Гвэ подготовка к экзамену по математике

МАТЕМАТИКА

ГВЭ

Тренировочные материалы для подготовки
к государственному выпускному экзамену по МАТЕМАТИКЕ
для обучающихся по образовательным программам
ОСНОВНОГО общего образования

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В сборнике представлены
тренировочные материалы для подготовки к ГВЭ по математике в письменной форме.
Задания подобраны таким образом, чтобы охватить все основные разделы школьного курса
математики основной школы.

Задания с выбором подразумевают выбор
верного ответа из четырёх вариантов. Задания с кратким ответом подразумевают
только числовой ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Частный
случай задания с кратким ответом – задание с множественным выбором, где
требуется указать одно или несколько верных утверждений
из предложенного перечня. Ответом в данном случае являются номера верных
вариантов ответа, записанных в любом порядке без пробелов и других
вспомогательных символов. Например, если верные варианты имеют номера 1) и 3),
то ответ может быть записан в виде 13 или 31.

Другой частный случай – задание на
установление соответствия в модуле «Алгебра». Ответ представляет собой
упорядоченную последовательность цифр, каждая из которых записывается в
соответствующую ячейку таблицы. Каждая задача с кратким ответом снабжена полем
«Ответ».

Задания с развёрнутым ответом
подразумевают полное обоснованное
решение и запись ответа в произвольной форме. При выполнении заданий с развёрнутым
ответом следует уделять внимание полноте и грамотности математической записи.
При этом можно пользоваться без ссылок и обоснований всеми фактами,
утверждениями, теоремами курса математики основной и полной средней школы
(содержащихся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных
Министерством образования и науки РФ). Задания с развёрнутым ответом имеют
повышенный уровень
сложности.

Задания выбраны из открытых банков
математических заданий для проведения итоговой аттестации и могут быть включены
в экзаменационные материалы ГВЭ-9.

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из 12
заданий, из которых10 заданий базового уровня сложности с кратким ответом и 2
задания повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом. Ответы к заданиям
1–10 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. В случае
записи неверного ответа зачеркните
его и запишите рядом новый. Каждое верно выполненное задание оценивается 1
баллом.
При выполнении заданий 11 и 12 требуется записать полное решение и ответ.

Критерии оценивания заданий 11 и 12

Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 11 и 12,зависит от
полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий с
развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в
частности всевозможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы
его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором
обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество
баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Эксперты
проверяют только математическое содержание представленного решения, а
особенности записи не учитывают. В критериях оценивания конкретных заданий
содержатся общие
требования к выставлению баллов. При выполнении задания можно использовать без
доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках
и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников. При выполнении
заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при
оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать

Максимальный первичный балл за выполнение всей работы
– 14.

Задание
с развернутым ответом оценивается двумя экспертами. Существенным считается
расхождение в 2 и более балла оценки за выполнение  задания с развернутым
ответом.

Если расхождение баллов, выставленных двумя экспертами
за выполнение одного из заданий 11 или 12, составляет 2 балла, то третий
эксперт проверяет только ответы на те задания, которые вызвали столь
существенное расхождение.

Если имеется расхождение баллов, выставленных двумя
экспертами за выполнение заданий 11 и 12, в сумме 2 или более баллов, то третий
эксперт проверяет ответы на оба эти задания.

Продолжительность выполнения экзаменационной работы
участниками ОГЭ с ОВЗ, детьми-инвалидами и инвалидами по математике
составляет 5 часов 25 минут.

Учащимся разрешается использовать справочные
материалы, содержащие основные формулы курса математики, выдаваемые вместе
с работой (входят в состав контрольных измерительных материалов).

Разрешается использовать линейку. Калькуляторы
на экзамене не используются.

Рекомендуется
следующая шкала перевода суммы первичных баллов

в
пятибалльную систему оценивания:

Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Первичный балл	0–3	4–6	7–9	10–12

Вариант1

Часть 1.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите корень уравнения 9х + 1 = 10х — 1.

3. Найдите значение выражения  при х
= -1, у = 8.

4. Установите соответствие между функциями и их графиками.

А) y
= -2x + 4        Б) y = 2x — 4 
        В) y = 2x +4

Запишите в ответ выбранные цифры в порядке соответствия
АБВ. 
1)         2)       3) 

5. Укажите решение неравенства  

6. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 34 и 4.

7. В треугольнике АВС известно, что АС = 16, ВС = 12, угол С равен 90⁰.
Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

8.
Какие из следующих утверждений верны? 
1) сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 
2) существуют три прямые, которые проходят через одну точку. 
3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

9. Спортивный магазин проводит акцию. Любая футболка стоит 400 рублей.
При покупке двух футболок — скидка на вторую футболку 40%. Сколько рублей
придется заплатить за покупку двух футболок в период действия акции?

10.
У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с
синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность
того, что это будет чашка с синими цветами.

Часть 2.

11. Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и
спуска, а ее длина равна 22 км. Турист прошел путь из А в В за 8
часов, из которых спуск занял 3 часа. С какой скоростью турист шел на
спуске, если его скорость на подъеме меньше скорости на спуске на 2 км/ч?

12. Биссектрисы углов А и В трапеции АВСD с
основаниями AD и ВС пересекаются в точке К. Докажите,
что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и AD.

Вариант 2

Часть 1.

1.    Найдите значение выражения 

2.   
Решите
уравнение: .

Ответ_________________.

1. Найдите
   значение выражения:   при х=36, у=64.

Ответ ___________________

1. Установите
   соответствие между графиками и их функциями:

Ответ
_________________.

5.   
 

1. Найдите
   угол равнобедренной трапеции , если диагональ образует с основанием и боковой стороной углы, равные  и  соответственно.

7.   
На
окруж­но­сти по раз­ные стороны от диа­мет­ра AB взяты
точки M и N. Известно, что ∠NBA = 38°.
Най­ди­те угол NMB. Ответ дайте в градусах.

1. Какие из следующих утверждений верны?

1) Через точку, не
лежащую на данной прямой, можно провести прямую,
параллельную этой прямой.

2) Если диагонали
параллелограмма равны, то он является ромбом.
3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности
равно радиусу.

В ответ запишите номера
выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9.   
Городской
бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%.
Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

1. В
   лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из
   Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют,
   определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет
   стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

Часть 2

11. 
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В,
расстояние между которыми равно 180 км. Отдохнув, он отправился обратно
в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа,
в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько
на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

12. 
Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются
в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M —
середина AD .

Вариант
3

Часть
1

1.    . Найдите значение выражения 

2.   
Решите
уравнение: .

3.   
Найдите
значение выражения::  при с =10

4.   
Установите
соответствие между графиками и их функциями:

6. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные  и  соответственно. 7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O .Угол ACB равен 16º. Найдите угол AOD . Ответ дайте в градусах. Ответ: ___________________________.

8.      Какое из следующих утверждений верно? 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Диагонали ромба равны. 3) Тангенс любого острого угла меньше единицы. В ответ запишите номер выбранного утверждения. Ответ: ___________________________ 9.      Товар на распродаже уценили на 30%, при этом он стал стоить 700 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи? 10.  На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет. Часть 2 11.  Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 70 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 21 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. 12.  Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K , лежащей на стороне CD . Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB , BC и AD .

Вариант 4

Часть
1

1. Найдите значение выражения 

2.      Решите
уравнение: .

3.      Найдите
значение выражения:  при а = 7

4.      Установите
соответствие между графиками и их функциями:

	.

6       
Найдите площадь трапеции, изображённой на
рисунке.

7.     
В угол C ве­ли­чи­ной 83° впи­са­на окружность,
ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B.
Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в градусах.

8.      Какие
из следующих утверждений верны?

1) В
параллелограмме есть два равных угла.

2)
Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

3)
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

В
ответ запишите номер выбранного утверждения.
Ответ: ___________________________.

9.      Семья из
трёх человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно
на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 830 рублей. Автомобиль
расходует 10 литров бензина на 100
километров пути, расстояние по шоссе равно 700
км, а цена бензина 19 руб. за литр. Какая поездка (поездом или машиной) обойдётся
дешевле? В ответ напишите, сколько рублей она будет стоить.

10.  В закрытую коробку
помещены 20 шаров: 8 из них – белые, 5 – чёрные, остальные – красные. Какова
вероятность того, что, вытаскивая шары из коробки вслепую, первым мы извлечём
из неё красный шар?

Часть
2

11.                    
Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый
пробег. Первый едет со скоростью на 14 км/ч большей, чем второй, и прибывает к
финишу на 5 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к
финишу вторым.

12.                    
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны.
Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

Вариант 5

Часть 1

1.    Найдите
значение выражения:  

2.    Решите
уравнение: .

3.    Найдите
значение выражения:  при х= 6, у = 10

4.     

6.    Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 178º. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах. Ответ: ___________________________ 7.      Точка O – центр окружности, на ко­то­рой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 15° и ∠OAB = 8°.  Най­ди­те угол BCO. Ответ дайте в градусах. 8.    Какое из следующих утверждений верно? 1)      Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. 2) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой. 3) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам. 9.    Семья из трёх человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно  на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 740 рублей. Автомобиль  расходует 9 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина 19 руб. за литр. Какая поездка (поездом или машиной) обойдётся дешевле? В ответ напишите, сколько рублей она будет стоить. 10.              В закрытую коробку помещены 25 шаров: 10 из них – белые, 6 – чёрные, остальные – красные.  Какова вероятность того, что, вытаскивая шары из коробки  вслепую, первым мы извлечём из неё красный шар? Часть 2. 11.              Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.         12.              В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.

Вариант
6

Часть1

1.    
Найдите значение выражения: 5,3 – 9∙(-4,4) =

Ответ: ___________________________.

2.    
Решите
уравнение (−4x − 2)(4x − 1) = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в
ответ запишите больший из корней.

Ответ: ___________________________.

3.    
Найдите
значение выражения :  при а = -0,5

4.    
Установите соответствие между графиками функций и
формулами, которые их задают. 

5.    
Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее
системе неравенств 

Ответ____________

6.                    
Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите
гипотенузу этого треугольника.

Ответ: ___________________________.

7.    
Цен­траль­ный
угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6.
При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те радиус окружности.

8.    
Какое
из следующих утверждений верно?

1)
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

2)
Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

3)
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к
прилежащему к этому углу катету.

9. Принтер печатает одну страницу за 6 секунд. Сколько страниц
можно
напечатать на этом принтере за 9 минут?

Ответ:___________________________.

10.Родительский
комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи
с окончанием учебного года, из них 18 с машинами и 7 с видами городов.
Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди
которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл
с машиной.

Ответ:
___________________________.

Часть
2

11.
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет
заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий,
выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

12.
Основания ВС и AD трапеции АВСD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите,
что треугольники CBD и BDA подобны.

Вариант
7

Часть1

1.    
Найдите значение выражения: 6,3 – 4∙(-2,3) =

Ответ: ___________________________.

2.    
Решите уравнение (4x − 3)(−2x − = 0. Если уравнение имеет более
одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ:
___________________________.

3.    
Найдите
значение выражения :  при а = -79; b = -2.

4.    
Установите соответствие между графиками функций и
формулами, которые их задают. 

5.    
Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее
системе неравенств 

Ответ ________________________.

6.    
Периметр квадрата равен 84. Найдите площадь этого квадрата.
Ответ:___________.

7.    
В
окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны диаметры AD и BC,
угол OCD равен 30°. Най­ди­те величину угла OAB.

8. Какие из следующих утверждений верны?

1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

2) У любой трапеции боковые стороны равны.

3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

9. Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку
сельскохозяйственных культур, составляет 49 гектаров и распределена между
зерновыми культурами и картофелем в отношении 2 : 5 . Сколько гектаров
занимает картофель?

Ответ:________________________.

10. 
Вероятность
того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет),равна 0,26.
Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность
того, что эта ручка пишет хорошо.

Ответ:
___________________________.

Часть
2

11. 
Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12
вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы
теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит
тест?

12.  Биссектрисы
углов А и В трапеции АВСD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке К.
Докажите, что точка К равноудалена от прямых АВ, ВС и AD.

Вариант
8

Часть1

1. Найдите значение выражения 0,7×( —  10)³
— 20 =

Ответ: ___________________________.

2.Решите
уравнение (6x − 6)(3x + 3) = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в
ответ запишите меньший из корней.

Ответ:
___________________________.

3.      Найдите
значение выражения :  при х= 1, у = 7

4.      Установите соответствие между графиками функций и формулами,
которые их задают. 

6.      В трапеции
средняя линия равна 12, меньшее основание 5. Найдите длину большего основания.

Ответ_______________

7.      Найдите
гра­дус­ную меру ∠MON, если известно, NP —
диаметр, а гра­дус­ная мера ∠MNP равна
18°.

8.      Какое из
следующих утверждений верно?

1) Площадь
ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

2) Любая
биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

3) Сумма
углов любого треугольника равна 360 градусам.

9.     
Спортивный магазин проводит акцию. Любая футболка стоит 200
рублей.
При покупке двух футболок — скидка на вторую футболку 80%. Сколько
рублей придётся заплатить за покупку двух футболок в период действия
акции?

Ответ;________________________.

10.  На
экзамене 40 билетов, Оскар не выучил 12 из них. Найдите вероятность
того, что ему попадётся выученный билет.

Ответ: ___________________________.

Часть2

11.  На
изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на
изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4
детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

      12. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и
CAB равны. Докажите,
что углы BCA и BDA также равны.

Вариант 9

Вариант
10.

Часть
2

11. Теплоход
проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной
воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

12.  На стороне АС
треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см.
рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник
АВС — равнобедренный.

Вариант
11.

Часть 1

1.     Найдите
значение выражения:  

Ответ________________________

2.     Найдите
корни урав­не­ния .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке
возрастания.

Ответ________________________

3.    

4.     Установите
со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и формулами, ко­то­рые их задают.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов
и за­пя­тых в ука­зан­ном порядке.

5.    

6.      

7.      

8.    

9.      

Ответ___________________

10.  

Часть 2.

11. Теплоход
проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки
возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость
теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.

12. В
остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр
вписанной окружности L лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°

Вариант 12.

Часть 1

1. Найдите значение выражения:  

Ответ________________________

1. Решите урав­не­ние .

Если
корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Ответ________________________

1.                     

1. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций
   вида y = kx + b. Уста­но­ви­те
   со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b и
   гра­фи­ка­ми функ­ций.

Графики

Коэффициенты

1) k > 0, b < 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

4) k > 0, b > 0

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в
порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

А	Б	В
Ответ_________________

1. 

1. 

Ответ____________________

1. Точка О — центр окруж­но­сти, ∠AOB =
   84° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB (в
   гра­ду­сах).

Ответ______________

1.  

1. 

Ответ________________

1. 

Часть
2.

1. Пер­вый ве­ло­си­пе­дист вы­ехал из посёлка
   по шоссе со ско­ро­стью 18 км/ч. Через час после него со ско­ро­стью 16
   км/чиз того же посёлка в том же
   на­прав­ле­нии вы­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист, а ещё через час — тре­тий.
   Най­ди­те ско­рость тре­тье­го ве­ло­си­пе­ди­ста, если сна­ча­ла он до­гнал
   вто­ро­го, а через 4 часа после этого до­гнал пер­во­го.
2. В
   параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED.
   Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Вариант 13

1. Най­ди­те
зна­че­ние вы­ра­же­ния .

2. При каком значении
x значения выражений 3x−2 и 2x+6 равны?

3.

4. Установите соответствие между графиками и  формулами, которые их задают.

5. На каком
рисунке изображено множество решений неравенства 

1. Сумма двух углов равнобедренной
   трапеции равна 222°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

7. Найдите площадь
трапеции, изображённой на рисунке.

8. Укажите номера верных утверждений.

1)В треугольнике против
меньшего угла лежит меньшая сторона.

2) В треугольнике против
меньшей стороны лежит больший угол.

