Информатика егэ сколько единиц в двоичной записи числа - Помощь в подготовке к экзаменам и поступлению

Автор — Лада Борисовна Есакова.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, $212_{3} = 2+1*3+2*3^{2} = 23_{10}$ . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = $12_{3}$ ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число $10^{5}$ = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

Например, $2^{4}=16_{10}=10000_{2}$ .

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда $27=30_{x}=0 cdot x^{0}+3 cdot x^{1}=3 cdot x$ .Т.е. x = 9.

Ответ: 9

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда $13 = 111_{x} = 1*x^{0} + 1*x^{1} +1*x^{2}$

$x^{2}+x+1 = 13$

$x^{2}+x-12 = 0$

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение:

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

Ответ: 4, 68

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

$25_{10} = 121_{4}$ . Т.е. нам нужно найти все числа, не больше $121_{4}$ , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа $11_{4}$ и $111_{4}$ . Переводим их в десятичную систему счисления:

$11_{4}=1*4^{0}+1*4^{1}=5_{10}$

$111_{4}=1*4^{0}+1*4^{1}+1*4^{2}=21_{10}$

Ответ: 5, 21

3. Решение уравнений

Пример 6

Решите уравнение: $121_{x}+1_{10}=101_{7}$

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Решение:

$121_{x}+1_{10}=10_{17}$ Переведем все числа в десятичную систему счисления:

$1*x^{0}+2*x^{1}+1*x^{2}+1=1*7^{0}+0*7^{1}+1*7^{2}$

$1 + 2*x + x^{2} + 1 = 1 + 49$

$x^{2} + 2*x- 48=0$

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. $x=6_{10}$ (т.к. основание системы не может быть отрицательным). $x=6_{10}=20_{3}$ .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: $4^{2020} + 2^{2017} -15$ ?

Решение:

Представим все числа выражения, как степени двойки:

$4^{2020} + 2^{2017} -15=2^{4040}+2^{2017}-2^{4}+2^{0}$

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя $4^{4040}$ и $2^{2017}$ , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Ответ: 2015.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задача №16. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

Источник

Дата изменения: 27 августа 2019

Задание 16. Операции в системах счисления: Демоверсия егэ по информатике 2020: объяснение и решение

Разбор 16 задания. Демоверсия егэ по информатике 2020, ФИПИ:

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:

4⁸ + 2⁸ – 8   ?

📹 Видеоразбор подобного 16 задания ЕГЭ

✍ Решение:

Существует правило:

2^N = 10..0₂(1 единица и N нулей)

Чтобы воспользоваться этим правилом, преобразуем общее выражение к степеням двойки:

2¹⁶ + 2⁸ - 2³

При переводе в двоичную систему получим:

10...0 (16 нулей) + 10...0 (8 нулей) - 1000 (3 нуля)

Обратим внимание, что разница между числами большая. Т.е. при выполнении сложения в столбик, единицы в одном и том же разряде быть не могут. Так:

 10....00000  - 16 нулей
+
       10..0  - 8 нулей
_________________________
 10....10..0

Из первого слагаемого 10…0 (16 нулей) запомним одну единицу в старшем бите, остальные нули нас не интересуют, так как далее мы воспользуемся другим правилом — для разницы:

 10....00000  - 16 нулей
+
       10..0  - 8 нулей
_________________________
 10....10..0  - запомним единицу

Существует также правило:

2^N — 2^K = 1…1 (N - K единиц)0…0(K нулей)

По формуле выполним вычитание 2⁸ — 2³: получим 1..1 (5 единиц) 000(3 нуля).
Прибавим к 5 получившимся единицам еще одну из первого слагаемого (10…0 (16 нулей)) и получим:

5 + 1 = 6 единиц

Проверим на всякий случай:

 100000000  - 8 нулей
-
      1000  
_________________________
 111111000  - 6 единиц и 3 нуля

Результат: 6

Источник

Позиционные системы счисления, примеры решения задач к ЕГЭ — 2023, задание 14, часть 2 (по ДЕМО-версии-2021)

(базовый уровень, примерное время решения – 2 минуты).

