Формула байеса егэ по математике

 Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается .

Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:

Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям  и , обозначим его .

Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.

Если мы вычисляем вероятность события в предположении, что событие уже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию  окажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию . То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям  и  составляет от числа исходов, благоприятствующих событию .

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации  — число элементов множества )

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации  — число элементов множества )

Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событиям  и , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации  — число элементов множества , которое является пересечением множеств и ).

Тогда

Но по определению условной вероятности , следовательно

(1)

Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события   при условии, что событие  произошло:

(2)

Очевидно, что 

Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.

Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.

Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение.

В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.

Нам нужно найти вероятность того, что  что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их от всех тарелок.

Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна . При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна .

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна

Ответ: 0,98.

Пример 2.

40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.

а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.

б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает. 

Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает %.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено всех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено   от всех протекающих пакетов.

Получаем , отсюда . То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на  заводе в С.  протекает, равна . Получим, что на заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л. (0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)

Тогда вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. равна .

Ответ: а)  , б) .

Содержание:

1. Примеры с решением

В этом подразделе вы научитесь узнавать характерные ситуации, в которых интересующее нас событие наступает одновременно с одной из попарно несовместных гипотез, образующих полную группу событий, и осуществлять переоценку этих гипотез на основе найденной вероятности самого события .

Пусть в ходе испытания событие осуществилось вместе с одним из попарно несовместных событий (гипотез) образующих полную группу событий, т.е. Найти вероятность каждой отдельной гипотезы при условии выполнения события можно по формуле Байеса.

Вероятность гипотезы при условии, что событие произошло, обозначим .

По теореме произведения зависимых событий вероятность одновременного осуществления и события , и гипотезы равна;

.

Тогда вероятность гипотезы при условии, что событие произошло, найдем, выразив из последних двух произведений неизвестный множитель по формуле

.

Заменив суммой произведений по формуле полной вероятности, получим

. (1.17)

Формула Байеса дает возможность переоценивать вероятности гипотез, принятых до испытаний, по результатам вновь произведенных испытаний (уточнение гипотез).

Следствием двух основных теорем теории вероятностей — теоремы сложения и теоремы умножения — являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема. Если событие может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий {гипотез) на соответствующие условные вероятности события :

. (1.31)

По условию события (гипотезы) образуют полную группу, следовательно, они единственно возможные и несовместные.

Так как гипотезы — единственно возможные, а событие по условию теоремы может произойти только вместе с одной из гипотез, то

.

В силу того что гипотезы несовместны, можно применить теорему сложения вероятностей:

.

По теореме умножения откуда и получается утверждение (1.31).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Она применяется, когда событие , которое может появиться только с одной из гипотез , образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез .

Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий и в двух формах:

(1.32)

или с учетом (1.31)

. (1.33)

Формула (1.33) называется формулой Байеса.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события , т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1.

Имеются три урны с шарами: в первой — 4 белых и 6 красных, во второй — 7 белых и 3 красных, в третьей — 8 белых и 2 красных. Бросают игральную кость. При выпадании одного, двух, трех очков вынимают шар из первой урны, четырех очков — из второй, другого количества очков — из третьей урны.

а) Найти вероятность того, что вынутый шар — белый.

б) Вынутый шар оказался белым. Из какой урны наиболее вероятно он мог быть извлечен?

Решение:

Примем в качестве гипотез событие — извлечь шар из -й урны, где .

а) Найдем вероятности гипотез.

Вероятность выпадания одной из трех граней с одним, двумя и тремя очками — вероятность первой гипотезы .

Вероятность второй гипотезы — выпадение четырех очков — равна .

Вероятность третьей гипотезы — выпадение других очков, т. е. пяти или шести, равна . Поскольку гипотезы составляют полную группу событий, сумма их вероятностей равна единице:

.

Заметим, что условие выбора гипотезы могло быть записано отношением 3:2:1.

Вероятность извлечения белого шара (событие ) при условии, что он вынут из -й урны, равна . Тогда полная вероятность события — «извлечение белого шара из одной из трех урн» — равна:

.

б) Для того чтобы установить, из какой урны наиболее вероятно извлечь белый шар, надо сравнить вероятности извлечения белого шара из каждой урны. Вычислим вероятность гипотез где при условии, что событие произошло, по формуле (1.17), занесем все данные в таблицу (табл. 1.1) и вычислим

Таблица 1.1

вероятности гипотез при условии, что событие произошло, по формуле (1.17).

