Есть ли арифметическая прогрессия в егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике

Анна Малкова

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

$a_{n+1}=a_n+d,(n=1,2,...).$

Фиксированное число называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_{n}=a_1+(n-1)d.$

Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n=frac{(a_1+a_n)}{2} cdot n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n$

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: $a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

1. Максим решил накопить на айфон последней модели и 1 марта положил в копилку 10 рублей. С этого дня Максим ежедневно опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день. Сколько рублей будет в копилке 31 мая, после того как Максим, как обычно, положит туда деньги?

По условию, 1 марта в копилке у Максима 10 рублей.

2 марта Максим опускает в копилку на 10 рублей больше, чем в предыдущий день, то есть 20 рублей.

3 марта он добавляет еще 30 рублей,

4 марта 40 рублей,

5 марта 50 рублей.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией.

В нашей прогрессии В марте 31 день, в апреле 30, в мае 31 день. Значит,

31 мая Максим положит в копилку $a_{92}=a_1+(92-1)d=10+910=920$ рублей.

Всего в копилке в этот день будет $S_{92}=frac{(a_1+a_n)}{2}cdot 92=frac{(10+920)}{2}cdot 92=42780$ рублей.

Видите, как удобно пользоваться формулами для вычисления n-ного члена и суммы арифметической прогрессии. Намного проще, чем складывать 92 слагаемых.

2. (Задача ЕГЭ) Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Пусть улитка проползла в первый день a_1 метров, в последний – a_n метров, причем . Тогда за n дней она преодолела $S_n=frac{(a_1+a_n)n}{2}=150$ метров. Отсюда n=30

Ответ: 30

3. (Задача ЕГЭ) Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней

Это обычная задача на арифметическую прогрессию. В первый день Вася решил a_1=5 задач, в последний $a_{14}$ задач. Запишем формулу для суммы арифметической прогрессии: $S_{14}=frac{(a_1+a_{14})14}{2}=434$ . Отсюда $a_{14}=57$

4. (Задача ЕГЭ) Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

В первый день бригада покрасила a_1 метров забора, во второй a_2 метров, в последний a_n метров.

По формуле суммы арифметической прогрессии: $S_{n}=frac{(a_1+a_{n})n}{2}=150$ . По условию, . Отсюда n = 4.

5. (Задача ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия: -4; -2; 0… Найдите сумму первых десяти её членов.

Найдем d – разность арифметической прогрессии.

Найдем сумму первых 10 членов прогрессии по формуле: $S_n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n$

У нас n = 10.

$S_{10}=frac{2a_1+(10-1)d}{2}cdot 10=frac{-8+9cdot 2}{2}cdot 10=50.$

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Рабочие прокладывают тоннель длиной 99 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 9 дней.

Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Ответы к задачам:

Ответ: 18
Ответ: 15
Ответ: 18
Ответ: 22.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Арифметическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

Прогрессии

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение («progression», что означает «движение вперед»), был введен римским математиком Боэцием в 6 веке.

Что такое прогрессия? Это тип последовательности. А что такое последовательность? Это бесконечный набор чисел, подчиняющийся определенному правилу. Например, последовательность составляют все числа, делящиеся на 2. Их бесконечно много, и они подчиняются определенному правилу. Последовательность можно задать формулой n-го члена, где n – номер члена последовательности.

Например,

(числа Мерсенна)

Последовательность также может задаваться правилом, по которому находят каждый ее член, если известны предыдущие. Например, первые два члена последовательности равны единице, а каждый следующий равен сумме двух непосредственно предшествующих ему. Тогда получаем последовательность чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (называемых числами Фибоначчи)

Есть два вида последовательностей, которые изучаются в курсе математики– это арифметические и геометрические прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число d.

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d < 0, то — убывающей последовательностью. А если d = 0 ? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d = 2 (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии a₁и ее разность d, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

a_n = a₁ + d · (n−1) — формула n-го члена,

Пример: найдите члены а₈, а₁₀₀₀ арифметической прогрессии, у которой а₁ = -2, d = 5

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

а₈ = a₁ + d · (8 −1) = -2 + 7 · 5 = 33.

а₁₀₀₀ = a₁ + d · (1000 −1) = -2 + 999 · 5 = 4993.

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

Пример: определить сумму k первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с a₁= 1 и d = 2

Например, сумма первых пяти нечетных чисел:

Можно убедиться, что 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

— свойство n-го члена.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если q > 0, то прогрессия считается знакоположительной, при q < 0 – знакопеременной.

Если |q |>1, прогрессия возрастающая, если |q | <1 – убывающая. Заметим, что при q < 0 сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если b₁ — первый член прогрессии (b₁ ≠ 0), а q — знаменатель прогрессии (q ≠ 0), то справедливы следующие формулы:

b_n = b_{1 ·}q ⁿ^-1 формула n-го члена

Пример: найдите b₄, b₁₁ геометрической прогрессии, если b₁ = 3, q = 2

Решение:

По формуле найдем:

b₄= b_{1 ·}q ^{4 — 1}= 3 · 2 ³ = 24,

b₁₁= b_{1 ·}q ^{11 — 1}= 3 · 2 ¹⁰ = 3072.

— формула суммы n первых членов;

Пример: найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой b₁ = 2, q = 3

Решение:

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

— свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле

Замечание:

Формула n-го члена прогрессии:

арифметической:a_n = a₁ + d · (n − 1)
геометрической: b_n = b_{1 ·}q ⁿ^{— 1}

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.

Сложные проценты

Есть два вида процентов доходности – простые и сложные.

Чтобы с ними разобраться, представим двух братьев: Расчетливого Сашу и Простака Петю. Их отец дал каждому по 1000 рублей, и оба кладут их в банк. Расчетливый Саша всегда пользуется счетом со сложными процентами, а Простак Петя больше любит поступать по старинке и предпочитает счета с простыми процентами.

Сложный процент — это проценты с процентов.

У простого процента такой особенности нет, его рассчитывают от стартовой суммы, которую называют «основным капиталом». Пете легко в этом разобраться: основной капитал зарабатывает каждый год одну и ту же сумму.

Если вы откладываете деньги, занимаете их, пользуетесь кредитной картой, берёте в ипотеку или покупаете пожизненную ренту, формула сложного процента работает на (или против) вас.

Давайте выведем формулу сложных процентов. Допустим, у нас есть некоторая сумма S, в конце года мы ее увеличиваем на некоторый процент (%). Полученную сумму S₁после начисления процентов можно посчитать так:

В следующем году полученную сумму снова увеличим на тот же процент. Тогда можем записать верное равенство:

Аналогично мы можем посчитать полученную сумму еще через год:

Таким образом, если периодов n, то можем записать формулу вычисления сложных процентов:

начисление процентов (%) на сумму S через n периодов.

Тогда последовательность остатков долга будет следующей:

Видим, что это геометрическая прогрессия.

Итак, Саша размещает свои 1000 рублей на счете и получает ежегодно 7% дохода. Давайте посчитаем, сколько он получит за три года? В данном случае S = 1000, % = 7, n = 3, – общая сумма, получаемая по формуле сложного процента:

Счет Пети – тоже 7%-ный, но процент у него простой. Какие деньги заработает за три года Петя? В первый год он получит 70 рублей, столько же – во второй и в третий. Таким образом, проценты составят 3 · 70 = 210 рублей, итого общая сумма на счете — 1210 рублей. Инвестиционное решение Саши, очевидно, выгоднее.

Источник

Павел Бердов
уроки математики

5 июня 2016

Смотрите также:

Задача 19: арифметическая прогрессия из пробного ЕГЭ
Что такое функции с целыми значениями и как их применять для решения задач 19 из ЕГЭ по математике?
Метод Гаусса
Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
Задача B2: Сложный процент и стандартная формула

Источник