Есть вопросы и замечания — пишите!

Обозначим через N основание системы счисления.

Тогда наибольшая цифра в системе счисления с основанием N равна N-1.

Следует помнить, что:

Любое основание N в своей системе счисления выглядит как 10, т.е.

N₁₀ = 10_^N

(например: 210=102, 310=103, 810=108, 1610=1016 и так далее).

Степень любого основания N в своей системе счисления выглядит как единица и количество нулей, равных степени, т.е.

N^k = 1 0…0_N

(например: 4=22=1002, 8=23 =10002, 16=24=100002 и так далее).

Число, стоящее перед k-той степенью основания, в своей системе счисления выглядит как последовательность из k самых больших цифр этой системы счисления, т.е.

N^k — 1 = (N-1)…(N-1)_N

Тогда 2^k– 1 = 1…1₂

(например: 3=22-1=112, 7=23 -1=1112, 15=24-1=11112 и так далее).

Число N^k– N^m = N^k · (N^k-m – 1) записывается в системе счисления с основанием N как k-m старших цифр этой системы счисления, за которыми следует k нулей:

Nm – Nk = (N-1)…(N-1) 0…0_N

m – k k

Тогда

2^m – 2^k = 1…1 0…0₂

^{m – k k}

(например: 103 — 102 = 900, 103 — 101 = 990, 105 — 103 = 99000, 25 – 22 = 111002, 35 – 32 = 222003 и так далее).

Примеры и способы решения задач.

Задача 1.

Сколько единиц в двоичной записи числа 8¹⁰²⁵ + 2¹⁰²⁴ – 3 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 3 = 4 — 1:

8¹⁰²⁵ + 2¹⁰²⁴– 3 = 2³⁰⁷⁵ + 2¹⁰²⁴ – 2² + 2⁰

Количество единиц в разности 2¹⁰²⁴ – 2² будет 1024-2 = 1022 единицы + 1 единица (число 2⁴⁰³²) + 1 единица от числа 20, то всего получаем 1022+1+1 = 1024 единицы.

Ответ: 1024

Задача 2.

Сколько единиц в двоичной записи числа 8²⁰¹⁴ – 2⁶¹⁴+ 4⁵?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, с учетом того, что 45 = 32 + 8 + 4 + 1:

8²⁰¹⁴ – 2⁶¹⁴ + 4⁵ = 2⁶⁰⁴² — 2⁶¹⁴ + 2⁵ + 2³+ 2² + 2⁰

Количество единиц в разности 2⁶⁰⁴² — 2⁶¹⁴ будет 6042 – 614 = 5428 единиц + 4 единицы от чисел 2⁵, 2³, 2² и 2⁰ , то всего получаем 5428+4 = 5432 единицы.

Ответ: 5432

Задача 3.

Значение арифметического выражения 4¹⁰ + 2⁹⁰ — 16 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней:

2²⁰ + 2⁹⁰ – 2⁴ = 2⁹⁰ + 2²⁰ – 2⁴

Тогда после перевода в двоичную систему счисления в числе 2⁹⁰будет 1 единица, в разности 2²⁰ – 2⁴ будет

20 — 4 = 16 единиц и 4 нуля. Следовательно, в полученном результате получаем всего 16 + 1 = 17 единиц.

Ответ: 17

Задача 4.

Значение арифметического выражения 6⁴¹⁰ + 2⁶⁰ — 16 записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 8 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 16 = 8 + 8:

4¹² + 2⁶⁰ — 16 = 8²⁰ + 8³⁰ – 16 = 8³⁰ + 8²⁰– 8¹ – 8¹

Ищем в разности крайнюю левую степень восьмерки и крайнюю правую 8²⁰ – 8¹, при этом среднюю 8¹ на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 8²⁰ – 8¹, получаем 20 — 1 = 19 семерок.

Так как «внутри» этой разности есть еще 8¹, то просто вычитаем одну семерку: 19 – 1 = 18.

Ответ: 18.

Задача 5.

Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁸+ 8³⁰⁵ – 2¹³⁰ – 120 ?

Решение.

4²⁰¹⁸ + 8³⁰⁵ – 2¹³⁰– 120 = 2⁴⁰³⁶+ 2⁹¹⁵– 2¹³⁰ — 2⁷ + 2³

Ищем в разности (2915 – 2130 — 27) крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2^915– 2⁷, при этом среднюю 2¹³⁰ на время «теряем».

Определяем количество семерок в разности 2⁹¹⁵– 2⁷, получаем 915-7 = 908 единиц.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2¹³⁰, то просто вычитаем одну единицу: 908 – 1 = 907.

Прибавляем 2 единицы от чисел 2⁴⁰³⁶ и 2³, то всего получаем 907 + 2 = 909 единиц.

Ответ: 909

Задача 6.

Значение арифметического выражения 9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 3 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 19 = 27 – 8 + 1+1:

9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 27 + 9 — 1 -1 = 3¹⁸ + 3³⁸ – 3³ + 3² – 3⁰ = 3³⁸ + 3¹⁸ – 3³ + 3²– 3⁰ – 3⁰

Разбиваем нашу запись на две разности 3¹⁸ – 3³ и 3² – 3⁰ и вычисляем их отдельно.

Количество двоек в разности 3¹⁸– 3³ будет 18-3 = 15, в разности 3² – 3⁰ будет равно 2, всего 15 + 2 = 17 двоек. Вычитаем из них еще одну единицу, так как 3⁰= 1₂. При этом последняя цифра меняется как 2-1=1, в результате получаем 17-1 = 16 двоек.

Ответ: 16

Задача 7.

Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 250 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 250 = 256 – 4 – 2 = 2⁸ – 2² — 2¹:

4⁵¹² + 8⁵¹² – 2¹²⁸ – 256+ 4 + 2 = 2¹⁰²⁴ + 2¹⁵³⁶– 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹ = = 2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

Ищем в разности 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2¹⁰²⁴ –2⁸, при этом среднюю 2¹²⁸ на время «теряем».

В разности 2¹⁰²⁴–2⁸ будет 1024 — 8 = 1016 единиц и 8 нулей.

Так как «внутри» этой разности есть еще 2¹²⁸, то просто заменяем одну единицу (на 128 месте) на ноль и получаем 1015 единиц и 9 нулей.

С этого момента можно решать задачу двумя способами:

1) Между 2¹⁵³⁶ и 2¹⁰²⁴ (до конца числа) есть еще 1536-1024=512 нулей, два из которых заняты единицами (22+21), тогда получаем еще 512-2 = 510 нулей.

Итого в результате вычислений получаем 510+9 = 519 нулей.

Можно показать это вычисление на схеме, где вычисляемая выше разность выделена черным цветом:

Всего 1 ед. + 1534 нуля + 2 ед.в конце _

1 ед.+1022 нуля + 2 ед.в конце

2¹⁵³⁶ _ + _ 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2²+ 2¹

1 ед.+510 нулей + 1015 ед. + 9 нулей + 2 ед.

2) Посчитать общее число единиц после выполнения вычислений и вычесть их общей длины исходного двоичного числа.

2¹⁵³⁶ + 2¹⁰²⁴ – 2¹²⁸ – 2⁸ + 2² + 2¹

1 ед. + 1015 ед. + 2 ед . = 1018 ед.

Так как 2¹⁵³⁶ = 10…0 ₂ равна 1537 знаков, то в нем будет 1537-1018 = 519 нулей.

¹⁵³⁶

Ответ: 519

Задача 8.

Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 ?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 6 = 4 + 2:

4²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁸ – 8⁶⁰⁰ + 6 = 2⁴⁰³²+ 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰+ 2² + 2¹

После перевода числа 2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц в разности 2²⁰¹⁸ – 2¹⁸⁰⁰ будет 2018-1800 = 218 единиц + 1 единица (число 24032) + 2 единицы от чисел 2² и 2¹, то всего получаем 218+3 = 221 единицу.

Ответ: 221

Задача 9.

Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰ – 80?

Решение.

Приведем все числа в заданном примере к одному виду с основанием 2 и упорядочим их в порядке убывания степеней, учитывая, что 80 = 64 + 16:

4²⁰¹⁶ – 2²⁰¹⁸ + 8⁸⁰⁰– 80= 2⁴⁰³²— 2²⁰¹⁸ + 2²⁴⁰⁰ – 2⁶— 2⁴= 2⁴⁰³² + 2²⁴⁰⁰ — 2²⁰¹⁸– 2⁶— 2⁴

Далее рассмотрим два способа решения задачи.

1). После перевода числа 2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Из записи 2²⁴⁰⁰ — 2²⁰¹⁸– 2⁶ — 2⁴ возьмем разность первого и последнего чисел 2²⁴⁰⁰ — 2⁴ и получаем 2396 единиц. Вычитаем из них 2 единицы, которые дают числа 2⁶ и 2⁴, остается 2394 единицы.

Тогда всего получаем 1 + 2394 = 2395 единиц.

2). Будем решать данную задачу путем последовательных вычитаний.

После перевода числа 2⁴⁰³² в двоичную систему оно будет состоять из 1 единицы и 4032 нулей.

Количество единиц в разности 2⁴⁰⁰⁰– 2²⁰¹⁸ будет 4000-2018 = 382 и 2018 нулей.

Оставляем 381 единицу, используя далее 1 единицу и 2018 нулей, что равно числу 2²⁰¹⁸.

Далее, в разности 22018 — 26 будет 2012 единиц и 6 нулей.

Оставляем 2011 единиц, остается число 2⁶. Тогда разность 2⁶ – 2⁴ получаем 2 единицы.

Складываем все единицы и получаем 1 + 381 + 2011 + 2 = 2395 единиц.

Ответ: 2395

Источник

Решение задач 1 ЕГЭ по информатике 2015 года

Рассмотрим задачу №1 из демоверсии ФИПИ 2015 года:

Для кодирования некоторой последовательности, состоящей из букв А, Б, В, Г и Д, используется неравномерный двоичный код, позволяющий однозначно декодировать полученную двоичную последовательность. Вот этот код: А – 0; Б – 100; В – 1010; Г – 111; Д – 110.Требуется сократить для одной из букв длину кодового слова так, чтобы код по-прежнему можно было декодировать однозначно. Коды остальных букв меняться не должны. Каким из указанных способов это можно сделать?
1) для буквы В – 101
2) это невозможно
3) для буквы В – 010
4) для буквы Б – 10

Давайте проанализируем текст задачи. Итак, нам известно, что используется неравномерный двоичный код. Что это такое? На самом деле все очень просто:

равномерное кодирование — каждый символ кодируется кодами равной длины

неравномерное кодирование — разные символы могут кодироваться кодами разной длины

Например, если у нас есть три символа А, Б, В и закодированы они так:

А — 010
Б — 011
В — 111

, то это равномерное кодирование, так как длина кода одинаковая. Если же эти же символы мы закодируем вот так:

А — 01
Б — 110
В — 1011

, то получим неравномерное кодирование.

Кроме этого, нам необходимо знать и понимать условие Фано

Никакое кодовое слово не может быть началом другого кодового слова

Также существует обратное условие Фано

Никакое кодовое слово не является окончанием другого кодового слова

Чтобы однозначно декодировать сообщение, достаточно того, чтобы условие Фано (или обратное условие) выполнялось.

Теперь, получив необходимые знания, можем перейти к решению задачи.

Рассмотрим первый вариант ответа. Если мы для буквы В сократим код до 101, то условие Фано нарушено не будет. Действительно, с кода 101 не начинается ни один из четырех оставшихся кодов для А, Б, Г и Д и все коды различны.

Второй вариант отпадает, так как мы только что убедились, что это возможно.

Третий вариант не подходит, так как в этом случае код буквы В — 010 будет начинаться с 0, а 0 — это код буквы А. Получается, что это нарушает условие Фано.

Вариант 4 тоже не подходит. В этом случае код буквы Б — 10 будет являться началом для кода буквы В, а это нарушение условия Фано.

Правильный ответ: 1.

Для успешного решения задач типа А1 ЕГЭ по информатике рекомендую ознакомиться со статьями “Системы счисления” и “Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную”. Для контроля правильности перевода удобно использовать “Скрипт для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую”.

Задачи А1 предполагают проверку знаний о системах счисления и двоичном представлении информации в памяти компьютера.

Рассмотрим решение задачи А1 из демоверсии ЕГЭ 2012.

Сколько единиц в двоичной записи числа 1025?
1)   1
2)   2
3)   10
4)   11

Данную задачу можно решить простым переводом числа 1025 в двоичную систему счисления, а затем посчитать количество единиц.

Как видно, в полученном двоичном числе содержится 2 единицы.

Второй способ решения данной задачи рассчитан на тех, кто хорошо знает степени числа 2. Если посмотреть на число 1025 внимательно, можно заметить, что 1025=1024+1. Число 1024 – это 2¹⁰. Отсюда следует, что 1025=2¹⁰+1.

Если посмотреть как выглядят степени числа 2 записанные в двоичной системе счисления, то нетрудно представить число 1024 в двоичной системе счисления.

2¹=2₁₀=10₂

2²=4₁₀=100₂

2³=8₁₀=1000₂

2⁴=16₁₀=10000₂

2⁵=32₁₀=100000₂

…

2¹⁰=1024₁₀=10000000000₂

Прибавив к получившемуся числу единицу получим число 10000000001₂, которое содержит 2 единицы.

Третий способ вытекает из предыдущего. Если посмотреть внимательно, то можно увидеть, что любое число, являющееся степенью двойки и записанное в двоичной системе счисления содержит одну единицу. Таким образом узнать количество единиц в двоичной записи любого числа очень просто — достаточно представить его как сумму степеней числа 2 — количество слагаемых и будет указывать число единиц.

Возьмем для примера число 73 и узнаем сколько единиц в его двоичной записи.

73=64+8+1=2⁶+2³+2⁰. Так как слагаемых у нас получилось три, значит и единиц в двоичной записи числа 73 будет тоже 3.

Решение задачи А1 демонстрационной версии ЕГЭ 2013:

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 255?

1) 1 2) 2 3) 7 4) 8

Первый способ:

Для успешного решения данной задачи необходимо знать, что 256 это 2 в восьмой степени или 10000 0000в двоичной системе счисления — 256=2⁸=100000000₂. Соответственно, 255 — это 11111111в двоичной системе счисления — 255₁₀=11111111₂. Правильный ответ — 4 (8 единиц).

Второй способ:

Этот способ заключается в переводе числа 255 из десятичной системы счисления в двоичную и подсчете единиц:

Как видим, количество единиц восемь. Правильный ответ 4.

Автор:

Источник

Эта презентация может помочь разобраться в решении задания №16 ЕГЭ по информатике. Материал для презентации был взят с сайта К. Полякова (http://kpolyakov.spb.ru). В презентации рассмотрены решения некоторых заданий типа: сколько единиц в двоичной записи числа 81023 + 21024 – 3 и т.п.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа

«Подготовка к ЕГЭ по информатике. (примеры решения заданий 16 по теме «Кодирование чисел. Системы счисления» .»

ЕГЭ 2015

16 (повышенный уровень, время – 2 мин)

Тема : Кодирование чисел. Системы счисления.

Подготовительный материал взят с сайта http://kpolyakov.spb.ru

Что нужно знать:

Пример 1

Пример 2

Ответ: 221

Пример 3

Примеры для закрепления:

Сколько единиц в двоичной записи числа 8 1023 + 2 1024 – 3?
Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2016 + 2 2018 – 6?
Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2014 + 2 2015 – 9?
Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2015 + 2 2015 – 15?
Сколько единиц в двоичной записи числа 8 2014 – 2 614 + 45?
Сколько единиц в двоичной записи числа 8 1014 – 2 530 – 12?
Сколько единиц в двоичной записи числа 2 2014 – 4 650 – 38?

Ответы:

1024

2017

2015

2013

5432

3038

2010

Решение примера №1

1 единица

1021 единица,

3 нуля

2 единицы

Итого: 1+1021+2=1024

Ответ: 1024 единиц

Решение примера №2

1 единица, 2032 нуля

2015 единиц,

3 нуля

1 единица, 1 нуль

Итого: 1+2015+1=2017

Ответ: 2017 единиц

Решение примера №3

1 единица, 2028 нулей

2011 единиц,

4 нуля

3 единицы

Итого: 1+2011+3=2015

Ответ: 2015 единиц

Решение примера №4

1 единица, 4030 нулей

1 единица,

1 единица

4 нуля

2010 единиц,

5 нулей

Итого: 1+2010+1+1=2013

Ответ: 2013 единиц

Решение примера №5

5428 единиц, 614 нулей

1 единица,

5 нулей

2 единицы,

2 нуля

1 единица

Итого: 5428+1+2+1=5432

Ответ: 5432 единицы

Решение примера №6

2 единицы,

2 нуля

525 единиц,

5 нулей

2511 единиц,

531 нуль

Итого: 2511+525+2=3038

Ответ: 3038 единицы

Решение примера №7

1294 единиц,

713 единиц,

6 нулей

1301 нуль

2 единицы,

3 нуля

1 единица,

1 нуль

Итого: 713+1294+2+1=2010

Ответ: 2010 единиц

Источник

Для того, чтобы узнать, сколько единиц в двоичной записи числа 12F0₁₆, необходимо выполнить несколько действий. Перевести из 16-чной системы счисления в двоичную напрямую сложно. Поэтому:

Сначала переведём это число в десятичную систему счисления (путём умножения).
Затем переведём получившийся результат в двоичную систему счисления.

Шаг 1. Переводим в десятичную систему счисления

(12F0_{16}=0times 16^0+Ftimes 16^1 + 2times 16^2 + 1times16^3 =\ = 0 + 15times16 + 2times 256 + 256times 16 = 0+240+512+4096=4848)

Как быстрее работать со степенями 16-ти?

Гораздо удобнее выучить таблицу степеней двойки (см. в конце) и переводить всё в степени двойки, в этом случае подсчёт делается существенно быстрее:

(0times 16^0+Ftimes 16^1 + 2times 16^2 + 1times 16^3=\ = 0 + 240 + 2times 2^{4^2}+2^{4^3}=\ = 0 + 240 + 2times 2^8 + 2^{12}=\ = 0 + 240 + 2^9 + 2^{12} = \ = 0 + 240 + 512 + 4096 = 4848)

Шаг 2. Переводим из десятичной системы счисления в двоичную

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную. ЕГЭ по информатике, задача 1

4848 = 1001011110000₂

Шаг 3. Считаем количество единиц

Посчитали, получили 6 единиц. Итого, исходное число 12F0₁₆ в двоичной записи имеет 6 единиц.

Таблица степеней двойки

(2^1 = 2 \ 2^2 = 4 \ 2^3 = 8 \ 2^4 = 16 \ 2^5 = 32 \ 2^6 = 64 \ 2^7 = 128 \ 2^8 = 256 \ 2^9 = 512 \ 2^10 = 1024 \ 2^11 = 2048 \ 2^12 = 4096)

Решение №2

Хотелось бы всё же предложить перевод из шестнадцатеричной в двоичную напрямую, это не так уж и сложно. Переведём сначала все цифры в числе в двоичную:

Запишем теперь искомое число 12F0₁₆ с помощью этой таблицы. Получим искомое число в двоичной системе счисления: 1 0010 1111 0000₂. В этом числе всего шесть единиц.

Ответ: 6.

Источник

Решение задач 1 ЕГЭ по информатике 2015 года

Решение задачи А1 демонстрационной версии ЕГЭ 2013:

Просмотр содержимого документа «Подготовка к ЕГЭ по информатике. (примеры решения заданий 16 по теме «Кодирование чисел. Системы счисления» .»

Шаг 1. Переводим в десятичную систему счисления

Шаг 2. Переводим из десятичной системы счисления в двоичную

Шаг 3. Считаем количество единиц

Таблица степеней двойки

Решение №2

Просмотр содержимого документа

«Подготовка к ЕГЭ по информатике. (примеры решения заданий 16 по теме «Кодирование чисел. Системы счисления» .»