Формулы тригонометрии егэ стади - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Самые необходимые тригонометрические формулы

Для того чтобы сдать ЕГЭ по математике, вам понадобится около 20 формул тригонометрии. Это не много. Но их надо знать наизусть!

Вот таблица, в которой собраны основные тригонометрические формулы. Здесь все самое необходимое. Их легко выучить и применять.

Эти формулы применяются и в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, и в заданиях 2 части.

Эта полезная табличка – только одна из многих страниц Справочника Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ. Скачай Справочник бесплатно здесь.

Кроме того, надо знать определения синуса, косинуса и тангенса, а также значения этих функций для основных углов.

Первые 3 блока формул из нашей таблицы часто встречаются в заданиях 1 части ЕГЭ и в задаче из второй части, где надо решить тригонометрическое уравнение.

В первую очередь это основное тригонометрическое тождество:

sin ${}^2 alpha +$ cos ${}^2 alpha =1.$

Это формулы, которые показывают, как выразить тангенс через косинус и котангенс через синус угла.

tg ${}^2alpha +1=displaystyle frac{1}{{{cos}^2 alpha }};$

1 + ctg ${}^2alpha =displaystyle frac{1}{{{sin}^2 alpha }}.$

Формулы синуса и косинуса двойного угла, формулы синуса суммы, косинуса разности, – все это надо знать, чтобы без ошибок решать тригонометрические уравнения.

А вот формулы суммы синусов и косинусов, а также преобразование произведения в сумму могут пригодиться при решении задач с параметрами.

Где же могут встретиться формулы из двух последних блоков, внизу таблицы?

Формулы понижения степени могут присутствовать и в тригонометрических уравнениях, и в «параметрах». И даже в задачах с физическим содержанием из 1 части ЕГЭ, если там вдруг попадется тригонометрия.

А универсальная тригонометрическая замена, когда мы выражаем синус и косинус угла альфа через тангенс половинного угла? А формулы синуса и косинуса тройных углов? Где же они применяются? Оказывается, они помогают решать задачи по геометрии из 2 части ЕГЭ. Так что их тоже стоит знать, если хотите сдать на высокий балл.

Обратите внимание, что в этой таблице нет формул приведения. О них мы рассказываем в отдельной статье нашего сайта.

Как же выучить тригонометрические формулы?

1. Учите формулы сразу. Не рассказывайте себе сказки о том, что в последнюю ночь перед ЕГЭ все выучите. Каждый день – один блок, то есть три-четыре формулы из нашей таблицы.

2. Тренируйтесь. Выучить иностранный язык проще всего тому, кто вынужден постоянно на нем говорить. Так и здесь. Для тренировки можно из классического задачника Сканави выбрать 20-50 заданий на преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.

3. Универсальный способ: ежедневно, садясь за уроки, берите чистый листок и выписывайте наизусть все тригонометрические формулы, какие помните. Когда всё готово — сверяете. И к экзамену вы будете помнить всё.

4. Еще один отличный способ. Вырежьте из плотной бумаги карточки. На одной пишете левую часть формулы. На другой – правую. Перемешиваете. И собираете. Любые формулы запоминаются легко и быстро!

5. И конечно, решаем задания ЕГЭ на применение этих формул. Начнем с задач 1 части, преобразование тригонометрических выражений.

Задача 1.

Найдите tg alpha , если cos $alpha =displaystyle frac{sqrt{10}}{10}$ и $alpha in left(displaystyle frac{3pi }{2};2pi right).$

Решение:

Воспользуемся формулой:

tg ${}^2x+1=displaystyle frac{1}{{cos}^2x} Rightarrow$ tg x $=pm sqrt{displaystyle frac{1}{{cos}^2x}-1}.$

Какой знак будет у тангенса, «плюс» или «минус»?

В условии дано, что $alpha in left(displaystyle frac{3pi }{2};2pi right)$ , то есть это угол из четвертой четверти, значит tgx

tgx $=-sqrt{displaystyle frac{100}{10}-1}=-3.$

Ответ: -3.

Задача 2.

Найдите $displaystyle frac{10{sin 6alpha }}{3{cos 3alpha }},$ если sin

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2 alpha = 2sin alpha cos alpha :

$displaystyle frac{10{sin 6alpha }}{3{sin 3alpha }}=displaystyle frac{10cdot 2{sin 3alpha }{cos 3alpha }}{3{sin 3alpha }}=displaystyle frac{20cdot {cos 3alpha }}{3}=displaystyle frac{20cdot 0,6}{3}=4.$

Ответ: 4.

Задача 3.

Найдите 24cos если sin

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: cos 2 alpha = 1 — 2sin ${}^2$ alpha :

24cos2 alpha = 24(1 — 2sin ${}^2 alpha )=24left(1-2{left(-0,2right)}^2right)=$

Ответ: 22,08.

Задача 4.

Найдите $displaystyle frac{3{cos alpha }-4{sin alpha }}{2{sin alpha }-5{cos alpha }},$ если tg alpha =3.

Решение:

Вынесем косинус альфа за скобки в числителе и знаменателе:

$displaystyle frac{3{cos alpha }-4{sin alpha }}{2{sin alpha }-5{cos alpha }}=displaystyle frac{{cos alpha }left(3-4tgalpha right)}{{cos alpha }left(2tgalpha -5right)}=displaystyle frac{3-4cdot 3}{2cdot 3-5}=displaystyle frac{-9}{1}=-9.$

Ответ: -9.

Задача 5.

Найдите значение выражения: $displaystyle frac{5{sin 98{}^circ }}{{sin 49{}^circ }cdot {sin 41{}^circ }}.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

sin2 alpha = 2sin alpha cos alpha ; тогда sin alpha cos alpha = $displaystyle frac{1}{2}{sin 2alpha } .$

$displaystyle frac{5{sin 98{}^circ }}{{sin 49{}^circ cdot {sin 41{}^circ } }}=displaystyle frac{10{sin 49{}^circ }cdot {cos 49{}^circ }}{{sin 49{}^circ cdot {sin 41{}^circ } }}=displaystyle frac{10{sin 41{}^circ }}{{sin 41{}^circ }}=10.$

Ответ: 10.

Задача 6.

Найдите значение выражения: sqrt{3} cos ${}^2 displaystyle frac{5pi }{12}-sqrt{3}$ sin ${}^2 displaystyle frac{5pi }{12} .$

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos alpha = cos ${}^2$ alpha — sin ${}^2$ alpha.

$sqrt{3}{{cos}^2 displaystyle frac{5pi }{12} }-sqrt{3}{{sin}^2 displaystyle frac{5pi }{12}=sqrt{3}left({{cos}^2 displaystyle frac{5pi }{12} }-{{sin}^2 displaystyle frac{5pi }{12} }right) }=$

cos $displaystyle frac{5pi }{6}=sqrt{3}cdot left(-displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)=-1,5.$

Ответ: -1,5.

Задача 7.

Найдите значение выражения: $-50tg 9{}^circ cdot$ tg $81{}^circ +31.$

Решение:

Используя формулы приведения, получим: tg $81{}^circ$ = tg $left(90{}^circ -9{}^circ right)$ = ctg $9{}^circ.$

Пользуемся также тем, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины,

Получим:

-50tg $9{}^circ cdot$ ctg $9{}^circ +31=-50+31 = - 19.$

Ответ: -19.

Задача 8.

Найдите значение выражения: sin ${}^2 displaystyle frac{21pi }{8}.$

Решение:

sin ${}^2 displaystyle frac{21pi }{8}=6sqrt{2}-12sqrt{2}$ sin ${}^2 displaystyle frac{21pi }{8}=6sqrt{2}cdot left(1-2{}^2 displaystyle frac{21pi }{8} right)=$

cos $(2cdot displaystyle frac{21pi }{8})=6sqrt{2}$ cos $displaystyle frac{21pi }{4}=6sqrt{2}$ cos $displaystyle frac{5pi }{4}=6sqrt{2}cdot displaystyle frac{sqrt{2}}{2}=6.$

Мы вынесли за скобки множитель и применили формулу косинуса двойного угла, выразив его через квадрат синуса угла.

Ответ: 6.

Задача 9.

Найдите значение выражения: 5sin $displaystyle frac{11pi }{12}cdot$ cos $displaystyle frac{11pi }{12}.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin alpha = 2sin alpha cos alpha . Также применим одну из формул приведения: sin = -sin alpha .

5sin $displaystyle frac{11pi }{12}$ cos $displaystyle frac{11pi }{12}=displaystyle frac{5}{2}cdot$ sin $displaystyle frac{11pi }{6}=displaystyle frac{5}{2}cdot$ sin $left(2pi -displaystyle frac{pi }{6}right)=-displaystyle frac{5}{2}cdot$ sin $displaystyle frac{pi }{6}=-displaystyle frac{5}{2}cdot displaystyle frac{1}{2}=-1,25.$

Ответ: -1,25.

Задача 10.

Найдите значение выражения: $2sqrt{3}-4sqrt{3}{{sin}^2 displaystyle frac{7pi }{12}}.$

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos2 alpha = 1 — 2 ${sin}^2 alpha.$

$2sqrt{3}-4sqrt{3}{{sin}^2 displaystyle frac{7pi }{12}= }2sqrt{3}(1-2{{sin}^2 displaystyle frac{7pi }{12})= }$

cos $displaystyle frac{7pi }{6}=2sqrt{3}cdot$ cos $left(pi +displaystyle frac{pi }{6}right)=-2sqrt{3}cdot$ cos $displaystyle frac{pi }{6}=-2sqrt{3}cdot displaystyle frac{sqrt{3}}{2}=-3.$

Ответ: -3.

Задача 11.

Найдите значение выражения: $sqrt{108}{{cos}^2 displaystyle frac{pi }{12} }-sqrt{27}.$

Решение:

Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos2 alpha = ${cos}^2 alpha -sin{}^2 alpha = 2cos{}^2 alpha -1.$

cos ${}^2 displaystyle frac{pi }{12}-sqrt{27}=6sqrt{3}$ cos ${}^2 displaystyle frac{pi }{12}-3sqrt{3}=3sqrt{3}left(2{{cos}^2 displaystyle frac{pi }{12} }-1right)=3sqrt{3}cdot$ cos $displaystyle frac{pi }{6}=$

$=3sqrt{3}cdot displaystyle frac{sqrt{3}}{2} =4,5.$

Ответ: 4,5.

Задача 12.

Найдите значение выражения: $-displaystyle frac{6{sin 374{}^circ }}{{sin 14{}^circ }}.$

$displaystyle frac{-6{sin 374{}^circ }}{{sin 14{}^circ }}=displaystyle frac{-6{sin 14{}^circ }}{{sin 14{}^circ }}=-6.$

Мы воспользовались периодичностью функции синус: sinsin alpha . В нашей задаче 374 = 360 + 14.

Ответ: — 6.

Задача 13.

Найдите значение выражения: $7sqrt{2}{sin displaystyle frac{15pi }{8}cdot {cos displaystyle frac{15pi }{8} } }.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin2 alpha = 2sin alpha cos alpha.

sin $displaystyle frac{15pi }{8}cdot$ cos $displaystyle frac{15pi }{8}=displaystyle frac{7sqrt{2}}{2}cdot$ sin $displaystyle frac{15pi }{4}=displaystyle frac{7sqrt{2}}{2}cdot$ sin $left(4pi -displaystyle frac{pi }{4}right)=displaystyle frac{7sqrt{2}}{2}cdot$ sin $displaystyle frac{pi }{4}=displaystyle frac{7sqrt{2}}{2}cdot displaystyle frac{sqrt{2}}{2}=3,5.$

Ответ: 3,5.

Заметим, что если в задаче нам встретилось произведение синуса альфа на косинус альфа, то, скорее всего, нужно будет применять формулу синуса двойного угла.

Задача 14.

Найдите tg alpha , если cos alpha $=-displaystyle frac{5sqrt{41}}{41}$ и $alpha in left(pi ;displaystyle frac{3pi }{2}right).$

Решение:

Вспомним основное тригонометрическое тождество: ${{cos}^2 alpha }+ {{sin}^2 alpha }=1.$ Выразим из этой формулы синус альфа:

sin alpha $=pm sqrt{1-{{cos}^2 alpha }}.$

Какой же знак выбрать, «плюс» или «минус»?

Угол альфа в третьей четверти, значит, его синус отрицателен.

sin alpha $=-sqrt{1-{left(-displaystyle frac{5sqrt{41}}{41}right)}^2}=-sqrt{1-displaystyle frac{25}{41}}=-sqrt{displaystyle frac{16}{41}}=-displaystyle frac{4}{sqrt{41}}.$

tg $alpha =displaystyle frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}=left(-displaystyle frac{5sqrt{41}}{41}right):left(-displaystyle frac{4}{sqrt{41}}right)=displaystyle frac{5}{4}=1,25.$

Ответ: 1,25.

Задача 15.

Найдите sin alpha , если cos alpha $=-displaystyle frac{sqrt{19}}{10}$ и $alpha in left(displaystyle frac{pi }{2};pi right).$

Решение:

Как и в предыдущей задаче, выразим синус альфа из основного тригонометрического тождества:

sin $alpha =pm sqrt{1-{{cos}^2 alpha }}.$

Дан угол альфа, принадлежащий второй четверти, значит, его синус положителен.

sin $alpha =sqrt{1-{left(displaystyle frac{sqrt{19}}{10}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{81}{100}}=0,9.$

Ответ: 0,9.

Задача 16.

Найдите tg alpha , если sin alpha $=-displaystyle frac{4sqrt{41}}{41}$ и $alpha in left(pi ;displaystyle frac{3pi }{2}right).$

Решение:

Аналогично предыдущим задачам, выразим косинус альфа из основного тригонометрического тождества:

cos alpha $=pm sqrt{1-{{sin}^2 alpha }}.$

Угол альфа в третьей четверти, значит, его косинус отрицателен.

cos alpha $=-sqrt{1-displaystyle frac{16}{41}}=-sqrt{displaystyle frac{25}{41}}=-displaystyle frac{5}{sqrt{41}}$ , тогда tg $alpha =displaystyle frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}=-displaystyle frac{4}{sqrt{41}}div left(-displaystyle frac{5}{sqrt{41}}right)=displaystyle frac{4}{5}=0,8.$

Ответ: 0,8.

Задача 17.

Найдите значение выражения: — 42tg $34{}^circ cdot$ tg $56{}^circ +6.$

Решение:

-42tg $34{}^circ cdot$ tg ${56}^circ =$ -42tg $34{}^circ cdot$ tg $left(90{}^circ -34{}^circ right)=$ -42tg $34{}^circ cdot$ ctg $34{}^circ =-42.$

Мы применили формулу приведения, а также то, что тангенс и котангенс угла альфа — взаимно обратные величины, и их произведение равно единице.

Ответ: -42.

Задача 18.

Найдите значение выражения: $displaystyle frac{24}{{{sin}^2 127{}^circ }}+4+$ sin ${}^2 217{}^circ .$

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

$displaystyle frac{24}{{{sin}^2 127+4+sin{}^2 217}}=displaystyle frac{24}{{{sin}^2 left(90{}^circ +37{}^circ right)+4+{{sin}^2 left(180{}^circ +37{}^circ right) } }}=$

$=displaystyle frac{24}{{{cos}^2 37{}^circ +4+{{sin}^2 37{}^circ } }}=displaystyle frac{24}{5}=4,8.$

Также мы применили основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице.

