Формулы приведения егэ тренажер - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Задания Открытого банка ЕГЭ по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

ЕГЭ –В7(3)Формулы приведения. Тренировочные задания.

1. Вычислите:

а) $frac{40cos {3}^circ }{sin {87}^circ }$ ; б) $frac{2sin 28{}^circ }{sin 332{}^circ }$ ; в) $frac{-4cos 26{}^circ }{cos 154{}^circ }$ ; г) $frac{23tg 59{}^circ }{tg 121{}^circ }$

д) $frac{-42sin 413{}^circ }{sin 53{}^circ }$ ; е) $-22tg 14{}^circ cdot tg 104{}^circ$ ; ж) $16tg 54{}^circ cdot tg 36{}^circ$

з) $frac{11}{{{sin }^{2}}{{50}^{circ }}+{{sin }^{2}}{{140}^{circ }}}$ ; и) $frac{-24}{{{cos }^{2}}{{127}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{217}^{circ }}}$ ;

к) $frac{4}{{{sin }^{2}}{{57}^{circ }}+{{cos }^{2}}{{237}^{circ }}}$ ; л) $frac{2cos (-3pi -beta ) +sin (-frac{pi }{2}+beta )}{3cos (beta +pi )}$

м) $frac{4sin (alpha +2pi )+cos (3frac{pi }{2}+alpha )}{2sin (alpha +pi )}$

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

2. Найдите значение выражения:

а) , если

б) $8sin (frac{5pi }{2} +alpha )$ , если и

в) $-15cos (frac{3pi }{2} +alpha )$ , если $cos alpha =frac{7}{25}$ и

г) $tg (alpha -frac{pi}{2})$ , если .

д) $3cos (-pi +beta )+5sin (frac{pi }{2}+beta )$ , если $cos beta =-frac{1}{2}$

е) $7sin (alpha +2pi )+3cos (-frac{pi}{2}+alpha )$ , если .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Мне нравится

Источник

Поиск

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория:

Атрибут:

Всего: 172 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Запад. Вариант 1.

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа, 1.2.4 Основные тригонометрические тождества, 1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений, 1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла, 1.2.2 Радианная мера угла, 1.2.5 Формулы приведения, 1.2.6 Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов, 1.2.7 Синус и косинус двойного угла

Найдите если

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Найдите значение выражения

Раздел: Алгебра

Найдите значение выражения

Найдите если

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения

Всего: 172 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Формулы приведения в заданиях ЕГЭ

Тест предназначен для подготовки к государственной итоговой аттестации по алгебре и началам анализа, в нём содержатся задачи по разделу «Тригонометрия». В тесте 10 задач из Открытого банка.

Пройти тест

Образовательный тест

ЕГЭ

Тригонометрия

Формулы приведения

Алгебра и начала анализа

Автор:

Кирьянова М.В.

Источник:

Открытый банк ЕГЭ

Пройти онлайн тест Формулы приведения в заданиях ЕГЭ бесплатно без регистрации и без СМС

31.05.2020

273

Создан пользователем
Кирьянова Марина Владимировна

Хотите использовать этот тест в собственных целях?

Легко!

Для этого Вам необходимо авторизоваться на сайте и вернуться на эту страницу.
После этого здесь будет кнопка, с помощью которой вы сможете перейти к процедуре копирования.

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведения

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведенияadmin2022-10-13T15:58:11+03:00

Скачать файл в формате pdf.

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведения

Задача 1. Упростите выражение (frac{{cos left( {frac{pi }{2} — alpha } right)}}{{2sin alpha }})

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 2. Упростите выражение (frac{{3cos left( {frac{pi }{2} + alpha } right)}}{{2sin left( {pi — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,5.

Задача 3. Упростите выражение (frac{{3sin left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{4sin left( {frac{pi }{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,75.

Задача 4. Упростите выражение (frac{{ — 3cos left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{5sin left( {2pi — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.

