Готовясь к экзамену студент должен был подготовить ответы на две серии вопросов

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Событие A – студент сдаст экзамен.
Возможны следующие гипотезы: H1 – экзаменатор выбрал первую серию вопросов, H2 – экзаменатор выбрал вторую серию вопросов.
Вероятности гипотез
PH1=12; PH2=12
Гипотезы образуют полную группу событий
PH1+PH2=12+12=1
Условные вероятности
PAH1=C92C102=9!2!7!10!2!8!=4∙99∙5=45
PAH2=C82C102=8!2!6!10!2!8!=7∙49∙5=2845
Вероятность того, что студент сдаст экзамен, находим по формуле полной вероятности
PA=PH1∙PAH1+PH2∙PAH2=12∙45+12∙2845=25+1445=18+1445=3245≈0,7111
Ответ: 0,7111.

Будем
говорить, что события H₁,
H₂, … H_n
образуют полную группу, если
в результате эксперимента:

-происходит
одно из событий H_i
, i=1,…, n.

-события
H₁, H₂,
… H_n
попарно несовместны.

В этом случае имеем:
P(H₁
+ H₂
+ … + H_n
) = P(H₁)
+ P(H₂)
+ … + P(H_n)
= 1,

и вероятность
произвольного события А,
произошедшего в условиях данного
эксперимента может быть вычислена по
формуле полной вероятности:

События H₁,…,H_n
часто называют гипотезами
(см. с. 21-23 учебного пособия).

Пример
1: В коробке находится
4 новых и 3 старых теннисных мяча. Для
первой игры берут случайным образом 2
мяча, после игры кладут их обратно.

Какова
вероятность того,
что 2 мяча, взятые для
2-ой игры будут новые?

Решение:
Рассмотрим следующие гипотезы:

H₁
— для первой игры взяты 2 новых мяча;

H₂
— для первой игры взяты 1 новый и 1 старый
мячи;

H₃
— для первой игры взяты 2 старых мяча.

Событие
А заключается в том, что для второй игры
взяли 2 новых мяча.

Используя
классическое определение вероятности
(слова – “случайным
об-разом“ позволяют
считать, что исходы равновозможны)
имеем:

Отсюда:

Пусть
H₁,
H₂, … H_n
— полная группа событий и известно, что
в результате эксперимента произошло
событие А, тогда условная вероятность
того, что произошло событие Н_i
— одно из событий полной группы, вычисляется
по формуле Байеса:

Пример
2: Два стрелка по одному
разу стреляли по мишени. Известно, что
один попадает с вероятностью 0,8; второй
— с вероятностью 0,6. После стрельбы в
мишени оказалась одна пробоина.

Какова
вероятность того,
что попал второй стрелок?

Решение:
Выберем гипотезы следующим образом:

H₁
— не попал ни первый стрелок, ни второй


H₂
— попал первый стрелок и не попал второй


H₃
— не попал первый стрелок и попал второй


H₄
— попали оба стрелка 

Тогда,
если А — событие, состоящее в том, что
один стрелок попал, то:

P(А/H₁)
= 0, P(А/H₂)
= 1, P(А/H₃)
= 1, P(А/H₄)
= 0.

Очевидно,
что нам надо вычислить вероятность
события Н₃ при условии,
что произошло событие А:

Замечание. В рассмотренном
примере мы воспользовались независимостью
экспериментов:


стреляет первый стрелок и


стреляет второй стрелок, которая
следует из того, что вероятности попаданий
фиксированы.

Задача
1. Два стрелка Иванов и
Петров, имеющие по два заряда, поочерёдно
стреляют в мишень. Вероятность попадания
при одном выстреле равна 2/3 для первого
стрелка и 5/6 для второго. Первый стрелок
определяется по жребию. Для этого
кидается монета и, если выпадает герб,
то начинает Иванов, а, если цифра, то
первым стреляет Петров. Выигрывает
стрелок, попавший первым.

Какова
вероятность
выигрыша для Петрова?

Задача
2. Два
стрелка A и B
поочерёдно стреляют в мишень до первого
попадания, но не более двух раз
каждый. Вероятность попадания при
одном выстреле для A
равна 0,8, для B –
0,6. Первый стрелок определяется жребием:
кидается монета и, если выпадает герб,
то первым стреляет A,
если цифра, то B.
В результате стрельбы
выиграл стрелок B.

Какова
вероятность,
что он стрелял первым?

Задача
3. Два стрелка стреляют по
одному разу, независимо друг от друга,
выбирая одну из двух мишеней
Вероятность выбора 1-ой мишени для них
0,5 и 2/3 соответственно, а вероятность
попадания в выбранную мишень 0,8 и 0,9.

Какова
вероятность
ровно одного попадания во вторую мишень?

Задача
4. Два игрока A
и B один раз бросают кость и затем
два раза монету. Если на кости выпадает
1 или 2, то выигрывает игрок A,
если при подбрасываниях монеты появится
хотя бы один герб, и игрок B,
если гербов не появится. Если же на кости
выпадает число, большее двух, то игрок
А выигрывает, если появятся
два герба, и игрок B в остальных
случаях.

Справедлива
ли
игра?

Задача
5. В двух пакетах находятся
конфеты. В первом пакете 16 штук сорта
«Белочка» и 8 штук сорта «Жар-птица», во
втором 15 сорта «Белочка» и 5 сорта
«Жар-птица». Из первого пакета во второй
переложили две конфеты, взятые случайным
образом, содержимое второго пакета
перемешали и вытащили оттуда одну
конфету, которая оказалась «Жар-птицей».

Какова
вероятность,
что из первого пакета во второй переложили
одну «Белочку» и одну «Жар-птицу»?

Задача
6. Берут две колоды карт по
52 карты и из первой во вторую перекладывают
случайным образом 2 карты. Затем из
второй колоды берётся одна карта.

Какова
вероятность,
что она окажется дамой?

Задача
7. Среди трёх игральных
костей одна фальшивая. На фальшивой
кости шестёрка появляется с вероятностью
1/3. Бросили две кости и
выпали две шестерки.

Какова
вероятность,
что среди брошенных костей была фальшивая?

Задача
8. Ракета накрывает цель с
вероятностью 2/3. По цели
выпущено две ракеты. Известно, что при
одном попадании цель поражается с
вероятностью 1/2, а при двух с вероятностью
.
Цель поражена.

Какова
вероятность,
что в неё попала ровно одна ракета?

Задача
9. Кость А имеет две
белые и четыре красные грани, кость В
две красные и четыре белые. Сначала
бросается монета. Если выпадает герб,
то бросают кость А, если цифра,
то кость В.

Какова

вероятность
того,
что выпадет красная
грань?

Задача
10. 30% телевизоров поступает
в магазин с первой фабрики, 20% со второй
и остальные с третьей. Брак на этих
фабриках составляет 5%, 3% и 4% соответственно.
Купленный телевизор оказался бракованным.

Какова
вероятность
того, что он поступил с третьей фабрики?

Задача
11. Взяли две колоды по 52
карты и случайным образом переложили
две карты из первой колоды во вторую.
Затем из второй колоды вытащили одну
карту, которая оказалась картой пиковой
масти.

Какова
вероятность
того, что среди переложенных карт
не было карт пиковой масти?

Задача
12. Готовясь к экзамену,
студент должен был подготовить ответы
на две серии вопросов, каждая из которых
содержала по 10 вопросов. Он выучил 9
вопросов первой серии и 8 второй.
Экзаменатор случайно выбирает серию
вопросов и два вопроса из нее, на оба из
которых студент должен ответить.

Каковы
шансы, что студент
сдаст экзамен?

Задача
13. В трёх одинаковых урнах
находятся шары: в первой с номерами от
1 до 9 , во второй от 10 до 20 и в третьей от
21 до 30 включительно. Из случайно взятой
урны берётся шар и оказывается, что его
номер делится на 5.

Какова
вероятность, что
этот шар взят из первой урны?

Задача
14. В трёх одинаковых урнах
находятся шары: в первой с номерами от
10 до 25 , во второй от 26 до 32 и в третьей
от 33 до 45 включительно. Из случайно
взятой урны берётся шар.

Какова
вероятность,
что его номер будет простым числом?

Задача
15. Игроки могут с равной
вероятностью играть в одну из двух игр.
В одной игре используется одна игральная
кость, а в другой – две. Счёт в игре в
первом случае равен количеству очков,
выпавших на кости, а во втором – сумме
очков, выпавших на обеих костях. Вы
слышите, что выпало два очка.

Какова
вероятность,
что играют в игру с одной костью?

Задача
16. На трёх дочерей Аню, Катю
и Анфису в семье возложена обязанность
по мытью тарелок. Аня, как старшая,
выполняет 40% всей работы, остальную
работу Катя и Анфиса делят пополам.
Вероятность того, что Аня разобьёт хотя
бы одну тарелку равна 0,02, для Кати и
Анфисы эта вероятность равна 0,03 и 0,02
соответственно. Родители слышали звон
разбитой посуды.

Какова
вероятность,
что тарелки мыла Аня?

Задача
17. Первая урна содержит 3
красных, 2 белых и 1 синий шар. Вторая
урна содержит 4 белых и 2 синих шара.
Бросается игральная кость. Если на ней
выпало 1 или 6 очков, вынимается шар из
первой урны, в противном случае – из
второй. Вытащен синий шар.

Какова
вероятность,
что он взят из второй урны?

Задача
18. Если при бросании кости
выпадает больше 2-х очков, то вынимают
2 шара из первой урны, содержащей 1 красный
и 4 чёрных шара. Иначе два шара берутся
из второй урны, содержащей 3 красных и
2 чёрных шара. Вытащили 1 красный и 1
чёрный шар.

Какова
вероятность, что они
взяты из первой урны?

Задача
19. Имеются три одинаковых
ящика. В первом ящике лежат 2 белых и 2
чёрных шара; во втором ящике — 3 чёрных;
в третьем — 1 чёрный и 5 белых. Некто,
случайным образом выбирая ящик, наугад
вынимает из него шар.

Какова
вероятность,
что шар будет белый?

Задача
20.
На шахматную доску

ставят два коня.

Какова
вероятность
того, что они бьют
друг друга?

Задача
21. На шахматную доску
ставят
два ферзя.

Какова
вероятность
того, что они бьют
друг друга?

Задача
22. На шахматную доску

ставят два слона.

Какова
вероятность
того, что они не бьют
друг друга?

Задача
23. На шахматную доску

ставят две ладьи.

Какова
вероятность того,
что они бьют друг друга?

З
адача
24. Некто, выходя из точки А,
на перекрёстках равновероятно
выбирает любую дорогу кроме той, по
которой пришёл.

Какова
для
него вероятность
попасть в точку В?

З
адача
25. Некто, выходя из точки А,
на перекрёстках равновероятно выбирает
любую дорогу кроме той, по которой
пришёл.

Какова
вероятность
того,
что он попадёт в точку В?

Задача
26. На «жульнической»
кости 5 и 6 очков выпадают с вероятностью
.
Остальные грани выпадают с равными
вероятностями.

Какова
вероятность
выиграть этой костью против «честной»
кости, если каждый игрок бросает свою
кость один раз?

Задача
27. Половина всех арбузов
поступает в магазин с 1 базы, 1/3 — со
2 базы, остальные — с 3 базы. Арбузы с
повышенным содержанием нитратов
составляют на 1 базе 15%, на 2 базе — 10%, на
3 — 20%.

Какова
вероятность
купить недоброкачественный арбуз?

Задача
28. В одном ящике было 3 чёрных
и 2 белых шара, в другом — 1 черный и 4
белых. Некто унёс один шар, взяв его
наугад из случайно выбранного ящика.

Какова
теперь
вероятность вынуть
наугад чёрный шар?

Задача
29. Три стрелка случайным
образом распределяют между собой 3
заряда, один из которых холостой. Стрелки
попадают в мишень с вероятностями 1/2,
3/4 и 7/8 соответственно.

Какова
вероятность
хотя бы одного попадания в мишень?

Задача
30. Из
4-х игральных костей одна фальшивая. На
ней 6 очков выпадает с вероятностью 1/3.
При бросании случайно выбранной кости
выпала шестёрка.

Какова
вероятность
того,
что была выбрана фальшивая кость?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #