Графики элементарных функций егэ - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Элементарные функции и их графики

Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».

И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.

Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические, , , . Все они содержат выражения вида x^α.

2. Показательные
Это функции вида y = a^x.

3. Логарифмические
y = log_ax.

4. Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5. Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Элементарными они называются, потому что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x² · e^x — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(a^x) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.

Степенные функции

1. Линейная функция y = x
2. Квадратичная парабола y = x²
3. Функция y = xⁿ, n — натуральное, n > 1 n — чётное n = 2, 4, 6,…
n — нечётное n = 3, 5, 7,…
4.Гипербола $y = frac{1}{x}$
5.
6.

Показательная функция y = a^x

Логарифмическая функция y = log_ax

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Выше приведены основные, «базовые» графики. А как будут выглядеть, например, графики функций y = sin(2x) или y = 4x² + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении 3^x = 3⁵ мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3^x возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение $sin x = frac{1}{2}$ имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Элементарные функции и их графики» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания,
берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта
готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием
сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом
администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта
и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы
принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без
письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой
зрения авторов.

Источник

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

постоянная функция (константа);
корень n-ой степени;
степенная функция;
показательная функция;
логарифмическая функция;
тригонометрические функции;
братные тригонометрические функции.

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Свойства постоянных функций:

область определения – все множество действительных чисел;
постоянная функция – четная;
область значений – множество, составленное из единственного числа C;
постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

Корень n-й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +∞);
когда x=0, функция y=xn имеет значение, равное нулю;
данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
область значений: [0, +∞);
данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
отсутствуют точки перегиба;
асимптоты отсутствуют;
график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).

Корень n-й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

область определения – множество всех действительных чисел;
данная функция – нечетная;
область значений – множество всех действительных чисел;
функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
функция имеет вогнутость на промежутке (-∞; 0] и выпуклость на промежутке [0, +∞);
точка перегиба имеет координаты (0; 0);
асимптоты отсутствуют;
график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой y=xa.

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0<a<1; a>1; -1<a<0 и a<-1;
степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Разберем степенную функцию y=xa, когда a – нечетное положительное число, например, a=1, 3, 5…

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y=x (черный цвет графика), y=x3 (синий цвет графика), y=x5 (красный цвет графика), y=x7 (зеленый цвет графика). Когда a=1, получаем линейную функцию y=x.

Определение 6

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

область определения: x∈-∞; +∞;
область значений: y∈-∞; +∞;
функция является нечетной, поскольку y(-x)=-y(x);
функция является возрастающей при x∈(-∞; +∞);
функция имеет выпуклость при x∈(-∞; 0] и вогнутость при x∈[0; +∞) (исключая линейную функцию);
точка перегиба имеет координаты (0; 0) (исключая линейную функцию);
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: (-1; -1), (0; 0), (1;1).

Степенная функция при четном положительном показателе

Разберем степенную функцию y=xa, когда a – четное положительное число, например, a=2, 4, 6…

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y=x2 (черный цвет графика), y=x4 (синий цвет графика), y=x8 (красный цвет графика). Когда a=2, получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

Определение 7

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

область определения: x∈(-∞; +∞);
область значений: y∈[0; +∞);
функция является четной, поскольку y(-x)=y(x);
функция является возрастающей при x∈[0; +∞); убывающей при x∈(-∞; 0];
функция имеет вогнутость при x∈(-∞; +∞);
очки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: (-1; 1), (0; 0), (1;1).

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y=xa, когда a – нечетное отрицательное число: y=x-9 (черный цвет графика); y=x-5 (синий цвет графика); y=x-3 (красный цвет графика); y=x-1 (зеленый цвет графика). Когда a=-1, получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

Определение 8

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

область определения: x∈(-∞; 0)∪(0; +∞);

Когда х=0, получаем разрыв второго рода, поскольку limx→0-0xa=-∞, limx→0+0xa=+∞ при a=-1, -3, -5,… . Таким образом, прямая х=0 – вертикальная асимптота;

область значений: y∈(-∞; 0)∪(0; +∞);
функция является нечетной, поскольку y(-x)=-y(x);
функция является убывающей при x∈-∞; 0∪(0; +∞);
функция имеет выпуклость при x∈(-∞; 0) и вогнутость при x∈(0; +∞);
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y=0, поскольку:

k=limx→∞xax=0, b=limx→∞(xa-kx)=0⇒y=kx+b=0, когда а=-1, -3, -5, … .