3)В треугольнике против
меньшей стороны лежит меньший угол.

4) В треугольнике ABC,
для которого А=400, В=600, С=800, сторона AC наибольшая.

9.  Городской бюджет составляет 59 млн рублей,
а расходы на одну из его статей составили 35%. Сколько рублей потрачено на эту
статью бюджета?

10. На экзамене 60
билетов, Стас не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся
выученный билет.

Часть2.

11. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между
ко­то­ры­ми 13 км, вышел пе­ше­ход. Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист.
Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 11 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да,
и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да,
если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 8 км от пунк­та В.

12. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны
точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны
(см. рисунок). Оказалось, что от­рез­ки BD и BE тоже
равны. Докажите, что тре­уголь­ник АВС — равнобедренный.

Вариант 14

1. Найдите значение выражения .

1. При каком значении x
   значения выражений x−1 и 5x+2 равны?

1. 

1. Установите соответствие между графиками и 
   формулами, которые их задают.

1. На каком рисунке
   изображено множество решений неравенства 

1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна
   294°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. Найдите
   площадь трапеции, изображённой на рисунке.

1. Укажите номера верных утверждений.

1)Если две параллельные прямые пересечены
третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.

2)Через любую точку проходит более одной
прямой.

 3)Любые три прямые имеют не менее одной
общей точки.

 4)Любые две прямые имеют не менее одной
общей точки.

1. Городской бюджет составляет 14 млн рублей, а
   расходы на одну из его статей составили 45%. Сколько рублей потрачено на
   эту статью бюджета?

1. На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 5 из
   них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Часть 2

1. Расстояние между го­ро­да­ми А и В равно 490 км.
   Из го­ро­да А в город В со ско­ро­стью 55 км/ч вы­ехал пер­вый автомобиль,
   а через час после этого нав­стре­чу ему из го­ро­да В вы­ехал со ско­ро­стью
   90 км/ч вто­рой автомобиль. На каком рас­сто­я­нии от го­ро­да А ав­то­мо­би­ли
   встретятся?

1. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым
   углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и BB₁.
   Докажите,  

что тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB
подобны.

Вариант 15

1.  Найдите значение выражения 
2. При каком значении x значения выражений 2x−4 и
   3x+2 равны?
3. 
4. Установите
   соответствие между графиками и  формулами, которые их задают.

1. На каком рисунке
   изображено множество решений неравенства 

1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна
   318°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. Одна из сторон параллелограмма равна 12, а
   опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма.

1. Укажите номера верных утверждений.

1)      Если при
пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны
70°, то две прямые параллельны.

2) Любые три прямые имеют не менее одной
общей точки.

3) Если при пересечении двух прямых
третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти
две прямые параллельны.

4) Сумма вертикальных углов равна 180°.

9.
Городской бюджет составляет 76 млн рублей, а расходы на одну из его статей
составили 20%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

10.
Из 1500 карт памяти, поступивших в продажу, в среднем 30 не работают. Какова
вероятность того, что случайно выбранная карта работает?

Часть 2

11.
Расстояние между го­ро­да­ми А и В равно 375 км. Город С на­хо­дит­ся между го­ро­да­ми
А и В. Из го­ро­да А в город В вы­ехал автомобиль, а через 1 час 30 минут сле­дом
за ним со ско­ро­стью 75 км/ч вы­ехал мотоциклист, до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де
С и по­вер­нул обратно. Когда он вер­нул­ся в А, ав­то­мо­биль при­был в В. Най­ди­те
рас­сто­я­ние от А до С.

12. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M,
N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА соответственно.
Докажите, что тре­уголь­ник MNK — равносторонний.

Вариант 16

1.      Найдите
значение выражения 

2.      При каком
значении x значения выражений 3x−4 и 7x+6 равны?

3.     

4.      Установите
соответствие между графиками и  формулами, которые их задают.

5.      На каком рисунке изображено множество решений неравенства 

6.      Диагональ
прямоугольника образует угол 86° с одной из его сторон. Найдите острый угол
между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

7.      Найдите
площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

8.      Укажите
номера верных утверждений.

1) Через любые три точки проходит не менее
одной прямой.

2) Если расстояние от точки до прямой
больше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой,
больше 1.

3) Любые три прямые имеют не более одной
общей точки.

4) Любые две прямые имеют ровно одну общую
точку.

9.      Для приготовления
фарша взяли говядину и свинину в отношении 7:33. Какой процент в фарше
составляет свинина?

10.  Из 500 мониторов,
поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что
случайно выбранный монитор работает?

Часть 2

11.  Расстояние между
го­ро­да­ми А и В равно 750 км. Из го­ро­да А в город В со ско­ро­стью 50 км/ч
вы­ехал пер­вый автомобиль, а через три часа после этого нав­стре­чу ему из го­ро­да
В вы­ехал со ско­ро­стью 70 км/ч вто­рой автомобиль. На каком рас­сто­я­нии от
го­ро­да А ав­то­мо­би­ли встретятся?

12.  Докажите, что бис­сек­три­сы
углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

Вариант 17

1.  Найдите значение выражения 
2. Найдите корень уравнения -4х — 2 = -3х.
3. 

1. Установите
   соответствие между графиками и  формулами, которые их задают.

1. На каком рисунке
   изображено множество решений неравенства 

1. Диагональ
   прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый
   угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
2. Средняя
   линия трапеции равна 11, а меньше основание равно 5. Найдите большее
   основание трапеции.

1. Укажите
   номера верных утверждений.

1)      Если угол
равен 450, то вертикальный с ним угол равен 450.

2)      Любые две
прямые имеют ровно одну общую точку.

3)      Через
любые три точки проходит ровно одна прямая.

4)      Если
расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной
из данной точки к прямой, меньше 1.

1. Число
   дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,59 числа ДТП
   в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число
   дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?
2. Из
   600 луковиц тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того,
   что случайно выбранная и посаженная луковица прорастёт?

Часть 2

1. Из
   пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 13 км, вышел пе­ше­ход.
   Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Ве­ло­си­пе­дист
   ехал со ско­ро­стью, на 11 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал
   в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, если
   из­вест­но, что они встре­ти­лись в 8 км от пунк­та В.
2. Сторона AB па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое
   боль­ше сто­ро­ны BC. Точка N — се­ре­ди­на
   сто­ро­ны AB. Докажите, что CN — бис­сек­три­са
   угла BCD.

Вариант 18

1. Найдите значение выражения 

1. Найдите корень уравнения -5х — 2 = -3х.
2. 

1. Установите
   соответствие между графиками и  формулами, которые их задают.

1. На каком рисунке
   изображено множество решений неравенства 

1. Диагональ прямоугольника образует угол 70° с
   одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого
   прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. Найдите площадь трапеции, изображённой на
   рисунке.

1. Укажите номера верных утверждений.

1)      Если при
пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти
две прямые параллельны.

2)      Любые две
прямые имеют не менее одной общей точки.

3)      Через
любую точку проходит более одной прямой.

4)      Любые три
прямые имеют не менее одной общей точки.

1. Число хвойных деревьев в парке относится к числу
   лиственных как 1:4. Сколько процентов деревьев в парке составляют
   лиственные?

1. Из 1000 продающихся батареек в среднем 90
   разряжены. Какова вероятность того, что случайно выбранная батарейка
   исправна?

Часть 2

1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19
   км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9
   км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он
   шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути
   получасовую остановку

1. Точка K —
   се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD.
   Докажите, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка KAB равна по­ло­ви­не
   пло­ща­ди трапеции.

Вариант 19

Часть
1

1. Найдите зна­че­ние
   вы­ра­же­ния        
   

2.     
Найдите корень уравнения  

Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их в ответ без пробелов в
порядке возрастания.

1. Какое из следующих выражений равно ?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) 

4.  На ри­сун­ке
изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = ax² + bx + c.
Для каж­до­го гра­фи­ка ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щее ему зна­че­ния ко­эф­фи­ци­ен­та a и
дис­кри­ми­нан­та D.

Графики

Знаки чисел

1) a > 0, D > 0

2) a > 0, D < 0

3) a < 0, D > 0

4) a < 0, D < 0

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в
порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

5.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние x, удо­вле­тво­ря­ю­щее
си­сте­ме не­ра­венств

6. Пло­щадь ромба равна 27, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту
ромба.

7. AC и BD —
диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен
36°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в градусах.

8 . Укажите номера верных утверждений.

 Если
катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его площадь равна 12.

 Если
радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

 Площадь
прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

 Площадь
ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

1. На
   пост пред­се­да­те­ля школьного со­ве­та претендовали два кандидата. В го­ло­со­ва­нии
   приняли уча­стие 120 человек. Го­ло­са между кан­ди­да­та­ми
   распределились в от­но­ше­нии 3:5. Сколь­ко голосов по­лу­чил победитель?

1. В мешке со­дер­жат­ся же­то­ны с но­ме­ра­ми от 5 до 54
   включительно. Ка­ко­ва вероятность, того, что из­вле­чен­ный на­у­гад из
   мешка жетон со­дер­жит дву­знач­ное число?

Часть 2.

11. 
Моторная лодка прошла 36 км по
течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость
течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

12. 
Биссектрисы
углов C и D тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся
в точке P, ле­жа­щей на сто­ро­не AB. Докажите, что
точка P  рав­но­уда­ле­на от пря­мых BC, CD и AD.

Вариант 20

Часть
1

1. Найдите зна­че­ние выражения    

2.     
Решите урав­не­ние .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке
возрастания.

3.     
Представьте выражение  в виде степени с
основанием x.

В
ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) 

4. На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y
= ax² + bx + c . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между
утвер­жде­ни­я­ми и промежутками, на ко­то­рых эти утвер­жде­ния выполняются.
Впи­ши­те в приведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую
цифру.

УТВЕРЖДЕНИЯ		ПРОМЕЖУТКИ
А) функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке Б) функ­ция убы­ва­ет на промежутке		1) [1;2] 2) [0;2] 3) [-1;0] 4) [-2;3]

5. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние ,
удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

6.Высота BH ромба ABCD делит
его сторону AD на отрезки AH = 44
и HD = 11. Найдите площадь ромба.

1. В угол C ве­ли­чи­ной 90° впи­са­на окруж­ность,
   ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B,
   точка O — центр окружности. Най­ди­те угол AOB.
   Ответ дайте в гра­ду­сах.

1. Укажите
   номера верных утверждений.

 Если
диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

 Площадь
ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

 Площадь
ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

 Если
сторона треугольника равна 5, а высота, проведенная к этой стороне, равна 4, то
площадь этого треугольника равна 20.

1. Пло­щадь зе­мель кре­стьян­ско­го хо­зяй­ства, отведённая под
   по­сад­ку сель­ско­хо­зяй­ствен­ных куль­тур, со­став­ля­ет 24 га и рас­пре­де­ле­на
   между зер­но­вы­ми и овощ­ны­ми куль­ту­ра­ми в от­но­ше­нии 5:3. Сколь­ко
   гек­та­ров за­ни­ма­ют овощ­ные куль­ту­ры?

1. В денежно-вещевой ло­те­рее на 100 000 би­ле­тов
   разыг­ры­ва­ет­ся 1300 ве­ще­вых и 850 де­неж­ных выигрышей. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность
   по­лу­чить ве­ще­вой выигрыш?

Часть 2.

1. До­ро­га между пунк­та­ми A и В со­сто­ит из подъёма и
   спус­ка, а её длина равна 27 км. Ту­рист прошёл путь из А в В за 8 часов,
   из ко­то­рых спуск занял 3 часа. С какой ско­ро­стью ту­рист шёл на спус­ке,
   если его ско­рость на подъёме мень­ше его ско­ро­сти на спус­ке на 1 км/ч?

1. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ABC про­ве­де­ны
   высоты AA₁ и CC₁.
   Докажите, что тре­уголь­ни­ки A₁BC₁ и ABC
   подобны.

Ответы
к вариантам

вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
№ задания
1	1,7	8,22	0,8	55	32,43	44,9	15,5	-720	5,45	6
2	2	-5;0	-2;5	-0,5;0	0;3	0,25	0,75	-1	4	-0,6
3	15	0,02	0,125	-229	3,75	9,5	39,5	9	15	6
4	321	312	321	312	231	321	132	321	132	132
5	3	4	1	1	2	-3	-5	1	3	3
6	68	110	115	87,5	91	30	441	19	57	60
7	10	52	148	97	7	6	30	144	21	134
8	23	13	1	1	1	1	13	1	13	3
9	640	5625000	1000	1330	1197	90	35	240	378	990
10	0,72	0,45	0,85	0,35	0,36	0,7	0,74	0,7	0,3	0,3
11	4 км/ч	15 км/ч	84 км/ч	14 км/ч	18 км/ч	10	33	3	18 км/ч	26 км/ч
12	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—

вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
№ задания
1	-0,3	3,91	4	3	1	2	14	0,2	79,2	0,44
2	-9;2	-2;3	8	-0,75	-6	-2,5	-2	-1	14	-41
3	39,5	5	3	452	0,25	15,5	2	-0,24	1	3
4	142	132	132	321	132	312	321	132	1243	31
5	3	4	2	4	2	1	4	1	-3	-3
6	74	15	69	33	21	8	6	40	3	1815
7	33,5	42	168	28	120	40	17	36	108	90
8	13	1	13	2	1	23	1	12	4	123
9	240	1795,5	20650000	6300000	15200000	82,5	41	80	75	9
10	0,1	0,72	0,9	0,75	0,98	0,97	0,92	0,91	0,9	0,013
11	4 км/ч	24 км/ч	5 км/ч	220 км/ч	225 км/ч	400 км/ч	5 км/ч	6 км/ч	15 км/ч	4 км/ч
12	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—

ГВЭ-9(с маркировкой буквой «К»)

Вариант 1.

Ответом к заданиям 1-10 является целое число или кончная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1. Найдите значение выражения

Ответ:__________________

2. Решите уравнение − 2x − 7 = − 4x.

Ответ:__________________

3. Найдите значение вы­ра­же­ния    при  .

Ответ:__________________

4. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

 1)  2)  3)  4) 

 В таблице под каждой буквой, соответствующей графику, впишите номер формулы, которая её задаёт.

А	Б	В

Ответ:

5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

Ответ:__________________

6. Диа­го­наль  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ:__________________

7. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ:__________________

8. Какое из следующих утверждений верно?

1)  Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.  2)  Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.  3)  В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Ответ:__________________

9. Кофейник, который стоил 900 рублей, продаётся с 10-процентной скидкой. При покупке этого кофейника покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Ответ:__________________

10. На экзамене 50 билетов, Сеня не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Ответ:__________________

ГВЭ-9(с маркировкой буквой «К»)

Вариант 2.

Ответом к заданиям 1-10 является целое число или кончная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1. Найдите значение выражения

Ответ:__________________

2. Решите уравнение − 8x−3=− 6x.

Ответ:__________________

3. Найдите значение вы­ра­же­ния    при  ; ..

Ответ:__________________

4. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1)  2)  3)  4) 

 В таблице под каждой буквой, соответствующей графику, впишите номер формулы, которая её задаёт.

А	Б	В

Ответ:

5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

 

Ответ:__________________

6. Диа­го­наль  BD  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 50° и 85°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ:__________________

7. Цен­траль­ный угол AOB, рав­ный 60°, опи­ра­ет­ся на хорду АВ дли­ной 3. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ:__________________

8. Какое из следующих утверждений верно?

1)  Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.  2)  Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.  3)  Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Ответ:__________________

9. Чайник, который стоил 800 рублей, продаётся с 5-процентной скидкой. При покупке этого чайника покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Ответ:__________________

10. На экзамене 50 билетов, Яша не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Ответ:__________________

ГВЭ-9(с маркировкой буквой «К»)

Вариант 3.

Ответом к заданиям 1-10 является целое число или кончная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1. Найдите значение выражения

Ответ:__________________

2. Решите уравнение 3x+3=5x .