Задача 5. Упростите выражение (frac{{sin left( {{{180}^ circ } + alpha } right)}}{{4cos left( {{{270}^ circ } + alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,25.

Задача 6. Упростите выражение (frac{{sin left( {alpha — {{180}^ circ }} right)}}{{5cos left( {{{90}^ circ } + alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,2.

Задача 7. Упростите выражение (frac{{{text{4}},{text{tg}}left( { — alpha — {{180}^ circ }} right)}}{{5,{text{ctg}}left( {{{90}^ circ } + alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.

Задача 8. Упростите выражение (frac{{6,{text{tg}}left( { — alpha + {{270}^ circ }} right)}}{{5,{text{ctg}}left( {{{360}^ circ } — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,2.

Задача 9. Упростите выражение (frac{{sin left( {pi + alpha } right) cdot cos left( { — alpha } right)}}{{2cos left( {pi + alpha } right) cdot sin left( {3pi — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 10. Упростите выражение (frac{{{text{5tg}}left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) cdot cos left( {pi — alpha } right)}}{{2,{text{ctg}}left( {pi + alpha } right) cdot sin left( {frac{{5pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.

Задача 11. Упростите выражение (frac{{{text{5cos}}left( {{{540}^ circ } + alpha } right) cdot cos left( {{{630}^ circ } — alpha } right)}}{{4,sin left( {alpha — {{450}^ circ }} right) cdot sin left( {alpha — {{900}^ circ }} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 1,25.

Задача 12. Упростите выражение (frac{{{text{7}},{text{tg}}left( {{{630}^ circ } + alpha } right) cdot cos left( {{{270}^ circ } — alpha } right)}}{{2,cos left( {alpha — {{810}^ circ }} right) cdot {text{tg}}left( {alpha — {{990}^ circ }} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -3,5.

Задача 13. Упростите выражение (frac{{{text{5sin}}left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right) + 2cos left( {pi — alpha } right)}}{{2,cos left( {pi + alpha } right) + sin left( {frac{{5pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Задача 14. Упростите выражение (frac{{{text{3tg}}left( {frac{{3pi }}{2} + alpha } right)}}{{2,{text{ctg}}left( {pi + alpha } right) + 4{text{tg}}left( { — frac{{5pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,5.

Задача 15. Упростите выражение (frac{{{text{6cos}}left( {frac{{7pi }}{2} + alpha } right) — 2sin left( {5pi — alpha } right)}}{{2,sin left( {7pi + alpha } right) + 4cos left( {frac{{17pi }}{2} — alpha } right)}})

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 16. Упростите выражение (frac{{{text{6cos}}left( {frac{pi }{2} + 2alpha } right) — 2sin left( {5pi — 2alpha } right)}}{{,sin left( {2alpha — pi } right) — 5cos left( {2alpha — frac{{7pi }}{2}} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 17. Упростите выражение (frac{{7cos {{72}^ circ }}}{{sin {{18}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Задача 18. Упростите выражение (frac{{7cos {{165}^ circ }}}{{4cos {{15}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,75.

Задача 19. Упростите выражение (frac{{12sin {{49}^ circ }}}{{5sin {{311}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -2,4.

Задача 20. Упростите выражение (frac{{2cos {{440}^ circ }}}{{cos {{80}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Задача 21. Упростите выражение (frac{{3,{text{ctg}},{{562}^ circ }}}{{{text{5ctg}},{{202}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.

Задача 22. Упростите выражение (frac{{3,{text{ctg}},{{62}^ circ }}}{{{text{8}},{text{tg}},{{152}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -0,375.

Задача 23. Упростите выражение (12,,{text{tg}},{37^ circ } cdot {text{tg}},{53^ circ })

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Задача 24. Упростите выражение (23,,{text{ctg}},{49^ circ } cdot ,,{text{ctg}},{139^ circ })

Ответ

ОТВЕТ: -23.

Задача 25. Упростите выражение (frac{{ — 2}}{{{{sin }^2}{{152}^ circ } + {{sin }^2}{{242}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: -2.

Задача 26. Упростите выражение (frac{{32}}{{{{cos }^2}{{37}^ circ } + {{cos }^2}{{233}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 32.

Задача 27. Упростите выражение (frac{{24}}{{{{cos }^2}{{89}^ circ } + {{sin }^2}{{269}^ circ }}})

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Задача 28. Упростите выражение (frac{{ — 1,5}}{{{{sin }^2}{{25}^ circ } + {{cos }^2}left( { — {{155}^ circ }} right)}})

Ответ

ОТВЕТ: -1,5.

Задача 29. Найдите (4sin left( {frac{{11pi }}{2} — alpha } right)), если (sin alpha = 0,6) и (alpha in left( {frac{pi }{2};;pi } right))

Ответ

ОТВЕТ: 3,2.

Задача 30. Найдите (39cos left( {frac{{5pi }}{2} + alpha } right)), если (cos alpha = frac{{12}}{{13}}) и (alpha in left( {frac{{3pi }}{2};;2pi } right))

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Задача 31. Найдите ({text{5}},{text{tg}}left( {alpha + frac{{3pi }}{2}} right)), если ({text{tg}},alpha ,{text{ = }},{text{0}}{text{,4}})

Ответ

ОТВЕТ: -12,5.

Задача 32. Найдите (5,{text{ctg}}left( {frac{{3pi }}{2} — beta } right) — 4{text{tg}}left( { — beta } right)), если ({text{tg}},beta ,{text{ = }},9)

Ответ

ОТВЕТ: 81.

Задача 33. Найдите (4cos left( {3pi + beta } right) — 2sin left( {frac{{3pi }}{2} + beta } right)), если (cos beta = — frac{1}{4})

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Задача 34. Найдите (5sin left( {alpha — 3pi } right) + 2cos left( {frac{pi }{2} + alpha } right)), если (sin alpha = — 0,25)

Ответ

ОТВЕТ: 1,75.

Источник

Главная
Математика профильная
Уравнения
Отбор корней

13. Уравнения

Формат ответа: цифра или несколько цифр, слово или несколько слов. Вопросы на соответствие «буква» — «цифра» должны записываться как несколько цифр. Между словами и цифрами не должно быть пробелов или других знаков.

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

Раскрыть
Скрыть

№1

а) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

ответ

а) Решим уравнение, применяя формулы приведения:

sinx + sinx + 2sin²x =

2sinx + 2sin²x =

4sin²x + 4sinx − 3 = 0.

Пусть sinx = t, |t| ≤ 1.

Получим систему:

t =

sinx =

x = (−1)^k + πk, k ϵ Z.

Результат решения этого уравнения разложим на два составляющих решения:

б) Каждое из этих решений должно находиться на промежутке .

− ≤ + 2πn ≤ π

− π ≤ 2πn ≤ π

− ≤ n ≤ , n = 0.

При n = 0, получим .

− ≤ + 2πm ≤ π

− π ≤ 2πm ≤ π

− ≤ m ≤ , m = 0.

При m = 0 получим x = .

№2

а) Решите уравнение 2sin2x = 4cosx – sinx + 1

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

ответ

а) Преобразуем уравнение:

4sinx·cosx – 4cosx + sinx – 1 = 0;

4cosx·(sinx – 1) + (sinx – 1) = 0;

(sinx – 1)·(4cosx + 1) = 0;

Получаем: sinx = 1 или cosx = −, откуда x = + 2πk, или x = ±arccos + 2πk, k ϵ Z.

б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке , в данной задаче это можно сделать визуально без каких−либо дополнительных расчётов:

Заданному интервалу принадлежат корни:

, arccos, 2π − arccos.

№3

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку.

ответ

а) Используем формулу приведения:

cos = cosx.

Напомним, что можно обойтись без понятия формулы приведения, расписав косинус суммы двух углов и подставив в полученное выражение значения функций синус и косинус в точке .

2sinx·cosx = cosx, теперь вынесем общий множитель за скобку:

sin2x = cosx;

2sinx·cosx = cosx;

2sinx·cosx – cosx = 0;

cosx·(2sinx – 1) = 0.

Тогда cosx = 0 или sinx = .

Решая cosx = 0 получим: x = + πk, k ϵ Z.

Решая sinx = получим: x = + 2πk, k ϵ Z или x = + 2πk, k ϵ Z.

Таким образом: x = + πk, x = + 2πk, x = + 2πk, k ϵ Z.

б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке .

Находим:

Без расчётов, визуально сходу определить корни принадлежащие отрезку может далеко не каждый, нужна серьёзная практика, поэтому покажем безошибочный способ отбора корней, которым советуем пользоваться: переведём радианы в градусы. Так как π радиан это 180º, то отрезок будет выглядеть следующим образом: [450º; 720º]. Отберём корни, подставляя значения k в полученное решение уравнения:

При k = 1:

x = + π = + = = 270º;

x = + 2π = + = = 390º;

x = + 2π = + = = 510º.

При k = 2:

x = + 2π = + = = 450º;

x = + 4π = + = = 750º;

x = + 4π = + = = 870º.

При k = 3:

x = + 3π = + = = 630º;

x = + 6π = + = = 1100º;

x = + = = 1230º.

При k = 4: проверять корни нет смысла, так как видно, что результат будет лежать вне пределов интервала: x = + 4π > 720º.

Отрезку [450º; 720º] принадлежат корни 390º; 450º; 510º, в радианах это Ответ можно записывать либо в градусах, либо радианах, значения не имеет.

№4

а) Решите уравнение ctgx·sin2x + cos2x = 1

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу (0; π).

ответ

Преобразуем уравнение:

·2sinx·cosx – (1 – cos2x) = 0 2cos²x – 2sin²x = 0 cos2x = 0

2x = + πn, n ϵ Z;

x = + n, n ϵ Z.

0 < + n < π −1/4 < n/2 < 3/4 −1/2 < n < 3/2, n = 0,1

При n = 0, получим x = , а при n = 1 получим .

№5

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

Перенесем все слагаемые влево, воспользуемся формулой синуса двойного угла и вынесем повторяющийся элемент за скобки:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0:

б) Отметим корни на числовой окружности и выделим необходимый промежуток

Все найденные корни располагаются во втором периоде.

№6

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

Перенесем слааемые в левую части и используем формулы приведения:

Получили однородное уравнение первой степени. Разделим на cosx ≠ 0 (cosx≠ 0, ибо, в противном случае, из уравнения следует, что и sinx = 0, что невозможно, так как тогда не будет выполняться основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x =1).

б) Построим график функции тангенс и определим корни, принадлежащие промежутку.

Видно, что нужный корень располагается в 3 периоде, то есть .

№7

а) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифма

Пусть .

Тогда

б) Построим график косинуса и определим корни в промежутке .

Единственный корень в промежутке – ближайший корень левее чем .

№8

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифма

б) Построим график косинуса и определим корни в промежутке .

Первый корень получается движением от вправо, то есть , а второй движение от 0 влево .

№9

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

б) Так как основание логарифма больше 1, то данная функция возрастает.

, поэтому корень не попадает в нужный промежуток.

Заметим, что

№10

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства степеней

Сгруппируем слагаемые

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

б) Так как основание логарифма больше 1, то данная функция возрастает.

и не попадает в нужный интервал.

№11

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

ответ

а) Преобразуем выражение, используя свойства логарифма

По теореме Виета

б) Так как основание логарифма больше 1, то данная функция возрастает.

Приведём к одному основанию.

Откуда:

Очевидно, что -2 меньше .

Тогда корень (-2) входит в промежуток.

Заметим, что , то есть левая граница данного в условии промежутка отрицательная. Корень 16 – положительное число, значит, оно явно больше левой границы.

Сравним 16 и

тогда корень 16 не входит в промежуток.

№12

а) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

ответ

а) Отметим, что выражение √2sin2x ≥ 0, так как |cosx + sinx| имеет неотрицательное значение, поэтому sin2x ≥ 0.

Используя свойство модуля, получим два отдельных уравнения, решения каждого из них будут являться решением данного уравнения:

cosx + sinx = √2sin2x или –(cosx + sinx) = √2sin2x.

Решаем cosx + sinx = √2sin2x.

Возводим в квадрат обе части:

(cosx + sinx)² = 2sin²2x;

cos²x + 2cosx·sinx + sin²x = 2sin²2x;

2sin²2x − sin2x – 1 = 0.

Решая квадратное уравнение, получим: sin2x = 1 и sin2x = −.

Так как sin2x ≥ 0 (это область допустимых значений), то второе уравнение решать нет смысла.

Решаем sin2x = 1, получим:

2x = + 2πn, n ϵ Z ;

x = + πn, n ϵ Z.

Решением уравнения –(cosx + sinx) = √2sin2x является тот же корень, так как при возведении в квадрат обеих частей получим то же уравнение.

б) Сделаем отбор корней на данном в условии промежутке , используя метод двойного неравенства.

Для этого подставим найденный в пункте а) корень x = + πn, n ϵ Z в промежуток, а затем учтем, что n может быть только целым числом.

В этот промежуток входят только два целых значения n – это n=3 и 4.

Подставим их в изначальный корень.

Пора зарегистрироваться!

Так твой прогресс будет сохраняться.

Регистрация

Начало работы

Привет сейчас ты за 5 шагов узнаешь, как пользоваться платформой

Смотреть

Выбери тест

«Выбери тест, предмет и нажми кнопку «Начать решать»

1 / 6

Вкладки

После выбора предмета необходимо выбрать на вкладке задания, варианты ЕГЭ, ОГЭ или другого теста, или теорию

2 / 6

Задания

Решай задания и записывай ответы. После 1-ой попытки
ты сможешь посмотреть решение

3 / 6

Статистика

Сбоку ты можешь посмотреть статистику и прогресс по предмету

4 / 6

Решение

Нажми, чтобы начать решать вариант. Как только ты перейдешь
на страницу, запустится счетчик времени, поэтому подготовь заранее все, что может тебе понадобиться

5 / 6

Отметки

Отмечай те статьи, что прочитал, чтобы было удобнее ориентироваться в оглавлении

6 / 6

Молодец!

Ты прошел обучение! Теперь ты знаешь как пользоваться сайтом
и можешь переходить к решению заданий

Источник

Как вы, наверное, уже обратили внимание, формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (π+a), (π-a), (frac{3pi}{2}+a), (frac{3pi}{2}-a), (2π+a) и (2π-a). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: (90^°+a), (90^°-a), (180^°+a), (180^°-a), (270^°+a), (270^°-a), (180^°+a), (180^°-a).
К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Содержание:

Как быстро получить любую формулу приведения
Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?
Примеры из ЕГЭ с формулами приведения
Как доказать формулу приведения

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция: Кофункция:
(sin⁡) (a) (→) (cos⁡) (a)
(cos⁡) (a) (→) (sin⁡) (a)
(tg⁡) (a) (→) (ctg) (a)
(ctg⁡) (a) (→) (tg) (a)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс
или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
— как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для (⁡cos⁡(frac{3pi}{2}-a) =….) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что (a) – угол от (0) до (frac{pi}{2}), т.е. лежит в пределах (0°…90^°) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол (frac{3pi}{2}-a)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей (frac{3pi}{2}), повернуть в отрицательную сторону на угол (a).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: (cos(frac{3pi}{2}-a)=-…)

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

— если «точка привязки» (frac{pi}{2}) ((90^°)) или (frac{3pi}{2}) ((270^°))– функция меняется на кофункцию;
— если «точка привязки» (π) ((180^°)) или (2π) ((360^°)) – функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции (frac{pi}{2}+a), (frac{pi}{2}-a), (frac{3pi}{2}+a) или (frac{pi}{2}-a), мы должны поменять функцию, а при аргументах (π+a), (π-a), (2π+a) или (2π-a) — нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие (frac{pi}{2}) ((90^°)) и (frac{3pi}{2}) ((270^°)), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие (π) ((180^°)) и (2π) ((360^°)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» — и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=…) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, (cos⁡(frac{3π}{2}-a)=-sin⁡) (a). Это и есть верная формула приведения.

Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (frac{18 cos {⁡{41}^°} }{sin⁡ {{49}^°}})

Решение:

(frac{18 cos {{⁡41}^°} }{sin⁡{{49}^°}}=)	Углы ({41}^°) и ({49}^°) нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако использовав формулы привидения, мы легко найдем правильный ответ. Прежде всего, обратите внимание на один важный момент: (49^°=90^°-41^°). Поэтому мы можем заменить (49^°) на (90^°-41^°).
(=frac{18 cos {⁡41^° }}{sin⁡ {({90}^°-{41}^°)}}=)	Теперь применим к синусу формулу приведения: (90^°-41^°) – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс; (90^°)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию. (sin⁡{(90^°-41^°)}=cos⁡ 41^° )
(=frac{18 cos {⁡41^° }}{cos⁡ {{41}^°}}=)	В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.
(= 18)	Записываем ответ

Ответ: (18).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (frac{5,tg⁡,163^°}{tg⁡,17^°})

Решение:

(frac{5, tg⁡,163^°}{tg⁡,17^°}=)

Опять замечаем интересное «совпадение»: (163^°=180^°-17^°). Поэтому можно заменить (163^°) на (180^°-17^°).

(=frac{5,tg⁡,(180^°-17^°)}{tg⁡,17^°}=)

Воспользуемся формулой приведения:

((180^°-17^°)) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;
(180^°) — находится на «горизонтали» — функция остается прежней.

Значит, (tg⁡,(180^°-17^°)=-tg⁡,17^°).

(=-frac{5,tg⁡,17^°}{tg⁡,17^°})(=-5)

Ответ: (-5).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения (-19,tg,101^°cdot tg,191^°)

Решение:

(-19,tg,101^°cdot tg ,91^°=)		(101^°=90^°+11^°); (191^°=180^°+11^°).
(=-19,tg,(90^°+11^° )cdot tg, (180^°+11^° )=)		Применим формулы приведения: ((90^°+11^°)) – это вторая четверть, тангенс в ней отрицателен. Значит, знак будет минус; (90^°)- находится на «вертикали» — функция меняется. Значит, (tg⁡,(90^°+11^°)=-ctg⁡,11^°). ((180^°+11^°)) – это третья четверть, тангенс в ней положителен. Значит, знак будет плюс; (180^°) — находится на «горизонтали» — функция остается прежней. Значит, (tg⁡,(180^°+11^°)=tg⁡,11^°).
(=19,ctg,11^°cdot tg,11^°=)		Вот тут можно применить одну из формул связи.
(=19).

Ответ: (19).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить: (frac{-12}{sin^2⁡{131}^° + sin^2⁡{221}^°}).

Решение:

(frac{-12}{sin^2⁡{131}^° + sin^2⁡{221}^°})		(131^°=90^°+41^°); (221^°=180^°+41^°).
(frac{-12}{sin^2⁡(90^°+41^°)+ sin^2⁡(180^°+41^°)})		(sin^2⁡(90^°+41^°):) ((90^°+41^°)) – (90^°) на вертикали, синус меняется на косинус; Знак синуса не важен, так как он все равно в квадрате. (sin^2⁡(180^°+41^° ):) ((180^°+41^°)) – (180^°) на горизонтальной оси, синус остается синусом.
(frac{-12}{cos^2⁡{41^°} + sin^2⁡{41^°}})		Очевидно, что в знаменателе можно применить основное тригонометрическое тождество.
(=frac{-12}{1}=-12).

