Формулы егэ по математике формулы по теории вероятностей - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2 .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже 1/6 .

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете яблок, из них — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25 , а зеленое — 17/25 .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

В фирме такси в данный момент свободно машин: красных, желтых и зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15 , то есть 0,6 .

В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25 , то есть 0,92 .

Родительский комитет закупил пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них с картинами известных художников и с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: 0,6 .

В чемпионате по гимнастике участвуют спортсменок: — из России, — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — спортсменок). Ответ: 0,25 .

Ученика попросили назвать число от до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна 1/5 .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

1, 3, 5 — нечетные числа; 2,4,6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2 .

Ответ: 0,5 .

Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

орел	орел
орел	решка
решка	орел
решка	решка

Три монеты? Правильно, исходов, так как .

Вот они:

орел	орел	орел
орел	орел	решка
орел	решка	орел
решка	орел	орел
орел	решка	решка
решка	орел	решка
решка	решка	орел
решка	решка	решка

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: 3/8 .

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего возможных исходов, так как 6^2=36 .

А теперь — благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1 . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

10. В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по рублей. Петя не глядя переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

…

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134 , а затем:

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

Всего возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки и обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20 .

Ответ: 0,6 .

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

p_1 – вероятность того, что он сломается на второй год, p_2 – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно,

Тогда

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» — несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна $frac{1}{2}.$ Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью $frac{1}{2}cdot frac{1}{2}=frac{1}{4}).$ На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна $frac{1}{2},$ а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна $frac{1}{32},$ то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

(А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй — два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 — для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку Для второго Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна . Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна 1-x .

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% — не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% — не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо — из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: 0,4 x.

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

Решаем это уравнение и находим, что – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

15. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна ). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна

Ответ: 0,0545.

16. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна

В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме «Теория вероятностей».

Смотрите также: парадокс Монти Холла.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 3. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности
Основные понятия теории вероятности
- Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности
  - Решение.
Независимые, противоположные и произвольные события
Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле $P(A) = frac{k}{n}$ . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле $P(A) = frac{k}{n}$ .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

$[ P(A)=frac{k}{n}=frac{8}{20}=0,4 ]$

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

$[ A^{k}_{n}=n cdot (n-1) cdot (n-2) dots cdot(n-k+1)= frac{n!}{(n-k)!} ]$

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: $frac {6 cdot 5 cdot 4}{1cdot 2 cdot 3} = 20$ . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

$[ C^{k}_{n}=frac{n cdot (n-1) cdot (n-2) dots (n-k+1)}{1cdot 2 cdot 3 dots cdot k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}. ]$

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

$P=frac {9}{30}=0,3$ .

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

$P=frac{980}{1000}=0,98$

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Источник

Вероятностью события $А$ называется отношение числа благоприятных для $А$ исходов к числу всех
равновозможных исходов

$P(A)={m}/{n}$, где $n$ – общее количество возможных исходов, а $m$ – количество исходов, благоприятствующих событию
$А$.

Вероятность события — это число из отрезка $[0; 1]$

В фирме такси в наличии $50$ легковых автомобилей. $35$ из них чёрные, остальные — жёлтые.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета.

Решение:

Найдем количество желтых автомобилей:

$50-35=15$

Всего имеется $50$ автомобилей, то есть на вызов приедет одна из пятидесяти. Желтых автомобилей $15$,
следовательно, вероятность приезда именно желтого автомобиля равна ${15}/{50}={3}/{10}=0,3$

Ответ:$0,3$

Противоположные события

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно
происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.Событие, противоположное событию $А$, записывают
${(А)}↖{-}$.

$Р(А)+Р{(А)}↖{-}=1$

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.

Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.

События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

$Р=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Совместные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании. В противном случае события называются несовместными.

Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий минус
вероятность их произведения:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)$

В холле кинотеатра два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна $0,6$. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,32$. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов.

Решение:

Обозначим события, пусть:

$А$ = кофе закончится в первом автомате,

$В$ = кофе закончится во втором автомате.

Тогда,

$A·B =$ кофе закончится в обоих автоматах,

$A + B =$ кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.

События $A$ и $B$ совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий,
уменьшенной на вероятность их произведения:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Ответ: $0,88$

Источник

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.
Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.
Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;
Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Примеров масса:

Событие

(при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.
Событие B_{1, 2} = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.
Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃,…, и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

A₁ — на 1-й монете выпадет орел;
Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;
A₂ — на 2-й монете выпадет орел;
Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:

событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;
событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;
событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

Свойства вероятности:

Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как решать задачи по теории вероятности

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Как рассуждаем:

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Ответ: 0.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Как рассуждаем:

Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Следовательно:

Ответ: 0,25.

Источник

Случайности не случайны… Всё решает вероятность событий!

В ЕГЭ по математике целых два задания на теорию вероятностей, поэтому стоит уделить ей в два раза больше внимания! Первое решается по основной формуле вероятности, а вот над вторым придётся подумать и вспомнить, какие бывают события.

Мы структурировали типы задач, которые могут попасться на экзамене, и сделали эту полезную шпаргалку с формулами и теорией — сохраняйте карточки, чтобы подготовка к ЕГЭ по математике была ещё продуктивнее.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Источник

Правило

Классическое определение вероятности

Вероятностью события (displaystyle A ) называется число, равное отношению

(displaystyle {rm P}(A)=frac{число, благоприятных, элементарных, событий}{число, всех, элементарных, событий} )

Правило

Правило произведения

Если элемент (displaystyle a) из множества (displaystyle А) можно выбрать (displaystyle n) способами, а элемент (displaystyle b) из множества (displaystyle В) можно выбрать (displaystyle m) способами, то пару (displaystyle (a;b)) элементов из множеств (displaystyle А) и (displaystyle В) можно выбрать

(displaystyle n cdot m) способами.

Правило

Формула условной вероятности

Для данных двух событий (displaystyle A ) и (displaystyle B{ small ,} ) таких, что событие (displaystyle B) включает в себя событие (displaystyle A, ) выполняется

(displaystyle P(A)=P(B)cdot P_{B}(A),)

где (displaystyle P_{B}(A) ) – вероятность наступления события (displaystyle A ) при условии, что событие (displaystyle B ) произошло.

Определение

Независимые события

События (displaystyle A) и (displaystyle B) называются независимыми, если наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого события.

Правило

Формула произведения вероятностей независимых событий

Если события (displaystyle A) и (displaystyle B) независимы, то вероятность их одновременного наступления равна

(displaystyle P(Acdot B)=P(A)cdot P(B){small .})

Определение

Несовместные события

События (displaystyle A) и (displaystyle B) называются несовместными, если наступление одного события исключает появление другого события, то есть события (displaystyle A) и (displaystyle B) не могут произойти одновременно.

Правило

Формула суммы вероятностей событий

Вероятность суммы событий (displaystyle A) и (displaystyle B), то есть вероятность того, что наступит событие (displaystyle A) или событие (displaystyle B{ small ,}) равна

(displaystyle P(A + B)=P(A)+P(B)-P(Acdot B){small .})

Правило

Формула суммы вероятностей несовместных событий

Если события (displaystyle A) и (displaystyle B) несовместны, то

(displaystyle P(A+ B)=P(A)+P(B){small .})

Правило

Вероятность противоположного события

Если событие (displaystyle bar{A}) противоположно событию (displaystyle A{small ,}) то

(displaystyle P(bar{A})=1-P(A){ small ,})

Источник

Теория вероятности, формулы и примеры решения задач

В рамках подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень)

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это:

достоверные события, которые обязательно произойдут,
невозможные события;
случайные события.

Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти.

На этом уроке мы рассмотрим в кратком виде теорию вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Классическая формула вероятности

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов.

Р(А)= , где m – количество (число)

благоприятных исходов,

n – общее количество (число)

возможных исходов

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми.

Легко вычислить число благоприятных исходов, а прямо в условии написано число всех исходов.

Пример задачи из ЕГЭ по математике

по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть Р(А), где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет найдена как отнощение количества пирожков с рисом к общему количеству всех пирожков. Т.е., 8 разделить на 20.

Ответ: 0,4

Независимые, несовместные, противоположные и произвольные события

Независимые события

Определение

Теорема

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае

Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

Пример задачи на независимые события

Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,52. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Решение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза. То есть, выиграть первый раз и при этом выиграть во второй раз. Первый раз гроссмейстер играет белыми, во второй раз – черными. Таким образом, искомая вероятность: 0,52*0,3=0,156.

Ответ: 0,156

Противоположные события

Определение

Р(В) = 1 – Р(А).

Пример задачи, где используется противоположное событие

В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Что означает выражение «хотя бы один» (в данном случае из двух?

Решение.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, значит, вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,05*0,05. Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Несовместные события

Определение

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Теорема

Сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Пример задачи на несовместные события

Решение.

Нам даны два несовместных события. То есть, либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35

Ответ: 0,35.

Пример задачи, где используются независимые и несовместные события

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решение.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер (1 из 4) и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер (1 из 6) и промахнется из него. Вероятность промахнуться из пристрелянного револьвера равна 0,1.

Вероятность промахнуться из непристрелянного револьвера равна 0,8.

Вероятность взять пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,4 * 0,1 = 0,04.

Вероятность взять не пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,6 * 0,8 = 0,48.

Эти события несовместны, значит, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Произвольные (совместные) события

Определение

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Теорема

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Пример задачи на произвольные события

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Рассмотрим события.

Пусть А – «кофе закончится в первом автомате», В – «кофе закончится во втором автомате».

Обратите внимание, что события А и В не являются независимыми. Если бы они были независимые, то вероятность того, что «кофе закончился в обоих автоматах» была бы равна 0,3∙0,3 = 0,09.

Тогда Р(А ∙ В) ― «кофе закончится в обоих автоматах», Р(А+В) – «кофе закончится хотя бы в одном».

По условию Р(А) = Р (В) = 0,3 Р(А∙В) = 0,12 (что не равно 0,09).

Таким образом, события A и B совместные, а значит, применяем формулу:

Р(А + В) = Р(А) + Р (В) – Р(А∙В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48. Т.об., мы получили вероятность того, что «кофе закончится хотя бы в одном автомате».

Выражению – «кофе закончится хотя бы в одном» соответствуют три события из четырех возможных:

НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

Значит, событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном». И его вероятность равна 1 – 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52

Сложная формула вероятности

Рассмотрим события:

А – «яйцо имеет высшую категорию»;

В1 – «яйцо произведено в первом хозяйстве»;

В2 – «яйцо произведено во втором хозяйстве».

Тогда (А|В1) — «яйцо высшей категории произведено в первом хозяйстве»,

А|В2 – «яйцо высшей категории произведено во втором хозяйстве».

По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

Р(АВ1) + Р(АВ2) = Р(А|В1)Р(В1)+Р(А|В2)Р(В2) =

= 0,4Р(В1) + 0,2(1-Р(В1)) = 0,4Р(В1) + 0,2 — 0,2Р(В1) = 0,2Р(В1) + 0,2.

Так как по условию эта вероятность равна 0,35, то:

0,2Р(В1) + 0,2 = 0,35,

Р(В1) = (0,35-0,2) : 0,2 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Рассмотрим другие решения этой задачи

Пусть х — вероятность того что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из первого хозяйства, тогда (1 – х) — вероятность того, что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из второго хозяйства. По формуле полной вероятности:

0,4х + 0,2(1-х) = 0,35

0,4х + 0,2 – 0,2х = 0,35

0,2х = 0,35 – 0,2

0,2х=0,15

х=0,75.

Ответ: 0,75.

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает х яиц, в том числе, 0,4х яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — у яиц, в том числе, 0,2у яиц высшей категории. Тем самым, всего агрофирма закупает (х+у) яиц, в том числе (0,4х+0,2у) яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц. Составим уравнение:

(0,4х + 0,2у) / (х + у) = 0,35.

Данное уравнение сводится к линейному уравнению первой степени. Выражаем х через у. Получаем: х = 3у.

Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна (3у) / (3у+у) = (3у)/(4у) = ¾ = 0,75.

Ответ: 0,75.

Примеры решения задач с монетами

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.

ОО

ООО РРР

ОР

ООР РОР

РО

ОРР РРО

РР

ОРО РОО

Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Ответ: 0,375

Ответ: 0,5

Пример решения задач с костями

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Ответ округлите до сотых.

3/36 приблизительно равно 0,8

Ответ: 0,8.

Источник