Функциональный анализ вопросы к экзамену

Распознанный текст из изображения:

СПИСОК ВОПРОСОВ, ВЫНОСИМЫЙ НА ЗАЧКТ

1. Открытые н замкнутые множества на прямой. Канторово множество и его свойства.

2. Свойства внешней меры. Измеримость открытого множества и счетного

объединения измеримых множеств. Измеримость замкнутого множества,

дополнения измеримого множества, разности и счетного пересечения измеримых

множеств.

3. Свойство счетной аддитивности ( ~г- аддитивности ) меры. Множества типа О, и

Р . Пример неизмеримого множества.

4. Измеримые функции и их свойства. Измеримость верхнего и нижнего пределов

последовательности измеримых функций.

5. Измеримость предела сходящейся почти всюду последовательности измеримых

функций. Сходимость по мере. Связь между сходнмостью по мере и сходимостью

почти всюду.

6. Теорема Рисса. Эквивалентность функций, являющихся пределами по мере одной

последовательности измеримых функций.

7. Интеграл Лебега от ограниченной функции. Интегрируемость ограниченной и

измеримой функции на множестве конечной меры.

8. Свойства интеграла Лебега от оганиченной функции.

9. Интеграл Лебега от неограниченной и неотрицательной функции. Полная

аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Мажорантный

признак суммируемости.

10. Интеграл Лебега от неограниченной функции любого знака. Теорема Лебега о

предельном переходе под знаком интеграла.

11. Полная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега от

неограниченной функции любого знака. Теорема Леви и следствие ее для рядов.

Теорема Лебега-критерий интегрируемости.

12, Теорема Фубини. Интеграл Лебега для множества бесконечной меры.

13. Классы Ьр, р>1. Неравенства Гельдера и Минковского.

14. Полнота пространства ?.р.

15. Плотность множества непрерывных функций в Ьр. Непрерывность в метрике Ьр.

16. Метрические пространства. Теорема о вложенных шарах.

17. Принцип сжатых отображений. Теорема Бэра о категориях.

18. Линейные нормированные пространства. Теорема Рисса.

19. Линейные операторы и их свойства. Теорема о полноте пространства линейных

ограниченных операторов.

20. Теорема Бенаха-Штейнгауза( принцип равномерной ограниченности ) н следствие

из нее. Пример из теории рядов Фурье на применение теоремы Банаха-Штейнгауза.

21. Обратный оператор. Достаточные условия существования обратного оператора.

22. Теорема Банаха об обратном операторе.

23. Теорема Хана-Валаха о продолжении линейного функционала в линейном

нормированном пространстве.

24. Об~ций вид линейного функционала в конкретных пространствах.

25. Слабая сходимость. Связь между сильной и слабой сходимостью. Критерий

сильной сходимостн.

26. Определение гильбертова пространства и его основные свойства. Теорема об

элементе с наименьшей нормой.

27. Теорема Леви об ортогональной проекции. Разложение гильбертова пространства

на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

Распознанный текст из изображения:

Список задач по функциональному анализу (202л’ год).

1. Пусть Х — линейное нормированное пространство. Доказать, что,тля

любьас элементов х, у Е Х вьшагняется неравенство )[х[[ < шах([[я+у[), ([х- у[().

2. Можно ли в пространстве С'(а, Ь) принять за норму элемента х(!)

А) шах (х(Г));

ЬЕ[а,Ь[

В) ьпзх [х'(г)[;

Ь в[а,Ь[

С) (х(Ь) — х(а) [ + пшх [х'(г) [;

ЬЕ[а,Ь[

[1) [х(а)[+ ьпах [х'(Г));

ЬЕ[а.ь[

ь

Е) 1 [х(Г)[41+ шах [х'(!)[?

ЬЕ[а.ь[

3. будет лн множество всех многочленов в пространстве С(а, Ь]

Л) открытым; В) замквутьсч’1

4. Докати-, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейной

норынрованном пространстве есть надпространство.

5. Пусть Х — линейное норынрованное пространство. 1, С Х — .шнейное

многообразие, ь, ф Х. Доказать, что Х.не содернсит никакого шара.

