Есть ли в егэ сфера - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Каталог заданий.
Шар

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 2 № 27059

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Аналоги к заданию № 27059: 5049 27185 72765 72719 72721 72723 72725 72727 72729 72731 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27072

Даны два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Аналоги к заданию № 27072: 5075 73287 520653 520694 26551 73243 73245 73247 73249 73251 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур

Классификатор стереометрии: Площадь сферы

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27097

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Аналоги к заданию № 27097: 74403 74405 74407 74409 74411 74413 74415 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур, Подобие

Классификатор стереометрии: Площадь сферы

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27125

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Аналоги к заданию № 27125: 75307 75309 75311 75313 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Классификатор стереометрии: Объём цилиндра, конуса, шара

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 2 № 27162

Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Аналоги к заданию № 27162: 76349 76355 505443 76351 76353 76357 76359 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Классификатор планиметрии: Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур, Подобие

Классификатор стереометрии: Объём цилиндра, конуса, шара, Площадь сферы

Решение

Курс Д. Д. Гущина

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Задачи
для подготовки к ЕГЭ

«Шар.
Площадь поверхности шара»

№1 Площадь большого круга шара равна 3. Найдите
площадь поверхности шара.

№2 Дано два
шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз
площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

№3 Радиусы
двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого
равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

№4Площадь поверхности
шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

№5 Даны два
шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого
шара больше площади поверхности второго?

№6 Шар вписан
в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь
поверхности шара.

№7 Около конуса
описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину).
Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса
равна 7 Найдите радиус сферы.

№8 Шар вписан
в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной
поверхности цилиндра.

Домашнее
задание

№1
Площадь большого круга шара равна
1. Найдите площадь поверхности шара.

№2 Дано два шара. Радиус первого шара в 60 раз
больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше
площади поверхности второго?

№3Радиусы двух шаров равны 32 и 60. Найдите
радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей
двух данных шаров.

№4 Площадь поверхности шара равна 12. Найдите
площадь большого круга шара.

№5 Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько
раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности
второго?

№6 Шар вписан в цилиндр. Площадь полной
поверхности цилиндра равна 6. Найдите площадь поверхности шара.

№7 Около конуса описана сфера (сфера содержит
окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с
центром основания конуса. Образующая конуса равна Найдите
радиус сферы.

№8 Шар вписан в цилиндр.
Площадь поверхности шара равна 30. Найдите площадь полной поверхности
цилиндра.

Источник

Площадь поверхности – это суммарная площадь всех поверхностей, которые составляют объемную фигуру.

Призма

1. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) — равные (n)-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные (n) граней (боковые) — параллелограммы. Призмы подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего.

2. Призма, у которой боковое ребро перпендикулярно основанию, называется прямой. Ее боковые грани — прямоугольники, и высота равна боковому ребру.
Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. Ее боковые грани, равные прямоугольники.

3. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}).

4. Объем произвольной призмы равен произведению площади основания на высоту: (V_{призмы}=S_{осн}cdot h).

Параллелепипед

5. Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм. Противоположные боковые грани параллелепипеда равны.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию.
Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда выражается через его измерения (ширину, длину и высоту) формулой (d^2=a^2+b^2+c^2).
Куб — параллелепипед, у которого все грани квадраты. Диагональ куба с ребром (a): (d=asqrt{3}).

Пирамида

6. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань (основание) — (n)—угольник, а остальные (n) граней (боковые) — треугольники с общей вершиной. Пирамиды подразделяются на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон основания.
Тетраэдер – другое название треугольной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание.

7. Пирамида называется правильной, если ее боковые ребра равны, а в основании лежит правильный многоугольник.
Основание высоты правильной пирамиды совпадает с центром ее основания, углы наклона боковых ребер к основанию равны, двугранные углы при основании равны, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины к ребру основания.

8. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: (S_{бок}= S_1+ S_2+…+ S_n).
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: (S_{полн} = S_{бок}+ S_{осн}).

9. Объем произвольной пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту: (V=frac{1}{3} S_{осн}cdot h).

Сфера и шар

10. Сфера — это множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.
Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на сфере, или длина этого отрезка.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки на сфере.
Диаметр сферы — это хорда, которая проходит через центр сферы. Диаметр сферы равен двум радиусам сферы.

11. Площадь сферы находится по формуле: (S_{сф}=4πR^2).

12. Шаром называется часть пространства, ограниченная сферой, вместе с самой сферой и ее центром. Данная сфера называется поверхностью шара.
Сечение шара с радиусом (R) плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом шара. Радиус, хорда, диаметр шара те же, что и его сферы.

13. Объем шара находится по формуле (V_{шара}=frac{4}{3} πR^2).

Цилиндр

14. Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон.
Прямая вращения называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами (2r) и (l), где (r) — радиус основания цилиндра, (l) — его образующая.
Образующая цилиндра — отрезок (обозначается (l) или (L)), перпендикулярный основаниям цилиндра и соединяющий точку окружности верхнего основания с точкой окружности нижнего основания.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (обозначается (h) или (H)).

15. Площадь боковой поверхности цилиндра: (S_{бок}=2πrh); (S_{полн} = S_{бок}+ 2S_{осн}=2πrh+2πr^2).

16. Объем цилиндра (V_{цил}=S_{осн} h=πr^2 h).

Конус

17. Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, проходящей через один из его катетов.
Прямая вращения называется осью конуса.
Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым сечением. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник со стороной основания (2r) боковой стороной (l), где (r) — радиус основания конуса, (l) — его образующая.
Вершина осевого сечения является вершиной конуса.
Образующая конуса (обозначается (l) или (L)) — отрезок, соединяющий вершину конуса и точку окружности основания.
Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости основания (обозначается (h) или (H)). Высота конуса равна высоте осевого сечения, опущенной на основание.

18. Площадь боковой поверхности конуса: (S_{бок кон}=πrl), (S_{кон}=S_{бок}+S_{осн}=πrl+2πr^2).

19. Объем конуса: (V_{кон}=frac{1}{3}S_{осн}h=frac{1}{3}πr^2 h).

Источник

Шар и сфера, подготовка к ЕГЭ по математике

22.12.2017

Таблицы с теорией на тему: «Шар и сфера» для подготовки к ЕГЭ по математике. В кратком содержании изложена вся необходимая теория для этой темы.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: cкачать в pdf файле.

Сохранить ссылку:

Комментарии (0)
Добавить комментарий

Добавить комментарий

Комментарии без регистрации. Несодержательные сообщения удаляются.

Имя (обязательное)

E-Mail

Подписаться на уведомления о новых комментариях

Отправить

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Сфера и шар»

(blacktriangleright) Сфера – это множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки (O) (называемой центром сферы).

(blacktriangleright) Шар – это сфера вместе со своей внутренностью.

Основные формулы (где (R) – радиус сферы или шара):

(blacktriangleright) площадь сферы ({large{S=4pi R^2}})

(blacktriangleright) объем шара ({large{V=dfrac{4}{3}pi R^3}})

Задание
1

#1878

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем шара равен (displaystyle frac{36}{sqrtpi}). Чему будет равна площадь поверхности шара, если его радиус увеличить на (displaystyle frac{6}{sqrtpi})?

(displaystyle V_{text{шара}} = frac{4}{3}pi R^3 = frac{36}{sqrtpi}) (Rightarrow) (displaystyle R = frac{3}{sqrtpi}). Радиус нового шара равен: (displaystyle R_{text{нов.}} = R + frac{6}{sqrtpi} = frac{9}{sqrtpi}). Тогда найдем площадь поверхности: (displaystyle {S_{text{пов.}} = 4pi R_{text{нов.}}^2 = 4pi left(frac{9}{sqrtpi}right)^2 = 4pifrac{81}{pi} = 324}.)

Ответ: 324

Задание
2

#1877

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз объем шара больше объема сегмента, высота которого равна половине радиуса?

Необходимо объем шара разделить на объем соответствующего сегмента, высота которого равна (H = frac{1}{2}R)

[frac{V_{text{шара}}}{V_{text{сегм.}}} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{pi left(frac{1}{2}Rright)^2left(R — frac{1}{3}left(frac{1}{2}Rright)right)} = frac{frac{4}{3}pi R^3}{frac{5}{24}pi R^3} = frac{4}{3} cdot frac{24}{5} = frac{32}{5} = 6,4.]

Ответ: 6,4

Задание
3

#2674

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Имеются две сферы (S_1) и (S_2), про которые известно, что радиус первой сферы в (2) раза больше, чем радиус второй сферы. Кроме того, сфера (S_2) целиком находится внутри сферы (S_1). Пусть объём шара, ограниченного второй сферой, равен (V_2), а объём тела, заключённого между сферами, равен (V). Найдите (V : V_2).

Пусть (V_1) – объём шара, ограниченного первой сферой. Так как радиус (S_1) в два раза больше, чем радиус (S_2), то (V_1 : V_2 = .

[V = V_1 — V_2 = 8V_2 — V_2 = 7V_2,,] следовательно, (V : V_2 = 7).

Ответ: 7

Задание
4

#2306

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна (frac{37}{pi}). На расстоянии (frac1{2pi}) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

[4pi R^2=dfrac{37}{pi} quad Rightarrow quad R^2=dfrac{37}{4pi^2}]

По условию задачи (OQ=frac1{2pi}). Рассмотрим (triangle OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{37}{4pi^2}-dfrac1{4pi^2}=dfrac{9}{pi^2}
quad Rightarrow quad r=dfrac3{pi}]

Таким образом, длина окружности сечения равна [C=2pi
r=2picdotfrac3{pi}=6.]

Ответ: 6

Задание
5

#2307

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Площадь поверхности шара равна (64). На расстоянии (frac3{2sqrt{pi}}) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Т.к. площадь поверхности сферы ищется по формуле (S=4pi R^2), то

[4pi R^2=64 quad Rightarrow quad R^2=dfrac{64}{4pi}]

По условию задачи (OQ=frac3{2sqrt{pi}}). Рассмотрим (triangle
OQT): он прямоугольный ((angle OQT=90^circ)), гипотенуза (OT=R), катет (QT) равен радиусу (r) окружности сечения.

Таким образом, по теореме Пифагора [QT^2=r^2=OT^2-OQ^2=dfrac{64}{4pi}-dfrac9{4pi}=dfrac{55}{4pi}]

Таким образом, площадь сечения равна

[S=picdot r^2=picdot dfrac{55}{4pi}=dfrac{55}4=13,75.]

Ответ: 13,75

Задание
6

#951

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Центр большего основания усечённого конуса совпадает с центром сферы, а окружность его меньшего основания лежит на сфере. Отрезки (BC) и (AD) – диаметры меньшего и большего оснований этого усечённого конуса соответственно, (BCparallel AD), [S_{ABCD} = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},qquadqquad dfrac{r}{R} = dfrac{1}{sqrt{15}},] где (R) и (r) – радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса соответственно, (angle ADC = 45^circ). Найдите объём шара, ограниченного данной сферой.

Рассмотрим (ABCD): т.к. (BCparallel AD), то (ABCD) – трапеция. Так как (AB) и (CD) – образующие усечённого конуса, то (AB = CD) и трапеция (ABCD) – равнобедренная.

Построим (CHperp AD). Так как (angle ADC = 45^circ), то (triangle CHD) – равнобедренный и (CH = HD).
[HD = dfrac{AD — BC}{2} = R — r,qquadqquad S_{ABCD} = dfrac{BC + AD}{2}cdot CH = (R + r)(R — r) = R^2 — r^2 = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}},] но (r = dfrac{R}{sqrt{15}}), тогда [R^2left(1-dfrac{1}{15}right) = dfrac{210}{sqrt[3]{pi^2}}qquadRightarrowqquad R = dfrac{15}{sqrt[3]{pi}}qquadRightarrowqquad V_{text{шара}} = dfrac{4}{3}pi R^3 = dfrac{4}{3}cdotpicdotdfrac{15^3}{pi} = 4500.]

Ответ: 4500

Задание
7

#3114

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан шар, диаметр которого равен (9). Плоскость (alpha) пересекает диаметр (SZ) шара под углом (90^circ) и делит его точкой пересечения в отношении (1:2), считая от вершины (S). Найдите объем пирамиды с вершиной в точке (S), в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью (alpha).

Пусть (O) – центр шара, (Q) – точка пересечения (SZ) и плоскости (alpha). Пусть (SABCD) – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью (ASC).

Так как (SQ:QZ=1:2), то (SQ:SZ=1:3), следовательно, (SQ:SO=2:3), следовательно, (OQ:SO=1:3). Тогда [AQ=sqrt{AO^2-OQ^2}=sqrt{AO^2-left(dfrac13AOright)^2}=dfrac{2sqrt2}3AO
=dfrac{2sqrt2}3cdot dfrac92=3sqrt2] Следовательно, (AC=6sqrt2). Следовательно, (AB=AC:sqrt2=6).
Также [SQ=dfrac23SO=dfrac23cdot dfrac92=3] Заметим, что (SQ) – высота пирамиды, так как (SQperp alpha). Следовательно, [V=dfrac13cdot SQcdot AB^2=36.]

Ответ: 36

Задачи по стереометрии, в которых требуется произвести расчет объема сферы и измерение других неизвестных параметров, встречаются в ЕГЭ каждый год. Это означает, что знать основные формулы и уметь оперативно находить правильный ответ должны выпускники с разным уровнем подготовки. Понимая принцип решения задач ЕГЭ, в которых требуется вычислить объем или, к примеру, площадь сферы, старшеклассники смогут выполнять упражнения с любым количеством действий и при этом получить достаточно высокие баллы по итогам прохождения экзаменационного испытания.

Базовая информация

Сферой называется поверхность, которая состоит из множества точек пространства. Все они располагаются на одинаковом расстоянии от точки О. Она является центром сферы.
Геометрическое тело, которое ограничено сферой, называется шаром. Его осевое сечение представляет собой круг. Радиус последнего равен радиусу шара.
Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в n2 раз, а объем — в n3 раз.

Занимайтесь с образовательным порталом «Школково» для качественной подготовки к экзамену!

Проблема поиска необходимой информации встает перед старшеклассниками достаточно остро. Не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А поиск базовых формул для вычисления площади, объема шара и других неизвестных параметров бывает достаточно трудоемким даже в онлайн-режиме.

Наш образовательный проект поможет сэкономить время и эффективно подготовиться к сдаче экзаменационного испытания. Мы предлагаем учащимся и их преподавателям выстроить процесс подготовки к ЕГЭ от простого к сложному. Такой подход позволит старшеклассникам понять, какие темы требуют более детального изучения, и улучшить имеющиеся знания.

Базовая информация, которую стоит повторить еще до выполнения задач на нахождение объема шара, представлена в разделе «Теоретическая справка». Материал, подготовленный опытными преподавателями «Школково», поможет вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Шар» или, например, по теме «Цилиндр», не вызывали затруднений, мы предлагаем также потренироваться в выполнении соответствующих упражнений. Множество заданий разной степени сложности вы найдете в разделе «Каталог». Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения. Попрактиковавшись в режиме онлайн и поняв принцип нахождения правильного ответа, школьники смогут без труда вычислить объем сферы.

При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему.

Выполнять онлайн-задания на нахождение площади боковой сферы могут не только школьники из столицы, но и выпускники из других российских городов.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Лучший ответ

Стереометрия занимается изучением объемных фигур (сфера, куб многогранник и тд). Этот раздел геометрии довольно большой, но его нельзя назвать очень сложным. Для успешного решения всех задач стереометрии тебе необходимо выучить не так и много: теорему Пифагора, формулы расчета площадей и объемов основных фигур, уметь рассчитывать косинусы, тангенсы и прочие страшные слова) Обычно в каждом варианте ЕГЭ про сферу и прочее встречаются 1-2 задачи в разделе А. То есть сложности тут нет никакой.

еще ответы

ваш ответ

похожие темы

похожие вопросы 5

Источник

Напомним,
что шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства,
находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки. Эта
точка – центр шара, а заданное расстояние – радиус шара.

Шар
так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается в
результате вращения полукруга вокруг его диаметра.

Поверхность,
образуемая при этом вращении полуокружности, называется сферой. Можно
сказать, что сфера – это как бы оболочка, или граница, шара. Как окружность
есть граница круга, так и сфера – это граница шара.

Назовём
элементы сферы и шара.

Радиус
сферы – это отрезок, соединяющий центр сферы и любую её точку.

Хорда
сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметр
сферы – хорда сферы, проходящая через её центр.

Радиус,
хорда, диаметр шара – это радиус, хорда, диаметр его сферы.

Любое
сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание
перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Плоскость,
которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
Сечение ею шара – большим кругом, а сечение сферы – большой
окружностью.

Любая
диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр
шара является его центром симметрии.

Плоскость,
проходящая через точку А сферы и перпендикулярно радиусу, проведённому в
эту точку, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой
касания.

Свойство
касательной плоскости к сфере: радиус сферы,
проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Признак
касательной плоскости к сфере: плоскость,
перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является
касательной к сфере.

Касательная
плоскость пересекается с шаром в единственной точке – в точке касания.

Касательной
прямой к сфере (шару) называется прямая, имеющая со сферой
единственную общую точку.

Отрезки
касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы
с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Линией
пересечения двух сфер является окружность.

Площадь
сферы радиуса : .

Объём
шара
радиуса : .

Шаровым
сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Площадь боковой поверхности шарового сегмента:

Объём
шарового сегмента:

где
–
радиус шара, –
высота шарового сегмента.

Шаровым
сектором называется тело, которое получается из шарового
сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара.

Площадь
боковой поверхности шарового сектора:

Объём
шарового сектора:

где
–
радиус шара, –
высота сегмента.

Шар
называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным около
шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

Шар
называется описанным около многогранника, а многогранник – вписанным
в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

Шар
называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара,
если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех образующих.

Шар
называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра
принадлежат поверхности шара.

Шар
называется вписанным в конус (усечённый конус), а конус
(усечённый конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается
основания (оснований) конуса и всех образующих.

Шар
называется описанным около конуса (усечённого конуса), если окружность
основания и вершина (окружности оснований) конуса принадлежат поверхности шара.

Если
боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то в такую
пирамиду можно вписать шар.

Около
пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно
описать окружность.

Если
боковые рёбра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости
основания), то около такой пирамиды можно описать шар.

В
призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное
сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру
окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение.

Описать
шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания
можно описать окружность.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.

Задача
первая. Радиус шара увеличили в раза.
Во сколько раз увеличился объём шара?

Решение.

Задача
вторая. Объём шара равен см³.
Найдите диаметр шара.

Решение.

Задача
третья. Шар пересечен плоскостью. Площадь сечения равна см².
Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно см.
Найдите площадь поверхности шара.

Решение.

Задача
четвёртая. В конус с радиусом основания, равным см,
и высотой, равной см,
вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади
поверхности шара.

Решение.

Задача
пятая. Найдите объём шарового сектора, если радиус
окружности его основания равен см,
а радиус шара – см.

Решение.

Задача
шестая. Шар с радиусом см
пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии см
от центра шара. Найдите площадь сечения.

Решение.

Источник