График параболы егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Каталог заданий.
Параболы

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 10 № 509253

На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Аналоги к заданию № 509253: 509254 509255 509259 509262 509263 509264 509268 509256 509257 509258 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 10 № 562060

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите значение

Аналоги к заданию № 562153: 562060 562154 562155 562156 562157 562158 562159 562160 562161 562162 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 10 № 562061

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график

Решение

1 комментарий · Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 10 № 562153

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите значение

Аналоги к заданию № 562153: 562060 562154 562155 562156 562157 562158 562159 562160 562161 562162 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Тип 10 № 562154

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите значение

Аналоги к заданию № 562153: 562060 562154 562155 562156 562157 562158 562159 562160 562161 562162 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.5 Преобразования графиков, 3.3.3 Квадратичная функция, её график

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Квадратичная функция (парабола)

Все знают, как выглядит парабола y = x². В седьмом классе мы рисовали таблицу:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

После этого по точкам строили график:

Параболу y = ax² + bx + c мы не станем строить каждый раз «по точкам» — для выпускника школы это просто несолидно. Ведь нам надо знать закономерности поведения данной функции. А эти закономерности таковы.

1. Знак коэффициента a отвечает за направление ветвей. При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.

На рисунке приведены две параболы y = ax² с равными по модулю, но противоположными по знаку значениями a.

2. Абсолютная величина коэффициента a отвечает за «раскрыв» параболы. Чем больше |a|, тем у́же парабола (больше прижата к оси Y ). Наоборот, чем меньше |a|, тем шире парабола (больше прижата к оси X).

На рисунке приведены две параболы y = a₁x² и y = a₂x², у которых a₂ > a₁ > 0.

3. Абсцисса вершины параболы y = ax² + bx + c находится по формуле:

$x_{0}=-frac{b}{2a}$
Для нахождения ординаты вершины y₀ удобнее всего подставить x₀ в уравнение параболы. Но вообще, полезно помнить, что

$y_{0}=-frac{D}{4a},$
где D = b² − 4ac — дискриминант.

4. Точки пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью X находятся с помощью решения квадратного уравнения
ax² + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси X. Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось X.

5. Точка пересечения с осью Y находится легко: мы просто подставляем x = 0 в уравнение параболы. Получается точка (0, c).

А теперь покажем, как с помощью графика функции y = ax² + bx + c решать квадратные неравенства.

1. Часто на тестировании мы предлагаем решить неравенство

x² < 400.

Справляются далеко не все. Очень часто, не задумываясь, выдают «ответ»: x < ± 20.

Однако сама эта запись — абсурдна! Представьте, что вы слышите прогноз погоды: «Температура будет меньше плюс-минус двадцати градусов». Что, спрашивается, надеть — рубашку или шубу?

Давайте решим это неравенство с помощью графика. Изобразим схематично график функции y = x² и отметим все значения x, для которых y < 400.

Теперь мы видим правильный ответ: x ∈ (−20; 20).

2. Решим неравенство: x² − 3x − 10 ≥ 0.

Графиком функции y = x² − 3x − 10 служит парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение x² − 3x − 10 = 0, находим x₁ = −2 и x₂ = 5 — в этих точках парабола пересекает ось X. Нарисуем схематично нашу параболу:

Мы видим, что при x ∈ (−2; 5) значения функции отрицательны (график проходит ниже оси X). В точках −2 и 5 функция обращается в нуль, а при x < −2 и x > 5 значения функции положительны. Следовательно, наше неравенство выполняется при .

Обратите внимание, что для решения неравенства нам достаточно было схематично изобразить параболу. Ось Y вообще не понадобилась!

3. Ещё одно неравенство: x² + 2x + 4 > 0.

Ветви параболы y = x² + 2x + 4 направлены вверх. Дискриминант отрицателен, т. е. уравнение x² + 2x + 4 = 0 не имеет корней. Стало быть, нет и точек пересечения параболы с осью X.

Раз ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось X — значит, парабола расположена над осью X.

Получается, что значения функции положительны при всех возможных x. Иными словами, решения нашего неравенства — это все действительные числа.

Ответ: .

Квадратные неравенства являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Разберём типичные примеры из банка заданий ЕГЭ.

4. Завиcимоcть объeма cпроcа q (тыc. руб.) на продукцию предприятия-монополиcта от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q = 100 − 10p. Выручка предприятия за меcяц r (в тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка r(p) cоcтавит не менее 240 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.

Подставим выражение для q в формулу выручки:

r(p) = qp = (100 − 10p)p = 100p − 10p².

Выручка должна быть не менее (то есть больше или равна) 240 тысяч рублей. Поскольку цена p уже выражена в тысячах рублей, мы можем записать это условие в виде неравенства:

100p − 10p² ≥ 240.

Переносим всё вправо и делим на 10:

p² − 10p + 24 ≤ 0.

Для схематичного построения параболы находим корни уравнения p² − 10p + 24 = 0. Они равны 4 и 6. Остаётся сделать рисунок.

Решением нашего неравенства служит отрезок [4; 6]. Нас просили найти наибольшее p. Оно равно 6.

Ответ: 6.

5. Выcота над землёй подброшенного вверх мяча меняетcя по закону h(t) = 1,6 + 8t − 5t², где h — выcота в метрах, t — время в cекундах, прошедшее c момента броcка. Cколько cекунд мяч будет находитьcя на выcоте не менее трёх метров?

Итак, требуется, чтобы выполнялось неравенство h(t) ≥ 3. Подставляем сюда выражение для h:

1,6 + 8t − 5t² ≥ 3.

Собираем всё справа:

5t² − 8t + 1,4 ≤ 0.

Корни соответствующего уравнения 5t² −8t+1,4 = 0 равны t₁ = 0,2 и t₂ = 1,4. Как дальше действовать — мы знаем.

Таким образом, через t₁ = 0,2 секунды после начала полёта мяч оказался на высоте 3 метра. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась; затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени t = 1,4 секунды снова стала равна трём метрам над землей.

Получается, что мяч находился на высоте не менее трёх метров в течение t₂ − t₁ = 1,2 секунд. В бланк ответов вписываем десятичную дробь 1,2.

6. Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением T(t) = T₀ + bt + at², где t — время в минутах, T₀ = 1400 К, a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Согласно условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:

T(t) = 1400 + 200t − 10t².

В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство T ≤ 1760, или

1400 + 200t − 10t² ≤ 1760.

Переносим всё вправо и делим на 10:

t² − 20t + 36 ≥ 0.

Находим t₁ = 2, t₂ = 18 и делаем рисунок:

Получаем решения нашего неравенства:

$left [ begin{array}{c}tleq 2,\tgeq 18.\end{array} right.$

Остаётся понять: в какой же момент отключать прибор? Для этого надо представить физическую картину процесса.

Мы включаем прибор в момент времени t = 0. Температура нагревателя повышается и при t = 2 мин достигает 1760 К. Затем повышение температуры продолжается, в результате чего прибор может испортиться. Поэтому ясно, что отключать его надо при t = 2.

А что же решения t ≥ 18? Они не имеют физического смысла. Войдя в зону температур T > 1760, прибор испортится, и формула T(t) = 1400+200t−10t², справедливая для исправного прибора, перестанет адекватно отражать реальность.

Поэтому в бланк ответов вписываем число 2.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратичная функция (парабола)» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

Тема 10.

Задачи на свойства графиков функций

График квадратичной функции (парабола)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Подтемы раздела

задачи на свойства графиков функций

10.01График линейной функции (прямая)

10.02График квадратичной функции (парабола)

10.03График корня

10.04График обратной пропорциональности (гипербола)

10.05График показательной функции (экспонента)

10.06График логарифмической функции

10.07График модуля

10.08Графики синуса и косинуса

10.09Комбинации нескольких графиков

Решаем задачи

На рисунке изображён график функции вида

2
f(x)= ax + bx +c

где числа , и — целые. Найдите значение .

Показать ответ и решение

Любую параболу вида 2
f(x)= ax + bx +c можно представить в виде

2
f(x) =a(x− x0) + y0

где (x0;y0) — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты (4;1) .
Также ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет вид

По картинке видно, что в точке x= 3 функция равна . Для того чтобы попасть в точку (3;4) из вершины с
координатами (4;1) , нам нужно сместиться на влево и на вверх. Тогда понятно, что перед нами график функции
y = 3x2 , вершину которого сместили из точки (0;0) в точку (4;1) . Значит, теперь мы полностью восстановили нашу
функцию, она имеет вид

2
f(x)= 3(x− 4) + 1

Тогда

На рисунке изображён график функции вида

2
f(x)= ax + bx+ c

Найдите корень уравнения В ответе укажите меньший из корней.

xy110

На рисунке изображен график функции вида Найдите
значение

xy110

Показать ответ и решение

Способ 1.

По картинке видно, что график функции f(x) проходит через точки (0;2), (1;0) и (2;0). Тогда можем составить
систему уравнений:

( ( (
||| f(0)= 2 |||a ⋅02 +b⋅0 +c =2 |||c= 2
{ f(1)= 0 ⇔ {a ⋅12 +b⋅1 +c =0 ⇔ {a+ b+ c= 0 ⇔
||| ||| |||
( f(2)= 0 (a ⋅22 +b⋅2 +c =0 (4a+ 2b+ c= 0

( (
|||{c= 2 |||{ c= 2
⇔ a+ b+ 2= 0 ⇔ a= 1
|||( |||(
2a+ b+ 1= 0 b= −3

Значит, функция имеет вид

Осталось найти f(−3) :

Способ 2.

Запишем уравнение параболы в виде

Здесь x1,x2 — точки пересечения с осью Ox. Тогда

и коэффициент можем найти, подставив точку (0;2) графика в уравнение f(x). В результате имеем:

Тогда окончательно уравнение параболы имеет вид

Отсюда

На рисунке изображён график функции

2
f(x)= ax + bx+ c,

где числа и — целые. Найдите

xy110

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2
f(x)= a(x − x0) + y0,

где (x0;y0) — координаты вершины параболы. По графику видно, что
y0 = 2.

Найдём подставив точку графика в уравнение параболы:

Получим уравнение параболы в виде

2
f(x)= −(x+ 4) +2

Тогда

На рисунке изображён график функции

2
f(x)= ax + bx+ c,

где числа и — целые. Найдите f(6).

xy110

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2
f(x)= a(x − x0) + y0,

где (x0;y0) — координаты вершины параболы. По графику видно, что x0 = 2,
y0 = 4. Тогда уравнение параболы имеет вид

2
f(x)= a(x− 2)+ 4

Найдём подставив точку (1;2) на графике в уравнение параболы:

2
2= a(1 − 2) + 4 ⇔ a =− 2

Получим уравнение функции в явном виде:

2
f(x)= − 2(x − 2) + 4

Тогда окончательно

2
f(6)= − 2(6 − 2) + 4= −32 +4 = −28

На рисунке изображён график функции вида где числа
и — действительные. Найдите значение f(1).

xy110

Показать ответ и решение

Любую функцию вида можно представить в виде

2
f(x)= a(x − x0) + y0,

где (x0;y0) — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть,
что вершина параболы имеет координаты (5;4), значит, функция имеет
вид

Также по картинке видно, что в точке x= 4 значение функции равно 1. Это
условие можно записать следующим образом:

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

Тогда

На рисунке изображён график функции вида

2
f(x)= ax + bx +c

где числа , и — целые. Найдите значение

Показать ответ и решение

Любую параболу вида 2
f(x)= ax + bx +c можно представить в виде

2
f(x) =a(x− x0) + y0

где (x0;y0) — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты (3;5),
значит функция имеет вид

Также по картинке видно, что в точке x = 1 функция равна 1. Это условие можно записать следующим
образом:

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

Тогда

2
f(−4)= − (− 4− 3) +5 = −44

На рисунке изображён график функции вида

2
f(x)= ax + bx +c

где числа a,b и — действительные. Найдите значение

Показать ответ и решение

Любую параболу вида 2
f(x)= ax + bx +c можно представить в виде

2
f(x) =a(x− x0) + y0

где (x0;y0) — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты
значит функция имеет вид

Также по картинке видно, что в точке x = 2 функция равна − 4. Это условие можно записать следующим
образом:

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x) =− 1(x− 4)2− 3
4

Тогда

1 2
f(−1)= −4 (− 1− 4)− 3 =− 9,25

На рисунке изображён график функции вида

2
f(x) = ax + bx+ c

где числа , и — действительные. Найдите значение f(1) .

Показать ответ и решение

По графику видно, что в точках x = 3 и x = 5 парабола принимает одинаковые значения, следовательно, прямая
— ось симметрии параболы, а также x = 4 — абсцисса ее вершины.

Мы знаем, что -координата вершины параболы — единственная точка, в которой ее производная равна нулю
(ведь касательная в вершине — горизонтальная прямая). Найдем ′
f (x) , а затем приравняем ′
f (4) к
нулю:

pict

Запишем равенство (как видно по графику) и подставим :

pict

Запишем равенство (как видно по графику) и подставим , :

pict

Итого, исходная функция

Найдем f (1) :

2
f(1) = − 2⋅1 + 16 ⋅1− 25 = − 11

На рисунке изображён график функции вида

2
f(x)= ax + bx+ c,

где числа и — действительные. Найдите значение f(6).

xy110

Показать ответ и решение

Любую параболу вида можно представить как

2
f(x)= a(x − x0) + y0,

где (x0;y0) — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что
вершина параболы имеет координаты значит, функция имеет
вид

Также по картинке видно, что в точке x= 0 функция равна 5. Это условие
можно записать следующим образом:

2 1
f(0)= 5= a(0+ 4)+ 3 ⇔ 2 = 16a ⇔ a= 8

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x) = 1x2+ x+ 5
8

Тогда

1 2
f(6)= 8 ⋅6 +6 +5 = 15,5

На рисунке изображён график функции

2
f(x)= ax + bx +c

где числа a,b и — целые. Найдите значение f(11).

Показать ответ и решение

Любую параболу вида 2
f(x)= ax + bx +c можно представить в виде

2
f(x) =a(x− x0) + y0

Также по картинке видно, что в точке x = 0 функция равна 3. Это условие можно записать следующим
образом:

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

Тогда

2
f(11)= (11+ 2) − 1 = 168

Источник

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции – парабола.

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

, то есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

$x_o=frac{4}{2}=2$ , . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая $x=frac{-b}{2a}$ , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, $x=-frac{b}{2a}$ ), две (, $x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле $x_o=frac{-b}{2a}$ , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: $ax^2+bx+c=a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a((x^2+2frac{b}{2a}x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a})=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a}+c.$ Посмотрите, вот мы и получили, что $m=frac{-b}{2a}$ , $n=-frac{b^2}{4a}+c=y(frac{-b}{2a})$ . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, $y=-frac{1}{3}{(x+2)}^2+6$ . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ Профиль №10. Парабола

ЕГЭ Профиль №10. Параболаadmin2023-01-10T14:17:50+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №10. Парабола

Задача 1. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = 2{x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( { — 5} right).) Ответ ОТВЕТ: 31.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;1} right)) и (left( { — 2; — 2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = 2 + b + c,,,,}\{ — 2 = 8 — 2b + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (3 = — 6 + 3b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = 3.) Тогда: (1 = 2 + 3 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = — 4.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} + 3x — 4) и (fleft( { — 5} right) = 2 cdot {left( { — 5} right)^2} + 3 cdot left( { — 5} right) — 4 = 31.) Ответ: 31.
Задача 2. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = {x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( { — 1} right).) Ответ ОТВЕТ: 34.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( {4; — 1} right)) и (left( {6; — 1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 16 + 4b + c,,,,}\{ — 1 = 36 + 6b + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (0 = — 20 — 2b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = — 10.) Тогда: ( — 1 = 16 — 40 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = 23.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = {x^2} — 10x + 23) и (fleft( { — 1} right) = {left( { — 1} right)^2} — 10 cdot left( { — 1} right) + 23 = 34.) Ответ: 34. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = {x^2}), вершина которой находится в точке (left( {5; — 2} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = {left( {x — 5} right)^2} — 2) и (fleft( { — 1} right) = {left( { — 1 — 5} right)^2} — 2 = 34.) Ответ: 34.
Задача 3. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = — 2{x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( 6 right).) Ответ ОТВЕТ: — 27.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( {1;3} right)) и (left( {3;3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = — 2 + b + c,,,,,,,,}\{3 = — 18 + 3b + c,,,}end{array}} right.)Вычтем из первого уравнения второе: (0 = 16 — 2b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = 8.)Тогда: (3 = — 2 + 8 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = — 3.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — 2{x^2} + 8x — 3) и (fleft( 6 right) = — 2 cdot {6^2} + 8 cdot 6 — 3 = — 27.) Ответ: – 27. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = — 2{x^2}), вершина которой находится в точке (left( {2;5} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = — 2{left( {x — 2} right)^2} + 5) и (fleft( 6 right) = — 2 cdot {left( {6 — 2} right)^2} + 5 = — 27.) Ответ: – 27.
Задача 4. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = — {x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( { — 8} right).) Ответ ОТВЕТ: — 13.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( { — 3;2} right)) и (left( { — 5;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = — 9 — 3b + c,,,,,,,,}\{2 = — 25 — 5b + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (0 = 16 + 2b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = — 8.) Тогда: (2 = — 9 + 24 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = — 13.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — {x^2} — 8x — 13) и (fleft( { — 8} right) = — {left( { — 8} right)^2} + 8 cdot left( { — 8} right) — 13 = — 13.) Ответ: – 13. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = — {x^2}), вершина которой находится в точке (left( { — 4;3} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = — {left( {x + 4} right)^2} + 3) и (fleft( { — 8} right) = — {left( { — 8 + 4} right)^2} + 3 = — 13.) Ответ: – 13.
Задача 5. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} — 4,x + c.) Найдите (fleft( { — 3} right).) Ответ ОТВЕТ: 26.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( {1; — 6} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 6 = a — 4 + c,,,,,,,,}\{2 = 9a — 12 + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 8 = — 8a + 8,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = 2.) Тогда: ( — 6 = 2 — 4 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = — 4.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} — 4x — 4) и (fleft( { — 3} right) = 2 cdot {left( { — 3} right)^2} — 4 cdot left( { — 3} right) — 4 = 26.) Ответ: 26. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = 2{x^2}), вершина которой находится в точке (left( {1; — 6} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = 2{left( {x — 1} right)^2} — 6) и (fleft( { — 3} right) = 2 cdot {left( { — 3 — 1} right)^2} — 6 = 26.) Ответ: 26.
Задача 6. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} — 7,x + c.) Найдите (fleft( 7 right).) Ответ ОТВЕТ: 47.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1; — 7} right)) и (left( {3; — 5} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 7 = a — 7 + c,,,,,,,,}\{ — 5 = 9a — 21 + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = — 8a + 14,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = 2.) Тогда: ( — 7 = 2 — 7 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = — 2.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} — 7x — 2) и (fleft( 7 right) = 2 cdot {7^2} — 7 cdot 7 — 2 = 47.) Ответ: 47.
Задача 7. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} — 3,x + c.) Найдите (fleft( { — 4} right).) Ответ ОТВЕТ: — 14.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;1} right)) и (left( { — 2;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = a — 3 + c,,,,,,,,}\{4 = 4a + 6 + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 3 = — 3a — 9,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = — 2.) Тогда: (1 = — 2 — 3 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = 6.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — 2{x^2} — 3x + 6) и (fleft( { — 4} right) = — 2 cdot {left( { — 4} right)^2} — 3 cdot left( { — 4} right) + 6 = — 14.) Ответ: – 14.
Задача 8. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + 10,x + c.) Найдите (fleft( { — 1} right).) Ответ ОТВЕТ: — 33.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( {3; — 1} right)) и (left( {4;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 9a + 30 + c}\{2 = 16a + 40 + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 3 = — 7a — 10,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = — 1.) Тогда: ( — 1 = — 9 + 30 + c,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = — 22.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — {x^2} + 10x — 22) и (fleft( { — 1} right) = — {left( { — 1} right)^2} + 10 cdot left( { — 1} right) — 22 = — 33.) Ответ: – 33. 2 способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = — {x^2}), вершина которой находится в точке (left( {5;3} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = — {left( {x — 5} right)^2} + 3) и (fleft( { — 1} right) = — {left( { — 1 — 5} right)^2} + 3 = — 33.) Ответ: – 33.
Задача 9. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x — 6.) Найдите (fleft( { — 6} right).) Ответ ОТВЕТ: 48.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1; — 1} right)) и (left( { — 2; — 4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = a + b — 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{ — 4 = 4a — 2b — 6left\| {:left( { — 2} right)} right.,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = a + b — 6}\{2 = — 2a + b + 3}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 3 = 3a — 9,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = 2.) Тогда: ( — 1 = 2 + b — 6,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 3.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} + 3x — 6) и (fleft( { — 6} right) = 2 cdot {left( { — 6} right)^2} + 3 cdot left( { — 6} right) — 6 = 48.) Ответ: 48.
