Формулы для ромба егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC² + BD² = 4AB²

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали — длинную d₁, и короткую — d₂

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₁ = a√2 + 2 · cosα

d₁ = a√2 — 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₂ = a√2 + 2 · cosβ

d₂ = a√2 — 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₁ = 2a · cos(α/2)

d₁ = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₂ = 2a · sin(α/2)

d₂ = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d₁ = √4a² — d₂²

d₂ = √4a² — d₁²

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d₁ = d₂ · tg(β/2)

d₂ = d₁ · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · h_a

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a² · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Источник

Ромб и его свойства

По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба:

Диагонали ромба перпендикулярны.
Диагонали ромба делят его углы пополам.

Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.

1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны , а острый угол равен $60^{circ}$ .

Проведите меньшую диагональ ромба и рассмотрите треугольник . Поскольку AD = DB , а угол равен $60^{circ}$ , треугольник — равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна .

1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60?

Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина.

Пусть — сторона ромба.

Тогда $S = a^2cdot sin 60^{circ}= acdot h.$

Отсюда .

2. Диагонали ромба относятся как 3:4 . Периметр ромба равен 200 . Найдите высоту ромба.

Пусть диагонали ромба равны и .
Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник — прямоугольный.
По теореме Пифагора ,
,
,
Отсюда AB=5x .
Поскольку периметр равен 200 ,
,
x=10 , AB=50 , а диагонали ромба равны и .

Нам надо найти высоту ромба.
Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, . С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников ABC и , то есть равна .
Отсюда .

Ответ: .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Ромб иu0026nbsp;его свойства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Ромб и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства ромба:

(blacktriangleright) Те же, что и у параллелограмма:

(sim) Противоположные стороны попарно равны;

(sim) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(sim) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ);

(blacktriangleright) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

(blacktriangleright) все стороны равны;

(blacktriangleright) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

(blacktriangleright) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Задание
1

#2716

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ромбе (ABCD): (angle ACD = 26^{circ}). Найдите (angle ABD). Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда (angle CDB = 90^{circ} — angle ACD = 64^{circ}).

(BC = CD), тогда (angle CBD = angle CDB = 64^{circ}).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то (angle ABD = angle CBD = 64^{circ}).

Ответ: 64

Задание
2

#2717

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите большую диагональ ромба (ABCD), если (AB = 2sqrt{3}), а острый угол равен половине тупого.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), то сумма острого и тупого углов ромба равна (180^{circ}).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}).

Треугольник (ABD) – равнобедренный, один из углов которого равен (60^{circ}), тогда треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 2sqrt{3}).

Пусть (O) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда (OD = 0,5 BD = sqrt{3}), следовательно, по теореме Пифагора находим: (AO^2 + OD^2 = AD^2), тогда (AO^2 + 3 = 12), откуда находим (AO = 3). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, (AC = 6).

Ответ: 6

Задание
3

#2715

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Пусть (angle A = 60^{circ}). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник (ABD) – равнобедренный, у которого один из углов равен (60^{circ}), следовательно, треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 10).

Треугольник (ABC) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда (AC > AB = BD), значит, (BD) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10

Задание
4

#1794

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно (3), а острый угол ромба равен (60^circ). Найдите большую диагональ ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), (angle DAB = 60^circ), тогда (angle
OAB = 30^circ). Получаем, что (OH) – катет лежащий напротив угла в (30^circ), значит (AO = 2cdot OH = 6). Т.к. (AC) и есть большая диагональ, то (AC = 2cdot AO = 12).

Ответ: 12

Задание
5

#1757

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона ромба равна (4). Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно (1). Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), тогда (S_{triangle ABO} = frac{1}{2}cdot 1 cdot 4 = 2). Диагонали ромба делят его на (4) равных прямоугольных треугольника (Rightarrow) (S_{ABCD} = 4cdot 2 = .

Ответ: 8

Задание
6

#2718

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр ромба равен (40), а диагонали относятся, как (3:4). Найдите площадь ромба.

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении (3:4). Зная периметр, найдем сторону ромба: (40
: 4 = 10). Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник (AOB).

Пусть (AO=4x), (BO=3x).
Тогда по теореме Пифагора: ((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2) (Rightarrow) (25x^2 = 100) (Rightarrow) (x^2 = 4) (Rightarrow) (x = 2). Диагонали равны (BD=2BO=12) и (AC=2AO=16) (Rightarrow) (S_{ABCD} =
frac{1}{2}cdot12cdot16 = 96).

Ответ: 96

Задание
7

#2719

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как (3:1)?

Пусть (angle B) и (angle B_1) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как (3:1), то можно обозначить их за (3x) и (x) соответственно.

Тогда и (angle D=angle D_1) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, (triangle ABCsim triangle A_1B_1C_1) и (triangle ADCsimtriangle A_1D_1C_1) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен (3). Следовательно, их площади относятся как (9:1). А так как (S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}) и (S_{A_1B_1C_1}+S_{A_1D_1C_1}=S_{A_1B_1C_1D_1}), то (S_1:S_2=9:1).

Ответ: 9

Геометрические задачи на тему «Свойства ромба» в обязательном порядке включаются в ЕГЭ по математике. Причем, в зависимости от условия задания, учащийся может давать как краткий, так и развернутый ответ. Именно поэтому на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ школьникам непременно стоит понять принцип решения задач на применение свойств и признаков ромба.

Еще раз повторить данную тему и восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный проект «Школково». С помощью нашего сайта можно легко и эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Чтобы успешно справляться с геометрическими заданиями, учащимся старших классов стоит повторить базовые понятия и определения: свойства углов ромба и других четырехугольников, признаки этой фигуры, а также формулу для нахождения ее площади. Данный материал представлен в разделе «Теоретическая справка» на сайте «Школково». Информация, которую подготовили наши специалисты, изложена в максимально доступной форме.

Повторив основные свойства диагоналей ромба, а также его углов и биссектрис, учащиеся могут попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий по данной теме, а также по решению нестандартных задач по математике представлена в разделе «Каталог». Найти правильный ответ выпускники смогут, предварительно освежив в памяти свойства биссектрис ромба, в также углов и диагоналей этой фигуры. Подробный алгоритм решения каждой задачи прописан нашими специалистами.

Выполнять простые и более сложные задания по теме «Ромб и его свойства», а также на нахождение площади квадрата на этапе подготовки к ЕГЭ по математике школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти это задание и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем.

Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ

Источник

Учебник

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 2: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 3: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторанами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершине $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 3: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершины $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

26
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Ромб. Свойства и признаки ромба

2013-07-26
2015-04-11

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.

Помимо этого:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

цыв

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Признаки ромба

Чтобы параллелограмм оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().

2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба

$S=frac{ACcdot BD}{2}$

$S=ABcdot h_{AB}$

64r

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Автор: egeMax |

комментария 3

Источник

Общие сведения

Ромб является четырехугольником. В геометрии существует несколько видов последних. Для каждой фигуры предусмотрены свои соотношения, теоремы и формулы. Кроме того, математики выделяют специализированные алгоритмы, позволяющие точно и без ошибок определить тип фигуры.

Ученые разработали алгоритм для обучения, позволяющий за короткий промежуток времени перейти к решению сложных математических упражнений без каких-либо финансовых вложений. Он состоит из следующих элементов:

Сведения о ромбе: признаки, свойства и теоремы.
Формулы для нахождения некоторых параметров.

Изучение любой фигуры начинается всегда с ее определения, поскольку на основании этого возникают базовые знания.

Определение и частный случай

Ромбом называется параллелограмм с эквивалентными друг другу сторонами. О последнем можно сказать, что он относится к правильным четырехугольникам. Термин «правильный» означает равенство сторон одному значению. Следует отметить, что частным случаем ромба является квадрат, поскольку у него также имеются равные стороны. Эти фигуры имеют похожие свойства и формулы, однако некоторые соотношения отличаются.

Следовательно, необходимо правильно идентифицировать фигуру. Такая операция выполняется на основании признаков. Они присущи только конкретной фигуре и позволяют точно определить ее тип. Многие путают два ключевых понятия в геометрии: свойства и признаки. В учебниках существует множество определений, но, к сожалению, не все они понятны для новичков.

Признаками искомой фигуры называются характеристики, которые присущи только ей. Свойства — следствия из определений и доказательств теорем, используемые при доказательстве тождеств, утверждений и решения задач. Следует также обратить внимание на использование очередности. Первыми применяются признаки, а затем свойства.

Основные признаки

Признаки состоят из двух групп. Их формирование связано с количеством фигур, с которыми можно перепутать ромб. Определение последнего раскрывает их не полностью. Следовательно, математики для детального анализа разработали некоторый алгоритм, или первую группу. Различиями между искомой фигурой и параллелограммом являются следующие:

Эквивалентность всех сторон одной величине.
Углы, образованные пересечением диагоналей, являются прямыми.
Стороны, имеющие одну общую точку-вершину, равны между собой.
Биссектрисами внутренних углов ромба (делят угол на две половины) являются диагонали.
Диагонали пересекаются и образуют четыре равных прямоугольных треугольника и 2 группы равнобедренных треугольников, которые равны между собой.
Окружность можно вписать внутрь фигуры.
Высоты, образованные диагоналями при их пересечении, равны между собой.

Семь признаков отсеивают параллелограмм, но не дают провести разделение между ромбом и квадратом (прямоугольником), поскольку два последних также попадают под них. Для этого случая математики также разработали специальный алгоритм, который заключается в следующем:

Произвести идентификацию ромба по одному из признаков отличия от параллелограмма.
Внутренние углы не должны быть прямыми.
Вокруг ромба невозможно описать окружность.

Если у фигуры внутренние углы являются прямыми, то он является квадратом (прямоугольником). Кроме того, вокруг квадрата можно описать окружность. Алгоритмы идентификации являются очень простыми и надежными, поскольку вероятность ошибки эквивалентна нулевому значению. Существуют и другие методики определения типа фигуры, но они считаются сложными. Следовательно, на начальных стадиях обучения не рассматриваются.

Примером одной из них является операция интегрирования, основанная на вычислении размерностей (площадей) и объемов тел вращения, которые получаются в результате вращения ромба вокруг своей оси. Эти характеристики отличаются от характеристик параллелограмма и квадрата.

Свойства фигуры

Ромб является частным случаем параллелограмма и имеет все свойства, которые присущи этой фигуре. Новички не берут их во внимание, что приводит к увеличению объемов вычислений, а также возникновению ошибок. Свойствами параллелограмма являются следующие:

Сумма внутренних углов составляет 360 градусов.
Противолежащие углы эквивалентны одному значению (равны).
Противоположные стороны лежат на параллельных прямых и равны между собой.
Центром симметрии и описанной окружности является точка пересечения диагоналей. Через нее можно провести среднюю линию, которая делит стороны на два равных отрезка.
Треугольники, образованные диагоналями, эквивалентны.
Перпендикулярность биссектрис соседних углов.
Для равнобедренных треугольников, образованных пересечением диагоналей, последние являются биссектрисами, высотами и медианами.
Эквивалентность суммы квадратов диагоналей сумме квадратов всех сторон параллелограмма.
Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит пополам.

Следует отметить, что свойства ромба присущи только ему. К ним относятся следующие:

Диагонали пересекаются только под прямым углом и являются взаимоперпендикулярными. Кроме того, они являются биссектрисами его углов, и должны искомой точкой делиться пополам.
Сумма квадратов диагоналей m1 и m2 соответствует квадрату стороны, умноженной на 4.
Только в ромб можно вписать окружность, которая будет касаться точек-середин его сторон.
Пересечение диагоналей обозначается некоторой точкой, которая является центром вписанной окружности и симметрией фигуры.
Описать окружность можно только в том случае, когда диагонали ромба равны, то есть он является квадратом. Во всех остальных случаях этого сделать невозможно.

Все свойства были получены математиками при доказательствах различных теорем. Для некоторых также были использованы вспомогательные утверждения. Например, для второго применялась теорема Пифагора.

Теорема о свойствах диагоналей

Математики рекомендуют рассмотреть теорему о свойствах диагоналей ромба, которая гласит, что диагонали искомой фигуры пересекаются в одной точке и взаимоперпендикулярны, а также являются биссектрисами его углов. Для доказательства утверждения следует его разделить на две части: взаимоперпендикулярность диагоналей и последние являются биссектрисами углов фигуры.

Необходимо начертить ромб ABCD со стороной «a», провести диагонали m1 (большую) и m2 (меньшую). Отметить их точку пересечения P. Существует много доказательств этого утверждения. Специалисты рекомендуют всегда выбирать самое простое, поскольку такой прием ценится на экзаменах. Одним из примеров рационального использования знаний является построение прямой в декартовой системе координат.

Согласно аксиоме геометрии, чтобы провести прямую, достаточно двух точек. Следовательно, нет смысла использовать 5, 10 и 20 элементов, поскольку все эти действия приведут к одному результату. Методика доказательства упрощенного типа считается самой эффективной. Следует рассмотреть треугольники ABC и ADC, полученные в результате проведения диагонали m1. Для удобства в геометрии слово «треугольник» заменяется символом «Δ», а угол — «∠». Они равны между собой по трем сторонам, то есть боковые стороны равны a (стороны ромба), а общая — эквивалентна значению диагонали m1.

Следует отметить, что они также являются равнобедренными, поскольку их боковые стороны равны между собой, то есть AB = BC = a и AD = CD = a. Далее следует обратить внимание на малую диагональ m1. Она опущена из вершины B и D на сторону AC. Исходя из свойства медианы в равнобедренном Δ, m1 является высотой и биссектрисой, то есть справедливо такое уравнение ∠ABC = ∠ADC = ∠ABP + ∠CPB = ∠APD + ∠CPD. Кроме того, высоты BP и DP образуют перпендикуляр со стороной AC.

