Формула бернулли теория вероятности примеры решения задач егэ математика профиль

 « Методика решения сложных  задач по теории вероятности с помощью
формулы Бернулли при подготовки к ЕГЭ».

                                                   Выполнила:
учитель математики

МКОУ СШ №2 г.Котельниково            Волгоградской области

                                                  Пирожик Галина
Кирилловна

Цель работы:

·        
научиться вычислять вероятности
событий с помощью формулы Бернулли

В результате выполнения практической
работы студент должен:

знать:

·        
формулу Бернулли;

уметь:

·        
вычислять вероятности событий с помощью формулы Бернулли.

       В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике профильного
уровня  добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми,
которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности и требует
применение более глубоких знаний по этой теме. При
решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в
которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания
независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой
повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры
повторных испытаний:

1)
многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после
регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2)
повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что
вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

3)
бросание симметричной монеты n раз.

Схема Бернулли —
это когда производится n однотипных
независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас
событие A, причем известна вероятность
этого события P(A)
= p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится
ровно k раз.

Поскольку
речь идет о испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова,
то возможны лишь два исхода:

1.  A — появление события A с
вероятностью p;

2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с
вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее
условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы
опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A,
которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность
того, что событие A произойдет ровно k раз
из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли.
Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна
и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых
испытаниях событие A появится ровно k раз,
рассчитывается по формуле:

где C_n^k — число
сочетаний, q = 1 − p.

Эта
формула так и называется: формула Бернулли.

Для
решения по формуле Бернулли надо вспомнить:

1)
определение факториала.

Факториал числа n (n!)— это произведение натуральных
чисел от 1 до n.

                         n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Примеры для вычисления факториала числа:

1)
3! = 1*2*3 = 6       2)  4! = 1*2*3*4 = 24     3) 5! = 1*2*3*4*5 = 120    4)6!
= 1*2*3*4*5*6 = 720

Запоминаем

0! =
1            1! = 1    

Свойство факториала  n!=(n—1)!⋅n

1) 4! =  (4-1)!*4= 3!*4;     2) 5! =(5-1)!*5=4!*5

2) Число сочетаний.

Число сочетаний из n по k элементов (обозначается   )  очень
важное понятие в комбинаторике. Оно
показывает сколько существует вариантов выбора k элементов из множества n
элементов.
Число сочетаний вычисляется по формуле:

Примеры
для решени:

1)

2)

    
Разберем задачи на применение формулы для вычисления простых задач, решаемых по
формуле Бернулли

Задача1.  Монету бросают 6
раз. Выпадение орла и решки равновероятно. Найти вероятность того, что орел
выпадет три раза.

Решение:

 Событие A, когда выпадает
орел,  вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется
событие «не A», когда выпадает решка, что случается с
вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность
того, что орел выпадет k раз.

Таким
образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим
вероятность того, что орел выпал три раза, т.е. k = 3:

Ответ: 
0,3125  

Задача2.  Монету бросают 6
раз. Выпадение орла и решки равновероятно. Найти вероятность того, что орел
выпадет не менее двух раз.

Решение:

Основная загвоздка — во фразе «не менее».
Получается, что нас устроит любое k,
кроме 0 и 1,
 надо
найти значение суммы X = P₆(2) + P₆(3)
+ … + P₆(6).

Заметим,
что эта сумма также равна (1 − P₆(0) − P₆(1)),
т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда орел выпал 1
раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0).
Поскольку P₆(1) нам уже известно, осталось найти P₆(0):

Ответ:0,890625

Задача 3. Монету
бросают 2 раза. Найти вероятность того, что «решка» выпадает хотя бы раз.

Решение:

Решка выпадет хотя бы раз (т. е. или раз из двух, или два из
двух)

p=0,5 – вероятность того,
что выпадет герба,

q=0,5 – вероятность того, что выпадет
решка.

Ответ: 0,75.

Задача 4. (ЕГЭ 2022)  Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько
раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события
«выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А,
состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при
десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно 

Тогда

Ответ: 1,2

Задача 5. (ЕГЭ 2022)   Стрелок стреляет по пяти одинаковым
мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что
вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько
раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности
события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок
поражает мишень с первого раза 0,6 а со второго выстрела 1-0,6=0,4;
Вероятность
поразить мишень равна 0,6+0,4∙0,6=0,84, не поразить 1-0,84=0,16

Вероятность
поразить 5 мишеней из 5 равна 

Вероятность
поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

=Р₂

Ответ: 1,05

Задачи
для самостоятельной работы:

1. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события
«выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Ответ: 1,4

2. Симметричную монету бросают 12 раз. Во сколько раз вероятность события
«выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов»?

Ответ: 1,6

3.Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз
вероятность события «выпало ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет
ровно 3~орла»?

Ответ: 1,25

4. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням.
На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность
поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события
«стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит
ровно 2 мишени»?

Ответ: 3.

10 июня 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Формула Бернулли. Примеры решения задач по теории вероятностей

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты).

formula-bernuli.docx
formula-bernuli.pdf

Схема Бернулли. Примеры решения задач

5 июля 2011

Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

1. A — появление события A с вероятностью p;
2. «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C_n^k — число сочетаний, q = 1 − p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет три раза;
2. герб выпадет один раз;
3. герб выпадет не менее двух раз.

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P₆(2) + P₆(3) + … + P₆(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 − P₆(0) − P₆(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P₆(1) нам уже известно, осталось найти P₆(0):

Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3):

[begin{array}{l}{P_{20}}left( 2 right) = C_{20}^2{p^2}{q^{18}} = frac{{20!}}{{2!18!}} cdot {0,2^2} cdot {0,8^{18}} approx 0,137\{P_{20}}left( 3 right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = frac{{20!}}{{3!17!}} cdot {0,2^3} cdot {0,8^{17}} approx 0,41end{array}]

Очевидно, P₂₀(3) > P₂₀(2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.

Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению.

P. S. А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь.

Смотрите также:

1. Локальная теорема Муавра — Лапласа
2. Формула полной вероятности
3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
4. Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла

Примеры решений задач на формулу Бернулли

Калькуляторы на формулу Бернулли

Обратите внимание на следующие разделы, где разобраны типовые задачи на формулу Бернулли. Вы можете решить или проверить вычисления своих заданий с помощью онлайн-калькуляторов. Теорию по этой теме можно найти в онлайн-учебнике.

• Задача про партии в шахматы
• Задача про выстрелы
• Задача про мальчиков и девочек
• Задача про лотерейные билеты
• Задача о наивероятнейшем значении
• Формула Пуассона

Еще: решаем в Excel по формуле Бернулли.

Схема Бернулли: решенные задачи

Задача 1. Из $n$ аккумуляторов за год хранения $k$ выходит из строя. Наудачу выбирают $m$ аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них $l$ исправных.
$n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.$

Задача 2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

Задача 3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Задача 5. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

Задача 6. Что более вероятно выиграть у равносильного противника: не менее двух партий из трёх или не более одной из двух?

Задача 7. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;
б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

Формула Пуассона: решенные задачи

Задача 4. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

Задача 8. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:
а) три ошибочно укомплектованных пакета;
б) не более трех пакетов.

Решебник — когда задачи нужны быстро

Привет! На связи методический отдел федеральной сети курсов ЕГЭ и ОГЭ Lancman School («Ланцман скул»). Сегодня мы расскажем о том, как готовиться в 2021-2022 учебном году к ЕГЭ по профильной математике. В конце статьи вас ждёт бонус: вебинар по теории вероятности. Наш преподаватель Дмитрий Корабейников расскажет, как решать задания ЕГЭ по профильной математике 2022 года при помощи формулы Бернулли.

Хочешь БЕСПЛАТНО разобрать с опытным преподавателем все детали новых усложнённых вариантов ЕГЭ по профильной математике 2022 года — приходи на пробное занятие в Lancman School. Мы 13 лет готовим к ЕГЭ на высокие баллы и знаем об экзаменах и поступлении в хорошие вузы буквально всё. Решишь продолжить готовиться к ЕГЭ вместе с нами весь год — дадим скидку после бесплатного пробного занятия. Любой вопрос смело пиши сюда.

Если ты живешь не в Москве, но хочешь заниматься с лучшими столичными репетиторами и сдать ЕГЭ на 80+ баллов, то регистрируйся на наши онлайн-курсы. В этом году мы включили в договор пункт, гарантирующий поступление на бюджет в любой вуз страны. Если ученик будет соблюдать все обговоренные условия, он обязательно поступит. В противном случае мы вернём деньги. Первое пробное занятие БЕСПЛАТНО.

В банке заданий ФИПИ появилось несколько новых задач по теории вероятностей. Часть из них крайне сложно решить без формулы, которую мало кто из одиннадцатиклассников знает. Это формула Бернулли. Выглядит она, конечно, страшновато:

Сейчас мы разберемся, что в ней значат все буквы и символы. А после решим задачу из банка ФИПИ с помощью этой формулы.

P_n(k) – вероятность, что событие наступит k раз в n испытаниях.
Например, человек открывает 7 (n = 7) коробок. В каждой коробке с какой-то вероятностью p может оказаться приз. И по формуле Бернулли можно найти вероятность, например, того, что приз окажется в 3 (k = 3) коробках из 7.

Таких сочетаний получилось 6 шт. Это мы сосчитали вручную. Так делать не всегда удобно: сочетаний может оказаться слишком много.

Наверняка не все знают, как считается так называемый факториал числа: n!
Нужно перемножить это число и все натуральные числа, идущие от 1 до этого числа. Поэтому, например,

Дальше нужно разобраться, что значат буквы p и q.

p и q – взаимообратные вероятности исхода какого-то события. Т.е. p + q = 1. Известный и понятный пример: шансы, что при броске монеты выпадет орел (p) или решка (q). Шанс выпадения орла p = 0,5. Шанс того, что орел не выпадет (а выпадет решка) q = 0,5. Всё сходится: p + q = 1.

Или такая ситуация: в коробке 7 красных карандашей и 3 синих. Обозначим вероятность случайно вытащить красный карандаш за p, а вытащить синий карандаш за q.
В этой ситуации p = 0,7 и q = 0,3; p + q = 1.

Со всеми обозначениями разобрались, давайте теперь решим реальную задачу. Это №10 из профильного ЕГЭ по математике 2022.

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Здесь вероятность выпадения орла p = 0,5. Тогда вероятность того, что орел не выпадет (а выпадет решка): q = 1 — p  = 0,5.

Всего 10 бросков, т.е. будем рассматривать сочетания из 10 объектов: n = 10.

Далее нам предстоит сравнить два случая:
1) «выпадет ровно 5 орлов», т.е. из n = 10 объектов мы выбираем сочетания по 5, k = 5;
2) «выпадет ровно 4 орла», т.е. из n = 10 объектов мы выбираем сочетания по 4, k = 4.

Попробуйте решить пару подобных задач самостоятельно, и такие новые задачи по теорверу вас больше не смутят. Но сперва выучите формулу Бернулли:

Обожка поста: pixabay.com