Формулы для экзамена по электротехнике

Формулы, примеры решения задач: ТОЭ | Электрические машины | Высшая математика | Теоретическая механика

Электрический ток, плотность тока, электрическое напряжение, энергия при протекании тока, мощность электрического тока
• Электрический ток
  Электрический ток — это явление упорядоченного движения электрических зарядов. За направление электрического тока принимается направление движения положительных зарядов.
  
  Формула электрического тока:
  
  Электрический ток измеряется в амперах. СИ: А.
  Электрический ток обозначается латинскими буквами i или I. Символом i(t) обозначается «мгновенное» значение тока, т.е. ток произвольного вида в любой момент времени. В частном случае он может быть постоянным или переменным.
  
  Прописной латинской буквой I обозначается, как правило, постоянное значение тока.
  В любом участке неразветвленной электрической цепи протекает одинаковый по величине ток, который прямо пропорционален напряжению на концах участка и обратно пропорционален его сопротивлению. Величина тока определяется по закону Ома:
  1) для цепи постоянного тока
  2) для цепи переменного тока ,
  где U — напряжение, В;
  R — омическое сопротивление, Ом;
  Z — полное сопротивление, Ом.
  Омическое сопротивление проводника:
  ,
  где l — длина проводника, м;
  s — поперечное сечение, мм²;
  ρ — удельное сопротивление, (Ом · мм²) / м.
  Зависимость омического сопротивления от температуры:
  R_t = R₂₀ [1 + α(t — 20°)],
  где R₂₀ — сопротивление при 20°C, Ом;
  R_t — сопротивление при t°C, Ом;
  α — температурный коэффициент сопротивления.
  Полное сопротивление цепи переменного тока:
  ,
  где — активное сопротивление, Ом;
  — индуктивное сопротивление, Ом;
  — индуктивность, Гн;
  — емкостное сопротивление, Ом;
  — ёмкость, Ф.
  Активное сопротивление больше омического сопротивления R:
  ,
  где — коэффициент, учитывающий увеличение сопротивления при переменном токе, зависящий от: частоты тока; магнитных свойств, проводимости и диаметра проводника.
  При промышленной частоте, для нестальных проводников, принимают и считают .
• Плотность тока
  Плотность тока (j) — это сила тока, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения (s)
  .
  Для равномерного распределения плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, формула плотности тока принимает вид:
  ,
  где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью s.
  СИ: А/м²
• Электрическое напряжение
  При протекании тока, как и при всяком перемещении зарядов, происходит процесс преобразования энергии. Электрическое напряжение — количество энергии, которое необходимо затратить на перемещение единицы заряда из одной точки в другую.
  Формула электрического напряжения:
  
  Электрическое напряжение обозначается латинской буквой u. Символом u(t) обозначается «мгновенное» значение напряжения, а прописной латинской буквой U обозначается, как правило, постоянное напряжение.
  Электрическое напряжение измеряется в вольтах. СИ: В.
• Энергия при протекании электрического тока
  Формула энергии, при протекании электрического тока:
  
  СИ: Дж
• Мощность при протекании электрического тока
  Формула мощности, при протекании электрического тока:
  
  СИ: Вт.

Электрическая цепь
• Электрическая цепь — это совокупность устройств, предназначенных для протекания по ним электрического тока.
  Эти устройства называются элементами цепи.
• Источники электрической энергии — устройства, преобразующие различные виды энергии, например механическую или химическую, в энергию электрического тока.
• Идеальный источник напряжения — источник, напряжение на зажимах которого не зависит от величины протекающего через него тока.
  
  Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения можно условно принять равным нулю.
• Идеальный источник тока — источник, величина протекающего тока через который не зависит от напряжения на его зажимах.
  
  Внутреннее сопротивление такого источника можно условно принять равным бесконечности.
• Приемник — это устройство, потребляющее энергию или преобразующее электрическую энергию в другие виды энергии.
• Двухполюсник — это цепь, имеющая два зажима для подключения (полюса).
• Идеальный R-элемент (резистивный элемент, резистор) — это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.
  Основной параметр резистора — это его сопротивление.
  