Утверждение доказывается аналогично для ΔABC и ΔADC. Они равны по трем сторонам (AD = DC и AB = BC, а также по общей стороне BD) и являются равнобедренными, исходя из свойств сторон ромба. Диагональ m1 проходит через эти Δ. Она также является медианой, биссектрисой и высотой. Теорема доказана полностью.

Основные соотношения

Для решения задач применяются формулы. Ромб не является исключением. Соотношения применяются для определения неизвестных параметров фигуры. Однако бывают случаи, когда недостаточно одной формулы, поскольку нужно связать несколько компонентов в единый процесс вычислений. Для корректного использования формул следует ввести класс некоторых обозначений:

Ромб обозначить набором латинских букв ABCD.
Стороны приравнять к некоторому числу, заданному в общей форме: AB = BC = CD = DA = a.
Диагонали: меньшая — m2 и большая = m1. Их точку пересечения следует обозначить литерой P.
Углы: ∠ABC = ∠ADC и ∠BAD = ∠BCD.
Характеристики вписанной окружности: диаметр D и радиус R.
Периметр и площадь (размерность): P и S соответственно.

Периметр и площадь

Периметр ромба — характеристика, которая эквивалентна значению алгебраической суммы всех ее сторон. Площадью называется параметр геометрической фигуры, показывающий ее размерность в определенном геометрическом пространстве. Следует отметить, что величина S существует только у фигуры в двумерном пространстве. В трехмерном нужно рассматривать объем геометрического тела. Кроме того, у объемного тела есть параметр площади поперечного сечения. Эта величина является двумерной.

Периметр вычисляется по следующей формуле: P = 4 * a. Следует отметить, что величину a можно выражать через диагонали, площадь и другие характеристики. Базовая формула площади ромба имеет такой вид: S = a * BP = a * DP = a * AP = a * CP. Кроме того, размерность можно найти по следующим соотношениям:

S = a² * sin (∠ABC) = a² * sin (∠BCD) (через синус острого угла).
S = 2 * a * R.
S = (m1 * m2) / 2.
S = (4 * R²) / sin (∠BAD).
S = [(m1)^2 * tg (∠BAD / 2)] / 2 = [(m2)^2 * tg (∠ABC / 2)] / 2.

В последней формуле при большем значении диагонали m1 следует брать тангенс острого угла, а при m2 — тангенс тупого угла. На это нужно обратить особое внимание, поскольку на этом моменте новички делают много ошибок, путая диагонали и углы.

Нахождение стороны

Длина стороны находится очень просто, поскольку математики выполнили доказательства некоторых тождеств. Они предлагают готовые решения в виде формул, позволяющих правильно выразить одну величину через другую, и подставить необходимые числовые значения:

a = S / BP = S / DP = S / AP = S / CP.
a = S^(½) / (sin (∠BAD))^(½).
a = S / 2 * R.
a = [(m1)^2 + (m2)^2]^(½) / 2.
a = P / 4.

Необходимо обратить внимание, что используются в некоторых соотношения тригонометрические функции. Последнее соотношение является формулой определения периметра. Если он известен, то легко вычислить значение стороны, используя обратную формулу P.

Другие соотношения

Осталось еще два параметра ромба — диагонали. Специалисты рекомендуют воспользоваться готовыми соотношениями для нахождения ее длины:

m1 = 2 * a * cos (∠BAD/2).
m2 = 2 * a * sin (∠BAD/2).
m1 = [4 * a²— (m2)^2]^(½) = [4 * S — (m2)^2]^(½).
m2 = [4 * a²— (m1)^2]^(½) = [4 * S — (m1)^2]^(½).
m1 = 2 * S / m2.
m2 = 2 * S / m1.

Следует также рассмотреть случай, когда окружность вписана в ромб. Такой прием применяется для расширения возможностей поиска неизвестной, что существенно позволит сэкономить время на расчетах. К формулам относятся следующие тождества:

R = S / 2 * a.
R = m1 * m2 / (2 * ((m1)^2 + (m2)^2)^(½)).
R = m1 * m2 / P = m1 * m2 / 4 * a.

Если нужно найти диаметр, то следует использовать такое соотношение: R = D / 2. Можно также выразить диагонали через стороны. Для этого следует подставить вместо m1 значение со стороной a.

Таким образом, математики предлагают специальный алгоритм, позволяющие без ошибок идентифицировать ромб, а затем применить соответствующие формулы для решения задачи.

Источник