Ответ: (-12).

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите (26, cos⁡(frac{3π}{2}+α)), если (cos⁡α=frac{12}{13}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)).

Решение:

Очевидно, что к исходному выражению можно применить формулу приведения (26,cos⁡(frac{3π}{2}+α)=26,sin⁡α). Задача свелась к нахождению синуса по косинусу, много похожих заданий было разобрано в статье «формулы связи».

(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1)
(sin^2⁡α+(frac{12}{13})^2=1)
(sin^2⁡α+frac{144}{169}=1)
(sin^2⁡α=1-frac{144}{169})
(sin^2⁡α=frac{169-144}{169})
(sin^2⁡α=frac{25}{169})
(sin⁡,α=±frac{5}{13})

С учетом того, что (α∈(frac{3π}{2};2π)), то есть в четвертой четверти, (sin,⁡α=-frac{5}{13}).

(26,cos⁡(frac{3π}{2}+α)=26,sin⁡α=26cdot (-frac{5}{13})=-frac{26cdot 5}{13}=-2cdot 5=-10).

Ответ: (-10).

Ну и последний пример – с очень важным выводом после него.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Вычислить, чему равен (ctg(-a-frac{7π}{2})), если (tg⁡,a=2).

Решение:

(ctg(-a-frac{7π}{2})=)		Прежде чем применять формулу приведения, приведем аргумент функции к стандартному (одному из указанных в начале статьи). Давайте поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки – для того, чтобы a стояла после «точки привязки».
(= ctg(-frac{7π}{2}-a) =)		Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.
(= ctg(-(frac{7π}{2}+a)) =)		Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть (ctg,(-t)=- ctg,t). Преобразовываем наше выражение.
(=- ctg(frac{7π}{2}+a) =)		Теперь преобразуем (frac{7π}{2}) следующим образом: (frac{7π}{2}=frac{4π+3π}{2}=2π+frac{3π}{2}).
(=- ctg(2π+frac{3π}{2}+a) =)		Но ведь (2π) – это просто полный оборот по кругу, он не оказывает никакого влияния на значение функции: (ctg,(2π+x)=ctg(x)). Так что, его можно просто отбросить.
(=- ctg(frac{3π}{2}+a) =)		Вот теперь применяем формулу приведения. ((frac{3π}{2}+a)) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» — вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем (ctg(frac{3π}{2}+a)=-tg,a).
(= — (- tg,a) = tg,a = 2)		Готов ответ.

Ответ: (2).

Важное замечание! На самом деле преобразовывать функцию по формулам приведения можно было сразу после получения (ctg(-frac{7π}{2}-a)), не делая все последующие преобразования.
Действительно:
((-frac{7π}{2}-a)) – это первая четверть, там котангенс положителен.
«Точка привязки» — вертикальная, то есть функцию меняем.
Таким образом, можно сразу получить, что (ctg,(-frac{7π}{2}-a)=tg,a).

Вывод:

«Точки привязки» не ограничиваются только лишь значениями (frac{π}{2}),(π),(frac{3π}{2}) и (2π), а могут быть любой из точек, лежащих на пересечении круга с осями: (5π),(-frac{17π}{2}),(-12π),(frac{25π}{2})…

Но обратите внимание – они никогда не могут быть (-frac{π}{3}),(frac{5π}{6}),(frac{17π}{4}) и т.д. – потому что эти точки не лежат на пересечении с осями. Давайте, вместе выясним почему это так.

Как доказать формулу приведения, или почему «точки привязки» обязательно должны быть точками пересечения с осями

Возьмем какую-либо формулу приведения – например, вот эту (sin⁡(frac{π}{2}+a)=cos⁡a) – и попробуем получить из левой части правую.
Что у нас слева? Синус суммы аргументов.
У нас на этот случай есть формула: (sin⁡(x+y)=sin⁡x cos⁡y+sin⁡y cos⁡x)
Применим ее: (sin⁡(frac{π}{2}+a)=sin⁡frac{π}{2}cos⁡a+sin⁡a cos⁡frac{π}{2})
Мы знаем, что (sin⁡frac{π}{2}=1, а cos⁡frac{π}{2}=0). Таким образом имеем окончательную цепочку преобразований:

(sin⁡(frac{π}{2}+a)=sin⁡frac{π}{2}cos⁡a+sin⁡a cos⁡frac{π}{2}=1·cos⁡a+sin⁡a·0=cos⁡a)

Получилось!

Попробуем еще. Возьмем вот эту формулу: (cos⁡(π-a)=-cos⁡a)
Преобразовываем с помощью формулы разности в косинусе:

(cos⁡(π-a)=cos⁡π cos⁡a+sin⁡a sin⁡π=-1·cos⁡a+sin⁡a·0=-cos⁡a)

Опять всё верно.

Ну и еще одну: (cos⁡(frac{3π}{2}+a)=sin⁡a)
Преобразовываем с помощью формулы суммы в косинусе:

(cos⁡(frac{3π}{2}+a)=cos⁡frac{3π}{2}cos⁡a-sin⁡a sin⁡frac{3π}{2}=0·cos⁡a-sin⁡a·(-1)=sin⁡a)

Сошлось.

А теперь присмотритесь к преобразованиям. Замечаете что-нибудь общее?
Да, всё верно — во всех случаях у нас одна из функций превращается в (1) или (-1), а вторая в (0). И именно благодаря этому — итоговое выражение становится проще!

А теперь давайте попробуем взять в качестве «точки привязки» не точку пересечения с осями, а какую-нибудь другую, например, (frac{π}{3}):

(cos⁡(frac{π}{3}-a)=cos⁡frac{π}{3}cos⁡a+sin⁡a sin⁡frac{π}{3}=frac{1}{2}·cos⁡a+sin⁡a·frac{sqrt{3}}{2}=)(frac{cos⁡a+sqrt{3}sin⁡a}{2})

Мда… Что-то такое себе упрощение получилось…

Понимаете теперь?

«Точки привязки» должны быть точками пересечения с осями, потому что только в этом случае получаются более простые выражения. Так происходит потому, что в точках пересечения круга с осями всегда одна из функций (синус или косинус) равна нулю, а вторая плюс или минус единице. Для всех остальных точек – это не работает.

Смотрите также:
Формулы тригонометрии с примерами
Как доказать тригонометрическое тождество?

Источник

Скачать:

Предварительный просмотр:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Формулы приведения в заданиях ЕГЭ

Хотите использовать этот тест в собственных целях?

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведения

Алгебра 10-11 класс. Формулы приведения

13. Уравнения

Пора зарегистрироваться!

Начало работы

Выбери тест

Вкладки

Задания

Статистика

Решение

Отметки

Молодец!

Как быстро получить любую формулу приведения

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

— если «точка привязки» (frac{pi}{2}) ((90^°)) или (frac{3pi}{2}) ((270^°))– функция меняется на кофункцию; — если «точка привязки» (π) ((180^°)) или (2π) ((360^°)) – функция остается той же.

Примеры из ЕГЭ с формулами приведения:

Как доказать формулу приведения, или почему «точки привязки» обязательно должны быть точками пересечения с осями

— если «точка привязки» (frac{pi}{2}) ((90^°)) или (frac{3pi}{2}) ((270^°))– функция меняется на кофункцию;
— если «точка привязки» (π) ((180^°)) или (2π) ((360^°)) – функция остается той же.