  Сопротивление измеряется в омах. СИ: Ом
  Проводимость — это обратная величина по отношению к сопротивлению.
  .
  Измеряется проводимость в сименсах. СИ: См.
  Формула мощности R-элемента:
  .
  Формула энергии R-элемента:
  .
• Идеальный С-элемент (емкостной элемент, или конденсатор) — это такой пассивный элемент цепи, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию электрического поля и наоборот. В идеальном C-элементе потери энергии отсутствуют.
  Формула ёмкости:
  . Примеры: задача 1, задача 2.
  Ток в ёмкости:
  
  Напряжения на ёмкости:
  .
  Закон коммутации для емкостного элемента. При токе конечной амплитуды заряд на C-элементе не может измениться скачком: .
  .
  При неизменной ёмкости, напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком: .
  Мощность C-элемента: .
  При p > 0 — энергия запасается, при p < 0 — энергия возвращается в источник.
  Энергия C-элемента:
  , или
  .
  Если к моменту времени , энергия равна 0, то
  
  Емкость измеряется в фарадах. СИ: Ф.
• Идеальный L-элемент (индуктивный элемент или катушка индуктивности) — это такой пассивный элемент цени, в котором происходит процесс преобразования энергии электрического тока в энергию магнитного поля и наоборот. В идеальном L-элементе потери энергии отсутствуют.
  Для линейного L-элемента формула индуктивности (L) имеет вид:
  ,
  где — потокосцепление.
  Индуктивность обозначается буквой и играет роль коэффициента пропорциональности между потоком и током .
  Напряжение на индуктивном элементе:
  .
  Ток в индуктивном элементе:
  .
  Закон коммутации для индуктивного элемента. При напряжении конечной амплитуды, потокосцепление не может измениться скачком: .
  .
  При неизменной индуктивности ток в индуктивном элементе не может измениться скачком: .
  Мощность L-элемента: .
  При p > 0 — энергия запасается, при p < 0 — энергия возвращается в источник.
  Энергия L-элемента:
  , или
  .
  Если к моменту времени , энергия равна 0, то
  
  Индуктивность измеряется в генри. СИ: Гн
  Пример: задача 3.
• R, L, C — основные пассивные двухполюсные элементы электрических цепей.
  

Основные законы электрических цепей
• Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС.
  Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке.
  
  Применительно к данному рисунку, математическое выражение закона Ома имеет вид:
  , или
  Формулируется это равенство так: при неизменном сопротивлении проводника напряжение на нем пропорционально току в проводнике.
• Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС
  Для схемы
  
  .
  Для схемы
  
  .
  В общем случае
  .
• Закон Джоуля-Ленца. Энергия, выделяемая на сопротивлении R при протекании по нему тока I, пропорциональна произведению квадрата силы тока и величины сопротивления:
  
• Законы Кирхгофа.
  Топология (строение) цепи.
  Электрическая схема — графическое изображение электрической цепи.
  Ветвь ‐ участок цепи, содержащий один или несколько последовательно соединенных элементов и заключенный между двумя узлами.
  Узел ‐ точка цепи, где сходится не менее трех ветвей. Узлы нумеруют произвольно, как правило, арабской цифрой. На схеме узел может быть обозначен точкой, а может и не быть обозначен. Как правило, не обозначают те узлы, расположение которых очевидно (т‐образные соединения). Если пересекающиеся ветви образуют узел, то он обозначается точкой. Если в месте пересечения ветвей точки нет, то и узла нет (провода лежат друг на друге).
  Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Контуры независимы, если отличаются хотя бы одной ветвью. Контура обозначают стрелкой с указанным направлением обхода и римской цифрой. Направление обхода выбирают произвольно. Независимых контуров в схеме может быть много, при этом не все эти контура необходимы для составления достаточного для решения задачи количества уравнений.
  Первый закон Кирхгофа:
  
  1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю:
  ;
  
  2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла токов:
  . Пример 1. Первый закон Кирхгофа.
  Второй закон Кирхгофа:
  1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:
  
  2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:
  . Пример 2. Второй закон Кирхгофа.
• Матричная форма записи уравнений Кирхгофа:
  ,
  где А, В — квадратные матрицы коэффициентов при токах и напряжениях порядка p х p (p — число ветвей схемы; q — число узлов схемы);
  I, E — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС
  Элементами матрицы А являются коэффициенты при токах в левой части уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Первые строки матрицы А содержат коэффициенты при токах в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, и имеют элементы +1, -1, 0 в зависимости от того, с каким знаком входит данный ток в уравнение.
  Элементы следующих строк матрицы А равны значениям сопротивлении при соответствующих токах в уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, с соответствующим знаком. Элементы матрицы В равны коэффициентам при ЭДС в правой части уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Первые строки матрицы имеют нулевые элементы, так как ЭДС в правой части уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, отсутствуют. Остальные строки содержат элементы +1, -1 в зависимости от того, с каким знаком входит ЭДС в уравнение, и 0, если ЭДС в уравнения не входит.
  Общее решение уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
  ,
  где — матрица проводимостей.
  .
  Токи в каждой ветви:
  ;
  ;
  
  .

Режимы работы электрических цепей
• Номинальный режим работы элемента электрической цепи — это режим, при котором он работает с номинальными параметрами.
• Согласованный режим — это режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, имеет максимальное значение. Такое значение получается при определенном соотношении (согласовании) параметров электрической цепи.
• Режим холостого хода — это такой режим, при котором через источник или приемник не протекает электрический ток. При этом источник не отдает энергию во внешнюю часть цепи, а приемник не потребляет ее. Для двигателя это будет режим без механической нагрузки навалу.
• Режим короткого замыкания — это режим, возникающий при соединении между собой разноименных зажимов источника или пассивного элемента, а также участка электрической цепи, находящегося под напряжением.

Электрические цепи постоянного тока
• Если ток постоянный, то отсутствует явление самоиндукции и напряжение на катушке индуктивности равно нулю:
  , так как
• Постоянный ток через емкость не проходит.
• Простая цепь постоянного тока — это цепь с одним источником при последовательном, параллельном или смешанном соединение приемников.
  
  При последовательном соединении приемников:
  I×R_экв;
  R_экв=ΣR_i.
  При параллельном соединении приемников напряжение на всех приемниках одинаково.
  По закону Ома токи в каждой ветви:
  .
  По первому закону Кирхгофа общий ток:
  E×G_экв;
  G_экв=G₁+G₂+…+G_n; R_экв=1/G_экв.
  При смешанном соединении:
  R_экв=.
• Метод контурных токов.
  Метод основан на применении второго закона Кирхгофа и позволяет сократить при расчете сложных систем число решаемых уравнений.
  Во взаимно независимых контурах, где для каждого контура хотя бы одна ветвь входит только в этот контур, рассматривают условные контурные токи во всех ветвях контура.
  Контурные токи, в отличие от токов ветвей, имеют следующие индексы: или
  Уравнения составляют по второму закону Кирхгофа для контурных токов.
  Токи ветвей выражают через контурные токи по первому закону Кирхгофа.
  Число выбираемых контуров и число решаемых уравнений равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: .
  Сумма сопротивлений всех резистивных элементов каждого контура со знаком плюс является коэффициентом при токе контура, имеет следующие индексы: или
  Знак коэффициента при токе смежных контуров зависит от совпадения или несовпадения направления смежных контурных токов. ЭДС входят в уравнение со знаком плюс, если направления ЭДС и направление тока контура совпадают. Пример 3. Метод контурных токов.
• Метод узловых потенциалов.
  Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и позволяет сократить число решаемых уравнений при нахождении неизвестных токов до . При составлении уравнений потенциал одного из узлов схемы принимают равным нулю, а токи ветвей выражают через неизвестные потенциалы остальных узлов схемы и для них записывают уравнения по первому закону Кирхгофа. Решение системы уравнений позволяет определить неизвестные потенциалы, а через них найти токи ветвей.
  При следует отдавать предпочтение методу узловых потенциалов.
• Формула двух узлов:
  .
  Пример 4. Метод узловых потенциалов.
• Метод пропорциональных величии.
  Метод применяют для нахождения неизвестных токов при цепочечном соединении резистивных элементов в электрических цепях с одним источником. Токи и напряжения, а также и известную ЭДС цепи выражают через ток самой удаленной от источника ветви. Задача сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным.
• Баланс мощностей
  На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии:
  .
  — сумма мощностей, развиваемых источниками;
  — сумма мощностей всех приемников и необратимых преобразований энергии внутри источников.
  Баланс мощностей составляют, чтобы проверить правильность найденного решения. При этом сравнивают мощность, внесенную в цепь источниками энергии с мощностью, затрачиваемой потребителями.
  Формула мощности для одного резистора:
  
  Суммарная мощность потребителей:
  P_П=
  Мощность источников:
  P_ист = P_E + P_J,
  где P_E = ±EI — мощность источника ЭДС (определятся умножением его ЭДС на ток, протекающий в данной ветви. Ток берут со знаком, полученным в результате расчета. Минус перед произведением ставят, если направление тока и ЭДС не совпадают на схеме);
  P_J = JU_J — мощность источника тока (определятся умножением тока источника на падение напряжения на нем).
  Для определения U_J выбирают любой контур, который включал бы в себя источник тока. Обозначают падение U_J на схеме против тока источника, и записывают контурное уравнение. Все величины, кроме U_J, в данном уравнении уже известны, что позволяет рассчитать падение напряжения U_J.
  Сравнение мощностей: P_ист = P_П. Если равенство соблюдено, значит, баланс сошелся и расчет токов верен.
• Алгоритм расчета цепи по законам Кирхгофа
  Топология цепи.
  • Определяем общее число ветвей p*.
  • Определяем число ветвей с источниками тока p_ит. Токи в данных ветвях считаем известными и равными токам источников.
  • Определяем число ветвей с неизвестными токами: p*‐p_ит
  • Находим количество узлов q.
  • Находим число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа: .
  • Находим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: .
  1. Произвольно наносим на схему номера и направления неизвестных токов.
  2. Произвольно наносим на схему номера узлов.
  3. Составляем узловые уравнения для произвольно выбранных узлов (по первому закону).
  4. Обозначаем на схеме контура и выбираем направления их обхода.
  5. Количество обозначаемых контуров равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. При этом ни один из контуров не должен включать в себя ветвь с источником тока.
  6. Составляем контурные уравнения для выбранных контуров (по второму закону).
  7. Объединяем составленные уравнения в систему. Известные величины переносим в правую часть уравнений. Коэффициенты при искомых токах вносим в матрицу А (левые части уравнений)(о матрицах читаем здесь). Заполняем матрицу F, занося в нее правые части уравнений.
  8. Решаем полученную систему уравнений (примеры решения систем уравнений).
  9. Проверяем правильность решения составлением баланса мощностей.
     Пример: задача 4.

Электрические цепи переменного тока
• Электрическая цепь синусоидального тока — это электрическая цепь, в которой ЭДС, напряжения и и токи, изменяющиеся по синусоидальному закону:
  
• Переменный ток — это ток, периодически меняющийся по величине и направлению и характеризующийся амплитудой, периодом, частотой и фазой.
• Амплитуда переменного тока — это наибольшее значение, положительное или отрицательное, принимаемое переменным током.
• Период — это время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.
• Частота — это величина, обратная периоду.
• Фаза — это угол или , стоящий под знаком синуса. Фаза характеризует состояние переменного тока с течением времени. При t=0 фаза называется начальной.
• Периодический режим: . К такому режиму может быть отнесен и синусоидальный:
  ,
  где — амплитуда;
  — начальная фаза;
  — угловая скорость вращения ротора генератора.
  При f = 50 Гц рад/с.
• Синусоидальный ток — это ток изменяющийся во времени по синусоидальному закону:
  .
• Среднее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
  ,
  то есть среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного. Аналогично,
  .
• Действующее значение синусоидального тока (ЭДС, напряжение), формула:
  . Аналогично,
  .
• Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током, формула:
  .
  Действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты,что и синусоидальный ток.
  =R×I_пост²×T или I_пост=I=
• Коэффициент амплитуды синусоидального тока (κ_a) — это отношение амплитуды синусоидального тока к действующему значению синусоидального тока: .
• Коэффициент формы синусоидального тока (κ_ф) — это отношение действующего значения синусоидального тока к среднему за пол периода значению синусоидального тока:
  κ_ф=.
  Для несинусоидальных периодических токов κ_a≠, κ_ф≠1,11. Это отклонение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального.

Резонансные явления в электрических цепях
Идеальное активное сопротивление не зависит от частоты, индуктивное сопротивление линейно зависит от частоты, емкостное сопротивление зависит от частоты по гиперболическому закону:




• Резонанс напряжений.
  Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз между напряжением и током равна нулю .
  Режим резонанса может быть получен при изменении частоты ω питающего напряжения или изменением параметров L и C.
  При последовательном соединении возникает резонанс напряжения.
  
  Ток в схеме равен:
  
  При совпадении вектора тока с вектором напряжения по фазе:
  
  
  
  где — резонансная частота напряжения, определяемая из условия
  
  Тогда
  
  Волновое или характеристическое сопротивление последовательного контура:
  
  Добротность контура — это отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению на входе в режиме резонанса:
  
  Добротность контура представляет собой коэффициент усиления по напряжению:
  U_Lрез=I_резX_рез=
  В промышленных сетях резонанс напряжений является аварийным режимом, так как увеличение напряжения на конденсаторе может привести к его пробою, а рост тока — к нагреву проводов и изоляции.
• Резонанс токов.
  
  Резонанс токов может возникнуть при параллельном соединении реактивных элементов в цепях переменного тока. В этом случае: где
  
  тогда
  
  При резонансной частоте реактивные составляющие проводимости могут сравниться по модулю и суммарная проводимость будет минимальной. При этом общее сопротивление становится максимальным, общий ток минимальным, вектор тока совпадает с вектором напряжения. Такое явление называется резонансом токов.
  Волновая проводимость: .
  При g << b_L ток в ветви с индуктивностью значительно больше общего тока, поэтому такое явление называется резонансом токов.
  Резонансная частота:
  ω*=
  Из формулы следует:
  1) резонансная частота зависит от параметров не только реактивных сопротивлений, но и активных;
  2) резонанс возможен, если R_L и R_C больше или меньше ρ, в противном случае частота будет мнимой величиной и резонанс не возможен;
  3) если R_L = R_C = ρ, то частота будет иметь неопределенное значение, что означает возможность существования резонанса на любой частоте при совпадении фаз напряжения питания и общего тока;
  4) при R_L = R_C << ρ резонансная частота напряжения равна резонансной частоте тока.
  Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам при резонансе напряжений.
  Реактивная мощность при резонансе токов равна нулю. Подробно, реактивная мощность рассмотрена здесь.