Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 1234 хорошим?
б) Является ли число 12345 хорошим?
в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
Спрятать решение
Решение.
а) Да, является: 1243 делится на 11.
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 4312.
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 15 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит 
что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.
в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Докажем, что число, составленное из всех этих пяти цифр, не может делиться на 11. Обозначим сумму цифр, стоящих на нечетных местах искомого числа через a, а сумму цифр, стоящих на четных местах — через b. Тогда 
а, значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.
Заметим также, что , так как 
Пусть 
тогда одно из чисел a и b, равно 7, а второе ― 18, (поскольку их сумма равна 25). Но 7 нельзя представить, ни в виде суммы двух, ни в виде суммы трёх нечетных чисел, значит, данный случай невозможен.
Значит, разность этих чисел не делится на 11, то есть число 13579 не является хорошим. Таким образом, в искомом числе не более 4 цифр. В этом случае наибольшее возможное число ― 9753. Оно является хорошим, так как 9735 делится на 11.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9753.
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из перечисленных результатов:
― верный пример в пункте а); ― обоснованное решение пункта б); ― доказательство того, что в пункте в) количество цифр не превосходит четырёх; ― приведён пример наибольшего хорошего четырёхзначного числа. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем, какие задачи встретились на ЕГЭ-2022 по математике под номером 18. Это последняя в варианте, самая сложная задача ЕГЭ. Тема – числа и их свойства.
В этом году они действительно были непростыми, нестандартными. Но есть и хорошая новость: в каждой из них пункт (а) решался за 3 минуты.
Начнем с наиболее стандартной из них, задачи 18 из московского варианта. Здесь мы можем ввести переменные и сделать «заготовку», то есть математическую модель для всех пунктов задачи.
1. ЕГЭ-2022, Москва.
С натуральным трехзначным числом проводят следующую операцию: из числа вычитают его сумму цифр и полученный результат делят на 3.
а) Может ли результатом выполнения операции быть число 201?
б) Может ли результатом выполнения быть число 251?
в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трехзначных чисел от 600 до 999 включительно?
Решение:
Сделаем «заготовку» для всех пунктов задачи.
Запишем число А в виде: 
.
По условию, 
.
а) Да, может быть 
Подберем a и b.
Пусть 
. Заметим, что с – любое.
Пример: 
б) Нет, не может быть 
, так как 
а 251 не делится на 3, пришли к противоречию.
в) 
.
Выясним, какие значения может принимать m.
Так как a, b и с – цифры числа А, 
то есть 
то есть 
Значит, 
Числа m являются членами арифметической прогрессии, где
Найдем n – количество членов этой прогрессии.
Мы получили, что чисел вида 
не более 43, и они являются членами арифметической прогрессии 
где 
всего таких чисел не более 43.
Проверим, может ли быть 
возможно при 
любое.
Получаем числа 
всего 10 чисел, для которых 
Случай 
также возможен. Тогда 
11 a + b = 108, подходят а = 9, b = 9, с – любое.
Проверим, может ли m быть равным любому члену арифметической прогрессии 
Пусть 
. С другой стороны, 
Получим: 
По условию, 
, то есть 
.
Тогда 
и 
Пусть 
, где 
.
Так как b – цифра, 
Это значит, что k может делиться на 11 без остатка. Или давать остаток от 1 до 9 от деления на 11. Но k не может давать остаток 10 от деления на 11.
Раньше мы нашли, что 
Исключим числа, дающие остаток 10 от деления на 11. Это 10, 21, 33, всего 3 числа. Получаем, что m может принимать не более 43 – 3 = 40 различных значений. Это оценка.
Для каждого m можно подобрать такие a и b, что условие задачи выполняется. Так, как мы сделали для m = 198 и m= 324.
Ответ: а) да; б) нет; в) 40.
В следующей задаче нет ни переменных, ни уравнений. А решение – это текст, сочинение-рассуждение на заданную тему : -) Напомним, что если в каком-либо пункте задачи 18 ответ «да», то нужно написать: «Да, может, вот пример». Если ответ «нет» — надо привести доказательство, почему не может такого быть.
2. ЕГЭ-2022, Санкт-Петербург В трех коробках лежат камни: в первой 101 камень, во второй 102, в третьей 104, в четвертой коробке камней нет.
За 1 ход берут по 1 камню из любых трех коробок и кладут в оставшуюся.
а) Может ли в 1 коробке получиться 101 камень, во второй 102, в третьей 100, в четвертой 4 камня?
б) Может ли оказаться 306 камней в четвертой коробке через некоторое количество ходов?
в) какое наибольшее количество камней может оказаться в первой коробке?
Решение:
а) Да, может.
Сделаем следующие действия:
(101; 102; 104; 0);
(100; 101; 103; 3);
(99; 100; 102; 6);
(102; 99; 101; 5);
(101; 102; 100; 4).
б) Приведем решение И. В. Яковлева:
Такого случиться не может.
Допустим, такое произошло.
Всего камней 307. Если в четвертой коробке 306 камней, то значит, еще в какой-либо коробке находится 1 камень, и 2 коробки пустые.
После каждого хода четность числа камней в каждой коробке меняется на противоположную, поскольку либо в коробку добавляют 2 камня, либо убирают 1 камень.
Поэтому количества камней в коробках 1 и 2 не смогут стать равными (у них изначально была разная четность). Аналогично, не могут стать равными количества камней в коробках 1 и 3.
Значит, финальная ситуация обязательно 1, 0, 0, 306. Но после каждого хода количества камней в коробках 2 и 3 либо одновременно уменьшаются на 1, либо в одной из них -1, а в другой +3, так что количества камней в коробках 2 и 3 всегда отличаются не менее чем на 2. Противоречие.
Другой способ доказательства:
После каждого хода для количеств камней в любых двух коробках имеем -1, -1 или -1, +3. В обоих случаях остаётся неизменной разность остатков от деления этих чисел на 4. Исходно в первых трёх коробках эти остатки разные (а именно, 1, 2 и 0), то есть все три разности –- ненулевые. Значит, они будут ненулевыми после каждого хода, так что числа камней в первых трёх коробках всегда будут попарно различны. Следовательно, мы никогда не придём к ситуации, когда в двух из этих коробок нули (чтобы в четвёртой было 306).
в) Найдем наибольшее количество камней, которое может оказаться в первой коробке.
Все 307 камней не могут в ней оказаться, потому что тогда в остальных коробках будет 0 камней. В пункте (б) доказано, что это невозможно.
Предположим, что в 1-й коробке 306 камней. Тогда во 2-й коробке 1 камень, в 3-й и 4-й 0 камней. Другие случаи невозможны, поскольку только в 3-й и 4-й коробках количество камней изначально делилось на 4.
Но ситуация 306; 1; 0; 0 также невозможна, поскольку количества камней в коробках 2 и 3 всегда отличаются не менее чем на 2.
В первой коробке может быть 305 камней. Приведем пример, как это получить.
Первоначально в коробках: (101; 102; 104; 0).
Переложим 25 раз по одному камню из первых трех коробок в четвертую. Получим:
(76; 77; 79; 75). Следующие действия:
(75; 76; 78; 78);
(303; 0; 2; 2);
(302; 3; 1; 1);
(305; 2; 0; 0).
Ответ: а) да; б) нет; в) 305.
Еще одна задача, про числа на круге, была предложена на Дальнем Востоке и в других регионах России. Обратите внимание, что сюжеты задач разные, но во всех так или иначе используются понятия: делимость, четность, деление с остатком.
3. ЕГЭ-2022, Дальний Восток
По кругу расставлены N чисел так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
а) Может ли N быть равно 240?
б) Может ли N быть равно 219?
в) Найдите наибольшее N, если числа различны и каждое меньше 340.
а) Да, может N = 240.
Например, по кругу расположены 60 четверок вида 1,1,2,2 или 1,2,1,2.
Сумма чисел в каждой тройке не делится на 3, а в каждой четверке делится на 3.
Возможен и такой вариант:
И в том, и в другом случае мы не ставим подряд три единицы или три двойки.
б)
Посмотрим, какие вообще числа могут находиться на круге.
Пусть а, b, с и d – последовательные числа на круге, такие
что а + b + с — не делится на 3. Тогда а + в + с при делении на 3 дает остаток 1 или 2.
Получим совокупность
, где 
Сумма 
делится на 3, тогда 
где 
Получаем систему 
Если из уравнения (3) вычесть уравнение (1), то получим 
– это означает, что при делении числа d на 3 получается остаток 2.
Если из уравнения (3) вычесть уравнение (2), то получим 
– это означает, что при делении числа d на 3 получается остаток 1.
Значит, число d при делении на 3 дает остаток 1 или 2.
Так как d – любое число на круге, то все числа на круге при делении на 3 дают остаток 1 или 2, то есть на круге все числа вида 3m + 1 или 3m + 2.
Так как по условию любые три подряд идущие числа не делятся на 3, значит, числа вида 3m + 1 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.
Аналогично, числа вида 3m + 2 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.
Обозначим числа, дающие при делении на 3 остаток 1, как (1).
Числа, дающие при делении на 3 остаток 2, обозначим как (2).
Получим варианты:
Других вариантов нет, так как сумма чисел в четверке должна быть кратна трем. Это значит, что если в ней 2 числа типа (1), то должно быть и 2 числа типа (2).
Предположим, что N = 129.
то есть на круге 32 четверки чисел и еще одно число, причем это может быть либо число типа (1), либо число типа (2). Где же оно может быть расположено?
А вот нигде не может!
Рассмотрим сначала первый вариант. Пусть наше число типа (1). Чтобы три числа типа (1) не стояли подряд, мы можем поставить его только между двумя числами типа (2). Но теперь вместе с тремя соседями слева или с тремя соседями справа оно дает четверку, в которой сумма не делится на 3.
Аналогично – если мы попытаемся добавить число типа (2).
Так же и во втором варианте. Куда бы мы ни добавили новое число, вместе с тремя соседями слева или с тремя соседями справа оно дает четверку, в которой сумма не делится на 3. Значит, 129 чисел на круге быть не может.
в) Найдем наибольшее количество чисел на круге при условии, что все они различны и не превосходят 340. Мы сказали, что это должны быть числа, которые при делении на 3 дают остаток 1 или остаток 2. В пункте (б) мы определили, как они должны быть расположены на круге.
Мы сказали также, что если N – количество чисел на круге, то N делится на 4.
Пусть n = 4р, то есть на круге р четверок чисел, в каждой из которых 2 числа типа (1) и 2 числа типа (2). Числа типа (1), которые при делении на 3 дают остаток 1, — это 1, 4, 7, 10 …
Числа типа (2), которые при делении на 3 дают остаток 2, — это 2, 5, 8, 11 …
Наибольшее число на круге – это число типа (2), и по условию, оно меньше 340. Числа типа (2) образуют арифметическую прогрессию
Так как 
, получим: 
, отсюда 
Значит, на круге не более 113 чисел типа (2). Но тогда и чисел типа (1) столько же, то есть тоже не более 113. Всего на круге не более 113 + 113 = 226 чисел. Это оценка.
Приведем пример для 226 различных чисел на круге.
Ответ: а) да; б) нет; в) 226.
И еще одна задача из Санкт-Петербурга.
4. ЕГЭ-2022, Санкт-Петербург
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что а < b ни одно из написанных чисел не делится на b – а и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?
б) Среди написанных на доске чисел есть 5. Может ли N быть равным 7?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Нет, не может. Если на доске числа 4 и 5, то их разность равна 1. Но 5 делится на 1 – противоречие.
Аналогично, если на доске числа 5 и 6.
Если на доске числа 4 и 6, то их разность равна 2, но 4 делится на 2 – противоречие.
б) Если два числа дают одинаковые остатки при делении на число р, то их разность делится на р.
Остатки от деления на 5 – это 1, 2 … 4, всего 4 остатка. Поскольку на доске 7 чисел, среди них найдутся два, дающие одинаковые остатки от деления на 5. Их разность делится на 5, что противоречит условию.
в) Из пункта (а) мы получили, что среди чисел на доске не может быть подряд идущих (например, 4 и 5 не могут быть на доске).
Если на доске только нечетные числа, разность любых двух из них четна, и ни одно из них не делится на эту разность.
От 1 до 27 ровно 14 нечетных чисел.
Есть еще одно условие: разность любых двух из них не должна делиться ни на одно из этих чисел.
Пусть на доске не менее 14 нечетных чисел. Если на доске есть число а ≤ 9, то хотя бы два из написанных чисел дают одинаковый остаток при делении на а, следовательно, их разность делится на а – противоречие.
Аналогично, если на доске не менее 10 чисел.
Поскольку все числа не превосходят 27, среди этих 10 чисел должно быть число а ≤ 9.
Но тогда не менее двух чисел на доске дают одинаковые остатки от деления на а, значит, их разность делится на а – противоречие. Значит, на доске не более 9 чисел. Это оценка.
Приведем пример для 9 чисел на доске.
11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.
Разность любых двух из них четна и не делится ни на одно из этих чисел. Также ни одно из чисел не делится на разность каких-либо двух из них.
Ответ: а) нет, не может; б) нет, не может; в) 9.
Подробно о том, как решать задачи на числа и их свойства, читайте здесь. Это целый раздел сайта, посвященный нестандартным задачам.
А если хотите сами так же легко их решать – приходите на мой онлайн-курс и я вас научу.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задача 18 на числа и их свойства на ЕГЭ-2022 по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Задание 18 ЕГЭ 2022 математика 11 класс профильный уровень, тема числа и их свойства, практические задачи для тренировки с ответами для подготовки к ЕГЭ 2022.
Скачать задачи с ответами
1)Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100. а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88? в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да; б) нет; в) 91.
2)За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причѐм каждый играет с каждым дважды. а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m 3 , d 2 ? б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m d 10 . в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?
Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.
3)За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причѐм каждый играет с каждым дважды. а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m 2 , d 2 ? б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m d 10 ? в) Каковы все возможные значения d, если известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?
Ответ: а) 10; б) 90; в) все натуральные числа.
4)Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n 3). а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900? в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.
Ответ: а) да; б) 41; в) 5 и 10.
5)Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n 3). а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 13? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 500? в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 57.
Ответ: а) нет; б) 31; в) 3, 6.
6)Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140. а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых? б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016? в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Ответ: а) Да, например, 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11.
7)По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель. а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1? б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны? в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
Ответ: а) Да; б) нет; в) семь.
8)Коля умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n. а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6? б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13? в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?
Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.
9)На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10? в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
10)На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно. а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38? б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы? в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?
Ответ: а) нет, б) да, в) 110.
11)Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число. а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника? б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника? в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n 100 .
Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.
12)а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Ответ: а) да; б) нет; в) 110.
13)Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321. а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна трём. б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 111? в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
Ответ: а) Да, например, 6222 и 6219; б) нет; в) 11.
14)Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел. а) Является ли множество {100;101;102;…;199} хорошим? б) Является ли множество 200 {2;4;8;…;2 } хорошим? в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3;4;5;6;8;10;12}?
Ответ: а) да; б) нет; в) 8.
15)Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел. а) Является ли множество {200;201;202;…;299} хорошим? б) Является ли множество 100 {2;4;8;…;2 } хорошим? в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1;2;4;5;7;9;11}?
Ответ: а) да; б) нет; в) 8.
16)Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 10, а сумма которых больше 90, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 90, но больше: а) 80; б) 82; в) 81.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
17)Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше :а) 99; б) 101; в) 100.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
18)Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдется ни одной хорошей тройки? б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки? в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Ответ: а) да; б) нет; в) 30.
19)На доске написаны числа 1,2,3,…,30 . За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стѐртых на предыдущих ходах. а) Приведите пример последовательных 5 ходов. б) Можно ли сделать 10 ходов? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Ответ: а) (13,14,7), (12,15,6), (11,16,5), (10,17,4), (9,18,3); б) нет; в) 6.
20)а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа. б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа? в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).
21)Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1. а) Может ли сумма этих чисел быть равной 39? б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34? в) Какова их минимальная сумма?
Ответ: а) да; б) нет; в) 29.
22)Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140. а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых нет ни одного очень счастливого числа? б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016? в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
Ответ: а) Да, например, 1235,1236,…,1254 ; б) нет; в) 11.
23)Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1. а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15. б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M? в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?
Ответ: а) Прямоугольник 17 76 ; б)4; в) 2586; 144.
24)Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен: а) 1989? б) 2012? в) 2016? Если нет — объясните, почему, если да — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да, 9 и 7.
25)На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454. а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6? б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6? в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11.
26)С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253). а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117. б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128? в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?
Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169.
27)В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи? б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи? в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
28)а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 426, 786. б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 123, 238, 435, 567, 791? в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
Ответ: а) Например, 7814236; б) нет; в) 1231234056789.
29)Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11. а) Является ли число 1234 хорошим? б) Является ли число 12345 хорошим? в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9753.
30)В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза? б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1? в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.
31)В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшится в 10 раз? б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7? в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
32)За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд. а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта? б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд? в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
Ответ: а) нет; б) 7; в) 49 000.
33)Сорок гирек массой 1 г, 2 г, …, 40 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г. а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 6 г, 10 г и 14 г? б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 8,5 г? в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
Ответ: а) нет, б) нет, в) 25.
34)Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S. а) Может ли выполняться равенство A · S = 1105? б) Может ли выполняться равенство A · S = 1106? в) Какое наименьшее значение может принимать выражение, если оно больше 1503?
Ответ: а) да, б) нет, в) 1507.
17 задание ЕГЭ 2022 профиль математика 11 класс задачи с ответами
Пробный ЕГЭ по математике 2022 базовый и профильный уровень с ответами
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет последней задачи ЕГЭ.
Полезные материалы
Подборки видео и курсы
- Все ролики с заданием 19
- Все ролики по теории чисел
- Мини-курс «Задачи по теории чисел на ЕГЭ по математике»
- Мини-курс «Сравнение по модулю»
Видеоразборы задач
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?
На доске написано 10 различных натуральных чисел, среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, среднее арифметическое шести наибольших из них равно 12.
а) Может ли наименьшее число быть равно 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть равным 10?
в) Какое наибольшее среднее арифметическое может быть у всех чисел, написанных на доске?
В школах #1 и #2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 37 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы #1 в школу #2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе #1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2 также вырос на 5%. Мог ли первоначальный балл в школе #2 равняться 1?
в) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2 также вырос на 5%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе #2.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $left| dfrac{m}{n} — sqrt2 right|leqslant dfrac{1}{100}$?
б) Существуют ли двузначные двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $left| dfrac{m^2}{n^2} — 2 right|leqslant dfrac{1}{10000}$?
в) При каком натуральном $n$ значение выражения $left| dfrac{n + 10} {n} — sqrt2right|$ будет наименьшим.
В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, второй — по 200 грамм, третий — по 300 грамм, а четвертый — по 400 грамм.
а) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
На доске написаны числа $a_1$, $a_2$, …, $a_n$, каждое из которых не меньше 50 и не больше 150. Каждое из чисел $a_i$ уменьшили на $r_i%$ так, что либо $r_i = 2$, либо число $a_i$ уменьшилось на 2.
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_i$ быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_i$ больше 2, и при этом сумма чисел $a_i$ уменьшилась более чем на $2n$?
в) Пусть $n=30$, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_i$.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S < 15$.
б) Могло ли значение $S$ быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$, если обе контрольные работы писали 10 студентов?
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.
б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности, состоящей из десяти членов?
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа $a$ и $b$, записанные на доске, заменяются на два числа: или $a + b$ и $2a — 1$, или $a + b$ и $2b — 1$ (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1008 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Число $S$ таково, что для любого представления $S$ в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.
а) Может ли число $S$ быть равным 34?
б) Может ли число $S$ быть больше $33dfrac{1}{18}$?
в) Найдите максимальное возможное значение $S$.
Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: $-11,$ $12,$ $13,$ $-14,$ $-15,$ $17,$ $-18,$ $19.$ Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел: $-11,$ $12,$ $13,$ $-14,$ $-15,$ $17,$ $-18,$ $19.$ После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться $0$?
б) Может ли в результате получиться $123$?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Подборка задач
- Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один день и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.
а) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?
б) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за три дня?
в) Найдите наименьшее количество задач в сборнике, если известно, что каждому из них потребовалось больше 7 дней на решение всех задач, а количество задач, решенных в первый день отличалось на 1. (ЕГЭ-2019. Досрочная волна) - В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, второй — по 200 грамм, третий — по 300 грамм, а четвертый — по 400 грамм.
а) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма? (ЕГЭ-2018. Досрочная волна) - На доске написаны числа $a_1$, $a_2$, …, $a_n$, каждое из которых не меньше 50 и не больше 150. Каждое из чисел $a_i$ уменьшили на $r_i%$ так, что либо $r_i = 2$, либо число $a_i$ уменьшилось на 2.
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_i$ быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_i$ больше 2, и при этом сумма чисел $a_i$ уменьшилась более чем на $2n$?
в) Пусть $n=30$, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_i$. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна) - а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $left| dfrac{m}{n} — sqrt2 right|leqslant dfrac{1}{100}$?
б) Существуют ли двузначные двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что $left| dfrac{m^2}{n^2} — 2 right|leqslant dfrac{1}{10000}$?
в) При каком натуральном $n$ значение выражения $left| dfrac{n + 10} {n} — sqrt2right|$ будет наименьшим. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна, резервный день) - На доске написано 10 различных натуральных чисел, среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, среднее арифметическое шести наибольших из них равно 12.
а) Может ли наименьшее число быть равно 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел быть равным 10?
в) Какое наибольшее среднее арифметическое может быть у всех чисел, написанных на доске? (ЕГЭ-2018. Основная волна) - В школах #1 и #2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 37 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы #1 в школу #2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе #1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2 также вырос на 5%. Мог ли первоначальный балл в школе #2 равняться 1?
в) Средний балл в школе #1 вырос на 5%, средний балл в школе #2 также вырос на 5%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе #2. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Представьте число $dfrac{33}{100}$ в виде суммы нескольких дробей, все числители которых равны единице, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число $dfrac{15}{91}$ в виде суммы нескольких дробей, все числители которых равны единице, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m leqslant n$ и $dfrac{1}{m} + dfrac{1}{n} = dfrac{1}{14}$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения~$S-B$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72? (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день) - За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд? (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день) - Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$, а остальные числа, равные $n$, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41. (ЕГЭ-2017) - Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.
а) Могло ли это произойти за 7 дней?
б) Могло ли это произойти за 8 дней?
в) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий? (ЕГЭ-2017) - На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма зелёных чисел быть меньше 2325?
б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467. (ЕГЭ-2017) - На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.
а) Может ли быть записано число 250?
б) Можно ли обойтись без числа 11?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске? (ЕГЭ-2017) - На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли быть 24 четных числа?
б) Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть на доске? (ЕГЭ-2017) - На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2502.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 или на 7?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске? (ЕГЭ-2017) - Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S < 15$.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если $S = 13$?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если $S = 13$? (ЕГЭ-2017) - Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S < 15$.
б) Могло ли значение $S$ быть равным 5?
в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$, если обе контрольные работы писали 10 студентов? (ЕГЭ-2017) - Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число $A$.
а) Может ли число $A$ равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б) Может ли число $A$ быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число $A$ может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел? (ЕГЭ-2017) - С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).
а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?
в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа? (ЕГЭ-2017) - На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000? (ЕГЭ-2017) - На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре? (ЕГЭ-2017) - Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше:
а) 99;
б) 101;
в) 100. (ЕГЭ-2016) - Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество ${200; 201; 202; ldots; 299}$ хорошим?
б) Является ли множество ${2; 4; 8; ldots; 2^{100}}$ хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ${1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}$? (ЕГЭ-2016) - На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа $a$ и $b$, записанные на доске, заменяются на два числа: или $a + b$ и $2a — 1$, или $a + b$ и $2b — 1$ (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел? (ЕГЭ-2016) - На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать? (ЕГЭ-2016) - Последовательность $a_1, a_2, ldots a_n$ ($ngeqslant 3$) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n = 10$? (ЕГЭ-2016) - В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17).
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличится показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1? (ЕГЭ-2016) - Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно $dfrac{113}{27}$.
б) Может ли это частное равняться $dfrac{125}{27}$?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27? (ЕГЭ-2016) - На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $dfrac{A + B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $dfrac{A + B}{2}$.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $dfrac{A + B}{2}$. (ЕГЭ-2016) - Последовательность $a_1, a_2, ldots a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$-го. Известно, что $M_1 = 1$, $M_2 = 2$.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3 = 1,6$.
б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3 = 3$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $M_3$. (ЕГЭ-2016) - На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. (ЕГЭ-2015) - В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий? (ЕГЭ-2015) - В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках? (ЕГЭ-2015) - Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них? (ЕГЭ-2015) - Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого участника является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл учеников, сдавших тест, понизился, и средний балл учеников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл учеников, сдавших тест, составил 100, а средний балл учеников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл учеников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших — 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? (ЕГЭ-2015) - Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $dfrac{1}{25}$?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться$dfrac{1}{35}$?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания. (ЕГЭ-2014) - На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?
б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов? (ЕГЭ-2014) - а) Можно ли число 2014 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли число 199 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы пяти различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. (ЕГЭ-2014) - В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе? (ЕГЭ-2014) - Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, …, 22 выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число $k$ быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$. (ЕГЭ-2014) - На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа $k$ можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше $k$? (ЕГЭ-2014) - Целое число $S$ является суммой не менее трёх последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли $S$ равняться 8?
б) Может ли $S$ равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать $S$. (ЕГЭ-2014) - Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123. (ЕГЭ-2013) - Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? (ЕГЭ-2013) - Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число $n$, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число $n$, а остальные числа, равные $n$, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41. (ЕГЭ-2013) - Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа? (ЕГЭ-2013) - Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87? в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр? (ЕГЭ-2013) - Каждое из чисел $a_1, a_2, ldots, a_{350}$ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим $$S_1 = a_1+a_2+ldots+a_{350},$$ $$S_2 = a_1^2+a_2^2+ldots+a_{350}^2,$$ $$S_3 = a_1^3+a_2^3+ldots+a_{350}^3,$$ $$S_4 = a_1^4+a_2^4+ldots+a_{350}^4.$$ Известно, что $S_1 = 513$.
а) Найдите $S_4$, если еще известно, что $S_2 = 1097$, $S_3 = 3243$.
б) Может ли $S_4 = 4547$?
в) Пусть $S_4 = 4745$. Найдите все значения, которые может принимать $S_2$. (ЕГЭ-2013) - а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде $1292 = a_3cdot 10^3 + a_2cdot 10^2 + a_1cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 leqslant a_i leqslant 99$, $i = 0; 1; 2; 3$.
б) Существуют ли 10 различных чисел $N$ таких, что их можно представить в виде $N = a_3cdot 10^3 + a_2cdot 10^2 + a_1cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 leqslant a_i leqslant 99$, $i = 0; 1; 2; 3$ ровно 130 способами?
в) Сколько существует чисел $N$ таких, что их можно представить в виде $N = a_3cdot 10^3 + a_2cdot 10^2 + a_1cdot 10 + a_0$, где числа $a_i$ — целые, $0 leqslant a_i leqslant 99$, $i = 0; 1; 2; 3$ ровно 130 способами? (ЕГЭ-2013)
ЕГЭ №18 (19). Теория чисел. Рекуррентная задача – самая сложная задача мартовского статграда 2021
ЕГЭ 18 (19) – это задачи на теорию чисел, на свойства чисел, на последовательности. Что такое рекуррентная последовательность?
Сейчас узнаете…
Последовательности чисел нам хорошо известны ещё с 8 – 9 класса. Например, прогрессии – арифметическая и геометрическая.
На ЕГЭ довольно часто попадаются задачи на последовательности – как на стандартные прогрессии, так и на необычные – у каждой из которых какая-то своя формула. И формулы у таких последовательностей обычно рекуррентные – то есть такие, когда каждое следующее число вычисляется через значения каких-то предыдущих.
Например, самая известная не-прогрессия – это последовательность Фибоначчи: каждое число равно сумме двух предыдущих.
Такие последовательности – это не просто очередные бессмысленные упражнения математиков (которым, как известно, делать нечего, вот и грузят всех своими задачками). Последовательности очень часто встречаются нам в жизни, и с их помощью очень удобно описывать некоторые процессы.
Например, говорят, что Фибоначчи свою последовательность придумал, наблюдая за размножением кроликов: первые 2 месяца жизни кролик просто растёт, а потом начинает каждый месяц рожать нового кролика (в среднем).
Сколько будет кроликов через полгода? Через год? В задаче 18 (19 из последнего статграда нам попалась как раз такая последовательность.
Смотрите видео, и вы научитесь исследовать такие последовательности, а также узнаете, как правильно решается эта задача.
19. Задачи на теорию чисел
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание
15
#2967
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным (20)?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным (81)?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
(ЕГЭ 2013, основная волна)
а) Пусть число (N=100a+10b+c), где (a,b,c) – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать натуральные значения от (0) до (9) (только (a) не может быть равно (0)).
Предположим, что [dfrac{N}{a+b+c}=20 quadRightarrowquad
10(8a-b)=19c] Пусть (8a=b), откуда, так как (a,b) – цифры, то (a=1) и (b=8). Тогда (10(8a-b)=0), следовательно, (19c=0), откуда (c=0). Таким образом, получили число (180).
Проверкой убеждаемся, что действительно (180:(1+8+0)=20).
Ответ: да.
б) Предположим, что [dfrac{N}{a+b+c}=81 quadRightarrowquad N=81(a+b+c)] Следовательно, (N) делится на (81), следовательно, его можно представить в виде (N=81cdot k), где (k) – некоторое натуральное число и (k=a+b+c). Заметим, что так как (N) – трехзначное число, то (81cdot kleqslant 999), откуда (kleqslant 12).
Из того, что (N) делится на (81), можно сделать вывод, что (N) делится на (9). Следовательно, сумма его цифр должна делиться на (9). Но так как сумма его цифр равна (k), а (kleqslant 12), то (k=9). Следовательно, (N=9cdot 81=729). Но у числа (729) сумма цифр не равна (9), следовательно, (729) не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.
в) Рассмотрим (dfrac{N}{a+b+c}).
Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем (198). Сумма его цифр равна (18) и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем (11).
Докажем, что (11) – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.
Предположим противное. Пусть частное от деления (N=100a+10b+c) на (a+b+c) равно (k), где (kleqslant 10) – натуральное число. Тогда: [dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}=k quadLeftrightarrowquad
(100-k)a+(10-k)b=(k-1)c]
Так как число сотен не может быть равно нулю, то (ageqslant 1). Так как (kleqslant 10), то (100-kgeqslant 90), следовательно, ((100-k)ageqslant 90). Так как (bgeqslant 0), то ((10-k)bgeqslant
0), следовательно, вся левая часть равенства (geqslant 90).
Так как число единиц не может быть больше (9), то есть (cleqslant
9), и (k-1leqslant 9), то ((k-1)cleqslant 9cdot 9=81).
Следовательно, в нашем равенстве левая часть (geqslant 90), а правая (leqslant 81). Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и (11) – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 11
Задание
16
#2336
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Пусть (i-)ое выписанное число имеет вид (10cdot a_i + b_i), где (a_i, b_i in {1, 2, …, 9}). Для суммы (b_i) по всем значениям индекса (i), таким, что слагаемое (b_i) есть этой в сумме, используем обозначение (underset{i}{Sigma} b_i).
Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид [underset{i}{Sigma} (10a_i + b_i) = 10cdotunderset{i}{Sigma} a_i + underset{i}{Sigma} b_i.] Обозначим (A = underset{i}{Sigma} a_i), (B = underset{i}{Sigma} b_i), тогда (2970 = 10cdot A + B).
После смены мест цифр (i-)ое полученное число имеет вид (10cdot b_i + a_i). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид [underset{i}{Sigma} (10b_i + a_i) = 10cdotunderset{i}{Sigma} b_i + underset{i}{Sigma} a_i = 10cdot B + A.]
а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна (dfrac{2970}{3} = 990), что равносильно (10cdot B + A = 990). Рассмотрим систему
[begin{aligned}
begin{cases}
10cdot A + B = 2970\
A + 10cdot B = 990
end{cases}
end{aligned}]
вычитая из первого уравнения второе, находим, что (9cdot A — 9cdot B = 1980), откуда (A = 220 + B). Подставляя это в первое уравнение системы, находим (B = 70), тогда (A = 290).
Попробуем брать в качестве (a_i) 9, пока их сумма не превосходит 290 – так можно положить [a_1 = … = a_{32} = 9,quad a_{33} = 290 — 32cdot 9 = 2,] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить [b_1 = … = b_{32} = 2,quad b_{33} = 70 — 32cdot 2 = 6.]
б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна (dfrac{2970}{5} = 594), что равносильно (10cdot B + A = 594). Рассмотрим систему
[begin{aligned}
begin{cases}
10cdot A + B = 2970\
A + 10cdot B = 594
end{cases}
end{aligned}]
вычитая из первого уравнения второе, находим, что (9cdot A — 9cdot B = 2376), откуда (A = 264 + B). Подставляя это в первое уравнение системы, находим (B = 30), тогда (A = 294).
Так как (B = 30), а все (b_igeqslant 1), то слагаемых в сумме не более 30, но тогда (Aleqslant 30cdot 9 = 270), следовательно, при (B = 30) не может быть выполнено (A = 294).
в) Пусть сумма полученных чисел равна (S), что равносильно системе
[begin{aligned}
begin{cases}
10cdot A + B = 2970\
A + 10cdot B = S
end{cases}
end{aligned}]
вычитая из первого уравнения второе, находим, что (9cdot A — 9cdot B = 2970 — S), откуда [A = 330 — dfrac{S}{9} + B.] Подставляя это в первое уравнение системы, находим [B = dfrac{10cdot S}{99} — 30,] откуда в частности следует, что (S) делится на (99).
Понятно, что (B > 30) (так как все (b_igeqslant 1), то при не более чем (30) слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт (30cdot 90 + 30 = 30cdot 91 < 2970)). Тогда [dfrac{10cdot S}{99} — 30 > 30,] откуда (S > 594), но (S) делится на (99), тогда (Sgeqslant 693).
При (S = 693) получим (B = 40), откуда (A = 293).
Аналогично примеру из пункта а) построим решение:
Попробуем брать в качестве (a_i) 9, пока их сумма не превосходит 293 – так можно положить [a_1 = … = a_{32} = 9,quad a_{33} = 293 — 32cdot 9 = 5,] то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить [b_1 = … = b_{32} = 1,quad b_{33} = 40 — 32cdot 1 = 8,] итого, искомая сумма (32times 91 + 58).
Ответ:
а) (32times 92 + 26), где запись (32times 92) означает сумму из 32 слагаемых, каждое из которых равно 92.
б) Нет.
в) (693).
Задание
17
#2919
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Возрастающие арифметические прогрессии (a_1, …, a_n, …) и (b_1, …, b_n, …) состоят из целых положительных чисел.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых (a_2b_2 + 3a_4b_4 = 5a_3b_3).
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых (3a_2b_2 + a_6b_6 = 4a_3b_3)?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение (a_3b_3), если (3a_2b_2 + a_6b_6leqslant 108)?
а) В качестве примера подходят прогрессии (4, 5, 6, 7, …) и (2, 3, 4, 5, …) (то есть (a_1 = 4), (b_1 = 2), а разности у обеих прогрессий равны (1)).
В самом деле, для таких прогрессий требуемое равенство превращается в [5cdot 3 + 3cdot 7cdot 5 = 5cdot 6cdot 4] верное равенство.
б) Пусть разность прогрессии (a_1, …) равна (d), а разность прогрессии (b_1, …) равна (tilde{d}). Тогда требуемое равенство можно переписать в виде [3(a_3 — d)(b_3 — tilde{d}) + (a_3 + 3d)(b_3 + 3tilde{d}) = 4a_3b_3]
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим [12dtilde{d} = 0,,] чего быть не может, ведь по условию обе прогрессии возрастают и состоят из целых положительных чисел, следовательно, (dgeqslant 1) и (tilde{d}geqslant 1), но тогда (12dtilde{d} geqslant 12 > 0,.)
в) Аналогично пункту б) имеем [3a_2b_2 + a_6b_6 = 3(a_3 — d)(b_3 — tilde{d}) + (a_3 + 3d)(b_3 + 3tilde{d}) = 4a_3b_3 + 12dtilde{d},.]
Таким образом, условие пункта в) равносильно условию [4a_3b_3 + 12dtilde{d}leqslant 108qquadLeftrightarrowqquad a_3b_3 + 3dtilde{d}leqslant 27,.]
Так как (dgeqslant 1) и (tilde{d}geqslant 1), то получаем оценку сверху: [a_3b_3leqslant 24 = 6cdot 4,.]
Покажем, что эта оценка достигается: рассмотрим прогрессии (4, 5, 6, 7, 8, 9, …) и (2, 3, 4, 5, 6, 7, …), тогда [3a_2b_2 + a_6b_6 = 3cdot 5cdot 3 + 9cdot 7 = 108,,] следовательно, условие задачи выполнено и (24) действительно является наибольшим возможным значением для (a_3cdot b_3).
Ответ:
а) (4, 5, 6, 7, …) и (2, 3, 4, 5, …)
б) Нет
в) (24)
Задание
18
#2918
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На доске были написаны несколько натуральных чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, разность которых делится на (5).
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться (70), если изначально на доске по одному разу были написаны все натуральные числа от (27) до (38) включительно?
б) Могло ли на доске остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру (6), если изначально на доске по одному разу были написаны квадраты целых чисел от (112) до (217) включительно?
в) Пусть известно, что на доске осталось ровно два числа, а изначально по одному разу были написаны квадраты целых чисел от (112) до (217) включительно. Какое наибольшее значение может иметь отношение оставшихся на доске чисел?
а) Достаточно стирать числа следующим образом: [{31; 36},quad {30; 35},quad {29; 34},quad {28; 38},quad {27,32},,] тогда на доске останутся (33) и (37), сумма которых и есть (70).
б) Рассмотрим отдельно процесс стирания чисел, кратных числу (5).
Так как (5) – простое, то квадрат числа делится на (5) тогда и только тогда, когда и само это число делится на (5). Итак, пусть (ninmathbb{N}), ((5n)^2) – одно из чисел на доске ((112 leqslant 5nleqslant 217)). Пусть при этом число ((5n)^2) было стёрто вместе с числом (a^2), тогда существует (kinmathbb{Z}), такое что [(5n)^2 — a^2 = 5cdot k,,] откуда следует, что (a^2) делится на (5), следовательно, и само (a) должно делиться на (5).
Итак, мы доказали, что числа, кратные пяти, могут стираться только в паре друг с другом. Но сколько их на доске? Их количество равно ((215 — 115) : 5 + 1 = 21), то есть все такие числа в принципе нельзя стереть, так как одному из них обязательно не найдётся пары, ведь их количество нечётно.
Произведение двух чисел, одно из которых кратно пяти, может оканчиваться на (0) или на (5), но не на (6), следовательно, на доске не могло остаться ровно два числа, произведение которых оканчивается на цифру (6).
в) В принципе наибольшее отношение могло бы быть (left(dfrac{217}{112}right)^2), но мы знаем из решения пункта б), что из двух оставшихся чисел ровно одно делится на (5). Тогда наибольшее отношение может быть (left(dfrac{215}{112}right)^2) или (left(dfrac{217}{115}right)^2). Какое из этих чисел больше? Нетрудно убедиться, что [dfrac{215}{112} > dfrac{217}{115}qquadRightarrowqquad left(dfrac{215}{112}right)^2 > left(dfrac{217}{115}right)^2,.]
Итак, большего отношения, чем (left(dfrac{215}{112}right)^2), нам не получить. Попробуем получить хотя бы его.
Заметим теперь, что разность квадратов двух целых чисел делится на (5) тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из условий: 1) их сумма делится на (5), 2) их разность делится на (5). Таким образом, можно считать, что на доске выписаны сами числа от (112) до (217) включительно, но стирать можно пару, для которой выполнено хотя бы одно из условий 1), 2), а мы хотим оставить числа (112) и (215).
Для этого будем стирать числа следующим образом:
[begin{aligned}
&{113; 118},quad {123; 128},quad {133; 138}, …,quad {203; 208} \
&{114; 119},quad {124; 129},quad {134; 139}, …,quad {204; 209} \
&{115; 120},quad {125; 130},quad {135; 140}, …,quad {205; 210} \
&{116; 121},quad {126; 131},quad {136; 141}, …,quad {206; 211} \
&{117; 122},quad {127; 132},quad {137; 142}, …,quad {207; 212}
end{aligned}]
(здесь разность чисел в каждой паре делится на (5)). В первом столбце в итоге стираются все числа от (113) до (122) включительно. Во втором столбце стираются все числа от (123) до (132) включительно и т.д.
Теперь на доске остались числа (112), (213), (214), (215), (216) и (217). Избавиться от неугодных чисел можно так: [{213; 217},quad {214; 216}] (здесь сумма чисел в каждой паре делится на (5)).
Итак, мы добились того, чего хотели, следовательно, ответ [left(dfrac{215}{112}right)^2]
Ответ:
а) Да
б) Нет
в) (left(dfrac{215}{112}right)^2)
Задание
19
#2340
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество ({100; 101; 102; …; 199}) хорошим?
б) Является ли множество ({2; 4; 8; …; 2^{200}}) хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ({3; 4; 5; 6; 8; 10; 12})?
а) Данное множество состоит из 100 подряд идущих натуральных чисел, тогда его можно разбить на 50 пар с одинаковыми суммами: ({100; 199}, {101; 198}, …, {149; 150}).
Так как количество таких пар 50 (важно, что оно чётно), то можно составить первое подмножество из всех элементов любых 25 из этих пар, а второе подмножество взять содержащим все остальные числа.
б) Данное множество не является хорошим, так как (2^{200}) больше суммы всех остальных его элементов. Это следует из формулы [1 + 2 + … + 2^{n-1} = 2^n — 1.] Покажем по индукции, что эта формула верна.
1) При (n = 1) имеем: (1 = 2^1 — 1) – верно.
2) Пусть теперь формула верна для (n = m), покажем, что тогда она верна и для (n = m + 1): [1 + 2 + … + 2^{(m + 1) — 1} = 1 + 2 + … + 2^{m — 1} + 2^m.] По предположению индукции сумма всех слагаемых без последнего равна (2^m — 1), тогда вся сумма равна [2^m — 1 + 2^m = 2cdot 2^m — 1 = 2^{m + 1} — 1,] что и требовалось. Ну а сумма [2 + 4 + 8 + … + 2^{199} = -1 + 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^{199} = -1 + 2^{200} — 1 = 2^{200} — 2 < 2^{200}.]
в) Для элементов хорошего четырёхэлементного подмножества должно выполняться либо равенство вида [a + b + c = d,] либо равенство вида [a + b = c + d.]
Равенство (a + b + c = d) может быть выполнено только в случае (3 + 4 + 5 = 12) (сумма любых трёх других элементов больше любого элемента данного множества). Рассмотрим теперь случай равенства вида (a + b = c + d).
В данном множестве всего два нечётных элемента. Для хорошего четырёхэлементного подмножества понятно, что они либо оба содержатся в нём, либо оба не содержатся в нём.
Рассмотрим подходящие четырёхэлементные подмножества, содержащие (3) и (5). Так как (3 + 5 = 
, что меньше суммы любых двух других элементов исходного множества, то в требуемом равенстве вида (a + b = c + d) они должны стоять по разные стороны от знака равенства: [a + 3 = c + 5qquadRightarrowqquad a — c = 2,] то есть на роль пары чисел ((a; c)) подходят пары ((12; 10), (10; 8), (8; 6), (6; 4)) – всего 4 пары, следовательно, в случае равенства вида (a + b = c + d) есть ровно 4 хороших подмножества из 4 элементов, содержащих (3) и (5).
Остаётся рассмотреть подходящие четырёхэлементные подмножества, не содержащие ни (3), ни (5). Они, таким образом, являются подмножествами множества [{4; 6; 8; 10; 12},] но в нём всего 5 элементов, то есть искомое его подмножество должно содержать все его элементы, кроме одного. Кроме того, ясно, что так как в множестве ({4; 6; 8; 10; 12}) все элементы чётные, то в равенстве вида (a + b = c + d) слева и справа должны стоять чётные числа, тогда сумма всех четырёх чисел должна делиться на 4.
Следовательно, нельзя удалять из множества ({4; 6; 8; 10; 12}) 6 или 10. Остаётся убедиться, что при удалении из него 4, 8 или 12 будут получаться хорошие подмножества. Это видно из равенств [8 + 10 = 6 + 12,qquad 6 + 10 = 4 + 12,qquad 4 + 10 = 6 + 8.] Таким образом, есть ровно 3 хороших подмножества исходного множества, не содержащие (3) и (5).
Итого: у исходного множества есть ровно (1 + 4 + 3 = хороших четырёхэлементных подмножеств.
Ответ:
а) Да.
б) Нет.
в) (8).
Задание
20
#3900
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Для последовательности целых чисел (a_1, a_2, dots, a_{10}) и натурального числа (kleqslant верно неравенство (a_k+a_{k+2}<2a_{k+1}).
а) Приведите пример последовательности для (a_1=a_{10}=1).
б) Существует ли такая последовательность при (a_1+a_{10}=2a_6)?
в) Найдите наибольшее значение выражения (a_1-a_4-a_7+a_{10}).
а) Перепишем неравенство (a_k+a_{k+2}<2a_{k+1}) в другом виде: [a_{k+2}-a_{k+1}<a_{k+1}-a_k] Если (d_k) – разность (a_{k+1}) и (a_k), то неравенство значит, что (d_k>d_{k+1}). То есть последовательность разностей между двумя соседними “ашками” – строго убывающая последовательность целых чисел.
Пусть (a_1=1). Возьмем (d_1=4), (d_2=3), (d_3=2) и т.д. Получим последовательность “ашек”: [1, 5, 8, 10, 11, 11, 10, 8, 5, 1] Видим, что (a_1=a_{10}=1).
б) Предположим, что существует такая последовательность. Тогда, с одной стороны, (a_6=a_1+d_1+d_2+d_3+d_4+d_5), а с другой стороны, (a_6=a_{10}-d_9-d_8-d_7-d_6). Следовательно, равенство (a_1+a_{10}=2a_6) примет вид [begin{aligned}
&a_1+a_{10}=a_1+d_1+d_2+d_3+d_4+d_5+a_{10}-d_9-d_8-d_7-d_6
quadRightarrowquad \[1ex]
&d_1+d_2+d_3+d_4+d_5=d_6+d_7+d_8+d_9quad (*)end{aligned}] Так как последовательность разностей строго убывающая, то (d_1>d_2>dots>d_9), следовательно, (d_1+d_2+d_3+d_4+d_5>5d_5), (d_6+d_7+d_8+d_9<4d_6). Так как (d_5>d_6), то (5d_5>4d_6), следовательно, область значений левой части ((*)) не имеет пересечений с областью значений правой части. То есть равенство не может быть выполнено ни при каких (d_i). Значит, мы получили противоречие.
в) (a_4=a_1+d_1+d_2+d_3), (a_7=a_{10}-d_9-d_8-d_7). Следовательно, [a_1-a_4-a_7+a_{10}=-d_1-d_2-d_3+d_7+d_8+d_9=(d_7-d_1)+(d_8-d_2)+
(d_9-d_3)] Наибольшее возможное значение для (d_7-d_1) – когда (d_1, d_2, dots, d_9) представляют собой последовательные целые числа. Тогда (d_7-d_1leqslant -6) (например, числа (-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9); разность между седьмым и первым членами равна (-6)).
Аналогично (d_8-d_2leqslant -6), (d_9-d_3leqslant -6). Следовательно, [(d_7-d_1)+(d_8-d_2)+
(d_9-d_3)leqslant -18] Покажем, что максимум (-18) достигается, приведя пример:
последовательность (45, 44, 42,39,35,30,24,17,9,0)
с разностями (-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9).
Ответ:
а) (1,5,8,10,11,11,10,8,5,1)
б) нет
в) (-18)
Задание
21
#2339
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На доске написаны числа (1, 2, 3, …, 30). За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Один из возможных вариантов: ((1; 3; 30), (2; 4; 27), (5; 7; 20), (6; 8; 17), (9; 11; 10)).
б) Сделать 10 ходов – значит стереть все числа. Покажем, что все числа стереть нельзя: если число 30 будет стёрто, то обязательно в одной тройке с числом 1 и одним из чисел 2 или 3.
Тогда если будет стёрто и число 29, то обязательно в одной тройке с оставшимся после первого хода из чисел 2 и 3, но третьим числом в тройку к 29 должно быть число не меньше 4, а это значит, что сумма чисел в тройке с 29 слишком велика: (29 + 4 + )((2) или (3)) (geqslant 35), что противоречит условию.
в) Пусть можно стереть (k) троек, тогда сумма всех чисел этих (k) троек должна не превосходить [34 + (34 — 1) + … + (34 — (k — 1)) = 34k — 1 — … — (k — 1) = 34k — dfrac{k(k — 1)}{2}.] Так как нужно стереть (3k) чисел, то наименьшая возможная сумма всех чисел (k) троек равна [1 + … + 3k = dfrac{3k(3k+1)}{2},] откуда получаем неравенство [dfrac{3k(3k + 1)}{2}leqslant 34k — dfrac{k(k — 1)}{2},] что равносильно (k^2 leqslant 6,6k), откуда с учётом (kinmathbb{N}) получаем, (kleqslant 6), то есть стереть больше (6) троек нельзя. Пример для 6 троек:
((5; 11; 17), (1; 12; 18), (4; 10; 16), (3; 9; 15), (6; 7; 13), (2; 8; 14)).
Ответ:
а) ((1; 3; 30), (2; 4; 27), (5; 7; 20), (6; 8; 17), (9; 11; 10)).
б) Нет.
в) (6).
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Курс Глицин. Любовь, друзья, спорт и подготовка к ЕГЭ
Категория: ЕГЭ (диагностич. работы)
1. Бегун пробежал 
метров за 
секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ выразите в километрах в час.
Решение: + показать
2. На графике показано изменение температуры в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, до скольких градусов Цельсия двигатель нагрелся за первые 
минут с момента запуска.
Решение: + показать
3. Найдите длину средней линии трапеции, изображенной на рисунке. Сторона каждой клетки равна 
см. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение: + показать
4. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 
. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 
. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: + показать
5. Найдите корень уравнения 
Решение: + показать
6. У треугольника со сторонами 
и 
проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 
. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.
Решение: + показать
7. На рисунке изображён график 
производной функции 
и шесть точек на оси абсцисс: 
В скольких из этих точек функция возрастает?
Решение: + показать
8. Шар вписан в цилиндр объемом 
. Найдите объем шара.
Решение: + показать
8. Найдите значение выражения 
Решение: + показать
10. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной 
км с постоянным ускорением 
км/ч
, вычисляется по формуле 
. Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 
километра, приобрести скорость не менее 
км/ч. Ответ выразите в км/ч.
Решение: + показать
11. Первая труба заполняет бассейн за 
часов, а две трубы вместе ‐ за 
часов 
минут. За сколько часов заполняет бассейн одна вторая труба?
Решение: + показать
12. Найдите точку максимума функции 
на промежутке 
Решение: + показать
Часть С
13. а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ![[log_25;log_211].](https://egemaximum.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e22e367b8a40d4ad828e2a6ffd52a080_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение: + показать
14. В правильной четырехугольной призме 
сторона основания равна 
а боковое ребро 
равно 
На ребрах 
и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причем 
а) Пусть 
– точка пересечения плоскости 
с ребром 
. Докажите, что 
– квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 
Решение: + показать
15. Решите неравенство: 
Видеорешение
Решение: + показать
16. Точка 
– центр окружности, описанной около остроугольного треугольника 
, 
‐ центр вписанной в него окружности, 
‐ точка пересечения высот. Известно, что 
а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника 
.
б) Найдите угол 
, если 
Решение: + показать
17. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на % по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 
млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 
млн рублей.
Решение: + показать
18. Найдите все значения параметра 
при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение: + показать
19. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {
} хорошим?
б) Является ли множество {
} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества
{
}?
Решение: + показать