Ответ:__________________

3. Найдите значение вы­ра­же­ния    при   и

.

Ответ:__________________

4. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1)  2)  3)  4) 

 В таблице под каждой буквой, соответствующей графику, впишите номер формулы, которая её задаёт.

А	Б	В

Ответ:

5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

  

Ответ:__________________

6 . Диа­го­наль  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 45° и 25°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ:__________________

7. Цен­траль­ный угол AOB равен 60°. Най­ди­те длину хорды AB, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5.

Ответ:__________________

8. Какое из следующих утверждений верно?

1)  Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.  2)  Диагонали прямоугольника равны.  3)  У любой трапеции боковые стороны равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Ответ:__________________

9. Пы­ле­сос, ко­то­рый стоил 3500 руб­лей, продаётся с 10%-й скид­кой. При по­куп­ке этого пы­ле­со­са по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 5000 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить?

Ответ:__________________

10. На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Ответ:__________________

ГВЭ-9(с маркировкой буквой «А»)

Вариант 1.

Ответом к заданиям 1-10 является целое число или кончная десятичная дробь. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы.

1. Найдите значение выражения

Ответ:__________________

2. Решите уравнение 3x+3=5x .

Ответ:__________________

3. Найдите значение вы­ра­же­ния    при   и

Ответ:__________________

4. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1)  2)  3)  4) 

 В таблице под каждой буквой, соответствующей графику, впишите номер формулы, которая её задаёт.

А	Б	В

Ответ:

5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство    и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

  

Ответ:__________________

6 . Диа­го­наль  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 45° и 25°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ:__________________

7. Цен­траль­ный угол AOB равен 60°. Най­ди­те длину хорды AB, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5.

Ответ:__________________

8. Какое из следующих утверждений верно?

1)  Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.  2)  Диагонали прямоугольника равны.  3)  У любой трапеции боковые стороны равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Ответ:__________________

9. Пы­ле­сос, ко­то­рый стоил 3500 руб­лей, продаётся с 10%-й скид­кой. При по­куп­ке этого пы­ле­со­са по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 5000 руб­лей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен по­лу­чить?

Ответ:__________________

10. На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Ответ:__________________

Для записи решений заданий11 и 12 и ответов к ним используйте дополнительный лист. Запишите сначала номер задания, затем чётко и разборчиво решение и ответ.

11. Два автомобиля отправляются в 340-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 17 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

12. Сторона АD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD.

Точка M – середина стороны AD. Докажите, что CM- биссектриса угла BCD.

МБОУ «Чокурдахская средняя общеобразовательная школа имени А.Г. Чикачёва»

Пособие для подготовки к ГВЭ по математике 

                                                                          Автор: Кочкина Е. Н.,

учитель математики.

п. Чокурдах. 2019г.

Предисловие

Пособие предназначено для подготовки к государственной итоговой аттестации в формате ГВЭ учащихся 7-9-х классов по математике.

Часть 1 состоит из 10 тем, каждая из которой соответствует проверяемым элементам математической подготовки учащихся 9 класса. В каждую из тем включен необходимый теоретический материал, формулы, алгоритмы, правила (теория) и образцы решений заданий (практика).

Дополняет пособие решение нескольких образцов вариантов и краткий справочник формул.

Краткие методические рекомендации по использованию пособия:

Например, по теме «Задание 1»,  открываем тему, изучаем или повторяем правила, определения, алгоритмы, вспоминаем формулы (теория), разбираем предложенные решения заданий (практика).

Изучив предложенные элементы теории и образцы решения желательно решать типичные задания из открытого банка ГВЭ и Комплекса материалов для ОГЭ.

Можно повторять и решать в приведённом в содержании порядке, можно выбрать любую тему, повторить, закрепить и проверить ваши знания.

Таким образом, пользователь найдет в пособие одновременно правила, формулы, алгоритмы, различные приемы и способы решения тех или иных заданий. После этих тренировок можно будет смело приступить к различным тестам  в целом.

Учитель может использовать это  пособие в процессе обучения, на занятиях элективных курсов, при повторении.

С введением  ГВЭ для учащихся 9 класса в форме тестов  данное пособие будет как нельзя актуально, можно применять с 7 класса при повторении, обобщении, расширении знаний.

Желаю удачи! Приму к сведению любые замечания, советы, пожелания.

Задание 1. Числа и вычисления.

Теория

Полезно вспомнить:

1.1.Действия с д.д.

Для того чтобы сложить или вычесть д.д. нужно: записать их “в столбик” так, чтобы запятая оказалась под запятой; Выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания, на запятую; Поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Для того, чтобы перемножить д.д. надо:. перемножить их  как натуральные числа; В полученном произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их после запятой в обоих множителях.

Чтобы разделить д.д  на д.д. необходимо: перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько  цифр, сколько их после запятой в делителе; Выполнить деление на натуральное число.

1.2.Действия с рациональными дробями

Основное свойство дроби: ,

1.      2.

3.  .      4.

5.       6.  

1.3.Действия с рациональными числами:

1. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно поставить знак «-» и сложить их модули.

На-р:

2.Чтобы сложить два числа с разными знаками: надо из большего модуля вычесть  меньший и поставить знак того модуля, который больше:

Н-Р:   -15 +8 = -(15 – = — 7

3. При делении и умножении:

1. Произведение (частное) двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное.

2. Произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Н-р: 6 х (-4) = -24;       -12 : (-6) = 2

4. При возведении в степень:

;  ; ;  

;

Практика

Задание 1. 1 Практика:

1.  

2.  

3       

4.

5.

Задание 1. 2 .практика:

1.12  — 9 = 3 = 2

2. 

3.

4. 

5.

Задание 1.3  Практика:

1. 

2. 

3. 

4. 

5.

Полезно запомнить:

;     ;  

   

Задание 2. Уравнения, неравенства и их системы

Теория:

Линейные :  Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Свойства при решении уравнений:

1.Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя его знак на противоположный.

2.Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Действия:    

1. Раскрываем скобки

2. Переносим слагаемые – меняем знак

3. Делим на коэффициент при переменной

4.  Записываем ответ

5. При необходимости – делаем проверку.

Квадратное уравнение имеет вид ах2+bх+с=0, где а – старший коэффициент, b – средний, с – свободный коэффициент.

Неполные уравнения

Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида

1) Если , то уравнение имеет вид , решается разложением на множители – вынесением общего множителя за скобки и всегда имеет два корня, один из которых равен нулю.

2) Если , то уравнение имеет вид , решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. Оно решается разложением на множители по формуле разности квадратов.

Полные уравнения

 ;

Если , то  — два корня.

Если , то   — один корень.

Если , то корней нет.

Алгоритм решения:

1.Записать коэффициенты:  а,  b,  с. 2.Вычислить дискриминант

3.Применить формулу корней квадратного уравнения.

4.Записать ответ.

Практика

1. Реши уравнение:  3(7y-2) –( 7y-8) = 30;    

Решение: 3(7y-2) –( 7y-8) = 30;    21y – 6 -7y + 8 = 30

21y – 7y = 30 + 6 -8;    14y = 28;   y = 2   Ответ:  у=2

2. Решить уравнение .

Решение. Вынесем за скобки :  — произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю.

или Ответ: 0; -3

3. Решите уравнение: .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители

или Ответ: 1,5 ; -1,5

3. Решите уравнение .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители

;    

или .   Ответ:

4. Решите уравнение .

Решение. Решений нет, так как это сумма квадратов,  а не разность. Ответ: нет решения.

5. Реши уравнение : ,

Решение. .

;  .    Ответ: ; .

6.Решите уравнение .

Решение: ;   Ответ: 2, -1,5.

Задание 3 Алгебраические выражения.

Теория:

Полезно помнить:

1.Распределительное свойство умножения:  a(b+c) =  ab+ac. 

Например: 2(х+6)=2х +12

2. Правило умножения одночлена на скобку: a(a+b)= a2+ab,

например: 2a2(b2-a3)=2a2b2-2a5

3.Правило умножения многочлена на многочлен. 

Например:2x2-(x-3)(2x+3) = 2x2-(2x2 + 3x — 6x — 9) = 2x2— 2x2 -3x + 6x +9 = 3x+9

4. ФСУ:  1) (a+b)2=a2+2ab+b2

например: (x+9)2=x2+2∙x∙9+92=x2+18x+81

                 2) (a-b)2=a2-2ab+b2

Например:  (2x-3y)2= (2x)2-2∙2x∙3y+(3y)2=4x2-12xy+9y2

                  3. (a+b)(a-b) = a2-b2,

 Например:1) (a-2)(a+2) = a2-22 = a2-4

2) (3x-7y)(7y+3x) = (3x-7y)(3x+7y)=9x2-49y2

5.Действия с рациональными дробями

Основное свойство дроби: , (сокращение дробей)

1.    ;    2 .  

3.    .      4.    

6.Примеры упрощения дробей:

1.

2.

Практика:

1. Упростите выражение    и найдите его значение при  .

В ответ запишите полученное число.
Решение: Упростим выражение:

 При ,  (4 -2) : (2*4) = 2: 8 = 0,25   Ответ: 0,25. 

2. Упростите выражение и найдите его значение при а=2.

Решение:    ;

при а=2;  10*2:(3*2-2)=20:4=5     Ответ:5

3.Упростите выражение , найдите его значение при  . В ответ запишите полученное число.

Решение. при  ;    Ответ: 0.

4. Упростите выражение  и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение.   При a=−2, значение полученного выражения равно −2:2 = −1. Ответ: -1

5. Найдите значение выражения    при  .

Решение.  При , значение полученного выражения равно 16.   Ответ: 16.

6. Найдите значение выражения    при  .

Решение.  Найдем значение выражения при ;    Ответ:-60

7. Упростите выражение    и найдите его значение при  . Решение. Упростим выражение:; При  , значение полученного выражения равно 7,5 : 5 = 1,5. Ответ: 1,5.

8. Упростите выражение    и найдите его значение при  .

Решение. Упростим выражение:

 При  ;       Ответ: 2.

Задание 4. Графики функций.

Теория:

Линейная функция

Линейная функция – это функция вида y = kx + b, где х – переменная, k и b некоторые числа

Графиком линейной функции  служит прямая  

1)Прямая пропорциональность –  это функция вида y = kx, где х – переменная, k≠0 График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат

2).Если k=0, то y = b – прямая, параллельная оси x

График квадратичной функции

Функция вида , где , b, c — числа; x — независимая переменная, называется квадратичной функцией. Графиком является парабола

1.    а) О.О.Ф.   б) О.З.Ф.

в) нули функции:  

г) Монотонность функции

        , если         , если  

д) ось симметрии — ось ординат

Обратная пропорциональность

График функции  называется гиперболой. На рисунке изображен график функции   для k<0 (во II и IV четверти). Если k>0 (в I и III четверти).

Функция вида

Графиком  функции  является верхняя ветвь параболы, направленной вправо

1.2.

Практика:

1.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики:

Фор мулы:

Ответ:

Решение: на рис.А — гипербола , значит ее формула  ; на рис.Б -парабола, значит ее формула — ; график В – прямая, у которой угловой коэффициент  < 0, значит ее формула у= -2х+4.  Ответ: 142.

2. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке? 

 1)  2)  3)  4)

Решение. Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1. Графику соответствует вариант под номером 1.Ответ: 1

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

 1)   2)    3)    4) 

 Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке

Решение. Определим вид графика каждой из функций. 1)     уравнение прямой.2)     уравнение гиперболы.3)     уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.4)  уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо. Тем самым найдено соответствие: A — 4, B — 3, C — 1    Ответ: 431

Задание 5. .Уравнения, неравенства и их системы.

Теория

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, но равносильным данному.

1.Если какое-либо слагаемое неравенства с переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство равносильное данному.

2.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и тоже положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство равносильное данному.

3.Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство равносильное данному. Алгоритм: Чтобы решить неравенство, надо:

1. Упростить обе части.

2.Если необходимо перенести все известные в правую часть, а неизвестные в левую часть, надо поменять знак.

3. Привести подобные в обеих частях.

4.Если при нахождении неизвестного надо делить на  положительное число, то знак неравенства не меняется.

5. Если при нахождении неизвестного надо делить на  отрицательное число, то знак неравенства  меняется.

6. Изобразить ответ на оси.  7. Записать ответ в виде промежутка

При решении систем неравенств надо учесть, что:

1) Если при решении неравенств оба ответа получились в сторону «больше» , то общий ответ системы будет больше большего ответа.

2) Если при решении неравенств оба ответа получились в сторону «меньше» , то общий ответ системы будет меньше меньшего ответа.

3) Если при решении неравенств оба ответа получились в разные стороны с общей частью , то эта общая часть и будет решением системы

4) Если при решении неравенств оба ответа получились в разные стороны без общей части , то у этой системы решений нет

Практика

1. Решите неравенство    и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.
1) 2) 3) 4) 
Решение: Решим неравенство:;

-5х+ 7х>1-18 +15;   2х> -2;  х>-1;  Решение неравенства изображено на рис. 4.       Ответ: 4

 2.Решить неравенство: .

Решение.  ;

                  .               Ответ: .

3. Решите неравенство    и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

1) 2) 3) 4) 

Решение. Решим неравенство:

  4х -6х>_  -2 -5 Решение неравенства изображено на рис. 1. Ответ:1.

4.  Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

   1) 2) 3)  4) 

Решение. Решим каждое из неравенств.1)   — решений нет.

2)  3)   верно для всех 

4)  На рисунке изображено решение четвёртого неравенства. Ответ: 4.

4. Решите неравенство: .  Решение.1) Решим неравенство методом интервалов. (ОДЗ: х+2 не равно 0, т.е. х не равен -2)     Найдем нули функций, стоящих в числителе: х – 3=0; х=3; и в знаменателе х+2=0; х= -2; -2 не входит в решение

2) Отметим на числовой прямой точки: , . Две точки разобьют прямую на 3 промежутка

Определим знак дроби на каждом промежутке и выберем те из них, где дробь отрицательна. Ответ:  

5. Решим систему:                 

Ответ: .

Задание 6. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы.

Теория

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.   Все углы равны 600.

Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны равны.

• Углы, при основании треугольника, равны
• Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой..  

В прямоугольном  треугольнике один угол –прямой, равен 90 градуса

Произвольный треугольник: АВ; ВС; АС –стороны; сумма углов равна 180 градусам.  

<3-внешний; Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

<1+<2= <3

Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой.  и  – смежные стороны, – угол между ними, и  – диагонали, – угол между диагоналями, Прямоугольник. Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником  . 

Ромб-параллелограмм, все стороны которого равны.

• Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.  В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны

Практика:

1. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение. Пусть меньший угол равен  тогда больший угол равен Т.к. сумма односторонних углов равна 180°, имеем:  Ответ: 70

2. Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

Решение. Т.К. в треугольнике сумма всех углов равна 180°, угол ADС равен 180° − 30° − 80° = 70°. В равнобедренной трапеции углы BCD и CDA — односторонние, значит, угол ABC равен 110°.

 Ответ: 110.

3.Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение. Углы А и В — односторонние, поэтому угол А равен 180° − 50° − 65° = 65°.  Ответ: 65.

4.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение. Углы ACB и ABC равны, т. к. находятся при основании равнобедренного треугольника; пусть один из них равен x. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x − x. Угол BCA смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°. Следовательно, x = 57°, откуда ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.  Ответ: 66.

5.В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите .

Решение. В равностороннем треугольнике ABC  все углы равны 60°. Биссектрисы CN и AM делят углы пополам, поэтому  =  =  Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому Вертикальные углы равны, следовательно,   Ответ: 120.

Задание 7.  Окружность, круг и их элементы.

Теория

     AP=AQ; Углы в окружности: 

               

 часть всей окружности

Свойства углов и дуг:

Полезно помнить: 

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Свойства касательных и секущих

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие -дополнительные полупрямые. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы-углы,  образованные при пересечении двух прямых.

Вертикальные углы равны. 

(<1+ <2 = 180*)

Практика:

1. Величина центрального угла    равна 110°. Найдите величину вписанного угла  . Ответ дайте в градусах. Решение. Угол AOB смежный с углом AOD, таким образом,  Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу. Таким образом,           Ответ: 35 

2. Найдите  , если градусные меры дуг    и    равны 152° и 80° соответственно.

Решение. Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем , а . В треугольнике ABC ,   Ответ: 64.

3. Найдите  , если известно, что градусная мера дуги    равна 124°, а градусная мера дуги    равна 180°.

Решение.

Так как вся окружность составляет 360°, то градусная мера дуги . Угол KOM является центральным. Так как центральный угол равен дуге , на которую он опирается, то .

 4. Найдите величину (в градусах) вписанного угла  , опирающегося на хорду  , равную радиусу окружности.

Решение.

Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB — равносторонний. Угол AOB — центральный и равен  Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом, Ответ: 30.

5. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Решение. Рассмотрим треугольники COD и AOB: они равны по двум сторонам и углу между ними. Эти  треугольники равнобедренные; значит, можно сделать вывод, что угол OCD и OAB равны. Ответ: 30. 
6. Найдите , если градусные меры дуг  и  равны 150° и 68° соответственно.

Решение. Так как вписанный угол равен половине дуги на которую он опирается, имеем , а . В треугольнике EFD, . Ответ: 71.

Задание 8. Анализ геометрических высказываний.   

Теория

В геометрии есть определения, понятия, теоремы, аксиомы, без знания которых невозможно дальнейшее изучение любой темы.

Полезно повторить:

1. Аксиомы 7 класса.

2. Основные теоремы 7-9 классов.

3. Свойства основных геометрических фигур

Практика:

1. Какие из следующих утверждений верны?

 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

2) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.  Решение. Проверим каждое из утверждений.  1) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла. 2) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 3) «Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.» — неверно, по теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих сторон. 4) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.» — верно, по теореме косинусов. Ответ: 24

2.Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Решение. Проверим каждое из утверждений. 1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой» — верно, это аксиома планиметрии. 2) «Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует» — неверно: для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны. 3) «Если в ромбе хотя бы 2 угла равны 90°, то такой ромб — квадрат» — верно, в этом случае противоположный угол тоже будет равен 90°, а значит и два других (равных) угла будут равны по 90°. 4) «Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.» — неверно, центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности, лежит на его стороне. Ответ: 13.

3.  Какие из следующих утверждений верны?

 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3) Через любую точку проходит более одной прямой.

4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

 Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.» — верно, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2) «Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, две прямые имеют не более одной общей точки.

3) «Через любую точку проходит более одной прямой.» — верно, через одну точку проходит множество пересекающихся в этой точке прямых.

4) «Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, любые три прямые, которые не совпадают, если и имеют общую точку, то только одну.  Ответ: 13.

4. Какие из следующих утверждений верны?

 1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

 Решение.  Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.» — неверно, площадь многоугольника равна произведению половине периметра на радиус вписанной окружности.

2) «Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.» — верно, площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

3) «Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.» — верно, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

4) «Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.» — верно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.      Ответ: 23

Задание 9. . Простейшие текстовые задачи.

Теория.   Задачи на проценты.

1.Процентом называется одна сотая часть величины . целое составляет 100%. 

Например: ; ; .

2.Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.Например, 125% = 125:100 = 1,25%

3.Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100. Например: 0,971 = 0,971•100 = 97,1%

4.Нахождение процента от числа: чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Например: а)13% от 50; 1);  2); ответ: 6,5    

б) 20% от 45 кг;  (кг);   в) 118% от х ;   

5.Нахождение числа по его проценту: чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь. Например, 8% длины всего отрезка составляет 2,4 см, то длина всего отрезка равна    2,4:0,08=240:8=30 (см)

6.Нахождение процентного отношения чисел: чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100. Например, 2 г. соли в растворе массой 50 г. составляет    

Чтобы записать текст с помощью уравнений:

-Обозначить неизвестную величину переменной

-Выразить через нее другие величины;

-Составить уравнение и решить его.

— При необходимости сделать проверку; -Оформить ответ.

Практика:

1. Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?
Решение.  Расходы составили  руб.

 Ответ: 5625000. 

2.Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?

Решение. Стоимость поездки   руб.

 Ответ: 1980.

3.Альбом, который стоил 120 рублей, продаётся с 25%-ой скидкой. При покупке 5 таких альбомов покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение. Стоимость одного альбома равна 120 − 0,25 · 120 = 90 руб. Поэтому стоимость пяти альбомов равна 450 руб. Значит, сдача с 500 рублей составит 50 рублей. Ответ: 50.

4.Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Решение. Через год вкладчик получит 20 % дохода, что составит

  руб. Т.е., через год на счете будет:  руб.

Ответ: 960.

5. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?

Решение. Новая цена составляет 80 % от старой цены. Поэтому она составляла 680 : 0,8 = 850 руб. Ответ: 850.

6. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?

Решение. Пусть x голосов приходится на одну часть, тогда  приходится на второго кандидата, а  — на первого. Зная, что в голосовании участвовало 120 человек.  составим уравнение:  , значит победитель получил:  голосов.   Ответ: 75.

7. Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой? Решение. Рассчитаем скидку, которую получает покупатель оплачивая товар по дисконтной карте с 5%-ной скидкой:  руб. Таким образом, итоговая цена со скидкой равна:  руб. Ответ: 494.

8. Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 1830 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Решение: Пусть чайник стоил х (руб.), тогда после повышения он будет стоить 1,22х, составим уравнение:                           1,22х =1830; х= 1830:1,22; х=1500 ; Ответ: 1500

9. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

Решение: Во время распродажи шампунь станет стоить 160-0,25∙160=120 рублей. Разделим 1000 на 120; 1000:120= (остаток 40); Значит, можно будет купить 8 флаконов шампуня.   Ответ: 8

Задание 10. Статистика, вероятности.

Теория

Полезно помнить: Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Методы теории вероятностей применяются во многих областях знаний

1.Элементарные события (элементарные исходы) опыта – простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. 

2. Нахождение вероятности событий.

Исходы в этом опыте считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы. Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

3.Определение: отношение числа благоприятных исходов N (A) события A к числу всех равновозможных исходов N этого события называется вероятностью события A.

P (A)=N(A)/N

4. Алгоритм нахождения вероятности события

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении  некоторого испытания следует:

1.найти число N всех равновозможных исходов данного испытания;

2.найти количество N(A) тех благоприятных исходов испытания, в

 которых наступает событие А;

3.найти отношение N(A)/N; это и есть вероятность события A

Например: 1. В коробке лежат 10 красных, 7 желтых и 3 синих шара. Какова вероятность, что взятый наугад шар окажется желтым?

Решение. Равновозможные исходы- (10+7+3)=20.  Благоприятные исходы- 7. P(A)= 7/20=0,35

Практика:

1.На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Андрей выучил 60-3 = 57 вопросов. Поэтому вероятность того, что на экзамене ему попадется выученный билет вопрос         Ответ: 0,95

2. Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 11 – синие, 7 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

Решение: на колесе обозрения 30 -11- 7 =12 оранжевых кабинок. Тогда вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке равна

    Ответ: 0,4.

3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение. Элементарное событие – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А={первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому  P(A)=5:20 =0,25      Ответ: 0,25

4.В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный для контроля насос. Поэтому N=1000.

Событию А={насос не подтекает} благоприятствуют 1000-5=995 исходов. Поэтому N(A)=995.

Тогда P(A)=    Ответ:0,995.

5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадает ровно один раз.

Решение. Орел обозначим одной буквой О. Решку – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие элементарные сходы: ОО, ОР, РО и РР.

Значит, N=4. Событию А={выпал ровно один орел} благоприятствуют элементарные события: ОР и РО. Поэтому N(A)=2.  Тогда .     Ответ: 0,5.