6. Образуют ли в пространстве С[ — 1.1) падпрастрлнства гледткмпиа

множества функций:

Л) ыоногонные функнии; В) четные функшгн: С) ыногочлены; Р) непрерывные

кусо шо-линейные функции?

7. Образуют ли в пространстве С(-1,1) надпространства следующее

множества функций:

А) ььпагачленьс гтеп.ни < Е В) непрерывно льффараыпнрусиьге функции:

С) непрерывные функции с ограниченной вариацией; О) функции х(!),

удовлетворяющие условию х(0) = О?

8. Пусть Х — линейно парынравшшае пространство. ьпюжсгтвл .4 С Х

— фиксировано. Доказать, что у(х) = р(х, Л) — непрерывное отображение Х

в Н.

9. Лаказатгч чта всякое копс шоыгрпа ‘линейное нормированное пространства

является банаховыъь

10. Доказать, что надпространства банахова пространства является банаховым

пространством.

11. Может яи в банаховоы пространстве иметь пустое пересечение

последовательность непустых замкнутых вложеиньсс множеств?

12. Локвзать. чта в пространства га сьзьтярььььм праььзагдгппгы для льобих

элементов х,у, = имеет место тождество Аполлония: [[з-я[[э+[[с-у[[ = гь[[х—

у[)з + 2[)х — етд[[-‘.

13. Локазать, что для того чтобы элемент х гпльбертовога пространства

Н был ортогонален подпространству ь’ С Н, неЖходимо и достаточна,

чтобы для любого элемента у Е .0 иььеча место неравенство [[х[[ < [[х — у)[.

14. Доказать, что при фиксированном натуральном п множество 31 = х Е!..

п

:г = (хь,хз,…): Я хь = 0 является подпространством пространства!з.

ь=!

Распознанный текст из изображения:

28. Теорема Рисса-Фреше об общем виде линейного функционала в гильбертовом

пространстве.

29. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Неравенство Бесселя.

Полнота и замкнутость ортонормированной системы. Слабая сходимость ее к нулю.

30. Теорема о существовании ортонормированного базиса в сепарабельном

гнльбертовом пространстве, Теорема об изоморфизме и изометрии всех

сепарабельных гильбертовых пространств.

31. Теорема Рисса-Фишера. Теорема о слабой компактности сепарабельного

гильбертова пространства.

32. Сопряженный оператор, теорема о сопряженном операторе. Теорема о прямой

сумме замыкания образа линейного ограниченного оператора и ядра сопряженного.

33. Вполне непрерывный оператор. Пример интегрального вполне непрерывного

оператора. Свойства вполне непрерывного оператора.

34. Первая теорема Фредгольма

35. Вторая теорема1 альтернатива ) Фредгольма.

36. Третья теорема Фредгольма.

37. Понятие и спектре линейного оператора в бесконечномерных пространствах.

Теорема Гильберта-Шмидта.

Распознанный текст из изображения:

Описать такое подпространсгво Р?, что (з — — И Щ Ж.

15. В пространстве (з рассмотрим последовательность хь = (1, р., -эк, з]т, — ), я 6

Ф. Доказать, что линейная оболочка этой последовательности всюду плотна

в пространстве 1з.

16. Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными

и найти ик нормы:

А) А: С'[а,б] ~ С[а,б],Ах(г) = ф’

1

В) А: Е [О, Ц -э Е [О,Ц,Ах(1) =1] х(т)Ат.

е

1?. Пусть Х и Р — линейные нормированные пространства, А: Х -э У-

. гпнейный оператор с об частью изменения )?(4).

А) Доказать, что В(А) — линейное многообразие в 1′ .

В) Всегда ли Р(.4) — надпространство в У?

18. Доказать, что в банаховом пространстве Х для любого А 6 Е(Х э Х)

( Г1Ь ~а~1 ~~ 1 Цв ~зй

определены операторы в(пА = Е. ~+ —,-, соеА = 2″

э=а ь=е

юю’

19, Пусть Х — балаково пространство, А 6 Е(Х -+ Х). Доказать, что

]]е’]] < еел1. Найти ег, где 1 — тождественный оператор.

20. Рассмотрим оператор Л: С[0. Ц -+ С[0. Ц. Ах(г) = ?;в + х(г) г

областью определения ЕЗ(А) — линейным многообразием двелсзы непрерьсвио

,зифференпируемьсс функпий х(г), удовлетворяюпшк условиям х(0) = а'(0) = О.

Найти: ! 1 и доказать, что он ограничен.

21. Рассмотрим оператор А: С[0, Ц -~ С[0, Ц, Ах(1) = ] е ‘ ‘ х(е)ав.

о

Сушсгтвусг ли оператор Л г?

22. Рассмотрам оператор А: С[О, Ц -э С[0, Ц, .4х(Г) = ] х(г)Ат + х(1).

о

Пусть У(.4) — ядри оператора А.

Л) Доэззать, что Ф(4) = (0), так что прн любом у б С[0, Ц уравнение

.4:г = у не может иметь бсьзее одного решения.

В) Найти оператор А ‘ и доказать. что он ограни «и.

!

23.Доказать, что оператор А: С[0, Ц -+ С[0, Ц, Ах(1) = х(1)+] с’ ‘ ‘х(в)Иг

о

имеет ограяиченный обратный и найти .1

24. Пусть Х — комплексное линейное пространство, у — определенный на

Х и не равный тоислественно нулю линейный функционв.ч. Доказать, что

область значений / есть есс С.

2о. Доказать, что следующие функционалы в пространство С[-1, Ц являются

линейными непрерывными и найти ик иормьс

Л) г(х) = (.г. Е) = 2[т() — х(0)]:

е 1

В) У(х) = (*,У) = 1 х(1)~-~х(Г)йа

— ! е

26. Доказать. чтл следующие функпиона; в пространстве С[ — 1. Ц являются

лиш.п:..мп непрерывными н найти пх нормы:

Распознанный текст из изображения:

А) У(х) = (*, 1) = Е пзх(еь);

з=1:

1

В) Пх) =з(х,йж) хЯй-х(0)з

ь1

где гзз.~ )?, $ь.е![-1;-Ц.

‘ Я7-.!Будуе1~:-ли «бграй]з~евзг 1в отросгранствеос[0,4] ~лелуюп]де линейные

фанз(цибййы’:

о о

А) (х,Д = ) х(зз)г?1; В) (х,?) ы )пп Д~(~1)ей?

о ‘-зыо

28. Доказать, что следующие функпогоналы являются линейными непрерывными

и найти ик нормы:

1 1

А) (х, У) =, ] Гх(Г)Ж; х Е С'[-1, Ц; В) (х, /) = „’ Гх(Г)г?Г. х = у[-1, Ц,

-у -1

29. Доказать, что функпиоиао (х,у) = 2 Зьь„х = (хыхз,…) Е 1о,

«=г

является линейным непрерывным, и найти его норму.

1

О. Для х(г) ь С[-1, Ц гюлояснм (х у) = — ) — + ] гх(г) . и влз-.

-1

что у — ограниченный л’. нейный функплэяал.

31. Найти сопряженный к оператору .4: з’,з[О, Ц -ь В. [О, Ц, если

Ф 1

Д) Ах(Г) = ~ х(т)г(т; В) Ах(Г) ы /Ех(з)?з.

о з

32 г(дйззО сооряженный к оператору .4: 1з -+ (з, если

Д) Ах = (хм хз, …, х„, О, О, …);

В),4х = (О„хг, хз, …)

прн х = (хы хз, …).

33. Найти сопряженный к оператору .4: 1 -+ 1, еспн

Д) Ах = (Л~ты Л тс….). Л„й г?; ]Л ] < 1;

В) Ах = (хз,хз,…)

при х = (хг, хз, …).

34. Какие нз глзлующнк операторов .4: С[О, Ц -+ С[О. Ц являютгя впотнз

непрерьгвными:

А) Ах(г) = гх(г);

!

В) Ах(г) = ]’х(т)й;

о

С) Ах(1) = х(0) + ех(1);

1

Р) Ах(Г) = ] егзх(з)сЬ;

о

Б) А (г) = х(гз)?

