Условная вероятность. Формула Байеса
Условная вероятность. Формула Байеса
Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.
Условная вероятность — вероятность наступления события А при условии, что событие В произошло.
Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается .
Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:
Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию , область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям и , обозначим его .
Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.
То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.
Если мы вычисляем вероятность события в предположении, что событие уже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию окажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию . То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям и составляет от числа исходов, благоприятствующих событию .
Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )
Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событию , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества )
Пусть , где — число исходов, благоприятствующих событиям и , — число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации — число элементов множества , которое является пересечением множеств и ).
Тогда
Но по определению условной вероятности , следовательно
(1)
Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события при условии, что событие произошло:
(2)
Очевидно, что
Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.
Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.
Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Решение.
В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.
Нам нужно найти вероятность того, что что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.
Нарисуем дерево вероятностей:
Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их от всех тарелок.
Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна . При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна .
Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна
Ответ: 0,98.
Пример 2.
40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.
а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.
б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает.
Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает %.
Нарисуем дерево вероятностей:
Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено всех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов.
Получаем , отсюда . То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С. протекает, равна . Получим, что на заводе в С. изготовлено от всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л. (0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)
Тогда вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. равна .
Ответ: а) , б) .
Правило
Классическое определение вероятности
Вероятностью события (displaystyle A ) называется число, равное отношению
(displaystyle {rm P}(A)=frac{число, благоприятных, элементарных, событий}{число, всех, элементарных, событий} )
Правило
Правило произведения
Если элемент (displaystyle a) из множества (displaystyle А) можно выбрать (displaystyle n) способами, а элемент (displaystyle b) из множества (displaystyle В) можно выбрать (displaystyle m) способами, то пару (displaystyle (a;b)) элементов из множеств (displaystyle А) и (displaystyle В) можно выбрать
(displaystyle n cdot m) способами.
Правило
Формула условной вероятности
Для данных двух событий (displaystyle A ) и (displaystyle B{ small ,} ) таких, что событие (displaystyle B) включает в себя событие (displaystyle A, ) выполняется
(displaystyle P(A)=P(B)cdot P_{B}(A),)
где (displaystyle P_{B}(A) ) – вероятность наступления события (displaystyle A ) при условии, что событие (displaystyle B ) произошло.
Определение
Независимые события
События (displaystyle A) и (displaystyle B) называются независимыми, если наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого события.
Правило
Формула произведения вероятностей независимых событий
Если события (displaystyle A) и (displaystyle B) независимы, то вероятность их одновременного наступления равна
(displaystyle P(Acdot B)=P(A)cdot P(B){small .})
Определение
Несовместные события
События (displaystyle A) и (displaystyle B) называются несовместными, если наступление одного события исключает появление другого события, то есть события (displaystyle A) и (displaystyle B) не могут произойти одновременно.
Правило
Формула суммы вероятностей событий
Вероятность суммы событий (displaystyle A) и (displaystyle B), то есть вероятность того, что наступит событие (displaystyle A) или событие (displaystyle B{ small ,}) равна
(displaystyle P(A + B)=P(A)+P(B)-P(Acdot B){small .})
Правило
Формула суммы вероятностей несовместных событий
Если события (displaystyle A) и (displaystyle B) несовместны, то
(displaystyle P(A+ B)=P(A)+P(B){small .})
Правило
Вероятность противоположного события
Если событие (displaystyle bar{A}) противоположно событию (displaystyle A{small ,}) то
(displaystyle P(bar{A})=1-P(A){ small ,})
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события $B$ при дополнительном условии, что произошло событие $А$.
Условной вероятностью $P_A(B)=P(B|A)$ (два обозначения) называют вероятность события $В$, вычисленную в предположении, что событие $А$ уже наступило.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
$$P(AB)=P(B)cdot P(A|B) = P(A) cdot P(B|A).$$
В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:
$$P(A|B)=frac{P(AB)}{P(B)}, quad P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)}.$$
Примеры решений на условную вероятность
Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.
Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .
Этот же результат можно получить по формуле
.
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.
Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .
Искомая условная вероятность
Результаты совпали.
Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?
Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В — маршрута №2.
Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.
Так как все эти события совместны, то:
;
;
отсюда искомая вероятность
Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?
Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А — появление первой карты такой масти, В — появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:
,
где (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая — 8).
Получаем
.
События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
.