Геометрия на ЕГЭ по математике
Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.
Геометрия на профильном ЕГЭ — это три задачи в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая задача 16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?
Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.
На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.
Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.
Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.
Программа по геометрии.
1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).
2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника 
равны 
и 
сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол 
равен 
градусов, сторона 
равна 
, 
равна 
. Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона равна 
, угол равен 
, угол 
равен 
. Постройте треугольник .
3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.
4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.
5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.
6. Теорема о сумме углов треугольника.
7. Внешний угол треугольника.
8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) Три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) Три биссектрисы.
в) Три медианы.
9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.
10. Средняя линия треугольника и ее свойства.
11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
12. Определения синуса, косинуса и тангенса:
— для острого угла прямоугольного треугольника;
— для произвольного угла.
13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.
14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.
15. Виды параллелограммов и их свойства (ромб, прямоугольник, квадрат).
16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.
17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.
18. Площадь треугольника. Формулы 
и 
.
19. Теоремы синусов и косинусов.
20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.
21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)
22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)
23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.
24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.
25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.
26. Теоремы о вписанных углах.
27. Теорема о пересекающихся хордах.
28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.
29. Теорема о секущей и касательной.
30. Дан треугольник . Постройте:
а) окружность, вписанную в данный треугольник;
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?
31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).
32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?
Программа по стереометрии
Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.
Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:
«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Геометрия на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
15 января 2013
В закладки
Обсудить
Жалоба
Теория по геометрии для сдачи ЕГЭ по математике
Немного теории, которая непременно пригодится на ЕГЭ.
Другие материалы смотрите в разделе ЕГЭ по математике.
Планиметрия
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Площади фигур
Площадь треугольника
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
Площади четырехугольников
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Параллелограмм
$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
$CD^2=DB·AD$
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
$CB^2=AB·DB$
$AC^2=AB·AD$
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
$AC·CB=AB·CD$
Метрические соотношения в окружности
1. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
2. Если хорды $АС$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $N$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AN·NC=BN·ND$
Пример:
Хорды $АВ$ и $CD$ пересекаются в точке $Е$. Найдите $ЕD$, если $АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ED$.
Решение:
Если хорды $АВ$ и $СD$ пересекаются в некоторой точке $Е$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
$AЕ·ЕВ=СЕ·ЕD$
Так как $СЕ=ED$, данное выражение можно записать в виде:
$ЕD^2=AЕ·ЕВ$
Подставим числовые значения
$ЕD^2=16·9$
$ЕD=√{16·9}=4·3=12$
Ответ: $12$
3. Если из одной точки к одной окружности проведены две секущие, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равно произведению второй секущей на свою внешнюю часть.
$АС·ВС=EC·DC$
4. Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.
$BD·СB=AB^2$
Вписанные и описанные окружности для четырехугольников.
1. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
$АВ+CD=BC+AD$
2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.
$∠В+∠D=180°$
$∠A+∠C=180°$
Вневписанные окружности
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.
Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.
Точки $О_1, О_2$ и $О_3$ – центры вневписанных окружностей.
Связь площади треугольника с радиусами вневписанных окружностей.
Введем обозначения:
$S$ — площадь треугольника;
$p$ — полупериметр треугольника;
$a, b, c$ — стороны треугольника;
$r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей касающиеся соответственно сторон $a, b$ и $c$;
Для данных обозначений справедливы равенства:
$r_a={S}/{p-a};$
$r_b={S}/{p-b};$
$r_c={S}/{p-c}.$
Пример:
В прямоугольном треугольнике $АВС$ угол $С=90°, АС=6, ВС=8$. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы.
Решение:
Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $АВ$ равен:
$r_{АВ}={S}/{p-АВ}$, где $S$ — площадь треугольника, $р$ — полупериметр треугольника.
Чтобы подставить в формулу данные, найдем сначала площадь треугольника и его полупериметр.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
$S={АС·АВ}/{2}={6·8}/{2}=24$
Нам неизвестна гипотенуза, найдем ее по теореме Пифагора:
$АВ=√{АС^2+СВ^2}=√{6^2+8^2}=√{100}=10$
Зная все стороны, вычислим полупериметр:
$р={6+8+10}/{2}=12$
Теперь можем все данные подставить в формулу нахождения радиуса вневписанной окружности:
$r_{АВ}={S}/{p-АВ}={24}/{12-10}={24}/{2}=12$
Ответ: $12$
Биссектриса
Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.
Свойства биссектрисы:
1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
2. Если точка лежит на биссектрисе, то расстояния от неё до сторон угла равны.
$AD=DC$
3. Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
4. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.
5. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
6. В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$
7. Для нахождения длины биссектрисы справедлива формула:
$АА_1=√{АВ·АС-ВА_1·А_1 С}$
Медиана
Медиана — это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медиан:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.
$S_1=S_2$
2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.
4. Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне «с», справедлива формула:
$М_с={√{2(а^2+b^2)-c^2}}/{2}$
Высота
Высота в треугольнике — это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
$BB_1$ — высота
Свойства высот:
1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2. При пересечении двух высот получаются подобные треугольники:
$∆АА_1 В~∆СС_1В;$
$∆АС_1 М~∆СМА1$
3. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
4. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Пример:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
${ВС}/{sinA} =2R$
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
${16·5}/{4}=2R$
$R={16·5}/{4·2}=10$
Ответ: $10$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα.$
Теоремы и определения по Планиметрии
Теоремы и определения по Планиметрии. Справочник по геометрии для 7-11 классов, для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. Часть 1 «Планиметрия». Автор: Нелин Е.П. Использованы цитаты из пособия «Геометрия. 7-11 классы. Определения, свойства, методы решения задач в таблицах / М.: Илекса, 2018» из серии «Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА (ОГЭ). Цитаты использованы в учебных целях.
01. Аксиомы планиметрии.
Аксиомы принадлежности. Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиомы измерения. Аксиомы откладывания. Аксиома параллельных
02. Углы
Смежные углы. Вертикальные углы. Углы при пересечении
03. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой
03. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой
04. Свойства сторон и углов треугольника
Свойства сторон и углов треугольника. Внешний угол. Свойства. Неравенство треугольника. Равнобедренный треугольник
05. Равенство треугольников.
Равенство треугольников. Свойства. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников
06. Медиана треугольника.
Медиана треугольника. Свойства.
07. Биссектриса треугольника.
Биссектриса треугольника. Свойства
08. Высота треугольника
Высота треугольника. Свойства
09. Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника. Свойства
10. Соотношение между элементами прямоугольного треугольника
Соотношение между элементами прямоугольного треугольника
11. Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике
Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике
12. Преобразование фигур. Движение
Преобразование фигур. Движение. Симметрия относительно точки. Поворот. Симметрия относительно прямой. Параллельный перенос
13. Преобразование подобия
Преобразование подобия. Свойства. Гомотетия.
14. Подобие треугольников.
Подобие треугольников. Свойства. Признаки подобия треугольников
15. Параллелограмм и его виды.
Параллелограмм и его виды. Свойства. Признаки
Прямоугольник. Ромб. Квадрат.
16. Трапеция
Трапеция. Частные случаи трапеции. Средняя линия трапеции. Дополнительные построения для трапеции
17. Окружность, хорды и дуги
Окружность, хорды и дуги. Свойства
18. Окружность. Касательные и секущие.
Окружность. Касательные и секущие.
19. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.
Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.
20. Общие касательные двух окружностей.
Общие касательные двух окружностей.
21. Углы в окружности.
Углы в окружности.
22. Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей
Длина окружности и её частей. Площадь круга и его частей
23. Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.
Вписанный и описанный многоугольники. Вписанный и описанный четырехугольники. Прямоугольник. Трапеция и ромб. Квадрат.
24. Окружность, описанная около треугольника, и окружность, вписанная в треугольник.
25. Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники
Окружности, описанные и вписанные в правильные многоугольники
26. Площади треугольников.
Площади треугольников.
27. Площади четырехугольников.
Площади четырехугольников. Площадь описанного многоугольника
Вы смотрели справочник по геометрии для 7-11 классов «Теоремы и определения по Планиметрии».
Справочник с основными фактами стереометрии
2. Вникай в доказательства
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Эффективное решение существует!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
({color{red}{textbf{Факт 1. Про параллельность прямых}}})
(bullet) Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
(bullet) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
(bullet) Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(bullet) Если прямая (a) параллельна прямой (b), а та в свою очередь параллельна прямой (c), то (aparallel c).
(bullet) Пусть плоскость (alpha) и (beta) пересекаются по прямой (a), плоскости (beta) и (pi) пересекаются по прямой (b), плоскости (pi) и (alpha) пересекаются по прямой (p). Тогда если (aparallel
b), то (pparallel a) (или (pparallel b)):
({color{red}{textbf{Факт 2. Про параллельность прямой и плоскости}}})
(bullet) Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:
1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости);
2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость);
3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).
(bullet) Если прямая (a), не лежащая в плоскости (pi), параллельна некоторой прямой (p), лежащей в плоскости (pi), то она параллельна данной плоскости.
