Квадратичная функция (парабола)
Все знают, как выглядит парабола y = x2. В седьмом классе мы рисовали таблицу:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
После этого по точкам строили график:
Параболу y = ax2 + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.
1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
На рисунке приведены две параболы y = ax2 с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.
2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).
На рисунке приведены две параболы y = a1x2 и y = a2x2, у которых a2 > a1 > 0.
3. Абсцисса вершины параболы y = ax2 + bx + c находится по формуле:
Для нахождения ординаты вершины y0 удобнее всего подставить x0 в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что
где D = b2 − 4ac — дискриминант.
4. Точки пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.
5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).
А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax2 + bx + c решать квадратные неравенства.
1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство
x2 < 400.
Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.
Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу?
Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x2 и отметим все значения x, для которых y < 400.
Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).
2. Решим неравенство: x2 − 3x − 10 ≥ 0.
Графиком функции y = x2 − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x2 − 3x − 10 = 0, находим x1 = −2 и x2 = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:
Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .
Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!
3. Ещё одно неравенство: x2 + 2x + 4 > 0.
Ветви параболы y = x2 + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x2 + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.
Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.
Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.
Ответ: .
Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.
4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.
Подставим выражение для q в формулу выручки:
r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p2.
Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:
100p − 10p2 ≥ 240.
Переносим всё вправо и делим на 10:
p2 − 10p + 24 ≤ 0.
Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p2 − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.
Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.
Ответ: 6.
5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t2, где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?
Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:
1,6 + 8t − 5t2 ≥ 3.
Собираем всё справа:
5t2 − 8t + 1,4 ≤ 0.
Корни соответствующего уравнения 5t2 −8t+1,4 = 0 равны t1 = 0,2 и t2 = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.
Таким образом, через t1 = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.
Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t2 − t1 = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.
6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T0 + bt + at2, где t — время в минутах, T0 = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:
T(t) = 1400 + 200t − 10t2.
В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или
1400 + 200t − 10t2 ≤ 1760.
Переносим всё вправо и делим на 10:
t2 − 20t + 36 ≥ 0.
Находим t1 = 2, t2 = 18 и делаем рисунок:
Получаем решения нашего неравенства:
Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.
Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.
А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t2, справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.
Поэтому в бланк ответов вписываем число 2.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратичная функция (парабола)» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Функция вида , где называется квадратичной функцией.
График квадратичной функции – парабола.
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
, то есть , ,
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при парабола «станет шире» параболы :
Давайте подитожим:
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
, . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две (, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде
1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.
Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.
1 способ – находим формулу по точкам
Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.
Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:
Алгоритм:
1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:
2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.
3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.
4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.
Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:
2 способ – преобразование графиков функций
Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).
Вот как выглядит применение этого способа:
Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:
И понимать, как меняются функции от преобразований:
Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:
Пример:
3 способ – гибридный
Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).
По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).
Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.
Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию
— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:
— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:
— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:
— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:
— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:
Каталог заданий.
Параболы
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 10 № 509253
На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Аналоги к заданию № 509253: 509254 509255 509259 509262 509263 509264 509268 509256 509257 509258 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
2
Тип 10 № 562060
На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение
Аналоги к заданию № 562153: 562060 562154 562155 562156 562157 562158 562159 562160 562161 562162 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
3
Тип 10 № 562061
На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график
Решение
·
·
1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь
4
Тип 10 № 562153
На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение
Аналоги к заданию № 562153: 562060 562154 562155 562156 562157 562158 562159 562160 562161 562162 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
5
Тип 10 № 562154
На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение
Аналоги к заданию № 562153: 562060 562154 562155 562156 562157 562158 562159 562160 562161 562162 … Все
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график
Решение
·
·
Сообщить об ошибке · Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям