Физический смысл производной решу егэ

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

В КИМах ЕГЭ по математике содержатся задачи, в ходе решения которых необходимо знать и понимать физический смысл производной. Также встречаются задачи, связанные с движением какой-то определённой точки, которая представлена в виде уравнения, и необходимо найти его скорость в момент движения. Представим, что движение точки (назовём её – х) на координатной оси происходит в определённое время (время обозначим, как t). Получаем, что скоростью в определённый момент времени будет являться производная координат по времени. Так мы находим механический смыл производной.

V (t) = x (t)

а (t) = v (t).

То есть физическим смыслом производной является скорость. Для решения задач на данную тему необходимо знать производные, рассмотрим их:

– х = 1;

– x^2 = 2x;

– √х = 1 / 2√x;

– 1 / x = – 1 / x^2;

– sin x = cos x;

– tg x = 1 / cos^2 x;

– e^x = e^x;

– ln x = 1 / x и другие.

Рассмотрим пример решения задачи. Материальная точка х (t) = 6t^2 – 48t + 17, здесь: х является расстоянием от точки в метрах, t – временем, измеряем в секундах.

Найти: скорость движения точки в момент времени, равный девяти секундам.

Решение: помним, что физическим смыслом производной является скорость. Находим закон измерения скорости согласно формуле: v (t) = x (t) = 12t – 48 м / с.

Получаем: v (9) = 12 * 9 – 48 = 60 м / с.

Ответ: скорость движения в момент временя, равный девяти секундам, будет равна 60 метров в секунду.

Перейдём к рассмотрению второй темы для разбора ЕГЭ по математике, эта тебя является уравнением касательной к графику функции.

Итак, если прямая проходит через точку, имеющую координаты х0, f (x0), а угол наклона у этой прямой равняется производной функции в этой точке, такая прямая является касательной к графику. Нужно иметь в виду, что если нет производной графика в точке, то не будет и самой касательной.

Рассмотрим задачу по данной теме: для того чтобы задать любую прямую, следует использовать формулу6 у = kx + b. Коэффициент k определяет угол расположения для прямой на оси ОХ. Если коэффициент будет больше нуля, то угол наклона, соответственно, будет острым. Если коэффициент будет меньше нуля, то есть отрицательный, то угол между ОХ и касательной будет тупым.

Для задания уравнения касательной, следует использовать следующую формулу: y = f (x0) * (x – x0) + f (x0). Переходим к подробному рассмотрению. Проведём аналогию среди уравнений для прямой и касательной. Для того, чтобы найти коэффициент k, нужно найти производную в точке, которую мы рассматриваем.

Находим уравнение прямой для следующей функции у = х^3 в точке x0 = 3.

Во-первых, нужно найти производную этой функции: у = 3х^2.

Во-вторых, у (3) = 3 * 3^2 = 27.

В-третьих, находим значение данной функции в точке f(0). f(3) = 3^3 = 27.

В-четвёртых, составляем уравнение для касательной по следующей формуле: у = 27 * (х – 3) + 27.

Делаем преобразования: у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х – 54.

Далее, уравнение к касательной: у = 27ч – 54.

Таким образом, не нужны большие усилия для того, чтобы найти уравнение к касательной, важно ориентироваться в формулах. Поэтому в процессе подготовки к ЕГЭ по математике её следует запомнить либо выучить.

Итак, переходим к рассмотрению темы производной суммы, разности, произведения и частного. Существует несколько правил и формул, рассмотрим их:

– Производная суммы (разности) у двух функций будет равна сумме (разности) производных этих функций, то есть: (u +- v) = г +- v;

– Производная произведения двух функций будет равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

(u * v) = u * v +- u * v;

– Производная частного двух функций u(x) / v (x), если v (x) не равняется нулю и равна дроби, у которой числитель является разностью произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя.

Рассмотрим пример решения одной из задач, содержащихся в заданиях ЕГЭ по математике, касающуюся нахождения суммы производной: у = х2 + 4ч + 3у = х2 + 4ч +3.

Решение: многочлен есть сумма трёх функций, далее: у = (х2 + 4х + 3) = (х2) + (4х) + (3)у = (х2 + 4ч + 3) = х2 + 4х + 3.

Производную от первого слагаемого находит по правилу: (x^p) = px^(p – 1).

(х2) = 2х (х2) = 2х.

Для того, чтобы найти производную второго слагаемого, нужно вывести константу за знак производной: (х) = 1 (х) = 1, (4х) = 4 (х) = 4 (4х) = 4 (х) = 4.

Третье слагаемое: (3) = 0 * 3 = 0.

Получаем: у = (х2 + 4х + 3) = (х2) + (4х) – (3) = 2х + 4 + 0 = 2х + 4.

Ответ: 2х + 4.

Подобным образом в ЕГЭ по математике решаются задачи на нахождения производной разности, произведения и частного.

Далее мы рассмотрим тему производной основных элементарных функций.

К элементарным функциям относят степенные, показательные, логарифмические, а также тригонометрические функции и их различные комбинации.

Показательная функция f(x) = a^x, при этом а не равна нулю. Данная функция задана на числовой прямой, её производная имеется в каждой точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием у по формуле: а^x = e^xln a, также е^xln a = (e^ln a)^x. При применении дифференцирования сложной функции, получаем: (е^kx +b ) = ke^kx + b. Производной для а^x будет (a^x) = a^ln a.

Производная логарифмической функции х, имеющую любое основание, можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с применением формулы перехода x = ln ln x / ln ln a.

Производная функции lnx выражается следующей формулой: (lnx) = 1 / x, x больше нуля.

Применяем правило дифференцирования сложной функции и получаем: (ln (kx + b)) = k / kx + b).

(log a x) = 1 / x * ln a.

(log a x) = 1 * ln a.

Для производных тригонометрических функций характерны следующие неравенства:

(sin x) = cos x,

(cos x) = sin x.

Рассмотрим пример решения: f (x) = 3 ln x

3 ln x = 3 / x.

Ответ: 3 / х.

Переходим к рассмотрению заключительной темы данной статьи. Рассмотрим понятие второй производной.

Второй производной называют производную от производной первого порядка. Её обозначают как: f(x) d^2 y / dx^2.

Рассмотрим примеры решения подобных задач.

1. у = х^4

у = (х^4) = 4x^3.

Далее вычисляем вторую производную: у = (у) = (4х^3) = 4 * (x^3) = 4 * 3x^2 = 12x.

Ответ: вторая производная функции равна 12х.

1. у = cos 2x

y = (cos 2x) = – sin 2x * (2x) = – 2sin 2x.

у = (у) = (-2sin 2x) = – 2 (sin 2x) = – 2cos 2x *(2x) = – 4 cos 2x.

Ответ: производная второй функции равна – 4cos 2x.

Таким образом, мы рассмотрели темы, которые содержаться в разделе начала математического анализа ЕГЭ по математике, изучив теоретический, а также практический материал, изложенный в данной статье, вы будете готовы в сдаче единого государственного экзамена по данному предмету. Также рекомендуем просмотреть доступные демонстрационные варианты КИМов, это поможет вам знать примерную структуру, формулировку, а также уровень сложности заданий.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

ЕГЭ Профиль №7. Физический смысл производнойadmin2018-08-14T13:30:36+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

15 мая 2014

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

[v={S}’={x}’left( t right)]

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’left( t right)]

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=-frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

[v={S}’={x}’left( 2 right)]

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

[{x}’left( t right)=-frac{1}{5}cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

[{x}’left( t right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

[{x}’left( 2 right)=-{{2}^{4}}+4cdot {{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+5=]

[=-16+32-12+5=9]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

[{x}’left( t right)=frac{1}{3}cdot 3{{t}^{2}}-4cdot 2t+19]

