График гиперболы решу егэ

Каталог заданий
Задания 10. Графики функций. Гиперболы


Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

Тип 10 № 508951

На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =dfrackx плюс a. Найдите f левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка .

Аналоги к заданию № 508951: 508971 508952 508953 508954 508955 508956 508957 508958 508959 508960 … Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 110.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Решение

·

·

Сообщить об ошибке · Помощь

2

Тип 10 № 508961

На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =dfrackx плюс a. Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.

Аналоги к заданию № 508961: 508983 508962 508963 508964 508965 508966 508967 508968 508969 508970 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Решение

·

·

Сообщить об ошибке · Помощь

3

Тип 10 № 564197

На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, где числа a, b и c  — целые. Найдите f левая круглая скобка 13 правая круглая скобка .

Аналоги к заданию № 564197: 564198 564199 564200 564201 564202 564203 564204 564205 564206 564207 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Решение

·

·

Сообщить об ошибке · Помощь

4

Тип 10 № 564198

На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, где числа a, b и c  — целые. Найдите f левая круглая скобка 9 правая круглая скобка .

Аналоги к заданию № 564197: 564198 564199 564200 564201 564202 564203 564204 564205 564206 564207 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Решение

·

·

Сообщить об ошибке · Помощь

5

Тип 10 № 564199

На рисунке изображён график функции вида f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, где числа a, b и c  — целые. Найдите f левая круглая скобка минус 13 правая круглая скобка .

Аналоги к заданию № 564197: 564198 564199 564200 564201 564202 564203 564204 564205 564206 564207 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Решение

·

·

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

09
Янв 2022

Категория: 10 Графики функций

2022-01-09
2022-09-11

Задача 1. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{k}{x}+a.  Найдите f(50). 

Решение: + показать

Задача 2. На рисунке изображён график функции вида f(x)=frac{a}{x+b}+c,  где числа a,b и c — целые. Найдите значение x, при котором f(x)=2,5.

Решение: + показать

Задача 3. На рисунке изображён график функции  вида f(x)=frac{a}{x+b}+c, где a,b,c – целые числа.  Найдите f(frac{8}{3}).

Решение: + показать

Задача 4. На рисунке изображён график функции f(x)=frac{kx+a}{x+b}.  Найдите a.

Решение: + показать

Задача 5. На рисунке изображены графики функций f(x)=frac{k}{x}  и g(x)=ax+b и  которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест “Гиперболы”

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №10. Гипербола

ЕГЭ Профиль №10. Гиперболаadmin2023-01-13T14:34:23+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №10. Гипербола

Задача 1. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)   Найдите  (fleft( { — 12} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 0,75.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1;4} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4 = frac{k}{1} + a}\{2 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   (2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.)

Тогда:    (4 = 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.)

Следовательно, уравнение гиперболы:   (fleft( x right) = frac{3}{x} + 1)   и   (fleft( { — 12} right) = frac{3}{{ — 12}} + 1 = 0,75.)

Ответ: 0,75.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {1;4} right)), поэтому:    (4 = frac{k}{1} + 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.)

Таким образом,    (fleft( x right) = frac{3}{x} + 1)   и   (fleft( { — 12} right) = frac{3}{{ — 12}} + 1 = 0,75.)

Ответ: 0,75.
Задача 2. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)  Найдите  (fleft( {50} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 2,96.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 1} right)) и (left( {2; — 2} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = frac{k}{1} + a}\{ — 2 = frac{k}{2} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:    (1 = k — frac{k}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.)

Тогда:    ( — 1 = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 3.)

Следовательно, уравнение гиперболы:   (fleft( x right) = frac{2}{x} — 3)   и   (fleft( {50} right) = frac{2}{{50}} — 3 =  — 2,96.)

Ответ: – 2,96.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y =  — 3). Следовательно, (a =  — 3). График проходит через точку (left( {1; — 1} right)), поэтому:   ( — 1 = frac{k}{1} — 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.)

Таким образом,    (fleft( x right) = frac{2}{x} — 3)   и   (fleft( {50} right) = frac{2}{{50}} — 3 =  — 2,96.)

Ответ: – 2,96.
Задача 3. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)  Найдите  (fleft( {7,5} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 1,6.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 1} right)) и (left( {3;1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = frac{k}{1} + a}\{1 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   ( — 2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 3.)

Тогда:    ( — 1 =  — 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2.)

Следовательно, уравнение гиперболы:   (fleft( x right) =  — frac{3}{x} + 2)   и   (fleft( {7,5} right) =  — frac{3}{{7,5}} + 2 = 1,6.)

Ответ: 1,6.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( {1; — 1} right)), поэтому:   ( — 1 = frac{k}{1} + 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 3.)

Таким образом,    (fleft( x right) =  — frac{3}{x} + 2)   и   (fleft( {7,5} right) =  — frac{3}{{7,5}} + 2 = 1,6.)

Ответ: 1,6.
Задача 4. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)  Найдите  (fleft( {0,25} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 14.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {3; — 3} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = frac{k}{1} + a}\{ — 3 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   ( — 2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 3.)

Тогда:    ( — 5 =  — 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 2.)

Следовательно, уравнение гиперболы:    (fleft( x right) =  — frac{3}{x} — 2)   и   (fleft( {0,25} right) =  — frac{3}{{0,25}} — 2 =  — 14.)

Ответ: – 14.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y =  — 2). Следовательно, (a =  — 2). График проходит через точку (left( {1; — 5} right)), поэтому:   ( — 5 = frac{k}{1} — 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 3.)

Таким образом,    (fleft( x right) =  — frac{3}{x} — 2)   и   (fleft( {0,25} right) =  — frac{3}{{0,25}} — 2 =  — 14.)

Ответ: – 14.
Задача 5. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)  Найдите, при каком значении  x  значение функции равно 0,8.

Ответ

ОТВЕТ: — 15.
Решение

1 Способ

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a)  проходит через точки (left( {1;4} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4 = frac{k}{1} + a}\{2 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   (2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.)

Тогда:    (4 = 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{3}{x} + 1)    и    (frac{3}{x} + 1 = 0,8,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{3}{x} =  — frac{1}{5},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x =  — 15.)

Ответ: – 15.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {1;4} right)), поэтому:   (4 = frac{k}{1} + 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.)

Таким образом,   (fleft( x right) = frac{3}{x} + 1)    и    (frac{3}{x} + 1 = 0,8,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{3}{x} =  — frac{1}{5},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x =  — 15.)

Ответ: – 15.
Задача 6. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)  Найдите, при каком значении  x  значение функции равно 19.

Ответ

ОТВЕТ: 0,1.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1;1} right)) и (left( {2;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = frac{k}{1} + a}\{0 = frac{k}{2} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:    (1 = k — frac{k}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.)

Тогда:    (1 = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 1.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{2}{x} — 1)    и    (frac{2}{x} — 1 = 19,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{2}{x} = 20,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 0,1.)

Ответ: 0,1.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y =  — 1). Следовательно, (a =  — 1). График проходит через точку (left( {1;1} right)), поэтому:   (1 = frac{k}{1} — 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 2.)

Таким образом,    (fleft( x right) = frac{2}{x} — 1)    и    (frac{2}{x} — 1 = 19,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,frac{2}{x} = 20,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 0,1.)

Ответ: 0,1.
Задача 7. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)  Найдите, при каком значении  x  значение функции равно 0,75.

Ответ

ОТВЕТ: 16.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 3} right)) и (left( {2; — 1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = frac{k}{1} + a}\{ — 1 = frac{k}{2} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:    ( — 2 = k — frac{k}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 4.)

Тогда:    ( — 3 =  — 4 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) =  — frac{4}{x} + 1)   и   ( — frac{4}{x} + 1 = 0,75,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — frac{4}{x} =  — frac{1}{4},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 16.)

Ответ: 16.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y = 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {1; — 3} right)), поэтому:   ( — 3 = frac{k}{1} + 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 4.)

Таким образом,   (fleft( x right) =  — frac{4}{x} + 1)   и   ( — frac{4}{x} + 1 = 0,75,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,, — frac{4}{x} =  — frac{1}{4},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 16.)

Ответ: 16.
Задача 8. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{x} + a.)  Найдите, при каком значении  x  значение функции равно ( — 9,5.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,4.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{x} + a) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {3; — 3} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = frac{k}{1} + a}\{ — 3 = frac{k}{3} + a}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   ( — 2 = k — frac{k}{3},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 3.)

Тогда: ( — 5 =  — 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 2.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) =  — frac{3}{x} — 2)   и   ( — frac{3}{x} — 2 =  — 9,5,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — frac{3}{x} =  — frac{{15}}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 0,4.)

Ответ: 0,4.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту (y =  — 2). Следовательно, (a =  — 2). График проходит через точку (left( {1; — 5} right)), поэтому:   ( — 5 = frac{k}{1} — 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k =  — 3.)

Таким образом, (fleft( x right) =  — frac{3}{x} — 2)  и  ( — frac{3}{x} — 2 =  — 9,5,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — frac{3}{x} =  — frac{{15}}{2},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,x = 0,4.)

Ответ: 0,4.
Задача 9. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите  (fleft( {19} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 0,15.
Решение

1 Способ

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}})  проходит через точки (left( {0;3} right)) и (left( {2;1} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = frac{k}{{0 + a}}}\{1 = frac{k}{{2 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 3a,,,,,}\{k = 2 + a}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3a = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1,,,,k = 3.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}})   и   (fleft( {19} right) = frac{3}{{19 + 1}} = 0,15.)

Ответ: 0,15.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x =  — 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {0;3} right)), поэтому:   (3 = frac{k}{{0 + 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.)

Таким образом,   (fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}})   и   (fleft( {19} right) = frac{3}{{19 + 1}} = 0,15).

Ответ: 0,15.
Задача 10. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите  (fleft( { — 4frac{2}{3}} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 0,75.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 3; — 1} right)) и (left( {1; — 5} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = frac{k}{{ — 3 + a}}}\{ — 5 = frac{k}{{1 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 3 — a,,,,,}\{k =  — 5 — 5a}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3 — a =  — 5 — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 2,,,,k = 5.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{5}{{x — 2}})   и   (fleft( { — 4frac{2}{3}} right) = frac{5}{{ — 4frac{2}{3} — 2}} = frac{5}{{ — frac{{20}}{3}}} =  — 0,75.)

Ответ: – 0,75.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = 2). Следовательно, (a =  — 2). График проходит через точку (left( { — 3; — 1} right)), поэтому:  ( — 1 = frac{k}{{ — 2 — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.)

Таким образом,   (fleft( x right) = frac{3}{{x — 2}})   и   (fleft( { — 4frac{2}{3}} right) = frac{3}{{ — 4frac{2}{3} — 2}} = frac{5}{{ — frac{{20}}{3}}} =  — 0,75.)

Ответ: – 0,75.
Задача 11. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите  (fleft( {18} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 0,1.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 1; — 2} right)) и (left( { — 3;2} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = frac{k}{{ — 1 + a}}}\{2 = frac{k}{{ — 3 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 2 — 2a,,,,,}\{k = 2a — 6,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a — 6 = 2 — 2a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2,,,,k =  — 2.)

Следовательно, уравнение гиперболы:   (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}})   и   (fleft( {18} right) = frac{{ — 2}}{{18 + 2}} =  — 0,1.)

Ответ: – 0,1.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x =  — 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( { — 1; — 2} right)), поэтому:   ( — 2 = frac{k}{{ — 1 + 2}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 2.)

Таким образом,   (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}})   и   (fleft( {18} right) = frac{{ — 2}}{{18 + 2}} =  — 0,1.)

Ответ: – 0,1.
Задача 12. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите  (fleft( {6frac{1}{3}} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 0,24.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 1; — 2} right)) и (left( { — 3;2} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = frac{k}{{ — 1 + a}}}\{2 = frac{k}{{ — 3 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 2 — 2a,,,,,}\{k = 2a — 6,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2a — 6 = 2 — 2a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2,,,,k =  — 2.)

Следовательно, уравнение гиперболы:   (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}})   и   (fleft( {6frac{1}{3}} right) = frac{{ — 2}}{{6frac{1}{3} + 2}} = frac{{ — 2}}{{frac{{25}}{3}}} =  — 0,24.)

Ответ: – 0,24.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x =  — 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( { — 1; — 2} right)), поэтому:    ( — 2 = frac{k}{{ — 1 + 2}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 2.)

Таким образом,    (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}})   и   (fleft( {6frac{1}{3}} right) = frac{{ — 2}}{{6frac{1}{3} + 2}} = frac{{ — 2}}{{frac{{25}}{3}}} =  — 0,24.)

Ответ: – 0,24.
Задача 13. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 0,2.)

Ответ

ОТВЕТ: 14.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( {0;3} right)) и (left( {2;1} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = frac{k}{a},,,,,,}\{1 = frac{k}{{2 + a}}}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 3a,,,,,,,,,,,}\{k = 2 + a,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3a = 2 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1,,,,k = 3.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}})   и   (frac{3}{{x + 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 1 = 15,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 14.)

Ответ: 14.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x =  — 1). Следовательно, (a = 1). График проходит через точку (left( {0;3} right)), поэтому:   (3 = frac{k}{{0 + 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.)

Таким образом,    (fleft( x right) = frac{3}{{x + 1}})   и   (frac{3}{{x + 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 1 = 15,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 14.)

Ответ: 14.
Задача 14. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) =  — 0,08.)

Ответ

ОТВЕТ: — 24.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( {2;2} right)) и (left( {3;1} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = frac{k}{{2 + a}},,,,,,}\{1 = frac{k}{{3 + a}},,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 4 + 2a,,,,,,,,,,,}\{k = 3 + a,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right., Leftrightarrow ,,,,,,,4 + ,2a = 3 + a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 1,,,,k = 2.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{2}{{x — 1}})   и   (frac{2}{{x — 1}} =  — 0,08,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 =  — 25,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — 24.)

Ответ: – 24.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = 1). Следовательно, (a =  — 1). График проходит через точку (left( {2;2} right)), поэтому:   (2 = frac{k}{{2 — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 2.)

Таким образом,    (fleft( x right) = frac{2}{{x — 1}})   и   (frac{2}{{x — 1}} =  — 0,08,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 =  — 25,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — 24.)

Ответ: – 24.
Задача 15. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) =  — 0,04.)

Ответ

ОТВЕТ: 48.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( { — 1; — 2} right)) и (left( { — 3;2} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = frac{k}{{ — 1 + a}},,,,,,}\{2 = frac{k}{{ — 3 + a}},,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k = 2 — 2a}\{k = 2a — 6}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2a — 6 = 2 — 2a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2,,,,k =  — 2.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}})   и   (frac{{ — 2}}{{x + 2}} =  — 0,04,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 2 = 50,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 48.)

Ответ: 48.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x =  — 2). Следовательно, (a = 2). График проходит через точку (left( { — 1; — 2} right)), поэтому:    ( — 2 = frac{k}{{ — 1 + 2}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 2.)

Таким образом,   (fleft( x right) = frac{{ — 2}}{{x + 2}})   и   (frac{{ — 2}}{{x + 2}} =  — 0,04,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 2 = 50,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x = 48.)

Ответ: 48.
Задача 16. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 0,2.)

Ответ

ОТВЕТ: — 29.
Решение

1 Способ

График гиперболы (fleft( x right) = frac{k}{{x + a}}) проходит через точки (left( {3; — 3} right)) и (left( { — 1;3} right)).

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = frac{k}{{3 + a}},,,,,,}\{3 = frac{k}{{ — 1 + a}},,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k =  — 9 — 3a,,,,,,,,,,,}\{k = 3a — 3,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right., Leftrightarrow ,,,,,,,3a — 3 =  — 9 — 3a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 1,,,,k =  — 6.)

Следовательно, уравнение гиперболы:

(fleft( x right) = frac{{ — 6}}{{x — 1}})   и   (frac{{ — 6}}{{x — 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 =  — 30,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — 29.)

Ответ: – 29.

2 Способ

Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту (x = 1). Следовательно, (a =  — 1). График проходит через точку (left( {3; — 3} right)), поэтому:   ( — 3 = frac{k}{{3 — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 6.)

Таким образом, (fleft( x right) = frac{{ — 6}}{{x — 1}})   и   (frac{{ — 6}}{{x — 1}} = 0,2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x — 1 =  — 30,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x =  — 29.)

Ответ: – 29.
Задача 17. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите k.

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 1), то (k = 1).

Ответ: 1.
Задача 18. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите k.

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 2), то (k = 2).

Ответ: 2.
Задача 19. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите k.

Ответ

ОТВЕТ: 2.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 2), то (k = 2).

Ответ: 2.
Задача 20. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите k.

Ответ

ОТВЕТ: — 2.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = -2), то (k = -2).

Ответ: -2.
Задача 21. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите a.

Ответ

ОТВЕТ: 9.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 1), то (k = 1).

Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x =  — 4), то (b = 4).

Следовательно: (fleft( x right) = 1 + frac{{a — 4}}{{x + 4}}.)

Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( { — 3;6} right)).

Тогда:  (6 = 1 + frac{{a — 4}}{{ — 3 + 4}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{a — 4}}{1} = 5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 9.,,,)

Ответ: 9.
Задача 22. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите a.

Ответ

ОТВЕТ: — 4.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y = 2), то (k = 2).

Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x = 3), то (b =  — 3).

Следовательно: (fleft( x right) = 2 + frac{{a + 6}}{{x — 3}}.)

Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( {5;3} right)).

Тогда:    (3 = 2 + frac{{a + 6}}{{5 — 3}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{a + 6}}{2} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 4.,,,)

Ответ: – 4.
Задача 23. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите a.

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y =  — 2), то (k =  — 2).

Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x = 3), то (b =  — 3).

Следовательно: (fleft( x right) =  — 2 + frac{{a — 6}}{{x — 3}}.)

Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( {2;3} right)).

Тогда:    (3 =  — 2 + frac{{a — 6}}{{2 — 3}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{a — 6}}{{ — 1}} = 5,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.,,,)

Ответ: 1.
Задача 24. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = frac{{k,x + a}}{{x + b}}.)  Найдите a.

Ответ

ОТВЕТ: — 5.
Решение

Преобразуем данную функцию (fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}}) следующим образом:

(fleft( x right) = frac{{kx + a}}{{x + b}} = frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = frac{{kleft( {x + b} right)}}{{x + b}} + frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + frac{{a — kb}}{{x + b}})

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту (y =  — 1), то (k =  — 1).

Так как график функции имеет вертикальную асимптоту (x =  — 2), то (b = 2).

Следовательно: (fleft( x right) =  — 1 + frac{{a + 2}}{{x + 2}}.)

Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку (left( { — 1; — 4} right)).

Тогда:   ( — 4 =  — 1 + frac{{a + 2}}{{ — 1 + 2}},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a + 2 =  — 3,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a =  — 5.,,,)

Ответ: – 5.
Задача 25. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ

ОТВЕТ: 0,2.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( {1;3} right)). Следовательно:  (3 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 3.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) = frac{3}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 3; — 1} right)) и (left( { — 2;4} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 =  — 3a + b}\{4 =  — 2a + b}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   ( — 5 =  — a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = 5.)

Тогда:  ( — 1 =  — 3 cdot 5 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = 14.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) = 5x + 14.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 5x + 14}\{y = frac{3}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,5x + 14 = frac{3}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,5{x^2} + 14x — 3 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 0,2,,,,{x_2} =  — 3.)

Значение (x =  — 3) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 0,2.

Ответ: 0,2.
Задача 26. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ

ОТВЕТ: — 6,25.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( {1;5} right)). Следовательно:  (5 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 5.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) = frac{5}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 4;1} right)) и (left( {1;5} right)).

Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 =  — 4a + b}\{5 = a + b,,,,,}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   ( — 4 =  — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{4}{5}.)

Тогда:  (1 =  — 4 cdot frac{4}{5} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = frac{{21}}{5}.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) = frac{4}{5}x + frac{{21}}{5}.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{4}{5}x + frac{{21}}{5}}\{y = frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{4}{5}x + frac{{21}}{5} = frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,4{x^2} + 21x — 25 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} =  — 6,25.)

Значение  (x = 1)  является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 6,25.

Ответ: – 6,25.
Задача 27. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ

ОТВЕТ: 10.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( {1; — 5} right)). Следовательно:  ( — 5 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 5.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) =  — frac{5}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {5; — 3} right)).

Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = a + b,,,}\{ — 3 = 5a + b}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   ( — 2 =  — 4a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Тогда:  ( — 5 = frac{1}{2} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b =  — frac{{11}}{2}.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}}\{y =  — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{1}{2}x — frac{{11}}{2} =  — frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} — 11x + 10 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} = 10.)

Значение  (x = 1) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 10.

Ответ: 10.
Задача 28. На рисунке изображены графики функций  (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ

ОТВЕТ: 12,5.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( { — 1;5} right)). Следовательно:  (5 = frac{k}{{ — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 5.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) =  — frac{5}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 1;5} right)) и (left( {4;3} right)).

Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{5 =  — a + b}\{3 = 4a + b}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   (2 =  — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a =  — frac{2}{5}.)

Тогда:  (5 = frac{2}{5} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = frac{{23}}{5}.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) =  — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y =  — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}}\{y =  — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5} =  — frac{5}{x},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2{x^2} — 23x — 25 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{x_1} =  — 1,,,,{x_2} = 12,5.)

Значение  (x =  — 1)  является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В  равна 12,5.

Ответ: 12,5.
Задача 29. На рисунке изображены графики функций  (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите ординату точки B.

Ответ

ОТВЕТ: 15.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( { — 3; — 1} right)). Следовательно:  ( — 1 = frac{k}{{ — 3}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,k = 3.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) = frac{3}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 3; — 1} right)) и (left( { — 2;4} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 =  — 3a + b}\{4 =  — 2a + b}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:  ( — 5 =  — a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = 5.)

Тогда:  ( — 1 =  — 15 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = 14.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) = 5x + 14.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 5x + 14}\{y = frac{3}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,5x + 14 = frac{3}{x},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,5{x^2} + 14x — 3 = 0,,,,,, Leftrightarrow )

( Leftrightarrow ,,,,,{x_1} =  — 3,,,,{x_2} = frac{1}{5},,,,{y_1} =  — 1,,,,,{y_2} = 15.)

Следовательно, (Aleft( { — 3; — 1} right)) и (Bleft( {frac{1}{5};15} right)). Таким образом, ордината точки В равна 15.

Ответ: 15.
Задача 30. На рисунке изображены графики функций  (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите ординату точки B.

Ответ

ОТВЕТ: — 16.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( {4;1} right)). Следовательно:   (1 = frac{k}{4},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k = 4.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) = frac{4}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( {4;1} right)) и (left( {3; — 3} right)).

Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = 4a + b,,}\{ — 3 = 3a + b}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   (4 = a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = 4.)

Тогда:  (1 = 16 + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b =  — 15.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) = 4x — 15.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 4x — 15}\{y = frac{4}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,4x — 15 = frac{4}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,4{x^2} — 15x — 4 = 0,,,,,,, Leftrightarrow )( Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = 4,,,,{x_2} =  — frac{1}{4},,,,{y_1} = 1,,,,,{y_2} =  — 16.)

Следовательно,  (Aleft( {4;1} right))  и  (Bleft( { — frac{1}{4}; — 16} right)).  Таким образом, ордината точки В равна – 16.

Ответ: – 16.
Задача 31. На рисунке изображены графики функций  (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите ординату точки B.

Ответ

ОТВЕТ: — 0,4.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( { — 1;5} right)). Следовательно:   (5 = frac{k}{{ — 1}},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 5.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) =  — frac{5}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( { — 1;5} right)) и (left( {4;3} right)).

Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{5 =  — a + b,,}\{3 = 4a + b,,}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:    (2 =  — 5a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a =  — frac{2}{5}.)

Тогда:  (5 = frac{2}{5} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = frac{{23}}{5}.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) =  — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y =  — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5}}\{y =  — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — frac{2}{5}x + frac{{23}}{5} =  — frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{x^2} — 23x — 25 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,,,{x_1} =  — 1,,,,{x_2} = frac{{25}}{2},,,,,,,,,,{y_1} = 5,,,,{y_2} =  — 0,4.)

Следовательно,  (Aleft( { — 1;5} right))  и  (Bleft( {frac{{25}}{2}; — 0,4} right)).  Таким образом, ордината точки В равна – 0,4.

Ответ: – 0,4.
Задача 32. На рисунке изображены графики функций  (fleft( x right) = frac{k}{x}) и (gleft( x right) = a,x + b,,)  которые пересекаются в точках  A и B. Найдите ординату точки B.

Ответ

ОТВЕТ: — 0,5.
Решение

График гиперболы  (fleft( x right) = frac{k}{x})  проходит через точку (left( {1; — 5} right)). Следовательно:  ( — 5 = frac{k}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,k =  — 5.)

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид:   (fleft( x right) =  — frac{5}{x}.)

График прямой (gleft( x right) = ax + b) проходит через точки (left( {1; — 5} right)) и (left( {5; — 3} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = a + b,,,}\{ — 3 = 5a + b}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:   ( — 2 =  — 4a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Тогда:  ( — 5 = frac{1}{2} + b,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b =  — frac{{11}}{2}.)

Таким образом, уравнение прямой имеет вид:   (gleft( x right) = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}.)

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = frac{1}{2}x — frac{{11}}{2}}\{y =  — frac{5}{x},,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{1}{2}x — frac{{11}}{2} =  — frac{5}{x},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} — 11x + 10 = 0,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,)

( Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} = 10,,,,,,,,,,,{y_1} =  — 5,,,,{y_2} =  — 0,5.)

Следовательно,  (Aleft( {1; — 5} right))  и  (Bleft( {10; — 0,5} right)).  Таким образом, ордината точки В равна – 0,5.

Ответ: – 0,5.

Источник

В 2022 задание 9 по математике профильного уровня изменилось — появился новый формат, проверяющий знание свойств параболы. Номер вызывает вопросы у учеников, но на деле решается просто. В статье разберем правила выполнения задания 9 ЕГЭ по математике. 

Способы решения номера

9 задание по математике профильного уровня 2022 получится решить четырьмя методами. 

Первый вариант

Начнем с простого способа, не требующего глубокого понимания темы. Условие выглядит следующим образом: 

Присмотревшись к картинке задания 9 по профильной математике, видим: график содержит целочисленные точки. Отметим их на изображении (экзамен разрешает использовать текст КИМа). Решение требует минимум три точки: 

Видим: в точке «-4» ордината равна «-3». Запишем уравнение, подставив значения значения абсциссы и ординаты: 

16a — 4b + c = -3

Аналогичным образом записываем выражение, используя две остальные точки: 

9a — 3b + c = -2

4a — 2b + c = 1

Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решить достаточно легко. Простейший вариант: вычесть последнюю строчку из первых двух, избавившись от коэффициента “c”. После первое уравнение сокращаем на «2», вычитаем из него второе. Находим: a = 1. Подставляем далее, получаем: 

b = 8;

c = 13. 

Имея коэффициенты, переписываем уравнение, подставляем значение абсциссы: 

f(x) = x2 + 8x + 13

f(-12) = 144 — 96 + 13 = 61

Второй вариант

Мы решили 9 задание по математике профилю наиболее простым способом. Однако вычисления получится сократить. Построим локальную систему координат около вершины параболы: 

Видим особенность параболы: в точке «1» ордината равна 1, в точке «2» — 4. Представленный график отражает классическое выражение: y = x2, сдвинутое в системе координат. Известно: преобразования не меняют старший коэффициент. Делаем вывод, “a” равно “1”. Теперь найдем “b”. Используем выражение вершины параболы: x0 = -b / 2a. По рисунку видно: x0 = -4. Поставляя это число, найденное значение “a”, находим: b = 8. Дальнейшее решение требует одного уравнения из первого способа. Теперь выполнить номер проще. 

Третий вариант

9 задание по математике профильного уровня реально упростить еще сильнее. Изучим способ образования данной параболы. Она получилась путем смещения исходной на “4” налево и на “3” вниз. Запишем уравнения. Изначальный пример: 

y = x2

Сдвиг влево записывается: 

y = (x + 4)2

Сдвиг вниз: 

y = (x + 4)2 — 3

Получаем готовое уравнение, достаточно подставить “-12”. Ответ аналогичный: 61. 

Четвертый вариант

Рассмотрим последний способ выполнения задания 9 по профильной математике 2022, требующий логического мышления. Снова изучим локальную систему координат: 

Сравнивая с изначальной, получим: абсцисса «-12» из условия представляет собой значение «-8» локальной системы. Это связано со сдвигом. Ордината соответственно равна “64”. Не забываем: парабола сдвинута также на три пункта вниз. Получается, итоговое значение будет на 3 меньше найденного. Ответ снова 61!

В статье мы разобрали способы решения нового 9 задания из ЕГЭ по математике. Хотите изучить принципы выполнения остальных номеров? Записывайтесь на курсы «Уникум» Российского университета дружбы народов. Обучение проходит под руководством опытных преподавателей, форматы — очный, дистанционный. Для закрепления материала существует учебный портал Unikum. 

Содержание данной статьи носит ознакомительный характер. При подготовке к сдаче ЕГЭ пользуйтесь дополнительными источниками информации! 

Источник

Задание
№9 «Графики функции»

ЕГЭ
математика профиль

1) Гиперболы

2) Кусочно-линейная функция

3)Параболы

4) Синусоиды

1) Гиперболы

1. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90473&png=1На рисунке изображён график функции вида f(x)= дробь, числитель — a, знаменатель — x плюс b плюс c, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(13).

Решение.

1. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90473&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)= дробь, числитель — a, знаменатель — x плюс b плюс c, где
числа a, b и c — целые. Найдите f(13).

Решение.

График функции имеет горизонтальную асимптоту y=2, значит, c=2.

График функции имеет вертикальную асимптоту x=3, значит, b= минус 3.

По графику f(2)=1, тогда

дробь, числитель — a, знаменатель — 2 минус 3 плюс 2=1 равносильно a=1.

Таким образом, f(x)= дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 3 плюс 2. Найдём f(13).

f(13)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 13 минус 3 плюс 2=2,1.

Асимпто́та, или аси́мптота[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от
точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль
ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония
Пергского, хотя
асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].

2. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90475&png=1На рисунке изображён график функции вида f(x)= дробь, числитель — a, знаменатель — x плюс b плюс c, где числа a, b и c — целые.
Найдите f(9).

2. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90475&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)= дробь, числитель — a, знаменатель — x плюс b плюс c, где
числа a, b и c — целые. Найдите f(9).

Решение.

График функции имеет горизонтальную асимптоту y= минус 1, значит, c= минус 1.

График функции имеет вертикальную асимптоту x=5, значит, b= минус 5.

По графику f(6)=0, тогда

дробь, числитель — a, знаменатель — 6 минус 5 минус 1=0 равносильно a=1.

Таким образом, f(x)= дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 5 минус 1. Найдём f(9).

f(9)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 минус 5 минус 1= минус 0,75.

Ответ: −0,75.

3. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90479&png=1На рисунке изображён график функции вида f(x)= дробь, числитель — a, знаменатель — x плюс b плюс c, где числа a, b и c — целые.
Найдите f( минус 13).

3. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90479&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)= дробь, числитель — a, знаменатель — x плюс b плюс c, где
числа a, b и c — целые. Найдите f( минус 13).

Решение.

График функции имеет горизонтальную асимптоту y=3, значит, c=3.

График функции имеет вертикальную асимптоту x=3, значит, b= минус 3.

По графику f(5)=4, тогда

дробь, числитель — a, знаменатель — 5 минус 3 плюс 3=4 равносильно a=2.

Таким образом, f(x)= дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 3 плюс 3. Найдём f( минус 13).

f( минус 13)= дробь, числитель — 2, знаменатель — минус 13 минус 3 плюс 3=2,875.

Ответ: 2,875.

2) Кусочно-линейная функция

1. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90444&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)=ax плюс |bx плюс c| плюс d, где
числа a, b, c и d — целые.
Найдите корень уравнения ax плюс d=0.

1. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90444&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)=ax плюс |bx плюс c| плюс d, где числа a, b, c и d —
целые. Найдите корень уравнения ax плюс d=0.

Решение.

https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90445&png=1В любом из
случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию f(x)=kx плюс l, где угловой коэффициент k=a плюс |b| или k=a минус |b|,  а
свободный член l=d плюс |c| или l=d минус |c|. Очевидно, что a плюс |b| geqslant a минус |b|, значит, большему значению
углового коэффициента соответствует k=a плюс |b|, а
меньшему — k=a минус |b|. Аналогично большему
значению свободного члена соответствует l=d плюс |c|, а
меньшему — l=d минус |c|.

По рисунку определяем, что a плюс |b|=3, a минус |b|= минус 1, d плюс |c|=3, d минус |c|= минус 5. Значит, a=1, d= минус 1.

Решим уравнение ax плюс d=0:

x минус 1=0 равносильно x=1

Ответ: 1.

2. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90444&png=1

На
рисунке изображён график функции вида f(x)=ax плюс |bx плюс c| плюс d, где
числа a, b, c и d — целые. Найдите
корень уравнения bx плюс c=0.

2. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90444&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)=ax плюс |bx плюс c| плюс d, где числа a, b, c и d — целые.
Найдите корень уравнения bx плюс c=0.

Решение.

Заметим, что |bx плюс c|=0 в точке излома, т.е.
при x=2. Значит, корнем уравнения bx плюс c=0 является число 2.

3. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90446&png=1На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax плюс |bx плюс c| плюс d, где числа a, b, c и d — целые.
Найдите корень уравнения ax плюс d=0.

4. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90446&png=1На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax плюс |bx плюс c| плюс d, где числа a, b, c и d — целые.
Найдите корень уравнения bx плюс c=0.

4. https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90446&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)=ax плюс |bx плюс c| плюс d, где числа a, b, c и d — целые.
Найдите корень уравнения bx плюс c=0.

Решение.

Заметим, что |bx плюс c|=0 в точке излома, т.е.
при x=3. Значит, корнем уравнения bx плюс c=0 является число 3.

3)Параболы

 https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=83007&png=1На рисунке изображён график функции вида f(x)= дробь, числитель — x в степени 2 , знаменатель — a плюс bx плюс c, где числа a, b и c —
целые. Найдите значение f(3,5).

Решение.1 способ

По рисунку определяем, что f(x)= минус дробь, числитель — (x минус 6) в степени 2 , знаменатель — 4 плюс 8 = минус дробь, числитель — x в степени 2 , знаменатель — 4 плюс 3x минус 1, значит, a= минус 4, b=3, c= минус 1.

Тогда f(3,5) =f левая круглая скобка дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 правая круглая скобка = минус дробь, числитель — 49, знаменатель — 16 плюс дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 минус 1=
= минус 3 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 16 плюс 10 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 минус 1=6 плюс дробь, числитель — 7, знаменатель — 16 =6,4375.

Решение.2 способ

Выбрать три точки . Например (0;-1),
(6,8), (2;4). Подставив координаты первой точки, мы найдем с=-1. Далее
подставив две другие координаты и с, решаем систему уравнений и находим а и в.

4) Синусоиды

 https://math-ege.sdamgia.ru/get_file?id=90832&png=1На рисунке
изображён график функции вида f(x)=a косинус (b Пи x плюс c) плюс d, где числа a, b, c и d — целые.
Найдите f левая круглая скобка дробь, числитель — 100, знаменатель — 3 правая круглая скобка .

Решение.

По графику f_max=1, f_min= минус 3, тогда d= дробь, числитель — f_max плюс f_min, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1 минус 3, знаменатель — 2 = минус 1,  и |a|= дробь, числитель — f_max минус f_min, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1 минус ( минус 3), знаменатель — 2 =2.

По графику f(0)=1, тогда, если a= минус 2, то

минус 2 косинус c минус 1=1 равносильно косинус c= минус 1 — не
имеет целочисленных решений,

если a=2, то

2 косинус c минус 1=1 равносильно косинус c=1 равносильно c=2 Пи k, k принадлежит Z undersetc принадлежит Z mathop равносильно c=0.

Значит, a=2 и c=0.

Найдём наименьший положительный период функции f(x)=2 косинус (b Пи x) минус 1:

2 косинус (b Пи x) минус 1=2 косинус (b Пи x pm 2 Пи ) минус 1=2 косинус левая круглая скобка b Пи левая круглая скобка x pm дробь, числитель — 2, знаменатель — b правая круглая скобка правая круглая скобка минус 1

Наименьший положительный период функции f(x) равен  pm дробь, числитель — 2, знаменатель — b, а по графику наименьший
положительный период равен 2, тогда b= pm 1.

Таким образом, f(x)=2 косинус ( минус Пи x) минус 1=2 косинус ( Пи x) минус 1. Найдём f левая круглая скобка дробь, числитель — 100, знаменатель — 3 правая круглая скобка .

f левая круглая скобка дробь, числитель — 100}3 правая круглая скобка =2 косинус дробь, числитель — {, знаменатель — 1 00 Пи , знаменатель — 3 минус 1=2 косинус дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 минус 1= минус 2.

Ответ: −2.

Источник

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

задача с гиперболой

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

находим две точки с целыми координатами

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

составляем уравнения

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

решаем систему

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

отвечаем на вопрос задачи

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

Пример с логарифмической функцией

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

преобразование графиков функций

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

Виды функций

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Преобразование графиков функций

примеры преобразований функций

Преобразование показательной функции Преобразование гипербол

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

как по формуле определить какие были преобразования с функцией

Пример:

пример с функцией обратной пропорциональности

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

показательная и логарифмическая функция

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

пример с логарифмической функцией

пример с логарифмической функцией

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

что значит найти f от числа

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

найдите, при каком значении x значение функции равно 8

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

найдите точку пересечения функций

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

найдите ординату точки пересечения

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

найдите k

Источник

  • Решение

  •   Видеорешение

Чтобы найти точку, в которой (displaystyle f(x)) равно (displaystyle 2{small,})

  • найдем неизвестные коэффициенты (displaystyle k) и (displaystyle b) в уравнении гиперболы,
  • решим уравнение (displaystyle f(x)=2{small.})

Найдем (displaystyle k) и (displaystyle b{small.})

Для этого составим и решим систему уравнений относительно (displaystyle k) и (displaystyle b{small.})

Заметим, что гипербола (displaystyle y=frac{k}{x+b}) проходит через точки (displaystyle (-2;, -4)) и (displaystyle (2;, 1){small.})

Значит, 

  • если в уравнение гиперболы  (displaystyle y=frac{k}{x+b}) подставить (displaystyle color{blue}{x=-2}) и  (displaystyle color{blue}{y=-4},) то получится первое верное равенство (первое уравнение на (displaystyle k) и (displaystyle b)),
  • если в уравнение гиперболы  (displaystyle y=frac{k}{x+b}) подставить (displaystyle color{green}{x=2}) и  (displaystyle color{green}{y=1},) то получится второе верное равенство (второе уравнение на (displaystyle k) и (displaystyle b)).

Получаем систему уравнений:

(displaystyleleft{begin{aligned}color{blue}{-4}&=frac{k}{color{blue}{-2}+b}{small,}\color{green}{1}&=frac{k}{color{green}{2}+b}{small.}end{aligned}right.)


Решение данной системы уравнений (displaystyle k=3{,}2) и (displaystyle b=1{,}2{small.})

Тогда уравнение гиперболы имеет вид:

(displaystyle f(x)=frac{3{,}2}{x+1{,}2}{small.})

Найдём те значения (displaystyle x{small,}) при которых значение (displaystyle f(x)) равно (displaystyle 2{small.})

Все такие (displaystyle x) удовлетворяют уравнению

(displaystyle 2=frac{3{,}2}{x+1{,}2}{small.})

Решим его.

Для (displaystyle x{ small ,}) не равных (displaystyle -1{,}2{ small ,}) можно домножить обе части уравнения на (displaystyle x+1{,}2{small.})

Тогда:

(displaystyle 2cdot(x+1{,}2)=3{,}2{small,})

(displaystyle x=frac{3{,}2}{2}-1{,}2{small,})

(displaystyle x=0{,}4{small.})

Полученное значение (displaystyle x) отлично от (displaystyle -1{,}2{ small .})

Значит, (displaystyle f(0{,}4)=2{small.})

Ответ: (displaystyle f(0{,}4)=2{small.})

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • График выпускных экзаменов в 2022 году
  • График баллов егэ информатика
  • График апробации егэ 2022
  • График английский егэ клише
  • Грамматические нормы синтаксические нормы егэ