Формулы производной для егэ профиль - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 11.

Прокомментируем несколько строк из таблицы производных.

1. Производная постоянной величины, то есть константы, равна ей самой. Так и должно быть. Ведь константа не меняется. Это постоянная величина, она всегда принимает одинаковые значения.

А производная функции, как мы знаем, – это скорость изменения функции. Подробнее об этом здесь:
Производная функции.
И поэтому производная константы равна нулю.

2. Производная функции у=х равна 1. Вспомним, что производная функции в точке – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. График функции у=х образует угол 45 градусов с положительным направлением оси Х. А тангенс 45 градусов равен 1.

3. Производная функции $y=e^{x}$ равна самой этой функции. И действительно, чем больше значение х, тем больше значение функции $y=e^{x}$ … и тем круче вверх идет график по отношению к оси Х. Вот такая это функция, экспонента. Чем дальше, тем быстрее она растет.

4. Производная синуса и косинуса – тоже тригонометрические функции. Например, производная синуса – это косинус. Как это отражается в физике? Если координата тела меняется по закону синуса, то производная координаты, скорость, будет меняться по закону косинуса. Это описание гармонических колебаний: и координата, и скорость, и ускорение тела меняются по законам синуса и косинуса.

5. Производная логарифма в точке $x_{0}$ обратно пропорциональна $x_{0}$ . Чем дальше, тем медленнее растет логарифмическая функция.

Вспомним, как связаны производная и поведение функции.

Если производная {f} положительна, то функция f(x) возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
	+	0	—	0	+

Разберем задачи ЕГЭ по теме «Таблица производных, нахождение наибольших и наименьших значений функции, нахождение точек максимума и минимума». Во всех этих примерах мы пользуемся формулами из таблицы производных.

Задача 1. Найдите точки максимумам функции $displaystyle y=-frac{x^{2}+25}{x}.$

Решение:

Область определения функции:

Найдем производную функции, пользуясь формулой производной частного из таблицы.

{y} если x=pm 5.

Точки х = 5 и х = -5, а также точка ноль, разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Это метод интервалов.

Найдем знаки производной на каждом интервале.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Это точка 5 на рисунке.

Ответ: 5.

Задача 2. Найдите точки минимума функции $y=e^{x+10}(8x-3).$

Решение:

Применим формулу производной произведения.

{y}

Приравняем производную к нулю:

{y} , если 8x-5=0, $displaystyle x=frac{5}{8}=0,625.$

Если то {y} функция убывает.

Если то {y} функция возрастает, значит, x=0,625 – точка минимума функции y(x).

В этой точке производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Ответ: 0,625.

Задача 3. Найдите значение функции $f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$ в точке максимума.

Решение:

Найдем производную функции:

Мы применили формулы производной степени.

Решим уравнение:

$3x^{3}-12x^{2}-4x+12=0Leftrightarrow 3x^{3}(x-3)-4(x-3)=0Leftrightarrow$
$Leftrightarrow (x-3)cdot 4cdot (x-1)cdot (x+1)=0Leftrightarrow left[begin{array}{c}x=3\x=1\x=-1\end{array}right. .$

Получили критические точки, в которых производная равна нулю. Отметим их на оси Х и найдём знаки производной.

x=1 – точка максимума.

Найдём значение функции в этой точке:

Ответ: 16.

Рассмотрим задачи ЕГЭ на нахождение наибольших и наименьших значений функций.

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке:

Это значит, что у нас есть алгоритм для нахождения наибольших и наименьших значений функции на интервале.

Пусть функция f(x) определена на некотором интервале. Чтобы найти ее наибольшее или наименьшее значение, действуем следующим образом:

Находим производную функции.
Приравниваем производную к нулю, находим точки, в которых она равна нулю.
Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке $x_{0}$ , то $x_{0}$ – точка максимума функции.
Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке $x_{0}$ , то $x_{0}$ – точка минимума функции.
Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке максимума и концах отрезка.
Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, сравниваем значения в точке минимума и концах отрезка.