[{x}’left( t right)={{t}^{2}}-8t+19]

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

[{{t}^{2}}-8t+19=3]

[{{t}^{2}}-8t+16=0]

[{{left( t-4 right)}^{2}}=0]

[t-4=0]

[t=4]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

1. Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 6 из ЕГЭ по математике!
2. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. B4: счетчики на электричество

Семинар-практикум
для учителей математики и физики

«Метапредметный
подход как одна из составляющих реализации ФГОС по математике и физике»

Мастер
класс

 по
теме:

«Физический
смысл производной в заданиях ЕГЭ по математике»

(практикум
по решению задач)

Подготовила:
Громова
Е.А.

учитель
математики,

МОУ
Гимназия №1 г.о. Жуковский

27.03.2017

г.
Раменское.

Цель: провести
интегрированное занятие – практикум, в котором рассмотрены основные темы физики
для решения задач, которых удобно применять понятие производной. Рассмотреть
основные типы таких физических задач, показать простоту и красоту решения с
использованием производной.

Ход
практикума:

Вступительное
слово:

Школьная
математика – это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности,
дающее ученику богатую пищу для ума, связывающее его с общечеловеческой
культурой.

За время своего существования
математика накопила богатейший инструмент для исследования окружающего мира.
Математические формулы и теоремы вместе их доказательством не дают
представления о множестве задач, которые можно с их помощью решить. Ведь
большинство задач, решаемых при изучении математики, носят прикладной характер.

Перспективные
межпредметные связи курсы алгебры и начал анализа имеют весьма актуальное и
широкое значение, так как многие темы и вопросы являются опорными для изучения
физики, химии, астрономии.

Все отрасли
современной науки тесно связаны между собой, поэтому и школьные предметы не
могут быть изолированы друг от друга.

Межпредметные
связи являются условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ
наук в школе. Установление межпредметных связей в школьном курсе алгебры и
начал анализа способствуют более глубокому усвоению знаний, формированию
научных понятий и законов, оптимальной организации учебного процесса,
формированию научного мировоззрения, единства материального мира, взаимосвязи
явлений в природе. Кроме того, они способствуют повышению научного уровня
знаний, развитию логического мышления и творческих способностей.

Установление
межпредметных связей в курсе алгебры и начал анализа повышает эффективность
политехнической и практической направленности обучения.

В современной
школе изучение математики и других естественнонаучных дисциплин происходит
параллельно. Однако наиболее тесно переплетается из них два предмета: физика и
математика. В рамках требования современного образования, сдачи выпускниками
профильного ЕГЭ по математике и физики, в которых содержаться задачи,
связывающие эти две дисциплины, необходимо проводить интегрированные уроки. В
основном математика используется физиками в качестве вычислительного аппарата, а
такие уроки позволят учащимся увидеть, что математика может упростить решение
некоторых физических задач.  Поэтому я вижу необходимость более широко показать
её применение на богатом физическом материале.

Блок 1.  В данном
блоке рассмотрены типы физических задач и методы их решения, которые включены в
профильный ЕГЭ по математике.

Задача 1. Закон
прямолинейного движения материальной точки равен

x(t)=, где x—
расстояние от точки отсчета (м),  t  —
время с начала движения (с). Найдите скорость точки в момент времени t=6c.
Ответ выразите в м/с.

Задача 2.
Материальная точка движется по закону x(t)=, где x—
расстояние от точки отсчета (м),  t  —
время с начала движения (с). В какой момент времени её скорость была равна 3
м/с?

Задача 3. Материальная
точка движется по закону x(t)=, где x—
расстояние от точки отсчета (м),  t  —
время с начала движения (с). Каким будет ускорение тела (в м/с²)
через 3 секунды?

Задача 4. Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону  х(t) = t² +t
+ 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после
начала движения и сила, действующая на тело? Какая сила действует на тело в этот момент времени?

Блок
2. В данном блоке рассмотрены формулы, темы и
типы физических задач, в которых также применяется понятия производной. Но данные
задачи не включены в современный ЕГЭ по математике, но это не значит, что в
будущем этого не произойдет. Поэтому при профильном изучении алгебры и начала
анализа необходимо рассматривать задачи подобного характера, которые ярко
иллюстрируют связь физики и математики.

Производная в физике

    υ(t) = х ’(t) –                скорость

    a (t)=υ’(t) —                  ускорение

    ω (t)= φ’(t)  —         угловая скорость

    е (t)= ω’(t)  —        угловое
ускорение

    I (t₀) = q’(t₀) —                сила
тока

    c(t) = Q’(t) —               теплоемкость

    p(l)=m’(l)   —               линейная плотность

    к (t) = l ’(t)  —  коэффициент линейного расширения

    N(t) = A’(t)  —           мощность

     F (x)= A’(x) —       cила по
перемещению

 
 = — Ф’ (t)—                  ЭДС
индукции

   
F (t) = р’ (t) –      2закон
Ньютона

Задача  5. Маховик вращается вокруг оси по
закону (t) = t⁴— 5t. Найдите его угловую скорость в момент времени 2с
(— угол вращения в радианах, — угловая скорость в рад/с).

Задача 6. Заряд,
проходящий через поперечное сечение проводника, вычисляется по формуле q(t)=. Найдите силу тока при t=5c.

Задача 7. Заряд на
обкладках плоского конденсатора с течением времени изменяется по закону q = αt
– βt², где α = 10 Кл/с, β = 0,25 Кл/с2. Найдите силу тока смещения в
момент времени t = 2 с.

Задача 8. Заряд  на пластинах конденсатора колебательного контура с
течением времени изменяется по закону:

q
= 10^-6 sin
10⁴ пt
.

 Записать
уравнение зависимости силы тока от времени.

Задача 9.
Напряжение на конденсаторе электроемкостью С = 0,5 мкФ изменяется по закону u =
10sin (100πt)В. Найдите, как изменяется со временем сила тока через
конденсатор.

Задача 10.  Теплоемкость
воды при t = 100^оС равна 1,013. Количество теплоты,
необходимое для нагревания 1 кг воды от 0^оС до t^оС, определяется формулой

Q(t)
= t + 2×10^-5 t² + 3a×10^-7 t³. Найдите
значение параметра а.

Задача11.
В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по
закону m = 2l² + 3l , где l – длина стержня,
отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

1.    
отстоящей от начала стержня на 3см;

2.    
в конце стержня.

Задача
12. Подъемный кран поднимает груз вертикально вверх, при этом работа
по перемещению груза задаётся формулой А=А(t)=. Найти мощность N в момент
времени t=3c.

Задача
13. Брусок тащат по горизонтальному столу, причем работа по
перемещению бруска задаётся формулой А=А(х)=3х³-2х. Найти силу,
прикладываемую к бруску, когда его перемещение составляет х=4 м.

Задача 14. Концентрация некоторого вещества в крови человека
вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 2е^{— 0,05t} . Как изменяется скорость выведения
вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

Блок
3. В данном блоке рассмотрены наиболее
трудные профильные задачи физики, в которых производная позволяет упростить
решение, создать алгоритм, по которому задачи будут легко решаться.

Задача
15.Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС
источника = 6 В, его внутреннее
сопротивление r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах
от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?

Задача 16.
С
какой силой давит на землю кобра длиной L и массой M, когда
она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v?

Подведение
итогов.

На
сегодняшнем практическом занятии мы рассмотрели очень большой объем физических
задач, в которых применение аппарата алгебры и математического анализа
позволило упростить решение некоторых  типов задач. Показать учащимся красоту
решения с помощью производной. Надеюсь данное занятие будет Вам полезно. 
Спасибо за внимание.