Формула дифференцированного платежа егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

Таким образом, если кредит взят на (n) лет, то это значит, что сумму кредита (A) разделили на (n) равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на (dfrac1n A) по сравнению с долгом на начало года.

Пример 1. Клиент взял в банке кредит на (2) года под (15%) годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Какую сумму он взял в банке, если оказалось, что в итоге он заплатил банку (490,000) рублей?

Пусть кредит составил (A) рублей. Т.к. кредит взят на (2) года, значит после первой выплаты долг должен составлять (A-frac12
A=frac12 A) рублей, после второй выплаты (frac12 A-frac12 A=0) рублей. Составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&A&A+0,15A&frac12 A&0,15A+frac12A\
hline 2&frac12A&frac12A+0,15cdotfrac12A&0&0,15cdotfrac12A+frac12A\
hline
end{array}] То, что клиент в итоге заплатил банку, есть не что иное, как сумма всех выплат по кредиту.

Т.е. (0,15A+frac12A+0,15cdotfrac12A+frac12A=490,000 Rightarrow
A=dfrac{490,000cdot 2}{2,45}=400,000) рублей.

Пример 2. Александр взял в банке кредит на (50,000) рублей на (3) месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке (10%)?

Т.к. кредит взят на (3) месяца, то после первой выплаты долг должен составить (A-frac13A=frac23 A), после второй (frac23A-frac13A=frac13A), а после третьей — (0) рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Месяц}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после выплаты}&\
hline 1&50&50+0,1cdot 50&frac23cdot 50&0,1cdot 50+frac13cdot 50\
hline 2&frac23cdot 50&frac23cdot 50+0,1cdotfrac23cdot 50&frac13cdot
50&0,1cdot frac23cdot 50+frac13cdot50\
hline 3&frac13cdot 50&frac13cdot 50+0,1cdot frac13cdot
50&0&0,1cdot frac13cdot 50+frac13cdot 50\
hline
end{array}]

Таким образом, всего Александр заплатил банку (big(0,1cdot
50+dfrac13cdot 50big)+big(0,1cdot dfrac23cdot
50+dfrac13cdot50big)+big(0,1cdot dfrac13cdot 50+dfrac13cdot
50big)) тыс.рублей.

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

(0,1cdot 50 left(1+dfrac23+dfrac13right)+3cdot dfrac13cdot
50=0,1cdot 50cdot 2+50)

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

(big(0,1cdot 50cdot 2+50big)-50=10) тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила (10,000) рублей.

Заметим,

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это (0,1cdot 50), во второй — (0,1cdot big(frac23cdot
50big)) и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это (frac13cdot 50)).

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна (A)). А далее он еще вносит (frac 1n) часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на (frac 1n) часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

В нашем примере переплата как раз равна (0,1cdot 50+0,1cdot
frac23cdot 50+0,1cdot frac13cdot 50).

Пример 3. Банк предлагает клиентам кредит на (1) млн рублей на следующих условиях:
– каждый год банк начисляет на оставшуюся часть долга (10%);
– после начисления процентов клиент обязан внести платеж;
– через (5) лет кредит должен быть выплачен полностью;
– система выплат дифференцированная.

Сколько процентов от первоначального долга составит переплата по такому кредиту?

Т.к. кредит выдается на (5) лет, это значит, что долг должен уменьшаться каждый год на (frac15cdot 1) млн рублей, то есть после первой выплаты долг составит (1-frac15cdot 1=frac45) млн рублей, после второй (frac45-frac15=frac35) млн рублей и т.д.

Составим таблицу, причем все вычисления будем производить в млн рублей: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\
hline 1&1&1+0,1&frac45&0,1+frac15\
hline 2&frac45&frac45+0,1cdotfrac45&frac35&0,1cdot
frac45+frac15\
hline 3&frac35&frac35+0,1cdotfrac35&frac25&0,1cdot
frac35+frac15\
hline 4&frac25&frac25+0,1cdotfrac25&frac15&0,1cdot
frac25+frac15\
hline 5&frac15&frac15+0,1cdotfrac15&0&0,1cdot
frac15+frac15\
hline
end{array}]

Таким образом, переплата по кредиту составила:

(big(0,1+frac15big)+big(0,1cdot
frac45+frac15big)+big(0,1cdot
frac35+frac15big)+big(0,1cdot
frac25+frac15big)+big(0,1cdot
frac15+frac15big)-1=dfrac3{10}) млн рублей.

Для того, чтобы посчитать, сколько процентов составила переплата относительно кредита, необходимо переплату разделить на сумму кредита и умножить на (100%):

(dfrac{frac3{10}}{1}cdot 100%=30%)

Выведем несколько формул:

Вывод формулы для выплаты по кредиту:

Пусть взят кредит на (A) рублей, на (n) лет, годовая ставка (r%).

Значит, каждый год долг должен уменьшаться на (frac1n A) рублей. К тому же, например, в первый год после начисления процентов долг составит (A+frac r{100}A), поэтому обозначим для удобства (frac
r{100}=y) и составим таблицу: [begin{array}{|l|c|c|c|c|}
hline text{Год}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&text{Сумма долга}&
text{Выплата}\
&text{до начисления} %&text{после начисления }%&text{после
выплаты}&\[1ex]
hline 1&A&A+yA&frac {n-1}n A& yA+frac 1n
A\[1ex]
hline 2&frac{n-1}n A&frac{n-1}n A+ycdot frac{n-1}n A&
frac{n-2}n A&ycdot frac{n-1}n A+frac 1n A\[1ex]
hline 3&frac{n-2}n A&frac{n-2}n A+ycdot frac{n-2}n
A&frac{n-3}n A&ycdot frac{n-2}n A+frac 1nA\[1ex]
hline 4&frac{n-3}n A&frac{n-3}n A+ycdot frac{n-3}n
A&frac{n-4}n A&ycdot frac{n-3}n A+frac 1nA\[1ex]
hline dots&dots&dots&dots&dots\[1ex]
hline n-1& frac 2nA&frac 2nA+ycdot frac 2nA&frac
1nA&ycdot frac 2nA+frac 1nA\[1ex]
hline n&frac 1nA&frac 1nA+ycdot frac 1nA&0&ycdot frac
1nA+frac 1nA\[1ex]
hline
end{array}]

Таким образом, если (i) — номер года, то выплата в (i)-ый год будет равна:
(x_i=ycdot frac{n-(i-1)}nA+dfrac 1nA), или: [{large{x_i=dfrac{r}{100}cdot dfrac{n-i+1}{n}A+dfrac1n A}}]

Вывод формулы для переплаты по кредиту:

Для того, чтобы посчитать переплату, необходимо просто сложить все данные из последнего столбца и отнять (A):

(big(yA+frac 1n Abig)+big(ycdot frac{n-1}n A+frac 1n
Abig)+big(ycdot frac{n-2}n A+frac 1nAbig)+big(ycdot
frac{n-3}n A+frac 1nAbig)+dots+big(ycdot frac 2nA+frac
1nAbig)+)

(+big(ycdot frac 1nA+frac 1nAbig)-A=big(yA+ycdot
frac{n-1}nA+ycdot frac{n-2}nA+ycdot frac{n-3}nA+dots+ycdot
frac 2nA+ycdot frac 1nAbig)+)

(+big(frac
1nA+frac1nA+frac1nA+frac1nA+dots+frac1nA+frac1nAbig)-A=yA
big(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig)+)

(+ncdot frac 1n
A-A=yAbig(1+frac{n-1}n+frac{n-2}n+frac{n-3}n+dots+frac
2n+frac 1nbig))

В скобках находится арифметическая прогрессия, первый член которой (a_1=1), последний (a_n=dfrac 1n), разность (d=-dfrac 1n), а количество членов равно (n). Сумма такой прогрессии равна:

(S_n=dfrac{a_1+a_n}{2}cdot n=dfrac{1+frac1n}{2}cdot
n=dfrac{n+1}2)

Значит, вся переплата равна (yAcdot dfrac{n+1}2), или [{large{P=dfrac r{100}cdot dfrac{n+1}2A}}]

Источник

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2016-05-11

11
Май 2016

16 Задание (2022)

В этой статье мы выведем общую формулу для решения экономических задач, условие которых предполагает погашение задолженности по кредиту с использованием дифференцированного платежа.

Дифференцированный платеж – это способ погашения кредита, при котором заемщиком выплачивается основная сумма займа («тело кредита») равными частями, а начисление процентов осуществляется только на остаток задолженности в каждый конкретный момент времени.

Если в задаче присутствуют слова «равными частями», или «долг уменьшается на одну и ту же величину» , то, скорее всего, речь идет о дифференцированном платеже.

Отметим, что в этом случае платежи отличаются между собой.

Внимание! Следует отличать эти задачи от тех, в которых долг отдается равными платежами.

Пусть заемщик взял в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %.

В случае дифференцированного платежа ежегодный платеж состоит из двух частей и равен

1) — часть долга, выплачиваемая ежегодно. Это та составляющая ежегодной выплаты, которая остается постоянной.

2) Проценты на оставшуюся часть долга. Это составляющая ежегодного платежа, которая меняется с каждой выплатой и зависит от порядкового номера этой выплаты.

В первый год выплата процентов по кредиту равна ,

во второй —

в третий —

Выплата процентов по кредиту в — ый год равна .

Тогда общий платеж в первый год равен

Во второй:

В — ый:

Выплаты по процентам представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой

Суммарно выплаты по процентам равны:

Сумма слагаемых в скобках находится по формуле суммы членов арифметической прогрессии:

В итоге, если клиент берет в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %, то при дифференцированном платеже он выплатит за лет всего

рублей.

В этом случае переплата банку составляет рублей или процентов (считаем, сколько процентов составляет переплата от суммы долга, для этого сумму переплаты делим на сумму долга и умножаем на 100%).

Например, если клиент берет ипотеку на квартиру 10 млн руб. сроком на 20 лет под 10% годовых (фантастически низкий процент), то по истечении этого срока он заплатит за квартиру:

млн. руб. То есть сумму, более чем в два раза превышающую сумму кредита.

Решим задачу:

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

По условию задачи процентная ставка % годовых.

Пусть кредит взят на лет. Наибольший годовой платеж будет в первый год, когда невыплаченный остаток максимальный, он равен сумме, взятой в кредит. Годовой платеж в первый год равен млн руб.

По условию наибольший годовой платеж равен 9 млн руб.

Получаем уравнение:

Следовательно, кредит взят на 14 лет.

Тогда общая сумма выплат равна млн руб.

Ответ: млн руб.

И.В. Фельдман, репетитор по математике

|
Отзывов (13)

Источник

Экспресс-тренинг

Подготовка к ЕГЭ-2023 по профильной математике в кратчайшие сроки!

До экзамена осталось совсем немного времени! Закрепите свои знания! Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Ваш ребенок успеет подготовиться к экзамену!

Кредиты. Дифференцированная и аннуитетная схемы платежей

Здравствуйте!

Текстовые задачи с экономическим содержанием, темой которых являются банковские кредиты, сравнительно недавно появились в содержании экзамена по математике. Тем не менее, в реальных вариантах КИМ ЕГЭ они встречаются чаще других.

Для решения таких задач вам необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковским кредитам — дифференцированной и аннуитетной. Эти модели представлены на слайдах.

Рекомендуем вам перед тем, как изучать теоретический материал по теме «Банковские кредиты», повторить определения арифметической и геометрической прогрессий и формулы суммы n последовательных членов каждой из прогрессий – они вам понадобятся.

Арифметическая прогрессия

Последовательность чисел a_n такая, что

где d — разность арифметической прогрессии.

Сумма Sn=a1+a2+…+an n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Sn=a1+an2⋅n=2a1+d(n−1)2⋅n.

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел b_n такая, что

где q — знаменатель геометрической прогрессии.

Сумма Sn=b1+b2+…+bn n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Формула бесконечной суммы при q∈(−1,1):

S=b11−q

На слайдах также представлены примеры разобранных задач. Обратите внимание на два различных подхода, которые чаще всего используются при решении задач.

Первый подход состоит в использовании готовых формул, полученных при исследовании математической модели.

Второй — в пошаговом вычислении размеров каждого из очередных платежей при выплате кредита и размеров оставшихся задолженностей.

Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!

Источник

Пример 1

Николай выиграл в лотерею (20 000$) и решил отложить эти деньги на пенсию. Для этого он вложил их в акции, которые стоят (20t) тысяч долларов в конце каждого года ((t=1,2,3,4…)). Через несколько лет Николай хочет продать свои акции и положить вырученные деньги на счет в банке под (12)% годовых (начисление процентов происходит в начале следующего года). В каком году Николаю нужно продать акции, чтобы через 30 лет у него была максимальная сумма.

Решение:

Посчитаем, какую сумму накопит Николай, если продаст акции в конце k-го года:

$$ {S}_{k}=20k*(1+frac{12}{100})^{30-k}=20k*1.12^{30-k}$$

Предположим, что год (k) – это год, когда нужно продать акции, чтобы сумма на счете через 30 лет была наибольшей. Тогда, если Николай по ошибке продаст свои ценные бумаги в (k+1) год, то его накопления будут уже меньше, чем, если бы он продал в k-й год. Посчитаем сумму, если продать в k+1 год:

$$ {S}_{k+1}=20(k+1)*(1+frac{12}{100})^{30-k-1}=20(k+1)*1.12^{29-k} $$

Исходя из наших предположений ({S}_{k}-{S}_{k+1}>0).

$$ 20k*1.12^{30-k}-20(k+1)*1.12^{29-k}>0 $$
$$ 20*1.12^{29-k} (k*1.12-k-1)>0 $$
$$ 0.12k>1 $$
$$ k>frac{100}{12} $$
$$ k>8frac{ 1}{3} $$

Получим следующую последовательность итоговых сумм, в зависимости от года продажи:

$$ {S}_{1}<{S}_{2}<{S}_{3}<⋯<{S}_{7}<{S}_{8}<{S}_{9} $$
$$ {S}_{9}>{S}_{10}>⋯>{S}_{29}>{S}_{30} $$

Наибольшей суммой будет ({S}_{9}), поэтому нужно продать в конце 9 года.

Ответ: 9.

Пример 2

31 декабря Николай решил взять в банке кредит на сумму (5 000 000) под (12)% годовых. Кредит выплачивается ежегодно одинаковыми платежами (аннуитет), после того, как банк начислит проценты на остаток 31 декабря (долг увеличится на (12)%). Какой ежегодный платеж должен производить Николай, чтобы расплатиться с банком за три платежа?

Решение:

Обозначим за (a) ежегодный платеж.

Через год долг вырастет на (12)% и будет составлять: (5000000*(1+frac{12}{100})=5000000*1.12)

Сразу после этого Николай вносит на счет (a) рублей, тогда долг будет составлять:

$$ {S}_{1}=5000000*1.12-a $$

Аналогичная операция после внесения второго платежа:

$$ {S}_{2}=(5000000*1.12-a)*1.12-a; $$

И третий платеж:

$$ {S}_{3}=((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a $$

Согласно условию, Николай должен погасить долг за три платежа, значит после третьего платежа сумма долга должна равняться нулю:

$$ {S}_{3}=0; $$
$$ ((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a=0; $$
$$ 5000000*1.12^3-1.12(1.12a+a)-a=0; $$
$$ a=frac{5000000*1.12^3}{3.3744}=2 081 744.9 (рублей) $$

Ответ: 2 081 744.9(рублей)

Пример 3

Дмитрий берет в банке кредит на некоторую сумму на срок 25 месяцев. Каждый месяц 1го числа сумма долга возрастает на (q)%, 2го числа каждого месяца Дмитрий должен гасить часть долга так, чтобы он каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем (дифференцированный платеж). После погашения всей суммы кредита выяснилось, что Дмитрий заплатил на (40)% больше суммы, взятой в кредит. Найдите (q).

Решение:

Обозначим за (S) начальную сумму, которую Дмитрий получил в банке.

В первый месяц на эти деньги начислят проценты (frac{q}{100}*S). После этого Дмитрий должен погасить часть долга, выплатив начисленные проценты плюс (frac{S}{25}), только в таком случае долг будет уменьшаться равномерно каждый месяц. Суммарная выплата за первый месяц будет:

$$ frac{q}{100}*S+frac{S}{25} $$

За второй месяц Дмитрий заплатит ((S-frac{S}{25})*frac{q}{100}+frac{S}{25};)

За третий: ((S-frac{2S}{25})*frac{q}{100}+frac{s}{25};)

(…..;)

За 24-й: ((S-frac{24S}{25})*frac{q}{100}+frac{s}{25};)

За 25-й: (frac{s}{25}).

Просуммируем получившуюся последовательность выплат:

$$ frac{S}{25}*25+frac{q}{100}*S*(frac{24}{25}+frac{23}{25}+⋯+frac{2}{25}+frac{1}{25}). $$

По условию выплаченная сумма больше взятого кредита на (40)%:

$$ frac{S}{25}*25+frac{q}{100}*S*(frac{24}{25}+frac{23}{25}+⋯+frac{2}{25}+frac{1}{25})-S=0.4S; $$
$$ frac{q}{100} (frac{24}{25}+frac{23}{25}+⋯+frac{2}{25}+frac{1}{25})=0.40 $$

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$$ frac{q}{100}*frac{1+frac{1}{25}}{2}*25=0.4,$$
$$ frac{13}{100}*q=0.4,$$
$$ q=3.08% $$

Отмети, что эту же задачу можно решить гораздо короче, если знать полученные ранее формулы ((П) – переплата; (В) – полная сумма выплат):

$$ П=frac{q}{100}*frac{N+1}{2} S.$$
$$ В=S+П=S(1+frac{q*(N+1)}{200}).$$

Подставим известные значения в формулу для переплаты:

$$ 0.4S=frac{q}{100}*frac{25+1}{2}*S,$$
$$q=3.08%.$$

Ответ: (q=3.08)%.

Источник

Решение задач на дифференцированные платежи при подготовке к ЕГЭ по математике

1.Дифференцированные платежи

Кредиты играют важную роль в жизни населения со средним достатком. Тем, кто не может позволить себе единовременную оплату из собственных средств при покупке недвижимости или другого дорогостоящего имущества, кредиты просто необходимы.

Какие существуют виды платежей по кредитам?

В чём же разница между аннуитетным и дифференцированным платежами и какой платёж выгоднее?

Дифференцированные платежи

При дифференцированных платежах сумма основного долга, так называемое тело долга, делится равными частями на весь срок платежа, а проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей велики, потому что проценты по кредиту существенны.

А к концу срока выплаты будут минимальны. Дифференцированные платежи удобны для тех, у кого доход не носит характер неизменной величины, и через некоторое время может появиться возможность досрочно погасить долг. В этом случае переплата по кредиту будет меньше, чем при аннуитетном расчёте.

Аннуитетные платежи

Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц.

Основную часть в первые месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком.

При дифференцированном платеже ежемесячные платежи становятся меньше, сумма основного долга в платеже всегда будет одной и той же. А вот проценты, начисляемые на остаток основного долга, будут уменьшаться по мере выплаты кредита. Ежемесячная сумма основного долга считается следующим образом: сумма кредита делится на количество платежей.

Кредиты с дифференцированными платежами выдавались в Сбербанке до 2011 года, а сейчас выдаются только с аннуитетными.

В подавляющем большинстве случаев банки предлагают своим заемщикам аннуитетную схему погашения задолженности. Однако в некоторых случаях можно выбрать дифференцированный платеж — тип выплаты кредита, при котором размер взносов постепенно уменьшается. Для заемщика пользоваться дифференцированными платежами выгоднее, чем фактически стандартной аннуитетной схемой.

Как рассчитать дифференцированный платеж?

Платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

основную, которая уходит на погашение тела кредита;
процентную, которая является чистой прибылью банка.

Основную часть платежа высчитать просто по такой формуле:

Платеж =

Так, если заемщик взял в кредит 300 тыс. рублей под 22% годовых на 5 лет, то размер основной части составит:

300000 / 60 = 5000 рублей

Вторая часть платежа — процентная — рассчитывается по такой схеме:

Платеж = остаток основного долга * годовая ставка / 12

Так, проценты за первый месяц пользования кредита составят:

300000 * 0.22 / 12 = 5500 рублей

Путем сложения определяем размер платежа на первый месяц: 5000 + 5500 = 11000 рублей.

Для того, чтобы рассчитать проценты за любой месяц, необходимо узнать остаток задолженности. Если за второй месяц размер общего долга можно узнать путем простого вычитания из 300000 рублей первого платежа в 5000 рублей, то за 10-ый или 25-ый значение можно вычислить по такой схеме:

Остаток долга = общий размер долга — (размер основного платежа * количество прошедших месяцев).

Так, за 10-ый месяц процентная часть будет равна:

(300000 — 5000 * 9) * 0.22 / 12 = 4675

общий размер платежа: 9675 рублей.

За 25-й месяц:

(300000 — 5000 * 24) * 0.22 / 12 = 3300

Общий размер платежа: 8300 рублей.

Как видите, по сравнению с первым месяцем заемщику придется платить на 1700 рублей меньше. Проценты за самый последний месяц будут минимальными:

(300000 — 5000 * 59) * 0.22 / 12 = 91.67

В целом дифференцированную схему погашения кредита используют для небольших займов или при достаточно высоком уровне дохода. Тогда первые платежи не будут столь обременительны для вашего бюджета, а сниженный размер переплат позволит сэкономить и, возможно, потратить высвободившиеся средства для досрочного погашения кредита.

2. Решение задач.

Рассмотрим решение задач на дифференцированные платежи. Задачи можно найти в любом сборнике для подготовки к ЕГЭ по математике.

Учитывая, что платеж при дифференцированной схеме делится на две части:

основную и процентную, то при решении задач удобно составлять таблицу, в которой основная ежемесячная (ежегодная) часть платежа остается неизменной, а процентная часть меняется.

Решим несколько задач.

№1.

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=19 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму.

Долг банку:

— это ежемесячные выплаты процентов банку.

Зная, что эти выплаты составляют 30% общей суммы кредита, составим уравнение:

(сумма арифметической прогрессии, где , n=19)

Ответ: 3%.

Примечание.

Выведем формулу для вычисления переплат банку, используя формулу суммы арифметической прогрессии, где

.(формула 1)

Тогда при , r=3

№2.

15-го января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 13% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n=25 (число выплат).

Известно, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Тогда

Или по формуле (1) n=25, , r=1%.

Ответ: 1%

№3.

15-го января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть S-сумма кредита, r-проценты банку, n= 2 года=24месяца (число выплат).

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S
2
3
…….
23
24				0

Если общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит, это означает, что сумма всех ячеек в столбце “Проценты” равна 0,25 от изначального долга (S):

Ответ: 2%

№4.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1 млн рублей?

Решение.

S-сумма кредита, n=24 месяца, r=2%, Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
3
…….
23
24				0

Sобщ=1млн=1000тыс рублей

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Sобщ=S+ 0,02S (. Числа, стоящие в скобках, образуют арифметическую прогрессию.

S+0,02S (, S·(1+0,02·12,5)=1000, S=тыс рублей

Ответ: 800000 руб

№5.

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Решение.

S-сумма кредита, n-целое число лет, r=25%, Sобщ=28млн рублей

Составим таблицу.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	28млн	0,25·28=7млн
2
…….
n-1
n				0

Наибольший годовой платеж -первый.

7+= 9млн, n=14

Sобщ=28+ 7 ()=28+7·+·7=80,5млн

Ответ: 80500000 рублей

№6.

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемесячный)	Остаток
1	S	0,02S
2
………
11
…….
23
24				0

По условию за 11 месяц было выплачено 44,4 тыс.рублей. Составим уравнение

Ответ: 932,4 тыс рублей

№ 7.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Произведем некоторые вычисления.

1300 тыс-100 тыс=1200тыс.

n	Долг	Проценты	Платеж по кредиту (ежемес)	Остаток
1	1300
2
…….
15
16				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ: r = 3%

№ 8.

15-го января планируется взять кредит в банке на 11 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен;

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1198 тысячи рублей?

Пусть х тыс. рублей будет долг 15-го числа 10-го месяца.

n	Долг	Проценты	Платеж	Остаток
1	800+x
2
…….
10
11				0

Общая сумма платежей состоит из суммы кредита и процентов банку.

Ответ: тыс. рублей

№ 9.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тысяч рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Считаем n.