точки прохождения функции: (-1; -1), (1; 1).

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функцииy=xa, когда a – четное отрицательное число: y=x-8 (черный цвет графика); y=x-4 (синий цвет графика); y=x-2 (красный цвет графика).

Определение 9

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

область определения: x∈(-∞; 0)∪(0; +∞);

Когда х=0, получаем разрыв второго рода, поскольку limx→0-0xa=+∞, limx→0+0xa=+∞ при a=-2, -4, -6,… . Таким образом, прямая х=0 – вертикальная асимптота;

область значений: y∈(0; +∞);
функция является четной, поскольку y(-x)=y(x);
функция является возрастающей при x∈(-∞; 0) и убывающей при x∈0; +∞;
функция имеет вогнутость при x∈(-∞; 0)∪(0; +∞);
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y=0, поскольку:

k=limx→∞xax=0, b=limx→∞(xa-kx)=0⇒y=kx+b=0, когда a=-2, -4, -6, … .

точки прохождения функции: (-1; 1), (1; 1).

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал -∞; +∞, оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [0; +∞). Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Итак, разберем степенную функцию y=xa, когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0<a<1.

Проиллюстрируем графиками степенные функции y=xa, когда a=1112 (черный цвет графика); a=57 (красный цвет графика); a=13 (синий цвет графика); a=25 (зеленый цвет графика).

Иные значения показателя степени a (при условии 0<a<1) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства степенной функции при 0<a<1:

область определения: x∈[0; +∞);
область значений: y∈[0; +∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является возрастающей при x∈[0; +∞);
функция имеет выпуклость при x∈(0; +∞);
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: (0; 0), (1; 1).

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Разберем степенную функцию y=xa, когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a>1.

Проиллюстрируем графиками степенную функцию y=xa в заданных условиях на примере таких функций: y=x54, y=x43, y=x73, y=x3π(черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

Иные значения показателя степени а при условии a>1 дадут похожий вид графика.

Определение 11

Свойства степенной функции при a>1:

область определения: x∈[0; +∞);
область значений: y∈[0; +∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является возрастающей при x∈[0; +∞);
функция имеет вогнутость при x∈(0; +∞) (когда 1<a<2) и выпуклость при x∈[0; +∞) (когда a>2);
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точки прохождения функции: (0; 0), (1; 1).

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Обращаем ваше внимание! Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал -∞; 0∪(0; +∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0; +∞). Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y=xa при условии: -1<a<0.

Приведем чертеж графиков следующий функций: y=x-56, y=x-23, y=x-122, y=x-17 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

Определение 12

Свойства степенной функции при -1<a<0:

область определения: x∈0; +∞;

limx→0+0xa=+∞, когда -1<a<0, т.е. х=0 – вертикальная асимптота;

область значений: y∈0; +∞;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является убывающей при x∈0; +∞;
функция имеет вогнутость при x∈0; +∞;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y=0;
точка прохождения функции: (1; 1).

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

На чертеже ниже приведены графики степенных функций y=x-54, y=x-53, y=x-6, y=x-247 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

Определение 13

Свойства степенной функции при a<-1:

область определения: x∈0; +∞;

limx→0+0xa=+∞, когда a<-1, т.е. х=0 – вертикальная асимптота;

область значений: y∈(0; +∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
функция является убывающей при x∈0; +∞;
функция имеет вогнутость при x∈0; +∞;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y=0;
точка прохождения функции: (1; 1).

Когда a=0 и х≠0, получим функцию y=x0=1, определяющую прямую, из которой исключена точка (0; 1) (условились, что выражению 00 не будет придаваться никакого значения).

Показательная функция

Показательная функция имеет вид y=ax, где а>0 и а ≠1, и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a. Рассмотрим частные случаи.

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0<a<1). Наглядным примером послужат графики функций при a=12 (синий цвет кривой) и a=56 (красный цвет кривой).

Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0<a<1.

Определение 14

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

область определения – все множество действительных чисел;
область значений: y∈(0; +∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
функция имеет вогнутость при x∈-∞; +∞;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y=0 при переменной x, стремящейся к +∞;
точка прохождения функции: (0; 1).

Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а>1).

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y=32x(синий цвет кривой) и y=ex (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Определение 15

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

область определения – все множество действительных чисел;
область значений: y∈(0; +∞);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x∈-∞; +∞;
функция имеет вогнутость при x∈-∞; +∞;
точки перегиба отсутствуют;
горизонтальная асимптота – прямая y=0 при переменной x, стремящейся к -∞;
точка прохождения функции: (0; 1).

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет вид y=loga(x), где a>0, a≠1.

Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x∈0; +∞.

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0<a<1. Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a=12 (синий цвет кривой) и а=56 (красный цвет кривой).

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Определение 16

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

область определения: x∈0; +∞. Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к +∞;
область значений: y∈-∞; +∞;
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая функция является убывающей на всей области определения;
функция имеет вогнутость при x∈0; +∞;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции: (1; 0).

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а>1. На чертеже ниже – графики логарифмических функций y=log32x и y=ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Определение 17

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

область определения: x∈0; +∞. Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к -∞;
область значений: y∈-∞; +∞ (все множество действительных чисел);
данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
логарифмическая функция является возрастающей при x∈0; +∞;
функция имеет выпуклость при x∈0; +∞;
точки перегиба отсутствуют;
асимптоты отсутствуют;
точка прохождения функции: (1; 0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f(x+T)=f(x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

Функция синус: y=sin(х)

График данной функции называется синусоида.

Определение 18

Свойства функции синус:

область определения: все множество действительных чисел x∈-∞; +∞;
наименьший положительный период: Т=2π;
функция обращается в нуль, когда x=π·k, где k∈Z (Z – множество целых чисел);
область значений: y∈-1; 1;
данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
функция является возрастающей при x∈-π2+2π·k; π2+2π·k, k∈Z и убывающей при x∈π2+2π·k; 3π2+2π·k, k∈Z;
функция синус имеет локальные максимумы в точках π2+2π·k; 1 и локальные минимумы в точках -π2+2π·k; -1, k∈Z;
функция синус вогнутая, когда x∈-π+2π·k; 2π·k, k∈Z и выпуклая, когда x∈2π·k; π+2π·k, k∈Z;
точки перегиба имеют координаты π·k; 0, k∈Z;
асимптоты отсутствуют.

Функция косинус: y=cos(х)

График данной функции называется косинусоида.

Определение 19

Свойства функции косинус:

область определения: x∈-∞; +∞;
наименьший положительный период: Т=2π;
функция обращается в нуль, когда x=π2+π·k при k∈Z (Z – множество целых чисел);
область значений: y∈-1; 1;
данная функция – четная, поскольку y(-x)=y(x);
функция является возрастающей при x∈-π+2π·k; 2π·k, k∈Z и убывающей при x∈2π·k; π+2π·k, k∈Z;
функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2π·k; 1, k∈Z и локальные минимумы в точках π+2π·k; -1, k∈z;
функция косинус вогнутая, когда x∈π2+2π·k; 3π2+2π·k, k∈Z и выпуклая, когдаx∈-π2+2π·k; π2+2π·k, k∈Z ;
точки перегиба имеют координаты π2+π·k; 0, k∈Z
асимптоты отсутствуют.

Функция тангенс: y=tg(х)

График данной функции называется тангенсоида.

Определение 20

Свойства функции тангенс:

область определения: x∈-π2+π·k; π2+π·k, где k∈Z (Z – множество целых чисел);
Поведение функции тангенс на границе области определения limx→π2+π·k+0tg(x)=-∞, limx→π2+π·k-0tg(x)=+∞. Таким образом, прямые x=π2+π·k k∈Z – вертикальные асимптоты;
наименьший положительный период: Т=π;
функция обращается в нуль, когда x=π·k при k∈Z (Z – множество целых чисел);
область значений: y∈-∞; +∞;
данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
функция является возрастающей при -π2+π·k;π2+π·k, k∈Z ;
функция тангенс является вогнутой при x∈[π·k; π2+π·k), k∈Z и выпуклой при x∈(-π2+π·k; π·k], k∈Z;
точки перегиба имеют координаты π·k; 0, k∈Z;
наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Функция котангенс: y=ctg(х)

График данной функции называется котангенсоида.

Определение 21

Свойства функции котангенс:

область определения: x∈(π·k; π+π·k), где k∈Z (Z – множество целых чисел);

Поведение функции котангенс на границе области определения limx→π·k+0tg(x)=+∞, limx→π·k-0tg(x)=-∞. Таким образом, прямые x=π·k k∈Z – вертикальные асимптоты;

наименьший положительный период: Т=π;
функция обращается в нуль, когда x=π2+π·k при k∈Z (Z – множество целых чисел);
область значений: y∈-∞; +∞;
данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
функция является убывающей при x∈π·k; π+π·k, k∈Z ;
функция котангенс является вогнутой при x∈(π·k; π2+π·k], k∈Z и выпуклой при x∈[-π2+π·k; π·k), k∈Z;
точки перегиба имеют координаты π2+π·k; 0, k∈Z;
наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

Функция арксинус: y=arcsin(х)

Определение 22

Свойства функции арксинус:

область определения: x∈-1; 1;
область значений: y∈-π2; π2 ;
данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
функция является возрастающей на всей области определения;
функция арксинус имеет вогнутость при x∈0; 1 и выпуклость при x∈-1; 0;
точки перегиба имеют координаты (0; 0), она же – нуль функции;
асимптоты отсутствуют.

Функция арккосинус: y=arccos(х)

Определение 23

Свойства функции арккосинус:

область определения: x∈-1; 1;
область значений: y∈0; π;
данная функция — общего вида (ни четная, ни нечетная);
функция является убывающей на всей области определения;
функция арккосинус имеет вогнутость при x∈-1; 0 и выпуклость при x∈0; 1;
точки перегиба имеют координаты 0; π2;
асимптоты отсутствуют.

Функция арктангенс: y=arctg(х)

Определение 24

Свойства функции арктангенс:

область определения: x∈-∞; +∞;
область значений: y∈-π2; π2 ;
данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
функция является возрастающей на всей области определения;
функция арктангенс имеет вогнутость при x∈(-∞; 0] и выпуклость при x∈[0; +∞);
точка перегиба имеет координаты (0; 0), она же – нуль функции;
горизонтальные асимптоты – прямые y=-π2 при x→-∞ и y=π2 при x→+∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).

Функция арккотангенс: y=arcctg(х)

Определение 25

Свойства функции арккотангенс:

область определения: x∈-∞; +∞;
область значений: y∈(0; π) ;
данная функция – общего вида;
функция является убывающей на всей области определения;
функция арккотангенс имеет вогнутость при x∈[0; +∞) и выпуклость при x∈(-∞; 0];
точка перегиба имеет координаты 0; π2;
горизонтальные асимптоты – прямые y=π при x→-∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y=0 при x→+∞.

Источник

Комбинированные задачи

Версия для печати и копирования в MS Word

Гиперболы

Версия для печати и копирования в MS Word

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 110.

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =dfrackx плюс a.$ Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите a.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите c.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите a.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите c.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите b.

Кусочно-линейная функция

Версия для печати и копирования в MS Word

Параболы

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите абсциссу вершины параболы.

На рисунке изображён график функции Найдите значение f(−6).

На рисунке изображён график фуıкции вида где a, b и c  — целые числа. Найдите значение f(4).

Источник: Пробный вариант ЕГЭ по математике 03.12.22 Москва.

Тригонометрические функции

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображён график функции Найдите a.

На рисунке изображён график функции Найдите b.

На рисунке изображён график функции Найдите a.

На рисунке изображён график функции Найдите b.

На рисунке изображён график функции Найдите a.

На рисунке изображён график функции Найдите b.

На рисунке изображён график функции вида где числа a, b, c и d  — целые. Найдите

Линейные функции

Версия для печати и копирования в MS Word

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Показательные и логарифмические функции

Версия для печати и копирования в MS Word

Источник

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Парабола

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола.

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :

Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.

Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.

Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.

x в = − b 2 a

Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .

Если D > 0 – две точки пересечения.
Если D = 0 – одна точка пересечения.
Если D < 0 – нет точек пересечения.

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k < 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y = f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 5.

Источник

1 июля 2022

В закладки

Обсудить

Жалоба

Графики основных элементарных функций

Конспект урока. Теоретическое занятие (90 мин).

Задачи

1. Изучить способы построения графиков основных элементарных функций.
2. Уметь строить графики основных элементарных функций.

graf-f.doc
graf-f.pdf

Автор: Балакин Ю.Р.

Источник

Функции ЕГЭ по математике

08.11.2013

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике на тему: «Функции».

Содержание темы:

3. ФУНКЦИИ
3.1. Основные понятия и определения
3.2. Графики элементарных функций
3.3. Преобразования графиков функций
3.4. Изображения некоторых множеств точек на плоскости
Тест для проверки теоретических знаний
Примеры
Задачи для самостоятельного решения
Контрольный тест

Рекомендуем использовать этот материал при тщательной подготовке к сдаче ЕГЭ на высокий балл.

В теме содержатся теория и практические задания различного уровня сложности.

Смотреть в PDF:

Или прямо сейчас: Скачайте в pdf файле.

Источник