События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).
Зачем нужна теория вероятности
Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.
Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.
В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.
Основные понятия теории вероятности
Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.
События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом
.
Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом
.
Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.
- Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е.
.
- Вероятность невозможного события равна 0, т.е.
.
- Вероятность достоверного события равна 1, т.e.
.
- Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е.
.
.Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные
из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле
. Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.
Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов
.
Ответ получаем по формуле .
Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности
На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?
Решение.
Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:
![[ P(A)=frac{k}{n}=frac{8}{20}=0,4 ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69b80fc6c79153f9776c8563534adc72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ: 0,4
Независимые, противоположные и произвольные события
Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.
События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.
Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .
Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е.
.
Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае
.
.
.Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.
Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.
Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов 
В нашем случае .
Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам
![[ A^{k}_{n}=n cdot (n-1) cdot (n-2) dots cdot(n-k+1)= frac{n!}{(n-k)!} ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2dc566bbe32b350df2378b5eb114ad2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В нашем случае .
И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из
элементов по
элементам:
![[ C^{k}_{n}=frac{n cdot (n-1) cdot (n-2) dots (n-k+1)}{1cdot 2 cdot 3 dots cdot k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}. ]](https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-182659ca8211e8f6dddf252762564942_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В нашем случае .
Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности
Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.
На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Решение:
.
Ответ: 0,3.
Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.
В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.
Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:
Ответ: 0,98.
Задача 3.
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.
Решение:
Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.
Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:
.
Ответ: 0,06.
Задача 4.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:
Ответ: 0,35.
Задача 5.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение:
Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.
Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит,
– лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”:
, где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: 
.
Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: 
.
Ответ: 0,975608.
Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:
Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.
Повторение
курса теории вероятностей в 11 классе. Подготовка к ЕГЭ.
1.
Суммой A + B событий A и B называется
событие, состоящее в появлении события А, или события В,
или обоих этих событий.
Пример.
Пусть А — идет дождь, B — идет снег,
тогда (А + В) — либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом,
т. е. осадки;
А —
пошли на дискотеку; B — пошли в библиотеку, тогда (А +
В) — пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.
2.
События называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое
событие, либо другое.
Например,
бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного
числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
3.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема. Вероятность
появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме
вероятностей этих событий:
Пример.
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность
появления цветного шара.
Решение.
Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
Вероятность
появления красного шара (событие А)
P
(A) = 10/30 = 1/3.
Вероятность
появления синего шара (событие В)
P
(В) = 5/30 = 1/6.
События А и В несовместны
(появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому
теорема сложения применима.
По
формуле искомая вероятность
P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2.
Пример. Вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном
кубике при одном броске будет 1/3 , потому что оба
события (выпадение 5, выпадение 6) несовместны и вероятность реализации одного
или второго события вычисляется следующим образом: 1/6 + 1/6 =1/3.
4. Полная
группа событий.
Множество
несовместных событий образуют полную
группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно
из этих событий.
Приммер. Для игрального кубика характерно
рассмотрение следующего набора:
–
в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
–
… 2 очка;
–
… 3 очка;
–
… 4 очка;
–
… 5 очков;
–
… 6 очков.
События 
несовместны (поскольку
появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и
образуют полную группу (так как в результате испытания непременно
появится одно из этих шести событий).
Теорема. Сумма
вероятностей событий A1, A2, …, An,
образующих полную группу, равна единице:
|
P(А1) |
5.
Противоположные события.
Противоположными называют
два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух
противоположных событий обозначено через А, то другое
принято обозначать 
.
Пример.
Если при бросании кости событие А состоит в выпадении 6,
то противоположное событие – это невыпадение 6, т.е.
выпадение 1, 2, 3, 4 или 5.
Пример.
Если А — число четное, то —
число нечетное; если А — зима, то —
не зима (либо осень, либо лето, либо весна); если А — сдал
экзамен, то —
не сдал экзамен.
Теорема.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Р(А)
+ Р(
) = 1 или
Р(А)
= 1 – Р().
Пример. Какова
вероятность того, что при бросании двух игральных костей на них выпадает разное
(не одинаковое) число очков?
Обозначим
описанное событие А. Противоположным событием является событие , состоящее в том, что на обеих костях
выпало одинаковое число очков. Событию благоприятствуют
шесть элементарных событий: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).
Вероятность каждого из этих элементарных событий 
.
Значит, Р() = 
.
Тогда Р(А) = 1 – Р()= 1 — 
.
6.
Зависимые и независимые события. Условная вероятность.
Два события А и В называются независимыми,
если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое
событие или нет.
Пример. Монета
брошена два раза. Событие А – выпал «герб» при первом броске, событие В – выпал
«герб» при втором броске. События А и В независимы.
События
А и В называются зависимыми, если вероятность наступления одного
из них зависит от того, произошло или нет другое событие.
Если
вероятность события В вычисляется в предположении, что событие А уже
произошло, то такая вероятность называется условной вероятностью
события В по отношению к событию А. Обозначение: РА(В).
Пример. В
конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы. Пусть
событие А – извлечение открытки с видами Петербурга, событие В – извлечение
открытки с видами Москвы. Рассмотрим вероятности. Связанные с этими событиями.
1.
Если
открытка извлечена только в начале один раз, то Р(А) = 
,
Р(В) = 
.
2.
Если
две открытки последовательно извлекаются из конверта без возврата в него, то:
а)
если сначала вытащили открытку с видом Петербурга, а затем с видом Москвы, то РА(В)
= 
;
б)
если сначала вытащили открытку с видом Москвы, а затем с видом Петербурга,
тогда РВ(А) = 
.
7.
Произведение вероятностей.
Произведением двух событий А и В называют
событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении)
этих событий.
Пример.
Пусть А — из урны вытянули белый шар, B —
из урны вытянули белый шар, тогда АВ — из урны вытянули два белых
шара; если А — идет дождь, B — идет снег,
то АB — дождь со снегом; А — число
четное, B — число кратное 3, тогда АB —
число кратное 6.
Теорема
умножения для независимых событий
Теорема. Вероятность
произведения двух независимых событий А и В равна
произведению их вероятностей:
Пример.
Игральный куб подбрасывают два раза. Какова вероятность, что в первом броске
выпадет 2 очка, а во втором 6?
Пусть
событи е А – выпадение 2 очков, событие В – выпадение 6 очков, событие С –
выпадение в первом броске 2 очков, а во втором 6 очков.
События
А и В независимы, так как наступление одного события не зависит от наступления
другого события. Тогда так как Р(А) = 
и Р(В)
= 
, то Р(С) = Р(А) · Р(В) = .
Теорема
умножения для зависимых событий.
Теорема. Если
события А и В являются зависимыми, то вероятность их произведения равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого
Пример.
В
конверте лежало 4 открытки с видами Петербурга и 3 открытки с видами Москвы.
Пусть событие А – извлечение первый раз видов Петербурга, событие В —
извлечение первый раз видов Москвы. Пусть событие С состоит в том, что вначале
вытащили вид Петербурга, затем вид Москвы. Тогда событие С по определению
умножения равно А·В. Очевидно, что в данном случае события А и В зависимы.
Покажем это.
1) Если
вначале извлекут вид Петербурга Р(А) = , то
вероятность того, что затем извлекут вид Москвы Р(В) = (по
классическому определению вероятности).
2) Если же
вначале извлекут вид Москвы, то вероятность того, что второй раз извлекут вид
Москвы, будет равна 
. Зависимость более чем
очевидна.
Значит
нужно воспользоваться теоремой о формуле произведения зависимых событий, т.е.
Р(С) = P (A) · PA(B). Таким образом, Р(С) = 
.
Пример.
В читальном зале имеется 6 учебников по информатике, из которых три в
переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти
вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Решение.
Рассмотрим следующие события:
А1 — первый взятый учебник в переплете;
A2— второй взятый учебник в переплете.
Событие A
= A1 · A2, состоит в том, что оба взятых
учебника в переплете. События А1 и А2 являются
зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит
от наступления события А1. Поэтому, для вычисления
вероятности воспользуемся формулой произведения зависимых
событий.
Вероятность
наступления события А1 в соответствии с
классическим определением вероятности:
P
(А1) = m / n = 3/6 = 0,5.
P А1 (А2) определяется
как условная вероятность наступления события А2 при
условии, что событие А1 уже наступило:
P А1 (А2)
= 2/5 = 0,4.
Тогда
искомая вероятность наступления события А:
P
(А) = 0,5 · 0,4 = 0,2.
8.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Два события называются совместными, если
появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же
испытании.
Пример. А —
появление четырех очков при бросании игральной кости; В —
появление четного числа очков. Событие А и В —
совместны.
Теорема. Вероятность появления
хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна
сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
|
P (A + B) = P |
Пример.
Два студента читают книгу. Первый студент дочитает книгу с вероятностью – 0,6;
второй – 0,8. Найти вероятность того, что книга будет прочитана хотя бы одним
из студентов.
Решение.
Вероятность того, что книга будет прочитана каждым из студентов не зависит от
результата отдельно взятого студента, поэтому события А (первый
студент дочитал книгу) и B (второй студент дочитал книгу)
независимы и совместны. Искомую вероятность находим по формуле сложения
вероятностей совместных событий.
Вероятность
события АB (оба студента дочитали книгу):
P (AB)
= P (A) · P (B) = 0,6 · 0,8 = 0,48.
Тогда
P
(A + B) = 0,6 + 0,8 — 0,48 = 0,92.
Пример. В торговом центре два
одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в
автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе
закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или
в обоих сразу).
Вероятность первого события
«кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события
«кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются
совместными.
Вероятность совместной
реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть 0,3 +
0,3 – 0,12 = 0,48.
Пример. В школе 1400 учеников, из них 1200
учеников умеют кататься на лыжах, 952 ученика умеют кататься на коньках. Не
умеют кататься ни на лыжах, ни на коньках 60 учеников. Какова вероятность, что
ученик умеет кататься и на лыжах, и на коньках?
Обозначим Е – все ученики данной
школы. Пусть событие А – умение учеников кататься на лыжах. Событие В – умение
учеников кататься на коньках. Событие АВ – умение учеников кататься и на лыжах
и на коньках. Событие А+В – умение учеников кататься или на лыжах, или на
коньках.
Т.к. 60 учеников не умеют кататься
ни на лыжах, ни на коньках, то учеников, которые умеют кататься или на лыжах,
или на коньках 1400 – 60 = 1340. Тогда Р(А) = 
, Р(В) = 
; Р(А+В) = 
. Но
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Тогда Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А+В). Так как события А и В – зависимые со бытия, то Р(АВ) = 
.
9. Формула полной
вероятности.
Если событие А может произойти только при
выполнении одного из событий В1, В2, …, Вn которые
образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А
вычисляется по формуле
Р(А) = Р(В1) · РВ1(А) +
Р(В2) · РВ2(А) + … + Р(Вn) · РВn(А).
Эта формула
называется формулой полной вероятности.
Пример. В магазине продаются
электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода — 30%, второго — 50%, третьего — 20%. Брак в их
продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова
вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась
бракованной.
Пусть событие В1
состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, В2 —
на втором, В3 — на третьем заводе. Очевидно:
P(В1)
= 
, P(В2) =
, P(В3) =
.
Пусть событие А
состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; РВ1(А) означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из
ламп, произведенных на первом заводе, Р(В2) – на втором заводе, Р(В3)
– на третьем заводе. Из условия задачи следует:
РВ1(А)= 
; РВ2(А) =
; РВ3(А) = 
.
По формуле полной вероятности получаем
=0,034.
Список литературы.
1.
Тюрин Ю.Н.,
Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. ОАО
«Московский учебник». М., 2008.
2.
Шахмейстер
А.Х. Комбинаторика. Статистика. Вероятность. МЦНМО. М., 2010.
3.
http://www.mathprofi.ru/teoremy_slozhenija_i_umnozhenija_verojatnostei.html
Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!
Основные понятия
Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.
Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.
Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».
Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Событие и виды событий
Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.
-
Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.
-
Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.
-
Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.
Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.
Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:
-
A0 — в результате броска монеты выпадет орел;
-
Ā0 — в результате броска монеты выпадет решка.
Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.
Алгебра событий
Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.
Сложение событий
Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.
Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A1 + A2 + A3 + A4 + A5 состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A1, A2, A3, A4, A5, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A1, или событие A2, или событие A3, или событие A4, или событие A5.
Примеров масса:
-
Событие
(при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
-
Событие B1, 2 = B1 + B2 (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.
-
Событие BЧ = B2 + B4 + B6 (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.
Умножение событий
Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A1A2A3 … A10 подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A1, и событие A2, и событие A3,…, и событие A10.
Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:
-
A1 — на 1-й монете выпадет орел;
-
Ā1 — на 1-й монете выпадет решка;
-
A2 — на 2-й монете выпадет орел;
-
Ā2 — на 2-й монете выпадет решка.
Тогда:
-
событие A1A1 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;
-
событие Ā2Ā2 состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
-
событие A1Ā2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;
-
событие Ā1A2 состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.
Классическое определение и формула вероятности
Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:
Свойства вероятности:
-
Вероятность достоверного события равна единице.
-
Вероятность невозможного события равна нулю.
-
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Как решать задачи по теории вероятности
Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?
Как рассуждаем:
Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:
P = 0/15 = 0
Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.
Ответ: 0.
Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?
Как рассуждаем:
Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).
Следовательно:
Ответ: 0,25.
Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов
$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.
Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$
В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.
Решение:
Найдем количество желтых автомобилей:
$50-35=15$
Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$
Ответ:$0,3$
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.
$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$
Независимые события
Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.
Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.
Решения:
Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.
Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.
События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей
$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Ответ: $0,018$
Несовместные события
Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)
Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$
$Р = 0,3+0,18=0,48$
Ответ: $0,48$
Совместные события
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.
Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:
$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$
В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.
Решение:
Обозначим события, пусть:
$А$ = кофе закончится в первом автомате,
$В$ = кофе закончится во втором автомате.
Тогда,
$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,
$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
Ответ: $0,88$
Раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в материалах открытого банка заданий ФИПИ по математике ЕГЭ базового уровня содержит 392 задачи на сорока страницах. В статье выделены несколько типов задач по различным темам курса теории вероятностей и предложены способы их решения. Каждый тип задач сопровождают минимально необходимые теоретические сведения. Формулировки задач скопированы с сайта ФИПИ.
1. Задачи на применение классической формулы определения вероятности события
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: 
.
Задача 1.1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение. Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна 
.
Замечание: решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.
Ответ: 0,25.
Задача 1.2. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».
Решение. Конфета «Взлётная» — одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна
Ответ: 0,2.
Задача 1.3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение: Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна
Задача 1.4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение. Перечислим все возможные исходы (их 4) при двух бросаниях монеты:
| N исходов |
Первое бросание |
Второе бросание |
|
1 |
Решка |
Решка |
|
2 |
Орёл |
Орёл |
|
3 |
Орёл |
Решка |
|
4 |
Решка |
Орёл |
Видно из таблицы, что интересующему нас событию (ровно двум появлениям орла) благоприятствует исход с номером 2. Он единственный, а возможных исходов в нашем случае – 4. Стало быть, искомая вероятность равна
Ответ: 0,25.
Задача 1.5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение: Ровно один раз орёл выпадает в исходах под номерами 2 и 3 (см. таблицу к задаче 1.4). Отношение числа благоприятных исходов (2) к общему числу всех равновозможных исходов (4) определяет вероятность интересующего нас события:
Ответ: 0,5.
Задача 1.6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.
Событие «орёл выпадет хотя бы один раз» означает, что орёл появится либо один раз (первым или вторым), либо оба раза, что возможно при реализации исходов 2,3,4. Благоприятных исходов, таким образом, три, при общем количестве возможных – четырёх. Вероятность, согласно классической формуле, равна 
Ответ: 0,75.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Задача 1.7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: Орёл выпадает оба раза – один исход при двух бросаниях математической монеты из четырёх возможных. Значит, вероятность равна 
.
Ответ: 0,25.
Задача 1.8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что во второй раз выпадет то же, что и в первый.
Решение: Формулировка «во второй раз выпадет то же, что и в первый» означает, что могут выпасть подряд два орла, либо выпадают две решки подряд, что соответствует исходам 1 и 2 в таблице к задаче 1.4. При общем количестве (их 4) равновозможных исходов вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,5.
Задача 1.9. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 25.
Решение: Найдем количество трёхзначных чисел. Первое из них -100. Последнее -999. Значит, их всего 999-100+1=900. Определяем количество чисел, кратных 25. Первое из них – 100. Последнее – 975. Таких чисел 
По классической формуле вычисляем вероятность 
.
Ответ: 0,04.
Задача 1.10. Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.
Решение: Как и в задаче 1.10, общее число всех равновозможных исходов 900. Первое трёхзначное число, кратное 33, это — 132. Последнее из них – 990. Таким образом, благоприятных исходов, т.е. трёхзначных чисел, кратных 33, всего
Ответ: 0,03.
Задача 1.11. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Решение: Примем количество пакетиков с зелёным чаем за х, тогда количество пакетиков с чёрным чаем будет равно 4х, и общее количество пакетиков с чаем определится как х+4х=5х (пакетиков). Вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем, согласно классической формуле, определяется отношением
Ответ: 0,2.
Задача 1.12. На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 130 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Решение: Найдём количество человек, писавших олимпиаду в запасной аудитории: 400-(130+130) =140. Значит, искомая вероятность равна 
.
Ответ: 0,35.
Задача 1.13. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение: Для туриста Д., входящего в состав группы, для похода в магазин есть 6 благоприятных исходов. Общее число всех равновозможных исходов – количество туристов в группе (их 8 по условию задачи). Итак Р(А)=
Ответ: 0,75.
Задача 1.14. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов:
в первый день — 18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение: Последний день конференции – третий. Количество докладов, запланированных во второй, а также и в третий день конференции: 
Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день: 
.
Ответ: 0,32.
Задача 1.15. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение: Невелик у Оскара шанс получить выученный билет: 
.
Ответ: 0,14.
Задача 1.16. В фирме такси в наличии 12 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета
с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Решение: Жёлтых с чёрными надписями машин -9. Разделив их на общее число машин фирмы (12), получаем:
Ответ: 0,75.
2. Задачи на нахождение вероятности противоположного события
Определение. Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.
Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного опыта. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из событий обязательно произойдёт. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. 
. Здесь 
— вероятность события, противоположного событию А.
Задача 2.1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет, равна 0,21. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку
из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Событие А – новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе
не пишет. Событие 
— ручка пишет хорошо. Эти события – противоположные. Р(А)=0,21. Р(
Ответ: 0,79.
Задача 2.2. В среднем из 140 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Событие А — насос подтекает, событие 
– насос не подтекает.
Ответ: 0,95.
Задача 2.3. Из 600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?
Решение. Событие – «случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт» противоположно событию «что случайно выбранная и посаженная луковица не прорастёт». Поэтому 
.
Ответ: 0,92.
3. Задачи на применение теоремы сложения вероятностей для несовместных событий
Суммой (А+В) двух событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В.
Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность суммы случайных событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Задача 3.1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос
по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: событие А – достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», событие В – достанется вопрос по теме «Внешние углы», тогда событие А+В — на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Учитывая, что «Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет», применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,35+0,25 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Задача 3.2. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Как и при решении задачи 3.1, применяем теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий: P(А+В) = 0,3+0,25 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Теория вероятностей для сдачи ОГЭ и ЕГЭ
Справится с задачей по теории вероятности можно запросто, если знаешь формулу нахождения вероятности и если повезет с задачей. Пока практика показывает, что на экзамене даются задачи проще, чем на пробнике.
К таким простым задачам будем относить задачи из разряда «на тарелке лежат столько-то пирожков, найти вероятность, что попадется пирожок с вишней», с кубиками/монетками и задачки на подобие «найти вероятность того, что ручка не пишет, если вероятность того, что она пишет равна 0,6».
Все остальные типы задач будем считать сложными, т.к. не каждый сможет к ним подступиться без определенных знаний.
Начнем разбор задач с формулы нахождения вероятности:
P=m:n, где P – вероятность какого-либо события, m – благоприятные события (то, что нас спрашивают в вопросе), n – всевозможные события.
Разберемся с поиском благоприятных событий на примере.
#1.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?
| 1 кубик | 2 кубик | |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 5 |
| 3 | 6 | 4 |
Это и есть все благоприятные события. Итого, их 3.
Ответ: 3.
Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.
Простейшие задачи на нахождение вероятности.
#2.
На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.
Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.
Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.
Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.
P=6:15=0,4.
!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.
Ответ: 0,4.
#3.
На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.
Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.
Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.
P=2:10=0,2
Ответ: 0,2
#4.
Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.
Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.
Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#5.
Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.
Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.
Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.
Р=12:20=0,6
Ответ: 0,6
#6.
В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
Благоприятные события – это исправные компьютеры. Их 1000-5=995.
Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.
Р=995:1000=0,995
Ответ: 0,995
#7.
В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.
Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.
Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
#8.
В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.
Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.
Всевозможные события – это все банки. Их 5.
P=4:5=0,8
Ответ: 0,8.
Из простых задач остались самые элементарные.
Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1.
Если вероятность выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не выпадет равна так же 50%. Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.
Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.
#9.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Р=1-0,06=0,94
Ответ: 0,94.
Задачи с кубиками.
Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.
У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.
Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.
6количество кубиков=всевозможные события
Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.
#10.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.
| 1 кубик | 2 кубик | 3 кубик | |
| 1 | 1 | 3 | 6 |
| 2 | 1 | 4 | 5 |
| 3 | 1 | 5 | 4 |
| 4 | 1 | 6 | 3 |
| 5 | 2 | 2 | 6 |
| 6 | 2 | 3 | 5 |
| 7 | 2 | 4 | 4 |
| 8 | 2 | 5 | 3 |
| 9 | 2 | 6 | 2 |
| 10 | 3 | 1 | 6 |
| 11 | 3 | 2 | 5 |
| 12 | 3 | 3 | 4 |
| 13 | 3 | 4 | 3 |
| 14 | 3 | 5 | 2 |
| 15 | 3 | 6 | 1 |
| 16 | 4 | 1 | 5 |
| 17 | 4 | 2 | 4 |
| 18 | 4 |
3 |
3 |
| 19 | 4 | 4 | 2 |
| 20 | 4 | 5 | 1 |
| 21 | 5 | 1 | 4 |
| 22 | 5 | 2 | 3 |
| 23 | 5 | 3 | 2 |
| 24 | 5 | 4 | 1 |
| 25 | 6 | 1 | 3 |
| 26 | 6 | 2 | 2 |
| 27 | 6 | 3 | 1 |
Итого, благоприятных событий 27, а всевозможных – 63=216.
Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.
Ответ: 0,13.
#11.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
С двумя кубиками совсем просто.
Всевозможных событий — 62=36
Благоприятных событий — 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)
Р=3:36=0,08333
Ответ: 0,08
Задачи с монетами.
Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.
2количество монет=всевозможные события
#12.
Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.
О – орел, Р — решка
Благоприятных – 1
Всевозможных – 4
Р=1:4=0,25
Ответ: 0,25
#13.
Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что на выпадут два орла и одна решка.
Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.
| О | О | О |
| О | О | Р |
| О | Р | О |
| О | Р | Р |
| Р | О | О |
| Р | О | Р |
| Р | Р | О |
| Р | Р | Р |
Благоприятных событий 3.
Р=3:8=0,375
Ответ: 0,375.
На этом приятности заканчиваются, и начинаются неприятности.
Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.
В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно.
Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.
О чем это говорит? Если в задаче нам даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать. Если даны вероятности несовместных событий, то их будем складывать.
И – умножаем
ИЛИ — складываем
#14.
В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.
Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.
Возможны несколько случаев.
1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.
2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.
3) 3 лампы остаются гореть. И первая, и вторая, и третья. Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.
Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:
Р=0,384+0,096+0,008=0,488
И решим задачу вторым способом. Более коротким.
Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512
Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488
Ответ: 0,488
#15.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.
Команду ожидают две игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя способами. Либо они одерживают победу в обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную формулу:
(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)
Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.
Ответ: 0,32.
Успехов в учебе!
Автор статьи, но не задач: Васильева Анна