Есть ли интегралы в егэ 2021

Все формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике

Все формулы для базового ЕГЭ-2022 по математике

Пример:

С вопросами,мнением об экзаменах обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

И, пожалуйста, напишите об ошибке, если обнаружите таковую в моих решениях.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Задача.
На рисунке изображён график функции вида (f(x)= ax^2 + bx + c,) где числа (a, b; и ;c) — целые. Найдите значение (f(-12)).

Решение.

Формула функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Требуется определить значение функции в точке, которая не видна на графике, поэтому нужно воспользоваться формулой. Для этого сначала нужно определить неизвестные коэффициенты квадратного трёхчлена.

Три неизвестных коэффициента можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, берём на графике три «удобные» точки и подставляем их координаты в формулу функции.
Точки «удобны», если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень хорошими точками являются вершина и точка пересечения с осью ординат. К сожалению, последняя на заданном участке графика также не видна.
На рисунке показаны выбранные мною точки, которые задают следующие соотношения
[x_в=-4;Rightarrow;-frac{b}{2a} = -4; f(-3)=-2; Rightarrow;a(-3)^2 + b(-3) + c = -2; f(-2)=1;Rightarrow;a(-2)^2 + b(-2) + c = 1.]
Получили ситему уравнений [ begin{cases} -dfrac{b}{2a} = -4, 9a -3b + c = -2, 4a -2b + c = 1. end{cases}]
Решаем её [begin{cases} b = 8a,9a -24a + c = -2,4a -16a + c = 1; end{cases};
begin{cases} b = 8a,c = 15a-2,c = 12a+1; end{cases}; begin{cases} b = 8a, = 3a-3,c = 12a+1; end{cases};
begin{cases} b = 8,a = 1,c = 13. end{cases}]
Таким образом, уравнение функции имеет вид (f(x)= x^2 + 8x + 13), чтобы найти её значение в заданной точке, подставляем −12 в формулу [f(-12)= (-12)^2 + 8cdot(-12) +13 = 144-96+13 = 61.]

Замечание: Внимательные пользователи заметили, что полезность точки «Вершина параболы» в представленном решении использована не на все сто процентов. Постарайтесь вспомнить, что еще вы знаете о вершине параболы, и подумать о том, как сократить объём вычислений. Затем перейдите по ссылке, чтобы посмотреть второй вариант решения этой задачи.

Ответ:

Задача.
На рисунке изображён график (y = f'(x)) — производной функции (f(x)),
определённой на интервале (−9;12). В какой точке отрезка [−8;11] функция (f(x)) принимает наибольшее значение?

Решение.

Задачу лучше решать, делая отметки на чертеже.

Выделим на чертеже отрезок, на котором требуется найти искомое значение. Наибольшее значение непрерывной функции может быть достигнуто в одной из крайних точек отрезка, либо в одной из точек максимума функции внутри отрезка.

Крайние точки отрезка x = −8 и x = 11.
Внутренние точки отрезка, в которых функция имеет экстремальные значения, совпадают с точками, в которых её производная равна нулю. Эти точки также отмечаем на чертеже (здесь красными кружками).

Чтобы определиться, в каких точках экстремум является максимумом, нам нужно определить знак производной в окрестности каждой из этих точек. Знаки производной хорошо видны по её графику. Делаем соответствующие отметки на интервалах. Интервалу, где производная положительна соответствует интервал возрастания функции, интервалу, где производная отрицательна соответствует интервал убывания функции. Отмечаем свои наблюдения стрелочками. Обратите внимание, стрелочки относятся не к тому графику, который мы видим на чертеже, не к графику производной, а к графику исходной функции. Максимум функции может быть только в тех точках, левее которых функция возрастала, а правее стала убывать. Таким образом, кандидаты на ответ – точки максимума внутри отрезка: x = −7, x = 0, x = 7, x = 10.

Вернёмся к крайним точкам. Точка x = −8 находится на участке возрастания функции, поэтому во внутренних точках отрезка, расположенных правее её, значения функции будут больше. Точка x = 11 находится на участке убывания функции, и соответственно во внутренних точках отрезка, расположенных левее её, значения функции будут больше. Т.е. в крайних точках отрезка, наибольшего значения функция не достигает.

Итак, наибольшее значение функции может быть в одной из четырёх точек, но для однозначного ответа (ведь у нас I-я часть ЕГЭ) требуется выбрать одну из них. Для этого нужно вспомнить, что функция связана со своей производной через первообразную (неопределённый интеграл) (f(x) = int{f'(x)}dx + C), а она, в свою очередь, связана с площадью под кривой через определённый интеграл. Например, площадь под кривой на отрезке [2;7], отмеченную на рисунке светлозелёным цветом, можно вычислить по формуле (S = intlimits_2^7{f'(x)}dx = f(7) — f(2).)
Оценивая по клеточкам площади криволинейных трапеций между кривой и осью абсцисс на интервалах между точками экстремумов, мы можем прикинуть сколько единиц «теряет» функция на этом интервале, если участок отмечен знаком минус, и сколько «приобретает» там, где участок отмечен знаком «+».
Предположим, что наибольшее значение функции f(−7). Далее прибавляем и вычитаем примерные значения площадей, двигаясь к следующим точкам предполагаемого ответа слева направо. Как видно из рисунка, покрашенный участок имеет наибольшую площадь и соответственно добавит к значению функции больше, чем остальные, тем более, что часть из них с плюсом, другая с минусом, и они друг друга компенсируют. Таким образом, наибольшее значение функции будет достигнуто в точке x = 7.

Ответ:

Решение.

Постараемся решить, используя лишь классическое определение вероятности (P =dfrac{m}{n},) где (n -) общее число исходов, (m -) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Для этого рассмотрим, из каких трёх слагаемых может состоять число 6.

1) 6 = 1+2+3;
2) 6 = 2+2+2;
3) 6 = 4+1+1.

При трёхкратном бросании игральной кости вариант 1 может реализоваться 6-ю способами, т.к. очки могут выпадать в любом порядке: перестановки из 3-ёх элементов 3! = 6.
Вариант 2 может реализоваться только одним способом.
Вариант 3 реализуется 3-мя способами: 4 очка могут выпасть при первом, или при втором, или при третьем бросании.
Итого (n = 6+1+3 = 10.)

В первом варианте тройка присутствует по одному разу в каждом из 6-ти способов. Во втором и третьем вариантах тройки вообще нет.
Итого (m = 6.) [P =frac{m}{n} = frac{6}{10} = 0,6.]

Ответ: 0,6

Решение.

Эту задачу постараемся решить, используя лишь И/ИЛИ-правила (правила умножения/сложения вероятностей).

От долей населения в процентах перейдём к соответствующим вероятностям в десятичных дробях. (Это можно сделать, опираясь на такое доказа если в городе живёт N взрослых человек и 48% из них мужчины, то мужчин в городе живёт (dfrac{Ncdot48}{100},) тогда вероятность встретить взрослого мужчину составляет (dfrac{Ncdot48}{100cdot N} = dfrac{48}{100} = 0,48).)

Неизвестную вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером» обозначим x. А находить будем вероятность другого, более общего события «выбранный взрослый житель города является пенсионером». Это событие можно записать так:

«Житель города является пенсионером, если он мужчина И при этом пенсионер ИЛИ она женщина И при этом пенсионер».

Учитывая независимость и несовместимость событий (один человек не может быть одновременно женщиной и мужчиной, быть и не быть персионером), к «И» применяем правило умножения вероятностей, к «ИЛИ» — правило сложения вероятностей. Получим формулу для вероятностей

P(П) = P(М)·P(МП) + P(Ж)·P(ЖП).

В этой формуле введены такие обозначения

• Событие П — «Житель города является пенсионером». Вероятность этого события P(П) = 0,126 находим в условии задачи (пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения).
• Событие М — «Этот житель города является мужчиной». Вероятность этого события P(М) = 0,48 находим в условии задачи.
• Событие МП — «Выбранный мужчина является пенсионером». Вероятность этого события мы приняли за x
• Событие Ж — «Этот житель города является женщиной». Вероятность этого события P(Ж) = 1 − 0,48 = 0,52, так как оно противоположно событию «житель города мужчина».
• Событие ЖП — «Выбранная женщина является пенсионеркой». Вероятность этого события P(ЖП) = 0,15 находим в условии задачи (доля пенсионеров среди женщин равна 15%).

Получаем уравнение 0,126 = 0,48·x + 0,52·0,15,
из которого находим 0,48x = 0,126 − 0,52·0,15 = 0,048;
x = 0,048/0,48 = 0,1.

Ответ: 0,1.

Решение.

Пусть (z = a+ib), тогда [|z| = sqrt{a^2+b^2}; z-4 — 7i = (a-4) +(b-7)i; ;; |z-4 — 7i| = sqrt{(a-4)^2 +(b-7)^2};
z+4 — i = (a+4) +(b-1)i; ;; |z+4 — i| = sqrt{(a+4)^2 +(b-1)^2};
|z — 4 — 7i| = | z + 4 — i| ;; Leftrightarrow ;; sqrt{(a-4)^2 +(b-7)^2} = sqrt{(a+4)^2 +(b-1)^2}.]
Из последнего равенства следует ((a-4)^2 +(b-7)^2 = (a+4)^2 +(b-1)^2.)
Преобразуем это уравнение, чтобы выразить одну из неизвестных переменных через другую
[(a-4)^2 — (a+4)^2 = (b-1)^2 — (b-7)^2 ; (a-4 -a-4)(a-4 +a+4) = (b-1-b+7)(b-1+b-7); -8cdot2a = 6cdot(2b-8);
a = -frac{3(b-4)}{4}.] Теперь можем записать (|z|) как функцию одной переменной [|z| = sqrt{a^2+b^2} = sqrt{left( -frac{3(b-4)}{4} right)^2+b^2} = sqrt{frac{9(b-4)^2 + 16b^2}{16}.} ]
Теперь видно, что наименьшее значение (|z|) будет достигнуто при таких значениях (b), при которых выражение (9(b-4)^2 + 16b^2) минимально. Ищем минимум этого выражения через производную.
[(9(b-4)^2 + 16b^2)’ = 9cdot2(b-4)+16cdot2b = 18b — 72 + 32b = 0; 50b = 72; ;; b = 1,44; |z| = sqrt{frac{9(b-4)^2 + 16b^2}{16} } = sqrt{frac{9(1,44-4)^2 + 16(1,44)^2}{16}} = 2,4.]

Ответ: 2,4

Решение.

a) Решаем систему неравенств [begin{cases}8x^2+7>0; ;;(1)x^2+x+1>0; ;;(2)dfrac{x}{x+5}+7>0; ;;(3)
log_{11}{dfrac{8x^2+7}{x^2+x+1}} ge log_{11}{(dfrac{x}{x+5} +7)}, ;;(4)end{cases}]
где первые 3 неравенства следуют из ограниченности области определения логарифма, т.е. это ОДЗ выражения, а 4-е неравенство уже частично преобразованно с использованием свойства разности логарифмов с одинаковым основанием.

(1) (8x^2+7>0 ; Leftrightarrow ; x in (-infty;infty),) т.к. состоит из положительных слагаемых;

(2) (x^2+x+1>0; ; Leftrightarrow ; x in (-infty;infty),) т.к. дискриминант квадратного трёхчлена (D = 1^2-4cdot1cdot1 < 0) и ветви соответствующей параболы направлены вверх, т.е. у графика нет отрицательной части;

(3) Решаем методом интервалов [ frac{x}{x+5}+ ^{frac{x+5}}7>0; frac{8x+35}{x+5}>0;]

[ x in (-infty;-5)cup(-frac{35}{8};+infty).]

(4) Так как основание логарифма 11>1, то переходим от логарифмического наравенства к рациональному («отбраcываем логарифм») с сохранением знака неравенства [frac{8x^2+7}{x^2+x+1} ge frac{x}{x+5} +7].
Преобразуем и также решаем методом интервалов
[frac{8x^2+7}{x^2+x+1} — frac{x}{x+5}-7 ge 0; frac{(8x^2+7)(x+5) -x(x^2+x+1) -7(x^2+x+1)(x+5)}{(x^2+x+1)(x+5)} ge 0;
frac{-3x^2-36x}{(x^2+x+1)(x+5)} ge 0; frac{-3x(x+12)}{(x^2+x+1)(x+5)} ge 0;]

[ x in (-infty;-12]cup(-5;0].]

Чтобы завершить решение системы пересекаем все полученные множества. Фактически, это потребуется только для пунктов (3) и (4), потому что в (1) и (2) вся числовая ось.

Итак, ответ на задание пункта a) виден из рисунка

Ответ a) ( x in ( — infty ; — 12];left( — dfrac{35} {8};0 right]. ).

б) Квадратный корень имеет ограниченную область определения, поэтому иррациональное уравнение надо начинать решать с ОДЗ, т.е. с анализа подкоренных выражений. В данном случае замечаем, что оба квадратных трёхчлена образуют полные квадраты, поэтому область допустимых значений выражения (x in R).
Преобразуем уравнение [sqrt{x^2+28x+196}+sqrt{x^2 +8x+16} =10, sqrt{x^2+2cdot14cdot{x} + 14^2}+sqrt{x^2 +2cdot4cdot{x} + 4^2} =10, sqrt{(x+14)^2}+sqrt{(x+4)^2} =10, |x+14|+|x+4| =10.]
Уравнение свелось к сумме модулей по определению арифметического квадратного корня. Нужно определить знаки постоянства подмодульных выражений, чтобы упростить уравнение дальше.[|x+14|+|x+4| ; Leftrightarrow ;; left[ begin{array} {l}
-(x+14)-(x+4),text{ при } x le -14; (x+14)-(x+4),text{ при } -14 < x < -4; (x+14)+(x+4),text{ при } x ge -4. end{array} right.] Таким образом, наше уравнение будет равносильно совокупности
[ left[ begin{array} {l} -2x-18 = 10,text{ при } x le -14; 10 = 10,text{ при } -14 < x < -4; 2x+18 = 10,text{ при } x ge -4.end{array} right.] Корни первого и третьего уравнений (x= -14) и (x = -4) являются границами интервала, на котором уравнение выродилось в тождество. Таким образом, оно верно для всех точек отрезка [−14;−4].

Ответ б) ( x in [-14;-4]).

в) Чтобы решить систему, представленную в последнем пункте задания достаточно пересечь множества из предыдущих двух ответов.

Как видно из рисунка, решением этой системы будут промежутки [−14;−12] и (left( -dfrac{35}{8};-4 right].)

Ответ в) ( x in [-14;-12]cup left( — dfrac{35}{8};-4 right]).

Задание 1

Найдите корень уравнения $$9^{2x+5}=3,24cdot 5^{2x+5}$$

Ответ: -1,5

Задание 2

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос по теме «Площадь», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Ответ: 0,55

Задание 3

В тупоугольном треугольнике АВС известно, что АС=ВС, высота АН равна 3, $$CH=sqrt{7}$$. Найдите синус угла АСВ.

Ответ: 0,75

Задание 4

Найдите значение выражения $$frac{4cos 121^{circ}}{cos 59^{circ}}$$

Ответ: -4

Задание 5

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $$sqrt{3}$$, а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 24

Задание 6

Ответ: 4

Задание 7

При температуре 0°C рельс имеет длину l=15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $$l(t_{0})=l_{0}(1+alphacdot t^{circ})$$, где $$alpha=1,2cdot 10^{-5}$$(^оС)^-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,2 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 40

Задание 8

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 135 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 9 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 13,5

Задание 9

Ответ: -23

Задание 10

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 25% этих стёкол, вторая — 75%. Первая фабрика выпускает 5 % бракованных стёкол, а вторая — 1 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ: 0,02

Задание 11

Найдите точку минимума функции $$y=frac{4}{3}xsqrt{x}-5x+4$$

Ответ: 6,25

Задание 12

Ответ: а)$$frac{pi}{2}+pi k;frac{pi}{4}+frac{pi n}{2}$$ б)$$frac{9pi}{2};frac{19pi}{4};frac{21pi}{4};frac{11pi}{2}$$

Задание 13

Ответ: 150

Задание 14

Решите неравенство $$(25^{x}-4cdot 5^{x})+8cdot 5^{x}<2cdot 25^{x}+15$$

Ответ: $$(-infty;0);(log_{5}3;1)$$

Задание 15

Ответ: 750 тыс. руб.

Задание 16

Ответ: $$frac{25sqrt{39}}{64}$$

Задание 17

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$|x^{2}-a^{2}|=|x+a|sqrt{x^{2}-5ax+4a}$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$a<-2;-2<a<-frac{2}{3};a>0$$

Задание 18

Ответ: а) да б) нет в) 85