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение:

Найдем производную:

Приравняем производную к нулю:

$displaystyle Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+pi n, nin Z.$

Если то $displaystyle x=frac{pi }{4}.$

Так как

Точка $displaystyle x=frac{pi }{4}$ – точка максимума функции $displaystyle y(x); y_{max}(x)=yleft (frac{pi }{4}right )=4.$

В этой точке функция принимает наибольшее значение на указанном отрезке.

Ответ: 4.

Задача 5. Найдите наименьшее значение функции $y=(x-21)e^{x-20}$ на отрезке

Решение:

Найдем производную функции:

при x=20.

Найдем знаки производной слева и справа от точки x=20.

Если то {y}

Значит, x=20 – точка минимума. Наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=20.

Это значение равно

Ответ: -1.

Задача 6. Найдите наибольшее значение функции $y=3x^{2}-13x+7ln+5$ на отрезке $displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].$

Решение:

Область определения функции:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

$displaystyle =frac{6(x-1)left ( x-frac{7}{6} right )}{x}.$

если $6x^{2}-13x+7=0.$

или $displaystyle x=frac{7}{6}.$ Второй корень не принадлежит отрезку $displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ].$

Найдем знаки производной на отрезке:

В точке x=1 производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, это точка максимума, и наибольшее значение функции на отрезке $displaystyle left [ frac{13}{14};frac{15}{14} right ]$ достигается при x=1.

Найдем значение функции при x=1:

Ответ: -5.

В следующих задачах наименьшее значение функции достигается на конце отрезка.

Задача 7. Найдите наименьшее значение функции $y=3cosx-pi x+pi ^{2}$ на отрезке

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

У этого уравнения нет решений, так как $displaystyle-frac{pi }{3}textless -1.$

Это значит, что при любых то есть а это означает, что y(x) – убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка

$y_{min}=y(pi )=-3.$

Ответ: -3.

Задача 8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $displaystyle left [ -frac{pi }{2}; 0 right ].$

Решение:

Найдем производную функции:

Производная функции не равна нулю ни при каком .

Мы знаем, что Тогда

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

для всех

Значит, производная положительна при любом значении переменной, функция монотонно возрастает. Наибольшее значение функции будет достигаться в правом конце отрезка, то есть при x=0.

$y_{naim}=y(0)=7cdot 0-6sin0+8=8.$

Ответ: 8.

Задача 9. Найдите наименьшее значение функции $displaystyle y=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot x-4sqrt{3}cdot cosx$ на отрезке $displaystyleleft [ 0; frac{pi }{2} right ].$

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

тогда $displaystyle sinx=frac{1}{2}.$

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение $displaystyle x=frac{pi }{6}.$

Слева от этой точки Если производная отрицательна.

Справа от этой точки производная положительна.

Значит, $displaystyle x=frac{pi }{6}$ – точка минимума функции, и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

$displaystyle yleft ( frac{pi }{6} right )=13+frac{sqrt{3}pi }{3}-2sqrt{3}cdot frac{pi }{6}-4sqrt{3}cdot cosfrac{pi }{6}=$

$displaystyle =13+frac{sqrt{3}pi }{3}-frac{sqrt{3}pi }{3}-4sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}=13-6=7.$

Ответ: 7.

В задачах ЕГЭ встречаются сложные функции. И найти нужно их точки максимума или минимума, наибольшие или наименьшие значения. Но производную сложной функции в школьной программе по-настоящему не проходят. Как же быть? Покажем полезные приемы, помогающие решить такие задания ЕГЭ.

Задача 10. Найдите наименьшее значение функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).$

Решение:

Рассмотрим функцию $y=log_{2}t.$

Так как функция $y=log_{2}t$ монотонно возрастает, точка минимума функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5)$ будет при том же значении , что и точка минимума функции $t(x)=x^{2}+x+0,5.$ А ее найти легко:

при $displaystyle x=-frac{1}{2}.$

В точке $displaystyle x=-frac{1}{2}$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $displaystyle x=-frac{1}{2}$ – единственная точка минимума функции t(x) и функции $y=log_{2}(x^{2}+x+0,5).$

$displaystyle y_{min}=yleft ( -frac{1}{2} right )=log_{2}left ( frac{1}{4}-frac{1}{2}+0,5 right )=log_{2}frac{1}{4}=-2.$

Ответ: -2.

Задача 11. Найдите наибольшее значение функции $y=sqrt{x^{2}-4x+13}$ на отрезке

Решение:

$y=sqrt{x^{2}-4x+13}, xin [-0,5; 6].$

Так как функция монотонно возрастает при tgeq 0, точка минимума функции $y=sqrt{x^{2}-4x+13}$ соответствует точке минимума подкоренного выражения $t(x)={x^{2}-4x+13}.$

Заметим, что подкоренное выражение всегда положительно.

Функция $t(x)={x^{2}-4x+13}.$ задает квадратичную параболу с ветвями вверх и точкой минимума в вершине параболы, то есть при $displaystyle x=frac{4}{2}=2.$

Если $xin [-0,5; 2], y=sqrt{x^{2}-4x+13}$ – монотонно убывает.

Если $xin [2; 6], y=sqrt{x^{2}-4x+13}$ – монотонно возрастает.

Значит, наибольшее значение функции $y=sqrt{x^{2}-4x+13}$ на отрезке достигается в одном из концов этого отрезка.

Сравним и y=(6):

$y_{max}=6.$

Ответ: 6.

Задача 12. Найдите точку максимума функции $y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2.$

Решение:

Рассмотрим функцию $t(x)=2+2x-x^{2}.$

Ее график – парабола с ветвями вниз, и точка максимума будет в вершине параболы, при x=1. Функция $y(t)=log_{2}t$ монотонно возрастает, и значит, большему значению будет соответствовать большее значение y(t).

Точка максимума функции $y=log_{2}(2+2x-x^{2})-2$ будет такой же, как у функции $t(x)=2+2x-x^{2},$ то есть x=1.

Ответ: 1.

Читайте также: Задание 11 на ЕГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Таблица производных и правила дифференцирования» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Наверх

Шпаргалка по математике для 11 класса таблица производных, формулы и теория по производным может пригодиться при решении задания №7 ЕГЭ по математике.

Ссылка для скачивания шпаргалки №1 по производным: скачать в PDF

Ссылка для скачивания шпаргалки №2 по производным: скачать в PDF

В данной шпаргалке вы найдёте: формулы и правила дифференцирования, применение производной к исследованию функции, анализ графиков, геометрический и физический смысл производной, задачи на нахождения тангенса, задачи на нахождение коэффициента К, задачи на нахождение значения производной, условие касания функции и прямой.

Смотреть онлайн:

Кому нужно углубиться в данную тему, смотрите бесплатный видеоурок:

Смотреть видеоурок 2019-2020 производная, таблица производных

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Источник

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Источник

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x).

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет
обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Функция f (x)	Производная f’ (х)
С (т. е. константа, любое число)	0
х	1
xⁿ	nx^n-1
√x	1/(2√x)
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos²(х)
ctg x	-1/sin²x
e^x	e^x
a^x	a^x * ln a
ln x	1/x
log_ax	1/(x * ln a)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v²

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x³).

y′ = (5 ⋅ x³)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x³)’ = 5 ⋅ (x³)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х^3-1 = 15х²

Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x²)⁴?

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x²)⁴.

Заменим 3 + 2x² на u и тогда получим y = u⁴.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′_u ⋅ u′_x = 4u³ ⋅ u’_x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u³ ⋅ u′_x = 4 (3 + 2x²)³ ⋅ (3 + 2x²)′ = 16 (3 + 2x²)³ ⋅ х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x³ + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x³ + 4)′ ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ cos x′ = 3x² ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ (-sin x) = 3x² ⋅ cos x – (x³ + 4) ⋅ sin x

Ответы на задания

Источник

Вычисление производной часто встречается в заданиях ЕГЭ. Данная таблица содержит формулы для нахождения производных.Правила дифференцирования:(k⋅f(x))′=k⋅ f ′(x).

(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).

(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).

Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′(x)=Fu′⋅ux′.

Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x,y)=0, если F(x,f(x))≡0.

Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x).

Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t). Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈(a;b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x).

Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма.

Источник