Есть ли производная в базовом экзамене по математике

Каталог заданий.
Применение производной к исследованию функций

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

---

Графики функций

---

В задании №13 ЕГЭ по математике базового уровня придется продемонстрировать умения и знания одного из понятий поведения функции: производных в точке или скоростей возрастания или убывания. Теория к этому заданию будет добавлена чуть позже, но это не помешает нам подробно разобрать несколько типовых вариантов.

---

Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 14МБ1

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ: А) 0 – 1 мин. Б) 1 – 3 мин. В) 3 – 6 мин. Г) 8 – 10 мин.

ХАРАКТЕРИСТИКИ: самый медленный рост температуры температура падала температура находилась в пределах от 40°С до 80°С температура не превышала 30°С.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

[/su_note]

Алгоритм выполнения:

1. Выбрать интервал времени, на котором температура падала.
2. Приложить линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
3. С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.
4. Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.

Решение:

Выберем интервал времени, на котором температура падала. Этот участок видно не вооруженным глазом, он начинается в 8 мин от момента запуска двигателя.

Г – 2

Приложим линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.

Ниже линейки окажется участок, соответствующий интервалу времени 0 – 1 мин.

А – 4

С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.

Опустим из точек, соответствующих 40°С и 80°С перпендикуляры на график, а из полученных точек опустим перпендикуляры на ось времени.

Видим, что этому температурному интервалу соответствует интервал времени 3 – 6,5 мин. То есть из приведенных в условии 3 – 6 мин.

В – 3

Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.

Б – 1

Ответ:

А – 4

Б – 1

В – 3

Г – 2

---

Вариант 14МБ2

[su_note note_color=”#defae6″]

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

[/su_note]

Алгоритм выполнения для каждой из функций:

1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.

Решение:

Проанализируем график функции А. Если Функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. В точке максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 3.

А – 3

Проанализируем график функции Б.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 4. Точка максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

Б – 4

Проанализируем график функции В.

Сначала функция В возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. Точка максимума функции x = 1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

В – 2

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 1.

Г – 1

А – 3

Б – 4

В – 2

Г – 1

Ответ: 3421.

---

Вариант 14МБ3

[su_note note_color=”#defae6″]

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

[/su_note]

Алгоритм выполнения для каждой из функций:

1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.

Решение:

Проанализируем график функции А.

Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 3 и 4. В точке максимума функции x=0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

А – 4

Проанализируем график функции Б.

Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x=-1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

Б – 2

Проанализируем график функции В.

Сначала функция В убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x = 0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 1.

В – 1

Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 3.

Г – 3

А – 4

Б – 2

В – 1

Г – 3

Ответ: 4213.

---

Вариант 14МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображен график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D. В правом столбце указаны значения производной в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ
А
В
С
D

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

[/su_note]

Вспомним, что означает производная, а именно ее значение в точке – значение функции производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициенту) касательной.

В ответах у нас есть два положительных, и два отрицательных варианта. Как мы помним, если коэффициент прямой (графика y = kx+ b) положительный – то прямая возрастает, если же он отрицательный – то прямая убывает.

Возрастающих прямых у нас две – в точке A и D. Теперь вспомним, что же означает значение коэффициента k?

Коэффициент k показывает, насколько быстро возрастает или убывает функция (на самом деле коэффициент k сам является производной функции y = kx+ b).

Поэтому k = 2/3 соответствует более пологой прямой – D, а  k = 3 – A.

Аналогично и в случае с отрицательными значениями: точке B соответствует более крутая прямая с k = – 4, а точке С – -1/2.

---

Вариант 14МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показаны объемы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж обогревателей.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Анализируем части графика, соответствующие разным временам года. Формулируем ситуации, отображенные на графике. Находим для них наиболее подходящие варианты ответов.

Решение:

Зимой кол-во продаж превысило 120 шт./мес., причем оно все время увеличивалось. Эта ситуация соответствует варианту ответа №3. Т.е. получаем: А–3.

Весной продажи постепенно упали со 120 обогревателей за месяц до 50. Наиболее приближенным к этой формулировке является вариант №2. Имеем: Б–2.

Летом кол-во продаж не менялась и была минимальной. 2-я часть этой формулировки не отражена в ответах, а для первой подходит только №4. Отсюда имеем: В–4.

Осенью продажи росли, однако их кол-во ни в одном из месяцев не превысило 100 штук. Эта ситуация описана в варианте №1. Получаем: Г–1.

---

Вариант 14МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной – время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем цену деления на горизонтальной и на вертикальной шкале.
2. Анализируем по очереди предложенные утверждения 1–4 из правой колонки («Характеристики»). Сопоставляем их с временными интервалами из левой колонки таблицы, находим пары «буква–число» для ответа.

Решение:

Цена деления горизонтальной шкалы составляет 1 с, вертикальной – 20 км/ч.

Далее анализируем характеристики, данные в правой колонке таблицы.

1. Когда автобус делает остановку, его скорость равна 0. Нулевую скорость в течение 2 минут подряд автобус имел только с 9-й по 11-ю минуту. Это время попадает в интервал 8–12 мин. Значит, имеем пару для ответа: Б–1.
2. Скорость 20 км/ч и больше автобус имел в течение нескольких временных промежутков. Причем вариант А здесь не подходит, т.к., к примеру, на 7-й минуте скорость составляла 60 км/ч, вариант Б – потому что он уже применен, вариант Г – потому что в начале и конце промежутка автобус имел нулевую скорость. В данном случае подходит вариант В (12–16 мин); на этом промежутке автобус начинает движение со скоростью 40 км/ч, далее ускоряется до 100 км/м и потом постепенно снижает скорость до 20 км/ч. Итак, имеем: В–2.
3. Здесь установлено ограничение для скорости. При этом варианты Б и В мы не рассматриваем. Оставшиеся же интервалы А и Г подходят оба. Поэтому правильно будет рассмотреть сначала 4-й вариант, а потом снова вернуться в 3-му.
4. Из двух оставшихся интервалов для характеристики №4 подходит только 4–8 мин, поскольку на этом промежутке остановка была (на 6-й минуте). На промежутке 18–22 мин остановок не было. Получаем: А–4. Отсюда следует, что для характеристики №3 нужно взять интервал Г, т.е. получается пара Г–3.

---

Вариант 14МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показан прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – прирост населения в процентах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику прироста населения Китая в этот период.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Определяем цену деления вертикальной шкалы рисунка. Находится она как разница пары соседних значений шкалы, деленная на 2 (т.к. между двумя соседними значениями имеется 2 деления).
2. Анализируем последовательно приведенные в условии характеристики 1–4 (левая табличная колонка). Сопоставляем каждую из них с конкретным периодом времени (правая табличная колонка).

Решение:

Цена деления вертикальной шкалы составляет 0,01%.

1. Падение прироста непрерывно продолжалось с 2004 по 2010 год. В 2010–2011 годах прирост был стабильно минимальным, и начиная с 2012 года оно начал увеличиваться. Т.е. остановка прироста произошла в 2010 году. Этот год находится в периоде 2009–2011 гг. Соответственно, имеем: В–1.
2. Наибольшим падением прироста следует считать самую «круто» падающую линию графика на рисунке. Она приходится на период 2006–2007 гг. и составляет 0,04%, за год (0,59–0,56=0,04% в 2006 г. и 0,56–0,52=0,04% в 2007 г.). Отсюда получаем: А–2.
3. Указанный в характеристике №3 прирост начался с 2007 года, продолжился в 2008 г. и завершился в 2009 году. Это соответствует периоду времени Б, т.е. имеем: Б–3.
4. Прирост населения начал увеличиваться после 2011 г., т.е. в 2012–2013 гг. Поэтому получаем: Г–4.

---

Вариант 14МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами А,В,С и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Рассматриваем пару касательных, имеющих острый угол с положит.направлением оси абсцисс. Сравниваем их, находим соответствие среди пары соответствующих значений производных.
2. Рассматриваем пару касательных, образующих с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. Сравниваем их по модулю, определяем соответствие их значениям производных среди двух оставшихся в правой колонке.

Решение:

Острый угол с положит.направлением оси абсцисс образуют производные в т.В и т.С. Эти производные имеют положит.значения. Поэтому выбирать тут следует между значениями №№1 и 3. Применяя правило о том, что если угол меньше 45⁰, то производная меньше 1, а если больше, то больше 1, делаем вывод: в т.В производная по модулю больше 1, в т.С – меньше 1. Это означает, что можно составить пары для ответа: В–3 и С–1.

Производные в т.А и т.D образуют с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. И тут применяем то же правило, немного перефразировав его: чем больше касательная в точке «прижата» к линии оси абсцисс (к отрицат. ее направлению), тем больше она по модулю. Тогда получаем: производная в т.А по модулю меньше, чем производная в т.D. Отсюда имеем пары для ответа: А–2 и D–4.

---

Вариант 14МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Анализируем последовательно характеристики 1–4 (правая колонка), используя график на рисунке. Ставим каждой из них в соответствие конкретный временной период (левая колонка).

Решение:

1. Рост температуры наблюдался только в конце периода 22–28 января. Здесь 27 и 28 числа она повышалась соответственно на 1 и на 2 градуса. В конце периода 1–7 января температура была стабильной (–10 градусов), в конце 8–14 и 15–21 января понижалась (с –1 до –2 и с –11 до –12 градусов соответственно). Поэтому получаем: Г–1.
2. Поскольку каждый временной период охватывает 7 дней, то анализировать нужно температуру, начиная с 4-го дня каждого периода. Неизменной в течение 3–4 дней температура была только с 4 по 7 января. Поэтому получаем ответ: А–2.
3. Месячный минимум температуры наблюдался 17 января. Это число входит в период 15–21 января. Отсюда имеем пару: В–3.
4. Температурный максимум пришелся 10 января и составил +1 градус. Эта дата попадает в период 8–14 января. Значит, имеем: Б–4.

---

Вариант 14МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки А, В, С и D на оси Ох..

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и ее производной

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Значение функции в точке положительно, если эта точка расположена выше оси Ох.
2. Производная в точке больше нуля, если касательная к этой точке образует острый угол с положительным направлением оси Ох.

Решение:

Точка А. Она находится ниже оси Ох, значит значение функции в ней отрицательно. Если провести в ней касательную, то угол между нею и положит.направлением Ох составит около 90⁰, т.е. образует острый угол. Значит, в данном случае подходит характеристика №3. Т.е. имеем: А–3.

Точка Б. Она находится над осью Ох, т.е. точка имеет положит.значение функции. Касательная в этой точке будет довольно близко «прилегать» к оси абсцисс, образуя тупой угол (немногим меньше 180⁰) с положительным ее направлением. Соответственно, производная в этой точке отрицательна. Т.о., здесь подходит характеристика 1. Получаем ответ: В–1.

Точка С. Точка расположена ниже оси Ох, касательная в ней образует большой тупой угол с положит.направлением оси абсцисс. Т.е. в т.С значение и функции, и производной отрицательно, что соответствует характеристике №2. Ответ: С–2.

Точка D. Точка находится выше оси Ох, а касательная в ней образует с положит.направлением оси острый угол. Это говорит о том, что как значение функции, так и значение производной здесь больше нуля. Ответ: D–4.

---

Вариант 14МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показаны объемы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных холодильников. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж холодильников.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. При необходимости найти кол-во холодильников за тот или иной период нужно определять их сумму за три месяца.
2. Анализировать следует характеристики 1–4 (правая колонка), находя для каждой из них соответствие в виде временного периода (левая колонка).

Решение:

Анализируем характеристики:

1. Меньше всего холодильников продано в начале и в конце года. Поэтому рассмотрим периоды январь–март и октябрь–декабрь. В январе–марте было продано примерно 250+250+300=800 холодильников, в октябре–декабре – примерно 350+200+100=650. Значит, здесь подходит все-таки последний период. Ответ: Г–1.
2. Длительный рост продаж наблюдался с апреля по июль. Это время охватывает полностью период апрель–июнь и захватывает начало следующего. Поэтому получаем: Б–2.
3. Тут тоже требуется найти сумму проданных единиц за целые периоды. Для 1-го и последнего периода она уже найдена (см.п.1). Считаем для 2-го и 3-го, получаем: 300+400+600=1300 – в апреле–июне, примерно 650+600+550=1800 – в июле–сентябре. К требуемым 800 холодильникам максимально приближен объем продаж в январе–марте. Поэтому имеем: А–3.
4. Одинаковое падение объема продаж означает, что разница между кол-вом проданных холодильников должна быть одинаковой. Падение продаж наблюдалось, начиная с конца июля. В августе падение составило 650–600=50 штук, в сентябре – 600–550=50 штук. Далее, в октябре, разница составила уже 550–350=200 холодильников, в ноябре 350–200=150, в декабре 200–100=100. Т.о., подходит в данном случаем период июль–сентябрь. Ответ: В–4.

---

Вариант 14МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

На рисунке точками показан годовой объем добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – объем добычи угля в миллионах тонн. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов характеристику добычи угля в этот период.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Точки, которые не приходятся на точные значения шкалы вертикальной оси, определяем приблизительно.
2. Анализируем по очереди приведенные (в правом столбце) характеристики, используя данный график. Определяем соответствие каждой из них конкретного временного периода.

Решение:

Анализируем характеристики:

1. Объем добычи меньше 190 млн т приходился на период с 2001 года по 2005 год. Затем спад добычи зафиксирован в 2009 году, но один год не составляет периода. 2001–2005 годы полностью попадают в период А (2002–2004 гг.). Поэтому получаем ответ: А–1.
2. Такая формулировка «объем… сначала уменьшался, а затем начал расти» соответствует 2 периодам – 2002–2003 гг. и 2009–2010 гг. Но т.к. первый из этих периодов уже взят в качестве ответа, то правильно здесь использовать пару Г–2.
3. Ситуация, описанная в 3-й характеристике, наиболее точно отображена в периоде 2006–2008 гг. Именно в это время добыча сначала понемногу увеличивалась (примерно с 190 млн т до 210), а потом резко возросла до 250 млн т. Т.е. подходящий ответ здесь: 2006–2008 гг. и, соответственно, имеем: В–3.
4. Медленный рост следует искать в период, когда линия графика имеет наиболее пологий вид. Это: 2004–2006 год, что соответствует периоду Б, т.е. получаем: Б–4.

---

Вариант 14МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику температуры.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Анализируем сначала очередную характеристику, а затем сопоставляем ее с конкретным временным интервалом.

Решение:

1. Выше 60⁰ температура была с 4-й по 7-ю минуту. Поэтому здесь нужно взять интервал 4–6 мин. Получаем: В–1.
2. Температура падала только после 7-й минуты. Соответственно, тут подходит интервал 7–9 мин. Ответ: Г–2.
3. Самый быстрый рост температуры происходил там, где график имеет наиболее «крутой» вертикальный подъем. Это имеет место только в 1-ю минуту нагревания. Т.е. подходящим интервалом является 0–1 мин. Ответ: А–3.
4. В пределах 40–50 ⁰С температура имела место, начиная со 2-й по 3-ю минуту. Значит, нужно выбрать интервал 2–3мин. Ответ: Б–4.

---

Вариант 14МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях. На горизонтальной оси отмечено время (в минутах), прошедшее с начала выступления гимнаста, на вертикальной оси – частота пульса (в ударах в минуту).

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику пульса гимнаста на этом интервале.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Для анализа характеристики нужно использовать только 1-ю половину графика.
2. Для точек графика, которые не попадают в «узлы» сетки рисунка (т.е. для которых невозможно определить точные значения), нужно определять значения приблизительно.
3. Величина роста пульса связана с пологостью (или, напротив, крутизной) линии графика. Это означает, что чем большее изменение значения функции происходит за тот или иной (но обязательно одинаковый) промежуток времени, тем больше величина роста.

Решение:

Анализируем предложенные характеристики:

1. Если частота пульса сначала падала, а затем росла, то на графике это должно выразиться в «прогибе» линии графика вниз. Такая кривизна наблюдается только в течение 3–4 минуты. Значит, получаем ответ: Г–1.
2. Самый большой «подъем» линии на 1-й половине графика имеет место с 1-й по 2-ю минуту. Отсюда получаем: Б–2.
3. Частота пульса падала, начиная со 2-й минуты. В течение 3–4 минут тоже наблюдалось падение, однако оно потом перешло в рост. Поэтому правильным здесь следует считать интервал В. Т.о., ответ: В–3.
4. Единственный интервал, на котором частота не превысила 100 ударов, – 0–1 мин. Отсюда имеем ответ: А–4.

Даниил Романович | Просмотров: 21.2k

Урок повторения «Производная в заданиях ЕГЭ базового уровня»

Цели урока:

Образовательные:
повторить и обобщить знания учащихся по теме “ Производная”, систематизировать
способы деятельности учащихся по применению производной к исследованию функций
в ходе подготовки к ЕГЭ базового уровня.

Развивающие:
развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать
навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание,
развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные:
воспитывать ответственное отношение к математике как к части общечеловеческой
культуры, воспитывать трудолюбие, волю и настойчивость в достижении
поставленной цели.

Тип урока: урок
итогового повторения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран.

Ход урока.

1)     
Устная
разминка

Найти производную функции

Y = 3, 0354;

Y = 2π+x;

Y = x³;

Y = 5;

Y =  ;

Y = 3sinx;

Y = 3sin3x;

Y = (3-1,5x)²

2)     
Устно

А) В чем состоит
геометрический смысл производной?

Б) Как с помощью
производной найти промежутки возрастания и убывания функции?

(презентация)

В) Задания с
производной из заданий ЕГЭ.

 (презентация слайд
4,5,6,7)

3)     
Учащиеся
выполняют самостоятельную работу с последующей проверкой.

(презентация слайд 8,9,10)

4)     
Работа
в группах

(4 группы)

Задание

1.      
 Найти производную, используя геометрический смысл

2.      
Задания с графиками

3.      
Найти точку экстремума функции.

Проверка
заданий учителем, обсуждение ответов.

5)     
Дополнительное
задание.

(презентация слайд 11)

6)     
Итоги
урока

7)     
Приложение

Карточка
№1

1)На
рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной
функции в точке x0.

  2)
На рисунке изображен график функции y= f(x), определенной на интервале (-6;8).
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

3)Найдите
точку максимума функции

Карточка
№2

1)На рисунке изображены график функции и касательная к нему в
точке с абсциссой x0. Найдите значение
производной функции в точке x0.

2) На рисунке изображен график функции y= f(x), определенной на интервале (-5;5).
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

3)Найдите
точку минимума функции   

Карточка
№3

1)На
рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной
функции в точке x0 .

2)
На рисунке изображен график функции y= f(x), определенной на интервале (-2;12).
Найдите сумму точек экстремума функции.

3) Найдите точку максимума функции      

Карточка
№4

1)На рисунке изображены график функции и касательная к
нему в точке с абсциссой x0 .
Найдите значение производной функции в точке x0 .

2)На рисунке изображен график функции y= f(x), определенной на интервале
(-7;14). Найдите сумму     точек экстремума функции.

3) Найдите точку минимума функции                                              

Ответы

Карточка №/задание	1	2	3
1	2	4	0
2	0,25	8	2
3	-2	44	-1
4	-0,25	1	1

Дополнительное
задание.

                       Ответ: 
214

Обычно базовую математику выбирают ребята, у которых есть план: надо как можно скорее разделаться с бесполезным для поступления предметом и сосредоточиться на своем наборе вступительных. Из этой статьи вы узнаете, как сдать базовую математику максимально быстро и просто.

В этом материале мы сделаем акцент на простых номерах, которые принесут вам балл почти задаром! Они обозначены пометкой «Обязательно делать» — таких заданий 10. Как раз с запасом на ошибки, ведь минимум для сдачи базовой математики — 7 баллов.

Для тех, кто хочет получить выше тройки — это 12 баллов и выше, — мы дали рекомендации по еще 3 задачам. В сумме получается 13 номеров. Решите их все, и твердая четверка у вас в кармане.

Какие задания решать, чтобы сдать базовую математику

Задание 1: обязательно делать

Проверяется ваше умение разделить случаи, когда требуется округлить величину в большую сторону, а когда — в меньшую.

Если вы ходите в магазин с наличными, то сталкиваетесь с подобными задачами каждый день. Разделим 100 рублей на стоимость одной упаковки йогурта. Не забывайте приводить все величины к одной размерности:

100 : 14,6 = 6, 849…

Так сколько баночек йогурта вам продадут? На 7 штук денег не хватает, значит, округлить полученную величину надо до целого в меньшую сторону. Математическое правило округление в этой задаче не поможет.

Ответ: 6.

Если одна пачка рассчитана на 6 рулонов, то на 63 рулона:

63 : 6 = 10,5. 

Но полпачки вам не продаст. Включаем логику: возьмем меньше — не хватит еще половины пачки на три последних рулона. Значит, округлить надо в большую сторону, взять клей с небольшим запасом. Математическое правило округления снова игнорируем.

Ответ: 11.

Задание 2: обязательно делать

Это задача на здравый смысл. Нужно соотнести величины с их возможными значениями.

Вряд ли грузовой автомобиль может весить как 3 шоколадки (300 г), а взрослый человек — 8 т.

Давайте вместе подберем значения.

• Взрослый человек обычно весит от 50 до 100 кг — что из этого подходит? Конечно, 65 кг.
• Грузовой автомобиль достаточно большой и тяжелый, скорее всего, он весит несколько тонн. Нам подходит 8 т.
• Книга обычно не такая большая и весит до 1 кг. Из оставшегося подойдет 300 г.
• А пуговка совсем маленькая. Значит, берем самый легкий вес — 5 г.

Ответ:

Главное — внимательно перенести ответы в бланк: 3142.

Задание 3: обязательно делать

Задание на работу с графиком, диаграммой или таблицей. Вооружайтесь карандашом, читайте условие с предельной внимательностью и безжалостно отмечайте нужные по условию значения на изображении в КИМ. Вы и представить не можете, сколько выпускников теряет тут баллы по невнимательности.

Мы ярко отметили уровень, соответствующий Амуру, в итоге посчитать все более длинные реки стало проще простого. У вас на экзамене будет так же наглядно!

Ответ: 7.

Задание 4: обязательно делать

Задание проверяет навык работы с формулами. Алгоритм решения напоминает решение задачек на уроке по физике:

• Выписываем формулу из условия.
• Определяем, что нужно найти: единственную букву, значение которой не дано.
• Выражаем искомую величину.
• Подставляем значения из условия в формулу.
• Ищем неизвестное.

Самое трудное тут — правильно выразить искомую величину. Для этого повторяем порядок выполнения арифметических операций, свойства умножения, тренируемся перекидывать через равно множители и слагаемые.

И да, в базе эта задача проста настолько, что даже перекидывать ничего не придется. Нужная величина уже будет слева от равно.

Задание 5: обязательно делать

Простая задача на определение вероятности, которая поможет вам точно сдать базовую математику.

Решаем с помощью формулы:

Внимательно читайте вопрос: спрашивают вероятность купить исправную лампочку. Если из ста 3 неисправны, значит, остальные в порядке и подойдет любая из оставшихся 97. Это и есть наши благоприятные исходы из формулы.

97 : 100 = 0,97.

Ответ: 0,97.

Будьте внимательны: иногда в задаче есть указание к округлению. Значит, ответ у вас выйдет некрасивый, в виде бесконечной десятичной дроби, которую вы округлите до нужного разряда.

Еще один подвох: формулировка с предлогом «на». К примеру, «На 100 лампочек 3 неисправны. Найдите вероятность купить неисправную». Подходящие исходы тут даны явно: 3 неисправные лампочки. А вот число всех исходов спрятано, и найти его будет нужно сложением исправных и неисправных лампочек: 100 + 3 = 103.

Задание 6: обязательно делать

Задание проверяет навык чтения информации из таблицы и подбора подходящего по условию варианта.

Например, вы нашли вариант позвать первого, третьего и пятого переводчиков. Получите весь набор языков как раз за 12 тысяч. Но обратите внимание, что это решение далеко не единственное.

Ответ: 135.

Задание 7

Мы не выделяем это задание в обязательные, так как для его выполнения понадобится навык анализа поведения функции по графику. Но, как его решать, сейчас коротко расскажем.

Запомним: точка максимума будет на «горке», точка минимума — в «ямке». Функция убывает, если идет вниз слева направо. Возрастает, если идет вверх слева направо.

Если не повезет, то придется вспомнить азы теории по производной.

Здесь все дело в касательных. Нужно внимательно к ним присмотреться. Если касательная к графику возрастает, то значение производной будет положительное, если убывает — отрицательное. Производная будет тем больше по величине (модулю), чем быстрее возрастает или убывает касательная.

Ответ: 2143.

Задание 8: обязательно делать

Задача проверяет умение делать логичные выводы из утверждения. Иногда попадаются совсем простые задания, к таким даже дополнительно готовиться не надо.

Все, что от вас требуется, — схематично изобразить на черновике ясень, рябину и осину, указать известную разницу в высоте и внимательно сопоставить картинку с утверждениями.

Важно: не додумывайте дополнительные условия, не указанные в тексте задачи. Учитесь читать строго то, что написано.

Исходя из рисунка выше получаем, что верны только утверждения 1 и 4.

Ответ: 14.

А бывают случаи, когда с визуализацией задачки придется постараться.

Тут иллюстрация не так очевидна, но нам помогут круги Эйлера. Этот инструмент позволяет наглядно изобразить множество объектов. В данном случае — школьников. Давайте прикинем, как ребята могут распределиться по кружкам.

Например, так. Тут из 20 человек на кружки в итоге ходят 13. Причем 10 из них очень активны и выбрали сразу два предмета. Трое ограничились только историей.

Или вот так. Если ребята задались целью по максимуму не пересекаться на дополнительных занятиях, то… У них не получится, и как минимум трое запишутся сразу на оба факультатива.

Конечно, возможны еще промежуточные варианты, но мы нарисовали два крайних. Теперь попробуем ответить на вопросы.

1. Смотрим на первую картинку. Даже если все ребята будут очень стараться посетить оба кружка, они ограничены условиями задачи и максимум на оба попадут 10 человек из 20. Нет.
2. Тут надо рассмотреть другую крайность, которую мы изобразили на второй картинке. Как бы ребята ни старались не встречаться на кружках, хотя бы трое попадут на оба сразу. Да.
3. Уж точно неверно. На обеих наших картинках есть ребята, которые ходят на историю, но не ходят на математику. Нет.
4. Смотрим на первую картинку. Оба кружка могут посещать максимум 10 человек. 

Ответ: 24.

Так что для решения иногда мало логики — понадобится еще немного воображения. Потренируйтесь, и ваши шансы получить балл увеличатся.

Задание 14: обязательно делать

Задание проверяет базовые навыки счета, которым учат в 5–6-м классах. Чтобы получить балл и сдать базовую математику, надо:

• уметь выполнять арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями;
• правильно расставлять порядок действий;
• быть предельно внимательными.

Уделите пару вечеров отработке алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных и десятичных дробей, и это задание у вас в кармане.

Задание 15

Составители экзамена проверяют ваш навык работы с процентами и единицами отношения. Такие задачи бывают четырех типов.

Тип 1. Найти часть от числа

Часть может быть выражена в процентах или сразу в виде дроби. Например, придется искать треть от чего-то.

Рассмотрим на примере реальной задачи из экзамена:

Прочувствуйте специфику задачи: нам известно целое — вся зарплата до вычета налога. А работать мы будем с кусочком — 13 процентами. Сколько это в рублях, нам еще предстоит узнать.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно сделать три шага:

1. Перевести процент в десятичную дробь.

Для этого всегда надо количество процентов поделить на 100.

13 : 100 = 0,13.

2. Найти, сколько это от зарплаты в рублях.

Запоминаем главное правило для этого типа задач: чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

12 500 ∙ 0,13 = 1 625 (руб.) — налог, который удержат с зарплаты Ивана Кузьмича.

3. Ответить на вопрос задачи.

У нас просили зарплату после вычета налога, а не сам налог.

12 500 – 1625 = 10 875 (руб.).

Ответ: 10 875.

Будьте внимательны: многие совершают ошибку именно на последнем шаге!

Тип 2. Найти число по его части

Прочувствуйте разницу с прошлой задачей: тут 124 — и есть 25%, то есть одна и та же величина выражена в процентах и в абсолютных величинах, в данном случае — в учениках. Просят узнать целое — 100%.

1. Переводим процент в десятичную дробь:

25 : 100 = 0,25.

2. Находим, сколько учеников всего.

Правило для этого типа задач: чтобы найти целое, надо часть разделить на дробь.

124 : 0,25 = 496 (уч.) — всего.

Ответ: 496.

Тип 3. Найти, сколько процентов часть составляет от целого

Особенность подобных заданий: не дано процентов, есть только абсолютные величины. В данном случае — стоимость футболки в рублях.

1. Находим, какую долю новая цена составляет от первоначальной.

Запоминаем правило: чтобы найти, какую долю часть составляет от целого, надо часть разделить на целое.

680 : 800 = 0,85.

2. Переводим долю в процент.

В прошлых задачах мы уже дважды выполнили обратное действие. В этот раз сделаем наоборот: умножим полученную дробь на 100.

0,85 ∙ 100 = 85% — столько процентов новая цена составляет от старой.

3. Отвечаем на вопрос задачи.

Нас спросили, на сколько процентов цена снизилась, что стала 85% от первоначальной. Конечно, изначально она была 100%. Итого:

100 – 85 = 15%.

Ответ: 15%.

Тип 4. Задачи на соотношение

Если перефразировать условие, то за первого кандидата проголосовали 3 части избирателей, а за второго — 2 части. Особенность этих частей в том, что они одинаковые по величине.

Если одна будет состоять из 10 человек, то за первого кандидата будет 30, а за второго — 20.

1. Считаем общее количество частей:

3 + 2 = 5.

2. Узнаем, сколько голосов составляет одна такая часть.

Тут речь о процентах проголосовавших. Сколько всего проголосовало? Конечно, 100%! Значит, каждая из пяти частей «весит»

100 : 5 = 20%.

3. Отвечаем на вопрос задачи.

За проигравшего проголосовало меньше частей избирателей. В нашем случае 2.

20 ∙ 2 = 40%.

Ответ: 40%.

Решение этих задач удобнее всего оформить табличкой:

1 часть = 100% : 5 = 20%.

Если рассчитываете решать текстовую задачу, включите здравый смысл. Ответ всегда можно проверить на адекватность благодаря обычной логике. 

Задание 16: обязательно делать

Задание на решение выражения. На самом деле оно проверяет знание теории, так как в этом задании вам могут встретиться:

• выражения со степенями,
• иррациональные выражения,
• логарифмические выражения,
• тригонометрические выражения.

Ваша задача, соответственно, — знать:

• свойства степеней

• свойства корней

• свойства логарифмов

• формулы тригонометрии

Вы можете подробно ознакомиться с ними и научиться выводить в этой статье.

Обратите внимание: нужная теория будет в справочных материалах на экзамене, но это не поможет, если вы не научитесь применять ее для решения заданий. Практика обязательна!

Задание 17: обязательно делать

В номере с уравнениями вам не встретятся тригонометрические. Зато вы точно увидите там:

• линейные уравнения

Раскрываем скобки, если они есть, слагаемые с х переносим в одну сторону от равно, без х — в другую. Приводим подобные и решаем простейшее уравнение.

• квадратные уравнения

Бывают полные и неполные, всего надо повторить три алгоритма решения! А формула дискриминанта еще и в справочных материалах есть.

• иррациональные уравнения

Это те, что с корнем. Чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат и решаем получившееся уравнение. Есть нюансы с областью допустимых значений: подставьте полученные корни в исходное уравнение и проверьте, выполняется ли равенство. Если нет, то подставленное значение решением не будет.

• показательные уравнения

Ваша задача — с помощью формул свойств степеней привести уравнение к виду, когда слева и справа от равно в основании степени будет одно и то же число. После приравниваем показатели и решаем. Вот так:

Ответ: 7.

• логарифмические уравнения

С помощью формул свойств логарифмов приводим уравнение к виду, когда слева и справа от равно будет логарифм с одинаковым основанием. После приравниваем выражения под логарифмом и решаем.

Ответ: 67.

Прелесть уравнений в том, что ответ всегда можно проверить подстановкой вместо x в уравнение. Не забывайте проверять, ведь это возможность убедиться на 100%, что вы не упустите заветный балл.

Задание 19

Если хотите сдать базовую математику и решить номер 19, надо ознакомиться со свойствами целых чисел и признаками делимости. Иногда решение можно найти даже подбором! Попробуйте — времени на базовом ЕГЭ вам точно хватит.

Для начала нужно запомнить все признаки делимости.

А теперь посмотрим на типичное задание 19.

Тут помогут признаки делимости. Отдельного признака для 12 нет, потому нам надо разложить его на множители, признаки делимости для которых есть. 

• На 3: сумма всех цифр делится на 3.
• На 4: число, образованное последними двумя цифрами, делится на 4.

Начнем с признака для 4. Пока что наше число заканчивается на 13 и на 4 не делится. Попробуем вычеркнуть последнюю цифру, и число будет заканчиваться на 61. Тоже не подходит. Вычеркнем еще одну: теперь на конце 76… Вот оно! От изначального числа осталось 751576, две цифры уже вычеркнули, осталось убрать одну.

Теперь проверим признак для 3: 7 + 5 + 1 + 5 + 7 + 6 = 31. Какое ближайшее число разделится на 3? Конечно, 30. Если мы вычеркнем единичку, все сойдется.

Ответ: 75576.

Другой вариант задания:

А задание такого типа можно попытаться подобрать, расположений не слишком много. Мы все же постараемся порассуждать, чтобы уменьшить количество возможных вариантов.

Чтобы число делилось на 10, оно должно заканчиваться на 0. Например, это получится, если сложить 7 + □7 + □□6. Уже немного легче. Остальное просто подберем. Под условие задачи подойдет 7 + 27 + 356 = 390.

Ответ: 390.

Какие задания мы не разобрали и почему

Теперь вы знаете, как сдать базовую математику, решив всего семь заданий. Но некоторые номера базового ЕГЭ включают слишком большое разнообразие прототипов, и методы их решения не ограничиваются парой простых алгоритмов.

Например, в эту группу относятся все задания по геометрии: с 9 по 13. Чтобы решать геометрию, мало знать основные фигуры и формулы. Необходим навык, который вырабатывается только практикой. Однако у нас есть статья про окружность — в ней вы найдете много полезной информации.

Задание 18 обычно, хотя и не всегда, содержит неравенство.

Это объемный блок теории, которую тоже необходимо подкреплять практикой. Но, может, вам повезет и попадется задачка на расположение значений на числовой прямой.

Тут достаточно примерно прикинуть значения и аккуратно внести ответы в бланк. Ясно, что 7/3  больше 2, но меньше 3. Корень из 26 равен 5 с копейками, а степень –1 из 3/5 сделает 5/3, или чуть больше 1,5. Подобные задания надо пытаться делать обязательно!

Задание 20. С этим заданием ученики знакомы еще с 9-го класса, так как оно было под номером 21 на ОГЭ. Это текстовая задача:

• на производительность,
• движение (по прямой, воде, окружности),
• сплавы и смеси,
• проценты (пиджаки, рубашки, брюки; бюджет семьи; акции, которые растут и падают),
• прогрессии.

В задании 21 на ОГЭ не было прогрессий, но они были в первой части на ОГЭ, так что ничего нового.

Задание 21. Здесь попадаются разные типы неочевидных задач на логику — чем-то они даже похожи на олимпиадные. Решение каждой нужно рассматривать отдельно и подробно. Если хотите прочитать о том, какие задачи бывают в 21-м номере, пишите в комментариях, и Maximum поделится своими методами решения!

Не знаете, какой вуз выбрать? Воспользуйтесь бесплатной консультацией в нашем центре. Что это такое? Все просто: вы расскажете о себе и о своих интересах. А специалист посоветует, на какие специальности обратить внимание, в какой вуз поступать, какие ЕГЭ сдавать. Так вы сэкономите время на подготовку и сможете выбрать образование, которое точно окажется для вас интересным и полезным!

В 2016 году ЕГЭ по математике разделили на два уровня – профильный и базовый. Профильная математика – для тех, кто поступает на технические и экономические специальности. А базовая математика – экзамен для гуманитариев. Если баллы ЕГЭ по математике не нужны для поступления, достаточно сдать базовую математику ЕГЭ. Базового ЕГЭ по математике достаточно для получения аттестата Причем его намного проще сдать на высокий балл, чем профильную математику!

Чем отличаются эти экзамены?

Профильный ЕГЭ по математике – это 19 заданий, среди которых 12 – более простые, и оценивается в них только ответ. А вторая часть – 7 сложных задач. В них оценивается не только ответ, но и грамотное, обоснованное, правильное решение

В заданиях базового ЕГЭ по математике 20 задач, причем оценивается только краткий ответ, который определенным образом заносится в бланк.

Профильный ЕГЭ по математике оценивается по стобалльной шкале, минимальный балл 25-28, в зависимости от года. А базовая математика ЕГЭ оценивается по пятибалльной системе, как в школе, и минимальный балл 3 (тройка, не двойка, уже хорошо).

Кажется, что базовый ЕГЭ по математике сдать легко. Так ли это?

Во-первых, это 20 задач, причем никаких ответов «на выбор» в них не дается. Как много говорили о том, что ЕГЭ – это «угадайка», «глупый тест», и можно записать случайные ответы и получить пятерку. А попробуйте угадать 20 правильных ответов! Без знания математики – не получится.

И это значит, что надо решить 20 задач подряд. Нужно внимание, уверенность, умение быстро и правильно считать без калькулятора.

Во-вторых, задания взяты из всех тем школьной программы. Это не примеры типа «сколько будет дважды два?» Вот что входит в программу базового ЕГЭ по математике:

Преобразование алгебраических выражений, корни и степени, логарифмы, текстовые задачи на проценты, на движение и работу, теория вероятностей, геометрия, стереометрия, тригонометрия и даже такая тема, как производная! Да, это не «дважды два»!

Правда, вместе с вариантом базового ЕГЭ по математике вы получите необходимый справочный материал. Если вы гуманитарий и забыли формулы стереометрии или геометрический смысл производной, не расстраивайтесь – у вас это будет в справочных материалах. Важно только, чтобы вы не увидели все эти формулы впервые именно на экзамене.

И еще один важный момент. Расписание экзаменов обычно составляют так, что между базовым и профильным ЕГЭ всего один день. Поэтому тем, кто уверен в своих силах и знает, что сдаст профильный ЕГЭ на высокие баллы, можно заранее отказаться от базового ЕГЭ по математике.

Базовая математика ЕГЭ – это не сложно! Главное – вовремя вспомнить, что такой экзамен существует, и начать готовиться!

     Сегодня поговорим о структуре ЕГЭ по базовой математике: что изменилось в 2022, чего ждать от новых заданий и какие темы встретятся на экзамене. Поехали! 

     КИМ экзамена по базовой математике состоит из 21 задания, на которые отведено 180 минут. За каждое задание можно получить 1 балл. Кстати, база – единственный ЕГЭ, результат которого переводят по шкале от 1 до 5, то есть как привычные школьные оценки.

     Вы столкнетесь с заданиями из шести тематических блоков: 

1. Алгебра (10 номеров);
2. Уравнения и неравенства (3 задания);
3. Функции (1 номер);
4. Начала математического анализа (1 задание);
5. Геометрия (5 номеров);
6. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (1 задание).

     Небольшое напоминание: ЕГЭ по базовой математике – тот самый экзамен, от результата которого зависит получение аттестата. Поэтому, все гуманитарии и не гуманитарии, готовьтесь воспринимать информацию. Мы переходим к изменениям 2022 года! 

Изменения в 2022 году

     Итак, насколько весомы и серьезны были изменения, проделанные экспертами со структурой ЕГЭ по базовой математике: 

1. Исключено задание №2, которое проверяло умение выполнять вычисления и преобразования;
2. Включили новое задание №5, направленное на выявление умения выполнять действия с геометрическими фигурами;
3. Добавлен номер 20, который проверяет умение строить и исследовать простейшие математические модели;
4. Количество заданий увеличено с 20 до 21;
5. В 2022 году максимальный балл за выполнение всей экзаменационной работы составляет 21. 

Новые задания в ЕГЭ по базовой математике

     Задание 5

Тут придется поработать с выражением. Чтобы точно получить балл, надо подготовиться ко всем возможным вариантам номера. Чтобы сдать базовую математику, нужно повторить и, самое главное, научиться применять:

• Формулы сокращенного умножения,
• Тригонометрические формулы,
• Формулы свойств корней,
• Формулы свойств логарифмов.

Структура и темы заданий ЕГЭ по математике

     В каких темах нужно быть подкованным, чтобы разобраться в структуре заданий ЕГЭ по базовой математике и не медлить с их решением? Поговорим про каждое!

Задание 1. Порядок проведения арифметических операций: действия в скобках, возведение в степень или извлечение корня, умножения и деления, вычитания и сложения; правила умножения и деления в столбик; правила вычисления обыкновенных дробей;

Задание 2. Свойства корней и степеней, операции с дробями;

Задание 3. Умение находить 1%, дробь от числа, число по его части;

Задание 4. Свойства корней и степеней, таблица степеней;

Задание 5.;

Задание 6. Единицы измерения величин, правила округления, проценты;

Задание 7. Виды уравнений, алгоритм решения квадратного уравнения, свойства корней, свойства логарифмов;

Задание 8. Формулы периметра прямоугольника, площади прямоугольника, периметра треугольника, площади треугольника, площади ромба, площади трапеции, длины средней линии трапеции;

Задание 9. Единицы измерения величин;

Задание 10. Определение и формулы теории вероятности;

Задание 11. Умение работать с каждым видом графиков;

Задание 12. Как создать комплект и выбрать наилучший вариант из предложенных; 

Задание 13. Формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, теорема Пифагора;

Задание 14. Система координат, производная;

Задание 15. Формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба; 

Задание 16. Определения основных понятий, базовые формулы, умение производить элементарные вычисления; 

Задание 17. Неравенства, алгоритм решения неравенств;

Задание 18. Умение выстраивать логическую цепочку, анализировать и делать вывод;

Задание 19. Числа и их свойства, числовые наборы на карточках и досках, последовательности и прогрессии, сюжетные задачи, признаки делимости чисел;

Задание 20. Задача на логику: уметь строить и исследовать простейшие математические модели;

Задание 21. Задача на логику: уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

     Сегодня мы детально разобрали структуру ЕГЭ по базовой математике в 2022 году, посмотрели на изменения, познакомились с новыми заданиями. Желаем осилить всю важную теорию и справляться с практикой без труда! Удачи, ваш Умскул!  

Хочешь быть в курсе новостей ЦТ?
Подписывайся на Адукар в соцсетях!

Начни подготовку к ЦТ и ЦЭ прямо сейчас!

Адукар обещает крутых преподавателей и много полезной практики.