(bullet) Пусть прямая (p) параллельна плоскости (mu). Если плоскость (pi) проходит через прямую (p) и пересекает плоскость (mu), то линия пересечения плоскостей (pi) и (mu) — прямая (m) — параллельна прямой (p).
({color{red}{textbf{Факт 3. Про параллельность плоскостей}}})
(bullet) Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.
(bullet) Если две пересекающиеся прямые из одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.
(bullet) Если две параллельные плоскости (alpha) и (beta) пересечены третьей плоскостью (gamma), то линии пересечения плоскостей также параллельны: [alphaparallel beta, alphacap gamma=a,
betacapgamma=b Longrightarrow aparallel b]
(bullet) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны: [alphaparallel beta, aparallel b Longrightarrow
A_1B_1=A_2B_2]
({color{red}{textbf{Факт 4. Про скрещивающиеся прямые}}})
(bullet) Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
(bullet) Признак:
Пусть прямая (l) лежит в плоскости (lambda). Если прямая (s) пересекает плоскость (lambda) в точке (S), не лежащей на прямой (l), то прямые (l) и (s) скрещиваются.
(bullet) алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми (a) и (b):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b). Как это сделать: проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P); через точку (P) проведем прямую (pparallel b); тогда плоскость, проходящая через (a) и (p), и есть плоскость (pi).
Шаг 2. В плоскости (pi) найти угол между прямыми (a) и (p) ((pparallel b)). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми (a) и (b).
({color{red}{textbf{Факт 5. Про перпендикулярность прямой и плоскости}}})
(bullet) Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
(bullet) Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
(bullet) Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
({color{red}{textbf{Факт 6. Про расстояния}}})
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно из любой точки одной прямой опустить перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми.
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, нужно из любой точки прямой опустить перпендикуляр на эту плоскость. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью.
(bullet) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
(bullet) алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми (a) и (b):
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых (a) провести плоскость (pi) параллельно другой прямой (b). Как это сделать: проведем плоскость (beta) через прямую (b) так, чтобы она пересекала прямую (a) в точке (P); через точку (P) проведем прямую (pparallel b); тогда плоскость, проходящая через (a) и (p), и есть плоскость (pi).
Шаг 2. Найдите расстояние от любой точки прямой (b) до плоскости (pi). Это расстояние и есть расстояние между скрещивающимися прямыми (a) и (b).
({color{red}{textbf{Факт 7. Про теорему о трех перпендикулярах (ТТП)}}})
(bullet) Пусть (AH) – перпендикуляр к плоскости (beta). Пусть (AB, BH) – наклонная и ее проекция на плоскость (beta). Тогда прямая (x) в плоскости (beta) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции: [begin{aligned}
&1. AHperp beta, ABperp xquad Rightarrowquad BHperp x\[2ex]
&2. AHperp beta, BHperp xquadRightarrowquad ABperp
xend{aligned}] 
Заметим, что прямая (x) необязательно должна проходить через точку (B). Если она не проходит через точку (B), то строится прямая (x’), проходящая через точку (B) и параллельная (x). Если, например, (x’perp BH), то и (xperp BH).
({color{red}{textbf{Факт 8. Про угол между прямой и плоскостью,
а также угол между плоскостями}}})
(bullet) Угол между наклонной прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка ((0^circ;90^circ)).
Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным (0^circ). Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен (90^circ).
(bullet) Чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку (A) на этой прямой и провести перпендикуляр (AH) к плоскости. Если (B) – точка пересечения прямой с плоскостью, то (angle ABH) и есть искомый угол.
(bullet) Для того, чтобы найти угол между плоскостями (alpha) и (beta), можно действовать по следующему алгоритму:
Отметить произвольную точку (A) в плоскости (alpha).
Провести (AHperp h), где (h) — линия пересечения плоскостей.
Провести (AB) перпендикулярно плоскости (beta).
Тогда (AB) – перпендикуляр к плоскости (beta), (AH) – наклонная, следовательно, (HB) – проекция. Тогда по ТТП (HBperp h).
Следовательно, (angle AHB) — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями.
Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник (triangle AHB) ((angle B=90^circ)). Как правило, находить (angle AHB) удобно из него.
({color{red}{textbf{Факт 9. Про перпендикулярность плоскостей}}})
(bullet) Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. [aperp beta, ain alphaquadRightarrowquad alphaperp beta] 
(bullet) Заметим, что так как через прямую (a) можно провести бесконечное множество плоскостей, то существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных (beta) (и проходящих через (a)).
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