Задача 10. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x — 4.) Найдите (fleft( { — 4} right).) Ответ ОТВЕТ: 16.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;1} right)) и (left( { — 2; — 2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{1 = a + b — 4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{-2 = 4a — 2b — 4left\| {:left( { — 2} right)} right.,,,}end{array},,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{{20}{c}}{1 = a + b — 4,,,,,,,}\{1 = — 2a + b + 2}end{array}} right.} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (0 = 3a — 6,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = 2.) Тогда: (1 = 2 + b — 4,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 3.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} + 3x — 4) и (fleft( { — 4} right) = 2 cdot {left( { — 4} right)^2} + 3 cdot left( { — 4} right) — 4 = 16.) Ответ: 16.
Задача 11. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + 2.) Найдите (fleft( { — 3} right).) Ответ ОТВЕТ: — 37.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;7} right)) и (left( {3;5} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{7 = a + b + 2,,,,,,,,}\{5 = 9a + 3b + 2,,,,}end{array},,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{{20}{c}}{5 = a + b,,,,,,,,,,,,}\{3 = 9a + 3bleft\| {:3} right.}end{array}} right.} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{5 = a + b}\{1 = 3a + b}end{array}} right.,,,,,,,,,) Вычтем из первого уравнения второе: (4 = — 2a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = — 2.) Тогда: (5 = — 2 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 7.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — 2{x^2} + 7x + 2) и (fleft( { — 3} right) = — 2 cdot {left( { — 3} right)^2} + 7 cdot left( { — 3} right) + 2 = — 37.) Ответ: – 37.
Задача 12. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x — 3.) Найдите (fleft( 8 right).) Ответ ОТВЕТ: — 67.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( {1;3} right)) и (left( {3;3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{3 = a + b — 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{3 = 9a + 3b — 3left\| {:3} right.,,,,,}end{array},,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{{20}{c}}{3 = a + b — 3}\{1 = 3a + b — 1}end{array}} right.} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = — 2a — 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = — 2.) Тогда: (3 = — 2 + b — 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 8.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — 2{x^2} + 8x — 3) и (fleft( 8 right) = — 2 cdot {8^2} + 8 cdot 8 — 3 = — 67.) Ответ: – 67. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = — 2{x^2}), вершина которой находится в точке (left( {2;5} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = — 2{left( {x — 2} right)^2} + 5) и (fleft( 8 right) = — 2 cdot {left( {8 — 2} right)^2} + 5 = — 67.) Ответ: – 67.
Задача 13. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( { — 7} right).) Ответ ОТВЕТ: 32.
Решение Парабола проходит через точки (left( { — 1;2} right)), (left( { — 2; — 3} right)) и (left( { — 4; — 1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = a — b + c,,,,,,,,,}\{ — 3 = 4a — 2b + c}\{ — 1 = 16a — 4b + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (5 = — 3a + b.) Вычтем из первого уравнения третье: (3 = — 15a + 3bleft\| {:3,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,1 = — 5a + b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{5 = — 3a + b}\{1 = — 5a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (4 = 2a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2.) Тогда: (5 = — 3 cdot 2 + b,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = 11) и (2 = 2 — 11 + c,,,,, Leftrightarrow ,,,,,c = 11.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} + 11x + 11) и (fleft( { — 7} right) = 2 cdot {left( { — 7} right)^2} + 11 cdot left( { — 7} right) + 11 = 32.) Ответ: 32.
Задача 14. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( {10} right).) Ответ ОТВЕТ: 64.
Решение Парабола проходит через точки (left( {3;1} right)), (left( {4; — 2} right)) и (left( {6;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{1 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,}\{ — 2 = 16a + 4b + c}\{4 = 36a + 6b + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (3 = — 7a — b) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 3 = — 27a — 3bleft\| {:left( { — 3} right),,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,1 = 9a + b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{3 = — 7a — b}\{1 = 9a + b}end{array}} right.) Прибавим к первому уравнению второе: (4 = 2a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2.) Тогда: (3 = — 7 cdot 2 — b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = — 17) и (1 = 9 cdot 2 + 3 cdot left( { — 17} right) + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 34.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} — 17x + 34) и (fleft( {10} right) = 2 cdot {10^2} — 17 cdot 10 + 34 = 64.) Ответ: 64.
Задача 15. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( 2 right).) Ответ ОТВЕТ: — 33.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( { — 2; — 1} right)), (left( { — 5;2} right)) и (left( { — 6; — 1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c,,,,,,,,,}\{2 = 25a — 5b + c,,,,,,,}\{ — 1 = 36a — 6b + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 3 = — 21a + 3bleft\| {:3,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 1 = — 7a + b} right..) Вычтем из первого уравнения третье: (0 = — 32a + 4bleft\| {:4,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,0 = — 8a + b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = — 7a + b}\{0 = — 8a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 1 = a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 1.) Тогда: ( — 1 = — 7 cdot left( { — 1} right) + b,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = — и ( — 1 = 4 cdot left( { — 1} right) — 2 cdot left( { — 8} right) + c,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,c = — 13.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — {x^2} — 8x — 13) и (fleft( 2 right) = -{2^2} — 8 cdot 2 — 13 = — 33.) Ответ: – 33. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = — {x^2}) вершина которой находится в точке (left( { — 4;3} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = — {left( {x + 4} right)^2} + 3) и (fleft( 2 right) = — {left( {2 + 4} right)^2} + 3 = — 33.) Ответ: – 33.
Задача 16. На рисунке изображён график функции (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c.) Найдите (fleft( { — 1} right).) Ответ ОТВЕТ: — 50.
Решение Парабола проходит через точки (left( {3;2} right)), (left( {4;5} right)) и (left( {5;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,}\{5 = 16a + 4b + c,,,,,,}\{4 = 25a + 5b + c,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 3 = — 7a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 2 = — 16a — 2bleft\| {:2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — ,1 = — 8a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 3 = — 7a — b}\{ — 1 = — 8a — b}end{array}} right.) Прибавим к первому уравнению второе: ( — 2 = a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 2.) Тогда: ( — 3 = — 7 cdot left( { — 2} right) — b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = 17) и (2 = 9 cdot left( { — 2} right) + 3 cdot 17 + c,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,c = — 31.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — 2{x^2} + 17x — 31) и (fleft( { — 1} right) = — 2 cdot {left( { — 1} right)^2} + 17 cdot left( { — 1} right) — 31 = — 50.) Ответ: – 50.

Задача 17. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) где a, b и c – целые. Найдите (fleft( 2 right).) Ответ ОТВЕТ: 41.
Решение Парабола проходит через точки (left( { — 2; — 3} right)), (left( { — 3; — 4} right)) и (left( { — 4; — 1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 3 = 4a — 2b + c,,,,,,,,,}\{ — 4 = 9a — 3b + c,,,,,,,,}\{ — 1 = 16a — 4b + c,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (1 = — 5a + b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 2 = — 12a + 2bleft\| {:2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — ,1 = — 6a + b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{1 = — 5a + b}\{ — 1 = — 6a + b}end{array}} right.) Прибавим к первому уравнению второе: (2 = a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2.) Тогда: (1 = — 5 cdot 2 + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 11) и ( — 3 = 4 cdot 2 — 2 cdot 11 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 11.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = 2{x^2} + 11x + 11) и (fleft( 2 right) = 2 cdot {2^2} + 11 cdot 2 + 11 = 41.) Ответ: 41.
Задача 18. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) где a, b и c – целые. Найдите (fleft( { — 1} right).) Ответ ОТВЕТ: 34.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( {3;2} right)), (left( {4; — 1} right)) и (left( {5; — 2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,}\{ — 1 = 16a + 4b + c,,,,,,,}\{ — 2 = 25a + 5b + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (3 = -7a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: (4 = — 16a — 2bleft\| {:2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,2 = — 8a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{3 = — 7a — b}\{2 = — 8a — b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (1 = a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.) Тогда: (3 = — 7 — b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = — 10) и (2 = 9 cdot 1 + 3 cdot left( { — 10} right) + c,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,c = 23.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = {x^2} — 10x + 23) и (fleft( { — 1} right) = {left( { — 1} right)^2} — 10 cdot left( { — 1} right) + 23 = 34.) Ответ: 34. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = {x^2}), вершина которой находится в точке (left( {5; — 2} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = {left( {x — 5} right)^2} — 2) и (fleft( { — 1} right) = {left( { — 1 — 5} right)^2} — 2 = 34.) Ответ: 34.
Задача 19. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) где a, b и c – целые. Найдите (fleft( { — 8} right).) Ответ ОТВЕТ: — 13.
Решение 1 Способ Парабола проходит через точки (left( { — 2; — 1} right)), (left( { — 3;2} right)) и (left( { — 4;3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c,,,,,,,,,}\{2 = 9a — 3b + c,,,,,,,}\{3 = 16a — 4b + c,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 3 = — 5a + b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 4 = — 12a + 2bleft\| {:2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 2 = — 6a + b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 3 = — 5a + b}\{ — 2 = — 6a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 1 = a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 1.) Тогда: ( — 3 = — 5 cdot left( { — 1} right) + b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = — и ( — 1 = 4 cdot left( { — 1} right) — 2 cdot left( { — 8} right) + c,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,c = — 13.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — {x^2} — 8x — 13) и (fleft( { — 8} right) = — {left( { — 8} right)^2} — 8 cdot left( { — 8} right) — 13 = — 13.) Ответ: – 13. 2 Способ Заметим, что графиком является парабола (fleft( x right) = — {x^2}), вершина которой находится в точке (left( { — 4;3} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (fleft( x right) = — {left( {x + 4} right)^2} + 3) и (fleft( { — 8} right) = — {left( { — 8 + 4} right)^2} + 3 = — 13.) Ответ: – 13.
Задача 20. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) где a, b и c – целые. Найдите (fleft( { — 6} right).) Ответ ОТВЕТ: — 10.
Решение Парабола проходит через точки (left( { — 2;2} right)), (left( { — 3;5} right)) и (left( { — 4;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = 4a — 2b + c,,,,,,,,,}\{5 = 9a — 3b + c,,,,,,,,}\{4 = 16a — 4b + c,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 3 = — 5a + b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 2 = — 12a + 2bleft\| {:2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 1 = — 6a + b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 3 = — 5a + b}\{ — 1 = — 6a + b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 2.) Тогда: ( — 3 = — 5 cdot left( { — 2} right) + b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = — 13) и (2 = 4 cdot left( { — 2} right) — 2 cdot left( { — 13} right) + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = — 16.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (fleft( x right) = — 2{x^2} — 13x — 16) и (fleft( { — 6} right) = — 2 cdot {left( { — 6} right)^2} — 13 cdot left( { — 6} right) — 16 = — 10.) Ответ: – 10.
Задача 21. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = 5x + 9) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Ответ ОТВЕТ: 6.
Решение Парабола проходит через точки (left( { — 2; — 1} right)), (left( { — 1; — 3} right)) и (left( {1; — 1} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c,,,,,,,,,}\{ — 3 = a — b + c,,,,,,,,,,,,,,,}\{ — 1 = a + b + c,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = 3a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: (0 = 3a — 3bleft\| {:3,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,0 = a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = 3a — b}\{0 = a — b,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = 2a,,,,, Leftrightarrow ,,,,a = 1.) Тогда: (0 = 1 — b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 1) и ( — 1 = 4 cdot 1 — 2 cdot 1 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = — 3.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = {x^2} + x — 3.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = 5x + 9) и параболы (gleft( x right) = {x^2} + x — 3) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2} + x — 3}\{y = 5x + 9,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} + x — 3 = 5x + 9,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{x^2} — 4x — 12 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 2,,,,{x_2} = 4.) Значение (x = — 2) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 4. Ответ: 4.
Задача 22. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = — 3x + 13) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Ответ ОТВЕТ: — 3.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;2} right)), (left( {2;2} right)) и (left( {3;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = a + b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{2 = 4a + 2b + c,,,,,,,,,,,,,,,}\{4 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (0 = — 3a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 2 = — 8a — 2bleft\| {:2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 1 = — 4a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{0 = — 3a — b}\{ — 1 = — 4a — b,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (1 = a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.) Тогда: (0 = — 3 cdot 1 — b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = — 3) и (2 = 1 — 3 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 4.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = {x^2} — 3x + 4.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = — 3x + 13) и параболы (gleft( x right) = {x^2} — 3x + 4) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2} — 3x + 4}\{y = — 3x + 13,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} — 3x + 4 = — 3x + 13,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} = 9,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = 3,,,,{x_2} = — 3.) Значение (x = 3) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 3. Ответ: – 3.
Задача 23. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = 3x + 5) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Ответ ОТВЕТ: — 7.
Решение Парабола проходит через точки (left( { — 1;2} right)), (left( { — 2;4} right)) и (left( { — 4;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = a — b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{4 = 4a — 2b + c,,,,,,,,,,,,,,,}\{2 = 16a — 4b + c,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = — 3a + b.) Вычтем из первого уравнения третье: (0 = — 15a + 3bleft\| {:3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,0 = — 5a + b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 2 = — 3a + b}\{0 = — 5a + b,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = 2a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 1.) Тогда: ( — 2 = — 3 cdot left( { — 1} right) + b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = — 5) и (2 = — 1 + 5 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = — 2.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = — {x^2} — 5x — 2.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = 3x + 5) и параболы (gleft( x right) = — {x^2} — 5x — 2) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = — {x^2} — 5x — 2}\{y = 3x + 5,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,, — {x^2} — 5x — 2 = 3x + 5,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} + 8x + 7 = 0,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 1,,,,{x_2} = — 7.) Значение (x = — 1) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 7. Ответ: – 7.
Задача 24. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = — 2x — 4) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Ответ ОТВЕТ: 6.
Решение Парабола проходит через точки (left( { — 1; — 2} right)), (left( {1;4} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 2 = a — b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{4 = a + b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{2 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 6 = — 2b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = 3.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 4 = — 8a — 4bleft\| {:left( { — 2} right),,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2 = 4a + 2b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{b = 3,,,,,,,,,,,,,,,,}\{2 = 4a + 2b,,,}end{array},,,,, Leftrightarrow ,,,,,,2 = 4a + 2 cdot 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = — 1} right..) Тогда: ( — 2 = — 1 — 3 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,c = 2.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = — {x^2} + 3x + 2.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = — 2x — 4) и параболы (gleft( x right) = — {x^2} + 3x + 2) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = — {x^2} + 3x + 2}\{y = — 2x — 4,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,, — ,{x^2} + 3x + 2 = — 2x — 4,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x^2} — 5x — 6 = 0,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 1,,,,{x_2} = 6.) Значение (x = — 1) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 6. Ответ: 6.
Задача 25. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = — 3x + 13) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. Ответ ОТВЕТ: 22.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;2} right)), (left( {2;2} right)) и (left( {3;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{2 = a + b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{2 = 4a + 2b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{4 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (0 = — 3a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 2 = — 8a — 2bleft\| {:2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — 1 = — 4a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{0 = — 3a — b}\{ — 1 = — 4a — b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (1 = a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 1.) Тогда: (0 = — 3 cdot 1 — b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = — 3) и (2 = 1 — 3 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 4.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = {x^2} — 3x + 4.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = — 3x + 13) и параболы (gleft( x right) = {x^2} — 3x + 4) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2} — 3x + 4}\{y = — 3x + 13,,,,}end{array}} right.,,, Leftrightarrow ,,,{x^2} — 3x + 4 = 13 — 3x,,, Leftrightarrow ,,,{x^2} = 9,,,, Leftrightarrow ,,,{x_1} = 3,,,,{x_2} = — 3,,, Leftrightarrow ,,,{y_1} = 4,,,{y_2} = 22.) Следовательно, (Aleft( {3;4} right)) и (Bleft( { — 3;22} right)). Таким образом, ордината точки В равна 22. Ответ: 22.
Задача 26. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = — 6x + 11) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. Ответ ОТВЕТ: 26.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1; — 2} right)), (left( {2; — 1} right)) и (left( {3;4} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 2 = a + b + c}\{ — 1 = 4a + 2b + c}\{4 = 9a + 3b + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 1 = — 3a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 6 = — 8a — 2bleft\| {:2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 3 = — 4a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = — 3a — b}\{ — 3 = — 4a — b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = 2.) Тогда: ( — 1 = — 3 cdot 2 — b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = — 5) и ( — 2 = 2 — 5 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 1.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = 2{x^2} — 5x + 1.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = — 6x + 11) и параболы (gleft( x right) = 2{x^2} — 5x + 1) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 2{x^2} — 5x + 1}\{y = — 6x + 11,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2{x^2} — 5x + 1 = — 6x + 11,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{x^2} + x — 10 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,) ( Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 2,,,,,,{x_2} = — frac{5}{2},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{y_1} = — 1,,,,,{y_2} = 26.) Следовательно, (Aleft( {2; — 1} right)) и (Bleft( { — frac{5}{2};26} right)). Таким образом, ордината точки В равна 26. Ответ: 26.
Задача 27. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = 5x — 13) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. Ответ ОТВЕТ: — 23.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;4} right)), (left( {2;5} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{4 = a + b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{5 = 4a + 2b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{2 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 1 = — 3a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: (2 = — 8a — 2bleft\| {:2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1 = — 4a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = — 3a — b}\{1 = — 4a — b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 2.) Тогда: ( — 1 = — 3 cdot left( { — 2} right) — b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 7) и (4 = — 2 + 7 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = — 1.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = — 2{x^2} + 7x — 1.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = 5x — 13) и параболы (gleft( x right) = — 2{x^2} + 7x — 1) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = — 2{x^2} + 7x — 1}\{y = 5x — 13,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 2{x^2} + 7x — 1 = 5x — 13,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{x^2} — 2x — 12 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,) ( Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 3,,,,,,{x_2} = — 2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{y_1} = 2,,,,,{y_2} = — 23.) Следовательно, (Aleft( {3;2} right)) и (Bleft( { — 2; — 23} right)). Таким образом, ордината точки В равна – 23. Ответ: – 23.
Задача 28. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = — 7x + 19) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. Ответ ОТВЕТ: — 16.
Решение Парабола проходит через точки (left( {1;4} right)), (left( {2;5} right)) и (left( {3;2} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{4 = a + b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{5 = 4a + 2b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{2 = 9a + 3b + c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 1 = — 3a — b.) Вычтем из первого уравнения третье: (2 = — 8a — 2bleft\| {:2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,1 = — 4a — b} right..) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = — 3a — b}\{1 = — 4a — b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = a,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = — 2.) Тогда: ( — 1 = — 3 cdot left( { — 2} right) — b,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 7) и (4 = — 2 + 7 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = — 1.) Следовательно, уравнение параболы имеет вид: (gleft( x right) = — 2{x^2} + 7x — 1.) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой (fleft( x right) = — 7x + 19) и параболы (gleft( x right) = — 2{x^2} + 7x — 1) необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = — 2{x^2} + 7x — 1}\{y = — 7x + 19,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 2{x^2} + 7x — 1 = — 7x + 19,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{x^2} — 14x + 20 = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,) ( Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 2,,,,,,{x_2} = 5,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{y_1} = 5,,,,,{y_2} = — 16.) Следовательно, (Aleft( {2;5} right)) и (Bleft( {5; — 16} right)). Таким образом, ордината точки В равна – 16. Ответ: – 16.
Задача 29. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = 4{x^2} + 17x + 14) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Ответ ОТВЕТ: — 6.
Решение График функции (fleft( x right) = 4{x^2} + 17x + 14) пересекает ось ординат в точке (left( {0;14} right)). Значит, график (y = fleft( x right)) изображён слева, а график (gleft( x right) = a{x^2} + bx + c) справа. Заметим, что графиком функции (y = gleft( x right)) является парабола (gleft( x right) = {x^2}), вершина которой находится в точке (left( {2; — 8} right)). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: (gleft( x right) = {left( {x — 2} right)^2} — 8 = {x^2} — 4x — 4.) Чтобы найти координаты точек пересечения парабол необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 4{x^2} + 17x + 14}\{y = {x^2} — 4x — 4,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,4{x^2} + 17x + 14 = {x^2} — 4x — 4,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,3{x^2} + 21x + 18 = 0left\| {:3,,,,, Leftrightarrow } right.) ( Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} + 7x + 6 = 0,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = — 1,,,,{x_2} = — 6.) Значение (x = — 1) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 6. Ответ: – 6.
Задача 30. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = — 4{x^2} — 23x — 31) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Ответ ОТВЕТ: — 6.
Решение График функции (fleft( x right) = — 4{x^2} — 23x — 31) пересекает ось ординат в точке (left( {0; — 31} right)). Значит график функции (y = fleft( x right)) изображен слева, а график (gleft( x right) = a{x^2} + bx + c) справа, который проходит через точки (left( { — 2; — 1} right)), (left( {1;5} right)) и (left( {2;3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c}\{5 = a + b + c,,,,,,}\{3 = 4a + 2b + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 6 = 3a — 3b.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 4 = — 4b,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,b = 1.) Тогда: ( — 6 = 3a — 3,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = — 1) и ( — 1 = — 4 — 2 + c,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 5.) Следовательно: (gleft( x right) = — {x^2} + x + 5.) Чтобы найти координаты точек пересечения парабол необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{y = — 4{x^2} — 23x — 31}\{y = — {x^2} + x + 5,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,, — 4{x^2} — 23x — 31 = — {x^2} + x + 5,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3{x^2} + 24x + 36 = 0left\| {:3,,,, Leftrightarrow ,} right.) ( Leftrightarrow ,,,,,,{x^2} + 8x + 12 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,{x_1} = — 2,,,,,,{x_2} = — 6.) Значение (x = — 2) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 6. Ответ: – 6.
Задача 31. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = 4{x^2} — 7x + 3) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. Ответ ОТВЕТ: 33.
Решение График функции (fleft( x right) = 4{x^2} — 7x + 3) пересекает ось ординат в точке (left( {0;3} right)). Значит график функции (y = fleft( x right)) изображен слева, а график (gleft( x right) = a{x^2} + bx + c) справа, который проходит через точки (left( {1;0} right)), (left( {3; — 2} right)) и (left( {4;3} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{0 = a + b + c,,,,,,,,}\{ — 2 = 9a + 3b + c}\{3 = 16a + 4b + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = — 8a — 2bleft\| {: 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,1 = — 4a — b.} right.) Вычтем из первого уравнения третье: ( — 3 = — 15a — 3bleft\| {:3} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,, — 1 = — 5a — b.) Таким образом, получим систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{1 = — 4a — b}\{ — 1 = — 5a — b}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: (2 = a,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = 2.) Тогда: (1 = — 4 cdot 2 — b,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = — 9) и (0 = 2 — 9 + c,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 7.) Следовательно: (gleft( x right) = 2{x^2} — 9x + 7.) Чтобы найти координаты точек пересечения парабол необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 4{x^2} — 7x + 3}\{y = 2{x^2} — 9x + 7}end{array},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,4{x^2} — 7x + 3 = 2{x^2} — 9x + 7,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,2{x^2} + 2x — 4 = 0left\| {:2,,,,, Leftrightarrow } right.} right.) ( Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} + x — 2 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} = — 2,,,,,,,,,,,,,,{y_1} = 0,,,,{y_2} = 33.) Следовательно, (Aleft( {1;0} right)) и (Bleft( { — 2;33} right)). Таким образом, ордината точки В равна 33. Ответ: 33.
Задача 32. На рисунке изображены графики функций (fleft( x right) = — 4{x^2} + 17x — 14) и (gleft( x right) = a,{x^2} + b,x + c,) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B. Ответ ОТВЕТ: — 29.
Решение График функции (fleft( x right) = — 4{x^2} + 17x — 14) пересекает ось ординат в точке (left( {0; — 14} right)). Значит график функции (y = fleft( x right)) изображен справа, а график (gleft( x right) = a{x^2} + bx + c) слева, который проходит через точки (left( {1; — 1} right)), (left( { — 1;1} right)) и (left( { — 3; — 5} right)). Следовательно: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{ — 1 = a + b + c,,,,,,}\{1 = a — b + c,,,,,,,,}\{ — 5 = 9a — 3b + c}end{array}} right.) Вычтем из первого уравнения второе: ( — 2 = 2b,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,b = — 1.) Вычтем из первого уравнения третье: (4 = — 8a + 4b,,,,, Leftrightarrow ,,,,,4 = — 8a — 4,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = — 1.) Тогда: ( — 1 = — 1 — 1 + c,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,c = 1.) Следовательно: (gleft( x right) = — {x^2} — x + 1.) Чтобы найти координаты точек пересечения парабол необходимо решить систему уравнений: (left{ {begin{array}{{20}{c}}{y = — 4{x^2} + 17x — 14}\{y = — {x^2} — x + 1,,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,, — 4{x^2} + 17x — 14 = — {x^2} — x + 1,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,3{x^2} — 18x + 15 = 0left\| {:3,,,,, Leftrightarrow } right.) ( Leftrightarrow ,,,,,,,{x^2} — 6x + 5 = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{x_1} = 1,,,,{x_2} = 5,,,,,,,,,{y_1} = — 1,,,,{y_2} = — 29.) Следовательно, (Aleft( {1; — 1} right)) и (Bleft( {5; — 29} right)). Таким образом, ордината точки В равна – 29. Ответ: – 29.

Источник

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции y=x^2 имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции y=x^2 , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1 , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y=-x^2 имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции y=-x^2 симметричен графику функции y=x^2 относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если D<0 ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

3. Если D>0 ,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

$x_1={-b+sqrt{D}}/{2a}$ , $x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}$

Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}$

$y_0=-{D/{4a}}=y(x_0)$

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как a=2>0 ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

$x_1={-3+7}/4=1$ , $x_1={-3-7}/4=-2,5$

3. Координаты вершины параболы:

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

$x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75$

$y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125$

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2. Уравнение квадратичной функции имеет вид — в этом уравнении x_0;y_0 — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции a=1 , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

сначала построить график функции ,
затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции a=1 , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3. Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы: $x_0={x_1+x_2}/2={2-1}/2=1/2$

$y_0=y(-1)=({1/2}-2)({1/2}+1)=-9/4=-2,25$

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник