Финансовые задачи решу егэ

В части с развернутым ответом в ЕГЭ по профильной математике есть уникальный номер, к которому школьник почти готов сразу после освоения материала для первых 12-ти заданий. Речь об экономической задаче под номером 17 в ЕГЭ по математике. Конечно, поготовиться придется, но, если повезет с прототипом, баллы можно урвать почти даром!

Прототипы для 17-го номера делятся на три большие группы: 

• банковские задачи, 
• на ценные бумаги,
• задачи на оптимальный выбор. 

В этой статье мы расскажем, как научить ученика структурировать условие любой банковской задачи, как составить по этим данным математическую модель и найти решение. Расскажем, на что обратить внимание ученика, чтобы школьник не потерял баллы из-за неверного оформления.

Главная трудность — школьник плохо понимает условие, ведь с кредитами и вкладами он пока не сталкивался.

• Как работает процент по кредиту?
• На какую сумму начисляется?
• Из каких частей состоит платеж?
• Как уменьшается долг?

На все эти вопросы вам придется ответить. Это отличная возможность показать пользу уроков математики, ведь 17-ый номер — едва ли не самая прикладная задача за весь школьный курс! 

Например, можно рассказать о том, какие бывают образовательные кредиты. Вы в курсе, что их дают с 14 лет, а платеж первые годы может быть ничтожным? Школьник об этом точно не знает.

С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в ЕГЭ по математике

Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:

• Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
• Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
• Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг. 

Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.

Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.

Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер. Однако наш метод универсален, а значит вы дадите школьнику один алгоритм на все типы банковских задач. Согласитесь, работать с одним алгоритмом проще, чем подбирать разные по ситуации.

Тип 1. Равные платежи

Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!

Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.

Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.

Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!

Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.

Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:

Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается. 

По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:

Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!   

Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.

Вспоминаем, что k=1+r/100, а найти нам надо r.

Ответ: 10%.

Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:

Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:
— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,
— Составили математическую модель,
— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!
Это и есть алгоритм решения банковской задачи.

Тип 2. Равномерно убывающий долг

В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.  

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.

Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:

Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:

Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:

Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:

Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:

Ответ: 1%.

И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.

Тип 3. Долг, убывающий согласно табличке

Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг(в млн рублей)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.

Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:

Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.

Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.

«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:

Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.

Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:

Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.

Ответ: 5%.

Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.

Тип 4. Погашение кредита в два этапа.

По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше

В 2017-2018 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.

Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.

Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.

Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:

Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:

Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.

Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:

Посчитаем эту сумму:

Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:

Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!

Ответ: 700 тысяч.

Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.

Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике

Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:

• Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
• Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
• Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
• Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.

Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.

За что дают баллы?

Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.

17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.

Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа. 

Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:

А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.

Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть! Чем раньше школьник это осознает, тем проще будет с ним работать. А банковская задача поможет получить дополнительные баллы с минимальными усилиями.

Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги. 

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. С 2022 года задание 15 оценивается на ЕГЭ в 2 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать.

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать.

Комбинированные задачи.

В чем основная сложность «экономической» задачи.

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

1. Что принимается за 100%?
2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
3. Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга. Подробно здесь.

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии. В задачах второго типа — формула суммы арифметической прогрессии.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

Давайте потренируемся.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

Введем обозначения:

тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

— процент банка,

— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

— сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

— сумма долга увеличивается в раз;

— Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на .

Вот что получается:

Раскроем скобки:

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

. В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

И выразим из этой формулы .

Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби , Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

тыс.руб.

Ответ: 2296350 рублей.

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Как обычно,

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна После первой выплаты сумма долга равна после второй

Тогда первая выплата вторая выплата,

Последняя в году выплата

Сумма всех выплат в течение первого года:

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой   Обозначим эту сумму

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой Эту сумму обозначим

Общая сумма выплат за год:

тыс. рублей.

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017, 2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .

Это значит, что и тогда

тысяч рублей.

Ответ: 1925 тыс. рублей.

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 15 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость, 1 центнера	Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная	1500 руб	2100 руб
жестяная	1100 руб	1750 руб

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компотов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% — компот в жестяных банках).

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках — 80y центнеров в сутки.

Составим таблицу.

Вид тары	Доля в общем количестве	Производится в сутки	Прибыль за 1 центнер
стеклянная			2100 — 1500 = 600 руб
жестяная			1750 — 1100 = 650 руб

Общая прибыль завода за сутки равна

По условию, и , то есть и

Нужно найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

Подставим в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при Тогда и максимально возможная прибыль завода за день равна

руб.

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной — здесь:

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

13 апреля 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Финансово-экономическая задача

12 примеров заданий с решениями.

В представленной модели ЕГЭ-2022 профильного уровня задание 15 — это финансово-экономическая задача, которая в ЕГЭ-2021 шла под номером 17, и если в прошлом году оценивалась в 3 первичных балла, то в этом ее стоимость составляет 2 первичных балла. К решению этого задания приступает достаточно большое количество участников экзамена (около 30%), причём 15–18% получают за свое решение полный балл.

В данной статье будут даны рекомендации по решению и оформлению подобных задач с учетом предъявляемых при проверке требований исходя из личного опыта работы автора учителем и личного участия в качестве эксперта в работе предметной комиссии г. Москвы.

e15.pdf

Методичка по решению экономических задач

(задание 17 ЕГЭ)

Составитель: Мокина В.С.,

учитель математики

МАОУ гимназия №83

Тюмень 2021 год

Содержание

l. Задачи на оптимальный выбор.

2. Задачи на кредит с аннуитетным платежом

3. Задачи на дифференцированный платеж 

4. Задачи на нахождение суммы кредита

5. Задачи на нахождение суммы вклада

Все представленные в банке ЕГЭ задачи (задание 17), можно условно разделить на группы и подгруппы:

Задачи, не связанные с банковскими операциями (задачи на оптимизацию)

Банковские задачи на вклады

1) нахождение срока вклада;

2) вычисление процентной ставки по вкладу;

3) нахождение суммы вклада;

4) нахождение ежегодной суммы пополнения вклада

Банковские задачи на кредиты:

1) нахождение количества лет выплаты кредита;

2) вычисление процентной ставки по кредиту;

3) нахождение суммы кредита;

4) нахождение ежегодного транша.

В методичке показаны методы решения задач экономического содержания, связанные с банковскими кредитами, оптимизацией производства товаров и услуг.

Рассмотрим решение задач (задание 17), в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.

Задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

Величина дохода фермера будет зависеть от того как будет распределена площадь поля между картофелем и свёклой. Пусть х га, засажено картофелем на первом поле, тогда (10 – х) га, засаженных свеклой на первом поле. Полученная прибыль с первого поля, равна:

S(х) = х·500·5000 + (10 – х)·300·8000 = 24000000 + 100000х (руб.)

Функция возрастающая, т.к. к>0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наибольшем значении х = 10 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 24000000 + 100000·10 = 25000000 рублей.

Обозначим через у — количество гектар, засаженных картофелем на втором поле, а (10- у) — количество гектар, засаженных свеклой на втором поле. Прибыль со второго поля составит:

S(у) = 300·5000·у + (10 – у)·500·8000 = 40000000 – 2500000у ( руб.)

Функция убывающая, т.к. к<0, значит, наибольшая доходность будет достигнута при наименьшем значении х = 0 га и прибыль с первого поля составит: S(10) = 40000000 рублей.

Таким образом, максимальная прибыль с обоих полей, равна: S = 25000000 + 40000 = 65000000 рублей, что составляет 65 млн. рублей.

Ответ: 65млн. рублей.

Реши самостоятельно:

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 250 ц/га, а на втором — 200 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 15 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 18 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Кон­серв­ный завод вы­пус­ка­ет фрук­то­вые ком­по­ты в двух видах тары — стек­лян­ной и же­стя­ной. Про­из­вод­ствен­ные мощ­но­сти за­во­да поз­во­ля­ют вы­пус­кать в день 90 цент­не­ров ком­по­тов в стек­лян­ной таре или 80 цент­не­ров в же­стя­ной таре. Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции в каж­дом из видов тары долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 20 цент­не­ров. В таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена за­во­да за 1 цент­нер про­дук­ции для обоих видов тары.

Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция за­во­да на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль за­во­да за один день (при­бы­лью на­зы­ва­ет­ся раз­ни­ца между от­пуск­ной сто­и­мо­стью всей про­дук­ции и её се­бе­сто­и­мо­стью).

5) Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение:

Пусть у — число номеров «люкс», а  х — число стандартных номеров и S = 981м2. Тогда должно соблюдаться неравенство: 27х + 45у = 981

Выразим число обычных номеров т.е.

х = 981 – 45у, х = = 36 + = 36 +

Найдем решение этого уравнения подбором, где х, у N

Если у = 2, то х = 33 у = 14, то х = 15

у = 5, то х = 28 у = 17, то х = 8

у = 11, то х =18 у = 20, то х = 3

f(х,у) = 2000х + 4000у.

Очевидно, что максимальная прибыль будет при максимальном числе номеров «люкс», поэтому выбираем у = 20, х = 3.

Тогда в сутки предприниматель получит:

4000·20 + 2000·3 = 80000 + 6000 = 86000 рублей.

Проверим оставшиеся варианты

2·4000 + 33·2000 = 74000 рублей

5·4000 + 28·2000 = 76000 рублей

11·4000 + 18·2000 = 74000 рублей

2·4000 + 33·2000 = 80000 рублей

14·4000 + 15·2000 = 86000 рублей

17·4000 + 8·2000 = 84000 рублей

Ответ: 86000 рублей

Реши самостоятельно:

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 м2. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 м2. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2200 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0), но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 9000 – 2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Решение:

Обозначим Q(t) = 9000- 2t единиц товара, Q(t)- объем производства. Тогда налоговые сборы составляют S(t) = Q ·t, S(t) = (9000 — 2t)·t = 9000t – 2t2 руб. Рассмотрим функцию S(t) = 9000t – 2t2. Это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимального значения эта функция достигает в вершине параболы. t = t = = 2250, 2250 руб. за единицу товара. При t= t0 налоговые сборы составляют 9000t0 – 2t02 руб. При t= 2,5t0 налоговые сборы составляют 9000·2,5t0 – 2·(2,5t0)2 = 22505t0 – 12,5t02 руб. Так как сумма налоговых поступлений не изменилась, то 9000t0 – 2t02 = 22505t0 – 12,5t02 / : t0 0 получим 9000 – 2t0 = 22505 – 12,5t0 , 10,5 t0 = 13500, t0 = 13500: 10,5 = , значит за единицу товара был налог руб., а стал руб. Теперь этот налог надо уменьшить на r%, чтобы налог стал равным 22500 руб. за единицу товара.

Значит государству необходимо на 30% уменьшить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов.

Ответ: уменьшить на 30%

Решить самостоятельно

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 руб. за ед. товара. Государство увеличило налог в 2.5 раза (t1= 2.5t0),но сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог, чтобы добиться максимальных налоговых сборов. если известно, что при налоге равном t руб. за ед. товара, объем производства товара составляет 7000–2t ед., если это число положительно, и 0 единиц?

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь нарастить сумму налоговых поступлений, увеличило налог вдвое (до 2t0 рублей за единицу товара), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после такого увеличения, чтобы добиться максимальных налоговых поступлений, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства составляет 10 000 – 2t единиц и это число положительно?

lll. 1. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4 000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале каждого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?

Решение:

Используем арифметическую прогрессию, в которой а1=11000 — цена за бумагу в первый год покупки году, d=4000 — увеличение стоимости бумаги, аn — пока еще неизвестный нам год продажи бумаги (по счету от года покупки), n — номер года.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии: an=a1+d(n-1).

Используя ее находим числа, отвечающие за стоимость бумаги на начало n-го года (по счету от года покупки).

Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10% = 0,1 от данной суммы, и эти 10% должны быть больше или равны 4000.

Составим неравенство: 0,1·(a1+d(n-1)) ≥ 4000.

Подставим а1=11000, d=4000 и решим неравенство:

0,1·(11000+4000(n-1)) ≥ 4000 обе части неравенства умножим на 10, чтобы избавится от десятичной дроби, получим

11000+4000(n — 1) ≥ 40000;

11000+4000n — 4000 ≥ 40000;

4000n ≥ 33000;

n ≥ 8,25, n ∈Ν ⇒ n=8

через 8 лет надо продать бумагу, т.е. в 2001+8=2009 году

Или рассуждаем так: на восьмом году (т.е. в 2008) 10% от стоимости будет больше 4000, значит бумагу надо продать в следующем (т.е. 2009)).

Ответ: 2009 год.

Другое решение этой задачи.

Чтобы извлечь наибольшую прибыль, Алексей должен воспользоваться банковским депозитом, когда 10% от суммы, вырученной за ценную бумагу, превысит 4000 руб. Найдем значение суммы, от которой 10% будут равны 4000, получим: х·0,1 = 4000

х = 4000: 0,1 = 40000

То есть ценную бумагу в 11000 рублей нужно довести до суммы большей или равной 40000 рублей и полученную сумму положить в банк. Ценная бумага дойдет до этого уровня через 40000 – 11000 = 4000·n

n = 29000: 4000 = 7,25 n ∈Ν ⇒ n=8

то есть через 8 лет, и в начале 2009-го года полученную сумму нужно положить на банковский депозит.

Ответ: 2009.

Реши самостоятельно:

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счет будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000руб. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 руб. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение экономических задач: банки, проценты, кредиты.

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные платежи, растянутые на весь срок кредитования. В сумму платежа включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер платежа всегда остается одинаковым.

Задачи на кредит с аннуитетным платежом

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:

Ответ: 5 месяцев

Реши самостоятельно:

1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей.

1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

1 ян­ва­ря 2019 года Павел Васильевич взял в банке 1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%), затем Павел Васильевич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Павел Васильевич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 125 тыс. руб­лей?

1 ян­ва­ря 2018 года Тимофей Ильич взял в банке 1,1 млн. руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Тимофей Ильич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Тимофей Ильич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

IV.1. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%) затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Решение:

Пусть S = 9282000 рублей  размер взятого в банке кредита. 31 декабря каждого года размер кредита увеличился на 10%, а затем, Алексей переводит в банк X рублей, т.е. остаток через четыре года будет равен нулю.

Решим уравнение: ((1,12 S – 1,1х –х)1,1 – х)1,1 – х = 0

1,14 S – 1,13 х — 1,12 х — 1,1х –х = 0

Х =

Х =

Х = 2928200

Ответ: 2928200.

31 декабря 2018 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2019 года Виктор взял в банке 3276000 рублей в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20 %), затем Виктор переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Виктор выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

31 декабря 2020 года Георгий взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Георгий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Георгий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

IV.2. В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга. Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 56 595 рублей, или за два года равными платежами по 81 095 рублей. Найдите r.

Решение:

Пусть S рублей сумма кредита, ежегодные выплаты x руб., r % годовых,

к = 1 + r/100. Выплаты: b = 81095 руб., х = 56595 руб. По условию долг на июль меняется так:

Если долг выплачен двумя равными платежами b руб., то (кS – b)к – b = 0

к2 S – кb — b = 0; к2 S = (к + 1)b; S = ((к+1) b)/к2

Если долг выплачен тремя равными платежами х руб., то

((кS – х)к – х)к – х = 0

к3 S – к2 х – кх — х = 0

S = ((к2 + к+1) х)/к3

Решим систему уравнений

=

(к+1)к b = х(к2 + к+1)

(к2 + к) b = х(к2 + к) + х

(к2 + к) b — х(к2 + к) – х = 0

(к2 + к)( b – х) –х = 0

(81095 – 56595) (к2 + к) – 56595 = 0

24500к2 + 24500к — 56595 = 0

100к2 + 100к – 231 = 0

D = 102400, к = 1,1 к = -21 не удовлетворяет условию

к = 1 + r/100, r = 10%

Ответ: 10

Реши самостоятельно:

31 декабря 2017 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

В августе 2017 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r %;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за три года равными платежами по 38 016 рублей, или за два года равными платежами по 52 416 рублей.

Найдите r.

В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы: — каждый год долг увеличивается на r — процентов с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга Кредит можно выплатить за 4 года равными платежами по 777600 руб. или за 2 года равными платежами по 1317600 руб. Найдите r.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

V. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.

Решение:

Пусть S млн. рублей сумма первоначального кредита. В середине каждого года действия кредита долг возрастает на 25 %, x млн.рублей заёмщик выплачивает в конце 3-го и 4-го годов. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному.

В сумме за 2 года он погашает сумму 0,25S + 0,25S = 0,5S.

В последние два года (3-й и 4-й) сумма долга сначала возрастает в 1,25 раза, а затем, погашается равными долями в x млн.рублей.

На конец 4-го года, сумма долга составляет 0 рублей. Отсюда получаем

1,252 S — 1,25 х –х = 0,

1,252 S — 2,25 х = 0, х = =

За 4 года сумма выплат составила 0,5S + 2х. По условию общая сумма выплат превышает 9 млн. рублей, то есть, 0,5S + 2>9, 4,5S + 12,5S > 81,

17S > 81, S > 4 . При минимальном целом значении S = 5 это неравенство выполняется, следовательно, размер кредита составил 5 млн. рублей.

Ответ: 5 000 000

Реши самостоятельно:

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 10 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 5 млн. рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 15% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 7 млн. рублей.

Планируется  выдать  льготный  кредит  на  целое  число  миллионов  рублей  на  четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 %  по сравнению  с  началом  года. По договоренности с  банком в конце 1-го и 3 – го года заемщик выплачивает только проценты  по  кредиту, начисленные  за  соответствующий  текущий  год.  В  конце  2‐го  и  4‐го  годов  заёмщик  выплачивает  одинаковые  суммы,  погашая  к  концу  4‐го  года  весь  долг  полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 100 млн. рублей. 

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат будет меньше 8 млн. рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы кредита

VI. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн. рублей.

Решение:

Долг перед банком (в млн. рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом: S; 0,8S; 0,5S; 0

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен: 1,25S; 1,25∙0,8S; 1,25∙0,5S

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

1,25S — 0,8S = 0,45S 1,25∙0,8S — 0,5S = 0,5S 1,25∙0,5S – 0 = 0,725S

По условию, каждая из выплат должна быть меньше 4 млн. рублей. Это будет верно, если максимальная из выплат меньше 4 млн.рублей, т. е.

0,725S< 4; S< 6,4 S = 6

Наибольшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, искомый размер кредита 6 млн. рублей.

Ответ: 6 млн. рублей.

Реши самостоятельно:

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. рублей.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы: ‐ каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; ‐ в июле каждого года величина долга задается таблицей

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн. рублей.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S — натуральное число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

Решение банковских задач на нахождение суммы вклада

VII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течении первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение:

Обозначим через Х размер кредита, взятого в банке. Во втором месяце долг увеличивается на 3% и, затем, осуществляется выплата так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т.е. в первый раз выплата будет составлять , и сумма долга во втором месяце составит:

1,03х – () = х — = . Аналогично для следующего месяца, только долг теперь будет составлять получаем остаток долга в размере

1,03· – () = — = .

Вторая выплата будет равна:

Аналогично третья выплата:

Аналогично четвертая выплата: и т.п.

………………………………………………………..

12- тая выплата:

Сумма выплат за первые 12 месяцев составит:

… + 13) =

В скобках получилась арифметическая прогрессия сумму, которой находим по формуле =

= + = = .

По условию в течении первого года нужно выплатить 466,5 тыс. руб.

= 466,5 Х= Х= 600 тыс. руб. или это 600000 руб.

Ответ: 600000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го января планируется взять кредит в банке на 20 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 10 месяцев нужно вернуть банку 1179 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за последние 12 месяцев нужно вернуть банку 1597,5 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

15-го января планируется взять кредит в банке на 16 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 8 месяцев нужно вернуть банку 900 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?

5-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

5)15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

VIII. 15-го января планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1- го по 25 – й месяц долг должен быть на 40 тыс. руб. меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

— к 15 – му числу 26 – го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб.

Решение:

Обозначим через S исходную сумму кредита. В течение первого месяца эта сумма возрастает на 3%, становится равной S+0,03S = 1,03 S. Выплату нужно сделать так, чтобы исходная сумма S уменьшилась на 40 тыс. рублей, то есть, нужно выплатить

0,03S+40 тыс. рублей.

Оставшаяся сумма S-40 в следующем месяце снова увеличивается на 3%, становится равной 1,03(S-40), и следует выплатить0,03(S-40) + 40 тыс. руб., Таким образом, в течении 25-ти месяцев, сумма выплат составит:

0,03S+40 + (0,03(S-40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) + (0,03(S-2·40) + 40) +… + (0,03(S-24·40) + 40) = 0,03S·25 + 40·25 – 0,03·40·( 1 + 2 + 3 +… + 24) =

S24 = 1 + 2 + 3 +… + 24 =   24 = 25·12 = 300

= 0,75 S + 1000 – 360 =0,75 S + 640

В последний 26-й месяц выплачивается остаток  1,03(S -25·40) = 1,03(S – 1000)

В сумме за 26 месяцев имеем: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000). По условию общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тыс. руб. Составим и решим уравнение: 0,75 S + 640 +1,03(S – 1000) = 1924

1,78 S = 1924 + 390

S = 2314/ 1,78

S = 1300 тыс.руб.

Ответ: 1300000 руб.

Реши самостоятельно:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 11 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 10-й долг дол­жен быть на 80 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— к 15-му числу 11-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1198 тысяч руб­лей?

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 300 тысяч руб­лей на 21 месяц. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 20-й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— 15-го числа 20-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 100 тысяч руб­лей;

— к 15-му числу 21-го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те общую сумму вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Ответы:

1) 84 млн. руб., 2) 69 млн. руб., 3) 90 млн. руб., 4)53500 руб., 5) 2685000 руб.

1) 125000 руб., 2)104500 руб. 3)86600 рублей.

1) 2 2) 25

III. l. 1) 2008 2) 2005

1) 6 месяцев 2) 6 месяцев 3) 9 месяцев 4) 6 месяцев

IV.1. 1) 3703860 рублей 2) 155520 рублей 3) 1064800 рублей

IV.2. 1) 20% 2) 20% 3) 20% 4) 10%

1) 6 млн. руб., 2) 3 млн. руб., 3) 5 млн. руб., 4) 77 млн. руб.,

5 млн. руб.

VI. 1) 11млн.руб. 2) 200 тыс. руб. 3) 400 тыс. руб. 4) 36 млн.руб.

5) 8 млн.руб.

VII. 1) 1200000руб. 2) 3000000 руб. 3) 1200000руб. 4) 0,8 млн. руб.

5) 411000 руб.

VIII. 1) 200000 руб. 2) 384000 руб. 3) 1100000 руб.

Используемая литература:

Шестаков С.А. ЕГЭ 2017. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задачи 17(профильный уровень)/Под ред.И.В.Ященко.-М.:МЦНМЩ, 2017

30 тренировочных вариантов ЕГЭ под редакцией И. В. Ященко» – 2021.

VI районная научно-исследовательская конференция обучающихся обучающихся общеобразовательных организаций Октябрьского муниципального района

Финансовая математика в задачах ЕГЭ. Решение задач на кредиты

Исследовательская работа по математике

Автор работы: Кутепова Анна, ученица 10 класса        

Руководитель: Моторина  Ольга Робертовна, преподаватель математики «МОУ ОСОШ №1»

с. Октябрьское, 2022 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение        2

Банковские кредиты и математика        4

Схемы решения экономических задач на кредиты        8

1. Задача на определение величины выплаты/дифференцированные платежи        8
2. Задача на определение ежегодной (ежемесячной) выплаты /аннуитетные платежи        10
3. Определение величины процента ставки кредита /долг, убывающий согласно таблице в условие задачи        12
4. Задача на определение суммы кредита/аннуитетные платежи        14
5. Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита /дифференцированные платежи        16

Заключение        20

Список информационных источников        22

Введение

В современном, информационно-развитом мире, встречаются люди, которые не умеют правильно распоряжаться своими финансами и контролировать свои доходы и расходы. В этих случаях необходима финансовая грамотность, ведь благодаря данным знаниям мы сможем не только управлять деньгами, правильно инвестировать свои средства, но также будем в безопасности во время сложных жизненных обстоятельств и не потеряем свои доходы. Наша жизнь сегодня настоятельно требует, чтобы каждый человек  имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.  Финансовая грамотность необходима при решении экономических задач в ЕГЭ профильного уровня по математике. Данные задания проверяют практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.

Учащиеся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть и в ОГЭ и  в ЕГЭ.  На данный момент я являюсь ученицей 10 класса. В следующем году мне предстоит сдать ЕГЭ. Я уже  ознакомлена с заданиями данного экзамена и знаю, что среди них есть  задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос о  том,  каким образом подойти к решению таких задач. Кроме того я выбрала эту тему еще и  потому,  что в 7 классе мной был выполнен проект «Сам себе финансист: проценты и скидки».В этой исследовательской работе я хочу углубить и расширить свои знания в области финансовой математики. На выбор темы повлияло и то, что в  будущем я планирую поступить на экономический факультет ВУЗа.

Тема моей работы: Финансовая математика в экономических задачах ЕГЭ. Решение задач на кредиты.

Гипотеза: Не смотря многообразие типов экономических задач профильного экзамена по математике,  их можно классифицировать и  вывести единую схему решения.

Цель работы: Изучить основные типы экономических задач на кредиты ЕГЭ по профильной математике и научиться их решать.

Задачи:

• Изучить теоретические аспекты решения экономических задач;
• Познакомиться с прототипами  экономических задач, представленных в открытом банке заданий  ЕГЭ;
• Создать обучающую презентацию по различным типам задач на кредиты.

Объект исследования: Экономические задачи на кредиты №15 в ЕГЭ.

Предмет исследования: Схемы и алгоритмы решения задач на кредиты.

Методы исследования:

• Изучение и анализ литературы и интернет-источников по данной теме.
• Математическое моделирование
• Классификация
• Анализ

Банковские кредиты и математика

Финансовая математика –  раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с экономическими расчётами.

В единый государственный экзамен  по математике (ЕГЭ) профильного уровня экономические задачи были включены в 2015 г. Это задания высокого уровня сложности с практическим  содержанием, проверяющее навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.

Экономические  задачи  предполагают:

1. Умение работать с процентами, частями и долями.
2. Владение понятием «Математическая модель».
3. Умение строить математическую модель задачи.
4. Владение вычислительными навыками.
5. Умение применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
6. Умение интерпретировать полученный результат, учитывать реальные ограничения.

Экономические задачи под номером 15 в ЕГЭ по профильной математике делятся на три основные группы:

1. Задачи на кредиты.
2. Задачи на вклады и ценные бумаги.
3. Задачи на оптимальный выбор.

Данную работу я посвятила разбору примеров задач первого типа.

Банковский кредит – денежная сумма, предоставляемая банком на определённый срок и на определённых условиях; определённая технология удовлетворения заявленной заёмщикомфинансовой потребности.

Потребность в кредите возникает при оплате значительныхпо стоимости объектов потребления без предварительного накопления достаточных ресурсов, необходимости обеспечения своевременных платежей по товарам, приобретенным в рассрочку, оплате эксклюзивных покупок случайного характера, кассовых разрывах при замене старых объектов потребления на новые, покрытии потерь при наступлении рисков, оплате значительных расходов и т. д.

Понимание и структурирование данных условия задачи – важный шаг на пути правильного ее решения. Для упорядочивания данных условия задачи я использовала таблицы, хотя это и не единственный способ решения 15-го задания,  можно использовать и другие методы: последовательности, прикладные методы. Метод решения текстовых задач с помощью таблиц универсальный, знаком каждому школьнику. С помощью таблицможно выработать единый алгоритм решения большинства банковских задач.

В решениях, представленных в работе задач,мною будут использоваться следующие обозначения:

выплатить кредит

Кредитные операции играют основную роль в деятельности банков. Экономические задачи,  конечно,  несколько упрощают реальную ситуацию, в жизни банковские операции по кредитам  значительно  сложнее, тем не менее, именно они дают начальные представления о действиях в мире финансов. При решении экономических задач не обойтись без вычисления процентов, при этом используются «простые» и «сложные проценты». Задачи  простые проценты изучаются в школьном курсе математике и включены в тестовую часть заданий профильного экзамена. Вычислять же «сложные проценты» приходится в тех случаях, когда в задаче идет речь о величине, подверженной поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменениесоставляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.Существуют разные формулы, по которым происходит вычисление сложных процентов. При выдаче кредитов на срок n проценты могут, например,  начисляться по формуле:  

. Где F – это погашаемая сумма, которую заемщик должен вернуть в банк, а S– начальная сумма, взятая в кредит.

Проанализировав условия задач на кредиты профильного ЕГЭ, я обнаружила, что классифицировать задачи можно разными способами:

1. По типу ежемесячных (ежегодных)  платежей.
2. Разделить на простые (используется одна формула) или сложные (применяются несколько формул, используются системы, неравенства).
3. По неизвестной величине, которую требуется найти в условии (процентной ставке, величине выплаты,  суммы кредита и др.)

По типу платежей  задачи  ЕГЭ  задачами самыми распространенными являются задачи на фиксированный, аннуитетный и дифференцированный платежи.

Фиксированный платеж – это платеж, величина которого четко определена в задаче.

Аннуитетный платеж–  это платеж, которыйустанавливается в равной сумме через равные промежутки времени, то есть  остаётся постоянным на всём периоде кредитования. Ежемесячный платёж, при аннуитетной схеме погашения кредита состоит из двух частей. Первая часть платежа идёт на погашение процентов за пользование кредитом, авторая часть идёт на погашение  суммы долга.  Главная особенность таких платежей  в том, что вначале ежемесячный платеж  практически полностью состоит из  суммы процентов, тогда как основной долг заемщика не уменьшается. Постепенно это соотношение выравнивается: если первое времязаемщик  гасит в основном проценты, то потом основные средства идут в счет погашения задолженности.

Дифференцированный платеж – это способ ежемесячного платежа по кредиту, при котором  размер ежемесячной выплаты по погашению кредита постепенно уменьшается к концу периода кредитования. Ежемесячный платёж, как и при аннуитетной схеме погашения кредита, складывается тоже из двух составляющих. Но в дифференцированной схеме первая часть называется основным платежом, размер которого не изменяется на всём сроке кредитования. Этот  платёж идет на погашение основного долга по кредиту. Вторая часть платежа непостоянная, она уменьшается к концу срока кредитования. Данная часть платежа при дифференцированной схеме идет на погашение процентов по кредиту. При дифференцированной схеме погашения кредита, ежемесячный платеж рассчитывается как сумма основного платежа и проценты, начисляемые на оставшийся размер долга. Естественно, что оставшийся размер долга уменьшается к концу срока кредитования, отсюда и получается уменьшение размера ежемесячной выплаты.

Схемы решения экономических задач на кредиты

В практической части своей работы  я представляюпримеры решений нескольких задач на кредиты. Это задачи на нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.)  выплат, определения срока кредитования.

1. Задача на определение величины выплаты

/дифференцированные платежи

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

 – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

Решение:

Фраза «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» — это означает, что каждый месяц  мы должны выплачивать часть начального долга  + начисленные за этот месяц проценты.

№ мес.	Начальная сумма, млн. руб.	Сумма начисленных процентов, млн. руб.	Выплата, млн. руб.	Конечная сумма, млн. руб.
1
2
3
12
24	…	…	…	0

Первая сумма  =    (т. е. половина взятой заемщиком суммы). Для удобства вычисления суммы вынесем за скобки множитель , тогда получим:

Ответ: 1 866 000 рублей

Примеры задач банка ЕГЭ на определение величины выплаты:

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей на некоторыйсрок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июльпредыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн. рублей?

2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июльпредыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн. рублей?

1. Задача на определение ежегодной (ежемесячной) выплаты/аннуитетные платежи

В июле планируется взять кредит на сумму 6409000 рублей. Условия его возврата таковы:

— Каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года.

— С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами.

Решение:

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов,  руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.
1 год			x
2 год			x

Ответ: 3817125 руб.

Примеры задач банка ЕГЭна определение ежегодной (ежемесячной) выплаты:

1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

1. Определение величины процента ставки кредита /долг, убывающий согласно таблице в условие задачи

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере . Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается напо сравнению с концом предыдущего месяца, где – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Дата
Долг (млн. руб.)

Найдите наибольшее значение, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.

Решение:

	Начальная сумма, млн. руб.	Сумма долга после начисления процентов,млн. руб.	Выплата, млн. руб.	Конечная сумма,млн. руб.
	1

Учитывая, что общая сумма выплат меньше 1,2 млн. руб., составим и решим неравенство:

Ответ: 7%

Примеры задач банка ЕГЭна определение величины процента ставки кредита:

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в млн. руб.)	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн. рублей.

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

 – каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.

1. Задача на определение суммы кредита

/аннуитетные платежи

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 156 060 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение:

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов, руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.

Определим величину ежегодной выплаты, решив уравнение относительно x:

Известно, что сумма трех выплат на 156060 руб.  больше суммы кредита:

Ответ: 239 400руб.

Примеры задач банка ЕГЭна определение суммы кредита:

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

1. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?

1. Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита/дифференцированные платежи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

 – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

 – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн. рублей?

Решение:

«В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года» — это означает, что каждый год мы должны выплачивать часть начального долга  + начисленные за этот год проценты .

№ года	Начальная сумма, руб.	Сумма долга после начисления процентов, руб.	Выплата, руб.	Конечная сумма, руб.
1
2
n

Сложим все платежи, чтобы определить общую сумму выплат по кредиту:

Сложив все слагаемые  , получим . У оставшихся слагаемых  есть общий множитель  общий множитель ,  тогда имеем:

Выражение в  скобках – арифметическая  прогрессия.Найдём её сумму по формуле:

Подставим полученную сумму в выражение для нахождения общей выплаты:

Вместо буквенных символов подставим известные нам значения величин и найдем n:

Ответ: 4 года

Примеры задач банка ЕГЭна нахождение срокавыплаты кредита:

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 24,5 млн. рублей?

1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?

Заключение

Подводя итоги своей работы, целью  которой было познакомиться с типами задач с экономическим содержанием и научиться решать задачи на кредиты, я считаю, что мне удалось достичь этой цели, хотя есть еще к чему стремиться, так как предстоит изучить и задачи других видов.

Проанализировав условия и решения банковских задач,  я пришла к заключению, что в большинстве случаев схему решения можно использовать  таблицу такого вида:

В ходе своего исследования, разбирая примеры задач  и решая задачи самостоятельно,  я заметила, что:

1. Практически все экономические задачи из банка ЕГЭ можно разделить на несколько основных видов
2. Решение экономических задач можно выполнять по одному алгоритму, а именно:

1. Занести данные условия задачи в таблицу.
2. Составить уравнение или неравенство (систему уравнений/неравенств).
3. В ходе решения появится формула, с помощью которой будет найден ответ на вопрос задачи.

Моя гипотеза о том, что, несмотря на сложность  и многообразие типов экономических задач их можно классифицировать и  вывести единую схему решения, подтвердилась. Я убедилась в ее истинности  на примере изучения задач на кредиты.Работу по изучению экономических задач буду продолжать и дальше, так как впереди экзамен по профильной математике и, кроме того, считаю, что решение таких задач позволило мне лучше разобраться в базовых понятиях банковских процессов, что будет полезно  мне в моей будущей профессии.

Думаю, что эта  работа будет полезна ученикам 10 и 11 класса, учителям для подготовки к ЕГЭ профильного уровня по математике. В ходе работы мною была создана презентация с примерами задач на кредиты и их подробными решениями. Эту презентацию можно предложить ребятам для самостоятельной подготовки, кроме решенных примеров она содержит задачи из банка ЕГЭ по математике.

Список информационных источников

1. Лукашин Ю.П. Финансовая математика / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. — М., 2003. https://kpsu.ru/upload/medialibrary/606/606fd86fd3cd2272b6f1f3f1b0e4f96c.pdf
2. https://ru.wikipedia.org
3. https://ege.sdamgia.ru/
4. http://fipi.ru/
5. Курс лекций по финансовой математике  https://lfirmal.com/predmet-finansovaya-matematika/
6. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике https://www.time4math.ru/ege