Финансовая математика егэ презентация

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Финансовая математика
  Подготовка к ЕГЭ

  Учитель математики
  МОУ гимназии № 16 «Интерес»
  городской округ Люберцы Московской области
  Усачева В.П.

• 

  2 слайд

  Процент
  Проце́нт (лат. per cent «на сотню; сотая») — сотая часть; обозначается знаком «%»; используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.
  1 % = 1/100
  100 % = 1
  Упражнения.
  1) Найти 2,5% от 3,2.
  2) Найти число, если 42% его составляют 12,6.
  3) Какой процент составляет
  4,5 от 18?
  4) Сколько процентов составляет 46,6 от 11,65?
  5) Найти число, 175% которого составляют 78,75.
  6) Найти 180% от 7,5.

  Решение.
  1) 3,2 . 0,025 = 0,08
  2) 12,6 : 0,42 = 30

  3) 4,5 : 18 = 0,25 = 25%

  4) 46,6 : 11,65 = 4 = 400%

  5) 78,5 : 1,75 = 45

  6) 7,5 . 1,8 = 13,5

• 

  3 слайд

  Основные задачи
  на проценты
  n % = 0,01 n = n/100
  1. Нахождение процентов данного числа.
  Чтобы найти n % от А надо А.0,01n.
  2. Нахождение числа по его процентам.
  Если известно, что n % числа равно В, то
  А = В : 0,01n
  3. Нахождение процентного отношения чисел.
  Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%.
  А / В . 100%

• 

  4 слайд

  Задачи на проценты
  № 1.
  Цена товара была снижена сначала на 24%, а затем на 50 % от новой цены. Найти общий процент снижения цены товара.
  Решение.
  Начальная цена – х р.
  Цена после первого снижения:
  (1 – 0,24)х р. = 0,76х р.
  Цена после второго снижения:
  (1 – 0,5) . 0,76х р. = 0,5 . 0,76х р. = 0,38х р.
  Цена изменилась на х – 0,38х = 0,62х (р).
  0,62 = 62%. Ответ: 62%.

  № 2.
  В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди. Каково процентное содержание составных частей сплава?
  Решение.
  Масса сплава: 18 + 6 + 36 = 60 (кг)
  Масса цинка в сплаве: 18/60 = 0,3 = 30%
  Масса олова в сплаве: 6/60 = 0,1 = 10%
  Масса меди в сплаве: 36/60 = 0,6 = 60%
  Проверка: 30% + 10% + 60% = 100%
  Ответ: 30% цинка, 10% олова, 60% меди

• 

  5 слайд

  Задачи на проценты
  № 3.
  Стоимость товара и перевозки составляет 3942 р., причем расходы по перевозке товара составляют 8% стоимости самого товара. Какова стоимость товара без учета стоимости его перевозки?
  Решение.
  Стоимость товара – х р.
  Стоимость перевозки товара – 0,08х р.
  Стоимость товара и перевозки :
  (х + 0,08х) р. или 3942 р.
  Составлю и решу уравнение.
  х + 0,08х = 3942; х = 3650.
  1,08х = 3942; Ответ: 3650 р.

  № 4.
  По вкладу, вносимому на срок не менее года, банк начисляет 3% годовых. Вкладчик внес в банк вклад в размере 600000 р. Какую сумму денег он получит в конце второго года со дня вклада? В конце третьего года со дня вклада?

  Решение.
  Сумма вклада – 600000 р.
  Сумма через год (103% от первоначальной) – (600000 . 1,03) р.
  Сумма через два года (103% от новой):
  (600000 . 1,03) . 1,03 = 600000 . 1,032 = 636540 (р.)
  Сумма через три года (103% от 2-ой новой):
  600000 . 1,033 = 655636,2 (р.)
  Ответ: 636540 р.; 655636,2 р.

• 

  6 слайд

  Задачи на проценты
  № 5.
  По обычному вкладу банк начисляет 2% годовых. Вкладчик внес 500000 р., а через месяц снял со счета 100000 р. Какая сумма денег будет на его счету по истечении года со дня выдачи ему 100000 р.?
  Решение.
  (500000 . (1 + 0,02/12) – 100000) . 1,02 =
  = (500000 + 10000/12 – 100000) . 1,02 =
  = (400000 + 10000/12) . 1,02 =
  = 400000 . 1,02 + 10000 . 1,02 /12 = 408000 + 8500 =
  = 408850 (р.) Ответ: 408850 р.

• 

  7 слайд

  Задача 1.
  По вкладу «А» банк начисляет 10% каждый год, а по вкладу «Б» — 5% в первый год и n % за второй и третий годы. Найдите наименьшее целое значение n, при котором за 3 года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

• 

  8 слайд

  Задача 1 (решение).

• 

  9 слайд

  Задача 2.
  Гражданин приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги возрастает каждый год на 2 тысячи рублей. В любой момент гражданин может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет под 10% начислений в год. В течение какого года после покупки гражданин должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

• 

  10 слайд

  Задача 2 (решение).

• 

  11 слайд

  № 1.
  31 декабря 2015г. Андрей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.
  Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Андрей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.
  Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Андрей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
  Практикум по решению финансовых задач

• 

  12 слайд

  № 1.
  31 декабря 2015г. Андрей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.
  Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Андрей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.
  Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Андрей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
  Практикум по решению финансовых задач

• 

  13 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  № 1.
  31 декабря 2015г. Андрей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.
  Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Андрей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.
  Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Андрей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
  Решение.

• 

  14 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  № 1.
  31 декабря 2015г. Андрей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.
  Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Андрей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.
  Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Андрей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
  Решение.

• 

  15 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  16 слайд

  № 2.
  В июле планируется взять кредит на сумму 4,5 млн. рублей сроком на 9 лет. Условия его возврата таковы:
  — каждый январь долг возрастает на n % по сравнению с концом предыдущего года;
  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
  — каждый июль сумма долга должна отличаться от предыдущего на равную сумму.
  Найдите целое число n, если наибольшая выплата за все время не превышает 1,4 млн. рублей, а наименьшая выплата не менее 0,6 млн. рублей.

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  17 слайд

  № 2.
  В июле планируется взять кредит на сумму 4,5 млн. рублей сроком на 9 лет. Условия его возврата таковы:
  — каждый январь долг возрастает на n % по сравнению с концом предыдущего года;
  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
  — каждый июль сумма долга должна отличаться от предыдущего на равную сумму.
  Найдите целое число n, если наибольшая выплата за все время не превышает 1,4 млн. рублей, а наименьшая выплата не менее 0,6 млн. рублей.

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  18 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  № 2.
  В июле планируется взять кредит на сумму 4,5 млн. рублей сроком на 9 лет. Условия его возврата таковы:
  — каждый январь долг возрастает на n % по сравнению с концом предыдущего года;
  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;
  — каждый июль сумма долга должна отличаться от предыдущего на равную сумму.
  Найдите целое число n, если наибольшая выплата за все время не превышает 1,4 млн. рублей, а наименьшая выплата не менее 0,6 млн. рублей.
  Решение.

• 

  19 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  20 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  21 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  22 слайд

  № 3.
  Гражданин берет 15 января в банке кредит на 19 месяцев. Условия кредита таковы:
  — 1 числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца,
  — со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,
  — 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца.
  Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  23 слайд

  № 3.
  Гражданин берет 15 января в банке кредит на 19 месяцев. Условия кредита таковы:
  — 1 числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца,
  — со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,
  — 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца.
  Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  24 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  № 3.
  Гражданин берет 15 января в банке кредит на 19 месяцев. Условия кредита таковы:
  — 1 числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца,
  — со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,
  — 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца.
  Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

• 

  25 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  № 3.
  Гражданин берет 15 января в банке кредит на 19 месяцев. Условия кредита таковы:
  — 1 числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца,
  — со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,
  — 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца.
  Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

• 

  26 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  27 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  Ответ: 3%

• 

  28 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  № 4.

• 

  29 слайд

  Практикум по решению финансовых задач
  № 4.

• 

  30 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  31 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  32 слайд

  № 5.

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  33 слайд

  Практикум по решению финансовых задач

• 

  34 слайд

  Урок 1. Схема начисления процентов. https://www.youtube.com/watch?v=P1w0YTCJH34&app=desktop(21 (21 мин.)
  Урок 2. Вклады 1. Задачи с описанием депозитного вклада. https://www.youtube.com/watch?v=aostq7gakfQ&app=desktop (25 мин.)
  Урок 3. Вклады 2. Ценные бумаги. https://www.youtube.com/watch?v=JQ9UwBSOu3s&app=desktop (22 мин.)
  Урок 4. Кредиты 1. Задачи с описанием кредитного плана. https://www.youtube.com/watch?v=jd8hFX4wIAU&app=desktop (28 мин.)
  Урок 5. Кредиты 2. Постоянные платежи. https://www.youtube.com/watch?v=1IcjZtSE62c&app=desktop (26 мин.)
  Урок 6. Кредиты 3. Дифференцированные платежи. https://www.youtube.com/watch?v=v59D0uk3Qiw&app=desktop (50 мин.)
  Урок 7. Задачи на оптимизацию.
  Урок 8. Задачи на оптимизацию.
  ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА Видео уроки

• 

  35 слайд

  Задачи на оптимальный выбор
  https://ege.sdamgia.ru/test?theme=247

  Банки, вклады, кредиты
  https://ege.sdamgia.ru/test?theme=221

  СДАМ ГИА : РЕШУ ЕГЭ Д.Д.Гущин https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1

Краткое описание документа:

Материал презентации в помощь учителю при подготовке выпускников к сдаче ЕГЭ, задание 17 (финансовая математика банковские задачи). Материал составлен от простого к сложному. Начало — подготовка: повторение понятия «процент», три основных типа задач на проценты, изученные в 6 классе основной школы.

Включены банковские задачи, которые заслуживают внимание не только в построении математических моделей решения, но и алгебраических преобразованиях.

Первая часть презентации может быть использованы в качестве фронтальной формы работы, вторая как практикум. Можно чередовать совместный анализ — разбор, с последующим самоконтролем или самостоятельным решением.

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 156 989 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Экономика и право: налоги и налогообложение»

• Курс повышения квалификации «Экономика предприятия: оценка эффективности деятельности»

• Курс повышения квалификации «Маркетинг в организации как средство привлечения новых клиентов»

• Курс повышения квалификации «Страхование и актуарные расчеты»

• Курс повышения квалификации «Психодинамический подход в консультировании»

• Курс повышения квалификации «Методы и инструменты современного моделирования»

• Курс профессиональной переподготовки «Управление сервисами информационных технологий»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация технической поддержки клиентов при установке и эксплуатации информационно-коммуникационных систем»

• Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление процессом по предоставлению услуг по кредитному брокериджу»

• Курс профессиональной переподготовки «Информационная поддержка бизнес-процессов в организации»

1. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА В ЗАДАЧАХ ЕГЭ И ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА

2.

Цель: изучить практико-ориентированные задачи,
раскрывающие суть различных видов платежей по
кредитам, выбрать оптимальные способы решения
Задачи:
— Изучить теоретические аспекты решения
«экономических» задач;
— Рассмотреть различные способы решения задач;
-Повысить уровень математической культуры, прививая
навыки самостоятельной исследовательской работы в
математике;
-Выполнить сопоставительно-аналитическую работу с
контрольно–измерительными материалами ЕГЭ, а
также исследовать примеры применения в жизненных
ситуациях.

3.

Гипотеза:
1) Существует много видов «экономических»
задач на проценты и способов их решения, но их
можно проклассифицировать по типам для
облегчения усвоения материала.
2) Одного способа расчета кредита быть не
может, существуют два вида платежей по
кредиту: дифференцированный и аннуитетный.
3) Существует переплата по кредитам. Но при
каких схемах выплаты кредита она меньше?

4. Способы погашения кредита:

■ Дифференцированный
■ Аннуитетный

5.

Схема дифференцированного платежа
При расчете за кредит дифференцированными платежами
расчетная сумма платежа постепенно сокращается. Это
обусловлено тем, что прежде всего клиент вносит тело
кредита, и его сумма остается постоянной на протяжение
всех месяцев. Что касается процентной части, то она
зависит от остатка, который со временем сокращается. Это
значит, что и сумма процентов становится меньше.
Ориентировочную сумму платежа можно рассчитать так:
Платеж = Проценты + Фиксированная часть.
Под фиксированной частью понимают погашение
кредитного тела.
Проценты можно определить так: Проценты = (Ставка *
Остаток) / 100%.

6.

15-го января планируется взять кредит в банке
на сумму 1.5 млн рублей на 24 месяца. Условия
его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на
3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца
необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на
одну и ту же величину меньше долга на 15-е
число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку:
а) в течение первого года кредитования?
б) в течение всего срока кредитования? Какова
сумма переплаты?

7.

1й способ
Долг перед банком по состоянию на конец второго года должен уменьшаться до
нуля равномерно на сумму равную 62500 рублей (1500000:24=62500). Тогда
последовательность размеров долга будет иметь вид: 1500000; 1437500;
1375000; 1312500; … 62500.
Первого числа каждого месяца долг возрастает на 3%. Тогда последовательность
размеров долга будет иметь вид:
1500000∙1,03; 1437500∙1,03; 1375000∙1,03; 1312500∙1,03; … 62500∙1,03.
Или: 1545000; 1480625; 1416250; 1351875; … 64375.
Найдем размеры выплат:
1 месяц: 1545000 – 1437500 = 107500
2 месяц: 1480625 – 1375000 = 105625
3 месяц: 1416250 – 1312500 = 103750 Замечаем, что выплаты уменьшаются на
одну и ту же величину, равную 1875 р.
Имеем последовательность членов арифметической прогрессии, в которой
первый член равен 107500, а разность равна -1875. Найдем 12-й член этой
прогрессии:
an = a1 +(n-1)*d
a12 = 107500 — 11∙ 1875=86875
Итак, 86875 рублей – это сумма выплат на 12 месяц. An an = a1
Найдем теперь сумму выплат за весь срок кредитования: 2062500 руб.
Переплата по кредиту равна: 2062500 – 1500000 = 562500 руб.
Ответ: а) 1166250 рублей б) 2062500 рублей в) 562500 рублей

8.

2й способ
Пусть S — сумма кредита. Найдем, какую сумму нужно вернуть банку за весь
период кредитования, то есть за 24 месяца. Долг перед банком по состоянию на
конец второго года должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда
последовательность размеров долга будет иметь вид:
24S/24; 23S/24; 22S/24; ….; S/24
Занесем эти данные в таблицу

9.

Найдем теперь размеры выплат:
1 месяц: 24*S*1.03/24 – 23S/24 = S/24*(24∙1.03 – 23).
2 месяц: 23*S*1.03/24 – 22S/24 = S/24* (23∙1.03 – 22).
3 месяц: 22*S*1.03/24 – 21S/24 = S/24* (22∙1.03 – 21).
24 месяц: S*1.03/24 – 0 = S/24*(1∙1.03 – 0).
Найдем сумму всех выплат:
S/24*(24∙1.03+23∙1.03+22∙1.03+…+1∙1.03-23-22-21-…-1) =
S/24* (1.03(24+23+22+…+1) –(23+22+21+…+1)) = S/24* (1.03∙300–
276) =S/24*33=11S/8
Чтобы найти численное значение суммы всех выплат, надо подставить
S=1,5. Получим, что сумма всех выплат равна 2,0625 миллионов
рублей, или 2062500 рублей.

10.

3й способ
Рассмотрим формулу расчета дифференцированного платежа в банке.
Формула расчета дифференцированного платежа выглядит следующим образом:
ДП = ОСЗ: ПП + ОСЗ ∙ ПС, где
ДП — размер дифференцированного платежа
ОСЗ — остаток ссудной задолженности
ПП — количество периодов, оставшихся до погашения кредита
ПС — месячная процентная ставка по кредитному договору, равная 1/12 годовой
процентной ставки
Пример расчета:
В погашение
Остаток после
процентов
платежа
0.00
0.00
100 000.00
17 500.00
16 666.67
833.33
83 333.33
2 месяц
17 361.11
16 666.67
694.44
66 666.67
3
3 месяц
17 222.22
16 666.67
555.56
50 000.00
4
4 месяц
17 083.33
16 666.67
416.67
33 333.33
5
5 месяц
16 944.44
16 666.67
277.78
16 666.67
6
6 месяц
16 805.56
16 666.67
138.89
0.00
100 000.00
2 916.67
№ Год, месяц Всего
В погашение долга
0
0 месяц
-100 000.00
1
1 месяц
2
Всего
заплачено
10 2 916.67

11.

Рассмотрим расчет на примере. Пусть, мы берем на 6 месяцев сумму
100000 рублей под 10% годовых. Тогда график погашения будет выглядеть
следующим образом:
Покажем, как были сделаны расчеты:
1 месяц: 100000:6+100000∙0,00833333=17500.00.
Остаток после платежа: 100000-16 666.67=83 333.33
2 месяц: 83 333.33:5 +83 333.33∙0,00833333=16 666.67+694.44=17361.11
Остаток после платежа: 83 333.33-16 666.67=66 666.67
3 месяц: 66 666.67:4+66 666.67∙0,00833333=16 666.67+555.56=17222.22
Остаток после платежа: 66 666.67-16 666.67=50 000.00
4 месяц: 50 000.00:3+50 000.00∙0,00833333=16 666.67+416.67=17 083.33
Остаток после платежа: 50 000.00-16 666.67=33 333.33
5 месяц: 33 333.33:2+33 333.33∙0,00833333=16 666.67+277.78=16 944.44
Остаток после платежа: 33 333.33-16 666.67=16 666.67
6 месяц: 16 666.67:1+16 666.67∙0,00833333=16 666.67+138.89=16 805.56
Остаток после платежа: 16 666.67-16 666.67=0. Кредит погашен.
Как мы видим из примера, ежемесячная сумма выплаты основного
долга не меняется, а меняется только сумма начисленных процентов на
остаток займа.
Вывод: Переплата составляет 2 916.67рублей

12.

4й способ
Пусть
х — ежемесячные платежи без начисленных %
24х — все выплаты без начисленных %
(24х+23х+ …. +2х+х)0,03=9х-% — за весь период кредитования
24х+9х=33х — все выплаты с начисленными %,
х=1500000/24
х=625000
33*62500=20 625 000

13.

Аннуитетные платежи – вариант ежемесячного платежа по
кредиту, когда размер ежемесячного платежа остаётся
постоянным на всём периоде кредитования. Ежемесячный
платёж при аннуитетной схеме погашения кредита состоит из
двух частей. Первая часть платежа идёт на погашение
процентов за пользование кредитом. Вторая часть идёт на
погашение долга. При аннуитетной схеме выплат по кредиту,
ежемесячный платёж рассчитывается как сумма процентов,
начисленных на текущий период и суммы идущей на
погашения суммы кредита.
31 декабря 2016 года некто взял в банке S рублей в кредит под
a процентов годовых. Схема выплаты кредита следующая:
1 числа каждого следующего года банк начисляет a процентов
на оставшуюся сумму долга. Затем некто переводит в банк
сумму X ежегодного платежа (транш). Весь долг некто должен
выплатить за n лет, то есть за n равных платежей. Необходимо
найти одну из неизвестных величин: S, a, X, или n.

14.

Пример расчёта графика выплат по аннуитетному кредиту
Размер кредита – 100000 р, годовая процентная ставка — 10%,
срок погашения — 6 месяцев.
Для начала рассчитаем ежемесячный платёж:
100000*(0,0083333+0,0083333/(1+0,0083333)6 -1) = 17156,14
Затем рассчитаем по месяцам процентную и кредитную часть аннуитетного платежа.
1 месяц: Проценты: 100000 ∙ 0,1 : 12 = 833,33
Основной долг: 17156,14 – 833, 33 = 16322,81
2 месяц: Остаток кредита: 100000 – 16322,81 = 83677,19
Проценты: 83677,19 ∙ 0,1:12 = 697,31
Основной долг: 17156,14 – 697,31 = 16458,83
3 месяц: Остаток кредита: 83677,19 – 16458,83 = 67218,36
Проценты: 67218,36 ∙0,1:12 = 560,15
Основной долг: 17156,14 – 560,15 = 16595,99
4 месяц: Остаток кредита: 67218,36 – 16595,99 = 50622,38
Проценты: 50622.38 ∙ 0,1:12 = 421.85
Основной долг: 17156,14 – 421,85 = 16734,29
5 месяц: Остаток кредита: 50622,38 – 16734,29 = 33888,09
Проценты: 33888,09 ∙ 0,1:12 = 282,40
Основной долг: 17156,14 – 282,40 = 16873,74
6 месяц: Остаток кредита: 33888.09 – 16873.74 = 17014,35
Проценты: 17014,35 ∙ 0,1:12 = 141,79
Основной долг: 17156,14 – 141,79 = 17014,35

15.

Месяц
Платеж
Проценты
Тело кредита
Остаток
1
17156.14
833.33
16322.81
83677.19
2
17156.14
697.31
16458.83
67218.36
3
17156.14
560.15
16595.99
50622.38
4
17156.14
421.85
16734.29
33888.09
5
17156.14
282.4
16873.74
17014.35
6
17156.14
141.79
17014.35
0
Общая сумма платежей: 102936.84
Общая сумма процентов (переплата): 2936.84
Чтобы узнать размер переплаты по аннуитетному кредиту, необходимо ежемесячный
платёж, умножить на количество периодов и из получившегося числа вычесть
первоначальный размер кредита. В нашем случае переплата будет следующей:
17156,14 ∙ 6 – 100000 = 2936,84

16. Аннуитетные платежи для них применима формула

-платежи клиента с уже
начисленными процентами
а- процентная ставка
В-сумма, взятая в кредит

17.

Если дано:
А1, А2, А3, А 4 – ежемесячные платежи,
а — процентная ставка — арифметический способ
решения.
В — сумма, взятая в кредит, а — процентная ставка линейное уравнение.
А1, А2, А3, А 4 — ежемесячные платежи, В — сумма, взятая
в кредит — квадратное уравнение.

18.

Какая схема выгодней:
Аннуитетная или
Дифференцированная?

19.

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3
месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты
кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг
на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму
и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами
(аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца
увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму,
уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого
месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга
каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же
величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее
выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

20.

Аннуитетная схема
А1, А2, А3, А 4 — ежемесячные платежи,
А — процентная ставка,
В — сумма, взятая в кредит.
В= 331000 руб
а=10%
А1 =А2 =А3 = х – ежемесячная выплата
х/1,1+х/(1,1)2+х/(1,1)3=331000 х= 133100
Весь платеж составит 339300 руб

21.

Дифференцированная схема
х руб – один из 3х равных платежей по основному долгу
3х – вся сумма по основному долгу
Рассчитываем % ставку банка:
(3х+2х+х)*0,1 = 0,6х
3х+0,6х = 3,6х
х=331000/3
3,6х=397200 руб
Сравниваем дифференцированный и аннуитетный
платежи:
339300-397200=2100 (руб)

22.

Спасибо за внимание!

Слайд 1

Финансовая математика: банки, вклады, кредиты

Слайд 2

Кредиты

Слайд 3

1. Платежи по кредиту не должны превышать 40% доходов. Каков максимальный платеж по кредиту при доходах 10 000 руб. в месяц? 2. Под какой максимальный процент в месяц выгодно брать кредит при инфляции 24% в год? 3. Покупатель приобрел фотоаппарат за 10 тыс. руб. в кредит на 1 год под 20% годовых. Стоимость фотоаппарата через год составила 13 тыс. руб. Был ли выгоден кредит? 4. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на год под 36% годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока. Какова будет переплата? 5. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на полгода под 36% годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока. Какова будет переплата? 6. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на год под 1% в день с единовременным погашением с процентами в конце срока. Сколько рублей нужно будет уплатить в конце года? 7. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на два года под 6% в месяц с единовременным погашением с процентами в конце срока. Сколько рублей нужно будет уплатить за два года? 8. Кредит на сумму 10 000 руб. взят на три месяца с единовременным погашением с процентами в конце срока. Ставка кредита за первый месяц определяется из расчета 12% годовых, в каждый из следующих месяцев на 1 процентный пункт годовых больше. Сколько рублей будет уплачено в конце срока? 9. Кредит на сумму 10 000 руб. взят на три месяца с единовременным погашением с процентами в конце срока. В конце срока за банку было уплачено 10 330 руб. Какому проценту годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока это соответствует?

Слайд 4

Ответы: 1. 4000р. 2. 2%. 3. да. 4. 3600р. 5. 1800р. 6. 46 500р. 7. 24 400р. 8. 10 325р. 9. 13,2%.

Слайд 5

Решить задачу 1. Платежи по кредиту не должны превышать 40 % доходов. Каков максимальный платеж по кредиту при доходах 10000 рублей в месяц?

Слайд 6

Решить задачу Пусть платеж по кредиту х рублей. Хр – 40 % 10000р – 100% Х = (10000 ⦁ 40) /100 Х= 4000 р 40 % = 0,4 0,4 ⦁ 10000 = 4000 (р) Ответ: 4000 рублей 1. Платежи по кредиту не должны превышать 40 % доходов. Каков максимальный платеж по кредиту при доходах 10000 рублей в месяц? или

Слайд 7

Решить задачу 2. Под какой максимальный процент в месяц выгодно брать кредит при инфляции 24 % в год?

Слайд 8

Решить задачу 2. Под какой максимальный процент в месяц выгодно брать кредит при инфляции 24 % в год? 24 : 12 = 2 % Ответ: 2%

Слайд 9

Решить задачу 3. Покупатель приобрел фотоаппарат за 10 тыс. руб. в кредит на 1 год под 20% годовых. Стоимость фотоаппарата через год составила 13 тыс. руб. Был ли выгоден кредит?

Слайд 10

Решить задачу 3. Покупатель приобрел фотоаппарат за 10 тыс. руб. в кредит на 1 год под 20% годовых. Стоимость фотоаппарата через год составила 13 тыс. руб. Был ли выгоден кредит? 20 % = 0,2 Долг банку в конце года: 1,2 ⦁ 10000 =12000 р 13000> 12000, кредит был выгоден Ответ: да

Слайд 11

4. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на год под 36% годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока. Какова будет переплата? Решить задачу

Слайд 12

4. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на год под 36% годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока. Какова будет переплата? Решить задачу Решение. 36 % = 0,36- составляет переплата. 0,36 ⦁10000 = 3600 (р) Ответ: 3600р

Слайд 13

Решить задачу 5. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на полгода под 36% годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока. Какова будет переплата?

Слайд 14

Решить задачу 5. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на полгода под 36% годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока. Какова будет переплата? Решение. 36 % годовых, значит, в месяц 36 : 12 = 3% За полгода: 3% ⦁ 6 = 18% 0,18 ⦁ 10000 = 1800 (руб) — переплата Ответ: 1800 рублей

Слайд 15

Решить задачу 6. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на год под 1% в день с единовременным погашением с процентами в конце срока. Сколько рублей нужно будет уплатить в конце года?

Слайд 16

Решить задачу 6. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на год под 1% в день с единовременным погашением с процентами в конце срока. Сколько рублей нужно будет уплатить в конце года? Решение. Процентная ставка в год: 1 % ⦁ 365(дней) = 365% = 3,65 Банковский коэффициент: 1 +3, 65 = 4,65 Долг в конце года: 10000 ⦁ 4,65 = 46 500(руб.) Ответ: 46 500 рублей

Слайд 17

Решить задачу 7. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на два года под 6% в месяц с единовременным погашением с процентами в конце срока. Сколько рублей нужно будет уплатить за два года?

Слайд 18

Решить задачу 7. Кредит на сумму 10 000 руб. выдан на два года под 6% в месяц с единовременным погашением с процентами в конце срока. Сколько рублей нужно будет уплатить за два года? Решение. Процентная ставка 6% в месяц , 6% = 0, 06 Кредит выдан на 24 месяца Банковский коэффициент: 1 + 0,06 ⦁ 24 = 1 + 1,44 = 2,44 Долг в конце срока: 10000 ⦁ 2,44 = 24400 (руб.) Ответ: 24 400 рублей

Слайд 19

Решить задачу 8. Кредит на сумму 10 000 руб. взят на три месяца с единовременным погашением с процентами в конце срока. Ставка кредита за первый месяц определяется из расчета 12% годовых, в каждый из следующих месяцев на 1 процентный пункт годовых больше. Сколько рублей будет уплачено в конце срока?

Слайд 20

Решить задачу 8. Кредит на сумму 10 000 руб. взят на три месяца с единовременным погашением с процентами в конце срока. Ставка кредита за первый месяц определяется из расчета 12% годовых , в каждый из следующих месяцев на 1 процентный пункт годовых больше . Сколько рублей будет уплачено в конце срока? Решение. Ставка кредита за первый месяц: 12% : 12 = 1% Ставка кредита за второй месяц: (12% +1%) / 12 = 13/12 % Ставка кредита за третий месяц: 13% + 1% = 14%, 14% : 12 = 14/12 % Ставка кредита в конце срока: 1% + 13/12% + 14/12% = 39/12 % = 3, 25% = 0, 0325 Банковский коэффициент: 1 + 0, 0325 = 1, 0325 Долг в конце срока: 10000 ⦁ 1, 0325 = 10325 (руб.) Ответ: 10325рублей

Слайд 21

Решить задачу 9. Кредит на сумму 10000 руб. взят на три месяца с единовременным погашением с процентами в конце срока. В конце срока за банку было уплачено 10330 руб. Какому проценту годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока это соответствует?

Слайд 22

Решить задачу 9. Кредит на сумму 10000 руб. взят на три месяца с единовременным погашением с процентами в конце срока. В конце срока за банку было уплачено 10330 руб. Какому проценту годовых с единовременным погашением с процентами в конце срока это соответствует? Решение. Переплата в конце срока: 10330 – 10000 = 330(руб.) Процентная ставка за 3 месяца: 10000р – 100% 330р — х%, х% = 33000:10000 = 3,3 % 3 месяца = ¼ года, поэтому процент годовых: 3,3% ⦁ 4 = 13,2% Ответ: 13,2%

Слайд 23

ЗАДАЧИ №17 ЕГЭ (ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ)

Слайд 24

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? Решить задачу

Слайд 25

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? А Решить задачу

Слайд 26

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10% ), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? А 10 % = 0,1 Долг на конец года: А + 0,1А = 1,1А 1,1 – это банковский коэффициент Решить задачу

Слайд 27

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10% ), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами ? А Решить задачу Ежегодный платеж обозначим через х.

Слайд 28

Решение. А = 9 930 000р, 10% годовых = 0,1 и тогда банковский коэффициент 1, 1= b . Пусть ежегодный платеж составляет х рублей. Найдем долги по кредиту в конце первого года: Ab-x ; второго года: (Ab-x) b –x ; третьего года (конец срока): ((Ab – x) b – x) b – x . По условию долг выплачен за три года, значит ((Ab – x) b – x) b – x = 0, Х = Ответ: 3 993 000 рублей

Слайд 29

Второй способ. А = 9 930 000р, 10% годовых = 0,1 , тогда банковский коэффициент 1,1. Пусть ежегодный платеж составляет х рублей. Составим таблицу. Так как кредит полностью выплачен за три года, то 1,331А – 3,31х = 0, 1,331 ⦁ 9 930 000 – 3,31х = 0, Х = 3 993 000 Год Долг Долг с процентами Платеж Остаток на конец периода времени 1 А 1,1А х 1,1А — х 2 1,1А – х (1,1А – х) ⦁1,1= 1,21А – 1,1х х 1,21А — 2,1х 3 1,21А – 2,1х (1,21А – 2,1х) ⦁1,1 = 1,331А – 2,31х х 1,331А – 3,31х

Слайд 30

Задача №2 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 2 296 350 рублей

Слайд 31

Задача №3 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? Ответ: 806 400 рублей

Слайд 32

Домашнее задание https://math-ege.sdamgia.ru/test?id=15846550 Или Вариант № 15846550 на сайте «Решу ЕГЭ», профильный уровень.

Слайд 33

Использованная литература. источник шаблона: Ранько Елена Алексеевна, учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново, Сайт: http://pedsovet.su/ Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой» Материалы сайта http ://решуегэ.рф https://math-ege.sdamgia.ru/

Слайд 34

Интернет-ресурсы Книга: http://www.liveinternet.ru/users/4321745/post201324261/ Карандаш: http://allforchildren.ru/pictures/showimg/school5/school0519jpg.htm Линейка, циркуль, лекало: http://www.ineedsex.ru/main.php?g2_view=core.DownloadItem&g2_itemId=345&g2_serialNumber=2 Транспортир: http://knopka48.ru/images/detailed/1/26449_2.png

• Московская область, г. Королёв

• Учитель математики МАОУ ЛНИП:
• Ткаченко Лидия Анатольевна

ЗАДАЧИ C ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ в ЕГЭ

Простые проценты. Налоги.

• если величина А больше величины В на p%, то
  
• если величина А меньше величины В на p%, то
  

•  

Сложные проценты. Вклады.

• 2) при последовательном изменении величины на в течение n периодов, она становится равной
• где величины могут быть как положительными при увеличении величины на p%, так и отрицательными при уменьшении величины на p%.

•  

или

1) Величина S0 , увеличиваемая на p% в течение n периодов в конце n-го этапа становится равной

Кредиты

• Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.
• Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.
• Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.
• Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата тела кредита).

График погашения кредита дифференцированными платежами

График погашения кредита аннуитетными платежами

Кредиты

Дифференцированные платежи дают линейную зависимость от погашения кредита: чем меньше должен — тем меньше начислили процентов.

Сумма и срок досрочного погашения ничем не ограничены.

Досрочное погашение в аннуитетной схеме лишь сокращает срок выплаты кредита: на графике «срезаются» последние платежи и отпадает необходимость платить соответствующие им проценты, которые в конце графика как раз очень малы.

Таким образом, в аннуитетной схеме досрочное погашение невыгодно.

Теорема об аннуитетных платежах

• Обобщая вышеприведенные рассуждения на случай n платежных периодов (дней, месяцев, лет), получим общие формулы, связывающие сумму кредита , коэффициент, где q% — процентная ставка за период, величину текущего долга и постоянную выплату х:
• и тогда

•  

;

;

Теорема о дифференцированных платежах.

• Повторив решение предыдущей задачи для n месяцев, получим общие формулы для дифференцированных платежей.
• Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма , причем каждый платежный период долг сначала возрастет на q% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за все время выплаты кредита даются формулами

•  

1. Вклад А: 10% в год на 3 года

n — % вклада, k – количество лет, S – первоначальный взнос,

– сумма в конце k-го года

2. Вклад Б: 5% в первый год

– в конце первого года,

n % — на второй и третий год

– сумма за третий год.

Задача 1. По вкладу «А» банк начисляет 10% каждый год, а по вкладу «Б» — 5% в первый год и n % за второй и третий годы. Найдите наименьшее целое значение n, при котором за 3 года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение

По условию,

Ответ:

12,6

0

-212,6

+

—

+

Решение

Пусть в k-тый год гражданин продает бумагу и кладет средства на счет в банк.

Выгодно класть в банк, когда 10% от текущей цены бумаги будут больше 2 тысяч рублей.

• (7 + 2k) тысяч рублей ЦЕНА БУМАГИ.

2) Затем он кладет в банк под 10% годовых на (30 – k) лет:

– финальная сумма.

должна быть наибольшей,

Задача 2. Гражданин приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги возрастает каждый год на 2 тысячи рублей. В любой момент гражданин может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет под 10% начислений в год. В течение какого года после покупки гражданин должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

— разность между двумя соседними значениями,

Если , то выгодно держать ценную бумагу на руках,

Если , то выгодно класть на счет под %.

Ответ: лет

Решение

Наибольшая выплата

Наименьшая выплата

Сумма кредита , на 9 лет разница между июлями

Каждый раз между июлями — ?

Задача 3.В июле планируется взять кредит на сумму 4,5 млн рублей сроком на 9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на n % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;

— каждый июль сумма долга должна отличаться от предыдущего на равную сумму.

Найдите целое число n, если наибольшая выплата за все время не превышает 1,4 млн рублей, а наименьшая выплата не менее 0,6 млн рублей.

Решение

июль

Январь (набегает

)

Выплаты февраль-июнь

1

2

3

4

…

8

9

Наибольшая выплата – первая, т.е.

Наименьшая выплата – последняя, т.е.

Вспомним, что

Ответ:

Решение

– сумма кредита,

– ежегодный платеж,

— годовые проценты,

– сумма долга умножается на этот коэффициент 31 декабря.

Задача 4. 31 декабря 2013г. Сергей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.

Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.

Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение

остаток на счете

начисление % 31 декабря

выплаты

1

2

3

4

0

Решение

Ответ:

Задача 5.

Гражданин берет 15 января в банке кредит на 19 месяцев. Условия кредита таковы:

— 1 числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца,

— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,

— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите

Решение

– сумма кредита,

– сумма долга умножается на этот коэффициент 1 числа каждого месяца; в следующий раз набегает k

15 января

начисление % 1 числа

выплаты

1

2

3

…

Решение

Но общая сумма выплат на 30% больше суммы кредита, т.е.

Суммируем и приравняем выплаты:

Гаусс

Решение

Но

Ответ:

Список литературы:
1) Математика. ЕГЭ. Задача с экономическим содержанием: учебно-методическое пособие. / под ред. Ф.ф.лысенко и с.ю.кулабухова, ростов-на-дону:легион, 2015. – 80с.
2) ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. и.в.ященко, издательство “национальное образование”, 2017 – 256с.
3) Д.д.гущин, курс лекций по подготовке к егэ.
Веб-страница курса с актуальными материалами: http://reshuege.ru/course?id=2610 Издание 2, дополненное. — 05.04.2016

Презентация Финансовая математика в задачах ЕГЭ и практической деятельности человека онлайн

Слайды презентации