33. Будет лн впатне непрерывным оператор А: С[-1, Ц -+ С[-1, Ц,

:~(г)’= -,'[*(г)+.(-г)]?

36. Прн каком условии на функцию р(Г) е С[0, Ц оператор А: С[О, Ц «+

С[0, Ц, Ах(1) = ьз(1)х(1) будет вполне непрерывным?

37. БУДет лн вполне непРеРывным опеРатоР Ах(Г) = зз’,, если он РассматРиваетсЯ

как действующий:

Распознанный текст из изображения:

А) А:С [О,Ц- С[О,Ц;В) А<Се[О,Ц-+С>[О>Ц;С).А:Се[О,Ц-,»ма[О,Ц?

33. Сформулировать критерий, компактности в’1р. Канне из следующих

операторов А: 1» -+ 1з вполне непрерывны (прн з’ =. (х<, хз,;..)):

А) Ах = (О х<,хт,…); В) Ах = (хюйза,лзь,…); С) Ах = (О х<, взк,еза,…)?

39. Доказать, что оператор А ! 1з -> 1», Ах =<.(Л(хй>Лзхз, и!) (д1)я х =

(т .хд «:?Ц$~ьгде ЛА:фее ф р „ф ву»,[Л»] -аббе>езйрнъ 9»)фрд~~йлсенньгй

опеРатоР. ПРВкакомтУСлоынйи на пбрнЕДоватаыьйоРть>Ль <онбУДей’„.34~иЦательным?

40. Док>атать, что опаратор А .1 Ет[0, 1] ~ ~в[О, 1], Аль[(1) =’ 1хл[() есть

неотрицательный саь<осоцрсяженнь<й оператор.

!

41. Доказать, что оператор А ! Хе[0, Ц -+ 1~[0, Ц, Ах(1) = ) еьь<х(в)сЬ

е

явлжтся самогопряжеппым и неотрицательным.

42. Пусть Л Е Л, Л ф 0 фиксировано. Доказать, что разностпь<й огератор

1 ! бз(-, ) бз(- ), 1 (1) = — »» [х(1+ Л) — х(1 — Л)1

самосопряженным.

43. Пусть А — самосопряженный оператор, действующий в гиаъбертовом

пространстве Н, причем А ~ О. Дбказать, что есле существует ограниченный

оператор А ‘, то обратный оператор то:ке самосопряжен.

44. Пусть <-‘.-:рш ичслнз;й самосопряженный оператор, Л Е С,?>лЛ ~ О.

Дою<зачти что оператор (.4 — Л 1) ! сушествуег.

4о. Рассмотрим оператор А: 1 -+ 1. Ах ы (0,0,зз.х<,…) дчя т =

(х<,хм хз, -) Е 1 . Доказать, что А самосопряжен в 1! н ! В О. Найти

оператор»’.4.

46. В вещественном линейном прогтрангтве С[-т, х] найти собствгнимл

значения и собственные векторы оператора

» «-т< «Ах(1) = х(-1); В) Ах(1) = )’ сое(3+ 1)х(е)<Ь.

47. В пространстве С[0, ц рассмбтрим оператор Ах(1) = х(0) + гх(Ц,

Найти п(А), г (А), Я»(А).

43. Рлггмотрнм опгратор А: Н -> 1, А! = (Л<х>,Л х,…) тля х =

(х<,х, …) Е 1», где Л„Е С,п Е .<1, зпр ]Л [ < Ч-сс. Найти п(А).

»

49. Л<жнзать. что <>пгратор А ! 1. -> 1>. Ах = (О. х!. ~,», К>ь …) лля х =

(х<,хв, …) Е 1з вполне непрерывен и найти его спектр.

!

50. Доказать, что оператор А: Е [-1, Ц -+ Е >[-1, Ц, Ах(ц = [ взгх(ц<11

-!

вполне непрерывен и найти его спектр.

!

31. Доказать, что оператор А: Е. [О, Ц -+ 1,к[0, Ц, Ах(1) ы 1 кг(1- кг)х(1)<11

е

вполне непрерывен и найти его спектр.

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник