Формулы для решения 13 задания егэ математика профиль

Задание 13 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!

1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.

2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.

3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.

4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.

5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.

6. Задачи 13 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.

Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.

Посмотреть решение

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра Найдите угол между прямой АG и плоскостью

Посмотреть решение

3. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости

Посмотреть решение

4. В основании прямой призмы лежит ромб. Найти угол между прямыми и

Посмотреть решение

5. Точка E — середина ребра куба Найдите угол между прямыми и

Посмотреть решение

6. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны . Найдите расстояние между прямыми и

Посмотреть решение

7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Посмотреть решение

А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся выпускникам на Профильном ЕГЭ по математике.

8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

Посмотреть решение

9. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка , причём — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что

а) Докажите, что угол между прямыми и равен

б)Найдите объём цилиндра.

Посмотреть решение

10. В основании призмы лежит правильный треугольник, вершина проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямой и плоскостью если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Посмотреть решение

11. Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями и , если

Посмотреть решение

12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Посмотреть решение

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14

7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:

1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.

2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.

3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения

— точка M принадлежит плоскости АВС.

— прямые а и b пересекаются в точке О.

— прямые а и b параллельны.

— прямые а и b перпендикулярны.

4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники»

Давайте вспомним:

— В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в раз больше катета.

— В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в раз больше меньшего.

5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры  помогает найти угол между плоскостями. Здесь — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.

7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод

Почему именно в таком порядке?

Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.

И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.

Уравнения

В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант2018)

[su_note note_color=”#defae6″]

а) Решите уравнение cos2x = 1-cos(п/2-x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2;-п].

[/su_note]

Алгоритм решения:

Пункт а)

1. При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
2. Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
3. Делаем обратную замену и решаем простейшие тригонометрические уравнения.

Пункт б)

1. Строим числовую ось.
2. Наносим на нее корни.
3. Отмечаем концы отрезка.
4. Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
5. Записываем ответ.

Решение:

Пункт а)

1. Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения cos(π/2−x)=sinx. Имеем:

сos2x = 1 – sin x.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:

cos(2х)=1−2sin² х

Получаем такое уравнение: 1−sin ²x=1− sinx

Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx.

2. Вводим замену: t = sinx. Решаем получившееся квадратное уравнение:

1−2t²=1−t,

−2t²+t=0,

t (−2t+1)=0,

 t = 0 или -2t + 1 = 0,

t₁ = 0  t₂ = 1/2.

3. Делаем обратную замену:

sin x = 0 или sin x = ½

Решаем эти уравнения:

sin x =0↔x=πn, nЄZ

sin(x)=1/2↔x= (-1)ⁿ∙(π/6)+ πn, nЄZ.

Следовательно, получаем два семейства решений.

Пункт б):

1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.

2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).

3. Красным цветом помечаем концы промежутка.

4. В указанном промежутке расположены три корня что три корня: −2π;−11π/6 и −7π/6.

Ответ:

а) πn, nЄZ; (-1)ⁿ∙(π/6)+ πn, nЄZ

б) −2π;−11π6;−7π6

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

[/su_note]

Алгоритм решения:

Пункт а)

1. Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
2. Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, потом тригонометрические уравнения.

Пункт б)

1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.
2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.
3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка.
4. Записываем ответ.

Решение:

Пункт а)

1. Вводим замену t = 4^{cos х}. тогда уравнение примет вид:

Решаем квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

D=b² – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t₁= (9 – 7)/8= ¼, t₂ = (9+7)/8=2.

3. Возвращаемся к переменной х:

Пункт б)

1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней.

2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка.

3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка..

Это корни . Их два.

Ответ:

а)

б)

Третий вариант задания (из Ященко, № 6)

[su_note note_color=”#defae6″]

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

[/su_note]

Алгоритм решения:

Пункт а)

1. При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
2. Заменяем эту функцию переменной t и решаем получившееся квадратное уравнение.
3. Делаем обратную замену и решаем простейшие показательные, а затем тригонометрические уравнения.

Пункт б)

1. Решаем неравенства для каждого случая.
2. Записываем ответ.

Решение:

а)

1. По формулам приведения .

2. Тогда данное уравнение примет вид:

3. Вводим замену . Получаем:

Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

Оба корня положительны.

3. Возвращаемся к переменной х:

Получили четыре семейства корней. Их бесконечно много.

б)

4. С помощью неравенств находим те корни, которые принадлежащие отрезку :

Для корней

Получаем одно значение .

Для корней   ни одного значения корней нет.

Для корней   есть одно значение ;

Для корней   есть одно значение .

Ответ:

а) ; ;

б) .

Даниил Романович | Просмотров: 16k

«Использование метода координат в пространстве для решения задачи №13 Единого государственного экзамена»

Как всем известно, для учеников старших классов самой насущной проблемой является Единый государственный экзамен. Причём, тех учеников, которые с уверенностью могут сказать: «Я могу решить 13 или 16 задачу», всего единицы. Да и те, кто действительно могут решить их, об этом громко не заявляют.

Анализируя данную проблему, можно сказать, что большая часть выпускников ограничивается заданием 13 пункта а). А при решении пункта б) уже возникают проблемы.

Как вы знаете, в задании 13 чаще всего требуется найти:

1) угол между двумя скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями;

2) расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.

В своей работе я предлагаю использовать один из универсальных приёмов решения геометрических задач – метод координат в пространстве. Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель моей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии.

Однако формальное применение координатно-векторного метода может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Поэтому я привожу несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты.

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, что для нас особенно важно, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, можно попробовать применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

2.1. Кратко из теории⁴

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач.

Прямоугольная (декартова) система координат – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

Применение метода координат даёт нам множество возможностей для решения задач.

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

где d=AB, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂)

2. Нахождение координаты середины С(x; y; z) отрезка АВ, A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂). , ,

3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где .

4. Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты .

5.Нахождение расстояния от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно.

6. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками (, , ) и (, , ), в отношении , определяется по формулам

, , .

2.2. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
• 0˚<(a,α)<90˚.

При нахождении угла между прямыми используют:

формулу или в координатной форме

для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы и параллельны соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы или .

Пример 1.⁵ Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁ D₁ равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и B₁E.

х

у

z

B₁

A₁

C₁

D₁

B C

A E

F D

Решение.

Для начала сделаем чертёж и проанализируем задачу.

Прямые CF и B₁E являются скрещивающимися, поэтому, чтобы найти угол между ними геометрическим способом, было бы необходимо параллельно перенести одну из прямых так, чтобы обе прямые лежали на одной плоскости. При этом было бы довольно сложно определить, в каком соотношении они будут пересекаться, и решить эту задачу поэтапно-вычислительным методом.

Я предлагаю поместить параллелепипед в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке, и найти искомый угол как угол между векторами.

Выпишем координаты точек B₁, E, C, F в этой системе координат:

B₁ (0; 0; 4), E(1; 2; 0), C(0; 2; 0), F (2; 1; 0).

Тогда {2; -1; 0}, {1; 2; -4}. Найдём угол между этими векторами по формуле:

То есть искомый угол α=90˚.

Как видите, задачу, которую довольно-таки сложно решить геометрическим путём, можно быстро и красиво решить аналитически.

Ответ: 90˚.

Пример 2.² Точка О лежит на ребре DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁ D₁, точка Р является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO : DD₁ = 1 : 5. Найдите косинус угла между прямой ОР и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины С.

Решение.

Поместим куб в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Условно обозначим грани куба за единицу. Если обозначить её какой-либо буквой, она всё равно сократится. Определим координаты точек Р, О, С и А₁:

О

Р

Р(0,5; 0,5; 0), О(1; 1; 0,5), С(0; 1; 0), А₁(1; 0; 1).

Отсюда .

Ответ: .

Пример 3.⁵ Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра DC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Решение.

Поместим пирамиду в декартову систему координат. Найдём координаты точек S, L, C и M: S(0;0;1), L(0;;0), C(0;0;0). Чтобы найти координаты точки М, воспользуемся геометрией: в равностороннем треугольнике все углы равны 60˚, а т.М, которая делит сторону АВ пополам, является не только медианой, но и биссектрисой, поэтому .

Для равностороннего треугольника , х(СМ)=СМ·соs60˚=, у(СМ)=СМ·соs30˚=, {}, SL{0;;-1}

Решая аналогично предыдущим примерам, находим, что .

Ответ: 45˚.

2.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
• 0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

по формуле или в координатах , где

— вектор нормали к плоскости α,

— направляющий векор прямой l;

Пример 4.⁵ В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра АВ и АА₁ равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В₁С₁. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ₁С.

Решение. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться уравнением плоскости, имеющим общий вид

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В₁(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=,

c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Длину вектора легко найти геометрически: . Но его координаты нам всё равно необходимы. Из простых вычислений находим, что .

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ: 45˚

2.4. Нахождение угла между двумя плоскостями

• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
• Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

как угол между нормалями по формуле или в координатной форме , где — вектор нормали плоскости А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0, — вектор нормали плоскости A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Пример 5.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ найдите угол между плоскостями АD₁ Е и D₁FC, где точки Е и F-середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D₁(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

1) Решая систему

, составляем уравнение плоскости (АD₁E): x+2y-z=0.

2) плоскость CFD₁:

отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

, , откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

2.5. Нахождение расстояния между двумя точками.

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

по формуле ,

где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂);

по формуле .

Пример 6.⁶ В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 2 и острым углом в 60˚. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4. Найдите расстояние от середины Н ребра SD и серединой М ребра ВС.

Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.

Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).

Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВ_х=AC_x=2·cos30˚=, AB_y=AC_у–2=2·cos60˚=1.

Отсюда В(; 1; 0), С(; 3;0). Тогда координаты точки М равняются:

.

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:

Ответ: .

Пример 7.¹ В единичном кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ точки Е и К – середины ребер АА₁ и СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В₁D₁ так, что В₁М = 2МD₁. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK

Решение. Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В₁(0;0;1), D₁(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B₁D₁ в отношении λ=2:1:

, , .

Аналогично находим координаты точки L:

.

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:

, , .

Ответ: .

2.6. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Расстояние от точки М до плоскости α

вычисляется по формуле , где М(х₀;у₀;z₀), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0;

Пример 8.² В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ проведена диагональ B₁D. В каком отношении, считая от вершины B₁, плоскость А₁BC₁ делит диагональ B₁D?

Решение. Составим уравнение плоскости А₁BC₁ и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B₁ и D. Пусть l – ребро куба.

В(0;0;0), А₁(l;0;l), С₁(0;l;l).

Решив систему определяем, что уравнение плоскости имеет вид: x+y–z=0 → а=1, b=1, c= –1. B₁(0;0;1), D(1;1;0).

Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

:

Ответ: 2:1.

Пример 9.⁵ Основание прямой призмы АВСА₁В₁С₁ – равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота ВD которого равны 4. Боковое ребро равно 2. Через середину К отрезка В₁С проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости.

Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В₁(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0.

Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:

. Ответ: .

Заключение

Представляю вашему вниманию свою работу, которой я занималась в течение последних месяцев: я искала формулы, подбирала для каждого случая именно те задачи, геометрическое решение которых перегружено формулами, редко используемыми теоремами, сложными преобразованиями и вычислениями.

Конечно, эту работу нельзя считать авторитетным пособием по решению задания 13 ЕГЭ, так как в ней рассмотрено лишь небольшое количество задач, и ограниченное количество приёмов.

Конечно, я не настаиваю на том, что все задачи стереометрии надо решать методом координат, иногда это просто нецелесообразно. Но согласитесь, настолько простое и изящное решение не только освободит время для решения других заданий, но и будет высоко оцениваться проверяющим учителем.

Список использованной литературы

1. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост . И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель , 2009. – (ФИПИ).

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие/ под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2010.

3. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект -Центр, 2010.

4. Большая универсальная школьная энциклопедия/ гл. редактор М.Аксёнова – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2008.

5. www.fmclass.ru – образовательный портал «Физ/мат класс»

6. www.mathege.ru – открытый банк заданий.

7. www.problems.ru – каталог задач.