Наверх
Шпаргалка по математике для 11 класса таблица производных, формулы и теория по производным может пригодиться при решении задания №7 ЕГЭ по математике.
Ссылка для скачивания шпаргалки №1 по производным: скачать в PDF
Ссылка для скачивания шпаргалки №2 по производным: скачать в PDF
В данной шпаргалке вы найдёте: формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, анализ графиков, геометрический и физический смысл производной, задачи на нахождения тангенса, задачи на нахождение коэффициента К, задачи на нахождение значения производной, условие касания функции и прямой.
Смотреть онлайн:
Кому нужно углубиться в данную тему, смотрите бесплатный видеоурок:
Смотреть видеоурок 2019-2020 производная, таблица производных
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$
$f(x)= cos(5x)$
$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
$v(t) = x'(t)$
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
Решение:
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
$3t-3 = 12$
$3t = 15$
$t = 5$
Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
Что такое производная и зачем она нужна
Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:
Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.
у = 10
у′ = 0
Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.
у = 10 + 3х
Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x).
у = 10 + 3х
у′ = 0 + 3
у′ = 3
Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.
Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.
Быстрее освоить производные поможет
обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Производные основных элементарных функций
Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.
|
Функция f (x) |
Производная f’ (х) |
|---|---|
|
С (т. е. константа, любое число) |
0 |
|
х |
1 |
|
xn |
nxn-1 |
|
√x |
1/(2√x) |
|
sin x |
cos x |
|
cos x |
-sin x |
|
tg x |
1/cos2(х) |
|
ctg x |
-1/sin2x |
|
ex |
ex |
|
ax |
ax * ln a |
|
ln x |
1/x |
|
logax |
1/(x * ln a) |
Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.
Общие правила дифференцирования
Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u — v)′ = u′ — v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2
В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.
Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x3).
y′ = (5 ⋅ x3)′
Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:
y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х3-1 = 15х2
Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:
Правила дифференцирования сложных функций
Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x2)4?
Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.
Пример 1
Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x2)4.
Заменим 3 + 2x2 на u и тогда получим y = u4.
Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:
y = y′u ⋅ u′x = 4u3 ⋅ u’x
А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:
4u3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2x2)3 ⋅ (3 + 2x2)′ = 16 (3 + 2x2)3 ⋅ х
Пример 2
Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.
Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.
y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x′ = 3x2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3x2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ sin x