Формула пика решу егэ

Формула пика когда не работает

«… Математическое же искусство совершенно не принимает во внимание хорошее и дурное »

Математика – точная наука. Это очень важно в различных измерениях. Измерение – это сравнение с некоторым образцом (эталоном): метр, сантиметр, миллиметр, например [2;3]. Цель измерения (Приложение 2; 2) – установить, какое количество этих образцов можно поместить в измеряемом объекте. Эта количественная характеристика и является результатом измерения, а эталон становится единицей измерения.

В школьном курсе математики нам часто приходится измерять те или иные плоские фигуры. Они могут быть правильными и неправильными многоугольниками. Часто возникает необходимость найти площадь фигуры. (Приложение 2:1)

В жизни всегда необходимо уметь определять площадь различных поверхностей (Приложение 2; 3). Чтобы построить дом, необходимо правильно определить площадь земельного участка под строительство, площадь зелёных насаждений вокруг дома. При покупке мебели мы всегда учитываем площадь комнаты или кухни.

Измерение площадей необходимо во многих профессиях: в лёгкой промышленности, деревообрабатывающей, машиностроении. В сельском хозяйстве необходимо правильно определить площадь поля под посев, спланировать расходы посевного материала и ожидаемый урожай.

В задачах по геометрии часто требуется вычислить площадь многоугольника [1;337]. Решая задания ОГЭ по математике, мы рассматривали различные способы нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге, но, познакомившись с формулой Пика, стало значительно проще это делать.

Цель работы: изучить возможности применения формулы Пика при нахождении площади плоских многоугольников.

— проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач;

— научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности;

— сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Объектная область: комбинаторная геометрия.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

1. Изучение специальной литературы и Интернет-ресурсов.

1. Обобщение и систематизация материала по данной теме.

3. Отбор и анализ содержания источников информации;

Актуальность данного исследования состоит в том, что усвоение формулы может помочь школьникам, в том числе сдающим ЕГЭ, быстро и легко решать задачи на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Гипотеза: вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и и быстрое решение задачи по сравнению с вычислением площади фигуры по формулам планиметрии.

Работа прошла следующие этапы.

1. Определение научного аппарата (определение цели, задач, методов исследования, гипотезы, актуальности).
2. Изучение методов вычисления площадей многоугольника на клетчатой бумаге.
3. Изучение источников (литературы, интернет-ресурсов).
4. Исследование методов решения:

— традиционного и с помощью формулы Пика;

Изучение источников показало следующее. Внимание к теореме Н.А.Пика возникло сразу же после его появления. Его использовали как математики, так и физики. Применялось решение с её использованием и в учебных заведениях разного уровня. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. Однако при изучении литературы, мы заметили, что она применима и в при нахождении площадей других фигур.

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо. Из литературы мы поняли, что такие или подобные им будут на ЕГЭ и ОГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту . Мы решили это проверить сами.

Для этого использовали различные сборники по ЕГЭ и ОГЭ, в том числе и интернет-ресурсы 5.

ГЛАВА I . ФОРМУЛА ПИКА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Георг Алекса́ндр Пик (Приложение 1, фото 1) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Годы его жизни 10 августа 1859 — 13 июля 1942.

Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик.

Георг, который был одарённым ребёнком, обучался отцом, возглавлявшим частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.

Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов».

В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете.

Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию, то есть процедуру получения высшей академической квалификации, следующей после учёной степени доктора философии. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете.

В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Таким образом, мы видим, что Георг Александр Пик целенаправленно шел дорогой ученого, выбрав математику и физику. Именно это и дало ему возможность открыть формулу, которая получила его имя и используется при измерении площадей.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

В + Г / 2 − 1, где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Доказана формула Георгом Пиком в 1899 году.

Вот это доказательство.

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=В+Г/2-1.

Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика. S = В + Г/ 2 – 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО размещены в полном варианте работы которая размещена в ФАЙЛЫ по техническим причинам

Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины. Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинем параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе, Г = 2a + 2b.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

1.3. Вычисление площади кольца по формуле Пика

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами R= 4 и r = 2.

Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

В = 32, Г = 8, S= 32 + 4 — 1 = 35.

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц.

S = πR 2 — πr 2 = 3* 16 — 3*4 = 48 — 12 = 36.

Округлим теперь π до десятых:

S = πR 2 — πr 2 = 3,1* 16 — 3,1*4 = 49,6 — 12,4 = 37,2.

А если округлить число π до сотых, то получим:

S = πR 2 — πr 2 = 3,14* 16 — 3,14*4 = 50, 24 — 12,56 = 37,68.

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и, чем точнее число π, тем она больше.

Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников.

Таким образом, сделаем вывод. Н аходить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов формула Пика работает хорошо.

Но надо помнить, что данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников.

ГЛАВА II . СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ

Смотри ФАЙЛЫ

Нами был проведен эксперимент в 11-б классе (Приложение 4, эксперимент 1), в котором две группы одновременно решали одинаковые задание по вычислению площадей, но разными способами.

Это эксперимент доказал кратное уменьшение времени на решение с применением формулы Пика. Данный эксперимент нами был заснят на видео.

Так же было поведено социологическое исследование, в котором ученикам 9- а и 11-б классов предлагалось ответить на три вопроса.

1. Из каких источников вы впервые узнали о формуле Пика?
2. Будете ли вы применять формулу Пика при решении задач на нахождение площади?
3. Считаете ли вы, что для сдачи ОГЭ и ЕГЭ необходимы дополнительные знания по теории, которых нет в учебнике математики?

Результаты исследования отобразили в виде диаграмм (Приложение 3, диаграммы 1-2) и таблицы (Приложение 3, таблица 1).

Суммировав все варианты сравнения решений заданий с помощью формулы и традиционных способов, сделаем вывод, что они доказали преимущество использования формулы Пика.

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур – любая из них обладает площадью (Приложение 2; 1).

Цель работы — изучить возможности применения формулы Пика при нахождении площади плоских многоугольников – достигнута.

Решены задачи исследования:

— проверена эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач;

— научено применение формулы Пика в задачах разной сложности;

— задачи, решенные с помощью формулы Пика, и традиционным способом показали эффективность и упрощение решения.

Методы работы оказались эффективными. Наиболее интересными были эксперимент и социологическое исследование, которые доказали упрощение решения с помощью формулы Пика.

По итогу исследования мы сделали выводы:

1. Существует несколько способов нахождения площади многоугольника.
2. Нахождение площади по формуле Пика является самым простым и оптимальным для нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге.
3. Знания, полученные в ходе исследования можно легко применить для решения задач ЕГЭ и ОГЭ.

Несмотря на легкость самой формулы, она играет большую роль не только на экзаменах, но и в курсе математики, и даже на олимпиадах. Это очень полезная формула, что доказывает ее практическую ценность.

В ходе социологического исследования учащимся 9-г и 11-б были предложены вопросы. 1. Будете ли вы использовать формулу Пика на ОГЭ/ЕГЭ?. 96 процентов респондентов ответили утвердительно (Приложение 3, диаграмма 1)

Нами отобраны некоторые задачи для практического применения их при подготовки к ОГЭ. Они представлены в данной работе.

В ходе работы была изучена биография известного ученого, великого австрийского математика Г.А. Пика. Это расширило круг известных ученых с мировым именем.

Данная работа позволила формировать личные качества, такие как трудолюбие, ответственность, организованность, выдержка, которые необходимы в жизни.

Большое значение имеет возможность самоопределения в профессии, возможно, в будущем это будет способствовать выбору профессии, связанной с математикой.

1. Краткий справочник школьника.- М.: Дрофа, 1997
2. Я познаю мир. Детская энциклопедия. Математика.- М.: АСТ, 1998
3. 36 вариантов. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты . ЕГЭ. / под ред. И. В. Ященко. — М. : Национальное образование, 2018
4. 50 вариантов заданий. Математика. Профильный уровнень. ЕГЭ 2017/ И.В.Яшенко и др.- М.: Экзамен, 2016

Источник

Теорема Пика или формула для ленивых

Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?
— Сказка? — Нет, теорема Пика!

• Названа она в честь Георга Пика (нет, не оружия или покемона), доказавшего её в 1899 году.

Формулировка звучит так:
S = В + Г / 2 − 1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
• Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.

Например, для многоугольника на рисунке, В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 — 1 = 10 квадратных единиц.

Докажем теорему Пика:
• Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В = (a-1)(b-1), Г = 2a+2b и, по формуле Пика, S = (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab .
• Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая В = ((a-1)(b-1)-c+2)/2, Г = (2a+2b)/2+c-1 и получаем, что S = ab/2.
• Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников (см. рисунок). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

• Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно триангулировать, т.е. разбить на треугольники (например, диагоналями). Отсюда по индукции следует, что формула Пика верна для любого многоугольника. чтд

К сожалению, эта столь простая и красивая формула плохо обобщается на высшие размерности.
Наглядно показал это Рив, предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива) со следующими вершинами:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,k)
Тогда этот тетраэдр ABCD при любых k не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки A, B, C, D. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.
Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта, но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Источник

Авторы: Куровская Юлия, Шагаева
Диана.

Руководители:

• Могутова Татьяна Михайловна
• Дерюшкина Оксана Валерьевна

Девиз проекта:

“Если вы хотите научиться плавать, то
смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте
их”.
Д. Пойя.

Выбор темы проекта не случаен. Способы
нахождения площади многоугольника
нарисованного на “клеточках” очень интересная
тема.

Мы знаем разные способы выполнения таких
заданий: способ сложения, способ вычитания и др.

Нас очень заинтересовала эта тема, мы изучили
много литературы и к нашей огромной радости
нашли еще один способ, способ не известный по
школьной программе, но способ замечательный!
Вычисление площади, используя формулу,
выведенную австрийским ученым – математиком
Георгом Пиком.

Мы решили изучить формулу Пика, при помощи
которой выполнять задания на нахождении площади
очень легко!

Решили поделиться нашим открытием с
одноклассниками, учащимися других школ, создать
электронную презентацию.

Цель исследования

1. Изучение формулы Пика.

2. Расширение знаний о многообразии задач на
клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения
этих задач.

Задачи:

1. Отобрать материал для исследования, выбрать
главную, интересную, понятную информацию

2. Проанализировать и систематизировать
полученную информацию

3. Создать электронную презентацию работы для
представления собранного материала
одноклассникам

4. Сделать выводы по результатам работы.

5. Подобрать наиболее интересные, наглядные
примеры.

Методы исследования:

1. Моделирование

2. Построение

3. Анализ и классификация информации

4. Сравнение, обобщение

5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Георг Пик – австрийский ученый – математик.
Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою
первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг
его математических интересов был чрезвычайно
широк. 67 его работ посвящены многим разделам
математики, таким как: линейная алгебра,
интегральное исчисление, геометрия,
функциональный анализ, теория потенциала.

Широко известная Теорема появилась в сборнике
работ Пика в 1899 году.

Теорема привлекла довольно большое внимание и
начала вызывать восхищение своей простотой и
элегантностью.

Формула Пика, формула вычисления площади
многоугольника, изображенного на бумаге в
клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ.
Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала.

Формула Пика  — классический результат
комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

По теореме Пика площадь многоугольника равна:

Г : 2 + В – 1

где

Г – число узлов решетки на границе
многоугольника

В – число узлов решетки внутри многоугольника.

Первым делом мы поставили задачу: изучить,
что такое узлы решетки и как правильно вычислять
их количество. Оказалось, это очень просто.
Приведем несколько примеров.

Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на
границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри
изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать
их количество очень легко.

В данном случае Г= 15, В = 35

Пример №2 Узлов на границе 18, т.е. Г = 18,
узлов внутри 20, В = 20.

И еще один пример. Дан произвольный
многоугольник. Считаем узлы на границе. Их 14.
Узлом внутри многоугольника 43. Г = 14, В = 43.

С первой задачей мы справились!

Второй этап нашей работы: вычисление площадей
многоугольников.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Г = 14, В = 43, S = + 43 – 1 = 49

Пример №2.

Г = 11, В = 5, S = + 5 – 1 = 9,5

Пример №3.

Г = 15, В = 22, S = + 22 – 1 = 28,5

Пример №4.

Г = 8, В = 16, S = + 16 – 1 = 19

Пример №5

Г = 10, В = 30, S = + 30 – 1 = 34

На рассмотрение пяти примеров мы затратили
всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле
Пика не только быстро, но и очень легко!

Но перед нами встал очень серьезный вопрос:

Можно ли доверять теореме Пика?

Получаются ли одинаковые результаты при
вычислении площадей разными способами?

Найдем площади многоугольников по формуле Пика
и обычным способом, применяя формулы геометрии и
способы достроения или разбиения на части. Вот
какие результаты мы получили:

Пример №1.

Вычислим площадь многоугольника по формуле
Пика:

Подсчитаем количество узлов на границе и
внутри. Г = 3, В = 6.

Вычислим площадь: S = 6 + — 1 = 6,5

Достроим многоугольник до прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5

S = 15-3-3-2,5 = 6,5

Результат одинаковый.

Пример №2.

Вычислим площадь по формуле Пика.

Г = 4, В = 9, S = 9 + — 1 = 10

Достроим до прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна: 5 * 4 = 20, S₁ = 2 *
1 = 2, S₂ = = 3,

S = = 2 ,
S = = 1,5, S
= = 2,5

Площадь прямоугольника равна

S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10

Мы снова получили одинаковые результаты.

Рассмотрим еще один пример.

Пример №3

Вычислим площадь по формуле Пика.

Г = 5, В = 6, S = 6 + — 1 = 7,5

Вычислим площадь, используя способ достроения.

Площадь прямоугольника равна 5·4 = 20

S₁ = 2 * 1 = 2, S₂ = = 1, S₃ = 2 * 1 = 2, S₄ = = 1, S₅
= = 1, S₆
= = 2,5

S₇ = = 3

S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5

Результат одинаковый.

В презентации мы рассмотрели три примера, но на
самом деле мы рассмотрели очень много самых
разных примеров. Результат всегда был один и тот
же: Вычисление площади по формуле Пика и другими
способами дает одинаковый результат.

Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает
точный результат.

Мы довольны!

И еще один вопрос встал перед нами: какой способ
вычисления наиболее рациональный, наиболее
удобный для использования?

Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно
использовать всю предыдущую работу. Но
рассмотрим еще три примера, которые окончательно
позволят получить ответ на наш вопрос.

Пример №2

Пример №3

При помощи формулы Пика легко вычислить
площадь многоугольника даже самой причудливой
формы. Рассмотрим пример:

Г=16, В=4

S=16:2+4-1=11

Вывод однозначный: наиболее рациональный
способ вычисления площади многоугольника,
изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!

Предлагаем каждому из вас вычислить площадь
многоугольника, используя формулу Пика:

— вычислите количество узлов на границе. Они
изображены желтым цветом.

— вычислите количество узлов внутри, красный
цвет.

— Подставьте в формулу, назовите результат. Вы
за одну минуту вычислили площадь.

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед
другими способами вычисления площадей
многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади многоугольника, нужно
знать всего одну формулу:

S = Г:2 + В — 1.

Формула Пика очень проста для запоминания.

Формула Пика очень удобна и проста в
применении.

Многоугольник, площадь которого необходимо
вычислить, может быть любой, даже самой
причудливой формы.

Применяя формулу Пика легко выполнять задание
ЕГЭ и ОГЭ.

Приведем несколько примеров вычисления
площади из вариантов ЕГЭ – 2015.

Мы решили научить пользоваться формулой Пика
учащихся 9 – 11 классов нашей школы. Провели
фестиваль “Формула Пика”.

Все учащиеся с большим интересом познакомились
с презентацией, научились пользоваться формулой
Пика.

За 30 минут практической работы учащиеся
выполнили большое количество заданий. Каждый
учащийся получил памятку “Формула Пика”.

Мы помогли им в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ!

Спустя месяц работы, мы провели опрос учащихся
9–11 классом.

Задали следующие вопросы:

Вопрос №1:

Формула Пика – это рациональный способ
вычисления площади многоугольника?

“Да” — 100% учащихся.

Вопрос №2:

Вы пользуетесь формулой Пика?

“Да” – 100% учащихся

Наша работа не прошла даром! Мы довольны!

Презентацию нашего проекта мы разместили в
сети Интернет. Много просмотров и скачиваний
нашей работы.

Мы оформили альбом “Формула Пика”. Им
постоянно, особенно первое время, пользовались
учащиеся нашей школы.

Результаты работы над проектом:

В процессе работы над проектом изучили
справочную, научно-популярную литературу по теме
исследования.

• Изучили теорему Пика, научились находить
  площади фигур, изображенных на бумаге в клетку
  просто и рационально.
• Расширили свои знания о решении задач на
  клетчатой бумаге, определили для себя
  классификацию исследуемых задач, убедились в их
  многообразии.
• Провели для учащихся 9–11 фестиваль “Формула
  Пика”, научили их находить площадь, использую
  эту формулу. Подобрали много интересных
  примеров.
• Создали электронную презентацию в помощь своим
  ровесникам.
• Оформили альбом “Формула Пика”, который
  постоянно используют учащиеся школы.

Предлагает вам выполнить два задания, чтобы вы
убедились в рациональности нашей работы.

Спасибо за внимания!

Слайд 1

Мастер – класс Геометрия на клетчатой бумаге Формула Пика учитель математики Сиволапова Елена Михайловна

Слайд 2

«Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе – быть ясным и насколько можно, простым.» Годфрид Вильгельм Лейбниц

Слайд 3

Цели : 1. Расширить знания о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач. 2. Изучить формулу Пика. 3. Отработать навыки использования формулы Пика при вычислении площади произвольных многоугольников. Геометрия на клетчатой бумаге Формула Пика Тема:

Слайд 4

Задание №1 Вычислите площадь треугольника a = 9 h = 9 h a

Слайд 5

Задание №2 Вычислите площадь параллелограмма a h a = 7 h = 4

Слайд 6

Задание №3 Вычислите площадь трапеции a h b a =9 b = 4 h = 3

Слайд 7

Задание № 4 Вычислите площадь фигуры, где каждая клетка имеет размер 1 X 1

Слайд 8

S = S квадрата – S 1 – S 2 – S 3 – S 4 =

Слайд 9

Георг Александр Пик 10.08.1859 – 13.07.1942 В 16 лет закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала. В 1899 году предложил свою теорему для вычисления площади многоугольника .

Слайд 10

Теорема Пика Узел – точка пересечение двух прямых . – внутренние узлы. – узлы на границе.

Слайд 11

Пусть В – число целочисленных точек внутри многоугольника, Г – количество целочисленных точек на его границе, S – его площадь. Тогда справедлива формула: S = Г : 2 + В – 1 Теорема Пика

Слайд 12

Г = 15 В = 34 Проверка справедливости теоремы Пика

Слайд 13

Г = 18 В = 20

Слайд 14

Г = 14 В = 43 Задание № 5 Вычислите площадь фигуры

Слайд 15

Г = 11 В = 5

Слайд 16

S = Г: 2 + В – 1 Г = 3 , В = 6 S = 3 :2 + 6 – 1 = 6,5

Слайд 17

Г = 4 , В = 9 S = Г :2 + В – 1 S = 4 :2 + 9 – 1 = 10

Слайд 18

Г = 5 , В = 6 S = Г :2 + В – 1 S = 5 :2 + 6 – 1 = 7,5

Слайд 19

Г = 16 , В = 4 S = Г :2 + В – 1 S = 16 :2 + 4 – 1 = 11

Слайд 20

S=2 S=2.5 S=1 S=2.5 S=1 S=1 S=3 S=4.5 S=5 S=5

Слайд 21

Пусть В – число целочисленных точек внутри многоугольника, Г – количество целочисленных точек на его границе, S – его площадь. Тогда справедлива формула: S = Г : 2 + В – 1 Теорема Пика

Слайд 22

Желаю успехов в сдаче экзаменов!

“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”.
Д. Пойя

Введение

Размышляя над какой-то задачей, мы начинаем увлекаться математикой. Многие ученики сталкиваются с задачами на нахождение площади треугольника, параллелограмма, многоугольника и других геометрических фигур по рисунку на клетчатой бумаге. Такие задачи чаще всего встречаются в ВПР по математике, а также они есть в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ. Применяя правила и теоремы из геометрии, ученик может запутаться или забыть, да и к тому же уходит много времени на дополнительное построение, а в условиях экзамена дорога каждая минута. Чтобы не тратить много усилий, времени и не вспоминать впопыхах теоремы, аксиомы, правила, существует теорема Пика, с помощью которой можно без проблем и траты времени вычислить площадь фигуры, расположенной на клетчатой бумаге. Но в чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге?

Актуальность: Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, очень интересная и актуальная тема, особенно, при подготовке к экзаменам. При решении задач по математике и геометрии часто встречаются задачи, где нужно вычислить площадь фигур. Если фигура сложная, то её площадь находить довольно долго одним из способов: либо достроим до известной фигуры, либо разделим на фигуры.

Гипотеза: мы считаем, что вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части и его может освоить каждый школьник.

Объект исследования: формула Пика для вычисления площадей многоугольников.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Таким образом, целью моего исследования является: донести и объяснить материал о Формуле Пика учащимся 8-9 классам; доказать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Задачи:

1. Изучить методы вычисления площадей сложных фигур на клетчатой бумаге.

2. Научиться применять формулу Пика для вычисления площадей различных фигур.

3. Сделать видео разбор для учащихся старших классов.

4. Сравнить и проанализировать результаты исследования проведенных среди старшеклассников.

5. Донести учащимся рекомендации по применению формулы Пика при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.

Методы:

1. Системный анализ

2. Обобщение

3. Сравнение

4. Поиск

Теоретическая часть

Методы вычисления площадей

В процессе изучения математики, мы заметили, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, высчитать площадь стен, на которые необходимо наклеить обои, или вычислить площадь напольного покрытия. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызвало у нас затруднений.

В жизни очень часто мы сталкиваемся с тем, что нам приходится находить площадь геометрической фигуры неправильной формы. Как это сделать?

Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых нетрудно вычислить по формулам.

Способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.

— Площадь фигуры как сумма площадей ее частей

Найти площадь фигуры №1 на рисунке 1 (клетки размером 1х1 см). Разбиваем данную фигуру на четыре части, и находим площадь каждой части. Затем складываем все части, и получаем площадь данной фигуры.

Рис 1. Фигура №1

Разобьем многоугольник на четыре геометрические фигуры:

S=S1+ S2+ S3+S4

Площадь прямоугольного треугольника находится S1= ½ · 5 · 1 = 2,5 см2;

Площадь прямоугольника находится S2=4·2=8 см2

Площадь прямоугольного треугольника находится S3= ½ · 1· 2= 1 см2

Площадь прямоугольного треугольника находится S4= ½ · 2 · 4= 4 см2

S= 2,5+8+1+4= 15,5 см2.

Ответ: 15,5 см2.

— Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Найти площадь фигуры на рисунке 2 фигура №2 (клетки размером 1х1см). Опишем около данной фигуры прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае квадрата) вычтем площади полученных фигур:

Рис. 2. Фигура №2

S= Sпр. – S1 – S2

Sпр.=5.5=25 см2;

S1= ½ .3.1=1,5 см2;

S2= ½ .4.5=10 см2;

S= 25-1,5-10=13,5 см2.

Ответ: 13,5 см2 .

Вывод: анализ показал, что вычислять площади фигур «достраиванием» или «разбиением» долгий процесс и требует большого количество промежуточных действий. Оказывается, есть другой способ для вычисления площади фигур на клетчатой бумаге, используя Формулу Пика.

Формула Пика

Формула Пика(илитеорема Пика) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:

ГдеВ- количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г- количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Доказательство:

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами в декартовой системе координат.

Теорема Пика. Нахождение площади решётчатого многоугольника (Рис.3 Многоугольник)

S = В + Г / 2 — 1, где В — к-во целых точек внутри многоугольника, Г — к-во целых точек на границе многоугольника. В = 7, Г = 8, S = В + Г/2 — 1 = 10

Рис. 3. Многоугольник

Пример 1.

I способ. Достроим до прямоугольника. (Рис.4 Многоугольник)

Рис. 4. Многоугольник	Решение: 1) S1 = 4 . 7 – ((4 . 7 : 2) + (2 . 4 : 2)) = 28 – 18 = 10 см.2 2) S2 = 2 . 1 : 2 = 1 см.2 3) S3 = 5 . 1 : 2 = 2,5 см.2 4) S4 = 5 . 3 = 15 см.2 5) S5 = 2 . 3 : 2 = 3 см.2 6) S6 = 3 . 3 : 2 = 4,5 см.2 7) S7 = 2 . 3 : 2 = 3 см.2 SФ = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 9) 10 + 1 + 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 см.2 Ответ: 39 см.2
II способ. Формула Пика. (Рис.5 Многоугольник) Рис. 5. Многоугольник Пример 2. I способ. Разобьем на геометрические фигуры. (Рис. 6 Многоугольник) (Рис.6 Многоугольник)	Решение: Г=10 (синие) В=35 (красные) S = 35 + 10:2-1 = 39 Решение: 1) S1 = (4 . 5) : 2 = 10 см.2 2) S2 = (1 . 2) : 2 = 1 см.2 3) S3 = ( 1 . 5) : 2 = 2,5 см.2 4) S4 = 3 . 5 = 15 см.2 5) S5 = ( 2 . 3 ) : 2 = 3 см.2 6) S6 = ( 3 . 3) : 2 = 4,5 см.2 7) S7 = ( 2 . 3 ) : 2 = 3 см.2 Sф = 10 + 1+ 2,5 + 15 + 3 + 4,5 + 3 = 39 см.2 Ответ : Sф = 39 см.2

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Единичный квадрат. В самом деле, для него S = 1, В = 0, Г = 4, формула верна.

Прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Пусть a и b длины сторон прямоугольника. Тогда: S = ab, В = (a-1) (b-1), Г = 2(a+b). Подстановка показывает, что формула Пика верна.

Прямоугольный треугольник с катетами, которые параллельны осям координат. Любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через с число целых точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения S.???

Любой треугольник. Такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (надо не более 3 таких треугольников). Отсюда получаем корректность формулы Пика для любого треугольника.

Произвольный многоугольник. Для доказательства разобьём его на треугольники с вершинами в целых точках. Для одного треугольника формула Пика доказана. Можно доказать, что при добавлении к многоугольнику треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника.

Заключение

Любители головоломок увлекаются решением задач на клетчатой бумаге, прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению, поскольку здесь не требуется глубокого знания геометрии. Вместе с тем, задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач.

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

При выполнении нашей работы мы рассмотрели решение задач на вычисление площади многоугольников неправильной формы разными способами. Ознакомление учащихся с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ГИА. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

Маленькая формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».

С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы). Материал для самообразования в приложении.

Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы:

1. Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2. Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки.

3. Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

4. Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы.