Гипербола на координатной плоскости
Определение 1. Гиперболой (равносторонней гиперболой) называют график функции
(1) |
где k – любое, отличное от нуля, число.
Функция (1) обладает следующими свойствами:
Рассмотрим теперь функцию, заданную формулой
(2) |
где a, b, c, d – произвольные числа, а число c не равно нулю.
Определение 2. Дробно-линейной функцией называют функцию, заданную формулой (2), если дробь, стоящая в правой части формулы (2), несократима.
Графиком дробно–линейной функции является гипербола.
Примеры графиков дробно–линейных функций
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
MATHM
>>
ЕГЭ
>>
ЕГЭ профиль
>>
Задача 9
ЗАДАЧА 9
сортировка
по темам
СПИСОК ТЕМ
Тема 1: График параболы
Тема 2: График гиперболы и корня
Тема 3: График модуля
Тема 4: Графики тригонометрических функций
Тема 5: График показательной функции и логарифма
Тема 6: Пересечение графиков
Задачи разделены на темы. Задачи из любой темы вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ. Внутри каждой темы задачи
мы постарались расположить по возрастанию сложности.
Тема 1: График параболы.
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
посмотреть ответ
посмотреть решение 1
посмотреть решение 2
видеоурок 1 по графику параболы
видеоурок 2 по графику параболы
Тема 2: График гиперболы и корня.
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику гиперболы
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику гиперболы
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику гиперболы
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику гиперболы
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику корня
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику корня
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику корня
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику корня
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику корня
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику корня
Тема 3: График модуля.
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику модуля
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику модуля
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику модуля
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок по графику модуля
Тема 4: Графики тригонометрических функций.
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций
видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций
видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций
видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций
видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций
видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций
посмотреть ответ
посмотреть решение
видеоурок 1 по графикам тригонометрических функций
видеоурок 2 по графикам тригонометрических функций
Тема 5: График показательной функции и логарифма.
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
Тема 6: Пересечение графиков.
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
посмотреть ответ
посмотреть решение
- Альфашкола
- Статьи
- Как построить график гиперболы?
График гиперболы имеет вид (y =frac{k}{x}) , где k-вещественное число и x ≠ 0. Также данную функцию называют обратной пропорциональностью, где (k-)коэффициент обратной пропорциональности. Как выглядит сам график в зависимости стоит ли функция с минусом или без перед (x ):
Каковы особенности гиперболы?
График (y =frac{k}{x}) приближается к оси (x ) по мере увеличения значения (x ), но никогда не встречается с осью (X). Это называют горизонтальной асимптотой графика.
Каждая часть графика также становится ближе к оси (y), поскольку (x ) приближается к (0), но никогда не встречается с осью (y), потому что нет значения для (y), когда (x = 0). Это называется вертикальной асимптотой графика.
Пример 1.
Построим график (y =frac{5}{x}) на промежутке от (4) до (4), за исключением точки когда (x = 0). Выберем призвольное значение (x ) и посчитаем соответствующее значение (y):
По высчитанным точка из таблицы построим график:
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Репетитор по математике
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева
Всем привет! Меня зовут Анжела! Я преподаю английский язык для учеников 1-11 кл. На моих уроках вы точно полюбите иностранные языки и выучите их с лёгкостью! Моим ученикам удаётся заговорить на иностранном языке очень быстро. Занятия проходят увлекательно и интересно! Мой опыт в преподавании более 6 лет.
Репетитор по математике
Самаркандский государственный университет
Репетитор 5-9 классов. Учитель первой категории. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. Объясняю доступно, ясно, легко. Учитываю личность, характер ученика. К каждому ученику нахожу индивидуальный подход.
Репетитор по математике
Рязанский государственный педагогический университет имени С. А. Есенина
Репетитор для 1-9 классов. Выстрою с учеником его индивидуальное занятие, исходя из знаний математики. Не все задачи решаются моментально, но мы вместе будем искать самые быстрые и понятные пути решения.
В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.
Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.
1 способ – находим формулу по точкам
Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.
Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:
Алгоритм:
1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:
2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.
3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.
4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.
Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:
2 способ – преобразование графиков функций
Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).
Вот как выглядит применение этого способа:
Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:
И понимать, как меняются функции от преобразований:
Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:
Пример:
3 способ – гибридный
Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).
По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).
Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.
Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию
— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:
— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:
— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:
— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:
— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:
График функции, заданной формулой вида или , , — гипербола.
Область определения функции, заданной формулой , — все действительные числа, кроме 0, значит, график этой функции не пересекает ось ординат. Аналогично график, заданный , не будет проходить ни через одну точку плоскости с абсциссой (то есть не пересекает вертикальную прямую ).
В зависимости от значений, которые принимают параметры , гипербола — может быть по-разному расположена на декартовой плоскости. При
Рис.1
При наличии параметров и график гиперболы получается из графика параллельным переносом вправо вдоль оси на и вверх вдоль оси на (см. рис. 2).
Рис.2
Пример 1. Установите соответствие между графиками функций (см. рис. 3) и формулами, которые их задают.
Рис. 3
1) ; 2) ; 3 ) ; 4) .
Решение. Все три графика — гиперболы, то есть заданы формулами вида или .
Для графика А значение параметра , значит, он может быть задан формулами 1 или 4. Проверим точку (1; -2), через которую проходит этот график. Формула номер 1: — подходит. Формула номер 4: — не подходит. Следовательно, из предложенных формул графику А соответствует формула 1. Для графика Б выполняется