются вокруг ядра по строго определенным орбитам (слоям). В каждом слое количество электронов не дол-дно превышать определенного числа ( — номер слоя). Так, например, в первом, ближайшем к ядру слое могут находиться максимум два электрона, во втором — не более восьми и т. д.
Порядковый номер химического элемента в Периодической таблице Менделеева численно равен положительному заряду ядра этого элемента, следовательно, и числу вращающихся вокруг него электронов. На рис. 1.1 схематически показана структура атомов водорода (а), кислорода (б) и алюминия (в) с порядковыми номерами 1, 8 и 13.
Атомы, у которых внешние электронные слои целиком заполнены, имеют устойчивую электронную оболочку. Такой атом прочно держит все электроны и не нуждается в получении добавочного их количества.
Атом кислорода, например, имеющий шесть электронов, размешенных во внешнем слое, обладает возможностью притянуть к себе два недостающих электрона для заполнения внешнего электронного слоя. Это достигается путем соединения с атомами таких элементов, у которых внешние электроны слабо связаны со своим ядром. Например, электронами внешнего (третьего) слоя атома алюминия, которые слабо удерживаются и легко могут быть вырваны из атома.
Если нарушается равенство числа электронов и протонов, то из электрически нейтрального атом становится заряженным. Заряженный атом называется ионом.
Если в силу каких-либо причин атом потеряет один или несколько электронов, то в нем нарушится равенство зарядов и такой атом становится положительным ионом, поскольку в нем преобладает положительный заряд протонов ядра. Если атом приобретает один или несколько электронов, то он становится отрицательным ионом, так как в нем преобладает отрицательный заряд.
Вещество (твердое тело, жидкость, газ) считается электрически нейтральным, если количество положительных и отрицательных зарядов в нем одинаково. Если же в нем преобладают положительные или отрицательные заряды, то оно считается соответственно положительно или отрицательно заряженным.
В Единой системе конструкторской документации (ЕСКД), которая используется в данном учебнике, электрический заряд (количество электричества) обозначается буквой Q или q, а единицей заряда (в системе СИ) является 1 кулон, то есть (кулон). Электрон и протон имеют равный по величине, но противоположный по знаку заряд .
Электрический заряд или заряженное тело создают электрическое поле.
Электрическое поле — это пространство вокруг заряженного тела или заряда, в котором обнаруживается действие сил на пробный заряд, помещенный в это пространство.
Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами, называется электростатическим.
Напряженность электрического поля
Обнаружить электрическое поле можно пробным зарядом, если поместить его в это поле. Пробным называется положительный заряд, внесение которого в исследуемое поле не приводит к его изменению. То есть пробный заряд не влияет ни на силу, ни на энергию, ни на конфигурацию поля.
Если в точку А электрического поля (рис. 1.2), созданного зарядом Q, расположенную на расстоянии г от него, внести пробный заряд q, то на него будет действовать сила причем если заряды Q и q имеют одинаковые знаки, то они отталкиваются (как это изображено на рис. 1.2), а если разные, то притягиваются.
Величина силы , действующей на пробный заряд q, помешенный в точку А электрического поля, пропорциональна величине заряда q и интенсивности электрического поля, созданного зарядом Q в точке А
где — напряженность электрического поля, характеризующая интенсивность поля в точке А.
Из (1.1) видно, что
То есть напряженность каждой точки электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на единицу заряда, помещенного в эту точку. Таким образом, напряженность является силовой характеристикой каждой точки электрического поля.
Измеряется напряженность электрического поля в вольтах на метр
Напряженность электрического поля — величина векторная.
Направление вектора напряженности в любой точке электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля (см. рис. 1.2).
Поскольку в дальнейшем будут учитываться только значения силы и напряженности, будем обозначать их соответственно.
Напряженность является параметром каждой точки электрического поля и не зависит от величины пробного заряда q. Изменение величины q приводит к пропорциональному изменению силы F (1.1), а отношение (1.2), т. е. напряженность остается неизменной.
Для наглядности электрическое поле изображают электрическими линиями, которые иногда называют линиями напряженности электрического поля, или силовыми линиями. Электрические линии направлены от положительного заряда к отрицательному. Линия проводится так, чтобы вектор напряженности поля в данной точке являлся касательной к ней (рис. 1.3в).
Электрическое поле называется однородным, если напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению. Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга.
Однородное поле, например, существует между пластинами плоского конденсатора (рис. 1.3г).
Напряженность поля точечных зарядов
Точечным считается заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается его действие.
Сила взаимодействия F двух точечных зарядов Q и q (рис. 1.2) определяется по закону Кулона:
где г — расстояние между зарядами; — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды.
Из (1.3) следует, что напряженность электрического поля заряда Q в точке А (рис. 1.2) равна
Таким образом, напряженность поля Ел, созданная зарядом Q в точке А электрического поля, зависит от величины заряда Q, создающего поле, расстояния точки А от источника поля г и от абсолютной диэлектрической проницаемости среды , в которой создается поле. Диэлектрическая проницаемость характеризует электрические свойства среды, т. е. интенсивность поляризации.
Единицей измерения абсолютной диэлектрической проницаемости среды является фарад на метр
так как Кл/В = Ф.
Различные среды имеют разные значения абсолютной диэлектрической проницаемости.
Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума
называется электрической постоянной.
Абсолютную диэлектрическую проницаемость любой среды удобно выражать через электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость — табличную величину (Приложение 2).
Диэлектрическая проницаемость , которую иногда называют относительной, показывает, во сколько раз абсолютная диэлектрическая проницаемость среды больше, чем электрическая постоянная, т. е.
Из (1.6) следует
Таким образом, напряженность электрического поля, созданного зарядом Q на расстоянии от него, определяется выражением
Напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами в какой-либо точке А этого поля, определяется
геометрической суммой напряженностей, созданных в этой точке каждым точечным зарядом: (см. рис. 1.4).
Пример задачи с решением 1.1
Расстояние между точечными зарядами Вычислить величину напряженности в точке А, удаленной от заряда на расстояние а от заряда на расстояние (рис. 1.5), если: Кл;
Решение:
Напряженность, созданная зарядом в точке А
Напряженность, созданная зарядом в точке А
Направление векторов напряженности , созданных зарядами , и результирующего вектора напряженности в точке А изображены на рис. 1.5.
Между векторами напряженности в данном примере угол равен , что справедливо только для прямоугольного греугольника), следовательно, результирующий вектор напряженности в точке А определяется выражением
Теорема Гаусса
Произведение напряженности электрического поля Е и площадки 5, перпендикулярной к ней, в однородном электрическом поле называют потоком вектора напряженности поля N сквозь эту площадку (рис. 1.6а)
где — нормальная (перпендикулярная площадке ) составляющая вектора напряженности электрического поля.
Как следует из рис. 1.6а,
Единица измерения потока вектора напряженности
Для неоднородного электрического поля площадку разбивают на элементарные бесконечно малые площадки , для каждой из которых поле можно считать однородным.
Тогда элементарный поток
Для определения потока вектора напряженности сквозь всю площадку элементарные потоки суммируют (интегрируют) по всей площади
Если, например, точечный заряд Q расположен в центре сферической поверхности радиусом (рис. 1.66), то напряженность во всех точках этой поверхности, как следует из (1.8), равна
Векторы напряженности перпендикулярны этой поверхности, т. е. и одинаковы во всех точках этой поверхности. Тогда поток вектора напряженности поля сквозь эту поверхность
где — площадь поверхности шара радиусом
Следовательно, поток вектора напряженности будет равен
То есть поток вектора напряженности N не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения зарядов внутри нее.
Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность определяется отношением суммы зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды
Формула (1.11) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая применяется для расчета электрического поля.
Пример с решением 1.2
Определить поток вектора напряженности электрического поля сквозь сферическую поверхность радиусом (рис. 1.66), заполненную маслом , если в ее центре находится точечный электрический заряд . Определить напряженность электрического поля на поверхности сферы.
Решение:
Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность
Тогда напряженность на поверхности сферы
Напряженность на поверхности сферы можно определить также по формуле (1.8)
То есть результат получился таким же.
Потенциал и напряжение в электрическом поле
Для энергетической характеристики каждой точки электрического поля вводится понятие «потенциал». Обозначается потенциал буквой
Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется энергией W, которая затрачивается (или может быть затрачена) полем на перемещение единицы положительного заряда из данной точки за пределы поля, если поле создано положительным зарядом, или из-за пределов поля в данную точку, если поле создано отрицательным зарядом (рис. 1.7а).
Из приведенного выше определения следует, что потенциал в точке А равен потенциал в точке , а потенциал в точке С — .
Измеряется потенциал в вольтах
Величина потенциала в каждой точке электрического поля определяется выражением
Потенциал — скалярная величина. Если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке поля определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом.
Так как (рис. 1.7а) , то из (1.12) следует, что . если поле создано положительным зарядом.
Если в точку А (рис. 1.7а) электрического поля поместить положительный пробный заряд , то под действием сил поля он будет перемещаться из точки А в точку В, а затем в точку С, т. е. в направлении поля. Таким образом, положительный пробный заряд перемешается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом. Между двумя точками с равными потенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для перемещения заряда между двумя точками электрического поля должна быть разность потенциалов в этих точках.
Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжение U между этими точками
Напряжение между двумя точками электрического поля характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда между этими точками, т. е.
Измеряется напряжение в вольтах (В).
Между напряжением и напряженностью в однородном электрическом поле (рис. 1.8) существует зависимость
откуда следует
Из (1.13) видно, что напряженность однородного электрического поля определяется отношением напряжения между двумя точками поля к расстоянию между этими точками.
В общем случае для неоднородного электрического поля значение напряженности определяется отношением
где — напряжение между двумя точками поля на одной электрической линии на расстоянии между ними.
Единица напряженности электрического поля определяется из выражения (1.13)
Потенциалы в точках электрического поля могут иметь различные значения. Однако в электрическом поле можно выделить ряд точек с одинаковым потенциалом. Поверхность, проходящая через эти точки, называется равнопотенциальной, или эквипотенциальной.
Равнопотенциальная поверхность любой конфигурации перпендикулярна к линиям электрического поля. Обкладки цилиндрического конденсатора (рис. 1.7 б) и плоского конденсатора (рис. 1.9) имеют одинаковый потенциал по всей площади каждой обкладки и являются равнопотенциальными поверхностями.
Пример с решением 1.3
Для условия примера 1.1 определить потенциал в точке А, созданный зарядами .
Решение:
Следовательно, алгебраическая сумма потенциалов равна
Пример с решением 1.4
Точечный заряд Кл помешен в центре плоского воздушного конденсатора, расстояние между пластинами которого равно 4,5 см. Напряжение между пластинами В. Определить напряженность Е электрического поля в точках , находящихся на расстоянии 0,5 см справа и слева от заряда Q и лежащих на электрической линии, проходящей через заряд Q (рис. 1.9).
Решение:
Напряженность однородного электрического поля между пластинами конденсатора
Напряженности, созданные зарядом Q в точках ,
Напряженности, созданные в точках А и В однородным электрическим полем конденсатора и зарядом определяются геометрической суммой векторов напряженностей .
В точке В векторы напряженностей совпадают по направлению, а в точке А векторы направлены в противоположные стороны.
Следовательно:
Электропроводность. Проводники
Способность вещества проводить электрический ток называется электропроводностью.
По электропроводности все вещества делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.
Проводники обладают высокой электропроводностью. Различают проводники первого и второго рода.
К проводникам первого рода относятся все металлы, некоторые сплавы и уголь. В этих проводниках связь между электронами и ядром атома слаба, в результате чего электроны легко покидают пределы атома и становятся свободными. Направленное перемещение свободных электронов и обуславливает электропроводность проводников первого рода. Таким образом, проводники первого рода обладают электронной проводимостью.
К проводникам второго рода относятся электролиты, в которых происходит процесс электролитической диссоциации, разделение молекул на положительные и отрицательные ионы (ионизация). Направленное перемещение ионов обуславливает электропроводность проводников второго рода, т. е. в проводниках второго рода имеет место ионная проводимость.
В проводниках отсутствует электростатическое поле (рис. 1.106).
Если проводник поместить в электростатическое поле, то под действием сил этого поля происходит перемещение зарядов в проводнике: положительных — в направлении внешнего поля, отрицательных — в противоположном направлении (рис. 1.10а). Такое разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля называется электростатической индукцией.
Разделенные внутри проводника заряды создают свое электрическое поле, направленное от положительных зарядов к отрицательным, т. е. против внешнего поля (рис. 1.10а).
Очевидно, разделение зарядов в проводнике прекратится тогда, когда напряженность поля разделенных зарядов
станет равной напряженности внешнего поля в проводнике , т. е. , а результирующее поле
Таким образом, результирующее поле внутри проводника станет равным нулю (рис. 1.10б). На этом принципе работает электростатический экран, защищающий часть пространства от внешних электрических полей (рис. 1.11). Для того чтобы внешние электрические поля не влияли на точность электроизмерения, измерительный прибор помешают внутрь замкнутой проводящей оболочки (экрана), в которой электрическое поле отсутствует (рис. 1.11).
Электропроводность. Диэлектрики
Электропроводность диэлектриков практически равна нулю в силу весьма сильной связи между электронами и ядром атомов диэлектрика.
Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем произойдет поляризация атомов, т. е. смещение разноименных зарядов в самом атоме, но не разделение их (рис. 1.12а). Поляризованный атом (молекула) может рассматриваться как электрический диполь (рис. 1.126), в котором «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смешаются. Диполь — это система двух разноименных зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга в замкнутом пространстве атома или молекулы.
Электрический диполь — это атом диэлектрика, в котором орбита электрона вытягивается в направлении, противоположном направлению внешнего поля (рис. 1.126).
Поляризованные атомы создают свое электрическое поле, напряженность которого направлена против внешнего поля. В результате поляризации результирующее поле внутри диэлектрика ослабляется.
Интенсивность поляризации диэлектрика зависит от его диэлектрической проницаемости (Приложение 2). Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем интенсивней поляризация в диэлектрике и тем слабее электрическое поле в нем:
Этим еще раз подтверждается справедливость формулы (1.8)
Таким образом, напряженность электрического поля обратно пропорциональна абсолютной диэлектрической проницаемости среды Еа, в которой создастся электрическое поле.
Если диэлектрик поместить в сильное электрическое поле, напряженность которого можно увеличивать, то при каком-то значении напряженности произойдет пробой диэлектрика, при этом электроны отрываются от атома, т. е. происходит ионизация диэлектрика. Таким образом, диэлектрик становится проводником.
Напряженность внешнего поля, при которой происходит пробой диэлектрика, называется пробивной напряженностью диэлектрика.
А напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика, называют напряжением пробоя, или электрической прочностью диэлектрика.
где — пробивное напряжение, т.е. напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика; d — толщина диэлектрика, , называется допустимой напряженностью.
Допустимая напряженность должна быть в несколько раз меньше электрической прочности.
Электропроводность. Полупроводники
К полупроводникам относятся материалы, которые по своим электрическим свойствам занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.
Широкое применение в полупроводниковой технике получили такие материалы, как германий, кремний, селен, арсенид галлия и др.
Электропроводность и концентрация носителей зарядов в полупроводниках зависит от температуры, освещенности, примесей, степени сжатия и т. д.
Электрическая проводимость полупроводника зависит от рода примесей, имеющихся в основном материале полупроводника, и от технологии изготовления его составных частей.
Различают две основные разновидности электрической проводимости полупроводников — электронную и «дырочную».
Природа электрического тока в полупроводниках с электронной проводимостью та же, что и в проводниках первого рода. Однако так как свободных электронов в единице объема полупроводника во много раз меньше, чем в единице объема металлического проводника, то ток в полупроводнике будет во много раз меньше, чем в металлическом проводнике. В технике электронная проводимость называется проводимостью n-типа (от слова negative — отрицательный).
Полупроводник обладает «дырочной» проводимостью, если атомы его примеси стремятся захватить электроны атомов основного вещества полупроводника, не отдавая своих внешних электронов.
Если атом примеси «отберет» электрон у атома основного вещества, то в последнем образуется свободное место —
«дырка» (рис. 1.13).
Атом полупроводника, потерявший электрон, называют «дыркой». Если «дырка» заполняется электроном, перешедшим из соседнего атома, то она «ликвидируется» и атом становится электронейтральным, а «дырка» смещается на место его атома, потерявшего электрон. Таким образом, если на полупроводник, обладающий «дырочной» проводимостью, действует электрическое поле, то «дырки» будут перемешаться в направлении поля.
Перемещение «дырок» в направлении электрического поля аналогично перемещению положительных электрических зарядов в поле, т. е. электрическому току в полупроводнике.
«Дырочная проводимость» в технике называется p-проводимостью (от слова positive — положительный).
Нельзя строго разграничивать полупроводники по проводимости, так как наряду с «дырочной» проводимостью полупроводник обладает и электронной проводимостью.
Рассмотрим природу полупроводниковой проводимости на примере вентиля, представляющего собой контактное соединение двух проводников, один из которых обладает электронной проводимостью n-типа, а другой — «дырочной» р-типа (рис. 1.14).
Вследствие большой концентрации электронов в полупроводнике типа n по сравнению с полупроводником p-типа, электроны из первого проводника будут проникать во второй. Аналогично происходит проникновение «дырок» в полупроводник n-типа. В результате такого проникновения зарядов в тонком пограничном слое возникают разноименные заряженные слои, между которыми создается электрическое поле, напряженность которого (рис. 1.14а, б). Напряженность создана контактной разностью потенциалов в пограничном слое двух полупроводников.
Эта напряженность образует потенциальный барьер в пограничном слое, препятствующий дальнейшему проникновению зарядов в пограничный слой каждого полупроводника. Напряженность направлена против силы, действующей на положительный заряд.
Если к полупроводникам, образующим -переход, подвести напряжение от постороннего источника с напряжением U, то на границе полупроводников создается электрическое поле с напряженностью (рис. 1.14), направление которого зависит от полярности источника.
При прямом включении источника () созданная им напряженность направлена против напряженности , т. е. ослабляет ее (рис. 1.14а). В результате чего уменьшается противодействие перемещению положительных зарядов в пограничном слое и увеличивается прямой ток в полупроводниках .
Если напряженность станет равной , то противодействие заряженным частицам полупроводника определяется только сопротивлением полупроводника.
При обратном включении источника () созданная им напряженность направлена в одном направлении с , следовательно, усиливает ее (рис. 1.146). При этом усиливается противодействие положительным зарядам в полупроводнике, в результате чего обратный ток в ряде случаев может считаться равным нулю.
1аким образом, контактное соединение двух полупроводников с разными проводимостями () обладает явно выраженной односторонней проводимостью, т. е. является вентилем (см. гл. 19 п. 2).
Односторонняя проводимость, малые габариты и другие свойства полупроводников используются в разнообразных приборах и устройствах (выпрямители, усилители и пр.). Полупроводники являются основным «строительным» материалом современных диодов, транзисторов, фоторезисторов, микропроцессоров и другой электронной техники.
Электрические цепи постоянного тока
Основными элементами электрической цепи являются:
- источник электрической энергии;
- потребители;
- устройства для передачи электрической энергии.
В источниках электрической энергии (генераторах, аккумуляторах, солнечных батареях, термоэлементах и др.) происходит преобразование различных видов энергии в электрическую.
В генераторах в электрическую энергию преобразуется механическая, тепловая, гидро-, атомная и другие виды энергии. В гальванических элементах и аккумуляторах в электрическую энергию преобразуется химическая энергия. Термоэлементы, фотоэлементы, солнечные батареи преобразуют в электрическую тепловую и световую энергию.
В потребителях происходит обратный процесс, т.е. электрическая энергия преобразуется в механическую, тепловую, световую и другие виды энергии.
Устройствами для передачи электрической энергии от источников к потребителям являются линии электропередачи, провода, кабели и другие проводники. Провод представляет собой металлическую проволоку из меди, алюминия или стали, покрытую или не покрытую изолирующим слоем. Изоляция препятствует контакту с токоведущими участками цепей, находящимися под напряжением.
Все основные элементы электрической цепи обладают электрическим сопротивлением.
Кроме основных элементов электрические цепи содержат вспомогательные элементы: предохранители, рубильники, выключатели, переключатели, измерительные приборы (амперметры, вольтметры, счетчики) и др.
Графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, называется схемой электрической цепи. Все основные и вспомогательные элементы в схемах электрических цепей имеют условные обозначения (Приложение 3). Схема электрической цепи показана на рис. 2.1.
В электрической цепи различают два участка: внутренний и внешний. Источник является внутренним участком электрической цепи. Все остальные элементы относятся к внешнему участку электрической цепи.
Ток в электрической цепи
Электрический ток — это явление упорядоченного (направленного) перемещения заряженных частиц в проводнике под действием электрического поля.
Электрический ток может существовать только в замкнутой электрической цепи (ключ К замкнут — рис. 2.1).
Интенсивность направленного перемещения электрических зарядов в замкнутой электрической цепи характеризует величину тока.
Обозначается величина постоянного тока буквой , а переменного —
(мгновенное значение). Величина тока определяется количеством электричества (зарядов) Q, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени :
Измеряется ток в амперах, т.е. (ампер) — единица измерения тока.
Постоянным называется ток, величина и направление которого не изменяется с течением времени. Постоянный ток Г изображен на графике (рис. 2.2).
За направление тока в замкнутой электрической цепи принимается направление от положительной клеммы источника к его отрицательной клемме по внешнему участку цепи (рис .2.1).
Таким образом, направление тока противоположно направлению перемещения электронов в замкнутой цепи. Ток в цепи направлен так, как перемещались бы положительные заряды.
В неразветвленной электрической цепи (рис. 2.1) ток на всех участках (во всех сечениях) цепи имеет одинаковое значение, в противном случае в какой-либо точке электрической цепи накапливались бы заряды, чего не может быть в замкнутой электрической цепи.
Отношение величины тока в проводнике к площади его поперечкого сечения характеризует плотность тока в этом проводнике.
Обозначается плотность тока буквой J.
Единицей измерения плотности тока является ампер на квадратный метр
Так как на практике площадь сечения проводов обычно выражают в мм2, то плотность тока выражают Плотность тока — величина векторная. Вектор плотности тока направлен перпендикулярно площади сечения проводника.
Допустимая плотность тока определяет способность проводника определенного сечения выдерживать ту или иную токовую нагрузку. Так, например, допустимая плотность тока для монтажных проводов . По допустимой плотности тока определяют сечение проводов коротких линий и проверяют сечение проводов длинных линий, рассчитанных по допустимой потере напряжения. Допустимая плотность тока в проводах из различного материала и различных марок при разных условиях монтажа приводится в справочной литературе (Приложение 11).
ЭДС и напряжение в электрической цепи
Источник электрической энергии осуществляет направленное перемещение электрических зарядов по всей замкнутой цепи (рис. 2.3).
Энергия W, которую затрачивает или может затратить источник на перемещение единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи, характеризует электродвижущую силу источника Е (ЭДС):
Из определения следует, что ЭДС является энергетической характеристикой источника тока, а не силовой, как можно было бы решить по названию «электродвижущая сила». Единицей измерения ЭДС является вольт:
Энергия, затраченная на перемещение единицы положительного заряда на каком-либо участке замкнутой цепи, характеризует напряжение или падение напряжения на этом участке (внутреннем или внешнем):
Для замкнутой электрической цепи условие равновесия напряжений
Таким образом, ЭДС источника (Е) можно рассматривать как сумму падений напряжения на внутреннем () и на внешнем () участках замкнутой цепи (рис. 2.3).
Закон Ома для участка цепи
Закон Ома для участка электрической цепи устанавливает зависимость между током, напряжением и сопротивлением на этом участке цепи.
Направленное перемещение электрических зарядов в проводнике (т.е. электрический ток ) происходит под действием сил
однородного электрического поля (рис. 2.4). Напряженность поля определяется из выражения (1.13)
где — напряжение на участке проводника длиной .
Плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности однородного электрического поля, силы которого направленно перемещают в нем заряды:
где —коэффициент пропорциональности, называемый удельной проводимостью, характеризующий способность проводника проводить электрический ток.
Подставив в выражение (2.4) величину напряженности однородного электрического поля, силы которого перемещают заряды в проводнике, получим
где —— электрическое сопротивление участка проводника () длиной
Тогда
Это и есть математическое выражение закона Ома для участка АВ электрической цепи.
Таким образом, ток на участке электрической цепи пропорционален напряжению на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению этого участка.
Закон Ома для участка цепи позволяет определить напряжение На данном участке
а также вычислить сопротивление участка электрической цепи
Выражения (2.6) и (2.7) являются арифметическими следствиями закона Ома, которые широко применяются для расчета электрических цепей.
Электрическое сопротивление
Как уже говорилось, обозначается электрическое сопротивление буквой R. Единицей измерения сопротивления является Ом:
Электрическое сопротивление проводника — это противодействие, которое атомы или молекулы проводника оказывают направленному перемещению зарядов.
Сопротивление зависит от длины проводника площади поперечного сечения S и материала проводника р:
Где удельное сопротивление проводника, зависящее от свойства материала проводника.
Удельное сопротивление — это сопротивление проводника из данного материала длиной 1 м площадью поперечного сечения при температуре 20 °C. Величина удельного сопротивления некоторых проводников приведена в Приложении 4.
Единицей измерения удельного сопротивления является
поскольку
Однако на практике сечение проводников выражают в мм2. Поэтому
Удельное сопротивление проводника определяет область его применения. Так, например, для соединения источника с потребителем применяются металлические провода с малым удельным сопротивлением алюминий, медь. Для обмоток реостатов нагревательных приборов применяются сплавы с большим удельным сопротивлением — нихром, фехраль (при этом уменьшается длина проводника ).
Величину, обратную сопротивлению, называют проводимостью
Единицей проводимости является сименс
Элементы электрической цепи, характеризующиеся сопротивлением R, называют резистивными, а промышленные изделия, предназначенные для выполнения роли сопротивления электрическому току, называются резисторами. Резисторы бывают регулируемые и нерегулируемые, проволочные и непроволочные пленочные, композиционные и др.
Сопротивление проводников зависит от их температуры.
Сопротивление проводника при любой температуре (с достаточной степенью точности при изменении температуры в пределах °C) можно определить выражением
где — сопротивление проводника при конечной температуре — сопротивление проводника при начальной температуре , температурный коэффициент сопротивления.
Температурный коэффициент сопротивления определяет относительное изменение сопротивления проводника при изменении его температуры на 1 °C. Единицей измерения температурного коэффициента сопротивления является
Для различных проводников температурный коэффициент сопротивления имеет различные значения (Приложение 4).
Для металлических проводников (Приложение 4) температурный коэффициент сопротивления а положителен, т. е. с ростом температуры сопротивление металлических проводников увеличивается (2.9). Объясняется это тем, что при нагревании увеличивается подвижность атомов и молекул металла, а следовательно, и число столкновений с ними электрических зарядов увеличивается. Таким образом, возрастает противодействие направленному перемещению этих зарядов, т. е. увеличивается сопротивление металлического проводника.
Для проводников второго рода (электролитов) и угля температурный коэффициент сопротивления отрицателен, т. е. с ростом температуры их сопротивление уменьшается (2.9). Объясняется это тем, что с повышением температуры ослабляются связи между положительно и отрицательно заряженными частицами, что приводит к усилению ионизации, обуславливающей электропроводность, т. е. уменьшается сопротивление электролитов и угля.
Для большинства электролитов , а для угля .
Температурный коэффициент сопротивления проводников определяет их применение. Например, такие сплавы, как константан и манганин, имеют малый температурный коэффициент сопротивления (Приложение 4), т.е. их сопротивление почти не зависит от температуры, поэтому их применяют в качестве материала для изготовления шунтов и добавочных сопротивлений, служащих для расширения пределов измерения амперметров и вольтметров, на точность которых не должна влиять температура.
При понижении температуры некоторых металлов и сплавов до очень низких значений, порядка нескольких градусов Кельвина , возникает явление сверхпроводимости.
Сверхпроводником называют проводник, сопротивление которого практически равно нулю.
В сверхпроводнике совершенно не выделяется тепло при прохождении тока, так как электроны при направленном движении не встречают препятствий. В нем невозможно существование магнитного поля.
Следует ожидать широкого применения сверхпроводников в электротехнике в будущем.
Закон Ома для замкнутой цепи
Для замкнутой электрической цепи (рис. 2.5) ЭДС источника, согласно (2.3), можно определить выражением
где сопротивление источника; R — сопротивление потребителя (сопротивлением проводов пренебрегают).
Из (2.10) следует, что ток в замкнутой цепи равен
Выражение (2.11) является математическим выражением закона Ома для замкнутой цепи.
Из (2.10) можно определить напряжение на внешнем участке цепи, т. е. напряжение на клеммах источника U между точками А и В (см. рис. 2.5).
Таким образом, напряжение U на клеммах источника электрической энергии меньше, чем ЭДС этого источника (Е) на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника.
Отсутствие нагрузки — ключ К разомкнут — соответствует режиму холостого хода. При этом = 0. Вольтметр (И), подключенный к клеммам источника А и В (рис. 2.5), при отсутствии нагрузки показывает ЭДС источника Е
Если же ключ К замкнут , то вольтметр покажет напряжение U на клеммах источника, которое меньше ЭДС на величину , равную падению напряжения на внутреннем сопротивлении источника (2.12).
Из (2.12) следует, что с увеличением нагрузки, т. е. с увеличением тока , напряжение на клеммах источника уменьшается, что можно показать графически на внешней характеристике источника (рис. 2.6).
Очевидно, чем больше внутреннее сопротивление источника /^, тем меньше будет напряжение на его клеммах при нагрузке
Энергия и мощность электрического тока
В замкнутой электрической цепи источник затрачивает электрическую энергию на перемещение единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи, т.е. на внутреннем и внешнем участках ((2.3) и рис. 2.3).
ЭДС источника определяется выражением . Из этого выражения следует, что энергия, затраченная источником, равна
так как , что вытекает из определения величины тока . Энергия источника расходуется на потребителе (полезная энергия)
и на внутреннем сопротивлении источника (потери)
Потерей энергии в проводах, при незначительной их длине, можно пренебречь.
Из закона сохранения энергии следует
Во всех элементах электрической цепи происходит преобразование энергии (в источниках различные виды энергии преобразуются в электрическую, в потребителях — электрическая в другие Скорость такого преобразования энергии определяет электрическую мощность элементов электрической цепи
Обозначается электрическая мощность буквой Р, а единицей электрической мощности является ватт, другими словами, (ватт)
Таким образом, мощность источника электрической энергии определяется выражением
Мощность потребителя, т.е. полезная, потребляемая мощность, будет равна
Если воспользоваться законом Ома для участка электрической цепи, то полезную мощность можно определить следующим выражением:
Потери мощности на внутреннем сопротивлении источника
Для любой замкнутой цепи должен сохраняться баланс мощностей
Так как электрическая мощность измеряется в ваттах, то единицей измерения электрической энергии является
Коэффициент полезного действия электрической цепи п определяется отношением полезной мощности (мощности потребителя) ко всей затраченной мощности (мощности источника)
Закон Джоуля — Ленца
В проводах линии передачи электрической энергии, обмоток якорей и полюсов электрических машин, электробытовых приборов и других потребителей происходит преобразование электрической энергии в тепловую.
Ток , протекая по проводнику с сопротивлением R, нагревает этот проводник. За время в этом проводнике выделяется тепло, количество которого определяется количеством электрической энергии, затраченной в этом проводнике, т. е.
где — количество тепла, выделенного в проводнике, Вт*с.
Приведенная зависимость (2.24) является математическим выражением закона Джоуля — Ленца.
Таким образом, закон Джоуля — Ленца устанавливает зависимость между количеством тепла и электрической энергией: количество тепла, выделенное током в проводнике, пропорционально квадрату тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока по проводнику.
. Количество тепла Q измеряется иногда внесистемной единицей — калорией (количество тепла, необходимое для нагревания 1 г воды на 1 °C). Причем 1 кал = 4,187 Дж, следовательно, 1 Вт*с= 1 Дж = 0,24 кал.
Для определения количества тепла Q в калориях пользуются выражением
Коэффициент 0,24 называют электротермическим эквивалентом, который устанавливает зависимость между электрической и тепловой энергией.
к Например, количество тепла, выделенное в проводнике с сопротивлением А= 24 Ом, по которому проходит ток 7=5 А в течение 2 часов составляет:
или
Преобразование электрической энергии в тепловую широко используется в разнообразных электронагревательных приборах. Однако преобразование электрической энергии в тепловую вызывает и непроизводительные расходы энергии в электрических машинах, трансформаторах и других элементах электрической цепи и снижает их КПД.
Режимы работы электрических цепей
В электрической цепи различают активные и пассивные элементы (участки). Активными считаются элементы, в которых преобразование энергии сопровождается возникновением ЭДС (аккумуляторы, генераторы). Пассивными считаются элементы, в которых ЭДС не возникает.
Параметры, характеризующие работу электрической цепи (рис. 2.5) при различных режимах, определяются следующими выражениями.
Ток в замкнутой цепи
Напряжение на клеммах источника .
Падение напряжения на сопротивлении источника
Полезная мощность (мощность потребителя)
Исследуем изменение этих величин при изменении сопротивления R от бесконечности (режим холостого хода) до нуля (режик короткого замыкания).
1. в режиме холостого хода (ключ К разомкнут)
2. В режиме короткого замыкания
Таким образом, полезная мощность Р при холостом ходе и коротком замыкании равна нулю. Следовательно, при каком-то значении сопротивления R послезная мощность P имеет максимальную величину.
Для определения этого значения определим первую производную полезной мощности по току и приравняем ее к нулю, т.е.
или
Следовательно, максимальная можщность будетпри токе
Максимальная полезная мощность выделяется при
Полезная мощность максимальна, когда сопротивление потребителя R станет равным внутреннему сопротивлению источника . Это и есть условие максимальной отдачи мощности источником (2.26)
При максимальной отдаче мощности ток в цепи равен , в коэффициент полезного действия.
К 100% КПД цепи приближается в режиме, близком к холостому ходу.
Максимальной отдачи мощности ддобиваются в маломощной аппаратуре: звуковоспроизводящей, радио, магнитофонах и др.
В мощных энергетических установках добиваются максимального КПД.
‘Зависимость напряжений и полезной мощности от нагрузки (тока ) показана на рис. 2.7. Режим короткого замыкания в
электрических установках нежелателен, так как он приводит к большому току (больше номинального), т. е. резкому увеличению выделения епла и выходу из строя аппаратуры. Нормальным (рабочим) называется режим работы цепи, при котором ток, напряжение и мощность не превышают номинальных значений — значений, на которые источник и приемники энергии рассчитаны заводом-изготовителем.
Пример задачи с решением 2.1
К источнику электрической энергии с ЭДС Е= 30 В и внутренним сопротивлением =1 Ом подключен резистор R, сопротивление которого можно изменять (рис. 2.5). Определить ток цепи , Напряжение на клеммах источника U, мошность потребителя Р, мощность источника и КПД цепи при следующих значениях сопротивлений резистора
Решение:
1. При сопротивлении резистора
2. При сопротивлении резистора — максимальная отдача мощности)
3. При сопротивлении резистора
Пример задачи с решением 2.2
При замкнутом ключе К (рис. 2.8) показания вольтметра 6 В, а амперметра 1,5 А. Если ключ А’разомкнут, то вольтметр покажет 6,6 В. Определить сопротивление потребителя R и внутреннее сопротивление источника . Сохранен ли баланс мощностей и каков КПД цепи при замкнутом ключе
Решение:
При разомкнутом ключе К вольтметр показывает величину ЭДС источника , а при замкнутом — напряжение на клеммах источника и потребителя .
Тогда сопротивление потребителя
а внутреннее сопротивление источника
Баланс мощностей в работающей цели: , т.е. или 9,9 = 9,9, т.е. баланс мощностей сохранен.
КПД цепи
Пример задачи с решением 2.3
Электрический чайник, рассчитанный на напряжение В и ток , ежедневно работает 7 минут. Какое количество тепла ежедневно выделяет его на1реватель и столько стоит потребляемая чайником энергия за 1 месяц (30 дней), если 1 кВт*ч энергии стоит 63 копейки?
Решение:
Ежедневно энергия, потребляемая чайником, составляет
За 1 месяц чайник потребляет энергии
стоимость которой
Количество тепла, выделяемое ежедневно, равно
Электрические цепи
Электрическая цепь служит для генерирования, преобразования, передачи и распределения электромагнитной энергии и информации. Свое назначение электрическая цепь выполняет при наличии тока и напряжения. Если напряжение, приложенное к цепи, является постоянным и сопротивление цепи меньше бесконечности, в цепи устанавливается постоянный ток.
Реальная простейшая электрическая цепь содержит: источник и приемник электрической энергии, ключ и соединительные провода (рис. 1.1).
Обычно в расчетах реальные элементы заменяют идеальным источником ЭДС с последовательно включенным с ним сопротивлением (схема 1), пытаясь таким образом учесть внутреннее сопротивление прибора.
Связь напряжения и тока на элементе (на любом элементе) называется его вольтамперной характеристикой (ВАХ). Напряжение и ток резистивного элемента связаны законом Ома:
где U — напряжение, — ток, R — сопротивление резистивного элемента, G — проводимость, величина, обратная сопротивлению (G = 1/R).
- В электрических цепях происходит преобразование одного вида энергии в другой (например, энергия электрического тока преобразуется в тепловую). Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью. Количественной характеристикой этого процесса является мощность Р, определяемая как:
Мощность тепловых потерь на резистивном элементе (Вт):
Законы Кирхгофа установлены экспериментально Густавом Робертом Кирхгофом (1824-1887) в 1845 году.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
где N — число ветвей подсоединенных к узлу. Принято считать, что токи, втекающие в узел имеют знак «-», вытекающие токи берутся со знаком «+».
Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС и напряжений на пассивных элементах равна нулю. где N — число элементов, входящих в контур. Со знаком «+» берутся слагаемые, соответствующие элементам, на которых падение напряжения или ЭДС и напряжения источников токов совпадают с направлением обхода контура. Направление обхода контура выбирается произвольно.
Правила преобразований
Последовательное соединение резистивных элементов. Через последовательно соединенные элементы (схема 1.2) протекает только один ток, эквивалентное сопротивление при этом будет равно:
Для схемы 1.2:
При параллельном соединении резистивных элементов эквивалентное сопротивление будет равно:
Преобразование из треугольника в звезду и обратно (схема 1.3):
Из треугольника в звезду:
Из звезды в треугольник:
Правило распределения (разброса) тока в двух параллельных ветвях. В параллельных ветвях используется для определения токов пассивных ветвей. Применение правила разброса покажем для цепи на схеме 1.4.
Если известен ток, втекающий в общий узел, то токи каждой из ветвей вычисляются согласно приведенным ниже формулам:
Примеры расчета простых цепей
Пример задачи 1.1.
В схеме 1.5 определить эквивалентное сопротивление, если
Решение:
Сопротивления соединены параллельно. После преобразования:
Затем соединим сопротивления последовательно:
Пример задачи 1.2.
В схеме 1.6 определить эквивалентное сопротивление, если
Решение:
Сопротивления соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
После преобразования схема достаточно быстро упрощается (схема 1.7).
Сопротивления соединим последовательно
Сопротивления складываем параллельно
Сопротивления складываем последовательно и получаем окончательный результат:
Метод контурных токов
Данный метод является следствием законов Кирхгофа. Метод контурных токов (МКТ) позволяет значительно упростить расчет электрических цепей за счет уменьшения порядка системы уравнений. В методе вводятся фиктивные контурные токи, протекающие в независимых контурах.
Порядок расчета по МКТ:
1. Вводятся контурные токи где к — количество независимых контуров. Число контурных токов определяется как .
2. Для каждого из контурных токов записываются контурные уравнения, имеющие следующий вид:
где контурный ток А-го контура; — собственное сопротивление
А’-го контура (сумма всех сопротивлений, входящих в контур); — сопротивления, входящие одновременно в соседние контуры к и т; 1тт -контурный ток для контура — сумма источников ЭДС, входящий в контур к.
Перед слагаемым берется знак «+», если на соответствующем сопротивлении направления токов совпадают, знак «-» в противоположном случае. Знак перед источником напряжением источника ЭДС «+», если направление тока и напряжения совпадает, знак «-», если не совпадают.
3. Решаются контурные уравнения, находятся контурные токи.
4. Токи ветвей определяются, как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в соответствующих ветвях.
Пример задачи 1.4.
Для цепи постоянного тока на схеме 1.9 определить токи ветвей по методу контурных токов.
Решение:
Определим число фиктивных контурных токов:
Три контурных тока обозначим как:
Составим систему уравнений:
Решая систему уравнений, находим контурные токи
Тогда искомые токи ветвей: 1 и 5
Метод межузлового напряжения
Этот метод применятся, когда в цепи лишь два узла. Рассмотрим метод на примере двухконтурной схемы.
Пример задачи 1.5.
Дана схема 1.10 с двумя узлами, определим межузловое напряжение .
Решение:
Записываем I закон Кирхгофа:
Тогда токи ветвей будут следующими:
Подставляем найденные выражения для токов в I закон Кирхгофа:
тогда
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора применяется в цепях, когда необходимо определить ток в какой-нибудь одной ветви.
Согласно МЭГ цепь, относительно ветви с искомым током, представляется активным двухполюсником (эквивалентным генератором) с источником ЭДС или тока. Определяются параметры эквивалентного генератора: в пассивном двухполюснике. Искомый ток определяется по формуле Тевенена-Гельмгольца:
Пример задачи 1.6.
Определим ток /2 в схеме 1.10 по МЭГ.
Решение:
Определим обойдя контур против часовой стрелки по второму закону Кирхгофа: .
Теперь определим внутреннее сопротивление генератора относительно зажимов «аЬ»
Внутреннее сопротивление генератора будет равно ,. Ток ветви определяем по формуле:
Примеры расчета сложных цепей различными методами
Пример задачи 1.7.
В схеме 1.11 определить токи всех ветвей методом уравнений Кирхгофа.
Решение:
Расставим направление токов в ветвях заданной схемы и выберем направления обхода контура.
В схеме количество узлов и число ветвей . Значит по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить уравнения, для любых трех узлов составляем уравнения (втекающие в узел токи возьмем со знаком «-», вытекающие со знаком «+»):
По 2 закону Кирхгофа составим В нашей схеме 4 независимых контура, значит по 2 закону Кирхгофа необходимо составить 4 уравнения:
Пример задачи 1.8.
В схеме 1.11 сделать преобразование до двух контуров.
Решение:
Сопротивления соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
Тогда
Сопротивления соединены последовательно, сложим их и получим сопротивление
Сопротивления соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:
Сопротивления соединены последовательно, сложим их в одно сопротивления и соединены тоже последовательно, сложим их в одно . Получили схему с двумя контурами.
Однофазные цепи переменного тока
Основные понятия
Если значения тока, напряжения или ЭДС изменяются со временем, то они называются переменными. Каждое из этих значений в любой момент времени называется мгновенным. Для гармонического (синусоидального, переменного) тока и напряжения закон Ома выполняется для средних, мгновенных и действующих значений:
Здесь — мгновенные значения напряжения и тока, — амплитуды напряжения и тока, — начальная фаза напряжения и тока, — угловая частота колебаний.
Действующее значение синусоидального тока (напряжения) равно значению постоянного тока (напряжения), при котором на резистивном элементе за время равное периоду выделяется такое же количество тепловой энергии, что и при переменном токе (напряжении). Таким образом, действующее значение характеризует тепловое действие переменного тока.
При токе мощность тепловых потерь на резистивном элементе следующим образом:
и выделяемая за период энергия
Постоянным током за это же время выделяется энергия:
Приравнивая уравнения эти два уравнения, получаем действующее значение тока:
Аналогично можно доказать что действующее значение напряжения
Учитывая, что синусоидальные функции тока и напряжения можем записать с использованием действующих значений следующим образом:
Представление синусоидальных величин комплексными числами
Синусоидальные величины — ток, напряжение и ЭДС могут быть представлены в виде комплексных чисел.
Если радиус длиной вращать против часовой стрелки с постоянной угловой частотой , то его проекция на ось ординат будет соответствовать синусоидальной функции . Изобразим синусоидальную функцию в виде вращающегося радиус-вектора (рис.2.1)
Перенесем радиус-вектор из декартовой системы координат на плоскость комплексных чисел (рис.2.2).
Длина этого вектора равна действующему значению синусоидальной величины:
’
называется комплексом действующего значения функции. Здесь мнимая единица, — модуль, — аргумент комплексного числа.
Существует 3 формы записи комплексного значения синусоидальной функции:
Все три формы записи комплексного числа являются равнозначными.
Таким образом
где — мнимая составляющая вращающегося радиус-вектора.
При решении задач возникает необходимость перехода от алгебраической к показательной форме, и наоборот.
Преобразование показательной формы в алгебраическую’.
, где — действительная часть комплексного числа, — мнимая часть комплексного числа.
Преобразование алгебраической формы в показательную’.
где — модуль, — аргумент, причем 180° учитывается при а < 0.
Пример 2.1
(представление гармонической функции комплексным числом):
Пример 2.2 (перевод из показательной формы в алгебраическую):
Пример 2.3 (перевод из алгебраической в показательную форму):
Пример 2.4 (переход от комплексной амплитуды к гармонической функции):
Арифметические операции с комплексными числами
1. Сложение и вычитание (выполняется в алгебраической форме) Если число представлено в показательной форме, то его надо перевести в алгебраическую форму
При выполнении сложения (вычитания) складываются отдельно действительные и мнимые части комплексных чисел.
Пример 2.5 (сложение):
2. Умножение (выполняется в показательной форме)
Если число представлено в алгебраической форме, то его надо перевести в показательную форму
Умножение в алгебраической форме выполняется по правилам умножения многочленов, с учетом того, что .
Пример 2.6 (умножение):
3. Деление (выполняется в показательной форме)
Если число представлено в алгебраической форме, то его надо перевести в показательную форму
Пример 2.7 (деление):
4. Возведение в степень (выполняется в показательной форме)
5. Некоторые соотношения
Основные законы в комплексной форме
Запись закона Ома в комплексной форме выполняется для комплексных амплитуд или комплексов действующих значений
где — сопротивление приемника, — комплексное сопротивление приемника, размерность Ом.
Комплексное сопротивление резистивного элемента: , следовательно
На комплексной плоскости вектор напряжения резистивного элемента совпадает по направлению с вектором своего тока (рис. 2.3).
Комплексное сопротивление индуктивного элемента:
— реактивное сопротивление индуктивного элемента, Ом.
Если у индуктивного элемента имеется активное сопротивление (т.е. учитывается сопротивление катушки постоянному току) тогда:
На комплексной плоскости вектор напряжения индуктивного элемента опережает по направлению вектор своего тока на 90° (рис. 2.4).
Комплексное сопротивление емкостного элемента:
реактивное сопротивление индуктивного элемента, Ом.
На комплексной плоскости вектор напряжения емкостного элемента отстает по направлению вектор своего тока на 90° (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Вектора напряжения и тока емкостного элемента
Законы Кирхгофа записываются в комплексной форме, если в цепь включены источники синусоидальных токов или ЭДС одинаковой частоты.
I закон Кирхгофа: Для каждого из узлов комплексной схемы замещения алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов (комплексов действующих значений) равна нулю.
Математическая запись закона:
здесь А — число ветвей, сходящихся в узле.
II закон Кирхгофа: Для любого контура комплексной схемы замещения алгебраическая сумма комплексов падения напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме комплексов ЭДС и напряжений источников тока.
Математическая запись закона:
здесь n -число пассивных элементов контура, сходящихся в узле; -число ЭДС контура.
