Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Отлично
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Отлично
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отлично
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает — и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Отлично
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Хорошо
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Отлично
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Отлично
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отлично
Отзыв о системе «Студизба»
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Хорошо
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Отлично
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Отлично
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
Функциональный анализ и интегральные уравнения
Для ФН4 Рейтинговая система контроля освоения дисциплины
Планируемые КМ |
Объем, |
Неделя |
Оценка в баллах |
||||||
час |
проведения |
Максимальная |
Минимальная |
||||||
Семестр 4 |
|||||||||
ДЗ №1 |
10 |
5 |
30 |
18 |
|||||
Модуль 1 |
6 |
30 |
18 |
||||||
РК №1 |
4 |
10 |
30 |
18 |
|||||
Модуль 2 |
10 |
30 |
18 |
||||||
ДЗ №2 |
10 |
15 |
20 |
12 |
|||||
РК №2 |
4 |
15 |
20 |
12 |
|||||
Модуль 3 |
15 |
40 |
24 |
||||||
Итоговый рейтинг |
100 |
60 |
Шкала перевода рейтинговых оценок по всем видам занятий и самостоятельной работы в зачетную оценку:
Рейтинг |
Зачетная оценка |
|
60 |
– 100 |
зачет |
0 |
– 59 |
незачет |
2
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
Типовые варианты заданий
Домашнее задание №1 «Основные понятия функционального анализа
Домашнее задание №2 «Функционалы, операторы, интегральные уравнения»
3
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
Рубежный контроль №1
Рубежный контроль №2
4
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
5
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
Вопросы для подготовки к рубежным контролям
МОДУЛЬ 1: МЕТРИЧЕСКИЕ И НОМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.Определение метрических пространств. Примеры основных метрических пространств
(С[a,b], m, l p )
2.Неравенство Гельдера.
3.Неравенство Минковского.
4.Полные метрические пространства. Доказать теорему о вложенных шарах.
5.Доказать теорему о сжимающих отображениях.
6.Свойства оператора Вольтерра и его степени.
7.Сепарабельные пространства.
8.Компактные множества в метрических пространствах.
9.Свойства непрерывных функций, заданных на компактных множествах.
10.Критерии относительной компактности в пространствах C a,b , lp.
11.Определение нормированных пространств, банаховых пространств. Расстояние от точки до подпространства.
12.Сходимость рядов в нормированных и банаховых пространствах. Критерий Коши сходимости ряда. Абсолютная сходимость рядов в банаховых пространствах.
13.Счетные базисы в банаховых пространствах.
МОДУЛЬ 2: ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
14.Определение гильбертовых пространств. Доказать теорему о предельном переходе в скалярном произведении и равенство параллелограмма.
6
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
15.Определение ортогональных элементов в гильбертовом пространстве. Теорема о разложении гильбертова пространства в ортогональную сумму.
16.Ортонормированные системы. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах. Доказать теорему о расстоянии от элемента до подпространства, являющегося линейной оболчкой n первых элементов ортонормированной системы. Доказать неравенство Бесселя.
17.Определение ортонормированного базиса гильбертова пространства. Критерий базисности ортонормированной системы в гильбертовом пространстве (любой элемент есть сумма своего ряда Фурье).
18.Равенство Парсеваля как критерий базисности ортонормированной системы в гильбертовом пространстве.
19.Замкнутость ортонормированной системы как критерий ее базисности в гильбертовом пространстве.
20.Полные ортонормированные системы. Полнота ортонормированной системы как критерий ее базисности в гильбертовом пространстве.
21.Теорема о существовании счетного ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве.
22.Теорема об изоморфизме всех гильбертовых сепарабельных пространств.
МОДУЛЬ 3: ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
23.Определение линейного ограниченного функционала. Cвязь непрерывности и ограниченности линейного функционала.
24.Норма линейного ограниченного функционала. Равносильность различных определений нормы. Связь понятий непрерывности и ограниченности для линейного функционала. 25.Сопряженное пространство. Слабая и сильная сходимости.
26.Общий вид линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. 27.Обобщенные функции. Определение и свойства.
28.Линейные операторы. Непрерывность, ограниченность линейных операторов и их связь. Пространство линейных операторов.
29.Обратный оператор. Теорема Банаха. Примеры.
30.Сопряженный и самосопряженный операторы в гильбертовом пространстве.
31.Спектр оператора. Резольвента. Теоремы о регулярных значениях оператора и о его спектре. 32.Компактные операторы в банаховых пространствах, их свойства. Теоремы о собственных элементах компактного оператора. Спектр компактного оператора.
33.Самосопряженные компактные операторы в гильбертовом пространстве и их свойства. Теорема Гильберта — Шмидта.
34. Интегральные уравнения Фредгольма. Оператор Гильберта – Шмидта, его компактность и оценка нормы. Сопряженный оператор.
35.Интегральные уравнения Фредгольма с симметрическими ядрами и их решения. 36.Решение интегральных уравнений Фредгольма с вырожденными ядрами.
7
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
Рейтинговые оценки за выполнение отдельных позиций заданий контрольного мероприятия
Модуль 1
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
||||
ДЗ №1 |
4 задачи |
0; 1; 2 |
||||
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
||||||
Набранные баллы |
Оценка |
Рейтинг |
||||
0-5 |
2 (неуд.) |
0 |
||||
6 |
3 (удовл.) |
18 |
||||
7 |
4 (хор.) |
24 |
||||
8 |
5 (отл.) |
30 |
||||
Модуль 2 |
||||||
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
||||
РК №1 |
1 теория и 3 задачи |
теория – 0; 1; 2; 3; 4 |
||||
задачи — 0; 1; 2; 3; 4 |
||||||
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
||||||
Набранные баллы |
Рейтинг |
|||||
0-9 |
0 |
|||||
10-11 |
18 |
|||||
12-13 |
22 |
|||||
14-15 |
26 |
|||||
16 |
30 |
Модуль 3
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
ДЗ №2 |
4 задачи |
0; 1; 2 |
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
||
Набранные баллы |
Рейтинг |
|
0-5 |
0 |
|
6 |
12 |
|
7 |
16 |
|
8 |
20 |
8
Функциональный анализ и интегральные уравнения |
ФН-2 |
|||
Контрольное мероприятие |
Количество заданий |
Баллы за задание |
||
РК №2 |
12 задач |
Задачи 1-5,8 — 0; 1; |
||
в форме тестов + теория |
Задачи с теорией 6,7,9-12 – 0; 1; 2 |
|||
Шкала перевода в рейтинговую оценку: |
||||
Набранные баллы |
Рейтинг |
|||
0-10 |
0 |
|||
11-12 |
12 |
|||
13-14 |
14 |
|||
15-16 |
16 |
|||
17 |
18 |
|||
18 |
20 |
9
Вопросы к экзамену по физике (4 семестр)
-
Стоячие волны в струне с двумя закреплёнными концами.
-
Дифракционная решётка.
-
Сила света и освещённость.
-
Интерференция плоских волн.
-
Двойное лучепреломление в одноосных кристаллах.
-
Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойтинга._________________
-
Поток энергии в упругой волне. Вектор Умова.
-
Интерферометр Майкельсона.
-
Эллиптическая и круговая поляризация света.
-
Плоские и сферические волны (без затухания и с затуханием)
-
Способы наблюдения интерференции света. Бизеркала (или бипризма) Френеля.
-
Ход лучей в одноосном кристалле.
-
Связь избыточного давления с интенсивностью звуковой волны в газе.
-
Дифракция рентгеновских лучей. Формула Вульфа-Брегга.
-
Частично поляризованный свет. Степень поляризации.________________
-
Интерференционные полосы равного наклона.
-
Предел геометрической оптики. Понятие о световом луче. Принцип Ферма.
-
(пропущено)
-
Временная когерентность, длина когерентности (на примере опыта Юнга с узкой щелью).
-
Эффект Доплера для узких волн.
-
Элементарная теория дисперсии. Высокочастотный предел.
-
Импульс электромагнитной волны и давление на стенку.
-
Кольца Ньютона.
-
Дисперсия света. Групповая скорость.________________________________
-
Плоская монохроматическая электромагнитная волна.
-
Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.
-
Светимость и яркость. Ламбертовский источник.
-
Излучение ускоренно движущегося заряда. Мощность дипольного излучения.
-
Дифракция Френеля на щели. Спираль Корню.
-
Поляризация при отражении и преломлении (качественно). Угол Брюстера.
-
Графическое сложение амплитуд. Зоны Френеля.
-
Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами.________________
-
Волновое уравнение для электромагнитных волн в однородном изотропном диэлектрике.Скорость электромагнитных волн.
-
Кардинальные точки и плоскости центрированной оптической системы. Формула Ньютона.
-
Многолучевая интерференция.
-
Дифракция Френеля на круглом отверстии и на диске.
-
Рассеяние электромагнитных волн. Формула Томсона.
-
Дисперсия света. Комплексный показатель преломления вещества.
-
Волновое уравнение для звука в газе. Скорость звука в газе.
-
Дифракция Френеля на краю полуплоскасти.
-
Эффект Доплера для электромагнитных волн._____________________________
-
Волновое уравнение для продольных упругих волн в тонком стержне.
-
Положение и угловая ширина главных дифракционных максимумов дифракционной решётки.
-
Излучение Вавилова-Черенкова.
-
Дифракция Фраунгофера на щели.
-
Коэффициент отражения и пропускания плоской электромагнитной волны.
-
Кривая относительной спектральной чувствительности глаза. Поток энергии и световой поток.
-
Колебания струны с двумя закреплёнными концами.
-
Пространственная когерентность, радиус когерентности. (на примере опыта Юнга с монохроматическим протяжённым источником).
-
Дисперсия и разрешающая способность дифракционной решётки.___________________
-
Явления интерференции. Сложение двух электромагнитных волн. Интенсивность суммарной волны.
-
Прохождение плоскополяризованного света через кристаллическую пластинку. Пластинка в четверть длины волны.
-
Скорость продольных и поперечных упругих волн в тонком стержне.
-
(пропущено)
-
Свойства плоской монохроматической электромагнитной волны. Виды поляризации.
-
Интерференция света на тонких плнках. Просветление оптики.
-
Формула токой линзы. Оптическая сила линзы.
-
Дмфракция на моно- и поликристаллах. Лауэграммы и дебаеграммы (качественно).
-
Принцип Ферма. Законы отражения и преломления.
-
Интерференционные полосы равной толщины.
Смотрите также:
Вопросы к экзамену по физике (4 семестр)
28.11kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену (6 семестр, 3 курс)
36.65kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по математике за 4 семестр Направление «Агроинженерия»
24.97kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по математике (1/30-32, 1 семестр, 2012-2013 уч год)
28.39kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по экономике (3 семестр)
21.95kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по математике за 2 семестр для направления «Менеджмент», 2013 г
31.92kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по общей геологии, 1 семестр
40.92kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по математике I курс 1 семестр
31.37kb.
1 стр.
Астрономия, физика Физика в анимации
768.32kb.
4 стр.
Интернет-ресурсы информационной поддержки
30.44kb.
1 стр.
Рабочая учебная программа и вопросы к экзамену (зачету) для студентов заочной формы обучения
253.39kb.
1 стр.
Вопросы к экзамену по курсу «Основы нейробиологии»
58.6kb.
1 стр.
Вопросы по курсу «Теоретическая механика» для подготовки к экзамену за 4-й семестр (2-й курс).
1. Связи и их классификация.
2. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи. Примеры.
3. Принцип возможных перемещений.
4. Общее уравнение динамики.
5. Обобщенные силы. Способы вычисления обобщенных сил.
6. Условия равновесия механической системы, выраженные в обобщенных силах.
7. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода.
8. Потенциальное силовое поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля. Поверхности уровня и их свойства.
9. Примеры вычисления силовых функций однородного поля силы тяжести, линейной силы упругости.
10. Закон сохранения полной механической энергии системы.
11. Устойчивость положения равновесия механической системы. Теорема Лагранжа-Дирихле.
12. Выражения для кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции Релея в системе с одной степенью свободы (из учебника, очень подробно) + (по лекциям)
13. Связь между полной механической энергией системы и диссипативной функцией Релея.
14. Влияние сил вязкого сопротивления на устойчивость положения равновесия механической системы.
15. Дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы в случае малых отклонений от устойчивого положения равновесия.
16. Свободные колебания консервативной системы с одной степенью свободы. Элементы гармонических колебаний.
17. Затухающее колебательное движение. Характеристики затухающих колебаний.
18. Затухающее неколебательное движение в случае «критического» сопротивления.
19. Затухающее неколебательное движение в случае «большого» сопротивления.
20. Вынужденные колебания в системе с одной степенью свободы. Способы возбуждения колебаний. Определение обобщенной силы.
21. Интегрирование дифференциального уравнения вынужденных колебаний в системе с одной степенью свободы при наличии линейно-вязкого сопротивления.
22. Резонанс в консервативной системе с одной степенью свободы.
23. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики системы (из учебника, очень подробно) + (из лекций)
24. Исследование коэффициента динамичности в случае вынужденного относительного движения.
25. Основные свойства установившихся вынужденных колебаний.
26. Вынужденные колебания в системе с одной степенью свободы при действии периодического, но негармонического вынуждающего воздействия.
27. Вынужденные колебания в системе с одной степенью свободы при действии произвольного вынуждающего воздействия.
28. Основы виброзащиты.
29. Устойчивость положения равновесия консервативной системы с двумя степенями свободы. Критерий Сильвестра.
30. Дифференциальные уравнения малых колебаний в консервативной системе с двумя степенями свободы. Парциальные системы и парциальные частоты. (в вопросах 30, 31, 32 одна большая теория из учебника) + (по лекциям)
31. Интегрирование дифференциальных уравнений свободных колебаний в консервативной системе с двумя степенями свободы. Уравнение частот, исследование его корней. (из учебника) + (по лекциям)
32. Свободные колебания в консервативной системе с двумя степенями свободы. Главные колебания. Коэффициенты распределения амплитуд. Формы главных колебаний. Понятие о нормальных координатах. (из учебника) + (по лекциям)
33. Вынужденные колебания в консервативной системе с двумя степенями свободы в случае гармонического вынуждающего воздействия.
34. Эффект динамического гашения колебаний.
35. Основные положения теории удара.
36. Теоремы об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии точки и механической системы при ударе.
37. Теорема Карно.
38. Изменение угловой скорости при ударе по вращающемуся твердому телу.
39. Центр удара. Условия отсутствия ударных реакций в опорах вращающегося тела.
Используются технологии uCoz
С этим файлом связано 1 файл(ов). Среди них: тест 3 п. Как люди открывали Землю 2.docx.
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: тест 3 четверть куб. 9 кл. 22-23 г. вопросы и ответы .doc, давлетов вопросы.docx, Тестовые вопросы к разделу 3_ просмотр попыткимуз — C строгое со, Математика практическое 2 семестр 1 курса.doc, Тестовые вопросы к разделу 3_ просмотр попытки — 1ВерноБаллов 1,, иностранный язык в юридической сфере 2 семестр синергия.docx, Инд. д. з. 3 семестр.doc, Тестовые вопросы к разделу 4_ просмотр попытки.pdf, Базанова Татьяна Юрьевна 5 семестр.docx, Лабораторные работы 5 семестр отпр.docx
Вопросы к экзамену – 7.
4-ый семестр
1. Бинарная алгебраическая операция. Группа, основные свойства. Аддитивная и мультипликативная группы. Абелева группа.
Бинарной операцией на непустом множестве 𝐺 называется отображение множества всех упорядоченных пар вида (𝑥, 𝑦), где 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, в множество 𝐺.
Группой называется система ⟨𝐺, ∗⟩ с основным множеством 𝐺 и бинарной операцией
∗, определенной на множестве 𝐺, если выполняются следующие условия. 1)
Операция ∗ ассоциативна, то есть для любых 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐). 2)
Существует элемент 𝑒 ∈ 𝐺, называемый нейтральным, такой, что 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 для любого 𝑎 ∈ 𝐺. 3)
Для всякого элемента 𝑎 ∈ 𝐺 существует элемент 𝑎 ′ ∈ 𝐺, называемый симметричным элементу 𝑎, такой, что 𝑎 ∗ 𝑎 ′ = 𝑎 ′ ∗ 𝑎 = 𝑒.
Свойства групп:
1. Единица группы единственна
2. Для каждого элемента группы обратный элемент единственен
3. Для любых
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 уравнения 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏 и 𝑦 ⋅ 𝑎 = 𝑏 однозначно разрешимы.
Если групповая операция ∗ коммутативна (то есть для любых 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎), то группа называется коммутативной или абелевой.
Группа по сложению называется аддитивной, а по умножению мультипликативной.
2. Подгруппа. Решетка группы.
Пусть дана группа ⟨𝐺, ⋅⟩. Подмножество 𝐻 ⊆ 𝐺 называется подгруппой группы 𝐺, если ⟨𝐻, ⋅⟩ является группой. Обозначается: 𝐻 ≤ 𝐺. Если 𝐻 ≠ 𝐺, то подгруппа 𝐻 называется собственной. При этом пишут: 𝐻 <𝐺.
Решетка подгрупп группы — это решетка, элементы которой являются подгруппами группы , а отношение частичного порядка принадлежит под множеству. В этой решетке объединение двух подгрупп — это подмножество
, порожденное их соединением, а точка их встречи — пересечение.
3. Порядок элемента группы. Порядок группы. Циклическая группа, подгруппа циклической группы.
Порядок элемента наименьшее положительное целое m, такое что m-кратное групповое умножение данного элемента g принадлежит G, на себя.
Порядок группы количество элементов группы
Циклическая группа — группа (G, •), которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями.
Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.
4. Таблица Кэли. Порождающие элементы и определяющие соотношения.
Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри нее размещаются произведения элементов.
Если среди элементов группы G можно выделить подмножество S элементов данной группы, такое, что все остальные элементы группы G можно выразить в виде произведений элементов множества S и их степеней, то элементы множества S называются образующими (или порождающими) элементами группы G.
5. Смежные классы: определение, примеры, основные свойства, разбиение группы на смежные классы.
Определение. Пусть 𝐺 – группа, 𝐻 – ее подгруппа, 𝑔 ∈ 𝐺. Умножим каждый элемент
ℎ ∈ 𝐻 слева на 𝑔. Получим множество 𝑔𝐻 = {𝑔ℎ | ℎ ∈ 𝐻}, которое называется левым
смежным классом по подгруппе 𝑯. Аналогично определяется правый смежный класс:
𝐻𝑔 = {ℎ𝑔 | ℎ ∈ 𝐻}.
ПРИМЕРЫ. Рассмотрим симметрическую группу подстановок трех символов 𝑆
3
=
{𝑒, (12). (13), (23), (123), (132)} и в ней подгруппу четных подстановок 𝐴
3
=
{𝑒, (123), (132)}. Умножим каждую четную подстановку слева на одну и ту же нечетную подстановку (12). Получим класс подстановок
(12) ⋅ 𝐴
3
= {(12) ⋅ 𝑒, (12) ⋅ (123), (12) ⋅ (132)} = {(12), (13), (23)}.
Видим, что этот класс содержит все нечетные подстановки, так что 𝑆
3
= 𝐴
3
∪ (12) ⋅ 𝐴
3
).
Такое представление группы всех подстановок 𝑆
3
называется разложением группы на
левые смежные классы по подгруппе𝑨
𝟑
.
Аналогично можно получить разложение группы 𝑺
𝟑
на правые смежные классы по
подгруппе𝑨
𝟑
:
𝑆
3
= 𝐴
3
∪ 𝐴
3
⋅ (12). Понятно, что это те же самые два подмножества подстановок.
2. Теперь возьмем подгруппу 𝐻 = {𝑒, (12)} и подобным образом найдем левые
смежные классы по подгруппе 𝐻. Перебираем подстановки 𝑔, не входящие в 𝐻, и образуем левые смежные классы 𝑔𝐻, умножая каждую подстановку из 𝐻 слева на выбранную подстановку 𝑔:
(13) ⋅ 𝐻 = {(13) ⋅ 𝑒, (13) ⋅ (12)} = {(13), (132)},
(23) ⋅ 𝐻 = {(23) ⋅ 𝑒, (23) ⋅ (12)} = {(23), (123)},
(123) ⋅ 𝐻 = {(123) ⋅ 𝑒, (123) ⋅ (12)} = {(123), (23)} = (23) ⋅ 𝐻,
(132) ⋅ 𝐻 = {(132) ⋅ 𝑒, (132) ⋅ (12)} = {(132), (13)} = (13) ⋅ 𝐻.
В итоге получаем разложение группы 𝑆
3
на левые смежные классы по подгруппе
𝐻:
𝑆
3
= 𝐻 ∪ (13) ⋅ 𝐻 ∪ (23) ⋅ 𝐻 = 𝐻 ∪ (123) ⋅ 𝐻 ∪ (132) ⋅ 𝐻.
Аналогично можно получить разложение группы 𝑆
3
на правые смежные классы по
подгруппе 𝐻:
𝑆
3
= 𝐻 ∪ 𝐻 ⋅ (13) ∪ 𝐻 ⋅ (23) =
= 𝐻 ∪ 𝐻 ⋅ (123) ∪ 𝐻 ⋅ (132).
Замечаем, что хотя сами левые и правые смежные классы различны, количество левых смежных классов по подгруппе 𝐻 равно количеству правых смежных классов по этой подгруппе.
Доказываемые ниже свойства смежных классов можно наблюдать на приведенных выше примерах.
(Условия совпадения смежных классов). Пусть
H – подгруппа группы G и a, b ∈ H. Тогда aH = bH ⇔ a
−1
b ∈ H,
Ha = Hb ⇔ ba
−1
∈ H.
Любые два левых (правых) смежных класса по одной к той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.
Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той подгруппе содержат одинаковое количество элементов.
Определение. Представление группы G в виде объединения различных левых
(правых) смежных классов по подгруппе H называется разложением группы на левые
(правые) смежные классы по данной подгруппе: G = g
1
H ∪ g
2
H ∪. .., G = Hg
1
∪
Hg
2
∪. ..
Заметим, что среди всех смежных классов только один является подгруппой – это подгруппа H.
ПРИМЕРЫ разложений на смежные классы.
1. Разложим аддитивную группу целых чисел
Z на смежные классы по подгруппе 3Z:
Z = 3Z ∪ 1 + 3Z ∪ 2 + 3Z.
Замечаем, что смежные классы есть не что иное как классы вычетов по модулю 3: 3Z =
{3n | n ∈ Z} = 0, 1 + 3Z = {1 + 3n | n ∈ Z} = 1, 2 + 3Z = {2 + 3n | n ∈ Z} = 2.
2. Разложение аддитивной группы рациональных чисел
Q по подгруппе целых чисел Z:
Q = Z ∪ (
1 2
+ Z) ∪ (
1 3
+ Z) ∪ (
2 3
+ Z) ∪ (
1 4
+ Z) ∪ (
3 4
+ Z) ∪. ..
6. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Примеры применения.
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА. Порядок конечной группы равен произведению порядка
подгруппы на число левых (правых) смежных классов по этой подгруппе.
Из теоремы Лагранжа вытекает, что число левых смежных классов конечной группы
𝐺 по подгруппе 𝐻 равно числу правых смежных классов по этой подгруппе.
Докажем, что это верно в любой группе.
Следствие 1. В любой группе 𝐺 число левых смежных классов по подгруппе 𝐻 равно
числу правых смежных классов по этой подгруппе.
Доказательство. Сопоставляя всякому левому смежному классу 𝑔𝐻 правый смежный класс 𝐻𝑔
−1
, мы получаем взаимно однозначное отображение множества всех левых смежных классов по подгруппе 𝐻 на множество всех правых смежных классов по этой подгруппе, что и доказывает теорему.
Доказанное свойство приводит к определению следующего общего понятия.
Определение. Индексом в группе 𝑮 подгруппы 𝑯 называется количество
(мощность множества) левых или правых смежных классов по этой подгруппе.
Обозначается |𝐺: 𝐻|.
С помощью введенного понятия теорему Лагранжа можно записать так: |𝐺| = |𝐻| ⋅
|𝐺: 𝐻|. Читается: порядок конечной группы 𝐺 равен произведению порядка подгруппы
𝐻 на ее индекс.
Следствие 2. Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка
группы.
Заметим, что если |𝐺| ⋮ 𝑚, то отсюда совсем не следует, что группа 𝐺 содержит подгруппу порядка m. Например, группа четных подстановок четырех символов 𝐴
4
имеет порядок 12, но, как мы покажем ниже, она не содержит подгрупп порядка 6.
Следствие 3. Порядок элемента конечной группы является делителем порядка
группы.
Следствие 4. Группа простого порядка циклическая.
Следствие 5. Если |𝐺| = 𝑛, то 𝑎
𝑛
= 𝑒 для любого 𝑎 ∈ 𝐺.
Пример.
Пусть G— группа и |G| 6 5 Если |G| = 1, 2, 3 или 5, то, по след- ствию 4 к теореме Лагранжа для p = 2, 3 или 5, G—циклическая группа. Если |G| = 4 и вG есть элемент a порядка 4, тоG = 〈a〉— циклическая группа, G ∼= Z4. В противном случае G = {e, a, b, c}, a2 = b2 = c2 = e. Если ab = e, то ab = e = a2, и поэтому b = a, что противоречит тому, что a 6= b; аналогично, ab 6= a, ab 6= b. Итак, ab = c. Так же проверяем, что ba = c, ac = b = ca, bc = a = cb.
Таким образом, G— группа Клейна.
7. Нормальная подгруппа: определение, примеры. Сопряженные элементы. Признак нормальной подгруппы.
Определение. Подгруппа H группы G называется нормальной, если она перестановочна с любым элементом группы.
ПРИМЕРЫ.
1. В коммутативной группе всякая подгруппа нормальна.
2. В любой группе единичная подгруппа и сама группа нормальны.
3. Центр группы
𝐶(𝐺) является нормальной подгруппой в группе 𝐺.
4. В группе
𝑆
3
возьмем подгруппу
𝐻
1
всех подстановок, оставляющих символ 1 на месте. Тогда 𝐻
1
не является нормальной подгруппой, так как
(12) ⋅ 𝐻
1
≠ 𝐻
1
⋅ (12).
5. Докажем, что
𝐴
𝑛
⊲ 𝑆
𝑛
для любого
𝑛. Пусть 𝑔 ∈ 𝑆
𝑛
. Если 𝑔 – четная подстановка, тo 𝑔𝐴
𝑛
= 𝐴
𝑛
= 𝐴
𝑛
𝑔. Пусть 𝑔 – нечетная подстановка. Тогда смежный класс 𝑔𝐴
𝑛
состоит из нечетных подстановок, и всякая нечетная подстановка содержится в 𝑔𝐴
𝑛
(докажите). Следовательно, разложение группы 𝑆
𝑛
на левые смежные классы по подгруппе 𝐴
𝑛
имеет вид
𝑆
𝑛
= 𝐴
𝑛
∪ 𝑔𝐴
𝑛
. Аналогично получаем разложение группы
𝑆
𝑛
на правые смежные классы:
𝑆
𝑛
= 𝐴
𝑛
∪ 𝐴
𝑛
𝑔. Отсюда делаем вывод, что 𝑔𝐴
𝑛
=
𝐴
𝑛
𝑔. Следовательно, 𝐴
𝑛
⊲ 𝑆
𝑛
Замечаем, что в этом доказательстве решающую роль сыграло то обстоятельство, что |𝑆
𝑛
: 𝐴
𝑛
| = 2. Докажем, что в произвольной группе подгруппа 𝐻 индекса 2 является нормальной. В самом деле, по условию, для любого 𝑔 ∈ 𝐺 имеем 𝐺 = 𝐻 ∪
𝑔𝐻 = 𝐻 ∪ 𝐻𝑔. Отсюда 𝑔𝐻 = 𝐻𝑔. Следовательно, 𝐻 ⊲ 𝐺.
Определение. В группе 𝐺 элемент 𝑎 ∈ 𝐺 называется сопряженным с элементом
𝑏 ∈ 𝐺, если существует элемент 𝑔 ∈ 𝐺 такой, что 𝑎 = 𝑔
−1
𝑏𝑔.
Теорема. (Критерий нормальной подгруппы). Подгруппа 𝐻 группы 𝐺 является
нормальной тогда и только тогда, когда она вместе с каждым своим элементом
содержит и всякий сопряженный с ним элемент:
𝐻 ⊲ 𝐺 ⇔ ∀ℎ ∈ 𝐻 ∀𝑔 ∈ 𝐺 𝑔
−1
ℎ𝑔 ∈ 𝐻.
8. Фактор-группа. Фактор-группа циклической группы.
Определение. Если H – нормальная подгруппа группы G, то группа смежных классов G/H называется фактор-группой группы 𝐆 по подгруппе 𝐇.
Теорема 2. Фактор-группа циклической группы циклическая.
9. Изоморфизм групп. Изоморфизм бесконечных и конечных циклических групп.
Определение: Группы ⟨𝐺
1
,⋅⟩ и ⟨𝐺
2
,∗⟩ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение 𝜙 множества 𝐺
1
на
𝐺
2
такое, что
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺𝜙(𝑥 ⋅
𝑦) = 𝜙(𝑥) ∗ 𝜙(𝑦).
В этом случае говорят, что отображение 𝜙 сохраняет операцию. Само отображение называют изоморфизмом.
Основные свойства:
1!
𝜙(𝑒
1
) = 𝑒
2
, где 𝑒
1
— единица группы
𝐺
1
,
𝑒
2
— единица группы
𝐺
2 2!
∀𝑥 ∈ 𝐺 𝜙(𝑥
−1
) = (𝜙(𝑥))
−1 3!
Образ подгруппы при изоморфизме есть подгруппа.
4!
Образ нормальной подгруппы – нормальная подгруппа.
Теорема: Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ⟨Z, +⟩ = ⟨1⟩.
Теорема: Всякая циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n ⟨Z
n
, +⟩ = ⟨1⟩.
Следствие: Две конечные циклические изоморфны тогда и только тогда, когда порядки их совпадают.
10. Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. (без доказательства)
Определение 1: Гомоморфизмом группы ⟨G
1
,⋅⟩ на группу ⟨G
2
,∗⟩ называется отображение ϕ множества G
1
на множество
G
2
, которое сохраняет операцию, т.е.
∀x, y ∈ G ϕ(x ⋅ y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y).
Из определения следует, что изоморфизм это взаимно однозначный гомоморфизм.
Определение 2: Пусть ϕ — гомоморфизм группы ⟨G
1
,⋅⟩ на группу ⟨G
2
,∗⟩ и e
2
— единица группы G
2
. Ядром гомоморфизма ϕ называется множество всех прообразов e
2
в группе
G
1
Обозначается ker ϕ.
Кратко ker ϕ = {x ∈ G|ϕ(x) = e
2
, e
2
−
единица группы G
2
}.
Теорема 1: Ядро гомоморфизма – нормальная подгруппа.
Доказательство: (в видео лекции)
Теорема 2: Всякая нормальная подгруппа является ядром некоторого
гомоморфизма. (Без доказательства).
Теорема 3: (о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы, изоморфен фактор-
группе по ядру гомоморфизма.
11. Кольцо. Подкольцо.
Определение: Кольцом называется множество с двумя операциями – сложение и умножение, удовлетворяющими следующим свойствам:
1) относительно сложения данное множество образует коммутативную группу
(множество замкнуто относительно сложения и выполняются свойства: коммутативность, ассоциативность, наличие нулевого элемента и для каждого элемента множества в этом множестве есть обратный для этого элемента);
2) относительно умножения — полугруппу (выполняется замкнутость относительно умножения и из свойств только ассоциативность);
3) выполняются две дистрибутивности.
Определение: Подкольцом данного кольца К называется его подмножество, которое само относительно тех же операций является кольцом. Другими словами, это подгруппа аддитивной группы кольца, замкнутая относительно умножения.
Теорема 1: (признак подкольца) Пусть дано кольцо
⟨𝐾, +,⋅⟩ и 𝐻 ⊆ 𝐾. Тогда 𝐻 — подкольцо кольца 𝐾 ⇔ 1)𝐻замкнуто относительно сложения и умножения и 2) для любого элемента 𝑎 ∈ 𝐻 противоположный ему элемент −𝑎так же принадлежит 𝐻.
Теорема 2: Пересечение двух подколец есть подкольцо.
12. Идеал кольца, фактор-кольцо по идеалу.
Определение 1: Пусть дано кольцо ⟨𝐾, +,⋅⟩. Подмножество 𝐻 ⊆ 𝐾называется идеалом кольца 𝐾, если оно является подкольцом, которое замкнуто относительно умножения на любой элемент кольца, т.е. (∀𝑎 ∈ 𝐻) и (∀𝑘 ∈ 𝐾) 𝑘 ⋅ 𝑎 ∈ 𝐻, 𝑎 ⋅ 𝑘 ∈ 𝐻.
(аналог нормальной подгруппы).
Пусть ⟨𝐾, +,⋅⟩ — кольцо и 𝐻 — идеал в 𝐾, тогда 𝐻 является подгруппой аддитивной группы кольца ⟨𝐾, +⟩. Поэтому можно рассмотреть фактор-группу 𝐾/𝐻. Операции в ней задаются формулами: (𝑎 + 𝐻) + (𝑏 + 𝐻) = (𝑎 + 𝑏) + 𝐻 (𝑎 + 𝐻) ⋅ (𝑏 + 𝐻) = (𝑎 ⋅ 𝑏) +
𝐻 Операция умножения для нас нова, рассмотрим принцип ее действия на примере доказательства независимости умножения от выбора представителей: 𝑎 + 𝐻 = 𝑎1 +
𝐻 𝑏 + 𝐻 = 𝑏1 + 𝐻 | ⟹ (𝑎 + 𝐻) ∙ (𝑏 + 𝐻) = (𝑎1 + 𝐻) ∙ (𝑏1 + 𝐻), т.е. 𝑎𝑏 + 𝐻 = 𝑎1𝑏1 + 𝐻
Доказательство: Имеем 𝑎 + 𝐻 = 𝑎1 + 𝐻 𝑏 + 𝐻 = 𝑏1 + 𝐻 | ⟺ (𝑎 − 𝑎1 ) ∈ 𝐻 (𝑏 − 𝑏1 ) ∈ 𝐻
|
⟺ (𝑎 − 𝑎1 )(𝑏 − 𝑏1 ) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 + 𝑎1𝑏1 ) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1) + (𝑎1𝑏1 −
𝑎1𝑏) + (𝑎1𝑏1 − 𝑎𝑏1 ) = (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1) + 𝑎1(𝑏1 − 𝑏) + 𝑏1 (𝑎1 − 𝑎) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1 ) ∈ 𝐻
⇒ 𝑎𝑏 + 𝐻 = 𝑎1𝑏1 + 𝐻
13. Изоморфизм колец.
Изоморфизм колец — это взаимно однозначный гомоморфизм. Так же, как и в случае групп, изоморфные кольца «одинаковы» с алгебраической точки зрения.
14. Гомоморфизм колец, ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме колец (без доказательства).
Определение 2. Пусть (R, +, ×) и (R0 , ⊕, ⊗) — кольца. Отображение f : R → R0 называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все операции, то есть если f(a + b)
= f(a)
⊕ f(b), f(a × b) = f(a) ⊗ f(b). При этом, конечно, f(0) = 00 , f(na) = nf(a) при n ∈
Z.
Ядро любого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом.
Доказательство. Пусть <р: R —> R-2 — гомоморфизм колец, I = Кег<^ = {х | у>(х)
= 0} — ядро этого гомоморфизма. Поскольку гомоморфизм колец является и гомоморфизмом их аддитивных групп, то I — подгруппа по сложению. Осталось проверить, что для любого г Е R и а Е I выполнено га € I, ar € I. Из свойств гомоморфизма следует, что <р(га) = = <р(г)<р(а) = <р(г) • 0 = 0. Аналогично ц>(аг)
= 0.
Теорема. Пусть f : R! S гомоморфизм колец. Тогда
Im f = R= ker f:
15. Область целостности. Обратимые элементы. Делимость в области целостности.
Простые элементы области целостности.
Ассоциированные элементы: определение, примеры.
Отношение ассоциированности является отношением эквивалентности. НОД в области целостности.
Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо с 1 (т.е. к свойствам кольца добавляется свойство коммутативности умножения и наличие 1), в котором нет делителей нуля (т.е. ненулевых элементов, произведение которых равно нулю)
Теорема: Множество обратимых элементов области целостности образует коммутативную группу по умножению, которая называется мультипликативной группой области целостности. Примеры обратимых элементов:
1) Во множестве целых чисел Z обратимыми будут только 1 и -1 2) Во множестве рациональных чисел Q обратимыми будут все кроме 0 3) Во множестве Z+Zi (комплексных чисел с целыми коэффициентами) обратимыми будут только числа 1, -1, i, -i
4) Во множестве всех комплексных чисел С обратимыми будут все числа, кроме 0.
Определение: К – область целостности, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾, 𝑏 ≠ 0. Будем говорить, что 𝑎 ⋮ 𝑏
(кратно), если существует 𝑐 ∈ 𝐾 такой, что 𝑎 = 𝑏𝑐, при этом b называют делителем элемента a, а элемент а кратным b. Свойства делимости:
1!
𝑎 ⋮ 𝑏, 𝑏 ⋮ 𝑐 ⟹ 𝑎 ⋮ 𝑐
2!
∀𝑎 ∈ 𝐾 𝑎 ⋮ 1 3!
∀𝑎 ∈ 𝐾, 𝑎 ≠ 0 0 ⋮ 𝑎
4!
𝑎 ⋮ 𝑎, 𝑎 ≠ 0 5!
𝑎 ⋮ 𝑐 и 𝑏 ⋮ 𝑐 ⟹ (𝑎 ± 𝑏) ⋮ 𝑐 и (𝛼𝑎 ± 𝛽𝑏) ⋮ 𝑐, ∀𝛼, 𝛽 ∈
Теорема 1: (Основная теорема арифметики) Всякое натуральное число ≥ 1 либо является простым, либо представимо в виде произведения простых чисел, причем однозначно с точностью до порядка следования сомножителей.
Определение: Пусть дана область целостности 𝐾. Элемент 𝑝 ∈ 𝐾назовем простым, если он не нулевой, необратимый и не представим в идее произведения необратимых
Вопросы к экзамену – 7.
4-ый семестр
1. Бинарная алгебраическая операция. Группа, основные свойства. Аддитивная и мультипликативная группы. Абелева группа.
Бинарной операцией на непустом множестве 𝐺 называется отображение множества всех упорядоченных пар вида (𝑥, 𝑦), где 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, в множество 𝐺.
Группой называется система ⟨𝐺, ∗⟩ с основным множеством 𝐺 и бинарной операцией
∗, определенной на множестве 𝐺, если выполняются следующие условия. 1)
Операция ∗ ассоциативна, то есть для любых 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐). 2)
Существует элемент 𝑒 ∈ 𝐺, называемый нейтральным, такой, что 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 для любого 𝑎 ∈ 𝐺. 3)
Для всякого элемента 𝑎 ∈ 𝐺 существует элемент 𝑎 ′ ∈ 𝐺, называемый симметричным элементу 𝑎, такой, что 𝑎 ∗ 𝑎 ′ = 𝑎 ′ ∗ 𝑎 = 𝑒.
Свойства групп:
1. Единица группы единственна
2. Для каждого элемента группы обратный элемент единственен
3. Для любых
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 уравнения 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏 и 𝑦 ⋅ 𝑎 = 𝑏 однозначно разрешимы.
Если групповая операция ∗ коммутативна (то есть для любых 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎), то группа называется коммутативной или абелевой.
Группа по сложению называется аддитивной, а по умножению мультипликативной.
2. Подгруппа. Решетка группы.
Пусть дана группа ⟨𝐺, ⋅⟩. Подмножество 𝐻 ⊆ 𝐺 называется подгруппой группы 𝐺, если ⟨𝐻, ⋅⟩ является группой. Обозначается: 𝐻 ≤ 𝐺. Если 𝐻 ≠ 𝐺, то подгруппа 𝐻 называется собственной. При этом пишут: 𝐻 <𝐺.
Решетка подгрупп группы — это решетка, элементы которой являются подгруппами группы , а отношение частичного порядка принадлежит под множеству. В этой решетке объединение двух подгрупп — это подмножество
, порожденное их соединением, а точка их встречи — пересечение.
3. Порядок элемента группы. Порядок группы. Циклическая группа, подгруппа циклической группы.
Порядок элемента наименьшее положительное целое m, такое что m-кратное групповое умножение данного элемента g принадлежит G, на себя.
Порядок группы количество элементов группы
Циклическая группа — группа (G, •), которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями.
Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.
4. Таблица Кэли. Порождающие элементы и определяющие соотношения.
Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри нее размещаются произведения элементов.
Если среди элементов группы G можно выделить подмножество S элементов данной группы, такое, что все остальные элементы группы G можно выразить в виде произведений элементов множества S и их степеней, то элементы множества S называются образующими (или порождающими) элементами группы G.
5. Смежные классы: определение, примеры, основные свойства, разбиение группы на смежные классы.
Определение. Пусть 𝐺 – группа, 𝐻 – ее подгруппа, 𝑔 ∈ 𝐺. Умножим каждый элемент
ℎ ∈ 𝐻 слева на 𝑔. Получим множество 𝑔𝐻 = {𝑔ℎ | ℎ ∈ 𝐻}, которое называется левым
смежным классом по подгруппе 𝑯. Аналогично определяется правый смежный класс:
𝐻𝑔 = {ℎ𝑔 | ℎ ∈ 𝐻}.
ПРИМЕРЫ. Рассмотрим симметрическую группу подстановок трех символов 𝑆
3
=
{𝑒, (12). (13), (23), (123), (132)} и в ней подгруппу четных подстановок 𝐴
3
=
{𝑒, (123), (132)}. Умножим каждую четную подстановку слева на одну и ту же нечетную подстановку (12). Получим класс подстановок
(12) ⋅ 𝐴
3
= {(12) ⋅ 𝑒, (12) ⋅ (123), (12) ⋅ (132)} = {(12), (13), (23)}.
Видим, что этот класс содержит все нечетные подстановки, так что 𝑆
3
= 𝐴
3
∪ (12) ⋅ 𝐴
3
).
Такое представление группы всех подстановок 𝑆
3
называется разложением группы на
левые смежные классы по подгруппе𝑨
𝟑
.
Аналогично можно получить разложение группы 𝑺
𝟑
на правые смежные классы по
подгруппе𝑨
𝟑
:
𝑆
3
= 𝐴
3
∪ 𝐴
3
⋅ (12). Понятно, что это те же самые два подмножества подстановок.
2. Теперь возьмем подгруппу 𝐻 = {𝑒, (12)} и подобным образом найдем левые
смежные классы по подгруппе 𝐻. Перебираем подстановки 𝑔, не входящие в 𝐻, и образуем левые смежные классы 𝑔𝐻, умножая каждую подстановку из 𝐻 слева на выбранную подстановку 𝑔:
(13) ⋅ 𝐻 = {(13) ⋅ 𝑒, (13) ⋅ (12)} = {(13), (132)},
(23) ⋅ 𝐻 = {(23) ⋅ 𝑒, (23) ⋅ (12)} = {(23), (123)},
(123) ⋅ 𝐻 = {(123) ⋅ 𝑒, (123) ⋅ (12)} = {(123), (23)} = (23) ⋅ 𝐻,
(132) ⋅ 𝐻 = {(132) ⋅ 𝑒, (132) ⋅ (12)} = {(132), (13)} = (13) ⋅ 𝐻.
В итоге получаем разложение группы 𝑆
3
на левые смежные классы по подгруппе
𝐻:
𝑆
3
= 𝐻 ∪ (13) ⋅ 𝐻 ∪ (23) ⋅ 𝐻 = 𝐻 ∪ (123) ⋅ 𝐻 ∪ (132) ⋅ 𝐻.
Аналогично можно получить разложение группы 𝑆
3
на правые смежные классы по
подгруппе 𝐻:
𝑆
3
= 𝐻 ∪ 𝐻 ⋅ (13) ∪ 𝐻 ⋅ (23) =
= 𝐻 ∪ 𝐻 ⋅ (123) ∪ 𝐻 ⋅ (132).
Замечаем, что хотя сами левые и правые смежные классы различны, количество левых смежных классов по подгруппе 𝐻 равно количеству правых смежных классов по этой подгруппе.
Доказываемые ниже свойства смежных классов можно наблюдать на приведенных выше примерах.
(Условия совпадения смежных классов). Пусть
H – подгруппа группы G и a, b ∈ H. Тогда aH = bH ⇔ a
−1
b ∈ H,
Ha = Hb ⇔ ba
−1
∈ H.
Любые два левых (правых) смежных класса по одной к той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.
Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той подгруппе содержат одинаковое количество элементов.
Определение. Представление группы G в виде объединения различных левых
(правых) смежных классов по подгруппе H называется разложением группы на левые
(правые) смежные классы по данной подгруппе: G = g
1
H ∪ g
2
H ∪. .., G = Hg
1
∪
Hg
2
∪. ..
Заметим, что среди всех смежных классов только один является подгруппой – это подгруппа H.
ПРИМЕРЫ разложений на смежные классы.
1. Разложим аддитивную группу целых чисел
Z на смежные классы по подгруппе 3Z:
Z = 3Z ∪ 1 + 3Z ∪ 2 + 3Z.
Замечаем, что смежные классы есть не что иное как классы вычетов по модулю 3: 3Z =
{3n | n ∈ Z} = 0, 1 + 3Z = {1 + 3n | n ∈ Z} = 1, 2 + 3Z = {2 + 3n | n ∈ Z} = 2.
2. Разложение аддитивной группы рациональных чисел
Q по подгруппе целых чисел Z:
Q = Z ∪ (
1 2
+ Z) ∪ (
1 3
+ Z) ∪ (
2 3
+ Z) ∪ (
1 4
+ Z) ∪ (
3 4
+ Z) ∪. ..
6. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Примеры применения.
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА. Порядок конечной группы равен произведению порядка
подгруппы на число левых (правых) смежных классов по этой подгруппе.
Из теоремы Лагранжа вытекает, что число левых смежных классов конечной группы
𝐺 по подгруппе 𝐻 равно числу правых смежных классов по этой подгруппе.
Докажем, что это верно в любой группе.
Следствие 1. В любой группе 𝐺 число левых смежных классов по подгруппе 𝐻 равно
числу правых смежных классов по этой подгруппе.
Доказательство. Сопоставляя всякому левому смежному классу 𝑔𝐻 правый смежный класс 𝐻𝑔
−1
, мы получаем взаимно однозначное отображение множества всех левых смежных классов по подгруппе 𝐻 на множество всех правых смежных классов по этой подгруппе, что и доказывает теорему.
Доказанное свойство приводит к определению следующего общего понятия.
Определение. Индексом в группе 𝑮 подгруппы 𝑯 называется количество
(мощность множества) левых или правых смежных классов по этой подгруппе.
Обозначается |𝐺: 𝐻|.
С помощью введенного понятия теорему Лагранжа можно записать так: |𝐺| = |𝐻| ⋅
|𝐺: 𝐻|. Читается: порядок конечной группы 𝐺 равен произведению порядка подгруппы
𝐻 на ее индекс.
Следствие 2. Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка
группы.
Заметим, что если |𝐺| ⋮ 𝑚, то отсюда совсем не следует, что группа 𝐺 содержит подгруппу порядка m. Например, группа четных подстановок четырех символов 𝐴
4
имеет порядок 12, но, как мы покажем ниже, она не содержит подгрупп порядка 6.
Следствие 3. Порядок элемента конечной группы является делителем порядка
группы.
Следствие 4. Группа простого порядка циклическая.
Следствие 5. Если |𝐺| = 𝑛, то 𝑎
𝑛
= 𝑒 для любого 𝑎 ∈ 𝐺.
Пример.
Пусть G— группа и |G| 6 5 Если |G| = 1, 2, 3 или 5, то, по след- ствию 4 к теореме Лагранжа для p = 2, 3 или 5, G—циклическая группа. Если |G| = 4 и вG есть элемент a порядка 4, тоG = 〈a〉— циклическая группа, G ∼= Z4. В противном случае G = {e, a, b, c}, a2 = b2 = c2 = e. Если ab = e, то ab = e = a2, и поэтому b = a, что противоречит тому, что a 6= b; аналогично, ab 6= a, ab 6= b. Итак, ab = c. Так же проверяем, что ba = c, ac = b = ca, bc = a = cb.
Таким образом, G— группа Клейна.
7. Нормальная подгруппа: определение, примеры. Сопряженные элементы. Признак нормальной подгруппы.
Определение. Подгруппа H группы G называется нормальной, если она перестановочна с любым элементом группы.
ПРИМЕРЫ.
1. В коммутативной группе всякая подгруппа нормальна.
2. В любой группе единичная подгруппа и сама группа нормальны.
3. Центр группы
𝐶(𝐺) является нормальной подгруппой в группе 𝐺.
4. В группе
𝑆
3
возьмем подгруппу
𝐻
1
всех подстановок, оставляющих символ 1 на месте. Тогда 𝐻
1
не является нормальной подгруппой, так как
(12) ⋅ 𝐻
1
≠ 𝐻
1
⋅ (12).
5. Докажем, что
𝐴
𝑛
⊲ 𝑆
𝑛
для любого
𝑛. Пусть 𝑔 ∈ 𝑆
𝑛
. Если 𝑔 – четная подстановка, тo 𝑔𝐴
𝑛
= 𝐴
𝑛
= 𝐴
𝑛
𝑔. Пусть 𝑔 – нечетная подстановка. Тогда смежный класс 𝑔𝐴
𝑛
состоит из нечетных подстановок, и всякая нечетная подстановка содержится в 𝑔𝐴
𝑛
(докажите). Следовательно, разложение группы 𝑆
𝑛
на левые смежные классы по подгруппе 𝐴
𝑛
имеет вид
𝑆
𝑛
= 𝐴
𝑛
∪ 𝑔𝐴
𝑛
. Аналогично получаем разложение группы
𝑆
𝑛
на правые смежные классы:
𝑆
𝑛
= 𝐴
𝑛
∪ 𝐴
𝑛
𝑔. Отсюда делаем вывод, что 𝑔𝐴
𝑛
=
𝐴
𝑛
𝑔. Следовательно, 𝐴
𝑛
⊲ 𝑆
𝑛
Замечаем, что в этом доказательстве решающую роль сыграло то обстоятельство, что |𝑆
𝑛
: 𝐴
𝑛
| = 2. Докажем, что в произвольной группе подгруппа 𝐻 индекса 2 является нормальной. В самом деле, по условию, для любого 𝑔 ∈ 𝐺 имеем 𝐺 = 𝐻 ∪
𝑔𝐻 = 𝐻 ∪ 𝐻𝑔. Отсюда 𝑔𝐻 = 𝐻𝑔. Следовательно, 𝐻 ⊲ 𝐺.
Определение. В группе 𝐺 элемент 𝑎 ∈ 𝐺 называется сопряженным с элементом
𝑏 ∈ 𝐺, если существует элемент 𝑔 ∈ 𝐺 такой, что 𝑎 = 𝑔
−1
𝑏𝑔.
Теорема. (Критерий нормальной подгруппы). Подгруппа 𝐻 группы 𝐺 является
нормальной тогда и только тогда, когда она вместе с каждым своим элементом
содержит и всякий сопряженный с ним элемент:
𝐻 ⊲ 𝐺 ⇔ ∀ℎ ∈ 𝐻 ∀𝑔 ∈ 𝐺 𝑔
−1
ℎ𝑔 ∈ 𝐻.
8. Фактор-группа. Фактор-группа циклической группы.
Определение. Если H – нормальная подгруппа группы G, то группа смежных классов G/H называется фактор-группой группы 𝐆 по подгруппе 𝐇.
Теорема 2. Фактор-группа циклической группы циклическая.
9. Изоморфизм групп. Изоморфизм бесконечных и конечных циклических групп.
Определение: Группы ⟨𝐺
1
,⋅⟩ и ⟨𝐺
2
,∗⟩ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение 𝜙 множества 𝐺
1
на
𝐺
2
такое, что
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺𝜙(𝑥 ⋅
𝑦) = 𝜙(𝑥) ∗ 𝜙(𝑦).
В этом случае говорят, что отображение 𝜙 сохраняет операцию. Само отображение называют изоморфизмом.
Основные свойства:
1!
𝜙(𝑒
1
) = 𝑒
2
, где 𝑒
1
— единица группы
𝐺
1
,
𝑒
2
— единица группы
𝐺
2 2!
∀𝑥 ∈ 𝐺 𝜙(𝑥
−1
) = (𝜙(𝑥))
−1 3!
Образ подгруппы при изоморфизме есть подгруппа.
4!
Образ нормальной подгруппы – нормальная подгруппа.
Теорема: Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ⟨Z, +⟩ = ⟨1⟩.
Теорема: Всякая циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n ⟨Z
n
, +⟩ = ⟨1⟩.
Следствие: Две конечные циклические изоморфны тогда и только тогда, когда порядки их совпадают.
10. Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. (без доказательства)
Определение 1: Гомоморфизмом группы ⟨G
1
,⋅⟩ на группу ⟨G
2
,∗⟩ называется отображение ϕ множества G
1
на множество
G
2
, которое сохраняет операцию, т.е.
∀x, y ∈ G ϕ(x ⋅ y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y).
Из определения следует, что изоморфизм это взаимно однозначный гомоморфизм.
Определение 2: Пусть ϕ — гомоморфизм группы ⟨G
1
,⋅⟩ на группу ⟨G
2
,∗⟩ и e
2
— единица группы G
2
. Ядром гомоморфизма ϕ называется множество всех прообразов e
2
в группе
G
1
Обозначается ker ϕ.
Кратко ker ϕ = {x ∈ G|ϕ(x) = e
2
, e
2
−
единица группы G
2
}.
Теорема 1: Ядро гомоморфизма – нормальная подгруппа.
Доказательство: (в видео лекции)
Теорема 2: Всякая нормальная подгруппа является ядром некоторого
гомоморфизма. (Без доказательства).
Теорема 3: (о гомоморфизме) Гомоморфный образ группы, изоморфен фактор-
группе по ядру гомоморфизма.
11. Кольцо. Подкольцо.
Определение: Кольцом называется множество с двумя операциями – сложение и умножение, удовлетворяющими следующим свойствам:
1) относительно сложения данное множество образует коммутативную группу
(множество замкнуто относительно сложения и выполняются свойства: коммутативность, ассоциативность, наличие нулевого элемента и для каждого элемента множества в этом множестве есть обратный для этого элемента);
2) относительно умножения — полугруппу (выполняется замкнутость относительно умножения и из свойств только ассоциативность);
3) выполняются две дистрибутивности.
Определение: Подкольцом данного кольца К называется его подмножество, которое само относительно тех же операций является кольцом. Другими словами, это подгруппа аддитивной группы кольца, замкнутая относительно умножения.
Теорема 1: (признак подкольца) Пусть дано кольцо
⟨𝐾, +,⋅⟩ и 𝐻 ⊆ 𝐾. Тогда 𝐻 — подкольцо кольца 𝐾 ⇔ 1)𝐻замкнуто относительно сложения и умножения и 2) для любого элемента 𝑎 ∈ 𝐻 противоположный ему элемент −𝑎так же принадлежит 𝐻.
Теорема 2: Пересечение двух подколец есть подкольцо.
12. Идеал кольца, фактор-кольцо по идеалу.
Определение 1: Пусть дано кольцо ⟨𝐾, +,⋅⟩. Подмножество 𝐻 ⊆ 𝐾называется идеалом кольца 𝐾, если оно является подкольцом, которое замкнуто относительно умножения на любой элемент кольца, т.е. (∀𝑎 ∈ 𝐻) и (∀𝑘 ∈ 𝐾) 𝑘 ⋅ 𝑎 ∈ 𝐻, 𝑎 ⋅ 𝑘 ∈ 𝐻.
(аналог нормальной подгруппы).
Пусть ⟨𝐾, +,⋅⟩ — кольцо и 𝐻 — идеал в 𝐾, тогда 𝐻 является подгруппой аддитивной группы кольца ⟨𝐾, +⟩. Поэтому можно рассмотреть фактор-группу 𝐾/𝐻. Операции в ней задаются формулами: (𝑎 + 𝐻) + (𝑏 + 𝐻) = (𝑎 + 𝑏) + 𝐻 (𝑎 + 𝐻) ⋅ (𝑏 + 𝐻) = (𝑎 ⋅ 𝑏) +
𝐻 Операция умножения для нас нова, рассмотрим принцип ее действия на примере доказательства независимости умножения от выбора представителей: 𝑎 + 𝐻 = 𝑎1 +
𝐻 𝑏 + 𝐻 = 𝑏1 + 𝐻 | ⟹ (𝑎 + 𝐻) ∙ (𝑏 + 𝐻) = (𝑎1 + 𝐻) ∙ (𝑏1 + 𝐻), т.е. 𝑎𝑏 + 𝐻 = 𝑎1𝑏1 + 𝐻
Доказательство: Имеем 𝑎 + 𝐻 = 𝑎1 + 𝐻 𝑏 + 𝐻 = 𝑏1 + 𝐻 | ⟺ (𝑎 − 𝑎1 ) ∈ 𝐻 (𝑏 − 𝑏1 ) ∈ 𝐻
|
⟺ (𝑎 − 𝑎1 )(𝑏 − 𝑏1 ) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎𝑏1 − 𝑎1𝑏 + 𝑎1𝑏1 ) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1) + (𝑎1𝑏1 −
𝑎1𝑏) + (𝑎1𝑏1 − 𝑎𝑏1 ) = (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1) + 𝑎1(𝑏1 − 𝑏) + 𝑏1 (𝑎1 − 𝑎) ∈ 𝐻 ⇒ (𝑎𝑏 − 𝑎1𝑏1 ) ∈ 𝐻
⇒ 𝑎𝑏 + 𝐻 = 𝑎1𝑏1 + 𝐻
13. Изоморфизм колец.
Изоморфизм колец — это взаимно однозначный гомоморфизм. Так же, как и в случае групп, изоморфные кольца «одинаковы» с алгебраической точки зрения.
14. Гомоморфизм колец, ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме колец (без доказательства).
Определение 2. Пусть (R, +, ×) и (R0 , ⊕, ⊗) — кольца. Отображение f : R → R0 называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все операции, то есть если f(a + b)
= f(a)
⊕ f(b), f(a × b) = f(a) ⊗ f(b). При этом, конечно, f(0) = 00 , f(na) = nf(a) при n ∈
Z.
Ядро любого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом.
Доказательство. Пусть <р: R —> R-2 — гомоморфизм колец, I = Кег<^ = {х | у>(х)
= 0} — ядро этого гомоморфизма. Поскольку гомоморфизм колец является и гомоморфизмом их аддитивных групп, то I — подгруппа по сложению. Осталось проверить, что для любого г Е R и а Е I выполнено га € I, ar € I. Из свойств гомоморфизма следует, что <р(га) = = <р(г)<р(а) = <р(г) • 0 = 0. Аналогично ц>(аг)
= 0.
Теорема. Пусть f : R! S гомоморфизм колец. Тогда
Im f = R= ker f:
15. Область целостности. Обратимые элементы. Делимость в области целостности.
Простые элементы области целостности.
Ассоциированные элементы: определение, примеры.
Отношение ассоциированности является отношением эквивалентности. НОД в области целостности.
Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо с 1 (т.е. к свойствам кольца добавляется свойство коммутативности умножения и наличие 1), в котором нет делителей нуля (т.е. ненулевых элементов, произведение которых равно нулю)
Теорема: Множество обратимых элементов области целостности образует коммутативную группу по умножению, которая называется мультипликативной группой области целостности. Примеры обратимых элементов:
1) Во множестве целых чисел Z обратимыми будут только 1 и -1 2) Во множестве рациональных чисел Q обратимыми будут все кроме 0 3) Во множестве Z+Zi (комплексных чисел с целыми коэффициентами) обратимыми будут только числа 1, -1, i, -i
4) Во множестве всех комплексных чисел С обратимыми будут все числа, кроме 0.
Определение: К – область целостности, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾, 𝑏 ≠ 0. Будем говорить, что 𝑎 ⋮ 𝑏
(кратно), если существует 𝑐 ∈ 𝐾 такой, что 𝑎 = 𝑏𝑐, при этом b называют делителем элемента a, а элемент а кратным b. Свойства делимости:
1!
𝑎 ⋮ 𝑏, 𝑏 ⋮ 𝑐 ⟹ 𝑎 ⋮ 𝑐
2!
∀𝑎 ∈ 𝐾 𝑎 ⋮ 1 3!
∀𝑎 ∈ 𝐾, 𝑎 ≠ 0 0 ⋮ 𝑎
4!
𝑎 ⋮ 𝑎, 𝑎 ≠ 0 5!
𝑎 ⋮ 𝑐 и 𝑏 ⋮ 𝑐 ⟹ (𝑎 ± 𝑏) ⋮ 𝑐 и (𝛼𝑎 ± 𝛽𝑏) ⋮ 𝑐, ∀𝛼, 𝛽 ∈
Теорема 1: (Основная теорема арифметики) Всякое натуральное число ≥ 1 либо является простым, либо представимо в виде произведения простых чисел, причем однозначно с точностью до порядка следования сомножителей.
Определение: Пусть дана область целостности 𝐾. Элемент 𝑝 ∈ 𝐾назовем простым, если он не нулевой, необратимый и не представим в идее произведения необратимых
элементов. Если элемент представим в виде произведения необратимых элементов, то этот элемент назовем составным.
Определение: 〈𝐾, +, ∙ 〉 — область целостности. Ненулевые элементы 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 ассоциированные, если существует обратимый элемент 𝜀 такой, что 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝜀.
Примеры: 1) Во множестве Z элементы 3 и -3 — ассоциированы, так как (-3)=3(-1), где (-1) – обратимый элемент. 8 и -8 ассоциированы. И т.д.
2) В кольце R[x] многочленов от переменной х с действительными коэффициентами два многочлена будут ассоциированы тогда и только тогда, когда они отличаются друг от друга на постоянный множитель. Например, f(x) и 7f(x) ассоциированы.
3) В поле р любые два ненулевых элемента поля ассоциированы
Теорема 1: Отношение ассоциированности в области целостности является отношением эквивалентности. Поэтому для обозначения ассоциированности элементов мы можем позаимствовать значок эквивалентности: 𝑎
𝑏.
Теорема 2: 𝑎𝑏 ⟺ 𝑎 ⋮ 𝑏 и 𝑏 ⋮ 𝑎
Основные свойства простых элементов.
1! Если 𝑝и 𝑞 — простые элементы и 𝑝 ⋮ 𝑞, то 𝑝
𝑞. Доказательство: 𝑝 ⋮ 𝑞, следовательно, существует 𝑡 ∈ 𝐾такой, что 𝑝 = 𝑞𝑡. По условию 𝑞 — простое, а значит 𝑞 — ненулевой и необратимый элемент и мы получим, 𝑝 представим в виде произведения двух необратимых элементов, что противоречит простоте элемента 𝑝. Полученное противоречие дает, что 𝑡 — обратим, а значит 𝑝
𝑞.
2! Для любого элемента 𝑎 ∈ 𝐾 и любого простого элемента 𝑝 ∈ 𝐾, либо 𝑎 ⋮ 𝑝, либо
НОД(𝑎. 𝑝)=1.
Доказательство: 1) Если 𝑎 ⋮ 𝑝, то доказывать нечего.
2) Предположим, что
𝑎 ⋮ ̄ 𝑝. Пусть НОД(𝑎. 𝑝)=𝑑 (заметим, что НОД в области целостности определяется однозначно с точностью до ассоциированности, т.е. если
𝑑 =НОД(𝑎. 𝑝), то 𝑑𝜀 — тоже НОД(𝑎. 𝑝), где 𝜀 — обратимый элемент. 𝑝 ⋮ 𝑑, значит 𝑝 =
𝑑𝑞, 𝑞 ∈ 𝐾. Если предположить, что 𝑞 — обратимый элемент, то существует 𝑞 −1и, тогда 𝑑 = 𝑝𝑞 −1 . Но в этом случае 𝑎 ⋮ 𝑑 ⋮ 𝑝, что противоречит нашему предположению. Предположим, что 𝑞 — необратимый элемент, а т.к. 𝑝 — простое и 𝑝
=
𝑑𝑞, то 𝑑 — обратим. Тогда 𝑑
𝑒 по теореме 3 предыдущего пункта, а значит НОД(𝑎.
𝑝)=𝑒.
3! Если 𝑎𝑏 ⋮ 𝑝, где 𝑝 — простой элемент, то 𝑎 ⋮ 𝑝 или 𝑏 ⋮ 𝑝.
Доказательство: (аналогично доказательству для целых чисел) (Здесь мы используем евклидовость кольца 𝐾. Так как в евклидовом кольце имеет место деление с остатком, то мы можем доказать, то мы можем в этом кольце рассмотреть алгоритм
Евклида. Так же можно доказать, что последний, отличный от нуля, остаток является
НОД элементов, к которым этот алгоритм применим. А используя алгоритм
Евклида, мы можем найти линейную форму). Если 𝑎 ⋮ 𝑝, то доказывать нечего. Если
𝑎 ⋮ ̄ 𝑝, то по свойству 2! НОД (𝑎. 𝑝) =1. следовательно, существуют числа 𝑢, 𝑣 ∈
𝐾такие, что 𝑎𝑢 + 𝑝𝑣 = 𝑒. Умножим обе части этого равенства на 𝑏, получим 𝑎𝑏𝑢 +
𝑝𝑏𝑣 = 𝑏, а из последнего следует, что 𝑏 ⋮ 𝑝.
16. Евклидово кольцо: определение, примеры. Основные свойства простых элементов евклидова кольца. Разложение на простые множители в евклидовом кольце (теорема о факторизации).
Определение. Евклидовым кольцом называется область целостности 〈𝐾, +,∙ 〉, для элементов которой определено отображение ℎ:𝐾 ⟶ 𝑁0, где 𝑁0 = 𝑁 ∪ {0}, которое обладает следующими свойствами:
1)
ℎ(𝑎𝑏) ≥ ℎ(𝑎) при 𝑏 ≠ 0 или 𝑎 = 𝑏 = 0;
2) (деление с остатком)
∀ 𝑎, 𝑏 ≠ 0 из 𝐾 ∃ 𝑞, 𝑟 ∈ 𝐾 | 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 при 𝑟 = 0 либо ℎ(𝑟) <
ℎ(𝑏). При этом ℎ(𝑎) называется нормой элемента a.
Основные свойства простых элементов евклидова кольца.
1. Если p и q – простые элементы и
𝑝 ⋮ 𝑞, то 𝑝𝑞.
Доказательство.
Из условия 𝑝 ⋮ 𝑞 следует, что существует элемент 𝑡 ∈ 𝐾 такой, что 𝑝 = 𝑞𝑡. По условию
𝑞 – простой элемент, значит 𝑞 – ненулевой и необратимый. Очевидно, 𝑡 ≠ 0. Если предположить, что t – необратимый элемент, то мы получим, что р представим в виде произведения двух необратимых элементов, что противоречит простоте элемента р. Полученное противоречие говорит об обратимости элемента t, а значит
𝑝𝑞.
2. Для любого
𝑎 ∈ 𝐾 и любого простого р из 𝐾 либо 𝑎 ⋮ 𝑝, либо (𝑎, 𝑝) = 1.
3. Если (
𝑎 ∙ 𝑏) ⋮ 𝑝, где 𝑝 – простой элемент, то 𝑎 ⋮ 𝑝 или 𝑏 ⋮ 𝑝.
Доказательство. (аналогично доказательству для целых чисел) Здесь мы используем евклидовость кольца 𝐾: так как в евклидовом кольце имеет место деление с остатком, то мы можем в этом кольце рассмотреть алгоритм Евклида. Так же можно доказать, что последний, от нуля остаток является НОД элементов, к которым этот алгоритм применен. Используя алгоритм Евклида мы можем найти линейную форму этого НОД. Если 𝑎 ⋮ 𝑝, то доказывать нечего. Если 𝑎 не кратно 𝑝, то по свойству 20
(
𝑎, 𝑏) = 𝑒, следовательно ∃ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐾| 𝑎𝑢 + 𝑝𝑣 = 𝑒. Домножим обе части последнего равенства на b, получим 𝑎𝑏𝑢 + 𝑝𝑏𝑣 = 𝑏, где каждое слагаемое кратно 𝑝, а значит и 𝑏
⋮ 𝑝.
Теорема. (о факторизации) В евклидовом кольце всякий ненулевой необратимый элемент либо является простым, либо представим в виде произведения простых, причем однозначно с точностью до порядка следования сомножителей и с точностью до их ассоциированности.
Другими словами, для любых разложений на простые множители существует взаимно однозначное соответствие между множителями, при котором соответствующие простые множители ассоциированы. (Например, 6 = 2 ⋅ 3 = (−3) ⋅
(−2) ⇒ 3(−3); 2(−2))
17. Главный идеал: определение, примеры. Кольцо главных идеалов.
Определение: Идеал, порожденный одним элементом, называется главным идеалом.
Пример: В Z любое фиксированное целое число а порождает главный идеал ⟨𝑎⟩ =
{
𝑘𝑎|𝑘 ∈ 𝑍} = 𝑎𝑍.
Определение: Кольцо называется кольцом главных идеалов, если в нем всякий идеал главный.
Теорема: Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
Доказательство. Пусть K – евклидово кольцо и H – идеал в K. Если 𝐻 = {0}, то 𝐻 =
⟨0⟩ — главный идеал (состоит только из нулей). Пусть 𝐻 ≠ {0} и а – ненулевой элемент с наименьшей нормой h(a)=n. Докажем, что 𝐻 = ⟨𝑎⟩. 1) По определению ⟨𝑎⟩ = {𝑘𝑎|𝑘
∈ 𝐾} ⊆ 𝐻. 2) Пусть 𝑏 ∈ 𝐻. Разделим b на а с остатком: b=aq+r . Предположим, что 𝑟
≠ 0, тогда ℎ(𝑟) < ℎ(𝑎) 𝑟 = 𝑏 − 𝑎𝑞 ⇒ 𝑟 ∈ 𝐻 | ⇒ 𝑟 − элемент из H с нормой h(r), меньшей, чем h(a), что противоречит выбору элемента a. Значит r=0 и 𝑏 = 𝑎𝑞 ∈ ⟨𝑎⟩ ⇒ 𝐻 ⊆ ⟨𝑎⟩.
Из подчеркнутого следует, что ⟨𝑎⟩ = 𝐻.
18. Поле. Расширения колец и полей. Поле отношений области целостности.
Определение: Полем называется система 〈Р, +, ∙〉, которая удовлетворяет следующим условиям:
1)
〈Р, +〉 — коммутативная группа;
2) Если Р ∗ = Р{0}, то 〈Р ∗ , ∙〉 -коммутативная группа;
3) Умножение дистрибутивно относительно сложения.
Другими словами: полем называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от 0, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный.
Основные свойства полей:
1! В поле нет делителей нуля, т.е. если 𝑎 ≠ 0 и 𝑏 ≠ 0, то 𝑎 ∙ 𝑏 ≠ 0, а если 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, то 𝑎
= 0 или 𝑏 = 0.
2! Для любых
𝑎, 𝑏 ≠ 0 деление положим как 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 −1 . При этом 𝑎 𝑏 называют отношением. Основное свойство отношений: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 ⟺ 𝑎𝑑 = 𝑐
Определение: Кольцо К1 называется расширением кольца К, если К – подкольцо кольца К1 и при этом в К1 есть элементы, не принадлежащие К. (т.е. К1 должно быть больше К)
19. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Пусть поле F является расширением поля P.
Определение 1. Элемент 𝛼 ∈ 𝐹 называется алгебраическим над полем F, если
𝛼является корнем некоторого многочлена 𝑓(𝑥) ∈ 𝑃[𝑥]. Элемент 𝛼 ∈ 𝐹называется трансцендентным над полем F, если𝛼не является корнем никакого многочлена с коэффициентами из P.
Определение 1. Пусть 𝛼 — алгебраический элемент над P. Минимальным многочленом алгебраического элемента 𝛼 называется приведенный многочлен из
P[x], наименьшей степени, имеющий корень 𝛼.
Теорема: (о свойствах минимального многочлена)
Пусть
𝛼 — алгебраический элемент над полем P, и 𝜙(𝑥) — его минимальный многочлен, тогда
1) для любого алгебраического числа
𝛼 минимальный многочлен существует, притом единственный;
2) минимальный многочлен 𝜙(𝑥) — неприводимый над P;
3) для любого многочлен f(x) из P[x] 𝑓(𝛼) ≠ 0 ⇔ (𝑓(𝑥),𝜙(𝑥)) = 1.
Задача: Дано отношение
, где f(x) и g(x) є P[x], а Q –алгебр-е число над полем Р.
Исключить иррациональность в знаменателе данного отношения означает:
Найти h(x) є P[x], что f(Q)/g(Q)=h(Q)- значение многочлена.
Решение: Пусть р(х)-лин-1 для Q многочлена. Рассмотрим g(x) и р(х), р(х) –
неприводимый.
Либо g(x) р(х), либо (g(x),p(x))=1.
1)g(x) p(x)→
q(x): g(x)=p(x)∙q(x). x=Q g(Q)=p(Q)∙q(Q)=0 (чего быть не может : 0)→
2)(g(x),p(x))=1лин-епредставлениедля
Н.О.Д.: U(x),
V(x)
є
P[x]:{g(x)∙u(x)+p(x)∙v(x)=1} x=Q g(Q)∙u(Q)+p(Q)∙v(Q)=1; u(Q)= 1/g(Q) умножим обе части на f(Q); → f(Q)∙u(Q)=f(Q)/g(Q). Понизим степень (поделим с остатком): m(x)=f(x)∙u(x)=p(x)∙s(x)+r(x); dim r(x)
20. Алгебраические расширения. Алгебраичность конечного расширения поля. Простые расширения. Простые алгебраические расширения.
Определение. Пусть A – ассоциативная k-алгебра
Элемент z ∈ A называется алгебраическим или целым над k, если существует такой ненулевой многочлен f ∈ k[X], deg f> 1, что f(z) = 0
Определение. Поле K’ называется конечным расширением поля K, или просто, конечным над K, если все элементы поля K’ являются линейными комбинациями конечного множества элементов 𝑎1, 𝑎2 … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐾′с коэффициентами 𝜆𝑖 из K: 𝒖 =
𝝀𝟏𝒂𝟏 + 𝝀𝟐𝒂𝟐 + ⋯ + 𝝀𝒏𝒂
Расширение называется простым, если оно получено присоединением только одного элемента.