Электротехника экзамен задачи

Электротехника задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задачи по электротехнике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теоретические основы электротехники», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Теоретические основы электротехники

Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.

Электрические цепи постоянного тока. Пассивные элементы электрической цепи

Величина сопротивления Решение задач по электротехнике (рис. 1, а), измеряемая в омах, равна отношению напряжения на его зажимах Решение задач по электротехнике, измеряемого в вольтах, к протекающему через сопротивление току Решение задач по электротехнике измеряемому в амперах:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Поводимость Решение задач по электротехнике — обратна сопротивлению Решение задач по электротехнике и измеряется в сименсах.

Величина индуктивности Решение задач по электротехнике (рис. 1, б), измеряемая в генри, определяется отношением потокосцепления самоиндукции Решение задач по электротехнике протекающему через неё току Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике

Потокосцепление Решение задач по электротехнике равно произведению магнитного потока Решение задач по электротехнике, измеряемого в веберах, и числа витков катушки индуктивности Решение задач по электротехнике.

Решение задач по электротехнике

Магнитный поток Решение задач по электротехнике равен произведению магнитной индукции Решение задач по электротехнике, измеряемой в теслах на сечение магнитопровода Решение задач по электротехнике катушки индуктивности:

Решение задач по электротехнике

Взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике двух катушек индуктивностей Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике определяется отношением

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — потокосцепление катушки Решение задач по электротехнике, обусловленное током второй катушки Решение задач по электротехнике; Решение задач по электротехнике — потокосцепление катушки Решение задач по электротехнике, обусловленное током первой катушки Решение задач по электротехнике.

Гак же как и индуктивность Решение задач по электротехнике, взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике измеряется в генри. Величина ёмкости Решение задач по электротехнике (рис. 1, в) определяется отношением заряда Решение задач по электротехнике, накопленного на этом элементе, к напряжению Решение задач по электротехнике, приложенному к этому элементу:

Решение задач по электротехнике

Заряд Решение задач по электротехнике измеряется в кулонах, емкость Решение задач по электротехнике — в фарадах, напряжение Решение задач по электротехнике — в вольтах.

Эквивалентные преобразования схем электрической цени с пассивными элементами

Последовательное соединение резисторов (рис. 2, а) равно сумме их сопротивлений (рис. 2, б):

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Задача №1 с решением

Найти эквивалентное сопротивление электрической цепи (рис. 3), если Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Решение:

Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении двух резисторов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике (рис. 4, а) их эквивалентное сопротивление(рис. 4, б)

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении трёх резисторов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике (рис. 4, в) их эквивалентное сопротивление (рис. 4, г)

Решение задач по электротехнике

Задача №2 с решением

Найти эквивалентное сопротивление Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике электрической цепи (см. рис. 4, а и в), если Решение задач по электротехнике

Решение: Для рис. 4, а

Решение задач по электротехнике

Для рис. 4, получим

Решение задач по электротехнике

Последовательное соединение катушек индуктивное гей Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (7)

Решение задач по электротехнике

параллельное соединение для Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (8)

Решение задач по электротехнике

параллельное соединение для Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике рассчитывается по формуле (9)

Решение задач по электротехнике

Параллельное соединение конденсаторов (рис. 5, а) даёт сумму их ёмкостей (рис. 5, б)

Решение задач по электротехнике

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) эквивалентная ёмкость

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Для эквивалентного преобразования схем с соединением сопротивлений в виде треугольника (рис. 7, а) и звезды (рис. 7. б) необходимо, чтобы проводимость между любой парой узлов 1, 2, 3 в «треугольнике» и «звезде» были одинаковы при любых сопротивлениях в преобразованной части цепи (в том числе и при сопротивлениях, равных бесконечности), т. е.

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

В левых частях уравнений (15) — (17) записаны проводимости между соответствующими узлами «треугольника» сопротивлений, а в правых частях -проводимости между соответствующими узлами «звезды» сопротивлений.

Решение задач по электротехнике

Считая известными сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике сторон «треугольника», можно найти неизвестные сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике «звезды» следующим образом: из равенства (15) почленно вычитают равенство (17) и прибавляют равенство (16). В результате

Решение задач по электротехнике

Аналогичным образом находят Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Обратное преобразование из «звезды» в «треугольник», считая известными сопротивления Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике, даёт следующие результаты:

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

  • Задача №3 с решением
  • Задача №4 с решением

Эквивалентные преобразования схем электрической цепи с активными элементами

К активным элементам электрической цепи относят источник ЭДС (рис. 13) с внутренним сопротивлением Решение задач по электротехнике и источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 14) с внутренней проводимостью Решение задач по электротехнике. На рис. 13 и 14 Решение задач по электротехнике — сопротивление нагрузки.

Решение задач по электротехнике

Для эквивалентной замены источников ЭДС и Решение задач по электротехнике необходимо, чтобы ток Решение задач по электротехнике и напряжение Решение задач по электротехнике па выходе источников при заданной нагрузке Решение задач по электротехнике остались без изменений.

Для источника ЭДС (см. рис. 13)

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

Для источника тока Решение задач по электротехнике (см. рис. 14)

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

Из выражений (25) и (26) следует, что при замене источника ЭДС источником тока

Решение задач по электротехнике

и

Решение задач по электротехнике

Из выражений (24) и (27) следует, что при эквивалентной замене источника тока источником ЭДС

Решение задач по электротехнике

и

Решение задач по электротехнике

Задача №5 с решением

В электрической цепи (рис. 15) Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехникеПроизвести эквивалентные преобразования от источника ЭДС к источнику тока и обратно.

Решение: Перейдя от источников ЭДС к источникам тока, получим эквивалентную схему, приведенную на рис. 16, где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Источники тока Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике на рис. 16 образуют один эквивалентный источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 17), где

Решение задач по электротехнике

Перейдя от источника тока (см. рис. 17) к источнику ЭДС, получим схему цепи (рис. 18), эквивалентную исходной, где

Теоретические основы электротехники
Решение задач по электротехнике

Задача №6 с решением

Для цепи рис. 19 заданы параметры: Решение задач по электротехникеРешение задач по электротехнике Определить ток Решение задач по электротехнике, применив метод преобразований.

Решение задач по электротехнике

Решение: Преобразуем источник тока Решение задач по электротехнике в эквивалентный источник ЭДС (рис. 20, 21): Решение задач по электротехнике. Тогда получим Решение задач по электротехнике.

Решение задач по электротехнике

Чтобы дальше свернуть схему, источник ЭДС Решение задач по электротехнике преобразуем в источник тока Решение задач по электротехнике (рис. 22).

Окончательно получим (рис. 23): Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Тогда ток Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

  • Задача №7 с решением
  • Задача №8 с решением

Meтод уравнений Кирхгофа

Суть метода заключается в составлении системы уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет Решение задач по электротехнике узлов и Решение задач по электротехнике ветвей, а следовательно, и Решение задач по электротехнике неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему Решение задач по электротехнике линейных независимых уравнений.

По 1-му закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т. е. Решение задач по электротехнике уравнений. Однако линейно независимыми будут только Решение задач по электротехнике уравнений, т. е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи.

Остальные Решение задач по электротехнике линейно независимых уравнений составляются по 2-му закону Кирхгофа.

Таким образом, общее число уравнений, составленных по 1-му и 2-му законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей цепи, а значит, и числу независимых токов.

Порядок расчета электрических цепей с помощью законов Кирхгофа следующий:

  1. Определяется число узлов Решение задач по электротехнике и число ветвей Решение задач по электротехнике в цепи, и в соответствии с этим определяется количество уравнений, которые необходимо составить по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.
  2. Обозначаются на схеме цепи тока в ветвях и произвольно выбираются их направления. Выбираются независимые замкнутые контуры цепи таким образом, чтобы в каждый исследуемый контур входила одна новая ветвь. Произвольно задаются направления обхода контуров.
  3. Составляется Решение задач по электротехнике уравнений по 1-му закону Кирхгофа. При этом токи, входящие в узел, берутся со знаком «+», а выходящие из узла со знаком « ».
  4. Составляется Решение задач по электротехнике уравнений по 2-му закону Кирхгофа. При составлении этих уравнений величина ЭДС берёгся со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-». если не совпадает. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутых контурах берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением токов в ветвях, и со знаком «-», если не совпадает.
  5. Производится расчёт составленной системы уравнении относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным направлениям.

Задача №9 с решением

В электрической цепи (рис. 31) Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехникеОпределить токи в ветвях цепи с помощью законов Кирхгофа.

Решение: В заданной электрической цепи два узла и два независимых контура. Следовательно, по 1-му закону Кирхгофа составляется одно уравнение, а по второму два.

Для узла Решение задач по электротехнике

Для контуров: Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

После подстановки цифровых данных система уравнений имеет следующий вид:

Решение задач по электротехнике

Решение: этой даст токи ветвей: Решение задач по электротехникеДля проверки правильности решения задачи составляется уравнение баланса мощностей:

Решение задач по электротехнике

При подстановке численных данных получается, что Решение задач по электротехнике т. е. мощности источника Решение задач по электротехнике и нагрузки Решение задач по электротехнике практически совпадают. Значит, токи в ветвях цепи рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

  • Задача №10 с решением
  • Задача №11 с решением

Метод контурных токов

Расчёт сложных электрических цепей методом контурных токов сводится к решению системы уравнений, составленных только но 2-му закону Кирхгофа. Причём число уравнений в системе равно числу независимых контуров в электрической цепи.

В общем случае для электрической цепи, содержащей Решение задач по электротехнике независимых контурных уравнении, система контурных уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — собственные сопротивления 1, 2, …, Решение задач по электротехнике-го контуров; Решение задач по электротехнике и т. д. — взаимные сопротивления между контурами 1 и 2, 2 и 3 и т. д.; Решение задач по электротехнике — контурные токи; Решение задач по электротехнике — контурные ЭДС I, II, …, Решение задач по электротехнике-го контуров.

Взаимные сопротивления между контурами имеют положительные значения, если контурные токи, протекающие через них, имеют одинаковые направления, и отрицательны, если направления контурных токов через взаимные сопротивления встречны.

Контурные токи по абсолютной величине равны токам в ветвях, по которым протекает только один из контурных токов. Если по ветви протекают два контурных тока одного направления, то ток в этой ветви равен сумме контурных токов. Если контурные токи в ветви встречны, то ток в ветви равен разности контурных токов (по абсолютной величине).

Собственное сопротивление контура — это сумма всех сопротивлений, входящих в данный контур.

Контурная ЭДС — это алгебраическая сумма всех ЭДС контура.

Расчёт электрических цепей методом контурных токов производится в следующем порядке:

  1. Определяется число независимых контуров в электрической цепи и произвольно задаются направления контурных токов.
  2. Вычисляются собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные ЭДС.
  3. Составляется система управлений для контурных токов в соответствии со 2-м законом Кирхгофа, причем число уравнений должно быть равно числу независимых контуров схемы.
  4. Осуществляется решение системы уравнений (например, путём подстановки или с помощью определителей) с целью получения контурных токов.
  5. Определяются токи в ветвях.

Примечание. Вели по условию задачи часть источников энергии задана в виде источников тока, то перед началом расчёта их следует преобразовать в эквивалентные источники ЭДС.

Задача №12 с решением

В электрической цепи (рис. 34) методом контурных токов определить токи в ветвях, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: В электрической цепи три независимых контура. Произвольно выбраны направления контурных токов и токи в ветвях. Система из трех контурных уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике

Собственные сопротивления:

Решение задач по электротехнике

Взаимные сопротивления:

Решение задач по электротехнике

Собственные ЭДС контуров:

Решение задач по электротехнике

Тогда система контурных уравнений примет вид

Решение задач по электротехнике

Контурные токи через определители равны:

Решение задач по электротехнике

Определители:

Решение задач по электротехнике

Контурные токи:

Решение задач по электротехнике

Токи в ветвях:

Решение задач по электротехнике

Проверим правильность решения с помощью уравнения баланса мощностей.

Мощность источников ЭДС, отдаваемая в электрическую цепь:

Решение задач по электротехнике

Мощность, потребляемая нагрузкой:

Решение задач по электротехнике

Мощности Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике практически совпадают, значит, токи в ветвях рассчитаны правильно.

Дополнительные задачи:

  • Задача №13 с решением
  • Задача №14 с решением
  • Задача №15 с решением

Метод наложения

Метод наложения позволяет определять токи в ветвях электрической цепи непосредственно по закону Ома без составления и решения системы уравнений. Метод основан на принципе наложения (или суперпозиции), который утверждает, что ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.

Таким образом, по методу наложения вначале находят частичные токи в ветвях электрической цепи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю (т. е. заменив их короткозамкнутой перемычкой) и оставляя в схеме только сопротивления и внутренние сопротивления источников ЭДС, а затем находят токи в ве1вях как алгебраические суммы частичных токов.

Задача №16 с решением

Определись токи в ветвях электрической цепи (рис. 38, а) методом наложения, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: 1. Приняв Решение задач по электротехнике получим схему, приведенную на рис. 38, б. Частичные токи в этой схеме, создаваемые источником ЭДС Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике токи Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике направлены встречно и Решение задач по электротехнике, поэтому Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике ток Решение задач по электротехнике

В ветви с резистором Решение задач по электротехнике ток Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

  • Задача №17 с решением
  • Задача №18 с решением
  • Задача №19 с решением

Метод узловых потенциалов

Расчёт электрических цепей методом узловых потенциалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по 1-му закону Кирхгофа. Из этих уравнений вначале определяют потенциалы (напряжения) в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а затем токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Таким образом, при расчёте электрических цепей методом узловых потенциалов целесообразно придерживаться следующего порядка:

  1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю. т. е. заземлить один из узлов, а остальные узлы пронумеровать. Произвольно выбрать направления токов в ветвях.
  2. Используя 1-й закон Кирхгофа, составить систему уравнений для не-заземлённых узлов.
  3. Вычислить узловые токи в пронумерованных узлах алгебраически, суммируя токи источников, подсоединённых к этим узлам.
  4. Определить собственные и взаимные проводимости узлов. Причём взаимные проводимости в данном методе всегда отрицательные.
  5. Подставить полученные в пп. 3 и 4 узловые токи и проводимости в систему уравнений узловых потенциалов (напряжений) и решить её относительно узловых потенциалов.
  6. Найти токи в ветвях по закону Ома.

Задача №20 с решением

Определить токи в ветвях электрической цепи (рис. 49), если

Теоретические основы электротехники

Решение: Пусть потенциал узла 3 равен нулю. Тогда система узловых уравнений для определения потенциалов узлов имеет вид

Решение задач по электротехнике

Собственные и взаимные проводимости узлов 1 и 2:

Решение задач по электротехнике

Узловые токи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Тогда система узловых уравнений в числах имеет вид:

Решение задач по электротехнике

В результате решения этой системы потенциалы узлов 1 и 2 равны

Решение задач по электротехнике

По закону Ома определяем токи в ветвях:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Примечание. Знак «-» у токов Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике означает, что истинные направления этих токов в схеме противоположны произвольно выбранным.

Дополнительные задачи:

  • Задача №21 с решением
  • Задача №22 с решением
  • Задача №23 с решением

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется, как правило, для расчета тока в одной из ветвей электрической цепи. Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения, которая утверждает, что ток в любой ветви аб (рис. 53) линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения (рис. 54), ЭДС которого Решение задач по электротехникеравна напряжению на зажимах разомкнутой ветви а и б, а внутреннее сопротивление Решение задач по электротехнике равно сопротивлению между точками а и б при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями.

Решение задач по электротехнике

При расчёте электрических цепей методом эквивалентного генератора целесообразно придерживаться следующего алгоритма:

  1. Произвести разрыв ветви, ток в которой требуется определить.
  2. Определить сопротивление между точками разрыва, заменив источники электрической энергии короткозамкнутой перемычкой (для источника ЭДС) и разрывом (для источника тока).
  3. Определить напряжение между точками разрыва ветви.
  4. Определить ток в ветви по формулам в соответствии с точками разрыва (рис. 55):

1) разрыв в точках а и б: Решение задач по электротехнике

2) разрыв в точках а и в: Решение задач по электротехнике

3) разрыв в точках а и г: Решение задач по электротехнике

4) разрыв в точках в и г: Решение задач по электротехнике

Задача №24 с решением

В схеме электрической цепи, приведенной на рис. 56, найти ток Решение задач по электротехнике методом эквивалентного генератора, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Разорвём ветвь схемы электрической цепи в точках а и б. Ток

Решение задач по электротехнике

Сопротивление между точками разрыва

Решение задач по электротехнике

Напряжение между точками разрыва

Решение задач по электротехнике

но

Решение задач по электротехнике

тогда

Решение задач по электротехнике

Таким образом, ток

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

  • Задача №25 с решением
  • Задача №26 с решением
  • Задача №27 с решением
  • Задача №28 с решением

Электрические цени синусоидальною тока. Представление синусоидальною тока с помощью комплексных чисел

Синусоидальный ток Решение задач по электротехнике может быть представлен либо как проекции вращающегося против часовой стрелки вектора Решение задач по электротехнике (рис. 148) на вертикальную и горизонтальную оси, причем проекция вектора тока Решение задач по электротехнике на вертикальную ось в любой момент времени равна мгновенному значению тока Решение задач по электротехнике, изменяющегося по синусоидальному закону, а проекция вектора тока на горизонтальную ось — по косинусоидальному, либо как комплексное число на комплексной плоскости (рис. 149) точкой с радиусом-вектором Решение задач по электротехнике в трех формах: алгебраической, показательной и тригонометрической:

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — модуль комплексного числа; Решение задач по электротехнике — вещественная часть комплексного числа; Решение задач по электротехнике — мнимая часть комплексного числа; Решение задач по электротехнике— аргумент комплексного числа.

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Если Решение задач по электротехнике, т. е. если аргумент комплексного числа является линейной функцией времени, то комплексную функцию можно записать в виде

Решение задач по электротехнике

где аналогично представлению синусоидальною тока вращающимися векторами мнимая часть представляет собой функцию, изменяющуюся по закону синуса, а вещественная по закону косинуса, т. е.

Решение задач по электротехнике

Таким образом, комплексный мгновенный синусоидальный ток

Решение задач по электротехнике

В последнем выражении Решение задач по электротехнике — есть комплексная амплитуда, а функция Решение задач по электротехнике — оператор вращения, значения которого приведены в табл. 1

Решение задач по электротехнике

Если обе части уравнения Решение задач по электротехнике разделить на Решение задач по электротехнике, то получим

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — комплексный действующий синусоидальный ток, или комплексный ток.

Задача №29 с решением

По известному комплексному току Решение задач по электротехнике записать выражение для его мгновенного значения. Решение:

Находим

Решение задач по электротехнике

Таким образом

Решение задач по электротехнике

Задача №30 с решением

Найти комплексную амплитуду и комплексный ток, если его мгновенное значение равно

Решение задач по электротехнике

Решение:

Решение задач по электротехнике

Задача №31 с решением

Преобразовать комплексные числа из алгебраической формы в показательную:

Решение задач по электротехнике

Задача №32 с решением

Преобразовать комплексные числа из показательной формы в алгебраическую:

Решение:

Решение задач по электротехнике

Последовательное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлений (рис. 150) на основании второго закона Кирхгофа:

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Причем Решение задач по электротехнике равно арифметической сумме активных сопротивлений цепи, a Решение задач по электротехнике — алгебраической, т. к. реактивное сопротивление емкости отрицательно.

Задача №33 с решением

В электрической цепи (рис. 151) с последовательным соединением элементов определить ток Решение задач по электротехнике, напряжение на элементах и мощность, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Полное комплексное сопротивление цепи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Комплекс действующего тока:

Решение задач по электротехнике

Напряжения на элементах цепи:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Мощность:

Решение задач по электротехнике

Таким образом, полная мощность Решение задач по электротехнике активная Решение задач по электротехнике реактивная Решение задач по электротехнике

Параллельное соединение комплексных сопротивлений

В цепи с параллельным соединением комплексных сопротивлений (рис. 152) на основании первого закона Кирхгофа

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Причем активная проводимость Решение задач по электротехнике равна арифметической сумме активных проводимостей цепи, а реактивная проводимость Решение задач по электротехнике — алгебраической сумме реактивных приводимостей.

Задача №34 с решением

В электрической цепи (рис. 153) определить токи Решение задач по электротехнике и полную мощность, потребляемую схемой, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Определим комплексные сопротивления ветвей

Решение задач по электротехнике

Рассчитаем токи ветвей:

Решение задач по электротехнике

Полная мощность:

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

где активная мощность Решение задач по электротехнике реактивная Решение задач по электротехнике

Смешанное соединение комплексных сопротивлении

Порядок расчета целей синусоидального тока со смешанным соединением комплексных сопротивлений (рис. 154) следующий.

Решение задач по электротехнике

Комплексное эквивалентное сопротивление всей цепи

Теоретические основы электротехники

где

Решение задач по электротехнике

Комплексный ток в неразветвленной части цепи

Решение задач по электротехнике

Комплексное напряжение на параллельном участке цепи

Решение задач по электротехнике

Комплексные токи в параллельных ветвях

Решение задач по электротехнике

Задача №35 с решением

Методом преобразования найти мгновенные значения токов в ветвях схемы Решение задач по электротехнике (рис. 155), если Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

Решение: Ответ будем искать в видеРешение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике

Определим комплексное входное сопротивление цепи

Решение задач по электротехнике

Тогда входной ток будет

Решение задач по электротехнике

а токи ветвей соответственно

Решение задач по электротехнике

Мгновенные значения токов ветвей примут вид

Решение задач по электротехнике

Дополнительные задачи:

  • Задача №36 с решением
  • Задача №37 с решением
  • Задача №38 с решением
  • Задача №39 с решением
  • Задача №40 с решением
  • Задача №41 с решением
  • Задача №42 с решением

Цепи с индуктивной связью

У двух индуктивно связанных катушек (рис. 163) в первой катушке наводится ЭДС самоиндукции Решение задач по электротехнике, а во второй — ЭДС взаимной индукции Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике — взаимная индуктивность, измеряемая в генри.

Решение задач по электротехнике

Взаимная индуктивность Решение задач по электротехнике равна отношению потокосцеплсния к току: Решение задач по электротехникегде Решение задач по электротехнике — потокосцепление первой катушки индуктивности, обусловленное током Решение задач по электротехнике во второй катушке; Решение задач по электротехнике — потокосцепление второй катушки, обусловленное током Решение задач по электротехнике в первой катушке.

Если соединить между собой зажимы Решение задач по электротехнике второй катушки, то в ней будет наводиться ЭДС самоиндукции Решение задач по электротехнике а в первой катушке — ЭДС взаимной индукции Решение задач по электротехнике.

Степень связи второй катушки с первой:

Решение задач по электротехнике

а степень связи первой катушки со второй:

Решение задач по электротехнике

Среднее геометрическое степеней связи есть коэффициент связи:

Решение задач по электротехнике

При согласном включении катушек результирующая ЭДС, наводимая в катушках, равна сумме их ЭДС самоиндукции и взаимной индукции:

Решение задач по электротехнике

При встречном включении

Решение задач по электротехнике

При последовательном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 164) на основании второго закона Кирхгофа Решение задач по электротехнике или в комплексной форме

Решение задач по электротехнике

где

Решение задач по электротехнике

т. е. при согласном включении катушек их эквивалентная индуктивность Решение задач по электротехнике при встречном — Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

При параллельном соединении двух индуктивно связанных катушек (рис. 165) на основании второго закона Кирхгофа для каждой из параллельных ветвей система уравнений имеет вид

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Задача №43 с решением

Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 166). Определить токи в этой цепи при согласном и встречном включении катушек, если

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Решение: Эквивалентное сопротивление катушек при согласном включении:

Решение задач по электротехнике

Ток в цепи при согласном включении катушек:

Решение задач по электротехнике

Эквивалентное сопротивление катушек при встречном включении:

Решение задач по электротехнике

Ток в цепи при встречном включении катушек:

Решение задач по электротехнике

Вывод: ток при встречном включении катуигек больше, чем при согласном.

Задача №44 с решением

Две индуктивно связанные катушки (рис. 167) включены параллельно.

Решение задач по электротехнике

При согласном включении катушек определить токи Решение задач по электротехнике если

Решение задач по электротехнике

Решение: Система уравнении

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Из системы токи Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике:

Решение задач по электротехнике

Ток в неразветвленной части цепи:

Решение задач по электротехнике

Колебательные контуры. Расчет параметров и частотных характеристик последовательною контура

Частотные свойства контура (рис. 168) характеризуют:

1) комплексное входное сопротивление Решение задач по электротехнике

2) комплексная входная проводимость Решение задач по электротехнике

3) комплексный коэффициент передачи по напряжению на активном сопротивлении Решение задач по электротехнике

4) комплексный коэффициент передачи по напряжению на емкости

Решение задач по электротехнике

5) комплексный коэффициент передачи по напряжению на индуктивности

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Комплексная входная проходимость

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике — есть фактор расстройки; Решение задач по электротехнике — добротность контура, тогда Решение задач по электротехнике откуда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) Решение задач по электротехнике фазовая характеристика (ФЧХ) Решение задач по электротехнике нормированная АЧХ Решение задач по электротехнике

Полоса пропускания контура диапазон частот, в пределах которого нормированная АЧХ (или резонансная кривая) Решение задач по электротехнике превышает уровень Решение задач по электротехнике максимальною значения.

Граничные значения Решение задач по электротехнике и Решение задач по электротехнике фактора расстройки можно получить из выражения: Решение задач по электротехнике откуда Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике тогда Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике а полоса контура Решение задач по электротехнике, резонансная частота Решение задач по электротехнике и относительная полоса пропускания контура есть отношение Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике.

Вторичные параметры контура: резонансная частота Решение задач по электротехнике или Решение задач по электротехнике волновое (характеристическое) сопротивление контура Решение задач по электротехнике добротность контура Решение задач по электротехнике где Решение задач по электротехнике — внутреннее сопротивление контура; Решение задач по электротехнике — затухание контура.

Задача №45 с решением

Для последовательного колебательного контура (рис. 169) определить вторичные параметры, если Решение задач по электротехнике Решение задач по электротехнике Построить АЧХ и ФЧХ контура по напряжению на активном сопротивлении.

Решение задач по электротехнике

Решение: Резонансная частота контура

Решение задач по электротехнике

Волновое сопротивление контура

Решение задач по электротехнике

Добротность и затухание контура

Решение задач по электротехнике

Полоса пропускания контура

Решение задач по электротехнике

Комплексная передаточная функция по напряжению на активном сопротивлении

Решение задач по электротехнике

Откуда аналитическое выражение для АЧХ

Решение задач по электротехнике

Нормированное АЧХ

Решение задач по электротехнике

ФЧХ

Решение задач по электротехнике

В табл. 2 приведены рассчитанные значения для Решение задач по электротехнике и Теоретические основы электротехники

Решение задач по электротехнике

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 170.

Расчет параметров и частотных характеристик параллельного колебательного контура

Вторичные параметры простого параллельного колебательного контура (рис. 171):

1) резервная частота высокодобротного контура Решение задач по электротехнике

2) характеристическое сопротивление Решение задач по электротехнике

3) входная проводимость контура

Решение задач по электротехнике

при

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

4) активная проводимость контура на резонансной частоте Решение задач по электротехнике

Решение задач по электротехнике

где Решение задач по электротехнике

5) резонансное сопротивление контура

Решение задач по электротехнике

6) добротность контура Теоретические основы электротехники

7) затухание Решение задач по электротехнике

8) внутреннее сопротивление подключенного к контуру (рис. 172) источника Решение задач по электротехнике (сопротивление шунта) ухудшает добротность контура, т. к. ухудшенная добротность

Решение задач по электротехнике
Решение задач по электротехнике

Частотные характеристики простого параллельного колебательного контура:

1) входное сопротивление

Решение задач по электротехнике

или

Решение задач по электротехнике

2) амплитудно-частотная характеристика

Решение задач по электротехнике

3) нормированная АЧХ

Решение задач по электротехнике

4) фазочастотная характеристика

Решение задач по электротехнике

5) комплексная передаточная функция по току в индуктивной ветви

Решение задач по электротехнике

АЧХ;

Решение задач по электротехнике

6) комплексная передаточная функция по току в емкостной ветви

Решение задач по электротехнике

АЧХ:

Решение задач по электротехнике

Задача №47 с решением

У параллельного колебательного контура (рис. 173)

Решение задач по электротехнике
Электротехника задачи с решением

Определить добротность, полосу пропускания изобразить качественно резонансные кривые для двух случаев: без учёта шунтирующею действия источника энергии; с учётом шунтирующего действия источника энергии; определить мощность контура при резонансе.

Решение: I. Без учёта шунтирующего действия источника энергии добротность

Электротехника задачи с решением

тогда

Электротехника задачи с решением

Полоса пропускания контура

Электротехника задачи с решением

С учетом шунтирующего действия источника энергии

Электротехника задачи с решением

полоса пропускания

Электротехника задачи с решением

Мощность контура при резонансе

Электротехника задачи с решением

Резонансные кривые приведены на рис. 174.

Электротехника задачи с решением

Вывод: шунтирование источником энергии контура увеличивает полосу его пропускания, а значит, ухудшает качество контура.

Классический (временной) метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в цепях первого порядка с источником постоянного напряжения. Свободные токи и напряжения в цепях первого порядка

Определение начальных условий

Задача №48 с решением

В схеме на рис. 1 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Необходимо определить напряжение Электротехника задачи с решением, возникающее на сопротивлении Электротехника задачи с решением в момент размыкания ключа.

Электротехника задачи с решением

Решение: В задаче необходимо определить зависимые начальные условия Электротехника задачи с решением. Для решения задачи сначала определим независимые начальные условия, к которым в задаче относится ток в индуктивности. До коммутации ток в индуктивности

Электротехника задачи с решением

В соответствии с законом коммутации ток в индуктивности не может изменяться мгновенно:

Электротехника задачи с решением

В результате коммутации образовалась одноконтурная цепь, состоящая из индуктивности Электротехника задачи с решением и сопротивлений Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением. Ток во всех элементах цепи равен Электротехника задачи с решением

Следовательно, искомое напряжение

Электротехника задачи с решением

Численный результат решения задачи показывает важность изучения процессов в электрических цепях в переходных режимах. Представим, что вместо сопротивления Электротехника задачи с решением в рассматриваемой цепи включён вольтметр с высоким входным сопротивлением. В момент размыкания ключа на зажимах вольтметра возникает большое напряжение, которое может привести к аварийной ситуации, если не принять мер по защите оборудования.

Задача №49 с решением

На рис. 2 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Электротехника задачи с решением

Составить эквивалентную схему замещения цепи для момента времени Электротехника задачи с решением для расчёта зависимых начальных условий.

Электротехника задачи с решением

Решение: Рассчитаем цепь до коммутации с целью определения независимых начальных условий:

Электротехника задачи с решением

Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации равна

Электротехника задачи с решением

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в цепи до коммутации равна

Электротехника задачи с решением

По найденным комплексным амплитудам тока в индуктивности и напряжения на ёмкости запишем соответствующие мгновенные значения:

Электротехника задачи с решением

Полагая в последних выражениях Электротехника задачи с решением определим независимые начальные условия:

Электротехника задачи с решением

С учетом законов коммутации:

Электротехника задачи с решением

Напряжение источника ЭДС в момент коммутации было равным 0:

Электротехника задачи с решением

Следовательно, источник ЭДС на эквивалентной схеме заменим его внутренним сопротивлением, которое равно 0, т. е. перемычкой. Для эквивалентной замены реактивных элементов в момент Электротехника задачи с решением воспользуемся табл. 1, следующей из законов коммутации. Из таблицы следует, что в момент Электротехника задачи с решением при нулевых начальных условиях индуктивность может быть заменена источником тока Электротехника задачи с решением, а ёмкость — источником ЭДС с напряжением Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением при расчёте получились отрицательными, на
эквивалентной схеме полярность на включении можно заменить на противоположную, заменив минус в числителях на плюс.

С умётом изложенного эквивалентная схема рассматриваемой цепи, справедливая для момента времени Электротехника задачи с решением, будет иметь вид (рис. 3).

Электротехника задачи с решением

По полученной схсмс можно рассчитать требуемые зависимые начальные условия, используя любые методы расчёта электрических цепей.

Переходный процесс в линейных электрических цепях (ЛЭЦ) первого порядка с сосредоточенными параметрами (рис. 4) описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Решение этого уравнения записывается в виде

Электротехника задачи с решением

Здесь Электротехника задачи с решением — свободная составляющая, в которой Электротехника задачи с решением — постоянная интегрирования, определяемая законами коммутации и начальными условиями в цепи, Электротехника задачи с решением — корень характеристического уравнения Электротехника задачи с решением — принужденная составляющая, т. е. ток или напряжение установившегося после окончания переходного процесса режима при Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

Свободные процессы в rC-цепи

Задача №50 с решением

В схеме на рис. 5 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти и построить зависимости Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: До коммутации (рис. 5) ёмкость Электротехника задачи с решением заряжена до напряжения Электротехника задачи с решением. После замыкания ключа Электротехника задачи с решением ёмкость начинает разряжаться через сопротивление Электротехника задачи с решением и в цепи возникает переходный процесс. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для цепи после коммутации можно записать Электротехника задачи с решением Так как Электротехника задачи с решением то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

Электротехника задачи с решением

общее решение которого ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Для нахождения корня Электротехника задачи с решением составим характеристическое уравнение: Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением, где постоянная времени цепи после коммутации Электротехника задачи с решением.

Постоянная интегрирования Электротехника задачи с решением определяется из начальных условий и закона коммутации:

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением. Тогда Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 6.

Электротехника задачи с решением

Ток

Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 7.

Электротехника задачи с решением

Задача №51 с решением

На рис. 8 происходит замыкание ключа. Параметры схемы:

Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением классическим методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации Электротехника задачи с решением Так как Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением Решение этого уравнения: Электротехника задачи с решением

Из характеристического уравнение Электротехника задачи с решением следует

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением найдём из начальных условий и закона коммутации: Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением

Тогда Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением

При Электротехника задачи с решением График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 9.

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 10.

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях первого порядка

Задача №52 с решением

На рис. 11 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением временным методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа в цепи после коммутации

Электротехника задачи с решением

Решение будем искать в виде

Электротехника задачи с решением

Принуждённая составляющая Электротехника задачи с решениемв цепи после коммутации в установившемся режиме Электротехника задачи с решением Свободная составляющая Электротехника задачи с решением

Их характеристического уравнения Электротехника задачи с решением найдем

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования найдем из начальных условий и закона коммутации:

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

Окончательно

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 12.)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 13)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Задача №53 с решением

На рис. 14 происходит размыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением временным методом и построить графики.

Электротехника задачи с решением

Решение: В цепи после коммутации по второму закону Кирхгофа

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

Решение последнего уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Из схемы (см. рис. 14) следует, что принужденная составляющая Электротехника задачи с решением Свободная составляющая имеет вид Электротехника задачи с решением

Корень Электротехника задачи с решением характеристического уровня Электротехника задачи с решением равен Электротехника задачи с решением а Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением найдём исходя из начальных условий и закона коммутации Электротехника задачи с решением

Если

Электротехника задачи с решением

получаем

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

Окончательно

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 15)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Ток

Электротехника задачи с решением

На графике (рис. 16)

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Задача №54 с решением

На рис. 17 определить напряжение на конденсаторе Электротехника задачи с решением если Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Решение: Определим независимое начальное условие — напряжение на конденсаторе до коммутации. Ключ разомкнут и конденсатор разряжен, поэтому

Электротехника задачи с решением

ля составления характеристического уравнения запишем систему интегродифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Направления обхода контуров указаны на схеме рис. 17.

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Решив систему уравнений относительно одной переменной, например Электротехника задачи с решением, получим

Электротехника задачи с решением

Тогда характеристическое уравнение

Электротехника задачи с решением

имеет один корень Электротехника задачи с решением поэтому свободная составляющая будет

Электротехника задачи с решением

Искомое напряжение запишется в виде двух составляющих

Электротехника задачи с решением

В установившемся режиме

Электротехника задачи с решением

Искомая величина

Электротехника задачи с решением

При Электротехника задачи с решением

По закону коммутации независимое начальное условие — напряжение на емкости Электротехника задачи с решением

Следовательно, постоянная интегрирования Электротехника задачи с решением Записываем искомую величину:

Электротехника задачи с решением

Построим ее график (рис. 18).

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях первого порядка без составления дифференциального уравнения

Задача №55 с решением

На рис. 19 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Необходимо определить переходный процесс по напряжению Электротехника задачи с решением на участке цепи.

Электротехника задачи с решением

Решение: Рассчитаем переходный процесс как сумму принуждённой и свободной составляющих: Электротехника задачи с решением

К независимым начальным условиям относится напряжение на ёмкости в момент коммутации. Если не оговорено значение Электротехника задачи с решением, то примем его равным 0: Электротехника задачи с решением. Но истечении достаточно большого времени после замыкания ключа ёмкость зарядится до напряжения источника ЭДС и зарядный ток станет равным 0. Следовательно, напряжение на сопротивлении Электротехника задачи с решением будет равным 0 и принуждённое напряжение на зажимах Электротехника задачи с решением

Так как цепь содержит только один реактивный элемент цепи, то характеристическое уравнение цепи будет иметь один корень и свободная составляющая искомых переходных процессов будет иметь вид

Электротехника задачи с решением

Из характеристического уравнения цепи Электротехника задачи с решением находим значение корня: Электротехника задачи с решением

Тогда Электротехника задачи с решением Подставим найденные принужденную и свободную составляющие в искомое решение: Электротехника задачи с решением

Для нахождения постоянной интегрирования Электротехника задачи с решением рассмотрим решение при Электротехника задачи с решением Для вычисления Электротехника задачи с решением необходимо знать Электротехника задачи с решением, т. е. зависимые начальные условия, которые легко определить по эквивалент ной схеме цени, изображённой на рис. 20 для момента Электротехника задачи с решением (см. пример 2).

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Подставив найденное значение Электротехника задачи с решением определим постоянную интегрирования: Электротехника задачи с решением тогда Электротехника задачи с решением

С учетом найденного значения Электротехника задачи с решением закон изменения напряжения на замах Электротехника задачи с решением после коммутации запишем в виде

Электротехника задачи с решением

График приведен на рис. 21.

Электротехника задачи с решением

Длительность переходного процесса:

Электротехника задачи с решением

Задача №56 с решением

Па рис. 22 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением без составления дифференциального уравнения.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации напряжение на емкости в установившемся режиме

Электротехника задачи с решением
  • Свободную составляющую Электротехника задачи с решением найдем, используя закон коммутации и начальные условия:
Электротехника задачи с решением

а

Теоретические основы электротехники

откуда

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением приведен на рис. 23.

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы при скачкообразном изменении схемы цепи

Задача №57 с решением

На рис. 24 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением. Найти ток Электротехника задачи с решением классическим методом и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: После коммутации ток в цепи будет проходить через коротко-замкнутую перемычку Электротехника задачи с решением минуя сопротивление Электротехника задачи с решением. По второму закину Кирхгофа в цепи, изменившейся скачком, можем записать

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

Решение данного уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Из закона коммутации Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением тогда Электротехника задачи с решением

График тока Электротехника задачи с решением приведен на рис. 25.

Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

  • Задача №58 с решением
  • Задача №59 с решением
  • Задача №60 с решением
  • Задача №61 с решением
  • Задача №62 с решением

Переходные процессы в цепях первою порядка с источником синусоидального напряжения

Задача №63 с решением

На рис. 35 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением классическим методом.

Электротехника задачи с решением

Решение: Напряжение на емкости будем искать в виде

Электротехника задачи с решением

Принужденную составляющую находим из уравнения

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а свободная составляющая имеет вид

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Постоянную интегрирования Электротехника задачи с решением находим из начального условия и закона коммутации: Электротехника задачи с решением или Электротехника задачи с решением откуда Электротехника задачи с решением. Окончательно Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

  • Задача №64 с решением
  • Задача №65 с решением

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником постоянною напряжения

При подключении Электротехника задачи с решением-цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 41) дифференциальное уравнение переходного процесса следующее:

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Решение этого уравнения ищем в виде

Электротехника задачи с решением

Так как при Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением Для определения постоянных интегрирования при Электротехника задачи с решением берем производную от выражения Электротехника задачи с решением Из системы уравнений

Электротехника задачи с решением

найдем

Электротехника задачи с решением

Корни характеристического уравнения

Электротехника задачи с решением

Тогда окончательно

Электротехника задачи с решением

Переходный процесс зависит от вида корней Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением харакгеристического уравнения. Возможны три случая.

В первом случае корни вещественные, отрицательные и разные и при Электротехника задачи с решением переходный процесс носит апериодический характер. Во втором случае при Электротехника задачи с решением корни вещественные, отрицательные и равные и переходный процесс — критический апериодический. В третьем случае при Электротехника задачи с решением корни комплексно-сопряжённые и характер переходного процесса в схеме после коммутации будет затухающим колебательным:

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Задача №66 с решением

На рис. 42 происходит отключение источника. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением классическим методом

Электротехника задачи с решением

Решение: Согласно второму закону Кирхгофа после коммутации в цени происходит только свободный процесс Электротехника задачи с решением, а дифференциальное уравнение

Электротехника задачи с решением

решение которого будем искать в виде Электротехника задачи с решением

Так как

Электротехника задачи с решением

и

Электротехника задачи с решением

Тогда напряжение

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Задача №67 с решением

На рис. 43 происходит замыкание ключа. Параметры схемы: Электротехника задачи с решением Найти классическим методом выражение для Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: Вычисляем Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением меньше Электротехника задачи с решением более чем на один порядок, то можно принять Электротехника задачи с решением тогда

Электротехника задачи с решением

Максимальное значение Электротехника задачи с решением наступает при

Электротехника задачи с решением

тогда

Электротехника задачи с решением

Переходные процессы в цепях второго порядка с источником синусоидального напряжения

При подключении к цепи второго порядка (рис. 44) источника синусоидального напряжения Электротехника задачи с решениемдифференциальное уравнение переходного режима будет следующим:

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Принужденную составляющую ищем в виде

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Свободную составляющую ищем в виде

Электротехника задачи с решением

При

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

где Электротехника задачи с решением

График Электротехника задачи с решением в этом случае является изохронизмом (рис. 45).

Электротехника задачи с решением

Если Электротехника задачи с решением то в цепи возникают биения (рис. 46).

Электротехника задачи с решением

Задача №68 с решением

В цепи рис. 47 происходит замыкание ключа. Параметры схемы

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением временным методом.

Решение: Решение ищем в виде Электротехника задачи с решением Принужденное напряжение

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а

Электротехника задачи с решением

Из закона коммутации свободное напряжение на конденсаторе равно

Электротехника задачи с решением

Окончательно имеем

Электротехника задачи с решением

Временные характеристики электрических цепей. Переходная и импульсная характеристики

Если на входе линейной электрической цепи (рис. 48) при нулевых начальных условиях — единичная функция воздействия Электротехника задачи с решением то выходная величина — переходная характеристика, т. е. Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Физический смысл Электротехника задачи с решением.

  1. Если на входе цепи напряжение Электротехника задачи с решением и на выходе также измеряется напряжение Электротехника задачи с решением, то переходная характеристика Электротехника задачи с решением — это коэффициент передачи цепи по напряжению Электротехника задачи с решением, если же на выходе цепи измеряется ток Электротехника задачи с решением, то в этом случае переходная характеристика есть проводимость Электротехника задачи с решением
  2. Если же на входе цепи ток Электротехника задачи с решением и на выходе также измеряется ток Электротехника задачи с решением, то переходная характеристика Электротехника задачи с решением — это коэффициент передачи цепи по току Электротехника задачи с решением если же па выходе измеряется напряжение Электротехника задачи с решением то в этом случае переходная характеристика Электротехника задачи с решением есть сопротивление Электротехника задачи с решением
  3. Если же на входе цепи (рис. 49) дельта-функция, т. е. Электротехника задачи с решением, то на выходе импульсная характеристика: Электротехника задачи с решением.
Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением-функция является первой производной Электротехника задачи с решением от единичной функции, то между Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением существует следующая связь:

Электротехника задачи с решением

При нулевых начальных условиях

Электротехника задачи с решением

Для схемы рис. 50

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Тогда переходные характеристики соответственно по напряжению на ёмкости, на сопротивлении и но току в цени:

Электротехника задачи с решением

а импульсные характеристики равны:

Электротехника задачи с решением

Задача №69 с решением

На рис. 51

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением по выходному напряжению Электротехника задачи с решением цепи временным методом.

Электротехника задачи с решением

Решение: При подаче на вход цепи единичной функции включения Электротехника задачи с решением выходное напряжение Электротехника задачи с решением где

Электротехника задачи с решением

Принужденная составляющая

Электротехника задачи с решением

Постоянная интегрирования

Электротехника задачи с решением

т.к.

Электротехника задачи с решением

то

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

а

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением представлены соответственно на рис. 52 и 53.

Электротехника задачи с решением

Задача №70 с решением

На рис. 54 Электротехника задачи с решением На вход цепи действует единичная функция включения Электротехника задачи с решением. Найти Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением временным методом

Электротехника задачи с решением

Решение: Значение переходной характеристики в момент подключения Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

т.к. Электротехника задачи с решением поэтому

Электротехника задачи с решением

Так как Электротехника задачи с решением то Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением приведены на рис. 55 и 56 соответственно.

Электротехника задачи с решением
Электротехника задачи с решением

Интеграл Дюамеля

При определении реакции цепи на воздейсчвие произвольной формы используется принцип наложения: входное произвольное воздействие цепи представляют в виде суммы типовых воздействий (в частности, в виде единичных функций включения или дельта-функций), затем определяют отклик цепи на типовое воздействие и далее, суммируя отклики на типовые воздействия, получают отклик цепи на входное воздействие.

Например, отклик цепи па ступенчатое воздействие записывается в виде

Электротехника задачи с решением

Перейдя от суммы к интегралу, получим первую форму интеграла наложения или интеграла Дюамеля:

Электротехника задачи с решением

Все шесть форм интеграла Дюамеля приведены в прил. 1.

Если входное произвольное воздействие цепи представить в виде суммы такого типового воздействия, как дельта-функция или суммы коротких импульсов, то отклик будет равен интегралу от свертки входного сигнала Электротехника задачи с решением и импульсной характеристики Электротехника задачи с решением цепи:

Электротехника задачи с решением

Задача №71 с решением

На рис. 57 Электротехника задачи с решением входное воздействие имеет вил, как показано на рис. 58, где Электротехника задачи с решением Найти Электротехника задачи с решением методом интегралов наложения и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: Аналитическая запись входного воздействия

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика по выходному напряжению

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

откуда

Электротехника задачи с решением

В результате

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика по выходному напряжению

Электротехника задачи с решением

Определим выходное напряжение Электротехника задачи с решением, используя пятую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1): Электротехника задачи с решением Реакция цепи (т. е. выходное напряжение) на интервале Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Реакция цепи на интервале Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Проверка решения. В точке Электротехника задачи с решением на графике Электротехника задачи с решением при Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением

Электротехника задачи с решением

Числовые значения Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением:

Электротехника задачи с решением

График зависимости Электротехника задачи с решением приведен на рис. 59.

Электротехника задачи с решением

Задача №72 с решением

На вход цепи (рис. 60) с параметрами Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением подаётся линейно нарастающее напряжение (рис. 61) с углом Электротехника задачи с решением.

Найти выходное напряжение Электротехника задачи с решением с помощью интегралов Дюамеля и построить график.

Теоретические основы электротехники

Решение: Переходная характеристика Электротехника задачи с решением-цепи имеет вид Электротехника задачи с решением

Входное напряжение

Электротехника задачи с решением

где Электротехника задачи с решением

Найдем напряжение Электротехника задачи с решением, используя первую форму интеграла Дюамеля (см. прил. 1):

Электротехника задачи с решением

Поскольку

Электротехника задачи с решением

то

Электротехника задачи с решением

График напряжений Электротехника задачи с решением приведен на рис. 62.

Электротехника задачи с решением

Дополнительные задачи:

  • Задача №73 с решением
  • Задача №74 с решением

Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Основные свойства и теоремы преобразований Лапласа

Суть операторного метода, основанного на преобразованиях Лапласа, заключается в том, что функции действительной переменной Электротехника задачи с решением (т. е. временные) преобразуют в функции комплексной переменной Электротехника задачи с решением (т. е. переносят на комплексную плоскость). При этом снижается на единицу степень дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи, что упрощает решение задачи.

Облегчает решение задачи и обратный переход от переменной Электротехника задачи с решением к Электротехника задачи с решением с помощью таблиц преобразовании, которые созданы Лапласом для большого числа функций.

Переход от временной функции Электротехника задачи с решением, которую называют оригиналом, к функции на комплексной плоскости Электротехника задачи с решением, которую называют изображением Электротехника задачи с решением, осуществляют с помощью прямою преобразования Лапласа:

Электротехника задачи с решением

Переход от функции комплексной переменной Электротехника задачи с решением к функции действительной переменной Электротехника задачи с решением осуществляют с помощью обратного преобразования Лапласа:

Электротехника задачи с решением

Свойства преобразований Лапласа приведены в прил. 2. Теоремы преобразований Лапласа приведены в прил. 3. Таблица преобразований Лапласа для некоторых функций приведена в прил. 4.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Для схемы на рис. 113 и ее эквивалентной операторной схемы (или схемы замещения) на рис. 114 можно записать соответственно ннтегродифференциальное уравнение:

Электротехника задачи с решением

и на основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования (см. прил. 2 и 3) операторное уравнение для изображений:

Электротехника задачи с решением

откуда закон Ома в операторной форме имеет вид Электротехника задачи с решением, где Электротехника задачи с решением — операторное сопротивление Электротехника задачи с решением — приведенная операторная ЭДС.

Электротехника задачи с решением

Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Электротехника задачи с решением

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Теоретические основы электротехники

где

Электротехника задачи с решением

или

Электротехника задачи с решением

здесь

Электротехника задачи с решением

Задача №75 с решением

В схеме на рис. 115 Электротехника задачи с решениемЭлектротехника задачи с решением. Найти ток Электротехника задачи с решением операторным методом и построить график.

Электротехника задачи с решением

Решение: Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 116.

Электротехника задачи с решением

Ток в индуктивности по закону Ома в операторной форме

Электротехника задачи с решением

Оригинал тока Электротехника задачи с решением по таблице изображений Лапласа (см. прил. 4)

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Ток в индуктивности до коммутации

Электротехника задачи с решением

Тогда

Электротехника задачи с решением

График тока Электротехника задачи с решением приведен на рис. 117.

Электротехника задачи с решением

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Дополнительные задачи:

  • Задача №76 с решением
  • Задача №77 с решением
  • Задача №78 с решением
  • Задача №79 с решением
  • Задача №80 с решением
  • Задача №81 с решением
  • Задача №82 с решением

Связь операторных передаточных функций цепи с временными характеристиками

Для четырехполюсника рассматривают операторную передаточную функцию по напряжению Теоретические основы электротехники, по току Электротехника задачи с решением, операторное передаточное сопротивление Электротехника задачи с решением и операторную передаточную проводимость Электротехника задачи с решением. Для двухполюсника это операторное входное сопротивление Электротехника задачи с решением и проводимость Электротехника задачи с решением. При замене у комплексной передаточной функции Электротехника задачи с решением переменной Электротехника задачи с решением оператором Электротехника задачи с решением получают операторную передаточную функцию:

Электротехника задачи с решением

Связь между операторной передаточной функцией Электротехника задачи с решением и временными характеристиками Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением следует из уравнения Электротехника задачи с решением (рис. 134.)

Так как изображение единичной функции включения Электротехника задачи с решением (рис. 135), то для переходной характеристики Электротехника задачи с решением. Если изображение дельта—функции Электротехника задачи с решением (рис. 136), то импульсная характеристика Электротехника задачи с решением имеет изображение Электротехника задачи с решением, т.е. Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Задача №83 с решением

На рис. 137 Электротехника задачи с решением. Найти операторную передаточную функцию по напряжению Электротехника задачи с решением и временные характеристики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением. Построить графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением.

Электротехника задачи с решением

Решение: Операторная передаточная функция по напряжению

Электротехника задачи с решением

где

Электротехника задачи с решением

Импульсная характеристика

Электротехника задачи с решением

Из преобразований Лапласа (см. прил. 4) следует, что

Электротехника задачи с решением

Переходная характеристика

Электротехника задачи с решением

Используя прил. 4, получим

Электротехника задачи с решением

Графики Электротехника задачи с решением и Электротехника задачи с решением представлены на рис. 138.

Электротехника задачи с решением

Теоретические основы электротехники с примерами решения задач и заданий

Теоретические основы электротехники (ТОЭ ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Основные явления электромагнитного поля

  1. Основные явления электромагнитного поля, применяемые в теории электрических цепей
  2. Проводники, диэлектрики и полупроводники
  3. Электрические токи проводимости, переноса и смещения
  4. Электродвижущая сила (ЭДС)

Основные понятия и законы магнитного поля

  1. Магнитная индукция и напряженность магнитного поля
  2. Понятие магнитного потока
  3. Закон полного тока

Явление электромагнитной индукции

  1. Закон электромагнитной индукции
  2. Электродвижущая сила самоиндукции и коэффициент самоиндукции
  3. Электродвижущая сила взаимной индукции. Взаимная индуктивность контуров. Принцип электромагнитной инерции.
  4. Энергия магнитного поля катушки индуктивности, плотность энергии магнитного поля

Основные понятия и законы теории электрических цепей

  1. Электрическая цепь и ее основные элементы
  2. Пассивные идеальные элементы. Идеальный резистор. Идеальная катушка индуктивности. Идеальный конденсатор.

Задачи с решением

Задача №2.1.

Определить внешнюю индуктивность провода длиной Задачи по электротехнике (рисунок 2.3), при условии, что Задачи по электротехнике а среда — воздух. Магнитное потокосцепление, созданное током провода, учитывать через площадку Задачи по электротехнике с размером Задачи по электротехникеЗадачи по электротехнике. Вычислить внешнюю индуктивность единицы длины провода.

Решение:

Магнитное поле провода длиной Задачи по электротехнике обладает осевой симметрией, т.е. все точки цилиндрической поверхности, ось которой совпадает с осью провода, равноудалены от источника поля и величина вектора напряженности магнитного поля одинакова, а направление вектора напряженности магнитного поля определим разбив весь провод на симметричные пары элементов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике с током провода Задачи по электротехнике. Определяем приращение индукции магнитного поля от элементов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике по закону Био — Савара — Лапласа (1.28):

Задачи по электротехнике

Так как Задачи по электротехнике выбираем равным Задачи по электротехнике, а катет Задачи по электротехнике общий, то учитывая, что отрезок Задачи по электротехнике перпендикулярен проводу с током Задачи по электротехнике, Задачи по электротехнике, т.е. Задачи по электротехнике и величина Задачи по электротехнике.

Направления векторов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике находим по правилу раскрытия векторного произведения. Т.е. направления векторов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике совпадают. Аналогичные направления будут от приращения Задачи по электротехнике всех пар с током Задачи по электротехнике. Поскольку вектора Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике направлены перпендикулярно к плоскости, в которой лежит треугольник Задачи по электротехнике, то вектор магнитной индукции Задачи по электротехнике и вектор напряженности Задачи по электротехнике от всего провода будут всегда перпендикулярны к радиусу Задачи по электротехнике окружности с центром в точке 0. в соответствии с законом полного тока (1.25)

Задачи по электротехнике

учитывая, что Задачи по электротехнике для всех точек окружности Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике,

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Рассчитаем магнитное потокосцепление провода. Введем ось переменной Задачи по электротехнике с началом в центре провода (рисунок 2.5).

На рисунке 2.5 представлен разрез провода Задачи по электротехнике и вектор индукции магнитного поля Задачи по электротехнике. Магнитное потокосцепление провода вычислим через площадку Задачи по электротехнике (рисунок 2.3), учитывая симметричный характер магнитного поля.

Вектор магнитной индукции Задачи по электротехнике для всех точек площадки Задачи по электротехнике (рисунок 2.3):

Задачи по электротехнике

Внешняя индуктивность провода Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Индуктивность единицы длины провода Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Задача №2.2.

Рассчитать внешнюю индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии с током Задачи по электротехнике, если Задачи по электротехнике (рисунок 2.6).

Решение:

В этом случае воспользуемся принципом наложения для линейных сред и рассчитаем магнитное поле линии как результат векторного суммирования магнитных полей, созданных каждым проводом в отдельности. Тогда в некоторой точке Задачи по электротехнике на оси Задачи по электротехнике индукция результирующего магнитного поля Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Здесь Задачи по электротехнике — индукция магнитного поля, созданного первым током Задачи по электротехнике, а Задачи по электротехнике, -индукция магнитного поля, созданного током Задачи по электротехнике второго провода. Величины

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Направления векторов Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике совпадают, что позволяет перейти к алгебраическому суммированию векторов:

Задачи по электротехнике

Рассчитаем поток вектора магнитной индукции через площадь прямоугольника Задачи по электротехнике (рисунок 2.6):

Задачи по электротехнике

Индуктивность единицы длины линии Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Если Задачи по электротехнике, то Задачи по электротехнике. Т.е. индуктивность двухпроводной линии будет в два раза больше, чем одного провода. При уменьшении величины Задачи по электротехнике внешняя индуктивность двухпроводной линии уменьшается до нуля.

Задача №2.3.

Задана двухпроводная воздушная линия постоянного тока Задачи по электротехнике, в магнитном поле которой расположена катушка индуктивности (рисунок 2.7 а) прямоугольной формы со сторонами Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике и числом витков Задачи по электротехнике. Считая длину

Задачи по электротехнике

линии намного больше расстояния Задачи по электротехнике между проводами, рассчитать коэффициент взаимной индукции Задачи по электротехнике между линией и катушкой, если катушка расположена в параллельной плоскости проводов на расстоянии Задачи по электротехнике.

Решение:

Воспользуемся принципом наложения для расчета магнитного потока, созданного двухпроводной линией и сцепленного с одним витком катушки.

Задачи по электротехнике

Для расчета магнитного потокосцепления, созданного первым проводом с одним витком катушки, воспользуемся сечением на рисунке 2.7 6 и результатом расчета вектора магнитной напряженности одного провода с током (пример 2.1):

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — площадь одного витка катушки; Задачи по электротехнике — ток первого провода; Задачи по электротехнике — расстояние от оси первого провода до произвольной точки Задачи по электротехнике на поверхности витка (изменяется от Задачи по электротехнике до Задачи по электротехнике); Задачи по электротехнике — угол между вектором Задачи по электротехнике и единичным вектором Задачи по электротехнике.

В процессе интегрирования угол Задачи по электротехнике изменяется от 90° в точке Задачи по электротехнике до величины Задачи по электротехнике в точке Задачи по электротехнике.

Задачи по электротехнике

На рисунке 2.7 6 из точки Задачи по электротехнике восстановлена ось Задачи по электротехнике, совпадающая по направлению с шириной рамки Задачи по электротехнике. Вектора напряженности магнитного поля Задачи по электротехнике и индукции магнитного поля Задачи по электротехнике построены по направлению, совпадающему с направлением касательной к окружности (силовой линии) в точках поверхности Задачи по электротехнике витка.

Учитывая осевую симметрию поля Задачи по электротехнике (во всех точках площадки Задачи по электротехнике величина индукции Задачи по электротехнике одинакова), перейдем к одной переменной интегрирования Задачи по электротехнике так как Задачи по электротехнике, получим:

Задачи по электротехнике

Расчет магнитного потокосцепления Задачи по электротехнике выполняем аналогично по рисунку 2.8. На рисунке 2.8. построены вектора магнитной индукции Задачи по электротехнике, напряженности магнитного поля Задачи по электротехнике, от второго проводника с учетом обратного направления тока Задачи по электротехнике (к нам):

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике— площадь одного витка катушки; Задачи по электротехнике — ток второго провода; Задачи по электротехнике — расстояние от оси второго провода до произвольной точки Задачи по электротехнике на поверхности витка (изменяется от Задачи по электротехнике до Задачи по электротехнике); Задачи по электротехнике — угол между вектором Задачи по электротехнике и единичным вектором Задачи по электротехнике.

С учетом осевой симметрии поля Задачи по электротехнике, перейдем к одной переменной интернирования Задачи по электротехнике так как Задачи по электротехнике, получим:

Задачи по электротехнике

Магнитное потокосцепление всех витков Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Коэффициент магнитной индукции Задачи по электротехнике определяем из соотношения:

Полученная формула универсальна. Для любого нового расположения катушки при соблюдении параллельности сторон Задачи по электротехнике катушки результат вычисления в общем виде аналогичен.

Для данного примера:

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Задача №2.4.

Рассчитать энергию, запасенную в магнитном поле катушки с кольцевым сердечником, предполагая это поле равномерным (рисунок 2.9), и коэффициент самоиндукции Задачи по электротехнике. Все величины заданы на рисунке в общем виде, как и Задачи по электротехнике.

Решение:

Воспользуемся формулой (1.42) для расчета энергии магнитного поля:

Задачи по электротехнике

В соответствии с законом полного тока:

Задачи по электротехнике

Учитывая равномерность поля в катушке:

Задачи по электротехнике

что позволяет рассчитать напряженность магнитного поля:

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Следовательно:

Задачи по электротехнике

где

Задачи по электротехнике

Индуктивность катушки можно определить для внешнего магнитного поля, воспользовавшись общим определением:

Задачи по электротехнике

Подставив в последнюю формулу выражение Задачи по электротехнике, получим:

Задачи по электротехнике

Задача №2.5.

Рассчитать индуктивность одножильного кабеля (рисунок 2.13) полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. Магнитным потоком в обратном проводе пренебречь ввиду малой толщины этого провода. Геометрические размеры и величину магнитной проницаемости материалов считать заданными в общем виде, где: Задачи по электротехнике — длина кабеля; Задачи по электротехнике — радиус жилы; Задачи по электротехнике — внутренний радиус оболочки.

Задачи по электротехнике

Решение:

Расчет магнитного поля для заданного примера выполняем с учетом осевой симметрии поля по диапазонам значения Задачи по электротехнике (см. пример 2.1).

При значениях Задачи по электротехнике выбираем силовую магнитную линию. Так как все точки этой окружности равноудалены от источника поля, величина напряженности магнитного поля постоянна и в соответствии с законом полного тока:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Задачи по электротехнике; Задачи по электротехнике — площадь круга с радиусом Задачи по электротехнике.

Эта формула верна при постоянном токе Задачи по электротехнике. Рассчитаем магнитное потокосцепление внутри внутреннего провода (жилы) через площадку Задачи по электротехнике, где Задачи по электротехнике — длина кабеля. Магнитное потокосцепление через заштрихованную площадку Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

а через всю площадь Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

Магнитное поле обратного провода не учитывается в соответствии с законом полного тока.

Расчет магнитного потокосцепления в слое изоляции Задачи по электротехнике, т.е. через площадку Задачи по электротехнике (рисунок 2.11).

Напряженность магнитного поля в слое изоляции Задачи по электротехнике в соответствии с законом полного тока определяется как в примере 2.1:

Задачи по электротехнике
Задачи по электротехнике

Магнитное потокосцепление в слое изоляции:

Задачи по электротехнике

Индуктивность кабеля:

Задачи по электротехнике

Задача №2.6.

Рассчитать емкость плоского конденсатора в общем виде (рисунок 2.12), пренебрегая искажением поля у краев пластин и считая поле между пластинами однородным.

Решение:

Для случая Задачи по электротехнике можно считать при параллельном расположении пластин и идеальном диэлектрике, что в любой плоскости между пластинами и параллельной пластинам все точки одинаково расположены по отношению к заряженным пластинам и, следовательно, имеют равные потенциалы и характеристики Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике. Если воспользоваться теоремой Гаусса для параллелепипеда Задачи по электротехнике, учитывая, что поток вектора Задачи по электротехнике через грань Задачи по электротехнике равен нулю, из-за отсутствия поля вне объема конденсатора, поток вектора электрической индукции будет равен:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — поверхностная плотность электрических зарядов пластины; Задачи по электротехнике — площадь поверхности электрода.

Так как величина заряда пластины Задачи по электротехнике не зависит от размера Задачи по электротехнике, следовательно, учитывая Задачи по электротехнике, приходим к выводу о равномерности поля для всех точек внутри конденсатора. Уменьшая размеры параллелепипеда до элементарного объема, можно получить равенство Задачи по электротехнике, или Задачи по электротехнике для любой точки на поверхности пластины.

По определению:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — напряженность электрического поля, равная

Задачи по электротехнике

Задача №2.7.

Получить формулу для емкости одножильного кабеля (рисунок 2.13) в общем виде. Размеры указаны на чертеже. Задачи по электротехнике — радиус внутреннего электрода (жилы), a Задачи по электротехнике — внутренний радиус второго электрода (оболочки). Диэлектрическая проницаемость диэлектрика — Задачи по электротехнике — длина кабеля.

Решение:

Рассмотрим сечение кабеля на рисунке 2.14. Внутренняя жила кабеля 1 подключена к положительному зажиму источника питания, а оболочка 2 подключена к отрицательному зажиму источника питания. В результате происходит зарядка жилы зарядом + Задачи по электротехнике и оболочки зарядом — Задачи по электротехнике.

Рассмотрим характер электростатического поля, созданного электродами. Выбираем произвольную точку Задачи по электротехнике в диэлектрике и соединим центральную точку Задачи по электротехнике с точкой а отрезком Задачи по электротехнике. Так, как свободные электрические заряды жилы и оболочки противоположного знака, то под действием сил притяжения они перемещаются на поверхность. Так как система проводников носит коаксиальный характер (соосный), то заряды располагаются по поверхности проводников равномерно с плотностью Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике.

Задачи по электротехнике

Выбираем на поверхности жилы на расстоянии Задачи по электротехнике две одинаковые площадки Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике, симметрично расположенные относительно точки к. центры этих площадок — точки Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике Заряды на площадках Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике соответственно Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике, одинаковы: Задачи по электротехнике. Прямоугольные треугольники Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике равны друг другу, так как Задачи по электротехнике, а сторона Задачи по электротехнике общая, следовательно, Задачи по электротехнике.

Напряженность электрического поля в точке а, созданная зарядами Задачи по электротехнике и Задачи по электротехнике:

Задачи по электротехнике

где

Задачи по электротехнике

так как Задачи по электротехнике

Задачи по электротехнике

Следовательно, Задачи по электротехнике, а вектор Задачи по электротехнике имеет только радиальную составляющую, совпадающую по направлению с отрезком Задачи по электротехнике.

Если окружность с радиусом Задачи по электротехнике разбить на симметричные пары участков, то все пары внесут в вектора напряженности электрического поля в точке а только радиальные составляющие.

Все точки окружности с радиусом Задачи по электротехнике, как и все точки цилиндрической поверхности, имеют одинаковую напряженность электрического поля в связи с одинаковым расположением относительно заряженных поверхностей. Такое поле называют осесимметричным. Так как вектор электрической индукции Задачи по электротехнике, то воспользуемся теоремой Гаусса для определения вектора напряженности электрического поля по потоку вектора Задачи по электротехнике через цилиндрическую поверхность Задачи по электротехнике единицы длины кабеля:

Задачи по электротехнике

где Задачи по электротехнике — площадь поверхности цилиндра с радиусом Задачи по электротехнике; Задачи по электротехнике — площадь поверхности жилы; Задачи по электротехнике — заряд жилы на единицу длины, Задачи по электротехнике — поверхностная плотность заряда.

Следовательно, Задачи по электротехнике, Задачи по электротехнике.

Разность потенциалов между жилой и оболочкой (точки 1, 2 рисунок 2.14):

Задачи по электротехнике

Следовательно:

Задачи по электротехнике

Задача №2.8.

Получить выражение для емкости единицы длины двухпроводной линии передачи электрической энергии длиной Задачи по электротехнике с цилиндрическими проводами (рисунок 2.15) без учета влияния земли. При этом следует считать, что радиус провода Задачи по электротехнике поперечного сечения проводов значительно меньше расстояния Задачи по электротехнике между ними и Задачи по электротехнике.

Задачи по электротехнике

Решение:

Для воздушных линий электропередачи обычно Задачи по электротехнике и заряды распределяются равномерно по длине каждого провода и влиянием конечного размера длины можно пренебречь.

Результирующее электрическое поле можно рассчитать по принципу наложения двух электрических полей проводов (жил) заряженных линейными плотностями равных зарядов + Задачи по электротехнике и — Задачи по электротехнике по величине и противоположных по знаку. Напряженность электрического поля, созданного первым проводом, можно определить по формуле для жилы предыдущего примера 2.7:

Задачи по электротехнике

а напряженность электрического поля, созданного вторым проводом:

Задачи по электротехнике

Характер электрического поля каждого из проводов носит осимметричный характер и имеет только радиальную составляющую.

Напряженность результирующего электрического поля:

Задачи по тоэ

так как оба вектора направлены одинаково, можно перейти к скалярному уравнению:

Задачи по тоэ

На основании формулы (1.6) рассмотрим разность электрических потенциалов Задачи по тоэ между проводами 1 и 2 вдоль линейного отрезка:

Задачи по тоэ

Для второго интеграла перейдем к новой переменной интегрирования Задачи по тоэ, следовательно, Задачи по тоэ и разность потенциалов определяется выражением:

Задачи по тоэ

Следовательно, искомая емкость:

Задачи по тоэ

Схемы замещения реальных электротехнических устройств

  1. Схемы замещения реальных электротехнических устройств
  2. Линейные и нелинейные идеальные пассивные элементы и электрические цепи
  3. Электрические цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами
  4. Активные идеальные элементы
  5. Основные топологические понятия схемы электрической цепи

Основные задачи теории электрических цепей

Задачи теории электрических цепей делят на две группы. К первой группе относят задачи анализа. Целью задач анализа является расчет электрических процессов в заданных электрических цепях: при заданной конфигурации электрической цепи и заданными величинами всех элементов цепи необходимо рассчитать величины токов в ветвях и падений напряжений на элементах.

Вторая группа задач — задачи синтеза, когда необходимо отыскать конфигурацию электрической цепи и характеристики элементов, при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданному режиму, заданным величинам токов и напряжений, т.е. целью синтеза является обратная задача. В данном пособии решается первая группа задач.

При этом, линейные электрические цепи постоянного тока являются наиболее простыми для вывода основных методов расчета и доказательства теорем. При расчете линейных цепей синусоидального тока применимы в дальнейшем все методы расчета, формулы и теоремы, полученные для линейных цепей постоянного тока.

  • Основные законы теории электрических цепей

Линейные электрические цепи постоянного тока с сосредоточенными параметрами. Основные положения и законы

  1. Определение линейных электрических цепей постоянного тока и законы Кирхгофа
  2. Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС
  3. Потенциальная диаграмма
  4. Баланс мощностей

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Сущность и цель преобразований

Цель преобразования электрических цепей состоит в упрощении схем путем эквивалентных преобразований, приводящих к уменьшению числа ветвей и узлов. Эквивалентные преобразования входят во все методы расчета в качестве первого шага в последовательностях расчета. Под эквивалентными преобразованиями мы будем понимать преобразования одной части схемы, при которых в остальной части величины токов и напряжений остаются неизменными, как и сама схема.

  • Метод эквивалентного преобразования электрических цепей. Расчет цепи при последовательном соединении элементов и закон Ома для ветви, содержащей ЭДС. Расчет цепи при параллельном соединении элементов. Расчет цепи при смешанном соединении элементов.

Задачи с решением

Задача №3.4.

Рассчитать напряжение Задачи по тоэ (рисунок 3.17), если величины элементов имеют значения:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Решение:

Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. По первому закону Кирхгофа можно составить уравнение для расчета тока Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

По второму закону Кирхгофа можно составить уравнение и рассчитать Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

Следовательно:

Задачи по тоэ

Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»

  • Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»

Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии

  • Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

  • Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (МНЗ)

  • Матричная форма уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа (МНЗ)

Примеры расчета по методу непосредственного применения законов Кирхгофа

Задача №3.7.

Рассчитать токи Задачи по тоэ и Задачи по тоэ методом непосредственного применения законов Кирхгофа, если:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Решение:

Первый этап. Выбираем направления токов в ветвях схемы и упрощаем электрическую цепь путем преобразования ветви с источником тока Задачи по тоэ. Так как внутреннее сопротивление источника тока бесконечно,a Задачи по тоэ конечное, последнее исчезает, а вместо одной ветви с источником тока можно зарисовать две ветви с источником тока (рисунок 3.42).

Применяем эквивалентное преобразование параллельных ветвей с источником тока, получаем упрощенную цепь (рисунок 3.43.), где Задачи по тоэ.

В упрощенной схеме на две ветви и на два узла меньше, чем в предыдущей схеме. Число неизвестных токов три, а узлов — два.

Задачи по тоэ

Второй этап. По первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение Задачи по тоэ для первого узла:

Задачи по тоэ

Третий этап. По второму закону Кирхгофа составляем два недостающих уравнения для независимых контуров I и II.

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Подставляем значения величин в уравнения (3.28) и (3.29), получаем:

Задачи по тоэ

Четвертый этап. Решаем полученную систему с помощью определителей:

Задачи по тоэ

Ток Задачи по тоэ в схеме, изображенной на рисунке 3.41, находим по первому закону Кирхгофа для узла 4:

Задачи по тоэ

Ток Задачи по тоэ находим по уравнению Задачи по тоэ для узла 3.

Пятый этап. Проверим достоверность полученных результатов по выполнению баланса мощностей для заданной электрической цепи (рисунок 3.41):

Задачи по тоэ

Напряжение Задачи по тоэ на зажимах источника тока можно вычислить по уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа для контура III (рисунок 3.41):

Задачи по тоэ

Следовательно:

Задачи по тоэ

Подставляем полученные значения в уравнение 3.31:

Задачи по тоэ

Расчет выполнен верно.

Недостаток метода непосредственного применения законов Кирхгофа связан с необходимостью составления и решения большого количества уравнений, если не производить упрощения электрических цепей.

Задача №3.8.

Рассмотрим пример решения задачи, где необходимо рассчитать параметры источника энергии. Рассчитать токи и напряжения на всех участках электрической цепи и значение напряжения источника ЭДС Задачи по тоэ для схемы на рисунке 3.44, если

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Направление токов указано на схеме (рисунок 3.44).

Задачи по тоэ

Решение:

Схема достаточно проста, поэтому по второму этапу составим уравнение по первому закону Кирхгофа для второго узла. А по третьему этапу составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров:

для узла 2

Задачи по тоэ

для первого контура

Задачи по тоэ

для второго контура

Задачи по тоэ

Общее число неизвестных величин токов Задачи по тоэ и ЭДС Задачи по тоэ — четыре, поэтому систему уравнений (3.33) — (3.35) дополняем четвертым уравнением по закону Ома:

Задачи по тоэ

По четвертому этапу решаем уравнение (3.35) относительно тока Задачи по тоэ, подставляя параметры элементов Задачи по тоэ откуда:

Задачи по тоэ

Из уравнения (3.33) находим:

Задачи по тоэ

Величину ЭДС Задачи по тоэ вычисляем из уравнения (3.34):

Задачи по тоэ

Для линейных электрических цепей наиболее часто применяется метод контурных токов и метод узловых потенциалов, которые основаны на различных вариантах решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Примеры расчёта методом контурных токов (MKT)

  • Метод контурных токов (MKT)

Задача №3.10.

Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 3.49 выполнить расчёт токов в ветвях электрической цепи, если параметры элементов имеют следующие значения:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Решение:

На первом этапе упростим электрическую схему, заменив источник тока на источник ЭДС:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительными направлениями.

Так как независимых контуров три, схема будет содержать три неизвестных контурных тока Задачи по тоэ.

На третьем этапе составляем стандартную систему из трёх уравнений:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Для данной схемы:

Задачи по тоэ

Решаем систему (3.65) с помощью определителей:

Задачи по тоэ

На четвёртом этапе вычисляем токи ветвей:

Задачи по тоэ

Ток Задачи по тоэ, исходной схемы рисунка 3.49 вычисляем для узла Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

На пятом этапе выполняем проверку расчётов по балансу мощности. Уравнение энергетического баланса для схемы рисунка 3.50 имеет вид:

Задачи по тоэ

Задача №3.11.

Для условия примера 3.9. выполнить расчет методом контурных токов,

Задачи по тоэ

не заменяя источники тока на источники ЭДС, то есть без первого этапа упрощения электрической цепи.

Решение:

На втором этапе выбираем положительные направления токов в ветвях схемы и независимые контуры с неизвестными контурными токами и их положительные направления.

Кроме неизвестных контурных токов Задачи по тоэ вводим три известных контурных тока: Задачи по тоэ

На рисунке 3.51 представлены все шесть контуров с контурными токами. На третьем этапе составим стандартную систему уравнений по MKT для трёх неизвестных контурных токов Задачи по тоэ:

Задачи по тоэ

Здесь:

Задачи по тоэ

Переносим слагаемые с известными контурными токами в правую часть системы уравнений (3.68). Получим:

Задачи по тоэ

Сравниваем полученную систему уравнений (3.69) с системой уравнений (3.57), приходим к выводу об их полном совпадении. Дальнейшие вычисления токов полностью повторяют решение предыдущего примера 3.9.

Примеры расчёта методом узловых потенциалов (МУП)

  • Метод узловых потенциалов (МУП)

Задача №3.13.

Выполнить расчет токов в ветвях электрической цепи рисунка 3.56 в общем виде: считая заданными параметры элементов; сопротивлением амперметра пренебрегаем, а сопротивление вольтметра Задачи по тоэ учитываем при расчете.

Задачи по тоэ

Решение:

На первом этапе упростим электрическую цепь рисунка 3.56, объединяем узлы связанные ветвями без элементов, и выберем положительные направления токов.

На втором этапе пронумеруем узлы, выбрав самый старший по номеру узел 5, ограничивающий ветви с бесконечной проводимостью. «Заземляем» узел 5, а потенциалы узлов 2, 3, 4 являются известными:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Неизвестным потенциалом является потенциал только первого узла.

На третьем этапе составляем одно уравнение с одним неизвестным потенциалом:

Задачи по тоэ

Здесь:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Очевидно, что:

Задачи по тоэ

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи рисунка 3.57 по закону Ома для ветви, содержащей ЭДС:

Задачи по тоэ

На пятом этапе рассчитываем остальные токи по первому закону Кирхгофа для рисунка 3.56 заданной схемы:

Задачи по тоэ

Задача №3.14.

Для электрической цепи примера 3.10. выполнить расчет токов в ветвях методом узловых потенциалов.

Решение:

Выбираем упрощенную схему 3.50. По второму этапу проставляем направления токов и пронумеруем узлы электрической схемы.

Принимаем потенциал узла 4 равным нулю Задачи по тоэ.

На третьем этапе для трех неизвестных потенциалов Задачи по тоэ и Задачи по тоэ составляем стандартную систему уравнений:

Задачи по тоэ
Задачи по тоэ

Подставляем формулы коэффициентов в уравнения (3.94):

Задачи по тоэ

Решаем полученную систему (3.96) с помощью определителей:

Задачи по тоэ

Здесь:

Задачи по тоэ

На четвертом этапе рассчитываем токи в ветвях электрической цепи по закону Ома для ветви содержащей ЭДС:

Задачи по тоэ

Пятый и шестой этапы выполнены в примере 3.11.

Основные теоремы теории линейных электрических цепей

  • Основные теоремы теории линейных электрических цепей

Метод эквивалентного генератора

  • Метод эквивалентного генератора

Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника в нагрузку (приемник)

  • Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника в нагрузку (приемник)

Теорема компенсации

  • Теорема компенсации

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

  • Линейные соотношения в линейных электрических цепях

Готовые задачи с решениями по всем темам: теоретических основ электротехники (ТОЭ)

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) — техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. ТОЭ подразделяется на две части — теорию электрических цепей и теорию поля. Изучение ТОЭ является обязательным во многих технических ВУЗах, поскольку на знании этой дисциплины строятся все последующие: электротехника, автоматика, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электротехника – это наука, исследующая вопросы производства, передачи, распределения и использования электрической энергии.

Примеры решения задач по теме электрические цепи постоянного тока

Пример решения соответствует разделу программы «Электрические цени постоянною тока». Для успешного выполнения и защиты задачи №1 студенту необходимо изучить и научиться практически применять следующие методы расчета цепей постоянного тока:

  1. метод уравнении Кирхгофа;
  2. метод контурных токов:
  3. метод узловых напряжений;
  4. метод наложения;
  5. метод преобразования (упрощения);
  6. метод эквивалентного генератора напряжения (тока);
  7. топологические методы.

Необходимо научиться определять напряжения на элементах схемы, мощность, отдаваемую или потребляемую источниками энергии, составлять баланс мощностей и изображать потенциальную диаграмму для замкнутого контура схемы.

Определение токов электрической схемы методом уравнений Кирхгофа

Этот метод основан на применении первого и второго законов Кирхгофа, не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи. Количество уравнений, составленных по этому методу, равно количеству неизвестных токов. Положительные направления токов задаются произвольно. Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для цепи, имеющей Примеры решения задач по электротехнике узлов, равно Примеры решения задач по электротехнике. Недостающее число уравнений составляется по второму закону Кирхгофа. При выборе контуров по второму закону Кирхгофа нужно придерживаться правила, что каждый из контуров должен отличаться от других хотя бы одной новой ветвью. Такие контуры называются независимыми. Ветви с источниками тока учитываются только при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа и не должны быть включены в выбранные независимые контуры.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №1.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.1), если Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике

Решение:

В схеме необходимо задать направление четырех неизвестных токов (рис. 1.2). Схема содержит 3 узла, поэтому по первому закону составим два уравнения (для 2 и 3 узлов):

Примеры решения задач по электротехнике

Два недостающих уравнения составим по второму закону Кирхгофа, для чего выберем два контура (см. рис. 1.2):

Примеры решения задач по электротехнике

Подставив численные значения, получим систему из четырех уравнений:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

В результате решения системы уравнений получим токи:

Примеры решения задач по электротехнике

Для проверки правильности решения задачи составим баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — мощность, отдаваемая источниками; Примеры решения задач по электротехнике мощность, потребляемая элементами схемы.

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — напряжение между узлами 3-1; Примеры решения задач по электротехнике.

Тогда

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Метод контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. что позволило уменьшить число уравнении. Достигается это разделением схемы на независимые контуры и введением для каждого контура своего тока -контурного, являющегося определяемой величиной. Количество уравнений соответствует количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и может быть определено из уравнения

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — число ветвей; Примеры решения задач по электротехнике — число узлов; Примеры решения задач по электротехнике — число ветвей с источником тока. Контуры, для которых составляются уравнения, не должны содержать ветви с источником тока, но учет падения напряжения от источников тока обязателен. Для этого рекомендуется обозначать контуры, которые содержат источник тока, но только один. В этом случае контурный ток известен и равен но величине источнику тока. Источник тока не может быть включен в несколько контуров.

Пример №2.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.3), если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Определим количество уравнений но формуле

Примеры решения задач по электротехнике

Обозначим контурные токи Примеры решения задач по электротехнике а также известный контурный ток Примеры решения задач по электротехнике. Уравнения для определения неизвестных контурных токов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Подставим численные значения:

Примеры решения задач по электротехнике

откуда

Примеры решения задач по электротехнике

Обозначим токи в ветвях схемы (рис. 1.4). Определим токи в ветвях исходя из известных контурных токов:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Контурный ток берёгся со знаком плюс, если направление контурного тока и тока в ветви совпадают, и со знаком минус, если токи направлены в разные стороны. Для проверки правильности решения составим баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

Метод узловых напряжений

Метод основан на использовании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений, составляемых по этому методу, определяется из выражения

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — число узлов; Примеры решения задач по электротехнике — число источников напряжения, включенных между узлами без сопротивления.

При составлении уравнений в качестве базисного узла (узел, потенциал которою принимается равным нулю) целесообразно выбрать тот узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Если в схеме имеется ветвь с источником напряжения без сопротивления, то в качестве базисного выбирают один из тех узлов, к которому присоединена эта ветвь. Если схема содержит две и более подобных ветвей (причем эти ветви не имеют общих узлов), то такую схему необходимо преобразовать.

В результате решения системы узловых уравнении определяются напряжения между узлами схемы. Токи в ветвях находятся с помощью закона Ома.

Пример №3.

а) определить токи в ветвях схемы (рис. 1.5), если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

б) построить потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.

Решение:

Определим количество уравнений, необходимых для решения. Для этого обозначим узлы схемы и воспользуемся формулой

Примеры решения задач по электротехнике

Базисным узлом выберем узел 3, тогда напряжение Примеры решения задач по электротехнике, а уравнения будут иметь вид

Примеры решения задач по электротехнике

Подставив численные значения, получим систему 2 линейных уравнений:

Примеры решения задач по электротехнике

В результате решения определяем узловые напряжения: Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Вычисляем напряжения между остальными узлами как разность узловых напряжений:

Примеры решения задач по электротехнике

На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома составим уравнения для определения токов в ветвях схемы (рис.1.6):

Примеры решения задач по электротехнике

отсюда

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

На основании первого закона Кирхгофа для узла 1:

Примеры решения задач по электротехнике

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

или

Примеры решения задач по электротехнике

Для построения потенциальной диаграммы необходимо знать напряжение на всех элементах контура, а также сопротивления всех элементов контура. На рис. 1.7 показан контур, для которого необходимо построить потенциальную диаграмму.

Базисную точку выберем произвольно, например Примеры решения задач по электротехнике. Построение будем производить, обходя контур по часовой стрелке.

Примеры решения задач по электротехнике

Определим потенциалы точек:

Примеры решения задач по электротехнике

По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов, а по оси ординат — значения потенциалов точек Базисную точку помещаем в начало координат (рис. 1.8).

Примеры решения задач по электротехнике

Метод наложения

Метод основан на том, что в любой линейной электрической цепи токи могут быть получены как алгебраическая сумма токов, вызываемых действием каждого источника энергии в отдельности. Эти токи называются частичными токами. При определении частичных слагающих токов необходимо учитывать внутреннее сопротивление тех источников энергии, которые принимаются отсутствующими при вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы идеальные источники энергии, го при определении токов, вызываемых каким-либо одним источником, все остальные источники напряжения закорачиваются, а ветви, в которых находятся источники тока, -разрываются.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №4.

Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.9), если

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

1. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником напряжения Примеры решения задач по электротехнике. Разорвем ветвь с источником тока. Токи в цени (рис. 1.10) определим методом преобразований.

Вычислим сопротивление, эквивалентное сопротивлениям Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

тогда

Примеры решения задач по электротехнике

Определим напряжение Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

тогда

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником тока Примеры решения задач по электротехнике. Закоротим ветвь, где находится Примеры решения задач по электротехнике (это равносильно равенству нулю внутреннего сопротивления данного источника) (рис. 1.11).

Примеры решения задач по электротехнике

Сопротивление включены параллельно, заменим их сопротивлением

Примеры решения задач по электротехнике

Определим токи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике по правилу плеч:

Примеры решения задач по электротехнике

Аналогично определим токи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Для узла 1 составим первое уравнение Кирхгофа и определим ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Найдем искомые токи в ветвях схемы (см.рис. 1.9) как алгебраическую сумму частичных слагающих токов:

Примеры решения задач по электротехнике

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — напряжение на зажимах источника тока Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

В данном случае источник тока Примеры решения задач по электротехнике отдает энергию в схему (его мощность больше нуля):

Примеры решения задач по электротехнике

а источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике потребляет энергию (его мощность отрицательна):

Примеры решения задач по электротехнике

Метод преобразования

Суть метода заключается в преобразовании электрической схемы различными методами с целью уменьшения числа ветвей и узлов, а значит, и количества уравнений, определяющих электрическое состояние схемы.

Примеры решения задач по электротехнике

Но всех случаях преобразования заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием.

Пример №5.

Определить токи в ветвях схемы (рис. 1.12), если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Преобразуем треугольник Примеры решения задач по электротехнике в звезду на основании следующих формул (рис. 1. 13):

Примеры решения задач по электротехнике

Обозначим последовательно включенные сопротивления

Примеры решения задач по электротехнике

и сопротивления Примеры решения задач по электротехнике, объединим две ветви (Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике), включенные параллельно, в одну. Общее сопротивление:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Общий источник напряжения:

Примеры решения задач по электротехнике

Преобразованная схема показана на рис. 1.14:

Примеры решения задач по электротехнике

Определим напряжение Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Напряжение Примеры решения задач по электротехнике на схеме (см. рис. 1.13) позволяет определить ток Примеры решения задач по электротехнике и ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

На этой же схеме определим напряжения Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:

Примеры решения задач по электротехнике

На основании первого закона Кирхгофа для узла Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

для узла Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:

Примеры решения задач по электротехнике

или

Примеры решения задач по электротехнике

Метод эквивалентного генератора напряжения (тока)

Метод позволяет привести сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии к схеме с одним источником, что упрощает расчет.

Существуют два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

Метод эквивалентного генератора напряжении (МЭГН)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис. 1.15, а) данным методом, необходимо:

Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, величина которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви Примеры решения задач по электротехнике, а внутреннее сопротивление источника равняется входному сопротивлению пассивной электрической цени со стороны выводов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике при разомкнутой ветви Примеры решения задач по электротехнике. Напряжение на зажимах Примеры решения задач по электротехнике определятся любым, ранее изученным методом (рис. 1.15, 6). Так как для определения напряжения Примеры решения задач по электротехнике исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают Примеры решения задач по электротехнике.

При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис. 1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на месте источников напряжения включить перемычки.

Примеры решения задач по электротехнике

Определить искомый ток по формуле

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №6.

Определить ток в ветви с Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.16) МЭГН, если

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

1 Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.17).

Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:

Примеры решения задач по электротехнике

Ток в сопротивлении Примеры решения задач по электротехнике равен нулю. Определим напряжение Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Для определения Примеры решения задач по электротехнике источник ЭДС Примеры решения задач по электротехнике заменим его внутренним сопротивлением (так как Примеры решения задач по электротехнике, то на месте Примеры решения задач по электротехнике включим перемычку), ветвь с источником Примеры решения задач по электротехнике разорвём (рис. 1.18):

Примеры решения задач по электротехнике

Определим ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис. 1.19, а), необходимо:

а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника Примеры решения задач по электротехнике должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи (рис.1.19, в) со стороны выводов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике;

Примеры решения задач по электротехнике

б) определить искомый ток в ветви по формуле

Примеры решения задач по электротехнике

где

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №7.

Определить ток в ветви с Примеры решения задач по электротехнике МЭГТ (рис.1.20), если Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

1. Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления Примеры решения задач по электротехнике перемычкой (рис. 1.21). Используя метод наложения (см. подразд. 1.4), определим ток Примеры решения задач по электротехнике. При воздействии только источника напряжения Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

при воздействии только источника тока Примеры решения задач по электротехнике получаем Примеры решения задач по электротехнике

Сумма частичных токов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике даст общий ток Примеры решения задач по электротехнике.

Для того чтобы определить Примеры решения задач по электротехнике, исключим из схемы источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике и источник тока Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.22):

Примеры решения задач по электротехнике

Определим ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

или

Примеры решения задач по электротехнике

Указания к расшифровке типового расчета №1

Решение задачи подготовлено с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.

Примеры решения задач по электротехнике

Расположить шесть узлов цени в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис. 1.23).

Примеры решения задач по электротехнике

Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис. 1.24).

Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис. 1.25).

Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечною узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис. 1.26).

Примеры решения задач по электротехнике

Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.

Расчет токов методом преобразования

Расчет токов методом преобразования

Примеры решения задач по электротехнике

На схеме рис. 1.26 преобразуем источник тока Примеры решения задач по электротехнике в источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

источник тока Примеры решения задач по электротехнике — в источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

а также объединим последовательно включенные сопротивления Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Полученная схема показана на рис 1.27. На этой схеме объединим источники напряжения Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике в источник тока Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис. 1.28 а,б), где

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Источник тока Примеры решения задач по электротехнике преобразуем в источник напряжения Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис. 1.29):

Примеры решения задач по электротехнике

С целью дальнейшего упрощения схемы объединим источники напряжения и сопротивления:

Примеры решения задач по электротехнике

Схема примет вид, указанный на рис. 1.30.

Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для определения напряжения Примеры решения задач по электротехнике необходимо составить одно уравнение:

Примеры решения задач по электротехнике

Отсюда

Примеры решения задач по электротехнике

Определим токи в схеме рис. 1.30 на основании закона Ома:

Примеры решения задач по электротехнике

По схеме рис. 1.29 определим напряжения между узлами 6, 3, 5:

Примеры решения задач по электротехнике

Определим токи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике (см. рис. 1.28):

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Для определения неизвестных токов Примеры решения задач по электротехнике составим уравнения но первому закону Кирхгофа (см. рис. 1.26) для узлов 4, 6 и 2:

для узла 4 Примеры решения задач по электротехнике

для узла 6 Примеры решения задач по электротехнике

для узла 2 Примеры решения задач по электротехнике

Составление баланса мощностей

Мощность источника ЭДС (Примеры решения задач по электротехнике) положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви (рис. 1.31):

Примеры решения задач по электротехнике

Мощность источника тока (Примеры решения задач по электротехнике) определяется произведен нем тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлениях напряжения на зажимах источника тока и тока источника (рис. 1.32):

Примеры решения задач по электротехнике

Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна и равна

Примеры решения задач по электротехнике

Баланс мощности записывается в виде Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — число источников ЭДС в схеме; Примеры решения задач по электротехнике — число источников тока в схеме; Примеры решения задач по электротехнике — число активных сопротивлении в схеме. Составим баланс мощностей для схемы рис. 1.26:

Примеры решения задач по электротехнике

где

Примеры решения задач по электротехнике

Определение тока в ветви с сопротивлением методом эквивалентного генератора напряжения

Пусть требуется определить ток Примеры решения задач по электротехнике методом эквивалентного генератора напряжения. Для этого необходимо следующее.

Определить напряжение эквивалентного генератора напряжения, для чего исключим сопротивление Примеры решения задач по электротехнике из исходной схемы (рис. 1.33). Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Уравнения имеют вид:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

В этих уравнениях контурные токи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике равны токам источников тока. После подстановки численных значений получается система уравнений:

Примеры решения задач по электротехнике

отсюда

Примеры решения задач по электротехнике

Токи в ветвях схемы (см. рис. 1.33)

Примеры решения задач по электротехнике

Значения этих трех токов даст возможность определить напряжение Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Далее, закоротив источники ЭДС и разомкнув ветви с источниками тока, находим эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов 2 — 6(Примеры решения задач по электротехнике) (рис. 1.34).

Примеры решения задач по электротехнике

Эквивалентное сопротивление генератора Примеры решения задач по электротехнике можно определить, преобразовав треугольник сопротивлении Примеры решения задач по электротехнике в эквивалентную звезду Примеры решения задач по электротехнике (рис. 1.35) но формулам:

Примеры решения задач по электротехнике

Определить ток в искомой ветви схемы (см. рис. 1.26) по формуле

Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по теме Электрические цепи синусоидального тока

Решение задачи соответствует разделу программы »Электрические цепи синусоидального тока». Синусоидальный ток описывается выражением

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — мгновенное значение тока; Примеры решения задач по электротехнике — амплитудное значение тока; Примеры решения задач по электротехнике — угловая частота; Примеры решения задач по электротехнике — начальная фаза тока; Примеры решения задач по электротехнике — фаза синусоидального колебания.

Кроме этого, синусоидальный ток характеризуется еще следующими значениями: действующим

Примеры решения задач по электротехнике

средним

Примеры решения задач по электротехнике

средним за полпериода или средним выпрямленных значением

Примеры решения задач по электротехнике

Такими же значениями характеризуются синусоидальные напряжения. Для расчета целей синусоидального тока пользуются методом комплексных амплитуд (символическим методом) При этом оперируют не с реальными гармоническими токами и напряжениями, а с их комплексными амплитудами:

Примеры решения задач по электротехнике

или с комплексами действующих значении

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — амплитуды тока и напряжения; Примеры решения задач по электротехнике — действующие значения тока и напряжения; Примеры решения задач по электротехнике — начальные фазы тока и напряжения.

Рассмотрим взаимосвязь между синусоидальными токами и напряжениями на основных элементах электрической цепи.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении

Мгновенные значения напряжения и тока на активном сопротивлении связаны выражением Примеры решения задач по электротехнике Если Примеры решения задач по электротехнике, то Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике, гдеПримеры решения задач по электротехнике. Таким образом, на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе. Для комплексных амплитуд запишем

Примеры решения задач по электротехнике

Для комплексов действующих значений

Примеры решения задач по электротехнике

Синусоидальный ток в индуктивности

Мгновенные значения напряжения и тока в индуктивности связаны выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Если Примеры решения задач по электротехнике то Примеры решения задач по электротехнике где Примеры решения задач по электротехнике Отсюда следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на Примеры решения задач по электротехнике. Индуктивность в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением Примеры решения задач по электротехнике, величина которого пропорциональна частоте Примеры решения задач по электротехнике.

Комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности запишутся следующим образом:

Примеры решения задач по электротехнике

Для комплексов действующих значений

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексное сопротивление индуктивности определяется выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Синусоидальный ток в емкости

Мгновенные значения напряжения и тока в емкости связаны выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Если Примеры решения задач по электротехнике то Примеры решения задач по электротехнике, где Примеры решения задач по электротехнике. Отсюда следует, что ток в емкости опережает напряжение на 90″. Емкость в цени синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением Примеры решения задач по электротехнике. величина которого обратно пропорциональна частоте

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости запишутся следующим образом:

Примеры решения задач по электротехнике

Для комплексов действующих значений

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексное сопротивление емкости определяется выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексное сопротивление Примеры решения задач по электротехнике линейного пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости:

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — полное реактивное сопротивление;

Примеры решения задач по электротехнике — модуль полного сопротивления;

Примеры решения задач по электротехнике— угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника.

Комплексная проводимость линейного пассивного двухполюсника, состоящего из параллельного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости:

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — активная проводимость;

Примеры решения задач по электротехнике — реактивная проводимость емкости;

Примеры решения задач по электротехнике — реактивная проводимость индуктивности;

Примеры решения задач по электротехнике — полная реактивная проводимость;

Примеры решения задач по электротехнике — модуль полной проводимости;

Примеры решения задач по электротехнике — угол сдвига фаз между током и напряжением двухполюсника.

Для расчета цепей синусоидального тока можно пользоваться любыми методами расчета цепей, рассмотренными в методических указаниях к выполнению задачи № 1. Однако при этом обязательно используется символический метод. В процессе расчета необходимо уметь переходить от алгебраической формы записи комплексною числа к показательной и обратно:

Примеры решения задач по электротехнике

Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы Примеры решения задач по электротехнике. Это происходит в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Избежав ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.

Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока

Пример №8.

Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость цепи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Для определения комплексного входного сопротивления Примеры решения задач по электротехнике необходимо вычислить его модуль Примеры решения задач по электротехнике и сдвиг фаз Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Проводимость величина, обратная сопротивлению:

Примеры решения задач по электротехнике

Определяя алгебраическую форму записи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике, находим активные и реактивные сопротивления и проводимости:

Примеры решения задач по электротехнике

Следовательно:

Примеры решения задач по электротехнике

Знак «+» перед мнимой частью Примеры решения задач по электротехнике говорит об активно индуктивном характере нагрузки.

Последовательная и параллельная схемы замещения представлены соответственно на рис.2.1, а, б.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №9.

Определить токи в схеме (рис. 2.2, а) при: Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике

Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем параллельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Участки Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике соединены последовательно, поэтому входное полученное сопротивление цепи:

Примеры решения задач по электротехнике

Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резонанс напряжений. Находим токи:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Составим баланс мощностей. Активная мощность источника

Примеры решения задач по электротехнике

Реактивная мощность источника

Примеры решения задач по электротехнике

Активная мощность приемников

Примеры решения задач по электротехнике

Реактивная мощность приемников

Примеры решения задач по электротехнике

Баланс мощностей выполняется : Примеры решения задач по электротехнике, значит, токи найдены правильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис.2.2, б Масштабы: Примеры решения задач по электротехнике.

Пример №10.

Для схемы (рис.2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на се элементах. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Примеры решения задач по электротехнике

Параметры элементов цепи

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Определим сопротивление индуктивности и емкости:

Примеры решения задач по электротехнике

Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов

Примеры решения задач по электротехнике

где

Примеры решения задач по электротехнике

Вычислим контурный ток Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Откуда

Примеры решения задач по электротехнике

Ток ветвей:

Примеры решения задач по электротехнике

Напряжения на элементах цепи:

Примеры решения задач по электротехнике

Баланс мощностей:

Примеры решения задач по электротехнике

Баланс мощностей выполняется.

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлены на рис. 2.4. Масштабы по току и напряжению:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Пример №11.

Па рис.2.5 приведена схема электрической цепи с двумя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике

Определить действующие значения токов ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.

Решение:

Находим узловые напряжения цепи при Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Действующие значения токов ветвей

Примеры решения задач по электротехнике

Уравнения мгновенных значений токов ветвей

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Пример №12.

Параметры цепи (рис.2.6):

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Графоаналитическим методом рассчитаем токи и напряжения на участках цени. Графоаналитический метод — совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цени токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжении и токов.

Решение:

Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответствующей отрицательной полярности источника ЭДС:

Примеры решения задач по электротехнике

Принимаем масштабы:

Примеры решения задач по электротехнике

Задаемся действующим значением тока Примеры решения задач по электротехнике. Вектор Примеры решения задач по электротехнике (рис.2.7) откладывается в заданном масштабе в горизонтальном направлении. Вектор напряжения Примеры решения задач по электротехнике на участке с активным сопротивлением Примеры решения задач по электротехнике совпадает по фазе с вектором тока Примеры решения задач по электротехнике.

Примеры решения задач по электротехнике

Действующие значение тока Примеры решения задач по электротехнике находим по закону Ома:

Примеры решения задач по электротехнике

Ток на индуктивности отстает от напряжения па угол Примеры решения задач по электротехнике. Вектор тока Примеры решения задач по электротехнике строим из конца вектора Примеры решения задач по электротехнике.

По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем Примеры решения задач по электротехнике, что соответствует сложению векторов на комплексной плоскости. Ток Примеры решения задач по электротехнике (определен в масштабе диаграммы). Определяем и строим на диаграмме напряжения на участках Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Вектор напряжения Примеры решения задач по электротехнике отстает от тока Примеры решения задач по электротехнике на Примеры решения задач по электротехнике строим этот вектор из точки Примеры решения задач по электротехнике под углом Примеры решения задач по электротехнике к току Примеры решения задач по электротехнике в сторону отставания. Напряжение Примеры решения задач по электротехнике совпадает по фазе с током Примеры решения задач по электротехнике, вектор Примеры решения задач по электротехнике строим из точки Примеры решения задач по электротехнике параллельно вектору тока Примеры решения задач по электротехнике. Теперь соединим начало координат (точку Примеры решения задач по электротехнике) с точкой Примеры решения задач по электротехнике, получим вектор приложенной к цепи ЭДС, равный 30 В (в масштабе диаграммы): Примеры решения задач по электротехнике. Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действием указанной в условии задачи ЭДС = 100 В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:

Примеры решения задач по электротехнике

Входная ЭДС имеет начальную фазу Примеры решения задач по электротехнике. С учетом этого построим систему координат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором Примеры решения задач по электротехнике. Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений. Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:

Примеры решения задач по электротехнике

Построенная в такой последовательности диаграмма напряжений является топографической.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример решения расчета цени с одним источником ЭДС

При выполнении контрольной работы необходимо:

  1. Расшифровать задание. Листок с заданием вклеить в контрольную работу.
  2. Рассчитать любым известным методом токи во всех ветвях заданной цепи. Результаты расчетов представить в виде комплексов действующих значений и в виде мгновенных значений токов.
  3. Составить баланс мощностей для заданной цепи.
  4. Определить показания ваттметра, включенного в заданную цепь.
  5. По результатам расчетов построить векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую векторную диаграмму напряжений.
  6. Полагая наличие индуктивной связи между любыми двумя индуктивными элементами, записать для заданной цепи уравнения по законам Кирхгофа.

Каждый студент получает задание, вариант которого приведен ниже:

Примеры решения задач по электротехнике

Токовая обмотка ваттметра включена в ветвь 2, зажим Примеры решения задач по электротехнике — к узлу 3, Примеры решения задач по электротехнике — к узлу 3, Примеры решения задач по электротехнике — к узлу 2. За пулевой потенциал принять потенциал узла №3.

Расшифровку задания производим следующим образом: изобразим в произвольном порядке шесть точек и пронумеруем их цифрами 01 1 до 6. Соединив точки в соответствии с колонкой «начало — конец» задания, получим граф цепи (рис. 2.8).

Примеры решения задач по электротехнике

Перерисуем полученный граф таким образом, чтобы исключить пересечсения ветвей (рис.2.9). На данном рисунке цифрами в кружках обозначены точки цепи, определенные заданием, а цифрами без кружков — номера ветвей цепи в соответствии с колонкой «Номер ветви» задания. Точки 4, 5, 6 являются узлами цепи.

В каждую ветвь последовательно включаются активные сопротивления, индуктивности, емкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Каждому элементу цепи присваивается индекс в соответствии с номером ветви, r которой он находится. Направление включения источника ЭДС определяется по колонке «начало — конец»задания.

Схема электрической цепи, полученная для рассматриваемого варианта задания, изображена на рис.2.10.

Примеры решения задач по электротехнике

Запишем параметры элементов цепи дня приведенной схемы:

Примеры решения задач по электротехнике

Расчет пени с одним источником ЭДС целесообразно проводить методом преобразования. Обозначим направления токов в ветвях заданной цепи (см.рис.2.10). Запишем комплексные сопротивления каждой из ветвей:

Примеры решения задач по электротехнике

Преобразуем заданную цепь. Сопротивление Примеры решения задач по электротехнике между узлами 4 и 6 цепи определится как сопротивление двух параллельных ветвей: ветви с сопротивлением Примеры решения задач по электротехнике и ветви, образованной последовательным соединением Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Сопротивление Примеры решения задач по электротехнике образовано последовательным соединением Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Сопротивление Примеры решения задач по электротехнике определяется как параллельное соединение сопротивлений Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Эквивалентное сопротивление Примеры решения задач по электротехнике пассивной части цепи относительно источника ЭДС находим как последовательное соединение Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Определим токи во всех ветвях заданной цепи. Так как в цепи имеется только один источник ЭДС. то токи в ветвях направим в сторону уменьшения потенциалов.

Комплекс тока в первой и второй ветвях определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению:

Примеры решения задач по электротехнике

Комплекс тока в пятой и шестой ветвях определится выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Комплекс тока в седьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 5:

Примеры решения задач по электротехнике

Находим комплекс тока в третьей и четвертой ветвях:

Примеры решения задач по электротехнике

Комплекс тока в восьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла 6:

Примеры решения задач по электротехнике

По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения:

Примеры решения задач по электротехнике

Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС:

Примеры решения задач по электротехнике

Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС:

Примеры решения задач по электротехнике

а реактивная мощность

Примеры решения задач по электротехнике

Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи:

Примеры решения задач по электротехнике

Реактивная мощность нагрузки определится выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Таким образом, активные и реактивные мощности и цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой.

Для нахождения показания ваттметра, включенного в цепь в соответствии с вариантом задания, необходимо определить напряжение на зажимах Примеры решения задач по электротехнике ваттметра. При этом первый индекс у напряжения соответствует узлу, к которому подключен зажим Примеры решения задач по электротехнике, а второй индекс — узлу, к которому подключен зажим Примеры решения задач по электротехнике.

В рассматриваемом примере

Примеры решения задач по электротехнике

Необходимо также знать величину тока, протекающего через токовую обмотку ваттметра. При этом за положительное направление тока принимается ток, втекающий в зажим Примеры решения задач по электротехнике ваттметра. В нашем примере это ток Примеры решения задач по электротехнике. Тогда показание ваттметра определится выражением Примеры решения задач по электротехнике, где Примеры решения задач по электротехнике — разность фаз между напряжением на зажимах ваттметра и протекающим через прибор током:

Примеры решения задач по электротехнике

Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме:

Примеры решения задач по электротехнике

Анализ приведенных значений показывает, что для тока удобно выбрать масштаб Примеры решения задач по электротехнике

Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цени откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю.

При этом порядок расположения векторов напряжения на диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цени соответствует определенная точка на диаграмме.

На схеме электрической цепи (см. рис.2.10) определены заданием точки 1 — 6, остальные точки обозначим числами 7-12. По условию задачи нулевой потенциал имеет точка 3:

Примеры решения задач по электротехнике

Определим потенциалы остальных точек:

Примеры решения задач по электротехнике

Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 3 и 9 этою контура включен источник ЭДС. Вычислим напряжение

Примеры решения задач по электротехнике

Напряжение Примеры решения задач по электротехнике оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчетов но определению потенциалов. Найдем потенциалы остальных точек:

Примеры решения задач по электротехнике

Сравним значение Примеры решения задач по электротехнике с полученным выше потенциалом точки 5. Они оказываются равными:

Примеры решения задач по электротехнике

Потенциал Примеры решения задач по электротехнике совпадает с полученным ранее значением.

По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению Примеры решения задач по электротехнике на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и напряжений были соизмеримы.

Принимаем Примеры решения задач по электротехнике. Диаграмма, построенная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис. 2.11. 6. Полагаем, что существует индуктивная связь между индуктивностями Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике.

Наличие индуктивной связи обозначим на рис.2.10 двухсторонней стрелкой, возле которой указывается взаимная индуктивность Примеры решения задач по электротехнике. Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначены на этом же рисунке точками. Так как токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково, то имеет место согласное включение индуктивностей.

Определим число уравнений, необходимое для описания цепи по законам Кирхгофа. Неизвестных токов в цепи — пять, число узлов в цепи — три. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать два уравнения. Остальные три уравнения запишем по второму закону Кирхгофа. Для мгновенных значений токов и напряжений уравнения будут иметь вид:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Запишем эти же уравнения в комплексной форме:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Примеры задач на расчёт переходных процессов в электрических цепях

Пример №13.

Определить ток- в индуктивности классическим методом и построить его график, если Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике.

Решение:

Закон изменения тока Примеры решения задач по электротехнике ищем в виде

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Здесь Примеры решения задач по электротехнике — принужденная составляющая тока;

Примеры решения задач по электротехнике — свободная составляющая тока. Данная схема — с нулевыми начальными условиями. Независимое начальное условие

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике — значение тока непосредственно перед коммутацией; Примеры решения задач по электротехнике — значение тока сразу после коммутации.

Определим принужденную (установившуюся) составляющую тока:

Примеры решения задач по электротехнике

Получим характеристическое уравнение. Для этого в цепи после коммутации мысленно разомкнём ветвь с индуктивностью, а источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением, т.е. закоротим его зажимы. Запишем сопротивление цепи в операторной форме относительно точек размыкания и приравняем его к нулю. Можно определять сопротивление в операторной форме относительно зажимов источника:

Примеры решения задач по электротехнике

Характеристическое уравнение

Примеры решения задач по электротехнике

откуда

Примеры решения задач по электротехнике

Свободная составляющая имеет вид

Примеры решения задач по электротехнике

Определим постоянную интегрирования Примеры решения задач по электротехнике из начальных условий

Примеры решения задач по электротехнике

Подставим соответствующие значения в данное уравнение и найдем Примеры решения задач по электротехнике пишем решение в окончательном виде

Примеры решения задач по электротехнике

График тока имеет вид (рис. 3.2)

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №14.

Определить Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике классическим методом, если Примеры решения задач по электротехнике.

Решение:

Решение для Примеры решения задач по электротехнике имеет вид

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Независимое начальное условие Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Принужденное значение

Примеры решения задач по электротехнике

Характеристическое уравнение и его решение

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Свободная составляющая

Примеры решения задач по электротехнике

Запишем исходное уравнение для Примеры решения задач по электротехнике и определим постоянную интегрирования

Примеры решения задач по электротехнике

Решение для напряжения на ёмкости

Примеры решения задач по электротехнике

Вычислим ток Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Графики напряжения и тока приведены на рис. 3.4

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №15.

Определить ток Примеры решения задач по электротехнике классическим методом, если Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Решение:

Запишем закон изменения тока Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Независимое начальное условие

Примеры решения задач по электротехнике

Находим принуждённый ток Примеры решения задач по электротехнике символическим методом

Примеры решения задач по электротехнике

Для определения характеристического уравнения для цепи после коммутации запишем сопротивление в операторном виде относительно зажимов источника ЭДС и приравняем его к нулю:

Примеры решения задач по электротехнике

Характеристическое уравнение

Примеры решения задач по электротехнике

Корень характеристическою уравнения

Примеры решения задач по электротехнике

Свободная составляющая

Примеры решения задач по электротехнике

Находим постоянную интегрирования, используя начальные условия:

Примеры решения задач по электротехнике

Левая часть этого уравнения Примеры решения задач по электротехнике — зависимое начальное условие. Исходя из того, что Примеры решения задач по электротехнике, емкость представляет собой коротко замкнутый участок при Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

откуда

Примеры решения задач по электротехнике

Окончательно

Примеры решения задач по электротехнике

График тока показан на рис. 3.6.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример №16.

Определить ток Примеры решения задач по электротехнике операторным методом (рис. 3.7), если Примеры решения задач по электротехнике.

Решение:

Находим независимое начальное условиеПримеры решения задач по электротехнике.

Примеры решения задач по электротехнике

Согласно закону коммутации,

Примеры решения задач по электротехнике

Составим операторную схему замещения цепи для послекоммутационной цепи (рис. 3.8). Определим изображение тока Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Вычислим оригинал тока Примеры решения задач по электротехнике, используя табличные формулы соответствия между оригиналами и изображениями:

Примеры решения задач по электротехнике

Известно, что

Примеры решения задач по электротехнике

Используя эти формулы, получим

Примеры решения задач по электротехнике

График тока Примеры решения задач по электротехнике изображен на рис. 3.9.

Примеры решения задач по электротехнике

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов

Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов.

Задание для контрольной работы генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально.

Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис. 3.10.

Примеры решения задач по электротехнике

В задаче необходимо:

  1. Записать шифр задания и вклеить листок с распечаткой задания в контрольную работу.
  2. Получить и записать исходные данные контрольной работы по распечатке, начертить схему цепи.
  3. Рассчитать классическим методом переходные процессы но току в индуктивности Примеры решения задач по электротехнике и по напряжению на ёмкости Примеры решения задач по электротехнике.
  4. По результатам расчётов построить графики переходных процессов Примеры решения задач по электротехнике.

Рассмотрим выполнение варианта типового расчета, представленного на рис. 3.10. с необходимыми комментариями:

  1. Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.
  2. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо Примеры решения задач по электротехнике на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо Примеры решения задач по электротехнике — ёмкость, вместо Примеры решения задач по электротехнике — индуктивность, вместо Примеры решения задач по электротехнике — источник ЭДС. Ключ Примеры решения задач по электротехнике должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа Примеры решения задач по электротехнике. Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и ёмкостей — в строке «КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД»: Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике . Для всех вариантов задания Примеры решения задач по электротехнике. Схема электрической цепи приведена на рис. 3.11
  3. Расчет переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. >го частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений. И электротехнике указанные составляющие называются принуждённой и свободной. Принужденная составляющая переходного процесса, или установившийся режим, рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчёта цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения. Расчёт переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:
  • рассчитывается цепь до коммутации для определения независимых начальных условий:
  • рассчитываются установившийся режим после коммутации;
  • составляется характеристическое уравнение цепи и определяются его корни;
  • записываются общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принуждённой и свободной составляющих;
  • рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования;
  • найденные постоянные интегрирования подставляются в полное решение. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 3.11, произведём в предложенном порядке.

Начальные условия это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на ёмкости, так как они в момент коммутации не могут измениться скачком. Это определяется законами коммутации:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Остальные начальные условия относятся к зависимым.

До коммутации в рассматриваемом варианте цепи отсутствует ёмкость (сё зажимы закорочены ключом Примеры решения задач по электротехнике). Следовательно, напряжение на емкости до коммутации будет равно нулю и, согласно закону коммутации, не измени гея непосредственно после размыкания ключа: Примеры решения задач по электротехнике.

Расчёт тока в индуктивности до коммутации проведём по схеме электрической цени, представленной на рис. 3.12.

Примеры решения задач по электротехнике

Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.

Реактивное сопротивление индуктивности

Примеры решения задач по электротехнике

Реактивное сопротивление емкости

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексная амплитуда тока в цепи источника определится по закону Ома:

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч:

Примеры решения задач по электротехнике

Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Полагая в последнем выражении Примеры решения задач по электротехнике, получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:

Примеры решения задач по электротехнике

По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком. Следовательно, Примеры решения задач по электротехнике.

Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на емкости определим по схеме цепи на рис. 3.11.

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим но правилу плеч:

Примеры решения задач по электротехнике

Мгновенное значение тока в индуктивности, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексную амплитуду тока в цепи с ёмкостью определим по правилу плеч:

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости определится по закону Ома:

Примеры решения задач по электротехнике

Мгновенное значение напряжения на ёмкости, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цени после коммутации исключают источники (вместо источников необходимо включить их внутренние сопротивления). В полученной пассивной цепи разрываю!любую ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивление Примеры решения задач по электротехнике. В выражении Примеры решения задач по электротехнике Примеры решения задач по электротехнике заменяют на Примеры решения задач по электротехнике. Выражение Примеры решения задач по электротехнике приравнивают к нулю. Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рис 3.11 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с емкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Полагая в последнем выражении Примеры решения задач по электротехнике, получим

Примеры решения задач по электротехнике

После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение в юрою порядка

Примеры решения задач по электротехнике

Подставляя численные значения параметров цени, находим

Примеры решения задач по электротехнике

Корни уравнения

Примеры решения задач по электротехнике

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходною процесса. Так как число корней равно двум и они действительные, то

Примеры решения задач по электротехнике

Для случая комплексно-сопряженных корней Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

или

Примеры решения задач по электротехнике

Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:

Примеры решения задач по электротехнике

В последнем уравнении неизвестными являются Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием первого

Примеры решения задач по электротехнике

Полагая в вышеприведенных уравнениях Примеры решения задач по электротехнике, получим

Примеры решения задач по электротехнике

Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени Примеры решения задач по электротехнике послекоммутационной схемы

Примеры решения задач по электротехнике

Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий Примеры решения задач по электротехнике и значение Примеры решения задач по электротехнике, получим

Примеры решения задач по электротехнике

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Примеры решения задач по электротехнике

Постоянные интегрирования будут равны

Примеры решения задач по электротехнике

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Переходной процесс по напряжению на емкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для Примеры решения задач по электротехнике как сумму двух составляющих:

Примеры решения задач по электротехнике

Принуждённая составляющая переходною процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы двух экспонент. С учётом этого

Примеры решения задач по электротехнике

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого

Примеры решения задач по электротехнике

Полагая в обоих уравнениях Примеры решения задач по электротехнике, получим

Примеры решения задач по электротехнике

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим сё значение но выражению

Примеры решения задач по электротехнике

Значение Примеры решения задач по электротехнике определим из системы уравнений но законам Кирхгофа для момента времени Примеры решения задач по электротехнике, записанной выше. Тогда

Примеры решения задач по электротехнике

Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Примеры решения задач по электротехнике

Решая полученную систему уравнений, определим постоянные интегрирования

Примеры решения задач по электротехнике

Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости

Примеры решения задач по электротехнике

При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени Примеры решения задач по электротехнике. За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при Примеры решения задач по электротехнике.

Постоянная времени Примеры решения задач по электротехнике определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения

Примеры решения задач по электротехнике

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи

Примеры решения задач по электротехнике

Графики переходных процессов Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике представлены соответственно на рис. 3.13 и 3.14.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример решения задачи по теме переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов

Решение задачи соответствует разделу программы Переходные процессы в линейных электрических цепях. Операторный метод расчета переходных процессов». Задание для задачи расчета генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально. Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис.3.10. В задаче расчете необходимо:

Записать шифр задания.

Получить и записать исходные данные задачи по распечатке, начертить схему цепи.

Рассчитать операторным методом переходные процессы по току в индуктивности Примеры решения задач по электротехнике и по напряжению на емкости Примеры решения задач по электротехнике.

По результатам расчётов построить трафик переходных процессов. Рассмотрим выполнение варианта задачи, представленного рис. 3.10, с необходимыми комментариями:

Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.

Для получения исходных данных задачи необходимо изобразить схему электрической цени. Для этого вместо у Примеры решения задач по электротехнике на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо Примеры решения задач по электротехнике — емкость, вместо Примеры решения задач по электротехнике индуктивность. вместо Примеры решения задач по электротехнике — источник ЭДС. Ключ Примеры решения задач по электротехнике должен быть разомкнут. Коммутация происходит путём переключения ключа Примеры решения задач по электротехнике из положения 1 в положение 2. Величины сопротивлений заданы в строке «ПАРАМЕТРЫ» листка, величины индуктивностей и емкостей — в строке «ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД»: рис. 4.1

Примеры решения задач по электротехнике

Для всех вариантов задания Примеры решения задач по электротехнике.

Схема электрической цени приведена на рис. 4.1.

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Расчёт переходных процессов операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа. Это позволяет перейти от непосредственного решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь во временной области, к решению алгебраических уравнений в области изображений.

Расчёт переходных процессов операторным методом производится в следующем порядке:

  • рассчитывается цепь до коммутации с целыо определения независимых начальных условий;
  • составляется операторная схема замещения цепи:
  • производится расчёт операторной схемы замещения. в результате чего определяются изображения по Лапласу искомых функций;
  • на основе обратного преобразования Лапласа от найденных изображений переходят к оригиналам. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 4.1, произведем в предложенном порядке.

До коммутации в цепи был включён источник постоянного напряжения На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а ёмкость-бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчёта независимых начальных условий, изображенной на рис. 4.2, реактивные элементы показаны как короткое замыкание и обрыв.

Ток в цепи с индуктивностью определится выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Напряжение на емкости:

Примеры решения задач по электротехнике

Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут измениться скачком. Следовательно.

Примеры решения задач по электротехнике

При составлении операторной схемы замещения все элементы цени замещаются их операторными эквивалентами. Так, индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением Примеры решения задач по электротехнике. ёмкость операторным ёмкостным сопротивлением Примеры решения задач по электротехнике; активное сопротивление не изменяется. При этом ненулевые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и с ёмкостью дополнительными источниками ЭДС (рис 4.3).

Примеры решения задач по электротехнике

Операторная схема замещения послекоммутационной цепи для рассматриваемого примера, построенная в соответствии с изложенным выше, приведена на рис. 4.4.

Примеры решения задач по электротехнике

Для расчёта операторной схемы замещения может быть применён любой известным метод: метод узловых потенциалов, метод наложения, метод контурных токов и т.д. Однако целесообразно использовать метод контурных токов, который при надлежащем выборе независимых контуров обеспечивает наиболее быстрое получение конечного результата.

Выберем независимые контуры таким образом, чтобы общая ветвь содержала только сопротивление Примеры решения задач по электротехнике. Тогда контурные токи Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике будут равны изображениям токов в ёмкости и в индуктивное!и.

Уравнения, описывающие цепь на рис. 4.4 по методу контурных токов, запишутся в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Решая полученную систему с помощью определителей, получим

Примеры решения задач по электротехнике

Разделив числитель и знаменатель в двух последних выражениях на Примеры решения задач по электротехнике и подставив численные значения, получим

Примеры решения задач по электротехнике

Ёмкость на операторной схеме замещения цепи изображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия. Поэтому выражение для операторного напряжения на ёмкости запишется в виде

Примеры решения задач по электротехнике

После подстановки получим

Примеры решения задач по электротехнике

Для перехода от найденных операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуемся теоремой разложения. Если изображение по Лапласу искомой зависимости представлено в виде отношения двух полиномов

Примеры решения задач по электротехнике

то оригинал находится по выражению

Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике-й корень характеристического уравнения Примеры решения задач по электротехнике; Примеры решения задач по электротехнике — порядок характеристического уравнения; Примеры решения задач по электротехнике — производная полинома Примеры решения задач по электротехнике. Для тока в индуктивности Примеры решения задач по электротехнике запишем

Примеры решения задач по электротехнике

Решая характеристическое уравнение Примеры решения задач по электротехнике, находим два корня Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике. При этом ток в индуктивности Примеры решения задач по электротехнике в соответствии с теоремой разложения запишется в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Коэффициенты при экспонентах в случае комплексно-сопряжённых корней тоже будут комплексно-сопряжёнными.

Поэтому при суммировании мнимая часть будет равна нулю и ток Примеры решения задач по электротехнике можно определить как удвоенное значение вещественной части первого или второго слагаемых.

Примеры решения задач по электротехнике

После подстановки в последнее выражение численных значений получим

Примеры решения задач по электротехнике

Переходное напряжение на ёмкости вычислим, используя полученное раньше изображение Примеры решения задач по электротехнике и свойство линейности преобразования Лапласа.

Сумме изображений

Примеры решения задач по электротехнике

будет соответствовать сумма оригиналов

Примеры решения задач по электротехнике

Введем обозначения

Примеры решения задач по электротехнике

Изображению Примеры решения задач по электротехнике в области оригиналов будет соответствовать константа Примеры решения задач по электротехнике.

Оригинал Примеры решения задач по электротехнике определим, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение Примеры решения задач по электротехнике имеет три корня: Примеры решения задач по электротехнике. Следовательно,

Примеры решения задач по электротехнике

После подстановки численных значений и выполнения всех преобразований получим

Примеры решения задач по электротехнике

Складывая Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике, находим полное переходное напряжение на ёмкости

Примеры решения задач по электротехнике

Длительность переходного процесса равна трём постоянным времени. Постоянная времени определяется как величина, обратная действительной части корня характеристического уравнения.

Графики переходных процессов по току в индуктивности Примеры решения задач по электротехнике и по напряжению на ёмкости Примеры решения задач по электротехнике представлены соответственно на рис. 4.5 и 4.6.

Примеры решения задач по электротехнике

Пример решения задачи по теме цепи с распределенными параметрами

Решение задачи соответствует разделу программы «Цепи с распределенными параметрами»Примеры решения задач по электротехнике». В нем исследуется однородная длинная линия без потерь в установившемся и переходном режимах.

Исходные данные контрольной работы определяются числом Примеры решения задач по электротехнике, где Примеры решения задач по электротехнике — порядковый номер фамилии студента в журнале; Примеры решения задач по электротехнике номер столбца из табл. 5.1; Примеры решения задач по электротехнике — номер строки из табл. 5.2; Примеры решения задач по электротехнике — номер схемы нагрузки из рис. 5.1.

Первичные параметры линии для всех вариантов одинаковы и равны: Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике.

Входное напряжение линии определяется выражениями:

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

где Примеры решения задач по электротехнике Примеры решения задач по электротехникеДлина линии Примеры решения задач по электротехнике

В контрольной работе необходимо:

  1. Рассчитать исходные данные работы согласно варианту задания и записать их.
  2. Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.
  3. Произвести расчёт установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.
  4. Произвести расчёт установившегося значения в линии при отключенной нагрузке (режим холостого хода). Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.
  5. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.
  6. Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.
  7. Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.
  8. Построить графики u0(x), i0(x) распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отражённой волны достигнет точки на расстоянии «Примеры решения задач по электротехнике» от конца линии.
  9. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии «Примеры решения задач по электротехнике» от конца линии.
  10. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии «Примеры решения задач по электротехнике» от конца линии.
Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Изобразим линию в виде, представленном на рис. 5.2. где Примеры решения задач по электротехнике — расстояние от начала линии до некоторого сечения;

Примеры решения задач по электротехнике

Пусть номер варианта определяется числом 30357, где Примеры решения задач по электротехнике — порядковый номер фамилии студента в журнале; Примеры решения задач по электротехнике — номер столбца из табл. 5.1; Примеры решения задач по электротехнике — номер строки из табл. 5.2; Примеры решения задач по электротехнике — схема нагрузки 7 из рис. 5.1. Тогда Примеры решения задач по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике

Параметры нагрузки: Примеры решения задач по электротехнике. Схема нагрузки приведена ниже

Примеры решения задач по электротехнике

Найти распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии, замкнутой на заданную нагрузку в установившемся режиме. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.

Напряжение и ток в произвольном сечении линии без потерь, находящемся на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от конца линии, описываются выражениями:

Примеры решения задач по электротехнике

где

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Преобразуем уравнение 5.1:

Примеры решения задач по электротехнике

где

Примеры решения задач по электротехнике

Согласно варианту задания,

Примеры решения задач по электротехнике

Полагая Примеры решения задач по электротехнике, из первого уравнения (5.2) выразим выражение Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Подставляя численные значения, получим

Примеры решения задач по электротехнике

Тогда ток в конце линии определится выражением

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящемся на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от её конца, получим из уравнений (5.2) с учётом найденных значении Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

В комплексных выражениях Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике выделяем действительные и мнимые части:

Примеры решения задач по электротехнике

Модули действующих значений Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике напряжения и тока определятся выражениями:

Примеры решения задач по электротехнике

По выражениям Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике с учётом численных значений построены графики, представленные на рис. 5.3 и 5.4.

Примеры решения задач по электротехнике

При выполнении этого пункта задания в контрольной работе необходимо привести окончательные выражения Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике для построения соответствующих графиков.

Произвести расчет установившегося режима в линии, заменив нагрузку волновым сопротивлением. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике. Полагая Примеры решения задач по электротехнике, из уравнений (5.2) получим

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии не зависят от расстояния Примеры решения задач по электротехнике.

В линии имеет место режим бегущих волн. Напряжение и ток в произвольном сечении линии равны входным напряжению и току:

Примеры решения задач по электротехнике

Графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике представлены на рис. 5.5, 5.6.

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Произвести расчёт установившегося режима в линии при отключённой нагрузке (режим холостого хода). Построить графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике. И режиме холостою хода ток Примеры решения задач по электротехнике, тогда уравнения (5.1) запишутся в виде

Примеры решения задач по электротехнике

Полагая в первом уравнении Примеры решения задач по электротехнике, определим напряжение Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Комплексы действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от её конца получим из последней системы уравнений с учетом найденного значения Примеры решения задач по электротехнике:

Примеры решения задач по электротехнике

Из этих уравнений получим модули действующих значений напряжения и тока в произвольном сечении линии на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от её конца:

Примеры решения задач по электротехнике

Графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике представлены на рис. 5.7. 5.8.

Примеры решения задач по электротехнике

Построить графики Примеры решения задач по электротехнике распределения падающих волн напряжения и тока в переходном режиме для момента, когда фронт падающих волн достигнет конца линии.

К линии подключается источник постоянного напряжения Примеры решения задач по электротехнике. При этом возникают падающие волны напряжения и тока Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике, распространяющиеся вдоль линии с фазовой скоростью

Примеры решения задач по электротехнике

Величины напряжения и тока падающих волн равны Примеры решения задач по электротехникеПримеры решения задач по электротехнике. Графики распределения падающих волн Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике представлены на рис. 5.9, 5.10.

Примеры решения задач по электротехнике

Определить законы изменения тока и напряжения нагрузки в переходном режиме. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.

Эквивалентная схема цепи для расчёта переходного напряжения и тока в нагрузке линии представлена на рис.5.11.

Примеры решения задач по электротехнике

Произведем расчет Примеры решения задач по электротехнике классическим методом. Решение найдем в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

Примеры решения задач по электротехнике

Определим принужденную составляющую переходного напряжения на нагрузке:

Примеры решения задач по электротехнике

Решая характеристическое уравнение цепи

Примеры решения задач по электротехнике

определим Примеры решения задач по электротехнике, следовательно Примеры решения задач по электротехнике.

Для определения постоянной интегрирования решения

Примеры решения задач по электротехнике

рассмотрим при

Примеры решения задач по электротехнике

Зависимые начальные условия Примеры решения задач по электротехнике определим с учётом независимых начальных условий Примеры решения задач по электротехнике.

Примеры решения задач по электротехнике

тогда

Примеры решения задач по электротехнике

Окончательно получим Примеры решения задач по электротехнике. Аналогично определяем

Примеры решения задач по электротехнике

Графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике приведены на рис. 5.12, 5.13.

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Определить законы изменения отражённых волн напряжения и тока в сечении нагрузки. Построить графики Примеры решения задач по электротехнике.

Если сопротивление нагрузки линии не равно волновому сопротивлению, то возникают отраженные волны напряжения и тока. Напряжение и ток в любом сечении линии, в том числе и в сечении нагрузки, складываются соответственно из напряжения и тока падающей волны и напряжения и тока отражённой волны:

Примеры решения задач по электротехнике

Для сечения нагрузки

Примеры решения задач по электротехнике

Из последних соотношений с учетом результатов пп. 5, 6 получим

Примеры решения задач по электротехнике

Графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике представлены на рис. 5.14, 5.15.

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Построить графики Примеры решения задач по электротехнике распределения напряжения и тока отражённой волны вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от конца линии.

Возникнув в сечении нагрузки, отраженные волны тока и напряжения распространяются к началу линии с фазовой скоростью. Точки, отстоящей от конца линии на Примеры решения задач по электротехнике, фронт отраженной волны достигнет спустя время Примеры решения задач по электротехнике. Напряжение и ток отражённой волны в произвольном сечении линии из интервала Примеры решения задач по электротехнике определяем но выражениям Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике. полученным в п.7, задаваясь значениями времени Примеры решения задач по электротехнике. При этом Примеры решения задач по электротехнике принимает значения из диапазона Примеры решения задач по электротехнике. Графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике представлены на рис. 5.16, 5.17.

Примеры решения задач по электротехнике
Примеры решения задач по электротехнике

Построить графики Примеры решения задач по электротехнике распределения напряжения и тока вдоль линии при переходном режиме для момента времени, когда фронт отраженной волны достигнет точки на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от конца линии. Так как в произвольном сечении линии напряжение и ток складываются из падающих и отраженных волн Примеры решения задач по электротехнике, то соответствующие распределения, представленные на рис. 5.18, 5.19, получаются из графиков на рис.5.9, 5.16 и из графиков на рис. 5.16 и 5.17 с учётом последних соотношений

Примеры решения задач по электротехнике

Построить графики Примеры решения задач по электротехнике при переходном режиме для точки, находящейся на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от конца линии.

Примеры решения задач по электротехнике

Падающие волны напряжения и тока, возникающие в линии при подключении источника напряжения, достигнут точки на расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от конца линии (или па расстоянии Примеры решения задач по электротехнике от начала линии) спустя время

Примеры решения задач по электротехнике

Далее падающие волны распространяются к нагрузке. Возникшие в сечении нагрузки отражённые волны достигают точки Примеры решения задач по электротехнике спустя время

Примеры решения задач по электротехнике

После этого в точке Примеры решения задач по электротехнике появляются отражённые волны, которые складываются с падающими. Закон изменения отражённых волн получен в п.7. Построенные с учётом изложенного графики Примеры решения задач по электротехнике и Примеры решения задач по электротехнике представлены на рис. 5.20, 5.21.

Примеры решения задач по электротехнике

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны:

  • Предмет электротехника
  • Построение векторных диаграмм токов и напряжений
  • Заказать работу по электротехнике
  • Помощь по электротехнике
  • Контрольная работа по электротехнике

В.В. АФОНИН И.Н. АКУЛИНИН А.А. ТКАЧЕНКО

СБОРНИК

ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Часть 1

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тамбовский государственный технический университет

В.В. АФОНИН, И.Н. АКУЛИНИН, А.А. ТКАЧЕНКО

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Часть 1

Рекомендовано Ученым советом университета в качестве учебного пособия

Тамбов

Издательство ТГТУ

2004

УДК 621.3 ББК Á 29-5 я 73-5

А44

Рецензент

Кандидат технических наук, доцент

Н.Г. Шахов

Афонин В.В., Акулинин И.Н., Ткаченко А.А.

А44 Сборник задач по электротехнике: Учеб. пособие. В 3-х ч. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. Ч. 1. 80 с.

Содержит краткий учебный материал и примеры решения типовых задач по теме «Линейные электрические цепи постоянного тока».

Предназначено для студентов неэлектротехнических специальностей дневной и заочной форм обучения.

УДК 621.3 ББК Á 29-5 я 73-5

ISBN 5-8265-0276-2

© Афонин В.В., Акулинин И.Н., Ткаченко А.А., 2004

© Тамбовский государственный

технический университет

(ТГТУ), 2004

Учебное издание

АФОНИН Владимир Васильевич, АКУЛИНИН Игорь Николаевич, ТКАЧЕНКО Александр Алексеевич

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Часть 1

Учебное пособие

Редактор В.Н. Митрофанова Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова

Подписано к печати 29.03.2004.

Формат 60 × 84/16. Гарнитура Times. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 4,65 усл. печ. л.; 4,5 уч.-изд. л.

Тираж 100 экз. С. 259

Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета

392000, Тамбов, ул. Советская, 106, к. 14

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящего пособия является закрепление теоретического материала по теме «Линейные электрические цепи постоянного тока». Пособие предназначено для студентов, изучающих курс элек-

тротехники и основы электроники.

Сборник содержит задачи по основным методам расчета электрических цепей постоянного тока. В

начале каждого параграфа даются теоретические положения метода и решение двух–трех типовых за-

дач. В параграфах пособия для удобства пользования принята тройная нумерация задач и рисунков. Ряд задач имеют ответы.

Предлагаемый сборник будет полезен для студентов очной и заочной форм обучения.

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРОСТЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.1ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПЕЙ

1Электродвижущая сила (эдс) E характеризует способность стороннего поля вызывать электрический ток и численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру

E = AQст ,

где E – электродвижущая сила, В; Aст – работа сторонних сил, Дж; Q – заряд, Кл.

2 Электрический ток – направленное движение свободных носителей заряда. Характеристикой электрического тока является сила тока i, равная скорости изменения электрического заряда

i = dqdt .

Для постоянного тока

I = Qt ,

где Q – весь заряд, переносимый за время t.

Из последнего соотношения определяется единица измерения силы тока

Q

Кл

= А.

[I] =

=

с

t

3 Напряжение – скалярная величина, равная линейному интегралу напряженности электрического поля

U = Erdl ,

l

т.е. напряжение – это работа сил кулоновского поля, затрачиваемая на перенос единицы положительного заряда

U = QA ,

где U – напряжение, В.

4Электрический потенциал и разность потенциалов. Электрическое напряжение вдоль пути вне источника между точками a и b называют также разностью потенциалов Uab = ϕa ϕb между этими точками. Однозначно определяется только разность потенциалов, равная соответствующему напряжению. Чтобы определить потенциал, нужно придать нулевое значение потенциалу одной из точек цепи (например, узлу), тогда потенциал любой другой точки будет равен напряжению между этой точкой и точкой, потенциал которой выбран равным нулю.

5Электрическое сопротивление. Сопротивление внешнего участка цепи (вне источников) равно отношению постоянного напряжения на участке к току в нем

R = UI ,

где R – сопротивление, Ом.

Для проводов сопротивление определяется по формуле

R = ρ Sl ,

где ρ – удельное сопротивление, Ом·м; S – площадь поперечного сечения провода, м2; l – длина провода, м.

Сопротивление проводов, резисторов зависит от температуры t окружающей среды

R = R20[1 + α(t – 20o)],

где R20 – сопротивление при температуре 20 °С; α – температурный коэффициент сопротивления. Значения ρ и α приводятся в справочниках.

6 Электрическая проводимость – величина обратная сопротивлению

G = R1 .

Единица проводимости

[G] = R1 = Ом1 = AB = См.

Примеры решения задач

1.1.1)В цепи постоянного тока (рис. 1.1.1) напряжением U = 110 В непрерывно в течение одних суток горят лампы H1 и H2 мощностью 60 Вт и 40 Вт соответственно. Определить токи ламп, общий ток в цепи, сопротивление нитей накала горящих ламп и стоимость энергии, полученной лампами от сети пи-

тания,

если

стоимость

1

кВт

ч

электроэнергии

равна

Х рублей.

Рис. 1.1.1

Решение. К каждой из ламп приложено напряжение 110 В. Токи в лампах H1 и H2 соответственно

I1 = UP1 = 11060 = 0,545 A;

I2 = UP2 = 11040 = 0,364 A.

Ток в цепи

I = I1 + I2 = 0,545 + 0,364 = 0,909 A.

Сопротивления ламп

R1

=

U 2

=

1102

= 220 Ом;

P

60

1

R2

=

U 2

=

1102

= 303 Ом.

P

40

2

Общая мощность ламп

P = P1 + P2 = 60 + 40 = 100 Вт.

Полученная энергия за одни сутки

W = Pt = 100 24 = 2400 Вт ч = 2,4 кВт ч.

Стоимость полученной энергии

C = WX = 2,4X р.

1.1.2)Для схемы рис. 1.1.2. заданы: внутреннее сопротивление источника Rвт = 0,1 Ом и сопротивление проводов линии Rл = 0,5 Ом. Определить кпд цепи, если напряжение приемника Ucd и сопротивление Rн те же, что и в примере 1.1.1.

ab

cd

b

d

Рис. 1.1.2

Решение. Очевидно, что мощность ламп P1 + P2 и ток I те же, что и в примере 1.1.1. Мощность потерь в линии I2Rл и во внутреннем сопротивлении источника I2Rвт. Поэтому кпд

η =

Pн

=

P1 + P2

=

60 +40

= 0,995 .

P

Pвт + Pл + P1 + P2

0,9092 0,1+0,9092 0,5 +60 +40

1.1.3)Допустимая плотность тока в нихромовой проволоке нагревательного элемента кипятильника j = 10 A/мм2. Какой ток I можно пропустить по нихромовой проволоке диаметром d = 0,4 мм?

Решение. Поперечное сечение нихромовой проволоки

S =

πd 2

=

3,14 (0,4)2

= 0,126 мм2.

4

4

Допустимый ток проволоки

I = jS = 10 0,126 = 1,26 A.

Задачи

1.1.4)Определить сопротивление медных проводов телефонной линии длиной l = 28,5 км, диамет-

ром

провода

d

=

4

мм

при

температуре

20 °С.

1.1.5)Определить

сопротивление

медного

проводника

диаметром

d = 5 мм, длиной l = 57 км при t = 40 °C.

1.1.6)

Приемник

номинальной

мощностью

1

кВт

с

напряжением

220 В включен в сеть напряжением 110 В. Определить мощность приемника, токи при номинальном напряжении и при напряжении 110 В.

1.1.7)К двухпроводной линии постоянного тока (эквивалентная схема на рис. 1.1.2) с сопротивлением Rл = 4 Ом присоединен приемник сопротивлением Rн, изменяющимся от 0 до . Напряжение в начале линии Uab. Определить ток I в линии, напряжение Ucd на выводах приемника, мощность P1, отдаваемую источником, мощность P2 приемника. Вычисления производить для значений сопротивлений при-

емника Rн = 0; Rл; 2Rл; 5Rл; 10Rл; .

1.1.8)По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток 1 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3.

1.1.9)Как изменится сила тока, проходящего через неактивную цепь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t1 = 20 °С до t2 = 1200 °С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным 3,65 10–3 K–1.

1.1.10) По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление меди 17 мОм м.

1.1.11) Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от I0 = 3 А до I = 0 за 30 с. Определить выделившуюся за это время в проводнике количество теплоты.

1.1.12) Плотность электрического поля в алюминиевом проводе равна 5 А/см2. Определить удель-

ную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 мОм м.

1.1.13) Эдс

источника

Е

=

12

В;

внутреннее

сопротивление

Rвт

=

= 1 Ом. При каком значении внешнего сопротивления его мощность будет максимальной и чему она равна?

1.1.14) Обмотка возбуждения электрической машины присоединена к сети напряжением U = 120 В.

В первое время после включения показаний амперметра в цепи обмотки I1 = 1,2 А, а после нагрева обмотки до установившейся температуры I2 = 1 А. Учитывая, что температура воздуха в помещении 20 °С

и

температурный

коэффициент

сопротивления

меди

4 10–3 K–1, найти температуру обмотки.

1.1.15) Определить сопротивление проводов воздушной линии при температурах +40 и –40 °С. Дли-

на линии l = 28,5 км, диаметр медных проводов d = 5 мм.

1.1.16) Приемник

за

пять

суток

непрерывной

работы

израсходовал

24 кВт ч электроэнергии при напряжении 220 В. Определить ток и сопротивление приемника.

1.1.17) Определить плотность тока в проводах диаметром 4 мм, соединяющих приемник с генерато-

ром. Суточная выработка энергии генератора, составляет 48 кВт ч при напряжении U = 220 В.

U

1.1.18) Электрическая

цепь

мощностью

P

=

5

кВт

при

напряжении

=

220

В

подключена

к

генератору

с

внутренним

сопротивлением

Rвт = 0,22 Ом. Определить эдс и кпд генератора.

1.1.19) Механическая мощность электродвигателя постоянного тока 8,5 кВт при напряжении U = 220 В, кпд 85 %. Определить электрическую мощность и ток двигателя.

1.1.20) На изготовление катушки израсходовано 200 м медного провода диаметром 0,5 мм. На какое постоянное напряжение можно включать эту катушку, если допустимая плотность тока j = 2 А/мм2?

1.1.21) Составить схему электрической цепи, в которой к аккумуляторной батарее присоединены три резистора. Один – регулируемый, включен последовательно с группой из двух нерегулируемых, соединенных между собой параллельно. В схеме предусмотреть управление с помощью двухполюсного выключателя, защиту плавкими предохранителями, измерение общего тока в цепи и напряжения на зажимах батареи.

1.1.22) Составить схему электрической цепи, в которой четыре резистора (один из них регулируемый) образуют замкнутый контур в виде четырехугольника. В одной диагонали четырехугольника – гальванический элемент, присоединенный к цепи через однополюсный выключатель, в другой находится гальванометр, который можно включить и выключить кнопочным выключателем.

1.1.23) Составить схему электрической цепи, в которой последовательно включены два нерегулируемых резистора, аккумуляторная батарея и генератор, которые можно включить согласно или встречно. В схеме предусмотреть защиту цепи плавкими предохранителями, измерение тока, измерение напряжения на зажимах батареи и генератора одним вольтметром с помощью переключателя.

1.1.24) Составить схему электрической цепи, в которой генератор постоянного тока и аккумуляторная батарея, включенные параллельно, снабжают энергией внешнюю часть цепи, состоящей из трех нерегулируемых резисторов, включенных также параллельно. Каждый элемент цепи присоединяется к ней однополюсным выключателем. В схеме предусмотреть измерение общего напряжения, тока в каждом источнике и общего тока приемников энергии.

1.1.25) Два генератора постоянного тока, работая круглосуточно на общий приемник, выработали вместе за месяц 96 000 кВт ч энергии. В течение 10 суток этого месяца первый генератор находился в ремонте. За это время счетчик электрической энергии, установленный на линии к приемнику, показал 2 400 кВт ч. Определить мощность и эдс каждого генератора, если амперметр в цепи первого генератора во время работы показывал 500 А, а в цепи второго – 100 А.

1.1.26) Источник электрической энергии имеет в качестве нагрузки реостат с переменным сопротивлением R, эдс источника Е = 24 В, а его внутреннее сопротивление R = 1 Ом. Построить графики зависимости напряжения U на зажимах источника, мощности источника Pи, мощности приемника Pп, кпд источника, мощности потерь внутри источника Pвт от тока в цепи при изменении сопротивления нагрузки от R = (холостой ход) до R = 0 (короткое замыкание), считая эдс источника постоянной.

1.2ЗАКОН ОМА

1В электрической цепи за положительное направление эдс Е принимается направление, совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т.е. от «–» источника к «+» источника питания.

За положительное направление напряжения U принято направление, совпадающее с направлением действия электрического поля, т.е. от «+» к «–» источника.

За положительное направление тока I принято направление, совпадающее с перемещением положительных зарядов, т.е. от «+» к «–» источника.

Электродвижущая сила источника в электрической цепи может иметь одинаковое и противоположное направление с током. В первом случае источник эдс работает в режиме генератора, т.е. является источником электрической энергии. При этом эдс оказывается больше напряжения на его зажимах (Е > U). При направлении эдс в цепи противоположно току источник становится потребителем электрической энергии, и эдс оказывается меньше напряжения U на зажимах источника (Е < U) на величину внутреннего падения напряжения IRвт, где Rвт – внутреннее сопротивление источника.

При расчетах электрических цепей реальные источники электрической энергии заменяются схемами замещения. Схема замещения источника эдс содержит эдс и внутреннее сопротивление Rвт источника, которое много меньше сопротивления Rн потребителя электроэнергии (Rвт << Rн). При расчетах часто приходится внутреннее сопротивление источника эдс приравнивать нулю.

2В идеализированном источнике эдс падение напряжения на внутреннем сопротивлении IRвт = 0, при этом напряжение на зажимах источника U = const не зависит от тока I и равно эдс источника (U = E). В этом случае источник электроэнергии работает в режиме, близком к режиму холостого хода.

3В источниках тока внутреннее сопротивление во много раз превосходит сопротивление потреби-

теля электроэнергии (Rвт >> Rн), при этом в источнике тока ток является величиной практически постоянной, не зависящей от нагрузки (j = const).

4Реальный источник электрической энергии можно представить в схеме замещения последова-

тельным соединением идеального источника эдс и внутреннего сопротивления Rвт или параллельным соединением

идеального

источника

тока

и

внутренней

проводимости

Gвт =

1

. При расчетах электрических цепей источник тока может быть заменен эквивалентным источ-

R

вт

ником эдс, и наоборот, что в ряде случаев упрощает расчет.

5 Для участка цепи, не содержащего источник энергии (например, для схемы пассивного участка на рис. 1.2.1), связь между током I и напряжением U12 определяется законом Ома для участка цепи

I = ϕ1 Rϕ2 = U12R ,

где ϕ1 и ϕ2 – потенциалы точек 1 и 2 цепи соответственно; U12 = ϕ1 ϕ2 – напряжение (разность потенциалов) между точками 1 и 2 цепи; R – арифметическая сумма сопротивлений на участке цепи; R1 и

R2 – сопротивления участков цепи.

1

2

ϕ1

ϕ > ϕ

2

ϕ2

1

Рис. 1.2.1

Для участка цепи, содержащего источники эдс (рис. 1.2.2), т.е. для активного участка цепи, связь между током I, напряжением U12 и эдс источников определяется обобщенным законом Ома

I = U12+E ,

R

где E – алгебраическая сумма всех эдс участка цепи, причем со знаком «+» в нее входят эдс, совпадающие с направлением тока I.

1

2

ϕ1

ϕ2

ϕ1

> ϕ

2

Рис. 1.2.2

6 На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии

EI = I 2 R ,

где EI – сумма мощностей, развиваемых источниками; I 2 R – сумма мощностей всех приемников и

необратимых преобразований энергии внутри источников (потери мощности на внутренних сопротивлениях).

Приведенное равенство называется балансом мощностей электрической цепи.

Если положительное направление тока совпадает с направлением эдс и в результате расчета получено положительное значение тока, то источник вырабатывает (генерирует) электрическую энергию, т.е. работает в режиме генератора. Если же получено отрицательное значение тока, то произведение EI отрицательно, т.е. источник работает в режиме потребителя и является приемником электрической энергии (например, электродвигатель, аккумулятор в режиме зарядки).

7 Коэффициент полезного действия (кпд) электрической цепи – это отношение мощности приемника (полезной) к суммарной мощности всех потребителей

η =

P

I 2R

R

,

н

=

н

=

н

+ I 2R

+ I 2R

R

+ R + R

P I 2R

вт

л

н

вт

л

н

где I2Rн – мощность приемника (полезная мощность); I2Rвт, I2Rл – мощности потерь в источнике и в линии.

8 Потенциальной диаграммой называется график зависимости ϕ(R), построенный при обходе контура или участка цепи. Потенциальную диаграмму строят в прямоугольной системе координат, при этом по оси абсцисс откладывают в соответствующем масштабе сопротивления всех участков цепи, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. При построении потенциальной диаграммы одна из точек цепи (произвольно) условно заземляется, т.е. принимается, что потенциал ее ϕ = 0. На диаграмме эта точка помещается в начале координат.

9 Правила, определяющие характер изменения потенциала:

на участке, где действует эдс, потенциал возрастает в направлении действия эдс;

на участке, где величина сопротивления и напряжения совпадает с током, потенциал понижается по ходу тока и повышается против тока, так как ток направлен от большего потенциала к меньшему.

Примеры решения задач

1.2.1)Для цепи (рис. 1.2.3) заданы: Е = 100 В; Rвт = 1 Ом; Rл = 3 Ом;

Rн = 6 Ом. Определить показания приборов.

Теоретические основы электротехники (ТОЭ) — это техническая дисциплина, связанная с изучением теории электричества и электромагнетизма. Технико-экономическое обоснование разделено на две части — теория электрических цепей и теория поля. Изучение технико-экономического обоснования является обязательным во многих технических вузах, так как знание этой дисциплины является основой для всех следующих дисциплин: электротехника, автоматизация, энергетика, приборостроение, микроэлектроника, радиотехника и другие.

Электрическая энергия широко применяется во всех областях промышленности, сельского хозяйства, связи, транспорта, автоматики, вычислительной техники, электроники, радиотехники и в быту благодаря своим весьма ценным свойствам:

  1. универсальность, т.е. легко преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую, химическую и др.). В свою очередь другие виды энергии (тепловая, механическая, химическая, ядерная, гидро- и др.) преобразуются в электрическую;
  2. передается на большие расстояния с небольшими потерями. В настоящее время действуют линии электропередачи протяженностью тысячи километров;
  3. легко дробится и распределяется по потребителям любой мощности (от десятков тысяч киловатт до долей ватта);
  4. легко регулируется и контролируется различными электроприборами.

Содержание:

  1. Теоретические основы электротехнки
  2. Элементы электрических цепей. Активные и пассивные части электрических цепей
  3. Физические явления в электрических цепях. Цепи с распределенными параметрами
  4. Параметры электрических цепей. Линейные и нелинейные электрические и магнитные цепи
  5. Связи между напряжением и током в основных элементах электрической цепи
  6. Условные положительные направления тока и ЭДС в элементах цепи и напряжения на их зажимах
  7. Источники ЭДС и источники тока
  8. Схемы электрических цепей
  9. Теоретические основы электротехники как наука
  10. Электрический заряд
  11. Напряженность электрического поля
  12. Напряженность поля точечных зарядов
  13. Теорема Гаусса
  14. Потенциал и напряжение в электрическом поле
  15. Электропроводность. Проводники
  16. Электропроводность. Диэлектрики
  17. Электропроводность. Полупроводники
  18. Электрические цепи постоянного тока
  19. Ток в электрической цепи
  20. ЭДС и напряжение в электрической цепи
  21. Закон Ома для участка цепи
  22. Электрическое сопротивление
  23. Закон Ома для замкнутой цепи
  24. Энергия и мощность электрического тока
  25. Закон Джоуля — Ленца
  26. Режимы работы электрических цепей
  27. Электрические цепи
  28. Правила преобразований
  29. Примеры расчета простых цепей
  30. Метод контурных токов
  31. Метод межузлового напряжения
  32. Метод эквивалентного генератора
  33. Примеры расчета сложных цепей различными методами
  34. Однофазные цепи переменного тока
  35. Представление синусоидальных величин комплексными числами
  36. Арифметические операции с комплексными числами
  37. Основные законы в комплексной форме
  38. Резонанс
  39. Трехфазные цепи
  40. Симметричная трехфазная цепь
  41. Расчет электрических цепей постоянного тока. Основные определения и законы
  42. Закон ома
  43. Законы кирхгофа
  44. Эквивалентные схемы источников электрической энергии
  45. Расчёт простейших электрических цепей
  46. Расчёт смешанного соединения резисторов
  47. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот
  48. Примеры решения задач по электротехнике (ТОЭ)
  49. Лекции по электротехнике

Теоретические основы электротехнки

Любое электромагнитное явление, происходящее в системе заряженных тел и контуров с токами, т. е. в любом электротехническом устройстве, определяется не только физическими процессами на самих заряженных телах и в проводниках, образующих контуры с токами, но и не в меньшей мере физическими процессами в диэлектрике, окружающем эти тела и проводники.

Даже можно сказать больше — именно электромагнитное поле в диэлектрике, окружающее заряженные тела и проводники с токами, является носителем энергии системы, которая может передаваться от одной части системы к другой.

Электрическое поле заряженных тел целиком находится вне этих тел — в окружающем их диэлектрике.

Магнитное и электрическое поля электрических токов, протекающих по проводникам, существуют и вне проводников, и внутри их. Однако электрическое поле внутри проводников с током связано только с конечным удельным сопротивлением материала этих проводников и, соответственно, определяет потери энергии в проводниках. Энергия же, передаваемая вдоль проводников, целиком относится к электромагнитному полю в среде, окружающей проводники. Электрическая емкость и индуктивность любых элементов электротехнического устройства определяются их электрическими и магнитными полями при заданных зарядах и токах.

Таким образом, рассматривая явление во всей его полноте, во всех случаях необходимо изучать электромагнитное поле исследуемого устройства.

Математическое описание электромагнитных полей хотя и дает нам полную картину явлений, оказывается сложным; этому будет посвящена последняя, четвертая, часть курса.

В большинстве случаев представляется возможным достаточно точно описать процессы в электротехнических устройствах, пользуясь только такими интегральными величинами, как электродвижущая сила Задачи по электротехнике с решениями, в

электрическое напряжение Задачи по электротехнике с решениями, электрический заряд Задачи по электротехнике с решениями, электрический ток Задачи по электротехнике с решениями, магнитный поток Задачи по электротехнике с решениями не рассматривая распределения в пространстве и изменения во времени величин Задачи по электротехнике с решениями и В, характеризующих электромагнитное поле во всех его точках. Такая возможность возникает вследствие того, что мы обычно стремимся создать определенные, достаточно узкие пути для электрического тока, располагая вдоль этих путей проводники из материалов с высокой электрической проводимостью, окруженных хорошо изолирующей средой, например в линиях электропередачи, в электрических сетях, в обмотках электрических машин и т. д., или помещая вдоль этих путей какие-либо другие хорошо проводящие, ограниченные по размерам устройства, например электронные лампы, полупроводниковые приборы, электролитические ванны и т. д.

Совокупность устройств и объектов, образующих пути для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении, называют электрической цепью.

Точно так же мы во многих случаях стремимся создать определенный путь, по которому должны замыкаться линии магнитной индукции, располагая вдоль этого пути тела из ферромагнитного материала с высокой магнитной проницаемостью, окруженные средой со значительно меньшей магнитной проницаемостью, например воздухом. В этом случае представляется возможным с достаточной точностью описывать процесс с помощью таких интегральных понятий, как магнитодвижущая сила Задачи по электротехнике с решениями и магнитный поток Задачи по электротехнике с решениями

Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий о магнитодвижущей силе и магнитном потоке, называют магнитной цепью.

Переход от полной картины явлений в электромагнитном поле к упрощенной картине процессов в электрических цепях с учетом допускаемых при этом отклонений от действительной сложной картины явлений и, следовательно, принимаемых при этом абстракций и будет нашей основной задачей в этой главе. Здесь же введем основные общие понятия теории электрических цепей, относящиеся ко всем ее разделам, и дадим им определения. Развитию этой теории посвящаются вторая и третья части настоящего курса.

Элементы электрических цепей. Активные и пассивные части электрических цепей

Основными элементами электрических цепей являются источники электромагнитной энергии, устройства для передачи и преобразования электромагнитной энергии и приемники этой энергии.

Источниками электромагнитной энергии являются различные генерирующие устройства, в которых энергия того или иного вида — тепловая, химическая, ядерная, энергия механического движения и т. д. — преобразуется в электромагнитную. Таковыми являются, например, электрические вращающиеся генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы и т. д. В настоящее время разрабатываются новые устройства для прямого преобразования тепловой, ядерной и химической энергии в электромагнитную, такие, как, например, магнитогидродинамические генераторы и топливные элементы.

Передающими электромагнитную энергию элементами цепи являются, например, линии электропередачи, электрические сети, линии связи.

Преобразование электромагнитной энергии осуществляется с помощью трансформаторов, изменяющих напряжение и ток, преобразователей частоты, усилителей, а также ионных и полупроводниковых инверторов, преобразующих постоянный ток в переменный, выпрямителей, преобразующих переменный ток в постоянный, и т. п.

Приемниками в электрической цепи являются устройства, в которых осуществляется преобразование электромагнитной энергии в энергию другого вида, например в электродвигателях — в механическую работу, в электролизерах и в заряжаемых аккумуляторах — в химическую энергию, в электрических печах и нагревательных устройствах — в тепловую энергию, в радиоприемниках — в акустическую энергию и т. д.

Во всех случаях, когда то или иное устройство — элемент электрической цепи — имеет основным назначением генерирование, передачу, преобразование или потребление электромагнитной энергии, на первый план выдвигается требование его высокого коэффициента полезного действия.

Во многих случаях главным назначением тех или иных элементов электрической цепи является передача или преобразование электрических сигналов, а также выполнение операций измерения тех или иных величин или управления какими-нибудь процессами. Это — телефонные и телеграфные линии связи и их концевые устройства, весьма разнообразные элементы устройств автоматики, электроизмерительных устройств, счетно-решающих и управляющих электронных вычислительных машин, различных радиотехнических устройств и т. д. Для всех них главным требованием является получение определенного качества передаваемого или преобразуемого сигнала. Естественно, и в этих случаях происходят передача и преобразование электромагнитной энергии и имеет значение, хотя и не основное, достижение как можно более высокого коэффициента полезного действия.

Наряду с упомянутыми требованиями элементы электрических цепей должны удовлетворять также многим другим требованиям — надежности работы, долговечности, если необходимо — быстродействию, устойчивости работы, точности действия и т. д.

Соответственно этому электрические цепи современных электротехнических устройств являются весьма сложными. Поэтому и теория электрических цепей все время развивается и ей становятся свойственными все более обобщенные методы. В настоящем курсе, начав с исследования простейших электрических цепей, мы постепенно перейдем к общим методам расчета сложных электрических цепей.

Условимся в дальнейшем часть электрической цепи, в которой действуют источники электромагнитной энергии, называть активной частью цепи, или короче — активной цепью. Ее будем нередко обозначать прямоугольником с буквой А в середине и с тем ииныли иным числом выводов (проводников), с помощью которых она присоединяется к остальной части цепи (рис. 3.1).

Часть электрической цепи, в которой нет источников электромагнитной энергии, будем называть пассивной частью цепи,

Задачи по электротехнике с решениями

или короче — пассивной цепью. Ее будем обозначать также прямоугольником с соответствующим числом выводов для присоединения к остальной части цепи, но с буквой П в середине прямоугольника (рис. 3.2). Предполагается, что внутри этих прямоугольников находятся все элементы рассматриваемой части цепи, со всеми соединениями между ними.

Физические явления в электрических цепях. Цепи с распределенными параметрами

Наиболее простые явления имеют место в электрических цепях постоянного тока. Длительный постоянный ток в электрической цепи может быть только или током проводимости, или током переноса. Ток смещения в диэлектрике не может быть постоянным сколь угодно долгое время, так как электрическое смещение и поляризованность диэлектрика не могут возрастать беспредельно без нарушения электрической прочности диэлектрика. Поэтому в цепь постоянного тока могут входить только такие устройства, в которых ток существует в виде тока проводимости, например провода линии передачи, обмотки машин, электролитические ванны, гальванические элементы, аккумуляторы и т. д., или такие, в которых ток существует в форме тока переноса, например электронные лампы. Конденсаторы с идеальным диэлектриком, удельная проводимость которого предполагается равной нулю, не проводят постоянного тока.

Хотя вокруг цепи постоянного тока существует магнитное поле, но оно не изменяется во времени и, следовательно, в цепи постоянного тока не индуцируются ЭД С.

Если изолирующая среда между проводами обладает хотя и малой, но конечной удельной проводимостью, то под действием постоянного напряжения между проводами через нее будет протекать ток утечки. Ток утечки будет отходить в изолирующую среду от всех элементов проводов, соприкасающихся с ней, в результате чего ток вдоль провода будет иметь разные значения. Здесь мы имеем простейшую цепь с распределенными вдоль нее параметрами, а именно с распределенной вдоль цепи проводимостью утечки.

При переменных токах и напряжениях явления в электрической цепи оказываются более сложными. Переменный ток, т. е. изменяющийся во времени ток, может существовать и в диэлектрике в виде тока смещения. Поэтому в электрическую цепь переменного тока могут входить также конденсаторы, обкладки которых разделены диэлектриком. При переменном напряжении на конденсаторе возникает переменное электрическое поле между его металлическими обкладками, и следовательно, в разделяющем обкладки диэлектрике возникает ток смещения. С учетом тока электрического смещения линии тока, как было отмечено в § 1.7, оказываются всегда замкнутыми.

Рассмотрим процессы в электрической цепи с последовательно включенным конденсатором, происходящие при зарядке и при разрядке конденсатора. Если не принимать во внимание токов смещения, то эта цепь кажется разомкнутой.

Задачи по электротехнике с решениями

Предположим, что при помощи ключа К незаряженный конденсатор включается в некоторый момент времени в цепь источника постоянной ЭДС (рис. 3.3). Конденсатор заряжается; электрические заряды, переносимые от источника ЭДС к обкладкам конденсатора по соединяющим их проводникам, собираются на этих обкладках. По мере увеличения заряда на обкладках возрастает электрическое поле между ними, и в диэлектрике возникают токи электрического смещения. Если охватим одну из обкладок, например обкладку А, замкнутой поверхностью s, то во время, когда по проводнику, пересекающему эту поверхность, протекает к обкладке А ток проводимости Задачи по электротехнике с решениями, в диэлектрике образуется ток смещения, проходящий сквозь поверхность s изнутри наружу и в точности равный току Задачи по электротехнике с решениями в проводнике. Линии тока смещения в диэлектрике являются продолжением линий тока в проводнике. Действительно, электрическое поле направлено от положительной обкладки А к отрицательной В и при этом возрастает. Следовательно, линии тока смещения направлены также от положительной обкладки к отрицательной. Электрический ток, протекающий в проводнике к положительной обкладке в виде тока проводимости, продолжает протекать в диэлектрике как ток смещения и далее от отрицательной обкладки в проводнике — вновь в виде тока проводимости. Таким образом, цепь электрического тока является замкнутой.

Если отключить заряженный конденсатор от источника ЭДС и затем замкнуть его на резистор с сопротивлением г (рис. 3.4),

Задачи по электротехнике с решениями

то конденсатор начнет разряжаться. Ток Задачи по электротехнике с решениями в проводнике будет протекать от положительной обкладки А к отрицательной В. В диэлектрике электрическое поле по-прежнему остается направленным от положительной обкладки к отрицательной. Однако теперь поле ослабевает, и следовательно, вектор плотности тока направлен против вектора смещения D. Линии тока смещения направлены от отрицательной обкладки к положительной и являются продолжением линий тока в проводнике.

Согласно принципу непрерывности электрического тока (см. § 1.7), в любой момент времени как при зарядке, так и при разрядке конденсатора ток смещения в диэлектрике между обкладками конденсатора в точности равен току Задачи по электротехнике с решениями в проводниках.

Ток смещения при переменном напряжении возникает не только в конденсаторах, т. е. в устройствах, построенных специально для использования их емкости, но также и в диэлектрике, окружающем любые элементы цепи переменного тока, поскольку между этими элементами существует переменное напряжение, т. е. переменное электрическое поле. Так, например, ток смещения возникает в диэлектрике между проводами линии передачи, если напряжение между проводами изменяется во времени (см. рис. 1.19). Вследствие этого переменный ток в проводах линии неодинаков в разных местах линии, даже если удельная проводимость диэлектрика равна нулю, так как вдоль всей линии ток ответвляется от проводов через диэлектрик в виде тока смещения. Очевидно, поэтому провода линии по отношению друг к другу, так же как и конденсатор, обладают емкостью. Сказанное справедливо для любого устройства при переменном токе. Так, например, в реостате при переменном токе появляется переменное падение напряжения, т. е. в проволоке реостата и в окружающем его диэлектрике возникает переменное электрическое поле. Поэтому между отдельными участками проволоки реостата через диэлектрик проходят токи смещения, вследствие чего, принципиально говоря, ток в разных местах проволоки реостата имеет различные значения. Очевидно, поэтому отдельные участки реостата обладают по отношению друг к другу электрической емкостью.

Если по индуктивной катушке проходит переменный ток, то в катушке в отдельных ее витках индуцируется переменная ЭДС. На зажимах катушки и между ее витками появляется переменное напряжение, т. е. переменное электрическое поле, что приводит к возникновению в диэлектрике между витками катушки токов смещения. И в этом случае, строго говоря, ток в различных местах проволоки катушки имеет разные значения. Очевидно, поэтому существует электрическая емкость между витками катушки.

Итак, электрическая емкость принципиально всегда распределена вдоль всей цепи.

То же следует сказать и об индуктивности цепи. Нет такого участка цепи, который при прохождении по нему тока не охватывался бы магнитным потоком. Поэтому при переменном токе на каждом участке цепи индуцируются ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Очевидно, поэтому каждый участок, каждый элемент цепи обладает индуктивностью. Индуктивность имеют не только катушки, но и провода линии, реостаты и любые другие элементы цепи переменного тока. Даже конденсаторы обладают индуктивностью, хотя и очень малой. Таким образом, индуктивность также всегда распределена вдоль всей цепи.

Поглощение электромагнитной энергии и преобразование ее в тепловую энергию при переменном токе происходят точно так же во всех элементах цепи. Не только реостаты, но и индуктивные катушки, и провода линии, а также другие элементы цепи обладают отличным от нуля электрическим сопротивлением, и при прохождении тока в них поглощается электромагнитная энергия и происходит выделение теплоты. Если катушка имеет сердечник из ферромагнитного материала, то, кроме потерь энергии в обмотке катушки, происходят потери энергии в сердечнике на гистерезис и на вихревые токи. В конденсаторах при переменном напряжении имеют место потери в диэлектрике. В электронных лампах теплота выделяется на аноде, так как ускоренные в электрическом поле электроны теряют здесь свою скорость. В ионных приборах электромагнитная энергия переходит в тепловую не только на электродах, но и в газовом промежутке между электродами.

Характеризуя способность какого-либо участка цепи при прохождении по нему тока поглощать электромагнитную энергию электрическим сопротивлением этого участка, мы в соответствии со сказанным должны утверждать, что электрическое сопротивление распределено по всей электрической цепи.

Электрическая цепь, в которой электрические сопротивления и проводимости, индуктивности и электрические емкости распределены вдоль цепи, называют электрической цепью с распределенными параметрами. Соответственно, токи и напряжения в таких цепях меняются в зависимости от времени и от одной пространственной координаты и, следовательно, являются функциями двух переменных. Это обстоятельство существенно усложняет анализ процессов в цепи.

В отдельных участках цепи может происходить преобразование электромагнитной энергии не только в тепловую, но и в другие виды энергии, например в аккумуляторах при их зарядке — в химическую энергию, в двигателях — в механическую работу и т. д. Однако эти преобразования совершаются не обязательно во всех элементах электрической цепи.

При изучении энергетических процессов в электрических цепях переменного тока нам придется обратить особое внимание на то, что электрическое и магнитное поля являются носителями определенного количества энергии. При переменных токах и напряжениях эти поля изменяются во времени. При усилении полей запас энергии в них возрастает, при ослаблении полей — убывает, переходя в другие виды энергии или возвращаясь к источникам энергии, действующим в цепи.

При изменениях тока и напряжения в электрической цепи, как увидим в конце четвертой части курса при рассмотрении переменного электромагнитного поля, вообще говоря, происходит излучение электромагнитного поля с присущей ему энергией. Однако в обычных цепях при сравнительно низких частотах тока и напряжения излучением можно пренебречь.

Наконец, обратим внимание еще на одно существенное обстоятельство, отмеченное уже в § 1.12, а именно на то, что напряжение между двумя любыми точками А и В цепи переменного тока зависит от выбора пути между этими точками, в вдоль которого определяется напряжение. Действительно, имеем Задачи по электротехнике с решениями Но А два разных пути, например путь Задачи по электротехнике с решениями и путь Задачи по электротехнике с решениями (см. рис. 1.35), образуют замкнутый контур Задачи по электротехнике с решениями, с которым сцепляется переменный магнитный поток Ф, существующий около рассматриваемой электрической цепи. Изменяющийся поток Ф индуцирует в контуре Задачи по электротехнике с решениями ЭДС. Следовательно,

Задачи по электротехнике с решениями

т. е.

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, если быть совершенно строгими, то нельзя при переменном токе говорить о напряжении между какими-либо двумя точками цепи, в частности, о напряжении на зажимах цепи, как о некоторой вполне определенной величине. Следует говорить о напряжении между двумя точками цепи вдоль определенного, заданного пути между этими точками.

Все изложенное свидетельствует о большой сложности физических процессов, происходящих в цепях переменного тока.

Параметры электрических цепей. Линейные и нелинейные электрические и магнитные цепи

Из изложенного в предыдущих параграфах ясно, что основными параметрами электрических цепей являются сопротивление r, емкость С и индуктивность L. Если имеет место электромагнитное воздействие на данную цепь со стороны других цепей или даже если внутри данной цепи наблюдается такое воздействие со стороны одного ее участка на другой, то в число параметров цепи войдет еще взаимная индуктивность М.

Строго говоря, параметры цепи почти всегда в какой-то мере зависят от тока и напряжения. Сопротивление г меняется с изменением тока хотя бы потому, что в этом случае изменяется температура проводников. Емкость конденсатора может зависеть от напряжения, если диэлектрическая проницаемость вещества диэлектрика в конденсаторе зависит от напряженности электрического поля. Индуктивность катушки зависит от тока, если магнитная проницаемость вещества сердечника катушки зависит от напряженности магнитного поля.

В общем случае зависимости параметров r, L и С от значений токов, напряжений или их направлений приводят к тому, что характеристики элементов электрической цепи оказываются нелинейными (кривые 1 на рис. 3.6).

Задачи по электротехнике с решениями

Зависимость напряжения на зажимах элемента электрической цепи от тока в нем называют вольтамперной характеристикой (ВАХ) (рис. 3.6, а).

Зависимость заряда конденсатора от приложенного к нему напряжения называют к улон-вольтной характеристикой (рис. 3.6, б).

Зависимость потокосцепления элемента или участка электрической цепи от тока в ней называют вебеpамперной характеристикой (рис. 3.6, в).

Однако во многих случаях, когда нелинейности характеристик выражены весьма слабо, ими можно пренебречь и полагать параметры цепи не зависящими ни от тока, ни от напряжения. В этих случаях характеристики элементов электрической цепи определяются на диаграммах прямыми линиями (кривые 2 на рис. 3.6). Такие элементы цепи называют линейными. Процессы в цепях, содержащих только линейные элементы, описываются при постоянных токах линейными алгебраическими уравнениями, а при изменяющихся во времени токах — линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями. Соответственно, такие цепи называют линейными электрическими цепями. Вся вторая часть будет посвящена теории линейных электрических цепей.

Когда параметры элементов электрической цепи существенно зависят от тока или напряжения и, соответственно, характеристики этих элементов имеют на диаграммах криволинейный характер, такие элементы называют нелинейными. Если электрическая цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, то она является нелинейной электрической цепью.

Магнитные цепи, содержащие участки из ферромагнитных материалов, как правило, нелинейны, так как магнитная проницаемость этих материалов зависит от напряженности магнитного поля.

Изучение нелинейных электрических и магнитных цепей имеет большое практическое значение в связи с широким использованием особых свойств таких цепей в современных электротехнических устройствах, особенно в устройствах автоматического управления и регулирования, в электроизмерительной технике, в радиотехнике и т. д. Явления в нелинейных цепях более сложны, чем в линейных, а поэтому более сложны и методы анализа явлений в нелинейных цепях. Основные положения теории нелинейных электрических и магнитных цепей будут рассмотрены в третьей части.

В дальнейшем в настоящей главе и во второй части будем предполагать, что параметры цепи не зависят от тока и напряжения, а также, если это не будет оговорено особо, и от времени, т. е. что они постоянны.

В виде примеров расчета величин Си! получим их выражения для некоторых простых элементов цепи.

Емкость плоского конденсатора определим, пренебрегая искажением поля у его краев. Применим постулат Максвелла к Задачи по электротехнике с решениями

замкнутой поверхности, охватывающей заряд q одной пластины. След этой замкнутой поверхности изображен на рис. 3.7 штриховой линией. Часть поверхности внутри конденсатора проведем нормально к линиям напряженности поля. Линии поля пересекают только эту часть замкнутой поверхности, равную поверхности пластины. Таким образом,

Задачи по электротехнике с решениями

Разность потенциалов Задачи по электротехнике с решениями пластин Задачи по электротехнике с решениями конденсатора равна линейному интегралу вектора Е вдоль некоторого пути между пластинами. Пусть d — расстояние между пластинами. Избирая путь интегрирования вдоль линии напряженности поля и замечая, что в однородном поле Е = const, получим

Задачи по электротехнике с решениями

Следовательно,

Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Определим еще емкость отрезка концентрического кабеля длиной Задачи по электротехнике с решениями, с радиусом внутреннего провода Задачи по электротехнике с решениями и внутренним радиусом наружного провода Задачи по электротехнике с решениями (рис. 3.8). Окружим внутренний провод замкнутой поверхностью, образованной цилиндрической поверхностью с радиусом r и двумя плоскими торцевыми поверхностями на концах отрезка кабеля. Поток вектора D сквозь торцевые поверхности равен нулю. Применяя к этой замкнутой поверхности постулат Максвелла, получаем

Задачи по электротехнике с решениями

причем q — заряд рассматриваемого отрезка кабеля.

Разность потенциалов Задачи по электротехнике с решениями между внутренним и наружным проводами определяется интегралом:

Задачи по электротехнике с решениями

и, следовательно,

Задачи по электротехнике с решениями

Найдем выражение для индуктивности того же концентрического кабеля, полагая, что внутренний провод является прямым, а наружный — обратным. На рис. 3.9 изображены линии напряженности магнитного поля в таком кабеле. Магнитным потоком в теле обратного провода пренебрегаем ввиду малой толщины этого провода. Магнитное поле вне кабеля отсутствует, так как сумма токов в прямом и обратном проводах равна нулю, и следовательно, равен нулю линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по любому контуру, охватывающему весь кабель. Таким образом, остается учесть поток в изолирующем веществе и поток в теле внутреннего провода. Оба эти потока определяются только током i во внутреннем проводе. Рассматриваемый пример особенно интересен тем, что здесь необходимо рассчитать потокосцепление, которое определяется линиями магнитной индукции, проходящими в теле самого провода. Напряженность поля в изолирующем слое найдем из закона полного тока:

Задачи по электротехнике с решениями

Напряженность поля в теле внутреннего провода получаем из этого закона, учитывая, что магнитные линии здесь охватывают только часть тока, равную Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

причем г — расстояние от оси кабеля до точки, в которой определяется Н. Последняя формула справедлива только при условии равномерного распределения тока по сечению провода, т. е., строго говоря, как увидим дальше, только при постоянном токе.

Разделим поток на кольцевые трубки, имеющие прямоугольное поперечное сечение Задачи по электротехнике с решениями, где Задачи по электротехнике с решениями — длина отрезка кабеля. Поток сквозь сечение такой трубки

Задачи по электротехнике с решениями

Трубки магнитной индукции, расположенные в слое изоляции, сцепляются один раз со всем током i, и, следовательно, приняв для вещества изоляции Задачи по электротехнике с решениями для этих трубок имеем

Задачи по электротехнике с решениями

Потокосцепление Задачи по электротехнике с решениями, определяемое линиями магнитной индукции, расположенными в изолирующем слое, равно

Задачи по электротехнике с решениями

Трубки магнитной индукции, расположенные в теле внутреннего провода, сцепляются только с частью тока, равной Задачи по электротехнике с решениями. Если весь провод рассматривать как один виток, то отношение Задачи по электротехнике с решениями представляет собой часть витка, охватываемую данной трубкой магнитной индукции. Поэтому поток Задачи по электротехнике с решениями в трубке дает потокосцепление Задачи по электротехнике с решениями со всем током i, равное

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — абсолютная магнитная проницаемость материала провода. Потокосцепление Задачи по электротехнике с решениями, определяемое линиями магнитной индукции, замыкающимися в теле провода, имеет значение

Задачи по электротехнике с решениями

Искомая индуктивность выражается формулой

Задачи по электротехнике с решениями

Из приведенных примеров становятся ясны высказанные в §1.8 и 1.11 общие положения, что емкость С определяется параметром среды, где существует электрическое поле, и геометрическими размерами, а индуктивность L определяется абсолютными магнитными проницаемостями р сред, в которых существует магнитное поле, и геометрическими размерами.

Для емкости и индуктивности кабеля характерна также прямая зависимость их от длины Задачи по электротехнике с решениями отрезка кабеля. Возможность представления кабеля сосредоточенной емкостью или индуктивностью, как было отмечено в § 3.4, зависит от того, насколько в кабеле меньше произведение скорости света на промежуток времени, за который процесс повторяется (период Т для периодических процессов), его длины. Пусть частота рассматриваемого процесса равна 50 кГц. Тогда период процесса равен Задачи по электротехнике с решениями то такой кабель может быть рассмотрен как участок цепи, имеющий сосредоточенные параметры.

Связи между напряжением и током в основных элементах электрической цепи

Обратимся вновь к простой электрической цепи, изображенной на рис. 3.5.

Первый участок цепи ah мы охарактеризовали сопротивлением г. Зная г, при заданном токе i можно, пользуясь законом Ома, найти напряжение Задачи по электротехнике с решениями необходимое для преодоления сопротивления этого участка цепи, а именно

Задачи по электротехнике с решениями

Второй участок цепи Ьс представляет собой конденсатор. Зная емкость конденсатора С, можно при заданном значении его заряда q найти напряжение ис из соотношения Задачи по электротехнике с решениями. Между током i и зарядом q существует связь Задачи по электротехнике с решениями. Следовательно,

Задачи по электротехнике с решениями

где q(0) — заряд конденсатора в момент t = 0, т. е. в момент, от которого начинаем отсчет времени. Соответственно,

Задачи по электротехнике с решениями

где ис(0) — напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t= 0.

Третий участок цепи cd представляет собой индуктивную катушку. Зная индуктивность катушки £, можно при заданном токе определить потокосцепление самоиндукции Задачи по электротехнике с решениями и при заданной скорости изменения тока Задачи по электротехнике с решениями найти возникающую в цепи ЭДС самоиндукции Задачи по электротехнике с решениями, а также напряжение на зажимах катушки Задачи по электротехнике с решениями

Выражая ток i в катушке и поток Задачи по электротехнике с решениями в ней через напряжение uL на ее зажимах, получим

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — ток и поток в начальный момент времени t = 0.

При наличии взаимной индуктивности соответственно будем иметь

Задачи по электротехнике с решениями

Выражая ток Задачи по электротехнике с решениями через напряжение Задачи по электротехнике с решениями, найдем

Задачи по электротехнике с решениями

Напряжение на любом участке цепи равно линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого участка. Так как мы полностью пренебрегли электродвижущими силами, индуцируемыми переменными магнитными потоками в первом и во втором участках, то электрическое поле около этих участков является потенциальным. Следовательно, в выражениях

Задачи по электротехнике с решениями

пути интегрирования между точками а и b и между точками b и с могут быть заданы произвольно. Эти пути только не должны проходить через область магнитного поля катушки. В частности, они могут проходить вдоль проволоки реостата и внутри диэлектрика конденсатора. Но они могут пролегать и около реостата или около конденсатора, где также существует электрическое поле.

В выражении

Задачи по электротехнике с решениями

интеграл должен быть взят также вдоль пути, не проходящего в магнитном поле катушки, но отнюдь не вдоль проволоки катушки. Поясним это положение. Для простоты предположим, что катушка имеет один виток, совмещенный с плоскостью Задачи по электротехнике с решениями

рисунка (рис. 3.10). Магнитный поток Ф, сцепляющийся с витком, проходит сквозь площадь, охватываемую витком (заштрихована на рисунке). Линейный интеграл напряженности электрического поля, взятый по пути Задачи по электротехнике с решениями внутри проволоки витка, равен нулю, так как мы полностью пренебрегли сопротивлением витка, а следовательно, напряженность электрического поля внутри материала проволоки равна нулю.

Согласно закону электромагнитной индукции, имеем

Задачи по электротехнике с решениями

Так как Задачи по электротехнике с решениями, то

Задачи по электротехнике с решениями

При сделанных допущениях и оговорках можно, согласно сказанному в § 1.8 и 1.12, применять для величин Задачи по электротехнике с решениями наряду с термином напряжение также и термин разность потенциалов.

Условные положительные направления тока и ЭДС в элементах цепи и напряжения на их зажимах

При анализе процессов в электрической цепи необходимо обязательно задать условные положительные направления токов и ЭДС в элементах цепи и напряжений на их зажимах, обозначив такие направления на рисунке стрелками. Эти условные положительные направления можно задать произвольно. Действительные мгновенные ток Задачи по электротехнике с решениями напряжение Задачи по электротехнике с решениями и ЭДС Задачи по электротехнике с решениями будут положительны, если действительные направления тока, напряжения и ЭДС в данный момент времени совпадают с условно заданными положительными их направлениями. В дальнейшем для краткости часто вместо «условное положительное направление» будем говорить «положительное направление», всегда понимая под этим, если не оговорено особо, именно условное положительное, а не действительное направление соответствующей величины.

Иногда удобно выражать условное положительное направление токов, напряжений или ЭДС не стрелками, а двойными индексами у их буквенного обозначения Задачи по электротехнике с решениями— Эти индексы должны соответствовать обозначениям точек на графическом изображении цепи, причем положительным считается направление от точки цепи, отвечающей первому индексу, к точке цепи, отвечающей второму индексу. Например. Задачи по электротехнике с решениями, когда действительное напряжение направлено от точки а к точке Ь.

Приняв приведенные в предыдущем параграфе связи между Задачи по электротехнике с решениями и между Задачи по электротехнике с решениями и Задачи по электротехнике с решениями, и между Задачи по электротехнике с решениями мы должны считать условные положительные направления тока, напряжения и ЭДС в каждом отдельном элементе цепи ориентированными в одну и ту же сторону, что показано стрелками на рис. 3.11.

В самом деле, согласно связи uЗадачи по электротехнике с решениями, величины Задачи по электротехнике с решениями должны быть при Задачи по электротехнике с решениями одного знака, т. е.

Задачи по электротехнике с решениями

одновременно положительны (знаки «+» и «-» на рис. 3.11) или одновременно отрицательны, что и соответствует одинаковому выбору их условных положительных направлений, т. е. одинаковому направлению стрелок. Это соответствует также тому, что всегда мощность Задачи по электротехнике с решениями

Для конденсатора имеем связь Задачи по электротехнике с решениями, так как для того чтобы было С > 0, как сказано в § 1.8, необходимо брать заряд той пластины, от которой отсчитывается напряжение, т. е.

Задачи по электротехнике с решениями

Согласно этой связи, величины Задачи по электротехнике с решениями — одного знака. Пусть в некоторый момент времени ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму Задачи по электротехнике с решениями Пусть конденсатор заряжается, т. е. Задачи по электротехнике с решениями (знаки « + » и «-» на рис. 3.11), а следовательно, и Задачи по электротехнике с решениями, что соответствует выбору условных положительных направлений Задачи по электротехнике с решениями, т. е. выбору стрелок, в одном направлении. Это соответствует также тому, что при зарядке конденсатора энергия поступает в него и мощность на его зажимах положительна: Задачи по электротехнике с решениями

Для катушки имеем связь Задачи по электротехнике с решениями, причем всегда Задачи по электротехнике с решениями

а поток самоиндукции Задачи по электротехнике с решениями,. и ток в катушке i всегда одного знака — направление тока и направление линий потока самоиндукции связаны между собой правилом правого винта. Если ток имеет действительное направление от зажима а к зажиму Ь, то Задачи по электротехнике с решениями Пусть при этом ток возрастает, т. е. Задачи по электротехнике с решениями, тогда Задачи по электротехнике с решениями (знаки «+» и «-» на рис. 3.11).

Таким образом, и для катушки, выбрав связь Задачи по электротехнике с решениями мы тем самым выбираем условные положительные направления тока i и напряжения uL, т. е. направления их стрелок, в одну сторону. Все это соответствует также тому, что при возрастании положительного тока, т. е. при возрастании абсолютного значения тока, увеличивается энергия магнитного поля в катушке и мощность на ее зажимах положительна: Задачи по электротехнике с решениями

Условное положительное направление для ЭДС Задачи по электротехнике с решениями следует принимать таким же, как и для Задачи по электротехнике с решениями, так как при этом в соответствии со связью Задачи по электротехнике с решениями— всегда действительные направления Задачи по электротехнике с решениями будут противоположны, т. е. если, например, действительное направление величины Задачи по электротехнике с решениями на зажимах катушки будет по ее стрелке (от «+» к «-» на рис. 3.11), то действительное направление величины Задачи по электротехнике с решениями в катушке в тот же момент времени окажется против ее стрелки (от «-» к « + » на рис. 3.11). Напряжение Задачи по электротехнике с решениями, как было разъяснено в предыдущем параграфе, следует брать по пути между зажимами катушки вне ее магнитного поля, например от зажима с к зажиму d по пути Задачи по электротехнике с решениями на рис. 3.10.

Рассмотрим теперь взаимную индуктивность М между двумя контурами. Важно иметь в виду, что если для всякого электрического контура Задачи по электротехнике с решениями то взаимная индуктивность М может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю, так как знаки потоков взаимной индукции зависят при выбранных положительных направлениях токов в контурах также еще и от взаимного расположения контуров. Положительные направления токов в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно. Поскольку эти направления выбраны, то величину М мы должны считать положительной, когда при положительных токах потоки взаимной индукции, сцепляющиеся с контурами, оказываются также положительными, т. е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции. Иными словами, М > 0, если при положительных токах магнитные потоки в контурах направлены согласно, и М < 0, если при положительных токах потоки направлены встречно.

При этих условиях, исходя из принятых в § 1.11 выражений для ЭДС взаимнои индукции Задачи по электротехнике с решениями и принимая связи между напряжениями и ЭДС в виде Задачи по электротехнике с решениями (с учетом, что Задачи по электротехнике с решениями) мы должны условные положительные направления для этих величин принять такими же, как и для Задачи по электротехнике с решениями, т. е. совпадающими с условными положительными направлениями токов Задачи по электротехнике с решениями, что и показано стрелками на рис. 3.12.

Часто вместо этого маркируют один из зажимов каждой катушки жирной точкой (•) (рис. 3.12). Это значит, что если положительное направление тока в обмотке одной из катушек принято от точки, то и положительное направление напряжения на зажимах другой катушки и ЭДС взаимной индукции в ней также принимается от точки.

Соответственно выбранным положительным направлениям токов Задачи по электротехнике с решениями или соответственно выбранной маркировке точками должен быть задан знак взаимной индуктивности, например М = +0,5 Гн или М = -0,5 Гн.

Задачи по электротехнике с решениями

Мы будем стремиться, как правило, выбирать положительное направление токов Задачи по электротехнике с решениями и маркировку точками согласованными между собой, как это сделано на рис. 3.12.

При этом то и другое обозначения взаимно заменяют друг друга. Если бы в особых случаях выбор положительных направлений токов оказался не согласованным с маркировкой точками, а знак М мы по-прежнему связали бы с маркировкой точками, то это значило бы, что надо писать

Задачи по электротехнике с решениями

Источники ЭДС и источники тока

Источники энергии в электрических цепях принято рассматривать как источник и ЭДС или как источники тока. К источникам ЭДС обычно относят источники электромагнитной энергии, в которых ЭДС е не зависит или практически не зависит от тока, идущего от источника в приемник, и внутреннее сопротивление Задачи по электротехнике с решениями которых мало, так что напряжение Задачи по электротехнике с решениями на зажимах источника сравнительно мало изменяется в пределах изменения тока от нуля до номинального Задачи по электротехнике с решениями. На рис. 3.13 приведена так называемая внешняя характеристика, т. е. зависимость Задачи по электротехнике с решениями, такого источника при

Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями Она представляет собой прямую линию. Линейная цепь должна содержать только источники ЭДС с такой линейной характеристикой. Если Задачи по электротехнике с решениями и Задачи по электротехнике с решениями и такой источник будем называть идеальным источником ЭДС. Если у реального источника, имеющего Задачи по электротехнике с решениями, условно вынести его внутреннее сопротивление, то получим условное изображение источника ЭДС, приведенное на рис. 3.14, а. Необходимо указать стрелкой положительное направление ЭДС е. В общем случае это есть условное положительное направление ЭДС, так как ЭДС может быть переменной, например периодической, величиной. Если теперь отнести Задачи по электротехнике с решениями к приемнику, добавив его к сопротивлению приемника (рис. 3.14, б), то цепь будет рассматриваться как содержащая идеальный источник ЭДС.

В случае когда характеристика Задачи по электротехнике с решениями криволинейна, что может быть, если величина е нелинейно зависит от i или когда

Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями

зависит от i цепь, содержащая такой источник, является нелинейной цепью.

Во второй части, посвященной теории линейных электрических цепей, будем предполагать, что источники ЭДС обладают линейной характеристикой. Источниками ЭДС в указанном смысле являются, например, аккумуляторы, гальванические элементы, вращающиеся электрические генераторы постоянного тока.

К источникам тока обычно относят источники электромагнитной энергии, в которых ток не зависит или практически не зависит от напряжения и, которое создается источником на зажимах приемника. Условимся в дальнейшем заданный ток источника тока обозначать буквой 3, чтобы отличать его от токов i в приемнике и в различных его участках. Это будет соответствовать принятому отличию обозначения заданной ЭДС е источника ЭДС от обозначения

Задачи по электротехнике с решениями

напряжения и на зажимах приемника и на его различных участках. Предполагается, что источник тока имеет достаточно малую внутреннюю проводимость Задачи по электротехнике с решениями, так что токЗадачи по электротехнике с решениями поступающий в приемник, мало изменяется в пределах изменения напряжения и от нуля до номинального Задачи по электротехнике с решениями. На рис. 3.15 показана внешняя линейная характеристика Задачи по электротехнике с решениями источника тока при Задачи по электротехнике с решениями Здесь же приведена характеристика идеального источника тока, имеющего Задачи по электротехнике с решениями при котором Задачи по электротехнике с решениями

Если условно вынести проводимость Задачи по электротехнике с решениями, то получим условное изображение источника тока, приведенное на рис. 3.16, а. Необходимо указать стрелкой условное положительное направление тока 3. Если отнести проводимость Задачи по электротехнике с решениями к приемнику, добавив ее к проводимости Задачи по электротехнике с решениями приемника (рис. 3.16, б), то цепь будет рассматриваться как содержащая идеальный

Задачи по электротехнике с решениями

источник тока. При изучении теории линейных цепей будем предполагать, что источники тока обладают линейной характеристикой. Источниками тока в указанном смысле являются, например, источники энергии, основанные на излучении заряженных частиц, выделяющихся при радиоактивном распаде вещества, так как при этом ток источника определяется скоростью распада.

Важными разновидностями источников ЭДС и тока являются зависимый источник ЭДС и зависимый источник тока. Зависимым источником электродвижущей силы называют такой источник, в котором ЭДС зависит от тока или напряжения в некотором участке цепи. Часто такие источники также называют управляемыми. Если значение ЭДС источника зависит от тока (или напряжения), то говорят, что такой источник управляем током (или напряжением).

Аналогично источник тока, в котором ток зависит от тока или напряжения в некотором участке цепи, называют зависимым источником тока. Если значение тока источника зависит от напряжения (или тока), то говорят, что такой источник управляем напряжением (или током).

При задании значений ЭДС или тока зависимых источников должны быть одновременно даны коэффициенты пропорциональности между управляемыми и управляющими величинами при их заданных условно-положительных направлениях и месторасположение управляющей величины.

Задачи по электротехнике с решениями

На рис. 3.17 показаны различные зависимые источники: зависимый источник ЭДС, управляемый током (рис. 3.17, а) или напряжением (рис. 3.17, б); зависимый источник тока, управляемый током (рис. 3.17, в) или напряжением (рис. 3.17, г). На рис. 3.17 коэффициент а имеет размерность сопротивления, коэффициенты Задачи по электротехнике с решениями — безразмерные величины, а коэффициент Задачи по электротехнике с решениями имеет размерность проводимости. При изменении условно-положительного направления управляющего тока или управляющего напряжения при сохранении направления ЭДС или тока источника следует менять знаки Задачи по электротехнике с решениями или все зависимости записать со знаком минус. Например, пусть ЭДС зависимого источника направлена, как показано на рис. 3.17, а. Если ток в ветви q направлен от b к а, то для ЭДС в ветви р будем иметь выражение Задачи по электротехнике с решениями

Примером зависимого источника может служить операционный усилитель, в котором входной и выходной величинами являются напряжения Задачи по электротехнике с решениями (рис. 3.17, д). Эквивалентная схема операционного усилителя, который имеет бесконечно большое входное и пренебрежимо малое выходное сопротивления, показана на рис. 3.17, е. В случае, когда полярности напряжений на входе и выходе усилителя противоположны, коэффициент усиления принимается равным k, и такой усилитель называют инвертирующим.

На входе операционного усилителя может действовать несколько напряжений, а некоторые из них могут быть подключены к так называемому инвертирующему входу (рис. 3.17, ж). Операционный усилитель с двумя входами, один из которых является инвертирующим, представлен эквивалентной схемой, показанной на рис. 3.17, з. В этом случае Задачи по электротехнике с решениями.

Схемы электрических цепей

Электрическую цепь на чертежах изображают в виде схемы, под которой понимают графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее соединения этих элементов. Например, на рис. 3.18 представлена электрическая схема цепи, в которую входят следующие устройства: генератор переменного тока 1, трансформаторы 2 и 5, линии электропередачи 3 и 4, преобразователь переменного тока в постоянный 6, нагрузка 7.

Задачи по электротехнике с решениями

Исследование процессов в электрической цепи требует знания связей между токами и напряжениями отдельных ее участков. Эти связи могут быть определены в виде математических соотношений (например, вида Задачи по электротехнике с решениями.).

Они могут быть заданы и в виде вольт-амперных или иных характеристик.

Как правило, задание связей в виде вольт-амперных или иных характеристик — результат либо невозможности математического описания процессов в данном устройстве, либо сложности решения полевых уравнений, либо незнания внутренней структуры устройства. В таких случаях единственным способом получения и описания характеристик устройства остается опыт, при помощи которого могут быть измерены интересующие нас токи, напряжения, заряды, потокосцепления и построены соответствующие характеристики. При наличии таких характеристик можно с тем или иным приближением описать их в виде математических связей, чтобы иметь возможность выполнить аналитическое исследование процессов в цепи. Разумеется, такой переход в общем случае не нужен, если анализ процессов в цепи производится численными методами.

Записанные в аналитической форме соотношения между токами, напряжениями, зарядами, потокосцеплениями элемента электрической цепи являются математической моделью этого элемента. Так, например, Задачи по электротехнике с решениями есть математическая модель резистора; Задачи по электротехнике с решениями — математическая модель идеальной индуктивной катушки; Задачи по электротехнике с решениями — приближенная математическая модель либо реальной катушки при условии пренебрежения токами смещения между витками катушки, либо цепи, содержащей резистор и идеальную индуктивную катушку, включенные последовательно.

И наоборот, математическим соотношениям, приведенным выше, могут быть поставлены в соответствие электрические цепи, содержащие идеальные индуктивные катушки и резисторы.

Условные изображения таких основных идеализированных элементов электрической цепи, каковыми являются резистор, конденсатор, индуктивная катушка, катушки с индуктивной связью, источники ЭДС и тока, были приведены на рис. 3.11, 3.12, 3.14, 3.16.

Математическим соотношениям между токами, напряжениями, потокосцеплениями, зарядами и другими величинами, следовательно, могут быть поставлены в соответствие электрические цепи, содержащие только идеализированные элементы Задачи по электротехнике с решениями и др. Очевидно, схемы таких цепей и сами цепи тождественны, так как каждому элементу схемы соответствует единственный элемент идеализированной цепи.

Таким образом, для расчета процессов в электрической цепи следует определить математические соотношения для отдельных участков исходной цепи, по этим соотношениям построить некую другую цепь, анализ процессов в которой заменит анализ процессов в исходной реальной цепи.

Схему этой другой электрической цепи, отображающей при определенных условиях свойства реальной цепи, называют схемой замещения электрической цепи или кратко — схемой замещения.

Задачи по электротехнике с решениями

Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, схема которой изображена на рис. 3.18. Можно составить некоторую схему замещения (рис. 3.19) этой цепи, если принять во внимание соображения, приведенные в § 3.2-3.8. Пусть источником энергии служит конструкция (генератор), описанная в § 4.1 (см. рис. 4.2 и 4.3). Такой генератор является источником периодической ЭДС. Если частота этой ЭДС, а следовательно, и токов в цепи достаточно низка, то можно приближенно пренебречь токами смещения между витками обмотки генератора и представить эту обмотку в виде индуктивной катушки и резистора, являющегося активным сопротивлением обмотки генератора. Электродвижущую силу, индуцируемую в обмотке статора за счет вращения магнитного поля ротора, представим идеальным источником ЭДС. Таким образом, схема замещения генератора будет состоять из трех идеальных элементов: Задачи по электротехнике с решениями (рис. 3.19, а).

Эти три элемента должны быть соединены последовательно, так как и энергия магнитного поля Задачи по электротехнике с решениями, и потери энергии Ргв проводниках обмотки, и напряжение ir определяются током в обмотке. Трансформаторы 2 и 5 могут быть представлены в виде двух индуктивно-связанных катушек (Задачи по электротехнике с решениями для трансформатора 2 и, соответственно, Задачи по электротехнике с решениями для трансформатора 5), если пренебречь потерями энергии в ферромагнитных элементах конструкции трансформатора и нелинейными свойствами ферромагнитного материала (подробнее см. ч. III, § 3.9). Резистор г2 является активным сопротивлением обмотки трансформатора 2. Линии передачи 3 и 4 для данной частоты даны в виде совокупности элементов Задачи по электротехнике с решениями и Задачи по электротехнике с решениями, которые включены в схему замещения линии исходя из следующих соображений.

Путь тока в линии и связанные с ним энергия магнитного поля и потери энергии представлены в виде последовательно соединенных элементов Задачи по электротехнике с решениями, Задачи по электротехнике с решениями. Наличие энергии электрического поля, которая определяется напряжением линии, учитывается двумя конденсаторами (Задачи по электротехнике с решениями для линии 3 и Задачи по электротехнике с решениями для линии 4), включенными в начале и в конце линии. Можно было включить и один конденсатор либо в начале, либо в конце линии.

Естественно, что при этом должны быть скорректированы параметры Задачи по электротехнике с решениями линии для того, чтобы оставить неизменными потери энергии в линии и разность напряжений в начале и в конце линии. Именно эти величины взяты в качестве определяющих, так как для характеристик линии экономически важны значение потерь в линии и падение напряжения на линии. Разумеется, такая простая схема замещения линии не учитывает распределенный характер параметров Задачи по электротехнике с решениями линии (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в т. II, гл. 17 и 18).

Преобразование переменного тока в постоянный производится при помощи использования особых свойств нелинейных элементов НЭ6 (в данном случае диодов), вольт-амперная характеристика которых приведена на рис. 3.19, б. Благодаря такой ВАХ происходит выпрямление переменного тока. Нагрузка представлена резистором Задачи по электротехнике с решениями и конденсатором Задачи по электротехнике с решениями. Наличие конденсатора Задачи по электротехнике с решениями дает возможность улучшить форму кривой тока в резисторе, уменьшая ее пульсации.

Приведенная на рис. 3.19, а схема замещения электрической цепи, схема которой дана на рис. 3.18, является приближенной в пределах тех допущений, которые сделаны при представлении схем замещений отдельных устройств, входящих в состав цепи.

Для каждого элемента схемы рис. 3.19, а могут быть записаны в аналитическом или графическом виде соотношения между токами, напряжениями, зарядами и потокосцеплениями. Составление математических соотношений, а следовательно, и схем замещений является специфической для инженера задачей, решение которой требует глубокого понимания особенностей электромагнитных процессов, умения решать в общем случае задачи исследования распределения электромагнитного поля.

В дальнейшем, если не сделаны специальные оговорки, будем употреблять термин «электрическая цепь» применительно к цепи с идеализированными элементами, электрическая схема и схема замещения которой тождественны.

Электрическая цепь и, соответственно, ее схема имеют в общем случае ветви и узлы.

Ветвью электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют весь участок электрической цепи, в котором в любой момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего участка.

Ветвь может содержать любое число последовательно соединенных элементов цепи: участков с сопротивлением, конденсаторов, индуктивных катушек, источников ЭДС. При этом последовательным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток.

Примером схемы цепи с последовательным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.14.

Узлом электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют место соединения ветвей. На схеме узел изображают точкой.

Параллельным соединением участков (ветвей) электрической цепи называют соединение, при котором все участки (ветви) цепи присоединяются к одной паре узлов и на всех этих участках (ветвях) имеется одно и то же напряжение. Примером схемы цепи с параллельным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.16.

Смешанным соединением участков электрической цепи называют сочетание последовательного и параллельного соединений.

Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и параллельному соединению участков (пример — схемы цепей на рис. 3.23, а и 3.22, а).

Электрическую цепь называют плоской (планарной), если она может быть изображена на плоскости в виде схемы с непересекающимися ветвями. Пример схемы плоской цепи дан на рис. 3.23, а; на рис. 3.22, а изображена неплоская (непланарная) цепь.

Контуром электрической цепи называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Пример — контур abca на рис. 3.22, а.

Задачи по электротехнике с решениями

В заключение отметим, что любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником. Двухполюсник условно на схеме изображают прямоугольником с двумя выводами (рис. 3.20). Рассмотрение целой части как одного двухполюсника полезно при выяснении общих свойств этих частей цепи. Различают активные (рис. 3.20, а) и пассивные (рис. 3.20, б) двухполюсники.

Активным называют двухполюсник, содержащий источники электрической энергии. Для линейного двухполюсника обязательным дополнительным условием является наличие на его разомкнутых зажимах напряжения, обусловленного источниками электрической энергии внутри двухполюсника, т. е. необходимо, чтобы действия этих источников энергии не компенсировались взаимно внутри двухполюсника.

Пассивным называют двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии. Линейный двухполюсник может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых зажимах равно нулю.

Оговорка о возможности наличия взаимно компенсирующихся источников, при которых двухполюсник остается пассивным, необходима, так как сама идея представления целой части цепи как двухполюсника заключается в рассмотрении общих свойств этой части цепи лишь со стороны ее входных зажимов. Эта оговорка относится исключительно к линейным цепям, потому что в нелинейных цепях такая компенсация может быть только для одного или только для нескольких определенных режимов и не будет иметь места для других режимов, так как параметры нелинейной цепи зависят от тока или напряжения.

Теоретические основы электротехники как наука

Электротехника как наука, изучающая свойства и особенности электрической энергии, легла в основу развития многих отраслей знаний — таких как медицина, биология, астрономия, геология, математика и др.

Азбукой электротехники являются ее теоретические основы. В настоящем учебнике теоретические вопросы электротехники рассматриваются в неразрывной связи с практическими задачами, что обеспечивает студентам знание качественных и количественных соотношений в различных процессах.

Данный курс является базой для изучения специальных предметов, поэтому является одной из важнейших дисциплин в процессе подготовки студентов по электро-, приборо-, радио-, кибернетическим и другим специальностям.

В учебнике условные обозначения соответствуют Единой системе конструкторской документации (ЕСКД).

Электрический заряд

Каждый химический элемент (вещество) состоит из совокупности мельчайших материальных частиц — атомов.

В состав атомов любого вещества входят элементарные частицы, часть которых обладает электрическим зарядом. Атом представляет собой систему, состоящую из ядра, вокруг которого вращаются электроны.

В ядре атома сосредоточены протоны, несущие в себе положительный заряд. Электроны имеют отрицательный электрическим заряд. В электрически нейтральном атоме заряд электронов равен по абсолютной величине заряду протонов.

Электроны вращаются вокруг ядра по строго определенным орбитам (слоям). В каждом слое количество электронов не дол-дно превышать определенного числа (Задачи по электротехнике с решениями — номер слоя). Так, например, в первом, ближайшем к ядру слое могут находиться максимум два электрона, во втором — не более восьми и т. д.

Порядковый номер химического элемента в Периодической таблице Менделеева численно равен положительному заряду ядра этого элемента, следовательно, и числу вращающихся вокруг него электронов. На рис. 1.1 схематически показана структура атомов водорода (а), кислорода (б) и алюминия (в) с порядковыми номерами 1, 8 и 13.

Задачи по электротехнике с решениями

Атомы, у которых внешние электронные слои целиком заполнены, имеют устойчивую электронную оболочку. Такой атом прочно держит все электроны и не нуждается в получении добавочного их количества.

Атом кислорода, например, имеющий шесть электронов, размешенных во внешнем слое, обладает возможностью притянуть к себе два недостающих электрона для заполнения внешнего электронного слоя. Это достигается путем соединения с атомами таких элементов, у которых внешние электроны слабо связаны со своим ядром. Например, электронами внешнего (третьего) слоя атома алюминия, которые слабо удерживаются и легко могут быть вырваны из атома.

Если нарушается равенство числа электронов и протонов, то из электрически нейтрального атом становится заряженным. Заряженный атом называется ионом.

Если в силу каких-либо причин атом потеряет один или несколько электронов, то в нем нарушится равенство зарядов и такой атом становится положительным ионом, поскольку в нем преобладает положительный заряд протонов ядра. Если атом приобретает один или несколько электронов, то он становится отрицательным ионом, так как в нем преобладает отрицательный заряд.

Вещество (твердое тело, жидкость, газ) считается электрически нейтральным, если количество положительных и отрицательных зарядов в нем одинаково. Если же в нем преобладают положительные или отрицательные заряды, то оно считается соответственно положительно или отрицательно заряженным.

В Единой системе конструкторской документации (ЕСКД), которая используется в данном учебнике, электрический заряд (количество электричества) обозначается буквой Q или q, а единицей заряда (в системе СИ) является 1 кулон, то есть Задачи по электротехнике с решениями (кулон). Электрон и протон имеют равный по величине, но противоположный по знаку заряд Задачи по электротехнике с решениями.

Электрический заряд или заряженное тело создают электрическое поле.

Электрическое поле — это пространство вокруг заряженного тела или заряда, в котором обнаруживается действие сил на пробный заряд, помещенный в это пространство.

Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами, называется электростатическим.

Напряженность электрического поля

Обнаружить электрическое поле можно пробным зарядом, если поместить его в это поле. Пробным называется положительный заряд, внесение которого в исследуемое поле не приводит к его изменению. То есть пробный заряд не влияет ни на силу, ни на энергию, ни на конфигурацию поля.

Если в точку А электрического поля (рис. 1.2), созданного зарядом Q, расположенную на расстоянии г от него, внести Задачи по электротехнике с решениямипробный заряд q, то на него будет действовать сила Задачи по электротехнике с решениями причем если заряды Q и q имеют одинаковые знаки, то они отталкиваются (как это изображено на рис. 1.2), а если разные, то притягиваются.

Величина силы Задачи по электротехнике с решениями, действующей на пробный заряд q, помешенный в точку А электрического поля, пропорциональна величине заряда q и интенсивности электрического поля, созданного зарядом Q в точке А

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — напряженность электрического поля, характеризующая интенсивность поля в точке А.

Из (1.1) видно, что

Задачи по электротехнике с решениями

То есть напряженность каждой точки электрического поля характеризуется силой, с которой поле действует на единицу заряда, помещенного в эту точку. Таким образом, напряженность является силовой характеристикой каждой точки электрического поля.

Измеряется напряженность электрического поля в вольтах на метр Задачи по электротехнике с решениями

Напряженность электрического поля — величина векторная.

Направление вектора напряженности в любой точке электрического поля совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля (см. рис. 1.2).

Поскольку в дальнейшем будут учитываться только значения силы и напряженности, будем обозначать их Задачи по электротехнике с решениями соответственно.

Напряженность является параметром каждой точки электрического поля и не зависит от величины пробного заряда q. Изменение величины q приводит к пропорциональному изменению силы F (1.1), а отношение Задачи по электротехнике с решениями (1.2), т. е. напряженность Задачи по электротехнике с решениями остается неизменной.

Для наглядности электрическое поле изображают электрическими линиями, которые иногда называют линиями напряженности электрического поля, или силовыми линиями. Электрические линии направлены от положительного заряда к отрицательному. Линия проводится так, чтобы вектор напряженности поля в данной точке являлся касательной к ней (рис. 1.3в).

Задачи по электротехнике с решениями Электрическое поле называется однородным, если напряженность его во всех точках одинакова по величине и направлению. Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга.

Однородное поле, например, существует между пластинами плоского конденсатора (рис. 1.3г).

Напряженность поля точечных зарядов

Точечным считается заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается его действие.

Сила взаимодействия F двух точечных зарядов Q и q (рис. 1.2) определяется по закону Кулона:

Задачи по электротехнике с решениями

где г — расстояние между зарядами; Задачи по электротехнике с решениями — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды.

Из (1.3) следует, что напряженность электрического поля заряда Q в точке А (рис. 1.2) равна

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, напряженность поля Ел, созданная зарядом Q в точке А электрического поля, зависит от величины заряда Q, создающего поле, расстояния точки А от источника поля г и от абсолютной диэлектрической проницаемости среды Задачи по электротехнике с решениями, в которой создается поле. Диэлектрическая проницаемость характеризует электрические свойства среды, т. е. интенсивность поляризации.

Единицей измерения абсолютной диэлектрической проницаемости среды является фарад на метр

Задачи по электротехнике с решениями

так как Кл/В = Ф.

Различные среды имеют разные значения абсолютной диэлектрической проницаемости.

Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума

Задачи по электротехнике с решениями

называется электрической постоянной.

Абсолютную диэлектрическую проницаемость любой среды Задачи по электротехнике с решениями удобно выражать через электрическую постоянную Задачи по электротехнике с решениями и диэлектрическую проницаемость Задачи по электротехнике с решениями— табличную величину (Приложение 2).

Диэлектрическая проницаемость Задачи по электротехнике с решениями, которую иногда называют относительной, показывает, во сколько раз абсолютная диэлектрическая проницаемость среды больше, чем электрическая постоянная, т. е.

Задачи по электротехнике с решениями

Из (1.6) следует

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, напряженность электрического поля, созданного зарядом Q на расстоянии Задачи по электротехнике с решениями от него, определяется выражением

Задачи по электротехнике с решениями

Напряженность электрического поля, созданного несколькими зарядами в какой-либо точке А этого поля, определяется Задачи по электротехнике с решениями

геометрической суммой напряженностей, созданных в этой точке каждым точечным зарядом: Задачи по электротехнике с решениями (см. рис. 1.4).

Пример задачи с решением 1.1

Расстояние между точечными зарядами Задачи по электротехнике с решениями Вычислить величину напряженности в точке А, удаленной от заряда Задачи по электротехнике с решениями на расстояние Задачи по электротехнике с решениями а от заряда Задачи по электротехнике с решениями на расстояние Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.5), если: Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями Кл; Задачи по электротехнике с решениямиЗадачи по электротехнике с решениями

Решение:

Напряженность, созданная зарядом Задачи по электротехнике с решениями в точке А

Задачи по электротехнике с решениями

Напряженность, созданная зарядом Задачи по электротехнике с решениями в точке А

Задачи по электротехнике с решениями

Направление векторов напряженности Задачи по электротехнике с решениями , созданных зарядами Задачи по электротехнике с решениями, и результирующего вектора напряженности Задачи по электротехнике с решениями в точке А изображены на рис. 1.5.

Между векторами напряженности в данном примере угол равен Задачи по электротехнике с решениями, что справедливо только для прямоугольного греугольника), следовательно, результирующий вектор напряженности в точке А определяется выражением

Задачи по электротехнике с решениями

Теорема Гаусса

Произведение напряженности электрического поля Е и площадки 5, перпендикулярной к ней, в однородном электрическом поле называют потоком вектора напряженности поля N сквозь эту площадку (рис. 1.6а)

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — нормальная (перпендикулярная площадке Задачи по электротехнике с решениями) составляющая вектора напряженности Задачи по электротехнике с решениями электрического поля.

Как следует из рис. 1.6а, Задачи по электротехнике с решениями

Единица измерения потока вектора напряженности

Задачи по электротехнике с решениями

Для неоднородного электрического поля площадку Задачи по электротехнике с решениями разбивают на элементарные бесконечно малые площадки Задачи по электротехнике с решениями, для каждой из которых поле можно считать однородным.

Тогда элементарный поток Задачи по электротехнике с решениями

Для определения потока вектора напряженности сквозь всю площадку Задачи по электротехнике с решениями элементарные потоки Задачи по электротехнике с решениями суммируют (интегрируют) по всей площади Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Если, например, точечный заряд Q расположен в центре сферической поверхности радиусом Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.66), то напряженность во всех точках этой поверхности, как следует из (1.8), равнаЗадачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Векторы напряженности перпендикулярны этой поверхности, т. е. Задачи по электротехнике с решениями и одинаковы во всех точках этой поверхности. Тогда поток вектора напряженности поля сквозь эту поверхность

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — площадь поверхности шара радиусом Задачи по электротехнике с решениями

Следовательно, поток вектора напряженности будет равен

Задачи по электротехнике с решениями То есть поток вектора напряженности N не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения зарядов внутри нее.

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность определяется отношением суммы зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды Задачи по электротехнике с решениями

Формула (1.11) является математическим выражением теоремы Гаусса, которая применяется для расчета электрического поля.

Пример с решением 1.2

Определить поток вектора напряженности электрического поля сквозь сферическую поверхность радиусом Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.66), заполненную маслом Задачи по электротехнике с решениями, если в ее центре находится точечный электрический заряд Задачи по электротехнике с решениями. Определить напряженность электрического поля на поверхности сферы.

Решение:

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность

Задачи по электротехнике с решениями

Тогда напряженность на поверхности сферы

Задачи по электротехнике с решениями

Напряженность на поверхности сферы можно определить также по формуле (1.8)

Задачи по электротехнике с решениями

То есть результат получился таким же.

Потенциал и напряжение в электрическом поле

Для энергетической характеристики каждой точки электрического поля вводится понятие «потенциал». Обозначается потенциал буквой Задачи по электротехнике с решениями

Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется энергией W, которая затрачивается (или может быть затрачена) полем на перемещение единицы положительного заряда Задачи по электротехнике с решениями из данной точки за пределы поля, если поле создано положительным зарядом, или из-за пределов поля в данную точку, если поле создано отрицательным зарядом (рис. 1.7а).

Задачи по электротехнике с решениямиИз приведенного выше определения следует, что потенциал в точке А равен Задачи по электротехнике с решениями потенциал в точке Задачи по электротехнике с решениями, а потенциал в точке С — Задачи по электротехнике с решениями.

Измеряется потенциал в вольтах

Задачи по электротехнике с решениями

Величина потенциала в каждой точке электрического поля определяется выражением

Задачи по электротехнике с решениями

Потенциал — скалярная величина. Если электрическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке поля определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом.

Так как (рис. 1.7а) Задачи по электротехнике с решениями, то из (1.12) следует, что Задачи по электротехнике с решениямиЗадачи по электротехнике с решениями. если поле создано положительным зарядом.

Если в точку А (рис. 1.7а) электрического поля поместить положительный пробный заряд Задачи по электротехнике с решениями, то под действием сил поля он будет перемещаться из точки А в точку В, а затем в точку С, т. е. в направлении поля. Таким образом, положительный пробный заряд перемешается из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом. Между двумя точками с равными потенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для перемещения заряда между двумя точками электрического поля должна быть разность потенциалов в этих точках.

Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжение U между этими точками

Задачи по электротехнике с решениями

Напряжение между двумя точками электрического поля характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда между этими точками, т. е. Задачи по электротехнике с решениями

Измеряется напряжение в вольтах (В).

Между напряжением и напряженностью в однородном электрическом поле (рис. 1.8) существует зависимость Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

откуда следует

Задачи по электротехнике с решениями

Из (1.13) видно, что напряженность однородного электрического поля определяется отношением напряжения между двумя точками поля к расстоянию между этими точками.

В общем случае для неоднородного электрического поля значение напряженности определяется отношением

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — напряжение между двумя точками поля на одной электрической линии на расстоянии Задачи по электротехнике с решениями между ними.

Единица напряженности электрического поля определяется из выражения (1.13)

Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями

Потенциалы в точках электрического поля могут иметь различные значения. Однако в электрическом поле можно выделить ряд точек с одинаковым потенциалом. Поверхность, проходящая через эти точки, называется равнопотенциальной, или эквипотенциальной.

Равнопотенциальная поверхность любой конфигурации перпендикулярна к линиям электрического поля. Обкладки цилиндрического конденсатора (рис. 1.7 б) и плоского конденсатора (рис. 1.9) имеют одинаковый потенциал по всей площади каждой обкладки и являются равнопотенциальными поверхностями.

Пример с решением 1.3

Для условия примера 1.1 определить потенциал Задачи по электротехнике с решениями в точке А, созданный зарядами Задачи по электротехнике с решениями.

Решение:

Задачи по электротехнике с решениями

Следовательно, алгебраическая сумма потенциалов равна

Задачи по электротехнике с решениями

Пример с решением 1.4

Точечный заряд Задачи по электротехнике с решениями Кл помешен в центре плоского воздушного конденсатора, расстояние между пластинами которого равно 4,5 см. Напряжение между пластинами Задачи по электротехнике с решениями В. Определить напряженность Е электрического поля в точках Задачи по электротехнике с решениями, находящихся на расстоянии 0,5 см справа и слева от заряда Q и лежащих на электрической линии, проходящей через заряд Q (рис. 1.9).

Решение:

Напряженность однородного электрического поля между пластинами конденсатора

Задачи по электротехнике с решениями

Напряженности, созданные зарядом Q в точках Задачи по электротехнике с решениями,

Задачи по электротехнике с решениями

Напряженности, созданные в точках А и В однородным электрическим полем конденсатора и зарядом Задачи по электротехнике с решениями определяются геометрической суммой векторов напряженностей Задачи по электротехнике с решениями.

В точке В векторы напряженностей Задачи по электротехнике с решениями совпадают по направлению, а в точке А векторы Задачи по электротехнике с решениями направлены в противоположные стороны.

Следовательно:

Задачи по электротехнике с решениями

Электропроводность. Проводники

Способность вещества проводить электрический ток называется электропроводностью.

По электропроводности все вещества делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Проводники обладают высокой электропроводностью. Различают проводники первого и второго рода.

К проводникам первого рода относятся все металлы, некоторые сплавы и уголь. В этих проводниках связь между электронами и ядром атома слаба, в результате чего электроны легко покидают пределы атома и становятся свободными. Направленное перемещение свободных электронов и обуславливает электропроводность проводников первого рода. Таким образом, проводники первого рода обладают электронной проводимостью.

К проводникам второго рода относятся электролиты, в которых происходит процесс электролитической диссоциации, разделение молекул на положительные и отрицательные ионы (ионизация). Направленное перемещение ионов обуславливает электропроводность проводников второго рода, т. е. в проводниках второго рода имеет место ионная проводимость.

В проводниках отсутствует электростатическое поле (рис. 1.106). Задачи по электротехнике с решениями

Если проводник поместить в электростатическое поле, то под действием сил этого поля происходит перемещение зарядов в проводнике: положительных — в направлении внешнего поля, отрицательных — в противоположном направлении (рис. 1.10а). Такое разделение зарядов в проводнике под действием внешнего поля называется электростатической индукцией.

Разделенные внутри проводника заряды создают свое электрическое поле, направленное от положительных зарядов к отрицательным, т. е. против внешнего поля (рис. 1.10а).

Очевидно, разделение зарядов в проводнике прекратится тогда, когда напряженность поля разделенных зарядов

Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями

станет равной напряженности внешнего поля в проводнике Задачи по электротехнике с решениями, т. е. Задачи по электротехнике с решениями, а результирующее поле

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, результирующее поле внутри проводника станет равным нулю (рис. 1.10б). На этом принципе работает электростатический экран, защищающий часть пространства от внешних электрических полей (рис. 1.11). Для того чтобы внешние электрические поля не влияли на точность электроизмерения, измерительный прибор помешают внутрь замкнутой проводящей оболочки (экрана), в которой электрическое поле отсутствует (рис. 1.11).

Электропроводность. Диэлектрики

Электропроводность диэлектриков практически равна нулю в силу весьма сильной связи между электронами и ядром атомов диэлектрика.

Задачи по электротехнике с решениями

Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем произойдет поляризация атомов, т. е. смещение разноименных зарядов в самом атоме, но не разделение их (рис. 1.12а). Поляризованный атом (молекула) может рассматриваться как электрический диполь (рис. 1.126), в котором «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов смешаются. Диполь — это система двух разноименных зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга в замкнутом пространстве атома или молекулы.

Электрический диполь — это атом диэлектрика, в котором орбита электрона вытягивается в направлении, противоположном направлению внешнего поля Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.126).

Поляризованные атомы создают свое электрическое поле, напряженность которого направлена против внешнего поля. В результате поляризации результирующее поле внутри диэлектрика ослабляется.

Интенсивность поляризации диэлектрика зависит от его диэлектрической проницаемости (Приложение 2). Чем больше диэлектрическая проницаемость, тем интенсивней поляризация в диэлектрике и тем слабее электрическое поле в нем:

Задачи по электротехнике с решениями

Этим еще раз подтверждается справедливость формулы (1.8)

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, напряженность электрического поля обратно пропорциональна абсолютной диэлектрической проницаемости среды Еа, в которой создастся электрическое поле.

Если диэлектрик поместить в сильное электрическое поле, напряженность которого можно увеличивать, то при каком-то значении напряженности произойдет пробой диэлектрика, при этом электроны отрываются от атома, т. е. происходит ионизация диэлектрика. Таким образом, диэлектрик становится проводником.

Напряженность внешнего поля, при которой происходит пробой диэлектрика, называется пробивной напряженностью диэлектрика.

А напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика, называют напряжением пробоя, или электрической прочностью диэлектрика.

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — пробивное напряжение, т.е. напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика; d — толщина диэлектрика, , называется допустимой напряженностью.

Допустимая напряженность должна быть в несколько раз меньше электрической прочности.

Электропроводность. Полупроводники

К полупроводникам относятся материалы, которые по своим электрическим свойствам занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками.

Широкое применение в полупроводниковой технике получили такие материалы, как германий, кремний, селен, арсенид галлия и др.

Электропроводность и концентрация носителей зарядов в полупроводниках зависит от температуры, освещенности, примесей, степени сжатия и т. д.

Электрическая проводимость полупроводника зависит от рода примесей, имеющихся в основном материале полупроводника, и от технологии изготовления его составных частей.

Различают две основные разновидности электрической проводимости полупроводников — электронную и «дырочную».

Природа электрического тока в полупроводниках с электронной проводимостью та же, что и в проводниках первого рода. Однако так как свободных электронов в единице объема полупроводника во много раз меньше, чем в единице объема металлического проводника, то ток в полупроводнике будет во много раз меньше, чем в металлическом проводнике. В технике электронная проводимость называется проводимостью n-типа (от слова negative — отрицательный).

Полупроводник обладает «дырочной» проводимостью, если атомы его примеси стремятся захватить электроны атомов основного вещества полупроводника, не отдавая своих внешних электронов.

Если атом примеси «отберет» электрон у атома основного вещества, то в последнем образуется свободное место —

Задачи по электротехнике с решениями

«дырка» (рис. 1.13).

Атом полупроводника, потерявший электрон, называют «дыркой». Если «дырка» заполняется электроном, перешедшим из соседнего атома, то она «ликвидируется» и атом становится электронейтральным, а «дырка» смещается на место его атома, потерявшего электрон. Таким образом, если на полупроводник, обладающий «дырочной» проводимостью, действует электрическое поле, то «дырки» будут перемешаться в направлении поля.

Перемещение «дырок» в направлении электрического поля аналогично перемещению положительных электрических зарядов в поле, т. е. электрическому току в полупроводнике.

«Дырочная проводимость» в технике называется p-проводимостью (от слова positive — положительный).

Нельзя строго разграничивать полупроводники по проводимости, так как наряду с «дырочной» проводимостью полупроводник обладает и электронной проводимостью.

Рассмотрим природу полупроводниковой проводимости на примере вентиля, представляющего собой контактное соединение двух проводников, один из которых обладает электронной проводимостью n-типа, а другой — «дырочной» р-типа (рис. 1.14).

Вследствие большой концентрации электронов в полупроводнике типа n по сравнению с полупроводником p-типа, электроны из первого проводника будут проникать во второй. Аналогично происходит проникновение «дырок» в полупроводник n-типа. В результате такого проникновения зарядов в тонком пограничном слое возникают разноименные заряженные слои, между которыми создается электрическое поле, напряженность которого Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.14а, б). Напряженность Задачи по электротехнике с решениями создана контактной разностью потенциалов в пограничном слое двух полупроводников.

Эта напряженность Задачи по электротехнике с решениями образует потенциальный барьер в пограничном слое, препятствующий дальнейшему проникновению зарядов в пограничный слой каждого полупроводника. Напряженность Задачи по электротехнике с решениями направлена против силы, действующей на положительный заряд.

Задачи по электротехнике с решениями Если к полупроводникам, образующим Задачи по электротехнике с решениями-переход, подвести напряжение от постороннего источника с напряжением U, то на границе полупроводников создается электрическое поле с напряженностью Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.14), направление которого зависит от полярности источника.

При прямом включении источника (Задачи по электротехнике с решениями) созданная им напряженность Задачи по электротехнике с решениями направлена против напряженности Задачи по электротехнике с решениями, т. е. ослабляет ее (рис. 1.14а). В результате чего уменьшается противодействие перемещению положительных зарядов в пограничном слое и увеличивается прямой ток в полупроводниках Задачи по электротехнике с решениями.

Если напряженность Задачи по электротехнике с решениями станет равной Задачи по электротехнике с решениями, то противодействие заряженным частицам полупроводника определяется только сопротивлением полупроводника.

При обратном включении источника (Задачи по электротехнике с решениями) созданная им напряженность Задачи по электротехнике с решениями направлена в одном направлении с Задачи по электротехнике с решениями, следовательно, усиливает ее (рис. 1.146). При этом усиливается противодействие положительным зарядам в полупроводнике, в результате чего обратный ток Задачи по электротехнике с решениями в ряде случаев может считаться равным нулю.

1аким образом, контактное соединение двух полупроводников с разными проводимостями (Задачи по электротехнике с решениями) обладает явно выраженной односторонней проводимостью, т. е. является вентилем (см. гл. 19 п. 2).

Односторонняя проводимость, малые габариты и другие свойства полупроводников используются в разнообразных приборах и устройствах (выпрямители, усилители и пр.). Полупроводники являются основным «строительным» материалом современных диодов, транзисторов, фоторезисторов, микропроцессоров и другой электронной техники.

Электрические цепи постоянного тока

Основными элементами электрической цепи являются:

  1. источник электрической энергии;
  2. потребители;
  3. устройства для передачи электрической энергии.

В источниках электрической энергии (генераторах, аккумуляторах, солнечных батареях, термоэлементах и др.) происходит преобразование различных видов энергии в электрическую.

В генераторах в электрическую энергию преобразуется механическая, тепловая, гидро-, атомная и другие виды энергии. В гальванических элементах и аккумуляторах в электрическую энергию преобразуется химическая энергия. Термоэлементы, фотоэлементы, солнечные батареи преобразуют в электрическую тепловую и световую энергию.

В потребителях происходит обратный процесс, т.е. электрическая энергия преобразуется в механическую, тепловую, световую и другие виды энергии.

Устройствами для передачи электрической энергии от источников к потребителям являются линии электропередачи, провода, кабели и другие проводники. Провод представляет собой металлическую проволоку из меди, алюминия или стали, покрытую или не покрытую изолирующим слоем. Изоляция препятствует контакту с токоведущими участками цепей, находящимися под напряжением.

Все основные элементы электрической цепи обладают электрическим сопротивлением.

Кроме основных элементов электрические цепи содержат вспомогательные элементы: предохранители, рубильники, выключатели, переключатели, измерительные приборы (амперметры, вольтметры, счетчики) и др.

Графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов, называется схемой электрической цепи. Все основные и вспомогательные элементы в схемах электрических цепей имеют условные обозначения (Приложение 3). Схема электрической цепи показана на рис. 2.1.

В электрической цепи различают два участка: внутренний и внешний. Источник является внутренним участком электрической цепи. Все остальные элементы относятся к внешнему участку электрической цепи.

Ток в электрической цепи

Задачи по электротехнике с решениями

Электрический ток — это явление упорядоченного (направленного) перемещения заряженных частиц в проводнике под действием электрического поля.

Электрический ток может существовать только в замкнутой электрической цепи (ключ К замкнут — рис. 2.1).

Интенсивность направленного перемещения электрических зарядов в замкнутой электрической цепи характеризует величину тока.

Обозначается величина постоянного тока буквой Задачи по электротехнике с решениями, а переменного —

Задачи по электротехнике с решениями (мгновенное значение). Величина тока Задачи по электротехнике с решениями определяется количеством электричества (зарядов) Q, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени Задачи по электротехнике с решениями:

Задачи по электротехнике с решениями Измеряется ток в амперах, т.е. Задачи по электротехнике с решениями (ампер) — единица измерения тока.

Постоянным называется ток, величина и направление которого не изменяется с течением времени. Постоянный ток Г Задачи по электротехнике с решениямиизображен на графике (рис. 2.2).

За направление тока в замкнутой электрической цепи принимается направление от положительной клеммы источника к его отрицательной клемме по внешнему участку цепи (рис .2.1).

Таким образом, направление тока противоположно направлению перемещения электронов в замкнутой цепи. Ток в цепи направлен так, как перемещались бы положительные заряды.

В неразветвленной электрической цепи (рис. 2.1) ток на всех участках (во всех сечениях) цепи имеет одинаковое значение, в противном случае в какой-либо точке электрической цепи накапливались бы заряды, чего не может быть в замкнутой электрической цепи.

Отношение величины тока в проводнике Задачи по электротехнике с решениями к площади его поперечкого сечения Задачи по электротехнике с решениями характеризует плотность тока в этом проводнике.

Обозначается плотность тока буквой J.

Задачи по электротехнике с решениями

Единицей измерения плотности тока является ампер на квадратный метр

Задачи по электротехнике с решениями

Так как на практике площадь сечения проводов обычно выражают в мм2, то плотность тока выражают Задачи по электротехнике с решениямиПлотность тока — величина векторная. Вектор плотности тока направлен перпендикулярно площади сечения проводника.

Допустимая плотность тока определяет способность проводника определенного сечения выдерживать ту или иную токовую нагрузку. Так, например, допустимая плотность тока для монтажных проводов Задачи по электротехнике с решениями. По допустимой плотности тока определяют сечение проводов коротких линий и проверяют сечение проводов длинных линий, рассчитанных по допустимой потере напряжения. Допустимая плотность тока в проводах из различного материала и различных марок при разных условиях монтажа приводится в справочной литературе (Приложение 11).

ЭДС и напряжение в электрической цепи

Источник электрической энергии осуществляет направленное перемещение электрических зарядов по всей замкнутой цепи (рис. 2.3).Задачи по электротехнике с решениями

Энергия W, которую затрачивает или может затратить источник на перемещение единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи, характеризует электродвижущую силу источника Е (ЭДС):

Задачи по электротехнике с решениями

Из определения следует, что ЭДС является энергетической характеристикой источника тока, а не силовой, как можно было бы решить по названию «электродвижущая сила». Единицей измерения ЭДС является вольт:

Задачи по электротехнике с решениями Энергия, затраченная на перемещение единицы положительного заряда на каком-либо участке замкнутой цепи, характеризует напряжение или падение напряжения на этом участке (внутреннем или внешнем):

Задачи по электротехнике с решениями

Для замкнутой электрической цепи условие равновесия напряжений

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, ЭДС источника (Е) можно рассматривать как сумму падений напряжения на внутреннем (Задачи по электротехнике с решениями) и на внешнем (Задачи по электротехнике с решениями) участках замкнутой цепи (рис. 2.3).

Закон Ома для участка цепи

Закон Ома для участка электрической цепи устанавливает зависимость между током, напряжением и сопротивлением на этом участке цепи.

Направленное перемещение электрических зарядов в проводнике (т.е. электрический ток Задачи по электротехнике с решениями) происходит под действием сил Задачи по электротехнике с решениями

однородного электрического поля (рис. 2.4). Напряженность поля определяется из выражения (1.13)

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — напряжение на участке проводника длиной Задачи по электротехнике с решениями.

Плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности однородного электрического поля, силы которого направленно перемещают в нем заряды:

Задачи по электротехнике с решениями где Задачи по электротехнике с решениями —коэффициент пропорциональности, называемый удельной проводимостью, характеризующий способность проводника проводить электрический ток.

Подставив в выражение (2.4) величину напряженности однородного электрического поля, силы которого перемещают заряды в проводнике, получим

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями —— электрическое сопротивление участка проводника (Задачи по электротехнике с решениями) длиной Задачи по электротехнике с решениями

Тогда Задачи по электротехнике с решениями

Это и есть математическое выражение закона Ома для участка АВ электрической цепи.

Таким образом, ток на участке электрической цепи пропорционален напряжению на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению этого участка.

Закон Ома для участка цепи позволяет определить напряжение На данном участке

Задачи по электротехнике с решениями

а также вычислить сопротивление участка электрической цепи

Задачи по электротехнике с решениями

Выражения (2.6) и (2.7) являются арифметическими следствиями закона Ома, которые широко применяются для расчета электрических цепей.

Электрическое сопротивление

Как уже говорилось, обозначается электрическое сопротивление буквой R. Единицей измерения сопротивления является Ом:

Задачи по электротехнике с решениями

Электрическое сопротивление проводника — это противодействие, которое атомы или молекулы проводника оказывают направленному перемещению зарядов.

Сопротивление Задачи по электротехнике с решениями зависит от длины проводника Задачи по электротехнике с решениями площади поперечного сечения S и материала проводника р:

Задачи по электротехнике с решениями

Где Задачи по электротехнике с решениями удельное сопротивление проводника, зависящее от свойства материала проводника.

Удельное сопротивление Задачи по электротехнике с решениями — это сопротивление проводника из данного материала длиной 1 м площадью поперечного сечения Задачи по электротехнике с решениями при температуре 20 °C. Величина удельного сопротивления некоторых проводников приведена в Приложении 4.

Единицей измерения удельного сопротивления является

Задачи по электротехнике с решениями

поскольку

Задачи по электротехнике с решениями

Однако на практике сечение проводников выражают в мм2. Поэтому Задачи по электротехнике с решениями

Удельное сопротивление проводника определяет область его применения. Так, например, для соединения источника с потребителем применяются металлические провода с малым удельным сопротивлением алюминий, медь. Для обмоток реостатов нагревательных приборов применяются сплавы с большим удельным сопротивлением — нихром, фехраль (при этом уменьшается длина проводника Задачи по электротехнике с решениями).

Величину, обратную сопротивлению, называют проводимостью

Задачи по электротехнике с решениями

Единицей проводимости является сименс

Задачи по электротехнике с решениями

Элементы электрической цепи, характеризующиеся сопротивлением R, называют резистивными, а промышленные изделия, предназначенные для выполнения роли сопротивления электрическому току, называются резисторами. Резисторы бывают регулируемые и нерегулируемые, проволочные и непроволочные пленочные, композиционные и др.

Сопротивление проводников зависит от их температуры.

Сопротивление проводника при любой температуре (с достаточной степенью точности при изменении температуры в пределах Задачи по электротехнике с решениями °C) можно определить выражением

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — сопротивление проводника при конечной температуре Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями — сопротивление проводника при начальной температуре Задачи по электротехнике с решениями, Задачи по электротехнике с решениями температурный коэффициент сопротивления.

Температурный коэффициент сопротивления определяет относительное изменение сопротивления проводника при изменении его температуры на 1 °C. Единицей измерения температурного коэффициента сопротивления является

Задачи по электротехнике с решениями

Для различных проводников температурный коэффициент сопротивления имеет различные значения (Приложение 4).

Для металлических проводников (Приложение 4) температурный коэффициент сопротивления а положителен, т. е. с ростом температуры сопротивление металлических проводников увеличивается (2.9). Объясняется это тем, что при нагревании увеличивается подвижность атомов и молекул металла, а следовательно, и число столкновений с ними электрических зарядов увеличивается. Таким образом, возрастает противодействие направленному перемещению этих зарядов, т. е. увеличивается сопротивление металлического проводника.

Для проводников второго рода (электролитов) и угля температурный коэффициент сопротивления Задачи по электротехнике с решениями отрицателен, т. е. с ростом температуры их сопротивление уменьшается (2.9). Объясняется это тем, что с повышением температуры ослабляются связи между положительно и отрицательно заряженными частицами, что приводит к усилению ионизации, обуславливающей электропроводность, т. е. уменьшается сопротивление электролитов и угля.

Для большинства электролитов Задачи по электротехнике с решениями, а для угля Задачи по электротехнике с решениями.

Температурный коэффициент сопротивления Задачи по электротехнике с решениями проводников определяет их применение. Например, такие сплавы, как константан и манганин, имеют малый температурный коэффициент сопротивления (Приложение 4), т.е. их сопротивление почти не зависит от температуры, поэтому их применяют в качестве материала для изготовления шунтов и добавочных сопротивлений, служащих для расширения пределов измерения амперметров и вольтметров, на точность которых не должна влиять температура.

При понижении температуры некоторых металлов и сплавов до очень низких значений, порядка нескольких градусов Кельвина Задачи по электротехнике с решениями, возникает явление сверхпроводимости.

Сверхпроводником называют проводник, сопротивление которого практически равно нулю.

В сверхпроводнике совершенно не выделяется тепло при прохождении тока, так как электроны при направленном движении не встречают препятствий. В нем невозможно существование магнитного поля.

Следует ожидать широкого применения сверхпроводников в электротехнике в будущем.

Закон Ома для замкнутой цепи

Для замкнутой электрической цепи (рис. 2.5) ЭДС источника, согласно (2.3), можно определить выражением

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями сопротивление источника; R — сопротивление потребителя (сопротивлением проводов пренебрегают).

Из (2.10) следует, что ток в замкнутой цепи равен

Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Выражение (2.11) является математическим выражением закона Ома для замкнутой цепи.

Из (2.10) можно определить напряжение на внешнем участке цепи, т. е. напряжение на клеммах источника U между точками А и В (см. рис. 2.5).

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, напряжение U на клеммах источника электрической энергии меньше, чем ЭДС этого источника (Е) на величину падения напряжения Задачи по электротехнике с решениями на внутреннем сопротивлении источника.

Отсутствие нагрузки — ключ К разомкнут — соответствует режиму холостого хода. При этом Задачи по электротехнике с решениями = 0. Вольтметр (И), подключенный к клеммам источника А и В (рис. 2.5), при отсутствии нагрузки Задачи по электротехнике с решениями показывает ЭДС источника Е

Задачи по электротехнике с решениями

Если же ключ К замкнут Задачи по электротехнике с решениями, то вольтметр покажет напряжение U на клеммах источника, которое меньше ЭДС на величину Задачи по электротехнике с решениямиЗадачи по электротехнике с решениями, равную падению напряжения на внутреннем сопротивлении источника (2.12).

Из (2.12) следует, что с увеличением нагрузки, т. е. с увеличением тока Задачи по электротехнике с решениями, напряжение на клеммах источника уменьшается, что можно показать графически на внешней характеристике источника (рис. 2.6).

Очевидно, чем больше внутреннее сопротивление источника /^, тем меньше будет напряжение на его клеммах при нагрузке Задачи по электротехнике с решениями

Энергия и мощность электрического тока

В замкнутой электрической цепи источник затрачивает электрическую энергию Задачи по электротехнике с решениями на перемещение единицы положительного заряда по всей замкнутой цепи, т.е. на внутреннем и внешнем участках ((2.3) и рис. 2.3).

Задачи по электротехнике с решениями

ЭДС источника определяется выражением Задачи по электротехнике с решениями. Из этого выражения следует, что энергия, затраченная источником, равна

Задачи по электротехнике с решениями

так как Задачи по электротехнике с решениями, что вытекает из определения величины тока Задачи по электротехнике с решениями. Энергия источника расходуется на потребителе (полезная энергия)

Задачи по электротехнике с решениями

и на внутреннем сопротивлении источника (потери)

Задачи по электротехнике с решениями

Потерей энергии в проводах, при незначительной их длине, можно пренебречь.

Из закона сохранения энергии следует

Задачи по электротехнике с решениями

Во всех элементах электрической цепи происходит преобразование энергии (в источниках различные виды энергии преобразуются в электрическую, в потребителях — электрическая в другие Скорость такого преобразования энергии определяет электрическую мощность элементов электрической цепи

Задачи по электротехнике с решениями

Обозначается электрическая мощность буквой Р, а единицей электрической мощности является ватт, другими словами, Задачи по электротехнике с решениями (ватт)

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, мощность источника электрической энергии определяется выражением

Задачи по электротехнике с решениями

Мощность потребителя, т.е. полезная, потребляемая мощность, будет равна

Задачи по электротехнике с решениями

Если воспользоваться законом Ома для участка электрической цепи, то полезную мощность можно определить следующим выражением:

Задачи по электротехнике с решениями

Потери мощности на внутреннем сопротивлении источника

Задачи по электротехнике с решениями

Для любой замкнутой цепи должен сохраняться баланс мощностей

Задачи по электротехнике с решениями

Так как электрическая мощность измеряется в ваттах, то единицей измерения электрической энергии является

Задачи по электротехнике с решениями

Коэффициент полезного действия электрической цепи п определяется отношением полезной мощности (мощности потребителя) ко всей затраченной мощности (мощности источника)

Задачи по электротехнике с решениями

Закон Джоуля — Ленца

В проводах линии передачи электрической энергии, обмоток якорей и полюсов электрических машин, электробытовых приборов и других потребителей происходит преобразование электрической энергии в тепловую.

Ток Задачи по электротехнике с решениями, протекая по проводнику с сопротивлением R, нагревает этот проводник. За время Задачи по электротехнике с решениями в этом проводнике выделяется тепло, количество которого определяется количеством электрической энергии, затраченной в этом проводнике, т. е.

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — количество тепла, выделенного в проводнике, Вт*с.

Приведенная зависимость (2.24) является математическим выражением закона Джоуля — Ленца.

Таким образом, закон Джоуля — Ленца устанавливает зависимость между количеством тепла и электрической энергией: количество тепла, выделенное током в проводнике, пропорционально квадрату тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока по проводнику.

. Количество тепла Q измеряется иногда внесистемной единицей — калорией (количество тепла, необходимое для нагревания 1 г воды на 1 °C). Причем 1 кал = 4,187 Дж, следовательно, 1 Вт*с= 1 Дж = 0,24 кал.

Для определения количества тепла Q в калориях пользуются выражением

Задачи по электротехнике с решениями

Коэффициент 0,24 называют электротермическим эквивалентом, который устанавливает зависимость между электрической и тепловой энергией.

к Например, количество тепла, выделенное в проводнике с сопротивлением А= 24 Ом, по которому проходит ток 7=5 А в течение 2 часов Задачи по электротехнике с решениями составляет:

Задачи по электротехнике с решениями

или

Задачи по электротехнике с решениями

Преобразование электрической энергии в тепловую широко используется в разнообразных электронагревательных приборах. Однако преобразование электрической энергии в тепловую вызывает и непроизводительные расходы энергии в электрических машинах, трансформаторах и других элементах электрической цепи и снижает их КПД.

Режимы работы электрических цепей

В электрической цепи различают активные и пассивные элементы (участки). Активными считаются элементы, в которых преобразование энергии сопровождается возникновением ЭДС (аккумуляторы, генераторы). Пассивными считаются элементы, в которых ЭДС не возникает.

Параметры, характеризующие работу электрической цепи (рис. 2.5) при различных режимах, определяются следующими выражениями.

Ток в замкнутой цепи Задачи по электротехнике с решениями

Напряжение на клеммах источника Задачи по электротехнике с решениями.

Падение напряжения на сопротивлении источника Задачи по электротехнике с решениями

Полезная мощность (мощность потребителя)

Задачи по электротехнике с решениями

Исследуем изменение этих величин при изменении сопротивления R от бесконечности (режим холостого хода) до нуля (режик короткого замыкания).

1. в режиме холостого хода (ключ К разомкнут) Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

2. В режиме короткого замыкания Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, полезная мощность Р при холостом ходе и коротком замыкании равна нулю. Следовательно, при каком-то значении сопротивления R послезная мощность P имеет максимальную величину.

Для определения этого значения определим первую производную полезной мощности по току и приравняем ее к нулю, т.е.

Задачи по электротехнике с решениями

или

Задачи по электротехнике с решениями

Следовательно, максимальная можщность будетпри токе

Задачи по электротехнике с решениями

Максимальная полезная мощность выделяется при

Задачи по электротехнике с решениями

Полезная мощность максимальна, когда сопротивление потребителя R станет равным внутреннему сопротивлению источника Задачи по электротехнике с решениями. Это и есть условие максимальной отдачи мощности источником (2.26)

При максимальной отдаче мощности ток в цепи равен Задачи по электротехнике с решениями, в коэффициент полезного действия.

Задачи по электротехнике с решениями

К 100% КПД цепи приближается в режиме, близком к холостому ходу.

Максимальной отдачи мощности ддобиваются в маломощной аппаратуре: звуковоспроизводящей, радио, магнитофонах и др.

В мощных энергетических установках добиваются максимального КПД.

‘Зависимость напряжений и полезной мощности от нагрузки (тока Задачи по электротехнике с решениями) показана на рис. 2.7. Режим короткого замыкания в Задачи по электротехнике с решениями

электрических установках нежелателен, так как он приводит к большому току (больше номинального), т. е. резкому увеличению выделения епла и выходу из строя аппаратуры. Нормальным (рабочим) называется режим работы цепи, при котором ток, напряжение и мощность не превышают номинальных значений — значений, на которые источник и приемники энергии рассчитаны заводом-изготовителем.

Пример задачи с решением 2.1

К источнику электрической энергии с ЭДС Е= 30 В и внутренним сопротивлением Задачи по электротехнике с решениями=1 Ом подключен резистор R, сопротивление которого можно изменять (рис. 2.5). Определить ток цепи Задачи по электротехнике с решениями, Напряжение на клеммах источника U, мошность потребителя Р, мощность источника Задачи по электротехнике с решениями и КПД цепи Задачи по электротехнике с решениями при следующих значениях сопротивлений резистора Задачи по электротехнике с решениями

Решение:

1. При сопротивлении резистора Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

2. При сопротивлении резистора Задачи по электротехнике с решениями — максимальная отдача мощности)

Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

3. При сопротивлении резистора Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи с решением 2.2

При замкнутом ключе К (рис. 2.8) показания вольтметра 6 В, а амперметра 1,5 А. Если ключ А’разомкнут, то вольтметр покажет 6,6 В. Определить сопротивление потребителя R и внутреннее сопротивление источника Задачи по электротехнике с решениями. Сохранен ли баланс мощностей и каков КПД цепи при замкнутом ключе Задачи по электротехнике с решениями

Решение:

Задачи по электротехнике с решениямиПри разомкнутом ключе К вольтметр показывает величину ЭДС источника Задачи по электротехнике с решениями, а при замкнутом — напряжение на клеммах источника и потребителя Задачи по электротехнике с решениями.

Тогда сопротивление потребителя

Задачи по электротехнике с решениями

а внутреннее сопротивление источника

Задачи по электротехнике с решениями

Баланс мощностей в работающей цели: Задачи по электротехнике с решениями, т.е. Задачи по электротехнике с решениями или 9,9 = 9,9, т.е. баланс мощностей сохранен.

КПД цепи Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи с решением 2.3

Электрический чайник, рассчитанный на напряжение Задачи по электротехнике с решениями В и ток Задачи по электротехнике с решениями, ежедневно работает 7 минут. Какое количество тепла ежедневно выделяет его на1реватель и столько стоит потребляемая чайником энергия за 1 месяц (30 дней), если 1 кВт*ч энергии стоит 63 копейки?

Решение:

Ежедневно энергия, потребляемая чайником, составляет

Задачи по электротехнике с решениями

За 1 месяц чайник потребляет энергии

Задачи по электротехнике с решениями

стоимость которой

Задачи по электротехнике с решениями

Количество тепла, выделяемое ежедневно, равно

Задачи по электротехнике с решениями

Электрические цепи

Электрическая цепь служит для генерирования, преобразования, передачи и распределения электромагнитной энергии и информации. Свое назначение электрическая цепь выполняет при наличии тока и напряжения. Если напряжение, приложенное к цепи, является постоянным и сопротивление цепи меньше бесконечности, в цепи устанавливается постоянный ток.

Реальная простейшая электрическая цепь содержит: источник и приемник электрической энергии, ключ и соединительные провода (рис. 1.1).

Задачи по электротехнике с решениями

Обычно в расчетах реальные элементы заменяют идеальным источником ЭДС с последовательно включенным с ним сопротивлением (схема 1), пытаясь таким образом учесть внутреннее сопротивление прибора.

Задачи по электротехнике с решениями

Связь напряжения и тока на элементе (на любом элементе) называется его вольтамперной характеристикой (ВАХ). Напряжение и ток резистивного элемента связаны законом Ома:

Задачи по электротехнике с решениями где U — напряжение, Задачи по электротехнике с решениями — ток, R — сопротивление резистивного элемента, G — проводимость, величина, обратная сопротивлению (G = 1/R).

  • В электрических цепях происходит преобразование одного вида энергии в другой (например, энергия электрического тока преобразуется в тепловую). Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью. Количественной характеристикой этого процесса является мощность Р, определяемая как:

Задачи по электротехнике с решениями Мощность тепловых потерь на резистивном элементе (Вт):

Задачи по электротехнике с решениями

Законы Кирхгофа установлены экспериментально Густавом Робертом Кирхгофом (1824-1887) в 1845 году.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Задачи по электротехнике с решениями где N — число ветвей подсоединенных к узлу. Принято считать, что токи, втекающие в узел имеют знак «-», вытекающие токи берутся со знаком «+».

Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС и напряжений на пассивных элементах равна нулю. где N — число элементов, входящих в контур. Со знаком «+» берутся слагаемые, соответствующие элементам, на которых падение напряжения или ЭДС и напряжения источников токов совпадают с направлением обхода контура. Направление обхода контура выбирается произвольно.

Задачи по электротехнике с решениями

Правила преобразований

Последовательное соединение резистивных элементов. Через последовательно соединенные элементы (схема 1.2) протекает только один ток, эквивалентное сопротивление при этом будет равно:

Задачи по электротехнике с решениями Для схемы 1.2: Задачи по электротехнике с решениями

При параллельном соединении резистивных элементов эквивалентное сопротивление будет равно:

Задачи по электротехнике с решениями

Преобразование из треугольника в звезду и обратно (схема 1.3):

Задачи по электротехнике с решениями Из треугольника в звезду:

Задачи по электротехнике с решениями

Из звезды в треугольник:

Задачи по электротехнике с решениями

Правило распределения (разброса) тока в двух параллельных ветвях. В параллельных ветвях используется для определения токов пассивных ветвей. Применение правила разброса покажем для цепи на схеме 1.4.

Задачи по электротехнике с решениями Если известен ток, втекающий в общий узел, то токи каждой из ветвей вычисляются согласно приведенным ниже формулам:

Задачи по электротехнике с решениями

Примеры расчета простых цепей

Пример задачи 1.1.

В схеме 1.5 определить эквивалентное сопротивление, если Задачи по электротехнике с решениями

Решение:

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены параллельно. После преобразования:

Задачи по электротехнике с решениями

Затем соединим сопротивления Задачи по электротехнике с решениями последовательно:

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 1.2.

В схеме 1.6 определить эквивалентное сопротивление, если Задачи по электротехнике с решениями

Решение:

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:

Задачи по электротехнике с решениями После преобразования схема достаточно быстро упрощается (схема 1.7).

Задачи по электротехнике с решениями Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединим последовательно Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями складываем параллельно

Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями складываем последовательно и получаем окончательный результат: Задачи по электротехнике с решениями

Метод контурных токов

Данный метод является следствием законов Кирхгофа. Метод контурных токов (МКТ) позволяет значительно упростить расчет электрических цепей за счет уменьшения порядка системы уравнений. В методе вводятся фиктивные контурные токи, протекающие в независимых контурах.

Порядок расчета по МКТ:

1. Вводятся контурные токи Задачи по электротехнике с решениями где к — количество независимых контуров. Число контурных токов определяется как Задачи по электротехнике с решениями.

2. Для каждого из контурных токов записываются контурные уравнения, имеющие следующий вид:

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями контурный ток А-го контура; Задачи по электротехнике с решениями — собственное сопротивление

А’-го контура (сумма всех сопротивлений, входящих в контур); Задачи по электротехнике с решениями — сопротивления, входящие одновременно в соседние контуры к и т; 1тт -контурный ток для контура Задачи по электротехнике с решениями — сумма источников ЭДС, входящий в контур к.

Перед слагаемым Задачи по электротехнике с решениями берется знак «+», если на соответствующем сопротивлении направления токов Задачи по электротехнике с решениями совпадают, знак «-» в противоположном случае. Знак перед источником напряжением источника ЭДС «+», если направление тока и напряжения совпадает, знак «-», если не совпадают.

3. Решаются контурные уравнения, находятся контурные токи.

4. Токи ветвей определяются, как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих в соответствующих ветвях.

Пример задачи 1.4.

Для цепи постоянного тока на схеме 1.9 определить токи ветвей по методу контурных токов.

Решение:

Определим число фиктивных контурных токов:

Задачи по электротехнике с решениями

Три контурных тока обозначим как:

Составим систему уравнений:

Задачи по электротехнике с решениями Решая систему уравнений, находим контурные токи Задачи по электротехнике с решениями

Тогда искомые токи ветвей: 1 и 5

Метод межузлового напряжения

Этот метод применятся, когда в цепи лишь два узла. Рассмотрим метод на примере двухконтурной схемы.

Пример задачи 1.5.

Дана схема 1.10 с двумя узлами, определим межузловое напряжение Задачи по электротехнике с решениями.

Решение:

Записываем I закон Кирхгофа: Задачи по электротехнике с решениями

Тогда токи ветвей будут следующими:

Задачи по электротехнике с решениями Подставляем найденные выражения для токов в I закон Кирхгофа: Задачи по электротехнике с решениями

тогда Задачи по электротехнике с решениями

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора применяется в цепях, когда необходимо определить ток в какой-нибудь одной ветви.

Согласно МЭГ цепь, относительно ветви с искомым током, представляется активным двухполюсником (эквивалентным генератором) с источником ЭДС или тока. Определяются параметры эквивалентного генератора: Задачи по электротехнике с решениями в пассивном двухполюснике. Искомый ток Задачи по электротехнике с решениями определяется по формуле Тевенена-Гельмгольца:

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 1.6.

Определим ток /2 в схеме 1.10 по МЭГ.

Решение:

Определим Задачи по электротехнике с решениями обойдя контур против часовой стрелки по второму закону Кирхгофа: Задачи по электротехнике с решениями.

Теперь определим внутреннее сопротивление генератора относительно зажимов «аЬ»

Задачи по электротехнике с решениями Внутреннее сопротивление генератора будет равно Задачи по электротехнике с решениями,. Ток ветви определяем по формуле: Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Примеры расчета сложных цепей различными методами

Пример задачи 1.7.

В схеме 1.11 определить токи всех ветвей методом уравнений Кирхгофа.

Решение:

Расставим направление токов в ветвях заданной схемы и выберем направления обхода контура.

Задачи по электротехнике с решениями В схеме количество узлов Задачи по электротехнике с решениями и число ветвей Задачи по электротехнике с решениями. Значит по 1-му закону Кирхгофа необходимо составить Задачи по электротехнике с решениями уравнения, для любых трех узлов составляем уравнения (втекающие в узел токи возьмем со знаком «-», вытекающие со знаком «+»):

Задачи по электротехнике с решениями

По 2 закону Кирхгофа составим Задачи по электротехнике с решениями В нашей схеме 4 независимых контура, значит по 2 закону Кирхгофа необходимо составить 4 уравнения:

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 1.8.

В схеме 1.11 сделать преобразование до двух контуров. Задачи по электротехнике с решениями

Решение:

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:

Задачи по электротехнике с решениями Тогда

Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены последовательно, сложим их и получим сопротивление Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены в треугольник, преобразуем его в звезду:

Задачи по электротехнике с решениями Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены последовательно, сложим их в одно Задачи по электротехнике с решениями сопротивления Задачи по электротехнике с решениями и Задачи по электротехнике с решениями соединены тоже последовательно, сложим их в одно Задачи по электротехнике с решениями . Получили схему с двумя контурами.

Однофазные цепи переменного тока

Основные понятия

Если значения тока, напряжения или ЭДС изменяются со временем, то они называются переменными. Каждое из этих значений в любой момент времени называется мгновенным. Для гармонического (синусоидального, переменного) тока и напряжения закон Ома выполняется для средних, мгновенных и действующих значений:

Задачи по электротехнике с решениями

Здесь Задачи по электротехнике с решениями — мгновенные значения напряжения и тока, Задачи по электротехнике с решениями— амплитуды напряжения и тока, Задачи по электротехнике с решениями— начальная фаза напряжения и тока, Задачи по электротехнике с решениями — угловая частота колебаний.

Действующее значение синусоидального тока (напряжения) равно значению постоянного тока (напряжения), при котором на резистивном элементе за время равное периоду выделяется такое же количество тепловой энергии, что и при переменном токе (напряжении). Таким образом, действующее значение характеризует тепловое действие переменного тока.

При токе Задачи по электротехнике с решениями мощность тепловых потерь на резистивном элементе следующим образом:

Задачи по электротехнике с решениями

и выделяемая за период энергия

Задачи по электротехнике с решениями

Постоянным током за это же время выделяется энергия:

Задачи по электротехнике с решениями

Приравнивая уравнения эти два уравнения, получаем действующее значение тока:

Задачи по электротехнике с решениями

Аналогично можно доказать что действующее значение напряжения Задачи по электротехнике с решениями

Учитывая, что Задачи по электротехнике с решениями синусоидальные функции тока и напряжения можем записать с использованием действующих значений следующим образом:

Задачи по электротехнике с решениями

Представление синусоидальных величин комплексными числами

Синусоидальные величины — ток, напряжение и ЭДС могут быть представлены в виде комплексных чисел.

Если радиус длиной Задачи по электротехнике с решениями вращать против часовой стрелки с постоянной угловой частотой Задачи по электротехнике с решениями, то его проекция на ось ординат будет соответствовать синусоидальной функции Задачи по электротехнике с решениями. Изобразим синусоидальную функцию в виде вращающегося радиус-вектора (рис.2.1)

Задачи по электротехнике с решениями Перенесем радиус-вектор из декартовой системы координат на плоскость комплексных чисел (рис.2.2).

Длина этого вектора равна действующему значению синусоидальной величины:

Задачи по электротехнике с решениями

называется комплексом действующего значения функции. Здесь Задачи по электротехнике с решениями мнимая единица, Задачи по электротехнике с решениями — модуль, Задачи по электротехнике с решениями — аргумент комплексного числа.

Задачи по электротехнике с решениями

Существует 3 формы записи комплексного значения синусоидальной функции:

Все три формы записи комплексного числа являются равнозначными.

Таким образом

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями— мнимая составляющая вращающегося радиус-вектора.

При решении задач возникает необходимость перехода от алгебраической к показательной форме, и наоборот.

Преобразование показательной формы в алгебраическую’.

Задачи по электротехнике с решениями, где Задачи по электротехнике с решениями — действительная часть комплексного числа, Задачи по электротехнике с решениями — мнимая часть комплексного числа.

Преобразование алгебраической формы в показательную’.

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — модуль, Задачи по электротехнике с решениями — аргумент, причем 180° учитывается при а < 0.

Пример 2.1

(представление гармонической функции комплексным числом):

Задачи по электротехнике с решениями

Пример 2.2 (перевод из показательной формы в алгебраическую):

Задачи по электротехнике с решениями

Пример 2.3 (перевод из алгебраической в показательную форму):

Задачи по электротехнике с решениями

Пример 2.4 (переход от комплексной амплитуды к гармонической функции):

Задачи по электротехнике с решениями

Арифметические операции с комплексными числами

1. Сложение и вычитание (выполняется в алгебраической форме) Если число представлено в показательной форме, то его надо перевести в алгебраическую форму

Задачи по электротехнике с решениями

При выполнении сложения (вычитания) складываются отдельно действительные и мнимые части комплексных чисел.

Пример 2.5 (сложение):

Задачи по электротехнике с решениями

2. Умножение (выполняется в показательной форме)

Если число представлено в алгебраической форме, то его надо перевести в показательную форму

Задачи по электротехнике с решениями

Умножение в алгебраической форме выполняется по правилам умножения многочленов, с учетом того, что Задачи по электротехнике с решениями.

Пример 2.6 (умножение):

Задачи по электротехнике с решениями

3. Деление (выполняется в показательной форме)

Если число представлено в алгебраической форме, то его надо перевести в показательную форму

Задачи по электротехнике с решениями

Пример 2.7 (деление):

Задачи по электротехнике с решениями

4. Возведение в степень (выполняется в показательной форме)

Задачи по электротехнике с решениями

5. Некоторые соотношения

Задачи по электротехнике с решениями

Основные законы в комплексной форме

Запись закона Ома в комплексной форме выполняется для комплексных амплитуд или комплексов действующих значений

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — сопротивление приемника, Задачи по электротехнике с решениями — комплексное сопротивление приемника, размерность Ом.

Комплексное сопротивление резистивного элемента: Задачи по электротехнике с решениями , следовательно Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями На комплексной плоскости вектор напряжения резистивного элемента совпадает по направлению с вектором своего тока (рис. 2.3).

Комплексное сопротивление индуктивного элемента:

Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями — реактивное сопротивление индуктивного элемента, Ом.

Если у индуктивного элемента имеется активное сопротивление (т.е. учитывается сопротивление катушки постоянному току) тогда: Задачи по электротехнике с решениями

На комплексной плоскости вектор напряжения индуктивного элемента опережает по направлению вектор своего тока на 90° (рис. 2.4).

Задачи по электротехнике с решениями

Комплексное сопротивление емкостного элемента:

Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями реактивное сопротивление индуктивного элемента, Ом.

На комплексной плоскости вектор напряжения емкостного элемента отстает по направлению вектор своего тока на 90° (рис. 2.5).

Задачи по электротехнике с решениями

Рис. 2.5. Вектора напряжения и тока емкостного элемента

Законы Кирхгофа записываются в комплексной форме, если в цепь включены источники синусоидальных токов или ЭДС одинаковой частоты.

I закон Кирхгофа: Для каждого из узлов комплексной схемы замещения алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов (комплексов действующих значений) равна нулю.

Математическая запись закона:

Задачи по электротехнике с решениями

здесь А — число ветвей, сходящихся в узле.

II закон Кирхгофа: Для любого контура комплексной схемы замещения алгебраическая сумма комплексов падения напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме комплексов ЭДС и напряжений источников тока.

Математическая запись закона:

Задачи по электротехнике с решениями

здесь n -число пассивных элементов контура, сходящихся в узле; Задачи по электротехнике с решениями -число ЭДС контура.

Пример задачи 2.8.

В схеме 2.1 рассчитать комплексные сопротивления элементов (круговая частота Задачи по электротехнике с решениями = 314 рад/с), Задачи по электротехнике с решениями =20Ом, Задачи по электротехнике с решениями=40 Ом, Задачи по электротехнике с решениями = 64 мГн, Задачи по электротехнике с решениями= 128 мГн, Задачи по электротехнике с решениями = 159 мкФ .

Решение:

В схеме определим комплексные сопротивления элементов:

Задачи по электротехнике с решениями

Упростим схему, за счет сложения последовательно соединенных сопротивлений.Задачи по электротехнике с решениями

Теперь можно сложить параллельно соединенные сопротивления

Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены последовательно:

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 2.9.

В схеме 2.2 известно Задачи по электротехнике с решениями, Задачи по электротехнике с решениями В. Определить токи ветвей.

Решение:

Определим эквивалентное сопротивление. Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены параллельно, a Задачи по электротехнике с решениями соединены последовательно:

Задачи по электротехнике с решениями

Находим входной ток Задачи по электротехнике с решениями по закону Ома:

Задачи по электротехнике с решениями

Ток Задачи по электротехнике с решениями определим по правилу разброса (правилу параллельных ветвей):

Задачи по электротехнике с решениями

Ток Задачи по электротехнике с решениями определим по I закону Кирхгофа:

Задачи по электротехнике с решениями

Резонанс

Резонанс — это такой режим работы электрической цепи, включающей индуктивные и емкостные элементы, при котором входной ток совпадает по фазе с входным напряжением.

Различают резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений наблюдается в цепях при последовательном включении емкостных и индуктивных элементов (рис. 2.6).

Задачи по электротехнике с решениями Пусть ток и напряжение задаются гармоническими источниками, т.е.

Задачи по электротехнике с решениями

Комплексная схема замещения — это схема замещения, на которой указаны комплексные амплитуды (комплексы действующих значений) источников энергии и комплексные сопротивления приемников. На рис. 2.7 представлена комплексная схема замещения схемы рис. 2.6.Задачи по электротехнике с решениями

Комплексы входного напряжения и тока Задачи по электротехнике с решениями входное сопротивление цепи (рис. 2.7)

Задачи по электротехнике с решениями

Здесь Задачи по электротехнике с решениями — модуль входного сопротивления, Задачи по электротехнике с решениями — фазовый сдвиг. По определению в режиме резонанса Задачи по электротехнике с решениями, откуда получаем Задачи по электротехнике с решениями

Входное комплексное сопротивление цепи является чисто активным. Уравнение Задачи по электротехнике с решениями выражает условие резонанса напряжений.

Определим входное сопротивление как последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов (рис.2.7) Задачи по электротехнике с решениями

Используя условие резонанса напряжений: Задачи по электротехнике с решениями получаем, что Задачи по электротехнике с решениями Отсюда резонансная частота определяется как Задачи по электротехнике с решениями. Векторная диаграмма при Задачи по электротехнике с решениями показана на рис. 2.8.

Задачи по электротехнике с решениями Резонанс токов возникает в цепях при параллельном соединении емкостных и индуктивных элементов, например, в цепи, представленной на рис. 2.9.

Задачи по электротехнике с решениями

Токи в ветвях находятся по закону Ома:

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями эквивалентные комплексные проводимости ветвей.

Входной ток цепи определяется по I закону Кирхгофа:

Задачи по электротехнике с решениями

Общее определение резонанса не изменяется, т.е. входной ток должен совпадать по фазе с входным напряжением.

Определим комплекс входной проводимости цепи:

Задачи по электротехнике с решениями

здесь Задачи по электротехнике с решениями — активная проводимость цепи, Задачи по электротехнике с решениями — реактивная проводимость цепи.

Условием резонанса токов в этом случае будет равенство нулю мнимой части полученного выражения, т.е. Задачи по электротехнике с решениями либо

Задачи по электротехнике с решениями При этом резонансная частота определяется по формуле:

Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, резонанс токов возможно получить изменением частоты, емкости или индуктивности, также как и резонанс напряжений.

Так как реактивная проводимость в режиме резонанса токов равна нулю, то входная проводимость цепи Задачи по электротехнике с решениями будет минимальна, следовательно, входной ток будет минимальным. Векторная диаграмма для рассматриваемого контура при Задачи по электротехнике с решениями представлена на рис. 2.10.

Задачи по электротехнике с решениями х.э. мощность однофазной цепи

Если зажимы пассивного двухполюсника (рис.2.11) подключить к источнику переменного напряжения и токаЗадачи по электротехнике с решениями

Пусть Задачи по электротехнике с решениями, то мгновенное значение мощности

Задачи по электротехнике с решениями

Мощность колеблется с угловой частотой Задачи по электротехнике с решениями в пределах от 0 до Задачи по электротехнике с решениями

Активная мощность и обозначается буквой Р:

Задачи по электротехнике с решениями

Реактивная мощность Задачи по электротехнике с решениями равна максимальной скорости поступления энергии в магнитное поле:

Задачи по электротехнике с решениями

Полная мощность 5 — это произведение действующих значений напряжения U и тока I:

Задачи по электротехнике с решениями

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности cЗадачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 2.10.

Для комплексных изображений Задачи по электротехнике с решениями, Задачи по электротехнике с решениями определить активную Р, реактивную Задачи по электротехнике с решениями и полную мощности S.

Тогда комплекс полной мощности цепи запишется в виде:

Задачи по электротехнике с решениями где Задачи по электротехнике с решениями — сопряженный комплекс тока.

Для мощностей можно построить треугольник мощностей рис. 2.12.

Задачи по электротехнике с решениями Из него следуют соотношения:

Задачи по электротехнике с решениями

Для цепи синусоидального тока, так же как и для цепи постоянного тока, можно составить баланс мощностей: сумма всех активных мощностей приемников равна сумме активных мощностей источников:

Задачи по электротехнике с решениями

аналогично и для реактивных мощностей:

Задачи по электротехнике с решениями

Если в схеме имеется несколько источников ЭДС и источников тока, то вырабатываемая полная мощность определяется в виде

Задачи по электротехнике с решениями

Относительная погрешность расчетов:

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 2.11.

Для схемы 2.3 определить полную, активную и реактивную мощности, если Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями Расчет ведем в комплексной форме Задачи по электротехнике с решениями‘B. Определим комплекс входного сопротивления цепи:

Задачи по электротехнике с решениями

Комплекс действующего значения тока найдем по закону Ома:

Задачи по электротехнике с решениями

Активная мощность: Задачи по электротехнике с решениями

Реактивная мощность: Задачи по электротехнике с решениями

Тогда полная мощность: Задачи по электротехнике с решениями

Проверка:

Задачи по электротехнике с решениями

Трехфазные цепи

Общие сведения

Многофазной системой называется совокупность цепей, включающих источники ЭДС, работающие на одинаковой частоте, фазы которых смещены на одинаковый угол.

Каждую из цепей, образующих систему, называют фазой. Частный случай многофазной цепи — это трехфазная цепь. Число источников в трехфазной цепи равно трем.

Многофазная цепь является симметричной по питанию, если источники ЭДС имеют одинаковые действующие значения напряжений.

По сравнению с обычными электрическими цепями, трехфазные цепи имеют ряд преимуществ.

1. Экономичность. Ниже мы покажем, что так называемые обратные провода цепи можно объединить в один провод, за счет этого сокращается количество проводников.

2. Возможность получения вращающегося магнитного поля. С использованием этого свойства строятся асинхронные электрические двигатели.

Для получения трехфазного напряжения в постоянное магнитное поле помещают три катушки индуктивности (обмотки генератора), оси которых расположены под углом 120° относительно друг друга. Под воздействием приложенной механической энергии катушки (они называются ротором генератора) вращаются. Изменяется магнитный поток, связанный с витками катушек, и, согласно закону электромагнитной индукции, на зажимах катушек появляется напряжение.

Постоянное магнитное поле образуют магниты, они называются статором. Отметим, что в реальных генераторах вращающейся частью является магнит, за счет этого проще снимать напряжение с обмоток.

Расположение катушек с относительным углом 120° обеспечивает одинаковый фазовый сдвиг напряжения источников, который также равен 120°. Изменение напряжения в фазах определяется выражениями:

Задачи по электротехнике с решениями

Графики изменения фазного напряжения образуют так называемую волновую диаграмму, которая приведена на рис. 3.1.

Задачи по электротехнике с решениями Очередность, в которой фазные напряжения достигают максимальных значений, называется порядком чередования фаз. В рассматриваемой системе порядок чередования АВС. Это прямой порядок чередования. Обратный порядок — АСВ.

Комплексные амплитуды фазных ЭДС могут быть записаны как:

Задачи по электротехнике с решениями

Используя эти уравнения, можем построить векторную диаграмму напряжений источников питания имеющих одинаковые амплитуды (рис. 3.2).

Задачи по электротехнике с решениями На диаграмме виден порядок чередования фаз и относительный сдвиг фазных ЭДС. Также можем видеть, что комплексная амплитуда любого из источников может быть получена при повороте на угол ±120° амплитуды любого другого источника. Выполнение поворота соответствует умножению комплексной амплитуды на фазный оператор а, определяемый следующими формулами:

Задачи по электротехнике с решениями

С использованием фазного оператора значения комплексных амплитуд записываются как:

Задачи по электротехнике с решениями

Отметим, что векторная сумма фазных ЭДС равна нулю

Задачи по электротехнике с решениями

Это свойство будет использовано в дальнейшем.

Вспомним, что трехфазная цепь образуется вращением в магнитном поле трех катушек индуктивности. Учитывая это, изобразим электрическую схему цепи (рис. 3.3).

Задачи по электротехнике с решениями На рисунке введены следующие обозначения:

А, В, С — «начала» фаз питания,

X, У, Z — «концы» фаз питания,

А`,В`, С- «начала» фаз нагрузки,

Х`, У’, Z’ — «концы» фаз нагрузки.

А-А` В-В` С-С’ — прямые (линейные) провода, т.е. провода, ведущие от источника к потребителю,

Х-Х` У-У’, Z-Z’ — обратные провода. Это провода, ведущие от потребителя к источнику.

Обычно, обратные провода соединяют в один провод, за счет этого достигается экономия проводников. Полученный в результате соединения проводник называют нулевым проводом.

Комплексная схема замещения трехфазной цепи показана на рис. 3.4, но это, конечно, частный случай. Цепи, встречающиеся в задачах электротехники и на практике, могут иметь более сложную конфигурацию.

Задачи по электротехнике с решениями На схеме указаны линейные токи Задачи по электротехнике с решениями. Это токи, протекающие в линейных проводах. При данной конфигурации цепи эти же токи протекают в фазах нагрузки. Для выбранной цепи линейные токи равны фазным токам. Задачи по электротехнике с решениями — фазные напряжения, Задачи по электротехнике с решениями — линейные напряжения, Задачи по электротехнике с решениями — ток нулевого повода.

Симметричная трехфазная цепь

Симметричной называется трехфазная цепь, у которой сопротивления фаз нагрузки являются одинаковыми: Задачи по электротехнике с решениями Из закона

  • Ома следует, что в этом случае линейные токи равны между собой по модулюЗадачи по электротехнике с решениями

Используя I закон Кирхгофа определим ток нулевого провода: Задачи по электротехнике с решениями

Здесь использовано приведенное выше соотношение Задачи по электротехнике с решениями Равенство нулю тока Задачи по электротехнике с решениями означает, что при выполне-

нии расчетов в симметричной трехфазной цепи нулевой провод можно добавлять или убирать в случаях, когда это необходимо.

  • Из II закона Кирхгофа, записанного для симметричной цепи, следует что Задачи по электротехнике с решениями. Эти равенства легко можно получить при наличии нулевого провода.

Определим теперь линейные напряжения цепи:

Задачи по электротехнике с решениями

Из полученных уравнений вытекает известная и широко используемая связь между линейными и фазными напряжениями для симметричной цепи:

Задачи по электротехнике с решениями

Ниже приведена векторная диаграмма для цепи, помещенной на рис. 3.5.

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 3.1.

Дана цепь, приведенная на рис. 3.6, где известны значения фазных ЭДС Задачи по электротехнике с решениями и величины сопротивлений нагрузки Задачи по электротехнике с решениями. Определить токи всех ветвей для данной схемы.

Решение:

Сопротивления нагрузки цепи соединены «треугольником». Преобразуем их в «звезду»: ZЗадачи по электротехнике с решениями. Вводим нулевой провод, это возможно выполнить, потому что цепь симметричная.

Полученная в результате преобразований схема показана ниже.

Задачи по электротехнике с решениями Произвольно выбираем одну из фаз и выполняем для нее расчет токов на основе законов Ома и Кирхгофа.

Задачи по электротехнике с решениями Токи в выбранной фазе находятся следующим образом:

Задачи по электротехнике с решениями

Токи в остальных фазах определяются умножением найденных величин на оператор а.

Задачи по электротехнике с решениями

Для определения токов треугольника находим линейные напряжения

Задачи по электротехнике с решениями

Теперь токи треугольника могут быть вычислены на основе закона Ома

Задачи по электротехнике с решениями

Пример задачи 3.2.

Дана симметричная цепь (рис. 3.7), где известны значения фазных ЭДС Задачи по электротехнике с решениями, В, Задачи по электротехнике с решениями, В и величины сопротивлений нагрузки Задачи по электротехнике с решениями. Рассчитать в комплексной форме токи в ветвях и напряжения на элементах цепи. Расчет рекомендуется проводить на одну фазу. Построить векторную диаграмму.

Решение:

Расчет симметричной части приемника будем вести на одну фазу А, для этого преобразуем схему.

Задачи по электротехнике с решениями

Для расчета подготовим данные:

1. переведем ЭДС в показательную форму

Задачи по электротехнике с решениями

2. индуктивное сопротивление Задачи по электротехнике с решениями

3. емкостное сопротивление

Задачи по электротехнике с решениями

Комплексная схема замещения исходной цепи будет:

Задачи по электротехнике с решениями Полное комплексное сопротивление цепи

Задачи по электротехнике с решениями

Тогда ток Задачи по электротехнике с решениями (в этой цепи найдем по закону Ома:

Задачи по электротехнике с решениями

С помощью фазового оператора определим токи в фазах В и С:

Задачи по электротехнике с решениями

Рассчитаем напряжения фазы А на элементах цепи:

1. напряжение на резистивном элементе

Задачи по электротехнике с решениями

2. напряжение на индуктивном элементе

Задачи по электротехнике с решениями

3. напряжение на емкостном элементе

Задачи по электротехнике с решениями

4. напряжение фазы А на приемнике

Задачи по электротехнике с решениями

С помощью фазового оператора рассчитаем напряжения в фазе В:

Задачи по электротехнике с решениями

С помощью фазового оператора рассчитаем напряжения в фазе С:

Задачи по электротехнике с решениями

Векторная диаграмма для симметричного режима будет следующей:

Задачи по электротехнике с решениями

Расчет электрических цепей постоянного тока. Основные определения и законы

Электрическим током называется упорядоченное направленное движение электрических зарядов.

Сила тока (i) численно равна заряду (Задачи по электротехнике с решениями),проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени.

Задачи по электротехнике с решениями

Если сила тока не изменяется с течением времени, то такой ток называется постоянным.

Сила тока в таком случае обозначается I:

Задачи по электротехнике с решениями

За положительное направление силы тока принимается направление движения положительных зарядов.

Закон ома

На участке проводника длиной Задачи по электротехнике с решениями ограниченном сечениями «а» и «в», величина силы тока I, направленная от сечения с большим потенциалом Задачи по электротехнике с решениями к сечению с меньшим потенциалом Задачи по электротехнике с решениями. прямо пропорциональна разносит потенциалов Задачи по электротехнике с решениями и обратно пропорциональна сопротивлению (R)этого участка:

Задачи по электротехнике с решениями где R — сопротивление проводника, Ом. Задачи по электротехнике с решениями — разность потенциалов, которая называется напряжением, В.

В сопротивлениях направление напряжения совпадает с направлением тока

Сопротивление однородного проводника постоянного сечения определяется по формуле:

Задачи по электротехнике с решениями

где р — удельное сопротивление материала проводника Ом м, I -длина проводника, м; s — площадь поперечного сечения, Задачи по электротехнике с решениями.

Часто при электротехнических расчётах пользуются понятием проводимости (д),которая определяется величиной, обратной сопротивлению:

Задачи по электротехнике с решениями

Проводимость измеряется в сименсах [см].

С использованием проводимости закон Ома запишется:

Задачи по электротехнике с решениями

Согласно закону Джоуля-Ленца,при протекании электрического тока (I) по сопротивлению (R) в последнем за время (t) выделяется энергия в виде тепла (А):

Задачи по электротехнике с решениями

Мощность (Р).выделяющаяся в сопротивлении (R):

Задачи по электротехнике с решениями

Мощность электрического тока измеряется в Ваттах [Вт], работа в Джоулях [Дж].

Законы кирхгофа

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

Задачи по электротехнике с решениями

Этот закон является следствием того факта, что в узлах электрической цепи не происходит накапливания зарядов. Для того, чтобы написать уравнение по первому закону Кирхгофа для какого-либо узла, например рис. 1.1,необходимо выбрать направление токов в ветвях, сходящихся в этом узле. Токи, направленные к узлу, записываются в уравнении со знаком «+», а направленные от узла со знаком «-».

Задачи по электротехнике с решениями

Для узла, показанного на рис. 1.1, по первому закону Кирхгофа уравнение выглядит:

Задачи по электротехнике с решениями

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил (ЭДС) источников этого контура.

В общем виде для произвольного контура уравнение по второму закону Кирхгофа:

Задачи по электротехнике с решениями

Для того чтобы записать уравнение по второму закону Кирхгофа для выбранного контура, например рис. 1.2, необходимо задаться направлениями токов в ветвях этого контура, а также выбрать направление обхода этого контура.

Задачи по электротехнике с решениями

После этого, в левой части уравнения, составляемого по второму закону Кирхгофа, со знаком «+» записываются произведения токов, направление которых совпадает с направлением обхода контура, на сопротивление тех же ветвей, т е падения напряжения Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями, а со знаком «-» падения напряжения, не совпадающие с направлением обхода контура. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в этот контур, причем ЭДС, совпадающие с направлением обхода, входят в уравнение со знаком «+», а направленные против выбранного направления обхода контура — со знаком «-».

Для контура, приведённого на рис. 1.2, уравнение по 2-му закону Кирхгофа запишется следующим образом

Задачи по электротехнике с решениями

Рассмотренные три закона — закон Ома и законы Кирхгофа -являются основными законами, на основе которых построены все методы расчёта линейных электрических цепей

  • Теоретические основы электротехники

Эквивалентные схемы источников электрической энергии

Реальные источники электрической энергии обладают вполне определённой зависимостью между напряжением и силой тока-вольт-амперными характеристиками.

Вольт-амперная характеристика является основной характеристикой любого источника электрической энергии и в общем случае представляет собой некоторую кривую в координатах U-I (рис. 1-3)

Задачи по электротехнике с решениями

Однако, довольно часто, вольт-амперная характеристика источника практически прямолинейна, т.е, имеет вид рис. 1.4 (линия 1).

Такая характеристика пересекает координатные оси в двух точках Задачи по электротехнике с решениями и её уравнение имеет вид:

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — внутреннее сопротивление источника.

Если источник энергии работает в режиме, при котором его сила тока равна нулю (такой режим называется режимом холостого хода), то напряжение на его зажимах будет численно равно ЭДС Задачи по электротехнике с решениями.

Режим, при котором напряжение на зажимах источника равно нулю, называется режимом короткого замыкания. Из уравнения (1.13) следует, что в этом случае, сила тока источника приобретает максимальное значение и равна:

Задачи по электротехнике с решениями

Используя понятие проводимости Задачи по электротехнике с решениями (внутренняя проводимость источника), уравнение (1.13) можно представить в виде

Задачи по электротехнике с решениями

В соответствии с уравнениями (1.13) и (1.15) можно составить эквивалентные схемы реального источника энергии, используя понятия источника ЭДС и источника тока.

Величина напряжения идеального источника ЭДС не зависит от силы тока, т.е. его вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию, проходящую параллельно оси тока (линия 2, рис. 1.4) Схема замещения реального источника энергии, согласно уравнению (1.3), имеет вид, приведенный на рис. 1.5.

Задачи по электротехнике с решениями

В соответствии с уравнениями (1.15) можно составить другую схему замещения реального источника, показанную на рис 1 6. В этой схеме применяется идеализированный источник тока, сила тока которого не зависит от напряжения.

Вольт-амперная характеристика источника тока представляет собой линию, параллельную оси напряжения (линия 3. рис. 1.4) Для того, чтобы вольт-амперные характеристики источников энергии, собранных по схемам (рис. 1.5 и рис. 1.6),были одинаковы, параметры этих источников должны удовлетворять условиям

Задачи по электротехнике с решениями

При соблюдении этих условий источники энергии (рис 1.5 и рис. 1.6) будут эквивалентны в расчётном смысле относительно внешней цепи.

Мощность, отдаваемая источником ЭДС равна:

Задачи по электротехнике с решениями

Мощность источника тока определяется по формуле:

Задачи по электротехнике с решениями

Поэтому мощности, выделяемые источником тока и источником ЭДС при работе источников электрической энергии, собранных по схемам (рис. 1.5 и рис. 16), в одном и том же режиме, не будут одинаковы.

Расчёт простейших электрических цепей

При решении многих задач, в которых известны сопротивления всех резисторов и ЭДС всех источников, а также их схема соединения, целесообразно для определения токов во всех элементах производить упрощение схемы соединений. Упрощение заключается в замене заданной схемы на эквивалентную путём уменьшения количества входящих в неё элементов.

Последовательным называется такое соединение, когда конец предыдущего элемента соединяется с началом последующего и сила тока во всех последовательно соединённых элементах одна и та же (рис. 1.7).

Задачи по электротехнике с решениями

Входящие в электрическую цепь резисторы Задачи по электротехнике с решениями, можно заменить на один Задачи по электротехнике с решениями, причём полученная цепь будет эквива-

лентна предыдущей, если сопротивление Задачи по электротехнике с решениями определяется по формуле:

Задачи по электротехнике с решениями

То есть общее сопротивление последовательно соединённых резисторов равно сумме сопротивлений отдельных элементов

Параллельным соединением резисторов называется соединение, при котором начала всех резисторов, соединены в одном узле, а концы — в другом. Схема такого соединения приведена на рис. 1.8.

Задачи по электротехнике с решениями

Параллельное соединение «n» резисторов также может быть заменено одним эквивалентным, при условии, что величина эквивалентного сопротивления Задачи по электротехнике с решениями определяется по формуле:

Задачи по электротехнике с решениями

или, переходя к проводимостям элементов, получим:

Задачи по электротехнике с решениями

То есть общая проводимость параллельно соединённых резисторов равна сумме проводимостей каждой из ветвей электрической цепи.

Большое практическое значение имеет случай параллельного соединения двух резисторов с сопротивлением Задачи по электротехнике с решениями. Эквивалентное сопротивление такого соединения определяется по формуле:

Задачи по электротехнике с решениями

Расчёт смешанного соединения резисторов

В электрических схемах наиболее часто приходится иметь дело со смешанным соединением резисторов, т.е. когда два параллельно соединённых резистора последовательно соединяются с третьим Схема такого соединения приведена на рис 1.9

Для определения общего сопротивления этого соединения сначала находим общее сопротивление параллельно соединённых резисторов Задачи по электротехнике с решениями (согласно формуле 1.21):

Задачи по электротехнике с решениями

а так как оно последовательно соединено с резистором Задачи по электротехнике с решениями (рис 1.10),то общее сопротивление всей схемы

Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Если известно напряжение на входе схемы и требуется найти токи в ветвях Задачи по электротехнике с решениями то, зная общее сопротивление, по закону Ома находим ток (рис. 1.11):

Задачи по электротехнике с решениями

Возвращаясь от схемы (рис. 1.11) к схеме (рис. 1.10), отмечаем, что общее сопротивление Задачи по электротехнике с решениями эквивалентно двум последовательным резисторам Задачи по электротехнике с решениями а, следовательно:

Задачи по электротехнике с решениями

Зная ток Задачи по электротехнике с решениями, ясно напряжение Задачи по электротехнике с решениями между точками «а» и «в»

Задачи по электротехнике с решениями

а, переходя от схемы (рис. 1.10) к исходной (рис. 1.9), нетрудно найти токи Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Проверка правильности выполненного расчёта может быть произведена на основании уравнений, записанных по первому и второму закону Кирхгофа:

Задачи по электротехнике с решениями

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот

Решение некоторых задач значительно упрощается, если использовать эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду или наоборот — звезды сопротивлений в треугольник.

Часть электрической цепи, состоящая из трёх сопротивлений и образующая замкнутый контур, называется соединением треугольником (рис. 1.12).

Три сопротивления, сходящиеся в одной точке, называются соединёнными звездой (рис. 1.13).

Задачи по электротехнике с решениями

Как звезда, так и треугольник включаются в электрическую цепь тремя точками (1, 2, 3) и могут замещать друг друга (на рис.

1.12 и 1.13 показано пунктиром).

Эквивалентность преобразования звезды в треугольник и наоборот предполагает, что токи в узлах 1, 2, 3 и напряжения между ними до и после преобразования должны остаться неизменными, те.

Задачи по электротехнике с решениями

Эти условия выполняются, если использовать известные формулы преобразования:

Задачи по электротехнике с решениями Если треугольник симметричный, т е. Задачи по электротехнике с решениями. то сопротивления

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — сопротивление луча симметричной звезды, Задачи по электротехнике с решениями — сопротивление стороны симметричного треугольника.

Задача с решением 1

Определить токи в сопротивлениях схемы (рис 1.14) и показания вольтметра

Задачи по электротехнике с решениями

Напряжение на входе U = 240 В

Задачи по электротехнике с решениями

РЕШЕНИЕ

Непосредственно определить токи в ветвях схемы невозможно, так как неизвестно распределение напряжения на её отдельных участках. Поэтому путём постепенного упрощения схемы (с учётом того, что сопротивление вольтметраЗадачи по электротехнике с решениями) найдём эквивалентное сопротивление схемы.

Задачи по электротехнике с решениями Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены последовательно следовательно, согласно (118), их можно заменить на эквивалентное Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями

Вместо исходной схемы (рис. 1.14) получаем эквивалентную (рис. 1.15)

В полученной схеме (рис. 1.15) сопротивления Задачи по электротехнике с решениями включены параллельно, следовательно, согласно (формуле 1.19 или, в данном случае, формуле 1.21) их эквивалентное сопротивление Задачи по электротехнике с решениями определяется, как

Задачи по электротехнике с решениями

а схема (рис. 1 15) может быть заменена на схему (рис 1.16).

Задачи по электротехнике с решениями Анализируя получающиеся схемы аналогичным образом, определяем эквивалентное сопротивление исходной схемы:

Задачи по электротехнике с решениями соединены последовательно

Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями соединены параллельно

Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями — соединены последовательно, поэтому

Задачи по электротехнике с решениями

Ток источника электрической энергии, потребляемый схемой определяем по закону Ома:

Задачи по электротехнике с решениями

Последовательно осуществляя переход от конечной схемы (рис. 1.19) к первоначальной схеме (рис. 1.14),определяем токи во всех сопротивлениях.

Так, например, анализируя схемы рис. 1.19 и рис 1.18, приходим к выводу, что токи Задачи по электротехнике с решениями ,поскольку сопротивления Задачи по электротехнике с решениями и Задачи по электротехнике с решениями — соединены последовательно.

Сопротивление Задачи по электротехнике с решениями согласно рис. 1.17 представляет два параллельно соединённых Задачи по электротехнике с решениями

Поэтому, определим напряжение

Задачи по электротехнике с решениями

Токи в параллельных ветвях Задачи по электротехнике с решениями:

Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивление Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.17) — эквивалентное двум последовательно соединённым Задачи по электротехнике с решениями (рис 1.16),следовательно

Задачи по электротехнике с решениями

Из рис. 1.16 и рис. 1.15 следует, что Задачи по электротехнике с решениями — эквивалентное сопротивление параллельно соединённых Задачи по электротехнике с решениями Поэтому

Задачи по электротехнике с решениями

Из рис 1.15 и рис. 1.14: Задачи по электротехнике с решениями — последовательное соединение Задачи по электротехнике с решениями и Задачи по электротехнике с решениями Следовательно. Задачи по электротехнике с решениями

Показания вольтметра определим из решения уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для любого контура, включающего вольтметр.

Например, для контура 1-2-3-V:

Задачи по электротехнике с решениями

В качестве проверки правильности решения задачи составим уравнение для контура, включающего источник питания U:

Задачи по электротехнике с решениями

Показания вольтметра в обоих случаях одинаковые, следовательно, задача решена верно.

Задача с решением 2

В схеме неуравновешенного моста (рис. 1 20) определить токи во всех ветвях схемы, если

Задачи по электротехнике с решениями

РЕШЕНИЕ

В этой цепи можно различить два треугольника (АВД и ВСД) и две звезды Задачи по электротехнике с решениями.

Для решения этой цепи по законам Кирхгофа пришлось бы составлять и решать систему из шести уравнений с шестью неизвестными. В то же время решение значительно упрощается, если треугольник АВД заменить эквивалентной звездой (пунктир на рис 1.20).

При этом получится цепь со смешанным соединением сопротивлений, которая легко решается с помощью закона Ома (рис. 1.21)

Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивления эквивалентной звезды Задачи по электротехнике с решениями согласно формуле 1.22, равны

Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивление Задачи по электротехнике с решениями соединены последовательно, поэтому Задачи по электротехнике с решениями

Аналогично Задачи по электротехнике с решениями Сопротивления Задачи по электротехнике с решениями соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление

Задачи по электротехнике с решениями

Сопротивление всей цепи

Задачи по электротехнике с решениями

Ток цепи Задачи по электротехнике с решениями

Напряжение Задачи по электротехнике с решениями

Токи Задачи по электротехнике с решениями

Для определения токов Задачи по электротехнике с решениями необходимо вернуться к исходной схеме (рис 1.20) и по второму закону Кирхгофа записать уравнение для контура ВСД:

Задачи по электротехнике с решениями

Откуда Задачи по электротехнике с решениями

По первому закону Кирхгофа, для узла:

Задачи по электротехнике с решениями

Эти страницы вам могут пригодиться:

  1. Ответы на тесты по электротехнике
  2. Законы электротехники
  3. Лабораторные по электротехнике
  4. Контрольная по электротехнике
  5. Рефераты по электротехнике
  6. Вопросы по электротехнике
  7. ТОЭ задачи с решением и примерами
  8. ТОЭ лэти угату мэи
  9. Темы по электротехнике

Примеры решения задач по электротехнике (ТОЭ)

Задача 1

Для трех заданных схем электрических цепей (рис. 1.1—Г.З) показать распределение тока и напряжения, за-писать уравнения по законам Кирхгофа и баланса мощностей, обосновать виды цепей по методам их анализа.

Решение:

1. Элементы электрической цепи. Все рассматриваемые цепи содержат два вида устройств: во-первых, источники энергии — аккумуляторы, генераторы (активные элементы) и, во-вторых, потребители энергии — сопротивления (пассивные элементы). Кроме того, в двух цепях (рис. 1.1 и 1.2) включены вспомогательные устройства — ключи К, из которых один (рис. 1.1) работает на включение, а другой (рис. 1.2) — на размыкание. При анализе цепей будем считать оба ключа замкнутыми.

Источники энергии изображены различно — в соответствии с принятыми обозначениями аккумулятора (рис. 1.1) и генератора постоянного тока. (рис. 1.2). Кроме указанных конкретных реальных источников приведено изображение произвольного источника ЭДС (рис. 1.3), используемое в схемах замещения (см. доп. вопрос 5 к этой задаче).

2. Участки электрической цепи. Показанные на рис. 1.1 и 1.2 цепи содержат два принципиально различных участка: внутренний—источник энергии

и внешний — вся остальная цепь, т. е. потребители или приемники энергии. Такое деление на участки («внутренний» и «внешний») применимо только к цепям с одним источником энергии.

Однако используется и другое (более широкое) представление об участке цепи (без добавления «внутренний»

Задачи по электротехнике с решениями

Рис. 1.1. Неразветвленная цепь с Рис. 1.2. Разветвленная цепь с дву-одним источником и несколькими мя узлами и тремя ветвями потребителями

или «внешний»), которым обозначают любую часть цепи. Так, сопротивления Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.1) совместно образуют участок ВЖ, сопротивления Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.2)—участок ВАБ и т.д.

3. Распределение тока. Первый закон Кирхгофа. Ток во всякой электрической цепи и в любомЗадачи по электротехнике с решениями ее участке характеризуется значением и направлением.

В цепи рис. 1.1 существует один путь для тока: от вывода «+» источника по направлению движения часовой стрелки. На этом пути ток не изменяется, поэтому он обозначен одинаково ветвями J на всех участках цепи. Такая цепь называется неразветвленной— ток «не разветвляется» (не делится на части).

В цепи рис. 1.2 создаваемый ЭДС Е ток Задачи по электротехнике с решениями (в неразветвленной части цепи БГВА) разделяется в узловой точке А на две части Задачи по электротехнике с решениями, так как имеются два пути для тока — через сопротивления Задачи по электротехнике с решениями Известно (первый закон Кирхгофа):

Задачи по электротехнике с решениями

Такая цепь называется разветвленной. Она характеризуется числом узлов (точек разделения тока) и числом ветвей (участков с одним значением тока). Данная цепь (рис. 1.2) имеет два узла (точки А и Б) и три ветви с токами Задачи по электротехнике с решениями.

На практике встречаются цепи и с большим числом узлов и ветвей.

Третья заданная цепь (рис. 1.3) также является разветвленной, но в отличие от предыдущей (рис. 1.2) содержит несколько источников энергии, включенных в разные ветви. В такой цепи не представляется возможным заранее (до расчета) установить направления токов. Действительно, ЭДС Задачи по электротехнике с решениями задает токам направление по часовой стрелке, а ЭДС Задачи по электротехнике с решениями — обратное.

Разветвленные цепи с несколькими источниками питания, включенными в разные ветви, часто называют сложными. В таких цепях направления токов ветвей вначале (до расчета значений токов) выбирают произвольно, что и сделано на рис. 1.3. Затем (после анализа цепи) направления токов уточняются.

Заметим, что в сложной цепи задают только направления токов, так как число токов (различных по значению) известно. Оно равно числу ветвей. Например, в рассматриваемой цепи—три ветви и соответственно три тока: Задачи по электротехнике с решениями. Эти токи выбраны одинаково направленными (к узлу А), поэтому по первому закону Кирхгофа имеем

Задачи по электротехнике с решениями

Очевидно, что все токи не могут притекать к узлу. Хотя бы один из них должен отходить от узла. Поэтому направления токов, выбранные на рис. 1.3 произвольно, будут скорректированы после расчета цепи.

4. Виды цепей и методы их анализа. Расчет неразветвленной цепи (первый вид) можно выполнить, используя закон Ома. Так, в нашем случае (рис. 1.1) при заданной ЭДС и сопротивлениях цепи определяем вначале ток:

Задачи по электротехнике с решениями

а затем падения напряжений на сопротивлениях:

Задачи по электротехнике с решениями

Второй вид цепи (разветвленная с одним источником энергии) сводится при расчете к первому (к неразветвленной цепи) путем упрощения схемы, выполняемого заменой сопротивлений, соединенных последовательно и парал-

лельно, эквивалентными. Например, цепь рис. 1.2 после замены в ней параллельно соединенных Задачи по электротехнике с решениями одним эквивалентным сопротивлением

Задачи по электротехнике с решениями

окажется неразветвленной, что позволяет для тока h записать уравнение по закону Ома, аналогичное (1.3), а именно:

Задачи по электротехнике с решениями

Сложные цепи (третий вид) отличаются тем, что их схемы нельзя упростить и свести к одноконтурным путем замены последовательно и параллельно соединенных сопротивлений эквивалентными. В этом легко убедиться на примере цепи (рис. 1.3), в которой вовсе отсутствуют названные соединения сопротивлений.

Такие цепи обычно анализируют без преобразования схемы. Методы их анализа рассмотрены в гл. 4. Один из них — метод уравнений Кирхгофа—кратко пояснен в этом параграфе (п. 5).

Итак, метод расчета цепи зависит от вида ее электрической схемы, с анализа которой и следует начинать решение задачи. В самом общем виде можно выделить три типа цепей (с точки зрения метода их анализа): не разветвленную, разветвленную с одним источником и разветвленную с несколькими источниками, включенными в разные ветви. Названные виды цепей рассматриваются в гл. 2-4.

5. Второй закон Кирхгофа. Распределение напряжения. Прежде всего вспомним правило знаков при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Электродвижущая сила записывается со знаком плюс, если выбранное направление обхода контура совпадает с ее направлением. Падение напряжения на сопротивлении записывается со знаком плюс, если направление тока в рассматриваемом сопротивлении совпадает с направлением обхода контура.

В соответствии с этими правилами для контура ЖАБВГДЖ (рис. 1.1) при его обходе по направлению движения часовой стрелки имеем

Задачи по электротехнике с решениями

где Задачи по электротехнике с решениями — падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника энергии.

Уравнение (1.6), составленное на основании второго закона Кирхгофа, совпадает с полученным выше уравнением (1.3), записанным по закону Ома, и характеризует распределение напряжений в цепи (рис. 1.1).

Чтобы применить второй закон Кирхгофа к сложной цепи (рис. 1.3), нужно прежде всего выделить отдельные замкнутые контуры, например ВГАБВ и БАЖДБ, и затем выбрать направление обхода этих контуров, например по часовой стрелке.

При этом.для первого из выбранных контуров алгебраическая сумма Задачи по электротехнике с решениями действует по направлению обхода контура, а Задачи по электротехнике с решениями — встречно ему.

Для этого же контура алгебраическая сумма напряжений (падений напряжений на сопротивлениях) Задачи по электротехнике с решениямиЗадачи по электротехнике с решениями, так как ток Задачи по электротехнике с решениями совпадает с направлением обхода, а ток Задачи по электротехнике с решениями имеет противоположное направление.

По второму закону Кирхгофа алгебраические суммы ЭДС Задачи по электротехнике с решениями и напряжений Задачи по электротехнике с решениями равны, поэтому имеем

Задачи по электротехнике с решениями

Для второго выбранного контура уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид

Задачи по электротехнике с решениями

т.е. аналогично (1.7).

Рассматривая (1.2), (1.7) и (1.8) как систему уравнений, можно определить три неизвестные величины, например токи Задачи по электротехнике с решениями (при заданных ЭДС и сопротивлениях). Такой метод расчета сложных цепей рассмотрен в гл. 4.

6. Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что мощность, развиваемая источником, равна сумме мощностей потребителей, т. е. имеет место баланс мощностей. Составим его для двух цепей (рис. 1.1 и 1.3).

В первой из них действует один источник энергии, развивающий мощность Задачи по электротехнике с решениями. Часть этой мощности

Задачи по электротехнике с решениями теряется внутри источника, а остальная Задачи по электротехнике с решениями Задачи по электротехнике с решениями поступает во внешнюю цепь и распределяется в сопротивлениях Задачи по электротехнике с решениями соответственно.

При этом имеем условие баланса мощностей

Задачи по электротехнике с решениями

В другой (сложной) цепи —три источника энергии. Их общая мощность

Задачи по электротехнике с решениями

распределяется только в сопротивлениях Задачи по электротехнике с решениями (внутренние сопротивления источников по условию задачи не учитываются). Поэтому

Задачи по электротехнике с решениями

выражает условие баланса мощностей в данной цепи.

Задача 2

Генератор постоянного тока с ЭДС E — 230 В и внутренним сопротивлением Задачи по электротехнике с решениями = 0,2 Ом питает производственный объект, на котором установлены электрические двигатели и электрические печи. Число работающих потребителей энергии различно в разные часы и смены. В таких условиях ток в цепи генератора изменяется в широких пределах.

Составить схему замещения цепи, определить предельные режимы генератора, построить зависимости тока, мощностей источника и приемника и КПД генератора от отношения сопротивления нагрузки к внутреннему сопротивлению Задачи по электротехнике с решениями.

Решение:

Г. Источник ЭДС. В этой задаче, как и во всех предыдущих, используется источник энергии, характеризующийся ЭДС и внутренним сопротивлением. Такой источник энергии называется источником ЭДС. Его электрическая схема (рис. 1.5, показана пунктиром) является схемой замещения заданного генератора и может быть присоединена вместо него к точкам А и Б (рис. 1.5).

Как было показано (§ 1.1), ЭДС источника обеспечивает ток в цепи и энергию в потребителях, а внутреннее сопротивление характеризует потери энергии в самом Задачи по электротехнике с решениямиисточнике. Чтобы обеспечить малые потери энергии в источнике, его внутреннее сопротивление выбирают много меньшим, чем сопротивление внещнего участка цепи.

Этому условию удовлетворяет большинство источников энергии, используемых на практике (аккумуляторы, генераторы и др.).

В практических условиях часто представляется возможным пренебречь сравнительно малым внутренним сопротивлением источника. Такие источники (без внутреннего сопротивления) являются идеальными источниками ЭДС. В практических условиях их иногда называют источниками заданного напряжения.

Итак, источник ЭДС практически можно считать источником заданного напряжения.

2. Составление электрической схемы. В предыдущем параграфе (доп. вопрос 5) было показано, что электрические схемы являются схемами замещения реальных цепей. При этом сопротивления цепи могут быть рассмотрены как эквиваленты каких-то потребителей.

Однако в этой задаче (в отличие от предыдущей) изменяются режим работы потребителей и ток в цепи источника энергии..Как составить схему замещения в таком случае?

Реальный объект можно заменить на схеме переменным сопротивлением R (рис. 1.5), обеспечивающим изменение тока I в цепи в тех же пределах, что и в реальных условиях.

При заданных ЭДС Е и внутреннем сопротивлении генератора /?Пт напряжение на выводах А и Б (рис. 1.5) Задачи по электротехнике с решениями зависит только от тока. Поэтому достаточно установить переменным сопротивлением Я (рис. 1.5) значение тока, соответствующее реальным условиям, чтобы получить значения напряжения U и мощности Задачи по электротехнике с решениями, одинаковые для эквивалентной схемы’ и производственного объекта.

Полученная схема рис. 1.5, так же как и приведенная на рис. 1.1,— неразветвленная с одним источником энергии. Метод расчета такой цепи рассматривался в § 1.1, им и воспользуемся.

3. Режимы цепи при переменной нагрузке.

В цепи с изменяющимся в широких пределах сопротивлением внешнего участка можно установить два предельных режима: холостой ход, когда Задачи по электротехнике с решениями (цепь разомкнута), ток Задачи по электротехнике с решениями и напряжение Задачи по электротехнике с решениями короткое замыкание при Задачи по электротехнике с решениями, возникающее в большинстве случаев при авариях, например при случайном замыкании выводов А и Б.

В режиме короткого замыкания ток в цепи Задачи по электротехнике с решениями и мощность, развиваемая источником Задачи по электротехнике с решениями, достигают максимальных значений.

Так, при заданных параметрах цепи Задачи по электротехнике с решениями = 230/0,2 = = 1150 Задачи по электротехнике с решениями=230 • 1150 — 26,45 кВт. Напряжение на выводах цепи Задачи по электротехнике с решениями=0, и мощность потребителя Задачи по электротехнике с решениями.=Задачи по электротехнике с решениями Поэтому вся мощность источника Задачи по электротехнике с решениями рассеивается на его внутреннем-сопротивлении и в соединительных проводах, имеющих, хотя и малое, • сопротивление. В результате могут перегреться провода или выйти из строя генератор.

Оба режима, очевидно, являются крайними случаями нагрузки источника. Для практических целей интересно также исследовать промежуточные режимы цепи, зависящие от соотношения сопротивлений Задачи по электротехнике с решениями. Рассмотрим эти режимы для отношения Задачи по электротехнике с решениями, изменяющегося в пределах от 0 до 10, что соответствует в наших условиях (при Задачи по электротехнике с решениями=0,2 Ом) изменению Р от 0 до 2 Ом.

4. Определение зависимости 7Задачи по электротехнике с решениями. В рассматриваемой цепи ток

Задачи по электротехнике с решениями

По этому уравнению на рис. 1.6 построен график тока по точкам, вычисленным для нескольких значений отношения Задачи по электротехнике с решениями или R (табл. 1.1).

Задачи по электротехнике с решениями 5. Определение зависимости Задачи по электротехнике с решениями. Поскольку мощность, развиваемая источником, пропорциональна току Задачи по электротехнике с решениями, то кривая тока, построен-

Задачи по электротехнике с решениями

ная в другом масштабе по оси ординат, изображает график мощности (правая ордината рис. 1.6).

6. Определение, зависимости Задачи по электротехнике с решениями. По значениям тока I и сопротивления R (табл. 1.1) вычисляем мощность потребителя Задачи по электротехнике с решениями (табл. 1.2) и строим кривую Задачи по электротехнике с решениями

Оказывается, что режим наибольшей мощности во внешней цепи Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.6) получается при Задачи по электротехнике с решениями (теоретически это положение доказано в доп. вопросе 3 к этой задаче).

Задачи по электротехнике с решениями 7. Определение КПД:

Задачи по электротехнике с решениями

Вычислим КПД для характерных режимов:

Задачи по электротехнике с решениями

Из полученных результатов следует два вывода.

Во-первых, с увеличением отношения Задачи по электротехнике с решениями возрастает КПД, который достигает максимального значения (100 %) теоретически в режиме холостого хода. При этом, однако, никакой полезной работы не производится, так как и мощность потребителя, и мощность источника равны нулю.

Во-вторых, при Задачи по электротехнике с решениями КПД составляет только 50 %; хотя источник и отдает во внешнюю цепь наибольшую мощность, такая же мощность теряется во внутреннем сопротивлении.

Задача 3

Источник тока Задачи по электротехнике с решениями с собственной (внутренней) проводимостью Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.7) присоединен к переменному сопротивлению R, значение которого изЗадачи по электротехнике с решениямименяется от нуля до бесконечности (обрывается цепь). Определить напряжение источника (i^)J П(?м=/- и о тока, развиваемую им мощность и мощность внешней цепи для трех режимов нагрузки: I Источник тока холостого хода Задачи по электротехнике с решениями короткого замыкания Задачи по электротехнике с решениямиЗадачи по электротехнике с решениямии номинального с источником тока Задачи по электротехнике с решениями, а также составить схему эквивалентного источника ЭДС и найти ес параметры.

Решение:

1. Источник тока. В некоторых областях техники (электронике, радиотехнике, приборостроении) применяются источники энергии с большими внутренними сопротивлениями Задачи по электротехнике с решениями. Цепи с этими источниками нередко работают в режиме, при котором сопротивление нагрузки источника Задачи по электротехнике с решениями

При таком условии и заданной ЭДС Е ток источника Задачи по электротехнике с решениями практически не зависит от сопротивления внешнего участка Задачи по электротехнике с решениями. Это требование Задачи по электротехнике с решениямиЗадачи по электротехнике с решениями абсолютно реализуется для любых нагрузок Задачи по электротехнике с решениями при условии, что Задачи по электротехнике с решениями т.е. в идеальном случае. Такие источники энергии в теории цепей называют источниками тока.

Очевидно, что для идеального источника тока, т.е. такого, который развивает строго неизменный ток при любых нагрузках, невозможен режим холостого хода, так как при этом и сопротивление нагрузки Задачи по электротехнике с решениями

Таким образом, идеализированный источник энергии, у которого бесконечно внутреннее сопротивление, обеспечивает одинаковый ток в любой нагрузке и является идеальным источником тока.

Идеальный источник тока обозначается на схемах кружочком с двойной стрелкой внутри (рис. 1.7), показывающей направление тока. Введением двойной стрелки подчеркивается, что внутреннее сопротивление равно бесконечности (разрыв).

Всякий реальный источник имеет внутренние потери энергии, характеризуемые его внутренним сопротивлением. В источнике напряжения, как известно (§ 1.2), внутреннее сопротивление включается последовательно с его ЭДС. Аналогичное включение для источника тока означало бы последовательное соединение бесконечного сопротивления идеального источника и конечного внутреннего сопротивления потерь, что не имеет смысла. Поэтому в реальную схему источника тока вводят параллельную его выводам ветвь (рис. 1.7) внутреннего сопротивления Задачи по электротехнике с решениями или внутренней проводимости Задачи по электротехнике с решениями

Внутренняя проводимость Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.7) учитывает все причины изменения внешнего тока 1 при нагрузке источника тока. Напряжение на источнике тока определяется как произведение тока источника и общего сопротивления внешнего участка цепи.

Итак, источник электрической энергии, характеризующийся током J и внутренней проводимостью Задачи по электротехнике с решениями, называется. источником тока.

2. Режимы цепи при переменной нагрузке. При холостом ходе сопротивление внешнего участка Задачи по электротехнике с решениями

Задачи по электротехнике с решениями (обрыв ветви с сопротивлением R). В этих условиях ток во внутренней проводимости источника

Задачи по электротехнике с решениями

напряжение на его выводах А и Б (рис. 1.7)

Задачи по электротехнике с решениями мощность, развиваемая источником,

Задачи по электротехнике с решениями

и в нагрузке

Задачи по электротехнике с решениями

При другом предельном режиме (коротком замыкании) сопротивление внешнего участка цепи Задачи по электротехнике с решениями ее ток Задачи по электротехнике с решениями, так как во внутренней проводимости ток отсутствует Задачи по электротехнике с решениями. При этом напряжение источника Задачи по электротехнике с решениями; его мощность Задачи по электротехнике с решениями

Очевидно, что и мощность в нагрузке равна нулю. Таким образом, источник тока в отличие от источника ЭДС развивает в режиме холостого хода максимальную мощность, а в режиме короткого замыкания — минимальную (равную нулю).

При заданной (по условию задачи) номинальной нагрузке, определяемой сопротивлением Задачи по электротехнике с решениями Ом или проводимостью Задачи по электротехнике с решениями См, общая проводимость участка АБ

Задачи по электротехнике с решениями

По закону Ома напряжение источника

Задачи по электротехнике с решениями

Ток во внешнем участке цепи.

Задачи по электротехнике с решениями

Мощность источника в номинальном (рабочем) режиме Задачи по электротехнике с решениями

значительно меньше, чем в режиме холостого хода.

Мощность в нагрузке

Задачи по электротехнике с решениями

3. Эквивалентная схема с источником ЭДС. Доказано, что источник тока с параметрами 7

и Задачи по электротехнике с решениями и источник ЭДС с параметрами Е и Задачи по электротехнике с решениями эквивалентны при условиях

Задачи по электротехнике с решениями

Используя эти формулы, получаем при наших данных параметры эквивалентного источника ЭДС:

Задачи по электротехнике с решениямиЗадачи по электротехнике с решениями

В результате цепь рис. 1.7 может быть представлена эквивалентной схемой рис. 1.8

В целях проверки вычислений определим ток I и напряжение U в эквивалентной схеме рис. 1.8 для номинального режима Задачи по электротехнике с решениями:

Задачи по электротехнике с решениями

Получен Тот же результат.

Задача 4

Цепь рис. 1.9, питаемая от источника напряжением Задачи по электротехнике с решениями = 20 В, имеет переменное сопротивление Задачи по электротехнике с решениями регулируемое от 0 до 500 Ом. При Задачи по электротехнике с решениями = 0 токи ветвей Задачи по электротехнике с решениями =40 мА. Для контроля напряжений и токов включены

Задачи по электротехнике с решениями вольтметры и амперметры (их собственным потреблением энергии можно пренебречь).

Требуется: а) выбрать резисторы по значению сопротивления (при допустимой погрешности ±10%), а также по допустимой мощности рассеивания; б) выбрать реостат — переменное сопротивление Задачи по электротехнике с решениями в) составить схему соединений (монтажную схему), используя заданное (рис. 1.10) расположение элементов и приборов (соединительные провода, показанные на рис. 1.10, не учитывать).

Решение:

1. Выбор резисторов. Любой резистор характеризуется двумя основными параметрами — сопротивлением и допустимой мощностью рассеивания. Важны.м качественным показателем является также точность значения сопротивления резистора, задаваемая предельным допустимым отклонением (в процентах) от номинального значения.

Для указанной (в условии задачи) допустимой погрешности значения сопротивления ±10% промышленность изготовляет резисторы с номинальными значениями сопротивлений, Ом: 1,0; 1,2; 1,8; 2,2; 2,7; 3,3; 3,9; 4,7; 5,6; 6,8; 8,2 и т.д. с увеличением в 10, 100, 1000 и т. д. раз.

Для определения номинальных значений сопротивлений Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.9) воспользуемся законом Ома. Действительно, в заданном режиме (Задачи по электротехнике с решениями = 0) падение напряжения на участке АВ цепи отсутствует (сопротивление амперметра и соединительных проводов принято считать равным нулю) и соответственно напряжение на резисторах (Задачи по электротехнике с решениями=20 В.

Токи в резисторах Задачи по электротехнике с решениями для рассматриваемого режима также известны (заданы по условию задачи).

Соответственно при наших данных имеем

Задачи по электротехнике с решениями

Так как промышленность не изготовляет резисторы (по приведенному выше ряду) на 2 кОм и 0,5 кОм, то полученные значения Задачи по электротехнике с решениями реализуются несколькими резисторами («составное» сопротивление) (см. доп. вопрос I к этой задаче).

Имея значения сопротивлений, находим мощности рассеивания:

Задачи по электротехнике с решениями

Однако резисторы изготовляются не на любые значения мощности, а только на определенные: 0,25, 0,5; 1,0 Вт и др. Как же в таком случае поступить?

Чтобы избежать превышения температуры резистора, следует выбрать ближайшее большее значение номинальной мощности по сравнению с расчетной. Соответственно принимаем: для Задачи по электротехнике с решениями—0,25 Вт, а для Задачи по электротехнике с решениями—1 Вт (см. также доп. вопрос 1 к этой задаче).

2. Выбор реостата. Значение его сопротивления задано 0—500 Ом. Остается рассчитать мощность рассеивания и, очевидно, ее наибольшее значение (чтобы обеспечить безопасную работу реостата). Для этого заменим параллельно соединенные сопротивления Задачи по электротехнике с решениями эквивалентным Задачи по электротехнике с решениями Ом и преобразуем исходную схему (рис. 1.9) в эквивалентную (рис. 1.11), в которой измерительные приборы исключены, так как не влияют на искомую мощность.

В полученной схеме (рис. 1.11) наибольшая мощность рассеивания в реостате достигается при сопротивлении Задачи по электротехнике с решениями (см. § 1.3) и составляет половину мощности всей цепи, состоящей из двух равных сопротивлений Задачи по электротехнике с решениями.

Так как мощность всей цепи Задачи по электротехнике с решениями, то максимальная мощность в реостате

Задачи по электротехнике с решениями

Полученная наибольшая мощность имеет место только при одном значении Задачи по электротехнике с решениями=400 Ом, а при всех других его значениях Задачи по электротехнике с решениями=0,25 Вт и запас Задачи по электротехнике с решениямитепловой надежности возрастает.

3. Сборка электрической цепи. Сборка (монтаж) электрической цепи выполняется либо по принципиальной схеме (при экспериментальной работе, в учебных лабораториях и др), либо по монтажной схеме (в производственных условиях).

При сборке цепи по принципиальной схеме (что обычно вызывает затруднения у обучающихся) приходится мысленно представлять «геометрию» цепи (образование узлов, ветвей) и токопрохождение в ней. Убедимся в этом на примере сборки цепи рис. 1.9, имея расположение ее элементов и приборов (рис. 1.10).

Вначале выполним соединения, обеспечивающие основное прохождение тока, т. е. соберем цепь токов Задачи по электротехнике с решениями (рис. 1.9), а затем подключим вспомогательные параллельные ветви (вольтметры Задачи по электротехнике с решениями).

Неразветвленный участок цепи АВ (рис. 1.9) реализуется просто: присоединением трех проводов А-1, 2-4, 3-5 (рис. 1.10), образующих путь для тока Ц от вывода «-}-» источника через ключ К и реостат Задачи по электротехнике с решениями

Для получения переменного сопротивления реостат можно включить двумя способами: либо без провода 6-7 (показан пунктиром), либо с ним. При первом варианте включения иногда наблюдаются обрывы цепи во время перемещения ползунка П реостата (вследствие плохого прилегания ползунка к диску), при втором варианте этот недостаток исключается. Поэтому чаще применяют включение с дополнительным проводом 6-7.

Разветвленный участок цепи ВБ (рис. 1.9) можно выполнить (смонтировать) несколькими способами, зависящими отварианта соединения выводов 6,7,9,11 (рис. Г.10), объединяемых между собой для получения узловой точки В (рис. 1.9). Один вариант их соединения приведенна рис. 1.10, а, а другой —на рис. 1.10,6. Можно предложить и третий вариант.

Все они одинаково удовлетворяют принципиальной схеме, так как сопротивления соединительных проводов не учитываются (принимаются равными нулю), что, кстати, дает право рассматриваемые выводы обозначить одной и той же буквой В на схеме (рис. 1.10), соответствующей данному узлу на принципиальной схеме (рис. 1.9).

Однако по затратам труда и меди (длине проводов) варианты соединений не равноценны и на практике выбирают наиболее экономичный.

Соединения 8-12 и 10-14 (рис. 1.10) очевидны по принципиальной схеме (рис. 1.9). Чтобы закончить сборку основной токовой цепи, образуем узловую точку Б (рис. 1.9), которую аналогично узловой точке В можно также смонтировать по-разному. На рис. 1.10 показан один из вариантов ее выполнения, который может вызвать сомнения: почему, например, длинный провод Б-13 (от вывода «—» источника питания) не заменен более коротким Б-19 или4еще лучше 17-19? Указанная замена действительно экономит провода, но лишает возможности отключить вольтметры Задачи по электротехнике с решениями, присоединяемые (проводами, показанными на рис. 1.10 пунктиром) после сборки основной цепи.

Услуги:

  1. Заказать электротехнику помощь в учёбе
  2. Контрольная работа по электротехнике заказать
  3. Помощь по электротехнике онлайн
  4. Курсовая работа по электротехнике заказать готовую онлайн
  5. РГР по электротехнике расчетно графическая работа

Лекции по электротехнике

  1. Элементы электрических цепей
  2. Топология электрических цепей
  3. Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
  4. Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них
  5. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
  6. Основы матричных методов расчета электрических цепей
  7. Мощность в электрических цепях
  8. Резонансные явления в цепях синусоидального тока
  9. Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей
  10. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
  11. Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками
  12. Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей
  13. Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций
  14. Пассивные четырехполюсники
  15. Электрические фильтры
  16. Трехфазные электрические цепи: основные понятия и схемы соединения
  17. Расчет трехфазных цепей
  18. Применение векторных диаграмм для анализа несимметричных режимов. Мощность в трехфазных цепях
  19. Метод симметричных составляющих
  20. Теорема об активном двухполюснике для симметричных составляющих
  21. Вращающееся магнитное поле. Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
  22. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
  23. Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в трехфазных цепях
  24. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов
  25. Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом.
  26. Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи
  27. Операторный метод расчета переходных процессов
  28. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению
  29. Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния
  30. Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета
  31. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора. Аналитические и итерационные методы расчета цепей постоянного тока
  32. Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках
  33. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей
  34. Нелинейные цепи переменного тока
  35. Метод кусочно-линейной аппроксимации. Метод гармонического баланса
  36. Переходные процессы в нелинейных цепях. Аналитические методы расчета
  37. Основные термины и определения электротехники
  38. Классификация электрических цепей
  39. Электрическая цепь
  40. Линейные электрические цепи постоянного тока
  41. Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований
  42. Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа
  43. Расчет электрической цепи методом контурных токов
  44. Расчет электрической цепи методом наложения
  45. Метод двух узлов
  46. Баланс мощности электрической цепи
  47. Расчет потенциальной диаграммы
  48. Линейные электрические цепи однофазного синусоидального переменного тока
  49. Расчет электрических цепей переменного тока
  50. Алгебраические операции с комплексными числами
  51. Анализ электрического состояния цепи переменного тока
  52. Анализ цепи с резистивным элементом
  53. Анализ цепи с катушкой индуктивности
  54. Анализ цепи с конденсатором
  55. Анализ цепи с последовательным соединением элементов R, L, C
  56. Мощность цепи синусоидального тока
  57. Коэффициент мощности и его экономическое значение
  58. Резонанс в цепях переменного тока
  59. Характерные особенности резонанса напряжений
  60. Трехфазные цепи
  61. Мощность трехфазной цепи
  62. Трансформаторы
  63. Однофазные трансформаторы
  64. Трехфазные трансформаторы

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Электротехника шпаргалка на экзамен
  • Электротехника ответы на билеты к экзамену
  • Электростатика теория для егэ
  • Электростатика подготовка к егэ
  • Электростатика егэ физика теория