Формула вкладов егэ

Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Спёрбанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Спёрбанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Спёрбанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Спёрбанке Баба Валя сняла половину образовавшейся суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» и открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.

Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Спёрбанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..» Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без денег.

А каков в Спёрбанке процент годовых для пенсионеров?

Основные формулы в задачах на вклады и кредиты

12 марта 2015

Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.

Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.

Вкладываем деньги в банк

Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.

Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:

[frac{20}{3}=6,….to 7]

Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:

[Ktext{%} to 1+frac{K}{100}]

Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:

В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:

[3m]

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

[3mcdot 1,15+3m]

Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:

[left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m]

Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:

[left( left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m]

А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:

[begin{align}& left( left( 3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m= \& =left( 3mcdot {{1,15}^{2}}+3mcdot 1,15+3m right)cdot 1,15+3m= \& =3mcdot {{1,15}^{3}}+3mcdot {{1,15}^{2}}+3mcdot 1,15+3m= \& =3mleft( {{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 right)= \& =3mleft( 1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} right) \end{align}]

Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.

Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

[{{S}_{n}}={{b}_{1}}cdot frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}]

Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.

Обратите внимание: формула n-го элемента звучит следующим образом:

[{{b}_{n}}={{b}_{1}}cdot {{q}^{n-1}}]

Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто nдля суммы n-элементов, а сам n-й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:

[begin{align}& {{b}_{1}}=1 \& q=1,15 \end{align}]

Теперь мы можем посчитать сумму:

[{{S}_{4}}=1cdot frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}]

Посчитаем числитель отдельно:

[{{1,15}^{4}}={{left( {{1,15}^{2}} right)}^{2}}={{left( 1,3225 right)}^{2}}=1,74900625approx 1,75]

Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:

[{{S}_{4}}=1cdot frac{1,75-1}{0,15}=frac{0,75}{0,15}=frac{75}{15}=5]

В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:

4 года → 5 раз

Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:

5 лет → 6,7 раз

Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:

[6,7cdot 3=20,1]

Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.

Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.

К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.

А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:

[text{Vklad}=text{platezh}frac{{{text{%}}^{n}}-1}{text{%}-1}]

Сам по себе % считается по следующей формуле:

[Ktext{%}to 1+frac{K}{100}]

Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.

Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?

У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.

Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.

Проценты по кредитам

С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.

Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.

Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

[2m]

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

[Ktext{%}to 1+frac{K}{100}]

В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:

[1+frac{20}{100}=1,2]

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:

[2mcdot 1,2- x]

Далее к концу второго месяца уже на эту сумму будут вновь начислены проценты:

[left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2-x]

И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:

[left( left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2- xright)1,2- x]

И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

[left( left( 2mcdot 1,2- xright)cdot 1,2- xright)1,2 — x=0]

Давайте решать:

[begin{align}& left( 2mcdot {{1,2}^{2}}- xcdot 1,2- xright)cdot 1,2- x=0 \& 2mcdot {{1,2}^{3}}- xcdot {{1,2}^{2}}- xcdot 1,2- x=0 \& 2mcdot {{1,2}^{3}}=cdot {{1,2}^{2}}+cdot 1,2+ \& 2mcdot {{1,2}^{3}}=left( {{1,2}^{2}}+1,2+1 right) \end{align}]

Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

[2mcdot {{1,2}^{3}}=left( 1+1,2+{{1,2}^{2}} right)]

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

[begin{align}& {{b}_{1}}=1; \& q=1,2 \end{align}]

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

[{{S}_{3}}=1cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $left( {{b}_{1}};q right)$ считается по формуле:

[{{S}_{n}}={{b}_{1}}cdot frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}]

Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:

[2mcdot {{1,2}^{3}}=cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:

[begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,44cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,728 \end{align}]

Переписываем наше выражение:

[2mcdot 1,728=cdot frac{0,728}{0,2}]

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

[2cdot {{1,2}^{3}}=cdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.

Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.

Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.

Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.

Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике

Пример № 1

Итак, первая задача:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т .е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т .е. за четыре года)?

Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:

[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Кредит нам известен — 9282000 рублей.

С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:

[10text{%}to 1+frac{10}{100}=1,1]

Мы можем составить уравнение:

[9289000cdot {{1,1}^{4}}=xcdot frac{{{1,1}^{4}}-1}{1,1-1}]

У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:

$begin{align}& {{1,1}^{4}}={{left( {{1,1}^{2}} right)}^{2}} \& 1,1cdot 1,1=1,21 \& {{1,1}^{4}}=1,4641 \end{align}$

Теперь перепишем уравнение:

[begin{align}& 9289000cdot 1,4641=xcdot frac{1,4641-1}{0,1} \& 9282000cdot 1,4641=xcdot frac{0,4641}{0,1}|:10000 \& 9282000cdot frac{14641}{10000}=xcdot frac{4641}{1000} \& frac{9282cdot 14641}{10}=xcdot frac{4641}{1000}|:frac{4641}{1000} \& x=frac{9282cdot 14641}{10}cdot frac{1000}{4641} \& x=frac{2cdot 14641cdot 1000}{10} \& x=200cdot 14641 \& x=2928200 \end{align}][]

Все, наша задача с процентами решена.

Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.

Пример № 2

31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.

Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:

[][kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:

[20%to 1+frac{20}{100}=1,2]

Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:

[4004000cdot {{1,2}^{3}}=xcdot frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}]

Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:

[begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2cdot {{1,2}^{2}} \& {{1,2}^{3}}=1,44cdot 1,2 \& {{1,2}^{3}}=1,728 \end{align}]

Переписываем наше выражение:

[begin{align}& 4004000cdot 1,728=xcdot frac{1,728-1}{0,2} \& 4004000cdot frac{1728}{1000}=xcdot frac{728}{200}|:frac{728}{200} \& x=frac{4004cdot 1728cdot 200}{728} \& x=frac{4004cdot 216cdot 200}{91} \& x=44cdot 216cdot 200 \& x=8800cdot 216 \& x=1900800 \end{align}]

Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:

[3x=5702400]

Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.

Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:

[begin{align}& 4004000cdot {{1,2}^{2}}=xcdot frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \& 4004000cdot frac{144}{100}=xcdot frac{11}{5}|cdot frac{5}{11} \& x=frac{40040cdot 144cdot 5}{11} \& x=3640cdot 144cdot 5=3640cdot 720 \& x=2620800 \end{align}]

Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:

[2x=5241600]

Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:

[5702400-5241600=460800]

Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.

Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.

Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.

Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.

Пример № 3

Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:

[kreditcdot {{%}^{n}}=platezhcdot frac{{{%}^{n}}-1}{%-1}]

Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:

[13%to 1+frac{13}{100}=1,13]

Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:

[xcdot {{1,13}^{2}}=5107600cdot frac{{{1,13}^{2}}-1}{1,13-1}]

Знаменатель мы можем тут же посчитать — это будет 1,13, а вот в числителе, а также слева перед переменной $x$ у нас стоит коэффициент ${{1,13}^{2}}$. Предлагаю посчитать данное выражение отдельно:

[{{1,13}^{2}}=1,2769]

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:

[begin{align}& xcdot frac{12769}{10000}=5107600cdot frac{1,2769-1}{0,13} \& xcdot frac{12769}{10000}=frac{5107600cdot 2769}{1300}|:frac{12769}{10000} \& x=frac{51076cdot 2769}{13}cdot frac{10000}{12769} \& x=4cdot 213cdot 10000 \& x=8520000 \end{align}]

Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.

Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.

Смотрите также:

1. Задача на производительность труда
2. ЕГЭ по математике 2016: задача про кредиты с фиксированным платежом
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
4. Комбинированные задачи B12
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант

Вклады и кредиты

Задание № 17 КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты» в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

         С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

•    выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся; еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;

• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендую вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

На следующем этапе нужно выяснить, насколько хорошо учащиеся владеют таким понятием как «процент». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов». Для этого можно порешать задачи на проценты прототипа 11 ЕГЭ.

Далее переходим к изучению «Сложных процентов».

Пропускать данный раздел нельзя, т.к. в дальнейшем формулы сложных процентов мы будем использовать при решении задач с аннуитетными платежами.

Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.

Формула вычисления сложных процентов:

(начисление процентов к исходной сумме)

или (списание процентов)

Где S— размер первоначального вклада;

– размер вклада через n лет;
r — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.

Вывод формулы вычисления сложных процентов выполнить несложно и лучше вместе с учениками вывести данное соотношение.

Решение экономической задачи целесообразно начинать:

1) с анализа данных в задаче и структурирования их в виде таблицы; ( самое важное!)

2) с представления решения задачи в виде понятного, а значит простого алгоритма действий. Алгоритм – запоминаем!

Выполнив первые 2 пункта, вы и построите математическую модель.

Далее решение сводится к исследованию этой модели и получению результата.

И, помните, что каждый тип задачи вы разбираете вместе с учениками, а потом они самостоятельно решают парные задачи каждого типа!

1. Задачи на «сложные» проценты.

1-1. Вкладчик внес в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого года из первых трех лет после начисления процентов он дополнительно вносил одну и ту же сумму. К концу четвёртого года его вклад стал равным 1364400 рублей. Какую сумму в рублях дополнительно вносил вкладчик в течение каждого из первых трех лет?

Решение.

S– вклад, S= 500 000 рублей,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

Можно использовать формулы:

Парная задача

1-2. Вкладчик внёс в банк 500000 рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трёх лет после начисления процентов он снимал одну и ту же сумму. К концу четвертого года его вклад стал равным 927600 рублей. Какую сумму вкладчик снимал в течение каждого из первых трёх лет?

Ответ: 25000 рублей.

2. Задачи на кредиты (платеж равными взносами), аннуитетные платежи.

Аннуитетный платёж отличает специфика расчёта и выплат – равные части в течение всего срока кредитования, состоящие из кредитного процента и суммы основного долга. Современные банки практикуют преимущественно аннуитетные платежи при кредитовании, ввиду высокой прибыли по процентам.

2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

Решение.

S–сумма кредита, Sk-общая сумма выплат,

r=20% — процент годовых по вкладу,

– «накапливающий» множитель, m=1,2

x рублей- ежегодная выплата,

Sk=4x;

Кредит был погашен за 4 года, значит:

Ответ: 201 300 рублей.

3. Задачи на кредиты (уменьшение долга каждый год или месяц на одну и ту же величину), дифференцированные платежи.

Основные характеристики дифференцированного платежа

 1. Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

2. Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);

3. Дифференцированный платеж равен , где S – сумма (тело) кредита, n – количество выплат, r – процентная ставка;

4. Первый платеж самый большой;

5. Последний платеж самый маленький. 

При расчете дифференцированного платежа общая сумма основного долга делится на равные части пропорционально сроку кредитования. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита заемщик выплачивает банку часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты.

3. 15–го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

Решение.

S–сумма кредита,

r=1% — ежемесячный процент по вкладу,

n=24 – срок кредитования

Выплаты за 2 год

Выплаты за 1 год

Ответ:1 066 500 рублей.

4. Задачи на вклады (выплата долга в соответствии с данной таблицей или разные платежи каждый год).

4. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1.2 млн. рублей.

Решение.

r% — ежемесячный процент по вкладу,

– «накапливающий» множитель,

Общая сумма выплат равна

Sk= m-0.6+0.6m-0.4+0.4m-0.3+0.3m-0.2+0.2m-0.1+0.1m=2.6m-1.6;

2.6m<1.2; m<

Ответ: 7%.

Разобранными в данной работе примерами, конечно, не исчерпываются все возможные вариации задач о вкладах и кредитах.

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать.

Использованная литература 

1. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 типовых вариантов заданий.  

М.: 2020. — 168 с.

2. ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием. 220 задач в формате ЕГЭ с ответами.  

4-е изд., перераб. и доп. — М.: 2018. — 128 с.

3. ЕГЭ. Математика. Задание 17. Экономическая задача. Гуев. Т. 

4. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) Шестаков С.А.  

М.: 2018. — 208 с.

Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике – это задача с экономическим содержанием.

Это может быть задача на кредиты и вклады. Или на нахождение наибольшего (наименьшего) значения какой-либо функции (прибыли, зарплат, времени работы). Мы разберем и те, и другие.

Начнем с задач о кредитах и вкладах. Прежде чем браться за реальные задания ЕГЭ из Банка заданий ФИПИ, подумаем – как вообще работает банк?

Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под 10 % годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке 110 тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны 100 тысяч рублей. Банк выдает ему кредит под 30 % годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку 130 тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит 130 – 110 = 20 (тысяч рублей).

Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.

Вспомним формулы из темы «Проценты». Без них задачи на кредиты и вклады не решить!

Сначала — несколько контрольных вопросов:

1. Что принимается за 100%?

2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?

3. Величина y дважды увеличилась на р%. Как это записать?

И ответы на вопросы:

1. за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

2. если величину x увеличить на p процентов, получим ;

если величину x уменьшить на p процентов, получим
;

если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим ;

3. если величину x дважды увеличить на p процентов, получим ;

4. если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим .

Вот простая подготовительная задача.

Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Пусть банк начисляет p% в год.

У клиента А после начисления процентов через год сумма вклада станет равной . Соответственно, через два года эта сумма станет равной

Клиент В сделал вклад позже, чем клиент А, на год. У него сумма вклада через год станет равной .

Так как клиент А получил на 847 рублей больше клиента В, то

Вынесем 7700 за скобки:

Чтобы не получить квадратное уравнение с огромными коэффициентами, сократим обе части уравнения на 77.

Сделаем замену

Его корни и . Отрицательный корень нам не подходит, поэтому .

Сделав обратную замену, получим

Отсюда p = 10%.

Ответ: 10.

Еще одна задача – на этот раз о кредите.

2. Костя оформил кредитную карту на 244 тысячи рублей под 25% годовых и расплачивался ею при каждой покупке. Через неделю деньги на карте кончились, и Костя обнаружил, что обязан погасить долг тремя равными ежегодными платежами. Сколько собственных денег Костя выплатит банку сверх суммы, взятой в кредит?

Обозначим сумму кредита , где рублей.

Проценты начисляются ежегодно, и после первого начисления процентов сумма долга равна
.

Переменная — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов;
, где – процентная ставка банка.

Костя обязан ежегодно выплачивать банку рублей. После первой выплаты сумма долга равна рублей.

Банк снова начисляет р процентов, и сумма долга становится равна
рублей, где . Костя снова перечисляет в банк рублей.

Теперь сумма долга равна
рублей.

Банк в третий раз начисляет проценты, и сумма долга равна
рублей.

И снова Костя переводит в банк рублей. Теперь его долг равен нулю.

.

Выразим Х (ежегодный платеж Кости) из этого уравнения. Раскрыв скобки, получим:
;
.Осталось подставить числовые данные.

Будем вести расчеты в тысячах рублей, а значение возьмем равным . Это удобнее для расчетов, чем .

тысяч рублей.

Всего Костя выплатит банку тысяч рублей, что на 375 – 244 = 131 тысячу рублей больше суммы, взятой в кредит.

Вот задача на вклады, где надо составить, упростить и решить систему уравнений. Постарайтесь справиться самостоятельно.

3. В начале года некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у. е. (условных единиц), к концу следующего — 749 у. е. Если бы первоначально суммы было вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.

Пусть первоначальная сумма равна – чтобы удобнее было записать и этой суммы.

Пусть банк A начисляет p процентов годовых. Тогда сумма, внесенная на счет в банке А, за год увеличивается в раз, а за 2 года в раз.

Банк Б начисляет q процентов годовых. За год сумма, внесенная на счет в банке Б, увеличивается в раз, а за 2 года в раз.

Надо найти . Составим систему уравнений:

Подставим значения m и k в третье уравнение:

.

Осталось вычислить .

Ответ: 841.

Пора переходить к реальным задачам ЕГЭ о кредитах (задачи на вклады решаются похожим способом).

Запомним – есть всего две схемы решения задач на кредиты.

Первая – когда выплаты производятся равными платежами. Или есть информация о платежах.

Вторая – когда сумма долга уменьшается равномерно. Или есть информация о том, как уменьшается сумма долга.

Начнем с первой схемы.

Применение банковских формул простых и сложных процентов при решении задач ЕГЭ экономического содержания

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

В сентябре 2020 года мне исполнилось 14 лет, и я получил свой первый паспорт гражданина РФ. К этому возрасту у меня скопилась определенная сумма денег, которую я запланировал положить в банк под проценты с целью получения прибыли.

Понимая, что это дело важное и ответственное, что к нему нужно подходить основательно, я решил «подковаться» и изучить уроки финансовой грамотности на цифровом образовательном ресурсе «ЯКласс». В разделе «Как сберечь деньги с помощью депозитов» рассказывается о формулах простых и сложных процентов. Используя эти формулы, мною просчитана доходность разных вкладов в ведущих банках России. В результате я определился, в какой банк вложить свои деньги и какой вклад открыть.

Чуть позже мне попалась интересная задача, решенная с применением формулы сложных процентов. Изящество и гениальность приведенного решения поразили меня, ведь не зная этой формулы, пришлось бы выполнить огромное количество вычислений, занявшее много времени. Я узнал у своего учителя математики, что эти формулы не изучаются в школьном курсе математики. А пообщавшись с учащимися 10-11 классов, выяснил, что решение задач экономического содержания при подготовке к ЕГЭ по математике вызывают у многих из них затруднения, потому что приходится выполнять многочисленные вычислительные операции.

Все это обусловило проблему данного исследования, которая заключается в поиске оптимальных приемов и способов решения задач на проценты с учетом приобретенных мной новых знаний.

Главная цель исследования: научиться решать задачи экономического содержания,используя финансовые формулы простых и сложных процентов, найти для себя такие приемы и выработать такие практические навыки решения задач на проценты, которые в будущем помогут мне успешно подготовиться к сдаче ЕГЭ, в частности, раздела финансовой математики.

Гипотеза: используя формулы простых и сложных процентов, можно решать задачи экономического содержания легко и просто!

Задачи:

Познакомиться с основами финансовой грамотности, банковской системой и банковскими операциями с целью получения знаний, способствующих сохранению и преумножению вложенного мной капитала;

Изучить формулы простых и сложных процентов, с их помощью провести анализ вкладов, предлагаемых ведущими банками России, на предмет сохранения и получения максимальной прибыли;

Выработать алгоритм решения задач экономического содержания с применением банковских формул и продемонстрировать его учащимся моей школы;

Наглядно показать, как работать с этим алгоритмом при решении задач экономического содержания, определить способы и приемы их решения;

Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов с целью приобретения практических навыков.

Предмет исследования: задачи экономического содержания (на проценты) в заданиях ЕГЭ.

Объект исследования: методы и приемы решения задач экономического содержания.

Методы исследования: математический; изучение, анализ и обобщение первичной информации; систематизация, классификация и обобщение.

ГЛАВА 1. Литературный обзор источников информации

Прежде чем приступить к практической части своей работы, мне необходимо было получить теоретические знания.

Для этого на цифровом образовательном интернет-ресурсе «ЯКласс» мною изучен курс «Основы финансовой грамотности» для учащихся 7‑9 классов [9]. Большая часть уроков курса опирается на учебное пособие доктора экономических наук Игоря Липсица и магистра экономики Ольги Рязановой «Финансовая грамотность» серии «Учимся разумному финансовому поведению». Из этого курса я узнал, что такое банковская система, виды финансовых организаций и банковских услуг, выяснил, в чем польза и риск банковских карт, познакомился с их разновидностями, понял, что такое налоги, почему их нужно платить [3]. Кроме того, я узнал, какие финансовые риски существуют, что такое финансовая пирамида и какие виртуальные ловушки подстерегают нас в настоящее время. Также я выяснил, что такое кредит, какие виды кредитования бывают, чем опасны микрокредиты. Особенно меня заинтересовала глава курса «Как сберечь деньги с помощью депозитов», ведь намерение открыть вклад в банке с целью сохранения и преумножения накопленного мной капитала и стало толчком к данному исследованию. Именно в этой главе я впервые узнал о формулах простых и сложных процентов [9].

На следующем этапе работы мною изучены первые три главы учебного пособия кандидата технических наук, заведующего кафедрой Высшей математики Московского финансово-промышленного университета «Синергия» Равгата Хамидуллина «Финансовая математика» [7]. В первой главе пособия я познакомился с основными терминами финансовой математики: понятиями процента, арифметической и геометрической прогрессии и их применением в простейших финансовых задачах. Вторая глава пособия посвящена простым процентам и формулам, по которым они начисляются. Третья глава посвящена формулам сложных процентов. Интересно то, что автор закон сложного процента выводит на основе простого. В конце второй и третьей главы приведено большое количество примеров финансовых и жизненных задач, иллюстрирующих обоснованность применения формул простых и сложных процентов, а также даются контрольные вопросы и задания для закрепления изученного материала.

Второй блок литературы, использованный мной в исследовательской работе, составляют реальные задачи экономического содержания. В частности мне очень помогла учебно-методическая разработка автора-создателя образовательного портала РЕШУ ЕГЭ Д.Д. Гущина «Встречи с финансовой математикой». Книга учит строить математические модели экономических ситуаций, исследовать эти модели, получать и понимать полученные выводы. [1] Также мною изучены и использованы в работе задачи из сборников для подготовки к профильному уровню математики под редакцией Ивана Ященко 2015, 2020 и 2021 годов [4], [5], [6].

Вывод: тщательно подобранные литературные источники помогли мне приобрести новые знания в области финансовой грамотности, изучить основные финансовые термины и формулы, рассмотреть примеры решения задач с применением этих формул, и теперь я готов приступить к практической части своего исследования.

ГЛАВА 2. Основные термины и формулы

Банковский вклад – это денежные средства, размещённые в банке на определённый срок или бессрочно и под определённый процент.

Вкладчик – лицо, помещающее денежные средства на вклад, стремясь сохранить и приумножить свои накопления.

Основные характеристики банковских вкладов:

— срок вклада – это период, в течение которого деньги будут храниться на депозитном счете в банке;

— сумма вклада – это деньги, переданные банку с целью получения дохода в виде процентов, полученных в ходе финансовых операций с вкладом;

— процентная ставка – прибыль в виде процентов, которую выплачивает банк вкладчику за пользование его деньгами.

Современную жизнь нельзя представить без понятия «процент». Оно является базовым понятием финансовой математики.

Процент – это одна сотая часть какой-либо величины, числа. Обозначается процент символом «%». Одна сотая доля числа Х называется одним процентом от числа X: 1% = 0,01X.

При рассмотрении вариантов вложения средств на вклад необходимо рассчитать доход, который будет получен по окончании срока действия вклада. Для этого существуют две финансовые формулы. Рассмотрим каждую из них.

Формула простых процентов:

или (1), где

– первоначальная сумма вклада,

– сумма вклада вместе с прибылью, начисленной по процентам,

– процентная ставка по вкладу,

– количество начислений в заданный срок (кварталов, лет и др.).

Формула простых процентов применяется в том случае, если прибыль по вкладу начисляется на первоначальную сумму вклада в течение всего срока действия договора. При этом сумма накопленных процентов по вкладу прибавляется к нему только по истечении срока его действия или вообще поступает на отдельный счёт. Схема вклада выглядит так:

Формула сложных процентов:

(2), при постоянной процентной ставке

 (3), при различной процентной ставке

Формула сложных процентов применяется в том случае, если сумма начисленных процентов каждый раз поступает не на отдельный счёт, а на счёт вклада. Так, после каждого начисления процентов сумма вклада увеличивается, и в новом периоде процент начисляется на новую (увеличенную) сумму. Такой процесс называется капитализацией вклада. Схема вклада выглядит так:

Выводы:

Вклад, рассчитанный по формуле простых процентов, подходит тем, кто хочет в течение всего срока вклада снимать со счета начисленные проценты и использовать по своему усмотрению, но доходность такого вклада ниже, чем при капитализации вклада (по формуле сложных процентов);

Прибыль при капитализации вклада нельзя снять до окончания срока договора по вкладу, а в случае необходимости это сделать, банк пересчитает прибыль по меньшей процентной ставке;

Прежде чем принять решение по вложению средств по одному из двух видов вклада, нужно оценить конкретную финансовую и жизненную ситуацию, учитывая цели и сроки вклада.

ГЛАВА 3. Практическая часть

Анализ вкладов в ведущих банках России

Чтобы выбрать банк для вложения своих накоплений, я обратился за информацией к независимому интернет-холдингу BANKI.RU [8]. В разделе «Рейтинг банков» представлен рейтинг финансовых организаций по ключевым показателям деятельности, рассчитанным с использованием отчетности этих организаций и опубликованным на сайте Центрального Банка России. Самыми надежными банками оказались: ПАО Сбербанк, ПАО Банк ВТБ, АО ГазпромБанк, АО Альфа-Банк, так как они занимают четыре верхние строчки рейтинговой таблицы.

Подбирая вклад в этих банках, я учитывал следующие условия:

— минимальная сумма вклада не более 50000 рублей (т.к. у меня была именно эта сумма денег);

— срок вклада не менее 3 лет (т.к. в ближайшие три года эти деньги мне точно не понадобятся);

— без пополнения и снятия в течение всего срока вклада, чтобы можно было выбрать между снятием процентов или их капитализацией (т.к. при возможности пополнения или снятия далеко не все банки предлагают варианты вклада со снятием/капитализацией процентов).

Результаты своих расчетов я представил в виде таблицы 1 «Накопительные вклады в крупных банках России на 1 ноября 2020 г.», указав наименование банка, сумму и срок вклада, процентную ставку при снятии и капитализации процентов, полный расчет и доходность по истечении срока договора.

В графе «Расчет» верхняя строка посчитана по формуле (1) – простых процентов, а нижняя строка по формуле (2) – сложных процентов с постоянным приростом. Расчет суммы прироста производил со знаком «+», так как цель вклада в банк – сохранение и преумножение дохода, поэтому вклад уменьшиться не должен.

Таблица 1

Накопительные вклады в крупных банках России на 1 ноября 2020 г.

№ п/п	Банк	Сумма вклада, руб.	Срок, лет	Название вклада	% ставка снятие/ капита-лизация, %	Расчет формула простых %/ формула сложных %, руб.	Доход, в руб.
	ПАО Сбербанк	50 тысяч	3	«Сохраняй Онлайн»	2,8	50000 (1+0,028 3)=54200	4200
2,8	50000 (1+0,028)3=54318	4318
	ПАО Банк ВТБ	Накопительный счет «Копилка»	4,1	50000 (1+0,041 3)=56150	6150
4,1	50000 (1+0,041)3=56405	6405
	АО Газпром- Банк	«Газпромбанк – на жизнь»	3,4	50000 (1+0,034 3)=55100	5100
3,57	50000 (1+0,0357)3=55548	5548
	АО Альфа- Банк	«Накопительный Альфа-Счет»	4,0	50000 (1+0,04 3)=56000	6000
4,24	50000 (1+0,0424)3=56633	6633

Вывод: наиболее доходным является вклад «Накопительный Альфа‑Счет» в Альфа-Банке под процентную годовую ставку 4,24% сроком на 3 года с капитализацией процентов. Он оказался самым подходящим для меня, так как до окончания школы и поступления в ВУЗ у меня есть более трех лет, а я нахожусь на полном обеспечении своих родителей, так что эти деньги в ближайшее время мне не понадобятся. Кроме того я выяснил, что закрыть этот счет самостоятельно я могу только после того, как мне исполнится 18 лет, а это значит, что, чтобы не терять проценты, вклад можно открыть сразу на 4 года.

Применение формул простых и сложных процентов

при решении задач экономического содержания

Я решил сам придумать задачу с экономическим содержанием и решить ее при помощи формулы сложных процентов (2).

Авторская задача

Первый банк в России был открыт 13 мая 1754 года в Петербурге по Указу императрицы Елизаветы Петровны. Представим, что бедный крестьянин положил под 10% годовых с капитализацией вклада 1 копейку (медную денгу). Рассчитайте, сколько бы денег было у него на счету 13 мая 2020 года.

Средняя стоимость операции для ребёнка с врождённым пороком сердца в России составляет 200000 рублей. Скольким детям можно провести такую операцию на накопленные крестьянином деньги?

Решение:

Дано: S₀ = 0,01 руб, i= 10% = 0,1, n = 2020 – 1754 = 266 (лет)

Найти: S

— формула сложных процентов при постоянном приросте.

1). Найдем, какая сумма будет у крестьянина на счету через 266 лет:

≈ 1024363870(руб.)

2). Найдем, скольким детям можно провести операцию:

Ответ: 1024363870 рублей, 5121 ребёнку.

Примечание: в 266-ую степень я возвел с помощью калькулятора, так как тема логарифмов изучается в старших классах. Ведь моей целью было понять – применима ли эта формула в математике при решении задач экономического содержания.

Разобрав большое количество задач на проценты, проанализировав приемы и пути их решения, я заметил общую закономерность и составил для себя алгоритм решения таких задач, которую успешно стал применять.

А лгоритм решения задач экономического содержания

На практике этот алгоритм я применяю так.

Задача 1 (Ю.В. Лепехин, 1996 г., № 785) [2]

Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34%, причем 20% рабочих увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха?

Решение: 1. Представляю краткую запись в виде таблицы с применением формулы (1) простых процентов, так как действие происходит однократно:

	Количество рабочих	Производительность каждого	Производительность общая
1 группа	0,2х	у(1+0,5)	0,2х 1,5у
2 группа	0,8х	у(1+0,01 )	0,8ху(1+0,01 )
Всего	х	у	ху(1 0,34)

2. Записываю уравнение и выражаю неизвестное – i,решаю его:

0,3ху+0,8ху(1+0,01 )=1,34ху | ÷ ху

0,3+0,8+0,008=1,34

0,008 =0,24

=30

Ответ: остальные рабочие увеличили выпуск продукции на 30%.

Надо заметить, что часто в задаче приходится применять сразу несколько формул. Чтобы понять, какие именно, задачу надо разбить на части, а потом к каждой части задать вопросы из данного алгоритма. Умело скомбинированные формулы помогают красиво выстроить решение задачи, а вычисления становятся простыми и понятными.

Задача 2 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2020, стр. 158) [5]

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 11% в первый год и на одинаковое целое число i процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение i, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение: 1. Представляю краткую запись в виде таблицы:

	S0	n	i1	i2	i3
Вклад «А»	S0	3	20%
Вклад «Б»	S0	3	11%	i %

2. Записываю сумму вклада через 3 года для вклада «А» и вклада «Б»:

Вклад «А»: — по формуле (2) при постоянном приросте

Вклад «Б»: — комбинацияформул (2) и (3) при постоянном и различном приросте

3. Составляю неравенство и решаю его:

Ответ: вклад «Б» выгоднее вклада «А» приi= 25%.

Задача 3 (Ю.В. Лепехин, 1996 г., № 786) [2]

Цену товара сначала повысили на 50%, потом еще повысили на после чего цену снизили на 50% и, наконец, повысили на 25%. В результате установилась цена 255 рублей. Чему равна первоначальная цена товара?

Решение: 1.Записываю условие задачи:

Дано: S = 255 руб. n = 4, i₁= 50% = 0,5 i₂= 6,25% = 0,0625

i₃= 50% = 0,5i₄= 25% = 0,25

Найти: S₀

Примечание: если в задаче говорится о повышении процентов (производительности труда, концентрации раствора, стоимости товара, ставки по вкладу или кредиту), то внутри скобки в формуле ставится «+», а, если о снижении, то ставится «–».

2. Применив формулу (3) сложных процентов с различным приростом, записываю уравнение, выражаю S₀и произвожу вычисления:

S₀(1 + 0,5)(1 + 0,0625)(1 – 0,5)(1 + 0,25) = 255

1,5 1,06250,5 1,25S₀= 255

S₀ = 256

Ответ: первоначальная стоимость товара составляла 256 рублей.

Задача 4 (Гущин Д.Д., 2016 г., стр. 32, № 7) [1]

Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 3 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810000 рублей?

Решение:

1.Записываю условие задачи:

Дано: i= 20% = 0,2 S_пл= 810000 руб. Найти: S₀= х

Найти: S₀

Представляю краткую запись в виде таблицы с применением формулы (1) простых процентов, так как остаток долга на конец каждого года буду считать отдельно:

	Долг после начисления %, руб.	Сумма платежа (S0), руб.	Долг после внесения платежа, руб.
1 год	1,2х	S0	1,2х — Sпл
2 год	1,2(1,2х — Sпл)	1,2² х — 1,2Sпл — Sпл
3 год	1,2(1,2² х — 1,2Sпл — Sпл)	1,23х — 1,2²Sпл — 1,2Sпл — Sпл

2. Так как долг после внесения третьего платежа полностью погашен, то можно составить уравнение:

1,2³х — 1,2²S_пл — 1,2S_пл — S_пл = 0

1,2³х — S_пл(1,2² + 1,2 + 1) = 0

1,2³х = S_пл(1,2² + 1,2 + 1)

х =

х =

х = 1706250

Ответ: банк может предоставить кредит в размере 1706250 рублей.

В Приложении 1 к исследовательской работе мною подобраны тренировочные задания для отработки приемов решения задач на проценты: от простых к более сложным. При их выполнении очень хорошо помогает данный алгоритм.

Вывод: использование алгоритма решения задач экономического содержания с применением финансовых формул простых и сложных процентов позволяет мне лучше понять текст задачи, упрощает ее решение, так как не приходится выполнять сложных вычислений, а значит, существенно сокращается время на выполнение задания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя общий итог своей работы, я пришел к выводу, что моя гипотеза подтвердилась полностью: используя формулы простых и сложных процентов, можно решать задачи экономического содержания легко и просто!

Свое исследование по данной теме я проводил более девяти месяцев, за это время мне удалось не только повысить уровень своих знаний в области финансовой грамотности, но и заложить предпосылки для успешной сдачи ЕГЭ по математике в будущем, научившись решать самые сложные экономические задачи. В этом и заключается практическая значимость моей работы.

Созданный мной алгоритм я продемонстрировал учащимся нашей школы, ребята заинтересовались им. Поэтому у меня появилась идея записать видеоразборы нескольких задач на проценты из сборников для подготовки к ЕГЭ в качестве дополнительной помощи и для лучшего понимании решения задач экономического содержания с помощью «волшебных» финансовых формул. Познакомиться с ними можно на моем YouTube-канале, пройдя по одной из этих ссылок:

Ну и, конечно, я хочу выразить благодарность тем людям, которые эти формулы придумали, несмотря на то, что мне не удалось узнать их имен.

Источники информации:

1. Гущин Д.Д. Встречи с финансовой математикой. Учебно-методическая разработка. – С-П: Издательский дом «Учительская газета» — 2016, 34 с.

2. Лепехин Ю. В. Почти просто! Задачи по алгебре и началам анализа. — Волгоград: Перемена. — 1996 г.

3. Липсиц И.В., Рязанова О.И. Финансовая грамотность. Материалы для учащихся. 8-9 классы. Серия: Учимся разумному финансовому поведению. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2016 г. – 352 с.

4. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ. 4000 задач с ответами по математике. Базовый и профильный уровни. Все задания. «Закрытый сегмент». – М.: «Экзамен», 2015 г. – 688 с.

5. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Серия «ЕГЭ. 50 вариантов. Тесты от разработчиков». – М.: «Экзамен», МЦНМО, 2020 г. – 231 с.

6. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ 2021. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Серия «ЕГЭ. 50 вариантов. Тесты от разработчиков». – М.: «Экзамен», МЦНМО, 2021 г. – 231 с.

7. Хамидуллин Р.Я. Финансовая математика. Учебное пособие. – М.: Издательский дом, 2019 г. – 220 с.

8. Независимый интернет-холдинг BANKI.RU – Режим доступа: https://www.banki.ru/banks/ratings/

9. Образовательный интернет-ресурс «ЯКласс» — Режим доступа: https://dnevnik.ru/ad/promo/yaklass?utm_source=dnevnik&utm_medium=appcentet&utm_content=appcenter#%2Fp%2Fosnovy-finansovoj-gramotnosti%2F7-9-klass

Приложение 1

Задача 1 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2015, стр. 19) [4]

Цена на электрический чайник была повышена на 19% и составила 1785 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Подсказка: (известно S и i, найти S₀, применяем формулу (1))

Ответ: 1500 рублей.

Задача 2 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2015, стр. 24) [4]

Пирожок в кулинарии стоит 12 рублей. При покупке более 30 пирожков продавец делает скидку 5% от стоимости всей покупки. Покупатель купил 40 пирожков. Сколько рублей он заплатил за покупку?

Подсказка: (известно S₀ и i, найти S, применяем формулу (1))

Ответ: 456 рублей.

Задача 3 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2015, стр. 20) [4]

Клиент взял в банке кредит 24000 рублей на год под 9% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Подсказка: (известно S₀ и i, найти сначала S, применяем формулу (1))

Ответ: 2180 рублей.

Задача 4 (ЯКласс, олимпиада по фин. грамотности, 8 класс, 2 тур) [9]

Плата за квартиру, в которой проживает семья Саши на протяжении двух лет, повышалась на один и тот же процент. Определи, на какой процент повышалась стоимость квартплаты каждый год, если её первоначальная величина равнялась 4000 рублей, а через 2 года уже составила 4840 рублей.

Подсказка: (известно S₀, S и n, найти i, применяем формулу (2))

Ответ: на 10 процентов.

Задача 5 (ЯКласс, олимпиада по фин. грамотности, 8 класс, 2 тур) [9]

Сашин папа купил новую машину за 489700 руб. Предположим, машина будет обесцениваться (амортизироваться) на 18% в год. Определи в таком случае стоимость автомобиля спустя 6 лет. Ответ округлите до целого числа.

Подсказка: (известно S₀, iи n, найтиS, применяем формулу (2))

Ответ: 148872 рубля.

Задача 6 (Гущин Д.Д., 2016 г., стр. 29, № 11) [1]

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля.

Подсказка: (известно S₀, S и n, найти i, применяем формулу (2))

Ответ: на 11 процентов.

Задача 7 (Ю.В. Лепехин, 1996 г., № 822) [2]

Цена товара повысилась на р%, затем снизилась на 50%, потом повысилась в 2 раза и, наконец, снизилась на р%. В результате цена составила 93,75% начальной стоимости. Чему равен р?

Подсказка: (известно S₀, S и n, найти i, применяем формулу (3))

Ответ: 25 процентов.

Задача 8 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2021, стр. 32) [6]

31 декабря 2016 года Сергей взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Подсказка: (известно S_0, i и n, найти S_{платежа}, рассчитываем для каждого года отдельно и последовательно, применяя формулу (1))

Ответ: 1064800 рублей.

Задача 9 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2021, стр. 147) [6]

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 9% в первый год и на одинаковое целое число i процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее целое значение i, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Подсказка: (известно S₀и n, S_1<S₂, найти i, для вклада «А» применяем формулу (2), для вклада «Б» комбинируем формулу (2) и (3), составляем неравенство и выражаемi)

Ответ: 12 процентов.

Задача 10(Гущин Д.Д., 2016 г., стр. 32, № 7) [1]

Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 5 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810000 рублей? Ответ округлите до целого числа (в меньшую сторону).

Подсказка: (известноS_{платежа}, i и n, найти S₀, рассчитываем для каждого года отдельно и последовательно, применяя формулу (1))

Ответ: 2422395 рублей.

Просмотров работы: 593

Задача с экономическим содержанием – одно из самых сложных заданий в профильном ЕГЭ, поэтому за него можно получить максимальные три балла.

Понимание, как решить экономическую задачу, поможет и в реальной жизни, так как взрослый современный человек сталкивается с этими понятиями повсеместно.

Давайте разберем на примерах, как же решаются задачи на вклады и кредиты.

1. Как решать задачи на вклады: полный разбор
2. Примеры решения задач на вклады: от простого к сложному
3. Как решать задачи по кредитам: подробная инструкция
4. Примеры решения задач по кредитам с равными (аннуитетными) платежами

Как решать задачи на вклады: полный разбор

Итак, для начала давайте разберемся, что такое вклады и зачем они нужны. Предположим, что вы хотите приобрести автомобиль за 1 000 000 рублей. При этом вы зарабатываете 40 000 рублей в месяц или 480 000 в год. От своего годового дохода вы будете откладывать на покупку машины – 200 000 рублей, а остальные 280 000 рублей вам понадобятся для покупки еды, одежды, оплаты коммунальных услуг. Несложно посчитать, что накопить 1 000 000 рублей вам удастся через 5 лет.

А теперь давайте посмотрим, что будет, если мы будем копить деньги не самостоятельно, а отнесем их в банк и сделаем вклад.

За первый год мы накопили 200 000 рублей (обозначим сумму вклада как S), отнесли их в банк и положили на вклад под 10% годовых. Тогда в конце второго года мы получим нашу сумму, увеличенную на 10%, плюс за второй год мы накопили еще 200 000 рублей и добавили их к нашему вкладу:

200 000 * 1,2 + 200 000

На третий год вся эта сумма снова увеличилась на 10%, плюс мы накопили еще 200 000 рублей и добавили их к нашему вкладу:

(200 000 * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000

На четвертый год вся эта сумма снова увеличилась на 10%, плюс мы накопили еще 200 000 рублей и добавили их к нашему вкладу:

((200 000 * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000 = (440 000 * 1,2 + 200 000) * 1,2 + 200 000= 728 000 * 1,2 + 200 000 = 1 073 600

Для удобства и наглядности сведем проведенные расчеты в таблицу:Таким образом, необходимую нам сумму для покупки машины — 1 000 000 рублей, благодаря вкладу мы смогли накопить не за 5 лет, а за 4 года, что очень нас радует.

В нашем примере проценты начислялись каждый год как на первоначально вложенную сумму 200 000 рублей, так как и на проценты, которые начислялись каждый год. Это называется капитализация процентов.

Формула, по которой вычисляется итоговая сумма вклада с учетом капитализации процентов, называется формулой сложных процентов и выглядит следующим образом:

Примеры решения задач на вклады

Задача 1

В банк внесли вклад 600 000 рублей под 10% годовых с капитализацией процентов. Какую сумму получит вкладчик через год? Через 5 лет?

Решение:

1. Через год вкладчик получит сумму, увеличенную на 10%:

600 000 * 1,1 = 660 000 рублей

2. Чтобы рассчитать сумму, которую получит вкладчик через 5 лет, то воспользуемся формулой сложных процентов:

600 000 * (1 + 0,1)⁵ = 600 000 * 1,1⁵ = 600 000 * 1,61051 = 966 306

Или составим таблицу:

Ответ: через год вкладчик получит 660 000 рублей;  через пять лет вкладчик получит 966 306 рублей.

Задача 2

Вкладчик внес одинаковую сумму в два банка. Процентная ставка первого банка – 9%, второго банка – 10%, по обоим вкладам проценты начисляются в конце года и капитализируются.   По истечении двух лет второй банк уменьшил процентную ставку до у%. По истечении еще одного года вкладчик закрыл оба вклада и обнаружил, что сумма, полученная в первом банке меньше. Найдите наименьшее целое значение у, при котором это возможно.

Решение: Составим таблицу для вычисления суммы вклада по годам, при этом первоначальный взнос обозначим как х:Из условий задачи известно, что итоговая сумма, полученная вкладчиком в первом  банке, меньше, чем во втором, следовательно:

1,295х < 1,21х + 0,0121ух

Делим обе части неравенства на х:

1,295 < 1,21 + 0,0121у

Решаем простейшее неравенство:

0,085 < 0,0121у

7, 024 < у

у > 7,024

Следовательно, наименьшее целое значение у, при котором вкладчик получит во втором банке сумму больше, чем в первом, равно 8.

Ответ: у = 8

Как решать задачи по кредитам: подробная инструкция

Давайте вернемся к ситуации, которую мы разбирали вначале. Вы хотите приобрести автомобиль только теперь стоимостью 100 000 рублей, при этом получаете зарплату 40 000 рублей в месяц. Но при этом ждать и копить вы не хотите, а хотите получить машину прямо сейчас. Как это можно сделать? Верно, взять кредит. Банк предоставляет вам кредит суммой 100 000 рублей под 30% годовых на 3 месяца. Так как 30% — это процентная ставка в год, то процентная ставка в месяц будет равна 30/12 или 2,5%.

Каждый месяц необходимо оплачивать ежемесячный платеж — х, поэтому получим, что каждый месяц наша первоначальная сумма кредита увеличивается на сумму процентов и уменьшается на ежемесячный платеж:

100 000 * 1,025 – х

В следующем месяце необходимо взять сумму, получившуюся за предыдущий месяц, и проделать то же самое:

(100 000 * 1,025 – х) * 1,025 – х

И в третьем месяце то же:

((100 000 * 1,025 – х) * 1,025 – х) * 1,025 – х

И через три месяца мы расплачиваемся с банком, т.е. наш долг становится равным 0.

((100 000 * 1,025 – х) * 1,025 – х) * 1,025 – х = 0

Если мы раскроем скобки, то получим:

((102 500 – х) * 1,025 – х) * 1,025 – х = 0

(104 755 — 1,025х — х) * 1,025 – х = 0

107 373,9 — 1,025²х — 1,025х – х = 0

107 373,9 – х (1,025² + 1,025 + 1) = 0

107 373,9 = х (1,025² + 1,025 + 1)

Перепишем сумму в скобках в порядке возрастания степеней:

107 373,9 = х (1 + 1,025 + 1,025²)

Сумма в скобках – это сумма трех членов геометрической прогрессии. Вспоминаем формулу суммы геометрической прогрессии:В нашем случае b₁ = 1, а q = 1,025

Применим формулу суммы геометрической прогрессии и тогда получим:

S₃ = 1 * (1,025³ – 1) / 1,025 -1

И подставим эту формулу в наше выражение:

107 373,9 = х (1 * (1,025³ – 1) / 1,025 -1)

107 373,9 = х (0,077/0,025)

107 373,9 = 3,08х

х = 34 861,65 – сумма ежемесячного платежа по нашему кредиту.

Но для нас самое ценное из данного решения — формула, полученная в результате вычислений:

S * %ⁿ = X * (%ⁿ – 1) / % — 1

где S – это первоначальная сумма кредита,

% — это процентная ставка (не забываем перевести ее в дробь и прибавить единицу)

X – ежемесячный платеж

n – количество платежных периодов

 Равные (аннуитетные) платежи

Мы рассмотрели ситуацию, когда мы выплачиваем сумму кредита с начисленными по нему процентами равными платежами. Такой способ погашения кредита называют аннуитетным.

Еще раз подчеркнем, что при аннуитетном способе погашения кредита, кредит выплачивается равными платежами.

Примеры решения задач по кредитам с равными (аннуитетными) платежами

Задача 1

10 января 2014 года клиент взял в банке кредит суммой 1 100 000 рублей. Процентная ставка по кредиту составила 20% годовых. 10 января каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк платеж в Х рублей. Клиент должен выплатить долг двумя равными платежами. Какой должна быть сумма Х?

Решение:

По условиям задачи клиент должен выплатить кредит двумя равными платежами. Следовательно, здесь используется аннуитетный способ погашения кредита.

10 января 2015 года сумма кредита составила: (1 100 000 * 1,2 – Х)

10 января 2016 года сумма кредита составила: (1 100 000 * 1,2 – Х) * 1,2

В 2016 году сумма долга и сумма платежа равны, следовательно, мы можем приравнять:

(1 100 000 * 1,2 – Х) * 1,2 = Х

1 584 000 – 1,2Х = Х

2,2Х = 1 584 000

Х = 720 000

Таким образом, сумма каждого платежа должна быть равна 720 00 рублей.

Ответ: 720 000 рублей

А теперь давайте разберем, как можно решить эту же задачу с помощью формулы, которую мы вывели выше:

S * %n = X * (%n – 1) / % — 1

Из условий задачи в эту формулу мы можем подставить следующие значения: первоначальную сумму кредита S = 1 100 000, процентную ставку % = 1,2. Нам известно, что кредит был выплачен двумя платежами, т.е. за два периода, соответственно n = 2. Подставляем все известные значения в формулу и находим платеж по кредиту – Х:

1 100 000 * 1,22 = Х * (1,22 — 1) / 1,2 – 1

1 584 000 = Х * (1,44 – 1) / 0,2

1 584 000 = 2,2Х

Х = 720 000

Таким образом, сумма каждого платежа должна быть равна 720 00 рублей.

Ответ: 720 000 рублей

Задача 2

31 января 2012 года клиент взял в банке кредит под 20% годовых. По условиям договора кредит выплачивается следующим образом: 31 января каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк 3 200 800 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

Решение:

Сразу воспользуемся нашей формулой:

S * %n = X * (%n – 1) / % — 1

Нам известен платеж по кредиту Х = 3 200 800 рублей, процентная ставка, которую мы сразу переводим в дробь, % = 1,2, период n = 2, т.к. известно, что клиент выплатил кредит двумя равными платежами. Подставляем все известные значения в формулу и находим сумму кредита S:

S * 1,22 = 3 150 000 * (1,22 – 1) / 1,2 – 1

1,44S = 3 150 000 * 0,44 / 0,2

1,44S = 6 930 000

S = 4 812 500

Таким образом, первоначальная сумма кредита, которую взял клиент, равна 4 812 500 рублей.

Ответ: 4 812 500 рублей.

Дифференцированные платежи

Существует еще один способ погашения кредита – дифференцированный (или регрессивный) способ. При выплате кредита этим способом ежемесячные платежи уменьшаются каждый месяц.

При использовании этого способа платеж состоит из двух частей – фиксированная часть (часть основного долга по кредиту) и проценты.  Сумма процентов каждый месяц уменьшается, так как уменьшается остаток основного долга, на который они начисляются. В связи с этим уменьшается и ежемесячный платеж.

Изучить теоретический материал по решению задач, содержащим дифференцированный способ погашения кредита, а также примеры решения таких задач вы можете 

Итак, мы разобрали, как решить экономическую задачу, которая может принести вам дополнительных 3 балла на ЕГЭ.

---

Подходы к решению задач про вклады и кредиты