Элементарная математика экзамен

Вопросы к экзамену
по элементарной математике (4 курс,
геометрия)

1. Замечательные точки в треугольнике
   .

Доказать, что медианы (биссектрисы,
высоты, серединные перпендикуляры)
пересекаются в одной точке. [7,8,9]

1. Средняя линия в треугольнике и ее
   свойства. Теорема Вариньона.
   [7,8,9]

2. Вписанный угол. Угол между хордами и
   секущими к окружности. Угол между
   касательной и хордой. [7,8,9]

3. Вписанный четырехугольник. Критерии
   вписанного четырехугольника (5 признаков).
   [7,8,9]

4. Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]

5. Теорема Фалеса с доказательством.
   [7,8,9]

6. Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]

7. Окружность Эйлера 9 точек.
   [7,8,9]

8. Прямая Симпсона. [7,8,9]

9. Теорема Птолемея. [7,8,9,10]

10. Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная
    теорема Чевы. [7,8,9]

11. Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная
    теорема Менелая. [7,8,9]

12. Тригонометрическая форма теоремы Чевы.
    Изотомическое и изогональное сопряжение.
    Доказать, что точки
    
    и
    
    изогонально сопряжены. Точка Лемуана.
    [7,8,9,12]

13. Вневписанные окружности. Точка Нагеля
    .
    Свойства нагелиан. Доказать, что точки
    
    и
    
    изотомически сопряжены.
    [7,8,9]

14. Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема
    Эйлера о том, что точки
    
    лежат на одной прямой, причем
    .
    [7,8,9]

15. Теорема Архимеда о двух касающихся
    окружностях. Задача Архимеда о
    ломаной.[5,12]

16. Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать,
    что
    ,
    .[5]

17. Степень точки относительно окружности.
    Радикальная ось двух окружностей.
    Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]

18. Формула Эйлера
    
    для вычисления расстояния между центрами
    вписанной и описанной окружности.
    [7,8,9]

19. Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]

20. Треугольник наименьшего периметра,
    вписанный в данный треугольник. [3,4,5]

21. Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]

22. Окружность, вписанная в сегмент и ее
    свойства.[5]

23. Понятие центра масс системы материальных
    точек. Существование, единственность,
    группировка с доказательством. Теорема
    о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]

24. Доказать с помощью понятия центра масс,
    что медианы (биссектрисы, высоты)
    пересекаются в одной точке и найти
    пропорцию, в которой точка пересечения
    делит соответствующую линию. [1,2,5,12]

25. Понятие барицентрических координат
    точки относительно треугольника
    .
    Найти барицентрические координаты
    точек:
    
    середины
    ,
    центров вневписанных окружностей.
    [1,2,5,12]

26. Условие принадлежности одной прямой
    трех точек с заданными барицентрическими
    координатами. Уравнение прямой линии
    в барицентрических координатах.
    [1,2,5,12]

27. Уравнение бесконечно удаленной прямой
    в барицентрических координатах. Условие
    параллельности двух прямых.
    [1,2,5,12]

28. Уравнение основных линий в барицентрических
    координатах: сторона, медиана, биссектриса,
    высота, средняя линия. Связь барицентрических
    координат изогонально и изотомически
    сопряженных точек. [1,2,5,12]

29. Трилинейные координаты. Формулы перехода
    от барицентрических координат к
    трилинейным и обратно. Уравнение прямой,
    соединяющей основания биссектрис
    углов
    
    и
    треугольника
    ,
    в трилинейных координатах.[5,12]

30. Аффинные преобразования. Инвариантность
    барицентрических координат при аффинных
    преобразованиях. Задача о центрах
    вписанных в треугольник эллипсов.[5]

31. Лемма о трапеции. [5]

32. Проективное преобразование, сопоставляющее
    точкам с барицентрическими координатами
    аналогичные точки с трилинейными
    координатами. [5]

33. Ориентированное расстояние от точки
    до прямой линии в координатной плоскости.
    Общая теорема линейности.

34. Критерий параллелограмма: если сумма
    расстояний от любой внутренней точки
    четырехугольника до его сторон одинакова,
    то этот четырехугольник – параллелограмм.
    Критерий правильного треугольника:
    если сумма расстояний от любой внутренней
    точки треугольника до его сторон
    одинакова, то этот треугольник правильный.

35. Признак ромба: если радиусы окружностей,
    вписанных в треугольники, образуемые
    сторонами и диагоналями четырехугольника,
    равны, то этот четырехугольник – ромб.

36. Теорема о биссектрисах внешних углов
    полного четырехугольника.

37. Теорема о трех центрах гомотетий (о
    трех колпаках).[7]

38. Инверсия относительно окружности.
    Деление отрезка пополам с помощью
    одного циркуля. Стереографическая
    проекция.[7]

39. Полярное соответствие. Свойство
    взаимности поляр.[7]

40. Лемма о шестиугольнике, вписанном в
    окружность.[7]

41. Построение поляры точки с помощью одной
    линейки. Построекние касательной к
    окружности с помощью одной линейки.[7]

42. Автополярный треугольник.[7]

Литература по
курсу элементарная математика (геометрия)

1. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия
   масс.

2. Балк М.Б. Геометрические приложения
   понятия о центре тяжести.

3. Кокстер Г. Введение в геометрию.

4. Коксетер Г., Грейтцер С. Новые встречи
   с геометрией.

5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии.

6. Гордин Р.К. Это должен знать каждый
   матшкольник.

7. Понарин Я.П. Элементарная геометрия,
   т.1.

8. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы
   геометрии 8.

9. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы
   геометрии 9.

10. Шклярский Д.О. и др. Избранные задачи и
    теоремы элементарной математики.
    Геометрия (планиметрия).

11. Шарыгин И.Ф. Геометрия 9-11 (задачник).

12. Мякишев А.Г. Элементы геометрии
    треугольника.

Соседние файлы в папке Элементарная математика

• #
• #
• #

  21.04.20152.35 Mб387Gordin_7-9.pdf

• #
• #
• #

                    в
D
С
В. В. Ткачук
МАТЕМАТИКА
АБИТУРИЕНТУ

В. В. Ткачук
МАТЕМАТИКА — АБИТУРИЕНТУ
Все о вступительных экзаменах в вузы
Издание восемнадцатое, стереотипное
Москва
Издательство МЦНМО, 2018

УДК 51(07)
ББК 22.1
Т48
Ткачук В.В.
Т 48 Математика — абитуриенту. — 18-е изд., стереотип. — М.:
МЦНМО, 2018. — 944 с.
ISBN 978-5-4439-2675-9
Книга представляет собой наиболее полный курс элементарной математики
для подготовки к ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз любого уровня
сложности. Излагаются уникальные алгоритмы самоподготовки, успешно
апробированные при подготовке к поступлению в ведущие вузы страны.
Отдельная глава посвящена вариантам вступительных экзаменов по
математике на все факультеты МГУ им. М. В. Ломоносова за последние 40 с лишним лет
(1970-2016).
Книга позволяет самостоятельно, предельно эффективно и в сжатые сроки
повторить школьный курс математики. Особую ценность книга представляет
для абитуриентов из отдаленных регионов страны, но она будет также полезна
учащимся старших классов, учителям математики, руководителям кружков и
факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
В настоящее издание включены написанные А. В. Семеновым методические
рекомендации по подготовке к ЕГЭ с использованием данной книги.
Учебно-методическое издание
Владимир Владимирович Ткачук
Математика — абитуриенту
Подписано в печать 07.12.2017 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Печ. л. 59. Тираж 3000 экз. Заказ № ВЗК-06104-17.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-08-04.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных материалов
в АО «Первая Образцовая типография», филиал «Дом печати — ВЯТКА»
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. П.
Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio@mccme.ru
© Ткачук В. В., 2017
ISBN 978-5-4439-2675-9 © МЦНМО, 2018

Содержание
Как готовиться к экзамену по математике по книге
«Математика — абитуриенту». А. В. Семенов 8
Предисловие к пятому изданию 16
Введение 19
Об этой книге 19
1. Зачем нужен экзамен по математике? 21
2. Виды и уровни сложности экзаменов 23
3. Устройство сего опуса и инструкция по его применению 24
Слова благодарности 29
I. Справочник
1. Шпаргалки 33
1. Тригонометрия 33
2. Уравнения и неравенства с модулями и радикалами 37
3. Алгебраические системы уравнений и неравенств 39
4. Текстовые задачи 40
5. Прогрессии 43
6. Показательные, логарифмические и смешанные
уравнения и неравенства 44
7. Производная и ее применения 48
9. Теоремы об общих и прямоугольных треугольниках 53
10. Подобие, площади, параллелограммы 54
11. Окружности и общие многоугольники 57
12. Геометрические места точек и задачи на построение 58
13. Свойства и расположение корней квадратного трехчлена 60
14. Реализация простейших логических операций 64
15. Нестандартные Задачи 65
16. Основные формулы стереометрии 66
17. Векторы 68
2. Некоторые доказательства 71
1. Формула корней квадратного уравнения 71
2. Тригонометрические формулы 72

4
Содержание
3. Метод интервалов 75
4. Простейшие случаи раскрывания радикалов 76
5. Прогрессии 78
6. Переход от показательных и логарифмических
уравнений к алгебраическим 79
7. Общие теоремы о треугольниках 82
3. То, чего нет в школьной программе, а знать надо 84
1. Сравнение чисел 84
2. Извлечение квадратного корня «вручную» 86
3. График дробно-линейной функции 88
4. Деление «уголком» многочлена на многочлен 89
5. Метод неопределенных коэффициентов 91
6. Теоремы Чеьы и Менелая 93
II. Подготовка к экзамену
1. Тригонометрия 99
Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям 99
Урок 2. Группировка и разложение на множители 109
УрокЗ. Сведение к однородным уравнениям 115
Урок 4. Преобразование сумм в произведения
и произведений в суммы 121
Урок 5. Метод вспомогательного аргумента 127
Урок 6. Системы тригонометрических уравнений 132
Урок 7. Обратные тригонометрические функции 142
2. Простейшие уравнения и неравенства 148
Урок 8. Уравнения и неравенства с модулями 148
Урок 9. Рациональные уравнения и неравенства 153
Урок 10. Уравнения и неравенства с радикалами 158
3. Алгебраические системы 165
Урок 11. Системы уравнений и неравенств, возникающие
из текстовых задач 165
Урок 12. Сложные системы уравнений 171
4. Текстовые задачи 178
Урок 13. Движение 178
Урок 14. Работа 189
Урок 15. Смеси 199
Урок 16. Оптимальный выбор и целые числа 207
Урок 17. Прогрессии 215

Содержание 5
5. Более сложные уравнения и неравенства 221
Урок 18. Показательные 221
Урок 19. Логарифмические 226
Урок 20. Смешанная тригонометрия 235
Урок 21. Задачи, содержащие одновременно логарифмы,
модули, радикалы и т.н 243
6. Начала анализа 249
Урок 22. Вычисление производной 249
Урок 23. Применения производной 254
Урок 24. Касательная 261
Урок 25. Плоские множества 266
7. Планиметрия 276
Урок 26. Общие треугольники 276
Урок 27. Прямоугольные треугольники 286
Урок 28. Подобие 291
Урок 29. Площади 302
Урок 30. Параллелограммы и трапеции 312
Урок 31. Окружности 325
Урок 32. Общие >4-угольники 334
Урок 33. Геометрические места точек 343
Урок 34. Построения циркулем и линейкой 354
8. Задачи с параметрами 367
Урок 35. Квадратные уравнения и неравенства 367
Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена
в зависимости от параметра 375
Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность 383
Урок 38. Более сложные логические задачи 397
9. Нестандартные задачи 410
Урок 39. Метод мажорант 411
Урок 40. Использование различных свойств функций 418
Урок 41. Удачная подстановка или группировка 427
Урок 42. Геометрический подход 436
10. Стереометрия 444
Урок 43. Тривиальные задачи 447
Урок 44. Вспомогательные задачи 459
Урок 45. Тетраэдры 468
Урок 46. Параллелепипеды и призмы 484
Урок 47. Более сложные многогранники 496
Урок 48. Сферы, цилиндры, конусы 513
Урок 49. Векторы 530
Урок 50. Геометрические места точек 539

6
Содержание
III. Варианты вступительных экзаменов в МГУ
за 1970-2016 гг.
1970 год 552
1971 год 559
1972 год 566
1973 год 572
1974 год 579
1975 год 587
1976 год 595
1977 год 602
1978 год 61П
1979 год 617
1980 год 623
1981 год 628
1982 год 635
1983 год 641
1984 год 648
. 1985 год 655
1986 год 661
1987 год 668
1988 год 674
1989 год 680
1990 год 685
1991. год 691
1992 год 696
1993 год 702
1994 год 707
1995 год 712
1996 год 718
1997 год 725
1998 год 732
1999 год 740
2000 год 748
2001 год 757
2002 год 767
2003 год 777
2004 год 787
2005 год 798
2006 год 808
2007 год 820
2008 год 833
2009 год 838
2010 год 843
2011 год 849
2012 год 851
2013 год 853
2014 год 855
2015 год 857
2016 год 858

Содержание
7
Ответы, указания, решения
1. Домашние задания 861
2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 895
Список использованной литературы 939

Как готовиться к экзамену
по математике по книге
«Математика — абитуриенту»
А. В. Семенов
Залог успешной сдачи ЕГЭ, особенно на уровне, необходимом для
поступления в вуз, независимо от того, является ли этот вуз техническим,
экономическим или мехматом МГУ, — это систематическое изучение и
повторение программы, развитие математического мышления, отработка
умений находить пути решения задачи, верно выполнять преобразования,
вычисления, искать и исправлять свои ошибки.
И книга, которую вы держите в руках, — как раз то, что нужно, чтобы
систематически повторить (а при необходимости и изучить) методы
решения наиболее сложных задач профильного уровня Единого
государственного экзамена. Ведь именно эти задачи ЕГЭ по математике необходимы для
отбора абитуриентов в вузы. Они похожи на те, что давались на
вступительных экзаменах в вузы разного уровня.
Планируя сдавать экзамен по математике, вы должны определить для
себя — с какой целью сдаете этот экзамен? Цели могут быть разными:
- просто сдать экзамен по математике (получить аттестат) и больше
математики не касаться ■■— тогда эта книга не для вас;
- сдать экзамен и поступить в вуз — тогда вы нашли, что искали. Еще
ценнее книга окажется для тех, кто планирует поступать в вуз, в котором
е(:ть свои внутренние экзамены по математике.

Подготовка к экзамену по математике по этой книге 9
«Математика — абитуриенту* — это та книга, которая поможет
одновременно готовиться и к ЕГЭ, и к внутреннему вузовскому экзамену
(если вуз его проводит). В книге нет заданий из вариантов ЕГЭ прошлых
лет, заданий из открытого банка математических задач, в ней содержатся
именно те задания, которые традиционно давались на вступительных
экзаменах. Поэтому подготовка к экзамену по этой книге позволит качественно
повторить (изучить) материал, необходимый для выполнения заданий
высокого уровня сложности, обязательно присутствующих в вариантах Единого
государственного экзамена по математике профильного уровня.
Ценность этой книги заключается в том, что в ней приведена система
обучения решению задач высокого уровня. Этой системе подготовки
абитуриентов уже более 20 лет.
Вариант Единого государственного экзамена по математике
(профильный уровень) состоит из 19 задач. Вначале идут 12 задач с кратким
ответом. Основной акцент в этих задачах сделан на проверку основных
математических навыков (в первую очередь на умение решать практические
задачи, применять математические знания). Далее идут 7 заданий
повышенного и высокого уровня сложности.
Задачи 1-12, приведенные ниже, могут показаться вам слишком
простыми. Конечно, если вы читаете эту книгу, наверное, вы уверены в том, что
они вам по плечу. Тем не менее мы убедительно просим вас обратить на них
внимание. Посмотрите советы, написанные перед заданиями, и обязательно
проводите регулярные тренировки по решению задач 1-12 с использованием
тренировочных работ, которые публикуются на сайте mathege.ru, и книг
издательства МЦНМО серии «ЕГЭ 2017. Математика. Задачи 1-12.
Профильный уровень». Это позволит вам застраховаться от случайной ошибки.
Рекомендации по решению задач 1-12
Ответ к первым 12 задачам нужно записать в краткой форме: целое
число или число, записанное в виде десятичной дроби. Ответы к этим
задачам нужно записать в специальный бланк ответов №1. Для того
чтобы получить ответ, нужно на черновике кратко (но понятно для себя)
изложить ключевые этапы решения (черновики не проверяются). Не
спешите вписывать ответы в бланк ответов: на черновике напишите номер
задания и номер ответа, например, «задача 3: 2» (не ставьте тире —
иначе можно прочитать его как знак «минус»). После того как
закончите работать с заданиями 1-12, аккуратно занесите ответы в бланк
ответов №1. Если вы «промахнулись», то под таблицей есть поле замены

10 Подготовка к экзамену по математике по этой книге
ошибочных ответов, в котором вносится номер задания и записывается
ответ.
Прежде чем приступать к пробе своих сил в решении задач 1-12,
внимательно прочитайте следующие советы (они пригодятся и в других случаях).
1. В задачах 1-12 ответ довольно часто можно проверить подстановкой
— если есть такая возможность, обязательно сделайте это.
2. Решать задачи имеет смысл по порядку. Если задача для вас
трудна, то пропустите ее и переходите к решению следующей. Не вписывайте
придуманные ответы, лучше оставьте пустые места.
3. После того как были просмотрены (и частично решены) все задачи
1-12, вернитесь к началу заданий и поработайте с задачами, которые не
получились с первой попытки.
Помните, что на весь экзамен отводится без малого 4 часа — 235 минут.
Давайте посмотрим теперь на образцы задач.
1. Школа закупает книги по цене 70 рублей за штуку. При покупке на
сумму больше 500 рублей магазин дает скидку 10%. Сколько рублей будет
стоить покупка 23 книг?
2. На диаграмме показано число запросов со словом КИНО, сделанных
на некотором поисковом сайте во все месяцы с января по сентябрь 2010
года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — число запросов
за данный месяц. Определите по диаграмме наибольшее месячное число
запросов со словом КИНО в указанный период.
5 000 000
4 000 000
3 000 000
2 000 000
1 000 000
янв фев мар апр май июн июл авг сен

Подготовка к экзамену по математике по этой книге 11
3. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего
круга равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры.
4. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом
определяют двух дежурных на 2 сентября, которые должны приготовить
класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два
мальчика.
5. Решите уравнение у/х + 4 = 7.
6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе,
делит прямой угол на два угла, один из которых равен 56°. Найдите меньший
угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке изображен график производной функции /(ж),
определенной на интервале (—4; 4). Найдите абсциссу точки, в которой касательная
к графику функции f(x) параллельна прямой у = —За; — 11 или совпадает с
ней.
ь
4
'=/
'(х
Л
У,
0
.
1
1
1
X
8. Дана правильная четырехугольная призма ABCDABCD, площадь
основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объем мно-

12
Подготовка к экзамену по математике по этой книге
гогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А, В.
С,
9. Найдите значение выражения log6 126 — log6 3,5.
10. Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость v (в м/с)
меняется по закону v = vq cos -^г , где t — время с момента начала
наблюдения в секундах, Г = 2 с — период колебаний, vo = 0,5 м/с. Кинетическая
энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле Е = т£-, где т — масса
груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию
груза через 60 секунд после начала наблюдения. Ответ дайте в джоулях.
11. Первая труба наполняет бак объемом 600 литров, а вторая труба —
бак объемом 900 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту
на 3 л воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает
вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время?
12. Найдите наибольшее значение функции у = (х — 2)2(ж — 4) + 5 на
отрезке [1; 3].
Проверьте ответы. Если вы ошиблись в решении какого-либо задания,
постарайтесь ошибку устранить.
Ответы: 1. 1449. 2. 4000000. 3. 3. 4. 0,1. 5. 45. 6. 34. 7. 0. 8. 14. 9. 2.
10. 0,05. 11. 9. 12. 5.
Если эти задачи вызвали у вас затруднения, то решите для себя, готовы
ли вы приложить значительные усилия для обучения решению сложных
задач.
Прежде чем приступать к подготовке к решению задач 13-19, вам
следует определить уровень, на котором вы будете работать с книгой:
- если вам нужен балл 65-70 — средний уровень, то нужно получить
13-14 первичных баллов, т.е., например, решить все задания 1-12 и задание
13;
- если вам нужен балл 71-76 — повышенный уровень (хорошие
технические вузы), то нужно получить от 15 до 17 первичных баллов, т.е. решить
не менее двух-трех из задач 13-19;

Подготовка к экзамену по математике по этой книге 13
- если вам нужен балл 77 и выше — высокий уровень (вузы с
математическим профилем), то нужно решить не менее четырех из задач 13-19. Эти
три уровня соответствуют уровням сложности, данным автором на с. 25-
26 этой книги. Если вы сравнительно легко справились с задачами 1-12 и
определились с уровнем, то можно приступать к следующим, более сложным
задачам.
Рекомендации по решению задач 13-19
Из этих семи задач задачи 13-17 повышенного уровня сложности, 18 и
19 высокого уровня сложности. При выполнении этих заданий требуется
записать полное решение в бланке ответов Ха2 (выдается в
экзаменационном пакете); по требованию экзаменуемого выдается любое число
дополнительных. В бланках не следует писать очень подробно, например, решение
квадратного уравнения и т.п., поэтому нужно сначала на черновике
полностью оформить решение, а затем короче переписать на чистовик. Другими
словами, по записи решения должна полностью восстанавливаться логика
решения, а все ключевые моменты должны быть пояснены — только в этом
случае за решение будут выставлены максимальные баллы.
Объясним вкратце, с чем вы столкнетесь в этих задачах.
Задача 13 — самая простая из этих семи. Это несложное уравнение,
для решения которого единственное, что требуется, — хорошо знать
простейшие свойства тригонометрических (логарифмических, показательных
— уж что достанется) функций и уметь решать простейшие уравнения. Не
забудьте про ОДЗ. См. уроки 1, 18, 19.
Следующая по трудности задача 14 — несложная задача по
стереометрии, состоящая из двух пунктов: в пункте а) нужно доказать
геометрический факт, а в пункте б) нужно что-нибудь вычислить (например,
расстояние от точки до плоскости сечения). В ней нет хитрых комбинаций
различных тел, и для ее решения не требуется утомительных вычислений.
Все, что необходимо, — хорошо знать основные факты о параллельности и
перпендикулярности прямых и плоскостей, включая теорему о трех
перпендикулярах, и — главное! — хорошо представлять себе, где эти
параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости встречаются на популярных
в школе геометрических фигурах -- призмах, пирамидах,
параллелепипедах. Для успешного решения этой задачи нужно тщательно проработать
урок 43. Хотя автор назвал его «тривиальные задачи», не такие они и
тривиальные: кто хорошо ориентируется в этих задачах, тот уже неплохо знает
стереометрию.
Задача 15 — неравенство с показательными и логарифмическими
функциями. Уравнения и неравенства такого уровня рассматриваются на уроках

14 Подготовка к экзамену по математике по этой книге
с 18 по 21.
Задача 16 — задача по планиметрии, состоящая из двух пунктов: в
пункте а) нужно доказать геометрический факт, а в пункте 6) нужно что-нибудь
вычислить (скажем, площадь фигуры). Она не чересчур трудна для того,
кто в планиметрии хорошо ориентируется. Уроки 26-32 для подготовки к
решению этой задачи абсолютно необходимы, уроки 33 и 34 нужны для
создания «запаса прочности».
Задача 17 — прикладная задача с элементами экономики. Для
подготовки к ней надо повторить текстовые задачи (уроки 13-17) и просмотреть
задачи из вступительных экзаменов на экономический факультет МГУ.
Задачи 18 и 19 самые трудные. Задача 18 — «задача с параметром»
(непосредственно им посвящены уроки 35-42, но они опираются на весь
предшествующий материал), задача 19 — «нестандартная задача».
Прежде чем пробовать свои силы в решении задач 13-19, внимательно
прочитайте следующие советы.
1. После выполнения заданий 1-12 сделайте перерыв в 3-5 минут,
постарайтесь настроиться на спокойную и вдумчивую работу.
2. Имейте в виду, что задачи 13-19 нередко имеют «подводные камни».
3. Не забывайте о краткости записи решения при полном обосновании.
4. Пользоваться на экзамене калькулятором запрещено, поэтому уделите
особое внимание проверке выполнения арифметических действий.
Вот образцы того, что может вам встретиться.
13. а) Решите уравнение tg2 х + 5 tgx + 6 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку — 2ж; — ~
14. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания
ABC. Известны длины ребер пирамиды AD — 2/5, АВ = АС = 10,
ВС = 4ч/5.
а) Докажите, что основания высот треугольников ABC и DBC,
проведенных к стороне ВС, совпадают.
б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через
середины ребер АВ, АС и AD.
15. Решите неравенство log^| х2 + log2 х2 ^ 6.
16. Окружности с центрами 0 и 02 касаются в точке А внешним
образом. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает первую
окружность в точке В, а вторую — - в точке С.
а) Докажите, что OiC || 0В.
б) Найдите площадь треугольника ВСОч, если известно, что радиусы
первой и второй окружностей равны 5 и 8 соответственно, a Z.ABO — 15°.

Подготовка к экзамену по математике по этой книге 15
17. 31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 9 009000 рублей в кредит
под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платеж. Весь
долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы
отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых модуль
разности корней уравнения х2 — 6х +12 + а2 — 4а — 0 принимает наибольшее
значение.
19. В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств.
Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились
каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем
все новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся
объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств,
которое было в самом начале.
а) Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств стать
равным 102?
б) Могло ли в какой-то момент времени общее число княжеств стать
равным 320, если известно, что сразу после одного из делений общее число
княжеств было равно 162?
в) Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какого-то
из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше
первоначального?
Ответы: 13. а) — arctg2 + тгп, — arctg3 + тгт, п, т £ Z; б) —7г — arctg2,
-7T-arctg3. 14. б) 2. 15. [-2; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; 2]. 16. б) 20. 17. 1 036800.
18. а = 2. 19. а) Нет; б) нет; в) 38.
После выполнения этих заданий вы почувствуете, что нужно еще
потренироваться в решении сложных задач. Перед вами целый сборник
интересных задач. После проработки уроков обязатачьно вернитесь к задачам,
которые у вас не вышли.
Успешность выполнения заданий работы на экзамене обусловлена не
только хорошими знаниями по предмету, но и правильной подготовкой к
этому испытанию. Чем больше вы смоделируете и проиграете реальных
экзаменационных ситуаций, тем спокойней и уверенней вы будете себя
чувствовать. Эта уверенность позволит вам наилучшим способом
продемонстрировать свои знания, тем самым выше будут баллы. Надеемся, что наши
рекомендации помогут вам в подготовке к экзамену по математике.

Предисловие к пятому изданию
Первое слово в этой книге было написано 1 января 1992 года. Месяца
через четыре после начала работы автор с ужасом осознал, что:
— теперь-то он прекрасно понимает, почему все мало-мальски
претендующие на универсальность книги подобного типа писались таким
количеством авторов, которое могло бы составить футбольную команду;
— его замыслы написать всеохватывающий труд по тематике
вступительных экзаменов если и осуществимы в одиночку, то исполнятся не
раньше конца XXI века;
— начальство совершенно не собирается уменьшать нагрузку
(педагогическую, научную и административную), положенную ему на мех-мате МГУ;
— семья и дети почему-то требуют гораздо больше внимания именно
тогда, когда времени категорически нет ни на что!
Честно говоря, даже сейчас, проглядывая и перелистывая мое творение,
не могу ни понять, ни объяснить, как случилось, что 31 октября 1992 года
я поставил в нем последнюю точку. Да, в этот период я провел гораздо
больше ночей с компьютером, чем с женой. Да, желание бросить все и
застрелиться возникало у меня чаще, чем за всю предыдущую и
последующую жизнь. Да, я научился печатать на компьютере как профессиональная
машинистка. И все же до сих пор верится с трудом...
Но факт есть факт. Это дитя у меня родилось всего лишь после десяти
месяцев вынашивания, и, как и положено любому ребенку, начало свою
самостоятельную жизнь, которая порой не имеет ничего общего с тем, что
воображает про нее родитель.
Видимо, время с ноября 1992 года по июль 1993 можно назвать грудным
периодом моего дитяти. Кормление грудью заключалось в том, что я
(грудью!) пробивался в кабинеты всевозможных издателей и влиятельных
лиц и пытался убедить их в том, что мой отпрыск способен вырасти и
принести пользу российскому обществу в целом, абитуриентам и издателям
в частности.
Все эти усилия, увы, закончились полным провалом. Я успел
примириться с мыслью, что мое дитя придется причислить к статистике умерших в
грудном возрасте, а меня записать в стройные ряды неудачников и
графоманов.
Конец сего горестного периода наступил, когда мне подвернулась
возможность устроиться на работу в одном из крупнейших университетов
Мексики. Я написал соответствующее заявление, меня взяли, и вот уже
скоро пять лет как я тружусь в этой солнечной и гостеприимной стране.

Предисловие к пятому изданию
17
Работы много, но мне нравится. Главным образом потому, что в
математических заведениях Мексики крайне поощряются занятия наукой и
совершенно отсутствуют стимулы для занятий репетиторством, извозом или
бизнесом.
Новые впечатления, лихорадочное изучение испанского языка и
приобщение к мексиканским традициям уже притупили невыносимую боль за
бесцельно прожитые десять месяцев, когда я узнал в начале 1994 года, что
нашлась, наконец, небольшая частная компания, которая решила рискнуть
своими деньгами, вложив их в издание этой книги. И свершилось! Начиная
с мая 1994 года мое дитя живет и здравствует, растет и даже вызывает
иногда полемику в прессе. Как и всякого нормального ребенка, его то
хвалят, то ругают. Ругают, естественно, больше, ибо тот, кто доволен им,
обычно просто молчит. О содержании хвалебных отзывов я по природной
скромности умолчу, а ругают меня за то,
— что я незаслуженно и предательски очернил приемные комиссии
вообще и МГУ в частности;
— что я проявил редкостное невежество, причислив единицу к простым
числам:
— что допустил массу неточностей и опечаток в ответах к задачам;
— что кривил душой, заявляя, что абитуриент может работать с книгой
без репетитора,
и что вообще еврейский вопрос надо выкинуть и взять в соавторы десяток
влиятельных лиц — вот тогда-то все в книге будет идеально.
Я не буду здесь отвечать на жалобы: я уже столько раз это делал устно,
что мне порядком надоело. Впрочем, и невозможно переубедить тех, кто
хочет верить во что-то для себя важное. Скажу только, что меня радует
такое большое количество читателей, неравнодушных к моему опусу. Это,
на мой взгляд, есть самое лучшее доказательство его полезности. У меня
есть также засекреченная информация о том, что как раз те, кто
громче всех кричат: «Ату!», заплатили свои кровные, чтобы пользоваться им
вовсю.
Прежде, чем высказать какое-либо напутствие читателю пятого издания,
я просто обязан объяснить ему, что в 1992 году все математики,
связанные с приемом в ВУЗы, и в страшном сне не могли себе представить, что
этот прием может претерпеть существенные изменения за считанные
годы. Ведь до этого ничто не менялось как минимум тридцать лет! Именно
это обстоятельство и породило во мне амбициозное желание написать
нечто всеохватывающее и универсальное. На мой (прирожденно скромный!)
взгляд, это удалось. Но кто же мог подумать, что, начиная с 1991 года,
мое родное государство приобретет бешеную динамичность не только в
политике и экономике, но и во всем остальном, включая приемные экзаме-

18
Предисловие к пятому изданию
ны. Факты — упрямая вещь, и, как ни тяжко мне в этом признаться, я
вынужден констатировать, что моя книга уже не может претендовать на
универсальность. В ней, к примеру, нет описания тестов и методов
подготовки к ним. Вполне возможно, что многие советы по тактике поведения
на экзаменах и апелляциях сейчас имеют лишь историческое значение. Я
слышал, что вопрос об экзаменах «с пристрастием» пока не снят с повестки
дня, но мои советы и рекомендации по этому поводу явно устарели.
Увы, я не в состоянии идти в ногу со временем и модернизировать
книгу для каждого нового издания. Чтобы делать это квалифицированно,
надо все время вариться в сием котле, а я уже пять лет живу в другом
полушарии и занимаюсь совершенно иными вещами. Поэтому, в общем и
целом, книга остается такой же, как и была. Упомяну некоторые причины,
по которым она может быть полезна большинству российских (а также
бывших советских) абитуриентов, школьников, учителей и репетиторов:
— в ней подробно и доступно представлена вся «школьная» математика;
- методика изложения порождена преподавательской практикой многих
десятилетий и посему близка к оптимальной;
-- в ней более 2000 задач и упражнений на всевозможные темы;
даны проверенные алгоритмы подготовки к устному и письменным
экзаменам;
- есть краткий справочник по наиболее важным темам.
И, наконец, самое важное. Мой земной поклон и вечная благодарность
руководству и сотрудникам Издательства Московского Центра
непрерывного математического образования (МЦНМО)
— за взятый на себя риск по вложению сил и средств в издание
«Математики - Абитуриенту»;
■— за исправление более 200 неточностей и опечаток.
за пополнение списка вариантов вступительных экзаменов в МГУ.
25 ноября 1997 года, Мехико
Владимир В. Ткачук

Введение*
Об этой книге
Мало для кого является секретом, что подавляющее большинство
средних школ бывшего Советского Союза не способны обучать детей
математике так, чтобы те, даже обладая природными способностями к точным
наукам, получали положительные оценки на вступительных экзаменах в
вузы, не говоря уж о четверках и пятерках. Абитуриенты, прошедшие
это испытание, как правило, занимались дополнительно — либо сами, либо
с репетитором. Последний вариант, безусловно, является самым выгодным
для абитуриента. Единственный недостаток его — та сумма, которую
надо выложить за обучение в течение года. И тот факт, что она на порядок
меньше, чем взятка, которую пришлось бы дать за поступление {где такая
возможность есть!), мало утешает. Это все равно очень дорого, ибо
составляет примерно минимальную годовую зарплату. И хотя многие родители
загодя копят деньги на подготовку детей, часто им приходится отказаться
от услуг репетиторов из-за дороговизны.
В этом случае школьник должен готовиться сам. Он знает, что нужно
что-то изучать дополнительно. Но что? Если он живет в Москве, Санкт-
Петербурге или другом крупном городе, он может там же выбрать вуз и
ходить туда на подотовительные курсы по вечерам. Это лучше, чем ничего,
хотя может дать лишь общее направление занятий. Всю работу придется
проделать практически без квалифицированного контроля, а это значит,
что по некоторым темам возможны провалы, о которых абитуриент ничего
знать не будет. Если же школьник хочет поступать в вуз в другом городе
— последний шанс получить помощь для него состоит в поступлении на
заочные курсы данного вуза. Ясно, что это еще хуже, чем вечерние занятия.
Кроме того, мало какие вузы имеют заочные курсы. Итак, человек остается
один на один со своей проблемой.
Еще есть книги для поступающих. К лучшим из них можно отнести
следующие:
Б.И. Александров, В.М. Максимов, М.В. Лурье, А.В. Колесниченко.
Пособие по математике для поступающих в вузы.
* В этом разделе описана ситуация до введения ЕГЭ. ■- Прим. ред.

20
Введение
Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. Пособие по математике для
поступающих в вузы.
Н.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова, И.Ф.
Орловская, Р.И. Позойский, Г.С. Ряховская, Н.М. Федорова -- под общей
редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во
втузы.
Ю.В. Нестеренко, С.Н. Олехник, М.К. Потапов. Задачи вступительных
экзаменов по математике.
Теоретически, по этим четырем книгам можно подготовиться в любой
вуз. Для этого школьнику требуется сущий «пустяк»:
- достать эти книги;
- определить уровень требований к математике в данном вузе;
- выбрать из данных книг то, что необходимо изучить (все не сможет
проработать ни один школьник в мире!);
- рассчитать время и силы так, чтобы закончить работу до вступительных
экзаменов;
- самому понять, что такое «освоенная тема» и на какую оценку он знает
эту тему;
- прекрасно зная, что все запомнить невозможно, определить главное в
изучаемом материале и запомнить это главное,
а также многое, многое другое, что, конечно же, недоступно рядовому
школьнику.
Однако все, что указано выше, легко проделает квалифицированный
репетитор. Мы приходим к парадоксальному выводу — книги, называющие
себя пособиями для поступающих, предназначены на самом деле для
репетиторов и чрезвычайно полезны последним! Ведь репетиторам тоже где-то
надо брать тренировочные задачи для абитуриентов. Поэтому они широко
пользуются такой литературой.
Мы видим, что ситуация с книгами для поступающих в нашем
государстве вполне укладывается в уже не смешную характеристику «страна
дураков». В самом деле, скажите на милость, какой нормальный человек,
репетитор, будет писать книгу не для своих (потенциальных) подопечных,
а для своих конкурентов?
Пишущему эти строки, впрочем, хорошо известно, почему именно так
писались подобные книги, а с большей частью их авторов он знаком лично.
Отчасти поэтому, отчасти потому, что «негатива* и в газетах полно, а
отчасти и потому, что данная книга не место для разоблачений, мы опустим
дальнейшие рассуждения на эту тему.
Ну вот. я, немного побрюзжав, отвел душу, так что могу теперь
приступить к тому, что обещано в заголовке параграфа — к рассказу об этой
книге.

1. Зачем нужен экзамен по математике?
21
Хочу заявить сразу и совершенно не кривя душой, что эта книга
написана сугубо для АБИТУРИЕНТА, поскольку она составлена так,
чтобы ее саму можно было использовать как репетитора, а именно,
1) подготовка к письменному экзамену разложена на 50 уроков;
2) на этих уроках разобраны все без исключения темы, на которые могут
быть составлены вступительные задачи;
3) уроки расписаны один к одному по методике, отработанной автором
за много лет работы с абитуриентами;
4) приведен список московских вузов с классификацией их экзамена по
уровням сложности. Материал всех уроков распределен по уровням, чтобы
каждый абитуриент мог выбрать свой уровень для работы;
5) после каждого урока дается домашнее задание (в точности так, как
бывает, если вы ходите к репетитору);
6) даются критерии оценок за работу на уроке и за домашнее задание;
7) «раскрыты» все секреты работы приемных и экзаменационнных
комиссий, описана психология преподавателя, проверяющего письменный
экзамен и принимающего устный, описана оптимальная стратегия поведения
на экзаменах, апелляциях и т.п.
8) приведены варианты вступительных экзаменов в МГУ за последние 23
года* с ответами, указаниями и решениями.
Есть и другие особенности книги, позволяющие практически всем, кто
имеет силу воли (без нее все-таки никуда!) ходить к репетитору, обойтись
и без него или (если родители считают делом чести во что бы то ни стало
платить кому-нибудь за ребенка) свести общение с ним к минимуму.
Подробное описание того, как надо работать с книгой, дано в §3
введения. Уверен, вы добьетесь успеха. Ведь главное — желание!
1. Зачем нужен экзамен по математике?
Начнем с того, что экзамен по математике бывает письменный и
устный**. В большинстве вузов бывшего СССР если какой-то экзамен по
математике проводился, то он был непременно письменным, так что я начну
с письменного экзамена.
Математику сдают в самых разных вузах — от механико-математических
факультетов университетов до филологических учебных заведений.
Причина тому — необходимость понять, насколько абитуриент способен
логически мыслить. Ведь математика — это единственный предмет в школе,
представляющий собой мышление в чистом виде. Конечно, в технических
* В этом издании добавлены варианты за 1993-2016 гг. — Прим. рее).
** В настоящее время устный экзамен ие проводится. — Прим. ред.

22
Введение
вузах математика сама по себе необходима для изучения таких наук, как
физика, химия или, скажем, сопротивление материалов, но я рискну
утверждать, что экзамен по этой дисциплине введен в подобных вузах главным
образом потому, что руководство вуза мыслит так: «Если абитуриент
математику знает, то физике (химии, биологии, географии) уж мы его сумеем
обучить». Подтверждением этому служит тот факт, что в большинстве
технических вузов медалисты, сдавшие математику на «отлично», зачисляются
без дальнейших экзаменов, т.е. считается, что медалист, хорошо знающий
математику, может быть и хорошим географом или биологом.
Еще одно достоинство экзаменов по математике — четкость критериев
оценки знаний. Задача либо решена, либо нет — за редкими
исключениями любому ясно, почему поставлена та или иная оценка. Каким бы
парадоксальным это ни казалось, но экзамен по математике нужен не только
приемной комиссии (чтобы отобрать достойнейших), но и самому
абитуриенту, который в процессе подготовки к экзамену существенно поышает
свои мыслительные способности и, следовательно, получает больше шансов
хорошо учиться в вузе и преуспеть в дальнейшем.
2. Виды и уровни сложности экзаменов
Для того чтобы чрезмерно не загромождать изложение, я
рассматриваю лишь три уровня сложности вступительных задач по математике. В
конкретном вузе могут быть какие-то небольшие отличия от общей схемы.
Но все-таки опыт показывает, что человек может выбрать себе уровень
сложности (в зависимости от вуза — см. список ниже) и готовиться к
поступлению, решая задачи этого уровня.
Вы, вероятно, знаете, что в сборнике, изданном под редакцией М.И.
Сканави, задачи тоже разделены на три уровня сложности — они называются
(по возрастанию сложности) А, Б и В.
Уровни в настоящем сочинении отличаются от классификации Сканави.
Дело в том, что моя книга претендует на охват математики во всех взгзах,
а не только в технических, как у Сканави. Если попытаться их соотнести,
то, пожалуй, уровни А и Б у Сканави соответствуют моему уровню 1, а
его уровень В можно сравнить с уровнем 2. Впрочем, поскольку Сканави
относит к уровню В все задачи выше определенного уровня, среди уровня
В попадаются и задачи, относимые мной к уровню 3.
Попробую теперь описать описать уровни сложности, принятые за
основу в этой книге.
УРОВЕНЬ 1. Это уровень ликбеза по математике. Практически все
задачи, сюда относящиеся, решаются бездумным применением (в 1-2 шага)

2. Виды и уровни сложности экзаменов
23
формул и теорем школьного курса и рецептов, даваемых здесь. Хорошее
усвоение ликбеза даст возможность написать экзамен в соответствующих
вузах на четверку. Для того чтобы претендовать на пятерку, надо выйти
на положительную (т.е. не ниже 3) оценку при работе на уровне 2.
УРОВЕНЬ 2. Свободное владение уровнем ликбеза, плюс полное
понимание всех рецептов, плюс способность решать задачи с большим числом
логических шагов, упрощающих задачу. Этого хватит на четверку. Если
есть желание бороться за пять, надо освоить работу на уровне 3 с оценкой 4.
для чего потребуются еще и минимальные способности на месте
придумывать новые методы решения задач.
УРОВЕНЬ 3. Если вы хотите проскочить экзамен с тройкой, то
достаточно хорошо освоить уровень 2. Для наработки четверочного потенциала
вы должны
- блестяще решать задачи второго уровня;
- не только знать, но и уметь доказывать все рецепты и формулы (кроме
тех, про которые специально оговорено, что ими можно пользоваться без
доказательства);
- в 50% нестандартных случаев находить новые подходы к решению задач;
- делать не более одной ошибки из-за невнимательности на 10 задач.
Пятерочный потенциал для третьего уровня — вещь практически
недостижимая. Но, в общем, серьезной заявкой на таковой является итоговая
оценка работы за год, превосходящая 4,7 (о том, как выставлять себе
оценки, см. следующий параграф).
А вот список московских вузов с уровнями сложности их вступительных
экзаменов по математике.
УРОВЕНЬ 3. МГУ (мехмат и ВМК).
УРОВЕНЬ 2. МГУ (физфак, химфак, биофак, фак-т
фундаментальной медицины, геологический, психологический и экономический ф-
ты), Моск. авиационный (МАИ), Моск. инженерно-физич. (МИФИ), Моск.
инст. инженеров транспорта (МИИТ, фак-т прикл. математики),
Народного хоз-ваим. Плеханова (МИНХ), Радиотехники, электроники и автоматики
(МИРЭА), Управления им. Серго Орджоникидзе (МИУ), МФТИ (все
факультеты), Финансовая академия, Химико-технологический им. Д.И.
Менделеева.
УРОВЕНЬ 1. МГУ (почвенный, географический, филологический
и философский ф-ты, ИСАиА). Все остальные еще не упомянутые вузы
Москвы.

24
Введение
3. Устройство сего опуса
и инструкция по его применению
Данный труд устроен так, что просто читать его с начала до конца
невозможно, да и ни к чему. Он предназначен служить для вас чем-то
вроде репетитора. Поэтому и заниматься с ним надо как с репетитором —
конечно, насколько это возможно.
У книги, впрочем, есть кое-какие преимущества по сравнению с
репетитором. Она всегда у вас под рукой, всегда поможет и подскажет. Кроме
того, труд репетитора оплачивается в зависимости от того, сколько длится
урок. Это приводит к тому, что вам нужно осваивать материал за жестко
фиксированное время. Если вы работаете с книгой, вы можете разбирать
материал одного урока сколь угодно долго.
Как начать работу? Скорее всего, вам придется сдавать сначала пись-
■ менный экзамен. Вот расписанный по пунктам план вашей подготовки к
письменному экзамену.
1. Определите уровень трудности задач вашего вуза по списку,
приведенному в §2 введения. Если вы выбрали не московский вуз, то можете
смело считать, что на математические, физические, химические и
экономические специальности готовиться надо по уровню 2, а на все остальные
— по уровню 1.
2. Приступайте к работе над частью 1. Она начинается пятьюдесятью
уроками по подготовке к письменному экзамену.
Все уроки устроены одинаково. Сначала идет вступление, состоящее
из напоминания основных фактов, формул и теорем, которые нужны для
материала урока, а также различных ценных указаний и рецептов решений
определенных типов задач.
Сначала нужно хорошо освоить эту часть урока.
Если вы работаете на третьем уровне, добейтесь того, чтобы вы могли
наизусть повторить всю вводную часть и при этом доказать любое
утверждение или рецепт, данный в ней, если в ней же не оговорено противное.
Если вы работаете на втором уровне, добейтесь того, чтобы вы могли
повторить наизусть всю вводную часть и при этом доказать не менее
половины утверждений и рецептов, в ней сформулированных.
Для работы на первом уровне достаточно наизусть знать вводную часть.
3. Когда в вводной части все станет ясно, начинайте решать задачи
урока самостоятельно. Надо прочитать условие задачи, закрыв
следующее за ним решение. Если вам удалось, не подглядывая, решить задачу,
обязательно просмотрите и мое решение. Если оно такое же, как у вас,

3. Устройство сего опуса и инструкция по его применению 25
то вы можете увидеть, что упустили какие-то детали, или часть ответа,
или, наоборот, не отбросили те значения, что надо. Читая мои решения,
вы привыкнете к правильному оформлению решенных задач. Стремитесь
оформлять задачи так же, как я.
4. Теперь самое трудное. Как ставить себе оценку за задачу? Если
она решена абсолютно верно, что означает верный ответ и наличие всех
шагов решения с четкими обоснованиями, вы ставите себе отметку + (она
называется плюс) за эту задачу. Если есть незначительная ошибка, т.е.
-■ - арифметическая, повлиявшая на менее чем треть ответа, или
— пропущено доказательство одного из свойств в геометрической или
логической задаче при верном ответе, или
— - пропущено рассмотрение случая, который мог повлиять на ответ, но
не повлиял,
то поставьте себе оценку ± (она называется плюс-минус).
Если ход решения правильный, но из-за ошибок по невнимательности
— получено менее 2/3, но не менее половины правильного ответа, или
— найдена основная идея, упрощающая геометрическую или логическую
задачу, или
— в текстовой задаче правильно составлена система уравнений, или
— в геометрической идее не доказано главное свойство, упрощающее
задачу, но с использованием его получен правильный ответ,
то поставьте себе оценку =р (она называется минус-плюс).
Если задача решена меньше, чем на ^, поставьте себе — (эта оценка
называется, естественно, минус).
5. В конце многих уроков встречается фраза: «Оценку поставьте себе
стандартным образом». Это означает, что
— если у вас 90% чистых плюсов (в число которых можно включить два
плюс-минуса (но не минус-плюса!)), вы ставите себе 5.
— если у вас 75% чистых плюсов (в число которых можно включить два
плюс-минуса) и нет пятерки, то оценка 4.
— если у вас 50% чистых плюсов (никакие другие оценки в эту категорию
не допускаются), но нет четверки, то вы решили работу на 3.
— все остальное (например, 100% плюс-минусов) - двойка.
Такая система оценок применяется на вступительных экзаменах в МГУ
и многих других вузах.
6. Если на уроке или в домашнем задании дается задача, возле которой
ничего не стоит, то она предназначена для всех уровней, т.е. относится к
ликбезу. Если после нее стоит [2], то решать ее надо для уровней 2 и 3.
Знак [3] указывает, что задача предназначена для третьего уровня.
7. Стандартный урок состоит из 10 задач, после которых дается 20
домашних. Не стоит ставить себе цель пройти один урок за 90 минут, как

26
Введение
на занятии у репетитора. Все зависит от вашей подготовки, состояния и
склонностей. Какие-то уроки у вас пойдут трудно, какие-то, напротив, вы
сможете одолеть быстрее, чем за полтора часа. Ничего плохого нет в том,
чтобы разбить работу над уроком на три дня.
8. Оценка за домашнее задание ставится всегда по стандарту.
Никогда не решайте домашнее задание до конца урока, т.е. решения или раэбора
всех его задач, и даже в тот же день, когда вы закончили работу над
уроком. Домашнее задание должно быть действительно домашним заданием.
9. Как правило, проверки домашнего задания по ответам достаточно
для выставления оценки. Обязательно найдите ошибку у себя, если ответ
не сошелся. Это крайне важно. Если вы разовьете у себя возможность
смотреть как бы со стороны на свою работу, вы будете гарантированы от
ошибок на экзамене.
10. Если в решении домашней задачи важны какие-нибудь логические
ходы, я буду это отмечать в разделе «Ответы, указания, решения».
11. Делайте все, чтобы воспринимать эту книгу как репетитора.
Заведите себе день недели, к которому очередной урок и его домашнее задание
должны быть сделаны.
12. Распланируйте свою работу. Если вы начали заниматься в сентябре,
а экзамены — в июле, то вы обнаружите, что у вас в запасе нет 50 недель.
Значит, какие-то уроки должны быть пройдены быстрее, чем за неделю.
13. У вас, несомненно, возникнет проблема забывания того, что
пройдено. Если вы забыли какую-то ранее пройденную формулу, репетитор
поругает вас, но напомнит ее. Книга вас критиковать не будет (это в
принципе невозможно), но для того, чтобы подсказать вам то, что
потребовалось, в Справочнике я завел главу «Шпаргалки», в которой собраны
вводные сведения по всем урокам, так что вам не нужно долго рыться в
книге, отыскивая, на каком уроке что было и сам этот урок.
14. Упаси вас Бог считать, что эта книга может в одиночку служить
учебником школьной математики. Она — только дополнение к нему.
15. В нулевой главе я привожу некий теоретический материал, который
в школьных учебниках излагается плохо или вообще не излагается.
Проходить главу 3 Справочника надо всем, а главу 2 Справочника — на уровнях
2 и 3. Читать материал главы 2 Справочника надо в момент прохождения
данной темы на уроках, а именно
— §1 — Урок 35;
— §2 — урок 4;
— §3 — урок 9;
— §4 — урок 10;
— §5 — урок 17;

3. Устройство саго опуса и инструкция, по его применению 27
~~ §6 — уроки 18 и 19;
— §7 — урок 26.
Что касается главы 3 Справочника, то
— §1 проходится на уроке 1;
— §2 проходится на уроке 13;
— §3 проходится на уроке 25;
— §4 проходится на уроке 9;
-•- §5 проходится на уроке 11;
— §6 проходится на уроках 28 и 29.
16. Отмечайте в раз навсегда заведенной тетрадке по две оценки за
каждый пройденный вами урок — за классную работу и за домашнее
задание. Обязательно ставьте дату занятия.
17. После прохождения каждой главы устраивайте себе контрольную
работу-повтор. Задумайте заранее какое-либо число от 1 до 20 и возьмите по
одной задаче с этим номером из каждого домашнего задания предыдущей
главы. Вам может показаться, что это бессмысленно —- ведь вы уже
решали эти задачи. А вот попробуйте, порешайте в течение двух часов,
проверьте и поставьте себе оценку по стандарту. Присоедините эту оценку
к уже проставленным. Уверен, что здесь для вас будут сюрпризы. Цель
таких контрольных — добиться стабильного запоминания пройденных тем
и методов.
18. Есть ситуации, когда ясно, на какую оценку вы должны
рассчитывать и, соответственно, не тратить зря силы на более высокую. Это бывает
в следующих случаях:
а) вы еле-еле справляетесь или не справляетесь с троечными темами
письменного экзамена (уроки 1-5, 8-11, 13-15, 17-19, 22-24): понятие «еле-еле
справляться* означает не менее 25% двоек за домашние задания или наличие
двоек за классную работу. Указанные троечные темы — это тот минимум,
который надо освоить, чтобы написать экзамен на тройку наверняка.
Если они идут у вас плохо, не затрагивайте другие, обеспечьте себе сначала
тройку. При этом если задачи в классных и домашних заданиях кончились,
берите для тренировки соответствующие задачи из части III (с любых
факультетов) .
б) Уроки 16, 41, 42 и 45-50 предназначены для подготовки на пятерку. Не
приступайте к ним, если по остальным темам у вас есть тройки (или ниже),
или менее 75% пятерок за домашние задания, или менее 50% пятерок за
классную работу. Обеспечьте себе сначала четверку, проработав повторно
темы, в которых у вас есть пробелы.
в) У вас заведомо есть твердая тройка, но до четверки далеко (т.е. много
двоек в четверочных темах, или подавляющее большинство (> 75%) оценок

28
Введение
по четверочным темам не превосходит тройки). Рассчитайте свое время,
оставшееся до экзамена, и посмотрите, с какой скоростью вы должны
будете осваивать четверочные темы, чтобы успеть. Если такая скорость
вам не по силам, попробуйте готовиться на более высокую оценку по другим
предметам.
г) У вас заведомо есть твердая четверка, но до пятерки далеко (т.е.
много двоек в пятерочных темах, или подавляющее большинство (> 75%)
оценок по этим темам не превосходит тройки). Рассчитайте свое время,
оставшееся до экзамена, и посмотрите, с какой скоростью вы должны
будете осваивать пятерочные темы, чтобы успеть. Если такая скорость
вам не по силам, попробуйте готовиться на более высокую опенку по другим
предметам.
19. После того, как вы прошли уроки 1-50 (за исключением случая,
описанного в 18 а)), выведите себе среднюю оценку (с точностью до десятых
ее долей) просто как среднее арифметическое всех оценок за домашние и
классные задания.
20. Приступайте к работе над вариантами того уровня, на котором вы
работаете. Решать надо не более одного варианта в день, отведя себе на
него 4 часа -— как на экзамене. Решать его надо тоже как на экзамене, т.е.
не прерываясь на обед, прогулки и т.п. Разумеется, заглядывать в ответы
можно только через 4 часа после начала экзамена, т.е. все должно быть,
как в жизни — сначала окончание экзамена, а потом проверка. Лучше
даже, если вы отложите книгу и проверите ваше решение на следующий
день. Я, впрочем, отдаю себе отчет, какая для этого нужна сила воли, и
не настаиваю на этом. Но все мы должны стремиться к идеальному, и я
советую вам попробовать действовать именно так.
21. Для достоверной статистики надо решить не менее 20 вариантов.
Сравните среднюю оценку (вычисленную до десятых долей), полученную
за их решение, со средней оценкой за подготовку.
Слова благодарности
В произведении, представляемом на суд читателя, — под тысячу страниц
текста. Я писал без соавторов. Но, конечно же, без помощи замечательных
людей, окружавших меня в течение 10 месяцев работы над этой книгой,
она не могла бы появиться.
Я бесконечно благодарен Сипачевой О.В., которая
- достала для меня программное обеспечение настольной редакционно-
издательской системы T^jX;

Слова благодарности
29
- собственноручно установила его;
- придумала, как русифицировать эту систему;
- в течение всех этих десяти месяцев терпеливо выслушивала мои
проблемы в работе с ней и решала их.
Я благодарен моей ученице Харитоновой М., которая не только
прекрасно освоила мой курс, но и представила мне замечательный конспект моих
уроков.
Я благодарен Яшенко И.В., который научил меня не бояться компьютера.
Я благодарен сотрудникам приемных и экзаменационных комиссий МГУ
и других вузов, познакомивших меня с тонкостями работы экзаменаторов и
приемных комиссий, задачами «на засыпку» и т.п. Все они без исключения
почему-то (?!) захотели остаться неизвестными.

Часть I
СПРАВОЧНИК

Глава 1
Шпаргалки
1. Тригонометрия
Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из
четырех простейших:
(1) sin х — а <=>-
Г х = (—1)" arcsino + nir, neZ, если а ^ 1,
[ 0, если а > 1;
(2) cos ж — а <=$>
Г х — iarccoso 4- 2тт, п € Z, если а < 1,
 0, если а > 1;
(3) tgx — а <=> х = arctga + П7Г, п б Z;
(4) ctgx — a <=> х = arcctga + П7Г, га G Z.
Формулы (1)-(4) необходимо знать наизусть. Кроме того, желательно
знать наизусть следующие частные случаи формул (1) и (2), записанные в
более простом виде:
(5) sin х = 1 <=$■ х
(6) sin x — О <=Ф- х
(7) sin:r = -1 <=> х
(8) cos а; = 1 ^=> х
(9) cos х — 0 <=> ж
(10) cos:r = — 1 Ф-» ж
Следующие формулы служат для преобразования уравнений к
простейшим.
= — + 2тгп, п G Z:
— п-к, n£ Z;
7Г
= -- + 27гп, га G Z;
= 27гп, п 6 Z;
= - + 7т, п £ Z;
— 7Г + 2тгп, n £ Z.

34
Глава 1. Шпаргалки
11) sin(a: ±у) = sinascosy ±cosa:siny
12) eos(a: ± у) — cos x cos у ^p sin a: sin у
is) tgix±y)=^^y
l^tgartgy
14) sin2 x + cos2 x — 1
15) sin 2z = 2 sin x cos a:
16) cos 2x = cos2 a; — sin2 x = 2 cos2 x - 1 — 1 - 2 sin2 ж
16) tg2x=~^~
1 - tg^ x
17) 1 + tg2 x = —, 1 + ctg2 x = —о"
cos-2 x sin a;
18) sina: icosa: = V2sin(a: ± —)
2 1 - cos 2a: <> 1 + cos 2x
19) sin" x = , cos a; =
2 2
20) sin За: = 3 sin x — 4 sin3 x, cos 3a: = 4 cos3 x — 3 cos a:
Группировка и разложение на множители производится с помощью
следующих формул.
1) а2-&2 = (а-Ь)(0 + 6)
2) а3±Ь3 = (а±Ь){а2таЬ + Ь2)
ч * _l * sin(a:±y)
3) tga;±tgy = -
cos x cos у
4) а4 + Ь4 = (а2 + Ь2)2-2а2Ь2
5) а2 + b2 = (а + bf - 2ab
6) (а±-| =а* + Л±2
V а/ а*
Третий метод упрощения тригонометрических уравнений — сведение их
к однородным уравнениям, т.е. к одному из уравнений вида
1) A sin х + В cos х = 0
2) A sin2 а: + В sin a: cos х + С cos2 a: — 0
— здесь А,В,С — какие-то числа.
Продемонстрируем сначала, как решать уравнения вида (2). Если оба
числа А, В равны нулю, то все просто. Пусть, например, А Ф 0.
Предположим, что cos а: = 0. Подставим это значение косинуса в уравнение (2).

1. Тригонометрия
35
Получим
A sin2 х + В smx ■ 0 + С ■ 0 = 0 -& A sin2 х = 0 <£> sin x = О,
чего не может быть, так как sin2 х + cos2 х — 1. Значит, cos ж ф 0 и можно
поделить (2) на cos2 ж. Получим уравнение Atg2 x + Btgx + С = 0 —
дальше ясно. Точно так же, при помощи деления на cos x или sin x, решается
уравнение (1). Отметим, что при решении подобной задачи на экзамене
обязательно приводить полное доказательство того, что cos а; ф О
или sin х ф 0. К уравнению (2) сводятся уравнения вида
Р sin2 х + Q cos2 x + R sin 2x + S cos 2x + T sin x cos x + U — 0
посредством формул sin 2a; = 2 sin x cos x, cos 2a; = cos2 x — sin x, 1 —
sin2 x + cos2 x.
(1) sin ж ± sin у = 2 sin cos—-—
, , x + у x — у
(2) cos x + cos у — 2 cos - cos—-—
(ч о ■ Х + У ■ Х~~У
(6) cos x — cos у — —2 sm —-— sm —-—
(4) sin ж sin у — -(cos(a; — y) — cos(x + y))
(5) sin x cos у — - (sin(a; + y) + sin(a; — y))
(6) cos ж cos у = -(cos(:r + y) + cos(:r ~ y))
Применять последнюю группу формул надо, когда тригонометрические
функции берутся от аргумента большой кратности (т.е. от Бх, 8х и т.п.).
При этом единственная надежда решающего состоит в том, что все плохое
сократится рано или поздно.
Метод вспомогательного аргумента
i гъ—г> ( ° Ь ^
a sm х ± о cos х = /az + bz ■  -=-. ■. sin a; ± , cos x =
= v ft2 + Ь2 (sin ж cos <р ± cos ж sin </?) =
= /а2 + Ь2 sin(:r ± <^),
где^ = агс8т7^р.

36
Глава 1. Шпаргалки
Пояснения: первое равенство выполняется просто потому, что если
внести /й2 + Ь2 под скобки, оно сократится со знаменателем первого и второго
слагаемых и получится левая часть формулы (1); для того, чтобы понять
второе равенство, заметим, что мы заменили , " й на cos ip, а выражение
на simp.
/аР- +Ь?
Напомним, что arcsini есть такое число а, что —~ ^ а ^ ^ и sin а = t.
Значит, прямо из определения арксинуса следует, что sunp = , £- % и,
тем самым, вторая замена выполнена обоснованно. Заметим далее, что
costp ^ 0, так как <р е [-|, ^}. Кроме того,
2 - 2 1 Ь2 а2
cos ip=l-sm ip=l- 2 =
и, значит, соз(р = .° ввиду того, что a > 0, и мы установили второе
равенство. Третье сразу вытекает из формулы синуса суммы-разности (см.
урок 1, формулу (11)).
Тригонометрические системы
Решение систем тригонометрических уравнений чаше всего сводится к
решению алгебраических систем относительно cos х, tg у, cos(x+y),sin(x+y)
и т.п.
Например, если мы привели исходную систему к системе вида
{ sin(:r + у) — 0 cos(a; — у) = 1,
то она эквивалентна линейной системе
(1) { х + у = П7г, п е Z х — у — 2for, к е Z,
откуда легко найти, что
(2) { х = {п + 2k)ir y=i(n-2fc)7r, n.fceZ.
Здесь необходимо особо отметить, что совершенно необходимо писать
разные целочисленные параметры при решении независимых простейших
уравнений, т.е. в системе (1) числа п и к должны быть обозначены разными
буквами. Если бы мы использовали одну и ту же букву, было бы потеряно
бесконечное множество решений, а именно множество таких пар (х, у),
задаваемых уравнениями (2), что в их определении пф к.
Еще одна идея, которая может использоваться при решении систем ---
это выражение одного переменного через другое и подстановка в другое
уравнение. Это можно сделать только в том случае, когда выразить одну
переменную через другую можно достаточно просто.

2. Уравнения и неравенства с модулями и радикалами 37
Например, если мы нашли, что х = у + пя, п € Z, и хотим подставить
вместо х его выражение через у в cos x, то придется рассмотреть два случая:
1) п нечетно, т.е. п = 2k + 1 для некоторого к 6 Z; тогда cos ж =
cos(y + тг + 2А;7г) = cos(y + 7г) = — cosy.
2) п четно, т.е. п — 1к для некоторого к б Z; тогда cos a; = cos(y + 2fc?r) =
cosy.
Если же трудно понять, как будут себя вести тригонометрические
функции при подстановке, лучше ее не применять.
Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции — это arcsina;, arccosa;, arctga;,
arcctg x.
у = arcsina; = (этот значок заменяет русскую фразу
«означает по определению, что*) у &. 2 ' 2 -!и sin у = х
у = arccosa; = у б [0,7г] и cosy = х
у = arctga; = у е (--, -) и tgy = х
у = arcctg а; = у е (0,7г) и ctgy = х
2. Уравнения и неравенства
с модулями и радикалами
Рациональные уравнения и неравенства
Для того чтобы решить любую задачу с модулями, необходимо знать
определение модуля числа а. Его можно дать, например, следующим
способом: . . [а, если а ^ О,
а — <
[ —а, если а ^ 0.
Пусть имеем уравнение |/(ж)| + д(х) — 0, где д(х) также может содержать
выражения с модулями. Это уравнение эквивалентно совокупности двух
систем: rf{x) + gix)=0j f-№+g(x)=0,
j f{x) + g(x)=0, (
№>о и I
f{x) .< 0.

38
Глава 1. Шпаргалку,
Необходимо отметить все нули подмодульных выражений на числовой
прямой. Они разобьют прямую на лучи и промежутки, на которых все
подмодульные выражения имеют постоянный знак. Надо определить этот
знак и раскрыть все модули, заменяя их подмодульными выражениями то
ли со знаком плюс, то ли со знаком минус в зависимости от знака под-
модульного выражения. Знак последнего можно, в принципе, определить,
подставляя в него точку из промежутка, не совпадающую ни с одним
из концов данного промежутка. После этого нужно решить
получившееся неравенство или уравнение (в котором уже нет модулей!) и выбрать
решения, принадлежащие данному промежутку.
Уравнения или неравенства называются рациональными, если левая и
правая их части есть суммы отношений многочленов. Решаются они
приведением к общему знаменателю, после которого надо разложить числитель
и знаменатель на простейшие множители и применить метод интервалов.
Опишем вкратце, как разлагать многочлены на множители. Многочлен
первой степени, т.е. вида ах + Ь, а ф 0, преобразуется так: ах + Ь =
а(х — (— £)). Если Х,Х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с, а ф О,
то ах2 --Ьх + с — а(х — xi)(x — Х2). Например, х2 — Ъх + 6 = (х — 2)(х — 3),
2х2 - х - 1 = 2(х - 1)(х - (-§)).
Если дан многочлен степени выше второй и известны его корни, то он
раскладывается аналогично квадратному трехчлену. Например, если дан
кубический многочлен ах3 + Ъх2 -- сх + d с корнями х, Х2, жз, то ах3 + Ъх2 +
cx+d — а{х—Х]){х — Х2){х — хз). Предположим, что числитель и знаменатель
уже разложены на множители. Я опишу метод интервалов на конкретном
примере. Пусть мы пришли к неравенству
m (x-3)2(x-7)3(x + l)^
(обязательно должно быть х — 2, а не 2 — ж, именно х — 7, а не 7 — х и
т.д. Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на —1 и меняя
одновременно его знак столько раз, сколько надо).
Отметим жирными точками нули числителя и прозрачными — нули
знаменателя (см. рис. 1). Если бы неравенство (1) было строгим, нужно
было бы все нули сделать прозрачными.
-4-1 2 3 7
Рис. 1 Рис. 2
После этого справа налево ведем змейку (рис. 2) по следующему правилу:
она приходит сверху, меняет знак на нечетной степени и сохраняет на
четной.

3. Алгебраические системы уравнений и неравенств 39
Теперь остается только выписать ответ: а; € [— 1,2)U{3}U[7, +oo). Важно
не забыть х = 3.
(1)
(2)
Приведем ряд эквивалентностей для освобождения от радикалов.
^ Г f(x) = (д(х))2
>/7Щ = як)
Ш?#)
(3)
(4)
(5)
vKx) > 9(х)
V7W < 9(х)
V№ ^ д(х)
 д(х) ^ о
 fix) > Ш)2
 9(х) > О
f f(x) > 0
I g(x) < о
; пх) > (д(х))2
I д(х) > О
/ fix) S* О
I д(х) < О
С fix) < ig(x))2
С /(ж) £ О
I <?(*) £ О
fix) < (<?(*))2
/(ж) ^ О
ff(x) ^ О
Напомним, что квадратные скобки означают, что каждая из систем,
ими объединенных, решается отдельно и дает отдельную часть ответа, т.е.
решения систем объединяются.
3. Алгебраические системы
уравнений и неравенств
Если в процессе решения появилось уравнение вида ах2 + Ьху + су2 ~ О,
то мы можем легко выразить х через у. Пусть, например, ж2 — 5ху+6у2 = 0.
Решим это уравнение как квадратное относительно х, считая у известным:
_ -Ъу ± у/2Ъу2 - 4 • 6у2 _ -5у ± у _ 0
х — - — - — zy, бу.
Значит, в частности, либо х = 2у, либо х = Зу и х2 — бжу + 6у2 =
(ж — 2у)(х — Зу) — последнее равенство тоже может пригодиться. Второй
метод более сложный. Он называется методом неопределенных
коэффициентов. Поясним его на примере. Пусть даны уравнения J jx+tyi=-l >

40
Глава 1. Шпаргалки
причем требуется отыскать 5х+у—2z. Указанная система не определяет
однозначно х,у и z. То же самое верно и для выражения 4x+y—2z. Однако раз
по условию задачи выражение 5х + у — 2z можно найти, его можно
представить как линейную комбинацию выражений x + y + z и 7х + 3у, т.е. найдутся
числа а и (3, такие, что 5ж 4- у — 2z = а(х + у + z) + (3(7х + Зу). Как найти
числа а и /?? Надо, раскрыв скобки, приравнять коэффициенты при x,y,z.
Посмотрите, как это делается: Ъх + у — 2z = а(х + у + z) + (3(7х + Зу) <=>
5x+y-2z = ax+ay+az+7/Зх+ЗРу -Ф=Ф 5ж+у-2;г = (a+7/3)x+(a+3(3)y+az.
А теперь, приравнивая коэффициенты при x,y,z, получаем систему
а + 7Р = 5
а + 3/? = 1 Ф=^ а = -2,/?= 1.
а = -2
Значит, 5ж + У - 22 = -2(ж + У + г) + 1(7ж + Зу) = -2 • 13 + (-9) = -35.
Последнее замечание перед решением задач. Помните, что решение
системы с двумя переменными есть пара чисел, с тремя — тройка, и
т.д. Например, ответ, записанный в виде х — 4, у = ±1, вообще говоря, не
имеет смысла. Надо писать (4,1), (4, —1) или •; х~1 , •; ^Z_x •
4. Текстовые задачи
Решение любой текстовой задачи складывается из трех основных
моментов:
1) удачного выбора неизвестных;
2) составления уравнений и формализации того, что требуется найти;
3) решения полученной системы уравнений и неравенств.
1) Практически всегда в задачах на движение выбор в качестве
неизвестных величин расстояний и скоростей приводит к успеху. Если вы составили
уравнения, а полученная система не решается, надо попробовать выбрать
другие неизвестные. Ни в коем случае не пугайтесь того, что у вас
слишком много неизвестных. Правильное составление системы превыше всего.
Кроме того, обращайте особое внимание на единицы измерения — они в
течение всего решения должны быть одинаковыми. Если это часы, то
время должно на протяжении всей задачи выражаться в часах, а не в минутах,
не должны в одном решении применяться километры и метры, и т.п.
2) Помните о том, что для превращения высказываний в тексте задачи
в уравнения вашей системы математических знаний вообще не надо
— необходим лишь здравый смысл. Практическое, заземленное мышление

4- Текстовые задачи
41
на уровне торговли на базаре гарантирует успех на 100%. Важно
обязательно сформулировать при помощи ваших переменных, что вы обязаны
найти, поскольку переменных может быть больше, чем уравнений, так что
все их найти будет просто невозможно.
3) Решение систем, которые в таких случаях возникают, было
рассмотрено на уроке 11. Отмечу здесь, что нужно все время помнить о том,
что ищется. Кроме того, в текстовых задачах все величины, как правило,
положительны (ибо в природе скорости и расстояния положительны).
Поэтому можно смело умножать, делить и возводить в квадрат получающиеся
уравнения и неравенства, не делая необходимых в таких случаях оговорок.
В задачах на работу за неизвестные, как правило, надо принимать
производительность — ее роль такова же, как роль скорости в задачах на
движение. Главное, как и в задачах на движение, — здравый смысл и
полное ваше понимание того, что вы делаете. К примеру, если вы пишете, что
х ■— производительность станка, вы должны уметь расшифровать, что это
значит — число деталей в минуту, или в час, или в день, и т.д. Бывают
такие задачи, в которых вообще не сказано, какая работа выполняется. Тогда
удобней ввести самим единицу работы, равную всей работе. Тогда
производительность есть часть всей работы, выполненная за единицу времени.
Следите за тем, чтобы единицы времени были одни и те же на протяжении
всей задачи.
Задачи на трубы, из которых что-то льется, есть также задачи на
работу. Здесь производительность трубы — это объем жидкости, протекающей
через нее за единицу времени.
Среди задач на работу бывают такие, где решающую роль играют
данные, являющиеся целыми числами. Тут уже никаких рецептов дать нельзя.
Чаще всего используется делимость и тот факт, что если тип — целые
числа со свойством т — п < 1, то m = п. Помните, что текстовые задачи,
где нужно использовать свойства целых чисел, всегда являются сложными
и их надо решать в последнюю очередь. Вы поймете, что в задаче важны
целые числа, после того, как составите систему уравнений и увидите, что
просто так найти из нее неизвестные невозможно.
В задачах на смеси, растворы и сплавы в качестве неизвестных удобно
выбирать либо весь вес (или объем) вещества, которое нас интересует
в смеси, либо его концентрацию, т.е. вес (или объем) данного вещества
в единице веса (или объема) смеси. Требования к здравому смыслу при
решении этих задач особенно высоки. Если вы исследуете смесь, держите в
памяти две ее характеристики: общее количество данного вещества в смеси
и количество данного вещества в 1 кг (или 1 л) смеси. Приведу пример
простейшего рассуждения, часто возникающего в задачах на смеси.
Пример. Пусть 17 литров раствора содержат 6 литров спирта. Сколько

42
Глава 1. Шпаргалки
спирта содержится в 9 литрах раствора?
Решение. В 17 литрах раствора — 6 литров спирта. Значит, в 1 литре
раствора — у^ литров спирта. Значит, в 9 литрах раствора — 9 • р- = ||
литра спирта.
Опыт показывает, что школьники не очень хорошо владеют процентами.
Поэтому советую вам избегать работы с ними. От процентов вещества в
данной смеси всегда можно перейти либо к его абсолютному количеству,
либо к концентрации.
Отмечу здесь некоторые свойства целых чисел, которые часто
применяются. Поступающие, как правило, знают их интуитивно, на уровне «все
понимаю, но сам ничего сказать не могу». Видимо, для вас будет достаточно
запомнить, как формулируются эти свойства для того, чтобы вы смогли их
впоследствии применять. В вашей вступительной работе вы можете
пользоваться всеми приводимыми ниже свойствами без доказательства. Однако
вам полезно знать, что доказательства некоторых из них (например, 4 и 5)
настолько сложны, что недоступны подавляющему большинству
школьников.
1. Натуральное число п делится на (натуральное) число к, если и только
если найдется такое натуральное I, что п = Ы. В частности, число
п четно, если и только если п — 21 для некоторого натурального I, n
делится на 3, если и только если п = Ы для некоторого натурального /,
и т.д.
2. Натуральное число п нечетно, если найдется натуральное / такое, что
п — 21 + 1. Число п дает при делении на к остаток г, если и только
если найдется такое натуральное /, что п = Ik + г. В частности, число
дает при делении на 3 остаток 1, если оно есть 3/ + 1 для некоторого
натурального I, оно дает при делении на 4 остаток 3, если оно есть 42 + 3
для некоторого I, и т.д.
3. Если ao,ai,...an — цифры (т.е. числа вида 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),
то тот факт, что число записывается цифрами anan_i.. . бцао (порядок
именно такой, как у меня, а черта наверху ставится, чтобы отличить это
число от произведения) означает, что это число равно ап ■ 10" + an-i ■
КГ-1 + ... + Я1 -10+ ао.
Например, число, состоящее из цифр х и у, равно Юж + у, а число,
состоящее из цифр х, у, z, равно 100а; + 10у + z.
4. Любое натуральное число единственным образом (с точностью до
перестановок) разлагается на простые множители.
5. Если ху делится нахиж взаимно просто с z, то у делится на z. Например,
если 7х делится на 3, то и а; делится на 3.
Как решать задачи на оптимальный выбор, подробно пояснено на
примерах задач 1-3 урока 16.

5. Прогрессии
43
5. Прогрессии
Последовательность чисел ai,a,2,...,an называется арифметической
прогрессией, если найдется такое число d, называемое разностью
прогрессии, что а2 = а + d.as = <ii + d,... ,ап = a^-i + d. Иными словами,
второй член получается из первого прибавлением числа d, третий
получается из второго прибавлением того же самого числа d, и т.д. Отсюда ясно,
что все члены прогрессии определяются ее первым членом и разностью. Я
отнес задачи на прогрессии к текстовым задачам, так как практически
любая задача на арифметические прогрессии решается составлением системы
уравнений относительно ai и d. Для того чтобы составить такую систему,
достаточно знать следующие формулы:
(1) ап = ai + (n- l)d,
/„ч . . ai +ап
(2) ai + ... + ап - п.
Здесь, конечно, имеется в виду, что ai,... ,ап — арифметическая
прогрессия.
Последовательность чисел bi,... ,bn называется геометрической
прогрессией, если bk ф 0 для всех к и найдется такое число q ф 0, называемое
знаменателем прогрессии, что fo = &i • Q, Ьз = ^2 • Q, ■ ■ ■ ,bn = bn-i • q.
Определение совершенно аналогично определению арифметической прогрессии
с заменой сложения на умножение. Требование, чтобы отличались от нуля
все члены и знаменатель прогрессии необходимо для того, чтобы
однозначно можно было определить прогрессию по любому члену и знаменателю, а
также сам знаменатель, если даны все члены прогрессии. Если допустить,
что могут быть члены прогрессии, равные нулю, то последовательность
0,0,.:. ,0 можно считать прогрессией со знаменателем 3 или 7 или V2, т.е.
знаменатель не определяется однозначным образом.
Если допустить, что знаменатель может быть равен нулю, то
последовательность 2,0,... ,0 является геометрической прогрессией с таким
знаменателем, но, зная знаменатель и второй член, мы никак не можем найти
первый — он может, в принципе, равняться любому числу.
Задачи на геометрические прогрессии решаются так же, как и задачи
на арифметические прогрессии — составлением системы уравнений
относительно by и q. Вот необходимые для этого формулы:
(3) bn = bi-qn'1,
(4) 6i +h + ... + bn = bi---^-.

44
Глава 1. Шпаргалки
Последнее замечание о названиях. Название «арифметическая
прогрессия» для последовательности а,... , ап проистекает от того факта, что
любой член прогрессии есть среднее арифметическое соседних с ним членов
(если они имеются), т.е. для любого натурального к если 1 < к < п, то
и к — о
Аналогично, если 6i,... , bn есть геометрическая прогрессия с
положительными членами, то каждый ее член равен среднему геометрическому
своих соседних (если они имеются), т.е. для любого натурального к если
1 < к < п, то bk ~ /Ьк- -bfe+i-
6. Показательные, логарифмические
и смешанные уравнения и неравенства
Начнем со свойств показательных функций. Первое, что необходимо
твердо запомнить, - - это то, что общая степенная функция у = ах имеет
смысл только при а > 0. При этом х может принимать любые значения. Тем
самым, если в вашем уравнении или неравенстве фигурирует выражение
f{x)a^x то к условиям, определяющим ОДЗ, надо отнести неравенство
/Or) > 0.
Скажу несколько слов, почему нельзя возводить неположительные числа
в произвольную степень. Действительно, вроде бы понятно, как возвести
— 1 в степень, равную 1/3. Однако, совершенно невозможно возвести это
число в степень 1/2, а уж что делать со степенью л/2, вообще представить
себе нельзя. Число 0 невозможно возвести в отрицательную степень.
Отсюда видно, что если бы мы задумали рассмотреть функцию у — {—1)х, то
ОДЗ для нее написать нам было бы не по силам. Впрочем, такую функцию,
определенную только для целых ж, мы рассматривали на наших уроках по
тригонометрии.
Приведу основные свойства степеней, при помощи которых
преобразуются показательные уравнения и неравенства.
(1) ах > 0 при всех b>0hieR
{l°ga &> если а > 0, Ь > О, а ф 1,
0, если а = 1,6 ф,
любое, если а = 6 = 1
(3) Если тип — натуральные числа, то а " = уат
(4> «_* = -i
ах

6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 45
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
ах+У = ахау
ах~У = —
гху = ^у = {ауу
[аЬУ = ахЪх
/ах _ ах
Уь) ~ ¥
а — 1, а —а
Кроме того, необходимо помнить, что при а > 1 функция у — ах возрастает,
а при 0 < а < 1 — убывает на всей прямой.
Подобно тригонометрическим, показательные уравнения и неравенства
решаются сведением к простейшим при помощи формул (1)—(10).
Вот список простейших уравнений и неравенств с указанием
равносильных переходов, устраняющих степени:
(11) а9{х) = ah{x а > 0, а ф 1 <=» д(х) = h(x)
{ д{х) = h(x)
(12)
f(x)9W = f(x)h^
(13)
/(s)'w > f(x)
h(x)
(14)
f(xy^ > f(x)h^
(15)
f{x)'W < f{x)h{*]
(16)
f(xyW < f{x)hM
I № > 0
r m =1
 g(x),h(x) определены
f g{x) > h(x)
I f(x) > 1
J ff(a;) < h(i)
Д 0</(ж)<1
7/(x)3*l
 g{x) ^ h{x)
f 0 < fix) ^ 1
Д $(x) ^ h{x)
'( g{x) < h(x)
I fix) > 1
f ff(x) > ВД
.1 0 < /(ar) < 1
"/ /И ^ 1
Г 0 < /(ar) ^ 1
Д g(x) ^ h{x)

46
Глава 1. Шпаргалки
Уравнения и неравенства с логарифмами
Самое главное, как всегда, — определение. Пусть о > О, Ь > 0, а ф 1.
Тогда loga Ь есть такое число с, что ас = Ь. Можно записать это определение
и так:
(1) al0g"6 = Ь, а> О, Ь>0, аф1.
Формулу (1) часто называют еще основным логарифмическим тождеством.
Полезно помнить, что это все-таки определение.
Логарифмические уравнения и неравенства, так же как показательные
и тригонометрические, приводятся к простейшим с помощью формул
преобразования логарифмов. Вот эти формулы:
(2) logQ 1=0, logea = l, а>0,аф1
(3) Ioga (be) = loga b + loga с, а,Ь,с>0,аф1
(4) logQ f " J = loga b - loga c, a, 6,0 0, а ф 1
(5) o£a(bx) = xogab, а,Ь>0,аф1
(6) lpg(a.) b=- logtt ft, a, b > 0, a ^ 1, x Ф 0
ж
(7) oga{bZn) = 2nloga b, a> 0,аф 1,Ьф0, п натуральное
(8) loga - = - loga b, а,Ь>0,аф1
(9) ogab=^-, a7b,c>0, а>Сф1
(10) logafc= ——. a,b>0, а,Ьф 1
Iogba'
Решение всех задач на логарифмы должно начинаться с
нахождения ОДЗ. В процессе преобразований необходимо постоянно следить за
ОДЗ и равносильностью преобразований. Например, формула (3) неверна,
если не все из чисел а, 6, с положительны. Если преобразовать выражение
oga(f(x)g(x)) по формуле (3), то можно просто потерять те корни ж, при
которых как f{x), так и д(х) отрицательны. Поэтому при решении
уравнений и неравенств пачезно применять следующие вариации формул (3) и
(4).
(11) 1оЕа(Ьс) = Ioga |6| + loga с, а > 0, Ь ■ с > 0, а ф 1
(12) log, (-c J = Ioga |6| - log, с, а > 0, b • с > 0, а ф 1

6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 47
Приведем теперь простейшие логарифмические уравнения и неравенства
и эквивалентные переходы, позволяющие избавляться от логарифмов.
(13)
bg/(x) д(х) = log/(3) h(x)
1
д(х) = h{x)
f(x) > О
д(х) > О
. f(x) ф 1
В частности, если а есть положительное число, не равное единице, то
(14)
l°ge 9{x) = bga g(x)
Г 9{х
 д{х.
) = Цх)
)>0
Заметим, что в формулах (13) и (14) вместо неравенства д{х) > 0 можно
было в каждой из систем записать неравенство h(x) > 0 — это все равно,
так как д(х) = h(x); можно при желании записать в систему оба эти
неравенства. Конечно же, разумней решать поменьше неравенств и, поскольку
все равно, какое из двух записать в систему, лучше взять то, которое проще.
Покажем, как избавляться от логарифмов в простейших неравенствах.
(15)
log/(a;) д{х) > log/(x) h{x)
(16)
l°ef{x) 9ix) > log/(x) h(x)
(17)
log/(x) g(x) < log/(x) h(x)
0 < f{x) < 1

48
Глава 1. Шпаргалки
(18)
!og/(x)0(aO =S bg/(x) h{x)
' g{x) ^ h(x)
g{x) > 0
, № > 1
h{x) ^ g{x)
h{x) > 0
0</(x) <1
Если вглядеться в формулы (15)—(18), то видно, что все они построены
по одной схеме: надо рассмотреть два случая — когда основание больше
единицы с сохранением неравенства и когда оно лежит между нулем и
единицей с заменой его на противоположное.
Приведу еще несколько следствий формул (15)—(18), которые заслуживают (
ного запоминания.
если а, Ь — числа иа>0,я/1, то toga f(x) = b <=> f(x) = а
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
если а > 0, а ф 1, то Ioga f(x) > b
если а > 0, а ф 1, то loga f(x) ^ b
если а > 0, а ф 1, то Ioga f(x) < b
если а > 0, а ф 1, то Ioga f(x) < 6
{
Г 0 < /(ж) <
I f(x) > a
Г 0 < f(x) ^
I Я*) > <Л
если а < 1
еми а > 1
Г /(ж) > аь, если а > 1
 0 < f{x) < аь,
f(x) > а
0 < f(x) < аь, если а < 1
0 < f(x) < а6, если а > 1
если а < 1
0 < /(ж) ^ аь, если а > 1
если а < 1
7. Производная и ее применения
Для того, чтобы научиться вычислять производные элементарных
функций, нужно для начала подобно таблице умножения запомнить наизусть
табличку производных самых наираспростейших функций. Вот она:
(1) С = 0 для любой константы С
(2) х' = 1
(3) (ж*)' — &ха~ , где а -— любое число, не зависящее от х
(4) (sin х)' = cos x
(5) (cos ж)' — —sin ж
1
(6)
(tg*)' =
COS2 X

7. Производная и ее применения
49
(7)
(ctga;)' = --
sin х
И опять-таки наизусть необходимо выучить следующие формулы, при
помощи которых можно поиски производных сложных функций сводить к
табличным случаям.
(8) (Cf(x))' = С fix), где С — константа, т.е. не функция, а число
(9) (f(x)±g(x))' = f'(x)±g'{x)
(10) (/(*) • g(x)Y = fx) ■ gix) + f(x) • g'(x)
(n) (f(x) = nx)-g{x)-f{x)-^(x)
(12)
9(x)j (50))2
(f(g(x))y = f'(g(x)).g'(x)
Заметим еще, что формула (12) позволяет вычислять производные от
функций, которые представлены в виде последовательного применения не
только двух, а любого числа функций. Например,
(f(g(h(x))))' = f(g(h(x))) ■ (д(Цх))У = f'(g(h(x))) ■ g'(h(x)) ■ ti(x).
Применения производной
Говорится, что функция у — f{x) возрастает на некотором промежутке
/, если для любых х,у £ I таких, что х < у, будет f(x) < f(y).
Геометрически это означает, что график функции идет подобно изображенному на
рис. 1:
у='М
Рис. 1
Рис. 2
Аналогично, если для любых х, у, х < у из промежутка / имеем f(x) >
f(y), то функция f{x) убывает на этом промежутке. График ее в этом
случае ведет себя примерно так, как на рис. 2.
Необходимо иметь в виду, что говорить о том, что функция, скажем,
возрастает, без упоминания промежутка бессмысленно. Типичная ошибка
здесь такова: поступающие хорошо знают, что если производная меньше
нуля, то функция убывает. При этом они часто забывают добавить дважды

50
Глава 1. Шпаргалки
«на промежутке». Если это проделать, то в результате получаем
следующее (уже верное) правило:
если производная функции f[x) больше (меньше) нуля во всех точ-
(**) ках некоторого промежутка, то f(x) возрастает (соответственно,
убывает) на промежутке.
Вот рецепты для анализа поведения функций на промежутках.
1) Для нахождения областей возрастания и убывания функции f(x) надо
найти Г(х) и решить неравенства f'(x) > 0 и f'{x) < 0. После этого
надо отобрать промежутки, на которых f'{x) > 0, и объявить, что на
каждом из них (отдельно!) функция возрастает; аналогично на каждом
из промежутков, где f'{x) < 0, исходная функция убывает.
2) Точки ОДЗ для f(x), в которых производная равна нулю или не
определена, называются критическими. Критическая точка а называется
точкой максимума, если найдутся такие числа р и q, что
р < а < q и /(о) ^ f(x) для любого х € [p,q).
Критическая точка называется точкой минимума, если найдутся такие
числа р и д, что
р < а < q и f(a) ^ f(x) для любого х G (р, q).
3) Если а — критическая точка, то ее характер (т.е. является ли она
точкой минимума или максимума) определяется следующим образом:
3.1) если найдутся числа р и q такие, что р < а < q и f'(x) > 0 при
р < х < а, но f'{x) < 0 при а < х < q, то а есть точка максимума;
3.2) если найдутся числа р и q такие, что р < а < q и fix) < 0 при
р < х < а, но f'(x) > 0 при а < х < q, то а есть точка минимума;
3.3) если найдутся числа р и q такие, что р < а < q и f'(x) имеет
одинаковый знак на интервалах {р,а) и (a, q), то а не является ни
точкой максимума, ни точкой минимума.
С первого взгляда может показаться, что эти правила трудно запомнить.
Но вы же хорошо помните, возрастает или убывает функция в зависимости
от знака производной. Если вы забыли, как определять характер точки,
нарисуйте числовую ось, на ней точку а и знак производной слева и справа
от а. Пусть, например, слева от а стоит знак минус, а справа — плюс (см.
рис. 3). На этом же рисунке изображено стрелкой слева от а, что функция
убывает на промежутке (р,а), а стрелкой справа, что она возрастает на
{a,q).
Две стрелки, нарисованные на картинке, напоминают график функции.
В действительности именно так себя будет вести сама функция, хотя
график ее, разумеется, не обязан состоять из прямых линий. Из этого
«графика» видно, что в точке а функция принимает наименьшее значение, т.е.
точка а есть точка минимума.

7. Производная и ее применения
51
гТ+,
Р a q p a q p a q
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
Если слева от а производная имеет знак плюс, а справа — минус, то
рис. 4 объясняет, почему получается точка максимума.
Если производная положительна слева и справа от а, то из рисунка 5
видно, почему а не есть ни точка минимума, ни точка максимума.
Аналогично выглядит ситуация, когда производная отрицательна как
слева, так и справа от а.
4) Пусть функция f(x) задана на некотором промежутке. Если требуется
найти наибольшее (наименьшее) ее значение на этом промежутке, то нужно
действовать следующим образом:
4.1) найти критические точки функции;
4.2) на промежутках знакопостоянства производной изобразить
стрелками, возрастает или убывает функция на данном промежутке;
4.3) из получившегося рисунка будет видно, какие точки есть точки
максимума, а какие — минимума;
4.5) вычислить значения в точках максимума (минимума) и на концах
промежутка; наибольшее (соответственно, наименьшее) из них и
будет наибольшим (соответственно, наименьшим) значением
функции на исходном промежутке.
Самое общее уравнение прямой имеет вид ах + by + с = О, где а, Ь,с —
произвольные числа, причем а и Ь не равны нулю одновременно. Заметим,
что если Ь ф 0, то оно эквивалентно уравнению у = — |х — | = рх + q, где
р = — f, q = — f • Если b — 0, то а ф 0, и получаем уравнение х = — ~.
Таким образом, уравнение любой прямой может быть приведено к одному
из двух видов: х = с или у — рх + q (здесь с,р, q — произвольные числа).
Проще всего разобраться со случаем, когда мы имеем уравнение х — с.
Оно задает прямую, параллельную оси Оу и пересекающую ось Ох в точке с
(см. рис. 1).
Геометрически совершенно понятно, почему именно такой вид у этой
прямой. Ведь в уравнении написано, что у данного множества точек все
абсциссы равны с, а прямая на рис. 1 есть как раз геометрическое место
точек, абсциссы которых равны с.

52
Глава 1. Шпаргалки
y=px+q
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
y=q
Пусть теперь мы имеем уравнение прямой вида
(1) y=px + q.
Анализируется оно следующим образом. Самые важные точки прямой
— это точки пересечения с осями. Если р ф О, то прямая пересекается с
каждой из осей. Точка (ж, у) лежит на оси Ох только если у = 0. Отсюда
рх + q = О <==> х = -3-. Тем самым, точка пересечения прямой (1)
с осью абсцисс имеет вид ( —^,0). Точка пересечения прямой (1) с осью
ординат получается, если мы положим х = 0. Получим точку (0,д). Если
мы нарисуем обе найденные на осях точки и соединим их прямой, получится
требуемый график (см. рис. 2).
Если же р = 0, то получим уравнение у — q. Соответствующая
прямая будет параллельна оси абсцисс и пересечет ось ординат в точке (0, q)
(рис. 3).
Оказывается, если прямая (1) образует с осью Ох угол а, отсчитываемый
против часовой стрелки (рис. 4), то tga = р.
y=px+q
На)=Г(а)(х-а)
Рис. 4
Рис. 5
В частности, прямая параллельна Ох, т.е. образует с этой осью угол 0,
если и только если р = 0. Кроме того, если даны прямые у — рх + qi и
у = P2X + q2, то они параллельны, если и только если образуют с Ох равные
углы, т.е. если pi = рг- Пусть дана функция f(x), у которой существует
производная f'(a) в некоторой точке а. Тогда к графику функции у — f(x)
можно провести в этой точке касательную (см. рис. 5), уравнение которой
записывается в виде
У - /(a) = f'(a)(x - а) *=Ф у = f'(a) ■ х + /(a) - а/'(о).

9. Теоремы об общих и прямоугольных треугольниках 53
Из того, что р = /'(а), следует, например, что касательная к графику
функции в точке а параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда
производная в этой точке равна нулю; две касательные в разных точках
параллельны, если и только если их производные в этих точках совпадают,
и т.п.
9. Теоремы об общих и прямоугольных
треугольниках
Следующие теоремы мы должны знать идеально.
1 , abc 1
(1) S = -aha =pr= — = -absinC = л/р{р - а){р - Ь)(р - с)
(2) с2 = а2 + Ь2 — 2ab cos С — теорема косинусов
(3) ——- = , - ■ = ——— = 2R — теорема синусов
v ! sin Л sin Б sin С
Естественно, и следствия этих теорем должны быть постоянно в нашей
памяти и в любой момент готовы к применению. Например, мы написали,
что S = aha и S = |absinC. Но, конечно же, будет и S — ^ЬНь — chc —
^be sin .А — ac sin В. Если нам нужно найти, например, радиус г вписанной
в треугольник окружности, то для него есть только одна формула —- г = -.
Если же мы ищем радиус R описанной окружности, то надо помнить четыре
возможности для поиска R: R — 2f?nA — ^Гв = 2sin"c ~ 7Т' ^ля поиска
площади таких возможностей еще больше и надо все их держать в памяти.
Теорема Пифагора — а2 + Ь2 = с2 — очевидным образом вытекает из
теоремы косинусов при С — . Хорошо нужно владеть определениями
тригонометрических функций: знать, что синус угла есть отношение
противолежащего катета к гипотенузе, косинус его -— отношение прилежащего
катета к гипотенузе, тангенс есть отношение противолежащего катета к
прилежащему, а котангенс — отношение прилежащего катета к
противолежащему.
Отсюда следует, что а — с sin А = с cos В = btg Л = bctgB, Ь = с cos A —
csinB = actgA = atgB,c=-s^j = -s^B = -^s = ^.Bcc приведенные
равенства вы должны знать наизусть; в худшем случае — уметь вывести
из определения.

54
Глава 1. Шпаргалки
10. Подобие, площади, параллелограммы
Два треугольника (соответственно, два четырехугольника) подобны,
если можно обозначить вершины одного из них через Л, В, С (А, В, С, D), а
другого — через А, В, С (соответственно, Аг, В±, С, В) так, что будет
ZA = ZAU ZB = ZBU ZC = ZCX (соответственно, ZA = ZAU ZB =
ZBU ZC = ZCU ZD = ZDX) и -ffifc = -^ = -^ (соответственно,
А В _ ВС _ CD _ AD -s
Т^Ш ~ ЖС^ ~ CTTh — Aid )•
Мы с вами должны хорошо знать три следующих признака признака
подобия треугольников. Треугольник ABC подобен треугольнику ABiCi
в каждом из следующих случаев:
1) если ZA = ZAU ZB = ZB±;
2) если ZA =/Л^и^=-Ж1;
3) если дГвГ = вТсГ = лТгГ-
Чаще всего подобие треугольников встречается в двух следующих
ситуациях.
Ситуация 1. В треугольнике ABC проведена прямая АС || АС (см.
рис. 1).
Рис. 2
Тогда треугольник ABC подобен треугольнику АВС (по первому
признаку —- ибо ZA = ZAi, ZC = ZC как внутренние односторонние углы
секущих АВ и ВС при параллельных прямых АС и АС).
Ситуация 2. Прямая АС пересекает продолжения сторон АВ и ВС
(см. рис. 2).
Тогда треугольник ABC подобен треугольнику АВС (по первому
признаку — ибо ZA = ZA, ZC — ZC как внутренние накрест лежащие углы
секущих ААу и СС при параллельных прямых АС и А±С_).

10. Подобие, площади, параллелограммы
55
Площади
Чаще всего нужно сводить задачу к поискам площадей треугольников,
разбивая при необходимости более сложные фигуры на треугольники. Для
сравнения площадей треугольников полезно применять следующие простые
факты:
Факт 1. Пусть треугольники ABC и АВС таковы, что их стороны
А] С В
АС, В
Рис. 3
Факт 2. Пусть треугольники ABC и АВС имеют общий угол С (см.
рис. 2). Тогда
Sabc _ АС ■ ВС
SAtBiC AC • ВС
Факт 3. Треугольники ABC и ABCi расположены так, что стороны
АВ и АВ параллельны, вершина С лежит на прямой АВ, а вершина С
лежит на прямой АВ (рис. 3). Тогда
Sabc = AB
SA^iC AiBi
Факт 4- Если треугольник ABC подобен треугольнику ABiCi, то
Sabc = ( АВ V = ( АС 2 _ ( ВС 2
т.е. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
АВ и AiBi лежат на одной прямой (рис. 1).
Тогда
Sabc АВ
Sa1b1c AiBi

56
Глава 1. Шпаргалки
Параллелограммы
1) Если диагонали произвольного выпуклого четырехугольника равны d
и d,2 и образуют угол а, то площадь четырехугольника может быть найдена
по формуле
S = ~did,2 sin a.
2) Для того чтобы в выпуклый четырехугольник ABCD можно было
вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы было АВ + CD —
BC + AD.
3) Для того чтобы вокруг выпуклого четырехугольника ABCD можно
было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма каких-
нибудь двух его противоположных углов равнялась 7Г.
4) Выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если и
только если его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
5) Площадь параллелограмма ABCD равна
S = AB-BC- sm(ZDAB) = АВ ■ h,
где h есть перпендикуляр, опущенный из точки В на сторону AD (т.е.
высота параллелограмма).
6) Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС равна
{AD + BC)-h,
где h есть перпендикуляр, опущенный из точки В на сторону AD (т.е.
высота трапеции).
7) Если ABCD — параллелограмм, то
АС2 + BD2 = 2{AD2 + AB2),
т.е. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
всех его сторон.
8) Параллелограмм описан вокруг некоторой окружности тогда и только
тогда, когда он является ромбом; он вписан в некоторую окружность, если
и только если является прямоуольником.
9) Ромб вписан в некоторую окружность, если и только если он есть
квадрат.
10) Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда,
когда она является равнобедренной.

11. Окружности и общие многоугольники
57
11. Окружности и общие многоугольники
1) Вписанный угол, т.е. угол, образованный
двумя хордами, исходящими из одной точки окружности,
равен по величине половине центрального угла,
опирающегося на ту же дугу (см. рис. 1), т.е. /3 = %.
На данном рисунке /? = Z.ACB — вписанный угол,
а а = Z.AOB — центральный.
Как следствие получаем, что два вписанных угла,
опирающихся на одну и ту же дугу, равны. Другое следствие состоит в
том, что вписанный угол равен 90°, если и только если он опирается на
диаметр.
2) Пусть точка А лежит вне окружности, АВ — касательная к
окружности, АС и AF — секущие (см. рис. 2). Тогда ADAC = AF ■ АЕ = АВ2, т.е.
квадрат касательной, проведенной к окружности из произвольной точки,
равен произведению любой секущей, проведенной из той же точки, на ее
внешнюю часть. В частности, если из одной точки проведены к
окружности две секущие, то произведения их длин на внешние части равны между
собой. Мы даже доказали этот факт (см. урок 28, задача 9).
3) Пусть хорды АВ и CD некоторой окружности пересекаются в точке О.
(см. рис. 3). Тогда АО • О В — СО • OD. Этот факт мы тоже доказали (в
задаче 8 урока 28).
/F
о/
Т/в
D
:. 3
1 ° N
Рис. 4
Рис. 2
4) Пусть мы имеем окружность с центром О радиуса г, точки А ж В
лежат на окружности, причем угол АОВ равен а (рис. 4). Тогда площадь
сектора АОВ равна т2а (угол а обязательно должен быть выражен в
радианах!). Площадь сегмента, ограниченного хордой АВ равна г2(а —
sin а). Длина дуги АВ равна га. В частности, площадь круга (т.е. сектора
при а = 27г) равна пг2, а длина окружности (т.е. дуги при а = 2-л") есть 2пг.
5) Если существует окружность, вписанная в многоугольник, то центр
ее лежит в точке пересечения всех биссектрис этого многоугольника. Если

58
Глава 1. Шпаргалки
существует окружность, описанная около многоугольника, то ее центр
лежит в точке пересечения всех серединных перпендикуляров к сторонам
многоугольника. Разумеется, все сказанное относится и к треугольникам,
с той лишь разницей, что у них всегда существуют и вписанная и описанная
окружности.
6) Окружности радиусов йиг касаются внешним образом тогда и только
тогда, когда расстояние между их центрами равно Я + г; их касание будет
внутренним, если и только если расстояние между их центрами равно Я —г.
1) Сумма углов произвольного выпуклого л-угольника равна ir(n — 2).
2) Правильный n-угольник может быть вписан в окружность и описан
около окружности.
3) Если а — сторона правильного n-угольника, то его площадь равна
па2 ctg~, радиус описанной около него окружности равен Я = 2 s?n w ,
n
радиус вписанной в него окружности равен fctg ^.
12. Геометрические места точек и задачи на
построение
В решении задачи на ГМТ должны присутствовать три момента:
1) предъявлено множество Р, про которое мы утверждаем, что оно —
искомое;
2) доказано, что каждая точка множества Р обладает заданным
свойством;
3) доказано, что нет других точек, обладающих данным свойством.
Тремя важнейшими ГМТ на плоскости являются следующие:
а) ГМТ, равноудаленных от точек А к В — это прямая,
перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину;
б) ГМТ, удаленных на расстояние R от данной точки О — это
окружность радиуса Я с центром в точке О;
в) ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден под
данным углом а (под этим для краткости понимает- о
ся множество таких точек М, что угол АМВ равен /'ха|С^ч
а) — это объединение двух дуг окружностей радиуса  Mjsty
Я = 2^па с ЦентРами на серединном перпендикуляре —"Д"—'
к отрезку АВ, лежащими на расстоянии Rcos^ от
прямой АВ (см. рис. 1), симметричных относительно Рис. 1
прямой АВ (точки Л и В не принадлежат этому
множеству). В частности, ГМТ, из которых данный отрезок виден под прямым
углом есть окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре.

12. Геометрические места точек и задачи на построение 59
Если мы знаем ГМТ Mj, определяемое свойством Pi, и ГМТ Мг,
определяемое свойством Р2, то ГМТ, для которых одновременно выполняются
свойства Pi и Pj, есть пересечение множеств Mi и М?,.
Общих рецептов нахождения ГМТ дать невозможно. Как правило,
можно понять, как устроено искомое ГМТ, если разбить данное свойство на
более простые, найти соответствующие более простые ГМТ и из них
построить искомое. Иногда удается удачно ввести систему координат и
записать данное свойство в виде формулы f(x, у) = 0. В этом случае помогут
методы из урока 25. Иногда нужно просто угадать хорошую
геометрическую закономерность, присутствующую в данном свойстве.
Важнейшими ГМТ в пространстве являются следующие:
а) ГМТ, удаленных на расстояние R > 0 от данной точки О, есть (по
определению) сфера радиуса R с центром в точке О.
б) ГМТ, равноудаленных от двух различных точек А и В, есть плоскость
Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.
в) ГМТ, равноудаленных от трех не лежащих на одной прямой точек А, В
и С есть прямая, перпендикулярная плоскости ABC и проходящая через
центр окружности, описанной около треугольника ABC
г) ГМТ, равноудаленных от сторон двугранного угла, есть его биссек-
тральная плоскость.
д) Геометрическим местом точек M(x,y,z) пространства с системой
координат Oxyz таких, что Ах + By + Cz + D — О (A,B,C,D — числа
такие, что А2+В2+С2 ф 0), является плоскость, перпендикулярная вектору
п{А,В,С}.
е) Уравнение (х - а)2 + (у — Ь)2 + [z — с)2 — R2, где R > 0, задает сферу
радиуса R с центром в точке 0(а, Ь, с).
Когда в задаче мы читаем «Построить циркулем и линейкой то-то и то-
то», мы отнюдь не обязаны где-то раздобыть циркуль и линейку, чтобы
вычертить то, что указано. Решение задачи на построение состоит в
описании последовательности операций, которые нужно проделать так
называемыми идеальными циркулем и линейкой для того, чтобы получить
нужную фигуру.
Что такое идеальный циркуль? Это нечто, чем можно проделывать
следующие операции:
Ц-1) провести окружность с центром в любой точке плоскости и
радиусом, равным длине любого наперед выбранного отрезка на плоскости;
Ц-2) найти точки пересечения проведенной окружности с любым наперед
заданным объектом на плоскости (окружностью, прямой, отрезком и т.п.),
если они (точки) имеются.

60
Глава 1. Шпаргалки
Идеальная линейка позволяет
Л-1) провести прямую через любые две заданные точки на плоскости;
Л-2) найти пересечение проведенной прямой с любыми доселе заданными
объектами на плоскости (правда, таковое может оказаться пустым).
При этом слово «найти* означает возможность далее применять операции
Ц-1, Ц-2 и Л-1, Л-2 к получившимся точкам, т.е. проводить через них
прямые, отмерять радиус и проводить окружности.
Задача на построение считается решенной, если
— точно указана последовательность операций;
— доказано, что в результате их применения получится нужная фигура;
— разобраны все возможные случаи, при которых задача имеет решение
и указано, сколько решений имеется.
На практике допускается вместо последовательности самих операций
(будем называть их элементарными) указывать последовательность блоков
операций, при условии, что вам ясно, как разложить каждый блок на
элементарные операции. Например, если на плоскости задана прямая и точка,
можно (и это будет делаться на данном уроке) считать одной операцией
проведение через заданную точку прямой, перпендикулярной данной или
параллельной данной. Выражение этих операций через элементарные
абитуриенты, как правило, проводят неплохо.
13. Свойства и расположение корней
квадратного трехчлена
1. (Необязательно квадратные) уравнения (или неравенства) называются
эквивалентными или равносильными, если множества их решений
совпадают.
2. Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет корни тогда и только тогда, когда
D = Ь2 - 4ас ^ 0.
3. Корнями квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с называются корни (если
они существуют) уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
4. Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет при а ф 0 не более двух корней.

13. Свойства и расположение корней квадратного трехчлена 61
5. (Теорема Виета). Пусть дано уравнение ах2 + Ьх + с = О и а ф 0. Если
Si и Хг — различные его корни, то
I *lX2 = f.
Если это уравнение имеет единственный корень х, то теорема Виета
остается верной, если положить х2 — х.
6. (Частный случай теоремы Виета). Если уравнение х2 + рх + q = О
имеет различные корни х ихг, то
( Xi +Х2- -р,
 ххх2 = q.
Если это уравнение имеет единственный корень xi, то указанные равенства
будут ВЫПОЛНЯТЬСЯ, еСЛИ ПОЛОЖИТЬ Х2 — Х.
7. Если уравнение х2 + рх + q = 0 имеет различные корни х и i2l то
имеет место тождество х2 + рх + q = (х — xi)(x — хч)-
Если имеется единственный корень х, то х2 + рх + q = (х — Xi)2.
8. Если уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет при а ф 0 два различных корня
х и X2, то имеет место тождество ах2 + Ьх + с — а(х — х){х — агг).
Если имеется единственный корень х, то ах2 +Ьх + с — а(х — х)2.
9. В частности, если известно, что хУ.хч — корни квадратного
уравнения с ненулевым коэффициентом при х2, то это уравнение можно записать
в виде х2 — (xi + Х2)х + хх2 — 0. Обратите внимание, что zi и х2 здесь —
конкретные числа, а ж — переменная.
10. Не рецептом, но помощью против логических трудностей при
решении задач с параметром можно считать выучивание наизусть фразы
о том, что требуется найти в задаче, и повторение ее (скажем,
100 раз) до тех пор, пока она сама неотвязно не будет вертеться
в голове. Эта вертящаяся в голове фраза поможет рассуждать в нужном
направлении.
Расположение корней
1. Прямая х — х0 — — ^ — ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Формула (1) показывает, что точка (хо,уа) является
вершиной параболы, где уа — }{хо) — iac4~b ■
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы — если
а > 0, то вверх, если а < 0, то вниз.
3. Дискриминант D = Ь2 — 4ас показывает, пересекается ли парабола с
осью абсцисс. При а > 0, D < 0 парабола «висит» над осью Ох (рис. 1).

62
Глава 1. Шпаргалки

тУ
О

О
У
*1
Ч
J
х=х„
X
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Если а > О и D = 0, то парабола касается сверху оси Ох (рис. 2).
Если о > 0 и D > 0, то парабола пересекает ось Ох в двух точках —
корнях параболы (рис. 3)
4. Если а < 0 и £> < 0, то парабола «висит» под осью Ох (рис. 4). В
случае, когда а < 0 и D = 0 она касается оси Ох снизу (рис. 5). В случае,
когда а < О и D > 0, парабола пересекает ось Ож в двух точках х и хг,
являющихся ее корнями (рис. 6).
О
О
х=х,
о
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Указанные свойства парабол позволяют доказать следующие факты,
касающиеся расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.
На первом уровне достаточно хорошо запомнить эти факты, на втором и
третьем необходимо уметь доказывать их.
5. Пусть f(x) — ах2 + Ьх + с и М — точка на оси абсцисс. Тогда оба
корня х и X2 трехчлена f(x) будут строго меньше М, если и только если
выполняются следующие условия:
а > О,
ха < т,
I ДМ) > о
или
а < О,
ха < М,
f(M) < 0.
Здесь f(M) = аМ2 +ЬМ + с — подстановка М вместо переменной
квадратного трехчлена. Ситуация проиллюстрирована на рисунках 7 и 8.
6. Если М — какое-то число, то х < М < х2 в том и только том случае,
когда а ■ f(M) < 0 (рис. 9).

13. Свойства и расположение корней квадратного трехчлена 63

0
У
 *Л
'f(M)
Ч±^М '
tv
8<0. f(M)>0
^•да
а>0, f(M)<0
/1
Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
7. Оба корня трехчлена f(x) больше некоторого числа М, если и только
если
' а > 0, ( а < О,
D ^ 0, £> ^ О,
или <
ха > М, ха> М,
ч /(М)>0 % /(Af) < 0;
см. рисунки 10 и 11.
Рис.
О
10
У
м /
С
Т",
*о *Л| >
f(N
Рис. 12
0
У
f(M)
А'
г>?
Л N х
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
8. Оба корня xi,X2 квадратного трехчлена f(x) лежат на интервале
(М, N), если и только если
а > 0,
х0 G (M,N), или
/(М) > 0,
/(ЛГ) > 0
(см. рисунки 12 и 13).
а < О,
ха 6 (М,ЛГ),
/(М) < О,
/(ЛГ) < О

64
Глава 1. Шпаргалки
И, наконец, отрезок [М,N] целиком лежит в интервале (х,Х2) тогда и
только тогда, когда а ■ f(M) < 0 и а ■ f(N) < О (см. рис. 14 и 15).
14. Реализация простейших логических
операций
Пусть дана система уравнений (или неравенств) с двумя переменными,
зависящая от параметра, причем требуется отыскать все значения
параметра, при которых она имеет единственное решение. Часто срабатывает
следующий прием: экспериментируя, находим, что если (xq, уо) — решение
системы, то и (-а^Уа) — тоже ее решение (не обязательно будет так, что
решение останется решением при замене знака xq, может быть, это
произойдет при замене у$ на уа + 1 и т.п. — поиск такой закономерности и
назван экспериментированием). Далее рассуждаем так: пусть параметр(ы)
таков(ы), что система имеет единственное решение (xq, уо). Тогда (—xq, уо)
— тоже решение системы, совпадающее с (xq, уо) (ибо последнее
единственно). Значит, xq — —х0 -ф=ф- ха = О, и уже можно подставить ха = 0 в
данную систему и найти уо и параметр(ы). После этого необходимо убедиться,
что найденные значения параметров удовлетворяют условию задачи. Для
этого их надо подставить в исходную систему и проверить, будет ли
решение (ж0,Уо) единственным.
Если требуется найти значения параметров, при которых два данных
уравнения (зависящие от параметров) эквивалентны, то чаще всего надо
угадать корень одного из них и подставить в другое. Это часто позволяет
найти параметры, которые потом еще необходимо проверить на предмет
выполнения условий задачи. Если логическое высказывание про а
нестандартно, надо стремиться упрощать его, разбивая на объединение более
простых, следя за тем, чтобы совокупность этих более простых высказываний
логически была в точности эквивалентна рассматриваемому. Часто
полезно воспользоваться методами, приведенными на уроке 25, и нарисовать на
плоскости множество решений данного уравнения (неравенства, системы).
Тогда логические высказывания о свойствах уравнения (неравенства,
системы) можно перевести на геометрический язык и понять, как решать задачу.
Вот пример такого перевода: каждое решение одной системы является
решением другой, если и только если множество решений первой системы,
нарисованное на плоскости, целиком лежит в множестве решений второй
системы.

15. Нестандартные задачи
65
15. Нестандартные задачи
Мажорантой данной функции f(x) на множестве Р (или множества А
чисел) называется такое число М, что либо f(x) ^ М для всех х £ Р,
либо f(x) ^ М для всех х £ Р (соответственно, z ^ М для всех ж из
Л или х "^ М для всех z £ А). Мы знаем много мажорант для известных
функций. Например, любое число, большее или равное 1, будет мажорантой
для функций sin ж и cos ж на любом множестве.
Основная идея метода мажорант (она, кстати, уже встречалась в
предыдущих главах) состоит в следующем:
Пусть мы имеем уравнение f(x) — g{x) и существует такое число М,
что для любого х из области определения f(x) и д(х) имеем f(x) ^ M и
д(х) ^ М. Тогда уравнение f(x) = д(х) эквивалентно системе
Г /(*) = м,
1 д(х) = М.
Как искать такое число М? Ну, это просто. Вы ведь владеете таким
мощным средством исследования функций как производная. С ее помощью
вы можете найти наибольшее значение функции /(х) и наименьшее
значение д(х). Если они совпадают, то за М можно принять их общее значение.
Но чаще всего производная не понадобится, если вы хорошо владеете
следующими неравенствами:
(1) а + - ^ 2 при и>0иа+-<-2 при а < О,
а а
причем равенство достигается только при а — ±1.
(2) ^—— ^ Vab при а ^ 0, 6^0,
причем равенство достигается только при а = Ь.
Впрочем, лучше всего осваивать метод мажорант в процессе решения
задач.
Часто используется монотонность функций. Например, если у вас, есть
уравнение f(x) = с и функция / возрастает, то она может принимать
значение с не более, чем в одной точке. А эту точку, как правило, можно
просто угадать.

66
Глава 1. Шпаргалки
Геометрический подход
Многие негеометрические задачи можно решить геометрическими
методами. Точнее было бы назвать эти методы координатными, поскольку
применение их состоит в изображении на координатной плоскости
графиков и множеств, относящихся к заданной ситуации, и, в зависимости от
геометрических свойств последних, упрощение рассматриваемой задачи.
Здесь требуется хорошее владение построением множеств на плоскости,
так что проверьте себя, решив две первых и две последних задачи урока 25.
Если есть проблемы, повторите этот урок, пожалуйста.
16. Основные формулы стереометрии
I. Основные теоремы стереометрии
1. Теоремы о параллельности прямых и
плоскостей
а) Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости,
то она параллельна самой плоскости.
б) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой
плоскости и пересекает эту другую плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна первой прямой.
в) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью,
то получившиеся две линии пересечения параллельны.
г) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны
соответственно двум пересекающимся прямым второй плоскости, то эти
плоскости параллельны.
2. Теоремы о перпендикулярности прямых и
д костей
а) Для того, чтобы прямая была перпендикулярна к
плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она
была перпендикулярна к двум произвольным
непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости.
б) Для того, чтобы прямая DE, лежащая в плоскости
Рис. 1 тг, была перпендикулярна наклонной АС к этой плос-

16. Основные формулы стереометрии
67
кости, необходимо и достаточно, чтобы DE была перпендикулярна к ее
проекции ВС (см. рис. 1). (Это чуть более общая теорема, чем та, что в
школе называется теоремой о трех перпендикулярах. Я для краткости буду
называть эту теорему теоремой о трех перпендикулярах).
в) Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то
они параллельны.
г) Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они
параллельны.
д) Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна и к другой.
е) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости,
то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
3. Скрещивающиеся прямые
а) Угол между скрещивающимися прямыми к а I определяется как угол
между прямой к и любой прямой, пересекающейся с к и параллельной I.
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми находится как
расстояние от одной из этих прямых до плоскости, содержащей другую прямую
и параллельной первой прямой.
4. Круглые тела
а) Если из точки, лежащей вне сферы, к этой сфере проведены две
касательные, то длины их равны.
б) Если из точки Л, лежащей вне сферы, к сфере проведены секущая
ABC (В и С --- точки ее пересечения со сферой) и касательная AD, то
АВАС = AD2.
в) Если дана сфера с центром О и плоскость 7г касается сферы в точке
А, то радиус О А перпендикулярен плоскости 7г.
II. Основные формулы стереометрии
1. Призма
а) Площадь боковой поверхности призмы равна боковому ребру,
умноженному на периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной
боковым ребрам.
б) Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
в) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру ее
основания, умноженному на высоту.

68
Глава 1. Шпаргалки
2. Пирамида
а) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее
основания на высоту (т.е. V = | ■ S ■ Н, где S — площадь основания, а Я —
высота).
б) Объем усеченной пирамиды с площадями оснований Si и S2 и высотой
Н равен V = |(5i + 52 + y/S^)H.
в) Объем любого многогранника (и, в частности, пирамиды), описанного
около шара радиуса R, равен V — ^SR, где S — площадь полной
поверхности многогранника.
3. Цилиндр
а) Площадь боковой поверхности цилиндра равна S — 2ttRH, где R —
радиус основания и Н — высота.
б) Объем цилиндра равен V — ttR2H.
4. Прямой круговой конус
а) Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса с радиусом
R и высотой Н равна тг#/Д2 + Я2.
б) Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
S = тг(Д1 + R2)L,
где Ri и R2 — радиусы оснований, al — образующая.
в) Объем (не обязательно прямого кругового) конуса равен V = ^SH,
где S — площадь основания, Н — высота.
г) Объем усеченного конуса равен V — {S + S2 -- /SiS2)H: где Si и 5г
— площади оснований и Н — высота.
5. Сфера, шар
а) Площадь сферы равна 5 = 47гЛ2, где Л — ее радиус.
б) Площадь шарового сегмента равна 2irRH, где Н - — высота сегмента.
в) Объем шара равен V — |7гй3.
г) Объем шарового сегмента равен V — itH2(R —у).
17. Векторы
Под вектором обычно понимается направленный отрезок (на плоскости
или в пространстве). Слово «направленный» означает, что он отличается от
обычного отрезка тем, что один его конец называется началом, а другой
—■ концом (прошу прощения за выражение вконец называется концом», но,
видимо, никак иначе сказать нельзя). При этом для того, чтобы сразу

17. Векторы
69
видно было, где начало вектора, а где его конец, над ним рисуется стрелка.
Например, запись АВ означает, что начало вектора есть точка А, а его
конец — точка В. Начало и конец вектора могут совпадать. В этом случае
он называется нулевым вектором. Иногда стрелка будет стоять над одной
буквой (например, х). Это означает, что х есть некий вектор, конец и
начало которого не указываются.
Векторы АВ и CD, лежащие на разных прямых, называются равными,
если АВ || CD и AC \ BD. Если эти векторы лежат на одной прямой,
то они равны в том и только том случае, когда АВ = CD и один из
лучей, порожденных этими векторами, содержится в другом. При этом
луч, порожденный вектором АВ, есть множество всех точек прямой АВ,
лежащих с той же стороны от А, что и точка В.
На интуитивном уровне можно понимать равенство векторов АВ и CD
как возможность некоторым параллельным переносом перевести точку А
в точку С и одновременно точку В в точку D. Кроме того мы не будем
различать равные векторы. Выгода от этого будет видна в дальнейшем.
Напомню еще, что умножение вектора $ на число а дает вектор а ■ х ,
параллельный х, длина которого есть длина х, умноженная на а, одинаково
направленный с х (в очевидном смысле), если а > 0, и направленный
противоположно, если а < 0.
Легко проверяется, что если в пространстве (на плоскости) заданы
вектор 3 и произвольная точка А, то существует такая точка В пространства
(плоскости), что векторы АВ и х равны.
Векторы можно складывать друг с другом. Это можно делать, применяя
любое из двух правил:
- правило треугольника: если даны векторы х и у, то нужно выбрать
точки Д В и С так, чтобы было АВ — х, а. ВС ~ у (убедитесь сами,
что это всегда возможно). Тогда х + у есть по определению вектор АС.
- правило параллелограмма: нужно выбрать точки A,B,Cw.D так, чтобы
было АВ — S, АС = у и чтобы четырехугольник ABDC был
параллелограммом. Тогда AD = х + у.
По определению х - у = х + (—1) • у.
Последняя операция над векторами, которую мы должны уметь
производить, — это скалярное произведение. Если даны векторы х и у, то их
скалярным произведением (х, у) называется произведение длин этих
векторов (обозначаемых далее х и jy|) на косинус угла между ними. Ясно, что,
в частности, (х, х) = х2.
Векторы в пространстве (на плоскости) можно задавать координатами.
Делается это так. Пусть х — произвольный вектор пространства
(плоскости), в котором (на которой) задана координатная система Oxyz (coot-

70
Глава 1. Шпаргалки
ветственно Оху). Выберем такую точку А пространства (плоскости), что
О А — х. Тогда координаты точки А есть по определению координаты
вектора £. При этом будет употребляться запись £ = {а,Ь,с}, где а,Ь,с —
координаты точки А.
Если х = {ai, bi,ci}, у = {а2, Е>2)Сг} и а —- произвольное число, то
х + у = {aY +a2,h + Ь2,с1 + с2}, х-у = {ai-a2,bi-b2,ci-c2] и
а ■ £ — {а ■ а, а • Ь, а ■ с}.
Если даны точки A{xi,yi,z{) и B(x2,y2,Z2), то вектор АВ имеет
координаты {х2 - Xi, y2 -Vl,Z-2 - -Zi}.
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.
Если даны векторы х — {ai,bi,ci} и у = {^2^21^2}, то их скалярное
произведение вычисляется по формуле
[£,у) - ai«2 + hb2 + cC2.
В частности, |ж| = ^(х,х) — у/а + Ъ+ с. Кроме того, из определения
скалярного произведения следует, что угол <р между векторами х и у
определяется из соотношения
- ^'^ - aiQ2 +&1&2 +CjC2
Av V^i + Ь? + cf ■ у/а* + Щ + cf"
В частности, векторы х шу перпендикулярны тогда и только тогда, когда
ага2 + ЬгЬ2 + СС2 — 0.
Единичный (т.е. единичной длины) вектор :?о, сонаправленный с
вектором х, находится по формуле
г°= k
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они
параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Ненулевые
векторы х иу коллинеарны, если и только если найдется такое число а, что
а ■ х = у.

Глава 2
Некоторые доказательства
1. Формула корней квадратного уравнения
Пусть дано квадратное уравнение ах2+Ьх+с = 0, где а ф 0. Преобразуем
его эквивалентным образом:
ах2 + Ьх + с ~ 0
х + - ■ х -— =0 (поделили на а Ф 0)
а а -Л-
l2 + 2.A.I+m2_(i.y + £ = 0
2а V2aV V2a/ a
(i) U +
2a)
fc2 с _ b2 — Aac
4a2 a 4a2
Если D = fe2—4ac < 0, то квадрат слева равен отрицательному числу справа,
чего быть не может, т.е. решений нет.
Если D — 0, то уравнение равносильно тому, что х + ~^ — 0, т.е. в этом
случае имеется единственное решение х — — ^.
Наконец, если D > 0, то уравнение (1) эквивалентно тому, что
Ъ y/D -b±y/D
х+ —- = ± <=$■ х = ,
2а 2а 2а
и уравнение имеет два корня
-Ь-у/Ъ2-4ас -6 + /Ь2 - 4ас
х = и х = _
2а 2а
что и требовалось доказать.

72
Глава 2. Некоторые доказательства
Следствие 1. В случае, когда квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 (а ф
0) имеет корни х и х2 (при D = 0 считаем, что есть два совпадающих
корня), имеют место равенства
Г Х!+Х2 = -£,
I ^1^2 = f,
называемые теоремой Виета и проверяемые непосредственной
подстановкой.
Следствие 2. В случае, когда квадратное уравнение ах +Ьх --с = 0 (а ф
0) имеет корни х и х2 (при D = 0 считаем, что есть два совпадающих
корня), для любого х имеет место равенство
а(х — xi)(x — х2) = ах2 + Ьх + с.
Доказательство. Оно состоит в тривиальном раскрытии скобок:
а(х - х){х - жг) = а(х2 — (х + х2)х + xix2) =
= а ( х'2 - ( — ) х + - ) = ах2 + Ьх + с
— мы, естественно, воспользовались теоремой Виета.
2. Тригонометрические формулы
Самые трудные доказательства — у формул синуса и косинуса суммы.
Я начну с этих формул и выведу из них все остальные.
Напомню, что косинус угла в а радиан есть абсцисса такой точки М на
тригонометрическом круге, что угол, который составляет отрезок ОМ с
осью Ох (О — начало координат), измеряемый при вращении отрезка [0,1]
оси Ох против часовой стрелки, равен а (рис. 1).
Рис. 1
Рис. 2
Для произвольных а и /3 возьмем на круге точку М, определяющую угол
а, и точку Р, определяющую угол /3 (рис. 2).

2. Тригонометрические формулы
73
По определению синуса и косинуса имеем
ОМ — {cos q, sin а} и OP - {cos/?, sin/?}.
Эти равенства в координатах означают, что если мы возьмем векторы
ei — {1,0} и е2 = {0,1}, то векторы ОМ и OF запишутся в виде
(ОМ — cos а • ё + sin a ■ е2,
OF = cos^ • ei -f-sin/3 ■ e2.
Теперь рассмотрим систему координат Ох'у' с началом О, ось Ох1
которой идет по прямой ОМ, а ось Оу' — по прямой ON, перпендикулярной
ОМ (рис. 2).
Ясно, что угол от оси ОМ до ОР в этой новой системе координат будет
равен 0 — а, а роль векторов е. и е2 будут играть соответственно векторы
Из перпендикулярности ON и ОМ следует, что
ON — /2 = {—sin a, cos a}.
В системе координат Ож'у' вектор OF разложится по составляющим
векторам /i и /2 следующим образом:
OF = cos(^ - а) ■ /1 + sm(/3 - а) • /2.
Приравняем найденный двумя разными способами вектор OF:
OP = cos(/3 — а) ■ /i 4- sin(/3 — а) • /г — cos/? • е + sin/3 ■ е2.
Теперь подставим в это равенство выражения векторов /i и /з через
векторы ei и е2:
cos(/? — а) ■ (cos а • ei + since ■ е2) 4- sin(/3 — а) ■ (—sin а ■ е 4- cos а ■ е2) =
— (cos(/?-q) coscv-sin(/?-a) sina)ei+ (cos(/3 —a)sina4-sin(/?-a) cosa)e2 =
= cos 0 ■ ei + sin 0 ■ e2.
Теперь мы имеем право приравнять коэффициенты при векторах ei ис2,
ибо два вектора равны, если и только если равны их координаты, а
коэффициенты при названных векторах и есть координаты этих векторов.
Итак, имеем два равенства:
Г cos(/? — a) cos a — sin(/3 - a) sin a — cos 0
 cos(/3 - a) sin a + sm(/? — a) cos a — sin 0.
Они выполняются для произвольных an 0, так что можно положить 0 — а —
х, а — у. Тогда 0 — х + у и мы получим
Г cos(z + у) = cos х cos у — sin ж sin у
 sin(:r + у) = sin х cos у + cos x sin у.

74
Глава 2. Некоторые доказательства
Подставляя в равенства (1) —у вместо у и пользуясь тем, что sin(—у) =
— siny, cos(-y) = cosy, получим формулы для синуса и косинуса разности:
(2)
( сой(ж — у) — cos х cos у + sin x sin у,
 sin(a; — у) — sin x cos у — cos x sin у.
Проще всего из формул (1) выводятся формулы двойных углов.
sin 2х = sin(a; + х) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x,
cos 2z = cos(z 4- х) = cos ж cos ж - sin a: sin ж = cos2 x — sin" ж.
Если точка М(х, у) на тригонометрическом круге задает угол а, то х =
cos а и у = sin а. По теореме Пифагора имеем
1 = ОМ2 = х2 +у2 = sin a + cos2 a
2 _в
и мы доказали основное тригонометрическое тождество. С его помощью
можно получить выражения для cos 2x через sin x и через cos x.
Если мы сложим правые части выражений для cos(x + у) и cos(a; — у), то
получим, что
(3) cos(a: + у) + cos(z — у) = 2 cos ж cos у.
Если положить ж + у = аиж — у — Р, то, очевидно, будет ж = ^^ и у = ^^
— получаем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:
_ _ а + Р а- в
cos a + cos /7 = 2 cos -■- cos ———.
Совершенно аналогично получаются все остальные формулы
преобразования сумм в произведения. Если поделить на 2 обе части формулы (3), то
получим формулу преобразования произведения косинусов в сумму.
Остальные формулы преобразования произведений в сумму
доказываются аналогично.
Выведем еще формулу тангенса суммы:
sin(a;-by) sin x cos у + cos x sin у
ts,(x + у) — —■— - = - -.
cos(a; 4- у) cos х cos у — sin x sin у
Теперь поделим числитель и знаменатель на cos x cos у (в предположении,
что это произведение не равно нулю):
sin i cos у • cos x sin у
tg(z + у) =
COS X COS у ' COS X COS у *ё X + tg У
cos з: cos jy | sin д sin у -i to* 7* ft? 7У
COS T. COS J( Г COS X COS у

3. Метод интервалов
75
3. Метод интервалов
Предположим, что мы имеем неравенство
/(ж) п /(ж) п /(ж) f{x) п
J-)-i ^ О, или ~{ ^ О, или J-^- > О, или Ц-$- < О,
9W 9{х) 9[х) д{х)
где f(x) и д(ж) — многочлены, причем они уже разложены на простейшие
множители, т.е. являются произведениями многочленов вида х — а.
Я опишу метод интервалов на конкретном примере. Пусть мы пришли к
неравенству
m (ж-3)2(ж-7)3(ж + 1)
{ } (ж-2)(ж + 4)4
(обязательно должно быть (ж — 2), а не 2 — х, именно х — 7, а не 7 — жи
т.д. Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на —1 и меняя
одновременно его знак столько раз, сколько надо).
Отметим жирными точками нули числителя и прозрачными — нули
знаменателя (см. рис. 1). Если бы неравенство (1) было строгим, нужно
было бы все нули сделать прозрачными.
-4-12 3 7
Рис. 1
После этого справа налево ведем змейку (рис. 2) по следующему правилу:
она приходит сверху, меняет знак на нечетной степени и сохраняет на
четной.
Теперь остается только выписать ответ: же [—1, 2)U{3}U[7,+оо). Важно
не забыть ж = 3.
Докажем, что этот ответ действительно такой, как написан. В самом
деле, если ж > 7, то все сомножители и в числителе и в знаменателе строго
больше нуля. Значит, дробь сама больше нуля и мы доказали, что «змейка
приходит сверху».
Следующий интервал, который мы должны рассмотреть, — это (3,7).
Но при переходе через 7 все сомножители дроби, кроме одного (а
именно, х — 7), остались без изменения. Сомножитель ж — 7 изменил знак на
противоположный, так что и вся дробь меняет знак и змейка идет в минус.
Следующий интервал — (2,3). По сравнению с предыдущей ситуацией,
только один сомножитель (а именно, ж — 3) изменил свой знак на
противоположный. Но этот сомножитель стоит в квадрате. Значит, дробь не изменит

76
Глава 2. Некоторые доказательства
знак, и на этом интервале змейка будет идти также в минусе. Дальше
рассуждения идентичны. Какой бы ни был знак дроби на интервале между
корнями, при переходе через очередной корень а только сомножитель х — а
меняет знак. Если он стоит в четной степени, то ясно, что дробь знака
не изменит и змейка останется там же, где шла. Если же х — а стоит в
нечетной степени, то вслед за изменением знака у х — а изменится знак у
всей дроби и змейку нужно рисовать в другом знаке.
Проведенное рассуждение доказывает, что получился правильный ответ
на интервалах между корнями. Ясно, что если неравенство строгое, то на
концах выбранных интервалов дробь либо равна нулю (если х — а стоит в
числителе), либо не определена (если х — а стоит в знаменателе), и ни то,
ни другое нам не годится.
Если же неравенство нестрогое, то к его решениям относятся те числа,
для которых дробь определена и обращается в нуль, т.е. мы должны
отобрать нули числителя и отбросить нули знаменателя, что и было сделано
выше.
4. Простейшие случаи раскрывания
радикалов
(1)
Я докажу, что имеют место следующие эквивалентности.
(2)
(3)
(4)
(5)
л/ТЩ = д(х)
у/ТЫ > д[х)
/W) > д(х)
J fix) < д(х) <=
V№ < д{х)
д(х) > О
д(х) ^ О
fix) Ъ О
д{х) < О
№ > Ш?
д(х) > О
f(x) ^ О
)<0
' /(*) < Ш?
=► I f(x) 5s О
. д(х) > о
< f{x) s£ {g{x)f
fix) ^ 0
I д{х) > О
{
{
{
[fix]
Ц д{х)

4- Простейшие случаи раскрывания радикалов 77
Напомним, что квадратные скобки означают, что каждая из систем,
ими объединенных, решается отдельно и дает отдельную часть ответа, т.е.
решения систем объединяются.
Займемся эквивалентностью (1). Что значит доказать, что левая часть
эквивалентна правой? Надо взять произвольное решение левой части и
доказать, что оно будет и решением правой; и наоборот, что любое решение
правой части будет удовлетворять левому уравнению.
Пусть х — какое-нибудь решение уравнения Jf{x) — g{x). Тогда
радикал /f(x) имеет смысл и, согласно определению радикала, неотрицателен.
Но д(х) равно этому значению радикала и, тем самым, д(х) ^ 0. Кроме
того, числа /f{x) и д(х) равны, а значит, и их квадраты равны, и мы
доказали, что число х удовлетворяет правой системе (т.е. мы установили,
что д(х) ^ 0 и /(яг) = (д(х))2).
Обратно, пусть х удовлетворяет правой системе, т.е. д(х) ^ 0 и f(x) =
{д{х))2. Число f(x) равно квадрату д{х) и, следовательно, неотрицательно.
Из равенства двух неотрицательных чисел следует равенство квадратных
корней из них. Значит,
Последнее равенство выполняется, так как д{х) ^ 0. Мы доказали, что если
х удовлетворяет правой системе, то /f(x) — д{х), т.е. х удовлетворяет
левому уравнению и эквивалентность (1) полностью доказана.
Мы докажем эквивалентности (2) и (3) сразу. При этом мы будем
доказывать (2), но это доказательство превращается в доказательство (3)
путем замены в очевидных местах знака > на знак >.
Пусть х удовлетворяет левому неравенству. Тогда либо д(х) ^ 0, либо
д{х) < о.
Если д(х) < 0, то, поскольку /f(x) определено, имеем f(x) ^ 0 и, значит,
в этом случае выполняется вторая из систем правой части.
Если д(х) ^ 0, то имеем неравенство ^ между двумя неотрицательными
числами /flx) и д{х). Из неотрицательности этих чисел следует, что такое
же неравенство связывает и их квадраты, т.е. f(x) ^ {д{х))2, и мы доказали,
что в этом случае выполняется первая из систем.
Следовательно, если х есть решение левого неравенства, то выполняется
одна из систем справа.
Обратно, пусть для х выполняется первая система справа. Тогда
f(x) ^ 0, так как f(x) не меньше, чем квадрат неотрицательного числа д(х).
Второе неравенство системы говорит, что д(х) ^ 0. Извлечение корня из
неотрицательных чисел сохраняет неравенство между ними, так что имеем
у/т>^Ш?=д(х)=д(х),
т.е. в этом случае левое неравенство выполняется.

78
Глава 2. Некоторые доказательства
Пусть для х выполняется вторая система справа. Тогда определено
число л/fixj и оно, как и всякий корень квадратный, неотрицательно.
Второе неравенство системы говорит нам, что д(х) отрицательно. Значит,
y/f(x) > д(х), т.е. и в этом случае левое неравенство выполнено.
Эквивалентности (2) и (3) доказаны.
Я докажу эквивалентность (4). Чтобы доказать (5), достаточно в
очевидных местах заменить неравенство < на ^.
Пусть выполняется левое неравенство. Тогда f(x) ^ 0, так как
радикал, под которым стоит f(x), должен быть определен. Кроме того,
д(х) > /f(x) ^ 0, так что д(х) > 0. Кроме того, неравенства между
положительными числами при возведении в квадрат сохраняются, откуда
получаем, что f(x) < (д(х))27 что доказывает, что каждое решение левого
неравенства удовлетворяет правой системе.
Обратно, пусть х удовлетворяет правой системе. Тогда f(x) ^ 0 и
д(х) ^ 0, и из неравенства между неотрицательными числами f(x) и (д(х))2
можно извлечь корень. Получим
что и требовалось доказать.
5. Прогрессии
Я докажу формулы для суммы первых п членов арифметической и
геометрической прогрессий.
Итак, пусть ai,... , ап -- арифметическая прогрессия с разностью d. Мы
знаем, что а-2 — а + d, а% = а + 2d,... , ап = а + (п — )d. Значит,
Sn = ах +... + ап = а + (аг + d) + {а + 2d) + ... 4- (ai + (n - l)d) =
= ai + . .. + ni+d(l + 2 + ... + (n - 1)).
праз
Теперь мы должны найти сумму Вп — 1 + 2 + .. . + (п — 1). Для этого заметим,
что
2Вп = (1 + ... + (п - 1)) + (1 + ... + (п - 1)) =
= (1 + (п - 1)) + (2 + (п - 2)) + (3 + (п - 3)) + ... + ({п - 1) + 1) =
— п(п — 1) <*=Ф> В„ =
Значит,
/1—1 раз
п{п — 1)
,, 1 2ai + (n-l)d ai+an
Ьп = nai + -п{п - )d = п ■ — — = п,

6. Переход к алгебраическим уравнениям
79
что и требовалось доказать.
Пусть теперь нам дана геометрическая прогрессия Ь,... Ьп со
знаменателем q. Тогда &2 = hq,b3 = big2, • ■ ■ bn = 61 qn~1.
Найдем сумму
Gn = 61 4- • • • 4- bn = h + biq + biq2 +... + big™-1 =
= 61(l + g + ... + gn-1).
Найдем отдельно сумму Нп = 1 4- q 4- ■ ■ ■ 4- qn~l. Ясно, что
qHn = q + q2 + ... + qn = 1 + q + ■ ■. + qn~l + qn - 1 = Hn + qn - 1.
Мы получили уравнение qHn = Hn 4- qn — 1, решая которое, находим, что
Яв = (д"-1)/(д-1).
Осталось подставить вычисленное значение Нп в выражение для Gn:
qn - 1
G„ = bi
что и требовалось доказать.
9-1'
6. Переход от показательных
и логарифмических уравнений к
алгебраическим
Вот список простейших уравнений и неравенств с указанием
равносильных переходов, устраняющих степени:
(1)
(2)
ag(x) = ah(x)^ a>Q^a^i ^ дф = h(x)
д(х) = h{x)
f(xyW = f(x)hW
(3)
fW& > f(x)
h(x)
(4)
f(x)9^ > f(x)h(
x)
f(x) > 0
Г fix) = 1
.1 g(x),h(x) определены
g{x) > h{x)
fix) > 1
f g(x) < h(x)
I 0 < fix) < 1
Г fix) > 1
I g(x) > h[x)
|0< /(ж) ^ 1
Д з(ж) < h(x)

80 Глава 2. Некоторые доказательства
[ g{x) < h(x)
 f{x) > 1
[ g{x) > h{x)
1 0 < f{x) < 1
f /(*) > i
1 д{х) ^ h{x)
f 0 < /(ж) < 1
I g(x) > h{x)
Эквивалентность (1) имеет место, так как для любого а > 0, а ф 1, функция
у — ах монотонна. Отсюда следует, что если av = aQ, то р = q.
Докажем, что имеет место (2). Пусть х таково, что выполняется
равенство в левой части эквивалентности. Если fix) ф 1, то д{х) = h{x) по
замечанию в предыдущем абзаце. Кроме того при /(ж) ^ 0 степень f(x)
не определена, так что f(x) > 0 и мы доказали, что имеет место первая
система правой части. Если же fix) = 1, то ясно, что имеет место вторая
система, и мы доказали, что из левой части следует правая.
Пусть х удовлетворяет правой части. Это значит, что имеет место либо
первая, либо вторая система из совокупности. Если имеет место вторая
система, то fix) — 1 и l9^ = lh(l если д{х) и й(ж) определены. Значит, в
этом случае выполняется левая часть эквивалентности.
Опять-таки, если д{х) = hix), то при /(ж) > 0 можно возвести /(ж) в
равные степени <?(ж) и hix). Конечно, при этом получатся равные числа,
так что опять левая часть эквивалентности имеет место. Эквивалентность
(2) доказана.
Эквивалентности (3)-(6) мы докажем одновременно. Я буду вести
рассуждение только для (3). Для всех остальных нужно, где это необходимо,
поменять знак неравенства, оставив рассуждение прежним.
Итак, доказываем (3). Ни в левой, ни в правой части эквивалентности
f(x) не может равняться единице. Если 0 < /(ж) < 1, то, ввиду убывания
функции у = ах при 0 < а < 1 неравенство д(ж) < hix) равносильно
неравенству /(ж)3(ж' > fix)h^x т.е. неравенству, стоящему в левой части
эквивалентности.
Если /(ж) > 1, то ввиду возрастания функции у = ах неравенство
между степенями будет совпадать с неравенством между показателями,
так что gix) > hix) эквивалентно неравенству /(ж)3^) > fix)h(x и опять
получилось, что левая часть эквивалентна правой, чем все и доказано.
Покажем, как избавляться от логарифмов в простейших неравенствах.
(5) fixY^ < fix)
9(х) S f(^h(x)
(6) fixY{x) ^ f(x)hW

6. Переход к алгебраическим уравнениям
81
(7)
l°g/<*) 9(?) > l°£f(x) h(x)
(8)
log/(x) 9(х) > bg/(x) h(x)
(9)
log/(:c) g(x) < log/(x) Л(х)
(10)
IoS/(x) #(ж) < lQg/(i) M*)
[X
l о < /(*) < i
Если вглядеться в формулы (7)—(10), то видно, что все они построены
по одной схеме: надо рассмотреть два случая — когда основание больше
единицы с сохранением неравенства и когда оно лежит между нулем и
единицей с заменой его на противоположное. В каждом из этих случаев снятие
логарифма эквивалентно либо сохранению неравенства между
выражениями, стоящими под логарифмом (при основании > 1), либо
противоположному неравенству меду этими выражениями (при основании логарифма < 1).
Кроме того, в правых частях стоят ограничения, которые необходимы для
того, чтобы все логарифмы имели смысл (т.е. выражение под логарифмом
должно быть больше нуля, а стоящее в основании — положительно и не
равно единице). Эти замечания и доказывают формулы (7)—(10).

82
Глава 2. Некоторые доказательства
7. Общие теоремы о треугольниках
Я докажу следующие теоремы.
(1) S = -aha =Pr=jR= -absinC = y/p(p - а){р - Ь){р - с).
(2) с2 = а + Ь2 — 2abcosC — теорема косинусов.
/о а ^ С
(о) ——- = ——— = ——— = 2R — теорема синусов.
w sin Л sin Б sin С
Начну с теоремы синусов. Пусть треугольник ABC вписан в
окружность радиуса R. Соединим точку В с центром О окружности. Пусть А
— вторая (кроме В) точка пересечения прямой ОВ с окружностью. В
треугольнике ВАС отрезок ВА — диаметр, так что опирающийся на него
вписанный угол ВСА прямой. Кроме того, угол ВАС опирается либо на
одну и ту же дугу с углом ВАС, либо на ее дополнение. Следовательно,
либо Z.A — ZAi, либо /_А = тг — Z.A. В любом случае sin Л = sin A.
В прямоугольном треугольнике ВСА гипотенуза равна 2R, а острый
угол — А. Следовательно,
ВС = ВАХ sin Ax «=4> a = 2RsinA ^=> -^— = 2R,
sin Л
что и требовалось доказать.
Для того чтобы доказать формулу S = aha, выведем ее для
прямоугольных треугольников, где а есть катет, a ha — другой катет. Наш
треугольник запишем в виде ABC, где АВ — гипотенуза. Возьмем такую точку
С на плоскости, что АСВС — прямоугольник. Ясно, что его площадь
равна АС ■ С В = ab. Но этот прямоугольник сложен из двух треугольников
ABC и равного ему треугольника АВС. Тем самым, площадь ABC есть
половина площади АСВС, т.е. аЬ, что и требовалось.
Пусть теперь дан произвольный треугольник ABC и АН = ha — его
высота. Если точка Н лежит на стороне ВС, то
Sabc = Sbah + Shac = -(BHAH + HC- АН) =
= ^-AH-(BH + HC) = ^aha,
что и требовалось доказать.
Если точка Н лежит на продолжении стороны ВС, то нужно представить
площадь ABC в виде разности площадей двух прямоугольных
треугольников и снова воспользоваться доказанной для них формулой площади.
Пусть теперь О — центр вписанной в треугольник ABC окружности и
Ai, Bi, C — точки ее касания соответственно со сторонами ВС, АС, АВ.
Тогда ОА — ОВ = ОС = г и все три этих радиуса перпендикулярны

7. Общие теоремы о треугольниках
83
соответствующим сторонам. Следовательно, они являются высотами в
треугольниках ВСО,АСО и АВО соответственно. Значит, имеем
S = Sbco + Sard + Saco = r(AB + ВС + AC) = pr,
и мы доказали, что S = pr.
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике легко вытекает,
что ha = fcsinC (нарисуйте сами картинку!). Следовательно,
S — -aha — -absiuC
2 2
— и еще одна формула для площади доказана. Подставим в нее sin С из
выражения с
являющегося следствием теоремы синусов. Получим, что 5 = ^, и еще
одна формула доказана.
Перед формулой Герона докажем теорему косинусов. Проще всего это
сделать при помощи векторов. Имеем
АВ + ВС = АС ф=ф АВ = АС-ВС.
Умножим скалярно на себя каждую часть этого равенства:
(АВ,АВ) = (АС -ВС, АС- ВС)
t
АВ2 = АС2 + ВС2 -2-AC-BCcosC
— а это и есть в точности теорема косинусов.
Для того, чтобы доказать формулу Герона, запишем теорему косинусов
и формулу для площади (в очевидным образом измененном виде):
Г 4S = 2absinC,
 a2 + b2 -с2 = 2abcosC.
Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получим, что
1б52 + (Ь2 + а2-с2)2=4а2Ь2,
откуда
откуда
lbS2 = 4a2b2~(a2 + b2-c2)2^
= {2ab -a2~b2 + c2)(2ab + a2+b2- с2) =
= (c2-(a-b)2)((a + bf-c2) =
= (c + a-b)(c + b-a)(a + b-c){a+b+c),
v2 b + с - a a + c-b a + b — с a + b + с
SJ =
2 2 2
= p{p-a){p-b)ip-c),
что и требовалось доказать.

Глава 3
То, чего нет в школьной
программе, а знать надо
1. Сравнение чисел
При решении рациональных уравнений и неравенств, а также задач с
модулями, требуется рисовать расположение чисел на прямой. При этом
важно расположить их в правильном порядке, т.е. так, чтобы ни одно большее
число не оказалось левее меньшего. Если это числа, представленные в
десятичном виде, то это сделать легко. Хуже, когда они представляют из
себя сложные выражения с радикалами. Пользоваться калькуляторами на
экзамене, как правило, не разрешают. Но и если бы разрешали, то
приблизительный подсчет двух чисел не является строгим доказательством
того, что одно число меньше другого. Я бы посоветовал абитуриентам
до поступления в вуз забыть выражение «приблизительно равно», потому
что для строгого пользования этим понятием необходимо уметь оценивать
погрешность вычислений. А это уже задача из высшей математики, она
вам пока не по силам.
Конечно же, если запрещено чем-то пользоваться, то этому должна быть
замена. И такая замена этому понятию есть, причем к строгости ее
придраться никак невозможно.
Как, например, строго выразить тот факт, что л- приближенно равно
3,1415926? Очень просто. Непонятное высказывание «приближенно равно»
надо заменить восемью совершенно понятными неравенствами (которые
доказать, кстати, трудно, но вы не обязаны знать доказательство — просто
пользуйтесь ими):

1. Сравнение чисел
85
' 3 <тг <4,
3,1< тг < 3,2,
3,14 < тг < 3,15,
3,141 < тг < 3,142,
3,1415 < тг < 3,1416,
3,14159 < тг < 3,14160,
3,141592 < тг < 3,141593,
. 3,1415926 < тг < 3,1415927.
Думаю, теперь вам понятно, как совершенно строго сказать, что v2
приближенно равно 1,4142.
Посмотрим теперь, как нужно сравнивать числа, которые сложно
выглядят. Пусть мы должны сравнить 3 + 2%/2 и %/34. Мы не знаем, какое
из них больше, поэтому поставим между ними галочку V (мысля ее как
неизвестно какой знак неравенства). Далее начнем возведением в квадрат
убирать радикалы. Рано или поздно станет понятно, как сравнить числа,
и, значит, ясно, какой знак неравенства представляет галочка. Итак,
3 + 2/2 V У34
Z
(3 + 2v^)2 V 34
t
9 + 12^2 + 8 V 34
t -
17 + 12^2 V 34
t
12/2V17
t
(12^2)2 V 172
г
_ 288 V 289 => V =<,
и 3 + 2^2 < /34.
Может, правда, случиться так, что слева и справа стоят отрицательные
числа (кстати, работая с галочкой, вы должны всегда быть уверены в
знаке выражений слева и справа). Тогда возводить в квадрат нельзя —
не будет эквивалентности. В этом случае надо умножить неравенство на
— 1, поменяв его знак. Удобно при этом перевернуть галочку. Знак Л при
этом кодирует знак неравенства, обратный исходному. После того, как вы
найдете, чему равна перевернутая галочка, понятно каков исходный знак
неравенства. Впрочем, может быть, придется умножать на —1 несколько
раз. Тогда перевернутая галочка должна заменяться просто галочкой.
Рассмотрим пример.

86 Глава 3. То, чего нет в школьной программе, а знать надо
■1-/5 г-
2 t
-1-/ЪУ-2уД
t
1 + v^ Л 2/3
г _
1 + 5+ 2^5 Л 12
t
2%/5Лб
г
20 Л 36 =Ф- Л есть < =£• V есть > .
Значит, ^р^ > -у/г.
2. Извлечение квадратного корня «вручную»
Я покажу сначала, как извлекается корень из целого числа — пусть это
будет, например, число 223729. Мы должны проделать следующие операции:
А) разбить чисто справа налево на разряды по две цифры в разряде,
ставя штрихи наверху — 223729 —* 22'37'29'. Если бы это было число с
нечетным числом цифр, как, например, 4765983, то при разбиении к первой
цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983 —* 04'76'59'83'.
Б) Навесить на число радикал и написать знак равенства:
22'37'29 -* /22'37'29
После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается
шагами, причем на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа,
т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра
результата.
Шаг 1 — извлечение квадратного корня с недостатком из первого раэ-
ряда: Рп - 4 (с недостатком).
Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:
/22'37'29 = 4 ...
Шаг 2 — первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем
под первым разрядом и ставим знак минус вот так:
_ч/22'37'29 = 4 ...
16_
6
и производим вычитание так, как это уже написано.

2. Извлечение квадратного корпя «вручную»
87
Шаг 3 — ■ приписываем справа к результату вычитания две цифры
следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту
вот так:
_722'37'29 = 4...
16
_V22'37'29 =4.
6
8
6 37
Д/22'37'29 =4 73
6
.8 7
6 37
6 09
637
После этого, воспринимая цифры, стоящие
после знака =, как обычное число, умножаем его
на 2 и приписываем слева от вертикальной черты,
оставив у самого края вертикальной черты
пропуск, в который ставим точку и под этой точкой
тоже ставим точку — это изображено на
диаграмме справа.
Поставленная точка обозначает поиск
цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе,
т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по
следующему правилу: это наибольшая цифра к такая,
что число 8й, т.е. число, получающееся из 8
приписыванием цифры к, умноженное на к,
не превосходит 637. В данном случае это цифра
7, т.к. 87-7 = 609 < 637, но 88-8 = 704 > 637. Итак, 0
мы имеем v/22737729 = 473.
Провели горизонтальную черту и под ней написали результат вычитания
— 637 — 609 = 28. К числу 28 списали последний разряд исходного числа и
получили число 2829. Записали семерку после четверки в результирующее
число. Провели вертикальную черту слева от числа 2829, умножили 47 на 2 и
полученное число 94 приписали слева от вертикальной черты, оставив место
в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подошла в точности,
так как 943 ■ 3 = 2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е.
v/223729 = 473.
В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы
поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего
разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые
отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень.
Вот тому пример:
943
х 3
28 29
28 29

88 Глава 3. То, чего нет в школьной программе, а знать надо
n/vT=4,1 23...
ж81
* 1
10D
81
822
* 2
1900
1644
8243
* 3
25600
24729
871...
Я не выписывал у числа 17 нули после запятой. В принципе, пока вы еще
нетвердо владеете этим алгоритмом, нули выписывать полезно.
3. График дробно-линейной функции
Покажем, как строить график дробно-линейной функции, т.е. функции
вида у — ff+j- Можно считать, что с ф 0 (иначе функция будет просто
линейной). Кроме того, как будет видно ниже, если ad — be = 0, то
выражения в числителе и знаменателе будут пропорциональны и функция
будет просто константой ^ при х ф — ~. Теперь уже можно дать рецепт
построения графика.
1) Проводится следующее преобразование:
ах + b Чех + d) + b ~ ^ a be - ad a be - ad
- -^ —L я- - - + — _ = - +
ex + d ex + d с c(cx + d) с с2 х — (—-)
2) Пунктиром проводится вертикальная прямая (вертикальная
асимптота графика) х = — ^.
3) Пунктиром проводится горизонтальная прямая у = - (горизонтальная
асимптота графика).
4) На оси Ох отмечается точка — |, если а ф 0. Искомый график
пересекает ось Ох как рая в этой точке.
5) На оси Оу отмечается точка ^, если d ф 0. Искомый график
пересекает ось Оу в этой точке.
6) В зависимости от знака выражения be — ad рисуется график
функции, проходящий через отмеченные точки и имеющий заданные асимптоты
(рис. 4 и 5). Если представлять себе пунктирные прямые как новые оси
координат,

4- Деление «уголком» многочлена на многочлен 89
то при be — ad > О график получается как у функции у = -, а при be— ad < О
— как у функции у = -±
__
bc-ad>0
*ll)
Ki/
о
(■*
У ■>
_ 4. _^~г.
>Ч|
':*Ч
у=а/с
X
Рис. 4
bc-ad<0
Рис. 5
4. Деление «уголком» многочлена на
многочлен
Многочлены можно делить друг на друга «уголком», как целые числа.
При этом если натуральное число а делится на натуральное число Ь, то
результат деления — нахождение чисел q (частного) и г (остатка) таких,
что а = bq + г, причем 0 ^ г < Ь.
Точно такой же результат получается и при делении многочлена а(х)
на многочлен Ь(х): получается многочлен q(x) (частное) и многочлен г(х)
(остаток) таким образом, что
а(х) — b(x)q(x) +r(x),
и степень многочлена г(х) строго меньше степени Ь(х).
Я покажу, как это делается на примере деления многочлена
а(х) = х4 + 6х3 — Зх2 — х + 1 на многочлен Ь(х) = х2 — 2х + 3.
Перво-наперво нужно наши многочлены расположить точно так же, как
числа при делении:
х4 + бж3 - Зх2 - х + 1 х2 - 2х + 3
Делим старший член делимого на старший член делителя — в данном случае
нужно делить х4 на х2 (если бы мы делили многочлен 6ж3 + х2 + Зх — 7
на многочлен 2х — 5, то нужно было бы делить 6хг на 2х). Полученное
частное (в данном случае х2, а если бы рассматривался случай в скобках,
то получилось бы 6ж3 : 2х = Зх2) нужно поставить в строку для результата,
умножить это частное на делитель и записать результат (в нашем случае

90 Глава S. То, чего нет в школьной программе, а знать надо
получится ж4 — 2х3 + Зх2) по степеням под делимым:
х4 + 6х3 - Зх2 - х + 1
ж4 - 2хг + Зх2
х2 - 2х + 3
х
Теперь точно так же, как когда делятся натуральные числа, надо поставить
знак минус, провести горизонтальную черту и произвести вычитание:
ж4 + 6ж3 - Зх2 - х + 1
х4 - 2хг + Зх2
X
2 - 2ж + 3
8х3 - 6х2
Далее, приписываем к разности следующий член делимого (т.е. —х) и
получаем многочлен 8х3 — 6ж2 — х. С ним производится точно такое же
действие, как с делимым, а именно, его старший член 8ж3 делится на
старший член делителя х2 и получается 8х. Это значение приписывается со
знаком + в строку для частного и умножается на делитель. Получается
многочиен 8х3 — 16ж2 + 24ж, который пишется под (в данный момент)
делимым &х3 — 6ж2 — х, и производится вычитание.
После вычитания получаем многочлен 10ж2 — 25ж, к которому
списывается со знаком плюс последний член делимого (т.е. число 1), и многочлен
10а:2 — 25ж + 1 делим на х2 — 2х + 3.
Поделив старшие члены, получим 10, а после вычитания останется
многочлен первой степени, к которому приписывать уже нечего:
-* + б*3 - 3*а - * + 1 х*-2х + 3
х4 - 2ж3
8х3
8х3
+ 3х2
- 6ж2
-16ж2
10х2
10а;2
- х
+ 24ж
- 25х + 1
- 20а: + 30
х2 + 8ж + Ю
-5ж-29
Значит,
а:4 + 6ж3 - Зх2 - х + 1 = (х2 - 2х + 3)(х2 + 8х + 10) -Ьх- 29.
На самом деле, в задачах на вступительных экзаменах может возникнуть
необходимость лишь в делении многочлена на двучлен вида х — а. Это
связано с тем, что число а есть корень многочлена р(х) тогда и только тогда,
когда р(х) делится нацело на х — а. (Для работающих на третьем уровне
очень неплохим упражнением будет попытка самостоятельного
доказательства названного утверждения, известного как следствие из теоремы Везу.)
Итак, если вы угадали, что многочлен р{х) имеет корень а, вам нужно
поделить его на х — а. Получится многочлен q(x) меньшей степени такой,
что
р{х) = {x~a)q(x).

5. Метод неопределенных коэффициентов
91
Если мы угадаем корень Ь у многочлена q(x), то надо разделить q(x) на
х — Ь, получить многочлен еще меньшей степени, и т.д. Если ничто не
помешает угадывать корни, то в конце концов мы все их найдем и сможем
представить р(х) в виде произведения многочленов вида х — а — такое
представление требуется для применения метода интервалов.
В заключение приведу пример деления многочлена р(х) — х — 2хь + 1
на х — 1. Заметьте, что обязательно нужно представить многочлен р(х)
в каноническом виде, т.е. по убыванию степеней, причем приписать эти
степени с нулевыми коэффициентами, если в исходном многочлене они
отсутствуют:
. - 2хъ + О-z4 + 0-ж3 + 0-х2 + х + 1
-2хь + 2х4
-2х4 + 0-х3
х-1
-2а;4 - 2z3 - 2а:2 - 2х - 1
Zt'Jj "7" ZtJb
2хг + 0-х2
-2хъ + 2х2
_-2х2+ х
-2х2 + 2х
_-х + 1
~х + 1
О
Следовательно,
~2х5 + х + 1 = {-2х4 - 2х3 - 2х2 -2х~1)(х- 1).
5. Метод неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов мы поясним на примере.
Пусть даны уравнения < *х+зу=-9 ' пРичем требуется отыскать 5x+y—2z.
Указанная система не определяет однозначно ж, у и z. To же самое верно
и для выражения 4ж 4- У — 2z. Однако раз по условию задачи выражение
ох + у — 2z можно найти, его можно представить как линейную комбинацию
выражений х + у + z и 7х + Зу, т.е. найдутся числа а и /3 такие, что
Ъх + у — 2z = а(х + у + г) + (3(7х ■+- Зу). Как найти числа а и /3? Надо,
раскрыв скобки, приравнять коэффициенты при x,y,z. Посмотрите, как
это делается: 5х + у — 2z = а(х + у + z) + 0(7х + Зу) <=> 5х + у — 2z =
ах + ау + az + 70х + З/Зу <=> Ъх + у - 2z = (а 4- 7$)х + {а + Щу + az.

92 Глава 3. То, чего нет в школьной программе, а знать надо
А теперь, приравнивая коэффициенты при х, у, z, получаем систему
Г а + 70 = 5,
< а + 30 = 1, <=>а = -2,0 = 1.
( а = -2
Значит, 5ж + у - 2z = -2(х + у + z) + 1(7ж + Зу) = -2 ■ 13 + (-9) = -35.
Эту задачу можно решить и обычным путем, а именно, из второго
уравнения выразить х через у: х = — (Ъу + 9). Подставив это значение
х в первое уравнение, сможем выразить и z через у:
3 9 по 100 -Ау
7 7 {
После этого нужно вычислять выражение Ъх + у — 2z, подставляя в него х
и z, выраженные через у. При этом у сократится и получится —35.
Однако если у вас даны выражения с большим числом переменных, то
вычислять с помощью подстановки уже труднее, чем методом
неопределенных коэффициентов. Давайте посмотрим для закрепления еще один пример
с пятью переменными (можете попробовать решить его подстановкой).
Пусть известно, что 2a + 3ft-c+d + e = 4H-a + ft + 2c — 3d — е = —3.
Надо найти выражение 9а + 116 - 6с + Id + ое.
Запишем его с неопределенными коэффициентами а и /3:
9а + lift - 6с + 7d + 5е = а{2а + 3ft - с + d + е) + /?(-a + ft + 2с - 3d - е) =
= 2еш + 3aft - ас + ad + ае - 0а + 0Ь + 20с - 3/3d - {Зе =
= (2а - 0)а + (За + 0)Ь + {-а + 2/3)с + (а - 3,5)d + (а - 0)е.
Теперь приравняем коэффициенты при a, ft, с, d и е:
' 2а - 0 = 9,
За ■+-/? — 11,
-а+ 20 = -6,
а - W = 7,
а — 0 = 5,
откуда a = 4, /3 = — 1 и, следовательно,
9u+llft-6c+7d+5e = 4(2«+3ft-c+d+e)-(-a+ft+2e-3d-e) = 4-4-(-3) = 19.
Отмечу еще, что если система, составленная согласно описанному методу,
несовместна (такое запросто может быть ввиду того, что уравнений в ней
больше, чем неизвестных), то найти то линейное выражение, для которого
она несовместна, невозможно (в том смысле, что оно может принимать
бесконечно много различных значений).

6. Теоремы Чевы и Менелая
93
6. Теоремы Чевы и Менелая
Теорема (Менелая). Пусть прямая пересекает произвольный
треугольник ABC, причем С — точка ее пересечения со стороной АВ, Ах —
точка ее пересечения со стороной ВС, и В — точка ее пересечения с
продолжением стороны АС. Доказать, что тогда
АСг ВАг
СВг
ВХА
СХВ А^С
Доказательство. Проведем через точку С прямую параллельно АВ. Пусть
К — точка ее пересечения с прямой ВС (см. рис. 1).
Рис. 1
Треугольники АСВ и СКВ подобны по первому признаку (ввиду того,
что /LCAB — ZKCBi и /LACB = ZCKBx как внешние односторонние
при параллельных прямых АС,СК и секущих АВ и СВ{). Значит,
т ACl - BlA
ы ск вхс
Треугольники ВСА и СКА также подобны по первому признаку (здесь
легко отыскать внутренние накрест лежащие углы при параллельных
прямых АВ и С К). Следовательно,
CiB ВАг
(3)
СК А,С
Из равенства (2) находим, что СК = АС^'В^С, а из равенства (3) следует,
7'дл4'С- Отсюда имеем
Ad-BiC СхВ-А^С , АСу В Ах СВХ
что СК = С'д/'°- Отсюда имеем
Ву А В Ах
что и требовалось доказать.
СхВ АхС ВхА
= 1,
Имеет место также и обратная теорема.

94 Глава 3. То, чего нет в школьной программе, а знать надо
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник ABC.
Предположим, что точка С лежит на стороне АВ, точка А лежит на стороне
ВС, а точка В± лежит на продолжении стороны АС, причем про эти
точки известно, что
A£i_ BAi_ CB± _
СХВ ' АгС ' BiA ~ '
Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Доказательство. По-прежнему пользуемся рисунком 1. Заметим сначала,
AC1 R А
что не может быть ^-^ • -д-£ = 1, так как согласно условию это выражение
равно gr^- ф 1. Отсюда, очевидно, следует, что прямые АС и АС не
параллельны.
Проведем через точки С и А прямую. Она, как мы доказали, пересечет
прямую АС в некоторой точке В2 (на рисунке не изображена). Для точек
А С и В2 верна прямая теорема Менелая, так что
ACi BAl СВ2
Отсюда следует, что
СгВ АУС B2A L
СВ2 ВСХ САУ СВХ
В2А СХА АХВ ВХА'
Из этого равенства следует, что обе точки В и В% лежат на продолжении
отрезка АС за одну и ту же точку, ибо правее С данное отношение меньше
единицы, а левее А оно строго больше 1. Пусть СВ = х, СВ2 = у, АС — Ь.
Тогда, учитывая, что ВА — х + Ь и В2А — у + Ъ, перепишем полученное
равенство в виде
х У ,
—- = <=> xy + xb = xy + yb <=> х = у.
х + Ь у + Ъ
Конечно же, из равенства СВ — СВ2 следует, что В± = В2, и мы доказали,
что точка В как совпадающая с В2 лежит на прямой А^С.
Теорема доказана.
Теорема (Чевы). Предположим, что точки А, В, С лежат
соответственно на сторонах ВС, АС и АВ треугольника ABC, причем отрезки
AA,BBi и СС пересекаются в одной точке. Доказать, что тогда
Ad BA-y СВх _
CiB ' АХС ' ВгА ~ '
Доказательство. Обозначим через О точку пересечения трех заданных
отрезков. Докажем, что ^ — ^Ш12-. Для этого посмотрим на рис. 2.
Здесь СК и AL — перпендикуляры, опущенные из точек С и Л на прямую

6. Теоремы Чевы и Мепелая
95
BBi. Треугольники АОВ и ВОС имеют общую сторону ОВ и высоты их
равны соответственно AL и СК. Значит,
Saob _ AL_ _ ABi
Sboc ~ СК' ЖС'
Предпоследнее равенство имеет место ввиду подобия прямоугольных
треугольников ABL и СВК по острому углу.
Аналогичным образом,
ACi _ Saoc BA± _ Sboa
CiB~ Sboc ™ A^c Saoc'
Перемножив эти три равенства, получим
ACi BAt СBY _ Saoc saob Sboc _
CiB ' AXC BiA ~ Sboc saoc Saob
что и требовалось доказать.
Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки Ах,Вх,Сх лежат
соответственно на сторонах ВС, АС и АВ треугольника ABC, причем
ACi ВАх СВх _
СхВ ' АхС ' ВхА ~
Тогда отрезки ААх, ВВх и ССх пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть О — точка пересечения отрезков ААх и ВВх и
прямая СО пересекает сторону АВ в некоторой точке Сч- Достаточно
доказать, что С — Съ-
Применим прямую теорему Чевы к точкам Ах,Вх и С2:
АС2 ВАх СВх _
С2В ' АхС ' ВхА~ '
Но тогда £~i = J-& • ^~ = АР^- Значит, точки С и Сг делят отрезок АВ
в одном и том же отношении и потому совпадают (что доказывается так
же, как в обратной теореме Менелая), а это как раз и требовалось доказать.

Часть II
ПОДГОТОВКА
К ЭКЗАМЕНУ

Глава 1
Тригонометрия
Урок 1
Сведение к квадратным уравнениям
Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из
четырех простейших:
(1) sin ж —а
f х — ( — 1)" arcsina + птт, п G Z, если а ^ 1,
[, 0, если а > 1;
(2) cos ж = а -4=^
Г х = iarccosa + 2ттп, п G Z, если а ^ 1,
 0, если |о] > 1;
(3) tgx — а •<==> х = arctga + пп, п е Z;
(4) ctga; = a ■«=*■ ж = arcctgа + Я7г, тг G Z.
Вы уже, конечно, догадались, что справа от стрелок <£=£- стоят
решения соответствующих уравнений. Важно понимать, что каждая из записей
решения дает не одно какое-нибудь х, а бесконечно много таковых,
получающихся подстановкой в данную формулу всевозможных целых п, т.е.
neZ = {0,±1,±2,...}.
Например, если мы для уравнения sin a; ~ ^ запишем решение в общем
виде, то получим х — (—1)"^ + пж, п £ Z, или, что то же самое,
* = (_„..: + „., = £
X=(~V 6+ 1'7Г=ё7Г;

100 Глава 1. Тригонометрия
x=(-l)-1-^ + (-l)-Jr--^;
/ ,-■> 7Г л 13
х = ^-1Г" g +2-тг=—тг;
^(-l)(-2)-f + (-2)-^-~7r5
и так далее.
Формулы (1)-(4) необходимо знать наизусть. Кроме того, желательно
знать наизусть следующие частные случаи формул (1) и (2), записанные в
более простом виде:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
sin а; = 1
sin х — 0
sin x — -1
cos ж ~ 1
cos а; = 0
cos а; = —1
«=»
<=ф-
<=»
<=»
^=^
^=^
7Г
х — — + 2тгп, п £ Z;
ж = ГС7Г, га е Z;
а; = — — 4- 27гп, n G Z
х = 2тт, п € Z;
7Г
а; = — + тгп, тг G Z;
х = 7Г 4- 27гтг, n e Z.
Упражнения для уровня 1
*• 1. Чему равен sin f? sin7r? sin ^тг?
> 2. Чему равен cos |тт? cos "тг? tg у7Г? ctg ^тг?
►• 3. Выразите tga; и ctgx через sin x и cos ж. При каких х эти функции
определены?
► 4. Чему равны arcsinl, arcsinO, axcsin |, arcsin(—^)?
*• 5. Чему равны arccosl, arccosO, arccos(-|)?
> 6. Решить уравнение tg(7a; + 11) = 43.
►• 7. Решить уравнение 2%/2cos(a;8 4- х7 4- 1) = 3.
*■ 8. Рассмотрим два множества решений некоторого уравнения
. х - f 4- 27гп, n G Z, тг
А: * и Б : ж = - 4-7гтг, тг <G Z.
ж = |7г4-2тгп, neZ, 2
Совпадают ли эти множества?
► 9. Тот же вопрос для множеств
7г ~ ~ х — £ 4- 2п7г, n e Z,
Л : х = (-1)п7 + шг, n G Z, и Б: * п ' .
v ' 6 аг= §тг + 2шг, n G Z.
►
10. В каких четвертях лежат углы-—Я", ylbr, 47, л/47?

Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям 101
Упражнения для уровня 2
► 1. Что такое arcsin|?
► 2. Какова область определения функций у — агсэтж, у = arccosx, у =
arctg х. у = arcctg ж?
*■ 3. Доказать, что при | а |^ 1 решения уравнения sin ж = а можно записать
в виде . „ _ „
гх — arcsma + 2птг, п 6 л,
.х — тг — arcsina + 2п7г, n e Z.
► 3. Решить уравнение sin(3cosai) — ^.
► 4, Решить уравнение ^(j^f = 0.
► 5. Какой знак имеет число cos л/3?
*• 6. Пусть даны три множества решений каких-то уравнений
7Г „ ^ г.
Л : ж = птг, тг G Z, В : х ~ — 4- "7Г, тг е Z, и С : ж — —n, n e Z.
Доказать, что A U В = С. •
►• 7. Решить неравенство sin ж < |.
► 8. Решить неравенство cos ж ^ — |.
*• 9. Решить неравенство tgrc < 11.
► 10. Решить неравенство ctga; ^ 1.
Упражнения для уровня 3
► 1. Доказать формулу (1).
*■ 2. Доказать формулу (2).
*■ 3. Доказать формулу (3).
*■ 4. Доказать формулу (4).
*■ 5. Для произвольного а решить неравенства sin ж ^ a, sin ж < а.
*■ 6. Для произвольного а решить неравенства cos ж ^ a, cos a; < a.
► 7. Для произвольного а решить неравентсва tgж ^ a, tgx < а.
*■ 8. Для произвольного а решить неравентсво ctgж ^ a, ctgz: < a.
*• 9. Решить уравнение sin(a;2 -+■ х) = |.
► 10. Дать определения агсэтж, arccosz, arctg ж, arcctg ж.
После того, как у вас не осталось секретов про простейшие уравнения,
можно приступить к изучению методов сведения произвольных уравнений к
простейшим. Первый и самый простой метод, который и составляет
предмет настоящего урока называется сведение к квадратному уравнению.

102
Глава 1. Тригонометрия
Чтобы им овладеть, достаточно уметь решать квадратные уравнения и
знать следующие тригонометрические формулы:
11) sin(x ± у) = sin ж cos у ± cos ж sin у
12) cos(x ± у) — cos z cos у ^ sin ж sin у
13) tg(I± 9) = -^iiL
1-Ftgxtgy
14) sin2 a; + cos2 x = 1
15) sin 2x = 2 sin x cos a;
16) cos 2x — cos2 ж - sin2 x = 2 cos2 ж — 1 = 1 — 2 sin2 ж
2 tg x
16) tg2x = V-
1 — tg x
17) 1 + tg2 x = —=—, 1 + ctg2 x = ^-5—
cosz a; sin x
18) sinxicosx = /2sm(x± —)
. о ' 1 — cos 2x n 1 + cos 2a;
19} sin" x = , cos' x =
; 2 2
20) sin 3x = 3 sin x — 4 sin3 x, cos 3x — 4 cos3 ж — 3 cos x
Сам метод состоит в том, что, пользуясь указанными формулами, надо
преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию
(например, sin х или cos x) или комбинацию функций можно было обозначить через
у и получить при этом квадратное уравнение относительно у. После того
как найдено у, получим либо более простое, либо простейшее
тригонометрическое уравнение.
Теперь порешаем учебные задачи сегодняшнего урока. Во всех задачах
опущена фраза «решить уравнение*. Кроме того, если сразу после номера
задачи
- нет ничего в квадратных скобках, то ее решают все уровни;
- стоит [2], то ее решают уровни 2 и 3;
- стоит [3], то ее решает только 3-й уровень.
Задачу надо сначала попытаться решить самому, и только потом,
если не получается, смотреть решение и подсказки. При этом решить
означает написать условие, после него — обоснованное решение, после
него на отдельной строке — слово «Ответ:» и выписать все ответы после
двоеточия.
Даже если вы уверены в своем решении и ответ «сошелся», все равно
просматривайте внимательно мое решение. Если не обнаружатся
ошибки, то на первых уроках обращайте большое внимание на оформление.
Добивайтесь, чтобы мое и ваше оформления задач совпадали.

Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям 103
► Задача 1. 4 — cos2 х = 4 sin x.
Решение. Вместо cos2 ж подставим 1 — sin2 x. Получим
4 - (1 - sin2 ж) = 4 sin ж ц=^ 3 + sin2 х = 4 sin х <=> sin2 ж — 4 sin ж + 3 = 0.
Если положить у = sin х, получим квадратное уравнение у2 — 4у + 3 = 0.
Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение эквивалентно
совокупности
sin ж = 1,
sin ж = 3.
Поскольку sin ж = 1 <$=$ х — | + 2im, п € Z, a sin ж - 3 <*=> х € 0,
получаем
Ответ: х = | + 27ГП, га е Z. -4
► Задача 2. 5 - 2 cos ж = SV^sin §.
Решение. 5 - 2cosж = 5/2sinf <=> 5 - 2(1 - 2sin2 |) = 5/2sin | «=>■
3 + 4sin2 § = 5%/2sin f «=4> 4sin2 f - 5/2sin § + 3 = 0 <=>
4^-5^+3=0, ^ f'!;*:£ <=► sin | = f, так как ^ > 1.
Zy/2
Последнее проверяется возведением числа £*£ в квадрат, который равен
16 ^ L-
Итак, | = (-l)nf + гатг, n G Z <^=> ж = (-l)nf + 2птг, га € Z.
Ответ: х — (-1)п§ + 2тгга, га € Z. -4
► Задача 3. cos4 ж = cos2:c.
Решение, cos2 ж = 1+с°а2ж и cos4 ж = ((cos2 ж) ), следовательно, cos4 а; =
сов2ж <=Ф (И-см2»)* = cos2a. <!=J> i+2coB2x+cos22x = cos2a; <=Ф.
(112Л+/=4*' <=> cos2z = 1 «=*• 2ж = 2птг, neZ «=*• ж = гатг, га е Z.
Ответ: х = гал-, neZ. 4
Замечание. Если у вас другое решение (например, с приведением к
биквадратному уравнению), убедитесь, что ответы совпадают.
+ Задача 4. sin4 x + cos4 x = sin 2ж — |.

104
Глава 1. Тригонометрия
Решение. Заметим, что sin4 ж + cos4 a; = sin4 ж + 2 sin2 a: cos2 a; + cos4 ж
2 sin2 ж cos2 x = (sin2 x 4- cos2 x) — 2 sin2 x cos2 x = 1 - |4 sin2 ж cos2 x — 1
| sin2 2ж. Подставим значение этого выражения в исходное уравнение:
1 -  sin2 2х — sin 2х — |
sin 2a: = 1
г/а=а'—4
8т2ж
2х = f + 2птг, n e Z
sin2i:=l
sm2z= — 3
ж = | + mr, neZ.
Ответ: х — j + гиг, тг G Z. +
► Задача 5. 1 — sin ж = cos ж — sin2:r.
Решение. Подстановка здесь несколько необычна. Исходное уравнение
эквивалентно такому:
1 + sin 2х = sin х + cos x.
Теперь, заменив единицу на sin x + cos2 x и sin 2x на 2 sin x cos x, получим
sin' х + 2 sin x cos x + cos2 ж = sin ж + cos ж,
что эквивалентно (sins + cos ж) — sin ж + cos ж; следовательно, можно обо-
начить sin х + cos ж через у. Получим уравнение у2 — у -<=Ф
исходное уравнение эквивалентно совокупности
у , . Значит,
sin ж + cos ж = 0,
sin x + cos x = 1
Отсюда получаем, что
/2sin(x+f) = 0,
V5sin(ar+5) = 1-
Гз + £ = шг, rc£Z
in(z+})=-k [z + f^-irf+mr, „eZ
sin(a;+f)=0
sin'
Ответ: x - - + rnr, x - ~ + (-l)"f 4- шг, neZ
Задача 6 [2].
sina:+cos x
cos i
+ 3 sin 2ж — cos2 2ж + tg ж.
Решение. В этой задаче cos ж стоит в знаменателе, поэтому надо отметить
сразу где-нибудь в верхнем углу листа, что ОДЗ (т.е. Область Допустимых
Значений) х состоит из таких ж, что cos ж ф 0. Теперь, заметив, что
sm x + cos ж
cos ж
перепишем уравнение в виде
1 + tg ж + 3 sin 2ж — cos2 2ж + tg x
sin х cos х
— + = tgar + 1,
cos x cos ж
1 + 3 sin 2ж = cos2 2ж - 1 - sin2 2ж.
Отсюда sin2x = 0 или вт2ж = —3. Ясно, что надо решить лишь
уравнение sin 2ж = 0, и не просто решить его, а отобрать из его решений те,
для которых cos ж ф 0. Это можно сделать, например, так: семейство точек
х = ^тр, п £ Z, являющееся решением уравнения sin 2ж = 0, надо изобразить
на тригонометрическом круге.

Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям 105
Напомним, что углы положительные измеряются от положительной
полуоси Ох поворотом ее против часовой стрелки. При этом угол поворота
задается точкой пересечения повернутого луча с окружностью
единичного радиуса с центром в начале координат — эта окружность и именуется
обычно тригонометрическим кругом. Надо заметиь, что точка на круге
задает бесконечно много углов, отличающихся друг от друга на 2п7г, где
п — целое число. Например, точка (1,0) задает углы 0, ±2?г, ±47г, ±67Г,...
(радиан), точка (-^, *£■) задает углы вида ~ + 2пп, п G Z, и вообще, любая
точка пересечения луча, наклоненного под углом (р к оси Ох с окружностью,
задает все углы вида <р + 2птт, п е Z. Точно так же углы отрицательные
задаются поворотом того же луча от полуоси Ох по часовой стрелке.
Вернемся к решению нашей задачи. Пусть п — 0. Тогда xq — 0 —
отметим эту точку на круге (ясно, что это точка (0,0)). Если п = 1,
то Х —  — отметим и ее. Если п = 2, то x<i = тг, и при п равном 3
получаем жз — Зр. Если же мы положим п = 4, то получим точку 2ж,
совпадающую на круге с точкой xq при дальнейшем изменении п будут
пробегаться все те же точки 2:0,^1,^2,^3 (сделайте сами соответствующий
рисунок, пожалуйста). Нетрудно убедиться в том, что и отрицательные
значения числа п не дадут новых точек на круге.
Тем самым, решение уравнения sin 2x — 0, которое мы записали в виде
х = Ц2-, п £ Z, можно представить и так:
" X = 2П7Г
х = | + 2птг
X — 7Г 4" 2П7Г
X = Ц- + 2П7Г
nez.
Ясно, что серия 2птг, п € Z, порождается точкой xq, серия ~ +2птт, п € Z
— точкой xi, и так далее.
Теперь отметим на круге крестиками решения уравнения cos а; = 0. Они
задаются серией х = | 4 пп, п £ Z. При п — 0 и тг — 1 получаем точки
у0 = | и у = ^у — они, как легко убедиться, представляют все решения
уравнения cos ж = 0. Мы видим, что на круге точки уо, у совпали с точками
х,х$ соответственно. Это означает, что серии, задаваемые точками х±
и Жз, не входят в ОДЗ, и ответ задачи состоит из серий, порождаемых
точками xq и х%.
Ответ: х — 2гаг, х = тг 4- 2птг, п € Z. ■*
► Задача 7 [2]. ^ - cos ж = tgx.
Решение. ОДЗ: ж ф f 4- тгтг, тг £ Z. Преобразуем наше уравнение:
^-cos* = tgx <=> ^^ = ^f <=► sin2 z = sin* «=*
sina; = 0 или sin ж = 1.

106
Глава 1. Тригонометрия
Но если sin а; — 1, то cos2 х — 1 — sin2 х = 0 = cos х, т.е. ни одно х такое,
что sin х — 1, не входит в ОДЗ. Если же sin ж = 0, то cos2 х — 1 — sin x = 1,
т.е. cos ж — ±1 ф 0, и в ответ войдут все решения уравнения sin ж = 0.
Тот же самый ответ можно было бы получить, работая с кругом как в
предыдущей задаче.
Ответ: х — гатг, п £ Z. м
► Задача 8. 2^3 sin2 § 4- 2 = 2 sin2 x 4 /3.
Решение. Подставив в исходное уравнение L ~ g08 g вместо sin2 §, получим
2^/3^^ + 2 = 2(1 -cos2 х) 4 УЗ *=*■ тД-/Зсоах + 2 = 2-2cos2:r +
cos х=0
спя ж=-э£2
V3 «=>• 2 cos2 z — /3 cos a; = 0
Ответ: х = | 4 П7Г, а; = ±| 4- 2гатг, neZ. 4
► Задача 9. ^т"* = 5ctgz.
1=±5+2птг, n€Z
sin х
Решение, ^'j"2* = 5ctg:c <$=> * - ^V* = 5ctgz <=> -V - 3 =
sirH x ° sin* i sin x ° sin ж
Sctga; «=*> (l + ctg2a;)-3 = 5ctgr <^=^ ctg2 x-5ctga;-2 = 0 ^=Ф- ctga; =
2
Ответ: x = arcctg —^-33 4- гатг, n € Z. -4
► Задача 10 [3]. 1 4- cos(z2 + 1) = sin2(z2 4-1).
Решение. Воспользовавшись формулой sin2 у = 1 — cos2 у, легко найдем,
что cos(a;2 4 1) = 0, или cos(a;2 4-1) = — 1, откуда х2 + 1 —  4 гатг, га 6
Z, или х2 4-1 = тг 4- 2шт, n € Z. Отсюда [ЙГ^Г;^ •
Каждое из уравнений последней совокупности имеет решение только при
таких га, которые делают правые части этих уравнеий положительными.
Например, при га = 0 правые части равны соответственно |- — 1 и тг — 1,
т.е. положительны, так как 7г > 3. Ясно, что если га > 0, то правые части
могут лишь увеличиться, так что все га ^ 0 годятся. Если же n ^ { — ^), то
правые части не превосходят соответственно чисел — | — 1 и —тг — 1, т.е.
отрицательны. Отсюда получаем

Урок 1. Сведение к квадратным уравнениям 107
► Задача 11 [3]. 2 sin x cos2 x 4- cos4 x - 2 sin x + cos 2x + cos2 ж.
Решение. Прибавим sin2 x к обеим частям уравнения. Слева получим
полный квадрат выражения sin x 4- cos2 x, а справа заменим sin2 x 4- cos2 ж на 1.
Получим уравнение (sin х + cos2 х)2 - 1 4 2 sin ж 4- 2 cos2 ж - 1, которое
эквивалентно совокупности у =?у , .
Уравнение sin ж + cos2 ж = 2 приводится к виду sin2 х — sin ж 4- 1 = 0 и,
следовательно, не имеет решений (у соответствующего квадратного
уравнения отрицателен дискриминант). Уравнение sin ж + cos2 х — 0 эквивалентно
уравнению sin2 ж - sin ж -1 = 0, откуда sin ж = ^& или sin ж = ^=^. Из
л/5 > 2 следует, что -"*"2— > 1.
Ответ: х = (—1)" arcsin х~^ + тг, neZ.
2 - »•■- '■ — «
► Задача 12 [3]. tg2 ж - 3tgx +
2aina; _ 3 1
cos^ г cos4 ж
Решение, tg2 ж - 3tgz + 2лп£ = —з i
COS^ 2? COS^ X
tg^ + 2tga: =- + j- = 5- + 3tgx <^=>
cos^ ж cos4 ж cos2 ж
/ I 2
<^=> tgx+—— ) = 3(l + tg2x) + 3tgx <=»
V cos2 x J
<=^> (tg2ж-|-tgж-Ы)2 =:3(l+tgж + tg2ж).
Отсюда получаем tg2 ж 4- tg ж 4-1 = 0 <=} 0, или tg2 ж + tg ж 4- 1 ~ 3
tga; = l,tgx = -2.
Ответ: x — f 4- птг, ж = — arctg2 4- П7Г, neZ.
^
► Задача 13 [3]. tg2 ж 4 ctg2 ж + Зtgж 4- 3ctgx 4- 4 = 0.
Решение. Пусть у — tg ж + ctg ж. Тогда у2 = tg2 ж 4- 2 tg ж ctg ж 4- ctg2 ж =
tg2 ж + ctg2 ж 4- 2. Значит, tg2 ж 4- ctg2 ж = у2 — 2 и наше уравнение принимает
вид у2 — 2 4 Зу 4-4 = 0, откуда у = — 1, у = -2. Мы получаем два уравнения:
1 1
tgx-| = —1 и tgж^ = —2.
tg ж tg ж
Первое из них не имеет решений, а второе эквивалентно tgж = —1.
Ответ: х — —j 4- гиг, neZ. -4
Наш первый урок успешно завершен. Теперь посмотрите на ваши
записки и поставьте себе оценку по следующим критериям:
- вы решили не менее 6 задач вашего уровня, не подглядывая ни в
решения ни в формулы, — оценка 5.
- вы решили не менее 7 задач вашего уровня, подсматривая только в
формулы, — оценка 4,5.

108
Глава 1. Тригонометрия
- вы решили от 4 до 6 задач вашего уровня, подсматривая только
формулы, — оценка 4.
- вы решили 3 задачи, не смотря в решения, и с первого взгляда поняли
как решать все остальные задачи вашего уровня, — оценка 3,5.
- вы, не напрягаясь, поняли все решения, хотя сами не смогли решить 3
задачи, — оценка 3.
- решения трудно понять, или вы не сумели понять их все — оценка 2.
В этом случае попытайтесь выучить все формулы (1)—(20) наизусть и
потом повторить попытку разобрать решения.
Домашнее задание
► 1. 1 + cos | + cos ж = 0
► 2. 1 - sin | = cos a;
► 3. 2 sin2 x + cos Ах = 0
► 4. sin 4ж 4- 2 cos2 х = 1
*■ 5. Ssinz - 4ctgz = 0
► 6.3 cos x 4- 2 tg x = 0
► 7. 1 4- 4 cos x — cos 2x
► 8.2 cos2 x + 5sina;4l-0
► 9. cos2x 4 Зл/гятж -3 = 0
► 10. 2 cos 2x 4- 4 cos x = sin2 x
► 11. 2 cos 2x 4- sin 3z = 2
► 12. | cos | = cos3 f 4- sin |
► 13. cos 4x + 4 sin2 x ~ 1 4- 2 sin2 2x
► 14. 4 - б cos x = 3 sin2 ж - 2 sin2 f
► 15. 5 + 2 siit 2ж — 5 cos x = 5 sin x
► 16 [2]. sin4 ж 4 cos4a;= f
► 17. cos4a; 4- 8 sin2 x - 2 — 6cos2z — 8 cos4 ж
► 18. 4-3 cos 4x — 10 sin x cos x
► 19 [2]. sin8 x 4- cos8 x = yf cos2 2x
k. 20. 6-5э^г* = 5tga:
CDS'* X °
► 21 [2]. sin4a; = (1 4 V2)(sin2a; 4- cos2a; - 1)
* 22" (1-CDsaHl+cosz) = Ctg ЯГ + 3
► 23. cos(10:r 4 12) + W2 sin(5z 4 6) = 4

Урок 2. Группировка и разложение на множители 109
Урок 2
Группировка и разложение на множители
Проверьте, пожалуйста, свое домашнее задание к уроку 1 (см. §1 гл.1 ч.З).
Приступайте к работе над этим уроком только в случае положительной
оценки. Если у вас «двойка», внимательно прочтите решения всех задач
первого урока еще раз.
Второй метод решения тригонометрических уравнений называется
«группировка и разложение на множители». Уже в этом уроке мы
столкнемся с тем, что данная задача не обязательно решается каким-либо
одним методом. Те методы, которые мы изучим, помогают последовательно
сводить задачу к все более простой, пока в итоге не получится одно из
простейших уравнений. В частности, под разложением на множители
понимается такое разложение, что выражение, равное нулю, представляется
в виде произведения нескольких сомножителей. После этого каждый из них
приравнивается к нулю, и, следовательно, уравнение становится проще.
К сожалению, рецептов на все случаи жизни здесь дать невозможно. Если
есть конкретное уравнение, то нужно комбинировать его члены
всевозможными способами, используя формулы
(1) а2-Ь2 = {а-Ъ){а + Ь),
(2) а3±Ъ3 = (a±b)(a2^ab + b2),
(3) tg£±tgy=
COS X COS у
(4) а4 + Ъ4 = {а2+Ь2)2~2а2Ъ2,
(5) а2 + Ь2 = (а + Ь)2 - 2ab,
/ i2 i
(6) |а±- =а3 + ~±2,
 a J a"
пока не удастся разложить. Но, в общем-то, успех здесь никому не
гарантирован. Тем не менее, чем больше опыта в решении подобных задач, тем
вероятность успеха выше.
► Задача 1. 2cos2z = -/6(cosj; — sin ж).
Решение. Мы знаем, что cos 2х — cos2 х — sin2 х — (cos x — sin x) (cos x + sin x).
Подставив это значение cos 2х в наше уравнение и перенеся все в левую

110
Глава 1. Тригонометрия
часть, получим: 2(созж — sin х) (cos х + sin ж) - </6(cos:r — sin ж) = 0 <=>
(cos x - sin ж)(2(со8ж4 sin ar)-V6) = 0 <=> feT/^-vfco ■ ДМьше все
просто.
Ответ: х = | 4- птг, ж = (—1)"| - | 4- птг, /г G Z. 4
► Задача 2. 2 sin3 х - cos 2ж — sin ж — 0.
Решение. 2 sin3 ж — cos 2x — sin ж = 0 <^> sin ж(2 sin2 ат — 1) — (1 — 2 sin2 x) —
0 «=> (2sin2z - 1)(этж 4 1) = 0 <S=> (1 - 2sin2 a:) (sin a: 4- 1) = 0 <=>
2/ - _ , -i  r i _*. cos 2x =0
х(вша; + 1) = 0 <^> [sini+1=0 •
Ответ: x= ^ + Щ-, a; = -f 4- 2n7r, n £ Z. 4
► Задача 3. sin3 x + cos3 x — 1 — ^ sin 2ж.
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в левой части уравнения:
sin3 ж 4-cos3 ж — (sin ж 4- cos ж)(sin ж 4- cos2 x — sin ж cos x) — (sin ж 4-cos ж) (1 —
^sin2a;). Значит, наше уравнение приводится к виду
sin х 4- cos а; = 1,
sin2a; = 2.
(sin ж 4- cos ж — 1)(1 — - sin2x) = 0 <==
Ответ: х = (-l)nf - f 4- птг, n e Z. 4
► Задача 4 [2]. tg ж — tg 2a; = sin ж.
Решение. Отметим сначала, что ОДЗ данного уравнения состоит из
таких х, что cos х/Ои cos 2x ф 0. Далее,
sin х . .Л 1 "
tg а; — tg 2а; — sin х <& — — = sm х 4$ smx 1 -| — I = 0.
cos a; cos 2x  cos x cos 2a;/
Нам необходимо решить уравнение sin х — 0 и отобрать решения,
входящие в ОДЗ. Но если х — rrn, n S Z, то cos а; = ±1 ф 0 и cos 2а; — 1 (нарисуйте
все это на круге!), так что все такие х входят в ОДЗ.
Далее, 1 4 „„,, ' ~ — 0 <$=> cos x cos 2х — — 1. Значит, как cos ж, так и
сов2ж не равны нулю (ведь их произведение равно —1 ф 0).
Заметим, что | cos ж |^ 1 и | сов2ж |^ 1, причем если хотя бы одно из
этих чисел по модулю строго меньше единицы, то и их произведение тоже
строго меньше единицы, будучи произведением числа, меньшего по модулю
чем 1, на число, не превосходящее 1. Значит, | cos ж |= 1 и | сов2ж |= 1 и
последнее уравнение распадается на две системы:
Гсоэж=1, Г cos ж = —1,
< и ■s
[сов2ж = —1 [соэ2ж=1.

Урок 2. Группировка и разложение на множители 111
Но если cos ж = ±1, то сов2ж = 2 cos2 a; — 1 = 1, откуда следует, что первая
система решений не имеет, а вторая эквивалентна уравнению cos ж — — 1,
все решения которого входят в серию х = п7г, nGZ.
Ответ: ж = Гс7г, п € Z. ■*
► Задача 5 [2]. 2tgr + tg2r = tg4x.
Решение. Наше уравнение эквива.
(7) tgx + tg2a; = tg 4яг — tgz
Решение. Наше уравнение эквивалентно уравнению
sin Зж sin Зж
cos х cos 2ж cos a; cos 4ж
Решив уравнение этЗж = 0, получаем х = ^, тг € Z. Отметим точки на
круге, представляющие эту серию. Это будут 0, |, ^, тг, ^, ^.
Точки на круге, не входящие в ОДЗ, будут
7Г ЗТГ 7Г 37Г 57Г 7п 7Г 37Г 57Г 77Г 97Г ПТГ 137Г 157Г
2' Т' 4' Т' Т' Т'8'Т'Т'Т'Т' ~8~'~8~' ~8~"
Напомним, что для того, чтобы их найти, надо записать решения
уравнений cos ж = 0, cos 2а; = 0, сов4ж = 0 в виде серий х = | + П7Г, х =
f + ^j ж = | + ^, n e Z, и придавать числу п значения 0,1,2,..., пока
точки из каждой серии не начнут повторяться. В результате первая серия
даст две точки, вторая — четыре, а третья — восемь. Мы видим, что все
решения уравнения sin Зж = 0 входят в ОДЗ.
Полезно в тот момент, когда получена часть окончательного ответа, а
еще предстоят длительные поиски других частей, обвести найденный кусок
ответа в рамочку, чтобы потом, при выписывании полного ответа, легче
было его искать:
х=Щ-, n€Z
В дальнейшем любое выражение, молчаливо выписанное в рамочку, будет
означать, что это готовый кусок ответа.
Чтобы закончить решение исходного уравнения, сократим уравнение (7)
на sin Зж.
Получим
1 1
- <=з> cos 2ж = cos 4ж «=*> 2 cos 2x — cos2a;-l = О,
cos х cos 2x cos x cos 4ж
откуда cos2x = 1 или соэ2ж = — . Любое решение последних двух
уравнений входит в ОДЗ, так как cos4z = соз2ж ф 0, a cos ж = 0 => cos 2а; = — 1,
т.е. и cos ж ф 0.
Ответ: х = Ц2-, п 6 Z. -4
Задача 6. 5(sinz 4- cos ж) + этЗж - собЗж = 2%/2(2 + зт2ж).
Решение. Здесь нужно не побояться четко проделать длинные выкладки:

112
Глава 1. Тригонометрия
5(sin:r + cos ж) + эшЗж — cos За; = 2л/2(2 + sin 2ж)
5(sin x + cos x) 4- 3 sin x — 4 sin3 x — 4 cos3 ж + 3 cos x — 2/2(2 + 2 sin a; cos ж)
Ф
(sin ж + совж)(5 + 3 — 4(sin2a; + cos2 x — sin ж cos ж)) = 4V2(1 4 sinarcosa;)
t
4(sinx + cosar)(l 4- sin x cos x) — 4л/2(1 4 sin ж cos ж).
Поскольку всегда 1+sin x cos a; > 0 (докажите сами!), последнее уравнение
равносильно уравнению sinх 4 cosх = у2 <=$■ х — j 4 2шг, п € Z.
Ответ: х — j 4- 2п7г, п € Z. 4
► Задача 7 [2]. ctg2 x — tg2 x = 16 соэ2ж.
Решение. Заметив, что cos4 а; — sin4x — (cos2 ж — sin x) (cos2 x 4- sin2 ж) =
cos2 x — sin2 x = сов2ж, преобразуем наше уравнение следующим образом:
cos2 х sin2 x , „ cos4 ж - sin4 x
— 16cos2;r «=Ф- —— -ц— = 16cos2a; <*=>
sin2 x cos^ x cos2 x sin2 ж
cos2x
= lb соэ2ж.
cos2 ж sin2 ж
Если cos2r = О <*=> x — f 4- ^, /г e Z, то sin ж ^ 0 7^ cos а;, так как для
таких х и синус и косинус равны по модулю Ц^-. Итак, х = j + ™, neZ
Решим уравнение
1 .. о . о 1
= 16 -ф=ф- cos2 ж sin2 х = —-.
cos2 ж sin2 ж 16
Отсюда видно, что sin ж ф О Ф cos ж, если ж удовлетворяет последнему
уравнению. Оно эквивалентно sin2 2ж =  Ч=Ф- sin2x = ±|. Дальше
ясно.
Ответ: ж= f 4 ^, ж = ±^ 4-^, ri€ Z. 4
* Задача 8. 1 + sin х 4- cos х 4- sin 2ж 4- cos 2ж = 0.
Решение. Мы уже знаем из задачи 5 урока 1, что l4-sin2x — (sin x 4 cos ж)2.
Воспользовавшись тем,что сов2ж = (cos ж — sin ж) (cos ж 4- sin ж), вынесем за
скобки выражение (cos ж + sin ж):
(cosa;+sina;)(sina;4-cosa;4-l4-cosa; — sin ж) = 0 •& (sin ж 4- cos ж) (2 cos ж 4-1) = 0.
Ответ: ж = - 4 пп, ж = ±|тт 4- 2птг, п е Z. 4
► Задача 9 [3]. 2 tg ж 4 tg2ж 4 2tgжtgЗж 4- tg2жtgЗж = 0.

Урок 2. Группировка и разложение на множители 113
Решение. 2 tga; + Щ2х + 2tga;tg3a; + tg2a;tg3a: = 0 <=> 2tgar(l + tgЗж) +
tg2a;(l + tg3a;) - 0 <=$■ (2tgx + tg2:r)(tg3a; + 1) = 0. Решив уравнение
7Г Т17Г
(*) tg3:c+l = 0 4=> х = -— + —, neZ,
выясним, какие его корни входят в ОДЗ. На круге корни уравнения (*)
представлены шестью точками: f, -jf, ^, ^, ^-и Щ-, причем в ОДЗ не
входят элементы множества {f,^f,f,if'T">"^L}'Ha К°ТОРОМ не определены
либо tga;, либо tg2a; — соответствующие решения (*) у нас подчеркнуты.
Собирая решения (*), оставшиеся неподчеркнуты, записываем кусок
ответа:
Х ~ if + П7Г' Tf + П7Г' 12 + П7Г' 12 + П7Г> П ^ Z
Решаем уравнение 2tg# + tg2a; = 0. Воспользуемся формулой tg2a; —
i-tls'a и вынесем за скобки tga;: tga: f 2 + уЛз x ) = 0- Если tga: =
0, то определены tg2a: и tg3a;, так что получаем еще кусок ответа:
х — птг, п € Ъ
Остается решить уравнение 1 + 1 * а х = 0 <*=> i_tfi x ~ "
tga; = ±V2. Здесь можно молчаливо считать очевидным, что все такие х
входят в ОДЗ, поскольку они «плохо» выражаются (т.е. не совпадают с
рациональными частями числа тг).
Ответ: х =, j^ + птг, а: = Ц^- + птг, а; = ^ + тг, х = Щ~ 4- птг, х =
± arctg у/2 + шг, а; — птг, neZ. ■*
► Задача 10 [3]. -&- - Щ = 0.
cos2 5£ cos2 t
Решение. Приведем уравнение к общему знаменателю:
tg t cos2 t - tg Ы cos2 5£ sin t cos t — sin 5£ cos Ы _
cos2 5£ cos2 t cos2 5£ cos2 £
1 sin 2i — sin lOt _ sin 4£ cos 6t _
2 cos2 5£ cos2 £ cos2 £ cos2 Ы
Нарисуем на круге точки, не входящие в ОДЗ, — это будут
7Г ЗтГ ТГ ЗтГ 7тГ 97Г ПТГ 13ТГ 17ТГ 197Г
2' Т' То' То' То' То' IF' То"' То"' То""
Точки, дающие решение уравнения sin4tcos6£ = 0, — это
тг тг 37г 5тг Зтг 7тг 7г 57г 7тг 117Г 137Г 17тг 19тг
°' 4'!' Т,7Г) Т'Х' Т"' 12' 12' Т2 ' ТУ' ТУ' ТУ' ТУ'
Подчеркнуты те точки, которые надо отбросить. Мы видим, что все
решения уравнения cos 6t = 0 входят в ОДЗ — отсюда получаем
Ответ: х = ^ + *%-,х = j + Чр, х = птг, п G Z. 4
Наш урок закончен. Если у вас первый уровень и вы
- сами решили четыре задачи — оценка о;

114
Глава 1. Тригонометрия
сами решили три задачи — оценка 4;
решили две задачи и поняли все мои решения — оценка 3;
подглядывали формулы не менее двух раз, то оценка уменьшается на 1
балл;
решили менее двух задач или чего-то не поняли в тексте решений —
оценка 2. В этом случае надо, не решая домашнего задания, перейти к
третьему уроку, а потом вернуться к этому.
Если у вас второй уровень и вы
сами решили 7 задач — оценка 5;
сами решили 5 задач — оценка 4;
сами решили 3 задачи и в одной получили правильный ответ, забыв о
проверке, а также поняли все мои решения — оценка 3;
подглядывали формулы не менее двух раз, то оценка уменьшается на
один балл;
чего-нибудь не поняли из моих решений или решили не более трех задач
— оценка 2. В этом случае, не решая домашнего задания, перейдите к
третьему уроку, а после него вернитесь к этому.
Если ваш уровень третий и вы
сами решили 8 задач — оценка 5;
сами решили 6 задач — оценка 4;
сами решили 4 задачи — оценка 3;
не менее двух раз подглядывали формулы, вычтите из оценки 1 балл;
сами решили менее 4 задач или не смогли разобрать решение хотя бы
одной не получившейся задачи -■- оценка 2. В этом случае, не решая
домашнего задания, перейдите к уроку 3, а после него вернитесь к
данному уроку.
Домашнее задание
► 1. sina;(3sm2a;sin3a; + 12 sin 2ж sin ж - 16 cos х) 4- 2sin4a; = О
► 2. 3cos4x + 2cos2z(10cos4z+3cos2;r+ sin2a;) + 3 = 0
*■ 3. (1 + 2 sin ж) sin ж = sin2a; + cos ж
► 4. sin x + sin2a; + (1 4- 2 cos ж) cos ж = 0
- 5 [3]. 6tgz + 5ctg3a; = tg2x
*■ 6. sinЗжcosx - | tgx
► 7. cos ж + sin ж = {™ ■„ f e-
► 8 [3]. ^ ±- ^2sin£
1 J sin x cos x 4
9. 2(sin ж + cos3 ж) = 3sin2a;(sma; 4-cos ж)
► 10. sin 2ar(tg2 ж 4- 3) - 4(cos 2ж - 1)

Урок 3. Сведение к однородным уравнениям 115
► 11. 16 sin ж — sin2a; = 1 — cos2z
► 12 [3]. 4sina: -f 2сойж = 2 + 3tga;
► 13 [2]. 1 + sin3 x + cos3 x = | sin 2x
► 14. 3tg2a; + 4tg:r-|-4ctga; + 3ctg2:c + 2 = 0
► 15. V^(cos 2x + 1) = 2 cosx{2 - cos 2x)
► 16. 2(cos x — 1) sin 2ж = 3 sin x
► 17 [3]. 3sina;cos;r -I- 4 sin ж = 4 — 3cos2 ж -f- cosa;
► 18. 2 sin ж tg x + 2 tg ж = sin x + 3 cos x + 3
► 19 [2]. 2sina: — 4 cos a; — tga; = ctga; — 2cosa;ctga; — 2
► 20. l-5sinz = 5ctga;-^a^
° COS X
УрокЗ
Сведение к однородным уравнениям
Начнем с проверочного теста-разминки, показывающего, насколько вы
готовы к данному уроку. Он (и критерии его оценки) одинаков для всех
уровней. Итак, никуда не подглядывая, ответьте на следующие вопросы,
записывая их номера и ставя ответ сразу после номера.
1. Выразите sin x через cos 2а;.
2. cos(a -/?) = ?
3. COS£ — —1 <^4> ?
4. sin у + cos у — ?
5. 1 + ctg2 x = ?
6. sin За; = ? ,
7.tg¥* = ?
8. arccos(—|) = ?
9. cos(^ - a) = ?
10. tga; + tgj/ — ?
11. a3-b3 = ?
12. tgx = /3 «=> ?
13. sin Ix =5J- 4=> ?
14. cos За; = ?
15. в какой четверти лежит угол v7 радиан?
16. при каких х определена функция у = tga; ctga;?
17. COS7T — ?
18. 1 + sin 2x = ?
19. cos 2a: = ? (написать четыре различных формулы).
20. cos a; = — |

116
Глава 1. Тригонометрия
Теперь, пожалуйста, сверьтесь с ответами. Если правильных ответов у вас
меньше десяти, вы к уроку не готовы; повторите формулы и упражнения
урока 1. Если вы прошли этот тест, читайте дальше.
Третий метод упрощения тригонометрических уравнений — сведение их
к однородным уравнениям, т.е. к одному из уравнений вида
(1) A sin х + В cos х = О,
(2) Asia2 х + Б sin a; cos ж 4- С cos2 x — О
— здесь А, В и С — какие-то числа.
Продемонстрируем сначала, как решать уравнения вида (2). Если оба
числа А, В равны нулю, то все просто. Пусть, например, А Ф 0.
Предположим, что cos а; = 0. Подставим это значение косинуса в уравнение (2).
Получим
A sin2 ж + Б sin ж ■ 0 + С ■ 0 = 0 -Ф=> Asin2r = 0 <=> sinx-0,
чего не может быть, так как sin2 х + cos2 а; = 1. Значит, cos ж ф 0 и можно
поделить (2) на cos2 ж. Получим уравнение Atg2 x + Btgx + С = 0 —
дальше ясно. Точно так же при помощи деления на cos x или sin x решается
уравнение (1).
Отметим, что при решении подобной задачи на экзамене
обязательно приводить полное доказательство того, что cos ж ф 0 или
sin а; ф 0.
К уравнению (2) сводятся уравнения вида
Р sin2 х + Q cos2 x + R sin 2x + S cos 2x + T sin x cos x + U = 0
посредством формул sin 2a: = 2 sin x cos x, сов2ж = cos2 ж — sin x, 1 =
sin2 ж + cos2 x.
► Задача 1. 12 sin2 x + 3 sin 2x — 2 cos2 x — 2.
Решение. Заменим 3 sin 2х на 6 sin x cos x и число 2 на 2 cos x + 2 sin x.
Приведя подобные члены, получим уравнение 10 sin2 x + б sin x cos ж — 4 cos2 x = 0.
Пусть cos а; = 0. Подставив это значение косинуса в предыдущее
уравнение, получим 10 sin2 х — 0 4=S> sin ж = 0 - противоречие с тем, что
sin х + cos2 x = 1. Значит, cos ж /Ои можно поделить уравнение на cos ж.
Получим 10 tg2 ж + 6 tg ж - 4 = 0
Ответ: х = — | + шг, ж = arctg | + пп, п € Z. «
►• Задача 2. 4 cos2 § + § sin ж + 5 sin2 | = 3.

Урок 3. Сведение к однородным уравнениям
117
Решение. Заменим | sin а; на 3 sin | cos £, а число 3 — на 3 sin2 % 4- 3 cos2 §
После упрощений получим
2 '
cos — -1-3 cos — sin - -1-2 sin -
2 г z z
x
X
2tg^-+3tg- + l = 0
Z* Zt
tgf
tS§ = -5-
Ответ: x — — тг 4- 2п7г, ж = —2arctg | + 2шг, n 6 Z.
► Задача 3. sin2 ж — /2cos (2x — j) = 1.
Решение:
sin2 x - s/2 cos f 2ж - — I = 1
sin2 ж - /2 ( cos 2ж • —^ 4- sin 2ж • —;= ) = 1 -ф=>
Iе
V2 ' " л/2,
-Ф=> sin2 ж — cos 2ж — sin 2ж = 1 -Ф=> sin2 ж — 2 sin ж cos a; — 2 cos2 x = 0 <$=>
<^=> tg2a;-2tgz-2 = 0.
Ответ: x = arctg(l ± /3) + шг, n 6 Z. 4
► Задача 4. %/3sin (f - 2ж) 4- 3cos2 (f 4- x) = 3.
Решение. Воспользуемся формулой синуса разности для первого
слагаемого и тем, что
/тг  l+cos2(£ +x) l + cos(f+2ar) 1-Sin2a;
смЧ4+1) = 2 = 2 = —2—-
Итак,
у/3 (sin - cos 2x - cos - sin 2ж J -1- - (1 - sin 2x) — 3
(/о -I  О Q
-— cos 2х - - sin 2х I +- - - - sin 2ж = 3
2 2 I 2 2
3 cos 2х - Д sin 2ж - 3 sin 2ж - 3 = О
sin 2ж(3 + /3) + 3(1 - cos 2ж) = О
2 sin ж cos ж(3 -1- /3) 4- 6 sin2 x - 0.
Последнее уравнение эквивалентно совокупности
sin а; = 0,
(3 4- /3) cos х + 3 sinx = 0.
С первым уравнением ее все ясно, а второе эквивалентно уравнению 3 tg x 4-
3 + л/3 = 0.
Ответ: ж = птг, ж = - arctg Ц^ 4- П7Г, тг е Z. 4

118
Глава 1. Тригонометрия
► Задача 5. 5 sin х ~ 2 cos а; = 0.
Решение. Вы не забыли о том, что перед тем как поделить уравнение на
выражение, содержащее переменную, надо доказать, что это выражение
никогда не обращается в нуль? Мы это опускали в предыдущих задачах
для краткости, но в экзаменационном решении этого делать нельзя!
Итак, пусть cosr = 0. Тогда 5 sin х — 2 ■ 0 = 0 <=> sinz = 0, чего не
может быть ввиду sin2 x + cos2 x = 1. Значит, можно поделить уравнение
на cos х. Мы получим уравнение 5 tg х — 2 = 0.
Ответ: х ~ arctg | 4- П7г, п G Z. ■*
► Задача 6. 5 sin x — 2 cos x = 1.
Решение. Воспользовавшись формулами
.3? X г> ^ -2-1 - 2 "^ 2
sin х = 2 sm — cos -, cos x = cos sin —, 1 = sin — + cos -,
2 i 2 & 2 i
приведем каше уравнение к виду
10 sm — cos 3 cos' — + sin — = U.
Дальше все ясно.
Ответ: х — 2arctg(-5 ± л/28) 4- 2га7г, п G Z. <
*■ Задача 7. cos6 х 4 sin6 х — cos2 2z = -^.
Решение. Рассматривая выражение sin6 x 4 cos6 x как сумму кубов,
преобразуем его к виду
(sin2 х 4 cos2 x) (sin4 x 4- cos4 x - sin2 x cos2 ж) =
= (sin2 x 4- cos2 ж)2 — 2 sin2 z cos2 x - sin2 ж cos2 x.
Значит, наше уравнение равносильно следующему:
1 3 1
1 — 3 sin2 x cos2 x — cos2 2x = — •$=£- 1 — cos2 2ж — - sin2 2x — — «=>
16 4 16
3 , 1
sin^ 2x sin 2x = -—.
4 16
Значит, | sin2 2x — -^, и далее решение легко закончить.
Ответ: х = ±-fe + f, neZ. «
► Задача 8. cos 2z — sin3 x cos г 4 1 = sin2 ж 4 sin a; cos3 x.
Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть: cos2z —
(sin3 zcosz+sinzcos3:r) + l —sin2 x — 0 <==> cos2 z-sin2 ;r-sin;rcosz(cos2 z4
sin2 x) 4- cos2 x — 0 «=» 2 cos2 г - sin x cos z - sin2 x — 0.
Ответ: x = | 4 шт, £ = — arcctg ^ 4 П7Г, n £ Z. 4

Урок 3. Сведение к однородным уравнениям 119
► задача 9 121. : = cosJz.
2 cos ж — sm ж
Решение. Поскольку sin3 ж + cos3 ж — (sin ж + cos ж) (sin2 ж — sin ж cos ж +
cos2 ж) — (sin ж + cosx)(l — sin ж cos х) и сов2ж — (cosx -I- sin ж) (cos ж — sin ж),
наше уравнение легко приводится к следующему виду:
/1 — sin ж cos х 
(cos ж 4- sin ж) ( г—■ — cos ж 4- sin ж =0.
 2 cos ж — sin ж /
Докажем, что все решения уравнения cos ж + sin ж = 0 входят в ОДЗ.
Действительно, если sin ж+cos ж = 0, то sin ж = — cos ж. Нам надо проверить,
что 2 cos ж — sin ж ф 0. Но если 2 cos ж — sin ж = 0, то, учитывая, что sin ж —
— cos ж, получаем, что 2 cos ж — (— cos ж) = 0 <■=> Зсобж^О -$=> соэж = 0и
sin ж — — cos ж — 0, чего не может быть по основному тригонометрическому
тождеству. Полученное противоречие доказывает, что можно обвести в
рамочку решения уравнения
sin Ж + COS Ж = 0 <*=Ф- Ж = — j + П7Г, П £ Z
Нам осталось решить уравнение
1 — sin ж cos ж
— cos ж + sin ж = 0.
= 0
2 cos ж — sin ж
Приведем его к общему знаменателю:
1 — sin ж cos ж — sin2 ж — 2 cos2 ж +• 3 sin x cos ж
2 cos ж — sin ж
г
2 sin ж cos ж — cos2 ж
2 cos ж — sin ж
Докажем, что все решения уравнения 2 sin ж cos ж — cos2 ж = 0 входят в
ОДЗ. В самом деле, если 2 cos ж — sin ж = 0, то sin ж = 2 cos ж, и, подставив
в уравнение, получаем 2 cos ж cos ж — cos2 ж = 0 <$=> cos ж = 0. Но тогда и
sin ж — 2 cos ж = 0 — противоречие с sina ж +• cos2 ж — 1. Дальнейшее ясно.
Ответ: ж = —  + nir, ж = |- + птг, ж = arctg | + П7Г, « G Z. ■*
Задача 10 [2]. tg:r + cte:c _ 6сов2ж + 4вш2ж.
ctg ж — tg ж
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в левой части:
tg
arctg ж
1 + tg2 ж
1 - tg2 ж
bctg
-tg
1
ж tgx
ж -L.
tgz
1
cos- x
sin2 x
CDS2 Ж
tgz _
-tgar
COS2 Ж
1
l + tK2z
tgz
1-tK3 ж
tgz
sin2 ж
1
cos 2ж

120
Глава 1. Тригонометрия
У нас получается уравнение
— = 6 cos 2ж + 4 sin 2x.
соэ2ж
После приведения к общему знаменателю оно примет вид
6 cos2 2x + 4 sin 2ж cos 2х — 1 Л 5 cos2 2ж + 4 sin 2ж cos 2х — sin2 2ж
= 0 Ф> „ = 0.
coslx cos 2x
Точно так же, как в задаче 9, доказывается, что все решения уравнения
5 cos2 2x + 4 sin 2x cos 2х — sin2 2х = 0 входят в ОДЗ.
Ответ: х = -§ + тр, ж = §arctg£ + ^, тг е Z. 4
Третий урок закончен. Для всех уровней оценка ставится следующим
образом:
- решено 50% задач — тройка;
- решено 75% задач — четверка;
- решено 90% задач — пятерка.
Домашнее задание
►1,3 cos2 х — sin2 x — sin 2x — 0
► 2. 5 sin x - 2 cos x = *—■
► 3. 28 sin2 x + 3 sin 2x - 2 = 5 cos2 ж
► 4. 4 sin2 x + 4 sin ж cos ж + 6 cos2 ж = 3
►5,5 sin2 x — cos2 x = 4 + 4 sin ж cos ж
► 6. (1 + tg2 x) sin ж - tg2 x + 1 = 0
► 7. 2 sin 2ж + cos 2ж = у/Ъ
► 8. sin ж — 3 cos x = ! + cos2 §
► 9. sin2 x - 5 cos2 ж + 1 = sin 2ж — 2 cos 2ж
► 10. 2 sin(3z - 2) + 3 соз(Зж - 2) = л/13
► 11. 2 sin 4ж -f 16 sin3 x cos x + 3 cos 2ж — 5 = 0
► 12. tg2жtg7ж = 1
►13. sin Зж + 4 sin3 ж + 4 cos ж = 5
► 14 [3]. sin5 x + cos5 ж = 1
► 15 [2]. 3tg3z-ctg2z = 4tgz
► 16. ctgx — 2соэ2ж = 1
► 17. tg2ж + cos4ж = 0
►18 [2]. tg^=H^f
► 19 [3]. 4tg4z-4tg3z -tg2z = tg2жtgЗжtg4ж
20 [3]. cos (2X) - 2tg2 (2х-1) +2 = 0

Урок 4- Преобразование сумм в произведения и наоборот 121
Урок 4
Преобразование сумм в произведения
и произведений в суммы
Задачи, которые мы рассмотрим на этом уроке, можно назвать
задачами, которые решаются случайно. Это означает, что они придуманы таким
образом, что практически любое изменение формулировки делает задачу
нерешаемой. Например, может быть так, что при надлежащем
преобразовании сокращается sin 17а; и остается простое уравнение. Однако если
мы заменим где-нибудь 17ж на 1бж, то решить исходное уравнение будет
невозможно.
Такая ситуация чаше всего возникает в задачах, где нужно применять
формулы преобразования сумм в произвеения и наоборот. Вот формулы,
которые мы с вами должны знать в совершенстве:
а • _l ■ о ■ х±у Х^У
(1) sinz ± sin у = 2sm—-—cos—-—
.. п х + у х — у
(2) cos х + cos у ~ 2 cos —-—cos———
/v n ■ x + У ■ x ~ У
(3) cos a; — cosy = -2 sin—-—sin—-—
(4) sin x sin у — - (cos(a; — y) - cos(a; -1- y))
(5) sina;cosy = -(sin(z + y) + sin(x - y))
(6) cos x cos у = -(cos(x + y) + cos(:r — y))
Применять их надо, когда тригонометрические функции берутся от
аргумента большой кратности (т.е. от 5х, 8х и т.п.). При этом единственная
надежда решающего сотоит в том, что все плохое сократится рано или
поздно.
*• Задача 1. sin х + sin Зх = 4 cos3 x.
Решение. Применим формулу (1):
sin x + sin Зх = 2 sin cos ——— = 2 sin 2x cos x.

122
Глава 1. Тригонометрия
Подставляя это значение sin a:-bsin За; в исходное уравнение и вынося cos x
за скобки, получим cos a;(sin 2x — 2 cos2 x) = 0 <=> cos2 x(sin x - cos x) — 0.
Ответ: х — ^ + пк, х = ~ + n.7r, neZ. <
Задача 2. cos2 (| - х) — cos2 (| 4- х) — .
Решение. Представим разность квадратов как произведение разности
косинусов на их сумму и воспользуемся формулами (2) и (3):
cos2
Mir*) -cosGH) (cos(l -x)+cos(f H) = 
г
2L _ т _l_ :£ J. * E. _ r _ ZL _ ^ 1С _ r -L ^ -L г Ж _ r __ ?L __ T
-4 sin -§ s sin ■* ° cos £-—-—й cos ■£ —^ = ±
2 2 2 2 2
7Г 7Г . 1
2 sin -sinrf2 cos — cos x) = -
8 v 8 ; 2
г
7Г 7Г 1 71" 1 1
2 sin — cos — (2 sin x cos ж) = - <*=> sin —(sin 2a;) = - «=> sin2a: = -^z.
8 8 J 2 V 2 v/2
Ответ: x = (-l)nf + f,neZ. <i
► Задача 3. cos 3a: cos4x + sin 2xsin5x — | (cos 2a; + cos 4a;).
Решение. Из формул (4) и (6) следует, что cos За; cos 4а; — |(cosa; + cos 7a;)
и sin 2a; sin 5а; = | (cos За; — cos 7а;). Значит, наше уравнение эквивалентно
следующему: cos а; -1- cos 7а; + cos За; — cos 7a; = cos 2a; + cos 4а; <$=*> cos a; +
cos За: = cos 2a; + cos 4a; <=> 2 cos x cos 2a; = 2 cos За; cos x <=3- cosar(cos2x —
cos За;) —О Ф=Ф cos a; sin § sin ~ = 0.
Ответ: | + П7Г, 2птг, |п7г, п £ Z. -4
► Задача 4 [2]. ctg х + ctg За; = tg 2a;.
Решение. Заменим тангенс и котангенсы их выражениями через синусы и
косинусы:
cos x cos За; sin 2а; sin За; cos x + cos За; sin x _
sin a; sin За; cos 2a; sin a; sin За;
sin 2a; sin 4a; sin 2a;
cos 2a; sin x sin За; cos 2a;

Урок 4- Преобразование сумм в произведения и наоборот 123
Заметим, что в синусе от Ах «сидит» синус от 2ат, и произведем
соответствующее вынесение за скобки:
/ 2cos2z 1 
sm 2х - — = 0.
 sm х sin ox cos 2x )
Уравнение sin 2x = 0 эквивалентно совокупности ^n x=_n . Легко ви-
■ COS 3? — U
деть, что в ОДЗ входят лишь решения уравнения cost = 0 •$=>
^~ +пж, п е Z
Решим уравнение 2 cos 2x 1
sin х sin За; cos 2x
После приведения к общему знаменателю левой части и приравнивания
числителя к нулю, получим уравнение 2 cos2 2х — sin x sin З.г = 0 ■$=$■
2 cos2 2х — | (cos 2х - cos Ах) = 0 4=?> 4 cos2 2а: ~ cos 2а; + 2 cos2 2x - 1 =
0 <^=> 6cos2 2ж - cos2г - 1 = 0 <=> coslx=^ > .
[cos 2i^—5
Докажем, что все решения полученной совокупности принадлежат ОДЗ.
То, что cos 2а; ф 0, совсем ясно. Далее, множество таких х, что sin а: = 0,
лежит в множестве таких х, что sin За; — 0 <$=> sina;(3 — 4 sin x) = 0.
Значит, достаточно доказать, что sin х ф 0 и sin х ф |-. Но если sin ж — 0, ^,
то cos 2а; = 1 — 2 sin2 £ = 1,— Ф ~,~^) чт0 и требовалось доказать.
Ответ: | + П7Г, ±|- -1- птг, ±| arccos (— |) + птг, n e Z. -4
► Задача 5. sin 2x sin 6а; cos Ах +  cos 2x = 0.
Решение. Заменим sin 2ж sin 6а; на  (cos 4а: - cos 8x) в данном уравнении.
После умножения на 4 получим, что
2 cos2 4а; — 2 cos 4a; cos 8a: + cos 12a: = 0 -Ф=> 2 cos2 Ax - cos 12a; - cos 4a? +
cos 12x = 0 «=>■ 2 cos4 a; — cos 4a; — 0.
Ответ: x = § + ?f} ar = ±f^ + f, n £ Z. *
► Задача 6. 4 sin 5a; cos 5a; (cos4 x — sin4 a;) = sin Ax.
Решение. Поскольку cos4 x — sin4 x — (cos2 x — sin2 x) (cos2 x + sin2 ж) = cos 2x,
наше уравнение равносильно следующему:
4 sin 5a: cos 5a; cos 2а; = sin Ax — 2 sin 2a; cos 2a; <*=>
ф=> cos2a;(2sm5a;cos5a: — sin2a;) = 0 -Ф=>
<*=> cos 2z(sin 10a; — sin 2x) = 0 <*=> cos 2a; sin 4a: cos 6a; = 0.
Ответ: x = ™, x = ~^ + ^f, n € Z. *
*■ Задача 7. cos a; cos 2a: cos 4a; cos 8a; = | cos 15a;.
Решение. Предположим, что sin a: = 0 <$=> x = тгтг, n € Z. Тогда
cos a; = ±1, cos 2a: = cos 4a; = cos 8a; = 1, cos 15a: = ±1. Значит, левая часть

124
Глава 1. Тригонометрия
уравнения равна по модулю единице, тогда как правая не превосходит g.
Мы доказали тем самым, что если х удовлетворяет нашему уравнению, то
sin ж ф 0. Следовательно, оно эквивалентно выписанному ниже.
sin х cos x cos 2x cos 4а; cos 8x 1
: = - cos 15а; ■$=>■
sin a; 8
<=>■ ——4 ■ 2 sin x cos x, cos 2x cos Ax cos 8a: = cos 15a; <$=>
=sin 2i
<$=> ——2 • 2 sin 2a; cos 2a; cos 4a; cos 8a; = cos 15a; <$=>
sin a;
~sin4x
2 sin 4a: cos Ax cos 8a; , „ sin 8x cos 8a;
—-—-—: = cos 15a; -Ф=Ф> = cos 15a; 4=>
sin a; sin a;
sin 16a; — 2 sin a; cos 15a;
= 0
smr
sin 16ж — sin 16a; 4- sin 14a; Г sin 14a; - 0,
{'
sin a; [ sin а; ф 0.
Ответ: х — ~, пф 141, n, I € Z. 4
► Задача 8. 2 cos 13a; 4- 3 cos 3a; 4 3 cos 5a; — 8 cos x cos3 4a; = 0.
Решение. Здесь уже сразу не видно, что и как нужно преобразовывать.
Воспользуемся тем, что cos За; 4 cos 5a; = 2 cos х cos 4a; и вынесем в последних
двух слагаемых за скобки выражение 2 cos х cos 4a;. Получится уравнение
2 cos 13a; 4- 2 cos x cos 4а;(3 — 4 cos2 4а;) — 0.
Заметив, что cos4a;(3 — 4 cos2 4a;) = — cos 12a;, перепишем его в виде
2 cos 13a; — 2 cos x cos 12а; = 0 -Ф=> 2 cos 13а; — cos Их — cos 13а; = 0 <=$■
■Ф=^ cos 13а; - cos Па; = 0.
Последнее уравнение, очевидно, равносильно уравнению sin a; sin 12а; = 0.
Ответ: ~~, п G Z. м
► Задача 9. cos х cos 2а; sin За; = | sin 2а;.
Решение. Конечно, прежде всего надо заметить, что в синусе двойного
угла «сидит» косинус и вынести поледнии за скобки. Получим уравнение
cos х (cos 2а; sin За;— | sin а;) = 0 -Ф=> cosa;(^ sin 5а; 4  sin а; —  sin а;) = 0 -Ф=>
cos a; sin 5а; — 0-
Ответ: х = -| + п-к, х — ^Д, п € Z. •*
1 1
► Задача 10 2 . — — —— = ЫЗх.
1 ' tg5a;4-tg2a; ctg5a; 4- ctg2а; ъ

Урок 4- Преобразование сумм в произведения и наоборот 125
Решение. Поскольку
cos 5ж cos 2ж cos Ъх sin 2х + sin 5ж cos 2x sin 7x
ctg Ъх 4- ctg 2ж = -г—^—Ь
sin Ъх sin 2ж sin 2x sin 5ж sin 5ж sin 2x
и tg5x + tg2x = CD3sl"^32;r, наше уравнение приобретает вид
sin Ъх sin 2x cos 5ж cos 2ж cos 7 ж _ sin Зж
sin 7ж sin 7ж sin 7x cos Зж
В области допустимых значений это уравнение эквивалентно
следующему: cos Зж cos 7х = sin Зж sin 7ж ^=^ cos Зж cos 7ж — sin Зж sin 7ж = О -Ф=>
cos Юсе = 0.
Теперь надо выяснить, что из решения уравнения cos 1 Осе = 0 входит в
ОДЗ, состоящее из таких х, что sin7cc ф 0, cosScc ф 0, сов2ж ф 0, этбж ф
0, sin 2ж ф 0.
Если sin2cr = 0 <=> х — ^ га G Z, то cos Юзе = cos(5n7r) 7^ 0; если
sinSac = 0 -ф=ф i = у, n e Z, то cos 10ж = cos(2ra?r) = 1^0. Если
cos5cc = 0, то cos 10ж = 2 cos2 5ж — 1 — — 1 ф 0. Это рассуждение доказывает,
что если cos 10ж = 0, то соэбж ф 0, sinScc ф 0, sin2a; ф 0. Докажем, что
и sin7z ф 0. Пусть sm7cc — 0. Тогда х = ^ для некоторого n e Z. Если
cos Юж = 0, то ж = ~ + jfc, где fceZ. Итак,
у = ^ + ^ «=* 20га = 7+ 14fc = 7(1 + 2*).
Последнее равенство, тем не менее, выполняться не может, поскольку
слева стоит четное число, а справа — произведение двух нечетных, т.е.
нечетное. Полученное противоречие показывает, что и sin 7ж ф 0.
Осталось разобраться с косинусом двойного угла. Это, в принципе,
можно было бы сделать на круге, нарисовав двадцать представителей серии
^а + iff' " ^ Z, и вычеркнув из них четырех представителей серии | + Щ-.
Мы сделаем это аналитически. Пусть для некоторых целых k, n имеем
равенство
тг шг тг кп Л1 „,
— + —- = - + — «=► 1 + 2га = 5 + 10fc «=► п = Ък + 2.
20 10 4 2
Отсюда и получаем
Ответ: х = ^ + j$, га £ Z, га 7^ 5& + 2 ни для какого fceZ. 4
Наш урок окончен. Оценка здесь для всех уровней по стандартым
критериям:
- 50% верно решенных задач — тройка;
- 75% верно решенных задач — четверка;
- 90% верно решенных задач — пятерка.
Напомню, что на классной работе можно подсматривать в те
формулы, которые были введены на данном уроке.

126
Глава 1. Тригонометрия
Домашнее задание
► 1. sin у 4 cos 3у — 1 — 2 sin2 у + sin 2y
► 2. sin a; 4- sin 2х 4- sin За; 4- sin 4х — О
►• 3. sin За; 4- sin x + 2 cos x — sin 2a; 4- 2 cos2 ж
►•4. -j= (tg ж - ctg ж) = tg2 x + ctg2 ж - 2
_ r , sin ж 4 sin Зж + sin 5ж
►5 2, — n —— + 2tgz = 0
cos x 4 cos Зж 4- cos 5ж
► 6. 3 - tg2 f ttcos (4(ж - |тг)) + ^|^ sin (f - 2ж) = О
► 7 [2]. sin4 ж + sin4 (ж + f) + sin4 (x - ) = §
►• 8. 2 sin2 x + sin (ж2) - 1
► 9. 3 + 2 sin Зж sin ж = 3 cos 2ж
► 10. со8 5жсо8 4ж 4 cos4zcos3z — cos2 2жсоэж = 0
► 11. 2 sin Зж 4- cos x cos 2ж = (cos ж 4- cos Зж) (tg2 ж 4 tg 2x)
► 12. 6 sin x 4- 6 cos 2ж = sin 2a; cos ж + 6 cos2 ж
► 13 [2]. tg(f cos ж) = ctg (f sin x)
► 14 [2]. cos(f tgar) = sin (| ctg ж)
► 15. sin ж cos ж sin Зж — cos Зж sin2 ж = 6 ctg ж
► 16 [3]. При каких а уравнение
4 sin f x 4- — J cos (x— — J = a2 4- f%sin 2ж — cos 2ж
имеет решения? Найти их.
► 17. Зсо8(2тг(5а;4 3)2)-7 = 4соз(7г(5ж4-3)2)
► 18. зт(ж 4 f) + сов(ж + ) = у/2
► 19. 9 cos Зж cos 5ж 4- 7 = 9 cos Зж cos ж 4-12 cos 4ж
*• 20, 6 cos 5ж cos 7ж 4- | = cos 2ж(8 cos 4ж — 1) 4- 2 cos6ж
► 21. 11 4- 12 sin ж + 4 cos2 (§ 4- |jt) = соэ2ж
► 22 [2]. зт(7гсо5ж) ~ cos(7rsina;)
► 23. cos 7ж 4- cos ж = 4 cos 4ж
► 24. sin Зж 4- sin 5ж — sin 4ж
►• 25. tgж4- ™s.x =0
о ' 2-smx
► 26. cosx + sin(2x + |) -sm(2z- f) 4-1 = л/3(1 4-соэ2ж)
*- 27. cos (ж 4 |) 4- sin (ж 4- f) - соз2ж = 1
► 28. 2 cos | sin Зж = cos §
► 29 [2]. ctg3z = ctg52;
► 30. cos |жcos | + соэж = |
►• 31. 4 sin Зж sin ж 4 2сов2ж 4-1 = 0
► 32. sin (ж + f) cos (4ж - ^) — cos ж cos 2ж

Урок 5. Метод вспомогательного аргумента 127
* 33- sin (j + х) cos (^ — 6ж) = cos 3z cos 2х
► 34. cos (^f - 7x) + sin7r = 6 cos (^ - 3z)
Урок 5
Метод вспомогательного аргумента
Названный метод состоит в преобразовании выражения a sin x ± Е>соэж к
виду %/а2 + Ь2 sin(:r ± ф) или, что то же самое, в доказательстве, того, что
существует такое ip, что имеет место равенство
(1) asinx± Ьсозх = Jо? + Е>2 sin(z ± ip).
Использование этого равенства часто позволяет существенно упростить
задачу. Отметим сразу, что этот материал не входит в школьную
программу, поэтому если придется пользоваться им на письменном экзамене,
необходимо делать это с доказательством, так как в противном случае
велик шанс, что решение не засчитают.
Итак, пусть мы имеем выражение a sin x ± bcosx, где а > О, Ь > 0. Мы
сейчас выпишем цепочку равенств, которая для комиссии является полным
доказательством равенства (1), т.е. ничего больше для обоснования (1) не
требуется. Для вас я дам подробные пояснения каждого из равенств
цепочки. Впрочем, те, кто работает на первом уровне и обладают достаточно
хорошей памятью для того, чтобы запомнить названную цепочку наизусть,
пояснений могут не читать.
Вот обещанная цепочка:
a sin х ± Ь cos х = у/а2 + Ь2 • [ : sin х ± : cos х ) —
Wa2 + b2 Va2 + b2 J
— у а2 + b2 (sin x cos ip ± cos x шир) — у/a2 + b2 sin (a; ± ip),
Пояснения: первое равенство выполняется просто потому, что если
внести V'а2 + Ь2 под скобки, оно сократится со знаменателем первого и второго
слагаемых и получится левая часть формулы (1); для того чтобы понять
второе равенство, заметим, что мы заменили ,-?тТ7 на cos <Л а выражение
-^Р Hasina
Напомним, что arcsini есть такое число а, что — § ^ а ^ ^ и sin q = t.
Значит, прямо из определения арксинуса следует, что sintp = raTTh!! и)

128
Глава 1. Тригонометрия
тем самым, вторая замена выполнена обоснованно. Заметим далее, что
cosc£> ^ 0, так как <р G [—§, -|]. Кроме того,
2 л ■ 2 Ь2 а2
cos сз = 1 - sin ip = 1 = Г7 = -5 Г?
^ а2 + Ъ2 а2 + Ь2
и, значит, cosip = -/■■£■,■& ввиду того, что а > 0 — мы установили второе
равенство. Третье сразу вытекает из формулы синуса суммы-разности (см.
урок 1, формулу (11)).
Формула (1), наконец, доказана. Отмечу еще раз, что если вы
решили применять ее в письменной работе, то для доказательства достаточно
выписать вышеприведенную цепочку без всяких пояснений.
► Задача 1. V^sin^ — cos ж = 2.
Решение. Запишем нашу цепочку для данного конкретного случая:
к . '~~^— ( /з 1 
Vosmx - cos ж = у (V3)" 4-1 — = sin а; = cos x =
VvV3)2 + i yf(V3? + i J
nf^ ■ l 
= 2(— sm# - - cosr) =
7Г 7Г . / 7ГЧ
= 2(sinzcos — — cosxsm —) ~ 2 sin I x — — 1 .
Тем самым, наше уравнение эквивалентно следующему:
2 sin 1 х — — I — 2 <*=Ф* sin (х — — ) = 1.
Ответ: х = 4f + 2гг7Г, п £ Z. ■*
► Задача 2. 5 sin ж = 3 — 2 cos x.
Решение. Поскольку
5 2 2
5 sin z 4- 2 cos ж = V29(-^= sin a; -I = cos x) = /29sin(a; 4- arcsin —^=),
V29 /29 %/29
получаем уравнение /29sm(a; 4- arcsin -7=7?) = З, и дальше все ясно.
Ответ: х = — arcsin -%= 4- ( — 1)" arcsin -§*= 4- П7Г, neZ. 4
► Задача 3. v2 sin ж 4- cos x — |.
Решение. Применяя формулу (1), получаем уравнение
17 1
v3sin(:r + arcsin —=) = - <*=> sin(a; 4- arcsin —7=)
/3 4 V^' 4v/3
Возведением в квадрат убеждаемся, что 7-7? > 1-
Ответ: (3. -4

Урок 5. Метод вспомогательного аргумента 129
► Задача 4. sin Их + *ф sin 7ж 4- | cos 7х — 0.
Решение. Поскольку Ц^- sin7x 4 |cos7a; = sin(7a; + |), исходное уравнение
эквивалентно тому, что
sin Па; + sin ( 7х + - ] —0 <=$ sin (9х 4- —) cos 2х - — J =0.
Ответ: -^ + **, g + Ц*, n e Z. *
► Задача 5. sin8a; — cos6x — %/3(sin6z 4- cos8a;).
Решение. Перенесем все члены с8ж в левую часть, а с переменной 6ж — в
правую.
sin 8х — л/3 cos 8# = /3 sin 6ж 4- cos 6ж ^=^ 2 sin ( 8x J = 2 sin f 6x 4 — ) .
Значит, sin (8ж - §) - sin(6z 4- f) = 0 -Ф=Ф sin (ж - |) cos(7z - f^) = 0.
Ответ: х ~ | 4-шг, i=^ + y,neZ. *
► Задача 6. 4 cos ж = /3ctg£ 4 1.
Решение. Запишем наше уравнение, заменив ctga; на f^f:
os x — sin ж
2sin2ar-2sin(a;+ |)
/-cosx 4 sm ж cos ж — л/Зсобж — sin ж
4cosa;-/3- + 1 •$=$■ =0
sin x sin x
= 0.
Преобразовывая числитель с помощью формулы разности синусов,
получаем систему, эквивалентную исходному уравнению:
{
sin(f-f)cos(f + |)=0,
sin х ф 0.
Если sin(| — f) — 0, то х — f 4- 2птт, п € Z, — ясно, что вся эта серия
входит в ОДЗ. Если cos(^ 4 f) = 0, то ж = у + |шг, п G Z.
Представители этой серии — точки |7г, |7г, -у 7г на тригонометрическом
круге. Ни одна из них не совпадает с точкой 0 или тг, так что и вторая серия
целиком входит в ОДЗ.
Ответ: х = | 4 2пж, х — |тг + |шг, n G Z. 4
► Задача 7. (sin ж 4- /3 cos ж) sin Зх = 2.
Решение, (sin ж 4 л/3 cos ж) sin Зж = 2 ■<=$■ 2sin(x 4 |)втЗж = 2 •*=>■
эт(ж 4 |)вшЗж = 1.
Каждый из сомножителей нашего произведения по модулю не
превосходит единицу. При этом если хотя бы один из них по модулю окажется
строго меньше единицы, то его произведение на другой сомножитель
будет по модулю строго меньше единицы (ибо модуль произведения равен

130
Глава 1. Тригонометрия
произведению модулей!). Значит, вышеприведенное произведение может
равняться единице если и только если модули обоих сомножителей равны
единице. Тем самым, имеем два случая:
sin(:r + |) = 1,
[sin3x = 1.
Решение уравнения sin(a;+ |) — 1 представляется на круге единственной
точкой |, которая удовлетворяет и второму уравнению. Значит, серия
~ есть кусок ответа.
| 4- 2п7г, neZ
2) sin(a; 4- f) = — 1 = втЗж. Аналогичным образом заключаем, что серия
— |7Г + 2тг7г, п £ Z, есть последняя часть ответа.
Ответ: х = | 4- 2птг, х — — |л- 4- 2н7Г, neZ. ч
► Задача 8 [2]. cos3z 4- cos |ж — 2.
Решение. Из того, что совЗж ^ 1и cos |ж < 1, следует, что левая часть не
превосходит двух при любом ж, и равенство может достигаться только при
соэЗж — 1 ~ cos §ж.
Решение уравнения соэЗж = 1 состоит из точек вида |пл п е Z, а
уравнение cos |z — 1 имеет решения а; = 5&7Г, к е Z. Значит, числа fc и п
должны быть такими, что
2 4 2 4
-шг = -Аг7г <*=> -п = -А; ■<=$■ 5n — 6fc.
3 5 3 5
Раз 6fc делится на 5, то и fc делится на 5, т.е. к = 51. Следовательно,
Ьп = 6-5/ <*=Ф> п = 6/. Теперь видно, что для получения ответа необходимо
либо вместо к подставить 5/ в серию х — ^ктт, к 6 Z, либо подставить Ы
вместо п в серию |птг, п G Z.
В любом случае мы получим один и тот же
Ответ: х = 4^7Г, / G Z. <
► Задача 9 [2]. sin x + cos6 x = 1.
Решение. Заметим, что sin7 x ^ sin2 ж и cos6 x ^ cos2 x для любых ж. Сложив
эти неравенства, получим, что
sin7 х + cos6 x < sin2 x 4- cos2 ж = 1
для любого х, причем если sin7 x < sin x или cos6 x < cos2 x, то левая часть
исходного уравнения строго меньше единицы (ибо строгое неравенство,
сложенное с нестрогим, дает строгое).
Значит, наше уравнение эквивалентно системе < ^е'^еёя^ • Из первого
уравнения имеем sin а; = 0,1, из второго — cos ж — 0, ±1. Дальше все просто.
Ответ: х — ш, х —  4- 2П7Г, п е Z. ■*
► Задача 10 [2]. sin2 ,т + 4 cos2 x ~ 2 sin 2x + sin x - 2 cos ж = 2.

Урок 5. Метод вспомогательного аргумента 131
Решение. Заметим, что
sin2 х + 4 cos2 x - 2sin2a; = sin2 x — 4 sin x cos x + 4 cos2 x — (sin a: - 2 cos ж)2.
Полагая у = sin x—2 cos x, получим уравнение у2 +y—2 = О -<=Ф у = 1, — 2.
Учитывая, что у = /5sin(a; - arcsin-4r), получаем
Ответ: arc sin-^ 4- (-1)" arcsin-^g 4- пя, arcsin -2= + (-1)"+1 arcsin ^ 4-
шг, n £ Z. ^
Урок закончен. Оценка выставляется стандартно для всех уровней.
Домашнее задание
► 1. cos 2х — /3 sin 2x — 1
► 2. 2sinx + 7cosar = ^
► 3. л/3 sin 2ж 4 2 sin2 а: — 1 = 2 cos x
► 4. 3sina: + 4 cos a; — 5
► 5. sin a; 4- cos ж = §
► 6. /3sin23; - cos2a; - /3_
► 7. cos 2ж — 1 — 2 sin x 4- /3 sin 2a:
► 8. 3tgz = 4 + -|-
► 9. (sin x - f% cos ж) sin За; = 2
► 10. (sin ж + т/3 cos ж) sin 4ж = 2
► 11. cos2a; — эт2ж = 1 — sin a; — cos ж
► 12. (cos ж — 2 sin x — 2) (1 — sin ж) = cos2 ж
► 13. v/3cos;r4-ctg2x-^f±i
►14.4 sin2 ж = sin 2ж 4- 2 sin ж + 5 cos ж 4- 5
► 15 [2]. sin | ж 4-cos | (sin ж 4- 3) = 1 4 sin ж - sin |
► 16 [2]. sin ж - sin 15ж cos ж — §
► 17 [3]. sin3x — 2sinl8£sin£ = Зл/2 — соэЗж + 2 cos ж
► 18 [3]. 2/3sin5a; — /3sinx = соб24жс08Ж 4- 2сов5ж — 6
► 19 [3]. Для каждого а решить уравнение sin(# — а) = sin ж 4- sin a
► 20 [3]. Для каждого а решить уравнение
4 cos x sin a + 2 sin ж cos a — 3 cos a — 2 V 7.

132
Глава 1. Тригонометрия
Урок 6 [2]
Системы тригонометрических уравнений
Решение систем тригонометрических уравнений чаше всего сводится к
решению алгебраических систем относительно cos ж, tg у, cos(x+y), sin(x+y)
и т.п.
Например, если мы привели исходную систему к системе вида
f sin(a; + у) = О,
cos(ar-y) = 1,
то она эквивалентна линейной системе
{х + у = пк, п е Z,
{ } х-у = 2кп, fee Z,
откуда легко найти, что
(2) *=^*n,kzZ.
[У = |(n-2fc)7r
Здесь нужно особо отметить, что совершенно необходимо писать
разные целочисленные параметры при решении независимых простейших
уравнений, т.е. в системе (1) числа п и к должны быть обозначены разными
буквами. Если бы мы использовали одну и ту же букву, было бы
потеряно бесконечное множество решений, а именно, множество таких пар (х,у),
задаваемых уравнениями (2), что в их определении п ф к.
Еще одна идея, которая может использоваться при решении систем, —
это выражение одного переменного через другое и подстановка в другое
уравнение. Это можно сделать только в том случае, когда выразить одну
переменную через другую можно достаточно просто.
Например, если мы нашли, что х — у + птт, n e Z и хотим подставить
вместо х его выражение через у в cos х, то придется рассмотреть два случая:
1) п нечетно, т.е. п = 2к 4- 1 для некоторого к £ Z; тогда cosx —
соз(у + 7г + 2ктг) — cos(y + ?г) — — cosj/.
2) п четно, т.е. п — 2к для некоторого к 6 Z; тогда cos х = cos(y + 2кп) —
cosy.
Если же трудно понять, как будут себя вести тригонометрические
функции при подстановке, лучше ее не применять.

Урок 6 [2]. Системы тригонометрических уравнений 133
(sin:ccosy=^,
► Задача 1. < _ ^
у cos х sm у — -^.
Решение. Если сложить и вычесть уравнения системы, то получится
система, эквивалентная исходной. Итак,
{sin х cos у + cos х sin у — ^, J sin(a; + у) = ^,
sin x cos у — cos xsmy ~ 0 j sin(a; — у) = О
ar + y = (-l)nf+П7Г, n€Z, ^^ far = (-l)"f+ |(n + fc)7r nfceZ
x-y = kn, fceZ, |y = (-1)"* + i (n - fc)*r ' П'
fx=(-l)nf + i(n + fc)7T , „
Ответ: < , " fy ,. . re,*:eZ. 4
fcosfa;
 cos x 1
^т „o™ 9 . —(3-&) = 2cos(a: + y),
► Задача л. < „
--cosy = f.
Решение. Мы знаем, что cos x cos у = |(cos(a; + у) + cos(r — у)). Значит,
наша система принимает вид
J cos(r — у) = 2соэ(ж-1-у), ( cos(x — у) = 1,
 cos(x + у) + cos(z - у) = |  cos(a; + у) = |.
Ответ: { £ , , , fc.neZ. 4
U = ±i + (n-fc)7r' '
{4 sin у ~ 6-/2cosa; = 5 + 4 cos2 у,
cos2a; = 0.
Решение. Преобразуем второе уравнение: cos2a; = 0 <$=> 2 cos2 а; — 1 =
О <*=> .cos2 х = к <=> cos а; = ±тж-
Рассмотрим два случая: cos ж = -7? и cos а: — —^.
Пусть cos ж — 4-. Тогда, подставив это значение в первое уравнение,
получим
4siny-6 = 5 + 4 cos2 у <£=^ 4 sin2 у + 4 sin у — 15 = О
smy = - или siny = --,
так что в этом случае первое уравнение и, следовательно, система решений
не имеют.
Если cos х = — 4=, то первое уравнение приобретает вид
4siny + 6 = 5 + 4 cos2 у <=>■ 4 sin2 у + 4 sin у — 3 = 0 <*=> sin у = -.

134
Глава 1. Тригонометрия,
_ Г X = ±§7Г + 2ШГ, П € Z,
Ответ: < , ., „ *
U = (-l)*| + fc7r, fceZ.
(cos ay cos у = О,
► Задача 4. s v
1 cos 2ж - 2 cos2 у+-2 = 0.
Решение. Первое уравнение эквивалентно тому, что либо cos ж = 0,cosy ^
О, либо cosy = 0.
Если cos.t = 0, то соз2ж = 2 cos2 ж — 1 = —1, и второе уравнение
принимает вид -1 — 2 cos2 у + 2 - 0 <s=> cos2 У ~  *£^> cos у = -К,
так как согласно ОДЗ cosy ^ 0.
Итак, имеем кусок ответа
J ж — | + пп
Если cos у — 0, то, подставляя это значение во второе уравнение, получим
cos 2ж + 2 = 0 *=> 0.
X = £ + П1Г
Omeem: { 2 , к,п & Z.
I L.LTO J> t.Un H — —
► Задача 5
ctg ж
Г cos ж с
I tgy =
cosy = -i,
Решение. Запомнив, что ОДЗ состоит их таких пар (ж,у), что cosy ф
0, sin х^О, преобразуем второе уравнение к виду
sin х sin у = cos x cos у.
Значит, наша система эквивалентна следующей (из нее же, кстати, видно,
что проверка на ОДЗ не нужна, так как из первого ее уравнения следует,
что cos ж ф 0, а из второго — что sin ж ф 0):
Г coszcosy = -, Г сов(ж -у) = -|,
L sin х sin у = - j I соб(ж + у) = 0.
*=?±f + (£ + *)*,
i + (*-5K
Ответ: I w 3 2 ' n,fc e Z.
4
Г sin ж = sin у,
► Задача 6. -(
[ cos ж = sin2y.
Решение. Перенося в каждом из уравнений системы все в левую часть и
пользуясь формулами преобразования разности синусов в произведение,
( sin х = sin у, ( sin x — sin у = О,
получим, что ^ -Ф=> i
[ cos ж - sin 2y ^ sin( f - ж) - sin 2y = О
| sin ^ cos £±* = О,
lsin(f-f-y)cos(f -f + у)=0.

Урок 6 [2]. Системы тригонометрических уравнений 135
Следовательно, наша система распадается на четыре:
Г sin Ц* = О,
(3) J 2
К) lsin(f-f-y)=0,
Г sin ^ = О,
(4) J
lcos(f -f + у)=0,
Г cos 2±И = О,
(5) } 2 '
lcos(f -f + у)=0,
| cos £±* = О,
(6) lsin(f-f-y)=0.
Ясно, что система (3) равносильна следующей:
( х — у — 2п7г, п е Z,
откуда
1
f - § - у = Ьг, fc e Z,
х = | + | (2n - fc)7T
_ 2/ _ , n,keZ.
Точно так же просто решаются системы (4)-(6).
Ответ:
{ I , n, fc G Z,
I V = -g-— f (n +А:)7г
Г ar = £ + (4n + 2fc)7r
1 ч , fc, n G Z,
l у = f + 2n + 2k 7Г
ж = $ + |(2n - fc)7r
2 23 ,/ , fc,neZ,
3'
у = f + §(n +ft)*
f ж = |тг + 2(2n + fc)7r
i , 14 , fc,n e Z.
[ j, = -£-2(n + fc *
{
cos a; + 3 sin x = 2 cos y,
►• Задача 7. •(
cos у + 3 sin у — 2 cos ж.
Решение. Если мы заменим первое уравнение суммой, а второе —
разностью уравнений системы, то, очевидно, получим систему, эквивалентнную
исходной. Итак,
cos х + cos у + 3(sin х + sin у) — 2(cos x + cos у),
cos а: — cosy + 3(smz — sin у) = 2(cosy — cos x)
г
cos x + cos у — 3(sin x + sin y) = 0,
cos x — cos у + sin x — sin у = 0
{

136
Глава 1. Тригонометрия
г
2cos *±* cos *§* - 6sin 2±й cos ^ - О,
-2sin ^ sin г±К + 2sin ^ cos *±* - О
Г cos £ft (cos 2±Л _ з sin £±i£) = О,
lsin^(sin^-COS^)=:0.
Теперь ясно, что и эта система распадается на четыре:
. cos ^ ^ О,
(7) J 2 -
sin ^ = О,
cos ^Цр = О,
(8) I sin £±* - cos г+К = О,
Г cos^-3sin^ = 0,
I sin ^ = о,
cos *±*-3 sin 2^=0,
(Ш) I sin^-cos^^O.
Синус и косинус не могут одновременно равняться нулю — отсюда
следует, что система (7) не имеет решений. Первое уравнение системы (10)
эквивалентно tg ^^ = |, а второе равносильно тому, что tg ^^ = 1, откуда
видно, что и система (10) не имеет решений. Далее,
cos Щ^ -0, [ х — у = тг + 2птг, neZ,
sin^-cos^-0 ^=>1а; + у = |+ 2Ьг, fceZ.
{
Отсюда уже легко находятся хну
Система (9), очевидно, эквивалентна тому, что
Г ж - у = 2for, fceZ,
з
Дальше все просто.
^ Л Т у
Гх =
Ь =
- 2 -г *ч.
|тг + (п +
"f +(fc-
') " ^
к)тг,
п)тт,
п
fee Z
1 ж + у = 2 arctg | + 2п7г, n£Z.
э.
Г х = f тг + (п + к)тт, Г ж = arctg | + (n + fc)?r
Ответ: < , п, к е Z, < , , n,fc€Z.
L у = - т + (fc - П)7Г lv = arctS ^ + (п - fc)7r
►■ Задача 8. <
tg х + sin 2a; = sin 2у,
2 sin у cos(a; + у) + sin ж = 0.
Решение. Поскольку 2 sin у cos(a; -К у) — sin(z: + 2у) — sin ж, первое уравнение
равносильно тому, что sin(j; + 2у) = 0 -Ф=> х + 2у = ггтг, neZ, <$=> 2у =
шг — ж, nsZ.

Урок 6 [2J. Системы тригонометрических уравнений 137
Подставим выражение, полученное для 2у, в первое уравнение:
tga; 4- sin2:r = sin(n7r — ж) = sin(ra7r) cos ж — cos(mr) sin ж = — cos(mr) sin ж.
Значит.
tg x + sin 2x 4- cos(n?r) sin x = 0 <=> sin x ( Ь 2 cos x + cos(mr) J = 0
I h 2 cos x 4- cos(mr) I
 cos x J
2 cos x 4- cos(mr) cos ж 4-1
-Ф=> sin ж : = 0.
cos a;
Дискриминант числителя дроби равен cos2(mr) — 8 = — 7 < 0, так что
последнее уравнение равносильно тому, что sin ж = 0 (ОДЗ не оказывает
здесь влияния на ответ, так как sin ж = 0 =>• cos ж ф 0).
Г х = ктт
Ответ: < л , п,к € Z.
I У = %{n-k)ir
2 соз(2ж + у) = cos у,
► Задача 9 [3].
^ 2 соэ(ж 4- 2у) = cos х.
Решение. Сложив и вычтя наши уравнения, получим систему,
эквивалентную исходной:
Г 2(cos(2# 4- у) + cos(# 4- 2у) = cos ж 4- cosy,
 2(сов(ж 4- 2у) — сов(2ж + у) = cos ж - cosy
t
( 4 cos |(ж 4- у) cos |(ж- у) = 2 cos *±* cos ^,
I 4sin^sin§(a; + y) = -2sin^sm*±K.
Опять наша система распалась на четыре более простых:
Г cos ^ = 0,
I sin ^ = 0,
(И)
cos ZjX = 0,
V ' ' 2sin§^4y)4sin^=0,
sin ^ = 0,
(13) ^ 2 cos §(ж 4-у)-cos £±2=0,
2 sin § (а; + у) 4- sin *±* = 0,
(14) ^ 2соз§(ж4-у)-соз^ = 0.

138
Глава 1. Тригонометрия
Ясно, что система (11) не имеет решений. Докажем то же самое и про
систему (14). Обозначим {х + у) через t и воспользуемся формулами для
синуса и косинуса тройного угла. Получим, что
Г 2(3sint-4sin3t) + sint = О, Г 7sint - 8sin3 t = О,
1 2(4cos3£-3cos£) -cost - 0  8cos3£-7cost = 0.
Из первого уравнения либо sint — О, либо sin2 t = ^. Если sini = 0,
то cost = ±1 и второе уравнение не может выполняться. Если sin2 t = |,
то cos2 t — | ф 0, тогда как из второго уравнения либо cost — 0, либо
cos2 t = |; мы доказали, что система (14) не имеет решений.
Займемся системой (12). Первое ее уравнение равносильно х — у — тт +
2шг, п G Z, а второе эквивалентно либо sin(:c-by) — 0 <*=>■ x+y = кп, к £ Z,
либо sin(z-Ку) — ±v/| •£=$■ х + у = {—1)к arcsin(±i/|) + fc7r, к £ Z. Отсюда
уже легко найти а; и у. Система (13) решается совершенно аналогично.
Ответ:
х=% + I(-l)* arcsinfi^l) + (n + f )тг
У = -| + |(-l)feaxcsin(±^/|) + (| - п)тт
Х= f + (П+ |)7Г
х = f + (п + к)к
У = § + (ft -П)7Г
х = ±arccos(±i/|) + (2ft + п)п
V- , n,ft e Z. *
у = ± arccos(±*/|) + (2ft - га)7г
L 4sin(2:r + Зу) + sin у = 0.
Решение. Точно так же, как в предыдущей задаче, надо сложить и вычесть
уравнения этой системы. Получим равносильную ей систему
j 4(sin(3ar + 2у) + sin(2r + Зу)) + sin ж + sin у — 0,
1 4(sin(3:r + 2у) — sin(2:r + Зу)) + sin х — sin у = 0
г
Г 8 sin |(ar + у) cos  (х - у) + 2 sin *±* cos ^ = 0,
I 8sin^cos|(a: + y) + 2sin^cos^ =0
, п, к е Z,
) + (|-")т
n, A; e Z,

Урок 6 [2]. Системы тригонометрических уравнений 139
cos ^ (4 sin | {х + у) +sin2±!£) = 0,
sin 2^2 (4 cos |(ж 4- у) 4-cos^) =0.
И вновь наша система разбивается на четыре более простых:
Г cos 2^1£ = 0,
(15) { 2
V I sin ^ = 0,
Г cos ^ = 0,
L 4cos|(a; + y) 4- cos *±* =0,
Г 4 sin § (ж 4-у) 4-sin ^ = 0,
I sin ^ = 0,
Г 4sin §(ж + у) + sin *±* = 0,
I 4соз|(ж + у)+со8^ = 0.
Конечно же, система (15) решений не имеет. Докажем то же самое про
систему (18). Обозначим ^у^ через £. Нам потребуется решить уравнения
4 cos 5£ 4- cos t = 0 и 4 sin 5£ 4- sin t = 0. Займемся первым из них. Имеем
cos 5£ = cos £ cos 4£ — sin £ sin 4£ = cos £ cos 4£ — 2 sin £ sin 2£ cos 2£ =
= cos £ cos 4£ — 4 sin2 £ cos £ cos 2£ = cos £(cos At — 2(1 — cos 2£) cos 2£) =
= cos £(4 cos2 2£ - 2cos2£- 1).
Следовательно, 4 cos5£ 4- cos£ = 0 -Ф=» cos£(16 cos2 2£ - 8cos2£ - 3) = 0.
Тем самым, либо cos£ = 0, либо cos2£ — —, либо cos2£ = |. Последние
два равенства выполняются тогда и только тогда, когда cos2 £ = | или
cos2£ = |.
Аналогично 4 sin 5£ 4- sin £ = 0 <*=>■ sin £ = 0 или sin2 £ = | или sin2 £ = |.
Если sin£ = 0, то cos2 £ = 1 ф 0, |,|. Если sin2 £ = |, то cos2 £ — ф
0, |,|. И, наконец, если sin2 £ = |, то cos2 £ =  Ф 0, |, |. Тем самым
завершено доказательство того, что система (18) не имеет решений.
Для того, чтобы решить систему (16), заметим, что второе ее уравнение
уже упрощено и эквивалентно тому, что либо cos ^^- = 0, либо cos ^у^ =
±J§, либо cos ^ = ±л/|.
Теперь уже легко завершить решение (16). Система (17) решается
аналогично.

140 Глава 1. Тригонометрия
Ответ:
I, у = тг 4- {I — к)п
х = | ± arccos(±J|) + (2/ + к)тт
у = -f ± агссой(±д/|) + (2* - fc)71"
ж =  ± arccos(±J£) 4- (2/ + к)п
у = -§ ± arccos(±^/£) + (2/ - к)п
х = (к 4- 1)тг
, к, I € £i)
у = (1-к)1Г
х = (~1)к arcsin(±y|) + (/ + к)тт
, к,1 е Z,
у = (-1)* arcsin(±i/|) + (fc - /)тг
х = (-l)fc arcsin(±J|) 4- (I + к)тт
!— , kj € Z. -4
у - (-l)fc arcsinfiy'J) + (k- l)n
Наш урок закончен. Оценка выставляется стандартным образом
этом если вам пришлось подглядывать формулы, снизьте ее на балл.
Домашнее задание
{tgx-tgz = 3
tgy'tgz = 6
x + y + z — тт
Г sin x — sin 2v
[_ cos ж = sin у
(tgz + ctgy = 3
Г sin2 x 4- sin* у = |
► 4. -{
l ж + у= f
/4tg3y = 3tg2z
L 2 sin x cos{z — y) — sin у
Г ctgx + sin 2ы = sin 2x
► 6. '
|_ 2 sin у sin(z 4- y) = cos x

Урок 6 [2]. Системы тригонометрических уравнений 141
* 7.
► 8.
► 9.
► 10.
► 11.
► 12.
► 13.
► 14.
►• 15.
► 16.
► 17.
sin х 4- sec у — 2
sin x • sec у — 
cos ж + cosy = 1
cosf 4-cosf = ^
sin x cos(x 4- y) 4- sin(a; 4- y) = 3 cos(x + y)
4 sin x — 5ctg(x + y)
Г sin(2x + sin2 у) = О
I x - 3 sin2 у = -2
Г sin x 4 tg у = О
 sin2 x 4- tg2 у = 1
Г 2v^cosx + 6smv = 3 + 12sin2 x
 4/3 cos ж 4- 2 sin у — 7
f 2(5 + 2л/б)мпаг + 2сову = 2/2cos2x - 5/2 - Зл/З
1 2(3 4- л/б) sin a; 4 2 cosy 4- 3%/2 4- V3 = 0
С sin a; sin у — 
 3tgx = ctgy
( sinxcosy — —
 tg x ctg у = 1
f /sm x ■ cos у = О
1 2 sin2 x - cos 2y - 2 = 0
f л/cos 2x ■ cos у = 0
1 2sin2x-cos(2y- f) =0
Все следующие задачи относятся к третьему уровню. Их надо решить для
произвольного параметра а. Это означает, что надо указать все а, для
которых уравнение имеет решение, и при таких а найти все решения.
► 18 [3].
* 19 [3].
► 20 [3].
sin х sin у ~ | sin a
cos х cos у = | cos a
sin2 x 4 sin2 у — |
sec2 x 4- sec2 у — ;Д-
sin x cos у — a2
sin у cos x = a
,», r»i D Г acos(2x4y) = cosy
►> 21 [3j. Решить систему < при всех а > 1.
I a cos(x 4- 2у) — cos x

142
Глава 1. Тригонометрия
Урок 7 [3]
Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции — этоагсйтж, arccosz, arctgr,
arcctg x. В принципе, для того, чтобы решить любую задачу про них,
достаточно очень твердо, как порой говорят, «железно», знать их определения,
не забывая никакой самой малой малости. Проверьте себя для начала —
напишите определения этих функций, не заглядывая на следующую страницу,
где они все даны, и потом сверьтесь с этим текстом. Сразу замечу, что
самое маленькое отличие делает ваше определение неверным. Не огорчайтесь,
если таким оно и оказалось . Ничего страшного — моя богатая
репетиторская практика показывает, что подавляющее большинство школьников (в
том числе и те, кто потом блестяще сдает математику) не могут точно
определить эти функции.
Для того, чтобы как-то заполнить эту страницу и дать определения
на следующей, порассуждаю немножко об этом явлении. Не то, конечно
же, странно, что в средних школах бывшего Союза математике обучают
плохо. Странным является тот факт, что определенные виды школьного
материала неплохо знают даже троечники, причем есть масса тем, которые
прескверно знают отличники и медалисты; более того, во всех регионах
страны те темы, которые школьники знают хорошо, и те, что они знают
плохо, совпадают.
Я, пожалуй, даже назову эти темы: пусть, скажем, их будет по пять
штук того и другого типа, хотя, конечно же тем, которые все знают плохо,
значительно больше.
Итак, почти все школьники неплохо
1) решают квадратные уравнения;
2) решают биквадратные уравнения;
3) выполняют действия с дробями;
4) знают теорему Пифагора и теорему косинусов;
5) знают приближенные значения некоторых констант (л-, /2, д и др.).
Практически все они отвратительно
1) знают синусы и косинусы простейших углов (таких как |. | и др.);
2) вычисляют производные;
3) представляют себе, что такое модуль числа;
4) решают текстовые задачи;

Урок 7 [3J. Обратные тригонометрические функции 143
5) представляют себе, что такое прогрессии.
Заметьте, что я специально выбрал для той и другой группы темы
попроще — со сложными тут все ясно. На мой взгляд, было бы интересно
понять, почему и в Молдове, и в Узбекистане школьников как хорошо,
так и плохо обучают одним и тем же темам. Возможно, тут сказывается
унификация школьных программ по всему бывшему Союзу, но, думаю,
одним этим названное явление не объясняется. Ведь все школьники учатся
по одному учебнику, в котором все, в общем-то, правильно объяснено и
написано, и учителя на разъяснение названных простых тем тратят по
плану примерно одно и то же время. Но, тем не менее, одно ученики
понимают и запоминают, а другое дружно нет. Может, учебник плох и
что-то изложено непонятно, но что же, все учителя настолько одинаково
плохи, что не могут этого разъяснить?
Думаю, здесь есть еще много работы для психологов и педагогов.
Ну вот, страница давно закончилась, и пора приступать к определениям.
Итак, у = arcsinz = (этот значок заменяет русскую фразу «означает по
определению, что») у е [—§,§] и sin у — х.
Далее.,
у = arccosa; = у е [О,7rJ и cosy = х,
7Г 7Г
у = arctga; = ye (--,-) и tgy = х,
у = arcctg х = у е (0,7г) и ctg у — х.
Чтобы было понятней, первое из определений постараюсь «разжевать*
настолько, насколько это возможно.
Оно утверждает, что число (а не угол!) у является арксинусом числа
х если и только если у лежит на отрезке [—§,§] (а это, в свою очередь,
равносильно тому, что одновременно —  ^ х и х ^ |) и sin у = х.
Пока это не будет понято «душой», решать задачи бестолку, и вы будете
время от времени произносить абсурдные утверждения типа «арксинус нуля
равен пи-эн».
Продемонстрируем на задачах, как применяются эти определения.
Задача 1. sin(arccos(—|)) = ?
Решение. Пусть у = arccos(— ^). Тогда у £ [О,ж] и cosy = —£. На отрезке
[О, л-] синус неотрицателен, так что sin у ^ 0. Из того, что sin y + cos2 у = 1,
и положительности синуса следует, что
sin у = yj — cos2 у.
Вспомнив теперь, что cosy = — , получаем, что (искомое)

144
Глава 1. Тригонометрия
Ответ: ^. м
► Задача 2. cos(arcctg(—2)) = ?
Решение. Снова пусть у = arcctg(—2). Это равносильно тому, что у G (0, тг)
и ctgy = —2. Из отрицательности котангенса следует, что ыа самом деле
про у можно утверждать, что у е (^,7г). Значит, cosy < 0 (советую
вглянуть на тригонометрический круг и убедиться, что косинус во второй
четверти отрицателен). Кроме того,
2 1 • 2 1 1
1 + ctg у - „ =4> sm у =
sin2 у * 1 + ("2)2 5
и, значит, cos2 у = 1 — sin2 у — | => cos у = — —
Ответ: — -Я?. ■*
► Задача 3. 2 arctg  + arctg ^ = ?
Решение. Можно считать известным, что арктангенс есть возрастающая
функция. Значит, arctg  < arctg 1 = f и arctg ^ < arctg 1 = j, откуда
у = 2 arctg j + arctg ~ < 2 ■ f- + f - f тг. Ясно, что у > 0. Подсчитаем, чему
равен тангенс у.
2-i 7
= tg(2arctg^) + tg(arctg^) = irfr + 23 = ^^
У l-tg(2arctg J)-tg(arctg^) 1 - М"
Раз tg у — 1, имеем у = f-Ьптг для некоторого neZ. Подставим значение
у в неравенство 0 < у < |7г:
^ ТГ ЗТГ ТГ ТГ 11
О < - + пп < — ф=^ - - < птг < - Ф=>- - - < п < - <=$• п-0.
4 4 4 2 4 2
Ответ: j. ■<
► Задача 4. arcsin(sin 14) = ?
Решение. Пусть у = arcsin(sin 14). Тогда у е [— |, |] и sin у = sin 14
siny - sin 14 = 0 <==> sin(| - 7)cos(| + 7) = 0 <=.
некоторого n G Z.
Предположим, что найдется такое п, что — | ^ тг — 14 + 2птг ^ |. Если
п — 0, то 7Г — 14 < 4 — 14 = —10 < — |. Понятно, что ни одно тг < 0 не
годится. Пусть п = 1. Тогда по-прежнему тг - 14 + 2тг < 12- 14 = -2 < — §.
Пусть п = 2. Тогда тг - 14 + 4тг > | «=> 5тг - | > 14 <=> 9тг > 28.
Последнее неравенство верно, поскольку тг > 3,13 > Ш. Тем более, любое
п > 2 не годится.
у=14-Ь2птг
JI=7T —14 + 2П7Г
ДЛЯ

Урок 7 [3]. Обратные тригонометрические функции 145
Следовательно, обязательно будет у = 14 + 2тгтг. Непосредственным
подбором убеждаемся, что п = — 2 годится. Как догадаться, что нужно
взять именно такое тг? Для этого нужно прикинуть, каким должно быть
тг, считая, что число тг равно то ли трем, то ли четырем. Кроме того,
если число у = 14 + 2птг попадает на отрезок от — | до -|, то оно лежит
в промежутке от —2 до 2 и ясно, что надо проверять лишь те п, которые
лежат от —3 до —2, так как при тг = — 4 имеем 14 + 2тгтг — 14 — 87: < —10, а
если п — — 1, то 14 + 2птг = 14 — 27г > 4.
Ответ: 14 — 47Г. •*
► Задача 5. Доказать, что для любого ж е [—1,1] имеем
arcsin a; + arccos ж = —.
2
Решение. Наше равенство эквивалентно тому, что arcsin ж — f — arccos ж.
Обозначим выражение ^ — arccos ж через у. Для того, чтобы обосновать
наше равенство, мы должны, согласно определению арксинуса, проверить,
что у €Е [-■§, |] и sin у = х.
Но — | ^ | — arccosх ^ | «=> — тг ^ -arccosа; ^ О -Ф=> тг ^
arccos a; ^ 0, а последнее неравенство верно по определению арккосинуса.
Мы доказали, что 2/ £ [—f, f ] •
Кроме того, sin у = sin(~ — arccos x) — cos(arccosz) — ж, и все доказано.
*• Задача 6. Доказать, что агс8т(-ж) = — агсвшж.
Решение. Запишем доказуемое равенство в виде arcsina; = — arcsin(—x),
обозначим выражение arcsin ж — — arcsin(—x) через у и докажем, что у G
[-§,§] nsiny = z.
В самом деле, -f ^ -arcsin(-x) ^ § -Ф=>- f ^ arcsin(-a;) > -|, а
последнее неравенство выполняется по определению арксинуса.
Наконец, sin(— arcsm( —x)) — — sm(arcsin( —x)) = — (—ж) — х, и
доказательство закончено.
► Задача 7. Доказать, что arccos(—х) — тг — arccos ж.
Решение. Поскольку cos(tt — arccosx) — — cos (arccos x) — —ж, остается
проверить, что 0 ^ тг — агссовж ^ тг <=^ —тг ^ — arccosr ^ 0 <=> тг ^
arccos ж ^ 0. Последнее неравенство верно по определению арккосинуса,
чем все и доказано.
► Задача 8. Решить уравнение sin(5arcctgж) = 1.
Решение. Исходное уравнение эквивалентно тому, что Sarcctgr = § +
2гатг, тг G Z, -Ф=> arcctgx = fg + трга, тг G Z. Из определения арккотангенса
следует, что 0 < ^ + Ц-п < тг «=> 0 < ^ + ^ < 1 «=>■ -J < n < | <^=>
п = 0,1, 2. Последняя эквивалентность имеет место из-за того, что п целое.

146
Глава 1. Тригонометрия
Итак, наше уравнение эквивалентно совокупности трех:
" arcctgж = -fa,
arcctgж = |,
arcctgж — ^.
Ответ: х = О, ctg y^, ctgff- ■*
► Задача 9. Решить уравнение агсвшж — arcctgж = 0.
Решение. Заметим сразу, что ОДЗ нашего уравнения состоит из таких ж,
что — 1 ^ х < 1, ибо только при таких х определена функция arcsinx. Кроме
того, арккотангенс всегда положителен. Значит, положителен и равный
ему арксинус. Поэтому х е [0, f]. Но на отрезке [0, |] равенство чисел
эквивалентно равенству их синусов. Следовательно,
1 1
arcsinz = arcctgж -ФФ- x = sin(arcctg:r) = = = —-==
/l 4- ctg2 (arcctg x) V1 4- ж2
О x4 + x2 - 1 = 0 о х =
Последняя эквивалентность выполняется, поскольку х > 0. Из того, что
х < 1, следует, что ж 6 [0, |].
Ответ: х = л/ 2-1 ■ ■*
► Задача 10. arctg(2 4 cos ж) — arctg(l 4- cos ж) = |.
Решение. Обозначим 1 4- cos ж через у. Тогда наше уравнение эквивалентно
arctg(l 4- у) — j 4- arctgy. Отсюда следует, что 1 + у = tg( j 4- arctgy) =
i±j/ ф_^ ( +у)у ^—^ у — о,—1. Проверкой убеждаемся, что каждое
из значений у подходит в исходное уравнение. Учитывая, что | cos ж |^ 1,
получаем
Ответ: ж = 7г + 2птт, п € Z.
Наш урок окончен. Оценка ставится стандартным образом. ■*
Домашнее задание
*■ 1. Доказать, что arctg.x + arcctg ж = |- для любых х.
► 2. Доказать, что arctg(—ж) = — arctga; для любых ж.
► 3. Доказать, что arcctg(—ж) = 7г — arcctg ж для любых ж.
► 4. Доказать, что sin(arctgz) = , х 5 для любых ж.
►■ 5. Доказать, что tg(arcsir^) = , х_ ? для ж G (—1,1).
/¥

Урок 7 [3]. Обратные тригонометрические функции 147
► 6. Доказать, что tg(arccosa;) = y/l~x2 для х £ [-1,0) U (0,1].
► 7. Доказать, что tg(arcctgr) = ctg(arctgz) - | для х ф 0.
► 8. Доказать, что arcsinr + arcsiny = arcsm(a;-/l - У2 + yVl - х2) при
► 9. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых х, у е [-1,1]?
► 10. Доказать, что arctg я + arctgу = arctg ^г^, если х,у е [0,1).
► 11. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых ж, у?
► 12. Найти arcsin(sin 10).
► 13, Найти arccos(cos 10).
► 14. Найти tg2(|arccos|).
► 15- Найти arctg  + arctg | + arctg  + arctg | + arctg | + arctg | + arctg | +
arctg |.
► 16. Решить уравнение 2 arcsina; + arccos(l — х) = 0.
► 17. Решить уравнение sin(3arccos:c) = |.
► 18. Решить уравнение arcsin2 x + arccos2 a; = %-.

Глава 2
Простейшие уравнения и
неравенства
Урок 8
Уравнения и неравенства с модулями
Для того, чтобы решить любую задачу с модулями, необходимо знать
определение модуля числа а. Его можно дать, например, следующим
способом: (а, если а ^ О,
а — 
у —а, если а ^ 0.
Из этого определения видно, что модуль любого числа неотрицателен.
Оно же показывает, как избавляться от модулей в алгебраических
уравнениях. «В лоб» это делается так.
Пусть имеем уравнение f(x)+g(x) = 0, где д(х) также может содержать
выражения с модулями. Это уравнение эквивалентно совокупности двух
систем | f{x) + д(х) = 0j ^ j „/(ж) + д(х) = 0;
I /(яг) 2* 0 I f(x) < 0.
Каждая из них даст свой кусок ответа. Если одна из систем содержит
модули, то продолжим наш процесс избавления от них путем перехода к
системам. В конце концов модулей совсем не останется, и, объединив
решения систем, мы получим ответ. Теоретически, поступая так, мы сможем
решить любое неравенство или уравнение с модулями. На практике, когда
под модулями стоят простые выражения, это можно сделать существенно
короче.
Необходимо отметить все нули подмодульных выражений на числовой
прямой. Они разобьют прямую на лучи и промежутки, на которых все
подмодульные выражения имеют постоянный знак. Надо определить этот

Урок 8. Уравнения и неравенства с модулями 149
знак и раскрыть все модули, заменяя их подмодульными выражениями то
ли со знаком плюс, то ли со знаком минус в зависимости от знака под-
модульного выражения. Знак последнего можно, в принципе, определить,
подставляя в него точку из промежутка, не совпадающую ни с одним
из концов данного промежутка.
После этого нужно решить получившееся неравенство или уравнение (в
котором уже нет модулей!) и выбрать решения, принадлежащие данному
промежутку.
Пора уже на примерах показать как это делается.
► Задача 1. |2ж — 4| = 1.
Решение. Модуль у нас один, и подмодульное выражение обращается в нуль
при х = 2.
Случай 1. х < 2. Тогда 2х — 4| = — 2х + 4 и получим уравнение
—2х + 4 — 1 ч=> — 2х = —3 <!=> х = |. Из того, что § ^ 2, следует, что
х = | есть кусок ответа; можно обвести его в рамочку:
х — 2
Случай 2. х ^ 2. Тогда 2х — 4| = 2х — 4 и имеем уравнение 2х — 4
1 <^=> 2ж = 5
Ответ: §, §.
ж
— |. Так как | ^ 2, и х ~ | годится.
► Задача 2. |ж 4- lj + x + 2 - 2.
Решение. Подмодульные выражения обращаются в нуль при х = — 1, —2.
Случай 1. х ^ -2. Тогда |ж + 1| = — х — 1 и х + 2| — — а; - 2. Имеем
—а: —1 — а? — 2 = 2 <=> -2х = 5 ■$=> х = -§ < -2 =Ф | х = -| .
Случай 2. -2 ^ ж < -1. Тогда |ж + 1] = -ж - 1, |ж + 2| = ж + 2 =>
-ж-1+-ж + 2 = 2 Ф=^ 0 ■ х = 1 «=* 0.
Случай 3. х > -1. Тогда |ат + 1| = ж + 1, |ж-Ь2| = ж + 2=>ж + 1-|-ж + 2 =
2 «
2х = -1
ж
1
Х = -i
Х 2
Ответ: — §,
1
"2-
► Задача 3. |ж| + |ж + 2| - 2.
Решение. Случай 1. х ^ —2. Тогда |ж| = —ж, |ж + 2| = —ж —2=Ф -~х — х — 2 =
-2ж = 4
ar = -2< -2=> х = -2
Случай 2. -2 ^ х ^ 0. Тогда |ж| = -ж, |ж + 2| = ж + 2 =Ф -ж + ж + 2 =
2 -Ф=> 0 ■ ж = 0. Поскольку последнее равенство выполняется при любом
вещественном ж, а рассматриваются только ж из промежутка [—2,0], все х
из этого промежутка будут решениями, т.е. х е [—2,0]
Случай 3. х ^ 0.
0 ^ 0 => ГаГ^"0"1 ■
Ответ; ж G [—2,0]. ■*
Случай 3. х ^ 0. Тогда |ж| = ж, |ж + 2| = ж + 2^ж + ж + 2 = 2 <==> ж =
02*0=>1а: = 01.

150 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
► Задача 4. х - 1| > § - 2х.
Решение. Случай 1. х ^ 1. Тогда |ж — 1| = —х + 1 => —ж + 1 > § — 2ж
х > |. Нарисуем картинку (см. рис. 1).
Точка | обозначена светлым
прямоугольничком, единица ■—■ черным. Это означает, что точка
| не включается. Пересечение промежутков х > |
^
1 *2 1 иж ^ 1 заштриховано. Пересечение этих
промежутков берется потому, что в случае 1 рассматри-
"ис. 1 ваются только х < 1 . Кроме того, для этих х
должно выполняться неравенство х > |. Значит, первый кусок нашего
ответа есть
are(i,l]
Случай 2. х > 1. Тогда |ж-1| = х — 1=^ж-1> § - 2х «=> Зэт > | -Ф=>
з; > |. Нарисовав соответствующую картинку, увидим, что второй кусок
ответа есть
X G [1,+00)
Ответ: (|,-Ьос). 4
► Задача 5. |3 - х + |2ж - 4| - jx 4-1| > 2х + 4.
Решение. Случай 1. х ^ — 1 =$■ х+1 = —х—1, 3—х = 3-х, |2ж—4| = 4—2ж.
Наше неравенство принимает вид 3-х + 4 — 2х + х + 1 > 2х + 4 <=Ф» х < 1 =>
а: 6 (—оо, —1]
Случай 2. —1 < ж ^ 2. Тогда |ж+1| — ж + 1, 2х — 4j = 4-2ж, |3 —ж| — 3-х.
Получаем неравенство -ж-1 + 4-2ж + 3 — х > 2ж + 4 <=Ф- х < | =>
х е [ -1, ±)
Случай 3. 2 ^ х ^ 3. Тогда |ж + 1| - х + 1, |2х-4| = 2ж-4, |3-х| = 3-ж.
Получаем неравенство —х — 1 + 2х — 4 + 3-x>2x + 4 «=>■ х < —3 =^ 0.
Случай 4- х^Ъ. Тогда |ж + 1| = ж ■+-1, |2ж - 4| = 2ж - 4, |3 - х — х ~ 3.
Наше неравенство принимает вид
ж-3 + 2х-4-ж-1>2ж-|-4 4=> 0 ■ ж > 12 ^=^> 0.
Ответ: ж G (—оо, |). 4
► Задача 6. |х2 - 2х - 3| < Зх - 3.
Решение. Квадратный трехчлен, стоящий под модулем, обращается в нуль
при х — —1, 3. При этом если х е (—со, —1] U [3, +оо), то трехчлен
неотрицателен, а при х £ [—1,3] неположителен.
Случай 1. ж £ (-оо, -1] U [3,+сю). Тогда х2 - 2х - 3 = ж2 - 2х - 3 и
неравенство принимает вид
х2 - 2ж - 3 < Зж - 3 «=> ж2 - 5ж < О <*=*■ х £ (0,5). То, что
последнее неравенство имеет в точности такие решения, как написано,
можно понять, нарисовав (приблизительно и без соблюдения масштаба)

Урок 8. Уравнения и неравенства с модулями
151
параболу у — х2 — Ъх. В рисунке достаточно отразить тот факт, что ветви
параболы направлены вверх, а пересекает ось Ох она в точках 0 и 5 (см.
рис. 2).
ШЗ.
NXX1
О^ш-5 -10 3 5 -2-12
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
Теперь нужно пересечь интервал (0, 5) с множеством (—оо, —1] U [3, +оо).
(см. рис. 3). Получим, что наш кусок ответа есть [3, 5)
Случай 2. х е [—1,3]. Тогда х2 — 2х — 3] = —х2 4- 2х 4- 3 и мы имеем
неравенство —ж2 -1- 2х 4- 3 < Зж — 3 <*=> х2 + х — 6 > 0 <=> х е (—оо, —3) U
(2,-Ьоо). Учитывая рассматриваемый случай (нарисуйте картинку сами!),
получаем второй кусок ответа:
(2,3]
Ответ: (2,5). ■*
► Задача 7. х2 + 2х
х = ж — х
Решение. Нули подмодульных выражений состоят из точек —2,0,1,2. При
этом парабола у = х2 4- 2х отрицательна в точности на интервале (—2,0), а
парабола у = х2 — х — на интервале (0,1).
Случай 1. х ^ —2. Тогда |ж242ж| = х2+2х, 2 — х = 2-х, х2 — х = ж
— гЛ
-х
и наше уравнение принимает вид
х2 +2х + х -2 - х2 - х <=>> х = > -
Случай 2. х € [-2,0]. Тогда |ж24-2ж| = -ж2-2ж, |2
х2 — х и мы имеем
„2
-2 =» 0.
-х1 - 2х + ж - 2
ж
ж Ф=Ф 2ж2 = -2 Ф=Ф 0.
Случай 3. х € [0,1]. Тогда |ж24-2ж| = ж2-(-2ж, |2—ж| = 2—ж, |ж2—х — ж—ж2
и ж2 + 2ж + х - 2
ж — ж
ж2 4- ж - 1 = 0
ж
-1±у^
Легко
проверяется, что только корень J ^ v г> лежит на отрезке [0,1]. Значит,
ж=4р±
Случай 4- хе [1,2]. Тогда |ж2+2ж| = ж2 + 2ж, |2-ж| = 2-х, |ж2
-ж
9
= ХЛ— X
и наше уравнение принимает вид ж2 + 2ж 4- ж
[1,2]=>0.
Случай 5. х ^ 2. Тогда |ж2 4-2ж| = ж2 + 2ж, |2-ж
наше уравнение принимает вид ж2 4- 2ж — ж 4- 2 = ж2 -
- rJi
2 = ж
ж
==Ф
И
-ж
ж — 2|ж — ж| = ж — ж и
<?=> х - -1 < 2 =» 0.
Ответ: х — -
► Задача 8. |3
-1 + /5
|аг-2|| ^ 1.

152 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
Решение. Когда есть модуль в модуле, начинать раскрывание надо со
внутреннего.
Случай 1. х ^ 2. Тогда х — 2| = 2 — х и имеем
|3-(2-ж)| ^ 1 *=> |1 + ж| < 1.
Случай 1.1. х ^ — 1. Тогда наше неравенство принимает вид
—х — 1^1 <=$■ х ^ — 2. Для получения ответа нарисуем
картинку учета обоих случаев и решения неравенства (см. рис. 4).
Следовательно, наш кусок ответа есть [—2, —1]
Случай 1.2. х ^ —1. Тогда имеем неравенство х + 1 ^ 1 <*=>
х ^ 0. Нарисуйте картинку сами, чтобы убедиться, что наш
кусок ответа есть в этом случае [—1,0]
Случай 2. х > 2. Тогда х — 2| — х — 2 и имеем
|3-ж + 2|< 1 <=Ф |5-яг| $ 1.
Случай 2.1. х ^ 5. Тогда наше неравенство будет иметь вид
х ^ 4. Следовательно, ж е [4, 5]
5-z$1«
Случай 2.2. х ^ 5. Тогда х - 5 < 1
а; ^ 6. Значит,
ж е [5,6]
Ответ: [-2,0] U [4,6]. <
к + 1| + |у-1| =5,
► Задача 9.
х + 1| = 4у — 4.
Решение. Подставив значение |ж + 1| из второго уравнения в первое,
получим уравнение относительно у:
4у - 4 + |у — 1| = 5.
Если у > 1, то 4(у - 1) + (у - 1) = 5 <=> 5(у - 1) = 5 4=4> | у - 2 |. Если
у < 1, то 4(у - 1) - (у - 1) - 5 ^=> у = | ^=> 0.
Значит, у = 2и|ж + 1|=4 4=т- ж = 3, —5.
Ответ: (3,2), (-5,2). *
► Задача 10. j sinят| = cos2x.
Решение. Пусть sin х — t. Тогда cos 2х — 1 — 2£2 и уравнение принимает вид
|£| = 1 - 2*2 <^=> * = ±±.
Ответ: х — ±| + Гс7г, neZ. *
Наш урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.

Урок 9. Рациональные уравнения и неравенства 153
Домашнее задание
► 1.
► 2.
► 3.
► 4.
► 5.
► 6.
► 7.
► 8.
► 9.
► 10.
► 11.
► 12.
► 13.
► 14.
► 15.
► 16.
► 17.
► 18.
► 19.
► 20.
|ж-7| =4
|19-ж|+3 = 2л/2
х + х = 0
х- 1| 4- х + 2 - 2х = 1
х2 -4| + |9-ж2| = 5
х + 1| - |ж| 4- 3|ж - 1| - 2х - 2| = х + 2
||2ж-1| -5|+ж = |6-ж|
||ж|-2| = 1
1 < |2ж-5| ^3
13- |ж-2|| < х-7
-1| - х 4- |2ж + 3| = 2ж + 4
2х - х2 - 3| = 1
х* - 1| + ж + 1 = 0
х-х2 -1| = |2ж-3 + ж2
х2 - 3| 4- 2х 4- 1 ^ О
iz2+a;-2| > |1 + §|
ж3 - 1| ^ х2 + х + 1
|ж-1| + |у-5| = 1
{
{
{
у = 5 + х — 1|
у-2х+3 = 0
|у|+ж-3 = 0
х2 — 2х + у = 1
х2 + |у| = 1
Урок9
Рациональные уравнения и неравенства
Уравнения или неравенства называются рациональными, если левая и
правая их части есть суммы отношений многочленов. Решаются они
приведением к общему знаменателю, после которого надо разложить числитель
и знаменатель на простейшие множители и применить метод интервалов.
Опишем вкратце, как разлагать многочлены на множители. Многочлен
первой степени, т.е. вида ах + Ь, а ф О, преобразуется так: ах + b ~
а(х — ( — -)). Еслиз;1,Ж2 — корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх 4- с, а ф 0,

154 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
то ах2 + Ьх + с = а(х — хг){х - Х2)- Например, х2 - Ьх + б = (х — 2){х — 3),
2х2 - х - 1 = 2{х - 1){х - (-±)).
Если дан многочлен степени выпю второй и известны его корни, то он
раскладывается аналогично квадратному трехчлену. Например, если дан
кубический многочлен ах3 + Ьх2 + сх + d с корнями хх, х2, х$, то яг3 ± Ьж2 +
cx±d = а(х — х)(х — Х2)(х — хз). Корни уравнений третьей и более высокой
степени в общем случае находить не умеет никто на свете, в том числе и
те, кто сидит в приемных комиссиях. (Отмечу мимоходом, что некоторые
учащиеся физико-математических школ, которым рассказывали формулы
Кардано для уравнений третьей степени и метод Феррари для уравнений
четвертой степени, воображают, будто они умеют решать такие уравнения.
Если они настаивают на этом, предложите им найти все корни многочлена
ж3 — Зх + 1, причем для каждого корня должно быть свое выражение в
радикалах. Вы очень быстро поймете, что они дают ответ типа «корень
это такое число а, что а3 — За + 1 — 0»; иногда такой ответ чуть-чуть
более зашифрован, но считать его решением никак невозможно. Впрочем,
всякий, кто глубоко освоил метод Кардано, действительно сможет решить
те (и только тс) уравнения третьей степени, которые имеют единственный
корень. Но эти знания на вступительных экзаменах не потребуются).
Так вот, единственный способ бороться с уравнениями степени три и
выше состоит в угадывании корней (обычно задачи так подбираются, чтобы
корни можно было угадать). При этом надо перебрать только те целые
числа, на которые без остатка делится свободный член уравнения. Если
ни одно из них не является корнем, то (это совсем не школьная и довольно
трудная теорема) целых корней нет и нужно решать задачу другим
способом.
Например, у уравнения хЛ — 2х2 + Зж + 22 — 0 нужно проверять лишь
числа ±1, ±2, ±11, ±22. Попробуйте сами угадать его корень.
После того, как угадан корень а, надо поделить «уголком» наш многочлен
на х — а. Он обязательно разделится нацело и надо будет найти корни
частного. Деление «уголком* описано в Справочнике, гл. 3, §4 этой книги.
Я не вынес этот метод в настоящий урок, поскольку во многих школах он
преподается.
Предположим, что числитель и знаменатель уже разложены на
множители. Я опишу метод интервалов на конкретном примере. Пусть мы пришли
к неравенству
m (ж-з№-7№±1)
[) (х-2)(х+4)* ^
(обязательно должно быть (х — 2), а не 2 — х, именно х — 7, а не 7 — ж и
т.д. Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на —1 и меняя
одновременно его знак столько раз, сколько надо).

Урок 9. Рациональные уравнения и неравенства 155
Отметим жирными точками нули числителя и прозрачными — нули
знаменателя (см. рис. 1). Если бы неравенство (1) было строгим, нужно
было бы все нули сделать прозрачными.  I
"^4-12 3 7 JP&Ttt^T l^K^Af-
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
После этого справа налево ведем змейку (рис. 2) по следующему правилу:
она приходит сверху, меняет знак на нечетной степени и сохраняет на
четной.
Теперь остается только выписать ответ: х е [—1, 2)u{3}U[7, +oo). Важно
не забыть х — 3.
► Задача 1. х2 — х — 1 > 0.
Решение. Здесь можно решить неравенство методом интервалов, но проще
нарисовать параболу (см. рис. 3). Заметьте, что для нас совершенно не
важны точные характеристики параболы (где находится ось, пересечение
с Оу и т.п.). Достаточно знать, что ветви ее направлены вверх и что она
пересекает ось Ох в двух точках, совпадающих с ее корнями.
Корнями параболы являются числа l±Jb. Из рисунка видно, что она
принимает положительные значения вне отрезка, соединяющего ее корни.
Ответ: х в (-оо, i^) U (^Ь^,+оо). «
► Задача 2. х3 + х2 + 2х - 4 ^ 0.
Решение. Легко угадывается корень х = 1. Теперь поделим исходный
многочлен уголком на х — 1:
х3 + х2+2х~4 |х-1
»3-»2 |х'-!+2а;+4
2*2+2а;
2x2-2х
4а:-4
4а-4
о
Значит, х3 + х2 + 2х — 4 = (х — 1)(х2 + 2х + 4), и исходное неравенство
можно записать в виде (х — 1){х2 + 2х + 4) ^ 0. Дискриминант квадратного
трехчлена х2 -|-2ж + 4 равен —12, так что этот трехчлен положителен при
любых х (нарисуйте сами соответствующую параболу). Поделив неравенство
на строго положительное выражение х2 + 2х + 4, получим эквивалентное
неравенство х — 1 ^ 0 — здесь даже не нужен метод интервалов.
Ответ: х ^ 1. +

156 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
о 6z + 12
► Задача 3. —. -— = х.
" х2 + х-2
Решение. Используя равенства 6х +12 = 6(х + 2) и х2 + х — 2 = (х — 1)(х + 2),
перепишем исходное уравнение в виде
Цх + 2) _
[х-1)(х + 2) Х ' {хф-2
( — =
I х-1
X
Последняя система после приведения к общему знаменателю принимает
Ж2— X-Q _
х-1
хф-2,
вИД Г х2-х-<5 _ п
J х-1 ~~ и'
откуда получаем
Ответ: х — 3. -4
1 / 1 
► Задача 4. 7[x + z)-2[x2 + — | = 9.
Ы)-2(а
Решение. Пусть ж 4-  = у. Тогда х2 + ^ ~ у2 - 2 и имеем уравнение
1у - 2(у2 - 2) = 9 ^=> 2у2 - 7у + 5 = 0 *=► у = 1, |.
Уравнение а; 4- - — 1 не имеет решений, уравнение х 4- ^ = | имеет корни
Qi
2"
Ответ: х — 2, i
2'
^
► Задача 5 [21. ——-— z—~ — = 2.
14 l J х2 + 2х - 8 х2 4 2х - 3
Решение. Приведение к общему знаменателю даст в числителе многочлен
четвертой степени. Избежать этого можно, обозначив х2 4 2х — 8 через у.
Получим уравнение w 1 -
У У + 5
что эквивалентно (при у ^ 0, — 5) уравнению 24у 4-120 — 15у = 2у 4-Юу <==$■
2у2 4- у - 120 = О <!=> у = -8, ^. Значит, либо х2 + 2х - 8 = -8 «=^> а: =
0, -2, либо ж2 + 2х - 8 = ^ <(=> х = "^з4^.
Ответ: 0, -2, ~2±2v/^. «
к
2
1 1 10
Задана 6 [2]. ^ + (д: + 2)2 - д-
Решение. Пусть у = х + 1. Тогда („Л)»+{v+ip = T "^^ (F=iF = T
5у4-19у2-4 = 0 Ф=* у2 = 4,-£ -4=* у = ±2.
Ответ: —3,1. •*

Урок 9. Рациональные уравнения и неравенства 157
► Задача 7 [2]. (ж2 + 2ж)2 - (х + I)2 = 55.
Решение. Мы знаем, что (х + I)2 = х2 + 2х 4- 1; обозначив ж2 + 2ж через у,
получим уравнение у2 - у - 1 = 55 <=> у2 - у - 56 = 0 •$=>■ у = 8, -7.
Дальше все просто.
Ответ: —4,2. 4
*■ Задача 8. х ^
аг-1
x-i
-,-_ ^ #^ 2х-~ —
Решение, х ^ —^4" <$=> 4 ^ 0, что эквивалентно неравенству
(g-(i + f))(g-(i-f))^a
Нарисуем картинку:
ж-1
Ответ: х е [1 - ^, 1) U [1 4- ^, +оо).
3
► Задача 9. —— < 1.
хг + 2х + 4
Решение. После приведения к общему знаменателю получим неравенство
х2 + 2х 4- 1 . (ж 4- I)2
ж2+2ж + 4 >U ^ (ж + 1)24-3 > '
Знаменатель строго положителен при всех ж, а числитель неотрицателен
и обращается в нуль только при х = — 1.
Ответ: х ф — 1. <
, Л ж2 4 Зж + 4 ^
► Задача 10. 2 ^ ж.
ж2 4- 4ж 4- 3
Решение. После приведения к общему знаменателю получим неравенство
х3 4- Зж2 - 4 >Q
ж2 4- 4ж 4- 3 ''
Заметив, что ж = 1 есть корень числителя, разложим его (и знаменатель)
на множители: , 1Л, т2
(ж-1)(ж4 2)2 >
(ж + 1)(ж4-3) " "
Рисуем картинку:
-3 -2
Ответ: х G (—3, —1) U [1, +оо). *
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.

158 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
Домашнее задание
о
х- 4 ж2+ж-6
х + 2 х + 2 х2 + 2ж + 4
За;-9 2 13
► 2. — = 1 ► 13. - —г >
z2 - 2ж - 3 э:4-1эг-1э: + 2
ж х 4-1 4
► 3. —— > z 4 1 ► 14. , Л - 2 < —~-
х-1 а;2 + а; + 1 х-1
^ л 4ж + 1 ^ , о 7ж - 16 ^ ,
► 4. г- < х 4- 2 ► 1К > —1
4(2-а:) 15' ж2_7яН-12 "
а; + 7 11
►5. -<х + 1 ►16.- + ->2
ж 4 3 х х + 1
к л а^ + 7 4а:2 4- 5ж
* 6. —— > х - 1 ж + >
Ж + 21 -17. *2-*-6
► 7. аг + - ^-2 9 5а: 4-1
4/-Л1 5ж - 15 5ж + 10
*8-:^Т7ТТ<1 .18.1+1>1_ 1
1 1
X2 — X X X — 1
* 9. — :—— > —— п х2 — 5
ж2 - 4ж 4 3 х - 3 а: - 2 ► 19. хл + 1 > -^
► 10. —- > 1 - х „п . J- - ,
х-1 »• 20. ж + - < 1
4*2 - 1 Ж
► 11. — > 1 - 2х
х2 - Ъх + 2
Урок 10
Уравнения и неравенства с радикалами
Под радикалами здесь понимаются корни квадратные. Задачи с
кубическими радикалами практически не встречаются. Если такая задача даже
будет дала, то ее нужно решать, просто уединяя радикалы и возводя все
в куб. Это будет эквивалентным преобразованием. Куда более сложна
ситуация с квадратными радикалами. Если у нас имеется выражение вида
y/f(x), то оно определено только при f(x) ^ 0. Забывание этого
обстоятельства приводит к приобретению лишних корней. В случае, когда мы
имеем какое-то уравнение с небольшим числом корней, можно подставить
их в уравнение и проверить, действительно ли все они годятся. Однако
если корень имеет вид х — * 17~vl66 ) подставлять его куда-то затрудни-

Урок 10. Уравнения и неравенства с, радикалами 159
тельно. Совсем невозможно подставить бесконечное множество решений
неравенства. Поэтому на каждом шаге необходимо производить
эквивалентный переход. Даже при решении уравнений недостаточно проверять
полученные корни на ОДЗ.
Проиллюстрируем это на следующем примере. Пусть у/х = х — 2. После
возведения уравнения в квадрат получим х = х2 — Ах + 4 4=^- х2 — Ъх + 4 =
О <=> х — 1,4. Оба числа 1 и 4 входят в ОДЗ уравнения, состоящую
из неотрицательных ж. Тем не менее 4 есть корень исходного уравнения,
тогда как 1 таковым не является.
Приведем ряд эквивалентностей для освобождения от радикалов.
_^ Г f{x) = {g{Xyf
(1)
(2)
v№) = g{x)
у/f[x) > g{x)
(3)
(4)
(5)
Vf(x) > g(x)
V№) < g{x)
Vf(x) <* g(x)
g{x) > 0
J fix) 2 Ш)2
I g(x) > о
/ № z о
I g{x) < о
J f(x) > {g(x))2
l g(x) 2 о
/ f(x) > 0
1 g(x) < 0
f(x) < (g(x)f
fix) 2 0
g(x) 2 0
fix) < Ш)2
fix) ^ 0
g{x) 2 0
Напомним, что квадратные скобки означают, что каждая из систем,
ими объединенных, решается отдельно и дает отдельную часть ответа, т.е.
решения систем объединяются.
► Задача 1. у/х 4- 4 — х — 2.
Решение. Наше уравнение эквивалентно системе s ^_2^0Ж_ • Первое
уравнение ее имеет корни 0 и 5. Учитывая второе неравенство, получаем
Ответ: х — 5. ■*

160 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
► Задача 2. у/2х - х2 4- 1 > 2х - 3.
Решение. Формула (2) показывает, что надо рассмотреть две системы:
{ 2х-х2 + 1^{2х-3)2, Г2ж-х-2 + 1^0,
 2ж - 3 > 0 И t 2ж - 3 < 0.
Первая легко преобразуется к виду
| 5ж2 - Ых + 8 < 0, |хе[|,2],
I х > | ^ I х ^ |
Первое неравенство второй системы приводится к виду х2 — 2z — 1 <
0 Ф=> х € [1 — /2,1 4- /2]. Учитывая второе неравенство, получаем
х £ [1 - >/2,3/2) .
Ответ: [1-/2,2]. «,
► Задача 3. у/2х2 + ж < 1 4- 2ж.
Решение. Исходное неравенство эквивалентно системе
2ж24-ж< (1 + 2ж)2,
2ж2 4- х ^ 0,
2а:+ 1 ^ 0.
Второе ее неравенство равносильно х(2х 41)^0. Из третьего неравенства
заключаем, что 2ж4-1^0=у'а;^0,так как во втором неравенстве
неотрицательно произведение х(2х 4-1), второй сомножитель которого
неотрицателен. Следовательно, второе и третье неравенства можно заменить одним:
х ^ 0. Первое неравенство системы приводится к виду (2х 4 1)(а; 4-1) > 0.
Ясно, что оно справедливо при х > 0. Поучительно заметить здесь, как
мало вычислений мы проделали, сокращая «по мелочам» себе работу. В
принципе, все три неравенства можно было бы решить отдельно и, рисуя
картинку, пересекать ответы. Однако чем больше вычислений делается,
тем больше вероятность арифметической ошибки, которая может загубить
всю задачу. Поэтому надо стремиться упрощать решение, если видно, как
это сделать.
Ответ: х ^ 0. <
► Задача 4. Jx2 — 5ж 4- 6 • (х2 — 2х — 1) ~ 0.
Решение. Данное уравнение не относится к числу стандартных. Поэтому
первым делом нужно вычислить его ОДЗ. Оно определяется из неравенства
х2 - Ъх 4- 6 ^ 0 *=* х е (-оо, 2] U [3, +оо).
Теперь займемся непосредственно уравнением. Произведение равно
нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
*е[М •

Урок 10. Уравнения и неравенства с радикалами 161
Если х2 — Ъх + б = 0 -<=> х — 2, 3, то все корни^входят в ОДЗ — это
ясно. Уравнение х2 — 2х — 1 = 0 имеет корни 1 ± у/2. Легко проверяется,
что годится только корень 1 — %/z.
Ответ: 2,3,1- у/2. «
► Задача 5. (ж - 3)>/(2 - х){х - 5) ^ 0.
Решение. Область допустимых значений нашего неравенства состоит из
тех х, которые принадлежат отрезку [2,5]. Произведение двух чисел
неотрицательно, если и только если они оба либо неотрицательны, либо
неположительны.
Пусть J г - 3 ^ 0,
I у/(2 - х)(х - 5) > 0.
Корень квадратный всегда неотрицателен, так что в ОДЗ эта система
эквивалентна неравенству х — 3 ^ 0 <$=> х > 3. Учитывая ОДЗ, получаем
первую часть ответа:
х е [3,5]
Второй случаи дает систему
ж-3 ^ 0,
{
у/(2-х){х-5) ^ 0.
Из неотрицательности корня квадратного следует, что второе неравенство
может выполняться только при ^(2 — х)(х — 5) — 0 -<=^ х — 2, 5. Учтя
второе неравенство, получим
Ответ: {2}U[3,5]. «
► Задача 6. у/х + 5 — у/х — 1.
Решение. Область допустимых значений состоит из х ^ 0. Из того, что
х + 5 > х, следует, что левая часть уравнения строго положительна.
Следовательно, в ОДЗ оно эквивалентно уравнению
(у/х + 5 - у/х)2 = 1 &Х + 5 + Х- 2/х{х + 5) = 1 & 2х 4- 4 = 2/аг(аг + 5)
<=> х + 2= у/х(х + 5) &■ х2 + 4х + 4 = ж2 + 5ж «Ф а; ~ 4.
Предпоследняя эквивалентность также имеет место в ОДЗ, поэтому
избавляясь от последнего радикала, мы не должны приписывать условие
х + 2 ^ 0 — ведь в ОДЗ оно выполняется автоматически.
Наши выкладки для решения уравнения были бы еще проще, если бы мы
заметили, что в ОДЗ
/х + 5 - у/х - 1 «Ф /х + 5 = 1 + V» Ф>
Ф>ж + 5 = И-х + 2/х ■&■ 2 Vx = 4 <=> ж = 4.
Ответ: х = 4. 4

162 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
Задача 7 [2]. у/х + у/х + Ъ-Ь- /х + 8.
Решение. Можно очень долго возиться с данным уравнением, избавляясь от
радикалов и так, и здак. Все время будет получаться уравнение четвертой
степени. Если ничего другого в голову не приходит, надо угадывать его
корни (а их надо угадать как минимум два!) и использовать деление
«уголком».
Можно, однако, решить и так: записать уравнение в виде
у/х + у/х + 3 + л/я + 8 = 6
и заметить, что левая часть его есть возрастающая функция, которая, тем
самым, не может равняться шести в двух различных точках. Значит,
корень, если он есть, единственен. Немного повозившись с ним, можно
догадаться, что х — 1 есть его корень. Из сказанного выше следует, что
других корней нет.
Ответ: х — 1. +
_ . у/х2 - Зх - 4 - Ъх + 16
► Задача 8. —■ — > 1.
о — х
Решение. После приведения к общему знаменателю неравенство принимает
вид ,
Ух2 - Зх - 4 - 2х + 10
6 — х
Дробь больше нуля тогда и только тогда, когда и числитель и
знаменатель либо оба больше нуля, либо оба меньше.
Пусть .—
f /х2 - Зх - 4 - 2х + 10 > 0,
 6 - х > 0. ^_____
Решим отдельно неравенство /х2 — Зх — 4 > 2х — 10. Его решения
складываются из решений систем
х2-Зж-4> (2х-10)2, Г а:2 -Згс-4^0,
2х - 10 > 0 I 2х - 10 < 0.
Их можно эквивалентным образом преобразовать к виду
Г (ar-13/3)(x-8) <0, f (х-4)(я; + 1) ^ 0,
 х ^ 5  ж < 5,
откуда х е (—со, —1] U [4, 8). Вспоминая, что х < 6, получаем первый кусок
ответа:
х € (-оо,-1] U [4,6)
В случае, когда х > 6, автоматически выполняется неравенство 2х — 10 >
0 и потому л/ж2 - За; - 4 < 2х - 10 <^=> ж2 - Зх - 4 < (2ат - 10)2 -Ф=> ж е
(—оо, 13/3)U(8. +оо). Значит, второй кусок ответа имеет вид х е (8, +оо)
Ответ: х G (-oo,-l] U [4,6) U (8, +оо). -«
Задача 9 [2]. у/Ах2 - 20х + 1 + Ъх = ж2 - 1.

Урок 10. Уравнения и неравенства с радикалами 163
Решение. Просто уединить радикал и освободиться от него по формуле (1)
невозможно — получается уравнение четвертой степени. Однако если мы
запишем уравнение в виде л/4(ж2 — Ъх) ■+- 1 = х2 — Ъх — 1, то, обозначив
х2 — Ъх через у, придем к уравнению у/4у + 1 — у — 1 <*=Ф* у — 6. Значит.
х2 — Ъх ~ 6, и дальше все ясно.
Ответ: —1,6. <
~ z2 - 1
► Задача 10. , ^ ж — 1.
V13 - х2
Решение. Легко заметить, что выражение х — 1 присутствует как
сомножитель и в левой, и в правой части. Вынесем его за скобку:
{х-){^===-) ^0 <*=* (я: - 1)(а: + 1 - >/l3 - ата) ^ 0.
Мы опустили знаменатель ввиду того, что в ОДЗ радикал, стоящий в
знаменателе, обязан быть строго больше нуля.
Последнее неравенство эквивалентно совокупности двух систем:
Г.т-1>0, ( х-1
 х + 1 - /13 - х2 ^ 0 И х + 1
U0,
Vl3-x2 ^0.
Решим первую из них:
х + 1 - /13 - ж2 > 0 I v ; n x2+x-G^Q.
13 - х^ > 0
Следовательно, первая из систем эквивалентна тому, что х £ [2, /13).
Вторая система распадается на две:
Г -1 ^Х ^ 1, ( ЯГ ^ -1,
i (z -Ы)2 ^ 13 - х2 " tl3-x2>0,
решив которые, заключаем, что — /13 < х ^ 1.
Ответ: х е (-■ДЗ, 1] U [2, л/13). «
Наш урок окончен. Оценку себе поставьте по стандартным критериям.
Ниже дается большое домашнее задание. Задач здесь больше чем обычно,
поскольку эта тема должна быть хорошо отработана и большинство задач
такого типа вы должны решать автоматически и без ошибок!

164 Глава 2. Простейшие уравнения и неравенства
Домашнее задание
► 1. (ж2 - 4)у/а7ТТ = О
► 2. л/2ж-6 + л/ж+ 4 = 5
► 3. /2ж + 5 - л/Зж-5 = 2
► 4 [2]. уУ+Т-1 = /ж- л/^Г8
► 5. л/2ж2 + 8ж+7-ж = 2
► 6. х + у/2х2 - 7ж + 5 = 1
► 7 [2]. л/ж~+"2 - у/зГЛ = л/2ж-3
► 8. Уж2 - Зж + 2 - 3 - ж > О
► 9. ж + 4< у/х + 46
► 10. ж-3 < л/ж+ 27
► 11. л/ж2 + 2ж ^~3 < ж
► 12. /ж2 - ж - 2 < ж - 1
► 13. ж + 4 < /~х2 - 8ж - 12
3 — х
► 14. / < 1
У15-ж
► 15. >^±5 < !
1 - X
л/24 - 2ж - ж2 ,
► 16. < 1
X
► 17. л/1~3ж- ^5 +ж > 1
л/6 + ж - ж2 ^ л/6 + ж - ж2
► 18 2 . ^ —
2ж + 5 ж + 4
► 19. (ж + 1)л/ж2 + ж - 2 = 2ж + 2
► 20. жУЗбж + 1261 = 18ж2 - 17ж
► 21. л/(ж-4)(5ж + 41) < 2(2ж - 7)
„ /51 - 2ж - ж2 ,
► 22. < 1
_ 1 — ж
► 23. л/ж < х - 1
► 24. (ж + 2)л/ж2 + 7ж + 6 ^ О
► 25. л/2ж2 + ж > 1 + 2ж
► 26. л/4 - 6ж - ж2 = ж + 4
► 27. (ж2 -18ж + 77)л/10-ж > О
по Vx2 + ж - 6 + Зж + 13 ,
► 28. — > 1
ж + 5
► 29. ж + л/ж2 + ж -6> -1
► 30. 2ж - 17 < V81 - ж2

Глава 3
Алгебраические системы
Урок 11
Системы уравнений и неравенств,
возникающие из текстовых задач
Самый простой и естественный способ решения системы с любым
числом неизвестных — выражение одного из неизвестных через остальные
и подстановка этого выражения в другие уравнения. Число неизвестных
таким образом уменьшается, и повторяя эту процедуру, мы в конце концов
придем к уравнению с одной неизвестной. Однако чаще всего этого так
прямо сделать не удается. Надо сперва как-то преобразовать систему к
виду, для которого уже возможна подстановка.
Обычным делом в текстовых задачах является ситуация, когда
переменных гораздо больше, чем уравнений. Тогда отыскать все переменные
просто невозможно, да это и не требуется. Чаще всего бывает указана какая-то
их комбинация (сумма, отношение, сумма квадратов и т.п.), которую мы
должны найти. Здесь невозможно дать рецепт на все случаи жизни. Мы с
вами будем просто набирать опыт решения подобных задач.
Следующие два метода применяются довольно часто. Постарайтесь
хорошо их усвоить.
Если в процессе решения появилось уравнение вида ах2 + Ьху + су2 — О,
то мы можем легко выразить х через у.
Пусть, например, ж2 — 5ху+6у2 = 0. Решим это уравнение как квадратное
относительно х, считая у известным:
-Ъу ± л/25у2 - 4 • 6у2 -Ъу ±у
х = ■ = = 2у,3у.
2 2
Значит, в частности, либо х — 2у, либо х = Ъу, и х'2 — Ьху + 6у2 =
(х — 2у)(х — Зу) — последнее равенство тоже может пригодиться.

166
Глава 3. Алгебраические системы
► 1. Что можно сказать об ж и у, если х2 + 2ху 4- 4у2 = 07
Второй метод более сложный. Он называется методом
неопределенных коэффициентов. Поясним его на примере.
Пусть даны уравнения < 7ж+з"*="-9 ' пРичем требуется отыскать 5x+y — 2z.
Указанная система не определяет однозначно х, у и z. To же самое верно
и для выражения Ах + у — 2z. Однако раз по условию задачи выражение
Ьх + у — 2z можно найти, его можно представить как линейную комбинацию
выражений х + у + z и 7х + Zy, т.е. найдутся числа а и /3 такие, что
Ъх 4- у - 2з = а(х + у + z) 4- fi(7x 4- Zy). Как найти числа а и /?? Надо,
раскрыв скобки, приравнять коэффициенты при x,y,z. Посмотрите, как
это делается:
Ъх + у - 2z — а(х + у 4- z) 4- fi{7x 4- Zy) <=>
<=> ox 4- у — 2z — ах 4- ay 4 az 4- 7(3x 4- Zj3y -Ф=^
<s=J> Ъх + у - 2z - (q 4- 7/3)x + {a + Z0)y + az.
А теперь, приравнивая коэффициенты при x,y,z, получаем систему
q + 7^5
а 4-3/?= 1 ■«=*■ а = -2,0 = 1.
а = -2
Значит, 5ж 4- у - 2z = -2{х + у 4 z) 4- 1(7х 4- Зу) = -2 ■ 13 + (-9) = -35.
► 2. Что изменится, если мы решение задачи попробуем провести для
поиска выражения Ах --у — 2zl
Последнее замечание перед решением задач. Помните, что решение
системы с двумя переменными есть пара чисел, с тремя — тройка, и
т.д. Например, ответ, записанный в виде х — А,у = ±1, вообще говоря, не
имеет смысла. Надо писать (4,1), (4,-1) или < х~у , < yS^ ■
(2х + у = 1,
[Zx -7у = -
*• Задача 1.
■ " - -24.
Решение. Из первого уравнения имеем у ~ 1 — 2х. Подставим во второе:
За:-7(1-2а;) = -24 <==> Zx- 7 4 Ux = -24 <=> 17ж =-17 <S=> x - -1,
откуда у - 3.
Ответ: (—1,3). -4
x + 2y + Zz = 12,
► Задача 2. <( 2х — j/ 4- г = —1,
Zx + 7y -2z = 5.

Урок И. Системы, возникающие из текстовых задач 167
Решение. Выразим х из первого уравнения: х — 12 — 2у — 3z. Произведем
подстановку полученного х во второе и третье уравнения:
Г 2{12-2у-Zz)-y + z = -, (y + z = 5,
 3(12 - 2у - Зг) + 1у - 2z = 5 "^  у - 11г = -31.
Подставим 5 — z вместо у во второе уравнение:
5- z -11г = -31 <^=* -12z = -36 <S=> z = 3.
Наконец, у = 5 — -г = 2иж = 12 — 2у — 3z—-1.
Ответ: ( — 1,2,3). ■*
► Задача 3
Г 2х - Зу = 1,
 6у - 4ж = -5
Решение. Подстановка приводит к равенству 0=0. Убедившись в этом,
нужно приглядеться внимательнее к системе и увидеть, что второе
уравнение получено из первого умножением на —2, т.е. просто эквивалентно
первому. Значит, наша система эквивалентна одному уравнению 2х — Ъу — .
Оно имеет бесконечно много решений. Некоторые абитуриенты, поняв это,
пишут, что «все числа являются его решением». Это типичная ошибка при
забывании того, что решения этого уравнения состоят из пар чисел (х, у),
и совершенно неправильно было бы сказать, что любая пара есть решение
этого уравнения — возьмите хотя бы пару (0, 0). Ответ можно записать,
положив х — t, найдя у через t из уравнения и отметив, что когда t
пробегает все числа, мы получаем всевозможные решения нашего уравнения.
Ответ: (i, ^f1), t€R. м
Г 2х + 6у = 3,
► оадача 4. <
1 Зж + 9у = 4.
Решение. Из первого уравнения х — ~2 у ■ Подставив х во второе
уравнение, получим
3-6и 9
3 + 9у = 4 <=> - - 9у + 9у = 4 <=> 1/2 = 0 <*=> 0.
Ответ: 0. •«
► Задача 5. [2] Для любых а решить систему
J ах + у = 1,
1 2х + (а+1)у = 2.
Решение. Выразим у через х из первого уравнения: у — 1 — аж. Подставим
во второе:
2a; + (a + l)(l-aa;) = 2 <£^=Ф (а2 + а-2)х = а- 1 -Ф=> (а+ 2)(а- 1)ж = о- 1.
Если а ф -2,1, то х = ^, у = 1 - аж = ^.

168
Глава 3. Алгебраические системы
Если а = —2, то получаем уравнение 0 • х — ^3 -Ф=Ф- 0.
Если а — 1, то получаем уравнение 0 - ж = О <=> ж = t, у — 1 — t, i eR.
Ответ: Если а ^ —2,1, то (^^, ^rg)- *
Если а = —2, то 0.
Если а — 1, то (£, 1 — i), t G R.
2ж — 6tv
*• Задача 6. Известно, что а; > 0, у > 0 и 7х2 -13ху-2у2 = 0. Найти —.
7х + 4у
Решение. Из того, что 7ж2 — 13ху — 2у2 = (7ж + у){х — 2у) — 0, следует,
что либо 7х + у = 0, либо х — 2у — 0. Первое равенство невозможно из-за
ж > 0, у > 0, так что х — 2у.
Следовательно, 2х - 6у 2 ■ 2у - 6у -2у
7х + 4у 7 ■ 2у + 4у 18у
= -1/9.
Ответ: —|.
, 1 _ s
+ 1 - -> ж
► Задача 7. Известно, что ж>0, у>0,5>0и^ х ___ у Найти
6
х + 2у = IS. У
Решение. Из того, что S > 0, следует, что второе уравнение можно
поделить на S. Получим систему
ff + l = f, ja+l = b,
 | + ^ = 7/6 IJ + ! = 7/6,
где а — S/x, Ь — 5/у.
В первом уравнении Ь уже выражено через а. Произведем подстановку:
1 +-h- = I <*=> За + 1 - la2 + la, аф 0, -1 <=* 7а2 - 11а - 6 =
0, а^0,-1 <=» о = 2,-f.
Из положительности всех переменных следует, что а — 2, Е> — 3. Значит,
* - ^» =3/2.
j/ S/x
Ответ: f. •* , „. . _ .„.
2 Г «ж = (* - 2)у = (* - 5/2)z,
^ Задача 8. Известно, что ж, y,z,t, S > 0 и < s 7 s
тт"^^ ^ ж" - 2 ~ I'
Найти .
х у
Решение. Из верхних равенств получаем, что у = ^z^x и z = т^ГТ!3'"
Вторую строку перепишем в виде f — ~ =  и подставим в нее z,
выраженное через х и £. Получим, что
S 5 _5 t —5/2 5 S _7
JL + к /о Zt hJif £t
откуда £ = .

Урок 11. Системы, возникающие из текстовых задач 169
S S
ГЯа1рс1УК.СНИС —
Получим, что
В искомое выражение ^ — - подставим у, выраженное через х и t.
X у
х у х ->ЫХ х" * tx 5 5
Ответ: Ц-.
Г (ж — 1У)(Ж + IV ) —- Z
► Задача 9. Известно, что { . , ' Найти 2х2 + 10у2 - 23z2.
t 4yz = 5 + 7z.
12 2 _2_
■ - -у -
Решение. Перепишем систему в виде < * 2 _7,2"_5 и воспользуемся методом
неопределенных коэффициентов:
а(ж2 - у2 - z2) + Р(4у2 - 7z2) = 2х2 + 10у2 - 23z2 <=►
<(=> ах2 + (4/3 - а)у2 - (7/3 + a)z2 = 2х2 + 10у2 - 23z2.
Запишем систему равенств для коэффициентов:
4,-„ = 10. <=>{S = J.
7/? + а = 23
Следовательно, 2z2 + 10y2-23z2 = 2(a;2-y2-z2)+3(4y2-7z2) = 2-0+3-5 = 15.
Ответ: 15. -4
t
х + 2v + 1z
*■ Задача 10. Известно, что x,y,z,t > 0 и ^
= 1,
t
Найти . z Зж 2
z + 8у + 9z
Решение. Данная система эквивалентна следующей:
2±2а±2£ = 1, /а + 2Ь + 2с=1,
гдеа= f,6 = f,c= f.
Найдем а+ 86 +9с (ясно, что искомая величина является обратной к ней):
а + 86 + 9с = а(а + 26 + 2с) + /?(-За + с) = (а - Ща + 2а6 + (2а + /?)с,
откуда а = 4, /? = 1 и а + 86 + 9с = 4(а + 26 + 2с) + (-За + с) =4-1 + 2 = 6.
Следовательно, ж+8*+9г = а+8ь+Эс = |.
Ответ: g. 4
Урок закончен. Оценка выставляется стандартным образом.

170
Глава 3. Алгебраические системы
Домашнее задание
^ 1 (Зх-5у=1
^ л..  ,_ . _
7z+2j/=-25
3
► 1 I 2х~у
Л'  2s/-4i=5
u* ^6x+9j(=l,5
► 4. Решить систему для произвольного a:  4ж^(1-а)и=^°_1 '
-2а;-у+3г=1
2з:+3у-.г=1
► 6. Известно, что х > 0,г/ > 0 и ж2 + жу - 6у2 = 0. Найти §^.
► 7. Найти все пары (х,у), которые являются решениями уравнения
х2 + ху + у2 — 0.
► 8. Известно, что t,5 > 0 и | lvvHf=S ■ Найти £.
► 9. Известно, что х, у, z > 0 и { f+JI^. Найти f и f.
Г S,£_j _
► 10. Известно, что х, у, S > 0, х > у и < ^_^4 . Найти —.
11. Известно, что v,w,S > 0 и < 5v*5{w~sv)~s - Верно ли, что | < 12?
►
_ 1
x-4z+t
V
( x+y+z 4
► 12. Известно, что { ^Mrrt=^_ - Найти z
► 13. Известно, что | ^£1^=з " Найти lsy-s+s*
-Z = 1
► 14. ИзвеСТНО, ЧТО  ^Ty+'f—2^^ • ИаИТИ бж-Зи + Зг-Иги-в*'
|5
{,+2г + Зш+*
-■-^-=—**■ = w Найти
|г+|г _ 3
► 15. Известно, что х,у Ф °'z >0и ) h±h_3 " Найти р-
( ^Л-— —
► 16. Пусть х,у > 0 и <| *+L/l ■ Найти * и У-

Урок 12 [2]. Сложные системы уравнений 171
Урок 12 [2]
Сложные системы уравнений
Под сложными системами уравнений я понимаю нестандартные
алгебраические системы. Их уже нельзя разбить на типы и объяснить, как каждый
из типов нужно решать. Подобные задачи даются для решения на четверку
или на пятерку. Они рассчитаны на то, что абитуриент откроет новый для
себя метод решения прямо на экзамене. Конечно же, если это произойдет,
ему можно ставить высокую оценку.
Как мы будем бороться с такими задачами? На этом уроке я
продемонстрирую вам некоторые методы, которые можно попробовать. Есть
высокая вероятность, что хотя бы один из них да сработает. Причин тому
две:
- в обычных школах их не изучают;
- придумывать задачи на новые методы несравненно труднее, чем их
решать, так что «ключ» к решению многих задач разных лет часто один и
тот же — экзаменаторы надеются (и не без оснований) на то, что для
подавляющего большинства школьников метод решения соответствующей
задачи будет неизвестен.
Методы, которые мы изучим на уроке, я попрошу вас хорошо запомнить,
так же как и те, что примените (или откроете) в домашнем задании. На
экзамене их надо все попробовать. Если ни один не подходит,
комбинируйте, пытаясь упростить задачу любыми способами. В этой книге много
подобных задач, так что вы сможете набраться достаточно опыта для
того, чтобы найти решение. Но, в общем-то, надо понимать, что нахождение
его уже никому не гарантировано — ни вам, ни мне, ни членам приемной
комиссии. Однако конкурс есть конкурс и надо бороться. Итак, вперед!
( £!±V =5)
► Задача 1. < ху
{ 2х2 -у2 = 31.
Решение. Первое, о чем вы должны подумать, это не сводится ли одно из
уравнений к хорошему виду (позволяющему, например, хорошо выразить
одно из неизвестных через другое). При этом выражение с радикалами
типа у — ±%/2ж2 — 31 , конечно же, хорошим не является. Однако легко
заметить, что первое уравнение эквивалентно при х ф 0 ф у уравнению
х2 + 4у2 - Ъху <^=> х2 - Ъху + 4у2 = 0 <=> (х - 4у){х - у) = О,

172
Глава 3. Алгебраические системы
следовательно, либо х — у, либо х — 4у. Теперь подстановка х во второе
уравнение и решение его относительно у не вызывают никаких трудностей.
Ответ: (/зТ, Щ, (-/31, —ч/з1), (4,1), (-4, -1). «
( (х + у)2 -22=4,
► Задача 2. | (у + -г)2 - х2 = 2,
[ (z + z)2-y2=3.
Решение. Эту задачу легче всего решат те, кто хорошо знает формулу
квадрата суммы трех чисел: (х + у + z)2 — х2 + у2 + z2 + 2ху + 2xz + 2yz.
При этом ее надо узнавать справа налево, т.е. сложить все три уравнения
системы, раскрыть скобки и убедиться, что слева стоит полный квадрат
выражения (х + у + z).
Справа будет число 9. Отсюда имеем два случая: х + у + z = Зи
x + y + z = -3.
1) х + у + z = 3.
Применим формулу разности квадратов к каждому из уравнений системы.
Получим, что j- {x + y + z) {х + у _ z) = 4]
 (x + y + z)(-x + y + z) = 2,
{ (х + у + z)(x - у + z) = 3.
Подставив вместо х + у + z число 3, будем иметь простую систему
х + у - z — 4/3,
—х + у + z — 2/3,
х - у + z = 1,
х=7/6, у=1, z=5/6
которая легко решается:
2) х + у + z = -3.
Этот случай разбирается в точности так же, как и предыдущий, с заменой
соответствующих знаков на минусы.
Ответ: (|,1,|), (-|,-1,-|). «
Г ху + Зу2 - х + 4у - 7 = О,
► Задача 3. <
1 2ху + у2 - 2х - 2у + 1 = 0.
Решение. Здесь тот случай, когда надо догадаться вычесть из второго
уравнения удвоенное первое. После этой операции останется уравнение,
зависящее только от у:
-Ъу2 - 1<Уу + 15 = 0 -$=* у2 + 2у - 3 = 0 «=>■ у = 1, -3.
Если подставить у — 1 в первое уравнение, увидим, что любое х годится,
так как получается уравнение 0 • х = 0. Значит, первая часть ответа есть
(t, 1), * eRI.

Урок 12 [2]. Сложные системы уравнений
173
► Задача 4. | ^2 _ ?_ ^ ^
Если подставить у = —3, получим х — 2.
Ответ: (£,1), teR, (2,-3). «
2 - 2zy + 2y2 + 2х - 8у + Ю = 0,
! - 1ху + Зу2 + 13ж - Ау - 7 = 0.
Решение. Системы такого вида в общем случае решить нельзя. Можно
попытаться разложить одно из уравнений на линейные множители, решив
его как квадратное относительно х, считая у известным. Это удастся в
том случае, когда дискриминант будет полным квадратом как многочлен
от у. Со вторым уравнением системы это не выйдет. Попробуем проделать
такую операцию с первым уравнением: х2 — 2(у — 1)х + 2у2 — 8у + 10 =
0 <=> х = у-1± у/{у - I)2 - 2уа + 8у - 10 = = у - 1 ± у/-у2 + 6у - 9 =
у-1±^-(у-Зу.
Отсюда видно, что выражение, стоящее под радикалом, отрицательно
при у ф 3, и, следовательно, решением первого уравнения может быть
только такая пара (х, у), что у = 3. Значит, х = у — 1 = 2; мы решили первое
уравнение, никак не прибегая ко второму. Надо еще проверить, что пара
(2,3) является решением второго уравнения (в противном случае система
не будет иметь решений). Нетрудно убедиться, что это действительно так.
Ответ: (2,3). -4
x-2y + 3z = 9,
► Задача 5. { х2 + Ay2 + 9z2 = 189,
Zxz — Ay2.
Решение. Пусть а — х -- Zz, Ь = 2у, с — 3xz. Тогда с учетом того, что
х2 + 9z2 — (х + 3z)2 — 6xz = а2 — 2с, система перепишется в виде
С а-Ь = 9, ( 6 = а - 9, [а-Ь = 9,
2с + Ь2 = 189, О  а2 - 2Ь2 + Ь2 = 189, «■ J а2 - (а - 9)2 - 189,
I
с = Ь2
= Ь2 с = Ь2.
Из второго уравнения легко находится, что а = 15. Из первого следует,
что Ь — 6, а из последнего — что с — 36.
Из системы { ^"2'-f^ тривиальным сведением к квадратному уравнению
получаем, что либо х = 3, z = 4, либо ж — 12, z = 1. Из первого уравнения
находим, что в каждом из двух случаев у = 3.
Ответ; (3,3,4), (12,3,1). *
^о е ■ V-l-z-%/2y-z = l,
► Задача о. < ,
1 VT=ly + s/2y - х = 4.

174
Глава 3. Алгебраические системы
Решение. Отметим сразу на всякий случаи, что ОДЗ системы состоит из
таких пар (ж, у), что х ^ —1, у < 1/2, 2у — х > 0.
Пусть /—1 - х = а, ^/2)/ — ж = Е>. Тогда 1 — 2у — а2 - Ь2 + 2 и систему
можно переписать в виде
а ~ Ь — 1,
Va2 - Ь2 + 2 + Ь = 4.
Подставим вместо а выражение Ь + 1 во второе уравнение:
{
V(&+l)2-&2 + 2 + b = 4 *=> 726 + 3 = 4-г>
26 + 3 - (4 - fj)2 ,—
4-Ь>0
Отсюда а — 6 — л/12, и уже легко находятся х — —49 + 12уТ2 и у —
-6 + л/12.
Ответ: (-49+12>/l2,-6 + /12). «
Г (ж + у)(ж2-у2) = 16,
► задача 7. < , „
 (ж-у)(ж2+у2) = 40.
Решение. Левые части уравнений не равны нулю (ибо равны либо 16, либо
40), так что можно поделить первое уравнение на второе. Получим, что
{х + у){х2 -у2) ^ 16 ^ (х + у){х + у){х - у) = 2
(ж — у) (ж2 + у2) 40 (ж —у)(ж2+у2) 5
Последнее уравнение эквивалентно при х Ф у, ж ф —у, х2 + у2 ф 0 уравнению
, , = ? <=> 2ж2 + 2у2 = 5ж2 + Южу + 5у2 «=» За;2 + Южу + Зу2 = 0,
ж^ +2/^ 5
откуда либо у — —Зж, либо у = —ж/3.
Если у = — Зж, то после подстановки в первое уравнение получаем
(ж + (-Зж))(ж2 - (-Зж)2) = 16 *^> 16ж3 = 16 -«=> х = 1.
Значит, в этом случае получается решение (1,-3)
Случай у = —ж/3 рассматривается аналогично и дает (3,-1)
Ответ: (1,-3), (3,-1). «
2 ' у2 - ж - у = 102,
Г я2+у
I жу + ж
► Задача 8
L ху + ж + у = 69
Решение. Здесь хорошо работает стандартная замена: ж + у = а, ху = й.
Тогда ж2 + у2 - а2 — 2Ь и получаем систему
( а2 -2Ь-а = 102, Г а2 - 2(69 - а) - а = 102, Г а2 + а - 240 = 0,
I а + b = 69 ^ I Ь = 69 - а ^  Ь = 69 - а.

Урок 12 [2]. Сложные системы уравнений 175
Из первого уравнения получаем, что либо а — —16 и тогда Ь — 85, либо
а — 15 и Ъ — 54.
Система < j+J^5~16 Решении не имеет, а из 1 **J^415 110лУчаем Дв&
решения: (6,9) и (9,6).
Ответ: (6,9), (9, 6). +
„ { (х2+у2){х + у) = Ъху,
оадача 9
Г (х2 + у'
{ (х4+у4
А){х2+у2) = ЪЬх2у2-
Решение. Если х — 0, то, очевидно, и у = 0. Аналогично из у — 0 следует
ж = 0. Отметим, что (0,0) есть решение нашей системы, и поищем все
остальные решения. Мы только что доказали, что среди них нет нулевых.
Перейдем к следствию нашей системы, возведя первое уравнение в квадрат.
Получим (х2 + у2)2(ж + у)2 - 225х2у2, откуда
(х2 + уУ(х + у)2 _ (х4 + у4)(х2+у2)
225 85
(х2+уУ(х + у)2 = (х* + у*)(х2 + у2)
45 17
После приведения к общему знаменателю получим уравнение
28ж4 - 34z3y - 34zV " 34zy3 + 28у4 = 0.
Мы договорились, что у ф 0, так что можно поделить последнее уравнение
на у4 и обозначить х/у через t. Тогда
28*4 - Ut3 - Ut2 - 34* + 28 = 0.
Здесь тот самый случай, когда уравнение четвертой степени можно решить,
не угадывая корней. Поделим его на t2. Тогда
28(£2+-i)-34(i+-)-34 = 0.
t£ t
Применим подстановку z — t + . Тогда t2 -f ^ — z2 - 2, и получаем
уравнение
14*2 - Пz - 45 = 0 *=> г =-,--.
2' 7
Уравнение t + j = — | решений не имеет, а если t + | = §, то либо t = 2,
либо £ = |.
Вспомнив, что t — х/у, получим, что либо у = 2х, либо у — §. Подставляя
полученные у в первое уравнение (и произведя проверку, необходимую
вследствие неэквивалентности преобразований!), получаем
Ответ: (2,4), (4,2), (0, 0). *

176 Глава 3. Алгебраические системы
I (ж2 + 1)у + {у2 + 1)х = Аху.
Решение. Согласно ОДЗ нашей системы обе переменные не могут
принимать нулевые значения. Поэтому второе уравнение можно поделить на ху.
Тогда „ „
х2 + 1 у2 + 1 л 1 1 ,
— + = 4 <=> х + ~ + у + -=4.
х у _х у
Если теперь положить а- ./х + ^иЬ= wi/+ ^,то наша система примет
вид
 а2 + Ъ2 = 4
Следовательно,
Ь+; = 2
Я опускаю легкое (например, подстановкой) решение последней системы.
Ответ: (1,1). -4
Наш урок окончен. Поставьте себе оценку следующим образом:
- если вы самостоятельно решили ^ 4 задач, то оценка 5;
- если вы решили ^ 3 задач, и поняли все мои решения — 4;
- если сами решили хотя бы одну задачу и поняли ^ 7 решений — 3;
- все остальное — 2.
Даже если у вас двойка, попробуйте решить домашнее задание и
переходите к следующему уроку. Это можно делать, так как тема данного урока
«четверочная».
Домашнее задание
► 1.
► 2.
► 3.
► 4.
( х + у + ху = 7
 х2 + у2 + ху - 13
[ 2х2 + ху - у2 = 20
 х2 - Аху + 7у'г = 13
( Зх2 + Ьху - 2у2 = 20
 х2 + ху + у
2 _
х2 - у2 + Зу = 0
х2 + Zxy + 2у2 + 2х + 4у = 0
( х2 + У2 + z - 2
► 5. < х2+ у + z2 = 2
[ x + y2 + z2 = 2

Урок 12 [2]. Сложные системы уравнений 177
► 7
► 8
2 4- 2yz = 1
► 6. { у2 -2zx = 2
z2 4- 2ху = 1
х2 + у = 2
ж -(- У2 = 2
Г (:с2 + 1)(уа + 1) = 10
 (х+у)(х-у) = 3
ху(х + у) = 20
► 9. < 1_ 1, _ 5
ж у 4
J ж4 4- у4 = 17(ж 4- у)2
{ ху = 2(х + у)
Г ж2 4- 3 = 2ху
 6ж2 - lit/2 = 10
У
► 10.
► 11.
► 12.
► 13.
► 14.
► 16.
► 17.
► 18.
1
" 2
J_
" Tr
f хЛ - у/у = 1
 5ж6-8ж3^У + 2у = 2
Г 2ж 4- у = 2
I 2(у - 1) = х/Юх2 -ху- 2у2
Г 10ж2 4- Ъу2 - 2ху - 38ж - %у 4- 41 = 0
 Зж2 - 2у2 4- Ъху - Пх - 6у 4- 20 = 0
у2 — 4ху 4- 4у — 1 = 0
Зж2 - 2ху - 1 = О
х2у2 -2х + у2 =0
2х2 - Ах 4- 3 4- у3 = О
{

Глава 4
Текстовые задачи
Урок 13
Движение
Решение любой текстовой задачи (не только на движение) складывается
из трех основных моментов:
1) удачного выбора неизвестных;
2) составления уравнений и формализации того, что требуется найти;
3) решения полученной системы уравнений и неравенств.
1) Практически всегда в задачах на движение выбор в качестве
неизвестных величин расстояний и скоростей приводит к успеху. Если вы составили
уравнения, а полученная система не решается, надо попробовать выбрать
другие неизвестные. Ни в коем случае не пугайтесь того, что у вас
слишком много неизвестных. Правильное составление системы превыше всего.
Кроме того, обращайте особое внимание на единицы измерения — они в
течение всего решения должны быть одинаковыми. Если это часы, то
время должно на протяжении всей задачи выражаться в часах, а не в минутах,
не должны в одном решении применяться километры и метры, и т.п.
2) Помните о том, что для превращения высказываний в тексте задачи
в уравнения вашей системы математических знаний вообще не надо
— необходим лишь здравый смысл. Практическое, заземленное мышление
на уровне торговли на базаре гарантирует успех на 100%. Важно
обязательно сформулировать при помощи ваших переменных, что вы обязаны
найти, поскольку переменных может быть больше, чем уравнений, так что
все их найти будет просто невозможно.
3) Решение систем, которые в таких случаях возникают, было
рассмотрено на уроке 11. Отмечу здесь, что нужно все время помнить о том,
что ищется. Кроме того, в текстовых задачах все величины, как правило,

Урок 13. Движение
179
положительны (ибо в природе скорости и расстояния положительны).
Поэтому можно смело умножать, делить и возводить в квадрат получающиеся
уравнения и неравенства, не делая необходимых в таких случаях оговорок.
► Задача 1. Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние
от А до В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер; при
этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если они плывут
против течения, то пароход идет от В до А в два раза быстрее (по
времени, а не по скорости), чем катер. Найти скорости парохода и
катера в стоячей воде.
Решение. Пусть х км/ч — скорость парохода в стоячей воде, у км/ч —
скорость катера в стоячей воде, v км/ч - скорость течения и 5 км —
расстояние от А до В.
Скорость парохода по течению составляет x+v км/ч, катера — y+v км/ч.
Следовательно, путь в S км пароход пройдет за -^— часов, а катер —■ за
-+^ часов. По условию задачи время парохода будет в полтора раза меньше,
чем время катера. Отсюда получаем первое уравнение:
1,5- -§- = -S-
' X + V y+V
Полезно по ходу решения задачи обводить уже готовые уравнения в
рамочку, чтобы легко было их потом собирать в систему.
Далее, тот факт, что катер каждый час отстает от парохода на 8 км
означает просто, что за один час пароход проходит на 8 км больше, чем
катер. Пароход проходит за один час 1- (x + v) км, а катер — 1 ■ (y + v) км.
Отсюда получаем второе уравнение: x+v=y+v+8
При ходе против течения скорость парохода есть х — v км/ч, а катера —
y — v км/ч. Следовательно, пароход пройдет от А до В за -^- ч, а катер
— за -^ ч- По условию задачи время парохода в два раза меньше времени
катера, т.е.
s _ s
x — v y — v
Мы имеем систему
1 5- -£- = -2-
' x + v y+v'1
х + v — у + v + 8,
2 • -^- — s
x — v y — v,
из которой надо найти ж и у.
Сократив первое и третье уравнения на S > 0 и упростив второе,
получим систему
2(^) = Л+Z^ ( 3y + 3v = 2x + 2v,
х = у + 8, <=^ } х -. у + 8,
^ = J^Z [2y-2v = x- v.

180
Глава 4- Текстовые задачи
Последняя эквивалентность имеет место ввиду положительности всех
переменных. Из получившейся линейной системы легко находим, что х = 20,
у = 12.
Ответ: Скорость парохода — 20 км/ч, скорость катера — 12 км/ч. 4
*■ Задача 2. Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый
турист каждый километр пути проходит на 5 мин быстрее второго.
Первый, пройдя 1/5 часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 мин, снова
пошел в В. При этом в В оба туриста пришли одновременно. Каково
расстояние от А до В, если второй турист прошел его за 2,5 часов?
Решение. Пусть х км/ч — скорость 1-го туриста, у км/ч — скорость 2-го,
S км —■■ расстояние от А до В.
Первый турист проходит 1 км за - часов, второй — за - часов. По
условию второй турист тратит на прохождение 1 км пути на ^ часа больше,
чем первый. Отсюда имеем первое уравнение: ^ + ^ =  . Вы не
написали случайно 5 вместо 1/12?
- Далее, первый турист прошел 1/5 часть пути за '-£- ч, вернулся в А за
-£- ч, т.к. прошел ту же самую 1/5 часть пути в обратном направлении.
После этого он пробыл в Л 1/6 часа и за - часов пришел в В. Всего он
потратил §f + | + f часов.
Второй турист шел в В S/y часов. По условию они пришли одновременно.
Значит, имеем второе уравнение:
2S
I JL S _ S
Тот факт, что второй турист прошел путь за 2,5 часа, дает третье
уравнение:
^ = 2,5
у
Имеем систему
I + -L = I
М _l 1 4- S. = §.
ax ' б х у '
- =2,5,
из которой надо найти S.
Заменим в первом уравнении - на 2,5. Тогда, приведя подобные члены,
получим, что
7 S 1 _ 5 £ _ 5
5 ' х + 6 ~ 2 "^ х ~ 3'

Урок 13. Движение
181
Умножим первое уравнение на 5:
- + -- = - <^> - н = - <=> S = 10.
х 12 у 3 12 2
Ответ: расстояние между А и В равно 10 км. *
► Задача 3. Пассажир, едущий из А в В, одну половину затраченного на
путь времени ехал на автобусе, а вторую — на автомашине. Если бы
он ехал от А до В только на автобусе, то это заняло бы в полтора
раза больше времени. Во сколько раз быстрее проходит путь от А до В
машина, чем автобус?
Решение. Пусть х км/ч — скорость автобуса, у км/ч — скорость
автомобиля, 5 км — расстояние от Л до В.
Пусть t часов — затраченное на путь время. Согласно условию t/2 ч
пассажир ехал на автобусе и столько же — на автомобиле. Значит, он
проехал всего х-1 + у • | км, причем это расстояние равно 5. Следовательно,
t t n 25
х- - +у ■ - = 5 <*=> t = .
2 у 2 х+у
В автобусе пассажир проехал весь путь за — часов. Учитывая условие
задачи,составляем уравнение
из
которого
надо
найти вели
1,5-
чину
25
х + у
S/x
Sly ~
=
и.
х'
5
У
Сокращая на 5 и упрощая, получаем х = 2у
Ответ: в два раза быстрее. 4
У. - I
х — 2'
► Задача 4. Из А в В против течения выехала моторная лодка. В пути
сломался мотор, и пока его чинили (20 мин), лодку снесло вниз по реке.
Насколько позднее прибыла лодка в В, если обычно из А в В она идет в
полтора раза дольше, чем из В в А?
Решение. Пусть х км/ч — скорость лодки в стоячей воде, у км/ч —
скорость течения, 5 км — расстояние от Л до В, и Н — время, прошедшее
от выезда из А до поломки мотора.

182
Глава 4- Текстовые задачи
Здесь полезно нарисовать картинку
Точкой С обозначено место, где сломался мотор, D — точка окончания
ремонта. Стрелками обозначено направление движения лодки.
Расстояние АС равно (х — y)t km, CD — ^у км (ибо лодка шла вниз со
скоростью у км/ч в течение | часа.)
Значит, / ,
DB = S-(x-y)t--y
и мы можем подсчитать время, затраченное лодкой на весь путь. Оно
складывается из времени t до поломки, 1/3 часа ремонта и езды после
поломки в течение ~^- часов. Следовательно, на весь путь лодка затратила
х у
г 1 S-{x-y)t+y
t- 1 - — часов.
3 x-y
Опоздание лодки равно разности между затраченным временем и
временем, за которое бы она проехала путь без поломки, т.е. равно
t+l + S-(x-y)t+y S
'6 х — у х — у
часов.
Именно эту сложную величину нам и надо найти. Она на самом деле не
так страшна, как кажется на первый взгляд, — после приведения к общему
знаменателю останется величина
х _ х
х-у З(ж-у)'
которую мы сейчас и отыщем.
Из Л в В лодка идет -^— часов, а обратно — ■£- часов. По условию
1 5.-^- = -^- <=> _LiL = _L_ *=* х = 5
х + у х-у х + У х-у
откуда находим, что искомое опоздание равно 3iJ_y = 3{bJ-v) = rk ч'
Ответ: лодка прибыла позднее на 25 минут, м
► Задача 5. Из А в В навстречу друг другу выехали одновременно два
автобуса. Первый, имел вдвое большую скорость, проехал весь путь на
1 час быстрее 2-го. На сколько минут раньше произошла бы их встреча,
если бы скорость 2-го увеличилась до скорости 1-го?

Урок 13. Движение
183
Решение. Пусть 5 км — расстояние от Л до В и ж км/ч — скорость второго
автобуса. Тогда скорость первого равна по условию 2х км/ч. Первый
автобус проезжает путь за ^ часов, а второй — за ~ часов. По условию
s тт„ „ „ й ,., s
X
имеем
— 1=-
2х х'
откуда легко находится, что S/x — 2.
Если t — время, прошедшее до встречи автобусов, то за это время они
прошли вместе 5 км. Значит,
откуда t = £.
2х ■ t + х ■ t — 5,
Аналогично рассуждая, найдем, что время до встречи, прошедшее после
того, как второй увеличил свою скорость до 2х км/ч, равно ^ часов.
Следовательно, их встреча произошла бы в этом случае на
J?_J?-J_ 5 _ 1
Zx Ах ~ 12 ' х ~ 6
часа раньше.
Ответ: встреча автобусов произошла бы раньше на 10 мин. •<
► Задача 6. Два туриста вышли из А и В одновременно навстречу друг
другу. Они встретились в 4 км от В. Достигнув А и В, туристы сразу
повернули обратно и встретились в 2 км от А. Вторая встреча
произошла через час после первой. Найти скорости туристов и расстояние от,
А до В.
Решение. Пусть, как всегда, S км ■— расстояние от А до В, х км/ч ■■-■■■
скорость первого туриста, у км/ч — скорость второго туриста.
Запишем в виде уравнения тот факт, что они встретились в 4 км от В.
Если t час — время, прошедшее до их первой встречи, то, поскольку они за
это время вместе прошли ровно S км, имеем xt + yt = S, откуда t = —г-.
Ясно, что за это время второй турист прошел 4 км, т.е.
J>1L = 4
х+у
В задаче сказано, что туристы оба достигли пунктов назначения, т.е.
не было так, что один догнал другого, еще не успевшего дойти до цели.
Следовательно, первый турист (т.е. шедший из А) сперва достиг В, пройдя
4 км, а потом прошел 5 — 2 км до второй встречи. Второй турист прошел
сперва 5—4 км до А, а потом 2 км до второй встречи. Времена, затраченные
ими на ходьбу между встречами, равны 1 час для каждого из них. Отсюда
получаем еще два уравнения:
-2±А _ j
■S-4+2 _ l
У

184
Глава 4- Текстовые задачи
Имеем систему
JbL - 4
х+у ^'
S--2+4 _ -I
S-4+2 _ т
—г~ - х>
из которой надо найти х, у и S.
Из второго и третьего уравнений заключаем, что S=y+2=x— 2 =>
х — у + 4. Подставляем 5 и ж в первое уравнение:
(у + 2)у =4 ^ у2_бу_16 = 0 ^ у = 8
У + 4 + у
Значит, л; — 12 и 5 = 10.
Ответ: расстояние от А до В равно 10 км, скорость первого туриста равна
12 км/ч, а второго — 8 км/ч. -4
*■ Задача 7 [3]. Из А в С в 9 часов утра отправляется скорый поезд. В
то же время из В, расположенного между А и С, выходят два
пассажирских поезда, первый из которых идет в А, а второй — в С. Скорости
пассажирских поездов равны. Скорый встречает первый пассажирский не
позже, чем через три часа после отправления, потом приходит в пункт
В не ранее Ц часов того же дня и, наконец, прибывает в С одновременно
со 2-м пассажирским через 12 часов после встречи с 1-м пассажирским.
Найти время прибытия в А первого пассажирского поезда.
Решение. Пусть 5 км — расстояние от А до В, Т км — расстояние от В
до С, у км/ч — скорость пассажирского поезда и х км/ч — скорого.
Встреча скорого и первого пассажирского поездов произошла через -^—
часов, а в пункт В скорый прибыл через - часов. Значит, имеют место два
неравенства: с с
-^^3 и -5*5.
х + у х
Из того, что скорый прибыл в С одновременно со вторым пассажирским
следует, что _ _, „
^ ' S + T _Т
х у'
До встречи с первым пассажирским поездом скорый проехал х • -^^ км,
а через двенадцать часов 12ж км, что составило остаток пути от А до С.
Значит, имеем еще одно уравнение:
-^ + 12z = S + T.
х + у

Урок 13. Движение
185
Из последних двух уравнений можно исключить Т и выразить S через
х и у: _ Qx2 -Qy2
tJ — .
У
Подставим S в первое неравенство:
6х-6у 3
< 3 <(=*> х < -у.
л У 2
А теперь — во второе:
Qx2 — Qv2 3
—— ^ 5 & 6х'2 - Ъху - 6у'г ^ 0 «■ (За: + 2у){2х - Зу) ^ О О х ^ -у.
Следовательно, х — |у.
Нам надо найти время прибытия в А первого пассажирского поезда. Он
прибыл в А через - = х 2 v — 6^5- — 6 — 7,5 часов. Вспомнив, что он
S _ 6з*-6у- _ qx^
у у2 у'
отправился в 9 часов утра, получаем
Ответ: первый пассажирский поезд прибыл в А в 16 час. 30 мин. +
Урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.
Домашнее задание
1. Переднее колесо повозки на некотором пути сделало на 1000 оборотов
больше заднего. Если бы длина окружности переднего колеса была в
полтора раза больше, то на том же пути оно сделало бы на 200 оборотов
больше заднего колеса. Чему равны длины окружностей колес, если
известно, что длина окружности заднего колеса на 1,5 м больше длины
окружности переднего колеса?
2. Два тела движутся по окружности равномерно и в одну сторону. Первое
тело проходит окружность на 2 сек быстрее второго и догоняет второе
тело каждые 12 сек. За какое время каждое тело проходит окружность?
3. Для того, чтобы из пункта А попасть в пункт В, нужно часть пути от
пункта А до пункта С проехать на поезде, а остальные 15 км от С до В
— на автобусе. Вся поездка от А до В занимает 1 час 15 мин, причем
автобус отправлятся сразу после прихода поезда, а временем, которое
поезд и автобус тратят на остановки, можно пренебречь. По ошибке
пассажир сошел с поезда на остановку раньше, прошел осташийся путь
до С длиной 5 км пешком со скоростью 4 км/ч, а затем еще 20 мин
ждал автобуса и в результате попал в пункт В на 1 час 30 мин позже
намеченного срока. Найти расстоние от А до С, если известно, что
скорость поезда вдвое больше скорости автобуса.
4 [2]. Колонна мотоциклистов с интервалом между соседними машинами
50 м движется со скоростью 15 км/ч. В противоположном направлении
вдоль колонны (от первой машины) едет велосипедист. Поравнявшись с

186
Глава 4- Текстовые задачи
45-м мотоциклистом, он увеличивает свою скорость на 10 км/ч,
доезжает до последнего мотоциклиста, поворачивает и с той же увеличенной
скоростью догоняет первую машину. Если бы велосипедист все время (с
самого начала) двигался с этой увеличенной скоростью, то он вернулся
бы к голове колонны на 15/8 мин раньше.
Найти первоначальную скорость велосипедиста (длины велосипеда,
мотоцикла и время поворота велосипедиста не учитываются).
► 5. Пункт А находится на реке выше пункта В. В одно и то же время из
пункта А отплыли вниз плот и первая моторная лодка, а из пункта В
вверх — вторая моторная лодка. Через некоторое время лодки
встретились в пункте С, а плот за это время проплыл третью часть АС.
Если бы первая лодка без остановки доплыла до пункта В, то плот
за это время прибыл бы в пункт С. Если бы из пункта А в пункт В
отплыла вторая лодка, а из пункта В в пункт А — первая лодка, то они
встретились бы в 40 км от пункта А.
Какова скорость обеих лодок в стоячей воде, а также расстояние
между пунктами А и В, если скорость течения равна 3 км/ч?
► 6. Из города А в город В через равные промежутки времени и с равной
скоростью выезжает 21 автобус, каждый из которых проходит путь АВ
за 2 час 40 мин. При этом первый автобус прибывает в город В в тот
момент, когда из города А выезжает 21-й автобус. Прибыв в город В,
каждый автобус мгновенно разворачивается и движется к городу А.
Из города, А одновременно с 21-м автобусом выезжает в город В
легковая машина, которая через t мин обгоняет 20-й автобус. Найти t и
время, за которое легковая машина преодолевает расстояние АВ, если,
встретив 1-й автобус, она встречает второй автобус через t — 9 мин.
Примечание. Автобусы занумерованы в том порядке, в каком они
выезжают из города А.
► 7. Города А и В расположены на берегу реки, причем город В лежит ниже
по течению. В 9 час утра из Л в В отправляется плот, плывущий
относительно берегов со скоростью течения реки. В этот же момент
из В в А отправляется лодка, которая встречается с плотом через 5 час.
Доплыв до города А, лодка мгновенно повернула обратно и приплыла
в город В одновременно с плотом. Успели ли лодка и плот прибыть в
город В к 9 час вечера того же дня?
► 8 [3]. Два бегуна стартовали раздельно в одной точке стадиона в беге на 25
кругов, причем второй начал движение, когда первый прошел полкруга.
Один из зрителей вышел со стадиона, когда бегуны были рядом. Когда
через 13 мин он вернулся, бегуны снова были рядом. Если бы первый
бегун после третьего круга увеличил скорость в 2 раза, а второй бегун
после десятого круга — в три раза, то оба бегуна финишировали бы
одновременно. Определить, с какой разницей во времени финишировали

Урок 13. Движение
187
бегуны, если закончивший бег вторым пробегал за минуту менее круга.
► 9 [2]. Из пукта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через два часа
из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин — мотоциклист.
Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без
остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что
все трое к этому моменту преодолели одинаковую часть пути от А до
В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист,
если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
► 10. Два автобуса выезжают одновременно навстречу друг другу из
пунктов А и В и встречаются в 12 часов дня. Если скорость первого
автобуса увеличить в два раза, а скорость второго оставить прежней,
то встреча произойдет на 56 мин раньше. Если же увеличить в два
раза скорость второго автобуса, оставив прежней скорость первого,
то встреча произойдет на 65 мин раньше. Определить время встречи,
если увеличены вдвое скорости обоих автобусов.
*• 11. Из пункта А в пункт В автомобиль доехал за 5 часов, двигаясь в
пределах населенных пунктов со скоростью 60 км/ч, а по шоссе вне
населенных пунктов — со скоростью 80 км/ч. Обратный путь из В
в А занял 4 часа 36 минут. При этом в пределах населенных пунктов
автомобиль двигался со скоростью 50 км/ч, а по шоссе — 90 км/ч.
Каково расстояние между пунктами А и В?
► 12 [2]. Путь из А в В проходит первые 80 км по шоссе, а оставшиеся
120 км — по грунтовой дороге. Первую часть пути автобус проезжает
на 2 часа быстрее, чем вторую.
Автобус совершил более четырех рейсов по маршруту из Л в В и
обратно. На это, включая стоянки в конечных пунктах, ушло менее
одной недели (т.е. менее 168 часов). За время, которое он провел при
этом в движении, автобус мог бы проехать 2100 км, если бы
двигался со скоростью, равной средней арифметической между скоростями
движения по шоссе и грунтовой дороге. Найти скорости движения
автобуса по шоссе и по грунтовой дороге.
► 13 [2]. В море с прямолинейным берегом впадают две реки с одинаковой
скоростью течения. Посередине между их устьями расположен город
А, на первой реке находится пункт В, а на второй реке — пункт С.
Расстояние вдоль реки от В до устья этой реки равно расстоянию
от А до устья реки, а расстояние от С до устья реки составляет 3/4
расстояния от А до устья реки. Из города А одновременно выходят
две лодки: первая идет в В (вдоль берега моря и по реке), а вторая
идет в С ( также вдоль берега моря и по реке). Дойдя до пунктов В и
С, лодки сразу поворачивают назад и идут соответственно в пункты
С и В. Известно, что общее время, в течение которого первая лодка
на пути из Л в В, а потом в С шла по морю, относится ко времени, в

188
Глава 4- Текстовые задачи
течение которого она шла по рекам как 45:47. Для второй лодки это
отношение равно 16:17. Какая из лодок первая пришла в свой конечный
пункт — первая лодка в С или вторая в В?
► 14 [3]. Путь из села в город идет сначала по грунтовой дороге, а затем
по шоссе. Из села в город в 7 часов утра выехал автомобилист, и
одновременно с ним из города в село выехал мотоциклист.
Мотоциклист двигался по шоссе быстрее, чем по грунтовой дороге в 1| раза,
а автомобилист — в l| раза (движение обоих по шоссе и по
грунтовой дороге считать равномерным). Они встретились в 9 ч 15 мин,
автомобилист приехал в город в 11 часов, а мотоциклист приехал в
село в 12 ч 15 мин. Определить, сможет ли автомобилист приехать в
город до 11 ч 15 мин, если он весь путь из села в город будет ехать с
первоначальной скоростью.
► 15. Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий
из Л в В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24
часа. Весь путь от А до В и обратно моторная лодка проходит не
менее, чем за 10 часов. Если бы собственная скорость (т.е. скорость
в стоячей воде) моторной лодки увеличилась на 40%, то путь от А
до В и обратно занял бы у лодки не более 7 часов. Найти время, за
которое моторная лодка проходит путь от А до В в случае, когда ее
собственная скорость не увеличена.
► 16. Две реки с прямолинейными руслами и одинаковой скоростью течения
впадают в одном и том же месте в озеро, образуя между собой угол в
60°. От двух причалов, расположенных на разных реках и отстоящих
друг от друга на расстоянии 28 км, одновременно вышли байдарка и
лодка, скорости которых в стоячей воде соответственно равны 10 км/ч
и 3 км/ч. Байдарка достигла озера через 2 часа, лодка через 4 часа.
Найти скорость течения рек.
► 17 [2]. Автобус проходит путь АЕ, состоящий из отрезков АВ, ВС, CD,
DE длиной 10 км, 5 км, 5 км и б км соответственно. При этом
согласно расписанию, выезжая из пункта А в 9 часов, он проходит
пункт В в 9| часа, пункт С — в 9| часа, пункт D — в 9| часа.
С какой постоянной скоростью v должен двигаться автобус, чтобы
сумма абсолютных величин отклонений от расписания прохождения
пунктов B,C,D и времени движения автобуса от А до Е при скорости
v не превосходила 51,7 минут?
► 18 [2]. Согласно расписанию пароход проходит по реке, скорость течения
которой 6 км/ч, путь из А в D длиной 18 км за 1 час. При этом, выходя
из пункта Л в 10 часов, он прибывает в пункты В я С, отстоящие от А
на расстоянии 14 км и 17 км соответственно, в 10 часов 12 минут и в 10
часов 18 минут. Известно, что если бы пароход двигался из А в D без
остановок с постоянной скоростью v (относительно воды), то сумма

Урок Ц. Работа
189
абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты
B,C,D не превышала бы уменьшенного на полчаса времени,
необходимого пароходу для прохождения б км со скоростью v в стоячей воде.
Какой из пунктов А или D находится выше по течению?
► 19 [2]. В полночь из пункта А в пункт В по течению реки отправился
катер, а из В в Л в тот же момент вышла лодка. Лодка была в пути
не менее суток. Катер, дойдя до пункта В, сразу повернул назад и
возвратился в пункт А не позднее 10 часов 48 минут того же дня.
Первая встреча катера и лодки состоялась в 4 часа утра. Найти,
когда катер прибыл в пункт В, если его скорость в стоячей воде втрое
больше скорости лодки в стоячей воде.
► 20. Из пункта А в пункт В выходит поезд. В момент прибытия этого
поезда в В оттуда выходит другой поезд, который следует в А. Время,
которое прошло от выхода первого поезда из А до прибытия туда
второго поезда, в 4| раза превышает время, которое затратили бы
поезда до момента встречи, если бы они вышли одновременно из Л и
В навстречу друг другу. Скорости обоих поездов постоянны, причем
скорость второго поезда на 20 км/ч превышает скорость первого
поезда. Чему равна скорость каждого поезда?
► 21. Из пункта А в пункт В выезжает автомобиль и одновременно из
В в А с меньшей скоростью выезжает мотоцикл. Через некоторое
время они встречаются, и в этот момент из В в А выезжает второй
мотоцикл, который встречается с автомобилем в точке, отстоящей
от точки встречи автомобиля с первым мотоциклом на расстоянии,
равном 2/9 пути от Л до В. Если бы скорость автомобиля была на
20 км/ч меньше, то расстояние между точками встречи равнялось бы
72 км и первая встреча произошла бы через три часа после выезда
автомобиля из пункта А. Найти длину пути от Л до В (скорости
мотоциклов одинаковы).
Урок 14
Работа
В задачах на работу за неизвестные, как правило, надо принимать
производительность - - ее роль такова же, как роль скорости в задачах на
движение. Главное, как и в задачах на движение, — здравый смысл и
полное ваше понимание того, что вы делаете. К примеру, если вы пишете, что
х — производительность станка, вы должны уметь расшифровать, что это

190
Глава 4- Текстовые задачи
значит — число деталей в минуту, или в час, или в день, и т.д. Бывают
такие задачи, в которых вообще не сказано, какая работа выполняется. В
таком случае удобней ввести самим единицу работы, равную всей работе.
Тогда производительность есть часть всей работы, выполненная за единицу
времени. Следите за тем, чтобы единицы времени были одни и те же на
протяжении всей задачи.
Задачи на трубы, из которых что-то льется, есть также задачи на
работу. Здесь производительность трубы ■— это объем жидкости, протекающей
через нее за единицу времени.
Среди задач на работу бывают такие, где решающую роль играют
данные, являющиеся целыми числами. Тут уже никаких рецептов дать нельзя.
Чаще всего используется делимость и тот факт, что если тип — целые
числа со свойством т, — п < 1, то m — п. Помните, что текстовые задачи,
где нужно использовать свойства целых чисел, всегда являются сложными,
и их надо решать в последнюю очередь. Вы поймете, что в задаче важны
целые числа, после того, как составите систему уравнений и увидите, что
просто так найти из нее неизвестные невозможно.
*• Задача 1. В бассейн проведены три трубы. Первая и вторая вместе
наполняют его на 5 ч SO мин быстрее, чем первая и третья вместе.
Если бы вторая наливала, а третья выливала воду из бассейна, то он
наполнился бы на 21/16 часа быстрее, чем бассейн вдвое большего объема
первой и второй трубами вмест,е. За сколько времени первая и вторая
труба наполнят бассейн, если первая и третья наполняют, его дольше 8
часов?
Решение. Пусть V л — объем бассейна, х л/ч льет первая труба, у л/ч
—вторая и z л/ч — третья.
Первая и вторая трубы вместе льют х+у л/ч и, следовательно, наполняют
бассейн за ^— часов. Аналогично первая и третья трубы наполняют
бассейн за -— часов. Условие о том, что первая и третья наполняют
бассейн на 5^ часа дольше, чем первая и вторая, дает первое уравнение:
Г~Т 16 F~
х + у о х + z

Урок 14- Работа
191
Если вторая труба наливает, а третья выливает воду, то за один час
z литров. Значит, бассейн наполнится за ~— часов.
2V
воды наливается у
Бассейн объема 2V литров наполнится первой и второй трубами за i£r-
часов. Значит, имеем второе уравнение:
V
У
21 _ 2V
z 16 х + у
Учитывая последнее условие задачи, имеем систему
-¥- +
х+у
V ,
V ^
16 _
3
21 _
16 "
Q
_ V
X + Z '■
- ЗУ
х+у'
из которой надо найти —-.
х+у "■' i+z
^з^ — j^, и наша система принимает вид
ПУСТЬ ^ = «,
Тогда i
£±^ - £±£ - lt=£ откуда
V V — v ' и1КУДс1
а + Щ = Ь,
аЬ , 21
Ь-а "1" 16
Ь>8.
= 2а,
Если мы подставим Ь из первого уравнения во второе, получим уравнение,
сводящееся к квадратному относительно а. Решая его, получим, что либо
а — 3, либо а = |. При этом а — | не подходит, так как в этом случае
6=|-Ь^ = ^<8, что противоречит последнему неравенству системы.
Ответ: за три часа, м
► Задача 2. Резервуар снабжается водой по плти трубам. Первая
наполняет его за 40 мин, вторая, третья и четвертая вместе — за 10 мин,
вторая, третья и пятая — за 20 минут, пятая и четвертая — за 30 мин.
За какое время его наполнят все пять труб вместе?
Решение. Пусть V л — объем резервуара, х л/мин льет первая труба,
у л/мин — вторая, z л/мин ■— третья, t л/мин — четвертая и w л/мин
--- пятая.
По условию задачи имеем
40ж = V,
Щу + z + t)=V,
20(y + z + w) = V,
W{t + w) =V

192
Глава 4- Текстовые задачи
(первое уравнение этой системы говорит, что первая труба наполняет
резервуар за 40 минут, вторая, третья и четвертая — за 10 минут, и т.д.).
Нужно найти величину x4_JlAVz+t+w- Для этого перепишем нашу систему
в виде
x+y+z+t+w" ^
<
( х- Z-
•ь 40'
y + z + t= ^,
y + z + w = ^
, ,t + w = ^
и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов (см. урок 11) для
нахождения величины x + y + z + t + w:
x + y + z + t + w = ax + /3(y + z + t) -f -у(у 4- z + w) + S(t + w) =
= ax + (0 + i)y + W + l)z + W + ty +b + S)w,
откуда a — 1, /? = 7 = 5— |и
x + y + z + t + w = x+~{y + z + t) + 7-(y + z + w) + -(t + w) =
£i 2i £
_ v v_ v_ у_- Lv
~ 40 + 20 + 40 + 60 ~ 60 '
OTK№ x+y/z+t+w = T-
Ответ: за 60/7 минут, м
► Задача 3. Несколько рабочих выполняют работу за Ц дней. Если бы их
было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час дольше, то
та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6
человек больше и каждый бы работал еще на 1 час в день больше, то эта
работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих и сколько часов
в день они работали?
Решение. Пусть w — число рабочих, х — число часов их работы в день.
Введем единицу работы равную всей работе и пусть у —
производительность (в час) каждого рабочего.
Тогда один рабочий за х часов (т.е. в день) выполняет ху единиц работы,
a w рабочих за 14 дней выполнят 14wxy единиц работы. Согласно условию
Awxy = 11.
Аналогично если рабочих стало w + 4 и они работают каждый день х + 1
час, то 10(w + 4)(х + 1)у = 1

Урок Ц. Работа
193
Для случал, когда рабочих еще на 6 больше (т.е. w + 10) и они работают
еще на час дольше (т.е. х + 2 часа) каждый день, получаем уравнение
7(w + 10)(a; + 2)y = l
{
Из системы {■ , л
lAwxy = 1,
10(ш+4)(яг + 1)у = 1,
7{w + 10)(x + 2)y = 1
надо найти w и х.
Приравняв правые части первого и второго, а также первого и третьего
уравнений и упростив, получим систему
wx = 10х + 20 4- 2гу,
2wx = 20эг + 20 + 5ш.
Если вычесть из второго уравнения удвоенное первое, то х исчезнет и
найдем, что w — 20. Отсюда легко получается, что х — 6.
Ответ: всего было 20 рабочих; они работали 6 часов в день. -4
► Задача 4. Три бригады, работая вместе, должны выполнить некоторую
работу. Первая и вторая бригады вместе могут выполнить ее на 36 мин
быстрее, чем одна третья. За то время, за которое могут выполнить
эту работу первая и третья бригады, вторая может выполнить половину
работы. За то время, что работу выполнят вторая и третья бригады,
первая выполнит 2/7 работы. За какое время все три бригады выполнит
эту работу?
Решение. Введем единицу работы, равную всей работе. Пусть х часть
работы, которую может выплнить за 1 час первая бригада, у — вторая
и z — третья.
Производительность первой и второй бригад, работающих вместе, равна
х + у. Значит, они выполнят всю работу за ^— часов. Одна третья бригада
выполнит работу за - часов. По условию имеем уравнение
1 3 _ 1
х + у 5 z
Если мы приравняем время выполнения всей работы первой и третьей
бригадами и время выполнения половины работы второй бригадой, получим
уравнение ..
х + z 2у
Если мы приравняем время, за которое' всю работу выполнят вторая и
третья бригады к времени выполнения 2/7 от всей работы первой бригадой,
получим последнее уравнение
1 _ _2_
у + z 7х'

194
Глава 4- Текстовые задачи
Второе и третье уравнения эквивалентным образом можно переписать в
виде
Г 2у = x + z, ( у = 1,5ж,
{2y + 2z = 7x I z = 2х.
Подставляя у и z в первое уравнение, найдем, что х = ^, у = , z = |.
Следовательно, х + у + z = |. Теперь легко найти величину 1/(ж + у + г),
которую требуется отыскать по условию задачи.
Ответ: все три бригады выполнят эту работу за | часа, или, что то же
самое, за 1 час 20 минут. -*
► Задача 5 [2]. На фабрике несколько одинаковых поточных линий вместе
выпускали в день 15000 банок консервов. После реконструкции все
поточные линии заменили на более производительные, а их количество
увеличилось на 5. Фабрика стала выпускать 33792 банки в <?ень. Сколько вначале
было линий?
Решение. Пусть т — первоначальное количество поточных линий, к банок
в день — производительность старой линии, I банок в день —
производительность новой линии.
По условию задачи имеем следующую систему уравнений:
' тк = 15000,
< (т +5)2 = 33792,
J> к,
из которой надо найти т.
Ясно, что не учитывая того, что по смыслу задачи все неизвестные есть
натуральные числа, найти т невозможно, вернее, таких т будет бесконечно
много.
Разложим правые части на множители: 15000 = 23-54-3, 33792 = 210 -3-11.
Ясно, что искомое т есть один из делителей числа 15000, т.е. само может
делиться лишь на 2, 3 и 5. Заметим сперва, что т не делится на 5, так как
в противном случае т + 5 тоже делится на 5 и, тем самым, число 33792,
которое делится на т + 5, делилось бы на 5, что неверно. Ну а делители
числа 15000, не делящиеся на 5, уже легко исследовать перебором. Это
числа 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24.
Пусть т = 1. Тогда к = 15000, т + 5 = 6, I = 33792 : 6 = 5632 < fc —
противоречие.
Пусть т = 2. Тогда т + 5 = 7, но 33792 не делится на 7 — противоречие.
Пусть т = 4. Тогда т + 5 — 9, но 33792 не делится на 9 — противоречие.
Пусть т — 8. Тогда т + 5 = 13, но 33792 не делится на 13 —
противоречие.
Пусть т = 3. Тогда т + 5 = 8, к = 5000, I = 33792 : 8 = 4224 < к ~
противоречие.

Урок Vh Работа
195
Пусть т = 6. Тогда fc = 2500, т + 5 = 11, I = 33792 : 11 = 3072 > к —
годится.
Пусть т - 12. Тогда т + 5 = 17, но 33792 не делится на 17 —
противоречие.
Пусть т = 24. Тогда т + 5 = 29, но 33792 не делится на 29 —
противоречие.
Итак, мы перебрали все возможные случаи и подходит только т — 6.
Ответ: вначале было б поточных линий, м
► Задача 6. Автоматическая линия выпускает за 600 операций три
партии шин для легковых автомобилей и 11 партий шин для грузовых
автомобилей. Если бы эта автоматическая линия изготовляла только
шины для грузовых автомобилей и изготовила столько партий таких шин,
сколько операций она тратит на изготовление партии шин для легковых
автомобилей, то этой линии потребовалось бы не менее 2727 операций.
Сколько операций требуется ей для изготовлеиия одной партии шин для
грузовых автомобилей?
Решение. Пусть линия тратит х операций на изготовление одной партии
шин для легковых автомобилей и у операций для изготовления одной партии
шин для грузовых автомобилей.
На три партии легковых шин требуется Зж операций, а на 11 партий
грузовых шин --■- Ну операций. По условию имеем Зж + Ну — 600.
Если нужно изготовить х партий грузовых шин, то потребуется ху
операций. По условию ху ^ 2727.
Из системы
Г Заг+lly = 600,
 ху J? 2727
требуется найти у.
Это опять-таки невозможно, если не принять во внимание, что хну —
натуральные числа.
Из первого уравнения х = 200 — Ц-у. Подставим х во второе неравенство.
Получим
11 (
200у - -V ^ 2727 Ф=^ 11у2 - бООу + 8181 ^0 <(=> 27 ^ у < 27 —
О 1.1
. Значит, у — 27.
Ответ: 27 операций. +
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.

196
Глава 4- Текстовые задачи
Домашнее задание
*■ 1. Совхоз располагает тракторами четырех марок: А, Б, В и Г. Бригада
из четырех тракторов (двух тракторов марки Б и по одному марок В
и Г) производит вспашку поля за два дня. Бригада из двух тракторов
марки А и одного трактора марки В тратит на эту работу три дня, а
три трактора марок А, Б и В — четыре дня. За какое время выполнит
работу бригада, составленная из четырех тракторов различных марок?
*• 2. Бак водокачки наполняется водой с помощью нескольких насосов.
Сначала включили три насоса одинаковой производительности; через 2,5
часа после начала их работы подключили еще два насоса другой, но
также одинаковой производительности. В результате через 1 час после
подключения насосов воды в баке до полного объема не хватало 15 м3,
а еще через час бак был полон. Один из двух насосов, подключенных во
вторую очередь, мог бы наполнить бак за 40 часов. Найти объем бака.
► 3. Емкость бака А на 900 л меньше емкости бака В. Первый насос
подключают к пустому баку А, и он начинает наполнять бак водой. Когда
бак наполнится наполовину, включают второй насос, который
выкачивает воду из бака. В результате бак А оказывается полным через 40
минут после включения первого насоса. Затем то же самое
проделывают с баком В (к пустому баку В подключают первый насос и после
того, как он наполнит бак наполовину, включают второй насос), и бак
В оказывается наполненным через 52 минуты после того, как к нему
подключили первый насос. Найти емкость бака А и производительность
каждого из насосов, если известно, что один второй насос выкачивает
всю воду из полного бака А за 30 минут.
► 4. Первая и вторая бригада одновременно начали выполнять некоторую
работу. Более чем через час после начала работы первую бригаду
сменила третья, которая вместе со второй работала до завершения всей
работы. На выполнение работы ушло 5,5 часов. Первая бригада за все
время, пока она работала, сделала столько, сколько третья делает за час.
Если бы первая бригада проработала на 6 часов больше, чем это было
на самом деле, она сделала бы столько же, сколько было сделано второй
бригадой. Если бы три бригады все время работали вместе, работа была
бы выполнена в полтора раза быстрее, чем в действительности. Сколько
времени работала первая бригада?
*■ 5. Насос наполнял бак водой с постоянной производит&чьностью. После
того как бак был наполнен, первый насос отключили, и второй насос
стал выкачивать из него воду также с постоянной производительностью.

Урок Ц. Работа
197
Время, прошедшее с начала работы первого насоса до момента, когда
второй насос полностью опорожнил бак, в 4^ раза превышает время,
которое потребовалось бы этим насосам, чтобы наполнить бак, если бы
они оба накачивали его с той же производительностью, что и ранее.
Суммарная производительность насосов составляет 35 л/мин, причем
производительность второго выше производительности первого. Найти
производительность каждого насоса.
► 6. Для вспашки трех совершенно одинаковых полей выделены три трактора
различной производительности. Каждое поле вспахивается одним
трактором. Первый трактор начал работу на 1/2 часа раньше второго, а
третий — на 1/3 часа позже второго. Вспашка полей велась
тракторами равномерно и без остановок. Через некоторое время после начала
работы третьего трактора оказалось, что к этому моменту каждый из
тракторов выполнил одинаковую часть запланированной работы. Через
сколько минут после завершения работы второго трактора закончил
работу первый, если третий выполнил всю работу на 12 минут раньше, чем
второй?
► 7. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это же поле
первая и вторая бригады вместе вспахивают за 6 дней, а первая и третья
вместе — за 8 дней. Во сколько раз больше площадь, вспахиваемая за
день второй бригадой, по сравнению с площадью, вспахиваемой за день
третьей бригадой?
► 8. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая
бригада работала на полчаса дольше первой. Если бы в первой бригаде
было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2
часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если
производительность у всех одинакова.
► 9 [2]. За время t первый рабочий сделал на 3 детали больше второго.
Затем второй рабочий увеличил производительность труда на 0,2 детали
в минуту и через некоторое целое число минут догнал и обогнал первого,
работавшего с постоянной производительностью, на 2 детали. Найти
наибольшее возможное время t.
► 10 [2]. Четыре цеха изготавливают детали прессованием. В двух из них
установлены прессы нового типа, а в двух — старого. Всего прессов
каждого типа имеется не менее 5. Количество прессов во всех цехах
одинаково. Изготовление 400 деталей на новом прессе занимает на 3
часа меньше времени, чем 420 деталей на старом.
На новых прессах изготовили по 200 деталей, на старых - по 300.
Если сложить время работы всех прессов, то окажется, что за
получившееся суммарное время цех, оборудованный тремя новыми и
двумя старыми прессами, работающими одновременно, может изготовить
17640 деталей.

198
Глава 4- Текстовые задачи
Найти производительность каждого пресса.
► 11. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья бригады
обработали древесины в два раза больше, чем вторая, а вторая и третья
— в три раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом
соревновании?
► 12 [2]. Три машины производят некоторую работу. Если эту работу будет
выполнять одна первая, то она окончит ее на а дней позже, чем при
работе всех машин вместе. Если же эту работу будет выпонять вторая,
то она окончит ее на b дней позже, чем все три вместе, а если третья, то
ей потребуется в с раз больше времени, чем всем машинам вместе. За
сколько дней выполняет работу каждая из них в отдельности? Какие
числовые значения может принимать с?
► 13. Каждый из рабочих должен был изготовить 36 одинаковых деталей.
Первый рабочий приступил к выполнению своего задания на 4 минуты
позже второго, но 1/3 задания они выполнили одновременно.
Полностью выполнив свое задание, первый рабочий после двухминутного
перерыва снова приступил к работе и к моменту выполнения задания
вторым рабочим изготовил еще две детали. Сколько деталей в час
изготавливал каждый рабочий?
► 14. Мастер, работая месте с учеником, помог выполнить часть задания,
а затем прекратил свою работу. Оставшуюся часть задания ученик
закончил один. В результате время, затраченное на выполнение
задания, оказалось в три раза меньше времени, необходимого ученику для
выполнения этого задания им одним. Во сколько раз мастер затратил
бы больше времени, выполняя один все задание по сравнению с тем
временем, которое он затратил на помощь ученику?
► 15. В бассейн проведены три трубы. Первая наливает 30 м3 в час. Вторая
труба наливает в час на 2d м3 меньше, чем первая (0 < d < 15), а третья
труба наливает в час на lid м3 больше, чем первая. Сначала первая
и вторая трубы, работая вместе, наливают 2/11 бассейна, а затем все
три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 9/11. При каком
значении d бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
► 16. Двое рабочих вместе выполняют за час 3/4 всей работы. Если первый
рабочий выполнит 1/4 всей работы, а второй, сменив его, выполнит
1/2 всей работы, то вместе они проработвают 2,5 часа. За сколько
часов каждый рабочий может выполнить всю работу, если за 1 час
работы первого рабочего и за 0,5 часа работы второго рабочего будет
выполнено больше половины работы?

Урок 15. Смеси
199
Урок 15
Смеси
В задачах на смеси, растворы и сплавы в качестве неизвестных удобно
выбирать либо весь вес (или объем) вещества, которое нас интересует
в смеси, либо его концентрацию, т.е. вес (или объем) данного вещества
в единице веса (или объема) смеси. Требования к здравому смыслу при
решении этих задач особенно высоки. Если вы исследуете смесь, держите в
памяти две ее характеристики: общее количество данного вещества в смеси
и количество данного вещества в 1 кг (или 1 л) смеси. Приведу пример
простейшего рассуждения, часто возникающего в задачах на смеси.
Пример. Пусть 17 литров раствора содержат 6 литров спирта. Сколько
спирта содержится в 9 литрах раствора?
Решение. В 17 литрах раствора — 6 литров спирта. Следовательно, в
1 литре раствора — ^ литров спирта. Значит, в 9 литрах раствора —
^ ' г7 ~ if литРа спирта.
Опыт показывает, что школьники не очень хорошо владеют процентами.
Поэтому советую вам избегать работы с ними. От процентов вещества в
данной смеси всегда можно перейти либо к его абсолютному количеству,
либо к концентрации.
*■ Задача 1. Два одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из первого сосуда
отлили р литров спирта и налили в него столько же воды. Затем из
полученной смеси воды со спиртом отлили р литров и налили столько
же литров воды. Из второго сосуда отлили 2р литров спирта и налили
столько же воды. Затем из полученной смеси отлили 1р литров и налили
столько же воды. Определить, какую часть объема сосуда составляют р
литров, если крепость окончательной смеси в первом сосуде в 25/16 раза
больше крепости окончательной смеси во втором.
Решение. Пусть V л — объем каждого из сосудов. Запротоколируем
утечку спирта из первого сосуда на каждом из этапов.
1) Было V литров спирта, отлили р л — осталось V — р литров спирта в V
литрах раствора (не забудьте, что чтобы скрыть кражу, вместо отлитого
спирта долили столько же воды!).
2) Было V — р л спирта в У л раствора. Отлили снова р литров, но
уже не спирта, а раствора. Мы должны выяснить, сколько чистого спирта

200
Глава 4- Текстовые задачи
украли во второй раз. Для этого надо вычислить, сколько литров спирта
содержится в р литрах раствора.
В V л раствора — V — р л спирта.
В 1 л раствора у^ л спирта.
V—D
В р л раствора —- р ■ —^ л спирта.
Итак, на втором этапе «ушло» р- —^- л спирта. Значит, в сосуде осталось
V — р — р ■ -у£ л спирта.
Поскольку операции со вторым сосудом были идентичны операциям с
первым с заменой р на 2р, можно утверждать, что после двух отливаний в
сосуде осталось V — 2р — 2р ■ ^ р л спирта.
Крепость смеси есть просто концентрация спирта в ней, т.е. отношение
объема спирта в смеси к объему всей смеси. Отсюда получаем уравнение
из которого надо найти ^. Сократим на р* слева и справа и вынесем за
скобки слева V — р, а справа V — 2р:
25 Ъ
{V-pf = — {V-2р)2 4=Ф V-p=-(V-2p) <=> V = 6p.
Значит, -^ = |.
Ответ: ^ ■*
+ Задача 2. Из двух жидкостей, удельный вес которых 2 г/см3 и 3 г/см3
соответственно, составлена смесь. При этом 4 см3 смеси весят в 10
раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см3 смеси весят столько же,
сколько вся вторая жидкость, входящая в эту смесь. Сколько граммов
взято каждой жидкости и каков удельный вес смеси?
Решение. Пусть взято х г первой жидкости и у г второй. Тогда их смесь
весит х + у граммов. Объем смеси складывается из объема, который
занимают х г первой жидкости и у г второй.
Объем двух граммов первой жидкости — 1 см3 (по определению
удельного веса);

Урок 15. Смеси
201
Объем одного грамма первой жидкости — 1/2 см3;
Объем х граммов первой жидкости — х '  см3 ■
Аналогично у г второй жидкости занимают объем |.
Следовательно, вся смесь занимает объем § + § см3.
Найдем, сколько весят 4 см3 смеси:
| + | см3 смеси весят х + у г;
1 см3 смеси весит w%+L3 г;
4 см3 смеси весят 4 • Д"!""/? г;
х/2+у/З '
50 см3 смеси весят 50 • ■-Д"1"У/~ г.
Теперь мы уже можем написать оба уравнения нашей системы:
х + у х
х/2 + у/З 10'
ж/2+у/3
Решение ее не представляет труда — надо поделить первое уравнение на
второе (т.е. левую часть на левую, а правую — на правую). Получим, что
х — |у. Подставив это х в любое из уравнений, найдем, что х — Щ^,
= 1250
У 11 ■
Наконец, вспомним, что удельный вес смеси есть вес 1 см3 смеси, а эта
величина у нас уже вычислена и равна ^д-^ц/з г-
Ответ: Ш> г, Ш> Г} Щ. г/смз.
► Задача 3 [2]. Имеются три смеси, составленные из трех элементов А,
В, С. В первую смесь входят только А и В в весовом отношении 3:5, во
вторую — только В и С в весовом отношении 1:2, а в третью — только
А и С в отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси,
чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В, С были в отношении
3:5:2?
Решение. Напомню вам на всякий случай, что означает «в таком-то весовом
отношении». Например, если есть Р граммов смеси, куда вещества А и В
входят в отношении 3:5, это означает, что если в смеси а г вещества А и
b г вещества В, тоа + Ь = Ри| = |.

202
Глава 4- Текстовые задачи
Аналогично если есть Q граммов смеси, куда вещества А, В, С входят в
отношении 3:5:2, и а, Ь, с есть их соответственные веса, то a + b + c = Qn
а — з ь _ 5
Ь 5' с 2'
Пусть нужно взять х г первой смеси, у г второй и z г третьей.
Пусть а г — количество вещества А в х г первой смеси, a, i» г —
количество вещества В в тех же х граммах. По условию задачи имеем
а + Ь = х и а/Ь — 3/5, откуда а — |ж, Ь = §ж.
Аналогичным образом найдем, что в у граммах второй смеси
присутствуют у/3 граммов вещества В и |у граммов вещества С. И, наконец, в z
граммах третьей смеси присутствуют ~z граммов вещества Ak^z граммов
вещества С.
Всего вещества А в полученной смеси из трех смесей будет |з; Ч z
граммов.
Вещества В там же будет |ж -1- у граммов, а вещества С — ~у + |z
граммов.
Запишем тот факт, что вещества А, В, С относятся как 3:5:2.
' lx + 'iz = 3
|х +у 5'
Эта система эквивалентна линейной, так что из нее легко находится, что
у = 2z,x — Щ-z. Отсюда х : у — Щ- : 2, у : z = 2 : 1, так что наше отношение
можно записать в виде Щ- : 2 : 1, или, что то же самое, 20:6:3.
Ответ: эти смеси надо взять в отношении 20:6:3. +
► Задача 4. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит
25% цинка, второй — 50% меди. Процентное содержание олова в первом
сплаве в два раза больше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг
второго, получили сплав, где 28% олова. Сколько кг меди в этом новом
сплаве?
Решение. Пусть в одном килограмме первого сплава х кг олова. По условию
в этом же килограмме первого сплава 25% цинка, т.е. 0,25 кг цинка. Все,
что в этом килограмме осталось кроме цинка и олова, — это медь. Ее будет
1 - 0,25 - х = 0, 75 - х кг.

Урок 15. Смеси
203
В одном килограмме второго сплава 0,5 кг меди. По условию процентное
содержание олова во втором сплаве в два раза меньше, чем в первом.
Значит, и в одном килограмме второго сплава олова в два раза меньше,
чем в одном килограмме первого, т.е. ^х кг-
Следовательно, в 200 кг первого сплава олова будет 200ж, а в 300 кг
второго сплава — 300 ■ § = 150ж кг. Тем самым, после того, как сплавили
зти 200 кг первого и 300 кг второго сплава, олова в итоговом сплаве будет
200ж + 150ж — 350а; кг. В условии сказано, что в 500 кг итогового сплава
имеется 28% олова. Это составляет 140 кг.
Значит, 350ж — 140 >=> х — 0,4. Поэтому в одном кг первого сплава
меди будет 0,75 — х = 0,75 — 0,4 = 0,35 кг. Отсюда получаем, что в
итоговом сплаве меди будет 200 • 0,35 4- 300 • 0, 5 — 220 кг.
Ответ: 220 кг. -4
► Задача 5. В лаборатории есть раствор соли четырех различных
концентраций. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом
отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. Второй, третий и
четвертый растворы в равной пропорции дают при смешении 24%-иый
раствор, и, наконец, раствор, составленный из равных частей первого
и третьего, имеет концентрацию 10%. Какал концентрахщя будет при
смешении второго и четвертого растворов в пропорции 2:1"
Решение. Пусть в 1 кг
первого раствора содержится х кг соли;
второго раствора — у кг соли;
третьего раствора — z кг соли;
четвертого раствора — t кг соли.
В условии говорится, что если мы смешаем 3 кг первого раствора, 2 кг
второго и 1 кг третьего, то в получившихся 6 кг раствора будет 0,15 ■ 6 =
0,9 кг соли. Но в трех кг первого раствора имеется Зх кг соли, в двух кг
второго раствора ее 2у кг и в одном кг третьего — z кг. Отсюда получаем
первое уравнение:
Зх + 2у + z = 0,9.
Совершенно так же рассуждая, получим, что y + z + t = 0, 72 и x + z = 0, 2.
Из найденных трех уравнений с применением метода неопределенных
коэффициентов (см. урок 11) найдем, что
1 3
2y + t= -(3x + 2y + z) + (y + z + t)--{x + z) =0,5-0,9 + 0,72-1, 5-0,2 = 0, 87.
Значит, если смешать 2кг второго раствора и 1 кг четвертого, то в
получившихся 3 кг смеси будет 0,87 кг соли, что составляет 29%, что и
требовалось найти.
Ответ: 29%. *

204
Глава 4- Текстовые задачи
► Задача 6. Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70% серебра.
Второй весит 3 кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава
надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить г%-ный сплав
серебра? При каких г задача имеет решение?
Решение. В первом сплаве 2,8 кг серебра. Пусть надо взять х кг второго
сплава, чтобы, сплавив его со всем первым сплавом, получить такой сплав,
как требуется. Весь сплав будет весить х + 4 кг. Серебра в нем будет
2,8 + 0,9х кг. По условию „ „ „„
ж + 4 ~ 100'
Аг — ОЯП
откуда легко находим, что х = в0_г .
Задача имеет решение тогда и только тогда, когда 0 ^ х ^ 3 (только
в таких пределах можно что-либо взять из куска весом в 3 кг). Эти
неравенства решаются просто. Они равносильны 70 ^ г ^ 80.
Ответ: х — %q^° ■ Задача имеет решение при 70 < г ^ 80. <
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартно.
Домашнее задание
► 1. От двух однородных кусков сплава с различным процентным
содержанием меди, весящих соответственно тип кг, отрезано по куску равного
веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого
куска, после чего процентное содержание меди в получившихся сплавах
стаю одинаковым.
Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
► 2 [3]. В сосуд с чистой водой налили 6 литров 64%-ного (по объему)
раствора спирта, а затем после полного перемешивания вылили равное
количество (т.е. 6 литров) получившегося раствора. Сколько воды было
первоначально в сосуде, если после троекратного повторения эти
операции в сосуде получился 37%-ный раствор спирта?
► 3. В баке находится 100 литров смеси кислоты с водой. Из бака отлили
часть смеси и добавили равное по объему количество воды, которое
на 10 литров превышает первоначальное количество кислоты в смеси.
Затем снова отлили такое же количество смеси, как в первый раз, в
результате чего количество кислоты в баке уменьшилось в четыре раза
по сравнению с количеством ее в исходной смеси. Определить количество
воды в исходной смеси.
► 4 [3]. В двух различных емкостях содержались смеси воды и песка, причем
в первой емкости было 1000 кг смеси, а во второй — 1960 кг. В обе
емкости добавили воды. При этом процентное содержание песка в смесях

Урок 15. Смеси
205
уменьшилось в к раз в первой емкости ив J раз во второй. О числах к и
/ известно только, что Ы = 9 — к. Найти наименьшее количество воды,
которое могло быть долито в обе емкости вместе.
► 5. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие — 20%. Сколько сухих
фруктов получится из 20 кг Свежих фруктов?
► 6. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота
в первом слитке в два с половиной раза больше, чем процентное
содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то
получится слиток, в котором будет 40% золота. Найти, во сколько раз
первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавке равных
по весу частей первого и второго слитков получается сплав, в котором
35% золота.
► 7. Имеются два раствора серной кислоты в воде, первый — 40%-ный,
второй — 60%-ный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг
чистой воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой
воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получился бы 70%-ный
раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов?
► 8. Сплавляя два одинаковых по весу куска чугуна с разным содержанием
хрома, получили сплав, в котором 12 кг хрома. Если бы первый кусок
был в два раза тяжелее, то в сплаве содержалось бы 16 кг хрома.
Известно, что содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором.
Найти процентное содержание хрома в каждом из кусков.
► 9. Для приготовления смеси из двух жидкостей Атл В было взято 16 литров
жидкости А и разлито в два сосуда объемом по 16 литров каждый.
Затем первый сосуд был долит доверху жидкостью В и произведено
перемешивание. Полученной смесью был дополнен доверху второй сосуд.
Если отлить из второго сосуда в первый 8 литров получившейся смеси, то
в первом сосуде будет жидкости А на три литра больше, чем во втором.
Сколько всего использовано жидкости В для приготовления смеси?
*• 10. Имеются два бака. Первый наполнен чистым глицерином, второй —
водой. Взяли два трехлитровых ковша, зачерпнули первым полным
ковшом глицерин из первого бака, а вторым полным ковшом
зачерпнули воду из второго бака. После этого содержимое первого ковша
влили во второй бак, а содержимое второго ковша — в первый. После
перемешивания эту процедуру повторили. В результате половину
объема первого бака занял чистый глицерин. Найти объемы баков, если
известно, что их суммарный объем в 10 раз больше объема первого
бака.
► 11. Имеются два сплава, состоящих из цинка, меди и олова. Первый сплав
содержит 40% олова, второй — 26% меди. Процентное содержание
цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого
сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось

206
Глава 4- Текстовые задачи
30% цинка. Сколько кг олова в новом сплаве?
► 12 [2]. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15%
меди и 25% магния; второй — 30% меди и 70% магния; третий —
45% алюминия и 55% магния. Из них необходимо приготовить новый
сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее
процентное содержание алюминия может быть в этом новом сплаве?
► 13. Имеются два раствора одной и той же соли в воде. Для получения
смеси, содержащей 10 г соли и 90 г воды, берут первого раствора по
весу вдвое больше, чем второго. Через неделю из каждого килограмма
первого и второго растворов испарилось по 200 г воды, и для
полумения такой же смеси, как и раньше, требуется первого раствора уже
вчетверо больше по весу, чем второго. Сколько г соли содержалось
первоначально в 100 г каждого раствора?
► 14. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый весит 3 кг и
содержит 40% меди, второй весит 7 кг и содержит 30% меди. Какого
веса нужно взять куски этих слитков, чтобы после их переплавки
получить 8 кг сплава, содержащего г% меди? При каких г задача
имеет решение?
► 15. Имеются три слитка золота с серебром. Известно, что количество
золота в 2 г сплава из третьего слитка то же самое, что во взятых
вместе 1 г сплава из первого слитка и 1 г сплава из второго слитка.
Вес третьего слитка равен суммарному весу части первого слитка,
содержащей 10 г золота и части второго слитка, содержащей 80 г
золота. Третий слиток в четыре раза тяжелее первого и содержит
75 г золота. Сколько золота содержит первый слиток?
► 16 [2]. Даны две смеси, состоящие из одних и тех же веществ А, Б,
В, но взятых в различных весовых соотношениях. В первой смеси
вещества А в два раза меньше, чем вещества Б, и в три раза меньше,
чем вещества В. Во второй смеси вещества Б в три раза меньше, чем
вещества А, и в два раза меньше, чем вещества В. Сколько следует
взять каждой смеси и сколько добавить вещества Б, чтобы получить
7 кг новой смеси, в которой вещества А в три раза меньше, чем
вещества Бив два раза меньше, чем вещества В?
► 17. Есть два слитка — сплавы цинка с медью. Вес первого — 2 кг,
второго — 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с
медью, в котором цинка было 45%, и получили сплав, в котором цинка
стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке
было равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное
содержание цинка во втором было такое же, как в первом (т.е. их
процентные содержания поменялись), то сплавив эти два слитка с
5 кг сплава, в котором содержится 60% цинка, получили бы сплав, в
котором цинка содержится 55%. Найти процентное содержание цинка

Урок 16 [3]. Оптимальный выбор и целые числа 207
в первом и во втором слитках.
► 18. В пустой резервуар по двум трубам одновременно начинают
поступать чистая вода и раствор кислоты постоянной концентрации. После
наполнения резервуара в нем получился 5% раствор кислоты. Если бы
в тот момент, когда резервуар был наполнен наполовину, подачу
воды прекратили, то после наполнения резервуара получили бы 10%-ный
раствор кислоты. Определить, какая труба и во сколько раз подает
раствор быстрее.
► 19. Две трубы, работая вместе, подают в бак 100 литров жидкости в
минуту. Имеются два раствора кислоты — - сильный и слабый. Если смешать
по 10 литров каждого раствора и 20 л воды, то получится 40 литров
20%-ного раствора. Йвестно также, что если в течение часа
подавать в первоначально пустой бак по первой трубе слабый раствор, а
по второй — сильный, то получится 30%-ный раствор кислоты. Какой
концентрации (в процентах) получится кислота, если в течение часа
первоначально подавать в пустой бак по первой трубе сильный, а по
второй трубе — слабый растворы? (Считать, что при смешивании
воды и кислоты объем не меняется).
Урок 16 [3]
[экономическиефакультеты университетов]
Оптимальный выбор и целые числа
С задачами на целые числа мы уже встречались на предыдущем уроке.
Отмечу здесь некоторые свойства целых чисел, которые часто
применяются. Поступающие, как правило, знают их интуитивно, на уровне «все
понимаю, но сам ничего сказать не могу». Видимо, вам будет достаточно
запомнить, как формулируются эти свойства, для того, чтобы вы смогли их
впоследствии применять. В вашей вступительной работе вы можете
пользоваться всеми приводимыми ниже свойствами без доказательства. Однако
вам полезно знать, что доказательства некоторых из них (например, 4 и 5)
настолько сложны, что недоступны подавляющему большинству
школьников.
1. Натуральное число п делится на (натуральное) число к, если и только
если найдется такое натуральное I, что п = kl. В частности, число
п четно, если и только если п = 21 для некоторого натурального I, n
делится на 3, если и только если п ~ 3/ для некоторого натурального I,
и т.д.

208
Глава 4- Текстовые задачи
2. Натуральное число п нечетно, если найдется натуральное I такое, что
п — 21 + 1. Число п дает при делении на к остаток г, если и только
если найдется такое натуральное I, что п = Ik + г. В частности, число
дает при делении на 3 остаток 1, если оно есть 31 + 1 для некоторого
натурального I, оно дает при делении на 4 остаток 3, если оно есть 41 + 3
для некоторого /, и т.д.
3. Если aQ,ai,.. .ап — цифры (т.е. числа вида 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9),
то тот факт, что число записывается цифрами anan-i .. . oiOo (порядок
именно такой, как у меня, а черта наверху ставится, чтобы отличить это
число от произведения), означает, что это число равно ап ■ 10" + «n-i '
10n-1 + ... + ai-10 + ao.
Например, число, состоящее из цифр ж и у, равно 10х + у, а число,
состоящее из цифр х, у, z, равно 100ж + 10у + z.
4. Любое натуральное число единственным образом (с точностью до
перестановок) разлагается на простые множители.
5. Если ху делится на z и х взаимно просто с г, то у делится на z. Например,
если 7х делится на 3, то и ж делится на 3.
Как решать задачи на оптимальный выбор, подробно пояснено на
примерах задач 1-3.
► Задача 1. Есть 2000 рублей на путевки в дома отдыха. Путевки есть на
15, 21 и 45 дней. Стоимость их 21 руб., 40 руб. и 60 руб. соответственно.
Сколько и каких путевок надо купить, чтобы истратить все деньги и
сделать число дней отдыха наибольшим?
Решение. Пусть надо купить х путевок первого типа, у путевок второго
типа и z путевок третьего типа.
По условию 21:r + 40y + 60z — 2000. Это единственное уравнение, которое
мы можем составить. Кроме того, мы знаем, что х, у, z — натуральные
числа и выражение 15ж + 27у + 45z (равное общему числу дней отдыха)
максимально.
Для того, чтобы справиться с этой задачей, выясним, какой тип путевок
самый выгодный, т.е. где один рубль дает наибольшее число дней отдыха.
По путевкам первого типа 1 рубль дает |у дней отдыха, по путевкам
второго типа — |д, а по путевкам третьего типа -- || дней отдыха.
Сравнивая эти три дроби, выясняем, что путевки третьего типа самые
выгодные, т.е. третья дробь больше каждой из остальных. Теперь мы
имеем возможность получать ограничения на ж и у. Делается это так: на
420 рублей можно купить либо 20 путевок первого типа, либо 7 путевок
третьего типа. При этом число дней отдыха будет соответственно 300 и
315. Значит, при оптимальном выборе ж, у, z будет выполнено неравенство
х < 20. Действительно, если х > 20, то можно вместо двадцати путевок
первого типа купить 7 путевок третьего. Тогда потраченная сумма будет

Урок 16 [3]. Оптимальный выбор и целые числа 209
такая же, а число дней отдыха увеличится, т.е. выбор таких х, у, г, что
х ^ 20, не оптимален.
Далее, на 120 рублей можно купить три путевки второго типа или две
путевки третьего типа. При этом число дней отдыха будет соответственно
81 и 90. Рассуждая так же, как в предыдущем абзаце, заключаем, что у < 3.
Перепишем первое уравнение в виде 21ж = 2000 - 40у - 60z = 10(200 —
4у — 6z). Отсюда видно, что 21ж делится на 10 и, следовательно, х тоже
делится на 10. Значит, х равно либо 0, либо 10, а у — одно из чисел 0, 1, 2.
Теперь перебор уже не представляет труда. Пусть х = 0. Тогда 40у 4-
60г = 2000 «=*■ 2y + 3z = 100.
Если у = 0, то Зг — 100, чего быть не может. Если у — 1, то Zz —
100 — 2 = 98 и опять решений нет. Если у — 2, то z — 32.
Пусть х = 10. Тогда 40у + 60z = 2000 - 210 <*=> Ay 4- 6z = 179.
Последнее уравнение целых решений не имеет, так как слева стоит четное
(равное 2 ■ {2у 4- Zz)) число, а справа — нечетное. Впрочем, можно было бы
в этом убедиться и перебором.
Значит, единственная возможность, которая у нас осталась, —■ это х =
0,y = 2,z = 32.
Кстати, если бы получились другие наборы чисел для ж, у, z, то
пришлось бы подсчитывать общее число дней отдыха для каждого и выбирать
тот набор, где оно максимаьно.
Ответ: нужно купить две путевки второго типа и 32 третьего. -4
► Задача 2. Завод должен переслать 1100 деталей в ящиках. Ящик
первого типа вмещает 70 деталей, ящик второго типа — J^0 деталей, ящик
третъео типа — 25 деталей. Стоимость пересылки одного ящика
первого типа составляет 20 рублей, второго типа — 10 рублей, третьего
типа — 7 рублей. Недогрузка ящиков не допускается. Как переслать все
детали, чтобы сумма, в которую это обойдется, была наименьшей?
Решение. Пусть оптимальный способ пересылки деталей требует х ящиков
первого типа, у ящиков второго типа иг — третьего типа.
Тот факт, что все детали мы переслали в ящиках без недогрузки, дает
уравнение 70а; 4- 40у 4- 25z = 1100. Кроме того, выражение 20ж 4 Юу + 7z
должно быть минимальным.
Найдем, какой тип ящиков самый выгодный. Пересылка одной детали
в ящике первого типа стоит | рубля, в ящике второго типа — ^ рубля,
и в ящике третьего типа — ^ рубля. Отсюда видно, что ящики второго
типа — самые выгодные, т.к. пересылка одной детали в них стоит дешевле
всего.
Докажем, что х < 4. Действительно, если х ^ 4, то имеется не менее
280 деталей, отправленных в ящиках первого типа. Если мы те же 280
деталей отправим в семи ящиках второго типа, то на это будет потрачено

210
Глава 4- Текстовые задачи
70 руб., тогда как отправка их в четырех ящиках первого типа стоит 80
руб. Значит, выбор x,y,z, для которых х ^ 4, не оптимален.
Точно так же (рассматривая отправку 200 деталей) можно доказать, что
z < 8. Кроме того, z четно, ибо 25z = 1100 - 70а: - 40у = 2(550 - 35ж - 20у).
Следовательно, z может равняться одному из чисел 0, 2, 4, 6. Произведем
необходимый перебор.
Пусть z = 0. Тогда 70ж + 40у = 1100 <=^ 7х + 4у = ПО. Ясно, что
х должно быть четным, т.е. х — 0,2. При этом х — 0 не годится, т.к.
уравнение 4у = 110 не имеет решений, а для х — 2 существует у = 24.
Стоимость пересылки здесь — 280 рублей.
Пусть z = 2. Тогда 70ж + 40у = 1100 - 50 -Ф=Ф 7х + 4у = 105. Здесь
уже а; не может быть четным, так как в противном случае левая часть была
бы четна, в отличие от правой. Если х = 1, то 4у — 98 — нет решений.
Если х — 3, то годится у — 21. Оплата за пересылку в этом случае составит
60 + 210+14 = 284 рубля. Значит, пока еще претендентом на оптимальность
остается тройка (2, 24, 0).
Пусть z = 4. Тогда 70ж + 40у = 1100 - 100 <=>■ 1х + 4у = 100. Отсюда
заключаем, что х делится на 4, т.к. 7х — 4(25 — у). Значит, х = 0, у — 25.
Стоимость пересылки в этом случае составит 250 + 28 = 278 рублей и, тем
самым, теперь тройка (0,25,4) есть претендент на оптимальность.
Наконец, пусть z - 6. Тогда 70ж + Щ - 1100 - 150 - 950 Ф=> 7х + 4у -
95. Здесь опять ж обязан быть нечетным. При х — 1 имеем у = 22,
а стоимость пересылки составит 20 + 220 + 42 — 282 — эта тройка не
конкурент. При х — 3 имеем Ау — 74 —■ нет решений.
Все возможные случаи разобраны.
Ответ: надо взять 25 ящиков второго типа и 4 ящика третьего типа. <
*■ Задача 3. Нужно перевезти по железной дороге 20 больших и 250 малых
контейнеров. Один вагон вмещает 30 малых контейнеров, вес каждого
из которых составляет 2 тонны. Большой контейнер занимает место
9 малых и весит 30 тонн. Грузоподъемность вагона — 80 тонн. Найти
минимальное число вагонов^ необходимое для перевозки всех контейнеров.
Решение. Разберемся сначала, как можно загрузить вагон. Ясно, что по
весу уже три больших контейнера не войдут в вагон, поскольку вместе весят
90 тонн. Значит, есть три типа загрузки вагона: нуль больших контейнеров
и ^ 30 малых, один большой контейнер и < 21 малых (по весу вошло бы
25 малых контейнеров, но в вагоне всего 30 мест и 9 из них уже занято
большим контейнером), два больших контейнера и ^ 10 малых.
Пусть загружено х вагонов по первому типу, у по второму и z по
третьему. Тот факт, что перевезены 20 больших и 250 малых контейнеров,
означает, что

Урок 16 [3]. Оптимальный выбор и целые числа 211
Г у + 2z > 20,
 ЗОх- + 21у + 10^ ^ 250.
Умножив первое неравенство на 9 и сложив со вторым, получим, что
30ж + 30у+-282 ^ 430 ^ Щх+y + z) ^ 430 + 22 ^ 430 =* ж+y + z ^ —- = 14-.
oU о
Из того, что х + у + z целое число, следует, что х + у + z > 15. Мы
доказали, что число вагонов не может быть меньше 15. Но мы это делали
наугад. А вдруг можно доказать, что это число не меньше 20, а мы просто
не догадались, как это сделать? Здесь уже нужно повозиться, подыскивая
хороший конкретный способ транспортировки. Легко проверить, что х =
2, у — 6, z = 7 годятся и дают в сумме ровно 15. Ввиду того, что доказано,
что х 4- у + 2 > 15, получаем
Ответ: 15 вагонов. 4
► Задача 4. Группу людей попытались построить в колонну по 8 человек в
ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту 'лее группу людей
перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды были полными, а число их увеличилось
на 2. Если бы их построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на
7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько всего было людей?
Решение. Пусть всего было т человек и их первоначально построили в к
рядов по 8 человек в ряду. Значит, к — 1 рядов были полны, а к не полны.
Отсюда получаем, что 8(fc — 1) < т < 8&. Все т человек составляют по
условию к + 2 ряда по 7 человек в ряду. Следовательно, 7(к + 2) — т. И,
наконец, если бы рядов стало еще на 7 больше (т.е. к 4- 9) и в каждом было
по 5 человек, то к + 8 рядов были бы полны, а к + 9 не полны. Отсюда
получаем последнее неравенство: 5(fc + 8) < т < 5(fc + 9).
Подставим т, выраженное через к, в первое неравенство (вернее, даже
в правую его часть). Получим 7к + 14 < 8к <=> к > 14. Точно так же
подставим т в правую часть последнего неравенства: 7к+14 < Ък + 45 <==?•
2к< 31 ^> к < 15,5.
Итак, 14 < к < 15,5. Вспоминая, что к — натуральное число, заключаем,
что fc — 15, т — 119.
Ответ: 119 человек. <
*■ Задача 5. Искомое число больше 400 и меньше 500. Найти его, если сумма
его цифр равна 9 и оно равно 47/36 числа, записанного теми ж.е цифрами,
но в обратном порядке.
Решение. Все числа, лежащие между числами 400 и 500, начинаются с
цифры 4. Пусть х и у — следующие две цифры искомого числа. Тогда,
по условию о сумме его цифр имеем х + у + 4 = 9 ■£=£■ х + у — 5. Искомое

212
Глава 4- Текстовые задачи
число равно 400 + 10а; ■+- у. Число с теми же цифрами в обратном порядке
равно 100у + 10z + 4. Согласно условию имеем
47
400 + Юх + у = —(100*/ + 10s + 4) Ф=> 5х + 212у = 646.
36
Решение системы < 5x+2i2i7=646 не вызывает никаких трудностей: х =
2, у = 3.
Ответ:, это число равно 423. <
► Задача 6. Если искомое двузначное число увеличить на 46, то получится
число, произведение цифр которого равно 6. Сумма его цифр равна Ц-
Найти все такие числа.
Решение. Пусть число состоит из цифр хну. Тогда по условию х +
у = 14. Из этого равенства следует, что обе цифры не меньше 5, ибо в
противном случае одна из них была бы больше 9, чего не бывает. Значит,
искомое число (которое, кстати, равно 10х + у) не может быть меньше 55.
Последнее означает, что после прибавления числа 46 результат будет более
ста, т.е. у соответствующего числа будет три цифры, первая из которых
— 1. Произведение оставшихся двух цифр равно 6. Для этого есть 4
возможности: 1-6, 2-3, 3-2, 6 1.
Числа 116 и 161 не годятся, т.к. 161 — 46 > 100 и 116 — 46 — 70 ■■■■ сумма
цифр не равна 14, а 132 = 86 4- 46 и 123 = 77 + 46 подходят.
Ответ: 77 и 86. м
► Задача 7. В коробке находятся 13 красных и 17 белых шаров.
Разрешается проводить в любом порядке и любом количестве следующие операции:
а) увеличить на 2 число красных шаров и одновременно уменьшить на 1
число белых;
б) увеличить на 1 число красных шаров и одновременно увеличить на 2
число белых;
в) уменьшить на 2 число красных шаров и одновременно увеличить на 1
число белых;
г) уменьшить на 1 число красных шаров и одновременно уменьшить на 2
число белых.
Можно ли, совершая такие действия, добиться, чтобы в ящике было 31
красных шаров и 43 белых шара?
Решение. Каждая из указанных операций представляет собой прибавление
положительных или отрицательных чисел к уже имеющимся двум числам.
Следовательно, эти операции перестановочны, т.е. если мы изменим
порядок их выполнения, на результат это не повлияет.

Урок 16 [3]. Оптимальный выбор и целые числа 213
Предположим, что после применения р операций a), q операций б), г
операций в) и s операций г) мы получили 37 красных и 43 белых шара.
Тогда
/ 13 + 2p + g-2r-s = 37, Г 2(p-r) + (g-a) = 24, fp-r = f,
I 17-p + 2q + r-2s = 43 { -(p - r) + 2(g - s) = 26 **  ?-«= ™,
— противоречие с тем, что р, q, г, s — целые числа.
Ответ: невозможно, л
Урок окончен. Оценивается он стандартным образом, при этом задача 1
не учитывается — она представляет собой практически объяснение нового
материала.
Домашнее задание
► 1. На 100 рублей решено купить елочных игрушек. Они продаюся
наборами. Набор из 20 игрушек стоит 4 рубля, набор из 35 игрушек стоит 6
рублей и набор из 50 игрушек стоит 9 рублей. Сколько и каких наборов
нужно купить, чтобы было куплено наибольшее число игрушек?
► 2. На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить не более 1
руб. 40 коп. Тетрадь в клетку стоит 3 коп. тетрадь в линейку — 2 коп.
При закупке число тетрадей в клетку не должно отличаться от числа
тетрадей в линейку более, чем на 9. Необходимо закупить максимально
возможное суммарное количество тетрадей, причем из всех вариантов,
дающих это максимально возможное количество, надо найти такой, при
котором число тетрадей в линейку минимально. Сколько тетрадей в
клетку и сколько в линейку можно закупить при указанных условиях?
►■ 3. С завода на стройку нужно перевезти 24 больших и 510 маленьких
бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется автомашинами, каждая из
которых вмещает в себя 44 маленьких блока и имеет грузоподъемность
10 тонн. Вес маленького блока ■■-- 0,2 тонны, большой блок весит 3,6
тонны и занимает место 14 маленьких. Найти минимальное число рейсов,
достаточное для перевозки всех блоков.
► 4. Ученики второго, третьего и четвертого классов собирали макулатуру.
Второклассники работали каждый по три дня, третьеклассники - - по 12
дней, четвероклассники — по 16 дней. При этом каждый второклассник
собрал по 30 кг, каждый третьеклассник — по 130 кг, каждый
четвероклассник — по 170 кг. Все дети вместе отработали 95 дней. Сколько
учеников каждого класса участвовало в работе, если общее количество
собранной макулатуры оказалось максимальным?
►■ 5. В группе каждый из учащихся знает хотя бы один иностранный язык
(английский, французский или немецкий) и нет ни одного учащегося,

214
Глава 4- Текстовые задачи
который бы знал все три указанных языка. Тринадцать учащихся
знают лишь по одному иностранному языку. Никто из группы не знает
одновременно французский и немецкий, но половина учащихся,
владеющих английским, знает еще один иностранный язык. Девушек, знающих
только английский, в два раза больше, чем учащихся, знающих
только немецкий, и в четыре раза больше, чем учащихся, знающих только
французский. Определить, сколько учащихся в группе, если юношей,
знающих только английский, в п раз больше, чем учащихся, знающих
только французский, причем 3 ^ п ^ 15 in — целое число).
*■ 6. Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов.
Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого и 100
деталей второго вида. Для 16-квартирного дома требуется 110 и 150,
а для дома на 21 квартиру нужно 150 и 200 деталей первого и второго
видов соответственно. Всего имеется 900 деталей первого и 1300 деталей
второго вида. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее
количество квартир в них было наибольшим?
► 7. Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги
заплати™ 10 руб. 56 коп., за альбомы — 56 коп. Книг купили на 6 штук
больше, чем альбомов. Сколько купили книг, если цена одной книги
больше чем на 1 руб. превосходит цену одного альбома?
► 8. Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит
по 20 марок на 1 лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на
лист, то но крайней мере один лист останется пустым. Если школьнику
подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21
марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?
► 9. Автоматы двух типов красили детали, и все детали были покрашены
за час. Определить число автоматов, если известно, что каждый из них
мог бы покрасить все детали за целое число часов, общая сумма которых
(для всех автоматов) равна 55.
► 10. В двух бригадах вместе работает более 27 человек. Число членов
первой бригады более чем в два раза превосходит число членов второй
бригады, уменьшенное на 12. Число членов второй бригады более чем
в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное на 10.
Сколько человек в каждой бригаде?
► 11. В первой коробке находилось некоторое количество красных шаров, а
во второй -■■- синих, причем число красных шаров составляло 15/19 от
числа синих. Когда из коробок удалили 3/7 красных шаров и 2/5 синих,
в первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй -- более 1000
шаров. Сколько шаров первоначально было в каждой коробке?
*■ 12. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и
завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы
заменили на более производительные, но также одинаковые, а их ко-

Урок 17. Прогрессии
215
личество увеличилось на 3. Завод стая впускать в день 11200 деталей.
Сколько прессов было первоначально?
► 13. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого
класса, повысивших во втором полугодии успеваемость, заключена в
пределах от 2,9% до 3,1%. Определить минимально возможное число
учеников в таком классе.
► 14. Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого экскаватора стоит
60 руб. в день, производительность его в мягком грунте составляет
250 м3 в день, в твердом грунте --■ 150 м3 в день. Аренда второго
экскаватора стоит 50 рублей в день, его производительность в мягком
грунте -- 480 м3 в день, а в твердом — 100 м3 в день. Первый работал
несколько полных дней и вырыл 720 м3. Второй за несколько полных
дней вырыл 330 м3. Сколько дней работал каждый экскаватор, если
колхоз заплатил за аренду не более 300 рублей?
► 15. Вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на
определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6
некоторой суммы положили в первый банк, а оставшуюся часть — во
второй. К концу года сумма этих вкладов стала равна 670 долларов,
к концу следующего года — 749 долларов. Если бы первоначально 5/6
исходной суммы положили во второй банк, а оставшуюся часть — в
первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной
710 долларам. Определить величину вклада через два года, если все
деньги положены в первый банк.
Урок 17
Прогрессии
Последовательность чисел а, ач,... ,ап называется арифметической
прогрессией, если найдется такое число d, называемое разностью
прогрессии, что «2 = а + d, «з = 0,2 + d,... ,й„ = an-i + d. Иными словами,
второй член получается из первого прибавлением числа d, третий
получается из второго прибавлением того же самого числа d, и т.д. Отсюда ясно,
что все члены прогрессии определяются ее первым членом и разностью. Я
отнес задачи на прогрессии к текстовым задачам, так как практически
любая задача на арифметические прогрессии решается составлением системы
уравнений относительно а и d. Для того, чтобы составить такую систему,

216
Глава 4- Текстовые задачи
достаточно знать следующие формулы:
(1) ап = ох + (п - l)d,
(2) а + ... + ап = • п.
Здесь, конечно, имеется в виду, что ai,... , ап — арифметическая
прогрессия.
Последовательность чисел fei,... , E>n называется геометрической
прогрессией, если bk ф О для всех fc и найдется такое число q ф 0, называемое
знаменателем прогрессии, что 62 — °i • Я, Ь3 — Ьч ■ q, ■ ■ ■ , Ьп — Ьп- ■ q.
Определение совершенно аналогично определению арифметической прогрессии
с заменой сложения на умножение. Требование, чтобы отличались от нуля
все члены и знаменатель прогрессии, необходимо для того, чтобы
однозначно можно было определить прогрессию по любому члену и
знаменателю, а также сам знаменатель, если даны все члены прогрессии. Если
допустить, что члены прогрессии могут быть равны нулю, то
последовательность 0,0,... ,0 можно считать прогрессией со знаменателем 3, или, 7,
или /2. т.е. знаменатель не определяется однозначным образом.
Если допустить, что знаменатель может быть равен нулю, то
последовательность 2,0,... ,0 является геометрической прогрессией с таким
знаменателем, но, зная знаменатель и второй член, мы никак не можем найти
первый — он может, в принципе, равняться любому числу.
Задачи на геометрические прогрессии решаются так же, как и задачи
на арифметические прогрессии — составлением системы уравнений
относительно £>} и q. Вот необходимые для этого формулы:
(3) bn = b1-qn-
(4) Ъ1+Ъ2 + ... + Ьп = Ь1 ■-—?-.
-q
Последнее замечание о названиях. Название «арифметическая
прогрессия» для последовательности а,... , ап проистекает из того факта, что
любой член прогрессии есть среднее арифметическое соседних с ним членов
(если они имеются), т.е. для любого натурального к если 1 < к < п, то
flfc-i + aih+i
и>к — 2
Аналогично, если b,... ,bn есть геометрическая прогрессия с
положительными членами, то каждый ее член равен среднему геометрическому
своих соседних (если они имеются), т.е. для любого натурального к если
1 < к < п, то Ьк - fbk-i ■ Ък+.
► Задача 1. Известно, что al5 u2, ... —- арифметическая прогрессия и а3 +
ад = 8. Найти а* + «2 + • • - + ац.

Урок 17. Прогрессии
217
Решение. Имеем аз = «i + 2d, а9 = «i +8d, an = ai + lOd, где d —- разность
прогресии. Мы знаем, что oi 4- 2d + ai + 8d = 2а + lOd = 8. Требуется
найти величину , п . ,п.
J ai +ац 2q! + 10а
2 ~ 2
Ясно, что для этого нужно подставить в последнюю формулу значение
известного нам числителя.
Ответ: 44. -4
► Задача 2. Известно, что 01,02,03,04 — геометрическая прогрессия, а >
0, причем а + а$ — — 49, ai + 03 — 14. Найти 01,02,03, сц.
Решение. Два приведенные в условии равенства дают два уравнения:
Г 0!+о1?3--49, Г 0!(1 + д3) = -49,
{ axq + aig2 = 14 [ aig(l + g) = 14.
Из того, что правые части не равны нулю, следует, что q ф — 1. Значит,
можно поделить первое уравнение на второе.
4±«L= ' Ь!±£ 7^tf+e,+2 = o~,= -2,-i
g(l + g) 2 g 2 2
Если q = —2, то ai = 7, а если q = — |, то ai = -56 < 0 — не годится.
Ответ: 7,-14,28,-56. *
Задача 3. Найти (2 + f + (4 + f +- ... + (2" + ^f.
Решение. Для каждого к — 1,... ,п имеем
(2' + ^)
2 !
значит, наше выражение разбивается на сумму трех следующих:
(4 + 42 + ... + 4") + (2 + 2 + ... + 2) +(4~J + 4"2 + ... + 4"").
п раз
Сумма каждой из трех прогрессий легко подсчитывается: для первой это
(4" — 1), для второй —- 2п, для третьей — |(1 — 4 ").
Ответ: |(4ri+1 - 4"") + 2п - 1. ч
► Задача 4 [2]. При каких а числа ^-^, cos a, tga составляют
геометрическую прогрессию?
Решение. Если Ь = ^^, то q = cos a : ^^ = 6а?°8аа и tg a = cos a ■ q =
6 cos п

218
Глава 4- Текстовые задачи
Мы получили тригонометрическое уравнение на а, которое легко
приводится к кубическому относительно cos а:
6 cos3 а -1- cos2 а — 1 = 0.
Нетрудно угадать, что cos a — | есть корень данного уравнения и при
помощи деления уголком на cos a— ~ убедиться, что получается квадратный
трехчлен с отрицательным дискриминантом, т.е. других корней у данного
кубического уравнения нет. Из эквивалентности наших преобразований
следует, что все а, для которых cos а = |, годятся.
Ответ: ±| + 2тг, п & Z. <
► Задача 5. Найти числа, одновременно являющиеся членами
арифметической прогрессии 12,15,18,... и геометрической прогрессии 1, 3,9,..., если
каждая из этих прогрессий содержит по 100 членов.
Решение. Последний член арифметической прогрессии равен 12 4- 99 • 3 =
309. Что касается геометрической прогрессии, то З6 = 729 > 309.
Ясно, что все члены геометрической прогрессии с номерами, большими
семи, будут еще больше, чем 729, и поэтому никак не могут быть
членами арифметической прогрессии. Значит, нужно проверить только числа
З3 = 27, З4 = 81, З5 = 243. Но наша арифметическая прогрессия содержит
все числа от 12 до 309, делящиеся на 3, так что все они годятся.
Ответ: 27, 81, 243. «
► Задача 6. Известно, что о,,... ,ап — геометрическая прогрессия.
Известны числа S = а ■+-... + ап иТ = -—[-...+ —. Найти ал ■ ... ■ ап.
Решение. Пусть q — знаменатель прогрессии. Тогда S — о,_ ■ ч J^1.
Последовательность £-,.-• , ^- является геометрической прогрессией со
знаменателем -. Следовательно, Т — — ■ у~-^-:, = — • , „ 1, Г—п-.
Я 0,1 1 — Я 0.1 q (g— l)
Отсюда заключаем, что
SjT = aqn-1.
Преобразуем теперь искомую величину: о, ■... • ап — а • aq ■... • aqtl~l —
a„9i+2+...+n-i = а„9=ЦрИ = (afg"-1)? = yjlfc.
Ответ: y/Sn/Tn. <
► Задача 7 [2]. Пусть а, аг, а3 ■■■■■-- арифметическая прогрессия с ненулевой
разностью. Известно, что аа,2, 0.20,3, 0,30,1 — геометрическая
прогрессия,. Найти ее знаменатель.
Решение. Из того, что ага2, 0,20,3,0.30,1 — геометрическая прогрессия,
следует, что ни одно из чисел а, as, а% не равно нулю. Знаменатель
геометрической прогрессии равен отношению ее второго члена к первому, т.е.

Урок 17. Прогрессии
219
q = 4а.. Следовательно, а^а — a^a^q ■<=>■ Ц ~ ^- Получили уравнение
■ • af = (ai +d)(ai 4- 2d) <=?> d=--oi.
ai a2 2
Последняя эквивалнтность выполняется ввиду того, что допустимо
сокращение на d ф 0.
Теперь уже можно найти д = ^ = ^ = „1+Д5а1) = -2.
Ответ: —2. ■<
► Задача 8. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7.
Решение. Первое трехзначное число, которое делится на 7, — зто 105 (т.к.
ближайшее меньшее его и делящееся на 7 есть 98). Последнее такое число
— это 994. Ясно, что такие числа образуют прогрессию со знаменателем
7. Пусть число членов этой прогрессии равно п. Тогда 105 + (п — 1) ■ 7 =
994 <^> п = 128. Значит, искомая сумма равна 105+9й4 • 128 = 70336.
Ответ: 70336. -4
► Задача 9. Доказать тождество
{1 + х + х2 + ...+ хп)2 - хп = (1 + ... + хп~1)(1 + х + ... + xn+l).
Решение. Ошибка, которую чаще всего делают в этой задаче, состоит в
неправильном подсчете членов прогрессии 1,ж,... ,хп. Их здесь п + 1, и
поэтому 1 + х + ... + хп = 1~1Т_Х ■ Это равенство имеет смысл только
при х ф 1. Но, как нетрудно убедиться, при х = 1 исходное тождество
принимает вид (п + I)2 — 1 = п(п + 2), т.е. верно.
Аналогичным образом запишем, что
1 + х + ... + хп-1 = ^-^- и 1 + х + ... + xn+i = .
1-х 1-х
Подставляя суммы соответствующих прогрессий в доказываемое
тождество и приводя левую и правую части к общему (одинаковому!)
знаменателю, получим в числителе слева (1 — хп+1)2 — (х — 1)2хп, а справа
{1-хп){1-хп+2).
Остается раскрыть скобки и убедиться, что слева и справа стоит одно и
то же.
Наш урок окончен. Оценивается он стандартным образом.

220
Глава 4- Текстовые задачи
Домашнее задание
►■ 1. Известно, что а,... , Oi5 -~ арифметическая прогрессия и а + 05 +ai5 =
3. Найти а5 + щ.
*■ 2. Известно, что fei,... ,6ц — геометрическая прогрессия и 6163611 = 8.
Найти &2&8-
*■ 3. Найти трехзначное число, цифры которого образуют (в том порядке, в
котором они стоят в числе) возрастающую арифметическую прогрессию
и которое делится на 45.
► 4 [2]. Найти все значения а, при которых уравнение х8 + ахЛ + 1 — 0 имеет
ровно четыре корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию.
► 5. Про натуральные числа fc, р, m, г> известно следующее: к,р,т —
геометрическая прогрессия, к — 2,p,m,v — 12 — арифметическая прогрессия
и т + 18 = v. Найти т.
► 6. Найти сумму чисел, яляющихся одновременно членами прогрессии 3, 7,
11,... , 203 и прогрессии 2,9,16,... , 212.
► 7. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел,
равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого ее членов равна 4.
Найти первый член прогрессии.
► 8 Известно, что 01,02,03 — геометрическая прогрессия, знаменатель
которой q — натуральное число, причем oi = 8, 2а2 - ^«з > 15. Найти
Ч-
► 9. Пусть (i,... , «20 — арифметическая прогрессия, аз + й7 + с*14 + «is = Ю.
Найти oi + а2 + - -. + ого-
► 10 [3]. Могут ли числа /2, у/3, /b быть членами (не обязательно
последовательными) одной арифметической прогрессии?
► 11. Известно, что а2, б2, с2 — арифметическая прогрессия. Доказать, что
тогда и £^, j^, -^-^ — тоже арифметическая прогрессия.
*■ 12 [2]. Известно, что при любом п сумма первых п членов некоторой
числовой последовательности выражается формулой Sn — 2п + Зп.
Найти десятый член этой последовательности и доказать, что она
является арифметической прогрессией.
► 13 [3]. Найти сумму 1 + 2 ■ 2 + 3 ■ 22 + 4 • 23 + 5 ■ 24 + .. - + 100 • 2".
► 14. Известно, что oi,... ,о5 — геометрическая прогрессия с
положительными членами, 0-20304 = 1, oi = lOOOOas- Найти все члены этой
прогрессии.
*■ 15 [2]. Известно, что 01,02,03 и fei, Ь*2, &з арифметические прогрессии,
причем oi+02+йз = 61+62+ Е>з и oi+61,02+62,^3+63 --геометрическая
прогрессия. Доказать, что oi = ^3,02 = 63,03 = Ь-

Глава 5
Более сложные уравнения
и неравенства
Урок 18
Показательные
Начнем со свойств показательных функций. Первое, что необходимо
твердо запомнить, — это то, что общая степенная функция у — ах имеет
смысл только при а > 0. При этом х может принимать любые значения. Тем
самым, если в вашем уравнении или неравенстве фигурирует выражение
f(x)g(x то к условиям, определяющим ОДЗ, надо отнести неравенство
/Or) > 0.
Скажу несколько слов, почему нельзя возводить неположительные числа
в произвольную степень. Действительно, вроде бы понятно, как возвести
—1 в степень, равную 1/3. Однако совершенно невозможно возвести это
число в степень 1/2, а уж что делать со степенью л/2, вообще представить
себе нельзя. Число 0 невозможно возвести в отрицательную степень.
Отсюда видно, что если бы мы задумали рассмотреть функцию у — (-1)2, то
ОДЗ для нее написать нам было бы не по силам. Впрочем, такую функцию,
определенную только для целых х, мы рассматривали на наших уроках по
тригонометрии.
Приведу основные свойства степеней, при помощи которых
преобразуются показательные уравнения и неравенства.
(1) ах > 0 при всех а > 0 и х е R.
{loga b, если а > 0, b > 0, а ф 1,
0, вата-1,Ьф1,
любое, если а — Ь — 1.

222 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Если т и п -
- натуральные числа, то а
-х 1
а = —.
ах+У = а*а".
f-jX
ах~У = —.
аУ
axv = (ax)v = (a?)x.
{abf = ахЬх.
( а х ах
ь) ~ ь*'
а0 = 1, а1 = а.
= л/а'
Кроме того, необходимо помнить, что при а > 1 функция у = ах возрастает,
а при 0 < а < 1 убывает на всей прямой.
Подобно тригонометрическим, показательные уравнения и неравенства
решаются сведением к простейшим при помощи формул (1)-(10).
Вот список простейших уравнений и неравенств с указанием
равносильных переходов, устраняющих степени:
(11) аэ(ж) = ah<x а>0,а#1
(12)
(13)
(14)
(15)
f{xyM = f(x)h^
/(*)'<*> > f{x)
h(x)
№s{x) > f(x)hW
f{x)9(x) < f(x)h{x)
g(x) = h(x)
j 9{x) = h(x)
I fix) > 0
Г fix) = 1,
[ g(x),h(x) определены.
Г g(x) > h(x)
I /(*) > 1
р(ж) < Л(аг)
0 < f(x) < 1
f(x) > 1
р(ж) ^ h(x)
0 < /(a;) < 1
g(x) < /i(ar)
<?(ж) < h(x)
f(x) > 1
f 0(Ж) > Л(2!)
I 0 < f{x) < 1

Урок 18. Показательные 223
(16) f(x)9^ ^ f(x)h^
► Задача 1. 4х +8 = 9 • 2Ж.
f fix) > 1
I д(х) < 4х)
о < f(x) < 1
д(х) ^ h(x)
{
Решение. Если обозначить 2Ж через у, то 4Ж = (22)ж = (2Ж)2 = у2.
Следовательно, имеем квадратное уравнение у2 — 9у + 8 = О -Ф=> у = 1,8.
Если 2х = 1 = 2°, то х = О, а если 2Ж = 8 = 23, то ж = 3.
Ответ: х = 0,3. <4
► Задача 2. 4х = 2 • 14ж + 3 • 49ж.
Решение. Заметим, что 4х = (2х)2, 14ж = 2х ■ 7х, 49ж = (7х)2. Значит, если
обозначить 2х через а, а 7х через Ь, то а > О, Ь > 0; получаем уравнение
а2 - 2аЬ - ЗЬ2 = 0 4=Ф- (а - 36)(а + 6) = 0 -Ф=> а = 36, или а = -Ь.
Из а > 0, ft > 0 следует, что равенство а — —Ь невозможно. Значит,
2* = 3-7* «=* (^-J=3 «=* (jj =3 ^x = log2/73.
Ответ: х = log2 /7 3. 4
► Задача 3. (/5 + 2^6)х + {y/b - 2^/б)х = 10.
Решение. Заметим, что (5 + 2</б)(5 - 2л/б) = 52 - (2^6)2 = 25 - 24 = 1.
Значит, ч ж
и можно обозначить
(V5 + 2/б) через у. Получим уравнение
у + 1 = 10 <^> у2 - 10у + 1 *=» 2/ = 5 ± 2>/б.
Если (л/5 + 2^)Ж = 5 + 2>/б, то ж = 2, а если (/5 + 2>/б) = 5 - 2л/б =
(5 + 2V6)-1, тож = -2.
Ответ: х = ±2. -*
► Задача 4. За*'+в*-9 + 4 • 15«я+8-5 = 3 • 52*2+6*~9.
Решение. Пусть Зж2+Зж-5 = а, 5ж2+3ж~5 = Ь. Тогда
32х2+бх-9 _ 32х2+б^-ю+1 - з • з2(ж2+3ж-5) = За2.
Аналогично 52,»+в*-» = ^ 15*»+з*-в = ^

224 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
и наше уравнение принимает вид
За2 + АаЬ - 1ЬЪ2 = О <^> (а + ЗЬ)(За - 56) = О <=» За = 56,
поскольку а -(- 36 > 0. Следовательно, имеем уравнение
ох2 + Зх-Ъ /д аГ + Зж-5
^_ /зу +м"° _ 5 _ /3
§х2+3х-
Тем самым, х2 + 3z - 5 = — 1 «=;> ж2 + За; — 4 = О -Ф=> ж = -4,1.
Ответ: х — —4, ж = 1. <
► Задача 5 [2]. 1 + 3*/2 = 2*.
Решение. Поделив уравнение на строго положительную величину 2х,
получим уравнение i (у/3)х (1
2х 2х ~ 2
Легко проверяется, что х ~ 2 есть корень уравнения (это надо просто
угадать). Кроме того, левая часть есть сумма двух убывающих функций (а
■именно, степенных с основанием, меньшим единицы). Значит, левая часть
сама является строго убывающей функцией. Следовательно, при х > 2
левая часть строго меньше 1, а при х < 2 она строго больше единицы. Это
рассуждение доказывает, что других корней, кроме х — 2, нет.
Ответ: х = 2. м
► Задача 6. х - 3|х2"х = {х - З)2.
Решение. Поскольку (х — З)2 — х — 3|2, мы можем применить формулу (12),
согласно которой либо х — 3| — 1 <=> х — 2,4, либо х'1 — х — 2 -Ф=> х =
2,-1.
Ответ: —1, 2, 4. <
( хх+у _ уХ-у
► Задача 7. <^ ~
I х2у = 1.
Решение. Второе уравнение системы эквивалентно тому, что у — р-.
Подставим это значение у в первое уравнение:
жх+^ = (Х-2)Х~5 *=> жж+^ - хГ2х+%.
Последнее уравнение эквивалентно тому, что либо х — 1, либо х + -^ —
►
"2*+£ -
Ответ: 1,
Задача 8.
Ф=>
1
4х -
х —
^
-22<
1
i-i)
Решение. Заметим, что 22ix~^ = 4х"1 = 4х ■ А~1 =  - 4х и 8з(х"2) =
, г
(85)^~2 = 4х-2 = 4х-4"2 = ^-4
16

Урок 18. Показательные
225
Подставим значения этих выражений в исходное неравенство:
4х - I . 4х + — - ±х > 52
4 16
Ответ: х > 3. -«
11
— • 4Ж > 52 *=► 4Ж > 43
16
х > 3.
► Задача 9.8-3 +9 ^ 9
Решение. Пусть а — 3 , Ь = 3 . Тогда 3 = аЬ, 9 =9-9
9Ь2, 9
>/ж
— „2
а , и наше неравенство можно переписать в виде
а2 - Sab - 9b2 ^ 0 4=> (а + 6)(а - 96) ^ 0 «=> а - 96 ^ О
ввиду того, что а + 6 > 0. Следовательно, наше уравнение эквивалентно
тому, что
^9
.А
Ь 3
У*
<9
з^- у«" ^ з2
л/ж- Уж ^ 2
(</ж")2 ~ $х - 2 ^ 0 *=► -1< Уг ^ 2 <!=> 0 ^ х ^ 16.
Ответ: 0 < ж й 16. •«
► Задача 10. |ж — 3|
2ж -7ж
> 1.
Решение. Запишем наше неравенство так: х — 3|2ж 7l > |ж — 3|°. Согласно
формуле (13) мы должны рассмотреть два случая:
х е (-оо, 2) U (4, +ос). Тогда 2х2 - 7х > О
1) х - 3| > 1
(-oo,0)U(|,+oc). Отсюда [зГ«Е (-оо, 0) U (4, +оо)
2)0< |яг —3| < 1
и, значит,
х е
же (2,3)U(3,4). Тогда 2;г2 - 7ж < 0 <^=> яг е (0, )
хе (2,3) U (3,|)
Ответ: х£ (-оо,0) U (2,3) U (3, ) U (4,+оо). «
Задача 11. (4ж2 + 2х + I)*2-* ^ 1.
Решение. Перепишем наше неравенство в виде (4х2 + 2х + )х ~х < {Ах2 +
2х ■+- 1)°. Согласно формуле (16) мы должны рассмотреть два случая:
1) (4ж2 + 2х + 1) > 1 <f=> х е (-оо, -|] U [0, +эо). Тогда ж2 - х ^ 0
х е [0,1]. Тем самым, ж е [0,1]
2) 0 < 4ж2 + 2ж + 1 < 1
х е h|>°]- Тогда х2 - х ^ 0
ж б
(—ос,0] U [1,+ос). Отсюда получаем второй кусок ответа: ж е [- |,0]
Ответ: х е [-|,1]. •*
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.

226 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
2 - 6х - Ах - 15 __ 0
— О
Домашнее задание
► 1. 3 ■ 4х - 7 ■ 10х + 2 ■ 25* = 0 •> 14.
► 2. Зж - 3*-* >_/3 - 1 lS^+^M- 6
► 3. 2--t + ^2 > 1 + 2- * 15. 2.15, + 25ж + 3 ^ 2
5* Q 2Ж+1 ► 16. 5*+1 = ( ±)
► 5. —— =8 — V5/
2Ж - ож 5Ж ►• 17 4 ■ 4Ж <г 7 ■ 21 + 2
► 6. 7Ж - 14 ■ 7~х = 31о«*2 + 3 ^le'roi о*+з з o^^ifi о
Г 6х - 2 • Зу — 2 ► 18 [2]. 2х+6 - хй ■ 2х ^ 16 - 2х
► 7. ■) ' ► 19 [2 . х4 + 3*+4 ^ ж4 ■ Зж + 81
1 6х ■ W = 12 i J т-
з
.2
► 20. 9* -6-Зж -27 = 0
.'IN-5- , ► 21. 2-4ж+2 + 14-2ж - 1 = 0
► 8. - 1 = 8Л -J, _i _i
4/ ► 22. 4 * +6 * =9
. 2Т2 ^ Jx+X l + Jx
13 ._.,. 0_4 * 23. 4* ^3-2v + 4 v
► 13.
V 9. - = А~х • 8~4 1
%) ^ „24. __^>_Л-ГГ
► 10. 7Ж-^'2 < 71-* • (У7)ж2 + б ► 25. (ж2 -I + 1)* <
► 11. 52ж"^2 < 52"2ж • ({/б)1' +24 * 26- (ж2 + ж + 1У < 1
► 12. Зж < 14-12 3_:Г
Г 7 • 2Ж + 6у = 2
 3 • 2*+1 - 5у = 93
► 27. (V2- V3V + (/2 + у/зУ = 4
► 28 О^+З о£2+2х —6 _ oi2+2a;-5 91
► 29. 4х2 - 3 ■ 2х2 + 1 ^ О
/7*j_7-*2 7ж + 7-х
► 30. 2-(7 у j "7-^ + 3 = 0
Урок 19
Логарифмические
Моя практика показывает, что к моменту, когда в занятиях со мной мои
ученики доходят до изучения логарифмических уравнений и неравенств, в
школе логарифмы еще не проходят. Вполне возможно, что и вы дошли до
этого урока, не пройдя этот материал в школе. Тем не менее, откладывать
его уже нельзя, поэтому перед тем как приступить к этому уроку, я по-

Урок 19. Логарифмические
227
прошу вас прочитать соответствующие параграфы учебника. В принципе,
весь теоретический материал я дам здесь, дам много тренировочных задач
(не вступительных, а именно помогающих привыкнуть к новому понятию).
Но без учебника может быть чрезмерно трудно, хотя мы с вами должны
осознать этот материал как простой. Подобные задачи чаще всего даются
«на тройку*, так что вы должны настроиться на то, что если в варианте
стоит такая задача, то это верное очко в вашу пользу.
Итак, я надеюсь, что вы начинаете читать этот абзац, уже прочитав
материал про логарифмы из школьного учебника.
Самое главное, как всегда, определение. Пусть а > О, Ъ > 0, а ф 1. Тогда
loga Ь есть такое число с, что ас — Ь. Можно записать это определение и
так:
(1) al0ga6 = 6, о>0, Ь>0, аф 1.
Формулу (1) часто называют еще основным логарифмическим тождеством.
Полезно помнить, что это все-таки определение.
Логарифмические уравнения и неравенства, так же как показательные
и тригонометрические, приводятся к простейшим с помощью формул
преобразования логарифмов. Вот эти формулы:
(2) bgal=0, logaQ = l, a>0, аф1.
(3) loga(fcc) = loga b + oga c, a, 6, с > 0, аф 1.
(4) loga f - 1 = 1оё« b ~ loga c, a, 6, с > 0, аф 1.
(5) oga(bx)=xlogab, a,b>0, аф1.
(6) log(a.) b=- loga b, a, b > 0, а-ф 1, x ф 0.
(7) loga(E>'2™) = 2nloga |6|, a>0,a/l, b ф 0, n — натуральное.
(8) lo&a £ = - loSa b, a, b > 0, аф У.
(9) ogab=^~, а,Ъ,с>0, a,c?l.
logc a
(10) bg„fc= -, a,b>0, а,Ьф1.
ювь a
Решение всех задач на логарифмы должно начинаться с
нахождения ОДЗ. В процессе преобразований необходимо постоянно следить за
ОДЗ и равносильностью преобразований. Например, формула (3) неверна,
если не все из чисел a, b, с положительны. Если преобразовать выражение
loga(f(x)g(x)) по формуле (3), то можно просто потерять те корни х, при
которых как f(x), так и д(х) отрицательны. Поэтому при решении
уравнений и неравенств полезно применять следующие вариации формул (3) и

228 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
(4):
(И)
(12)
loga(bc) = loga |6| + loga с, а > О, Ъ • О 0, а ф 1,
loSa ( " ) = bge |6| - loga |c|, a > 0, 6 ■ с> 0, аф1.
Приведем теперь простейшие логарифмические уравнения и неравенства
и эквивалентные переходы, позволяющие избавляться от логарифмов.
(13)
log/(x) 9(х) = log/(x) h(x)
Г 9(х) = h(x),
f(x) > 0,
д{х) > О,
I /(*) 7^ 1.
В частности, если а есть положительное число, не равное единице, то
(14)
bge д{х) = loga h(x)
д(х) = h(x),
д{х) > 0.
Заметим, что в формулах (13) и (14) вместо неравенства д(х) > 0 можно
было в каждой из систем записать неравенство h(x) > 0 — это все равно,
так как д(х) = h(x); можно при желании записать в систему оба эти
неравенства. Конечно же, разумней решать поменьше неравенств и, поскольку
все равно, какое из двух записать в систему, лучше взять то, которое проще.
Покажем, как избавляться от логарифмов в простейших неравенствах.
(15)
1о§/(х) 9(х) > bg/(x) Цх)
(16)
log/(x) 9(x) > log/(x) h(x)
9(x)
h(x]
№
h(x]
9(.x)
0<
9(x)
h(x]
fix)
h(x]
9{x)
> h(x)
>0
> 1
> 9(x)
>0
fix) < 1
^ h(x)
>0
> 1
>9{x)
>0
0 < /(ж) < 1

Урок 19. Логарифмические
229
(17)
l°g/(x) 9(х) < lQg/(x) Кх)
(18)
bg/(x) 9{x) < log/(l) h{x)
g{x)
9(x)
№
h(x)
h(x]
0<
9(x)
9{x)
№
h{x
h{x
< h{x)
>0
> 1
<g(x)
>o
№ < i
< h{x)
>0
> 1
<s(z)
>0
0</(x) <1
Если вглядеться в формулы (15)-(18), то видно, что все они построены
по одной схеме: надо рассмотреть два случая — когда основание больше
единицы с сохранением неравенства и когда оно лежит между нулем и
единицей с заменой его на противополо: ное.
Приведу еще несколько следствий фор пул (15)—(18), которые
заслуживают отдачьного запоминания.
числа и а > 0, а ф 1, то loga f(x) = b •$=$■ f(x) = аь.
f(x) > аь, если а > 1,
если а < 1.
если а > 1,
если а < 1.
если а > 1,
если a < 1.
если a > 1,
если а < 1.
(19) если а, 6
(20) если а > 0, а ф 1, то loga /(ж) > Ь
(21) если а > 0, а ^ 1, то loga /(ж) ^ Ь
(22) если а > 0, а ф 1, то loga /(з;) < Ь
(23) если а > 0, а ф 1, то Ioga /(ж) < 6 4=>
О < f(x) < а
Г f(x) ^ аь,
I 0 < /(ж) ^ а
О < /(ж) < а
/(ж) > аь,
О < f{x) ^ а
f(x)^a
Поскольку большинство школьников еще не привыкли к логарифмам,
начну не с уравнений и неравенств, а с простейших вычислительных задач
на логарифмы и степени.
* Задача 1. 2log2v215 = ?
Решение. Я буду писать просто выкладку, в которой между знаками
равенства будет стоять номер формулы, которой я воспользовался. Если
преобразование не требует свойств логарифмов, то между знаками равенства
ничего стоять не будет.

230 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
Итак,
2iogaV5i5 = 2lDS2^ 15 = (6) = 2§ 1о^2 is _ ^2ioea isjJ = ^j _ 15f _ ,^^5.
Ответ: {/225. <4
► Задача 2. (16/25)logl25/64 3 = ?
Решенш, (16/25)lDgi^/a4 3 = ((4/5)2)'Dg(5/4)a * = (6) = ((5/4)-2)1/31°Ё5/43 =
^5^4j-2/3iogB/43 = (г5/4?°**'*зу2/3 = (1) = З"2'3 - 1/^9.
Ответ: l/s/9. *
► Задача 3. а [%а = ?
Решение. Напомню, что lga: есть общепринятое написание выражения
log10 х.
По формуле (9) имеем |^| = loga ж, и, в частности, ^JiL£ = loga(lgc).
Значит, искомое выражение равно alos«(lgc' — (1) = lgc.
Ответ: lgc 4
/ ^inn a 1о§,гпЬ21оё^(а+Ь)
► Задача 4. I 6 'sa ■ a 'gfe 1 - ?
V /
Решение. Из формулы (6) и того, что 100 = 102 следует, что °^100 а =
2{ sa" = ^. По той же самой причине °^°ь° = |. Следовательно, наше
выражение принимает вид
^.bi^^-'=(fl6)Ioe.l(e+fc, = o + 6>
Ответ: а + Ъ. -4
► Задача 5. Известно, что log7 2 — а. Найти logj /2 28.
Решение. Здесь надо применить формулу (9) перехода к другому
основанию:
log7 28 _ log7 7 + log7 4 _ 1 -(- log7 22 _ 1 + 2a
l
2
Ответ: -1:i~. *
logi/2 28 = -^-r . 9_
► Задача 6. Известно, что lg2 = a,lg 13 — b. Найти log5 3, 38.

Урок 19. Логарифмические 231
D 1 g 10 lg3,38 _ ls(338:100) _ lg 338-2 _ lg(13a-2)-2 _
Решение. log53,38 = *^g- - ig(i0:2) - i-iga ~ i-a
21gl3+]g2-2 _ 2u+a-2
1-a 1—a "
Ответ: Щ^1 „
i—а-
, тт „ , у/а
► Задача 7. Известно, что loga6 а —А. Найти logab —~.
Решение. Имеем
logab ^~ = logab a* - logeb fc* j= - logaft a - - loga6 b =
4 1 4 1 4 1 17
= 3 " 2 bgab(ab/a) = 3 - 3 (lo8ab ab ~ 1оёаб а)=з~2 + 2=Т'
Ответ: Щ-. л
► Задача 8. logx 3 + log3 x = logyj 3 + log3 sfx + 0, 5.
Решение. Область допустимых значений здесь состоит из таких х, что
х > О, х ф 1. Обозначим log3 х через у. Тогда log^ 3 = ^, logy^ =
21og2. 3 = -, log3 v^ = IУ и наше уравнение примет вид
12 1 1 п л
У + - = " + ТТУ + о *=> V = 2, -1.
У У 2 2
Если log3 х = 2, то х = З2 = 9, а если log3 х -■ —1, то х — .
Ответ: 9, |. 4
► Задача 9. log^+i 7 + log9x 7 = 0.
Решение. У данного уравнения ОДЗ состоит из х > 0,ж ф . В области
допустимых значений нижеприведенные преобразования являются
равносильными:
tog^+i 7 + 1о8эх 7 = °
log7(4a; + l) + log7(9x)
log7(4:r + l)Iog7(9:c)
1
log7(4x + 1) log7(9x)
= 0 <=> log7(4:r + 1) + log7(9:r) = 0
log7(9x(4x + l)) = 0 <^=> 9x(4x + 1) = 1 <^=> x= ^'"3'
Учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: j^. •*

232 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
*■ Задача 10. log4 log2 x 4- bg2 log4 x = 2.
Решение. В этом примере ОДЗ состоит из таких ж, что х > 0, log2 x >
О, log4 х > О, т.е. из всех х > 1.
Пусть log2 х — у. Тогда log4 x — у и мы имеем уравнение
log4 у + log2(-y) = 2 «=* - log2 у 4- log2 у + log2 - = 2 ц=> log2 у = 2.
Значит, у = 4 <=ф- log2 х — 4 <=ф- ж = 16.
Ответ: 16. ■*
* Задача 11. log4(:r2) 4- log2(:c 4- 5) = 2.
Решение. Область допустимых значений этого уравнения определяется
условиями х2 > О, х 4 5 > 0 -Ф=> ж > -5, х ф 0.
Применяя формулы (б) и (7), получим log4(x2) = 21og4 |ж| — log2 |ж|.
Значит, наше уравнение приведется к виду
log2|ar| 4log2(a; + 5) -2 -Ф=> Iog2(|z|(z 4 5)) = 2 <=► |x|(z + 5) = 4.
Последнее уравнение легко решается при помощи раскрывания модуля (см.
урок 8).
Ответ: -4,~1,Щ=^>. «
► Задача 12. (1 4-f )log2 3 - log2(3x - 13) = 2.
Решение. ОДЗ определяется условием 3* > 13. По формуле (5) имеем
(1 4 |)log23 = log231 + ^ — log2(3 ■ 3^). Значит, если мы обозначим 3?
через у, то для у > 0 исходное уравнение будет эквивалентно следующему:
log2(3y) - log2(y2 - 13) = 2 <=> log2 -^— = 2 <=► -^Ц- = 4.
у — ю у — io
Получившееся квадратное уравнение решается без труда. Оно имеет корни
4и — ^. Изу>0 следует, что у = 4 «=Ф- 3* = 4 -$=ф- х — 21og34.
Ответ: х = 2log3 4 = 41og3 2. -*
. Задача 13. log^g-~^<-l.
Решение. Поскольку —1 = logx ^, наше неравенство приводится к
стандартному виду (17): /4х + 5 1
Согласно формуле (17) мы должны рассмотреть два случая.
1. х > 1. Тогда неравенство принимает вид
Ах 4- 5 1

Урок 19. Логарифмические
233
В случае, когда х > 1, числитель дроби |^| положителен, так что левое
неравенство выполняется только при ж < |. Тогда правое неравенство
можно умножить на положительную величину x(Q — 5ж). Получим 4ж2 -Ьож <
6-5ж <(=> же (-3, ±).
Поскольку мы отбираем лишь ж > 1, в этом случае решений нет.
2. О < х < 1. Здесь мы должны решить неравенство
—-—>- -Ф=Ф 4ж2 + 5ж>6-5ж -Ф=> ж е (-оо, -3)U (-,+ос).
6 — 5ж ж 2
Учитывая, что 0 < х < 1, полу ^аем
Ответ: (|, 1). 4
► Задача 14. log1/3(a;2 - 6ж + 18) - 21og1/3(z - 4) < 0.
Решение. ОДЗ данного неравенства состоит из всех х > 4. Следовательно,
log1/3(z2 - 6ж + 18) - 21og1/3(z - 4) < 0 ^=>
ж2 - 6х +18 , , х2-6х + 18 ,
lQg1/3 {x-Af <Ъ^Х *=* ^ я*-8*+ 16 > ! ^ -> -1'
Значит, все х из ОДЗ будут решениями исходного неравенства.
Ответ: х > 4. -4
► Задача 15, bgx/e{]agx{y/6 - х)) > 0.
Решение. В этой задаче важно не просто разобрать все случаи, а разобрать
их экономно, чтобы из-за большого числа вычислений не наделать ошибок.
Заметим, что ОДЗ говорит нам, что 0 < х < 6, х ф 1. Но тогда | < 1,
и можно эквивалентно переписать неравенство в виде
0 < logx 1/6-2; < 1.
Здесь'уже нужно разбирать два случая.
1. х > 1. Тогда последнее неравенство равносильно 1 < %/б — х < ж,
откуда находим, что | 2 < х < 5
2. 0 < х < 1. Тогда надо решить неравенство х < /6 — х < 1. Правая
его часть выполняется при х > 5, а левая — при — 3 < х < 2, т.е. в этом
случае решений нет.
Ответ: (2,5). +
2-log2y = 21og2(i; + y),
^ Тядячя 1 ft
log2(ar + у) + log2(x2 - ху + у2) = 1.
Решение. Область допустимых значений системы состоит из таких пар
(ж,у), что ж > 0,х + у > 0. В этой области равносильны следующие

234 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
преобразования:
f 2-Iog2jj = 21og2(z + fl), f Iog2(j: + y)2+log2y = 2,
I log2(r + у) + log2(a;2 - xy + у2) = 1  log2((a; + y){x2 ~ xy + y2)) = 1
Г log2 y(x + y)2 = 2, Г у (ж + у)2 = 4,
1 {x + y){x2 - жу + у2) = 2  2(x + y){x2 -xy + y2) = 4.
Приравняем левые части уравнений системы:
у{х+у)2 = 2(х+у)(х2-ху+у2) <^=> {х+у){2х2-3ху+у2) = 0 <=Ф х = у, -у.
Сокращение на х + у законно ввиду х + у > 0.
Если х — у, то из первого уравнения находим х = у = 1, а если у = 2г,
тоа=Л»/2,у = 2{/§.
Ответ: (1,1), (^|,2^|). «
. Урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.
Домашнее задание
► 1. -log2(z2)+log2(z-6)=4
► 2. log49(2a:2 + х - 5) + logi (1 + х) = О
► 3. Iogx+2(2z2+:r)<2
»■ 4. 1оёж+1(2ж2-Зж + 1) <2
16
5
►6. 1о§4_ж(ж2-10)<2
1 г*
* 5- bg10_l2(—ж-ж2) < 1
► 7. logi (11 -Ьж) = 2оц{у/х + 1 + 2)
► 8. log2,+2(2a:2-8a; + 6) = 2
/ log:E 25 + 2у = 2
' i-(logl(0,2))3+y = l
►10. 1о§5ж_4жг(4-*)>0
► 11. 1ое_5яЯ_в.р(6*)>0
12. log6((z-8)') = 2 + 21og5(s-2)
13. 2logv^2 + logv^(2!Ba-1-i) <log^31
!4- log^-Va^2 + 4ж + 11 " 4/3) < 2
15. 1оё(ж+1)28 + 31оЙ4(Ж + 1)^9|
16. 41og2z + log2 f %,*_ tv ) <4-log2(x-l)-log23:

Урок 20. Смешанная тригонометрия
235
17. 1оёз(2Ж2 - х) - 1< log3(6a: - 3) - logl x
18. log5((2 + x)(x- 5)) < log25(0r - 5)2)
3logn = х
► 20 / l0g4 Ж + bg4 У = 3
' I 2ж + 5у = 52
► 21. |1о§ж+4(ж2+2ж + 1)+1оё_ж_1(-ж2-5ж-4) ^3
.22. ГЧ.^-21о&У = 1
I z2 + 2у2 = 3
► 23. к^2(4ж + 2Ж) = х + log2(2x+1 - 3)
► 24. 1о§3(3*-1)-1о§з(За:+1-3) = 6
► 25. Iog3(4-3a:-1 -1) = 2аг-1
► 26 [2]. log2, x + (x-l) log2 х = 6 - 2х
х2 — 2х
► 27. log j log8 ^_3 < О
► 28. 1о§ч/з0 + 1) - log^z - 1)_> log3 4
► 29. I log3(-a; - 16) - log3U/=z - 4) = 1
► 30. 2"1о§2(1о§2ж) +logi(log2(2v/2^)) = 1
► 32. —!— ^ *
log2 x ^ log2 V^+~2
► 33. xloe^(2x> = 4
► 34. x]°g*X+2=256
» 35. xbg3(3a:) = 9
24 - x2 - 2x л
► 36. log25_x2 > 1
16 i4
Урок 20
Смешанная тригонометрия
Дойдя до этого урока, большинство моих учеников тригонометрию
забывали процентов на восемьдесят. В той или иной степени выветривались из
их памяти и другие разделы курса. На этом уроке никаких новых методов
предлагаться не будет. Основная задача его — заставить вас вспомнить
тригонометрические и и другие методы решения уравнений и применить их
к конкретным задачам. Я все время буду напоминать вам, что до окончания

236 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
вступительных экзаменов вы должны держать в голове все пройденные
методы.
Это, конечно же, совсем не просто. Но если бы все в жизни было просто,
то жить было бы неинтересно. Оценка, которую вы заработаете за
задачи, предлагаемые ниже, покажет вам, в каком состоянии находятся ваши
знания. Если она окажется существенно ниже, чем вы ожидали, не
переживайте. Вы ведь еще не прикладывали никаких усилий для того, чтобы
держать в голове все пройденное. Давайте, начиная с этого урока,
стараться это делать. Я советую начать с запоминания (наизусть, как стихи)
названий всех — да-да, всех! — пройденных уроков. После того как
названия выучены, мысленно проходя по каждому из названий, попытайтесь
вспомнить методы, формулы и задачи, которые на соответствующем уроке
проходились. И так для всех уроков. За такой тест для памяти ставьте
себе оценку по стандартным критериям (т.е. 50% правильных ответов -—
«три», 75% — «четыре» и 90% — «пять»). Далее, обратите внимание на
связь между оценками за домашние задания, за работу на уроке и за тест
для памяти. Стремитесь подтянуться до лучшей своей оценки.
COS X
► Задача 1. r — sin ж 4- cos ж.
| COSXj
Решение. ОДЗ уравнения состоит из таких х, что cos x ф 0. Чтобы
раскрыть модуль, надо рассмотреть два случая (см. урок 8).
1. cos х > 0. Тогда | cos ж] = cos а; и уравнение принимает вид
sin ж -1- cos х — 1 •$=> /2sm(.T ■+-—) = 1 <*=ф х = (—1)" h nir, neZ.
4 4 4
Если п — 0, то х — 0. Если п = 1, то х = |. Если продолжать придавать
п целые значения, то новых точек на круге уже не будет. Следовательно,
решения представляются сериями х — 2nir, n.GZnx = |-b 2mr, n £ Z.
Ясно, что косинус положителен для первой из них, а для второй он равен
нулю. Итак 2п7г, л е Z
2. cos ж < 0. Тогда | cosx| ~ — cos ж и исходное уравнение принимает вид
7Г 7Г
sina; + созж — -1 ф=> х - (-l)n+1- -птг, п е Z.
4 4
Точно так же, как в первом случае, находим, что решения
представляются на круге сериями х = тг + 2птг, п € Z и х = — ^ + 2п7г, п € Z. Из них
только первая удовлетворяет условию cos x < 0.
Ответ: пп, п € Z. •*
► Задача 2. &1*™2 * +81c°s3* = 30.

Урок 20. Смешанная тригонометрия
237
Решение. Пусть у — sin2 х. Тогда cos2 х — 1 — у, и наше уравнение
принимает вид
81» + 811-и = зо ^=» 81» + ~ = 30 <=> (81»)2 - 30 ■ 81» + 81 = 0,
откуда либо 81^ = 3, либо 81й = 27 и, тем самым, либо sin2 ж = |, либо
■ 2 Ч
sin ж = |.
Ответ: (-1)"(±£) + шг, ±| + 2И7Г, ±^ + 2шг, п € Z. «
Задача 3. (1 + 2 sin ж) W cos(x -1- |) — 0.
Решение. Очевидно, все решения уравнения cos(x +- f) = 0 должны войти
в ответ. Что касается уравнения 1 + 2 sin х = 0 -Ф=> sin х = — ^ «=^
ж — ( —1)'1+1| 4- П7г, и е Z, то из его решений надо выбрать такие, что
cos(x + f) ^ 0. Серия ж = (—1)"+1| + шг, гг G Z, очевидно, разбивается
на две: х — — | + 2шт, тг £ Z, и х = — Ц- + 2птт, п Е Z (убедитесь в этом,
нарисовав соответствующие точки на круге).
Если х - — | + 2гс7г, тг G Z, то
7Г 7Г 7Г 7Г
cosix + —) = cost- h 2птг = cos — > 0.
4 4 6 12
Мы опустили 2п7г, поскольку из-за периодичности косинуса имеем cos(a +
2п7г) = cos a для любого а. Следовательно, серия ж = — | +2П7Г, п 6 Z, есть
часть ответа.
Если х = -~ + 2П7Г, n e Z, то
соэ(ж + -) = cos(- - -— + 2шг) = cos(- —) < 0,
4 4 о L/
т.е. эта серия не подходит.
Ответ: х = — ■§ + 2п7г, ж = j + пя, п е Z. -4
Задача 4 [2]. w sin ж + cos ж — cos2x.
Решение. Наше уравнение эквивалентно следующей системе:
Г sin ж + cos х = cos2 2ж,
 cos 2x ^ 0.
Пусть sin ж 4- cos х — t. Тогда cos2 2х = (cos2 ж — sin2 ж)2 = (cos х +- sin ж)2 х
(cos ж —sin х)2 = t2(cos2 x+-sin2 x —2 sin x cos ж) = t2(2cos2 ж-К 2 sin2 x — sin2 х —
cos2 х — 2 sin x cos ж) — t2 (2 - t2).
Уравнение четвертой степени £4 — 2£2 4-1 — 0 решается, поскольку у него
легко угадать корни 0 и 1. Остальные корни его равны 2 ■ Вспоминая,
что t = sinx + cos ж, заключаем, что t = —1 2 - < — /2 не годится, так как
sinx + cosx = V^s"m(x+ f) e [-V2, >/2].

238 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
1) Пусть йшж + сойж = 0 •*=> х ——j + rnv, n e Z. г£огд.асоз2х — (cosx +
sin ж) (cos ж — sin ж) = 0 • (cos ж — sin ж) — 0 и, значит вся вышеприведенная
серия входит в ответ.
2) Пусть sin ж 4- соя ж = а > 0, где а — одно из чисел 1, 2-1. Из
серии х — (—1)" arcsin А= — | 4- пк. п € Z, нам надо выбрать такие ж, что
соэ2ж ^ 0. Но cos2x = (cosa;4-sinx)(cosa; —sina;) = /2зт(ж + |)/2соз(ж4-|);
мы видим, что из тех х. для которых зш(ж 4- f) = As > О, надо найти
такие, что cos (ж + |) ^ 0. У нас либо х + | — arcsin а + 2п7г, п е Z, либо
ж + j — 7г — arcsin а 4- 2п7Г, п € Z.
Легко видеть, что в первой серии ж 4- ^ лежит в первой четверти, так
что все такие ж годятся. Во второй серии а; + f лежит во второй четверти
(-> cx)s(x + f) < 0), и ни одно такое ж не подходит.
Ответ: — | + И7Г, 2птг, arcsin ^Г/?1 — f 4- 2шг, n £ Z. 4
►■ Задача 5. 3(log2(sin#))2 4log2(l — сой2ж) = 2.
Решение. Поскольку 1 — cos 2ж = 2 sin2 ж, область допустимых значений
уравнения состоит из тех ж, для которых sinx > 0. Имеем log2 (1 — соз2ж) —
log2 (2 sin2 ж) — 1 4- 2 log2 sin ж. Обозначив log2 sin ж через t, получим
уравнение: -, I
3t2 + 2t-l = Q <i=> t = -l,- <f=^> этж=-,2з.
Поскольку 2в > 2° — 1 , только решения уравнения sin ж = | входят в
ответ.
Ответ: ж = (—1)"| 4 ггтг, гс £ Z. -4
► Задача 6. /2 cos х — 1 = sin ж.
Решение. Уравнение эквивалентно системе:
Г 2совж - 1 — sin2 ж, Г cos2 ж 4- 2собж - 2 = 0, f cos ж = — 1 ± /3,
[ sin ж ^ 0 [ sini^O L sin ж 5= 0.
Уравнение cos ж — —1 — /3~ < — 1 не имеет решений; решением уравнения
cos ж = /3 — 1 являются две серии: ж = arccos(/3 — 1) + 2гс7г, тг € Z, и
ж = — arccos(/3— 1) 4- 2птг, п 6 Z. Ясно, что синус положителен только для
первой из них.
Ответ: х — arccos(/3 — 1) 4- 2тг, п е Z. 4
► Задача 7 [2]. iogV2(sin^+co^)(^6sin:E + ^собж) ^ 1.
Решение. Данное неравенство эквивалентно совокупности двух систем:
. Г л/2(зшж 4- cos ж) > 1,
I /6 sin ж 4 /2 cos ж ^ у^этж + cos ж),

Урок 20. Смешанная тригонометрия
239
(2)
Г 0 < /2(sin:r + cos ж) < 1,
i 0 < y/Esinx 4- л/2 cos ж ^ /2(sina; 4- cos ж).
Применяя формулу sin ж 4- cos ж = %/2sm(# 4- f) и упрощая второе
неравенство системы (1), приведем ее к виду
Г sin(a;+f)> §,
 sin ж ^ 0.
Обозначим ж 4- f через у и покажем, как решить неравенство sin у > ^.
Посмотрим на картинку (рис. 1).
ьтт
6
Щ
v^ 
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Как известно, синус угла, задаваемого на круге, есть ордината
соответствующей точки. Нам надо описать все точки на круге, ордината которых
больше |. Для этого проведена горизонтальная прямая на высоте | от оси
абсцисс (на этой оси сейчас откладывается у). Заштрихованная область
круга и будет искомым множеством. На прямой оно будет состоять из
бесконечного числа интервалов, получающихся из интервала (|, ^-) сдвигом
на 2шг, п е Z.
Следовательно, f 4- 2пл < ж 4- f < if + 2птг, п е Z, -Ф=Ф-
^ + 2тиг <
ж < jTjTr 4- 2птг, n G Z.
Аналогично рассуждая, найдем, что sin ж ^ 0 -Ф=> 2&7Г ^ ж ^ 7г 4-
2ктг, к е Z. Множества решений неравенств sin (ж 4- f) > | и sina; ^ О (уже
относительно ж!) изображены на рис. 2.
Горизонтальная штриховка задает область, где sin ж ^ 0, а косая — где
зт(ж4- ) > - Решением первой системы будет пересечение этих областей,
т.е. множество
2птг ^Х<Ц + 2шг, п в Z
Разберемся теперь с системой (2). Неравенство 0 < %/2(зтж 4- cos ж) < 1
эквивалентно 0 < вт(ж +4)^2' КОТОРое равносильно совокупности
неравенств
7Г 7Г
2for < ж 4- - < - + 2for, к 6 Z,
4 6
— 4- 2for <i+-<?r + 2for, fc 6 Z
6 4
(нарисуйте сами соответствующую картинку).
Из этих неравенств без труда находится ж:
7Г 7Г 77Г 3
-- 4- 2Ьг < ж < -— 4- 2for, fceZ: —4- 2for < ж < -7Г 4- 2for, fceZ.
4 12 12 4

240 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
Второе двойное неравенство системы удобней записать в виде системы:
Г л/б sin ж + /2совж > 0, J sin(a; 4- f) > 0,
1 sin ж ^ 0  sin x < 0.
Решения этой системы задаются пересечением двух областей —тг + 2птт ^
х < 2шг, neZ (задающей решения неравенства sin ж ^ 0) и — | +2ктт < ж <
^ 4- 2кя, к £ Z (задающей решения неравенства эт(ж 4- f) > 0). Рисунок
сделайте, пожалуйста, сами. Вы увидите, что пересечение этих областей
состоит из серии полуинтервалов ( —f + 2птг, 2птг], п е Z.
Осталось пересечь область решений первого и второго двойных неравенств.
Посмотрим на картинку (рис. 3). Нашим вторым куском ответа будет
та область, где две штриховки накладываются.
Ответ: 2шг ^ х < у^7г 4 2шг, — | 4- 2шг < х < —^ 4- 2птг, п € Z. 4
sin(f-z)
► Задача 8. 1 + 2^х = 34 ^С°5:Е .
1
Решение. Заметим, что s"^ х' — -*5—&* -^-""ж = i-iSi.
V 2 cos ж V 2 cos ж ^
Обозначим 2*§ж через у. Тогда наше уравнение примет вид
2 ,
1 + у = 3-- <=> уг + у~ 6 = 0 4=4> у = 2,-3.
Из у > 0 следует, что у = 2 -^=> tg ж = 1 <*=$► ж = j 4- шг, п £ Z.
Ответ: ж = -| 4 нтг, п е Z. 4
► Задача 9. Ioga._a.2(sinx 4- cos ж) = loga._x2(l 4 вт2ж).
Решение. Область допустимых значений данного уравнения состоит из
таких ж, что sin ж 4 cos ж > 0 и ж — ж2 > 0.
Теперь можно избавиться от логарифмов:
sin ж 4-cos ж = 1 4 8ш2ж = (sin ж 4- cos ж)2 -4=4- sin х 4- cos ж = 0, 1.
~х — | 4- 2п7г, n e Z,
Учитывая ОДЗ, заключаем, что sin х 4- cos ж = 1 <^=$>
ж = 2тгтг, п б Z.
Согласно ОДЗ имеем ж — ж2 > 0 <^=> ж G (0,1). Но |2тгя-| > 1 и
|| 4- 2шг| = || 1 4- 4пл-| > 1, так что решений нет.
Ответ: 0. -4
j
i'ix ^
2^2 '
► Задача 10. 4^ х - 41+соз2ж ■ log2^4 = - bgsin ж (Ь^)
Решение. ОДЗ уравнения состоит из таких ж, что sinr £ (0,1). Заметим,
что IogaW4 = f, IT^^ = 2Ж = 1(1 + *g2*) и 1оь1пх(^=^) =
bgsiu x sin2 ж = 2.

Урок 20. Смешанная тригонометрия
241
Теперь наше уравнение принимает вид
22tg2x _3.2^2ж + 2 = 0 <=> 2^х = 1, 2.
Если 2*8 х — 1, то tga; = 0 => sin ж = 0 — противоречит ОДЗ.
Если 2tg ж = 2, то tga; = ±1 <=> х = % + ™, п е Z. Отбирая из этой
серии те ж, для которых синус положителен, получаем
Ответ: (-l)"f + шг, n e Z. «
► Задача 11 [3]. V^ sin2 ж - 1 • logsin х [т^]) > °"
{
Решение. Область допустимых значений неравенства задается системой
sinz е [, 1),
ж е (—оо, |) U (5,+оо).
Чтобы избавиться от квадратного корня, рассмотрим те х из ОДЗ,
для которых 4 sin х — 1 = 0. Ясно, что это будут решения исходного
неравенства. После того, как мы их найдем, квадратный корень можно
будет отбросить.
Решениями уравнения sin ж = | являются числа ( —1)™^ + шг, neZ. При
п = О, 1 получаем числа | и ^. При п = 2 получаем х — ^ > 5. Ясно,
что и все большие п годятся. Если п<0, тож<0<|, т.е. все такие п
подходят.
Итак, первый кусок ответа есть (—l)"f 4- шг, neZ,n/0, 1
Нам осталось решить в ОДЗ неравенство
(х — 5 ж — 5 1
^~—- 1 ^ 0 <!=» ^—- ^l^xe (-оо, -4] U (-,+оо).
Учитывая ОДЗ, заключаем, что в ответ войдут все интервалы,
задаваемые неравенством sina; е (§>!)> пересеченные с множеством (—оо, — 4) U
(5, +оо). Семейство вышеупомянутых интервалов можно записать так:
х е (- + 2птг, - + 2п7г) U (- + 2птг, — + 2шг), neZ.
Посмотрим на рис. 4. На нем изо- -*—•»—t—a—^—>—<—» "■ л—■—■■—i—»—
бражено несколько интервалов семей- 62 б 2 ? 6 2 б 61'
ства. Интервалы (£,§) и (§,^) вы- Рис- 4
падают полностью (они получаются из указанной серии при п = 0).
Интервалы, получающиеся при п ^ 1, лежат правее числа 5 и, следовательно,
попадают в ответ. Если п = — 1, то интервал ( — Ц-я,— §7г) лежит левее
числа —4, а интервал (—|7Г, — ^п) содержит —4, так что в ответ войдет
полуинтервал ( —§тг, —4]. При п < — 1 все интервалы войдут в ответ.
Ответ: х = (-l)"f + птг, п € Z; —§7Г < х ^ -4, £ + 2Ьг < ж < §-|-2for, fc e
Z, fc ^ 0; f + 2птг < ж < |тг + 2шг, neZ,n^0, 1. *

242 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
Урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.
Домашнее задание
► 1. vsinz 4 cos ж = 0
+ 2. у-'совж + sin a: — О
► 3. 4| cosx| 4- 3 — 4 sin2 a:
►• 4. log2(3sinz - cos ж) 4 log2(cos:r) = О
„ I sin a: |
► 5. —r ■ = 1 — cos2z
sin ж
► 6. tg(4sina;) = /3
► 7. [cos2§ - || = 5cosx4 1
► 8. i/l — cos 2x — sin 2x
► 9. ^д cos x — 1 + sin x — 0
►• 10. (2 + 3cos2a;)(W2cos2a; + 3sin:r + 3-2ein2; + l) = 0
► 11 43'11 x -4- 25 — 2sinx _= 1 о
► 12. (1 4-2 cos ж) л/sin (ж 4-f) =0
/1 /1
► 13. t / - 4- sin x — л / - — sin Зж
V 2 V 2
►• 14. 6sinx —  — i/34sinx — ||
► 15. 2sin(v^+f) = V3
► 16. w - cos x = J ~ 1 + 2 sin2 x
*- 17. log2(cos2a; + cos§) 4-log 1 (sin ж 4- cos f) - 0
► 18. log5(cosf+ 3tgar-2^) + logi(cos§+tg2ar- ^fl) = 0
*• 19. w 5 sin x 4- cos 2ж 4 2 cos x = 0
► 20. 4|sina;| + 2cos2:r = 3
► 21. [cosa;I > 1
► 22. л/sin ж 4- cos x — sin x — cos ж
► 23. w5 — 2 sin ж > 6 sin ж — 1
► 24. sin 4x sin x — sin Зж sin 1x — cos Зж + f 4- cos ж
► 25. i/l 4 sin2ж - %/2созЗж = 0
*■ 26- lQgsin;r_CD3I(sinx -5 cos ж) ^ 1
► 27. log 2 со» я /l + 2сов2ж < 1
► 28. Vtgx- l(logtg ,(244 cos2 ж) - 2) > 0

Урок 21. Задачи, содержащие логарифмы, модули и т.п. 243
*29- ь&*8. (sat) < i
11 11
/1 — С08 2ж /-г, 1л
» 31. : — = V2 COSX - -)
sin ж I
► 32. | sin ж 4- 2 sin 2ж + sin3z] = 1 + 2 cos a: + cos2x
► 33. 1 - /з+losing _ 2ctga.
► 34. ,/l2 - 5sin(a; + f) + 2sin:r = fv^-2cosx
sin x sin x
► 35. v9 + 4>/5 +V9-4%/5 = ^
Урок 21
Задачи, содержащие одновременно
логарифмы, модули, радикалы и т.п.
Этот урок является логическим продолжением предыдущего. Никаких
новых способов решения задач мы сегодня разучивать не будем. Так же
как и в прошлый раз, наша цель — применение всех пройденных ранее
методов при решении конкретной задачи. Я выделил тригонометрию в
отдельный урок (урок 20), поскольку она почему-то больше всего забывается.
Так же как и на предыдущем уроке, необходимо четко помнить все нами
изученное о логарифмах, модулях, радикалах, рациональных уравнениях и
неравенствах. На прошлом уроке мы договорились, что вы будете
стремиться держать в голове все предыдущее. Если не получается пока все, то
ограничьтесь хотя бы уроками 8-12 и 18, 19. Приступайте к этому уроку
только если вы имеете положительную оценку по названному сокращенному
тесту на память.
► Задача 1. | lg х - 1| + 2| > 3 .
Решение. Пусть lg х — 1| = у. Тогда получаем неравенство у + 2j ^ 3 -Ф=Ф
у 6 (-оо, -5]U[l,+oo).
Если lg х - 1| ^ 1, то х - 1| > 10 «=*■ х б (-оо, -9] U [11, +оо).
Если lg х - 1| ^ -5, то 0 < х - 1| < 10"5 <^=> х е (1 - Ю-5,1) U (1,1 +
10"5).
Ответ: х е (-оо, -9] U [11, +оо) U (1 - 10"5,1) U (1,1 + Ю-5). «

244 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
► Задача 2. f > 0.
bg3(^2)
Решение. Надо рассмотреть два случая: I Vg*~Д^0 и { ъ£{х*)<о '
Первое неравенство первого случая выполняется при любых х из ОДЗ,
т.е. при i ^|, г / 1. Значит, решение первой системы состоит из таких
ж, что log3(x2) > 0 <=$■ х > 1.
Первое неравенство второй системы может выполняться только при
х = . Ясно, что это х также входит в ответ.
Ответ: х = h, x > 1
2'
■4
►
Задача 3. log|x+6| 2 ■ ^g2{x2 - х - 2) > 1.
Решение. ОДЗ данного неравенства состоит из всех таких ж, что |я; + 6| >
О, х + 6] ф 1, х2 - х - 2 > 0 <=► же (-оо, -7) U (-7, -6) U (-6, -5) U
(-5,-l)U(2,+oo).
В ОДЗ имеем log^^ 2 = ^—Ъ+Т-> и наше неравенство принимает вид
{°gtl2xlb2) > l ^ bg|x+6|(^-^-2)^log|x+6||x + 6|.
А это уже стандартное неравенство, которое по формуле (16) урока 19
разбивается на две системы | |Ж+6|>1 и ( o<|a;+6|<i
Решим первую систему. Если х > —б, то jar + 6| = х + 6 и первое
неравенство приобретает вид х2 — 2х — 8 ^ 0 <$=> ж £ (—оо, —2] U
[4, +оо). При х > — 6 второе неравенство системы равносильно тому,
что х + 6 > 1 <=Ф- ж > —5 и, тем самым, первый кусок ответа есть
хе (-5,-2]U[4,+oo)
Если х < —6, то х + 6| — —ж — 6 и имеем неравенство х2 + 4 ^ 0, которое,
очевидно, выполняется при всех х, так что второй кусок ответа получается
из неравенства —х -~ 6 > 1 <$=> ж < —7.
Мы опускаем подробный разбор всех случаев, доказывающий, что вторая
система решений не имеет.
Ответ: х £ (-оо, -7) U (-5, -2] U [4, +оо). м
► Задача 4. (/z2 - 4х + 3 + 1) log5 § + |(/8а: - 2х2 - 6 + 1)^0.
Решение. Выражения под вторым радикалом получается из выражения под
первым умножением на —2. Поэтому если хоть одно из этих выражений
положительно, то другое отрицательно. Следовательно, ОДЗ неравенства
состоит из таких х7 что х2 — 4х + 3 = 0 <=*>■ х — 1,3. При х — 1 левая
часть равна нулю, так что единица входит в ответ.

Урок 21. Задачи, содержащие логарифмы, модули и т.п. 245
Если х = 3, то левая часть равна log5 | + § — log5 3 -1 + | = log5 3 - | > 0.
Последнее неравенство выполняется, поскольку 3 > у25 => 3 > 5з =>
log5 3 > |. Значит, х = 3 не годится.
Ответ: х — 1. <4
► Задача 5. log2(v^2 - 4ж + 3) > logi ( ^-^ , 1 ) + 1-
5 Vу/х2 — Ах + у/х+1 + 1/
Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из тех ж, при
которых определены радикалы, поскольку в этом случае все выражения под
логарифмами будут строго больше нуля. Итак, ОДЗ есть [—1,0] U [4, +оо).
Имеем
2 2
log; ===—- = - log2 . . —- =
2 у/х2 - Ах + у/х + 1 + 1 у/х2 - Ах + у/х + 1 + 1
= -1 4- log2(/a:a - Ах + у/х + 1 + 1),
тем самым, наше неравенство принимает вид
og2(/x2 -Ах + 3) > log2(/z2 - Ах + у/х + 1 + 1) «■
■& /х2 - Ах + 3 > >Д2 - 4ж + л/ж + 1 + 1 <=> Var + 1 < 2 <^> -1 < ж < 3.
Учитывая ОДЗ, заключаем, что х € [—1,0].
Ответ: [—1,0]. <
► Задача 6. : Д „ , , _—гт ^ 2.
Решение. Здесь очень важно правильно найти ОДЗ и сокращать себе
работу при любом удобном случае.
Ясно, что должно быть 1 - Ах2 > 0, ф 1 <=> х е (-|,0) U (0, ).
Далее, 10za + Ъх +  > 0, ф 1 <=^ ж £ (-оо, -^#) U (-^#, -^) U
f /5-5 /45-5 i , /л/45-5 , д
^ 20 ' 20 ' U v 20 ' "f"JW-
Ввиду того, что 4 - |ж| > 0 при х < , заключаем, что ОДЗ данного
неравенства состоит из таких ж, что
/ 1 5 + л/5 Л/5-5 
ж€ --, —— U ' .0 U
^п v^-S^ Л/45-5 \
20 у ^ 20
Заметим, что левая часть неравенства представляет собой правую часть
формулы перехода к другому основанию, т.е. равна
так что в ОДЗ исходное неравенство эквивалентно следующему
стандартному: 1
logio*»+5*+i (4 " 1*1) < loSi0xH5x+^(lte2 + Ъх + 2У

246 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
Рассматриваем два случая.
1) 10ж2 4- Ъх 4-  > 1 -£=*> х > ■ 1^~5. Последняя эквивалентность
имеет место с учетом ОДЗ и того факта, что ~5"^у < — £. Значит,
автоматически х > О и х = ж, откуда 4 — а; < 10ж2 + 5ж 4- | <=>- ж ^
ц""3 — мы опять учли ОДЗ и не рассматривали отрицательных решений
последнего квадратного неравенства. Следовательно, мы имеем первый
кусок ответа:
%/44
14-3 Л
10 ' 2)
2) 10ж2 4- 5ж 4-  < 1 <*=> х < 250~~5 — мы опять воспользовались тем,
что второй корень квадратного трехчлена строго меньше нижней границы
ОДЗ. Теперь мы должны раскрыть модуль.
2.1) хе (о,^|=*). Тогда 4 -х > 10я2 4- Ъх 4-  <^=> х ^ Щ~■ Из того,
что -"iff7- > (0, у4250~5 I, следует, что весь рассматриваемый интервал
входит в решение:
*е(о,^
2.2) а: < 0. Тогда А + х ^ 10а:2 + Ъх 4- § «=> ж > ~2f^ ■ Из того, что
ж ^ -з-узэ < — , следует, что оба отрицательных интервала ОДЗ
входят в ответ.
^^№)и(Ч-^)и(^,о). .
Ответ:
10
2
3|x^-5x + 6|-log32 _ 2-У-1
► Задача 7 '
{
2jy + 2|-5|y|-(y-3)2^-5.
Решение. Прежде всего нужно решить второе неравенство. Пусть у ^ 0.
Тогда
2у + 4 - Ъу - у2 + 6у - 9 ^ -5 «■ у2 - Зу < 0 & у € [0, 3].
Если -2 < у ^ 0, то
2у + 4 4 Ьу - у2 + 6у - 9 ^ -5 «• у2 - 13у ^ 0 <^ у € [0,13] П [-2,0] & у = 0.
Если у ^ —2, то
-2у - 4 4- 5у - у2 4 6у - 9 ^ -5 <^ у2 - 9у 4- 8 < 0 «• у е [1,8] П (-оо, -2],
т.е. в этом случае решений нет и 0 ^ у ^ 3.
Прологарифмируем первое уравнение по основанию 3:
logB3x*-5x+n-lo*>2 = log32~v-1 «=» i.x2-5x4 6| = -ylog32.
Левая часть неотрицательна, будучи равна модулю, и log3 2 > 0. Значит,
—У *? 0 <^=>- у ^ 0. Вспоминая, что говорит об у первое неравенство,
заключаем, что у — 0. После этого х находится без затруднений.
Ответ: (2,0), (3,0). <

Урок 21. Задачи, содержащие логарифмы, модули и т.п. 247
Задача 8. log4(8(l + f) = ^2 - Iog4 ^ - log4 ±.
Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из таких ж, что
-^- > О
{ X
х 6 —оо, —-
16
15
U(0,+oo).
1 + ^0, <=
Поскольку log4  = -|и1о§4(8(1 + £)2) =log48+log4(l + |)2 = | + 2l0g4^±l,
мы можем обозначить log4 -^- через у. Получим уравнение
Значит, log4 -|_ = -I «
У = -4-
ж
1 + у/2.
Ответ: х = 1 4- /2- ^
► Задача 9. -^/2 4- 2 Iog2 sin ж — 2 log2 tg ж < 1.
Решение. Напишем цепочку эквивалентных преобразований данного
неравенства:
Jl 4- 2 log2 sin ж - 2 log2 tg ж < 1 Ф=Ф 0 < 2 + 2 log2 sin ж - 2 log2 tg ж < 1
0 < 4- log2 sin ж — log2 tg x <
1
{
— 1 ^ log2 cos ж < —
sin x > 0
2>
— 1 < log2(sinz : tgz) <
| < совж < -^=,
sin x > 0
7Г 7Г
— 4- 2шг < ж ^ — 4- 2шг, neZ.
т: О
Ответ: j + 2п7г <ж ^ |4 2шг, neZ. -4
Урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.
Домашнее задание
|ж2 -4x1+3
► 1. log3 '" ■"' "Г > 0
ж12 + |ж — 5|
► 2. у/1 + log2 ж + v/41og4 ж - 2 = 4
► 3. 1 - /1 - 8(logi ж)2 < 31ogi ж
.4. ^
ж-81+ 2
► 5- 9-1*1 = (iy*+i|+|*-i|

248 Глава 5. Более сложные уравнения и неравенства
► 6. хх2-х~2 < 1
► 7. 2ix+21 - 2X+1 - 1| = 2x+l + 1
► 8. tg a;cos2 ж = ctg:rsLni
► 9. 1с^3(у5+1у5-11) = 1оё9(4у5-3 + 41у5-1|)
► 10 [2]. w cos За; 4- л/3 sin 3a? - 3 cos2 ar 4- cos a; 4- ^ — л/Z sin ж 4- §
► 11. |2 4- logi x 4- 3 = (1 - logi r|
► 12 qsin 2i+2 cos2 ж i о 1—sin 2x4-2 sin2 ж _ oo
► 13 [2]. ж2 - Зж-2 4- 3^+2 = 3X 4- x2 ■ 3^
► 14 [2]. 8yT2 + 16a: - 16x2 4- 4a; - Ax2 = 33
x — 1 — J^ +x - x2
*15' lg(4x + l)-lg5 ^°
,_ f logtfa;-2lobBy = l
► 16. < „
I ar2+2y2 = 3
► 17. 25x+1 ^ 10-32lx_1l+1
la;-21
► 18. ' ! = 1
x- 1| - 1
klQ 2loel_3N(42a;2-14]a;| + l) ^
bgl-3|x| (ж - I)
л 3(4ж2 - 9) n
>20-7P=fg2x+3
► 21. ,ogJ (Vto - ** + 3) > log, ^_ga+27V5_^+2 " 3
► 22. <j
Г 2l* -2x-3|-log23 _ 3-У-4
4|y|-|y-l|4-(y + 3)2<8
► 23. 8 + 6|3- /a: + 5| > x
► 24. /5 - 2 sin a; = 6 sin a; — 1
► 25. з13ж_41 = 92ж"2
► 26. log5((2 + ^5)ж - (л/5 - 2)ж) = | - 31og; 2
о
► 27. j| - logi x = || - logi ж| — §
5
► 28. v^ 4- y/x(x + 2) 4 ^(ar 4-1)3 - 0
► 29. x^ = y/x*
► 30. |;E-2|lDE4(z+2)-l°g2x < 1

Глава 6
Начала анализа
Урок 22
Вычисление производной
На этом уроке я не буду давать строгого определения производной. Для
письменного экзамена это просто не нужно. Неформально нам с вами надо
понимать следующее — для определенных функций f(x) можно вычислить
их производную f'(x), которая также является функцией. Мы с вами
должны научиться хорошо вычислять производные простейших функций
и понимать, что раз производная /'(ж) есть тоже функция, с ней можно
производить обычные арифметические действия, вычислять значение в
точке а, равное /'(я), и т.д.
Для того чтобы научиться вычислять производные элементарных
функций, нужно для начала подобно таблице умножения запомнить наизусть
табличку производных самых наираспростейших функций. Вот она:
(1) С' — О для любой константы С.
(2) х' = 1.
(3) (iQ)' = аха~1, где а — любое число, не зависящее от х.
(4) (sin х)' — cos х.
(5) (cos x)' — — sin x.
(6) (tgx)' = --.
v v COS2 X
(7) {ctgx)' = —-z-.
sm x
И опять-таки наизусть необходимо выучить следующие формулы, при

250
Глава 6. Начала анализа
помощи которых можно поиски производных сложных функций сводить к
табличным случаям.
(8) (Cf(x))' = С fix), где С — константа, т.е. не функция, а число.
(9) (f(x)±3(x)Y = f'(x)±g'(x).
(Ю) (f(x) ■ д(х))' = /'(z) ■ д(х) + f{x) ■ д'{х).
пи (f{x) ^f'{x)-g{x)-f{x)-g'{x)
{ } д[х)) Ш)2
(12) №9Ш = ГШ).д'{х).
У большинства поступающих применение всех формул, кроме (12), не
вызывает трудностей. В случае, когда дана сложная функция, трудно
бывает понять, что применить надо именно формулу (12), а если это и
понято, то неясно, как выделить f(x) и д{х).
Следующий тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы
понимаете формулу (12).
Дана функция f{g{x)). Определить f(x) и д(х).
1. sin(a:3). 3. у/х2 + х + 1. 5. ctg(z + l). 7. 2CDSa 9. ^.
2. tg2x. 4. cos3a;. 6. (23а: - ll)3. 8. ЪЪх~2. 10. sin(cosz).
Если вы получили 3 или меньше (по стандартному критерию), то прочтите
нижеследующее объяснение. Если у вас оценка выше трех, то пропустите
его.
Сложная функция f{g{x)) есть /(у) для у = д{х). Чтобы узнать ее,
надо попытаться увидеть, что в данном выражении может быть обозначено
через у, и сделать эту замену, получив функцию /(у). Для того чтобы
применить формулу (12), надо найти /'(у), вместо у подставить д(х), найти
д'(х) и перемножить функции f'{y) = f'(g{x)) и д'(х).
Заметим еще, что формула (12) позволяет вычислять производные от
функций, которые представлены в виде последовательного применения не
только двух, а любого числа функций. Например,
(J(g(h(x))))' = f'(g(h(x))) ■ (g(h(x)))' = f'(g(h(x))) ■ g'(h(x)) ■ h'(x).
► Задача 1. /(z) = ж-—, /'(1) = ?
Решение. Поскольку f(x) —х- Ззт"1, имеем
f'{x) = (ж - 3Z"1)' = х'- (За:"1)' = 1 - З^"1)' = 1 - 3(-х~2) = 1 + ^-
Значит, /'(1) = l + f = 4.
Ответ: 4. -4

Урок 22. Вычисление производной
251
* Задача 2. у — собЗж, у1 = ?
Решение. Здесь у = f(g(x)), где f(x) — cos ж, g(x) = Зж. Значит,
у' = cos'(3:r)- (Зж)' = -sm3ar-3(ar)' = -3 sin За:.
Ответ: — ЗэтЗж. 4
* Задача 3, у = sin2 -, у' = ?
Решение. Опять имеем функцию f{g(x)) для /(ж) — ж2, з(ж) = sin|.
Следовательно, ^ , х х ,
у = 2sin-.(sm-j =2sm-coS--y =
— 2 sin — cos — ■ -(ж)' = sin — cos —.
2 2 2K ' 2 2
Ответ: sin | cos |. 4
ж2 - 2
► Задача 4. у = у'(2) = ?
xl + 2
Решение. Здесь надо применить формулу (11):
, _ (ж2 - 2)'(х2 + 2) - (ж2 - 2)(ж2 + 2)' _
У ~ (ж2 + 2)2
2ж(ж2 - 2) - 2ж(ж2 + 2) 8х
Следовательно, у'(2) = -(2а8+22^ = ~|
Ответ: — §. 4
(ж2+2)2 (ж2+ 2)2'
!■
►• Задача б. у = (ж4 - ж2 + I)3, у' = ?
Решение. Здесь опять имеем сложную функцию f{g{x)), где /(ж) = ж3 и
</(ж) — ж4 — z2 + 1. Следовательно,
у' = 3(ж4 - ж2 + I)2 • (ж4 - ж2 4- 1)' =
- 3(ж4 - ж2 + 1)2((ж4)' - (ж2)' + (1)') = 3(ж4 - ж2 + 1)2(4ж3 - 2ж).
Ответ: 3(ж4 - ж2 + 1)2(4ж3 - 2ж). *
„- а ж3-Зж2 + 1 ,
► Задача 6. у = — , у - ?
ж — 1
Решение. Работает формула (11). Применим ее, заметив, что (ж3 -
Зж2 + 1)' = Зж2 - 6ж и (ж - 1)' = 1:
(Зж2 - 6ж)(ж - 1) - (ж3 - Зж2 + 1)■ 1 _ 2ж3 - 6ж2 + 6ж - 1
(ж-1)2 ~ (ж-1)2 '

252 Глава 6. Начала анализа
-3-е«2-
Ответ: Зх3-в«Чвх-1
Задача 7. у = а4х3 — 7х2 + 1, у' — ?
Решение. Имеем сложную функцию J{g{x)), где /(ж) = ах = хз,и g(r) =
Ахг — 7х2 + 1. Следовательно,
1ч ■> > 1 1 , ч ■) , 12а, — 14а;
уг - -{4хА - 1хг + I)»"1 (4г3 - 7х2 4- 1)' =
3х ' 3{/(4жа-7^ + 1)2
Ответ: ™*2-"*
3^/(4ж3-7жг + 1)й'
► Задача 8. у = ж2 cos —, у' = ?
х
Решение. Применим формулу для производной произведения (формула
(10)).
^/ _„„ ' -- - | cos — ■ = 2х cos - + хг - sm - - { - =
у' = (х )' cos —h х~ ■ i cos — J = 2а; cos . _ , —~ . , ,
X  Xj X  X Xj I
1 . 1
= 2a;cos sm —.
X X
Ответ: 2zcos - — sin -. <
X X
► Задача 9. у = sin 2xtgx, y' — ?
Решение. Здесь нужны формулы (10) и (12):
у' = (sin2a;)'tgx -f sin 2a;(tg z)' = 2cos2:rtg:r + sin2:r
9 '
COSz X
откуда после упрощений получаем у' = 2 sin 2x.
Этот же ответ можно получить и другим способом, сначала
преобразовав исходную функцию к виду у — 2 sin x и потом взяв производную.
Ответ: 2sin2:r. 4
► Задача 10. у = )J^^, у'(0) = ?
Решение. Можно было бы сначала вычислить производную, а потом
подставить в нее значение х = 0. Но нас не спрашивали, чему равна производная,
так что мы чуть-чуть схитрим и будем вычислять только ее значение в
нуле.
Имеем у - у/Щ, где /(0) = д(0) = 1, /'(0) = -1, д'(0) = 0.
Следовательно,

Урок 22. Вычисление производной
253
.'fm-UfflV' /'(O)g(O) ~/(O)g'(O) _ 1
У1) 2U(0)j ■ (ff(0))2 2'
Ответ: — |.
Наш урок окончен. Оцените себя по стандартным критериям.
Домашнее задание
► 1. у = 2 + х -х2, у' = 1
► 2. у = ^ + ^ - 2ж, у' = ?
► 3. у = (ж + 1)(ж + 2)2(ж + 3)3, y'(Q) = 9
► 4. у = (5 + 2ж)10(3-4ж)20, у'= 9
12 3
► 5. у =- + -- + —, у' = ?
X Хг Xй
2х .
► 6. у = - -, у' = ?
1 — xz
1 + х - х'г
+ Т-У = z —I > У' 0) - ?
1 — ж + ж-*
з/1+Ж3 .
"9" V=(l-3:/(l+x)3' »' = ?
*> 10. у = х +фс+tyx, у' = 1
"1Vv = ii-^i + W "' = '
► 12. y=^--L, j,'=?
► 13. у = ж/1 + ж2, у' = ?
► 14. у = у ж + у/х + у/х, у' = ?
► 15. у = cos 2ж — 2 sin ж, у' = ?
► 16. у = sin* х ■ cos fcz, у' = ?
► 17. у = sin(sin(sina;)), у' = ?
cos ж
► 18- У = ——, У' = ?
2 sin ж
sin ж — ж cos ж
► 19. у = : , у' = ?
cos ж + ж sin ж
sin2 ж ,
►20. у=——. у' = ?
sm(ar)

254
Глава 6. Начала анализа
Урок 23
Применения производной
Как ни странно, и на этом уроке нам не потребуется знать, что такое
производная. Однако ее свойства мы изучим существенно более глубоко,
чем на предыдущем занятии. Напомню, что на этом занятии производная
понималась как операция, которая данной функции /(ж) ставит в
соответствие ее производную f'(x). Мы отмечали, что f'(x) также является
функцией, и давали правила вычисления f'(x) для простейших функций /.
В большинстве случаев такое понимание верно отражает ситуацию.
Например, когда / определено из табличных функций с помощью
арифметических операций, производную /'(а) функции / в точке а можно вычислять
так: вычислить по правилам из урока 22 функцию /' и взять ее значение
в точке а. Однако так просто может не получиться. Пусть, например,
f(x) = /х. Тогда f(x) определена на всей прямой, и f'(x) = т$~ф=- Мы
можем вычислить значение производной f'ia) только при а ф 0 — в
нуле она не существует. Значит, может быть так, что функция определена
на всей прямой, а производная таковой не является. Кроме того, в
приведенном примере формула для производной все-таки подсказывает нам,
что производная в нуле не существует. Может, однако, мучиться так,
что производная в точке имеется, хотя формула, дающая ее значение во
всех остальных точках, этого никак не показывает. Я не буду приводить
соответствующий пример, поскольку это уже сильно выходит за рамки как
школьной программы, так и программ для вступительных экзаменов.
Начиная с этого момента мы должны понимать производную функции
/(х) следующим образом: для каждой точки а из ОДЗ функции f(x) либо
существует, либо не существует производная (т.е. некоторое число) /'(а)
функции / в точке а. Множество всех точек, где существует производная,
и является областью определения f'(x). Таким образом, первичным
является существование производной в данной точке (заметьте, что я не даю
определения!).
Чтобы определить, существует или нет у функции f(x) производная в
точке а, нам с вами достаточно руководствоваться следующим правилом:
если найдется функция д(х) и такие числа р и q, что р < а < q,
производная д'[х) вычисляется по правилам урока 22, определена
{*' во всех точках интервала (p,q) и f(x) = g(x) при х £ (p,<l), tno
производная функции f(x) в точке а существует и равна д'(а).

Урок 23. Применения производной
255
Если такой функции не находится, можно смело считать, что
производной в точке а не существует.
Хорошей иллюстрацией к названному правилу может служить функция
f(x) — х. Если а > 0, то годятся р = 0, q = а + 1 и д(х) — х, так
что производная f'(a) существует для любой точки а > 0. Если а < 0,
то можно взять р — а — 1, д — 0, д{х) — — х, так что и в отрицательных
точках производная у модуля существует. В точке а = 0 функция f(x) — х
производной не имеет.
Мы с вами должны хорошо понимать, что такое возрастание и убывание
функции. Ниже промежутком будет называться любое из следующих
подмножеств прямой: интервал, отрезок, полуинтервал, луч (как содержащий,
так и не содержащий начальную точку), а также вся прямая.
Говорится, что функция у — f(x) возрастает на некотором промежутке
I, если для любых х,у G I таких, что х < у, будет f(x) < f(y).
Геометрически это означает, что график функции идет подобно изображенному на
0
X

0
У
X
Рис. 1 Рис. 2
Аналогично если для любых х,у, х < у из промежутка I имеем f(x) >
f(y), то функция f(x) убывает на этом промежутке. График ее в этом
случае ведет себя примерно так, как на рис. 2.
Необходимо иметь в виду, что говорить о том, что функция, скажем,
возрастает, без упоминания промежутка бессмысленно. Типичная ошибка
здесь такова: поступающие хорошо знают, что если производная меньше
нуля, то функция убывает. При этом они часто забывают добавить дважды
«на промежутке». Если это проделать, то в результате получаем
следующее (уже верное) правило:
если производная функции f(x) больше (меньше) нуля во всех точ-
{**) коя некоторого промежутка, то f(x) возрастает (соответственно,
убывает) на промежутке.
Вот типичная ошибка на применение правила (**). Если дана функция
f(x) = ~, то легко проверить, что ее производная равна — ^. Из того
факта, что производная отрицательна для всех х ф 0, многие абитуриенты
делают вывод, что f(x) убывает на всей своей области определения. Но
это неверно, ибо —1 < 1, но /( — 1) = —1 < 1 = /(1). Правильным
высказыванием будет «/(ж) убывает на множестве ( —оо,0), а также на
множестве (0, -f оо)».

256
Глава 6. Начала анализа
Вот рецепты для анализа поведения функций на промежутках.
1) Для нахождения областей возрастания и убывания функции f(x) надо
найти f'(x) и решить неравенства f'(x) > 0 и f'(x) < 0. После этого
надо отобрать промежутки, на которых f'(x) > 0, и объявить, что на
каждом из них (отдельно!) функция возрастает; аналогично на каждом
из промежутков, где f'(x) < 0, исходная функция убывает.
2) Точки ОДЗ для f{x), в которых производная равна нулю или не
определена, называются критическими. Критическая точка а называется
точкой максгшума, если найдутся такие числа р и q, что
р < а < q и f(a) ^ f(x) для любого х G (p, q).
Критическая точка называется точкой минимума, если найдутся такие
числа р и q, что
р < а < q и f(a) ^ f(x) для любого х е (р, q).
3) Если а — критическая точка, то ее характер (т.е. является ли она
точкой минимума или максимума) определяется следующим образом:
3.1) если найдутся числа р и q такие, что р < а < q и f'(x) > 0 при
р < х < а, но f'(x) < 0 при а < х < q, то а есть точка максимума;
3.2) если найдутся числа р и q такие, что р < а < q и f'(x) < 0 при
р < х < а, но f'{x) > 0 при а < х < q, то а есть точка минимума;
3.3) если найдутся числа р и q такие, что р < а < q и f'(x) имеет
одинаковый знак на интервалах (р, а) и (a, q), то а не является ни
точкой максимума, ни точкой минимума.
С первого взгляда может показаться, что эти правила трудно запомнить.
Но вы же хорошо помните, возрастает или убывает функция в зависимости
от знака производной. Если вы забыли, как определять характер точки,
нарисуйте числовую ось, на ней точку а и знак производной слева и справа
от а. Пусть, например, слева от а стоит знак минус, а справа — плюс (см.
рис. 3). На этом же рисунке изображено стрелкой слева от а, что функция
убывает на промежутке (р,а), а стрелкой справа — что она возрастает на
{a,q).
Две стрелки, нарисованные на картинке, напоминают график функции.
В действительности именно так себя будет вести сама функция, хотя
график ее, разумеется, не обязан состоять из прямых линий. Из этого
«графика» видно, что в точке а функция принимает наименьшее значение, т.е.
точка а есть точка минимума.
Р a q paq paq
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5

Урок 23. Применения производной 257
Рисунок 4 объясняет, почему получается точка максимума, если слева от
а производная имеет знак плюс, а справа — минус.
Если производная положительна слева и справа от а, то из рисунка 5
видно, почему а не есть ни точка минимума, ни точка максимума.
Аналогично выглядит ситуация, когда производная отрицательна как
слева, так и справа от а.
4) Пусть функция f(x) задана на некотором промежутке. Если требуется
найти наибольшее (наименьшее) ее значение на этом промежутке, то нужно
действовать следующим образом:
4.1) найти критические точки функции;
4.2) на промежутках знакопостоянства производной изобразить
стрелками, возрастает или убывает функция на данном промежутке;
4.3) из получившегося рисунка будет видно, какие точки есть точки
максимума, а какие — минимума;
4.4) вычислить значения в точках максимума (минимума) и на концах
промежутка; наибольшее (соответственно, наименьшее) из них и
будет наибольшим (соответственно, наименьшим) значением
функции на исходном промежутке.
х + 3
► Задача 1. Найти области возрастания и убывания функции у = .
х — 5
Решение. Производная функции равна - (л.Да ■ Она не определена в точке
а = 5. Во всех остальных точках производная отрицательна. Отсюда
получаем
Ответ: функция убывает на каждом из промежутков (—со, 5) и (5, +оо).
► Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =
хь — х3 — 2х + 4 на отрезке [—2, 2].
Решение. Поскольку f'(x) = ЪхА — Зх2 — 2,
критические точки f(x) совпадают с теми, для
которых производная равна нулю. Легко найти, что
это точки ±1. Из того, что f'{x) = 5z4 — Зх2 - 2 =
(5ж2 + 2)(ж— 1)(ж+1), следует, что знак f'(x)
совпадает со знаком выражения (х — 1)(х + 1), и можно
уже нарисовать картинку поведения f(x) на
отрезке [-2,2].
Отсюда видно, что наименьшее значение f(x) принимает либо в точке
—2, либо в точке 1. Поскольку /(—2) = —16 < 2 = /(1), наименьшее
значение функции на отрезке [—2,2] равно —16.
Наибольшее значение функции есть одно из двух чисел /(—1) и /(2).
Поскольку /(-1)=6<24=/(2), наибольшее значение f(x) на [—2,2] равно 24.

258
Глава 6. Начала анализа
Ответ: наименьшее значение равно —16, а наибольшее равно 24. <
► Задача 3. Найти наименьшее значение функции у = |3ж — 2| + |ж + 1|.
Решение. Рассмотрим три случая.
1) х ^ -1. Тогда у = 2 - Зж + (-1 - ж) = 1
у' = —4 < 0, т.е. функция убывает на (—сю, — 1].
4ж. При таких х имеем
2) -1 ^ х ^ §. Тогда у = 2-3ж + ж+1 = 3 — 2ж. При таких ж имеем
у' — -2 < 0, т.е. у убывает и на множестве [—1, |].
3) х ^ §. Тогда у = Зж-2 + ж + 1 = 4ж - 1.
Поскольку j/ = 4 > 0. функция возрастает на
[§,+00).
Нарисуем картинку, характеризующую
поведение функции (рис. 7). Отсюда видно, что
наименьшее значение принимается в точке | и равно |.
Рис. 7
Ответ: наименьшее значение функции равно |. <
► Задача 4. Число 18 разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их
квадратов была наименьшей.
Решение. Пусть одно из слагаемых равно х, тогда другое есть по условию
18 — х. Здесь х может принимать любые значения, а функция
f(x) = х2 + (18 - х)2 = 2х2 - 36ж + 324
должна принимать наименьшее значение.
Имеем f'(x) = Ах — 36. Итак, критическая точка всего одна и (проверьте
сами!) является точкой минимума. Значит, минимальное значение f(x)
принимает при х = 9.
Ответ: искомое разбиение есть 18 = 9 + 9. <
► Задача 5 [2]. Имеет ли уравнение 2ж2
[0,2]?
х3 — х + 3 = 0 корни на отрезке
Рис. 8
Решение. Найдем наименьшее значение функции
f(x) = 2х2 - х3 — х + 3 на отрезке [0,2]. Имеем
f(x) = Ах - Зж2 - 1 = -(Зж - 1)(ж - 1).
Значит, картинка поведения функции такова, как
на рисунке 8.
Тем самым, наименьшее значение fix) принимает либо в точке ж = 2,
либо при ж = . Но /(2) = 1 > 0 и /(i) = || > 0, так что функция
2ж2 — ж3 — ж + 3 строго больше нуля всюду на отрезке [0,2].
Ответ: не имеет. <
► Задача 6. Найти точку графика функции у — х? + |, ближайшую к точке

Урок 23. Применения производной
259
Решение. Напомню, что график функции у = f(x) есть множество точек на
плоскости, каждая из которых имеет вид (х, f(x)), где х пробегает область
определения (т.е. ОДЗ) функции f{x).
В нашем конкретном случае график есть множество точек вида (х, х2 +
|), где х пробегает все числа.
Видимо, еще надо напомнить формулу расстояния между точками на
плоскости. Если (xi,yi) и (х2,у2) — точки на плоскости, то расстояние d
между ними вычисляется по формуле
d = y/(xi - х2)2 + (yi - у2)2
Значит, если мы возьмем любую точку х на прямой, то расстояние между
точками (|, 1) и (х,х2 + |) будет равно
2
Мы должны найти такое х, при котором d(x) принимает наименьшее
значение. Можно было бы брать производную непосредственно от функции
d(x). Но работу себе можно сократить, заметив, что наименьшее значение
d(x) принимается в той же точке, что и наименьшее значение е(х) =
хА — x+yq ввиду того, что корень квадратный есть возрастающая функция.
Имеем е'(х) — 4х3 — £, откуда заключаем, что единственной критической
точкой является х = ^. Легко проверяется (сделайте рисунок сами!), что
х —  есть точка минимума. Следовательно, искомая точка графика есть
^2 ' 2~) + 2 ) = 2> !)■
Ответ: (|, |). <
► оадача 7 [3]. Найти сумму 1 + 2 • | + 3 • (|)2 + ... + 100 • (|)99.
Решение. Мы найдем даже сумму д(х) — 1 + 2х + Зх2 + ... + 100ж" и
подставим в нее х = |. Для этого нам потребуется вспомогательная
функция f(x) — х + х2 + ... + z100. Ясно, что f'{x) = д{х). Кроме того, f(x)
есть сумма геометрической прогрессии. Легко подсчитывается (см. урок
17), что f(x) = J~f j . Значит,
,. tl, , (1 - 101х100){1 - х) - (х - х100){-1) 1 - 102ж100 + 101ж101
(1 — x)z (1 — х)г
Осталось подставить вместо х число |.
Ответ: ±(9 - 205 • З-99). <
Урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.

260
Глава 6. Начала анализа
Домашнее задание
► 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = хг — 9х2 + 15а: +1
на отрезке [-2,6].
► 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у — х2 — Ьх+\ — 2
на отрезке [-3,3].
► 3. Найти наименьшее значение функции f(x) — — х3 — 6х2 + 9а: - 3] на
отрезке [—1,4]. 2а:2 + х + 1
► 4. Найти наименьшее значение функции у = -?■—'■—-.
ох* — х + 2
► 5. Найти точки экстремума и отрезки монотонности функции f(x) — х3 +
6х2 — За: + 3 на интервале (—5, |).
► 6. Найти все х € (0, ) такие, что f'(x) — 0, где
f(x) — sinхsin (— - х) (sin (— — a: J - sinx).
► 7. Найти наименьшее значение функции у — 2х — 3| + |3ж - 2].
>■ 8. Найти наибольшее значение функции 2 sin a: + sin 2a; на отрезке [0, -^].
► 9. Найти наименьшее значение функции у — — cos2 х — ^-а: на отрезке [0, тг].
► 10. Найти все х, при которых функция у = 4 cos2 а; + ЗуЗзта* + 7 sin a:
принимает наименьшее значение.
► 11. Найти все х, при которых функция у = 6 cos2 x + 6 sin x — 2 принимает
наибольшее значение.
► 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) — 18a;-sin9a: +
3sin6а: на отрезке [— у|, jg].
► 13 [2]. При каких х функция
f(x) = а:2 (45 sin За: - 9 cos За:) + а;(30 cos За: + С sin За:)+ (80 sin Зх-16 cos За:)
имеет минимумы?
► 14 [2]. При каких х функция
f{x) = х2 (6 sin 2х - 8 cos 2х) + х(6 cos 2х + 8 sin 2х) + (3 sin 2x - 4 cos 2x)
имеет максимумы?
► 15. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х2 + а:| + х2 +
5а: + 6| на отрезке [— |, |].
► 16. Найти точки максимума функции у — —5х3 + хх — 1| на отрезке [0,2] и
ее наименьшее значение на этом же отрезке.
1
► 17. Найти промежутки возрастания и убывания функции у — х + -.
х — 1
► 18. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у =  sinxj + | cosz|.
► 19. Найти наименьшее значение функции у —  tga:| + | ctgar|.
► 20 [3]. Найти сумму 1 + 2 • 3 + 3 • З2 + 4 ■ З3 + ... + 100 • 3".

Урок 24- Касательная
261
Урок 24
Касательная
Этот урок также посвящен приложениям производной. Однако из-за
геометрического характера этих приложений я решил не включать данный
материал в предыдущий урок.
Для того, чтобы быть способным решить любую задачу про касательные,
необходимо хорошо знать, как пишется уравнение касательной, и уметь по
уравнению прямой хорошо представлять, где она проходит, где пересекает
оси координат и под какими углами, параллельна она данной прямой, или
нет, и т.п.
По моему опыту, многие школьники неважно владеют материалом,
связанным с графиками функций и часто могут встать в тупик, когда надо
нарисовать график прямой линии по ее уравнению. Поэтому я начну с
напоминания простейших свойств прямых и их уравнений.
Самое общее уравнение прямой имеет вид ах + by + с = О, где а, Ь, с —
произвольные числа, причем а и Ъ не равны нулю одновременно. Заметим,
что если Ь ф 0, то оно эквивалентно уравнению у = —jx— | — рх + q, где
р — — f, Q — ~i- Если Ь = О, то а ф 0 и получаем уравнение х — — £.
Таким образом, уравнение любой прямой может быть приведено к одному
из двух видов: х ~ с, или у = рх + q (здесь с, р, q — произвольные числа).
Проще всего разобраться со случаем, когда мы имеем уравнение х — с.
Оно задает прямую, параллельную оси Оу и пересекающую ось Ох в точке с
(см. рис. 1).
Геометрически совершенно понятно,
почему именно такой вид у этой прямой. Ведь
в уравнении написано, что у данного
множества точек все абсциссы равны с, а прямая
на рис. 1 есть как раз геометрическое место
точек, абсциссы которых равны с.
Пусть теперь мы имеем уравнение прямой вида х^ис.
(1) y = px + q.
Анализируется оно следующим образом. Самые важные точки прямой —
это точки пересечения с осями. Если р ф 0, то прямая пересекается с
каждой из осей. Точка (х, у) лежит на оси Ох только если у — 0. Отсюда
рх + q = 0 <=Ф х — ~р- Тем самым, точка пересечения прямой (1)

262
Глава 6. Начала анализа
с осью абсцисс имеет вид (— а,0). Точка пересечения прямой (1) с осью
ординат получается, если мы положим х — 0. Получим точку (0,q). Если
мы нарисуем обе найденные на осях точки и соединим их прямой, получится
требуемый график (см. рис. 2).
Если же р = 0, то получим уравнение у — q. Соответствующая
прямая будет параллельна оси абсцисс и пересечет ось ординат в точке (0, q)
(рис. 3).
y=px+q
Рис. 2
y=q
y=px+q
. сх
Рис. 3
Рис. 4
Ну вот, кажется, все случаи рассмотрены. Последнее, что нам следовало
бы понять, — это геометрический смысл коэффициента р в уравнении (1).
Оказывается, если прямая (1) образует с осью Ох угол а, отсчитываемый
против часовой стрелки (рис. 4), то tga = р.
В частности, прямая параллельна Ох, т.е. образует с этой осью угол 0,
если и только еслир = 0. Кроме того, две прямые у — px + qi и у — P2X + q2
параллельны, если и только если образуют с Ох равные углы, т.е. если
Pi =Р2-
► Упражнение. Какая связь между р и р% равносильна
перпендикулярности ПРЯМЫХ у — РХ + (ft И у — Р2Х + (J2?
Мне осталось только привести уравнение касательной, и можно будет
начинать решать задачи.
Пусть дана функция f{x), у которой
существует производная /'(а) в некоторой
точке а. Тогда к графику функции у — f(x)
можно провести в этой точке касательную
(см. рис. 5), уравнение которой
записывается в виде
y-f(a)=f'(a)(x-a)
Рис. 5
y-f{a) = fa)(x-a) ^Ф у = f'{a)-x+f(a)-af'{a).
Первое из равенств удобнее для запоминания, зато второе показывает нам,
что мы действительно имеем дело с уравнением вида у = рх + q (где
р = /'(a), q = f(a) — af'(a)), т.е. с уравнением прямой.

Урок 24- Касательная
263
Из того, что р = /'(а), следует, например, что касательная к графику
функции в точке а параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда
производная в этой точке равна нулю; две касательные в разных точках
параллельны, если и только если их производные в этих точках совпадают,
и т.п.
► Задача 1. Показать, что ни одна касательная к графику функции у =
х3 + х? + х + 1 не параллельна оси Ох.
Решение. Пусть касательная в точке а к графику нашей функции
параллельна оси абсцисс. Мы знаем, что тогда/'(а) = 0 <=>■ За2+2а+1 = 0, чего
не может быть, так как дискриминант квадратного трехчлена За:2 + 2х + 1
равен —8 < 0.
► Задача 2. В каких точках касательная к графику функции
fix) = з^3 - 2х2 + 7х ~ 4
образует с Ох угол 45°?
Решение. Раз касательная образует с осью Ох угол 45°, ее коэффициент
при х равен tg45° = 1. Если проведена касательная в точке а, то этот
коэффициент равен f'(a), и нам остается лишь решить уравнение f'(a) =
1 <=> а2-5а + 7 = 1 <=> а = 2,3.
Ответ: в точках (2, |) и (3, |) •«
► Задача 3. Найти угол, который образует с осью ординат касательная к
графику функции 2 1
проведенная в точке с абсциссой а = 1.
Решение. Производная нашей функции равна ^§-х4 — |ж2 и, следовательно,
у'(1) = 3. Пусть а — угол образуемый касательной в точке с абсциссой 1.
Мы знаем, что tga = у'(1) = 3. Из 0 ^ а < тг следует, что а — arctg3.
Обозначим искомый угол через /3 и нарисуем картинку (рис. 6).
Точка А имеет координаты (Щ, 0), а точка В
— (0, — Щ-). Прямая на этом рисунке
изображает нашу касательную. Из того, что
треугольник ОАВ прямоугольный, следует, что
а + Р = - <=> 0=--а.
Ответ: искомый угол равен |- — arctg3 = arcctg3. -4 Рис. 6
► Задача 4. В точке М(1,8) к графику функции у = у/(5 — ж2/3)3 проведена
касательная. Найти длину ее отрезка, заключенного между осями
координат.

264
Глава 6. Начала анализа
Решение. Найдем производную нашей функции:
у' = ((5 - z2/3)i)' = |(5 - ж2/3)5 • (5 - х2/3)1 = -x-Wb-xV*.
Значит, у'(1) = —2, и, учитывая, что у(1) = 8, можно записать уравнение
касательной к графику нашей функции в точке (1,8):
у-8=(-2)(х-1)
у = -2х + 10.
Изобразим полученную касательную.
Она пересекает ось Ох в точке А(5,0), а
ось Оу — в точке В(0,10). Искомый
отрезок касательной — это гипотенуза АВ
прямоугольного треугольника ОАВ с катетами
О А — 5 и ОВ = 10. По теореме Пифагора
АВ = V52 + Ю2 = 5>/5.
Ответ: 5-/5. <
► Задача 5. Дана функция у = х + -. Найти площадь треугольника,
отсекаемого осями координат и касательной к графику этой функции в точке
U' 2/'
Решение. Поскольку у' = 1—, имеем у'(|) = —3, и уравнение касательной
есть
f = (-3) Гж - | ) <=> У = ~Зх + 4.
Нарисуем эту касательную, заштриховав
искомый треугольник (рис. 8). Его площадь
равна половине произведения катетов О А и
OB,T.e.i-4.i = §.
Ответ: I. <
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.
Домашнее задание
*■ 1. Найти все такие числа жо, что касательные к графикам функций у =
3 cos Ъх и у = 5 cos 3z + 2 в точках с абсциссой xq параллельны.
► 2. Найти уравнения тех касательных к графику функции у = 2дд,~1,
которые вместе с осями координат ограничивают треугольник площади 1.

Урок 24- Касательная 265
► 3. К параболе у = 4 — х2 в точке с абсциссой а = 1 проведена касательная.
Найти точку ее пересечения с осью ординат.
► 4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и
касательной к графику функции у = 2JC_1 в точке с абсциссой а = 1.
►■ 5. Найти точки пересечения с осями координат тех касательных к
графику функции у =■ ^у, у которых угловой коэффициент равен 9.
► 6. Найти все а, при которых касательная к графику функции у = cos 7x +
7 cos z в точке с абсциссой а параллельна касательной к этому же
графику в точке с абсциссой ~.
*• 7 [3]. Найти координаты точки, лежащей на графике функции у —
1 + cos а: при 0 ^ х ^ тг и наименее удаленной от прямой
х/3 + 2у + 4 = 0.
► 8 [2]. Прямая касается графика функции у = ух2 в точке с абсциссой
а € [|, 1]. При каких а площадь треугольника, ограниченного
этой прямой, осью Ох и прямой х = 2 будет наименьшей? Найти
эту наименьшую площадь.
► 9. Найти координаты точки пересечения касательных к графику
функции у = |^у в точках с абсциссами xq — — 1, xi = 3.
► 10. Проводятся касательные к графику функции у = Зх — х2 в точке с
абсциссой а — 2 и в точке минимума. Найти площадь треугольника,
образованного осью ординат и этими касательными.
► 11. Найти координаты точки пересечения касательных к графику
функции у — cos7t;e в точках с абсциссами xq = | и х — |.
► 12. Найти координаты точек пересечения с осью абсцисс касательных к
графику функции у — ^М|, которые образуют угол 135° с осью Ох.
► 13. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и
касательной к графику функции у — /2х2 — 4 в точке с абсциссой
а = 2.
► 14 [2]. Прямая касается графика функции у — ^ в точке с абсциссой
а е [5,9]. Эта прямая, ось Ох и прямая х — 4 ограничивают
треугольник. При каких а его площадь будет наибольшей? Найти
эту наибольшую площадь.
► 15 [2]. На плоскости Оху рассматриваются прямоугольные треугольники
ABC (где ZACB - 90°, А = (2,0), вершина С лежит на отрезке
[0,2] оси Ох, а, В — на параболе у — 2х — х2). Какие координаты
должна иметь точка В, чтобы площадь треугольника ABC была
наибольшей?

266
Глава 6. Начала анализа
Урок 25
Плоские множества
На этом уроке вступительная часть будет не менее велика, чем на
предыдущем, поскольку построение графиков и множеств на плоскости не
является сильной стороной большинства школьников.
На предыдущем уроке я подробно рассказал, как строятся графики
функций, задающих прямые на плоскости. Был даже приведен пример
множества на плоскости, не являющегося графиком никакой функции (а
именно, х — с).
Это не было отмечено на уроке 24, поэтому я поясню разницу между
произвольными множествами на плоскости и графиками функций. Дело
в том, что график функции f(x) есть множество точек вида {x,f{x)),
где х пробегает ОДЗ функции f{x). В частности, если абсцисса точки
графика равна а, то ее ордината непременно равна f(a). Следовательно,
на графике функции не может быть двух разных течете с одинаковыми
абсциссами. Последнее означает геометрически, что каждая вертикальная
прямая пересекает график функции максимум в одной точке. Поэтому
на рис. 1 изображен график некоторой функции, а множество на рис. 2
графиком не является, поскольку содержит две различные точки Р и Q с
одинаковыми абсциссами.
£
*
Рис. 1
Рис. 2
В задачах письменного экзамена крайне редко встречается требование
что-либо изобразить на плоскости. Умение рисовать графики функций и
простейшие подмножества плоскости помогает при решении
нестандартных задач. Например, если у вас не получается решить уравнение
обычными методами, можно попытаться построить графики его левой и правой
частей. Эти графики могут подсказать (но ни в коем случае не служат
доказательством), что у уравнения нет решений, и нужно пытаться это

Урок 25. Плоские множества
267
строго доказать. Если из графика видно, что уравнение имеет
единственный корень, можно попробовать угадать его и доказать, что других нет.
Незаменимы построения на плоскости и при решении задач с параметрами
— мы скоро в этом убедимся.
Итак, я считаю, что простейшие множества на плоскости — • прямые —
вы изображать умеете. Следующий шаг -—- освоение графиков функций
вида у = ах2 + Ьх +с, а ф 0, т.е. парабол.
/ ь -2 '2
Легко проверить, что ах~ + Ьх + с = а [х + ^ J + с — ^.
Отсюда вытекает следующий рецепт построения графика параболы.
1) Если а > 0, то ветви идут вверх, если а < 0 — вниз.
2) Пунктиром рисуется ось параболы — прямая х = — ^i-
3) Изображается вершина параболы — точка с координатами ж =
2а'У ь 4а-
4) Изображаются на оси Ох корни (если они есть) параболы и точка (0, с)
пересечения параболы с осью Оу.
5) Через полученные точки проводится
парабола (см. рис. 3). Любой рисунок
приблизителен, но надо непременно отразить 0 XnV^/*,
тот факт, что ветви идут в нужную сторо- а>0
ну, что парабола проходит через полученные ?.
точки (вершину и точки пересечения с
осями) и симметрична относительно своей оси. Рис. 3
Наш следующий рецепт показывает, как строить график дробно-
линейной функции, т.е. функции вида у = §йд- Можно считать, что с ф О
(иначе функция будет просто линейной). Кроме того, как будет видно
ниже, если ad~bc = 0, то выражения в числителе и знаменателе будут
пропорциональны и функция будет просто константой | при х ф — ~. Теперь
уже можно дать рецепт построения графика.
1) Проводится следующее преобразование:
ах + Ь ^{сх + d) +Ь- ^г а Ье-ad a be-ad l
v ь
с
= - + -: « = - +
cx + d cx + d с с(сх + d) с с2 х—(--)
2) Пунктиром проводится вертикальная прямая (вертикальная
асимптота графика) х — — -.
3) Пунктиром проводится горизонтальная прямая у = f (горизонтальная
асимптота графика).

268
Глава 6. Начала анализа
4) На оси Ох отмечается точка — £, если а ф 0. Искомый график
пересекает ось Ох как раз в этой точке.
5) На оси Оу отмечается точка |, если d ф 0. Искомый график
пересекает ось Оу в этой точке.
6) В зависимости от знака выражения be — ad рисуется график
функции, проходящий через отмеченные точки и имеющий заданные асимптоты
(рис. 4 и 5). Если представлять себе пунктирные прямые как новые оси
координат, то при be — ad > 0 график получается как у функции -, а при
be — ad < 0 — как у функции — ^.
bc-ad>0
bc-ad<0
Рис. 4
Рис. 5
В школьных учебниках неплохо изложено, как нужно строить графики
функций у = х3, у = ,/х, у — sin ж, у = cos х, у — tgx, у = ctgic, у =
logaz, у = ах, — пожалуйста, хорошенько повторите этот материал.
Единственный вид множеств на плоскости, не являющихся графиками,
которые проходят в школе, — это окружности. Напомню, что окружность с
центром в точке (а, Ь) и радиусом г задается уравнением (х — а)2 + (у — Ь)2 =
а)2 + (у - Ь)2 <
,2?
► 1. Какое множество задается неравенством (х
неравенством (х — а)2 + (у — Ь)2 ^ г2?
После того как освоены приемы изображения простейших подмножеств
плоскости, мы с вами должны понять, как с помощью ряда операций
строить из них более сложные.
Операция 1. Есть график функции у = f(x), надо построить график
функции у = f(x) + с, где с — константа. Мы будем записывать эту
операцию в виде f(x) — > f(x) + с.
График функции f(x) сдвигается как твердое тело на с вверх, если с > 0,
и на с вниз, если с < 0.
Операция 2. f(x) —> f(x + c). График f(x) сдвигается как твердое тело
на с влево, если с > 0, и вправо на с, если с < 0.
График f(x) отражается симметрично
Операция 3. f(x) —> —f(x).
относительно оси абсцисс.
Операция 4. f(x) —> f(—x).
относительно оси ординат.
График f(x) отражается симметрично

Урок 25. Плоские множества
269
Операция 5. f(x) —> |/(ж)|. Та часть графика /(ж), которая находится
ниже оси абсцисс, симметрично отражается относительно последней. Та
часть, которая выше оси абсцисс, остается без изменений.
Операция 6. Если известен график функции у = f(x), то можно
построить множество (которое уже не обязано являться графиком) х = f{y).
Для этого надо переименовать оси координат (т.е. считать ось Ох осью Оу
и наоборот), построить график функции у = f(x) и снова переименовать
оси.
► Задача 1. Построить график функции у = Зх2 — 7х + 1.
Решение. Ветви этой параболы направлены
вверх, ось ее — прямая х = |, вершина имеет
координаты (|,— ff), корни равны 7 g37.
Искомая парабола пересекает ось Оу в точке
(0,1). Она изображена на рис. 6.
► Задача 2. Изобразить множество точек (х, у),
удовлетворяющих уравнению х = у — у2.
Решение. На рисунке 7 показана вспомогательная парабола у — х — х? —
—ж2 +х, а на рисунке 8 — искомая, полученная путем переименования осей.
Отметим, что, конечно же, после переименования осей систему координат
надо повернуть так, чтобы ось Оу «смотрела вверх», а ось Ох —
«вправо». Опыт показывает, что при переименовании осей поступающие часто
допускают ошибки — например, ветви параболы могут пойти вправо или
«шапочка» может оказаться ниже оси Ох. Поэтому после того как вы
произвели переименование осей, проконтролируйте себя по основным свойствам
графика — они должны быть одинаковы на основном и вспомогательном
графиках. В данном случае следует убедиться, что раз на
вспомогательном графике почти все точки параболы имеют отрицательные ординаты,
то на окончательном изображении то же самое должно быть верно для ее
абсцисс, т.е. ветви ее идут влево. Далее, корни параболы (т.е. их
абсциссы) неотрицательны. Значит, должны быть неотрицательны их ординаты
на окончательном изображении. Отсюда следует, что «шапочка» параболы
лежит выше оси Ох.
1/4
О
у ;
( ' 1
Jl/2  ''
1 
1
Рис. 6
У
1
Ч у=М_
ч
Рис. 7
Рис. 8

270
Глава 6. Начала анализа
ж- 1
► Задача 3. Изобразить график функции — -.
Следовательно, вертикальной асим
Решение. Имеем if—rz
птотой будет прямая х -
I 2(2*+3)
|, а горизонтальной — прямая х = |. Подставив
х = 0, найдем, что график пересекает ось
Оу в точке — |. Ясно, что у = 0 4=Ф ж =
1 и, значит, именно в точке (1,0) график
пересекает ось абсцисс. Наконец, ветви
графика расположены аналогично ветвям
графика у = —-. Ответ к задаче изобра-
Рис. 9 жен на Рис- 9.
► Задача 4. Какое множество точек (ж, у) на плоскости задает неравенство
х2 + ху + у2 ^ 0?
Решение. Из того, что ж2 + ху + у2 = (ж + |)2 Н- |у2, следует, что наше
неравенство эквивалентно тому, что (ж + §)2+ £У2 ^ 0- Н° сумма квадратов
неположительна, если и только если каждый из этих квадратов равен нулю.
Значит, х = у = 0.
Ответ: неравенство задает единственную точку (0,0). -4
► Задача 5. Какое множество точек на плоскости задает неравенство
|ж-2| + |у + 3| ^ 1?
Решение. Мы должны рассмотреть четыре случая:
1) х ^ 2, у ^ -3. Тогда х - 2| =
ж — 2, |у + 3| = у + 3 и наше неравенство
принимает вид х — 2+у+З ^ 1 <=>• у ^ —ж. Для
того, чтобы получить множество,
являющееся первой частью ответа, заштрихуем
каждое из множеств х ^ 2 (это, очевидно,
полуплоскость, лежащая правее прямой ж — 2
— горизонтальная штриховка), у ^ —3
(полуплоскость, лежащая выше прямой у = —3
— вертикальная штриховка) и у ^ —ж
(полуплоскость, лежащая ниже прямой у — —х
- косая штриховка). Посмотрим на рису-
ок 10.
Все три штриховки пересекаются на тре-
гольнике РАВ, где Р = (2, —3), А =
I, —2), В = (3, —3). Значит, этот треуголь-
ик есть первый кусок ответа.
2) ж ^ 2, у ^ -3. Тогда |ж - 2| =
ж — 2, у + 3| = — у — 3 и наше неравенство
Рис. 10
Рис. 11

Урок 25. Плоские множества
271
принимает вид ж —2—у —3 ^ 1 <=>■ у ^ ж —6. Так же, как и в первом случае,
горизонтальной штриховкой отметим полуплоскость х ^ 2, вертикальной
— полуплоскость у ^ —3 и косой — полуплоскость у ^ ж — 6, лежащую
выше прямой у — х — 6.
Ясно, что вторым куском ответа будет
треугольник РВС, где Р и В — такие же,
как на рис. 10, а С = (2, —4).
3) х ^ 2, у ^ -3. Тогда |ж - 2| =
2 — х, |у + 3| = у + 3 и мы имеем неравенство
2-ж+у+3^1 <=> у ^ ж - 4. Нарисуем
соответствующую картинку (рис. 12).
Все три штриховки пересекаются по
треугольнику PAD, где D = (1, —3).
4) х ^ 2, у <; -3. Тогда |ж - 2| =
—х + 2, |у + 3| = —у — 3 и имеем неравенство
-ж+2-у— 3 ^ 1 «$=> у ^ —ж —2. Убедитесь
сами, что соответствующим куском ответа
здесь будет треугольник PDC, где точка С
взята из случая 2, а точка D — из случая 3.
Ответ: искомое множество
Рис. 12
1 2 3
т г т
Рис. 13
квадрат, изображенный на рис. 13. <
► Задача 6. Нарисовать множество точек, задаваемых уравнением
|з-2| + х = |у + 3| + |у + 5|.
Решение. Здесь ничего не поделаешь, придется разбирать девять случаев.
1) х ^ 0 => х - 2| = -х + 2, |ж| = -ж.
1.1) у ^ — 5 => |у + 3| = — у — 3, |у + 5| = —у — 5. Наше уравнение принимает
вид —ж + 2 — ж = —у — 3 — у — 5 <=> у = ж — 5. Мы не будем рисовать
девять отдельных картинок, но на итоговой (рис. 14) отметим, какое
множество из какого случая получилось. В данном случае это — кусок
(вернее, луч) прямой у = х — 5, где ж е (—оо, 0].
1.2) у G [-5, -3] => |у + 3| = -у - 3, |у + 5| = у + 5. Наше уравнение
принимает вид —ж + 2 — х = —у — 3 + у + 5 <=>■ х = 0. Здесь
получается отрезок вертикальной прямой а: = 0, у е [—5, —3].
1.3) у ^ — 3 =>■ |у + 3| = у + 3, у + 5| = у + 5. Наше уравнение принимает
вид —ж + 2 — ж = у + 3 + у + 5 <=>■ у = —ж — 3. Здесь тоже имеем луч
на прямой у = —ж — 3, х ^ 0.
2) ж G [0, 2] =Ф- |ж| = ж, |ж - 2| = -ж + 2.
2.1) у ^ — 5 =>■ |у + 3| = — у — 3, |у + 5| = —у — 5. Наше уравнение принимает
вид —ж + 2 + ж = —у — 3 — у — 5 -Ф==Ф- у = —5. Искомый кусок ответа
есть отрезок на прямой у = —5, где х изменяется от 0 до 2.

272
Глава 6. Начала анализа
2-2) У £ [-5,-3] =Ф- у + 3| = -у - 3, |у + 5| = у + 5, и мы получаем
уравнение -ж + 2 + ж=-у-3 + у + 5 «=ф 0 ■ х + 0 • у = 0. Ввиду того,
что этому уравнению удовлетворяют любые ж и у, очередным куском
ответа будет весь квадрат х е [0,2], у £ [—5, —3].
2.3) у ^ -3 =>■ |у + 3| = у + 3, |у + 5| = у+ 5. В этом случае имеем уравнение
—ж+2+ж=у+5+у+3 <£=> у = — 3 — получили «верхнюю» сторону
квадратика.
3) х ^ 2 => |ж| = ж, |ж - 2| = ж - 2.
3.1) у ^ — 5 =>■ |у + 3| = — у — 3, у + 5| — — у — 5. Наше уравнение принимает
вид 2ж — 2 = —2у — 8 <=>■ у = — х — 3. Опять имеем луч, лежащий на
прямой у = —х — 3, где х G [2, сю).
3.2) у € [—5, —3] =>■ |у + 3| = — у — 3, у + 5| = у + 5, и мы имеем уравнение
2ж — 2 = —у — З + у + 5 -Ф=> ж = 2. Здесь получается отрезок прямой
х = 2 при у е [—5, —3], т.е. правая сторона квадрата.
3.3) у ^ -3 =>■ |у + 3| = у + 3, |у + 5| = у + 5. В этом случае будет
2х — 2 = 2у + 8 -Ф=> у — х — Ъ — получили луч на прямой у = х — 5, где
>2.
пвет: искомое множество изображено на
рисунке 14. Номера подслучаев около его
подмножеств показывают, какой из
подслучаев дает данный кусок ответа. Если из
рисунка это не ясно, обратитесь к рассмотре-
Рис. 14 нию подслучая с данным номером. <
► Задача 7. Изобразить на плоскости множество точек (ж, у), заданных
—равенством (ж — у) (ж2 + у) ^ 0.
шение. Произведение двух чисел
неотрицательно, если и только если каждое из них
либо неотрицательно, либо неположительно.
1) ж — у^0иж2 + у^0. Нарисуем каждое
из множеств х — у^0иж2+у^0
отдельно. Их пересечение даст первый кусок
ответа. На рис. 15 он совпадает с множеством
пересечения вертикальной и горизонтальной
штриховок.
2) ж — у^0иж2+у^0. Эта часть ответа
строится аналогично и представляет собой
кусок плоскости внутри параболы у = —х2,
отсеченный прямой у — х.
Ответа: искомое множество изображено на рис. 16.
Риг. 16

Урок 25. Плоские множества
273
► Задача 8. Изобразить на плоскости множество решений неравенства
2х - 2у + 1
х? + у2 — 1
Решение. Преобразуем исходное неравенство:
2х - 2у + 1
> 1 <=»
ж2 + у2 - 1
2х - 2у + 1 - х2 - у2 + 1
^0
ж2 + у2 — 1
(ж-1)2 + (у + 1)2-4
ж2 + у2 — 1
4 - (ж2 - 2ж + 1) - {у2 + 2у + 1)
^0
^0
х? + у2 — 1
Г (z - I)2 + (у + I)2 - 4 ^ 0,
I ж2 + у2 - 1 <; 0,
Г (х - I)2 + (у + I)2 <; 0,
Д х? +у2 -1 ^ 0.
Следовательно, ответ складывается из двух кусков: внешней части
окружности радиуса 2 с центром в точке (1,-1), пересеченной с внутренней
частью круга радиуса 1 с центром в нуле, а также из внешней части второго
круга, пересеченной с внутренней частью первого (см. рис. 17).
Ответ: искомое множество изображено на рис. 17. Центр меньшей
окружности есть начало координат, а радиус равен 1; центр большей — точка
(1,-1), радиус —2. <
F^
%
-41Г -2jr
-F
is
:3 -1! > Jh
■ » ■ ■■ « <
JTIT 2IT 4JT
2
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
► Задача 9. Изобразить на плоскости множество точек (х, у) таких, что
sin z — sin у — 0.
Решение. Преобразуем эквивалентно наше равенство:
х — у = 2п7г
sin х — sin у = 0
0 . х-у х + у
2 sin —^-=- cos
0
X + у = 7Г + 2П7Г
,n e Z.
2 """ 2
Первая строчка полученной совокупности задает семейство прямых,
параллельных прямой у = х, а вторая — семейство прямых, ей
перпендикулярных.
Ответ: искомое множество изображено на рис. 18. <

274
Глава 6. Начала анализа
► Задача 10. Изобразить на плоскости множество точек (х,у) таких, что
logy (sin х) < 0.
Решение. Наше неравенство эквивалентно совокупности двух систем:
Г у >1, и Г 0 < у < 1,
 0 < sin z < 1  sin z > 1.
Вторая, ясное дело, решений не имеет, а первой удовлетворяют такие пары
(ж,у), что х G (2п7г, § + 2п7г) U (§ +2п7г,7г + 2шг), у > 1, п G Z.
Ответ: искомое множество изображено на рис. 19. Его граница
нарисована пунктирной линией, чтобы показать, что она не входит в заданное
множество. Обратите внимание на то, что из прямоугольных областей
выброшены «средние линии» — лучи х = -| + 2пп, у > 1, п G Z. •«
Наш урок окончен. Оценку поставьте себе по стандартным критериям.
Домашнее задание
Во всех задачах требуется изобразить на плоскости множество точек
(х,у), заданное указанным соотношением.
► 1. х2 +у2 - 2х + 4у = 4
► 2. х2+у2 + х-у+1^0
► 3. у -х2 -х^О
► 4. Зх + 2у ^ -1
► 5. ж2 - бжу + 6у2 ^ 0
► 6. жу + 1 ^ 0
► 7. у ;> tgz
► 8. у — sin z ^ 0
► 9. х + 1^ у
► 10. х + |у| = 1
► 11. logxy >0
► 12. у - у + х = 1
► 13. у + ctgic ^ 1
► 14. х-у2 = 1
► 15. А = Л
► 16. 1*1 <; 1
1 У I ^

Урок 25. Плоские множества 275
► 17. |а:-1| < 1
► 18. у+1 ^ 2
х + 2 ^ 1
► 19. ,
. ]у-1|^2
х + 1
► 20. у ^0
х
► 21. log^^ + yJ^O
► 22. х-у + х + у = 2
► 23. у — sinr
► 24. |ж| = siny
► 25. log]sini|y>0
► 26. |z + l| + у + 1| < 3
► 27. х-у + х- 1| 5* 1
► 28. у = 2х2 - Ъх + 3
► 29. а: = Зу - 2у2 + 7
► 30. (жу-2)(2ж + у-1) >0

Глава 7
Планиметрия
Урок 26
Общие треугольники
К моему великому сожалению, большая часть моих учеников, узнавая,
что мы будем проходить задачи по планиметрии, задавала мне вопрос:
«Планиметрия — а что это такое?» Поэтому отмечу и здесь, что
планиметрия — это геометрия на плоскости. Задачи по планиметрии
встречаются практически в каждом варианте вступительных экзаменов. Они, как
правило, просты, но требуют совершенно иного мышления, нежели
алгебраические задачи, Видимо, нельзя сказать, что существует какой-то
набор рецептов для их решения, но тот, кто набирается достаточного опыта,
справляется.
Отличительная особенность геометрических задач состоит в том, что
по виду конкретной задачи невозможно сразу понять, простая она или
сложная. Вполне может быть так, что на поиск очень простого решения
придется потратить массу времени. Тем не менее, опыт показывает, что
абитуриенты, освоившие мою программу по планиметрии, не испытывают
трудностей на экзаменах.
Цель настоящего урока — дать вам возможность освоить
алгебраический подход к решению планиметрических задач. Практически в каждой
задаче необходимо найти какой-то числовой элемент (длину стороны,
площадь, угол и т.п.). Часто для этого надо рассматривать треугольники. Мы
должны научиться, используя данные элементы треугольника, составлять
системы уравнений относительно любых других элементов и находить их.
Договоримся об обозначениях, которые будут употребляться на этом
уроке. Если дан треугольник ABC, то буквы А, В, С будут обозначать как
вершины треугольника, так и его углы в этих вершинах. Буквами а, Ь, с

Урок 26. Общие треугольники
277
обозначаются стороны, лежащие напротив углов А, В, С
соответственно, та, гаь, тс — медианы, проведенные к соответствующим сторонам,
ha, hb, hc — соответствующие высоты и 1а, 1ь, 1С — биссектрисы. Через
Я и г будут обозначаться соответственно радиусы описанной и вписанной
окружностей, S — площадь треугольника, р = a~ffi^ — его полупериметр.
Следующие теоремы мы должны знать идеально.
1 , abc 1
(1) S = -aha -pr = ^д = -ab sin С = у/р{р-а)(р-Ь)(р-с).
(2) с2 = а2 + Ь2 — 2abcosC — теорема косинусов.
а Ь с
(3) г = ~ = . ■■- = 2Д теорема синусов.
к ' sin Л sin В sin С н у
Естественно, и следствия этих теорем должны быть постоянно в нашей
памяти и в любой момент готовы к применению. Например, мы написали,
что S — aha и S — ^absinC. Но, конечно же, будет и S — Ыъ — chc =
hbcsinA — -acsinB. Если нам нужно найти, например, радиус г вписанной
в треугольник окружности, то для него есть только одна формула — г = —.
Если же мы ищем радиус R описанной окружности, то надо помнить четыре
возможности для поиска R:
а _ о с _ abc
~ 2 sin А ~~ 2 sin В ~ 2 sin С ~ 45 '
Для поиска площади таких возможностей еще больше, и надо все их держать
в памяти.
На сегодняшнем уроке я хочу разобрать две ситуации: когда даны все
стороны и надо найти остальные элементы и когда даны две стороны и
какой-либо элемент, а найти надо третью сторону. При этом я не выношу
в качестве задачи нахождение площади по трем сторонам, поскольку
ответ, очевидным образом, дается с применением последнего выражения для
площади в формуле (1).
► Задача 1. Даны а, Ъ, с. Найти угол А.
Решение. По теореме косинусов имеем а2 = Ь2 + с2 — 2fcccosA, откуда
f Л Л Л " Л
cos А — ь +2сЬе~° '*==> А — arccos ь +2ьГ" • Последняя эквивалентность
имеет место, поскольку 0 < А < -к.
l2 , 2
Ответ: А = arccos f.
2bc ■ ""
► Задача 2. Даны а, Ь, с. Найти г.
Решение. Из того, что S = рг — /р{р — а)(р — Ь)(р — с), находим, что
/р{р-а)(р-Ь)(р-с) -р,- 1 , , .
г = . Поскольку р = £(а + о + с) известно, задача решена.
Ответ:г^^р{р-а)(р-Щр-с): <
р
*■ Задача 3. Даны а, Ь, с. Найти R.

278 Глава 7. Планиметрия
Решение. Снова найдем площадь двумя способами. Мы знаем, что
5 = |д = Vp(p - а)(р - ь)(р - с)>
откуда получаем
Ответ: R = а6с
*/р(р-а){р-Ь)(р-с)
► Задача 4. Даны а, Ь, с. Найти ha.
Решение. Здесь снова работает формула для площади:
aha = 2S = 2^p{p - а)(р - Ь){р - с),
и дальше все ясно.
Ответ: ha = 2-^р{р~а){р-Ь){р-с). <
► Задача 5. Даны а, Ь, с. Найти та.
Решение. Обозначим точку пересечения медианы пга со стороной ВС через
D. Пусть ZADB = а, тогда ZADC = тг - a, BD = DC = §. Запишем
теоремы косинусов для треугольников ADB и ADC (см. рис. 1):
С"
(а 2 l2 (а 2 / 
= 1-1 + та — ата cos а, о — I — I + та —ата cos{n — а).
Из того, что cos(7r — а) — —cosа, следует, что, сложив вышеприведенные
равенства, мы получим
2 1/2
&2 + °2 = У + 2га« ^ га» = 2 (ft2 + °2 ~ У
Ответ: та = \Plb2 + 2с2 — а2. <
► Задача 6.[2] Даны а, Ь, с. Найти 1а.
Решение. Мы найдем длину биссектрисы 1а в два приема и заодно получим
для нее полезную промежуточную формулу. Посмотрим на рисунок 2. Идея
решения состоит в том, чтобы подсчитать площадь треугольника ABC
двумя способами: обычным образом и как сумму площадей треугольников
ABD и ACD.

Урок 26. Общие треугольники
279
Пусть площади треугольников ABD, ACD и ABC равны Si, S2 и 5
соответственно. Тогда Si = |dasiny, S2 = |Wasin у и S = £ be sin Л.
Подставим зти значения площадей в равенство S = Si + S2:
1 , ■ А 1» • 4 1L . ,
-cie вш — + -Ыа sin — = -6сsin .4
(4)
$
^ _ be sin Л 2Ьс cos у
(Ь + с) sin у Ь + с
Полученная для биссектрисы формула также полезна и часто применяется.
Для того, чтобы нам закончить решение задачи, надо исключить cos ~ из
выражения для биссектрисы. Для этого запишем цепочку эквивалентно-
стей, начиная с теоремы косинусов.
Ь2 + с2 - 2bccosA = а2 <=> Ь2 + с2 - 2Ьс(2cos2 ^ - 1) = а2 <=>
(5) 46ccos2~ = (Ь + с)2-a2.
Из формулы (4) получаем cos у = ^с ". Подставляем это значение
косинуса половинного угла в формулу (5):
,i Y2 2 „. {Ъ + с)Ч2а ;2 bc({b + c)2-a2)
{b + с)2 - а2 = 4Ьс • J <=> ^ = ,, , у, -■
Ab2c2 ° (Ь + с)2
„ , 76с(ь+с+а)(ь+с~а)
Ответ: 1а = -* ■ ■&_,;- . <
► Задача. 7. Даны а, Ь, А. Найти с.
Решение. Согласно теореме косинусов имеем а2 = Ь2 + с2 — 2bccosA
с2 — 2bcos A-c + b'2 — а2 — 0. У данного квадратного уравнения относитачьно
с четверть дискриминанта равна b2 cos2 Л — b2 + a2 = а2 — b2 sin2 А. Отсюда
заключаем, что если а < bsinA, то таких с не существует; если а —
ftsinA, то с — bcosA; если b > а > bsinA, то существуют два числа с,
удовлетворяющих условию задачи, а именно, с = ft cos А ± у а2 — b2 sin2 A;
если а = Ь, то существует единственное с = 26 cos Л; и, наконец, если
а > Ь, то существуют два возможных значения для с, а именно, с =
b cos Л + v^2 - b2 sin2 А и с- /a2 - 62 sin2 Л - b cos Л.
Следующие рисунки поясняют геометрический смысл полученного
ответа.

280
Глава 7. Планиметрия
Рис. 3 Рис. 4
Если известны стороны АС и ВС треугольника ABC, а также его угол
А, то вершина В лежит, с одной стороны, на прямой, образующей угол А с
прямой ВС, а с другой — на окружности радиуса а с центром в точке С. На
рис. 3 видно, что если а < ft sin Л, то данная окружность не пересекается
с прямой АВ, т.е. треугольника с такими данными не существует; если
а = b sin А, то существует единственный прямоугольный треугольник с так
заданными а, Ь и А, причем с = bcosA. Рисунок 4 показывает, что если
Ь > а> ftsin А, то окружность пересекается с прямой АВ в двух точках В
и Вч, и тогда искомая сторона с равна АВ или АВ^- Ясно, что когда а = Ь,
точка В совпадает с А, так что для с остается лишь возможность быть
равным АВо. Нарисуйте, пожалуйста, сами картинку для случая а > Ь.
Ответ: если а < Ь sin А, то таких треугольников не существует; если
а — Ь sin Л, то с = ft cos А; если Ь sin А < а < Ь, то с = Ь cos А±у/ а2 — Ь2 sin A;
если а = Ь, то с = 2ftcos Л; если а > Ь, то с = v а2 — ft2 sin2 Л ± ЬсозЛ. <
*■ Задача 8 [2]. Даны а, Ь, г. Найти с.
Решение. Если а, Ь, г заданы произвольно, то школьник решить эту
задачу не сможет, поскольку она сводится к решению кубического уравнения.
Покажем, тем не менее, как это уравнение получить. Если вам все-таки
попалась такая задача с числовыми значениями а, Ь, г, то единственный ваш
шанс состоит в том, чтобы выписать кубическое уравнение и попытаться
угадать его корни.
Само же уравнение получается так:
S - рг - fp{p - а)(р- Ь)(р - с) =*■ рг2 — (р - а)(р - Ь)(р - с).
Если теперь подставить значение полупериметра в последнее уравнение,
получим кубическое уравнение относительно с.
Ответ: длина с находится из кубического уравнения
4(а + Ь+ с)г2 = (Ь + с - а)(а + с - Ь)(а + Ь-с),
которое в общем виде школьными методами решить нельзя. Если даны
конкретные числа a, ft, r, надо попытаться угадать корни. -4
► Задача 9. Даны а, Ь, R. Найти с.

Урок 26. Общие треугольники
281
Решение. По теореме синусов имеем: -г^-д — jr^ — 2R, откуда sin Л —
^, sin В = r^ft. Отсюда видно, что если а > 2R, или Ь > 2R, то такого
треугольника, как требуется, не существует. Если мы предположим, что
а — 2R или Ь = 2R, то синус соответствующего угла будет равен единице,
а сторона, равная 2R ■■— гипотенузой. Значит, в этом случае существует
единственный прямоугольный треугольник с такими данными, и третья
сторона находится по теореме Пифагора.
Пусть теперь а < 2R и Ъ < 2R. Опять-таки по теореме синусов имеем
с=2Я sin C=2R sm{ir-A-B)=2R sm(A+B)=2R sin A cos B+2R sin В cos A.
Нам осталось найти косинусы углов А к В.
Заметим сначала, что, если а — &, то оба угла А и В — острые, так что
их косинусы определяются однозначно и равны у 1 — sin2 A = 2%-- и
V 1 — sin2 В — 2Д соответственно. Следовательно, в этом случае
существует единственный (равнобедренный) треугольник с такими данными,
и тогда с = <*V*w-*
Если а Ф Ь, то каждый из углов А и В может оказаться тупым, и
тогда надо выбрать знак минус перед радикалом, определяющим косинус.
Конечно же, другой косинус окажется положительным, и мы получим, что
либо
с = -{а^№2 - b2 -by/4R2 - а2), либо с = ^-{-ay/^R2 - Ь2 + Ь/4Я2 - а2).
R R
Сделайте, пожалуйста, сами рисунок, иллюстрирующий наши выкладки.
Ответ: если а > 2R, или b > 2R, или а — Ь — 2R, то таких треугольников
нет; если а = 2R, b < 2R (или b = 2R, а < 2R), то существует
единственный прямоугольный треугольник такой, как требуется, причем тогда
с = л/4Я2 — Ь2 (или с = /AR2 — а2 соответственно). <
Если а = b < 2R, то существует единственный треугольник как в
условии; при этом с — —4^"~" • Наконец, если а < 2Л, Ь < 2R, а ф Ь,
то искомых треугольников два и с = ^|а-/4Л2 — b2 ± b/4R2 — а?.
► Задача 10. Даны a,b,ha. Найти с.
Решение. Найдем двумя способами площадь треугольника:
25 = aha — ab sin С =>■ sin С = -р-.
о
Если b < ha, то такого треугольника, как в условии, не существует. Если
Ь = ha, то С = f и с = ^о? + Ь2.
Если b > ha, то либо С — arcsin ^-, либо С = тг — arcsin ■*£-. Отсюда и
получаем

282
Глава 7. Планиметрия
Ответ: если b < ha, то такого треугольника, как в условии, не существует.
Если
Ь = ha, то с = J а2 + b2: если Ь > ha, то с = у а2 + Ь2 ± 2аЬу1 - -ф
*■ Задача 11. Даны a, b, hc. Найти с.
Решение. Так же, как и в предыдущей задаче, можно найти sin Л = -f- и
sin5 = ^-. Следовательно, при а < hc, или b < hc, или а — b = hc решений
нет. Если а = hc, b > hc, то В = | и с = /Ь2 — а2• Если b = hc, a > hc, то
Л = f и с = v/^T2.
Если а = b > /ic, то существует лишь один такой треугольник и с =
2д/а2 - h2 (см. рис. 5).
№ЗГ VSf
Рис. 6
^йГШГ
Рис. 7
Пусть, например, b > а > hc. Тогда существуют два таких треугольника
(см. рис. 6 и рис. 7).
В случае, когда угол В острый, получаем с = /а2 — h2 + y/b2 — h2
(рис. 6). Если же В > |, то с = — s/a2 — h2 + л/ft2 — /г2.
Ответ: если а < hc, или b < hc, или а — b = hc — нет решений; если
Ь > а = /гс, то с = /Ь2 — а2; если а = Ь > hc, то с = 2у/а2 — /г2; если
Ь > а > /ic, то с = ±л/а2 - /г2 + л/Ь2 - /г2. *
► Задача 12. Даны а, Ь, та. Найти с.
Решение. Мы сделаем анализ задачи с помощью
чертежа, а вычисления проведем отдельно. Посмотрим на
рис. 8.
Из рисунка видно, что если существует треугольник
со сторонами |, та, Ь, то продолжив отрезок длины | до
Рис. 8 отрезка длины а, получим искомый треугольник.
Разумеется, если существует искомый треугольник, то существует треугольник
со сторонами |,me,b.
Приступим к вычислениям. В задаче 5 мы вычислили, что
та = ^2Ь2 + 2с2-а2.
Отсюда легко находится с = у —
+4m2-2fc2

Урок 26. Общие треугольники
283
Ответ: задача имеет решение если и только если существует треугольник
со сторонами §, та, Ь, т.е. тогда, когда сумма любых двух из указанных
^ о /а2 + 4т2 -2Ь2
отрезков больше третьего. В этом случае с = л/ ^ . <
► Задача 13. Даны а, Ь, тс. Найти с.
Решение. Мы снова сделаем исследование с помощью чертежа. Взглянем
на рис. 9.
Мы достроили треугольник ABC до
параллелограмма АСВК. При этом КС — 2тс, KB — а и
если существует треугольник со сторонами а,Ь, 2тс,
то существует и треугольник ABC, причем сторона
АВ = с равна удвоенной медиане треугольника КВС.
Так же, как и в предыдущей задаче, из существования
искомого треугольника очевидным образом следует,
что существует треугольник со сторонами a, b, 2тс.
Из равенства 4т2 — 2Ь+2а2—с2 легко находим, что с = fArn2.— 2а2—2Ь2.
Ответ: искомый треугольник существует тогда и только тогда,
когда существует треугольник со сторонами а, Ь, 2тс, и при этом с =
s/4m2c - 2а2 - 2Ь2. <
► Задача 14. Даны а, Ь, 1а. Найти с.
Решение. Решить задачу школьными методами в общем виде невозможно,
ибо, так же как и задача 8, она сводится к решению кубического уравнения.
Действительно, согласно задаче 6 имеем
Jbc{b + с + а)(Ъ + с - а) 2 .2
1а = : 1— <^=> ЩЬ + су = Ьс(Ь + с + а)(Ь + с-а).
о + с
Это и есть искомое кубическое уравнение относительно с. Так же, как и в
случае с задачей 6, здесь можно надеяться лишь на то, что при конкретно
заданных а, Ь, 1а корни этого уравнения можно будет угадать.
Ответ: длина стороны с является корнем уравнения /2(Ь + с)2 = Ьс(Ь + с +
а)(Ь + с — а), которое в общем виде не решается школьными методами. Если
заданы конкретные числа а, Ь, 1а, надо попытаться угадать один из его
корней. <
► Задача 15. Даны а, Ь, 1С. Найти с.
Решение. Воспользуемся еще раз формулой для биссектрисы из задачи 6.
/аЬ(а + Ь + с)(а + Ь — с) , . ,., ,, f w , .
L = У-—i '-± '- <=> 1Ла + Ъ)2 = ab{a + Ь+с){а + Ь-с)
а + о
Ца + Ь)2
ab
{а + Ь)2 - сг ^=> с2 = (а + Ь)'г (1 - ^ ] •

284
Глава 7. Планиметрия
Из последнего равенства уже легко находится с.
Для того, чтобы понять, при каких а, Ь, 1С задача имеет решение,
воспользуемся другой формулой для биссектрисы, также полученной в
задаче 6. Согласно этой формуле
2a&cos§ С [а + Ъ)1с
^ = г*~ <*=*> cos тг = ^ , •
а + Ь 2 2ab
Искомый треугольник существует тогда и только тогда, когда можно
определить угол С, т.е. тогда и только тогда, когда 2аЬ "^ -^
Ответ: задача имеет решение если и только если 1С < |^|. В этом случае
c=(a + b)y/l-^. <
►■ Задача 16. Даны а, Ь, 5. Найти с.
Решение. Наши данные сразу позволяют найти синус угла С:
-absinC = S <=> sinC = —-.
2 ab
Дальше все ясно.
Ответ: если ab < 2S — нет решений; если ab = 2S, то наш треугольник
прямоугольный и с = /а2 + Ъ2 если ab > 25, то существуют два
треугольника таких, как в условии. При этом с = v я2 + Ь2 ± /Аа2Ь2 — 1652. <
Наш урок окончен. Оценку можете поставить себе по стандартным
критериям, причем на первый раз можно считать задачу правильно решенной,
даже если вы просто получили ответ, не проведя исследования. Ваш ответ
может сильно отличаться от приведенного и быть, тем не менее,
правильным. Обязательно проведите преобразования, приводящие ваш ответ к
моему (или мой к вашему). В противном случае задачу верно решенной
считать нельзя.
Домашнее задание
►■ 1. Даны о,
► 2. Даны а,
► 3. Даны а,
► 4. Даны а,
► 5. Даны а,
►■ 6. Даны а,
* 7. Даны а,
► 8. Даны а,
► 9. Даны о,
4
А,
А,
А,
А,
А,
А,
А,
в,
В. Найти Ь, с.
г. Найти Ь, с.
5. Найти Ь, с.
та. Найти Ь, с.
ть. Найти Ь, с.
ha- Найти Ь, с.
hf,. Найти 6, с.
1а. Найти Ь, с.
R. Найти Ь, с.

Урок 26. Общ
10.
11,
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18,
19.
20.
21.
22.
23.
► 24
► 25.
► 26,
► 27.
► 28.
► 29.
► 30.
► 31.
► 32.
► 33.
► 34.
► 35.
► 36.
► 37.
► 38.
► 39.
* 40.
* 41.
* 42.
► 43
► 44.
► 45.
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
[3]. Даны a, S, 1а- Найти Ь, с.
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
Даны а
В, г. Найти Ь, с.
В, S. Найти Ь, с.
В, ha- Найти Ь, с.
В, hb- Найти Ь, с.
В, та- Найти Ь, с.
В, ть- Найти Ь, с.
В, гпс. Найти Ъ, с.
В, If,. Найти Ь, с.
В, 1С. Найти Ь, с.
5, R. Найти Ь, с.
S, г. Найти Ь, с.
S, hj,. Найти Ь, с.
S, ma. Найти Ь, с.
S, ть- Найти Ь, с.
R, г. Найти Ь, с.
R, ha. Найти Ь, с.
R, hb- Найти Ь, с.
Л, та- Найти Ь, с.
R, ть- Найти Ь, с.
R, 1а. Найти Ь, с.
г, ha- Найти Ь, с.
г, hb- Найти Ь, с.
ha, hb- Найти b, с.
ha, ma. Найти Ь, с.
ha, ть- Найти Ь, с.
ha, la- Найти Ь, с.
hb, ma. Найти Ь, с.
hb, ть- Найти Ъ, с.
hb, rnc. Найти Ъ, с.
hb, h- Найти Ь, с.
hb, 1С- Найти b, с.
та, гпъ- Найти 6, с.
[3]. Даны а, та, 1а- Найти Ь, с.
Даны ha, hb, hc. Найти Ь, с.
Даны та, ть, mc- Найти b, с.

286
Глава 7. Планиметрия
Урок 27
Прямоугольные треугольники
На этом уроке мы опять будем решать задачи, поставленные в общем
виде. Необходимо наработать уверенность в том, что, зная каких-нибудь два
элемента прямоугольного треугольника, мы сможем найти все остальные.
Формально сегодняшние задачи будут отличаться от задач урока 26 лишь
тем, что С = | для всех рассматриваемых треугольников.
Однако я выделил прямоугольные треугольники в отдельный урок: во-
первых, для того чтобы вы еще раз потренировались решать
геометрические задачи с применением алгебры, а во-вторых, для того чтобы у вас
выработалось чутье именно к прямоугольным треугольникам и стала
понятна их специфика. К примеру, если вы знаете гипотенузу
прямоугольного треугольника, надо сразу понимать, что вы знаете и радиус описанной
окружности, который равен половине гипотенузы, что радиус вписанной
окружности также просто выражается через стороны, и т. п.
Приступим к решению задач. Напомню, что до конца этого урока угол
С считается прямым. Ничего нового по сравнению с предыдущим
уроком знать не надо, кроме теоремы Пифагора, --■-■ а2 + Ь2 = с2, — которая
очевидным образом вытекает из теоремы косинусов при С = f. Хорошо
нужно владеть определениями тригонометрических функций: знать, что
синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус
его — отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс есть
отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — отношение
прилежащего катета к противолежащему.
Отсюда следует, что а — с sin Л = с cos В = btgA — bctgB, b = с cos A =
csinB = actg^ = atgB, с = ^ = ^ = ^ = ^. Все приведенные
равенства вы должны знать наизусть; в худшем случае — уметь вывести
из определения.
► Задача 1. Даны а, Ь. Найти А, В.
Решение. Из того, что 0 < А, В < f и tgA — | = ctgB следует, что
А — arctg |, В = arcctg f.
Ответ: А = arctg |, В = arcctg |. <
► Задача 2. Даны а, Ь. Найти R, г.

Урок 27. Прямоугольные треугольники
287
Решение. Проще всего находится R =
yiSE
Отметим также,
2 sin С 2 2
что во вписанной окружности сторона с является хордой и равна диаметру.
Значит, она сама есть диаметр, и мы доказали, что в прямоугольном
треугольнике центр описанной окружности лежит на середине
гипотенузы. Прошу вас хорошо запомнить этот факт.
Далее, г = — = а+ь+с. В эту формулу можно было бы подставить
значение с и на этом остановиться. Мы покажем, что ее можно существенно
упростить. Воспользовавшись тем, что 2аЬ = (а + Ь)2 — (а2 + Ь2) = (а + Ь)2 —
с2 = (а + Ь + с)(а + Ь — с), получим
аЬ
г —
7>{a + b + c){a + b-c) 1
а + Ь + с а + Ь+ с
Я попрошу вас запомнить и эту формулу.
-(а + Ь-с).
Ответ: R - |д/а2 + Ь2, г = |(а + Ь - д/а2 + Ь2). «
► Задача 3. Даны а, Ь. Найти та, тс.
Решение. Вспомним формулы прошлого урока для выражения медиан через
стороны:
me = \/2Ъ2 + 2с2 - а2 = у/2& + 2а? + 2Ь2 - а2 = ^/4Ь2 + а2.
Аналогично
т,
= ^2а2 + 2Ь2 - с2 = ^у/2а2 + 2Ь2-а2
1
Ь2 = ^а2 + Ь2.
Ответ: та = | /4Ь2 + а2, тс = |/а2 + Ь2
► Задача 4. Даны а, ft. Найти he-
Решение. Ясно, что 2S — ab — chc <=
Ответ: hc = —. •«
► Задача 5. Даны а, ft. Найти 1а, 1С.
Решение. Можно было бы воспользоваться
сложными формулами для биссектрис,
которые были получены на прошлом уроке. Но в
данном случае задача решается проще.
Посмотрим на рисунок 1.
Мы увидим, что в прямоугольном треугольнике ACD известен катет АС
и легко находится угол DAC, равный у. Значит, 1а = —^ - cos( i abrctg g) •
Для поиска 1С уже проще воспользоваться результатом задачи 6
предыдущего урока.

288 Глава 7. Планиметрия
Ответ: 1а = (1 ь . „., 1С = 3$£- *
cos( j arctg f) ' "■ a+6
► Задача 6. Даны a, г. Найти ft.
Решение. Мы уже знаем, что а+&— л/а2 + Ь2 — 2г Ф=^ а+Ь—2г = у/а2 + Ь2.
Отметим еще, что всегда а > 2г — это следует, например, из того, что
2Ь 2аЬ
c>b=>a + b + c>2b=> ; < 1 =>■ 2г = ; < а-
а + о + с а+о + с
Значит, наше уравнение относительно Ь можно возвести в квадрат, не
нарушая равносильности. Получим, что
(a+b)2-4r(a+b)+4r2 = а2 + Ъ2 <=> 2ab-4ra-4rb+4r2 = 0 & Ь = г^а~г
а — 2г
Ответ: если а < 2г — нет решений; если a > 2г, то Ь = д_-^У ■ <
*■ Задача 7. Даны a, R. Найти Ь.
Решение. Если мы с вами еще не забыли, что R = |Va2 + Ь2, то найдем
эту задачу совсем тривиальной. Из приведенного равенства следует, что
b — у/4Л2 — а2, и надо только не забыть, что при а ^ 2R решений нет.
Ответ: если а ^ 2Л, то решений нет; если а < 2R, то Ь — /4R2 — а2. *
► Задача 8. Даны а, та. Найти Ь.
Решение. Применим формулу для та, полученную в задаче 3:
та = - /4Ь2 + а2 <^> 4т2 = 4Ь2 + а2 <=^ b = ~ у/4т2а-а2.
Ответ: если 2та ^ а, то нет решений; если 2та > а, то b = ^y^m2 — a2.
► Задача 9. Даны а, ть- Найти Ь.
Решение. Снова применяем результат задачи 3:
ть = -л/4а2 + Ь2 ^^ 4т2 = 4а2 + Ь2 4=> Ь = 2^т2~а2.
Ответ: если а ^ ть, то нет решений; если a < m^, то b = 2J-m2 — а2.
► Задача 10. Даны a, hc. Найти Ь.
Решение. Вычислим двумя способами площадь треугольника:
2S = ab= Va^Tfe2 ■ hc Ф^ a2b2 = а2К + b2h2c ^=> b2 = ^
a'1 — n;:
Ответ: если а ^ /ic, то нет решений; если а > hc, то b — —°-^
-. /п.2 — ft.2

Урок 27. Прямоугольные треугольники
289
► Задача 11. Даны а, 1а. Найти Ь.
Решение. Эта задача в общем виде решена
школьными методами быть не может, так как
сводится к решению кубического уравнения.
Сделаем чертеж. Обозначим для простоты
угол у через а. Тогда Ь = la cos а и а = btg2a,
откуда и получаем уравнение на а:
sin 2а a
la cos a tg 2а = а <=> cos а ■ — = —
cos 2а 1п
l-2snTa
Ответ: Ь — /acosa, где а определяется из кубического уравнения
sin a — sin a
a
2L
1 - 2 sin^ a
Это уравнение не может быть в общем виде решено школьными методами,
но при конкретных aw.la надо попытаться угадать корень. <
► Задача 12. Даны а, 1ъ- Найти Ь.
Решение. Стоило нам заменить индекс у биссектрисы, как задача стала
легко решаемой. В самом деле, 1ь cos у = а (сделайте сами чертеж!).
Значит, cos Щ = ji 4=> В = 2'd.iccosf- и b = atgB. Учитывая, что
2 1Ь
cos ^<1и0<|<|, получаем
в
2
Ответ: если а ^ 1ь или а ^ -nshi т0 нет решений; если А= < f- < 1, то
Ь = atg(2arccoSp). <
► Задача 13. Даны а, /с. Найти Ь.
Решение. Эта задача также решается просто. Вспомним формулу для
биссектрисы из задачи 6 прошлого урока. Имеем
2ab cos у /2аЬ alc
lr =
a + b a + b л/2а - lc
Ответ: если /2а ^ 1С, то нет решений; если /2а > lc, to b — g1'' . <
Наш урок окончен. Оценка ставится по стандартным критериям.
Задача, в которой получен правильный ответ, но не сделано исследования, когда
имеется решение, оценивается как + .

290
Глава 7. Планиметрия
Домашнее задание
► 1. Даны A, S. Найти а, Ь.
► 2. Даны A, R. Найти а, Ь.
► 3. Даны А, г. Найти а, Ь.
► 4. Даны A, hc- Найти а, Ь.
► 5. Даны А, та. Найти а, Ь.
► 6. Даны А, ть- Найти а, Ь.
► 7. Даны Л, тс. Найти а, Ь.
► 8. Даны Л, 1а. Найти а, Ь.
► 9. Даны А, 1ь- Найти а, Ь.
► 10. Даны А, 1С. Найти а, Ь.
► 11. Даны 5, R. Найти а, Ь.
► 12. Даны S, г. Найти а, Ь.
► 13. Даны S, hc. Найти а, Ь.
► 14. Даны 5, та. Найти а, Ь.
► 15. Даны S, 1С- Найти а, Ь.
► 16. Даны г, hc. Найти а, Ь.
► 17. Даны г, тс. Найти а, Ъ.
► 18. Даны г, 1а. Найти а, Ь.
► 19. Даны г, /с. Найти а, Ь.
► 20. Даны hc, ma. Найти а, Ь.
► 21. Даны hc, lc. Найти а, Ъ.
► 22. Даны та, ть- Найти а, Ь.
► 23. Известно, что 1а = §/3, k = 4-/б. Найти а, Ъ.

Урок 28. Подобие 291
Урок 28
Подобие
Использование подобия треугольников часто дает решающее
продвижение в планиметрической задаче. Изредка попадаются и задачи, в которых
надо работать с подобием четырехугольников и более сложных фигур.
Подобие произвольных фигур в школе часто определяют через наличие
гомотетии, переводящей одну фигуру в другую. Для решения задач
письменного экзамена достаточно знать, что многоугольники подобны, если
их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Слово
«соответствующие» означает, что многоугольники обязаны иметь одинаковое
число вершин, причем вершины каждого из многоугольников можно так
занумеровать, что углы при вершинах с одинаковыми номерами будут равны,
а отношение сторон, соединяющих соответствующие пары вершин, будет
одно и то же для всех пар вершин, соединенных стороной.
Поскольку общие определения всегда трудно понять, я повторю их для
случая треугольников и четырехугольников. Думаю, что подобие фигур с
числом сторон, большим четырех, на письменном экзамене вам не
встретится.
Итак, два треугольника (соответственно, два четырехугольника)
подобны, если можно обозначить вершины одного из них через А, В, С
(Л, В, С, D), а другого — через Аг, Bi, С (соответственно, Ль Вь
Ci, Di) так, что будет ZA = ZAU ZB — ZBi, ZC = ZC (соответственно,
ZA = ZAU ZB = ZBU ZC = ZCU ZD = ZD,) и ^ = J%- = ^
(соответственно, -£f- = ^ = ^ = -£g_).
Мы с вами должны хорошо знать три следующих признака признака
подобия треугольников. Треугольник ABC подобен треугольнику ABCi
в каждом из следующих случаев:
1) если ZA - ZAU ZB = ZBi;
2)ecnnZA = ZA1n^|7 = ^g7;
3) ^ли ^ = ^ = -^.
Мы с вами должны научиться, во-первых, чувствовать, что подобие
может играть в задаче решающую роль, а во-вторых, находить пары подобных
треугольников, даже в порой очень запутанных случаях.
Чаще всего подобие треугольников встречается в двух следующих
ситуациях.

292 Глава 7. Планиметрия
Ситуация 1. В треугольнике ABC проведена прямая А^С || АС (см.
рис. 1).
Рис. 2
Тогда треугольник ABC подобен треугольнику АВС (по первому
признаку — ибо /.А = ^Ai, Z.C — Z.C как внутренние односторонние углы
секущих АВ и ВС при параллельных прямых АС и АС).
Ситуация 2. Прямая АС пересекает продолжения сторон АВ и ВС
(см. рис. 2).
Тогда треугольник ABC подобен треугольнику А ВС (по первому
признаку — ибо /.А = ZAi, Z.C = ZCi как внутренние накрест лежащие углы
секущих АА и СС при параллельных прямых АС и АС).
Задачи на подобие — это в первую очередь задачи на отношения
отрезков. Проще всего здесь разобраться, когда все они лежат на одной прямой.
Вы поймете, как это сделать, на примере задач 1 и 2.
► Задача 1. Точка В лежит на отрезке АС и ^ = А; ф 0. Найти ^.
Решение. Пусть АВ = х; тогда из соотношения, заданного в условии,
следует, что ВС = |. Значит, АС = АВ + ВС = х+ |. Отсюда заключаем,
что
АС х + § л 1
— = 1 + -.
АВ х к
Ответ: 1 + |. <
► Задача 2. Точки Л, 5, С, D лежат на одной прямой в том же порядке, как
они записаны (т.е. В лежит между Л и С, а С — между В и D). Известно,
гтгт,^ АВ _ т, ВС _ / тт, "_„ АР
ЧТ0 OD ~ *. BD ~ '• Нлити -ВС'
Решение. Пусть CD — х. Тогда по условию АВ — кх. Воспользуемся
вторым отношением условия для того, чтобы найти ВС.
ВС . ВС ВС . пп 1х
I <=> —— —- = / -ф=> —— = I 4=> ВС = г.
BD BC + CD ВС + х

Урок 28. Подобие
293
Следовательно, AD = AB + BC + CD - kx + jz^ + x = х(1 + к+^). Теперь
уже легко находится искомое отношение:
AD х{1 + к+^) 1 + k-kl
ВС х.^
Ответ: 1+fe, ы. <
*■ Задача 3. Пусть ABC — произвольный треугольник и AD — его биссек-
BD _ ЛВ_
DC ~ АС
триса (точка D лежит на стороне ВС). Доказать, что BD — АВ
Решение. Проведем через В прямую параллельно АС и продолжим
биссектрису AD до пересечения с этой прямой в точке Е (рис. 3).
Углы BAD и ВАС равны, так как AD —
биссектриса. Кроме того, угол BED равен углу DAC, ибо
эти углы являются внутренними накрест лежащими
при секущей АЕ параллельных прямых АС и BE. Тем
самым, в треугольнике ABE имеем ZBAE = /.BEА,
откуда АВ — BE. Треугольники ADC и BDE
подобны (ситуация 2). Следовательно,
BE АВ BD
AC AC DC
что и требовалось доказать.
Замечание. Свойство биссектрисы, доказанное в задаче 3, часто
применяется при решении планиметрических задач. Я попрошу вас хорошенько
его запомнить. На экзаменах вы можете применять его без доказательства,
так как оно входит в школьную программу.
*■ Задача 4. Пусть ABC — остроугольный треугольник, АА и ВВ — его
высоты, точка А лежит на стороне ВС, точка В — на АС. Доказать, что
треугольник АВС подобен треугольнику ABC.
Решение. У треугольников ABC и АВС общий угол. Согласно второму
признаку подобия, достаточно доказать, что -£j- — -^f. Но каждое из
этих отношений равно косинусу угла С: первое — из треугольника ААС,
а второе — из треугольника ВВС.
Значит, эти отношения равны и указанные треугольники подобны, что
и требовалось доказать.
► Задача 5. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вписан
прямоугольник с периметром 24 см так, что одна его сторона лежит на большей стороне
треугольника. Найти стороны прямоугольника.

294
Глава 7. Планиметрия
Решение. Пусть в треугольнике ABC
будет АВ = 21, ВС = 10, АС = 17.
Против большей стороны всегда лежит больший
угол, так что оба угла А и В острые и
основание высоты СН = hc попадает именно на
сторону АВ, а не на ее продолжение (см.
рис. 4).
В нашем треугольнике а = 10, Ь = 17, с =
21. Значит, р = 24 и
S = v/24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21) = 84.
Теперь можно и найти высоту hc, ибо  ■ 21hc = 84 <=> hc — 8.
Пусть сторона PS = QR вписанного прямоугольника равна х. Из
того, что периметр прямоугольника равен 2PQ + 2х = 24, получаем, что
PQ = GF = 12 - ж.
Треугольники Л.ВС и QHC подобны, так же как и треугольники АНС
и QGC (ситуация 1). Следовательно,
АВ АС АН СН
А В
Итак Да - СЯ
8-G# = 8-(12
QH QC QG CG'
Вспоминая, что АВ = 21, Qi? = x, СН
- z) = x — 4, получаем уравнение на ж:
8 и CG =
акоь
21
X
юц, PQ = 12-х = Щ.
8 84
= г <=> х = —
ж-4 13
Ответ: || см и || см. -4
► Задача 6. Дана произвольная трапеция ABCD, в которой AD || Ж7.
Пусть точка О есть пересечение диагоналей трапеции. Через О параллельно
основаниям трапеции проведена прямая, пересекающая ее боковые стороны
АВ и CD в точках Р и Q соответственно. Доказать, что РО — OQ.
Решение. Треугольники AOD и ВОС подобны согласно ситуации 2
(сделайте сами чертеж, пожалуйста). Значит, ^ = ^. Прибавив единицу к
обеим частям этого равенства, получим
(О ^ + . = ^ + .
OD
ОА
ВО + OD СО + О А
OD
ОА
BD
0~D
СА
О А'

Урок 28. Подобие
295
Треугольник BCD подобен треугольнику OQD (ситуация 1).
Следовательно, Ш; = §§. По той же самой причине треугольник ВС А подобен
треугольнику РОА и Щ = ^.
Но ~j — ^ согласно формуле (1). Отсюда следует, что -р§ = §Я '*==>
РО = OQ, что и требовалось доказать.
► Задача 7. Дана произвольная трапеция ABCD, в которой AD || ВС.
Пусть точка О есть пересечение диагоналей трапеции, а точка Е —
пересечение продолжений сторон АВ и CD. Прямая ОЕ пересекает основание
AD в точке К, а основание ВС в точке L. Доказать, что АК = KD и
BL = LC.
Решение. Здесь уже необходим рисунок.
Отрезок PQ проведен параллельно основаниям
трапеции через точку О. Согласно предыдущей
задаче РО = OQ. Треугольник АКЕ подобен
треугольнику РОЕ и, значит, р^ = ^^.
Аналогично |Уг = 15§ ■ Отсюда получаем, что р§ = ^§-
Теперь уже видно, что из РО = OQ следует, что
АК = KD, что и требовалось доказать. Точно так
же доказывается, что ^ = ^ = ^ =Ф- BL =
LC, и все доказано.
► Задача 8. Хорды АВ и CD некоторой окружности пересекаются в точке
О. Доказать, что АО ■ ОВ = СО ■ OD.
Решение. Посмотрим на рисунок 6.
Треугольники AOD и ВОС подобны по первому признаку
(ZAOD = /LBOC как вертикальные и ZDAO =
ZBCO как вписанные в окружность и
опирающиеся на одну и ту же дугу). Отсюда следует, что
АО _ DO
~ОС~ ~ОВ
АООВ = СО- ОВ,
что и требовалось доказать.
► Задача 9. Точка А находится вне некоторой окружности. Из точки А к
этой окружности проведена касательная АР, где Р — точка касания. Через
точку А проведена еще одна прямая, пересекающая окружность в точках
Я и 5. Доказать, что AR ■ AS = АР2.

296
Глава 7. Планиметрия
Рис. 7
Решение. Ситуация, указанная в задаче,
изображена на рис. 7. В нашем решении я буду
пользоваться свойствами вписанных в окружность углов.
Они все проходятся в школе, но относятся к
материалу, который большинство поступающих знает
отвратительно. Если свойства, на которые я буду
ссылаться, вы (как вам кажется) слышите
впервые в жизни, пролистайте учебник для седьмых-
восьмых классов. Впрочем, окружностями мы еще будем заниматься
отдельно, и все необходимые свойства я еще раз напомню.
У нас О — центр окружности. Докажем, что треугольники APR и
APS подобны. Они имеют общий угол А, так что достаточно доказать,
что ZPSR = /APR. В треугольнике OPR имеем ОР — OR, ибо это —
радиусы. Значит, /OPR = §(?г - /POR) = §
 ■ /РОК. Угол АРО
прямой, так как АР — касательная. Следовательно, /.APR = § — /OPR =
/POR.
Угол PSR вписан в окружность, так что он равен половине центрального
угла, опирающегося на одну с ним дугу, т.е. половине угла POR. Наши
предыдущие выкладки показывают, что угол APR также равен половине
угла POR. Значит, эти углы равны, и подобие треугольников APR и ASP
доказано. Заметьте, что я выписал вершины треугольников так, чтобы они
соответствовали их равным углам.
Итак, ^ = ^р <=>■ АР2 = AR ■ AS, что и требовалось доказать.
► Задача 10. (Теорема Менелая). Пусть прямая пересекает произвольный
треугольник ABC, причем С — точка ее пересечения со стороной АВ, А
— точка ее пересечения со стороной ВС и Bi — точка ее пересечения с
продолжением стороны АС. Доказать, что тогда
ACi BAi CBj_
СХВ ' АХС ' ЖА
= 1.
Решение. Проведем через точку С прямую параллельно АВ. Пусть К
точка ее пересечения с прямой ВС (см. рис. 8).
Рис. 8

Урок 28. Подобие
297
Треугольники АС: В} и СКВ подобны по первой ситуации. Значит,
v ; ск вхс
Треугольники ВСА и СКА подобны по второй ситуации.
Следовательно,
<Ъ С'В - BAl
W СК ~ АгС
Из равенства (2) находим, что С К — АСдВд;С, а из равенства (3) следует,
что С К = С]^С ■ Отсюда имеем
Ad - ВгС _ CjB ■ АХС Ad BM_ СВг
ВХА ~ ВАЛ ^^ СХВ ' AiC ' ВгА ~ '
что и требовалось доказать.
*■ Задача 11. Дан треугольник ABC, в котором ВМ — медиана. Точка Р
лежит на стороне АВ, точка Q -— на стороне ВС, причем -р^ — |, ^ — 6.
Отрезок PQ пересекает медиану ВМ в точке R. Найти -$щ-
Решение. Прямая PQ не параллельна АС, так как -pg- / ^. Продолжим
ее до пересечения с прямой АС в точке S (см. рис. 9)
Запишем теорему Менелая (см. предыдущую задачу) для треугольника
ABC и секущей PS^ ^ ^ 2 ^^
РВ' QC' SA l ^ о ' Ь ' SA '
откуда находим, что ^rj — ^.
Пусть AM = МС - х, тогда Cgf2x = Гз <=> ^S ~ ™ж-
Следовательно, SM = CS + х = %-х, SA = CS + 2x = Цх.
Запишем теперь теорему Менелая для треугольника АВМ и секущей PS:
АР BR MS л ,2 BR lj1x _ 2 BR^ 17 _
РВ RM SA 5 RM 24/7z 5 RM 24
откуда и находим, что -д-Ц = Щ.
Ответ: Щ. <
*■ Задача 12. В треугольнике ABC угол С прямой, ВС = 3, ЛС = 4 и
проведены биссектриса CD и медиана AM. Найти площадь треугольника
СЕМ.

298
Глава 7. Планиметрия
Решение. В треугольнике СЕМ известны угол ECU = f и СМ = ВС =
§. Значит, остается только найти сторону СЕ (рис. 10).
Легко находится АВ = -/32 + 42 =5. Кроме того, по свойству
биссектрисы, установленному в задаче 3, имеем -^ = ^ = |, откуда
AD =f,BD = Ц-.
По одной из выведенных нами формул для биссектрисы имеем
= 2-BC-AC-cosf = 2-3-4-f = 12 ,-
ВС + АС 3 + 4 7
Наконец, применим теорему Менелая к треугольнику BCD и секущей
МА:
ВЫ СЕ_ £А._ 1 СЕ_ 20/7 _
~МС 'E~DA~B~ <=^ 1 ' ~ED ' ~Ь~ ~
СЕ
E~D
7
4'
Значит, СЕ
_ j_
11
12
^2 = ^2.
Окончательно, искомая площадь равна | ■ | • yf /2 • sin j = ^-.
Ответ:
_9_
11
► Задача 13. Основания трапеции равны а и Ь. Определить длину отрезка,
параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.
Решение. Обозначим через у длину искомого
отрезка. На рис. 11 это отрезок PQ. Кроме того,
AD = а, ВС — Ь. Пусть высота СН исходной
трапеции равна h. Найдем высоту h = ТН в
трапеции APQD. Треугольник SCD подобен
треугольнику RCQ W.SD = а-Ь, RQ = y-b, CT = h-h1.
Из подобия названных треугольников получаем
а — Ь h
S1D_ _ DC_ _ ЕС_ a-b _
~RQ~ QC~ ТС ^ у-Ъ~ h-hi'
откуда hi = Л- frjf.
Запишем теперь тот факт, что площадь APQD равна половине площади
ABCD:
а + у а-у а + Ь
-2~-h-—b = — -h
и наша задача решена.
Ь2
а —у =
Ответ: т^Щ^
У
а2 + Ъ2

Урок 28. Подобие
299
► Задача 14. Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных
треугольника ABE и ВЕС, причем коэффициент подобия равен /3. Найти
углы треугольника ABC.
Решение. Я буду вести рассуждение без рисунка, вам же советую его
нарисовать. Раз треугольник ABE подобен треугольнику ВЕС, один из углов
треугольника ВЕС равен углу АЕВ. Но /ВЕС + /ЕСВ + /СВЕ = тт.
Отсюда следует, что /ЕВС + /.ВСЕ = тг - /ВЕС = /АЕВ.
Тем самым, угол АЕВ не может равняться ни одному из углов ЕВС или
ВСЕ, поскольку он равен их сумме. Значит, он равен своему смежному
углу ВЕС и, следовательно, является прямым углом.
Посмотрим теперь, какому из углов равняется угол ВАЕ. Если /ВАЕ —
/.ВСЕ, то треугольники ABE и ВСЕ равны по катету и острому углу,
т.е. не могут иметь коэффициент подобия, равный л/3. Этим доказано, что
/ВАЕ = /ЕВС и /ВСЕ = /ABE, откуда /ABC = /ВАЕ + /ABE - §.
Кроме того, ctg А = Щ - 4= <=> А = |.
Нам, в принципе, не сказано, какой из треугольников ABE и ВЕС
«больше» другого, так что может быть так, что ctgA = v3 <*=> А = |.
Но это все равно не изменит
Ответ: углы треугольника ABC равны |, f, f. <
► Задача 15. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной
точке и что эта точка пересечения делит каждую из медиан в отношении
2:1, считая от вершины.
Решение. Пусть в треугольнике ABC проведены
медианы ВЫ и AN, причем К — точка их
пересечения (см. рис. 12). Достаточно доказать, что
-jfjj = 2, поскольку можно будет повторить буква
в букву доказательство и для медианы,
проведенной из вершины С. Поскольку она также разделит
ВЫ в отношении 2:1, она обязана будет пройти через точку К, т.е. будет
доказано, что все три медианы пересекаются в одной точке. Опять-таки,
доказательство того, что точка К делит ВЫ в отношении 2:1, можно
дословно повторить для остальных медиан.
Итак, доказываем, что ^jf = 2. Применим теорему Менелая к
треугольнику МВС и секущей AN:
CN ВК МА _ ВК_ 1 ВК __
~NB ' КМ ' АС ~ <=^ К~М " 2 ~ ^^ К~М ~~ '
что и требовалось доказать.

300
Глава 7. Планиметрия
Наше занятие окончено. Если вы не справились с ним за один раз и
перенесли окончание на другое время, это в рамках нормы.
Оценку себе можно поставить по следующим критериям:
Самостоятельно решено ^ 10 задач - - пятерка.
Самостоятельно решено ^ 7 задач — четверка.
Разобран, понят и может быть воспроизведен весь текст (без
подглядывания) —- тройка.
Если не все решения понятны или, закрыв книгу, вы их забыли (хотя бы
одно!) — двойка.
При любой оценке нужно решать домашнее задание. Если оно написано
на тройку и выше, можно переходить к следующему уроку. Если нет, надо
вернуться к первым двум урокам по планиметрии (урок 26 и урок 27).
Домашнее задание
► 1. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем С находится между А
и D, а точка В — между А и С. Известно, что ^f§=fc, jfjy=l- Найти ^.
►■ 2. Точки А, В, С. D лежат на одной прямой, причем С находится между А
и D, а точка В — между Л и С. Известно, что ^£— &, ^—1- Найти ^.
► 3. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем С находится между А
и D, а точка В — между Aw. С. Известно, что jj%=k, ^—l- Найти ^.
► 4. Дан угол с вершиной О. На одном из его лучей расположены точки
Л, В, С таким образом, что В лежит между Л и О, а С — между
В и О. Через каждую из этих точек проведены параллельные прямые,
пересекающие другую сторону угла соответственно в точках А, В и
С. Известно, что jf^ = р, §§ = </. Найти ^М-.
► 5. В равносторонний треугольник со стороной 1 вписан квадрат так, что
одна из сторон квадрата лежит на стороне треугольника, а на каждой
из остальных сторон лежит по одной вершине квадрата. Найти сторону
квадрата.
► 6. В трапеции ABCD основание ВС равно 1 и ^ = |, где О — точка
пересечения диагоналей трапеции. Найти длину основания AD.
*■ 7. В треугольнике ABC угол С прямой, АС = Ь, ВС = а. Найти ^, где
СН — высота, опущенная из вершины С.
*■ 8. Две окружности радиусов R и г (R > г) касаются внешним образом.
Пусть М — точка пересечения линии центров с общей касательной
названных окружностей, а К — точка касания большей окружности с
общей касательной. Найти длину отрезка МК.
*■ 9. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны ВС в
точке L. Точка Р лежит на стороне АВ, а точка Q — на стороне ВС

Урок 28. Подобие
301
так, что PQ касается окружности и PQ \ АС. Известно, что BL -Зи
jrg = I- Найти периметр треугольника ABC.
► 10. В треугольнике ABC имеем АВ = 6, АС — 5. Точка А лежит на
стороне ВС таким образом, что АА есть биссектриса угла А. Точка
С лежит на стороне АВ таким образом, что АС || АС. Найти АС.
► 11. В треугольнике ABC сторона АВ равна 7 и угол ВАС равен 30°. На
стороне АВ лежит точка D такая, что AD : DB = 5 : 2 и Z.BCD —
1ВАС. Найти tg С.
► 12. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны,
диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Известно, что АВ = 2, CD —
3, BD = 4 и ВО : OD = 1:3. Найти длину диагонали АС.
*■ 13. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС имеем AD = 3, ВС = 1.
Точка Р лежит на стороне АВ, а точка Q — на стороне CD, причем
отрезок PQ параллелен основаниям и проходит через точку пересечения
диагоналей трапеции. Найти длину отрезка PQ.
► 14. В трапеции ABCD основание AD равно 2, а основание ВС равно 1.
Точка Р лежит на стороне АВ, а точка Q — на стороне CD, причем
отрезок PQ параллелен основаниям и АР : РВ = 3:2. Найти длину
отрезка PQ.
► 15. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD прямые,
диагонали АС и BD пересекаются в точке О, причем АС — биссектриса
угла BAD. Найти длину отрезка АО, если известно, что АС — 5, CD =
3.
► 16. Точка D лежит на стороне АС треугольника ABC, причем известно,
что AD = 3, ВС = 2, ZABC + Z.ADB = тг и косинус угла BDC равен
Щ. Найти периметр ABC.
► 17. Точка К лежит на стороне АВ, а точка М — на стороне АС
треугольника ABC, причем АК : KB = 3:2, AM : MC = 4:5. Прямая,
проходящая через точку К параллельно ВС, пересекает отрезок ВМ в
точке Р. Найти отношение ВР : РМ.
► 18. Точка К лежит на стороне АВ, а точка М — на стороне АС
треугольника ABC, причем АК : KB = 3:2, AM : MC = 4:5. Отрезки КС и
ВМ пересекаются в точке О. Найти отношение ВО : ОМ.
► 19. Точка D лежит на стороне АС, а точка Е — на стороне ВС
треугольника ABC, причем DE \ АВ, ВС = CD, АВ = 8, DE = 3, ZACB = 60°.
Найти длину стороны ВС.
►■ 20. На стороне АС треугольника ABC взята точка Е. Через точку Е
проведена прямая DE параллельно стороне ВС и прямая EF параллельно
стороне АВ (точка D лежит на стороне АВ, а точка F — на стороне
ВС). Площадь треугольника ADE равна 9, а площадь треугольника
EFC равна 4. Найти площадь параллелограмма BDEF.

302
Глава 7. Планиметрия
Урок 29
Площади
Добрая половина, если не больше, планиметрических задач для
поступающих заканчиваются словами «найти площадь...». Примерно половина из
них может быть решена посредством нахождения отрезков и углов,
необходимых для вычисления площади данной фигуры. В таких случаях работают
методы, изложенные на трех предыдущих уроках.
На этом уроке я хочу обратить ваше внимание на метод поиска площадей
фигур путем сравнения с известными площадями. Он, как правило,
работает, когда задана площадь какой-то фигуры, по этой фигуре построена
другая, и надо найти площадь этой другой фигуры.
Чаще всего нужно сводить задачу к поискам площадей треугольников,
разбивая при необходимости более сложные фигуры на треугольники. Для
сравнения площадей треугольников полезно применять следующие простые
факты:
Факт 1. Пусть треугольники ABC и АВС таковы, что их стороны
А] С В
А С, В
Рис. 3
Факт 2. Пусть треугольники ABC и АВС имеют общий угол С (см.
рис. 2). Тогда
SAbc = АС ВС
Sa-^BxC АС ■ BiC
Факт 3. Треугольники ABC и ABiC расположены так, что стороны
АВ и AiB параллельны, вершина С лежит на прямой A^Bi, а вершина С
АВ и АВ лежат на одной прямой (рис. 1).
С -^
Тогда
Sabc _ АВ
Sa1b1c AB

Урок 29. Площади
303
лежит на прямой АВ (рис. 3). Тогда
Sabc АВ
SaxBiC АВ
Факт 4- Если треугольник ABC подобен треугольнику АВС^ то
Sabc л "
= ( АВ V - ( АС V _ ( ВС V
SaiB-iC
т.е. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
► Задача 1. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали АС и
BD пересекаются в точке О. Доказать, что площади треугольников АОВ
и COD равны.
Решение. Заметим сначала, что площади треугольников ABC и BCD
равны. В самом деле, у этих треугольников общее основание ВС, а высоты,
опущенные из точек А и D на прямую ВС, равны вследствие
параллельности сторон AD и ВС. Теперь равенство площадей треугольников ABC и
BCD следует из того, что площадь треугольника есть половина
произведения основания на высоту.
Наконец, Saob — Sabc - Sboc - Sbcd - Sboc = Scod, 'что и
требовалось доказать.
► Задача 2. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка С, а на
стороне ВС взята точка А таким образом, что ^^ = р, ^^ — д. Найти
отношение площадей треугольников ABC и АСС.
Решение. Пусть площадь треугольника ABC равна S. Выразим через S
площадь треугольника АСС с тем, чтобы при взятии отношения
площадей S сократилось и получился бы просто числовой ответ. Следующую
последовательность треугольников можно назвать планом решения задачи.
ABC -> ВСгС -> AidC.
Каждая из стрелок означает, что соединенные ею треугольники
подпадают под один из четырех фактов, перечисленных выше. В нашем случае
соответствующие пары треугольников подпадают уже под факт 1.
Действительно, у треугольников ABC и ВСС общая вершина С, а
противолежащие ей стороны лежат на одной прямой АВ. У треугольников
ВСС и АСС общая вершина С, а противоположные ей стороны обе
лежат на прямой ВС.
Теперь применяем два раза факт 1:
Sabc АВ Sabc S
- =р+ 1 => bBdc =
Sbc.c СхВ " DUlU р+1 р+1'

304
Глава 7. Планиметрия
Наконец,
Sedc
ВС
SaiCxc АС
— Q+ 1 => SAidc
SbCiC S
9+1 ~ (p+l)(? + l)"
Отсюда получаем, что Z4"^ = (p + 1)(<? + 1).
Ответ: 5s'"gc = (p + l)(g + 1). «
L Ci С
► Задача 3. В треугольнике ABC точка L делит пополам отрезок £?С,
а точка К делит пополам отрезок BL. Из точки Л через точки К и
L проведены лучи и на них отложены вне треугольника ABC отрезки
LD — AL и KF = АК. Найти отношение площади треугольника ABC
к площади четырехугольника KLDF.
Решение. План решения будет выглядеть так:
ABC -> AKL -> AFD
с учетом того, что SKLdf = <SUfd ~ Sakl-
Отметим что первая стрелка задает переход согласно факту 1, а вторая
— согласно факту 2.
Пусть площадь треугольника ABC равна S. Тогда
Sakl _ KL
S "ВС
Согласно факту 2 имеем
Safd _ AFAD
Sakl ~ AL-AK
4 ^SAKL = ^S.
AD AF n 4
AL AK ~ " 3 ~
8
3'
_ 8
з Sakl — § • j — S. Площадь KLDF равна, тем самым,
откуда Safd
2 с _ 1 О _ 5c
Ответ: -тД. •«
► Задача 4 [2]. На сторонах треугольника ABC
взяты точки Ai,B и Ci, делящие его стороны
в отношениях ВА : АС = р, CE?i : BiA = ij
и ACi : Ci-B = г. Точки пересечения отрезков
АА, ВВ и CCi расположены так, как показано
на рис. 4.
Найти отношение площадей треугольников PQR и ABC.
Решение. Наш план решения будет выглядеть следующим образом:
ABC -» BCiC -» BdH — PQR,
причем при первых двух переходах применяется факт 1, а при последнем
— факт 2.
flic. 4

Урок 29. Площади
305
Пусть площадь треугольника ABC равна S. Тогда
SbCiG _ ВС _ 1 „ _ S
S ~ В А "г + 1 " г,вс^с" г + 1'
Нам придется применить два раза следующее вспомогательное
утверждение.
Лемма. Пусть даны положительные числа x,y,z, причем известно, что
-J^ = au*±M=b. Тогда 2±* = Црр-.
У+z z у Ь-а
Доказательство леммы. Оно совсем простое. Действительно, из второго
равенства имеем х + у = bz, а из первого — х = ay + az. Подставив
выражение для х во второе равенство, получим
Ь— а х + у bz Ь(а + 1)
ay + az + у = bz <=>■ y = ^—^z => — = ^- = , _ ,
«+1 У a+i-
что и требовалось доказать.
Ищем площадь треугольника BCR. Имеем -sB,-lR = ^С' так чт0 нам
w С1 R
надо найти -q-q-
Применим теорему Менелая к треугольнику АСС и секущей ВВ\
CXR СВх АВ Л CiR ,. 1Ч , CiR 1
= 1 ■ «=> "577 ' Я ■ {г + 1) = 1 ' '
RC BiA Bd RC * ч ' RC q{r + l)
Отсюда
СС _ CiR + RC _ RC _ ,
Ci Л Ci R C R
Отсюда находим, что SBCR = Щ^ = (r+y)(i+q+qr) ■
Применим теорему Менелая к треугольнику ВСС и секущей АА\
CiP С Ay ВА _ СхР_ 1 г + 1 _ СхР рг
PC AxB ACx PC p r PC г + 1
Если мы положим теперь х — СР^ у — PR, z = RC, то окажемся в условиях
леммы для а = ^ц, b = ^щ-
Следовательно,
X + у С R _ я{г+1) ' {} + r+l) 1 + Г + Гр
* PR W^-fh (г + 1)(1-Р9г)-
Мы сейчас применим еще два раза теорему Менелая и один раз лемму для
того, чтобы найти отношение ^.

306
Глава 7. Планиметрия
Применяем теорему Менелая к треугольнику ВВС и секущей АА\
BQ ВО. СМ_ = i BQ_ _J_ l BQ_ =
QBi' AC ' АгВ '^QBi'q+l'p *=*QB1 P[q+>-
Применяем теорему Менелая к треугольнику ВВА и секущей СС
1-
BR ВХС АСХ л BR q л BR q + 
= 1 <=$■ тгтг- • • г = 1 J'—"■ —
RBi С А СХВ RBX q+1 RBX qr '
Еще раз применяем лемму для х = BQ, у ■= QR, z = RBi ка- p(q + 1), Ь =
Я±1.
z + y _ BR _ *%г ■ (1 + Р + pg) _ 1 + р + pg
~T~~~QR~ ^-р(? + 1) ~ 1-Р9Г '
Теперь мы готовы к отысканию площади треугольника PQR. Имеем
gfiClR = CXR BR _ (l + r + rp)(l+p + pg)
5рсзя " PR' QR (r + 1)(1- pqrf ■
Вспоминая, что Sbc^r = {r+1)ii+q+qr), находим, что
5(1 -pqr)2
>PQR =
(1 + p + pq)(l + q + qr)(l + r + rp)'
umeem. Sabc (1+p+pq){l+q+qr)(1+r+rpy <
► Задача 5. Площадь треугольника ABC равна S. На каждой стороне
треугольника выбраны две точки, делящие ее в отношении т : п : т. Найти
площадь шестиугольника, вершинами которого служат выбранные точки.
Решение. Посмотрим на рис. 5. Площадь
шестиугольника KLMNOP равна Sabc — Sakp — Scon —
Sbml- Согласно факту 2 имеем
Sakp _ АР_ АК _ т т _ rri2
Sabc ~ AC ' А~В ~ (2т + п) ' 2т+ п = (2т + п)2 '
Следовательно, SAkp = (2Д+п)« •
Ввиду одинаковости отношений на всех сторонах получаем, что Sblm =
Scon = Sakp, и, подставляя эти площади в формулу для Sklmnop,
получаем
Ответ: S (1
Зт"
(2m+n)2
)'
► Задача 6. В треугольнике ABC имеем АВ = ВС, ZB = /3. Биссектриса
AD угла А пересекает описанную около треугольника ABC окружность
в точке Е. Найти отношение площади треугольника BDE к площади
треугольника ABC.

Урок 29. Площади
307
Решение. Наш план решения будет иметь вид
ABC -> ADC -> BDE,
причем первая стрелка дает переход по факту 1, а вторая — по факту 4.
Заметим, что здесь мы можем вычислить все углы, которые
потребуются. Ясно, что ZA = ZC = ^ и ZBAE = Z£MC = ^. Отсюда
ZBDA=l(n-0).
Пусть площадь треугольника ABC равна S. Согласно факту 1 имеем
Sadc = CD = CD 1
S CB~ CD + BD~ 1 + Щ'
Вспоминая теперь, что AD — биссектриса и поэтому делит ВС
пропорционально сторонам АВ и АС, получим Щ^ = ^ — l 0 . Следовательно,
с, 25 sin |
Sadc =
2 sin §4-1
Коэффициент подобия треугольников ADC и BDE равен j^. Последнее
отношение равно по теореме синусов отношению ^'" .№
SIL1 „
Итак,
,2 I -к-t
sin
Sbde = Sadc ■
sin2/? 2sinf + l sin2/?
Ответ: „ .s"l2 • —. 21 Л -4
2 sin f 4-1 sin2/3
► Задача 7. Точка #1 лежит на стороне ЛС треугольника ABC, причем
АВ =3, ВС — Ь. Точка О, лежащая на отрезке ВВ, такова, что площадь
треугольника ВОС равна 25. Найти площадь треугольника АО В.
Решение. Посмотрим на рис. 6. Ситуация с
треугольниками АОВ и ВОС не подходит непосредственно ни под
один из четырех приведенных фактов, хотя и является
весьма простой. Мы знаем, что площадь треугольника
есть произведение стороны на соответствующую
высоту. Поэтому если треугольники имеют общую сторону,
то отношение их площадей равно отношению их
соответствующих высот.
Если вы вдруг задались вопросом, сколько всего случаев сравнения
площадей треугольников может возникнуть в задачах, имейте в виду, что их
достаточно много для того, чтобы было разумно их запоминать. Если вы
хорошо усвоите и запомните факты 1-4, то любую другую ситуацию
сможете разглядеть.

308
Глава 7. Планиметрия
Вернемся к рисунку 6. Здесь СК и AL — перпендикуляры, опущенные
из точек С и Л на прямую ВВ. Треугольники АОВ и ВОС имеют общую
сторону ОВ, и высоты их равны соответственно AL и СК. Значит,
Saob =^= АВ}_ = 3
Sboc СК ~ ВХС 5'
Предпоследнее равенство выполняется ввиду подобия прямоугольных
треугольников ABiL и СВК по острому углу.
Теперь видно, что Saob = SBoc = 15.
Ответ: 15. <
► Задача 8 (Теорема Чевы). Точки А, В, С лежат соответственно на
сторонах ВС., АС и АВ треугольника ABC, причем отрезки АА, ВВ и
СС пересекаются в одной точке. Доказать, что
Ad BAi CBL _
dB ' АгС ' ВгА ~~ '
Решение. Обозначим через О точку пересечения трех заданных отрезков.
В предыдущей задаче мы доказали, что |р^ = |ggc. Аналогичным
образом
АС _ Saoc BAi _ Sboa
CB Sboc AC Saoc
Перемножив эти три равенства, получим
АС ВА CBi _ Saoc Saob Sboc _ .
CB AC BA Sboc Saoc Saob
что и требовалось доказать.
► Задача 9 (Обратная терема Чевы). Точки А, В, С лежат
соответственно на сторонах ВС, АС и АВ треугольника ABC, причем
ACi BA± СВ± __
СХВ ' АгС ' BiA ~ '
Доказать, что отрезки AAi, BBi и СС пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть О — точка пересечения отрезков АА и ВВ, и прямая СО
пересекает сторону АВ в некоторой точке С^. Достаточно доказать, что
С = С2.
Применим прямую теорему Чевы к точкам A,Bi и CV
АС2 ВАх CBj _
С2В ' АХС ' ВгА ~ '

Урок 29. Площади
309
Тогда jr^ — ^^ • ^~ = ^£. Значит, точки С и Сч делят отрезок
АВ в одном и том же отношении и потому совпадают, что и требовалось
доказать.
► Задача 10 [3]. Точки А, В, С лежат соответственно на сторонах
ВС, АС и АВ треугольника ABC, причем отрезки АА, ВВ и СС
пересекаются в одной точке. Доказать, что тогда Sa^b^Ci ^ Sabc-
Решение. Пусть ££± = р, ^r = q, ^- = г. Тогда pqr = 1 по теореме
Чевы. Пусть площадь треугольника ABC равна S. Тогда
с _ PS с _ <$ с _ rS
•JABiCi — т ГТТ7 ГТТ' ^BCi^! — т ГТТ7 ГТ7> '-'CMiBi — 7—ГТ7—ГТ7-
(p+l)(r + l) (qr + l)(p+l) (g + l)(r + l)
Достаточно доказать, что S^BiC, + SbCiA, + SCa1b1 >S.
Подставив в последнее неравенство значения площадей указанных
треугольников и произведя сокращение на S, получим эквивалентное ему
неравенство
р а г 3
' +1 w г^~
(р + 1)(г + 1) "Г (р + 1)(? + 1) (р + 1)(г + 1) " 4
p + g + r + pg + pr + gr 3
(p + l)(g+l)(r + l) "4
p + g + r + pqr + pr + qrr 3
p + qf + r + pqf + pr + qfr+l+ pqr ^ 4
p + g + r + pg + pr + ^r ^ 3(1 + pgr) = 6
согласно теореме Чевы (ибо pqr — 1).
И, наконец, 1 1 1
p + g + r + pg + pr + qT = p + qf + r-| 1 -ь - =
г (? р
что и требовалось доказать.
Наш урок окончен. Оценку поставьте себе стандартным образом.

310
Глава 7. Планиметрия
Домашнее задание
► 1. Точка D лежит между точками А к В (на прямой АВ), точка С
находится между точками А и D (на той же прямой). Точка М такова, что
AM перпендикулярно MD и СМ перпендикулярно MB. Известно, что
Z.CMD = a, Samd — Si, Sbmc = &2- Найти площадь треугольника
АМВ.
*• 2. Площадь треугольника ABC равна единице. На стороне ВС взята точка
А, а на стороне АС — точка В. При этом -g^4- — р и -г~~д ~ Q-
Найти площадь четырехугольника ВСАК, где К — точка пересечения
прямых BBi и АА.
*■ 3. Площадь треугольника ABC равна единице. На стороне ВС взята точка
Р, а на стороне АС взяты точки М и N таким образом, что
AM MN . СР
мс=а'Ш = ь> и рв=с-
Прямая АР пересекает прямые ВЫ и BN в точках R и S соответственно.
Найти площадь треугольника. BRS.
*• 4. На стороне АВ параллелограмма ABCD лежит точка Р, а на стороне CD
— точка Q, причем АР/РВ = р, DQ/QC = q. Диагональ АС пересекает
отрезок PQ в точке К. Найти площадь четырехугольника РКСВ, если
площадь параллелограмма ABCD равна S.
*■ 5. На стороне АВ параллелограмма ABCD, имеющего площадь S, взяты
точки Р и Q, а на стороне CD — точки R и 5, причем
АР_ AQ _ DS^_ PR _
РВ ~Р: QB~ q' SC ~S' RC ~Г
и, кроме того, р < q и s < г. Отрезки PR и QS пересекаются в точке
К. Найти площадь треугольника KRS.
*■ 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС на стороне АВ взята точка
Р, а на стороне CD — точка Q, причем АР/РВ — р, DQ/QC = q.
Площадь трапеции равна S и AD/ВС = к.
Найти площадь треугольника PRA, где R есть точка пересечения
отрезков PQ и АС.
*■ 7. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС и имеющей площадь S на
стороне АВ взяты точки Р и R, а на стороне CD — точки Q ш S таким
образом, что
АР/РВ = р, AR/RB = r>p, DS/SC = s, DQ/QC = q>s.

Урок 29. Площади
311
Отрезки PQ и RS пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника
AD
PRO, если —- — а.
BL'
► 8. Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ, ВС, CD и AD соответственно
выбраны точки Р, Q, R, S таким образом, что АР/РВ — р, BQ/QC =
q, CR/RD — г, DS/SA = s. Отрезки PR и QS пересекаются в точке О.
Найти PO/OR.
► 9. Дан квадрат ABCD единичной площади. На стороне АВ выбрана точка
Р, на стороне ВС выбраны точки Я и 5, на сторонах CD и AD —
точки Q и Т соответственно. Известно, что АР/РВ — р, BR/RS =
г, BS/SC = s > г, CQ/QD = q, DT/TA = t. Отрезок PQ пересекает
отрезки TR и TS в точках М и N соответственно. Найти площадь
треугольника TMN.
► 10. В окружность вписан выпуклый четырехугольник ABCD, причем АВ
— диаметр окружности, и диагонали АС и BD пересекаются в точке
М. Известно, что ВС — 3, СМ — 3/4, Sabc — 3 • Sacd- Найти длину
отрезка AM.
►■ 11. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD
пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD — в точке К. Прямая КО
пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, причем
известно, что /.BAD — ^ и что в трапеции ABNM и NMCD можно
вписать окружность. Найти отношение площади треугольника ВКС к
площади трапеции ABCD.
► 12. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 16 и 9 соответственно.
На продолжении стороны ВС взята точка М такая, что СМ — 3,2. В
каком отношении прямая AM делит площадь трапеции ABCD?
► 13. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся
сторон АС, АВ и ВС в точках D, Е и F соответственно. Известно, что
длина AD равна R, а длина DC равна а. Найти площадь треугольника
BEF.
*• 14. Треугольник ABC вписан в круг, АВ = ВС, /.ABC — /3.
Параллельно АС проведена средняя линия треугольника, продолженная до
пересечения с окружностью в точках D и Е. Найти отношение площади
треугольника DBE к площади треугольника ABC.
► 15. Пусть ABCD — квадрат и точка О лежит вне квадрата, причем О А —
ОВ = Ъ, OD = уТЗ. Найти площадь квадрата ABCD.
► 16. Известно, что ABCD ~ ромб и радиусы окружностей, описанных около
треугольников ABC и ABD соответственно, равны Я и г. Найти
площадь ромба ABCD.
► 17. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины
оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.
►■ 18. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапе-

312
Глава 7. Планиметрия
ции и ее основаниями, равны S и SV Найти площадь трапеции.
► 19. В круг вписан треугольник ABC, в котором АВ — ВС, /-АВС = а. Из
точки А проведена медиана к стороне ВС, пересекающая ВС в точке D,
а окружность — в точке Е. Найти отношение площади треугольника
ABE к площади треугольника BDE.
> 20. В четырехугольнике ABCD имеем АВ = ВС, АС = CD, LAC В =
/.ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC и
ACD, относятся как 3:4. Найти отношение площадей этих
треугольников.
Урок 30
Параллелограммы и трапеции
К этому уроку мы с вами прорешали уже достаточно много задач на
трапеции и параллелограммы. Правда, эти задачи давались лишь для
иллюстрации — либо метода подобия, либо методов решения задач на
сравнение площадей.
Цель сегодняшнего урока — научиться «выжимать» все что можно из
параллельности. Мы будем рассматривать только четырехугольники, у
которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон — квадраты, ромбы,
прямоугольники, параллелограммы и трапеции. Заметьте, что заголовок
покрывает все эти случаи, ибо квадраты, ромбы и прямоугольники все
являются параллелограммами.
Я, пожалуй, уже должен прочитать вам нравоучение о роли чертежа в
решении геометрической задачи. Главное, что вы должны понять, — это
необходимость разумного компромисса между чисто формальным и чисто
интуитивным подходами.
Чисто формальный подход состоит в том, что чертеж в задаче вообще
не нужен, ибо он лишь иллюстрирует геометрические свойства объектов
задачи, но ничего никогда не доказывает. Это совершенно
справедливо, но, тем не менее, хорошо выполненный чертеж может навести на
мысль о каких-то свойствах объекта (параллельность прямых, равенство
углов и т.п.). Необходимо помнить, что все, что привиделось вам из
чертежа, должно быть строго доказано без ссылок на него. Довольно
часто интуиция подсказывает правильные свойства. Но будьте настороже!
Иногда (это касается уровней 2 и 3) задачи специально составляются так,
чтобы чертеж подсказывал неверные факты. Этого трудно (но можно)
достичь в планиметрии, а в стереометрии это совсем просто, учитывая,

Урок 30. Параллелограммы и трапеции
313
что часто нужно иметь незаурядные художественные способности для
выполнения правильного пространственного чертежа.
Давайте теперь приступим непосредственно к занятию.
Я хотел бы, чтобы вы блестяще овладели следующими фактами (как
всегда, блестящее владение для первого уровня состоит в знании наизусть,
а для второго и третьего — в знании наизусть с доказательствами).
1) Если диагонали произвольного выпуклого четырехугольника равны d
и d'i и образуют угол а, то площадь четырехугольника может быть найдена
по формуле
S — -did2 sin a.
2) Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник ABCD можно было
вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы было АВ + CD —
BC + AD.
3) Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника ABCD можно
было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма каких-
нибудь двух его противоположных углов равнялась тт.
4) Выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если и
только если его диагонали в точке пересечения делятся пополам.
5) Площадь параллелограмма ABCD равна
S = АВ ■ ВС • sm(^DAB) = АВ ■ h,
где h есть перпендикуляр, опущенный из точки В на сторону AD (т.е.
высота параллелограмма).
6) Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС равна
~(AD + BC)-h,
где h есть перпендикуляр, опущенный из точки В на сторону AD (т.е.
высота трапеции).
7) Если ABCD — параллелограмм, то
АС2 + BD2 = 2{AD2 + АВ2),
т.е. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
всех его сторон.
8) Параллелограмм описан вокруг некоторой окружности тогда и только
тогда, когда он является ромбом; он вписан в некоторую окружность, если
и только если является прямоуольником.
9) Ромб вписан в некоторую окружность, если и только если он есть
квадрат.

314
Глава 7. Планиметрия
10) Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда,
когда она является равнобедренной.
Я не цитирую здесь признаки параллелограмма, а также определения
всех названных четырехугольников. Они есть во всех учебниках и вы
должны их знать.
► Задача 1. Диагонали трапеции равны 7 см и 8 см, а ее основания — 6 см
и 3 см. Найти ее площадь.
Решение. Я продемонстрирую два решения этой задачи — чисто
аналитическое и чисто геометрическое. Сначала решим задачу аналитически.
Пусть ABCD — наша трапеция, причем AD — 6 см и ВС = 3 см — ее
основания. Обозначим через О точку пересечения ее диагоналей. Пусть
АС = 7 см, BD = 8 см. Из подобия треугольников AOD и ВОС следует,
что
АО/ОС = DO JOB = AD J ВС = 2,
откуда легко находится, что АО — ^ см> ОС = | см и DO — ^- см,
ОВ = | см. В треугольнике AOD нам известны все стороны, так что
можно найти его площадь по формуле Герона — она равна ^/5 см2.
Мы знаем из предыдущего урока, что площади треугольников АОВ и
COD равны, причем они сравниваются с площадью AOD по факту 1.
Имеем f^- = fg = |, откуда SBoc = SCod = |>/5 см2.
Вспомнив, что коэффициент подобия треугольников AOD и ВОС равен
2, получим, согласно факту 4, что Sboc — $aod = f л/5 см2.
И, наконец, полная площадь трапеции равна
^5+ 8-V5+ 8-V5+ |>/5 = 12>/5 см2.
о о о о
Второе решение. Проведем через точку С прямую параллельно
диагонали BD. Она пересечет прямую AD в точке Е (см. рис. 1).
Четырехугольник BCED — параллелограмм по построению. Значит,
имеем DE = ВС и СЕ = BD.
В треугольнике АСЕ известны все стороны:
АЕ = 6 + 3 = 9 см, BD = 7 см, АС = 8 см.
Кроме того, его площадь равна половине
произведения АЕ на высоту, опущенную из точки
С, т.е. на высоту трапеции. Из того, что АЕ
с# равна сумме оснований трапеции, следует, что
площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции. Применяя формулу
Герона, находим, что искомая площадь равна 12л/5 см2.
Ответ: 12>/5см2. <

Урок 30. Параллелограммы и трапеции
315
► Задача 2. В трапецию ABCD с основаниями AD — 10 и ВС — 2 можно
вписать, а вокруг нее можно описать окружность. Определить, где (т.е.
внутри, извне или на стороне) находится центр описанной вокруг трапеции
окружности.
Решение. Из того, что трапеция вписалная, следует, что боковые ее
стороны равны. Обозначим их длину через х. Из того, что в трапецию можно
вписать окружность, следует, что х + х = 10 + 2 4=Ф- х — 6.
Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных
перпендикуляров к сторонам, в частности, на общем серединном
перпендикуляре к сторонам AD и ВС. Пусть радиус описанной окружности
равен R, а К — середина стороны ВС. Тогда расстояние d от центра О
окружности до стороны ВС равно ОК и по теореме Пифагора совпадает с
VR2 - KB2 = s/R2 - 1.
Ясно, что если d меньше, чем высота трапеции, то центр окружности
лежит внутри нее, если больше, то вне, и, наконец, если d равно высоте
трапеции, то центр описанной окружности лежит на стороне AD.
(Нарисуйте, пожалуйста сами рисунки для этих трех случаев).
Чтобы найти высоту трапеции, опустим на сторону AD перпендикуляры
ВВ и СС из точек В и С соответственно. Тогда ВС = ВС — 2 и
АВ — CD = 4. Теперь высоту ВВ можно найти по теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника АВВ:
ВВХ = ^АВ2 - АВ2 = /36 - 16 = 2/5.
Нам осталось найти R. Мы сделаем это, заметив, что данная окружность
описана, в частности, вокруг треугольника ABC. Площадь ABC равна
Х- - ВС ■ h = ]- - ВС ■ ВВг = 2у/1.
Сторону АС найдем по теореме Пифагора: АС — JАС + СС — -/56.
Теперь R можно найти из формулы R — ^. Подставляя в нее найденные
значения сторон и площади, получим, что R = 3w ^-.
Наконец, R2 — 1 — -Цр- > 20 — h2, что означает, что центр окружности
лежит вне трапеции.
Ответ: центр описанной окружности лежит вне трапеции, ч
► Задача 3. Диагонали трапеции равны. Доказать, что она равнобедренная.
Решение. Пусть ABCD — данная трапеция, О — точка пересечения ее
диагоналей. Через точку С проведем прямую, параллельную диагонали
BD. Точку пересечения этой прямой с прямой AD обозначим через Е (см.
рис. 1).

316
Глава 7. Планиметрия
Из того, что BCED — параллелограмм, следует, что СЕ = BD, значит,
треугольник АСЕ — равнобедренный. Следовательно,
ICAD = Z.CED = ZODA,
где последнее равенство выполняется из-за параллельности прямых BD и
СЕ. Мы доказали, что и треугольник AOD равнобедренный (АО — OD).
Поэтому то же самое можно сказать и о треугольнике ВОС, который
подобен треугольнику AOD.
Теперь видно, что треугольники АО В и COD равны по двум сторонам
(АО = OD и ВО = ОС) и углу между ними (ZAOB = /.COD как
вертикальные углы). Тем самым, АВ = CD, что и требовалось доказать.
► Задача 4. В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD углы DAB и ADC
прямые. Известно, что AD = 5, АВ = 1, CD — 4. На стороне AD взята
точка М такая, что Z.CMD = 2 • /ЯМА Найти ЛМ : MD.
Решение. Обозначим угол ВЫ А через а. Тогда угол CMD равен 2а.
Треугольник АВМ прямоугольный с катетом АВ = 1 и острым углом а.
Значит, AM = АВ ■ ctg a = ctg а. Аналогично, MD = 4 ctg 2a. Равенство
AM + MD = 5 дает уравнение на а:
1 1 - tg2 а 1
ctg а + 4 ctg 2а = 5 <=> 1- 4 • — = 5 <=> tg а = -, -3.
tg а 2 tg а 2
Из того, что угол а острый, следует, что tga = ^.
Тогда AM = ctga = 2 и М£> = 5-2 = 3.
Ответ: 4^ = 2 : 3. ^
► Задача 5. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции
пересекаются на другом ее основании. Найти все стороны трапеции, если ее высота
равна 12, а биссектрисы 15 и 13.
— ^ Решение. Пусть ABCD — наша
трапеция и ВС — ее основание с тупыми
углами. Пусть К — точка пересечения
биссектрис углов ABC и BCD, причем
ВК = 15, СК = 13. Из точки К
опустим перпендикуляр KL на сторону ВС
(см. рис. 2). Оба угла К ВС и ВС К острые, будучи половинами углов ABC
и BCD. Поэтому L лежит именно на отрезке ВС (как на рис. 2), а не на
его продолжении.
Пусть ZKBC = а и ZBCK = /3. Ясно, что sin a = {§ и sin/? = Щ.
По теореме Пифагора BL = V152 - 122 = 9, CL = Vl32 -122 = 5.
Отсюда cos a = ^, cos/3 = ^. Кроме того, одну сторону мы уже нашли:
ВС = 9 + 5 = 14.

Урок 30. Параллелограммы и трапеции
317
Заметим, что ZABK = а, ибо ВК — биссектриса, и /LAKB = ZKBL =
а по теореме о внутренних накрест лежащих углах. Мы доказали, что
АВ = АК. По теореме синусов для треугольника АВК имеем
15
АВ
sin a
15
АВ
2 sin a cos a sin a
sin(7r — 2а)
Аналогично устанавливается, что CD — DK
AK + KD = 29,4.
Ответ: 14, 16,9, 29,4, 12,5. «
. 4 1"»
15
12,5.
2 cos a
16,9. И, наконец, AD =
► Задача 6. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник, К, L, М, N
есть соответственно середины сторон АВ, ВС, CD, AD. Доказать, что
KLMN — параллелограмм.
Решение. Согласно одному из признаков параллелограмма, достаточно
доказать, что KL — MN и KL || MN. В треугольнике ABC отрезок KL есть
средняя линия. Значит, KL || АС и KL = АС. Аналогично MN есть
средняя линия в треугольнике ACD и, следовательно, MN \ АС и MN = АС.
Отсюда имеем KL || MN и KL = MN = АС, что и требовалось доказать.
► Задача 7. Дан параллелограмм ABCD со сторонами АВ = 2 и ВС — 3.
Найти площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ АС
перпендикулярна к отрезку BE, соединяющему вершину В с серединой Е
стороны AD.
В
F С
Е
Рис. 3
D
А Е
Рис. 4
Рис. 5
Решение. Пусть G — точка пересечения отрезков BE и АС (см. рис. 3).
Обозначим угол CBG через а. Тогда и угол AEG равен а. Кроме того,
ВС = 3, АЕ = 1,5, откуда BG — 3cosa, AG — 1,5 sin а. Записывая
теорему Пифагора для треугольника ABG, получаем уравнение на а:
1 [7
зУз"
(3cosa)2 + (l,5sina)2 = 22
cos а = -! -.
Значит, высота BG в треугольнике ABC равна w |. Сторону АС находим,
применяя дважды теорему Пифагора:
АС = у/АВ2 - BG2 + VBC2 - BG2 = Vl5.

318
Глава 7. Планиметрия
Следовательно,
Sabcd = 2 • Sabc = AC-BG = Vl5 -J^ = VS5.
Ответ: у35. •«
► Задача 8 [2]. Известно, что ABCD — параллелограмм, в котором АВ = 1,
ВС = 2 и угол ABC тупой. Через каждую из точек В и D проведено по
две прямые, одна из которых перпендикулярна АВ, а вторая
перпендикулярна СВ. В пересечении этих четырех прямых получился параллелограмм,
подобный ABCD. Найти площадь ABCD.
Решение. В этой задаче мы должны рассмотреть два случая: когда оба
перпендикуляра BE и BG, опущенные из точки В, попали на отрезки AD
и CD (рис. 4).
Пусть угол BAD равен а. По условию а < |. Из прямоугольного
треугольника ABE находим, что BE = sin а, АЕ — cos а.
Значит, ED = 2 — cos а. Треугольник MDE прямоугольный и ZEMD =
а. Следовательно, ME = ED-ctga= (2-cos a)-ctg a, MB = J^ = 2;icn°^a.
Теперь уже можно найти вторую сторону нового параллелограмма:
ВЫ — sin а — (2 — cos a) ■ ctg a.
Из того, что новый параллелограмм подобен исходному, следует, что
2 • ВМ = MD. Мы получили тригонометрическое уравнение на а:
. , 2 — cos a
2(sina - (2 — cos а) • ctg а) = —: 4=Ф
sin а
,2
<==> 2 sin а — 2 cos а(2 — cos а) = 2 — cos a
<=> 2 sin а — 4 cos а + 2 cos2 а = 2 — cos а <=> cos а = 0 <=> а = —
— противоречие с тем, что а — острый угол.
Отсюда заключаем, что ситуация, изображенная на рисунке 4,
невозможна.
Переходим к случаю, когда один из перпендикуляров, опущенных из
точки В, попадает не на сторону CD, а на ее продолжение (см. рис. 5).
Рассуждения здесь аналогичны. По-прежнему ND = 2 — cos a, MN =
ND ■ ctg а = (2 - cos а) ctg а, MD - 4^. Наконец, MB = MN - BN =
(2 — cos a) ctg a — sin a.
Теперь уже, исходя из условия MD = 2-ВМ, можно составить уравнение
на а:

Урок 30. Параллелограммы и трапеции
319
о cos су.
2((2 — cos a) ctga — sin а) = —:
sin а
=> 2(2 - cos a) cos a — 2 sin2 a = 2 — cos а
4 cos а — 2 cos2 а — 2 sin2 a = 2 — cos а 4==>
4 ■ 3
<=> 5 cos а = 4 <=>■ cos а = - =Ф- sin а = -.
о о
Следовательно, площадь параллелограмма ABCD равна S=ABAD- sina=g.
Ответ: |. •«
► Задача 9. Длины диагоналей ромба относятся как 3:4. Во сколько раз
площадь ромба больше площади вписанного в него круга?
Решение. Пусть сторона ромба равна а. Обозначим
через О центр вписанной в ромб окружности (см. рис. 6).
Диагонали ромба перпендикулярны, так что
треугольник АОВ — прямоугольный, причем каждый из его ка- ис"
тетов равен половине соответствующей диагонали. Отсюда следует, что
4,
3"
%
если МО = х, то АО = х и
о /4зЛ2 о 3
хг + ( — 1 = аГ «=> х = -а.
Значит, диагонали трапеции равны |а и |а. Следовательно, ее площадь
есть 5 = | • §а • §а = §|а2.
Радиус вписанной окружности равен, очевидно, половине высоты ромба,
которая, в свою очередь, вычисляется по формуле h = ^ = Ца. Тем самым,
25'
радиус вписанной окружности равен Ща. Площадь вписанного круга равна
625 " U ■
Взяв отношение площади ромба к площади вписанного круга, получим
(после сокращения на а2 и упрощения дробей), что оно равно Ц-.
Ответ: в Ц- раз. <
► Задача 10. В ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба,
если его большая диагональ равна 4Й.
Решение. Пусть ABCD — наш ромб и О — центр окружности,
совпадающий с точкой пересечения его диагоналей. Если АС = 4R — большая

320
Глава 7. Планиметрия
диагональ, то АО = 2R. В прямоугольном треугольнике AOD пусть ОК —
высота, опущенная на гипотенузу AD. Имеем sin /.OAK — j^ = ^ = |.
Значит, угол OAD равен | и AD = ^V = ^|.
Мы нашли сторону ромба. Высота его равна 2R, так что площадь
находится как произведение стороны на высоту.
Ответ: Щг- <
► Задача 11. Диагонали ромба равны 2 и 3. Его повернули на 90° вокруг
центра. Найти площадь общей части этих двух ромбов.
Решение. Посмотрим на рисунок 7. Здесь ABCD
— исходный ромб, a ABCD — ромб,
полученный из него поворотом на ^ по часовой стрелке.
Нам даже не потребовалось обозначать буквами
все вершины восьмиугольника, получившегося в
пересечении. Действительно, нам ведь нужно
найти только его площадь, а она равна площади
ромба без учетверенной площади треугольника AKD^,
поскольку восьмиугольник получается из ромба выкидыванием четырех
треугольников, равных AKD.
Найдем площадь треугольника AKD. Ясно, что АО = |, OD —
OB = 1, так что ADi = |. Треугольники АО В и AKD позволяют
сравнивать их площади по факту 2. Надо лишь найти -^.
По теореме Менелая для треугольника АО В и секущей DA имеем:
ADi ОАх ВК _ 1 о ВК ВК
DxO AxB KA~ " 2 " КА~ ^ КА
же легко найти, что ^g- = |.
2
= 3'
Площадь треугольника АО В равна  ■ 1 • § = |. Отсюда
_ 1 3 3_^
^*Dl~3"5'4~20'
Площадь ромба равна  ■ 2 • 3
•-Л. 3. - 11
° * 20 ~~ 5 •
3. И, наконец, площадь пересечения равна
Ответ: ^. <

Урок 30. Параллелограммы и трапеции
321
► Задача 12. Вершины прямоугольника, вписанного в окружность, делят ее
на четыре дуги. Найти расстояния от середины одной из больших дуг до
вершин прямоугольника, если стороны его равны 24 и 7.
В
<Л
2^
Е
<
L
Рис. 8
С
D
Решение. Обозначим середину одной из таких
дуг через Е. Центр О описанной окружности
совпадает с точкой пересечения диагоналей
прямоугольника. Пусть К и L — точки пересечения
прямой ЕО со сторонами прямоугольника (см. рис. 8).
Прямая ЕО перпендикулярна ВС, так как ЕО
является биссектрисой угла ВОС в
равнобедренном треугольнике ВОС (а биссектрисой эта прямая является, поскольку
дуга BE есть половина дуги ВС).
Поскольку BD = V72 + 242 = 25, радиус окружности равен Щ. Отрезок
О К составляет половину АВ, т.е. равен . Значит,
ЕК = ЕО-ОК =
25
7
2=9'
Отсюда BE = VBO2 + ЕК2 = у/22 + 92 = 15, и АЕ = л/AL2 + EL2 =
Л/(9 + Г)2 + 122 = 20.
Ответ: 15 и 20. <
*■ Задача 13. В прямоугольнике со сторонами а и Ь проведены биссектрисы
всех углов до взаимного пересечения. Найти площадь четырехугольника,
образованного биссектрисами.
Решение. Наш прямоугольник может (при а = Ь) оказаться квадратом.
Тогда биссектрисы всех углов пересекутся в одной точке — центре квадрата
— и площадь искомого четырехугольника можно считать равной нулю.
Пусть наш прямоугольник ABCD не является
квадратом. Предположим к примеру, что AD =
Ь > а = АВ. Пусть KLMN — искомый
четырехугольник (см. рис. 9).
Треугольник АВК равнобедренный
прямоугольный, поскольку ZKAB = ZKBA
^. То же самое
N
Рис. 9
верно и для треугольников CMD,ALD и BCN. Следовательно, все углы
четырехугольника KLMN прямые. Кроме того, АК = DM — Ац и
b a
т.е. наш четырехугольник есть квадрат со стороной -4= — А=. Его площадь,
очевидно, равна {Ь — а)2. Ясно, что эта формула дает правильный ответ
и при а = Ь.
KL = AL-AK = DL- DM = KM =

322 Глава 7. Планиметрия
Ответ: {Ь — а)2. <
*■ Задача 14 [2]. Внутри квадрата ABCD взята точка Е такая, что DE =
ЕС и ZEDC = 15°. Доказать, что АЕ = ЕВ = АВ.
Решение. Пусть сторона квадрата равна а. Ясно, что DE = ;, соЛ5° •
Найдем АЕ по теореме косинусов из треугольника AED:
2 2
АЕ'2 = AD2 + DE2 - 2AD ■ DE • cos 75° = а2 + — ^— cos 75°.
4cosJ 15° cos 15°
Найдем, чему равен tg 15°:
sin 15° _ /1 -cos 30° _ /l+cos30°_ /1-cos 30е
S ~ cos 15е ~ V 2 'V 2 -Vl + cos30°

1-f = /2-л/32 /g
1 + ^ V 2 + ч/3
В выражении для АЕ2 вынесем а2 за скобки и воспользуемся равенствами
1 , ■>, го cos 75° sin 15°
Получим, что
АЕ2 = a2 (l + 1 + ^tg215° - tg15°) = «2 (| + ^(2 - ч/З)2 - 2+ >/з) = а2,
что и требовалось доказать.
Урок окончен. Оценку поставьте себе стандартным образом.
Домашнее задание
*■ 1. В параллелограмме ABCD угол С острый, АВ — 3, ВС — 6. Точка F
лежит на середине стороны AD. Прямая, перпендикулярная к АВ и
проходящая через точку С, пересекает продолжение отрезка АВ за точку В
в точке Е. Известно, что Z.AEF — а. Найти площадь четырехугольника
AECD.
► 2. Площадь трапеции ABCD равна 6, Е — точка пересечения продолжений
боковых сторон. Через точку Е и точку пересечения диагоналей
проведена прямая, пересекающая меньшее основание ВС в точке Р, а большее
основание AD в точке Q. Точка F лежит на отрезке ЕС, причем
EF _ ЕР _ 1
FC " EQ ~ 3"
Найти площадь треугольника EPF.

Урок 30. Параллелограммы и трапеции
323
► 3. В трапеции ABCD диагонали пересекаются под прямым углом, и одно
основание ее в два раза больше другого. Отношение длин боковых
сторон равно т. Найти боковые стороны, если сумма квадратов длин
диагоналей равна rf2.
► 4. В трапеции ABCD основание AD больше основания ВС. Известно, что
AD = CD = у, ZBAD = |, ABCD = Цтг.
На основании AD построен треугольник AED. Точки В и Е лежат по
одну сторону от AD и АЕ = ED. Длина высоты, опущенной из точки Е
на прямую AD, равна . Найти площадь общей части трапеции ABCD
и треугольника AED.
► 5. В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16. Боковая сторона СЕ равна
8/3. Известно, что окружность, проходящая через точки А, В, С,
пересекает сторону АЕ в точке Н, причем Z.AHB = 60°. Найти ВН.
► 6. Сторона ромба ABCD равна б, а угол BAD равен 60°. Точка Е лежит
на стороне ВС, причем СЕ = 2. Найти длину отрезка ОЕ, где О -
центр ромба.
► 7. В трапеции PQRS основание QR равно 10. Известно также, что QS = 19
и ZQSP = 30°. Что больше, QR или RS?
* 8. Около трапеции KLMN описана окружность. Основание KN трапеции
является ее диаметром, причем KN = 4, LM = 2. Хорда МТ пересекает
KN в точке S такой, что KS : SN — 1:3. Найти площадь треугольника
STN.
► 9. Дан прямоугольник ABCD, в котором АВ — 6, AD — 3(1 + ^). В нем
лежат две окружности. Окружность радиуса 2 с центром в точке К
касается сторон АВ и AD. Окружность радиуса 1 с центром в точке
L касается стороны CD и первой окружности. Пусть М — основание
перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую KL. Найти площадь
треугольника CML.
► 10. В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали АС и BD
пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС равносторонний. Известно,
что АВ — 5, CD = 3. Найти длину стороны ВС.
* 11. В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон
AD и ВС за точки D и С пересекаются в точке Е. Периметр
треугольника DCE равен 60, сторона АВ равна 20 и ZADC = /3. Найти радиус
окружности.
► 12. Площадь трапеции ABCD равна 30. Ее основание AD в два раза
больше основания ВС. Точка Р лежит на середине боковой стороны
АВ, а точка R — на стороне CD, деля ее в отношении DR : RC =
2:1. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найти площадь
треугольника APQ.

324
Глава 7. Планиметрия
► 13. В параллелограмме PQRS биссектриса угла RPQ, равного 80°,
пересекает сторону RS в точке L. Найти радиус окружности, касающийся
отрезка PQ и лучей QR и PL, если PQ = 7.
► 14. В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону
CD в точке М, причем DM/MC = 2. Известно, что угол САМ равен
а. Найти угол BAD.
► 15. Окружность, проходящая через точку D и касающаяся сторон АВ и
ВС равнобедренной трапеции ABCD, пересекает стороны AD и CD
соответственно в точках М к N. Известно, что AD || ВС и
,о * лп а АМ 1 CN 4
АВ = 7, AD = 6, ——■ - -, —— = -.
' MD 3 ND 3
Найти длину основания ВС.
►■ 16. Известно, что ABCD — параллелограмм, BD = 2, ZACB = 45°.
Прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD.
Найти площадь параллелограмма ABCD.
► 17. Параллелограммы ABCD и A'BCD' имеют общую сторону ВС, причем
точка А симметрична А', а точка D симметрична D' относительно
прямой ВС. Отрезки BD и ВА' лежат на одной прямой. Угол между
АС и А'С равен 45°. Площадь пятиугольника ADCD'A' равна 15/2.
Найти АВ и AD.
► 18. Около квадрата BEFC описана окружность радиуса 2лД. Точка Р
лежит на продолжении отрезка ВС за точку С, причем PC = /28 — 2.
Через точку Р проведена секущая РА, пересекающая окружность в
точках D и А. Известно, что PD = 4 и угол ВАС тупой. Найти
угол В РА.
► 19. В прямоугольнике ABCD известны длины сторон АВ — 12 и AD — 5.
Точка пересечения диагоналей обозначена через Е. Пусть 0 — центр
окружности, вписанной в треугольник AED, и Ог — центр окружности,
вписанной в треугольник DEC. Найти ^^-.
► 20 [2]. В параллелограмме лежат две окружности радиуса 1, касающиеся
друг друга и трех сторон параллелограмма каждая. Один из отрезков
стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен уЗ.
Найти площадь параллелограмма.

Урок 31. Окружности
325
Урок 31
Окружности
Мы уже решали много задач с окружностями. В них подчеркивалось, что
главную роль в решении играет то метод подобия, то методы сравнения
площадей, и т.п. Я уже много раз подчеркивал, что в жизни почти не
бывает задач на какой-то один метод. Каждый из методов служит для
того, чтобы упростить задачу, и решить полученную более простую задачу
другими методами.
Сегодняшний урок посвящен тому, чтобы вкупе со всеми пройденными
методами, мы научились упрощать (иногда решающим образом) задачи,
используя свойства окружностей. Практически все из них уже применялись
на предыдущих занятиях, но на сегодняшнем я выпишу важнейшие из них
и попрошу вас хорошо их запомнить.
1) Вписанный угол, т.е. угол, образованный
двумя хордами, исходящими из одной точки окружности,
равен по величине половине центрального угла,
опирающегося на ту же дугу (см. рис. 1), т.е. /? = ^.
На данном рисунке /? = ZACB — вписанный угол,
а а = /LAOB — центральный. Рис. 1
Как следствие получаем, что два вписанных угла,
опирающихся на одну и ту же дугу, равны. Другое следствие состоит в том,
что вписанный угол равен 90° если и только если он опирается на диаметр.
2) Пусть точка А лежит вне окружности, АВ — касательная к
окружности, АС ж AF — секущие (см. рис. 2). Тогда AD ■ АС - AF АЕ - АВ2, т.е.
квадрат касательной, проведенной к окружности из произвольной точки,
равен произведению любой секущей, проведенной из той же точки, на ее
внешнюю часть. В частности, если из одной точки проведены к
окружности две секущие, то произведения их длин на внешние части равны между
собой. Мы даже доказали этот факт (см. урок 28, задача 9).
3) Пусть хорды АВ и CD некоторой окружности пересекаются в точке
О. (см. рис. 3). Тогда АО • О В = СО ■ OD. Этот факт мы тоже доказали
(в задаче 8 урока 28).

326
Глава 7. Планиметрия
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
4) Пусть мы имеем окружность с центром О радиуса г и точки А и В
лежат на окружности, причем угол АО В равен а (рис. 4). Тогда площадь
сектора АО В равна г2а (угол а обязательно должен быть выражен в
радианах!). Площадь сегмента, ограниченного хордой АВ, равна |г2(а —
sin а). Длина дуги АВ равна га. В частности, площадь круга (т.е. сектора
при а = 2тг) равна пг2, а длина окружности (т.е. дуги при а — 2тг) есть 2тгг.
К материалу про окружности, бесспорно, относятся условия, при
которых четырехугольник можно вписать в окружность или описать его около
окружности. Я привел их во вводной части предыдущего урока. Проверьте
себя. Если вы в них все еще путаетесь, то дело плохо.
5) Если существует окружность, вписанная в многоугольник, то центр
ее лежит в точке пересечения всех биссектрис этого многоугольника. Если
существует окружность, описанная около многоугольника, то ее центр
лежит в точке пересечения всех серединных перпендикуляров к сторонам
многоугольника. Разумеется, все сказанное относится и к треугольникам,
с той лишь разницей, что у них всегда существуют и вписанная и описанная
окружности.
6) Окружности радиусов Лиг касаются внешним образом тогда и только
тогда, когда расстояние между их центрами равно R + г; их касание будет
внутренним, если и только если расстояние между их центрами равно R — r.
► Задача 1. Хорды АС и BD некоторой окружности пересекаются в точке
О. Центральный угол, опирающийся на дугу AD, равен a, a на дугу ВС —
р. Известно, что АО = 6, ОС = 1, BD = 5и DO > OB. Найти площадь
треугольника AOD.
Решение. Мы знаем, что Saod — АО ■ OD ■ sinZAOD. Пусть OD =
х, ОВ = у. Тогда х > у, х + у — 5 и ху = АО ■ ОС = 6, откуда легко
найти, что х = 3, у — 2.
Для того чтобы найти угол AOD, рассмотрим треугольник COD. Имеем
ZOCD + IODC + ZCOD = тг =» ZOCD + ZODC = тг - /LCOD = ZAOD,

Урок 31. Окружности
327
и остается лишь заметить, что углы OCD и ODC вписанные, так что они
равны f и ^ соответственно.
Итак, искомая площадь равна  • 6 • 3 • sin 9L^- = 9 sin Щ^-.
Ответ: 9sin^|^. <
► Задача 2. Точка Р лежит вне окружности. Из нее проведены к
окружности две секущие РВА и PCD (эта запись означает, что первая секущая
пересекает окружность в точках В и А, а вторая — в точках С и D, считая
от точки Р). Центральный угол, опирающийся на дугу AD равен а, а
опирающийся на дугу ВС — /?. Известно, что АВ = 3, ВР = 2, PC = 5/2.
Найти площадь треугольника ADP.
Решение. Искомая площадь равна S = АР • PD ■ sin ZAPD. Поскольку
АР = 2 + 3 = 5, нам надо найти PD и угол APD.
По теореме о секущих имеем DP ■ PC = PB ■ РА = 2 • 5 = 10, откуда
Рассмотрим треугольник BPD. Имеем
ZBPD + ZBDP + ZDBP = тг =*• ZBP£> = (тг - /ДВР) - ZB.DP,
а последняя разность равна ZABD — ZBDP = | — ^, поскольку углы ABD
и BDP вписанные, опирающиеся соответственно на дуги AD и ВС.
Подставляя найденные величины в формулу для площади, получаем
Ответ: 5 = 10 sin ^. л
► Задача 3. Три окружности попарно касаются друг друга внешним
образом. Радиусы их относятся как 1:2:3. Найти углы треугольника,
составленного из точек касания окружностей.
Решение. Пусть С — центр окружности
наименьшего радиуса, равного г, тогда одна из
оставшихся, окружностей имеет радиус 2г — обозначим ее
центр через В. Центр последней из окружностей,
имеющей радиус Зг, обозначим через А. Пусть
В, Ci, и ii есть соответственно точки касания
окружностей, лежащие на сторонах АС, АВ и ВС.
Тогда
ВХС = САХ = г, ВАХ = ВСХ = 2г и АВХ = ЛСХ = Зг (см. рис. 5).
Легко проверить, что AC2 + BC2 = АВ2, т.е. треугольник, составленный
из центров окружностей является прямоугольным. Кроме того,
• л а Зг 3
sin А = - = — = - = cos В,
с or 5
откуда А = arcsin |, В = arccos |.

328
Глава 7. Планиметрия
Треугольник АВС равнобедренный, и, значит, легко найти, что угол
ВСА равен ^—^- Аналогичным образом находим, что 1.ВСА —
ZBAiCi = 2—L- Треугольник СВА — прямоугольный
равнобедренный, и, значит, Z.CBA — 1_САВ = ^.
Теперь уже легко находятся все нужные углы:
ZAdBt + ZBdAi + LB^CxA-y = тг
=> ZBidAx = тг - Z^Ci^x - ZtfCi^ =»
/т, ^ a (* l . 3 /тг 1 3 1 / . 3 3
/-ВСА—ж— — — - arcsm - — j — — - arccos - =- arcsm-+arccos- J .
2 2 5/ 2 2 5/ 2 V 5 5/
Последняя сумма в скобках равна |, будучи равной сумме острых углов
прямоугольного треугольника. Значит, угол АСВ равен £. Совершенно
таким же образом находятся остальные углы треугольника АВС.
Ответ: j, | —  arcsm |, § — § arccos |. •«
► Задача 4 [2]. Из точки А, лежащей на окружности радиуса Л проведены
две хорды — АС и АВ. Эти хорды лежат по одну сторону от диаметра
окружности, проходящего через точку А. Дана длина Ь большей хорды и
угол ВАС = а. Найти радиус окружности, которая касается хорд АВ и АС
и дуги ВС.
Решение. Пусть О — центр исходной окружности.
Радиус искомой окружности обозначим через х, а ее
центр — через Q. Тогда AQ — биссектриса угла
ВАС. Отрезок OQ равен R — х (см. рис. 6).
Здесь OL 1 АВ и QK 1 АВ. Тогда QM = х
Рис. 6 и МК = OL = л/Л2 — ^-. Из прямоугольного
треугольника AQM находим, что AM = a; ctg f. Теперь уже можно составить
теорему Пифагора для треугольника OQK, которая даст нам уравнение на
х:
9 9 <* а Ь2 9 /~ Ь2 9 Ь2 „ „
ж ctg - - Ьж ctg - + — + х? + 2а; v л2 --г + Я--г = Я- 2Rx + z2 «-►
2 24 V 4 4
а . ol /_„ ft2
ж cte ^ _ barctg - + 2zy Л2 - — = -2Rx
а . . а
х ctg2 ^ = Ь ctg £ - V4H2 - Ь2 - 2Я <->
* = tg2 f (bctg £ - ч/4Л2 - Ь2 - 2Я) .

Урок 31. Окружности
329
Наша задача полностью решена.
Ответ: х = tg2 § (b ctg f - у^Д2 - Ь2 - 2Я) . «
► Задача 5. В круговой сектор, ограниченный радиусами ОА и 05 с
центральным углом а < -| вписан квадрат так, что две его соседние вершины
лежат на радиусе ОА, третья вершина — на радиусе ОВ, а четвертая
вершина — на дуге АВ. Найти отношение площадей квадрата и сектора.
Решение. Пусть вершины Р и Q квадрата лежат радиусе
О А, вершина R — на радиусе ОВ, и вершина S — на
окружности. Пусть радиус окружности равен R, а сторона
квадрата — х (см. рис. 7).
Из прямоугольного треугольника OQR имеем 0Q =
zctga. Теорема Пифагора для прямоугольного
треугольника OPS дает уравнение на х:
(х + a: ctg а)2 + х2
R2
х2 (2 + 2 ctg a + ctg2 a) = R2
откуда находим, что
SpQRS
о ав
R2a
a(2 + 2ctga + ctgJQ;)
Ответ:
a(2+2ctga+ctg2a) ■ "*
► Задача 6 [3]. Из точки А, лежащей вне окружности радиуса г, проведена
секущая, не проходящая через центр О окружности. Пусть В к С — точки,
в которых секущая пересекает окружность. Найти
tg
ZAOB ZAOC
tg
если О А = а.
Решение. Проведем через точку А диаметр APOQ
данной окружности (см. рис. 8). Полагая ZAOB = а,
ZAOC = 0, и пользуясь тем, что вписанный угол
равен половине соответствующего центрального,
находим, что ZBQP = f, ZCQP = f.
Треугольник BPQ прямоугольный, так как вписанный угол В в нем
опирается на диаметр PQ окружности. Значит, tg §• = Вщ. Аналогично,
^ I = Щ- Следовательно, tg § tg § = gg;gg ■
В треугольниках ВРС и BQC углы BPQ и BQC равны как вписанные,
опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Отсюда следует, что
SBPC _ ^BPPC-smZBPC _ ВРРС
SBQC ~  ■ BQ ■ QC- sinZBQC ~ BQ-QC'

330
Глава 7. Планиметрия
так что искомая величина равна отношению площадей треугольников BPQ
и BQC. Но эти треугольники имеют общее основание ВС, и, значит, их
площади относятся как высоты РР и QQi, опущенные соответственно
из точек Р и Q на прямую ВС (точки Р и Qi не изображены, чтобы
не загромождать чертеж). Треугольники АР Pi и AQQ подобны, откуда
получаем, что щ±- — j£ = ^^, что и требовалось.
Ответ: -—■ <
► Задача 7. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна
основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается
отрезка АВ в точке Е. Найти расстояние от точки Е до прямой CD, если
AD = 4, ВС = 3.
Решение. Основания AD и ВС имеют разную длину, так
что прямые АВ и CD не параллельны. Пусть G — точка их
пересечения. Опустим перпендикуляры EF и АН на прямую
DG из точек Е и А соответственно. Угол CDA обозначим
через а (см. рис. 9).
Рис. 9 Треугольники AGD, AHD и BGC прямоугольные, так что
GD = -^-, AG = 4tga, GC = -^-, ЛЯ = 4sina.
cos a cos a
По теореме о секущих и касательной имеем GE2 — GC ■ GD — ^^~
cos a
Треугольники AUG и EFG подобны. Следовательно,
АН AG 4sina 4tga 2
EF EG "
откуда легко находим, что EF
Ответ: 2/3. *
EF
= 2^3.
£*£ Уз
sin a,
cos a
► Задача 8. Даны две концентрические окружности. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра
другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного
диаметра.
Решение. Пусть О — общий центр окружностей, АОВ — диаметр одной
из них, С — точка, лежащая на другой окружности. Нас интересует сумма
АС2 + ВС2.
Заметим, что СО — медиана в треугольнике ABC. Мы с вами обязаны
помнить формулу, выражающую ее длину через длины сторон:
СО'2 = р,АС2 + 2ВС2 - АВ2) «=* АС2 + ВС2 = ]МС02 + АВ2).

Урок 31. Окружности
331
Теперь заметим, что в скобках стоят четыре квадрата радиуса одной
окружности плюс квадрат диаметра (т.е. тоже четыре квадрата
радиуса) другой. Значит, сумма квадратов, указанная в задаче, равна удвоенной
сумме квадратов радиусов окружностей, и, следовательно, не зависит ни от
выбранной точки, ни от выбранного диаметра, что и требовалось доказать.
► Задача 9. В некоторый угол вписана окружность радиуса 5. Длина
хорды, соединяющей точки касания, равна 8. К окружности проведены две
касательные, параллельные хорде. Найти стороны полученной трапеции.
Решение. Рассматриваемая ситуация изображена
на рис. 10. Треугольник EOL прямоугольный и
ЕК — высота в нем (так как в равнобедренном
треугольнике EFL прямая LK является
биссектрисой, а, значит, и высотой). Отсюда следует, что
треугольники ЕОК и KLE подобны как
прямоугольные с равными острыми углами. Следовательно, j^
что ЕК
EF
KL= f и PL = 5 + 3 +
Рис. 10
ЕК ~ т- Ясн0>
3. Значит,
4. По теореме Пифагора КО — /52 — 42
у — Y'- Из подобия треугольников BPL и EKL
получаем соотношение
ВР PL BP 40/3
ЕК
<=> ВР = 10.
KL 4 16/3
Но ВР составляет половину искомой стороны АВ. Итак, АВ = 20.
Отрезок QL равен у — 2 = у. Воспользуемся теперь подобием
треугольников EKL и CQL:
ЕК KL 4 16/3 ^^ го _ 5
CQ
CQ QL CQ 10/3
Следовательно, сторона CD равна 5. Равные стороны ВС и AD находятся
из условия описанности четырехугольника ABCD:
AB + CD = BC + AD <=> ВС = AD = 12,5.
Ответ: основания трапеции — 20 и 5, а обе боковые стороны — 12,5. <
► Задача 10 [2]. К двум внешне касающимся окружностям радиусов Я и г
построена секущая так, что окружности отсекают на
ней три равных отрезка. Найти длины этих отрезко
Решение. Ясно, что три равных отрезка состоят из
двух хорд и одной внешней части. Пусть х — длина
каждого из отрезков, Р и Q — центры окружностей,
РА и QB — перпендикуляры, опущенные на данную
секущую. Получилась прямоугольная трапеция APQB,
в которой отрезок АВ состоит из двух половинок хорд, равных х, и одной
внешней части, тоже равной х. Следовательно, АВ — 2х (см. рис. 11).

332
Глава 7. Планиметрия
Из прямоугольных треугольников РМА и QNB находим, что
X2 / „ X2
pa = ^r2--,qb = ^2 4-
Считая, что R ^ г, запишем теорему Пифагора для треугольника PQC
(здесь QC 1 РЛ):
ж
2
Г2~Т +(2ж)2 = (Я + г)2
„ + 4ж2 = R2 + 2йг + г2
4
<-=*> La _ 2Rr = 2уЯ2 _ ^ . Jr2 z2
^ж4 - 14ж2йг + 4i?V = 4Я2г2 + 4- ~ *2(R2 + г2)
4 4
12ж4 + ж2(Я2 + г2-14Яг) = 0,
откуда и находим, что х = —^= • л/14Дг — R2 — г2.
Ответ: х = -^у= • л/14Яг — R2 — г2. <
Урок окончен. Оценка по стандартным критериям.
Домашнее задание
► 1. Точка D лежит вне окружности. Из нее проведены к окружности
касательная DB и секущая DC А (здесь указан порядок, в котором идут
точки пересечения с окружностью). Известно, что ABAC — 30°, АС —
2, CD = 4. Найти площадь треугольника BCD.
*■ 2. Окружность касается прямых АВ и ВС в точках D и Е соответственно.
При этом точка А лежит между точками В и D, а С — между точками
В и Е. Известно, что АВ = 13, АС = 1 и точки A,D,E,C лежат на
одной окружности. Найти площадь треугольника ABC.
*■ 3 [2]. В полукруг помещены две окружности диаметров d и D, где d < D.
Обе окружности касаются друг друга, касаются дуги и диаметра
полукруга. Через их центры проведена прямая, пересекающая продолжение
диаметра в точке М. Пусть MN — касательная к дуге полукруга (N —
точка касания). Найти длину отрезка MN.
* 4. Продолжение медианы треугольника ABC, проведенной из А,
пересекает описанную около него окружность в точке D. Известно, что
АС = DC = 1. Найти длину ВС.

Урок 31. Окружности
333
► 5. Дан квадрат со стороной 1. Пусть А — одна из его вершин, О — центр
квадрата и М — середина отрезка АО. С центром М радиусом ^
проведена окружность. Найти площадь части квадрата, лежащей вне
окружности.
► 6. В треугольнике ABC каждая из сторон АВ и ВС равна 1. Точка Н
есть середина стороны АС и ВН = |. Радиус круга равен |, центр его
находится в точке В. Найти площадь общей части круга и треугольника
ЛВС.
► 7. В треугольнике ABC имеем АВ — ВС, ji = к, где г и R есть
соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей. Считая число к
известным, найти углы треугольника.
► 8. Известно, что АОВ есть сектор круга радиуса г. Угол АОВ равен а < п.
Найти радиус окружности, лежащей внутри этого сектора и касающейся
хорды АВ, дуги АВ и биссектрисы угла АОВ.
► 9 [2]. Вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность,
и на дуге ВС взята произвольная точка М. Доказать, что AM =
ВМ + СМ.
► 10. Дан ромб со стороной а и острым углом а. Найти радиус окружности,
проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся
противоположной стороны или ее продолжения.
► 11. В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные
равные хорды MN и PQ. Известно, что NQ = а. Найти MP.
*■ 12. В треугольнике ABC угол В прямой, BE — биссектриса угла В (точка
Е лежит на стороне АС). Известно, что ВО/ОЕ = -/3//2, где О
■— центр вписанной в треугольник ABC окружности. Найти углы
треугольника ЛВС.
►■13. Окружность проходит через вершины Aw. С треугольника ABC,
пересекает сторону АВ в точке D и сторону ВС в точке Е. Известно, что
AD = 5, АС = 2/Г, BE = 4, BD : СЕ = 3 : 2. Найти угол CDB.
► 14. Площадь треугольника ABC равна 2^3 - 3, и /.ВАС = 60е. Радиус
окружности, касающийся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС
равен 1. Найти углы ABC и АС В этого треугольника.
*■ 15. Центр О окружности лежит на стороне АВ треугольника AM В, причем
окружность касается сторон AM и MB. Известно, что АО = 6, ОВ —
4, ОМ — 12. Найти радиус окружности.
*■ 16. В окружности радиуса /б проведены хорда MN и диаметр MP. В
точке Лг проведена касательная к окружности, которая пересекает
продолжение отрезка MP в точке Q под углом 60°. Найти медиану QD
треугольника MQN'.
► 17. Дан треугольник ABC с АВ — ВС и /ВАС = f. Построен круг
радиуса Д? с центром в точке В. Длина медианы к боковой стороне

334
Глава 7. Планиметрия
равна у/7. Найти отношение площади общей части треугольника и
круга к площади треугольника.
► 18. В треугольнике ABC периметр равен 2р. Известно, что длина стороны
АС равна а, а угол ABC равен а < 90°. Вписанная в треугольник ABC
окружность имеет центр О и касается стороны ВС в точке К. Найти
площадь треугольника ВОК.
► 19 [3]. Некоторая прямая, параллельная основаниям прямоугольной
трапеции, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать
окружность. Боковые стороны трапеции равны end, с < d. Найти ее
основания.
► 20. В равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно 1, вписана
окружность радиуса 1. Найти площадь трапеции.
► 21. Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция,
у которой одно основание вдвое больше другого. Найти среднюю линию
трапеции.
► 22. В окружность радиуса 1 вписана трапеция, у которой нижнее
основание вдвое больше, чем каждая из остальных сторон. Найти площадь
трапеции.
► 23. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями ВС — 1, AD = 3
можно вписать и вокруг нее можно описать окружность. Где находится
центр описанной окружности (внутри трапеции, извне ее, или на ее
стороне)?
Тот же вопрос, если ВС — 2, AD = 10.
► 24. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен Р.
Найти радиус этого круга, если острый угол при основании равен а.
Урок 32
Общие ^4-угольники
Этот урок задуман как тренировка на решение задач с применением
всех пройденных методов. Помните, что если вам попалась задача на
произвольный четырехугольник, или многоугольник с большим числом сторон,
то надо отыскать в нем такие треугольники, которые помогут упростить
и решить задачу. Например, если ищется площадь произвольного
пятиугольника, то уже никуда не деться от разбиения его на треугольники и
нахождения их площадей. Конечно, необходимо найти оптимальное
разбиение.
Хочу также обратить ваше внимание на то, что нами пройден ряд

Урок 32. Общие ^^-угольники
335
свойств произвольных четырехугольников: формула площади через
диагонали и угол между ними (напишите ее сами, пожалуйста!), условия
вписанности и описанности четырехугольника, тот факт, что четырехугольник,
составленный из середин сторон произвольного четырехугольника,
является параллелограммом (задача 6, урок 30). Если вы их подзабыли,
непременно повторите. А вот очередная порция новых свойств и формул.
1) Сумма углов произвольного выпуклого га-угольника равна п(п — 2).
2) Правильный тг-угольник может быть вписан в окружность и описан
около окружности.
3) Если й — сторона правильного n-угольника, то его площадь равна
|na2ctg^, радиус описанной около него окружности равен R = ^ПГ*"'
радиус вписанной в него окружности равен | ctg ^.
► Задача 1. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром
О. Доказать, что
/АОВ + /COD = тг.
Решение. Пусть К, L, М, N — точки касания окружности соответственно
со сторонами AB,BC,CD и DA. Тогда OK = OL = ОМ - ON как
радиусы окружности. Треугольники К ВО и BOL равны по катету и
гипотенузе (общей). Значит, угол КОВ равен углу BOL.
Аналогично, /LOC = /.COM, /MOD = /DON, /NOA = /АОК.
Наконец,
/АОВ + /COD = /АОК + /КОВ + /СОМ + /MOD =
= -(/ВОК + /BOL) + {/LOC + /СОМ) + {/MOD + /DON)
Zi Zi £
+ ~(/NOA+/AOK) = ]-{BOK + /BOL+/LOC+/COM+/MOD+/DON
+/NOA + /АОК) =  - 2тг = тг,
it
что и требовалось доказать.
► Задача 2. Центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с
точкой пересечения диагоналей. Доказать, что этот четырехугольник —
ромб.

336
Глава 7. Планиметрия
Решение. Пусть ABCD — наш четырехугольник, диагонали АС и BD
которого пересекаются в точке О, которая является также и центром
вписанной окружности. Согласно предыдущей задаче, имеем /.АОВ + Z.COD = 7г.
Но эти углы равны как вертикальные, так что каждый из них равен -|.
Значит, диагонали четырехугольника перпендикулярны. Кроме того, каждая
из диагоналей является биссектрисой, так как центр вписанной в любой
угол окружности лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно,
треугольники АО В и ВОС равны по (общему) катету и острому углу.
Значит, АО — ОС. Аналогично, ВО = OD, т.е. диагонали в точке пересечения
делятся пополам. Отсюда следует, что ABCD — параллелограмм с
перпендикулярными диагоналями. Все четыре прямоугольных треугольника,
на которые диагонали разбивают четырехугольник ABCD равны между
собой, так что равны и их гипотенузы, т.е. стороны четырехугольника
ABCD, чем и доказано, что ABCD — ромб.
► Задача 3. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD
взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать
окружность. Из точек В ж С опущены перпендикуляры на прямую AD. Они
пересекают прямые АС и BD соответственно в точках Е и F. Известно,
что ВС — 1. Найти длину отрезка EF.
Решение. Углы BFC и CAD являются углами с взаимно
перпендикулярными сторонами (ибо CF _L AD и С А J_ BF). Значит, они либо равны, либо
дополняют друг друга до 180°. Кроме того, угол CBD равен углу CAD
как вписанный, опирающийся на одну с ним дугу. Следовательно, либо угол
CFB равен углу CBF, либо он дополняет его до угла в 180°. Но такое в
треугольнике CBF может случиться только, если точки В и F совпадают
— ведь сумма двух углов треугольника не может равняться 180°. Если эти
точки совпадают, то ясно, что OB = OF. В противном случае углы CBF и
ВЕС равны. Отрезок СО, будучи высотой в равнобедренном треугольнике
ВСЕ, является и медианой, и опять получаем, что OB — OF. Точно так
же доказывается, что ОЕ — ОС. Теперь осталось заметить, что
EF2 = OF2 + ОЕ2 = ОВ2 + ОС2 = ВС2 = 1,
откуда находим, что EF = 1, что и требовалось.
Ответ: EF — 1. <
* Задача 4. Четырехугольник KLMN вписан в окружность. Через его
вершины проведены касательные к этой окружности, образующие также
вписанный четырехугольник. Найти площадь четырехугольника KLMN,
если его периметр равен р, и MN — 2 ■ ML = 8 • KL.
Решение. Для этой задачи нам понадобятся два рисунка.

Урок 32. Общие ^^-угольники
337
Рис. 1
На рисунке 1 точка О есть центр описанной окружности, АВ, ВС, CD
и DA — касательные к ней. Углы АКО и ALO прямые, как углы между
касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Отсюда следует,
что сумма углов KAL и KOL равна п. То же самое верно и для углов MON
и MCN. В условии сказано, что четырехугольник ABCD вписанный, так
что /LLAK + /LMCN - ж. Значит,
IKOL + ZMON = (тг - ZKAL) + (тг - ZMCN) = 2тг - тг = тг.
Углы MKN и LNK вписанные, опирающиеся на те же дуги, что и
соответственно центральные углы MON и KOL. Следовательно,
ZMKN = - • ZMON и ZLNK = - ■ ZLOK =►
2 2
ZMKN + ZLNK = {ZMON + ZLOK) = -.
Значит, треугольник KQN (см. рис. 2) прямоугольный, т.е. мы доказали,
что у четырехугольника KLMN диагонали перпендикулярны.
Пусть KL = х и KQ - a, LQ = Ь. Тогда LM = 4ж, MTV = 8х.
Треугольники KLQ и NMQ подобны как прямоугольные, имеющие равные
острые углы KLQ и QMN (как вписанные, опирающиеся на одну дугу).
Отсюда следует, что
LQ KQ КГ, 1
Записывая теорему Пифагора для треугольников KLQ и LQM, получаем
Ь2 + (8Ь)2 = (Ах)2  в = -Jgs ■
Треугольники KQN и LQM подобны, так что
KN KQ KN а 7
^=> -;г- = - = -
4ж
KiV = 7ж.
LM LQ Ах Ь 4
Поскольку периметр четырехугольника KLMN нам известен, можно найти
z: z + Ах + 8а: + 7х = р
Площадь KLMN равна половине произведения его диагоналей, т.е.
9р2
Р
Х=2д-
с !/ cwl о  2 1 (4+56)(7 + 32)
5 = -(а + 8Ь)(Ь + 8а) = ж2 • - • i g '-
1&хг =
200'

338
Глава 7. Планиметрия
что и требовалось.
Ответ: ^до. <
► Задача 5. На диагонали АС выпуклого четырехугольника ABCD
находится центр окружности радиуса г, касающейся сторон АВ, AD и ВС. На
диагонали BD находится центр окружности того же радиуса г, касающейся
сторон ВС, CD и AD. Найти площадь четырехугольника ABCD, если
известно, что указанные окружности касаются друг друга внешним образом.
Решение. Заметим сначала, что стороны AD и ВС нашего
четырехугольника являются общими касательными к двум окружностям равного
радиуса, так что они параллельны. Заметьте, что в этом месте мы пользуемся
выпуклостью четырехугольника ABCD — из нее следует, что если первая
окружность вписана в угол BAD, то вторая окружность непременно
касается прямой AD не в той же точке, что первая, ибо в противном случае
центры окружностей и точка В, не могли бы находиться по одну сторону
От прямой AD, как обязаны согласно выпуклости ABCD.
Посмотрим на рисунок 3. Центр первой окружности
лежит на диагонали АС. Значит, АС — биссектриса
угла BAD. Поэтому ABAC = ACAD = ZACB (по-
н М L N " следнее равенство верно, так как углы CAD и ВС А —
рис з внутренние накрест лежащие). Тем самым,
треугольник ABC равнобедренный и АВ = ВС. Аналогично,
ВС = CD, т.е. АВ = CD и наша трапеция является равнобедренной.
Пусть АВ = ВС — CD — х. Проведем третью общую касательную KL
к окружностям. Она будет перпендикулярна основаниям и разделит их
пополам (докажите это сами). Точки М и N взяты на стороне AD так, что
ВМ lADnCNl AD. Тогда AL = л/х2 - 4г2 + §, ВК = §, KL = 2г. Из
описанности четырехугольника ABKL следует, что
АВ + KL = AL + ВК ^=> х + 2г = | + ~^х2 - 4г2 <=> х = 2^2г.
Мы нашли основание ВС. Основание AD находится теперь легко:
AD = AM + MN + ND = x + 2Jx? - 4r2 = 4r + 2f2v.
Искомая плошадь равна  ■ 2г - (4г + 1[2г + 2/2г) = 4(1 + /2)г2.
Ответ: 4(1 + /2)г2. ■*
*■ Задача 6. В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол
ABC вдвое больше угла DBE. Найти величину угла ABC.
Решение. Из ZABC = 2 • ZDBE следует, что ADBE = ZCBD + ZABE.
Возьмем такую точку Р на стороне DE, что ZPBE = ZABE. Тогда
ZPBD = ZCBD.
R R г

Урок 32. Общие ^4~Угольники
339
Треугольник ABE равнобедренный, так что углы ABE и АЕВ равны.
Из равенства, углов АЕВ и РВЕ следует, что ВР \ АЕ (по обратной
теореме о внутренних накрест лежащих углах). Аналогичным образом CD \ BP
и мы доказали, что стороны АЕ и CD параллельны. Следовательно, AEDC
— параллелограмм и АС — DE.
Теперь уже видно, что треугольник ABC равносторонний, и, тем самым,
угол ABC равен 60°.
Ответ: 60°. <
► Задача 7 [2]. Известно, что в выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона
АЕ равна /3- Отрезок BE является биссектрисой угла СЕА, а отрезок
AD есть биссектриса угла САЕ. Кроме того, ВС — 1, AD — 2 и вокруг
четырехугольника АВСЕ можно описать окружность радиуса 1. Найти
площадь пятиугольника ABCDE.
Решение. Окружность радиуса 1 описана, в частности, около треугольника
АЕС. По теореме синусов имеем
АЕ л /3 ,.лг УЗ , *„„ я"
1 <=> -^т-^ттт = 1 <=> sm /АСЕ = — <=> /LACE - -.
2 sin /АСЕ 2 sin LACE 2 3
Точно так же, применяя теорему синусов к треугольнику ABC, вписанному
в ту же окружность, найдем, что /ВАС — |. Угол СЕВ равен углу CAB
как вписанный, опирающийся на ту же дугу. Значит, /.СЕВ = /BE A —
|, поскольку BE — биссектриса угла СЕА. Раз в треугольнике АСЕ
два угла равны 60°, то и третий таков же, так что этот треугольник
равносторонний.
Углы ВС А и ВЕА равны, как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
Значит, угол ВСА равен 30°, т.е. треугольник ABC равнобедренный и
АВ = ВС = 1. Кроме того, угол ВАЕ равен сумме углов ВАС и САЕ,
т.е. 90°.
Угол DAE можно найти, так как AD — биссектриса угла САЕ, равного
60°. Следовательно, угол DAE равен ^. С помощью теоремы косинусов
находим, что
DE2 = AD2 + АЕ2 -2- АО■ АЕ cos /DAE = 4+3-2-^-2->/3 = 1 <* DE = 1.
Из АЕ2 + DE2 — AD2 следует, что угол AED прямой.
Мы доказали, что ABDE — прямоугольник со сторонами 1 и v3.
Треугольник ACD равен треугольнику AED по двум сторонам (сторона AD
общая и АС = АЕ — ч/З) и углу между ними. Значит, CD тоже равно 1.
Площадь пятиугольника ABCDE складывается из площади
прямоугольника ABDE, равной 1 - -ч/З = л/3,
и площади треугольника BCD, в котором
мы знаем все стороны — они равны 1,1 и v3
Ответ: |/3. <

340
Глава 7. Планиметрия
*■ Задача 8. Шестиугольник AA2A^AiA^A^ вписан в окружность. Найти
ZAX + ZAZ + ZAb.
Решение. Четырехугольник AiA2A4Aq также вписан в окружность.
Значит, ZAi — 7г - ZA2A^A^. Аналогично, ZA% = 7г — ZA±A§A2 и ZA$ =
7г — ZA^A2A. Отсюда следует, что искомая сумма равна Зтг минус сумма
углов треугольника A^A^Aq, т.е. она равна 2тг.
Ответ: 2тг. -4
► Задача 9. Дан правильный семиугольник Л1Л2Л3Л4Л5Л6Л7. Найти
отношение площадей четырехугольника АА2А%А7 и пятиугольника
А3А4А5АъА7.
Решение. Площадь всего семиугольника равна |a2ctg у, где а — его
сторона. Площадь четырехугольника AA2A%A7 равна сумме площадей
треугольников АА2Аз и А1А3А7. Каждый из углов семиугольника равен |тг
(почему?), так что площадь треугольника А1А2А3 равна |а2 sin ^7г.
Найдем углы треугольника AA3Aj. Правильные многоугольники можно
вписать в окружность, так что можно считать вписанным и наш
семиугольник. Тогда угол АА$А7 равен половине центрального, опирающегося на
дугу AAj. Дуги, соответствующие сторонам семиугольника, равны между
собой. Следовательно, соответствующий центральный угол равен Зр Тем
самым, угол А1А3А7 равен у. Угол А1А7А3 опирается на вдвое большую
дугу А А2Аз, и потому равен у?г. Наконец, угол A3AA7 равен |jt. Сторону
АА% найдем по теореме синусов:
АхАэ a asm^n
sin |тг sin у ' sin у
И, наконец, площадь треугольника А1А3А7 равна
1 sm ётг . 47г . 7г . 4тг
- ■ а- а • , ' sin -— = a" cos — sin —.
2 smf 7 7 7
Площадь четырехугольника А1А2А3А7 равна
1 о . 5тг э . 4тг 7Г , .-, тг . 2тг
-а" вш — + a sm — cos — = <г cos' — sin —,
2 7 7 7 7 7
я воспользовался для упрощения выражения формулами sin |тг = sin |тг =
2sin у cos у, формулами суммы синусов, а также тем, что sin у7г = sin |тт.
Ввиду того, что площадь пятиугольника А3А^А^А^А7 равна разности
площадей семиугольника и четырехугольника АА2АзА7, получаем
Ответ:
{ ctg f -cos2 f
Наш урок окончен. Оценка снова выставляется по стандартным
критериям.

Урок 32. Общие ^4"Угольники
341
Домашнее задание
► 1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равны |.
Известно, что AD — 2, и расстояние от точки пересечения биссектрис
в треугольнике ABD до точки пересечения биссектрис в треугольнике
ACD равно у/2. Найти длину стороны ВС.
► 2. Известно, что в выпуклом четырехугольнике ABCD угол ACD равен
60°, AD = 7, ВС — 3. Точки А, В, С, D лежат на одной окружности.
Перпендикуляр из точки А на прямую CD делит угол BAD пополам.
Найти длину диагонали АС.
► 3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны
АВ за точку В пересекает продолжение стороны DC за точку С в точке
Е. Известно, что АВ = 2, BD = 2^6, CD = 5, BE/EC = 4:3. Найти
угол BAD.
► 4. В выпуклом четырехугольнике NPQM сторона NP равна Ь. Точка А
лежит на стороне PQ, а точка В — на стороне NM. Отрезок АВ
разбивает четырехугольник NPQM на два четырехугольника, в каждый
из которых можно вписать окружность. Известно, что разность
периметров четырехугольников BAQM и ABNP равна 2р. Найти сторону
MQ.
► 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке
О. Площади треугольников ВОС, COD и AOD равны соответственно
20, 40 и 60. Кроме того, АО = 8, АВ = 15, ZBOA > 31°. Найти угол
ВАО.
► 6. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке
Е. Площади треугольников ABE и DCE равны 1, а площадь
четырехугольника ABCD не превосходит 4. Найти ВС, если AD = 3.
*■ 7. В выпуклом четырехугольнике ABCD имеем АВ = 3, BD = у/1, причем
угол BCD равен 120°. Кроме того, площадь четырехугольника ABCD
равна {АВ ■ CD + ВС • AD). Найти длину стороны AD.
► 8. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник ABCD, для которого
АВ = ВС, ^^- = 2, AADC - 120°.
•3RCD
Найти все стороны четырехугольника ABCD.
► 9. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла ABC пересекает
сторону AD в точке М, причем AM = 2 ■ MD. Перпендикуляр,
опущенный из вершины А на прямую ВС, делит отрезок ВС пополам. Найти все
стороны и площадь четырехугольника ABCD, если его периметр равен
5 + y/Z, угол BAD прямой и угол ABC равен 60°.

342
Глава 7. Планиметрия
► 10. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF.
Из точки К, лежащей на продолжении AF (К А < KF), К А — /ТТ — 1,
проведена секущая КН, пересекающая окружность в точках N и Н. Ее
внешняя часть KN равна 2, и угол NFH тупой. Найти угол HKF.
► 11, Выразить сторону правильного десятиугольника через радиус
описанной окружности.
► 12. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, другой описан
около нее. Найти радиус окружности, если разность их периметров
равна а.
► 13. В круг радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что
ZBAF - /BCD = ZDEF, АВ = a, CD = b, EF = с.
Найти площадь шестиугольника.
► 14. Найти площадь пятиугольника, ограниченного прямыми ВС, CD, AN и
MA, где A,B,D — три вершины квадрата ABCD со стороной а, N —
середина ВС, точка М лежит на стороне CD, причем СМ : MD = 2:1.
► 15. Правильный шестиугольник ABCDEK вписан в окружность радиуса
R. Найти радиус круга, вписанного в треугольник ACD.
► 16. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем
BD || АЕ, Z.CAE = 2 • ZCEA, Z.CBD - ZCDB = а.
Для треугольника АСЕ найти отношение радиуса вписанной
окружности к периметру.
► 17. Семиугольник А1А2А3А4А5А6А1 вписан в окружность, центр которой
лежит внутри него. Доказать, что /,А + Z.A3 + Z.A5 < 450°.
► 18. В правильном шестиугольнике со стороной 5 на одной из сторон взята
точка А на расстоянии 1 от ближайшей вершины шестиугольника.
Найти расстояние от точки А до центра шестиугольника.
► 19. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точки Ai,Bi,CD,E,F
лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, CD, DE, EF, FA. Сторона
шестиугольника равна а, причем
AAyfAxB = 1, ВВ1/В1С = 1:2, Cd/CiD = 1:3, DD^jD^E =1:4,
EEi/EjF =1:5, FFxfFiA = 1:6.
Найти площадь шестиугольника AiBCDEiF.
► 20 [3]. Прямая проходит через центр правильного n-угольника. Доказать.
что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой
прямой не зависит от выбора прямой (проходящей через центр) и найти
эту сумму.

Урок 33. Геометрические места точек
343
Урок 33
Геометрические места точек
Геометрическим местом точек с данным свойством называется
множество всех точек плоскости, обладающих этим свойством. Геометрические
места точек можно рассматривать и в пространстве. Это будет сделано в
главе «Стереометрия».
Вступительные задачи письменного экзамена на геометрические места
точек (далее пишем сокращенно ГМТ) в последнее время встречаются
редко. Однако, из программ эта тема не исключена, так что разобрать ее
имеет смысл. Для тех абитуриентов, которым предстоит сдавать устный
экзамен, эта тема вполне актуальна — дополнительные задачи на ГМТ —
практически непременный атрибут каждого устного экзамена.
В решении задачи на ГМТ должны присутствовать три момента:
1) предъявлено множество Р, про которое мы утверждаем, что оно
искомое;
2) доказано, что каждая точка множества Р обладает заданным
свойством;
3) доказано, что нет других точек, обладающих данным свойством.
Тремя важнейшими ГМТ являются следующие:
а) ГМТ, равноудаленных от точек А и В — это прямая,
перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину;
б) ГМТ, удаленных на расстояние R от данной точки О — это
окружность радиуса R с центром в точке О;
в) ГМТ, из которых данный отрезок АВ виден под
данным углом а (под этим для краткости понимается
множество таких точек М, что угол AM В равен а)
— это объединение двух дуг окружностей радиуса
R = 2^^» с центрами на серединном перпендикуляре
к отрезку АВ, лежащими на расстоянии Rcos^ от
прямой АВ (см. рис. 1), симметричных относительно Рис. 1
прямой АВ (точки А и В не принадлежат этому множеству).
В частности, ГМТ, из которых данный отрезок виден под прямым углом
есть окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре.
Если мы знаем ГМТ, М, определяемое свойством Pi и ГМТ М2,
определяемое свойством Р2, то ГМТ, для которых одновременно выполняются

344
Глава 7. Планиметрия
свойства Р и Р2, есть пересечение множеств Mi и Мг.
Общих рецептов нахождения ГМТ дать невозможно. Как правило,
можно понять, как устроено искомое ГМТ, если разбить данное свойство на
более простые, найти соответствующие более простые ГМТ и из них
построить искомое. Иногда удается удачно ввести систему координат и
записать данное свойство в виде формулы f(x, у) = 0. В этом случае помогут
методы из урока 25. Иногда нужно просто угадать хорошую
геометрическую закономерность, присутствующую в данном свойстве.
► Задача 1. Найти геометрическое место середин отрезков с концами на
двух данных прямых (предполагается, что прямые не совпадают, концы
каждого из отрезков лежат на разных прямых и никакой отрезок не
вырождается в точку).
Решение. Здесь необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1. Данные прямые А; и / параллельны. Пусть дана произвольная
точка М, принадлежащая искомому ГМТ. Ясно, что она лежит между
прямыми к и I. Тогда найдутся точки А и В на прямых А; и I соответственно,
такие, что М есть середина отрезка АВ. Проведем через точку М
произвольную прямую, не совпадающую с прямой АВ и не параллельную прямым
к и I. Пусть она пересечет прямую к в точке К, а прямую I — в точке L.
Треугольники BML и АКМ равны по второму признаку (ибо AM =
MB, ZKMA - ZBML, как вертикальные, и /.КAM = ZMBL, как
внутренние накрест лежащие при параллельных прямых).
Отсюда следует, что высоты, опущенные из точки М в наших
треугольниках равны, т.е. равны расстояния от М до прямых к и I. Теперь уже
можно предъявить искомое множество. Пусть т — какая-нибудь прямая,
перпендикулярная прямым к и I. Она пересекает эти прямые в точках Р
и Q соответственно. Серединный перпендикуляр d к отрезку PQ и будет
искомым ГМТ.
Действительно, пусть М принадлежит искомому ГМТ. Мы доказали, что
расстояния от М до прямых к и I равны. Если мы проведем через точку М
общий перпендикуляр к прямым к и I, пересекающий их соответственно в
точках Мк и Mt, то М будет серединой отрезка M^Mi. Отрезки РО (где О
— середина PQ) и ММ^ параллельны как перпендикуляры к одной прямой
и равны как равные половине расстояния между параллельными прямыми.
Значит, ОММ^Р — параллелограмм. Из ОР X А; следует, что ОММ^Р
прямоугольник, т.е. ОМ _L PQ и мы доказали, что М & d.
С другой стороны, каждая точка d принадлежит искомому ГМТ.
Действительно, пусть Med. Проведем через М общий перпендикуляр к
прямым к и /, пересекающий эти прямые соответственно в точках К и L. Тогда
М будет серединой отрезка KL, ибо МКРО и MLQO — прямоугольники,

Урок 33. Геометрические места точек
345
и, значит,
МК = PO = OQ = MP,
что и требовалась доказать. Случаи первый разобран полностью.
Случай 2. Прямые к и I пересекаются в точке О.
Я утверждаю, что искомое ГМТ будет содержать все точки плоскости,
не совпадающие с точкой О. Докажем вначале, что точка О не принадлежит
нашему ГМТ. Действительно, пусть точка А лежит на прямой к, а точка
В — на прямой / так, что О есть середина отрезка АВ. Но точка В лежит
на прямой АО, совпадающей с прямой к (ибо А и О -- две различные
точки прямой АО, принадлежащие к). Значит, и точка В лежит на прямой
А; и получилось, что несовпадающие прямые А; и I пересекаются в двух
различных точках О и В —■ противоречие.
Пусть теперь М ф О — произвольная точка плоскости. Если М лежит
на одной из прямых, пусть, например, на прямой к, то М есть середина
отрезка ON, где N G к есть вторая точка пересечения с прямой к окружности
радиуса МО с центром в точке М.
Предположим, что М лежит внутри одного из четырех углов, на которые
разбивают плоскость прямые fc и I. Проведем через точку М прямые,
параллельные прямым к и I. Пусть первая из них пересечет прямую / в точке
L, а вторая пересечет прямую к в точке К. Четырехугольник OKML —
параллелограмм. Значит, отрезок ОМ делится пополам второй диагональю
KL полученного параллелограмма. Проведем прямую K'Lf, параллельную
KL через точку М (К' и!' — точки пересечения этой прямой с прямыми А;
и / соответственно). Простое рассуждение с использованием подобия
(проведите его сами!) показыает, что К'М — ML1, т.е. точка М принадлежит
искомому ГМТ и задача полностью решена.
Ответ: если данные прямые параллельны, то искомое ГМТ есть прямая,
параллельная им обеим, являющаяся серединным перпендикуляром к
любому отрезку с концами на данных прямых и им перпендикулярному;
если прямые пересекаются в точке О, то искомое ГМТ есть вся плоскость
без точки О. -4
► Задача 2. Дан треугольник ABC. Найти ГМТ М таких, что площади
треугольников АВМ и ВМС равны.
Решение. У треугольников АВМ и ВМС общая сторона ВМ. Значит,
площади их равны если и только если равны высоты, опущенные на прямую
ВМ. Мы доказали, что наша задача эквивалентна поиску такого ГМТ М,
что расстояние от точки А до прямой ВМ равно расстоянию от точки С
до прямой ВМ.
Возможны два случая: прямая ВМ параллельна прямой АС, или прямые
АС и ВМ пересекаются.

346
Глава 7. Планиметрия
Ясно, что если провести прямую, параллельную прямой АС, то для любой
точки М на этой прямой расстояния до прямой ВМ от точек Am С равны.
Таким образом вся эта прямая (кроме точки В, ибо тогда бессмысленно
говорить о треугольнике АВМ) принадлежит искомому ГМТ.
Пусть теперь прямая ВМ пересекается с прямой АС в точке D, и отрезки
CCi, AA —- перпендикуляры, опущенные соответственно из точек С и
А на прямую ВМ. Эти перпендикуляры по предположению равны. Если
точки А и С лежат по одну сторону от прямой ВМ, то из АА — СС
следует, что АС || ВМ (нарисуйте сами картинку и докажите этот факт)
— противоречие. Значит, точки Aw. С лежат по разные стороны от прямой
ВМ и точка D принадлежит интервалу АС. Прямоугольные треугольники
AAD и CCD равны по катету и острому углу, так что AD — DC. Значит,
все точки нашего множества лежат либо на прямой, проходящей через В
параллельно АС, либо на прямой, содержащей В и середину D отрезка АС.
Доказательство того, что все точки этой прямой, кроме В годятся,
совсем просто — надо лишь доказать, что расстояния от точек А и С
до этой прямой равны. А это следует из равенства прямоугольных
треугольников AAD и CCD по гипотенузе (AD = DC) и острому углу
(ZADAi -ZCDCi).
Ответ: искомое ГМТ состоит из всех не совпадающих с В точек
объединения двух прямых: прямой, проходящей через В параллельно АС и прямой,
содержащей медиану BD треугольника ABC. <
► Задача 3. Найти геометрическое место середин хорд данной окружности,
проходящих через данную точку А внутри окружности.
Решение. Пусть О — центр окружности. Если точка А совпадает с О,
то ясно, что наше ГМТ будет состоять только из точки А. Предположим
теперь, что А ф О. Если М — середина какой-либо хорды, проходящей
через точку А, то отрезок ОМ перпендикулярен данной хорде. Отсюда
следует, что искомое ГМТ лежит в множестве точек, из которых отрезок
АО виден под прямым углом, т.е. на окружности, построенной на АО как
на диаметре.
Обратно, пусть точка М принадлежит окружности, построенной на АО
как на диаметре. Если М не совпадает ни с одной из точек Л и О, то угол
АМО прямой. По известной школьной теореме, тогда М будет серединой
хорды, содержащей отрезок AM (это, впрочем, легко доказывается с
помощью теоремы Пифагора — если Р и Q точки пересечения прямой МА с
окружностью, то РМ = у'Я2 - ОМ2 — MQ).
Ясно, что точки А и О входят в искомое ГМТ, ибо О — середина
диаметра, проходящего через точка A, a, A — середина хорды, проходящей
через А и перпендикулярной к О А.

Урок 33. Геометрические места точек
347
Ответ: окружность, построенная на отрезке, соединяющем центр
окружности с точкой А как на диаметре, если точка А отлична от центра
окружности; если А совпадает с центром, то искомое ГМТ состоит только из
точки А. <
> Задача 4 [2]. Дан прямоугольник ABCD. Найти ГМТ X таких, что
АХ + ВХ = СХ + DX.
Решение. Пусть I — прямая, проходящая через середины сторон AD и ВС.
Если точка X не лежит на прямой I, то пусть, например, она лежит по
одну сторону от I с точками А к В. Если X лежит на прямой ВС, то
ясно, что СХ > ВХ. Если точка X не лежит на прямой ВС, то ВСХ -—
треугольник. Пусть прямая I пересекает отрезок СХ в точке Y. Углы YCB
и YBC равны, при этом угол YBC лежит внутри угла ХВС. Значит, угол
ХВС больше угла ХСВ. Против большего угла лежит большая сторона,
так что СХ > ВХ. Аналогично доказывается, что DX > АХ. Значит, и
АХ + ВХ < СХ + DX. Мы доказали, что ни одна точка искомого ГМТ не
может лежать вне прямой I (случай, когда она лежит по одну сторону от I
с точками А и D рассматривается точно так же).
Но, если точка X лежит на прямой I, то, очевидно, что АХ = XD и
ВХ = ХС, откуда следует, что АХ + ВХ = СХ + DX, т.е. прямая I есть
искомое ГМТ.
Ответ: прямая, проходящая через середины сторон AD и ВС. <
*■ Задача 5. На плоскости даны точки А и В. Найти ГМТ М, для которых
разность квадратов длин отрезков AM и ВМ равна к.
Решение. Введем на плоскости систему декартовых координат с центром
в середине отрезка АВ, осью Ох совпадающей с прямой АВ, а осью Оу ей
перпендикулярной. Пусть 2а — длина отрезка АВ. Тогда точка А имеет
координаты (—а,0), а точка В ---■ координаты (а,0). Точка М, имеющая
координаты (х, у), принадлежит искомому ГМТ если и только если
AM2 - ВМ2 = к ^ ((х + а)2 + у2) - {{х -а)2 + у2) = к «=> х = ^-.
Полученное уравнение задает в точности наше ГМТ, так как переход к
нему от исходной задачи осуществлялся равносильным образом.
Ответ: прямая, перпендикулярная отрезку АВ и пересекающая прямую
АВ в точке, лежащей на расстоянии -^jfe от середины АВ; при этом точка
пересечения лежит слева от середины АВ, если к < 0 и справа, если к > 0.
Если fc = 0, то искомое ГМТ есть серединный перпендикуляр к АВ. •*
*■ Задача 6 [2]. Дана окружность. Найти геометрическое множество
центров окружностей, вписанных в треугольники, вписанные в эту
окружность.

348
Глава 7. Планиметрия
Решение. Ясно, что искомое ГМТ лежит внутри окружности. Докажем,
что каждая внутренняя точка круга принадлежит нашему ГМТ. Пусть О
— центр круга, и М — произвольная точка в нем. Если М — центр круга,
то он является центром вписанной окружности для любого правильного
треугольника, вписанного в исходную окружность, так что в этом случае
точка М принадлежит искомому ГМТ. Если М не совпадает с центром,
то существует единственный диаметр BMON, содержащий точку М (В
и N точки окружности, причем написание BMON показывает порядок, в
котором точки лежат на диметре BN). Отрезок MN имеет длину строго
меньшую, чем диаметр окружности. Поэтому окружность радиуса MN с
центром в точке N пересекает нашу окружность в двух точках А и С.
Я утверждаю, что треугольник ABC искомый. Не вызывает сомнений,
что он вписан в окружность. Надо доказать лишь, что М есть центр его
вписанной окружности, или, что то же самое, точка пересечения
биссектрис.
По построению имеем AN = NC. Треугольники АОС и CON равны по
трем сторонам (т.к. АО = ОС как радиусы, ON — общая сторона, и уже
отмечено, что AN = NC). Значит, угол ON А равен углу ON С. Пусть
К -- точка пересечения диаметра MN со стороной АС. Треугольники
CBN и BNK равны по первому признаку. Значит, мы доказали, что АВ —
ВС. Кроме того, в равнобедренном треугольнике ANC биссектриса МК
является высотой, т.е. ВК J_ АС. В равнобедренном треугольнике ABC
высота ВК есть и биссектриса, так что М лежит на одной из биссектрис.
Достаточно теперь доказать, что AM -— биссектриса угла ВАС.
Угол BAN = 90° как вписанный, опирающийся на диаметр. Пусть
ZBNC = /LBNA = а.
Тогда и угол ВАС равен а, как опирающийся на одну дугу с углом BNC.
Треугольник ANM равнобедренный (MN — NA) по построению. Значит,
угол AMN равен ~^-. Треугольник МАК прямоугольный, так что угол
МАК равен тг . . .. _ тг 7г - а __ а
--^АШС----^---,
т.е. равен половине угла ВАК, равного а, что и требовалась доказать.
Итак, М — центр вписанной окружности треугольника ABC и, ввиду
произвольности точки М, искомое ГМТ совпадает со всей внутренностью
круга.
Ответ: искомое ГМТ есть внутренность данного круга. <
*■ Задача 7 [3]. Дана окружность. Найти геометрическое множество точек
пересечения высот треугольников, вписанных в эту окружность.
Решение. Пусть R — радиус данной окружности, О — ее центр. Докажем,
что если ABC —- какой-нибудь вписанный в нее треугольник, то расстояние

Урок 33. Геометрические места точек
349
от О до точки пересечения высот треугольника ABC строго меньше, чем
3R.
Если треугольник ABC остроугольный, то точка пересечения его высот
лежит внутри него, а, значит, и внутри окружности, так что расстояние
от нее до центра будет меньше R.
Предположим, что угол В — тупой. Обозначим
точку пересечения высот через М, пусть также G
— середина стороны АС, точка Н есть основание
перпендикуляра, опущенного из В на АС и OF _L
МН (см. рис. 2). Мы будем применять обычные
обозначения для сторон и углов треугольника ABC
(например, а = ВС, В = /ABC и т.п.).
Длину отрезка ОМ найдем из теоремы Пифагора для прямоугольного
треугольника MFO. Имеем
АН = АВ ■ cos /.ВАС = с cos А =*• МН = АН ctg АМН - с cos A ctg С,
так как /АМН = § - АМАН = С.
Угол АОС — центральный, опирающийся на дугу АС. Он в два раза
больше соответствующего вписанного угла, равного тг — В как
опирающегося на ту же дугу, что и угол В, но со стороны точки О. Поэтому угол
АОС равен 2тг — 2В, откуда следует, что угол AOG равен тг — В. Отсюда
HF = GO = АОcos(tt -B) = #cos(tt - В) = -RcosB.
Аналогично, HG = AG—АН = Я sin 5—с cos А. Вспомнив, что по теореме
синусов с = 2R sin С, выразим длины нужных нам отрезков через R:
MF = 2RcosAcosC - RcosB, OF = R sin В - 2R sin С cos A.
Применяем теорему Пифагора:
ОМ2 = (2Л cos A cos С - R cos В)2 + {R sin В - 2R sin С cos A)2 =
= 4R2 cos2 A cos2 С + R2 cos2 Б - 4Й2 cos Л cos Б cos C+
+R2 sin2 Б + 4Й2 sin2 С cos2 А - 4Й2 sin Б sin С cos Л =
= Я2 + 4Й2 cos2 Л - 4Й2 cos Лсоз(Я - С) < 9Й2,
ибо каждое из последних двух слагаемых строго меньше, чем 4Й2. Мы
доказали, что ОМ2 < 9R2 <==> ОМ < 3R. Отсюда следует, что искомое
ГМТ лежит внутри круга радиуса Зй с центром в точке О.
Мы сейчас докажем, что КАЖДАЯ ТОЧКА круга радиуса Зй с центром
в точке О принадлежит нашему ГМТ.
Берем произвольную точку М из указанного круга. Ясно, что, если
М = О, то М принадлежит нашему ГМТ, так что считаем, что М не
совпадает с центром круга. Обозначим длину отрезка ОМ через а.

350 Глава 7. Планиметрия
Случай 1. Точка М лежит вне первоначального
круга, т.е. а > R.
На отрезке ОМ возьмем точку Н такую, что ОН =
^^. Заметим, что точка Н лежит внутри круга, т.к.
а < Зй. Проведем через Н хорду АС,
перпендикулярную ОМ. Пусть В — точка пересечения ОМ с окруж-
р „ ностью. Тогда точка пересечения высот треугольника
ABC совпадает с М (см. рис. 3).
Ясно, что М лежит на высоте ВН. Достаточно (ввиду того, что высоты
пересекаются в одной точке) доказать, что AM Л ВС. Это равносильно
тому, что
ABC A + AM АС = 90° <=» ABAC = ААМН,
ввиду того, что углы ВАС и ВС А равны, а сумма углов АМН и МАН
равна 90°. Исследуемые углы острые, так что достаточно доказать равенство
их тангенсов.
Но tgABAH = 51 и tg ААМН = -fife. Равенство ff = $jf
равносильно тому, что АН2 = НВ ■ НМ.
По теореме Пифагора АН2 = R2 - (^)2 = (Д+о)^Д~а). Имеем
2 2 ' 2 2'
и уже видно, что требуемое равенство выполняется.
Случай 2. Точка М лежит на окружности. Тогда, если АС — диаметр,
перпендикулярный ОМ, то М есть точка пересечения высот треугольника
АМС — это очевидно.
Случай 3. Точка М лежит внутри круга. Тогда а — ОМ < R.
Продолжив отрезок ОМ за точку О, выберем на этом продолжении точку Н
такую, что ОН = ^2-. Пусть АС — хорда, перпендикулярная ОМ и
содержащая Н, и В — точка пересечения луча ОМ с окружностью. Точно
так же, как в Случае 1, доказывается, что М есть точка пересечения высот
треугольника ABC.
Ответ: искомое ГМТ есть внутренность круга, радиус которого равен
трем радиусам данного и центр совпадает с центром исходного круга. <
► Задача 8. На плоскости даны две различные точки А и D. Найти
геометрическое место вершин С всевозможных трапеций ABCD таких, что
AD || ВС и длины сторон АВ и ВС равны наперед заданным числам ри(/.
Решение. Пусть точка С принадлежит искомому ГМТ. Тогда найдется
точка В такая, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС. Проведем
через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Она пересечет прямую
AD в точке Е. Ясно, что АВСЕ — параллелограмм, так что АЕ = q. При
этом точка Е обязана лежать с той же стороны от точки А, что и точка D,
ибо в противном случае трапеция получится самопересекающейся. Такая

Урок 33. Геометрические места точек
351
точка Е определяется однозначно. Сторона СЕ равна р. Отсюда следует,
что все точки искомого ГМТ лежат на окружности радиуса р с центром в
точке Е.
Любая ли точка этой окружности принадлежит ГМТ? Ясно, что точка
С не может лежать на прямой AD. Пусть С — любая точка окружности,
не лежащая на AD. Проведем через С прямую параллельно AD и через
А прямую, параллельно ЕС, которая пересечет первую прямую в точке В.
Тривиально проверяется, что ABCD — трапеция, такая, как требуется в
определении ГМТ.
Ответ: пусть Е — точка, лежащая на луче A.D такая, что АЕ = q искомое
ГМТ состоит из всех точек окружности радиуса р с центром в точке Е, не
лежащих на прямой AD. <
► Задача 9 [2]. Найти ГМТ, произведение расстояний от которых до двух
противоположных сторон квадрата равно произведению расстояний до двух
других противоположных сторон.
Решение. Здесь тоже эффективно работает метод координат. Примем за
точку отсчета одну из вершин квадрата, а за координатные оси — его
стороны, проходящие через выбранную точку. Пусть точка М с координатами
(х,у) принадлежит искомому ГМТ. Расстояние до оси Оу равно х (это
одна из сторон квадрата), а расстояние до противоположной стороны равно
х — а (где а — длина стороны квадрата) (нарисуйте чертеж и убедитесь
в этом, разобрав случаи, когда х и х — а принимают всевозможные знаки).
Расстояния до другой пары сторон равны у и у — а.
По условию, имеем уравнение
х\х -а = у\у - а <=> х2{х - а)2 = у2(у - а)2.
Используя формулу для разности квадратов и группировку, преобразуем
полученное уравнение:
{х{х -а)- у(у ~ а)){х{х - а) + у{у - а)) = О
(х-у){х + у-а)((х-~) +(»-|) -у)=°-
Все преобразования были эквивалентными, так что наше ГМТ есть
объединение двух прямых и окружности.
Ответ: прямые, содержащие диагонали квадрата и окружность,
описанная вокруг него. -«
*■ Задача 10. Даны две различные точки А и В и положительное число к ф 1.
Найти ГМТ М таких, что $Ц = к.
Решение. Пусть длина отрезка АВ равна а. Примем точку А за начало
координат и прямую АВ за ось Ох. Пусть точка М с координатами (х, у)

352
Глава 7. Планиметрия
принадлежит искомому ГМТ. Квадрат расстояния от М до А равен х2 + у2,
а квадрат расстояния от М до В равен (х — а)2 + у2. Точка М принадлежит
ГМТ, если и только если
2 I 2
Х +У _ 1.2 , , „2 . „,2 _ т.2„2 г,„к2„ . т2 2 . i,2„,2
= fc^ <=> х* + Г = frV - 2аГг + Га' + fcV
(х — а)2 + у2
{к2 - 1)х2 - 2ак2х + {к2 - 1)у2 + к2а2 = О
г 2 , а2к4 к2а2 a2k2
<=» l^-TT—Г +У =
(-^тУ
О2 - l)2 fc2 - 1 (A;2 - l)2
Ясно теперь, что мы получили уравнение окружности.
Ответ: искомое ГМТ — окружность радиуса тсу~тг с центром на
прямой АВ на расстоянии р^т от точки А справа, если к > 1, и слева, если
.fc<l. «
Наш урок окончен. Оценка по стандартным критериям.
Домашнее задание
► 1. Найти ГМТ середин всех отрезков, проведенных из данной точки к
различным точкам данной прямой.
► 2. Найти ГМТ, из которых касательные, проведенные к данной
окружности, равны данному отрезку.
► 3. Найти ГМТ, для которых сумма квадратов расстояний до двух данных
точек есть величина постоянная.
► 4. Найти ГМТ середин всевозможных отрезков с концами на двух данных
отрезках.
► 5. Дан прямоугольник ABCD. Найти ГМТ М, таких, что AM2 + СМ2 -
ВМ2 + DM2.
► 6. Даны различные точки Л и В. Окружности касаются прямой АВ в
точках А и В и друг друга в точке М. Найти ГМТ М.
► 7. Даны отрезки АВ и CD. Найти ГМТ М таких, что площадь
треугольника АВМ равна площади треугольника С DM.
*■ 8. Найти ГМТ середин отрезков, соединяющих данную точку вне данной
окружности с точками этой окружности.
►9 [2]. Три прямые попарно пересекаются, но не проходят через общую
точку. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных
около всевозможных треугольников с вершинами на данных прямых.

Урок 33. Геометрические места точек
353
► 10. Даны точки А и В. Найти ГМТ М таких, что
AM ■ ВМ - cos{ZAMB) = АВ2.
► 11. Даны точки Л и В, расстояние между которыми равно единице. Найти
ГМТ, расстояния от которых до точек А и В равны целым числам.
► 12 [2]. Дано множество трапеций ABCD (AD || ВС), у которых
фиксированы вершины А и D и длины сторон АВ и ВС. Найти ГМТ,
являющихся пересечением диагоналей таких трапеций.
► 13. Дан квадрат ABCD. Найти геометрическое место середин сторон
квадратов, вписанных в данный квадрат.
► 14. Дан остроугольный треугольник ABC. Найти геометрическое место
центров прямоугольников, одна из сторон которых лежит на стороне
АС и по одной вершине на сторонах АВ и ВС.
► 15 [2]. На окружности фиксированы точки А и В. Найти геометрическое
место пересечений высот треугольников ABC, когда точка С пробегает
все точки окружности, кроме А и В.
► 16 [2]. На окружности фиксированы точки А и В. Найти
геометрическое место пересечений биссектрис треугольников ABC, когда точка
С пробегает все точки окружности, кроме Aw. В.
► 17 [2]. На окружности фиксированы точки Aw. В. Найти геометрическое
место пересечений медиан треугольников ABC, когда точка С
пробегает все точки окружности, кроме А и В.
► 18. На окружности фиксирована точка А. Найти ГМТ, делящих хорды с
концом А в отношении 2 : 1, считая от точки А.
► 19. Пусть АтаВ — фиксированные точки плоскости. Найти ГМТ С, таких,
что высота треугольника ABC, опущенная из точки В, равна данному
числу Ъ.
► 20. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем В находится между
А и С. Найти ГМТ М таких, что радиусы описанных окружностей
треугольников АМВ и С MB равны.

354
Глава 7. Планиметрия
Урок 34 [3]
Построения циркулем и линейкой
Вступительные задачи на эту тему встречаются исключительно на
устных экзаменах. Поэтому я, занимаясь с учениками, обычно пропускаю ее,
чтобы пройти в непосредственной близости от устных экзаменов. Тем не
менее книга удобнее, чем репетитор, и вы можете выбрать любое время
для освоения задач на построение.
Когда в задаче мы читаем «Построить циркулем и линейкой то-то и то-
то», мы отнюдь не обязаны где-то раздобыть циркуль и линейку, чтобы
вычертить то, что указано. Решение задачи на построение состоит в
описании последовательности операций, которые нужно проделать так
называемыми идеальными циркулем и линейкой для того, чтобы получить
нужную фигуру.
Что такое идеальный циркуль? Это нечто, чем можно проделывать
следующие операции:
Ц-1) провести окружность с центром в любой точке плоскости и
радиусом, равным длине любого наперед выбранного отрезка на плоскости;
Ц-2) найти точки пересечения проведенной окружности с любым наперед
заданным объектом на плоскости (окружностью, прямой, отрезком и т.п.),
если они (точки) имеются.
Идеальная линейка позволяет
Л-1) провести прямую через любые две заданные точки на плоскости;
Л-2) найти пересечение проведенной прямой с любыми доселе заданными
объектами на плоскости (правда, таковое может оказаться пустым).
При этом слово «найти» означает возможность далее применять операции
Ц-1, Ц-2 и Л-1, Л-2 к получившимся точкам, т.е. проводить через них
прямые, отмерять радиус и проводить окружности.
Задача на построение считается решенной, если
- точно указана последовательность операций;
- доказано, что в результате их применения получится нужная фигура;
- разобраны все возможные случаи, при которых задача имеет решение и
указано, сколько решений имеется.
На практике допускается вместо последовательности самих операций
(будем называть их элементарными) указывать последовательность блоков

Урок 34 [3]. Построения циркулем и линейкой 355
операций, при условии, что вам ясно, как разложить каждый блок на
элементарные операции. Например, если на плоскости задана прямая и точка,
можно (и это будет делаться на данном уроке) считать одной операцией
проведение через заданную точку прямой, перпендикулярной данной, или
параллельной данной. Выражение этих операций через элементарные
абитуриенты, как правило, проводят неплохо.
Я сейчас приведу список блоков операций, которые будут использоваться.
Проверьте себя. Если у вас вызывает трудности разложение на
элементарные операции какого-либо из указанных блоков, повторите
соответствующий материал в школьных учебниках.
Итак, я считаю, что вы знаете, как
1. провести через данную точку перпендикуляр к данной прямой;
2. провести через данную точку прямую, параллельную данной;
3. поделить отрезок пополам;
4. поделить угол пополам;
5. построить треугольник по трем сторонам;
6. построить треугольник по двум сторонам и углу;
7. построить прямоугольный треугольник по двум катетам;
8. построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету;
9. построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу;
10. построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому
углу.
Предполагается, что задачу на построение школьник будет решать,
начиная с так называемого анализа, т.е. предположения, что фигура уже
построена, и поиска ее геометрических свойств, которые подскажут, какие
операции надо провести. После этого указывается последовательность
операций и т.д.
Но, в общем-то, вы вправе никому не объяснять, как вы додумались до
последовательности операций (далее, для краткости, последовательность
операций называется построением). Вы можете просто провести
построение и доказать, что оно приводит к успеху. Я буду решение задач излагать
именно так. Кроме того, если из условия задачи ясно, что решение
существует и единственно, исследование проводиться не будет.
Мы разберем ряд задач с чисто геометрические решениями, но главным
на сегодняшнем уроке будет разбор алгебраического подхода. Это очень
мощный метод, позволяющий решить практически любую (решаемую)
задачу на построение. В школе он не преподается, хотя освоить его легко.
При этом вы получите существенное преимущество перед теми, кто этого
метода не знает.
Несколько слов об обозначениях. При написании последовательности
операций, мы будем применять уже освоенные построения как одну операцию.

356
Глава 7. Планиметрия
При зтом будет употребляться обозначение а,... ,ап —> Ь, который можно
читать как «если даны а,... ,ап, то мы умеем строить Ы. Стрелка =>■
употребляется в обычном смысле, т.е. может читаться как слово
«следовательно». Главная цель сегодняшнего урока — научить вас строить
циркулем и линейкой практически любой отрезок или угол, который может быть
выражен алгебраически через известные элементы.
►■ Задача 1. Дан отрезок длины а и натуральные числа тип. Построить
отрезок длины — ■ а.
Решение. Если мы имеем отрезок длины Ь, то, откладывая его т раз на
какой-нибудь прямой, получим отрезок длины mb. Значит, Ь —> тЪ.
Если дан отрезок длины о, то возьмем какой-нибудь прямой угол с
вершиной О. Отложим на стороне угла от точки О отрезок ОЛ, равный
а, а на другом луче от точки О отложим точки В,... ,Вп таким образом,
чтобы было СШ] = ВВ'2 — В2В3 = ... = Вп-Вп = а. Соединим точку
Вп с точкой А и проведем через точки В,... , Вп- прямые, параллельные
ВпА. Они разобьют отрезок О А нал равных (по теореме Фалеса) отрезков.
Значит, а —> -. Окончательно,
а а т т
а —► — —+ m • — = — • а => а ~ > — -а,
п п п п
что и требовалось. Напомню, что последняя формула со стрелками должна
читаться так:
имея а, можем построить ^, а, имея ^, можем построить т - ^ — ~ ■ а.
Следовательно, имея а, можно построить ~ • а.
► Задача 2. Дан отрезок длины а и натуральное п. Построить отрезок
длины афг.
Решение. Докажем, что для любого натурального к имеем
а,аук —* ал/к + 1.
Для этого построим прямоугольный треугольник с катетами а и аук.
Тогда гипотенуза его будет равна J а2 + (ау/к)2 = а/к + 1.
Значит, а _ ал/2 _» ал/з -> ал/1 -»...-» ау/п,
и все доказано (построение проводится п раз).
► Задача 3. Дан отрезок длины а и натуральные числа тип. Построить
отрезок ау/^.
Решение. Здесь можно обойтись одной строкой:
. aJmn fm
а —* ау'тп —* —'• — а* —.
п у п
Первая стрелка имеет место согласно задаче 2, а вторая — согласно
задаче 1.

Урок 34 [3]. Построения циркулем и линейкой 357
► Задача 4. Доказать, что если даны отрезки с длинами а,... ,ап и
рациональные числа (т.е. числа, представимые в виде частного целого и
натурального чисел) pi,... ,рп, то можно построить отрезок
у/р1а| + ...р„о2.
Решение. Переставляя, если потребуется заданные рациональные числа,
можно считать, что р,... ,Рк ^ 0 и Pk+i, ■ ■ -Рп < О для некоторого
натурального А;, где 0 ^ к ^ п.
В задаче 3 доказано, что мы можем построить отрезки &i,... ,bn, где
Ь% = &i/Pi- Ясно, что искомый отрезок равен
^l + ... + bt-bl+1-...~bi.
Если мы построим прямоугольный треугольник с катетами Ь и &3) т0
его гипотенуза будет равна *Jb + Ь. Если мы построим прямоугольный
треугольник с катетами Jb + b и b$, то его гипотенуза будет равна
»? + *§) + Щ = у/щ + Ч + Я
Если мы построим прямоугольный треугольник с катетами у/Щ+Ь^+Щ и
&4, то его гипотенуза будет равна
у/%+ % + % + %,
и так далее, в результате чего после к таких шагов будем иметь отрезок
с = у/Ь + ... + Ь| и еще после п — к шагов отрезок d — Jb+l + ... + &£.
Теперь построим прямоугольный треугольник по гипотенузе с и катету d,
тогда второй катет будет иметь искомую длину
Vc>-<P = ftl + ... + bl-bl+i -...-£■
► Задача 5. Даны отрезки с длинами а, Ь, с. Построить отрезок, длина
которого равна ~.
Решение. Возьмем какой-нибудь прямой угол с вершиной О. Возьмем на
одном из его лучей точки С и А (точка С должна лежать между точками
А и О), а на другом луче точку В так, чтобы было
ОС = с, СА = а, иОВ = Ь.
Проведем через точку А прямую, параллельную ВС. Если М — ее точка
пересечения с лучом ОВ, то отрезок ВМ — искомый.
Действительно, тривиальное рассмотрение подобных треугольников
АОМ и СОВ дает
С " Г! W а0
- = —— <=4> ВМ = —,
а ВМ с
У

358
Глава 7. Планиметрия
что и требовалось.
► Задача 6. Даны отрезки с длинами а, Ь, с, d, e, /, д. Построить отрезок,
имеющий длину y0-
Решение. Нужно три раза применить результат задачи о:
, , , аЬ тг • с abc 7T ' ^ abed
a,b,c,d,e,f,g^> — ,c,d,/,fl-> -*-— = —-,d,g -> = —т-,
e J ef g efg
и задача решена.
► Задача 7. Даны отрезки с длинами виб. Построить отрезок длины аЬ.
Решение. Возьмем отрезок АВ длины а и отложим на прямой АВ за точку
В отрезок ВС — Ь. На отрезке АС построим окружность как на диаметре.
Через точку В проведем перпендикуляр к прямой АВ. Пусть он пересек
окружность в точке М. Тогда отрезок ВЫ искомый (докажите это сами,
опять используя подобие).
► Задача 8. Дан отрезок длины а и угол, равный а. Построить отрезки
длины а а
a cos а, а sin а, , — , atga, actga.
cos a sin a
Решение. Построим прямоугольный треугольник по катету о и
прилегающему к нему острому углу а. Тогда гипотенуза будет равна j^Ta > а ВТ°Р°И
катет — atga. Если мы построим прямоугольный треугольник по
гипотенузе а и острому углу а, то его катеты будут равны a sin a и a cos a.
Наконец, если мы построим прямоугольный треугольник по катету а и
прилегающему к нему острому углу ^ — а, то второй катет будет равен
actga, а гипотенуза— ^— и все требуемые отрезки, наконец, построены.
► Задача 9. Дан отрезок длины а и угол, равный а. Построить отрезки
длины a/sma и -=—.
Решение. Мы можем построить отрезок длины a sin a, а, значит, согласно
задаче 7, отрезок длины
/ : г~.
v a • a sin a = a v sm a,
и половина задачи решена.
Мы можем построить отрезок a^/cosa = у/а • a cos a, а также, согласно
задаче 5, отрезок длины
а ■ а а
a^/cos a y/coi~a'
и наша задача полностью решена.
► Задача 10. Построить угол, равный трем градусам.
Решение. При помощи построения равностороннего треугольника
строится угол, равный 60°. Поделив его пополам, получим угол, равный 30е. Еще
один раз произведя деление пополам, будем иметь угол, равный 15°.

Урок 34 [3]. Построения циркулем и линейкой 359
Покажем, как построить угол, равный 18°. Для этого, заметим, что
2 ( 2  3
sin -тг = sin тг — -тг I = sin -тт.
5  5 / 5
Воспользовавшись формулами для синуса двойного и тройного углов,
получим:
. 7Г 7Г 7Г п 7Г
2 sin - cos - = 3 sin 4 sin" - <=>
5 5 о 5
<=> 2 cos - = 3 - 4 sin2 - - 4 cos2 1 <=>
5 5 5
i к к
«=► 4 cos 2 cos 1 = 0,
5 5
откуда, с учетом положительности cos |г, находим, что cos j = * 4 -.
Возьмем произвольный отрезок — пусть его длина равна а. Развитая
в предыдущих задачах техника позволяет легко построить отрезок с =
—^— ■ а. Построим прямоугольный треугольник по катету а и гипотенузе
с. Тогда косинус острого угла между сторонами а и с будет равен 1^* =
cos тг, откуда следует, что и сам этот острый угол равен | = 36°. Поделив
его пополам, получим угол, равный 18°. Ранее мы построили угол 15°.
Совсем легко проводится построение вычитания одного угла из другого,
отсюда и получаем угол, равный 18° — 15° = 3° и наша задача решена.
Замечание, Ясно, что, имея угол, равный 3°, мы можем построить любой
кратный ему угол, т.е. 39°, 57°, 153° и т.п.
► Задача 11. На плоскости нарисован угол, равный 19°. При помощи
циркуля и линейки разделить его на 19 равных частей.
Решение. Задача равносильна построению угла, равного одному градусу.
Предыдущая задача показывает, как построить угол 18°. Теперь остается
вычесть из данного угла в 19° построенный угол, равный 18°.
Вы еще не осознали, что теперь уже можете построить циркулем и
линейкой практически любое алгебраическое выражение? Надеюсь, что
следующие две задачи помогут вам это понять.
► Задача 12. Даны отрезки с длинами a,b,c.d. Построить отрезок,
имеющий длину
labc2+d4
V V + cd '
Решение. Согласно задаче 7, мы можем построить отрезки fcd и -Jab.
Значит, можно и построить отрезок, имеющий длину

360
Глава 7. Планиметрия
Из результата задачи 5 следует, что мы можем построить отрезки длиной
yah ■ с d-d
Р= /„ и Ч =
Vb2 + cd Vb2+cd'
Следовательно, мы можем построить и отрезок
гъ о /abc2 + d4 ,
</* + * = V-wr*-'1,
а это и требовалось.
► Задача 13. Дал отрезок длины а и углы, равные а и /?. Построить отрезок,
равный
cos^ a + y/sm a sm р
Решение. Сначала заметим, что а, а —> a cos а —* о cos а ■ cos а = а cos2 а.
Далее,
о, а, Р —» ал/sin а —► a/sin а ■ /sin /3 = <z/sinasinp
Значит, мы можем построить отрезок
b — o(cos2 a + /sin a sin /?).
Аналогично, но проще строятся отрезки a(cos2a + tg/3) и actg2/?. Задача
5 позволяет построить отрезок
а ■ a sin /3 sin /3
= о
a(cos2 a + tg /3) cos2a+tg/3
Теперь, с помощью задачи 7 строим отрезки
/ sin/? /sin/? , n „
c=Wa-a-—-= —— = a«/ = ——rnd = c + actg /3.
у cos2a+ tg/? у cos2 a + tg/3
Наконец, с помощью задачи 5 можем построить отрезок 2р, который,
как легко проверить, является искомым.
► Задача 14. Построить окружность, касающуюся данной прямой / и
проходящую через две данные различные точки А и В, лежащие по одну сторону
от этой прямой.
Решение. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Отрезок АВ параллелен прямой I.
Ясно, что центр окружности обязан лежать на серединном
перпендикуляре s к отрезку АВ. Построим этот серединный перпендикуляр, и пусть
он пересекает прямую / в точке Я. Если бы нам был известен радиус R
искомой окружности, то мы бы могли отложить его от точки Н (в ту
полуплоскость, где лежат точки А и В) и получить ее центр. Пусть F —
середина отрезка АВ. Пусть h — (известная нам) длина отрезка FH и

Урок 34 [3]. Построения циркулем и линейкой 361
AF — FB — а. Если центр О искомой окружности лежит ниже отрезка
АВ, то из равенства FO + ОН = FH получаем уравнение на R:
(1) у/R2 -a2 + R = h <=^ Jr? -a2 = h-R.
Если же точка О лежит выше отрезка АВ, то имеем ОН — FH — OF, и
опять получаем уравнение на Я:
(2) R - JR? -a2 = h <=> y'R2-a2 = -{h-R).
Отсюда следует, что, вне зависимости от расположения центра окружности,
ее радиус удовлетворяет уравнению
R2 _ а2 = (h _ Д)2 ^ R2-a2 = h2 + R2-2Rh <=> R= °~^-,
откуда видно, что в первом случае задача всегда имеет, и притом
единственное решение. Конечно же, развитая нами техника позволяет, имея
отрезки а и h, легко построить отрезок R — а ^ . Надо, правда, еще
доказать, что так найденное R удовлетворяет условию задачи. Напомню, что
2 . i 2
мы ведь рассуждали так: пусть R удовлетворяет условию. Тогда R — ° £~hl .
Но вдруг так найденное R не годится.
Пусть мы нашли R по указанной формуле. Тогда либо Я ^ h, либо R^h.
Пусть, например, R <^ h. Тогда R удовлетворяет уравнению (1), которое
легко приводится к виду
Л2 = а2 + [h - Я)2,
а это уравнение как раз показывает, что квадрат расстояния от точки О до
точки А (правая часть уравнения) равен квадрату радиуса, вычисленного
как расстояние от точки О до прямой /, а это как раз и требуется в задаче.
Аналогично, с применением формулы (2), рассматривается случай, когда
R^h.
Случай 2. Прямая АВ пересекает прямую I в точке L. Если бы нам
была известна точка Н касания искомой окружности с прямой I, то мы
бы однозначным образом восстановили ее центр, проведя через точку Н
перпендикуляр к прямой I, и отыскав его пересечение с прямой s.
По теореме о секущей и касательной имеем
(3) LH2 =LALB <t=» LH = si LA ■ LB.
Отрезки LA и LB нам известны, так что мы можем и построить отрезок
LH. Этот отрезок, как мы видим, всегда можно построить. Однако,
отложить его от точки L можно двумя способами: так, чтобы точка Н
была то ли слева, то ли справа от точки L. Каждое из таких откладываний
с последующим нахождением центра даст решение задачи. Это, кстати, так
же, как и в первом случае, требует доказательства, так как мы рассуждали
доселе, считая точку Н известной и в этом предположении нашли длину
отрезка LH. Однако, никакое из наших рассуждений не доказывает, что,

362
Глава 7. Планиметрия
если мы найдем LH таким способом, то точка Н будет искомой, т.е.
отрезки ОН и О А будут равны (и тогда они автоматически будут равны
отрезку О В).
Итак, пусть длина LH вычислена по формуле
(3). Нам надо доказать, что О А = О В — ОН,
при этом достаточно установить, что О А = ОН.
Пусть F — как и прежде, середина отрезка АВ
(см. рис. 1) Тогда по теореме Пифагора АО2 =
Рис. 1 AF2 + F02 и FO2 = LO2 - LF2, откуда
получаем, что АО2 = AF2 + L02 - LF2 = L02 - {AF + LF){LF - AF) =
= LO2 -LALB = LO2 - LH2 = OH2,
и все доказано. Заметим, что для наших рассуждений в доказательстве не
играло роли, слева, или справа от точки L находится точка Н, так что в
этом случае, действительно, имеются два решения.
► Задача 15. Построить треугольник по стороне а, медиане ть, проведенной
к другой стороне и радиусу R описанной окружности.
Решение. По теореме синусов имеем 2 ?А = R, так что нам известен синус
угла А, равный ^. Отсюда заключаем, что, если а > 2R, то задача
решений не имеет; если а = 2R, то угол А равен 90°; если а < 2R, то
либо А
arcsm ^.
arcsin ^, либо а — тг
В каждом из указанных случаев мы можем построить угол, равный А,
строя прямоугольный треугольник с гипотенузой 2R и катетом а (если
а < 2R).
Считая угол А заданным, построим на одной из его сторон точку С
и точку Mi, являющуюся серединой отрезка АС. Для числа k = —
построим геометрическое место точек Р таких, что -^- = к. Мы знаем
из задачи 10 урока 33, что получится либо прямая (при А; = 1) либо
окружность (если к ф ). При этом ее радиус равен п^гут, где d = СМ.
Приведенная выше техника легко позволяет построить этот радиус, так же,
«1.2
как и центр, отстоящий от точки С на расстояние -§п ■ Эта окружность
может пересекать вторую сторону угла либо в одной точке, либо в двух,
либо вообще не пересекать (в последнем случае решений у исходной задачи
не будет).
Пусть существует точка пересечения В указанной окружности со
второй стороной угла. Отложим на этой стороне от точки А отрезок АВ,
равный с = aBAQl ■ Проведем через В прямую параллельно Bid. Пусть она
пересечет луч АС в точке С. Тогда треугольник ABC — искомый.

Урок 34 [3]. Построения циркулем и линейкой 363
Действительно, его сторона ВС находится из подобия треугольников
АВСн АВхСх:
ВС В А а- АВХ
В^ ВХА BiA-Bid
ВС = а.
Осталось доказать, что медиана ВЫ в треугольнике ABC равна ть- Из
подобия треугольников ABC и АВС следует, что
ВЫ а , . _.. BiMi mb
ВМ = а ■ — а ■ — = ть,
ВМг В^ Bid a
что и требовалось доказать. Искомый треугольник построен. Провести
исследование на предмет существования решений и их количества можно,
разобрав все возможные случаи пересечения построенной окружности со
второй стороной угла.
Существование решения равносильно одновременному выполнению двух
условий: существованию угла А (что бывает в точности при ^ ^ 1), и
существованию пересечения построенной окружности со второй стороной
угла.
Я приведу сразу результат исследования ввиду
большой чисто вычислительной безыдейной
работы. Геометрическая часть исследования
проводится следующим образом. Если диаметр окружности,
лежащий на стороне угла не содержит его вершину
(это бывает при а < ть и при а > 2ть), то угол А Рис. 2
не может быть тупым, или прямым, а вторая прямая начнет пересекаться с
окружностью при достаточно малом А. Граничная ситуация (окружность
касается второй прямой) изображена на рис. 2.
Из рисунка видно, что прямая пересекает вторую сторону угла, если
и только если его синус (равный ^) не превосходит отношения радиуса
окружности к расстоянию от ее центра до вершины угла (т.е. синуса
соответствующего угла в изображенном прямоугольном треугольнике).
При ть < а ^ 2ть диаметр окружности
содержит вершину угла. Равенство sin Л = ^
дает два возможных значения угла: А — arcsin ^
и А = 7Г— arcsin^. При каждом из этих углов
пересечение окружности со второй стороной угла
непусто (рис. 3), так что задача имеет два
решения. Рис. 3

364
Глава 7. Планиметрия
Теперь уже можно привести результат исследования.
1. Если а > 2R, то решений нет.
2. Если а = 2R, то А — -| и единственное решение имеется только при
ть < а ^ 2ms,.
3. Пусть а < 2R. Тогда, если
3.1. а < ть, то решение есть только для острого угла А, причем оно
единственно при а рл
2R = 2fc2 + fc-2'
и имеются два решения при , 2
Й К
<
2R 2к2 + к
ПРИ а к2
>
2R 2к2 + к~2
решений нет.
3.2. Если ть < а ^ 2пц, то есть два решения, причем одно для тупого и
одно для острого угла А.
3.3. Если а > 2гпъ, то решение есть только для острого угла А, причем
оно единственно при а д,2
Ж
и имеются два решения при
При
решении нет.
Напомню, что к = —.
2fc2
2fc2
-А-
к2
-к-
к2
-2'
-2'
а
а
2R> 2к2~к
► Задача 16. Построить треугольник по периметру Р, углу Л и стороне Ь.
Решение. Эту задачу можно решить и вычислительным путем, но я хочу
привести красивое геометрическое решение. Из неравенства треугольника
(а + с > Ь 4=^ а + Ъ + с > 2Ь) следует, что если 6 ^ у, то решений
нет. Оказывается, что если Ь < у, то у задачи существует единственное
решение.
Возьмем угол, равный А с вершиной А. Пусть С —■ точка на одной
из сторон такая, что АС =■ Ь. Пусть R точка на луче АС со свойством
AR — у, a Q — точка на другом луче угла А с AQ — у. В точке R
восстановим перпендикуляр к лучу АС, а в точке Q — перпендикуляр к
лучу AQ. Пусть О — точка пересечения этих перпендикуляров. Проведем
окружность радиусом OQ. Тогда она будет вписана в угол А. Из точки С
уже проведена одна касательная CR к данной окружности. Проведем еще
одну касательную из точки С, которая пересечет луч AQ в точке В. Тогда
треугольник ABC — искомый.

Урок 34 [3J. Построения циркулем и линейкой 365
Л,
А^
О
С R
Рис. 4
Действительно, пусть Г — точка касания ВС
с окружностью (рис. 4). Тогда BQ — ВТ и СТ —
CR. Отсюда следует, что
АВ + АС + ВС = АВ + АС + BQ + CR = 2 ■ ЛЯ =
= 2 ■ у — Р, т.е. построенный треугольник —
искомый.
Из построения ясно, что решение при указанных выше условиях
существует. Единственность доказывается следующим образом:
Пусть ABC — искомый треугольник. Если провести биссектрисы углов,
смежных к углам В и С, то они пересекутся в какой-то точке О. Легко
видеть, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и АС, т.е. является
центром вневписаннои окружности. Проведем эту окружность с точками
касания как на рис. 4. Опять, используя равенство касательных,
проведенных из одной точки, докажем, что AR = AQ — у, и, следовательно,
треугольник, построенный как мы указали, совпадет с треугольником ABC, и
задача полностью решена.
Наш урок окончен. Оценка по стандартным критериям.
Домашнее задание
* 1—21. Построить треугольник по
1. а, Ъ,тс;
2. а,Ь,та;
3. а,Ь,1с
4. а, Ъ, hc
5. a,b,ha
6. mb,mc,a;
7. ть,та,а;
8. K,hb,c,
9. ha,hb,a;
10. ma,mb,mc;
11. ha,hb,hc;
lZ. Па, la, 1Ha,
13. ma,mb,hc;
14. ma,mb,ha;
15. ha,hb,mc;
16. ha,hb,ma;
17. ha-,hb,lc;
18. a,ma,ha;
19. a,mb,ha;
20. a,ma,hb;
21. a,mb,hb.

366
Глава 7. Планиметрия
*■ 22. Построить треугольник ABC, зная три точки P,Q,R, в которых
высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины С, пересекают
описанную окружность.
► 23. Построить треугольник ABC, зная положение трех точек Ai,Bi и Ci,
являющихся центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
► 24. Построить четырехугольник ABCD по четырем сторонам и углу
между АВ и CD.
► 25. Через вершину А выпуклого четырехугольника ABCD провести
(циркулем и линейкой) прямую, делящую его на две равновеликие части.
► 26. Даны три точки А, В, С. Построить три окружности, попарно
касающиеся в этих точках.
*■ 27. Даны две точки Л и В и окружность S. Провести (циркулем и
линейкой) окружность, проходящую через точки А и В и касающуюся
окружности S.
*■ 28. Построить точки X иУ на сторонах АВ и ВС треугольника ABC так,
что АХ = ВУ и ХУ || АС.
► 29. На плоскости задан произвольный треугольник ABC и равносторонний
треугольник PQR. Построить равносторонний треугольник, вершины
которого лежат на сторонах треугольника ABC, а стороны
параллельны сторонам треугольника PQR.
► 30. Даны вершины А и С равнобедренной описанной трапеции ABCD
(AD || ВС); известны также направления ее оснований. Постройте
вершины В и D.

Глава 8
Задачи с параметрами
Урок 35
Квадратные уравнения и неравенства
Задачи с параметрами нам изредка уже встречались (см. уроки 5 и 11).
Но в этой главе мы рассмотрим их систематически. Абитуриента, который
берется за подобную задачу, поджидает несколько трудностей. Первая
состоит в том, что ни в каких (часто даже физико-математических) школах
такие задачи решать не учат, поэтому надо действовать на свой страх и
риск. А это очень не просто, так как среднему школьнику часто трудно
даже понять условие задачи такого типа. К примеру, как подступиться
к задаче, в которой сказано: «Решить уравнение такое-то для любого а»?
Многие мои ученики в этом случае задают мне вопросы типа: «Это как?
— Подставить какое-нибудь а и решить?*
Приведенный вопрос иллюстрирует вторую существенную трудность —
логическую. Увы, правильное логическое мышление от природы не дается,
— его у себя надо развивать даже людям, способным к математике. И это
нелегко. Подготовьте себя морально к серьезной борьбе с собой. Работу
на этом уроке проводите обычным образом, но обратите серьезнейшее
внимание на оформление ответа. Именно ответы проиллюстрируют вам
то, что задача действительно, решена для всех а. Начиная с шестой задачи,
следите, чтобы у вас в ответе были перебраны все возможные а (у кого-то
сейчас возникнет вопрос: «Как же это сделать? Ведь число всевозможных
а бесконечно!» Но, посмотрев на ответы к задачам, вы увидите, что
абсолютно все а рассмотрены). Ну и само собой, вступительный материал,
который я сейчас приведу, должен быть освоен идеально.
Сегодня мы рассматриваем задачи на квадратный трехчлен, зависящий

368
Глава 8. Задачи с параметрами
от параметра. Это самый простой тип таких задач. Но все равно,
сегодняшнего урока нам не хватит для того, чтобы все пройти. Мы разберем
только решение уравнений и неравенств, задачи на теорему Виета, и
простейшие логические задачи.
1. (Необязательно квадратные) уравнения (или неравенства) называются
эквивалентными или равносильными, если множества их решений
совпадают.
► 1. Каким может быть множество решений квадратного уравнения?
квадратного неравенства?
2. Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет корни тогда и только тогда, когда
D = Ь2 - 4ас ^ 0.
3. Корнями квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с называются корни (если
они существуют) уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
4. Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет при а ф 0 не более двух корней.
► 2. А когда оно может иметь больше двух корней?
5. (Теорема Виета). Пусть дано уравнение ах2 + Ьх + с = 0 и а ф 0. Если
zi ИЖ2 — различные его корни, то
(х1+х2 = -±
I хгх2 = f
Если это уравнение имеет единственный корень Х, то теорема Виета
остается верной, если положить х2 = х.
6. {Частный случай теоремы Виета). Если уравнение х2 + рх + q = 0
имеет различные корни х и х2, то
х + ж2 = —р
э?1 ^2 = q
Если это уравнение имеет единственный корень х, то, если положить
х2 — жъ указанные равенства будут выполняться.
7. Если уравнение z2 + pa: + q = 0 имеет различные корни zi и Ж2, то
имеет место тождество х2 + рх + q — (ж — жх)(ж — жг).
Если имеется единственный корень жц, то ж2 + рж + g = (ж — х)2.
8. Если уравнение аж2 + Ьж + с = 0 имеет при а ф 0 два различных корня
Ж1 и Ж2, то имеет место тождество ах2 + Ьх + с = а(х — х{){х — х2).
Если имеется единственный корень х, то аж2 + Ьх + с = а(ж — xi) .
9. В частности, если известно, что х и х2 — корни квадратного
уравнения с ненулевым коэффициентом при ж2, то это уравнение можно записать
в виде ж2 — (ж1 + х2)х + Ж1Ж2 = 0. Обратите внимание, что х и Ж2 здесь —
конкретные числа, а ж — переменная.
10. Не рецептом, но помощью против логических трудностей при
решении задач с параметром можно считать выучивание наизусть фразы

Урок 35. Квадратные уравнения и неравенства 369
о том, что требуется найти в задаче, и повторение ее (скажем,
100 раз) до тех пор, пока она сама неотвязно не будет вертеться
в голове. Эта вертящаяся в голове фраза (я далее дам примеры) поможет
рассуждать в нужном направлении.
► Задача 1. Найти все числа рис/ такие, что корни уравнения х2 +px + q = О
равны р и q.
Решение. Пусть р и q удовлетворяют условию задачи. Тогда согласно
теореме Виета имеем
Г p + q = ~p (P = 0 (р = 1
< -Ф=> < или <
I РЧ = q U = О W = -2
Еще надо проверить, что обе эти пары удовлетворяют условию — ведь
мы нашли их, предположив, что они таковы, как требуется. Это делается
просто подстановкой.
Ответ: р = q = 0, или р = 1, q = —2. <
► Задача 2. Найти все значения а, при которых сумма квадратов корней
уравнения
аг-аж + а + 7 = 0
равна 10.
Решение. Для того, чтобы сумма квадратов корней уравнения чему-то
равнялась, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего
уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
а2 - 4(а + 7) ^ О <=> a G (—оо, 2 - 4л/2] U [2 + 4Л/2, +оо).
При таких а у исходного уравнения найдутся (возможно совпадающие)
КОРНИ Xi И Х2-
Г Xi + Х2 = а
Запишем для них теорему Виета: < . Теперь, не вычисляя
L XiX2 = а + 7
корней, можно найти сумму их квадратов через а:
х + х = (zi + z2)2 - 1хлх2 = а2 - 2(а + 7).
Согласно условию, эта сумма квадратов равна 10, откуда получаем
квадратное уравнение а2 — 2(а + 7) = 10 <=> а = 6, —4.
Легко видеть, что при а = 6 дискриминант исходного уравнения
отрицателен, а число а = —4 подходит.
Ответ: а = — 4 •«
► Задача 3. При каких а корни х,Х2 уравнения х? + ах + 1 = 0 таковы, что
W W 2
Решение. Корни имеются, если и только если дискриминант D = а2 — 4
неотрицателен. Это имеет место только при а ^ 2. Так же, как и в

370
Глава 8. Задачи с параметрами
предыдущей задаче, мы можем найти указанное выражение от корней, не
находя самих корней:
?± + f^l - Х+Х2 _ 4 , 4 _ ,2 , г2ч2 _ «22 _
Х2) +xj ~ АА -^l+^-^l+^J ^1*2"
= (fri + х2)2 - 2)2 - 2 = (а2 -2)2-2
— мы неоднократно воспользовались тем, что, по теореме Виета, имеем
ххх-2 = хх — 1 и х + хч — —а. Нам остается решить неравенство
С-*>*-»<5~«(-^ + ;^
Учтя условие на дискриминант, получаем
Ответ: а £ (-^2 + ^, -2 U [2, ^2 + ^) . ^
► Задача 4. При всех а решить уравнение ах2 — 2х + 4 — 0.
Решение. Если а = 0, то уравнение не является квадратным и легко
решается — в этом случае х = 2.
При а ^ 0 уравнение становится квадратным, и его решения зависят от
дискриминанта D — 22 — 4-4- а = 4- 16а. Если дискриминант отрицателен
(это равносильно тому, что а > j), то уравнение не имеет решений.
Если D = 0 <=>■ а = j, то уравнение имеет единственный корень х — 4.
Если D > 0 •£=>■ а< j, то уравнение имеет два корня
1 - ^1-4а 1 + >/1-4а
Ж1 — и Жз = .
а а
Ответ: если а > |, то решений нет; если а = ~, то я: = 4; если а < |,а ^ 0,
то есть два корня,
1 - VI - 4а 1 + VI - 4а
Xl и Х2 .
а а
если а = 0, то х = 2. <
► Задача 5. При всех а решить неравенство
(1 - а2)х2 + 2ах + 1 ^ 0.
Решение. Исследуем сначала случай, когда неравенство не является
квадратным, т.е. когда 1 - а2 — 0 <=>■ а — ±1.
Если а = 1, то 2£ + 1 ^ 0 •*=> ж ^ -§.
Если а = -1, то —2ж +1^0 <==> х ^ ^.
Пусть теперь 1 — а2 > 0 -ф=>- а е (—1,1). В этом случае у параболы
ветви идут вверх, причем, если она имеет корни xi,X2, x < х2, то
неотрицательна при х £ (—oo,a;i] U [х%, +оо). Если корней у параболы нет, то она
неотрицательна при всех х.

Урок 35. Квадратные уравнения и неравенства 371
Корни имеются при D = (2а)2 - 4(1 — а2) ^ О
если а е (_1,--^)и(^,1), то
а ^ 4=. Значит,
х е
-ею,
-о - У2а2 - 1
1-а2
U
-а + У2а2 - 1
__
,+ос
Если а < 4?,то любое ж будет решением данного неравенства.
Нам остался случай, когда 1 — а2 < 0 <$=Ф а > 1. Заметим, что тогда
дискриминант автоматически больше нуля, так что, с учетом того, что
ветви у параболы идут вниз, получим, что решения исходного неравенства
лежат между корнями соответствующего квадратного трехчлена.
Последний подводный камень здесь — это возможность неправильно определить,
какой из двух корней больше. Числитель, очевидно, больше там, где
радикал взят со знаком плюс. Но знаменатель отрицателен, так что больше тот
корень, где у радикала стоит знак минус. Значит, в этом случае
х е
-а + /2а2 - 1 -а - л/2а2 - 1
1-а2 ' 1-а2
Ответ: если а — 1, то х ^ —^; если а = —1, то х ^ ; если а > 1, то
х е
-а + V2a2 - 1 -а-/2а2-1
1-а2
если а е (-1,-4=)U(-±=,1), то
1
72J
■у/2'
х е —сю,
V2a2
U
-а + У2а2 - 1
1-а2
-, со
если а < -4s, то ж — любое число. -4
► Задача 6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
(а - 2)г2 - 2az + 2а - 3 = 0
имеет корни и определить знаки корней.
Решение. И в этой задаче теорема Виета позволяет обойтись без
вычисления корней. Корни имеются, когда дискриминант
D = (2а)2 - 4(а - 2)(2а - 3) ^ 0 <=> 1< а ^ 6.
Если D ) 0 и а- 2^0, то уравнение имеет корни xi,x-2 (быть может,
совпадающие) такие, что
х + х2 =
ХХ2 -
2а-3
а-2 ~'~' а-2
Выражение -^ч^ неотрицательно, если и только если а ^ 0 или a ^ 2, а
2а~3 > п
а-2 ^ U
ае (-оо,|]и[2,+оо).

372
Глава 8. Задачи с параметрами
Заметим теперь, что по знакам произведения и суммы чисел можно
определить знаки этих чисел, не находя их. Например, если произведение х±Х2
отрицательно, то х и x<i имеют разные знаки. Если х%2 > 0, то оба
корня либо положительны либо отрицательны, причем они оба положительны,
если их сумма положительна и отрицательны, если х + хч < 0.
При 1 ^ а < | сумма корней отрипательна, а произведение
положительно, т.е. они оба отрицательны. Если | < а < 2, то произведение корней
отрицательно, так что один из них положителен, а другой — отрицателен.
(То, что сумма корней при таких а отрицательна, означает, что
отрицательный корень по модулю больше, чем положительный, — впрочем, это
наблюдение условие задачи нас делать не обязывает).
Наконец, если 2 < а ^ 6, то и сумма и произведение положительны, т.е.
оба корня положительны.
Ответ: уравнение имеет корни при 1 ^ а ^ 6. При 1 ^ а < | оба корня
отрицательны; при а = § один корень равен нулю, а второй отрицателен;
при | < а < 2 корни имеют разные знаки; при а = 2 есть лишь один корень
х = |; при 2 < х ^ 6 оба корня положительны. <
► Задача 7. При каких а уравнение (1 + а)х2 + Зах — 1 = 0 имеет единственное
решение?
Решение. Если а = — 1, то получается линейное уравнение, которое имеет
единственный корень х = — |. Если а ф —1, то получаем квадратное
уравнение, которое имеет единственный корень только при
D = (За)2 + 4(1 + а) = 0 4=> 9а2 + 4а + 4 = 0 <=> 0,
так как дискриминант получившегося квадратного уравнения
относительно а отрицателен, и новых а этот случай не дает.
Ответ: а = — 1. <
► Задача 8. При каких а уравнения
(1 - а)х2 + 2х - 4а = 0 и ах2 - 4х + 4а = 0
равносильны?
Решение. Проще всего выяснить, когда уравнения равносильны, имея
пустое множество решений каждое. Это имеет место, если дискриминант
каждого из уравнений отрицателен, т.е.
1 + 4а(1 - а) < 0 Г 4а2 - 4а - 1 > 0
4 - 4а2 < 0 <=^ 1 а2 > 1
Последняя система легко решается: а е (—со, — 1) U (2"|"2л> , +оо)
мы
обвели наиденные а, так как все они входят в ответ.

Урок 35. Квадратные уравнения и неравенства 373
Предположим теперь, что при некотором а уравнения равносильны и
хотя бы одно из них имеет корень xq . Тогда Xq является корнем и другого
уравнения и имеют место равенства
(1 - a)xl + 2х0 - 4а = О
axl - 4х0 + 4а = О
У нас получилась система уравнений относительно хо и а. Сложив первое
уравнение со вторым, получим уравнение Xq — 2х0 — О, не содержащее а.
Отсюда заключаем, что либо Xq — О, либо а;0 — 2. В первом случае а = О и
исходные уравнения принимают вид х2 + 2х = 0 и — 4х — 0. Ясно, что эти
уравнения не равносильны, так что а — 0 не подходит.
Если хо = 2, то из первого уравнения системы находим, что а — 1. При
этом исходные уравнения имеют вид
2х - 4 = 0 и х'2 - Ах + 4 = 0.
Каждое из них имеет единственный корень х = 2, т.е. они эквивалентны и
а = 1 подходит.
Ответ: а е (-оо,-1) U (2±|^,+оо), а = 1. <
► Задача 9. При каких значениях а существует такое Ь, что неравенство
а +&>о
втх
выполнено хотя бы для одного х?
Решение. Эта задача относится к тем, где требуется «железная» логика.
Фраза, которая должна все время крутиться в голове должна быть такой:
«Я ищу такое число а, что найдется число Ь, для которого указанное
неравенство выполняется».
После этого вы поймете, что годятся любые а. Действительно, пусть
нам дано произвольное а. Если мы положим Ь = а + 1, то неравенство
будет выполняться при х = |. Действительно, при х = f оно принимает
вид а + а + 1 > 0, т.е. выполняется. Мы доказали, что для
произвольного а нашлось х (а именно, равное ^), для которого данное неравенство
выполнено. Значит, все а годятся.
Ответ: при всех вещественных о. <
► Задача 10. При каких значениях а существует такое Ъ, что неравенство
а
+ Ь>0
smx
выполнено для всех х Ф пп, п G Z?
Решение. Здесь, после того, как вы хорошо усвоите формулировку, вы
догадаетесь, что годится только а — 0. Докажем это.

374
Глава 8. Задачи с параметрами
Если а = 0, то при Ь — 1 левая часть тождественно равна единице, так
что неравенство выполняется. Пусть а ф 0. Мы должны доказать, что не
найдется такого Ь, что исходное неравенство выполняется при всех х.
Осознайте, что это равносильно тому, что для любого Ь найдется такое
х Ф пп, п G Z, что -т^—Ь Ь ^ 0.
' ' ' sin х ^
Итак, пусть для определенности о > 0 и выбрано произвольное Ь. Мы
найдем х ф тгп, п G Z, при котором исходное неравенство не будет
выполняться. Рассмотрим два случая.
Случай 1. |£| ^ 1. Тогда 0 < ||| ^ 1 и определено х = — arcsin | ф
шг, n e Z. Легко проверить, что при этом х левая часть нашего неравенства
равна нулю, т.е. оно не выполняется — так что мы нашли обещанное х.
Случай 2. | -1 < 1. Тогда при х = — | левая часть неравенства равна
а ( — 1 + -) < 0 и опять требуемое х найдено.
Таким образом, если а > 0, то для любого b найдено такое х, что
исходное неравенство не выполняется. Аналогичным образом рассматривается
случай а < 0.
Ответ: при а — 0. <
Задача 11. При каких Ь найдется а такое, что неравенство
-— + Ь> 0
выполнено при всех х ф пп, п € Z?
Решение. Если b > 0, то, если положить а — 0, в левой части неравенства
будем иметь Ь для всех ж т^ пп, п £ Z, т.е. все положительные Ь годятся.
Ни одно Ь < 0 не входит в ответ, потому, что тогда либо при х — ^ либо
при £ = — ^ левая часть неравенства отрицательна (проверьте это сами),
так что оно выполняется не при любом х.
Ответ: Ь > 0. 4
Наш урок окончен. Оценка ставится стандартно.
Домашнее задание
1. При каких а сумма квадратов корней уравнения х'2 — ах + а + 1 — 0
больше 1?
2. При каких а сумма кубов уравнения х2 — х + а = 0 меньше или равна
1?
3. При каких а сумма четвертых степеней корней уравнения х2 — х + а
больше или равна 1?
4. Дано уравнение х2 + 7х + 3 = 0. Пусть x-i,X2 — его корни. Составить
квадратное уравнение с корнями у и j/2, где
У! =х + х22, уз = х + %-

Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена 375
► 5. Дано уравнение ах2 + Ьх + с, а ф 0 с корнями ii и Z2. Составить
квадратное уравнение с корнями
1 1
У1 = —, У2 = —■
X X2
► 6. При каких а сумма квадратов корней уравнения х2 — 4ах + 5а = 0 равна
6?
► 7. Для всех а решить неравенство ах2 + х + 1 > 0.
► 8. Для всех а решить неравенство х2 + ах + 1 > 0.
► 9. Для всех а решить неравенство х2 + х + а > 0.
► 10. Для всех а решить неравенство аж2 + (а + 1)ж + 1>0.
► 11. При каких т уравнение (т - Z)x2 -бж + т + 5 = 0 имеет корни?
Исследовать их знаки при различных т.
► 12. При каких т уравнение Зтх2 — (7т + 1)х + 2т + 1 = 0 имеет корни?
Исследовать их знаки при различных т.
► 13. При каких а сумма квадратов корней уравнения х2 + ах + а —3 — 0
минимальна? максимальна?
► 14. Найти все а, при которых уравнения х2+ах+1 — 0тих2+х + а = 0
имеют хотя бы один общий корень.
► 15. Дано неравенство ах + к2 > 0. При каких значениях а оно выполнено
при всех х и к"?
► 16. Дано неравенство ах + к2 > 0. При каких значениях а найдутся такие
х и к у что оно выполняется?
► 17. Дано неравенство ах + к2 > 0. При каких значениях а найдется такое
х, что оно выполняется при всех к?
► 18. Дано неравенство ах + к2 > 0. При каких значениях а найдется такое
к, что оно выполнено при всех ж?
► 19. Дано неравенство ах + к2 > 0. При каких значениях к оно выполнено
при всех z и а?
► 20. Дано неравенство ах + к2 > 0. При каких значениях к найдется такое
а, что оно выполнено при всех х?
Урок 36
Расположение корней квадратного
трехчлена в зависимости от параметра
На этом уроке наша цель — научиться распознавать положение
квадратной параболы на плоскости в зависимости от ее коэффициентов. Полную
информацию о нем дает представление параболы f(x) = ах2 +Ьх + с, а ф 0
в виде

376
Глава 8. Задачи с параметрами
(1)
№=а[х+-
+
Аас - Ъ2
Аа
Эта формула уже приводилась на уроке 25. Там же описаны основные
характеристики параболы, позволяющие построить ее график. Я напомню
их, поскольку мы будем не только применять их в другом контексте, но и
развивать для достижения целей сегодняшнего урока.
1. Прямая х = xq = — т^- — ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Формула (1) показывает, что точка (хо,уо) является
вершиной параболы, где уо = /(#о) = Аас4~ь .
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы — если
а > О, то вверх, если а < 0, то вниз.
3. Дискриминант D = Ь2 — Аас показывает, пересекается ли парабола с
осью абсцисс. При а > О, D < 0 парабола «висит» над осью Ох (рис. 1).

тУ
О
-х

О
У
х1
Ч
J ,
У*г х
х=х„
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Если а > 0 и D = 0, то парабола касается сверху оси Ох (рис. 2).
Если а > 0 и D > 0, то парабола пересекает ось Ох в двух точках —
корнях параболы (рис. 3)
4. Если а < 0 и D < 0, то парабола «висит» под осью Ох (рис. 4). В
случае, когда а < 0 и D = 0 она касается оси Ох снизу (рис. 5). В случае,
когда а < 0 и D > 0 парабола пересекает ось Ох в двух точках х и Х2,
являющихся ее корнями (рис. 6).
*=Х„
О
Рис. 4
О
О
Рис. 5
Рис. 6
Указанные свойства парабол позволяют доказать следующие факты,
касающиеся расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена 377
На третьем уровне достаточно хорошо запомнить эти факты, на первом и
втором необходимо уметь доказывать их.
5. Пусть f(x) = ах2 + Ьх + с и М — точка на оси абсцисс. Тогда оба
корня х и Х2 трехчлена f(x) будут строго меньше М, если и только если
выполняются следующие условия:
( а > 0 а < О
D ^ О D ^ О
или <.
х0 < т  xq < М
f(M) > 0  f{M) < О
Здесь f(M) = аМ2 + ЬМ + с — подстановка М вместо переменной
квадратного трехчлена. Ситуация проиллюстрирована на рисунках 7 и 8.
6. Если М — какое-то число, то Х < М < х% в том и только том случае,
когда а ■ f(M) < 0 (рис. 9).
I
Рис. 7

о
У

х"У
чЛУ 1
'f(M)
ri ■>
Рис. 8
}
У
/
1
Т^
хо
м
(М)
Рис. 9
а<0, f(M)>0
а>0, f(M)<0
/  «Ml
f(M)
7. Оба корня трехчлена j{x) больше некоторого числа М, если и только
если
см. рисунки 10 и 11.
а> 0
xq > М
ДМ) > о
или
Г,
<0
хо > М
f(M) < 0
Рис. 10 tv
Рис. 11 ty
Рис. 12 ту
Рис. 13 Ту
Рис. 14 ty
Рис. 15
о
У
f(M)
Л1
П^
Л N х

378
Глава 8. Задачи с параметрами
■ а<0
х0 € (М, N) ,
ДМ) < О
ДЛО < О
8. Оба корня Xi,x2 квадратного трехчлена f(x) лежат на интервале
(M,N), если и только если
' а> О
D SO
х0 е {M,N) или
ДМ) > О
№) > о
(см. рисунки 12 и 13).
И, наконец, отрезок [М,N] целиком лежит в интервале (zi,3^) тогда и
только тогда, когда а • ДМ) < 0 и я • f{N) < 0 (см. рис. 14 и 15).
Я, разумеется, перечислил не все возможные случаи. Но тот, кто понял
приведенные утверждения, вполне способен выписать систему уравнений и
неравенств, характеризующих какое-то еще расположение корней
квадратного трехчлена на вещественной оси. Теперь можно приступать к решению
задач.
► Задача 1. При каких а оба корня уравнения
х2 - бах + 2 - 2а + 9а2 = О
больше трех?
Решение. Коэффициент при х2 у нас положителен, так что наша ситуация
отображена на рис. 10. Учитывая то, что хц = За, j = 9а2 — 2 + 2а — 9а2 =
2а — 2 и /(3) = 9а2 — 20а + 11, получаем систему условий на а, равносильную
исходной задаче:
( 2а - 2 5? О
I
< За > 3
( 9а2- 20а + 11 > О
Решение ее не составляет труда.
Ответ: а > Ц-. ■*
► Задача 2. При каких а оба корня уравнения х2 — ах + 2 = 0 лежат на
интервале (0, 3)?
Решение. В этой задаче коэффициент при х2 также положителен. Значит,
наша ситуация отражена на рисунке 12 и задача эквивалентна следующей
системе. ( » „ ^ „
а
" f €(0,3)
_ 9 - За + 2 > 0
Решается эта система просто.
Ответ: 2у/2 ^ а < у,
I

Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена 379
► Задача 3. При каких а один корень уравнения ах2 + х + 1 =0 больше 2, а
другой корень меньше 2?
Решение. На рисунке 9 изображена ситуадия, указанная в нашей задаче.
Условие ее эквивалентно неравенству
а/(2) < 0 <=> а(4о + 2 + 1) < 0 <=>
а€(~И'
и наша задача решена.
Ответ: — | < а < 0. .
►■ Задача 4. При каких а неравенство ах2 + (а + 1)х — 3 < 0 выполняется при
всех х < 2?
Решение. Главное, что характеризует квадратную параболу — это
коэффициент при х2. У нас он зависит от параметра, поэтому надо разобрать
три случая.
Случай 1. а < 0. Если D = а2 + 14а + 1 < 0, то трехчлен отрицателен
при всех £ и, в частности, при х < 2. Поэтому, все решения неравенства
D < 0 пойдут в ответ: о G (-7 - 4-/3, -7 + 4>/3) I-
Если D ^ 0, то парабола пересекает ось Ох и та
ее часть, что находится выше оси Ох должна вся
быть правее точки 2 (см. рис. 16). Рисунок
подсказывает нам, что в этом случае трехчлен будет
отрицателен при всех х < 2 если и только если
■/Т
/(2)^0
ае [-7 + 4^3,0).
/Ц2)
Рис. 16
V
Ясно, что оно
Мы получили еще один кусок ответа: a G [—7 + 4-/3. 0)
Случай 2. а ~ 0. Получаем неравенство х — 3 < 0
выполнено при всех х < 2 (и даже при всех х < 3), так что и | а — 0
годится.
Случай 3. а > 0. Мы уже видели, что в этом случае дискриминант
уравнения положителен, т.е. уравнение имеет корни х hi2, причем ХХ2 —
— | < 0. Значит, xi < 0 (мы считаем, что Xi — меньший корень). Отсюда
уже видно, что ни одно положительное а не годится, так как Xi < 0 < 2,
но /(^l) — 0, так что неравенство f(x) < 0 не выполняется для некоторого
х < 2 (а именно, для ж = xi).
Ответ: а <= (-7 - 4/3,0]. «
* Задача 5. При каких я из К 1 следует, что 1 — ах2 ^ 0?
Решение. Если а < 0, то 1 — ах2 ^ 0 для любого ж, а не только для х < 1,
так что все эти а входят в ответ.

380 Глава 8. Задачи с параметрами
Если а > 0. то для Хо = — J- — 1 имеем
1-axl = 1-а1- + 2л/- + 1 ) = -2у/а - а < 0,
причем жо < 0 < 1. Значит, для любого а > 0 найдется жо < 1 такое, что
1 — аз;2, < 0. Отсюда следует, что ни одно такое а не годится.
Ответ: а ^ 0. <
► Задача 6. При каких а из 1 — аз;2 ^ 0 следует, что х < 1?
Решение. Если а ^ 0, то 1 — аз:2 ^ 0 для всех ж, и, в частности, для х = 1,
так что из того, что 1 — аз:2 ^ 0 не следует что х < 1.
Пусть а > 0. Тогда решения неравенства 1 — ах2 ^ 0 представляют
собой отрезок [— лА, л/^-j. Для того, чтобы выполнялось условие задачи,
он должен целиком лежать в области х < 1. Ясно, что это имеет место
только тогда, когда *А < 1 <=> а > 1.
Ответ: а > 1. -4
► Задача 7. При каких а уравнение 41 +а-4х — а — 1 = 0 имеет решение?
Решение. Пусть А" = у. Тогда исходное уравнение перепишется в виде
у2 + ау - а - 1 = 0 <=> (у - 1)(у + а + 1) = 0.
Уравнение А" = 1 не имеет решений, так как i не может равняться нулю.
Следовательно, исходное уравнение имеет решения если и только если имеет
решение уравнение 4х = —а — 1.
j.
Уравнение 4х = —а — 1 имеет решение только при —а — 1 > 0, —а — 1^1.
Ответ: а < —1, а ф —2. <
► Задача 8. При каких а неравенство
sin4 х + cos4 x > a sin x cos x
выполнено при всех х?
Решение. Преобразуем сначала левую часть неравенства:
sin4 х + cos4 x — (sin2 x + cos2 з:)2 — 2 sin2 x cos2 x = 1 — - sin2 2z.
кроме того, его правая часть равна | sin 2x. Если мы обозначим sin 2x через
у, исходное неравенство примет вид
(2) 1 - у2 > у <^ у2 + ау - 2 < 0.

Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена 381
Поскольку sin2:z: может принимать любые значения из отрезка [—1,1],
исходное неравенство выполняется при любых х если и только если
неравенство (2) выполняется при любых у G [—1.1].
Наша ситуация изображена на рисунке 14 при М = — 1, N — 1. Она
имеет место, когда а удовлетворяет следующим условиям:
/(1) = 1 + а-2<0
{
■ • ае(-1,1),
/(-1) = 1-а-2<0 ^ '
и наша задача решена.
Ответ: а £ (-1,1). <
► Задача 9, Решить неравенство л/ах ^ х + а при всевозможных а.
Решение. Наше неравенство эквивалентно следующей совокупности:
" ( ах ^ (а + х)2
1а+х>0
Г ах ^ О
Да + КО
Решим первую систему неравенств:
ах ^ (а + ж)2 Г х2 + ах + а2 < О
<=> { <=> а = х - О,
а + £ ^ О [ а + ж^О
так как первое неравенство имеет отрицательный дискриминант при а ф 0.
Вторая система решается совсем просто — надо рассмотреть три случая:
а < 0, а = 0 и а > 0. В первом и втором годятся все х < 0, а в третьем
решений нет.
Ответ: если а > 0, то нет решений; если а < 0, то х ^ 0. 4
► Задача 10. При каких а область значений функции у = ах2+х+1 содержит
отрезок [—1,1]?
Решение. Если а = 0, то получаем функцию у = х + 1, область значений
которой равна всей прямой. Значит а — 0 годится. Если а > 0, то область
значений параболы есть луч [уо,+ос), где у0 = ^р- Этот луч содержит
отрезок [—1,1], если и только если
Аа - 1 1 1
мы учли, что о > 0 и умножили неравенство на 4а.
Аналогичным образом, если а < 0, то областью значений параболы будет
луч (—со, уа]. Он содержит отрезок [—1,1] тогда и только тогда, когда
4а - 1
уо = —:—- ^ 1 <=> 4а - 1 ^ 4га Ф=Ф -1 < 0, -
4а

382
Глава 8. Задачи с параметрами
здесь мы выполнили умножение на отрицательное число 4а, заменив знак
неравенства. Ясно, что все а < 0 подходят.
Ответ: а ^ . <
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.
Домашнее задание
► 1. Найти все а, при которых квадратный трехчлен
р{х) = {а2 - 1)х2 + 2(а - 1)х + 1
положителен при всех х.
► 2. При каких а оба корня уравнения (2 — а)х2 — Ъах + 2а = О больше 1/2?.
► 3. При каких а оба корня уравнения (2+а)х2-2ах + 3а — 0 положительны?
► 4. При каких а оба корня уравнения х2 + 4ах + (1 — 2а + 4а2) = 0 меньше
-1?
► 5. При каких а один из корней уравнения
[а2 + а + 1)х2 + (2а - 3)х + а - 5 = О
больше 1, а другой меньше 1?
► 6. Существуют ли такие а, что корни уравнения х2 + 2х + а = 0 различны
и лежат между —1 и +1?
► 7. При каких а оба корня уравнения ах2 - (а + 1)х + 2 = 0 по модулю
меньше 1?
► 8. При каких а оба корня уравнения х2 — ах + 2 = 0 лежат на интервале
(0,3)?
► 9. При каких т неравенство х2 +тх +т2 + 6т < 0 выполняется при всех
are (1,2)?
►10. При каких т неравенство тх2 — 4х + Зт + 1 > 0 выполнено при всех
ж>0?
► 11. При каких а неравенство (а — 1)х2 + (2а — 3)ж + (а — 3) > 0 выполнено
хотя бы при одном х < 1?
► 12. Найти все а, при которых оба корня уравнения х2 + х + а = 0 больше
а.
► 13. При каких т из неравенства ж2 — (Зт+ 1)ж + т > 0 следует, что х > 1?
► 14. При каких р уравнение sin2 х + psinx = р2 — 1 имеет решения?
► 15. При каких т€ (—1,1) уравнение 4?тх + т ■ 2sinx + т2 - 1 = 0 имеет
решения?
► 16. Существуют ли а такие, что неравенство
4|соМ + 2(2а + ц . 2|со*х| + 4я2 - 3 < 0
выполнено при всех х?
► 17. При каких а из неравенства ах2 — х + 1 — а < 0 следует неравенство
0 < х < 1?

Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность 383
►18. Найти все а такие, что если х удовлетворяет неравенству
ах2 + (1 - а2)х - а > О,
то х ^ 2. v ;
► 19. Найти все а, при которых из неравенства х2 — а(1+а2)х+аА < 0 следует
неравенство х2 + 4х + 3 > 0.
►•20. При каких а неравенство sin6 х + cos6 x + asinx cosx ^ 0 выполнено для
всех х?
► 21. При каких а уравнение
<1 + °>(т^) -3-^т+4«=°
имеет корни?
► 22. Для каждого а решить уравнение х + у/х — а.
► 23. Для каждого а решить уравнение
+ 2о — + 1 = 0.
л/ж / ЛЁ
► 24. При каких у неравенство
2 log j у2 - 3 + 2х logi у2 - х2 > 0
имеет решения?
►
25. Для каждого а решить уравнение у/а(2х — 2) + 1 = 1 — 2а
Урок 37
Логические задачи. Необходимость и
достаточность
На этом уроке мы продолжим работу над задачами, зависящими от
одного или нескольких параметров. Это — уравнения, неравенства или системы,
про которые, в зависимости от параметров, нужно будет что-то выяснить.
Это «что-то» будет практически тем же, что и для квадратных трехчленов,
т.е. будет ли решение единственным, будет ли вообще оно существовать,
будет ли данная система (уравнение, неравенство) эквивалентна какой-то
другой и т.п.
Пусть дана система уравнений (или неравенств) с двумя переменными,
зависящая от параметра, причем требуется отыскать все значения
параметра, при которых она имеет единственное решение. Часто срабатывает
следующий прием: экспериментируя, находим, что, если (жо,уо) —
решение системы, то и ( —хо,уо) — тоже ее решение (не обязательно будет так,
что решение останется решением при замене знака xq, может быть, это
произойдет при замене у0 на уо + 1 и т.п. — поиск такой закономерно-

384
Глава 8. Задачи с параметрами
сти и назван экспериментированием). Далее рассуждаем так: пусть
параметр^) таков(ы), что система имеет единственное решение (х0,уо)- Тогда
(—хо,у0) — тоже решение системы, совпадающее с (а;о,уо) (ибо последнее
единственно). Значит, хо — — Xq Ф=*> хо — 0 и уже можно подставить
Хо = 0 в данную систему и найти уо и параметр(ы). После этого
необходимо убедиться, что найденные значения параметров удовлетворяют условию
задачи. Для этого их надо подставить в исходную систему и проверить,
будет ли решение (zo,yo) единственным.
Если требуется найти значения параметров, при которых два данных
уравнения (зависящие от параметров) эквивалентны, то чаще всего надо
угадать корень одного из них и подставить в другое. Это часто позволяет
найти параметры, которые потом еще необходимо проверить на предмет
выполнения условий задачи.
Если логическое высказывание про а нестандартно, надо стремиться
упрощать его, разбивая на объединение более простых, следя за тем, чтобы
совокупность этих более простых высказываний логически была в точности
эквивалентна рассматриваемому.
Часто полезно воспользоваться методами, приведенными на уроке 25 и
нарисовать на плоскости множество решений данного уравнения
(неравенства, системы). Тогда логические высказывания о свойствах уравнения
(неравенства, системы) можно перевести на геометрический язык и понять,
как решать задачу. Вот пример такого перевода: каждое решение одной
системы является решением другой, если и только если множество решений
первой системы, нарисованное на плоскости, целиком лежит в множестве
решений второй системы.
► Задача 1. Даны три утверждения: (а) уравнение х + ^ — а не
имеет корней; (б) справедливо равенство Jc? — 4а + 4 — 2 — а; (в) система
Г х + у2 = а
< ,2 имеет единственное решение.
^ х — sin у — —3
При каких а два из утверждений (а)-(в) истинны, а одно ложно?
Решение. Первым дело здесь надо упростить каждое из утверждений (а)-
(в), заменив его на эквивалентное. Начнем с (а).
Уравнение х + ^ = а равносильно уравнению х ~°a:+I = 0. Последнее
не имеет корней если и только если либо числитель не имеет корней,
либо имеет единственный корень, равный нулю (чего не бывает). Значит,
условие (а) эквивалентно тому, что дискриминант уравнения х2 — ах + 1
отрицателен, т.е. а2 — 4 < 0 '^=> а € (—2, 2).
Условие (б) есть просто уравнение относительно а. Решив его, найдем,
что (б) эквивалентно тому, что а ^ 2.
Предположим, что а таково, что система из (в) имеет единственное
решение (xq, уо). Ясно, что тогда и (xq, —уо) — тоже решение этой системы,

Урок 31. Логические задачи. Необходимость и достаточность 385
совпадающее с {хо,уо) ввиду единственности последнего. Значит, уо =
—Уо ^=^ Уо = 0. Подставляем это значение уо в систему, получим, что
Г х0 + 0 — а
< -£=> хп = а = —3.
1 х0 - 0 = -3
Теперь нужно проверить, что при о — — 3 система имеет единственное
решение. Но в самом деле, если мы вычтем второе уравнение из первого
(подставив в первое а = —3), то получим у2 + sin2 у = 0. Сумма квадратов
равна нулю, если и только если каждое из слагаемых равно нулю. Итак,
(-3,0) есть единственное решение системы при а = -3 и мы установили,
что (в) эквивалентно а — — 3.
Давайте теперь сообразим, когда два утверждения из (а)-(в) истинны, а
одно ложно. Это может быть в одном из трех случаев.
Случай 1. (а) ложно, а (б) и (в) истинны. Истинность (в) означает, что
а — —3, истинность (б) равносильна тому, что а ^ 2, а ложность (а)
эквивалентна |о| ^ 2. Ясно, что названные условия выполнены одновременно
только при | а = —31.
Случай 2. (б) ложно, (а) и (в) истинны. Значит, одновременно, а =
—3, а < 2 и а > 2. Понятно, что таких а не существует.
Случай 3. (в) ложно, (а) и (б) истинны. Значит, одновременно должно
быть а ф —3, а < 2 и а < 2, что имеет место тогда и только тогда, когда
Qg (-2,2)1-
Ответ: a G (-2,2), а = -3. <
*• Задача 2. Найти все пары (а,Ь) такие, что любая пара (х,у),
удовлетворяющая уравнению | — а удовлетворяет уравнению (х + у)2 = Ь.
Решение. Пусть а и Ь таковы, как требуется в условии задачи. Пары (а, 1)
и (2а, 2) удовлетворяют первому уравнению. Следовательно,
(а +1)2 = (2а + 2)2 - Ь «=> (а + I)2 = 4(а + I)2 = Ь <=> а - -1, Ь - 0,
так как Ъ = 4Ь ■*=> Ь = 0.
Итак, условие задачи столь сильно, что только а — — 1, Ь = 0 могут
подойти. Но при а — -1 имеем х = -у и (х + у)2 = 0 = о, т.е. условие
задачи выполнено. Значит, имеем
Ответ: а — —1, 6 = 0. <
► Задача 3. При каких а система
Г 2|х1 + х = у + х2 + а
х2 + у2 = 1
имеет единственное решение?

386
Глава 8. Задачи с параметрами
, -, у = 1, а = 0 или у — — 1, а = 2.
Решение. Пусть а таково, что наша система имеет единственное решение
(з^ьУо)- Легко видеть, что тогда и пара (-а-0,Уо) также будет решением
системы. Отсюда следует, что хц — 0. Подставляем это значение в систему:
2° + 0 = у + 0 + а
0 + у2 = 1
Проверим, годится ли а = 0. При таком а имеем систему
Г 21х1 + |з;| = у + х2
х2+у2 = 1
Из второго ее уравнения заключаем, что х ^ 1 и у ^ 1. Значит, х ^ х2
и 2'^' ^ у, причем, если хотя бы одно из этих неравенств является строгим,
то сложив их, получим 2lxl + |:r| > у + х2, тогда как у нас имеет место
равенство. Отсюда следует, что х = х2 и 2^ — у, что возможно только
при х = 0 и у = 1, т.е. наша система действительно, имеет единственное
решение а — 0 годится.
f 2H + |:r|=s/ + z2 + 2
При а = 2 система принимает вид < , . Она, как
t эг + у - 1
легко убедиться, имеет, как минимум, два решения (0,-1) и (1,0).
Следовательно, а — 2 в ответ не идет.
Ответ: а — . <
► Задача 4. При каких а уравнение
2 sin7 х ~ (1 + sin 7га) sin х + a sin x
равносильно уравнению
(a-l)(l + cos2z) + 2sin6a; = 2sm2:E + 2(a- l)3.
Решение. Легко видеть, что первое уравнение имеет своими решениями
такие х, что sin х = 0, т.е. х = шг, п G Z. При таких х имеем cos2 x = 1,
и, подставляя найденные значения синуса и косинуса во втрое уравнение,
получим 2[а — 1) = 2(а — I)3, откуда
а ~, 0-2 — 0, аз — 2.
Проверим, какие из найденных а подходят.
Пусть а — 1. Тогда первое уравнение принимает вид
2 sin7 х — sin z + sin3 z <=Ф> sin z(sin2 x — 1) (2 sin4 x + 2 sin2 ж + 1) = 0,
что равносильно совокупности равенств sin ж = 0, sinz = 1, sin x — — 1, так
как последний сомножитель не дает решений ввиду отрицательности его
дискриминанта.
Второе уравнение при а = 1 имеет вид 2 sin6 x = 2 sin2 x, откуда sin x =
±1 или sin ж = 0, т.е. второе уравнение равносильно первому и | а = 1
обводим как часть ответа.

Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность 387
Пусть а — 0. Тогда первое уравнение принимает вид
2sin' х = sinх <==> sinх = 0 или sinz = ±
Второе уравнение при а — 0 приобретает вид
-1 - cos2 х + 2 sin6 a- = 2 sin2 x - 2 <^=> 2 sin6 z = sin2 х •*=>
•4=^ smic = 0 или sinz = ±W-,
откуда видно, что оно не эквивалентно первому, т.е. а = 0 не годится.
Пусть а = 2. Тогда первое уравнение примет вид
2 sin7 х — sin a; + 2 sin3 ж -<=>- sin z(2 sin6 ж - 2 sin2 x — 1) — 0.
Докажем, что получившееся уравнение эквивалентно sin а; = 0. В самом
деле, sin2 a: G [0,1] и потому sin6 ж = (sin2 z)3 ^ sin2 x. Значит, 2 sin6 а; —
2 sin i ( 0 и, следовательно, 2 sin х — 2 sin х — 1 < 0, т.е. уравнение
2 sin а: — 2 sin х — 1 — 0 не имеет решений. Итак, первое уравнение
равносильно тому, что sin a: = 0.
Второе уравнение при а — 2 имеет вид
1 + cos2 х + 2 sin6 x - 2 sin2 a; + 2 <=> 2 sin6 ж = 3 sin2 x,
и, ясное дело, эквивалентно уравнению sin а: = 0, т.е. а = 2 тоже входит в
ответ.
Ответ: а — 1 и о = 2. «
* Задача 5 [3]. Найти все а, при которых минимум функции
fix) = 3|ai-a| + х2 +х-2
меньше 2.
Решение. Эта задача требует достаточно кропотливого решения. Тем не
менее, его можно провести, если четко видеть цель. Я попытаюсь не только
решить эту задачу, но и по ходу дела объяснять, как надо «видеть цель».
Как же подступиться к этой задаче? Ясно, что надо раскрывать модули.
Первый модуль определяется числом а, которое может быть каким угодно.
Зато раскрытие второго модуля зависит только от нулей трехчлена х2 +
х — 2, т.е. от чисел —2 и 1. Теперь понятно, что если мы знаем, как
расположено а по отношению к названным числам, то модули раскрыть
будет легко. Поэтому мы будем решать исходную задачу для трех случаев.
Случай 1. а ^ —2. Раскроем последовательно модули:
а) если х ^ а, то
/О) = За - Зх + х2 + х - 2 = х2 - 2х + За - 2.
Тогда f'{x) = 2х — 2 < 0 при х ^ а < 1, т.е. f(x) убывает на этом
промежутке.
&

388
Глава 8. Задачи с параметрами
б) если а ^ х ^ —2, то
f(x) = Зх - За + х2 + х - 2 = х2 + 4ж - За - 2.
Тогда /'(ж) = 2а: + 4 ^ 0 при х ^ -2, т.е. f{x) убывает и на отрезке [а, -2].
в) если — 2 ^ х ^ 1, то
/(а:) = За: - За - х2 - х + 2 = -ж2 + 2а: - За + 2.
Тогда f'{x) = -2х + 2 = -2{х - 1) > 0 и f(x) возрастает.
г) если х ^ 1, то
f{x) = Зх - За + х2 + я; - 2 = а:2 + Ах - За - 2.
Тогда /'(ж) = 2а: + 4 > 0 и опять /(ж) возрастает.
Поведение функции в этом случае изображено на рис. 1.
а -2 1 -2 а 1
Рис. 1 Рис. 2
Рисунок показывает нам, что минимум функции f(x) достигается в
точке х = —2 и равен /(—2) = —За — 6. Этот минимум должен быть меньше
2, откуда получаем, ™ _3а-6 < 2 *=* а >-.
Вспоминая, что мы рассматриваем случай а ^ — 2, получаем первый кусок
ответа
а £ (~|,-2]
Случай 2. — 2 < а ^ 1. Раскрываем модули так же, как и в первом
случае:
а) если а: ^ —2, то
f{x) = За - Зх + х2 + х - 2 = х2 - 2х + За - 2.
Тогда f'{x) = 2х - 2 < 0 и f(x) убывает.
б) если —2 ^ х ^ а, то
/(ж) = За - Зх - ж2 - ж + 2 = -а:2 - Ах + За + 2.
Тогда f'(x) = —2х — А = —2(ж + 2) < 0, т.е. на этом промежутке f(x) также
убывает.
в) если а ^ х ^ 1, то
/(ж) = За: - За - х2 - ж + 2 = -z2 - 4ж + За + 2.
Тогда f'{x) = -2ж + 2 = -2(аг - 1) > 0 и /(а:) возрастает.
г) если а: ^ 1, то
f(x) = За; - За + ж2 + х - 2 = х2 - 2ж + За - 2.
Тогда /'(а:) = 2ж - 2 > 0 и f(x) возрастает.

Урок 31. Логические задачи. Необходимость и достаточность 389
Иллюстрация поведения функции изображена на рис. 2. Рисунок
показывает, что минимальное значение принимается в точке а и равно /(а) =
—а2 — а + 2. Согласно условию,
-а2 - а + 2 < 2 <=> а2 + а > 0 <=> а < -1 или а > 0.
Отсюда заключаем, что в ответ пойдут два промежутка: a G (—2,-1) и
ае (0,1].
Случай 3. а > 1. Раскроем последовательно наши модули.
а) если х ^ —2, то
/(ж) = За - Зж + х2 + ж - 2 = х2 - 2х + За - 2.
Тогда /'(ж) = 2х — 2 < 0 и f(x) убывает.
б) если — 2 < х < 1, то
/(ж) = За - Зж - ж2 - х + 2 = -ж2 - 4х + За 4- 2.
Тогда /'(ж) = — 2х — 4 < 0 и /(ж) убывает.
в) если 1 ^ х ^ а, то
/(z) = ж2 -2ж + За-2.
-2 1 a
Тогда /'(ж) = 2х - 2 > 0 и /(ж) убывает.
ч - Рис. 3
г) если х ^ а, то
/(ж) = Зж - За + ж2 + х - 2 = ж2 + Ах - За - 2.
Тогда /'(ж) = 2ж+4 > 0, так что /(ж) возрастает. Эскиз поведения функции
в этом случае изображен на рис. 3. Он показывает, что минимум функции
достигается в точке 1 и равен /(1) = За — 3. По условию,
За-3<2 «=► ж< -.
о
Учитывая рассматриваемый случай, получаем 1 < а < |. Теперь осталось
полученные три части ответа сложить в кучу.
Ответ: a G (-§, -1) U (0, §)
<
*■ Задача 6. Изобразить на плоскости Оху все точки (ж,у), для которых
существует хотя бы оно t такое, что выражение
sin2 t cos2 ж + cos2 t sin2 ж + - sin 2ж sin 2t + 2(cos 2ж + cos y)
отрицательно.
Решение. Воспользовавшись формулами эт2ж = 2 sin ж cos ж и sin2£ =
2 sin t cos t, обнаружим, что первые три слагаемых представляют собой
квадрат выражения sin tcosx + cos t sin x = ain(t + x^
т.е. исходное выражение равно
(sin(i + ж))2 + 2(соэ2ж + cosy).

390
Глава 8. Задачи с параметрами
1
Если £ и у таковы, что 2(cos2:r + cosy) неотрицательно, то и исходное
выражение неотрицательно при любом t, т.е. такие я; и у не подходят. Если
же 2(cos 2х + cos у) < 0, то при t = —х исходное выражение равно 2(cos 2х +
cosy), т.е. отрицательно. Итак, мы доказали, что искомое множество есть
множество всех пар (х, у) таких, что
2(cos 2х + cos у) = 4 cos (х + ^ J cos (х - -) < 0. -Ф=>
Г cos (х + f) > 0 Г cos (ж + f) < 0
<==> ^ ) { или { ; 2' <=>
(. cos (х - |) < 0 I cos (ж - |)
Г -7Г + 4Аж < 2ж + у < тг + 4Л:7Г ( тг + 4Аж < 2ж + у < Зтг + 4for
или < ,
тг + 4ттг < 2ж — у < Зтг + 4ттг [ —тг + 4ттг < 2х — у < тг + 4ттг
где тп и А; пробегают все целые числа.
Ответ: искомое множество изображено на
рис. 4. По оси абсцисс точки идут с шагом
^, по оси ординат — с шагом тт. Изображено
семейство прямых
у = ±тг+4А;тг—2х, у = ±п+4кп+2х, k,m e Z,
и заштрихованы ромбы, которые (не включая
их границы) и составляют искомое
множество. -4
рис. 4 * Задача 7 [2]. При всех а решить уравнение
{х + 2){х + 4) + 5(я? + 2)а/^Ц - (а + 2)(а - 3) = 0
и найти, при каких а оно имеет единственное решение.
Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из х > —2 и из
ж ^ —4. При таких ж выражение (х + 2)(х + 4) неотрицательно, так что
можно ввести новую переменную у = у/(х + 2)(ж + 4).
Найдем сначала все решения уравнения, большие, чем —2. Если ж > —2,
то /7+Т /(ж + 2)2(ж + 4) /7 — -
{Х +4x^2 = 4 х + 2 W(« + 4)(» + 2)=y.
С учетом этого, наше уравнение принимает вид
у = а-3
у = -2-а
Вспоминая, что у нас у неотрицательно, заключаем, что при а е (—2,3)
решений нет. Если а ^ 3, то -^/(ж + 2){х + 4) = а — 3 <=>■ ж = — 3 ±
^(а-з)2.
Мы ищем только ж > —2, так что при а = 3 решений нет, а при а > 3
нужно выбрать ж = — 3 + ^/1 + (а — З)2.
у2 + 5у-(а + 2)(а-3) = 0

Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность 391
Аналогично, при а — — 2 решений нет, а при а < —2 находим, что
х = -3 + у/1 + {а + 2)2.
Займемся теперь поиском всех х таких, что х ^ —4. В этом случае
„. 1х + 4 /(ж+ 2)2(аг + 4) ,. —
(I + 2)V^T2°-V х + 2 W(* + 4)(s + 2) = -y,
откуда имеем уравнение
У2-5у-(а + 2)(а-3) = 0 4=* У = -° + 3
у = 2 + а
Оно уже имеет решения при любых а. Если а < —2, то
(1) у/{х + 2)(х + А) = 3 - а <^=* ж = -3 - v;l + (3 - а)2.
Мы выбрали знак минус, поскольку ищутся только х < -4.
Если —2 ^ а ^ 3, то значение а:, найденное по формуле (1), все еще
будет подходить, но к нему нужно будет присоединить решение уравнения
у = а + 2:
(2) у/{х + 2)(х + 4) = а + 2 <=» дг = —3 — Л + (а + 2)2.
Наконец, если а > 3, то будем иметь только решение, даваемое формулой
(2).
Теперь уже видно, как решить исходное уравнение при любых а. Сделать
это — значит, найти при данном а как х < —4, так и х > —2.
Случай 1. а < —2. Тогда среди х > — 2 будет только одно значение
х = — 3 + у/1 + (а + 2)2, а из х ^ —4 в ответ войдет только х — — 3 —
Vl + (a-3)2.
Случай 2. —2 ^ а ^ 3. Тогда среди х ^ —4 будут два решения —
х = —3 — у/1 + (а — З)2 и ж = —3 — -^/1 + (а + 2)2. Решений среди х > —2 не
будет.
Случай 3. а > 3. Тогда будем иметь одно решение, большее, чем —2,
и одно, не превосходящее —4, т.е. яг — — 3 + у/1 + (а — З)2 их = —3 —
^/1 + (а + 2)2.
Указанный разбор случаев дает нам решение исходного уравнения для
любого а. Осталось ответить на вопрос, когда имеется единственное
решение. Ясно, что в первом и в третьем случаях имеется два решения, одно из
которых > —2, а другое ^ —4. Во втором случае решения могут совпадать,
только если
-3-у/1 + {а-3)2 = -3-^1 +(а + 2)2 «=> (а-3)2 = (а + 2)2 <=> а=-.
Ответ: Если а < -2, то х = -3 + у/l + (а + 2)2 и х = -3 - л/l + (а - З)2.
Если -2 < а < 3, то ж = -3 - у/1 + (а - З)2 и ж = -3 - >/1 + (а + 2)2.
Если а > 3, то зг = -3 + ^/1 + (а - З)2 их = -3- V1 + (о + 2)2.
Решение единственно при а = . <

392
Глава 8. Задачи с параметрами
► Задача 8 [2]. Найти все а, при которых система
( |бу/ cos J -5| + |l2^cos^ + l|- ll — 6д/со8^| =5- (sin ^^£2)'
1П ОС^.2 _,_ Со, 2 _ о /„.2 _i_ f„, „2 _ 8
имеет хотя бы одно решение
10 - 9(z2 + (у - а)2) = З^2 + (у - а)2 9
Решение. Если мы обозначим выражение £2 + (у — а)2 через z, то получим
уравнение относительно z:
чЯ~{
, 10 - 9г)2 = 9г - 8
10-92 = 3i/«-r <=> <! <=> * = 1.
10 - 9z > 0
Значит, можно переписать второе уравнение системы в виде
z2 + (y-a)2 = l.
Теперь займемся первым уравнением. Обозначим через z выражение
/
cos ^. Тогда 0 ^ z ^ 1 и левая часть уравнения равна
{5-6z+12z+l+6z-l = 12z+5 при г < J
5-6z+12z+l-6z+l = 7 при  ^ z ^ |
6z-5+12z+l + l-6z = 12z-3 при г ^ §.
В первом случае раскрытия модулей левая часть не меньше 5, во втором и в
третьем — не меньше 7. Ясно, что правая часть уравнения не превосходит
. ж(у - 2х) п тх
5 и может равняться пяти только при sin — = 0. Из приведенного
раскрытия модулей следует, что левая часть может равняться пяти только
при z = 0.
Мы доказали, что первое уравнение эквивалентно системе
[cos^ = 0 ( ^ = § +шг, neZ j y = 4n + 2, n<=Z
sin Ilv^ll = о ^  lil^xl = кп, к е Z ^ I у - 2ar = 12ft, ft e Z "
Окончательно находим, что
Г ж = 2А; - 6п + 1 ,
{ , fc,n e Z.
I у = 4А; + 2
Из х2 + (у — а)2 = 1 следует, что |ж| ^ 1. Учитывая, что к и п — целые
числа, получаем, что либо 2к — 6п = 0 <=>■ А; = Зга, либо 2А; — 6п = —2 <=>■
А; = Зп — 1. В любом случае х2 = 1, так что (у — а)2 = 0 <=> у — а.
Из у = 4А: — 2 = а получаем, что либо а = 12А: + 2, либо а = 12fc — 2. Из
того, что все приведенные преобразования были эквивалентными, следует,
что для таких а исходная система действительно имеет решение, а именно,
если а = 12А* ± 2, то х = ±1,у = а есть решение исходной системы.
Ответ: а = 12к - 2, а = Ш + 2, A; G Z. 4
1

Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность 393
► Задача 9. Найти все х < 1, удовлетворяющие неравенству
при всех ве (|;2) .
Решение. Если ж таково, как требуется в задаче, то х > 0 — иначе
основание логарифма не определено. Кроме того, при указанных хна основание
логарифма меньше единицы, так что исходное неравенство эквивалентно
тому, что
^_ + 1>^_tIl ^ (г-3)(М-3)>0.
Но последнее неравенство выполняется при любых х € (0,1) и a G (|,2),
так как зг — 3<0иазг — 3<0.
Ответ: 0 < £ < 1. •*
► Задача 10. Для каких а неравенство log_i (х2 + 2|а|) > 0 выполнено при
всех х1
Решение. В область допустимых значений указанного неравенства входят
только а > —1, афО. Если а > 0, то основание логарифма меньше единицы
и исходное неравенство эквивалентно х2 + 2а < 1. Последнее неравенство
обязано выполняться при любых аг, чего никак не может быть — возьмите
хотя бы х = 1. Значит, ни одно а > 0 не годится.
Пусть — 1 < а < 0. Тогда при любых х обязано выполняться неравенство
х2 + 2а > 1. Если подставить х = 0, то получим 2а > 1 «=» — 1 <
а < — . С другой стороны, ясно, что при таких а последнее неравенство
выполняется при любых х.
Ответ: — 1 < а < — . <
► Задача 11. При каких а, Ъ,с и d уравнения ху — 1 и
аху + Mg(A2 + 1 + ж) = с + dlg(va^ + l — х)
эквивалентны?
Решение. Легко проверяется, что /х2 + 1 — ж = и, следова-
ух2 + 1 + а;
тельно, —, -
gWx2 + l-x) = -lg(Vz2 + l + ;r),
так что второе уравнение переписывается в виде
аху + [Ь -- d)g{Jх2 + 1 + яг) = с.
Первое уравнение имеет своими решениями пары (1,1) и ( — 1,-1). Если
второе уравнение эквивалентно первому, то эти пары есть также и его
решения. Подставляя их, получим
Г a + (b + d)lg(>/2 + l) = c
I o + (b + d)lg(>/2-l) = c.

394
Глава 8. Задачи с параметрами
Мы знаем, что lg(-/2 + 1) + Ig(-/2 — 1) = 0, так что, сложив полученные
уравнения, получим, что а = с. Подставляя а вместо с в первое уравнение,
получим (Ь + d) lg(-/2 + 1) = 0, откуда Ь = — d, так как логарифм не равен
нулю.
Мы доказали, что если исходные уравнения эквивалентны, то второе из
них имеет вид аху = а. Ясно, что обратное тоже верно при а ф 0.
Ответ: при я = с^0,иЬ = —d. <
Наш урок окончен. Оценка по стандартным критериям.
Домашнее задание
► 1. Изобразить на плоскости все точки (х,у) такие, что выражение
sin2 (t + x)+ sin(t + у) + sin{t + 2х - у) + -
положительно для любого t.
► 2. Изобразить на плоскости все точки (х,у), для которых существует хотя
бы одно t, такое, что выражение
cos(t + 3z + у) — cos(£ + х - у) — sin2(£ + 2ж)
больше 7-
► 3. При каких а минимум функции
f{x) = x2 + 2х + а-1 + {а + 1)2
меньше трех?
(X ~~ V 
I = а удовлетворяет
х-у)
X
уравнению — = Ь?
У
► 5. При каких а и Ь каждая пара (х,у) (где х,у ф |- + птг, п G Z),
удовлетворяющая уравнению х + у = а, удовлетворяет уравнению
tgar + tgy + tga;tgy = Ь?
► 6. При каких а системы
sin(:r + у) = 0 ( х + у = 0

равносильны?
х? + у2 = а  х2 + у2 = а
шение?
ах2 + а — 1 = у — | sinic|
tg2 ж + у2 = 1
► 7. При каких а система < „ имеет единственное ре-

Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность 395
► 8. Найти все а, при которых система
2Ьх + {а+ 1)Ьу2 = а2
(а - 1)х3 + у3 = 1
имеет решение для любого Ь.
► 9. Найти все а и Ь такие, что система
xv-l
хУ + 
L х? + у2 = Ь
имеет единственное решение (хо,уо) такое, что хо > 0.
► 10. Найти все а и Ь такие, что система
xyz + z — а
xyz2 + Z = Ь
х? + у2 + г2 - 4
имеет единственное решение.
► 11. Найти все а, при которых система
f (z2 + 1)° + (Ь2 + 1)У = 2
( а + Ьжу + х2у = 1
имеет решение для любого Ь.
► 12. При каких а система
Г хУ = а
i
 arctg х = f + у
имеет единственное решение (жо,Уо); где zo > 0.
► 13. Найти все а, при которых система
( х3 - ш/3 = |(а + I)2
 ж3 + ах2у + жу2 = 1
имеет решение и каждое ее решение удовлетворяет условию х + у = 0.
► 14. При каких а система , _
Г f + sin х - а
I | + sin у = а
имеет единственное решение (хо,уо) такое, что 0 ^ х0 ^ 2тг, 0 ^ уо ^
2тг?
► 15. Дана система
( ах + аУ = 1
(3) х + у = Ь2 + 1-
При каких а и Ь система имеет хотя бы одно решение?
► 16. При каких а и Ь система (3) имеет единственное решение?
► 17. При каких а и Ь система (3) имеет решение для любого ft?
► 18. При каких а уравнения
sin Зх — a sin х + (4 - 2а) sin2 x

396
Глава 8. Задачи с параметрами
► 19
► 20.
► 21.
► 22.
sin Зх + cos 2х — 1 + 2 sin x cos 2x
равносильны?
[3]. При каких а уравнение 1 + sin2 ах — cos а: имеет единственное
решение?
При каких а,Ь и с уравнения ху — yz = 1 и
аху + byz + с/х2 + 1 = j х2 + 2 + у/х2 + 1
равносильны?
При каких а для любого Ь найдется с такое, что система
f bx — у = ас2
 {b-G)x + 2by = c + l
имеет хотя бы одно решение?
Дана система уравнений
(4)
Г sin х sin у = р sin a
► 23.
► 24.
► 25.
► 26.
► 27.
t cos х cos у — р cos а
Найти все р такие, что найдется а, при котором система имеет решения.
Найти все р такие, что система (4) имеет решения для любого а.
При каких а уравнение зт —f = 4|4|зт| — а2 имеет ровно три корня. Найти
эти корни.
Для каждого а ^ 0 решить неравенство
а3х4 + 2а2х2 - 8х + а 4- 4 > 0.
Найти все Ь, при которых оба неравенства системы
Г 2Ь sin2 (х + у) + Ь> 463 sin(:e + у) + Ь3
 х2 + (Ь4 + 1)у2 + b > 2ху
выполняются при любых х vi у.
При каких а система
2ф
cos
JUL
V
12A/cos
+ |24^соз^ + 1з| =
И I • n(x — 2v — l)
- Vsm з
2(x2 + (y~ a)2) - 1 = 2^/x2 + {y-a)2-
имеет хотя бы одно решение?

Урок 38 [3]. Более сложные логические задачи 397
Урок 38 [3]
Более сложные логические задачи
Содержание зтого урока в точности совпадает с его названием. Никаких
новых методов сегодня предложено не будет. Цель урока — накопление
опыта работы со сложными логическими выкладками при решении задач
с параметрами. Я хотел бы, чтобы вы освоились с такими задачами и не
боялись их.
*• Задача 1. Найти все а, при которых система
Г х2 - 2ху - Зу2 = 8
1 2х2 + ±ху + 5у2 - а4 - 4о3 + 4а2 - 12 + у/Ш
имеет хотя бы одно решение.
Обозначим выражение а4 — 4а3 + 4а2 — 12 + л/105 через А. Умножим
первое уравнение системы на А, а второе на 8 и вычтем одно из другого.
Получим, что
(1) (16 - А)х2 + (32 + 2А)ху + (40 + ЗЛ)у2 - 0.
Ясно, что это уравнение вместе с первым уравнением исходной системы
образует систему, эквивалентную исходной. Если подставить х = 0 в
первое уравнение, получим -Зу2 = 8, чего не может быть. Значит, х ф 0 и
уравнение (1) можно поделить на х2:
(2) (40 + ЗА) (-)2 + {2А + 32) (^) + 16 - А = 0.
Получившееся уравнение имеет решения относительно ^ тогда и только
тогда, когда его дискриминант D неотрицателен, т.е. при
(А+16)2-(40+ЗЛ)(16-Л)^0 «=* А в (-oo,-3-VT05]U[-3 + /l05,+oo).
Вспомнив теперь, что согласно второму уравнению исходной системы
А = 2х2 + 4zy + 5у2 = 2{х + у)2 + у2 ^ 0,
заключаем, что A J> —3 + /105.
Вообще говоря, может оказаться так, что D ^ 0, т.е. можно найти
fc = ^, но система не имеет решений. Мы ведь должны подставить у = кх
в первое уравнение. Система будет иметь решение тогда и только тогда,
когда в результате такой подстановки первое уравнение будет разрешимо
относительно х. Посмотрим, что получится при указанной подстановке:
х2 - 2кх2 - 3ftV = 8 <^> х2{1 -2к- 3fc2) = 8.

398
Глава 8. Задачи с параметрами
Получившееся уравнение разрешимо относительно х, если и только если
1 - 2к - ЗА;2 ^ 0 <=> к е
ц
Итак, исходная система будет иметь решение, если и только если
уравнение (2) будет иметь хотя бы один корень, лежащий на отрезке [—1, |].
Из А ^ 0 следует, что ось параболы (2) проходит через этот отрезок.
Действительно, пусть х = х0 — уравнение оси. Тогда
а+ 16 , а+ 16 ,
а последнее неравенство очевидно при А ^ 0. Кроме того, хо < 0 < |, так
что хо действительно лежит на отрезке [—1, |].
Если мы обозначим через f(x) квадратный трехчлен из уравнения (2),
/(-1) = 24 > 0 и /(Т)=| + | + 1б>0.
Вспомнив урок 36 (см. п.8 вводного материала), заключаем, что если
уравнение (2) имеет корни, то оба они лежат на отрезке [—1, |]. Следовательно,
условие А ^ — 3 + /Ю5 необходимо и достаточно для наличия решений
исходной системы.
Но А = {а(а - 2))2 - 12 + vT05, так что неравенство А ^ -3 + л/105
эквивалентно тому, что
(а{а - 2))2 ^ 9 <=> а(а - 2) ^ -3 или а(а - 2) ^ 3 <=> а ^ 3 или а ^ -1,
и наша задача полностью решена.
Ответ: а ^ —1, а ^ 3. <
► Задача 2. Найти все а, при которых система
Г х - by + az2 = 0
 2Ьх + {b-6)y-8z = 8
имеет решение (х, у, z) для любого Ь.
Решение. Выразим х из первого уравнения и подставим во второе:
(3) 2Ь{Ьу - az2) + {b-6)y-8z = 8 «=> (2Ь2 + Ь - 6)у = 2abz2 + 8z + 8.
Если мы найдем такие а, что уравнение (3) имеет решения (у, z) при любом
Ь, то, опять-таки при любом Ь можно будет найти х по формуле х =
Ьу — az2, т.е. система решается относительно всех переменных при любом
Ь. Обратно, если система имеет решение (х, у, z) при любом Ь, то пара (у, z)
при том же Ь будет решением уравнения (3).
Значит, мы должны найти такие а, что уравнение (3) имеет решения
относительно (у, z) при любых Ь. Однако, при 2Ь2 + Ь — 6 ф 0 <^=> Ь ф -2, |
8
уравнение (3) имеет решение — можно положить z = 0 и у =
2Ь2 + Ь-6'

Урок 38 [3]. Более сложные логические задачи 399
Если Ь — -2, то получаем уравнение
(4) -4аг2 + 8z + 8 = 0 «=Ф- az2 - 2z - 2 = О,
которое имеет решение при D ^ 0 4=» 1 + 2а ^ О Ф=^ а^ —.
Аналогично, при b = | получается уравнение
(5) 3az2 + 8z + 8 = О,
которое имеет решение при 16 — 24а ^ О 4=Ф- а ^ |.
Мы доказали, что если а удовлетворяет условию задачи, то а G [— ^, |].
Обратно, если а принадлежит этому отрезку, то при Ь ф — 2, | решение (3)
уже было указано, а при Ь, равному одному из этих чисел оба квадратных
уравнения (4) и (5) имеют решения. Их и надо взять в качестве 2, а у можно
выбрать произвольно.
Ответ: —  < а < |. -4
* Задача 3. При каких а минимум функции у — f{x) = х + а + х — а на
отрезке [—1,1] больше максимума функции у — д(х) = х2 + ах на этом же
отрезке?
Решение. Докажем сначала, что минимум функции f(x) равен 2а. В
самом деле, это значение достигается при х — 0, так что минимум f(x)
не превосходит 2а. Докажем, что для любого х имеем
х + а + х — а ^ 2а.
Заметим, что обе части неравенства не меняются от замены а на —а, так
что достаточно доказать его для а > 0 (случай а = 0 очевиден). Левая часть
неравенства не меняется при замене х на —х, так что можно доказывать
неравенство при х > 0.
Если 0 < х < а, то левая часть равна 2а и неравенство в этом случае
выполнено. Если а; > а, то левая часть равна 2х > 1а и наше неравенство
доказано.
.Значит, задача свелась к поиску таких а, что функция д(х) меньше 2|а| в
каждой точке отрезка [—1,1]. Заметим, что если а удовлетворяет условию
задачи, то и —а ему удовлетворяет. В самом деле, пусть х2 + ах < 2а для
всех х G [-1,1]. Если найдется х0 G [-1,1] такое, что х% — ахо ^ 2]а|, то
тогда для х = —хо получим
g(xi) = х +ахг — Xq - ах0 ^ 2|а|,
противоречие с тем, что д{х) < 2|а| для всех х G [-1,1] (a xi, очевидно,
лежит на отрезке [—1,1]).
Итак, ищем положительные а такие, что д(х) < 2а для всех х е [—1,1].
Пусть а таково, как требуется. Тогда 9(1) - 1 + а <2а <=> а > 1. Но при
а > 1 функция х2 + ах отрицательна на [-1,0] (докажите сами!) и, значит,
при таких х имеем д(х) = — х — ах.

400 Глава 8. Задачи с параметрами
Случай 1. а ^ 2. Функция д(х) на отрезке [0,1] возрастает (ибо
производная там равна 2х + а), а на отрезке [—1,0] убывает (так как на этом
отрезке производная равна — 2х — а ^ 0). Отсюда следует, что наибольшее
значение д{х) принимает либо в точке 1, либо в —1. Мы уже доказали, что
при а ^ 2 имеем д() < 2а. Кроме того, и д(—1) = а — 1 < 2а, так что все
а > 2 подходят.
Случай 2. 1 < а < 2. Функция д(х) на отрезке [0,1] возрастает (ибо
производная там равна 2х + а), а на отрезке [—1,0] убывает при х £ [—f ,0]
и возрастает при х € [—1,—|]. Значит, максимум на [—1,0] принимается в
точке — ~ и равен ^-. Однако,
Т - 2о = i0(a - 8) < 0 =* 5 (--] = т < 2a
и все ае (1,2) тоже подходят.
Ответ: а > 1, а < — 1. -4
► Задача 4. Найти множество пар (а, Ь) таких, что равенство
(6) asinx+ b = sin(ax+ b)
выполнено при всех х.
Решение. Пусть а и Ь таковы, как требуется в условии. Тогда равенство
(6) выполнено при х = 7г, х — 0 и а; = —тг, откуда
Ь = sin(7ra + Ь) = sin(—тга + Ь) = sin b.
Следовательно,
sin(7ra + Ь) — sin(—тга + Ь) = 0 -Ф=> sin(7ra)cosfe = 0,
откуда заключаем, что либо а — целое число, либо Ь = | + /стг, А; е Z. Но
второе невозможно, ибо для любого целого к число -| + kir по модулю больше
1 (проверьте сами!), тогда как Ь = | sinbj < 1.
Докажем, что Ь = 0. Пусть, например, Ь > 0. Ясно, что тогда Ь ^ 1. Но
sinl ^ 1, так что 0 < Ь < 1. Функция /г(зт) = ж — sin x на интервале (0,1)
возрастает, так как ее производная 1 — cosz > 0 на (0,1). Отсюда следует,
что /х(|) < 0. Пусть р — — /г(|) > 0. Из того, что h(x) возрастает, следует,
Ь /Ъ'
для любого х G (0, 2)- В частности,
sin х < х — sm х < - — sin I - j — — p
2 2/
(7) sin ж > p
2). Пусть у — наимен^т^^ «^ * Ш^Ш(,, 2.
для любого х £ (0, |). Пусть у — наименьшее из чисел arcsinp, |. Тогда
У е (0,|) и .
smy ^ sin(arcsmp) = р
— противоречие с (7); мы доказали, что не может быть Ь > 0. Аналогично
опровергается неравенство Ь < 0. Значит, Ь — 0.

Урок 38 [3]. Более сложные логические задачи 401
Исходное равенство приняло вид a sin a: = sinaz. Мы уже доказали, что
a G Z. При х — ^ имеем а = sin^, откуда |а| ^ 1, т.е. а может быть
одним из чисел 0,1,-1. Непосредственная проверка показывает, что все
они годятся.
Ответ: (0,0), (1,0), (-1,0). <
► Задача 5. При каких а система неравенств
Г х2 + у2 ^ 2ау - а2 + 1
 у + а ^ х
имеет ровно два решения?
Решение. Нашу систему можно переписать в виде
Г х2 + (у - а)2 ^ 1
 у ^ |z| -а
Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства,
получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а).
Множество решений второго неравенства — часть плоскости, лежащая под
графиком функции у = х — а, причем последний есть график функции
у = |ж|, сдвинутый вниз на а. Решение нашей системы есть пересечение
множеств решений каждого из неравенств.
Нетрудно сообразить, что два решения наша
система будет иметь лишь в случае, изображенном
на рис. 1.
Точки касания круга с прямыми и будут
двумя решениями системы. Каждая из прямых
наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник
PQR — прямоугольный равнобедренный. Точка
Q имеет координаты (0,а), а точка R — координаты (0,—а). Кроме
того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,
QR = 2а = у/2 <=> а =
2
Ответ: а = ^.
► Задача 6. Для каждого a G (0,1) найти наименьшее значение выражения
f{x,y) = -{x2+y2)
а(х-у),
причем, в качестве аргумента для / берутся всевозможные числовые пары
(ж, у) такие, что sm(nxy) = 0.
Решение. Ясно, что условие на числовые пары можно записать в виде
ху = к, к G Z.

402
Глава 8. Задачи с параметрами
Рассмотрим для начала случай к = 0. Если х = 0, то
Если у — 0, то
/(я,*/) = р2 + <*0 = ^(V + а) " у ^ ~У'
т/  ! 2 1/ 2 Й ^ а
fix.у) = —х ~ ах = ~(х — а) з — —-.
^v 'yj 2 2 2 2
Значит, для fc = О наименьшее значение /(ж, у) (оно, очевидно, достигается)
равно — ^-.
Пусть к > 0. Тогда
/(*,») = ^ (*2 + ^) ~а (*" £) = 5 («- £ -«) +fc" ^ > -^2-
поскольку квадрат неотрицателен, а & > 0.
Предположим теперь, что к < 0. Воспользуемся представлением f{x,y)
для предыдущего случая:
1 а2
где z — х — |. Теперь понадобится следующее наблюдение. Пусть г > 0.
Тогда _
X  у/х )
Если х < 0, то
2 = z = (лД- ^—?=- : + 2/^fc ^ V^U.
г =
2V^fc ^ -2у/Ч^.
Мы доказали, что либо z ^ 2%/^fc, либо г; < —2/—&. Вспомнив, что
0 < a < 1, заметим, что /—к > а. Значит, функция (z — а)2 возрастает при
z ^ 2у/—к и убывает при z ^ —/—к. Следовательно, наименьшее значение
f{x,y) в этом случае равно наименьшему из чисел
I п2
-{2/^к - а)2 + к - — = -к - 2а-/-к
И 2
-{-2у/Чк -а)2 + к-~ = -к + 2а-/-к.
i—
Но а > 0, так что наименьшее из этих чисел равно —А; — 2av — к ^ 1 — 2а, —
последнее неравенство выполняется, поскольку — к ^ 1, а функция р2 — 2ар =
(р - а)2 — а2 возрастает при р > а, а у нас р = V-fc > a.
2
Итак, мы доказали, что при всех возможных к будет f{x,y) ^ —  и
1{%,у) ^ 1 — 2а, причем каждое из этих значений достигается. Значит,
в зависимости от а (точнее, в зависимости от того, какое из чисел — ^- и
2
1 — 2а меньше) наименьшее значение f{x,y) равно то ли -у, то ли 1- 2а.

Урок 38 [3]. Более сложные логические задачи 403
Выяснить, при каких а какое из чисел меньше, не составляет никакого
труда.
Ответ: если а ^ 2 — V2, то наименьшее значение f(x,y) равно —\ если
а > 2 — /2, то оно равняется 1 — 2а. <
► Задача 7. Найти все р, при которых уравнение
/{х + Зр - Зтг - 4)(|ж + 7г| + р - 2тг + 2)+
/ тг2 + р2+4 
+ °^г 1ч2(р - тг)|ж + 2| - ж2 - Ах + 2ртгУ
имеет хотя бы одно целочисленное решение.
Решение. Если р таково, как требуется в условии задачи, то знаменатель
дроби, стоящей под логарифмом строго больше нуля. Пользуясь
равенствами
-х2 - Ах = 4 - (х + 2)2 = 4 - х + 2|2,
можно привести выражение, стоящее в знаменателе, к виду
тг2+р2 + 4-(|:г + 2|-(р-7г))2.
Теперь видно, что у дроби, стоящей под логарифмом, числитель не меньше
знаменателя (и они оба положительны!). Значит, дробь не меньше единицы,
а логарифм ее, тем самым, неотрицателен.
Сумма двух неотрицательных выражений (корня квадратного и
логарифма) равна нулю, только если оба этих выражения равны нулю.
Следовательно, мы доказали, что исходное уравнение равносильно системе
Г {х + Зр - Зтг - 4){х + 7г| + р - 2тг + 2) = О
 х + 2 — р — п
Эта система имеет целочисленное решение тогда и только тогда, когда
имеет целочисленное решение хотя бы одна из двух систем
Г (х + Зр - Зтг - 4) = О Г (х + 7г| + р - 2тг + 2) = О
 ИЛИ <
{ х + 2| = р — 7Г {х + 2=р — п
Найдем те р, при которых целочисленные решения имеет система
Г {х + Зр - Зтг - 4) = О
 х + 2| = р — 7Г
Подставим значение р — тг из второго уравнения в первое. Получим
уравнение 1
ж + 3|ж + 2|=4 <=> х = -5,--.
Нас интересует только £ = —5, откуда находим, что р = тх + 3
Теперь займемся системой
Г (|ж + 7г| +р-2тг + 2) = 0
 х + 2| = р — тг

404
Глава 8. Задачи с параметрами
Здесь снова можно подставить значение р-к из второго уравнения в первое:
х + 7г| + х + 2| - тг - 2 Ф=> ж е [-7Г, -2].
На получившемся отрезке лежат два целых корня х — —3 и ж = —2.
Окончательно получаем р = тг, р = тг + 1.
Ответ: р = тг, тг + 1, тг ■+- 3. •«
► Задача 8. Найти все х ^ 0, для которых из неравенств
аЬж ^ За + 46 + ж, а ^ 0, Ь ^ 0
следует неравенство ab ^ 2.
Решение. Докажем сначала, что х — 0 не подходит. Действительно, если
выполняется неравенство аЬх ^ За 4- 4Ь + х, причем а и b неотрицательны,
то а = Ь = 0, так что не выполняется неравенство ab ^ 2.
Ищем требуемые х > 0. Пусть из неравенств
abz ^ За + 4Ь + ж, а ^ 0, 6^0
следует неравенство ab ^ 2. Тогда верно и более слабое утверждение:
из неравенств
3
(8) аЬх ^ За + 4Ь + х, а > 0, Ь > 0, b > -
х
следует неравенство ah ^ 2 (осознайте, пожалуйста, что это действительно
более слабое утверждение).
Однако первое из неравенств (8), с учетом остальных, эквивалентно
неравенству ,
Ьх — 3
Итак, наше х таково, что из неравенств
^ 4Ь + х . , 3
Ьх - 3 ж
следует неравенство а ^ ^.
Я утверждаю, что это выполняется тогда и только тогда, когда
(9) U+S 1
{У) Ъх-Ъ' Ь
при любых Ь > |.
Действительно, пусть неравенство (9) выполняется при любых b > |.
Тогда, если
abz > За + 4& + ж, а > 0, Ь ^ 0,
то а > 0, Ь > 0 и a(kr — 3) ^ 4Ь + ж, откуда & > |. Значит,
^ 46 + ж ^ 2
и мы получаем, что а ^ | -ф=ф- ab ^ 2, т.е. из выполнения (9) для всех
з
- следует, что х удовлетворяет условиям исходной задачи.
;>> а

Урок 38 [3]. Более сложные логические задачи 405
В случае же, когда найдется Ь > § такое, что (9) не выполняется, можно
положить ^ ib + x 2
Ъх-3 Ь'
Ясно, что для такого а выполняются неравенства
аЬх ^ За + 4Ь + гс, а ^ 0, Ь ^ 0,
причем первое из них есть просто равенство. Однако, аЬ < 2 —
противоречие.
Я доказал, наконец, что мы свели задачу к поискам таких х > 0, что при
любом Ь > | выполняется неравенство (9).
Проведя очевидные преобразования, получим, что при Ь > | неравенство
(9) эквивалентно
(10) р{Ь) = 4Ъ2-Ьх + 6^0.
Применяя материал урока 36, заключаем, что у трехчленар(Ь) должен быть
либо неположительный дискриминант D = х2 — 96, либо ось его Ь = |
должна быть левее точки ^ при выполнении неравенства р(§) ^ 0.
Последнее неравенство выполняется всегда, т.к. р(|) = ^ + 3^0. Ось
лежит левее точки | при х ^ /24, a D ^ 0 <Ф=> г ^ л/96. Отсюда и
получаем
Ответ: 0 < х < /96. •«
► Задача 9. Найти все ж, удовлетворяющие уравнению
log2(aV - Ъо?х2 + /6-ж) = log2+a2(3 - Vx- l)
при любом а.
Решение. Если г удовлетворяет исходному уравнению при любом а, то, в
частности, и при а = 0. При таком а имеем уравнение
log2(/6 — х) = log2(3 — /ж — 1) <=> ж = 2, или £ ~ 5.
При х = 5 получаем единицу под каждым из логарифмов, так что это х
подходит.
Если х = 2, то уравнение приобретает вид
log2(-12a2 + 2)=Iog2+a22.
Это равенство не только не выполняется при любых а, оно даже определено
не при всех а. Значит, х = 2 не годится.
Ответ: х — 5. •«
► Задача 10. Найти все а, при которых область значений функции
sin ж+ 2(1 —а)
а — cosz х
содержит отрезок [1,2].

406
Глава 8. Задачи с параметрами
Решение. Для упрощения вычислений обозначим sin х через £, а 1 — а через
Ь. После очевидных преобразований, позволяющих выразить функцию у
через t и Ь, увидим, что исходная задача эквивалентна следующей:
Найти все 6, при которых образ отрезка [—1,1] при отображении
содержит отрезок [1,2].
Эту задачу можно эквивалентным образом переформулировать так:
при каких 6 для любого р 6 [1,2] найдется t € [—1,1], такое, что
t + 2b pt2-t-{p+2)b
—b=v^ W=l = 0?
Рассмотрим отдельно случаи Ъ = 0 и Ъ — .
Если Ь — 0, то f(t) = j и для любого р € [1,2] найдется t — - £ [—1,1]
такое, что f(t) = р. Следовательно, Ъ = О входит в ответ.
Если Ь — i, то f(t) = ^ и для р = 1 должно быть £ = | + - > 1, т.е.
*_ 2
это 6 не годится.
Если Ь -ф 0, ^, то задача эквивалентна следующей: При каких Ь для
любого ре [1,2] найдется t е [—1,1], такое, что
(U) g(t) =pt2 -t-(p + 2)6 = 0.
Заметим, что ось параболы (11) проходит через точку ^- £ ( — 1,1). Значит,
для любого р G [1,2] найдется t е [—1,1], такое, что (11) имеет место тогда
и только тогда, когда D = 1 + 4р(р + 2)6 ^ 0 и либо д(1) ^ 0, либо g(-l) ^ 0
для любого р 6 [1,2].
Неравенство 1 + 4р(р + 2)6 ^ 0 равносильно тому, что b ^ — 4 z1, 2) ■
Функция /i(p) = — 4р(р4-2) с Ростом Р возрастает, так что для того, чтобы
было Ь ^ — 4р(р+2) при любых р е [1,2] необходимо и достаточно, чтобы
было 6 ^ Л.(2) = — ^>.
Далее, неравенство g(l) = р - 1 - (р + 2)6 ^ 0 (соответственно #(—1) —
р + 1 — (р + 2)6 ^ 0) равносильно неравенству b ^ ^^ (соответственно,
6 < 1+1 )• Неравенство 6 < ^щ (соответственно Ъ ^ ^~) выполнено для
всех р G [1,2] если и только если 6 < 0 (соответственно 6 ^ |) ввиду
возрастания функции ^| (соответственно Е£|). Значит, для всех 6 ^ |
будет р(-1) ^ 0, а для 6 > | получим д(1) < 0 и д(—1) < 0, т.е. искомые
6 лежат на отрезке [—^, |], причем 6 ^ j. Заметим, что 6 = 0 случайно
попало в получившийся интервал, так же, как иЬ= |.
Вспоминая, что 6 = 1 — а, получаем
Ответ: |^а^||, а ф j. +

Урок 38 [3]. Более сложные логические задачи 407
► Задача 11. При каких р система неравенств
Г х2 + 2рх + Зр2 + Зр + 3 < 3 sin у - 4 cos у
1 0 ^ у ^ 2тг
имеет единственное решение?
Решение. Представим первое неравенство системы в виде:
(а; + р)2 + 2р2 + Зр + 3 ^ 5 sin ( у - arcsin - j .
Пусть (хо,уо) — единственное решение системы. Тогда (ж0, § + arcsin |)
тоже решение, ибо правая часть неравенства при замене уо на | + arcsin |)
могла только увеличиться. Значит, непременно уо = f + arcsin |) и правая
часть неравенства равна 5.
Если 2р2 + 3р+3 > 5, то неравенство вообще не имеет решений (почему?).
Если 2р2 + Зр + 3 < 5, то (-р, у0) и
(-р + V5-(2p2 + 3p + 3), у0)
есть два различных решения первого неравенства (здесь уо = § + arcsin |).
Значит, остается только случай, когда 2р2 + Зр + 3 — 5 -£=Ф р = —2, |.
При таких р левая и правая части неравенства обязаны равняться 5, так что
оно имеет единственное решение (— р,уо), если потребовать, чтобы было
О < Уо < 2тг.
Ответ: р — — 2, 
2"
Наш урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.
Домашнее задание
*• 1. Найти все а, при которых уравнение
((2х + а) у/22а - 4а2 - 24 - 2(х2 + х) lg а) ■ lg (^35^") = °
имеет по крайней мере два корня, один из которых ^ 0, а другой < —1.
*■ 2. Найти все а, при которых система
Ism х sin у — -^
 cosa:cosy--^f^
I M* - у) = gSft
имеет ровно одно решение, удовлетворяющее условиям 0 < у ^ | и £ > 0.
*• 3. Даны системы
Гж + 2у = 2-а Г х2 - у4 — 4яг + 3 = 0
1 -зт + ау = а-2а2 И  2а;2 + у2 + (а2 + 2а - 11)х + 12 - 6а = 0 "

408
Глава 8. Задачи с параметрами
При каких а они равносильны?
Г Зу + 2 + ху = 0
► 4. При каких а система < ч имеет един-
I х(у + 1 - о) + у{2а -3) + а + 3 = 0
ственное решение?
► 5. При каких а неравенство |3 sin x+2asinxcosx+cos2 x+a ^3 выполнено
для любого xl
► в. Найти все а, при которых система
9х2 - бху + у2 + 6ге - 13у + 3 = 0
Ш2 + бжу + 10у2 + 16а; + 2у - Аах - бау + а2 - 2а + 3 = 0
имеет хотя бы одно решение.
► 7. Найти все а, при которых неравенство
--|а + 3||з; + а + 6| + Ма + 3| - U + " | ) • |z + 3| - -а + 3\х - а > -2
выполняется ровно для двух значений х.
► 8. При каких а уравнение у/а + /а Л- sin x — sin а: имеет решение?
_ Г у(ааг + 1) + 13х - а(1 + у) - 0
► 9. При каких а система < , , имеет решения:
[ х-ху + |2 + у| = 0
►•10. При каких а ровно одно решение неравенства
V(a + 3)(a2 + a-6) ■ х3 - /а4 + а3 - 6а2 ■ х2 + у/а3 + За2 ■ х - а2 < 0
удовлетворяет условию 1 ^ z ^ 4 + а?
► 11. При каком b система
(у^(х- ЬУ
х>{у-Ъ)2
имеет единственное решение?
► 12. Найти все числа с и d, для которых наибольшее значение функции
у{х) -
4 • ^— + (с + 2rf) • 2 ■ + 2с + d
3х+ 3"* +2 к ' 3х + 1
на отрезке [—1,1] является наименьшим.
► 13. Найти все а, при которых система
/ 1 - у/]х~^Г = УЩ
I 49у2 + х2 +4а = 2х-1
имеет ровно четыре решения.
► 14. Найти все пары [а.Ь), для которых система
f а;2 - у2 + а(х + у)=х-у + а
 х? + у2 + Ьху - 1 = 0
имеет не менее пяти решений (а;, у).
► 15. Найти все Ь, такие, что система
Г 2а;2 - 2а;у + 10у2 = &4 - 6Ь3 + 9Ь2 - 19 + /85
 х2 + 2ху - Зу2 = 4

Урок 38 [3]. Более сложные логические задачи 409
имеет хотя бы одно решение.
► 16. Найти все Ь G [—1,1] такие, что выражение
1 - 2у/±х2 + АЬху + у2 + 8у + 18
принимает наибольшее значение лишь при одной паре (х, у).
► 17. При каких а уравнение
(а2 - 6а + 9)(2 + 2sinx - cos2 x) + (12а - 18 - 2а2)(1 + sin я) + а + 3 = 0
не имеет решений?
► 18. При каких а уравнение
I», ( »' + 4И + 4 V
* 4х - х2 - 2{а - 2п)х - 2 + Ana J
-у/{х -Ъа + Ютг - 34)(|тг -х-а + тт + 2) = 0
имеет хотя бы одно целочисленное решение?
► 19. Найти все Ь, при которых система
cos(y - b) — 2 cos x = 0
log2(by - у2) = 21og4(-ar) - logj (3y)
имеет нечетное число решений.
► 20. Найти все х ^ 0, при которых из неравенств
abx^2a + 9b + x, а ^ 0, Ь ^ 0
следует неравенство аЬ~^ 4.
► 21. Найти все а, при которых наименьшее значение квадратного трехчлена
4х2 - 4а:г + (а2 - 2а + 2)
на отрезке [0,2] равно 3.
► 22. При каких р уравнение
[х - р)2(р(х - р)2 - р - 1) = -1
имеет больше положительных корней, чем отрицательных?
► 23. При каких а ф 0 количество пар (х,у) целых чисел таких, что у ^
а2 -х2
— минимально?
а?
► 24. При каких а число решений уравнения
4х
+ х*= L* - - ^/15 - 35а - (2а + I)2 • 4*
меньше числа решении уравнения
а2(2у + а2-1) = у(Зу-1)?

Глава 9
Нестандартные задачи
Под нестандартными я буду понимать либо задачи, не относящиеся ни
к одному из рассмотренных типов, либо задачи на известные нам темы
(например, тригонометрические уравнения), которые традиционными
преобразованиями и методами не решаются. Они, как правило, в варианте
бывают последними и могут быть названы задачами «на пятерку».
Отмечу сразу, что, несмотря на нестандартность, такие задачи не
выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены
школьными методами. Другое дело, что бывает крайне трудно за ограниченное
время найти решение. В природе не существует такого человека, который
бы гарантированно мог решать любые задачи по элементарной математике.
Каждый год предметные комиссии придумывают задачи, решение которых
требует принципиально нового подхода, так что исчерпать все типы таких
задач просто невозможно.
Зато возможно набраться опыта в решении подобных задач и, по крайней
мере, не впадать в панику, если вдруг такая попадется на экзамене. Более
того, могу «успокоить» работающих на уровне 3, что в варианте у них
обязательно будет нестандартная задача. Надо спокойно относиться к
тому, что она может не получиться, и отложить ее решение на то время,
когда все простые задачи будут решены.
Если вы все-таки взялись бороться с нестандартной задачей, попробуйте
методы, изложенные в этой главе. Может быть, какой-то из них не решит
ее, но поможет упростить. Если вы проработали эту книгу, то вы можете
твердо себе сказать: «Я знаю все, что нужно для решения этой задачи.
Просто не замечаю чего-то, что лежит на поверхности. Надо преодолеть
инерцию мышления и попробовать что-то, на первый взгляд сюда не
относящееся.»

Урок 39. Метод мажорант
411
Урок 39
Метод мажорант
Мажорантой данной функции f(x) на множестве Р (или множества А
чисел) называется такое число М, что либо f(x) ^ М для всех х е Р,
либо f(x) ^ М для всех х е Р (соответственно, х ^ М для всех ж из
Л, или z ^ М для всех z е А). Мы знаем много мажорант для известных
функций. Например, любое число, большее или равное 1, будет мажорантой
для функций sin х и cos x на любом множестве.
Основная идея метода мажорант (она, кстати, уже встречалась в
предыдущих главах) состоит в следующем:
Пусть мы имеем уравнение f(x) = g(x) и существует такое число М,
что для любого х из области определения f(x) и д(х) имеем f(x) ^ M и
д(х) ^ М. Тогда уравнение f(x) — д(х) эквивалентно системе
f(x) = М,
д{х) = М.
Как искать такое число М? Ну, это просто. Вы ведь владеете таким
мощным средством исследования функций как производная. С ее помощью
вы можете найти наибольшее значение функции f(x) и наименьшее
значение д(х). Если они совпадают, то за М можно принять их общее значение.
Но чаще всего производная не понадобится, если вы хорошо владеете
следующими неравенствами:
(1) а + - ^ 2 при а>0иа+-^-2 при а < О,
а а
причем равенство достигается только при а — ±1;
(2) ^— ^ Vab при а ^ О, Ь ^ О,
причем равенство достигается только при а = Ь.
Впрочем, лучше всего осваивать метод мажорант в процессе решения
задач.
► Задача 1. Решить уравнение 2 sin z = 5х2 + 2х + 3.
Решение. Левая часть не превосходит двух. Минимум квадратного
трехчлена с положительным коэффициентом при х? достигается в точке
пересечения оси параболы с осью абсцисс. В данном случае это точка — |. Значит,

412
Глава 9. Нестандартные задачи
правая часть не меньше, чем
- 1 1 14 „
0.__2.-+3= — >2.
25 5 5
Мы доказали, что левая часть уравнения при любом х строго меньше
правой, т.е. решений нет.
Ответ: 0. <
► Задача 2. Решить уравнение sin а; — х2 + х + 1.
Решение. Здесь уже так просто не получится, ибо минимальное значение
правой части равно | < 1. Как искать корни? Ясно, что их нет на том
множестве, где правая часть строго больше 1. Найдем это множество,
решив неравенство
х2 + х + 1 > 1 «=> х2 + х > 0 «=> х Ё (-оо, -1) U (0, +оо).
Значит, если это уравнение имеет решения, то они лежат на отрезке
[—1,0]. Но этот отрезок целиком лежит в отрезке [—f ,0], на котором синус
^ 0. Однако, правая часть не меньше | на всей прямой. Значит, и на
отрезке [—1,0] правая часть строго больше левой, т.е. уравнение не имеет
решений.
Ответ: 0. ч
*■ Задача 3. Решить уравнение sinzsin5a; = 1.
Решение. Мы знаем, что | sinxj ^ 1 и | sin 5а:| ^ 1. Если бы было, например,
|sin:r| < 1, то, поскольку произведение числа, строго меньшего единицы,
на число ^ 1 строго меньше единицы, будем иметь sin x sin Ъх < 1. Значит,
предположенного не может быть и | sinx| — | sin 5ж| = 1.
Мы доказали, что исходное уравнение эквивалентно совокупности двух
систем:
f sin x — 1, Г sin x = — 1,
< и <
L sin Ъх = 1 I sin Ъх = -1.
Ввиду тривиальности решения этих систем (для тех, кто добрался до этого
урока!), я не буду его здесь расписывать.
Ответ: х ~ ±. + 2п7г, п ё Z. <*
*■ Задача 4. Решить уравнение sin1 x + cos8 х — 1.
Решение. Из неравенств | sinz| ^ 1 и | cosic| ^ 1 следует, что sin 3 х ^ sin' x
и cos8 х ^ cos2 х. Сложив эти неравенства, получим, что для любого х будет
sin 3 x+cos8 х ^ 1, причем равенство достигается только в том случае, когда
sin13 х — sin2 х и cos8 x — cos2 x. Значит, наше уравнение эквивалентно
( • 13 -2
системе < s™sB ^^os2 x > Решить которую не составляет труда.

Урок 39. Метод мажорант
413
Ответ: х = птг, х = | + 2птг, neZ.
_ „ _, . п /5 —sin 2а:
► Задача 5. Решить уравнение sin a; + cos 8a: cos а: =  .
Решение. Нам потребуется главная формула урока 5. Она гласит, что
a sin а; + Ь cos х = л/°2 + Ь2 sin(a; + ф),
где <р есть любое число, удовлетворяющее следующим условиям:
В нашем случае а = 1, /> — cos8z, так что левая часть исходного уравнения
равна у/1 + cos28a:sin(ic + ф) < ДТТ • 1 = /2. Ясно, что 5~s!,n 2x ^ 2 и,
значит, правая часть не меньше у/2.
Отсюда заключаем, что исходное уравнение эквивалентно следующей
системе:
' sin 2а: = 1,
cos2 8ж = 1,
sin(a: + ф) = 1,
^ %/l+cos2 8x '
COS(j3 = . l . .
^ ~ Vl+cos2 8x
Из первого ее уравнения получаем х —  +птг, n G Z. Тогда 8х = 27г+8п7г =Ф
cos8а: = 1. Значит, simp = cos^> = Д=, т.е. годится Ц>~ -
Последнее, что должно выполняться — это условие, что
sin
/ 7Г 7Г 7Г 7Г
ж + - I =1 «=* - + - + п-к - - + 2Аж,
 4/ 4 4 2
откуда окончательно находим, что х = £ + 2&7Г, fc 6 Z
Ответ: х = £ + 2&7г, fceZ.
4
-4
► Задача 6. Найти все пары (ж,у), для которых
log2 cos (жу) + —57— 1 = ~2—о—rV
V cos2(a:y)y у2 -2у + 2
Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из таких пар
(ж,у), что cos(xy) ф 0. В этой области соэ2(жу) + ebs^fxy) ^ ^> пРичем
равенство достигается только при со&2(ху) = 1 (см. формулу (1)). Отсюда
следует, что левая часть уравнения не меньше 1.

414
Глава 9. Нестандартные задачи
С другой стороны, у2 — 1у + 2 = (у — I)2 + 1 ^ 1, откуда следует, что
правая часть уравнения не превосходит 1, причем равенство достигается
только при у — 1. Отсюда и получаем
Ответ: х = mr, п &Z, у — 1. ■*
► Задача 7. Найти все решения уравнения
Ч 2 11
4зт + За: = 6х 4- sin пх,
4
лежащие на отрезке [—|, 1].
Решение. Перепишем наше уравнение в виде
sin тга: = 4а:3 + За:2 - 6а; +
11
Найдем наименьшее значение правой части f(x) на отрезке [—|, 1].
Имеем f'(x) = 12а;2 + 6а: — б = 6(2а: - 1)(а: + 1). Отсюда видно, что
f(x) возрастает на отрезках [-§, -1] и [|, 1], а убывает на отрезке [—1, |].
Значит, наименьшее значение f(x) принимает либо в точке х — — §, либо в
точке х — |.
Но / (-§) = 5 и / (j) = 1, так что правая часть не меньше 1 на отрезке
[— |, 1], причем равенство может достигаться только при х — |. Проверкой
убеждаемся, что и левая часть при х = | равна 1.
Ответ: х — |. <
► Задача 8. Решить неравенство 2е
- х + i/a^ +
cos a:
1
^2-
Решение. Ясно, что ~^ ^ 1. Отсюда следует, что
1 ^ Va;2 = х.
cos а:
Тем самым, установлено, что
(3)
cos а;
-1-И>о,
/.
V
причем равенство достигается только при | cosx ~ 1.
Далее, cos а: ^ — 1, так что ■>
(4) 2cosx ^2_1 =-,
причем равенство достигается только при cos а: — — 1.
Сложив неравенства (3) и (4), получим, что
icosa:
- х + i х2 +
COS Ж
1

Урок 39. Метод мажорант
415
причем равенство достигается только при cos ж = — 1. Поскольку нам
требуется решить противоположное неравенство, его решениями будут только
те х, при которых оно обращается в равенство.
Ответ: х — ж + 2птг, п £ Z. <
► Задача 9. Решить систему
J 2i+sin2 х + 2cos2 х = 4 cos2 у,
| logi (sin z) + sin2 у = 1.
Решение. Воспользуемся неравенством (2) для а = 21+sin х, b = 2C0S x:
2i+sm2 x _j_ 2cos2 x > 2v^21+s'n2 x • 2cos2 x = 2/21+sin2 x+cos21 _ 4
причем равенство достигается только при 1 -f sin2 ж = cos2 х <=> х =
7гп, п е Z.
Из 4 cos2 у < 4 следует теперь, что cos2 у — 1 =Ф> sin2 у = 0. Из второго
уравнения получаем, что log 1 (sin z) — 1 -4=> sin г = |.
Ответ: х = гг7г, у = for, г = (—1)1~ 4- In, n,k,l G Z. -4
► Задача 10. Решить неравенство
cos2 x ■ sin(sin x) + sin ■ cos(sin x) > 0.
Решение. Пусть sin ж > 0. Тогда sin ж Е (0,1] С (0, -|]. Значит, sin(sinx) > 0
и cos(sin:r) > 0. Теперь уже видно, что вся левая часть исходного
неравенства строго больше нуля, ибо
cos2 х • sin(sin x) > 0 и sin x - sin(sin x) > 0.
Следовательно, все х такие, что sin а: > 0, входят в ответ.
Если sin ж < 0, то sin а: е [—1,0] С [—f,0]. Значит, sin(sinz) < 0 и
cos(sin x) ^ 0. Рассуждая точно так же, как в предыдущем случае, видим,
что
cos2 х - sin(sin x) + sin ■ cos(sin x) ^ 0,
т.е. ни одно х такое, что sinz < 0, не входит в ответ.
Ответ: 2птг < х < тг + 2тг, п G Z. <
*■ Задача 11. Решить систему
Г sin х cos у sin(a; + у) + | — 0,
 х ~ у + z.
Решение. Второе уравнение системы дано только для того, чтобы больше
напугать решающего. На самом деле нужно найти х и у из первого
уравнения и г из второго.

416
Глава 9. Нестандартные задачи
Залишем цепочку эквивалентных преобразований второго уравнения:
sinxcosysin(x + у) + - = 0 <=>
8
<=> ~(sin(:r+ у) + sin(x - y))sin(:r + у) + - = О
2 о
<ф=> 4 sin2(х + у) + 4sin(x - у) sin(x + у) + 1 = О
•Ф=> (2sin(x + у) + sin(x - у))2 + 1 - sin2(x - у) = О,
и теперь уже видно, что наше уравнение эквивалентно системе
2 sin(x + у) + sin(x - у) = О,
sin2(x - у) = 1.
Из второго уравнения системы получаем, что либо х — у — | + 2п7г, те G Z,
ЛИбо X — у — -f + 2П7Г, П G Z.
В первом случае sin(x + y) = -| <=> ж + у = (-l)fc+1f + &тг, fc e Z, а во
втором sin(x + у) = £ <Ф=> х + у — (-l)fef + Агтг, fceZ. Дальше все ясно.
г ж = | + (-l)fe+iiL+n7r + |7r
Ответ: < , , , , fc.neZ -4
I I/ Т + (-1)*+1Т5 + |я" - птг '
■* = -? + (-1)Чз+™+з* , .
> fe,n e z.
у=£ + (-1)^ + |тг-шг
Наш урок окончен. Оценку и здесь поставьте себе по стандарту.
Домашнее задание
Решить уравнения (неравенства):
*■ 1. sin a: + sin9x = 2
► 2. (sinx — /3cosx) sinЗх — 2
►■ 3. cosx — sin3x = —2
► 4. sin x sin 7x = 1
► 5. cosxcos6x = —1
►6. 2cosf = 1-x-x2
► 7. cos7 x + sin4 x = 1
► 8. cosx + cosy - cos(x + y) = |
►9. tg4 ж + tg4 у + 2 ctg2 xctg2 у = 3 + sin2[x + y)
► 10. 2ixl = sin(x2)
/ 2x
► 11. tg2<7r(2 + y)) + ctg2(7r(x + у)) = у ^П; + 1
2
► 12. log3 |тгх| + log,, 3 = —■
sin (ж + у) - 2 sin(x + у) + 2

Урок 39. Метод мажорант
417
►
►
*■
*■
►
►
►
*■
►
*■
*■
►
►
►
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
tg2 х + 2 tg a;(sin у + cos у) + 2 = О
/2(sin x + cos x) cos у — 3 + cos 2y
sin2 x +  sin2 Зх = sin x sin2 Зз;
3 arcsin(x2 +x+D- 2„
|3w ж|) = sin ж
з _
7Г
tg^+Ctg2^
cos2(:r + l)-lg(9-2x-ic2) ^l
cos(tt(:e +  sin 7га;)) + (sin2 irx + sin тгз;)2 < -1
Ъх2 + 5у2 + 8ху + 2х-2у + 2 = 0
{х2 -2х + 3)(у2 + 6у + 12) = б
,2
/у-х2
1 ^0
cos х — у
-у + х- у/х2 + у2 - 1 ^ 1
logi (1 + х) + arccos(ic + у2) ^ —1
Vsina; + y^cosic > 1
(х2 - 4х + 3) logji_ (cos2 7гж + COST + 2 sin2 §) ^ 2
V2
► 27. ^/2 - |y|(5 sin2 яг - 6 sin ж cos x - 9 cos2 x + 3 ^33) = arcsin2 ж + arccos2 ж -
I-2
► 28.
► 29.
► 30.
V 5 + sin Bx = sin x + 2 cos x
tyl7 + x + УТГ=х = 2
/l + x + y/l-x ^ 1
Решить системы:
► 31.
► 32.
► 33.
► 34.
►■ 35.
►■ 36.
| tg2 x + ctg2 z = 2 sin2 у
 sin2 у + cos2 г = 1
(x+y+z=2
 2xy - z2 = 4
Г ж2 + 4у2 + 5 - 4z
 ic - у ^ z
f ж2 + у2 + 20 = z
 8x + 4y^z
( z2 + 7 < 14жу
 z-2x-2y = l
j ЗХ+22/-1 + 2.33У-1 ^2
I x + by > 2 - log3 2
►•37. Найти все решения системы
такие, что |у| < 1
у sin х = log2
(6y2+2y)(4s
у sin х
1+Зу
:+4<
:) = 25у2+6у+1

418
Глава 9. Нестандартные задачи
Урок 40
Использование различных свойств
функций
Мы уже достаточно широко использовали различные свойства функций
при решении задач. Например, метод мажорант (см. урок 39) использует
такое свойство как ограниченность. На этом уроке мы покажем, как
применяются свойства монотонности, четности и периодичности. Чаще
всего используется монотонность функций. Например, если у вас есть
уравнение f(x) — си функция / возрастает, то она может принимать
значение с не более, чем в одной точке. А эту точку, как правило, можно
просто угадать.
На этом общие рецепты здесь и заканчиваются. Давайте посмотрим на
примерах, как «работают» указанные свойства функций.
2
► Задача 1. Решить неравенство log2(a; ■ 2х ) ^ 1 + 2х.
Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из х > 0.
Преобразуем левую его часть:
log2(:r ■ 2х2) = log2 х + log2 2х2 = х2 + log2 x.
Значит, наше неравенство эквивалентно следующему:
х2 - 2х - 1 + log2 х ^ 0 Ф=Ф- {х - I)2 + log2 х - 2 ^ 0.
Теперь нужно заметить, что при х > 1 возрастает как логарифм, так и
функция (х — I)2 — 2. Значит, сумма этих функций также возрастает и
может принимать значение равное нулю не более чем в одной какой-то
точке Xq, причем при х ^ х0 правая часть не меньше нуля, т.е. все такие х
являются решениями, а при 1 < х < х0 правая часть отрицательна, т.е. ни
одно х < хо (большее единицы!) не есть решение исходного неравенства.
Осталось выяснить, есть ли решения на промежутке (0,1]. Но при х из
этого промежутка логарифм отрицателен (или равен нулю), а квадратный
трехчлен принимает значения от —2 до —1 (проверьте сами!). Значит, левая
часть строго отрицательна на (0,1], т.е. на этом промежутке нет решений.
Осталось найти xq. Задача подобрана так, чтобы можно было легко его
угадать — здесь хо — 2.
Ответ: х ^ 2. •*

Урок 40. Использование различных свойств функций 419
► Задача 2. Какое из чисел больше,
■2 ~„п 15-cos 89е
4sinJ 63° + ——я или 8 ?
4 sin2 63°
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x+ 15~c°s89 . Ее производная равна
1 _ i5-|osS9_.^ Ясно, что при 0 < х < 14 будет f'(x) < О, так как числитель
дроби, входящей в производную, строго больше 14. Значит, на интервале
(0,14) указанная функция убывает. Число, которое мы должны сравнить
с восемью, есть в точности /(4sin2 63°). Заметим, что 0 < 4 sin 60° <
4sin2 63° < 14, так что /(4sin2 63°) < /(4 sin2 60°). Но
/(4sin2 60°) = 3 + 15~C1°S89° = 8 - l cos 89° < 8.
о З
Значит, и /(4 sin2 63°) < 8, что и требовалось выяснить.
Ответ: 4 sin2 63° + ^"ff < 8. <
► Задача 3. Решить уравнение
/Зх2 - 1 + у/х2 - х + 1 = у/Зх2 + 2х + 1 + у/х2 + 2х + 4.
Решение. Любая попытка избавиться от радикалов при помощи возведения
в квадрат приведет к уравнению шестой степени (или выше). Поскольку
нет надежды алгебраически упростить уравнение, будем действовать по-
другому.
Перепишем уравнение в виде
у/Зх2 + 2х + 1 - у/Зх2 ~ 1 = у/х2 - х + 1 - у/х2 + 2ж + 4.
Воспользуемся формулой
у/а — у/Ь —
y/a+Vb'
которая верна при а ^ 0, Ь^О, а + b > 0. Наше уравнение примет вид
Зж2 + 2х + 1 - Зх2 + 1 z2 - х + 1 - ж2 - 2х - 4
(1)
V3x2 + 2ж + 1 + /Зж2 - 1 Va:2 - ж + 1 + ч/а:2 + 2х + 4
Ф
2(i+l) __ -3(аг + 1)
л/Зж2 + 2х + 1 + /Зж2 - 1 у/х2 - х + 1 + Vz2 + 2х + 4'
Теперь уже видно, что ж = —1 есть корень уравнения (1) (он входит в ОДЗ).
Других корней нет, поскольку при х ф — 1 левая часть (1) положительна, а
правая отрицательна.
Ответ: х — — 1. •«

420 Глава 9. Нестандартные задачи
► Задача 4. Решить уравнение
у/{х + 2)(2ж - 1) - 3/аГГб = 4 - у/(ж + 6)(2а: - 1} + Зу/х + 2.
Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из всех х ^ i.
При таких ж имеют место равенства у/(х + 2)(2ж — 1) ~ А + 2 • /2х — 1
и у^(ж + б)(2ж — 1) = /ж + б • у/2х — 1. Это позволяет после очевидных
преобразований переписать исходное уравнение в виде
(2) (VaE + 2 + /ж + 6){V2x - 1 - 3) = 4.
Левая часть уравнения (2) есть возрастающая функция от ж, будучи
произведением возрастающих функций. Значит, она может принимать значение
4 не более чем в одной точке. Несложным подбором можно убедиться, что
годится х = 7.
Ответ: х — 7. •«
► Задача 5. Решить уравнение
Iog2N/iwf(z2"2х -2) = ^waV -2х - з).
Решение. Пусть х2 — 2х — 2 = у. Заметим сначала, что
4^wf V = l0gV^T^ly = 21oge+W3 У'
Теперь исходное уравнение принимает вид
21о8я+4л^ У = 1оё2+/з (У - 1) = 2 log(2+y3')^ (Р - 1) = 2 log7+4Va (у - 1)
bg6(y- 1)
*=> logb у = log^! (у - 1) <^=j> log6 у =
(3)
logb(b-l)
logb(b-l) logb(y-l).
logb b logb у
здесь Ь = 8 + 4/3- Все преобразования законны, поскольку Ь > 1 и у > 1.
Если мы докажем, что функция g(y) — °f„g » является возрастающей,
то будет установлено, что значение °w"y 0Ha может принимать не более
чем в одной точке. А такая точка легко угадывается — это у = Ь.
Следующая выкладка показывает, что д(у) возрастает:
( = ^(У-1) = XQZb(v*f-) = bg^ + log^^1) = 1 _ logft^l
9кУ logb у 1оёьУ 1о§ьУ 1оёьУ

Урок 40. Использование различных свойств функций 421
Действительно, функция -^у = 1 + :тгу убывает. Значит, убывает и
функция logb -^y. Кроме того, функция ^-— также убывает, откуда заключаем,
что функция . „
= 1°ёь
logft у У - 1 bgb у
убывает. Значит, она же со знаком минус и с прибавленной единицей
возрастает, что и требовалось доказать.
Нам осталось решить уравнение х2 — 2х — 2 — 8 + 4/Z.
Ответ: х =
► Задача 6. Решить уравнение
{2х + 1)(2 + у/{2х + I)2 + 3) + За;(2 + V^z2 + 3) = 0.
Решение. Рассмотрим функцию /(у) = у(2 + у/у2 + 3). Ввиду того, что
ff3
f {у) = 2 + ч/у2 + 3 + -у=== > О,
уу +3
она возрастает на всей прямой.
Исходное уравнение легко переписывается в виде f{2x + l) = /(—За;), что,
вследствие монотонности / эквивалентно уравнению 2х + 1 — —За:
а, - 5.
Ответ: х = — |. -4
► Задача 7. Решить неравенство
б >l+log2(2 + x)
2зт + 1 х
Решение. Здесь придется разобрать несколько случаев. Отметим прежде
всего, что ОДЗ неравенства состоит из х > —2, х ф 0, — .
Случай 1. х > 0. Тогда неравенство можно умножить на х. Получим
эквивалентное неравенство
ба; 3
Теперь легко усмотреть, что левая и правая части неравенства есть
возрастающие функции от х, причем правая строго меньше 3 для любого х > 0.
Если х € (0,1], то левая часть не меньше 2, а правая не превосходит
своего значения в единице, т.е. числа 2. Значит, при таких х наше неравенство
не выполняется, так как правая часть не превосходит левую.
Если х 6 (1, 2], то левая часть не меньше 1 + log2 3, а правая не больше ~
(т.е. значения в х = 2). Но
7 19
343 = З5 > 128 = 27 => 3 > 25 =*• log2 3 > - =*• 1 + log2 3 > —.
О О

422
Глава 9. Нестандартные задачи
Мы доказали, что и на промежутке (1,2] неравенство не имеет решений.
Если х > 2, то левая часть больше трех и опять здесь нет решений,
поскольку, как мы отметили, правая часть всегда строго меньше трех.
Случай 2. —  < х < 0. Тогда исходное неравенство эквивалентно
следующему:
Их
l + log2(i + 2)> ——.
2х + 1
Легко видеть, что на этом промежутке левая часть больше нуля, а
правая меньше, так что весь интервал (—1,0) состоит из решений исходного
неравенства.
Случай 3. —2 < х < — |. В этом случае левая часть строго меньше
двух, тогда как правая строго больше трех (проверьте сами, пожалуйста).
Отсюда следует, что ни одна точка указанного интервала не входит в ответ.
Вот мы и разобрали все возможные случаи.
Ответ: х G (—|,0). •«
► Задача 8. Найти все р такие, что уравнение
(х - р)2(р{х - р)2 - р - 1) = -1
имеет больше положительных корней, чем отрицательных.
Решение. Левая часть уравнения есть четная функция относительно х — р,
т.е. если х — р удовлетворяет уравнению, то кр — х тоже ему удовлетворяет.
В терминах переменной х это запишется так: если х есть корень уравнения,
то и 2р — х есть также его корень. Таким образом, число корней уравнения,
находящихся левее р, равно числу его корней, находящихся правее р.
Если р ^ 0, то уравнение не может иметь больше положительных корней,
чем отрицательных, так как положительные корни лежали бы правее р и
их число было бы больше, чем число корней левее р, что, как мы видели,
невозможно.
Пусть р > 0. Тогда для того, чтобы положительных корней было больше,
чем отрицательных, необходимо и достаточно, чтобы нашелся хотя бы один
корень, лежащий на отрезке [0,2р]. Действительно, число отрицательных
корней равно числу корней, больших 2р, ибо х < 0 есть корень уравнения
тогда и только тогда, когда 2р — х > 2р есть его корень. Значит, для
того чтобы число положительных корней было больше, чем число
отрицательных, надо чтобы существовал хотя бы один положительный корень,
меньший, или равный 2р. Сомнения может вызвать только корень х — 0.
Но тогда 2р — 0 = 2р есть тоже корень, и все доказано.
С помощью подсчета дискриминанта исходное уравнение легко
преобразуется к виду
(p(z-p)2-l)((x-p)2-l)-0,

Урок 40. Использование различных свойств функций 423
откуда легко находятся все его корни (при р > 0):
х —р — 1, х = р+ 1, £ = р +
х = р
р  р'
Осталось решить четыре двойных неравенства 0 ^ х ^ 2р, где вместо х
подставляются указанные корни. Как ни странно, все они эквивалентны
неравенству р ^ 1, на чем решение и заканчивается.
Ответ: р ^ 1. <
► Задача 9. Найти наибольшее значение а, при котором неравенство
(4)
ауЦя - 2ж + 1) +
ж
„ ^ Va? Isin I —x 11
2 -2z + l I 42 /I
имеет хотя бы одно решение.
Решение. По смыслу задачи а должно быть не меньше нуля. Ясно, что при
а = 0 неравенство имеет решения. Пусть а > 0 таково, что для некоторого
х неравенство (4) выполняется. Из х2 — 2х + 1 = (х — I)2 следует, что (4)
можно представить в виде
2
(fe(x-l)-JEA +2a^ №*т(^х)
Значит,
2а < va? sin (-^х)
2а
= 2Уа€
sin ( — х )
V2 /
Отсюда следует, что 2у/а ^ 1 <=>■ а ^ -к.
Мы установили, что если (4) имеет решение, то а ^ ^. Докажем, что
при а = j^ решение имеется.
В самом деле, при а = Л неравенство (4) принимает вид
— (х- I)2 + —
64Л ; + 4(z-l)2 ^ 8
1
£ -
. я"
sin —х
Непосредственно проверяется, что при х — 3 левая часть равна правой,
т.е. неравенство (4) имеет как минимум одно решение, и наше решение
закончено.
Ответ: -^. <
► Задача 10. Выяснить, справедливо ли неравенство у ^ 3,17, где у —
наименьшее на интервале (0,1) значение функции

424
Глава 9. Нестандартные задачи
/И 1 з
Решение. Докажем сначала, что для каждого х £ (0,1) число f(x) есть
наибольшее из чисел
1 3
(х + О, 003)°>45 И (1-гс)0-48"
В самом деле, при раскрытии модуля знак минус будет иметь меньшее
из этих двух чисел. Из-за этого оно сократится при раскрывании первой
скобки, и останется как раз наибольшее.
Функция (а+о 0*03Vg'J5 ' очевиДно! убывает на отрезке [0,1] и в нуле
принимает значение, равное (^)0'45 > 3000'45 > 1250'45 > 1251/3 = 5.
Функция (1 _Ли,4а на промежутке [0,1) возрастает и в нуле равна 3.
Кроме того, при х = 0,997 она превосходит 15 {см. предыдущую выкладку),
тогда как функция , +Q 0Q3)M5 B этой точке равна единице.
Теперь ясно, что найдется хо £ (0,1) такое, что
(я+о"ооз)с'''1В при х ^ ж°'
(1_-X3)-U,4ff При X > Х0,
причем будет
{0) У'~ (ж0+0(003)°.45 (1-х0)0'48'
Из того, что f(x) убывает при х € (0,х0) и возрастает при х е (хо,1),
следует, что именно в точке xq достигается минимум, равный у. Заметим,
что 3,172 = 10,0489 > 10. Поэтому если мы докажем, что у < /10, то
задача будет решена.
Преобразуем равенство (5), пользуясь тем, что 0,45 ~ ^ и 0,48 = Щ.
(Л _. t„U2/25
¥—Щ1 = (zo + O,003)9/20 <=» 1 - яго = 326/l2(2r0 + 0, 003)^20>^25/12>
<=> а:0 + 9-3^12(жо + 0,003)15/16 = 1 <=^
(6) * + 9-3I/I2-f15/16 = 1,003,
где t = xq + 0,003.
Из равенства (6) мы должны вывести, что
у < уТб <=> t9/20 > -L ^ t > 1 1
y/w ю10/9 ю-iove'
Мы докажем даже, что t > 0,08 > хскш1/»" Начнем с правого неравенства.
°'08 > ТоЛо^ ~ м > loH,/0, ^ 10'/в > I ~ (i)' < 10"
Действительно,
1,252 = 1.5625 < 1,6 => 1,25* <1,62 = 2,56 < 2,6 =»
=> 1,258< 2, б2 =6.76< 7=* 1,259< 1,25-7 < 10.

Урок 40. Использование различных свойств функций 425
Нам осталось доказать, что t > 0,08. Заметим, что левая часть равенства
(6) есть возрастающая функция от t, так что достаточно установить, что
при подстановке в (6) числа 0,08 вместо t получится число, меньшее чем
1,003.
Для наведения полной строгости я проведу рассуждение с конца.
Конечно же, на экзамене сразу догадаться до того, что будет в конце,
невозможно. Тем не менее, после того как в вашем решении все сойдется, лучше
оформлять его строго, т.е. рассуждая в нужном направлении.
Заметим сначала, что
(7) 34<83^34^3<8^31/12<81/1в.
Далее, 101/8 < Ц- — это легко проверяется с использованием неравенств
(8)
(11л >1,84>3,22>Ю.
Из (7) и (8) заключаем, что
ini/8 4I/12 11
10 ^ < Н 4=Ф 101'" • З1/12 • 815/16 < 11.
Поделив зто неравенство на 10, получим, что
о1/12 и15/16 З1/12 Я1^/16
цт/в <1'1 <=* 9- ют/* < 9^9 < 9,923
о 1/12 §15/16 ol/12 о15/16
*=* 9° Ю16/В <°'9923 <=> 9 - ° 10CJi5/ie <">9Э23 *=*
<=> 9-31/12-0,0815/16 < 0,9923 <^=» 0,08 + 9 • 31/12 ■ 0,081&/1ь < 1,003,
что и требовалось доказать.
Ответ: неравенство справедливо, м
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.
Заметьте, что я уже не отмечал задачи по уровням. Делать это для нестандартных
задач бессмысленно, так как перед ними все равны — и тот, кто поступает
на мехмат, и тот, кто сдает математику на филологическом факультете.
Домашнее задание
* 1. Решить неравенство (хх — 7х — 6) ■ sinz > 0.
► 2. Решить уравнение
/2х2 - Зх - 5 + xVx+ 1 + 5 = Wx + 1 + 2/2ic - 5 + 2х.
„ тл 2 + log3a; 6
► 3. Решить неравенство — — <
х - 1 2х - 1

426
Глава 9. Нестандартные задачи
► 4. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
lagi(y/x2 + ах + 5+ 1) -log5(:r2 + ах + 6) + log0 3 3*0
имеет ровно одно решение.
► 5. Решить систему
I (sinz)1'4"" + (cosx)y+y = 1,
[ 0 <а; <у < §
► 6. Найти все значения параметра а из интервала (2,5), при которых
уравнение bg2(3 — | smaa;|) = cos (тга; - |) имеет хотя бы одно решение
из отрезка [2,3].
7. Найти все а, при которых уравнение (a;tga; + lJ-^/M ~~ а — ^ПГ имеет
нечетное число корней.
►• 8. Доказать, что для любых р и t справедливо неравенство 2(2р — I)4 +
1 + (1 — 2(2р — l)4) sin 2t ^ 0, и найти все пары {р, t), при которых оно
обращается в равенство.
► 9. Среди всех решений (a,b,c,d) системы
( а2 + Ь2 = 9,
<! с2 + d2 = 16,
[ ad + be ^ 12
найти такие, при которых величина b + d принимает наименьшее
значение.
► 10. Найти все а, при которых функция f{x) = sin 2а; — 8(а-Ь 1) sina: + (4a2 +
8а — 14)х является возрастающей на всей числовой прямой и при этом
не имеет критических точек.
►11. Без помощи таблиц найти все х Е (—|, §), удовлетворяющие уравнению
log2 (sin За: - cos 2а: — ^) = log2 (sin 7а: — cos 6а; — ^) .
► 12. Что больше, log9 10 или log10 11?
► 13. Решить уравнение 3+2 «%(*-»> = v/З + 2а: - х2 ■ cos2 (*=*) + 5™!^zJ£l.
► 14. Решить уравнение log 2 (х2 — Ах — 2) = log 1 (х2 — Ах — 3).
15. Решить уравнение Лг + >/3 + 1 + J Ах — 5 + ^/Л;х+ 11 = 6.

Урок II. Удачная подстановка или группировка 427
Урок 41
Удачная подстановка или группировка
На уроке 2 мы решали задачи, близкие к нашей сегодняшней тематике.
Но то были исключительно тригонометрические уравнения. В принципе,
может так оказаться, что алгебраическое уравнение (или неравенство, или
система уравнений) решается какой-нибудь необычной группировкой,
приводящей к разложению на множители. Подчас самая необычная
подстановка может привести к простому решению задачи, над которой вы бились
часами.
Понятно, что общих рецептов здесь быть не может. Можно утешать себя
тем обстоятельством, что, в принципе, даже на экзамене можно перебрать
все возможные группировки членов уравнения и рано или поздно найти
ту, что требуется. Но это легко сказать. Когда в момент решения над
вами висит ответственность за свою будущую судьбу, все представляется
совершенно не так. как на уроке. Мой главный совет здесь — сохранить
спокойствие и душевное равновесие. Помните о том, что вероятность,
что вы найдете необычное решение, выше в два раза, если вы
уверены в себе и воспринимаете экзамен как ни к чему не
обязывающую игру. Вы снова скажете, что легко, мол, тут советовать, а как,
интересно, сам автор писал экзамен, когда был абитуриентом? Признаюсь
честно, я здорово волновался (это был 1975 год) и, кстати, понес за это
наказание. Я невнимательно прочитал условие простой планиметрической
задачи и вместо нее решил более сложную, за что и получил заслуженный
минус. К счастью, оценка снизилась всего лишь до четверки, так что автор
смог впоследствии стать математиком.
Но все-таки я настаиваю на том, чтобы вы уделили психологической
подготовке к экзамену самое усиленное внимание (вплоть до взятия нескольких
уроков йоги или аутотренинга). Если вы в этом преуспеете,
математический опыт, приобретенный при работе с этой книгой, я уверен, будет
достаточным для того, чтобы вы показали самые высокие результаты.
*■ Задача 1. Решить уравнение
х4 - 8>х3 + 17ж2 - 8а: + 1 = 0.
Решение. Довольно быстро можно убедиться, что корни угадать
невозможно. Однако ясно, что х не может быть равным нулю, так что уравнение,

428 Глава 9. Нестандартные задачи
деленное на ж2 равносильно исходному. Итак,
, 8 1
х2 - 8>х + 17 - - + -тг - О
X XL
г
а;2 + Л+2-8(а:+- I +15-0
х2  х/
г
( i2 / Iх
С я? И— | -8[аг+-) + 15 = 0
V ату V я/
я: Н— =3 или яг Л = 5,
X X
и дальше уже все ясно.
Ответ: х = ^, х = 5±Ж. „
► Задача 2. Для каждого а решить уравнение
х4 + бзг3 + (4 - 2а)х2 - (6а + 1)ж + а2 - а = 0.
Решение. Левую часть можно разложить на множители, если воспринять
ее как квадратный трехчлен от а. Перегруппировав уравнение по степеням
а, получим
(1) а2 - (2х2 + 6х- 1)а + х4 + 6х3 + 4х2 - х = 0.
Дискриминант (1), понимаемого как уравнения относительно а, равен
D = (2х2 +6х- I)2 - Цх4 + 6хг + Ах2 -х) = (4х - I)2.
Следовательно,
2а:2 + 6х - 1 ± (Ах - 1) о „ , з
а = - = хг + Ьх - 1, аГ + х.
Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде
(а - {х2 + х))(а - (х2 + 5х- 1)) = 0,
и, значит, оно эквивалентно совокупности уравнений эг2+аг — а — 0 и
х2 + Ьх — 1 — а = 0. Дальнейшее ясно.
Ответ: если а < — ^, то нет решений; если а = — ^, то ж — — |; если
-f < а < -J, то х = -^f5^; если а =_-±, то ar = ^§^, х - -|;
если а > -I, то я = -5*/29+4», g = -^^', «,
► Задача 3. Решить уравнение
ll + 2xVl~x2 9 л
/ т. + 2а:2 - 1.

Урок 41. Удачная подстановка или группировка 429
Решение. В ОДЗ уравнения входят только те х, для которых |а;| ^ 1. Пусть
х —- какое-нибудь решение уравнения. Тогда найдется t е [—f > f ] такое,
что х = sin*. Заметим, что /1 - х2 = v 1 — sin2 t = cost — мы выбрали
знак плюс перед косинусом, поскольку для t & [— §,§] имеем cos£ ^ 0.
Вспоминая, что 1 — 2 sin2 t = cos 2i, запишем наше уравнение в виде
1 + 2 sin t cos t
= cos 2t
г
sin2 t + 2 sin £ cos i + cos2 £
2
I sint + costl
= sin f2t + -J
+ COStl Л , / 7Г / 7Г
^^ = 2sm(t+i)cos(t+i)
lsin(*+i)h2sin(i+i)cos(i+i)-
Ясно, что вне зависимости от знака подмодульного выражения решением
уравнения будет любое t, для которого sin(i+|) = 0. Вспоминая, что
t € [—§,§], заключаем, что t = —j.
Пусть t £ [— |,— j). Тогда можно раскрыть модуль со знаком минус и
сократить на sin [t + |). Получим, что
cos(<+ib4
0,
поскольку при рассматриваемых t левая часть положительна.
Если < £ (—f, f ], то исходное уравнение равносильно тому, что
7Г
(<+;Н
cos t + - I - - «=> t =
— мы снова пользуемся тем, что t+  6 (0, ^-), а на этом промежутке
косинус принимает значение  только в одной точке (нарисуйте сами картинку
на тригонометрическом круге).
Итак, мы получили два решения исходного уравнения: х = sin ( — ^) =
Т и тг /l-cos| /2-уД
х = sin — = '' °
12
П /2 у/2-уД
Ответ: x-i — —^, х2 = •у—5—• •«
2 » -"-^ 2
► Задача 4. Сколько корней имеет на отрезке [0,1] уравнение
8ж(1-2ж2)(8ж4 -8а;2 + 1) = 1?

430
Глава 9. Нестандартные задачи
Решение. И здесь успешно работает тригонометрическая подстановка.
Если х — решение данного уравнения из отрезка [0,1], то х ф 0,1 и, значит,
найдется t е (0, |) такое, что х = sint. Подставим так представленное х в
уравнение:
8sint(l -2sin2t)(8sin4t-8sin2t + 1) = 1
г
~'lQS J -4(l-cos2t) + l) = 1
Ф
8sintcos2t(2(l-2cos2t + cos22i) -3 + 4cos2t) = 1
$
8sintcos2t(2cos22t-l) = 1
t
8sin£cos2tcos4£ = 1.
Из t G (0, |) следует, что умножение обеих частей уравнения на cost будет
равносильным переходом. Получаем, что
8 sin t cos t cos 2t cos At = cos t
t
4 sin 2t cos 2t cos 4£ = cos t
t
2sin4£cos4t = cost <=> sin8t = cost = sin ( t).
Пользуясь формулой, преобразующей разность синусов в произведение,
получим
2sin (?*+£) сое (?*+£)= 0,
откуда t = fj + |п7Г, t = — ^ + |п7Г, n G Z.
Мы должны выбрать такие целые п, чтобы t принадлежало интервалу
(0, |). Легко проверить, что для первой серии решений годятся лишь
п — 0,1, а для второй — п = 1 и п = 2. Сами решения искать не надо так
как в задаче спрашивается, сколько решений исходного уравнения лежит
на отрезке [0,1].
Ответ: четыре корня. <
► Задача 5. Найти все решения (x,y,z) системы
2х3 + ж2(24 - 2у - 2z) + ж(80 - yz - 10y - lOz) + 65 - 9y - 9z - 4yz = 0,
2x3 + z2(14 - 2y - 2z) - ar(4 + yz) - 30 + 5y + 5z + yz = 0
такие, что х G [3, 5].

Урок 41- Удачная подстановка или группировка 431
Решение. Обозначим у + z через a, a yz через Ь. Если считать х известным,
то получится линейная система относительно а и Ь:
Г {2х2 + Юяг + 9)а + {х + 4)Ь = 2а:3 + 24а;2 + 80а: + 65,
1 (2а;2 - Ь)а +{х- 1)Ъ = 2х3 + Ux2 -Ax- 30.
Из того, что 3 ^ х ^ 5, следует, что умножение первого уравнения на х — 1,
а второго — на i + 4 приводит к эквивалентной системе. В этой новой
системе вычтя из первого уравнения второе, получим, что
((2а:2 + 10а: + 9)(х - 1) - (2а;2 - Ъ){х + 4))а =
= (а; - 1)(2а;3 + 24а:2 + 80ж + 65) - {х + 4)(2а:3 + Ux2 - 4х - 30).
После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим уравнение
(4а: + 11)а = 4а:2 + 31ж + 55 = (4а; 4- 11)(х + 5) <^> а = х + 5;
мы опять воспользовались тем, что 3 ^ а: ^ 5. Подставив значение а во
второе уравнение, найдем Ь:
(ic-l)b = 2a:3 + 14ic2-4:r-30-(2:r2-5)(z + 5) = 4z2 + :c-5 = (4x + 5)(х- 1),
откуда находим, что Ь = 4а: + 5.
Вспомним теперь, что а = у + z и Ь — yz. Имеем систему
f y + z = x + 5, ( у = х + 5- z,
 yz = 4а; + 5  г1 - {х + b)z + 4а: + 5 = 0.
Для того чтобы второе уравнение системы можно было разрешить
относительно z, необходимо, чтобы дискриминант D = (х + 5)2 — 4(4а: + 5) был
неотрицателен, что имеет место при х £ (—оо, 1]U[5, +oc). Опять применяя
условие 3 ^ х ^ 5, заключаем, что х — 5. Теперь уже легко находятся у и z.
Ответ: х — у = z = 5. 4
► Задача 6, Доказать, что все решения неравенства
Vx~^l+ 'Jx2 - 1 > 2
удовлетворяют неравенству
х + 2fx~^ + л/а:4 - 2а:2 + 1 > 1 + 2 Лг2 - 1.
Решение. Пусть /х — 1 = а, лУз:2 — 1 = Ь. Тогда первое неравенство
приобретает вид а + Ъ > 2. Заметив, что ^а;4 - 2а:2 + 1 = Ь2, можно
переписать второе неравенство в виде
а2 + 2а + Ь2 - 2Ь > 0 <^=» (о + I)2 + (Ь - I)2 > 2.
Пусть а + 1 — р, ft — 1 = д. Достаточно доказать, что если р + q > 2, то
р2 + д2 > 2.

432
Глава 9. Нестандартные задачи
Заметим, что
p2 + q2>(P±l£ ^ 2p2 + 2q2>p2 + 2pq + q2 <=* (p-q)2>0,
и требуемое неравенство доказано.
Наконец,
p2 + q27? U Ч > у = 2,
и наша задача решена.
► Задача 7. Решить неравенство
у/х + Ь < 1 + V-x- 3 + y/{x + 5){-x-Z).
Решение. Перепишем наше неравенство в виде
л/хП> - V-x-З < 1 + y/(x + 5)(-x-S).
Если левая часть ^ 0, то любое х из ОДЗ будет решением. ОДЗ состоит из
таких х, что — 5 ^ х ^ —3. Левая часть отрицательна при — 5 ^ х ^ —4 —
это и есть первая часть ответа.
При х > —4 при возведении неравенства в квадрат получим ему
эквивалентное:
х + 5-2у/(х + 5)(-я: - 3) + (-э;-3) = l + 2^/(ar + 5){-х - 3) + (ж + 5)(-а:-3)
Ф
(я: + 5)(-z - 3) + 4^/(1+ 5)(-ж-3) - 1 > О
^/{х + Щ-х-З) е (-оо, -2 - у/Ъ) U (/5 - 2, +оо)
t_
у/(х + Ь){-х-Ъ) > у/Ъ - 2;
мы выбрали второй из лучей, поскольку корень квадратный не может
быть меньше нуля. В области допустимых значений последнее неравенство
можно возвести в квадрат. Получаем
х2 + $х + 24 - А/1 <0^же(-4- ]Ау/1 - 8, -4 + ] Ау/Ъ - 8 J .
Вспоминая, что мы рассматриваем случай х > —А, заключаем, что второй
кусок ответа имеет вид х € (—4, —4 + v Ал/5 — 8).
Ответ: -5 < х < —4 + у/Ау/Ъ - 8. <
► Задача 8. Решить в целых числах уравнение
2х2 + Ъху + Зу2 + Ъх + 8у = 7.
Решение. Легко убедиться, что уравнение можно переписать в виде
(х + у + 3)(2х + 3у- 1) = 4.

Урок 41- Удачная подстановка или группировка 433
Почему именно такой вид надо искать? Заметим, что в скобках стоят целые
числа, произведение которых равно четырем. А таких чисел очень немного.
А именно, если ab = 4, где а и Ъ — целые числа, то либо а = 4, b = 1,
либо а = 2,6 = 2, либо а — 1,6 = 4, причем для завершения списка
нужно взять еще и пары (-4, -1), (—2, —2), (-1, —4), которые получаются
из положительных заменой знаков. Остается решить шесть систем:
f x + y + Z = 4, f х + у + 3 = 2, ( х + у + 3 = 1,
12х + Зу-1^1,  2z + 3y-1^2, 2:г + Зу-1 = 4,
( х + у + 3^-4, { х + у + 3 = -2, Гж + у + 3=-1,
 2яг + Зу — 1 = —1,  2:г + Зу-1 =-2, I 2z + 3y- 1 = -4.
Ответ: (1,0); (-6,5); (-11, 9); (-27, 20); (-8,5); (-9,5). «
►■ Задача 9. Решить в целых числах уравнение
9х2у2 + бжу2 - 9£2у + 2х2 + у2 - 18ху + 7х - 5у + 6 = 0.
Решение. Перепишем это уравнение как квадратное относительно ж,
считая у известным:
(9у2 - 9у + 2)х2 + (бу2 - 18у + 7)х + у2 - 5у + 6 = 0.
Дискриминант его равен
D = (бу2 - 18у + 7)2 - 4(9у2 - 9у + 2){у2 - Ъу + 6) = 4у2 + 4у + 1 = (2у + I)2.
Теперь уже легко находится связь между х и у:
= -(6у2-18у + 7)±(2у+1)
Х 2(9у2-9у + 2)
Отметим, что при целых у выражение 9у2 — 18у + 2 не обращается в нуль
(т.к. корни этого трехчлена не целые) и делить на него можно.
Если в выражении для х выбран знак плюс, то получаем
{2) . = -(6у2-18у + 7) + 2у+1 = ~(у-3)(Зу-1) = -у + 3
{ ' Х 2(9у2 _ 9у + 2) (Зу - 1)(3у - 2) Зу - 2 '
Мы произвели сокращение на Зу — 1, поскольку при целых у это выражение
не равно нулю.
Аналогично если взят знак минус, то получаем
= -(6у2-18у + 7)-2у-1 = -(у-2)(Зу-2) = -у + 2
1 } Х 2(9у2 - 9у + 2) (Зу - 1)(3у - 2) Зу - Г
Итак, исходное уравнение эквивалентно совокупности двух, получившихся
в (2) и (3).
Решим в целых числах уравнение —х — ^v_l- Ясно, что пара (0,2) есть
его решение. Пусть у > 2. Тогда числитель и знаменатель правой части
положительны и у — 2 < Зу — 1 Ф=Ф> у > — , т.е. знаменатель всегда

434
Глава 9. Нестандартные задачи
больше числителя. Значит, эта дробь не может быть целым числом при
у > 2. Если у = 0, то х = —2. Значение у = 1 не подходит. Если у < О,
то дробь положительна, причем модуль числителя строго больше модуля
знаменателя, так что ни одного решения с у < О уравнение (2) не имеет.
Пусть теперь —х = fzz^- Аналогичными рассуждениями можно
установить, что целые решения этого уравнения есть (0, 3) и (2,1).
Ответ: (0,2), (2,1), (0,3), (-2,0). ^
► Задача 10. Найти все тройки целых чисел (р, q, s), для которых
выполняется соотношение
Ар2 + 3g2 + 5s2 - 24q - 1 = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде
4p2 + 3(g-4)2+5s2 = 49.
Здесь нужно искать решения перебором, сократив предварительно число
перебираемых вариантов.
Ясно, что 4р2 ^ 49 <=4- 2р < 7 -Ф=Ф |р| < 3„ — мы воспользовались
тем, что р — целое число.
Аналогичным образом
3{q - 4)2 < 49 => (? - 4)2 ^16 <=> q - 4| < 4.
И, наконец,
5s2 < 49 => s2 < 9 <!=> |в| < 3.
Перед тем, как приступить к перебору, полезно заметить, что в любом
решении (р, q, s) знаки чисел р, (q — 4) и s можно менять независимо друг
от друга, и тройка все равно останется решением. Следовательно, можно
искать лишь такие тройки (p,q,s), что р^0, q ~ 4^0, 5^0.
Я не буду приводить здесь перебор. Отмечу только, что есть
единственная тройка (р, q, s) с неотрицательными р, q—4 и st а именно, тройка (1,4, 3).
Ответ: (1,4,3), (-1,4,3), (-1,4,-3), (1,4,-3). *
Наш урок окончен. Работающие на уровне 3 ставят себе оценку
стандартным образом. Для уровня 2 стандарт уменьшается в два раза, т.е.
пятерка ставится за 5 задач, четверка — за три задачи и «плюс-минус»,
тройка — за две задачи и еще что-нибудь (хотя бы «минус-плюс»).
Для уровня 1 оценка ставится по стандарту исходя из числа хорошо
понятых решений, приведенных мной. При этом самостоятельно решенная
задача засчитывается за два понятых решения.

Урок 41- Удачная подстановка или группировка 435
Домашнее задание
► 1. Решить уравнение х4 — 4z3 + х2 + 4z + 1 = 0.
► 2. Решить уравнение х4 + х3 — 2х2 — За; — 3 = 0.
► 3. Решить неравенство 5ж + 13 + ЮЛг + 2 ^ 4Лг2 + ж - 2 + 5л/х - 1.
► 4. Решить в целых числах уравнение 5а:2 + у2 + 3z2 — 2yz — 30.
► 5. Найти наименьшее х, для которого существуют у и z такие, что
х2 + 2у2 + z2 + ху — xz — yz = 1.
► 6. Пусть тип — натуральные числа, ^ — правильная несократимая
2л,—т
Зп+2т
дробь. Известно, что дробь l^J^L, сократима на натуральное fc > 1.
Найти все возможные к.
► 7. Решить уравнение
Ъ-х2 - 2у2 + 2г2 + 10* + 6у + ^-х - 17+
+ у За;2 - 2/3(cos Try + cos 7rz)a; + 4 = 0.
8. Решить неравенство л/(ж — 5)(—х + 7) + 1 > —]х — 5 + А— ж + 7.
►• 10. Решить в целых числах уравнение Ъх2у2 - Ьух2 + 28у2ж + х2 + 5у2
► 9. Решить неравенство /9_f<^_v/^-|-
Решить в целых числах ;
ZSxy + 8х- 24у + 16 = 0.
► 11. Решить уравнение (х2 - За; + 1)(а;2 + За; + 2)(а;2 - 9а; + 20) = -30.
► 12. Для каждого а ф 0 решить уравнение ж3 — Зж = а + ^.
► 13. Решить уравнение loga./4(a;2) - log8;r(a:3) — 0.
►
14. Решить уравнение (х + 1)(а; + 2){х + 4) (а; + 5) = 10.
►■ 15. Решить уравнение (а; - ){х — 2){х — 4)(ж - 8) = 7а;2.
► 16. Решить уравнение i + STT + ^a+^+i + ^i^0-
► 17. Решить уравнение z + ;  = Щ.
*■ 18. Решить уравнение 3cosz + sin а; — tg |.
► 19. Решить уравнение (а; + i)i°s3(*2+*) _ ^2 + а.у0§3(2-1)_
► 20. Решить уравнение (а;2 + 4а; + 8)2 + За:3 + 14а;2 + 24а: = 0.

436
Глава 9. Нестандартные задачи
Урок 42
Геометрический подход
На сегодняшнем уроке речь пойдет о решении негеометрических задач
геометрическими методами. Точнее было бы назвать эти методы
координатными, поскольку применение их состоит в изображении на
координатной плоскости графиков и множеств, относящихся к заданной ситуации, и в
зависимости от геометрических свойств последних, упрощение
рассматриваемой задачи.
Нам потребуется хорошее владение построением множеств на плоскости,
так что проверьте себя, решив две первых и две последних задачи урока 25.
Если есть проблемы, повторите этот урок, пожалуйста.
► Задача 1. При каких а система
Г х2 + у2 = z,
 х + у + z — а
имеет единственное решение?
Решение. Ясно, что система имеет единственное решение тогда и только
тогда, когда уравнение
х2 + у2 + х + у = а «=> fz+jj) +{y+2J "a+2
имеет единственное решение.
Но множество точек, задаваемых на плоскости этим уравнением, пусто
при а < -£, состоит из одной точки при а = — | и является окружностью
с центром (—|, —|) радиуса da +  при а > —^, т.е. имеет в этом случае
бесконечное множество решений. Теперь уже ясно, каков в этой задаче
Ответ: при а — — ^. -4
► Задача 2. Среди всех решений неравенства у — х > х2 + 1 найти те, для
которых у — 2х принимает наименьшее значение.
Решение. Перепишем наше неравенство в виде у ^ х2 + х + 1. Множество
точек на плоскости, задаваемое последним неравенством, лежит выше
параболы у = х2 + х + 1 и на ее границе (см. рис. 1).
Предположим, что величина у — 2х принимает какое-то значение С.
Множество всех точек плоскости таких, что у — 2х — С, лежит на прямой,

Урок 42. Геометрический подход
437
причем с ростом С эта прямая движется параллельно себе снизу вверх (см.
рис. 1).
Точки, удовлетворяющие исходному неравенству и лежащие на прямой
у — 2х = С, найдутся только в том случае, если эта прямая пересекает
параболу. Понятно, что С примет свое наименьшее значение Со, если
прямая у — 2х = Со касается параболы в некоторой точке Xq.
х=-1/2
2у=С/ /
.
/ 0
У / >^У=со
*о
Рис. 1 Рис. 2
Уравнение касательной к параболе у = х2 + х + 1 в точке Xq имеет вид
у = xl + х0 + 1 + (2£о + 1)(ж - х0) = {2х0 + 1)ж + 1 - х20.
Из того, что эта касательная совпадает с прямой у = 2х + Со, следует,
что 2жо + 1 = 2 <=> Жо = |. Теперь уже легко найти, что Со = | и
уо = х1 + х0 + 1 = 1.
Ответ: (|, ). <
► Задача 3. При всех значениях параметра а решить уравнение
х + 1| + ах — 2| = 3.
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде ах—2| = 3—|ж+1|. График
функции у = 3 — х + 1| изображен на рис. 2. Это «уголок» с вершиной
А = (—1,3) и лучами, идущими вниз. Здесь же нарисованы всевозможные
графики функций у = ах — 2| при различных а.
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
♦У / » а|1Л ч
У=««|х-ч / y=aj^2|

438
Глава 9. Нестандартные задачи
Эти графики — «уголки» с вершиной в точке (2, 0). При этом если а = 0,
то «уголок» вырождается в прямую у = 0. Если а > 0, то график лежит
выше оси абсцисс, если а < 0, то стороны «уголка» смотрят вниз.
График функции у — 3 — |х + 1| тоже проходит через точку (2,0). При
этом если а > 1, то стороны уголка идут вверх круче, чем проходящая
через точку (2, 0) прямая графика у = 3 — |ж + 1|, так что графики имеют
лишь одну общую точку х = 2. То же самое имеет место, если а < —1, но
при этом стороны уголка идут вниз круче, чем лучи графика у = 3 — х + 1|.
На рисунке 2 эти два случая изображены с помощью графиков у — а\х — 2
и у - а$х - 2.
Если а = 1, то общая часть графиков есть отрезок от точки А до точки
(2,0). Значит, в этом случае решениями исходного неравенства будут все
х€ [-1,2].
Если — 1 < а < 1, то кроме точки (2,0) график у = ах — 2| пересекает
график у = 3 — х + lj еще в одной точке на луче, лежащем левее прямой
х = -1 (на рисунке 2 это иллюстрируется графиком у = а2х — 2|). Эта
вторая точка легко находится из равенства х + 4 = 2а — ах -£=£• х — 2о°" t4.
И, наконец, если а = — 1, то графики имеют общий луч, начинающийся в
точке (2,0) и лежащий правее прямой х = 2. Значит, в этом случае ответ
будет х ^ 2.
Ответ: если а > 1, то х — 2; если а = 1, то — 1 ^ х < 2; если о — —1, то
х ^ 2; если |а| < 1, то х =2, ж2 = ^гр ■ •«
* Задача 4. При каких Ъ система
Г z2 + У2 = 2,
I |у| -х = Ь
имеет ровно три решения?
Решение. Множество точек плоскости, удовлетворяющих первому
уравнению, есть окружность радиуса /2 с центром в начале координат.
Множество точек, задаваемое вторым уравнением, есть уголок, вершина
которого находится в точке (—Ъ,0), а стороны состоят из той части прямых
у = ±(х + Ь), которая лежит левее прямой х = —Ь (см. рис. 3).
Из геометрических соображений ясно, что множества будут иметь ровно
три общие точки только в случае, когда вершина уголка попадет в точку
(Vz,0) (отмеченную нарис.З как —Ь). При — Ь < — /2шш— Ь> —Ьз система
решений иметь не будет, при — л/2 < — b < —fti и — Ь = —Ьз она будет иметь
два, решения, а при —bi < —b< —Ь2 решений будет четыре.
Ответ: при Ь = —/2. -4
► Задача 5. Найти все пары (ж, у) такие, что
j log2_x(2-y)>0,
I log^x - 2) > 0.

Урок 1^2. Геометрический подход
439
Решение. Первое неравенство системы равносильно совокупности двух си-
СТ6М Г 2 - я: > 1, [0<2-К1,
2-у>1 И о<2-у<1.
Множество на плоскости, задающее указанную совокупность,
заштриховано горизонтальными линиями на рис. 4.
Второе неравенство системы дает следующую совокупность систем:
[4-у>1, f 0<4 —у<1,
 2яг-2 > 1 И<2а:-2<1.
Множество, задаваемое этой совокупностью, изображено на рис. 4
вертикальной штриховкой.
Ясно, что пересечение этих множеств есть прямоугольник с вершинами
(§, 1), (2,1), (2,2), (§, 2), так что теперь легко выписывается ответ.
Ответ: |<х<2, 1<у<2. <
► Задача 6. Найти все а, при которых неравенство 3 — х — а > х2 имеет
хотя бы одно отрицательное решение.
Решение. Исходное неравенство удобнее переписать в виде 3 — х2 > х — а.
На рисунке 5 изображена парабола у = 3 — х2 и графики у = х — а для
трех различных а.
С изменением а уголок у = jar — a скользит по оси абсцисс. Точка а
характеризует тот момент, когда луч у = х ~ а, х ^ а уголка касается
параболы в некоторой точке А. Ясно, что если а < а, то неравенство
решений иметь вообще не будет, т.к. график у = х — а будет лежать строго
выше графика у = 3 — х2. Точка аз взята так, чтобы луч у = аз — х, х < аз
проходил через точку В = (О,3). Ясно, что только тогда, когда а < а < аз,
найдется точка на параболе у = 3-х2, которая имеет отрицательную
абсциссу и лежит выше точки с той же абсциссой, лежащей на графике
у = |ж —'а|, т.е. отрицательное решение исходного неравенства.
Нам осталось найти а и аз- Проще находится аз- Действительно,
лучи уголка у — х — аз наклонены к оси абсцисс под углами 45° и 135°,
откуда заключаем, что треугольник с вершинами (0,3), (0,0) и (аз^О)
равнобедренный, так что аз = 3.
Уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой хо имеет вид
у — 3 - х% — 2xq{x — xq) = — 2х0х + Zq + 3.
Из того, что эта касательная совпадает с прямой у = х — аь следует, что
х0 - - и ai - -Xq - 3 = ~х-
Ответ: - ^ < а < 3. <

440
Глава 9. Нестандартные задачи
*■ Задача 7. Найти все а, при которых минимум функции
f(x) = x-a + 2х + а2
больше единицы.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда
а2
-— < а <=> а е (-оо,-2) U (0,+оо).
В этом случае график f(x) будет иметь вид как на рис. 6.
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Это легко проверяется раскрыванием модулей. Значит, минимальное
значение f(x) при таких а достигается в точке х — — у. Подставим это
значение в f(x) и запишем тот факт, что минимум больше единицы:
а
Т
> 1
+ а > 1 <=> а е (-оо, -1 - у/Ъ) U (-1 + /Ь, +оо).
Легко видеть, что все полученные а входят в рассматриваемую область
а < — 2 или а > 0.
2
В случае, когда —  = а 4=^- а = 0, 2, имеем f(x) = 3х — а (см. рис. 7).
Здесь минимум f(x) равен нулю, так что эти а не подходят.
2
Пусть, наконец, а < — ^- <=> a G (—2,0). График f(x) для этого случая
изображен на рисунке 8.
2
Мы видим, что опять минимум f(x) принимается в точке —у- Найдем
те а, при которых он больше 1:
— а
> 1 <=> -— - а > 1 <=> а е 0.
Ответ: a G (—оо, —1 — /5) U (—1 + у/Ъ, +оо). -4
► Задача 8. При каких а уравнение ||х| — а = а2 имеет ровно два решения?
Решение. Ясно, что в случае, когда а = 0, уравнение имеет ровно одно
решение. Предположим, что а < 0. Тогда выражение, стоящее под внешним
модулем, будет положительно и этот модуль можно опустить. График
функции у = х — а изображен для таких а на рис. 9.

Урок 42. Геометрический подход
441
Исходное уравнение будет иметь два решения тогда и только тогда,
когда прямая у = а2 будет пересекать уголок в двух точках. Ясно, что
это произойдет тогда, когда а2 > а <=>■ а < —1.
График левой части при а > 0 изображен на рисунке 10. Горизонтальная
прямая либо пересекает этот график в двух точках (если она лежит выше
прямой у = а), либо совпадает с осью абсцисс. Но у нас а > 0, так что
прямая у = а2 не может совпадать с осью абсцисс. Значит, остается случай,
когда а2 > а <Ф=> а > 1.
Ответ: при а > 1. <
► Задача 9. Решить уравнение х5 + х = tyx — 7.
Решение. На рисунке 11 изображены грубые эскизы графиков у = х5 + х и
у = /х — 7. Их вид подсказывает, что они пересекаются в одной точке, но
это, конечно, надо строго доказать, не ссылаясь на графики.
Заметим, во-первых, что при х = — 1 значения функций у = х5 + х
и у = /х — 7 совпадают. Для того, чтобы доказать, что других точек
пересечения у графиков нет, мы установим, что при х > — 1 будет
(1) х5 + х > х - 1 > /х-7,
а при х < — 1, наоборот,
(2) V^^7 > х - 1 > х5 + ж.
Докажем, что имеют место неравенства (1). Если х > —1, то ж5 > —1,
откуда следует, что х5 + х > х — 1.
Кроме того,
(ж - I)3 - (х - 7) = х3 - Зж2 + 2х + 6 = (ж + 1)((а: - 2)2 + 2),
откуда следует, что х — 1 — -(/^ — 7 больше нуля при ж > — 1 и меньше нуля
при х < —1. Этим установлено неравенство (1) и левое из неравенств (2).
Осталось доказать, что при х < — 1 будет х5 + х < х — 1 <=> £5 < —1, а
последнее неравенство, очевидно, выполняется.
Итак, задача полностью решена.
Ответ: х = — 1. <

442
Глава 9. Нестандартные задачи
► Задача 10. При каких а и Ь система
а2х — by = а2 — Ь,
Ьх - Ь2у = 2 + 4Ь
имеет бесконечно много решений?
Решение. Ясно, что при 6 = 0 второе уравнение (а значит, и система)
решений не имеет. Значит, можно считать, что Ь ф 0 и поделить первое
уравнение системы на Ь, а второе — на Ь2. Тогда нашу систему можно
переписать в виде
Каждое из уравнений получившейся системы задает прямую. Система
имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда эти прямые
совпадают. А это, в свою очередь, имеет место, если и только если
^ = т
ь Ъ>
о2 , I _ 4 2
~~Т + 1 - ~Ь ~ W'
Последняя система легко решается: а = ±1, b = — 1, —2.
Ответ: а — ±1, b = — 1, —2. <
Наш урок окончен. Оценка выставляется стандартным образом.
Домашнее задание
► 1. Решить уравнение х2 + 2х + 3 — л/4 — х2.
► 2. Среди решений (ж, у) системы неравенств
' х + 2у ^ 3,
2ж — J/ За 1,
ж ^ О,
найти все те, для которых выражение х2 +у2 принимает максимальное
значение.
►■ 3. Известно, что х + у + z = 1. Найти наименьшее значение выражения
х2 +у2 +z2.
► 4. Верно ли, что уравнение logw16x = 16_г имеет ровно один корень?
6 — Зх+1 10
► 5. Решить неравенство >
х 2х — 1
► 6. При каких а уравнение ах — х — х + 2| = | имеет не менее двух
решений?

Урок 4%' Геометрический подход
443
► 7. При каких а неравенство
х2 + у2 ^ 6z - 4у + а2 + а - 13
имеет не менее пяти целочисленных решений?
► 8. При всех значениях параметра а решить неравенство
у/х+ 1| ^ а- х.
► 9. При каких а уравнение хх— 2а — 1 — а = 0 имеет единственный корень?
► 10. Найти наименьшее значение функции
f(x, У) = jx2 + У2 + х + У + ~ + i/ж2 + у2 - 2х + 4у + 5.
► 11. Найти все а, для которых неравенство
1 + х — а > х2
имеет хотя бы одно решение, большее единицы.
► 12. При каких а система неравенств
' х + у ^ 3,
х ^ О,
У + 2z ^ 2,
у + Ах ^ а
имеет единственное решение?
► 13. При каких а уравнение
— 1 х
log2 VSx + -1 log2 x + x-3 = a+-
имеет единственное решение?
► 14. Найти все а, при которых функция
f{x) - jar- а + 1| + |зг+ 3а[
является четной.
► 15. Найти все а, для которых уравнение aar2+jz| — |аг+1| не имеет решений.

Глава 10
Стереометрия
Стереометрия — это геометрия в пространстве. Во многом задачи по
стереометрии редуцируются к геометрическим задачам на плоскости,
поскольку обычно требуемые элементы можно найти, сведя исходную задачу к
нескольким планиметрическим. Предмет следующих (и последних!) восьми
уроков и состоит в том, чтобы научить вас это делать.
Отмечу еще, что при решении стереометрических задач как никогда
важно строго обосновывать все свойства рассматриваемых элементов —
доказывать, к примеру, что высота пирамиды проходит через указанную
вами точку, что центр описанного или вписанного шара лежит так, как
у вас на чертеже, и т.п. Легко видеть, что доказывать геометрические
свойства фигур в пространстве труднее, чем на плоскости. Например, если
прямые на плоскости не пересекаются, то они параллельны. В пространстве
этого уже мало — чтобы проверить параллельность прямых, надо
доказывать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Еще одна трудность, с которой сталкивается абитуриент при решении
задачи по стереометрии, состоит в том, что часто невозможно сколько-
нибудь полно изобразить условие задачи на чертеже. Это бывает, когда
рассматривается, например, сфера, необычным образом связанная с
многогранником, — например, сфера, касающаяся всех ребер тетраэдра. А если
еще сказано, что некоторая плоскость касается этой сферы, да еще что
в сечении ею тетраэдра получится то-то и то-то с такими-то свойствами,
изобразить это становится совсем невозможно. В таком случае главное —
не пугаться. Если изобразить невозможно, значит, скорее всего и не нужно.
У сферы, как правило, достаточно изображать только центр и важнейшие
точки, через которые она проходит. Если на одном чертеже все не
умещается, можно сделать два. Все равно в любой данный момент рассмотрения
задачи вам нужен какой-то один элемент или его свойства. Поэтому вполне
достаточно подробно начертить этот элемент, забыв временно про
остальные.
Пожалуй, из общих ценных указаний это все. Перехожу к изложению
основных теорем и формул стереометрии.

II. Основные формулы стереометрии
445
I. Основные теоремы стереометрии
1. Теоремы о параллельности прямых и
плоскостей
а) Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости,
то она параллельна самой плоскости.
б) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой
плоскости и пересекает эту другую плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна первой прямой.
в) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью,
то получившиеся две линии пересечения параллельны.
г) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны
соответственно двум пересекающимся прямым второй плоскости, то эти
плоскости параллельны.
2. Теоремы о перпендикулярности прямых и
плоскостей
а) Для того, чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости,
необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна к двум произвольным
непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости.
б) Для того, чтобы прямая DE, лежащая в
плоскости 7г, была перепендикулярна наклонной АС к
этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
DE была перпендикулярна к ее проекции ВС (см.
рис. 1). (Это чуть более общая теорема, чем та,
что в школе называется теоремой о трех
перпендикулярах. Я для краткости буду называть эту Рис. 1
теорему теоремой о трех перпендикулярах).
в) Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то
они параллельны.
г) Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они
параллельны.
д) Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных
плоскостей, то она перпендикулярна и к другой.
е) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости,
то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
3. Скрещивающиеся прямые
а) Угол между скрещивающимися прямыми А; и I определяется как угол
между прямой А; и любой прямой, пересекающейся с А; и параллельной /.

446
Глава 10. Стереометрия
6) Расстояние между скрещивающимися прямыми находится как
расстояние от одной из этих прямых до шгоскости, содержащей другую прямую
и параллельной первой прямой.
4. Круглые тела
а) Если из точки, лежащей вне сферы, к этой сфере проведены две
касательные, то длины их равны.
б) Если из точки А, лежащей вне сферы, к сфере проведены секущая
ABC (В и С — точки ее пересечения со сферой) и касательная AD, то
ABAC = AD2.
в) Если дана сфера с центром О и плоскость тг касается сферы в точке
А, то радиус О А перпендикулярен плоскости тт.
II. Основные формулы стереометрии
1. Призма
а) Площадь боковой поверхности призмы равна боковому ребру,
умноженному на периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной
боковым ребрам.
б) Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
в) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру ее
основания, умноженному на высоту.
2. Пирамида
а) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее
основания на высоту (т.е. V = | • S ■ Я, где S — площадь основания, а Я —
высота).
б) Объем усеченной пирамиды с площадями оснований S и S2 и высотой
Я равен V - i(Si + S2 + y/S^)H.
в) Объем любого многогранника (и, в частности, пирамиды), описанного
около шара радиуса Я, равен V = hSR, где S — площадь полной
поверхности многогранника.
3. Цилиндр
а) Площадь боковой поверхности цилиндра равна S — 2тгЛЯ, где R —■
радиус основания и Я — высота.
б) Объем цилиндра равен V — тгЛ2Я
4. Прямой круговой конус
а) Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса с радиусом
R и высотой Я равна irR/R2 + Я2.

Урок 43- Тривиальные задачи
447
б) Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
S = тг(Й1 + Да)!,
где i?i и Лг — радиусы оснований, a L — образующая.
в) Объем (не обязательно прямого кругового) конуса равен V = |5Я,
где S — площадь основания, Я — высота.
г) Объем усеченного конуса равен V — |(;?i + 52 + /SiS2)H, где Si и 52
— площади оснований и Я — высота.
5. Сфера, шар
а) Площадь сферы равна S = 4тгЛ2, где R — ее радиус.
б) Площадь шарового сегмента равна 2тгйЯ, где Н ■— высота сегмента.
в) Объем шара равен V = |тгЯ3.
г) Объем шарового сегмента равен V = irH2(R — у).
Урок 43
Тривиальные задачи
Именно с таких задач нужно начинать работать со стереометрией.
Многие из них могут служить маленькой частью решения более сложной задачи,
а рассуждения, которые в них применяются, весьма поучительны, так как
показывают, что и как надо обосновывать в стереометрических задачах.
Напомню вначале, что пирамида называется правильной тг-угольной,
если ее основание есть правильный га-угольник, а все боковые ребра равны.
► Задача 0. Доказать, что пирамида является правильной n-угольной, если
и только если основание ее есть правильный n-угольник, а высота проходит
через центр основания.
Решение. Пусть Аг,... Ап — вершины основания и S — вершина пирамиды.
Предположим, что пирамида правильная и I — длина ее бокового ребра.
Пусть Я — точка пересечения высоты пирамиды с плоскостью основания.
Докажем, что расстояние от Я до любой из вершин основания одно и то
же.
Действительно, если А^ — произвольная вершина основания, то SH X
Л^Я, так как SH, будучи высотой пирамиды, перпендикулярно любой
прямой, лежащей в плоскости ее основания. Значит, треугольник A^SH
прямоугольный и по теореме Пифагора имеем
НАк = yjSA - SH2 = у/р - 5Я2,

448
Глава 10. Стереометрия
откуда видно, что полученная величина не зависит от к. Значит,
расстояния от Н до всех вершин пирамиды равны, т.е. Н — центр описанной
окружности, совпадающий с центром основания.
Мы доказали, что если пирамида правильная, то ее высота
проектируется в центр основания. Обратно, пусть SH — высота пирамиды, где Н —
центр основания. Этот центр совпадает с центром описанной окружности,
так что
HAi = НА2 = ...- НАп = г.
Значит, для любого к боковое ребро, соединяющее вершины S и Ак равно
по теореме Пифагора (см. предыдущий абзац)
y/SH2 + АкН2 = y/SH2 + г2,
так что длина к-ro бокового ребра не зависит от к. Значит, все эти ребра
равны и мы доказали, что пирамида правильная, закончив, тем самым,
решение нашей задачи.
► Задача 1. Доказать, что в правильной треугольной пирамиде
скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны.
Решение. Пусть SABC — правильная пирамида с вершиной 5. Докажем,
например, что АВ A. SC. Пусть О — центр основания. Тогда SO — высота
пирамиды и прямая СО есть проекция наклонной SC. По теореме о трех
перпендикулярах достаточно доказать, что АВ ± СО. Но это, очевидно,
имеет место, ибо треугольник ABC правильный и СО — биссектриса угла
АС В. Задача решена.
► Задача 2. Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S.
Плоскость л- проходит через боковое ребро SA и высоту SO пирамиды.
Доказать, что плоскость тг перпендикулярна грани SBC.
Решение. Согласно предыдущей задаче имеем SA ± ВС. Кроме того, SO _L
ВС как высота в пирамиде, перпендикулярная всем прямым плоскости
ABC. Мы видим, что прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся
прямым SA и SO плоскости тт. Значит, ВС J. тт. Плоскость SBC содержит
прямую ВС, перпендикулярную плоскости тт. Значит, SBC J. тг, что и
требовалось доказать.
► Задача 3. Пусть SABC — правильная треугольная пирамида. Из точки
А ее основания опустим перпендикуляр на плоскость SBC — пусть он
пересекает ее в точке Р. Доказать, что Р лежит на апофеме пирамиды,
т.е. на высоте треугольника SBC
Решение. Относительно плоскости SBC отрезки АВ и АС есть наклонные,
а ВР и СР — их проекции. Треугольник ABC правильный, так что
АВ — АС. По теореме Пифагора
СР = V'АС2 - АР2 - у/АВ2 - АР2 - ВР.

Урок 43. Тривиальные задачи
449
Мы видим, что расстояния от Р до точек В и С равны. Значит, точка
Р лежит на серединном перпендикуляре к прямой ВС, совпадающем с
апофемой пирамиды, и все доказано.
► Задача 4. Доказать, что центр О сферы, вписанной в правильную
треугольную пирамиду SABC (S — вершина), лежит на высоте SH пирамиды.
Решение. Центр вписанной сферы равноудален от всех граней пирамиды.
Отсюда следует, что он лежит на пересечении биссектральных плоскостей
двугранных углов при ребрах SA,SB и SC. Мы докажем, что плоскость
тг, проходящая через ребро SA и высоту SH, является биссектральнои для
двугранного угла, образованного плоскостями SAC и SAB. Аналогичным
образом плоскость SHC окажется биссектральнои для двугранного угла
при ребре SC, так что О будет лежать на пересечении плоскостей SHA и
SCH, которое есть в точности высота пирамиды.
Итак, доказываем, что плоскость тг является
биссектральнои (см. рис. 2). В треугольнике SAC
опустим высоту из вершины С, а в треугольнике SBA
опустим высоту из вершины В. Треугольники SAC и
SB А равны, так что перпендикуляры пересекут
прямую SA в одной и той же точке К. Угол ВКС есть, д
очевидно, линейный угол двугранного угла при ребре
SA. Кроме того, прямая SA перпендикулярна
плоскости ВКС, будучи перпендикулярной двум ее пересекающимся прямым
СК и ВС. Плоскость тг проходит через прямую 5.4, так что она
перпендикулярна плоскости ВКС. Пусть D — точка пересечения плоскости тг с
прямой ВС. Ввиду того, что D есть пересечение прямой АН со стороной
ВС, точка D есть середина отрезка ВС.
Плоскости тг и ВКС пересекаются по прямой KD. В треугольнике ВКС
имеем ВК — КС, так что KD — биссектриса угла ВКС. Из
перпендикулярности плоскостей тг и ВКС следует, что угол DKC есть линейный угол
двугранного угла, образованного плоскостями SAC и тт. Аналогично угол
DKB есть линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями тг
и SAB. Но эти линейные углы равны и плоскость п является
биссектральнои, что и требовалось доказать.
► Задача 5. Пусть в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S
и основанием ABC угол AS В = а < |тг. Найти двугранный угол ip между
боковыми гранями.
Решение. На рисунке 2 уже изображен линейный угол искомого
двугранного угла. Пусть SA - I. Тогда АВ - ВС - АС = 2Z sin §. Высота ВК
в треугольнике SAB равна /sinа. Следовательно, мы знаем все стороны

450
Глава 10. Стереометрия
треугольника ВКС:
BC = 2lsin^, ВК = КС = I sin а.
Теперь уже легко найти угол tp = ZBKC:
<р ВС sinf n /sinf
sin — = = =»■</? = 2 arcsin | -
2 В К sin a ^sina
Ответ: tp = 2 arcsin (
sin
^
► Задача 6. В правильной треугольной пирамиде дана сторона основания а
и высота h. Найти длину бокового ребра.
Решение. Пусть SABC — наша пирамида с вершиной S и основанием ABC.
Нам по-прежнему годится рисунок 2. Имеем АВ = ВС = АС = а и
SH = h. Треугольник ABC правильный, так что Н есть точка пересечения
его медиан. В частности, АН = AD — -%.
Теперь сторона SA находится из теоремы Пифагора для прямоугольного
треугольника SHA.
Ответ: Jh2 + |а2. <
► Задача 7. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и
основанием ABC дана высота h и Л.В = а. Найти радиус сферы, описанной
около пирамиды.
Решение. Пусть SH — высота пирамиды и О — центр описанной около нее
сферы. Отрезки О А, ОВ и ОС равны как радиусы. Значит, и их проекции
на плоскость ABC равны. Отсюда следует, что точка О проектируется в
центр описанной окружности треугольника ABC, т.е. на точку Н.
Следовательно, точка О лежит на высоте SH нашей пирамиды. При этом SO
есть радиус сферы. Обозначим его через R. Тогда ОН = VR2 — АН2. Мы
не знаем, лежит точка О внутри пирамиды или вне ее. Если она лежит
внутри, то
SO + ОН = h=> ОН = h- SO = h- R=> JR2 -]-a2 = h-R.
Если точка О лежит вне пирамиды, то
SO-OH = h=> -ОН = h-R=> -Jr2 -^a2 = h-R.
Однако в каждом из этих случаев имеем
(±ОН)2 = (h - R)2 <=> R2-la2=h2-2Rh+R2 <=> R = 3h"' + °'
3 6Л
Ответ: R = ^-^-
Kltt

Урок 43. Тривиальные задачи
451
► Задача 8. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и
основанием ABC дана высота h и АВ = а. Найти радиус сферы, вписанной
в пирамиду.
Решение. Радиус г вписанной сферы можно найти только одним способом
— из формулы V = ^Sr, где S — полная поверхность пирамиды, а V — ее
объем.
2 /о
Площадь треугольника ABC равна — f—. Из задачи 6 мы знаем, что
боковое ребро равно jh2 + а2. Отсюда находим высоту SD в треугольнике
BCS (см. рис. 2):
h2 + a2-^ =
SD = y/SC2 - CD2 =
Значит, площадь каждой из боковых граней равна
Ssok = 2aVh2 + 12 °2'
h2 +
12
Теперь уже можно найти, что
S = SSs0K + Sabc
a2v/3 3
1- -a
4 2
h2 + ha2
Объем пирамиды равен F = | • s-jf^- ■ h = j^a2h/3. Окончательно находим
3V ±a?hy/3 ah
~s~
r =
а2 УЗ
4
+
a2h</Z
аф?
+ —a2
a + ч/12/i2 + a2
Ответ: г =
ah
<HVl2/TJ+a'J '
► Задача 9. Доказать, что плоскости, проходящие через вершину
правильной четырехугольной пирамиды и диагонали ее основания, взаимно
перпендикулярны.
Решение. Пусть SABCD — наша пирамида с
вершиной S и основанием ABCD (рис. 3). Нам надо
доказать, что плоскости SBD и SAC перпендикулярны.
Прямая DB перпендикулярна АС, ибо АС и BD есть
диагонали квадрата ABCD. Кроме того, BD _L SH,
так как SH — высота пирамиды, перпендикулярная
любой прямой, лежащей в плоскости ABC. Отсюда
следует, что BD перпендикулярно плоскости SAC,
будучи перпендикулярно двум пересекающимся прямым АС и SH, лежащим
в этой плоскости.
Итак, плоскость SBD содержит перпендикуляр к плоскости SAC и
потому эти плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

452
Глава 10. Стереометрия
► Задача 10. Доказать, что любое боковое ребро правильной
четырехугольной пирамиды перпендикулярно не пересекающейся с ним диагонали
основания.
Решение. Пусть опять SABCD — наша пирамида. Мы должны
установить, что SA J_ BD (см. рис. 3). Но по теореме о трех перпендикулярах
это имеет место, если и только если DB перпендикулярно проекции SA
на плоскость ABCD. т.е. прямой АС. Но, конечно же, прямые АС и BD
перпендикулярны как диагонали квадрата, чем все и доказано.
► Задача 11. Доказать, что центр сферы, вписанной в правильную
четырехугольную пирамиду, лежит на ее высоте.
Решение. Достаточно доказать, что плоскости SAC и SBD биссектраль-
ные при соответствующих двугранных углах. Поскольку центр вписанной
сферы лежит на пересечении всех биссектральных плоскостей, он будет
лежать на пересечении плоскостей SAC и SBD (если мы докажем, что они
биссектральные), т.е. на высоте SH.
Докажем, например, что плоскость SAC является биссектральной.
Треугольники SDC и SBC равны, так что высоты, опущенные из вершин
В и D на прямую SC, попадут в одну и ту же точку К (рис.3). Ясно, что
угол BKD есть линейный угол двугранного при ребре SC.
Плоскость SAC пересекается с плоскостью BDK по прямой НК. Из
того, что Н — середина BD, следует, что КН — биссектриса (ибо ВК —
KD). Слово в слово так же, как в задаче 4, доказывается, что угол HKD
есть линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями SAC и
SDC, а угол НКВ есть линейный угол двугранного угла, образованного
плоскостями SBC и SAC. Из ZBKH = ZHKD следует теперь, что
плоскость SAC биссектральная, что и требовалось доказать.
► Задача 12. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с
вершиной S и основанием ABCD. Известно, что сторона основания этой
пирамиды равна 6, а высота SH = 4. Найти радиус шара, вписанного в
трехгранный угол при вершине С, касающегося шара, вписанного в пирамиду
и целиком лежащего внутри пирамиды SBCD.
Решение. Пусть О — центр шара, вписанного в
пирамиду. Мы знаем, что он лежит на высоте SH и,
значит, отрезок ОН равен его радиусу. Найдем ОН.
Объем пирамиды V равен ^ • 36 • 4 = 48. Боковая
сторона SA находится по теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника SAH (рис. 4):

Урок 43- Тривиальные задачи
453
Значит, высота в треугольнике SAB равна
SA2 - jABz = v/34^9 = 5.
Следовательно, Ssab = ^ • б ■ 5 — 15.
Теперь уже можно найти площадь паяной поверхности пирамиды:
S = 4- Ssab + Sabcd = 60 + 36 = 96.
Отсюда находим радиус вписанного шара:
Обозначим центр второго шара через К. Оба шара вписаны в
трехгранный угол С, так что центры их лежат на пересечении биссектральных
плоскостей двугранных углов при ребрах CD и СВ, а эти плоскости
пересекаются по прямой СО. Тем самым, мы доказали, что точка К лежит на
отрезке ОС. Если L --• проекция точки К на плоскость ABCD, то L лежит
на НС и KL есть искомый радиус, который мы обозначим через х.
Треугольник ОНС прямоугольный, откуда следует, что
ОС = л/ОЯ2 + НС2 = J| + 18 - |.
Из подобия треугольников ОНС и KLC следует, что
ОН ОС 3/2 9/2
KL КС х 9/2 -3/2 -х
— мы использовали тот факт, что отрезок ОК равен сумме радиусов сфер
(ведь они касаются!) W.CK — СО—ОК. Из полученного уравнения находим,
что х = |.
Ответ: |. <
► Задача 13. Доказать, что диагональ куба перпендикулярна любой
скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.
Решение. Пусть ABCD ABCD — наш куб. Докажем, что диагональ
BD перпендикулярна диагонали АС. Но проекция BD на плоскость
ABCD есть BD. По теореме о трех перпендикулярах из AC _L BD следует,
что AC _L BD, что и требовалось доказать.
► Задача 14. Найти угол между диагональю куба и пересекающейся с ней
диагональю боковой грани.
Решение. Если ABCDABCD — наш куб, то мы должны найти угол
между отрезками BD и CD. Треугольник BCD прямоугольный. Если
мы обозначим искомый угол через а, то
В, С, 1

454
Глава 10. Стереометрия
откуда а = arctg -75.
Ответ: а — arctg -t. <
► Задача 15. Найти угол между скрещивающимися диагоналями смежных
граней куба.
Решение. Пусть опять ABCD ABCD есть наш куб. Нам надо найти
угол между диагоналями АС и DC. Но АС \ АС, так что искомый
угол равен углу ACD. Но треугольник ACD равносторонний, так как
каждая из его сторон равна а/2, где а — сторона куба. Теперь уже ясно,
каким будет
Ответ: 60°. <
► Задача 16. Найти синус угла между высотами, опущенными из двух
вершин правильного тетраэдра на противоположные грани.
Решение. Напомню сначала, что правильным
тетраэдром называется тетраэдр, в котором все ребра
равны. Пусть дан правильный тетраэдр ABCD с ребром
а. Найдем угол между высотами В К и AL (см. рис. 5).
Докажем, что эти высоты пересекаются (на
рисунке они уже таковыми изображены). Действительно,
плоскость АВК пересекает ребро CD в его
середине N. Кроме того, правильный тетраэдр является
правильной пирамидой по отношению к любой своей вершине. Значит,
высота AL попадает в центр грани BCD. Но вся медиана BN, а значит, и
центр грани BCD лежат в плоскости АВК. Значит, и высота AL лежит
в плоскости АВК и мы доказали, что высоты лежат в одной плоскости.
Непараллельность их очевидна, так что они действительно пересекаются в
некоторой точке М.
В четырехугольнике MLNK углы L и К прямые, откуда следует, что
НК
sin LAMB = sin(7r - ZLNK) = sin ZLNK = ——.
v BN
Легко найти, что В К = aw |, BN — ^тр, откуда получаем
Ответ: синус искомого угла равен -^
► Задача 17. Объем правильной треугольной пирамиды равен одной шестой
куба бокового ребра. Найти плоский угол при вершине.
Решение. Пусть пирамида SABC правильная с вершиной S и основанием
ABC. Обозначим ее боковое ребро через Ь, а угол при вершине — через а.
Тогда сторона основания равна 2b sin ^. Значит, площадь основания есть
{2bsin f )V3 = bV3sin2 f.

Урок 43. Тривиальные задачи
455
Высота SH находится из прямоугольного треугольника SCH по теореме
Пифагора:
SH = VSC> - СЮ = У&2 - 1 (26sin|)2 = ft^i-i 8ш2|.
Теперь уже можно вычислить через & и а объем пирамиды:
В получившемся уравнении сокращается Ь и мы получаем, что
2л/%у
' 1 - 1у = 1 4=^ 2?/v/3 -4у - 1 «=> 16у3 - 12у2 + 1 = 0,
где у = sin2 |.
Легко угадать, что корнями получившегося кубического уравнения
будут числа |, — |. Других корней нет, так как корень | имеет кратность 2.
Из неотрицательности у следует, что
1 . а 1 7Г
у = - Ф=Ф- sm — — —= <$=> а——.
У 2 2^/2 2
Ответ: |.
► Задача 18. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней
прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под
углами а и /?. Найти угол между этими диагоналями.
Решение. Пусть ABCDA BCD — наш параллелепипед. Если угол между
диагональю ADi и плоскостью ABCD равен а, то, поскольку AD есть
проекция AD на плоскость ABCD, сам угол DAD равен а. Аналогично,
если угол между диагональю АВ и плоскостью ABCD равен /3, то и сам
угол ВАВ равен /?.
Пусть AAi - а. Тогда ADX = ^А-, АВг = ^. Кроме того, AD =
actgQ и АВ — actg/З. Теперь сторону BiDi можно найти из треугольника
AiBiDi по теореме Пифагора:
BXD = АХВ + AiDf = a2(ctg2 a + ctg2 0).
Теперь косинус искомого угла </? = /LBAD находится с помощью теоремы
косинусов для треугольника АВ D:
9IIJ LI Sill Li " ^ - , « Л
cosip = a а = sin asm/?.
sin a sin #
Ответ: arccos(sino!Sin/3). ■«
► Задача 19. Одна из высот некоторого тетраэдра проходит через точку
пересечения высот противоположной грани. Доказать, что все остальные
высоты тетраэдра обладают этим же свойством.

456
Глава 10. Стереометрия
Pevienue. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Докажем, что высота
DH, опущенная из точки D, пересекается с высотой ВВ треугольника
ABC если и только если ребра АС и BD перпендикулярны.
В самом деле, прямая АС перпендикулярна к наклонной BD тогда и
только тогда, когда она перпендикулярна ее проекции ВН (по теореме о
трех перпендикулярах). А последнее имеет место если и только если ВН
-- высота треугольника ABC.
Пусть теперь высота, опущенная из точки D на плоскость ABC, попала
в точку пересечения высот треугольника ABC. Тогда по предыдущему
замечанию имеем
АС 1 BD, AD 1 ВС, и АВ ± CD.
Пусть теперь высота опущена, скажем, из вершины А и пусть К - ее
пересечение с плоскостью BCD. Из AC _i_ BD следует, что точка К лежит
на высоте, проведенной в треугольнике BCD из вершины С. Из AD _L ВС
следует, что К лежит и на высоте, проведенной из вершины D в
треугольнике BCD. Значит, К есть точка пересечения двух (а, следовательно, и
всех) высот треугольника BCD, что и требовалось доказать.
Наш урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.
Домашнее задание
*■ 1. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара равна площади
основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его
основания.
*■ 2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а
высота, опущенная из какой-нибудь вершины основания на противоположную
ей боковую грань равна Ь. Найти объем пирамиды.
► 3. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды опущен
перпендикуляр на боковое ребро, равный р. Найти объем пирамиды, если
двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен а.
► 4. Основание пирамиды -- равнобедренный прямоугольный треугольник
с катетом 8 см. Каждое из боковых ребер равно 9 см. Найти объем
пирамиды.
► 5. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом а. Найти угол между смежными
боковыми гранями.
*■ 6. Определить объем параллелепипеда, у которого все ребра равны 1, а
плоские углы при одной из вершин равны <р < ^.
*■ 7. Основание' пирамиды — правильный треугольник со стороной 6 см.
Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно
4 см. Найти радиус шара, описанного вокруг пирамиды.

Урок 43. Тривиальные задачи
457
8. Шар вписан в усеченный конус. Доказать, что площадь поверхности
шара меньше площади боковой поверхности конуса.
9. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его
боковой грани равны 4л/Г0 и 3/Т7 см. Найти объем параллелепипеда.
10. Найти отношение объема куба к объему правильного тетраэдра, ребро
которого равно диагонали грани куба.
11. Центр верхнего основания правильной четырехугольной призмы и
середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в призму
пирамиды, объем которой равен V. Найти объем призмы.
12. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h, а двугранный
угол при основании равен 60°. Найти полную поверхность пирамиды.
13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1 см, а ее
боковая поверхность равна 3 см2. Найти объем пирамиды.
14. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь.
Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Найти боковую поверхность параллелепипеда.
15. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную
поверхность.
16. Найти объем правильной треугольной призмы, если сторона ее
основания равна а, а боковая поверхность равна сумме площадей оснований.
17. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани
перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под
углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно I. Найти объем
пирамиды.
18. Боковая поверхность конуса равна S, а расстояние от центра основания
до образующей равно г. Найти объем конуса.
19. Найти отношение объема шара к объему вписанного куба.
20. Металлический шар радиуса R перелит в конус, боковая поверхность
которого в три раза больше площади основания. Найти высоту конуса.
21. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 и острым углом 60°
вращается вокруг меньшего основания. Найти объем полученной фигуры
вращения.
22. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со
сторонами а и Ь, где а > Ь. Боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 45°. Найти объем усеченной пирамиды.
23. Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус описанной около
него сферы равен г.
24. В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к
высоте равно 2. Найти отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к
стороне основания пирамиды.
25. В правильной четырехугольной пирамиде с боковым ребром, равным
20, угол при вершине равен |. Через точку, лежащую на одном из

458
Глава 10. Стереометрия
боковых ребер, проведена прямая, перпендикулярная этому ребру и
пересекающая высоту пирамиды. Найти длину отрезка этой прямой,
лежащего внутри пирамиды, если точка пересечения этой прямой с
высотой делит высоту на две части в отношении 3:7, считая от вершины.
► 26. В правильную шестиугольную пирамиду вписан прямой конус, и около
нее описан прямой конус. Даны высота пирамиды Н и радиус основания
описанного конуса R. Найти разность объемов описанного и вписанного
конусов.
► 27. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно Ь, а радиус
описанного шара равен R. Найти объем пирамиды.
► 28. Отношение объемов двух шаров равно &. Найти отношение их площадей
поверхности.
► 29. В шар вписан конус с высотой Н. Объем конуса равен 1/4 объема шара.
Найти объем шара.
► 30. В сферу вписана правильная четырехугольная пирамида, у которой
двугранный угол при основании равен а. Площадь сферы равна S.
Найти площадь основания пирамиды.
► 31. В цилиндр вписана правильная треугольная призма объема V. Найти
объем цилиндра.
► 32. Все ребра прямой призмы ABC АВС имеют равные длины. Найти
угол между ВС и АС.
► 33. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а площади
диагональных сечений равны Q и Q-г- Найти площадь боковой поверхности.
► 34. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 5, 5 и 6. Высота
пирамиды проходит через центр круга, вписанного в этот треугольник
и равна 2. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
► 35. Боковое ребро правильной треугольной усеченной пирамиды равно Ь и
образует со стороной большего основания угол (3. Площади оснований
относятся как 4:1. Найти объем пирамиды.
► 36. Все ребра треугольной пирамиды, кроме АВ, имеют длину а, причем
угол АС В равен а. Найти объем пирамиды.
► 37. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
равны а и ft, где а > Ь. Угол между плоскостями боковой грани и основания
равен ip. Найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.
► 38. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота SO равна
диагонали основания. Пусть М и N есть соответственно середины
ребер ВС и SA. Найти угол между прямыми SM и BN.
*■ 39. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом а,
обращенным к основанию. Объем цилиндра равен V. Найти его высоту.
*■ 40. Через две образующие конуса, угол между которыми равен а, проведена
плоскость, составляющая с основанием угол /3. Найти объем конуса,
если высота его равна h.

Урок 44 [Щ- Вспомогательные задачи
459
Урок 44 [2]
Вспомогательные задачи
Этот урок должен подготовить вас к стереометрическому мышлению
на более высоком уровне. Практически все задачи, которые будут
разобраны здесь, должны пониматься как новые теоремы стереометрии и их
надо выучить «назубок». Владение ими даст вам большое преимущество
перед школьниками, которые не изучали таких теорем. Уже прорешивая
варианты вступительных экзаменов, вы убедитесь, что благодаря методам
этого урока, многие задачи «на пятерку» для вас будут очевидными.
► Задача 1. Дан трехгранный угол с плоскими углами а, /3 и 7 и
противолежащими им двугранными углами А,ВнС. Доказать, что существует
трехгранный угол с плоскими углами п — А, п — В и -к — Си двугранными
углами тг — а, тг — /3 и тг - j.
Решение. Докажем сначала легкое
вспомогательное утверждение. Пусть
дан двугранный угол и точка Р
внутри него. Предположим, что из Р
опущены перпендикуляры PR и PQ на
плоскости двугранного угла. Тогда
угол RPQ равен тг — А, где А —
величина двугранного угла (см. рис. 1).
Действительно, опустим из точки Q перпендикуляр QT на ребро
двугранного угла. По теореме о трех перпендикулярах отрезок РТ будет
перпендикулярен ребру двугранного угла. Снова применяя теорему о трех
перпендикулярах для ребра двугранного угла, наклонной РТ и ее проекции
RT, получим, что и отрезок RT перпендикулярен ребру нашего
двугранного угла. Значит, угол RTQ есть линейный угол исходного двугранного
угла.
Плоскость TPQ перпендикулярна той грани двугранного угла, что
содержит точку Q, так как она проходит через перпендикуляр PQ к этой
плоскости. Ребро двугранного угла перпендикулярно двум непараллельным
прямым TQ и PQ, лежащим в этой плоскости. Значит, оно
перпендикулярно плоскости TPQ. Аналогичным образом, оно перпендикулярно плоскости
TPR. Но через точку Т можно провести только одну плоскость,
перпендикулярную к данной прямой. Значит, плоскости TPQ и TPR совпадают, т.е.
Рис. 1

460
Глава 10. Стереометрия
точки T,P,Q и R лежат в одной плоскости. Теперь наше вспомогательное
утверждение доказано, поскольку в четырехугольнике TQPR имеем
ZTRP = ZTQP = 90° => ZRTQ + ZRPQ = 180°,
что и требовалось.
Решаем исходную задачу. Пусть SABC — трехгранный угол с вершиной
S и ребрами 5.4, SB и SC. Возьмем какую-нибудь точку Si внутри него
и опустим перпендикуляры SiA, S1B1 и SiCi на плоскости SBC. SAC и
SAB соответственно. Утверждается, что трехгранный угол с вершиной Si
будет искомым (он называется полярным к исходному углу).
Действительно, то, что плоские углы полярного угла будут дополнять до 7г двугранные
углы исходного, прямо следует из нашего вспомогательного утверждения.
Однако и второй факт (а именно, то, что двугранные углы полярного угла
дополняют до 7г плоские углы исходного угла) следует из
вспомогательного утверждения, поскольку ребра SA, SB, SC перпендикулярны граням
SiB-^CijSiAiCi и SiAB-[ соответственно (докажите сами!) — ведь
тогда исходный угол будет полярным к полярному и его плоские углы будут
дополнять двугранные углы полярного до тг, что и требовалось доказать.
► Задача 2. Доказать, что сумма плоских углов трехгранного угла
меньше 2п.
Решение. Пусть дан трехгранный угол с вершиной 5. Отметим на его
ребрах равные отрезки SA, SB и SC. Пусть О — проекция точки 5
на плоскость ABC. Рассмотрим треугольники ABS и АВО. Они оба
равнобедренные (ибо AS = BS по построению, а проекции равных отрезков
равны, так что АО — О В). Наклонная всегда больше своей проекции, так
что при равных основаниях, боковая сторона треугольника ASB больше
боковой стороны треугольника АОВ. Выразив каждую из боковых сторон
через основание, получим, что
АО= ,AB^<AS= AB
sin
2sin (ZАОВ) 2 sin (JZASB)
0~ZASb < sin (^ZAOb) -^ A AS В < 1 АО В;
мы перешли от синусов к углам, потому, что их половинки лежат в первой
четверти, где синус возрастает.
Аналогично доказывается, что ZBSC < ZBOC и ZASC < ZAOC.
Сложив почленно эти неравенства, получим
ZASB + ZBSC + ZASC < ZAOB + ZBOC + ZAOC ^ 2тг,
причем оба неравенства будут строгими, если точка О лежит вне
треугольника ABC. Наша задача полностью решена.

Урок 44 [Щ- Вспомогательные задачи
461
Рис. 2
► Задача 3. Пусть а, /3 и 7 — плоские углы трехгранного угла, А, В и С
противолежащие им двугранные углы. Доказать, что
sin a sin /3 _ sin 7
sin A sin В sin С
Это утверждение называется теоремой синусов для трехгранных углов.
Решение. Пусть дан трехгранный угол с
вершиной S и ребрами SA, SB и SC,
двугранные углы при которых равны
соответственно А, В и С. Возьмем какую-нибудь
точку Р на ребре SA. Пусть О — ее
проекция на плоскость SAC. Пусть Я —
проекция точки О на ребро SC и Q — проекция
точки О на ребро SB (см. рис. 2).
Я изобразил случай, когда точка О попала вовнутрь угла SBC. В
рассуждениях не надо будет заменять ни одного слова и в случае, если
точка О попала вне или на сторону угла SBC.
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что угол PRO равен С,
а угол PQO равен В, поскольку каждый из них есть линейный угол
двугранного угла при соответствующем ребре. Нужно найти двумя способами
отрезок РО.
С одной стороны, РО — Pi? sin С = SP ■ sin/3 ■ sin С С другой стороны,
имеем РО = PQsmB = SP sin 7 sin В. Приравниваем:
sin Я sin 'v
SP • sin /3 ■ sin С = SP sin 7 sin В <£4> sin /3 • sin С = sin 7 sin В «• — = ,
sin В sin С
что и требовалось доказать. Аналогично устанавливается и левое
равенство, обещанное в условии. Задача решена.
► Задача 4. Пусть а, /3 и 7 — плоские углы трехгранного угла, А, В и С —
противолежащие им двугранные углы. Доказать, что
cos a = cos /3 cos 7 + sin /3 sin 7 cos Л.
Это — первая теорема косинусов для трехгранных углов.
Решение. Пусть мы имеем трехгранный
угол с вершиной S и ребрами SA, SB и SC.
Возьмем произвольную точку Р на ребре
SA. Проведем через точку Р плоскость 7г,
перпендикулярную прямой SA. Пусть она
пересечет ребра SC и SB в точках Q w. R
соответственно (см. рис. 3).
Выразим двумя способами квадрат
отрезка QR по планиметрической теореме косинусов. Обозначим длину SP
через р. Тогда
Рис. 3

462
Глава 10. Стереометрия
PQ=ptg0, PR = ptgf, SQ=-~ и SR= Р
cos/3 cos 7
Имеем с одной стороны
QR2 = QS2 + SR2 -2-QSSR- сова =
p2 p2 2p2
— H =—: т ■ cos a.
cos2 7 cos2 /3 cos /3 cos 7
Угол QPR равен А, так что можем записать теорему косинусов для
треугольника PQR в следующем виде:
QR2 = QP2 + RP2 -2QPPRcosA =
= р2 tg2/3 + p2tg2 7 - 2p2tg/?tg7cosA
Приравнивая выражения для QR2, сокращая на р2, и пользуясь формулами
cos2 7 ' cos2 P
придем к равенству
2 cos a 2 sin /3 sin 7 cos A
cos /3 cos 7 cos /3 cos 7
которое после умножения на | cos/3 cos 7 и перегруппировки дает то, что
требуется.
Теорема доказана для случая, когда плоскость тг пересекает оба ребра SC
и SB. Разберите, пожалуйста, сами случаи, когда плоскость 7г пересекает
одно из ребер и продолжение другого, или продолжения обоих ребер, или
не пересекает одного из ребер (возможно, не пересекает ни одного ребра).
В случае, когда плоскость тг пересекает каждую из прямых SC и SB, надо
знаки некоторых косинусов поменять, что не повлияет на равенство. Если
хотя бы одна из прямых SA и SB не пересекается с плоскостью 7г, то левая
и правая часть в теореме косинусов равны нулю.
► Задача 5. Три прямые пересекаются в точке А. На каждой из них взято
по две точки: В и В, С и С, D и D. Доказать, что
Vabcd = ABACAD
Vab^d, ABx-AC1-AD1i
где через Vabcd (соответственно VabiC-iDi) мы обозначили для краткости
объем тетраэдра. ABCD (соответственно ABiCD).
Решение. Пусть h и hi— длины перпендикуляров, опущенных
соответственно из точек D и Di на плоскость ABC, совпадающую с плоскостью
ABiCi.

Урок 44 [%]■ Вспомогательные задачи
463
Обозначим площади треугольников ABC и АВ^С через S и Si
соответственно. Мы знаем из планиметрии (см. урок 29), что -^- = д^.'д^ ■ Кроме
того,
Vabcd _ Sh _ ABACh
VABlclDl ~ Si/ii ~ ABt-Ad-h^
и остается доказать лишь, что -^ = -^-.
Пусть Р — проекция точки D на плоскость ABC и Р — проекция
точки D на ту же плоскость. Треугольники APD и APD подобны, и,
следовательно,
AD DP h
AD i DXPX V
что и требовалось доказать. Наша задача решена.
► Задача 6. Доказать, что объем произвольного тетраэдра ABCD равен
V = - • АВ ■ CD ■ d ■ sin p,
где d — расстояние между прямыми АВ и CD, a ip — угол между ними.
Решение. Проведем через прямую АВ плоскость, параллельную прямой
CD, через прямую CD — плоскость, параллельную прямой АВ.
Аналогичным образом проведем пары плоскостей для пар ребер AD и ВС, АС
и BD.
Докажем, что плоскости, построенные для
пары АВ и CD параллельны. Действительно, /^^-^Г ^Ч1
каждая из них содержит две пересекающие- /  ч~^^~~~~>--~^
ся прямые, одна из которых совпадает с АВ р / _. _ _°$. _ч*>^ .. - ■■^^1В
или CD, а другая параллельна той прямой из   / S'J^*^ I
пары АВ, СВ, которая не лежит в плоскости. ^Lt^__ ^У
Значит, согласно признаку г) из пункта «Тео- А Ч
и Риг 4
ремы о параллельности прямых и плоскостей»
урока 43, эти плоскости параллельны. Аналогичным образом, параллельны
плоскости в каждой из других двух пар. Следовательно, эти шесть
плоскостей ограничивают параллелепипед (рис. 4).
Если принять за основание параллелепипеда грань ADBC, то высота
будет равна в точности расстоянию между прямыми АВ и CD, т.е. d.
Площадь этой грани равна | • АВ CDi-sinip, ибо угол между диагоналями
АВ и CD равен углу между прямыми АВ и CD, т.е. (р.
Мы доказали, что объем построенного параллелепипеда равен
W = ^ ABCDdsmtp.
Найдем, какую часть объема параллелепипеда составляет объем тетраэдра
ABCD. Ясно, что
(1) V = Vabcd = W — Vabcd1 — Vabdcx — Vadcb^ — Vbdca-^ ■

464
Глава 10. Стереометрия
Пирамида ABCD имеет основание ABiD, по площади равное половине
площади параллелограмма ABDC. Высота этой пирамиды, опущенная
из вершины С, совпадает с высотой параллелепипеда. Объем пирамиды
ABCD равен одной трети произведения площади основания ABD на
высоту, опущенную из вершины С. Это доказывает, что Vab^cd — W.
Аналогично объемы всех остальных пирамид, дополняющих ABCD до
параллелепипеда, равны W. Подставляя эти значения в равенство (1),
получим, что
V = W-Uv = w = l-AB-CD-d-sinp,
6 3 6 *'
что и требовалось доказать.
► Задача 7. Дан тетраэдр ABCD. Точки K,L,M и N лежат на ребрах
AD, DC, AB и ВС соответственно. Доказать, что эти четыре точки
лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется одно из
следующих условий:
а) KL || АС || MN;
б) если хотя бы одна из прямых KL и MN не параллельна АС, то они
обе не параллельны АС и пересекают эту прямую в одной и той же точке.
Решение. Предположим, что точки K,L,M и N лежат в одной плоскости п.
Возможны два случая.
Случай 1. Плоскость 7г параллельна прямой АС. Тогда, очевидно, имеет
место а).
Случай 2. Плоскость л" пересекает прямую АС в некоторой точке Р.
Тогда прямая KL не может быть параллельна АС. Точка ее пересечения с
АС лежит как на АС, так и на KL, а значит, и на плоскости тт. Но точка,
одновременно лежащая в плоскости 7г и на прямой АС, всего одна — это
точка Р. Итак, прямая KL проходит через точку Р. Аналогично прямая
MN обязана проходить через точку Р,и мы установили необходимость
условий, данных в задаче.
Докажем достаточность каждого из условий а) и б). Если выполнено
а), то прямые по определению параллельности лежат в одной плоскости. В
этой же плоскости будут лежать и все точки К, L, М, N.
Если выполнено условие б), то прямые KL и МN пересекаются и, значит,
лежат в одной плоскости, чем все и доказано.
► Задача 8. Дан тетраэдр ABCD. Точки К, L, М и N лежат на ребрах
AD, DC, AB и ВС соответственно. Доказать, что эти четыре точки лежат
в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется следующее
условие:
АК PL _ AM_ BN^
^ > kd' lc ~ мв' nc

Урок 44 [Щ- Вспомогательные задачи
465
Решение. Предположим сначала, что все эти точки лежат в одной
плоскости. Если эта плоскость параллельна АС, то каждая из прямых KL и NM
параллельна АС. В этом случае треугольники ADC и KLD подобны, и,
значит, АК _ LC _ АК DL _
KD DL KD LC
Точно так же из подобия треугольников ABC и MNB следует, что
АМ_ BN__._ AK_ DL_
MB ' NC~ ~~KD'TC
т.е. в этом случае условие (2) выполняется.
Если плоскость пересекает прямую АС в некоторой точке Р, то из
предыдущей задачи мы уже знаем, что прямые MN и KL пересекут эту
прямую в той же точке Р. Запишем теорему Менелая для треугольников
ADC и ABC и секущих КР и MP:
АК DL PC _ AM BN PC AK DL AM BN
KD LC PA MB NC PA KD LC MB NC'
и необходимость условия (2) доказана.
Проверим его достаточность. Пусть выполняется условие (2). Если обе
части равенства равны 1, то имеем, в частности,
ак _ cl_ ad_ _ cd
k~d~Td^k~d~ Id'
а отсюда уже следует, что треугольники ADC и KDL подобны и что
KL || АС. Аналогично MN ][ АС и, значит, MN \ KL. Мы доказали,
что в этом случае все четыре точки лежат в одной плоскости.
Если обе части равенства (2) не равны 1, то каждая из прямых KL и
MN пересекает прямую АС — пусть это будет соответственно в точках
Pi и Р-2- Снова пишем теорему Менелая:
АК DL 1С_ _ _ АМ_ BN_ P2C 1С _ РгС_
~KD ' ТС ' РхА ~ ~ MB' NC' P2A ^ Pil ~ P2A ^ i - *•
Значит, прямые KL и MN пересекают АС в одной и той же точке.
Согласно предыдущей задаче они лежат в одной плоскости, чем все и доказано.
► Задача 9. Сфера касается ребер AD,DC,AB и ВС тетраэдра ABCD.
Доказать, что все точки касания лежат в одной плоскости.
Решение. Обозначим точки касания сферы с ребрами AD,DC,AB и ВС
соответственно через K,L,M и N. Касательные, проведенные из одной
точки к сфере равны, так что имеем
АК = AM, KD = DL, CL = CN и ВМ = BN.
Применим результат задачи 8 и проверим для нашего случая равенство (2):
АК DL CN ВМ
AM DK CL BN
4
1111=1

466
Глава 10. Стереометрия
АК PL _ AM BN
Wd'Tc ~ Wb" Ш1
что и требовалось доказать. Задача полностью решена.
*• Задача 10. Дан тетраэдр ABCD. Доказать, что ребра AD и ВС
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
АВ2 + CD2 = AC2 + BD2.
Решение. Нам потребуется одно несложное вспомогательное утверждение.
Пусть дан треугольник ABC. Тогда геометрическое место точек Н таких,
что Н лежит в плоскости этого треугольника и АВ2 — АН2 — ВС2 — СН2,
совпадает с высотой треугольника ABC, опущенной из вершины В.
Пусть какая-нибудь точка Я принадлежит указанному ГМТ. Если Нг
проекция Я на прямую АС, то АН2 = АН2 + ЯХЯ2 и СН2 = СН2 + НгН2,
откуда получаем, что
АВ2-АН2 = ВС2-СН2 -{=> АВ2-АН2-НН2 = ВС2~СН2-НН2 «=>
<=Ф АВ2 - АН = ВС2 - СН2.
Итак, точка Я принадлежит указанному ГМТ тогда и только тогда, когда
ему принадлежит точка Hi. Но на прямой АС есть единственная точка из
нашего ГМТ — это основание высоты треугольника ABC, опущенной из
вершины С.
В самом деле, ясно, что основание высоты лежит в нашем ГМТ. Введем
на прямой АС координаты с началом в точке А. Пусть точка С имеет
координату с и точка с координатой х принадлежит рассматриваемому
ГМТ.
Т°ГДа лш 2 о^2 , ч? АВ2 + с2~ВС2
АВ' -х= ВС1 - (с - xY <=> х = д
„ 2с
чем и доказана единственность точки х, ибо в правой части равенства для
х стоит константа. Наше утверждение про ГМТ доказано.
Пусть Я — основание высоты тетраэдра ABCD, опущенной из
вершины D. Мы уже знаем, что AD А. ВС тогда и только тогда, когда точка
Я лежит на высоте треугольника ABC, опущенной из вершины В.
Последнее, согласно нашему вспомогательному утверждению, имеет место, если и
только если
АВ2 - АН2 = ВС2 - ВН2 <=> АВ2 + СН2 = ВС2 + АН2 <=>
«=* AB2 + CH2+HD2 = BC2 + AH2 + HD2 <=> AB2+CD2 = BC2 + AD2,
что и требовалось доказать.
Наш урок окончен. Оценку ставьте себе, как обычно. Все десять задач
с решениями знать и помнить наизусть. Без этого нет смысла браться за
следующий урок.

Урок 44 [Щ- Вспомогательные задачи
467
Домашнее задание
► 1. Докажите, что если двугранные углы трехгранного угла прямые, то его
плоские углы тоже прямые.
► 2. Докажите, что трехгранные углы равны, если равны их соответственные
двугранные углы.
► 3. Докажите, что сумма двух плоских углов трехгранного угла больше
третьего плоского угла.
► 4. Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла больше тт.
► 5. Луч SC лежит внутри трехгранного угла SABC с вершиной S.
Докажите, что сумма плоских углов трехгранного угла SABC больше суммы
плоских углов трехгранного угла SABC.
► 6. Пусть a, ft и 7 — плоские углы трехгранного угла, а Л, В и С — его
двугранные углы. Доказать, что имеет место равенство
cos А = — cos В cos С + sin В sin С cos a —
это утверждение называется второй теоремой косинусов для
трехгранного угла.
► 7. Пусть а, /3 и 7 — плоские углы трехгранного угла, а противоположные
им ребра образуют с плоскостями граней углы а,Ь к с. Доказать, что
sin a sin а — sin /9 sin Ь — sin 7 sin с.
► 8. Доказать, что если все плоские углы трехгранного угла тупые, то все
его двугранные углы тоже тупые.
► 9. Доказать, что если все двугранные углы трехгранного угла острые, то
и все его плоские углы тоже острые.
► 10. Проведя через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную
противоположному ребру, можно достроить тетраэдр до параллелепипеда
(см. доказательство задачи 6). Доказать, что при таком достраивании
тетраэдра получается прямоугольный параллелепипед, если и только
если все грани тетраэдра есть равные треугольники.
► 11. Две окружности, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в двух
различных точках А и В. Доказать, что существует единственная
сфера, содержащая обе эти окружности.
► 12. Шар радиуса г касается всех ребер треугольной пирамиды. Центр шара
лежит внутри пирамиды на ее высоте на расстоянии гу2> от вершины.
Доказать, что пирамида правильная.
► 13. Шар касается боковых граней треугольной пирамиды в точках
пересечения их высот. Доказать, что пирамида правильная.

468 Глава 10. Стереометрия
► 14. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в центрах
описанных около них окружностей. Известно, кроме того, что все
плоские углы при вершине пирамиды равны. Доказать, что пирамида
правильная.
► 15. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в точках
пересечения их медиан. Доказать, что пирамида правильная.
*■ 16. Шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды в точках
пересечения их биссектрис. Доказать, что пирамида правильная.
► 17. Дана треугольная пирамида SABC. Шар касается всех сторон
треугольника ABC в их серединах и проходит через середины ребер
SA, SB и SC. Доказать, что пирамида правильная.
► 18. Доказать, что если все двугранные углы тетраэдра равны, то он
правильный.
*■ 19. Доказать, что объем тетраэдра ABCD равен
V = -АВ ■ АС ■ AD -sin/? ■ sin у ■ sin <5,
6
где /? и 7 — плоские углы при вершине А, противолежащие ребрам АВ
и AC, a S — двугранный угол при ребре AD.
* 20. Площади двух граней тетраэдра равны Si и Si- Известно, что длина
их общего ребра равна а, а двугранный угол между ними равен а.
Доказать, что объем тетраэдра равен
2Si S-2 sin a
V = -—■—— ~.
За
Урок 45 [2]
Тетраэдры
Этот урок посвящен задачам про тетраэдры в комбинациях с любыми
другими телами. Все эти задачи довольно-таки трудны. Общих рецептов
тут нет. Нам надо просто набраться опыта. Обращайте внимание, как
«работают» теоремы из предыдущего урока, а также теорема Менелая. Вы
увидите, что знание теоремы Менелая — это просто находка для решения
стереометрических задач. Я предполагаю, что вы уже блестяще владеете
материалом уроков 43 и 44, и пользуюсь доказанными там фактами без
ссылок на них. Если что-то из моих рассуждений непонятно, проглядите
еще разок эти уроки. Разумеется, если оказалось так, что забылась и
теорема Менелая, то нужно повторить и ее вместе с доказательством. Применяя
теорему Менелая, я обычно пишу к какому треугольнику и к какой секущей

Урок 45 [2]. Тетраэдры
469
она применяется. Я советую вам сначала написать ее самому, а потом уже
смотреть в текст.
► Задача 1. В пирамиде ABCD имеем АВ = 6, CD = 8. Остальные ребра
равны /74. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.
Решение. Из равенства _
АС2 + BD2 = AD2 + ВС2 = 74 + 74 Л
следует, что ребра АВ и CD перпендикулярны. / / ]/|
Значит, высота, опущенная из точки D, проходит А' Т/пГ/^
через высоту треугольника ABC, проведенную из A'^-^J^Lj/
точки С. Но треугольник ABC равнобедренный, °
так что эта высота есть и медиана треугольника Рис. 1
ABC. Отсюда следует, что плоскость, проходящая
через точки £),Си точку К — середину АВ — перпендикулярна ребру АВ
(см. рис. 1).
Аналогичным образом, плоскость ABL перпендикулярна ребру DC (L
— середина DC).
Центр О вписанной сферы равноудален от всех вершин тетраэдра. Но
множество точек, равноудаленных от А и В, есть плоскость,
перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину, т.е. плоскость DKC.
Значит, точка О лежит в плоскости DKC и (по той же причине) в плоскости
ABL, т.е. точка О лежит на прямой KL.
В треугольнике ABC известны все стороны: АВ — 6, АС = ВС = /74.
Поэтому легко находится высота КС:
КС = VВС2 - ВК2 = /7Т^9 = /б5.
В треугольнике KDC имеем DC = 8, DK = КС = ^65. Отсюда
находим, что
KL = VКС2 - LC2 = V65 - 16 = 7.
Если точка О лежит внутри отрезка KL, то КО + OL = 7, причем
КО = /R2 - ВК2 = VR2 - 9 и OL = л/R2 - 16. Итак, имеем уравнение
v/i?2-9 + y/R2 - 16 = 7 ^ Я = 5.
Если точка О лежит вне тетраэдра, то либо КО + 7 = OL, либо OL + 7 =
ifO, т.е. имеем либо уравнение
V/i?2-9 + 7 = /Я2 - 16 «=> 0,
либо уравнение
Vi?2 - 16 + 7 = ^Я2-9 <=> 0,
и наша задача полностью решена.
Ответ: радиус описанного шара равен 5. *

470
Глава 10. Стереометрия
► Задача 2. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Через вершину
А параллельно ребру ВС проведена плоскость так, что угол между прямой
АВ и этой плоскостью равен 30°. Найти площадь получившегося сечения.
Решение. В этой задаче довольно сложно
изобразить угол между проведенной плоскостью и ребром
АВ. Но без этого вполне можно обойтись. Ясно,
что данная плоскость пересекает грань BDC по
отрезку PQ, параллельному прямой ВС (рис. 2).
Отрезок PQ обозначим через х. Если мы
найдем х, то легко будет и вычислить площадь
треугольника APQ. Какова стратегия поиска х?
Мы знаем, что ребро АВ наклонено к плоскости APQ под углом 30°.
Значит, по определению угла между прямой и плоскостью угол между АВ
и его проекцией на плоскость APQ равен 30°. Пусть В — проекция
точки В на плоскость APQ (ее не надо изображать). Тогда треугольник
АВВ прямоугольный с углом А равным 30°. Следовательно, ВВ —
АВ sin 30° = |. Таким образом, что расстояние от точки В до плоскости
APQ равно |, т.е. мы знаем высоту пирамиды APQB, опущенную из точки
В. Разумеется, легко вычислить высоту этой же пирамиды, опущенную из
точки А на плоскость BPQ — ведь она совпадает с высотой ABCD и не
зависит от х. Полученный двумя способами объем пирамиды ABPQ даст
уравнение на х.
Приступим к реализации этого плана. Возьмем точку R на отрезке AD
такую, что PR \ АС. Треугольники DPQ и DPR равносторонние, так что
DR= DP = DQ = РД = PQ = х.
Следовательно, AR = а — х. Из треугольника ARP найдем сторону АР по
теореме косинусов для угла ARP, равного 120°:
АР2 = х2 + (а - х)2 - 2х(а - х) cos 120° = х2 - ах + а2.
Треугольник APQ равнобедренный, поэтому его высоту, опущенную из
вершины А, можно найти по теореме Пифагора:
h2 = АР2 - (^-) = х2-ах + а2- х2 = -х2 - ах + а2.
2 У 4 4
Значит, площадь треугольника APQ равна
Si = - ■ х ■  -х? — ах + а2.
2 V 4
Площадь S2 треугольника PQB вычисляется проще:
S2 = ^ • PQ ■ QB ■ sin /.PQB - ]-x(a - x) sin 120° = ^j-x{a - x).

Урок 45 [2]. Тетраэдры
471
Высота тетраэдра DABC равна a J |. Теперь мы имеем уравнение на х:
1 а _ 1
3"Й1'2~3
5г • а
Si = 252
у -ж2 — аж + а2 = (а — х)/2
Остается подставить в выражение для S найденное значение х.
2
х = -а.
5
Ответ: ^а2. м
► Задача 3. Дан тетраэдр ABCD. Точки К, L и М лежат на ребрах AD, BD
и ВС соответственно, причем АК : KD = 3:1, DL : LB = 2 : 1 и
ВЫ = МС.
Через точки К, L и М проведена плоскость. В каком отношении она
делит объем пирамиды?
Решение. Пусть плоскость KLM пересекает
ребро АС в точке N (см. рис. 3). Мы знаем из
предыдущего урока, что
АК Ш^_Ш_ С_М_ Л7У
~KD ' LB ~ iVC ' ~МВ <=^ NV ~ '
Пусть объем пирамиды ABCD равен V.
Найдем объем W многогранника AKNMLB. Легко
видеть, что W есть разность объемов пирамид
AKNP и MLBP.
Согласно результату задачи 5 урока 44 имеем
Vaknp _ АК АР AN_ _ 3 6 6 _ 27
~ ~4'7'5~35'
V AD AB АС 4 7
поскольку пирамиды ABCD и AKNP имеют общий трехгранный угол А.
Аналогично
Vblmp _ ВТ ВЫ BL__ 1 1 _ J_
V ~ АВ ~ВС ' ~В~Ь ~ 5 ' 2 " 3 ~ 30'
поскольку пирамиды ABCD и LMPB лежат на сторонах одного и того же
трехгранного угла В.
Итак, W = VAKNP - VBLmp = gy - ±V =
35
42 ^ •
Значит, объем
оставшейся части равен j^V и мы получаем
Ответ: плоскость делит объем пирамиды в отношении 31 : 11. <
► Задача 4. Сфера касается ребер AS, CS, АВ и ВС треугольной пирамиды
SABC в точках P,Q,RnT соответственно. Найти длину отрезка QT, если
PQ = PR = 8 см, РГ = /82 см и QT на 7 см больше, чем ВТ.
Решение. Согласно задаче 9 предыдущего урока (на экзамене вы должны
целиком сформулировать и доказать ее утверждение) точки P,Q,R и Т

472
Глава 10. Стереометрия
лежат в одной плоскости. Четырехугольник PQTR вписан в окружность,
являющуюся сечением данной сферы его плоскостью. Отсюда следует, что
Z.QTP = ZRTP как углы, опирающиеся на равные хорды (ибо PQ — PR =
8).
Обозначим эти углы через а, а отрезок RT через х. Запишем теоремы
косинусов для треугольников PTQ и PTR:
Г 64 = 82 + {х + 7)2 - 2л/82> + 7) cos а,
1 64 = 82 + х? - 2Жл/82 cos а.
Вычитая из первого уравнения второе, получим, что
14ж + 49 - 14/82cosa = 0 <=> 2л/82соза = 2х + 7.
Найденное выражение для 2>/82cosq подставим во второе уравнение:
64 = 82 + х2 - х{2х + 7)
хг + 7х - 18 = О
х = -9; 2.
Конечно же, мы должны выбрать х = 2, откуда QT = х + 7
Ответ: QT = 9 см. •«
9.
► Задача 5. В пирамиде ABCD проведено сечение KMLN так, что точка
К лежит на ребре AD, точка М — на ребре DC, точка N — на ребре
АВ, точка L на ребре ВС, и О — точка пересечения диагоналей KL и
MN четырехугольника KMLN. Сечение KMLN делит пирамиду на две
части. Найти отношение объемов этих частей, если известны следующие
соотношения между длинами отрезков:
4 • OL = 3 • ОК, 25 ■ ON = 24 • ОМ, DK ■ NA- КА- BN - КА- NA.
Решение. Эта задача решается многократным применением теоремы Ме-
нелая. Для начала нужно сделать хороший чертеж (см. рис. 4). Здесь надо
пояснить, почему плоскость KMLN пересекает прямую АС (на рис. 4 это
пересечение обозначено как точка Р).
В самом деле, если бы эта
плоскость была параллельна АС, то было
бы КМ || NL, т.е. четырехугольник
KMLN был бы трапецией и из
подобия треугольников КОМ и NOL мы
бы имели |щ = ^£, что неверно,
поскольку левая часть этого равенства
равна ||, а правая — |.
Запишем теорему Менелая для
треугольника MNP и секущей KL:
NL PK 25 _
~ L 4=^ TP ' КМ '24~1
(1)
NL PK МО
LP KM ON
(мы заменили Ш^- на 25/24).

Урок 45 [2]. Тетраэдры
473
Запишем теорему Менелая для треугольника KLP и секущей MN:
КО LN РМ _ 4 LN_ PM _
^> OL"NP' МК ~ ^ 3 ' NP' МК ~ "
Пусть ££ - а, Ш. = Ьш Тогда
РК РМ + МК РМ LN LN a
+ 1 = Ъ+ 1 и
КМ КМ МК NP LN + LP о + 1
Подставив найденные значения отношений в (1) и (2), получим систему
a(fe+l) = §!
которая легко решается: а — 3/25, Ь = 7.
Пишем теорему Менелая для треугольника АКР и прямой DC:
РМ Kq АС_ _ KD_ AC _ 1
^ М~К ' 'DA ' СР ~ ^ DA' CP ~ 7'
А теперь — теорему Менелая для треугольника ANP и прямой ВС:
NL PC AB л PC AB 25
(А) —_ . . = 1 vj—^ . — —
^ } LP СA BN СA BN 3 "
Перемножим равенства (3) и (4):
KD АВ _ 25
^ DA ' BN ~ 21'
Соотношение DK • NA — К А ■ BN = К А ■ NA, данное в условии, можно
переписать в виде ^| — jfy — 1.
Пусть ffi = x, %% = У- ТогДа ТГХ = ^111Ш = 1 + 1- Подставляя в
(5) найденные значения отношений, получаем систему
х-у = 1
х у+1 25 '
х+1 ' у 21
из которой находим, что у = |, ж = |.
Итак, g| = | и 2N = а. Тогда ^ - ^ + 1 = §. Подставив это
значение 4§ в (4), найдем, что Щ^ - 5 и Щ^ = |.
Записываем теорему Менелая для треугольника ABC и секущей iVP:
A/VBLCP_ 2 BL 5_ BL _ 9
NB' LC"PA~ ^ЗЬС'б~1<=>ЬС~5'
Последний (шестой!) раз применяем теорему Менелая для треугольника
ADC и секущей КР.
АК DM СР__Х 2 DM_ 5 _ DM_ _
KD' МС'РА~ ^^ 5 " ~МС ' б " ^^ МС ~ '
Мы пришли к ситуации, разобранной в задаче 3. Имеем
Vaknp _ АК АР AN__2 2 _ 24
Vabcd ~ AD' АС' АВ ~7 ' 5 ~ 35'

474
Глава 10. Стереометрия
Аналогичным образом получаем
Vmlcp _ CM CL СР^_ Ъ_ 25
Vabcd ~ CD ' СВ' АС ~ 4 " 14 " ~ 56'
И, наконец,
Vakncml = Vaknp - Vmlcp - Vabcd ' ( oF ~ 'сё ) = oart^ABCD'
Объем оставшейся части равен, очевидно, ЩVabcd-
Ответ: 67:213 <
► Задача 6. Основанием треугольной пирамиды ABCD является
треугольник ABC, в котором А = , С = f, .ВС = 2/2. Известно, что
Л1) = BD = CD. Сфера радиуса 1 касается ребер AD,BD,
продолжения ребра CD за точку D и плоскости ABC. Найти величину отрезка
касательной, проведенной из точки А к сфере.
Решение. Легко подсчитать, что АВ = V2, АС =
V6. Из того, что все боковые ребра пирамиды
равны, следует, что ее высота DH попадает в центр
описанной окружности основания, т.е. на середину
отрезка ВС. Пусть указанная сфера имеет центр в
точке О и касается прямых AD, BD и CD
соответственно в точках P,Q и R (см. рис. 5). Тогда DP,
DQ и DR равны как касательные, проведенные к сфере из одной точки.
Кроме того,
ZDRQ=1-(^BDC1 = £BDC
Треугольник BDC равнобедренный, так что его высота DH является и
его биссектрисой. Следовательно, ZDRQ = Z.CDH, откуда получаем, что
RQ || DH. Мы доказали, что отрезок RQ есть перпендикуляр к плоскости
ABC, будучи параллельным к ее перпендикуляру DH. Значит, плоскость
PQR перпендикулярна плоскости ABC. Кроме того, QR || АВ и потому
RQ перпендикулярно QP, т.е. треугольник PQR прямоугольный.
Из равенства OP = OQ = OR следует, что высота пирамиды OPQR,
опущенная на плоскость PQR пройдет через точку S — середину
гипотенузы RP. То же самое верно и для пирамиды PQRD.
Следовательно, точки О, S и D лежат на одной прямой,
перпендикулярной плоскости PQR и, следовательно, параллельной плоскости ABC.
Отсюда следует, что точка О находится на таком же расстоянии от плоскости
ABC, как и точка D. Но это расстояние равно радиусу сферы, так как она
касается плоскости ABC. Итак, DH — 1. Заодно доказано, что центр О
лежит в плоскости ADC.
Мы теперь можем найти все элементы пирамиды. Имеем
BD2 = ВН2 + HD2 = 2 + 1 = 3 «=> BD = AD = CD = >/3.

Урок .(5 [2]. Тетраэдры
475
Из AD2 + CD2 = 3 + 3 = 6 = АС2 следует, что угол ADC прямой, так же
как и угол RDP. Отрезок OD есть биссектриса угла RDP, так что угол
RDO равен 45°. Отсюда следует, что треугольник RDO прямоугольный и
равнобедренный, т.е. RD — DP — OR = 1.
Ясно, что искомая касательная есть просто АР — AD - DP = >/3 - 1,
что и требовалось.
Ответ: v3 — 1. л
► Задача 7. Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D, грани
которой ABD и ACD ■■- прямоугольные треугольники, ребро AD
перпендикулярно медиане основания АК и AD = АК. Сечением пирамиды плоскостью,
не проходящей через середины ребер AD и ВС, является равнобочная
трапеция EFGH с основаниями EF и G#, причем точка Е делит ребро BD
пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG — 3 • GC. Найти отношение
площади трапеции EFGH к площади грани BCD.
Решение. В условии задачи не сказано, какие углы являются прямыми у
треугольников ABD и ACD. Первым делом мы должны это выяснить.
Если хотя бы один из углов DAB и DAC прямой, то ввиду того, что DA
перпендикулярно еще и медиане АК, отрезок DA будет высотой пирамиды.
Мы докажем, что именно этот случай имеет место.
Предположим, что оба угла DAB и DAC острые. Если оба угла ADB
и ADC прямые, то AD будет перпендикулярно плоскости ADC. Из
перпендикулярности AD и АК следует теперь, что АК параллельно BDC —-
противоречие.
Если оба угла DBA и DC А прямые, то тогда DA ~— гипотенуза в
треугольниках ABD и ACD. Следовательно, AD > BD и AD > CD. Один
из смежных углов BKD и DKC не является острым. Пусть, например,
ZBKD > 90°. Тогда BD > DK, так как против большего угла в
треугольнике лежит большая сторона. Тем самым, AD > BD > DK —
противоречие, ибо в прямоугольном треугольнике DAK отрезок DA есть катет,
который получился больше гипотенузы DK.
Нам осталось установить, что невозможен случай, когда один из углов
ADB и ADC острый, а другой — прямой. Пусть, например, угол ADB
прямой, а угол ADC острый, т.е. угол DC А прямой.
Имеем
АВ2 - BD2 = AD2, AC2 + CD2 = AD2.
Воспользуемся формулой, выражающей медиану через стороны для
треугольников ABC и BCD:
( АК2 = AD2 = {2 ■ АВ2 + 2 • АС2 - ВС2),
 DK2 = 2 • AD2 = |(2 ■ DB2 + 2 ■ DC2 - ВС2).

476
Глава 10. Стереометрия
В последних двух равенствах заменим AD2 на АС2 + CD2. Получим, что
( 2 • АВ2 + 2 ■ АС2 - ВС2 = ЦАС2 + CD2)
1 2 ■ SD2 + 2 • CD2 - ЯС2 = 8(АС2 + CD2)
t
j 2 • AC2 + 4 • CD2 + SC2 = 2 ■ АВ2
I 8 • AC2 + 6 ■ CD2 + ЯС2 = 2 • RD2 '
Вычтем из второго уравнения первое:
6 • АС2 + 2 • CD2 = 2{BD2 - АВ2),
а это уже противоречие, поскольку слева стоит положительное число, а
справа —■ отрицательное, так как катет BD меньше гипотенузы АВ.
Итак, угол ADB не может быть прямым. Слово в слово так же
разбирается случаи, когда ADC прямой, а угол ADB острый.
Мы доказали, наконец, что AD перпендикулярно плоскости ABC.
Займемся теперь выяснением того, как проходит указанное в условии сечение.
Поскольку точка Е лежит на середине ребра BD, точка F может лежать
на одном из четырех ребер: AD, АВ, ВС и CD.
Если F лежит на ребре AD, то EF не параллельно АВ, так как по
условию F не есть середина AD. Пусть прямая EF пересекла АВ в некоторой
точке Р (нарисуйте сами картинку!). Прямая PG целиком лежит в
секущей плоскости, так что точка Н находится как пересечение этой прямой с
прямой ВС. Отсюда получаем, что прямые EF и GH пересеклись в точке
Р, тогда как по условию они параллельны — противоречие. Точно так же
доказывается, что точка F не лежит на ребре ВС.
Пусть точка F попала на сторону АВ. Прямая EF должна быть
параллельна AD, так как в противном случае она пересечет прямую GH в той
же точке, что и прямую AD. Но тогда AF = FB. Отрезок EF будет в
этом случае средней линией треугольника ADB и EF = AD. Кроме того,
HG || AD и ввиду того, что GC = АС, будет HG = AD. Но
отрезок EF перпендикулярен плоскости ABC, будучи параллелен AD. Значит,
EF J_ FG. По условию трапеция EFGH равнобедренная, так что она есть
просто прямоугольник и AD = EF = GH — AD —■ противоречие.
Мы доказали, наконец, что точка F лежит на стороне CD и ситуация
такова, как на рис. 6.

Урок 45 [2]. Тетраэдры
477
Точки Ei и Fi есть проекции точек Е и F на
прямые АВ и ВС. Отрезки EEi и F.F равны
половине AD как средние линии в соответствующих
треугольниках. Значит, EEi — FFi. По условию
ЕН - FG, так что ЕгН = F-^G. Но AG = АС
и AFi = ^АС, откуда следует, что FiG — АС.
АВ.
Мы доказали, что
Точно так же EiH
АВ = АС «=>• AB = АС.
Теперь уже можно приступать к вычислению искомого отношения.
Имеем
Sefgh ~
GH + EF
• ho
вс + вс
2 " 2
Мы обозначили через ho высоту трапеции EFGH
Далее,
■ h0 = -■ h0
ВС.
Sbcd
Пусть AD = AK = d, BK
-BCDK
Sefgh
Sbcd
5
4
ho
DK
а. Тогда ЕЕХ
EiH — t/a2 + d2. Следовательно,
f и АВ
у/о? + d2. Значит,
M=V,BB? + ^2 = /7 + T6 + T6 =
d2 d2
/ 5 Л2 4. °2
Vi6d +Тб-
Легко видеть, что HG — §a, FF = а. Поэтому {HG - EF) = a. Теперь
найдем высоту ho трапеции EFGH:
*.-/«.-("*-")
Осталось найти искомое отношение.
Sefgh 5 h0
Sbcd 4 DK
2
rr
= 
5
4 '
/16 16 16
_ dy/Ъ
4
Ответ: ^y/W. -4
► Задача 8. В правильный тетраэдр SABC с ребром а вписана сфера. На
ребре SA взята точка М с AM = MS, а на ребре ВС взята точка N такая,
что 2 • CN = NB. Прямая MN пересекает сферу в двух точках Р и Q.
Найти длину отрезка PQ.
Решение. Найдем сначала длину р отрезка MN. Пусть К — середина ребра
ВС, точка Н есть центр треугольника ABC, совпадающий с основанием
высоты тетраэдра, опущенной из вершины S. Проекцией ребра SA на
плоскость ABC будет отрезок АН. Значит, проекция L точки М на
плоскость ABC делит отрезок АН пополам.

478
Глава 10. Стереометрия
Отрезок ML есть средняя линия треугольника ASH, так что
ML=SH =~.
2 Уб
Кроме того, KN = |а и KL — -т=. Теорема Пифагора, примененная для
треугольников MLN и LKN, дает
MN = р = ^ЬЛ^МГш^ = ^/#дгз + LK2 + ML2 = ^Н.
6
Я утверждаю, что сфера касается всех граней тетраэдра в их центрах.
Действительно, достаточно доказать, например, что центр сферы
проектируется в точку Н. Мы уже доказывали, что плоскости ASH и BSH
биссектральные для двугранных углов при ребрах SA и SB. Значит, центр
сферы лежит на каждой из этих плоскостей, т.е. на прямой SH, что и
требовалось доказать.
Пусть G — центр грани ASC. Тогда MG, согласно доказанному, есть
касательная к сфере. Аналогично NH также есть касательная к сфере.
Пусть MP = х и PQ — у. Тогда по теореме о секущей и касательной имеем
MG2 = MP ■ MQ и NH2 = NQ-NP
и, учитывая, что MG2 = КН2 = Й и NH2 - НК2 + KN2 = £, получаем
систему
/ Ф + У) = Й / Ф + У) = Й
{р-х)(р-х-у) = £ 1 р2 - р(2х + у) + х{х + у) = ^
Подставив во второе уравнение системы значение х(х + у) из первого,
найдем, что 2х + у — р ~ f%- = ~ша- Теперь уже совершенно ясно, как
закончить решение системы и найти PQ = у.
Ответ: -$-. <
► Задача 9. Ребра треугольной пирамиды, выходящие из вершины О,
попарно перпендикулярны и их длины равны а, Ъ, с. Найти объем куба,
вписанного в эту пирамиду так, что одна его вершина совпадает с вершиной О.
Решение. Пусть А, В, С — остальные вершины пирамиды, причем
О А = а, ОВ = Ь, ОС = с.
Пусть х — ребро вписанного куба. Заметим, что вписанность его означает
просто, что вершина, противоположная вершине О (обозначим ее через Р),
принадлежит грани ABC. Проекция точки Р на плоскость АОВ лежит на
биссектрисе OQ угла АОВ. Действительно, плоскости АОС, АОВ и ВОС
содержат грани куба, а диагональ куба проектируется на диагональ грани,
являющуюся биссектрисой соответствующих прямых углов.

Урок 45 [2]. Тетраэдры
479
Биссектриса 0Q в прямоугольном треугольнике АОВ легко находится:
она равна q£fir-
Пусть ZPOQ = a, ZPQO = 0. Треугольник COQ прямоугольный,
так что ctg/3
_ OQ
оЬуД
Кроме того, угол а есть угол, который в
ОС (а+Ь)с-
любом кубе диагональ составляет с плоскостями граней. Легко видеть, что
i R
sin a = -А? и cos a = W з •
Запишем теорему синусов для треугольника POQ:
OP OQ OQ
OP = OQ
sin/3
sin /i
sin(?r —
аЬл/2
a-0)
t
sin(a + /3)
1
abc/3
sin(a + 0) a + b cos a + sin a ctg /3 ab+ac + bc
Если ребро куба равно х, то ОР = ж/3, откуда х = оЬс
об4-ас4-Ьс'
Ответ: V
(abc
аЬ+Ьс+
ib+bc+ac
► Задача 10. В пирамиде SABC основание Н высоты SH лежит на медиане
СМ основания ABC. Точка О, являющаяся серединой высоты SH,
находится на одинаковом расстоянии от точки S, точки Е, лежащей на ребре
SA, и точки F, лежащей на ребре SB. Известно, что SH = 8, АВ =
16/2, EF = 8 /т, угол SMC составляет не более 30°, а расстояние между
серединами ребер АВ и SC равно 4-/13. Найти радиус сферы, вписанной в
пирамиду SABC.
Решение. Пусть точка К есть середина ребра SC и Р — ее проекция на
плоскость ABC. Тогда Р лежит на медиане СМ (рис. 7).
Рис. 7
Длина отрезка МК по условию равна 4v/l3. Угол SCH не превосходит
90° ввиду того, что треугольник SCH прямоугольный. Следовательно,
MP ^ ME.
Отрезок КР есть средняя линия в треугольнике CSH, так что КР =
SH = 4. По теореме Пифагора имеем

480
Глава 10. Стереометрия
В прямоугольном треугольнике SHM сторона SH равна 8, а угол SMH не
превосходит 30°. Отсюда вытекает, что
МН = SH ctg ZSMH > SH ctg 30е = 8/3.
Следовательно, МН = MP = 8/3, ZSMH = 30° и Я = С.
Итак, правильная картинка ситуации есть на самом деле рис. 8.
Пусть АС = Ь, ВС — а. Подсчитывая углы в равнобедренных
треугольниках SOE и СОЕ, увидим, что ZCSE+ ZSCE = 90°, откуда следует, что
СЕ _L SA. Аналогично CF 1 SB.
Треугольники SCE и SAC подобны, откуда
~SA = SC ^ SE-SA = SC2.
Ясно, что и SF SB — SC2. Исключая из этих двух равенств 5С2, получим,
что
СР CD
SE ■ SA = SF ■ SB <=► |^ = ^|.
Значит, треугольники SAB и SEF подобны по второму признаку и
EF _ SE _ SF
А~В ~ IB ~ SA'
Ясно, что
SA = s/b2 + 64. SB = у/а2 + 64,
ЯЯ=^= "_ ,SF S°2 «
SA yV + 64' SB Va2+64'
Подставляя найденные значения отрезков в пропорцию, получим
FF2 = AB2 SE'SF = 84'162-2
SA-SB (а2 + б4)(Ь2 + 64)'
откуда (64 + а2)(64 + Ь2) = 214 ■ 5.
Второе уравнение на а и Ь получим, вычислив длину медианы СМ через
стороны треугольника ABC:
СМ2 - 64 ■ 3 = he А2 + СВ2 - ав2) <=> а2 + Ь2 = 640.
Решение системы
Г а2 + Ь2 = 640
 (64 + а2)(64 + Ь2) = 214-5
не представляет труда - находим, что а — 8 и b = 24 (или наоборот,
что несущественно). Радиус вписанного в пирамиду шара нужно искать по
формуле г = 2<у-, где 5 — полная поверхность пирамиды.
Для вычисления полной поверхности пирамиды удобно заметить, что
треугольник ABC прямоугольный, ибо
СВ2 + В А2 = 82 + 162 • 2 = 242 = АС2 <=> ZABC = 90е.

Урок 45 [2]. Тетраэдры
481
Отсюда получаем, что вследствие теоремы о трех перпендикулярах
треугольник ABS тоже прямоугольный, т.к. угол SBA равен 90°. Дальше все
совершенно ясно.
Ответ: §(2^2-1). <*
Наш урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.
Домашнее задание
► 1. В тетраэдре SABC плоские углы при вершине S острые и равны
/.BSC = a, ZASC = Р, ZASB = 7.
Известно, что SA — a, SB — Ь. Найти площадь проекции треугольника
ASB на плоскость ASC.
► 2. В тетраэдре SABC имеем
SA = SC, SB = 2 ■ AC, AB^BC = -■ AC.
Через ребро АС и середину D ребра SB проведена плоскость. Площадь
полной поверхности пирамиды SADC больше площади полной
поверхности пирамиды ABCD на величину, равную площади треугольника ABC.
Найти угол между плоскостями ASC и ABC.
► 3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный
треугольник ABC. Известно, что высота пирамиды проходит через
середину D катета ВС, причем
SD = h, АС = Ь, ВС = а.
Через середины сторон АС и ВС проведено сечение плоскостью,
параллельной SC. Найти площадь этого сечения и угол между плоскостью
сечения и плоскостью ABC.
► 4. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равную длину. На ребрах АВ,АС
и AD выбраны соответственно точки К, L, М так, что длина отрезка
KB равна 12 и MD = 8. Радиус шара, описанного около ABCD, равен
6/б, а объем пирамиды AKLM равен 192/2. Найти сумму радиусов
описанного и вписанного шаров для пирамиды AKLM.
*■ 5. Дан тетраэдр ABCD. Точки F и N лежат на ребрах AD и DB
соответственно, причем jrg = . Через точки F,N и точку пересечения медиан
треугольника ABC проведена плоскость, пересекающая ребро С В в
точке Н. Через точку Н проведена плоскость, параллельная плоскости ADB
и пересекающая ребра С А и CD в точках L и К соответственно.
Известно, что СН/НВ = (AF/FD)2 и что радиус шара, вписанного в пирамиду
CHLK равен R. Найти отношение площади треугольника ABC к
площади полной поверхности пирамиды ABCD, если высота, опущенная из
D на плоскость ABC, равна h.

482
Глава 10. Стереометрия
► 6. В тетраэдре SABC длины всех ребер, пересекающихся с ребром ВС,
равны между собой и в два раза больше длины этого ребра, равной Ъ.
Высота пирамиды SABC, опущенная из вершины 5, лежит внутри
пирамиды и квадрат ее длины в 4,5 раза больше ВС2. Точка М делит пополам
высоту грани SBC, проведенную из точки S к ребру ВС. Через точки А
и М проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания
пирамиды угол 30°. Какова площадь полной поверхности части
пирамиды, отсекаемой этой плоскостью и содержащей вершину S, и сколько
таких плоскостей можно построить?
► 7. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC
такой, что ZBAC = f, АС = АВ = 1 + /2. Основание Я высоты SH
пирамиды расположено так, что СН _L АВ, ВН || АС. Найти радиус
описанного около SABC шара, если SH - у/ъ + 2/2.
► 8. На боковом ребре 5.4 правильной треугольной пирамиды SABC с
вершиной S взята точка D, через которую проведено сечение пирамиды,
пересекающее апофемы граней SAC и SAB в точках М и N. Известно,
что DM к DN образуют углы /3 с плоскостью ABC, a
ZDMS = ZDNS ~а<-
Найти угол MDN.
► 9. Отрезок DE, лежащий в двугранном угле DA с точками В и С на его
гранях, параллелен плоскости ABC, причем площадь треугольника ABC
равна S. В тетраэдр BCDE вписан шар, к — отношение расстояния от
центра шара до прямой DE к расстоянию от DE до плоскости ABC.
Пусть В' -■■■ проекция точки В на плоскость CDE и известно, что
tgZB'DE:tgZBDE = l.
Через середину отрезка AD проведена плоскость Р, параллельная
плоскости ABC. Найти площадь сечения многогранника ABCDE,
составленного из тетраэдров ABCD и BCDE плоскостью Р, если площадь
полной поверхности тетраэдра BCDE равна а.
► 10. Дана пирамида SABC, в которой площадь треугольника ABS
равна ^р-, угол BSC равен arctg^^p. Известно кроме того, что AS —
SB, SC ■ AC = 20 и перпендикуляры к граням, восстановленные из
центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
Найти объем пирамиды SABC.
► 11. В тетраэдре длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а
остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти
расстояние от центра сферы до ребра длины 12.
► 12. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые
грани равновелики. Найти объем пирамиды, если известно, что один
из двугра,нных углов при основании прямой.

Урок 45 [2j. Тетраэдры
483
► 13. Основанием пирамиды SABC является равносторонни треугольник
ABC, длина стороны которого равна 4-/2. Боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину угла
и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых
проходит через точку S и середину ребра ВС, а другая проходит через
точку С и середину ребра АВ.
► 14. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и ВС
проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке М. При этом
DM : МС = 2:3. Вычислить площадь сечения пирамиды указанной
плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
► 15. В пирамиде SABC прямая, пересекающая ребра АС и BS и
перпендикулярная им, проходит через середину ребра BS. Грань AS В равновелика
грани BSC, а площадь грани ASC в два раза больше площади грани
BSC. Внутри пирамиды есть точка М, сумма расстояний от которой
до вершин В и S равна сумме расстояний до всех граней пирамиды.
Найти расстояние от точки М до вершины В, если АС — -/б, a BS — 1.
► 16. В пирамиде SABC суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины,
равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами
SB и АС равна arccos(-|), радиус вписанной в пирамиду сферы равен
и SA2 + SC2 = 12. Найти объем пирамиды SABC, если известно,
что он не превосходит 5/3.
► 17. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а;
площадь ее сечения, имеющего форму квадрата, равна т2. Найти
отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания.
► 18. Треугольная пирамида ABCD, все ребра которой равны а, вложена
в прямой круговой конус так, что вершина А лежит на окружности
основания конуса, ребро AD лежит лежит в плоскости основания конуса,
ребро ВС параллельно основанию конуса, а вершины В к С лежат
на боковой поверхности конуса. Угол между высотой конуса и его
образующей равен а < |. Определить высоту конуса.
► 19. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и объемом
V проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и
пересекает боковое ребро SA в точке К, а боковое ребро SB в точке L,
причем SK — SA, SL — SB. Найти объем части пирамиды, лежащей
ниже этой плоскости.
► 20. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC
со стороной 2/3, и SA = SB — SC — /l. В трехгранный угол при
вершине С вписана сфера S. Сфера 52, радиус которой втрое больше,
чем у сферы Si, касается сферы S, плоскостей SAC и ABC. При этом
отрезок прямой SB, заключенный внутри сферы 5г, имеет длину Ац.
Найти радиус сферы 5г.

484
Глава 10. Стереометрия
Урок 46 [2]
Параллелепипеды и призмы
Десять задач сегодняшнего урока посвящены кубам, параллелепипедам
и призмам в комбинациях с любыми фигурами и многогранниками. Ничего
нового знать не надо, просто хорошенько повторите формулы и теоремы
из уроков 43 и 44.
► Задача 1. В треугольной призме ABCАВС боковое ребро равно I. В
основании призмы лежит правильный треугольник со стороной Ь, а прямая,
проходящая через вершину В и центр основания ABC, перпендикулярна
основаниям. Найти площадь сечения, проходящего через ребро ВС и
середину ребра АА.
Решение. Пусть К — середина ребра АА. Через Н обозначим центр
основания (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
По условию задачи точка Н есть проекция В на плоскость ABC.
Обозначим через Ач проекцию точки А на плоскость ABC. Ясно, что
НА2 || АВ и НА2 = АВ. Отрезок АА2 есть проекция отрезка АА на
плоскость ABC. Отсюда следует, что точка К спроектируется на точку
L, являющуюся серединой отрезка АА2. Пусть точка М есть проекция L
на прямую ВС. По теореме о трех перпендикулярах, КМ есть высота в
треугольнике ВКС, площадь которого нам надо найти. Сторона ВС нам
известна —- она равна Ь. Найдем высоту КМ. По теореме Пифагора для
треугольника KLM имеем
(1) МК = sfKL2 + ML2 = J ML2 + U2 - -U2,

Урок 46 [2]. Параллелепипеды и призмы
485
ибо KL есть средняя линия в треугольнике АА1А2, a
АгА2 = ВХН = yjBB - ВН2 = <Л2 - Ь2.
Нам осталось найти ML. Для этого вынесем на отдельный рисунок то,
что имеем на плоскости ABC (рис. 2).
Ясно, что АВНА2 — параллелограмм с острым углом 30°. Простым
подсчетом углов убеждаемся в том, что треугольник АСА2 прямоугольный
с прямым углом САА2- По теореме Пифагора
СА2 = JcA2 + АА = Jb2 + ^Ъ2 = -^=Ь - 2 • АА2,
откуда следует, что угол СА2А равен 60°. Угол НАА2 равен 120°, откуда
следует, что прямые АН и СА2 параллельны. Но АН перпендикулярна
ВС, так что мы доказали, что отрезок ML есть средняя линия трапеции
ANCA2. Следовательно,
ML=^1 1_ = _Ub.
2 4ч/3
Подставив найденное значение ML в формулу (1), найдем, что
МК= у/А12 + ЪЬ2.
4
Дальнейшее ясно.
Ответ: Ъу/±12 + 15Ь2.
► Задача 2. Дан куб ABCDA'B'C'D' с ребром АА' = а. Точка Е' —
середина ребра CD', точка F' — середина ребра В'С. Найти радиус
сферы, проходящей через точки E',F',A,C.
Решение. Пусть О и О' есть центры граней ABCD и A'B'C'D'
соответственно. Центр S сферы лежит на плоскости, перпендикулярной отрезку
АС и проходящей через его середину, т.е. на плоскости BDD'B'. Точно так
же точка 5 обязана принадлежать плоскости, перпендикулярной к отрезку
E'F' и проходящей через его середину, т.е. плоскости АСС'А'. Пересечение
названных плоскостей есть прямая 00'.
Пусть SO — х. Чтобы не рассматривать три случая, будем считать, что
если х < 0, то S лежит ниже точки О.
Отрезки SC и SE' равны радиусу сферы, откуда и получаем следующее
уравнение.
SO2 + ОС2 = SO'2 + О'Е'2 <=> х2 + -а2 = II - х2 + а2 <{=» х = |а.
2 4 8

486
Глава 10. Стереометрия
Мы доказали, что существует лишь одна сфера, удовлетворяющая условию
задачи. Центр ее лежит внутри куба, а радиус равен
Н = Г 2+2а =-Та-
Ответ: искомый радиус равен :^-а. <
► Задача 3. В наклонной треугольной призме PQRPQR площадь боковой
грани PPiRiR равна 64, а косинусы двугранных углов при ребрах РР и
QQi равны соответственно ^^ и |. В эту призму помещена треугольная
призма DEFDiEFi так, что вершины D,E,F лежат на отрезках PQ, QR
и RP, а вершины D,E,F — на отрезках PQi,QRi и Hi Pi
соответственно. Известно, что призма DEFDiEFi имеет наименьшую площадь
боковой поверхности среди так расположенных призм. Найдите площадь
боковой поверхности призмы DEFDEF.
Решение. Проведем плоскость, перпендикулярную к боковым ребрам
каждой из призм PQRPiQiRi и DEFDEF. Получившиеся в сечении
треугольники обозначим через ABC и KLM (см. рис. 3).
Рис. 3 Рис. 4
Положим /.CAB — a, /LCBA — /3 и ZACB = 7- Каждый из названных
углов есть линейный угол двугранного угла при ребре, содержащем его
вершину. В условии задачи даны косинусы углов а и /?, поэтому легко
находится, что sin а = /б/4 и sin /3 = V15/4. Следовательно,
sin 7 = зт(тг - а — (3) = sin(a + /3) = 3%/б/8.
Пусть S — площадь боковой поверхности призмы DEFDEiF. Имеем
S = PPi- Pklm,
где Pklm — периметр треугольника KLM. Следовательно, условие
минимальности S равносильно условию минимальности Pklm среди периметров
всех треугольников, вписанных в треугольник ABC; легко видеть, что он
остроугольный (ибо cos a, cos (3, cos 7 > 0)-

Урок 46 [2]. Параллелепипеды и призмы
487
Ниже мы докажем, что при выполнении условия минимальности
(2) Pklm = 2 • AC sin a sin 7,
откуда л/б 3/б
S = 2 ■ PPi • AC sin a sin 7 = 2 ■ 64 • — ■ — = 72
4 8
— мы заменили выражение РР ■ АС на 64, поскольку оно есть в точности
площадь параллелограмма PPRR.
Докажем формулу (2). Решим сначала вспомогательную задачу. Пусть
М — произвольная точка на основании АС треугольника ABC, a M'
и М" — точки, симметричные ей относительно сторон АВ и ВС (см.
рис. 4). Тогда ВМ' = ВМ = ВМ", следовательно, треугольник М'ВМ"
равнобедренный. Кроме того,
ZM'BA = LABM и ZMBC = Z.CBM" => ZM'BM" = 2/3.
Обозначим через К и L точки пересечения отрезка М'М" со сторонами
АВ и ВС. Пусть К' и L' — две произвольные точки на АВ и ВС.
Очевидно, периметр треугольника KLM, равный длине отрезка М'М", меньше
периметра треугольника К'ML', равного длине ломаной M'K'L'M". При
этом
(3) Pklm = М'М" = 2 ■ ВМ -sm0.
Остается минимизировать выражение (3) выбором точки М на стороне
АС. Ясно, что минимум достигается тогда, когда отрезок ВМ имеет
минимальную возможную длину, т.е. когда ВМ — высота в треугольнике
ABC.
В этом случае по теореме синусов имеем
, „ AC sin 7 . AC sin 7
АВ = ——-1 => ВМ = ——-I • sina,
sin р sin р
откуда получаем
ACJ sin *y
Pklm = 2ВМ sin/5 = 2 — • sin a sin/3 = 2 • AC sin a sin 7,
smp
что и требовалось доказать.
Ответ: 72. <
► Задача 4. Отрезок PQ параллелен плоскости, в которой лежит
прямоугольник KLMN, причем KL = 1, PQ = 3. р
Все стороны прямоугольника KLMN и отрезки /^V
КР, LP, NQ, MQ, PQ касаются некоторого ша- Kx^__v^J-
ра. Найдите объем этого шара.  1 \ 
Решение. Шар высекает на плоскости KLMN  ^vSp;: 
окружность, вписанную в прямоугольник KLMN. N^AS.'/
Значит, этот прямоугольник — квадрат. Окруж- ^~~^^о
ность, вписанная в квадрат, касается его сторон Рис. 5

488
Глава 10. Стереометрия
в их серединах. Значит, данный шар касается сторон квадрата в их
серединах. В частности, он касается стороны MN в ее середине Q (см. рис. 5).
Плоскость NQM высекает из шара окружность, вписанную в
треугольник NQM и касающуюся стороны NM в ее середине. Отсюда следует, что
NQ = QM. Действительно, если О — центр окружности (на рисунке не
изображен), то треугольники OQM и OQN равны как прямоугольные по
двум катетам. Отсюда следует, что
/LQNM = 2 • ZONQi = 2 ■ /LOMQ^ = ZQMN,
а это и требовалось.
Аналогично КР — PL и
(4) ZPKN = ZKNQ, ZPLM = <LQML.
Прямая NM перпендикулярна PQ и QQi, откуда следует, что
плоскость PQQ перпендикулярна прямой MN. Аналогично плоскость PPQ
перпендикулярна ребру KL. Но существует лишь одна плоскость,
перпендикулярная ребрам KL и MN и проходящая через их середины Р и Q.
Это доказывает, что точки P,P,Qi,Q лежат в этой плоскости. В
частности, PQ || KN, т.е. PKNQ — трапеция. Из равенств (4) следует, что она
равнобедренная, так же как и трапеция PQML. Эти трапеции являются
описанными, откуда
КР = NQ = QM = PL = ^ - {PQ + KN) = 2.
Точка S касания шара с отрезком PQ служит точкой касания окружности,
вписанной в трапецию PKNQ, т.е. совпадает с серединой PQ. Пусть Р2 и
Q2 — проекции точек Pi и Q на отрезок PQ. Ясно, что РР2 — P2Q2 =
Q2Q — 1 и отрезки РР^1 QQ2 перпендикулярны плоскости KLMN. Центр
сферы лежит в плоскости PPiQiQ, так как эта плоскость перпендикулярна
отрезкам KL и MN и проходит через их середины. Ясно, что ее радиус
равен радиусу описанной вокруг треугольника P-SQ окружности.
По теореме Пифагора
QQi = y/QN*-NQ* = ^р, QXQ2 = ^QQ-QQ = ^-,
QiS=y/QiQ22+SQ22 = Vz.
В треугольнике QPS мы теперь знаем все стороны - ■• они равны
V3, "/3, 1. Теперь радиус описанной окружности находится просто.
Ответ: R — -?==. <
V П
► Задача 5. В основании призмы лежит равносторонний треугольник ABC
со стороной /3. Боковые ребра AD,BE и CF перпендикулярны
основанию. Сфера радиуса 7/2 касается плоскости ABC и продолжений отрезков

Урок 46 [2]. Параллелепипеды и призмы
489
AF, BD и СЕ за точки А, В и С соответствен™
Найти длину боковых ребер призмы.
Решение. Пусть О — центр сферы и М, К, К2,
К3 — точки касания сферы с плоскостью ABC и
с продолжениями диагоналей FA, DB и ЕС
соответственно (рис. 6). Отрезки AM и АК равны как
касательные из одной точки к сфере. Обозначим
их длину через Ь. Аналогично пусть
ВЫ = ВК2 = Ъ2 и СМ = СК3 = Ь3.
Соединим центр сферы с вершинами D,E и F и обозначим отрезки OD, ЕО
и FO соответственно через ci,c2 и с3. Пусть также диагональ боковой
грани равна d, а радиус сферы — Я.
Докажем, что М — центр треугольника ABC. Ясно, что для этого
достаточно проверить, что
AM - ВЫ = СМ «=4> Ъх = Ь2 = Ъ3.
Из прямоугольных треугольников OKF, OK2D и ОК3Е получаем
Рис. 6
I
2 _„2
3)
(d+6i)2+tf=q
(d + b2)2 + R2 = cl
(d + b3)2 + R2 = cl
Предположим, что Ъ <Ь2. Тогда из первого и второго уравнений системы
следует, что
с3 < а <^=> OF <OD «=> СМ <АМ ^=> Ъ3 < Ьь
Здесь первая и третья эквивалентности очевидны, а вторая имеет место,
поскольку проекции OF и OD на плоскость ABC есть соответственно СМ
и AM.
Из первого и третьего уравнений системы получаем, что с2 < с3. Значит,
с2 < с3 Ф=Ф- ОЕ < OF 4=> ВМ < МС -Ф=> Ь2 < Ь3.
Итак, имеем Ъ < Ъ2 < Ь3 < Ь, что невозможно. Следовательно, Ь ^ Ь2.
Но совершенно аналогично можно доказать, что невозможно и
неравенство Ь > Ь2, так что Ь = Ь2. Таким образом, Ь = Ь2 — Ь3, описанная в
условии сфера единственна и с = с2 = с3.
Продолжим ОМ до пересечения в точке N с плоскостью DEF и
обозначим через х длину бокового ребра. Каждое из чисел bi, b2,b3 равно радиусу
описанной около треугольника ABC окружности, т.е. единице. Кроме того,
d = ^3 + х2 и OF2 - OKI + KiF2 = ON2 + NF2.
Подставив в последнее равенство длины всех отрезков, выраженные через
х, получим,что
(7/2)2 + (1 + V3 + X2)2 = (х + 7/2)2 + 1.

490
Глава 10. Стереометрия
Из полученного уравнения, которое легко решается, находим, что ж = 1.
Ответ: длина бокового ребра равна 1. <
► Задача 6. Длина ребра куба ABCDA1BlClD1 (AAi || BBl \ CCi \ DDX)
равна 1. На ребре АА взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна
1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF равна 1/4.
Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость а. Найти расстояние
от вершины В до плоскости а.
в' с, Решение. Обозначим центр куба через
О. Он лежит в плоскости ААСС в этой
же плоскости находится и точка Е.
Значит, вся прямая ОЕ лежит в плоскости а.
Она пересечет прямую АС в некоторой
точке Н (см. рис. 7). Если L — середина
ребра АА, то треугольники OLE и АНЕ
подобны, причем LE/EA = 1/2.
Следовательно, АН = 2 • OL = 2 • АК = у/2.
Точки Н и F лежат в плоскости а, так что и вся прямая HF лежит в
этой плоскости. Пусть прямая HF пересекла сторону АВ в точке G. Тогда
G принадлежит плоскости а и по теореме Менелая для треугольника ABC
и секущей HF имеем
g~b"¥c'Wa~ ^сГв'з"2' ^ g~b ~ 2'
т.е. AG = §.
Мы доказали, что плоскость HEG совпадает с плоскостью а. Пусть
расстояние от точки В± до а равно х. Подсчитаем двумя способами объем
V пирамиды HEGB.
С одной стороны, V
/
7 -fie.-—i
f
У
Рис. 7
| • х ■ Sheg ■ С другой стороны
V
^ • SBiEG
У,
где у есть расстояние от Н до плоскости BEG, совпадающей с плоскостью
АВВА. Если мы опустим перпендикуляр из точки Н на прямую АВ,
то он будет параллелен прямой AD и, следовательно, перпендикулярен к
плоскости ABBiAi. Отсюда у = 1.
Подсчитаем площадь треугольника BEG:
SBxEG = 1 — ^ASG — Sa-lB-lE — SbiGB
30
Итак, ЗУ = ±±
30"
Сторона HG треугольника EGH находится по теореме Пифагора:
HG = 7ЯР2 + PG2 = v/l + (l + 3/5)2 = ^.

Урок 40 [2]. Параллелепипеды и призмы
491
Пусть AR — высота в треугольнике AHG. Тогда по теореме о трех
перпендикулярах ER — высота в треугольнике EGH. Из подобия треугольников
HPG и ARG легко найти, что AR
$5- Тог*а
ER = у/АЕ2 + AR? =
^170
Следовательно,
Shgi
3^89'
1 >/89 у/Ш /170
2 5
Теперь х находится совсем легко:
Зу^
30
3V =
11 уТ70
11
30
30
х
х
170
Ответ:
-/170'
► Задача 7. Нижним основанием ABCD прямой призмы ABCDABCD
(где AAi,BBi,CCi и DD — боковые ребра) служит ромб с острым углом
ц>. Известно, что в эту призму можно вписать шар диаметра d,
касающийся изнутри всех ее граней. Найти площадь сечения призмы плоскостью,
проходящей через ребра ВС и AD.
Решение. Определим площадь S
четырехугольника AXDXCB (рис. 8).
Если в прямую призму вписан шар, то радиус
этого шара равен радиусу окружности, вписанной
в ромб ABCD. В самом деле, если через центр
шара провести сечение плоскостью, параллельной
плоскости ABCD, то все точки касания с
боковыми гранями будут лежать в этой плоскости, ибо
каждый из радиусов, проведенный в точку касания с боковой гранью ей
перпендикулярен, а значит, параллелен плоскости ABCD. Ясно, что
сечением призмы этой плоскостью будет ромб, равный ABCD.
Мы доказали, что высота DK ромба равна диаметру шара, откуда
сторона ромба DC равна d/siny>. Ясно, что высота призмы равна диаметру
шара, т.е. DD = d.
Из прямоугольного треугольника DDK находим, что DK — d/2. Из
теоремы о трех перпендикулярах следует, что DK — высота
параллелограмма AiDyCB. Теперь уже совсем ясно, как найти его площадь.
Ответ: £&. <
Sin if
► Задача 8. Ребро куба равно 1. Сфера с центром О пересекает три ребра,
сходящиеся к вершине Л в их серединах. Из точки В пересечения сферы с
одним из ребер куба опущен перпендикуляр на диагональ куба, проходящую

492
Глава 10. Стереометрия
через вершину А, причем угол между этим перпендикуляром и радиусом
ОВ делится ребром куба пополам. Найти радиус сферы.
Решение. Пусть К и L — середины тех ребер, выходящих из А, на которых
не лежит точка В. Сфера проходит через точки В, К и L, так что центр
ее лежит на перпендикуляре к плоскости BKL, проходящем через центр
правильного треугольника BKL. Этот перпендикуляр совпадает с
диагональю AD куба. Действительно, пирамида ABKL — правильная, значит,
достаточно доказать, что AD перпендикулярно плоскости BKL. Но
каждая из сторон треугольника BKL параллельна диагонали боковой грани,
скрещивающейся с диагональю AD. В задаче 13 урока 43 мы доказали,
перпендикулярность AD таким диагоналям. Значит, AD перпендикулярно
плоскости KLM, будучи перпендикулярным двум непараллельным прямым
KL и LB. лежащим в этой плоскости.
Итак, центр сферы лежит на прямой AD. Пусть С — перпендикуляр,
опущенный из точки В на AD. В условии сказано, что В А есть биссектриса
угла О ВС. Отсюда следует, что О лежит на продолжении отрезка AD за
точку D.
Пусть Е — вторая (т.е. не совпадающая с А) вершина ребра куба,
содержащая точку В. Тогда
sinZBAC=ED ®
AD V 3
Отсюда ВС — АВ • sin /LBAC = \l- Угол О ВС в два раза больше угла
ABC, так что
cos АО ВС = 1-2 sin2 A ABC = 1-2 cos2 ABAC = -.
Искомый радиус равный ОВ, теперь легко вычислить:
ВС 3 [2 /з"
ОВ
cos АО ВС 2
Ответ: */|.
► Задача 9. Сфера касается всех боковых ребер правильной прямой
шестиугольной призмы, основания которой лежат вне сферы. Найти отношение
той части боковой поверхности призмы, которая заключена внутри сферы,
к той части поверхности сферы, которая находится вне призмы.
Решение. Проведем плоскость, параллельную основаниям призмы через
центр сферы. Тогда получим окружность (сечение сферы), описанную
около правильного шестиугольника (сечение призмы). В самом деле, радиусы,
проведенные из центра сферы в точки касания с ребрами, им
перпендикулярны, так что все точки касания лежат в плоскости, проведенной через

Урок 46 [2]. Параллелепипеды и призмы
493
центр сферы перпендикулярно боковым ребрам, т.е. параллельно
основаниям.
Из сказанного ясно, что если R — радиус сферы, то сторона основания
призмы равна стороне правильного шестиугольника, вписанного в круг
радиуса R, т.е. тоже R. Теперь ясно, что часть сферы, не лежащая внутри
призмы, состоит из шести сегментов с диаметром R. Высота Н такого
сегмента по теорем Пифагора равна Н — R — JR2 — R2 — (1 — ^)R-
Следовательно, его площадь есть 2тгЯЯ = 7гЯ2(2- у/2).
Часть призмы, лежащая внутри сферы, состоит из шести кругов,
лежащих в основаниях указанных сегментов. Площадь каждого из них равна
kR2. Следовательно, искомое отношение равно
*&
itR2{2-V3)
4(2 +>/з).
Ответ: (2 + y/S).
► Задача 10. Дана правильная треугольная призма ABC АВС с боковыми
ребрами AAi,BBi и СС. Пусть точка Р делит ось 00 призмы в
отношении 5:1. Через точку Р и середины ребер АВ и АС проведена плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?
Решение. Пусть Е и N — середины ребер АС и АВ (рис. 9).
Проведем через точки Е и Р прямую. Она будет принадлежать секущей
плоскости а. Ясно также, что эта прямая лежит в плоскости 00ВВ.
Пусть она пересекла прямую В В] в точке D. Из подобия треугольников
EDB и ЕРО находим, что
^ = ^| = з =*► ад = дв,
POi OiE
так как ВВ — 00, а отрезок 0Р составляет одну шестую часть 00.
Рис. 9
Рис. 10
Прямая, проведенная через точки N и D, лежит в плоскости а. Она
пересекает прямые АА и АВ соответственно в точках L и М (рис. 10).
Соединяя точки М и L с точкой Е, получим искомое сечение.

494
Глава 10. Стереометрия
Из BD — DBi следует, что В-^М = NB — АВ. С помощью теоремы
Менелая легко найти, что ВК = BiG, AF = АС и LA ~ ^АА.
Вычислим объем V многогранника AiEKB±DNAF, обозначив боковое
ребро призмы через h, а площадь ее основания через s. Ясно, что
(5) V — Vemla, — VKMDBi — Vafnl-
Имеем
Sema, АхЕ АхМ 3 _ 3
~о = 1 п • Л р = 7 ^==> &EMA1 = 7s'
Высота пирамиды EMLA равна |/г, так что Vemla-i — sh. Аналогично
находится, что VKmdb1 - -^sh и Vafnl = j^sh.
Производя с объемами действия, указанные в формуле (5), получим, что
V — {-^hs, и уже ясно, каким будет
Ответ: секущая плоскость делит объем призмы в отношении 49:95. •«
Наш урок окончен. Оценку опять поставьте себе стандартным образом.
При этом можно сделать себе следующие послабления.
1) Урок не обязан длиться полтора часа. Можете работать столько,
сколько сможете.
2) Можете разделить урок на два или три занятия. Единственное условие
при зтом — он должен быть пройден за неделю.
Домашнее задание
► 1. Через одну из сторон основания правильной трехгранной призмы
проведена плоскость под углом а к основанию, отсекающая от призмы
пирамиду объема V. Определить площадь сечения.
► 2. Дана прямая призма, у которой основанием служит правильный
треугольник. Через одну из сторон нижнего основания и
противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость. Угол между этой
плоскостью и основанием призмы равен а, а площадь сечения равна S.
Определить объем призмы.
► 3. Через середину диагонали куба перпендикулярно к ней проведена
плоскость. Определить площадь фигуры, получившейся в сечении куба этой
плоскостью, если ребро куба равно а.
» 4. Дан куб ABCDA,BvCDi, где AAi,BBltCCi,DDi — боковые ребра.
В каком отношении делит ребро ВС точка Е, которая принадлежит
плоскости, проходящей через вершину А и центры граней ABCiDi и
BiCxCB?
► 5. Ребро куба равно а. Найти объем прямого кругового цилиндра,
вписанного в куб так, что осью его является диагональ / куба, а окружности

Урок 46 [2]. Параллелепипеды и призмы
495
оснований касаются тех диагоналей граней куба, которые не имеют
общих точек с диагональю /.
► 6. Дана прямая треугольная призма АВСАВС (AAi,BB и СС —
боковые ребра), у которой АС — 6, а АА — 8. Через вершину А проведена
плоскость, пересекающая ребра ВВ и СС соответственно в точках М
и N. Найти, в каком отношении делит эта плоскость объем призмы, если
известно, что ВМ = МВ, a AN является биссектрисой угла САС.
* 7. Дан куб ABCDA'B'C'D' с боковыми ребрами AAf, ВВ', СС и DD'.
На продолжениях ребер АВ и ВВ' взяты точки М и N соответственно
так, что AM = B'N = АВ (ВМ = BN = АВ). Где на ребре СС
должна находиться точка Р для того, чтобы в сечении куба плоскостью,
проведенной через точки М, N и Р, был пятиугольник?
► 8. Найти тень куба на плоскость, перпендикулярную к его диагонали, от
пучка лучей, параллельных этой диагонали.
► 9. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами а
и Ь. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания
углы а и j3. Найти объем призмы, если боковое ребро ее равно с.
► 10. В правильной треугольной призме плоскость, проведенная через центр
основания и центры симметрии двух боковых граней, составляет с
плоскостью основания острый угол а. Найти площадь сечения,
образованного этой плоскостью, если сторона основания равна а.
*■ 11. Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса г, служит
прямоугольный треугольник с острым углом а. Найти объем призмы.
► 12. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция,
диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторонам.
Угол между диагоналями трапеции, противолежащий ее боковой
стороне, равен а. Отрезок прямой, соединяющий вершину верхнего
основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен
/ и образует с плоскостью основания угол 0. Найти объем призмы.
►■ 13. В правильной четырехугольной призме ABCDABiCB (AA \ ВВ^ ||
СС || DD) через середины двух смежных сторон основания DC и
AD и вершину В верхнего основания проведена плоскость. Найти угол
между этой плоскостью и плоскостью основания, если периметр сечения
в три раза больше диагонали основания.
►■ 14. В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым углом а.
Диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы /3 и 7
(0 < -у). Найти объем призмы, если ее высота равна Н.
*■ 15. Через концы трех ребер, выходящих из вершин, B,D,Ai и С куба
ABCDAiBiCD, ребро которого равно а, проведены плоскости.
Доказать, что полученная фигура есть правильный тетраэдр, и найти его
объем.
► 16. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 6, 8 и

496
Глава 10. Стереометрия
10 см. Некоторое плоское сечение этой призмы отсекает от боковых
ребер, проходящих через вершины большего и среднего углов основания,
отрезки, равные 12 см каждый, а от ребра, проходящего через вершину
меньшего угла основания, — отрезок в 18 см. Найти объем и площадь
полной поверхности фигуры, ограниченной плоскостью основания
призмы, плоскостями боковых граней и плоскостью сечения.
► 17. Два куба с ребром, равным а имеют общий отрезок, соединяющий
центры двух противоположных граней, но один куб повернут на 45°
по отношению к другому. Найти объем общей части этих кубов.
► 18. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный
шестиугольник, равна Q. Найти полную поверхность куба.
► 19. В основании призмы лежит трапеция. Площади параллельных боковых
граней равны S'i и 52, а расстояние между ними — h. Найти объем
призмы.
► 20. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCDi. Через его
вершины А,С v. Di проведена плоскость, образующая с плоскостью
основания двугранный угол 60°. Стороны основания равны 4 и 3 см. Найти
объем параллелепипеда.
Урок 47 [2]
Более сложные многогранники
Известно, что сложность стереометрических задач возрастает гораздо
быстрее, чем сложность рассматриваемых многогранников. Поэтому на
практике самыми сложными многогранниками, которые встречаются на
вступительных экзаменах, являются четырехугольные пирамиды —
простые и усеченные. Если же у пирамиды в основании более четырех углов, то
она всегда предполагается правильной. Нельзя сказать, что преподаватели
вузов не имеют права предлагать задачи на еще более сложные
многогранники, но, по крайней мере, они раньше никогда этого не делали. Я думаю,
можно считать, что такое положение сохранится и в дальнейшем.
Если дан вообще непонятно какой многогранник, не надо пугаться. Если
вы должны вычислять его объем, подумайте, как разбить его на
пирамиды. Точно так же, как и других стереометрических задачах, необходимо
«выжимать» из условий задачи все, что возможно, разбивая ее для этого на
планиметрические задачи, используя перпендикулярность, параллельность
и другие свойства, которыми обладают элементы рассматриваемого
многогранника.

Урок 47 [2]. Более сложные многогранники 497
Так же как и на предыдущем уроке, ничего нового знать не надо.
Повторите формулы и теоремы из введения к главе «Стереометрия».
► Задача 1. Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник, угол
между диагоналями которого равен а < |. Высота пирамиды проходит
через точку пересечения диагоналей основания и равна h. Дана вторая
четырехугольная пирамида, имеющая ту же вершину S. Основанием ее
является четырехугольник, две вершины которого лежат на диагоналях
прямоугольника ABCD, а две другие — на одной из его больших сторон,
причем проекция вершины S на плоскость основания лежит внутри этого
четырехугольника. Найти объем второй пирамиды, если известно, что ее
боковые грани равновелики, а боковые ребра равны.
Решение. Обозначим через О точку пересечения диагоналей
прямоугольника ABCD. Пусть вершины Р и Q новой пирамиды лежат на диагоналях,
а вершины Г и Я — на стороне AD.
Вершины Р и Q не могут лежать на одной и той же диагонали, поскольку
тогда высота SO новой пирамиды будет лежать не внутри
четырехугольника PQRT, а на его стороне. Итак, вершины Р и Q лежат на разных
диагоналях. Кроме того, OP = OQ, ибо отрезки ОР и OQ есть проекции
равных по условию боковых ребер SP и SQ.
Из OP = OQ следует, что PQ \ TR. Точка О лежит внутри
четырехугольника PQRT, так что отрезок PQ расположен дальше от прямой AD,
чем точка О (см. рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
Мы доказали, что PQRT — трапеция с основаниями PQ и RT. Все
боковые ребра пирамиды SPQRT равны. Значит, точка О, через которую
проходит высота обеих пирамид, попадает в центр окружности,
описанной около трапеции PQRT. Из существования описанной окружности для
трапеции следует, что она равнобочная, т.е. РТ = QR.
Если PQ = TR, то PQRT — параллелограмм, около которого можно
описать окружность, т.е. прямоугольник. Но тогда точка О должна быть
точкой пересечения его диагоналей, что может иметь место только если
PQRT совпадает с ABCD. Но боковые грани пирамиды ABCD не
равновелики. В самом деле, пусть AD = а, АВ = Ъ и SA — SB = SC — SD = /.

498
Глава 10. Стереометрия
Тогда
l2 = S02+D02 = h2 + (a2 + b2).
4
Высота в треугольнике ASD, опущенная из 5, равна
12 - г2 = /h2 + ь2-
Высота .45В, опущенная из 5, равна
12 - i«2 = ]/h2 + -2-
Если предположить, что площади треугольников ASD и ASB равны, то
получим, что
h2 + Lb2 = Ъ jh2 + 1 2 ^ a2h2 + ^_ = ^2 + ^ ^ fl = &
4 V 4 4 4
— противоречие с тем, что диагонали ABCD не перпендикулярны, как
было бы, если бы ABCD был квадратом.
Итак, PQRT — трапеция с неравными основаниями PQ и RT. По
условию SP = SQ = SR = 5Г и площади треугольников TSR и Р5<3
равны. Значит,
TS ■ SR ■ &in(ZTSR) = PS-SQ- sm(ZPSQ) Ф=^
«==> sin(ZT5H) = sin(ZP5Q) -«=> Z.TSR = тг - ZP5Q,
ибо /Г5Я ^ ZFSQ ввиду TR ф PQ.
Пусть 7 — Z.TSR. Тогда Z.PSQ = п — 7- Аналогично каждый из
углов PST и Л5<5 равен либо j, либо я" — j, причем эти углы равны ввиду
равенства сторон РТ и QR. Отсюда следует, что либо ТР — PQ ~ QR,
либо PT = TR = RQ.
Эти случаи мы разберем чуть позднее. Обозначим длину ST через т.
Тогда
TR = 2т sin - и PQ = 2т sin П^-^= 2т cos |.
Отсюда заключаем, что
(1) TR2 4- PQ2 = 4m2 {sin2 ~ + cos2 |) = 4т2.
Пусть /ОДГ = р и OP = OQ = OR = ОТ = х. Тогда PQ = 2zcosf и
Тй = 2:ccos/3. Подставляя эти значения в (1), получим уравнение
(2) Ах2 cos2 /? + 4z2 cos2 | = 4m2 = 4/i2 + Ax2,
ибо т2 — К1 + х2 по теореме Пифагора. Уравнение (2) перепишем в виде
(3) Ж2Нт2/? + /*2=х2сой2^.
Случай 1. РТ= PQ = QR = 2x cos f.

Урок 4? [Щ- Более сложные многогранники 499
Указанное равенство запишем с помощью х и /3 (см. рис. 2), пользуясь
РГ2 = fTR-PQ2 + {ок + 0L)2
тем, что
Итак,
о QL { OL^ / О;  2
4а; cos2 — = a; cos /3 - ж cos — I + I x sin 8 + ж sin — 1
2^ л* & J  2 /
4 cos — = cos- /3 + cos" 2 cos p cos —I- sin" 8 + sm" —Ь 2 sin /3 sin —
I 2-^2 2 2
ol „ ^„
(Ю
4 cos^ — = 2 - 2 cos
cos a = - cos (/3 + - J <=$• cos(tt - a) ~ cos [ /3 + - J .
Углы тг-а и /3+ j лежат на отрезке [0, тг], так что из равенства их косинусов
следует их равенство.
Имеем „
» а л 3 тг
тг - а = $ + g 4=> /3 = тг - -а > -,
так как a < |. Но /? — острый угол и, значит, случаи 1 не имеет места.
Случай 2. РТ = TR = QR = 2xcos/3. Имеем
4z2 cos2 /3 = 2х2 - 2х2 cos (ft + |) <=*- cos(tt - 2/3) = cos (/? + f) ■
Значит, тг-2/3 = /3+|и/3=|-|.
Подставив это значение /3 в равенство (3), получим
„2
(«*!--*(§-§))=*'.
откуда
(4) ж =
^(со*2 f - sin2 (f - f)) ^m(f-f)sin(| + |a)"
Найдем площадь трапеции PQRT:
Spqrt = {TR + PQ) (LO + OK) -
(5) ■
= (x cos /3 + x cos I) (a; sin /3 + ж sin f ) = 2z2 sin3 ^^
— я, разумеется, опускаю выкладки, получающиеся при подстановке в (5)
угла /3, выраженного через а.
Осталось умножить найденное выражение на |Л. и подставить значение
х из (4).
2h3 sin3 **&
Wm«m: 3sin-^sin'^- "
► Задача 2. Цилиндр, радиус основания которого равен 1, и усеченная
правильная четырехугольная пирамида расположены так, что верхнее
основание пирамиды вписано в верхнее основание цилиндра, а нижнее основание
пирамиды описано около нижнего основания цилиндра. Если продолжить

500
Глава 10. Стереометрия
боковые грани усеченной пирамиды до пересечения, то высота полученной
полной пирамиды будет равна 4 + у/2. Найти объем усеченной пирамиды.
Решение. Квадрат, описанный около окружности радиуса 1, имеет
сторону 2. Если квадрат вписан в нее, то его сторона равна у/2. Пусть h —
высота нашей усеченной пирамиды. Тогда высота отсеченной части
пирамиды равна 4 + у/2 — h. Ясно, что высоты большой и маленькой пирамид
относятся как стороны их граней (докажите это строго сами). Отсюда
имеем 4 + ^2-/1 1 , ,-
4 + ^2 у/2
Применяем формулу для объема усеченной пирамиды
V=±(S1+S2 + уДЖ)Ь, = ^(4 + 2 + л/8)(3 - V2) = у,
и наша задача решена.
Ответ: ^. <
► Задача 3. В четырехугольную пирамиду PABCD вписан шар,
касающийся всех ее граней. Основанием пирамиды является равнобочная трапеция
ABCD с боковой стороной АВ = I и острым углом ц>, а боковые грани APD
и ВРС — равнобедренные треугольники (АР = PD, ВР = PC),
образующие с основанием пирамиды один и тот же угол
а. Найти радиус вписанного шара.
Решение. Пусть PABCD — пирамида, в
основании которой лежит равнобочная трапеция ABCD;
АВ = CD = I, ZBAD = A ADC = <р. Боковые
грани пирамиды APD и ВРС — равнобедренные
треугольники: АР — PD, ВР = PC; их
основания являются одновременно основаниями трапеции
(рис. 3).
Проведем апофему РК грани APD и высоту РН пирамиды. Тогда ребро
AD, будучи перпендикулярным к двум пересекающимся прямым РН и РК,
перпендикулярно плоскости НРК. Из ВС \ AD следует, что и ребро ВС
перпендикулярно к плоскости НРК и, в частности, к линии PL пересечения
этой плоскости с гранью ВРС (т.е. PL — апофема). Поэтому ZPLK и
ZPKL — линейные углы двугранных углов между основанием и боковыми
гранями ВРС и APD соответственно; по условию оба угла PLK и PKL
равны а.
В данную пирамиду вписан шар; требуется найти его радиус.
Докажем, что центр шара лежит на высоте РН пирамиды. Этот центр лежит
на пересечении двугранных углов при всех ребрах пирамиды. Докажем,
что плоскость PKL является биссектральной для двугранного угла между
плоскостями АВР и CDP.

Урок 47 [2]. Более сложные многогранники 501
Пусть S — произвольная точка плоскости PKL. Объемы пирамид
SABLK и SLCDK равны, ибо площади их оснований ABLK и LCDK
равны, а высота у них общая. Аналогичным образом
VsBPL = VsPLC И VsAPK — VsPKD-
Точно так же и Vpablk = Vplcdk-
Из приведенных равенств следует, что Vsabp = Vscdp- Чтобы
убедиться в этом, достаточно (в случае, когда точка S лежит внутри PABCD)
заметить, что объем PABLK есть сумма объемов SABP, SABLK и SBLP,
а объем PLCDK есть сумма объемов SLCDK, SLCP и SCDP, и
воспользоваться вышеприведенными равенствами.
В случае, когда S лежит вне пирамиды, надо записать объемы PABLK
и PLCDK в виде некоторой разности из вышеприведенных объемов.
Результат будет тот же.
Из равенства объемов пирамид SABP и SDCP и равенства
треугольников АВР и DCP (по трем сторонам) следует равенство высот, опущенных
в пирамидах SABP и SCDP из вершины S. Значит, расстояния от точки
S до плоскостей АВР и С DP равны, так что плоскость PKL совпадает с
биссектральной для этих плоскостей.
Теперь посмотрим, как проходит биссектральная плоскость двугранного
угла между плоскостями ADP и ВСР. Из ВС || AD следует, что линия
их пересечения параллельна каждой из прямых AD и ВС. Значит, она (см.
рассуждение в начале решения) перпендикулярна плоскости PLK, т.е. угол
LPK есть линейный угол данного двугранного угла. Треугольник PLK
равнобедренный, так что его высота РН является и его биссектрисой в
линейном угле LP К нашего двугранного угла. Значит, РН целиком лежит
в биссектральной плоскости.
Мы доказали, что пересечение двух биссектральных плоскостей
двугранных углов пирамиды совпадает с ее высотой. Итак, центр О
вписанного шара лежит на высоте РН. Сечение шара плоскостью PLK дает
окружность, вписанную в равнобедренный треугольник PLK, в котором
ZPLK — ZPKL = а и LK — /sinip. Ее радиус ОН равен
тгг, а 1, . а
г = НКщ- = -/smi^tg-,
и наша задача решена.
Ответ: г = ^Isiniptg^. -4
► Задача 4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD (S
вершина) со стороной основания а и боковым ребром а. Сфера с центром в
точке О проходит через точку А и касается ребер SB и SD в их серединах.
Найти объем пирамиды OSCD.
Pevtenue, В треугольнике BSD стороны BS и SD равны а, а сторона BD
равна ау2. Отсюда следует, что BSD —■ равнобедренный прямоугольный

502
Глава 10. Стереометрия
треугольник с прямым углом BSD. Пусть К
и L есть соответственно середины ребер SB
и SD. Плоскость BSD высекает из сферы
окружность, вписанную в угол BSD и
касающуюся его сторон в точках К и L. Ясно, что
центр этой окружности лежит на середине Н
гипотенузы BD. Прямая АС
перпендикулярна плоскости BSD и проходит через точку Н.
Отсюда следует, что центр О сферы обязан
лежать на прямой АС (рис. 4).
Обозначим радиус сферы через R, тогда АО = R и ОН — ±{А~— R). Я
написал знак ±, так как не ясно, где по отношению к Н лежит точка О.
Отрезок HL есть средняя линия в треугольнике BSD, так что HL = |. Из
Рис. 4
OL
R и теоремы Пифагора для треугольника OHL следует, что
1
и"*
+ 4°
R'
Я
Уг
Следовательно, ОС = |а-/2 и легко найти, что площадь треугольника COD
равна f^a2. Высота пирамиды CODS, опущенная из вершины S, равна -4=,
и теперь уже можно получить
Ответ: объем пирамиды CODS равен
5^2 3
96 и ■
► Задача 5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с
вершиной S. Через середины ребер АВ, AD и CS проведена плоскость. В каком
отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
Решение. Пусть точки К и F — середины
ребер AD и АВ (рис. 5). Соединив их прямой,
получим, что она пересечет продолжение ребер
CD и С В в точках Е и М. Сравнивая
треугольники ВКМ, AKF и DEF, получим, что
MB = ВС kED= DC.
Пусть точка N — середина ребра CS. Точки
N и М лежат в плоскости грани SBC, поэтому
прямая MN пересекает ребро BS в некоторой точке L. При помощи
теоремы Менелая легко выяснить, что BL — SD.
Аналогично показывается, что DP = SD, где Р — точка пересечения
прямой EN с ребром SD.
Итак, плоскость сечения пересекает пирамиду по пятиугольнику LKFPN.
Ясно, что
(6) VcDFKBLNP = VcEMN ~ VpEDF ~ VbkML-

Урок 47 [<£}• Более сложные многогранники 503
Пусть сторона основания пирамиды SABCD равна а, а высота
нятно, что
h. По-
Secm
1 За За _ 9а"
2' ¥ ' Т = X' bEDF
Жвм =
8
Кроме того, высота пирамиды ECMN, опущенная из точки N, равна |,
а высоты, опущенные на плоскость ABCD в пирамидах EDFP и BKLM,
равны j.
Подставляя найденные значения площадей и высот в формулу (6),
получим, что
Т/ 9 2,
VCDFKBLNP = Т^а Л ■
2.1л=1а2^1у5лВс0.
Ответ: 1:1.
► Задача 6. Стороны оснований правильной усеченной шестиугольной
пирамиды равны а и За. Расстояние между двумя параллельными ребрами,
лежащими в плоскостях различных оснований и в противоположных
боковых гранях, равно Ь. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через указанные параллельные ребра.
Решение. Проведем секущую плоскость через параллельные ребра АВ и
DxEx (рис. 6).
Ei
и/

b
К А За В
Рис. 8
Для построения сечения найдем точки К и L пересечения прямой АВ с
продолжениями ребер EF и DC. Так как точки К и Е лежат в плоскости
боковой грани EFFiEi, прямая КЕ пересекает ребро FF в некоторой
точке М. Прямая LD лежит в плоскости боковой грани CDDC и
пересекает ребро СС в некоторой точке N.
Треугольники AKF и BLC равносторонние со сторонами За. В
частности, KF = LC = За.
Полезно построить вспомогательные планиметрические чертежи.
Вынесем плоскость грани EEFF на рис. 7.
Сравнивая подобные треугольники MEF и MKF, определяем, что
точка М делит ребро FF в отношении 3:1. Аналогично можно показать,
что точка N делит ребро ССъ также в отношении 3:1. Кроме того, отсюда
вытекает, что ЕУМ : МК = 1 : 3 и DiN : NL = 1:3.

504
Глава 10. Стереометрия
Вынесем плоскость сечения на рис. 8. Наш шестиугольник ABNDEM
получается из трапеции KLDE отбрасыванием двух равных
треугольников К AM и LBN. Поскольку KL = 9а, ED = а, а высота трапеции равна
Ь, площадь трапеции равна ЪаЬ. Точка М делит отрезок ЕК в отношении
1:3, так что высота треугольника КМ А, опущенная из точки М на АК,
равна |Ь. Поэтому площадь треугольника АКМ равна |аЬ.
Теперь уже совсем легко получить
Ответ: ^-ab. -*
► Задача 7. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
равнобочная трапеция ABCD, для которой AD || ВС, АВ = CD = о, AD = За
и ВС = 2а. Ребро SC перпендикулярно к плоскости основания и равно
h. Через точку С проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной
ребрам АВ и SD. Найти угол между плоскостью сечения и основанием
пирамиды.
Решение. Пусть К — точка пересечения
плоскости с ребром AD. Тогда С К || АВ и СК — а. Если
L — точка пересечения плоскости с ребром SA, то
KL || SD. Наконец, эта плоскость обязана
пересекать ребро SB в такой точке М, что ML || АВ
(рис. 9).
Рис. 9 Перпендикуляр из точки М на плоскость ABCD
попадет в точку N на прямой ВС; опустив
перпендикуляр NP точки N на отрезок СК, можем заключить, что двугранный
угол между плоскостями CKML и ABCD равен углу MPN.
Из DK = а следует, что DK — AD, откуда SL = SA. Значит,
ML = АВ = а. Аналогично MN = SC = h, CN = ВС = а.
Угол PCN равен 60°, так что PN = CiVsin60° = ay/b.
Следовательно, tg(ZMPiV) = -^^ = -Щ=, и наша задача решена.
Ответ: arctg^4j. ■*
► Задача 8. Дан выпуклый многогранник, площади всех граней которого
равны S, а объем — V. Доказать, что сумма расстояний от произвольной
внутренней точки многогранника до его граней не зависит от выбора
точки. Найти эту сумму.
Решение. Предположим, что наш многогранник имеет п граней с
номерами от единицы до п. Возьмем произвольную точку Р, лежащую внутри
многогранника. Если мы соединим ее с вершинами грани с номером к, то
получится пирамида, основание которой имеет площадь S, а высота равна
hk, т.е. расстоянию от точки Р до fc-й грани. Сумма объемов всех таких

Урок 47 [2]. Более сложные многогранники 505
пирамид равна V и, следовательно,
V=±Sh1 + ±Sh2 + ... + ^Shn,
откуда hi + Л.2 + ... + hn = Щ£- и задача решена.
Ответ: искомая сумма равна ^-. ■*
► Задача 9. На гранях двугранного угла с ребром AD лежат точки В и С.
Отрезок DE параллелен плоскости треугольника ABC. В пирамиду BCDE
вписан шар. Отношение расстояния от его центра до прямой DE к
расстоянию от прямой DE до плоскости ABC равно к. Пусть В' есть проекция
точки В на плоскость CDE. Известно, что tg(ZB'DE) : tg(ZBDE) = I.
Через середину отрезка AD проведена плоскость Р, параллельная
плоскости ABC. Найти площадь сечения плоскостью Р многогранника ABCDE,
составленного из треугольных пирамид ABCD и BCDE, если известно,
что площадь грани ABC равна S, а сумма площадей всех граней пирамиды
BCDE равна а.
Решение. На рисунке 10 изображен многогранник ABCDE.
Пусть Q — середина отрезка AD. Заданная в условии задачи плоскость
Р параллельна прямой А В и потому пересечет грань ADB по отрезку
QN, параллельному прямой АВ. Значит, точка N является серединой
отрезка BD. Аналогично доказывается, что плоскость Р пересекает ребро
CD в его середине К. По условию прямая DE параллельна плоскости
ABC, поэтому она параллельна также и плоскости Р. Это означает, что
отрезки KL и NM, по которым плоскость пересекает грани CED и BED
соответственно, параллельны прямой DE. Из равенств DK — СК, DN =
BN теперь следует, что точки L и М являются серединами ребер СЕ и BE
соответственно.
Искомая площадь сечения складывается из площади треугольника QNK
и площади четырехугольника KLMN. Из равенств
QN = -АВ, KN = вС, QK = аС
следует, что треугольники QNK и ABC подобны с коэффициентом подобия
1/2, и потому площадь QNK равна |S (ибо по условию Sabc — S).

506
Глава 10. Стереометрия
Осталось найти площадь S четырехугольника KLMN. Для этого мы
подсчитаем объем V пирамиды BCDE двумя способами.
Пусть Н — расстояние от прямой DE до плоскости ABC. Оно, очевидно,
равно расстоянию от прямой DE до прямой ВС. На уроке 44 (задача 6) мы
доказали, что
Н ■ sin</>,
V = Vbcde = -DEBC
о
где ф есть угол между DE и ВС. Но у параллелограмма угол KLM тоже
равен ф, а стороны KL и LM равны соответственно половинам сторон DE
и ВС. Из равенства Si = KL ■ KM ■ sin ф следует теперь, что
(7) V = sxH.
Пусть О — центр шара, вписанного в пирамиду BCDE, и г -
Тогда, поскольку полная поверхность BCDE равна сг, имеем
его радиус.
(8)
V = -га.
Выразим г через данные задачи. Обозначим через F точку, в которой шар
касается грани CDE, и через G — основание перпендикуляра, опущенного
из точки О на прямую DE (рис. 11). Ясно, что прямая DE перпендикулярна
плоскости OFG. Так как центр шара, касающегося граней двугранного
угла, лежит на его биссектральной плоскости, имеем /LOGF — |</?, где (р —
величина двугранного угла DE. Следовательно, г = OG ■ sin ^ = кН sin £.
Последнее равенство выполняется, поскольку в условии задачи сказано, что
оо _ и
~ТГ - К-
Обозначим через В' и Т основания перпендикуляров, опущенных из
точки В на плоскость CDE и прямую DE (рис. 12).
Плоскость ВВ'Т перпендикулярна прямой DE, и, значит, ZBTB' = <р.
Имеем
В'Т _ DT ■ tg(ZB'DE) _ ,
Ш7 ~
cost/? =
DT ■ tg(ZBDE)
так что sin ^
¥•
Рис. 12
Таким образом, г = kHJh^, и подставляя это
выражение в (8), находим, что
(9)
V = оШ^
Сравнивая теперь выражения (9) и (7), находим S = ^^д/нг- Искомая
площадь сечения равна £S + S.
Ответ: (S + aky/2 - 21). <

Урок 4^ [2J. Более сложные многогранники 507
► Задача 10. Основанием пирамиды АВСЕН служит выпуклый
четырехугольник АВСЕ, который диагональю BE делится на два равновеликих
треугольника. Длина ребра АВ равна единице, длины ребер ВС и СЕ
равны. Сумма длин ребер АН и ЕН равна у2. Объем пирамиды равен 1/6.
Найти радиус шара, имеющего наибольший объем среди шаров,
помещающихся в пирамиде АВСЕН.
Решение. Мы должны найти шар наибольшего радиуса, помещающийся в
данной пирамиде. Выясним для начала, как она устроена. Ввиду того, что
треугольники ABE и ВСЕ равновелики, объем пирамиды АВЕН вдвое
меньше объема пирамиды АВСЕН, т.е. Vabeh — 1/12. С другой
стороны, если hв — расстояние от точки В до плоскости АЕН, то Vabeh =
hsSAEH- Значит, hB ■ Saeh — 1/4- Ввиду того, что h% ^ АВ — 1 и
Saeh =  ■ АН ■ ЕН ■ sin('ААНЕ) ^АНЕН, получаем
J = fc..w<^.'.^.№<1.I.(^±")*-l.(^),-i.
Мы воспользовались неравенством между средним арифметическим и
средним геометрическим ab ^ (^2~) •
Теперь уже можно заключить, что в действительности все выписанные
неравенства являются равенствами. Следовательно,
1) Нв — АВ — 1; это означает, что ребро АВ перпендикулярно плоскости
АЕН;
2) smi/lAHE) = 1, т.е. ZAHE = f;
3) у/АН - ЕН = {АН + ЕН) <^ АН = ЕН = &.
Из прямоугольного треугольника АНЕ находим
АЕ = ^АН2 + НЕ2 = 1.
Получилось, что треугольник ABE равнобедренный: АВ — АЕ = 1.
Пусть D — середина отрезка BE. Так как треугольники ВАЕ и ВСЕ
равнобедренные, AD и CD ■■■•■ высоты в соответствующих треугольниках.
Значит,
Sbae = yADBE и Sbce = у CD BE.
По условию треугольники ВАЕ и ВСЕ равновелики, следовательно, AD —
CD. Значит, точки A,D и С лежат на одной прямой, так что диагонали
четырехугольника АВСЕ перпендикулярны и делятся в точке пересечения
пополам. Значит, АВСЕ — ромб.
Ранее доказано, что АВ перпендикулярно плоскости АНЕ, в частности,
АВ _1_ АЕ. Значит, АВСЕ — квадрат со стороной 1. Так как АВ \
СЕ и АВ перпендикулярно плоскости АНЕ, треугольники АВН и ЕСН

508 Глава 10. Стереометрия
прямоугольные. В них АВ = ЕС и АН = ЕН, следовательно, ВН = СН.
Вот теперь вид нашей пирамиды полностью определен, (см. рис. 13).
Рис. 13 Рис. 14
Пусть F и G — середины ребер АЕ и ВС соответственно. Из того, что
FG перпендикулярно плоскости АНЕ (будучи параллельно АВ) следует,
что плоскости АНЕ и HFG перпендикулярны. Угол АНЕ есть линейный
угол двугранного угла между плоскостями АВН и СНЕ, ибо прямая
пересечения этих плоскостей параллельна АВ, а плоскость АНЕ
перпендикулярна АВ (мы знаем, что плоскость, перпендикулярная к прямой пересечения
двух плоскостей, высекает на этих плоскостях линейный угол их
двугранного угла).
Так как HF — биссектриса угла АНЕ, плоскость HFG является биссек-
тральной для двугранного угла между плоскостями АВН и СЕН.
Пусть г — радиус шара, целиком лежащего внутри пирамиды АВСЕН.
Проведем через его центр О плоскость 7г, перпендикулярную ребру АЕ.
Она будет параллельна плоскости HFG, также перпендикулярной этому
ребру. Ясно, что сечение пирамиды плоскостью 7г есть трапеция FGMN
(рис. 13). Конечно же, это сечение совпадет с треугольником HFG, если
плоскость 7г совпадет с плоскостью HFG.
Плоскость 7г высекает из шара круг радиуса г, целиком лежащий в
трапеции FGiMN и, следовательно, в треугольнике FGHi (рис. 14),
полученном продолжением боковых сторон FN и GM трапеции FGMN.
Прямоугольные треугольники HFG и HFiG равны, так как FiG —
FG и Z-HGF — Z.HFG, ибо оба этих угла есть линейные для двугранного
угла при ребре ВС. Значит, FiHx = 1/2, Fid = 1 и HxGi = ^.
Пусть hi, h,2,hz — расстояния от точки О до сторон FiGi, FiHi и GiHi
соответственно. Круг радиуса г целиком лежит в треугольнике HiFid,
так что г ^ hi (i = 1,2,3). Значит,
SfiGiH! = SoF:G} + So FiHi + SoGiHi =
= {hi ■ FiGi + h2 ■ FiHi + h3 ■ GiHi) >
2 r{Fid + FiHi + GiHi) = ^^ • r.

Урок 47 [2]■ Более сложные многогранники 509
Но Sf,Gi#i = 1' | ■  — т- Следовательно,
3 + ^5 1 1 3-V5
4 4 3 + V^ 4
Нам осталось установить, что шар радиуса г = 3~4 можно целиком
поместить в нашу пирамиду. Пусть К — центр окружности, вписанной
в треугольник HFG. Легко подсчитать, что ее радиус Tq равен -~^~.
Проверим, что шар с центром в точке К и радиусом tq лежит внутри
пирамиды АВСЕН. Мы должны доказать, что расстояния от К до всех
граней пирамиды не меньше tq.
Плоскость HFG перпендикулярна каждой из плоскостей АНЕ, АВСЕ
и ВСН. Для первых двух мы это уже доказали, а для плоскости ВСН
это верно, так как ВСН содержит перпендикуляр ВС к плоскости HFG.
Отсюда следует, что каждый из перпендикуляров из точки К на три
упомянутые плоскости лежит в плоскости HFG, т.е. все три расстояния от К
до этих плоскостей равны tq.
Плоскость HFG биссектральная для плоскостей АВН и СЕН, значит,
расстояния от К до этих плоскостей равны одному и тому же числу h.
Имеем
Vabceh ~ Уавсек + Vabhk + Vaehk + Vcthk
t
11
7 = ~ (ro ■ Same + i"o • Sabce + rQ ■ Sbch + h ■ SABH + h ■ SCeh)
8
и наша задача полностью решена
Ответ: т — 3~/^, ■*
■1
Урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.

510
Глава 10. Стереометрия
Домашнее задание
► 1. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S.
Вычислить площадь сечения, проходящего через середину высоты
пирамиды параллельно боковой грани.
► 2. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD (S — вершина) со
стороной основания а и боковым ребром Ь. Первая сфера с центром в
точке 0 касается плоскостей SAD и SBC в точках А и JB, а вторая
сфера с центром в точке Оч касается плоскостей SAB и SCD в точках
В и С. Найти объем пирамиды АВОС<2-
► 3. Найти объем общей части двух кубов, если один из них получен при
повороте на 90° другого куба вокруг вокруг оси, проходящей через
среднюю линию одной из его граней. Ребро куба равно а.
► 4. Основание пирамиды SABCD есть трапеция с параллельными
сторонами АВ и CD. Доказать, что объем пирамиды равен 4/3 произведения
площади треугольника MSN, где MN — средняя линия трапеции, на
расстояние от ребра АВ до плоскости MSN.
► 5. Многогранник имеет следующее строение: две его грани (основания)
представляют собой многоугольники, расположенные в параллельных
плоскостях; остальные (боковые) грани — трапеции, параллелограммы
или треугольники, у которых каждая вершина является одновременно
вершиной одного из оснований. Доказать, что объем такого
многогранника равен |#(5i +52+ 45з), где Н — расстояние между плоскостями
основания, Si и S2 — площади оснований, а 5з — площадь сечения,
равноотстоящего от обоих оснований.
► 6. Фигура ограничена сверху и снизу двумя прямоугольниками со
сторонами, равными а, Ь и сц, Ъ, а сбоку — трапециями. Стороны
прямоугольников параллельны; расстояние между параллельными плоскостями
прямоугольных оснований равно h. Найти объем фигуры.
► 7. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а. Две
боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к
нему под углом (р. Найти объем пирамиды.
► 8. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб; вершины его
верхнего основания лежат на боковых ребрах, вершины нижнего
основания — в плоскости основания пирамиды. Найти отношение объема
куба к объему пирамиды, если боковое ребро пирамиды составляет с
плоскостью основания угол а.
► 9. В правильную усеченную треугольную пирамиду вписаны два шара;
один касается всех ее граней, другой — всех ребер. Найти синус угла

Урок 47 [2]. Более сложные многогранники 511
между боковым ребром и плоскостью основания.
► 10. В основании четырехугольной пирамиды лежит равнобедренная
трапеция с основаниями а и Ъ (а > 26) и углом '-р между неравными отрезками
ее диагоналей. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения
диагонапей основания. Углы, которые составляют с плоскостью
основания боковые грани, проходящие через основания трапеции, относятся
как 1:2. Найти объем пирамиды.
► 11. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция с острым
углом а. Эта трапеция описана около окружности основания конуса.
Вершина пирамиды лежит на одной из образующих конуса, и ее
проекция на плоскость основания совпадает с точкой пересечения диагоналей
трапеции. Найти объем пирамиды, если образующая конуса равна / и
составляет с высотой угол /?.
► 12. В четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD имеет своей
осью симметрии диагональ АС, длина которой равна 9, а точка Е
пересечения диагоналей четырехугольника ABCD делит отрезок АС так,
что АЕ < ЕС. Через середину бокового ребра пирамиды SABCD
проведена плоскость, параллельная основанию и пересекающаяся с ребрами
SA, SB, SC и SD соответственно в точках А', В', С' и D'.
Получившийся многогранник ABCDА'В'СD', являющийся частью пирамиды
SABCD, пересекается плоскостью о: по правильному шестиугольнику,
сторона которого равна 2. Найдите площадь треугольника ABD, если
плоскость а пересекает отрезки ВВ' и DD'.
► 13. В правильную четырехугольную пирамиду SABCD с вершиной S. у
которой ребро основания равно 2, а боковое ребро — /3, вписана
правильная четырехугольная пирамида S'A'B'C'D' с вершиной S', у
которой длины всех ребер равны между собой. При этом вершина S'
лежит в плоскости ABCD, а вершины А', В', С, D' лежат на четырех
апофемах пирамиды SABCD. Докажите, что вершина S' лежит в точке
пересечения диагоналей квадрата ABCD и найдите объем пирамиды
S'A'B'C'D'.
► 14. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD
со стороной длины а. Длина диагонали ромба в 1,5 раз больше длины
его стороны. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба,
и ее длина в 1,5 раза больше АС. Через точку А и середину ребра CS
проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания
пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью
и сколько таких плоскостей можно построить?
► 15. Высота пирамиды равна 2, основание пирамиды есть ромб, площадь
которого равна 8, а величина острого угла равна |. Некоторый шар
касается плоскости каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне
основания пирамиды. Докажите, что прямая, соединяющая вершину пи-

512
Глава 10. Стереометрия
рамиды с центром шара, проходит через точку пересечения диагоналей
ромба. Найдите объем шара.
► 16. В основании пирамиды PQRST лежит четырехугольник RST, у
которого стороны QR и ST параллельны, QR = 6, QT — 4, PQ — 2/l4,
а угол RQT равен 120°. Найдите объем пирамиды, если известно, что
через прямые QR и ST можно провести две плоскости, не совпадающие
с основанием пирамиды и пересекающие пирамиду по равным
четырехугольникам.
► 17- Основанием четырехугольной пирамиды FABCD является квадрат
ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ
перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит
на отрезке АС и делит его в отношении АО : ОС — f. Найдите разность
объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что LADF — 90°,
а АВ - а.
► 18. Сфера радиуса R касается всех граней восьмигранника. Две грани —
основания — расположены в плоскостях а и /3, а остальные шесть
(боковых) граней — или равные между собой трапеции, или равные между
собой равнобедренные треугольники. Боковые грани таковы, что каждая
боковая сторона треугольника является одновременно боковой стороной
трапеции, а каждая боковая сторона трапеции является одновременно
либо боковой стороной другой трапеции, либо боковой стороной одного
из треугольников. Основания всех трапеций, имеющие длину /13,
расположены в плоскости р и образуют многоугольник площади 12, а все
другие основания трапеций и все основания треугольников
расположены в плоскости q. Площадь поверхности сферы относится к суммарной
площади боковых граней как 7Г относится к 5. Известно, что 3 < R < 4.
Найдите R.
► 19. В основании пирамиды ТABCD лежит трапеция ABCD (ВС |] AD и
AD/ВС — 2). Через вершину Т пирамиды проведена плоскость,
параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что
АМ/МВ = 2. Площадь получившегося сечения равна S, а расстояние
от ребра ВС до плоскости сечения равно d. Найдите
1) в каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды;
2) объем пирамиды.
► 20. Многогранник имеет шесть граней:
АВСК, ЕМРН, АВМЕ, ВСРМ, СКНР, АКНЕ.
Все его вершины лежат на сфере радиуса у34. Грани АВСК и ЕМРН
лежат в параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно
2. Известно, что АВ : С К = ЕМ : РН ф 1, площадь грани ЕМРН
равна 5, а объем многогранника равен Щ. Найти длину ребра ВМ.

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
513
Урок 48 [2]
Сферы, цилиндры, конусы
Этот урок должен помочь вам привыкнуть работать с объектами,
указанными в его названии. Отличительной их особенностью является то, что
их трудно изображать на чертеже. Поэтому нужно научиться изображать
самое главное, отбрасывая второстепенное. Вы увидите, как я это делаю в
задачах 1—10.
По-прежнему никаких новых формул и теорем знать не надо. Повторите
все, что относится к круглым телам во вступлении к настоящей главе.
► Задача 1. В шар вписан прямой круговой цилиндр. Во сколько раз объем
шара больше объема цилиндра, если известно, что отношение радиуса шара
к радиусу основания цилиндра вдвое меньше, чем отношение поверхности
шара к боковой поверхности цилиндра?
Pevienue. Пусть радиус шара равен R, а цилиндра — г. Рассмотрим какую-
нибудь плоскость, проходящую через центр шара и содержащую ось
цилиндра (такая существует, ибо центр шара, конечно же, лежит на оси
цилиндра). Сечение цилиндра — прямоугольник с одной из сторон 2г, вписанный
в круг радиуса R. Тривиально находится, что вторая сторона
прямоугольника равна у'4й2 — 4г2. Ясно, что эта сторона будет равна высоте
цилиндра. Согласно условию
R _ 4тгД2 R _ _2_
г ~ 2тгтУ4Д2 - 4r2 r ~ уТ
Тогда /4Л2 — 4r2 — R, и теперь уже легко найти искомое отношение
объемов:
Ответ: в V раза.
Ущара __ |тгД3 _ 16
■'цилиндра 7IT y/4R2 - At2 9
9
► Задача 2. Три сферы радиусов г, г и Я внешним образом касаются друг
друга и все касаются некоторой плоскости. Найти радиус сферы,
касающейся данных сфер и этой плоскости.
Решение. В задаче не требуется выяснять, когда конструкция из сфер,
указанная в задаче, существует, а также когда имеется решение. В принципе,
вы можете решить задачу, предполагая, что все указанное в ней
существует. Однако решение не всегда будет единственно (а все возможные радиусы

514
Глава 10. Стереометрия
вы должны найти!). Поэтому я проведу исследование, а вы можете считать
свое решение верным, если вы нашли все возможные радиусы в зависимости
от г и Л.
Сначала простое общее замечание, если сфе-
/ а. /^~~ Ры РаДиУсов Лиг касаются внешним образом
( ^Р—~f—-тог ) друг друга и некоторой плоскости, то длина от-
^ у Ч^ _z_ резка, соединяющего их точки касания с плос-
р Q костью, равна 2л/Кг. В самом деле, посмотрим
Рис. 1 на рис. 1.
Радиус сферы с центром в точке 0 равен R,
радиус другой сферы с центром в точке 02 есть г. На рисунке 1 изображено
сечение сфер плоскостью ж, проходящей через их центры перпендикулярно
плоскости, которой они касаются. Радиусы 0Р и O2Q, проведенные в
точки касания, будут лежать в плоскости 7г. Отрезок PQ, равный О2Т (мы
считаем, что г ^ R) найдем по теореме Пифагора:
PQ = V(Oi02)2-(OiT)2 = V№ + О2 ~ (Я - г)2 = 2л/л7,
а это как раз и требовалось.
Заметим еще, что если дана сфера радиуса г с центром 02, касающаяся
плоскости в точке Q, как на рис. 1, то любая точка 0 пространства,
проекция которой на плоскость есть некоторая точка Р такая, что 0Р = х
и PQ = 2у/хг, будет центром шара радиуса ж, касающегося плоскости
и данной сферы внешним образом. Для этого достаточно доказать, что
0102 = г + х, а это легко делается с помощью теоремы Пифагора для
треугольника 0i02T (для случая, когда х ^ г, годится рис. 1; нарисуйте
сами картинку и изобразите положение точки Г при х < г).
Пусть теперь даны две сферы радиуса г,
внешне касающиеся друг друга и плоскости а.
Пусть они касаются плоскости а в точках А и В
(рис. 2).
Сфера радиуса R, касающаяся каждой из
заданных сфер радиуса г и плоскости а,
существует тогда и только тогда, когда для некоторой
точки С на плоскости имеем АС = ВС = 2/Яг.
Из этого равенства следует, что точка С обязана лежать на серединном
перпендикуляре к прямой АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AD = г
и AC ^ AD, что эквивалентно неравенству 2/Лг ^ г -ф=ф- R ^ £. Легко
проверяется, что для любого R ^ j соответствующая точка С существует,
а значит, указанная сфера радиуса R существует если и только если R ^ j.
Итак, пусть заданы точки касания Л, В и С трех данных сфер с
плоскостью а. Пусть 0 — точка касания искомой сферы с этой же плоскостью

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
515
(см. рис. 2) и ж — радиус этой сферы. Из равенств
АО = ОВ = 2л/гх, ОС = 2/Дж
следует, что О обязано лежать на прямой CD (мы изобразили точку О
внутри треугольника, но она может лежать и вне его). Рассмотрим
треугольник ВОС. В нем sin(ZJBCO) = -щ? = \f- По теореме синусов для
этого же треугольника имеем
во_ sm(ZBCO) v™ = [7 _ y/j «п(/Гят = г
ОС sm{ZOBC) 2VRx~ V R sin(ZCJBO) ^ ; 2'
откуда cos(ZCBO) = ±&.
Запишем теорему косинусов для треугольника ВОС и его стороны ОС —
2vR%- 4Rx = Arx + ARr ± Vs ■ Ay/rx ■ y/Rr
t
(1) x(r-R)±Vx-r- уЗЯ + Rr = 0.
Если R = г, то треугольник ABC равносторонний, так что точка О может
быть только его центром. Полученное нами уравнение также показывает,
что ему удовлетворяет лишь одно значение ж, а именно х = |. Итак, в
случае равенства всех радиусов искомая величина найдена.
Если R ф г, то (1) есть квадратное уравнение относительно у/х. Из него
легко найти, что ^ Rr(^/4R - г ± /Зг)2
Х~ ~ 4(Я-г)2 "
Заметим, что еще один случай, когда х единственно (и равно |), имеет
место, если R = £, т.е. точки С и D совпадают. При этом искомая
сфера может касаться плоскости а в одной из двух точек, симметричных
относительно прямой АВ. В случае, когда R > |, R ф г таких сфер две,
причем радиусы их различны.
Ответ: если R = г или R = т, то искомый радиус равен тт. Если R >
|, R ф г, то искомых сфер две и их радиусы ра
Вг{у/Ш - г ± л/Зг)2
4(Я-г)2
При Л < | указанная в задаче конфигурация не может иметь места.
► Задача 3. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежа- в^
щие в одной плоскости. Сфера касается прямых
АВ и AD в точке А, а прямых ВС и CD в
точке С. Найдите радиус сферы, если известно, что
АВ = 1, BD = 2 и углы ABC и BAD прямые.
Решение. Касательные, проведенные из одной точки
к сфере, равны. Значит, DA — DC и В А = ВС.
Следовательно, треугольники ABD и BCD равны по трем сторонам (рис. 3).

516
Глава 10. Стереометрия
Угол BAD прямой, так что высота АК треугольника BAD, опущенная
из вершины Л, попадает на сторону BD. Из равенства треугольников ABD
и BCD следует, что СК L BD. Ясно, что плоскость АСК содержит центр
О сферы.
В прямоугольном треугольнике ABD известны катет АВ = 1 и
гипотенуза BD = 2. Отсюда легко найти, что AD — /3, АК = 2 • Из
теоремы Пифагора для треугольника ABC находим, что АС — у2 (ибо
АВ = ВС — 1, а угол ABC по условию прямой). Кроме того, из АЕ = ЕС
следует, что АЕ = Ц^-.
В прямоугольном треугольнике OAK мы нашли катет АК и высоту АЕ.
Осталась тривиальная планиметрическая задача нахождения катета О А,
равного радиусу сферы.
Ответ: w|. <
V 2
► Задача 4. Сторона KL прямоугольника KLMN служит высотой конуса
с вершиной L. Радиус основания этого конуса в три раза длиннее отрезка
NK. Шар касается плоскости прямоугольника KLMN в точке М и имеет
единственную общую точку с конусом. Длина отрезка KL равна 6. Найти
радиус шара.
Решение. Докажем для начала небольшое
вспомогательное утверждение. Пусть LP — какая-нибудь
образующая нашего конуса. Опустим из точки К на
нее перпендикуляр KQ и проведем через LP
плоскость тг перпендикулярно KQ (рис. 4). Тогда
плоскость 7г пересекает конус только по образующей LP.
Докажем это.
Пусть / — прямая пересечения плоскости 7г с
плоскостью основания конуса. Прямая KQ
перпендикулярна I, будучи перпендикулярна к 7г. Кроме
того, высота конуса KL перпендикулярна плоскости
основания и, тем самым, перпендикулярна прямой /.
Отсюда заключаем, что прямая I перпендикулярна
плоскости KLP. Следовательно, I _L КР, т.е. I —
касательная к окружности основания конуса. Если
бы плоскость 7г имела общие точки с конусом,
отличные от точек образующей LP, то на ней целиком
лежала бы еще одна образующая конуса, и прямая I
пересекала бы окружность основания в двух точках, что не имеет места.
Мы доказали, что плоскость 7г пересекается с конусом только по
образующей LP.
И еще одно вспомогательное утверждение. Пусть шар радиуса R с

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
517
центром О имеет лишь одну общую точку с боковой поверхностью конуса и
расположен вне его (рис. 5). Проведем плоскость через ось конуса и центр
шара. Тогда круг, получившийся в сечении шара, будет касаться стороны
треугольника, получившейся в сечении конуса. Действительно, пусть S —
точка на высоте конуса такая, что OS _L LT. Обозначим через W точку
пересечения прямых OS и LT.
Если OW < R, то шар пересекает образующую LT в двух точках в
противоречие с тем, что он имеет лишь одну общую точку с конусом. Если
OW > R, то проведем через LT плоскость 7г перпендикулярно OS. Из
первого вспомогательного утверждения следует, что п пересекает конус лишь
по образующей LT. Расстояние от точки О до плоскости л- больше радиуса
шара и, значит, он лежит целиком в полупространстве, не пересекающемся
с конусом, — противоречие.
Вооружившись доказанными
вспомогательными утверждениями, приступим к
вычислению радиуса шара. Пусть О — его
центр, В — точка касания с конусом.
Согласно второму вспомогательному
утверждению продолжение отрезка ОВ пересечет р
высоту конуса в некоторой точке А (рис. 6).
Здесь LC — образующая конуса, лежащая в плоскости прямоугольника
KLMN. Касательные, проведенные из одной точки к шару, равны, так
что LB = LM. Обозначим угол KLC через а. Ясно, что тогда и угол BLA
равен а. Далее,
LM = ^-KC=-- KLtga = 2tga = LB.
Обозначим искомый радиус через г. Тогда ОВ = ОМ = г. Кроме того,
ТЭТ 1
AL = = 2tga и АВ = BL-tga = 2tg2 a.
cos a cos a
Применяя теорему Пифагора к треугольнику ALM, получаем, что
АМ'г = LM2 + LAZ = Atgza- ^^ + 4tg2a.
cos^ a
Наконец, применим терему Пифагора к треугольнику АОМ :
AM2 + ОМ2 = АО2 «=> 4tg2 a I 1 + —— ) + г2 = (г + 2tg2 a)2,
 cos^a/ v ;
и после простых преобразований все члены, содержащие а, сокращаются и
мы находим, что г — 2.
Ответ: 2 -4
► Задача 5. Сфера с центром в точке О пересечена плоскостью 7г. Внутри
сферы расположены три шара, два из которых одного радиуса, а третий —

518
Глава 10. Стереометрия
Рис. 7
меньшего радиуса. Каждый из шаров касается двух других шаров,
плоскости 7г и сферы. Известно, что синус угла между плоскостью, проходящей
через центры шаров, и плоскостью 7г равен -4=, а косинус угла между
радиусами меньшего и большего шаров, проведенными в точки касания со
сферой, равен 4/5. Расстояние от центра меньшего шара до точки 0 равно
15. Найдите расстояние от точки 0 до плоскости 7г, если известно, что оно
больше 14.
Решение. Пусть 0 и 02 — центры равных
шаров радиуса г, а 03 — центр меньшего
шара радиуса г. Обозначим через K,L,M точки
касания шаров с плоскостью 7г (рис. 7).
Проведем через точку Оз плоскость,
параллельную плоскости 7г, пересекающую отрезки
0К и 02£ в точках S и R соответственно.
Пусть W — основание перпендикуляра,
опущенного из середины Р отрезка 0102
(совпадающей с точкой касания сфер радиуса Т), a Q — точка пересечения этого
перпендикуляра с плоскостью O3SR.
Я утверждаю, что угол РОзЯ есть линейный угол двугранного угла
между плоскостями O3SR и 010203 ? который, очевидно, равен
двугранному углу между плоскостями 0i0203 и 7г. В самом деле, прямые 0102 и
SR параллельны, так что линия пересечения плоскостей О1О2О3 и O3SR
(на рисунке она не изображена) параллельна каждой из них. Прямая PQ
перпендикулярна плоскости 03SR, следовательно, плоскость O^PQ
перпендикулярна плоскости 03SR. Ясно, что PQ .1 Ох02 и 03P -L 02 (как
медиана в равнобедренном треугольнике О1О2О3). Значит, Ог02 есть
перпендикуляр к плоскости 03PQ, и плоскости 03PQ и 010203
перпендикулярны. Раз плоскость O3PQ перпендикулярна к каждой из плоскостей
0102 03 и O3SR, она высекает на них линейный угол двугранного угла
между ними, что и требовалось.
По условию cos(ZP030J = 4;?. Ввиду того, что
OiP = ru 03P= ^01Oj-01P2 = s/r2 + 2rrj mPQ = n-r,
имеем
П
vV2 + 2rrx
1
7H
г = It.
Пусть Rq — радиус сферы. Тогда 00 = Rq - 2г, но г = R0 - 15. Поэтому
00! = 30 - До. Ясно, что 0!03 = г + п = Зг = ЗЛ0 - 45.
В треугольнике 00i03 все стороны выражены через Ло (напомню, что
003 = 15). Кроме того, угол 0300i равен углу между радиусами сфер с
центрами в 0х и 03, проведенными в точки касания со сферой радиуса R0
(ведь радиусы вышеназванных сфер, проведенные в точки касания, есть

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
519
продолжения отрезков 00 и ООз). Запишем теорему косинусов для
треугольника 00103) вспомнив, что по условию косинус угла 0ООз равен |:
(ЗЛ0 - 45)2 = 152 + (30 - До)2 - 2 • 15 • (30 - Я0) •  <=> По = 18-
о
Следовательно, г = 3, Т = 6.
Ясно, что точка 0 лежит в плоскости O^PQ- При этом
О
гР = 6, 0Р = у/002 - OiP2 = 6V3, 03Р = Зл/5.
Значит, в треугольнике ООзР известны все стороны. Согласно теореме
косинусов, __ 03Р2 + 0зО2 - 0Р2 _ 9
COS7 ~ 2-03Р-00з " W5'
Здесь 7 = /00зР- Угол PO3Q обозначим через S.
Для того, чтобы получить расстояние от точки 0 до плоскости 7г, надо то
ли прибавить, то ли вычесть 3 из длины перпендикуляра ОТ, опущенного из
точки 0 на прямую O3Q (или вычесть из трех длину этого перпендикуляра)
в зависимости от расположения точки 0 относительно прямой ОзО. (рис. 8
и 9).
-iP
Рис. 8
Рис. 9
Если мы имеем расположение, указанное на рисунке 8, то
ОТ = 00з • sin(7 -S)= 12y/ll ~ 27 < 3,
о
т.е. искомое расстояние равно 3 — ОТ < 14 — противоречие.
Я опустил подробности вычисления величины sin(7 — S). Это делается
просто раскрыванием синуса разности. Нам известно, что sin 8 = 4^,
откуда cos 8 — -4?. Аналогично из равенства cos 7 = Г7? находим, что
sin 7 =
2у/ГТ
5/5
Если ситуация такова, как на рис. 9, то
ОТ = 003 sin(7 + 8) =
12л/П + 27
откуда искомое расстояние равно ОТ + 3 = 12^+42 > 14, и наша задача
решена.
Ответ: 1Щ±М. „

520
Глава 10. Стереометрия
► Задача 6. На основании прямого кругового конуса лежат три шара
радиуса г. На них лежит четвертый шар того же радиуса. Каждый из этих
шаров касается боковой поверхности конуса и трех других шаров. Найти
высоту конуса.
Решение. Пусть А, В, С — центры шаров, лежащих на основании конуса и
D — центр четвертого шара. Тогда основание конуса параллельно
плоскости ABC и удалено от нее на расстояние г. Кроме того, тетраэдр ABCD —
правильный со стороной 2г. Докажем, что высота конуса проходит через
точку D и центр треугольника ABC. Высота тетраэдра ABCD, опущенная
из точки D, проходит через центр ABC. Кроме того, из-за параллельности
основания конуса и плоскости ABC высоты конуса и тетраэдра
параллельны. Значит, достаточно доказать, что точка D лежит на высоте конуса.
Обозначим через К,Ь,М проекции точек А, В, С на основание конуса.
Ясно, что KLM есть равносторонний треугольник со стороной 2г.
Проведем плоскость 7г через высоту SH конуса и точку А (рис. 10).
Получившаяся окружность будет вписана в угол SPH. Пусть R — радиус основания
конуса и /LSPH = а. Тогда НК = R — r ■ ctg(|a). Отсюда следует, что
равносторонний треугольник KLM вписан в окружность, концентрическую с
основанием конуса и имеющую радиус R — r ■ ctg(|a). Значит, центр KLM
совпадает с центром основания. Но центр
треугольника ABC проектируется в центр KLM и,
следовательно, точка D проектируется в центр основания.
Пусть N и Q — точки касания с образующей SP
сфер с центрами соответственно An D. Из равенства
радиусов всех сфер следует, что отрезок DK
параллелен образующей SP. Значит, Z.DAG = a (G — центр
треугольника ABC). Кроме того, DG есть высота
правильного тетраэдра ABCD, т.е. DG = 2rw|. Отсюда sin a = »/|.
Теперь высота SH — SD + DG + GH легко находится, поскольку угол SDQ
равен а и
GH = r, DG = 2rJ-, 5Л = -^- = -Ц=.
V3' cosa i/^/з
Ответ: г(л/3 + 1 + 2л/§). +
► Задача 7. Две перпендикулярные образующие прямого кругового конуса
делят окружность основания в отношении 1:2. Найти объем конуса, если
его высота равна h.
Решение. Пусть S — вершина конуса, Н — основание его высоты и SA, SB
— перпендикулярные образующие, указанные в условии задачи. Из того,
что дуга АВ делит окружность в отношении 1:2, следует, что угол АН В

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
521
Г
^
к
L S
*v4
SL
1

 ■

делит в таком же отношении угол 360°. Значит, /.АНВ = 120°. Пусть
радиус основания конуса равен г. Тогда SA = SB = Уг2 + h2 и, поскольку
угол ASB прямой, имеем АВ = /2r2 + 2h2.
С другой стороны, из треугольника АНВ находим, что
АВ = 2НВ- cos ZHBA = rVS.
Приравниваем найденные значения для АВ:
y/2h2 + 2r2 = rVS Ф=Ф- г = hV2.
Дальше все совсем просто.
Ответ: V = |7гЛ.3. +
► Задача 8. Даны три прямых круговых конуса с углом а (а < 27г/3) в
осевом сечении и радиусом основания, равным г. Основания этих конусов
расположены в одной плоскости и попарно касаются друг друга внешним
образом. Найти радиус сферы, касающейся всех трех конусов и плоскости,
проходящей через их вершины.
Решение. Выберем один из конусов нашей
конфигурации и проведем плоскость 7г через его высоту
и центр искомого шара. Получившееся сечение
изображено на рис. 11.
Пусть М — точка касания шара и конуса. Тогда
- и к РИС. 11
большой круг, получившийся в сечении, касается
боковой стороны треугольника в точке М. Кроме того, большой круг
касается прямой пересечения плоскости п с плоскостью Р, проходящей через
вершины конусов. Докажем это. Пусть L — точка касания шара с
плоскостью Р. Радиус OL перпендикулярен плоскости Р, так что он параллелен
высоте SH конуса. Следовательно, прямая OL лежит в плоскости -к.
Значит, LS есть линия пересечения плоскостей п и Р, являющаяся касательной
к кругу ввиду того, что она перпендикулярна радиусу OL. Мы доказали,
что сечение на рис. 11 изображено правильно.
Пусть R — радиус искомого шара. Продолжим отрезок OL до
пересечения в точке К с плоскостью основания конуса. Ясно, что
(1) KH = LS = SM = Rctg^-^-
— мы воспользовались тем, что касательные SL и SM, проведенные из
одной точки к сфере, равны и тем, что угол OSM равен E^SL.
Мы видим, что расстояние от точки К до центра основания конуса
зависит лишь от Л и а, т.е. одинаково для всех трех конусов. Значит, К
есть центр описанной окружности для треугольника из центров оснований
конусов. Сторона этого треугольника равна 2г, так что
2г
(2) КН = Тз.

522
Глава 10. Стереометрия
На рисунке точка М изображена между точками S и N. Докажем, что
она действительно расположена так:
2г
SM < SN <=> -= <
sin
. а у/3
«<-*,
л/3 -« 2
а последнее неравенство верно по условию.
Теперь приравняем значения КН, найденные в формулах (1) и (2):
2Г _ 7Г-
7ГЯс'5^
и задача полностью решена.
Ответ: R = ^§tg^p. «
а
^ 2Г 7Г —
а
► Задача 9. Даны два прямых круговых конуса, имеющих общую вершину
0 и одинаковые длины высот. У каждого из этих конусов величина угла
между высотой и образующей равна <р. Конусы расположены по одну
сторону от плоскости а так, что только одна образующая каждого конуса
(0Л для одного конуса и ОВ для другого) принадлежит плоскости а.
Известно, что угол между высотами конусов равен /3, причем <р + (3 < тт/2.
Найти угол между образующей О А и плоскостью основания другого конуса.
*° Решение. Обозначим через а длины образующих
каждого из конусов. Тогда О А — ОВ = а. Пусть
также 0 и 02 — центры оснований конусов с
образующими О А и ОВ соответственно.
Поскольку любой плоский угол трехгранного угла меньше
суммы двух других его плоских углов, для
трехгранного угла с вершиной О и ребрами 00, 002
и О А имеем
7Г
Рис. 12
/Л002 < /Л001 + Z01002 = <Р + Р < -
Отсюда следует, что искомый угол равен -| — /Л002 (рис. 12).
Плоскость основания конуса с образующей О А пересечет плоскость а
по некоторой прямой I (рис. 13), имеющей единственную общую точку А
с окружностью основания конуса. Поэтому
отрезок 0А — радиус основания конуса —
перпендикулярен прямой I. Кроме того, прямая /
перпендикулярна высоте конуса 00, ибо она лежит
в плоскости основания конуса. Значит, прямая
/ перпендикулярна плоскости 00А. По
признаку перпендикулярности плоскостей заключаем
теперь, что плоскость 001Л перпендикулярна
плоскости а. Аналогично доказывается, что плоскость
002-В также перпендикулярна плоскости а.
Рис. 13

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
523
Опустим из точек 0 и 02 перпендикуляры 0С и 0D
соответственно на плоскость а (рис. 14). Из доказанного следует, что точка С
лежит на отрезке АО, а точка D — на
отрезке ВО. Из прямоугольных треугольников
ОО^В и OO2D находим:
002 = О В ■ cos <р = a cos <р,
02-D = 002 • sin<^ = a sin ip cos <р,
OD = 002 ■ cos <p = a cos2 ip.
Аналогично из прямоугольных треугольни- Рис. 14
ков 001Л и 00С получаем:
001 = a cos ip, 0C = aslmp cos ip, ОС = a cos2 ip.
Отрезки 0iС и 02-D параллельны как перпендикуляры к одной
плоскости. Кроме того, приведенные формулы показывают, что 0С = 02-D =
a sin ip cos (p. Значит, 0CDOi есть прямоугольник.
Из равнобедренного треугольника 00102 находим
/3 /3
0102 = 2 • 002 • sin — = 2а cos <p sin —.
Zt Zt
Треугольник 0iC02 прямоугольный, так что имеем по теореме Пифагора:
СО =ОгС2 + 0i О2. = a2 sinVcos2 tp + Аа2 cos2 у sin2 2.
И, наконец из теоремы косинусов для треугольника 002С находим, что
ОС2 + 00 - СО2
cos /Л002 л л
2 • ОС ■ 002
Таким образом, искомый угол равен
COS^3
2 sin2 f
COS<£>
7Г
2
/
I
arccos coscy?
Iе
2 sin2f
/
Ответ: arcsin I cosip
U
COS^3
2sin2#^
arcsin I cos<^>
I'
2 sin2^
COS^3
cos 1^ у
► Задача 10. В плоскости Р дан равнобедренный треугольник ABC такой,
что АВ = ВС — I, АС = 2а. Шар радиуса г касается плоскости Р в точке
В. Две скрещивающиеся прямые проходят через точки Л и С и касаются
шара. Угол между каждой из этих прямых и
плоскостью Р равен а. Найти расстояние между этими
прямыми.
Решение. Обозначим через Л1, С точки касания
шара с прямыми, проведенными через Л и С
соответственно. Пусть Лг и С*2 — ортогональные
проекции точек А и С на плоскость Р (рис. 15).
Рис. 15

524
Глава 10. Стереометрия
Поскольку отрезки касательных к шару, проведенные из одной точки,
равны, имеем
AAi =AB = l, CCi =CB = l.
Из прямоугольных треугольников СС С2 и АА А2
находим: АА2 = СС2 = Zsina.
Отсюда следует, что АА2 = СС2. Каждый из
отрезков АА2 и СС2 перпендикулярен плоскости
Р, так что АА2С2С — прямоугольник. Из тех
же прямоугольных треугольников АА2 = СС2 =
Icosa. Обозначим через О центр шара. Так как
В — точка касания шара с плоскостью Р, радиус ОВ перпендикулярен
Р. Значит, АА2 || ОВ и точки АА2,0,В лежат в одной плоскости. На
рисунке 16 изображено сечение этой плоскостью шара и плоскости Р. Если
D — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ОВ,
то
А2В = AiD = у!Ах02 -OD2 = у/г2 - {r-lsina)2 = y/2rlsina - I2 sin2 a.
Аналогично устанавливается, что С2В — yj2rlsina — I2 sin а. Значит,
точки A2 и С2 лежат на окружности радиуса у 2rl sin а — Р sin2 а с центром в
точке В.
Выше мы доказали, что точка А2 лежит на окружности радиуса г cos a
с центром в точке А и точка С2 лежит на окружности того же радиуса с
центром в точке С. Эти три окружности будем в дальнейшем для краткости
называть: окружность В, окружность А и окружность С — в соответствии
с названиями их центров.
Пусть Е — середина стороны АС. Треугольник ABC равнобедренный,
так что BE _L АС. Окружность В симметрична относительно прямой BE,
окружности А и С при этой симметрии переходят друг в друга. Отсюда
следует, что точки пересечения окружностей В и А симметричны точкам
пересечения окружностей В и С относительно прямой BE. Предположим,
что точки А2 и С2 симметричны относительно прямой BE. Тогда А2С2 -L
ВЕ и, значит, А2С2 || АС. Ввиду того, что АА2С2С — прямоугольник,
имеем АС || А2С2. Отсюда следует, что АС || АС. Но тогда прямые
АА и СС] лежат в одной плоскости, что противоречит условию задачи.
Итак, точки А2 и С2 не симметричны относительно прямой BE. На
рисунках 17 и 18 изображены два возможных случая расположения точек
А2С2. При этом положения точек А2 и С2 обозначены соответственно
■^2> -^2 И С2-, С2 ■

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
525
Рис. 17
Рис. 18
Расстояния между прямыми АА и СС в этих двух случаях одинаковы.
Действительно, плоскость ОБЕ перпендикулярна плоскости Р. Из
доказанного выше следует, что точки А и С, А'2 и С2, А2 и С2 симметричны
относительно плоскости ОБЕ. Обозначим через А^, А^, Gj, G^ точки,
соответствующие точкам Л1 и Ci в случаях, изображенных на рисунках 17
и 18.
Поскольку
А[А'2 || OJBE, СМ || А[А'2, А[А'2 = С['С^
и точки А'2,С2 симметричны относительно плоскости ОБЕ, точки А[ и
С" также симметричны относительно плоскости ОБЕ. Аналогично точки
А" и С[ симметричны относительно этой же плоскости. Этим доказано,
что прямые АА[ и СС", АА'{ и СС[ симметричны относительно плоскости
ОБЕ. Но тогда, как и утверждалось выше, расстояние между АА[ и
СС[ равно расстоянию между прямыми С С" и АА'{. В дальнейшем для
определенности будем считать, что точки Л2 и С*2 расположены так же,
как точки А2 и С2 (рис. 17).
Проведем через точку А прямую,
параллельную прямой СС. Отложим на ней точку F так,
чтобы отрезки AF и СС были сонаправлены и
равны (рис. 19). Ясно, что плоскость AAF
параллельна прямой СС. Следовательно,
расстояние между прямыми АА и СС будет равно
расстоянию между прямой СС и плоскостью AAF
или расстоянию от точки С до плоскости АА F.
Обозначим это расстояние через ксг ■ Если h_
до плоскости FА С, то
1 1
SaA-lF = - ■ flA • SfAiCi;
Рис. 19
расстояние от точки А
VaAiCiF
откуда находим, что
• hCl
hcx = fiA
3
Sfa, Ci
Saa,f

526
Глава 10. Стереометрия
Остается найти На, Sfa-lC! и Saa^- Четырехугольник ACCF —
параллелограмм (ибо AF = СС и AF || CCi). Следовательно, С А || CF.
Ранее было доказано, что А2С2 || АС. По признаку параллельности двух
плоскостей (ранее было доказано, что прямые АС и А2С2 не параллельны)
заключаем, что плоскости ABC и FAC параллельны. Но тогда
На = А1А2 = Zsina.
Найдем площадь треугольника FAA. Он равнобедренный, так что,
вычислив его высоту, опущенную из точки Л, по теореме Пифагора, получим:
SFAA^l-FA.-^AAj-yFAj.
Обозначим через G проекцию точки F на плоскость ABC. Поскольку
FGA2A1 — параллелограмм, имеем FA = GA2.
Плоскости AFG и СС С-i параллельны (т.к.
AF || CCU FG || С1С2). Плоскость ABC
пересекает их по прямым AG и СС2- Значит,
AG || СС2 (рис. 20). В треугольниках АА2В
и СС2В соответствующие стороны равновели-
Рис. 20 ки- Значит,
(3) /А2АВ = /С2СВ, /А2ВА = /С2ВС.
Обозначим через К точку пересечения прямых СС2 и АВ. Тогда
/GAA2 + /А2АВ = /.GAB = / АКС.
Последнее равенство верно, поскольку углы GAB и АКС есть внутренние
накрест лежащие углы при параллельных прямых AG и СС2 и секущей АК.
Угол АКС есть внешний угол треугольника КВС, так что
/АКС = /ABC + /С2СВ.
Из двух последних равенств следует, что /GAA2 = /ABC. Но тогда
/1  1 АС
GA2 = 2 ■ АА2 ■ sin ( -/GAA2 ) = 2 • АА2 ■ - ■ —= = 2а cos a
2 j 2 АВ
Saa-i f = a cos а у I2 ~ о? cos2 а.
Для того, чтобы найти SpAiCi, заметим, что в треугольниках FAC и
GA2C2 соответствующие стороны равновелики. Значит, Sfaxd = Sga2c2-
Пользуясь вторым из равенств (3), имеем
/А2ВС2 = /А2ВА + /АВС2 = /С2ВС + /АВС2 = /ABC.
Поскольку треугольники А2ВС2 и ABC равнобедренные, из последнего
равенства следует, что они подобны. Поэтому
А2С2 А2В . _ АС- А2В 2а г—— 72 . 2
-Ж = -АВ => МС* = —АВ— = T^lsma-Psm a.

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
527
Обозначим через h высоту треугольника GA2C2, опущенную из вершины
Лг- Тогда в зависимости от того, куда попадет основание высоты h, будем
иметь некий выбор знаков в следующем уравнении:
±*lG№-h2±lA*C% - h2 = GC2
± а / ■■■■■- sin а — 4а2 sin2 а — h2 — 2а ± у 4а2 cos2 а — h2.
После возведения в квадрат, приведения подобных членов, уединения
радикала и повторного возведения в квадрат все плюс-минусы превратятся в
плюсы, и мы получим, что вне зависимости от выбора знаков будет
2а '
h — — /2rlsma — (г2 + I2) sin2 a.
Это дает
1 2аг '—"— о—
Sga2c2 - 9 ' ^2 ' h = ~~Г V2r' sin a~ (r2 + l2) sin a-
2
Теперь у нас есть все для нахождения hcx
1
2а2 W 2rl sin а — (г2 + I2) sin a
hey — I sin a ■ — ■ ...- =——.
lacos ay/ — a2 cos2 a
и после тривиальных упрощений получаем
Ответ:
2atg a-^/2Wsin a — {r2+l2) sin2 a
Vй — &* cos"-4 a
Урок окончен. Оценка ставится стандартным образом.
Домашнее задание
► 1. Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус,
параллельно плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найти
угол при вершине осевого сечения конуса.
► 2. Дан прямой круговой конус. Проводят различные сечения плоскостью
через его вершину. Оказалось, что площадь максимального сечения в
два раза больше площади осевого. Найти угол в осевом сечении.
► 3. Две равные сферы касаются друг друга и граней двугранного угла.
Третья сфера меньшего радиуса также касается граней этого двугранного
угла и обеих данных сфер. Дано отношение га радиуса меньшей сферы
к радиусу одной из равных сфер. Найти величину а двугранного угла.
В каких пределах может изменяться т?
► 4. Четыре равных шара радиуса г внешним образом касаются друг друга
так, что каждый касается трех остальных. Найти радиус сферы,
касающейся всех четырех шаров и содержащей их внутри себя.

528
Глава 10. Стереометрия
► 5. Три шара радиуса г лежат на нижнем основании прямого кругового
цилиндра, причем каждый из них касается двух других и боковой
поверхности цилиндра. Четвертый шар лежит на этих трех шарах, касаясь
боковой поверхности цилиндра и его верхнего основания. Определить
высоту цилиндра.
► 6. Две равные сферы радиуса г касаются друг друга и граней двугранного
угла, величина которого равна а. Найти радиус сферы, которая касается
граней двугранного угла и обеих данных сфер.
► 7. Через две образующие конуса, угол между которыми равен а, проведена
плоскость. Площадь сечения относится к полной поверхности конуса как
2 : 7г. Найти угол между образующей и высотой конуса.
► 8. Точка А лежит на окружности верхнего основания цилиндра, точка В
— на окружности нижнего основания цилиндра. Прямая АВ составляет
с плоскостью основания угол а, а с плоскостью осевого сечения,
проведенного через точку В, — угол 0. Найти объем цилиндра, если АВ = I.
► 9. Высота конуса равна Н, угол между образующей и плоскостью
основания равен а. В этот конус вписан шар. К окружности касания шаровой
и конической поверхностей проведена касательная прямая, а через эту
прямую проведена плоскость параллельно высоте конуса. Найти площадь
сечения шара этой плоскостью.
► 10. В шар радиуса R вписаны два конуса с общим основанием; вершины
конусов совпадают с противоположными концами диаметра шара.
Шаровой сегмент, вмещающий меньший конус, имеет в осевом сечении дугу,
равную а0. Найти расстояние между центрами шаров, вписанных в эти
конусы.
► 11. Два конуса имеют общую высоту; их вершины лежат на
противоположных концах этой высоты. Образующая одного конуса равна I и
составляет с высотой угол а. Образующая другого конуса составляет с
высотой угол 0. Найти объем общей части обоих конусов.
► 12. В шаровой сектор радиуса R вписан шар. Найти радиус окружности
касания поверхностей шара и сектора, если центральный угол в осевом
сечении шарового сектора равен а.
► 13. Три прямых круговых конуса имеют общую вершину, и каждый из
них касается внешним образом двух других. Вычислить углы между
линиями касания боковых поверхностей этих конусов, если у первого
конуса угол между осью и образующей равен а, у второго — 0, а у
третьего — у.
► 14. Шар касается основания конуса в его центре. Поверхность шара
пересекает боковую поверхность конуса по двум окружностям, одна из
которых имеет радиус, равный радиусу шара, и лежит в плоскости,
параллельной основанию конуса. Известно, что радиус основания конуса в
4/3 раза больше радиуса шара. Найти отношение объема шара к объему

Урок 48 [2]. Сферы, цилиндры, конусы
529
конуса.
*■ 15. Три одинаковых прямых круговых конуса, радиусы оснований которых
равны г и составляют 3/4 их высоты, расположены по одну сторону
от плоскости Р, а их основания лежат в этой плоскости. Окружности
оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найти радиус шара,
лежащего между конусами и касающегося как плоскости Р, так и всех
трех конусов.
► 16. Дан трехгранный угол с вершиной О, у которого величина каждого из
плоских углов равна (р. Плоскость а пересекает ребра этого
трехгранного угла в точках А, В, С, причем О А — ОВ, а ОС < О А. Известно,
что величина двугранного угла между плоскостью а и гранью ОАВ
равна /?. Два шара расположены по разные стороны от плоскости а так,
что каждый шар касается всех граней трехгранного угла и плоскости
а. Найдите:
1) величину угла между прямой, проходящей через центры шаров, и
плоскостью грани OAB-t
2) отношение радиусов указанных шаров.
► 17. На плоскости а, проходящей через центр шара радиуса R, задана
окружность с центром 0 и радиусом г1? расположенная внутри шара. Все
точки этой окружности соединены прямыми с точкой А,
принадлежащей шару и удаленной от плоскости а на расстояние R. Множество
отличных от А точек пересечения этих прямых с поверхностью шара
есть окружность с центром 02 и радиусом т^- Найдите расстояние от
точки 02 до плоскости а, если расстояние между точками А и 0 равно
а.
*■ 18. Конус вращается вокруг оси — прямой, перпендикулярной его высоте
и проходящей через вершину. Найдите площадь сечения полученного
тела вращения плоскостью, проходящей через ось вращения, если длина
образующей конуса равна 5, а длина высоты равна 4.
► 19. В прямом круговом конусе расположены два шара единичного радиуса,
центры которых находятся на оси симметрии конуса. Один из шаров
касается боковой поверхности конуса, а другой — основания конуса и
первого шара. Найти величину угла между образующей конуса и его
основанием, при котором объем конуса наименьший.
► 20. На сфере радиуса 11 см расположены точки Л, А, В, В, С и С.
Прямые AAi, BB и СС взаимно перпендикулярны и пересекаются в
точке М, отстоящей от центра сферы на расстояние -/59 см. Найти
длину отрезка АА, если известно, что длина отрезка ВВ равна 18 см,
а точка М делит отрезок СС в отношении (8 + V2) : (8 — /2).

530
Глава 10. Стереометрия
Урок 49
Векторы
Задачи, в которых применение векторного исчисления действительно
необходимо, крайне редко встречаются на вступительных экзаменах. Но эта
тематика все-таки входит в школьную программу, так что лучше ее
освоить. Главная причина, по которой я прохожу векторное исчисление со
своими учениками, состоит в том, что бывают (как планиметрические, так и
стереометрические) задачи, которые громоздко решаются обычными
методами, но при помощи векторного исчисления могут быть решены буквально
в две строчки.
Хотя эта глава и посвящена стереометрии, на сегодняшнем уроке мы
будем решать задачи и по стереометрии, и по планиметрии, поскольку в
курсе планиметрии мы векторами не занимались. Цель урока — наработать
чутье, говорящее, что для решения задачи, условие которой ничего не
говорит о векторах, можно применить векторное исчисление.
Под вектором обычно понимается направленный отрезок (на плоскости
или в пространстве). Слово «направленный» означает, что он отличается от
обычного отрезка тем, что один его конец называется началом, а другой
— концом (прошу прощения за выражение «конец называется концом», но
видимо, никак иначе сказать нельзя). При этом для того, чтобы сразу
видно было, где начало вектора, а где его конец, над ним рисуется стрелка.
Например, запись АВ означает, что начало вектора есть точка Л, а его
конец — точка В. Начало и конец вектора могут совпадать. В этом случае
он называется нулевым вектором. Иногда стрелка будет стоять над одной
буквой (например, х). Это означает, что х есть некий вектор, конец и
начало которого не указываются.
Векторы АВ и CD, лежащие на разных прямых, называются равными,
если АВ || CD и AC \ BD. Если эти векторы лежат на одной прямой,
то они равны в том и только том случае, когда АВ = CD и один из
лучей, порожденных этими векторами, содержится в другом. При этом
луч, порожденный вектором АВ, есть множество всех точек прямой АВ,
лежащих с той же стороны от Л, что и точка В.
На интуитивном уровне можно понимать равенство векторов АВ и CD
как возможность некоторым параллельным переносом перевести точку А
в точку С и одновременно точку В в точку D. Кроме того мы не будем

Урок 49. Векторы
531
различать равные векторы. Выгода от этого будет видна в дальнейшем.
Напомню еще, что умножение вектора х на число а дает вектор а ■ х,
параллельный ж, длина которого есть длина х, умноженная на а, одинаково
направленный с f (в очевидном смысле), если а > 0, и направленный
противоположно, если а < 0.
Легко проверяется, что если в пространстве (на плоскости) заданы
вектор х и произвольная точка А, то существует такая точка В пространства
(плоскости), что векторы АВ и х равны.
Векторы можно складывать друг с другом. Это можно делать, применяя
любое из двух правил:
— правило треугольника: если даны векторы ж и у, то нужно выбрать
точки А, В и С так, чтобы было АВ — х, а ВС — у (убедитесь сами, что
это всегда возможно). Тогда х + у есть по определению вектор ВС.
— правило параллелограмма: нужно выбрать точки A,BtC и D так,
чтобы было АВ — х, АС — у и чтобы четырехугольник ABDC был
параллелограммом. Тогда AD — х + у.
По определению х — у — х + (—1) ■ у.
Последняя операция над векторами, которую мы должны уметь
производить, это скалярное произведение. Если даны векторы х и у, то их
скалярным произведением (х, у) называется произведение длин этих векторов
(обозначаемых далее |ж"| и у) на косинус угла между ними. Ясно, что, в
частности, (х,х) — х2.
Векторы в пространстве (на плоскости) можно задавать координатами.
Делается это так. Пусть х — произвольный вектор пространства
(плоскости), в котором (на которой) задана координатная система Oxyz
(соответственно Оху). Выберем такую точку А пространства (плоскости), что
Ол — х. Тогда координаты точки А есть по определению координаты
вектора х. При этом будет употребляться запись х — {а,Ь,с}, где а,Ь,с —
координаты точки А.
Если х ~ {ai,bi,ci}, у — {а-г, &21 с2} и a — произвольное число, то
х + у = {ai +а2,Ъ +b2,ci +с2}, х - у = {ai - a2,h - b2,Ci - с2} и
a ■ 5 — {a- ai,a ■ bi,a- q}.
Если даны точки A(x,yi,zi) и B(x-2,y-2,Z2), то вектор АВ имеет
координаты {Х2 -Х!,У2-У1,22 - Zi}.
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.
Если даны векторы х — {ai,6i,^i} и у — {a2,b2,C2}, то их скалярное
произведение вычисляется по формуле
(х, у) = аа2 + bb2 + cic2-

532
Глава 10. Стереометрия
В частности, х — ^/(х,х) — л/af +Ь + с2. Кроме того, из определения
скалярного произведения следует, что угол tp между векторами х и у
определяется из соотношения
(х, у) aia2 + hb2 + cic2
Fllvl Vaf + b2 + cf ■ л/a^ + Ь| + с2.
В частности, векторы х и у перпендикулярны тогда и только тогда, когда
«1«2 + М2 + ClC2 = 0.
Единичный (т.е. единичной длины) вектор х0, сонаправленный с
вектором х находится по формуле _ _ х
х
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они
параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Ненулевые
векторы х и у коллинеарны, если и только если найдется такое число а, что
а ■ х = у.
► Задача 1. На координатной плоскости Оху даны три последовательные
вершины параллелограмма ABCD: А(0,1), JB(1, 2), С(2,7). Найти длины
диагоналей АС и BD.
Решение. В принципе, можно нарисовать три данные вершины, сообразить,
где находится четвертая и найти диагонали по формуле расстояния между
точками. Я покажу, как можно решить задачу чисто аналитически.
Пусть D{x,y) — последняя вершина параллелограмма. Векторы AD и
ВС равны, так что можно приравнять их координаты:
2-0 = 2-1, у — 1 = 7 —2 ^> х = 1, у = 6.
Теперь можно применять формулу расстояния между точками, или
формулу для длины вектора:
АС = ^(2-0)2 + (7-1)2 = 2^0, BD = ^(1 - 1)2 + (6 - 2)2 = 4.
Ответ: АС = 2/Ш, BD = 4. 4
► Задача 2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов всех его сторон.
Решение. Пусть ABCD — параллелограмм, и АВ = a, AD = Ъ. Тогда
АС — а + Ь и BD ~ Ъ — а и, следовательно,
AC2 + BD2 = (3 + Ь,а + Ь)2 + (Ь - 5,6 - а}2 =
= |3|2 + 2(3,6) + |Ь|2 + |3|2 - 2(3, Ь) + Ь2 =
= 2{а2 + Ь2) = 2(АВ2 + AD2) = АВ2 + ВС2 + CD2 + AD2,
что и требовалось доказать.
*■ Задача 3. При каких значениях ж и у векторы с пространственными
координатами {я,—2,5} и {1,у,— 4} коллинеарны?

Урок 49. Векторы
533
Решение. Ни один из векторов в условии не может быть нулевым ни при
каких х и у. Поэтому задача эквивалентна следующей: при каких ж и у
найдется такое число а, что
а-{х,-2,5} = {1,у,-4} <=> {ах,-2а,5а} = {1,у,-4}?
Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.
Приравнивая их, получаем следующую систему:
ах — 1,
-2а = у,
5а = -4,
из которой находим, что а — —^,х — — |,у = |.
Ответ: при х = — |,у = |. •*
► Задача 4. Пусть ABCD — тетраэдр, причем даны длины его ребер:
АВ = с, АС - 6, ВС = а, AD- au BD-bu CD=cx.
Найти угол между прямыми АВ и CD.
Решение. Пусть х — АВ, у = AC, z — AD. Тогда, очевидно, CD = 1 — у.
Пусть ip — угол между векторами АВ и CD. Тогда
(Ж CD) jxj-y) l
cos^ = Tb-cd = —^Г = ^((ж'2)" (ж'у)) =
= — (ссц cos LDAB - eh cos ABAC).
Из теоремы косинусов следует, что
cai cos ZDAB = {<? + a-b) и cb cos/IB AC = -{c2 + b2 - a2).
Теперь лишь осталось подставить найденные значения в выражение для
cos (р.
/ '2 , 2_i2_i2 
Ответ: <р — arccos f ——^ *■ ]. л
► Задача 5. Даны вершины тетраэдра Л(3,—2,1), JB(3,1,5), C(3,2,4) и
.0(0,0, 0). Медианы грани BDC пересекаются в точке М. Найти длину
отрезка AM.
Решение. Пусть АВ = Ь, А~б = с, AD = d. Тогда CD - d - S, ~BD-d-b
и С В — Ъ — с. Пусть N — середина стороны BD. Тогда
B~N =  BD = hd-b).
2 2' ;
Значит „
CN = CB + m = b-c+-d~lb=~d+~b-c.
2 2 2 2

534
Глава 10. Стереометрия
Мы знаем, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в
отношении 2:1, считая от вершины. Отсюда следует, что
CM =  -CN = ~h-r-b+-d.
3 3 3 3
Наконец,
(1) АМ = Ад + СМ= (c + b + d).
О
Легко видеть, что
Ъ= {0,3,4}, с^ {0,4,3}, d= {-3,2,-1}.
Подставив найденные значения векторов в формулу (1), найдем, что AM —
{ — 1,3,2}; нам осталось найти только длину вектора AM (см. формулы,
приведенные во вступительной части этого урока).
Ответ: AM — y/Ti. +
► Задача 6. Прямая I в пространстве проходит через точки А(0,2,1) и
В(1,0,0). Найти расстояние от точки С(0, 0, 0) до этой прямой.
Решение. Достаточно найти точку D(x, у, z), лежащую на прямой /, такую,
что CD _L I. Тогда расстояние от точки С до прямой / найдется как
длина отрезка CD. Ясно, что вектор В А — { — 1, 2,1} параллелен прямой /.
Но и вектор DB = {х — l,y,z} параллелен этой прямой. Следовательно,
векторы DB и ВА параллельны. Значит, найдется некоторое число t
(модуль которого равен -^, а знак плюс выбирается, если DB и В А
сонаправлены — в противном случае выбирается знак минус), для которого
D~B-t-B~A <^> {x-l,ytz} = {-t,2t,t},
откуда ( x-l = -t,
y = 2t,
z = t.
Исключая из этой системы t, получим, что < ZX=Z • Третье уравнение
получим из условия перпендикулярности векторов CD и АВ:
(АВ, CD) =0 <=> 1-х + (-2) ■ у + (-1) ■ г = 0.
{y=2z
i-x=z , решая которую, находим, что х = §,у = | и
x=2y+z
z — . Значит, искомое расстояние равно /х2 + у2 + z2 = :^jp.
Ответ: :^jp. -4

Урок 4$- Векторы
535
► Задача 7. Плоскость 7г проходит через точки .4(0,0,1), JB(0,1,— 1) и
С(1, 0, — 1). Найти расстояние от точки .0(1,1,1) до плоскости 7г.
Решение. Убедимся сначала, что плоскость 7г корректно определена, т.е.
что точки А, В и С не лежат на одой прямой. Достаточно доказать, что
угол ц> между векторами р = АВ и q — АС не равен нулю, т.е. что
<»«.*i~&?Ui.
iplkl
Нор = {0,1,-2} и q = {1,0,-2}, так что
что и требовалось доказать.
Найдем проекцию точки D на плоскость тт. Пусть это будет точка М
с координатами (x,y,z). Для того, чтобы М была проекцией точки D,
необходимо и достаточно, чтобы было DM JL АВ и DM _L АС. Запишем
это в виде векторных равенств:
((М,АЙ)=0, J0-(x-l) + l.(V-l) + (-2).(Z-l) = 0>
(Ш1,АС) = 0 "^^ I 1 - (^ - 1) + 0 - (у - 1) + (-2) - (z - 1) = 0.
Точка М лежит в плоскости ABC, поэтому вектор AM линейно выражается
через векторы ft и ?, т.е. найдутся такие числа а и /3, что а ■$+ J3 ■ 4 ~ AM.
Запишем последнее равенство в координатах:
а{0,1,-2} + ^{1,0>-2} = {х,у,г-1} «
^ {0,a,-2Q} + {^,0,-2^} = {z,y,Z-l} ф=*
<^Ф {/?,а,-2а-2/?} = {х,у,2-1} <=> < а = у,
[ -2а-2/? = 2-1.
В последней системе, подставив значения а и /3 из первых двух уравнений
в третье, получим — 2х — 2у — z — 1.
Объединяя это уравнение с системой (2), получим систему
(y-2z = -l,
<; х -2z = -1,
I -2:r - 2у = г - 1,
из которой находим, что х = у = , z — §. Теперь уже легко найти
расстояние межу точками D и М.
Ответ: |. ч
► Задача 8. Для точек А, В,С и .О из предыдущей задачи найти точку,
симметричную точке D относительно плоскости ABC.

536
Глава 10. Стереометрия
Решение. Пусть E(x,y,z) — искомая точка. Воспользуемся найденной в
предыдущей задаче точкой М(|, |, |), которая является проекцией D на
плоскость ABC. По определению симметрии относительно плоскости точка
М есть середина отрезка DE. Пусть О — начало координат. Тогда
OE^OD + 'DE и DE = 2-DM,
откуда ОЕ = OD + 2 DM — { — |, — ,}. Поскольку координаты вектора с
началом в точке О совпадают с координатами конца этого вектора, имеем
Е = (~91-£>£)■
Ответ: (-|,-§,§)- *
*■ Задача 9. Дан куб с вершинами
4(0,0,0), 5(1,0,0), С(0,1,0), Я(1,1,0),
Л!(0,0,1), Bi(l,0,l), Ci (0,1,1), Di(l,l,l).
Доказать, что сумма квадратов проекций всех его ребер на произвольную
прямую не зависит от этой прямой, и найти указанную сумму.
Решение. Ясно, что длина проекции любого отрезка на прямую есть его
длина, умноженная на косинус угла между отрезком и этой прямой.
Отсюда следует, что заданная сумма не меняется при параллельном переносе
прямой. Значит, нашу сумму квадратов можно искать для прямой I,
проходящей через начало координат.
Ребра АВ, AiBi, CD, CDi все равны и параллельны. Значит, их
проекции на прямую I равны. То же самое можно сказать о ребрах
AC, AiC, BD, BiDi и о ребрах АА, ВВ, СС, DD. Следовательно,
искомая сумма квадратов равна
4 • ((проекция АВ)2 4- (проекция АС)2 + (проекция АА)2).
Возьмем какую-нибудь точку L на прямой / такую, что AL = 1 (напомню,
что прямая / проходит через начало координат, совпадающее с точкой А).
Рассмотрим векторы
ёг = АВ, е2 = АС, е3 = aTu p = AL.
Их длины равны единице. Если <pi,<p2,<p3 есть соответственно углы между
векторами е1,е2,ёз и вектором р, то
(еьр) = cos^x, (e2,p) = cos(p2, (e3,p) = cos(/>3,
т.е. выписанные скалярные произведения равны соответствующим
проекциям отрезков. Пусть р = {x,y,z}. Тогда
(ei ,р) = 1 - х + 0 ■ у + 0 • z ~ х.
Аналогично (e2,j3) = у и (ёз,р) — z. Мы уже отметили, что искомая сумма
РаВНа 4((еьр)2 + {е2,3? + &,Р)2) = 4(*2 + у2 + z>) = 4,

Урок 49. Векторы 537
так как х2 +y2 + z2 = р2 = 1 согласно нашему выбору р. Задача полностью
решена.
Ответ: 4. •*
► Задача 10. Острый угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD
равен arccos ^^-. Точки Е и F являются серединами отрезков АВ и CD
соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым АВ и CD. Найдите
угол АСВ, если известно, что АВ = 2>Д, CD = 2/7, EF = /13.
Решение. Пусть Cl? = Fl5 = x,FE = yviBE = E~2 = z. Тогда
{х, х) = CF2 = 7, (у, у) = EF2 = 13 и (z, z) = БЕ2 = 5.
Кроме того, ж _L у ± z, так что (х, у) = (у, z) = 0. Угол ц> между векторами
х и z может равняться либо arccos ^jjp, либо л- — arccos ^^. В зависимости
от этого cosip — ^ или cosip — -^ур и (ж, г) — ±3,5.
Далее, > ^ у >
C4 = CF + FE + EA^f + у + г и
CB = C~F + FE + E~B = x + y-z.
Искомый угол а — /АСВ найдем из равенства
(CltCB) (x + y + S,x + y-z)
COS OL == — ^ "^~~ *
|CA|-|CB| |2 + ?+?||2 + ?-z|'
Числитель и знаменатель получившейся дроби вычислим по отдельности:
(x + y + z,x + y-z) = |ж*|2 + у2 + 2(2,sO " И2 = 7+ 13 + 0-5 = 15.
Найдем теперь длину s вектора х + у + z:
s2 = Щ2 + У? + Щ2 + 2(5, У) + 2(х, I) + 2(у, I) =
= х2 + у2 + z2 + 2(x, z) = 7 + 13 + 5 ± 7 = 25 ± 7.
Аналогичным образом для длины t вектора х + у ~ z имеем t2 = 25 + 7.
Следовательно,
8 ■ t = V25 ± 7 ■ л/25^7 = /252 - 72 = 24.
Значит, cos a = || = |, что и требовалось.
Ответ: /.АСВ = arccos |. •*
Как обычно, после десятой задачи я заканчиваю урок. Оцените вашу
работу на нем по стандарту.

538
Глава 10. Стереометрия
Домашнее задание
► 1. Даны координаты вершин четырехугольника на плоскости Оху:
4(2,-2), J3(-3,l), (7(7,7), £>(7,1).
Доказать, что ABCD — трапеция и найти длину ее средней линии.
► 2. Даны координаты двух вершин треугольника A(2t —1), В{—3, 5) и
координаты точки пересечения медиан этого треугольника М(1,1). Найти
координаты вершины С.
► 3. В пространстве даны четыре произвольные точки А, В, С, D.
Доказать, что у
{АВ, CD) + (AC, DB) + (AD, ВС) = 0.
► 4. Диагональ АС прямоугольного параллелепипеда ABCDABCD
перпендикулярна плоскости ABD. Доказать, что этот параллелепипед
является кубом.
► 5. Пусть для пространственных векторов а и Ь имеет место равенство
а — Ъ = а + Ь. Доказать, что тогда а ± Ь.
► 6. Доказать, что для любых пространственных векторов о, Ь и с имеет
место неравенство
|о| + |Ь| + |с| + |3 + Ь + с| > |3+Ь| + |а + с| + |Ь + с].
► 7. Дан куб с вершинами
4(0,0,0), 5(1,0,0), С(0,1,0), £>(1,1,0),
41(0,0,1), Bi(l,0,l), Ci(0,1,1), £>i(l,l,l).
Доказать, что сумма квадратов длин проекций всех его ребер на
произвольную плоскость не зависит от этой плоскости, и найти указанную
сумму.
► 8, Лежит ли точка М(1,1,1) на плоскости, проходящей через точки
4(2,0,4), £(-3,-27,5) и С(4,-2,10)?
► 9. Даны векторы а = {2, —3,5}, b — { — 1) 1, —3} и с — {3,7,1}. Найти вектор
р такой, что ^
(р, а) = 12, (р, Ь) = -6 и р _1_ с.
► 10. Доказать, что в треугольнике ABC медианы ть и та перпендикулярны
тогда и только тогда, когда а2 + Ь2 = 5с2.
>
► 11. Дан куб ABCDABCD. Найти косинус угла между векторами DA
и DM, где М — середина ребра СС.
► 12. Найти угол между ненулевыми векторами а и Ь, если а — 2, |Ь| = 3 и
|а-Ь|2 + |2а-Ь|2 = 56.

Урок 50. Геометрические места точек
539
► 13. В пространстве дана точка А(1, 2,1) и прямая I, проходящая через точки
JB(0,0,1) и С(1,1,0). Найти координаты точки А', симметричной точке
А относительно прямой /.
► 14. Назовем медианой тетраэдра отрезок, соединяющий его вершину с
точкой пересечения медиан противоположной ей грани. Доказать, что все
четыре медианы произвольного тетраэдра пересекаются в одной точке.
В каком отношении эта точка делит каждую из медиан?
► 15. Дан тетраэдр ABCD и точка М в плоскости его грани ABC. Числа
а,(3 и 7 выбраны так, что
DM = a-DA + p-DB + y- D~6.
Доказать, что а + /3 + 7 = 1-
► 16. Плоскость я- проходит через точки А( —1,0. 0),В(0, —1,0) и С(0, 0, — 1);
а плоскость а - через точки Р(2,1,2), Q(0,1,4) и Я(4,1,0). Найти
острый угол между плоскостями п и а.
► 17. Дан куб ABCDABxCDx (вершины основания ABCD распаюжены по
ходу часовой стрелки). Точки К и Н есть середины соответственно
ребер АА и AD. Точка М — центр грани CCDXD. Доказать, что
прямые КМ и ВН перпендикулярны.
► 18. Для плоскостей 7г и а из задачи 16 найти угол, который прямая их
пересечения образует с осью Ох.
► 19. В пространстве даны точки Л(11, — 4,8), JB(6,—3,4), С(0, —1,0) и
D(—1,0,4). Пересекаются ли прямые АВ и CD? Если да, то найти
точку их пересечения.
► 20. Пересекаются ли плоскость тг из задачи 16 и прямая АВ из задачи 19?
Если да, то найти точку их пересечения.
Урок 50
Геометрические места точек
Геометрическим местом точек с данным свойством называется
множество всех точек пространства, обладающих этим свойством.
В решении задачи на ГМТ должны присутствовать три момента:
1) предъявлено множество Р, про которое мы утверждаем, что оно —
искомое;
2) доказано, что каждая точка множества Р обладает заданным свойством;
3) доказано, что нет других точек, обладающих данным свойством.
Важнейшими ГМТ в пространстве являются следующие:

540
Глава 10. Стереометрия
а) ГМТ, удаленных на расстояние R > 0 от данной точки О, есть (по
определению) сфера радиуса R с центром в точке О.
б) ГМТ, равноудаленных от двух различных точек А и В, есть плоскость
Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.
в) ГМТ, равноудаленных от трех не лежащих на одной прямой точек А, В
и С, есть прямая, перпендикулярная плоскости ABC и проходящая через
центр окружности, описанной около треугольника ABC.
г) ГМТ, равноудаленных от сторон двугранного угла, есть его биссектраль-
ная плоскость.
д) Геометрическим местом точек M(x,ytz) пространства с системой
координат Oxyz таких, что Ах + By + Cz + D — 0 (А, В, С, D — числа такие,
что А2 + В2 + С2 ф 0), является плоскость, перпендикулярная вектору
п{А,В,С}.
е) Уравнение (х — о)2 + (у — Ь)2 + (z — с)2 — R2, где R > 0, задает сферу
радиуса R с центром в точке 0(at Ь, с).
Если мы знаем ГМТ Mi, определяемое свойством Pi, и ГМТ Мг,
определяемое свойством Р-2, то ГМТ, для которых одновременно выполняются
свойства Pi и Р2, есть пересечение множеств Mi и Мг.
Как правило, можно понять, как устроено искомое ГМТ, если разбить
данное свойство на более простые, найти соответствующие более простые
ГМТ и из них построить искомое. Иногда удается ввести систему
координат и записать данное свойство в виде формулы f(x, у, z) — 0. Иногда
нужно угадать хорошую геометрическую закономерность, присутствующую в
данном свойстве.
► Задача 1, Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих
точку вне сферы с точками этой сферы.
Решение. Пусть А —■ данная точка, О — центр сферы, R ■—■ ее радиус и
АО = d > R. Рассмотрим преобразование ip гомотетии пространства с
центром в точке А и коэффициентом |. Это преобразование действует
так: для произвольной точки М ф А точка <р(М) есть середина отрезка
AM. Ну и, конечно, <р(А) — А. Образ точки О при этом преобразовании
есть точка Oi — середина отрезка АО. Докажем, что сфера радиуса -^ с
центром в точке Oi есть искомое ГМТ.
Пусть М — произвольная точка сферы с центром в точке О и Mi = </>(M)
— середина отрезка AM. Тогда в треугольнике АОМ отрезок OiMi есть
средняя линия, так что OiM = |ОМ = ~R, и мы доказали, что каждая
точка нашего ГМТ лежит на сфере радиуса у с центром в точке 0.
Обратно, пусть Mi — произвольная точка с 0М = у- В плоскости
АОМ, содержащей точку Mi, проведем через точку О прямую,
параллельную О] Мь Она пересечет прямую Л Mi в точке М. По теореме о средней

Урок 50. Геометрические места точек
541
линии треугольника снова имеем ОМ — 2 • 0М — R, и точка М есть
середина отрезка AM, т.е. принадлежит указанному ГМТ.
Ответ: сфера радиуса у с центром в середине отрезка АО, где R — радиус
исходной сферы, О — ее центр, а А — заданная точка вне сферы. -*
► Задача 2. Дана сфера. Найти геометрическое место пересечения медиан
тетраэдров, вписанных в эту сферу.
Решение. Напомню, что медианой тетраэдра называется отрезок,
соединяющий его вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Все четыре медианы любого тетраэдра пересекаются в одной точке — это
домашняя задача 14 предыдущего урока. Докажем, что эти точки
пересечения медиан заполняют всю внутренность шара, т.е. наше ГМТ состоит
из точек шара, не лежащих на сфере.
Совершенно очевидно, что все наше ГМТ лежит во внутренности 5
шара. Пусть М — произвольная точка из S. Докажем, что найдется такой
тетраэдр, вписанный в сферу, что М будет точкой пересечения его медиан.
Пусть О — центр сферы и R — ее радиус. Пусть ОМ = d < R. Прямая ОМ
пересекает сферу в двух точках. Обозначим через D ту из них, для которой
DM < R (если М = О, то таких точек две и можно выбрать любую из
них). Продолжим отрезок DM за, точку М и отложим на этом продолжении
точку Р такую, что MP — Щ^. Ясно, что точка Р будет лежать внутри
сферы. Проведем через нее плоскость перпендикулярно прямой ОМ. На
получившейся в сечении окружности возьмем произвольно три точки А, В
и С так, чтобы треугольник ABC был равносторонним.
Тетраэдр ABCD вписан в сферу. Я утверждаю, что точка пересечения
его медиан совпадает с точкой М.
Действительно, Р — точка пересечения медиан равностороннего
треугольника ABC, так что DP — медиана тетраэдра ABCD. По построению
точки Р имеем DM : MP — 3:1. Но именно в таком отношении точка
пересечения медиан делит каждую из медиан, считая от вершины. (Это вы
должны знать, если вы'решшш домашнюю задачу 14 урока 49, поэтому я не
буду доказывать высказанное здесь утверждение). Значит, М есть точка
пересечения медиан тетраэдра ABCD, и все доказано.
Ответ: искомое ГМТ есть внутренность данного шара. -4
► Задача 3. Найти геометрическое место середин отрезков с концами на
двух скрещивающихся прямых.
Решение. Пусть даны две скрещивающиеся прямые 1 и ч. Выберем на них
точки А и В соответственно так, чтобы отрезок АВ был их общим
перпендикуляром. Пусть К — середина АВ. Проведем через точку К плоскость,
перпендикулярную отрезку АВ (далее будем для краткости называть ее
серединной плоскостью).

542
Глава 10. Стереометрия
Я утверждаю, что серединная плоскость и есть искомое ГМТ.
Докажем сначала, что каждая точка М искомого ГМТ принадлежит
серединной плоскости. Найдутся точки Р и Q на прямых 1 и fa
соответственно такие, что М есть середина отрезка PQ. Пусть а и ж — плоскости,
параллельные серединной и проходящие соответственно через прямые 1 и
fa. Опустим из точки М перпендикуляры МТ и MS на плоскости а и тг
соответственно. Плоскости а и ж параллельны, так что точки М, Г и 5
лежат на одной прямой. Проведем плоскость 6 через прямые TS и PQ.
В ней лежат прямоугольные треугольники МТР и MSQ. Ясно, что эти
треугольники равны по острому углу и гипотенузе. Значит, МТ = MS.
Итак, точка М находится на равных расстояниях от плоскостей а и ж. Это
доказывает, что М принадлежит серединной плоскости. Мы доказали, что
искомое ГМТ есть подмножество серединной плоскости
Докажем, что каждая точка М серединной плоскости принадлежит
искомому ГМТ. Мы продолжим рассмотрение плоскостей а и 7г, описанных
выше.
Если проекция Г точки М на плоскость а совпадает с точкой Л, то
М — К есть середина отрезка АВ. Если точка Г не совпадает с Л, то
на прямой 1 найдется точка Р, а на проекции прямой fa на плоскость а
найдется такая точка Q' (это доказано при решении задачи 1 урока 33), что
Г есть середина отрезка PQ'. Нам осталось доказать, что точка М есть
середина отрезка PQ, где Q — точка на прямой fa, которая проектируется
на<2'.
Для этого проведем через точки Р и Q' плоскость, перпендикулярную
плоскости а. Тогда точки Q и М будут лежать в этой плоскости. Пусть,
как и выше, S — проекция М на плоскость ж. Прямоугольные треугольники
МРТ и MQS равны по двум катетам (РТ = TQ' = SQ и МТ = MS).
Отсюда следует равенство углов ТМР и SMQ. Значит, точки Р, М, Q лежат
на одной прямой и РМ — MQ как гипотенузы равных треугольников.
Мы доказали, что точка М есть середина отрезка PQ и наша задача
решена.
Ответ: искомое ГМТ есть плоскость, параллельная каждой из прямых и
удаленная от них на одинаковое расстояние. -4
*■ Задача 4. Точки Л и В лежат по одну сторону от плоскости 7г, причем
отрезок АВ не параллелен плоскости 7г. Найти геометрическое место центров
сфер, проходящих через эти две точки и касающихся плоскости 7г.
Решение. Раз отрезок АВ не параллелен плоскости 7г, прямая АВ
пересекает эту плоскость в некоторой точке С. Пусть М — точка касания одной
из искомых сфер с плоскостью ж. Тогда СМ2 = С А ■ СВ и, следовательно,
точка М лежит на окружности радиуса у/С А ■ СВ с центром в точке С. Тем
самым, множество центров искомых сфер проектируется на окружность на

Урок 50. Геометрические места точек
543
плоскости 7г и, следовательно, лежит на цилиндрической поверхности S, ось
которой перпендикулярна плоскости 7г и радиус равен у/СА • СВ.
Но сфера проходит также и через концы отрезка АВ. Отсюда следует,
что ее центр лежит на плоскости а, перпендикулярной АВ и проходящей
через его середину. Значит, наше ГМТ целиком лежит в пересечении
плоскости а и цилиндрической поверхности S.
Докажем, наконец, что каждая точка этого пересечения лежит в
искомом ГМТ.
Пусть точка О такова, что О А = ОВ и проекция М точки О
удовлетворяет условию СМ2 ~ С А ■ СВ. Если мы докажем, что ОМ = О А, то это
и будет означать, что сфера радиуса О А проходит через точки Aw. В (ибо
О А — ОВ) и касается плоскости п. Итак,
ОМ2 = ОС2 - СМ2 = ОС2 - С А ■ СВ,
и, кроме того, если мы обозначим середину отрезка АВ через К, то
О А2 = ОК2 + К А2 = СО2 - С К2 + К А2 =
= со>-(СА+2св)(СА-сву = со>-са.св.
Мы видим, что ОМ = ОА, что и требовалось.
Ответ: если С есть точка пересечения прямой АВ с плоскостью п,
то искомое ГМТ есть пересечение цилиндрической поверхности радиуса
/СА ■ СВ, ось которой проходит через точку С и перпендикулярна 7г, с
серединной плоскостью отрезка АВ. ■*
► Задача 5. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от
которых до плоскостей граней данного трехгранного угла постоянна и равна
а > 0.
Решение. На ребрах данного трехгранного угла с вершиной О выберем
точки Л, В и С, расстояния от которых до плоскостей граней, противолежащих
их ребру, равны а. Площадь S каждого из треугольников ОАВ, ОВС и
ОСА равна 3V/a, где V — объем тетраэдра О ABC. Пусть точка М лежит
внутри трехгранного угла О ABC, причем расстояния от нее до плоскостей
граней О ABC равны а, аг и а3. Сумма объемов пирамид с основаниями
ОАВ, ОВС и ОСА и вершиной М равна S{a + а2 + аз)- Отсюда следует,
что V = |5(di + 02 + аз) ± v, где v — объем тетраэдра МАВС. Так как
V — 4f, а +а2 +аз = а в том и только том случае, если v — 0, т.е. М лежит
в плоскости ABC.
Пусть точки Л', В' и С симметричны А, В и С относительно точки
О. Все пространство разбивается на 8 трехгранных углов, образованных
плоскостями граней данного трехгранного угла. Каждый из этих восьми
углов получается выбором луча, содержащего точку Л или Л', точку В или

544
Глава 10. Стереометрия
В' и точку С или С. Предыдущее рассуждение показывает, что в каждом
из восьми случаев частью искомого ГМТ будет треугольник ABC, где у
некоторых из точек А, В, С могут быть поставлены штрихи. Теперь уже
ясно, что искомое ГМТ есть поверхность многогранника АВСА'В'С.
Ответ: если на ребрах данного трехгранного угла с вершиной О выберем
точки А, В и С, расстояния от которых до плоскостей граней,
противолежащих их ребру, равны а, и если А', В', С — точки, симметричные
А, В, С относительно точки О, то искомое ГМТ есть поверхность
многогранника АВСА'В'С. м
► Задача 6. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров,
опущенных из точки А на всевозможные прямые, проходящие через
фиксированную точку В.
Решение. Искомое ГМТ есть сфера, построенная на отрезке АВ как на
диаметре. В самом деле, если мы проведем произвольную плоскость через
прямую АВ, то из всех точек искомого ГМТ в этой плоскости отрезок
АВ будет виден под прямым углом, так что пересечение искомого ГМТ с
плоскостью, проходящей через прямую АВ, есть окружность, построенная
на АВ как на диаметре. Теперь уже ясно, что ГМТ обязано быть сферой
радиуса 4^ с центром в середине АВ.
Ответ: сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре. •*
► Задача 7. Даны две скрещивающиеся прямые. Найти геометрическое
место точек, через которые нельзя провести прямую, пересекающую обе
данные прямые.
Решение. Если точка принадлежит одной из прямых, то ясно, что она не
принадлежит искомому ГМТ. Пусть точка М есть одна из точек нашего
ГМТ. Обозначим данные прямые через I и к. Существует единственная
плоскость я-, проходящая через прямую к и точку М. Если плоскость 7Г
параллельна прямой к (обозначим ее в этом случае через а), то, очевидно,
все прямые, проходящие через М и одну из точек прямой к не могут
пересекать прямую /, так как они лежат в плоскости а. Значит, плоскость
а с выброшенной прямой к целиком лежит в искомом ГМТ. Аналогично
все точки плоскости (3, проходящей через прямую / параллельно прямой к,
кроме точек прямой I, принадлежат искомому ГМТ.
Предположим, что плоскость 7г не параллельна прямой I и пересекает ее
в некоторой точке N. Прямая MN не может пересечь прямую к и лежит с
ней в одной плоскости. Значит, MN || к. Но это означает уже, что точка
М лежит в плоскости /?, и наша задача полностью решена.
Ответ: все точки плоскости а, проходящей через прямую к параллельно
прямой /, за исключением точек прямой к, и все точки плоскости (3, прохо-

Урок 50. Геометрические места точек
545
дящей через прямую / параллельно прямой к, за исключением точек прямой
I. +
► Задача 8. В пространстве даны две точки — А и В. Найти геометриче-
АМ
MB
ское место таких точек М, что 4М = к, где к > 0, к ф 1.
Решение. Эту задачу проще всего решить методом координат. Выберем
систему координат в пространстве так, чтобы начало ее находилось в
середине отрезка АВ, длину которого обозначим через 2а. Ось Ох пустим по
прямой АВ, а остальные две оси будут произвольными, дополняющими ось
Ох до прямоугольной системы координат Oxyz. Тогда точка А будет иметь
координаты (—а,0,0), а точка В — (а,0,0). Точка M(x,y,z) принадлежит
искомому ГМТ если и только если
М^_, у/(х + а)2 + у2 + z'2 _
~МВ~ у/{х - а)2 + у2 + z2 ~
г
{х + а)2 + у2 + z2 = к2((х - а)2 + у2 + z2)
t
(к2 - 1)(х2 +у2 + z2) - 2ах(к2 + 1) + к2а2 = 0
t
о о 2 2а(/г2 +1) к2а2
t
где R = шгЬп ' VSk2 + 1. Теперь уже ясно, что это сфера с центром на
прямой АВ. Можно в зависимости от различных к выяснить положение
ее центра. Я этого подробно делать не буду. Отмечу лишь, что при
конкретном к центр находится как середина отрезка прямой АВ с концами
Mi и М2 такими, что ^ = к и j^ = к.
Ответ: сфера, построенная как на диаметре на отрезке ММ2, где М и
М.2 — точки на прямой АВ (их при к ф 1 ровно две, причем одна лежит на
отрезке АВ, а другая — вне его), для которых Aj^ = к и Aj^ —к. ■*
► Задача 9. В пространстве даны две точки А и В. Найти геометрическое
место таких точек М, что AM2 — ВЫ2 = Ь2, где Ь > 0.
Решение. Возьмем такую же систему координат, как в предыдущей задаче.
Точка M(x.y,z) принадлежит искомому ГМТ, если и только если
МА2-МВ2 = Ь2 <=^ ((x+a)2+y2+z2)-((x-a)2+y2+z2) = b2 <=> х = —.

546
Глава 10. Стереометрия
Очевидно, это уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ох, т.е. прямой
АВ. Точка пересечения этой плоскости с прямой АВ зависит от числа j^.
Ответ: плоскость, перпендикулярная прямой АВ и пересекающая ее
правее середины отрезка АВ на расстоянии —-^ от нее. 4
► Задача 10. Дан трехгранный угол с прямыми плоскими углами. Найти
геометрическое место точек пересечения медиан треугольников, все
вершины которых лежат на различных ребрах данного трехгранного угла и не
совпадают с его вершиной.
Решение. Ясно, что каждая точка, принадлежащая нашему ГМТ, лежит
внутри данного трехгранного угла. Докажем, что и обратное верно, т.е.
каждая точка, лежащая внутри трехгранного угла, принадлежит искомому
ГМТ.
Будем считать наш трехгранный угол положительным октантом
декартовой системы координат (т.е. что его вершина совпадает с началом
координат, а лучи его есть положительные координатные полуоси). Пусть дана
произвольная точка M(x,y,z), лежащая внутри угла. Это означает, что
х > 0, у > 0, z > 0. Пусть
А = (Заг, 0,0), В = (0, Зу, 0) и С = (0, 0, Зг).
Тогда все точки А, В, С лежат на ребрах данного трехгранного угла и
не совпадают с его вершиной. Кроме того, медиана ON тетраэдра О ABC,
выходящая из вершины О, равна
ON = hol + OB + OC) = {x,y,z}
о
— см. задачу 5 предыдущего урока (формула (1)).
Из ОМ — {х, у, z} — ON следует, что М — N, т.е. точка М
действительно есть точка пересечения медиан треугольника ABC, и решение закончено.
Ответ: искомое ГМТ есть внутренность данного трехгранного угла. *
Наш урок, а вместе с ним и весь курс подготовки к письменному
экзамену, закончен. Оценку поставьте себе по шаблону. Сделайте домашнее
задание и приступайте к работе над вариантами, подходящими для выбранного
вами вуза.
В §3 введения подробно разъясняется, как продолжить работу.

Урок 50. Геометрические места точек
547
Домашнее задание
► 1. Дана сфера. Найти геометрическое место центров сфер, вписанных в
тетраэдры, вписанные в данную сферу.
► 2. В пространстве дана точка А. Найти геометрическое место проекций А
на всевозможные плоскости, проходящие через прямую /, не содержащую
точку А.
► 3. В пространстве дана точка О и две прямые. Найти геометрическое
место точек М, для которых сумма длин проекций отрезка ОМ на
данные прямые есть величина постоянная.
► 4. Найти геометрическое место середин общих касательных к двум
заданным сферам.
► 5. Прямые h и i касаются сферы. Пусть М и N — точки на 1-у и 12
соответственно такие, что отрезок MN тоже касается сферы. Найти
геометрическое место точек касания всевозможных отрезков MN со
сферой.
► 6. В пространстве дан треугольник ABC. На прямой, перпендикулярной
плоскости ABC и проходящей через точку Л, берется произвольная
точка D. Найти геометрическое место пересечений высот треугольников
ВВС.
► 7. В пространстве дан треугольник ABC. Найти геометрическое место
таких точек М пространства, что MA2 + MB2 = МС2.
► 8. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от трех попарно
пересекающихся плоскостей, не проходящих через одну прямую и
перпендикулярных некоторой данной плоскости тт.
► 9- Даны две скрещивающиеся прямые и точка А на одной их них. Через
прямые проведены две перпендикулярные плоскости. Найти
геометрическое место проекций точки А на прямые пересечения таких плоскостей.
► 10. Дана прямая / и точка А, ей не принадлежащая. Через точку А
проведена прямая /', скрещивающаяся с I. Пусть М £ I' и N е I таковы, что
MN — общий перпендикуляр к прямым I и /'. Найти геометрическое
место всевозможных точек М.
► 11. На плоскости а дан остроугольный треугольник ABC. Найти
геометрическое место проекций на плоскость а таких точек М, что все
треугольники ABM, BCM и САМ остроугольные.
► 12. Найти геометрическое место центров сфер, касающихся двух данных
пересекающихся прямых.
►13. Дан трехгранный угол, все плоские углы которого прямые. Найти
геометрическое место центров окружностей данного радиуса R, касаю-

548
Глава 10. Стереометрия
щихся всех граней этого угла.
► 14. Дан плоский выпуклый четырехугольник ABCD, не являющийся
трапецией. Найти геометрическое место таких точек М, что боковую
поверхность пирамиды MABCD можно так пересечь плоскостью, что в
сечении получится прямоугольник.
► 15. Дан плоский выпуклый четырехугольник ABCD, не являющийся
трапецией. Пусть Р и Q — точки пересечения продолжений
противоположных сторон. Известно, что ни одна из диагоналей ABCD не
параллельна PQ. Найти геометрическое место таких точек М, что боковую
поверхность пирамиды MABCD можно так пересечь плоскостью, что
в сечении получится ромб.
► 16. Дан прямой круговой конус. Сфера с центром в точке О лежит внутри
конуса, касаясь его основания и боковой поверхности. Найти
геометрическое место таких точек О.
► 17. Для данной сферы найти геометрическое место центров сфер,
вписанных в конусы, вписанные в эту сферу.
► 18. Для данной сферы найти геометрическое место центров сфер,
описанных возле конусов, описанных вокруг этой сферы.
► 19. Дан трехгранный угол с прямыми плоскими углами и вершиной О.
Точки .4, В и С лежат на различных ребрах этого угла, причем ни
одна из них не совпадает с О. Найти геометрическое место пересечений
высот всевозможных треугольников ABC.
► 20. Дан трехгранный угол с прямыми плоскими углами и вершиной О.
Точки А, В и С лежат на различных ребрах этого угла, причем ни одна
из них не совпадает с О. Найти геометрическое место пересечений
биссектрис всевозможных треугольников ABC.

Часть III
ВАРИАНТЫ
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ В МГУ
ЗА 1970-2016 ГГ.

Я привожу в этой книге варианты письменных экзаменов по математике
на все факультеты МГУ за последние 23 года*. Более старые варианты
давать нет смысла ввиду большой разницы в теперешней и тогдашней
программах по математике. Например, если половину задач варианта
составляют задачи на комбинаторику и комплексные числа, то никак не
может идти речь о том, чтобы современный абитуриент взялся решить этот
вариант на оценку по критериям соответствующего года. Тем не менее,
отдельные задачи тех лет весьма поучительны и потому присутствуют как
в материале уроков 1-50, так и в домашних заданиях к этим урокам.
Вы, наверное, уже заметили, что на уроках 1-50 нигде нет ссылок на
источник задач. При работе над этой главой вы обнаружите, что многие
задачи из нижеприведенных вариантов уже разобраны на этих уроках или
даны в домашних заданиях к ним. Однако мой опыт показывает, что
даже очень сильные абитуриенты, пройдя курс уроков, не узнают уже
разобранные задачи в вариантах и решают их как новые. Если у вас будет
то же самое, не огорчайтесь. Математическая культура и способность
хорошо решать задачи откладываются не в памяти, а где-то в подсознании.
Главное — это уметь сделать задачу, а не запоминать ее и ее решение.
Варианты приведены по годам, а не по факультетам. Это, видимо,
самый удобный способ ввиду того, что за такой длительный период состав
факультетов заметно изменился. Порядок, в котором следуют факультеты,
один и тот же для всех лет, так что вам легко будет выбрать нужный
факультет.
И последнее. Выше я отмечал, что эта книга может служить пособием
для подготовки в любой ВУЗ бывшего СССР. Как быть, если вы хотите
поступать не в МГУ? Нижеприведенные варианты помогут вам ничуть не
хуже, чем сборник вариантов вашего ВУЗа, так как они охватывают все
возможные способы составления задач для письменного экзамена.
Вам не верится? Тогда прочитайте следующий абзац.
В бывшем СССР существует практически только два источника
обучения математике и формирования математических школ: это мех-мат МГУ
и факультет ВМиК МГУ. Нематематик возразил бы: «Ведь существуют
мех-маты других университетов и педагогических вузов, а также
математические факультеты технических вузов». Но любой профессиональный
математик знает, что все преподаватели математических вузов есть либо
выпускники мех-мата или ВМК (всюду далее опускается МГУ), либо их
ученики. Поэтому идеология математического мышления идет из МГУ, и
варианты вступительных экзаменов в любой вуз составляют люди, так или
* В этом издании добавлены варианты за 1993-2016 гг. {Прим. ред.)

552
Варианты вступительных экзаменов
иначе воспитанные в школе мех-мата или ВМК. Излишне говорить, что
на все факультеты МГУ варианты по математике составляются либо на
мех-мате, либо на ВМК. Есть, впрочем, одно исключение — физический
факультет, составляющий варианты только для себя. Но это исключение,
как водится, только подтверждает правило: ведь мех-мат и физфак ранее
были одним факультетом, который именовался физико-математическим.
Итак, если вы хотите поступать не в МГУ, определите трудность
задач вашего вуза по списку из §2 Введения, выберите факультет(ы) с
соответствующим уровнем сложности и используйте их задачи для подготовки
согласно инструкциям, данным в §3 Введения.
1970 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
log2(l +cos4x) ^ l + log^sinx.
► 2. Найти все действительные решения системы
Г ху -2| - 6 -х2,
1 2 + Зу2 = 2ху.
► 3. Три гонщика (Л, потом В и затем С) стартуют с интервалом в 1 мин
из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с
постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более
двух минут. Сделав три круга, гонщик Л в первый раз догоняет В у
точки старта, а еще через три минуты он вторично обгоняет С. Гонщик
В впервые догнал С также у точки старта, закончив 4 круга. Сколько
минут тратит на круг гонщик Л?
► 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности
одинакового радиуса г, касающиеся друг друга внешним образом. Центр
первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину Л с
серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на
отрезке, соединяющем вершину С с серединой Е стороны АВ. Первая
окружность касается сторон АВ, AD и CD вторая окружность касается
сторон АВ, ВС и CD. Найти АС.
► 5. Длина каждого ребра треугольной пирамиды SABC равна 1. Отрезок
BD есть высота треугольника ABC. Равносторонний треугольник BDE
лежит в плоскости, образующей угол ip с ребром ЛС, причем точки S и
Е лежат по одну сторону от плоскости ABC. Найти расстояние между
точками S и Е.

1970 год
553
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Определить все действительные значения а, при каждом из которых
уравнение ^ ^ „ (й + 2) ^ х _ (о + 3) = 0
имеет решения и найти все эти решения.
► 2. Решить уравнение
|1 - log(i/6) х + 2 = |3 - log(1/6) х.
► 3. Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от Л, с
постоянной скоростью v км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за
ним из А со скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который, догнав
в пути автобус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью.
Определить все те значения v, при которых автомобиль возвращается в
А позже, чем автобус приходит в В.
► 4. В треугольнике ABC сторона ВС служит основанием полукруга,
площадь которого равна площади треугольника ABC. Угол А равен а.
Найти углы В и С, считая, что В ^ С. Исследовать, при каких
значениях а задача имеет решение.
► 5. В прямом круговом конусе с вершиной S угол между образующими SA и
SB равен а, а угол между их проекциями на плоскость основания равен
в. Вычислить угол между биссектрисами углов OS А и OSB, где точка
О является центром круга, служащего основанием конуса.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
-(cos2 х 4- cos2 2х) — 1 — 2 sin2x — 2sinх — sin:z;siii2a:.
*■ 2. Решить неравенство
(О
► 3. В равнобедренном треугольнике ABC угол между равными сторонами
АВ и АС равен |. Из вершин треугольника ABC на его стороны
опущены высоты АА', ВВ', С С. Через точки А, В' и С проведена
окружность О, а через точки В, А' и С" — окружность О'. Найти
отношение площади круга О к площади общей части кругов О и О'.
► 4. В треугольной пирамиде SABC все ребра равны друг другу. На ребре
SA взята точка М такая, что SM = МЛ, на ребре SB — точка N такая,
что SN = ^SB. Через точки М и N проведена плоскость, параллельная
медиане AD основания ABC. Найти отношение объема треугольной

554
Варианты вступительных экзаменов
пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной плоскостью, к объему
пирамиды SABC.
► 5. Два автомобиля едут по шоссе друг за другом на расстоянии 20 м с
одинаковой скорость 24 м/сек. Шоферы, заметив впереди препятствие,
начинают тормозить. В результате автомобили переходят на равноза-
медленное движение с ускорениями а йог (а < 0 и a<i < 0) и движутся
так до полной остановки. Шофер переднего автомобиля начал
торможение на 2 сек раньше шофера заднего автомобиля. Ускорение
переднего автомобиля а = —4м/сек2. Наименьшее расстояние, на которое
сближались автомобили, равнялось 4 м. Определить, какой автомобиль
остановился раньше, и найти ускорение a<i заднего автомобиля.
Химический факультет
► 1. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль и одновременно из пункта
В в пункт А выехал велосипедист. После встречи они продолжали свой
путь. Автомобиль, доехав до пункта В, тотчас повернул назад и догнал
велосипедиста через два часа после момента первой встречи. Сколько
времени после первой встречи ехал велосипедист до пункта А, если
известно, что к моменту второй встречи он проехал 2/5 всего пути от
В до А1 (Скорости автомобиля и велосипедиста постоянны).
► 2. Решить уравнение
► 3. Найти все значения х, лежащие в промежутке —1 < х < 4 и
удовлетворяющие неравенству
Iog075sinx ^ Iog9/160,75.
► 4. Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на
этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом AD = 2, BD =
1, DC = VU. Найти площадь треугольника ABC.
► 5. Дана прямая треугольная призма АВСАВС {AAi,BB,CC —
боковые ребра), у которой АС = 6, АА = 8. Через вершину А проведена
плоскость, пересекающая ребра ВВ и СС соответственно в точках М
и N. Найти, в каком отношении эта плоскость делит объем призмы, если
известно, что ВМ = МВ, a AN является биссектрисой угла САС.

1970 год
555
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Упростить выражение
(Ьба~б+&заз] + (йва~б — Ьзаз ] ^2
_>... ' . L 2а Н
{у[аг*- v/Fr)(v/^+ W+ Vab) a~b'
► 2. Решить уравнение
6 • (0, 75)2_2*~*2 - (0, 75)*2+2г-2 = 25log125 8 - 3.
► 3. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенствам
sin Ъх + sin х > 0, 0 < х < 2тт.
► 4. В колхозе два поля засеяли пшеницей. С первого поля собрали 1080 ц
зерна, а со второго поля — 750 ц. Площадь первого поля на 10 гектаров
больше площади второго. Если бы с каждого гектара первого поля
собрали столько же пшеницы, сколько собрали с каждого гектара второго
поля, а с каждого гектара второго поля собрали бы столько же,
сколько собрали с каждого гектара первого поля, то с обоих полей собрали
бы одинаковое количество зерна. Определить, сколько центнеров зерна
собрано с каждого гектара на первом и на втором поле.
► 5. В трапеции ABCD известны основания AD = 39 см, ВС — 26 см и
боковые стороны АВ =5сми CD = 12 см. Найти радиус окружности,
которая проходит через точки А и В и касается стороны CD или ее
продолжения.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
Вариант был такой же, как на химическом факультете этого года.
Биолого-почвенный факультет
(отделение биологии)
► 1. Решить уравнение
2 sin Зх sin х + (3/2 - 1) cos 1x = 3.
► 2. Решить неравенство
log1/3(x2-6) + logga;2>0.
► 3. Даны две арифметические прогрессии 01,02,03 и Ь,Ь2,Ьз- Известно,
что oi + а2 + аг = Ьх + Ь2 4- Ь3, а числа oi + Ь, а2 + Ь2, аз + Е>з образуют

556
Варианты вступительных экзаменов
геометрическую прогрессию. Доказать, что аг = Ь3, «2 = &2> а'л —Ь.
► 4. Дана трапеция ABCD, причем ВС = а и Л£> = Ь. Параллельно ее
основаниям ВС и Л£> проведена прямая, пересекающая сторону АВ в
точке Р, диагональ ЛС в точке L, диагональ £?£> в точке R и сторону
CD в точке Q. Известно, что PL = LR. Найти PQ.
► 5. Числа а и b таковы, что система
Г а2х — ау — 1 — а,
1 Ьа; + (3 - 2Ь)у = 3 + а
имеет единственное решение х = у = 1. Найти числа а и Ь.
Биолого-почвенный факультет
(отделение почвоведения)
► 1. В железнодорожной будке на расстоянии один метр от окна, ширина
которого 1 метр, сидит обходчик. На расстоянии 299 метров от окна
и параллельно плоскости окна проходит горизонтальный
железнодорожный путь. Обходчик видит целиком поезд длиной сто метров, идущий по
этому пути с постоянной скоростью в течение 10 сек. Определить
скорость поезда. (Шириной поезда и расстоянием между глазами обходчика
пренебречь).
► 2. Решить уравнение
log8(4^-1-l) + ^-Iogs(2a:2+2-7).
► 3. Около круга описана трапеция с углами при основании а и 8. Найти
отношение площади трапеции к площади круга.
*■ 4. При каких значениях параметра а система уравнений
Г ах — 4у = а + 1,
 2х + {а + 6)у = а + 3
не имеет решений?
► 5. Решить неравенство
2sin22x + 3cos2x < 0.
Географический факультет
Вариант был таким же, как на отделении почвоведения биолого-
почвенного факультета.

1970 год
557
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
*■ 1. Объем бруска, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равен
150 см3, площадь полной поверхности равна 280 см2. Периметр
основания равен 40 см. Найти размеры бруска.
► 2. Квадрат ABCD имеет площадь 1. Его сторона AD продолжена за точку
D и на продолжении взята точка О на расстоянии 3 от точки D. Из
точки О проведены два луча. Первый луч пересекает отрезок CD в
точке М и отрезок АВ в точке N, причем длина отрезка ON равна а.
Второй луч пересекает отрезок CD в точке L и отрезок ВС в точке К,
причем угол BKL равен а. Найти площадь многоугольника BKLMN.
► 3. Решить уравнение
log2 log2 x = log4 log4 2x.
► 4. Решить уравнение (в настоящее время в школьную программу не входит)
zi - z = 1 + 2г.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. В правильный тетраэдр ABCD вписан шар К. Из точки D на грань
ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка Р является серединой
отрезка DE. Через точку Р проведена плоскость М перпендикулярно
к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару К и
плоскости М, взята точка О, являющаяся ближайшей к точке А. Найти
расстояние от точки О до грани ABD, если объем шара равен 1.
► 2. Решить уравнение
,, ,. . , • (™ л ■ {2пх 8tg(^)
► 3. Решить неравенство
0°g2 arh/tofe, ( ~:fx ) ^ 1.
x^lio&* (2^)
*■ 4. Найти хотя бы один такой многочлен третьей степени Рг{х) — о,хъ +
Ьх2 + сх + d, чтобы выполнялось неравенство
Х -Р3(х) <0,02
при всех х € [0, |].
1 - -
1 2

558
Варианты вступительных экзаменов
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. В соревнованиях участвовали три байдарки. Первая байдарка проходит
каждые 100 м дистанции на две секунды быстрее второй байдарки и
на три секунды быстрее третьей. За какое время первая байдарка
прошла один километр, если за каждые 30 сек вторая байдарка опережает
первую на 4-^ м?
► 2. Найти все х, для которых 0,5 < х < 2,5 и которые удовлетворяют
неравенству ,
log3x-xa3a - ах) < 1
при всех а из промежутка 0 < а < 2.
► 3. Найти все х, удовлетворяющие условию -|<|3х—||^7ги являющиеся
решением уравнения
1 + cos х + cos 2x — sin x + sin 2x + sin Зг.
*■ 4. Доказать, что 11п2 — 14п + 3^0 при всех целых п.
*■ 5. Не пользуясь таблицами (и калькулятором) доказать, что tg208° <
sin 492°.
► 6. В окружность вписан треугольник со сторонами 7,24,25. Вычислить
площадь кругового сегмента, стянутого хордой длины 7.
► 7. Сколькими способами сумму в 4 руб 96 коп можно составить из монет
по 2 и 15 копеек?
Факультет психологии
► 1. Два одинаковых парохода отправляются от двух пристаней: первый
пароход от пристани Л вниз по течению, второй — от пристани В
вверх по течению. Каждый пароход, дойдя до конечного пункта, стоит
там 45 мин и возвращается обратно. Если пароходы отправляются от
начальных пунктов одновременно, то на обратном пути они встречаются
в точке К, которая в два раза ближе к Л, чем к В. Если первый
пароход отходит от Л на 1 час позже, чем второй пароход отходит от
.В, то на обратном пути они встречаются в 20 км от Л. Если первый
пароход отходит от Л на 30 мин раньше, чем второй отходит от В, то
на обратном пути пароходы встречаются в 5 км выше К. Найти скорость
реки и время, за которое второй пароход доходит от А до К.
*■ 2. Найти все действительные значения а, при которых уравнение
Xs + ах4 + 1 = 0
имеет ровно четыре действительных корня, образующих
арифметическую прогрессию.

1971 год
559
► 3. Найти все х, удовлетворяющие неравенству
logcosx2 (--2jpJ <logcos^(2x-l).
► 4. В правильную треугольную пирамиду помещены три шара так, что
первый шар касается всех боковых граней пирамиды и второго шара,
второй шар касается боковых граней и третьего шара, а третий шар
касается боковых граней, основания пирамиды и второго шара. Какую
долю объема пирамиды занимают три шара, если ее боковые грани
наклонены к основанию под углом а?
1971 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение
с
{х + 4) log4(a; + 1) - (z - 4) Iog2(z - 1) = - Iog2(a;2 - 1).
► 2. Найти все х из отрезка 0 ^ х ^ 7Г, удовлетворяющие неравенству
sin 2х — cos х + л/2 sin х > —=.
► 3. Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные
треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых
граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими
противоположными ребрами равно единице.
*■ 4. Найти все а, при которых система неравенств
х2 + 2х + а ^ О,
х2 — Ах — 6а ^ О
имеет единственное решение.
► 5. В четырехугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать
окружность. Диагонали этого четырехугольника взаимно
перпендикулярны. Найти его площадь, если радиус описанной около него
окружности равен R, и АВ — 2 ■ ВС.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить систему уравнений
Г 6 lg V5 + 3 ■ 2» = 5,
 10Iga; + 3-4^ = 17.

560
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Найти все решения неравенства
/sin 2х < cos х — sin х,
удовлетворяющие условию |аг| < п.
► 3. В киоске были проданы одинаковые комплекты, состоящие только из
синих и красных карандашей, причем в каждом комплекте число синих
карандашей больше чем на 3 превосходило число красных. Если бы
в каждом комплекте число синих карандашей увеличили в 3 раза, а
красных — в 2 раза, то число синих карандашей в одном комплекте
превосходило бы число красных не более, чем на 16, а общее число всех
проданных карандашей равнялось бы 81. Определить, сколько было
продано комплектов и сколько в каждом комплекте было синих и красных
карандашей.
► 4. Центры трех окружностей различных радиусов распаюжены на одной
прямой, а центр четвертой находится на расстоянии а от этой прямой.
Найти радиус четвертой окружности, если известно, что каждая из этих
окружностей касается трех других.
► 5. Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC, стороны АВ и
АС которого равны и образуют между собой угол а, а высота
пирамиды совпадает с ребром SA и равна h. Дана четырехугольная пирамида,
имеющая ту же вершину S. Основанием ее является четырехугольник,
вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC. Найти объем
четырехугольной пирамиды, если известно, что ее боковые грани
равновелики, а боковые ребра равны.
Физический факультет
*■ 1. Решить уравнение
cos За; + sin x sin 2x — 2 cos3 x + 2 tg x.
*■ 2. Решить неравенство
2Iog4(2z2 + 3) <Iog2(:c2+6).
► 3. Автомобиль едет от пункта А до пункта В с постоянной скоростью 42
км/ч. В пункте В он переходит на равнозамедленное движение, причем
за каждый час его скорость уменьшается на а км/ч, и едет так до полной
остановки. Затем он сразу же начинает двигаться равноускоренно с
ускорением а км/час2. Каково должно быть значение а, чтобы через 3
часа после возобновления движения автомобиль находился ближе всего
к пункту В?
► 4. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный
треугольник ABC. Середина D гипотенузы АВ этого треугольника
является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD =
/г, АС = Ь, ВС = с. Через середину высоты SD проведено сечение

1971 год
561
пирамиды плоскостью, параллельной ребрам АС и SB. Найти площадь
этого сечения и угол между плоскостью сечения и основанием пирамиды.
► 5. В окружность вписана трапеция ABCD (AD || ВС, AD > ВС). На дуге
AD, не содержащей вершин В и С, взята точка 5. Точки P,Q,M и N
являются основаниями перпендикуляров, опущенных из S
соответственно на стороны AD, ВС, АВ и CD (или их продолжения). Известно,
что SP = a, SQ = b, SN = с. Найти отношение площади треугольника
MQS к площади треугольника NQS.
Химический факультет
► 1. Около окружности радиуса г описана равнобочная трапеция ABCD.
Пусть Е и К — точки касания этой окружности с боковыми сторонами
трапеции. Угол между основанием АВ и боковой стороной AD трапеции
равен 60°. Доказать, что ЕК параллелен АВ и найти площадь трапеции
АВЕК.
► 2. Решить уравнение
2log^(,-0,5) + £ = Х0М2 + cos4 Q _
► 3. Три экскаватора получили задание вырыть по котловану: первый и
второй — емкостью по 800 м3, а третий —- емкостью 400 м3. Первый и
второй экскаваторы вместе вынимают за час грунта втрое больше, чем
третий. Первый и третий экскаваторы начали работу одновременно, а
второй — в тот момент, когда первый вынул уже 300 м3 грунта. Когда
третий экскаватор выполнил 2/3 своей работы, второй вынул 100 м3
грунта, первым выполнил свое задание третий экскаватор. Сколько
м3 грунта вынул первый экскаватор к моменту, когда третий закончил
рыть свой котлован?
► 4. Решить неравенство 1 - J + Iog3 sin x — log3 cos x > 0.
► 5. Правильная прямая треугольная призма ABC А'В'С описана около шара
радиуса г. Пусть М — середина ребра В В' и N — середина ребра СО.
В шар вписан прямой круговой цилиндр так, что его основание лежит в
плоскости AMN. Найти объем этого цилиндра.
Биолого-почвенный факультет
(отделение биологии)
*■ 1. Решить уравнение
loei/4(2£)log1/4 (xcos5 (I)) = 7cos (у) 1о§1/42-

562
Варианты вступительных экзаменов
► 2. В усеченный конус, образующая которого наклонена под углом 45° к
нижнему основанию, вписан шар. Найти отношение величины боковой
поверхности усеченного конуса к величине поверхности шара.
► 3. Три насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 4,5 час. Один второй
насос наполняет бассейн на 5 часов быстрее, чем один третий насос.
За сколько часов второй насос наполняет бассейн, если первый насос
наполняет его втрое дольше, чем второй и третий вместе?
► 4. Решить неравенство
2cos8ai ^ 3 + 4 sin 4а:.
► 5. Правильный треугольник ABC со стороной, равной 3, вписан в
окружность, точка D лежит на окружности, причем длина хорды AD равна
/3. Найти длины хорд BD и CD.
Биолого-почвенный факультет
(отделение почвоведения)
► 1. Три машинистки, работая одновременно, за 4 часа работы перепечатали
вместе 216 страниц. За 1 час третья машинистка печатает больше,
чем вторая на столько же страниц, на сколько вторая за то же время
(т.е. 1 час) печатает больше страниц, чем первая. За 5 часов третья
машинистка печатает столько же страниц, сколько первая за 7 час.
Сколько страниц в час печатает первая машинистка?
► 2. Упростить выражение
(2а -ь) —;—„/=,!..—^гт +
а~1 + 2у/2а-1Ь~Ь + 26"1 a~l -2^2агЬ- +26"1.
*■ 3. Решить уравнение
cos х — 2 sin 2х sin х — 4 cos 2x - 4 sin2 x — 0.
*■ 4. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами АВ — 3 и ВС — 4 через
середины сторон АВ и АС проведена окружность, касающаяся стороны
ВС. Найти длину отрезка гипотенузы АС, который лежит внутри этой
окружности.
► 5. Решить неравенство
21og1/2(a? - 2) - log1/2(a:2 - х - 2) ^ 1.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
*■ 1, Найти все решения системы
Г cos 2х + sin у = 2 cos 30°,
 2 cos 2х — sin у = sin 540°.

1971 год
563
► 2. Автозавод изготавливает легковые и грузовые автомобили. В первый
день было изготовлено грузовых автомобилей на 100 машин больше, чем
легковых. Во второй день было изготовлено легковых автомобилей на
150 машин больше, чем в первый день, а грузовых — на 50 машин больше,
чем в первый день. Сколько легковых и сколько грузовых автомобилей
было изготовлено в первый день, если во второй день было изготовлено
машин в 1,2 раза больше, чем в первый?
► 3. При каких значениях а корни квадратного уравнения
х2 - (2а + 1)х + 2а = 0
равны между собой?
► 4. Две окружности радиуса г касаются друг друга. Кроме того, каждая
из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках А и В
соответственно. Определить радиус г, если АВ — 12 см, R — 8 см.
► 5. Найти все значения х, при которых справедливо неравенство
log1/4(2z + 3)>logg27.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
Вариант был такой же, как на химическом факультете в этом году.
Географический факультет
Вариант был такой же, как на отделении почвоведения биолого-
почвенного факультета в этом году.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
*■ 1. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на Р%, а на
следующий год она возросла на 10% больше, чем в первый год.
Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если
известно, что что за два года она увеличилась в общей сложности на
48,59%.
► 2. Решить неравенство -,
► 3. Решить неравенство
11 sin х + соз2ж -6^0.
► 4. Вычислить сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не
делящихся на 13.

564
Варианты вступительных экзаменов
► 5. В двугранный угол 60° вписан шар радиуса R. Найти радиус шара,
вписанного в тот же угол и касающегося данного шара, если
известно, что прямая, соединяющая центры обоих шаров, образует с ребром
двугранного угла угол 45°.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого экскаватора стоит
60 руб в день, производительность его в мягком грунте — 250 м3 в день,
в твердом грунте — 150 м3 в день. Аренда второго экскаватора стоит 50
рублей в день, его производительность в мягком грунте — 480 м3 в день,
а в твердом — 100 ж3 в день. Первый работал несколько полных дней и
вырыл 720 м3. Второй за несколько полных дней вырыл 330 м3. Сколько
дней работал каждый экскаватор, если колхоз заплатил за аренду не
более 300 рублей?
► 2. Решить уравнение
tg (- cos x J = ctg (- sin ж J .
► 3. Найти максимальный член последовательности
an = -n2 + Un-4b+{2nJ7)2+r ,1 = 1,2,3,...
► 4. На плоскости лежит шар радиуса R. Эту же плоскость пересекает
прямой круговой цилиндр радиуса г, причем образующие цилиндра
перпендикулярны к плоскости. Центр шара удален от оси цилиндра на
расстояние р (р > R + r). Найти минимально возможный радиус шара, который
бы касался одновременно цилиндра, плоскости и заданного шара.
► 5. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 4, в десятичной
записи которых не встречаются цифры 4,6,8?
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Четыре школьника сделали в магазине канцелярских товаров следующие
покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 коп.; второй купил
ластик и карандаш, заплатив 12 коп.; третий купил пенал, карандаш
и две тетради, заплатив 50 коп.; четвертый купил пенал и тетрадь.
Сколько заплатил четвертый школьник?
► 2. Из прямоугольника, большая сторона которого равна /, вырезаются два
полукруга, диаметром которых служат меньшие стороны
прямоугольника. При каком значении длины меньшей стороны прямоугольника
площадь оставшейся части будет максимальной?

1971 год
565
► 3, Определить, сколько целочисленных решений имеет неравенство
(п2 - 1){п2 - 11)(п2 - 101)(п2 - 1001) < 0.
► 4. Определить, для каких а неравенство
log а (ж2 + 2) > 1
а--
выполняется при любом действительном х.
► 5. (Не входит в теперешнюю школьную программу). Среди комплексных z
найти все те, для которых
logl4(13 + г2 - 4,|) + logl96 (13+|j+4<|)a = 0.
► 6. Исследовать и решить систему уравнений
f zV = a,
 х7у11 = 6.
► 7. Доказать, что если р и q — целые числа, удовлетворяющие уравнению
р2 - V = 4pq,
то р = q — 0.
Факультет психологии
► 1. Вычислить без помощи таблиц
Iog224 log2192
Iog96 2 log12 2 '
► 2. Дан куб ABCDA'B'C'D' с боковыми ребрами АА', ВВ', CC',DD'. На
продолжении ребер АВ и JBJB' соответственно отложены отрезки AM и
JB'iV длины AM = 0,5 • ЛВ и JB'iV = 2 ■ B'J3 (ВМ = 1,5 ■ АВ; BN =
3 ■ В В'). Где на ребре С С" должна находиться точка Р для того, чтобы
в сечении куба плоскостью, проведенной через точки М, N и Р, был
четырехугольник?
► 3. Найти все такие значения х, что наименьшее из чисел {1 — х2,^-^-}
больше |.
► 4. Рабочий изготовил некоторое количество деталей двух видов: Л и В,
причем деталей А он изготовил больше, чем деталей В. Если он
изготовит деталей А в два раза больше, то общее число деталей станет менее
32-х, а если деталей В в два раза больше, то общее число деталей станет
больше 28. Сколько деталей А и сколько деталей В изготовил рабочий?
► 5. При каких значениях а уравнение
■ in ( 1 . о а п
sm Зж — а + - sm Зт + - = 0
-N)
имеет ровно три корня, расположенных на отрезке Щ- ^ х ^ 7г?
2
2тг

566
Варианты вступительных экзаменов
1972 год
Механико-математический факультет
► 1. Найти все значения ж, при которых справедливо неравенство
iog8^ < log2 ^1 + 23?
log2(l + 2z) ^ log2a;
► 2. Пункты А и В соединены двумя дорогами, одна из которых на 3 км
короче другой. Из В в А по более короткой дороге вышел пешеход и
одновременно из А по той же дороге выехал велосипедист. Пешеход и
велосипедист одновременно прибыли в А через 2 часа после начала
движения. За это время пешеход прошел один раз путь от В до А, &
велосипедист проехал два раза в одном направлении по кольцевому маршруту,
образованному двумя названными дорогами. Найти скорости пешехода
и велосипедиста, если известно, что их вторая встреча произошла на
расстоянии 3,5 км от пункта В. (Скорости постоянны).
► 3. В треугольнике ABC имеем АВ = 20 м, АС = 24 м. Известно, что
вершина С. центр вписанного в треугольник ABC круга и точка
пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС лежат на окружности, центр
которой находится на стороне АС. Найти радиус описанной около
треугольника ABC окружности.
► 4. В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SC равно ребру АВ и
наклонено к плоскости основания ABC под углом 60°. Известно, что
вершины А, В, С и середины боковых ребер пирамиды расположены на
сфере радиуса 1 м. Доказать, что центр указанной сферы лежит на
ребре АВ и найти высоту пирамиды.
► 5. Даны три уравнения с действительными коэффициентами:
1) х2 - {а + Ь)х + & = 0,
2) х1 -Ь(Ь+1)х + с = 0,
3)а;4-Ь(Ь+1).т2 + с = 0.
Каждое из них имеет по крайней мере один действительный корень.
Известно, что корни первого уравнения больше единицы. Известно также,
что все корни первого уравнения являются корнями третьего уравнения
и хотя бы один корень первого уравнения удовлетворяет второму
уравнению. Найти числа а, Ь, с, если b > 3.
Факультет вычислительной математики и кибернетики

1972 год
567
Решить уравнение
9i-(*-i)3 _ 12 . 3-(*-1)3 + 1 = о.
Решить неравенство
1 2> |tga:- >/3| + л/3
cos2 х ^ ctg х
В прямоугольном секторе АОВ из точки В как из центра проведена
дуга ОС (С — точка пересечения этой дуги с дугой АВ) радиуса ВО.
Окружность Si касается дуги АВ, дуги ОС и прямой О А, а окружность
£2 касается дуги АВ, прямой О А и окружности Si. Найти отношение
радиуса окружности Si к радиусу окружности £2.
Боковые ребра правильной треугольной пирамиды SABC наклонены к
плоскости основания под углом 45°. Шар касается плоскости основания
ABC в точке А и, коме того, касается вписанного в пирамиду шара.
Через центр первого шара и высоту BD основания проведена плоскость.
Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания.
Найти все действительные знамения параметра а, при которых неравен-
tg2 (sin v^tt2 - х2) - 2а tg(sin л/97г2 -ж2) + а + 2^0
имеет, и притом конечное число решений. Для каждого такого а указать
все решения неравенства.
изический факультет
Решить уравнение
sin Зж — sin х + cos 2x = 1.
Решить неравенство
1°gioo(a;2) + logio;c<2.
В двух сосудах имеется вода разной температуры. Из этой воды
составляют смеси. Если отношение объемов воды, взятой из первого и
второго сосудов, равно 1:3, то температура смеси будет 49°, а если 2:5,
то температура смеси будет 48°. Найти температуру воды в каждом
сосуде (считая, что плотность и удельная теплоемкость воды не зависят
от температуры).
На сфере, радиус которой равен 2 м, расположены три окружности
радиуса 1 м, каждая из которых касается двух других. Найти радиус
окружности, меньшей чем данные, которая также расположена на
данной сфере и касается каждой из данных окружностей.
В треугольнике ABC угол В равен 7г/4, угол С равен 7г/3. На медианах
ВМ и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в
точках Р и Q. Хорда PQ пересекает среднюю линию MN в точке F.
Найти отношение длины отрезка NF' к длине отрезка FM.

568
Варианты вступительных экзаменов
Химический факультет
► 1. От пристани А одновременно отходят вниз по течению реки к пристани
В две лодки. Первая лодка подходит к пристани В на 2 часа раньше
второй. Если бы лодки отошли от этих пристаней одновременно,
двигаясь навстречу друг другу (первая лодка отходит от пристани А), то они
встретились бы через 3 часа. Расстояние между пристанями равно 24
км. Скорость второй лодки в стоячей воде в три раза больше скорости
течения реки. Найти скорость течения реки.
► 2. Решить уравнение
logx2_6x+8{log2x2_2x+3{x2 + 2х)) = 0.
► 3. В треугольнике ABC угол А равен 45°, а угол С — острый. Из
середины стороны ВС опущен перпендикуляр на сторону АС. Площади
треугольников NMC и ABC относятся соответственно как 1:8. Найти
углы треугольника ABC.
*■ 4. В прямую призму ABCDA'B'C'D', нижним основанием которой
является ромб ABCD, a AA',BB',CC',DD' — боковые ребра, вписан шар
радиуса R. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей
через вершины А, В, С", если известно, что ZBAD — а.
*■ 5. Найти все значения #, для которых выражение
(cos х — cos Ъх) (2 sin x + 3 cos x + 4)
положительно.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
*■ 1. Решить уравнение „
2 cos х + 3sina; = 0.
*■ 2. Решить систему уравнений
J log2 x + Iog3 у2 = 0,
[ log2r2-Iog1/3?/ = 5.
► 3. Из пунктов А и JB, расположенных на расстоянии 10 км, навстречу
друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через 4 часа они
встретились. После встречи скорость первого велосипедиста, едущего
из Л в В, возросла на 5 км/ч, а скорость второго, едущего из В в
А, возросла на 10 км/ч. Известно, что первый велосипедист прибыл
в пункт В на 1 час раньше, чем второй прибыл в пункт А. Определить
первоначальную скорость первого велосипедиста.

1972 год
569
► 4. Найти все значения х, при которых справедливо неравенство
4
>х + 2.
1-х
► 5. Дан треугольник ABC, в котором угол В равен 30°, АВ = 4 см и ВС — 6
см. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определить
площадь треугольника ABD.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Колхозный сад разбит на несколько участков. На каждом участке
урожай собирает одинаковое число колхозников. Известно, что число
колхозников, находящихся на одном участке, превышает число участков на
14. Когда еще 15 колхозников пришли на первый участок, а с остальных
участков ушло по 15 человек, то число колхозников на первом участке
стало равно числу колхозников, оставшихся на всех остальных участках.
Сколько колхозников было первоначально на каждом участке?
► 2. Решить уравнение 1
2sin2a: + т~ =3.
COS^ X
► 3. Найти те значения х, при которых справедливо неравенство
1 1
~JT=x > аг-2"
► 4. Около трапеции ABCD с основаниями AD и ВС описана окружность
радиуса б см. Центр описанной окружности лежит на основании AD.
Основание ВС равно 4 см. Определить площадь трапеции.
► 5. В треугольнике ABC известно, что АС = 12 см, АВ = ВС — Зу/Тй
см. Два шара касаются плоскости треугольника ABC в точках Л и С и
расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние между
центрами шаров равно 15 см. Центр третьего шара находится в точке В.
и этот шар касается двух данных шаров. Определить радиус третьего
шара.
Биолого-почвенный факультет
► 1. Два пешехода выходят одновременно навстречу друг другу из пунктов
А и В и встречаются через 3 часа. Если бы они оба вышли из пункта А
и пошли в пункт В, причем второй вышел бы на 3 часа позднее первого,
то второй пешеход догнал бы первого, пройдя две трети расстояния от
А до В. Сколько времени потребуется первому пешеходу на путь от А
до В?

570
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Упростить выражение
tg 2х ctg(70° - х) + tg 2х ctg(20° - х) - ctg(20° - х) ctg(70° - х).
► 3. Решить уравнение
► 4. Найти все решения уравнения
sin(logv^3?7r:E) + siii7r:r + costo + cos(logT x2nx) = 0.
*■ 5. В треугольнике Л£?С, площадь которого равна S, проведена биссектриса
СЕ и медиана BD. пересекающиеся в точке О. Найти площадь
четырехугольника ADOE, зная, что ВС — а, АС — Ь.
Географический факультет
*■ 1. Фрукты в магазин были достаалены двумя машинами по 60 ящиков в
каждой; при этом в 21 ящике были груши, а в остальных — яблоки.
Сколько ящиков с грушами было в каждой машине, ели известно, что в
первой машине на один ящик с грушами приходилось в три раза больше
ящиков с яблоками, чем во второй?
► 2. Найти все решения уравнения
sin 2х + cos х + 2 sin x = —1,
удовлетворяющие условию 0 < х < 5.
► 3. Найти все значения х, для которых справедливо неравенство
2 log7 х - logT 49 < 3.
► 4. Найти все числа х и у, для которых
Г 2Х+1 = 4у2 + 1,
i 2* ^ 2у.
► 5. Окружность радиуса R проходит через вершины А и В треугольника
ABC и касается прямой АС в точке А. Найти площадь треугольника
ABC, зная, что /.ABC = 8, /CAB = a.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Не пользуясь таблицами, определить, что больше: Iog3 75 или log2 22.
► 2. Найти и изобразить на координатной плоскости точки, координаты
которых удовлетворяют системе уравнений
f 18а?У - 4агУ - 3zV - 0,
 12у2 - 2ху2 + Зу3 = 0.
► 3. Один учебник алгебры, два учебника геометрии и два учебника
тригонометрии стоят вместе 2 руб. 10 коп., а три учебника алгебры, один
учебник геометрии и один учебник тригонометрии стоят вместе 2 руб.

1972 год
571
30 коп. Сколько стоят учебник геометрии и учебник тригонометрии
вместе?
► 4. Вне прямого угла с вершиной С, на продолжении его биссектрисы взята
точка О так, что ОС — л/2. С центром в точке О построена окружность
радиуса 2. Найти площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и
дугой окружности, заключенной между ними.
► 5. Решить неравенство , 0
v Ах2 + 8х - 5 п
; <0-
х + 1
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Кооперативу садоводов предлагается указать длину и ширину
земельного участка прямоугольной формы, одна из сторон которого должна
прилегать к шоссе. Нужно, чтобы площадь участка равнялась 150 га.
Участок придется огородить забором, причем 1 погонный метр забора,
прилегающий к шоссе, стоит 10 руб, а один погонный метр забора на
трех оставшихся сторонах стоит 5 руб. Какими должны быть стороны
участка, чтобы стоимость забора была минимальной?
► 2. Найти tgz, если
у sin х + cos ж = 2,
—4 sin x + 2у cos x — — у.
► 3. Найти и изобразить на координатной плоскости точки, координаты
которых удовлетворяют системе уравнений
| (l~x)(x + y + Z)(2x-y) = 0,
I (х-1)(Зж + Зу + 1)=0.
► 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол А равен 90°, а угол С не
превосходит 90°. Из вершин В и D на диагональ АС опущены
перпендикуляры BE и DF. Известно, что АЕ ~ CF. Доказать, что угол С
прямой.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Известно, что 0,5 кг лука, 3 кг картофеля и 1 кг огурцов стоят вместе
2 руб. 38 коп., а 2 кг лука и 4 кг огурцов стоят 8 руб 20 коп. Сколько
стоят 1 кг лука, 2 кг картофеля и 2 кг огурцов вместе?
► 2. В языке страны мигунов 4 гласные и б согласных букв, причем гласные
и согласные непременно чередуются при составлении слов. Сколько 9-
буквенных слов может быть в этом языке?

572
Варианты вступительных экзаменов
► 3. При каком действительном х величина t = Vх +i6 — | принимает
наименьшее значение?
► 4. Решить уравнение
log, n + 3ogJx^) + (log, Щ2 = 12.
► 5. Найти без таблиц tg 2а, если sina=~H0^a<|.
Факультет психологии
*■ 1. Три равных по весу металлических порошка образуют смесь, 1 г
которой занимает объем ^ см3. Плотность первого порошка составляет
Щ плотности третьего. Сколько см3 занимает один грамм второго
порошка, если плотность третьего порошка на 1,5 г/см3 больше плотности
второго порошка?
► 2. Найти все действительные числа х такие, что числа 0, Iog3(2sina;),
log3 (81"22з:) в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию.
► 3. Найти все целые решения неравенства
ar-1 <log6(a; + 3).
► 4. Известно, что AB,AC,AD,DE,DF — ребра куба. Через вершины E,F
и середины ребер АВ и АС проведена плоскость Р. Какую часть объема
шара, вписанного в куб, составляет объем меньшей из двух частей, на
которые этот шар делится плоскостью Р?
1973 год
Механико-математический факультет
cos 2х + log4 ( - sin x J +2 cos x Iog^ sin x — 2 cos x + sin2 x - log2 sin2 x.
*■ 1. Решить уравнение
2
► 2. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины
оснований равен 2. Найти площадь трапеции.
► 3. Решить неравенство
4х + 8^2 - х2 > 4 + {х2 - х) ■ 2х + 2Х+1 ■ ху/2-х2.
► 4. В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD имеют площади р
и q и образуют между собой угол а. Найти площадь сечения пирамиды,
проходящего через ребро АВ и центр вписанного в пирамиду шара.

1973 год
573
►
5. Найти все пары чисел (х,у), удовлетворяющие условиям
V
у^4х4 + Аух2 + .
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить систему уравнений
Г 2 sin х sin у + cos x = О,
 1 + sin у cos х — 2 cos2 у sin a;.
► 2. Решить неравенство
3
tQgs2-18.T+91 I 5Z ~ Tq J < 0.
► 3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С
проведены биссектриса CL и медиана СМ. Найти площадь треугольника
ABC, если LM = a, CAf = Ь.
► 4. Вершина S пирамиды SABC находится на расстоянии 4 от центра
сферы радиуса 1, которая проходит через точки А, В, С и пересекает
ребра SA,SB,SC соответственно в точках Ai,Bi,Ci. Отношение длин
отрезков Bid и ВС равно j~v/132; отношение площадей треугольников
SAB и SAB равно ||, а отношение объемов пирамид SA^BiCi и SABC
равно Щ^. Найти длины отрезков SA±, SBi и SC.
*■ 5. Из пункта А одновременно выходят три пешехода и одновременно
возвращаются в тот же пункт, обойдя маршрут, состоящий из
прямолинейных отрезков AB,BC,CD,DA, которые образуют равнобочную
трапецию (АВ и CD — боковые стороны). На указанных отрезках скорости
всех пешеходов постоянны и равны у первого 6,8,5 и 8 км/ч
соответственно, а у второго — 7,7,6 и 8 км/ч соответственно. Скорость третьего
пешехода на каждом из отрезков равна либо 7 км/ч, либо 8 км/ч,
причем на всем пути он меняет скорость один раз. Определить отношение
меньшего основания трапеции к боковой стороне.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение Г
2 sin 2x + v 3 cos x = 0.
► 2. Решить уравнение . , 2 ,2
101+* -Ю1-* -99.
► 3. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 30.
Четвертый, седьмой и пятый члены этой прогрессии, взятые в указанном
порядке, представляют собой три последовательных члена
геометрической прогрессии. Найти разность арифметической прогрессии.

574
Варианты вступительных экзаменов
► 4. В треугольной пирамиде SABC высота SO проходит через точку О —
центр круга, вписанного в основание ABC пирамиды. Известно, что
/SAC — |, ZSCA = ~, а отношение площади треугольника АО В к
площади треугольника ABC равно 1/^. Найти угол BSC.
► 5. В окружность с центром О вписана трапеция ABCD (AD [| ВС). В этой
же окружности проведены диаметр СЕ и хорда BE, пересекающая AD
в точке F. Точка Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки
F на СЕ, точка S есть середина отрезка ЕО, аМ- середина отрезка
BD. Известно, что радиус окружности равен R, а СН = |Л. Найти
длину отрезка SM.
Химический факультет
► 1. Трое рабочих обрабатывали одинаковые детали. К концу месяца
оказалось, что количество деталей, обработанных первым, вторым и третьим
рабочими образуют геометрическую прогрессию. Месячный заработок
каждого рабочего складывался из части, пропорциональный количеству
обработанных деталей и премии. У первого рабочего он составил 150
рублей, у второго — 180 и у третьего — 250 рублей. Найти размеры
премий, если известно, что у первого и второго рабочего они одинаковы,
а у третьего — в полтора раза больше.
► 2. Решить неравенство
log4(3*-l)log1/4^^J^.
► 3. Найти все действительные х, удовлетворяющие уравнению
■« cos2 х 1
(4-Х*) cosa+l —
у'4 — х2
► 4, В правильной треугольной пирамиде расположен шар радиуса 1. В
точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касается внешним образом
полушара. Полушар опирается на круг, вписанный в основание
пирамиды; шар касается боковых граней пирамиды. Найти площадь боковой
поверхности и величину двугранного угла, образованного боковыми
гранями пирамиды.
► 5. В равнобедренный треугольник ABC вписан квадрат так, что две его
вершины лежат на основании ВС, а две другие — на боковых сторонах
треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга,
вписанного в треугольник как 8:5. Найти углы треугольника.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)

1973 год
575
► 1. Решить систему , п „ , ,„ . „ , ,„ ч
f Ig3-lg(3x)=lg2.1g(2y),
 Ig2-Ig2 = lgylg3.
► 2. Решить уравнение 1
4-*+s -7-2_а:-4 = 0.
► 3. Два велосипедиста выехали из пункта А одновременно и в одном
направлении. Первый велосипедист ехал со скоростью 7 км/ч, а второй — со
скоростью 10 км/ч. Через 30 мин из пункта А в том же направлении
выехал третий велосипедист, который догнал первого велосипедиста, а
через полтора часа после этого догнал и второго велосипедиста.
Определить скорость третьего велосипедиста.
► 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона
основания равна 1 см. Объем пирамиды равен ^ см3. Через сторону
основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный
угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найти площадь
сечения.
► 5. Найти все пары значений (х, у), являющиеся решениями системы
f 81111 +^- = 2^П,
j COS у
^■^-^6-2
и удовлетворяющие условиям
Г
1-1<У<
( 0 < X < 7Г,
2 ■
Геологический факультет
(отделение геофизики)
1. Решить систему о
f a; + sin(a: + у) = §,
Зж — sin(ж -4-у) = |.
► 2. См. задачу 2 геологического ф-та (отделение общей геологии)
► 3. См. задачу 3 геологического ф-та (отделение общей геологии)
► 4. Решить неравенство
4
log2i«-*2 fx--J >0
► 5. На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным
внутри этого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую
сторону в точках А и В и пересекает биссектрису угла в точках С и
D. Длина хорды АВ равна /б см, длина хорды CD равна v< см. Найти
радиус окружности.

576
Варианты вступительных экзаменов
Биологический факультет
► 1. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стенку,
причем первый каменщик работал б часов, второй — 4 часа и третий —
7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй — 2 и третий
— 5, то было бы выполнено лишь 2/3 всей работы. За сколько часов
каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все вместе одно
и то же время?
► 2. Решить уравнение
2 cos 2х - 1 = (2 cos 2х + 1) tg x.
► 3. Решить уравнение
logsin 2х (*Е х + ctS х) = 1 - losL 2а 2 ■
► 4. Через середину М стороны ВС параллелограмма ABCD, площадь
которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ
BD в точке О. Найти площадь четырехугольника OMCD.
*■ 5. Найти все значения действительного параметра а, для которых
неравенство
4*-а-2г-а + 3^0
имеет хотя бы одно решение.
Факультет почвоведения
► 1. Два экскаватора разной конструкции должны проложить две траншеи
одинакового поперечного сечения длиной 960 и 180 метров. Вся работа
продолжалась 22 дня, в течение которых первый экскаватор
прокладывал большую траншею. Второй экскаватор начал работать на 6 дней
позже первого, отрыл первую траншею, три дня ремонтировался и затем
помогал первому. Если бы не нужно было тратить времени на ремонт,
то работа была бы закончена за 21 день. Сколько метров траншеи в день
может отрыть каждый экскаватор?
► 2. Что больше, (log2^ 4)(log„ З^/З)2 или 2 sin f • cos2 2|zl ■ tg 2Jl?
► 3. Решить уравнение
(cos x — sin x) f 1 + - sin 2x ) + sin x = 2 cos2 x.
 2 /
► 4. Правильный шестиугольник ABCDEK вписан в окружность радиуса
3 + л/3. Найти радиус круга, вписанного в треугольник ACD.
► 5. Найти все действительные решения уравнения

1973 год
577
Географический факультет
► 1. На прокладке двух параллельных трубопроводов работали два
экскаватора. Первый из них начал работу на 30 минут раньше второго. Когда
второй экскаватор прокопал 27 метров, оказалось, что он отстает от
первого на 1 метр. С какой скоростью копали экскаваторы, если известно,
что второй выкапывает в час на 4 метра больше, чем первый?
► 2. Упростить выражение
5log*'5i+lo^^fb?+,0g,'2I^br
► 3. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой
окружности, причем все остальные стороны квадрата лежат вне этой
окружности. Длина касательной СК, проведенной из вершины С к той
же окружности равна 2. Чему равен диаметр окружности?
► 4. Найти решения уравнения
J ~25'
удовлетворяющие неравенству х > —3.
► 5. Решить уравнение
VSsin 2х - 2 cos2 х = 2/2 + 2 cos 2х.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Пароход прошел 4 км вверх против течения реки и затем прошел еще 33
км вниз по течению, затратив на все это 1 час времени. Найти скорость
парохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.
► 2. В равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а
вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность,
касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности.
Определить радиус второй окружности.
► 3. Решить уравнение ,
^24 - 10z = 3 - Ах.
*■ 4. Решить уравнение
cos 2х — cos Ах — 4 sin Зх — 2 sin х + А _
2 sin х — 1
► 5. Решить неравенство
log,. 5 < log^jS.

578
Варианты вступительных экзаменов
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. График функции у = 1 — Ъх2 пересекается в двух точках с прямой,
наклоненной к оси х под углом <р. Вычислить абсциссу середины отрезка,
соединяющего проекции точек пересечения на ось х.
*• 2. Найти все пары чисел (х, у), для которых выполняются одновременно
следующие условия:
а) х2 - 2ху + 12 = 0;
б) х2 + 4у2 ^ 60;
в) х является целым числом.
► 3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCDi с площадью
основания S и высотой h. Через вершину А верхнего основания ABCDi
проведена секущая плоскость, пересекающая боковое ребро ВВ в точке
£?2, боковое ребро СС в точке Сг и боковое ребро DD в точке D2.
Найти объем той части параллелепипеда, которая расположена под секущей
плоскостью, если известно, что ССг — с.
► 4. Известно, что 5100 шаров, из которых 300 красных, а остальные —
белые, разложены в некотором числе ящиков так, что в каждом ящике
находится не более трех шаров красного цвета. Доказать, что найдутся
два ящика, содержащие одинаковое число шаров (белых и красных в
совокупности).
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Сумма, равная 53 коп., составлена из трехкопеечных и пятикопеечных
монет, общее число которых меньше 15. Если в этом наборе монет
трехкопеечные монеты заменить пятикопеечными, а пятикопеечные —
трехкопеечными, то полученная в результате сумма уменьшится по
сравнению с первоначальной, но не более, чем в 1,5 раза. Сколько
трехкопеечных монет было в наборе?
► 2. Плоскость, не содержащая вершин правильной n-угольной пирамиды,
делит совокупность этих вершин на две части. Сколькими способами
можно осуществить подобное деление?
► 3. Найти минимальное значение следующего выражения cos2x — 8 cos a;.
► 4. Можно ли вокруг четырехугольника ABCD описать окружность, если
Z.ADC = 30°, АВ = 3, ВС = 4, АС = 6?
► 5. Решить уравнение
log,.! У2х2-8Ж + 9=^.

1974 год
579
Факультет психологии
► 1. Два экскаватора должны прорыть канал длиной 36 м. Первый
экскаватор, начавший эту работу, проработал 2 часа, затем его сменил второй
экскаватор, проработавший 3 часа, в результате чего весь канал был
прорыт. Сколько метров канала роет за час первый экскаватор, если
24 м канала он роет за время, на 1 час большее, чем требуется на 24 м
второму экскаватору?
► 2. Найти все корни уравнения
Iog3(2 sin2 х) — 1 = 2 log3 COS3; + 1°ёз 2.
► 3. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD (S — ее
вершина). Сторона основания этой пирамиды равна а, высота пирамиды равна
а уз- Пусть Е — середина стороны основания АВ, пусть также F —
середина SB и G — середина SC (где В и С — соседние вершины
основания пирамиды). Найти расстояние от центра шара, описанного около
пирамиды SABCD, до плоскости, проведенной через точки E,F,G,H,
где Н — середина CD.
► 4. Найти все целые числа х, удовлетворяющие неравенству
g|]og3(12-3z) _glog2a: > gg
1974 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение ,
V1 + sin х -- cos х — 0.
► 2. Решить неравенство
^/1-log5 (ж2 -2х + 2) < log5(5z2 - Юг + 10).
► 3. Вокруг треугольника ABC описана окружность. Медиана AD
продолжена до пересечения с этой окружностью в точке Е. Известно, что
АВ + AD — DE, угол BAD равен 60° и АЕ = 6. Найти площадь
треугольника ABC.
► 4. В треугольной пирамиде ABCD ребро DC равно 9, и BD — AD. Ребро
АС перпендикулярно к грани ABD. Сфера радиуса 2 касается грани
ABC, ребра DC, а также грани DAB в точке пересечения ее медиан.
Найти объем пирамиды.

580
Варианты вступительных экзаменов
► 5. Найти все действительные значения а, для каждого из которых
существуют четыре целых числа х, у, и, v, удовлетворяющие равенствам
Г х2 +у2 = (111-а)(а-89),
 Щи2 - v2) = а(15и + 5v- a).
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Найти все решения уравнения
/sin(l — х) = v'cosar,
удовлетворяющие условию 0 ^ х ^ 2к.
► 2. Найти все действительные значения а, при которых каждое решение
неравенства , 2 . . , „.
log1/2z ^log1/2(x + 2)
является решением неравенства
49ж2 - 4а4 ^ 0.
► 3. Найти все значения х, удовлетворяющие одновременно следующим
условиям: Г х — 2 + х — 3| = 1,
 813ж-974^ 163ж2.
► 4. Имеются три несообщающихся между собой резервуара, причем объем
третьего не меньше объема второго. Первый резервуар имеет объем V
и может быть заполнен первым шлангом за 3 часа, вторым шлангом —
за 4 часа, третьим шлангом — за 5 часов. К каждому из резервуаров
может быть подключен любой из этих трех шлангов. После того, как
произведено подключение к каждому из резервуаров по одному шлангу
каким-то способом, все шланги одновременно включаются. Как только
какой-то резервуар наполнится, соответствующий шланг отключается и
не может быть подключен в дальнейшем к другому резервуару.
Заполнение считается оконченным, если наполнены все три резервуара. При
самом быстром способе подключения заполнение окончится через 6
часов. Если бы все резервуары сообщались, то заполнение окончилось бы
через 4 часа. Найти объемы второго и третьего резервуаров.
► 5. В треугольной пирамиде SABC суммы трех плоских углов при каждой
вершине В и С равны 180° и SA = ВС. Найти объем пирамиды, если
площадь грани SBC равна 100 см2, а расстояние от центра описанного
шара до плоскости основания ABC равно 3 см.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
V3-tgx = tgj — -х 1

1974 год
581
► 2. Решить неравенство
х2 -2х + 1 <0.
► 3. Решить уравнение
2^21og?6z- ^/bi^ -6 = 0.
► 4. Два одинаковых правильных треугольника ABC и CDE со стороной 1
расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С,
и угол BCD меньше, чем тг/3. Точка К -- середина отрезка АС, точка
L — середина отрезка СЕ, точка М --- середина отрезка BD. Площадь
треугольника KLM равна *г-. Найти длину отрезка BD.
*■ 5. Даны две треугольные пирамиды SABC и NKLM, все ребра которых
равны а. Эти пирамиды имеют общую высоту SN (S — центр грани
KLM и N — центр грани ABC). Кроме того, KL || ВС и пирамиды
расположены так, что плоскость, проходящая через KL и ВС, пересекает
отрезок SN. Найти объем общей части пирамид SABC и NKLM.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение
у 1 + Vsin2z + у 1 — Vsin 2х — у 1 + т/coslr + у 1 - Vcosx.
► 2. Верно ли, что всякое решение неравенства log2(8 + 8х — Ъх2) > 2, будет
решением неравенства log2(2 + 2х — ж2) > О?
*■ 3. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами 3 и 4 вершина С
прямого угла соединена с серединой D гипотенузы АВ. Найти расстояние
между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD.
► 4. Двадцать четыре школьника разбились на две группы. Первая из них
пошла в цирк, а вторая —- в кино. При этом оказалось, что на цирк
и кино было затрачено одинаковое количество денег. Если бы билет в
цирк стоил на 20 копеек дешевле, а билет в кино — на 20 копеек дороже,
то, истратив на билеты в цирк и на билеты в кино те же суммы денег,
в цирк и в кино смогли бы пойти вместе 15 школьников. Если бы при
прежней стоимости билетов вторая группа школьников пошла в цирк, а
первая группа — в кино, то на билеты в цирк ушло бы на 19 руб. 20 коп.
больше, чем на билеты в кино. Сколько стоили билеты в цирк и в кино?
► 5. На основании правильной треугольной пирамиды с высотой Н и
радиусом круга, вписанным в его основание, равным г, лежит шар,
касающийся основания в его центре. Найти радиус шара, если плоскость,
проведенная через вершину пирамиды и середины двух сторон основания,
касается этого шара.

582
Варианты вступительных экзаменов
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Решить уравнение
*■ 2. Решить систему неравенств
J S2x+1 - Sx+2 + 6 > О,
I z2x+2 - 2 ■ Зг+2 - 27 < 0.
*■ 3. Найти все решения уравнения
log2 (sin x cos x) — Iog4 tg2 x + log! /2 cos 2z = 2,
удовлетворяющие условию 0 ^ x < 2к.
► 4. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине С.
Угол CAB равен а. Биссектриса угла ABC пересекает катет АС в точке
К. На стороне ВС как на диаметре построена окружность, которая
пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найти угол АМК.
*■ 5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. На
продолжении ребра CD взята точка К так, что KD : КС = 3:4. На
ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2:1. В каком отношении
делит объем пирамиды плоскость, проведенная через точки К, В и L?
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Решить неравенство
(ж2 + 3х + 1)(з;2 + 3х- 3) > 5.
► 2. Решить уравнение
log^x2 -2х- З)2 - 21og16(z2 + х - 2) = 1.
► 3. Определить, при каких целых значениях & система
Г (arctgrc)2 + (arccosy)2 = n2k,
1 arctg x + arccos у — |.
имеет решения и найти все эти решения.
► 4. В прямой круговой цилиндр с радиусом основания г — 1 см и высотой
Н — —~f= см вписаны три одинаковых шара так, что шары касаются
верхнего основания цилиндра, его боковой поверхности и попарно друг
друга. Найти объем прямого кругового конуса, основание которого
совпадает с нижним основанием цилиндра и который касается всех трех
шаров.
► 5. Дан треугольник ABC. Из вершины А проведена медиана AM, а из
вершины В — медиана ВР. Известно, что угол АРВ равен углу ВМА,

1974 год
583
косинус угла АС В равен 0,8 и ВР = 1 см. Найти площадь треугольника
ABC.
Биологический факультет
► 1. Пристани А и В находятся на противоположных берегах озера. Пароход
плывет из А в В и после десятиминутной стоянки в В возвращается в А,
двигаясь в обоих направлениях с одной и той же постоянной скоростью
18 км/ч. В момент выхода парохода из А навстречу ему из В в А
отправляется движущаяся с постоянной скоростью лодка, которая встречается
с пароходом в 11 часов 10 минут. В 11 часов 25 минут лодка находится
на расстоянии 3 км от А. Направляясь из В в А после стоянки, пароход
догоняет лодку в 11 часов 40 минут. Определить время прибытия лодки
в Л.
► 2. Решить уравнение
(-.  sin2 х
| + 4 • 5cos2a: = 25^ain2x^2
► 3. В правильном треугольнике ABC со стороной А точки Е и D являются
серединами сторон ВС и АС соответственно. Точка F лежит на отрезке
DC, отрезки BF и DE пересекаются в точке М. Найти длину отрезка
MF, если известно, что площадь четырехугольника ABMD составляет
5/8 площади треугольника ABC.
► 4. Решить неравенство
logi/з Ух + 3
l°gi/3(3 + l)
► 5. Найти все значения х, для которых величина у = |(sinx + /3cos:e)
удовлетворяет уравнению
log4(tg2y-3ctg?/) = 1+ 2iogi/2(ctg?/-tg?/).
Факультет почвоведения
► 1. Из пункта А в пункт В движется с постоянной скоростью автомобиль.
Навстречу автомобилю из пункта В в пункт А движется с постоянной
скоростью мотоцикл, который выехал из пункта В одновременно с
отправлением автомобиля из пункта А. Скорость автомобиля на 20 км/ч
больше скорости мотоцикла. Через 1 час 30 минут автомобиль и
мотоцикл встречаются. Найти расстояние между пунктами А и В, если это
расстояние автомобиль проезжает на 1 час 15 минут быстрее мотоцикла.

584
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Решить уравнение
(log2 х)2 + 21og1/2 ^j (31og8 x - 1) = 2 (log2 |) • log2(x2).
V3 + sin ж.
► 3. Найти все решения уравнения
2(cos x + sin x) + 1 — cos 2x
2(1 + sina;)
► 4. Найти все значения а, при которых неравенство
х - 2а - 1
< О
х — а
выполняется для всех таких х, что 1 ^ х ^ 2.
► 5. На стороне ЛС остроугольного треугольника ABC взята точка D так,
что AD = 1, DC = 2 и £?£> является высотой треугольника ABC.
Окружность радиуса 2, проходящая через точки Ли D, касается в точке
-D окружности, описанной около треугольника ВВС. Найти площадь
треугольника ABC.
Географический факультет
► 1. Из пункта Л в пункт В, расположенный на противоположном берегу
озера, одновременно вышли моторная лодка и катер. К моменту, когда
катер прибыл в пункт В, моторная лодка прошла половину пути и была
в 30 км от В. Известно, что если бы катер шел из Л в В с большей
скоростью, увеличив ее на 3 км/ч, то лодка пришла бы в пункт В на 6
часов позднее катера. Найти скорость моторной лодки.
► 2. Найти все решения уравнения
/ 9 N г
sin ж + cos | Ьх — -7г I = v3sin(3a; + тг).
V 2 /
► 3, Решить систему уравнений
25 Ш
5^Т)
VaT+2 + ^2х + у + 14 = у/х + у + 12.
► 4. В треугольнике ABC боковые стороны АВ и ВС равны а, угол ABC
равен 120°. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны
АВ в точке D. Вторая окружность имеет центром точку В и проходит
через точку D. Найти площадь той части вписанного круга, которая
находится внутри второго круга.
► 5. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству
bgg {x + |)
log7 (x2 -2х+^)
<0.

1974 год
585
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Два поезда вышли из города А в город В и весь путь каждый из поездов
прошел с постоянной скоростью. Второй поезд вышел на 5 часов позже
первого и прибыл в В одновременно с первым поездом. За один час
до прибытия в В расстояние между поездами составило 30 км, а когда
первый поезд находился в середине пути, второй отставал от него на 225
км. Определить скорости поездов и расстояние между городами.
► 2. Решить уравнение
log^^(22:2-4a; + 2) = 2.
► 3. В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом
при вершине В вписан прямоугольный треугольник MNC так, что угол
MNC прямой, точка N лежит на АС, а точка М --- на стороне АВ.
В каком отношении точка N должна делить гипотенузу АС, чтобы
площадь треугольника MNC составляла 3/8 от площади треугольника
ABC?
► 4. При каких значениях величины h многочлен от х
у = х* + Tosh ■ х2 + (sinft + tgh)x + 2cosh - 1
является квадратом квадратного трехчлена относительно ж?
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Найти все действительные решения уравнения
у/2х'2 -Ах~ jx2 + 1 + А2 - 1 ■
► 2. Сколько различных слов по пять букв в каждом слове можно составить из
букв алфавита, состоящего из шести различных букв, причем в каждом
слове ни одна из букв не встречается более двух раз, а любые две соседние
буквы в каждом слове различны?
► 3. Найти все решения уравнения
iogfco^-sma^U-cosz-sinz) = 1.
► 4. На плоскости даны три точки, лежащие на одной прямой (точка В
лежит между точками Л и С), причем АВ = 1 м, ВС = 10 м. Найти
минимальное расстояние между такими точками Р и Q, лежащими в
данной плоскости по разные стороны от прямой АС, чтобы угол АРВ
равнялся 45°, а угол BCQ равнялся 60°.

586
Варианты вступительных экзаменов
► 5. Найти все действительные значения величины Л., при которых уравнение
х{х + 1)(х + h)(x + l + h) = h2
имеет четыре действительных корня.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. В бассейн проведены две трубы, которые при совместной работе
наполняют бассейн за 40 минут. Сколько времени нужно одной первой трубе
для наполнения бассейна, если известно, что второй трубе для
наполнения бассейна требуется времени на 1 час больше, чем первой?
► 2. Решить уравнение
л/15 + 5х - л/19 - Ъх = 2.
► 3. Решить уравнение . 4 4
sm х + cos x — sm 2x.
► 4. Найти все значения ж, удовлетворяющие неравенству
и3(х) -6«2(ж) +8и(х) ^ 0,
гдеи(х)=о&2^.
► 5. В правильную треугольную пирамиду с плоским углом а при
вершине вписана правильная треугольная призма так, что нижнее основание
призмы лежит на основании пирамиды, а верхнее основание совпадает
с сечением пирамиды плоскостью, проходящей через верхнее основание
призмы. Длина бокового ребра призмы равна длине стороны основания
призмы. Найти отношение объемов пирамиды и призмы.
Факультет психологии
► 1. Каждый из трех туристов должен преодолеть 1000 км сначала пешком,
а затем используя последовательно велосипед, мотоцикл и автомобиль.
Второй турист прошел пешком 3/4 пути, пройденного первым туристом
и проехал на мотоцикле 2/3 того, что проехал на мотоцикле первый.
На велосипеде второй турист проехал 108 км, а на автомобиле — 708
км. Известно, что с велосипеда второй турист пересел на мотоцикл в
том же месте, что и первый турист. Наконец, третий турист
проходит пешком столько же, сколько прошел пешком второй, проезжает на
велосипеде столько же, сколько проехал на велосипеде первый, а на
мотоцикле и автомобиле проезжает оставшиеся 876 км. Определить, сколько
километров прошел пешком и проехал на каждом из указанных видов
транспорта первый турист.
► 2. Точки E,F,M расположены соответственно на сторонах АВ,ВС, АС
треугольника ABC. Отрезок АЕ составляет 1/3 стороны АВ, отре-

1975 год
587
зок BF составляет 1/6 стороны ВС, отрезок AM составляет 2/5
стороны АС. Найти отношение площади треугольника EFM к площади
треугольника ABC.
► 3. Решить систему , l+tgQrs)
1
2х2 + у2 = £.
8'
► 4. Доказать, что при всех а и b имеет место неравенство
5а+1 1
и определить, при каких а и Ь достигается равенство.
1975 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
по пх2+5х — 48 -■■> дп£2+5а: — 49
► 2. Найти все пары действительных чисел (ж, ?/), удовлетворяющих условию
х > 0 и системе уравнений
Г sin((x - 0F)2 + г/2) = О,
I bgy^ V^2 + У2 + V2 lo82W /^2 + У2 = 2.
► 3. Два равных равнобедренных треугольника Л£?С и DBE (АВ = JBC =
BD = JBi?) имеют общую вершину JB и лежат в одной плоскости так, что
точки Aw. С находятся по разные стороны от прямой BD, а отрезки АС
и DE пересекаются в точке К. Известно, что Z.ABC = /.DBE = а < -|.
В каком отношении прямая ВК делит угол ABC?
► 4. Сфера радиуса 3/8 вписана в четырехугольную пирамиду SABCD, у
которой основанием служит ромб ABCD, такой, что Z.BAD = 60°; высота
пирамиды, равная 1, проходит через точку К пересечения диагоналей
ромба. Доказать, что существует единственная плоскость,
пересекающая ребра основания АВ и AD в некоторых точках М, N таких, что
MN = ^й, касающаяся сферы в точке, удаленной на равные расстояния
от точек М и N, и пересекающая продолжение отрезка SК за точку К
в некоторой точке Е. Найти длину отрезка SE.
*■ 5. Без помощи таблиц найти все значения х в промежутке —0,5 < х < 1, 5,
удовлетворяющие равенству
Iog2 ( sin Зж — cos 2x — — J = log2 I sin 7x — cos 6x — — j .

588
Варианты вступительных экзаменов
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить неравенство
у/х2 + Ах - 5 - 2х + 3 > 0.
► 2. Решить систему уравнений
f sin(2z + sin2 у) = 0,
[ х — 3sin у = —2.
► 3. Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая,
параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых
можно вписать окружность. Определить основания исходной трапеции,
если ее боковые стороны равны с и d (с < d).
► 4. Два грузовика доставили со склада на стройку одно и то же количество
кирпича и одно и то же количество цемента, причем каждый из них
доставлял сначала кирпич, а затем цемент, перевозя за каждую поездку
груз одного и того же веса. Первый грузовик начал работу на 40 минут
раньше, а закончил на 40 минут позже второго. При этом интервал
времени между окончаниями доставки кирпича грузовиками был не более
20 минут.
Если бы первый грузовик начал работу на 1 час 5 минут раньше
второго, уменьшив свою производительность на 10%, а производительность
второго грузовика не изменилась, то второй грузовик закончил бы
работу на 55 минут раньше первого, а интервал времени между окончаниями
доставки кирпича грузовиками был бы не менее 25 минут.
Если бы производительность первого грузовика уменьшилась на 2
тонны в час, а производительность второго грузовика не изменилась,
то первый грузовик затратил бы на выполнение всей работы в два раза
больше времени, чем второй грузовик на доставку кирпича. Сколько
всего цемента было доставлено на стройку?
► 5. Дана треугольная пирамида ABCD. Скрещивающиеся ребра АС и BD
этой пирамиды перпендикулярны. Ребра AD и ВС также
перпендикулярны. Ребра АВ и CD равны. Все ребра этой пирамиды касаются шара
радиуса г. Найти площадь грани ABC.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
cos(3z + 5) - cos(:r + 1) = 2 sin(x + 2).
► 2. Решить уравнение
91ое1/з(г+2) — yiogi/7(2:i:2+3;i:+2)

1975 год
589
Решить неравенство
2х2- llz + 15
2* -6
В треугольнике ABC угол £?ЛС тупой и АВ = ЛС. Пусть £> —
точка пересечения биссектрисы угла ABC со стороной ЛС. Пусть М —
основание перпендикуляра, опущенного из точки Л на сторону ВС, а -Е
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону ВС.
Через точку D проведен также перпендикуляр к BD до пересечения со
стороной ВС в точке F. Известно, что ME — FC = а. Найти площадь
треугольника ABC.
В треугольнике ABC угол АСВ прямой, АС = а, ВС — За. Через
точку В проведена в пространстве прямая, перпендикулярная отрезку
ВС и на этой прямой взята точка D так, что BD = а. Двугранный
угол между полуплоскостями, которым принадлежат треугольники BCD
и ABC равен 7г/3. Шар касается отрезка АВ в такой точке Р, что
АВ — 3 ■ АР и касается отрезка CD в такой точке Q, что CD — 3 • QD.
Найти радиус шара.
имический факультет
Решить неравенство
с2х-10-Ъ^/х-2 _ л д31-5 <- к1+3/а:-2
На второй остановке вошло в автобус на 12 человек больше, чем вышло
на третьей остановке, а на третьей вошло на 3 человека меньше, чем
вышло на четвертой. Вошло на четвертой вдвое больше, чем на второй.
На четвертую остановку приехало на тринадцать человек больше, чем
уехало с первой. Что больше, и насколько; число человек, вошедших на
второй остановке, или число человек, вышедших на второй остановке?
Известно, что если бы на второй остановке вышло вдвое больше
человек, чем вошло на третьей, то с четвертой остановки уехало бы на 9
человек больше, чем с первой.
Дан треугольник ABC, в котором ВС = 5. Окружность проходит
через вершины В и С и пересекает сторону АС в точке К так, что
С К — 3, К А = 1. Известно, что косинус угла АСВ равен 4/5. Найти
отношение радиуса данной окружности к радиусу окружности,
вписанной в треугольник АВК.
В тетраэдре SABC грань SAC перпендикулярна плоскости ABC Кроме
того, SA ~ SC = 1 и угол при вершине В треугольника ABC прямой.
Шар касается плоскости ABC в точке JB, а грани SAC в точке S.
Найти радиус шара.

590
Варианты вступительных экзаменов
► 5. Найти все значения параметра Ь, при которых система
Г cos(y - b) — 2 cos x — 0,
I log2(by - у2) = 21og4(-a?) - log1/2(3y)
имеет нечетное число решений.
Геологический факультет
(отделение общей геологии )
► 1. Решить уравнение
4 cos Ах + б sin2 2x + 5 cos 2x = 0.
► 2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 100 км,
одновременно выехали два автобуса. Пройдя половину пути, первый
автобус остановился, простоял 45 минут и поехал дальше со скоростью
на 10 км/час меньше первоначальной. Второй автобус весь путь от А
до В прошел с постоянной скоростью за 4 часа. Найти первоначальную
скорость первого автобуса, если он прибыл в пункт В на час раньше
второго.
► 3- Решить неравенство
Iog10|2x + 3|3 + 2Iog(2jB+3)8l0<3.
► 4. В треугольнике ABC известны стороны АВ=6 см, ВС = 4 см, АС = 8
см. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Через точки
A,D,C проведена окружность, пересекающая сторону ВС в точке Е.
Найти площадь треугольника ADE.
► 5. Решить неравенство
у/хТЪ < 1 + V-x -3 + у/(х + 5)(-х - 3).
Геологический факультет
(отделение геофизики )
*■ 1. Решить уравнение
(ж-1)2 + |ж-1|-2-0.
► 2. Решить неравенство
log9*2-6*+1 U^-isz + sJ < -1-
* 3. Найти все решения системы
1 ysin2 я+tg2 у _. 7
удовлетворяющие условиям: 0 < ж < 7Г, 0 < у < 7Г.
► 4. На отрезке АВ длины R см как на диаметре построена окружность.
Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в

1975 год
591
точке А. Третья окружность касается первой внутренним образом,
второй — внешним образом, а также касается отрезка АВ. Найти
радиус третьей окружности.
► 5. Дан правильный тетраэдр РАВС с длиной ребра а см. Через точки
С,Е,М и Р, где Е — середина ребра АВ, а М — середина ребра АС,
проведена сфера. Найти радиус этой сферы.
Биологический факультет
► 1. Два насоса, работая одновременно, наполнили водой бассейн емкостью
80 м3. Если увеличить производительность первого насоса в 4/3 раза, то
он один сможет наполнить бассейн, работая на два часа дольше, чем
работали оба насоса вместе. Сколько кубометров воды в час перекачивает
второй насос?
► 2. Найти все значения параметра р, при которых квадратное уравнение
(Зж)2 + (V+3 -15Jz + 4 = 0
имеет ровно одно решение.
► 3. Отрезок АВ есть диаметр круга, а точка С лежит вне этого круга.
Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D и М
соответственно. Найти угол CBD, если площади треугольников DCM и
ABC относятся как 1:4.
► 4. Решить уравнение
sin ж — 2sin2x + sin3z = |1 — 2 cos ж + cos2x|.
► 5. Найти все целые числа п, удовлетворяющие неравенству
l°g(2cos(27r/7)-n+8) I /1Q _ п
Факультет почвоведения
► 1. Два экскаватора должны вырыть три одинаковых котлована. Если они
будут работать вместе, то выроют их за два дня. Первый экскаватор
может вырыть один такой котлован на день быстрее второго. В один
из дней первый экскаватор работал полдня, а второй работал весь день.
Какая часть всей работы была выполнена за этот день?
► 2. Найти все значения переменной ж, при которых выражение
3 + sin2 2x - 2 sin2 x
достигает своего наибольшего значения.
► 3. Решить уравнение 1П
>0.

592
Варианты вступительных экзаменов
*■ 4. В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и
трех сторон параллелограмма каждая. Радиус одной из окружностей
равен 1. Известно также, что один из отрезков стороны параллелограмма
от вершины до точки касания равен /3. Найти площадь
параллелограмма.
► 5. Доказать без помощи таблиц и калькулятора, что
Iog2 7+ ( 3+ cos — J log7 2<4.
Географический факультет
► 1. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов разной
производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь
первый насос, а затем, выключив его, продолжать наполнение с помощью
второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 часа 30 минут. При
одновременной работе обоих насосов бассейн наполнится за 1 час 12
минут. Какую часть бассейна наполняет за 20 минут работы насос меньшей
производительности?
► 2. Решить уравнение 1
sin2 х — cos x cos Зж = -.
4
► 3. Решить уравнение
A-iY
4921°К4(;Е-2) . y1o^^^12~x — 49 .7*1а%ъх
► 4. В треугольнике ABC биссектриса АК перпендикулярна медиане ВМ, а
угол ABC равен 120°. Найти отношение площади треугольника ABC к
площади описанного около этого треугольника круга.
► 5. Решить систему уравнений
tg3s = tg^,
2x + 31og(4,/jr)^=|logv¥(^)-4alo««^.
Экономический факультет
(отделение политической экономии )
► 1. Три бригады, работая вместе, должны выполнить некоторую работу.
Известно, что первая и вторая бригады вместе могут выполнить ее на
36 минут быстрее, чем одна третья бригада. За то время, за какое могут
выполнить эту работу вместе первая и третья бригады, вторая бригада
может выполнить только половину работы. За то время, за какое эту
работу могут выполнить вместе вторая и третья бригады, первая может

1975 год
593
выполнить 2/7 этой работы. За какое время выполнят работу все три
бригады вместе?
► 2. Решить уравнение
(2 cos ж — sin х — 2)(sinz — 1) = cos2 ж.
► 3. Решить систему уравнений
x/3 + log^l-y) = log,, x(l - у),
ху — —6.
► 4. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти
радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании
трапеции равен а.
► 5. При каком значении х выражение
х2 + 3 +
х2 + 4
принимает наименьшее значение?
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики )
► 1. Найти все действительные решения уравнения
sinz / , . cosi!
V3 + 2V^J +(/3-2V2J =^.
► 2. Дана трапеция ABCD с основаниями Л£> и JBC. Диагонали АС и £?£>
пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD — в точке К. Прямая КО
пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, и угол
BAD равен 30°. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно
вписать окружность. Найти отношение площадей треугольника ВКС и
трапеции ABCD.
► 3. Решить неравенство
п 9 / 9
У < х —  х .
х V х
► 4. Зоопарк ежедневно распределяет 111 кг мяса между лисами, леопардами
и львами. Каждой лисе полагается 2 кг мяса, леопарду — 14 кг, льву —
21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей,
у каждого леопарда — 160, у каждой лисы — 20. Сколько должно быть
лис, леопардов и львов в зоопарке, чтобы ежедневное число посетителей
у этих животных было максимальным?

594
Варианты вступительных экзаменов
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики )
► 1. Из пункта А в пункт В выехал автобус, а одновременно с этим из
пункта В навстречу автобусу выехало такси. Через некоторое время
автобус встретился с такси в пункте С, а еще через такое же время
автобус встретился в пункте D с велосипедистом, выехавшим из пункта
В в момент встречи автобуса с такси. Известно, что после встречи с
автобусом велосипедист затратил на поездку в пункт С времени в 4 раза
больше, чем автобус до конца своего пути. Во сколько раз скорость такси
превосходит скорость велосипедиста?
► 2. Найти все значения ж, удовлетворяющие уравнению
21°g2+„2(4 - л/7 + 2а0 - loga+^a^ - Зх)
при любом действительном а.
► 3. Решить уравнение ^тг _ 2ctgs + 3
Ctg 6 -tg(s+f)-
► 4. Найти сумму корней уравнения
2 1 — 3 cos3 х
cos 2x + tg x — ~——,
COS^ X
принадлежащих отрезку 1 ^ х ^ 50.
*■ 5. В прямой круговой конус с углом раствора 60° вложены три одинаковых
шара радиуса г так, что каждый шар касается двух остальных, боковой
поверхности конуса и плоскости основания. Найти радиус R основания
конуса.
Факультет психологии
► 1. Бригаде из трех трактористов поручено вспахать поле. Если бы
работали только первый и второй трактористы, то за один день было бы
вспахано 45% поля. Если бы работали только второй и третий
трактористы, то за два дня было бы вспахано 75% поля. Наконец, если бы
работали только первый и третий трактористы, то за три дня было бы
вспахано 97,5% поля. За сколько дней данное поле вспахал бы каждый
тракторист в отдельности, если считать интенсивности работы каждого
тракториста постоянными?
► 2. Вокруг треугольника ABC со сторонами АВ — 10-/2 см, АС — 20 см
и углом В, равным 45°, описана окружность. Через точку С проведена
касательная к окружности, пересекающая продолжение стороны АВ в
точке D. Найти площадь треугольника BCD.

1976 год 595
► 3. Решить уравнение
_ _ /5 — 6cos2 х
2-3tgz= j = .
V cos*2 x
► 4. Решить неравенство
► 5. Найти все целые положительные решения уравнения
2х2 + 2ху -х + у = 112.
1976 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение
( х
1ое_-.. / , I sin 1- sin
(х Зж
sin - + sin
► 2. Решить неравенство у
9*-2 " 3*-Г
► 3. В прямоугольном треугольнике Л£?С с прямым углом С, углом В
равным 30° и катетом С А — 1 проведена медиана CD. Кроме того, из
точки D под углом 15° к гипотенузе проведена прямая, пересекающая
отрезок ВС в точке F. Найти площадь треугольника CDF. Указать ее
приближенное значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
► 4. Три шара, среди которых имеются два одинаковых, касаются плоскости
Р и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого
кругового конуса принадлежит плоскости Р, а ось конуса перпендикулярна
этой плоскости. Все три шара лежат вне конуса, причем каждый из
них касается некоторой образующей конуса. Найти косинус угла между
образующей конуса и плоскостью Р, если известно, что в треугольнике
с вершинами в точках касания шаров с плоскостью один из углов равен
150°.
► 5. Действительные числа г, s и * таковы, что г < s < t. Кроме того,
известно, что после подстановки каждого из трех чисел r,s,t вместо
у в равенство х2 - (9 — у)х + у2 — 9у + 15 = 0 по меньшей мере одно из
двух оставшихся чисел будет содержаться среди корней получившегося
квадратного уравнения. Доказать, что —1 < г < 1.

596
Варианты вступительных экзаменов
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Стороны треугольника равны л/| и /2, а угол между ними равен 60°.
Квадрат имеет сторону ^]р. Определить, что больше: площадь
треугольника или площадь квадрата.
► 2. Решить систему уравнений
f 3 ■ 2* - log2 у = 2,
2*-bg2y = l.
► 3. Решить уравнение
у
~Т~ 1-2 4 /9
1 — tg ж + sm х — у sm ж — - = 1 / - — tg х.
► 4. На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Первая имеет
центр в точке 0 и радиус равный 4, вторая — центр в точке 02 и
радиус, равный 2/3. Отрезок О1О2 пересекает обе окружности, а угол
КО1О2 равен 30° (где К — одна из точек пересечения окружностей).
Вершина А равностороннего треугольника ABC является точкой
пересечения второй окружности и отрезка О1О2, а сторона ВС — хордой
первой окружности, перпендикулярной к прямой 02- Найти площадь
треугольника ABC, если известно, что АВ < 4.
► 5. Найти все положительные числа а, для которых не существует
действительных чисел ж и у, одновременно удовлетворяющих условиям:
j' 16ж2 + (4 - 5а)(ж3 +х)- а{х2 + I)2 ^ 0,
1 4ж 1 — у оу а
х2 + 1 Ъу 1 — у 4
0 < у < 1.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение „ . . ■*
cos2x + 4sinda: = 1.
► 2. Решить неравенство
l-21og(1/9)(x + 2) >log3(z-3).
► 3. Решить систему уравнений
f з^ + з* • 3-» = 12,
 зх + ъ~у = ю.
► 4. В треугольнике ABC, все стороны которого различны, биссектриса угла
ВАС пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что АВ — BD =
а, АС + CD = Ь. Найти длину отрезка AD.

1976 год
597
► 5. Все плоские углы трехгранного угла SABC (S — вершина) прямые.
На грани ASC взята точка D на расстоянии 5 см от вершины 5 и на
расстоянии 3 см от ребра SC. Из некоторой точки М, расположенной
внутри трехгранного угла SABC, в точку D направлен луч света. Луч
образует угол л"/4 с ребром SB и угол 7г/3 с ребром SC. Луч зеркально
отражается от граней SABC сначала в точке D, затем — в точке F.
Найти длину отрезка EF.
Химический факультет
► 1. Из города А в город В одновременно выехали автомобиль и мотоцикл,
а в тот момент, когда мотоцикл преодолел шестую часть пути, выехал
велосипедист. К моменту прибытия автомобиля в город В велосипедист
проехал четвертую часть пути. Скорость мотоцикла на 21 км/ч меньше
скорости автомобиля и на столько же больше скорости велосипедиста.
Найти скорость автомобиля.
► 2. Решить неравенство
4х2 + #14 > |;г| #224+1.
► 3. В трапеции ABCD (АВ — основание) величины углов DAB, BCD, ADC,
ABD, и ADB образуют арифметическую прогрессию (в том порядке, в
котором они написаны). Найти расстояние от вершины С до диагонали
BD, если высота трапеции равна h.
*■ 4. Найти все решения уравнения
4 sin2 (х + — J + v3(l — cos a; — sin x) — 4 — sin ж — Зсоэз;,
которые являются и решениями уравнения
rtg.I+(| + V5)M., = i--n,.
► 5. В кубе ABCDA'B'C'D', где AA',BB',CC',DD' — параллельные ребра,
плоскость Р проходит через диагональ А'С' грани куба и середину ребра
DD'. Найти расстояние от середины ребра CD до плоскости Р, если
ребро куба равно 4 см.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1, Найти все решения уравнения
4 + log2 х2 = log,, 64.
► 2. В бассейне имеется 6 м3 воды. Вода из бассейна может выливаться через
две трубы. Если одновременно открыть обе трубы, то вся вода вытечет
за 2 часа. Если открыть вначале большую трубу, а потом, когда вытечет
одна треть воды, закрыть большую и одновременно открыть меньшую

598
Варианты вступительных экзаменов
трубу, то вся вода вытечет через 5 часов после того, как была открыта
большая труба. Определить, какое количество воды вытекает из каждой
трубы за 1 час.
► 3. Найти все решения уравнения
|1 — cosd . л . 2
- sini = 4 sin x ■ cos ж.
1 — cos x
► 4. Найти все решения системы уравнений
Г 3 - у/~~у = у/х + у,
I у/хТу + 2 = V-3 + х.
► 5. В параллелограмме ABCD известны длины стороны АВ — у/2 и
диагонали BD — 2. Окружность радиуса /2 с центром в точке В, лежащая
в плоскости параллелограмма, пересекается со второй окружностью
радиуса 1, проходящей через точки А я С. Известно, что касательные,
проходящие через одну из точек пересечения окружностей, взаимно
перпендикулярны. Найти диагональ АС.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки на
расстоянии 24 км, одновременно вышли теплоход и плот. Теплоход,
прибыв в В, простоял там 7 часов и, отправившись обратно в А, встретил
плот на середине пути от Л до В. Найти скорость теплохода в стоячей
воде, если скорость плота совпадает со скоростью течения реки и равна
1 км/ч.
► 2. Найти все решения системы уравнений
( 1 " 2
; -= ■ (sin х + ctgy - 1) = О,
< Vе08 (т-1)
, COS2 X +  tg у - 1 = 0.
► 3. Найти все решения неравенства
logio-Лу-^) >21о8г_9(х-9).
► 4. В параллелограмме ABCD со сторонами AD — 5 и АВ — 4 проведен
отрезок EF> соединяющий точку Е стороны ВС с точкой F стороны
CD. Точки Е п F выбраны так, что BE : ЕС = 1 : 2, CF : FE =
1 : 5. Известно, что точка М пересечения диагонали АС с отрезком
FE удовлетворяет условию MF : ME = 1:4. Найти диагонали
параллелограмма.
*■ 5. Найти все отрицательные числар, при которых существует единственное

1976 год
599
действительное число х, удовлетворяющее следующим условиям:
ctg7r(x + |) ~ 1,
(4ж - 16р + 23)(-2р - 33 - 6х) > 0.
Географический факультет
► 1. Рабочий шестого разряда делает в час на 4 детали больше, чем рабочий
четвертого разряда. Первая бригада, в которой трое рабочих шестого
и один четвертого разряда, сделала 252 детали на 2 часа раньше, чем
вторая бригада, состоящая из трех рабочих четвертого разряда и одного
рабочего шестого разряда. Сколько деталей в час делает один рабочий
шестого разряда?
► 2.
► 3.
► 4.
Решить уравнение ,
4Var + l =
Решить уравнение
1 — sin 2x = -
Решить неравенство
log I (4x2-
|2ж-1| +3.
-(sin ж + cos ж).
- 20i + 22) < 0.
*■ 5. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD,
а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне АВ. Продолжения
боковых сторон АВ и DC пересекаются в точке К, образуя треугольник
AKD с углом 45° при вершине К. Площадь трапеции ABCD равна S.
Найти площадь треугольника AKD.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение
] sinх + cosx — 1 + 2 sin2x.
► 2. Решить неравенство
-31о^_1} +Ъщ{х - 1) > 2\оц{х - 1)|.
► 3. Имеются две смеси — № 1 и № 2, составленные из одних и тех же веществ
А, Б, В, но взятых в различных весовых соотношениях. В смеси № 1
вещества В в девять раз меньше, чем вещества Айв два раза меньше,
чем вещества Б. Соединив 6 кг смеси № 1 с тремя кг смеси № 2 и добавив
1 кг вещества А, получим новую смесь, в которой вещества А в шесть
раз больше, чем вещества Б, а вещества В столько же, сколько вещества
Б. Требуется определить весовое соотношение веществ А, Б, В в смеси
№ 2.
► 4. Дана трапеция ABCD, сторона АВ которой перпендикулярна
основаниям ВС и AD. На стороне АВ как на диаметре построена окружность

600
Варианты вступительных экзаменов
радиуса которая касается стороны CD. Другая окружность
радиуса /2 касается сторон AD и CD и пересекается с первой окружностью,
имея с ней общую хорду длины у/б. Центры обеих окружностей
расположены по разные стороны от общей хорды. Найти площадь трапеции
ABCD.
► 5. Доказать, что уравнение
л/х = -х2 + $х - 15
не имеет решений.
Факультет почвоведения
► 1. Из пункта А в пункт В одновременно отправились пешеход и
велосипедист. Прибыв в пункт В, велосипедист отдохнул 2 часа и отправился
обратно с прежней скоростью. К тому моменту, когда пешеход
пришел в пункт В, велосипедист проехал половину пути из В в А. Найти
скорость пешехода, если известно, что она на 12 км/ч меньше скорости
велосипедиста, а расстояние между А и В равно 24 км.
► 2. В прямоугольном треугольнике меньший угол равен а. Перпендикулярно
гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие
части. Определить, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу.
► 3. Решить уравнение
4 sin2 2х — 2 cos2 2х = cos 8x.
► 4. Найти все значения параметра а, при которых больший корень
уравнения ,, х + 4 . „
х2 + —^sin2a- 16 = 0
на w| больше, чем квадрат разности корней уравнения
2 . cos3 a
х — х sm a H — 1=0.
4
► 5. Решить неравенство
log;c ^(3xe + 2х2 - 6) > б.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
*■ 1. Через 2 часа после того, как первый трактор начал пахать поле, к
нему присоединился второй, и они вместе закончили вспашку. Если
бы тракторы поменялись ролями, то они закончили бы вспашку на 24
минуты позднее. Сколько времени тракторы работали вместе, если
известно, что первый может вспахать четверть поля на 3 часа быстрее,
чем второй — треть поля.
*■ 2. Решить уравнение 3tgx = 2/5cos |.

1976 год
601
► 3. В треугольнике ABC известны стороны АВ = 40 и ВС — 35. Кроме
того, угол ВАС равен 60°. Найти радиус окружности, вписанной в
треугольник ABD, где BD ■■-■- биссектриса угла ABC.
► 4. Решить систему уравнений
/ (z2 + 5)3/2tg22y = 9,
I >gtg2j,(r2+5)-21ogtg2y3 = 2.
► 5. Решить уравнение
13z - Зх2 JL= - [ ~Ж| + |4 - а?| = Зж|4 - ж| + 4.
Va; — 1 у/х — 1 /ж — 1
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Решить неравенство
(Igx)4-5(lgx)2 + 6<0.
► 2. Найти все решения системы уравнений
Jtg2(i-y)-^tg(i-j/) + l = 0,
[ sin а; = ^,
I
2'
удовлетворяющие условиям 0 ^ х ^ §, — 7г ^ у ^ 0.
2
► 3. В треугольнике ABC задана точка М на стороне АС, соединенная с
вершиной В прямолинейным отрезком MB. Известно, что AM — 6,
МС = 2, /Л£М = 60°, AM ВС = 30°. Найти площадь треугольника
ЛВС.
► 4. Основание ABC треугольной пирамиды SABC является прямоугольным
треугольником площадью в 16 м2; угол АС В — прямой. Ребро SC
перпендикулярно основанию ABC и равно 0,9 м. Какова наименьшая
возможная при этих условиях площадь грани AS В?
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
*■ 1. Автоматическая линия выпускает за 600 операций три партии шин для
легковых автомобилей и 11 партий шин для грузовых автомобилей.
Если бы эта автоматическая линия изготовляла только шины для грузовых
автомобилей и изготовила столько партий таких шин, сколько операций
она тратит на изготовление партии шин для легковых автомобилей, то
этой линии потребовалось бы не менее 2727 операций. Сколько операций
требуется ей для изготовления одной партии шин для грузовых
автомобилей?
► 2. Найти все целые z, удовлетворяющие неравенству %Jz + Г < ^6 — z.

602
Варианты вступительных экзаменов
► 3. Решить уравнение
Iog2 (5 + 3cos (Зж - j}} = sin2 ( 2х - -^ ] .
► 4. Решить уравнение
Iog2(2 sin2 2x + 1) — 2 log2 cos x = 1 + log2 5.
► 5. В шар вписана прямоугольная призма, в основании которой —
правильный треугольник, а высота призмы равна стороне основания. Найти
отношение объема этой призмы к объему вписанной в тот же шар
правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно
удвоенной стороне основания.
Факультет психологии
► 1. Двое рабочих, работая совместно, за один час выполняют три четверти
всей работы. Если первый рабочий выполнит одну четвертую часть
всей работы, а второй рабочий, сменив первого, выполнит половину всей
работы, то вместе они проработают 2,5 часа. За сколько часов каждый
рабочий может выполнить всю работу, если за один час работы первого
рабочего и 0,5 часа работы второго рабочего будет выполнено больше
половины всей работы?
► 2. Круг радиуса 6 см лежит внутри полукруга радиуса 24 см и касается
середины диаметра полукруга. Найти радиус меньшей окружности,
касающейся заданных круга, полукруга и диаметра полукруга.
► 3. Решить уравнение ,, 2 ^
2-iogio а _ 5 . 2(logl° ж _1).
Доказать, что все его корни являются рациональными числами.
► 4. Найти все корни уравнения
/b + 4 sin х — 4 cos2 x = 2 + cos 2x.
► 5. Из всех решений (х,у) уравнения
х2у - х2 + Аху + 6у - 2х = 3
найти те решения, для которых у принимает наименьшее значение.
1977 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
х^З Ц-.
х — 1

1977 год
603
► 2. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию
можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две
части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований
трапеции.
► 3. Доказать, что для функции f(x) = cosx sin 2x справедливо неравенство
7
min f(x) >--.
► 4. Решить систему уравнений
С у3 - 9х2 + 27ж - 27 = 0,
I z3 - 9у'2 + 27у - 27 = 0,
( х3 - 9z'2 + 27z - 27 = 0.
► 5. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник
ABC, длина стороны которого равна 4/2. Боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти угол и расстояние
между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через
точку S и середину ребра ВС, а другая проходит через точку С и
середину ребра АВ.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить неравенство
22а + 1 — 21 - ( — ) +2>0.
► 2. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других,
длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов,
построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного
около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника.
► 3. Решить систему уравнений
f sin2(-2a;) - (3 - л/2) tg5y = Щ±,
 tg2 5у + (3 - л/2) sin(-2x) = Щ=±.
► 4. Города A,B,C,D, расположенные так, что четырехугольник ABCD —
выпуклый, соединены прямолинейными дорогами АВ, ВС, CD, AD и АС.
Их длины соответственно равны 6,14,5,15 и 15 км. Из одного из этих
городов одновременно вышли три туриста, идущие без остановок с
постоянными скоростями. Маршруты всех туристов различны, причем
каждый из них состоит из трех дорог и проходит через все города. Первый
и второй туристы перед прохождением третьих дорог своих маршрутов
встретились в одном городе, а третий закончил маршрут на час раньше
туриста, закончившего маршрут последним. Найти скорости туристов,
если скорость третьего больше скорости второго и на 1/2 км/ч меньше

604
Варианты вступительных экзаменов
скорости первого, причем скорости всех туристов заключены в
интервале от 5 км/ч до 8 км/ч.
► 5. Найти все значения параметра а (0 ^ а ^ 7г/2), при каждом из которых
наименьшее значение функции /(ж) = Зз;4 + 4ж3 (cos a — sin a) — Ъх1 sin 2a
на отрезке — sin a ^ x ^ cos а принимает наименьшее значение.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение sin2 х — |.
► 2. Найти все значения параметра а, для каждого из которых все числа х и
у, удовлетворяющие системе уравнений
J x + y = at
I 2x-y = 3,
удовлетворяют также неравенству х > у.
► 3. Решить неравенство
Г
log7 х - log,, [ - ) ^ 2.
► 4. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около
которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу
описанной окружности равно уЦЪ. Найти углы трапеции.
► 5. Длина ребра куба ABCDAlB1ClDl {AAl \ BBi \ CCi || DDx) равна 1.
На ребре АА± взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна 1/3. На
ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF равна 1/4. Через
центр куба и точки Е и F проведена плоскость а. Найти расстояние от
вершины Si до плоскости а.
Химический факультет
► 1. Из пункта А в пункт В доставлена почта. Сначала ее вез мотоциклист;
проехав 2/3 расстояния от пункта А до пункта В, он передал почту
ожидавшему его велосипедисту, который и доставил ее в пункт В (время,
потребовавшееся на передачу почты, считается равным нулю). При
этом почта была доставлена из пункта А в пункт В за промежуток
времени, необходимый, чтобы проехать от пункта А до пункта В со
скоростью 40 км/ч. Известно, что если бы мотоциклист и велосипедист
выехали одновременно навстречу друг другу, то они встретились бы
через промежуток времени, необходимый для проезда от пункта А до
пункта В со скоростью 100 км/ч. Найти скорость мотоциклиста, считая,
что она больше скорости велосипедиста.

1977 год
605
► 2. Решить систему уравнений
f ^х + у-1 = 1,
1 у/х-у + 2 = 2у - 2.
► 3. Решить неравенство
1оё1/^(6г+1- 36*) ^-2.
► 4. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны одному и двум
метрам. Найти площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков,
соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
► 5. Найти все решения уравнения
2 — /3 cos 2х + sin 2x = 4 cos2 Зж,
удовлетворяющих неравенству cos(2x — f) > 0.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение .
V6 — 4ж — х2 = х + 4.
► 2. В выпуклом четырехугольнике MNLQ углы при вершинах N и L
прямые, а величина угла при вершине М равна arctg |. Найти длину
диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины
стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN.
*■ 3. Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали,
они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время
раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем
вторая. На другой день первая бригада делала в 1 час на одну деталь
больше, а вторая бригада в 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады
начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать
раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала
на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в 1
час делала каждая бригада?
► 4. Решить уравнение
HZ /х К  /т-./Ж 7Г „ . /' X 27Г „ . (ЪХ 7Г
^cos (---)- V6s,n (- - -) = 2sm [- + у j - 2sm (j + - j .
► 5. Найти все те значения параметра s, при которых корни уравнений х2 +
— + 2s = 0 и х2 + ~ — s = 0 не перемежаются, т.е. оба уравнения имеют
по два корня и между двумя корнями одного из уравнений нет ни одного
корня другого уравнения.
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение
2л/х + 5 = х + 2.

606
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Решить уравнение
21g (Х + ) ~~ lg(z " 1} = lg (X + I) + Ig2'
► 3. Решить уравнение ....
| sm х = sm х + 2 cos х.
► 4. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое
длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина
боковой стороны ВС равна Ь. Найти площадь трапеции.
► 5. Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямоугольным строем
по 24 человека в ряд. По прибытии оказалось, что не все солдаты могут
участвовать в параде. Оставшийся для парада состав роты перестроили
так, что число рядов стало на 2 меньше прежнего, а число солдат в
каждом ряду стало на 26 больше числа новых рядов. Известно, что если
бы все солдаты участвовали в параде, то роту можно было бы выстроить
так, чтобы число солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько
солдат было в роте?
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Решить неравенство
11-Зд~1-31
4-9а;-11-3*-1-5 '' '
► 2. Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в две минуты.
Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а
пробежав от точки старта 5 км, он повернул обратно и встретился с
первым бегуном. Эта встреча произошла через 20 минут после старта
первого бегуна. Найти скорость второго бегуна.
► 3. Решить уравнение
sin2 l,5x + sm2(7r/4- 2, Ъх) - sin2 5,5ж + sin2(7r/4 - б, Ъх).
*■ 4. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса BE прямого угла В
делится центром О вписанной окружности в отношении ВО : ОЕ = V3 :
/2. Найти острые углы треугольника.
► 5. Найти радиус шара, описанного около правильной треугольной
пирамиды, у которой сторона основания равна Ь, а угол между боковыми
ребрами равен а.

1977 год
607
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. В бак может поступать вода через одну из двух труб. Через первую
трубу бак можно наполнить на час быстрее, чем через вторую трубу.
Если бы емкость бака была больше на на 2 м3, а пропускная способность
второй трубы была бы больше на на 4/3 м3 в час, то для наполнения
бака через вторую трубу понадобилось бы столько же времени, сколько
требуется для пропуска 2 м3 воды через первую трубу. Какова емкость
бака, если известно, что за время его наполнения через вторую трубу,
через первую трубу могло бы поступить 3 м3 воды?
► 2. Решить неравенство
х2 - |5х-3| -х < 2.
► 3. Решить уравнение
sin2(2 + Зж) + cos2 (j + 2x) = cos2(2 - Ьх) + sin2 (^ - 6аА.
► 4. В окружность с центром О вписан треугольник ABC {/-A > f).
Продолжение биссектрисы AF угла А этого треугольника пересекает
окружность в точке L, а радиус АО пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть
АН — высота треугольника ABC. Найти отношение площади
треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL, если известно, что
AL = 4/2, АН = у/ьД и ZAEH = f.
► 5. Найти все значения параметра к, при каждом из которых существует
хотя бы одно общее решение у неравенств х2 + 4kx + 3fc2 > 1 + 2k и
х2 + 2кх < 3fe2 - 8fc + 4.
Географический факультет
► 1. Решить неравенство
2х + 1| > ж+ 4.
► 2. В треугольнике ABC сторона АВ имеет длину 3 м, высота CD,
опущенная на сторону АВ, имеет длину у/Ъ м. Основание D высоты CD лежит
на стороне АВ, длина отрезка AD равна длине стороны ВС. Найти
длину стороны АС.
*■ 3. Решить уравнение я _ ^х+1 _
► 4. Грузовик и гоночный автомобиль выехали одновременно из пункта А и
должны прибыть в пункт С. Грузовик, двигаясь с постоянной
скоростью, доехал до пункта С, проделав путь, равный 360 км. Гоночный
автомобиль поехал по окружной дороге и сначала доехал до пункта В,
расположенного в 120 км от пункта А, двигаясь со скоростью, вдвое

608
Варианты вступительных экзаменов
большей скорости грузовика. После пункта В он увеличил свою
скорость на 40 км/ч и проехал путь от пункта В до пункта С, равный 1000
км. Он прибыл в пункт С на 1 час 15 минут позднее грузовика. Если бы
гоночный автомобиль весь свой путь от Л до С ехал с той же скоростью,
что и от пункта В до пункта С, то в пункт С он бы прибыл на 1 час
позднее грузовика. Найти скорость грузовика.
► 5. Решить уравнение
2 sin(3x + 7г/4) = т/l + 8 sin 2х cos2 2х.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Для разгрузки парохода было выделено две бригады грузчиков. Если ко
времени, за которое может самостоятельно разгрузить пароход первая
бригада, прибавить время, за которое может самостоятельно разгрузить
пароход вторая бригада, то получится 12 часов. Определить эти
времена, если их разность составляет 45% времени, за которое обе бригады
могут разгрузить пароход совместно.
*■ 2. Решить уравнение „ . 4
JF 8sin4r + 13cos2z = 7.
► 3. Найти наименьшее из расстояний от точки М с координатами (0,-2) до
точек (х,у) таких, что у = д63 — 2, х > 0.
► 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки Е, F, Я, G являются
соответственно серединами отрезков АВ, ВС, CD, AD ж О — точка
пересечения отрезков ЕЙ и FG. Известно, что ЕН — a, FG — Ъ, ZFOH — |.
Найти длины диагоналей четырехугольника ABCD.
р- 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
25у2 + — ^х-аху + у- 2oz2
выполняется для любых пар (х,у) таких, что х — у.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Решить уравнение t^-tU = | cosar|.
► 2. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он
проехал 1/4 пути от А до В, из В в А выехал мотоциклист, который,
прибыв в А, не задерживаясь, повернул обратно и одновременно с
велосипедистом прибыл в В. Время движения мотоциклиста до первой
встречи с велосипедистом равно времени движения мотоциклиста из А
в В. Считая скорости мотоциклиста при движении изЛвВиизВвА

1977 год
609
различными, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при
движении из А в В больше скорости велосипедиста.
► 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система урав-
„ Г ж2 + у2 = 2(1 + а),
нении < , „ имеет два решения.
 (ж + у)2 = 14.
► 4. Рассматриваются всевозможные трапеции, вписанные в окружность
радиуса R, такие, что центр окружности лежит внутри трапеции, а одно
из оснований равно Я/3. Найти боковую сторону той из этих трапеций,
которая имеет наибольшую площадь.
► 5. В треугольной пирамиде SA1A2A3 на сторонах основания А1А2, A2A3 и
А А3 выбраны соответственно точки К, К2, К3 так, что
AiK! : КгА2 = А2К2 : К2А3 = А3К3 : К3Аг = 2.
Через середину ребра SA параллельно основанию пирамиды
проведена плоскость 7г, которая пересекает отрезки SKi, SK2, SK3 в точках
L, L2, L3 соответственно. Треугольник L1L2-L3 принят за верхнее
основание прямой призмы, нижнее основание которой лежит в
плоскости основания пирамиды. Найти объем призмы, если объем пирамиды
SAiA2A3 равен V.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение 3 tg2 х — 8 cos2 х + 1 = 0.
► 2. На графике функции у (ж) = ж3 — Зж2 — 7х + 6 найти все точки,
касательная в каждой из которых к этому графику отсекает от положительной
полуоси Ох вдвое меньший отрезок, чем от отрицательной полуоси Оу.
Определить длины отсекаемых отрезков.
► 3. Производительность первого автомобильного завода не превышает 950
машин в сутки. Производительность второго автомобильного завода
первоначально составляла 95% от производительности первого завода.
После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство
машин в сутки на 23% от числа машин, выпускаемых в сутки на первом
заводе и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько
автомобилей в сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода?
Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое число
машин.
► 4. В окружность радиуса 17 см вписан четырехугольник, диагонали
которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 см и 9 см
от центра окружности. Найти длины сторон четырехугольника.
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеется хотя
( х< + (у + 3)2<4,
бы одна пара чисел (ж, у), удовлетворяющая условиям <
[ у = 2аж .

610
Варианты вступительных экзаменов
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей
в первом ящике, уменьшенной на 2, более, чем в три раза превышает
число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике
превышает удвоенное число деталей во втором ящике, но менее, чем на
60. Сколько деталей в каждом ящике?
k о Рл „Г tgx-tgy = 5-2^6,
► 2. гешить систему уравнении <
I х + у = ■£.
*■ 3. Найти наименьший положительный корень уравнения cos(7T3;2) =
cos(7r(x2 + 2х + 1)).
► 4. Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения
^/2)х - х2 = а.
► 5. Дана пирамида SABC. Точки D и Е лежат соответственно на ребрах
SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : ЕВ = 1 : 2. Через точки D и
Е проведена плоскость а, параллельная ребру SC. В каком отношении
плоскость а делит объем пирамиды?
1978 год
Механико-математический факультет
► 1. .Разность у |40%/2 - 57[ - ^0/2 + 57 является целым числом. Найти это
целое число.
► 2. Найти все решения уравнения 4cos2x + 4cos x — 3, принадлежащие
отрезку [|,1].
*■ 3. В остроугольном треугольнике ABC из вершин Aw. С опущены высоты
АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника
ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ
равна 2[2. Вычислить радиус окружности, описанной около
треугольника ABC.
► 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система нера-
венств f х2 + 2ху-7у2^ ±=£,
I Зж2 + Шу - by2 ^ -2
имеет решение.

1978 год
611
► 5. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и ВС
проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке М. При этом
DM : МС = 2:3. Вычислить площадь сечения пирамиды указанной
плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
х-З
► 1. Решить неравенство (ж — )у/х2 — х — 2 > 0.
► 2. Найти точки минимума функции f(x) — УЗсоэ | + sin | —
► 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку с координатами
(1/2, 2), касающейся графика функции у(х) = -у + 2и пересекающей в
двух различных точках график функции у(х) — %/4 — ж2.
► 4. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество
чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно
210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше
единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является
квадратом никакого целого числа. Найти числа., из которых состоит А.
*■ 5. Основанием пирамиды АВСЕН служит выпуклый четырехугольник
АВСЕ, который диагональю BD делится на два равновеликих
треугольника. Длина ребра АВ равна 1, длины ребер ВС и СЕ равны. Сумма
длин ребер АН и ЕН равна /2. Объем пирамиды равен 1/6. Найти
радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров,
помещающихся в пирамиде АВСЕН.
Физический факультет
*■ 1. Решить уравнение 2 sin ж + 3 sin 2а; = 0.
► 2. Исследовать на экстремум функцию у{х) — у/2х2 — х + 2.
► 3. Прямая I проходит через точки Л(1,2,3) и JB(4,6,9). Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой I.
► 4. Решить уравнение log^S1 — 8) = 2 — х.
► 5. Дана правильная треугольная пирамида DABC (D -- вершина, ABC
— основание). Известно, что АВ — a, AD = Ь. Пирамиду пересекает
плоскость а, параллельная ребрам AD и ВС. На каком расстоянии от
ребра AD должна быть проведена плоскость а, чтобы площадь сечения
пирамиды этой плоскостью была наибольшей?
► 6. Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окружность с центром в
точке А пересекает первую окружность в точках С и D. а диаметр АВ в
точке Е. На дуге СЕ, не содержащей точки D, взята точка М, отличная
от точек С и Е. Луч ВМ пересекает первую окружность в точке Лг.
Известно, что CN — a, DN — Ь. Найти MN.

612
Варианты вступительных экзаменов
Химический факультет
► 1. Решить уравнение sin 2х + sin 6х = 3 cos2 2х.
► 2. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль. Через 1 час из
пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль, который прибыл в
пункт В одновременно с грузовым автомобилем. Если бы грузовой и
легковой автомобили одновременно выехали из пунктов А и В навстречу
друг другу, то они бы встретились через 1 час 12 минут после выезда.
Сколько времени провел в пути от А до В грузовой автомобиль?
► 3. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды,
основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет
периметр 6 см. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом
и вычислить величину этого объема.
► 4. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС длина боковой стороны АВ
равна 2 см. Биссектриса угла BAD пересекает прямую ВС в точке Е.
В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны АВ в
точке М, и стороны BE в точке Н. Длина отрезка МН равна 1 см.
Найти величину угла BAD.
*■ 5. Найти все решения системы уравнений
Г у + 2 = (3-^)3,
{ (2z~y)(y + 2) = 9 + 4y,
{ х2 + z2 — 4х,
удовлетворяющие условию z ^ 0.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение cos 2 (х + |) +■ 4sin (x + §) = |.
► 2. В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани А на притоке,
идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения
до пристани В, затратив 18 часов на весь путь от А до В. Затем пароход
возвращается обратно. Время обратного движения от В до А по тому же
пути равно 15 часам. Скорость парохода в стоячей воде равна 18 км/ч.
Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани А
до пристани В и какова скорость притока?
► 3. Дана окружность с центром в точке О и радиусом 2. Из конца отрезка
О А, пересекающегося с окружностью в точке М, проведена касательная
АК к окружности. Величина угла OAK равна 7г/3. Найти радиус
окружности, касающейся отрезков АК, AM и дуги МК.
*■ 4. Решить неравенство 9V*2~3 + 3 < 28 ■ З^2-3-1.

1978 год
613
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
хх + 2а| + 1 — а — 0 имеет единственное решение.
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение cos х = cos-Зж + 2sin2x.
► 2. Решить неравенство Iog2 х — 31og2 х + 2 ^ 0.
► 3. Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота
в первом слитке в два с половиной раза больше, чем процентное
содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то
получится слиток, в котором буде 40% золота. Найти, во сколько раз
первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавке, равных
по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором
содержится 35% золота.
► 4. Плоскость прямоугольного треугольника, длины катетов которого
равны 3 см и 4 см, образует с плоскостью Р угол, величина которого равна а.
Гипотенуза этого треугольника лежит в плоскости Р. Найти величину
угла, который образует меньший катет с плоскостью Р.
*■ 5. Решить уравнение
^(Qv^ _ g^-^) = 32v^3+l _ з^-3+l + 6^ _ 18,
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Решить уравнение %/2sin:z; + ctg.x ~ 0.
► 2. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а через четверть часа вслед
за ним выехал автомобиль. На половине пути от А до В автомобиль
догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт В,
велосипедисту оставалось проехать еще треть пути. За какое время велосипедист
проехал путь от Л до В, если известно, что скорости велосипедиста и
автомобиля постоянны на всем пути от пункта А до пункта В?
2x4- —
*■ 3. Решить неравенство iog^ 5(1  > 0.
► 4. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3, угол ВАС равен
7г/6, и радиус описанной окружности равен 2. Доказать , что площадь
треугольника ABC меньше 3.
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует
хотя бы одно х, удовлетворяющее условиям:
Г х2 + (5а + 2)х + 4а2 + 2а < 0,
 х2 + а2 = 4.

614
Варианты вступительных экзаменов
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Решить уравнение —5 cos 4ж = 2 cos2 x + 1.
► 2. Решить уравнение |5ж — 131 — |6 — 5.г| — 7.
► 3. Решить неравенство log3 log9/16(x2 — 4х + 3) < 0.
► 4. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК : ВК =
1 : 2, а на стороне ВС взята точка L так, что CL : BL = 2:1. Пусть Q
— точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника
ABC, зная, что площадь треугольника BQC равна 1.
► 5. Пункт А стоит в поле на расстоянии 8 км от дороги. На дороге, которая
является прямой линией, стоит пункт В. Скорость движения автомобиля
по дороге в два раза больше, чем по полю. Известно, что если ехать из
А по прямой до некоторой находящейся на дороге точки С, отличной от
В, а затем по дороге до В, то при любом выборе точки С на это уйдет
не меньше времени, чем потребуется, если ехать из А в В напрямик по
полю. Чему равно расстояние от А до В?
Географический факультет
► 1. Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению реки на 60
км до устья впадающего в реку притока и поднялся вверх по притоку
(против течения) на 20 км до пристани В. Весь путь от А до В пароход
прошел за 7 часов. Скорость течения реки и скорость течения притока
равна 1 км/ч. Найти скорость парохода в стоячей воде.
► 2. Найти все значения х, при которых производная функции у(х) = sina; —
| sin Зх + | sin 5x равна нулю.
► 3. Прямоугольник ЕКМР лежит в прямоугольном треугольнике ABC
таким образом, что сторона ЕК лежит на гипотенузе ВС, а вершины М
и Р — на катетах АС и АВ соответственно. Известно, что АС — 3 см
и АВ — 4 см. Найти длины сторон прямоугольника ЕКМР, если его
площадь равна 5/3 см2, а периметр строго меньше, чем 9 см.
► 4. Решить неравенство yJlog^Zx2 ~ 4ж + 2) + 1 > log3(3z2 - 4х + 2).
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует
только одно значение х, удовлетворяющее системе уравнений
f х2 - 5х + 4| - 9х2 - 5ж + 4 + 10ф| = 0,
I з-2-2(а-1)ж + а(а-2)^0.

1978 год
615
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
*■ 1. Решить уравнение log^^a x = - |08а(112»")*-
► 2. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами
A,B,C,D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5/2 и
что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и
выяснить, где расположена точка О — вне или внутри квадрата.
► 3. Найти все значения параметра Ь, при каждом из которых система урав-
„ Г Ьх + 2у = Ъ + 2,
нении < ,, имеет хотя бы одно решение.
1 2Ъх + (Ь + 1)у = 26 + 4
► 4. Груз вначале погрузили в вагоны по 80 тонн, но один вагон оказался
загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны по 60 тонн,
однако понадобилось на 8 вагонов больше и при этом все равно один
вагон оказался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в
вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось еще на 5 вагонов
больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько
тонн груза было?
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
а(4 — sin х)4 — 3 + cos2 х + а > 0 выполняется для всех х.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Найти все корни уравнения х2 + х — 1| = 2х — 1, удовлетворяющие
неравенству х < Ц^. _
► 2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются
в точке F. Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, ZBFC = §.
Найти косинус угла между векторами АВ и DC.
► 3. Решить уравнение 3 + —^ = log* (^ - ^) .
► 4. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди,
второй — 10% меди и 90% марганца, третий — 15% никеля, 25% меди и
60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав,
содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее количество
меди может быть в этом новом сплаве?
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых функция
f(x) = sin 2x — 8(а + 1) sin х + (4а2 + 8а — 14)х является возрастающей на
всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.

616
Варианты вступительных экзаменов
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение (log3 |) • Iog2 х — log3 ^ =  + log2 ^/z.
► 2. Диагональ BD четырехугольника ABCD является диаметром
окружности, описанной около этого четырехугольника. Вычислить длину
диагонали АС, если BD = 2, АВ = 1 и ZAJB£> : /ЛЯС = 4:3.
► 3. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону
с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист
находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади
них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход
отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнан
пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
► 4. Найти множество всех пар чисел (а, Ь), для каждой из которых при всех
х справедливо равенство a(cosx — 1) + Ъ2 = cos(ax + b2) — 1.
► 5. Известно, что для некоторой квадратичной функции f(x) — ах2 + Ъх + с
выполнены неравенства /(-1) < 1, /(1) > —1, /(3) < -4. Определить
знак коэффициента а.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Двум бригадам, общей численностью 18 человек, было поручено
организовать в течение трех суток непрерывное круглосуточное дежурство по
одному человеку. Первые двое суток дежурили члены первой бригады,
распределив между собой это время поровну. Известно, что во второй
бригаде три девушки, а остальные юноши, причем девушки дежурили
по одному часу, а все юноши распределили остаток дежурства между
собой поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжительно-
стей дежурств каждого юноши второй бригады и любого члена первой
бригады меньше 9 часов. Сколько человек в каждой бригаде?
► 2. Число а подобрано так, что уравнение ух — у/%+а?х2 + 2ах(/Ъ — /Z) =
имеет решение. Найти это решение.
► 3. Решить уравнение 5 sin х + б sin 2х + 5 sin За; + sin Ax = 0.
► 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)—sm2x+cosx —
I
2"
► 5. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса.
Известно, что АВ = у/2, ZABE = f, ZEBD = f и ВС = CD. Чему равна
площадь пятиугольника?

1979 год 617
1979 год
Механико-математический факультет
► 1. Найти все решения уравнения 1 — 5 sin х + 2 cos2 х — 0, удовлетворяющие
неравенству cos х ^ 0.
► 2. Отрезок KL является диаметром некоторой окружности. Через его
концы К и L проведены две прямые, пересекающие окружность
соответственно в точках Р и Q, лежащих по одну сторону от прямой KL.
Найти радиус окружности, если /LPKL = § и точка пересечения прямых
КР и QL удалена от точек Р и Q на расстояние 1.
► 3. Найти точки минимума функции у = хъ — 2хх — 2 на отрезке [0,3] и ее
наибольшее значение на этом отрезке.
► 4. Решить неравенство ~гу > ■ ^ °^ +х-<-.
► 5. Основанием треугольной пирамиды ABCD является треугольник ABC,
в котором А - |, С = j, ВС = 2л/2. Длины ребер AD,BD,CD равны
между собой. Сфера радиуса 1 касается ребер AD, BD, продолжения
ребра CD за точку D и плоскости ABC. Найти величину отрезка
касательной, проведенной из точки А к сфере.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1- Найти точки экстремума функции f(x) ~ х3 +6х2 — Зе+З на интервале
► 2. Решить уравнение 5'4:Е 61 = 2ЪЪх 4.
► 3. В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого
взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая
через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке
М. Доказать, что ЕМ — медиана треугольника CED и найти ее длину,
если AD = 8 см, АВ = 4 см и ZCDB = а.
► 4. Найти все целые корни уравнения cos (f (За; - V^x2 + 160ж + 800)) = 1.
► 5. Найти все действительные значения параметра а, при которых
уравнение (а — х2 — cos Цр-) • у/8 — ах = 0 имеет на отрезке [—2,3] нечетное
число различных корней.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение cos ~ — 1 4- cos x.
*■ 2. Найти угол между векторами а = (6, —2, —3) и b = (5,0,0).

618
Варианты вступительных экзаменов
( Zx ■ 2У = -,
► 3. Решить систему < 9'
у-х = 2.
► 4. Найти координаты пересечения с осью Ох касательных к графику
функции у — |^|, которые образуют угол 135° с осью Ох.
► 5. В ромб ABCD, у которого АВ — I и ZBAD = а, вписана окружность.
Касательная к этой окружности пересекает сторону АВ в точке М, а
сторону AD — в точке N. Известно, что MN = 2а. Найти длины
отрезков MB и ND.
► 6. В плоскости Р дан равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС =
I, АС — 2а). ГПар радиуса г касается плоскости Р в точке В. Две
скрещивающиеся прямые проходят через точки Л и С и касаются шара.
Угол между каждой из этих прямых и плоскостью Р равен а. Найти
расстояние между этими прямыми.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение sin2x = 1 + /2cosa? + cos2x.
► 2. Решить неравенство /х + 3 > х + 1.
► 3. От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли пароход и
плот. Пароход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от
пристани Л, простоял там 18 часов и отправился назад в Л. В момент, когда
он находился в 180 км от А, второй пароход, отплывший из Л на 40 часов
позднее первого, нагнал плот, успевший к тому времени проплыть 144
км. Считая, что скорость течения реки постоянна, скорость плота равна
скорости течения реки, а скорости пароходов в стоячей воде постоянны и
равны между собой, определить скорости пароходов и скорость течения
реки.
► 4. Из точки М, которая расположена внутри остроугольного треугольника
ABC, опущены перпендикуляры на стороны. Длины сторон и
опущенных на них перпендикуляров соответственно равны а и fc, 6 и т, сип.
Вычислить отношение площади треугольника ABC к площади
треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.
► 5. Найти все решения системы уравнений
fc (6у2 + 2у) (4si"2 х + 4cos2 х) = 2оу2 + Gy + 1,
для которых у < 1.
Биологический факультет
► 1. Найти все значения х, при которых касательные к графикам функций
у — 3 cos 5а; и у — 5 cos За; + 2 в точках с абсциссой х параллельны.

1979 год
619
► 2. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 2400 км, навстречу
друг другу выезжают одновременно пассажирский и скорый поезда.
Каждый из них идет с постоянной скоростью и в некоторый момент
времени они встречаются. Если бы оба поезда шли со скоростью скорого
поезда, то их встреча произошла бы на 3 часа раньше фактического
момента встречи. Если бы оба поезда шли со скоростью пассажирского
поезда, то их встреча произошла бы на 5 часов позже фактического
момента встречи. Найти скорости поездов.
► 3. Около окружности радиуса R описана трапеция. Хорда, соединяющая
точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции,
параллельна основаниям трапеции. Длина этой хорды равна Ь. Найти площадь
трапеции.
► 4. Решить неравенство ogx+l(x2 + х — 6) ^4.
► 5. Найти все пары чисел ж и у, удовлетворяющие условиям
(v/3 + l)(l + cos(xy)sin(xy)) = (/3+ l)sin2(xy) + cos(2a;y),
х2у2 - у2 + 1 = 0,
Ь + У2 ^ 6-
Факультет почвоведения
►
1. Решить уравнение 2^ — 21 v* = .
► 2. Найти наименьшее значение функции у — х + /ji^p? на отрезке [0,5].
► 3. Решить уравнение —£■* • sin 2х — (/3 — 1) cos2 x + 1.
► 4. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь
треугольника ВСЕ, если длины оснований трапеции АВ — 30 см, DC —
24 см, боковой стороны AD — 3 см и угол DAB равен 60°.
„ Г 10z2 + 5у2 - 2ху - 38ж - 6у + 41 = 0,
► 5. Решить систему уравнении < „ „
 Зж2 - 2у2 + Ъху - Пх - Gy + 20 = 0.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Найти все действительные х, удовлетворяющие условию 2х — 3| = 3 — 2х.
► 2. Решить уравнение log2(x — 1) + log2 x — 1.
► 3. Найти все решения системы уравнений
Г >/2у +vT2ctga; = 4,
 2л/2у-V^7ctgx = 1.
► 4. Экскаваторщик получил задание выкопать две траншеи одинаковой
глубины на различных участках строительной площадки. Экскаватор
сначала вырыл первую траншею длиной 5 метров, потом доехал до второго

620 Варианты вступительных экзаменов
участка и вырыл вторую траншею длиной три метра. Время,
затраченное на прокладку первой траншеи на 1 час 12 минут меньше, чем время,
затраченное на переезд экскаватора и рытье второй траншеи. Если бы
производительность экскаватора была в 4 раза меньше, то время,
затраченное на прокладку первой траншеи, равнялось бы времени переезда
экскаватора с одного места работы на другое. Определить длину
траншеи, выкапываемой экскаватором за 1 час.
► 5. Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, длина
стороны которого равна /3. Основанием высоты, опущенной из
вершины 5, является точка О, лежащая внутри треугольника ABC.
Расстояние от точки О до стороны АС равно 1. Синус угла ОБА относится к
синусу угла О ВС как 2:1. Площадь грани SAB равна */§■ Найти объем
пирамиды.
► 6. Найти все значения а, при которых уравнение
.> 6х 9/3 „„ п
х2 + -= + —— + 36 = О
V sin a cos a
имеет единственное решение.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
а
► 1. Найти все х, удовлетворяющие условию = 2.
а — 2х
► 2. Решить уравнение 1 + lg(l + х2 + 2х) — lg{6 + х2) — 2 Ig(l + х).
► 3. Найти все А, при которых уравнение 2 sin а;+ 3 cos ж = А имеет решение.
► 4. Из пункта А в пункт В едет трактор. Радиус переднего колеса трактора
меньше радиуса заднего колеса. На пути из Л в В переднее колесо
сделало на 200 оборотов больше, чем заднее. Если бы длина окружности
переднего колеса была в 5/4 раза больше, то на пути из А в В оно сделало
бы на 80 оборотов больше, чем заднее колесо. Найти длины окружностей
переднего и заднего колес трактора, если длина окружности заднего
колеса на 1 м больше длины окружности переднего колеса.
► 5. В плоском четырехугольнике ABCD длина стороны АВ равна Ю^,
длина стороны AD равна 14, длина стороны CD равна 10. Известно, что
угол DAB острый, причем синус его равен 3/5, косинус угла ADC равен
— |. Окружность с центром в точке О касается сторон AD,AB,BC.
Найти длину отрезка ВО.
► 6. Найти все неотрицательные х, при которых из неравенств
abx > За + 46 + х, а > 0, Ъ > 0
следует неравенство аЪ ^ 2.

1979 год
621
Географический факультет
► 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у — х3+Зх2—72х+90
на отрезке [—5,5].
► 2. Решить уравнение sin (х — |) - sin (ж + ^) = cos (ж + f) .
► 3. В треугольнике ABC стороны АВ и JBC равны. На стороне АВ как на
диаметре, построена окружность, пересекающая сторону ВС в точке D,
так что BD : DC = 2:1. Найти длину основания АС треугольника,
если известно, что АВ — 6.
► 4. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого
класса, повысивших во втором полугодии свою успеваемость, заключен в
пределах от 2,9% до 3,1%. Определить минимально возможное число
учеников в таком классе.
► 5. Найти решения неравенства cos | — 4ж — ж2 > О, лежащие в интервале
-4, 2 < х < 0.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
*■ 1. Решить уравнение у10 — 18 cos а; = б cos ж — 2.
► 2. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами АВ = 8 и ВС — 6
проведена прямая AD, делящая катет ВС в отношении BD : DC = 4:5.
Найти угол между векторами АВ и AD.
► 3. Имеются два бака: первый бак наполнен чистым глицерином, второй
— водой. Взяли два трехлитровых ковша, зачерпнули первым полным
ковшом глицерин из первого бака, а вторым полным ковшом воду из
второго бака, после чего первый ковш влили во второй бак, а второй
ковш влили в первый бак. Затем, после перемешивания, снова зачерпнули
первым полным ковшом смесь из первого бака, вторым полным ковшом
смесь из второго бака, и влили первый ковш во второй бак, а второй ковш
в первый бак. В результате половину объема первого бака занял чистый
глицерин. Найти объемы баков, если известно, что их суммарный объем
в 10 раз больше объема первого бака.
u Г 2ж2 + у2 + х - 2у = 1,
► 4. Решить систему уравнении <
I 5ж2 + 2, 5у2 + Зж - 4у = 4.
►
5. Решить уравнение ^og1_2x(6x2 — 5ж + 1) — log^g.,.^2 - 4ж + 1) — 2

622
Варианты вступительных экзаменов
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
*■ 1. Решить систему уравнений <
Г 4 sin у — 6%/2 cos х = 5 + 4 cos2 у,
cos2x = 0.
► 2. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10.
На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О
так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее
удаленной от нее вершины прямоугольника.
► 3. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает
к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В
начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк, а
оставшуюся часть — во второй банк. К концу года сумма этих вкладов
стала равна 670 денежным единицам, к концу следующего года — 749
денежным единицам. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6
исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся
часть — в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти
банки стала бы равна 710 денежным единицам. В предположении, что
исходное количество денег первоначально целиком положено в первый
банк, определить величину вклада по истечении двух лет.
„ Г 2х2 + у2 -4х + 2у=1,
► 4. Решить систему уравнении <
I Ъх' - 2у1 - 6х - Ау = 5.
^ с Г> и>еч(.г2-4а;-11 )2-log,, (г2-4я;-] I)3 -. п
► о. Решить неравенство -^^— ', _о'У ^— ^ 0.
Факультет психологии
► 1. Найти все решения уравнения
у2 + V6- (бл/2-2/3)8тж = 2 sin z - /2.
► 2. Решить систему уравнений
Г loKi+*(y2 - 2у + 1) + log1_„(a?2 + 2х + 1) = 4,
I logi+*(2y + 1) + logl_v(2x + 1) = 2.
► 3. Решить неравенство i Л_2 > х — 1|.
► 4. Точка М равноудалена от в_ершин А, В, С правильного тетраэдра ABCD
и MA = MB = МС = 2ч/|. Известно, что отрезок МА
перпендикулярен высоте треугольника BCD, опущенной из вершины В. Вычислить
объем тетраэдра ABCD.
► 5. Найти все тройки целых чисел (х,у,г), для которых выполняется
соотношение 5ж2 + у2 + 3z2 — 2yz — 30.

1980 год
623
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Даны две непересекающиеся окружности. К ним проведены две общие
касательные, которые пересекаются в точка А отрезка, соединяющего
центры окружностей. Радиус меньшей окружности равен R. Расстояние
от точки А до центра окружности большего радиуса равно 6R. Точка
А делит длину отрезка касательной, заключенного между точками
касания, в отношении 1:3. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезками
касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки
касания.
► 2. Решить уравнение sin [2х + ~тг) — 3cos (х — |7г) = 1 + 2 sin ж.
► 3. Решить неравенство logj/2(4 — х) ^ logj /2 2 — log^Cc ~ !)•
► 4. Три автоматических линии выпускают одинаковую продукцию, но
имеют разную производительность. Производительность всех трех
одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и
второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой
линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить
на 4 часа 48 минут быстрее, чем его выполняет первая линия; это же
задание вторая линия выполняет на 2 часа быстрее по сравнению с
первой линией. Найти время выполнения первой линией своего сменного
задания.
т
*■ 5. Пусть тип — натуральные числа, причем — есть правильная несо-
п
кратимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь
Зга — т
Бп + 2т
, если известно, что она сократима?
1980 год
Механико-математический факультет
► 1. Найти все значения х, удовлетворяющие условию (х2 — 4)/х + 1 = 0.
► 2. Найти все решения уравнения sin2a; = л/Зэшж.
► 3. В трапеции длина средней линии равна 4, а углы при одном из оснований
имеют величины 40° и 50°. Найти длины оснований трапеции, если длина
отрезка, соединяющего середины этих оснований равна 1.
► 4. Касательная к графику функции у — ух2 такова, что абсцисса с точки
касания принадлежит отрезку [|,1]. При каком значении с площадь

624
Варианты вступительных экзаменов
треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и вертикальной
прямой х = 2 будет наименьшей, и чему равна эта наименьшая площадь?
► 5, Найти все значения а, при каждом из которых неравенство
log1(v/x2 + oa; + 5+ 1) -log5(rc2 + ax + 6) + IogQ 3 ^0
а
имеет ровно одно решение.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Вычислить cos2а, если sine* = |.
► 2. Решить уравнение sin 2x — /3cos x = 0.
► 3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины В прямого угла
опущена высота BD на гипотенузу АС. Известно, что АВ — 13, BD — 12.
Найти площадь треугольника ABC.
► 4. При каких значениях параметра а уравнение
(За - 1)х2 + 2ах + За - 2 = 0
имеет два действительных корня.
► 5. Две точки движутся с постоянными скоростями по окружностям,
которые лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Направление
движения одной точки — по часовой стрелке, другой — против часовой
стрелки. В момент начала движения обе точки и центр окружностей
лежат на одной прямой, а расстояние между точками равно -у см. После
старта расстояние между точками сначала уменьшалось, а через 11 сек
составляло ^°7 см. Кроме того, с интервалом в 11 сек было зафиксиро-
вано два момента, когда расстояние равнялось -н^2 см, а в промежутке
между этими моментами расстояние ни разу не принимало значения ^у^
см. Найти минимальное расстояние между точками.
► 6. В пирамиде SABC суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины,
равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами
SB и АС равна arccos(—|), радиус вписанной в пирамиду сферы равен
^|, и SA2 + SC2 = 12. Найти объем пирамиды SABC, если известно,
что он не превосходит ^.
Физический факультет
► 1. Найти все корни уравнения
7Г . 7Г 1
sin ж cos — + cos a; sin — = -
8 о 2
расположенные в промежутке [— ^,7г].
► 2. Найти координаты точки С, лежащей на оси Ох и одинаково удаленной
от точек Л(1,2,3) и £(2,3,4).

1980 год
625
► 3. Решить уравнение 3-y/log3 х — Iog3(3z) —1 = 0.
I
► 4. Решить неравенство 2х~г > (^)х -
► 5. В треугольнике ABC известно, что /ВАС = а, /ВСА = /3, АС = Ь. На
стороне ВС взята точка D так, что BD — 3 ■ DC. Через точки В и D
проведена окружность, касающаяся стороны АС или ее продолжения за
точку А. Найти радиус этой окружности.
► 6. Точка О — общая вершина двух равных конусов, расположенных по одну
сторону от плоскости а так, что только одна образующая каждого
конуса (О А для одного конуса и О В для другого) принадлежит плоскости а.
Известно, что величина угла между высотами конусов равна /3, а
величина угла между высотой и образующей конуса равна (р, причем 1ц> < р.
Найти величину угла между образующей О А и плоскостью основания
другого конуса, которой принадлежит точка В.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение Iog7 [Ч^) = bg7 [j^j ■
► 2. Найти все решения уравнения 2 cos2 Зж — cos За; — 0.
► 3. На координатной плоскости рассматриваются прямоугольные
треугольники ABC {/ACB — 90°), у каждого из которых вершина А имеет
координаты (—4,0), вершина С лежит на отрезке [0,4] оси Ох, а вершина
В лежит на параболе у — 4х — х2. Какие координаты должна иметь
вершина В, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей?
► 4. В равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписана
окружность, которая касается боковой стороны АВ в точке М. Через точку М
проведен перпендикуляр ML к стороне АС треугольника ABC (точка
L — основание этого перпендикуляра). Найти величину угла ВС А, если
известно, что площадь треугольника ABC равна 1, а площадь
четырехугольника LMBC равна 5.
► 5. Найти все такие значения а, для каждого из которых число решении
относительно х уравнения
3(ж2 + о2) = 1 - (9а2 - 2)х
не превосходит числа решений относительно у уравнения
у + (За - 2)2 • 3* - (8а - 4) • log3 (V - £) - Зу3.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение 1 + 2 cos За; cos x — cos 2a; = 0.

626
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у (х) = 2ж3 — Зж2 —
36ж + 10 на отрезке [—5,4].
► 3. Решить неравенство /—х2 + 6ж — 5 > 8 — 2х.
► 4. Периметр параллелограмма ABCD равен 26 м. Величина угла ABC
равна 120°. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD равен
/3 м. Найти длины сторон параллелограмма, если известно, что AD >
АВ.
► 5. Найти все те решения уравнения
3 sin3 х — 3 cos2 x + 7 sin x — cos 2x + 1 = 0,
которые являются также решениями уравнения
cos2 х + 3 cos x sin 2x — 8 sin x = 0.
Факультет почвоведения
{х — у = 6,
х6 — у6 — 126.
► 2. Найти все значения ж, при которых производная функции у — Ах—sin 2х+
4/2 cos х равна нулю.
► 3. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими
вписанного в окружность угла равна |. Найти отношение площади той
части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.
► 4. Решить неравенство (4ж2 - 16ж + 7) log2(z - 3) > 0.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Решить уравнение sin2x = 2/3cos2 x.
► 2. Найти периметр правильного треугольника, вписанного в окружность,
если известно, что хорда длиной 2 см этой окружности удалена от ее
центра на 3 см.
Iog2(z2 + y2) = 5,
► 3. Решить систему уравнений
2 log4 х + Iog2 у = 4
► 4. Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день месяца 105
телевизоров. Каждый следующий рабочий день дневная продажа возрастала на
10 телевизоров, и месячный план — 4000 телевизоров — был выполнен
досрочно, причем в целое число рабочих дней. После этого ежедневно
продавалось на 13 телевизоров меньше, чем в день выполнения месячного
плана. На сколько процентов был перевыполнен месячный план продажи
телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней.

1980 год
627
► 5. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
следующей системой:
/ \х-у -у-1\-х-2у + 1,
 (х-1)2 + (у-1)2<1.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Решить неравенство 7~х — 3 • 71+х > 4.
► 2. Решить уравнение 37^Д^ - 0.
► 3. Решить уравнение х2 + 4|ж — 3| — 7х + 11 = 0.
*■ 4. В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта
А он проезжал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2
м меньше, чем в предыдущую. Через 9 сек после того, как автомобиль
достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В,
находящегося на расстоянии 258 м от пункта А. В первую секунду автобус
проехал 2 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 1 м больше,
чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с
автомобилем?
► 5. На сфере радиуса 11 см расположены точки А, А, В, В, С и С. Прямые
AA,BB и СС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке М,
отстоящей от центра сферы на расстояние у/59 см. Найти длину отрезка
АА, если известно, что длина отрезка ВВ равна 18 см, а точка М делит
отрезок СС в отношении (8 + у/2) : (8 — у/2).
Географический факультет
► 1. Найти все значения параметра к? для которых уравнение х2 — 2кх + к2 +
2к — 1 — 0 имеет два различных действительных корня.
► 2. Решить уравнение loga,_1 3 = 2.
► 3. В правильную шестиугольную пирамиду вписан прямой конус и около
нее описан прямой конус. Даны высота пирамиды Н и радиус основания
описанного конуса R. Найти разность объемов описанного и вписанного
конусов.
► 4. Решить уравнение cos6 х + sin6 х — Ц- cos 2x — |.
► 5. Найти все пары чисел (ж,у), удовлетворяющие условиям х < 0, у > 0 и
системе п , i ! , 11з , I 13 , i
(v + z + ¥ + х - v = т + х +
{
*2 + у2 = 9£-

628
Варианты вступительных экзаменов
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Решить уравнение Iog2 ( ^ург ) = 1-
► 2. Решить неравенство 34ж ~^х+й < (|)
► 3. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами
в точках 0 и 02; касающиеся некоторой прямой в точках М и Mi и
лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка
ММ2 к длине отрезка О1О2 равно 2 : /5. Вычислить длину отрезка
MiM2.
► 4. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что
первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное
содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг
первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором
оказалось 30% цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится
в получившемся новом сплаве.
► 5. Найти все целые значения параметра fc, при каждом из которых
уравнение 5 — 4 sin2 х — 8 cos2 | = 3k имеет решения. Найти все эти решения.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Решить неравенство log3(13 — 4х) > 2.
► 2. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания с
окружностью делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти
площадь треугольника.
► 3. Найти все решения системы уравнений
Г 2ху + у2 - 4х - Зу + 2 = 0,
 ху + Зг/2 -2х- Uy + 16 = 0.
► 4. На отрезке [0, |тг] найти наибольшее значение функции у = 2 sin x +
sin 2x,
*■ 5. На прямой дороге последовательно расположены пункты Л, В, С, D.
Расстояния от пункта А до пунктов B,C,D находятся в отношении 1:4:7.
Через равные промежутки времени по направлению от D к А по дороге
едут автобусы с одной и той же скоростью. Из А в D в разное время
вышли три пешехода и пошли по дороге с одной и той же скоростью.
Первый пешеход в пути между Aw. В встретил 2 автобуса. Второй пешеход
в пути между А и С встретил 4 автобуса. Третий пешеход вышат из А

1981 год
629
и прибыл в D, когда через эти пункты проезжали очередные автобусы.
Сколько автобусов встретил третий пешеход в пути между А и D?
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение (/S)ts2x —
► 2. Найти все действительные решения системы уравнений
► 3. В прямоугольном треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В
равна 30°, а радиус вписанной окружности равен /3. Найти расстояние
от вершины С до точки касания вписанной окружности и катета АВ.
► 4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и
► 5. Доказать, что для любых действительных чисел р и t справедливо
неравенство . . , , ч4чч
2(2р - I)4 + 1 + (1 + 2(2р - l)4)) sin It > 0,
и найти все пары чисел (р, t), для которых это неравенство превращается
в равенство.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Решить уравнение /3sin2x = 2 cos2 х.
► 2. Решить неравенство log3(x2 — 1) ^ 1.
► 3. К параболе у — 4 — х2 в точке с абсциссой жо = 1 проведена касательная.
Найти точку пересечения этой касательной с осью Оу.
► 4. В трапецию ABCD с основаниями ВС и AD и с боковыми сторонами
АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции,
если угол DAB прямой, ОС — 2 см и OD = 4 см.
► 5. При каких значениях а из промежутка (1, +оо) больший из корней
уравнения х2 — 6ж + 2ах + а — 13 = 0 принимает максимальное значение?
1981 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство . (X'J4_1 ^ 0.

630
Варианты вступительных экзаменов
„ Г vsinx • cosy — 0,
► 2. Решить систему уравнении < „
I 2 shr х - cos 2y - 2 = 0.
► 3. В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в 1-й сосуд
налито 5 кг, а во второй — 20 кг. При испарении воды процентное
содержание соли в 1-м сосуде увеличилось в р раз, а во втором сосуде —
в q раз. О числах р и q известно только, что pq — 9. Какое наибольшее
количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?
► 4. Трапеция ABCD вписана в окружность (ВС \ AD). На дуге CD взята
точка Е и соединена со всеми вершинами трапеции. Известно, что
ZCED - 120° и £АВЕ - ZBAE = а. Для треугольника ABE найти
отношение периметра к радиусу вписанной окружности.
► 5. Отрезок DE, лежащий в двугранном угле AD с точками В и С на
его гранях, параллелен плоскости треугольника ABC, имеющего
площадь S. В тетраэдр BCDE вписан шар, к — отношение расстояния от
центра шара до прямой DE к расстоянию от DE до плоскости ABC.
Пусть В' — проекция точки В на плоскость CDE, и известно, что
tg(ZB'DE) : tg(/lBDE) — I. Через середину AD проводится плоскость
Р, параллельная плоскости ABC. Найти площадь семенил
многогранника ABCDE, составленного из тетраэдров ABCD и BCDE, плоскостью
Р, если известно, что сумма площадей всех граней тетраэдра BCDE
равна а.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Три сенокосилки участвовали в покосе травы с поля площадью 25 га.
За один час первая сенокосилка скашивает 3 га: вторая — на Ъ га
меньше первой, а третья — на 2Ь га больше первой. Сначала работали
одновременно первая и вторая сенокосилки и скосили 11 га, а затем
оставшуюся часть площади скосили, работая одновременно, первая и
третья сенокосилки. Определить значение Ь (0 < Ь < 1), при котором
все поле скошено за 4 часа, если работа велась без перерыва.
► 2. Решить уравнение ^=== = (За: - 5)loei/2S(2+5z-z2)
► 3. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна |, длина высоты,
опущенной из вершины С на сторону АВ равна /3 см, а радиус окружности,
описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон
треугольника ABC.
► 4. Для всех вещественных значений а решить уравнение
(а + 2)2 log3(2x - х2) + (За - l)2 logll М - у J = 0.
► 5. Найти все решения уравнения | sin(2x — 1)| — cos ж, удовлетворяющие
УСЛОВИЮ |.Т| ^ 27Г.

1981 год
631
► 6. В пирамиде SABC площадь грани ABS равна ^2} величина угла BCS
равна arctg:!ii~. Кроме того, AS - SB и SC ■ АС = 20. Известно,
что перпендикуляры к граням, восстановленные из центров вписанных в
них окружностей, пересекаются в одной точке. Найти объем пирамиды
SABC.
Физический факультет
> 1. Решить уравнение sin(z — 60°) + 2 cos(a; + 30°) = 0.
x2 + y2 = l)
10+4^2
► 2. При каких значениях а система уравнений < ' имеет един-
ственное решение?
► 3. Решить уравнение ^—z
► 4. Решить неравенство 5°8з^+^ < 1.
► 5. Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость,
проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному
боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади
основания пирамиды. Найти отношение длины высоты пирамиды к
длине бокового ребра.
► 6. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы
углов А и В пересекаются в точке Е, лежащей на стороне CD. Известно,
что отношение длины отрезка CD к длине отрезка ВС равно т. Найти
1) отношение расстояний от точки Е до прямых AD и ВС;
2) отношение площадей треугольников ADE и ВСЕ.
Химический факультет
► 1. Решить неравенство ~^ ^ 25(ж + 2).
► 2. Решить уравнение 2 cos 2х + cos2 § — 10 cos (^f — х) +  =  cos %■
*■ 3. Из города А в город В выехал автомобиль. Одновременно с ним из
пункта С, расположенного между А и В, выехал второй автомобиль.
Первый прибыл в В одновременно с прибытием второго в А. Затем
автомобили одновременно выехали навстречу друг другу, встретились
в пункте D и одновременно прибыли: первый - - в Л, второй — в В.
Каждый автомобиль ехал со своей постоянной скоростью, но второй
сделал остановку на пути от С к Л, а первый — остановку той же
продолжительности на пути от В к D. Найти расстояние между С и
D, если известно, что расстояние от Л до С равно 270 км, а расстояние
от С до В равно 180 км.
► 4. В прямом круговом конусе расположены два шара единичного радиуса,
касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно

632
Варианты вступительных экзаменов
центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности
конуса и другого шара. Найти величину угла между образующей конуса
и основанием, при которой объем конуса будет наименьшим.
► 5. При каких значениях параметра а неравенство
(а3 + (1 - /2)а2 - (3 + /2)а + 3/2>2 + 2(а2 - 2)х + а > -у/2
выполняется для любого х > О?
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение 3Iog8(x — 2) = bg2 у/2х — 1.
► 2. Решить уравнение cos (2x — ^) = sin(4x + Зтг).
► 3. Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС
прямоугольного треугольника ABC Катеты треугольника касаются окружности.
Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка
ОС равна 5.
► 4. Решить неравенство (2х + 3 ■ 2-г)21°б2*-ь§2(г+б) > 1
► 5. В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся ребер равны 12 и
4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти
расстояние от центра сферы до ребра длины 12.
Факультет почвоведения
► 1. Три бригады работают с постоянной производительностью,
прокладывая рельсовые пути. Первая и третья бригады, работая совместно,
прокладывают 15 км путей в месяц. Три бригады вместе укладывают в
месяц путей в два раза больше, чем первая и вторая бригады при их
совместной работе. Найти, сколько километров путей укладывает в месяц
третья бригада, если известно, что вторая бригада совместно с третьей
уложили некоторый участок пути в четыре раза быстрее, чем его
уложила бы одна вторая бригада.
► 2. Решить уравнение 2(lgar)2 + (1 - у/2) lg(x2) = 2/2.
>■ 3. Решить неравенство у/4х — 8 ^ х — 5.
► 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О.
Радиус АО перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен
радиусу OD. Длина перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую
AD, равна 9. Длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD.
Найти площадь треугольника АОВ.
► 5. Найти все пары чисел (х,у), для которых выполнено равенство
3 + 2С°25^-^ = УЗ+ 2*-*' ■ cos2 (?Ц^ + !^р2.

1981 год
633
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Найти все решения уравнения 3 ■ 2Х+1 + 5 ■ 2х - 2Х+2 = 21.
► 2. Найти все решения уравнения 3 sin2 х — cos2 х — 1 = 0.
► 3. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа
быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости
товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного
составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/час меньше скорости
скорого.
► 4. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
соотношением х + у — 1| ^4.
► 5. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ
АС является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD
в точке К. Найти длину отрезка КС, если ВС — 4, а АК — 6.
► 6. Показать, что функция
у — sin2 х — 12 sin x cos x + 3 cos2 х - 2 л/66
может принимать неотрицательные значения.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Найти все решения уравнения х2 — 4х + х — 3| + 3 = 0.
► 2. Найти все решения уравнения 3 log3 x — Iog9 x = 5.
► 3. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
системой неравенств
f У^6-2х,
у>2 + 2х.
*■ 4. Найти все решения системы уравнений
Г sin х • sin у — ,
 3tgx = ctgy.
► 5. Для составления смеси из двух жидкостей А и В было взято два сосуда:
первый емкостью 10 л, второй — 20 л. Сначала в оба сосуда было налито
всего 15 л жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху
жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй
сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как
в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в
него ее налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему
объему имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго сосудов

634
Варианты вступительных экзаменов
стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально
в первый сосуд?
► 6. Найти все решения уравнения ] 1^2х1 х + 2х2 = 1.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение 1о§3(2ж + 1) ~ 21og2:c+1 3+1.
► 2. Найти наибольшее значение функции у(х) = f + sin2 а: на отрезке
Г 7Г 7Г~|
► 3. Сорокапроцентный раствор серной кислоты в воде слили с
шестидесятипроцентным раствором, после чего добавили 5 кг чистой воды и
получили раствор двадцатипроцентной концентрации. Если бы вместо 5 кг
чистой воды добавили 5 кг восьмидесятипроцентного раствора серной
кислоты, то получили бы раствор семидесятипроцентной концентрации.
Сколько было сорокапроцентного и шестидесятипроцентного растворов
серной кислоты?
► 4. В треугольнике ABC на стороне АС как на диаметре построена
окружность, которая пересекает сторону АВ в точке М, а сторону ВС в точке
N. Известно, что АС = 2, АВ = 3 и точка М делит отрезок АВ в
отношении 2:3. Найти длину отрезка AN.
„ { у2 - ху + 1 = О,
*■ 5. Решить систему уравнении <
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
Вариант был такой же, как на на отделении общей геологии
геологического факультета в этом году.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
Вариант был такой же, как на на отделении геофизики геологического
факультета в этом году.
Факультет психологии
► 1. Решить систему уравнений
-у+ sjx1 - V - 2,
-5 у/х2 - Ау2 = 0.

1982 год
635
► 2. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у
которого катеты имеют длину а. Поворотом данного треугольника вокруг
вершины его прямого угла на 45° получается другой равнобедренный
прямоугольный треугольник. Найти площадь четырехугольника,
являющегося общей частью этих двух треугольников.
► 3. Найти все решения уравнения cos7a; — /3sin 7х = -у/2, которые
удовлетворяют условию 0,4л- < х < у1.
► 4. Решить уравнение |(log3(5x-6)3)2-(log3(5z-6)3) log3 х6 = -6 (log3 ^)".
*■ 5. Найти все числа о, при каждом из которых наименьшее значение
квадратного трехчлена 4х2 — 4ах + (а2 — 2а + 2) на отрезке 0 ^ х ^ 2
равно 3.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Решить уравнение sin {2х — ^) + sin (^ — 8ж) + cos6x = 1.
*■ 2. Решить неравенство log2(2 — х) — 8 log! >А{2 — х) ^ 5.
► 3. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна б см, а высота, проведенная
к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону
ВС в точке М так, что МС = 4 см. Пусть N — точка пересечения
биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника
BNM.
► 4. Каждый из рабочих должен был изготовить 36 одинаковых деталей.
Первый рабочий приступил к выполнению своего задания на 4 минуты
позже второго, но 1/3 задания они выполнили одновременно. Полностью
выполнив свое задание, первый рабочий после двухминутного перерыва
снова приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым
рабочим изготовил еще две детали. Сколько деталей в час изготавливал
каждый рабочий?
► 5. Вычислить размеры конуса наибольшего объема, вписанного в шар
радиуса R.
1982 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение log2(a;2 — 3) — log2(6rr — 10) + 1 — 0.

636
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Выпуклый четырехугольник ABCD описан вокруг окружности с
центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр
четырехугольника ABCD.
► 3. Решить уравнение у/Ъ sin х + cos 2х + 2 cos ж = 0.
► 4. Найти все значения ж, для которых выражение /Зж4 — 2 — х8 -sin(7r(2x +
16ж2)) не обращается в нуль.
► 5. Дана треугольная пирамида ABCD с вершиной D, грани которой ABD
и ACD — прямоугольные треугольники, ребро AD перпендикулярно
медиане основания АК и AD = АК. Сечением пирамиды плоскостью,
не проходящей через середины ребер AD и ВС. является равнобочная
трапеция EFGH с основаниями EF и GH, причем точка Е делит ребро
BD пополам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3 ■ GC. Найти
отношение площади трапеции EFGH к площади грани BCD.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Какое из чисел больше, л/8, или 221о^5+1о81/29?
► 2. Найти все х, для которых функция у = 6 cos2 x + 6 sin ж — 2 принимает
наименьшее значение.
► 3. Решить неравенство УЗ3^4*-3 ^ 2.
► 4. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и
завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы
заменили на более производительные, но также одинаковые, а их число
увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько
прессов было первоначально?
► 5. При всех а решить уравнение |а; + 3| — ах — 1| = 4 и определить, при
каких а оно имеет ровно два решения.
► 6. Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке О.
Касательная к окружности в точке С пересекается с прямой, делящей
пополам угол В треугольника, в точке К, причем угол В КС равен
половине разности утроенного угла А и угла С треугольника. Сумма
длин сторон АС и АВ равна 2 + /3, а сумма расстояний от точки О до
сторон АС и АВ равна 2. Найти радиус окружности.
Физический факультет
*■ 1. Решить уравнение £ cos | + /2cos | = 0.
► 2. Для каких значений а решение уравнения 10ж — 15а = 13 — Ъах + 2а
больше 2?
► 3. Известно, что logb а = /3. Вычислить log/ r^ I ^-j= ) .
{'¥ ) VbJ

1982 год
637
► 4. Решить неравенство Ъх ~ Зх+1 > 2(51""1 - Зж~2).
► 5. На боковом ребре SA правильной треугольной пирамиды SABC с
вершиной S взята точка D, через которую проведено сечение пирамиды,
пересекающее апофемы граней SAC и SAB в точках М и N. Известно,
что прямые DM и DN образуют углы величиной р с плоскостью
основания пирамиды, а величины углов DMS и DNS равны а (а < |). Найти
величину угла MDN.
► 6. Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей
треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что
отношение расстояния между центрами вписанной и описанной
окружностей к радиусу описанной окружности равно h. Найти углы
треугольника.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение %/3sin2z — cos 2а; = /3.
► 2. Решить неравенство Iog2 ;^гу ^ — 1.
► 3. Решить неравенство f{g(x)) < gifix)), где f(x) = 2х — 1 и д(х) = 2х 4-1.
► 4. Конус лежит на горизонтальной поверхности Pi, касаясь ее боковой
поверхностью. Площадь основания конуса равна Si, а площадь его
боковой поверхности равна S-2- На какой высоте над плоскостью П
находится наивысшая точка конуса?
► 5. При каких значениях параметра р уравнение
{x-p)2{p{x-pf -р-1) = -1
имеет больше положительных корней, чем отрицательных?
Биологический факультет
*■ 1. Решить неравенство Iog1/f2(l + ж — Vx2 — 4) < 0.
► 2. Решить уравнение sin х + cos2 За; = 1.
► 3. В правильную четырехугольную пирамиду SABCD вписан куб. Четыре
вершины одной из граней куба лежат на основании ABCD пирамиды.
Вершины противоположной грани куба лежат на боковых ребрах
пирамиды. Известно, что SA — АВ = а. Найти объем куба.
► 4. Найти уравнения тех касательных к графику функции у = ^-—-, которые
вместе с осями координат ограничивают треугольник площади |.
*■ 5. Точки Р и Q расположены на стороне ВС треугольника ABC так,
что ВР : PQ : QC — 1:2:3. Точка R делит сторону АС этого
треугольника так, что ЛИ : RC = 1:2. Чему равно отношение плошади
четырехугольника PQST к площади треугольника ABC, где S и Г —
точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и АР соответственно?

638
Варианты вступительных экзаменов
Факультет почвоведения
► 1. Из пункта А в пункт В отправился скорый поезд. Одновременно
навстречу ему из В в А вышел товарный поезд, который встретился со
скорым через | часа после отправления. Расстояние между пунктами А
и В равно 80 км, поезда двигались с постоянными скоростями. С какой
скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он прошел за время на 3/8
часа большее, чем время, за которое товарный поезд прошел 5 км?
► 2. Решить уравнение 2 — 3cos2:r= Vsinr.
► 3. Найти наибольшее значение функции f(x) = х3--6х2 + 9х+1 наотрезке
[-3,1].
► 4. В равнобедренный треугольник ABC (в котором АВ — ВС) вписана
окружность радиуса 3. Прямая р касается этой окружности и
параллельна прямой АС, но не совпадает с ней. Расстояние от точки В до
прямой р равно 3. Найти расстояние между точками, в которых данная
окружность касается сторон АВ и ВС.
► 5. Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а
длины сторон основания ABC равны 2/б. Точки М и N — середины
отрезков АС и АВ. Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду
SAMN.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
*■ 1. Определить, что больше, ^/2 tg j — 3cos7r или /2.
*■ 2. Найти все решения уравнения л/х + 2 — у/х — 1 = /2х — 3.
► 3. Найти все решения неравенства
2 log25((l + 2:)(3 - х)) - - Iogy5-(l + x)> log1/5 -.
► 4. Найти все решения уравнения sin (~7rsinz) = — 2 •
► 5. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны АВ
в точке D, а стороны АС — в точке Е. Найти площадь треугольника
ADE, ели известно, что AD — 6, ЕС — 2 и угол ВС А равен 60°.
► 6, Найти все решения системы уравнений
Г sin x cos у sin(z + у) + § ~ 0,
1 х = у + z.

1982 год
639
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Определить, что больше, J — 2 sin ^ или -^/5 ctg .
► 2. Найти все решения неравенства т^+л ^ 1-
►• 3. Найти все решения уравнения 9 • 41/1 + 5 • б1/1 = 4 ■ 91//:Е.
► 4. Найти все решения уравнения ^-§f = 1-
► 5. Построить на координатной плоскости множество точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению у — 4 — jy — f|— 2 || — lj, и среди
точек этого множества найти все такие, где координата у принимает
наибольшее значение.
► 6. Длина меньшего основания равнобочной трапеции равна сумме длин
ее боковых сторон. Найти наименьшее возможное целое к, такое, что
площадь полной поверхности фигуры, полученной вращением трапеции
вокруг меньшего основания, в к раз больше площади трапеции.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение /2ж2 + 8а; 4- 7 — х — 2.
► 2. При каких значениях х производная функции у = 3—2 sin (2х — |) равна
2%/2?
► 3. В треугольнике ABC длина высоты BD равна б см, длина медианы СЕ
равна 5 см, расстояние от точки пересечения BD с СЕ до стороны АС
равно 1 см. Найти длину стороны АВ.
► 4. Найти все пары (ж, у), действительных чисел, удовлетворяющих системе
f 1оё2_г(2-у)>0,
неравенств 
 1оё4_,(2х-2)>0.
► 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' длина ребра АВ
равна 4 см, длина ребра AD равна б см, длина ребра АА' равна 8 см. Точка
К, лежащая на ребре АА', удалена от вершины Л на 4 см. Расстояние от
точки L ребра DD' до вершины D равно 2 см. Точка М лежит на
отрезке В'С, длина МС вдвое больше длины В'М. Найти площадь сечения
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки К, L, М.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1.
Определить, что больше, J ctg f — 2 sin ~7г или /Ь.

640
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Найти все решения уравнения у/х + 3 — у/2х — 1 = /Зж — 2.
► 3. Найти все решения неравенства log3((x + 2)(z + 4)) + logw3(a; + 2) <
► 4. Найти все решения уравнения sin (^77 sin a?) = |.
► 5. В треугольник вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и
АС треугольника ABC соответственно в точках M,D,N. Определить
длину отрезка MD, если известно, что NA — 2, NC = 3 и угол ВС А
равен |.
„ f 8 cos ж cos у cos (ж — у) + 1 = 0,
► о. Найти все решения системы уравнении <
{ х + у = z.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Определить, что больше, /2 + 3tg^ или v/-2cos7i
► 2. Найти все решения неравенства т^Бп ^ *■
► 3. Найти все решения уравнения 5 ■ 251/,;Е + 3 ■ 101/1 = 2 • А1/*.
► 4. Найти все решения уравнения fjj^§f = 1.
► 5. Построить на координатной плоскости множество точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению 2у + у — §| — 4 — ]§ — l|; и среди
точек этого множества найти все такие, где координата у принимает
наибольшее значение.
► 6. Длина меньшего основания равнобочной трапеции вдвое больше суммы
длин ее боковых сторон. Найти наименьшее возможное целое т, такое,
что площадь полной поверхности фигуры, полученной вращением
трапеции вокруг меньшего основания, в т раз больше площади трапеции.
Факультет психологии
► 1. Решить неравенство ^f^- > -■
► 2. Найти координаты точки пересечения касательных к графику функции
у — cos 7га; в точках с абсциссами х0 = ~ и хо — |.
► 3. Решить уравнение 2 sin ж— /Z — (/2— /l2)/sina;.
► 4. В ромбе ABCD, где /.BAD — 60е, перпендикуляр к стороне AD,
восстановленный из середины AD, пересекает диагональ АС в точке М, а
перпендикуляр к стороне CD, восстановленный из середины CD,
пересекает диагональ АС в точке N. Найти отношение площади треугольника
MND к площади ромба ABCD.
*■ 5. Из пункта А в пункт В вышел пешеход, и одновременно из пункта В в
пункт А выехал мотоциклист. Встретив в пути пешехода, мотоциклист

1983 год
641
сразу же развернулся, довез пешехода до пункта В, а затем тотчас же
снова поехал в пункт А, куда и добрался беспрепятственно. В результате
мотоциклист затратил на дорогу до пункта А в два с половиной раза
больше времениб чем если бы он ехал из пункта В в пункт Л, не подвозя
пешехода. Во сколько раз медленнее пешеход добрался бы до пункта JB,
если бы весь путь от А до В он прошел пешком?
► 6. Решить уравнение log ,—у=(х2 — 2х — 2) — og2+^(x2 — 2х — 3).
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
*• 1. Решить уравнение cos2a; + 1 = — yzsinrc.
*■ 2. Найти все числа х, удовлетворяющие одновременно следующим условиям:
!) log1/2 у/5 - х < log1/2(3 - x) и
2) х +  — целое число.
► 3. Проводятся две касательные к графику функции у = Зж — х2. Первая
касательная проводится в точке с абсциссой х0 = 2, вторая — в точке
максимума данной функции. Найти площадь треугольника,
образованного осью ординат и этими двумя касательными.
► 4. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, длина
стороны АВ равна 1, а величина угла ОАВ равна 60°. Найти площадь
общей части кругов, описанных около треугольников АВО и ВОС.
► 5. При каких значениях параметра а ф 0 количество пар целых чисел (х, у),
2 _ 2
удовлетворяющих неравенству у < а а-лх , минимально?
1983 год
Механико-математический факультет
Г^?
► 1. Решить неравенство ^^хх+ъх* ^ ^+4 ■
► 2. Решить уравнение log2 (cos2z + cos f) + Iog1//2 (sinx + cos f) = 0.
► 3. В треугольнике ABC с периметром 2р длина стороны АС равна а и
величина острого угла ABC равна а. Вписанная в треугольник ABC
окружность с центром О касается стороны ВС в точке К. Найти
площадь треугольника ВОК.

642
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Найти все значения а, при которых система уравнений
12у^о7^-5 - 12yjcos^f-7 + 24y/cos^+13 = 11-^/sin ^"^"^
2(r2 + (у - a)2) - 1 = 2v/z2 + (y-a)2- |
имеет хотя бы одно решение.
► 5. Дана треугольная пирамида ABCD. Точка F взята на ребре AD, а
точка N взята на ребре DB так, что DN.NB = 1:2. Через точки F,Nh
точку пересечения медиан треугольника ABC проведена плоскость,
пересекающая ребро ВС в точке Н. Через точку Н проведена плоскость,
параллельная плоскости ADB и пересекающая ребра С А и CD в точках
L и К соответственно. Известно, что СН.НВ ~ (AF:FD)2, и что
радиус шара, вписанного в пирамиду CHLK равен R. Найти отношение
площади треугольника ABC к сумме площадей всех граней пирамиды
ABCD, если длина перпендикуляра, опущенного из вершины D на
плоскость ABC, равна h.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Найдите область определения функции у = /16 — х2 - log2(x2 — Ъх + 6).
► 2. Найдите все решения уравнения 1+2sin!I~3^sil^+sin2j = 1.
► 3. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
неравенством 2х + у + 2х + 1| ^ 5.
► 4. Угол при основании равнобедренного треугольника равен |. Построен
круг радиуса А= с центром в вершине треугольника. Определите
отношение площади общей части треугольника и круга к площади
треугольника, если длина медианы, проведенной к боковой стороне равна %/7.
► 5, При всех а решите уравнение (х — 3)(ж+ 1) + 3(ж — 3), /^| = (а- 1)(а + 2)
и определите, при каких а оно имеет ровно одно решение.
► 6. Найдите все решения уравнения
/2 — у ■ (5 sin2 х - 6 sin x cos x - 9 cos2 z + 3 /33) = 5
= arcsin2 x + arccos2 x — ^ж2.
4
Физический факультет
► 1. Решить уравнение sin %x + sin ox = sin 4ж.
► 2. Решить уравнение jox2 — 3| = 2.
►■ 3. Решить неравенство ~ log4 }fx —  log2 x > 1.
► 4. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в
частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного
числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11.
Найти это двузначное чисто.

1983 год
643
► 5. Прямая, параллельная гипотенузе АВ прямоугольного треугольника
ABC, пересекает катет АС в точке D, а катет ВС — в точке Е, причем
DE = 2 и BE — 1. На гипотенузе взята точка F так, что BF — 1.
Известно также, что величина угла FCB равна а. Найти площадь
треугольника ABC.
*■ 6. Дан трехгранный угол с вершиной О, у которого величина каждого из
плоских углов равна ц>. Плоскость а пересекает ребра этого
трехгранного угла в точках А, В и С, причем отрезки О А и ОВ имеют равную
длину, а отрезок ОС короче отрезка О А. Известно, что величина
двугранного угла между плоскостью а и гранью ОАВ равна /3. Два шара
расположены по разные стороны от плоскости а так, что каждый шар
касается всех граней трехгранного угла и плоскости а. Найти: 1)
величину угла между прямой, проходящей через центры шаров и плоскостью
грани ОАВ; 2) отношение радиусов указанных шаров.
Химический факультет
► 1. Найти все решения уравнения
cos(2:r + j} +cos 2х- j) -Msinz = 2 + V2(l -sinяг).
*■ 2. Решить неравенство (л/х2 - 4х + 3 + 1) log5 f + A (/8z - 2x2 - 6 + 1) ^ 0.
► 3. Треугольная призма АВСА'В'С с нижним основанием ABC и
боковыми ребрами АА',ВВ' ,СС рассечена плоскостью, проходящей через
точки Е, F, С, где точка Е является серединой ребра ААГ, точка F лежит
на ребре ВВ', причем BF : FB' = 1:2. Найти объем части призмы
АВСА'В'С, заключенный между секущей плоскостью и нижним
основанием этой призмы, если известно, что объем призмы равен V.
*■ 4. Найти координаты точки, лежащей на графике функции у = 1 + cosx
при 0 ^ х ^ 7г и наименее удаленной от прямой ж/3 + 2у + 1 = 0.
► 5. Значениями переменных ж, у являются действительные числа. Найти все
целые значения п, при которых система уравнений
Г 6х2 + 24у{х + у) + 2(3п - 2)х + 4(3п - 2)у + 3 = 0,
 4.(х2 + у2) + {An + 2)у + 2п2 = 8ху + (4п + 2)х + §
имеет решения. При найденных целых значениях п найти все решения
этой системы.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение 4 cos3 х + 3/2 sin 2x = 8 cos x.
► 2. Найти все значения х. при которых производная функции у(х) =
Зж3 In х — 36х In х — 7жбЗ + Ю&х равна нулю.
► 3. Решить неравенство 8 + 6 • |3 — у/х + 5| > х.

644
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть Е — точка пересечения
продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку Е и точку
пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает
меньшее основание ВС в точке Р, а большее основание AD — в точке
Q. Точка F лежит на отрезке ЕС, причем EF : FC = ЕР : EQ = 1:3.
Найти площадь треугольника EPF.
► 5. Найти все значения Ъ, при которых оба неравенства
2f)cos2(z-y)+8b2cos(x-y) + 8b2(b+l) + 5b < 0, х2 + у2 + 1 > 2Ьх+2у + Ъ-Ъ2
выполняются при любых х и у.
Факультет почвоведения
► 1. Поле разделено на три участка. За день были вспаханы половина первого
участка и 3/4 второго участка, а третий участок, который составляет
четвертую часть всего поля, был вспахан полностью. Вспаханная за день
площадь поля в два раза больше площади второго участка. Какую часть
площади поля составляет площадь, вспаханная за день?
► 2. Решить уравнение cos (х + |) + sin (х + |) — cos 2x = 1.
► 3. Найти действительные жиг/, удовлетворяющие системе уравнений
f гг + 2у+1 =3,
 А.х + 4у = 32.
► 4. В треугольнике ABC биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в
точке К. Известно, что ВС = 2, КС — 1, ВК = — ^5р- Найти площадь
треугольника ABC.
*■ 5. Найти все значения а, которые удовлетворяют условию 2 < а < 5 и при
которых уравнение Iog2(3— | sinaxj) = cos (7га; — f) относительно х имеет
хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 2 ^ х ^ 3.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Найти все действительные решения уравнения
(х + l)Vx2+x-2 = 2x + 2.
*■ 2. В треугольнике ABC угол А прямой, АВ = 1, ВС — 3. Точка К делит
сторону АС в отношении 7:1, считая от точки А. Что больше, длина АС,
или длина ВК?
► 3. Решить неравенство Iog3(5a;2 + 62: + 1) ^ 0.
► 4. Найти все пары действительных чисел х и у, удовлетворяющие системе
„ Г cos4z + sin2y = — 2,
уравнении i
L x — у = 2п.

1983 год
645
► 5. Автобус проходит путь АЕ, состоящий из участков AB,BC,CD,DE
длиной 10 км, 5 км, 5км, 6 км соответственно. При этом, согласно
расписанию, выезжая из пункта Ав9 часов, он проходит В в 9| часа, пункт
С — в 9| часа, пункт D — в 9| часа. С какой постоянной скоростью
v должен двигаться автобус, чтобы сумма абсолютных величин
отклонений от расписания прохождений пунктов B,C,D и времени движения
автобуса от Л до £ при скорости v не превосходила 51,7 минут?
► 6. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник
ABC, в котором длины сторон АВ и АС равны у/Ъ. Ребро SA
перпендикулярно плоскости ABC, а угол ВАС вдвое больше угла BSC. Среди
всех прямых круговых цилиндров с образующей, параллельной SA,
находящихся внутри пирамиды, рассматривается цилиндр с наибольшей
площадью боковой поверхности. Известно, что расстояние от центра
его нижнего основания до ребра ВС составляет |^ длины медианы AM
треугольника ABC. Найти объем пирамиды SABC.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Найти все действительные решения уравнения
(х + l)Vl6x + 17 =(x + 1)(8ж - 23).
► 2. В треугольнике ABC угол А прямой, и АВ = 1, ВС = 2. Биссектриса
угла ABC пересекает сторону АС в точке L. Пусть Q — точка
пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина
BQ1
► 3. Решить неравенство logsin л- (ж2 — Зх + 2) ^ 2.
► 4. Найти все пары действительных чисел х и у, удовлетворяющих системе
Г 3 sin Зж + cos у = —4,
уравнений < „
I х + у= f.
► 5. Согласно расписанию, катер проходит по реке, скорость течения
которой 5 км/час, путь из А в D длиной 15 км за 1 час. При этом, выходя
из пункта Л в 12 часов, он прибывает в пункты В и С, отстоящие от А
на 11 и 13 км соответственно, в 12 час 20 минут и в 12 час 40 минут.
Известно, что если бы катер двигался из А в D без остановок с
постоянной скоростью v (относительно воды), то сумма абсолютных величин
отклонений от расписания прибытия в пункты В, С, D не превышала бы
уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для
прохождения 5 км со скоростью v в стоячей воде. Какой из пунктов — А или D
— - находится выше по течению?
► 6. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник
ABC, в котором АВ = АС = 1 и косинус угла ВАС равен |. Ребро

646
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Решить систему , t ч| /
5Л перпендикулярно ребрам Л£? и ЛС, а угол £?ЛС вдвое больше угла
BSC. Внутри пирамиды находится прямой круговой цилиндр,
образующая которого параллельна ВС. Какова наибольшая возможная площадь
боковой поверхности такого цилиндра?
Географический факультет
► 1. Решить уравнение cos2 2х — 5 sin2 х + 1 = 0.
► 2. Решить неравенство log2(/£2 — 4ж + 3) > log1//2 ( v/^-^WaTT+i
► 3. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре
построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К.
Найти площадь треугольника СКВ, если АС = Ъ и угол ABC равен (3.
o|a:2-2a:-3|-log23 _ q-j/-4
4|y|-|y-l| + (?/ + 3)2<8.
► 5. Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка
Р на ребре АВ, точка Q на ребре ВС и точка R на ребре CD взяты так,
что АР = , BQ = CR = |. Плоскость Рфй пересекает прямую Л£> в
точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Решить уравнение 3*+3 ■ 7Х+3 = З2* ■ 72*.
► 2. Найти все х, удовлетворяющие уравнению ctg3x = ctg5x.
► 3. Решить неравенство у/5х2 + 61ж < 4 (х + §) .
► 4. Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри
криволинейной трапеции, образованной осью абсцисс, прямыми х = 50, ж =
244 и графиком функции у = log3(# + 1)? Точки, лежащие на границе
указанной криволинейной трапеции, не учитывать.
► 5. Строительный отряд состоит из 32 бойцов, каждый из которых владеет
одной или двумя строительными профессиями: каменщик, бетонщик,
плотник. Бойцов, владеющих профессией плотника, в отряде в два
раза больше, чем бойцов, владеющих профессией бетонщика, и в п раз
меньше, чем бойцов, владеющих профессией каменщика, причем п —
целое число и 3 ^ п ^ 20. Сколько бойцов в отряде владеет только одной
профессией, если число бойцов, владеющих двумя профессиями, на два
больше, чем бойцов, владеющих профессией плотника?
► 6. Определить, при каких значениях а уравнение х — | = 4|4|ж| — а2 имеет
ровно три корня. Найти эти корни.

1983 год
647
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Решить уравнение х2 — 24 — 2/х2 — 24 — 15.
► 2. Найти все ж, удовлетворяющие уравнению
у/А9 — 4ж2 (sin7r:r + 3 cos -х) — 0.
► 3. Решить неравенство Iog4(x2 — 5) < log4 (||ж| — 3) .
► 4. В треугольнике ABC медианы АЕ и BD, проведенные к сторонам ВС
и АС, пересекаются пол прямым углом. Длина стороны ВС равна а.
Найдите длины других сторон треугольника ABC, если AE2 + BD2 — еР.
► 5. На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить не более 1
руб 40 коп. Тетрадь в клетку стоит 3 коп, тетрадь в линейку — 2 коп.
При закупке число тетрадей в клетку не должно отличаться от числа
тетрадей в линейку более, чем на 9. Необходимо закупить максимально
возможное суммарное количество тетрадей, при этом тетрадей в
линейку нужно закупить как можно меньше. Сколько тетрадей в клетку и
сколько тетрадей в линейку можно закупить при указанных условиях?
► 6. Для каждого неотрицательного а решить неравенство 16а3ж4 + 8а2ж2 +
16ж + а + 4 ^ 0.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение () — Ъ2~х + 9.
► 2. Решить неравенство %/г>1~2^~1'! < 1.
► 3. В треугольниках ABC и А'В'С длина стороны АВ равна длине стороны
А''В', длина стороны АС равна длине стороны А'С, угол ВАС равен 60°
и угол В'А'С равен 120°. Известно, что отношение длины В1 С к длине
ВС равно фг (где п — целое число). Найти отношение длины АВ к
длине АС. При каких значениях п задача имеет хотя бы одно решение?
*■ 4. В окружность радиуса 7 вписан выпуклый четырехугольник ABCD.
Длины сторон АВ и ВС равны. Площадь треугольника ABD относится
к площади треугольника BCD как 2:1. Величина угла A DC равна 120°.
Найти длины всех сторон четырехугольника ABCD.
► 5. Найти все значения а, при каждом из которых система уравнений
{2 cos ж + a sin у — 1,
log2 sin у = (log. a) - logQ(2 - 3 cos ж).
l°go* + loge(£-l)=0

648
Варианты вступительных экзаменов
имеет хотя бы одно решение относительно ж, у и г. При каждом таком
значении а найти все решения.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Решить уравнение Iog5(a: — 1) — Iog5 jf^.
u f у2 = 4х -8,
► 2. Решить систему уравнении <
2*+1+у+1 = 0.
► 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 24х —
cos 12д; — 3sm8x на отрезке [—-|, ^].
*■ 4. В трапеции ABCD сторона AD является большим основанием.
Известно, что AD = CD = 4§, /ВЛ£> = 90° и ZJBCD = 150°. На основании
AD построен треугольник AED так, что точки В и Е лежат по одну
сторону от прямой AD, причем АЕ — DE. Длина высоты этого
треугольника, проведенной из вершины Е, равна 11. Найти площадь общей
части трапеции ABCD и треугольника AED.
► 5. Найти все значения а, при которых уравнение |1 — ах — 1 + (1 — 2а)х+ах2
имеет ровно одно решение.
1984 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение х2 + Зх -4- х + 3| = 0.
► 2. Среди корней уравнения ^„^.д = 0 найти тот, который имеет
наименьшее расстояние от числа уТз на числовой прямой.
► 3. Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC
проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий один из
катетов. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине
длины отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной
одного из катетов. Найти площадь треугольника ABC. Представить в
виде десятичной дроби приближенное значение этой площади с
точностью до 0,01.
(- 2Sx+i +2у~2 = 3- 2У+Ъх,
► 4. Решить систему уравнений < ,—_— ,
I л/За;2 + 1+ ху = у/х + 1.
► 5. В четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD имеет своей
осью симметрии диагональ АС, длина которой равна 9 см, а точка Е
пересечения диагоналей четырехугольника ABCD делит отрезок АС

1984 год
649
так, что длина отрезка АЕ меньше длины отрезка ЕС. Через середину
бокового ребра пирамиды SABCD проведена плоскость, параллельная
основанию и пересекающаяся с ребрами SA, SB, SC, SD соответственно
в точках AB',C',D'. Получившийся многогранник ABCDA'B'C'D',
являющийся частью пирамиды SABCD, пересекается плоскостью а по
правильному шестиугольнику, длина стороны которого равна 2 см.
Найти площадь треугольника ABD, если плоскость а пересекает отрезки
ВВ' и DD'.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Известно, что loga b = 7. Найти logj,(o2b).
► 2. Решить уравнение 9 cos За; cos 5ж + 7 = 9 cos За; cos x + 12 cos4;e.
► 3. В трапеции АВСЕ длин основания АЕ равна 16, а длина боковой
стороны СЕ равна 8/3. Окружность, проходящая через точки А, В, С
пересекает прямую АЕ в точке Н. Угол АН В равен 60°. Найти длину отрезка
ВН.
*■ 4. Решить неравенство Jl — log2 х2 + log2 a;4 > 4.
► 5. Найти все действительные решения (x,y,z) системы уравнений
Г а:3 + х2(13 - у - z) + х{2у + 2z - 2yz - 26) + byz - 7у - lz + 30 = 0,
 ж3 + з;2(17 - у - z) - х{2у + 2z + 2yz - 26) + у + г - Ъуг - 2 = 0,
для которых а; принадлежит отрезку [4, 7].
► 6. Многогранник имеет 6 граней: АВСК, ЕМРН, АВМЕ, ВСРМ,
СКНР, АКНЕ. Все его вершины лежат на сфере радиуса /34- Грани
АВСК и ЕМРН лежат в параллельных плоскостях, расстояние между
которыми равно 2. Известно, что АВ : С К — ЕМ : РН ф 1, площадь
грани ЕМРН равна 5, а объем многогранника равен ||. Найти длину
ребра ВМ.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение tgar + 2-^iiij- = 0.
► 2. Решить уравнение 41og25(5x) — 5 — log?, ж.
*■ 3. Решить неравенство 2Х+3 - х3 ■ 2х ^ 16 - 2ж3.
► 4. При каких значениях а все решения уравнения 2х — а + а — 4 + х — 0
удовлетворяют неравенству 0 ^ х ^ 4?
► 5. Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с
вершиной 5 так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно
ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат
по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в к раз больше высоты
пирамиды. Найти отношение объемов пирамиды и куба.

650
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Две окружности радиусов г и R (г < R) внешним образом касаются друг
друга. Прямая касается этих окружностей в точках М и N. В точках
А и В окружности касаются внешним образом третьей окружности.
Прямые АВ и MN пересекаются в точке С. Из точки С проведена
касательная к третьей окружности (D — точка касания). Найти длину
отрезка CD.
Химический факультет
► 1. Найти все х, удовлетворяющие неравенству ^„ xl ^ 0.
► 2. Из пункта А в пункт В выходит поезд. В момент прибытия этого поезда
в В оттуда выходит другой поезд, который следует в А. Время, которое
прошло от выхода первого поезда из А до прибытия туда второго поезда,
в 4| раза превышает время, которое затратили бы поезда до момента
встречи, если бы вышли из А и В одновременно навстречу друг другу.
Скорости обоих поездов постоянны, причем скорость второго поезда на
20 км/час превышает скорость первого поезда. Чему равна скорость
каждого поезда?
► 3. Определить, при каких значениях аргумента х функция
f(x) — х2 (6 sin 2x — 8 cos 2x) + ж(6 cos 2x + 8 sin 2x) + 3 sin 2x — 4 cos 2x
имеет максимумы.
► 4. В правильную треугольную пирамиду SABC с вершиной S, у которой
длина бокового ребра в у2 раз меньше длины ребра основания, вписана
правильная треугольная пирамида S'A'B'C, у которой длины всех ребер
равны между собой. При этом вершина S' лежит в плоскости ABC, a
вершины А', В', С" лежат на трех апофемах боковых граней пирамиды
SABC. Доказать, что вершина S' лежит в точке пересечения медиан
треугольника ABC и найти отношение площадей полных поверхностей
этих пирамид.
► 5. Найти все а, при которых неравенство
-а - 2 - х + а - 4| + (^ |д _ 2| а - 2j ■ х - 2 +-а - 2 ■ х - а ^ 1
выполняется ровно для двух различных значений х.
Биологический факультет
► 1. Решить неравенство уз^ < х — 6.
► 2. Решить уравнение cos 2х + 2 cos х + 7 = 2 sin (|тг + х) +4 sin2 ~.
► 3. Решить уравнение J4 + 2 log3 (l - j^^) = bg2 (ff^i) +2 log2 (^) .

1984 год
651
► 4. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD
со стороной о. Длина диагонали АС ромба равна 1,5а. Основание
высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза
больше длины АС. Через точку А и середину ребра SC проведена
секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол
45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью и сколько
таких плоскостей можно построить?
► 5. Решить систему уравнений
Г у4 - 4у3 - 16у2 - 8ху - 4х2 + 32у + 64 = О,
 sin(57rz) - ^Дх{х - 6) + 13 • cos (тг (у2 + 2х + §)) + sin(7r(2y2 - х)) = 0.
Факультет почвоведения
► 1. Площади трех участков земли относятся как 4:3:5. Средняя урожайность
всех трех участков одинакова и составляет 28 ц с 1 га. Известно,
что с третьего участка собрано на 84 ц зерна больше, чем с первого.
Определить, какова площадь каждого из тех участков.
► 2. Решить уравнение 2 sin2 х — 1 + /3 + cos 2x.
► 3. Решить неравенство log2 jl + ^| > 1.
► 4. В треугольнике ABC угол ВАС равен 75°, длина стороны АВ равна с,
длина стороны АС равна Ь. На стороне ВС выбрана точка М так, что
угол ВАМ равен 30°. Продолжение прямой AM пересекает окружность,
описанную около треугольника, в точке N. Найти длину отрезка AN.
► 5. Указать все значения а, для которых уравнение у а+ у/а + sin x — sin ж
имеет решение.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
► 1. Решить уравнение 4х — 8 ■ 2х — 128 = 0.
► 2. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству Jx2 — Ъх + 2 ^
Зх — 3.
► 3. Найти sin |, если cos 2с* < — | и cos а < — |.
► 4. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 5 см, сумма длин двух
других сторон равна 7 см, косинус угла ВАС равен |. Найти площадь
треугольника ABC.
► 5. В саду приготовили N ям для посадки деревьев. После того, как
посадили имеющиеся яблони, груши и сливы, оказалось, что было использовано
менее трети ям, при этом груш было посажено на 6 штук больше, чем
яблонь, если бы яблонь посадили в три раза больше, то остались бы не
использованы 59 ям. Сколько ям для посадки было подготовлено, если

652
Варианты вступительных экзаменов
известно, что на оставшиеся места посадили персиковые деревья и их
оказалось в три раза больше, чем слив, и число посаженных деревьев
четное?
► 6. В основании пирамиды SABCD лежит равнобочная трапеция ABCD, у
которой углы при основании AD равны |7г, а длины оснований равны 1 +
л/2 и 1. Основание Н высоты SH пирамиды лежит вне трапеции ABCD
и удалено на расстояние 1 от вершины А. Найти радиус описанного
около пирамиды шара, если известно, что SH = у 2 + 2/2, а ВН _L AD.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
► 1. Решить уравнение 3 ■ Э**1 — 6 ■ 3х — 1 = 0.
► 2. Найти все решения неравенства у/2х2 — 6^ + 4 < х + 2.
► 3. Найти sin а, если sin 2а ^ | и tga ^ ~.
► 4. В треугольнике ABC длина стороны ВС равна 4 см, сумма длин двух
других сторон равна 6 см. Найти площадь треугольника ABC, если
косинус угла АС В равен ^.
► 5. Трое мальчиков хотели вместе купить две одинаковые игрушки. Сложив
все имеющиеся у них деньги, дети не могли купить даже одну игрушку.
Если бы у первого мальчика было вдвое больше денег, то им на покупку
двух игрушек не хватило бы 34 коп. Когда третьему мальчику добавили
денег в размере в два раза большем, чем у него было, то после
покупки игрушек у детей оставалось 6 коп. Сколько стоили игрушки, если
первоначально у второго мальчика было на 9 коп больше, чем у первого?
*■ 6. У пирамиды SABC длины ребер АВ и АС равны 1, а ВС = /3. Длина
высоты SH равна 2. Основание Н высоты находится на расстоянии 1
от вершины С и АН _L АВ. Найти отношение площадей поверхностей
вписанного и описанного вокруг пирамиды шаров.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение 2 sin | cos2x = sin |.
*■ 2. В ромбе ABCD со стороной, равной 6 и углом BAD, равным £, на
стороне ВС взята точка Е на расстоянии, равном 2 от точки С. Найти
расстояние от точки Е до центра ромба.
►■ 3. Найти наименьшее значение функции f(x) — х + In ^2 ПРИ ^ > 2.
► 4. Через середину высоты правильной четырехугольной пирамиды
проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найти площадь этого
сечения, если длина бокового ребра равна 4, a yrai между боковыми
ребрами, лежащими в одной грани, равен ~.

1984 год
653
► 5. Найти все действительные значения а, при каждом из которых систе-
„ Г у(ах + 1) + 13ж-а(1 + у) = О,
ма уравнении < имеет действительные
^ X — ху -f- 2 + у — U
решения.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Решить уравнение log2(4x — 2) = 7 — Iog2(2x + 5).
► 2. Найти все решения уравнения sin 1x + v/3cos2:c = v3.
► 3. Решить неравенство 3|ж — 2| + |5т — 4| ^ 10.
► 4. Сорок девять колхозников, работающих с одинаковой
производительностью, были разбиты на две бригады, каждая из которых собрала
одинаковое количество картофеля. Первая бригада закончила работу на 1 час
позже второй. Обе бригады работали с перерывами на отдых, причем
вторая бригада отдыхала не менее | часа и не более | часа. Если бы
обе бригады работали без перерывов, то первая бригада могла бы
собрать картофеля в | раз больше, а вторая — в | раза больше. Сколько
колхозников в каждой бригаде?
► 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD вершины Am С противоположны,
а длина стороны АВ равна 3. Угол ABC равен |, угол BCD равен ^l.
Найти длину стороны AD, если известно, что площадь
четырехугольника равна {АВ CD + BC ■ AD).
► 6. Определить все значения параметра а, при которых ровно одно решение
неравенства
/а3 - 2а3 - 4а + 8 • х3 - ^/а3 - 2а2 ■ х2 + /а4 - Аа2 ■ х - а2 < 0
удовлетворяет условию 2а ^ х ^ fZa.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Решить неравенство log8 26Jjq_^ ^ 0-
*■ 2. Найти наименьшее значение функции у — 2х — 3| + |3ж — 2|.
► 3. Решить уравнение 3 — 12 sin х — 2 cos х — — 1+^ х ■
► 4. В треугольнике ABC заданы длины двух сторон: ВС = А,АВ - 2Л9.
Кроме того, известно, что центр окружности, проведенной через
середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла С. Найти АС.
*■ 5. Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов.
Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого и 100
деталей второго вида. Для 16-квартирного дома требуется 110 и 150,
а для дома на 21 квартиру нужно 150 и 200 деталей первого и второго

654
Варианты вступительных экзаменов
видов соответственно. Всего имеется 900 деталей первого и 1300 деталей
второго вида. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее
количество квартир в них было наибольшим?
► 6. В основании пирамиды с вершиной S лежит прямоугольник, центр
которого находится на высоте пирамиды. Плоскость пересекает боковые
ребра пирамиды в точках P,Q,M и N так, что Р и М —
противоположные вершины четырехугольника PQMN. Известно, что SP — 7,
SM =l,SQ + SN = f,SQ> SN. Найти SQ и SN.
Факультет психологии
► 1. Вычислить, не используя микрокалькулятор
3(й-0,125:1»:480-1 /679-10^ 
(7:1,8-2^:1,5) : 2§ ^ Л 0,7 ' )'
*■ 2. Подъем в гору турист прошел за 2 часа. На спуск с горы, который был
на 18 км длиннее подъема, турист затратил вдвое больше времени, чем
на подъем в гору. Найти общую длину пройденного туристом пути, если
каждый километр при спуске турист проходил на 10 минут быстрее, чем
на подъеме.
► 3. Решить уравнение 2(cosх — 1) sin2ж = 3sinx.
► 4. Две окружности радиусов 8 и 6 пересекаются в точках А а В. Через
центры 0 и Оъ окружностей проведена прямая; Ci и С2 — две из
четырех точек пересечения этой прямой с окружностями, причем точка
С лежит на окружности с центром 0, а длина отрезка CC<i больше 20.
Найти расстояние между точками 0 и 02, если произведение площадей
треугольников СА и C2O2B равно 336.
► 5. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел,
равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого ее членов меньше 4.
Найти первый член этой прогрессии.
► 6. Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает
следующими двумя свойствами:
- первая цифра числа в 3 раза меньше суммы двух других его цифр;
- разность между самим числом и числом, получающимся из него
перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится на 81
без остатка.
► 7. Найти все пары чисел (х, у) удовлетворяющие одновременно двум
неравенствам г ^х+у-1 _|_ з . 42г/-! ^ 2,
1 x + Zy >2-Iog43.

1985 год
655
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
* 1. Решить уравнение 8х — 4х — 2х.
* 2. Решить уравнение sin3zsinz + 1 = cos 2.x.
► 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = — х2 + 3|ж —1| +2
на отрезке [—2,2].
* 4. В треугольнике ABC длины сторон АВ и АС равны 3 и 2
соответственно. На стороне АВ выбрана точка М, а на стороне АС — точка N так,
что AM — 2 см, AN=1,5 см. Найти площадь треугольника AMN, если
ВС больше, чем MN в -4= раз.
5. При каком значении параметра а система неравенств
имеет единственное решение?
1985 год
Механико-математический факультет
у ^ х2 + 2а,
х ^ у2 + 2а
1 / Ч-
► 1. Решить уравнение 6 sin х — | = w 34 sin x — Ц.
► 2. Решить неравенство jq-j- + iji2_1 ^ j^t-
► 3. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника ABC
соответственно в точках D и Е. Найти длину высоты треугольника ABC,
опущенной из точки А, если длины сторон АВ и АС соответственно
равны 5 и 2, а точки A,D,E,C лежат на одной окружности.
► 4. Из трех значений а: —1,2; —0,67; —0,66 — найти те значения, при
которых уравнение (2а+4 + 15(ж + а)) (1 + 2 cos (7т (а + §))) =0 имеет
хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 ^ х ^ 1.
► 5. На плоскости а, проходящей через центр шара радиуса R, задана
окружность с центром 0 и радиусом г, расположенная внутри шара. Все
точки этой окружности соединены прямыми с точкой Л,
принадлежащей шару и удаленной от плоскости а на расстояние R. Множество
отличных от А точек пересечения этих прямых с поверхностью шара
является окружностью радиуса Гг, плоскость которой образует угол ip с
плоскостью а. Найти расстояние между точками А и 0.

656 Варианты вступительных экзаменов
Факультет вычислительной математики и кибернетики
бг - 2 ■ 3^ = 2,
► 1. Решить систему уравнений ,
1 6х -Зу = 12
► 2. В трапеции PQRS длина основания фЯ равна 10, длина диагонали QS
равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина
основания QR, или длина стороны RS.
► 3. Решить уравнение 4 - cos(27r(13x + 9)2) = 5 ■ sm(7r(13x + 9)2).
► 4. Решить неравенство — --^—7—гпз ^ 1-
► 5. Найти все тройки чисел (ж, у, г), удовлетворяющие уравнению
/о
2 - 2у2 + 2г2 + Юг + 6у + ^-z - 17+
+ у Зж2 - 2/3(cos 7ry + cos irz)x + 4 = 0.
► 6. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равную длину. На ребрах АВ, АС
и AD выбраны соответственно точки К, L, М так, что KB = 15, MD =
10. Известно, что радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCD равен
f /б, а объем пирамиды AKLM равен 375/2. Найти сумму радиусов
двух шаров, вписанного в пирамиду и описанного около нее.
Физический факультет
► 1- Решить уравнение 2 cos2 | — 1 = cos 2х.
► 2. Решить уравнение /ж4 — 2х — 5 — 1 — х.
► 3. Решить неравенство logj ^9 х + log3(9x) < 3.
► 4. При каждом а решить уравнение Ах - 2а(а + 1)2г"1 + а3 = 0.
► 5. Сфера с центром в точке S проходит через вершины основания ABCD
правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Отношение площади
полной поверхности пирамиды к площади поверхности сферы равно а.
Найти величину угла ASB и указать все значения, которые может
принимать а в условии задачи.
► 6. В остроугольном треугольнике ABC (где АВ > ВС) проведены
высоты AM и CN, точка О — центр описанной около треугольника ABC
окружности. Известно, что величина угла ABC равна /3, а площадь
четырехугольника NOMB равна 5. Найти длину стороны АС.

1985 год
657
Химический факультет
► 1. Решить уравнение 4(sin4z — sin2:c) = sin a; (4 cos2 Зге+ 3).
► 2. Решить неравенство f ** < 71~х - (/7)*2 + 6.
► 3. На координатной плоскости рассматривается прямоугольник ABCD,
у которого сторона АВ лежит на оси ординат, вершина С лежит на
параболе у — х2 — Ах + 3, вершина D лежит на параболе у = —ж2 + 2ж — 2,
а абсцисса вершины D принадлежит отрезку [|, |]. Какое значение
должна иметь абсцисса вершины D, чтобы площадь прямоугольника
ABCD была наибольшей?
► 4. Основанием пирамиды служит ромб, длина стороны которого равна 2 см,
а величина острого угла равна |. Шар, радиус которого равен у/2 см,
касается плоскости каждой боковой грани пирамиды в точке, лежащей на
стороне основания пирамиды. Доказать, что высота пирамиды проходит
через точку пересечения диагоналей основания пирамиды. Найти объем
пирамиды.
► 5. Решить систему
Г |x-j/|-lo^(|x| + j/ + l) + 6 = 0,
{(х- у)2 - Ь(х - у) log2{x + у + 1) + 51og2(|z| + у + 1) - 0.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение ^ + (х^+^ = 3-
► 2. Найти все корни уравнения 5 cos 2х + 7 cos (х + -|) + 1 = 0,
принадлежащие отрезку [|, *у-].
► 3. Решить неравенство log2/2(3x + 1) > logj^Sz + 1) + 6.
► 4. На отрезке АВ лежат точки С и D, причем точка С находится между
точками А и D. Томка М взята так, что прямые AM и MD
перпендикулярны и прямые СМ и MB тоже перпендикулярны. Найти площадь
треугольника АМВ, если известно, что величина угла CMD равна а, а
площади треугольников AMD и С MB равны Si и S% соответственно.
► 5. Сколько корней на отрезке [0,1] имеет уравнение
8ж(1-2ж2)(8ж4-8а;2 + 1)=1?
Факультет почвоведения
„ Г2а; + 2» = -1,
*■ 1. Решить систему уравнении <
1 -20ж + 3, 5 • 2У+1 = 146.

658
Варианты вступительных экзаменов
*■ 2. Решить уравнение Ig(a; + 4) = — 2 Ig f ^zr^ 1 •
► 3. Найти все корни уравнения (1 + tg2 x) sin х — tg2 x + 1 =0,
удовлетворяющие неравенству tgx < 0.
► 4. Продолжение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины А,
пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D.
Найти длину отрезка ВС, если длина каждой из хорд АС и DC равна 1.
► 5. Пусть xq—больший из корней уравнения х2 + 2(а — Ъ — $)х+а — Ь—13 — 0.
Найти наибольшее значение Xq при а > 2, 6^1.
Геологический факультет
(отделение общей геологии)
* 1. Определить, что больше, 2log35-0,1 или 51о§з2. Результат обосновать.
► 2. Решить уравнение уугп~7 ~ 1-
► 3. Первый рабочий изготовил 60 деталей на три часа быстрее второго.
За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая
вместе, они изготовят за 1 час 30 деталей?
►■ 4. Решить уравнение 5 sin2 x — 4 sin x cos x — cos2 x = 4.
► 5. Решить уравнение у/(х + 2)(2х-1) - 3^/x~TG = 4 - у/{х + 6){2х - 1) +
3v^T2.
*■ 6. Дан куб ABCDA'B'C'D' с ребром длины 4. На середине ребра ВС взята
точка М, а на ребре A'D' на расстоянии 1 от вершины А' взята точка N.
Найти длину кратчайшего пути между точками М и N по поверхности
куба.
Геологический факультет
(отделение геофизики)
-1о 3
► 1. Определить, что больше, 2log73 + v6 или
3iogT 2 +6з ">*>*. Результат
обосновать.
► 2. Решить неравенство гр-^рт ^ 1-
► 3. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 120 км, навстречу
друг другу движутся два поезда. Если первый поезд выйдет из Л на 2
часа раньше, чем второй выйдет из В, то они встретятся на середине
пути. За какое время первый поезд проходит расстояние от .4 до В, если
известно, что через час после встречи расстояние между поездами будет
равно 80 км?
► 4. Решить уравнение 2 sin x + 7 cos x = -*^р.
► 5. Решить уравнение ч/За;2 - l + v/z2 - х + 1 = ^Зх2 + 2х + 1 + у/х2 + 2х + 4.

1985 год
659
► 6. Конус с образующей длины 3 вращается вокруг оси — прямой,
перпендикулярной высоте и проходящей через вершину. Площадь сечения
полученного тела вращения плоскостью, проходящей через ось вращения,
равна 67Г. Найти угол наклона образующей конуса к его основанию.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение 3cosz — cos2z = 1.
► 2. Решить неравенство og3x_1(2x) > 1.
► 3. Из двух пунктов А и В, находящихся друг от друга на расстоянии 120
км, по прямолинейным дорогам, сходящимся в пункте С под углом 60°,
одновременно выехали грузовик и автобус соответственно со скоростью
40 км/час и 60 км/час. Автобус прибыл в пункт С на 1 час раньше
грузовика. Найти время движения автобуса.
► 4. Величины углов А, В, С треугольника ABC составляют
арифметическую прогрессию с разностью j. Биссектрисы этого треугольника
пересекаются в точке D. Точки А', В', С находятся на продолжениях
отрезков DA,DB и DC за точки А, В,С соответственно на одинаковом
расстоянии от точки D. Доказать, что величины углов А', В',С
треугольника А'В'С также образуют геометрическую прогрессию. Найти
ее разность.
► 5. Найти все числа а, удовлетворяющие условию — 1 < а < 1, для
которых выражение 1 + 2у/'х2 — 2аху + у2 — 6у + 10 принимает наименьшее
значение лишь при одной паре чисел (х,у).
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
*■ 1. Найти все решения неравенства §§^у ^ 1.
*■ 2. Решить уравнение 2 sin х = 3 ctg x.
► 3. Указать все а, при которых уравнение log2 x + Iogu x + Iog4 х — 1 имеет
решения и найти эти решения.
► 4. Найти наименьшее значение функции у — здИ-д+2-
► 5. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Не позже, чем через 40 минут
вслед за ним вышел второй. В пункт Б сначала пришел один из
пешеходов, а другой достиг Б не ранее, чем через час после этого. Если бы
пешеходы вышли одновременно, то они прибыли бы в пункт Б с
интервалом не более, чем в 20 минут. Определить, сколько времени требуется
каждому пешеходу на путь от А бо Б, если скорость одного из них в 1,5
раза больше скорости другого.

660
Варианты вступительных экзаменов
► 6. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Е — пересечение
диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE
равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4, и AD — 3.
Найти сторону ВС.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Найти все решения уравнения Jsmx = у 1 — 2 sin x.
► 2. Решить неравенство xogl^ (| — х) ^ |ж|.
► 3. В треугольнике ABC на основании АС взяты точки Р и Q так, что
АР < AQ. Прямые ВР и BQ делят медиану AM на три равные части.
Известно, что PQ — 3. Найти АС.
*■ 4. В б часов утра из пункта А в пункт В по течению реки отправились
лодка и катер. Лодка прибыла в пункт В в 16 часов того же дня. Катер,
дойдя до пункта В, сразу повернул и на своем пути из В в А встретил
лодку не позднее 14 часов, а прибыл в пункт В не ранее 22 часов того
же дня. Найти время прибытия катера в пункт В, если его скорость в
стоячей воде вдвое больше скорости лодки в стоячей воде.
► 5. Среди всех решений (ж, у, z,v) системы
Г х2 + у2 = 4,
< z2 + v2=9,
[ xv + yz ^ 6
найти такие, при которых выражение х + z принимает наибольшее
значение.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение 2 cos2 а; — sin ж = 1.
► 2. Решить неравенство 4 ■ 4х < 7 ■ 2х + 2.
► 3. Алеша, Боря и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши.
Алеша купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря --6 карандашей и 1
блокнот, Вася — 3 карандаша и 1 блокнот. Известно, что суммы денег,
заплаченные Алешей, Борей и Васей, образуют соответственно первый,
второй и третий члены геометрической прогрессии. Сколько стоит
блокнот?
► 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х2 + х + х2 —
Зж + 2| на отрезке [— |, |].
► 5. Радиус окружности равен R. Отрезок АВ является диаметром этой
окружности. Длина хорды ВС равна R. Хорда, длина которой равна
длине хорды АС, пересекает отрезок АС в точке D, а отрезок АВ в

1986 год
661
точке Е. Величина угла ADE равна а. Найти площадь треугольника
ADE.
► 6. Найти все значения а, при каждом из которых существует единственная
пара целых чисел (х, у), удовлетворяющая уравнению — 15х2 + 11ху—2у2 =
7 и неравенствам х < у, 2а2х + Зоу < 0.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Найти все решения уравнения 2sin x = v3sina;, удовлетворяющие
условию —5 < х < —3.
► 2. Коля, Петя, Миша и Ваня ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб,
пойманных Колей, Петей и Мишей, образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию, если бы Коля поймал на две рыбы меньше, а
Ваня — на 12 рыб меньше, то количество рыб, пойманных Колей, Петей,
Мишей и Ваней, образовывали бы в указанном порядке арифметическую
прогрессию. Сколько рыб поймал Миша, если известно, что он поймал
на 18 рыб меньше Вани?
► 3. Решить неравенство log1^2(y/x + 1 — х) < 2.
► 4. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 3, длина медианы ВМ
равна 5. На стороне ВС взята точка Q так, что длины отрезков BQ и
QC равны соответственно 1 и 5. Найти площадь S треугольника AQC,
если известно, что S > 3.
► 5. Для каждого значения а решить уравнение
4 cos x sin a + 2 sin x cos a — 3 cos a = 2 v7.
1986 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение 2cos(v/i + ?r) + 1 = 0.
► 2. Окружность радиуса 1 см касается окружности радиуса 3 см в точке С.
Прямая, проходящая через точку С, пересекает окружность меньшего
радиуса в точке А, а большего радиуса — в точке В. Найти длину
отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 2уо см.
„ тл 1 I log., я; „-rlogl1
*■ 3. Решить неравенство -х~ ' > 2"
► 4. Путь из села в город идет сначала по грунтовой дороге, а затем по шоссе.
Из села в город в 7 часов утра выехал автомобилист, и одновременно с
ним из города в село выехал мотоциклист. Мотоциклист двигался по
шоссе быстрее, чем по грунтовой дороге в 1| раза, а автомобилист —

662
Варианты вступительных экзаменов
в 1^ раза (движение обоих по шоссе и по грунтовой дороге считать
равномерным). Они встретились в 9 часов 15 минут, автомобилист
приехал в город в 11 часов, а мотоциклист приехал в село в 12 часов
15 минут. Определить, сможет ли автомобилист приехать в город до
11 часов 15 минут, если он весь путь из села в город будет ехать с
первоначальной скоростью.
► 5. Найти все значения а, при каждом из которых для любого значения Ъ си-
( bx-y-az2=Q, „ и
стема ■; имеет по крайней мере одно решение {х, y,z).
{ (b—6)x+2by—<lz=4
► 6. В основании пирамиды SABCD лежит четырехугольник ABCD, у
которого стороны AD и ВС параллельны, длина стороны АВ равна 4 см,
длина стороны ВС равна 8 см, а величина угла ABC равна 60°. Длина
ребра SB равна 8/2 см. Найти объем пирамиды, если известно, что
через прямые AD и ВС можно провести две плоскости, не совпадающие
с основанием пирамиды и пересекающие пирамиду по равным
четырехугольникам.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить неравенство Iog3(£ + 2) + Iog3(z — 4) — 1 ^ 0.
► 2. Найти координаты точки, лежащей на прямой Зх — by = 17 и наименее
удаленной от начала координат.
► 3. В академическом собрании сочинений, включающем менее 20 томов,
число томов с художественными произведениями кратно числу томов
с письмами, которых, в свою очередь, в три раза меньше, чем томов с
публицистикой. Если число томов с художественными произведениями
увеличить в два раза, то их станет на 14 больше, чем томов с письмами.
Сколько томов с публицистикой содержит собрание сочинений?
► 4. В окружности радиуса 4 проведены хорда АВ и диаметр АКЬ
образующий с хордой угол |. В точке В проведена касательная к окружности,
пересекающая продолжение диаметра АК в точке С. Найти длину
медианы AM треугольника ABC.
► 5. Решить уравнение sin За; — 2 sin lSx ■ sin x — 3V2 — cos 3z + 2 cos x.
► 6. Найти значения end, при которых наибольшее значение функции
ОХ I 1-Х О QX 1
на отрезке [—1,1] является наименьшим.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение (j) 2 = S1.

1986 год
663
► 2. Решить неравенство х — 1 > ^^.
u Г 3» = х,
► 3. Решить систему уравнении <
L 2 sin х + sin 2ж = 2 cos |.
► 4. Решить уравнение х • Iog2(x2) + 1 = 2х + 2 log4 x.
► 5. В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка М, делящая
отрезок SB в отношении 3:5, считая от точки S. Через точки А и М
параллельно медиане BD треугольника ABC проведена плоскость. В
каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
► 6. В треугольнике ABC проведены высота АН длины h, медиана AM
длины I и биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МП. Найти
расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника
ABC.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение log2(x - 3) = 1 — log2(a; — 2).
*■ 2. Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили нефтью первый
танкер и треть второго танкера (другого объема) за 11 часов. Если
бы три насоса наполнили первый танкер, а затем один из них наполнил
четверть второго танкера, то работа заняла бы 18 часов. За сколько
часов три насоса могут наполнить второй танкер?
► 3. Найти все значения х из интервала (0, ^), при которых производная
функции f{x) = sin ж sin (| — х) (sin (| — х) — sin я) обращается в нуль.
► 4. На стороне АВ треугольника ABC взята точка Е, а на стороне ВС
— точка D так, что длина отрезка АЕ равна 2, а длина отрезка CD
равна 1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Найти площадь
четырехугольника BDOE, если длина каждой из сторон АВ и ВС равна
8, а длина стороны АС равна 6. г i _ /1—ZTTT — fl~
*■ 5. Найти все значения а, при которых система <
I 49у2 + х2 + 4а = 2ж - 1
имеет ровно четыре различных решения.
Биологический факультет
► 1, Найти наибольший отрицательный корень уравнения
sin (X + V) + cos (x + тг) + V3 = 0.
-х
► 2. Решить неравенство 3х < 1 + 12-3"
► 3. Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали
грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна
и составляет 6/5 скорости грузовика. Через 30 минут вслед за ними из
того же пункта со скоростью 90 км/час выехал мотоциклист. Найти

664
Варианты вступительных экзаменов
скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал
грузовик на один час раньше, чем легковой автомобиль.
► 4. Дан треугольник ABC, в котором АВ = ^, ВС = ^р. Точка М лежит
на стороне АВ, точка О лежит на стороне ВС, причем прямые МО и АС
параллельны. Отрезок ВМ в 1,5 раза длиннее отрезка AM. Биссектриса
угла ВАС пересекает прямую МО в точке Р, лежащей между точками М
и О, причем радиус окружности, описанной около треугольника AMP,
равен v 2 + /2. Найти длину стороны АС.
► 5. Найти все значения а, при каждом из которых система уравнений
/ х2 - 2ху - Зу2 = 8,
 2а;2 + 4ху + by2 = а4 - 4а3 + 4а2 - 12 + у/Ш
имеет хотя бы одно решение.
Факультет почвоведения
'► 1. Решить уравнение 2 cos (х + f) = /3cosa
► 2. Решить неравенство log3(l — 2х) ^ Iog3(5x — 2).
► 3. Два трактора разной мощности, работая одновременно, вспахали поле за
2 часа 40 минут. Если бы первый трактор увеличил скорость вспашки в
два раза, а второй — в полтора раза, то поле было бы вспахано за 1 час
36 минут. За какое время вспахал бы поле первый трактор, работая с
первоначальной скоростью?
► 4. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат и двумя
касательными, проведенными из точки А(-1,0) к графику функции у =
х2 + 4х + 7.
► 5. В треугольнике ABC точка D есть середина АВ, точка Е лежит на
стороне ВС, причем BE — ~ ■ ВС. Отрезки АЕ и CD пересекаются в
точке О. Найти длину стороны АВ, если АЕ — 5, ОС — 4, а угол АОС
равен 120е.
Геологический факультет
► 1. Решить уравнение sin (ж + f) = sin x.
► 2. Длины сторон АВ,ВС и АС треугольника ABC в указанном порядке
образуют арифметическую прогрессию. Найти отношение высоты
треугольника ABC, опущенной из вершины А к радиусу вписанной
окружности.
*■ 3. Решить уравнение 2-'|,-г|, Г510 = 3.
► 4. Студенческий строительный отряд оборудовал прямоугольную
спортплощадку площадью 0,1 га, установив с противоположных более
длинных сторон трибуны, а с двух других — проволочную сетку. Стоимость

1986 год
665
установки одного погонного метра трибун и сетки равны
соответственно 7 рублей и 3 рубля. На установку трибун и сетки израсходовано 820
рублей. Найти длины сторон спортплощадки.
' 1
X Ь
+ cos2
► 5. Пусть а > 0, Ь > 0. Найти решения неравенства J ^ — Дг > ^
► 6. При всех значениях параметра р ^ 9 найти решения уравнения
„ ъ (ж . ЗтЛ . /2тг . 2 ЗтЛ
3V3 tg I — sin ж — I • sin I —- sin x + — I +
/57Г 7Г ,_ Л о / 7Г . 2тЛ
на отрезке [0, 2тг].
Географический факультет
► 1. Решить неравенство xi^^_b > -
► 2. Решить уравнение log,, /3 — log^ 27 = .
*• 3. Три цистерны одинакового объема начинают одновременно заполняться
водой, причем в первую поступает 100 литров воды в минуту, во вторую
— 60 и в третью — 80. Известно, что в начальный момент первая
цистерна пуста, вторая и третья частично заполнены и что все три
цистерны будут заполнены одновременно. Во сколько раз количество
воды в начальный момент времени во второй цистерне больше, чем в
третьей?
► 4. Внутри треугольника ABC взята точка К. Известно, что АК =
1, КС = /3, а величины углов АКС,АВК и КВС равны 120°, 15° и
15° соответственно. Найти длину отрезка ВК.
*■ 5. Для каждого значения а, удовлетворяющего неравенствам 0 < а < 2
найти наименьшее значение выражения х2 + у2 — 2а(х + у) при условии
cos(fxy) — 1.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
*" 1. Решить уравнение 5Х+1 — (|)
„ 0 и u .f 3z + 4smy= -11,
* £•■ Найти все решения системы уравнении  7
{ —2х + 5 sin у — jt.
* 3. Найти все действительные решения уравнения /Зж + 4-(9.т +21ж + 10) =
0.
*• 4. В прямоугольнике ABCD, где АВ — 6, Л£) = 3(1 + -^], расположены
две окружности. Окружность радиуса 2 с центром в точке А' касается
сторон АВ и AD. Окружность радиуса 1 с центром в точке L касается

666
Варианты вступительных экзаменов
стороны CD и первой окружности. Найти площадь треугольника С ML,
если М — основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на
прямую, проходящую через точки К и L.
► 5. Линию, связывающую города ЛиБ, обслуживают самолеты трех типов.
Каждый самолет первого, второго и третьего типов может принять
на борт соответственно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5
контейнеров. Все самолеты линии могут принять на борт одновременно
760 пассажиров и 88 контейнеров. Найти число действующих на линии
самолетов каждого типа, зная, что их общее число не превосходит 8.
► 6. В пирамиде SABC ребра SC, ВС и АС равны соответственно ^^, 3 и 4.
Известно, что угол ABC тупой, ребро SC перпендикулярно к плоскости
основания ABC, а радиус окружности, описанной около треугольника
ABC равен -Д=. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через вершину S, точку пересечения медиан треугольника ABC
и центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Решить уравнение 2'*+11 = {уД)~2х+3-
„ Г 6sinx + 71ogv3 = -Ю,
► 2- Найти все решения системы уравнении <
I -5sinz + 21ogj; 3 = 0,5.
► 3. Решить неравенство л/-25ж2 + 15i - 2 ■ (8ж2 - Ьх + 1) ^ 0.
► 4. В окружность радиуса вписана трапеция ABCD, причем ее
основание AD является диаметром, а угол BAD равен |. Хорда СЕ пересекает
диаметр AD в точке Р такой, что АР : PD = 1:3. Найти площадь
треугольника ВРЕ.
► 5. В течение нескольких дней двое рабочих изготовляли специальные
детали, причем ежедневная выработка деталей у каждого рабочего была
постоянной. В итоге за все эти дни второй рабочий изготовил на к
деталей больше, чем первый, где число к удовлетворяет неравенствам
127 ^ к ^ 132. Если бы первый рабочий увеличил ежедневную
выработку в 2 раза, то за то же количество дней он изготовил бы на 77 деталей
больше, чем второй. Сколько дней рабочие изготовляли детали? Какова
была ежедневная выработка каждого из них?
► 6. В наклонной треугольной призме PQRPiQiRi площадь боковой грани
PPRR равна 64 см2, а косинусы двугранных углов при ребрах РР и
QQ равны соответственно *Ш и I. в эту призму помещена
треугольная призма DEFDEF так, что вершины D,E,F лежат на отрезках
PQ, QR,RP, а вершины D,E,F — на отрезках PQ,QiRi,RiP
соответственно. Известно, что призма DEFDEF имеет наименьшую пло-

1986 год
667
щадь боковой поверхности среди всех так расположенных призм. Найти
площадь боковой поверхности призмы DEFDEF.
Факультет психологии
9 2
► 1. Найти tg 2а, если sin а = ——.
VII
► 2. Решить уравнение /35 — Ъх — 9 — 2х.
► 3. Решить неравенство 3+2[*L| < 2.
► 4. В три сосуда налито по 1 кг различных растворов поваренной соли. Если
смешать 200 г первого раствора и 100 г второго раствора, то в
полученной смеси будет содержаться столько же соли, сколько ее содержится
в 100 г третьего раствора. Количества соли в трех растворах, взятые
в порядке номеров растворов, образуют геометрическую прогрессию.
Сколько граммов второго раствора нужно взять, чтобы в них
содержалось столько же соли, сколько ее содержится в 100 г третьего раствора?
► 5. В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой
окружности, параллельная стороне ВС, пересекает сторону АВ в точке D и
сторону АС в точке Е. Периметры треугольников ABC и ADE равны
соответственно 40 и 30 см, величина угла ABC равна а. Найти радиус
окружности.
>■ 6. Найти наибольшее из значений, которые принимает выражение х + Зу,
если х и у удовлетворяют неравенству х2 + ху + 4у2 ^ 3.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Решить неравенство х — 3 + ^f > 0.
► 2. Решить уравнение cos2a; + sin х — cos x.
► 3, Из заготовки, имеющей форму круглого цилиндра с диаметром
основания 20 см и высотой h вытачивается шар с диаметром h. При каком
значении h объем удаляемой части заготовки максимален?
► 4. В трапеции ABCD сторона АВ параллельна CD. Диагонали BD и АС
трапеции пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС является
равносторонним. Найти длину стороны ВС, если АВ = 5 см и CD = 3
см.
► 5. Имеются два ящика с яблоками, причем в первом ящике 15 яблок, а во
втором — 16 яблок. Разрешается проводить в любом порядке и в любом
количестве следующие операции:
а) увеличить на 2 число яблок в первом ящике и одновременно увеличить
на 1 их число во втором;

668
Варианты вступительных экзаменов
б) увеличить на 1 число яблок в первом ящике и одновременно увеличить
на 2 их число во втором;
в) уменьшить на 1 число яблок в первом ящике и одновременно увеличить
на 2 их число во втором;
г) уменьшить на 2 число яблок в первом ящике и одновременно
уменьшить на 1 их число во втором.
Можно ли, совершая такие действия, добиться того, чтобы
одновременно в первом ящике оказалось 50 яблок, а во втором — 25 яблок? Ответ
обосновать.
Философский факультет
► 1. Решить систему <
( 2х + 5у = -4,
5ж + 11у = 3.
► 2. Найти площадь ромба ABCD, если тангенс угла ABC равен /15, а длина
диагонали АС равна 4 см.
► 3. Решить уравнение 2 cos2 x + 3 sin х — 0.
► 4. Решить неравенство щ~п > щ^-
► 5. Найти все пары целы чисел х и у, удовлетворяющих системе
Г 2х2 + 2у2 - 12а; + 20у + 65 < 0,
 4ж + 2у > 3.
1987 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение cos (-4—) — ^
 Sill Ж / J-
► 2. Решить неравенство fogv^_v^(a;2 + ix + 11 — 4/3) < 2.
► 3. Радиус вписанной в треугапьник ABC окружности равен 4 см, причем
АС — ВС. На прямой АВ взята точка D, удаленная от прямых АС и ВС
на расстояние 11 см и 3 см соответственно. Найти косинус угла DBC.
*■ 4. Два поезда выехали одновременно в одном направлении из городов А и
В, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга, и одновременно
прибыли на станцию С. Если бы один из них увеличил свою скорость
на 25 км/час, а другой — на 20 км/час, то они также прибыли бы
одновременно на станцию С, но на 2 часа раньше. Найти скорости
поездов.

1987 год
669
► 5. Найти все пары значений а и Ъ, для которых система
Г х2 - у2 + а(х + у) = х — у + а,
1 х2 + у2 + Ъху - 1 = О
имеет не менее пяти решений (х,у).
► 6. Сфера касается ребер AS,BS,BC и АС треугольной пирамиды SABC
в точках K,L,M и N соответственно. Найти длину отрезка KL, если
MN = 7 см, NK = 5 см, LN = 2^29 см и KL = LM.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить систему уравнении <
[ х - 1 = (у/х + )у.
► 2. Существуют ли действительные значения а, для которых а2 — Аа + /3 =
—а/2? Если такие значения существуют, то сколько их?
► 3. Решить неравенство bg(-a,+1)2 8 + 31og4(x + 1) ^ 9|.
► 4. Решить уравнение (2 + 3 cos 2х) (у/2 cos 2z + 3 sin x + 3 — 2 sin a; + 1) = 0.
► 5. С завода на стройку нужно перевезти 24 больших и 510 маленьких
бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется автомашинами, каждая из
которых вмещает в себя 44 маленьких блока и имеет грузоподъемность
10 тонн. Вес маленького блока— 0,2 тонны, большой блок весит 3,6
тонны и занимает место 14 маленьких. Найти минимальное число рейсов,
достаточное для перевозки всех блоков.
► 6. В пирамиде ABCD проведено сечение KMLN так, что точка К лежит
на ребре AD, точка М — на ребре DC, точка N — на ребре АВ, точка
L — на ребре ВС. и О — точка пересечения диагоналей KL и MN
четырехугольника KMLN. Сечение KMLN делит пирамиду на две
части. Найти отношение объемов этих частей, если известны следующие
соотношения между длинами отрезков:
4 OL = 3 ■ ОК, 25 • ON = 24 ■ ОМ, DK ■ NA -KABN = KA- NA.
Физический факультет
► 1. Решить неравенство ^ ^ Т^хш
*■ 2. Решить уравнение 4silix + 2ъ~2япх = 18.
► 3. Известно, что sina = — 3 ' я < а < ^f- Найти cosa и tg ^.
► 4, Найти область определения функции у = . /logj/2(3х2 — 2х).
► 5. Внутри прямоугольного треугольника ABC {угол В прямой) взята
точка D так, что площади треугольников ABD и ВВС соответственно в три
и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Длины отрезков AD
и DC равны соответственно а и с. Найти длину отрезка BD.

670
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Шар, радиус которого равен 2, вписан в правильную четырехугольную
пирамиду SABCD с вершиной S. Второй шар радиуса 1 касается
первого шара, основания пирамиды и боковых граней BSC и CSD. Найти
объем пирамиды и величину двугранного угла при боковом ребре SC.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение (1 + 2 sinx) sin х — sin 2х + cos ж.
► 2. Решить неравенство 4Iog2 х + bg2 ( 8(а-;п 1^4 — Iog2(x — 1) — Iog2 x.
*■ 3. Стороны треугольника лежат на осях координат и на касательной к
графику функции у — х2 +2х +1 в точке, абсцисса а которой удовлетворяет
условию —  < а ^ 0. Найти значение а, при котором площадь
треугольника будет наибольшей.
► 4. Основанием четырехугольной пирамиды FABCD является квадрат
ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ
перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит
на отрезке АС и делит его в отношении АО : ОС = 7- Найти разность
объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что угол ADF равен
90°, а,АВ = а.
► 5. Найти все значения р, при каждом из которых множество решений
неравенства (р — х2)(р + х — 2) < 0 не содержит ни одного решения
неравенства х2 ^ 1.
Биологический факультет
*■ 1. Решить уравнение 7 sin (2x — ^-) + 9 cos ж +1 = 0.
► 2. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему
отправляется катер из пункта В, расположенного ниже по течению, чем
пункт А. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по
течению. Найти, какую часть пути от Л до В пройдет плот к моменту
возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде
вчетверо больше скорости течения реки.
► 3. Решить неравенство 2'-^о°'Л *% > 2Iog05x + 1.
► 4. Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р — середина боковой
стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2-CD —
3 • RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найти площадь
треугольника APQ, если AD = 2 - ВС.
*■ 5. Найти все значения а, при которых система
Г 9ж2 - Qxy + у2 + 6х - 13у + 3 = 0,
1 13ж2 + Qxy + 10у2 + 16s + 2у - Аах - бау + а2 - 2а + 3 = 0
имеет хотя бы одно решение.

1987 год
671
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение 5sm2x = sin 9а; — sin5z.
► 2. Решить неравенство у/2х + 3 ^ ж.
► 3, Один турист преодолевает расстояние 20 км на 2,5 часа быстрее, чем
другой. Если бы первый турист уменьшил свою скорость на 2 км/час, а
второй увеличил свою скорость в 1,5 раза, то они затратили бы на тот
же путь одинаковое время. Найти скорость второго туриста.
► 4. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в
точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через
точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найти
радиус второй окружности, если АВ — 4.
► 5. Найти такое значение х из промежутка — 1 ^ х ^ 2, что точка с
абсциссой х и ординатой у — w4 — 2х — х2 + |ж3 удалена на наименьшее
расстояние от начала координат.
Геологический факультет
► 1. Найти диагональ ромба, если его сторона равна стороне
равностороннего треугольника с площадью 25v3 см2, а другая диагональ равна 16
см.
► 2. Решить уравнение 2 sin2 ж — 3cosx — 0.
► 3. Решить неравенство ~j ^ — 2.
„ Г Зж + у = 30,
► 4. Решить систему уравнении <
I Iog3 х + log3 у = 3.
► 5. Двое рабочих изготовили по 60 одинаковых деталей. Первые 30 деталей
каждый из них делал с постоянной производительностью, которая у
второго рабочего была на 20% выше. Затем первый рабочий стал делать
больше на 2 детали в час, а второй — на 3 детали в час. Первый рабочий
затратил на выполнение всего задания не менее 5 часов 30 минут, а
второй — не более 4 часов 30 минут. Сколько деталей в час делал второй
рабочий при выполнении первой половины задания?
► 6. На продолжении ребра ST за точку Г правильной четырехугольной
пирамиды SPQRT с вершиной S взята точка В так, что расстояние
от этой точки до плоскости SPQ равно ^р- см. Найти длину отрезка
ВТ, если QR = 12 см, a SR = 10 см.

672
Варианты вступительных экзаменов
Географический факультет
► 1. Решить уравнение Iх - 14 • 7~х - 3 °g3 + 3.
► 2. Решить неравенство у2 + 3]у[ < 10.
► 3. Через вершины А и В треугольника ABC проведена окружность радиуса
2у 5 см, отсекающая от прямой ВС отрезок 4/5 см и касающаяся прямой
АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до
пересечения с прямой АС в точке F. Найти площадь треугольника ABC,
если BF = 2 см.
k/1 „ u Г sin(2ar + sO = 0,
► 4. Найти все решения системы < удовлетворяющие услови-
I cos(x + y) = 1,
ЯМ — 7Г ^ £ ^ 7Г, —27Г ^ у ^ — 7Г.
► 5. Найти все натуральные значения Ь, при каждом из которых выражение
— имеет смысл для всех пар чисел (ж,у), где х < 0 и у < 0, для
ж + у + о
которых выражение lg(xy — b) также имеет смысл.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Решить уравнение cos2z + 3/2sm:c — 3 = 0.
► 2. В магазине продано 12 тонн орехов трех сортов по цене соответственно 2
руб., 4 руб., и 6 руб. за 1 кг на общую сумму 42 тыс. руб. Известно, что
количества тонн проданных орехов соответственно первого, второго и
третьего сортов образуют арифметическую прогрессию. Сколько тонн
каждого сорта орехов продано в магазине?
► 3. Решить неравенство я~з I] ^ 2.
► 4. Решить неравенство  log^.j (х2 — 8х + 16) + Iog4_:E(—х2 + 5ж - 4) > 3.
► 5. В треугольнике ABC точка К на стороне АВ и точка М на стороне АС
расположены так, что АК : KB = 3 : 2 и AM : МС — 4:5. Найти
отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно
стороне ВС, делит отрезок ВЫ.
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Решить уравнение (2 sin ж - l)Jcos [х + ) — 0.
► 2. В магазине продано 10,5 тонн орехов трех сортов по цене соответственно
2 руб., 4 руб., и 6 руб. за 1 кг на общую сумму 33 тыс. руб. Известно,

1987 год
673
что количества тонн проданных орехов соответственно первого, второго
и третьего сортов образуют геометрическую прогрессию. Сколько тонн
каждого сорта орехов продано в магазине?
*■ 3. Решить неравенство I _*! ^ ^ 2.
► 4. Решить неравенство | log;r_1(x2 — 8а: + 16) + Iog4_;r(—х2 + 5ж - 4) > 3.
► 5. В треугольнике ABC точка К на стороне АВ и точка М на стороне
АС расположены так, что АК : KB = 2 : 3 и ЛМ : МС = 4:5.
Найти отношение, в котором точка пересечения прямых КС и ВМ дачит
отрезок ВМ.
*■ 6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
Г 3 • 21*1 + 5|ж| + 4 = Зу + ох2 + За,
х2+у2 = 1
имеет единственное решение.
Факультет психологии
► 1. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 3/2 больше,
чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее
третьему члену, умноженному на 4. Найти ее четвертый член, если
известно, что знаменатель прогрессии положителен.
► 2. Решить уравнение log2(a;2 — 2х - 1) — log2 (х — |) = 1.
► 3. Бригада маляров белила потолки в классе и в актовом зале школы,
причем площадь потолка в актовом зале в три раза больше, чем площадь
потолка в классе. В той части бригады, которая работала в актовом
зале, было на б маляров больше, чем в той части, которая работала в
классе. Когда побелка всего потолка в актовом зале закончилась, та
часть бригады, которая была в классе, еще работала. Какое наибольшее
число маляров могло быть в бригаде, если все они начали работать
одновременно и работати с одинаковой производительностью?
► 4. Решить уравнение w | — cos ж — д/| — cos3x.
► 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагоначи пересекаются в точке
О. Площади треугольников ВО С, COD, AOD равны соответственно
20 м2, 40 м2, 60 м2. Найти угол ВАС, если известно, что АВ — 15 м,
АО - 8 м, а угол BOA больше 31°.
► 6. Доказать, что все решения неравенства у/х — 1 + Jx2 — 1 > 2
удовлетворяют неравенству х + 2/х — 1 + УхА — 2х2 + 1 > 1 + 2/х2 — 1.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Решить уравнение 2 cos 2х + 4 cos х — sin2 x.

674
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Решить уравнение log5_;E2(2a;2 — 8а: - 2) = 1 + logg.^ 2.
► 3. Решить неравенство
/2х2 + 15я - 17 > х + 3.
► 4. Медианы AM и В£ треугольника АЕ?С пересекаются в точке О. Точки
О, М, Е,С лежат на одной окружности. Найти АВ, если BE — AM = 3
см.
► 5. Решить неравенство
9 l+Iog3(a: + 6)
Зх + 2 i
1988 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение / — cos2o: = sin2a
► 2. Решить неравенство Iog5!r_4.,.2 4-л: > 0.
► 3. В параллелограмме PQRS биссектриса угла при вершине Р, равного
80°, пересекает сторону RS в точке L. Найти радиус окружности,
касающейся отрезка PQ и лучей QR и PL, если известно, что PQ = 7.
► 4. Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен arccos -^.
Точки Е и F являются серединами отрезков АВ и CD соответственно, а
прямая EF перпендикулярна прямым АВ и CD. Найти угол АСВ, если
известно, что АВ = 2у/5, CD = 2/7 и EF = vl3.
► 5. Два мотоциклиста стартовали раздельно в одной точке стадиона в
гонке на 30 кругов, причем второй начал движение, когда первый прошел
полкруга. Один из зрителей вышел со стадиона, когда мотоциклисты
были рядом. Когда через 4 мин он вернулся, мотоциклисты снова были
рядом. Если бы первый мотоциклист после 14 кругов увеличил скорость
в 4 раза, а второй мотоциклист после 12 кругов — в два раза, то они
финишировали бы одновременно. Определить, с какой разницей во
времени финишировали мотоциклисты, если пришедший первым проезжал
за минуту более 5 кругов.
► 6. Найти все значения а, при которых система
{sin х sin у — ^,
Ы+у)2
coszcosy^-^^r,
• i  2(х+у)
8Ш(Ж - у) = J—fr
имеет одно решение, удовлетворяющее условиям 0<|/^|иг>0.

1988 год
675
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если
известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и
восемнадцатого ее членов равна 10.
► 2. Решить уравнение cos7x 4- cos a; = 2cos3a;(sin2a; — 1).
► 3. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника ABC является хордой
окружности радиуса 10. Вершина С лежит на диаметре окружности,
который параллелен гипотенузе. Угол CAB составляет 75°. Найти
площадь треугольника ABC.
► 4. Решить неравенство 8х > 6 ■ Э^-1'.
► 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
а~ а ) =0
имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а
другой не превосходит — 1.
► 6. Сфера с центром в точке О пересечена плоскостью Р. Внутри сферы
расположены три шара, два из которых одного радиуса, а третий —
меньшего радиуса. Каждый из шаров касается двух других шаров,
плоскости Р и сферы. Известно, что синус угла между плоскостью,
проходящей через центры шаров и плоскостью Р равен —щ, а косинус
угла между радиусами меньшего и большего шаров, проведенными в
точки касания их со сферой, равен |. Расстояние от центра меньшего
шара до точки О равно 15. Найти расстояние от точки О до плоскости
Р, если известно, что оно больше 14.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение cos2a; + 8 sin x — 3.
► 2. В прямоугольном треугольнике величина острого угла равна а, а радиус
окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Найти длину
высоты треугольника, опущенной на гипотенузу.
► 3. Решить уравнение /4 — 6ж — х2 — х + 4.
► 4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону
CD в точке М такой, что DM : МС = 2:1. Известно, что величина
угла САМ равна а. Найти величину угла BAD.
( аху + х — у + |=0,
► 5. При каких значениях а система < имеет един-
t x + 2y + xy + l-Q
ственное решение?

676
Варианты вступительных экзаменов
*■ 6. В треугольной пирамиде SABC (S —■ вершина) угол АС В прямой,
АС = 3, ВС = 4, SC — /38. Боковые грани пирамиды одинаково
наклонены к основанию ABC. В пирамиду вписан цилиндр, площадь боковой
поверхности которого равна ^. Нижнее основание цилиндра находится
в плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего основания
имеет ровно по одной точке с каждой из боковых граней пирамиды. Найти
радиус основания цилиндра.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение log5(x — 8)2 = 2 + 2log5(x - 2).
*■ 2. Решить уравнение f-jz cos ж — 1 + sin x = 0.
► 3. Найти точку графика функции у — х2 + |, ближайшую к точке (|, 1).
► 4. В треугольник ABC с длиной стороны ВС, равной 9, вписана
окружность, касающаяся стороны ВС в точке D. Известно, что AD = DC и
косинус угла ВС А равен 2/3. Найти длину стороны АС.
► 5. Найти все значения параметра а, при которых системы уравнений
Г х + 2у = 2 - а, ( х2 - у4 - 4х + 3 = О,
-х + ау = а~2а2 И  2я2 + у2 + (а2 + 2о - 11)х + 12 - 6а = О
равносильны.
Биологический факультет
*■ 1. Найти наименьший положительный корень уравнения 4 sin 3z sin x +
2cos2z+ 1 = 0.
► 2. Решить неравенство 2Iog^y2 2 + log^ (2я;2_1 - |J < log^ 31.
► 3. Для наполнения бассейна были одновременно включены две трубы с
постоянной интенсивностью подачи воды. Они наполнили бассейн за 1
час 12 мин. В одиночку одна из труб наполняет бассейн на 1 час быстрее
другой. Найти время, за которое наполнила бы бассейн каждая из труб
в одиночку.
► 4. Площадь треугольника ABC равна 2/3 — 3, а угол ВАС равен 60°.
Радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ
и АС равен 1. Найти углы ABC и АС В данного треугольника.
► 5. Решить систему
j (2cos ¥ - v^sin *l*-*V-»^ . (iog2 ^3 - z2 - у2 + 2у - y/2) = 0,
x/3cos f + sin ^^ = ^3cos UlE^l.


1988 год
677
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение 3cos:c + 2tga; = 0.
► 2. Диаметр АВ окружности продолжили за точку В и на продолжении
отметили точку С. Из точки С провели секущую под углом к АС в
7°, пересекающую окружность в точках D и Е, считая от точки С.
Известно, что DC — 3 см, а угол ВАС равен 30°. Найти диаметр
окружности.
► 3. Решить уравнение 3 • 4х - 7 ■ 10* + 2 ■ 25* = 0.
► 4. Два вида удобрений -- Aw. Б — отличаются весовым содержанием азота,
калия и фосфора. В удобрении А азота содержится в 3 раза, а фосфора
в 2 раза больше по весу, чем калия. В удобрении Б соответственно азота
в 5/3 раза больше, а фосфора в 1,5 раза меньше, чем калия. Можно ли
за счет смешивания удобрений Aw. Б приготовить удобрение, в котором
азота в 2 раза, а фосфора в 3 раза больше, чем калия?
► 5. При каких значениях параметра р система
Г х2 +2px + Zp2 + 3p+3 ^ 3siny-4cosy,
I 0 ^ у < 2тг
имеет единственное решение?
Геологический факультет
► 1. Решить уравнение (х — 2) (|ж| 4- л/3 - 1 — ~тщ) = 0.
► 2. Найти все решения неравенства (ж2 + 8ж + Ь)у/х + 4 > 0.
► 3. Решить уравнение (2х2 — Ьх + 2)(log2;i.(18x) 4-1) = 0.
► 4. Точка О лежит на отрезке АВ так, что АО — 13, ОВ = 7. С центром
в О проведена окружность радиуса 5. Из Л и В к ней проведены
касательные, пересекающиеся в точке М, причем точки касания лежат
по одну сторону от прямой АВ. Найти радиус окружности, описанной
вокруг треугольника АМВ.
► 5. Путь из А в В проходит первые 80 км по шоссе, а оставшиеся 120 км —
по грунтовой дороге. Первую часть пути автобус проезжает на 2 часа
быстрее, чем вторую.
Автобус совершил более четырех рейсов по маршруту из А в В и
обратно. На это, включая стоянки в конечных пунктах, ушло менее
одной недели (т.е. менее 168 часов). За время, которое он провел при
этом в движении, автобус мог бы проехать 2100 км, если бы двигался
со скоростью, средней арифметической между скоростями движения по
шоссе и грунтовой дороге. Найти скорости движения автобуса по шоссе
и по грунтовой дороге.

678
Варианты вступительных экзамемов
*■ 6. Найти все действительные значения параметра а, при каждом из
которых область значений функции у = ""j^-'ob л содержит отрезок [1,2].
Географический факультет
► 1. Найти область определения функции у — log.,, (ж2 4- Зж + 2).
► 2. Решить неравенство 3^ — З2 > /3 — 1-
► 3. Из пункта А в пункт С, находящийся на расстоянии 20 км от А, выехал
грузовик. Одновременно с ним из пункта В, расположенного между А и
С на расстоянии 15 км от Л, в пункт С вышел пешеход, а из С навстречу
им выехал автобус. За какое время грузовик догнал пешехода, если
известно, что это произошло через полчаса после встречи грузовика с
автобусом, а пешеход до встречи с автобусом находился в пути втрое
меньше времени, чем грузовик до своей встречи с автобусом?
► 4. Треугольная пирамида ABCD пересекается с плоскостью Р по
четырехугольнику EFGH так, что вершины Е и F лежат на ребрах АВ и АС и
длина отрезка EF равна 1 см. Известно, что плоскость Р параллельна
противоположным ребрам AD и ВС, которые равны соответственно 4
см и 2 см. Найти периметр четырехугольника.
*■ 5. Доказать, что при всех х > 0 выполняется неравенство ж'2 4- 7гж +
^7rsinx > 0.
Экономический факультет
(отделение политической экономии)
► 1. Какое из чисел больше, fyA + /2 или 3? Ответ должен быть обоснован.
*■ 2. Решить неравенство х + у/х2 + х — 6 > — 1.
► 3. Решить уравнение sin (х + ~) cos {Ах — f) = cosxcos2x.
*■ 4. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
соотношением у — х2 + у + |ж2| ^ 2 + х.
► 5. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка D так, что длина
отрезка AD равна 3, косинус угла BDC равен 13/20, а сумма углов
ABC и ADB равна 7г. Найти периметр треугольника ABC, если длина
стороны ВС равна 2.
► 6. Найти все значения параметра о, при которых неравенство
|3 sin2 х + 2а sin x cos х + cos2 х + а ^ 3
выполняется для любых значений х.

1988 год
679
Экономический факультет
(отделение планирования и экономической кибернетики)
► 1. Какое ил чисел больше, / + /2 или 3? Ответ должен быть обоснован.
► 2. Решить уравнение /3 sin 2х + 2 sin2 х — 1 = 2 cos х.
► 3. Решить неравенство ^+м^±гх±и > L
► 4. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
соотношением у — |ж21 + у + |х21 ^ 2 + .т.
► 5. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка D так, что длина
отрезка AD равна 3, косинус угла ВВС равен 13/20, а сумма углов ABC
и ADB равна 7г. Найти периметр треугольника ABC, если длина стороны
ВС равна 2.
► 6. Найти все значения параметра а, при которых любой корень уравнения
а(2а — 1) sin3 х + 3 cos3 х - 2а'2 sin х — 0
является корнем уравнения
log1/2(3tg2:-l) -log2(3tgz + l)-log1/Va(5-tgar) = 1
и наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого
уравнения.
Факультет психологии
* 1. Найти все решения уравнения 1 — sin | — cos x.
*■ 2. Найти все решения уравнения 323^ ~8) = gi9(2z-z j
► 3. Найти все значения х, при которых выполнено неравенство
2z-ll< 2/36-ж2.
► 4. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два
товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились через 24 часа
после начала движения и продолжали свой путь, причем первый поезд
прибыл в пункт В на 20 часов позднее, чем второй поезд прибыл в А.
Сколько времени был в пути первый поезд?
► 5. В треугольнике ABC на сторонах АВ и АС выбраны соответственно
точки Bi и Си так, что АВг : АВ - 1 : 3 и ACi : АС = 1 : 2. Через
точки А, В и С проведена окружность. Через точку В проведена
прямая, пресекающая отрезок АС в точке D, а окружность — в точке Е.
Найти площадь треугольника В_СЕ, если АС — 4, AD = 1, DE = 2, а
площадь треугольника ABC равна 12.
*• 6. Найти наибольшее значение величины а, при котором неравенство
ау/а(х2 - 2х + 1) + -=—~ й Va3 sin -x
х* — 2.x + 1 2

680
Варианты вступительных экзаменов
имеет хотя бы одно решение.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1 Вычислить log:! 24 - log3216
*■ 1. вычислить logr23 ]ogg3 ■
► 2. Решить систему уравнений <
( 3|х + 1| + 2|у-2| = 20,
х + 2у = 4.
► 3. Найти все решения уравнения sin 4а: + 2 cos2 а; = 1, удовлетворяющие
условию х < 1.
► 4. Окружность, проходящая через точку D и касающаяся сторон АВ и
ВС равнобедренной трапеции ABCD, пересекает стороны AD и CD
соответственно в точках М и N. Известно, что AM : DM - 1 : 3 и
CN : DN —4:3. Найти длину основания ВС, если АВ = 7, и AD = 6.
► 5. Через некоторое время после начала работы первая бригада собрала
на 2 автомобиля больше, чем вторая. Затем вторая бригада увеличила
производительность труда в 1,1 раза и, собрав на втором этапе работы
целое число автомобилей п, догнала первую, работавшую все время с
постоянной производительностью. Найти наименьшее возможное целое
число п.
1989 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение. 1 + 2|sina:| = 2 cos 2a:.
-1-чД
+ Z-
г2
► 2. Решить неравенство. ig(4a!+i)-ig5 ^ °-
► 3. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол С равен
45°, причем прямая CD касается окружности, описанной около
треугольника ABD. Найти площадь параллелограмма ABCD.
► 4. Решить систему уравнений
i х
logy х- 21ogTy = 1,
2 + 2у'2 = 3.
► 5. Отрезок EF параллелен плоскости, в которой лежит прямоугольник
ABCD, причем EF — 2, АВ = 4. Все стороны прямоугольника ABCD и
отрезки АЕ, BE, CF, DF, EF касаются некоторого шара. Найти объем
этого шара.
► 6. Найти наибольшее из значений z, для которых существуют числа х, у,
удовлетворяющие уравнению 2а:2 + 2у2 + z2 + ху + xz + yz — 4.

1989 год
681
Факультет вычислительной математики и кибернетики
*■ 1. Можно ли разместить равносторонний треугольник со стороной 3
внутри круга радиуса v^lO?
► 2. Решить уравнение 8/12 + 1бх - 16ж2 + 4х — 4х2 = 33.
► 3. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из
пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут — мотоциклист,
пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без
остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что
к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до
В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист,
если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?
м _3,[ / 1+2n/31 sin д., ч.
► 4. Решить неравенство l^|cosx| lcosj;l  8(1-2 cos^i) / .
► 5. Найти все значения параметра о, при которых уравнение
,2 , л„2
( а2 + 47Г2 + 4 
°Н 4х - х2 - 2{а - 2к)х - 2| + Aira)
- у/{х - 5а + Ютг - 34)(|тг - х - а + тг + 2) = 0
имеет по крайней мере одно целочисленное решение.
► 6. В пирамиде SABC основание Н высоты SH лежит на медиане СМ
основания ABC. Точка О, являющаяся серединой высоты SH, находится
на одинаковом расстоянии от точки S, точки Е, лежащей на ребре SA,
и точки F, лежащей на ребре SB. Известно, что SH = 8, АВ =
16Л/2, EF = 8^1, угол SMC не превосходит 30°, а расстояние между
серединами ребер АВ и SC равно 4%/l3. Найти радиус сферы, вписанной
в пирамиду SABC.
Физический факультет
*■ 1. Решить уравнение cos ж —cos Зж = у/7 sin 2x.
► 2. В треугольнике известны длина а одной из сторон и величины а и /3
прилегающих к ней углов. Найти площадь треугольника.
► 3. Решить уравнение | log2 х2 + Iog2(x — 6) = 4.
► 4. В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте
пирамиды равно 2. Найти отношение радиуса вписанного в пирамиду
шара к стороне основания пирамиды.
** 5. При каких значениях р уравнение 4{х~ у/р • 4р)х + 4(4р — 1)+р — 0 имеет
корни и каковы знаки корней при различных значениях р?

682
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей
радиусов R и г пересекает их общую касательную в точке С (где А лежит
между В и С, а М и N — точки касания). Найти:
1) радиус окружности, проходящей через точки А,М и iV,
2) отношение расстояний от точки С до прямых AM и AN.
Химический факультет
► 1. Решить неравенство -^^ > 2.
► 2. Последоватачьность чисел 0]_,а2,аз,.. ■ является арифметической
прогрессией. Известно, что а + а5 + Ois = 3. Найти аь + щ.
► 3. Решить уравнение log2(3sinx — cosa;) + Iog2(cos:r) — 0.
► 4. Параллелограммы ABCD и A'BCD' имеют общую сторону ВС и
расположены симметрично относительно прямой ВС (точка А' симметрична
точке А, точка D' симметрична точке D). Диагональ BD первого па-
раилелограмма и сторона В А' второго параллелограмма лежат на одной
прямой. Угол между диагоналями АС и А'С двух параллелограммов
равен 45°. Площадь пятиугольника ABCD'A' равна 15V2 м2. Найти
длины сторон параллелограмма ABCD.
► 5. Решить уравнение (2х + 1)(2 + ^/(2х + I)2 + 3) + Зз;(2 + >/9аг2 + 3) = 0.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение Iog49(2z2 + х — 5) + logj ,7(1 + х) — 0.
► 2. Найти наименьшее значение функции f(x) = ■2x-i-9x^+i2x+i на отРезке
О^х <3.
► 3. Решить уравнение sin ж(3 sin 2a:-sin3 rc + 12sm2x-smx — 16cosx)+2sin4:r =
0.
*■ 4. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF.
Из точки К, лежащей на продолжении стороны AF так, что К А < KF
и К А — -у/ТГ — 1, проведена секущая КН, пересекающая окружность
в точках Л' и Н. Известно, что внешняя часть секущей KN равна 2
(KN = 2), а угол NFH тупой. Найти угол HKF.
*■ 5. Числа х, у, z таковы, что х2 + Зу2 + z2 = 2. Какое наибольшее значение
может принимать выражение 2х + у — z?
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение sin2zcos2z — sinzcosa; = 0.
► 2. Из пункта А в пункт Б автомобиль доехал за 5 часов, двигаясь в пределах
населенных пунктов со скоростью 60 км/час, а по шоссе вне населенных

1989 год
683
пунктов — со скоростью 80 км/час. Обратный путь из Б в А занял 4
часа 36 минут. При этом в пределах населенных пунктов автомобиль
двигался со скоростью 50 км час, а по шоссе — 90 км/час. Каково
расстояние между пунктами А и Б.
► 3. Решить неравенство ogx+2(2x2 + х) < 2.
► 4. В прямоугольном треугольнике ABC длина катета АВ равна 4, а длина
катета АС равна 3. Точка D делит гипотенузу ВС пополам. Найти
расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник
ADC и в треугольник ABD.
► 5. Решить неравенство (х2 - Ах + 3) logj ,^д (cos2 ттх + cos x + 2 sin2 |) ^ 2.
Геологический факультет
► 1. Определить, какое из чисел больше, 2og1i2  или 31og8 26.
► 2. Решить неравенство х ^ jrx-
► 3. Найти все решения уравнения -~?~г = 1 — cos 2а; на отрезке [|-, ^-].
► 4. В треугольнике ABC проведена биссектриса CD, при этом величины
углов ADC и CD В относятся как 7:5. Найти длину AD, если известно,
что ВС — 1, а угол ВАС равен -|.
► 5. В баке находится 100 литров смеси кислоты с водой. Из бака отлили
часть смеси и добавили равное по объему количество воды, которое
на 10 литров превышает первоначальное количество кислоты в смеси.
Затем снова отлили такое же количество смеси, как в первый раз, в
результате чего количество кислоты в баке уменьшилось в четыре раза
по сравнению с количеством ее в исходной смеси. Определить количество
воды в исходной смеси.
► 6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
(a2 -6a + 9)(2 + 2sinx-cos2z) + (12а - 18 - 2а2)(1 +sinz) + а + 3 = 0
не имеет решений.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение sin (х — |) = cos (2x — 2^L).
► 2. Из пункта А в пункт В, находящийся в 12 км от А, по горной дороге со
скоростью 6 км/час поднимается в гору пешеход. Одновременно с ним
из пункта А в пункт В выехал автобус. Доехав до пункта В менее, чем за
1 час, автобус поехал обратно навстречу пешеходу и встретил его через
12 минут после начала движения из пункта В. Найти скорость автобуса
на подъеме, если известно, что она в два раза меньше его скорости на
спуске.
► 3. Решить неравенство iog10_r!.2 {^-х — ж2) < 1.

684
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Даны четыре точки Л, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Сфера
касается прямых АВ и AD в точке А, и прямых ВС и CD в точке С.
Найти площадь сферы, если известно, что АВ = 1, BD — 2, ZABC —
/.BAD = 90°.
► 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD.
Известно, что AD — 2, ZABD — ZACD — 90° и расстояние между
точкой пересечения биссектрис треугольника ABD и точкой пересечения
биссектрис треугольника ACD равно у/2. Найти длину стороны ВС.
Экономический факультет
► 1. Найти область определения функции у — — ~9—
V-x2 + x+20'
> 2. Вычислить 1^Щ - 1^42.
log30 5 log6 5
► 3. Решить уравнение ||3 — х — х + 1| + х = 6.
►
4. Найти все решения уравнения tg(4sm:c) = у/Ъ, удовлетворяющие
условию £ < х < 37Г
2 ^ •" ^ 2 •
► 5. Окружность проходит через вершины Л и С треугольника ABC,
пересекает сторону ЛВ в точке D и сторону ВС в точке Е. Найти величину
угла CDB, если AD = 5, АС = 2/7, JBE = 4, ££> : СЕ = 3 : 2.
► 6. Решить в целых числах уравнение 9х2у2 + бху2 — 9х2у + 2х2 + у2 — 18ху +
7х - 5у + 6 = 0.
Факультет психологии
► 1. Решить неравенство х + 2 < —г^-
*■ 2. Решить уравнение [cos2 | - | [ = 5 cos ж + 1.
k о и - - / 1о^ 25 + 2У = 2,
► 3. Найти все решения системы уравнении <
1-(1о8я0,2)3 + у = 1-
*• 4. В четырехугольнике ABCD расположены две непересекающиеся
окружности так, что одна из них касается сторон АВ,ВС и CD, а другая
сторон АВ, AD и CD. Прямая MN пересекает стороны АВ и CD
соответственно в точках М и N и касается обеих окружностей.
Найти расстояние между центрами окружностей, если периметр
четырехугольника MBCN равен 2р, сторона ВС равна а и разность радиусов
окружностей равна г.
► 5. При каждом значении параметра а найти все решения неравенства х +
2а - 2/Зах + а2 > 0.

1990 год
685
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Решить уравнение 2 cos (2х — |) + 1 = cos (х + |) .
► 2. Решить неравенство V2x2 + х > 1 + 2х.
*■ 3. Решить уравнение log2:E+2(2£2 — 8z + 6) = 2.
► 4. В круге с центром О хорда АВ пересекает радиус ОС в точке £>, причем
угол CD А равен ^р. Найти радиус окружности, касающейся отрезков
AD, DC и дуги АС, если АС = 2 см, 0D = ^/З см.
► 5. Найти все значения а, при каждом из которых существует единственная
тройка чисел (х, у, z), удовлетворяющая равенствам x + y + z = x2+ Ay2
и х + 2у + Зг = а.
Философский факультет
► 1. Решить неравенство х~ 1"^+6 < О-
► 2. Решить уравнение log3(/12 + z — 2) = | Iog3(rc + 2).
► 3. Обнаружив в 64 метрах от себя уползающую черепаху, Ахиллес начал ее
преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав свое
превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с
начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи,
причем движение Ахиллеса и черепахи происходило по одной прямой?
► 4. Найти наибольшее значение функции у(х) = х3 — ~х на отрезке
[-1,1,+1,1].
► 5. Найти все пары значений (а,/3), при каждой из которых система
уравнен™ ( {а + 0)х + 26у = 2,
1 8х+{а2 -аР + 02)у = 4
имеет бесконечно много решений.
1990 год
Механико-математический факультет
*■ 1. В треугольнике ABC сторона ВС равна 6, сторона АС равна 5, а угол
при вершине В равен 30°. Найти площадь треугольника, если расстояние
от вершины А до прямой ВС меньше, чем ^=.

686
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Решить уравнение 2х~2в'шх = (y/2)x^inxK
*■ 3. Решить неравенство ^Д7-1 ^ х.
► 4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2 —
2osin(cosx) + а2 — 0 имеет единственное решение.
► 5. Найти все тройки целых чисел (х,у, г), удовлетворяющие неравенству
Iog2(2z+3j/-62 + 3) + log2(3a:-5y + 2z-2)+log3(2y+4«-5x + 2) > z2-9z + 17.
► 6. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со
стороной 2/3, и SA = SB — SC = /7. В трехгранный угол при вершине
С вписана сфера Si. Сфера £2, радиус которой втрое больше, чем у
сферы Si, касается сферы Si, плоскостей SAC и ABC. При этом отрезок
прямой SB, заключенный внутри сферы 5*2, имеет длину Д?. Найти
радиус сферы 52.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить неравенство log^a^S < 1.
*■ 2. Числа oi,a2,... , а;и образуют арифметическую прогрессию. Известно,
что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше
суммы членов с четными номерами. Найти а^, если а2о = Зад-
► 3. Решить уравнение 3 ■ 642з1"2(г+^) - 392 • 8si(i2x + 16 = 0.
► 4. Решить неравенство л/9г>2 — 48г? — 21 + V9v2 — 51v — 15 ^ |3г> - 6|.
► 5. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен ^^-.
Окружность радиуса |К§ касается лучей, образующих угол АС В, и вписанной в
треугольник ABC окружности. Найти тангенс угла ABC, если площадь
треугольника ABC равна 3V15, а наибольшей из его сторон является
сторона АС.
*■ 6. Найти все значения параметра а, при которых для любых значений
параметра Ъ неравенство
/Юа + ЗЬ + ЗГ
Euge Ш
36/Ч—Б 1 *'-»*-»-!
£
/36 /10а + Зб + 41 , , , ч ,
<Ioge f — l + f 5 J x2 - (6Ь + 2)x + 9b2 + 15b + 3
имеет хотя бы одно решение.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение х2 — 6|ж| — 2 = 0.
► 2. В равнобедренном треугольнике медиана к боковой стороне имеет длину
I и образует с основанием угол 0. Найти площадь треугольника.
► 3. Решить уравнение sin x sin Ъх — cos Ax.

1990 год
687
► 4. На стороне ВС треугольника BCD взята точка А так, что В А = АС,
ZCDB = a, /.BCD - p,BD = b. Пусть СЕ высота треугольника BCD.
Окружность проходит через точку А и касается стороны BD в точке Е.
Найти радиус; этой окружности.
► 5. Определить, при каких к уравнение logy-j—р(4£ + к) — 4 имеет решения
и найти все эти решения.
► 6. В правильной треугольной пирамиде SPQR отношение высоты QT
основания PQR к апофеме пирамиды равно к. Конус с вершиной Q и
образующей QT касается своей боковой поверхностью основания PQR и
боковых граней PSQ и RSQ пирамиды. Найти: 1) отношение площади
боковой поверхности конуса к площади основания пирамиды; 2) в каких
пределах может изменяться это отношение при изменении к; 3) при каких
fc основание конуса имеет точки, находящиеся вне пирамиды?
Химический факультет
► 1. Решить уравнение 4Ж + 3 • 2Х+2 ~ 64.
► 2. Решить уравнение 2 sin2 х + sin2 2х — | - 2 cos 2x.
► 3. Вычислить площадь и периметр треугольника, образованного осями
координат и касательной, проведенной к графику функции у — asinx
(а > 0) в точке х) = — '^,
► 4. Два насоса, работая вместе, наполняют бассейн водой за 10 часов.
Половину бассейна первый из них может наполнить за время, на 7,5 часов
меньшее, чем второй. Первый насос включили в 6 часов, второй -- в 8
часов. В 12 часов в бассейне было 400 м3 воды. Какова емкость бассейна?
► 5. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами АВ — 0 и ВС — 9. Высота пирамиды проходит через точку О
пересечения диагоналей АС и BD основания и равна 3-у3-. Точки Е и
F лежат на ребрах АВ и AD соответственно, причем АЕ = 4, AF — 6.
Найти площадь многоугольника, полученного при пересечении
пирамиды с плоскостью, проходящей через точки Е и F и параллельной ребру
'AS.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение 3cos2a: = 4 — 11 cosz.
-х
► 2. Решить неравенство 92а+0'5 - 10 ■ 27 3* > ^-.
*• 3. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, одновременно
навстречу друг другу выехали грузовой и легковой автомобили. Через
4 часа после начала движения они встретились. После встречи легковой
автомобиль, едущий из А в В, увеличил свою скорость на 15 км/час, а

688
Варианты вступительных экзаменов
грузовик увеличил свою скорость на 30 км/час. Определить
первоначальную скорость легкового автомобиля, если известно, что он прибыл
в пункт В на 1 час раньше, чем грузовик прибыл в пункт А.
► 4. Из точки М на окружности проведены три хорды: MN = 1, MP —
6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ равны. Найти радиус
окружности.
► 5. Найти все значения a,b,x,y,z, при которых выполняются соотношения
( 1 + tg(bz) sin2(ху) + cos(2a;y) < (cos x +■ sin(ay))| sm(2xy) |,
I 2 + 2^tg(bz)cos(b(y + x)) + cos{2b(y + x)) = 0.
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение 2 - Ъх~2 — З1-1.
► 2. Трактористы Aw. Б вспахали поле. В первый день они вспахали 1/3 поля,
причем А работал 2 часа, а, Б — на 1 час больше. Оставшуюся часть
поля они вспахали на другой день, при этом А работал 5 часов, ъ. Б —
4,5 часа. За сколько часов работы тракторист Б мог бы вспахать это
поле один?
► 3. В треугольнике ABC сторона АВ равна 4 см, угол А равен 30°, угол
В равен 130°. На стороне АВ как на диаметре построен круг. Найти
площадь части круга, лежащей внутри треугольника.
► 4. Найти наименьшее значение функции у — 1 + 4 sin x — 2х на отрезке
[0,7г].
► 5. Найти все значения х, при которых наибольшее из чисел 2х +■ 1 и х + 2
больше — 1.
► 6. Решить неравенство log2(x + 2) > 1 — х.
Геологический факультет
► 1. Решить уравнение ^ + х = х2 + 1.
► 2. Найти площадь треугольника ОАВ, образованного на плоскости
отрезками прямых ОА, ОВ^АВ, где О — начало координат, А —- точка
пересечения прямых у — 2х и у — —х + 3, а В — точка пересечения прямой
у = — х + 3 и оси Ох.
*■ 3. Решить уравнение tgx(l — 2 sin ж) — 2cosz = — л/3.
logi/3 1 — 1+2
► 4. Решить неравенство iog49V ^ 1^~з + 2-
*■ 5. Найти все пары действительных чисел виб, при которых уравнение
(За: -a2 + ab- б2)2 + (2х2 - о2 - abf + х2 + 9 = бх
имеет хотя бы одно решение х.

1990 год
689
► 6. Окружность, проведенная через вершины В и С треугольника ABC,
пересекает сторону АВ в точке D, а сторону АС — в точке Е. Площадь
круга, ограниченного этой окружностью, в 12 раз меньше площади
круга, описанного около треугольника ADE. Отношение площади
треугольника ADE к площади четырехугольника В DEC равно jy. Угол DBE
равен 60°. Найти угол ADC.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение cos2 6ж — sin2 Зж — 1 = 0.
► 2. Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно
12. Частное от деления второго члена на четвертый равно 3. Найти
второй член прогрессии.
*■ 3. Решить неравенство 2 1+v/i_1"^ > 1.
► 4. На сторонах АВ,ВС и AD параллелограмма ABCD взяты
соответственно точки К, М и L таким образом, что АК : KB = 2:1,
ВЫ : МС = 1:1, AL : LD = 1:3. Найти отношение площадей
треугольников KBL и BAIL.
*■ 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение (а + )х2 +
(|а + 2| — а+ 10|)ж + а = 5 имеет два различных положительных корня.
Экономический факультет
► 1. Содержит ли область значений функции у — 2х2 — Ал/Ъх + 8 + log2 12
отрезок [/2, 7]? Ответ обосновать.
► 2. Решить уравнение 5^1 + х2 -1| = 3 + 5х + 3|.
► 3. Окружность с центром в точке О, лежащей на гипотенузе АС
прямоугольного треугольника ABC, касается его катетов АВ и ВС. Найти
длину АС, если известно, что AM — ^, AN : MN = 6:1, где М —
точка касания АВ с окружностью, а N — точка пересечения окружности
с АС, расположенная между точками Л и О.
► 4. Натуральные числа k,l,m, взятые в указанном порядке, образуют
возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является
целым числом. Числа 2835 и 2646 делятся без остатка на/ит
соответственно. Найти числа k,l и т, если известно, что при указанных
условиях сумма k + I + m максимальна.
► 5. Найти все корни уравнения уЗ - tg2 (§7гж) - sin(7rz) - cos(ttz) = 2,
расположенные на отрезке [—3, 2].

690
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Найти все значения параметра а, при которых система
( (2 - V3)x + (2 + VS)X - 5 = а - 2у + у2,
< х2 + (2 - а - а2)у'2 = 0,
[0<у^2
имеет единственное решение.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение 4 sin2 (2 (х 4- |)) -2(/5-/3) сов(2ж-7г) + л/15-4 = 0.
► 2. Решить неравенство (§) х +' {)х <-
► 3. Решить неравенство ( — х + | — 881з2з ) ^ 1-
► 4. В трапеции ABCD основание AD равно 16 м, сумма диагоналей АС и BD
равна 36 м, угол CAD равен 60°. Отношение площадей треугольников
AOD и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, равно 4. Найти
площадь трапеции.
► 5. Считая известным, что при любом а > 0 уравнение 2х3+х2 —х — а — 1 = 0
имеет единственный положительный корень xq (зависящий от а), найти
все а > 0, при которых 12xq ~ 7х0 > 6а + 1.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
*■ 1. Решить уравнение /l0cos x — /4 cosx — cos 2x = 0.
► 2. Решить неравенство log^^^a; — х2) ^ 2.
► 3- В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С
проведены медиана СМ и высота Ci/. Найти отношение АН : AM, если
СМ : СН — 5 : 4 и точка /If находится между точками Л и М.
*■ 4. От двух сплавов массой 7 кг и 3 кг с разным процентным содержанием
магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем, кусок, отрезанный
от первого сплава, сплавили с остатком второго сплава, а кусок,
отрезанный от второго сплава, сплавили с остатком первого сплава. Опредачить
массу каждого из отрезанных кусков, если новые сплавы получились с
одинаковым процентным содержанием магния.
► 5. Известно, что основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит
квадрат ABCD, а высота пирамиды совпадает с ребром SA. Найти
высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а
сторона квадрата ABCD равна 15.

1991 год 691
1991 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение у/4 cos 2х — 2 sin 2х = 2 cos z.
loff I I — JC J
► 2. Решить неравенство lo3 ,2^ - ^ 1.
► 3. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости нера-
Г зг + у2 ^ 4ж - 4у - 6,
венствами ^
1 ar^l.
► 4. Из вершины тупого угла А треугольника ABC опущена высота AD. Из
точки D радиусом, равным AD, описана окружность, пересекающая
стороны треугольника АВ и АС в точках М и N соответственно.
Вычислить длину стороны АС, если заданы длины отрезков АВ = с, AM — п
и AN = т.
► 5. Найти все пары чисел р и q, при которых неравенство х2 + рх + q > 2
не имеет решений на отрезке [1,5].
► 6. В основании призмы ABCDEF лежит равносторонний треугольник
ABC со стороной л/3. Боковые ребра AD,BE,CF перпендикулярны
основанию. Сфера радиуса ~ касается плоскости ABC и продолжений
отрезков AE,BF,CD за точки А, В и С соответственно. Найти длину
боковых ребер призмы.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить уравнение у/х + 4 + х — 2 = 0.
*■ 2. Решить уравнение tg (|л- + EJ^L sin ж) = 1.
► 3. Решить неравенство 49log* 5 - 7iog* 5 - 2 > 0.
► 4. Три круга с центрами в точках P,Q и R попарно касаются друг друга
внешним образом в точках А, В и С. Известно, что величина угла PQR
равна 2 arcsin ^, а сумма радиусов всех трех кругов равна 12/2.
Определить, какую наибольшую длину может иметь окружность, проходящая
через точки А, В и С.
► 5. Проверить справедливость неравенства у ^ 3,17, где у — наименьшее
на интервале (0,1) значение функции
,м _ 1 ( 1 3  1 1 3
1[Х) 2 V (z + 0, (ЮЗ)0-45 + {l-x)°'i8J 2 (х + 0,003)0'45 (1-ж)°>48
► 6. Сфера радиуса R касается всех граней восьмигранника. Две грани —
основания — расположены в плоскостях а и /3, а остальные шесть граней

692
Варианты вступительных экзаменов
— боковые грани — представляют или равные между собой трапеции или
равные между собой равнобедренные треугольники. Боковые грани
таковы, что каждая боковая сторона треугольника является одновременно
боковой стороной трапеции, а каждая боковая сторона трапеции
является одновременно либо боковой стороной другой трапеции, либо боковой
стороной одного из треугольников. Основания всех трапеций, имеющие
длину VT3, расположены в плоскости /3 и образуют многоугольник
площади 12, а все другие основания трапеций и все основания треугольников
расположены в плоскости а. Площадь поверхности сферы относится к
суммарной площади боковых граней как ■п относится к 5. Известно, что
3 < R < 4. Найти R.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение 8 — 7sin2x = 12 sin2 х.
*■ 2. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара равна площади
основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его
основания.
► 3. Решить неравенство log4g(a; + 3) — Iog7(a; + 2) < 0.
► 4. В треугольнике ABC угол С тупой, D — точка пересечения прямой DB,
перпендикулярной к АВ, и прямой DC, перпендикулярной к АС. Высота
треугольника ADC, проведенная из вершины С, пересекает АВ в точке
М. Известно, что AM = a, MB ~ Ь. Найти АС.
► 5. При каких значениях а все корни уравнения Ъах2 + (За3 — 12а2 — )х —
а(а — 4) = 0 удовлетворяют условию х < 1?
► 6. В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD, в которой
ВС || AD и AD : ВС — 2. Через вершину Г пирамиды проведена
плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке
М такой, что AM : MB — 2. Площадь получившегося сечения равна 5,
а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения равно d. Найти:
1) в каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды;
2) объем пирамиды.
Химический факультет
►
1. Найти максимум и минимум функции f(x) = /3a;+i)*+i
|г-1| /М|я+1|
2. Решить неравенство (|) > (|)
„ Г V2x - 1 + Jy + З = 3,
► 3. Решить систему уравнении <
t 2ху — у + ох — 3 = 4.
► 4. Решить уравнение cos4 х = j cos 2а; +  cos2 x cos 8>x.

1991 год
693
► 5. Две окружности разных радиусов касаются в точке А одной и той же
прямой и расположены по разные стороны от нее. Отрезок АВ —
диаметр меньшей окружности. Из точки В проведены две прямые,
касающиеся большей окружности в точках М и N. Прямая, проходящая через
точки М и Л, пересекает меньшую окружность в точке К. Известно,
что длина отрезка МК равна V2TV3 см, а угол ВМА равен 15°. Найти
площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных ВМ, BN и той
дугой MN большей окружности, которая не содержит точку А.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение А^х+1'ь - 13 ■ 2>/*-i + 20 = 0.
► 2. Решить уравнение sin 2х + sin За; 4- cos Ъх = 1.
► 3. Время, затрачиваемое велосипедистом на прохождение каждого
очередного километра пути, на одну и ту же величину больше, чем время,
затраченное им на прохождение предыдущего километра. Известно, что на
прохождение второго и четвертого километров посте старта он затратил
в сумме 3 мин 20 сек. За какое время велосипедист проехал первые 5 км
после старта?
► 4. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и ВС равны
соответственно 8 и 6. Через точку Е, лежащую на стороне CD,
проведена прямая БЕ, которая делит диагональ АС в точке О в отношении
АО : ОС = 3:2. Найти площадь треугольника О ЕС.
► 5. Найти все значения параметра а, при которых система
z сон(ж — у) + (2 + ху) sin(z + у) — z — 0,
х2 + (у - I)2 + z2 = а + 2х,
(х + у + asm2 z)((l - а) 1п(1 - ху) + 1) = 0
имеет единственное решение.
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение 2ЬХ + 24 ■ Ьх~1 — 1 = 0.
► 2. Три сенокосилки имеют разную производительность. Первая и вторая
сенокосилки, работая вместе, скашивают некоторое поле за 10 часов, а
вторая и третья, работая вместе, скашивают то же поле за 8 часов. Если
бы работали три сенокосилки, то они скосили бы это поле за 5 часов. За
какое время скосит это поле каждая сенокосилка?
► 3. Решить уравнение /2cos [х + ) — sin а: = | cosxj.
*■ 4. В трапеции ABCD длина основания AD равна 4, длина основания ВС
равна 3, длины сторон А В и CD равны. Точки М и N лежат на

694
Варианты вступительных экзаменов
диагонали £?£>, причем точка М расположена между точками В и Лг,
а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найти длину
отрезка CN, если ВМ : DN = 2:3.
► 5. Для каждого отрицательного числа а найти наименьшее значение
функции у = |(ж — а)3 — |(х — а)2 на промежутке 0 < х ^ 1.
Геологический факультет
► 1. Решить уравнение sin7zcosz = sin6#.
► 2. Решить уравнение х2 — 2х - 1| — х + 1 = 0.
► 3. Решить неравенство д ^ J ,-.
► 4. Решить уравнение 32(1ок* *>2 + 1 = 4- 3(iogs*Л
► 5. Четыре точки окружности следуют в порядке А, В, С, D. Продолжения
хорды АВ за точку В и хорды CD за точку С пересекаются в точке Е,
причем угол EAD равен 60°. Угод ABD в три раза больше угла ВАС.
Доказать, что AD — диаметр окружности.
► 6. При всех значениях параметра а решить уравнение х + 2| + ах — 4| = 6.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение 2 cos2 а; — 7 cos ж = 2 sin x.
► 2. Решить неравенство  log2(a; — 2) —  ^ logi/4 ^/x ~ 5-
► 3. Числа oi, Я2> «з образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих
чисел составляют геометрическую прогрессию. Найти 01,02,03, если
известно, что а + аг + аз — 21.
► 4. В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка Е так, что
длина АЕ составляет треть длины АС, а на стороне AD взята точка F
так, что AF составляет четверть длины AD. Найти площадь
параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника ABGE
(где G — точка пересечения прямой FE со стороной ВС) равна 8.
► 5. Найти все действительные значения а, при которых система уравнений
f &ху - 25 = 0,
1 х2 = у + 2х
имеет единственное решение, удовлетворяющее условию х2 + у2 ^ а2.
Экономический факультет
► 1. Решить уравнение sin(37r ■ 2х) — cos(7r ■ 2х) — sin(7r ■ 2х).
► 2. Решить неравенство log1/7log3 '"^J+j""1"^ S? 0.

1991 год
695
► 3. Окружность, диаметр которой равен проходит через соседние
вершины А и В прямоугольника ABCD. Длина касательной, проведенной
из точки С к окружности, равна 3, и АВ — 1. Найти все возможные
значения, которые может принимать длина стороны ВС-
► 4. Определить наименьшее значение функции
F(r) = (г - 2) - (4 + (г - 1)(г - 4)) - (г - 3), r£ R.
► 5. Найти площадь плоской фигуры, состоящей из точек, координаты
которых удовлетворяют условию (х2 + у2 — х — у)(х2 + у2 — 1) ^ 0.
► 6. Указать все значения параметра q, при которых уравнение sin x + (q —
2)2 sinх + q(q — 2)(q — 3) =0 имеет на отрезке [0,27г] ровно три корня.
Факультет психологии
. Iog3 х - 2^ + у = 3
► 3. Решить систему
► 1. Решить неравенство lg(x + 4) > — 2Ig —-.
► 2. Решить уравнение (cos х — l)(sina: —  cos 2х — 1) = sin2 x.
( Iog3 х
{ у ■ 2у + 2У ■ log3 х = 4.
► 4. Точки К, L, М делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в
отношении АК : ВК = CL : BL = СМ : DM = 1:2. Радиус
описанной около треугольника KLM окружности равен |. Известно,
что KL = 4, LM — 3 и A'iV/ < -K"i. Найти площадь четырехугольника
ABCD.
► 5. При каждом значении параметра a'^j^ найти все корни уравнения
( 2х + а  { 2х-а 
COS I — г—- = COS I — = .
2х2 + 2ах + а2 }  2х2 - 2ах + а2 )
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Представить число 1991 в виде произведения простых чисел.
*• 2. Решить уравнение log2(5 ■ 2х + 3) = 2х + 1.
►• 3. Решить неравенство J+igg < 1-
► 4. Решить уравнение - sinx + cos(197r) — cosa
*■ 5. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС.
Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке
Е. Найти расстояние от точки Е до прямой CD, если AD — 4 см, а
ВС = 3 см.
► 6. Найти все значения р, для которых неравенство ogx_p{x2) < 2
выполняется хотя бы для одного числа х такого, что |ж| < 0,01.

696
Варианты вступительных экзаменов
Институт стран Азии и Африки
(социально-экономический факультет)
► 1. Решить уравнение fix — 5 — т/4 — х = 1.
► 2. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9 см, вписана
окружность радиуса 4 см. Найти площадь трапеции.
► 3. Решить уравнение cos (45° + х) = cos2 (45° -х) + /Е
► 4. При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна
10, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на
2. При делении полученного (неверного) произведения на меньший из
множителей получилось в частном 50 и в остатке 25. Найти множители.
► 5. Решить неравенство Ioglog ..(log^x) > 0.
а ТТ „ Г Ж2+У2 = 1,
► о. При каких значениях параметра а система уравнении <
1у-х = а
имеет ровно два решения?
1992 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить уравнение б sin (х + f) + jsin (ж - |) | — 1.
► 2. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность,
пересекаются в точке Е. На прямой АС взята точка М, причем /.DME —
80°, Z.ABD = 60°, Z.CBD = 70°. Где расположена точка М: на
диагонали, или на ее продолжении? Ответ обосновать.
*■ 3. Даны числа ажЬ такие, что а = log^ x, b = log^ x. Найти log з^^ (|f)" •
► 4. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик ---■ на
2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а
два ученика вместе - - на 1 час быстрее. Из какого количества деталей
состоит заказ?
*■ 5. На прямой I в пространстве последовательно расположены точки А,Ви
С такие, что АВ — 10 и ВС — 22. Найти расстояние между прямыми I
и т, если расстояния от точек А, В и С до прямой т равны 12,13 и 20
соответственно.
► 6. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству
(а + 2)х3 - (1 + 2а)х2 - 6ж + (а2 + 4а - 5) > 0
хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [—2,1].

1992 год
697
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Какое из двух чисел больше, h ^Ц^ или /}§§£?
► 2. Решить уравнение у/1 + cos 4х • sinx — 2 sin j.
*■ 3. Решить неравенство Iog2(ll — х)-f-log2 (a; + 1) < Iog2((x+1)(ж2+5х —5)).
► 4. Из города А в город JB выехал автомобиль. Спустя некоторое время из
В в А выехал мотоцикл. Скорости автомобиля и мотоцикла на всем пути
постоянные, и они движутся по одному шоссе. Автомобиль до встречи с
мотоциклом находился в пути 7 часов 30 минут, а мотоцикл до встречи
ехал 3 часа. Мотоцикл прибыл в Л в 23 часа, а автомобиль прибыл в В
в 16 часов 30 минут. Найти время отправления мотоцикла из города В.
*■ 5. Две окружности пересекаются в точках А и К. Их центры расположены
по разные стороны от прямой, содержащей отрезок АК. Точки В и
С лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок АВ,
касается одной окружности в точке А. Прямая, содержащая отрезок
АС касается другой окружности также в точке А. Длина отрезка В К
равна 1, длина отрезка С К равна 4, а тангенс угла CAB равен —j=.
Найти площадь треугольника ABC.
► 6. Найти все значения а, при каждом из которых неравенство
4 7Г / 7Г 
-(х2 - ах) - - < sin(x2 - ах) + cos [2а;2 - 2ах + т )
выполняется для всех х из отрезка [7г,27г].
Физический факультет
► 1. Решить неравенство 1 — 2х2 > 2х.
► 2. Решить уравнение 5 — 3cos2x — 8 sinx.
*■ 3. Решить уравнение 2 Iog2 х3 — 1 = ~ Iog2 x.
*■ 4. Площадь треугольника ABC равна 5, угол ВАС равен а и АС = Ь.
Найти ВС.
► 5. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, если
известно, что пятый и девятый члены дают в сумме 40, а сумма седьмого и
тринадцатого членов равна 58.
► 6. Через центр окружности, описанной около треугольника ABC,
проведены прямые, перпендикулярные сторонам АС и ВС. Эти прямые
пересекают высоту СН треугольника или ее продолжение в точках Р и Q.
Известно, что СР = р, CQ — q. Найти радиус окружности, описанной
около треугольника ABC.

698
Варианты вступительных экзаменов
► 7. Известно, что некоторая нечетная функция при х > 0 определяется
формулой /(ж) = Iog3 (|). Найти, какой формулой определяется функция
/(ж) при х < 0. Решить уравнение f(x) = 3.
► 8. Три шара радиуса R касаются друг друга и каждый из них касается
боковой поверхности конуса. Шары находятся вне конуса. Высота
конуса перпендикулярна плоскости а, содержащей центры шаров. Угол
между высотой конуса и его образующей равен ц>. Найти расстояние от
вершины конуса до плоскости а.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение х + к^^ — 31) = 5.
► 2. Решить неравенство Vsinx > у/— cos ж.
► 3. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника ABC на расстояниях
соответственно 2 и 6 от вершины А. Найти радиус окружности,
проходящей через точки М и N, и касающейся прямой АВ. Угол ВАС равен
30°.
► 4. Даны три сплава. Состав первого сплава: 60% алюминия и 40%
хрома. Состав второго сплава: 10% хрома и 90% титана. Состав третьего
сплава: 20% алюминия, 50% хрома и 30% титана. Из них нужно
приготовить новый сплав, содержащий 45% титана. Какие значения может
принимать процентное содержание хрома в этом новом сплаве?
► 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 5 ■ х — За| + х —
а2 + 4х = а 1) имеет бесконечно много решений; 2) не имеет решений.
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины
► 1. Найти все решения уравнения 1 — 4 sin (5х — |-) = 0.
► 2. Решить уравнение log5 ( j5§ ) + log5(a;2 — 17ж + 60) = 1 + log5 2.
► 3. Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54 см, причем длина
катета АС больше, чем 10 см. Окружность радиуса 6 см, центр которой
лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найти площадь
треугольника ABC.
► 4. Найти все пары целых чисел (т,п), удовлетворяющие одновременно
двум неравенствам Г т2 + га2 < 16т — 22п — 171,
 ЗОш - п2 > 252 + Un + т2.
► 5. Найти наименьшее значение величины ^ • ( ,3^ 2 + г~2) > гДе ai ^> с> *>и

1992 год
699
положительные числа, удовлетворяющие условиям:
at + Ьи < с,
а2 + 2Ъси ^ Ъ2 + с2,
f2 - it2
£2 — 1
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение 2(sin6a: — sin4xsin2x) = соэбж + cos2x.
► 2. Шофер грузовика, занятого на строительстве, при постоянной
продолжительности рабочего дня перевозит грузы трех типов: щебень, песок
и кирпич, соответственно по-разному расходуя горючее. В первый день
половину рабочего дня он возил щебень, а половину — песок; во второй
день 1/7 времени возил щебень, 4/7 времени — песок и 2/7 времени —
кирпич; в третий день 1/4 времени — щебень, 3/8 времени — песок и
столько же времени — кирпич. На сколько процентов израсходует
шофер дневной норматив горючего, возя целый день щебень, если в первый
день он израсходовал его на 95%, во второй — на 101|%, а в третий —
на 101,25%.
► 3. Решить уравнение *'~ж%+*+3 + 2Ж^2 + 1 = 0.
► 4. Две окружности с центрами М и N, лежащими на стороне АВ
треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны АС и ВС в
точках А,Р и B,Q соответственно, причем AM - РМ - 2, BN = QN = 5.
Найти радиус описанной около треугольника ABC окружности, если
известно, что отношение площади треугольника AQN к площади
треугольника МРВ равно 15уЗ и АР = QB • § • yj^^fi.
► 5. При каких значениях параметра а все числа из отрезка — 1 ^ ж ^ 3
удовлетворяют неравенству 2ах + 2j2x + 3 — 2х + За — 5 < 0?
Геологический факультет
► 1. Пятый член арифметической прогрессии равен 22, а сумма седьмого и
девятого равна 32. Найти сумму первых двадцати трех членов этой
арифметической прогрессии.
► 2. Решить неравенство л/6ж + 5 — Зж < 2.
► 3. Решить уравнение |31og,,, ж4 + 71og7 2 • Iog2 ж2| = — log,,, 49.
► 4. Решить уравнение cos х cos Зж — 9 cos2 ж + 5 = 14 sin ж sin Зж — 30 sin2 x.
► 5. В окружность с центром О вписана трапеция ABCD, в которой AD \
ВС, AD = 7, ВС = 3 и угол BCD равен 120°. Хорда ВМ окружности
пересекает отрезок AD в точке N такой, что ND = 2. Найти площадь
треугольника ВОМ.

700
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Найти все тройки чисел (ж, у, г), удовлетворяющие уравнению
х2 + 1 - 2xsin(iry) + Jyz — 2z2 - 64 — (41 - yz)(cos(2ivy) + cos(nz))2.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение cos 2x + sin x = 1.
► 2. Найти три числа а, Ь и с, если известно, что их сумма равна 1, а
квадратное уравнение ах2 + Ьх + с — 0 имеет единственное решение х = — 1.
► 3. Решить неравенство (Iogx 2 — l)log2(2z) ^ |.
► 4. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника
ABC.
► 5. Найти все значения параметра с, при которых уравнение
х2-1 + х2-х ~2 = х2+ 3х + с
имеет ровно три различных решения.
Экономический факультет
► 1. Вычислить Iog9//5 | sin(^ — а) + log9(/5 | cos(3a — f )|, если известно, что
sin а — cos а = w |.
► 2. Решить неравенство (х2 - 8х + 15) ■ {2х~3 + 2Ъ~Х - 2)"1 - у/х~^ < 0.
► 3. Цех получил заказ на изготовление 2000 деталей типа А и 14000 деталей
типа Б. Каждый из 146 рабочих цеха затрачивает на изготовление одной
детали типа А время, за которое он мог бы изготовить 2 детали типа Б.
Каким образом следует разделить рабочих цеха на две бригады, чтобы
выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады
приступят к работе одновременно, и каждая из бригад будет занята
изготовлением деталей только одного типа?
► 4. В треугольной пирамиде ABCD плоские углы ВАС, BAD и CAD при
вершине А равны у,| и ^ соответственно. Определить угол между
гранями BAD и CAD.
► 5. Продолжения сторон AD и ВС выпуклого четырехугольника ABCD
пересекаются в точке М, а продолжения сторон AD и CD ■— в точке О.
Отрезок МО перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найти отношение
площадей треугольников AOD и ВОС, если О А = 6, OD = 4, CD — 1.
► 6. Найти все значения параметра р, при каждом из которых число
целочисленных решений неравенства х2 + 5(х+1) + 3х—р+р ^ 0 максимально.

1992 год
701
Факультет психологии
► 1. Решить неравенство 3 sin 27гз; ^ /2 sin 4пх + 3 cos 27rz + /32.
► 2. Решить систему уравнений
Г 21+г/. з^ • 6х+у . 9х = 144,
I logo|2z+0ill,(27* ■ 9" + 4*+v) log5(0, 2z + 0, ly) = 2.
► 3. Точки К, L, M, TV, P расположены последовательно на окружности
радиуса 2т/2. Найти площадь треугольника KLM, если LM \ KN. KM \ NP,
MN || LP, а угол LOM равен 45°, где О — точка пересечения хорд LN
и MP.
► 4. При каких значениях параметров а и Ь можно найти два различных
вещественных корня уравнения х3 — 5х2 + 7х — а, которые будут также
корнями уравнения х3 — &х + Ъ = О?
► 5. В тетраэдре ABCD на ребре АВ взята точка К, на ребре АС — точка
L, на ребре BD — точка N, на ребре CD — точка М. Точки Е и G
есть середины ребер AD и ВС соответственно. Прямые EG, KM и LN
пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN,
если АК : KB = 5, AD — 9, ВС = 9, а угол между скрещивающимися
прямыми AD и ВС равен 45°.
Филологический факультет
(отделение структурной и прикладной лингвистики)
► 1. Решить уравнение ^j^lf = ^
► 2. Решить неравенство log^Oz + Zx2 — ж3) ^ 3.
► 3. В ромбе ABCD угол при вершине А равен |. Точка N делит сторону
АВ в отношении AN : NB = 2:1. Определить тангенс угла DNC.
*■ 4. Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из А в В выехала
машина, а через 20 минут — мотоциклист, скорость которого равна 90
км/час. Мотоциклист догнал машину в пункте С и повернул обратно.
Когда машина прибыла в В, мотоциклист проехал половину пути от С
до А. Найти расстояние от С до А.
► 5. При каких значениях параметра а система уравнений
Г ах2 + 4ах — у + 7а + 1 = 0,
1 ау2 - х - 2ау + 4а - 2 = 0
имеет единственное решение?

702
Варианты вступительных экзаменов
Институт стран Азии и Африки
{социально-экономический факультет)
► 1. Решить уравнение 2Х+Ъ + 23 • 2х~г - 22 = 0.
*■ 2. Решить уравнение 3 sin2 х - 3 cos 2х - 12 sin х + 7 ~ 0.
► 3. Решить неравенство f~^7 ^ 1.
► 4. Дан треугольник со сторонами 4,8,9. Найти длину биссектрисы,
проведенной к большей стороне.
► 5. Решить неравенство ogl ,3 J cos:c| • log5(x2 — 9) < 0.
► 6. При каких значениях параметра а сумма s квадратов корней уравнения
является наибольшей? Чему равна эта сумма?
1993 год
Механико-математический факультет
► 1. Решите неравенство ^ffn ^ "^ff ■
► 2. Найдите все значения а, при которых уравнение 4г + (а2+5)-2г+9 — а2 = 0
не имеет решений.
► 3. Решите систему
Г (cos у + sin л - l)(tg2(x-7r/3) + tg2(?/ + 7r/6)) =0,
 (sin x — cos у) (2 — sin 2y + sin у) = 0.
► 4. Две окружности с центрами А и В и радиусами соответственно 2 и 1
касаются друг друга. Точка С лежит на прямой, касающейся каждой из
окружностей, и находится на расстоянии ~>Щ от середины отрезка АВ.
Найдите площадь S треугольника ABC, если известно, что S > 2.
► 5. Сфера радиуса R делит каждое из ребер SA, SC, АВ и ВС треугольной
пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины ребер
АС и SB. Найдите длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S.
► 6. Из пункта А в пункт В с постоянными скоростями выехали два
мотоциклиста, а из В в А одновременно с ними выехал третий мотоциклист с
постоянной скоростью 60 км/ч. Через 45 мин расстояние между первым
и вторым мотоциклистами было в два раза больше, чем между первым
и третьим. Через 1 ч после старта расстояние между первым и вторым
мотоциклистами было равно расстоянию между первым и третьим, а
расстояние, которое осталось проехать третьему мотоциклисту до А,
было равно расстоянию между первым и вторым мотоциклистами через

1993 год
703
1 ч 30 мин после старта, а также было равно 2/5 расстояния между
первым и третьим мотоциклистами через 1 ч 30 мин после старта. Найдите
расстояние между пунктами А и В.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
*■ 1. Решите неравенство log i——-~ _ ,-(4я — х2 — 2) ^ 0.
► 2. На отрезке 0 ^ х ^ л- найдите все значения х, удовлетворяющие
уравнению /3 cos х — sin x = v 1 + 2 cos2 r — /3 sin 2:c.
► 3. Решите неравенство |Зг - 4| + х2 - 4х + 3| ^ 3* + 4х - х2 - 7.
► 4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС точка D делит
сторону ВС в отношении 2:1, считая от вершины В, а точка Е --
середина стороны АВ. Известно, что медиана CQ треугольника CED
равна *^т, и DE — у-~. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника ABC.
► 5. Точка М(х у), декартовы координаты которой удовлетворяют условиям
а2х - у = 2а2 - 26, х - by = 2а - 2а2,
лежит на прямой у = 2 — х. При каких действительных а и b эта точка
наиболее близко расположена к точке iV(3; —1)?
► 6. Найдите все действительные значения а, при которых область
определения функции у = т^~з—"'К совпадает с областью опредатения
о COS X — a COS ЗС — у/ A (X
1 /2
ФУНКЦИИ у -- 4тч х+СО!.3 х-а ~~ 3 cos z-2cos3 я-2а '
Физический факультет
► 1. Решите неравенство §тгу < 0.
*■ 2. Решите уравнение cosorc = cos(5 4- х).
*■ 3. Решите уравнение y/log2 х = 2 Iog2 s/x — 1.
► 4. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник ABC
{АВ — ВС) с углом ВАС, равным а. Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник ABC.
*■ 5. Решите неравенство ''г*?2 > 1-
*■ 6. Окружность касается сторон угла с вершиной О в точках А и В. На
этой окружности внутри треугольника АО В взята точка С. Расстояния
от точки С до прямых О А и ОВ равны соответственно а и Ь. Найдите
расстояние от точки С до хорды АВ.
*■ 7. Уравнение ах2 + Ьх + 2 = 0, где а < 0, имеет одним из своих корней
число х — 3. Найдите действительные корни уравнения ах4" + Ьх2 + 2 = 0.
► 8. На плоскости лежат два шара радиуса г и цилиндр радиуса R (R > г).
Шары касаются друг друга и боковой поверхности цилиндра. Цилиндр

704
Варианты вступительных экзаменов
касается плоскости по своей образующей. Найдите радиус шара,
большего, чем данные, касающегося обоих данных шаров, цилиндра и
плоскости.
Химический факультет
► 1. Решите неравенство ^^j ^ 1-
► 2. Решите уравнение (log2 х)2 + 3 log^ х + 2 = 0.
► 3. Решите уравнение cosz = 1 + cos 2x.
► 4. В квадрат площадью 18 вписан прямоугольник так, что на каждой
стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон
прямоугольника относятся как 1 : 2. Найдите площадь прямоугольника.
► 5. Найдите число решений уравнения 2Х+1 + 21~х — 1 — 4х — х2 и дайте
обоснование ответа.
Биологический факультет
► 1. Решите уравнение cos 2x + 2 cos а; — 3 = 0.
► 2. Решите уравнение log2(9* + 2 ■ 3* - 5) = 1 + 21og4(3*+1 - 4).
3. Решите неравенство 5i/l — ^
± > 7z_1
Z Z
► 4. Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых
равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а
сумма пятых равна 161. Найдите сумму шестых членов прогрессий.
► 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего
середины диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего середины
сторон AD и ВС. Найдите величину угла, образованного продолжением
сторон АВ и CD.
► 6. Найдите все решения системы уравнений
у + 2 = (3-ж)3,
(2z-y)(y + 2)=9 + 4y,
х2 + z2 — Ах,
удовлетворяющие условию z ^ 0.
Факультет почвоведения
► 1. Разделите число 128 на четыре части так, чтобы первая часть отоно-
силась ко второй как 2 : 3, вторая к третьей — как 3 : 5, а третья к
четвертой -- как 5 : 6.
► 2. Решите уравнение sin3 x — cos3 x + sin а; — cos ж ~ 0.
► 3. Решите неравенство logga.2+1 37 > 1.

1993 год
705
► 4. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая,
параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках Е и F.
Длина отрезка EF равна 2. Найдите длины оснований, если их
отношение равно 4.
► 5. Найдите все действительные числа а, при которых неравенство
Id1 Л- а - 2
х Н — С 7а — 1
г + а — 1
не имеет положительных решений х.
Геологический факультет
► 1.
Найдите численное значения выражения ( ^"-т- — уаЬ ■ f 40-ь )
► 2. Решите уравнение /1 — cos2 х + 6 cos 2z ~ 0.
► 3. Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того, как первый
проработал 2 часа, его сменил второй, который за три часа закончил
работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил бы на 4 часа
быстрее, чем один первый экскаватор. За какое время выроют котлован
оба экскаватора, работая вместе?
► 4. Решите неравенство ~ togtg(7r^9) х2 > logtg^yf9) у/2х + 3.
► 5. На стороне АВ треугольника ABC как на диаметре построена
окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно.
Прямая DE делит площадь треугольника ABC пополам и образует с
прямой АВ угол 15°. Найдите углы треугольника ABC.
► 6. Найдите все действительные значения параметра к, при которых ровно
одна точка графика функции
у = 2х + {lgk)y/cos(2k7rx) + 2cos(kirx) -3 + 1.
лежит в области {2х - 7)2 + 4(у - З)2 ^ 25.
Географический факультет
► 1. Решите уравнение /13 — 2х = 5 — х.
► 2. Решите уравнение sin я = cos2 х + | log^ ( Ш()г/б))
► 3. Найдите область определения функции у = у ^+х-2 ■
*■ 4. В треугольник со сторонами АВ — 4, ВС — 2, АС = 3 вписана
окружность. Найдите площадь треугольника AMN, где М, N — точки
касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.
► 5. При каких значениях параметра а четыре корня уравнения
хА + (о - 5)ж2 + (а + 2)2 = 0
являются последовательнными членами арифметической прогрессии?

706
Варианты вступительных экзаменов
Экономический факультет
*■ 1. Решите неравенство log5=,„4 27 < 3.
► 2. Решите уравнение cw,?gn_3*/6) = -1-
► 3. Решите неравенство х + 3| ^ 6 — 3/1 — х.
► 4. Найдите периметр фигуры, заданной на координатной плоскости
условиями { <,u _ 2| arcsin^y + !j2j ^ ^ _ ^
+ ж ^ 0.
f 2|х-2|
2|у + 1|
► 5. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись
ежемесячно сначала в размере 5 %, затем 12 %, потом 111 % и, наконец, 12,5 %
в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки
вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения
первоначальная сумма вклада увеличилась на 104^ %. Определите срок
хранения вклада.
► 6. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника,
равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.
Факультет психологии
*■ 1. Решите уравнение З3^^ —7 = 2- З'3*-* .
► 2. Решите неравенство /1 — х — /х > -4=.
► 3. Найдите все решения уравнения -4= sin2(ж + -^) + sin 3z = c°sЗж — у/2 на
отрезке [—27г; 27г].
*■ 4. В остроугольном треугольнике Л£?С проведены высоты CCi и АА.
Известно, что АС = 1 и ZCiCAi = а. Найдите площадь круга, описанного
около треугольника СВАХ.
*■ 5. Обозначим х и #2 корни квадратного трехчлена (о — 1)х2 — (2а + 1)х +
2 +5а. 1) Найдите все а, при которых хг > 1 и х2 > 1. 2) Найдите все &,
для каждого из которых величина (х — Ь){х2 — Ь) принимает постоянное
значение при всех а, при которых она определена.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решите неравенство ^ 5я+8 ^ i.
► 2. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 8.
Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

1994 год
707
► 3. На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника ABC как на
диаметре построена окружность, пересекающая основание этого
треугольника в точке D. Найдите расстояние от вершины А до центра
окружности, если AD = ,Д, a ZABC = 120°.
► 4.
Решите уравнение ogx(3x - 2) - 2 = ч/log2. (За; - 2) + 41ogr (3^2)-
► 5. Решите уравнение sin х + Зж cosx + Зж — 0
►
6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
х2 + 2х - а ~$- а2 справедливо для всех действительных х.
1994 год
Механико-математический факультет
1. Решите уравнение *™*7*™**-i
J * COS '.ZX-т v .1 COS X — 2
► 2
Г2* + 2у = 1,
Решите систему уравнении < .
L Зу - бу2 = 2х 1
► 3. Решите неравенство log2_5:c 3 + ]окЛ1-5х) < ю8б(б J-6s+i) •
► 4. В трапеции ABCD с основаниями Л-D и JBC диагонали ЛС и BD
пересекаются в точке Е. Вокруг треугольника ЕСВ описана окружность,
а касательная к этой окружности, проведенная в точке Е, пересекает
прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и F лежат
последовательно на этой прямой. Известно, что AF = a, AD = Ь. Найдите EF.
*■ 5. Дан куб ABCDABCD. Сфера касается ребер ДД DDi, CD и
прямой ВС. Найдите радиус сферы, если длины ребер куба равны 1.
► 6. При каждом значении параметра а решите уравнение
2а;2 + 2ах ~ а2 = у/Ах + 2а + За2.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решите уравнение 12 sin 5a; = cos Юз; + 7.
► 2. Решите неравенство у/х — 3 ^ 3 — х — 6|.
► 3. Найдите все отрицательные значения и, при которых выполнено нера-
венство Е*^Л + iog,(V) ^ °"
► 4. В треугольнике ABC длина стороны АВ равна 21, длина
биссектрисы BD равна 8/7, а длина отрезка DC равна 8. Найдите периметр
треугольника ABC.
► 5. В начальный момент лечения пациенту была произведена первая
инъекция 6 единиц некоторого лекарства, а во время каждой последующей
инъекции ему вводится 4 единицы того же лекарства. За время
между инъекциями количество лекарства в организме уменьшается в 5 раз.

708
Варианты вступительных экзаменов
Какое количество лекарства будет содержаться в организме пациента
сразу после 30-й инъекции?
► 6. Все высоты пирамиды ABCD, грани которой являются остроугольными
треугольниками, равны между собой. Известно, что АВ = 9, ВС = 13.
а угол ADC равен 60°. Найдите длину ребра BD.
Физический факультет
► 1. Решите неравенство j*^~ < 0.
► 2. Решите уравнение 5 cos ж + 2sinz = 3.
► 3. Решите уравнение Ъх~1 + 5 • (0,2)ж~2 = 26.
► 4. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и
боковую сторону, равны соответственно тип. Найдите стороны
треугольника.
► 5, Решите уравнение Iog[/2(4ir) + Iog2(z2/8) = 8.
► 6. В окружности пересекающиеся хорды АВ и CD перпендикулярны, AD =
т,, ВС — п. Найдите диаметр окружности.
► 7. Найдите все значения а, для каждого из которых система неравенств
Г -х2 + 12а: - а > 0,
1 х^2
выполняется хотя бы при одном значении х.
► 8. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) угол между
боковым ребром и плоскостью основания равен а, сторона основания
равна a, SH — высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через точку Н параллельно ребрам SA и ВС.
Химический факультет
► 1. Решите уравнение log5(a; + 1) + log5(:r + 5) = 1.
► 2. Решите неравенство 2х > х + 1.
► 3. Решите уравнение /sin2a; = л/сойж — sin x — 1.
► 4. Прямоугольные треугольники ABC и ABD имеют общую
гипотенузу АВ = 5. Точки С и D расположены по разные стороны от прямой,
проходящей через точки А и В, ВС — BD — 3. Точка Е лежит на АС,
ЕС — 1. Точка F лежит на AD, FD = 2. Найдите площадь
пятиугольника ECBDF.
„ „ „Г 22 + 2zsiny + l = 0,
*■ о. Решите систему уравнении < „ „ _
( &ху{х2 + у2) + л-3 + 4тг = 0.

1994 год
709
Биологический факультет
*■ 1. гешите систему уравнении < „
 Зх2 - ху + 4у2 = 48.
► 2. Какое из двух чисел больше: уТГ или 9? ^SsU+gHi loes 2 ? Ответ
обосновать.
► 3. Найдите все решения уравнения 3tg2(7rx — тг/8) = 1, удовлетворяюшие
условию | < х < 3.
► 4. В трапеции ABCD даны длины оснований AD = 4, JBC = 1 и углы Ли!)
при основании, равные соответственно arctg 2 и arctg 3. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник СВЕ, где Е - - точка пересечения
диагоналей трапеции.
► 5. Найдите все такие значения величины ж, при которых неравенство
(4 - 2а)х2 + (13а - 27)х + (33 - 13а) > 0
выполняется для всех а, удовлетворяющих условию 1 < а < 3.
Факультет почвоведения
► 1. Решите уравнение sin3 х — sin2 х — sin2 zcos2 x.
► 2. гешите систему уравнении < 2 }
[ & + оу — 35.
► 3. Решите неравенство lg(x + 5) ^ —2 lg ( 5^7 ) •
► 4. Найдите все значения параметров аиЬ, при которых система неравенств
Г а + sinbx < 1,
^ 0 ч имеет единственное решение.
зг + аз: + 1 ^ 0
► 5. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и В£> перпендикулярны и
пересекаются в точке Р. Длина отрезка, соединяющего вершину С с
точкой М, являющейся серединой отрезка AD, равна 5/4. Расстояние
от точки Р до отрезка ВС равно 1/2 и АР = 1. Найдите длину
отрезка Л£>, если известно, что вокруг четырехугольника ABCD можно
описать окружность.
Геологический факультет
► 1. Какое из чисел больше: 2/17 или 8,(24)?
► 2. Упростите до целого числа выражение З-^Й2^ _ У3+у^ /к
V8-2V7 VW7 '
► 3. Решите уравнение у2 + 2у/у2 + Зу — 4 — 4 + Зу = о.
► 4. Решите уравнение cos зт + cos Зх + cos 5ж = 0.
► 5. Решите неравенство y/Az — 3 — z2 ф 0.

710
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Решите неравенство 4 cos ж — sin 2а; > 0.
► 7. Технология изготовления дискет состоит из четырех этапов. На каждом
из них увеличивается содержание кремния на определенное количество
процентов по отношению к результату предыдущего этапа: на первом
этапе — на 25 %, на втором этапе — на 20 %, на третьем этапе — на 10 %,
на четвертом этапе — на 8 %. На сколько процентов в результате
увеличится содержание кремния?
► 8. Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него
можно описать окружности. Диаметр описанной окружности совпадает
с диагональю АС. Докажите, что модули разностей длин его
противоположных сторон равны.
► 9. Четыре бригады разрабатывали месторождение горючих сланцев в
течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады
производительностью. На втором году в течение четырех месяцев работа не
производилась, а все остальное время работала только одна из бригад.
Отношение времен работы первой, второй, третьей и четвертой бригад
и количества выработанной продукции соответственно равны:
в первый год 4 : 1 : 2 : 5 и 10 млн т;
во второй год 2 : 3 : 2 : 1 и 7 млн т;
в третий год 5 : 2 : 1 : 4 и 14 млн т.
Сколько миллионов тонн сланцев выработали бы за 4 месяца четыре
бригады, работая все вместе?
► 10. Дан куб ABCDAiBiCD, в нем через вершину В проведена диагональ.
Найдите отношение площади сечения этого куба плоскостью,
перпендикулярной указанной диагонали и проходящей через ее середину, к
площади его полной поверхности.
Географический факультет
► 1. Решите уравнение sin2z = Vzsina;.
► 2. Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии (а„) в пять
раз меньше суммы первых двадцати пяти членов арифметической
прогрессии (Ьп). Найдите отношение разности прогрессии (ап) к разности
прогрессии (Ь„), если известно, что эти разности отличны от нуля и
4ai2 = big.
► 3. Решите неравенство ю^.(2 — х — х2) > 0.
► 4. Вне прямоугольного треугольника ABC на его катетах АС и ВС
построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы СМ
треугольника ABC пересекает прямую DF в точке N. Найдите длину отрезка CN,
если длины катетов равны 1 и 4.
► 5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение а +
/бх — х2 — 8 = 3 + /1 + 2ах — а2 — х2 имеет ровно одно решение.

1994 год
711
Экономический факультет
Г 7875^ = 1701 у3,
► 1. Найдите все целочисленные решения системы <
I х < 5.
► 2. Найдите область значений функции у = — V—Зж2 + 12ж — 3.
► 3. Решите уравнение log3((a: + 10) cos ж) = Iog3 (f^j^) ■
► 4. Составьте уравнение окружности наименьшего радиуса, внутри которой
помещается множество, заданное на координатной плоскости условием
2у + Зх-2 + Зх + 6 < 6.
► 5. Предприятие производит телевизоры и является прибыльным.
Известно, что при изготовлении п телевизоров в месяц расходы преприятия
на выпуск одного телевизора составляют не менее 40500/п + 270 — ]90 —
40500/n| тыс. руб., а цена реализации каждого телевизора при этом не
превосходит 540 — Зп/10 тыс. руб. Определите ежемесячный объем
производства, при котором может быть получена наибольшая из возможных
в данных условиях ежемесячная прибыль.
► 6. В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезок СМ, соединяющий
вершину С с точкой М, расположенной на стороне AD, пересекает
диагональ BD в точке К. Известно, что С К : КМ = 2 : 1, CD : DK = 5:3
и LABD + ZACD = 180°. Найдите отношение стороны АВ к
диагонали АС.
Факультет психологии
► 1. Верно ли неравенство 31og2 5 < ^9 Iog2 5 + 28 (таблицами и
калькулятором не пользоваться)?
► 2. Известно, что х — 1, у = — 1 — одно из решений системы
Г 2ax + by = 4/3tg(^),
1 ах2 + by2 = 2.
Найдите все решения данной системы.
► 3. В тупоугольном треугольнике ABC на стороне АВ длины 14 выбрана
точка L, равноудаленная от прямых АС и ВС, а на отрезке AL —
точка К, равноудаленная от вершин А и В. Найдите синус угла АС В,
если KL = 1, а ZCAB = 45°.
► 4. Длины боковых ребер SA и SB четырехугольной пирамиды SABCD
относятся как у/7 : yTl. Через точки А, В, D проведена сфера,
пересекающая боковые ребра SA, SB, SD в точках Ль В, D^ соответственно,
причем ААг : A-S ~ 1 : 3. Через точки В, С, D, D проведена еще одна
сфера, пересекающая боковое ребро SB в точке Е. Найдите отношение
длин отрезков SE и ВВ.

712
Варианты вступительных экзаменов
► 5. Абитуриенты сдавали экзамены в течение трех дней в одних и тех же
аудиториях. Число экзаменовавшихся в каждый день абитуриентов в
каждой аудитории было равно числу аудиторий. Если бы экзамены
проводились в другом корпусе, то их можно было провести за два дня,
используя какждый день одни и те же аудитории, причем каждый день
в каждой аудитории абитуриентов удалось бы рассадить по рядам так,
что число рядов, а также число людей в ряду было бы равным числу
используемых аудиторий. Найдите минимальное возможное число
абитуриентов, которое могло бы быть проэкзаменовано при этих условиях.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Биржа запланировала провести торги в июле и августе. Если объем
торгов в июле оставить на запланированном уровне, а план на август
повысить в три раза, то суммарный объем торгов, проводимых в течение
этих двух месяцев, возрастет в два раза. Найдите отношение объемов
торгов, запланированных на июль и на август, и выясните, во сколько
раз надо увеличить план на июль, оставляя неизменным план на август,
чтобы суммарный объем торгов, проводимых за эти два месяца, возрос
в три раза.
► 2. Решите уравнение 2хХо^7 ■ 7*2+х = 1.
► 3. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника ABC, касается двух катетов АС и ВС соответственно в
точках Е и D. Найдите величину угла ABC, если известно, что АЕ = 1,
BD - 3.
► 4. Решите неравенство 2 sin ж — 1 ^ /6sin2 х — 6 sin x — 12.
► 5. Решите неравенство х — 41+^3~х ^ |х — 4 • 4ч/3_а:.
► 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
aV + 2а(л/2 - 1)х + Vx-2 = 2/2 - 3
имеет решение.
1995 год
Механико-математический факультет
► 1. Найти наибольшее целое число к, удовлетворяющее неравенству 4-32fc+1 +
гк < 1.
► 2. Решить неравенство а 1 > —3.
log 2 х
► 3. Решить уравнение v/sm~3x ■ tg (2х — |) = 0.

1995 год
713
► 4. В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCD, Р — точка
пересечения его диагоналей, АВ = CD = 5, AD > ВС. Высота,
опущенная из точки В на сторону ADt равна 3, а площадь треугольника ADP
равна 25/2. Найти длины сторон AD, ВС и радиус окружности R.
► 5. Три параллельные прямые касаются в точках А, В и С сферы радиуса 4
с центром в точке О. Найти угол ВАС, если известно, что площадь
треугольника ОВС равна 4, а площадь треугольника ABC больше 16.
► 6. Найти все значения параметра а из отрезка [0, 2тг], при которых система
Г х2 + у2 + 2z(x + у + z) — sin a = О,
1 (х + 1) sin2 f + у2у/х + a2y/z + sin |a = О
имеет хотя бы одно решение.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Найти все целые числа пит, для которых 2пт + п — 14 и пт ^ 9.
„ Г х + Зху + у = 3 + 10%/2,
► 2. Решить систему уравнении <
► 3. В треугольнике ABC медианы AM и CL перпендикулярны, ВС = а,
АС — Ъ. Найти площадь треугольника АВМ.
► 4. Решить неравенство
logCMircos2aj ^logcosa._£ ( cos2 ж-cos ж-z2 - 14ж - —
► 5. Строительной организации необходимо построить некоторое количество
одинаковых домов общей площадью 2500 м2. Стоимость одного дома
площадью а м2 складывается из стоимости материалов раъ'2 тыс. р.,
стоимости строительных работ р2а тыс. р. и стоимости отделочных
работ рза1'2 тыс. р. Числа pi, р^, Рз являются последовательными членами
геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение
равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше,
чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует
построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?
*■ 6. В кубе ABCDAiBiCiDi с параллельными гранями ABCD и AiBCDi
длина ребра равна 1. Точки К и N являются серединами ребер DC и ВС
соответственно. Точка М лежит на ребре СС и МС — |. Найти
максимальное значение радиусов сфер, проходящих через точки М, N,
К и касающихся плоскости BBDD.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение sin 7a; — sin x — cos4x.
► 2. Решить уравнение 9x+l + За:+2 - 18 = 0.

714
Варианты вступительных экзаменов
► 3. Решить уравнение 2|а; + 1| = 2 — х.
► 4. В треугольнике даны два угла а и /3 и радиус R описанной окружности.
Найти высоту, опущенную из вершины третьего угла треугольника.
► 5. Решить неравенство 4log2 х + х2 < 8.
► 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна R, а двугранный
угол при боковом ребре равен а. Найти объем пирамиды.
► 7. Для всех значений а решить неравенство S^x+1 > 2а~1.
► 8. В окружности проведены диаметр MN и хорда АВ, параллельная
диаметру MN. Касательная к окружности в точке М пересекает прямые
N А и NB соответственно в точках Р и Q. Известно, что MP = pt
MQ -q. Найти MN.
Химический факультет
► 1. Решить неравенство -f^ ^ 1.
► 2. Решить уравнение Iog2 х + log2(x + 1) — 1.
► 3. Решить тригонометрическое уравнение cos2a; = 2(cos a; + sin ж).
► 4. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найти площадь
трапеции, если ее средняя линия равна 5.
► 5. Найти множество пар действительных чисел (х,у), удовлетворяющих
Г 2~ V - 2у2 + 2х ^ О,
 8* - у4 + 2х - 1 = 0.
системе
Биологический факультет
5
► 1. Решить уравнение 4(log4x)2 = Iog2 jg.
► 2. Решить уравнение х — 1 + 2х — 3| ~ 2.
► 3. Найти все корни уравнения sin 2a; = sin (-| — х) , удовлетворяющие
условию 0 ^ х < Ц-.
► 4. Саша и Сережа дважды обменивались марками, причем каждый раз
^ количества марок, имевшихся (на момент обмена) у Саши,
обменивалась на половину количества марок, имевшихся у Сережи. Сколько
марок было у Саши и сколько у Сережи до первого обмена, если после
первого обмена у Саши было 945 марок, а после второго обмена у Сережи
— 220?
► 5. Вершины В, С, D четырехугольника ABCD расположены на
окружности с центром О, которая пересекает сторону АВ в точке F, а
сторону AD — в точке Е. Известно, что угол BAD прямой, длина хорды EF
равна длине хорды FB и длины хорд ВС, CD, ED равны между собой.
Найти угол АВО.

1995 год
715
► 6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
1 Rtt
{х2 - Ьх - а)2 + Ylix2 - 6|я:| - а) + 37 = cos
а
имеет ровно два корня.
Факультет почвоведения
► 1. Первый член арифметической прогрессии в два раза больше первого
члена геометрической прогрессии и в пять раз больше второго члена
геометрической прогрессии. Четвертый член арифметической прогрессии
составляет 50 % от второго ее члена. Найти первый член
арифметической прогрессии, если известно, что второй ее член больше третьего
члена геометрической прогрессии на 36.
► 2. Решить уравнение 52к = 115 - 5Ж_1 + 50.
► 3. Решить неравенство 4х + 7 ^ -.
► 4. Две окружности, радиусы которых относятся как 9 —4/3, касаются друг
друга внутренним образом. Проведены две хорды большей окружности,
равные по длине и касающиеся меньшей окружности. Одна из этих хорд
перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей, а другая
нет. Найти угол между этими хордами.
► 5. При каких значениях параметра Ь система уравнений
f у = 46 + 3 - х2 + 2х,
 х2 + у2 = 2х
имеет два действительных решения?
Геологический факультет
► 1. Решить уравнение /Ъх — 6 + х = 4.
► 2. Решить неравенство х" — 6 ^ |ж|.
( х3 у/х - у = 0,
► 3. Решить систему уравнений < .
1 2у2 + у = 21 + 2ху.
+ 4. Решить неравенство -^_&+5 ^ 0.
► 5, Решить уравнение (2v^3sin(7rx + 37г) — tg (пх — ^)) Iog2(4 — ж2) ~ 0.
► 6. Имеются два слитка, содержащих медь. Масса второго слитка на 3 кг
больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в
первом слитке — 10 %, во втором — 40 %. После сплавливания этих
двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором
— 30 %. Определить массу полученного слитка.
► 7. Около треугольника ABC описана окружность. Продолжение биссек-
триссы СК треугольника ABC пересекает эту окружность в точке L,

716
Варианты вступительных экзаменов
причем CL — диаметр данной окружности. Найти отношение длин
отрезков BL и АС, если синус угла ВАС равен ~.
► 8. Найти все значения параметра а, при котрых неравенство 9х < 20-Zx + а
не имеет ни одного целочисленного решения.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение 2cos(7r(a; — 1)) = /3.
► 2. Теплоход затратил 5 ч. на путь вниз по течению реки от пункта А до
пункта В. На обратный путь против течения он затратил 8 ч. 20 мин.
Найти скорость теплохода, если путь от А до В равен 100 км.
► 3. Решить уравнение т/2 — х2 — х — 1.
► 4. Вокруг четырехугольника ABCD с взаимно перпендикулярными
диагоналями АС и BD описана окружность радиуса 2. Найти длину
стороны CD, если АВ = 3.
► 5. Сколько корней на отрезке [—7г, 7г] имеет уравнение х2 + а — 36 cos ж,
если параметр b есть наименьшее возможное значение суммы квадратов
корней квадратного трехчлена х2 — х/Ъ — Зс2 + ^ — (? ?
Экономический факультет
(отделение экономики)
► 1. Решить неравенство 2х — 5 < 2%/V2 — ж — 6 .
► 2. Решить уравнение 2|sina;| + logtg:r f — *™*£ ) = 0.
► 3. В трапеции KLMN известны боковые стороны KL — 36, MN ~ 34,
верхнее основание LM — 10 и cos(ZKLM) — — ^. Найти диагональ LN.
► 4. В банк помещен вклад в размере 3900 тыс. р. под 50 % годовых. В конце
каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов
вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную
сумму. К концу пятого года оказалось, что размер вклада увеличился по
сравнению с первоначальным на 725 %. Какую сумму вкладчик ежегодно
добавлял ко вкладу?
► 5. Найти все х € [—3,1], для которых неравенство z(?r(z + l) — 4arctg(3m2 +
12m+11)) >0 выполняется при любых целых т.
► 6. Найти наименьшее значение выражения а2 + (Ь — I)2 среди тех а и Ъ,
для которых уравнение ||х — 4| — 2| — ах + 4а — Ь — 0 имеет ровно три
различных корня. Указать, при каких а и Ъ достигается это наименьшее
значение.

1995 год
717
Экономический факультет
(отделение менеджмента)
► 1. Решить уравнение у/х + 3 = 9 — х.
► 2. Решить уравнение 2™£+1 = 0.
► 3. Решить неравенство loga^-i [х — j) > 1.
► 4. В первый год разработки месторождения было добыто 100 тыс. т
железной руды. В течение нескольких следующих лет годовая добыча руды
увеличивалась на 25 % по сравнению с каждым предыдущим годом, а
затем на протяжении последующих 3 лет поддерживалась на
достигнутом уровне. Общий объем добытой руды за все время добычи составил
850 тыс. т. Сколько лет разрабатывалось месторождение?
►■ 5. В треугольнике ABC сторона АВ = 6, /.ВАС = 30°, радиус описанной
окружности равен 5. Найти сторону АС.
► 6. Найти все значения параметра р, при которых уравнение х — 2 =
л/—2{р + 2)х + 2 имеет единственное решение.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение 2х — 15| = 22 — 2х + 7|.
► 2. Решить неравенство *-—tx-4- > 0.
► 3. Решить уравнение Vzsina; — у/2 + cos x = 0.
► 4. В треугольнике ABC проведены биссектриссы BL и АЕ углов ABC
и ВАС соответственно, которые пересекаются в точке О. Известно,
что АВ = |В£|, периметр треугольника равен 28, ВО ~ 2OL.
Найти АВ.
► 5. Найти все значения параметра а, при которых неравенство cosz —
21х2 + 9 < — -4~~ — а имеет единственное решение.
Институт стран Азии и Африки
*■ 1. Найти х, если известно, что числа — 1, х + 2, sin(arcsina;), взятые в
указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.
*• 2. Решить уравнение log2(r2 — Ах + 3) — log2(a; — 1) log2(£ — 3) = 1.
►■ 3. На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется
в конце этого квартала т процентов, а на тот счет, который вкладчик
имел в конце второго квартала, начисляется в конце этого квартала
гч процентов, причем г + гъ = 150. Вкладчик положил на счет в начале

718
Варианты вступительных экзаменов
первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала
половину этой суммы. При каком значении Т счет вкладчика в конце
второго квартала окажется максимально возможным?
► 4. Сторона АВ треугольника ABC равна 3, ВС = 2АС, Е — точка
пересечения продолжения биссектриссы CD данного треугольника с
описанной около него окружностью, DE = 1. Найти длину АС.
► 5. Решить неравенство /4ж — х2 — 3 (a/^cosz _ ^/1 + cos 2x) ^ 0.
► 6. Найти все значения параметра а, при которых неравенство х2 + Ах +
&ах + 2 + 9а2 ^ 0 имеет не более одного решения.
1996 год
Механико-математический факультет
> 1. Решить уравнение
'V'+10 = 0.
COS"2 X COS X
*■ 2. Решить неравенство
8-16s 9* <3-4Я -3*.
► 3. В треугольнике ABC точка О — центр описанной окружности, точка R
лежит на отрезке ВС и BR — RC. Описанная около треугольника BRO
окружность пересекает АВ в точке Т. Найти площадь треугольника
ABC, если ZBOR = 30°, RT = 8, ВТ = б.
► 4. Решить систему
| log3 18 sin ж - Iog3 Зу + | Iog3 cos x - log3 Zy = 1,
► 5. В треугольной пирамиде AKLM выполнено АК — AL — AM, KL =
LM = MK, tg(ZAKM) = -y=. Сфера радиуса 2/3 касается луча LA,
касается плоскости АКМ и касается плоскости KLM в точке, лежащей
на луче LM. Найти наибольшее возможное значение длины отрезка LM.
► 6. При каких значениях параметра а уравнение
{х2 - х + а2 + I)2 = 4а2(5х2 - х + 1)
имеет ровно 3 различных решения?
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Числа а,Ь, с и d являются последовательными членами геометрической
прогрессии. Известно, что а + d = 10, а • d — 7. Найти Ь3 + с3.

1996 год
719
*■ 2. Первый раствор содержит 20% азотной кислоты и 80% воды, второй
— 60% азотной кислоты и 40% воды. Первая смесь была получена из
15 литров первого раствора и некоторого количества второго раствора.
Смешав то же самое количество второго раствора с 5 литрами первого,
получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора было
использовано для приготовления первой смеси, если известно, что процентное
содержание воды во второй смеси в два раза больше процентного
содержания кислоты в первой.
► 3. При всех значениях параметра а решить уравнение
25* -{а- 1)5* + 2а + 3 = 0,
и указать при каких а оно имеет единственное решение.
► 4. Решить неравенство
arccos(3a?) + arcsm(x + 1) < 7тт/Ь.
► 5. Решить систему уравнений
J х2 + у2 - Ux - 10у + 58 = О,
I ^х2 + у2 - 16а5 - 12у + 100 + ^х2 + У2 + 4х- 20у + 104 = 2л/29.
► 6. Две окружности пересекаются в точках А и В. Хорда CD первой
окружности имеет с хордой EF второй окружности общую точку М.
Длина отрезка АВ в три раза больше длины отрезка СМ, которая, в свою
очередь, в два раза меньше длины отрезка MD и в шесть раз меньше
длины отрезка MF. Какие значения может принимать длина отрезка
AM, если известно, что длина ВМ равна 2, а длина АВ в девять раз
больше длины отрезка ЕМ?
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
cos За; — sin(7x + —) = sin 2x.
*■ 2. Решить неравенство х — 1
—Р^^^^ > 0.
хуА + Зж — х2
► 3. Решить уравнение - , =. .
6* -3-61 a =3-6_5.
► 4. Через точку L окружности проведены касательная и хорда LM длины
5- Хорда MN параллельна касательной и равна 6. Найти радиус
окружности.
*• 5. Решить систему уравнений
fiog2(3y2-x2) = 3,
1 8Iog16(-a;)+log2y2=4.
► 6. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с
боковыми гранями углы /5 и 7- Найти объем параллелепипеда.

720
Варианты вступительных экзаменов
► 7. В равнобедренном треугольнике BCD (ВС = CD) проведена
биссектриса BE. Известно, что СЕ = с, £>£? = d. Найти BE.
► 8. Для каждого значения а найти число решений уравнения actg£ — 1 —
cos2:e, принадлежащих отрезку 0 ^ х < 27г.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение
cos Ах + sin х sin 3z = 0.
► 2. Решить неравенство
х + Ь>7 — х.
*■ 3. Решить систему /
I 5(log„ х + log,, у) = 26,
 ху- 64,
[ У < х.
► 4. В треугольнике ABC точка D лежит на АС, причем AD — 2DC. Точка
Е лежит на ВС. Площадь треугольника ABD равна 3, площадь
треугольника AED равна 1. Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке О-
Найти отношение площадей треугольников АВО и OED.
► 5. Решить уравнение
[1 + cos(iry/x) + х2 - 15а; + 441 = 15ж — х2 — cos(ny/x) — 45.
Биологический факультет
► 1. Решить уравнение
v 3 • sin х + sin 2x = 0.
► 2. Решить уравнение
(ж-3)2-5-|х-3| = 24.
► 3. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству
2+ logi(Iog3(7-£))<().
► 4. Плоское сечение SAB, проходящее через вершину 5 прямого кругового
конуса, имеет площадь 60 (см2). Точки А а В, лежащие на окружности
основания конуса, делят ее длину в отношении 1:5. Найти объем конуса,
если угол SAB равен arccos(-4=j).
► 5. Найти все пары натуральных чисел (р, q), удовлетворяющие
одновременно двум неравенствам
/ 18 q> 2-p + 2-q2 + 27,
I 7.р+10<4-9.

1996 год
721
Факультет почвоведения
► 1. Докажите, что число ((^3 - ^7)2 + 7) - ((^3 + ^27)2 - 7) целое, и
найдите это число.
*■ 2. Решите неравенство „ * . , „ э
► 3. Решите уравнение □
X2 '
►
4- Найдите все решения уравнения
л/х + sin х = ]х — sin2x,
удовлетворяющие неравенству — 27г < х < 2тт.
► 5. В треугольнике ABC АВ = 3, АС = 3/7, /ЛВС = 60°. Биссектриса
угла ЛВС продолжена до пересечения в точке D с окружностью,
описанной вокруг треугольника. Найдите длину отрезка BD.
► 6. Определите, при каких значениях а решения неравенства
/х + а ^ х
образуют на числовой прямой отрезок длины 2а.
Геологический факультет
► 1. Решить уравнение ^4х~^1 = х-9.
► 2. Определить, какие из чисел —3, —1, 1, 3 являются решениями
неравенства
о - юёе 2
х ^ - - log6 2.
► 3. Найти все решения уравнения
sin Ax + sin 6z _ sin 8ж + sin 10a;
2х2 - 5-кх + 2тг2 _ 2х2 - 5тгж + 2тг2 '
принадлежащие интервалу (0; 7г).
► 4. Решить неравенство
1 1
<
log2(-x) log4(-2x)
► 5. Решить систему уравнений
Г у2 + ху = 42ж,
 6а;2 + бжу = 7у.
► 6. В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в
первом банке — 50% к текущей сумме на счете, во втором — 75% к
текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у
него денег положил в первый банк, а остальные деньги —- во второй
банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество

722
Варианты вступительных экзаменов
денег на обоих счетах утроилось. Какую долю денег вкладчик положил
в первый банк?
► 7. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям и
имеет длину 6 см. Длина основания AD равна 8 см, а длина отрезка DO,
где О — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 6 см. Найти
площадь треугольника COD.
► 8, Найти все действительные значения параметра Ь, при которых для
любого действительного а уравнение
cos(a + ab + ах) + 4 cos a2x = ЪЬ2
имеет хотя бы одно решение.
Географический факультет
► 1. Решить уравнение
л/28 + 6х - х = 2.
► 2. f(x) —■ периодическая функция с периодом Т = /2. Найти значение
f(V&), если известно, что 3/2(0) + 7Д/72) + 4 = 0 и /2(-/2) + 3/(^8) +
9 и>
► 3. Решить уравнение
"*,--..> ("»"* + i-* + 1)=a
► 4. Углы треугольника ABC удовлетворяют равенству
cos2 A + cos2 В + cos2 С = 1.
Найти площадь этого треугольника, если известны радиусы вписанной
г = л/3 и описанной R — 3/2 окружностей.
► 5. Даны два вектора
"u ={-pfa + 2);-2p-3;p(g + 2)} и V = {-q - 2;р + 2; q + 2}
1) Найти все значения параметров р и q, при которых эти векторы
будут колинеарны, но не равны.
2) В случае р — q найти все значения параметра q, при которых эти
векторы взаимно перпендикулярны.
Экономический факультет
(отделение экономики)
► 1. Решить систему , , , э/——^ Л
 {-х^х}2 - у = 10.
► 2. Решить неравенство
Iog7(19-16a;ix|)-Iog49(l-4z)2
3-4i-|4x-3|

1996 год
723
► 3. Решить уравнение
( 19тг  Г 15тг ~^ " п
I tg — tg x I - j 6 - cos —— • cos — — cos x — 3 = 0.
у о J V 4 A
*■ 4. В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость
и вес одного изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для первого типа,
500 тыс. руб. и 16 кг для второго типа, 600 тыс. руб. и 15 кг для третьего
типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определить
минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в
контейнере комплектующих изделий.
► 5. В треугольнике ABC с основанием АС — 8 проведена биссектриса BL.
Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся как 3:1.
Найти биссектрису BLt при которой высота, опущенная из вершины В
на основание АС, будет наибольшей.
► 6. Найти все значения параметра а, при которых фигура, заданная на
координатной плоскости условием
у < {у/а- х)2 + arcsin(sm(a - |ж|)),
представляет собой четырнадцатиугольник.
Экономический факультет
(отделение менеджмента)
► 1. Решить неравенство
log4(3-3z)2 ^ log2(a;2 - 1).
► 2. Решить систему
( ж + 3» = 2,
 хъ + 21У = 26.
► 3. В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость и вес одного
изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для первого типа и 600 тыс. руб.
и 15 кг для второго типа. Общий вес изделий равен 321 кг.
Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость
находящихся в контейнере изделий.
► 4. Решить уравнение /V2, • sin а; = Vsin 2х.
► 5. Через точку Л, находящуюся вне окружности на расстоянии 7 от ее
центра, проведена прямая, пересекающая окружность в точках В и С.
Найти радиус окружности, если известно, что АВ = 3, ВС = 5.
► 6. При каких значениях параметра р площадь фигуры, заданной на
координатной плоскости уравнением 2х + у + х — у + 3[ ^ р, будет равна
24?

724
Варианты вступительных экзаменов
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение у/2х2 — 21а; + 4 — 2 — lire.
► 2. Решить неравенство 2 < log3(a; — З)4 ^ 8.
► 3. Найти область определения функции и ответ обосновать:
f(x) = -. 1 .
V-6sin22a;— 2 sin 2г cos 2^+8-v^
► 4. В угол с вершиной А величиной в 60° вписана окружность с центром в
точке О. Через точку К этой окружности проведена к ней касательная,
пересекающая сторону угла в точках В и С. Отрезок ВС пересекается
с отрезком АО в точке М. Найти радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC, если jjj^ = | и ВС — 7.
► 5. Пусть *i и (г — действительные корни квадратного уравнения
t2 -(5b-2)t-3b2 -7b + l = 0.
Найти все значения параметра Ь, при каждом из которых для любого
значения параметра а функция f(x) — cos(airx) ■ cos((tl +Щ)-тгх) является
периодической.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решить неравенство
4 ■ 9х - 5 • 3*+1 - О 0.
► 2. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости условиями
У > х -1,
у^-2х + 5.
и у/40 4 Зд'~а;'^'1ос (х^ — 9)
► 3. Найти область определения функции у ~ :-т -_-^% •
► 4. Решить неравенство logi (у/х + 3 — ж + 3) ^ —2 + logi |.
► 5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны
АВ за точку В пересекается с продолжением стороны CD в точке Е.
Найти угол ADE, если CD = 2ВЕ, АВ : ЕС = 7 : 2 и косинус угла AED
равен |.
► 6. При каких значениях параметра а неравенство
fog-2-13 Ы**->/Зс°в*-*-Л > 0
выполняется для любых значениях х?

1997 год 725
1997 год
Механико-математический факультет
►■ 1. Решить уравнение (2 sin2 х — 3 sin х + 1) ■ y'tgx = 0.
► 2. Решить неравенство (l — |) bg13_3.2^ 4^1.
► 3. Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а
через некоторое время с постоянной скоростью выехал второй. После
остановки на 20 мин в пункте В второй автомобиль поехал с той же
скоростью назад, через 48 км встретил первый автомобиль, шедший
навстречу, и был на расстоянии 120 км от В в момент прибытия в В
первого автомобиля. Найти расстояние от А до места первой встречи
автомобилей, если АВ — 480 км.
► 4. В треугольнике ABC длина АВ равна 3, /АСВ = arcsin |. Хорда KN
окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки
АС и ВС в точках М и L соответственно. Известно, что /.ABC —
/СML, площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.
Найти высоту треугольника KNC, опущенную из вершины С, и его
площадь.
► 5. Для всех значений параметра а решить уравнение
а
~2
, 2а - 1 ., 2а2 + а 4- 2
х - —х- +
, а 1
х + -
3 6
а+ 1
+ ——
3 12
► 6. Вокруг пирамиды ABCD описана сфера. Вторая сфера радиуса 1
касается первой внутренним образом в точке D, а также касается плоскости
ABC. Известно, что AD = 3, cos /ВАС = i, cos/BAD = cos /СAD =
-7=. Найти объем пирамиды ABCD.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Пункты Л, В и С расположены на реке в указанном порядке вниз по
течению. Расстояние между А и В равно 4 км, а между В и С - 14 км.
В 1200 из пункта В отплыла лодка и направилась в пункт А. Достигнув
пункта Л, она сразу же повернула назад и в Н00 прибыла в пункт С.
Скорость течения реки равна 5 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей
воде.
►
2. Решите неравенство Iog1/(1_s2j 2 < Iog2;r2
I
2"
► 3. Решите уравнение 3 + | sin х — 3 cos х — 3 sin х + cos x.

726
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Найдите все решения системы уравнений
Г 4х + 5 ■ 2х - 2 ■ Зу = 2,
1 2 ■ 9^ + 2х + 2 • 3^ = 1.
► 5. Внутри треугольника ABC выбрана точка О так, что радиусы
описанных около треугольников АОС и АОВ окружностей равны,
соответственно, 5 и 4. Известно, что расстояние между центрами этих
окружностей равно б, АВ = 6, АС = 7. Найдите ОС.
► 6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
/х3 - 2Ах2 + 118а: + 7 = Ьу/7х - х2 + л/а2-11а+18
имеет единственное решение.
Физический факультет
► 1. Решите уравнение cos 6a; + 4 cos 2x — 0.
► 2. Решите уравнение 4»'1'з-5" ~ * + ^ (!)"'•
► 3. Решите неравенство Л°б5{х + 2) > log^ ( ^гЫ)-
► 4. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, пересекает
сторону ВС в точке М, а сторону АС ■—- в точке ЛГ. Площадь треугольника
MCN в два раза больше площади трапеции ABMN. Найдите СМ : MB.
» = р „ f » + |х + 1| = 1,
► 5. Решите систему уравнении <
L у-х= 5.
► 6. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8, 9.
Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Найдите высоту пирамиды.
► 7. При любых значениях а решите неравенство а — 2 < (а— 1)/х + 1.
► 8. В трапеции ABCD известно, что ВС \ AD, LABC = 90°. Прямая,
перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а
сторону CD — в точке N. Известно также, что МС — a, BN — b, a
расстояние от точки D до прямой МС равно с. Найдите расстояние от
точки А до прямой BN.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение л/Зх2 — 25z + 51 — 7 — 2х.
► 2. Решить неравенство
(v^+iy + l <2(л/2-1)*.
► 3. Решить уравнение 8 cos 2х + 16 cos х + 7 = 0.
► 4. п насосов различной мощности наполняют бассейн водой. Первый насос,
работая автономно, может наполнить весь бассейн за 2 часа, второй
— за 4 часа. ..., п-й — за 2п часов. Каким должно быть наименьшее
число насосов п, чтобы все п насосов, работая одновременно, наполнили

1997 год
727
бассейн быстрее, чем за 1 час и 1 минуту? Можно ли наполнить бассейн
быстрее, чем за 1 час?
► 5. Середины высот треугольника ABC лежат на одной прямой.
Наибольшая сторона треугольника АВ — 10 см. Какое максимальное значение
может принимать площадь треугольника ABC?
► 6. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения х2 + 2у2, если
х2 — ху + 2у2 = 1.
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины
► 1. Решить уравнение log3 х + Iog3(x + 1) = 1.
► 2. Решить уравнение sin 2х — sin Ах — (cos 2х + 1) cos Зж.
► 3. Решить неравенство у/1 — 8х — 2 ^ х + 1.
► 4. В двух коробках лежат карандаши: в первой красные, во второй —
синие. Известно, что красных карандашей меньше, чем синих. Сорок
процентов карандашей из первой коробки переложили во вторую. Затем
20% карандашей, оказавшихся во второй коробке, переложили в первую,
причем половину из них составляли синие. После этого красных
карандашей в первой коробке оказалось на 26 больше, чем во второй, а общее
количество карандашей во второй коробке увеличилось по сравению с
первоначальным более, чем на 5%. Найти общее количество синих
карандашей.
► 5. В треугольнике ABC проведена средняя линия MN, соединяющая
стороны АВ и ВС. Окружность, проведенная через точки М, N и С, касается
стороны АВ, а ее радиус равен /2. Длина стороны АС равна 2. Найти
синус угла ZACB.
1 ' ■ 2 ч 2 х3/2
► 6. Найти решения системы <
Факультет почвоведения
(*-i)2>£(¥-*)>
о „3/2 с
х2 - -5— + £ < 0.
у/соях л-
► 1. Решить уравнение х — у&с + Э.
► 2. Решить неравенство log1/(7(z2 + За;) < logjy^Sar — 1).
► 3. Решить уравнение 2 sin3 х — ^'^ = 0.
► 4. В сосуде находится 10%-й раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3
содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался

728
Варианты всщупительных экзаменов
заполненным на 5/6 первоначального объема. Какое процентное
содержание спирта оказалось в сосуде?
*■ 5. В треугольнике ABC угол С равен 60°, а биссектриса угла С равна 5/3.
Длины сторон АС и ВС относятся как 5 : 2 соответственно. Найти
тангенс угла А и сторону ВС.
► 6. Для каждого значения параметра а решить неравенство
у а2 — х2 ^ а + 1.
Геологический факультет
► 1. Сколько решений имеет уравнение
л/5(ж2 + 2) - 2xVl = /21(z2 - 2) - 2xV3 ?
► 2. Решите уравнение 5 cos4а; + 5 = 22(cosx + sinz)2.
► 3. Решите неравенство jq-'Jz < Ю.
► 4. В треугольнике FGH угол G прямой, FG — 8, GH = 2. Точка D лежит
на стороне FH, A vs. В — точки пересечения медиан треугольников FGD
и DGH. Найдите площадь треугольника GAB.
► 5. Решите неравенство Ц1о81/и1овт* < f^m^n *.
► 6. В момент, когда два бассейна были пустыми, 4 трубы одинаковой
производительности были подключены для заполнения первого бассейна.
Когда первый бассейн был заполнен на 1/6 его объема, одну трубу
переключили для заполнения второго бассейна. Когда первый бассейн был
заполнен на 1/2 его объема, еще две трубы переключили для
заполнения второго бассейна. После этого оба бассейна наполнились доверху
одновременно. Найдите отношение объемов бассейнов. (Временем на
переключение пренебречь.)
► 7. Найдите все решения уравнения х + у + 11 — Ьху + х2у + ху2 — 12| = 0.
► 8. При каких значениях а уравнения
ха2 - а - (х3 - 5ж2 + 4) = 0,
(х + 1)а2 + (х2 - х - 2) а - (2х3 - 10а?2 + 8) = 0
не имеют общего решения?
Географический факультет
|ж-1| + 10
► 1. Решить неравенство —; ——- > 2.
4|ж-1| + 3
*■ 2. Найти наибольший отрицательный корень уравнения
cos(7r(x2 - х + 1)) = cos(tt(x — 1)).
► 3. Решить уравнение log|sin(7r:c/4)|(9* - 3*+3 + 30) = Iog|sin(7r;c/4)|(3a: + 3).

1997 год
729
► 4. Найти все значения параметра Ь, при каждом из которых единственное
решение имеет система неравенств
j by2 + <% - 2х + П + 4 ^ О,
I Ъх2 -2у-2Ъх + 4Ь-2^0.
*• 5. В некоторый угол В вписаны две непересекающиеся окружности.
Окружность большего радиуса касается сторон этого угла в точках А и
С, меньшего — в точках А и С. (Точки А и С лежат на разных
сторонах угла В.) Прямая АСг пересекает окружности большего и меньшего
радиусов в точках Е и F соответственно. Найти отношение площадей
треугольников АВС и АВС, если АВ — 2, EF = 1, а длина АЕ равна
среднему арифметическому длин ВС и EF.
► 6. На координатной плоскости построить множесто точек с
координатами (х;у), каждой из которых соответствует треугольник со сторонами
1) |ж|, л/—У- Найти уравнения кривых, ограничивающих это множество.
Экономический факультет
► 1. Решить систему уравнений
sin (^f2l) | + |l - sin (si^pl)
= 0,
j4-x-y + 2 = V4 - kl - У + 2|-
► 2. Решите неравенство (i/2)V(*a-2*-15)3 ■ 7(*+з)2(*-5) ^ L
► 3. Касательная, проведенная через вершину С вписанного в окружность
треугольника ABC, пересекает продолжение стороны АВ за вершину В
в точке D. Известно, что радиус окружности равен 2, АС = /L2 и
/LCDA + Z.ACB = 2ZBAC. Найдите секущую AD.
► 4. Имеются три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых
двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете.
Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого
и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна
акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на
величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб до 20 тыс. руб, а
цена одной акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб и не больше
60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от
общего количества акций может содержаться в первом пакете.
► 5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной,
периодической с периодом 4, и на промежутке — 2 ^ х ^ 0 ее значения
вычисляются по правилу f(x) = 2х(х + 2). Решите уравнение
2-/(-3-ж)-3
y/f{x/2 + 3/4) - у/2
= =0.

730
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Множество точек, расположенных внутри фигуры F, задано на
координатной плоскости условием
. 10у - 24 - у*
И47 sou
Множества F(t) получаются из F поворотом вокруг начала координат
против часовой стрелки на угол t. Найдите площадь фигуры,
образованной точками, каждая из которых при некотором t 6 [0; тг] принадлежит
множеству F(t).
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение 3 cos2 х + 4 sin x = 0.
► 2. Решить неравенство y/t + 3 > 5 — It.
► 3. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего
ее членов равна 164, а произведение второго и предпоследнего членов
равно 324. Найти последний член прогрессии.
► 4. При каких действительных р уравнение
4х + 2Х+2 + 1 = р - 4~х - 2 • 21"*
имеет решение?
► 5. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Через
точку В на их общей касательной АВ проведены две прямые, одна из
которых пересекает первую окружность в точках М и N, а другая
вторую окружность в точках Р и Q. Известно, что АВ — б, ВЫ = 9,
ВР — 5. Найти отношение площадей треугольников MNO и PQO, где
О — точка пересечения прямых MP и NQ.
► 6. Найти все значения параметров а и Ь, при которых система уравнений
 х2 + у2 + 5 = Ь2 + 2х - 4у,
 х2 + (12 - 2а)х + у2 = 2ау + 12а - 2о2 - 27
имеет два решения (х,у) и (а?2, Уг), удовлетворяющие условию
a?i -ж2 _ У +У2
У2 -У х1+х2'
Социологический факультет
► 1. Решите неравенство £-±1 < I _ j
► 2. В треугольнике ЛВС длина Л£? равна 4, длина ВС равна 5. Из
вершины В проведен отрезок ВЫ (М £ АС), причем ZABM — 45° и
ZMBC — 30°. 1) В каком отношении точка М делит сторону АС1
2) Вычислите длины отрезков AM и МС.
► 3. Найдите все решения уравнения у/—3х + 3 = х — 1.

1998 год
731
► 4. В дошкольном учереждении провели опрос. На вопрос: «Что Вы
предпочитаете, кашу или компот?»— большая часть ответила: «Кашу»,
меньшая: «Компот», а один респондент: «Затрудняюсь ответить». Далее
выяснили, что среди любителей компота 30% предпочитают абрикосовый,
а 70% — грушевый. У любителей каши уточнили, какую кашу они
предпочитают. Оказалось, что 56,25% выбрали манную, а 37,5% — рисовую,
и лишь один ответил: «Затрудняюсь ответить». Сколько детей было
опрошено?
► 5. Решите систему < _
{ |/2ж-1| = л/2х-1.
► 6. Укажите все неотрицательные значения параметра а, при которых
уравнение sin(2a) • sin2 (ах) + 1 = (1 + sin(2a)) sin(ax) имеет ровно 4 решения
на отрезке [—7г;7г].
Институт стран Азии и Африки
*■ 1. Решите уравнение у/9 — 2х + у/3(х — 2) = 0.
► 2. Решите уравнение 2х — 5| — 1 — 3|2ж — 5| — 4|ж — 1|.
► 3. Решите уравение 1 — 3 sin x cos x — 5 cos2 x — 0.
► 4. Решите неравенство logj /2 |1 ~ #| — log^-i 2^2.
► 5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости услови-
( у ^ у/4-х2,
ями <
у>|а;-1|-3.
► 6. В прямоугольнике ABC В на сторонах АВ и AD выбраны
соответственно точки Е и F так, что АЕ : ЕВ = 3:1, AF : FD = 1:2. Найдите
отношение ЕО : OD, где О — точка пересечения отрезков DE и CF.
*■ 7. Найдите все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению
Zxy - 1Ах - VTy + 71 = 0.
1998 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство 3 ■ /х + 1| — 3 ^ Vx2 — 2х — 3.
► 2. Решить неравенство к>К2д+2 (Юж2 + х — 2) < 0.
5а--1
► 3. Решить уравнение 3 ■ 2СОВ!Г+3>/1-в!па* + 11 • 22w*x - 34 = 0.
► 4. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается
основания АС в точке D и боковой стороны АВ в точке Е. Точка F —-

732
Варианты вступительных экзаменов
середина стороны АВ, а точка G — точка пересечения окружности и
отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая
через точку G, пересекает сторону АВ в точке Н. Найти угол ВС А,
если известно, что FH : НЕ = 2:3.
► 5. При каких значениях параметра а система
cos2 (тг ху) — 2 sin2 (7гж) — 3 sin2 (пу) — 2 + tg(7ra) = О,
3 3 1
cos(nxy) — - sin2(7rr) — 2sin2(Vy) — - + - tg(7ra) = О,
имеет ровно четыре решения?
► 6. Дана пирамида ABCD. Сфера касается плоскостей DAB, DAC и DBC
в точках К, L и М соответственно. При этом точка К находится на
стороне АВ, точка L — на стороне АС, точка М — на стороне ВС.
Известно, что радиус сферы равен 3, ZADB = 90°, /-BDC = 105°,
/.ADC = 75°. Найти объем пирамиды.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
5ж + 3
► 1. Решить неравенство 2х > —?.
х + 2
► 2. Решить неравенство log2(5 — х) ■ log(a.+]j — > —б.
*■ 3. Решить уравнение | sin3 x + 13 cos3 x — cos x = 0.
► 4. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной 5 проведена
высота SD. На отрезке SD взята точка К так, что SK : KD = 1:2.
Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями
7Г 4
равны —, а расстояние от точки К до бокового ребра равно —=. Найти
объем пирамиды.
*• 5. Найти все значения параметра а, при которых существуют (ж,у),
удовлетворяющие системе неравенств:
Г тах(2 - Зу, у + 2) < 5,
<l i а2 + ~ arccos /l — х2 — 16 — ^ arcsinх ■ (тг + 2 arcsinx) ^
[ >у2 + 2ау + 7.
*■ 6. В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD делит пополам
отрезок ОН, где О — центр описанной окружности, Н ~~ точка
пересечения высот. Известно, что АС = 2, AD = /3 + у/2 — 1. Найти радиус
описанной около треугольника ABC окружности.

1998 год
733
Физический факультет
► 1. Решить уравнение 4 cos а; ■ cos 2х ■ sin3z = sin2x.
*• 2. Решить уравнение log3(:z; - 2) — log9(a;2 — 10ж + 25) = Iog3 2.
* 3. Решить неравенство 9х — 2 *2 < 2 "а — З2*-1.
► 4. Медианы ЛМ и CiV треугольника ЛВС пересекаются в точке О.
Известно, что /.ВАС — а, /ВСЛ = /?, Л С = Ь. Найти расстояние от
точки О до прямой АС.
*■ 5. Решить систему уравнений
+ g-l|=0,
V'a; - у + 6 = 0.
► 6. На отрезке АВ взята точка С, отрезки АВ и СВ служат диаметрами
окружностей. Хорда AM касается меньшей окружности в точке D.
Прямая BD пересекает большую окружность в точке JV, /.DAB — a,
АВ = 2R. Найти площадь четырехугольника ABMN.
*■ 7. Для любых допустимых значений а решить неравенство
loga(3ax -5) < х + 1.
► 8. В правильной треугольной призме АВСАВС {АА  ВВг \ СС) угол
между прямыми АС и АВ равен а, АА = 2. Найти АВ.
Химический факультет
► 1. Решить уравнение 4х + 2х — 2 = 0.
► 2. Решить неравенство /х + 3 > х + 1.
Г х2 + у2 + 2{х - у) + 2 = О,
L z2 +xz + yz - 4- 0.
► 4. Решить уравнение sina:(cos 2x + cos 6x) + cos2 ж = 2.
► 5. Диаметр АВ и хорда CD окружности пересекаются в точке Е, причем
СЕ = DE. Касательные к окружности в точках В и С пересекаются
в точке К. Отрезки АК и СЕ пересекаются в точке М. Найти площадь
треугольника СКМ, если АВ = 10, АЕ = 1.
► 6. Решить уравнение
log2(4z + 1) log5(4z + 4) + log3(4z + 2) log4(4x + 3) =
= 2Iog3(4x + 2)log5(4z + 4).
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины
► 1. Вычислить log/ 4 ур (£$г)' если lo&<t c = ^-
► 3. Решить систему < 2

734
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Решить неравенство х2 + Зж| + х + 5| ^ х2 + 4ж + 9.
► 3. Решить уравнение Jl + cos 2x: = /2 ■ cos г ■ (sinж — ~ ).
► 4. Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен
arctg у/2. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник
ABC (ZACB = 90°). Найти боковую поверхность пирамиды, если
О В — %/5, а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.
► 5. Найти все решения системы
-_ 7Q
6/3cos4x - 3cos 8a; ^ 41'5"' - 25~* + —,
V/(v'2 + v/3r44(v'3-v/2)"442 +
+ 10 Iog2 (cos 8a:) + 4л/2 sin 4х ^ (* + 3)1 'ъ.
Факультет почвоведения
► 1. Решите уравнение /х + 1 — /&х — 3 = 1.
а 3
► 2. Найдите cos —, если известно, что tga = -H7r<a< 27г. Установите
без таблиц и калькулятора, какое из чисел больше: |cos jj или ~.
► 3. Решите неравенство ^, ^,_1 ^ ia+]i_2-
Г Vх — Зу,
► 4. Решите систему уравнений <
t 2log3y + log(r3 = 3:i;.
► 5. На ребрах ААг и СС куба ABCDABiCDi отмечены соответственно
точки Е и F такие, что АЕ — 2АЕ, CF = 2CiF. Через точки В, Е
и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение
объема части, содержащей точку Si, к объему всего куба.
► 6. Определите, а) при каких значениях а существует такое число Ь, что
уравнение 5 cos ж + sin а; + соз(ж — Ь) — а имеет решения; б) при каких
значениях а это уравнение имеет решения при любом значении Ъ.
Геологический факультет
► 1. Найти численное значение выражения
/'9а2-Ш2 a2b-3ab2V / L 8а3 - Ъ3
Ьао —
4Ы-За аЬ ) ' { 2а - Ъ
► 2. Решить уравнение ||4 — х2 — х2 — 1.
► 3. Решить уравнение 5 4- ^п'аГза) = 7ctg(3:r).
► 4. Из цистерны в бассейн сначала перелили 50% имеющейся в цистерне
воды, затем еще 100 л, затем еще 5% от остатка. При этом количество

1998 год
735
воды в бассейне возросло на 31%. Сколько воды было в цистерне, если в
бассейне первоначально было 2000 л воды?
► 5. Решить неравенство logi^z — 2) > г - к^2)" + 2-
3 з
► 6. Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS
перпендикулярны и пересекаются в точке М. Известно, что PS — 13,
QM = 10, QR ~ 26. Найти площадь четырехугольника PQRS.
► 7. Решить систему уравнений
/ х{1 + у) = у + 7,
 х2у — ху2 = 6.
► 8. При каких значениях а уравнение
х2 - Аах + 4а2 - 1
+ х2 - 2х - 1 = 0
х — 2а
имеет хотя бы одно решение?
Географический факультет
► 1. Решить неравенство (/3 - 17г — 6х2 + 2) Iog8;r 7^0.
► 2. Сумма первого, второго, третьего и четвертого членов геометрической
прогрессии равна (—40), причем второй член меньше третьего. Найти
знаменатель прогрессии, если шестой член прогрессии меньше второго
на 240.
► 3. Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС (AD > ВС)
равна 128, а площадь треугольника ВОС равна 2, где О —- точка
пересечения диагоналей трапеции. Найти площадь треугольника ADD.
► 4. Решить уравнение sin а; - /3cosa; — 2 + 5 sin2 (2a; + §).
► 5. Дана правильная треугольная пирамида SABC. Точка S — вершина
пирамиды, SA — 2л/3, ВС — 3, ВМ — медиана основания пирамиды,
AR — высота треугольника ASB. Найти длину отрезка MR.
*■ 6. Найти все пары целых чисел (х, у), удовлетворяющие уравнению
5у = 2х2 - 7х + 3,
и доказать, что для каждой такой пары разность х2 — у2 является
нечетным числом.
Экономический факультет
► 1. Решить неравенство log-t.-i (7х — 2х2) ^ 0.
► 2. Решить уравнение tgx + V3 sin x = 0.
3+16
►
3. Решить неравенство jx + 8(3 — т/8 4- х) < 7
2V8+S-10"

736
Варианты вступительных экзаменов
► 4. В равнобочной трапеции PQRS (QR || PS) известны длины сторон QR =
= 1, PS = 4. Точки Р', Q', R', S' лежат по одну сторону от плоскости
трапеции, причем прямые РР', QQ', RR', SS' перпендикулярны этой
плоскости, РР' = 1, QQ' = 7, RR' = 2, SS' = 1. Точки К' и V лежат
на прямых P'R' и Q'S' соответственно. Найти длину отрезка K'L', если
Р'К' : K'R' = 3:2, Q'V : L'S' = 2:3.
► 5. Найти все действительные значения с, для которых все числа из области
значений функции
... ж2 + сх — 1
/(ж) =
2ж2 - Зж + 2
принадлежат интервалу (—1; 2).
► 6. Вокруг треугольника МКН описана окружность радиуса г с центром в
точке О. Длина стороны НМ равна а. Для сторон треугольника
выполнено соотношение НК2—НМ2 = НМ2—МК2. Найти площадь
треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан треугольника МКН.
►. 7. Каждый из трех брокеров имел в начале дня акции каждого из видов
А и Б общим числом 11, 21 и 29 штук соответственно. Цены на акции
в течение всего дня не менялись, причем цена одной акции вида А была
больше цены одной акции вида Б. К концу торгового дня брокерам
удалось продать все свои акции, выручив от продажи по 4402 рубля
каждый. Определить цену продажи одной акции видов А и Б.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение 4х — х — 2| + 3| = 16.
► 2. Какое из двух чисел больше,
► 3. Решить неравенство
► 4. Решить уравнение
уДх + 7 - Зж + 5
16 - Зж2 + 22ж
«0.
1 Г 7Г 37П
tg8ж-tg6ж = -^—- при же!--, —!.
81п4ж L 4 4 J
► 5. В треугольнике ABC длина биссектрисы AL равна I, в AABL вписана
окружность, касающаяся стороны АВ в точке К, ВК = Ъ. На сторонах
АВ и ВС в ААВС выбраны точки М и N соответственно так, что
прямая MN проходит через центр окружности, вписанной в ААВС,
причем MB + BN = с. Найти отношение площадей треугольников
Saabl/Sambn-

1998 год
737
► 6. Найти все целые значения параметров а и Ь, при которых уравнение
(У/Ь2~Х2) - Ъ ■ 2'in<*ta> - aresinf^"*2) 4- b ■ 2sin^)
= 2ab
arcsm j
имеет не менее 10 различных решений.
Социологический факультет
► 1. Решить неравенство ^р ^ |.
► 2. Решить уравнение Iog3(:c2 + х — 2) = | к^^(1 — ж).
► 3. В университете города М 6% студентов обучались на платной основе,
причем эта доля была одинакова на всех курсах. Летом 22% студентов
были выпущены из стен университета, но за счет приема абитуриентов
численность студентов составила 6/5 от прежней. Определить, какая
доля студентов будет обучаться на платной основе, если новый набор
осуществлялся только на места, финансируемые из госбюджета.
► 4. В четырехугольнике ABCD длина стороны AD равна б, длина сторо-
л/3
ны CD равна
За/3,
косинус угла ADC равен -—, синус угла ВС А ра-
вен -. Найти сторону ВС, если известно, что окружность, описанная
около треугольника ABC, проходит также и через точку D.
*■ 5. Найти все натуральные значения параметра п, при каждом из которых
задача «Найти арифметическую прогрессию, если известны ее
одиннадцатый член и сумма п первых членов» не имеет решений или ее
решением является бесконечное множество арифметических прогрессий.
► 6. Две кривые на плоскости (ж;у), заданные уравнениями
х2
у = -х2 + 3х и — +у2 = 1,
lb
пересекаются в четырех точках. Доказать, что
1) существуют по крайней мере две различные параболы, каждая из
которых проходит через эти четыре точки;
2) эти четыре точки лежат на одной окружности, и найти радиус этой
окружности.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решить уравнение sin2 х + sin2 6х = 1.
► 2. Решить уравнение 2~2х'+1 - 12 ■ 2"*2 +5 = 0.
► 3. Решить неравенство Ъ]х^1 > Щ~~-

738
Варианты вступительных экзаменов
► 4. В треугольнике ABC известны стороны: ВС — АС — 12, АВ — 6;
AD — биссектриса. Найти радиус R окружности, описанной около
треугольника ABC. Выяснить, что больше: R или 6,5.
► 5. Решить неравенство log2x_3(/x + 2 + х — 3) ^ 1.
► 6. При перемножении двух натуральных чисел произведение было
ошибочно увеличено на 372. При делении полученного (неверного) произведения
на меньший сомножитель получилось в частном 90 и в остатке 29. Найти
эти числа.
► 7. При каких значениях параметра а система
Г х4 - (о. - 1)/аТ~Зу + а4 + 2о3 - 9а2 - 2а + 8 = 0,
 у- у/а + Зж2
имеет ровно три различных решения?
Филологический факультет
► 1. Решите неравенство „
х1 + 4х + 3
|1+аг|
► 2. Длина стороны ВС треугольника ABC равна 12 см. Около
треугольника описана окружность радиуса 10 см. Найдите длины сторон АВ
и АС треугольника, если известно, что радиус ОА окружности делит
сторону ВС на два равных отрезка.
► 3. Решите уравнение . , _. .
logs(-2а;) ^2
Iog5(z + l)
► 4. А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие
буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите
равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих. Оказалось,
что начиная с некоторого момента буквы начали циклически
повторяться.
а) Какая буква (из числа циклически повторяющихся) встречается
наиболее часто?
б) Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной
буквы? Если да, укажите эту букву.
► 5. Решите неравенство
Уп + гс*1—) < у/ье-*** -1.
*■ 6. При каких значениях параметра а уравнение
sin2(х + 6) - (а — 1) sin(x + 6) • sin кх + (а — 1) sin2 жх = О
имеет единственное решение?

1999 год 739
1999 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
*■ 2. Решить уравнение
| log3(2ar + 5)| = log3(l -х + 2|) + log3(l + х + 2|).
► 3. При каких значениях <р все положительные корни уравнения
~2+Ч>)+ sin^- + ip) = cos'-,
расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую
прогрессию?
*■ 4. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ — 8 и CD — 5
биссектриса угла В пересекает биссектрисы углов Л и С в точках М и N
соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы
в точках L и К, причем точка L лежит на основании ВС.
а) В каком отношении прямая МК делит сторону АВ, а прямая LN —
сторону AD1
б) Найти отношение KL : MN, если LM : KN = 4:7.
► 5. Найти все значения а, при каждом из которых сумма длин интервалов,
составляющих решение неравенства
х2 + (2а2 + 2)х - а2 + 4а - 6
; '— < О
х2 + (а2 + 5а - Ъ)х - а2 + 4а - 6
не меньше 1.
► 6. Три шара радиусов 1, 3 и 4 расположены так, что каждый из них касается
двух'других шаров и двух данных плоскостей. Найти расстояние между
точками касания первого из этих шаров с плоскостями.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Известно, что ctga = 1. Сравнить
>1 — J — л/2$'та - - ) и
19тг
arccosl
24
► 2. На координатной плоскости (ж, у) проведена окружность радиуса 4 с
центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением у = у/Зх — 4,
пересекает ее в точках А и В. Найти сумму длин отрезка АВ и большей
дуги АВ.

740
Варианты вступительных экзаменов
► 3. Решить неравенство
| log.^.j V(2x + 5)6 + 3| ^ -4 + log I yW+5?'
► 4. В четырехугольной пирамиде SKLMN с вершиной 5 боковые грани
наклонены к плоскости основания под углом 30°. Известно, что KN — 6,
MN = 2, Z.KNM = 90°, Z.KLM - 60°. Найти высоту пирамиды, если
ее основание лежит внутри четырехугольника KLMN.
► 5. Решить уравнение
г- { 7Г 20
6tgl3x + 2ctgl3:c-/2sml2:r-4sm 6а; I = —= =.
► 6. В тупоугольном треугольнике KLM угол ZKML = 15°, а высота,
опущенная из вершины этого угла, равна 2/2. Найти радиус описанной
окружности, если известно, что периметр треугольника KLM равен
84/2 + 4 + 473.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
sin 7х + sin х + 1 = 2 cos2 f — J.
► 2. Решить неравенство -,
3 +
<4.
z + 3
► 3. Трапеция KLMN (LM \ KN) вписана в окружность, а другая
окружность вписана в эту трапецию, LM : KN = 1:3, площадь трапеции
равна =^-. Найти высоту трапеции.
► 4. Решить систему уравнений
1Я
3 ■ Ьх+1 ^£- = 35,
32-i,
10 + 2 ■ З^1 = 36.
► 5. Решить уравнение
51-*
_ ^
3-х 3-х
► 6. Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной М. На одной
стороне угла взята точка А", а на другой стороне угла взята точка L
так, что ОК - OL, ОК < ОМ, МК ф ML. Известно, что ML - a,
ОМ =т,ОК = к. Найти МК.
► 7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S боковое
ребро SD равно Ь. Сфера радиуса Ь/3 касается плоскости SAD в точке D
и проходит через точку С. Найти Z.DSC.
► 8. Для любого допустимого значения m решить неравенство
log4m(Iog5a;2) > 1

1999 год
741
и найти, при каком значении т множество точек х, не являющихся
решениями неравенства, представляет собой промежуток, длина которого
равна 107
Химический факультет
*■ 1. Решить неравенство ,
i-i
х
<2.
*■ 2. Решить уравнение
(cos х - sin x + л/2) -J-x1 - 7ж - 12 = 0.
► 3. Решить неравенство
(bg3+:e(l - 2Ж))(1оё1^г х2) < (log3+,(l - 3x))(IogL_3!1!(2 - х)).
► 4. В треугольнике ABC угол ZJB равен тг/З. Через точки А та В проведена
окружность радиуса 3 см, касающаяся прямой АС в точке А. Через
точки В и С проведена окружность радиуса 4 см, касающаяся прямой АС
в точке С. Найти длину стороны АС.
*■ 5. В сферу радиуса 1 см вписан параллелепипед, объем которого равен
8л/3/9 см3. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.
► 6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
**-* 2а
а2 + 1
3* + 1
имеет нечетное число решений.
► 7. Последовательность чисел ai,*^, ■ •• определяется следующим правилом:
| ап + 2, если число п нечетное,
Qi — 2, O/i+i — 1 _,
1, 2ап, если число п четное,
т. е. «2 = 4, Оз = 8, 04 — 10, as = 20, ae = 22 и т. д. Найти а
999'
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины
► 1. Решить уравнение 5cos4:c — 6 cos 2а; = 2.
► 2. Решить неравенство ,
—г ^ 3 — х.
х + 2
► 3. Решить уравнение
bg2-z {f - 3z2 - у ж + у) + 2 log^.^a (х + 3) = 1.
► 4. На основаниях Л£> и ВС трапеции ABCD построены квадраты ADMN
и BCRS, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересека-

742
Варианты вступительных экзаменов
ются в точке Т. Найти длину отрезка RN, если AD = 8, ВС = 3,
a TN = 20.
► 5. Найти все значения у, удовлетворяющие условию у > |, такие, что
неравенство
12у3х2 - 21у3х - 42у3 - 28у2х2 + 43у2х + Illy2 + 20ух2 - 23ух - 96?/ -
- Ах2 + х + 27 < О
выполняется при всех х из интервала | < х < |«/.
► 6. Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой ве-
лотрассы, первый из точки Л, второй из точки JB, — и едут в
противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их
первых 13 встреч на трассе после старта только третья и тринадцатая
состоялись в точке Л. Найти отношение скорости первого
велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи
каждый из велосипедистов проехал не менее одного круга.
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение Ах — 2х = 56.
► 2. Решить уравнение cos2x = sin ж.
► 3. Решить уравнение log^. х2 — 1| = logy^r |ж|.
► 4. Решить неравенство [уь ^ уу4-
► 5. Какое количество воды надо добавить в один литр 10%-ного водного
раствора спирта, чтобы получить 6%-ый раствор?
► 6. Дан треугольник ABC с основанием АВ, равным /3/2, и высотой СН,
опущенной на это основание и равной л/б/3. Известно, что точка Н
лежит на АВ и АН : НВ = 2:1. В угол ABC треугольника ABC
вписана окружность, центр которой лежит на высоте СН. Найти радиус
этой окружности.
► 7. Для каждого значения параметра Ь < 0 решить неравенство
(относительно х) ——-
VX- - 1
> о.
X
Геологический факультет
► 1. Найти область определения функции
у = 1 |^з ' 1о§5(ж2 +1)-
► 2. Известно, что Х, Х2 — корни уравнения
2х2 + (1 - 3^2)ж - у 3 + 2/2 = 0.

1999 год
743
Найти значение А = х + Зз^гсг +Хг и выяснить, какое из чисел больше:
А или -1,999?
► 3. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости (х, у) си-
стемой неравенств f у(х - у - y/S) % О,
U2 + у2 < 3.
► 4. Медиана DM треугольника DEF равна половине стороны EF. Один
из углов, образованных при пересечении стороны EF биссектрисой DL,
равен 55°. Найти углы треугольника DEF.
► 5. Решить уравнение
■> , к- !
cos 2х + 3/— cos2z —
cos2 2x + 3/— cos2x + т
4
4
► 6. Дана арифметическая прогрессия ах,аг,..., в которой аз — 13 и ag —
= —7. Определить, при каком количестве членов сумма прогрессии будет
наибольшей; найти значение этой суммы.
► 7. Сфера радиуса :утр проходит через вершины А, D, С и через середину
ребра АВ куба ABCDAiBxCxDx (АА^ || ВВХ || CCi || DDi). Найти
объем этого куба.
► 8. Решить неравенство logr_|_5sinxr ^ '°Ssir-T2+9 s^n х-
Географический факультет
► 1. Решить уравнение log5_2:e(a;2 — бж + 8) = 1.
► 2. Решить уравнение /2х2 — &х + б = т — 2.
► 3. По реке из пункта А в пункт JB одновременно выплыли катер и моторная
лодка. Катер, достигнув пункта В, повернул обратно и, пройдя четверть
пути от В к А, встретился с лодкой. В момент, когда катер достиг
пункта Л, лодка прибыла в пункт В. Найти отношение скорости лодки
к скорости катера.
► 4. Найти все значения параметра а, при которых среди корней уравнения
sin 2х 4- 4а sin х — cos х — 2а. — О
найдутся два корня, разница между которыми равна ж.
► 5. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в
точке К. Точки L и М являются соответственно серединами сторон ВС
и AD. Отрезок LM содержит точку К. Четырехугольник ABCD таков,
что в него можно вписать окружность. Найти радиус этой окружности,
если АВ = 2,BD = 2y/b и LK : КМ =
-I
*■ 6. В пространстве заданы три луча DA, DB и DC, имеющие общее
начало D, так, что /-ADB = ZADC = ZBDC — 90°. Сфера пересекает
луч DA в точках А-у и А2, луч DB — в точках В] и Вг, а луч DC ■■-
в точках С и С*2. Найти площадь треугольника АВС, если площади

744
Варианты вступительных экзаменов
треугольников DA2B2, DA2C2, DB2C2 и DAiBi равны соответственно
60, 45, 75 и f.
Экономический факультет
► 1. Решить неравенство Iog|,,,|_2 х — 3| ^ 0.
► 2. Решить неравенство
/os _ 1 / ох~2
4V^^ + v/l4<14'VF^T'
► 3. Первая и вторая бригады, работая вместе, могут выполнить задание
не более, чем за 9 дней. Вторая и третья бригады, работая вместе,
могут выполнить то же задание не менее, чем за 18 дней. Первая и
третья бригады, работая вместе, могут выполнить то же задание ровно
за 12 дней. Известно, что третья бригада всегда работает с максимально
возможной для нее производительностью труда. За сколько дней может
выполнить задание одна вторая бригада?
► 4. В трапеции ABCD (AB \ CD) диагонали АС = a, BD = а. Найти
площадь трапеции, если /.CAB = 2/DBA.
► 5. Решить уравнение х + | arccos(cos 15ж + 2 cos 4x sin 2х) = —^.
► 6. В треугольной пирамиде SABC угол /АСВ = а, ребро SC = d является
диаметром сферы, пересекающей ребра SA и SB в их серединах. Найти
объем пирамиды, если /.SAC = /SBC — /3, причем /3 < |.
► 7. Найти все значения Ь, при каждом из которых система
Г bsin2z + к^жу^-бж8) + Ъ2 = 0,
1 ((у2 -l)cos2 z -у -sin 22 + 1)(1 + y/ir + 2z + yj-к -2z) =0
разрешима и имеет не более двух решений; определить эти решения.
Факультет психологии
► 1. Решить неравенство о _ о
► 2. Решить уравнение
► 3. Решить систему
< 1.
ч/5ж-2
zlog59 + 7-3logs*-ll = 0.
Г cos2 х + sin2 у — ,
I sin х ■ cos у — |.
► 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество
значений функции f(x) = д./Д~а+? содержит полуинтервал [-|; 1).
Определить при каждом таком а множество значений функции f(x).

1999 год
745
► 5. Четырехугольник KLMN вписан в окружность. Длины
противоположных сторон KL и MN равны соответственно 3 и 5; КМ — 7, LN = 6.
Отрезки КМ и LN пересекаются в точке Р. Найти радиус окружности,
описанной около треугольника KLP.
► 6. Найти все значения параметра р, при каждом из которых ровно четыре
различных набора (x,y,z) натуральных чисел х, у, z удовлетворяют
системе условий
48у2 + 20у - ху + Ъх - 67 = О,
р • ху + р ■ yz + р ■ xz > xyz.
Социологический факультет
► 1. Решите уравнение Jy — 2 — 7 — у.
*■ 2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для
которой сумма первых четырех членов с нечетными номерами на единицу
больше суммы первых четырех членов с четными номерами и равна
квадрату первого члена.
► 3. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD.
При этом оказалось, что /.ВАС — /BDC, а площадь круга, описанного
около треугольника BDC, равна ^-.
1) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
2) Зная, что ВС — 3, АС = 4, /.BAD = 90°, найдите площадь
четырехугольника ABCD.
*■ 4. Фирма, торгующая автомобилями, может дать три объявления в газете
бесплатных объявлений, а также заказать платную рекламу по радио и
телевидению.
Бесплатное объявление в газете увеличивает продажи на 50
автомобилей; каждая реклама по радио увеличивает продажи на 50% и стоит
31 тысячу рублей; каждая реклама по телевидению — на 40% и стоит 42
тысячи рублей.
Определите количество и последовательность подачи объявлений и
заказов рекламы, при которых фирма получит наибольший возможный
объем продаж, если на рекламу можно израсходовать не более 123 тысяч
рублей.
>■ 5. Решите неравенство ли _ |
Ix-llH1 Xl
4-|х|
► 6. При каких значениях параметра а неравенство
^Дбагсзш 4(2а-х) > \ogax?_a2x+l у^багсзт 4(2а - х)
не имеет решений на отрезке [—4; 7

746
Варианты вступительных экзаменов
Институт стран Азии и Африки
*■ 1. Решить уравнение
lg2(2x - З)2 + 4<31°* *5> Л°54(3-2ж) = 0.
V log4 Ю у
► 2. Упростив выражение
A = i-y + -* ——-7=^ у8ж а,
^у - V?/"2
где х > 0, г/ > 0 — действительные числа, выяснить, что больше: А
или |.
► 3. Решить уравнение sin 9а; = 6 sin 5ж cos 2х — sin x.
► 4. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым
углом j. Каждое боковое ребро равно /б и наклонено к плоскости
основания под углом |^. Определить объем пирамиды.
*■ 5. Решить неравенство г-^
ух* -5-3
|ж + 4| - 7
► 6. Окружности радиусов 2 и б с центрами соответственно в точках Oi и 02
касаются внешним образом в точке С. К окружностям проведены общая
внешняя касательная и общая внутренняя касательная; эти касательные
пересекаются в точке D. Найти радиус вписанной в треугольник O1O2D
окружности.
*■ 7. Решить систему неравенств
f 2х2 - Iog2[(y V2 + б)3] - 16 > у4 - Зх - у2,
I х2 - у2 < Iog2(y/2 + 6) + z + 1.
Филологический факультет
► 1. Расстояние в 160 км между пунктами А и Б автомобиль проехал со
средней скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной дороге он ехал со
скоростью 80 км/ч, а другую часть, по бездорожью, — со скоростью
20 км/ч. Какую часть пути между А и Б занимает ровная дорога?
► 2. Решить неравенство
1 1
х2 + 8х - 9 ^ Зж2 - 5ж + 2'
► 3. В треугольнике ABC медиана АК пересекает медиану BD в т. L. Найти
площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника KCDL
равна 5.
► 4. Решить уравнение log1„2coS2(cos2.2 + sin г + 2) = 0.

2000 год
747
► 5. Найти все решения системы уравнений
Г cos3(z + 4y + 7r/4) + l/sin(22 + 2y-7r/4) = о,
 cos(3z + 7г/4) + l/sin3(4z -Чу- тг/4) = 0.
2000 год
Механико-математический факультет
1. Решить неравенство
► 2. Решить систему уравнений <
{ 8ж
2л/5 ■ Qx - 2 • 9* - 3 ■ 4* + Зг < 2г+1.
f log2 xy ■ Iog4x у = 2,
у = 1.
► 3. Длина дороги, соединяющей пункты Л и JB, равна 2 км. По этой дороге
курсируют два автобуса. Достигнув пункта А или пункта В, каждый
из автобусов немедленно разворачивается и следует без остановок к
другому пункту. Первый автобус движется со скоростью 51 км/ч, а
второй — со скоростью 42 км/ч. Сколько раз за 8 часов автобусы
а) встретятся в пункте В,
б) окажутся в одном месте строго между пунктами А и В,
если известно, что первый стартует из пункта А, а второй — из
пункта В.
*■ 4. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А.
Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в
точке В, а вторую ■■— в точке С. Касательная к первой окружности,
проходящая через точку В, пересекает вторую окружность в точках D и Е
(D лежит между В и Е). Известно, что АВ — 5 и АС — 4. Найти
длину отрезка СЕ и расстояние от точки А до центра окружности,
касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и ЕА за точки D и А
соответственно.
► 5. Найти все а, при которых уравнение
(|o|-l)cos2x + (l - |a-2|)sin2a: + (1 - |2-a|)cosa; + (1 - |a|)sinx = 0
имеет нечетное число решений на интервале (—7г,7г).
► 6. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
параллелограмм ABCD. Известно, что плоскости треугольников ASC и BSD
перпендикулярны друг другу. Найти площадь грани ASD, если площади
граней AS В, BSC и CSD равны соответственно 5, 6 и 7.

748
Варианты вступительных экзаменов
Физический факультет
*■ 1. Решить уравнение
► 2. Решить неравенство
► 3. Решить уравнение
cos
5х + cos х =
2
Vx-2
QI- 1
Л -1
= Л
<
/5 coi
1.
2х
2х
2х -3х 32+1"
► 4. В параллелограмме KLMN биссектриса ZMNK пересекает сторону KL
в точке Q такой, что LQ/QK = 1/3, ZLNQ = а. Найти ZLKN.
► 5. Решить неравенство
Iog2(5-:r)(2-x)>log4(x-2)2.
► 6. Сторона DC прямоугольника ABCD служит высотой конуса с
вершиной D, DC — 2. Радиус основания этого конуса в два раза длиннее
отрезка ВС. Шар касается плоскости прямоугольника ABCD в точке А
и имеет единственную общую точку с конусом. Найти радиус шара.
► 7. При каких знамениях р уравнение
4{х - у/р-7*)х +р + 7(7Р - 1) = О
имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях р?
► 8. В остроугольном AKLM (KL > LM) проведены высоты KB и МА,
точка О — центр описанной около AKLM окружности. Известно, что
/LKLM = а, а площадь четырехугольника OALB равна S. Найти ралиус
окружности, описанной около AKLM.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить неравенство ^
sin а; ■ sin х ^ — -
*■ 2. Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения
из раствора одного литра воды концентрация соли возросла на 0,05, а
после разведения получившегося раствора тридцатью девятью литрами
воды концентрация соли стала в три раза меньше первоначальной. Найти
концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 литра воды
равной 1 кг.
► 3. Решить неравенство
logs-^-a^S - 9х - 2х2) ^ log^tl - 2х).
► 4. На боковых ребрах АА, ВВ и СС правильной треугольной
призмы АВСАгВгСг (АА1 \ BBi \ СС{) расположены точки К, L ж М

2000 год
749
соответственно. Известно, что угол между прямыми KL и АВ равен ^,
а угол между прямыми КМ и АС — |. Найти угол между плоскостью,
проходящей через точки К, L и М, и плоскостью основания ABC.
► 5. Найти наибольшее значение выражения
4z2 + 80z + у + 43
при условии, что
6а;2 + 32ж + у + 283 ^ 0 и х2 + 86ir + у + 202 ^ 0.
► 6. Вершины А и С параллелограмма ABCD лежат на одной окружности, а
вершины В и D — на другой, пересекающей первую, причем центры
окружностей лежат в плоскости параллелограмма Длины диагоналей
параллелограмма равны 6 и 2 соответственно. Расстояние от точки
пересечения диагоналей параллелограмма до прямой, проходящей через
точки пересечения окружностей, равно 2. Найти расстояние между
центрами окружностей.
Химический факультет и факультет наук о материалах
► 1. Решить уравнение х = 4 — х.
► 2. Решить уравнение cos5x + sin x sin 4ж = 0.
► 3. Две бригады трактористов пахали два участка земли(первая бригада —-
первый участок, вторая — второй), причём объём работ на втором
участке вчетверо больше, чем на первом, а в первой бригаде на б
трактористов меньше, чем во второй. Производительность труда всех
трактористов одинакова. Бригады одновременно начали работу, и когда
первая бригада закончила работу, вторая ещё работала. Какое наименьшее
число трактористов могло быть в первой бригаде?
► 4. В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают.
Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности.
Найти- сумму длин второй и четвёртой окружностей, если длина третьей
равна 18тг, а площадь круга, ограниченного первой окружностью,
равна 7Г.
► 5. Треугольники DAB, DAC, DBC, представляющие собой боковые грани
треугольной пирамиды, имеют одинаковые площади. Точка А лежит
на ребре DA, причём DA = %DA, точка JBi лежит на ребре DB,
причём DBi — §DB, точка С лежит на ребре DC. Известно, что
объем пирамиды DABC составляет  от объёма пирамиды DABC.
Какую часть площади боковой поверхности пирамиды DABC составляет
площадь боковой поверхности пирамиды DAiBiCi?
*■ 6. Решить уравнение
(26 + 15^3)* - 3(7 + 4VZ)X - 2(2 + л/3)1 + (2 - V3)* = 3.

750 Варианты вступительных экзаменов
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины
► 1. Решите неравенство 9 — Ч
7Г ^ 5.
х + 2
► 2. Решите уравнение
3cos2x + 4 + 11 sin ж = 0.
► 3. Дан треугольник ABC со сторонами АВ — 6, АС — 4, ВС — 8. Точка D
лежит на стороне АВ, а точка Е — на стороне АС, причём AD = 2,
АЕ — 3. Найдите площадь треугольника ADE.
► 4. Решите неравенство
log4(16(x - 2)2) • log2^ ^^ -  Iog64(r3 - 6х2 + 2х " 8)2 < у -
► 5. Внутри правильной треугольной призмы со стороной основания,
равной а, лежат три шара одинакового радиуса, каждый из которых
касается двух других шаров, двух боковых граней и обоих оснований
призмы. Четвёртый шар касается трёх вышеупомянутых шаров и верхнего
основания призмы. Найти радиус четвёртого шара.
Факультет почвоведения
► 1. Решите неравенство: т^А^ ^ 1-
► 2. Первый, второй и четвертый члены арифметической прогрессии
одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами
некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые
может принимать знаменатель геометрической прогрессии.
► 3. Найдите tg2a, если известно, что sin а = |, a sin 4а > 0.
► 4. Решите неравенство: log.,. 2 < log6_x 2.
► 5. Решите уравнение: sin(7T/8 — х2) = |.
► 6. Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до точек
пересечения с описанной около треугольника окружностью, отличных от
вершин исходного треугольника. В результате попарного соединения
этих точек получился новый треугольник. Известно, что углы
исходного треугольника равны 30, 60 и 90 градусам, а его площадь равна 2.
Найдите площадь нового треугольника.
► 7. Найдите все значения параметра а, при которых при любых значениях
параметра b уравнение х — 2| + Ь|2г + 1| = о имеет хотя бы одно решение.

2000 год
751
Геологический факультет
► 1. Решить неравенство log лг(3х + 4) ^ 4.
► 2. Вычислить tg8z, если tg2x = |.
► 3. Из пункта А в пункт В выехали автомобилист и велосипедист, причем
скорость автомобиля в 4 раза больше скорости велосипеда. Известно, что
они ехали с постоянными скоростями, но автомобилист сделал несколько
остановок. Сколько времени автомобилист затратил на все остановки,
если он доехал до пункта В за 3 часа, а велосипедист за 5 часов?
► 4. Решить неравенство 16 sin x + ctg2 x ^ 7.
► 5. Решить систему уравнений
Г х + у + Зу/х~+у = 18,
 х2 + у2 = 125.
► 6. В трапецию с верхним основанием 5 см и боковой стороной б см можно
вписать окружность и около нее можно описать другую окружность.
Вычислить площадь пятиугольника, образованного радиусами
вписанной окружности, перпендикулярными боковым сторонам трапеции, её
нижним основанием и соответствующими отрезками боковых сторон.
► 7. Решить уравнение
3 - х2 + 2х = л/1 - х2 ■ (2х2 + 4ж + 3).
► 8. В прямоугольном параллелепипеде, стороны основания которого равны а
и Ь, а высота — а, расположены 9 шаров. Восемь из них одинакового
радиуса, причем каждый касается трех граней параллелепипеда и двух
соседних шаров. Девятый шар внешним образом касается всех восьми
вышеуказанных шаров. Найти R ■■— радиус девятого шара. Установить,
при каких значениях величины | задача имеет решение, если R ^ |.
Географический факультет
► 1. Решите уравнение у/ЗзГ+"3 = 2х - 3.
► 2. Решите уравнение 2х + 9| — х — 6| = 15.
*■ 3. Аэронавт совершил кругосветное путешествие вокруг Земли на
воздушном шаре, двигаясь вдоль заданной параллели на постоянной высоте.
Оказалось, что разность расстояний, пройденных верхней и нижней
точками шара, равна диаметру шара. На какой широте совершалось это
путешествие?
► 4. Найдите наибольшее значение выражения
sin ( - log j h - /l + 3a:-z2) J

752
Варианты вступительных экзаменов
при условии arctg(^) ^ £.
► 5. Из пункта А в пункт Б вниз по течению реки отправляется катер,
скорость которого в стоячей воде равна v. В пункте Б, где в реку впадает
приток, катер поворачивает к пункту В, расположенному вверх по
течению притока. Расстояния от А до Б и от Б до В равны. Скорости
течения притока и реки равны iti и щ соответственно. На координатной
плоскости (ui;«2) укажите область, для всех точек которой время
движения по маршруту А —* Б —► В меньше, чем время, которое затратил
бы катер на прохождение такого же расстояния в стоячей воде.
► 6. Даны функции /(ж, у) = у + 3|ж| — 3 и д(х, у, а) = у2 + (ж — а) ■ (х + а).
а) При каком наименьшем положительном значении параметра а система
уравнений Г/(*,») = о,
I 9(х,у,а) =0
имеет ровно четыре различных решения?
б) При этом значении параметра а найдите площадь фигуры,
координаты (ж, у) всех точек которой удовлетворяют неравенству
f(x,y) <0
д(х,у,а) ^
Экономический факультет (отделение экономики)
► 1. Решить уравнение Зл/х2 — Ах + 4 — 4 — х = (/—х2 + х + 2)2.
► 2. Интервалы движения морских катеров по трем маршрутам,
начинающимся на общей пристани, составляют 30, 36 и 45 минут соответственно.
Сколько раз с 740 до 1735 того же дня на этой пристани одновременно
встречаются катера всех трех маршрутов, если одна из таких встреч
происходит в II15?
► 3. Решить неравенство
Iog7 12 ^ 1оё5(ж2 + 8з; + 12)
1о§7(ж2-9)^ 1о§5(ж2-9) '
► 4. Точка Q расположена на стороне MN треугольника LMN так, что
NQ : QM = 1:2. При повороте этого треугольника на некоторый угол
вокруг точки Q вершина L переходит в вершину N, а вершина М —
в точку Р, лежащую на продолжении стороны LM за точку L. Найти
углы треугольника LMN.
► 5. Найти все значения ж, при которых числа
в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую
прогрессию.

2000 год
753
► 6. Центр шара радиуса 1 совпадает с основанием высоты правильной
четырехугольной пирамиды. Найти площадь той части поверхности
пирамиды, которая лежит вне этого шара, если высота пирамиды равна 2/2,
а плоские углы при вершине пирамиды равны arccos(|).
► 7. Про функцию f(x) известно, что она определена на множестве [|;6] и
удовлетворяет на этом множестве системе
S r_12cos(2/(I))=^,
cos2/(o:)--
Решить неравенство /(ж) < f.
Экономический факультет (отделение менеджмента)
► 1. Решить уравнение 3|ж 4- 1| + х2 + Ах — 3 = 0.
► 2. Интервалы движения маршрутных такси по трем маршрутам,
начинающимся у станции метро, составляют 10, 12 и 15 минут соответственно.
Сколько раз с 1040 до 1420 того же дня у этой станции метро
одновременно встречаются такси всех трех маршрутов, если одна из таких встреч
происходит в 1305?
*■ 3. Решить уравнение
log3Q2 + 2x) = log5 8
log3 (х2 — Ах - 4) log5 (х2 — Ах - 4)'
* 4. При повороте треугольника EFG на угол arccos(|) вокруг точки О,
лежащей на стороне EG, вершина F переходит в вершину Е, а
вершина G — в точку Я, лежащую на стороне FG. Найти отношение, в
котором точка О делит сторону EG.
► 5. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству tg(z + j) < 0, при
которых числа
в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию.
► 6. Центр шара радиуса 1 совпадает с основанием высоты правильной
треугольной пирамиды. Найти площадь той части поверхности пирамиды,
которая лежит внутри шара, если высота пирамиды равна 2/2, а сторона
основания равна 2/3.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение Ах sinZx — Зх -- х.

754
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Рассматриваются геометрические прогрессии, у каждой из которых
первый член равен десяти, сумма второго и третьего членов — целое число,
кратное четырем и не превосходящее одной тысячи, а знаменатель
больше единицы. Указать знаменатели всех таких прогрессий.
► 3. Два одинаковых поля требуется вспахать тремя тракторами. При
работе в одиночку первый трактор вспашет одно поле втрое быстрее, чем
второй, а третьему трактору на эту же работу потребуется времени на
два часа больше, чем первому. Работая вместе, все три трактора могут
вспахать одно поле за семь часов двенадцать минут. Найти наименьшее
время, за которое можно вспахать оба поля при условии, что все
тракторы начинают работу одновременно, а для переезда с одного поля на
другое любому трактору требуется сорок минут.
► 4. Решить неравенство
х + 4
2 + l°gVita_as-3 ~^Г1 > l°g(x*--2x-3){x2 - 2ж - 2)2.
* 5. В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами АВ =
АС = 5и ВС — 6. Ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды.
Найти радиус сферы, описанной около пирамиды, если известно, что
отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ребру SA равно |.
Социологический факультет
► 1. Решить уравнение х2 — Зж| = 2х — 4.
► 2. В городе N в течение 2 лет наблюдался рост числа жителей. Во втором
году процент роста числа жителей города N увеличился на 1 по
сравнению с процентом роста числа жителей в первом году. Найти процент
роста числа жителей в первом году, если известно, что он на 5,2 меньше,
чем процент роста населения за два года.
► 3. Решить неравенство
2 1 1
+ >
х-1 х + 2 2х + 3
► 4. Решить уравнение /И — 8 cos4 x — 4 sin x cos x = 3sina; + cos x.
► 5. В четырехугольник ABCD вписана окружность радиуса 2. Угол ZDAB
прямой. Сторона АВ равна 5, сторона ВС равна 6. Найти площадь
четырехугольника ABCD.
► 6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых отношение
решений квадратного уравнения
(а2 + 1)х2 + Ах + —- =0
является целым числом. Кратные корни учитываются дважды.

2000 год
755
Институт стран Азии и Африки
*■ 1. Решить неравенство х + 2| ^ ^т-
*• 2. Тупой угол со сторонами длины 3 и 6 вписан в окружность радиуса у21.
Определить величину дуги, на которую он опирается.
► 3. Решить уравнение
, . „ 1 ,7Г ч
5 sin ж — у cos - ( — — э;] + 2.
► 4. Решить неравенство
(5-2.-r)l2-4-cos'250 < (5-21)1о8"-5"«ч=з=.
► 5. Найти все значения параметра а, при которых неравенство |ж2 + 4ж — а >
6 не имеет решений на отрезке [—3,0].
► 6. Определить сумму всех таких натуральных чисел пу для которых
числа 3920 и 4320 делятся без остатка на п и п + 7 соответственно.
► 7. В треугольной пирамиде ABCD угол между гранями ABC и ACD
равен тг/3, плоский угол ВАС равен arccos(4/5), а ребра АС и AD
перпендикулярны. Найти длину ребра AD, если АВ = 5,BD = ^29.
Филологический факультет
► 1. Имеется 40 литров 0,5% раствора и 50 литров 2% раствора уксусной
кислоты. Сколько нужно взять первого и сколько второго раствора,
чтобы получить 30 литров 1,5% раствора уксусной кислоты?
► 2. Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, провели
прямую MN параллельно основанию АВ (М лежит на ВС, N лежит на АС).
Найти периметр четырехугольника ABMN, если известно, что АВ = 5,
MN = 3.
► 3. Решить неравенство
^+ ' <2.
log2 х 2 - log2 x
*■ 4. Решить систему
 tgx + tgy = 1.
*■ 5. Найти все значения а, при каждом из которых уравнения
(2а - 1)х2 + Ьах + 1 = 0
и ах2 — х + 1 — 0 имеют общий корень.

756
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Расшифровать шифровку
/ * + * = Л
— х
* + * = О
Д : У = Б/
Про шифровку известно, что в ней 1) буквы и звездочки означают
цифры; 2) разные буквы означают разные цифры: 3) звездочки могут
означать любые цифры.
2001 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
х ^ log2(101 • 10* - 102+2:г) - log5(101 ■ 2х - 52+а • 22+2х).
► 2. Имеет ли уравнение
12 cos I — + х ) = |4 — 5 cos x
хотя бы одну пару корней, расстояние между которыми не
превосходит 7г/2?
*■ 3. Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами АВ — 3
и ВС = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке Е,
причем BE — 9. Найти диагональ BD.
► 4. Найти все трехзначные натуральные числа, каждое из которых больше
суммы квадратов своих цифр на 517.
► 5. Найти все числа, которые не могут быть корнями уравнения
4л/2£4 + z3 = а /4-о4(я + 4z2 - 8)
ни при каком значении параметра а.
*■ 6. Основание ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A' B'C'D'
повернули в плоскости ABC на угол 30° вокруг точки пересечения
диагоналей АС и BD (вершина А повернулась в направлении вершины D),
а боковые грани заменили гранями АА'В, А'В'В, ВВ'С, В'С'С, CCD,
C'D'D, DD'A и D'A'A. Найти все значения, которые могут принимать
периметр и площадь сечения полученного многогранника плоскостью,
параллельной плоскости ABC, если периметр прямоугольника ABCD
равен 26, а его площадь равна 42.

2001 год
757
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решить систему уравнений
f 2-51^=log3(o:-2),
 5У + log3 a: = 4.
► 2. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна 56.
Все члены этой прогрессии — натуральные числа. Двенадцатый член
больше 67, но меньше 74. Найдите двадцатый член этой прогрессии.
► 3. Среди всех решений системы
( у + Зх ^ -3,
 ж2 + у2 + 4х + 2у < 11
найдите такое, при котором выражение х2 + у2 — 6х — 8у + 25 принимает
минимальное значение.
► 4. Решить уравнение
cos(7r(x + 7/х)) • sinl — (4х + i/x) ) = 1-
► 5. Трапеция с основанием у/8 и высотой вписана в окружность
радиуса уо. Каждый из четырех отсекаемых сторонами трапеции
сегментов отражен внутрь трапеции симметрично относительно
отсекающей его стороны. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех точек
трапеции, которые не принадлежат ни одному из отраженных внутрь
нее сегментов.
► 6. Функция /(ж) определена, возрастает и отрицательна на всей числовой
прямой. Решить неравенство
2 • /(х2 - 2х - 112) + f{x2 ~2х- 112) - 3 • /(-2хУ32 - 2х)| ^ n
(3 ■ /(-2x^32 ~2х- 112) - 2 • /(-2x^32 - 2х))7
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение прикладной информатики)
► 1. Решить систему уравнений
3х +log2y = 1.
► 2. Сумма первых девяти членов арифметической прогрессии больше 119, но
меньше 133. Все члены этой прогрессии — натуральные числа. Третий
член равен 10. Найдите сумму первых ста членов этой прогрессии.
► 3. При всех значениях параметра а решить неравенство
|2х + а| ^ х + 2.

758
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Среди всех решений системы
Г Зу + 2х ^ 2,
 z2 + у2 - 2х - 4у < 4
найдите такое, при котором выражение х2 +у2 + 4х + &у + 13 принимает
минимальное значение.
► 5. Решить уравнение
cos(7r(x + Зл/х)) ■ cos(7r(2z — л/х)) = —1.
► 6. Пусть [х] означает целую часть числа х, т.е. наибольшее целое число, не
превосходящее х. Найдите все корни уравнения
1
Х+2
= i.*M4
► 7. Вокруг трапеции с основаниями л/8 и /28 описана окружность
радиуса 3 с центром, находящимся внутри трапеции. Каждый из четырех
отсекаемых сторонами трапеции сегментов отражен внутрь трапеции
симметрично относительно отсекающей его стороны. Найдите площадь
фигуры, состоящей из тех точек трапеции, которые не принадлежат ни
одному из отраженных внутрь нее сегментов.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
tg(s + 1) • ctg(2x + 3) = 1.
► 2. Решить неравенство ^ 2
> -.
/3 — х
*■ 3. Решить уравнение „ 2, 2,,
43х +х -8 = 2 -8х +t.
► 4. В трапеции KLMN LM \ KN, ZKLM =%tLM = l, KM = k, MN = а.
Окружность проходит через точки М и N и касается прямой KL в
точке А. Найти площадь AAMN.
*■ 5. Решить неравенство
'х-1\ , / fx2 + 2x + l'
log2 rg3UrrJ) < ,ogHlogH-2 - 2x+1.
► 6. В пирамиде SABC АВ = 7, SC = 8, С А = 9. Высоты боковых граней,
проведенные из вершины 5, являются касательными к сфере, вписанной
в пирамиду. Радиус этой сферы равен ^. Найти объем пирамиды.
► 7. Для каждого значения а найти все решения уравнения
cos 2х + 2 sin2 (х + а) + 2 — sin a = О,
принадлежащие промежутку 7г ^ х ^ 2-л
► 8. В треугольнике ABC /.ВАС = -|. Прямая, параллельная стороне АС,
пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках М и N. На

2001 год
759
отрезках AN и СМ как на диаметрах построены окружности. Их
обшая хорда пересекает отрезок MN в точке D, MD : DN = /3 : 1.
Найти /.ВС А.
Химический факультет и высший колледж наук о
материалах
► 1. Решить неравенство 1 1
>
|ж-1| х + 1'
► 2. В равнобедренном треугольнике с основанем АС проведена
биссектриса угла С, которая пересекает боковую сторону АВ в точке D.
Точка Е лежит на основании АС так, что DE ± DC. Найти длину AD,
если СЕ = 2.
► 3. Решить уравнение
tg х + tg 2х + tg ar(tg 2ar)(tg Зж) = tg Зж + tg 4ж.
*■ 4. Решить уравнение
у/Ах - x2 + /4x - x2 - 3 = 3 + /2ж - x2.
► 5. Решить уравнение
х - 1| + х + 1| + |ж - 2| + х + 2| + ... + х - 100| + х + 100| = 200ж.
► 6. Найти все значения параметра о, при каждом из которых система
Г х3 - (а + 3)ж2 + (За + 2)х - 2а ^ О,
 ж3 - (а + 3)я2 + Зах ^ О
имеет единственное решение.
*■ 7. Функция f(x) для всех х удовлетворяет уравнению
f(x + l)=f(x)+2z + l.
Найти /(2001), если /(0) = 0.
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины
► 1. Решить неравенство
/ж2 + 6х - 55
-э и.
х — 5
► 2. Решить уравнение
1
з; , -.
► 3. Решить неравенство
соя f 2х + —J + cos х = - ^.
log3 Д - 7 <
log;c3-3 ^

760
Варианты вступительных экзаменов
► 4. По каждой из двух дорожек, имеющих форму окружностей одного
радиуса, движется по одному мотоциклу. Они одновременно начали
движение и едут с разными постоянными скоростями. Каждый мотоциклист
проезжает дорожку за целое число минут. Известно, что не ранее, чем
через 31 минуту и не позднее, чем через 43 минуты после начала
движения произошли следующие два события: первый мотоциклист проехал
свою окружность 11 раз, а второй проехал свою окружность 4 раза, — и
разрыв во времени между этими событиями составил не менее 4 минут.
Найти отношение скоростей мотоциклистов.
> 5. В треугольник MNK со сторонами MN = 6, NK — 7 и углом | при
вершине N вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне MTV,
одна на стороне NK и одна на стороне МК, Через середину
стороны MN и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с
высотой KR треугольника MNK в точке О. Найти длину отрезка ОК.
*■ 6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнении ( cos х = sin(v/4 - 7а2 ■ х),
I sinx — (За - |) • cos(/4 — 7а2 ■ х)
имеет ровно одно решение на отрезке [|, -£■].
Факультет почвоведения
► 1, Решить уравнение _ 2
2 + cos 2x - 4 cos х.
*- 2. Решить уравнение
*■ 3. Решить неравенство
Л - х2 = 1
ogx_2x ^ logx_24.
► 4. В треугольнике ABC боковые стороны АВ и ВС равны. Основание АС
равно 2, а угол при основании равен 30°. Из вершины А к боковой
стороне ВС проведены бисектрисса АЕ и медиана AD. Найти площадь
треугольника ADE.
► 5. Решить неравенство
2log7r(sina;) -og^{mi2x) -log^.(sin2x) < log^(sinx).
*■ 6. Дано задание: на прямоугольном участке земли размером 1 м на 4 м
посадить три дерева, одно из которых должно быть в углу участка.
Расстояние между любыми двумя деревьями не должно быть меньше
2,5 м. Можно ли выполнить это задание? Ответ обосновать.

2001 год
761
Геологический факультет
*• 1. Решить неравенство
-1
Х 1 1 ^ О-
1 -
ж-7
► 2. Найдите неотрицательные решения уравнения
п . „ / Зж . ЗжУ
1 + sin 7z = | cos —— sin —
V 2 2 у
► 3. Решить уравнение
У V5
--1 125
343
*• 4. Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного
треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит
на части 5 м и 7 м. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит
центр описанной окружности: внутри или вне треугольника?
► 5. Решить систему уравнений
[ Ш л 5 с
I 2 ~ 2х+у-ху ^>
1
2х + У + й = 4 + ху-
ту
► 6. Пункты А и В расположены на двух различных дорогах,
представляющих собой две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в
пункте С. Два мотоциклиста одновременно начинают движение: первый
из пункта А по направлению к С, а второй из В по направлению к С.
Через какое время после начала движения расстояние между
мотоциклистами будет наименьшим и каким, если скорость первого мотоциклиста
равна 44 км/час, второго — 33 км/час, а каждое из расстояний от пункта
А до пункта С и от пункта В до пункта С равно 275 км?
► 7. Сфера с диаметром AD — /3 касается плоскости треугольника ABC
в точке А. Отрезки BD и CD пересекают сферу в точках М и N
соответственно. Найдите длину отрезка MN, если АВ = 3, АС = 3/5,
a/.BDC= §.
►■ 8. При каких значениях параметра я^1 уравнение
sin I —х 1 • tgx = 0
Vi3 J
имеет ровно шесть различных корней на отрезке [2а7г: (а2 + 1)7г]?
Укажите эти корни.

762
Варианты вступительных экзаменов
Географический факультет
► 1. Решить неравенство
► 2. Решить уравнение
to&yfii-y/ultf ~9)>Q-
i i К ■ (97r  i
| cost| - V3sin 1- x I = 1.
► 3. Числа a, b, с в указанном порядке образуют арифметическую
прогрессию, а числа а — с, с — Ь, 2а в указанном порядке образуют
геометрическую прогрессию. Какое минимальное значение может принимать число
2о2 - 4Ь2 -с2 + 4Ьс + 6а?
► 4. Стороны ромба EFGH являются гипотенузами равнобедренных
прямоугольных треугольников EAF, FDG, GCH, НВЕ, причем все эти
треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма
площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 12. Найти GH.
► 5. Решить уравнение
67Г
4arcsin(2x - 7) - arccos(5x - 124) = —.
х
*■ 6. При каких целых значениях параметра к система неравенств
Г х2 + у2 - 2х + Ау ^ к2 + 10fc + 20,
 5х2 + Ъу2 - 2кх + iky ^ 5 - к2
имеет хотя бы одно решение?
Филологический факультет
► 1. Решить уравнение „ . .
3cos2x + 4smz = 1.
*■ 2. Решить неравенство
1 1 1
> ; +
logj_(2z2 — 1) logi Ж logi ж'
► 3. В трапеции ABCD стороны АВ, CD параллельны и CD = 2AB. На
сторонах AD и ВС выбраны точки Р и Q так, что DP : РА = 2,
BQ : QC = 3:4. Найти отношение площадей четырехугольников ABQP
и CDPQ.
*■ 4. Писатель-западник (3) и писатель-славянофил (С) опубликовали по
одной книге. 3 употребляет букву «ф» в среднем на страницу текста на
75% чаще, чем С. Тираж книги писателя С на 5% больше, чем тираж
книги писателя 3. Количество страниц в книге у 3 на 10% меньше, чем
количество страниц в книге у С. На сколько процентов в опубликованных
текстах 3 букв «ф» больше или меньше, чем в текстах С?

2001 год
763
* 5. При каких значениях параметра а на плоскости (х, у) существует круг,
содержащий все точки, удовлетворяющие системе неравенств:
(2у-х^1,
< у+ 2x^2,
k у + ах^-1.
Экономический факультет (отделение экономики)
* 1. Решить неравенство
х2 -8а?+15| ^ |15-z2|.
►■ 2. Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их продала на
общую сумму 7 миллионов 680 тысяч рублей, получив при этом 28%
прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций,
если при продаже первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже
второго — 20%?
► 3. На координатной плоскости заданы точки Л(0;2), 5(1;7), С(10;7)
и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где Е — точка
пересечения прямых АС и BD.
*■ 4. Решить неравенство
log2(2" - 3) • log^(4I+2 - 12 ■ 2Х+3 + 144) < 32.
*■ 5. Решить уравнение
>/3cos I ъу/х ■ J- - х - 4 1 + 3sin [ кх ■ J^ - - - l = Zl2.
*■ 6. Центры двенадцати шаров равных радиусов совпадают с серединами
ребер правильной шестиугольной пирамиды. Найдите величину
двугранного угла при ребре основания пирамиды, если известно, что шар,
вписанный в пирамиду, касается всех двенадцати данных шаров.
*■ 7. Найдите наибольшие целочисленные значения и и v, для которых
уравнение „ л п ,
364a2u - bbv = -20020а4
выполняется ровно при четырех различных значениях о, два из которых
относятся как 3 : 5.
Экономический факультет (отделение менеджмента)
*■ 1. Решить уравнение cosz + cos3x = /3cos 2x.
*■ 2. Решить уравнение х2 — 8х + 15j = J15 — х2.
► 3. Антикварный магазин приобрел два предмета, а затем продал их на
общую сумму 39900 рублей, при этом прибыль составила 40%. За сколько

764
Варианты вступительных экзаменов
магазин купил каждый предмет, если при продаже первого предмета
прибыль составила. 30%, а при продаже второго — 55%?
► 4. На координатной плоскости заданы точки Л(1;9), С(5;8), D(8;2) и
Е{2 2). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где В — точка
пересечения прямых ЕС и AD.
*■ 5. Решить неравенство
log3(3* - 1) ■ log,,^2 - 6 ■ Зг+3 + 81) < 3.
*■ 6. Решить уравнение
/ fc N / Г*>—R N
V^ Sill I Ky^X ■ 1 / X + 6 + VDCOS 7ГХ ■ I —2 ~ 1 = v8.
Факультет психологии
* 1. Решить уравнение , , ,—
J Vx + 2 + V8 - x = V15.
► 2. Решить неравенство Зх + 4
> 3. Решить уравнение
3 sin2 x — 3 cos x — 6 sin x + 2 sin 2x + 3 = 0.
> 4. В трапеции BCDE основание BE — 13, основание CD = 3, СЕ = 10.
На описанной около BCDE окружности взята отличная от Е точка А
так, что С А = 10. Найти длину отрезка В А и площадь
пятиугольника ABCDE.
► 5. При каждом значении параметра а решить неравенство
ах4 + х3 + (2а + За3)ж2 + 2х + 6а3 > 0.
Социологический факультет
*■ 1. Решить неравенство i
+ г^ ^ 2.
х + 1 х
*■ 2. Решить уравнение
logsin х (3 sin х — cos 2x) — 0.
*• 3. В городе N за последний год численность населения уменьшилась на 4%,
а число безработных увеличилось на 5%. Сколько процентов от общего
числа жителей составляют безработные, если год назад их было 8%?
► 4. Диагональ АС выпуклого четырехугольника ABCD является диаметром
описанной около него окружности. Найти отношение Sa.bc и Sacd, если
известно, что диагональ BD делит АС в отношении 2 : 1 (считая от
точки A), a ABAC = 30°.

2001 год
765
> 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых расстояние
знения
ах2 + (2а + 2)х + (а + 3) = О
между корнями уравнения
-2
больше 1.
► 6. Решить уравнение
3/2 + х__ я/2-6х _
X  X
Институт стран Азии и Африки
*■ 1. Решить неравенство
v^2z2 - 5ж - 3
6 + ЗУЗх-2ж2 "
► 2. Найдите все решения уравнения
5 sin2 2x + 8 cos3 a; = 8 cos ж,
3
удовлетворяющие условиям -тг ^ а; ^ 2л-.
*• 3. Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно 10 км,
отправились в разное время пешеход, всадник и велосипедист. Известно,
что их скорости постоянны и образуют в указанном порядке
арифметическую прогрессию. Первым из А вышел пешеход, которого в середине
маршрута обогнал велосипедист, выехавший из А на 50 минут позже
пешехода. В пункт Б пешеход прибыл одновременно с всадником,
выехавшим из А на 1 час 15 минут позже пешехода. Определите скорости
участников маршрута.
► 4. Решить неравенство
(l + og3x)-ijlogsx?^-£2.
*■ 5. В треугольнике ABC даны длины сторон А В = /2, ВС — у/Е и АС = 3.
Сравните величину угла ВОС и Ц2,5°, если О — центр вписанной в
треугольник ABC окружности.
► 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений ,,,„,, „
а(х + 2) + у ~ За,
а + 2х3 = у3 + (а + 2)т3
имеет не более двух решений.
> 7. Решить уравнение
3 cos х + 2 sin x cos 2x cos x + sin x
cos х cos2 x cos x
cos x -t- sin x /~—— r—
+ /3 + 2x - 2y + 2xy - x2 -

766
Варианты вступительных экзаменов
Факультет государственного управления
*■ 1. Решить уравнение sin ж 4- sin3a; — /3sm2a;.
► 2. Решить уравнение х2 — 13х + 36j = |36 — х2.
► 3. В магазине одежды проводилась распродажа. Костюмы продавались со
скидкой 20%, плащи -— со скидкой 40%. Покупатель купил костюм и
плащ за 9180 рублей в сумме, заплатив на 32% меньше их суммарной
первоначальной цены. Найдите первоначальные цены костюма и плаща.
► 4. На координа,тной плоскости заданы точки Л(9;1), .0(2;0), U(l;5) и
Е(9; 7). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где С — точка
пересечения прямых AD и BE.
► 5. Решить неравенство
к^(4* - 1) • logi6(16x+1 - 8 • 4*+1 + 16) > 12.
► 6. Решить уравнение
/1 / -,х2 + 2:с + 11\ 2тг n
arccos - + cos 7г ■ —= = 0.
2 V x2+4x + 7 )) 3
2002 год
Механико-математический факультет
* 1. Решить неравенство
bg2/3 j~ + bg1/2 ^ > 2.
*■ 2. Три сферы, радиусы которых соответственно равны V6, 1 и 1, попарно
касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры А и В второй
и третьей сфер, проведена плоскость 7 так, что центр О первой сферы
удален от этой плоскости на расстояние 1. Найти угол между
проекциями прямых О А и ОВ на плоскость 7 и сравнить его с arccos(4/5).
*• 3. Из пункта А в пункт С выехал с постоянной скоростью велосипедист. За
два километра до промежуточного пункта В он решил, что необходимо
ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте В, продолжил движение с
постоянной скоростью вплоть до пункта С. Приехав в С, велосипедист
обнаружил, что время движения с каждой из скоростей было прямо
пропорционально соответствующей скорости и что на первые 18 км пути
он затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км.
Найти расстояние между пунктами А и В, если известно, что расстояние
между А и С равно 75 км.

2002 год
767
*• 4, Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его
стороне AD, причем ВХ || CD и СХ \ ВА. Найти ВС, если АХ = 3/2
и DX = 6.
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых сумма
арктангенсов корней уравнения
х2 + (1 -2а)я + а-4 = 0
больше, чем 7г/4
* 6. Найти минимальное значение выражения (х + у — z)2 при условии, что
числа х, у и z удовлетворяют одновременно каждому из неравенств
1 ^ (х + у)2 < 4/3, 8 < (у + z)2 ^ 9 и 10 ^ (z + х)2 ^ 11.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
►• 1. При каких значениях параметра Ь уравнение
Ъ4х + Ь2 + (2 + V2)& + 2V2 = Ъ2(Ъ + л/2) + 4х
имеет бесконечно много корней?
► 2. Решите неравенство
2cos(arcsinai) - sin I - arccosa; J ^ 0.
►■ 3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBCD, у которого AD =
б, АВ = 3 и АА = 2. Найдите угол между прямой АС и прямой,
проходящей через середины ребер АА и ВС.
*■ 4. Из пункта А в пункт В в 8 часов утра вышел пешеход. Спустя два часа
из пункта А вслед за пешеходом по той же дороге выехали велосипедист и
мотоциклист. Известно, что скорость мотоциклиста в три раза больше
скорости велосипедиста. Не позднее чем через 15 минут поме своего
выезда из пункта А мотоциклист обогнал пешехода и продолжил путь
в пункт В. Велосипедист обогнал пешехода спустя не менее 45 минут
после обгона пешехода мотоциклистом. Пешеход прибыл в пункт В в 14
часов того же дня. Найдите время прибытия мотоциклиста в пункт В.
► 5. Решите систему уравнений
{л/13 cos х + 98 sin у — y'l3cosx + 28 sin у = 4,
2^/l3cosz + 28siny - у^Овшу + 8 = 2.
►■ 6. Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает сторону ВС в
точке D. Окружность радиуса 35, центр которой лежит на прямой ВС,
проходит через точки А и D. Известно, что АВ2 —АС2 = 216, а площадь
треугольника ABC равна 90v 3. Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника ABC.

768
Варианты вступительных экзаменов
Физический факультет
► 1. Решите уравнение
3/3
cos 5х — cos 15х = —— ctg Ъх.
* 2. Решите неравенство
► 3. Решите неравенство
3-2х
Ах~2 л /3
15-- _ > 1+ I -
Ах - 3х V 4
► 4. Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция ABCD
(ВС || AD), площадь которой равна 48. Окружность касается сторон
АВ и CD в точках К и L. Найдите KL.
*■ 5. Три числа, сумма которых равна 28, образуют геометрическую
прогрессию. Если к первому числу прибавить 3, ко второму числу прибавить 1,
а от третьего числа отнять 5, то полученные числа образуют
арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
*■ 6. В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята точка
А так, что SA : АВ = 1:2. Найдите радиус сферы, описанной около
пирамиды SACD.
*■ 7. Для каждого значения а решите неравенство
logi О2 - Ьх - а2 - Ъа + 12) < -1
и найдите, при каких значениях а множество точек х, не являющихся
решениями этого неравенства, представляет собой отрезок числовой оси,
длина которого меньше 2V3.
*■ 8. В треугольнике KLM отношение радиусов описанной и вписанной
окружностей равно 3. Вписанная окружность касается сторон AKLM
в точках А, В и С. Найдите отношение площади AKLM к
площади А АВС.
Химический факультет и факультет наук о материалах
► 1. Решить уравнение ,
10 ■З1"^ 81 = 0.
9х
► 2. Решить систему ,
||2у-4| + |я-1|^1,
| |2у-4| + |ж + 1| ^ 1.

2002 год
769
► 3. Решить неравенство
°g(4_^) ^ 2 + 2^ log5+^2 + log5+^(14 + 5V3)"
► 4. Решить уравнение
16 cos2 x(ctg2 2x - 1) cos Ах = -—5—■
sin- 4х
► 5. Окружность касается сторон АВ и DC треугольника ABC. Точки D
и Е — точки касания. На окружности взята произвольная точка F,
отличная от D и Е. Из точки F опущены перпендикуляры FG, FH, FK
на стороны AD. AE, DE соответственно. Найти площадь
треугольника GKF, если известны стороны FK = 6, FH = 9 и угол ZBAC = 60°.
► 6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
9-x+i . 3*я + аз + Ъа2 + а + у/2 = sin Н + cos ЕЕ + з.
4 4
имеет единственное решение.
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины
► 1. Решить неравенство 2х — 3| > 4ж.
► 2. Решить уравнение sin 2ж + cos2 Зж = 1.
► 3. Длины сторон треугольника DEF равны 8, 10 и 14. Вписанная в этот
треугольник окружность касается его сторон в точках А, В и С. Найти
площадь треугольника ABC.
*■ 4. Решить неравенство log2; |ж| - 9 log3 х + 2х log3 х — 4|ж| + 14 ^ 0.
► 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
{х2 + 2(а + l)z + а2 + 2а)2 + (а + 5) (ж2 - 2(а + 1)х + а2 + 2а)
- а2 - 7а - 10 = 0
имеет: а) единственное решение; б) ровно два различных решения.
Факультет почвоведения
► 1. Решить неравенство |9 — 5ж| > 1.
►■ 2. Вычислить sin(ll7r/8).
*■ 3. Пусть m — /25 — <УЕ- Доказать, что число т3 + 15т целое и найти его.
*■ 4. Решить неравенство
l°g2B 1о§4 4ж ^ log5 log8 ж.
* 5. Найти все значения ж, принадлежащие интервалу (—7г; я") и являющиеся
решениями уравнения 1//— cos ж = 2-Л5тж.

770
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Внутри прямоугольного треугольника помещены две окружности
одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов,
гипотенузы и другой окружности. Найти радиусы этих окружностей, если
катеты треугольника равны а и Ь.
► 7. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
{х3 - 1){х2 - 25)
logs(x-a) - log5(19a - ж)
имеет единственное решение.
Геологический факультет
► 1. Решите неравенство i ( , -.
= 0
х-2
► 2. Решите систему уравнений
ху
+ 15 1.
log^ -± = 2,
х + у = ху + 1.
► 3. Решите неравенство
(V3)
3^+6- V3 > -
2-2х /] V^2+x-2-3
3/
► 4. Пункт С расположен между пунктами А и В, АС — 2ВС. Из пунктов
С та В одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Время,
затраченное вторым поездом на путь от В до Л, не менее чем в 6 раз
превосходит время, затраченное первым поездом на путь от С до В.
Третий поезд, скорость которого равна разности скоростей первых двух,
затратил на путь от Л до В не менее чем в 9 раз больше времени, чем
первый поезд затратил на путь от С до места встречи со вторым. "Чему
равно отношение скоростей первого и второго поездов?
*■ 5. Найдите все решения уравнения
|sin2z| + cosx — 0,
принадлежащие отрезку [—v3; д].
*■ 6. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены
биссектриса CD и прямая DE, перпендикулярная CD (точка Е лежит на
прямой АС). Найдите площадь треугольника ABC, если СЕ — 4,
СА = Ъ.
> 7. При каких значениях параметра а периметр плоской фигуры, заданной
на координатной плоскости Оху системой
больше, чем 4 + 2V2 + §?

2002 год 771
► 8. В кубе ABCDA'B'C'D' с длиной ребра, равной 1, на вертикальном
ребре АА' и на горизонтальном ребре АВ взяты точки М и N
соответственно, при этом AM — |, AN = |. Через точки М и N проведена
плоскость, параллельная диагонали АС нижнего основания куба. Чему
равна площадь получившегося сечения?
Географический факультет
► 1. Решить уравнение л
12*-1| = 2^г
► 2. Решить уравнение
б cos ж —2 _
6 cos2 ж - 11 cos ж + 3
*• 3. Квадратное уравнение ж2 — Qpx — 2q = 0 имеет два различных корня Ж1 и
Ж2. Числар, Х, х-2, q — четыре последовательных члена геометрической
прогрессии. Найти Ж1 и х-2-
*• 4. Тележка с передними колесами диаметром 40 см и задними колесами
диаметром 50 см движется по прямой дороге, проходящей через точки А и
В. Между точками А и В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через
точку А проезжают правые колеса тележки и в точках соприкосновения
с ней красятся. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой
эти точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки
на дороге, кроме точки А, колеса не окрашивают. Тележка движется по
направлению от точки А в сторону точки В. Найти:
а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками;
б) количество окрашенных точек на отрезке АВ.
► 5. В треугольнике KLM проведена медиана LN. Известно, что ZKLM =
ZLNM, КМ = 10. Найти:
а) сторону LM;
б) ZLMK, если расстояние от точки М до центра описанной около
треугольника KLN окружности равно 10.
► 6. Решить систему , „
I хй = 4ж + у,
] у3 = 4у + х.
Экономический факультет (отделение экономики)
► 1. Докажите или опровергните следующее утверждение: периметр ромба с
диагоналями 1 и 3 больше длины окружности радиуса 1.

772
Варианты вступительных экзаменов
*■ 2. Решите неравенство
„ ч 7+11э;-6а;2
*■ 3. Решите систему уравнений
Г у - ху - х = 11,
[ zy2 -ж2у = -30.
► 4. Бригада рабочих выполняет задание за 42 дня. Если бы в бригаде было
на 4 человека больше и каждый рабочий бригады работал бы на 1 час
в день дольше, то это же задание было бы выполнено не более чем за
30 дней. При увеличении бригады еще на б человек и рабочего дня еще
на 1 час все задание было бы закончено не ранее чем через 21 день.
Определите наименьшую при данных условиях численность бригады, а
также продолжительность рабочего дня.
► 5. Решите уравнение
log2 (cos 3 ( — — х] J • log2 (cos 2x) + log2 (sin 5ж + sin x) = 0.
► 6. Найдите все значения а, при которых неравенство
1/х2 - бах + 10а2 + /3 + Gax - х2 - 10а2 ^
^ th/Sa + 24 - --= + у - /2а2| + у - /За|
имеет единственное решение.
► 7. Равные кубы А и В, имеющие общую вершину, расположены так, что
ребро куба А лежит на диагонали куба В, а ребро куба В лежит на
диагонали куба А. Найдите объем общей части этих кубов, если длина
их ребер равна 1.
Факультет психологии
► 1. Решить неравенство /х + 2 > х — 1.
► 2. Решить неравенство logx+2(z2 + 5х - 6) > 2.
► 3. Решить уравнение 3^_1
► 4. На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре
построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке Р. На
стороне КМ взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность
в точке Q, причем отрезки QP и ML параллельны, KR = 2RM и
ML = 8/3. Найти MQ.
*■ 5. Решить уравнение cosQx — 5cos5a; + cos4x — 4 cos о: + 7=0.

2002 год
773
*■ 6. Решить уравнение
х3 + 12а:2 - 11а; + 6| + |ж3 - 7х2 ~ х - If = 1&с2 - Ux + 3.
Филологический факультет
*■ 1. Решить неравенство
C0S(Z - 7Г) ffg >
logx2 я- ■ arcsin |
► 2. Окружность радиуса 2 проходит через середины трех сторон
треугольника ABC, в котором величины углов А та В равны 30е и 45°
соответственно. Найти длину высоты, проведенной из вершины А.
*■ 3. Решить уравнение
- — _ 
i + ctg2z - /2sin(— - 2х) - /3(cosx + sin х-) — .
V 4 ' tgz
► 4- Положительное число а подобрано так, что больший корень уравнения
я3 - 2ж2 = 2а:2 - 8
является одновременно одним из решений неравенства
а-10(т + 1) > a-x2-6x-W
Решить это неравенство.
► 5. В основании правильной пирамиды лежит квадрат со стороной 4, а
боковая грань составляет угол 30е с высотой пирамиды.
а) Найти радиус вписанного в пирамиду шара.
б) В данную пирамиду вписан второй шар так, что он касается всех
боковых граней и первого шара; затем вписан третий шар, касающийся
всех боковых граней и второго шара и т. д. Найти сумму площадей
поверхностей бесконечной системы вписанных шаров.
► 6. ... Словарь людоеда из племени «Мумбо-Юмбо» составляет 300 слов.
Эллочка Щукина легко и свободно обходилась тридцатью ...
Однажды людоед отбился от племени и стал понемногу забывать
слова, поэтому его словарный запас стал, оставаясь целочисленным,
уменьшаться на некоторое фиксированное число процентов за каждые
полгода. Одновременно Эллочка поступила в школу рабочей молодежи и
каждый месяц стала узнавать целое число новых слов, равное 50% от
того количества слов, которое людоед знал к концу первого полугодия
одиночества. Однако через несколько месяцев Эллочка бросила школу.
Какое наименьшее целое число месяцев могла проучиться Эллочка
в школе, чтобы при этих условиях словарь людоеда после одного года
жизни в одиночку обязательно стал меньше словаря Эллочки?

774
Варианты вступительных экзаменов
Социологический факультет
*■ 1. Решить уравнение
лДх + 7 = х + 1.
► 2. Решить неравенство
Щ^+2хЧзх-Л1оЦ(-х2 + За; " 2)) < °-
► 3. Определить угол А треугольника между сторонами 2 и 4, если медиана,
выходящая из вершины А, равна v3.
► 4. Куплен товар двух сортов: первого на 1500 руб. и второго на 1800 руб.
Товара второго сорта куплено на S кг больше, чем первого и по цене (за
1 кг) на 35 руб. меньше. Сколько куплено товара первого сорта?
► 5. В шар радиуса Л вписана четырехугольная пирамида с квадратным
основанием. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости
основания и равно Ь. Найти полную поверхность пирамиды и вычислить
ее значение при Ь — 4/2, R — л/17.
* 6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(1 + а)х2 + (1 - о)а? - 5о - 3 = 0
имеет по крайней мере один корень и все его корни являются целыми
числами.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решите неравенство ^х П2-х ч
l—^—— >о.
2^-2
* 2. Решите уравнение
. Ьх х
sin Ах+ 2 sin — cos — — 0.
*■ 3. Решите неравенство
ху/2-х ^ х2 - х - 2 - у/2-х.
► 4. Решите неравенство
, 17
+ |log2(4x + 4) + loga;+12| <
х + 1
bgx+1 2 + log2 ——
2
► 5. В треугольнике ABC даны длины сторон АВ — 8, ВС = 6 и биссектриса
BD = 6. Найдите длину медианы АЕ.
*■ 6. Решите систему уравнений
. 7Г
arccos2y + arcsm3a; = —,
5тг2
arcsm2y • arccosox = -—-.
64

2002 год
775
Для каждого решения (ж; у) определите, какое из чисел больше: 2у — Зж
или #2 - 0,5.
► 7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
Г х2 + у2 -6х -Щу + 17 ^ 0,
[ х2 + у2 - 2у = а2 - 1
имеет хотя бы одно решение.
Факультет государственного управления
► 1. Из деревни в город вышел турист. Первую половину пути он шел пешком
со скоростью 5 км/ч, а затем оставшуюся часть пути ехал на автобусе.
Найдите среднюю скорость движения туриста на всем маршруте, если
скорость автобуса равна 45 км/ч.
► 2. Решите уравнение
4х - 3 • 2Х+* - 8 = 0.
► 3. Решите неравенство _1
► 4. На окружности радиуса 5, описанной около правильного треугольника,
взята точка D. Известно, что расстояние от точки D до одной из вершин
треугольника равно 9. Найдите сумму расстояний от точки D до двух
других вершин треугольника.
► 5. Одна труба наполняет бассейн на 2 часа, а другая — на 4 часа 30
минут дольше, чем наполняют этот бассейн обе трубы, открытые
одновременно. За сколько часов может наполнить бассейн каждая труба в
отдельности?
*■ 6. Найдите все значения а, при которых система уравнений
Г {Зу/х~х~ + у - 3)(|ж| + 3|у| - 9) = 0,
(х- а)2 + у2 = 25
имеет ровно три решения.
► 7. Пять пиратов делят 10 слитков золота. Процедура дележа устроена так:
сначала старший пират предлагает дележ по своему выбору. Если
больше половины пиратов его отвергает, второй по старшинству пират
предлагает новый дележ добычи среди оставшихся четырех (старший пират
никакого участия в дальнейшем дележе не принимает). Если новый
дележ отвергается большинством голосов, то предлагавший его пират от
дальнейшего участия в дележе устраняется, и процедура повторяется
для трех пиратов. Как будут распределены слитки золота, если каждый
пират из двух данных дележей предпочитает тот, в котором его доля
золотых слитков больше?

776
Варианты вступительных экзаменов
2003 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
у V^ + 4 - у/х + 3 у ч/ж + 4 + ^ж + 3
► 2. Решить уравнение
|5ю6х 122 _ З.Ю65 * + 614| = 636 - 5106*122 - х1о^х.
► 3. Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным
знаменателем меньше последнего, но не более чем на 17, а сумма ее членов
со второго по последний не меньше 26. Найти знаменатель прогрессии.
* 4. Через вершины А и В треугольника ABC проведена окружность,
касающаяся прямой ВС, а через вершины В и С — другая окружность,
касающаяся прямой АВ. Продолжение общей хорды BD этих
окружностей пересекает отрезок АС в точке Е, а продолжение хорды AD
одной окружности пересекает другую окружность в точке F. Найти
отношение АЕ : ЕС, если АВ = 5 и ВС = 9. Сравнить площади
треугольников ABC и ABF.
*■ 5. Найти значения а, при каждом из которых уравнение
sin arccos(5z) = a + arcsinsin(7z — 3)
имеет единственное решение.
► 6. Высота АН тетраэдра ABCD пересекается с его высотой BE, но не
лежит в одной плоскости ни с одной из других его высот. На
отрезке НЕ = 4 взята точка О, равноудаленная от граней тетраэдра,
образующая двугранный угол в 30° при ребре CD = 5. Найти площадь сечения
тетраэдра, проходящего через точку О и являющегося прямоугольником.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
*■ 1. Решите неравенство
l0g(^x) (i^l) ^ h
► 2. Решите уравнение
Vsin 3z • cos x = sin (x + — J .
*■ 3. Найдите множество значений функции у — х — у/х2 + х - 2.

2003 год
777
► 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты,
опущенной из вершины 5 на основание ABCD, равна 6/2. Через точку
касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара
параллельно прямой АВ проведена секущая плоскость П, проходящая через
ближайшую к вершине 5 точку шара. Известно, что АВ = 4-/6- Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью П.
► 5. Найдите все значения параметра Д, при каждом из которых система
неравенств ои я _ i к;
Г 25* - 5*+v ^ — —
3/3-2
3 - Бх+У - 4 ■ 25у >- 8
имеет решение.
*■ 6. Дан параллелограмм KLMN, у которого KL — 6, KN = V0 + у/2 и
ZLKN = 45°. На стороне KL взята такая точка А, что К А : AL = 1:2.
Через точку А параллельно LM проведена прямая, на которой внутри
параллелограмма выбрана точка В. На стороне KN выбрана точка С
так, что КС = АВ. Прямые LC и MB пересекаются в точке D. Найдите
величину угла LAD.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
► 2. Решить неравенство
tg2 х — 6 cos 2х = 6.
х2 + Зх + х2 - 2 ^ 0.
► 3. Решить неравенство
log25(5*-l).log5(5*+2-25)<4.
► 4. В трапеции KLMN (LM \ KN) LA — биссектриса ZKLM, точка А —
середина отрезка MN', средняя линия равна /5, К А = 4. Найти LA.
*■ 5. Решить систему уравнений
Г у/х-у = 9 - х + 2у,
[ х(х + Ау - 2) + у(4у + 2) = 41.
► 6. В AKLM радиус описанной окружности равен R, ZK = а, точка О —
центр окружности, вписанной в этот треугольник. Прямая КО
пересекает окружность, описанную около AKLM, в точке N. Найти ON.
*■ 7. Для каждого значения а решить неравенство
х2 -г'3»-1' -2z + i
х2 - (а - 2)х - 2а >
► 8. В пирамиде SLMN даны ребра: LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера
радиуса (5/4)л/14 касается плоскости основания LMN и боковых ребер

778
Варианты вступительных экзаменов
пирамиды. Точки касания делят эти ребра в равных отношениях, считая
от вершины S. Найти объем пирамиды.
Химический факультет и факультет наук о материалах
*■ 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество
решений неравенства -^г^ > 0 содержит точку х = 1.
► 2. Решить уравнение
cos2 8ж + sin2 х ~ 2 sin2 х • cos2 8х.
► 3. Решить неравенство
Ьё^+уз(2 - х ~ М) > оёУд5{2х - я2)-
*■ 4. Решить уравнение
i1+vh) ■ i1+vm)'Ь/Т^+VTTx)=8-
*■ 5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что
прямые АС и BD перпендикулярны. Найти длину отрезка ВС, если
расстояние от центра окружности до стороны AD равно 2.
► 6. При каких значениях параметра а система
| (ar + a/2z)2 + {у + V2t)2 = 25 + 2а/2Ъ - а2,
х2 + у2 = а2,
z2 + t2 - (25-а2)/2
имеет хотя бы одно решение?
Биологический факультет, факультет фундаментальной
медицины, факультет биоинженерии и биоинформатики
*■ 1. Решить уравнение
2 cos2 (ж + j) + 3 cos (2a; + тП = ~3-
► 2. Решить неравенство /—=—-
4-2х
► 3. Решить уравнение
V'log^ V2x • log4 x ~ -1.
у ш&*
► 4. Три мотоциклиста А, В и С участвовали в показательном заезде,
двигаясь по трассе от старта до финиша с постоянными скоростями.
Мотоциклисты А и С стартовали одновременно, а мотоциклист В спустя
некоторое время. Первым к финишу пришел мотоциклист А.
Мотоциклист В через 1 час после своего старта догнал мотоциклиста С на
трассе и прибыл на финиш через 4 часа после старта мотоциклистов А

2003 год
779
и С и за 2 часа до финиша мотоциклиста С. Найти отношение скорости
мотоциклиста А к скорости мотоциклиста С, если известно, что
мотоциклист А двигался в | раза медленнее мотоциклиста В.
► 5. В ромбе ABCD через точки А, В, С проведена окружность с центром
в точке 0, а через точки А, В, D проведена окружность с центром в
точке Ог- Известно, что отношение длины отрезка 0Оч к длине отрезка
АО? равно 4. Найти величину угла ZDA02-
► 6. Решить неравенство
(3 - x)log2(l + т/7)х*+3х+2 > /2^1og3(8 + 2л/7)(х+1)^ТГ.
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение
► 2. Решить систему
cos2 4z - 2 cos 4ж - 3 = 0.
< ^log7(z-y) + 7^ = l,
 7*»+log7(x-y) = l.
► 3. Решить неравенство З
2^2 " l*| > 0.
► 4. Найти наименьшее значение функции у = л/Зж2 + 5 — /Зж2 на
отрезке [0;3].
► 5. В окружность радиуса 2 вписан угол QPR так, что PR ~— диаметр
окружности. В угол QPR вписана еще одна окружность радиуса |
так, что она касается большей окружности внутренним образом. Найти
величину угла QPR.
*• 6. Найти все значения параметра ft, при каждом из которых отрезок
[—3,-1] целиком содержится среди решений неравенства frf^ < 0.
Геологический факультет
► 1. Решите неравенство
х - 2 2х + 5 _
+ г- $0.
|ar + 2| z+ 2
► 2. Решите уравнение
► 3. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А
и В и, встретившись через 50 мин., без остановки продолжили движение
каждый в своем направлении. За какое время проходит путь между А и
В каждый из пешеходов, если известно, что первый пришел в В на 4 час.
раньше, чем второй пришел в А?

780
Варианты вступительных экзаменов
*■ 4. Решите систему уравнений
/
2х2 - у2 + 3 = 0,
[ 6у3 - 18у - Ш3 - За: = 0.
► 5. Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины С
прямого угла проведена хорда СМ, пересекающая гипотенузу в точке К.
Найдите площадь треугольника АВМ, если АК : АВ = 1:4, ВС = %/2,
АС = 2.
► 6. Решите уравнение
VcosSx ■ log4 I tg ix + — J J =0.
► 7. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых существует
нечетное число п, удовлетворяющее равенству
Зап2 - За + 34~ап2 = 96п + 34_а.
► 8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной 5
отношение высоты SO к длине стороны основания равно у/5. Через точку
М, лежащую на стороне основания ВС, и боковое ребро SA проведена
плоскость; при этом точка М выбрана так, что площадь сечения
пирамиды этой плоскостью является наименьшей. В каком отношении эта
плоскость делит объем пирамиды?
Географический факультет
► 1. Разность девятого и третьего членов знакочередующейся
геометрической прогрессии равна ее шестому члену, умноженному на 24/5. Найти
отношение десятого к пятому члену прогрессии.
► 2. Решить неравенство fi
п > 7 + х-
х
*■ 3. Непустое множество X состоит из конечного числа N натуральных
чисел. Четных чисел в X меньше двух третей от N, а нечетных не больше
36% от N. Какое минимальное значение может принимать число N1
► 4. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого
четырехугольника ABCD, перпендикулярны. Известно, что АС = 4,
Z.CAB + ZDBA — 75°. Найти площадь четырехугольника ABCD и
сравнить ее с числом 2VTE.
► 5. При каких значениях параметра а уравнение
(sin х — log4 a) (sin x — 2 + 2а) = О
имеет ровно два корня на отрезке [я"/2; 57г/2]?

2003 год
781
Филологический факультет
*• 1. Решить уравнение
cos Ах — cos4 х — sin"* x.
*• 2. Решить систему уравнений
/ сжуЪх*+* = 2ТхЛ+21-сыу,
*■ 3. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) медианы AM и CN
пересекаются в точке D под прямым углом. Найти все углы
треугольника ABC и площадь четырехугольника NBMD, если основание АС = 1.
► 4. В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый
студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский.
Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба
языка. Количество изучающих французский в первой группе в 3 раза
меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй
группе в 4 раза меньше, чем в первой. Каково минимально возможное
количество студентов в одной группе?
► 5. Найти все значения параметра Ь, при каждом из которых для любого
а неравенство (ж — а — 2Ь)2 + (у — За — Ь)2 <  имеет хотя бы одно
целочисленное решение (х, у).
Экономический факультет (отделение экономики)
► 1. Решите неравенство
/5 - 4х - х2 ^ -2ж-1.
*■ 2. Про числа а и Ь известно, что а + b = —12, а ■ Ъ = 2. Вычислите значение
выражения ■£§ — -^-.
*■ 3. Найдите все решения системы уравнений
| 4^49x-4-7x+vlogT3+9J/ = 9,
[ 49* + 12 ■ Ъх lD6s7+у - 4 ■ 9У = 9.
► 4. На первом складе сахара было на 16 тонн больше, чем соли. За день с
первого склада вывезли ~ часть сахара и | часть соли, причем сахара
вывезли на 2 тонны больше, чем соли. На втором складе соли было на 4
тонны больше, чем сахара. За день со второго склада вывезли также -^
часть сахара и | часть соли, причем сахара вывезли на 3 тонны больше,
чем соли. Сколько соли было на первом и втором складах, если известно,
что т — целое число? При каких т задача имеет решение?

782
Варианты вступительных экзаменов
► 5. Площадь четырехугольника PQRS равна 48. Известно, что PQ — QR —
6, RS = SP и ровно три вершины Р, Q и R лежат на окружности
радиуса 5. Найдите длины сторон RS и SP.
*■ 6. Найдите все значения Ь, при которых уравнение
3 ■ ^х~Т2 - 16Ь2 • У32х + 32 = '{Ух2 + За; + 2
имеет единственное решение.
► 7. Найдите максимальный объем многогранника с пятью вершинами,
который можно поместить в шар радиуса 2/3.
Экономический факультет (отделение менеджмента)
► 1. Решите уравнение
у/5 - 4ж - х2 = -2х - 1.
*■ 2. Про числа хну известно, что х + у — 12, х ■ у — 6. Вычислите значение
выражения Л- + -%.
*• 3. Найдите все решения системы уравнений
Г 3'4*+2Х+1 -3^-9^ = 0,
| 2 • 4* - 5 • 2х - Зу + 9У = -8.
► 4. На складе сахара было на 10 тонн больше, чем соли. За день со склада
вывезли ~ часть сахара и | часть соли, причем сахара вывезли на 2
тонны больше, чем соли. Сколько соли было на складе, если известно,
что m — целое число? При каких m задача имеет решение?
*■ 5. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если АВ = ВС — 8, AD =
DC = 6 и ровно три вершины А, В и С лежат на окружности радиуса 5.
► 6. Найдите все значения Ь, при которых уравнение
3 ■ £^Т4 - 7b2 ■ S^32x + 96 ~ /я2 + 7:г + 12
имеет единственное решение.
Факультет психологии
*■ 1. Решить уравнение
► 2. Решить уравнение ^
sin 3xsinz = —-.
*■ 3. Решить неравенство
1о8з*+з 5 = 2-
г. = — .
8
|3z + l| + V3aT+4^3.
► 4. В окружность радиуса fl вписана трапеция с меньшим основанием 4.
Через точку на этой окружности, касательная в которой параллельна
одной из боковых сторон трапеции, проведена параллельная основаниям

2003 год
783
трапеции хорда окружности длины 5. Найти длину диагонали трапеции
и площадь трапеции.
*■ 5. При каких значениях параметра а уравнение 2х — 9а — 2а2 + 35 + х — О
не имеет решений? При каких (остальных) значениях параметра а все
решения этого уравнения принадлежат отрезку [—30, 63]?
Социологический факультет
► 1. Решить уравнение
V2x + 3 + /x-2 = /Зж + 7.
► 2. Решить неравенство
2lo§o,i(6 + z) ^log0jlx.
► 3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Радиус окружности
равен 2, сторона АВ равна 3. Диагонали АС и BD взаимно
перпендикулярны. Найти CD.
► 4. В городе JV на должность мэра на выборах баллотировались 3
кандидата: Акулов, Баранов и Воробьев. В начале предвыборной кампании
предпочтения избирателей распределялись как 1:2:1. По окончании
предвыборной гонки 40% избирателей города N отказались участвовать
в выборах, у остальных же предпочтения не изменились. Сколько
процентов сторонников каждого кандидата отказались от голосования, если
по окончании предвыборной гонки соотношение голосов стало 3:3: 3,6?
* 5. Двое рабочих изготовили 316 деталей, причем вторым сделано на 4
детали меньше первого. Известно, что первый рабочий работал на 3
дня дольше второго, при этом в день изготовлял на 2 детали меньше.
Сколько деталей в день делал каждый рабочий?
► 6. Определить все значения параметра а, при каждом из которых три
различных корня уравнения х3 + (а2 — 9а)х2 + &ах — 64 = 0 образуют
геометрическую прогрессию. Найти эти корни.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Числа х, у изменяются в пределах: 3^а:^4и1^у^2. Найдите, в
каких пределах изменяется величина выражения А = 4х~2у~1 — 4у+4х—4.
► 2. Решите уравнение „
(|ог|-5)2- |5-i| =30.
*■ 3. В правильный треугольник ЛВС со стороной а вписана окружность. Эта
окружность касается внешним образом трех других окружностей того
же радиуса в точках касания сторон треугольника. Центры внешних

784
Варианты вступительных экзаменов
окружностей соответственно 0, О2, 0%. Найдите площадь
шестиугольника, получающегося при пересечении треугольников ABC и С^ОгОз.
► 4. Найдите корни уравнения
tg(x+^) +l = 2(V2 + l)ctgz,
принадлежащие отрезку [fj-^f-]-
► 5. Решите неравенство
/ / 1  л/1о64,2(2х2).^8И(4х4)-1
)
х У(ж2 + 8х + 15)(256ж2 - 24ж - 1) ^ 0.
► 6. Функция у(х) = х2 + 2(с — d)x + Зс — d такова, что у{) • у( — 1) ^ 0 и
|с — d| ^ 1. Найдите величины cad, при которых длина промежутка,
представляющего собой множество значений функции f(x) = y(x) на
отрезке [—1; 1], наименьшая; укажите это множество значений.
Факультет государственного управления
► 1. Автозаправочные станции Е и F расположены на расстоянии 3 км одна
от другой. Где наиболее выгодно разместить бензосклад, если на АЗС Е
ежедневно поставляется 8 тонн бензина, а на АЗС F — 4 тонны?
*■ 2. Решите неравенство
|2ж + 8| ^ 8- |1-ж|.
► 3. Три предприятия А, В и С на паритетных (равных) началах
прокладывают необходимую им шоссейную дорогу длиной 16 км. Предприятие А
взяло на себя прокладку 10 км дороги, предприятие В — остальных 6 км,
а предприятие С внесло всю свою долю деньгами, уплатив 16 миллионов
условных денежных единиц. Как эти деньги должны быть распределены
между предприятиями А и В?
► 4. В прямоугольном треугольнике KLM проведен отрезок MD,
соединяющий вершину прямого угла с точкой D на гипотенузе KL так, что длины
отрезков DL, DM и DK различны и образуют в указанном порядке
геометрическую прогрессию со знаменателем /2, причем DL = 1. Найдите
величину угла KMD.
*■ 5. Для каждой пары чисел а и b найдите все решения неравенства
Ъ ■ х2 + а ^ 0.
► 6. Решите систему уравнений
jx + y + z = 2,
| 2ху - z2 = 4.

2003 год
785
*■ 7. Для того, чтобы успеть на последний электропоезд, семье из четырех
человек нужно перейти по пешеходному мосту быстрее, чем за 32 минуты.
Одновременно по мосту могут идти не более двух человек, причем ввиду
темного времени непременно с фонариком. Если мост проходят двое, то
со скоростью того, кто идет медленнее. Успеют ли на последний поезд
все члены семьи, если известно, что в одиночку Анна может перейти
мост за 2 минуты, Василий — за 4 минуты, Игорек — за 10 минут,
Марья Ивановна — за 16 минут, а фонарик только один?
Высшая школа бизнеса
► 1. Решите неравенство
у/(х + 5)(х-3) ^Q
х + 5 """
> 2. В банке общая сумма кредитов, выданных населению, составляет 25% от
суммы кредитов, выданных предприятиям. Какой процент от общего
объема кредитования в этом банке приходится на долю предприятий ?
*■ 3. Решите уравнение _ , , . , , п
2ctgx-|sina;j + 1 - 0.
*■ 4. Решите систему уравнений
( 5og32(x + у) + og^(3y - S) = 0,
 х2 + 2ж + у2 + у = 12.
> 5. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если известны координаты
двух его противоположных вершин А{ — 3; —6), С(5,12) и точки iV(l;9),
являющейся серединой стороны ВС.
*■ 6. Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению
2х2 = 2у2 + Zxy + 7.
> 7. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) угол при
вершине В равен 80°, а точка М внутри треугольника расположена так, что
ШАС = 30°, a ZMCA = 10°. Найдите величину угла ВМС.
> 8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
25z5 + 25(а - 1)хъ - 4(а - 7)х = 0
имеет ровно 5 различных решений, а сами решения, упорядоченные по
возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

786
Варианты вступительных экзаменов
го.
2004 год
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
log4(x- + l)-lg(z + l)
lg(l-x)-log25(l-x)^°g425-
*■ 2. Решить неравенство
(х2 + Зж + 4)2 - 2|ж3 + Ъх2 + 4дт| - 35ж2
2х2 - 5х - 3
► 3. Выпуклый многогранник KLMNFE имеет пять граней: KLE, MNF,
KNFE, LMFE и KLMN. Точки А и В расположены соответственно на
ребрах KN и LM так, что отрезок АВ делит площадь параллелограмма
KLMN пополам. Точка D является серединой ребра EF и вершиной
пирамиды DKLMN, объем которой равен 5. Найти объем многогранника
KLMNFE, если известно, что объем пирамиды EFAB равен 8.
► 4. Решить уравнение
V3 sin 2x = 2 sin 2x + sin x + cos z — 1.
► 5. Дорога проходит последовательно через пункты А, В, С и D.
Расстояние от В до С равно 12 км. Из А в D выехал с постоянной скоростью
мотоциклист. Одновременно с ним изВвС отправились с постоянными
скоростями пешеход и велосипедист. Когда мотоциклист догнал
пешехода, велосипедист обгонял их на 6 км. В пункте С мотоциклист догнал
велосипедиста, и доехав до D, сразу поехал обратно в А, встретившись
с пешеходом во второй раз в С. Найти расстояние между А и В, если
известно, что время от начала движения до момента повторной встречи
мотоциклиста и пешехода в 4 раза больше, чем время от начала движения
до того момента, когда мотоциклист впервые догнал велосипедиста.
► 6. В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке Н, а
медианы в точке О. Биссектриса угла К пересекает отрезок ОН в такой
точке М, что ОМ : МН = 3:1. Найти площадь треугольника KLN,
если LN = 4, а разность углов L и N равна 30°.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решите уравнение
(/7-4>/3 - 3cos(arctg(2v/2)) + -j3-—J • х = 2l06^3 - 9.

2004 год
787
► 2. Решите неравенство
ж2 -4
>х-2.
V15 + 2ж - ж2
► 3. Решите уравнение
2cos2 Q -4ж) -sin (Зж- -| J = -1.
► 4. Окружность с центром в точке М касается сторон угла АОВ в точках А
и В. Вторая окружность с центром в точке N касается отрезка ОА,
луча В А и продолжения стороны угла ОВ за точку О. Известно, что
ON : ОМ = 12 : 13. Найдите отношение радиусов окружностей.
*■ 5. Для каждого значения параметра а найдите число решений уравнения
2 1 а + 8 4-2а ., л г „
1 а- + 4а + 5 = 0.
16е 8х Ах 2х
► 6. В основании прямой призмы ABCDABCD лежит равнобочная
трапеция ABCD (AD || ВС). Через точку Bi проведена плоскость V,
пересекающая ребро AD в точке К, а ребро CD — в точке N. Прямые
АА и СС эта плоскость пересекает в точках L и М соответственно.
Известно, что DN : DC = 3 : 4, ВС = DK и KN > DN. Объем
многогранника ABCNKLBiM относится к объему призмы ABCDAiBiCD
как 49 : 144. Найдите отношение длины отрезка DK к длине отрезка AD.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение бакалавров)
► 1. Решите неравенство
logl_3x(12z-l)^0.
► 2. Решите уравнение
( /l3 + 4^3 - 22'5 ■ cos 15° + 1) • ж = 3l0fV52 _ 4.
► 3. Решите неравенство
х2 - 9
V28 + Зж - ж2
► 4. При всех значениях параметра с решите неравенство
9х-с ^ 2-Зх+1.
* 5. Решите уравнение
2 cos2 ( -^ + Зж ) + sin(5z) = -1.
► 6. Окружность с центром в точке М касается сторон угла АОВ в точках А
и В. Вторая окружность с центром в точке N касается отрезка ОА,
луча ВА и продолжения стороны угла ОВ за точку О. Известно, что
ON : ОМ = 5 : 13. Найдите отношение радиусов окружностей.

788
Варианты вступительных экзаменов
► 7. В основании прямой призмы ABCDABCiDi лежит равнобочная
трапеция ABCD {AD || ВС). Через точку В проведена плоскость V,
пересекающая ребро AD в точке К, а ребро CD — в точке N. Прямые АА
и CCi эта плоскость пересекает в точках L и М соответственно.
Известно, что DN : DC = 2:5, ВС = DK и KN > DN. Объем
многогранника ABCNKLBM относится к объему призмы ABCDABCiD как
84 : 225. Найдите отношение длины отрезка DK к длине отрезка AD.
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
cosх — cos3z = v7 ■ sin2x.
► 2. Решить неравенство 9
4-y/x
► 3, Решить уравнение _,,. х+1
5 =8--
2^-1 _ 5e 5e
► 4. В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте
пирамиды равно 2. Найти отношение радиуса вписанного в пирамиду
шара к стороне основания пирамиды.
► 5. Решить неравенство
log5(2 + х)(х-5)> bg25(x - 5)2.
► 6. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла BAD пересекает
сторону CD в точке М такой, что DM : МС = 2:1, /.САМ - а.
Найти /BAD.
► 7. При каких значениях р уравнение
4 (х - ^Р • 4р) х + 4(4Р - 1) + р = О
имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях р?
► 8. Сторона KL прямоугольника KLMN служит высотой конуса с
вершиной L, радиус основания этого конуса в три раза длиннее отрезка NK,
KL = 6. Шар касается плоскости прямоугольника KLMN в точке М и
имеет единственную общую точку с конусом. Найти радиус шара.
Химический факультет и факультет наук о материалах
► 1. Решить неравенство 1Q 2
2> + Ах + х2
► 2. Решить уравнение
^ 1.
VI + 4 cos х = 1 — 3 cos x.

2004 год
789
*■ 3. Решить неравенство
4/log6 х + 4 < л/logg а: + у/о%ъ x - 1.
► 4. Известно, что трапеция KLMN — равнобедренная, i^JV || LM и JVTAT <
ЬМ. Трапеция NKPM также равнобедренная, причём А'Р j| NM и
А'Р > NM. Найти LN, если известно, что синус суммы углов Z.NLM и
ZKPN равен |, a LP = б.
* 5. На рёбрах NN и А'ЛГ куба KLMNKLMN отмечены такие точки Р
и Q, что q|% = j, -^£- = 4. Через точки Mj, P, (5 проведена плоскость.
Найти расстояние от точки К до этой плоскости, если длина ребра куба
равна 3.
► 6. Найти все значения параметров а и Ь, при которых среди корней
уравнения
(а2 + 2аЬ - Ь2 - 7)2 - (2а2 - 5дЬ + Ь2 + 1){х - 7)5Х + tg2 х = О
есть два различных корня с равными абсолютными величинами.
Биологический факультет, факультет фундаментальной
медицины, факультет биоинженерии и биоинформатики
► 1. Решить уравнение
V2x + 1 = 2х - 2.
*■ 2. Решить уравнение
sin х cos Зж = sin Ъх cos Ъх.
► 3. В равнобочной трапеции с основаниями 1 и 9 расположены две
окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых
сторон и одного из оснований. Найти площадь трапеции.
► 4. Решить неравенство
1о8(з--з)»Р'+* - ^ ■ 3*+1 + 36) - togp.-s)-^2-1 - 3*+1 + 6) 3» -
*■ 5. Около шара радиуса 2 описана правильная шестиугольная пирамида с
высотой 5, а около неё описан второй шар. Найти радиус второго шара.
Факультет почвоведения
► 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у — 2х2 — 5ж при х 6
[-i;4].
► 2. Решить уравнение ^ + ц + ^ + 4 = Q
* 3. Решить уравнение
у/х2 + 7х + 6 - yjx2 +2х- 3 = -^2х2 + 9х + 3.
> 4. Решить неравенство
log0il(10x-9) ^я:-1.

790
Варианты вступительных экзаменов
* 5, Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству -| ^ i < f и
являющиеся решениями уравнения
/-tgx = ^J-t,g7x.
> 6. Вокруг квадрата со стороной 3 описана окружность. На окружности
отмечена точка, расстояние от которой до одной из вершин квадрата
равно 2. Найти расстояние от этой точки до трёх других вершин
квадрата.
*■ 7. Доказать, что график функции
имеет центр симметрии, и найти координаты (я, у) этого центра
симметрии.
Геологический факультет
> 1. Решите неравенство i о i
► 2. Какие значения может принимать cosx, если cos (х + |) = — |?
► 3. Решите неравенство / -
Л/289-Ж2 ^z + 17.
► 4. В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС,
причём AM : МС = /3 : 4. Величина угла АВМ равна |, ВЫ - 8.
Найдите величину угла ВАС и расстояние между центрами
окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ■
► 5. Решите неравенство
logs-Л^2 - Ых + 49) - 2 Ь&^ва: - х2 - 7) + 2 ^ 0.
► 6. Две группы геологов исследуют маршрут, проходящий от пункта А
через пункт В до пункта С. Первая группа проходит весь маршрут
за 2, а вторая ■— за 3 дня. Расстояние между В и С вдвое меньше
расстояния между А и В. Скорости движения групп на участках АВ
и ВС постоянны, но на участке АВ скорости обеих групп в т раз больше,
чем их скорости на участке ВС. Группы выходят одновременно из Л и С
навстречу друг другу. Если первая группа выходит из А, а вторая из С,
то они встречаются в В. Если же первая выходит из С, а вторая из А,
то они встречаются в пункте D. Какую часть от длины всего маршрута
составляет расстояние между В и D7 Чему равно значение т?
► 7- Решите систему уравнений
Isin х 1
cos(z- у) ~ y/z'
I cosy ^ 1
( cos(x-y) ~ л/з"

2004 год
791
► 8. Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник ABC
со стороной длины 4i/2- Ребра SB и SC равны, шар касается сторон
основания, плоскости грани SBC, а также ребра 5.4. Чему равен радиус
шара, если SA — 3/2?
Географический факультет
*■ 1. Решить неравенство
> 2. Решить уравнение
vV° -1 п
^ 0.
х-2
sin4a;
= 0.
cos х — cos Zx
► 3. Пункты А и В соединены двумя дорогами. Первая дорога разделена
паромной переправой с одним паромом. На второй дороге препятствий
нет. Переправа на пароме занимает | часа. Паром работает без
перерывов. Из пункта А по первой дороге выезжает мотоцикл, скорость
движения которого по дороге равна 30 км/ч. Одновременно с ним из
пункта В по той же дороге выезжает велосипед со скоростью 10 км/ч.
Мотоцикл без задержки переправляется паромом и встречает велосипед,
ожидающий паром. После прибытия в пункт В мотоцикл без остановки
возвращается по второй дороге и прибывает в пункт А на 15 минут
раньше велосипеда, затратив на обратный путь на | часа больше, чем
на путь из А в В. Найти:
а) разность между длинами второй и первой дорог, не учитывая длину
переправы;
б) длину второй дороги, если известно, что, поехав обратно по первой
дороге, мотоцикл прибыл в пункт А одновременно с велосипедом.
► 4. В выпуклом четырёхугольнике KLMN точки А, В, С, D — середины
сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3.
Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Площади четырёхугольников
KAOD. LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9. Найти:
а) площадь четырёхугольникаМСОВ;
б) отрезок MN.
► 5. При каких значениях параметра а система
Г х + а + у - а + а + 1 + х + а + 1 - у = 2,
у = 2х-4-5
имеет единственное решение?
► 6. Сколько цифр содержится в десятичной записи 9998-го члена
последовательности ап, если а = 0, an+i — 5ап + 500, lg 5 = 0,698970... ?

792
Варианты вступительных экзаменов
Экономический факультет
(отделение экономики)
> 1. Вычислите произведение всех положительных корней уравнения
х V3ctg(2|l)
> 2. Решите неравенство
cos2 ( — J ■ log2 (5 - ж2 + Ax) ^ 4 costal) + 4 sin2 f — J .
> 3. Площадь равнобедренного треугольника PRQ равна 12. На боковых
сторонах PR и RQ взяты соответственно точки В и С так, что вокруг
четырехугольника PBCQ можно описать окружность и PQ : ВС — 3 :
2. Найдите площадь треугольника APQ, где А — точка пересечения
отрезков PC и BQ.
> 4. Решите неравенство
logs.^l - 1х) ■ Ьё1_4х+^(х2 + 6х + 9) + logi-^ (х2 + 4ж + 3) ^ 0.
> 5. Автофургон грузоподъемностью 339 кг пеервозит ящики с виноградом
и яблоками. Вес и стоимость одного ящика с виноградом составляют
15 кг и 10 условных единиц, ящика с яблоками — 27 кг и 8 условных
единиц соответственно. Известно, что количество загруженных на
автофургон ящиков с виноградом составляет не более 70% от количества
загруженных ящиков с яблоками. Определите наибольшую возможную
суммарную стоимость всех ящиков с виниградом и яблоками,
перевозимых автофургоном при данных условиях.
*• 6. Найдите наименьшее значение z, при котором имеет решение система
f z - 8 cos2 -~ - 2 tg2 -¥■ - 2 cos2 2x,

8 ° 8
27r(l + |x|)cos3y + |z|(7rsin23y-16-2Я-) = 0.
Экономический факультет
(отделение менеджмента)
► 1. Вычислите сумму всех решений уравнения
/9тг Зх /ЮтЛ 1
2 cos — = — ctg =-.
► 2. Решите уравнение
cos2(7ra;) ■ log3(16:c — 7 — 4ж2) = 3cos(27rx) + 3sm2(7rar).

2004 год
793
5
► 3. Медиана RM прямоугольного треугольника PQR (/.R = 90°) равна -.
Найдите площадь треугольника PQR, если его периметр равен 6.
*■ 4. Решите неравенство
21og,+4(2x + 7) • log4x2+28x+49(2 -x)+ bg_i_(x2 - 5х + б) > 0.
► 5. Паром грузоподъемностью 111 тонн перевозит микроавтобусы и
грузовики при условии полной загрузки. Количество загруженных на паром
микроавтобусов составляет не более 70% от количества загруженных на
паром грузовиков. Вес и стоимость одного микроавтобуса составляют
5 тонн и 5 тысяч условных единиц, грузовика ■—■- 9 тонн и 4 тысячи
условных единиц соответственно. Определите наибольшую возможную
суммарную стоимость всех микроавтобусов и грузовиков, перевозимых
паромом при данных услових.
► 6. Найдите наименьшее значение v, при котором имеет решение система
Г k2v — 16х' — 16лх.
J
|2тг(1 + x)sm3y = |xj(2тг + 8 - тг cos2 Зг/).
Факультет психологии
25х - 10 ■ 5х - 3 = 0.
bg - I Ч1 ) ^ 1-
► 1. Решить уравнение
► 2. Решить неравенство
► 3. Решить уравнение
^21 cos х ctg x — П cos x — v 7 ctg x = 0
и найти сумму его корней, принадлежащих отрезку [—7г,7г].
*■ 4. Через вершины К и М прямоугольного треугольника KML с катетом
КМ = 7 проходит окружность диаметра 8. Прямая LN касается этой
окружности в точке N. Найти величину угла KMN и длину второго
катета KL, если луч NK делит угол LNM пополам.
*■ 5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
|аг2-16|:с|| =а(х-9)
имеет ровно три различных корня.
Филологический факультет
► 1. При каких значениях параметра а уравнение
не имеет решений?
1 3 - а
х2 - х + - = 0
1а + 1

794
Варианты вступительных экзаменов
*■ 2. Решить уравнение
2sin24z - 5sin (- - 4х +1 = 0.
► 3. Решить уравнение
(х - 3) ■ (х2 + 2) = 12 - Г'1 -  • (л/3)*+1.
► 4. Из точки М на плоскость а опущен перпендикуляр МН длины 3 и
проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 30°.
Угол между наклонными равен 60°.
а) Найти расстояние между основаниями А и В наклонных.
б) На отрезке АВ как на катете в плоскости а построен
прямоугольный треугольник ABC (угол А — прямой). Найти объём пирамиды
МАВС, зная, что cos IBCM - f.
*■ 5. Бюро переводов получило заказ на перевод трёх текстов одинакового
объёма. Переводчица Сидорова на перевод первого и второго текстов в
сумме потратила 1 час 21 минуту, а на перевод первого и третьего —
. 1 час 18 минут. Оказалось также, что второй текст она переводила с
такой же скоростью, как в среднем первый и третий. За какое время
был выполнен весь перевод?
► 6. Дана система уравнений
Г у = ах — 2а,
[х = Ь+у.
а) При каких значениях параметров а и Ь эта система относительно
неизвестных х и у имеет бесконечно много решений?
б) На плоскости {х,у) изобразить множество точек, координаты
которых таковы, что система относительно неизвестных а и b имеет ровно
три решения.
Социологический факультет
*• 1. Решить неравенство 2 9 i ^
X £Х ID
х2 + 2х + 15
► 2. Решить уравнение
. 7Г Я" / ТТЛ
4 sin" Зх - 2 cos^ (х — -к) — sin — ■ cos — = sin I 2x — — 1 .
*■ 3. Популярность продукта А за 2002 год выросла на 10%, в следующем
году снизилась на 20%, а в конце 2004 года сравнялась с популярностью
продукта Б. Популярность продукта Б в 2002 году выросла на 20%,
затем на протяжении одного года не изменялась, а за 2004 год снизилась
на 10%. Как изменилась популярность продукта А за 2004 год, если в
начале 2002 года она составляла | от популярности продукта Б?
<0.

2004 год
795
*■ 4. В треугольнике ABC угол при вершине В равен |, а длины отрезков,
соединяющих центр вписанной окружности с вершинами Атл С, равны 3
и /2 соответствеяно. Найти радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC.
*■ 5. Три числа, являющиеся длинами рёбер прямоугольного параллелепипеда
с диагональю 2т/б, образуют арифметическую прогрессию. Кубы этих
чисел тоже образуют арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
► 6. Для каждого положительного значения параметра с изобразить
множество тех пар (Ь, а), для каждой из которых уравнение
-2ах2 -Ьх + с + - -О
о
имеет два различных положительных корня, и указать все значения
параметра Ь, при каждом из которых множество соответствующих
значений а является интервалом.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решите неравенство /ж2 - 49 ■ {х + 5) <0
2. Решите уравнение
COI
► 3. Решите систему уравнений
► 2. Решите уравнение ч 4
cos' х - sin x = — 1.
х2 + у2 = 2xyz,
у2 +z2 = 2xyz,
z2 + x2 = 2xyz.
*■ 4. Решите уравнение
(Iog3(3-2* + 1) + x) - (21og9(32;c + 1) - x - 2) = 3.
*• 5. Два круга, расстояние между центрами которых равно у/3, имеют
радиусы /3 и 3. Найдите отношение площади наибольшего круга, вписанного
в общую часть данных кругов, к площади общей части.
х2 z2
* 6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения — + —, если
64 49
величины ж, у, z, w удовлетворяют системе
х2 + у2 - 6х - Ау - 51 = О,
z2 + w2 + 2z + Sw - 32 - О,
xw + yz + Ах - 3w + у - 2z - 70 ^ 0.
Факультет государственного управления
► 1. Фирма совершала сделки по покупке и продаже автомобилей одной
марки, покупая один автомобиль по 7000 у. е. и продавая по 9000 у. е. Всего

796
Варианты вступительных экзаменов
по этим сделкам за день прошли 32 автомобиля. Сколько автомобилей
фирма продала, если по итогам дня у неё образовался нулевой баланс?
► 2. Решите уравнение
cos 3z — 2 cos 6х — cos 9х = —2.
* 3. Длины трёх сторон четырехугольника, вписанного в окружность
радиуса 2, совпадают и равны V2. Найдите длины его диагоналей.
► 4. Брокерская фирма выставила на торги акции двух компаний: нефтяной
компании —■ по 100 долларов за акцию и газовой компании — по 65
долларов 60 центов за акцию. Всего было 200 акций. Все акции газовой
компании были проданы, а часть акций нефтяной компании осталась
непроданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов.
Найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.
► 5. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству
max (log2(x + 3), j2x2 + х - 9 J > 1.
► 6. Каково минимальное число гирь, необходимых для того, чтобы взвесить
любой груз массой от 2 до 40 килограмов на рычажных (чашечных)
весах, если известно, что этот груз может весить только целое число
килограммов?
*■ 7. На плоскости Оху найдите наименьшее расстояние между такими двумя
точками с координатами (z,y), что х и у являются целыми числами и
удовлетворяют уравнению
V х 55
9---- + — = 0.
х у ху
Высшая школа бизнеса
► 1, Решите неравенство 2-х
х + 2
£1.
► 2. Решите уравнение
logi (2sinx) +log2(/3cosx) = -1.
► 3. Решите систему уравнений
f Ух~^1 - {/уТ2 = 1,
х-у = 22.
► 4. Найдите периметр треугольника KLM, если известны координаты его
вершин К(— 4; -3), L(2; 5) и точки Р(5; 1), являющейся серединой
стороны LM.
► 5. Сколько времени в течение суток на электронном табло вокзальных
часов, которые показывают время в диапазоне от 00:00 до 23:59,
присутствует хотя бы одна цифра 5?

2005 год
797
*■ 6. Найдите все пары целых неотрицательных чисел (т; п), являющихся
решениями уравнения
2т2 + Зт = 2пт + п + 41.
► 7. Найдите наименьшее знпчение выражения 2х — 4у на множестве
переменных ж, у, удовлетворяющих условию 4х2 + 9у2 = 36.
► 8. Найдите все значения параметра а € [—6; 6], при которых неравенство
(а + 3)-((аг + 1)(а + 2) + Зх) > О
выполняется при любых х ^ 0.
2005 год
Олимпиада "Ломоносов"
Результаты победителей математического тура этой олимпиады
учитывали следующие факультеты: механико-математический, ВМиК,
физический, химический, почвоведения, геологический, экономический, наук
о материалах.
* 1- Вычислить (х-у)(х*-у*) _ 2ху(х* - у")
х2 _ yl
при
v x = 1,2^22,
46
► 2. Решить неравенство
3 - 21_яг + 1 1
2* -1 1-2-*
► 3. Найти площадь трапеции ABCD с боковой стороной ВС = 5, если
расстояния от вершин А и D до прямой ВС равны 3 и 7 соответственно.
► 4. Решить уравнение
log4(4sin22z) = 2 -log2(-2tgx).
►• 5. На окружности взята точка Л, на ее диаметре ВС — точки D и Е, а
на его продолжении за точку В — точка F. Найти ВС, если /.BAD =
ZACD, ZBAF = £САЕ, BD = 2, BE = 5 и BF = 4.
► 6. Решить неравенство
5|ж| ^ х{3х + 2 - 2у/8-2ж-ж2).
► 7. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а
ее высота образует с высотами боковых граней (опущенными из той же
вершины) одинаковые углы, не меньшие 30°. Какой наибольший объем
может иметь такая пирамида?

798
Варианты вступительных экзаменов
*■ 8. Найти все значения а, при которых уравнение
4ж - |3ж - х + а\ - §х - 1|
имеет хотя бы один корень.
► 9. Группа отдыхающих в течение 2 ч 40 мин каталась на моторной лодке
по реке с постоянной скоростью (относительно воды) попеременно то по
течению, то против: в каждую сторону — не меньше, чем по 1 ч. В
итоге лодка прошла путь в 40 км (относительно берега) и, отчалив от
пристани А, причалила к пристани В на расстоянии 10 км от А. В какую
сторону текла река? Какова при этих условиях максимальная скорость
ее течения?
-10. При каждом натуральном п тело Ф„ в координатном пространстве зада-
но неравенством 3|а;|П + ^ + ^ к ^
а тело Ф — объединение всех тел Ф„. Найти объем Ф.
Механико-математический факультет
► 1. Согласно расписанию, автобус курсирует по маршруту из пункта А в
пункт В и обратно с постоянной скоростью и без остановок. На пути
из Л в В он был вынужден на некоторое время остановиться, поэтому
на обратном пусти он увеличил скорость на 25%. Приехав в А с 10-
минутным отклонением от расписания, он уменьшил свою последнюю
скорость на 24% и прибыл в В вовремя. Какова была продолжительность
вынужденной остановки?
► 2. Найти log2 Щ при условии
llog^z* -2log2z| + ||2-ж| -|log2z|| ^ (ж-2) log8 ж3.
*■ 3. Решить неравенство
3 — т — /й — г 2
>0.
► 4. На основании ВС трапеции ABCD взята точка Е, лежащая на одной
окружности с точками А, С и D. Другая окружность, проходящая через
точки А, В и С, касается прямой CD. Найти ВС, если АВ — 12 и
BE : EC = 4:5. Найти все возможные значения отношения радиуса
первой окружности к радиусу второй при данных условиях.
► 5. Пусть А" — сумма корней уравнения
a cos х — V2 + 2 cos [ х + — J
на промежутке [0; 27г), a Y — сумма корней уравнения
a cos 2у — 2 sin 2у = а — 3 sin у
на том же промежутке. Найти все значения а, при которых
Х- Y ,-
ctg г— = V^.
3-
cos
- х —
2х-7
4
у/5-
— cos
^
*?

2005 год
799
► 6. Найти объем тетраэдра ABCD с ребрами АВ = 3, АС = 5 и BD = 7,
если расстояние между серединами М и N его ребер АВ и CD равно 2,
а прямая АВ образует равные углы с прямыми AC, BD и MJV.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(олимпиада, апрель 2005)
Результаты олимпиады засчтывались при приеме ва контрактное
отделение.
► 1. Решите неравенство
61og2iBa; + 2bg4VS(2a;)£l.
► 2. Найдите все решения системы уравнений
Г sin2(z + y) = 1,
 ху - 9.
► 3. Найдите все пары целых ж и у, удовлетворяющие равенству
Ах2 -2xy + 2y2 + y-2x-l = Q.
* 4. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты точки М и N
соответственно. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке L. Площади
треугольников AML, CNL и ALC равны соответственно 1, 6 и 4. Найдите
площадь треугольника MBN.
► 5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной 5.
Известно, что длина перпендикуляра, опущенного из основания Н высоты
пирамиды SH на грань SDC, равна уб, а угол наклона бокового ребра
SB к плоскости основания равен |. Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды SABCD.
*■ 6. Решите уравнение
12 cos 2х + 8| sin х ^3 + | sin х - 3 cos 2x = 11.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
► 1. Решите неравенство
l°g2 —~г - log2z-2 >log2z + 2.
V х + 1 /
► 2. Решите уравнение
^/ctg х + 1 = —/l5 ■ sin ж.
► 3. Последовательности {ап} и {6га}, п = 1,2,3,..., являются
арифметическими прогрессиями, ац = 32, fyn = 43. Последовательность {сп}
определяется равенствами сп = (—1)" ■ ап + {~1)п ■ Ьп. Сумма первых сорока
членов последовательности {сп} равна 100, а сумма первых ее двадцати

800
Варианты вступительных экзаменов
трех членов равна —60. Найдите Ьад и сумму первых ста членов
арифметической прогрессии {ап}.
*■ 4. На стороне АВ выпуклого четырехугольника ABCD выбрана точка М
так, что /.AMD - ZADB и ZACM - /ABC. Утроенный квадрат
отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки
С до прямой AD равен 2, CD — 20. Найдите радиус вписанной в
треугольник ACD окружности.
> 5. Найдите все значения параметра а, принадлежащие отрезку [0,7г], при
которых уравнение
sin5(3x + а) = cos(n ■ [х])
имеет на отрезке [1, тг] нечетное число решений. (Здесь [ж] — целая часть
числа х, т.е. наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
[х] < х).
> 6. На гранях ABC, ABD, ACD и BCD тетраэдра ABCD выбраны
соответственно точки К, L, М и N так, что KL \ CD, KM || BD, KN || AD.
Отношение объема тетраэдра ABCD к объему тетраэдра KLMN равно
64. Известно, что
2(AD ■ КМ + BD ■ KN) = AD ■ BD.
Найдите отношение площадей треугольников ABD и KMN.
Химический факультет
> 1. Решить уравнение
2х + 1 = х + 2.
*■ 2. Решить неравенство г- ,-
V3-4X ^^2-9*.
> 3. Решить тригонометрическое уравнение
ctg х = tg Ax + cos Ьх.
*■ 4. Найти число п сторон выпуклого гг-угольника, если каждый его
внутренний угол не менее 143° и не более 146°.
> 5. Найти все пары целых чисел (х,у), удовлетворяющих уравнению
л/2х - у - 3 + у/2у - х + 3 = 2^/3-эг-у.
> 6. При каких значениях параметра а уравнение
ж + 1 I
х + -I = a
11 За: — 11
имеет ровно три решения?
Биологический факультет
> 1. Решить уравнение ^ + 2|Ж| -3 = 0.

2005 год
801
► 2. Решить уравнение Г г
cos х — v3 sin x = v 2.
► 3. Диагонали трапеции равны 12 см и 6 см, а сумма длин оснований равна
14 см. Найти площадь трапеции.
► 4. Решить неравенство „
Vx - 1 < 3 - х.
► 5. На беговой дорожке стадиона длиной 400 м одновременно со старта в
одном направлении начинают забег два спортсмена на дистанцию 10 км.
Каждый из них бежит со своей постоянной скоростью. Первый
спортсмен приходит на финиш на 16 мин 40 с раньше второго и через 43 мин
20 с после того, как он второй раз на дистанции (не считая момента
старта) обогнал второго спортсмена. Известно, что скорость первого
спортсмена больше Ю0^|д. Сколько всего раз первый спортсмен обго-
м
ли
нял второго на дистанции после старта?
► 6. Решить систему
Ух2 + у2 - 2х - 22у + 122 = 2^37 - л/х2 +у2 + 2х + 2у + 2,
log(z+i) 4 + 1о§4 У = 0-
► 7. Задана функция /, причем f(x + у) — f(x) + f(y) для всех рациональных
чисел х, у. Известно, что /(10) = — 7Г. Найти / (-|).
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение
► 2. Решить уравнение
*■ 3. Решить неравенство
х - 1| ^ |ж|.
*■ 4. Грузовики трех типов: А, В и С возили кирпич. В первый день работали
по пять грузовиков каждого типа и выполнили весь объем работы за
3 часа 12 минут. Во второй день за 6 часов 40 минут этот же объем
работы выполнили по два грузовика типов A i/i В та четыре грузовика
типа С. За сколько часов был бы выполнен весь объем работы, если бы
кирпич возили два грузовика типа А и два грузовика типа В?
*• 5. Для каких значений параметра р отношение суммы коэффициентов
многочлена (рх2 — 7)18 к его свободному члену минимально?
► 6. На плоскости даны точки с координатами Л(1,2), В(2,1), С(3, — 3),
D(0,0). Они являются вершинами выпуклого четырехугольника ABCD.
В каком отношении точка пересечения диагоналей S делит
диагональ АСЧ
(6х-15)7 = {х-1)1А.
sin(v3arcsinz) = 1.

802
Варианты вступительных экзаменов
Географический факультет
► 1. Решить систему уравнений
f 12в,т*х-вш*у = 3,
1 6 sin х + cosy = -2.
*■ 2. Произведение длины средней линии трапеции и длины отрезка,
соединяющего середины ее диагоналей, равно 25. Найти площадь трапеции,
если ее высота втрое больше разности оснований.
*■ 3. Решить неравенство
bgyr^U + 5а;) > -2.
► 4. Найти периметр фигуры, точки которой на координатной
плоскости (ж, у) удовлетворяют системе
j y>||x-2|-l|,
[.х2 + у2 < 4х + 2у-3.
► 5. В цехе имелось N одинаковых станков, которые, работая вместе,
вытачивали в день 5850 готовых деталей. После модернизации число
производимых в день каждым станком готовых деталей возросло на 20%. Это
позволило по крайней мере без сокращения общего объема продукции
цеха уменьшить число станков максимум на 4. Найти N.
► 6. Угол между прямыми, каждая из которых содержит по одной
образующей конуса, равен 45°. Прямая, перпендикулярная обеим этим
образующим, пересекает плоскость основания конуса под углом |. Найти угол
боковой развертки конуса, если известно, что он больше 270°.
Факультет психологии
► 1. Решить уравнение
|а:-2| + 2|х + 1| =9.
► 2. Решить неравенство 4х + 5
►• 3. Решить уравнение
2х - 11
у 2 cos2 х - V3 + V2 sinx = 0.
► 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали BD и АС равны
стороне АВ. Найти величину угла BCD и сторону АВ, если угол CD A
прямой, ВС - 4, AD - 5.
► 5. Зенон не раз наблюдал забавную игру Ахилла с черепахой: Ахилл и
черепаха приближались друг к другу вдоль тропинки, стартуя с разных
концов тропинки. Двигались они только навстречу друг другу, причем,

2005 год
803
когда черепаха стояла, Ахилл шел навстречу ей, а когда черепаха
ползла навстречу Ахиллу, Ахилл стоял в течение всего времени ее движения.
Продвигались они по тропинке друг к другу каждый со своей постоянной
скоростью, одной и той же в разных играх, причем скорость идущего
Ахилла была в 50 раз больше скорости ползущей черепахи. Игра
заканчивалась, когда Ахилл и черепаха сходились в одной точке тропинки.
В первой игре, начав сближаться по первой тропинке, они сошлись
не ранее, чем через 15 минут. Во второй игре, сближаясь по второй
тропинке, они сошлись не позже, чем через полторы минуты. В третьей
игре они сошлись по третьей тропинке за 11 минут, причем в ходе
этой игры Ахилл двигался в общей сложности в течение 1 минуты, а
черепаха —- в течение 10 минут. Известно, что сумма длин первой и
третьей тропинок равна длине второй тропинки.
Каково отношение расстояния, пройденного Ахиллом навстречу
черепахе за время всех трех игр, к расстоянию, на которое продвинулась
черепаха навстречу Ахиллу за время всех трех игр?
► 6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых функция
,, . 4smx + a
f(x) = ~л 1Г-.—
4а — 2 sin х
принимает все значения из отрезка [0; 1].
Социологический факультет
► 1. Решить уравнение
V 16 + х2 - 16z = 4.
*• 2. Решить уравнение „ „ч-г ~ ~г
JF 2-43х-5-8х + 2 = 0.
► 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия содержит член Ьп —
g-. Отношение суммы членов прогрессии, стоящих перед Ьп, к сумме
членов, стоящих после Ьп. равно 14. Найти п, если сумма всей прогрессии
равна 2.
* 4. Высота треугольника длиной 1 делит угол треугольника в отношении
2 : 1 и делит основание треугольника на части, большая из которых равна
|. Определить площадь треугольника.
* 5. Решить неравенство
log0 5(/5 ~ х — х + Ъ) > 0.
*■ 6. Студенты, проживающие в одной комнате, решили купить
электрический чайник, при этом каждый внес одинаковую сумму. Однако в
последний момент один студент отказался, и каждому из оставшихся
пришлось добавить 100 рублей. Сколько студентов проживало в комнате и
какова цена чайника, если известно, что она заключена в пределах от
1000 до 1500 рублей?

804
Варианты вступительных экзаменов
Филологический факультет
► 1. Решить уравнение ^ _3jx| +1| = 1.
*■ 2. На вступительном экзамене по математике 15% поступающих не решили
ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а число верно
решивших все задачи относится к числу не решивших вовсе, как 5 : 3.
Сколько человек экзаменовалось по математике в этот день?
► 3. Решить неравенство
log2(a; + l) >loga;+116.
► 4. Найти площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника,
катеты которого являются корнями уравнения 2х2 — 6х + 1 = 0.
*■ 5. Решить уравнение ж
2 + sin х = 3 tg -.
ь 2
*■ 6. Биссектриса CD угла АС В при основании равнобедренного
треугольника ABC (АВ = АС) делит сторону АВ так, что AD = ВС. Найти длину
биссектрисы CD и площадь треугольника ABC, если его основание ВС
равно 2.
* 7. При каких целых а неравенство
21ogi a-3 + 2a;logi a - х2 < 0
верно для любого значения х?
Геологический факультет
► 1. Решите неравенство
(х - 1){2х2 + х - 1) ^0.
►• 2. Решите неравенство
у/ ~х2 -х + 6 — х^2.
*■ 3. В треугольнике ABC угол С прямой, тангенс угла А равен £, медиана
BD равна у/Ъ. Найдите площадь треугольника ABD и радиус
окружности, описанной вокруг треугольника ABD.
* 4. Найдите наименьший корень уравнения
v'cos 2х + х — 11 = у/х — 15 — 5 cos x.
► 5. В арифметической прогрессии квадрат суммы третьего и четвертого
ее членов равен сумме второго и пятого ее членов. Чему равна сумма
первых шести членов этой прогрессии?
► 6. Решите неравенство
log^ (х + - J $ bg^ss+з ( х + з ) •

2005 год
805
*■ 7. Найдите все значения, которые может принимать сумма х+а при условии
[2а: + 4 - 2а| + |z - 2 + а| ^ 3.
* 8. В треугольной пирамиде SABC плоские углы ABC и S А В прямые,
двугранный угол между плоскостями ABS и ABC равен arctg ( ^^ ].
Найдите длину высоты пирамиды, опущенной из вершины В на плоскость
ASC, еслиВС = 7, АВ = 4.
Экономический факультет (отделение экономики)
► 1. Решите уравнение
Г 2х
Уbgi ctg — + ylogi sin4z = 0.
► 2. Найдите сумму всех целых значений, которые принимает функция у =
^-fj + бприхе [2; 12].
► 3. Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих
акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию
и 25% на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если
на одну акцию выпадают обе скидки, то применяется большая из них.
Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции
составляет 1000 рублей.
* 4. Решите неравенство
log2+Vs(4 " х) - loS9-W5-(4z2 + 28х + 49) + logy5-_2(i2 + х - 6) ^ 0.
► 5. Вписанная в треугольник ЛВС окружность касается его сторон в точках
К, N и М. Известно, что в треугольнике KNM угол /LM равен 75°,
произведение всех сторон равно 9 + буо, а вершина К делит отрезок АС
пополам. Найдите длины сторон треугольника ABC.
*■ 6. Найдите все рациональные решения уравнения
у/у ■ (х + I)2 - х2 + х + 1 + logrщ^ cos2 тту = 0.
► 7. Фигура F задается на координатной плоскости неравенством
37r2-2arcSin(^g) ■ arccos (I°±f§±^)
х -41
(|v^
128 - 97 + х
>0.
+ |j/ + 5|
В каких предачах изменяются площади всевозможных кругов, целиком
принадлежащих F?
Московская школа экономики
► 1. Решите уравнение 2х — 4| + 4 = 2х.
► 2. Решите неравенство /х2 + 2х — х > 1.
*■ 3. Решите уравнение 1 + log4(x + 2)2 = log2(2x + 8).

806
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Найдите все решения уравнения
6 cos I —— J ■ cos ( — J — cos x = 3,
принадлежащие отрезку [—2; 10,99].
► 5. Найдите четыре числа, которые образуют арифметическую прогрессию,
если сумма крайних равна 18 и второе число меньше третьего на 20%.
► 6. Найдите все целочисленные решения системы
f (* - З)2 + fo - 4)а < 5,
у4у ^ х + П.
► 7. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны ВС в
точке М. Найдите площадь треугольника ABC, если АС — 21, ВМ = 9,
а угол ABC равен 60°.
*■ 8. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 1) ■ 4* + (2а - 3) • 6* = (За - 4) ■ 9х
имеет единственное решение?
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решите неравенство
х2 - Зх - 4
II --в !■■
х + 1
► 2. Решите уравнение cos4z — 4cosz ■ cos2ar — 1.
*■ 3. Решите уравнение
Vx + 1 + Vr+4i + 3 = ^(ж + г)3.
► 4. Магазин закупил некоторое количество товара и начал его реализацию
по цене на 25% выше цены, назначенной производителем, чтобы покрыть
затраты, связанные с его транспортировкой, и другие дополнительные
расходы. Оставшуюся после реализации часть товара магазин уценил
на 16% с тем, чтобы покрыть только затраты на закупку этой части
товара у производителя и его транспортировку. Сколько процентов от
цены, назначенной производителем, составляла цена транспортировки
товара?
► 5. Решите неравенство
log(4|,|+i) (6а: + 2) - log(6a;+2) (4|а:| + 1) < 0.
*• 6. В выпуклом четырехугольнике с вершинами в точках А, В, С, D заданы
длины отрезков AD — 2, АВ — 2/3, ВС — 2(л/3 — 1). Величины
углов DAB и ABC равны | и | соответственно. Вычислите все углы
четырехугольника.

2005 год
807
► 7. Фигура на плоскости (х, у) состоит из всех точек, через которые не
проходит ни одна из кривых, задаваемых соотношением
(р4+4р2 + 16)2 + (ж2-у2)2 =
= 1б(р3 + Ар)ху + 2(р4 + 12р2 + 16)(х2 + у2)
при различных действительных значениях р. Найдите длину линии,
ограничивающей эту фигуру.
Факультет государственного управления
► 1. Можно ли разделить сумму в 196 рублей на 16 разных частей так, чтобы
ближайшие по величине части отличались на 50 копеек?
*■ 2. Решите неравенство ,-
^  1х 4 J
Vz2 -8i + 17"
► 3. В четырехугольнике ABCD найдите точку Е так, чтобы отношение
площадей треугольников ЕАВ и ECD было равно 1/2, а
треугольников EAD и ЕВС — 3/4, если известны координаты всех его вершин:
Л(-2,-4),В(-2,3), С(4,6), D(4,-l).
► 4. Решите систему уравнений
( sinz — sin 1 = 0,
 cosz — cosl = 0.
*■ 5. Тема сделал несколько мелких покупок в супермаркете, имея при себе сто
рублей. Давая сдачу с этой суммы, кассир ошиблась, перепутав местами
цифры, и выплатила рублями то, что должна была вернуть копейками,
и, наоборот, копейками то, что полагалось вернуть рублями. Купив
в аптеке набор пипеток за 1 руб. 40 коп., Тема обнаружил ошибку
кассира и, пересчитав деньги, нашел, что оставшаяся у него сумма
втрое превышает ту, которую ему должны были вернуть в супермаркете.
Какова стоимость всех покупок Темы?
*■ 6. Найдите, все значения а, для которых при любом положительном Ь
уравнение /1 
alog(i_2) 4 = log2 ( - - 2 J -b
имеет хотя бы одно решение, меньшее |.
*■ 7. Для того, чтобы сделать полный круг по кольцевому маршруту,
автомобилю требуется 150 л бензина. На маршруте расположены пять
промежуточных пунктов, в каждом из которых имеется запас в 30 л бензина.
Покажите, что найдется пункт, в котором автомашина с пустыми баками
и достаточным запасом пустых канистр может заправиться, стартовать
и, пополняя запас бензина в четырех встречных пунктах, сделать полный
круг.

808
Варианты вступительных экзаменов
Факультет глобальных процессов
►■ 1. В турнире борцов участвуют 127 спортсменов. Борец выбывает из
соревнований сразу после поражения в поединке. Сколько поединков
требуется провести, чтобы выявить победителя турнира?
► 2. Решите неравенство
1 1
2х2 + Зх ^ Зж - 2ж3 '
*■ 3. Решите неравенство
Ща,5-2^-Ьх+2)(®,5 + |8z2 - 2Х - 1|) ^ 1.
► 4. Найдите площадь трапеции ABCD (ВС \ AD), вписанной в окружность
с центром в точке О, если ее высота равна 2, а угол COD равен 60°.
► 5. Выясните, верно ли следующее утверждение:
множество значений функции у — cos 2x — 3 sin x принадлежит отрезку
[—4;/5]- Ответ надо обосновать.
► 6. Общий процент прибыли за весь товар, проданный в трех магазинах,
расположенных в разных районах города, составил 26,8%. Через первый
магазин было продано 60% всего товара, через второй — 40% оставшейся
части товара. С какой прибылью продан товар через третий магазин,
если прибыль от продажи в первом составила 30%, а во втором — 25%?
► 7. Верхняя грань ABCD куба ABCD А'В'CD' (АА1 \ ВВ' \ СС || DD' —
боковые ребра) является одновременно основанием правильной
четырехугольной пирамиды SABCD, у которой высота вдвое меньше длины
ребра куба. Найдите угол между прямыми А'В и AS.
* 8. Переменные х, у связаны условием ж2 + у2 — 6ж + 4у + 10 = 0. Найдите
все значения параметра а. при которых разность между наибольшим и
наименьшим значением выражения 2ах — Зу — 10 больше 12.
2006 год
Олимпиада "Ломоносов"
► 1. Вычислить Г
*■
log4log2y y...vl6.
2. Что больше: tg (^jp) или меньший корень квадратного трехчлена 1х*
17ж - 13?

2006 год
809
► 3. Решить уравнение
/9ч ( 2тЛ / 4тг „
cos(ar + ж) + cos ж + — 1 + cos |ж + — I =0.
V 3 / V •* У
► 4. Точки Л, В и С лежат на одной прямой. Отрезок Л.В является
диаметром одной окружности, а отрезок ВС — диаметром второй
окружности. Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность
в точке D и касается второй окружности в точке Е. Известно, что
BD = 9, BE = 12. Найти радиусы оукружностей.
► 5. Из пункта А в пункт В в 8:00 выехал веслосипедист, а через некоторое
время из В в А вышел пешеход. Велосипедист прибыл в В через 6 часов
после выхода оттуда пешехода. Пешеход пришел в А в 17:00 того же дня.
Скорости велосипедиста и пешехода постоянны. Какую долю пути из А
в В проехал велосипедист до его встречи с пешеходом?
► 6. Решить неравенство V4 — х — 2<ж|ж — 3|+4ж.
► 7. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
cos2x — 2а sin ж — |2а — 1| + 2 = 0
имеет решения и все его положительные корни образуют
арифметическую прогрессию.
► 8. В треугольной пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости
ABC, ISC В = 90°, ВС = у/Ь, АС = у/7. Последовательность точек
Оп строится следующим образом: точка 0 — центр сферы, описанной
около пирамиды SABC, и для каждого натурального п ^ 1 точка Оп —
это центр сферы, описанной около пирамиды Оп-АВС. Какую длину
должно иметь ребро SA, чтобы множество {Оп} состояло рровно из двух
различных точек?
► 9. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник тхп клеток, причем числа
тип взаимно просты и т < п. Диагональ этого прясмоугольника не
пересекает ровно 116 его клеток. Найти все возможные значения тип.
► 10. Решить неравенство 4(1 - tgж)2004 + (1 + tgж)2006 ^ 22006.
Механико-математический факультет
► 1. Игорь и Володя решали задачу: некоторое заданное трехзначное число
прологарифмировать по основанию 2, из полученного числа вычесть
некоторое заданное натуральное число, а затем разность поделить на то
же самое натуральное число. Игорь перепутал и в первом действии
прологарифмировал по основанию 3, а Володя посчитал правильно. Когда
они сверили свои результаты, оказалось, что полученные числа взаимно
обратны. Найти исходное трехзначное число.

810
Варианты вступительных экзаменов
► 2. Решить неравенство
ч/1 + З-* 3"х-1 ^ 1 + V1-9"
V1 + 3-* - ^1-3"* Vl-9"1 +3~х - 1 " З"*
► 3. Две сферы касаются друг друга внешним образом. Радиус одной сферы
в три раза больше радиуса другой. Скрещивающиеся прямые а и b
параллельны некоторой плоскости, проходящей через центры сфер. Каждая из
прямых а и b касается обеих сфер, а расстояние между этими прямыми
равно диаметру меньшей сферы. Найти угол между прямыми а и Ь.
*■ 4. Решить уравнение |1 - 2sinz + cosa;| + 2sinz + 1 = cor2x.
► 5. Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность
радиусом 5 проходит через вершину К, касается стороны LM в точке
В и пересекает сторону KL в точке А. Найти угол К и площадь
треугольника KLM, если ML = 9/3, К А : LB - 5 : 6.
► 6. Найти минимальное значение выражения 2х — у — 1| + х + у + у, где х
и у — произвольные действительные числа.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(олимпиада, апрель 2006)
► 1. Найдите все решения системы уравнений
((х + 2у)х-У = 25,
{2-og5(x + 2y)+x-y = 4.
*■ 2. Решите неравенство
х2 - 22х + 121 ■>
— Л * > 50ж - 2х2 - 309.
х2 - 24z + 140
► 3. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Известно, что AM : ВС —
/13:2, а угол ВАС равен 30°. Найдите углы ABC и АС В, считая, что
угол ABC не меньше угла АСВ.
► 4. Найдите все решения неравенства
9-3cos2a;
tSI> 38т2а?-2'
удовлетворяющие условию | ^ х < f.
► 5. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является трапеция
ABCD, у которой AD \ ВС. На ребре SC выбрана точка К так, что
СК : KS = 2:5. Плоскость, проходящая через точки А, В и К,
пересекает ребро SD в точке L. Известно, что объемы пирамид SABKL
и SABCD относятся, как 95 : 189. Найдите отношение длин оснований
трапеции ABCD.

2006 год
811
► 6. Найдите все значения параметра о, при которых уравнение
2(1 +cos 2ж)2 ■ jsin(2a: + a)j =
= 2 cos 2х - 2 cos(4x + 2a) — cos(6.x + 2a) — cos(2x + 2a)
имеет решения.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение специалистов)
* 1. Из города А в город В в 6 часов утра выехал грузовой автомобиль.
Шесть часов спустя из города В в город А по той же дороге выехал
навстречу ему легковой автомобиль. Автомобили движутся с
постоянными скоростями. По предварительной договоренности они одновременно
приехали в поселок С, расположенный на дороге между А и В. Разгрузка
и оформление документов длились пять часов. Затем грузовой и
легковой автомобили продолжили каждый свой путь. Легковой и грузовой
автомобили прибыли соответственно в города А и В одновременно в 23
часа того же дня. Найдите время прибытия автомобилей в населенный
пункт С.
> 2. Решите уравнение
log 13-12»-! (sin22 - 2sinx + 1) = log 13-12^-1 (cosж).
► 3. Решите неравенство 11/2а; — /48х — 144 > 2х - 12.
► 4. В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является
центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от
точки О до точки А и прямых AD и АС соответтсвенно равны 10, 8 и
6. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
* 5. При каждом значении параметра d решите уравнение
ух2 -у2 - dx + 3dy - Id2 + yjx -у + d- v'4 - 2x + d +
+ y/~2x2 - 2xy + (5d + 4)x + (d + 4)y - 2d2 - Ы = 4.
► 6. Две касающиеся друг друга сферы вписаны в двугранный угол. Первая
сфера касается граней этого двугранного угла в точках А и В
соответственно. Вторая сфера касается одной из граней этого двугранного угла
в точке С. Точки А и С лежат в разных гранях. Первая сфера
пересекает отрезок АС в точке К, отличной от А, а вторая сфера пересекает
тот же отрезок в точке L, отличной от С. Длина отрезка KL в 7 раз
меньше длины отрезка АС. Найдите длину отрезка АС, если известно,
что расстояние между точками В и С равно 2V7.

812
Варианты вступительных экзаменов
Химический факультет и факультет наук о материалах
► 1. Решить неравенство у/1 — х > х — 2.
► 2. Решить неравенство logi ( |^f) > 2.
► 3. Решить уравнение cos х + sin х + cos Зх + sin Зх — —/б cos z.
► 4. Биссектрисы внутренних углов в параллелограмме ABCD образуют
четырехугольник EFGH, каждая вершина которого образована как
пересечение двух биссектрис. Найти сумму квадратов всех сторон в
четырехугольнике EFGH, если АВ — CD + §.
* 5. В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной
поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти
отношение удвоенного объема шара к объему конуса.
► 6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
у/(х2 Лх)(х2 + Ьх +6) + 1 = 3|х| - Ъах - а2 + 1
имеет корни как большие —3, так и меньшие —3?
Биологический факультет
► 1. Решить неравенство /7П(х2 + Зж - 4) ^ 0.
► 2. Решить уравнение 3 cos 2т + 11 sin x — 7.
► 3. Выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами АВ = 4, ВС — 3,
CD = 2, AD — 1 вписан в круг. Найти радиус этого круга.
► 4. Решить уравнение
9arcein(fe+i) + log3(2arcsin(2ar + 1)) -
_ 3arccoS(6:r+3) + bg^ arc^fo + 3) = 0.
► 5. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 2 км, вниз по
течению реки одновременно начинают движение соответственно плот и
лодка. В тот же момент времени из пункта В навстречу плоту начинает
движение катер. Собственная скорость лодки равна скорости течения,
собственная скорость катера в два раза превышает скорость течения.
Встретив плот, катер мгновенно разворачивается и следует до встречи
с лодкой, после чего снова разворачивается и движется в сторону плота
до встречи с ним, затем опять к лодке и т.д. Скольк раз катер встретит
плот за время, в течение которого плот преодолеет расстояние, равное
1000 км?
► 6. В кубе ABCD А'В'CD' со стороной 8 проведена диагональ АС и на ней
отмечена точка Е так, что АЕ — 5. Через точку Е проведена плоскость,
перпендикулярная АС. Найти площадь образовавшегося сечения куба.

2006 год
813
Факультет почвоведения
► 1. Найти sin (^ + 2а), если известно, что tga = — |.
► 2. Решить уравнение
v^+1 _ &Z± = 2v^.
Vic - 1 ^/х + 1
► 3, Решить неравенство , ,-,,„„ „
► 4. Из деревни в одном и том же направлении выходят три пешехода:
второй — через 2 минуты после первого, а третий — через 3 минуты после
второго. Через 5 минут после своего выхода из деревни третий
пешеход догнал второго, а еще через 2 минуты он догнал первого пешехода.
Через сколько времени после совего выхода из деревни второй пешеход
догонит первого?
*■ 5. Найти наименьшее положительное число а, при котором синус а
градусов равен синусу а радиан.
► 6. В треугольнике ABC известны стороны АВ = 9, ВС = 8, АС = 7 и
AD — биссектриса угла ВАС. Окружность проходит через точку А,
касается стороны ВС в точке D и пересекает стороны АВ и АС в точках
Е и F соответственно. Найти длину отрезка EF.
► 7. Определить, при каких значениях параметра Ь при любых значениях
параметра а система уравнений
Г ж2 + у2 - Ьх + 6у + 4 = О,
1 у + ах + ah — О
имеет ровно два различных решения (х, у).
Географический факультет
*■ 1. Решить уравнение 2
= 3(я?-1).
* 2. Числа у и г таковы, что последовательность 1>л/у, fz, а также
последовательность 1, у — ,z — у являются арифметическими прогрессиями.
Найти разность второй прогрессии.
► 3. Решить уравнение
2 sin х — ——h tg i — 1 = 0.
cosx
► 4. Длина дороги, соединяющей два населенных пункта, равна 280
километров. Легковой автомобиль проезжает дорогу за 4 часа, а грузовик —

814
Варианты вступительных экзаменов
за 5 часов. По дороге оба автомобиля двигаются с постоянными
скоростями, кроме участков, где в соответствии с ограничениями их скорость
равна 40 километров в час. При отсутствии этих ограничений скорости
легковой автомобиль проезжал бы дорогу на 1 час и 10 минут быстрее
грузовика. Найти а) суммарную длину участков, где скорость
ограничена 40 километрами в час; б) скорости легкового автомобиля и грузовика.
► 5. Периметр трапеции ABCD равен 44. Окружность пересекает основание
АВ в точках К и L, сторону ВС — в точках М и N, основание CD —
в точках Р и R, сторону AD — в точках S и Т, причем АК < AL,
CN < СМ, СР < CR, AT < AS. Известно, что KL = MN = 1,
PR — ST = 7, АК = 5, СР = |. Найти длины оснований трапеции.
► 6. При каких значениях параметра с число решений уравнения
2хarcsin(sinx)=c- 3!og3х + 3
конечно?
Факультет психологии
* 1. Решить уравнение
*■ 2. Решить неравенство
|7Х - 3| = Т + 1.
Ф
ygx_1(x-2)<s/2.
*■ 3. Решить уравнение
log2(3| sinzj - | cosx|) + log2 | cosz| = 0.
► 4. Прямая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках В
и С (точка В лежит между точками А и С). Другая прямая, проходящая
через точку А, пересекает окружность в точках D и Е (точка D лежит
между точками А и Е). Известно, что продолжения отрезка BD за
точку D и отрезка СЕ за точку Е пересекаются в точке F. Кроме того,
FE = 1,AC = 2AE. Найти FD.
*• 5. При всех а решить систему неравенств
Г 2х + 2а > х +а,
 ах < 0.
► 6. Решить уравнение
9cos2x + 9cos6x = 36 cos x cos Зх + 140v3sinxsin2z — 162.
Филологический факультет
*■ 1. Решить неравенство Б — 4х
х -21
< 12-г

2006 год
815
*■ 2. Окружности радиусов 7 и 3 касаются внутренним образом. В большей
окружности существуют ровно три различные хорды, имеющие
одинаковую длину и касающиеся меньшей окружности. Найдите длины
отрезков, на которые эти хорды делятся точками касания.
* 3. Найдите все решения (x,y,z) уравнения
х
2х sin 7гу — cos 2х + 2 cos2 х + v —4жг — z2 — 3 =
= (1 + 2xz) log2.
22у
► 4. Накануне экзамена Лиза и ее товарищ искали на Воробьевых горах
четырехлитстный клевер, приносящий, по народной примете, удачу. В
первый день товарищ нашел на 20 процентов больше четырехлистников,
чем Лиза. Во второй день, наоборот, товарищ нашел на 30 процентов
меньше четырехлистников, чем Лиза в этот день. Всего за два дня
Лиза нашла на 10 процентов больше четырехлистников, чем ее товарищ.
Какое минимальное количество четырехлистников нашли студенты?
► 5. В правильную треугольную пирамиду вписан куб ABCDABCD
объема 8 так, что его грань ABCD лежит в плоскости основания
пирамиды — треугольника со стороной 6, ребро CD противоположного
основания лежит в боковой грани пирамиды, а вершины А и В
принадлежат другим боковым граням. Найдите высоту пирамиды.
► 6. Для каждого натурального значения параметра к найдите площадь
фигуры, задаваемой на плоскости (х, у) условиями
sin х ^ 0
sin у ^ 0
— пк ^ х ^ irk
— тгк ^ у ^ тгк.
Геологический факультет
► 1. Решите неравенство
*■ 2. Решите неравенство
9
(а:+ 4) ^0.
С3 > А/бж
2 V 2
► 3. В прямоугольном треугольнике ABC длина гипотенузы АВ равна 5,
разность углов ВАС и ABC равна 7г/10, точка D — середина АВ.
Чему равно расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг
треугольников ACD и BCD7

816
Варианты вступительных экзаменов
► 4. Решите неравенство
(log|.+2| 4) ■ (log4(^2 + х - 2)) < 1.
► 5. В сосуде объемом 5 литров находилось некоторое количество 30%-ного
раствора кислоты. Затем в сосуд было добавлено какое-то количество
40%-ного раствора такой же кислоты, в результате чего сосуд был
заполнен полностью. После этого из сосуда было отлито 0,5 литра полученного
раствора и затем опять налито такое же количество 40%-ного раствора.
В результате сосуд оказался заполненным 34%-ным раствором. Сколько
литров раствора было в всосуде первоначально? Процентные
содержания растворов считаются объемными.
► 6. Найдите корни уравнения
/3(sin 2х + cos Ъх)
cos 2х — sin Зж
расположенные в интервале (1;2).
► 7. Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды
SABC в точках К и L соответственно и делит объем пирамиды пополам.
В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC, если
SK _ 2 SL _ 49
Жа — 3' ТБ ~ 5 •
* 8. Найдите значения а, при которых наибольшее знаячение функции f(x) =
2х2 + х(5 — За) + а2 — За + 4 на отрезке с концами а — 1 и —4 минимально.
Укажите это значение.
Экономический факультет (отделение экономики)
► 1. Решите уравнение
2/2а;2 -х + 8 = х - 2х2 + 7.
► 2. Решите неравенство
log13-2*(z2 - * + 1) ■ log7_x(13 - 2х) < log^(2 -2х-(х- I)2 + х2).
► 3. Найдите все значения х из интеравала (8; 12), для которых справедливо
неравенство ,
2 ctg ( — ) sin x = a 16 - 6 cos I j.
*■ 4. Две бригады однотипных тракторов задействованы на вспашке поля.
Время вспашки поля одной первой бригадой отличается от времени
вспашки поля одной второй бригадой не более, чем на ^ часть времени
вспашки поля одним трактором. Если сначала восьмая часть первой
бригады вспашет первую половину поля, а затем пятая часть второй
бригады вспашет оставшуюся половину поля, тогда затраченное время
на вспашку поля составит § от времени вспашки поля одним трактором.
Определите количество тракторов в каждой бригаде.

2006 год
817
► 5. В прямоугольном треугольнике ADC гипотенуза DC является хордой
окружности радиуса 1, которая пересекает катеты AD и АС в точках Е
и В соответственно. Найдите DB, если sLDBE ~ 30°, Sdec = 4+1 ■
► 6. Найдите все значения а, при которых неравенство
4а2 ■  2 arcsin( V3 - 2х) + — arccos(2z - л/3) - 8а2 - За ^ 1
выполняется для любых х 6 |~*; ^р ■
► 7. Найдите площадь фигуры, задаваемой на координатной плоскости
двойным неравенством
х - 1 - х2 + х + 3х - 3 + х + 1 - 7 ^ у ^ fb-x2.
Московская школа экономики
* 1. Решите уравнение у/х + 3 = 9 — х.
*■ 2. Решите неравенство
bgo.sOogs^-2)) > 1-
*■ 3. Решите уравнение - »
1 + 2 cos 2x ~
*■ 4. Антикварный магазин продал картину ссо скидкой в 10% по сравнению
с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% процентов
прибыли. Сколько процентов прибыли магазин предполагал получить
первоначально?
►■ 5. Найдите все целочисленные решения системы
{х2 - 2х < у - 1,
y + |z-l|<2.
► 6. Треугольник ABC, длины сторон которого образуют арифметическую
прогрессию, вписан в окружность радиуса -Ч=. Найдите периметр
треугольника, если он меньше 40 и АС = 14.
► 7. При всех значениях параметра Ь решите неравенство
2(Ь - 1) ■ у/Ъх + 1 + 1 ^ ЪЪх + Ь - Ъх.
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решите неравенство
Ъх + 1 16
5*1 +
(х + 2)(ж-3) аг-3
*■ 2. Решите уравнение
3 + 6 cos 2х + 3 cos 4х + 2 cos 6х = 0.

818
Варианты вступительных экзаменов
*■ 3. Решите неравенство
243 + 9х - 2ж2
■ > 9 - х.
2ж + 3
► 4. В треугольнике ABC проведены медиана АЕ и биссектриса CD,
пересекающиеся в точке М. Через точку М проведена прямая, параллельная
стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках Р viQ
соответственно. Найдите радиус окружности, _описанной ококло треугольника
PBQ, если длина стороны АС равна 3/3, длина стороны ВС равна 4/3,
величина угла АС В равна 60°.
*• 5. Решите уравнение
12 - (з4*^2*-1 - I)2 - ( З^"1^4*2 + - V {^+2х+1 - 3) = 16.
► 6. Решите неравенство
(з - log|2l+i| Q - xj j • log3 Q - sj < 210g3
1
2Ж + -
► 7. Точки if. L, JVf, Лг с координатами (-2; 3), (1;4), (3; 2), (-1; -1) лежат на
сторонах АВ, ВС, CD, DA квадрата ABCD соответственно. Найдите
его площадь.
Факультет государственного управления
► 1. На розовом кусте каждое уторо, начиная с понедельника, расцветают
пять бутонов. Каждое утро садовник срезает три из них. Из
скольких роз будет состоять букет, если в ближайшее воскресенье садовник
срежет все розы?
► 2. Решите уравнение
у/х4 - Юге2 + 25 = vV - 4ж2 + 4.
► 3. В прямой угол равнобедренного треугольника с гипотенузой 6/2 вписан
круг радиуса 2. Найдите площадь той части круга, которая лежит вне
этого треугольника.
*• 4. Решите уравнение sin |1 — 2х + cos а; = 0.
*■ 5. Четыре отраслевых предприятия К, L, М, N, обсуждая планы
объединения усилий, утсановили, что без К три оставшихся будут
контролировать 55% рынка отрасли; без L три другие — 60%; К, L, N без М — 66%;
три предприятия без N — 73% рынка отрасли. Какова доля каждого из
этих предприятий на рынке?
*■ 6. Найдите значения а, для которых неравенство
(а + Ъ + 36)аг2 - 5(х - 1){Ь + 1) s* 0
имеет решение при любом Ъ.
► 7. Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового
спирта, соляной кислоты'и дистиллированной воды. Для готовой продукции

2006 год
819
потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании
были использованы три специализированных насоса: сначала первый
насос заполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос
заполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение
третий насос заполнил одгну цистернцу дистиллированной водой. Найлите
минимально возможное время, затраченное на перекачивание всей
продукции, если известно, что суммарная производительность всех насосов
равна семи цистернам в сутки.
Факультет глобальных процессов
► 1. Решите неравенство (х + 1| + 2х - 1|) • lg ( -7==) ^ 0.
*■ 2. Прибыль Р предприятия за год определяется соотношением Р = А/Х —
X, где X — расходы на производство, А — некоторая положительная
постоянная. В 2004 году прибыль Р оказалась положительной и
составила 40% от расходов X. В 2005 году расходы выбраны так, чтобы
прибыль была максимальной. Найдите отношение расходрв в 2004 году
к расходам в 2005 году.
► 3. Решите неравенство J—^з— ^ 1-
►• 4. Решите уравнение logicos *i jl — 2 cos 11 = logcosi* 1 v 4 - 2/3.
► 5. В треугольнике ABC со сторонами АВ — 6 и ВС — 4 проведена
биссектриса BL, точка О — центр вписанной в треугольник ABC
окружности, ВО : OL = 3:1. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника ABL.
► 6. Найдите минимально возможный объем прямого кругового конуса,
описанного вокруг шара единичного радиуса.
► 7. Найдите все значения параметра о, пари которых система
Г arctg(25x - 9 + а - у) = 0,
 у - 5~х + Va - 1 = 0
имеет единственное решение (жо;Уо)) удовлетворяющее условию х0 ^ 0.
► 8. Сравните числа ж* = V 1 + 2^ и &*, где &* -— корень уравнения
(к2 - I)8 = *
2(*-1)

820
Варианты вступительных экзаменов
2007 год
Олимпиада «Ломоносов»
Олимпиада «Ломоносов» по математике, приравненная к III этапу
Всероссийской олимпиады школьников, проводится с 2005 г. ежегодно
в апреле-мае. В 2007 г. всем победителям этой олимпиады был засчитан
максимальный балл по математике при подаче ими документов в
июне на следующие факультеты МГУ: механико-математический, ВМиК,
физический, химический, наук о материалах, биологический,
биоинженерии и биоинформатики, почвоведения, географический, геологический
и физико-химический.
► 1. Вычислить (sin а — cos а)(sin/? — cos/5), если
sin(a + /?) = 0,8 и cos(ct - 0) = 0,3.
*■ 2. Решить уравнение , _^_
/2^=(2^)5.
► 3. Какие значения может принимать выражение
1°g61ibBO(bib2---beo),
где &i, &2, ■ ■ ■ — геометрическая прогрессия?
► 4. Решить неравенство
л/8 — ж — |2х-1| ^
у/х + 7- [2х — 1| "*
► 5. На стороне А В треугольника ABC взята такая точка D, что
окружность, проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найти
AD, если АС = 9, ВС = 12 и CD = 6.
*• 6. Натуральные числа а, & и с таковы, что
НОК(о, Ъ) = № и НОК(о, с) = 270
(НОК(х,у) — наименьшее общее кратное чисел х и у). Найти НОК(Ь,с).
► 7. Определить, под каким углом видно из начала координат (т. е. внутри
какого наименьшего угла с вершиной в точке (0,0) помещается)
множество, заданное на координатной плоскости неравенством
14а;2 + ху + у2 + 14х + 2у + 4 < 0.
► 8. Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра
радиусом 5, образуя сего осью углы в 70° и 80°, а ребро двугранного угла
перпендикулярно этой оси и удалено от нее на расстояние 11. Найти
объем части цилиндра, расположенной внутри двугранного угла.
► 9. Найти все значения х 6 (0;7г], удовлетворяющие уравнению
| tg х tg 2x tg 3z | + | tg x + tg 2x = tg Зх.

2007 год
821
► 10. В течение четверти учитель по пению ставил детям оценки «1», «2»,
«3*, «4» и «5». Среднее арифметическое всех оценок Вовочки оказалось
равным в точности 3,5. И тогда, по предложению Вовочки, учитель
заменил одну его оценку «4» парой оценок «3» и «5». Доказать, что от
этого средняя оценка Вовочки по пению увеличилась. Найти наибольшее
возможное ее значение после такой замены:
а) одной оценки «4»;
б) всех его оценок «4»?
Механико-математический факультет
► 1. Учитель назвал Пете натуральное число и попросил найти сумму его
логарифмов по основаниям 3 и 75. Однако Петя по ошибке не сложил
эти логарифмы, а перемножил их, получив неверный ответ, который
оказался вдвое меньше верного. Какое число назвал ему учитель?
► 2. Графики функций
f(x) = 2х2 - 2х - 1 и д(х) = -ох'2 + 2х + 3
пересекаются в двух точках. Найти коэффициенты а и Ь в уравнении
прямой у = ах + Ь, проходящей через те же точки.
►• 3. Решить уравнение
3cosa;]3sina: + cosx| = sinxj cosz — 3sinx|.
► 4. Точки А, В, С лежат на окружности радиуса 2 с центром 0, а
точка К — на прямой, касающейся этой окружности в точке В, причем
/LAKC = 46°, а длины отрезков АК, ВК, СК образуют возрастающую
геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найти угол АКО
и расстояние между точками А и С. Какой из углов больше: АСК или
АОК1
► 5. Найти наибольшее значение выражения
у/(х-1)(у-х) + У(7-у)(1 -х) + у/(х-у){у-7)
при же [-2;3] и у G [0; 11].
► 6. Два конуса имеют общую вершину и единственную общую образующую,
которая составляет с их осями углы в 30° и 45°. Двугранный угол
расположен так, что каждая его грань касается каждого из конусов по
разным образующим. Найти величину этого угла.

822
Варианты вступительных экзаменов
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение специалистов)
► 1. Найдите все решения уравнения
/ 7тг ( 187г cos^f
2sin { x + — • sin I Зх + —— = cos4z + 2
 25/ V ^ J
7Г 47Г
принадлежащие отрезку
*■ 2. Решите неравенство )
10' 5
|log6(2x + 3)-l!
log5(z + 2)
*• 3. В треугольнике ABC точка D является основанием высоты, опущенной
из точки А на сторону ВС. Окружность диаметра 2/3 проходит через
точки В и D и касается внешним образом окружности, описанной около
треугольника ACD. Известно, что АС = 4/3, а величина угла ABC
равна 30°. Найдите длину стороны ВС.
► 4. Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющие системе нера-
BfiHCTB (х-у^-25,
х2 -у <8,
4z + у ^ 1.
* 5. Дана треугольная призма ЛВСМ1В1С1 (АА || В.Е?! Ц CCi). На ребре
CCi выбрана точка D. Сечение, проходящее через точки А,В и Р,
делит призму на два многогранника ABCDB и BAACD, отношение
объемов которых равно 13 : 17. В каком отношении точка D делит ребро
CCi?
► 6. Какие значения может принимать sinfa + ft + 7), если при этих а, /?, 7
многочлен от х
ж4 + 23вшах2 + х - у^1"81"" - C0S7 + sin2 0 + cos2 7
является квадратом некоторого многочлена относительно xl
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение бакалавров)
► 1. Найдите наибольший общий делитель чисел п = 720, т = 756, А = 468.
► 2. Найдите все решения уравнения
/ 8тг / 15тЛ -cosf
2 cos I x + — I ■ cos I Заг + -— 1=2 - cos Ax,

2007 год
823
принадлежащие отрезку [—  ; 6
5тг1
► 3. Решите неравенство
Юв,+1(4-«)>|Ь«"^ + 3>-1'
/
log15(x + l)
► 4. В треугольнике ABC точка D является основанием высоты, опущенной
из точки А на сторону ВС. Окружность диаметра 2 проходит через
точки ВиДи касается внешним образом окружности, описанной около
треугольника ACD. Известно, что DC = 4, а величина угла ABC равна
60°. Найдите длину стороны АС.
► 5, Найти все пары целых чисел (ж; у), удовлетворяющие системе неравенств
У > х + 29,
х2 - у ^ 14,
► 6. Дана треугольная призма ABCAiB^Ci {AA \ BBi \ СС). На ребре
СС выбрана точка D. Сечение, проходящее через точки А,В и D,
делит призму на два многогранника ABCDB-y и BiAACD, отношение
объемов которых равно 5 : 8. В каком отношении точка D делит ребро
CCi?
Физический факультет
► 1. Решить уравнение
► 2. Решить уравнение
sm ox — sin ox _
2 sin а;
(V3)2x + 5 • 32~х - 14
49 - Iх
> 3. Решить уравнение
у/х-1 - ^2ж + 2 = у/2х-Ь - /Зж-1.
*■ 4. Окружность радиуса 2, вписанная в AKLM, касается стороны LM в
точке N. Отрезок KN является медианой треугольника и KN — 8.
Найти площадь AKLM.
*■ 5. Решить неравенство
х-1
log4^-4)'+log2^—->0.
х
-4
*■ 6. В AKLM через точку ЛГ высоты ХЛГ проведены прямые,
перпендикулярные к сторонам KL и КМ и пересекающие их в точках А и В
соответственно. Отрезок АВ равен а, а радиус описанной около AKLM
окружности равен В,. Найти площадь AKLM.

824
Варианты вступительных экзаменов
*■ 7. Для каждого значения а из промежутка (—3;0) найти число различных
решений уравнения
(2х* - Ъах + За62) ух
- = 0.
► 8. Сфера радиуса (1/2) /17 касается всех сторон правильного ALMN.
Точка S такова, что плоскости SLM, SMN и S./VL касаются сферы.
Расстояние от точки S до плоскости LNM равно 8. Найти объем пирамиды
SLMN.
Химический факультет и факультет наук о материалах
► 1. Решить уравнение
(х2 - 7х + 6)>/4зГ+~23 = 0.
*■ 2. Решить неравенство
ж2 + Ах + 4 л/а;2 + 8х + 16
2z + 12 х + 4
► 3. В прямоугольном треугольнике DEF на гипотенузу опущены медиа-
4^ и sin ZDMQ = £.
на DM и высота DQ. Известно, что MD = ^ и sin ZDMQ - ■$-
Найти катеты треугольника DEF.
► 4. Положительные числа ^1,^2,^3,64, h образуют геометрическую
прогрессию, а числа t»5,663, 27£»i арифметическую. Найти знаменатель
прогрессии bi,b2,h,h,bb.
► 5. Прямая 1 проходит через точки (—3,2) и (1,1) координатной плоскости.
Прямая li проходит через точку (—5,4) и перпендикулярна прямой \.
Найти координаты точки пересечения прямых \ и fo.
► 6. Решить уравнение
Ш£соз х (cos2 x + sin2 x) — 2 sin2 x + 5 sin 2x = 0.
► 7. За 2005 год число книг в фонде библиотеки поселка увеличилось на 0,4%,
а за 2006 год — на 0,8%, оставшись при этом меньше 50 тысяч. На
сколько книг увеличился фонд библиотеки поселка за 2006 год?
► 8. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней
уравнения
ах + (а + 4)х + а + 1 = О
имеется ровно один отрицательный.
Физико-химический факультет
См. вариант химического факультета.

2007 год
825
Биологический факультет
См. вариант химического факультета.
Факультет фундаментальной медицины
См. вариант химического факультета.
Факультет биоинженерии и биоинформатики
См. вариант химического факультета.
Геологический факультет
► 1. Решите неравенство х — 12] ^
12-1
*■ 2. Решите уравнение со?2^*щ* = cosx.
> 3. Решите неравенство
Д*2"4 -1 -{х2 -7x + G) ^0.
► 4. Площадь четырехугольника ABCD равна 9, радиус вписанной в него
окружности равен 1, а длины сторон АВ и ВС равны 3 и 5
соответственно. Чему равны длины сторон AD и CD1
*• 5. Решите неравенство {^)  V х // < 1.
*• 6. Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии,
состоящей из натуральных чисел, больше 337, но меньше 393. Чему равен
восьмой член этой прогрессии, если известно, что он кратен четырем?
► 7. Числа х, у, z таковы, что
j x+l = z + y,
 ху + z2 + 14 - 7z = 0.
При каких значениях z сумма х2 + у'2 максимальна? Найдите это
максимальное значение.
*• 8. В каком отношении делит объем куба ABCDAiB^CiDi, где АА \ BBi \
IJ СС || DDi, плоскость, проходящая через вершину А и центры граней
AlBlClDl и BiCiCB?

826
Варианты вступительных экзаменов
Факультет почвоведения
► 1. Решить уравнение
||а;-1|-7| = 10.
► 2. Решить неравенство
1 1
+ х ^ , +9.
yjx2 - 7 /ж2 - 7
* 3. Сумма положительной бесконечно убывающей геометрической
прогрессии в 4 раза больше ее второго члена. Во сколько раз второй член меньше
первого?
* 4. Решить уравнение . 2 .,
sm liar — cos их.
*■ 5. Решить неравенство
*• 6. Решить систему
log* 16+ 21og£l62 +410^16* 5*0.
х + у + ху — 7
э;2 + у2 + ху = 13.
► 7. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
(5 - 2V6)X + (5 + 2УбГ - 5а - у - у - 8,
х2 - (а - 4)у = О
имеет единственное решение.
► 8. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 18. Через середину
D основания АВ проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке К
и делящая площадь треугольника ABC в отношении 5 : 2, при этом угол
ADK равен 135°. Найти площадь треугольника ABC.
Географический факультет
См. вариант химического факультета.
Факультет психологии
См. вариант химического факультета.
Филологический факультет
► 1. Решить уравнение п .—
X О'у —X — 1U.

2007 год
827
► 2. Решить неравенство
(z-2)(x-5)(x-8) > _
(х + 2){х + Ь){х + 8) ^
► 3. Один рабочий бригады, состоящий из 5 человек, производит в среднем 14
деталей в час, причем каждый из рабочих производит в час целое число
деталей, не превышающее 16. Сколько деталей в час может делать при
этих условиях рабочий с самой низкой производительностью?
► 4. Решить систему
х2 - 2у - 3 = О,
у2 + 2х - 3 = 0.
► 5. Решить уравнение
5cos(2a; + -J = 4sinf —- - хj - 1.
► 6. Периметр треугольника ABC равен 36, а площадь равна 60. Найти
стороны АВ и АС, если ВС = 10.
► 7. Решить неравенство
log(I+3)2{2х2 + 9х + 21) ^ log(x+3)2(х2 - х).
► 8. При каких значениях с уравнение
— у 16 — х'2 = с + х
имеет единственное решение?
Социологический факультет
См. вариант филологического факультета
Экономический факультет (отделение экономики)
► 1. Для каждого значения х, удовлетворяющего условию
ж2 - |z| - 42 = 0,
найдите все числа, у, для которых выполнено неравенство
-<Vy2 -Ю?/ +34 ^ Ах + 7.
► 2. Найдите все решения уравнения cos За; = sin x, удовлетворяющие
одновременно двум неравенствам:
sin ж ^ 0, cosz ^ 0.
► 3. Решите неравенство
(х2 - log2 (jpj - log3(5*)) - Iog5(l25 • 25*-3) < 0.
*■ 4. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на разгрузку баржи,
однако 3 человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся
выполнили задание, заработав каждый на 1,5 тысячи рублей больше, чем в

828
Варианты вступительных экзаменов
случае работы в составе полной бригады. Определите выделенную
бригаде сумму денег, если 5%-ный сбор за ее банковский перевод обошелся
работодателю дополнительно в величину, находящуюся в пределах от 1,2
до 1,6 тысяч рублей.
*■ 5. Внутри треугольника ABC взята точка К так, что треугольник АВК
равносторонний. Известно, что расстояние от точки К до центра
окружности, описанной около треугольника ЛВС, равно 6 и величина угла
АС В равна arcsin —т==. Найдите длину стороны АВ.
*■ 6. Найдите все значения а, при которых функция
f(x) = |2 - х ■ х + arcsin (тт)
не является монотонно возрастающей на отрезке числовой оси, который
соединяет корни квадратного трехчлена
х2 - (а2 - 8а + 14)х + (а2 - 6а + б)(8 - 2а).
► 7. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD, не
являющийся ромбом. Вершины А, В ж С расположены на некоторой сфере
так, что прямая AD проходит через центр этой сферы. Вершина S,
также лежащая на данной сфере, равноудалена от концов диагонали АС
основания. Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды,
если АС = 2>/3, BD = 2.
Экономический факультет (отделение менеджмента)
*■ 1. Три числа &х, 3 — х2 и —4 в указанном порядке образуют убывающую
арифметическую прогрессию. Найдите х и укажите разность этой
прогрессии.
► 2. Решите систему уравнений
Г х2 = 81,
 х + 1 = -2VV + Юу + 41.
*■ 3. Найдите все решения уравнения sin x — sin Зх, удовлетворяющие условию
sina: < 0.
► 4. Решите неравенство
(to-4).(«'-(lcei4+^)«+»^i)>0.
► 5. Для рытья котлована первоначально планировалось использовать звено
экскаваторов одной модели, однако перед началом работы в звено было
добавлено дополнительно 4 экскаватора той же модели. В результате
.котлован был вырыт на 3 часа ранее первоначально запланированного
срока. Определите время, за которое котлован мог быть вырыт одним
экскаватором, если в этом случае, при расходе топлива 20 кг в час,

2007 год
829
необходимое для работы экскаватора количество топлива находится в
пределах от 1,2 до 1,71 тонн.
► 6. Диагональ АВ выпуклого четырехугольника АКВС делит его на два
треугольника, один из которых равносторонний. Известно, что
величина угла АС В равна | + arccos -;==, а расстояние от точки К до центра
окружности, описанной около треугольника ABC, равно 6. Найдите
радиус этой окружности.
Экономический факультет (вечернее отделение)
*• 1. Решите систему уравнений
2
► 7.
( х2 = 49,
1
4z + 7 = -7у/у2 - 10у + 34.
* 2. Найдите все решения уравнения cos ж + cos3x = 0, удовлетворяющие
условию cos х < 0.
*■ 3. Решите неравенство
^-(| + Ьа5),+ 1^).,2,-3)<0.
* 4. Охранная фирма выделила некоторую сумму денег на оплату дежурства
своих сотрудников во время проведения футбольного матча, однако
перед началом матча количество дежурных пришлось увеличить на 2
человека. За работу каждому из дежурных было начислено на 400 рублей
меньше, чем в случае работы в первоначальном составе. Определите
выделенную охранной фирмой сумму денег, если 3%-ный сбор за ее
банковский перевод обошелся фирме дополнительно в величину, находящуюся
в пределах от 0,996 до 1,14 тысяч рублей.
*■ 5. Внутри треугольника ABC взята точка К так, что треугольник АВК —
равносторонний. Известно, что расстояние от точки К до центра
окружности, описанной около треугольника ABC, равно 6, а величина угла
АС В равна arcsin -~^ц- Найдите длину стороны АВ.
► 6. Найдите все значения а, при которых функция
f{x) = &хх - Мх + 5 V117 • а
является монотонно возрастающей на отрезке числовой оси, который
соединяет точки с координатами а2 — За и За — 5.
В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD, не
являющийся ромбом. Вершины А, В и С расположены на некоторой сфере
так, что прямая AD проходит через центр этой сферы. Вершина 5,
также лежащая на данной сфере, равноудалена от концов диагона-

830
Варианты вступительных экзаменов
ли АС основания. Найдите наибольшее возможное значение объема
пирамиды, если АС = 2/3, BD = 2.
Московская школа экономики
*■ 1. Решите неравенство
/ж2 - Зх + 2 ^ х - 1.
► 2. Решите уравнение
loS(-2cosx) (3sina;-cos2a;) = 0.
► 3. Решите неравенство
X
10
г-Н
5
>
X
4
1
2
► 4. Решите уравнение
4-25^-23-5^+ 15 = 0.
► 5. Для перевозки 90 т груза затребовали некоторое количество одинаковых
грузовиков. В связи с тем, что на каждую машину погрузили на 0,75 т
меньше, дополнительно было затребовано еще 4 грузовика. На сколько
процентов увеличилось число грузовиков по сравнению с первоначальной
заявкой?
► 6. Найдите все целочисленные решения уравнения
х2 - Ых + 4у2 + 32у + 88 = 0.
► 7. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD
пересекаются в точке Е. Найдите периметр и площадь треугольника ABC,
если ВС = CD = 6, АВ = 7 и СЕ = 3.
► 8. При каких значениях параметра а уравнение
16х - 3 • 23х+1 + 2 • 4Х+1 - (4 - 4а) ■ 2х-1 - а2 + 2а - 1 = 0
имеет три различных корня?
Институт стран Азии и Африки
► 1. Решите неравенство х + 3| • (х — 1| — 3) ^ 0.
► 2. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых.
Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 1/6 часть
от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени. А еще
через год в счет полного погашения кредита фермер внес в банк сумму,
на 20% превышающую величину полученного кредита. Каков процент
годовых по кредиту в данном банке?
► 3. Решите неравенство
k**(k*TT£)>0-

2007 год
831
► 4. Решите уравнение
у/х'2 + у2 - Ах - 2у + 1 + л/бх + 2у - х2 - у2 - 9 +
+ i/ж + у - 1 = 2/ж - У + 1 • sin z + 6 sin2 ^.
► 5. В треугольнике ABC проведена прямая, пересекающая стороны АВ и
ВС в точках Р и Q соответственно. Известно, что АВ = 3, АС — у/о,
длина медианы, проведенной из вершины А к стороне ВС, равна у/б,
и длины отрезков АР, PQ, QC равны между собой. Найдите длину
отрезка PQ.
*■ 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество
решений неравенства
баг2 + 4а2 + бах - Зх - 24а + 35 < О
содержит хотя бы одно целое число.
> 7. Определите, какая из двух пирамид, SABC или QKNM, имеет меньший
объем, если длины ребер SA, SB, SC и QK> QN, MN равны 2, а длины
ребер АВ, ВС, АС и KN, KM, QM равны /3.
Факультет государственного управления
*■ 1. На велотреке, имеющем форму окружности, из диаметрально
противоположных точек одновременно стартуют два велосипедиста со скоростями
775 и 800 метров в минуту соответственно. Сколько полных кругов
проедет первый велосипедист к моменту, когда его догонит второй, если
длина велотрека равна четверти километра?
* 2. Решите уравнение
1
2
► 3. Диагональ разбивает выпуклый четырехугольник на два равных
треугольника со сторонами длиной 5, 12 и 13. Найдите радиус наименьшего
круга, в который можно поместить такой четырехугольник.
> 4. Решите неравенство
V(log4x)2~2 S* bg2 ^ - 1.
* 5. Город административно поделен на пять частей: западную, северную,
восточную, южную и центральную. Средняя цена дизельного топлива
по бензозаправочным станциям восточного района составляет 18 рублей
за литр, в западном — 18 рублей 35 копеек, в центральном — 20 рублей
с полтиной, в северном районе —- 17 рублей с четвертью соответственно,
в южном — совпадает со средней ценой по всем бензозаправкам города.
Известно, что в центральной части бензозаправочных станций в полтора
раза больше, чем в западной, а на востоке — на треть больше, чем на
западе. Во сколько раз бензозаправочных станций в северном районе
1
smi - -
4
=  (sins + )

832
Варианты вступительных экзаменов
меньше, чем на востоке, если средняя цена дизтоплива по заправочным
станциям города составляет 18 рублей 60 копеек?
► 6. Найдите значения а и 6, при которых система
j Ъх - у = 2а,
(х- Ь)2 + у2 = а2
имеет ровно три решения.
► 7. Общество рыболовов и охотников, две трети членов которого —
рыболовы, а одна треть — охотники, решило переизбрать правление.
Председатель общества подготовил проект состава правления из 100 человек.
Какое наибольшее число охотников можно было включить в проект
состава правления, чтобы за него проголосовало более половины членов
общества, если известно, что за проект проголосует столько процентов
рыболовов, сколько рыболовов в предложенном проекте, и столько
процентов от числа охотников, сколько в нем охотников?
Факультет глобальных процессов
См. вариант факультета почвоведения.
Дополнительный набор
В конце августа 2007 г. при проведении дополнительного набора
на платные образовательные программы для абитуриентов механико-
математического, ВМиК, химического, биологического, почвоведения,
географического, наук о материалах, фундаментальной медицины,
психологии, биоинженерии и биоинформатики и московской школы
экономики факультетов был организован централизованный вступительный
экзамен по математике.
► 1. Решить уравнение i
IgVx- 2^60 = 3.
► 2. Решить уравнение 4 я
cos х + sm' x = 1.
*■ 3. На координатной плоскости расположен квадрат. Две его вершины
имеют координаты (4,-5) и (-6,5). Найти координаты двух других
его вершин.
► 4. Решить неравенство
3"i+2 _2.9- + ^ ^27--.
► 5. Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD, площадь
которого равна Q. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания,
а ребра SB и SD наклонены к ней под углами 8 и -у. Найти объем
пирамиды.

2008 год
833
р- 6. Решить неравенство
/ • гг.. /' , 9 
(arcsinz--)Цх + —J > 0.
► 7. Около окружности радиуса R описана равнобочная трапеция. Площадь
четырехугольника, вершинами которого служат точки касания
окружности и трапеции, равна S. Найти площадь трапеции.
► 8. К десятичной записи целого числа п ф 0 приписали справа какую-то
цифру. К получившемуся новому числу прибавили квадрат числа п,
а потом вычли 3. Получилось число 14п. Какое число п было взято
и какая цифра была приписана?
2008 год
Олимпиада «Ломоносов»
► 1. Найти к, если -= 1- 4 = ^5 + 2.
~~Г~ + 4
+ 4
/Ъ-2к
*■ 2. Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по
основанию 3 от числа 2781 (первый раз логарифм берется от этого числа,
а затем всякий раз — от числа, полученного в предыдущий раз)?
► 3. При каких значениях а существует единственное решение системы
f х2 + у2 = 4;
{х- 3)* + {у + 4)а = а?
*■ 4. Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей к норе
кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние
от кролика до норы было равно 7 м, а до лисы ■■■- 13 м. В некоторый
следующий момент расстояние между кроликом и норой стало вдвое
меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать кролика,
прежде чем тот юркнул в нору?
► 5. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного
треугольника с основанием б, если синус одного его угла равен косинусу другого.
№-
6. Решить неравенство /25х - 23~х < 7 ■ 2~х12 - 2 • 5х.
sin ~
4
sin ж.
► 7. Решить уравнение 2 + cos ж = /3
► 8. Основанием прямой призмы ABC А' В' С служит прямоугольный
треугольник с катетами АВ = 3и АС = 4. Через середину бокового ребра
В В' = 10 параллельно АС проведена прямая I. Какие значения может
принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки

834
Варианты вступительных экзаменов
А и В, а, остальные две вершины лежат на прямых А'С и I
соответственно?
*■ 9. Найти все натуральные значения п, удовлетворяющие уравнению
2002
п^10012 + 1 = п 2002Л0012 + 1
где [ж] — наибольшее целое число, не превосходящее числа х.
*- 10. На числовой прямой отмечены 4 синие точки, соответствующие первым
членам геометрической прогрессии с первым членом —2 и знаменателем
—2, а также 4 зеленые точки, соответствующие первым членам
некоторой арифметической прогрессии с первым членом —5. Какова при этом
наименьшая возможная сумма длин 4 отрезков с разноцветными
концами, включающими все 8 отмеченных точек? (Каждая из 8 точек является
концом одного из отрезков.)
Механико-математический факультет
► 1. Решить неравенство
||1-ж2| - х2 -3z + 2|| ^ 3|х- 1|.
► 2. Игорь решал тригонометрическое уравнение и получил ответ
7Г 47Г 7Г
(-1)п-+тгп, — ±- + 2кк, n,k€Z.
О О О
Ответ в конце учебника выглядел иначе:
57Г 7Г 27Г , _
—— +2тгп, - + —-к, n,k€Z.
О О 3
Правильный ли ответ получил Игорь? Привести пример
тригонометрического уравнения с ответом как в учебнике.
► 3. Решить систему
f log2(2x3 + 4х2у - Зх2) - log„ (4жу2 + 24у3 - 12у2)
logn(x3 + 6х2у - Зх2) = log2(8xy2 + 16у3 - 12у2).
*• 4. Окружность радиуса 6 проходит через вершину В треугольника ABC и
пересекает его стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Центр
О окружности лежит на стороне АС, АО = 12, СО — 10, ZOBC =
ZBCO + /LEOА. В каком отношении прямая ВО делит отрезок EF?
Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
► 5. Найти все функции /, удовлетворяющие уравнению
/(х) + (х - 2)/(1) + 3/(0) = ж3 + 2, xeR.
► 6. Через центр сферы проведены несколько плоскостей. Окружности, по
которым эти плоскости пересекают сферу, пересекаются в 22 различных
точках, причем в 12 из этих точек пересекаются по две окружности, а в
остальных 10 точках — по три. Сколько плоскостей было проведено?
i

2008 год
835
*■ 1. Числа а и b таковы, что многочлен Р(х) ~ —2хъ + ах + Ъ при каждом
целом х принимает целое значение, кратное 3. Какое наименьшее
положительное значение может принимать Р (§)?
►• 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
V 4 + sin х = а — cos x
имеет хотя бы одно решение на отрезке [х'71"]-
*■ 3. Группа самолетов, пятая часть из которых — бомбардировщики,
вылетела с аэродрома. При этом не более 10 из них полетели на запад, а
остальные ■■- на восток. Оказалось, что число самолетов, полетевших
на восток, больше 50%, но меньше 55% от общего количества. Сколько
самолетов полетели на запад?
*■ 4. Длины оснований трапеции равны 4 и 9, а длины боковых сторон равны 6
и 5. Найти геометрическое место точек, у каждой из которых на контуре
этой трапеции имеется не менее двух ближайших. Найти суммарную
длину линий, составляющих это геометрическое место точек. (Для
точки контура ближайшей к ней является она сама.)
Химический, географический, биологический, психологии,
биоинженерии и биоинформатики, фундаментальной
медицины, наук о материалах и физико-химический
факультеты
►• 1. Решите уравнение cos 2а:
1 - у/2 sin х
* 2. Найдите log3 ж, если х < 3 и
log3(3z) ■ log3(9z) • 1оёз(27ж) - log;* x + 23.
* 3. Решите неравенство
arccos Зх $С arccos у/6 — 15х.
*■ 4. Около треугольника ABC с высотами ВВ' и СС описана окружность
радиуса 6. Найдите радиусы окружностей, описанных около
треугольников ВВ'С и АВ'С, если cos A = -1/3.
> 5. Среди 30 ненулевых чисел, среднее арифметическое которых равно 4,
есть числа обоих знаков. Какие из следующих утверждений про эти
числа обязательно справедливы (а какие — не обязательно):
а) среднее арифметическое положительных чисел больше 4;
б) отрицательных чисел меньше, чем положительных;
в) сумма модулей отрицательных чисел меньше, чем сумма
положительных;
г) модуль наибольшего отрицательного числа меньше, чем наибольшее
положительное число?

836
Варианты вступительных экзаменов
► 6. Найдите радиус наибольшего шара, который можно разместить в
проволочном каркасе прямоугольного параллелепипеда размером 4x8x9.
► 7. Найдите все значения параметра о, при которых уравнение
х4 + (а + )х* + (2а + 1)х2 - {а + 1)х + 1 = О
на промежутке (—оо; —1) имеет не менее двух корней.
Факультеты почвоведения, глобальных процессов и высшая
школа современных социальных наук
► 1. Найдите область определения функции
- 2х + 7
У ~ х + 2 + V2x + 7 "
► 2. Ученик шел от дома до школы со скоростью Зкм/ч и опоздал на урок
на 1 мин. В другой раз он пошел со скоростью 4 км/ч и пришел за 3 мин
до начала урока. С какой скоростью ему нужно идти в следующий раз,
чтобы прийти в точности к началу урока?
„ ^ (Ьъ п  3 Зтг
*■ 3. Вычислите tg I — + 2а I, если cos а = — и— —- < а < 0.
 4 / 5 2
*■ 4. Решите неравенство
► 5. Один из школьников Алик, Боря, Витя или Гоша разбил в классе стекло.
На вопрос, кто это сделал, они дали следующие противоречивые ответы.
Алик: стекло разбил Витя.
Боря; ни Витя, ни Алик этого не делали.
Витя: Боря стекла не разбивал.
Гоша: это сделал Боря.
Можно ли по этим ответам однозначно определить виновника, если
солгать мог только он сам, а также не более чем один из остальных
троих?
► 6. Стороны AD и ВС четырехугольника ABCD параллельны.
Биссектрисы его углов А и D пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС, а
биссектрисы углов В -а С — в точке N, лежащей на стороне AD. Найдите
длины всех сторон четырехугольника ABCD, если AM = б и BN = 4.
► 7. Определите, какое наименьшее значение может принимать выражение
х - Зу - 4| + |3jj + 8 - а:| + Jx2 - ху - 2у2,
и найдите суммарную длину линий, состоящих из всех точек (х, у)
координатной плоскости, в которых это значение достигается.

2008 год
837
Социологический факультет
► 1. Решите неравенство ig _ з^
х ^ —П—•
х
► 2. Вычислите L A тг
ctg а — tg а при с* = —.
8
► 3. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 80°. Найдите
угол между высотой и медианой, проведенными к гипотенузе.
► 4. Решите уравнение 5
{х2)Хо&*х = —.
► 5. Среди учеников начальной школы провели опрос: кто любит зиму, а
кто — лето. Оказалось, что 90% любителей зимы любят и лето, а 72%
любитачей лета любят и зиму. Зато 10% всех опрошенных не любят
ни зимы, ни лета. Сколько процентов опрошенных любят только один
из этих сезонов, но не любят другой? Каким при этом могло быть
наименьшее число опрошенных?
► 6. Изобразите на координатной плоскости множество решений уравнения
л/ж + 1 + у/у + Ъ = Jx + y + 2.
► 7. Найдите наименьшее и наибольшее значения параметра а, при которых
уравнение _ 7Г
arcsm(az) = Затесов х+ —
о
имеет хотя бы одно решение.
Централизованный экзамен для поступающих на договорные
образовательные программы
► 1. Решите уравнение |х|(2-x) = 5*.
► 2. Вычислите
а я"
bg2ctg- + log2(l-cosa) -21og2sina, где a = -.
► 3. Два друга шли по узкому мосту и, пройдя 3/7 его длины, увидели
приближающийся к мосту грузовик. Тогда они бросились бежать в
противоположные стороны, но с одинаковой скоростью. С одним из них
грузовик поравнялся у начала моста, а с другим — у конца. Во сколько
раз скорость грузовика превышала скорость бегущих?
*■ 4. Решите неравенство
3i+3z2 + 31-з2 ^ ю-з^2.
► 5. При каких значениях х числа
х + у/2х - 4 и 4 + у/2х - х

838
Варианты вступительных экзаменов
имеют противоположные знаки?
► 6. Внутри треугольника ABC взята такая точка О, что АО = 5, а
вписанные в треугольники АОВ и ВОС окружности касаются друг друга.
Найдите СО, если АВ = 9 и ВС = 8.
► 7. Что больше:
31og89-log10ll-...-log3031 или 51og32 31 • log30 29 ■ ... ■ log10 9?
*■ 8. На диагональ куба, соединяющую две его противоположные вершины,
спроектировали все остальные его вершины. Сколько различных точек
образовали полученные проекции на этой диагонали и в каком
отношении они ее разделяли?
*■ 9. Найдите все а, при каждом из которых среди решений неравенства
log3(ж2 + 2а.х - о + а2) ^ 1
найдутся два числа, разность которых равна 1.
2009 год
Олимпиада «Ломоносов»
*■ 1. На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их
среднее арифметическое равно 2/3, а среднее геометрическое равно /3?
► 2. В свежих грибах содержание воды колеблется от 90% до 99%, а в
сушеных — от 30% до 45%. В какое наибольшее число раз при этих
ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?
*■ 3. При каждом значении а найдите все значения х, удовлетворяющие урав-
нению f(x + l)2  , (х + 1)2 ,
1о& а} = 1оё5 ; l°g5 а-
*■ 4, Можно ли данный двугранный угол величиной 90° пересечь плоскостью
так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной 110°?
*■ 4. Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел т
и п, если при увеличении числа т на 6 он увеличивается в 4 раза?
*• 5. Сколько решений на отрезке [0;7г] имеет уравнение 5sinz+4 = |5совж+
2|?
*■ 6. Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке А, а
третьей окружности - - в точках В и С. Продолжение хорды АВ первой
окружности пересекает вторую окружность в точке D, продолжение
хорды АС пересекает первую окружность в точке Е, а продолжения
хорд BE и CD — третью окружность в точках F и G соответственно.
Найдите BG, если ВС = 5 и BF = 12.

2009 год
839
►• 7. Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в
произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения
на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все
потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют
промежуток [0; 60).
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много
раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трех суток может
встретиться самое редкое (за эти трое суток) показание такой стрелки?
* 8. Найдите все пары (х,у), при каждой из которых для чисел
и = у/4 + хъ - 9х - х - У и v = 2-x-3y
справедливы сразу все три следующих высказывания: если |u| > v, то
и > 0, если |и| < |i>|, то 0 > v, а если |uj = v, то и > 0 > v.
Механико-математический факультет
В 2009 г. вступительный экзамен на механико-математический
факультет МГУ имени М.В.Ломоносова состоял из двух частей:
письменной и устной. На решение четырех задач письменной части был отведен
1 час 40 минут, а затем, после небольшого перерыва, абитуриенты
тянули билеты с двумя заданиями и в течение часа готовились к устному
ответу. Ввиду большого количества абитуриентов экзамен проводился
в две смены.
Задачи для первой смены
► 1. Найти все значения переменной ж, при которых все указанные функции
у = у/И + 24х - 17ж2, у - arccos(z2 - 2х + 1), y = log3{x2)
имеют смысл и хотя бы одна из них обращается в нуль.
* 2. После рыбалки в ведре у Бориса (ведро у него вмещает не более 100
рыб) оказалось карасей на 25% меньше, чем у Андрея. Зато Андрей
поймал других рыб на 25% меньше, чем Борис. Сколько всего рыб
поймал Андрей, если известно, что это количество составляет 55% от
общего количества пойманных Борисом и Андреем рыб?
► 3. Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного
треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания
соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок
делится высотой треугольника, проведенной к основанию, в отношении
4 : 3, считая от вершины. Найти площадь треугольника.

840
Варианты вступительных экзаменов
*■ 4. Найти все целые значения х из отрезка [19; 29], удовлетворяющие нера-
В6НСТВУ а« + 80»-2 Л
ах
где а — корень уравнения у17 + 2уп + 4у5 = 1.
*■ 5. а) Сформулировать и доказать формулы преобразования суммы и
разности синусов в произведение, суммы и разности косинусов в произведение.
б) Решить уравнение cos4a; + sin (2x - ff) = sin3z, где а —-
наименьшее из таких двузначных натуральных чисел, при приписывании
которых справа к числу 20092009 полученное десятизначное число делится на
36.
► 6. Наибольшая сторона четырехугольника равна 3, наименьшая сторона
равна 1. Найти остальные его стороны, если известно, что тангенсы
всех четырех внутренних углов четырехугольника равны между собой.
Задачи для второй смены
*■ 1. Найти все значения аргумента х, при каждом из которых
соответствующее значение функции
2 cos *J15+3!> + 1
f(x) = , 6 +
' 1.4 + Ъх — х2
положительно.
► 2. В некоторой компании каждый сотрудник либо правдивец (всегда
говорит правду), либо лжец (всегда лжет). Каждого из сотрудников
спросили про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было
получено 32 ответа «правдивец» и 40 ответов «лжец». На сколько
отличается в этой компании количество сотрудников-правдивцев от количества
сотрудников-лжецов?
► 3. В треугольнике ABC сторона АВ равна 38, а медиана СМ наклонена
к АВ под углом 40° и равна 19. В этот треугольник вписана
окружность. Найти периметр треугольника, вписанного в эту окружность и
подобного треугольнику ABC.
* 4. При всех значениях параметра с решить систему
9 16
/
+ . ^ 22 - Vx + c - 4^у - с,
у/х + с у/у - с
[2a:-11log2(4-y) = l.
► 5. а) Сформулировать и доказать теорему Пифагора.
б) Окружность радиуса 2 вписана в равнобочную трапецию. Точка
касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1 : 4. Найти
площадь трапеции.

2009 год
841
► 6. Найти все значения параметра с, при каждом из которых множество всех
точек координатной плоскости, координаты которых (х, у)
удовлетворяют системе f х2 + у2 - 16s + Щ + 65
х2 + у2 - 14х + 12у + 79 ^ ,
1
{х-с)(у + с) =0
является отрезком.
Факультет биоинженерии и биоинформатики
► 1. Решить неравенство 2 , о ,7
х — 6
*■ 2. Решить уравнение х2 — Ъх + 3| = х — 3.
► 3. Решить неравенство {х2 -7х + 6)/х2 - Юх + 21 ^ 0.
► 4. Решить уравнение 8cos2(5z) — 4 cos2 (10а;) = 1.
* 5. Центр описанной около треугольника окружности лежит на одной из
сторон этого треугольника, а длины сторон этого треугольника образуют
геометрическую прогрессию. Найти тангенс наименьшего угла этого
треугольника.
► 6. Решить уравнение
log
(20+а.2) sin(7ra:) = -31ое(20_яя) ( ух + 2у/х + 1-у/х.
* 7. На одном из оснований прямого кругового цилиндра отмечена точка А, а
на другом — точка В, длина отрезка АВ равна 17. Известно, что высота
этого цилиндра не превосходит 15, а сумма площадей оснований не
превосходит 327Г. (а) Чему может равняться объем этого цилиндра? (б)
Какова минимально возможная площадь поверхности шара, содержащего
такой цилиндр?
*• 8. Найти все значения у, при каждом из которых числа
cos(arcsin(y+l)), y + 1|, 2уЧ2у+2,
взятые в некотором порядке, являются подряд идущими членами
некоторой арифметической прогрессии.
*• 9. Найти все значения параметра Ь, при каждом из которых уравнение
Ь■ 3~2х + Ъ+ 1 — —З-41-1 имеет ровно два корня, больший из которых не
меньше ^.
Экзамен, альтернативный ЕГЭ по математике
Абитуриенты, относящиеся к установленным Министерством
образования и науки РФ категориям, а именно: инвалиды, выпускники средних
профессиональных учебных заведений, лица, имеющие среднее (полное)

842
Варианты вступительных экзаменов
общее образование, полученное до 1 января 2009г., и др., при
отсутствии результатов ЕГЭ имели право сдавать вступительные испытания,
проводимые МГУ самостоятельно.
Приводим задания, которые предлагались абитуриентам механико-
математического, химического, физико-химического, биологического,
почвоведения, географического, фундаментальной медицины, наук о
материалах, биоинженерии и биоинформатики, социологического,
филологического, глобальных процессов, высшая школа современных
социальных наук и психологии факультетов.
*■ 1. Какое из чисел больше,
(У2+^5)(У2-.У5)(У4+У25) (Ъ  25 17,
25(5У5-2У2) ™ 125-°'29)'2б:Т?
Ответ обосновать.
2. Найти область определения функции у = л/f^f — jr
> 3. Суммарное количество жителей в четырех деревнях равно 2009.
Количество жителей в деревне А относится к количеству жителей в деревне
Б как 2:3, количество жителей в деревне Б к количеству жителей в
деревне В — как 4 : 5, количество жителей в деревне В к количеству
жителей в деревне Д — как 5:2. (а) Найти количество жителей деревни
Д. (б) На сколько процентов количество жителей деревни Д меньше, чем
количество жителей деревни А?
► 4. Трапеция, диагонали которой взаимно перпендикулярны, вписана в
окружность. Найти площадь этой трапеции, если ее средняя линия равна
у/7.
► 5. Решить неравенство /4ж3 — 9х2 + 2 — /х — х2 > 0.
► 6. Решить уравнение sin(2z) + сов(2ж) = | sin(2a;)|_1.
► 7. Найти все значения х, удовлетворяющие неравенству
|8 + х flogi(z + 16) + 2) (bg3(z2) - 4) ^ 0.
► 8. Найти минимально возможное значение площади полной поверхности
правильной треугольной пирамиды, у которой расстояние от середины
высоты, опущенной на основание, до боковой грани равно 2.
► 9. Найти все натуральные числа, которые оканчиваются на 1837 (год
смерти А. С. Пушкина), а после вычеркивания последних четырех цифр
уменьшаются в целое число раз.

2010 год
843
Централизованный экзамен для поступающих на договорные
образовательные программы
► 1. Что больше: f/l25v/8 + у/А. • Ъ~А . Aj£ или 531oge3? Ответ обосновать.
*■ 2. Решить
а) уравнение (/5 — х + 1 + ж) (7 — х) = 0;
б) неравенство (/5 - а; 4- 1 + х) (7 — х) > 0.
► 3. Решить неравенство - 4
х .. .__ -г- п
5ж + 6-4х2 ^ '
► 4. Окружность радиуса /5 вписана в равнобедренный треугольник и
делит пополам высоту треугольника, проведённую к основанию. Найти
площадь треугольника.
*■ 5. Решить неравенство
х2 - 2х + 1
3 + л/х2 - Ах + 4
<5
1
х-1
*■ 6. Решить уравнение 2 cos2 ж — 5 sin 2х + ^г = 0, где £ = arccos (cos ^y1) -
arcsin ( - 2 ) ■
*■ 7. Пятая часть персонала фирмы работает в транспортном отделе, еще
52 сотрудника — в отделе продаж, остальные ~— в нескольких цехах,
численность каждого из которых составляет 1/7 от общей численности
персонала фирмы. Чему равна общая численность персонала фирмы?
►■ 8. Высота правильной треугольной пирамиды, проведённая из одной из
вершин основания к противоположной боковой грани, равна 4. Какие
значения может принимать площадь полной поверхности такой пирамиды?
► 9. Найти все такие значения с, при каждом из которых графики функций
у ;= 32х +ix 4- 3 и у = с (3х ■ 32х + 1) имеют ровно две общие точки.
2010 год
Олимпиада «Ломоносов»
► 1. Решите неравенство
► 2. На основании АС равнобедренного треугольника ABC взята точка Е,
а на боковых сторонах АВ и ВС точки D и F так, что DE \ ВС и

844
Варианты вступительных экзаменов
EF || АВ. Какую часть площади треугольника ABC занимает площадь
треугольника DEF, если BF : EF = 2:3?
► 3. Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них
добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле
увеличилась на 0,04, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё
на 0,02. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою
долю ещё на 0,04?
► 4. Решите неравенство
1 1 !
_ _ -_ < 1 + - — ■■ -
у/-х-2 fx~Tl ^ s/(x + 4)(-x-2)'
*■ 5. Числа 54 и 128 являются членами геометрической прогрессии. Найдите
все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии.
* 6. Проекции некоторой кривой в координатном пространстве на плоскости
Oxz и Oyz удовлетворяют уравнениям
5х + cos z = 0 и z — arctg у/у — 3
соответственно. Найдите функцию у — f{x), график которой состоит
из тех и только тех точек, которые могли бы при этих условиях служить
проекциями точек той же кривой на плоскость Оху.
*• 7, Найдите все значения а, при каждом из которых система
Г 25* - 13 ■ 5х + а < 0,
| 12sm47rz — cos47tz = 11
имеет хотя бы одно решение.
► 8. На ребре AS треугольной пирамиды SABC отмечены такие точки М
и N, что AM = MN — NS. Найдите площадь треугольника NBC,
если площади треугольников ABC, MBC и SBC равны 1, 2 и /37
соответственно.
► 9. На доске написан квадратный трёхчлен х2 + Qx + 47. Таня (по своему
усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при х, после
чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число т
свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только написанный
на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку «пять».
Может ли он обеспечить себе «пятёрку» при любых действиях Тани, если
a) m = 2; б) т = 3?
► 10. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD — 3 и ВС = 1
пересекаются в точке О. Две окружности, пересекающие основание ВС в точках
К и L соответственно, касаются друг друга в точке О, а прямой AD —
в точках А и D соответственно. Найдите АК2 + DL2.

2010 год
845
Механико-математический факультет
В 2010 г. вступительный экзамен на механико-математический
факультет МГУ имени М. В. Ломоносова проводился только в письменной форме
(продолжительность экзамена — 4 часа).
► 1. Решите систему уравнений
( Ъху = 4х + 8,
< х + 1
1 у = .
I log2 х
► 2. Решите неравенство , —
1-ж /Зж - 2
х > V За;+ 4"
► 3. Найдите наименьшее из положительных значений функции
4
3 cos2 х + 2 sin x — 1
► 4, Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что /ЛВС = ~,
ВС — 5, 2АС > АВ, медиана CD образует со стороной АС треугольника
угол величиной Щ.
*■ 5. Из лесу выскочил заяц и помчался по прямой в направлении тернового
куста. На полпути до куста заяц напоролся на колючку и стал бежать
в полтора раза медленнее. Когда зайцу оставалось до куста 50 метров,
из лесу (из того же места) выбежал волк и погнался за зайцем. Когда
заяц добежал до куста, волку оставалось до него 10 метров. На каком
расстоянии от леса находится терновый куст, если известно, что волк
всё время бежал со скоростью, с которой первоначально бежал заяц?
►• 6. В основании параллелепипеда лежит прямоугольник ABCD со сторонами
АВ = 1 и ВС = 4, боковые ребра АА, BBi, CCi, DD перпендикулярны
основанию и равны 1. Сфера касается прямой DC в точке С, прямой
DB в точке, лежащей внутри отрезка DB, и проходит через точку D.
Найдите радиус сферы.
Факультет биоинженерии и биоинформатики, факультет
наук о материалах
> 1. Решите уравнение
| - 4х + 2Х+Ъ - 150| = 150.
> 2. Решите систему уравнений
((x-y)y/y~Tl = 0,
 /х2 + бх + у + 10 = -у2 -&У + Х + 2.

846
Варианты вступительных экзаменов
*■ 3. а) Решите уравнение
9(sinx -bcosa;)2 32(1 + 7ctgztg4:r)
v „ + — 7Г—Г—~ + 7 = 0.
coszz tgz + 7tg4x
б) Найдите сумму всех корней этого уравнения, принадлежащих
отрезку [0; 120тг], и выясните, что больше: эта сумма или число 23040.
► 4. В 4-угольник ABCD можно вписать окружность и около него можно
описать окружность. Каждая его диагональ делит его площадь в
отношении 2 : 3. Найдите тангенсы всех углов 4-угольника ABCD и радиус
окружности, описанной около 4-угольника, если наибольшая сторона его
имеет длину 24.
*■ 5. Решите неравенство
4 + (cosx)(log3a;)(log481) + (sin2 z)(log2 ж8) ^ 2cosx - 4cos2z H-log^a;4.
► 6. Найдите все значения х, при которых наименьшее из чисел (х + I)3 и
х? — Ъх — 2 меньше чем наименьшее из чисел ж3 + Зж2 + 2х + 2 и ж2 + Ъх + 4.
Факультет государственного управления, социологический
факультет, высшая школа современных социальных наук
► 1. Докажите, что при
а = V2 + /4
число 6а — а3 -- целое, и найдите это число.
► 2. Спортсмены Иванов и Петров участвовали в марафоне. Первую
половину пути Иванов бежал в два раза быстрее Петрова. Потом он подвернул
ногу и оставшуюся половину пути бежал в два раза медленнее Петрова.
Петров же всё время бежал с постоянной скоростью и пробежал всю
дистанцию за 4 часа. Сколько времени понадобилось Иванову, чтобы
добраться до финиша?
► 3. Найдите cos о: и tg2a, если известно, что sin a = £, а cos (a — |) < 0.
* 4. Решите неравенство
* 5. В трапеции ABCD основание AD в полтора раза длиннее основания ВС,
а длины боковых сторон АВ и CD равны. На стороне ВС взята такая
точка А', что В К — 2КС. Прямые АК и CD пересекаются в точке Е, а
прямые DK и АВ — в точке F. Найдите величину отношения BF : СЕ.
*• 6. Найдите наименьшее и наибаньшее значения параметра а, при которых
уравнение
Jx - а + /'xz + 1 = 2
имеет хотя бы одно решение.

2010 год
847
Экзамен, альтернативный ЕГЭ по математике
Абитуриенты, относящиеся к установленным Министерством
образования и науки РФ категориям, а именно: инвалиды, граждане иностранных
государств, а также лица, уже имеющие высшее образование, и др., при
отсутствии результатов ЕГЭ имели право сдавать вступительные испытания,
проводимые МГУ самостоятельно.
*■ 1. Представьте число i i
в виде несократимой обыкновенной дроби.
► 2. Решите неравенство х + 7
г ^х + 3.
х + 1
*• 3. Между пунктами А и Б, расположенными на берегу озера, курсирует
катер. На сколько процентов увеличится время в пути из пункта А в
пункт Б, если скорость катера уменьшится на 20%?
► 4. Решите уравнение 31og8(z + 1) — log2 /2ж + 5.
► 5. Стороны треугольника равны 3, 5, 7. Найдите величину большего из
углов треугольника.
► 6. Решите неравенство 2 • Зг + 31_х ^ 7.
* 7. Параллелограмм, одна из сторон которого равна 3, описан вокруг
окружности радиуса 1. Найдите площадь параллелограмма.
► 8. Решите уравнение . л ч
2 sin4 х + 7 cos3 x = 2.
*■ 9. Даны две окружности радиусов 2 и 3. Прямая касается обеих
окружностей и пересекает отрезок, соединяющий их центры. Найдите
расстояние между точками касания, если расстояние между центрами равно
7.
► 10. Студент Василий добирался от железнодорожной станции до деревни
Бабушкино. Он ехал на автобусе до посёлка Дедушкино, где встретил
знакомого, которых за 10 минут подвёз его до деревни на своей машине.
Машина ехала в полтора раза быстрее автобуса. Когда пришло время
уезжать, Василий за час доехал на велосипеде до посёлка Дедушкино, а
оттуда на такси доехал до станции. Такси ехапо в 6 раз быстрее
велосипеда, и в итоге Василий на обратную дорогу от деревни до станции
потратил ровно столько же времени, сколько потребовалось, чтобы
добраться от станции до деревни. Сколько времени ушло у Василия на
дорогу в один конец?
*■ 11. В основании правильной пирамиды ABCDS лежит квадрат ABCD со
стороной 6. Через середины ребер AD, ВС и CS проведена плоскость.

848
Варианты вступительных экзаменов
Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью, если длины
боковых ребер пирамиды равны 7.
* 12. Найдите все целые положительные числа х и у, удовлетворяющие
уравнению о , 9
у6 = х3 + 9эг + 17.
Централизованный экзамен для поступающих на договорные
образовательные программы
*■ 1. Решите уравнение 2х + 1| 4- 4z + 4 — 0.
„ „ ^7 + л/З .,1
► 2. Пусть а = . Докажите, что число а Л—- целое, и найдите это
2 а2
число.
► 3. Найдите все решения уравнения
Ле Зж = V^-tgx,
удовлетворяющие неравенствам 0 ^ х < п.
*■ 4. Решите неравенство
log0i5(2*+1-3)^-1.
► 5. Из города А в город Б выехал автобус и, проехав три четверти пути,
встретился с выехавшей ему навстречу из Б машиной. Когда автобус
приехал в Б, машине до А оставалась ещё треть пути. Какую долю
пути преодолел автобус, когда машина выехала из Б, если их скорости
постоянны?
► 6. В равносторонний треугольник со стороной 1 помещены две окружности
одинакового радиуса. Каждая из них касается двух сторон треугольника и
другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей.
Экзамен по математике, альтернативный ЕГЭ, для
иностранных граждан (выпускников ЦМО МГУ)
► 1. Решите неравенство 2 3
1-2 х+1
*■ 2. Вчера лекарство в аптеке подорожало на 12%. Сколько стоило это
лекарство до подорожания, если сегодня, после снижения цены на 5%,
оно стоит 133 рубля?
► 3. Решите уравнение /о1+2х /■х3~х
> 4. Найдите площадь треугольника ABC, если его сторона ВС равна 4, а
А о 7Г 7Г
углы А и Б равны соответственно — и —.
2 о

2011 год
849
► 5. Найдите рациональное число, равное выражению
*■ 6. На плоскости расположен отрезок АВ длины 24 и две точки Р, Q.
Точка Р равноудалена от А и В на расстояние 15, а точка Q также
равноудалена от А и В, но на расстояние 20. Найдите длину отрезка
PQ, если известно, что она меньше длины отрезка АВ.
► 7. Из деревни Аниково в деревню Волково вышел пешеход. Через 20 минут
ему вслед выехал велосипедист и приехал в Волково на 5 минут
раньше пешехода. Какую долю пути пешеход прошёл пешеход к моменту
встречи с велосипедистом, если они всё время двигались с постоянными
скоростями?
► 8. Из точки, взятой на окружности, проведены две хорды, образующие
угол в 45°. Длина отрезка, соединяющего середины этих хорд, равна
2. Найдите длину радиуса окружности.
► 9. Решите уравнение С08а; + вш2х _
cos3x
* 10. Решите систему уравнений
Г 2х2 + ху = 8х- 3&,
у2 + 2ху = Ъх- 2у.
► 11. Рёбра куба равны 1. Найдите расстояние между серединами его
скрещивающихся ребер.
► 12. Найдите все положительные числа х, удовлетворяющие неравенству
log3(x + 1) ■ log2(x2 + 3z + 6) ^ 4.
2011 год
Олимпиада «Ломоносов»
► 1. Два поезда, содержавшие по 15 одинаковых вагонов каждый, двигались
навстречу друг другу с постоянными скоростями. Ровно через 28 с
после встречи их первых вагонов пассажир Саша, сидя в купе третьего
вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Валерой, а ещё через
32 с последние вагоны этих поездов полностью разъехались. В каком по
счёту вагоне ехал Валера?
* 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости
системой
Г VI - х + 2х ^0,
( - 1 - х2 < у ^ 2 + у/х.

850
Варианты вступительных экзаменов
*■ 3. Из шара какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную
четырёхугольную пирамиду с ребром основания 14 и апофемой 12?
*■ 4. Решите неравенство
log5(5j;2 + 2х) -logb (5 + -) > log55:r2.
► 5. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке К.
Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности в точке L,
причём AL — 10. Найдите BL, если АК : ВК = 2:5.
► 6. При каких значениях а, Ь и с множество действительных корней
уравнения ,. л о
х + 2х + ах' + ох = с
состоит в точности из чисел —1 и 1?
► 7. Какое наименьшее (одинаковое) число карандашей нужно положить в
каждую из 6 коробок так, чтобы в любых 4 коробках нашлись карандаши
любого из 26 заранее заданных цветов (карандашей имеется достаточное
количество)?
*■ 8. Функция у — /(£) такова, что сумма корней уравнения /(sin x) = 0 на
равна 337Г, а сумма корней уравнения /(cosж) — 0 на
отрезке
отрезке
отрезке
¥;2тг
" > 2
равна 23тг. Какова сумма корней второго уравнения на
Дополнительное вступительное испытание по математике
Начиная с 2011 года на некоторых факультетах МГУ проводится
дополнительное (по отношению к ЕГЭ) вступительное испытание по математике.
► 1. Вычислите значение функции х2 — 0,625а: — | в точке х = |.
► 2. Решите уравнение
► 3. Решите уравнение
► 4. Решите неравенство
(sin х + cosz) = 1.
log2(3z-4)=log4(2-x).
V Ъх + 3 — 1
> 1.
V3x + 2-1
*■ 5. Медианы AL и ВМ треугольника ABC пересекаются в точке К.
Найдите длину отрезка СК, если АВ = /3 и известно, что вокруг
четырехугольника KLCM можно описать окружность.
►■ 6. Найдите наибольшее из значений функции
9х
4х - 6х + $х
и точку х, в которой это значение достигается.

2012 год
851
*■ 7. В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 5, лежат два
шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости
основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар касается
двух других боковых граней куба, плоскости основания и первого шара.
Чему равен радиус второго шара?
► 8. Решите систему неравенств
( 2ж2 + 4ху + Ну2 ^ 1,
[4х + 7у^3.
2012 год
Олимпиада «Ломоносов»
► 1. Найдите первый член арифметической прогрессии а1; а2,..., если а^ —
= 0, а произведение чисел 5"1, 5°2,..., 5"24 равно их среднему
арифметическому.
► 2. Найдите все целочисленные решения уравнения
arccos sm о
2
= о.
*■ 3. В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок
первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника
и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между
детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить
поровну не удалось?
► 4. Найдите все значения а > 0, при каждом из которых из неравенства
я2 + у2 ^ а следует неравенство (х + 3)(]у| + 3) ^ 25.
► 5. Точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности.
Продолжение отрезка ВО за точку О пересекает описанную вокруг
треугольника ABC окружность в точке D. Найдите угол В, если OD — 4.АС.
► 6. Найдите область значений функции
!*../!
f(x) = log2 x ■ log2 — ■ i/log3(27 - За:) ■ log3 .
.ту К — ox
*- 7. По деревянному бруску (прямоугольному параллелепипеду) высотой 25
и площадью основания 60 делаются последовательно два плоских
параллельных наклонных среза: второй — на 2 ниже первого. После первого
среза, наивысшая и наинизшая точки которого находятся на высоте 15
и 10, остаётся нижняя часть бруска, которую перед вторым срезом
можно повернуть на любой угол вокруг вертикальной оси, проходящей через

852
Варианты вступительных экзаменов
центр симметрии основания бруска. Каков наименьший возможный
объём верхнего кусочка, отсекаемого от этой части вторым срезом?
► 8. В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек,
причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое
наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке
друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех
посетителей?
Дополнительное вступительное испытание по математике
► 1. Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны
— | и |, а свободный член равен —2.
►• 2. Вычислите log2 loggl ~~.
► 3. Решите неравенство
{9х - 3*+2 + 14) ■ V4 -2х ^ 0.
► 4. Решите уравнение
sin3# ~ v 2 cos ж — sinz.
► 5. Найдите площадь фигуры, состоящей из точек (х,у) координатной
плоскости, удовлетворяющих уравнению
|ж| +jz + 3y| + 3|y-2| =6.
*■ 6. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника ABC в точках D
и Е соответственно и пересекает сторону АС в точках F, G (точка F
лежит между точками А и G). Найдите радиус этой окружности, если
известно, что AF - 5, GC - 2, AD : DB = 2 : 1 и BE = EC.
►• 7. Определите, при каких значениях параметра а уравнение
ау/х + у — у/Ъх + 2у/у
имеет единственное решение (х,у).
► 8. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ABC со
сторонами АС = ВС = 5 и АВ = 6, боковые ребра AS, BS и CS
пирамиды равны соответственно 7, 7 и 4. Прямой круговой цилиндр
расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно
одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность
нижнего основания лежит в плоскости ABC и касается прямых АС и ВС.
Найдите высоту цилиндра.

2013 год 853
2013 год
Олимпиада «Ломоносов»
*■ 1. На покраску дома жёлтой краски потребовалось на 20% больше, чем
белой, а коричневой краски — на 25 % меньше, чем жёлтой. На сколько
процентов коричневой и жёлтой краски суммарно потребовалось больше,
чем белой?
► 2. Решите уравнение fftcosx + /2|sina;| = 2.
► 3. Решите неравенство
bg^+^+sOc - 4)2 ■ log_x2+3X+i(3 - xf ^ 0.
► 4. В трапеции ABCD, где ВС \ AD, а диагонали пересекаются в точке О,
на отрезке ВС выбрана такая точка К, что В К : С К = 2 : 3, а на отрезке
AD выбрана такая точка М, что AM : MD = 3:2. Найдите площадь
треугольника COD, если AD = 7, ВС = 3, КМ = 6, a cos ACAD = |.
*■ 5. Функция / с областью определения D(f) = [1; +оо) удовлетворяет
равенству
/(
4У + 4~у-
= У
2
для любого у ^ 0. Для каждого значения а ф 0 решите неравенство
J х + 2а/
^ 1.
► 6. В коробке у Маши лежат 25 новогодних шаров, которыми Маша
начинает украшать ёлку. Каждый шар она сначала в течение 10 с выбирает
в коробке, а затем в течение 15 с вешает на ёлку. Два её младших брата
Саша и Паша незаметно снимают шары с ёлки и прячут среди своих
игрушек. Дождавшись момента, когда Маша начинает искать в коробке
очередной шар, один из братьев (но не оба) может снять с ёлки один
шар, на что ему требуется ровно 10 с. После этого на то, чтобы
спрятать украденный шар, у Саши уходит 50 с (после чего он готов красть
с ёлки следующий шар), а у Паши — 1 мин и 50 с. Какое наименьшее
число шаров может висеть на ёлке в тот момент, когда Маша повесит
свой последний шар?
► 7. Три велосипедиста одновременно начинают двигаться в одной плоскости
по трём концентрическим окружностям с общим центром О и радиусами
20 м — для первого, 40 м — для второго и 80 м — для третьего
велосипедиста. В начальный момент времени велосипедисты находятся на
одном луче с вершиной в точке О. Все велосипедисты движутся против
часовой стрелки с постоянными скоростями, причём скорость первого

854
Варианты вступительных экзаменов
велосипедиста вдвое больше скорости второго, но вдвое меньше
скорости третьего. Велосипедисты продолжают своё движение до тех пор,
пока не закончит свой полный круг последний из них (тот, кто
потратит на объезд своего круга больше всего времени). Сколько раз за это
время они окажутся на одной прямой, не проходящей через центр О?
*■ 8. В пирамиде FABC выполнены равенства АВ = ВС, FB = FK, где К —
середина отрезка АС, а тангенс угла между плоскостями FAB и ABC
относится к тангенсу угла между плоскостями FBC и ABC как 1 : 3.
Некоторая плоскость, параллельная АВ, делит ребро FC в отношении
1 : 4, считая от вершины F, и проходит через основание О высоты
FO пирамиды FABC. Найдите отношение объёмов многогранников,
на которые эта плоскость делит пирамиду FABC.
Дополнительное вступительное испытание по математике
*■ 1. Старший коэффициент квадратного трехчлена f(x) равен 2. Один из его
корней равен |. Найдите второй корень, если известно, что /(0) = 3.
*• 2. Вычислите log12 3 • log9 12.
► 3. Решите неравенство
9(1 + 51-2х)"^ - ^(52ж + 5)* ^ 6* -5*.
► 4. Решите уравнение
sin 5a; cos5z _ sin ж cos ж
sinz cosx sin5z cosSz
* 5. В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее
отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть 500
метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же
самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелым», развернулся
и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от
«Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого»
до «Быстрого», на «Смелом» осознали, что они идут с «Быстрым» на
одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему.
В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите
расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба
катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.
► 6. Трапеция ABCD вписана в окружность радиуса R и описана около
окружности радиуса г. Найдите г, если R — 12, а косинус угла между
диагональю АС и основанием AD равен |.
► 7. В основании прямой призмы АВСА'В'С лежит прямоугольный
треугольник ABC, такой что АС = ВС = 1. На ребре А'В' верхнего
основания (параллельном АВ) отмечена точка D так, что A'D : DB' = 1:2.

20Ц год
855
Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, если высота
призмы равна 1.
►■ 8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
sinf х Н— I = х + 1
имеет бесконечно много решений.
2014 год
Олимпиада «Ломоносов»
► 1. Найдите все значения а, при каждом из которых сумма модулей корней
квадратного трёхчлена х2 + 2ах + 4а равна 3.
*■ 2. Маша выписала на доске подряд все натуральные числа от 2 до 2015.
Пришёл Ваня и заменил каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришла
Таня и сделала то же самое с получившимися числами. Так продолжалось
до тех пор, пока на доске не осталось 2014 однозначных чисел (цифр).
Какова сумма всех оставшихся чисел?
► 3. Среди всех прямоугольников, вершины которых лежат на сторонах
данного ромба, а стороны параллельны диагоналям ромба, наибольшую
площадь имеет прямоугольник, отношение сторон которого равно 2.
Найдите острый угол ромба.
*• 4. Найдите все пары (а, Ь), при которых множество решений неравенства
log2014(ar - а) > 2х2 —х — Ь
совпадает с промежутком (0; 1).
*■ 5. Найдите все значения а, при каждом из которых нули функций
f(x) = sin (у-а)
д(х) = 2 sin 2х - 4 sin (х - ^ J - /з
строго чередуются на числовой оси.
► 6. Для охраны объекта в течение 5 суток заказчик договорился с
охранниками о следующем: все они укажут отрезки времени своих
предполагаемых дежурств с единственным условием, чтобы их объединение
составляло заданные о суток, а он выберет из этих отрезков любой набор,
удовлетворяющий тому же условию, и оплатит работу из расчёта 500
руб. в час каждому дежурному. Какая наименьшая сумма денег,
заранее подготовленная заказчиком, позволит ему наверняка расплатиться
с охранниками?

856
Варианты вступительных экзаменов
*■ 7. В правильную треугольную призму ABC ABiCi вписан шар радиуса
/2. Найдите площадь боковой поверхности вписанного в шар прямого
кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей
через точку А и середины рёбер ВВХ и CCi.
> 8. Прямоугольная таблица состоит из 5681 одинаковой клетки. Петя и Вася
пронумеровали клетки натуральными числами 1,2,..., 5681 подряд.
Петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку,
затем вторую и т.д.), а Вася — по столбцам сверху вниз (сначала
первый столбец, затем второй и т.д.). Оказалось, что ровно в 5 клетках их
номера совпали. Чему равна сумма числа строк и числа столбцов в этой
таблице?
Дополнительное вступительное испытание по математике
► 1. Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением
А
7-ф/з(8 + 4>/5).
► 2. Найдите максимальное значение функции log,^^2 — Qx + 17).
* 3. Найдите все положительные х, удовлетворяющие неравенству
х3х+7>х12.
► 4. Решите уравнение
2 . 2/§Х 57Г  1
cos х — cosxsm I —— — I + т = О-
ч 4 12/ 4
► 5. Окружности Ui и Г&2 с центрами в точках 0 и Ог касаются внешним
образом в точке А. Общая внешняя касательная к этим окружностям
касается f!i и ГЬ и соответственно в точках В и В%. Общая касательная
к окружностям, проходящая через точку Л, пересекает отрезок В1В2
в точке С. Прямая, делящая угол АСО2 пополам, пересекает прямые
0В, 0Oit O2B2 в точках D], L, D2 соответственно. Найдите
отношение LD-i : O2D2, если известно, что CD = СО.
► 6. Найдите все положительные х, у, удовлетворяющие системе уравнений
| я3'2 + у = 16,
i х + у2/3 = 8.
► 7. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со
стороной 1. Высота призмы равна у/2. Найдите расстояние между
скрещивающимися диагоналями боковых граней.
*- 8. Пусть ,.
f{x,y) = v'-6z2 - 14у2 - %ху + 6 +у,
в(х, У) = -/-б£2 — 14у2 - lSxy + 6 + у.
Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих
функций.

2015 год 857
2015 год
Олимпиада «Ломоносов»
*■ 1. В ящике лежат 100 разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных,
13 жёлтых, 19 синих, 11 белых и 9 чёрных. Какое наименьшее число
шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них
заведомо оказалось не менее 15 шариков одного цвета?
►■ 2. Найдите главный (наименьший положительный) период функции
у — (arcsin(sin(arccos(cos3z))))
► 3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и DB
перпендикулярны сторонам DC и АВ соответственно. Из точки В проведён
перпендикуляр на сторону AD, пересекающий АС в точке О. Найдите АО,
если АВ = 4, ОС = 6.
*■ 4. Найдите наибольшее значение х + у, если числа х и у удовлетворяют
неравенству
2
*■ 5. Отрезок АВ — 8 пересекает плоскость а под углом 30° и делится этой
плоскостью в отношении 1 : 3. Найдите радиус сферы, проходящей через
точки А и В и пересекающей плоскость а по окружности наименьшего
радиуса.
► 6. Какие из следующих трёх значений а: а) а = 0, б) а — |, в) а — 2 —
удовлетворяют следующему условию: для любого натурального п и для
любого набора чисел xi,... , хп & [0; 3] уравнение
п
У х — Xi = an
i=l
имеет на отрезке [0; 3] хотя бы один корень?
► 7. Каков минимальный объём пирамиды, у которой в основании лежит
правильный треугольник со стороной 6, а все плоские углы при вершине
равны между собой и не превосходят 2arcsin g?
► 8. Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-
значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной
записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3
получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С
полученным числом она опять проделала ту же операцию и т. д. После
многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа
перестали меняться, и тогда она остановилась,
а) Какое число оказалось у Маши в конце?

858
Варианты вступительных экзаменов
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале
(укажите две его последние цифры)?
Дополнительное вступительное испытание по математике
► 1. Найдите /(2), если f(x) = f + J + -L.
► 2. Найдите сумму квадратов корней уравнения х2 — 7х + 5 = 0.
► 3. Решите неравенство cosx + /2cos2z - sinz ^ 0.
► 4. Решите уравнение log,,. 2х2 — 3| — 41ogi2x2_3| ж-
► 5. Окружность радиуса | касается середины стороны ВС треугольника
ABC и пересекает сторону АВ в точках D и Е так, что AD : DE : ЕВ —
= 1:2:1. Чему может равняться АС, если ABAC = 30°?
► 6. Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав треть
пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед
безнадёжно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся
велосипед и пошёл пешком обратно в пункт А за новым велосипедом.
В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий. На
каком расстоянии от пункта А он встретит Василия, если пункт Б отстоит
от пункта А на 4 км, а Василий доберется до пункта А тогда же,
когда Григорий до пункта Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода
считать постоянными.
* 7. В правильную треугольную призму с основаниями ABC, A'B'C и
боковыми рёбрами АЛ', ВВ', С С вписана сфера. Найдите её
радиус, если известно, что расстояние между прямыми АЕ и BD равно
/13, где Е и D — точки, лежащие на А'В' и В'С соответственно, и
А'Е : ЕВ' - B'D : DC = 1:2.
* 8. Найдите все пары (а,/?), при которых достигается минимум выражения
4-3sina 2 + cos2a Д2 + fi + 1 УД + 1
2 + cos 2a + /З2 + Q + 1 + /Д+1 +4-3sina'
2016 год
Олимпиада «Ломоносов»
►■ 1. Незнайка прыгал от своего дома к дому Знайки. Три четверти пути он
пропрыгал прыжками, длина которых равна двум его обычным шагам,
а остальную четверть пути — прыжками, длина которых равна трем
его обычным шагам. Оказалось, что прыжков в два шага было на
350 больше, чем прыжков в три шага. Сколько обычных шагов от

8016 год
859
дома Знайки до дома Незнайки? Считайте, что все шаги у Незнайки
одинаковые.
2
*■ 2. Найдите все решения уравнения arcctg2 x — 3arctg2 х + fg .
► 3. Том Сойер, Сид Сойер и Гек Финн красили забор. Вначале Том красил
один в течение времени, за которое Сид и Гек, работая вместе, могли бы
покрасить половину забора. Затем красил один Сид в течение времени,
за которое Том и Гек, работая вместе, могли бы покрасить | всего
забора. Потом красил один Гек в течение времени, за которое Том
и Сид, работая вместе, могли бы покрасить четверть всего забора.
В результате весь забор был покрашен. Во сколько раз быстрее они
окончили бы работу, если бы с самого начала все время работали вместе?
(Предполагается, что скорость работы каждого мальчика постоянна.)
*■ 4. В треугольнике ABC точки Ai,Bi,Ci — середины сторон ВС, АС и АВ
соответственно. Найдите длину стороны АС, если известно, что сумма
векторов 3 ■ АА + 4 ■ BBi + 5 • СС равна вектору с координатами (2; 1).
*■ 5. Найдите все решения неравенства
(log* (2х - 5) - logf (7 - 2s)) (cos(ж + т) - cos(2z - 1)) (х - 4| - 2х - 5|) > 0.
► 6. Найдите произведение всех значений х, при каждом из которых
, . х2 — 9а;4-11 /  х2 —9ж+11
( А - Vll] , 2*а-вх+п, Ы4 + VTTJ — арифметическая
прогрессия.
►■ 7. Найдите наибольшее значение объема треугольной пирамиды, у которой
противоположные ребра попарно равны, а сумма длин всех ребер равна
36/2.
► 8. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из множества всех
нечетных чисел, лежащих между 16 и 2016, чтобы ни одно из выбранных
чисел не делилось ни на одно другое?
Дополнительное вступительное испытание по математике
► 1. Найдите /(f), если }{х) = ^ + |.
► 2. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения
х2 + ах — 6 — 0
равна 5. Найдите все возможные значения а.
*■ 3. Решите уравнение 2 cos2 х + 3 sin 2х = 4 + 3 cos 2x.
► 4. Решите неравенство log1_lo ^(1 + logx 3)^1.
► 5. Две окружности касаются внутренним образом в точке Т. Хорда АВ
внешней окружности касается внутренней окружности в точке S.
Прямая TS пересекает внешнюю окружность в точках Т и С. Найдите пло-

860
Варианты вступительных экзаменов
шадь четырехугольника ТАСВ, если известно, что С В = ВТ — 3, а
радиусы окружностей относятся как 5 : 8.
► 6. Ровно в 9:00 из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две
третьих пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо
него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый
момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А
выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее
наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем
самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А,
если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в 11:00? Скорости
велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.
*■ 7. В основании правильной пирамиды с вершиной S лежит шестиугольник
ABCDEF со стороной 14. Плоскость я- параллельна ребру АВ,
перпендикулярна плоскости DES и пересекает ребро ВС в точке К так,
что ВК : КС = 3:4. Кроме того, прямые, по которым л- пересекает
плоскости BCS и AFS, параллельны. Найдите площадь треугольника,
отсекаемого плоскостью 7г от грани CDS.
► 8, Найдите наименьшее значение выражения
л/106 + log„ cos ax + loga cos10 ax + у 58 + log2, sin ax - loga sin6 ax +
+ ^5 + log2 tgax + loga tg2 ax
и все пары (а, х), при которых оно достигается.

Ответы, указания, решения
1. Домашние задания
► УРОК 1. 1. тг + 2птг, ±§тг + 4тиг,п e Z. 2. 2птг, (-1)п§ + 2птг,п G
Z. 3. f + ^, ±f + птг, п € Z. 4. f + M, (-l)"+i ■ ^ + f, п £ Z.
5. ±arccos(^|=^) + 2шг, п £ Z. 6. (-1)" arcsin(^ylO) + П7Г) n e Z.
7. ±arccos(l- >/2) + 2птг, n € Z. 8. (~l)*+1f + Ьг, fceZ.9. (-l)"f+mr, тг G
Z. 10. ± arccos( -V^|-~?) + 2п7Г, тг £ Z. 11. Выразить cos2x и sin3z через
sin ж. Ответ: mr, (-l)nf + птг, п € Z. 12. 2tv + 4mr, (—l)"f 7r + 4птт, neZ.
13. Выразите cos4x, sin2 x и sin2 2ж через соз2ж. Ответ: шг, ±| + шг, n£Z.
14. ±arccos| + 2mr, n G Z. 15. -f+ (-l)"f +П7Г, neZ. 16. Воспользуйтесь
тем, что sin4 ж + cos4 x = 1 - 2 sin2 ж cos2 ж. Ответ: ±| + Iy:, n £ Z. 17. 0.
18. (-1)"^ + ^, | • (-l)fe arcsin ^ + f, n £ Z. 19. | + f, n e Z.
20. arctg3 + mr, arctg2 + mr, neZ. 21. f + mr, ((-1)" - l)f + ™, n G Z.
22. -f +П7Г, arcctg2 + mr, n G Z. 23. |(-6 + (-l)"f + mr), neZ.
► УРОК 2. 1. ^, ±(-l)narcsin уД + птг, тг G Z. 2. f + 3f, ± arccos(±^) +
27m, n G Z. 3. Приводится к виду (sinz — cosz)(l + 2йшж) = 0. Ответ:
f+ П7Г, (-l)fc+1£+mr, nG Z. 4. -f+П7Г, ±^ + 2mr, n e Z. 5. ±| arccos | +
тгл-, ±|arccos(—|) + mr, n G Z. Переписать уравнение в виде 5^ж +
^Зж) = tg2ж — tgж и, расписав все через синусы и косинусы, привести
правую и левую части к общему знаменателю. 6. mr, ±|- + mr, n G Z.
7. -f+П7Г, -f ±f + 2шг, n G Z. 8. -f ±arccos(-i^zi)+27rn, n G Z. Привести
уравнение к общему знаменателю sin ж • cos ж. После этого ввести новую
переменную у — совж —этж. Тогда sin ж cos ж = ~£ ■ 9. — j + mv, (~l)n~ +
у, и е Z. 10. тг, -~ + тг, - arctg 3 + П7Г, п G Z. 11. тг, n G Z.
12. ( —1)™! + тг, 2тг, — 2arctgijr + 2шг, n e Z. Привести уравнение к
виду (2 sin ж - 1)(2сояж - sin ж - 2) = 0. 13. -| + (-l)"+1f + птг, n G Z.
Привести уравнение к виду (sin ж + cos ж +1) (sin ж + cos ж + sin ж cos ж — 2) — 0.
Приравнивая вторую скобку к нулю, сделайте подстановку у = sin ж + cos x.
14. -2- + П7Г, п G Z. 15. | +П7Г, ±|+2п7г, п € Z. 16. шг, ±|яЧ-2п7Г, n G Z.
17. (—l)"arcsin| + n7r, — f+ (±|7r + 2mr), п G Z. Привести уравнение к виду

862
Ответы, указания, решения
►
(3sina: — l)(cosz — sina; + 1) = 0. 18. тг + 2га7г, arctg| + n7r, га G Z. Привести
уравнение к виду (sin а; + соях + 1)(2 sinх — 3cosx) — 0. 19. ±-| + 2гстт, j +
гатт, n G Z. Привести уравнение к виду (2 cos a; — l)(tgx + ctgz — 2) = 0.
20. ± arccos ^^ + 2п7г, arctg 5 + гатг, n e Z. Привести уравнение к виду
(cosz + Sin2z)(^b-iI^)-0.
УРОК 3. 1. f+шг, - arctg3 + птг, n € Z. 2. 2arctg(1^v^) + 2гатг, n e
Z. 3. arctg( ~'irt^1) + птг, n G Z. 4. -f + птг, -arctg3 + птг, n e Z.
5. -f + шг, arctg 5 + гатг, n € Z. 6. (-l)n+1f + птг, пб Z. 7. arctgf^1) +
П7Г, n e Z. 8. f + 2mr, -2 arctg | + 2птг, и G Z. 9. f + гатг, -| + гатг, ra G Z.
10. | arctg V3- + |птг + |, n G Z. 11. arctg | + птг, ra G Z. Раскрыть все
двойные углы. Кубы сократятся при приведении подобных членов. 12. -^ +
'-f, пф 9fc + 4, n,fc € Z. 13. 2arctg| + 2n7r, n G Z. 14. f+ 2гатг, 2гатг, n G Z.
15. ±( — 1)" arcsin | + Ti7T, Zra. Записать уравнение в виде 4 tgЗа: — 4tg;r =
tg3z + ctg2ar, расписать все через синус и косинус и привести левую и
правую часть к общему знаменателю. 16. |+птг, arctg(—l±y/2) + nir, га G Z.
17. f + Ч*, ±|arccos(^pL) + птг, и G Z. 18. f + птг, 2птг, га е Z.
19. птг, ±arctg-4s + гатг, n G Z. Представить уравнение в виде 4(tg4x —
tg3x) = tg2z(tg3artg4a: + 1) и заметить, что tg3ztg4ar + 1 = cos 3°sc4 ix ■
20. log2(f + птг), n > 0, ra G Z.
► УРОК 4. 1. 2ТИГ, §тг + 2птг, §тг + ^f, га G Z. 2. §гатг, f + птг, тг +
2гатг, п G Z. 3. 2гатг, | + гатг, -f + птг, п G Z. 4. ±f + птг, | + птг, -f +
П7Г, га G Z. 5. гатг, ±^arccos| + гатг, га G Z. 6. ±|arccos( —|) + птг, га 6 Z.
7. ±arctg(^f=^)+nTr, n G Z. 8. ±1±^/1 + f + 2птг, га G Z, п ^ 0. 9. гатг, не
Z. 10. § + птг, ±aiccos(^fl) + *f, га G Z. 11. arctg(i^) + птг, га G Z.
12. птг, f + -лтг, raGZ. 13. ±§ + 2птт, га € Z. 14. arctg( -^-Wt^+^'+l) +
for, k,n € Z, arctg(4"+1±>/(24'"+1)2~4) + Ztt, ra,/ G Z, га / 0. 15. § +
гатт, га 6 Z. 16. Решения есть только при — 2 ^ а < 2. При таких а
имеем i = ±^агссов(^=Я) + гатт, га G Z. 17. -3±V^+ га G Z, га ^ 0.
18. 2гатг, п G Z. 19. ±£ arccos | + *f, га € Z. 20. ± arccos(-|) + ?f, га е Z.
21. -§ + 2гатт, га G Z. 22. ±f ± arccos ^ + 2птг, га G Z. 23. § + ™, га G Z.
24. Ш£, ±| + 2гатг, п G Z. 25. (-1)" arcsin(±^) + птг, га G Z. 26. ±§тг +
2гатг, га G Z. 27. f + птг, ±* + 2гатг, га G Z 28. тг + 2гатг, (-1)"^ + ¥> п G
Z. 29. f + гатт, га G Z. 30. ±| + 2птг, га G Z. 31. ±§ + птг, га G Z.
32. fL + ^ | + ^L; n G z. 33. ^ + if, i + i|L7 n e Z. 34. f, nGZ.
► УРОК 5. 1. (1 + (-1)п)у5 + ¥> ^eZ.2.-arccos ^|= + (~l)"f+П7Г, ra G Z.
3. |тг + |гатг, §7r + 2гатт, га e Z. 4. - arccos | + f + 27*тг, га G Z. 5. 0.
6. fL + (-1)»| + '-f, ra G Z. 7. гатг, - | + (-l)"f + гатг, га € Z. 8. arccos | +

1. Домашние задания
863
f + 2птг, п€ Z. 9. -£ + шг, n£Z. 10. 0. 11. -f+ТИГ, (-l)"f+шг, neZ.
12. f+ 2П7Г, ajccos^ + (-l)"+1arcsm^+mr, n. € Z. 13. f + 2nn, -f+
2п7г, n G Z. 14. 7Г + 2п7г, -arccos-^ + (-1)"+1 arcsin r^= + шг, n £ Z.
15. -f + 2П7Г, ±2arccos| + 4шг, n G Z. 16. 0. 17. |тг + 2шг, n G Z.
Переписать уравнение в виде sin 18ж ■ sin ж + cos ж = ^ sin(3x 4- f) 2 и
представить левую часть как у/ 1 + sin2 18x-sin(z+£/:), где cos</? — —
sin 18x
V'l+sin2 18a:
и sin <р = —;====. Посте этого заметить, что левая часть не меньше — у 2,
у 1 -|-sin2 18a;
а правая — не больше — у^, откуда следует, что и левая и правая части
равны —у/2. 18. | + 2п7г, n e Z. 19. Если а = 2га7г, где га — целое число, то
х — любое действительное число. Если а ф 2птт, то ж = 7г + 2fc?r, ж — а + л- +
2А;7г, /г £ Z. 20. Решения есть только при а = ±arccos(--^) + 2п7г, neZ,
Если а = arccos(--^) + 2п7Г, n G Z, то ж = — j + 2ктт, к 6 Z, a если
а = — arccos( — -1=) + 2пк, п G Z, то ж — |-7г + 2fc7r, fc G Z.
Д
► УРОК 6. 1. ж = |+п7г, у = arctg2 + m7r, г = ^р—arctg2 —7г(т+га), m,n G
Z или ж = — | + птг, у — -arctg2 + тк, z = —- + arctg2 - 7г(т +
f ж= f + |(2/ + А)тг, Г ж = -тг - 2(2/ + А)тг, , , „
n),m,neZ.2.^=| + ^_^; M6Z;{J = _f_,l№ + ^ М 6 Z;
Г х = ~тг + 2(2/ - fc)7r, . . fx=^r(fc-2f), , , „ /х = (* + 1)тг,
^;ez;r.:i; ;;: ^^ v,;:' Mez.3.* = i(-i +
X = § + 2fc7T, J * = ¥ + 2fe7r>
У = ±| + 2/тГ, *'' ^ A'  у = ±|+2/7Г,
(-l)narcsin(*=§^) + птг), У = §(f + (-l)"arcsin(^|^) + птг), и Ё Z.
4. Ж = П7Г, у = I — П7Г, П G ZjT = § + П7Г, J/ = — П7Г, П G Z.
Г х = | + (fc - l)ir,
5. ж = ^&7Г, у = (fc - n)jr, fc,n G Z. 6. < _ ы k,l G
fx=f+№-2i„, /-*ft'+(*-2''"-MeZ.7.,=
[ у = /тг. [ у = ±з + Ьг,
(-l)"arcsin(l - 4-) + птг, у = ±arccos(2 - /2) + 2/стг, п,к G Z. 8. ж =
2тг + 4А;тг, у = ±§ + 4/тг, l,lt G Z, ж = ±|4£тг, у = 2тг + 4/тг, i,fc e Z.
9. ж= (-1)"| +шг, у = (~1)"+1£ + arctgf + тг(т~п), п,т G Z. 10. ж =
-f, у = ± arcsin ^ + п7г, neZ; a; = -f-3f, y = ± arcsin у'^+шг, п G
( Х=(-1)п(±*)+ШГ, Г±§+2Ьг,
Z. 11. < V , , , n,k € Ъ. Ъ.  ° . ,,„, , n,fc е Z.
13. ж = (-l)"+1f +П7Г, у = ±f +2fc7r, n,fcGZ. 14. ж = ±§ + (А; + /)тг, у =
±| + (fc — /)тг, /,fc G Z. Важно проверить, что найденные решения входят

864 Ответы, указания, решенья
в ОДЗ. 15. х = -f + {2k + l)n, у = -f + {2k - 1)ъ, l,k € Z. 16. x =
(-l)nf+шг, у = f+for, n,keZ. 17. x = f+ ^, у = f+Ьг, n,k&Z. 18.
Решения есть только при -| + arccos^=+n7r ^ а ^ — ^+arcsin г^+^л", n G Z
и при ^ — arcsin ~j= + пя" ^ а ^ ^f- — arccos -^= + П7Г, neZ. При таких а
имеем
х = а +/3 + 7г(А;-И), Г ж = -а + /3 + п{к + /), Г ж = а - /3 + тг(& + Г),
у -. -QI + /3 + тг(г — А),  у = а + ,б + 7r(f - Л),  у - а +/3 + тг(2 - fc),
х— -су -/3 + тг(й + 0,
y = a-/3 + 7r(f-fc), ' '*'' " "''«-- - 2
/3 — | arccos(|(—sino + coso)). 19. Решения есть только при 0 ^ а ^
5-. При таких а имеем < или < , где а —
й { у = ±/3 + Ш7Г, [ У = ±а + гпп,
arccos л/ 2±^, /3 = arccos J—f^, 20. Решение есть только при |а| ^
Jb-х гт /*=|((-1)па + (-1)'/9 + (" + 0*),
0 . При таких а имеем < , , где а =
2 р=£((-1)»а-(-1)'0 + (П-ад,
arcsin(a2 + а), /3 = arcsin(a2 — о), п,1 б Z. 21. При любых а > 1 решениями
системы будут
, fc,f 6 Z, где а — | arccos(|(sina + coso)) и
ж — £ + 7r(m + п), I х = ±4 arccos 2^- + тс[т + и)
у = f + птг, I у = ±| arccos 2±i -I- ят,
► УРОК 7. 1. Записать доказываемое равенство в виде arctgz = | — arcctga;
и проверить, что для правой части выполнены все условия определения
арктангенса. 2. Проверить, что справа, по определению, стоит arctg(—x).
3. Проверить, что справа, по определению, стоит arcctg(—x). 4. Обозначить
arctgx через а. Зная, что tga = x, найти sin а. Не забыть, в каком
промежутке лежит а. 5. Обозначить arcsin x через а. Зная, что sin a — х, найти
tga. He забыть, в каком промежутке лежит а. 6. Обозначить arccosx через
а. Зная, что cos а — х, найти tga. He забыть, в каком промежутке лежит а.
7. Использовать тождество tga = ^Га- 8. Проверить условия в определении
арксинуса для левой части (ибо вы должны доказать, что левая часть есть
арксинус сложного выражения в правой части). Данная формула не верна
без указанных ограничений на х и у. Как вы используете их в своем
доказательстве? 9. Не верно для х = у = 1. 10. Проверить условия в определении
арктангенса для левой части (ибо вы должны доказать, что левая часть
есть арктангенс сложного выражения в правой части). Данная формула не
верна без указанных ограничений на х и у. Как вы используете их в своем
доказательстве? 11. Не верно для х = у — 1. 12. Зя- — 10. 13. 4тг — 10. 14. |.
15. тт. 16. 0. 17. ± cos JL, ± cos f|. 18. , ^.
► УРОК 8. 1. 3, 11. 2. 0 3. (-оо,0]. 4. [1,+сс). 5. [-3,-2] U [2,3].
б. (-оо,-2] U [2,+оо). 7. [|,3]. 8. ±3,±1. 9. [1,2) U (3,4]. 10. (-оо,6].

1. Домашние задания
865
И- [-1,0]. 12. 0 13. -1. 14. I =1±^S. 15. (-оо^! _ ^] U [1 -
А-Кх>). 16. (-0O>=^)U(=S^)=S±y|4)U(=2^2|i+oc)> 17> м_
18-(i'¥), (§,£)■ 19. (2,1), (О."»). (-6,9). 20. (ОД), (lj0)j (L^5>i^S)i
- УРОК 9. l. 1. 2. 2. 3. (-oo,^) U (1,^). 4. (_£}) и (2,+ос).
5- (-4,-3) U (1,+оо). 6. (-00,-3) U (2,3). 7. (-oo,-i). 8. („00> n и
(2,+оо). 9. (-оо,1) U (2,3). Ю. (2,+сс). 11. (±, 1) U (2, +оо). 12. [-3,+оо).
13. (-оо,-2) U (-1,1). 14. (-оо,-1] U (1,+со). 15. (-00,-2] и [2,3) U
(4,+оо). 16. (-1,-^)U(0,^). 17. (-2,l)U(3,+oo). 18. (-oo,0)U(l, +oo).
19- (-оо,+оо). 20. (-ос,0).
> УРОК Ю. 1. 2,-1. 2. 5. 3. 2. 4. 8. 5. -1. 6. 1. 7. 2. 8. (-оо,-|).
9- [-46,3]. 10. [-27,9). 11. [1,|). 12. [2,3] 13. [-6,-4 + ^2). 14. (-1,15).
15. [-5,-1)и(1,+оо). 16. [-6,0) U (3,4]. 17. [-5,-2=*% 18. 3, [-2,-1].
19. -3, 2. 20. О, 3. 21. [4, ff) U (8, +оо). 22. [-1 - 2л/13, -5) U (1, -1 + 2у/Щ.
23. [2±^)+00). 24. _б, [-1,+оо). 25. (-оо,-±). 26. -i. 27. (-оо,7], 10.
28. (-оо, -7) U (-5,3] U [2, +оо). 29. (-оо, -7) U [2, +оо). 30. [-9, М±|^9).
> УРОК 11. 1. (-3,12). 2. 0 3. (t,J(l -40), « е R. 4. Если а = -1,
то х = i(l — t), у = £, где £ может принимать любое действительное
значение; если а = 3, то х — |(1 + *)> У = *> гДе * может принимать любое
действительное значение; в остальных случаях х = |, у = 0. 5. (3,-1,2).
6. 3. 7. Этому уравнению удовлетворяет только пара (0,0). 8. —1. 9. xjz —
, yjz = i 10. 4. 11. f = 5 + 5^2 > 12. 12. 11. 13. А. 14. ^1. 15. -А.
►УРОК 12. 1. (1,3), (3,1). 2. (3,2), (-3,-2), {-&,&), (&,-&)•
3- (2.и. t-2,-1). (-*.^«). c^s.-i»)-4- (°.°). (2,-D, {-$,-!).
5- (=i^=l^»,=l^LT), (-^,-^,-^), (ОДД), (1Д1),
nmi ca _ i _ i c_i з _ i (__ _ i з « / v^-i 2 л/2-1 А
^).^=^,^)- 8. (2,1), (-2,1), (2,-1), (-2.-1). 9. (1,4), (4,1),
(=fc^u > zzSzt^Hj , (^S, =^H). 10. (0,0), (-2,1), (1,-2), (6,3), (3,6).
11. (3,2), (-3,-2). 12. (0,0). 13. (5,-2). 14. (^4,9). 15. (|,1). 16. (2,1).
17. (1,1), (^,-Л), (-^ft^.1^)- 18- (1,-1)- Доказать, что
x ф 0 и у ф 0. Выразить из первого уравнения у2 через х и, используя
полученное выражение, доказать, что у2 $ 1. После этого рассмотреть второе
уравнение как квадратное относительно ж и заметить, что его
дискриминант неотрицателен только при у ^ — 1. Отсюда следует, что у = — 1 и
можно легко найти х.

866
Ответы, указания, решения
*• УРОК 13. 1. 2,1 м; 3,6 м. 2. 4 сек, б сек. 3. 45 км. 4. 7 км/час. 5. Скорость
1-й лодки — 6 км/час, скорость второй — 21 км/час, АВ = 45 км. 6. 12 мин,
легковая машина проходит путь АВ за 1 час 36 мин. 7. Не успели. 8.
Разница во времени составила Щ- минут. Большинство уравнений составляется
обычным образом. Условие о том, что бегуны были рядом, в некоторый
момент и через 13 минут после этого момента, означает, что, во-первых,
за 13 минут гонка не закончилась — отсюда получается неравенство. Во-
вторых, разность скоростей бегунов, умноженная на 13, дает целое число
кругов. Используя данные задачи, доказать, что это целое число равно
единице. 9. на 48 минут раньше. 10. 10 час 29 мин. 11. 390 км. 12. 40 км/час
по шоссе и 30 км/час по грунтовой дороге. Пусть х км/час — скорость
движения автобуса по шоссе, а у км/час — по грунтовой дороге. Тогда
— + 2 = —. Если п — число рейсов и t ■■■■- время, потраченное на стоянки,
топоусловиюимеем^ + ^+*< 168 и (Ш™ + ^). *ij/ = 2100-
Обозначив - через z, приведем последнее уравнение к квадратному относительно
z, считая п известным. Условие неотрицательности дискриминанта даст
неравенство п < б. Значит, п = 5. Дальше все легко находится, 13. Первая.
14. Не сможет. Разобрать два случая: автомобиль и мотоциклист
встретились на грунтовой дороге, или они встретились на шоссе. В каждом из
случаев составьте уравнения, найдите все величины и убедитесь, что
автомобилист не успеет приехать в город до указанного времени. 15. 4 часа.
16. 4 км/час. 17. 50 км/час. 18. Пункт D находится ниже по течению. 19. В
4 часа 48 минут. 20. 40 км/час, 60 км/час. 21. 300 км.
► УРОК 14. 1. за Щ- дня. 2. 60 м3. 3. Объем бака А равен 3000 литров,
первый насос накачивает 9000 литров в час, второй насос откачивает 6000
литров в час. 4. 2 часа 30 минут. 5. 15 л/мин, 20 л/мин. 6. через 18 минут.
7. в 1,5 раза больше. 8. 25 человек, 24 чаювека. Если в первой бригаде
— х человек, во второй — у человек, а один человек роет t котлованов
в час, то имеем —^ = ^— | и tijig = j^ — 2. Исключая t, найдем, что
у — х — 1 — 43-+25" ^3 того' нто У — Целое число, следует, что jj+as целое
число. Но при натуральном х у этой дроби числитель больше знаменателя,
отсюда следует, что она может принимать целые значения лишь при х = 25.
9. 390 минут 10. Новый пресс изготавливает 100 деталей в час, старый — 60
деталей в час. 11. Третья. 12. Пусть 1 = 2(с+Л ■ ^-огДа первая
машина выполняет работу за а + Т дней, вторая — за b + T дней, третья —
за с ■ Г дней. Число с может принимать любое значение, большее единицы.
13. 20 деталей в час и 18 деталей в час. 14. В 1,5 раза больше. 15. При
d — 10. 16. Первый рабочий может выполнить всю работу за 2 часа, второй
— - за 4 часа.
► УРОК 15. 1. ^ кг. 2. 18 литров. 3. 60 литров. 4. 3480 кг. 5. 7 кг.
6. Первый слиток в два раза тяжелее второго. 7. 40%-ного раствора было
1 кг, а 60%-ного — 2 кг. 8. 5%, 10%. 9. 4 литра. 10. 10 литров и 90 литров.
11. 170 кг. 12. 15% и 40%. 13. 5 г и 20 г. 14. Вес первого куска — 0,8г - 24,

1. Домашние задания
867
вес второго — 32 — 0,8г. Задача имеет решение при 31,25 ^ г ^ 33,75.
15. 12,5 г. 16. Нужно взять 4 кг 1-й смеси, 1 кг 2-й и добавить 2 кг
вещества Б. 17. 40% и 65%. 18. Первая труба подает кислоту в 2 раза
быстрее. 19. 50%.
►■ УРОК 16. 1. 1 первый набор и 16 вторых. 2. 26 тетрадей в клетку и 31
тетрадь в линейку. 3. 20 рейсов. 4, 1 второклассник, 5 третьеклассников
и 2 четвероклассника. 5. 23 учащихся. 6. 11 двенадцатиквартирных и 1
шестнадцатиквартирный дом. 7. 8 книг. 8. 12 листов. 9. 7 автоматов. Пусть
автомат 1-го типа красит все детали за р часов, автомат второго типа —
за q часов. Пусть х — число автоматов первого типа, у — число автоматов
второго типа, a z — число деталей. Тогда, по условию, рх + qy — 55 и
х ' I + У ' f = z- т,е- § "*" о ~ 1* Перемножив эти равенства, получим
(х + у)2 + (^ + ^ — 2)ху — 55, откуда х + у ^ 7. Далее, разбирая все случаи
х + у = к < 7. докажите их невозможность. Значит, искомая величина х--у
равна 7. 10. 11 человек и 17 человек. 11. 1575 шаров в первой коробке и 1995
шаров --■ во второй. 12. 5 прессов. 13. 33 ученика. 14. 1-й работал 3 дня,
2-й — 2 дня. 15. 726 долларов.
► УРОК 17. 1. 2. 2. 4. 3. 135. 4. а = -82/9. 5. 18. 6. 749. 7. 3. 8. 2. 9. 50.
10. Не могут. Предположим противное. Тогда найдутся числа а и d и
натуральные числа к,1,т такие, что у/2 — а + (к — l)d, у/3 — ai + (/ — l)d
и /5 = а + (т — )d. Вычитая первое равенство из второго и второе из
третьего, и деля одно из получившихся равенств на другое, получим, что
/|3/1 ~ ш^7- Путем нескольких возведений в квадрат доказать, что
последнее равенство невозможно. 11. Известно, что а2 + с2 — 2Ь2. Надо
установить, что щ^ + ^j = -A^ ■ Это можно сделать просто приводя требуемое
равенство к общему знаменателю и упрощая. Ввиду эквивалентности
преобразований заключить, что доказываемое равенство имеет место. 12. Если
ап — общий член этой последовательности, то ап = Sn — Sn^ = 4п + 1.
Теперь ясно, что это---прогрессия со знаменателем 4 и аю = 41.13. 99-210О-Ы.
Разбейте эту сумму на сумму 99 прогрессий со знаменателем 2 и
первыми членами 1,2,22,... ,299. Подсчитайте сумму каждой из этих 99
прогрессий отдельно и сложите все суммы. 14. 100,10,1, jq, j^. 15. Пусть
щ = а + {г - 1)р, h — b + (г - l)g, где г = 1,2,3. Из условия следует,
что (а + b)(a + b + 2р + 2q) — (a + b + p + q)2, откуда получаем, что р = -q.
Остается воспользоваться первым равенством условия.
► УРОК 18. 1. log2/52, log2/5|. 2. (|,+оо). 3. (±.+оо). 4. 2, -5, -.
5. log2/53. 6. 1. 7. (l,log32). 8. 4, -1. 9. 3, -2. 10. (-со,4 - 2/2) U (4+
2^/2,+эо). 11. (-оо,3 - >/3) U (3 + л/3,+оо). 12. (-oc,log34). 13. (3,-9).
14. log3/2(^|±i). 15. log5/3(^fdi). 16. §. 17. (-оо,1). 18. (-оо,1] U
[2,+оо). 19. (-оо,-3] U [0,3]. 20. 2. 21. -4. 22. —= . 23. [0,4].
24. (О, 2 - log2 3) U (1, +оо). 25. (-оо, 0) U (0,1). 26. (-оо, -1). 27. 2, -2.

868 Ответы, указания, решения
28. 2, log3 2-4. 29. (-оо, —0oga(3 + /5) - 1] U [^log2(3+ч/б) - 1, +оо).
30. log7(3± v^)-
► УРОК 19. 1.8 2.3.3. (-2,-l)_U(-l,-i)U(0,4). 4. (О, |) U (1, 5]U (-1, 0).
5. (0.3)U(f,s/lO).e. (-oo,-VT0)U(^,4).7. f.8.vT7-4.9.(5,0); (±,2).
10. (0,1) U (1,|). 11. (-|,-1) U (-J.0). 12. 3. 13. (-2.2). 14. (-3,-1).
15. (0, ^2-l]U[63,+oo). 16. (1,2]. 17. (|,3]. 18. (-3,-2). 19. (±,£]U
[2,+oo). 20. (16,4), (10, f). 21. (-4,-3)U{-f}U(-2,-l). 22. (y/2,j-).
23. 2. 24. log3 10, log3 28 - 3. 25. 0,1. 26. , 2. 27. (3,4) U (6, +oo). 28. (1, 3).
29. -25. 30. 8. 31. (-^-, -1) U (1, 45=). 32. (0,1) U [2, +oo). 33. 0. 34. 4, i.
35.3, i. 36. (-3,1) U (3,4).
► УРОК 20. 1. тг - arcsin &=± + 2птг, n € Z. 2. - arccos ^|=i + 2птг, n G Z.
3. ± arccos (±^±) + 2п7г, n 6 Z. 4. f + 2гатг, arctg2 + 2птг, n £ Z.
5-. (-1)я=+птг, ra€ Z. 6. (-1)" arcsin ^+гатг, (-l)ra+1 arcsin f + птг, га G Z.
7, ±arccos(-|) + 2гатг, n G Z. 8. птг, f + гатг, n € Z. 9. -| + 2гатг, n € Z.
10. (-1)" arcsin (У§) + гатг, га G Z. 11. (-l)nf + птг, n € Z. 12. -f +
гатг, ^ + 2гатг, n e Z. 13. птг, f + 2гатг, n G Z. 14. (-1)" arcsin (^f^) +
птг, n G Z. 15. (±| + 2п7г) , n G Z. Обратить внимание на то, что у/х не
может быть отрицательным. Мой ответ, на первый взгляд, игнорирует это
обстоятельство, но он, тем не менее, верен. Почему? Если вы не заметили
эту тонкость, оценка —Т. 16. ±^ + 2п7г, п G Z. 17. |+4шг, ^+4шг, ~ +
4шг, neZ. 18. f+4гатг, га € Z. 19. ^ + 2гатг, n e Z. 20. (-1)™(±£) + птг, n G
Z.21. {|}U[-f+n7r,-f+n7r)U(f+n7r, 1+птг], га = 1,2,.... 22. § + 2птг, n G
Z. 23. (| + 2гатг,^ + 2шг), n G Z. 24. ±arccos(2 - %/8) + 2птг, n G Z.
25. -| +2П7Г, ^ + 27177, ff +2П7Г, -^ + 2П7Г, ^+2П7Г, ^+2П7Г, H.GZ.
26. (axctg5+2n7r, |+2n7r)U(|+2n7r,7r+2n7r), га € Z. 27. (|+2птг, arccos ^| +
2птг) U (- arccos ^L + 2гатг, -f + 2шг), га 6 Z. 28. (f + птг, f + птг], и G Z.
29. (тг+2шг, *f+2тиг)и( =+2птг, f +2птг), п € Z. 30. f, **. 31. -^+2птг, п €
Z. 32. f + птг, тг + 2птг, ±§ + 2гатг, га G Z. 33. -arcctg2 + птг, raG Z.
34. - f + (-l)n+i arcgin | + П7Г) п Е z 35. 0.
► УРОК 21. 1. (.оо^у^г]. 2. 8. 3. 2~^ ^ ж < 1. 4. (2"15,2-9]и
[512,+оо). 5. ±log32. 6. (1,2). 7. {-3} U [-1, +оо). 8. f+птг, arcsin ^f1 +
тг(2га + 1), п g Z. 9. [0,1] U {4}. 10. (-l)nf + птг, га G Z. 11. [25,+ос).
12. -§^ + (-1)«+1| + ш 13> 3j4. 14. ±. 15. [3±^,М^] и (-|,1).
16. (/2, 4=) 17 [n-loS2 5 logg5-ll ,s Г9 ч ,„ /_]_ 7+>/7Л ,,

1. Домашние задания
869
^Ж;0) у (0, to£H) U [^S, |). 20. [-§,-!) U (1,2]. 21. [0,2).
22. (3,-3), (-1,-3). 23. [-5,20). 24. (-l)"f + гиг, n G Z. 25. |. 26. 2.
27. [£,+оо). 28. 0. 29. 1, 4 30. (1,2) U (3, +оо).
► УРОК 22. 1. 1 - 2х. 2. х2 + х - 2. 3. 324. 4. -20(5 + 2ж)9(3 -
4х)19(17 + 12а:). 5. -Л - 4 - 4- 6. ^±Й- Г. 2. 8. „, *** .
' v у ;г *3 х (1-я2)2 ^/(1+э:3)2(1-а:3)<
Q 4а2-Е + 1 1П 1 , 1 i 1 -1-1 1 1 1 -|9 2 | 1
у- (i-x)Hi+^■ iU' * + 2^ + ^- 1А- si ^7J~^p- iji- Г^ + ^А'
13- ^Г7- 14' —;—V—-(1+ -1 , + —-1 )- 15. -2 sin 2ж-2 cos ж.
16. fcsinfc_1arcos(A; + 1)ж. 17, cos(sin(sinж)) -cos(smx) -cosx. 18. -^^f/■ •
1« i2 r.j-1 sin2xsin(x )— 2a;sin2 xcasix2)
У. 7 ; : ГТ . iii. ■ ■ :—57—ъх l ~.
(cos x+x sin x^r sin^x-")
► УРОК 23. 1. Наибольшее значение равно 8, наименьшее 73. 2.
Наибольшее значение равно —1, наименьшее — — ^р 3. —19. 4. ^. Обратите
внимание на то, что, хотя в точке х0 = — § функция имеет локальный
минимум, равный ^з, ничто не гарантирует, что он будет наименьшим значением
функции на всей прямой, ибо функция убывает при х > 1. Надо доказать,
что она не сможет стать меньше ^, т.е. доказать неравенство f(x) ^ ^
при х ^ 1. Если вы не заметили этот нюанс и получили только
правильный ответ, ваша оценка — =F. 5. Возрастает на (—5, -2 — у/Щ и убывает
на (-2 - у/5, |). Точка максимума 2 - у/5. 6. | arcsin §,  —  arcsin |.
7. ^. 8. Ц^. 9. -1-*^5. Ю. (-1)"+1| +П.7Г, neZ. 11. (-1)™§ + шг, я€
Z. 12. Наибольшее значение равно я- — 1 + ^р, наименьшее равняется
-7тг-1-^. 13. - arcsin-^L. + ^n, п. G Z. 14. -± arccosf + § + птт, п G Z.
15. Наименьшее значение равно ^7 наибольшее — б. 16. Наименьшее
значение равно —38, точка максимума — jk 17. Возрастает на промежутках
( — эо,0) и (2,+оо). Убывает на промежутках (0,1) и (1,2). 18. Наименьшее
значение равно 1, а наибольшее ■— у/2. 19. 2 20. 199——. Рассмотреть
функцию /(ж) = 1 + х + ... + ж100. Заметить, что искомая величина равна
/'(3). Записать /(ж) как сумму прогрессии, найти производную этой суммы
и подставить в качестве аргумента число 3.
► УРОК 24. 1. П7г, f + f, n e Z. 2. у = Ах ± 2^2. 3. (0,5). 4. 2.
5.(0,11), (-f,0), (0,47), (-f,0). 6. ^f, f + *f, neZ. 7. (0,2). Пусть
М(х, 1 + cos ж) — точка, лежашая на указанном графике. Прямая, заданная
в условии пересекает ось абсцисс в точке .4( —-у=,0), а ось ординат в точке
В(0,— 2). Если О — начало координат, то пусть угол ВАС) равен а. Легко
убедиться, что а = arctg ~. Нарисовав графики, убедитесь, что расстояние
d{x) от точки М до данной прямой равно (1 + cos ж + (—4 — -^х)) cos о. У
функции d(x) легко находится наименьшее значение на отрезке [0,7г]. 8. а =

870
Ответы, указания, решения
|, наименьшая площадь равна §§ • у. 9. (-7,4). 10. |§. 11. (| + i^-f)-
12. (0,0), (8, 0). 13. 1. 14. а — 8, наибольшая площадь равна |. 15. (|, |).
► УРОК 25. 1. Окружность радиуса 3 с центром (1, —2). 2. Точка (—i, |).
3. Парабола у — х2 + х разбивает плоскость на две части. Искомое
множество есть та из этих двух частей плоскости (включая границу), которая
содержит точку (—1,0). 4. Прямая у ~ — | - |z разбивает плоскость на
две части. Искомым множеством является та из этих частей (включая саму
прямую), которая содержит начало координат. 5. Прямые у = | и у = |
разбивают плоскость на четыре части. Искомым множеством являются эти
прямые вместе с внутренностью двух вертикальных углов, содержащих
точки (0,1) и (0, —1). 6. График функции у = — - разбивает координатную
плоскость на три части. Искомым множеством является объединение той
части, что целиком лежит во второй четверти и той части, что целиком
попадает в четвертую четверть (каждая из частей берется вместе с
границей). 7. Искомое множество изображено на рис. 1. 8. Искомое множество
изображено на рис. 2.
9. Прямые у — х +  vl у — — х - 1 разбивают плоскость на 4 части.
Искомым множеством являются те две из них (вместе с границей), которые
содержат точки (0,0) и (—2,0). 10. Все стороны квадрата с вершинами в
точках (1,0), (0,1), (—1,0), (0,-1). 11. Искомое множество изображено на
рисунке 3. 12. Искомое множество изображено на рисунке 4. 13. Искомое
множество изображено на рисунке 5. 14. Искомое множество изображено
на рисунке 6. 15. Первая и третья четверти координатной плоскости
(исключая границы). 16. Прямые у = х и у = —х из которых удалена точка
(0,0), а также внутренность двух вертикальных углов при прямых у = х
и у = —х, содержащих точки (0,1) и 0,-1). 17. Вертикальная полоса,
заключенная между прямыми х = 0 и х = 2. 18. Горизонтальная полоса,
заключенная между прямыми у = 1 и у = —3. 19. Искомое множество
изображено на рисунке 7. 20. Искомое множество изображено на рисунке
8. 21. Искомое множество изображено на рисунке 9. 22. Все стороны
квадрата с вершинами (1,1), (1,-1), ( — 1,-1), (—1,1). 23. Искомое множество
изображено на рисунке 10. 24. Искомое множество изображено на рисунке
11. 25. Полуплоскость, лежащая ниже прямой у = 1, из которой выброшены
вертикальные прямые х = П7Г, п G Z. 26. Квадрат (вместе с границей) с
вершинами (-1,2), (2,-1), ( — 1,-4), (-4,-1). 27. Все точки, лежащие вне
параллелограмма с вершинами (0,0), (1,0), (1,2), (2,2) (вместе с границей).
28. Парабола, с ветвями вверх, с вершиной в точке (|, —|), пересекающая
ось абсцисс в точках 1 и |. 29. Парабола с ветвями влево с вершиной в
точке {Щ-, |). Пересекает ось абсцисс в точке 7. 30. Искомое множество
изображено на рисунке 12.
► УРОК 26. 1. 6 = ^f£f, с = asi"^+B). Решения есть при А > 0,В >
0, А + В < тт.

1. Домашние задания
871
1
rSw^Jl
У
1 ^f
Л
ж 2я
iHTIII
-3 -1 О
тттгшп г3
Рис. 7
:* *
Рис. 5
х+1
У
1'Х
0
1
1
t
(
1
1
1ТП+-
1
1
1
.LJU1
X
Рис. 3
x=iV
Рис. 6
ty
Рис. 8
Рис. 9
-2%/—^7с о
% 2%у—3я:
У"—NT71 ° {—я V^v
Рис. 10
Ф
о
о
Рис. 11
Рис. 12

872 Ответы, указания, решения
2. Решения есть при 0<r^ftg(f-^), 0 < Л < 7г. В этом случае
1 ( А Г~ А~~ 
Ъ = - - I а + 2г ctg - ± 1J а2 - Aar tg — - 4г2 ,
с = - ■ ( а + 2r ctg — zp J a2 - Aar tg - - 4r2 J .
3. Задача имеет решение только при 0 < А < п, 0 < S < а2 ctg 4- В этом
случае
Ъ=- Ua2 + ASzt^±^a* -AStg~ ,
с=- Ua2+4Sctg^T ya2 -45tg^J .
4. Если 0 < А < f, то решения существуют, если | < ma ^ |actg^. Если
Л = f, то обязательно должно быть ma = § и решений бесконечно много.
Если Л > f, то решения есть при | ctg 4 < ma < а. При а ф  имеем
/
Ь = l J + < ±  ■ l('2a'2m2« ~ 4< - а*) *g2 А + ^т.
с = 1 т+ml T r V(2a2m" -4m* - ia4) tg2 A+4a2m2-
5. Анализ сложен и опускается. Сторону Ь можно найти из следующего
биквадратного уравнения:
6* =-г ) -ЬЧа' -2mi- --" , . - т2 - a2)2 cos2 A = 0.
V2 16cos2^y V 2cos2A / 6
При найденном Ь величина с находится из соотношения
ЗЬ m? - a2
с =
4 cos Л & cos A
fcts4
6. Задача имеет решение при 0 < ha ^ § ctg 4- В этом случае
Ь = 2 ( V 2 + 2a/ia Ctg 2" ^ V ^ ~ 2<lha tg 2" J
1 / / Л I ~A~
с = - I W a2 + 2a/ia ctg - =F у a2 - 2afce tg - } .
2
7. Если Л ^ ^, то решения есть только при 0 < hb < а. В случае, когда
А > f решение есть при 0 < ft-j, < a sin Л. В случае, когда приведенные
условия выполнены
Ь = hb ctg; Л ± /а? — /i2, с = ——г-
to v sin Л

1. Домашние задания
873
8. Анализ сложен и опускается. Пусть
p=Ja2-2ll sin* | - 21 а bin  ф sin2 | + u2 tga £,
Тогда
fe=^ Nacos^ + ^2cos2| + a2±P
4; A
c=-lecoe-
+ ф cos2 I + a2 T P j
9. Если В < |-, то решения есть при R > |. Если В — тупой или прямой
угол, то решения есть при R > y^tTe' ^ указанных случаях
6 = 2EsinB, c^acosBisinBV^ii2 -а2.
10. Решение имеется только при 0 < г < |asinB. В этом случае
. 2r(a-rctgf) (a-rctg|)2-r2
smC = r i —n> cosG = -- g , и
(a - r ctgf )2 + r2 (a - rctgy)2 + r2
a sin В a sin С
с =
sin В cos С + cos В sin С' sin В cos С + cos В sin С
11. Задача имеет решение при любых a > О, В G (0,7г), 5 > 0. При этом
/ 4<?2 2 е?
Ъ= а2 + „ 2„ -4gctgB, c =
a2 sin2 В ' a sin В'
12. Задача имеет решение при любых a > 0, Be (0,?г), /i0 > 0. При этом
/ ft2 /г
6= Ja2 + —f--2oftectgB, c=^-.
V sin В sm В
13. Задача имеет решение при 0 < Къ < а. При этом
a2 sin В а^ь
Ь= . с =
/гь cos В ± sin В у/а2 — h2 ' ftt. cos В ± sin В -J a2 — /i2
14. Задача имеет решение при та ^ | sin В. Если последнее условие
выполняется, то
a cos В ± л/4т'^ - a2 sin2 В /а2
с= *-_ , г,= ^_ + 2ш2-с2.
15. Если В ^ |, то решение имеется при а < 2ms,. Если В — тупой угол,
то решение есть при ть ^ | sin В. Решения задаются следующим образом:
с = у74т2 - a2 sin2 В - a cos В, Ь = у^а2 + 2с2 - ±т.
16. Решения есть при a sin В < тс. Задать их можно следующим образом:
с = 2а cos В ± у^т2 - а2 sin2 В, b = W2m2 + |с2 - а2.

874
Ответы, указания, решения
17. Решения есть при любых а > О, В е (О, я")> 1ь > 0. Их можно задать
следующим образом:
ah
с =
-, Ь — у а2 + с2 — 2accos.B.
2a cos у — £(,
18. Решения есть только при lc ^ a sin В. Их можно вычислить, применяя
следующие формулы:
a cos В ± //2 - a2 sin2 В
С = 2 arcsin P, Ь =
aL
2а cos тг — (с
с =
6 sin С
sin В
19. Решения есть при R ^ ^ "t1 . При этом
6-

1 / l4R2 I lAR2
- [а2 ± 45W -4- ~ 1 ± /а* ± 8Sa4/~ - 1 -
V а^
V
16S2
с =

j^W^-W^W^-1
16S2
20. Исследование опускается ввиду его громоздкости.
25 К а + 2 / 2 452
_ о 1 / , AS2
2 "^ 2 у " р{р-а)' °~Р 2Т21^ р(р-а)'
21. Решения есть тогда и только тогда, когда 0 < hb ^ а. В этом случае
2S / 4S2 ^ 4aS /" Ц
22. Решения есть при ^ ^ та. В этом случае
Ь =

/'а / 4S2
а , / , 452  4S2
4S2
2 '
23. Решения есть при тъ > ^. В этом случае
25 , . / ~ ' ~
2S / / '—~~ / Г~~~—~~~
К = —, b = 2y a2 + m2 ± yj4m2 - /i2, с = у 4т2 + a2 ± 2a^/4m2 - /г2.
24. Решения имеются только при 1а ^ —. В этом случае
Ь=~( Ja* +4Sctg^ ± Ja* -4Stgy ) ,

1. Домашние задания
875
= Ua* +AStig'^ yja* -tStg
25. Решение имеется только при 0<r^|tg(| — j), где А = arcsin^,
или А = 7г - arcsin -f^. Если указанные условия выполнены, то
1 / А ( А2 8r(a + r ctgf)
1_
2
2
Л2 8r(a + rctgf
~2
sin A
с = - | a + 2r ctg — Т / ( a + 2r ctg — ]
26. Решение имеется при < ha ^. |ctgy, где Л = arcsin^, или А =
7г — arcsin ^. При этом
Ь =

J (a2±2a/iaW-^-l J ± Ja* + 4a2/ia4/4i?2 - а2 - 4а2 /i2,
с =
Л На2 Т 2afteJ^ - 1 ) Т А4 + Аа2К^/АВ? - а2 - 4а2 /i2.
А 2 V v а" у
27. Решения есть при 0 < Л-ь < а. Если последнее условие выполнено, то
2Rhb
с —
I
—' 0 = Г
+
4Д2/>2
/
±
ABhbJ:
а2
a- v 4Д2'
28. Исследование проводится слово в слово так же, как в задаче 4 для
А = arcsin 2^, или А = -к — arcsin ~^. Стороны бис вычисляются следующим
образом:
N
5(т+2гаИ(т + 2"*
т
2R{a? - 4т2)
V4i?2 - a2

2 1Т+2т
^/(^R^f I
29. Исследование проводится слово в слово так же, как в задаче 5 для
А = arcsin ~, или А = -к — arcsin ^. Стороны Ьи с вычисляются следующим
образом:
л 3(ш2-а2) ,,,„К-а2)2 „,= 1 9
2 16cos2^'
Р = 2ml - а2 -
2 cos2 A
11
Ь =
-Р ± sjP2 - 4QT
2Г
cos2 Л
3
с —
4 cos Л
о cos Л

876 Ответы, указания, решения
30. Исследование опускается ввиду громоздкости. Угол А равен arcsin ^
или 7Г — arcsm ^
Р = 1Л cos ~ + yjll cos2 £ + о», О = ^ + ^у^2 + Ч + «2 te2 |.
. P±v/P2-4g Р^[РГ^Щ
Ь = J—' С= "2 •
31. Исследование опускается ввиду громоздкости.
ahl h - а (ha ~r -l /i *»2 ^ _a (ha-r ^ h2a ^
pS='2r'fr_=2k r у p(p-a)J'C~2^ r Ty P(P~a))'
32. Решение имеется только при 0 < г < |/i&. При этом угол С равен
arcsin ^ или тт — arcsin ^. Наконец,
2аг - г2 ctg £ С 2аг - г2 ctg £
b= , ■- ■——, c = a-rctg—+ -.
hb-2r to 2 hb - 2r
33. Решение есть при 0 < hb < а. При этом
hh у /г|; дь V a1
34. Решения есть только при та ^ ha- При этом
35. Решения есть только при ть ^ ha. При этом
/ / / 5 /—~~
Ь- /4а2 + m2 ±2aj±rril -/i2, с= i/a2 + -m2, ±4oW4m^ -/i2.
36. Решения есть при la ^ /га- При этом
Ctg 2 2 Uft,n. Va2^ a2/i2
Ь = U X2 + 2аЛв ctg ^ ± Jo3 - 2^
2  V 2 V Ctg f /
2  V *• у ctg 7/
37. Задача имеет решение только если hb < а и ma ^ |/i&. При этом
С = arcsin ^ или С = 7г - arcsin ^ и
Ь = - cos С ± J ml - ~а2 sin2 С, с = J у + 2т - Ь2.

1. Домашние задания
877
38. Задача имеет решение при тъ ^ Л-ь, Нь ^ а. В этом случае имеем
b^2(yla^-hl±^/mi-hl)> с=^Ь1 + 2т2-а2.
39. Решения есть при ^1ц < тпс. Тогда
Ь = у/а2-Щ± у/^-НЦ с = 2yja2 + m2b - 2ambcos(C - Г),
где Г = arcsin £%-, С — arcsin ^ или С = я- — arcsin ^.
40. Решения есть при h^ < а, /*, > /ц и при ftf, = а, Z& > а. В этом случае
С = arcsin ^ или С = тг - arcsin ^-,
Г = arccos ^, В = 2 (£ - С ± г) ,
и V 2 /
6 =
a sin В
а sin С
с =
sin(B + C)' ~ sin(B + C)'
41. Решения есть тогда и только тогда, когда 1С не превосходит хотя бы
одного из чисел {-r^V, —Ц*-}, где С = arcsin ^- или С = 7г — arcsin ^. Числа
"^ ■- sin *£ ' cos -£- а °
Ь и с находятся следующим образом:
aL
Ъ =
2а cos у
, с = у а2 + Ь2 — 2ab cos С*.
42. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда из отрезков длины
а 1
, ±та и |т& можно составить треугольник (т.е. сумма длин любых двух
из этих отрезков больше длины третьего отрезка). Тогда
b= Ы2 + -m* - -m2b,
I2 9 4 2
i
2l
-a2.
43. Исследование опускается ввиду его громоздкости. Пусть х —
единственный положительный корень уравнения
x'+^ml-^~liy~ll^ + 2rn2ayo.
ТогДа
Ь =

а1-
<ч
- + Ъп t -j[j + 2m* ] - 4х* |,
С =
i
+ 2mi* — + 2m*
^
4z2
44. Задача имеет решение только если из отрезков длины ^-, ^-, ^- можно
составить треугольник. В этом случае
p_/i _L + JL (_1_ J_ LWj__i. Jl^ fJl _1_J_^
ha hb K.J ha hb hcJ ha }ц hcJ ha /гь hc J '

878
Ответы, указания, решения
и тогда можно найти b и с: Ь = -■ 2/р, с = т-2/™-
45- Задача имеет решение тогда и только тогда, когда из отрезков длины
тагпь,тпс можно составить треугольник. В этом случае
Ь = g(2m^ + 2m2 - mg), с = -(2m* + 2m2 - mc2).
► УРОК 27. 1. a = y/2StgA, Ь = ^25 ctg A 2. a = 2i?sm^, Ь = 2HcosA.
3. a = rctg(f-y) + г, Ь = rctgy + r. 4. a = /ic/sin4, b = hc/cosA.
5. а = , 2m" . , ft = *m«<*KA . 6. a = , 2m»_ , ft
2mi, ctg A
i-. 7. a =
v/l+4ctg2V v/l+4ctS2^ ' ' v'4+ctg2A' " v'4+cts2^'
2тсзтД b = 2mc cos A. 8. a = la cos у tg А ft = la cos y. 9. a = /;,cos(f —
y), 6 = /bcos(f-y)ctgA 10. a = -fe.lc(l + tgA), b = ^ ■ /c(l + ctg A).
11. Задача имеет решение только при R2 ^ 5. В этом случае
a = ^Д2 + 5 ± л/Д2 - 5, 6 = УД2 + 5 т /Д2 - ^-
12. Задача имеет решение только при (f + г)2 ^ 85. При этом
- 65 + г2
а= -  f- г ± / — - 6S + г2
13. Задача имеет решение при S ;5 hi. при этом
a = /2-S
Ь = /2 ■ 5
14. Задача имеет решение при m2 ^ 25. Тогда
а = у12ml ± /4т* - 1652, 6 = ~ - ^2т2 Т V4mt ~ 1652.
15. Задача имеет решение при 5 ^ /2. Тогда
16. Задача имеет решение при ^ е (2,1 + /2]. Если указанное условие
выполняется, то
r(hc - г ± Jr2 + 14гДс
а = —i
hr - 2г
Ш
Ь =
r(hc - г =f т/г2 + lArhc - 7h2
hr-2r
17. Задача имеет решение при гпс ^ -^2 " г- В этом случае

1. Домашние задания 879
18. Решение имеется только при р < ^=. В этом случае
/ 1 (г I г2
А А
а = lacos— ■ tg.4, b = /„cos—.
19. Решение имеется при £- <Е (-^, л/2 - 1] U [1 + л/2. +оо). В указанном
случае
2г2 ± 2г/г2 - 2V2r/c + l2c 2r2 T 2rWV2 - 2>/2ric + /2
6 =
4r-y/2lc ' 4r-V2/c
20. Задача имеет решение при ^ G [~, |]. Если последнее условие имеет
место, то
а =
Um2a - 3h2c ± у/16т£ + 9fc* - 40т2/12 / 2 _ а*
—= —— о=д»т'
2 V а 4
21. Задача имеет решение при hc ^ h- Если а ^ Ь, то
/гс , hc
а = г -, и =
cos(arccos '-f- + ) sin(arccos jf + )
Если а < й, то
a= г -, o= г —-.
sin(arccos j^ + |) cos(arccos jf + f)
22. Задача имеет решение при ma < 2m&, пц < 2ma. Тогда
/16m2.-4m2. /l6m2-4m2
a= V 15 * 6"V 15 •
23. a =^|,Ь = 8^.
► УРОК 28. 1. Ц±|Н. 2. ^-^7^. 3. ££. 4. £2=я±1. 5. 2/3 - 3. 6. §.
7. (fe/a)2. 8. 2^HE. 9. II. io. |Ш. Ц. ±^7. 12. |. 13. §. 14. £. 15. f.
16. 11. 17. БР : PM = 18 : 7. 18. BO : OM = 6:5. 19. ^. 20. 12.
> УРОК 29. 1. SAMB = |(5! + 52) + ^^i+^^-S'iSasin2^ 2. 1 -
_1 P2g о b(a+l) Л S (-1 _ P2(Q+D 
9+1 (p+l)(p+l+pq)- °- (oc+a+l)((c+l)(o+l)((>+l)-c)- *' 2 ^x fp+l)(p9+2p+l) У
5. Площадь треугольника KRS равна
(r-s)2(q + l)(p+l) s
2(s + l)(r + l)((r - s)(p + l)(g + 1) + (9 - p)(r + 1)0» + 1))
6" (fc+i)(P+f)(p+fe+p(g+fc))- 7- Площадь треугольника РДО равна
___ S{r-p)2(s + a){g + a)
(a + l)(p + 1)(« + l)((a + p)(q - s) + (a + ff)(r -p))'

880 Ответы, указания, решения
8. Ш = Щ . 1±я+ЯР+ЧР«. Докажите, что Ш = |^. При этом SPQS =
OR p+l l+s+sr+srq ^ ' OR Sqsr ^ ft^o
Sabqs — Sasp — Sbpq- Площади трапеции ABQS и прямоугольных
треугольников BPQ и APS легко подсчитываются. Площадь треугольника
SQR находится аналогично. 9. Пусть 1 + p + pt + ptq = К, 1 + q + qr + qrp =
L, 1 + q + qs + qsp — M. Тогда
(s-r)K2
Smnt =
2((i + 1)£ + (r + l)Jf)((t + l)M + {s + l)tf)
10. * П. ^И- 12- 7:8. 13. SB£F = ^Vfeff+H-)- 14' ^f1" 15' 2'
16- (jfcV • 17- 6' 18' 5' + 52 + 2v/5^. 19. (1 + 2sin §)2. 20. £.
► УРОК 30. i. 18(1 + о» 2a) sin 2a. 2. £■ »• ¥ ' ^jfe, f ■ y^S^-
4. 49V3 - 2*5. 5. 8. 6. v/13. 7. i?5 > Qfl. 8. ^. 9. |(4>/2 - 5). 10. ^.
11. g^f. 12. f. 13. 7ctg70°sin50°. 14. 2arctg(5 tga). 15. 4 + 2^7- 16. 4.
17. AB = 2/5-2^, AD = 2(1 + У2)/2-л/2- 18. arcsin±. 19. f.
20.4+^.
► УРОК 31. 1.3y/S±VTE. 2.^.3. ^.Доказать и использовать то, что
прямая, соединяющая точки касания окружностей с полукругом, прямая,
соединяющая центры окружностей и прямая, на которой лежит диаметр
полукруга, пересекаются в одной точке. 4. у/2. 5. Щ — Ц| + ^ arccos .^.
6. ^Ж + ±§(arccos§ - arccos|f). 7. arccos ^^p^ arccos1^^^ ^ ~
2arccos 1-^~^. 8. 4г cos | sin2 |. 9. Пусть угол ВЛМ равен а, угол МЛС
равен /3 = 60° — а, а радиус описанной около треугольника окружности
равен R. Тогда ВЫ = 2Rsina, МС = 2Rsm@ и AM = 2Лзт(60° + а).
Осталось доказать тождество
sin a + sin(60° - а) = sin(60° + а).
10- 4б8";паа+1 • а- 11- V4J?2 - а2. 12. 15°, 75°. 13. arcsin yj. 14. 30°, 90°.
15. ф 16. /^- 17. ^ = ^ + i 18. !(;, - o)4gf.
19. i-v2 ~<: , ~v^ ~c . Докажите, что сумма оснований трапеции равна
большей из боковых сторон. 20. 5. 21. -^. 22. ^j-. 23. В случае, когда
ВС = 1, AD = 3 центр находится внутри трапеции, при ВС — 2, AD = 10
- - вне ее. 24. |Psina.
► УРОК 32. 1. уД. 2. 4. 3. ?г - arccosf 4. р + Ь. 5. 30°. 6. 3. 7. 1 или 2.
8. ЛВ = ВС = 7уД, CD = у/П, Л£> = 2^/21. 9. АВ = ВС = 2, CD =
1, Л1) = л/3, Ядвся = ^- Ю- атссю^^ - arccos^. 11. 2Rcos& =
-ft ■ 2~*. 12. ^-|±2 a. 13. Площадь шестиугольника равна

1. Домашние задания
881
&{ay/l2R2 - За2 + bVUR2 - b2 + cVUR2 - с2 + 6Д2 -а2 -Ь2-с2).
14. fa2. 15. Щ-Л-l). 16. 2{а-та+а^2а+а-т3ау 17. Сумма всех углов семи-
угольника равна Ьтг. Из того, что центр круга лежит внутри
семиугольника, следует, что дуга А7АА2 ... А6 составляет более половины окружности.
Значит,
ZA1A2A7 + ZA2A7AX + ZA2A4AZ + ZAZA2A4 + ZAAA6Ab + ZAbA4A6 > -.
Кроме того, ZA7A2AA + ZA2A4A6 + ZA4A6A7 + ZA6A7A2 = 2л Отсюда
и получаем, что Ai + A2 + А% < 5я" - 2тг - -| — §7г, что и требовалось
доказать. 18. /П. 19. ^^а2. 20. Искомая сумма равна '-~, где R —
радиус описанной окружности для данного п-угольника.
*■ УРОК 33. 1. Если дана точка М и прямая I, то надо опустить
перпендикуляр MN из точки М на прямую I и провести через его середину прямую
li параллельную /. Прямая h будет искомым ГМТ. Ясно, что если точка М
лежит на прямой Z, то искомое ГМТ совпадет с I. 2. Пусть длина данного
отрезка равна Z, радиус окружности равен R, а О — ее центр. Тогда искомым
ГМТ является окружность радиуса yjR2 + I2 с центром в точке О. 3. Пусть
сумма квадратов расстояний до точек А и В равна &, а длина отрезка АВ
■г 2
равна р. Если к < ^-, то искомое ГМТ пусто, если к = Ц^, то искомое
2
ГМТ состоит из одной точки -- середины отрезка АВ. Если к > , то
искомое ГМТ есть окружность с центром в середине отрезка АВ радиуса
\/2к — АВ2. 4. Пусть даны отрезки АВ и CD. Пусть P,Q,R,S есть
соответственно середины отрезков CA,CByDA,DB. Искомым ГМТ является
параллелограмм PQSR вместе со своими внутренними точками. При этом,
если АВ || CD, то параллелограмм вырождается в отрезок — среднюю
линию трапеции ABDC. 5. Вся плоскость. 6. Окружность, построенная на
отрезке АВ как на диаметре, без точек А и В. 7. Если прямые АВ и CD не
параллельны, то искомое ГМТ состоит из двух прямых, проходящих через
точку их пересечения. Эти прямые можно описать следующим образом: в
каждом из четырех углов, на которые прямые АВ и CD разбивают
плоскость, множество точек, расстояния от которых до сторон CD и АВ угла
относятся как |АВ| : |CD|, есть луч, исходящий из вершины угла.
Четыре таких луча и образуют две прямых, составляющих искомое ГМТ. Если
АВ || CD, то при при |АВ| = CD искомое ГМТ есть прямая,
параллельная АВ и CD и равноудаленная от зтих прямых. Если |АВ| ф CD, то
множество точек, расстояния от которых до прямых АВ и CD относятся
как CD : АВ, дает уже две прямые, параллельные АВ и CD, одна из
которых лежит между АВ и CD, а вторая лежит так, что вместе с первой
охватывает ту из прямых АВ и CD, которая содержит больший из
отрезков АВ и CD. Наконец, если прямые АВ и CD совпадают, то искомое ГМТ
есть их общая прямая при АВ ф CD и вся плоскость при |АВ| = CD.
8. Образ данной окружности при гомотетии с коэффициентом | с центром
в данной точке. 9. Вся плоскость. Пусть М — любая точка на плоскости,

882
Ответы, указания, решения
и >"1,Г2,гз — расстояния от нее до заданных прямых. Окружность радиуса
R = i"i + г2 + г3 с центром в точке М пересечет каждую из данных прямых
в двух точках. Можно выбрать по одной из этих точек на каждой прямой
так, чтобы получился треугольник. Очевидным образом, М будет центром
описанной окружности для этого треугольника. 10. Окружность радиуса
АВ с центром в середине АВ. 11. Множество точек Pn,Qn, п = 1,2,...,
лежащих на серединном перпендикуляре к отрезку АВ (точки Рп и Qn
лежат по разные стороны от прямой АВ) таких, что |ЛР^ — |AQ„| = п.
12. Возьмем на прямой AD с той же стороны от А, что и D точку К
такую, что АК — я[ц_ , где q — ^. Искомое ГМТ есть окружность с
центром в точке К радиуса -^ ■ |А£?|, из которой выброшены точки
пересечения ее с прямой AD. 13. Искомое ГМТ — квадрат (без внутренности,
т.е. граница квадрата), вершины которого есть середины сторон квадрата
ABCD. 14. Пусть Р — середина высоты треугольника ABC, опущенной из
вершины В, a Q — середина стороны АС. Искомое ГМТ есть отрезок PQ
без точек Р и Q. 15. Данная окружность, симметрично отраженная
относительно прямой АВ, из которой выкинуты точки А и В. Надо заметить,
что если на исходной окружности взята точка С, то угол, под которым
отрезок АВ виден из точки пересечения высот треугольника ABC, равен
я- — С. 16. Отрезок АВ разбивает исходную окружность на две дуги. Из
точек одной он виден под углом С, из точек другой — под углом п — С.
Искомое ГМТ есть объединение двух дуг, одна из которых есть множество
тех точек, из которых АВ виден под углом 1I^fL, лежащих по ту же
сторону от АВ, что и первая дуга исходной окружности. Вторая дуга искомого
ГМТ есть множество тех точек, из которых АВ виден под углом я- — у,
лежащих по ту же сторону от прямой АВ, что и вторая дуга исходной
окружности. Ни одна из указанных дуг, составляющих искомое ГМТ, не
содержит точек А и В. 17. Надо взять данную окружность без точек А и
В и подвергнуть ее гомотетии с коэффициентом | с центром в середине
отрезка АВ. Образ окружности при указанной гомотетии и будет искомым
ГМТ. 18. Надо взять данную окружность без точки А и подвергнуть ее
гомотетии с коэффициентом | с центром в точке А. Образ окружности при
указанной гомотетии и будет искомым ГМТ. 19. Если Ъ ^ АВ, то
искомое ГМТ пусто. Если b < |АВ|, то искомым ГМТ будут две касательные,
проведенные из точки А к окружности радиуса b с центром в точке В, из
которых выкинута точка А. 20. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ
без пересечения с прямой АВ.
*■ УРОК 34. 1. Надо вычислить сторону с по формуле
с = ^2а2 + 2Ь2-4т2,
построить ее и затем построить треугольник по трем сторонам. Задача
имеет решение при а2 + Ь2 > 2т2с. 2. Надо построить треугольник со
сторонами та,|,6. Пусть в нем угол, лежащий против стороны длины Ь,
равен а. После этого строится треугольник по сторонам |,Ь и углу 7г — а
между ними. В построенном треугольнике сторона, лежащая против угла

1. Домашние задания
883
it —а равна с. После этого искомый треугольник строится по трем сторонам
о, Ь, с. Задача имеет решение, если существует треугольник со сторонами
тга,|,Ь. 3. Нужно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой
2а и прилежащим к ней катетом 1С(^ + 1). Пусть угол между упомянутыми
катетом и гипотенузой равен а. Построим угол С — 2а. Теперь искомый
треугольник можно построить по сторонам a, b и углу С между ними.
Задача имеет решение, если ■■■-■2ад^— < 1. 4. Надо построить отрезок длины
с = |л/а2 — h% ± Jb2 — h%. После этого искомый треугольник строится
по трем сторонам а,Ъ,с. Задача имеет решение, если а ^ hc,b > hc и
а + b — 2hc > 0. 5. Надо построить прямоугольный треугольник по катету
ha и гипотенузе Ь. Пусть С — угол противолежащий по отношению к
указанному катету. Искомый треугольник теперь можно построить по двум
сторонам a, b и углу С или п — С между ними. Задача имеет решение
при ha ^ Ь. 6. Стороны b и с можно построить, пользуясь формулой,
выражающей их через известные отрезки:
Ь = y/|(4m;2-3a2 + 2m2), с = ^{2т2 - За2 + 4т2).
После этого можно построить искомый треугольник по сторонам а, Ь, с.
Задача имеет решение в случае, когда из отрезков |ть, |тс,и можно
составить треугольник. 7. Задача решается точно так же, как предыдущая. Она
имеет решение, если из отрезков |ma, |m&, ^a можно составить
треугольник. 8. Построим прямоугольный треугольник по гипотенузе с и катету
ha. Тогда угол, противолежащий катету ka будет равен углу В или л- — В,
где В угол искомого треугольника. Аналогично строится угол А искомого
треугольника. После этого остается построить его по стороне с и
прилежащим к ней углам А и В. Задача имеет решение, если ha ^ c,hb ^ с и
ha + hb < 2с. 9. Легко строится сторона b — а • ^-. Дальше нужно
действовать так же, как в задаче 5. Задача имеет решение при hi ^ а. 10. Если
построить треугольник со сторонами |ma, ^m?,, |mc, то его медианы
будут половинами соответствующих сторон искомого треугольника. Задача
имеет решение, если из отрезков та,7пь,гпс можно составить треугольник.
11. Надо взять произвольный отрезок р и построить треугольник со сто-
2 2 2 2
ронами ]г-, jp, ^—. В получившемся треугольнике против £- лежит угол А
искомого треугольника. Построим прямоугольный треугольник но катету
hb и острому углу А. лежащего напротив катета hb. Тогда гипотенуза
будет равна стороне с искомого треугольника. Аналогично строятся
остальные его стороны. Задача имеет решение, если из отрезков -—, ^-, ■£- можно
составить треугольник. 12. Строим прямоугольный треугольник АМН
такой, что AM = та, АН — ha и угол МНА прямой. Радиусом 1а с центром
в А проведем окружность. Она пересечет сторону МН в точке L. Проведем
через точку М прямую параллельно АН. Пусть она пересекается с прямой
AL в точке Р. Пусть О — точка пересечения серединного перпендикуляра
к АР и прямой MP. Тогда О — центр описанной около искомого
треугольника ABC окружности. Вершины В к С искомого треугольника находятся

884
Ответы, указания, решения
как пересечение окружности с центром О радиуса О А с прямой М Н. Задача
имеет решение при ha ^ la ^ та. При этом, если ha ф тпа, то ha ф 1а-
13. Строим прямоугольный треугольник ВОК по катету ОК = ^ и
гипотенузе ВО — |ттгь. Радиусом |т& с центром О проводим окружность.
Пусть А та из точек пересечения этой окружности с прямой ВК, для
которой К лежит между точками А и В. Тогда АВ — сторона искомого
треугольника. Дальше можно действовать как в задаче 6. Задача имеет
решение при hc < mb и hc < ma. 14. Нужно построить прямоугольный
треугольник ВОК по гипотенузе ВО — mb и катету О К — |/га. На катете
В К построим точку М такую, что ОМ — |та- Тогда отрезок ВМ будет
равен половине стороны ВС искомого треугольника. Продлив отрезок ВМ
за точку М до точки С такой, что ВМ = МС и продлив отрезок МО за
точку О до точки А такой, что О А — 2 ■ ОМ, получим искомый треугольник
ABC. Задача имеет решение при ha < 2mb, ha < ma. 15. Строим два
прямоугольных треугольника по катету ha/2 (или /it,/2) и гипотенузе тс.
Угол С искомого треугольника строим как сумму углов, противолежащих
катетам ha/2 и hb/2. Имея угол С, строим стороны b — Д^ и а = -^с-
После этого строим искомый треугольник по сторонам а, Ъ и углу С между
ними. Задача имеет решение при ^ < тс и %■ < тс. 16. Построим
прямоугольный треугольник АМН по гипотенузе AM — та и катету
АН = ha. В той же полуплоскости относительно прямой АМ> что и точка
Я построим точку -Р такую, что /.АРМ — 90° и MP — ^hb. Пусть С —
точка пересечения прямых АР и МН. На продолжении отрезка СМ за
точку М вы берем такую точку В, что ВМ = МС. Тогда треугольник
ABC — искомый. Задача имеет решение, если hb < 2ma и ha ^ гпа.
17. Построим прямоугольный треугольник по катету ha и гипотенузе
Iciff- + 1)- Тогда угол, лежащий напротив катета ha, будет равен у, где
С — угол искомого треугольника. Имея угол С, строим сторону а — ^^;.
Наконец, легко строится b — 9^. Осталось построить треугольник ABC
по сторонам a, b и углу С между ними. Задача имеет решение при hahi <
(hn + hb)lc.
18. Берем отрезок ВС такой, что ВС = а. Проводим прямую /,
параллельную ВС и отстоящую от нее на расстояние ha. С центром в середине М
отрезка ВС проводим окружность радиуса та. Пусть А — любая из точек
пересечения этой окружности с прямой /. Тогда треугольник ABC —
искомый. Задача имеет решение при та ^ ha. 19. Построим прямоугольный
треугольник ВОК по катету О К = |/ia и гипотенузе ВО = ть- От точки
В в ту же сторону, что и точка К отложим на прямой ВК точку С так,
что ВС = а. На продолжении отрезка ВО за точку О отложим точку L
такую, что 2 ■ OL — ОВ. На продолжении отрезка CL за точку L возьмем
такую точку А, что AL = CL. Треугольник ABC искомый. Задача имеет
решение при ha < 2гпь-
20. Построим прямоугольный треугольник КМС по гипотенузе СМ —  и
катету МК = -£■. На продолжении отрезка СМ за точку М отметим точку

1. Домашние задания
885
В такую, что ВМ — МС. Радиусом т„ с центром в точке М проведем
окружность. Пусть А — одна из точек ее пересечения с прямой СК. Тогда
треугольник ABC искомый. Задача имеет решение при а ^ /it,, 2та > кь-
21. Строим прямоугольный треугольник ВСН по гипотенузе а и катету Л.&.
С центром в точке В проведем окружность радиуса тпь. Пусть М ■— любая
точка пересечения ее с прямой СН, отличная от С. На продолжении отрезка
СМ за точку М построим точку А так, что AM = МС. Тогда треугольник
ABC искомый. Задача имеет решение при а ^ Нъ и m& ^ 1ц,, причем эти два
неравенства не могут одновременно превращаться в равенства. 22. Пусть
все токи P,Q,R различны. Точку Q соединим с центром О окружности,
описанной около треугольника PQR. Через точку Р проведем прямую,
параллельную прямой QQ. Обозначим через С точку пересечения этой прямой с
окружностью. Пусть М — точка пересечения OQ и CR. Через точку М
проведем прямую, перпендикулярную прямой OQ. Она пересечет окружность
в двух точках А и В. Треугольник ABC — искомый. Если все три точки
совпали, то у задачи есть бесконечно много решений. Если все точки лежат
на одной прямой, и не все совпали, то решений нет. 23. Вершины искомого
треугольника есть основания высот треугольника A-BiC. 24. Пусть угол
между АВ и CD равен а, АВ — а, ВС — b, CD = с, DA = d. Построим
треугольник ABD' по сторонам АВ = а и BD' =си углу а между ними.
Построим вершину D так, чтобы AD — d, D'D — Ъ (как пересечение двух
ясно каких окружностей). Через точку D проведем прямую, параллельную
BD' и пусть точка С на этой прямой такова, что CD — с и ВС — Ь.
Тогда четырехугольник ABCD искомый. 25. Проведем диагональ АС
данного четырехугольника. В треугольниках ABC и ACD опустим высоты
из вершин ВиВи сравним их. Если они равны, то АС искомая прямая.
Пусть, например, высота, опущенная из точки D на АС больше, чем высота,
опущенная из точки В на эту же прямую. Проведем прямую, параллельно
АС, лежащую от АС с той же стороны, что и точка D. Она пересечет
отрезок CD в точке К. Пусть М — середина DK. На отрезке CD возьмем
точку Р такую, что СР = DM. Тогда прямая АР — искомая. 26. Если
точки А, В, С лежат на одной прямой, то решений нет. В противном случае
надо описать около треугольника ABC окружность и провести к ней
касательные в точках А, В и С. Вершины треугольника, ограниченного тремя
получившимися прямыми, есть центры искомых окружностей. Радиусы их
будут равны длинам соответствующих касательных к построенной
окружности. 27. Пусть длина отрезка АВ равна 2а, радиус данной окружности
равен г, а центр ее находится в точке О. Пусть М — середина отрезка АВ и
I — серединный перпендикуляр к нему. Пусть ОР = р - - перпендикуляр из
О на прямую /. Отрезок MP обозначим через q. Ясно, что центр искомой
окружности лежит на прямой I. Пусть х -■- расстояние от него до точки
М. Для решения задачи достаточно построить отрезок длины х. Отрезки
длины р, q, г и а у нас есть. Число х удовлетворяет уравнению
Ja2 + х2 + г — y/'(q - х)2 + р2.
Его можно решить и убедиться в том, что выражение для х дает возмож-

886
Ответы, указания, решения
ность построить отрезок длины х. Задача имеет решение, если исходная
окружность не содержит ни одной из точек А и В. 28. Берем
произвольную точку У на отрезке ВС. Проведем через нее прямую, параллельную
АС. Пусть эта прямая пересекла сторону АВ в точке X'. На продолжении
отрезка ВХ' за точку X' отложим точку А' такую, что АХ' — BY'.
Построим отрезок длины р = ^Х'+АХ' • Пусть X — такая точка на отрезке
АВ, что АХ — р. Проведем через точку X прямую, параллельную АС и
пусть Y — точка ее пересечения с прямой ВС. Точки А' и Y искомые.
29. Через вершину Р проведем прямую, параллельную прямой АВ, через
вершину Q — прямую, параллельную прямой ВС и через вершину R —
прямую, параллельную стороне АС. Получим треугольник А'В'С,
подобный треугольнику ABC. Построим отрезки х = — д/'^>—, у = —в<~с< и
z = С'сРа'^- Возьмем на сторонах АВ,ВС и АС треугольника ABC
соответственно точки X,Y и Z такие, что АХ = х, BY — у и CZ = z. Тогда
треугольник XYZ искомый. 30. У нас есть точки А и С и прямые ВС и AD
(хотя точки В и D не известны). Пусть К проекция точки С на AD. Длину
отрезка АК обозначим через с. Пусть р — расстояние между прямыми АВ
и CD. Построим на отрезке АК такую точку L, что AL = у1 с? — р2. На
продолжении отрезка АК за точку К отложим отрезок KD такой, что
KD — Ah. Пусть В ----- проекция точки L на прямую ВС. Тогда трапеция
ABCD — искомая.
► УРОК 35. 1. При а £ (-оо,-1) U [2 + 2^2,+ос). 2. При 0 ^ а ^ .
3. При а < 0. 4. у2 + 237у - 12040 = 0. 5. су2 + by + а = 0. 6. При
а = -jj. 7. Если а < 0, то х £ (~1+^Р°, — "j^*"); если а = 0, то
х G (-1, +оо); если 0 < а ^ , то х £ (-оо, ~l~^~=*i) U C^J^.+oo);
если а > |, то а; любое. 8. Если а < 2, то х любое, если а ^ 2, то
ж£ (-оо, ~а~^°2~4)и(~"+^~4,+оо).9.Еслиа> ±. то ж любое; если а ^ J,
тох£ (-оо, -1 -f=*°] и [~1+^Г^,+оо); 10. Если а < 0, то х £ (-1,-£);
если а — 0, то ж £ ( — 1, +оо); если а £ (0,1], то х £ (-оо, — i) U (-1, +оо);
если а > 1, то ж £ (—оо,-1) U (—£,+оо). 11. При m £ [—6,-5) оба
корня отрицательны; при m — —5 один из корней равен нулю, а второй
отрицателен; при т £ (—5,3) корни имеют различные знаки; при т — 3
есть один положительный корень; при т £ (3,4] оба корня положительны.
При остальных т решений нет. 12. При т £ (—оо, — |) U (0,+оо); оба
корня положительны; при т = — | один из корней равен нулю, а другой
отрицателен; при т — 0 уравнение имеет один положительный корень; при
—  < т < 0 корни имеют разные знаки. 13. Сумма квадратов корней
максимальна при а — 0 и минимальна при а — ±2. 14. При а = —2. 15. Ни
при каких. 16. При любых а. 17. При а ф 0. 18. При а = 0. 19. Ни при
каких. 20. При к ф О
► УРОК 36. 1. а ^ 1. 2. Щ ^ а < 2. 3. -3 ^ а < -2. 4. а > 1. 5. -2- /ТТ <
а < -2 + v^. 6. Таких а не существует 7. а ^ 3 + 2/2. 8. 2/2 ^ а < ^~.

1. Домашние задания
887
9. ~7"2ч/45 ^ т ^ -4 + 2/3. 10. m > 1. 11. а > |. 12. а < -2. 13. Ни при
каких. 14. ре [-2,-^=] U [-^,2]. 15. т € [-^,^|^]. 16. Не существуют.
17. При | < а ^ 1. 18. а е [-2,-§]. 19. а > -1 или а < -3. 20. При
- ^ а ^ . 21. При а G (-£,0]. 22.Ъри
а < 0 нет решений; при а ^ 0 имеем
ж
= а+|-уа + т-23-пРиа ^ _1
имеем
а; =
_ /4/a2-l-a±v/(4/a2-l-g)2-4
. При а >
— | решений нет. 24. При |у| > 2^2 и
О < у < ^. 25. При 0 < а ^ 1
имеем
х = log2 а; при остальных а решений нет.
Рис. 15
► УРОК 37. 1. Искомое множество
точек (ж, у) задается неравенствами ^+пп+
х < у < ^+7гп+ж, гг е Z. Оно
изображено на рис. 15. 2. Искомое множество
задается неравенствами — | + 7т<ж + у<
| + 7гп, и £ Z. Оно изображено на рис.
16. 3. -1 < а < -±. 4. а = 0,Ь = -1.
5. а =  + П7Г, п G Z, Ь = 1. 6. а < ^.
7. а = 2. 8. а = -1. 9. а = 0, 0 < Ь < 1.
10. а = Ь = -2. 11. а = 1. 12. о = 1.
13. а = ±1. 14. а = 0, а = 2. 15. При
аь2+1 ^ i. 16. При ab2+1 = -jL. 17. О <
а ^ у~. 18. а = 3, а = 4, 0 ^ а <
1, а > 5. 19. При иррациональных а.
20. При а = 1,Ь = -1,с = 1. 21. При -^ s$ а s* £. 22. -1 ^ р ^ 1.
23. -^ ^ р ^ ^. 24. Если а = -2, то ху = -1, ж2 = $, ж3 = g.
Рис. 16
Если а = -£, то zi =0, X2 =
136
£з
- ~. 25. (—оо,^], если а = О,
(-оо, ' у "] U [1 + у",+оо), если 0 < а < 1 и (-оо,+оо), если а ^ 1.
Нужно заметить, что левая часть равна (ах2 — 2х + 1)(а2ж2 + 2аж + а + 4).
26. 0 < Ь< ^-. 27. а = 6n-l, a = 6fc + 3, а = б/, a = 6m + 2, Jk,j,m,neZ.
► УРОК 38. 1. а б {§} и {§} U [2,4). 2. а е [-2тг,0) U (2тг,4тг]. Пусть
и = sin ж cos у, v = — cos ж sin у. Перемножив первые два уравнения получим,
учитывая третье уравнение, что uv = (у^)2, откуда и = v. Поэтому
sin(x + y) = 0 и х + у = П7г, п € Z. Из 0 ^ у ^ | и первого уравнения следует,
что sin ж > 0 и п = 2т + 1, meZ. Далее, из z > 0 и первого и третьего
уравнений получаем sin ж = sin у = ^, cosy = -cos ж = fz%. Итак, нужно

888
Ответы, указания, решения
f СОву= f±IL,
найти все значения о, при которых система < х — 7г(2т + 1) - у, т G Z,
[ 0 < у ^ тг/2
имеет единственное решение. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
неравенства О ^ n-V""' < 1 выполнялись при единственном целом т. При
а > 7Г получаем условие —!^т<^-1^1, т.е. 27г < а ^ 4л-. Аналогично,
при а < тг получим —2тг ^ а < 0. 3. а — -2, а = —1. 4. а = 1,3, Н-
5. -^ ^ а ^ 0. 6- | - V2 ^ а ^ | + /2. 7. -3 ± V3. 8. -| ^ а < 0.
9. а < -10, а > |. 10. о = -3, 1+/—■ Нужно заметить, что левая
часть неравенства равна (у/а,2 + а — 6 ■ ж2 + а)(т/а + 3 ■ х — а). 11. Е> = —-|.
12. с = -|, d = ^. 13. о = -^, -^. 14. а е (-оо,+оо), 6 = 2; а =
±1, Ь = -2. 15. Ь ^ -1, 6 ^ 4. 16. -I ^ Ь ^ . 17. а < -3, 1 < а < 6.
18. а = 2тг - 8, 2тг - 1, 2тг. 19. (6т + §)тг < b ^ (6m + |)тг, m G Z, m ^ 0.
20. 0 <ж< 4л/2. 21. а = 1-%/2, а = 5 + x/lO. 22. р ^ 1. 23. а G (§,1)и(1,2).
24. а < £log315, а/-|.
►■ УРОК 39. 1. | + 2шг, n e Z. 2. -§ + птг, n € Z. 3. 0. 4. 0. 5. тг +
2п7Г, п € Z. 6. 0. 7. | + П7Г, 2п7Г, и е Z. 8. з; = ±| + 2шг, у =
±| + 2(п - й)тт, n, k G Z. При этом в формулах берутся одновременно
либо оба верхних знака, либо оба нижних. 9. х = | + ^-, у —  + {к —
|)тг, к,п G Z. 10. 0. 11. ас = 1, у = ±i + n, re G Z. 12. ж = ±J, у =
„ „ о I х=77г + 2/тг, Гж = |+2*тг,
| + 2тг:р|, neZ. 13.^ 4 _' , ^ 4 _ , п.,/ G Z.
( у = arctg л/2 + птг, I у = - arctg у/2 + тг.
, >, I ^ — 7 + 2п7г, Г а; — —f тг + 2пп, , „ - - / -чг. ,- г»
14. { 4 S 4 n,Z G Z. 15. птг, (-1)п£+шг. n G Z.
у = 2Ы,  у = тг + 2*тг, V ; "
16. ^. 17. -±. 18. -1. 19. 2к +1, 2к~ , к G Z. 20. ж = -1, у = 1.
21. ж = 1, у = -3. 22. ж = 0, у = 1. 23. ж = 1, у = 0. 24. ж = 1, у = 0.
25. (2П7Г, f + 2шг), n G Z. 26. ж = 2. 27. (-1,2), (-1,-2). 28. 0. 29. 0.
30. -1 < х ^ 1. 31- х = ±| + £тг, у = | + /тг, z = f + rmr, fc,/,m G Z.
32. x = у = 2, z = -2. 33. ж = 2, у = -± 2 = §. 34. ж = 4, у = 2, z = 40.
35. ж = у = -2, г = -7. 36. ж = ± + | log3 2, у = £ - | log3 2. 37. ж =
| +2П7Г, у = -1, П G Z.
►• УРОК 40. 1. (2шг,7г + 2п7г), п g Z n. ^ 1. 2. ж = 6. Заметить, что в ОДЗ
уравнение представляется в виде (л/ж + 1 — 2)(л/2ж — 5 + ж — 4) = 3. Левая
часть возрастает, так что корней может быть не более одного. 3. 1/2 <
ж < 1. 4. а = 2. 5. ж = «, у = 1, t G (0,1). 6. |f, ^. 7. о = -1. 8. р =
£, i = -тг/4 + птг, п G Z. 9. о = -12/5, 6 = -9/5, с = -12/5, d = -16/5.
Проверьте, что 144 = (а2 + b2)(c2 + d2) ^ (ad + fee)2. Отсюда следует, что
ad + be = 12 и ас — bd. Теперь можно выразить b + d _через Ь и найти,
при каких b это выражение минимально. 10. а < —2 — v5, a > v5. 11. |.
12. log9 10 > log10 11. Формула loga.(x + 1) = 1 + loga.(l + M показывает,
что функция у = ^х(ж + 1) убывает. 13. ж = 1, у = 1 + | + птг, п G Z.
14. 2±/l4 + 4/3. 15. 3—ч/З. Этот корень нужно угадать. Он единственен,

1. Домашние задания
889
так как левая часть возрастает.
► УРОК 41. 1. 3jt^i3-, 1±fi. 2. ±%/3. Убедиться, что левая часть равна
(ж2 — 3)(х2 + х + 1). 3. х ^ 1. Привести неравенство к виду
{у/х- 1 - 2V^T2)2 - 5( VlF^T - 2v^T2) + 6^0.
4. ж = ±1,у - ±5, г = 0. 5. ~J- 6. fc = 7. Пусть 2га - m - fcp и
Зп + 2т — Ы, где ри( — натуральные числа. Умножив первое равенство на
2 и сложив со вторым, получим 7га — к(2р + I). Умножив второе равенство
на 2 и вычтя из него первое, умноженное на 3, получим 1т = к(21 — Зр).
Выведите отсюда, что к = 7. 7. х = — 2jp-, у = z = 1; х = — з^' ^ ~
7, z = -9. 8. б - ^4/5-8 < х ^ 7. 9. 3 ^ х < ±±^, х > ±±*^.
10. (-2,-2), (-4,0), (0,4). 11. ^£, 3*/2^4^. Заметить, что левая
часть равна (ж2 — Зх - 10)(ж2 — Зх — 4) (ж2 — Зх + 1), обозначить х2 - За* через
у и в получившемся кубическом уравнении угадать корень у — 5. 12. Если
а = 1, то х — —1 или х = 2. Если а = —1, то х = —2, или х — 1. Если
|а| / 1, тож = а+±. 13. 1, 4096. 14. -3± л/б- 15. 15+/^ ±-/( 15+4у/^)2 - 8.
Убедитесь в том, что х = 0 не есть корень уравнения и разделите обе его
части на х2. Получится уравнение (х — 6 + |)(х — 9 + |) = 7. Остается
обозначить х + | через у. 16. -2 ± J15±^145. 17. |, |. Сделайте замену
х = ^ где 0 < t < §. 18. -2arctg2 + 2птг, f + 2птг, neZ. 19. |, ^Ь1.
20. —4, —2. Убедиться в том, что х = 0 не корень, разделить уравнение на
х2 и обозначить х + - через у.
> УРОК 42. 1. 0 2. х = 0, у = |. 3. |. 4. Нет, не верно. Легко проверить,
что ж = | и х — | являются корнями этого уравнения. 5. 0 < ж < 1/2.
6. -2 < а < -4/5. 7. a G (-oo, "^^ U (^f-,+oo). 8. Если а < -1, то
X < ^-l-f^^. ЕСЛИ -1 < а ^ -|, ТО X < 2а-1-у^^5 и 2.-1 + ^33 ^
я <; 22±1^г±1. Если а > -|, то х < 2"+W«°+b. 9. -1< а < ^. 10. §.
Надо заметить, что данная функция есть сумма расстояний от точки (х, у)
доточек(1,-2)и(-1,-|).11.о/ 1. 12. а = 2. 13. а = 1, а ^ 3. 14. а = -§.
15. а< -1.
УРОК 43. 1. 2arctg£. 2. £ab^g +/i2. 3. |p3/3ctg2 a(4 + tg2 a)3/2. 4. 2f.
5. л- — arccos(cos2 a). 6. V — sin^i/sin2 y> — cos2 tptg £. 7. Л = 4 см. 8. Пусть
Я и г — радиусы оснований конуса. Тогда его боковая поверхность
равна it(R + г)2, а площадь поверхности вписанного шара равна 4nRr.
Остались очевидные вычисления. 9. 144 см3. 10. 3. 11. 6V. 12. ^^3-. 13. ^?.
14. 2(a+b)y/3{a2 + b2). 15. ^Ц2^- 16. а3/8. 17. /V2/12. 18. Sr/3. 19. тгл/3/2.
20.2Д^4. 21. 2тгсм3. 22. (а3 - Ь3)%/2/6. 23- ^. 24. 2. 25. 17. 26. ±ttR2H.
27. ft4(4f2-f)v^. 28. А;2/3. 29. У= ±кН3 или У = |(^5-2)тгЯ3. 30. s^Ja.
31. §*£". 32. arccos^. 33. 2^2 + Q- 34. 20. 35. |b3 cos2 ^V^^os2^.

890
Ответы, указания, решения
36. |a3sinfv/cos(f +30°)cos(f -30°). 37. 2^{а2 ?хк2 % ~ b2sin2f).
38. arccos ^--. 39. *]«'«**№). 40. ^(cos2 /3 + tg2 f).
► УРОК 44. 1. Из теоремы синусов для трехгранных углов следует, что
sin а — sin 0 = sin 7. Применяя еще первую теорему косинусов для
трехгранных углов, получим, что cos a = ±cos2a. Отсюда следует, что cos о; = 0.
2. Построим полярные углы к двум заданным. У них будут равны уже
плоские углы. Из этого, очевидно, вытекает их равенство. Значит, и исходные
углы равны, будучи полярными к равным полярным.
3. Пусть SABC — данный трехгранный угол с вершиной S. Достаточно
доказать, что если угол ASC наибольший из плоских углов, то ZASC <
ZASB+ZBSC. В грани SAC выберем такую точку В', что ZASB' = ZASB
и SB' — SB. Следовательно, треугольники ASB и ASB' равны. Можно
считать, что точка С лежит на продолжении отрезка ВВ' за точку В'. Так
как АВ' + В'С = АС <АВ + ВС = АВ' + ВС, то В'С < ВС. Следовательно,
угол B'SC меньше угла BSC. Остается заметить, что ZB'SC = /.ASC —
Yasb.
4. Надо перейти к полярному углу и воспользоваться тем, что сумма его
плоских углов меньше 27г.
5. Пусть К — точка пересечения грани SBC с прямой АС. Согласно задаче
3 имеем ZdSK + ZKSB > ZCiSB и ZCSA + ZCSK > ZASK = ZASd +
ZCSK. Складывая эти неравенства и учитывая, что ZCSK + /КSB —
ZCSB, получаем то, что требовалось.
6. Надо применить первую теорему косинусов к полярному углу.
7. Проведем три плоскости, параллельные граням трехгранного угла,
удаленные от них на расстояние I и пересекающие противолежащие ребра.
Вместе с плоскостями граней они образуют параллелепипед, причем все его
высоты равны 1, а значит, плошади всех его граней равны. Заметим, что
длины ребер этого параллелепипеда равны ^-^,^ и ^Д-^. Следовательно,
площади его граней равны ^^, А^$Пг и ^ТЖТг Приравнивая
выражения для площадей, получим то, что требовалось.
8. Сразу следует из первой теоремы косинусов.
9. Сразу следует из второй теоремы косинусов.
10. Все грани тетраэдра есть равные треугольники тогда и только тогда,
когда любые его противоположные ребра равны. Но противоположные
ребра тетраэдра служат диагоналями граней параллелепипеда, полученного
при достраивании. Эти грани будут прямоугольниками, если и только если
их диагонали равны.
11. Пусть М —■ середина отрезка АВ, а Р и Q — центры данных
окружностей. В плоскости MPQ проведем перпендикуляры к прямой MP через
точку Р и к прямой MQ через точку Q. Точка их пересечения и будет
центром искомой сферы.
12. Пусть О — центр шара, лежащий на высоте DH тетраэдра ABCD, а
точки Р, Q, R, S, T, U —- точки касания шара с ребрами АС, ВС, АВ, BD, CD
и AD соответственно. Треугольник DOU прямоугольный с прямым углом
U. Из OD = г/3, OU = г следует, что sin ZODU = 4- и cos ZODU = «/§.
Треугольник AHD прямоугольный с прямым углом AHD. Поэтому AD —
соЛови = [ ■ DH- Аналогично, CD = BD = AD = yj ■ DH. Итак,

1. Домашние задания
891
точка Н — центр описанной окружности и одновременно центр вписанной
окружности треугольника ABC. Из совпадения этих центров следует, что
треугольник ABC правильный, чем все и доказано.
13. Пусть шар касается граней ADC, CDB и ADB тетраэдра ABCD в
точках R,PnQ соответственно. Имеем DR = DP и CR = СР как касательные
из одной точки к шару. Значит, треугольники CDR и СВР равны по трем
сторонам. Значит, угол CDR равен углу CDP. Отсюда следует, что угол
DC А равен углу DC В, ибо эти углы дополняют вышеназванные до 90°.
Аналогично, углы CDB и CD А равны как дополняющие равны углы DCP
и DCR до 90°. Следовательно, треугольники ADC и BCD равны по
стороне и двум прилежащим углам. Итак, АС = ВС и AD = BD. Аналогично
доказывается, что CD ~ AD и АВ = АС.
14. Доказательство идет так же, как в предыдущей задаче с той только
разницей, что точки P7Q,R есть центры описанных окружностей тех же
граней, а углы CDR и С DP дополняют до 90° углы DAC и DBC
соответственно. Поскольку углы при вершине предположены равными, все
остальные утверждения из предыдущего доказательства остаются в силе.
15. Доказательство идет так же, как в задаче 13, в случае, когда P,Q,R
есть точки пересечения медиан тех же граней. Из равенства треугольников
CDR и CDP следует равенство медиан DR' и DP' в треугольниках ADC
и В DC. Значит, CR' = СР' и АС = АВ = 2 • CR' = 2-СР'. Заканчивается
доказательство так же, как в задаче 13.
16. Точно так же, как в задаче 13, только надо заметить, что угол RDC
равен половине угла CD А и угол CDP равен половине угла CDB (точки
P,Q,R здесь обозначают центры вписанных окружностей). Все остальные
высказывания в доказательстве задачи 13 остаются в силе.
17. Пусть P,Q,R — точки касания шара со сторонами АС, ВС и АВ
соответственно, а точки S,T,U есть соответственно, середины ребер BD,CD
и AD. Из того, что P,Q,R — середины соответствующих сторон,
следует, что треугольник ABC правильный. Пусть О — центр шара. Тогда он
проектируется в центр G треугольника ABC. Пусть ОН - - перпендикуляр,
опущенный из О на плоскость STU, параллельную плоскости ABC. Тогда
GH — общий перпендикуляр к плоскостям ABC и STU. Соединим вершину
D с точкой G. Пусть она пересечет плоскость STU в точке Н'. Простые
рассуждения с подобием треугольников показывают, что UH' — ТН' = SH',
т.е. Н' — Н. Значит, высота, опущенная из вершины D попадает в точку G
и все доказано.
18. Вторая теорема косинусов влечет равенство всех плоских углов
тетраэдра. Отсюда следует, что все его ребра равны.
19. АВ • Ли sin 7 есть площадь треугольника ABD, a AC sin /3 sin D есть
длина высоты, опущенной из вершины С.
20. Применить формулу предыдущей задачи.
УРОК 45. 1. а^с06";Г/С°87). 2. arccosf. 3. Искомая площадь
равна S = 1^/4к2(а* + Ь2)+аЧ а = arccosf. 4. 6^2 + и^.
5. П^/И ■ f. 6. (3+2^|+^)fr2. Такая плоскость единственна. 7. у/2 + .
8. 2arcSin(sina+>/"3(cf ^)- 9. {S + аку/2=Щ. 10. *f • П. ^д-
12, ^ff-. 13. Величина угла равна j, искомое расстояние равно Д=. 14. 3.

892 Ответы, указания, решения
15. V- 1Ь- з' 17" ^?Г ■ 18' 1_ЛГ8в- 19" 2ЛУ- 20' 7з' W5"
► УРОК 46. 1. ^,in3^a- 2. V3(Scosaf/ 3. ^. 4. 2 : 1. 5. *$&.
6. 7:17. 7. Точка Р должна совпадать с точкой С. 8. Правильный
шестиугольник. 9. f 10. £&;. 11. 2r3ctg f ctg(f - |).
12. *3sin2/?cos£snmcos2f. 13. агссой(3/4). 14. ^""^Й!^^16"-
15. V = '-£. 16.336 см3 и 396 см2. 17.2а3(у/2-1). 18. 5|. 19. (Si + S2)h/2.
20. И1^з'смз.
► УРОК 47. 1. |§5. 2. 12j*£_ai- 3. а3/4. 4. Пусть высота тралении ABCD
равна 2h, высота пирамиды равна Н и расстояние от АВ до MSN равно р.
Если Л-i — высота треугольника SMN, опущенная из вершины S, то надо
доказать, что V = - • MN ■ 2h ■ Н — | ■ МЛТ • h ■  • р. Это равенство
равносильно тому, что ^- = -. Убедитесь, что каждое из указанных
отношений есть синус угла между плоскостями ABCD и MSN. 5. Пусть О —
внутренняя точка многогранника, равноудаленная от оснований. Разобьем
на треугольники все боковые грани многогранника так, чтобы вершины их
лежали на основаниях. Многогранник разбился на две пирамиды,
основаниями которых служат основания многогранника и п треугольных пирамид
с вершиной О, основаниями которых служат указанные треугольники
разбиения. Объемы первых двух пирамид равны HS и |Я52- Объем г'-го
тетраэдра равен iHsi, где sj ■— площадь сечения этой пирамиды плоскостью,
равноудаленной от оснований многогранника. Из Si + ... + sn = S3 и
вышесказанного уже следует доказываемая формула. 6. ^h(2ab+2a1bi +abi+aib).
7. iaWatg^. 8. (1^/а)3- 9. |. 10. £(о + б)2 ■ V^T^fe . tg2 f.
11. fJ3tgfsm/?sin2/3. 12. 4. 13. j^. 14. ^фа2. Такая плоскость одна.
15. 5^. 16 28ч/з. 17. e'ffi+ff- 18. R = ^l7f^. 19. 7 : 20, dS.
20. ВМ = 2/2.
► УРОК 48. 1. 2arcsin(^2 - 1). 2. ^. 3. q = 2arcsm / x-w. . Число т
может принимать значения из интервала (£,1). 4. г(1 + -^). 5. |г(3 +
^3+ у/9Тб7з). 6. г (l + 2tg2 f ± tg f ^3 + 4 tg2 f). 7. arcsin(v'2sm(f -
«),:ntt a nla siu 2a cos3 a n »Д2 cos4 a -in Я/2 sin (a/2)
4;sm4j. o. scos(a+^)cos{a-^)- a" 4 cos4 f * xu* 2 cos £ cos(£-£V
n «i «*£™««° /». 12. 2+^|^/2?. 13. arccos(cos2a + Qsm2a), где Q =
т1"1^)П£^—- 14" 9'16' 15- 1^3-3). 16. 1) arcsm(^tgf); 2)
* - £Zt:l£- 17' -+1&^- "■ ^cosf. 19. arccos^l.
20. 20 см3.
► УРОК 49. 1. Ц^. 2. С = (4^-1). 3. Пусть а = АВ, 6 = Ш, с = сВ.
Тогда (Ж СО) = (а, 2), (ЛС, DB) = (а + Ь, -6 - с) и (AD, вб) = (а + 6 +
Й, ft). Складывая эти равенства и раскрывая скобки, получаем требуемое.

1. Домашние задания
893
_ " * - ■ t > —*
4. Пусть а = ЛЛ1, Ь = Л.В и с = Л£). Тогда Л С]. = а + Ь + си поэтому вектор
а+Ь +с перпендикулярен векторам а — Ь, &-сиа-спо условию. Учитывая,
что (а,Ь) = (Ь, с) = (а,с) = 0, получаем, что 0 = (а + Ь + с,а- Ь) — а2 — Ь2.
Аналогично, |Ь|2 = |с|2 и длины всех ребер данного параллелепипеда
равны. 5. (а + Ь)2 = (а - Ь)2 ««=> 4(2, 6) = 0. 6. Пусть а = |а|, Ь = |Ь| и
с = |с|. Пусть 1,1/И2- косинусы углов соответственно между
векторами а и fe, b и с, а и с. Разность между правой и левой частями доказы-
ваемого неравенства равна а + b + с + у/а?+Ь2 + с2 + 2{abx + Ьсу + acz) -
/a2 + b2 + 2abx — л/b2 + с2 + 2bcy - Va2 + с2 + 2acz — /(i, у, z). Докажем,
что f(x,y,z) ^ 0 для любых x,y,z, по модулю не превосходящих 1.
Функция ip(t) = v/p + t — ^/(? + t — , +t+q-J +t монотонна по *■ Следовательно, при
фиксированных у и z функция / достигает своего наименьшего значения
при х = ±1. Фиксируем затем х = ±1 и z. Тогда / принимает наименьшее
значение при у — ±1. Наконец, зафиксировав х — ±1 и у = ±1 получаем, .
что / достигает наименьшего значения, когда числа x,y,z равны ±1. В
этом случае векторы а,Ъ и с коллинеарны и требуемое неравенство легко
проверяется. 7. Искомая сумма квадратов равна 8. Возьмем произвольную
плоскость. Пусть р — вектор единичной длины, перпендикулярный к этой
плоскости. Если а, /? и 7 — Углы, которые этот вектор составляет с
векторами АВ, АС и AAi. Легко проверить, что cos2 a + cos2 ft + cos2 7 = 1 и
что сумма квадратов проекций ребер равна 4(sin2 a + sin (5 + sin 7) = 8.
8. Лежит. 9. р= {2,-1,1}. 10. Пусть cl - а и СВ = Ь. Тогда та = b-aw.
гпь = а — Ь. По теореме косинусов имеем (а, Ь) = |(а2 +Ь2 — с2). Расписать
условие (та,гпь) — 0 с применением последнего равенства. 11. -т=. 12. 120°.
13. Л'(1,0, — 1). 14. Указанная точка делит каждую медиану в отношении
3:1, считая от вершины. Доказать, что все медианы пересекаются в одной
точке можно, взяв три вектора, исходящих из одной из вершин тетраэдра и
выразив через них вектор с началом в выбранной вершине и концом в точке,
делящей каждую из медиан в вышеуказанном отношении. Убедитесь, что
данный вектор будет один и тот же для всех медиан. 15. Воспользоваться
тем, что вектор AM может быть выражен через векторы АВ и АС, выра-
зить векторы АВ щ АС через векторы, указанные в условии, и заметить,
что DM — DA + AM. 16. arccos -7=. 17. Записать векторы, параллельные
названным прямым, и доказать, что их скалярное произведение равно нулю.
18. j. 19. Не пересекаются. 20. Пересекаются в точке (1, —2,0).
*■ УРОК 50. 1. Внутренность шара, ограниченного данной сферой. 2. Пусть
В — проекция точки Л на прямую /. Искомое ГМТ есть пересечение
сферы, построенной на отрезке АВ как на диаметре с плоскостью, проходящей
через точку А и перпендикулярной прямой I. 3. Если прямые параллельны
или совпадают, то искомое ГМТ есть две параллельные плоскости. Если
они не параллельны, то искомое ГМТ есть бесконечная труба (вернее, ее
поверхность) с прямоугольным сечением. Ось этой трубы перпендикулярна
каждой из прямых и проходит через точку О. Диагонали прямоугольника,
являющегося сечением трубы, равны 21, где I — постоянная величина из
условия. 4. Пусть R и г — радиусы данных сфер (R > г), а точки Л и
В — их центры, АВ = а. Пусть точка N на отрезке АВ взята так, что

894
Ответы, указания, решения
AN = {~~ + а). Тогда искомое ГМТ есть кольцо, лежащее в плоскости,
перпендикулярной к АВ и проходящей через точку N. Центры
окружностей этого кольца совпадают с N. 5. Две окружности на данной сфере,
пересекающиеся в точках А и В. Точки Ли В исключаются. 6. Пусть Н
— точка пересечения высот треугольника, ABC и L — основание высоты,
опущенной из А на ВС. Искомое ГМТ есть построенная на HL как на
диаметре окружность, плоскость которой перпендикулярна плоскости ABC.
7. Пусть D — точка, симметричная С относительно середины отрезка АВ.
Если угол С тупой, то искомое ГМТ пусто. Если он прямой, то оно состоит
только из точки D. Если угол С острый, то искомое ГМТ есть сфера с
центром в точке D и радиусом ICD ~^АВ" ■ 8. Эти плоскости высекают на
плоскости я- треугольник. На этой плоскости надо взять центр вписанной
и центры вневписанных окружностей этого треугольника. Искомое ГМТ
есть четыре прямых, перпендикулярных плоскости я-, каждая из которых
проходит через одну из указанных точек. 9. Пусть к и / ■■■- данные прямые, и
А & к. Пусть В — точка пересечения прямой I с плоскостью п, проходящей
через точку А и ей перпендикулярной. Искомое ГМТ есть окружность,
построенная на диаметре АВ в плоскости ж. 10. Искомое ГМТ есть цилиндр,
диаметрально противоположными образующими которого являются прямая
I и прямая £, проходящая через точку А параллельно I; прямые I и t следует
исключить. 11. Через каждую из вершин данного треугольника ABC
нужно провести две прямые, перпендикулярные сторонам, сходящимся в этой
вершине. Искомое ГМТ есть внутренность шестиугольника,
ограниченного этими прямыми. 12. Две плоскости, каждая из которых проходит через
одну из биссектрис углов, образованных данными прямыми в плоскости,
их содержащей и перпендикулярных к последней. 13. Искомое ГМТ есть
часть сферы радиуса J2R с центром в начале координат, ограниченной
плоскостями х = R. у = R, z — R. 14. Пусть Р и Q — точки пересечения
продолжений противоположных сторон четырехугольника ABCD. Искомое
ГМТ есть сфера с диаметром PQ. Точки ее, лежащие в плоскости данного
четырехугольника, следует исключить. 15. Пусть К и L — точки
пересечения продолжений диагоналей АС и BD с прямой PQ. Искомое ГМТ есть
сфера с диаметром KL. Точки этой сферы, лежащие в плоскости ABCD,
следует исключить. 16, Пусть О — центр окружности, вписанной в какое-
либо осевое сечение конуса. Искомое ГМТ есть боковая поверхность конуса
с вершиной О и образующей О А, где А — какая-нибудь точка на
окружности основания исходного конуса. 17. Внутренность шара, ограниченного
данной сферой. 18. Все пространство. 19. Внутренность данного
трехгранного угла. 20. Внутренность данного трехгранного угла.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 895
2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы
1970 год
Механико-математический факультет. 1. | + 2п7г < х ^ ^? + 2шг, х ф
f + 2шг, х ф х + 2птг, п_е Z. 2. ал = А У1 = ^; ж2 = -N/6, y2 = -^.
Л. j минуты. 4. АС = 2^5. 5. 5S = i ■ х/5 —2V^sinv?.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
1. х = ± arccos(i/a + 3)+n7r, -3 ^ а < -2, тг е Z. 2. ж > £. 3. 30 < и < 33, 6.
4. F = |{тт - а + arccos(f sin а — cos а)), С = |(7Г — а — arccos( | sin a -
cos а)), 0 < а ^ 2 arcsin -,  - . 5. cos х = 1-sin f ■ (sin | — у sin2 f - sin2 |).
Физический факультет. 1. х — ±| + 2пя", х = шг, n G Z. 2. 3~/69 <
ж < ^^; ^Ь^ < i < 5+^9. з. я(з^_4. 4. |. 5. Второй автомобиль
остановился раньше, а2 = —8-^.
Химический ф-т и отд. геофизики геологического ф-та. 1. 8 час
45 мин. 2. а?! = 1, х2 = -|. 3. 0 < х ^ §, Ц- < а; < тт. 4. ^. 5. ^.
Отд. общей геологии геологического ф-та. 1. —^~^- 2. яг^ — — 1 ±
JZ + !og3/4 2. 3. 0 < i < ; ^ < i < тг; f < i < ^; ^ < х < |тг, |тг <
z < -т-к. 4. С первого поля — 18 ц, со второго — 15 ц. 5. 12,5 см.
Отд. биологии биолого-почвенного ф-та. 1. х = ±-| + П7Г, гс € Z.
2. V6 < |ж| ^ 3. 4. PQ = ^j. 5. а = 1, Ь = -1.
Географический ф-т и отд. почвоведения биолого-почвенного ф-
та. 1. v = 2U м/сек. 2. *li2 = ±ч/1о^З. 3. %^- =  ■ ^gj#.
4. с* = -4. 5. | + пп < х < §7Г + П7Г, n £ Z.
Отд. полит, экономии экономич. ф-та. 1. ( 10 + 1CL /l — —^-н— J x
(10 - 10у/1-й^т) х 1±2Ш- 2' l + ^ctg«(l+3tga)2-|Va.2-16. 3. х = 2.
4. z= -1 - ft.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та. 1. | ■
^f. 2. х = 0,5. 3. 0<ж<1, 4^x^21+vl*. 4. Ps(x) = ^- + ^-+x.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. Первая байдарка прошла 1 км за 230 сек. 2. х = |. 3. 2 ^ х < 2. 5.
6. (12, 5)2 arcsin^ -42. 7. 17 способов.
Факультет психологии. 1. Скорость течения — 7,5 км/час; второй
пароход доходит от А до К за 20 мин. 2. а = — 9|. 3. | < х < 1.
4. §УЗтг ■ ctga(tg3 f + tg9 f + tg15 f).

896
Ответы, указания, решения
1971 год
Механико-математический факультет. 1.x— |, х = 3. 2. ^ < х <
|тг; §тг < х ^ тт. 3. |. 4. а = 0, q = 1. 5. §i?2.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. х =
_10-V26/3; у = log2(5+^26j_ 2 0 ^ х < jl. _xff < д. ^ _|. з. Продано
3 комплекта; в комплекте 7 синих карандашей и 3 красных. 4. d. 5. К =
_2l3 sin3(q/3)
3" ' cos(a/3)cos(2a/3) "
Физический факультет. 1. х — (-1)" arcsin(l — л/2) + тт, п £ Z.
2. -/3 < х < /3. 3. а = 14 *£. 4. 5 = ^Ъу/АЬ? + а2, р = arctg^.
е- аЬ
О. -5" ■
Химический ф-т и отд. геофизики геологического ф-та. 1. ^~г2.
2. к = 1, х = 2. 3. 600 м3. 4. £ + 2птг ^ х ^ £ + 2шг, n G Z. 5. |j^.
Отд. общей геологии геологического ф-та. 1. х — ±£ + &7Г, у —
| + 2п7г, n,k eZ. 2. 450 и 550. 3. а = . 4. г = 24 см. 5. -§ < ж < -ff.
Отд. биологии биолого-почвенного ф-та. 1. х — , Х2 = 64. 2. 2.
3. 10 часов. 4. i = (-l)ra+1fj + ™. 5. /3, 2^3 (или 2Л/3, Л/3).
Географический ф-т и отд. почвовед, биолого-почвенного ф-та
1. 15 стр. 2. 2(Ь + 2а). 3. Xi = § + шг, ж2 = ±|тг + 2шг, n £ Z. 4. *±.
5. 2 < х ^ 6.
Отд. политической экономии экономического ф-та, 1. р = 17%.
2. ^^ < ж < 1, х > ^fi. 3. f + 2шг ^ х ^ |тг + 2шг, ueZ.4. 462462.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономии, ф-та
1. Первый экскаватор работал 3 дня, второй — 2 дня. 2. х — ±| + 2п7г, п £
Z. 3. а7 = 4£. 4. xmi„ = (л/ЯТр^7^ - y/R)2. 5. 6 ■ 74 = 14406.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. 39. 2. ^.3. ±2, ±3, ±11,... , ±31. 4. а < -2. 5. Все действительные и все
чисто мнимые. 6. Если а — 0 и b ф 0, или а ф 0 и Ь = 0, то нет решений.
Если а = 6 = 0, то либо ж = 0 и у любое, либо у — 0 и х любое. Если в^Ои
Ь/0,тох= i„-, y = £.
Факультет психологии. 1.3. 2. Р совпадает либо с точкой С, либо с
точкой С. 3. —т= < х < 0. 4. 11 деталей Л и 9 деталей В. 5. а = 1.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы
897
1972 год
Механико-математический факультет. 1.0 < х ^ |, х > 1.
2. ^пешехода = 3 КМ/Час, «велосипедиста = 15 км/час. 3. R - 12, 5 М. 4. Я = /3.
5. а = 2, 6 = 4, с = 64.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. ж1(2 =
1 ± у 1 +l0g3(2 + уД). 2. -f + П7Г < Ж < П7Г, § + П7Г < Ж < f + П7Г, П G Z.
3. j£ = |(2 + V3). 4. arctg(|/3(/5 + 1)). 5. При а = fg£x имеем
x = ±-^7г, ж — ±:i^7r; при a = —1 имеем х — ±у/9п'2 — (я- + arcsiu ~)2
или ж = iy^2 — (27Г — arcsin ~)2.
Физический факультет. 1. х — шг, х — — |- + 2шг, х — (—1)™|-+п7г, п G
Z. 2. ^ < ж < 10. 3. 28° и 56°. 4. 1 - ^|. 5. /3.
Химический факультет. 1. 1 км/час. 2. х — 1. 3. 45°, 45°, 90°.
4. 4i?2/2/sina. 5. 2п7Г < ж < | + 2шг, § + 2птг < ж < §7г + 2п7г, |я- + 2птг <
ж < |?г + 2mr, §7Г < х < 277 + 2п7г, п € Z.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. х — ( — l)n+11 +
пет, neZ.2.a = 2]0/3, у = З"5/3. 3. 15 км/час. 4. ж < 1. 5. 2, 4 см2.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. 21 колхозник. 2. ±| +
П7Г, n e Z. 3. ж < 2, Si^ < ж < 3. 4. 32/2 см2. 5. R = б см в случае, когда
первые два шара касаются третьего внешним образом.
Биолого-почвенный факультет. 1. 9 час. 2. —1. 3. З3/2. 4. 2fc+ 1, к =
19 4 ■ _I±2j 1-1 о Ч R b(3a+b) q
1,4, О, . . . , 6 -I- 3t, t — l,4,o, J. 2(а+Ь)(2а-Н) ' ° "
Географический факультет. 1. 6 ящиков с грушами в первой машине
и 15 ящиков с грушами во второй машине. 2. ж^ — 7г, х-2 = In. 3. 1 < х <
49, 0 < ж < ^. 4. х = 0, у = I. 5. 5АВС - ^^-
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. log2 22 >
logs 75. 2. Прямая у = 0 и точки (0, -4) и (5, -§). 3. 80 коп. 4. S = § -/3+1.
5. -1 < ж < ~, х < -§.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. Вдоль шоссе 1000 метров и 1500 метров перпендикулярно к шоссе.
2. tgx = ±/3- 3. Прямая ж = 1 и точка (—jj, —|). 4. Через точки А, В и
D проведем окружность с центром О. Тогда О ■■- середина диагонали DD,
так как угол А прямой. Из ОН 1. АС следует, что EH = HF как проекции
радиусов на одну прямую. По условию АЕ = FC, откуда получаем, что
АН ~ НС. Так как Я — середина АС и ОН _]_ АС, получаем, что точка С
лежит на окружности и АС = 90°.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. 4 руб 32 коп. 2. 3317760. 3. ж = 3. 4. Xl = -ф=, х2 = у/2. 5. tg2« = ^р.
Факультет психологии. 1. | см3. 2. ж = arctg | + 2шг, п е Z.
3. -2,-1,0,1. 4. £.

898
Ответы, указания, решения
1973 год
Механико-математический факультет. 1. ~ + 2шг, щтг + 2пп, ^п +
2шг, nGZ.2.5 = U.-l<I^.4.S= 2ygc^(;/2). 5. (-1, -f) и (0, |).
Факультет вычислительной математики и кибернетики
( X — £ + 2П7Г, I X = |7Г + 2П7Г, 1Ч „ . /-
1. i 6 ' I J , ' n,fce Z. 2. ^ ^ж <9 + 4/5.
3. ь2^2+-а°2). 4. Si4x = VlO, 5Bi = VTl, SCX = VT2. 5. |.
Физический факультет. 1. f+ га7г, (—1)™+1 arcsin^+ ra7r, га 6 Z. 2. ±1.
3. -10, 0. 4. 75°. 5. -Jjfl.
Химический факультет. 1. 60 руб, 90 руб. 2. 0<ar^Lx^2.
3. х = 0, ж = ±у/3. 4. 5 = 3i/l5(/5 + 1)2, а = 2arcsinWf. 5. а =
2arcsin|, fi= f - f.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. ж = |, у = .
2.x = -2. 3.9+ >/П км/час. 4. ^/бсм3. 5. Пусть а = arcsm(/l4- /2), b =
arccos -^=Л—^. Тогда решениями будут пары (а, Ь), (а, -Ь), {-к — а, Ь), {-к —
а,-6).
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. х = 1, у — (—l)nf —
1 + шг, n G Z. 2. ж > -2. 3. 9 + /Tl км/час. 4. ± < ж < 2, а: ^ 1, х ф §.
5. R = /2 см-
Биологический факультет. 1. 6 час. 2. —| + шг, (—1)"^2 "*" 1Г' га ^ Z.
3. (-1)"| + *f, n £ Z. 4. ^. 5. а ^ 2.
Факультет почвоведения. 1. 40 м, 20 м. 2. Первое выражение больше.
3. ж = f + шг, п. G Z. 4. %/3. 5. |, -1.
Географический факультет. 1. 14 м/час, 18 м/час. 2. 6. 3. D — /10.
4. х = -2 + -/4 - 2 log3 о. 5. х = ~ + П7Г, га G Z.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. 32,5 км/час.
2. f tg3|. 3. -§. 4. §тг + 2гатг, nGZ. 5. | <ж < 1.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. -jtgyj. 2. п = 3, г/i = I; х2 = -3, у2 = -- 3- |(с+гг)5.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. 6. 2. га(га - 1) + 2. 3. -7. 4. Нельзя. 5. х = 4.
Факультет психологии. 1. 6 м. 2. ±| + шг, га G Z. 3. adjq- 4. 1, 2.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 899
1974 год
Механико-математический факультет. 1. — | + 2п7Г, 7Г + 2шг, п G Z.
2. -1 ^ я ^ 3, х ф 1. 3. 5ЛВс = ^- 4. Vabcd = 36. 5. а = 100.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. х =
| + |тг. 2. о < ->/7, а ^ v^. 3. х = 2, 2±§| ^ ж ^ 3. 4. ^V, 2F. 5. 400 см3.
Физический факультет. 1. х = | + шг, х = шг, п € Z. 2. 1 — ^3 < х <
1 + у/%. 3. X! = 2~ х2 = 227. 4. ?=#. 5. 4т1-
Химический факультет. 1. | + 2п7г, ^ + 2п7г, га е Z. 2. Верно. 3. а =
£^. 4. Билет в цирк стоит 1 руб, билет в кино — 20 коп. 5. R — —/ s ws ■
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. х = —-^.
2. х < 0, Iog3 2 < х < 1. 3. arccos w| + птг, n = 0,1, 2, — 4. tp = arctg(^^).
с il _ 169
V2 — 792-
Отделение геофизикигеологич. ф-та. 1. x ^ —4, —2 ^ж^С — 1, x ^ 1.
2.an = -2-v/5, x2 - ^/|. 3. k = 1, ж = tg(f (1 - V7)), У = cos(f (1 + Vя?)).
4. V = |7rcM3. 5. 5 = | см2.
Биологический факультет. 1. 11 час 55 мин. 2. х = | + пк, х —
| + шг, n G Z. 3. AfF = ^р. 4. ж > 1, -1 < х < 0. 5. (-1Г+1| -
* + П7г, | + 2шг. neZ.
Факультет почвоведения. 1. ЛВ = 150 км. 2. а?! =2, Х2 — 8. 3. х —
-| + 2П7Г, neZ.4.|<o<1.5.S = 3vTo.
Географический факультет. 1. 6 км/час. 2. ^, ±^7г + пп, п е Z.
3. х - -2, у - -1. 4. 5 - ^-^ • о2 ■ (|тг - у'З). 5. | < ж < {, £ < ж <
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. 60 км/час,
90 км/час, S = 900 км. 2. х = 3. 3. Щ = |. 4. /i = 2шг, га £ Z.
Отд. планирования и экономия, кибернетики экономич. ф-та
1. -у/2 + у/5. 2. 3600 слов. 3. |тг + 2п7г, п 6 Z. 4. ^/3 + | - ^-. 5. |А| ^
2+ т/5; |^| ^ V5 —2 (при /i — 0 уравнение имеет корни 0 и —1, оба кратности
2).
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. 1 час. 2. а; = 2. 3.  - (-1)" arcsin(/3 - 1) + ^f, n е Z. 4.  < х ^ 2, -| ^
х < _11 5 6Sin(a/2)[l-|sin2(a/2))
4' (2sm(a/2)+v/l-|sin2(a/2))3'
Факультет психологии. 1. 32 км, 100 км, 240 км. 628 км. 2. Щ. 3. х =

900
Ответы, указания, решения
1975 год
Механико-математический факультет. 1. —10 ^ х ^ 5. 2. (-^7Г, zt-^/тг),
^ 2 ,=п 2 j. о. ft+/J. <*. 3- о. 6.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. х ^
8+^ , fx = -(2/7), |-- =-0/7)(*+ *0.
—5 1 < х < . —. -
""" я • — 1 у _ ±^$^(2/^/7) + нтг, 1 у = iarcsin W^ -f nn,
neZ.3. {d-y/d2-d2), l(d+Vd?-c2). 4. 42 тонны. 5. 2ч/3г2.
Физический факультет. 1. х — -2 + П7Г, х = -§ — | + шг, n G Z.
2. Ж1 = -1, х2 = 2. 3. х < 5/2, log2 6 < х < 3. 4. f|/7a2 5. a^/fg.
Химический факультет. 1. 2 ^ ж < 18. 2. На второй остановке вошло
на одного человека больше, чем вышло. 3. -5т1^ ^—. 4. г - -^-. 5. 3(2т +
1)тг - |тг < & ^ 6(т + 1)тг - §77, т = 0,1,2,.... '
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. х = ±|+тг7г, п. €
Z. 2. 50 км/час. 3. -§ < х < 1, -^ < х < -^f^. 4. ^ см2.
5. -5 ^ х < -4 + Л/5 - 8.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. 0, 2. 2. ж < 0, у^ <
х<§.3.{* = 7Г/4' _ /* = 3^ _ 4.^см.5.^#см.
3" '  v = я-- arctg(l/v^), I H = »r-arctg(l/>/2). 8 8
Биологический факультет. 1. 4 м3/час. 2. р = -. 3. ZCBD — 30°.
4. i = 2шг, х= f + шг, х = (-1)п£ + шг, п G Z. 5. п = 6,7,8.
Факультет почвоведения. 1. | часть. 2. х = ±£ + птг, л £ Z. 3. х —
3' Х ~ ^- 4:- S - 4+ -д.
Географический факультет. 1. . 2. х = ±| + лтг, n G Z. 3. £ = 4.
л 3%/3~(УГз-1) с з с 3 '
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. 1 час 20 мин.
2. х = f + 2птг, ж = ±? 4- 2птг, п е Z. 3. х = 3, у = -2. 4. г = £ sin a.
5. х = 0.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. Нет решений. 2. ^ - §. 3. 3 ^ х < ^^fl, x > Lt^. 4. 3 лисы, б
леопардов, 1 лев.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. В три раза. 2. х = 1. 3. х =  + шг, х = — arctg JC3 + П7Г, n G Z.
4. 128тг. 5. К = -4г.
v J
Факультет психологии. 1. 5,4,8 дней. 2. Sbcd = (150 + Щ=) см2. 3. х =
arctg(l/2) + П7г, 7i б Z. 4. 4 — i/3 ^ х < 3, х ^ 4 + л/3. 5. х = 1, у = 37.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы
901
1976 год
Механико-математический факультет. 1. х = |тг + 4тг, п G Z.
2. -1оёз2^ж < 0, |log3 < ж^ 1. 3. S = &± ^0,34. 4. cosa = f
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1.
Площадь треугольника больше площади квадрата. 2. х — 0, у = 2. 3. ж =
-arctg2 + n7r, не Z. 4. 5 = 5/3-3/7. 5. 0< а< |, а> Т2'156^/П.
Физический факультет. 1. х = П7Г, х — (—1)"| + дат, тс G Z. 2. х > 3.
3. ж = 0, у = -2 или ж = 2, у = 0. 4. AD = y/ab. 5. EF = 2 см.
Химический факультет. 1. 63 км/час. 2. ж < -|, —^14<ж< 2-1, ж >
±. 3. -^. 4. ж = f + 2шг, х = -| + 2ri7T, n e Z. 5. V6 см.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. Ж1 = |, Ж2 = 2.
2. 2 м3/час, 1 м3/час. 3. ж_= тг + 2п.7г, ж = (-l)"fj + ™; n G Z. 4. ж =
74 - 14V22, у = -27 + 4Л/22. 5. ЛС = А~.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. v — 7 км/час. 2. ж =
f + 2Ьг, у = arctg2 + br, J, Л € Z. 3. 9 < ж < f, ж ф Ц.4. ЛС = л/45, BD =
Географический факультет. 1. 10 деталей в час. 2. Ж1 = 0, ж2 — 3.
3. ж = -| + 2гатг, ж - я- + 2п7г, п б Z. 4. f < ж < ^=^, ж > |. 5. 25.
Биологический факультет. 1. ж = ^у1, п € Z. 2. 2 < ж < 4. 3. 8 : 1 : 3.
^3(^3-1)'
Факультет почвоведения. 1. v = 6 км/час. 2. ^^ = ^^ — 1. 3. ж —
±(ri + !г)» п е z 4- а = П7Г ~ й ± f' " е z 5- х > v^-
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. Тракторы
работали вместе 6 часов. 2. ж = 2-(—l)"arcsin 4=+2п7г, ж = 7г + 2п7г, п € Z.
3. п - f/3(4-V7), r2-4(2%/3-v/7).4. (±2,^ + ^f), neZ.5.1<i^4.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. 10"^ < ж < 10-^, 10^ < ж < юА 2. (|,-тг); (f,-f); (f,0).
3. 5лвс = 8/3. 4. min SAsb = 16,4 м2.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. Для изготовления одной партии шин для грузовых автомобилей
требуется 27 операций. 2. zx — —1, z2 — 0, z3 = 1. 3. ж = y§7r + 2п7г, тг е Z.
4 т LZL _1- 27J7T « С 7 К V . V — 32/21
^» ■'■ — -1- j -тлил, (j ^_ ii. а. ^призмы - ■'пирамиды — J47 "
Факультет психологии. 1. Первый рабочий выполнит работу за 2 часа,
второй— за 4 часа. 2. г = 8 см. 3. Ж1 = |, ж2 = 10. 4. ж = (—lj^arcsin Щ^+
Н7г, ж = -| + 2п7г, n e Z. 5. (0, £).

902
Ответы, указания, решения
1977 год
Механико-математический факультет. 1. ж < 1, х = 2. 2. ВС ~
1, AD — 7. 4, (3,3,3). 5. Величина угла равна л-/4, искомое расстояние
равно -^.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. ж ^
>g23-1.2. ^m.A.x={-l)»+^~ff,y^-iaxctg^ + !ftntkeZ.
4. «i = 7 км/час, г;2 = б£ км/час, у3 = б| км/час. 5. arctg 2v'351~7, | -
arctg2v/^~7.
Физический факультет. 1. ж = ±| + П7Г, и £ Z. 2. в < 6. 3. i > 1.
- 4") 4 ' 4 ' 4 ' "" уТП)'
Химический факультет. 1. 80 км/час. 2. ж = 1/2, у = 3/2. 3. х ^
0, log6 5 ^ ж < 1. 4. 1 м2. 5. ж = || + П7г, ж - Щ- + пи, ж - || + П7г, n e Z.
Биологический факультет. 1. ж = — 1. 2. ЛГф = 2л/ГЗ м. 3. Первая
бригада делала 13 деталей в час, а вторая — 11 деталеи_в час. 4. ж =
|7Г + 5П7Г, Ж - -^>7Г + 5П7Г, Ж = -§7Г + 5П7Г, 71 £ Z. 5. -#36 < S ^ -3, 0 <
в < #9/2.
Факультет почвоведения. 1. ж = 4. 2. ж — 3/2. 3. — | + 2шг, | + 2п7г, n e
Z. 4. |af>. 5. 144 человека.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. —оо < х ^
- log3 2, 1 - log3 5 ^ ж < log3 5-1.2. 20 км/час. 3. *f, 55 + ¥' п е Z-
4. тг/12, 5тг/12. 5. г = , bV*
' ' 4^/sin(o!/2)sm(3o/2)
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. 2 м3. 2. —5 < ж <
3 + 2^.3. fe+tf, f-2 + шг, ft + l + f, ^е Z. 4. 4/3. 5. к < 1/2, ^ > 3/2.
Географический факультет. 1. ж < -2, х > 2. 2. л/7- 3. ж = log2 3.
4. 60 км/час. 5. ^ + 2п7г, ^7г + (2га + 1)тг, neZ.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. б| часа, 5|
часа. 2. ±* + птг, n G Z. 3. -^. 4. /а2 + Ь2 + аЬ и Va2 + Е>2 - аЬ. 5. а = 50.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. -,  + пп, п е Z. 2. в 4 раза. 3. о = §. 4. 2i?sin §7Г. 5. |Г.
Факультет психологии. 1.  + sy, n € Z. 2. Единственная точка касания
- -■■ точка (3, —15), длины отрезков — Ц- и 21. 3. 900 и 855. 4. Длины сторон
равны 4/53 ± /13, 16 ±2/13. 5. а < ^г^.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологии, ф-та
1. В первом ящике 24 детали, во втором — 7 деталей. 2. (Ц + П7г, ^ —
rt7r); { jj + n7ri If — П7Г)' п ^ ^- ■*■ 2~* ■ ^* Если a < 0, то нет решений; если
а = 0, то 3 решения; если 0 < а < 1, то 4 решения; если а = 1, то 2 решения;
если а > 1, то нет решений. 5. 7:20.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 903
1978 год
Механико-математический факультет. 1. -10. 2. . 3. R = |. 4. а <
— 1. 5. «Ъсечения = "•
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. ж =
-1, ж ^ 2. 2. -^ + 4n.Tr, n e Z. 3. у = -ж + §. 4. А =
{6,10,14,30,42, 70,105, 210}. 5. *=&.
Физический факультет. 1. х = П7Г, ж = ±arccos( —1/3) + 2п7Г, n e Z.
2. Имеется единственная точка экстремума (минимума) х = |, ymjn = л/g •
3. Зж + 4у + 6z - 29 = 0. 4. ж = 2. 5. ^V3b2 - а2. 6. МЛГ = УаЬ.
Химический факультет. 1. f + Щ-, ^^-arcsin | + ^f, п е Z. 2. 3
часа. 3. Параллелепипед, сторона основания которого имеет длину 2 см,
а боковое ребро — длину 1 см. Искомый объем равен 4 см3. 4. ^тг.
5.(4,-3,0), (2,-1,2).
Биологический факультет. 1. ( —1)"| — | + шг, п е Z. 2.
Расстояние между пристанями равно 290 км, скорость притока равна 2 км/час.
3. 5=|^. 4. -V7 < ж ^ -ч/З, /3 ^ х < у/7. 5. а < &1, а > 1.
Факультет почвоведения. 1. ^, п £ Z. 2. 0 < ж $: 2, 4 ^ ж < +оо.
3. Первый слиток в два раза тяжелее второго. 4. arcsin(| sina). 5. Х =
9, х2 = 2.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. ±|7Г + 2шг, п €
Z. 2. За 45 минут. 3. 0 < х < §§. 5. -/2 <а<-Щ, 0 < а < /2.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. х — ±f + w, ж =
±| arccos(-|) + тот, u <= Z. 2. ж ^ |. 3. 2 - %/2 < а: ^ §, ^ ^ ж < 2 + /2.
4. 7/4. 5. 8 км^ |АБ| ^ ^ км.
Географический факультет. 1.11 км/час. 2. шг, f + ^f, n^Z. 3. 2 см
и | см. 4. -1 < х ^ |, 1 ^ ж < |. 5. а - -1, 1 < а < 3, 4 < а < 6.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. ж ~ |. 2.
Длина стороны квадрата равна 17, точка О лежит внутри квадрата. 3. Ь ф 0.
4. 1750 тонн. 5. а > ^.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. ~Н/^- 2. {§. 3. ж = ^р. 4. 40%, 43|%. 5. а < -2 - л/5, а > /5.
Факультет психологии. 1. х = 1, Жг = ^- 2. АС = |(-/2 + /б)- 3. 2 км.
4. (0,0); (1,0). 5. а< 0.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. В бригадах было по 9 человек. 2. /3. 3. ж = Щ-, х = ±^ + 2шг, neZ.
4. max /(ж) - f, тт/(ж) = -|. 5. 1 + ^.

904
Ответы, указания, решения
1979 год
Механико-математический факультет. 1. х — ^+2п7г, п € Z. 2. г = 1.
3. х = | — точка минимума, наибольшее значение равно 21. 4. а; £ ( —1,0).
5. /3 - 1.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. —2 —
V^- 2- |- 3. V4Cos!f а см. 4. -7; -31. 5. а ^ -4, а = 1, § < а < 4, а > 4.
Физический факультет. 1. х = 7Г + 2п7Г, £ = ±^у + 4п7г, п. е Z.
2. arccosf. 3. г = -2, у = 0. 4. (0,0); (8,0). '
5. MB = a + l sin2 f + -у/а2 + 2а/ sin2 § - /2 cos2 f ■ sin2 f,
ND = a + I sin2 f - ^a2 + 2a/ sin2 f - /2 cos2 f ■ sin2 f.
6. x = „ 2at*% • /2W sin а - (r2 + P) sin2 a.
VI2 -a2 cos2 a V ч '
Химический факультет. 1. |+п7т, f+(—1)"|+П7г, п € Z. 2. -3 ^ х < 1.
3. Скорость пароходов 15 км/час, скорость течения реки — 3 км/час.
4. f"^ = , , "*?, . 5. а: = f + 2птт, n € Z, у = -1.
Sdef mkc+nkb+mna 2 ' ' ■-'
Биологический факультет. 1. х = шг, ж — | + ~, п € Z. 2. Скорость
пассажирского поезда — G0 км/час, скорость скорого, --■ 100 км/час. 3. S —
¥•4. 0 < х^ 1. 5. Xi = 7^|, У1 = -^Ш; Ж2 = _7^т.1 у2 =
уУ2 + 16. _ тг _ /тг2+9 . _ _ я _ Уя2+9
—4 ' Ж3 - ^Щ, УЗ - -*-з^. ^4 - 7^^, 2/4 - —з— ■
Факультет почвоведения. 1. х = 1. 2. 1. 3. х = j+iitt, х = |+П7г, п 6 Z.
4. 10%/Зсм2. 5. х = 2, у = 1.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. х ^ |. 2. х = 2.
3. i = §+шг, reZ, у = /2. 4. 15 м. Б. V = ^. 6. §7г + шг, ^ + 2шг, ЦяЧ-
2т1тг, га e Z.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. Если а = 0, то нет
решений; если а Ф 0, то х ~ |. 2. ж = 2. 3. А ^ v^. 4. Длина окружности
переднего колеса 2 м, длина окружности заднего -- 3 м. 5. 10^17, 6. 0 <
х ^АуД.
Географический факультет. 1. Наибольшее значение 400, наименьшее
-86. 2. х= ^+пп, neZ.3.AC = 2>/б. 4. 33 ученика. 5. -2- w4 + cos § <
х<0.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. х = ±| +
2шг, neZ.2. arccosf. 3. 10л, 90л. 4. (-1,2); (|,^). 5. z = J.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. х = тг ± f + 2шг, у = (-l)fef + for, k,neZ. 2. ОС = 7^/f. 3. S = 726.
4. (1 + у/2, -1); (1 - v^, -1). 5. x < -2, -2 < x < 2 - n/15, x ^ 6.
Факультет психологии. 1. x = (—l)fc| + fc?r, fc £ Z. 2. i = —|, у — §-
3. Кх^З, -1-V8<x < -3. 4. F = ^N/2.5.(1,5,0); (1,-5,0); (-1,5,0);

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 905
(-1,-5,0).
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. S = 10H2(v^+^). 2. птг, (-l)nf+П7Г, neZ.3. (1,2] U [3,4). 4. 8 часов.
5. На 11.
1980 год
Механико-математический факультет. 1. Х = —1, х^ — 2. 2. х —
птг,х = ±§ + 2п7г, n e Z. 3. 5 и 3. 4. с = f, S = у| • ||. 5. а = 2.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. |.
2. ж = f + птг, i = {-1)п~ + птг, не Z. 3. 202,8. 4. ^^ < а < |; |<о<
9-^fl. 5. ^ см. 6. ^.
Физический факультет. 1. {-Ця-, ^, ^я"}. 2. (7(^,0,0). 3. а?1 =
Зо4 л ^ г е- Ь sin a(5/4—cos Й) л f 1— соай _„ 
х2 = 3 . 4. х > Q. Ъ. х — „ .  . .—г^1. 6. arccos „ ■ ■-■ - cosw .
' * 2snpsm{a--p) У cos (^ ^y
Химический факультет. 1. х = 4. 2. а: = f + *тр, ж = ±| + ^, n G Z.
3. В (А., Щу/Ъ - ). 4. arccos ^/2(1 -5). 5. а = §.
Биологический факультет. 1. ж = ^ + Ц?, п 6 Z. 2. miny(;r) =
-135, max у(ж) = 54. 3. 3 < х ^ 5. 4. AS = СХ» = 5 м, AD = ВС = 8 м.
5. ж = (-1)" arcsin | + П7Г, n G Z.
Факультет почвоведения. 1. Xi — 1, yi = -5; ж2 = 5, у2 — —1.
2. ж = (-1)"| + птг, п е Z. 3. ^з. 4. 3 < ж < I, х > 4.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1..ж — ^ + П7Г, ж —
f + птг, п € Z. 2. 3/30 см. 3. ж = у = 4. 4. 42, 3%. 5. тг/8.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. ж £ (—оо, —1). 2. ж ~
§ +2птг, 71 6 Z, п ^ 0, ж = (-l)*f -Ь Агтг, fc G Z. 3. э^ = ^±^, х2 = и~У^.
4. 20 м. 5. 20 см. ' _
Географический факультет. 1.&< |. 2. ж — 1 + /3. 3. j^ttHR2.
4. ж = ±f + птг, neZ.5. (-§, |); (-|, |).
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. хг = —|, ж<2 =
|. 2. ж < -|, х > -~. 3. 10 см. 4. 170 кг. 5. Если к — —1, то ж = 2пя х =
| + П7г, п € Z; если А; = 0, то ж = ±|7г + 2птг, n G Z; если & — 1, то
ж — 7Г ± arccos з"1 + 2тгтг, n G Z.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. ж < 1. 2. 60 см2. 3. (—1,3), (£,2), где £ — любое действительное число.
4. 2^1. 5. 7.
Факультет психологии. 1. ж = | + *?f, п € Z. 2. (3,1), (§,^)-
3. V15 + 6/3. 4. 2. 5. (|,-f + птг), neZ.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. х = § + птг, ж = f + птг, п е Z. 2. -2 ^ ж < -1, 1 < ж ^ 2. 3. (0,5).
4. 14,4 см2. 5. а= 1. "

906
Ответы, указания, решения
1981 год
Механико-математический факультет. 1. х = 5, х > 4 4- л/2. 2. х —
(-l)fcf + for, у = f + Ьг, М 6 Z. 3. 18| кг. 4. ? = 2V3^;^;+°0;55.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. b = |.
2. ал = 2, х2 = 5±^. 3. ЛВ = 1 + 6л/2; ЛС = 2; ВС = 5/3. 4. а = ± =*
ж = 1; аф  => решений нет. 5. 1 - Щ-, § + f, 1 - , | - f,  + § тг, | -
^ 1 + §тг, j + ^тг. 6. |v^7.
Физический факультет. 1. х = ~ + птт, п € Z. 2. а = ±/2. 3. х = 3.
4. х>0. 5. ±±*^.6. 1; m_L
Химический факультет. 1. х ^ -1,4; 2 < ж ^ 2,6. 2. (-1)™| + П7г, n e
Z. 3. 20 км. 4. 2 3X^^1^. 5. ->/2 ^ а < 1, а ^ у/2.
Биологический факультет. 1. х = 5. 2. х = ^, х = ±| + пк, п G Z.
3.S=If. 4.х>3. Б.р=^-.
Факультет почвоведения. 1. 9 км. 2. х = ^. 10^. 3. 2 ^ х ;£ 11.
4. 5 = f. 5. х = 1, у = 1 ± § + 2птг, n e Z.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. log2 3. 2. х =
j + Цр, п € Z. 3. Vckop = 100 км/час, vmoe = 50 км/час. 4. S = 32.
5. КС = 2.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. xi = 2, ж2 = 3. 2. ж =
9. 3. S = 4. 4. (%+7г(*!+гс), f+7r(fc-n)), {-|+7r(fc+n),-f+7r(fc-n)), n,fce Z.
5. 3. 6. xj = -^-, a?2 = ч/2~хД-
Географический факультет. 1. xi = 4, x2 — — |- 2. 1 + j. 3. 1 кг 40-
процентного и 2 кг 60-процентного. 4. --?*=.= - 5. х = 1, у — —1.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. log23. 2. х =
j + ^f, n £ Z. 3. искор = 100 км/час, vmoe = 50 км/час. 4. 5 - 32.
5. КС = 2.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономим, ф-та
1. xi = 2, х2 = 3. 2. х = 9. 3. S = 4. 4. (£ + тг(к + n), | + 7r(fc-n)), (-f +
7r(fc + n),-f + 7r(jt-n)), n,k€Z. 5. 3. 6. x, = --J-, x2 = Aj^.
Факультет психологии. 1. xj =4, yi = 2; X2 = |, y2 = — |- 2. 5 —
4^ • a2. 3. |f тг, |f -тг, ||тт. 4. §, Ц^ 5. 1 - V2, о + ч/Ж
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. 2JL, | + ^l, тг е Z. 2. 1§ ^ х < 2, х < 0. 3. Щ-. 4. Первый — 20 деталей
в час, второй — 18 деталей в час. 5. г0 = Щ^-R, Н — ~R.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы
907
1982 год
Механико-математический факультет. 1. 2. 2. 4/б. 3. |7г + 2птг, п G
Z. 4. (-^2,-1), х ^ -i-vCT* (15 0^20); (1,^2), ж^ " м ^^+Ш (19 <:
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. /8 >
2(2iog25+iog1/2fl)_2iX= (-1)га| +П7Г, neZ. 3. ж<0, 1 ^ х ^ 2. 4. 5 прессов.
5. Если а = 1, то ж ^ 1; если а — — 1, то — 3 ^ ж ^ 1; если а > 1, то х = 1;
если а < 1, то х = 1, ж = |^~. При а < 1 имеется ровно 2 решения.
6. Д =  /34 - lSv^-
Физический факультет. 1. ±4arccos(l - -^) + 8п7г, и е Z. 2. а <
г, ^1о 1 л ^ ъ е п • i■ sina+v^ Jcos2 а-sin2 0  „ /Л
—2, а > 1. 3. — -W. 4. ж > 3. 5. 2arcsml v -■ |. 6. /Л =
V3 V J
2arcsin ^l2h2, ZB = 7r-arccos/i- ^, ZC = тг - ZA - ZB.
Химический факультет. 1. —| ± |f + тгтг, n e Z. 2. [—1.0). 3. (—oo,0).
^^■^"(Й)2-5'11'^-
Биологический факультет. 1. [2,+oo). 2. ~, n G Z. 3. д"--3. 4. у =
ж + 1, У = -^ж--|,5. £.
Факультет почвоведения. 1. 80 км/час. 2. | + 2шг, |тг + 2п7Г, п £ Z.
Географический факультет. 1. —1. 2. ±^р + ^ + пя', n € Z. 3. |/l45.
4. | < х < 2, 1 < у < 2. 5. 28 см2.
Отделение общей геологии геологич. ф-та. 1. у 2 tg j - 3 cos я- < ^2.
2. ж = 2. 3. -1 < х < 1. 4. (-l)naresin±§ + nn, (-1)и+1 arcsin ^ +
(я = | + тг(п + т),
у=-Е+тг(п-т),
.г = § + 2тт;
( х — -£ + п(п + т), ( х - | + тг(п + m), J' а: =-^ + ff(n + т).
<j у=§ + тг(п-т), < J/ = -2f + тг(п-т), < у = 2| + тг(тг - т),
[ 2 = -1 + 2тги; ( г = f + 2тт; [ z = -| + 2тгн.
Отделение геофизики геологич. ф-та. 1. -i /1 — 2sirirf > /5ctg^.
2. ж ^ -2, ж^ -1. 3. ж= ±. 4. ^+™> n^5/ + l, n,leZ. 5. Утах = 3, 2 <
ж ^ 3. 6. fc = 10. ' _
Отд. полит, экономии экономического ф-та. 1. v/ctg f - 2sin ^ >
v^5. 2. ж = 1. 3. -2 < ж < 3. 4. (-l)narcsin| + шг, (-l)narcsinf +

908 Ответы, указания, решения
птг, l-ir^arcBinl + ггтг, п € Z. 5. ж = 5у% 6. { р = | + ^ _ п)]
1 = W + 7r(fc + н),
3
2тг
у = ^L+7r(fc-n),
k,n € Z.
Отд. планирования и экономии, кибернетики экономии, ф-та
1. {/2 + 3tgf < у-2 cos тт. 2. ж ^ 4, ж ф 1. 3. ж = -1. 4. ж = ^ + *jf, п #
5*+ 2, n,/G Z. 5. утах = §, § ?Сж ^3. 6. т = 8.
Факультет психологии. 1. (-1,0) U (2,4). 2. (| + ^ -f). 3. (-1)"| +
ггтг, п € Z. 4. i. 5. В два раза. 6. {1 - /ll + 4>/3, I + /ll + 4>/3}.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филология, ф-та
1. (-l)"+1f +П7Г, п Ё Z. 2. {|, |}. 3. §. 4. ff -^. 5. (|,1) U (1,2).
1983 год
Механико-математический факультет. 1. — 2 ^ ж ^ —1, ж — 3.
2. i = | + 4п7Г, а; = |г?г + 2шг,п £ Z. 3. £(р - a)2 tg f. 4. а = 6п - 1, 6А; +
3. 61, 6т + 2, fc, /, т, п е= Z. 5. т7^^.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. ж G
[-4, 2) U (3,4]. 2. ж = f 7г + 2птг, п € Z. 3. 25 квадратных единиц. 4. 27г+^.
5. {1 + /а2 + 4а + 8, 1 - /а2 - 2а + 5}, при а < -2; {1 - У о2"- 2а + 5,
1 - уа2+4а + 8}, при -2 ^ а < -Ь |, при а = -J; {1 - У а2 - 2а + 5,
1 - /а2 + 4а + 8}, при -| < а ^ 1; {1 + уа2 + 4а + 8, 1 - Уа2 - 2а + 5}, при
а>1. в. {(-1,-2), (-1,2)}.
Физический факультет. 1. х = ^, ж — ±| + 2П7Г, n G Z. 2. ж =
±1, х = ±-1?. 3. 0 < я: < 1/16. 4. 83. 5. 5 = |(1 + 2 cos 2a)2 tg2a.
6. 7 = arcsin^i tg f); i = ^E^E^W2!.
Химический факультет. 1. x = (—1)"| + шг, n 6 Z. 2. i = 1. 3. -^V.
4. (0.2). 5. n = -1.
(l + Vl + Vl I! , у? _ yj> fi , Уз _ Vl is. ._ Vl _ VJH
^9 T 6 T 18 ' 36 T 18 12 у '  9 6 18 ' 36 18 12 I >
f L _ VI + Vi H _l Vl _<_ VI^l /l _ VI _ ч5 и _ VI 4. VI i
^9 6 T 18 ' 36 ^ 18 ^ 12 у ' ^9 6 18 ' 36 18 "*" 12 J ■
Биологический факультет. 1. x = ~ + П7Г, x = (—1)"§ + mr, n 6 Z.
2. ж = 2, ж - e2. 3. -5 < x < 20. 4. A. 5. Ь < -1 - ^-, -§ < Ь < 0.
Факультет почвоведения. 1. |. 2. ж = f + П7Г, ж — ±| + 2птг, п G Z.
3. ж = -17, у = log2 10. 4. ^. 5. ^тг, if тт.
Географический факультет. 1. ж = ±|+гс7г, n G Z. 2. [-1,0]. 3. Ь2с^дв.
4. Ж1 ~ -1, yi = -3; ж2 = 3, у2 - ~3. 5. ZPSQ = arccos-^=y-
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. {—3,2}. 2. АС >

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 909
ВК. 3. [-f,l) U(-£,0]. 4. (|тг + птг,-| +птг), n G Z. 5. v = 50 км/час.
6. ^л/13.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1. { — 1,4}. 2. BL > BG.
3. [i 1)U(2,|]. 4. (£ + 2шг,тг-2тиг), ne Z. 5. Пункт А 6. , Зя
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. 3. 2. | +
гиг, n e Z. 3. [0, ^-) U (4,+оо). 4. 743. 5. 26 бойцов. 6. {-1, if, g}, если
° = _2> {"Тай'0; 12оКеслиа= ~5-
Отд. планирования и экономич. кибернетикиэкономич. ф-та
1. {-7,7}. 2. {-3±,-3,-1,1,3,3|}. 3. (-3,-^5) U (л/В",3). 4. §d и
д/э d2 — fl2- 5. 26 тетрадей в клетку, 31 тетрадь в линейку. 6. Если а = 0,
то [-|,+оо); если 0 < а < 1, то (-оо, ~^~а-1] U [уТ^~1,+во); если а ^ 1,
то ( — оо, +оо).
Факультет психологии. 1. х = 2 — 21og2 3. 2. —1 — д/52 < z < —5, 1 <
х ^ -1 + л/52. 3._Если n = 2, то ^Ь^; если п. = 3, то 1. 4. АБ = ВС =
7/3, Л1) = 2/21, DC = /2l. 5. Система имеет хотя бы одно решение
при 0<а^|, а ф . При таких а имеем х = ± arccos |f|| + 2fc7r, у =
(-l^arcsin^^ +пл, z = y^, k,n € Z.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1.а;= ±±&.2.х = 0, у = -3. 3. утт = —1—4тг —|>/3, утах = 4тг-1 + §/3.
4. «i^5i. 5. 0; 1.
у>
1984 год
Механико-математический факультет. 1. {—3, — 1}. 2. ^. 3. ■!^22^- ~
1,20.4.ц = 0, vi =log2£;x2 = ilog2^, у2 = 2 - log2(3 + V&). 5.4.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. ^.
2. i = ±| arccos |+f,neZ.3.Bff = 8.4.ie [-27/2, -23/8) U (23/3, 27/2].
5. (7,6,6). 6. М^Д
Физический факультет. 1. х ~ (—1)" arcsin ™^ + П7Г, п G Z. 2. 5; 5~3.
3. х < 1, ж ^ 2. 4. | ^ а ^ 2. 5. fg(fc + 1 + ^)3. 6. -fg..
Химический факультет. 1.ж = ^, ж>1. 2. 40 км/час, 60 км/час.
3. i = -| arccos | + § + П7Г, п £ Z. 4. 4(1 + /3). 5. 2 ± /2.
Биологический факультет. 1. 1<ж<3 — v3, z>3 + y3. 2. х =
з ^ &Е„2 г /* = 3> Г^-4-iy2,
я- + 2шг, n e Z. 3. х = %. 4. Цра . „. . .- .
2 I у = ±/2, i у GR
{
я = |(п-у2),
- 1 ± v/5 + f, п > -10, гс ^ 8, п £ Z.
Факультет почвоведения. 1. 12 га, 9 га, 15 га. 2. х — тк^п + птг, neZ.

910 Ответы, указания, решения
3. -± < ж < 1, ж ^ 0. 4. (/3 - 1}(с+ ^). 5. -± ^ а ^ 0.
Географический факультет. 1. х = 2пп, ж = ±| + ил", га е Z. 2. /13.
3. min/(ж) = 3. 4. 5/2. 5. а < -10, а > ±.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. ж = 4. 2. ж =
1, ж ^ 2. 3. ±У§. 4. 6 см2. 5. 94. 6. ±±fi.
Отделение геофизики_ геологического ф-та. 1. ж = —1. 2. (0,1] U
[2,10). 3. ±-i-. 4. £^9 см2. 5. 70. 6. -^ ^Ц= —,.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. ж = -1 + ^р.
2. ж = П7Г, ж = | +П7Г, п е Z. 3. -1 ^ ж ^ 0. 4. 21 человек в 1-й и 28 человек
во 2-й бригадах. 5. AD = 1ЩЩ. Ь.а = ^а=^.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. 1 ^ ж ^ 2. 2. ут;п = И. з. х = ±i arccos П^Ш + П7Г) „ G jg. 4. АС = 10.
5. 1 дом на 16 квартир и 12 домов на 12 квартир. 6. SQ - |, SN - |.
Факультет психологии. 1. 180. 2. 30 км. 3. ж = пчг, ж = ±|л- + 2шг, n G
Z. 4. 6 + 2/2. 5. 3. 6. 233, 390, 466, 699. 7. х =  +  log2 3, у =  -  log2 3.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. log2(l + у/Ь) - 1. 2. ж = гатг, я е Z. 3. утах = 7|, ут1п = 1. 4. /2 см2.
5. а= 4.
1985 год
Механико-математический факультет. 1. (—1)" arcsin 3:^ + П7Г, п€
Z. 2. х ^ -, х < -1, ж / 1. 3. ^. 4. -1,2; -0,67. 5.
П.
^2Д2 - г* + 2Л
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. х =
1, у = log3 2. 2. Длина Л5 больше длины QR. 3. ж = — ^ ± ^ лА + 2га, га =
0,1,2,.... 4. -I < ж < =1ф; -15+/^ ^ж<0;0<ж^
18-vT4l. 13-t-^Ul < - < 1 5 х - ?- V - 1 » - 1 ■ т - - -2- « -
7 _ _ __а R 60ч/2 , 15^2
I, Z- У. О. llv/3 + ^/43 ^ 2 •
Физический факультет. 1. х - ~2L, га е Z. 2. -у^З. 3. 0 < ж < 9. 4. При
а > 0 имеем ж = log2 а, ж = 2 tog2 а; при а = 0 решений нет; при а < 0 имеем
ж = 2log2 |а|. 5. f + arcsin ?J^i, 0 < а < £. fi. 2Ч/?П£7?.
Химический факультет. 1. ж - птг, ж = ±| + |га7г, га £ Z. 2. ж <
4-2/2, ж>4 + 2^- 3. х = . 3. ^ см3. 5. (5,2); (f; f).
Биологический факультет. 1. ж = 0. 2. ж = §7г. 3. (-^,— ^) U (1,+оо).
4. — *-* 5 ■ 5. 1ри корня.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 911
Факультет почвоведения. 1. ( —1,3). 2. ж = 0. 3. ж = -| + 2п7г, п е Z.
4. /2- 5. хо = 6.
Отделение общей геологии геологического ф-та. 1. 2log35 — 0,1 <
5log32. 2. ж > 2. 3. За 9 часов. 4. х = arctgS + mr, ж = -f + П7Г, n e Z.
5. ж = 7. 6. /61.
Отделение геофизики геологического ф-та. 1.
2'ogr 3 + Щ < 3bg7 2 +
6*1о8<>3. 2. х < 1, я > 3. 3.3а 6 часов. 4. ж = - arctg | + (-1)я| +птг, n e Z.
5. ж = -1. 6. £.
» 2
Географический факультет. 1. ж = | + шг, п £ Z. 2. ^ < х < 1. 3, 2
часа. 4.^.5. - » ^ а ^ 4-.
Отд. полит, экономии экономического ф-та. 1. ж € (—оо, — |) U
[2,+оо). 2. ж = ±| + 2пт7, в £ Z. 3. а > 0, а / 1, а / 2_(2^3), ж = 2Р,
гДе Р = з?о"ьа+2- 4' У™'« = Й- 5' 40 минут и 1 час. 6. ВС = 3.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. ж = (-1)"| + гог, п € Z. 2. ж е (-оо, -|] U [0, |). 3. АС = 10. 4. 12 часов
дня. 5. ж = 7=, у = ^-, г = ^, t, = 7Tf.
Факультет психологии. 1. ж = —-| + 2п7г, ж = ( —1)™^ + шг, n e Z.
2. х < 1. 3. 18 копеек. 4. Наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно
3 к fi2(sm(tt+30°)±U/2))2 я _13 ^ Л <- _1£
2' °' 4sinasin(a+30°) ■ °' 3 ^ « ^ д-
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. {-х*-71"}- 2- 18 рыб. 3. [-1,|)- 4. S = §(3/3 + 4). 5.npHa = arcsin^ +
f+2n7T, n € Z имеем ж — — ~ + 2кп, к £ Z; При а = — arcsin -4= —| + 2шг, n G
Z имеем ж = — 4 я- + 2Аг7г, А; € Z. При других значениях а решений нет.
1986 год
Механико-математический факультет, 1. ж — (f + 2п7г)2, n € Z.
2. ^. 3. 0 < ж ^ 2"2^, ж ^ 22Л 4. Нет. 5. -± ^ а ^ |. 6. ^§.
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1.x £ (4,1 + 2/3]. 2. (§, —|). 3. 6 томов. 4. ЛМ = 2л/9 + 6л/2. 5. ж =
|л- + 2тг7Г, п е Z. 6. с = -|, rf = |.
Физический факультет. 1, ж = —1, ж = 4. 2. ж > 3. 3. ж = (-1)"| +
П7Г, ж = 7Г + 2шг, п = 0,1, 2,... , у = log3 ж. 4. х = i, ж = 2. 5. |г. 6. 1—^-.
Химический факультет. 1. х — 4. 2. За 8 часов. 3. iarcsml! f —
1
2 ' *89^. 5. a=-i a = -rl
2 а1^1" з • ч- 88 • «■ « — 4 ' " — 32 "
Биологический факультет. 1. —7г. 2. ж < log3 4. 3. 72 км/час. 4. ^.
5. о < 1, а ^ 3.
Факультет почвоведения. 1. ж = шг, п е Z. 2. | < х ^ |. 3. За 8 часов.
4. 4. 5. 2/7.

912 Ответы, указания, решения
Геологический факультет. 1. х = ^7Г + пп, п £ Z. 2. - = 3.
3- 1°ёз/2(1±^11)' 4- 50 м- 20 м- 5- [-a,0)U(0, $$i), если а ^ 6; [-а,0)и(0,а],
если а > Ь. 6. а; = |jt при р = 9; 0 при р < 9.
Географический факультет. 1. -1 - /б < ж < -1 + v6- 2. ж = |. 3. В
два раза. 4. уо-ЗУз. 5. -а2, если а ^ 4-2/2: -8(а-1), если а ^ 4-2/2.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. ж — ^. 2. ж =
-3, у = (-1)п+1|+ П7Г, n e Z. 3. ж = -|, ж = -|- 4. 3/2- ^. 5. По два
самолета каждого типа. 6. V3.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономия, ф-та
1. ж= |. 2. ж = (-l)n+1f +П7Г, n<=Z, у = i. 3. ± ^ж < |, х= §. 4. 3V3.
5. 11 дней; 19 деталей; 31 деталь. 6. 72 см3.
Факультет психологии. 1. ~. 2. ж = 2. 3. ж < -1; -Ю~(3/4> < ж <
0; 0 < ж < 1(И3/4); ж > 1. 4. 200 граммов. 5. 3+4^/2) - 6- 2^-
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. -1 < ж < 1, х > 1. 2. х = f + птг, ж = 2птг, n G Z. 3. ft = 10^2. 4. ^.
5. Нет.
Философский факультет. 1. ж = 19|, у = —8§. 2. 8^3. 3. ж =
(-1)"+1 f + шг, n G Z. 4. О < ж < 1, ж > 16. 5. (3, -4); (4, -5).
1987 год
Механико-математический факультет
1. ж = {-1)пж*ш(±(к/})+3кк) +П7Г, k,n e Z. 2. -3 < ж < -1.
3. cos(ZDBC) = |. 4. Mi = 50 км/час; и2 = 40 км/час. 5. а любое, Ь = 2 и
а = ±1, Ь = -2. 6. /CL = 9 см.
Факультет вычислительной математикии кибернетики. 1. ж =
9, у = 2. 2. Не существуют. 3. ж € (0,^2 - 1] U [63,+оо). 4. ж =
(-1)" arcsiu */| + птг, п£ Z. 5. 20 рейсов. 6. Q = Щ-.
Физический факультет. 1. 0 < ж < |, ж > 1. 2. ж = (-1)"^ + шг, п € Z.
3. cosa = -§, tgf = -V5. 4. -| < аг < 0, | < ж ^ 1. 5. BD = у^^.
6. У = -^р, двугранный yrcui=2arctg:i^p.
Химический факультет. 1. ж = (-1)"| + пп, х = j + пк, п е Z.
2. К ж ^ 2. 3. а = -|. 4. ^g^. 5. р ^ 0, р ^ 3.
Биологический факультет. 1. ж = ±-^ + 2гс7г, 7i G Z. 2. | пути.
3. I < ж ^ ±, ж ^ 2. 4. ^. 5. | - у/2 ^ а < | + /2.
Факультет почвоведения. 1. ж = |n, n G Z. 2. — | ^ х ^ 3. 3. 4 км/час.
4. 8. 5. жт|„ = L
Геологический факультет. 1. 12 см. 2. ж = ±| + 2п7г, n G Z. 3. ж <
±, ж > 1. 4. xi = 9, i/i=3; ж2 = 1, J/2 = 27. 5. 12 деталей. 6. ВТ = 5 см.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 913
Географический факультет. 1. х — 1. 2. —2 < у < 2. 3. S = ^^-
4. (-тг, -тг), (0, -2п), (тг, тг). 5. Ь = 3, 4,5,....
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. х = (—1)"| +
птг, п б Z. 2. 5,5 тонны, 4 тонны, 2,5 тонны. 3. х < 2, а; = 3, а: > 4.
4. 2 <х< §, | <х<3. 5. f.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. х — ^ + 2птг, х — | + птг, л е Z. 2. 6 тонн, 3 тонны, 1,5 тонны.
3. х < 2, х = 3, ж > 4. 4. 2 < х < §, | < z < 3. 5. ~. 6. При а = §.
Факультет психологии. 1. а^ — |. 2. ж — 4. 3. 10. 4. х = ^ + П7Г, х —
тг + 2шг, n e Z. 5. а = |.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филология, ф-та
1. х = ± arccos ^Sb2 + 2n.7T, n 6 Z. 2. x = -1. 3. x ^ -8,5 или х > ^~9.
4. ЛВ = 2/3 см. 5. -| < x < 0.
1988 год
Механико-математический факультет. 1.7гп, | + тгп, тг € Z. 2. (0, |)U
(1, |). 3. 7cos40° tg 20°. 4. arccos |. 5. ^- мин. 6. [-2тт,0) U (2тг,4тг].
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. 50.
2. х = f(2n + 1), х = £(-l)narc8in(^±*^) + ^, п £ Z. 3. 40.
4- [£$, Щ Г*е « ^ luS3 2. 5. {§} U {§} U [2,4)._в. *Щ^±.
Физический факультет. 1. (-l)"arcsm(2 - /3) + тг7г, п G Z. 2. Л sin 2а.
3. -1. 4. 2arctg(5tga). 5. 1, -±, ~7±24А 6. ±, §.
Химический факультет. 1. 3. 2. — f- + 2птг, и € Z. 3. (i, |). 4. 4. 5. —2
и —1.
Биологический факультет. 1. f. 2. (-2,2). 3. 2 и 3. 4. 90° и 30°. 5. (0,1).
Факультет почвоведения. 1. (—1)" arcsin(^~-^) + пп, п G Z.
2. 4/3sin7°. 3. Iog2/52, - log2/5 3. 4. Нельзя. 5. , -2.
Геологический факультет. 1. х — 2. 2. х ^ —3, я: — —4. 3. х = 2, х = |.
4. Л = |^(6 — /б). 5. Скорость по шоссе — 40 км/час, по грунтовой дороге
— 30 км/час. 6. а е [|, §§].
Географический факультет. 1. (0,1) U (1, +эо). 2. (|,+эо). 3. |. 4. 6.
Отд. политической экономии экономического ф-та. 1. v4+ /2 > 3.
2. х < -7, х ^ 2. 3. я = f + f, х = ^ + ^. тг е Z. 4. f. 5. 11.
6. -^ <а^0.
Отд. планирования и экономич. кибернетики экономич. ф-та
1. Щ+у/2 > 3. 2. х = §7Г+ |п7г, х = §7г + 2п7г, n G Z. 3. х < -7, -5 < х ^
-3, х ^ 2. 4. ^. 5. 11. 6. а = 1.
Факультет психологии. 1. 2птг, ( —1)"| + 2п7Г, п £ Z. 2. —5, -|, 2.
3. [_6,И±ЛИ).4. 60. 5. |. 6. ^.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1.2.2.(^,-|), (-f, f).3. -£, ±1 4. 4+ 2ч/7. 5.23.

914
Ответы, указания, решенья
1989 год
Механико-математический факультет, 1. ж = ± arcsin ^~l +nit, n e
Z. 2. - < ж < 1, ^ ^ х ^ ii^3. з. 5 = 4. 4. х = у/2, у = -±. 5. V = f тг.
6. z = л/5.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. Можно.
2. ж = . 3. На 48 мин. 4. ж 6 {§} U[-f + йтг, -f + for) U(f_+ far, f + kir], k =
1,2,.... 5. ai = 2тг-8, а2 = 27Г - 1, а3 = 2тг. 6. г = §(2/2- 1).
a2 sin a sin /3 о ц л г 1
Физический факультет. l.f,nGZ,2. a2Z(aTd) ■ 3" 8" 4' a ~ 5W2T"
5. Корни уравнения существуют при р = О (нулевой корень) и при р > 4,
когда оба корня положительны. 6. л/Rr, /5"-
Химический факультет. 1. а; < —2, а; > 1. 2. 2. 3. ^ + 2птг, arctg2 +
2п7г, л е Z. 4. 2/2 + /2м, 2/б - 2>/2 м. 5. -i.
Биологический факультет. 1. х — 3. 2. ^j. 3. ж = ^, x — ± arcsin w| +
П7Г, п G Z. 4. arcsin
Факультет почвоведения. 1. х — %■, ж = ±| + П7Г, n e Z. 2. 390 км.
3. -2 < ж < -i, ж ^ -1, 0 < а: ^ 4. 4. J-V13. 5. ж = 2.
Геологический факультет. 1. а < Ь. 2. ж ^ —1, 1 < ж ^ 2. 3. ж = |тг.
4. AD = 3 - /3. 5. 60 л. 6. а < -3, 1 < а < 6.
Географический факультет. 1. — | + 2гс7г, — §тг + П7г, | + 2п7Г, n e Z.
2. 15 км/час. 3. (0,3) U (f, л/1б). 4. бтг. 5. %/3.
Экономический факультет. 1. ж € (—4, — 3]U[3, 5). 2.1. 3. ж = —2, а; = 4.
4. Ж! = 7г + arcsin £, х2 - п - arcsin^. 5. ZCDB = тг - arccos^.
6. {(0,3); (2,1); (0,2); (-2,0)}.
Факультет психологии. 1. (-оо,-3-/2)и(-4,-3+/2). 2. ±arccos(-|)+
2п7г, n G Z. 3. Ж! = 5, у! = 0; ж2 = £» У2 = 2. 4. ^г2 + (/>-а)2. 5. Если
а < 0, то 0; если а - 0, то ж > 0; если а > 0, то ж € [-§, 0) U (8а, +оо).
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. -Щ iarccosf + 2П7Г, |тг + 2шг, n G Z. 2. ж < -f 3. /l7-4. 4. 2^21-9.
°- 48-
Философский факультет. 1. (1,2) U (3,+оо). 2. х ~ . 3. 5л = 60 м.
4. Ушах = 0 (в точке х = 0). 5. (а,0) = (-2,6) или (а,/3) - (6,-2).
1990 год
Механико-математический факультет. 1.5= ——g— ^" х ~ з> z
тгтг, п € Z. 3. -2 < х < -1, 0 ^ х ^ 1. 4. а = 0, а = 2sin 1. 5. ж = 5, у
4, г = 4. 6. 7? = >/3, R = 4^-

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 915
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. х <
-2, х > 2. 2._а12 = 17. 3. х = |(-1Г arcsin | + ,Jf, n е Z. 4. '^"^ ^ w ^
Физический факультет. 1. ж = ±(3 + /И). 2. S = |/2 sin 2/3. 3. а; =
% + *?, а: = f + mr, n e Z. 4. г = 43in/^sil,r 5. При fc>_-8, k Ф -3 имеем
х = 4-/12 + fc. 6. 1) Указанное отношение q равно я"/§х£; 2)0<д<7Гл/|,
3) 1 < fc < 3.
Химический факультет. 1. ж — 2. 2. х = ±|- + ггя-, n G Z. 3. 5 —
f (>/3 - |тг)2, Р = (|тг - ^3)(1 + f + ^/l + f )■ 4- F = 750 м3- 5- 5 = 1^183-
Биологический факультет. 1. х — ±§ + 2гг77, п € Z. 2. х > log9 ^-.
3. 45 км/час. 4. ЦШ. 5. а = *^' к ф 0; у = 1±|?, Ъ =
iggjjgfi. * = 2jrfe. ^^f^, fc,I,m>n€Z.
Факультет почвоведения. 1. ж = log3 |- 2. 18 часов. 3. §7г + /3 см.
4. miny(x) = 1 - 2тт. 5. х > —3. 6. х < 0.
Геологический факультет. 1. ж = 1. 2. 5 = 3. 3. х — ~ + 2птг, п G Z.
4. 0 < х *С -^=, 1 < х ^ #9. 5. (3,3); (-3,-3); (2>/3,/3); (-2>/3,-/3).
6. Таких углов ЛиС не существует.
Географический факультет. 1. х — ^, n e Z. 2. ±6. 3. 1 ^ х < 5, х >
10. 4. 1:6. 5. а€ (5,7).
Экономический факультет. 1. Не содержит. 2. х < —1, х — |. 3. АС =
| + V5. 4. fc = 27, / = 189, m = 1323. 5. х = -|, ж = |. 6. а = -3, а = -2.
Факультет психологии. 1. х = ±^7г + шг, п е Z. 2. 0 < х < log3 2.
3. же [-1,2] U [3,4]. 4. S = 90/3m2. 5. 0 < а < ^.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. х = ±f + 2п7г, п 6 Z. 2. 2 < х ^ ^b^Z. 3. 2:5. 4. 2,1 кг. 5. 8.
1991 ГОД
Механико-математический факультет. 1. х = 2п7г, х = — j+2nir, n 6
Z. 2. | ^ х < |. 3. §тг + 1. 4. АС = *f. 5. р = -6, д = 7. 6. 1.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. х = 0.
2.x- (-l)"+1f + П7Т, п £ Z. 3. 1 < х < 51оёа7. 4. бтг. 5. Неравенство верно.
6. Ц = 3^/Щ^.
Физический факультет. 1. х = arctg(-4) + mr, х = arctg  + П7г, n G Z.
2. 2 arctg |. 3. (=2±э£)+оо). 4. ^а(а + Ь). 5. {0} U (2 + л/3,2 + >/5). 6. % =
7 Т/ _ 9 OJ
20, V - 4^"^
Химический факультет. 1. ±|. 2. х > -д, х < —3. 3. (1,1); (^i-2)-
4. f + 3f, ne Z. 5. 4V3 + 107T.

916
Ответы, указания, решенья
Биологический факультет. 1. ж = (log2 5 - 2)2. 2. ж = |п7Г, х =
f + птг, ж = f + §птг, п Е Z. 3. 8 мин 20 сек. 4. 9|. 5. а = 1.
Факультет почвоведения. 1. -1. 2. 13|, 40, 10 часов. 3. 2шг, fтг +
2птг, neZ.4. *5I. 5. -| при а ^ -1; -|а3 - |а2 при а < -1.
Геологический факультет. 1. f + ^; шг, n Е Z. 2. (2,3). 3. ж = 0, я >
16. 4. 5±^1°ва(2+V3)_ 5# Если а < _1; то ж = 4; если а = -1, то ж ^ 4; если
-1 < а < 1, то хг = 4, х2 = ^^; если а = 1, то -2 < х ^ 4; если а > 1, то
х — 4.
Географический факультет. 1. ж - ±arccos(-|) + 2nir, n € Z. 2. 5 <
ж ^ 6- 3- {7,7,7}; {7(1-^,7,7(1 + ^2)}; {7(1 + ^2), 7, 7(W2)}. 4. S = 24.
5. а > ^.
Экономический факультет. 1. х = log2(| + га), х = log2(i + n), £ -
log2(j| + n), n = 0,l,2,....2. -i <a?< i.3.BC= §(л/5± 1). 4. minF(r) =
F(f) = -i.5.S = | + l.e.g = 0,2>S^.
Факультет психологии. 1. 0 < ж < 2. 2. ж = 2п7г, ж = — | + пл", п € Z.
3. ж = 81, у = 0. 4. ^. 5. Ж1 = 0, z2 = >fa, ж3 = -&а.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филология, ф-та
1. 11 • 181. 2. х = log2 3. 3. х < -199, -66 < ж < 200. 4. ж = тг + 2шг, ж =
2arctgf+ 2п7г, п Е Z. 5.2у^см. 6.р< -0,99, -0,02 < р < 0, 0 <р< 0,01.
Социально-экономический ф-т ИСАА. 1. ж = 3. 2. 5 = 72. 3. ж =
f + шг, n G Z. 4. ж = 35, ж = 45. 5. (0, ±) U (|, 1). 6, {-у/2) U (-1,1).
1992 год
Механико-математический факультет. 1. — § + гстг, п G Z. 2. На
диагонали. 3. 6 ■ аа+ьД6 при о ^ 0; 6 при а = 0. 4. 24. 5. 12. 6. (-со, -1) U
(-l,0)U(2,+oc).a
Факультет вычислительной математики и кибернетики
*■ /ш? < у/Ш- 2' ! + 2шг' « е Z. 3. [2,11). 4. 11 час 00 мин.
5. 5= 5+^Г|_ 6. а > 2тг- |.
Физический факультет. 1. ж < -1^р , ж > -1^ • 2. (-lj^arcsin^ +
шг, I + 2птг, п Е Z. 3. ж = 22/11. 4. ВС = ф2 + ^fc ~ 4Sctga.
5. «! = 2, rf = 3. 6. ^/рд. 7. Если ж < 0, то /(ж) = 1 - log3 ^. Если
/(0) = 3, то уравнение /(ж) = 3 имеет три корня: 81,0 и —|; если /(0) ф 3
или /(ж) не определена в нуле, то это уравнение имеет два корня: 81 и — |.
8 ту I 2 cos tfl — ч^З |
. К ■ 1 —ту-: !■
| V3smyr |
Химический факультет. 1. 5. 2. § + 2п7Г ^ ж < ffl- + 2гс7г, n E Z.
3. 14; 2. 4. 25% ^процентное содержание хрома^ 40%. 5. 1) таких о нет; 2)
(-оо, -8) U (0, +со).

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 917
Биологический факультет. 1. ^ ± ^ + ™t п е Z. 2. 14. 3. 121,5 см2.
4. (11,-9). 5. 4.
Факультет почвоведения. 1. § + *f, 15+ Т"' n G Z 2. 90%. 3. 1. 4. 7>/2.
5. (-oc,|).
/- -3W2
Геологический факультет. 1. 184. 2. x ^ з~^- **■ 7' ^ 7 • 4. z =
±iarccos| + птг, n e Z. 5. ^V3. 6. ц = 1, yi = 256±, zx = 128, x2 =
-1, у2 = 12Щ, z2 = -128.
Географический факультет. 1. mr, (—1)""| + птг, n € Z. 2. (j,|,|)-
3. [£, 1) U [/2, +эо). 4. AB = s/lZ, ВС = 2Л/13, АС = 3^5. 5. 2, ^.
Экономический факультет. 1. — 1. 2. x = 1, 3 < z ^ 5. 3. 33 рабочих
(для изготовления деталей А) и 113 рабочих (для изготовления деталей Б).
Факультет психологии. 1. | + п, п € Z. 2. (—2 log2 3 + 4 log3 2; 3 log2 3 —
41og32). 3. 4. 4. (2,3). 5. 5>/2.
Отд. структурной и прикладной лингвистики филологич. ф-та
1. § + шг, п G Z. 2. (1,4]. 3. £V3. 4. 60 км. 5. 0; ±^.
Социально-экономич. ф-т ИСАА. 1. х — -log29. 2. (-1)" arcsin | +
птг, neZ.3. (-oo,4) U (4,8) U [10,+оо). 4. УТ1. 5. (-/Т0, -тг) U (-тг, -3) U
(3, л-) U (л-, /Ш). 6. При а = —3 эта сумма наибольшая и равна 18.
1993 год
Механико-математический факультет. 1. (-1,0). 2. [—3;3]. 3. (тг/6 +
2тгА;;-тг/3 + 2пт), (тг/3 + тгп; -тг/6 + тг(п + 2/)), k,m,n,l ё Z. 4. 15у2/8.
5. 4Я/14/7. 6. 90 км.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. 2 —
у/2 < х ^ 1 или 3 ^ х < 2 + у/2 2. О ^ а: ^ § 3. log3 4 ^ i < 3 4. f
5. Ь-= -а'2 - 1, а е R, М:(4; -2) или а = Ь = О, М2(2;0) 6. |о| > 1. При этом
областью определения указанных функций является вся числовая ось.
Физический факультет. 1. (0; ) 2. | + ?f, -f + ^f, m,n e Z 3. 2(Ai^)2
4. iJtgatgf 5. (-5;-2)u(-l;+oo)6. V^7. ±V3 8. (2Я^/^)2.
Химический факультет. 1. [-1;1) U (1;3] 2. 2, 4 3. | + тгк, ±| + 2тгт,
к, m e Z 4. 8 5. Нет решений.
Биологический факультет. 1. 2тгп, п € Z 2. 1 3. ( — |; — |) 4. 573 5. 90е
6. (4;-3;0), (2;-1;2).
Факультет почвоведения. 1. 16, 24, 40, 48 2.  + nn, n G Z 3. (-2; 0) U
(0;2)4.5, f 5. [-1;-£].
Геологический факультет. 1. 2 2. ± arcsin | + як, к € Z 3. | часа
4. [-1;0)U(0;3] 5. 60°, 75°, 45° 6. [1;2)и(2;3).
Географический факультет. 1. 2 2. | + 2тгА;, к G Z 3. (-2; 1) U {2}

918
Ответы, указания, решения
л 25 у 15 с _§_ _с
"*• 64 °' 13' J-
Экономический факультет. 1. log3 4 < ж < 1, ж > log3 7 2. ^ + ^,
п е Z 3. ж = -3, 0 ^ х ^ 1 4. 10 + 2/5 5. 7 месяцев 6. 340.
Факультет психологии. 1. 2 2. [0; ^^) 3. -^. 2тг - fr2 4. f tg2 a
5. 1) (1; 2±^3]; 2) J.
Социально-экономический факультет ИСАА. 1. 1 ^ х < 3 2. 28
3. /7 4. § < ж < 1, 1 < х < 2
5. (0; 7Г + 27гп), neZe.-Ua^l.
1994 год
Механико-математический факультет. 1. Щ- + 2тт, п Е Z 2. (1 —
log2 3; 1/6) 3. [-|;0)U(|;^^) 4. у^д - Ь) 5. у/% - у/1 6. 0; 1 при а = 0;
]-a+f+3°2 при a G (--2-;0)u(0;^); i-*+f+&L. -i-a+Vi+з^ при а е
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. ж =
i(-l)"arcsin(/l3 -3) + f, n e Z 2. г = 3,4 ^ а; ^ 7 3. « = 2ттп,
п = -1, -2,... 4. 60 5. Л30°= 5 + (1/5)29 6. BD = V133.
Физический факультет. 1. (|; 1) 2. arccos(-4=)±arc.cos(-|=)+27rn, гс е Z
3- !;n3 4. ^J^, ^0^, ^ab 5-2' ife 6- ^^ 7- С-«;20]
8 2(1
• л—^ •
9 V 3 cos о
Химический факультет. 1. 0 2. (1; +оо) 3. -f ± f + 2?гА;, fc G Z 4. 9; 12
5. (l;-f).
Биологический факультет. 1. (4; 1), (-2/3; 10/3) 2. Второе 3. g, §|, n
18
5. [3 — л/б; 2] U [5; 3 -I- л/б]-
24
25+2/Т304-/445
[IDAQDTTOIIUa "t ТГ<П
Факультет почвоведения. 1. тгп, § + 2ттк, п, к 6 Z 2. (2; 1), (—l;2^)
3. [*=*^; 3) 4. (2; f + 2тт), п ё Z; (-2;fe), fe <= R 5. ^±^4.
Геологический факультет. 1. Первое 2. 1 3.-4, 14. f + ^, § + 7гп,
k,neZ5. (1;3) 6. -f + 2тгА;<ж < f + 2тгА;, keZ7. 78,2 % 8. 9. 12
Ю. Jl
2 ' Л""' ^ ■" ^ 2
Географический факультет. 1. ттп, j+2wk, п, к £ Z 2. 1 3. ^— < ж < 1
4. ^5. [2;3)U(3;4].
Экономический факультет. 1. (0;0). (3;5), ( —3;—5) 2. [—3;0] 3. 2-кп,
7г + 2тгт, п = -1,0,1, 2,..., m = -3, -4,... 4. (ж + 2)2 + (у - 4)2 = 13
5. 300 или 600 6. 5 : 9.
Факультет психологии. 1. Да 2. (—1;1), (— г/, ) 3. ~6 4. ^ 5. 432.
Социально-экономический факультет ИСАА. 1. 1; 5 2. 0; —2 3. ^
4. -§ + 2тгп, п е Z 5. 3 6. 1^.

2. Ответы к вариантам за 1970-2010 годы 919
1995 год
Механико-математический факультет. 1. —2. 2. (0,1) U (1,4) U
(64,+ос). 3. х = ^ + 2тг1, х = ^ + 2тг1, ж - ttZ, х = ^ + тгг, / <= Z.
4. ЛО = 10, ВС = 2, Д = 5^5. 5. 75°. 6. {0,7Г,2тг}.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. п =
-14, т = -1. 2. (»,!,) € {(3, /2), (л/2,3)}. 3. 5 - ^(4^ - о2)(о2 - г>2).
4.ie [-13, -4тг) U (-4тг, — i|2L) U (-^, -2?г) U (-2тг, -f) U (-f, -l]. 5. 156.
R 36+31V2
Физический факультет. 1. | + *f, (-1)"^ + ™, n G Z. 2. 0.3. {-4,0}.
4. 2iJsinasin/?. 5. (0,2). 6. §H*(tg2f - 1). 7. Если а < 1, то х ^ 1; если
а ^ 1, то х > ((а - 1) log3 2) - 1. 8. л/pq.
Химический факультет. 1. [1,2]. 2. 1. 3. -~ + тгй, k G Z. 4. 25. 5. (0,1),
(0,-1).
Биологический факультет. 1. {2,16}. 2. {§,2}. 3. {f,f,ip'¥}-
4. 1085 и 30. 5. ^. 6. {-3,9}.
Факультет почвоведения. 1. 50. 2. 2. 3. (-оо, -2]и(0, ]. 4. |. 5. (-2,0).
Геологический факультет. 1. х — 2. 2. |х| ^ 3. 3. xi — 0, у — — £;
х2 - 21, у2_= 21. 4. 1 < х < 5; ж ^ log32. 5. {1,-I, U,-IL, у'з,-%/з}.
6. 9 кг. 7. V15. 8. а ^ -99.
Географический факультет. 1. 1 ± | + 2fc, fc е Z. 2. 16 км/ч. 3. ±* у 3.
4. /7. 5. При а € (-оо, —1 - л-2) U (1, +ос) корней нет; при a G [—1 - 7г'2,1)
— два корня; при а — 1 — один корень.
Экономический факультет (отделение экономики). 1. х ^ —2, х >
ff. 2. х = 7-f + 2тгтг, neZ.3. 36, 8/l9. 4. 210 тыс. p. 5. -3 ^ х < -2, г = 1.
6. Наименьшее значение равно | и достигается при а = ±|, Ь = |.
Экономический факультет (отделение менеджмента). 1. х = 6.
2. х = тгп, п G Z. 3. | < х ^ |. 4. 6 лет. 5. АС = 3/3 ± 4. 6. р ^ -|.
Факультет психологии. 1. [-|,^г]. 2. {5} U (4 + V'2, +оо). 3. | + 27гп,
^ + 2тгп, п. 6 Z. 4. 8. 5. 2.
Институту стран Азии и Африки. 1.x — —1. 2. х = 5. 3. Т = 100.
4. АС = /3. 5. 1 ^ х < f; х = 3. 6. | ^ а.
1996 год
Механико-математический факультет. 1. iarccos^ + 2тгк, к е Z.
2. [logi(3 + |ч/30);+оо). 3._48. 4. {(arctg |; у)}, где у > (3(1 - |(arctg± -
*)2))4. 5. ^(48^3 - 74V3). 6. ±1; ±^(2 + Vl9).

920 Ответы, указания, решения
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. 70. 2. 5
литров. 3. При а е (-оо; -§) х = log5 a-i+yV-ioa^ при а g [—§; 11)
решений нет, при а = 11 х = 1, при а е (11; +ос) х<2 = tag5 ^А^^'10"-11.
Единственное решение при a G (—оо; — |) и {11}. 4ле [~5~gV^;0]. 5. х —
Ш^Ш1. у = 1804^415 g ц дм = 1; 2) ^ = 4
Физический факультет. 1- у; (-1)"^ + f, п £ Z. 2. -1 < х < 0,
1 < х < 4. 3. 1. 4. f. 5. (-2;-2), (-2; 2). 6. d3 sin/2 sin 7/cos2 7 - sin2!?.
7. dyJ2 +
_ 8
с
8. При а<— 1, a — 0, a > 1 — 2 решения, при a — ±1 — 4
решения, при — l<a<l, a/0 — 6 решений.
Химический факультет. 1. | + пт, ^ + f, t?i,/i G Z. 2. (4,+ос).
3. / х = 32' 4.9.5.9.
у-2.
Биологический факультет. 1. кп; ±^р + 27Г&, n, fc e Z. 2. —5, 11.
3. (-74,0). 4. 32тг/78 (см2). 5. (1;5), (1;6), (2; 6)._
Факультет почвоведения. 1. 47. 2. f—2; —Л/з) и ( V З^У 3- ^> I" 4- ^'
тг; &■; f. 5. 4>/3. 5. 2; ±^.
Геологический факультет. 1. ж = 17. 2. ж = -3, х = —1. 3. х = -£-, ||,
Й. Й- ТГ- ТГ- 4. х < -2 и -К х < -1. 5. (0,0); (1,6); (|,-f). 6. ^
7. f см2. 8. Ь=-1.
Географический факультет. 1. 6. 2. -|. 3. — | + 2лп, neZ. 4. 3(2/б +
я =-2 j ре {-1;-з} оч _1±7
1).5.1) „ 5 или ^i ' "J .2)
I Р? -зм I 9 6 R
Экономический факультет (отделение экономики). 1. х — —2; у =
-2. 2. | < х ^ 1. 3. х = § + 4тгА:, к 6 Z. 4. 10500 тыс. руб. и 12600 тыс. руб.
5. BL = Ъу/2. 6. ^ < a ^ Ц-.
Экономический факультет (отделение менеджмента). 1. — 4 ^ х <
-1; 1 < х ^ 2. 2. ж = -1, у = 1. 3. 11000 тыс. руб. и 12600 тыс. руб.
4. х ~ лп, п £ Z; х = | + 2?rfc, /с G Z. 5. 5. 6. р = 6.
Факультет психологии. 1. 0. 2. [-6; 3 - *Д) U (3 + /3; 12]. 3. (-оо; +оо).
А 7 с 2
^' 5' в- 1
Институт стран Азии и Африки. 1. х ^ log3 4. 2. 5 — 12. 3. х €
[-5; -§7г)и(-§тг; -3)U(3; |тг)и(|тг;8]. 4. а: = -3; -2 ^ ж < 6. 5. arccos(-^).
6. а е (-оо; -11) U (-7; -6,5).
1997 год
Механико-математический факультет. 1. 7г/6 + 2тт, тгк, п,к 6 Z.
2. [log2|;2) U (2;log2^). 3. 160 км. 4. 1/2,3/4. 5. 0 при о < -1;
±у^р,±У^ при -1 ^ а ^ 0; ±у^? при 0 < a < 1/2; ±у^,0 при

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы
921
1/2 ^ а <: 2; 0 при а > 2. 6. 18/5.
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. 10 км/ч.
2' 75 < х < $> Тъ < х < Л" 3' п ~ (шс™_^о " arcsin^) + 2™'
arcsin -|^ + arccoa -^ + 2я7п., m,n £ Z. 4. (log2(/6 - 2),log3((/6 - 2)/2)).
Физический факультет. 1. 7г/4 + 7rfc/2, fc G Z. 2. -t—^- 5, 3. — 1 ^ x ^
5^^)/2-2. 4. 2 + >/6. 5. (5/2;-5/2). 6. ^^-7. -1 ^ x < (^f) -1 при
a < 1; x ^ -1 при 1 ^ a < 2; ж > (^rf) - 1 ПРИ a > 2. 8. bc/a.
Химический факультет. 1. а J^. 2. (-ос, 0). 3. ± arccos ^24 4 + 27m,
n G Z. 4. 6; нет. 5. 25 см2. 6. J^T, ^^.
Биологический факультет. 1. -1-±^-. 2. | + f n, (~l)fc arcsin (^гЧ +
irk, n,k G Z. 3. [-5 + /23; -|] U [§; 3 - /5] U [3 + /5; +оо). 4. 60. 5. 1/2.
P. rHjr.TL^
"" L 24 > 2 ''
Факультет почвоведения. 1. 9. 2. (|;1) U (l,+oo). 3. 7rfc, ±f + 27m,
k,n G Z. 4. 8. 5. ^,7. 6. a ^ x ^ ~o при о < -1; -^-(2a+l) ^ x ^
л/-(2а-Ы) при -1 ^ a ^ -1/2; 0 при а ^ -1/2.
Геологический факультет. 1. Одно решение. 2. — 7г/4 + 7m, n € Z.
3. х в [0,100) U (400, +оо). 4. 16/9. 5. х > 1. 6. 29 : 18. 7. (1;3), (3; 1),
^-(15—у/1141/5) -(15+^1141/5)^ /-(15+V1141/5) -(15-у/т^Л - , _4
I 2 > 2 М 2 ' 2 l-°-a^-5>
-|<а<0, 0 < a < 1, a > 1. _
Географический факультет. 1. (|; ^). 2. 1-/3. 3. 3. 4. 1/3. 5. 1+^5/2.
6. у = ~{х2 + 1);у = ±(х2-1).
Факультет экономики. 1. ( —1;3), (1;-1). 2. х ^ -3, а; = 5. 3. AD =
3/sin 15° или AD = 3/sin 75°. 4. 12,5% и 15%. 5. а; = -1/2 + 8fc, k G Z.
6. 1127Г- 12V^.
Факультет психологии.
l.-(-l)" arcsin 2=£H + Jrn, n G Z. 2. (^^; +oo); 3. 162. 4. [17, +oo). 5. fff.
6. a = 4, 6 £ (-3 - V45; 3 - v^5) U (-3 + ^45; 3 + л/45).
Социологический факультет. 1. (—эо; — 1).
2- х> ^"> 2) s^W41"10^5-1)' ьтЬ^41"10^^-1) 3- L
4.27.5. (7/9;+оо). в. {^}и[|;|).
Институт стран Азии и Африки МГУ. 1. 1/3. 2. х ~ 5/4, х ^ 5.
3. х = -п/4 + пк, x = axctg4 + 27rn. fc,ra€ Z. 4. х = 3/2, х > 2. 5. 5 = 2тг + 7.
6. 5:4. 7. (4; 3), (6; 13), (14;-5).

922
Ответы, указания, решения,
1998 год
Механико-математический факультет. 1. [3; —*2 ■]• 2. (—оо; —1) U
(2/5; 1/2] U (1;+оо). 3. ±f + 2тт, п е Z. 4. arccosf. 5. а = | + 4n, n е Z.
6.48.
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1. (_в±^й7;_2)и(-2;-1)и (|;+оо). 2. (-1; 0) U [1; 5). 3. тг ± arctg2 + 2тгп,
n£Z. 4. 216. 5.а6 (-оо;-/Г31и [4f;+oo). 6. ^~^+2.
Физический факультет. 1. | + тгп, ™, ™ G Z. 2. 4; 8. 3. (—ос; |).
4. !Д"^г 5- ("М)- 6- ^2cosa(l + sin а). 7. Если 0 < а < 1, то
(-oo;Ioga з^;); если 1 < а < 3, то (loga f ;Ioga ^); если а ^ 3, то
Химический факультет. 1. 0. 2. [-3;1).3. (-1,1,2), (-1,1,-2). 4. -§ +
2тгп, n e Z. 5. ^. 6. J.
Биологический факультет. 1. 620°^"д- 2. [-7;-2] U[-l;+оо). 3. § + 7ггс;
arcsin§+7r(2fc + l); n,k&Z. 4. 6лД. 5. (^ + f,-l),n6Z.
Факультет почвоведения. 1. |. 2. -~^- 3. (-3;-2) U {-1} U (0; 1).
4. (-1,^), (|,9). 5. Щ. 6. а) а е [-^26 - 1; V26 + 1]; б) а е [-у^б+
1;ч/26-1].
Геологический факультет. 1. —1. 2. ±л/§; ±vf ■ 3- Й + ^f! § arcctg6 +
*f; fc,n e Z. 4. 1000 л. 5. (2; у) U (3;2 + V3). 6. 319. 7. (3,2), (-2,-3),
(3 + VT0, -3 + у/Ш), (3 - v/Й, -3 - VlQ). 8. о = 0 или а = 1.
Географический факультет, 1. (|; jr]. 2. -2. 3. 98. 4. ^ + 27m, n 6 Z.
5. |. 6. (5fc + 3,10A;2 + 5A;), fceZ.
Экономический факультет 1. (^;3)U ^+т; I 1. 2.7rfc; 7T-arcsm ^I"1 +
27m; fc,n G Z. 3. (17; 248). 4. Если точка ЛГ' лежит на отрезке P'R', а
точка V -■■■ на отрезке ф;£', то у/То. Если обе эти точки не лежат на
соответствующих отрезках, то /346. Если К' лежит на отрезке, а V -— нет, то
расстояние от К' до V может быть любым числом, большим ^194. Если К'
не лежит на соответствующем отрезке, а V лежит, то расстояние от К' до
L' может быть любым числом, большим -g^. 5. с £ (3 — 2/3; —6 + 2/l5).
6. ^д^г2 -а2/3. 7. 426 и 142 рубля.
Факультет психологии. 1.-^; ^. 2. Второе. 3. [-|; -jj)U [17+^T^;8|.
4. ь^р, где п б Z, -2 ^ п «S 6, п ^ 2; ^|^, где п £ Z, -1 ^ п ^ 2.'б. ?Ш.
6. Либо а — — 1 и Ь — любое целое число, большее 2, либо а — — 2 и Ь —
любое целое число, большее 3.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 923
Социологический факультет. 1. (0; 12]. 2. {-3}. 3. 3, 9%. 4. §(/15-/3).
5. 21. 6. ^Ш.
Институт стран Азии и Африки. 1. f^ + -^; f^ + ™ k,n G Z.
2. ±^/log2 5±^I. 3. (-2;2)U(2;3)u(6;+oo). 4. 8^/| > 6,5. 5. (|;2)U(2;+oo).
6. 49 и 83. 7.'a- 2.
Филологический факультет. 1. [-3; 1). 2. 2/l0. 3. /3-2. 4. а) И. б) Р.
5. 0. 6. a € (1;5).
1999 год
Механико-математический факультет. 1. (—сю;— |] U {0}. 2. —2.
3. f + 2тгп; и е Z. 4. а) 1 : 1; 5 : 8; б) 5 : 14. 5. а <Е (-oo;2j U [3;+оо).
6. i* /is
U< 2 V 6 •
Факультет вычислительной математики и кибернетики. 1. Первое
из чисел больше. 2. 1§£ + 4/3. 3. [^f^; -§) U (-§; =2=^] U (-1; =Ц&].
4. §±$. 5. f + тт; п £ Z. 6. 4(у/3 + 1).
Физический факультет. 1. f+ ^; (-1)"^ + ^; Л,п £ Z. 2. (-oo;-f )и
(-2;+оо). 3. 1.4. (log53,log35). 5. ->Д0. 6- JJ~^. 7. arccos ^^f^. 8. Если
0<m< ^то(-52т;-1)и(1;52т);еслит > , to (-oo; -52m)U(52m; +oo).
Отрезок длиной 10 получается при m = |.
Химический факультет. 1. (—оо;0) U (0; 1) U [2;+оо). 2. —3, —4, —
5тг
4 -
3. (-3;-2)U(-2;0)u(0;|). 4. 6. 5. 8. 6. а = ±1. 7. 3 ■ 21000 - 4
Биологический факультет. 1. ±| arccos(,{~1079) + пк к & Z. 2.
f1^1; -2) U (-2; -1] U [2; +оо). 3. -1. 4. f. 5. §| < у < 1 или 1 < у ^ 2.
о. 7 : 3.
Факультет почвоведения. 1. 3. 2. — f + 2-7гА;; {-1)"| + 7гп; &,п £ Z.
3. ±^. 4. [0;+оо). 5. | л. 6. *§. 7. Если Ь ^ -1, то (-oo;-1]U[1;+оо); если
-1 < 6< 0, то [-^L^;-l] и[1;+оо); если b = 0, то {-1} U [1; +оо).
Геологический факультет. 1. {0} U (-3;-2]. 2. А = -2 < -1,999.
3. |(тг + 2). 4. 90°, 10°, 80°. 5. f + ^; ±f + тгп; к,п е Z. 6. 6 членов,
сумма равна 66. 7. 128>/2. 8. [8;4+ 2>/б) U {f } U {^}.
Географический факультет. 1. 1. 2. 2 + /2. 3. 7 : 9. 4. а = ±^;± —
5. 1. 6. f v/769.
■4' 4
Экономический факультет. 1. (-3;-2) U (3;4]. 2. (0;3]. 3. 24 дня.
4- ^2р°2- 5- "и? м- 6- ysinfv/cos'f-coa^jS. 7. Если Ь = -^-, то
одно решение (-ю?,0,0). Если Ь = — £ + у |, то два решения: (^'lif)
"t^.-1.-?)-

924 Ответы, указания, решения
Факультет психологии. 1. (|; l7f™). 2. 51обз( '"^ ). 3. ((-l)"f +
тт,±§ +27rfc); ((-1)"+1| + ттп,±^ + 2ттА;); А;,гг G Z. 4. а = 9; множество
значений есть [-f;l]. 5. j^L. 6. f <р^ £.
Социологический факультет. 1. 15~2 . 2. Первый член 2, разность — |.
3. Радиус равен |, площадь равна Щ-. 4. Сначала три объявления в
газету, затем четыре рекламы по радио. 5. (-со;—4) U {0} U {1} U (4;+оо).
6. a G (-ос; -1] U {0} U (4; +оо).
Институт стран Азии и Африки. 1. 1; |(3 - -?=)• 2. .4 = 1 > |. 3. ^;
±|arccos^^ + 7гп; k,n e Z. 4. >/3 • sin ^ cos ff. 5. (-оо;-11) U [/5; 3).
6. 2(Л/3- 1). 7. (3,/2).
Филологический факультет. 1. 2/3. 2. (-оо;-9) U (|;1) U [у;+оо).
3. 15. 4. arcsin(J^I=l)+7r + 27m,ne Z. 5. (у,г) - (~^ + ^ +тгп, -^ +тгк);
к^п^Ъ.
2000 год
Механико-математический факультет.
1- [0;log8/2(4/3)) U (log3/a(4/3);l]._2. (5/8;4). 3. а) 6; б) 192. 4. СЕ = 6,
О А = 2. 5. [0; 1) U (1; 2] U {3}. 6. %/38.
Физический факультет.
1- f + ^ {к е Z). 2. [0;4) U (16;+оо). 3. log3/2(±). 4. 7r - 2arctg(7tga).
5. (—оо; 2) U (б;+оо). 6. 1. 7. Один корень, равный нулю, при р — 0,
положительные корни (возможно, совпадающие) при р ^ j, в остальных
случаях корней нет. 8. A/sin/cosa.
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1. х £ [-f — TTjfc; f -я-ifel U (-f;+oo), fc G N. 2. 90%. 3. (-5;-2 - 2/2) U
[-4:0) J(0;i). 4. arccos(-=£ =V 5. 30. 6. 2.
Химический факультет и факультет наук о материалах.
1. 2. 2. f + тгп, f + f fc, it,n G Z. 3. 4. 4. бОтг. 5. ^. 6. ±1.
Биологический факультет.
1. (-oo;-2)U[-l;+oo). 2. (-l)*+1f + *K к G Z. 3. 3v^5/4. 4. (-6; |) U
(|;2)U(2;|)U(|;19). 5. 4~^a.
Факультет почвоведения.
1. (-оо; 1]U(|; +oo). 2. 1 или 2. 3. f. 4. (0; 1)U(3; 5). 5. ±^8 - ((-l)ra£ + n)2;
где/), = 0,1,2. 6. l + /3. 7. f.
Геологический факультет.
1. (-f; 7]. 2. ff. 3. If часа. 4. ±f+ тгА:, fc G Z. 5. (11; -2); (-2; 11). 6. |V35.
7.0;-1;±^.8.Д = |-y/fa2 - ab + №- f. Решение есть при 1 < J ^ | + ПГ-

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 925
Географический факультет.
1. 15+У^. 2. -30; 4. 3. (arccos^)1^)0 северной или южной широты.
4. sin ( | logi (2 — /3)) ■ 5. Участок плоскости, расположенный в первой
четверти между осью координат ич = 0 и гиперболой, заданной
уравнением и2 - 2^-. 6. а = ^рЛб; площадь равна ~^JL.
Экономический факультет (отделение экономики).
1. 0. 2. 4. 3. [-8;-6) U (3;V_10). 4. 120°, 30°, 30°. 5. f^ + 2кт, ff + 2irl
(^me Z). 6. 16- ^тг. 7. [3V2;6].
Экономический факультет (отделение менеджмента).
1. 0; -3. 2. 4. 3. -4. 4. ЕО : OG = 3 : 1. 5. ff- + тгт, т е Z. 6. ^.
Факультет психологии.
-1 + -/!+^
2
/769
где
12 + 27rfc (fe, га £
-3, —2 или га =
1. 0; | + Щ-п (га е Z, n ^ 0); (-!)*£ + f fc (fc G Z, fc < 0). 2.
ra = 6, 7,... , 250. 3. 14,5 часа. 4. (3; 1 + y/E) U [^; +oo). 5.
Социологический факультет.
1. 4; i±^S. 2. 4%. 3. (-2;-f) U (l;+oo). 4. ^ + 2тгга; 57Г
5. 17ii. 6. a = «±^+«-4, Где t = ^^^x, n = -5,-4
1,2,...,17.
Институт стран Азии и Африки (социально-экономический
факультет).
1. (-ос;1)и[^|=1;+ос). 2. 240°. 3. § ± f- + 4irk {к е Z). 4. (-2; 2) U (2; §).
5. -6 ^ а < 2. 6. 36. 7. 4.
Филологический факультет.
1. 10 литров 0,5% раствора и 20 литров 2% раствора. 2. 11. 3. (0; 1) U {2} U
(4, +оо). 4. х — 7гп, у = | — 7гга (га € Z); х =  + пк, у = -тгк (fc e Z). 5
0; I- 6.
а.
4'
1
+
+
1
х
3
- 8
= 4
3 = 2/
2001 год
Механико-математический факультет.
1. (-oo;-2]u[0;lgl01-2). 2. нет. 3. 34/9.4.618,659,698. 5. (-oo;-8/7)U
(-1/2; 0) U (8/9; +оо). 6. 26, [42; 253+88V3].
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1. (1/3; 1). 2. 119. 3. (-9/5; 12/5). 4. (4га - З)2 (га G Z). 5. 8 + 4^ -
10агсзш(2>/б/5). 6. (-13- ^57^)-
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение прикладной информатики).

926 Ответы, указания, решения
1. (1; 1/4). 2. 10500. 3. Если а < 4, то [-(а + 2)/3;2 - а]; если а = 4, то
i = -2; при а_> 4 решений нет. 4. (4/13;6/13). 5. (2п - l)2 (n G N). 6. 0,
/2. 7. 4 + 4V14 - 36 arcsin(/2/3).
Физический факультет. _ _
1. -2 + тгп (n G Z). 2. (-ос;2) U ((3 + /5)/2;3). 3. -1; 2/3. 4. 0/й//2.
5. (-оо;-2). 6. 80/3. 7. Если а = тг/2 + 2тгп (n e Z), то ж = Зтг/2; при
других а корней нет. 8. х/3.
Химический факультет и факультет наук о материалах.
1. (0; 1)U(1; Ч-эо)^ 2. 1. 3. тт (п G Z). 4. 2. 5. [100; +со). 6. [3; +оо). 7. 4004001.
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины.
1. -11; (5;+ос). 2. 7г/3 + 2тгп, тг/2 + тгп, тг + 2тт (п G Z]_. 3. [l/3;l)U(l; /3)и
[9;+оо). 4. 10/3. 5. 7/3/4. 6. -1/6; -1/2; ±3/4; ±/39/4/7.
Факультет почвоведения.
1. 7г/4 + 77п/2 (nGZ). 2. -1. 3. (3;4j. 4. (2/3-3)/6. 5. 2тги < z < тг/2 + 2тгп
(n G Z). 6. нельзя.
Геологический факультет. _
1. (1;2]U (7; 8). 2, тгп/5, тг/4 + тгА:/2 (n, A; eZ,n,lc) 0). 3. 3 ± v/5. 4. Если
центр лежит вне треугольника, то 16/3 м2, если центр внутри треугольника,
то__§У5/3 m2l_5. (1;5); (5/2; 2). 6. 7 час; 55 км. 7. 3/4. 8. при а = 3 или
/10 ^ а < /ll.
Географический факультет.
1. [—/Ш; -3) U (3; /10]. 2. ± arccos((l - /3)/2) + 27ГП (n 6 Z). 3. -9. 4. 2/3.
5. 3. 6. при всех целых к, не удовлетворяющих условию —11 ^ к ^ 3.
Филологический факультет.
1. тг/2 + 2ттп, (-1)* arcsm(-l/3) + лп (ueZ). 2. (1; +эс). 3. 19/44. 4. У
писателя 3 букв «ф» на 50% больше. 5. —1/2 < о < 2.
Экономический факультет (отделение экономики).
1. [0; 15/4] U [4;+оо). 2. 2 млн. 400 тыс. руб. и 3 млн. 600 тыс. руб. 3. 36.
4. (log249 - 4:log2 7). 5. (/356 - 12)/6, (/164 - 12)/6. 6. arccos(6 - /33).
7. м = -187, v = -819.
Экономический факультет (отделение менеджмента).
1. тг/4 + тгп/2, ±77/6 + 2тгп (п е Z). 2._0j_15/4; 4. 3. 17100 руб. и 11400 руб.
4. 27. 5. (log3 28 - 3;log34). 6. (18 + /503)/6, (18 + /335)/6.
Факультет психологии.
1.3± (5/3/2). 2. (-ос;-8] U (12; ос). 3. 2тгп, 7г/2 + 2т™, 2arccos(l//o)+ 27m,
2arccos(l//5)-7r/2 + 27m (п £ Z). 4. 3; 4098/61. 5. при а ^ -/1/12 решений
нет; при -</Г/12~ < а < 0: (~1+v^~iatt<; ~1"^=:T5ir'"); при о = 0: (0;+оо);
при 0 < а < УЩ2: (-оо; -i-^g^*) U (-1+^Г^; ос); при а > ^1/12:
(~ос;+оо).
Социологический факультет.
1. (_-1;0) U (0; 1//2]. 2. (-1)"тг/6 + тгп (п G Z). 3. 8,75%. 4. 7/8. 5. (-2 -
2/2; 0) U (0; -2 + 2V2). 6. -1; 2/7.
Институт стран Азии и Африки.
1. (-V3/2; -1/2]U[3; 2/3). 2. Зтт/2; 2тг; 2?T-arccos(2/5). 3. 4 км/час, 8 км/час,
12 км/час. 4. (0; 1/3) U [3; 3^]. 5. ZBOC = 112,5°. 6. а = -1, 1/2 ^ а < О,

2
2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 927
О < а ^ 1/2, а — 1. 7. 7гга; ттп - 1 (га G Z).
Факультет государственного управления.
1. тгга/2; ±тг/6 + 2тгп (га е Z). 2. 0; 72/13; 13/2. 3. 5400 руб. и 8100 руб. 4. 33.
5. (0; log4 257 - 4) U (log4 65; +оо). 6. -3; -2; 1.
2002 год
Механико-математический факультет.
1. (0;2]. 2. arccos^2/3. 3. 300/13 км. 4. 3. 5. (2; +оо). 6. |(3 + у/& ~ у/11)
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1. —у/2. 2. [—1; -|] U {1}. 3. arccos;r^7=. 4. 10 часов 40 минут того же дня.
5. (±arccos| +27rfc;(-l)"arcsinf +тгп); fctneZ. 6. 7/3.
Физический факультет.
1. ZT1' (-1ГЙ + ™;^Ж.2. (-oo;l) U (|;2]. 3. (0;logf ±). 4. |. 5. 4,
8, 16; 16, 8, 4. 6. ^. 7. Если -3 < а < -2, то ж любое; если а ^ -3 или
а > —2, то (—оо; 3 - л/а2 + 5а + 6) U (3 + /а2 + 5а + 6; +оо). Ответ на на
второй вопрос: при а <= Г'5"^; -3 U [-2; "Ч/11) . 8. 6.
Химический факультет и факультет наук о материалах.
1. -3, -1. 2. (0, 2). 3. (-/8; - V6) U (/б; /8). 4. тгга/7, тгга/9 (га ф1,шф 9/,
га, т, / GZ). б. 6/3. 6. о = 0,а= (-5±/21)/2.
Биологический факультет и факультет фундаментальной
медицины.
1. (-эо;1/2). 2. Trfc/5 (Jfe e Z). 3. 96V6/35. 4. (-оо;-9] Uj-3;0) U (0;3] U
[9; +ос). 5. а) -4 + %/2; б) (-оо; -4 - /2) U {-5} U (-4 + у/2; +оо).
Факультет почвоведения.
1. (-со;8/5)и(2;+оо). 2. -/2 + V2/2. 3. 20. 4. (1;64]. 5. 7тг/12, Птг/12.
6" (п+ь)££%ЗД- 7' (VIS; 1/Ю) U (1/Ю; 5/19] U {1/2} U [1; 5).
Геологический факультет.
l.(-oc;I]U(2;+oo). 2. (1;±). 3. (-оо;-2] U (2;+оо). 4. 2. 5. -§; f; ^.
6. f-v/15- Т. о < 1.и8. ^^3.
Географический факультет.
1. 3/2. 2. ±тг/3+2тгп (n <= Z). 3. (6, -18), (-4, -8). 4. а) Ютг; б) 128. 5. а) 5^2;
б) f iarcsin^. 6. (0,0), (±А±ч/5), (±Дт>/3), (2%^,=*^),
С -/б-у/2 Ув-/2 Л/б~т/2 -ч/б-у^ / — л/6 + V^ Ув+у/2^
у 2 ' 2 J ' у 2 ' 2 ,' ' 'ч 2 ' 2 / ■
Экономический факультет (отделение экономики).
1. Утверждение истинно. 2. [-±: 0]и[|; |). 3. (-2; 3), (-3; 2), (-1; 5), (-5; 1).
4. 20 рабочих, 6 часов. 5. f + 2тг*;, ^f + 2nk, ^ + 2тгА;, ^ + 2тгА;; к в Z.
6. yi.7. |(2-^3).
Факультет психологии.
1. [-2; (3 + /13)/2). 2. (10; +ос). 3. 0. 4. 4л/3. 5. 2тгт (гаг е Z). 6. -2.

+ ь =
928 Ответы, указания, решения
Филологический факультет.
1. (0;1)и[тг/2;3]. 2. 2 + 2/3. 3. -тг/4 + тгп, 2тг/3 + 2тгй (п, Л G Z). 4. (0;4)
5. а) 2^/3; б) бтг. 6. 2.
Социологический факультет.
1. 3. 2. (1; 3/2)U(3/2; 2). 3. 120°. 4. 12 кг. 5. ±«L^ + ^i^- ([Щ^~ + b
72.6.-1,-3/5,1.
Институт стран Азии и Африки.
1. (-ос; 1)U[2; +оо). 2. ^, п € Z. 3. (-оо; -1]U{2}. 4. (-}§; -^ - l) U(^2-
1; 15). 5. ^рё. 6. ( - ^2в ^; ^24 ^ ) ; пеРв0С число больше. 7. [-6; 1 -%/ТЗ]U
[%/l3-l;6].
Факультет государственного управления.
1.9 км/час. 2. |.3. (-оо; -/T7)U[-4; -3)U(-3; 3)u(/l7;5j. 4. 9. 5. 5 часов
и 7 часов 30 минут. 6. —4; 4; 6. 7. В порядке убывания старшинства: 8, 0,
1, 0, 1.
2003 год
Механико-математический факультет.
1. -3. 2. 1/25. 3. 2. 4. 25 : 81, площади совпадают. 5. т — 3 —| ^ а < 7г — 3 + |,
а = тг-3 + ^р. 6. 10(2 -/3).
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1. (£;£)и[2;+ос). 2. |+ 2?rfe; ^ + 2тгп; fc,n € Z. 3. (-ос; -2]U \ l]. 4. 9/3.
5. /3G (|;+оо). 6. ||.
Физический факультет.
1. ±| +7гп; п e Z. 2. (-оо;-|] U [|;+ос). 3. (log5 626 - 4;log526). 4. 2.
5. ж = 5,у = 1;х=|,у = -jj-. 6. 2#sinf. 7. Если а = |, то (-оо;-2) U
(|;l) U (1;+эо); если а < —2, то (-со;а) U (—2;+оо); если а = —2, то
(—оо; —2) U ( — 2; +эо); в остальных случаях ( — оо; —2) U (а; +оо). 8. т^р ■
Химический факультет и факультет наук о материалах.
1. (0; 1). 2. f + тгп; п 6 Z. 3. (0; 2). 4. 0. 5. 4. 6. [-5; 5].
Биологический факультет, факультет фундаментальной
медицины, факультет биоинженерии и биоинформатики.
1. f +7m;neZ. 2. (-эо; -V2] U [/2; 2) U [з=ьЯ§;+0СЛ з. 2^г^.4. 15:8.
5. arcsin (^Ф1). 6. (-1;2].
Факультет почвоведения.
1. %+Jf;neZ. 2.х = 0,у = -1;х= 1, у = 0. 3. (-ос; -§] U {0} U [|; +ос).
4. 4/2-3/3. 5. 2arctgi. 6. (-ос: -6) U (-|;+ос).
Геологический факультет.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 929
1. [-7; —2) U (—2; —1]. 2. ~. 3. Первый за 1 час, второй за о часов. 4. х =
О,у = л/3; х = 0,у = -л/3: х = y/jj§,V = Ну Т?5' х= -у/ш^У- _11/ Ш-
5. ^. 6. ±f + тгп, f -&+2nk; k,neZ. 7. log3(18 ± 9>/3), log3(10 ± л/19).
8.1:41.
Географический факультет.
1. -5-1. 2. (-oo;-6]U[-l;0)U (О; Щ^- . 3. 14. 4. 2Л/2(Л/3 + 1); меньше,
чем2%/15. 5. (i;Iju{l}u(|;4].
Филологический факультет.
l.f;neZ.2.i = l,y = 2тгА;; а: = ,у = -f + 2тгт; а: = 4,j/ = f + 2тгп
(fc,m,n 6 Z). 3. /Л = ZC = arctg3; ZB = 7r-2arctg3; ±. 4. 28. 5. Ь ^ f
(Jfe G Z).
Экономический факультет (отделение экономики).
1. [—2; 1]. 2. -207. 3. х = log73,y = 2; х = log7§,y = -1. 4. 24 и 80 тонн;
т = 4. 5. 4/l3. 6. (-оо; -^-] U [-i; ] U [^; + эо). 7. 36.
Экономический факультет (отделение менеджмента)
336
25
. 6.
H-V?!
и
1. -2. 2. 7. 3. ж = |, у ~ log3 3/2. 4. 6 тонн; т = 4. 5.
-Д;Д;]и[Д+ос)-
Факультет психологии.
1. *%^. 2. ±± arccos ^^ + тт; n G Z. 3. {-§} U [-1;0]. 4. 5, §|^3.
5-(-|;7);
9-V211 ,
J {5}.
Социологический факультет.
1. 3. 2. (0;3]. 3. /7. 4. 25%, 62,5%, 10%. 5. Первый 10, второй 12. 6. a = 7;
корни 2, 4 и 8.
Институт стран Азии и Африки.
1. [^;12]. 2. 11, -ч-у/ТёГ, 3. а2^. 4. |, тг + arctg ^, ^. 5. (-ос;-5] U
-3;--^ U{-^}U{|)U -^=;+оо).6. c = 0,d= 1 илис = -l,d= -2;
0;2].
Факультет государственного управления.
1. В пункте Е. 2. { — оо; -5] U [—1; +ос). 3. 14 млн. предприятие А, 2 млн.
предприятие В. 4. arccos 4=. 5. Нет решений при а > 0, b > 0; (-ос; +оо) при
а ^ 0, Ь < 0; (-оо;-^!] U [y^f; +ос) при а > О, Ъ< 0; [-^/^f; /ГЮ
при а < 0, Ь > 0; {0} при а = 0, 6 > 0. 6. х = 2, у = 2, z = -2. 7. Да.
Высшая школа бизнеса.
1. (-оо;-5) U {3}. 2. 80%. 3. Ц- + тгп; n e Z. 4. х = -2, у = 3. 5. АВ =
12,ВС = 10. 6. x = Z,y = l; ж='-3,у =-1. 7. 70°. 8. -2.
2004 год
Механико-математический факультет.

930 Ответы, указания, решения
1. (-1; 0) U (0; 1). 2. (-ос; -5 - уД] U (-0,5; -о + ^21] U {2} U (3; оо). 3. 13.
4. -| + (-1)"'* +тгт,те Z; -f + (-l)nf + хп, п <Е Z, п £ Z. (Другой
вариант ответа: 2wk, к £ Z; f+ 2тг/, / е Z; ^Ч-2тгт, meZ; |§ + 2тт, n G Z.)
5.18 км. 6. *1|^11.
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1. (-оо;+оо). 2. (-3;-2] U [^^;^|^] U [2;5). 3. Щ- + 2тг*;, fc <= Z.
4. 65 : 144. 5. Если а < — |, то одно решение; если а = — |, то два решения;
если —|<а<—1,то три решения; если — 1 ^ а < 1 — v2, то два решения;
если а — 1 — i/2, то одно решение; если 1 - /2 < а < 5, то два решения; если
а ^ 5, то одно решение. 6. ~.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(бакалавры).
1. (i;I]. 2. (-оо;+оо). 3. (-4;-3) U [^зз; *Ж=з] и [3;7). 4. Если
с < -9, то (-оо; +оо); если -9 < с < 0, то (-эо; log3(3 - yjc + 9)] U [log3(3 +
ч/с + 9);+оо); если с ^ 0, то [log3(3 + >/с + 9);+оо). 5. Ц + 2тгк, к <G Z.
6. 25 : 156. 7. £.
Физический факультет.
l.f,nG Z. 2. [0;4)U(16;+oo). 3. logs 3. 4. у^+л/а) ■ 5. (-оо; -3)U(5;+oo).
6. 2arctg(5 tga). 7. Корни существуют при р — 0 (только х — 0) и при р ^ 4,
когда все корни положит ел ьны. 8.2.
Химический факультет и факультет наук о материалах.
1. [-4;-3) U (-1;2]. 2. § + тгп, п е Z. 3. (б^^+оо). 4. f. 5. ^=.
6.(2;1),(-2;-1).
Биологический факультет, факультет фундаментальной
медицины, факультет биоинженерии и биоинформатики.
1. ^fl-. 2. f, JL + f ,n,fc e Z. 3. 2(V3. 4. (-oc;log32)u[bg3 П±^3;+оо).
a. e .
Факультет почвоведения.
1. 12; -f .2. (-3:0)U(0;3).3. 0; 8. 4. (Ig9;l] 5. 0; -f; -f. 6. /R; Vf±V2.
7. (-l;-2).
Геологический факультет.
1. [-y/G;V6]. 2.0; -^. 3. {-17}U[0; 17]. 4. arctg4; 17.5. [3;4). 6. §; m = J.
7. (^ + 27гттг;^ + 27г*;), (-^ + 2ттг;§ +2тг/с), fc, m e Z. 8. 2.
Географический факультет.
1. {-1; 1} U (2; +oo). 2. f + ?f, n e Z. 3. a) 30 км; б) ^ км. 4. a) 9; 6) 7.
5. -2; -f. 6. 6990.
Экономический факультет (отделение экономики).
1. 1. 2, {1; 3}. 3. ^?. 4. (-оо; -3) U (0; J). 5. 132 у .е. 6. 7. 7. ^
Экономический факультет (отделение менеджмента).
1. i^. 2. §, §. 3. §. 4. (-!; -3). 5. 66 тысяч у.е. 6. -3.
Факультет психологии.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 931
1. log5(5 + 2^/7). 2. [-5; 1) U (4; 5] U (7; +oo). 3. f + тпт, f + 2ттк, щ к е Z;
сумма корней равна 7г/6. 4. arcsin |; ^г^т. 5. а = 0; а = —4.
Филологический факультет.
1. (-|; f). 2. ±^ + f,ne Z. 3. 3. 4. а) 2^; б) 6. 5. 1 час 57 минут.
6. а) (±1;±2); б) 0 < у < ^- при и>0и-^<у<0 при х < 0.
Социологический факультет.
1. [-3; 5] 2. ±§ + f, к е Z. 3. Выросла на ^%. 4. ^. 5. 2/2, 2^2, 2/2.
6. Ь > 4с.
Институт стран Азии и Африки.
1. (-оо;-7). 2. 7г + 2тт. f + як, п,к € Z. 3. (0;0;0), (1; 1; 1), (1;-1;-1),
( 1-1. Л ( 1. 1-ПИ 1^гг '27±5у^9 с 9я fi 3641 _i_ V^05
(-1,1,-1), (-1,-1,1). 4. log3 2 • 5- Uy-a^- 6' зГзе ± м-
Факультет государственного управления.
1. 14. 2. z£, к e Z. 3. >/7. 4. 4920. 5. (-3;-§) U ^f^;+ooY 6. Четыре
(гири массой 1, 3, 9, 27 килограммов). 7. 2.
Высшая школа бизнеса.
1. (-со; -2) U (-2; 0]. 2. § + 2тгп, n е Z. 3. (28; 6), (-7; -29). 4. 32. 5. 7 час
30 мин. 6. (10; 9). 7. -10. 8. [-6; -5] U (-2; 6].
2005 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. 64. 2. 0 < х ^ log2 3. 3. 25. 4. -f + пп, п € Z. 5. 11. 6. -4:
{0}U [f§;2]. 7. 150/3. 8. -8 sC а ^ 6. 9. От А к В; 8^. 10. 1.
Механико-математический факультет. _
1. 28._2. -1.3. [1; 2) U (2; л/5] 4. ВС = 18; г;г2 е (|; 1) U (1; J). 5. 0;4 + 2у'3.
6. 4 А
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(олимпиада, апрель 2005).
!• (0;^) и [Ы) u [1;+о°)- 2- K;f+7rn-zn), где хп = f + ^ ±
5/(! +^n)2-36, n еЪ,пф -2,-1,0,1. 3. (0,-1). 4. 15/2. 5. 2/42/3.
6. ± arcsin ^t1 + 7m, п G Z.
Факультет вычислительной математики и кибернетики.
1. (0;5~^IlY 2. тг + arctg2 + 2тгп, п. £ Z. 3. S,00 = 15050; b40 = 81.
4. 4%/fO- 2%/15. 5. [f;^-3] U (^-6; ^-9]. 6.32.
Химический факультет.
1. ±1. 2. [±;+оо]. 3. ^ + f,n£Z.4. 10. 5. (2,0). 6. 2.
Биологический факультет.
1. ±1. 2. -f ±f + 2тгп, п£ Z. 3. 16V5. 4. [1;2). 5. 4. 6- х = -,У = 2. 7. £.
Факультет почвоведения.
1. 4. 2. sin ^77. 3. [i; +oo). 4. 10. 5. 7. 6. 1 : 3.
2у/101-13
13
U

932 Ответы, указания, решения
Географический факультет.
l.i = (-1)"+1 f + 2тт, у = 2ixk, п,k e Z. 2. 150. 3. [f; 1). 4. ^ + 2/2. 5. 26.
Факультет психологии.
1. ±3. 2. (-оо;1] U (log2ll;+oo). 3. -^ + 2тгк, -^ + 2тт, к,п G Z.
4. arccos | + f; ^f. 5. 5. 6. [-2; 0) U (0; 2].
Социологический факультет.
1. 0; 16. 2. ±|. 3. 4. 4. f|. 5. f2^^). 6. 4; 1200 руб.
Филологический факультет.
1. 0, ±1, ±2, ±3. 2. 240. 3. (-|;0) U(3;+oo). 4. 2тг. 5. f + 2тгп, п е Z. 6. 2;
tg^.7. 1,2, 3,4, 5, 6, 7.
Геологический факультет.
1. {-1}U [|;1]. 2. [-3;^=^]. 3. 5 = 1; R = ^. 4. 5тг. 5. 0 или 3.
6. [|;1)и[3;+оо). 7. [-1;5]. 8. f.
Экономический факультет (отделение экономики).
1. ^(4к + 1), к G Z. 2. 18. 3. 962500 руб. 4. [l - v^; -|) U (-£; -^f; U
[^М;4). 5. 2^ + 4, 2^ + 4, 4^ + 6. 6. (-|;1), {-1-j^;l2+ l-l),
[-l + j^]l2 + l'l)jeX,l^-5, -2,1,4. 7. (0; 16тг).
Московская школа экономики.
1. [1;+оо).2. (-оо;-2]. 3. -3.4. -§, §. 5.6,8, 10,12.6. (2;3), (3;2), (3;3),
(4;3), (5;4). 7. ЭОу^. 8. (-ос;1] U {f } U [§;+оо).
Институт стран Азии и Африки.
1. (-оо;-1) U (-1;5]. 2. f + ^; ±arccos±^ + 2тг£, п,к G Z. 3. ^±^.
4. 5%. 5. (-I;-!) и (4;-^). 6. Либо f,f,g, Ш, либо §, **, а, ^ - а,
где а = arccos—/S_—. 7. 12%/2.
2V4-V3
Факультет государственного управления.
1. Да (с 8 руб. 50 коп. по 16 руб. включительно). 2. (5;+оо). 3. .Е(0;0).
4. 1 + 2тгп, п е Z. 5. 69 руб. 43 коп. 6. [0; +оо).
Факультет глобальных процессов.
1. 126. 2. (-|;-У§) U [-1;0) U (О; y^f). 3. i. 4. 4>/3. 5. Верно. 6. 20%.
7. §; arccos У§. 8. Г-оо;-^) U Ш-; +ooY
2006 год
Олимпиада «Ломоносов». __^„
1. -19. 2. Корень трехчлена больше. 3. ±у/2жк, —1 ± /1 + 2тгп, к,п ~
0,1,2,.... 4. 36 и 8. 5. 3/5. 6. [0;4]. 7. (-оо;-2] U {-|} U [0; |] U {2}. 8. 2.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 933
9. (2,117), (3,59). 10. -f +7rfc ^ х < f + тг*;, -f + тгп < а: ^ -f + „.„
(fc.neZ).
Механико-математический факультет.
1. 216. 2. (0; +ос). 3. 90°. 4. тг + 2тт, n G Z. 5. 60°; ^f^. 6. 1/3.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(олимпиада, апрель 2006).
1. {(-3;1)}. 2. (~oo;10)U {11} U (14;+оо). 3. 90°, 60°. 4. (arctg2^s.s
5. AD : ВС = 2 : 1 6. а = тт, п. е Z.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение специалистов).
1.14:00. 2. -11тг/6, тг/6,2тг, 13тг/б. 3. [3; 6)и(б; ^ - 11>/б). 4. 672. 5. (Ш; М)
(при всяком d). 6. 7.
Химический факультет и факультет наук о материалах.
1. [-1; 1]. 2. (-14/3; -_3). 3. | + тт, f ± ff + nk, n, k в Z. 4. 9/2. 5. 24 : 49.
6. 4 - /7 < а < 4 + л/7.
Биологический факультет.
1. {-1} U [1;+оо). 2. (-1)п£ + тт, п е Z. 3. ^f. 4. (%/l7 - 7)/8. 5. 7.
6. 360 - 171/3-
Факультет почвоведения.
1. Z±§^. 2. 0, 2. 3. [0; ±) U [1; +оо). 4. 28 минут. 5. ^^. в. 6. 7. -4 < & <
-1.
Географический факультет.
1. . 2. 2. 3. я- + 2тт, | + тгА;, п,к 6 Z. 4. а) 40 км: б) 80 км/ч, 60 км/ч.
5. АБ = 89/6, CD - 23/3. 6. с < -тг, с ^ тг.
Факультет психологии.
1. 0. 2. [3;+оо). 3. ± +7rfc; ±arctg2 + 7rn, k,n 6 Z. 4. 2. 5. Если а < 0, то
(0; —a) U (—a; +oc), если а > 0, то (—ос; —3a) U (—§; О), если a = 0, то нет
решений. 6. iarccos -^ + 2тгА;, fceZ.
Социологический и филологический факультеты.
1. (-ос; -1] U [1;2) U (2;+оо). 2. 4/3 и 4/3 (одна из хорд) 2^3 и 6/3 (две
другие хорды). 3. (l,-f,-3), (-1,|,3). 4. 525. 5. (9 + 3v^)/2. 6. Зтг2fc2.
Геологический факультет.
l.[-4;-3)j(-3;3)U(3;+3o).2. {0}j[2;^].3. ^^.4. (-3;-2) U(l;2].
5. 10/3 л. 6. Птг/30. 7. SO /ON = 120/19. 8. Минимально при а = -5,
минимальное значение равно —4.
Экономический факультет (отделение экономики).
1. -1/2; 1. 2. (|:1)U(6;^). 3. 13тг/5 4. 24 в первой бригаде и 45 во второй.
5. у/2. 6. -1 ^ а ^ 1/4; а > 1. 7. 2тг + 8.
Московская школа экономики.
1. 6. 2. (3; 11]. 3. тгт, го £ Z. 4. 20%. 5. (0;0), (2;0), (1; 1). 6. 30. 7. Если
Ь< 1, то {-1/3}и[1;+оо);если6= 1, то [-1/3; +оо); если 6 > 1, то [-1/3; 1].
Институт стран Азии и Африки.
1. {-5}и(-2;3). 2. f+ ^, f ±±arccos(f), jfc,n £ Z. 3. (-f;0) u(|;f].
4. 7>/l3/10. 5. -1; 1/2. 6. (-00; -f) U (-^;0). 7. 25.
Факультет государственного управления.

934 Ответы, указанья, решения
1. 17. 2. ±«Д. 3.7Г - 2. 4. 1 ± § т 2тгА:, fc, n G N. 5. 29§%, 24|%, 18§%, ll|%
соответственно. 6. а ^ —35. 7. 7 суток.
Факультет глобальных процессов.
1. (-ос; 0]. 2. ^. 3. (3; +оо). 4. -п + 4тгп < ж < 47гп, 4тгп < х < 7Г 4- 4тт,
п е Z. 5. Зт/зД 6. 8тг/3. 7. 17~/^ ^ а < 9. 8. я» > fc,.
2007 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. -0,5. 2. £ = 0; х= л/lOOOOO. 3. 30. 4. [-7; — |)U [J;2). 5. 10. 6. 540; 108.
7. arctg|- . 8. 2757r(tg20°±tgl0°).9. 0 < х < f; z = f; x = ^; x = тт.
10. a) 3§; б) 3£.
Механико-математический факультет.
1. 15. 2. a= -f, ft = f 3. f - jarctgf + тт (n G Z). 4. 23°; 4sin67°; углы
одинаковы. 5. 3. 6. 2 arccos(/3 — 1)^.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение специалистов).
!• ~Ш> Ш- 2" ("15 -1) и ["J ; !]■ 3- 36/V^3. 4. (-5; 20), (-5; 21). 5. 3 : 7.
6. рту/3/2.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
(отделение бакалавров).
1. 36. 2. 577/184; 133тт184. 3. (-|;0) U [±;3]. 4. 2у/Е. 5. (-6; 23), (-6; 24).
6.2:11.
Физический факультет.
1. f+2тгЛ(Л: £Z). 2. log3 5. 3. 3. 4. 16^2.5. (-2;0)U (2; +оо). 6. aR. 7. Одно
при -3 < а ^ — /2, два при — /2 < а ^ —2/3/3, три при -2/V3 < а < 0.
8. 10448/3.
Химический факультет и факультет наук о материалах.
1. -23/4; -1; 1; 6. 2. (-8;-6) U [-2/5;-4] U {-2}. 3. 1; 4. 4. %/3; 3.
5. (-fi,^)._e. arctgS + 2тгп (n G Z). 7. На 251. 8. -1 < а < 0 или
а — (2 + 2/ТЗ)/3.
Геологический факультет.
1. [9; 12). 2. (-г^агсвти/З) + тгп (п € Z). 3. {-2} U [2 6]. 4. CD = 6,
DA = 4. 5. (2 - /3; 3 - v^j U [3 + V7; +ос). 6. 24. 7. При г = 5, максимум
равен 8. 8. 1 : 2.
Факультет почвоведения. _
1. -16; 18. 2. (-oo;-v'7)U(/7;9]. 3. В 2 раза. 4. тг/56 + тт/28; тг/12 + тгА;/6
(n,fc€Z). 5. {l/2}U(l;+oo). 6. (1;3); (3,1). 7. 2; 4. 8. 12.
Филологический факультет.
1. -25. 2. (-эо;-8) U (-5;-2) U [0;+оо). 3- От 6 до 14 включительно.
4. (1;-1), (-3;3). 5. -2тг/3 + 2тт, (-l)k arcsin(3/5) - тг/6 + тгк {щк € Ъ.
6. АВ = АС = 13. 7. (-со; -7] U (-4; -3) U (-2; 0) U (1; +оо). 8. с = -4/2,
-4 < с «: 4.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы
935
Экономический факультет (отделение экономики).
1. При х = -7 имеем у = о. 2. 37г/4 + 2яп; 57г8 + 2irk (n,k e Z).
3. (-эо; bg3 5)U(3/2: logo 3). 4. 27 тысяч рублей. 5. 10/3. 6. 3- Vo < а < 7/2;
5 < а ^ 10. 7. 2.
Экономический факультет (отделение менеджмента).
1. а: = 1; разность равна -6. 2. (-9; -5). 3. -7г/4+2ятг;, 57т/4+27г£: (n, A; € Z).
4. (f; log3 4) U (|; +оо). 5. 72 часа. 6. 2^129.
Экономический факультет (вечернее отделение).
1. (-7; 5). 2. Зтг/4+2тгп; 5тг/4 + 2nk (n,k е Z). 3. (-ос; f) U (log3 5; §).
4. 33 600 рублей. 5. Юл/3- 6. 0^а<1;1<а^ 5/3; 4 ^ а < 5; а > 5. 7. 2.
Московская школа экономики.
1- {l}U[2;+oo). 2. 5тг/6 + 2тгп (п £ Z). 3. х = 2. 4. 1. 5. На 20%. 6. (12;-4);
(2;-4); (10;-2); (4;-2); (10;-6); (4;-б). 7. Периметр равен 25, площадь
равна (5/143)/4. 8. 0<а<1;1<а<4;4<о<5.
Институт стран Азии и Африки.
1. {-3}U[-2;4].2.20%. 3. [-4;-2)и(5; 10]. 4. (4; l;±arccos| - arctg f + 2тт)
(n_e Z). 5. 2л/Т0 - 5. 6. 2 < a < 7. 7. Объем пирамиды QKMN, равный
/77/12, меньше, чем объем пирамиды SABC, равный 3/4.
Факультет государственного управления.
1. 15 полных кругов. 2. (—1)"-(7г/6) + тгп; (-l)k+l arcsin | + -кк {п,к € Z).
3. 13/2. 4. (0; 1/(4^)] U [4^ 16 • 4Vv^]. 5. Количество бензозаправочных
станций в северном и восточном районах одинаково. 6. (а;Ь) = ( птщ > 0'
где t ф 0; (а; Ь) — (щ^ iMi гДе !*| > 2- 7. 49 охотников.
Дополнительный набор.
1. 1000 000000. 2. тгп; тг/2 + 2?rfc (п,Л £ Z) 3. (-6,-5) и (4,5); (4; 15)
и (14; 15); (-16; -5) и (-6;-15). 4. [-2;0). 5. ±GMg<*tg7. 6. (-f; j) U
(§; l]. 7. 8B*/S. 8. 1 и 6; 2 и 7; 3 и 6; 4 и 3; -1 и 2; -2 и 9.
2008 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. -1. 2. 5. 3.9 или 49. 4. Нет. 5. 3 или 2/3. 6. [log50 8;log50 9). 7. ^+4тгп,
п G Z. 8. 3>/29 или 3>/61- 9.1,..., 2002. 10. 12 (при d G [4,5; 7]).
Механико-математический факультет.
1. (-эо; -1] U (1}и[2;оо). 2. а) да; б) например, (sin3x— l)(cosz+ ^) = 0.
3. (l,i). 4. а) 6: 5; б) 13. 5. /(х) = х* - х + 1. 6. 7.
Химический, географический, биологический, психологии,
биоинженерии и биоинформатики, фундаментальной медицины, наук о
материалах и физико-химический факультеты.
1. х = (-1)п+1тг/4 + ™, п е Z. 2. -17/6. 3. х = 1/3. 4. 4>/2, 2. 5. а), в).
6. 2/5. 7. а > 3 + V^O-

936
Ответы, указания, решен'ал
Факультеты почвоведения, глобальных процессов и высшая
школа современных социальных наук.
1. [-7/2,-3)и(-3,сс)._2. 3,2 км/ч. 3. -31/17.4. (-оо,-2] U (-2"3/2,0).
5. Да: Гоша. 6. >/13. 2/13, V13, 2^13- 7. 4; ^2 + 4/5.
Социологический факультет.
1. -6 < х < О, 0 < х < 3. 2. 2. 3. 70е. 4. х = 9, у/Ъ. 5. 30%; 30.
6. х = 3, у > -3; у = 1, ж ^ —1. 7. mina = 1/2, maxa — l/cos(7r/9).
Централизованный экзамен для поступающих на договорные
образовательные программы.
1. х = 0. 2. 1/2. 3. 7. 4. -1/V2 < i < 1/>/2. 5. 0 ^ ж < 2, а > 8. 6. 4.
7. Одинаковы. 8. Две; на три равные части. 9. —4| < a < 4.
2009 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. 6. 2. 70. 3. х = a - 1, ^zj при a > 1, решений нет при а < 1. 4. да. 5. 2;
6. 6. 1. 7. 13. 8. а) да, б) 72. 9. (-3,0) U (3, +ос).
Механико-математический факультет.
Задачи первой смены. 1. 1, ^^зЦ. 2. 77. 3. ^. 4. 19, 20, 21, 22, 23.
5. б) 2г = тгЛ/3, х = (-1)"+17г/6 + тт, к,п е Ъ. 6. у/%Чу/г1.
Задачи первой смены. 1. (-2,1)U(5,7). 2. 1. 3. 38sin40°.4. (11; 2) при с =
— 2, нет решений при с ф -2.5.6)20.6. (5-2V^;8-2/6)U(5 + 2v/6;8 + 2V^).
Факультет биоинженерии ибиоинформатики.
1. {-2} U (3,+эс). 2. 4,3 + у/Ъ. 3. (-оо,1] U {3} U [7,+оо). 4. ±тг/15 +
тгп/5. 5. (^) - 1^г-- 6- 1/2,5/2. 7. (а) 240тг, (б) 289тг. 8. -1.
9. (-1;-7/9].
Экзамен, альтернативный ЕГЭ по математике.
1. Второе. 2. [-5; -2)U(-2; 1). 3. а) 294, б) на 25%. 4. 7. 5J0; 1/2). 6. тг/4+тгп,
тг/8 + тт. 7. (-16; -9] U {-8} U [-7; 0) U (0; 9]. 8. 192л/3. 9. 11837, 111837,
1671837,18371837.
Централизованный экзамен для поступающих на договорные
образовательные программы.
1. Первое. 2. а) -4; б) ж£ (-4; 5]. Зле (-оо; -|) U {0} U (2; +оо). 4. 20/2.
5. же (0;1)U(1;4). 6. f + тгп, arctgf + тгА:, п, fc 6 Z. 7. 140. 8. ^;+ocY
9. с = 2, с> X.
2010 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. -1 ^ х < 3. 2. А. 3. 8 млн р. 4. -4 < ж s£ -3 + 2А/5 - 2. 5. 54, 72, 96 и
128. 6. у = ™2 + 2 при -1 ^ ж < 0. 7. а < 13/5 - 5. 8. 4. 9. а) Да, б) нет.

2. Ответы к вариантам за 1970-2016 годы 937
10. 12.
Механико-математический факультет. 1. х — 2, у — 3. 2. [^, -г). 3. —.
4. 'f. 5. 80 м. 6. л/б/2.
Факультет биоинженерии и биоинформатики, факультет наук о
материалах.
1. 5. 2. (-6,-1), (~т+3^,~7+3^). 3. a)_arctg4 + 7m, ng Z; б) 120arctg4 +
71407Г < 23040. 4. 2/6, 2/6, -2^6, -2V6, Л = ^. 5. [arccos i; f ] U [2; ^] U
[- arccos | + 2im: arccos | + 27m] U [f + 2тг&; ^ + 2nk], n, k £ %, n ^ I, k ^ 1.
6. (-co; ~1-/^) U (-1; +oo).
Факультет государственного управления, социологический
факультет, высшая школа современных социальных наук.
1. -6. 2. 5 часов. 3. -2&, -Ь£. 4. (1,3]. 5. Н; 6. -5 и Уз.
Экзамен, альтернативный ЕГЭ по математике.
! 27Г
1. ^52- 2. -4^ х < -1, х ^ 1. 3. 25%. 4. 2. 5. —. 6. - tog3 2 ^ х ^ 1. 7. 6.
8. f + 7гп, ±f + 2тт, п е Z; 9. 2л/б. 10. 2| часа; 11. 16; 12. (1, 3), (3, 5).
Централизованный экзамен для поступающих на договорные
образовательные программы.
1. -|. 2. 5. 3. 3f. 4. (log2 3 - 1; 1]. 5. f. 6. ^.
Экзамен по математике, альтернативный ЕГЭ, для иностранных
граждан (выпускников ЦМО МГУ).
l.-Ki<2,^8.2. 125 рублей. 3. -4. 4. Чу/2. 5. 3/2. 6. 7. 7. 4/5. 8. 2/2.
9. тт, п е Z. 10. (0,0), (3,1), (-|, -§). 11. ^. 12. 0 < х < 2.
2011 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. 12. 2. 4. 3. 7л/2. 4. (^V^~i) u (^P^00)- 5 ^L ^ 25- 6- а = ~6,
6= -1, с = -4. 7. 13. 8. 17тг.
Дополнительное вступительное испытание по математике.
1. jjL. 2. **, n e Z. 3. И. 4. [-|; -|) U (-J;+oo). 5. 1. 6. |, * -
7. 1. 8. х — q, у = п-
log., 3-1
2012 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. 0. 2. 5. 3. Нет. 4. 0 < а ^ 8. 5. 2arccos | = arccos (-55Y 6. [0;9]. 7
8. 28. V
Дополнительное вступительное испытание по математике.
1. 2,1ж2 - 2,3х - 2 = 0. 2- -2. 3. [log3 2; log3 7] U {2}. 4, f + тт, п. е Z
(-l)fcf + f,ifc6Z.5.6.6. /10- 7. (-со; л/3] U (л/7; +°с); 8. ^.
120.

938
Ответы, указания, решения
2013 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. На 110%. 2. i = iff+ 2тгА, k <= Z. 3. (^^И;ч/2-2) и[2;3). 4. ^f
5 '
5, же
I —а;
при
а < 0, х € [-тг;-а
при а > 0. 6. 12. 7. 2 раза.
26а
L ' 17-
8. 5 : 11 или 1 : 19.
Дополнительное вступительное испытание по математике.
1. §. 2. ±. 3. [0;1]. 4. ^, ^, Л G Z, jfc/4, n e Z, тг/3. 5. 2 км. 6. 7.
7. (l + v^ + V3 + У§) . 8. а ф 0.
2014 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. -. 2. 10070. 3. 2arctg| (= arctgf). 4. а = -^, b = log20142013.
5. тт < а < f + тгп, п € Z. 6. 120 тыс. руб. 7. ^.8. 450.
Дополнительное вступительное испытание по математике.
1. 4. 2. -3. 3. (0;1)U (§;+со). 4. Ц- + 4ттп, n e Z. 5. 1 : 1. 6. х = 4, у = 8.
7. ^ 8. [-3^2; 3V2].
2015 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. 76. 2. f. 3. 2. 4. 1 + >/2. 5. 2/7. 6. Только а = |. 7. 5^23. 8. а) 17; б) 09.
Дополнительное вступительное испытание по математике.
1. 2. 2. 39. 3.
-Щ + 2тт,| +2тгп U ii2L + 2ттп, ^ + 2ттп
, ™ е Z. 4. ^,
УЗ, ^3+^. 5. /3 ± у/2. 6. 1 км. 7. f. 8. а = § + 2тгп (п. е Z), /3 = 0.
2016 год
Олимпиада «Ломоносов».
1. 1200. 2. f.3.B3 раза. 4. ^. 5. (|, П и {3}. 6. 99. 7. 72. 8. 672.
Дополнительное вступительное испытание по математике.
1. §§. 2. ±1. 3. f + Ьг, arctg5 + mr; А,п е Z. 4. Го; ^ U(l;3). 5. 8/2. 6. В
12:00. 7. 50. 8. 9^5, а = 2, z = f + far, fc G Z.

Список использованной литературы
1. Б.И.Александров, В.М.Максимов, М.В.Лурье, А.В.Колесничепко.
Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Москва, изд-во МГУ, 1972.
2. Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов. Пособие по математике для
поступающих в ВУЗы. Москва, изд-во «Наука», 1972.
3. Н.К.Егерев, В.В.Зайцев, Б.А.Кордемский, Т.Н.Маслова,
И.Ф.Орловская, Р.НПозойский, Г.С.Ряховская, Н.М.Федорова — под общей
редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во
ВТУЗы. Минск, изд-во «Вышейшая школа», 1990.
4. Ю.В.Нестеренко, С.Н.Олехник, М.К.Потапов. Задачи вступительных
экзаменов по математике. Москва, изд-во «Наука», 1983.
5. Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Избранные задачи и теоремы
элементарной математики. Арифметика и алгебра. Москва, изд-во
«Наука», 1976.
6. Г.С.М.Коксешер, С.Л.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. Москва,
изд-во «Наука», 1978.
7. И.И.Мельников, И.Н.Сергеев. Как решать задачи по математике на
вступительных экзаменах. Москва, изд-во МГУ, 1990.
8. Г.А.Гальперин, А.К.Толпыго. Московские математические олимпиады.
Москва, изд-во «Просвещение», 1986.
9. Д.Пойа. Математическое открытие. Москва, изд-во «Наука», 1976.
10. Н.Б.Васильев, А.А.Егоров. Задачи всесоюзных математических
олимпиад. Москва, «Наука», 1988.
11. И.Ф.Шарыгин. Задачи по геометрии. Стереометрия. Библиотечка
«Квант». Москва, «Наука», 1984.
12. В.В.Прасолов. Задачи по планиметрии. Часть 1. Москва, «Наука», 1991.
13. В.М.Клопский, 3.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. 9-10 классы.
Москва, «Просвещение», 1982.
14. В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко. Задачи по
математике. Уравнения и неравенства. Москва, «Наукам, 1987.
15. В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко. Задачи по
математике. Алгебра. Москва, «Наука», 1987.
16. С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко. Нестандартные методы
решения уравнений и неравенств. Москва, Изд-во МГУ, 1991.
17. Варианты вступительных экзаменов по математике за 1983-1991 годы
на все факультеты МГУ с ответами, указаниями, решениями. Москва,
Изд-во предприятия «Патент», 1992.
18. Московский университет. Справочник для поступающих. 1970-1992
годы. Москва, изд-во МГУ, 1970-1992.
19. В.В.Прасолов, И.Ф.Шарыгин. Задачи по стереометрии. Москва, «Наука»,
1989.
20. Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Геометрические оценки и
задачи из комбинаторной геометрии. Москва, «Наука», 1974.

940
Список использованной литературы
21. Математика. Задачи вступительных экзаменов в МГУ им. М.В.
Ломоносова с ответами и решениями (1999-2004 гг.) / Сост. Е.А. Григорьев. М.:
УНЦ ДО, 2005.
22. Задачи вступительных экзаменов по математике (2005. 2006, 2007) / Под
общ. ред. Е.А. Григорьева. М.: МГУ, 2005, 2006, 2007.'
23. Олимпиады и вступительные экзамены по математике (2008, 2009) / Под
общ. ред. Е.А. Григорьева. М.: МГУ, 2008, 2009.