Формула параллелограмма егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллелограмма равны.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть и — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне . Сумма углов ABC и равна $180^{circ}$ . Углы и — половинки углов ABC и . Значит, сумма углов ABC и равна градусов. Из треугольника находим, что угол — прямой.
Ответ: .

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна . Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы и , а также и — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол равен углу , а угол — углу .
Получаем, что треугольники и — равнобедренные, то есть , а .
Тогда .

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

, где — основание параллелограмма, — его высота.
, где и — стороны параллелограмма, varphi — угол между ними.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Параллелограмм иu0026nbsp;его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Среди произвольных четырехугольников можно выделить два особенных: параллелограмм и трапеция. Параллелограммы можно разделить на:

произвольный параллелограмм,
прямоугольник;
ромб;
квадрат.

Часто для решения задания достаточно знать определение фигуры и уметь им пользоваться.

Параллелограмм.

Параллелограмм ― это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны (АВ || CD, AC || BD).

То есть, если у четырехугольника есть хотя бы одна пара равных и параллельных противоположных сторон, то этот четырехугольник – параллелограмм, а значит, все его противоположные стороны равны и параллельны.

Свойства параллелограмма

Из определения параллелограмма вытекает ряд его свойств. Для любого параллелограмма (то есть произвольного и особенного, вроде ромба или прямоугольника) выполняются условия:

1. Противоположные стороны равны (АВ = СD, AC = BD).

2. Противоположные углы равны (∠А = ∠D, ∠B = ∠C).

3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠BAC + ∠ACD = 180°, ∠ABD + ∠BCD = 180° (это вытекает из параллельности противоположных сторон, так как указанные углы являются односторонними).

4. Из параллельности сторон вытекает равенство частей углов (например, ∠DAB = ∠ADC; ∠BCD = ∠ABC как накрестлежащие).

5. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников ∆ABC = ∆BCD, ∆ABD = ∆ACD (по стороне и двум углам).

6. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (АО = OD, CO = OB).

Интересные, но редко применимые свойства параллелограмма:

7. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны.

8. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом.

Признаки параллелограмма

Для того, чтобы в задании с развернутым ответом доказать, что фигура действительно является параллелограммом, нужно знать, какими свойствами мы можем пользоваться. Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон: AB||CD и BC||AD.

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон: AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD).

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны: AB = CD, BC = AD.

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны: ∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA.

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD.

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°: ∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°.

Формулы площади параллелограмма

Существую три формулы площади параллелограмма, которые применимы как для произвольного параллелограмма, так и для ромба, прямоугольника, квадрата.

1	2	3


Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.	Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.	Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Прямоугольник

Прямоугольник ― это параллелограмм, у которого все углы прямые. Для того, чтобы параллелограмм был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы один его угол был равен 90°, тогда и все остальные будут равны 90°.

Кроме свойств параллелограмма, у прямоугольника есть и несколько своих:

1. Диагонали прямоугольника равны (AD = BC).

Стороны прямоугольника являются его высотами.

В связи с этими свойствами, формулы площади параллелограмма для прямоугольника можно немного изменить. 1 и 2 формула обращаются в одну, во второй формуле произведение диагоналей можно заменить на квадрат одной диагонали.

1	2


Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.	Площадь прямоугольника равна половине произведения квадрата его диагонали на синус угла между диагоналями.

Ромб

Ромб ― это параллелограмм, у которого все стороны равны. На самом деле, достаточно, чтобы были равны хотя бы две его соседние стороны, тогда все стороны будут равны.

Кроме свойств параллелограмма, у ромба есть несколько своих:

1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AD ⊥ BC).

То есть, параллелограмм является ромбом, если выполняется хотя бы одно из условий:

Две его смежные стороны равны;
Его диагонали пересекаются под прямым углом;
Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам;
Все высоты равны.

На основании свойств можно немного изменить формулы площади параллелограмма для ромба:

1	2	3


Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту (при чем для любой стороны это выражение будет одинаковым, так как стороны равны).	Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами.	Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Квадрат

Квадрат ― это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны (AB = BC = CD = DA и ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°). То есть квадрат сочетает в себе свойства и ромба, и прямоугольника, поэтому ему присущи не только свойства параллелограмма, но и ромба с прямоугольником. Надо запомнить, что любой квадрат является ромбом и прямоугольником, но не любой ромб или прямоугольник является квадратом.

Центры вписанной и описанной окружностей квадрата совпадают и одновременно являются точкой пересечения диагоналей (т. О).

Формулы площади квадрата:

1	2


Площадь квадрата равна его стороне, возведенной в квадрат.	Площадь квадрата равна одной второй квадрата его диагонали.

Источник

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Определение.

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб — есть параллелограммом.

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d₁
2
BO = DO =	d₂
2

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = 2AB² + 2BC²

11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a =

√d₁² + d₂² — 2d₁d₂·cosγ
2
=

√d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosδ
2

b =

√d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosγ
2
=

√d₁² + d₂² — 2d₁d₂·cosδ
2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Определение.

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали — длинную d₁, и короткую — d₂

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d₁ = √a² + b² — 2ab·cosβ

d₂ = √a² + b² + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d₁ = √a² + b² + 2ab·cosα

d₂ = √a² + b² — 2ab·cosα

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d₁ = √2a² + 2b² — d₂²

d₂ = √2a² + 2b² — d₁²

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d₁ =	2S	=	2S
d₂·sinγ	d₂·sinδ

d₂ =	2S	=	2S
d₁·sinγ	d₁·sinδ

Периметр параллелограмма

Определение.

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d₁² + 2d₂² — 4a²

P = 2b + √2d₁² + 2d₂² — 4b²

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Определение.

Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · h_a
S = b · h_b

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства параллелограмма:

(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;

(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.

Задание
1

#1783

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 — 32 = 18).

Ответ: 18

Задание
2

#1784

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5), тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15), откуда находим (AB
= 1,25). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).

Ответ: 1,25

Задание
3

#273

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).

Ответ: 2

Задание
4

#1785

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ}), тогда (angle ADC = 180^{circ} — 45^{circ} =
135^{circ}). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).

Ответ: 135

Задание
5

#1686

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).

По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 — BD^2 = 25 — 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).

Ответ: 12

Задание
6

#1685

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = , (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).

(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} — P_{triangle AOB} = AD — AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).

Ответ: 12

Задание
7

#3617

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]

Ответ: 6

Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Пусть диагональ (displaystyle AC) образует со стороной (displaystyle AD) угол (displaystyle color{green}{26^circ } small,) а со стороной (displaystyle AB) – угол (displaystyle color{red}{34^circ} small.)

Тогда

(displaystyle color{green}{angle CAD} = color{green}{26^circ } small,) (displaystyle color{red}{angle BAC} = color{red}{34^circ }small.)

Найдем углы параллелограмма.

(displaystyle color{blue}{angle BAD} = color{red}{angle BAC }+ color{green}{angle CAD} = color{red}{34^circ }+ color{green}{26^circ} = color{blue}{60^circ } small.)

По свойству параллелограмма сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна (displaystyle 180^circ small.) Значит,

(displaystyle angle ADC + color{blue}{angle BAD }= 180^circ small.)

Тогда

(displaystyle angle ADC = 180^{circ} — color{blue}{angle BAD }= 180^circ — color{blue}{60^circ} = 120^circ small.)

Так как (displaystyle 120>60) , то наибольший угол параллелограмма составляет (displaystyle 120^circ small.)

Ответ: (displaystyle 120^circ small.)

Источник