Пример задачи 2.8.
В схеме 2.1 рассчитать комплексные сопротивления элементов (круговая частота = 314 рад/с), =20Ом, =40 Ом, = 64 мГн, = 128 мГн, = 159 мкФ .
Решение:
В схеме определим комплексные сопротивления элементов:
Упростим схему, за счет сложения последовательно соединенных сопротивлений.
Теперь можно сложить параллельно соединенные сопротивления
Сопротивления соединены последовательно:
Пример задачи 2.9.
В схеме 2.2 известно , В. Определить токи ветвей.
Решение:
Определим эквивалентное сопротивление. Сопротивления соединены параллельно, a соединены последовательно:
Находим входной ток по закону Ома:
Ток определим по правилу разброса (правилу параллельных ветвей):
Ток определим по I закону Кирхгофа:
Резонанс
Резонанс — это такой режим работы электрической цепи, включающей индуктивные и емкостные элементы, при котором входной ток совпадает по фазе с входным напряжением.
Различают резонанс напряжений и резонанс токов.
Резонанс напряжений наблюдается в цепях при последовательном включении емкостных и индуктивных элементов (рис. 2.6).
Пусть ток и напряжение задаются гармоническими источниками, т.е.
Комплексная схема замещения — это схема замещения, на которой указаны комплексные амплитуды (комплексы действующих значений) источников энергии и комплексные сопротивления приемников. На рис. 2.7 представлена комплексная схема замещения схемы рис. 2.6.
Комплексы входного напряжения и тока входное сопротивление цепи (рис. 2.7)
Здесь — модуль входного сопротивления, — фазовый сдвиг. По определению в режиме резонанса , откуда получаем
Входное комплексное сопротивление цепи является чисто активным. Уравнение выражает условие резонанса напряжений.
Определим входное сопротивление как последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (рис.2.7)
Используя условие резонанса напряжений: получаем, что Отсюда резонансная частота определяется как . Векторная диаграмма при показана на рис. 2.8.
Резонанс токов возникает в цепях при параллельном соединении емкостных и индуктивных элементов, например, в цепи, представленной на рис. 2.9.
Токи в ветвях находятся по закону Ома:
где эквивалентные комплексные проводимости ветвей.
Входной ток цепи определяется по I закону Кирхгофа:
Общее определение резонанса не изменяется, т.е. входной ток должен совпадать по фазе с входным напряжением.
Определим комплекс входной проводимости цепи:
здесь — активная проводимость цепи, — реактивная проводимость цепи.
Условием резонанса токов в этом случае будет равенство нулю мнимой части полученного выражения, т.е. либо
При этом резонансная частота определяется по формуле:
Таким образом, резонанс токов возможно получить изменением частоты, емкости или индуктивности, также как и резонанс напряжений.
Так как реактивная проводимость в режиме резонанса токов равна нулю, то входная проводимость цепи будет минимальна, следовательно, входной ток будет минимальным. Векторная диаграмма для рассматриваемого контура при представлена на рис. 2.10.
х.э. мощность однофазной цепи
Если зажимы пассивного двухполюсника (рис.2.11) подключить к источнику переменного напряжения и тока
Пусть , то мгновенное значение мощности
Мощность колеблется с угловой частотой в пределах от 0 до
Активная мощность и обозначается буквой Р:
Реактивная мощность равна максимальной скорости поступления энергии в магнитное поле:
Полная мощность 5 — это произведение действующих значений напряжения U и тока I:
Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности c
Пример задачи 2.10.
Для комплексных изображений , определить активную Р, реактивную и полную мощности S.
Тогда комплекс полной мощности цепи запишется в виде:
где — сопряженный комплекс тока.
Для мощностей можно построить треугольник мощностей рис. 2.12.
Из него следуют соотношения:
Для цепи синусоидального тока, так же как и для цепи постоянного тока, можно составить баланс мощностей: сумма всех активных мощностей приемников равна сумме активных мощностей источников:
аналогично и для реактивных мощностей:
Если в схеме имеется несколько источников ЭДС и источников тока, то вырабатываемая полная мощность определяется в виде
Относительная погрешность расчетов:
Пример задачи 2.11.
Для схемы 2.3 определить полную, активную и реактивную мощности, если
Расчет ведем в комплексной форме ‘B. Определим комплекс входного сопротивления цепи:
Комплекс действующего значения тока найдем по закону Ома:
Активная мощность:
Реактивная мощность:
Тогда полная мощность:
Проверка:
Трехфазные цепи
Общие сведения
Многофазной системой называется совокупность цепей, включающих источники ЭДС, работающие на одинаковой частоте, фазы которых смещены на одинаковый угол.
Каждую из цепей, образующих систему, называют фазой. Частный случай многофазной цепи — это трехфазная цепь. Число источников в трехфазной цепи равно трем.
Многофазная цепь является симметричной по питанию, если источники ЭДС имеют одинаковые действующие значения напряжений.
По сравнению с обычными электрическими цепями, трехфазные цепи имеют ряд преимуществ.
1. Экономичность. Ниже мы покажем, что так называемые обратные провода цепи можно объединить в один провод, за счет этого сокращается количество проводников.
2. Возможность получения вращающегося магнитного поля. С использованием этого свойства строятся асинхронные электрические двигатели.
Для получения трехфазного напряжения в постоянное магнитное поле помещают три катушки индуктивности (обмотки генератора), оси которых расположены под углом 120° относительно друг друга. Под воздействием приложенной механической энергии катушки (они называются ротором генератора) вращаются. Изменяется магнитный поток, связанный с витками катушек, и, согласно закону электромагнитной индукции, на зажимах катушек появляется напряжение.
Постоянное магнитное поле образуют магниты, они называются статором. Отметим, что в реальных генераторах вращающейся частью является магнит, за счет этого проще снимать напряжение с обмоток.
Расположение катушек с относительным углом 120° обеспечивает одинаковый фазовый сдвиг напряжения источников, который также равен 120°. Изменение напряжения в фазах определяется выражениями:
Графики изменения фазного напряжения образуют так называемую волновую диаграмму, которая приведена на рис. 3.1.
Очередность, в которой фазные напряжения достигают максимальных значений, называется порядком чередования фаз. В рассматриваемой системе порядок чередования АВС. Это прямой порядок чередования. Обратный порядок — АСВ.
Комплексные амплитуды фазных ЭДС могут быть записаны как:
Используя эти уравнения, можем построить векторную диаграмму напряжений источников питания имеющих одинаковые амплитуды (рис. 3.2).
На диаграмме виден порядок чередования фаз и относительный сдвиг фазных ЭДС. Также можем видеть, что комплексная амплитуда любого из источников может быть получена при повороте на угол ±120° амплитуды любого другого источника. Выполнение поворота соответствует умножению комплексной амплитуды на фазный оператор а, определяемый следующими формулами:
С использованием фазного оператора значения комплексных амплитуд записываются как:
Отметим, что векторная сумма фазных ЭДС равна нулю
Это свойство будет использовано в дальнейшем.
Вспомним, что трехфазная цепь образуется вращением в магнитном поле трех катушек индуктивности. Учитывая это, изобразим электрическую схему цепи (рис. 3.3).
На рисунке введены следующие обозначения:
А, В, С — «начала» фаз питания,
X, У, Z — «концы» фаз питания,
А`,В`, С- «начала» фаз нагрузки,
Х`, У’, Z’ — «концы» фаз нагрузки.
А-А` В-В` С-С’ — прямые (линейные) провода, т.е. провода, ведущие от источника к потребителю,
Х-Х` У-У’, Z-Z’ — обратные провода. Это провода, ведущие от потребителя к источнику.
Обычно, обратные провода соединяют в один провод, за счет этого достигается экономия проводников. Полученный в результате соединения проводник называют нулевым проводом.
Комплексная схема замещения трехфазной цепи показана на рис. 3.4, но это, конечно, частный случай. Цепи, встречающиеся в задачах электротехники и на практике, могут иметь более сложную конфигурацию.
На схеме указаны линейные токи . Это токи, протекающие в линейных проводах. При данной конфигурации цепи эти же токи протекают в фазах нагрузки. Для выбранной цепи линейные токи равны фазным токам. — фазные напряжения, — линейные напряжения, — ток нулевого повода.
Симметричная трехфазная цепь
Симметричной называется трехфазная цепь, у которой сопротивления фаз нагрузки являются одинаковыми: Из закона
- Ома следует, что в этом случае линейные токи равны между собой по модулю
Используя I закон Кирхгофа определим ток нулевого провода:
Здесь использовано приведенное выше соотношение Равенство нулю тока означает, что при выполне-
нии расчетов в симметричной трехфазной цепи нулевой провод можно добавлять или убирать в случаях, когда это необходимо.
- Из II закона Кирхгофа, записанного для симметричной цепи, следует что . Эти равенства легко можно получить при наличии нулевого провода.
Определим теперь линейные напряжения цепи:
Из полученных уравнений вытекает известная и широко используемая связь между линейными и фазными напряжениями для симметричной цепи:
Ниже приведена векторная диаграмма для цепи, помещенной на рис. 3.5.
Пример задачи 3.1.
Дана цепь, приведенная на рис. 3.6, где известны значения фазных ЭДС и величины сопротивлений нагрузки . Определить токи всех ветвей для данной схемы.
Решение:
Сопротивления нагрузки цепи соединены «треугольником». Преобразуем их в «звезду»: Z. Вводим нулевой провод, это возможно выполнить, потому что цепь симметричная.
Полученная в результате преобразований схема показана ниже.
Произвольно выбираем одну из фаз и выполняем для нее расчет токов на основе законов Ома и Кирхгофа.
Токи в выбранной фазе находятся следующим образом:
Токи в остальных фазах определяются умножением найденных величин на оператор а.
Для определения токов треугольника находим линейные напряжения
Теперь токи треугольника могут быть вычислены на основе закона Ома
Пример задачи 3.2.
Дана симметричная цепь (рис. 3.7), где известны значения фазных ЭДС , В, , В и величины сопротивлений нагрузки . Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях и напряжения на элементах цепи. Расчет рекомендуется проводить на одну фазу. Построить векторную диаграмму.
Решение:
Расчет симметричной части приемника будем вести на одну фазу А, для этого преобразуем схему.
Для расчета подготовим данные:
1. переведем ЭДС в показательную форму
2. индуктивное сопротивление
3. емкостное сопротивление
Комплексная схема замещения исходной цепи будет:
Полное комплексное сопротивление цепи
Тогда ток (в этой цепи найдем по закону Ома:
С помощью фазового оператора определим токи в фазах В и С:
Рассчитаем напряжения фазы А на элементах цепи:
1. напряжение на резистивном элементе
2. напряжение на индуктивном элементе
3. напряжение на емкостном элементе
4. напряжение фазы А на приемнике
С помощью фазового оператора рассчитаем напряжения в фазе В:
С помощью фазового оператора рассчитаем напряжения в фазе С:
Векторная диаграмма для симметричного режима будет следующей:
Расчет электрических цепей постоянного тока. Основные определения и законы
Электрическим током называется упорядоченное направленное движение электрических зарядов.
Сила тока (i) численно равна заряду (),проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени.
Если сила тока не изменяется с течением времени, то такой ток называется постоянным.
Сила тока в таком случае обозначается I:
За положительное направление силы тока принимается направление движения положительных зарядов.
Закон ома
На участке проводника длиной ограниченном сечениями «а» и «в», величина силы тока I, направленная от сечения с большим потенциалом к сечению с меньшим потенциалом . прямо пропорциональна разносит потенциалов и обратно пропорциональна сопротивлению (R)этого участка:
где R — сопротивление проводника, Ом. — разность потенциалов, которая называется напряжением, В.
В сопротивлениях направление напряжения совпадает с направлением тока
Сопротивление однородного проводника постоянного сечения определяется по формуле:
где р — удельное сопротивление материала проводника Ом м, I -длина проводника, м; s — площадь поперечного сечения, .
Часто при электротехнических расчётах пользуются понятием проводимости (д),которая определяется величиной, обратной сопротивлению:
Проводимость измеряется в сименсах [см].
С использованием проводимости закон Ома запишется:
Согласно закону Джоуля-Ленца,при протекании электрического тока (I) по сопротивлению (R) в последнем за время (t) выделяется энергия в виде тепла (А):
Мощность (Р).выделяющаяся в сопротивлении (R):
Мощность электрического тока измеряется в Ваттах [Вт], работа в Джоулях [Дж].
Законы кирхгофа
Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
Этот закон является следствием того факта, что в узлах электрической цепи не происходит накапливания зарядов. Для того, чтобы написать уравнение по первому закону Кирхгофа для какого-либо узла, например рис. 1.1,необходимо выбрать направление токов в ветвях, сходящихся в этом узле. Токи, направленные к узлу, записываются в уравнении со знаком «+», а направленные от узла со знаком «-».
Для узла, показанного на рис. 1.1, по первому закону Кирхгофа уравнение выглядит:
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил (ЭДС) источников этого контура.
В общем виде для произвольного контура уравнение по второму закону Кирхгофа:
Для того чтобы записать уравнение по второму закону Кирхгофа для выбранного контура, например рис. 1.2, необходимо задаться направлениями токов в ветвях этого контура, а также выбрать направление обхода этого контура.
После этого, в левой части уравнения, составляемого по второму закону Кирхгофа, со знаком «+» записываются произведения токов, направление которых совпадает с направлением обхода контура, на сопротивление тех же ветвей, т е падения напряжения
, а со знаком «-» падения напряжения, не совпадающие с направлением обхода контура. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в этот контур, причем ЭДС, совпадающие с направлением обхода, входят в уравнение со знаком «+», а направленные против выбранного направления обхода контура — со знаком «-».
Для контура, приведённого на рис. 1.2, уравнение по 2-му закону Кирхгофа запишется следующим образом
Рассмотренные три закона — закон Ома и законы Кирхгофа -являются основными законами, на основе которых построены все методы расчёта линейных электрических цепей
- Теоретические основы электротехники
Эквивалентные схемы источников электрической энергии
Реальные источники электрической энергии обладают вполне определённой зависимостью между напряжением и силой тока-вольт-амперными характеристиками.
Вольт-амперная характеристика является основной характеристикой любого источника электрической энергии и в общем случае представляет собой некоторую кривую в координатах U-I (рис. 1-3)
Однако, довольно часто, вольт-амперная характеристика источника практически прямолинейна, т.е, имеет вид рис. 1.4 (линия 1).
Такая характеристика пересекает координатные оси в двух точках и её уравнение имеет вид:
где — внутреннее сопротивление источника.
Если источник энергии работает в режиме, при котором его сила тока равна нулю (такой режим называется режимом холостого хода), то напряжение на его зажимах будет численно равно ЭДС .
Режим, при котором напряжение на зажимах источника равно нулю, называется режимом короткого замыкания. Из уравнения (1.13) следует, что в этом случае, сила тока источника приобретает максимальное значение и равна:
Используя понятие проводимости (внутренняя проводимость источника), уравнение (1.13) можно представить в виде
В соответствии с уравнениями (1.13) и (1.15) можно составить эквивалентные схемы реального источника энергии, используя понятия источника ЭДС и источника тока.
Величина напряжения идеального источника ЭДС не зависит от силы тока, т.е. его вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию, проходящую параллельно оси тока (линия 2, рис. 1.4) Схема замещения реального источника энергии, согласно уравнению (1.3), имеет вид, приведенный на рис. 1.5.
В соответствии с уравнениями (1.15) можно составить другую схему замещения реального источника, показанную на рис 1 6. В этой схеме применяется идеализированный источник тока, сила тока которого не зависит от напряжения.
Вольт-амперная характеристика источника тока представляет собой линию, параллельную оси напряжения (линия 3. рис. 1.4) Для того, чтобы вольт-амперные характеристики источников энергии, собранных по схемам (рис. 1.5 и рис. 1.6),были одинаковы, параметры этих источников должны удовлетворять условиям
При соблюдении этих условий источники энергии (рис 1.5 и рис. 1.6) будут эквивалентны в расчётном смысле относительно внешней цепи.
Мощность, отдаваемая источником ЭДС равна:
Мощность источника тока определяется по формуле:
Поэтому мощности, выделяемые источником тока и источником ЭДС при работе источников электрической энергии, собранных по схемам (рис. 1.5 и рис. 16), в одном и том же режиме, не будут одинаковы.
Расчёт простейших электрических цепей
При решении многих задач, в которых известны сопротивления всех резисторов и ЭДС всех источников, а также их схема соединения, целесообразно для определения токов во всех элементах производить упрощение схемы соединений. Упрощение заключается в замене заданной схемы на эквивалентную путём уменьшения количества входящих в неё элементов.
Последовательным называется такое соединение, когда конец предыдущего элемента соединяется с началом последующего и сила тока во всех последовательно соединённых элементах одна и та же (рис. 1.7).
Входящие в электрическую цепь резисторы , можно заменить на один , причём полученная цепь будет эквива-
лентна предыдущей, если сопротивление определяется по формуле:
То есть общее сопротивление последовательно соединённых резисторов равно сумме сопротивлений отдельных элементов
Параллельным соединением резисторов называется соединение, при котором начала всех резисторов, соединены в одном узле, а концы — в другом. Схема такого соединения приведена на рис. 1.8.
Параллельное соединение «n» резисторов также может быть заменено одним эквивалентным, при условии, что величина эквивалентного сопротивления определяется по формуле:
или, переходя к проводимостям элементов, получим:
То есть общая проводимость параллельно соединённых резисторов равна сумме проводимостей каждой из ветвей электрической цепи.
Большое практическое значение имеет случай параллельного соединения двух резисторов с сопротивлением . Эквивалентное сопротивление такого соединения определяется по формуле:
Расчёт смешанного соединения резисторов
В электрических схемах наиболее часто приходится иметь дело со смешанным соединением резисторов, т.е. когда два параллельно соединённых резистора последовательно соединяются с третьим Схема такого соединения приведена на рис 1.9
Для определения общего сопротивления этого соединения сначала находим общее сопротивление параллельно соединённых резисторов (согласно формуле 1.21):
а так как оно последовательно соединено с резистором (рис 1.10),то общее сопротивление всей схемы
Если известно напряжение на входе схемы и требуется найти токи в ветвях то, зная общее сопротивление, по закону Ома находим ток (рис. 1.11):
Возвращаясь от схемы (рис. 1.11) к схеме (рис. 1.10), отмечаем, что общее сопротивление эквивалентно двум последовательным резисторам а, следовательно:
Зная ток , ясно напряжение между точками «а» и «в»
а, переходя от схемы (рис. 1.10) к исходной (рис. 1.9), нетрудно найти токи
Проверка правильности выполненного расчёта может быть произведена на основании уравнений, записанных по первому и второму закону Кирхгофа:
Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот
Решение некоторых задач значительно упрощается, если использовать эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду или наоборот — звезды сопротивлений в треугольник.
Часть электрической цепи, состоящая из трёх сопротивлений и образующая замкнутый контур, называется соединением треугольником (рис. 1.12).
Три сопротивления, сходящиеся в одной точке, называются соединёнными звездой (рис. 1.13).
Как звезда, так и треугольник включаются в электрическую цепь тремя точками (1, 2, 3) и могут замещать друг друга (на рис.
1.12 и 1.13 показано пунктиром).
Эквивалентность преобразования звезды в треугольник и наоборот предполагает, что токи в узлах 1, 2, 3 и напряжения между ними до и после преобразования должны остаться неизменными, те.
Эти условия выполняются, если использовать известные формулы преобразования:
Если треугольник симметричный, т е. . то сопротивления
где — сопротивление луча симметричной звезды, — сопротивление стороны симметричного треугольника.
Задача с решением 1
Определить токи в сопротивлениях схемы (рис 1.14) и показания вольтметра
Напряжение на входе U = 240 В
РЕШЕНИЕ
Непосредственно определить токи в ветвях схемы невозможно, так как неизвестно распределение напряжения на её отдельных участках. Поэтому путём постепенного упрощения схемы (с учётом того, что сопротивление вольтметра) найдём эквивалентное сопротивление схемы.
Сопротивления соединены последовательно следовательно, согласно (118), их можно заменить на эквивалентное
Вместо исходной схемы (рис. 1.14) получаем эквивалентную (рис. 1.15)
В полученной схеме (рис. 1.15) сопротивления включены параллельно, следовательно, согласно (формуле 1.19 или, в данном случае, формуле 1.21) их эквивалентное сопротивление определяется, как
а схема (рис. 1 15) может быть заменена на схему (рис 1.16).
Анализируя получающиеся схемы аналогичным образом, определяем эквивалентное сопротивление исходной схемы:
соединены последовательно
соединены параллельно
— соединены последовательно, поэтому
Ток источника электрической энергии, потребляемый схемой определяем по закону Ома:
Последовательно осуществляя переход от конечной схемы (рис. 1.19) к первоначальной схеме (рис. 1.14),определяем токи во всех сопротивлениях.
Так, например, анализируя схемы рис. 1.19 и рис 1.18, приходим к выводу, что токи ,поскольку сопротивления и — соединены последовательно.
Сопротивление согласно рис. 1.17 представляет два параллельно соединённых
Поэтому, определим напряжение
Токи в параллельных ветвях :
Сопротивление (рис. 1.17) — эквивалентное двум последовательно соединённым (рис 1.16),следовательно
Из рис. 1.16 и рис. 1.15 следует, что — эквивалентное сопротивление параллельно соединённых Поэтому
Из рис 1.15 и рис. 1.14: — последовательное соединение и Следовательно.
Показания вольтметра определим из решения уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для любого контура, включающего вольтметр.
Например, для контура 1-2-3-V:
В качестве проверки правильности решения задачи составим уравнение для контура, включающего источник питания U:
Показания вольтметра в обоих случаях одинаковые, следовательно, задача решена верно.
Задача с решением 2
В схеме неуравновешенного моста (рис. 1 20) определить токи во всех ветвях схемы, если
РЕШЕНИЕ
В этой цепи можно различить два треугольника (АВД и ВСД) и две звезды .
Для решения этой цепи по законам Кирхгофа пришлось бы составлять и решать систему из шести уравнений с шестью неизвестными. В то же время решение значительно упрощается, если треугольник АВД заменить эквивалентной звездой (пунктир на рис 1.20).
При этом получится цепь со смешанным соединением сопротивлений, которая легко решается с помощью закона Ома (рис. 1.21)
Сопротивления эквивалентной звезды согласно формуле 1.22, равны
Сопротивление соединены последовательно, поэтому
Аналогично Сопротивления соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление
Сопротивление всей цепи
Ток цепи
Напряжение
Токи
Для определения токов необходимо вернуться к исходной схеме (рис 1.20) и по второму закону Кирхгофа записать уравнение для контура ВСД:
Откуда
По первому закону Кирхгофа, для узла:
Эти страницы вам могут пригодиться:
- Ответы на тесты по электротехнике
- Законы электротехники
- Лабораторные по электротехнике
- Контрольная по электротехнике
- Рефераты по электротехнике
- Вопросы по электротехнике
- ТОЭ задачи с решением и примерами
- ТОЭ лэти угату мэи
- Темы по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике (ТОЭ)
Задача 1
Для трех заданных схем электрических цепей (рис. 1.1—Г.З) показать распределение тока и напряжения, за-писать уравнения по законам Кирхгофа и баланса мощностей, обосновать виды цепей по методам их анализа.
Решение:
1. Элементы электрической цепи. Все рассматриваемые цепи содержат два вида устройств: во-первых, источники энергии — аккумуляторы, генераторы (активные элементы) и, во-вторых, потребители энергии — сопротивления (пассивные элементы). Кроме того, в двух цепях (рис. 1.1 и 1.2) включены вспомогательные устройства — ключи К, из которых один (рис. 1.1) работает на включение, а другой (рис. 1.2) — на размыкание. При анализе цепей будем считать оба ключа замкнутыми.
Источники энергии изображены различно — в соответствии с принятыми обозначениями аккумулятора (рис. 1.1) и генератора постоянного тока. (рис. 1.2). Кроме указанных конкретных реальных источников приведено изображение произвольного источника ЭДС (рис. 1.3), используемое в схемах замещения (см. доп. вопрос 5 к этой задаче).
2. Участки электрической цепи. Показанные на рис. 1.1 и 1.2 цепи содержат два принципиально различных участка: внутренний—источник энергии
и внешний — вся остальная цепь, т. е. потребители или приемники энергии. Такое деление на участки («внутренний» и «внешний») применимо только к цепям с одним источником энергии.
Однако используется и другое (более широкое) представление об участке цепи (без добавления «внутренний»
Рис. 1.1. Неразветвленная цепь с Рис. 1.2. Разветвленная цепь с дву-одним источником и несколькими мя узлами и тремя ветвями потребителями
или «внешний»), которым обозначают любую часть цепи. Так, сопротивления (рис. 1.1) совместно образуют участок ВЖ, сопротивления (рис. 1.2)—участок ВАБ и т.д.
3. Распределение тока. Первый закон Кирхгофа. Ток во всякой электрической цепи и в любом ее участке характеризуется значением и направлением.
В цепи рис. 1.1 существует один путь для тока: от вывода «+» источника по направлению движения часовой стрелки. На этом пути ток не изменяется, поэтому он обозначен одинаково ветвями J на всех участках цепи. Такая цепь называется неразветвленной— ток «не разветвляется» (не делится на части).
В цепи рис. 1.2 создаваемый ЭДС Е ток (в неразветвленной части цепи БГВА) разделяется в узловой точке А на две части , так как имеются два пути для тока — через сопротивления Известно (первый закон Кирхгофа):
Такая цепь называется разветвленной. Она характеризуется числом узлов (точек разделения тока) и числом ветвей (участков с одним значением тока). Данная цепь (рис. 1.2) имеет два узла (точки А и Б) и три ветви с токами .
На практике встречаются цепи и с большим числом узлов и ветвей.
Третья заданная цепь (рис. 1.3) также является разветвленной, но в отличие от предыдущей (рис. 1.2) содержит несколько источников энергии, включенных в разные ветви. В такой цепи не представляется возможным заранее (до расчета) установить направления токов. Действительно, ЭДС задает токам направление по часовой стрелке, а ЭДС — обратное.
Разветвленные цепи с несколькими источниками питания, включенными в разные ветви, часто называют сложными. В таких цепях направления токов ветвей вначале (до расчета значений токов) выбирают произвольно, что и сделано на рис. 1.3. Затем (после анализа цепи) направления токов уточняются.
Заметим, что в сложной цепи задают только направления токов, так как число токов (различных по значению) известно. Оно равно числу ветвей. Например, в рассматриваемой цепи—три ветви и соответственно три тока: . Эти токи выбраны одинаково направленными (к узлу А), поэтому по первому закону Кирхгофа имеем
Очевидно, что все токи не могут притекать к узлу. Хотя бы один из них должен отходить от узла. Поэтому направления токов, выбранные на рис. 1.3 произвольно, будут скорректированы после расчета цепи.
4. Виды цепей и методы их анализа. Расчет неразветвленной цепи (первый вид) можно выполнить, используя закон Ома. Так, в нашем случае (рис. 1.1) при заданной ЭДС и сопротивлениях цепи определяем вначале ток:
а затем падения напряжений на сопротивлениях:
Второй вид цепи (разветвленная с одним источником энергии) сводится при расчете к первому (к неразветвленной цепи) путем упрощения схемы, выполняемого заменой сопротивлений, соединенных последовательно и парал-
лельно, эквивалентными. Например, цепь рис. 1.2 после замены в ней параллельно соединенных одним эквивалентным сопротивлением
окажется неразветвленной, что позволяет для тока h записать уравнение по закону Ома, аналогичное (1.3), а именно:
Сложные цепи (третий вид) отличаются тем, что их схемы нельзя упростить и свести к одноконтурным путем замены последовательно и параллельно соединенных сопротивлений эквивалентными. В этом легко убедиться на примере цепи (рис. 1.3), в которой вовсе отсутствуют названные соединения сопротивлений.
Такие цепи обычно анализируют без преобразования схемы. Методы их анализа рассмотрены в гл. 4. Один из них — метод уравнений Кирхгофа—кратко пояснен в этом параграфе (п. 5).
Итак, метод расчета цепи зависит от вида ее электрической схемы, с анализа которой и следует начинать решение задачи. В самом общем виде можно выделить три типа цепей (с точки зрения метода их анализа): не разветвленную, разветвленную с одним источником и разветвленную с несколькими источниками, включенными в разные ветви. Названные виды цепей рассматриваются в гл. 2-4.
5. Второй закон Кирхгофа. Распределение напряжения. Прежде всего вспомним правило знаков при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Электродвижущая сила записывается со знаком плюс, если выбранное направление обхода контура совпадает с ее направлением. Падение напряжения на сопротивлении записывается со знаком плюс, если направление тока в рассматриваемом сопротивлении совпадает с направлением обхода контура.
В соответствии с этими правилами для контура ЖАБВГДЖ (рис. 1.1) при его обходе по направлению движения часовой стрелки имеем
где — падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника энергии.
Уравнение (1.6), составленное на основании второго закона Кирхгофа, совпадает с полученным выше уравнением (1.3), записанным по закону Ома, и характеризует распределение напряжений в цепи (рис. 1.1).
Чтобы применить второй закон Кирхгофа к сложной цепи (рис. 1.3), нужно прежде всего выделить отдельные замкнутые контуры, например ВГАБВ и БАЖДБ, и затем выбрать направление обхода этих контуров, например по часовой стрелке.
При этом.для первого из выбранных контуров алгебраическая сумма действует по направлению обхода контура, а — встречно ему.
Для этого же контура алгебраическая сумма напряжений (падений напряжений на сопротивлениях) , так как ток совпадает с направлением обхода, а ток имеет противоположное направление.
По второму закону Кирхгофа алгебраические суммы ЭДС и напряжений равны, поэтому имеем
Для второго выбранного контура уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид
т.е. аналогично (1.7).
Рассматривая (1.2), (1.7) и (1.8) как систему уравнений, можно определить три неизвестные величины, например токи (при заданных ЭДС и сопротивлениях). Такой метод расчета сложных цепей рассмотрен в гл. 4.
6. Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что мощность, развиваемая источником, равна сумме мощностей потребителей, т. е. имеет место баланс мощностей. Составим его для двух цепей (рис. 1.1 и 1.3).
В первой из них действует один источник энергии, развивающий мощность . Часть этой мощности
теряется внутри источника, а остальная поступает во внешнюю цепь и распределяется в сопротивлениях соответственно.
При этом имеем условие баланса мощностей
В другой (сложной) цепи —три источника энергии. Их общая мощность
распределяется только в сопротивлениях (внутренние сопротивления источников по условию задачи не учитываются). Поэтому
выражает условие баланса мощностей в данной цепи.
Задача 2
Генератор постоянного тока с ЭДС E — 230 В и внутренним сопротивлением = 0,2 Ом питает производственный объект, на котором установлены электрические двигатели и электрические печи. Число работающих потребителей энергии различно в разные часы и смены. В таких условиях ток в цепи генератора изменяется в широких пределах.
Составить схему замещения цепи, определить предельные режимы генератора, построить зависимости тока, мощностей источника и приемника и КПД генератора от отношения сопротивления нагрузки к внутреннему сопротивлению .
Решение:
Г. Источник ЭДС. В этой задаче, как и во всех предыдущих, используется источник энергии, характеризующийся ЭДС и внутренним сопротивлением. Такой источник энергии называется источником ЭДС. Его электрическая схема (рис. 1.5, показана пунктиром) является схемой замещения заданного генератора и может быть присоединена вместо него к точкам А и Б (рис. 1.5).
Как было показано (§ 1.1), ЭДС источника обеспечивает ток в цепи и энергию в потребителях, а внутреннее сопротивление характеризует потери энергии в самом источнике. Чтобы обеспечить малые потери энергии в источнике, его внутреннее сопротивление выбирают много меньшим, чем сопротивление внещнего участка цепи.
Этому условию удовлетворяет большинство источников энергии, используемых на практике (аккумуляторы, генераторы и др.).
В практических условиях часто представляется возможным пренебречь сравнительно малым внутренним сопротивлением источника. Такие источники (без внутреннего сопротивления) являются идеальными источниками ЭДС. В практических условиях их иногда называют источниками заданного напряжения.
Итак, источник ЭДС практически можно считать источником заданного напряжения.
2. Составление электрической схемы. В предыдущем параграфе (доп. вопрос 5) было показано, что электрические схемы являются схемами замещения реальных цепей. При этом сопротивления цепи могут быть рассмотрены как эквиваленты каких-то потребителей.
Однако в этой задаче (в отличие от предыдущей) изменяются режим работы потребителей и ток в цепи источника энергии..Как составить схему замещения в таком случае?
Реальный объект можно заменить на схеме переменным сопротивлением R (рис. 1.5), обеспечивающим изменение тока I в цепи в тех же пределах, что и в реальных условиях.
При заданных ЭДС Е и внутреннем сопротивлении генератора /?Пт напряжение на выводах А и Б (рис. 1.5) зависит только от тока. Поэтому достаточно установить переменным сопротивлением Я (рис. 1.5) значение тока, соответствующее реальным условиям, чтобы получить значения напряжения U и мощности , одинаковые для эквивалентной схемы’ и производственного объекта.
Полученная схема рис. 1.5, так же как и приведенная на рис. 1.1,— неразветвленная с одним источником энергии. Метод расчета такой цепи рассматривался в § 1.1, им и воспользуемся.
3. Режимы цепи при переменной нагрузке.
В цепи с изменяющимся в широких пределах сопротивлением внешнего участка можно установить два предельных режима: холостой ход, когда (цепь разомкнута), ток и напряжение короткое замыкание при , возникающее в большинстве случаев при авариях, например при случайном замыкании выводов А и Б.
В режиме короткого замыкания ток в цепи и мощность, развиваемая источником , достигают максимальных значений.
Так, при заданных параметрах цепи = 230/0,2 = = 1150 =230 • 1150 — 26,45 кВт. Напряжение на выводах цепи =0, и мощность потребителя .= Поэтому вся мощность источника рассеивается на его внутреннем-сопротивлении и в соединительных проводах, имеющих, хотя и малое, • сопротивление. В результате могут перегреться провода или выйти из строя генератор.
Оба режима, очевидно, являются крайними случаями нагрузки источника. Для практических целей интересно также исследовать промежуточные режимы цепи, зависящие от соотношения сопротивлений . Рассмотрим эти режимы для отношения , изменяющегося в пределах от 0 до 10, что соответствует в наших условиях (при =0,2 Ом) изменению Р от 0 до 2 Ом.
4. Определение зависимости 7. В рассматриваемой цепи ток
По этому уравнению на рис. 1.6 построен график тока по точкам, вычисленным для нескольких значений отношения или R (табл. 1.1).
5. Определение зависимости . Поскольку мощность, развиваемая источником, пропорциональна току , то кривая тока, построен-
ная в другом масштабе по оси ординат, изображает график мощности (правая ордината рис. 1.6).
6. Определение, зависимости . По значениям тока I и сопротивления R (табл. 1.1) вычисляем мощность потребителя (табл. 1.2) и строим кривую
Оказывается, что режим наибольшей мощности во внешней цепи (рис. 1.6) получается при (теоретически это положение доказано в доп. вопросе 3 к этой задаче).
7. Определение КПД:
Вычислим КПД для характерных режимов:
Из полученных результатов следует два вывода.
Во-первых, с увеличением отношения возрастает КПД, который достигает максимального значения (100 %) теоретически в режиме холостого хода. При этом, однако, никакой полезной работы не производится, так как и мощность потребителя, и мощность источника равны нулю.
Во-вторых, при КПД составляет только 50 %; хотя источник и отдает во внешнюю цепь наибольшую мощность, такая же мощность теряется во внутреннем сопротивлении.
Задача 3
Источник тока с собственной (внутренней) проводимостью (рис. 1.7) присоединен к переменному сопротивлению R, значение которого изменяется от нуля до бесконечности (обрывается цепь). Определить напряжение источника (i^)J П(?м=/- и о тока, развиваемую им мощность и мощность внешней цепи для трех режимов нагрузки: I Источник тока холостого хода короткого замыкания и номинального с источником тока , а также составить схему эквивалентного источника ЭДС и найти ес параметры.
Решение:
1. Источник тока. В некоторых областях техники (электронике, радиотехнике, приборостроении) применяются источники энергии с большими внутренними сопротивлениями . Цепи с этими источниками нередко работают в режиме, при котором сопротивление нагрузки источника
При таком условии и заданной ЭДС Е ток источника практически не зависит от сопротивления внешнего участка . Это требование абсолютно реализуется для любых нагрузок при условии, что т.е. в идеальном случае. Такие источники энергии в теории цепей называют источниками тока.
Очевидно, что для идеального источника тока, т.е. такого, который развивает строго неизменный ток при любых нагрузках, невозможен режим холостого хода, так как при этом и сопротивление нагрузки
Таким образом, идеализированный источник энергии, у которого бесконечно внутреннее сопротивление, обеспечивает одинаковый ток в любой нагрузке и является идеальным источником тока.
Идеальный источник тока обозначается на схемах кружочком с двойной стрелкой внутри (рис. 1.7), показывающей направление тока. Введением двойной стрелки подчеркивается, что внутреннее сопротивление равно бесконечности (разрыв).
Всякий реальный источник имеет внутренние потери энергии, характеризуемые его внутренним сопротивлением. В источнике напряжения, как известно (§ 1.2), внутреннее сопротивление включается последовательно с его ЭДС. Аналогичное включение для источника тока означало бы последовательное соединение бесконечного сопротивления идеального источника и конечного внутреннего сопротивления потерь, что не имеет смысла. Поэтому в реальную схему источника тока вводят параллельную его выводам ветвь (рис. 1.7) внутреннего сопротивления или внутренней проводимости
Внутренняя проводимость (рис. 1.7) учитывает все причины изменения внешнего тока 1 при нагрузке источника тока. Напряжение на источнике тока определяется как произведение тока источника и общего сопротивления внешнего участка цепи.
Итак, источник электрической энергии, характеризующийся током J и внутренней проводимостью , называется. источником тока.
2. Режимы цепи при переменной нагрузке. При холостом ходе сопротивление внешнего участка
(обрыв ветви с сопротивлением R). В этих условиях ток во внутренней проводимости источника
напряжение на его выводах А и Б (рис. 1.7)
мощность, развиваемая источником,
и в нагрузке
При другом предельном режиме (коротком замыкании) сопротивление внешнего участка цепи ее ток , так как во внутренней проводимости ток отсутствует . При этом напряжение источника ; его мощность
Очевидно, что и мощность в нагрузке равна нулю. Таким образом, источник тока в отличие от источника ЭДС развивает в режиме холостого хода максимальную мощность, а в режиме короткого замыкания — минимальную (равную нулю).
При заданной (по условию задачи) номинальной нагрузке, определяемой сопротивлением Ом или проводимостью См, общая проводимость участка АБ
По закону Ома напряжение источника
Ток во внешнем участке цепи.
Мощность источника в номинальном (рабочем) режиме
значительно меньше, чем в режиме холостого хода.
Мощность в нагрузке
3. Эквивалентная схема с источником ЭДС. Доказано, что источник тока с параметрами 7
и и источник ЭДС с параметрами Е и эквивалентны при условиях
Используя эти формулы, получаем при наших данных параметры эквивалентного источника ЭДС:
В результате цепь рис. 1.7 может быть представлена эквивалентной схемой рис. 1.8
В целях проверки вычислений определим ток I и напряжение U в эквивалентной схеме рис. 1.8 для номинального режима :
Получен Тот же результат.
Задача 4
Цепь рис. 1.9, питаемая от источника напряжением = 20 В, имеет переменное сопротивление регулируемое от 0 до 500 Ом. При = 0 токи ветвей =40 мА. Для контроля напряжений и токов включены
вольтметры и амперметры (их собственным потреблением энергии можно пренебречь).
Требуется: а) выбрать резисторы по значению сопротивления (при допустимой погрешности ±10%), а также по допустимой мощности рассеивания; б) выбрать реостат — переменное сопротивление в) составить схему соединений (монтажную схему), используя заданное (рис. 1.10) расположение элементов и приборов (соединительные провода, показанные на рис. 1.10, не учитывать).
Решение:
1. Выбор резисторов. Любой резистор характеризуется двумя основными параметрами — сопротивлением и допустимой мощностью рассеивания. Важны.м качественным показателем является также точность значения сопротивления резистора, задаваемая предельным допустимым отклонением (в процентах) от номинального значения.
Для указанной (в условии задачи) допустимой погрешности значения сопротивления ±10% промышленность изготовляет резисторы с номинальными значениями сопротивлений, Ом: 1,0; 1,2; 1,8; 2,2; 2,7; 3,3; 3,9; 4,7; 5,6; 6,8; 8,2 и т.д. с увеличением в 10, 100, 1000 и т. д. раз.
Для определения номинальных значений сопротивлений (рис. 1.9) воспользуемся законом Ома. Действительно, в заданном режиме ( = 0) падение напряжения на участке АВ цепи отсутствует (сопротивление амперметра и соединительных проводов принято считать равным нулю) и соответственно напряжение на резисторах (=20 В.
Токи в резисторах для рассматриваемого режима также известны (заданы по условию задачи).
Соответственно при наших данных имеем
Так как промышленность не изготовляет резисторы (по приведенному выше ряду) на 2 кОм и 0,5 кОм, то полученные значения реализуются несколькими резисторами («составное» сопротивление) (см. доп. вопрос I к этой задаче).
Имея значения сопротивлений, находим мощности рассеивания:
Однако резисторы изготовляются не на любые значения мощности, а только на определенные: 0,25, 0,5; 1,0 Вт и др. Как же в таком случае поступить?
Чтобы избежать превышения температуры резистора, следует выбрать ближайшее большее значение номинальной мощности по сравнению с расчетной. Соответственно принимаем: для —0,25 Вт, а для —1 Вт (см. также доп. вопрос 1 к этой задаче).
2. Выбор реостата. Значение его сопротивления задано 0—500 Ом. Остается рассчитать мощность рассеивания и, очевидно, ее наибольшее значение (чтобы обеспечить безопасную работу реостата). Для этого заменим параллельно соединенные сопротивления эквивалентным Ом и преобразуем исходную схему (рис. 1.9) в эквивалентную (рис. 1.11), в которой измерительные приборы исключены, так как не влияют на искомую мощность.
В полученной схеме (рис. 1.11) наибольшая мощность рассеивания в реостате достигается при сопротивлении (см. § 1.3) и составляет половину мощности всей цепи, состоящей из двух равных сопротивлений .
Так как мощность всей цепи , то максимальная мощность в реостате
Полученная наибольшая мощность имеет место только при одном значении =400 Ом, а при всех других его значениях =0,25 Вт и запас тепловой надежности возрастает.
3. Сборка электрической цепи. Сборка (монтаж) электрической цепи выполняется либо по принципиальной схеме (при экспериментальной работе, в учебных лабораториях и др), либо по монтажной схеме (в производственных условиях).
При сборке цепи по принципиальной схеме (что обычно вызывает затруднения у обучающихся) приходится мысленно представлять «геометрию» цепи (образование узлов, ветвей) и токопрохождение в ней. Убедимся в этом на примере сборки цепи рис. 1.9, имея расположение ее элементов и приборов (рис. 1.10).
Вначале выполним соединения, обеспечивающие основное прохождение тока, т. е. соберем цепь токов (рис. 1.9), а затем подключим вспомогательные параллельные ветви (вольтметры ).
Неразветвленный участок цепи АВ (рис. 1.9) реализуется просто: присоединением трех проводов А-1, 2-4, 3-5 (рис. 1.10), образующих путь для тока Ц от вывода «-}-» источника через ключ К и реостат
Для получения переменного сопротивления реостат можно включить двумя способами: либо без провода 6-7 (показан пунктиром), либо с ним. При первом варианте включения иногда наблюдаются обрывы цепи во время перемещения ползунка П реостата (вследствие плохого прилегания ползунка к диску), при втором варианте этот недостаток исключается. Поэтому чаще применяют включение с дополнительным проводом 6-7.
Разветвленный участок цепи ВБ (рис. 1.9) можно выполнить (смонтировать) несколькими способами, зависящими отварианта соединения выводов 6,7,9,11 (рис. Г.10), объединяемых между собой для получения узловой точки В (рис. 1.9). Один вариант их соединения приведенна рис. 1.10, а, а другой —на рис. 1.10,6. Можно предложить и третий вариант.
Все они одинаково удовлетворяют принципиальной схеме, так как сопротивления соединительных проводов не учитываются (принимаются равными нулю), что, кстати, дает право рассматриваемые выводы обозначить одной и той же буквой В на схеме (рис. 1.10), соответствующей данному узлу на принципиальной схеме (рис. 1.9).
Однако по затратам труда и меди (длине проводов) варианты соединений не равноценны и на практике выбирают наиболее экономичный.
Соединения 8-12 и 10-14 (рис. 1.10) очевидны по принципиальной схеме (рис. 1.9). Чтобы закончить сборку основной токовой цепи, образуем узловую точку Б (рис. 1.9), которую аналогично узловой точке В можно также смонтировать по-разному. На рис. 1.10 показан один из вариантов ее выполнения, который может вызвать сомнения: почему, например, длинный провод Б-13 (от вывода «—» источника питания) не заменен более коротким Б-19 или4еще лучше 17-19? Указанная замена действительно экономит провода, но лишает возможности отключить вольтметры , присоединяемые (проводами, показанными на рис. 1.10 пунктиром) после сборки основной цепи.
Услуги:
- Заказать электротехнику помощь в учёбе
- Контрольная работа по электротехнике заказать
- Помощь по электротехнике онлайн
- Курсовая работа по электротехнике заказать готовую онлайн
- РГР по электротехнике расчетно графическая работа
Лекции по электротехнике
- Элементы электрических цепей
- Топология электрических цепей
- Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
- Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них
- Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
- Основы матричных методов расчета электрических цепей
- Мощность в электрических цепях
- Резонансные явления в цепях синусоидального тока
- Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей
- Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
- Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками
- Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей
- Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций
- Пассивные четырехполюсники
- Электрические фильтры
- Трехфазные электрические цепи: основные понятия и схемы соединения
- Расчет трехфазных цепей
- Применение векторных диаграмм для анализа несимметричных режимов. Мощность в трехфазных цепях
- Метод симметричных составляющих
- Теорема об активном двухполюснике для симметричных составляющих
- Вращающееся магнитное поле. Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
- Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
- Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в трехфазных цепях
- Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов
- Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом.
- Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи
- Операторный метод расчета переходных процессов
- Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению
- Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния
- Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета
- Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора. Аналитические и итерационные методы расчета цепей постоянного тока
- Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках
- Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
- Нелинейные цепи переменного тока
- Метод кусочно-линейной аппроксимации. Метод гармонического баланса
- Переходные процессы в нелинейных цепях. Аналитические методы расчета
- Основные термины и определения электротехники
- Классификация электрических цепей
- Электрическая цепь
- Линейные электрические цепи постоянного тока
- Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований
- Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа
- Расчет электрической цепи методом контурных токов
- Расчет электрической цепи методом наложения
- Метод двух узлов
- Баланс мощности электрической цепи
- Расчет потенциальной диаграммы
- Линейные электрические цепи однофазного синусоидального переменного тока
- Расчет электрических цепей переменного тока
- Алгебраические операции с комплексными числами
- Анализ электрического состояния цепи переменного тока
- Анализ цепи с резистивным элементом
- Анализ цепи с катушкой индуктивности
- Анализ цепи с конденсатором
- Анализ цепи с последовательным соединением элементов R, L, C
- Мощность цепи синусоидального тока
- Коэффициент мощности и его экономическое значение
- Резонанс в цепях переменного тока
- Характерные особенности резонанса напряжений
- Трехфазные цепи
- Мощность трехфазной цепи
- Трансформаторы
- Однофазные трансформаторы
- Трехфазные трансформаторы