Из трех вариантов наибольшая вероятность извлечь белый шар из третьей урны, так как вероятность максимальная. Поэтому можно сделать вероятностный вывод о том, что белый шар скорее всего извлечен из третьей урны.

Почему в учебниках по теории вероятностей так часто встречаются задачи «без сюжета», например о шарах, игральных костях, картах и др.?

Эти задачи, называемые ключевыми (см. задачу 1.51), позволяют увидеть характерные особенности задач отдельного вида, а также общие приемы их решения. Анализ условия и решения таких задач помогает решать аналогичные задачи с иным содержанием.

Пример 2.

Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % государственные органы, 30 % — другие банки, остальное — физические лица. Вероятности невозврата кредита соответственно равны: 0,01; 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного кредита. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсе имя клиента плохо пропечатано. Какова вероятность того, что данный кредит не возвращает другой банк?

Решение:

1) Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть означает, что запрос поступил от государственного органа, — от банка, — от физического лица и событие — невозврат рассматриваемого кредита. Тогда

2) Вероятность того, что данный кредит не возвращает другой банк, найдем по формуле Байеса:

.

Задача 1.

Из 10 студентов, пришедших на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно и один студент вообще не готовился к экзамену. Из 20 экзаменационных вопросов первые три студента могут ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовившиеся — на 16, удовлетворительно подготовившиеся — на 10, неподготовившийся студент помнит ответы лишь на пять вопросов с лекций, на которых присутствовал.

Экзаменующийся студент ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он действительно выучил весь материал?

Решение:

Введем обозначения событий:

— студент ответил на вопроса;

— студент подготовился отлично;

— студент подготовился хорошо;

— студент подготовился удовлетворительно;

— студент к экзамену не готов.

Тогда .

Вероятность ответить на все три вопроса для тех, кто подготовился:

отлично — ;

хорошо — (ответил и на 1 и на 2-й, и на 3-й вопросы, а после каждого ответа количество предлагаемых вопросов на один уменьшалось);

удовлетворительно — .

Для неподготовленного студента .

По формуле Байеса найдем вероятность того, что ответивший студент выучил весь материал:

.

Так как вероятность невелика, преподаватель не сразу ставит оценку «отлично», а задает дополнительные вопросы.

Задача 2.

Комплекты деталей изготовляют опытный мастер и ученик. Опытный мастер допускает брак в пяти случаях из 100, а ученик портит каждую пятую деталь. В комплект входят две детали. Для контроля наугад взяли один комплект. Какова вероятность того, что

а) выбранный комплект оказался бракованным;

б) выбранный комплект сделан мастером при условии, что он бракованный?

Решение:

Введем обозначения событий: — комплект бракованный; — деталь сделана мастером; — деталь сделана учеником. Вероятность того, что мастер допустит брак, равна , ученик — . Тогда, поскольку в комплект входят две детали, множество возможных событий включает гипотезы, образующие полную группу событий:

— обе детали без брака, причем

— брак допустил только мастер, причем

— брак допустил только ученик, причем

— обе детали бракованные, причем

Найдем вероятности гипотез, учитывая, что каждая из них есть произведение независимых событий:

Сложив вероятности всех гипотез, убеждаемся, что их сумма равна и они действительно образуют полную группу событий.

Найдем условные вероятности события — «комплект бракованный» для каждой гипотезы: .

б) Применив формулу Байеса, получим вероятность того, что выбранный комплект сделан мастером, при условии, что он бракованный:

Задача 3.

При обследовании пациента у врача возникли подозрения на одно из двух близких по симптомам заболеваний и . Их вероятность в данной ситуации т.е. у пациента обнаружена болезнь или или . Для уточнения диагноза пациенту проводят дополнительное обследование. В случае положительной реакции вероятность первого заболевания 0,9, отрицательной . Для второго заболевания положительная и отрицательная реакции равновероятны.

В результате двукратного проведения дополнительного обследования реакция дважды оказалась отрицательной. Необходимо

найти вероятность каждого заболевания и после дообследования.

Решение:

Обозначим через событие, заключающееся в отрицательной реакции.

Для заболевания вероятность (и в первом, и во втором случаях реакция отрицательная). Аналогично для вероятность . Найдем вероятность первого заболевания в случае, если произошло событие по формуле Байеса:

Аналогично для второго заболевания имеем:

Поэтому врач остановился на гипотезе, что у больного второе заболевание.