Есть ли логарифмы в егэ профиль

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

Некоторые свойства логарифмов

Логарифмические уравнения

После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо проверить условие: подлогарифмическое выражение должно быть больше $0$.

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

1. Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$

2. Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:

${table f(x)=g(x); f(x)>0; g(x)>0;$

3. Уравнения квадратного вида ${log_a^2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Как решать логарифмические уравнения

Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, зависящего от (х), называются логарифмическими.

Давайте сразу же рассмотрим пример, так будет легче всего разобраться.

Пример 1
$$ log_{2}(x)=log_{2}(5)$$

Мы видим слева и справа логарифмы с одинаковыми основаниями, равными (2). Вполне логично предположить, что логарифмы будут равны, если будут равны выражения, стоящие под логарифмом (их называют аргументами) — то есть (х=5). Мы только что решили логарифмическое уравнение!

На самом деле, абсолютно такая же логика применима при решении почти всех логарифмических уравнений — если у нас сравниваются два логарифма с одинаковыми основаниями, то мы можем избавиться от логарифмов, приравнять их аргументы и решить получившееся уравнение.

Пример 2
$$ log_{3}(2x+5)=log_{3}(11) $$

Опять имеем два логарифма с одинаковым основанием (3). Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:

$$ 2x+5=11,$$
$$ 2x=6,$$
$$ x=3.$$

Кажется, что все очень просто. Но есть несколько непростых нюансов, которые необходимо обсудить. Давайте посмотрим еще один пример:

Пример 3
$$ log_{2}(1+3x)=log_{2}(2x-3) $$

Смотрим на основания — они одинаковые, значит убираем логарифмы и решаем уравнение:

$$1+3x=2x-3,$$
$$3x-2x=-3-1,$$
$$x=-4.$$

Мы решили уравнение, но я хочу позанудствовать и проверить, действительно ли получившийся корень является корнем исходного уравнения. Для этого подставим его в логарифмическое уравнение:

$$ log_{2}(1+3*(-4))=log_{2}(2*(-4)-3),$$
$$log_{2}(-11)=log_{2}(-11).$$

Мы получили слева и справа два одинаковых логарифма, вот только эти логарифмы НЕ СУЩЕСТВУЮТ, потому что нельзя взять логарифм от отрицательного числа.

Действительно, давайте вспомним определение логарифма (log_{a}b) — это в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b). При этом определение справедливо не для всех (a) и (b), а только для (a>0), (b>0), (a neq 1). Подробнее про логарифм и его свойства можно почитать здесь.

Значит, с нашим решением что-то не так — мы нашли корень, подставили его в уравнение, но получили логарифм от отрицательного числа, который не существует!

Тут самое время вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ). В логарифмах нужно всегда внимательно следить за тем, чтобы не нарушались ограничения, которые вытекают из определения логарифма. Рассмотрим логарифм от некоторой функции:

$$log_{a}f(x)$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для него будет задаваться системой неравенств:

$$ begin{cases}
f(x)>0, \
a>0, \
a neq 1.
end{cases}$$

И при решении любых логарифмических уравнений или неравенств всегда первым делом записываем ОДЗ для каждого логарифма в уравнении.
В нашем примере 3, ОДЗ будет выглядеть вот так:

$$ begin{cases}
1+3x>0, \
2x-3>0. \
end{cases}$$

Решаем получившуюся систему

$$ begin{cases}
x>-frac{1}{3}, \
x>frac{3}{2}. \
end{cases}$$

Находим (х), удовлетворяющие одновременно обоим неравенствам, и получаем в итоге ОДЗ:
$$x>frac{3}{2}.$$

Вспоминаем, что решая это уравнение мы получили корень (x=-4), который нашему ОДЗ не удовлетворяет. Поэтому в примере 3 корней нет.

И так, всегда пишем ОДЗ!

Следующая трудность при решении логарифмических уравнений возникает, когда у нас сравниваются логарифмы с разными основаниями:

Пример 4
$$ log_{2}(x)=log_{4}(9).$$

Запишем ОДЗ: (x>0).

У логарифма слева основание (2), а у логарифма справа основание (4). Чтобы воспользоваться способом решения, аналогичным первым трем примерам, необходимо привести логарифмы к одинаковому основанию.

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ого, как я такое получил?
Просто воспользовался формулой возведения в степень основания и аргумента логарифма — если возвести в одинаковую степень, то логарифм от этого не поменяется:

$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n).$$

В нашем примере возведем основание и аргумент в степень (frac{1}{2}):

$$ log_{4}(9)=log_{4^{frac{1}{2}}}(9^{frac{1}{2}})=log_{2}(3).$$

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ну теперь основании у логарифмов одинаковые и можно с чистым сердцем приравнять аргументы, как мы делали до этого.
$$x=3.$$

Кстати, решить уравнение (log_{2}(x)=log_{4}(9))
можно было и по-другому — привести к основанию (4) логарифм, стоящий слева в уравнении:

Опять воспользуемся свойством логарифма:
$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n);$$
$$log_{2}(x)=log_{2^2}(x^2)=log_{4}(x^2);$$
Подставим в исходное уравнение наши преобразования:
$$ log_{4}(x^2)=log_{4}(9);$$
Ура, у нас слева и справа логарифмы с одинаковым основанием — вычеркиваем логарифмы:
$$x^2=9;$$
Решаем аккуратно простейшее квадратное уравнение. Не забываем, что у него будет 2 корня!
$$x=pm3;$$

Опа, у нас получилось два корня. А когда мы решали первым способом был один корень! Что за дела?

Вспоминаем, что в самом начале к уравнению мы записывали ОДЗ (х>0). Тогда корень (x=-3) не удовлетворяет ОДЗ. Обратите внимание, что без учета ОДЗ в этом случае, мы бы получили неправильный ответ.

Ответ: (x=3.)

Подробнее про свойства логарифмов можно посмотреть тут. Логарифмические уравнения с разными основаниями встречаются в ЕГЭ регулярно, поэтому важно уметь применять все свойства логарифмов.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 5
$$log_{5}(x)=2$$

Как видим, в примере есть только логарифм в левой части равенства, а справа стоит просто число 2. Давайте постараемся привести к такому же виду, как и в прошлых примерах. То есть сделаем так, чтобы справа появился логарифм с основанием 5.

Оказывается, любое число (a) можно представить в виде логарифма с нужным вам основанием (b) по формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
Эту формулу можно просто запомнить. А въедливым читателям, я бы рекомендовал посидеть и подумать откуда берется данное выражение. Подсказка — оно напрямую вытекает из определения логарифма. Задайте себе вопрос — «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?»

И так, воспользуемся формулой и распишем 2-ку:
$$2=log_{5}(5^2);$$
Подставим в уравнение:
$$log_{5}(x)=log_{5}(5^2);$$
Ура, у нас два логарифма с одинаковыми основаниями, теперь можно приравнять подлогарифмические выражения.
$$x=5^2;$$
$$x=25.$$

Пример 6
$$log_{3}(x+2)=0$$

Начинаем с ОДЗ:
$$x+2>0;$$
$$x>-2.$$

Приступаем к решению уравнения. Что делать в случае, когда справа стоит (0)? Ничего страшного в этом нет, действуем по прежнему плану — представим (0) в виде логарифма по нашей формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(3^0);$$
Вспоминаем, что любое число в нулевой степени это единица.
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(1);$$
$$x+2=1;$$
$$x=-1.$$
Корень удовлетворяет ОДЗ — записываем ответ.
Ответ: (x=-1).

Подведем итоги. В большинстве случаев, для того, чтобы решить простейшее логарифмическое уравнение, необходимо привести логарифмы слева и справа к одинаковому основанию. Затем приравнять подлогарифмические выражения и решить получившееся уравнения. При этом ни в коем случае не забываем про ОДЗ. На ЕГЭ, если вы вдруг запишите в ответ хотя бы один корень, не удовлетворяющий ОДЗ, то вам поставят за это задание 0 баллов.

В общем виде формула для решения логарифмов выглядит так:
$$ log_{a}(f(x))=log_{a}(g(x)) qquad (*)$$
где (a>0) — основание логарифмов, а (f(x)) и (g(x)) — какие-то выражения, зависящие от (x).
$$ begin{cases}
f(x)>0, или \
g(x)>0. \
end{cases}$$
$$f(x)=g(x).$$

Обратите внимание на «или» в ОДЗ. Оказывается можно накладывать условие больше нуля только на одную функцию: либо на f(x), либо на g(x) — смотря какое неравенство вам кажется легче для решения. Дело в том, что если одна из функций будет больше нуля, то и другая автоматически тоже будет будет больше, ведь мы ищем корни, при которых (f(x)=g(x)).

Для того, чтобы закрепить материал, решим еще одно логарифмическое уравнение:

Пример 7
$$2*log_{4}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$

Здесь все несколько сложнее, чем в предыдущих примерах. Для того чтобы представить наше уравнение в виде (*), нужно избавиться от множителя (2) перед первым логарифмом, кроме этого, нам мешается отдельное слагаемое (4), и в придачу ко всем этим неприятностям у логарифмов разные основания!

Но перед тем как решать, запишем ОДЗ:
$$ begin{cases}
4+x>0, \
x-2>0. \
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>-4, \
x>2. \
end{cases}$$

Находим пересечение и в итоге ОДЗ получается:
$$ x>2.$$

Приступаем непосредственно к решению уравнения. Самое главное, нам необходимо привести все логарифмы к одинаковому основанию, и, по возможности, привести к виду (log_{a}f(x)=log_{a}g(x)).
Здесь не обойтись без свойств логарифмов.
Воспользуемся формулой вынесения степени из основания логарифма:
$$log_{a^n}(b)=frac{1}{n}*log_{a}(b)$$
$$log_{4}(4+x)=log_{2^2}(4+x)=frac{1}{2}*log_{2}(4+x)$$

Подставим в уравнение
$$2*frac{1}{2}*log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
$$log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
Теперь у нас хотя бы логарифмы с одинаковым основанием. Далее преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись формулами:
$$ a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{a}(b)-log_{a}(c)=log_{a}(frac{b}{c})$$
$$4-log_{2}(x-2)=log_{2}(2^4)-log_{2}(2-x)=log_{2}(16)-log_{2}(2-x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$
Подставим получившееся выражение в уравнение:
$$log_{2}(4+x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$

Ура, теперь у нас слева и справа в уравнении логарифмы с одинаковым основанием (2).
Избавляемся от логарифмов и решаем:
$$4+x=frac{16}{x-2};$$
Перекинем все налево и приведем к общему знаменателю
$$4+x-frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{(4+x)(x-2)}{x-2}—frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{4x-8+x^2-2x–16}{x-2}=0;$$
$$frac{x^2+2x-24}{x-2}=0;$$
Дробь равна 0, когда числитель равен 0
$$x^2+2x-24=0;$$
$$D=(2^2-4*(-24)=4+96=100;$$
$${x}_{1,2}=frac{-2pm 10}{2};$$
$${x}_{1}=4;$$
$${x}_{2}=-6;$$
Мы получили два корня. Но не забываем про ОДЗ. Выше мы его посчитали и получилось, что (x>2). Значит второй корень не подходит.
Ответ: (x=4).

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Рассмотри теперь уравнение, в котором есть, так называемый, логарифм с переменным основанием. То есть логарифм, у которого в основании стоит какое-то выражение, зависящее от (х).

Пример 8
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=1;$$

В основании логарифма стоит ((1-х)), это переменное основание, потому что я могу подставлять различные значения (х) и каждый раз основание логарифма будет разным. Ничего страшного в этом нет, начинаем решать, руководствуясь тем же принципом, что и в предыдущих примерах — стараемся привести обе части уравнения к виду двух логарифмов с одинаковым основанием. Для этого нужно представить (1) справа в виде логарифма с основанием ((1-х)).

Но первым делом выпишем ОДЗ, не забывая накладывать условия и на основание логарифма, так как оно зависит от (х):
$$ begin{cases}
x^2+3x+1>0, \
1-x>0, \
1-xneq1.\
end{cases} qquad (**)$$

Теперь приступаем к решению самого уравнения. Выпишем еще раз формулу, по которой преобразуем правую часть:

$$a=log_{b}(b^a);$$
Где (а=1), а (b=1-x):
$$1=log_{1-x}(1-x)^1=log_{1-x}(1-x);$$
Подставим в уравнение
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=log_{1-x}(1-x);$$

Два логарифма с одинаковым основанием — можем приравнять аргументы:
$$x^2+3x+1=1-x;$$
$$x^2+4x=0;$$
$$x(x+4)=0;$$
$$x=0;$$
$$x=-4.$$
Получили два корня, проверим удовлетворяют ли они ОДЗ, подставив их в (**). Корень (0) не удовлетворяет последнему неравенству в ОДЗ, а ((-4)) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: x=-4.

Замена переменной в уравнениях с логарифмами

Разберем еще один частый тип логарифмических уравнений — это уравнения с заменой переменной. Общий принцип заключается в том, чтобы привести все логарифмы в уравнении к одинаковому основанию и одинаковому аргументу, а потом сделать замену.

Проще разобрать на примерах:

Пример 9

$$log^2_{2}(x)+6=5*log_{2}(x)$$

Как и любой пример на логарифмы, начинаем с ОДЗ:

$$x>0.$$

В уравнении один из логарифмов в квадрате, поэтому представить в виде равенства двух логарифмов, как мы делали в предыдущих примерах, не получится. Кроме этого, замечаем, что у нас оба логарифма абсолютно одинаковые (у них одинаковые основания, и одинаковые аргументы).

Попробуем сделать замену:
$$t=log_{2}(x)$$
Тогда наше уравнение после замены примет вид:
$$t^2-5t+6=0;$$
$$D=25-24=1;$$
$$t_{1}=frac{5+1}{2}=3;$$
$$t_{2}=frac{5-1}{2}=1;$$
И сделаем обратную замену, получив два простых логарифмических уравнения:
$$t_{1}=log_{2}(x)=3;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^3);$$
$$x=8.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
Обязательно, не забываем проверить, удовлетворяют ли корни ОДЗ ((x>0)). Оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=8; , x=2.)

Пример 10
$$ log_{2}left(frac{8}{x}right)-frac{10}{log_{2}(16x)} = 0;$$

Как обычно, начинаем с ОДЗ:
$$ begin{cases}
frac{8}{x}>0, \
log_{2}(16x)neq0,\
16x>0.\
end{cases}$$

Решаем каждое из получившихся неравенств в системе:
$$ begin{cases}
x>0, \
xneqfrac{1}{16},\
x>0.\
end{cases}$$
В итоге ОДЗ будет: (xin(0;frac{1}{16})cup(frac{1}{16};infty)).

Посмотрим теперь на сам пример. Видим два логарифма, у них одинаковые основания, что хорошо. Но функции, стоящие под логарифмами, разные. Постараемся при помощи свойств логарифма сделать одинаковые аргументы, чтобы потом сделать замену.

Воспользуемся формулами суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями:
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}(frac{b}{c})=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}left(frac{8}{x}right)=log_{2}(8)-log_{2}(x)=3-log_{2}(x);$$
$$log_{2}(16x)=log_{2}(16)+log_{2}(x)=4+log_{2}(x);$$
Подставим наши преобразования в исходное уравнение
$$3-log_{2}(x)-frac{10}{4+log_{2}(x)}=0;$$
Теперь в уравнении все логарифмы одинаковые, модем сделать замену. Пусть (t=log_{2}(x)).
$$3-t-frac{10}{4+t}=0;$$
Приводим к общему знаменателю
$$frac{(3-t)(4+t)-10}{4+t}=0;$$
$$frac{-t^2-t+2}{4+t}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-t^2-t+2=0;$$
$$t_{1}=1;$$
$$t_{2}=-2;$$
Делаем обратную замену:
$$t_{1}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=-2;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}({2}^{-2});$$
$$x=frac{1}{4}.$$
Сверяем с ОДЗ, видим, что оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=2; , x=frac{1}{4}.)

Пример 11
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{0,5}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4)$$

Область допустимых значений:
$$ begin{cases}
x^2+4x>0, \
x^2+3x-4>0,\
x>0.\
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x(x+4)>0, \
x>0,\
(x-1)(x+4)>0.\
end{cases}$$

Зеденым цветом показано решение первого неравенства в системе, синим — второго и фиолетовым третьего. Область, которая находится на пересечении сразу всех трех промежутков заштрихована бордовым.

Решаем методом интервалов, и находим пересечение решений всех неравенств в системе:

В итоге получаем ОДЗ: (x>1).

Приступаем к решению самого уравнения. Первым делом приведем все логарифмы к одинаковому основанию (2). Для этого нужно преобразовать только второе слагаемое в уравнении:
$$0,5=frac{1}{2}=2^{-1};$$
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{2^{-1}}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
Вынесем степень из основания, воспользовавшись формулой (log_{a^n}(b)=frac{1}{n}log_{a}(b)).
$$log_{2}(x^2+4x)-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
В первом слагаемом под логарифмом вынесем общий множитель (х). А квадратный многочлен под логарифмом справа разложим на множители при помощи дискриминанта:
$$log_{2}(x(x+4))-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}((x-1)(x+4));$$
И опять воспользуемся формулами суммыразности логарифмов:

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}left(frac{b}{c}right)=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}(x)+log_{2}(x+4)-log_{2}(x)+log_{2}(4)+2=log_{2}(x-1)+log_{2}(x+4);$$
Сократим подобные слагаемые и посчитаем (log_{2}(4)=2):
$$4=log_{2}(x-1);$$
$$log_{2}(x-1)=4;$$
$$log_{2}(x-1)=log_{2}(2^4);$$
$$x-1=16;$$
$$x=17.$$
Сверяем корень с ОДЗ — подходит. Записываем ответ.
Ответ: (x=17).