Графики логарифмических функций егэ

Поиск

Всего: 27    1–20 | 21–27

Добавить в вариант

Источник: Пробный экзамен по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015. Вариант 2.

Найдите наименьшее значение функции y= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 14x плюс 130 правая круглая скобка плюс 3.

Найдите наименьшее значение функции y= логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x в квадрате плюс 14x плюс 305 правая круглая скобка плюс 9.

Найдите наибольшее значение функции y= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка минус 116 плюс 22x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 8.

Найдите наименьшее значение функции y= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 14x плюс 778 правая круглая скобка плюс 5.

Найдите наименьшее значение функции y= логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x в квадрате плюс 14x плюс 305 правая круглая скобка плюс 9.

Найдите точку максимума функции y = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 11 плюс 4x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2.

Найдите наибольшее значение функцииy= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 8 правая круглая скобка .

Найдите наименьшее значение функции y= логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 29 правая круглая скобка минус 8.

Найдите наименьшее значение функции y= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 10 правая круглая скобка плюс 2.

Найдите наибольшее значение функции y= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 6x плюс 12 правая круглая скобка на отрезке левая квадратная скобка минус 19; минус 1 правая квадратная скобка .

Найдите наименьшее значение функции y= логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x в квадрате плюс 6x плюс 25 правая круглая скобка минус 5.

Найдите точку максимума функции y= логарифм по основанию 8 левая круглая скобка минус 40 минус 14x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 3.

Всего: 27    1–20 | 21–27

Источник
Skip to content

ЕГЭ Профиль №10. Логарифмическая и показательная функции

ЕГЭ Профиль №10. Логарифмическая и показательная функцииadmin2023-01-15T10:24:14+03:00

Скачать файл в формате pdf.

ЕГЭ Профиль №10. Логарифмическая и показательная функции

Задача 1. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)   Найдите  (fleft( {27} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 1.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {1; — 2} right)) и (left( {3; — 1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = b + {{log }_a}1}\{ — 1 = b + {{log }_a}3}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 2,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{ — 1 = b + {{log }_a}3}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — 1 =  — 2 + {log _a}3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = 3.)

Таким образом:   (fleft( x right) =  — 2 + {log _3}x)   и   (fleft( {27} right) =  — 2 + {log _3}27 = 1.)

Ответ: 1.
Задача 2. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)   Найдите  (fleft( {16} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 7.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {2;1} right)) и (left( {4;3} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = b + {{log }_a}2}\{3 = b + {{log }_a}4}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:

( — 2 = {log _a}2 — {log _a}4,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{log _a}frac{1}{2} =  — 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{a^2} = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = sqrt 2 .)

Тогда:   (1 = b + {log _{sqrt 2 }}2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1 = b + 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — 1.)

Следовательно:   (fleft( x right) =  — 1 + {log _{sqrt 2 }}x)   и   (fleft( {16} right) =  — 1 + {log _{sqrt 2 }}16 =  — 1 + 8 = 7.)

Ответ: 7.
Задача 3. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)   Найдите  (fleft( {128} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 5.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {2;1} right)) и (left( {4;0} right)).

Следовательно:     (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = b + {{log }_a}2}\{0 = b + {{log }_a}4}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:

(1 = {log _a}2 — {log _a}4,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{log _a}frac{1}{2} = 1,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Тогда:     (1 = b + {log _{frac{1}{2}}}2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1 = b — 1,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 2.)

Следовательно:    (fleft( x right) = 2 + {log _{frac{1}{2}}}x)    и    (fleft( {128} right) = 2 + {log _{frac{1}{2}}}128 = 2 — 7 =  — 5.)

Ответ: – 5.
Задача 4. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)   Найдите  (fleft( {0,125} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {1; — 1} right)) и (left( {2; — 3} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = b + {{log }_a}1,}\{ — 3 = b + {{log }_a}2}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 1,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{ — 3 = b + {{log }_a}2}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — 3 =  — 1 + {log _a}2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = frac{1}{{sqrt 2 }}.)

Таким образом:   (fleft( x right) =  — 1 + {log _{_{frac{1}{{sqrt 2 }}}}}x)    и    (fleft( {frac{1}{8}} right) =  — 1 + {log _{_{frac{1}{{sqrt 2 }}}}}frac{1}{8} =  — 1 + 6 = 5.)

Ответ: 5.
Задача 5. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) = 3.)

Ответ

ОТВЕТ: 64.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {1; — 3} right)) и (left( {2; — 2} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = b + {{log }_a}1}\{ — 2 = b + {{log }_a}2}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 3,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{ — 2 = b + {{log }_a}2}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — 2 =  — 3 + {log _a}2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = 2.)

Таким образом:    (fleft( x right) =  — 3 + {log _2}x)    и    ( — 3 + {log _2}x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 64.)

Ответ: 64.
Задача 6. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) = 2.)

Ответ

ОТВЕТ: 81.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {1; — 2} right)) и (left( {3; — 1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = b + {{log }_a}1}\{ — 1 = b + {{log }_a}3}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 2,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{ — 1 = b + {{log }_a}3}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — 1 =  — 2 + {log _a}3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = 3.)

Таким образом:    (fleft( x right) =  — 2 + {log _3}x)    и    ( — 2 + {log _3}x = 2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 81.)

Ответ: 81.
Задача 7. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) =  — 3.)

Ответ

ОТВЕТ: 32.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {2;1} right)) и (left( {4;0} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = b + {{log }_a}2}\{0 = b + {{log }_a}4}end{array}} right.)

Вычтем из первого уравнения второе:

(1 = {log _a}2 — {log _a}4,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,1 = {log _a}frac{1}{2},,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Тогда:   (1 = b + {log _{frac{1}{2}}}2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,1 = b — 1,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 2.)

Следовательно:    (fleft( x right) = 2 + {log _{frac{1}{2}}}x)    и     (2 + {log _{frac{1}{2}}}x =  — 3,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 32.)

Ответ: 32.
Задача 8. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = b + {log _a}x.)  Найдите значение x при котором  (fleft( x right) = 3.)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = b + {log _a}x) проходит через точки (left( {1; — 1} right)) и (left( {2; — 3} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = b + {{log }_a}1}\{ — 3 = b + {{log }_a}2}end{array},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 1,,,,,,,,,,,,,,,,,}\{ — 3 = b + {{log }_a}3}end{array}} right.} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,, — 3 =  — 1 + {log _a}2,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = frac{1}{{sqrt 2 }}.)

Таким образом:   (fleft( x right) =  — 1 + {log _{frac{1}{{sqrt 2 }}}}x)    и    ( — 1 + {log _{frac{1}{{sqrt 2 }}}}x = 3,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x = 0,25.)

Ответ: 0,25.
Задача 9. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)   Найдите  (fleft( {27} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( { — 1;2} right)) и (left( { — 4;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = {{log }_a}left( { — 1 + b} right)}\{0 = {{log }_a}left( { — 4 + b} right)}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 + b = {a^2}}\{ — 4 + b = 1}end{array}} right. Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = b — 1}\{b = 5,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = 2.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {log _2}left( {x + 5} right))    и    (fleft( {27} right) = {log _2}left( {27 + 5} right) = 5.)

Ответ: 5.
Задача 10. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)   Найдите  (fleft( {238} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( { — 2;1} right)) и (left( { — 4;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = {{log }_a}left( { — 2 + b} right)}\{0 = {{log }_a}left( { — 4 + b} right)}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a =  — 2 + b}\{ — 4 + b = 1}end{array}} right.,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,b = 5,,,,,,,a = 3.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {log _3}left( {x + 5} right))    и    (fleft( {238} right) = {log _3}left( {238 + 5} right) = 5.)

Ответ: 5.
Задача 11. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)   Найдите  (fleft( {30} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 5.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( {2; — 2} right)) и (left( { — 1;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = {{log }_a}left( {2 + b} right)}\{0 = {{log }_a}left( { — 1 + b} right)}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{a^{ — 2}} = 2 + b}\{ — 1 + b = 1}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{1}{{{a^2}}} = 2 + b}\{b = 2,,,,,,,}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {log _{frac{1}{2}}}left( {x + 2} right))    и    (fleft( {30} right) = {log _{frac{1}{2}}}left( {30 + 2} right) =  — 5.)

Ответ: – 5.
Задача 12. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)   Найдите  (fleft( {77} right).)

Ответ

ОТВЕТ: — 4.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( { — 1; — 1} right)) и (left( { — 3;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = {{log }_a}left( { — 1 + b} right)}\{0 = {{log }_a}left( { — 3 + b} right)}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{1}{a} =  — 1 + b}\{ — 3 + b = 1}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a = frac{1}{{b — 1}}}\{b = 4,,,,,,,}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = frac{1}{3}.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {log _{frac{1}{3}}}left( {x + 4} right))    и    (fleft( {77} right) = {log _{frac{1}{3}}}left( {77 + 4} right) =  — 4.)

Ответ: – 4.
Задача 13. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 6.)

Ответ

ОТВЕТ: 59.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( { — 1;2} right)) и (left( { — 4;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = {{log }_a}left( { — 1 + b} right)}\{0 = {{log }_a}left( { — 4 + b} right)}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} =  — 1 + b}\{ — 4 + b = 1}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} =  — 1 + b}\{b = 5,,,,,,,}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = 2.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {log _2}left( {x + 5} right))    и     ({log _2}left( {x + 5} right) = 6,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 5 = 64,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 59.)

Ответ: 59.
Задача 14. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 5.)

Ответ

ОТВЕТ: 31.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( {1;1} right)) и (left( {0;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = {{log }_a}left( {1 + b} right)}\{0 = {{log }_a}b,,,,,,,,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 + b = a}\{b = 1,,,,,}end{array}} right.,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = 2.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {log _2}left( {x + 1} right))   и     ({log _2}left( {x + 1} right) = 5,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 1 = 32,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 31.)

Ответ: 31.
Задача 15. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) =  — 8.)

Ответ

ОТВЕТ: 79.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( {1; — 2} right)) и (left( { — 1;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = {{log }_a}left( {1 + b} right)}\{0 = {{log }_a}left( { — 1 + b} right)}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{a^{ — 2}} = 1 + b}\{ — 1 + b = 1}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{frac{1}{{{a^2}}} = 1 + b}\{b = 2,,,,,,,}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,b = frac{1}{{sqrt 3 }}.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {log _{frac{1}{{sqrt 3 }}}}left( {x + 2} right))    и     ({log _{frac{1}{{sqrt 3 }}}}left( {x + 2} right) =  — 8,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 2 = 81,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 79.)

Ответ: 79.
Задача 16. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right).)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) =  — 5.)

Ответ

ОТВЕТ: 239.
Решение

График логарифмический функции (fleft( x right) = {log _a}left( {x + b} right)) проходит через точки (left( { — 1; — 1} right)) и (left( { — 3;0} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = {{log }_a}left( { — 1 + b} right)}\{0 = {{log }_a}left( { — 3 + b} right)}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{a^{ — 1}} = b — 1}\{ — 3 + b = 1}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a = frac{1}{{b — 1}}}\{b = 4,,,,,,,}end{array}} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,a = frac{1}{3}.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {log _{frac{1}{3}}}left( {x + 4} right))    и     ({log _{frac{1}{3}}}left( {x + 4} right) =  — 5,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,x + 4 = 243,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 239.)

Ответ: 239.
Задача 17. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)   Найдите  (fleft( {10} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 29.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 2} right)) и (left( {4;1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = {a^0} + b}\{1 = {a^4} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 3,,,,,,}\{1 = {a^4} + b}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{a^4} = 4,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = sqrt 2 .)

Таким образом:    (fleft( x right) = {sqrt 2 ^x} — 3)    и    (fleft( {10} right) = {sqrt 2 ^{10}} — 3 = 29.)

Ответ: 29.
Задача 18. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)   Найдите  (fleft( 8 right).)

Ответ

ОТВЕТ: 79.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 1} right)) и (left( {2;1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = {a^0} + b}\{1 = {a^2} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 2,,,,,,}\{1 = {a^2} + b}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{a^2} = 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = sqrt 3 .)

Таким образом:   (fleft( x right) = {sqrt 3 ^x} — 2)    и    (fleft( 8 right) = {sqrt 3 ^8} — 2 = 79.)

Ответ: 79.
Задача 19. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)   Найдите  (fleft( { — 5} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 28.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 3} right)) и (left( { — 1; — 2} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = {a^0} + b}\{ — 2 = {a^{ — 1}} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 4,,,,,,}\{ — 2 = frac{1}{a} + b}end{array}} right.,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {left( {frac{1}{2}} right)^x} — 4)    и    (fleft( { — 5} right) = {left( {frac{1}{2}} right)^{ — 5}} — 4 = 32 — 4 = 28.)

Ответ: 28.
Задача 20. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)   Найдите  (fleft( { — 8} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 77.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 3} right)) и (left( { — 2; — 1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = {a^0} + b}\{ — 1 = {a^{ — 2}} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 4,,,,,,}\{ — 1 = frac{1}{{{a^2}}} + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,frac{1}{{{a^2}}} = 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = frac{1}{{sqrt 3 }}.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^x} — 4)    и    (fleft( { — 8} right) = {left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^{ — 8}} — 4 = 81 — 4 = 77.)

Ответ: 77.
Задача 21. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 13.)

Ответ

ОТВЕТ: 8.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 2} right)) и (left( {4;1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = {a^0} + b}\{1 = {a^4} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 3,,,,,,}\{1 = {a^4} + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,{a^4} = 4,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = sqrt 2 .)

Таким образом:   (fleft( x right) = {sqrt 2 ^x} — 3)    и     ({left( {sqrt 2 } right)^x} — 3 = 13,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{2^{frac{x}{2}}} = 16,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x = 8.)

Ответ: 8.
Задача 22. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 25.)

Ответ

ОТВЕТ: 6.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 1} right)) и (left( {2;1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = {a^0} + b}\{1 = {a^2} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 2,,,,,,}\{1 = {a^2} + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,{a^2} = 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = sqrt 3 .)

Таким образом:   (fleft( x right) = {sqrt 3 ^x} — 2)    и    ({sqrt 3 ^x} — 2 = 25,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{3^{frac{x}{2}}} = 27,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x = 6.)

Ответ: 6.
Задача 23. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 12.)

Ответ

ОТВЕТ: — 4.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 3} right)) и (left( { — 1; — 2} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = {a^0} + b}\{ — 2 = {a^{ — 1}} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 4,,,,,,}\{ — 2 = frac{1}{a} + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,frac{1}{a} = 2,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {left( {frac{1}{2}} right)^x} — 4)    и     ({left( {frac{1}{2}} right)^x} — 4 = 12,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{2^{ — x}} = 16,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x =  — 4.)

Ответ: – 4.
Задача 24. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^x} + b.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 23.)

Ответ

ОТВЕТ: — 6.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^x} + b) проходит через точки (left( {0; — 3} right)) и (left( { — 2; — 1} right)). Следовательно:

(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = {a^0} + b}\{ — 1 = {a^{ — 2}} + b}end{array}} right.,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,left{ {begin{array}{*{20}{c}}{b =  — 4,,,,,,}\{ — 1 = frac{1}{{{a^2}}} + b}end{array}} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,frac{1}{{{a^2}}} = 3,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,a = frac{1}{{sqrt 3 }}.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^x} — 4)    и     ({left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^x} — 4 = 23,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{3^{ — frac{x}{2}}} = {3^3},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,x =  — 6.)

Ответ: – 6.
Задача 25. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)   Найдите  (fleft( { — 5} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 0,125.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}) проходит через точки (left( {3;2} right)) и (left( {5;4} right)).

Следовательно:   (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = {a^{3 + b}}}\{4 = {a^{5 + b}}}end{array}} right.)

Разделим второе уравнение на первое:    (frac{{{a^{5 + b}}}}{{{a^{3 + b}}}} = frac{4}{2},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^2} = 2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = sqrt 2 .)

Тогда:     ({sqrt 2 ^{3 + b}} = 2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{2^{frac{{3 + b}}{2}}} = {2^1},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{3 + b}}{2} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — 1.)

Таким образом:   (fleft( x right) = {sqrt 2 ^{,x — 1}})    и    (fleft( { — 5} right) = {sqrt 2 ^{ ,- 5 — 1}} = {2^{frac{1}{2} cdot left( { — 6} right)}} = {2^{ — 3}} = frac{1}{8} = 0,125.)

Ответ: 0,125.
Задача 26. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)   Найдите  (fleft( 6 right).)

Ответ

ОТВЕТ: 81.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}) проходит через точки (left( { — 2;1} right)) и (left( {2;9} right)).

Следовательно:     (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = {a^{ — 2 + b}}}\{9 = {a^{2 + b}}}end{array}} right.)

Разделим второе уравнение на первое:   (frac{{{a^{2 + b}}}}{{{a^{ — 2 + b}}}} = frac{9}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^4} = 9,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = sqrt 3 .)

Тогда:    ({sqrt 3 ^{ ,- 2 + b}} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{sqrt 3 ^{ ,- 2 + b}} = {sqrt 3 ^0},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 2 + b = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 2.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {sqrt 3 ^{,x + 2}})    и    (fleft( 6 right) = {sqrt 3 ^{,6 + 2}} = {sqrt 3 ^8} = {3^4} = 81.)

Ответ: 81.
Задача 27. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)  Найдите  (fleft( { — 9} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 16.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}})  проходит через точки (left( { — 1;1} right)) и (left( { — 3;2} right)).

Следовательно:     (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = {a^{ — 1 + b}}}\{2 = {a^{ — 3 + b}}}end{array}} right.)

Разделим первое уравнение на второе:   (frac{{{a^{, — 1 + b}}}}{{{a^{, — 3 + b}}}} = frac{1}{2},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^2} = frac{1}{2},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{{sqrt 2 }}.)

Тогда:    ({left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^{, — 1 + b}} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^{, — 1 + b}} = {left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^0},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 1 + b = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 1.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^{,x + 1}})    и    (fleft( { — 9} right) = {left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^{, — 9 + 1}} = {left( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right)^{, — 8}} = {2^4} = 16.)

Ответ: 16.
Задача 28. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)  Найдите  (fleft( { — 2} right).)

Ответ

ОТВЕТ: 32.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}) проходит через точки (left( {1;4} right)) и (left( {3;1} right)).

Следовательно:     (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4 = {a^{1 + b}}}\{1 = {a^{3 + b}}}end{array}} right.)

Разделим второе уравнение на первое:    (frac{{{a^{3 + b}}}}{{{a^{1 + b}}}} = frac{1}{4},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^2} = frac{1}{4},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Тогда: ({left( {frac{1}{2}} right)^{3 + b}} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{left( {frac{1}{2}} right)^{3 + b}} = {left( {frac{1}{2}} right)^0},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3 + b = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — 3.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {left( {frac{1}{2}} right)^{x — 3}})    и    (fleft( { — 2} right) = {left( {frac{1}{2}} right)^{ — 2 — 3}} = {2^5} = 32.)

Ответ: 32.
Задача 29. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 16.)

Ответ

ОТВЕТ: 5.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}) проходит через точки (left( {1;4} right)) и (left( { — 3;1} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{4 = {a^{1 + b}}}\{1 = {a^{ — 3 + b}}}end{array}} right.)

Разделим первое уравнение на второе:   (frac{{{a^{1 + b}}}}{{{a^{ — 3 + b}}}} = frac{4}{1},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^4} = 4,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = sqrt 2 .)

Тогда:    ({left( {sqrt 2 } right)^{ — 3 + b}} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{left( {sqrt 2 } right)^{ — 3 + b}} = {sqrt 2 ^0},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,, — 3 + b = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b = 3.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {sqrt 2 ^{,x + 3}})    и     ({sqrt 2 ^{,x + 3}} = 16,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{2^{frac{{x + 3}}{2}}} = {2^4},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,frac{{x + 3}}{2} = 4,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x = 5.)

Ответ: 5.
Задача 30. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 0,125.)

Ответ

ОТВЕТ: — 5.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}) проходит через точки (left( {3;2} right)) и (left( {5;4} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 = {a^{3 + b}}}\{4 = {a^{5 + b}}}end{array}} right.)

Разделим второе уравнение на первое:   (frac{{{a^{5 + b}}}}{{{a^{3 + b}}}} = frac{4}{2},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^2} = 2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = sqrt 2 .)

Тогда: ({sqrt 2 ^{,3 + b}} = 2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{sqrt 2 ^{,3 + b}} = {sqrt 2 ^{,2}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3 + b = 2,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — 1.)

Таким образом:    (fleft( x right) = {sqrt 2 ^{,x — 1}})    и    ({sqrt 2 ^{,x — 1}} = frac{1}{8},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{2^{frac{{x — 1}}{2}}} = {2^{ — 3}},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x =  — 5.)

Ответ: – 5.
Задача 31. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 64.)

Ответ

ОТВЕТ: — 3.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}) проходит через точки (left( {3;1} right)) и (left( {1;4} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 = {a^{3 + b}}}\{4 = {a^{1 + b}}}end{array}} right.)

Разделим первое уравнение на второе:   (frac{{{a^{3 + b}}}}{{{a^{1 + b}}}} = frac{1}{4},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^2} = frac{1}{4},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{2}.)

Тогда: ({left( {frac{1}{2}} right)^{3 + b}} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{left( {frac{1}{2}} right)^{3 + b}} = {left( {frac{1}{2}} right)^0},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,3 + b = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — 3.)

Таким образом:    

(fleft( x right) = {left( {frac{1}{2}} right)^{x — 3}})    и     ({left( {frac{1}{2}} right)^{x — 3}} = 64,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,{left( {frac{1}{2}} right)^{x — 3}} = {left( {frac{1}{2}} right)^{ — 6}},,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,x — 3 =  — 6,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x =  — 3.)

Ответ: – 3.
Задача 32. На рисунке изображён график функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}.)  Найдите значение x, при котором  (fleft( x right) = 81.)

Ответ

ОТВЕТ: — 6.
Решение

График показательной функции  (fleft( x right) = {a^{x + b}}) проходит через точки (left( { — 2;9} right)) и (left( {2;1} right)).

Следовательно:    (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{9 = {a^{ — 2 + b}}}\{1 = {a^{2 + b}}}end{array}} right.)

Разделим второе уравнение на первое:   (frac{{{a^{2 + b}}}}{{{a^{ — 2 + b}}}} = frac{1}{9},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{a^4} = frac{1}{9},,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,a = frac{1}{{sqrt 3 }}.)

Тогда: ({left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^{2 + b}} = 1,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^{2 + b}} = {left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^0},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,2 + b = 0,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,b =  — 2.)

Таким образом:   

(fleft( x right) = {left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^{x — 2}})  и  ({left( {frac{1}{{sqrt 3 }}} right)^{x — 2}} = 81,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,{3^{ — ,frac{{x — 2}}{2}}} = {2^4},,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,,, — ,,frac{{x — 2}}{2} = 4,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,x =  — 6.)

Ответ: – 6.

Источник

14
Май 2013

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Логарифмическая функция

2013-05-14
2019-08-13

Функция y=log_a x (где a>0, aneq 1) называется логарифмической функцией с основанием a.

Конечно, хорошо бы вспомнить сначала  определение логарифма.

График логарифмической функции log_a x можно построить используя тот факт, что функция log_a x обратна показательной функции y=a^x. Поэтому можно построить график показательной функции y=a^x, после чего отобразить его симметрично относительно прямой y=x.

график логарифма, логарифмическая функция

И все же, как произвести построение, скажем, графика y=log_2x без предварительного построения графика показательной функции?

Мы должны перебирать различные значения x и, подставляя в формулу, найти соответствующие значения y.

578

Так вот согласно определению логарифма, например, log_28 – это такая степень числа 2, в которую нужно возвести это основание 2, чтобы получить 8, то есть log_28=3, так как 2^3=8.

Руководствуясь этим правилом мы и заполняем всю таблицу (можно бы в эту таблицу дописать и такие значения x, как 8, 16,…):

75564

Получаем следующий график функции:

график логарифма, логарифмическая функция

Если мы возьмем функцию  y=log_{frac{1}{2}}x, то график будет выглядеть так:

график логарифма, логарифмическая функция

Свойства логарифмической функции

график логарифма, логарифмическая функция, построение логарифмической функции

логарифмическая функция, свойства логарифмов

Свойства логарифмов смотрим здесь

Автор: egeMax |

комментария 3
| Метки: графики функций, функции

Источник

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Задания по теме «Логарифмические функции»

Открытый банк заданий по теме логарифмические функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Тригонометрические уравнения

Задание №1132

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2ln x+37 на отрезке left[frac35; frac75right].

Показать решение

Решение

ОДЗ: x>0.

Найдём производную исходной функции:

y'(x)= 10x-12+frac{2}{x}= frac{10x^2-12x+2}{x}.

Определим нули производной: y'(x)=0;

frac{10x^2-12x+2}{x}=0,

5x^2-6x+1=0,

x_{1,2}= frac{3pmsqrt{3^2-5cdot1}}{5}= frac{3pm2}{5},

x_1=frac15notinleft[frac35; frac75right],

x_2=1inleft[frac35; frac75right].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.

Знаки производной и промежутки монотонности функции на отрезке

Из рисунка видно, что на отрезке left[frac35; 1right]исходная функция убывает, а на отрезке left[1; frac75right]возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке left[frac35; frac75right]достигается при x=1 и равно y(1)= 5cdot 1^2-12cdot 1+2 ln 1+37= 30.

Ответ

30

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1124

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=4x^2-19x+11ln x+715 на отрезке left[frac34; frac54right].

Показать решение

Решение

ОДЗ: x>0.

Найдём производную исходной функции:

y'(x)= 8x-19+frac{11}{x}= frac{8x^2-19x+11}{x}.

Определим нули производной: y'(x)=0;

frac{8x^2-19x+11}{x}=0,

8x^2-19x+11=0,

x_{1,2}= frac{19pmsqrt{19^2-4cdot8cdot11}}{2cdot8}= frac{19pm3}{16},

x_1=1,

x_1in left[frac34; frac54right],

x_2=frac{22}{16}=frac{11}{8}>frac{10}{8}=frac{5}{4},

x_2notin left[frac34; frac54right].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Знаки производной и промежутки монотонности функции

Из рисунка видно, что на отрезке left[frac34; 1right] исходная функция возрастает, а на отрезке left[1; frac54right] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке left[frac34; frac54right] достигается при x=1 и равно y(1)= 4cdot 1^2-19cdot 1+11 ln 1+715= 700.

Ответ

700

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №1116

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=7x-ln(x+11)^7 на отрезке [-10,5;,,0].

Показать решение

Решение

ОДЗ: (x+11)^7>0, x+11>0, x>-11. На ОДЗ исходная функция примет вид:y=7x-7 ln (x+11).

Найдём производную: y’=7-frac{7}{x+11}. Определим нули производной: 7-frac{7}{x+11}=0,

frac{1}{x+11}=1,

x=-10.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Знаки производной и промежутки монотонности функции

Из рисунка видно, что на отрезке [-10,5; -10] исходная функция убывает, а на отрезке [-10; 0] возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [-10,5; 0] достигается при x=-10 и равно y(-10)= 7cdot (-10)-ln (-10+11)^7= -70.

Ответ

-70

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №952

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+7)^9-9x на отрезке [-6,5; 0].

Показать решение

Решение

ОДЗ. (x+7)^9>0,  x+7>0,  x>-7.

Так как на ОДЗ ln(x+7)^9=9ln(x+7), то исходная функция примет вид: y=9ln(x+7)-9x. Найдём производную: y’=frac{9}{x+7}-9.

Определим нули производной

frac{9}{x+7}-9=0,

frac{1}{x+7}=1,

x=-6.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Из рисунка видно, что на отрезке [-6,5; -6] исходная функция возрастает, а на отрезке [-6; 0] — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-6,5; 0] достигается при x=-6 и равно y(-6)=ln(-6+7)^9-9cdot(-6)=54.

Ответ

54

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №336

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=12x-ln(12x)+100 на отрезке left [frac{1}{36}; frac34 right ].

Показать решение

Решение

y’=(12x-ln(12x)+100)’=12-frac{12}{12x}=frac{12x-1}{x}.

y’=0 при x=frac{1}{12}, причем y’ меняет знак в этой точке с «−» на «+». Это означает, что x=frac{1}{12} является точкой минимума.

yleft ( frac{1}{12} right )=12cdotfrac{1}{12}-lnleft ( 12cdotfrac{1}{12} right )+100=1-0+100=101.

Ответ

101

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №125

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+8)^3-3x на отрезке [−7,5; 0]

Показать решение

Решение

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=3ln(x+8)-3x

y’=frac{3}{x+8}-3

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

frac{3}{x+8}=3

x+8=1

x=-7

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

При переходе через точку x = −7 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −7 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = −7.

y(-7)=3ln1+21=21

Наибольшее значение функции равно 21.

Ответ

21

Задание №124

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=log_2(4+10x-x^2)-71.

Показать решение

Решение

Определим область допустимых значений функции.

4+10x-x^2>0

x^2-10x-4<0

5-sqrt{29}<x<5+sqrt{29}

Вычислим производную функции.

y’=frac{10-2x}{(4+10x-x^2)ln2}

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

10-2x=0

x = 5

На числовой оси отложим граничные точки ОДЗ и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = 5 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 5 – точка максимума функции.

Ответ

5

Задание №123

Тип задания: 12
Тема:
Логарифмические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+5)^4-4x на отрезке [−4,5; 0].

Показать решение

Решение

Выполним преобразования и вычислим производную.

y=4ln(x+5)-4x

y’=frac{4}{x+5}-4

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

frac{4}{x+5}=4

x+5=1

x=-4

На числовой оси отложим граничные точки отрезка и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = −4 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −4 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = −4.

y(-4)=ln(-4+5)^4-4cdot(-4)=16

Наибольшее значение функции равно 16.

Ответ

16

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Графики егэ обществознание равновесная цена
  • Графики егэ обществознание как читать
  • Графики егэ обществознание 2023
  • Графики егэ английский 2023
  • Графики для егэ по английскому