6.  Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырнадцати канатам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет.

Решение: реклама не идет по 35-14=21 каналам. Тогда вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет, равна          Ответ: 0,6

Содержание:

Задание 1.Числа и вычисления

Задание 2. Уравнения, неравенства и их системы

Задание 3. Числа, вычисления и алгебраические выражения

Задание 4. Графики функций

Задание 5. Уравнения, неравенства и их системы

Задание 6. Треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы

Задание 7. Окружность, круг и их элементы

Задание 8. Анализ геометрических высказываний

Задание 9. Простейшие текстовые задачи

Задание 10. Статистика, вероятности

Шаг за шагом к ГВЭ по математике

Автор: Даниловская Ольга Николаевна

Организация: МОУ «С(К)ОШИ №4» г. Магнитогорска

Населенный пункт: Челябинская область, г. Магнитогорск

«Не должно быть несчастных

детей, душу которых гложет мысль,

что они ни на что не способны»

Василий Александрович Сухомлинский

Государственная итоговая аттестация – первое серьёзное испытание в жизни каждого девятиклассника.

Экзамен по математике — это итог работы и ученика, и учителя и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса.

Для того чтобы наилучшим образом подготовиться к экзамену, надо иметь не только хорошие знания по предмету, но также хорошо представлять себе структуру экзаменационной работы, процедуру экзамена.

Письменный экзамен ГВЭ-9 по математике проводится в нескольких форматах в целях учёта возможностей разных категорий его участников: участников без ОВЗ и участников с ОВЗ.

При разработке экзаменационной модели соблюдалась преемственность с традиционными и новыми формами экзамена по математике для обучающихся, освоивших образовательные программы основного общего образования.

1. Экзаменационные материалы содержат маркировку «А» – участники ГВЭ-9 без ОВЗ и с ОВЗ (за исключением участников с задержкой психического развития).

2. Экзаменационные материалы содержат маркировку «С» – слепые обучающиеся и поздноослепшие обучающиеся, владеющие шрифтом Брайля. Экзаменационные материалы аналогичны материалам с маркировкой «А», но в текстах заданий сведены к минимуму визуальные образы.

3. Экзаменационные материалы содержат маркировку «К» – обучающиеся с задержкой психического развития.

Структура и содержание экзаменационной работы

Каждый вариант экзаменационной работы содержит 12 заданий, из которых 10 заданий с кратким ответом, в которых необходимо записать ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби, и 2 задания с развёрнутым ответом.

Задания 1–10 с кратким ответом группируются исходя из тематической принадлежности заданий: алгебра, геометрия, реальная математика.

Задания 11 и 12 с развёрнутым ответом проверяют освоение математики на повышенном уровне.

В экзаменационной работе ГВЭ-9 контролируются элементы содержания из следующих курсов математики: они представлены на следующем слайде

1. Математика. 5–6-е классы;

2. Алгебра. 7–9-е классы;

3. Геометрия. 7–9-е классы;

4. Вероятность и статистика. 7–9-е классы.

В своей работе для подготовки обучающихся к экзамену использую сайт Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ).

На этом сайте представлены разделы для разных классов. В каждом классе есть аналитические и методические материалы, официальные демоверсии экзамена и тренировочные сборники для обучающихся с ОВЗ (9 и 11 классы).

Сборник тренировочных материалов включает пояснительную записку и несколько крупных разделов.

Материалы сборника предназначены для подготовки к экзамену в устной и письменной формах.

Внутри каждого раздела задания группируются в основном по возрастанию уровня сложности.

В Части 1 сборника представлен типовой билет по математике ГВЭ-9 в устной форме. Устный экзамен проводится по билетам, каждый из которых содержит 5 заданий, контролирующих элементы содержания курсов.

Во части 2 сборника есть тренировочные материалы для подготовки к ГВЭ по математике в письменной форме. Задания подобраны таким образом, чтобы охватить все основные разделы школьного курса математики основной школы. Данная часть состоит из Алгебры и Геометрии. (Примеры заданий на слайдах.)

В Разделе «Примеры вариантов экзаменационных работ» приведены два примерных варианта экзаменационных работ ГВЭ (письменная форма).

На слайдах они показаны с маркировками А и К.

Здесь также есть справочные материалы.

Учитывая трудности в обучении наших детей, мы все понимаем, что подготовка к аттестации это работа не одного года. Начинать это делать нужно с 5 класса, вводя задания нового типа постепенно и на каждом уроке. Конечно, успех в обучении любого предмета школьников с проблемами в развитии во многом зависит от правильной организованной коррекционной работы на уроке. Однако на уроке мы не всегда можем включить материал, требующий большой подготовительной и кропотливой работы, в этом направлении большое значение приобретают групповые и индивидуальные занятия, консультации индивидуальные и групповые для обучающихся и родителей, проведение тренировочных работ по основным темам предметного курса, а также внеклассные мероприятия по предмету.

В своей работе для подготовки к ГВЭ использую:

• плакаты, схемы, таблицы
• опорные конспекты
• коррекционные карточки с образцами выполнения заданий
• тетрадь — справочник
• задания – тренажеры
• сайты по оказанию помощи обучающимся по подготовке к экзамену
• собственные презентации
• задания в тетради на печатной основе

На уроках мне приходится говорить ученикам об одном и том же, несколько раз, но разными словами, даю образец для самостоятельного изучения или повторения какой-либо темы, предлагаю имеющийся набор тренировочных упражнений в разнообразных формах – это некоторые направления в работе учителя по подготовке к ГВЭ.

• начинается с постановки задачи. Необходимый теоретический материал предлагаю обучающимся в форме вводной беседы или опорного конспекта, схемы, таблицы. После повторения теоретического материала выполняем практические задания для его отработки. Каждое занятие строится с учётом индивидуальных особенностей обучающихся.

Провожу в ходе обучения тестовые контрольные работы, которые дают обратную связь для корректировки работы.

Ученики, которые усвоили материал выполняют индивидуальные задания от простых типов заданий до более сложных.

• ходе занятий уделяю внимание формированию у обучающихся умений работать с текстом, рисунками, схемами, извлекать и анализировать информацию из различных источников. Так, в современных КИМ имеется множество заданий, где необходимые данные надо увидеть на представленном рисунке, чертеже.

Для наших учеников только систематическое повторение может способствовать более целостному осмыслению изученного материала, поскольку целенаправленное обращение к изученным ранее темам позволяет учащимся встраивать новые понятия в систему уже освоенных знаний.

Надо отметить, что качественная работа учителя по подготовке к уроку и на самом уроке это залог успешности обучающихся.

Хочу предложить Вашему вниманию следующие сайты для успешной подготовки к экзамену!

• Учи. Ру (здесь есть раздел ОГЭ где можно выбрать задания, которые помогут повторить и закрепить пройденные темы с 5 по 9 классы.
• Российская электронная школа.

На этом сайте есть интерактивные задания такие как, например, установить соответствие между понятиями и определениями.

• Учительский портал

• сайт Копилка уроков.

На данном сайте приведены варианты тренировочных контрольных работ, которые можно также использовать при подготовке к экзамену.

• Сайт РЕШУ ГВЭ!!!

На этом сайте есть каталог заданий по темам. Предложены варианты примерных экзаменационных работ. Вы можете сами составить вариант из необходимого вам количества заданий по тем или иным разделам задачного каталога.

• Сайт ФИПИ

На сайте есть открытый банк заданий. Стоит отметить, что задания здесь в основном для ОГЭ, но можно выбрать и для наших обучающихся. Например, такие как на слайде.

Хочу предложить сайт Русский учебник. Где можно найти много полезной информации как по подготовке к ГВЭ, так и для своей работы.

Литература

https://fipi.ru/

https://uchi.ru/

https://math9-gve.sdamgia.ru/

https://www.uchportal.ru/load/275

https://resh.edu.ru/

Приложения:

1. file0.docx.. 30,6 КБ

2. file1.pptx.zip.. 19,4 МБ

Опубликовано: 07.10.2022

Перейти к содержимому

Математика и точка

Сайт учителя Наиля Кашапова

Искать: