Графическое решение неравенств егэ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

Математика профильного уровня

• »
• »

Графический метод в задачах с параметром

Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.

Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.

Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.

Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.

Пример 1

Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).

Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.

(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.

Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках ((-1;2)) и ((3;18)). Таким образом, решением нашего уравнения будут: ({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3).

Ответ: ({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3).

Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).

В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение (2x-5y=10). (1) Выражаем (x=frac{10+5y}{2}) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):

Все точки, принадлежащие этому графику, будут решениями нашего уравнения. Например, при (x=0) ⇔ (y=-2). Аналогично можно выразить (y=frac{2x-10}{5}). График будет выглядеть так (Рис. 3):

И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений (x) и (y).
Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных (x) и (y). Поэтому, если мы вместо (y) в уравнении (1) запишем параметр (a), то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно (x) с параметром (y) или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать за (a).

Разберем уравнение с параметром (6x-5a=15). Будем работать в системе координат ((aOx)). Выразим (x=frac{15+5a}{6}) – это будет общий вид решения. Для того чтобы проиллюстрировать ответ, построим график (x(a)) (Рис. 4).

Пример 2

Найти все значения параметра (a), при которых корни уравнения (6x-5a=15) лежат на отрезке ([-5;5]).

График (x(a)) для этого же примера на рисунке 4.

Иногда для решения удобно построить график зависимости (a(x): a=frac{6x-15}{5}). Давайте так и поступим. Построим график (Рис. 5). И красной областью покажем интервал, который нас интересует по условию задачи. Из рисунка видно, что (a∈[-9;3]) (при (x=5) ⇔(a=3); и при (x=-5) ⇔(a=-9))

На мой взгляд, будет более наглядно, если показывать графический метод на примерах. Поэтому, давайте разберем примеры от простых к сложным, которые могут встретиться на ЕГЭ.

Пример 3

Определить, при каких значениях параметра (a) уравнение (x^2-3x-2a=0) имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;

Решение:

1 способ решения:

Приведем уравнение к виду (x^2-3x=2a). И построим графики (y=1/2*(x^2-3x)) (показан красной линией) и (y=a) (синяя линия). Обратите внимание, график (y=a) – это просто семейство прямых параллельных оси (x) в плоскости ((xOy)) (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, (a=5), то графики (y=5) и (y=1/2*(x^2-3x)) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При (a=-1.125) оба графика имеют только одну общую точку ((1.5;-1.125)) – это единственное решение.

Ответ:
При (a>-1.115) уравнение имеет два корня;
При (a=-1.125) уравнение имеет один корень;
При (a<-1.125) уравнение не имеет корней.

2 способ решения:

Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости ((xOa)). Для этого выразим (a=1/2*(x^2-3x).)

Различным значениям параметра (a) можно поставить значения искомого (x), для это проведем горизонтальные линии.

Ответ:
При (a>-1.115) уравнение имеет два корня;
При (a=-1.125) уравнение имеет один корень;
При (a<-1.125) уравнение не имеет корней.

Пример 4

Решить уравнение: (cos^2⁡x-2 cos⁡x+a=0)

Сделаем замену (t=cos⁡x,) тогда ( t^2-2t+a=0,) при (t∈[-1;1].)

Построим в плоскости ((tOa)) график нашей функции (a=2t-t^2:)

Точки пересечения горизонтальных (фиолетовых) прямых с графиком нашей функции соответствуют решениям. Но (t∈[-1;1]), покажем это при помощи зеленой области (Рис.8). Таким образом, нас устраивают решения, которые принадлежат кусочку параболы, попавшей в зеленую область. Как видно из рисунка, (a) может принимать значения (a∈[-3;1]), и каждому значению (a) из этой области соответствует единственное решение. Найдем его, решив уравнение (t^2-2t+a=0;)

$$ {t}_{1}=frac{4-sqrt{4-4a}}{2};$$
$$ {t}_{2}=frac{4+sqrt{4-4a}}{2}.$$

({t}_{2}) не подходит, так как он не удовлетворяет условию (t∈[-1;1]).

Сделаем обратную замену:

$$ cos⁡x=frac{4-/sqrt{4-4a}}{2};$$
$$ x=±arccos⁡(frac{4-sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$

Ответ: При (a∈[-3;1]); $$ x=±arccos⁡(frac{4-sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$

Пример 5

Решить уравнение (sin^4⁡x-(a-1) sin^2⁡x-(2a+2)=0.)

Решение:

Сделаем замену: (t=sin^2⁡x ) ⇔ (t^2-(a-1)t-2a-2=0;)

Обратите внимание: (t∈[0;1];)

Выразим (a=frac{t^2+t-2}{t+2}=frac{(t+2)(t-1)}{t+2}=t-1),при (t≠-2).

Таким образом, необходимо решить систему:

$$ begin{cases} a=t-1, \t∈[0;1]. end{cases} $$

Построим решения данной системы на координатной плоскости ((tOa)).

Красной линией показан график (a=t-1), а зеленая область показывает интервал, в котором могут лежать корни. Выделенная часть графика соответствует всем возможным корням при (a∈[-1;0].) Если (a) не принадлежит этому интервалу, то корней нет. Найдем эти решения:
$$ t=a+1,$$ $$sin^2⁡x=a+1,$$ $$ 1-cos⁡2x=a+1,$$ $$ cos⁡2x=-a,$$
$$x=±1/2$$ $$ arccos⁡(-a)+πn,n∈Z.$$

Ответ:При (a∈[-1;0];) $$ x=±1/2 arccos(-a)+πn,n∈Z.$$

Пример 6

Решить уравнение (9^{-|x+1|}-3^{1-|x+1|}-a=0.)

Сделаем замену (t=3^{-|x+1|}), получим (t^2-3t-a=0), где (t∈(0;1].)

Построим график функции (a(t)=t^2-3t), при (t∈(0;1]) в системе координат ((tOa)).

Зеленой областью покажем допустимый интервал, в котором могут находиться корни. Выделенная часть параболы соответствует корням нашего уравнения при (a∈[-2;0)). Таким образом, при (a<-2) и (a≥0) корней нет.

Решим уравнение (t^2-3t-a=0).

При (a∈[-2;0)) $$ {t}_{1}=frac{3-sqrt{9+4a}}{2};$$ $$ {t}_{2}=frac{3+sqrt{9+4a}}{2},$$ так как (t∈(0;1]), то ({t}_{2}) не подходит.

Сделаем обратную замену:

$$ 3^{-|x+1|}=frac{3-sqrt{9+4a}}{2};$$
$$-|x+1|=log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2});$$
$$|x+1|=-log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2});$$
$$x=-1±log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2}).$$

Ответ: (x=-1±log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2})) при (a∈[-2;0).)

Пример 7

Решить уравнение (sqrt{a(3^x+1)+9}=2-3^x.)

Сделаем замену (t=3^x, t>0) ⇔ (sqrt{a(t+1)+9}=2-t.)

Данному уравнению равносильна система:

$$ begin{cases} a(t+1)+9=(2-t)^2, \ 2-t ≥ 0, \ t > 0. end{cases} $$
$$ begin{cases} a=frac{(t-5)(t+1)}{t+1}, \ 0 < t ≤ 2. end{cases} $$
$$ begin{cases} a = t-5, \ 0 < t <= 2. end{cases}$$

Построим множество точек, которые удовлетворяют полученной системе:

При (a∈(-5;-3]) ⇔ (t=a+5,) сделаем обратную замену 3(^x=a+5), ⇔ (x=log_3 (a+5).)

При (a∈(-∞;-5]∪(-3;+∞)) корней нет.

Ответ: При (a∈(-5;-3]) ⇔ ( x=log_3 (a+5).)

Пример 8

Решить неравенство (9^x-(a-1) 3^x-a≥0)

Сделаем замену: (t=3^x,) ⇔ (t>0;)

Получаем

$$ begin{cases} t^2-(a-1)t-a≥0, \t>0. end{cases} $$
$$ t(t+1)≥a(t+1); $$

Заметим, что решение (t=-1) не подходит, так как (t>0). Поделим наше неравенство на
(t+1). Так как (t+1>0), то знак неравенства не меняется. Будьте внимательны! В случае, когда нам неизвестен знак выражения, на которое мы делим неравенство, необходимо рассмотреть два случая, когда выражение отрицательно (меняем знак неравенства) и когда положительно (не меняем).

$$ begin{cases} t≥a, \t>0. end{cases} $$

Построим график, получившейся системы неравенств на плоскости ((tOa)).

Оранжевой областью выделено решение первого неравенства системы, синей областью – второго неравенства. Их пересечение – это решение все системы.

Получаем, что при (a≤0) $$ t∈(0;+∞) ⇔ 3^x>0 ⇔ x∈(-∞;+∞)$$

При ( a>0) $$ t∈[a;+∞) ⇔ 3^x≥a ⇔ x≥log_3 a.$$

Ответ: при( a≤0) $$ x∈(-∞;+∞)$$
при (a>0) $$ x≥log_3 a.$$

Пример 9

Найти все значения параметра, при которых функция
$$ f(x)=ln{(p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2)} $$
определена при всех (x∈R.)

Решение:

Наша функция будет определена при условии, что выражение под логарифмом будет больше нуля:

$$ (p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2) > 0.$$

Сделаем замену: (t=3^{x/2},t > 0).

Получим

$$ begin{cases} (p-1)*t^2-4*t+p+2>0, \ t>0. end{cases} $$

Если (p=1),

$$ begin{cases} -4t+3>0, \ t>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} t<0.75, \ t>0; end{cases} $$

Сделаем обратную замену: (0 < 3^{x/2} < 0.75.) Очевидно, что это неравенство не будет выполняться при всех (x), как того требует условие задачи.

Если (p≠-1,)

$$ begin{cases} pt^2-t^2-4t+p+2>0, \t>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} p(t^2+1)>t^2+4t-2, \t>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} p > frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \t>0. end{cases} $$

Теперь нужно построить график функции (p=frac{t^2+4t-2}{1+t^2}). Для этого исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы.

Найдем производную:

$$ p^{‘}=frac{-4(t-2)(t+1/2)}{1+t^2}^2 ;$$

Как видно из рисунка 13, точка ((-1/2;-3)) – точка минимума; а ((2;2)) – точка максимума.

Найдем асимптоты. Напомню, что вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва, поэтому наличие вертикальной асимптоты можно проверить, взяв предел от функции в точке разрыва. В нашем случае нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот не будет.

График функции будет иметь горизонтальные асимптоты, если (lim_{t→+∞} p(t)=const) или (lim_{t→-∞} p(t)=const.) Проверим нашу функцию:

$$lim_{t→∞} frac{t^2+4t-2}{1+t^2}=1.$$

Значит, есть горизонтальная асимптота (p=1).

И асимптоты могут быть наклонными: Прямая (p=kt+b) будет наклонной асимптотой к нашему графику ( p=frac{t^2+4t-2}{1+t^2}), если существуют пределы (lim_{t→∞} {frac{p(t)}{t}}=k) и (lim_{t→∞} {(p(t)-kt)}=b.)
В нашей случае наклонной асимптоты не будет.

Подробнее можно посмотреть здесь.

Из полученных данных построим примерный график функции (p=frac{t^2+4t-2}{1+t^2}) :

На рисунке 14 при помощи штриховки показаны точки, которые будут корнями системы

$$ begin{cases} p < frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \ t > 0. end{cases}$$

Если (p>2),то (t>0) или (3^(x/2)>0), а значит и функция (f(x)) определена при любых (x∈R).

Ответ: (p∈(2;+∞).)

Пример 10

Найти при каких значениях параметра (a) система
$$ begin{cases} (2+log_{3} {(frac{1}{9} a+frac{1}{3}-frac{2}{9} y)}=log_{3}{(2a+x-y-6)}, \ sqrt{x}=2+y. end{cases}$$
имеет решение?

Решение:

Преобразуем исходную систему:

$$ begin{cases} a+3-2y=2a+x-y-6, \ frac{1}{9} a+frac{1}{3}-frac{2}{9} y>0, \ x=(2+y)^2. end{cases}$$
$$ begin{cases} a=3-2y-(2+y)^2+y+6, \ a+3-2y>0, \ x=(2+y)^2. end{cases}$$
$$ begin{cases} a=-y^2-5y+5, \ a>2y-3, \ x=(2+y)^2. end{cases}$$

Построим график полученной системы:

Из рисунка 15 видно, что (a∈(-19;11.25].)

Ответ: (a∈(-19;11.25].)

Пример 11

Найти значения параметра a, при которых система
$$ begin{cases} x+y-1=0, \ 2y=sqrt{ax-1} end{cases} $$
имеет единственное решение.

Решение:

Из второго уравнения следует, что (x=frac{y^2+1}{a}).

Тогда

$$ begin{cases} frac{y^2+1}{a}+y-1=0, \ y≥0, \ x=frac{y^2+1}{a}. end{cases} $$
$$ begin{cases} a=frac{y^2+1}{1-y}, \ y≥0, \ x=frac{y^2+1}{a}. end{cases} $$

Обратите внимание, что (y=1), (x=0) не может быть решением системы при любых значениях параметра (a).

Исследуем, полученную зависимость (a=frac{y^2+1}{1-y}) на монотонность и найдем экстремумы.

$$ {a}^{‘}=frac{2y(1-y)+(y^2+1)}{1-y}^2 ;$$
$$ {a}^{‘}=frac{-y^2+2y+1}{(1-y)^2} =-frac{(y-1-sqrt{2})(y-1+sqrt{2})}{(1-y)^2} ;$$

Из рисунка 16 видно, что ({y}_{1}=1-sqrt{2}) — точка минимума функции (a=frac{y^2+1}{1-y};) Ей соответствует значение (a=2sqrt{2}-2).

({y}_{2}=1+sqrt{2}) — точка максимума. (a=-2sqrt{2}-2).

Найдем асимптоты (см. пример 9):

$$lim_{y→1} {frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$

Значит (y=1) – вертикальная асимптота.

$$lim_{y→∞} {frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$

Значит горизонтальные асимптоты отсутствуют.

И проверим на наличие наклонных асимптот:

$$ lim_{y→∞} {frac{a(y)}{y}}=lim_{y→∞} {frac{(frac{y^2+1}{1-y})}{y}}=lim_{y→∞} {frac{y^2+1}{y-y^2 }}=$$
$$=lim_{y→∞} {frac{1+frac{1}{y^2}}{-1+frac{1}{y}}}=-1=k;$$
$$lim_{y→∞} {(a(y)-ky)}=lim_{y→∞} {frac{y^2+1}{1-y}+y}=lim_{y→∞} {frac{1+y}{1-y}}=-1;$$

Получим уравнение наклонной асимптоты (a=-y-1).

Красным показа график функции (a=frac{y^2+1}{1-y};) Зеленым – показаны найденные асимптоты; Синяя область удовлетворяет условию (y≥0);

Выделенная бардовым часть графика указывает на возможные корни исходной системы. По условию задачи необходимо найти такие значения параметра (a), чтобы система имела единственное решение. Таким образом, из рисунка следует, что при (a=-2sqrt{2}-2) и (a ≥ 1) система будет иметь единственное решение.

Ответ: (a=-2sqrt{2}-2) и (a≥1)

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.

Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a

Решение показательных и логарифмических уравнений с параметром

Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

• Если знак неравенства строгий > , < , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

• Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

• Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

1. Пусть получилось неравенство вида a x ≤ b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

• Если a > 0 то неравенство приобретает вид x ≤ b a .

• Если a < 0 , то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x ≥ b a .

1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

1. Решить уравнение a x 2 + b x + c = 0 и найти корни x 1 и x 2 .

1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий > , < , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение a x 2 + b x + c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

1. Записать ответ.

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

1. Приравнять числитель дроби к нулю   f ( x ) = 0.  Найти нули числителя.

1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g ( x ) = 0.  Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось x нули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

1. Расставить знаки на интервалах.

1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравниваем числитель к нулю  f ( x ) = 0.

x − 1 = 0

x = 1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю  g ( x ) = 0.

x + 3 = 0

x = − 3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3   =   2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   > ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

1. Привести неравенство к виду  f ( x ) g ( x ) ≤ 0.

3 ( x + 8 ) ≤ 5

3 ( x + 8 ) − 5 x + 8 ≤ 0

3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0

3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0

− 5 x − 37 x + 8 ≤ 0

1. Приравнять числитель к нулю  f ( x ) = 0.

− 5 x − 37 = 0

− 5 x = 37

x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4

x = − 7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю  g ( x ) = 0.

x + 8 = 0

x = − 8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение  f ( x ) g ( x ) :

− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   ≤ ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f ( x ) g ( x ) > 0.

1. Приравнять числитель к нулю  f ( x ) = 0.

x 2 − 1 = 0

( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1

x 1 = 1, x 2 = − 1  — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g ( x ) = 0.

x = 0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение  f ( x ) g ( x ) :

x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   > ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.

1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

1. Решаем первое неравенство системы.

2 x − 3 ≤ 5  

2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x ≤ 4 ;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

7 − 3 x ≤ 1

− 3 x ≤ 1 − 7

− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ),  поскольку  − 3 < 0,  знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x ≥ 2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Наносим оба решения на ось x.

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

1. Решаем первое неравенство системы.

2 x − 1 ≤ 5

2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x ≤ 3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

1 < − 3 x − 2

3 x < − 1 − 2

3 x < − 3 | ÷ 3 ,  поскольку  3 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x < − 1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

1. Наносим оба решения на ось x.

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

1. Решаем первое неравенство системы.

3 x + 1 ≤ 2 x

3 x − 2 x ≤ − 1

x ≤ − 1

Графическая интерпретация решения:

1. Решаем второе неравенство системы

x − 7 > 5 − x

x + x > 5 + 7

2 x > 12 |   ÷ 2 ,  поскольку  2 > 0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x > 6

Графическая интерпретация решения:

1. Наносим оба решения на ось x.

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

1. Решаем первое неравенство системы.

x + 4 > 0

x > − 4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

1. Решаем второе неравенство системы

2 x + 3 ≤ x 2

− x 2 + 2 x + 3 ≤ 0

Решаем методом интервалов.

− x 2 + 2 x + 3 = 0

a = − 1, b = 2, c = 3

D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16

D > 0 — два различных действительных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

1. Наносим оба решения на ось x.

1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪ .

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

( displaystyle 2x=2+10)

( displaystyle 2x=12)

Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.

( displaystyle {{y}_{1}}=2x)

( displaystyle {{y}_{2}}=12)

А теперь строим. Что у тебя получилось?

( displaystyle x=-frac{b}{2a})

( displaystyle y=-frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a})

Ты скажешь «Стоп! Формула для ( displaystyle y) очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.

Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

( displaystyle x=frac{-2}{2}=-1)

( displaystyle y=-frac{{{2}^{2}}-4cdot left( -8 right)}{4}=-frac{4+32}{4}=-9)

Точно такой же ответ? Молодец!

При ( displaystyle x=0):

( displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8)

При ( displaystyle x=2):

( displaystyle y={{2}^{2}}+2cdot 2-8=0)

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

( displaystyle 4x<{{x}^{3}})?

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

( displaystyle {{y}_{1}}=4x)

( displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}})

Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).