Ответ: 4,8.

Задача 19.

Найдите значение выражения: $displaystyle frac{2{sin 136{}^circ }}{{sin 68{}^circ }cdot {sin 22{}^circ }}.$

Решение:

Так как $68{}^circ +22{}^circ =90{}^circ ,$ то заменим ${sin 68{}^circ }$ на ${cos 22 }^circ$ по формуле приведения и воспользуемся формулой синуса двойного угла:

sin2 alpha = 2sin alpha cos alpha.

$displaystyle frac{2{sin 136{}^circ }}{{sin 68{}^circ }{sin 22{}^circ }}=displaystyle frac{2{sin 136{}^circ }}{{cos 22{}^circ }{sin 22{}^circ }}=displaystyle frac{4{sin left(180{}^circ -44{}^circ right) }}{{sin 44{}^circ }}=$

$=displaystyle frac{4{sin 44{}^circ }}{{sin 44{}^circ }}=4.$

Ответ: 4.

Задача 20.

Найдите значение выражения: $displaystyle frac{21left({{sin}^2 66{}^circ }-{{cos}^2 66{}^circ }right)}{{cos 132{}^circ }}.$

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

${cos 2alpha ={{cos}^2 alpha }-{{sin}^2 alpha } }.$

$displaystyle frac{21left({{sin}^2 66{}^circ }-{{cos}^2 66{}^circ }right)}{{cos 132{}^circ }}=displaystyle frac{-21{cos 132{}^circ }}{{cos 132{}^circ }}=-21.$

Ответ: -21.

Задача 21.

Найдите значение выражения: $sqrt{2}{sin displaystyle frac{7pi }{8}cdot {cos displaystyle frac{7pi }{8}} }.$

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$sqrt{2}{sin displaystyle frac{7pi }{8} }cdot {cos displaystyle frac{7pi }{8}=displaystyle frac{sqrt{2}}{2}{sin displaystyle frac{7pi }{4} } }=displaystyle frac{sqrt{2}}{2}{sin left(2pi -displaystyle frac{pi }{4}right) }=-displaystyle frac{sqrt{2}}{2}sin displaystyle frac{pi }{4}=$

$= -displaystyle frac{sqrt{2}}{2}cdot displaystyle frac{sqrt{2}}{2}=-0,25.$

Ответ: -0,25.

Задача 22.

Найдите значение выражения: $3sqrt{2}{{cos}^2 displaystyle frac{9pi }{8} }-3sqrt{2}{{sin}^2 displaystyle frac{9pi }{8} }.$

Решение:

$3sqrt{2}{cos}^2 displaystyle frac{9pi }{8} -3sqrt{2}{{sin}^2 displaystyle frac{9pi }{8} }=3sqrt{2}left({{cos}^2 displaystyle frac{9pi }{8} }-{{sin}^2 displaystyle frac{9pi }{8} }right)=3sqrt{2}{cos displaystyle frac{9pi }{4} }=$

$=3sqrt{2}cos left(2pi +displaystyle frac{pi }{4}right)=3sqrt{2}cos displaystyle frac{pi }{4}=3sqrt{2}cdot displaystyle frac{sqrt{2}}{2}=3.$

И здесь тоже была формула косинуса двойного угла, но только в другой форме.

Ответ: 3.

Задача 23.

Найдите значение выражения: $26sqrt{2}{cos displaystyle frac{pi }{4} }{cos displaystyle frac{4pi }{3} }.$

Решение:

$26sqrt{2}{cos displaystyle frac{pi }{4} }{cos displaystyle frac{4pi }{4} }=26sqrt{2}cdot displaystyle frac{sqrt{2}}{2}cdot left(-displaystyle frac{1}{2}right)=-13.$

А здесь мы просто вычислили косинус и синус табличного угла $displaystyle frac{pi }{4}.$

Ответ: -13.

Задача 24.

Найдите значение выражения: $18sqrt{2}tgdisplaystyle frac{pi }{4}{sin displaystyle frac{pi }{4} }.$

Решение:

$18sqrt{2}cdot tgdisplaystyle frac{pi }{4}{cdot sin displaystyle frac{pi }{4}= }18sqrt{2}cdot 1cdot displaystyle frac{sqrt{2}}{2}=18.$

Это задача на вычисление тригонометрических функций для табличного угла $displaystyle frac{pi }{4}.$ Если этот угол выразить в градусах, то он равен 45 градусов.

Ответ: 18.

Задача 25.

Найдите значение выражения: $displaystyle frac{2{cos left(2pi -beta right) }-3{sin left(-displaystyle frac{pi }{2}+beta right) }}{2{cos left(beta -3pi right) }}.$

Решение:

Используя формулы приведения, получим:

$displaystyle frac{2{cos left(2pi -beta right) }-3{sin left(-displaystyle frac{pi }{2}+beta right) }}{2{cos left(beta -3pi right) }}=displaystyle frac{2{cos beta }+3{cos beta }}{-2{cos beta }}=$

$=-displaystyle frac{5{cos beta }}{2{cos beta }}=-2,5.$

Лайфхак: если вам сложно запомнить формулы приведения, вы можете вместо них использовать формулы косинуса разности и синуса суммы.

Ответ: -2,5.

Посмотрим, как формулы тригонометрии применяются при решении уравнений.

Задача 26.

Решите уравнение: ${{sin}^2 left(displaystyle frac{pi }{4}-xright) }={{sin}^2 left(displaystyle frac{pi }{4}+xright) }.$

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени: sin ${}^2 x=displaystyle frac{1-{cos 2x }}{2}.$

$displaystyle frac{1-{cos left(displaystyle frac{pi }{2}-2xright) }}{2}=displaystyle frac{1-{cos left(displaystyle frac{pi }{2}+2xright) }}{2}Leftrightarrow {cos left(displaystyle frac{pi }{2}-2xright) }={cos left(displaystyle frac{pi }{2}+2xright)Leftrightarrow }$

$Leftrightarrow {cos 2x=-{cos 2xLeftrightarrow 2 } }{cos 2x=0 }Leftrightarrow 2x=displaystyle frac{pi }{2}+pi kLeftrightarrow x=displaystyle frac{pi }{4}+displaystyle frac{pi k}{2}; kin Z.$

Ответ: $x=displaystyle frac{pi }{4}+displaystyle frac{pi k}{2}; kin Z.$

Задача 27.

Решите уравнение: ${{cos}^2 3x }+{{cos}^2 4x }+{{cos}^2 5x }=displaystyle frac{3}{2}.$

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени: ${{cos}^2 x }=displaystyle frac{1+{cos 2x }}{2}.$

${cos}^2 3x+{cos}^2 4x+{cos}^2 5x=displaystyle frac{3}{2}Leftrightarrow displaystyle frac{1+{cos 6x }}{2}+$

$+displaystyle frac{1+{cos 8x }}{2}+displaystyle frac{1+{cos 10x }}{2}=displaystyle frac{3}{2}.$

Умножим обе части на два:

Воспользуемся формулой суммы косинусов: cos alpha + cos beta = 2cos $displaystyle frac{alpha +beta }{2}$ cos $displaystyle frac{alpha -beta }{2};$

cos6x + cos10x = 2cos8x cos2x.

Уравнение примет вид:

2cos8x cos2x + cos8x =0.

Вынесем общий множитель за скобки. Теперь произведение двух множителей равно нулю, а с этим мы умеем работать.

${cos 8xleft(2{cos 2x+1 }right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c}{cos 8x=0 } \{cos 2x=-displaystyle frac{1}{2} } end{array}Leftrightarrow left[ begin{array}{c}8x=displaystyle frac{pi }{2}+pi k \2x=pm displaystyle frac{2pi }{3}+2pi k;kin Z end{array}right.right. }Leftrightarrow left[ begin{array}{c}x=displaystyle frac{pi }{16}+displaystyle frac{pi k}{8} \x=pm displaystyle frac{pi }{3}+pi k;kin Z end{array}right. .$

Ответ: $left[ begin{array}{c}x=displaystyle frac{pi }{16}+displaystyle frac{pi k}{8} \x=pm displaystyle frac{pi }{3}+pi k;kin Z end{array}right. .$

Все о решении тригонометрических уравнений здесь.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Самые необходимые тригонометрические формулы» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для
подготовки каждую неделю!

null

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных
данных согласно 152-ФЗ. Подробнее

Скачать формулы в PDF

СКАЧАТЬ ФОРМУЛЫ В PDF

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «88 формул по тригонометрии на ЕГЭ» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.

Источник

Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для
подготовки каждую неделю!

null

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных
данных согласно 152-ФЗ. Подробнее

$textup{tg} alpha =displaystyle frac{sinalpha }{cosalpha},$ $textup{ctg} alpha =displaystyle frac{cosalpha }{sin alpha }$

$sin ^{2}alpha + cos ^{2}alpha =1$

$textup{tg}^{2}alpha +1=displaystyle frac{1}{cos ^{2}alpha }$

$1+ textup{ctg}^{2}alpha =displaystyle frac{1}{sin ^{2}alpha }$

$cos 2alpha =cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha$
$cos 2alpha =2cos ^{2}alpha -1$
$cos 2alpha =1- 2sin^{2} alpha$

$cos ^{2}alpha =displaystyle frac{1+cos 2alpha }{2}$

$sin ^{2}alpha =displaystyle frac{1-cos 2alpha }{2}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Тригонометрические формулы. Профильный ЕГЭ, часть 1» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.

Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.

Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» – тангенс и котангенс.

Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.

Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».

Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете.

Если все, что я сказал выше, звучало для тебя древним эльфийским языком, то посмотри статью о тригонометрической окружности.

А сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.

Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?

Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на ( displaystyle co{{s}^{2}}alpha ) и применением формулы 2.

Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на ( displaystyle si{{n}^{2}}alpha ) и вместо выражения ( displaystyle frac{co{{s}^{2}}alpha }{si{{n}^{2}}alpha }) запишем ( displaystyle ct{{g}^{2}}alpha ), исходя из определения 3.

Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7. В чем «фишка» формул 6 и 7?

Их особенность заключается в знаке ( displaystyle pm ), который стоит перед корнем.

Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус.

Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

Если в формуле
( displaystyle sin alpha =pm sqrt{1-co{{s}^{2}}alpha })
угол ( displaystyle alpha ) таков, что ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }<0), то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Если в формуле
( displaystyle cos alpha =pm sqrt{1-si{{n}^{2}}alpha })
угол ( displaystyle alpha ) таков, что ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }<0), то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться?

Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.

К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».

Решения:

1. Так как ( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-si{{n}^{2}}alpha }), то подставим сюда значение( displaystyle sinalpha =-frac{2sqrt{2}}{3}), тогда ( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-{{left( -frac{2sqrt{2}}{3} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-frac{4cdot 2}{9}}=pm sqrt{1-frac{8}{9}}=)

( displaystyle=pm sqrt{frac{1}{9}}=pm frac{1}{3}.)

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи: ( displaystyle alpha in left( frac{3pi }{2};2pi right)). Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.

Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.

Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед ( displaystyle frac{1}{3}). ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }=frac{1}{3}), тогда ( displaystyle 3cosalpha =3cdot frac{1}{3}=1).

Ответ: ( displaystyle 1).

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.

Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как ( displaystyle sin alpha =pm sqrt{1-co{{s}^{2}}alpha }), то все, что нам нужно – это подставить ( displaystyle cosalpha =frac{2sqrt{6}}{5}) в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

( displaystyle sinalpha =pm sqrt{1-{{left( frac{2sqrt{6}}{5} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-left( frac{4cdot 6}{25} right)}=pm sqrt{frac{1}{25}}=pm frac{1}{5}).

Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус». ( displaystyle sinalpha =-frac{1}{5}), тогда ( displaystyle 5sinalpha =-5cdot frac{1}{5}=-1).

Ответ: ( displaystyle -1).

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу ( displaystyle cos alpha =pm sqrt{1-si{{n}^{2}}alpha }) значение ( displaystyle sinalpha =frac{2sqrt{6}}{5}):

( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-{{left( frac{2sqrt{6}}{5} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-left( frac{4cdot 6}{25} right)}=pm sqrt{frac{1}{25}}=pm frac{1}{5}).

Смотрим на знак косинуса при ( displaystyle alpha in left( frac{pi }{2};pi right)). Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ: ( displaystyle -0,2).

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.

Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь. ( displaystyle cosalpha =pm sqrt{1-{{left( -frac{5}{sqrt{26}} right)}^{2}}}=pm sqrt{1-frac{25}{26}}=pm sqrt{frac{1}{26}}=pm frac{1}{sqrt{26}}).

Так как ( displaystyle alpha in left( pi ;frac{3pi }{2} right)) (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то ( displaystyle cosalpha =-frac{1}{sqrt{26}}).

Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

( displaystyle tgalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }=frac{-frac{5}{sqrt{26}}}{-frac{1}{sqrt{26}}}=5.)

Ответ: ( displaystyle 5).

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «И что, это все?». Я отвечу, что, увы нет. Это далеко не все.

Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

Разбор 3 примеров

1. Доказать тождество: ( displaystyle frac{3-4cos2alpha +cos4alpha }{3+4cos2alpha +cos4alpha }=t{{g}^{4}}alpha )

С виду тождество угрожающе! Но разберёмся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперёд повышают степень!

И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме!

Вот и распишем по правилам:

( displaystyle begin{array}{l}frac{3-4cos2alpha +cos4alpha }{3+4cos2alpha +cos4alpha }=frac{3-4cos2alpha +left( 2{cos^{2}}2alpha -1 right)}{3+4cos2alpha +left( 2{cos^{2}}2alpha -1 right)}=\=frac{2-4cos2alpha +2{cos^{2}}2alpha }{2+4cos2alpha +2{cos^{2}}2alpha }=frac{1-2cos2alpha +{cos^{2}}2alpha }{1+2cos2alpha +{cos^{2}}2alpha }end{array})

Тебе ничего по форме не напоминают числитель и знаменатель дроби? Приглядись внимательно, здесь «зарыта» хорошо известная тебе формула. Увидел её? Это же квадрат разности и квадрат суммы! (Подробнее об этом читай в статье о формулах сокращенного умножения)

( displaystyle frac{1-2cos2alpha +{cos^{2}}2alpha }{1+2cos2alpha +{cos^{2}}2alpha }=frac{{{left( 1-cos2alpha right)}^{2}}}{{{left( 1+cos2alpha right)}^{2}}}={{left( frac{1-cos2alpha }{1+cos2alpha } right)}^{2}})

А выражение в скобках есть ничто иное, как ( displaystyle t{{g}^{2}}alpha ), окончательно получим:

( displaystyle {{left( frac{1-cos2alpha }{1+cos2alpha } right)}^{2}}={{left( t{{g}^{2}}alpha right)}^{2}}=t{{g}^{4}}alpha )

Тождество доказано!

Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно.

2. Доказать тождество: ( displaystyle frac{1+sin2alpha +cos2alpha }{1+sin2alpha -cos2alpha }=ctgalpha )

Решение (хотя может и отличаться от твоего):

Опять «повысим степень» у косинуса: ( displaystyle cos2alpha =2{cos^{2}}alpha -1)

( displaystyle frac{1+sin2alpha +cos2alpha }{1+sin2alpha -cos2alpha }=frac{1+sin2alpha +2{cos^{2}}alpha -1}{1+sin2alpha -2{cos^{2}}alpha +1}=frac{sin2alpha +2{cos^{2}}alpha }{2+sin2alpha -2{cos^{2}}alpha })

Надо сокращать дальше! Что делать? Ясно, что надо избавляться от двойных углов у синуса. Действуем по формуле синуса двойного угла и сокращаем двойки:

( displaystyle frac{sin2alpha +2{cos^{2}}alpha }{2+sin2alpha -2{cos^{2}}alpha }=frac{2sin{alpha} cos{alpha} +2{cos^{2}}alpha }{2+2sin{alpha} cos{alpha}-2{cos^{2}}alpha }=frac{sinalpha cosalpha +{cos^{2}}alpha }{1+sinalpha cos{alpha}-{cos^{2}}alpha })

Числитель раскладывается на множители. Знаменатель –пока нет. До тех пор, пока мы не применим основное тригонометрическое тождество:

( displaystyle 1-{cos^{2}}alpha ={sin^{2}}alpha )

( displaystyle frac{sinalpha cosalpha +{cos^{2}}alpha }{1+sinalpha cosalpha -{cos^{2}}alpha }=frac{sinalpha cosalpha +{cos^{2}}alpha }{{sin^{2}}alpha +sinalpha cosalpha }=frac{cosalpha left( sinalpha +cosalpha right)}{sinalpha left( sinalpha +cosalpha right)}=ctgalpha )

Вот ещё один пример, но не такой простой.

3. Доказать, что если ( displaystyle 0<alpha <frac{pi }{2}), то ( displaystyle sqrt{1+sinalpha }-sqrt{1-sinalpha }=2sinfrac{alpha }{2})

Зачем нам дан угол? Наверное, чтобы оценить выражения: синус ( displaystyle alpha )будет положительным, ( displaystyle sinfrac{alpha }{2}>0,~1+sinalpha >1,~0<1-sinalpha <1)

Тогда и левая, и правая части тождества больше нуля. Это даёт мне право без задней мысли возвести их в квадрат:

( displaystyle {{left( sqrt{1+sinalpha }-sqrt{1-sinalpha } right)}^{2}}=4{sin^{2}}frac{alpha }{2}) – вот такое тождество нам нужно теперь доказать.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности!

( displaystyle begin{array}{l}{{left( sqrt{1+sin alpha }-sqrt{1-sin alpha } right)}^{2}}=1+sin alpha -2sqrt{1+sin alpha }cdot sqrt{1-sin alpha }+1-\-sin alpha =2-2sqrt{1+sin alpha }cdot sqrt{1-sin alpha }=2left( 1-sqrt{1+sin alpha }cdot sqrt{1-sin alpha } right)=\2left( 1-sqrt{1+{{sin }^{2}}alpha } right)=2left( 1-sqrt{{cos^{2}}}alpha right)end{array})

Я не сомневаюсь в твоей грамотности и поэтому даже не упоминаю про использованные мною формулы в выкладках.

Теперь надо бы убрать корень из косинуса. Но мы знаем, что просто так это делать нельзя, ибо ( displaystyle sqrt{{{a}^{2}}}=left| a right|).

В то же время вспоминаем про четверть: наш угол лежит в первой четверти, тогда косинус имеет знак «плюс» и мы просто убираем корень:

( displaystyle 2left( 1-sqrt{{cos^{2}}}alpha right)=2left( 1-cosalpha right))

Тогда нам надо доказать, что

( displaystyle 2left( 1-cosalpha right)=4{sin^{2}}frac{alpha }{2})

( displaystyle left( 1-cosalpha right)=2{sin^{2}}frac{alpha }{2})

Справа применим формулу понижения степени:

( displaystyle {sin^{2}}frac{alpha }{2}=frac{1-cosalpha }{2}), тогда ( displaystyle 2{sin^{2}}frac{alpha }{2}=1-cosalpha )

Тождество доказано!

Конечно, можно привести ещё массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь.

Теперь вторая (и заключительная в этом обзоре) группа формул – формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение.

Решение 5 примеров

1. Доказать тождество: ( displaystyle frac{sinalpha +sin3alpha }{cosalpha +cos3alpha }=tg2alpha )

Давай не будем долго думать, а, как говорится, пойдём в лобовую атаку: в числителе и знаменателе перейдём от суммы к произведению:

( displaystyle begin{array}{l}~frac{sinalpha+sin3alpha}{cosalpha+cos3alpha}=frac{2sinfrac{alpha+3alpha}{2}cosfrac{alpha-3alpha}{2}}{2cosfrac{alpha+3alpha}{2}cosfrac{alpha-3alpha}{2}}=frac{2cdot sin2alphacdot cosleft( -alpha right)}{2cdot cos2alphacdot cosleft( -alpha right)}=\=frac{sin2alpha}{cos2alpha}=tg2alphaend{array})

И минуты не прошло, а пример уже решён!

Теперь попробуй сам.

2. Доказать тождество: ( displaystyle frac{sin2alpha +sin4alpha }{cos2alpha -cos4alpha }=ctgalpha )

Решение – опять лобовая атака:

( displaystyle begin{array}{l}frac{sin2alpha+sin4alpha}{cos2alpha-cos4alpha}=frac{2sinfrac{2alpha+4alpha}{2}cosfrac{2alpha-4alpha}{2}}{-2sinfrac{2alpha+4alpha}{2}sinfrac{2alpha-4alpha}{2}}=frac{2sin3alphacdot cosleft( -alpha right)}{-2sin3alphacdot sinleft( -alpha right)}=frac{cosleft( -alpha right)}{-sinleft( -alpha right)}end{array})

Так как синус – функция нечётная, а косинус – чётная, то:

( displaystyle frac{cosleft( -alpha right)}{-sinleft( -alpha right)}=frac{cosalpha }{-left( -sinalpha right)}=frac{cosalpha }{sinalpha }=ctgalpha )

Этот пример чуть похитрее, будь внимателен!

3. Доказать тождество: ( displaystyle frac{sin2alpha +sin5alpha -sin3alpha }{cosalpha +1-2{sin^{2}}2alpha }=2sinalpha )

Я не хочу трогать синус двойного угла. Уж больно он удобно раскладывается на множители, чего не скажешь о синусе тройного и тем более пятикратного угла.

Поэтому я сверну в произведение последние 2 слагаемых в числителе:

( displaystyle begin{array}{l}frac{sin2alpha +sin5alpha -sin3alpha }{cosalpha +1-2{sin^{2}}2alpha }=frac{sin2alpha +2sinfrac{5alpha -3alpha }{2}cosfrac{5alpha +3alpha }{2}}{cosalpha +1-2{sin^{2}}2alpha }=\=frac{2sinalpha cosalpha +2sinalpha cos4alpha }{cosalpha +1-2{sin^{2}}2alpha }=frac{2sinalpha left( cosalpha +cos4alpha right)}{cosalpha +1-2{sin^{2}}2alpha }end{array})

Конечно, теперь можно было бы и свернуть числитель ещё раз, но я пойду иным путём. В знаменателе у меня тоже спрятана формула, вот она:

( displaystyle 1-2{sin^{2}}2alpha ).

Что это за формула? Это косинус двойного угла!

( displaystyle 1-2{sin^{2}}2alpha =cosleft( 2cdot 2alpha right)=cos4alpha )

( displaystyle frac{2sinalpha left( cosalpha +cos4alpha right)}{cosalpha +1-2{sin^{2}}2alpha }=frac{2sinalpha left( cosalpha +cos4alpha right)}{cosalpha +cos4alpha }=2sinalpha )

Тождество доказано!

Теперь попробуй решить вот этот пример для закрепления пройденного материала.

4. Доказать тождество: ( displaystyle {cos^{4}}alpha -{sin^{4}}alpha +sin2alpha =sqrt{2}cosleft( 2alpha -frac{pi }{4} right))

Проверяем!

( displaystyle begin{array}{l}{cos^{4}}alpha -{sin^{4}}alpha +sin2alpha =left( {cos^{2}}alpha -{sin^{2}}alpha right)left( {cos^{2}}alpha +{sin^{2}}alpha right)+sin2alpha =\=cos2alpha +sin2alpha end{array})

C другой стороны:

( displaystyle begin{array}{l}sqrt{2}cos left( 2alpha-frac{pi }{4} right)=sqrt{2}left( cos{2alpha}cos{frac{pi }{4}}+sin{2alpha}sin{frac{pi }{4}} right)=\=sqrt{2}left( frac{sqrt{2}}{2}cos2alpha+frac{sqrt{2}}{2}sin2alpha right)=sqrt{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}left( cos2alpha+sin2alpha right)=\=cos2alpha+sin2alphaend{array})

Тождество доказано!

На этом примере я буду закругляться потихоньку.

Сразу оговорюсь: не переживай и не волнуйся, если у тебя что-то сразу не выходит. Тригонометрия – сложная и очень обширная тема. Здесь все зависит не только от знания формул, но и от мастерства и смекалки. На их выработку тебе понадобится время и усердие.

Более того, скажу тебе вот что: изначально я хотел вставить другой пример в качестве заключительного. Однако на его решение мне понадобилось около 20 минут, причём я использовал ещё более сложную методику его решения. Так что не только ты сталкиваешься с трудностями при решении примеров, трудности бывают у всех!

Все-таки я приведу здесь этот трудный пример, вдруг да и получится у тебя решить его, может, я что-то упустил. Вот он:

5. Упростить: ( displaystyle frac{1+sinalpha -cos2alpha -sin3alpha }{2{sin^{2}}alpha +sinalpha -1})

А вот какой у меня получился в итоге ответ: ( displaystyle 2sinalpha.)

Дерзай!

В следующей части статьи я рассмотрю его решение, но прибегну к ещё более изощрённой технике нежели та, что рассматривалась здесь! Удачи!

Формулы понижения 3-й степени

( displaystyle si{{n}^{3}}alpha =frac{3sinalpha -sin3alpha }{4})
( displaystyle co{{s}^{3}}a=frac{3cosa+cos3a}{4})

Из данных формул можно вывести формулы тройного угла.

Формулы тройного угла

( displaystyle sin3alpha =3sinalpha -4si{{n}^{3}}alpha )
( displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa)
( displaystyle tg3alpha =frac{3tgalpha -t{{g}^{3}}alpha }{1-3t{{g}^{2}}alpha })
( displaystyle ctg3alpha =frac{3ctgalpha -ct{{g}^{3}}alpha }{1-3ct{{g}^{2}}alpha })

Ты мне можешь задать резонный вопрос: как часто эти формулы используются? Я отвечу: постарайся избегать прибегать к ним. Они нужны на тот случай, когда ничего другого уже не можешь придумать.

В частности, они могут быть полезными при решении сложных уравнений, которые встречаются во вступительных экзаменах на математические специальности.

Однако уравнениям у нас будет посвящена отдельная статья, так что здесь я рассмотрю случаи, когда данные формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 1

Упростить: ( displaystyle A=frac{1}{3}co{{s}^{3}}alpha cdot sin3alpha +frac{1}{3}si{{n}^{3}}alpha cdot cos3alpha )

Решение:

Подставим вместо ( displaystyle sin3alpha ) и ( displaystyle cos3alpha ) их представления согласно формулам тройного угла, тогда:

( displaystyle begin{array}{l}A=frac{1}{3}co{{s}^{3}}alpha left( 3sinalpha -4si{{n}^{3}}alpha right)+frac{1}{3}si{{n}^{3}}alpha left( 4co{{s}^{3}}alpha -3cosalpha right)=\=co{{s}^{3}}alpha cdot sinalpha -frac{4}{3}co{{s}^{3}}alpha cdot si{{n}^{3}}alpha +frac{4}{3}co{{s}^{3}}alpha cdot si{{n}^{3}}alpha -si{{n}^{3}}alpha cdot cosalpha =\=co{{s}^{3}}alpha cdot sinalpha -si{{n}^{3}}alpha cdot cosalpha end{array})

Теперь вынесем в оставшемся выражении общий множитель за скобки:

( displaystyle co{{s}^{3}}alpha cdot sinalpha -si{{n}^{3}}alpha cdot cosalpha =sinalpha cdot cosalpha left( co{{s}^{2}}alpha -si{{n}^{2}}alpha right))

По формулам двойного угла: ( displaystyle sinalpha cdot cosalpha =frac{1}{2}sin2alpha ), ( displaystyle co{{s}^{2}}alpha -si{{n}^{2}}alpha =cos2alpha ):

( displaystyle sinalpha cdot cosalpha left( co{{s}^{2}}alpha -si{{n}^{2}}alpha right)=frac{1}{2}sin2alpha cdot cos2alpha )

Ну а здесь снова спрятан синус двойного угла:

( displaystyle frac{1}{2}sin2alpha cdot cos2alpha =frac{1}{4}sin4alpha )

Ответ: ( displaystyle A=frac{1}{4}sin4alpha )

Следующий пример попробуй решить самостоятельно. Не уверен, что в нем обязательно использовать формулу тройного угла, но можно сделать и с ее помощью.

Пример 2

Упростить: ( displaystyle frac{1+sinalpha -cos^2{alpha}-cos2alpha -sin3alpha }{2si{{n}^{2}}alpha +sinalpha -1})

Решение:

Моя цель – свести числитель дроби к выражению, зависящему только от синусов одиночного угла. Для этого я преобразую

( displaystyle cos^2 {alpha} =1-si{{n}^{2}}alpha )

( displaystyle cos2alpha =1-2si{{n}^{2}}alpha )

( displaystyle sin3alpha =3sinalpha -4si{{n}^{3}}alpha )

Имеем:

( displaystyle begin{array}{l}frac{1+sinalpha -cos2alpha -sin3alpha }{2si{{n}^{2}}alpha +sinalpha -1}=frac{1+sinalpha -left( 1-si{{n}^{2}}alpha right) -left( 1-2si{{n}^{2}}alpha right)-left( 3sinalpha -4si{{n}^{3}}alpha right)}{2si{{n}^{2}}alpha +sinalpha -1}=\=frac{4si{{n}^{3}}alpha +3si{{n}^{2}}alpha -2sinalpha -1}{2si{{n}^{2}}alpha +sinalpha -1}end{array})

Казалось бы, стало еще хуже. Но это так кажется. Давай для удобства вычислений заменим ( displaystyle sinalpha =t), тогда мне надо упростить дробь

( displaystyle frac{4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1}{2{{t}^{2}}+t-1})

Нижнее выражение разложим на множители:

( displaystyle 2{{t}^{2}}+t-1=left( t+1 right)left( 2t-1 right))

С верхним фокус сложнее. Мы не умеем с тобой решать кубические уравнения. Но мы хорошо играем в «угадайку».

Угадай-ка один корень уравнения ( displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1=0). Угадал? Я угадал ( displaystyle -1).

Тогда по теореме Безу (которую ты, быть может, знаешь, а если не знаешь, то без проблем отыщешь сам) выражение ( displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1) делится без остатка на ( displaystyle t+1)

Разделим столбиком ( displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1) на ( displaystyle t+1). Я получу:

( displaystyle 4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1=left( t+1 right)left( 4{{t}^{2}}-t-1 right))

В свою очередь ( displaystyle 4{{t}^{2}}-t-1=4left( t-frac{1}{2} right)left( t+frac{1}{4} right))

Окончательно получим:

( displaystyle begin{array}{l}frac{4{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-2t-1}{2{{t}^{2}}+t-1}=frac{4left( t+1 right)left( t-frac{1}{2} right)left( t+frac{1}{4} right)}{left( t+1 right)left( 2t-1 right)}=frac{left( t+1 right)left( 2t-1 right)left( 2t+0,5 right)}{left( t+1 right)left( 2t-1 right)}=\=2t+0,5end{array})

Тогда исходное выражение можно упростить до: ( displaystyle 2sinx+0,5)

В завершение я приведу тебе пример одного уравнения, которое было предложено на психологический (???!!!) факультет одного из ВУЗов в 1990 году. Такие задачи называются задачи-гробы (никакая смекалка без знания конкретной формулы не позволит их решить):

Решить уравнение: ( displaystyle sqrt{3}co{{s}^{3}}x-3co{{s}^{2}}x-3sqrt{3}cosx+1=0)

Не сделав вот такую странную замену: ( displaystyle cosx=tgalpha ) решить его очень сложно. А с такой заменой у нас получится вот что:

( displaystyle sqrt{3}t{{g}^{3}}alpha -3t{{g}^{2}}alpha -3sqrt{3}tgalpha +1=0)

( displaystyle sqrt{3}t{{g}^{3}}alpha -3sqrt{3}tgalpha =3t{{g}^{2}}alpha -1)

( displaystyle sqrt{3}(t{{g}^{3}}alpha -3tgalpha )=3t{{g}^{2}}alpha -1)

( displaystyle -sqrt{3}left( 3tgalpha -t{{g}^{3}}alpha right)=-left( 1-3t{{g}^{2}}alpha right))

( displaystyle frac{left( 3tgalpha -t{{g}^{3}}alpha right)}{left( 1-3t{{g}^{2}}alpha right)}=frac{1}{sqrt{3}})

А вот ради чего весь этот сыр-бор: ( displaystyle frac{left( 3tgalpha -t{{g}^{3}}alpha right)}{left( 1-3t{{g}^{2}}alpha right)}=tg3alpha )

( displaystyle tg3alpha =frac{1}{sqrt{3}})

Это уравнение уже несказанно легче решается. Скоро мы вместе в этом убедимся. Но тут проблема в обратной замене… Тем не менее, эта задача почти нерешаема без знания формулы тангенса тройного угла. Вот так вот.

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 9. Тригонометрическая окружность, табличные значения

На этом уроке мы узнаем, что такое тригонометрическая окружность и насколько она важна для тригонометрии. М

ы увидим, что она – основной инструмент в тригонометрии: с её помощью можно вывести любую формулу и найти любые значения.

Мы поймем, как “работает” окружность – а значит, поймём тригонометрию в целом.

ЕГЭ 13б. Тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность – это очень простой и эффективный инструмент для решения любой тригонометрической задачи. На этом уроке вы узнаете как пользоваться тригонометрической окружностью для решения пункта “б” из задачи №13 профильного ЕГЭ.

Пункт “б” задачи №13 ЕГЭ 2020 В 2020 году на ЕГЭ в пункте “б” необходимо было указать корни тригонометрического уравнения принадлежащие отрезку.

Вообще-то решать пункт “б” можно двумя способами: – отметить корни уравнения на единичной окружности (способ разобранный в этом видео); – через двойное неравенство.

И вы должны знать, что второй способ чуть дольше, чем первый, но зато вы сможете проще описать все ваши рассуждения и вам будет сложнее ошибиться.

И еще один плюс второго способа – его проще оформить, так, чтобы к вам не придрались на ЕГЭ.

Мы считаем второй способ (через двойное неравенство) более предпочтительным на ЕГЭ по математике, но теме не менее для глубокого понимания темы (что может выручить на ЕГЭ) необходимо разобраться и с первым способом

Источник

Основные тригонометрические формулы

Пример. Найти значение выражения:

Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество в виде:

Пример. Найти значение выражения:

Решение. Из основного тригонометрического тождества следует:

Подставим в выражение:

Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов

Пример. Вычислить

Решение.

Пример. .

Решение.

Тригонометрические формулы двойного угла

Пример. Найдите 2cos2α, если sinα = — 0,7.

Решение. Используем формулу косинуса двойного угла: cos2α = 1 – 2sin²α.

Получаем: 2cos2α = 2·(1 – 2sin²α) = 2·(1-2·(-0,7)²) = 2·(1-2·0,49) = 0,04.

Пример. Найдите значение выражения

Решение. Применяем формулу sin2α = 2sinα·cosα:

Формулы понижения степени

Пример. Найти значение выражения $ 3sin^{2}4x $, если $ cos8x=0,5 $

Решение. Используем формулу понижения степени:

Применительно к углам 4x и 8x она будет выглядеть так:

Находим значение выражения:

Тригонометрические формулы произведения

Пример. Вычислить sin 20°·sin 40°, считать, что cos20° = 0,9

Решение. Заметим, что

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Формулы приведения

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.

Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

1. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: $ frac {pi}{2}, pi, frac {3pi}{2}, 2pi $ и острого угла $ alpha $, а в правой части аргумент $ alpha $

2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?

Ответ: Если в формуле присутствуют углы $ frac {pi}{2} $ или $ frac {3pi}{2} $ — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?

Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

Например, sin $ ( frac {3 pi}{2} + alpha ) $.

1) «Меняется функция или нет?»

$ frac {3pi}{2} $ — угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит, в правой части будет cosα.

2) «Знак?»

Угол $ ( frac {3 pi}{2} + alpha ) $ попадает в IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».

Итак, получили формулу, sin $ ( frac {3 pi}{2} + alpha ) = –cosα. $

Пример. Найдите значение выражения

Решение. Используем формулу приведения:

Пример. Найдите значение выражения 5tg17⁰ · tg107⁰.

Решение. Используем формулу приведения:

5tg17⁰ · tg107⁰ = 5tg17⁰·tg(90⁰ + 17⁰) = 5tg17⁰·(−ctg17⁰) = −5(tg17⁰·ctg17⁰) = −5·1 = −5.

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Он заменяет десяток таблиц.

Сколько полезного на этом рисунке!

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси x, а значение синуса — на оси y.

3. И синус, и косинус принимают значения от –1 до 1.

Тригонометрический круг:

1. Значение тангенса угла α тоже легко найти — поделив sinα на cosα. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

2. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

4. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π.

Графики тригонометрических функций

На рисунках приведены графики тригонометрических функций: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

1. График функции y = sinx

2. График функции y = cosx

3. График функции y = tgx

4. График функции y = ctgx

Источник

Чуть больше 30% выпускников справляется с тригонометрией на ЕГЭ по математике. И неудивительно: для решения заданий из базы и профиля надо знать очень много формул, которые сложно освоить за 1-2 года. На самом деле, это миф! Чтобы решить задания по тригонометрии, нужно знать всего 5 формул — и просто уметь ими пользоваться.

Тригонометрия на ЕГЭ: 5 формул для базы и профиля

Тригонометрия на ЕГЭ: основные проблемы темы

Чаще всего тригонометрию начинают изучать в 10 классе — но в некоторых школах оставляют до 11. В первом случае у учеников есть 2 года, чтобы освоить новую тему. А во втором, к сожалению, всего год. И это проблема. Дело в том, что в тригонометрии очень много формул, которые нужно знать, чтобы успешно решать задания. Если за 2 года их можно успеть выучить, то за год это будет сделать проблематично.

Ситуация осложняется ещё двумя факторами. Во-первых, в самой математике много формул, признаков, теорем и т.д. Во-вторых, кроме математики есть и другие экзамены, для которых нужно выучить большой объём информации.

Именно поэтому я всегда советую своим ученикам не учить формулы для тригонометрии на ЕГЭ, а выводить! Но об этом мы поговорим чуть позже, а сейчас давайте обсудим, почему тригонометрия так важна и где в ЕГЭ ее можно встретить.

Задания по тригонометрии в базе и профиле на ЕГЭ

Так как ЕГЭ по математике делится на базовый и профильный, а тригонометрия встречается в обоих, то давайте рассмотрим оба уровня экзамена.

Тригонометрия в базе

Что касается Базового уровня, то в нём всего 3 задания, в которых можно столкнуться с тригонометрией:

В № 7 в виде простейшего выражения

Как правило, для успешного решения таких заданий достаточно воспользоваться формулами из справочного материала.

Пример задания № 7 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

В № 8 в виде формулы прикладной задачи

Стоит отметить, что в базовом ЕГЭ в прикладных задачах тригонометрия попадается редко, но нужно быть готовыми.

Пример задания № 8 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

В № 15 как тригонометрия в геометрии

В справочном материале есть вся необходимая информация для успешного решения данного задания, а именно определение всех тригофункций в прямоугольном треугольнике.

Пример задания № 15 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

Тригонометрия в профиле

Базовый уровень мы рассмотрели, теперь перейдём к профильному. Здесь уже больше вариантов, в которых можно встретиться с тригонометрией. Давайте посмотрим на Части 1 и 2.

В № 3 как тригонометрия в геометрии (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ, вот только в справочном материале уже нет необходимой информации.

Пример задания № 3 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

В № 4 в виде выражения (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ.

Пример задания № 4 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

В № 7 в виде формулы прикладной задачи (Часть 1)

То же самое задание, как в базовом ЕГЭ. Для успешного решения подойдут базовые навыки работы с тригонометрией.

Пример задания № 7 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

В № 11 как часть функции (Часть 1)

Функцию нужно проанализировать для поиска наибольшего/наименьшего значения или точек максимума/минимума.

Пример задания № 11 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

Если с Частью 1 профиля всё более-менее очевидно, то во второй части бывают сюрпризы, о которых ученики даже не подозревают. Да-да, тригонометрия на ЕГЭ умеет прятаться и в Части 2. Давайте посмотрим на эти задания.

В № 12 (Часть 2)

Тут сюрпризов нет. Это уравнение второй части, в котором ученики как раз ожидают увидеть тригонометрию, хотя она там бывает не всегда!

Пример задания № 12 по тригонометрии, демоверсия ЕГЭ

В № 13 — стереометрия (Часть 2)

Да, тригонометрия может встретиться здесь в виде теоремы синусов или теоремы косинусов, а ещё в виде формул в методе координат (для любителей решать этим методом).

В № 16 — планиметрия (Часть 2)

Здесь всё аналогично стереометрии: есть геометрические формулы, в которых прячется тригонометрия. Ведь, как я и сказала выше, в геометрии она тоже бывает!

5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ

А теперь предлагаю перейти к самому интересному — а именно к формулам. К сожалению, их действительно много. А ещё они похожи, и если их просто учить (или бездумно зубрить), то велик риск перепутать «+» с «–» или забыть какую-нибудь единичку.

Именно поэтому я рекомендую не учить формулы, а выводить. Это очень удобно тем более, что в профильном ЕГЭ по математике весь справочный материал состоит из 5-ти формул тригонометрии, из которых очень легко выводятся все остальные.

Но прежде чем я расскажу вам, как выводятся тригонометрические формулы, пообещайте, что обязательно отработаете все правила выведения! Для этого нужно будет регулярно выводить формулы по указанным ниже схемам.

Вот формулы, которые будут у вас в справочном материале:

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — 5 основных формул

Формула № 1 и как она пригодится в поиске котангенса и тангенса

Первая формула — основное тригонометрическое тождество (ОТТ):

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формула № 1

Обычно ученики знают ее очень хорошо. Она связывает синус и косинус и помогает найти одну функцию через другую.

С этой формулой косвенно связана другая (ее нет в справочном материале), которая тоже легко дается школьникам:

Тригонометрия: теория для ЕГЭ

Эту формулу очень легко запомнить, если знать, как можно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус:

Тригонометрия: теория для ЕГЭ

Эти 2 формулы связывают по отдельности синус с косинусом и тангенс с котангенсом. Но иногда требуется, чтобы были связаны все 4 функции, и здесь на помощь приходят следствия из ОТТ (как раз та самая формула № 1).

Чтобы вывести следствия нужно всего лишь разделить ОТТ на sin² и cos²:

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — что выводится из формулы № 1

Теперь можно легко найти:

котангенс, зная синус,
или тангенс, зная косинус.

Формула № 2 и что из нее можно вывести

С тождествами разобрались, давайте перейдём к формулам двойного угла. Что касается синуса двойного угла (вторая формула в справочном материале):

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формула № 2

Здесь всё просто, берёте и применяете формулу, если видите, что она нужна для задания.

Формула № 3 и что из нее можно вывести

А вот с косинусом двойного угла (третья формула в справочном материале) всё интереснее. Безусловно, косинус двойного угла:

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формула № 3

в чистом виде встречается, и тогда вы делаете всё тоже самое, что с синусом. Но на самом деле есть ещё 2 формулы, которые очень просто вывести, используя ОТТ (формулу № 1). Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ (Шаг 1):

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла (Шаг 1)

А потом нужно подставить эти значения в формулу (6, или третья формула справочного материала) (Шаг 2):

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла (Шаг 2)

Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Смотрите, нужно всего лишь выразить одно из другого:

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — что выводится из формулы № 3

Формулы № 4 и 5 и что из них можно вывести

Давайте посмотрим на справочный материал, у нас там ещё целых 2 формулы, из которых мы получим конечно же ещё 2! Сейчас вообще ничего удивительного не будет. Вот формулы, которые уже даны:

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формулы № 4 и 5

Как вы заметили, они для суммы углов, а чтобы получить формулы для разности углов, нам нужно всего лишь поменять знаки в формуле на противоположные (разумеется, я говорю про «+» и «–»):

Тригонометрия: теория для ЕГЭ — что выводится из формул № 4 и 5

Вот так при помощи нехитрых преобразований из 5-ти формул справочного материала мы получили целых 14!

Все скриншоты взяты из открытого банка заданий ФИПИ или из демоверсий ЕГЭ по математике 2022.

Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ

Скажу по секрету, что это далеко не все формулы тригонометрии, которые существуют. Есть и другие:

некоторые можно вывести из вышеуказанных,
некоторые можно обобщить и вместо огромного количества формул использовать короткое правило.

Но мне кажется, что пока этого и так много!

Советую сначала хорошо отработать формулы, которые я перечислила в этой статье, и только потом браться за другие. Так вы не загрузите свою память и будете быстрее решать сложные задания по тригонометрии из ЕГЭ. Это, кстати, касается любой темы на экзамене по математике: а в ЕГЭ их очень много. Поэтому чтобы получить высокий балл, надо правильно и системно отработать их все.

Именно так я и строю подготовку к ЕГЭ по математике вместе со своими учениками: строгая система подготовки — ключ к успеху на экзамене. Сначала мы разбираем простые темы и задания и учимся решать их самыми удобными способами — почти на автомате. А после я добавляю более хитрые и сложные задания. В итоге ребята и имеют хорошую базу знаний по математике, и умеют решать самые разные типы задач. Так что если вы хотите по-настоящему знать математику, а не зазубривать формулы, приходите на мои уроки!

А чтобы отрабатывать выведение было не так скучно, держите моего котика, который любезно согласился позировать в позе котангенса: