Интеграл в егэ по математике базовый уровень

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Формулы для профильного ЕГЭ-2022 по математике

Первообразные

Первообразная:	`F'(x)=f(x)`
Неопределённый интеграл:	`intf(x)dx=F(x)+C`
Определённый интеграл (формула Ньютона-Лейбница):	`int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)`

Таблица первообразных

`f(x)`	`F(x)`		`f(x)`	`F(x)`
`a`	`ax`
`x^n`	`x^(n+1)/(n+1)`		`1/x`	`lnx`
`e^x`	`e^x`		`a^x`	`a^x/lna`
`sinx`	`-cosx`		`cosx`	`sinx`
`1/cos^2x`	`text(tg)x`		`1/sin^2x`	`-text(ctg)x`
`1/(x^2+a^2)`	`1/atext(arctg)x/a`		`1/(x^2-a^2)`	`1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|`
`1/sqrt(a^2-x^2)`	`text(arcsin)x/a`		`1/sqrt(x^2+a)`	`ln|x+sqrt(x^2+a)|`

Файл к занятию 23

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функ­ции  на от­рез­ке

Задание 1. Найдите наибольшее значение функции y=x⁵+20x³−65x на отрезке [− 4; 0]. Ответ: 44

Задание 2. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y = на от­рез­ке [−38; -3]. Ответ: -54
Задание 3. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=  на от­рез­ке .
Ответ: -6

Дополнительно. Найдите наименьшее значение функции y=e^2x−2e^x+8 на отрезке [− 2; 1]. Ответ: 7

Задание 4. Найдите наибольшее значение функции y=15x−3sinx+5 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 5

Дополнительно. Найдите наибольшее значение функции y=59x−56sinx+42 на отрезке [− π/2; 0]. Ответ: 42

Задание 5. Найдите наименьшее значение функции y=13cosx+17x+21 на отрезке [0; 3π/2]. Ответ: 34

Задание 6. Найдите наибольшее значение функции y=25x−25tgx+41 на отрезке [0; π/4]. Ответ: 41

Задание 7. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y= 3x—ln(x+3)³ на от­рез­ке [−2,5; 0]. Ответ: -6
Дополнительно. Най­ди­те точку минимума функ­ции  y= 2x—ln(x+8)² . Ответ: -7

Задание 8. Най­ди­те точку минимума функ­ции  y= (1-2x)cosx + 2sinx +7 на от­рез­ке  Ответ: 0,5

Дополнительно. Найдите точку максимума функции y=(x+5)²​⋅e^2 − x.

Первообразная.

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F‘ (x)= f(x).

Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Пример. Функция F(x)=x³ является первообразной функции f(x)=3x² так как (x³)’=3x². Функции F₁(x)=x³ +5 и F₂(x)=x³ — 7  также являются первообразными функции f(x).  Любая функция вида F(x)=x³ +с, где с – произвольное число, является первообразной функции f(x).

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое.

За­да­ние 9. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [0; 5]. Ответ:1

За­да­ние 10. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=F(x) — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-2;4). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f (x) = 0  на от­рез­ке [−1; 3]. Ответ: 6

Дополнительно. 

1. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2]. Ответ: 3

2. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=F(x) и одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-2;4). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния  f(x) = 0на от­рез­ке [−1; 3]. Ответ: 7.

Задание 11. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

Решение: Т.к f(x)= F`(x), то функция f(x) отрицательна, если F(x) убывает и функция f(x) положительна, если F(x) возрастает. По рисунку определим, сколько точек попали на промежуток убывания F(x). Это точки х₁, х₄, х_8.

Значит, таких точек 3. Ответ: 3

Задание 12. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x₁,x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. В скольких из этих точек функция f(x) положительна? Ответ:6

Криволинейная трапеция

Пусть на отрезке [а; в] задана непрерывная функция, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; в] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией.

Если функция непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; в], а F- ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на этом отрезке[а; в].

S= F(b)-F(a)

За­да­ние 13. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции  y=f(x)  (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x). Ответ:7

Решение: Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции ABCD.  По­это­му

S= F(b) – F(a)= Ответ:7.

За­да­ние 14. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(− 1)−F(− 8), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). Ответ: 20

Каждая функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются на постоянное слагаемое. Совокупность всех  первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается  .

Если F(x) — некоторая первообразная данной функции, то = F(x) + C,  где   C — произвольная постоянная.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием данной функции, или взятием интеграла от данной функции.

Площадь S криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а; в].

S= F(b)-F(a)=

Задание 15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x). Функ­ция F(x)= x³+30x²+302x— одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции y = f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры. Ответ: 6

Задание 16. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x³−3x²+152x−92 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592

Задание 17. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=− x³−92x²−6x+2 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 263

Подборка задач базового ЕГЭ по математике задание №14 — вычисления

Для выполнения задания 14 необходимо уметь выполнять вычисления и преобразования.

Практика ЕГЭ по базовой математике задание №14

Источник	Варианты заданий
time4math.ru	Скачать задания
math100.ru	скачать задания

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 1.1.1, 1.1.3, 1.4.1

Уровень сложности задания — базовый

Максимальный балл за выполнение задания — 1

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на базовом уровне (в мин.) — 5

Смотрите также:

Первообразная

1. На рисунке изображён график функции  — одной из первообразных функции , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения  на отрезке .

2. На рисунке изображён график некоторой функции . Пользуясь рисунком, вычислите  , где   — одна из первообразных функции  .

3. На рисунке изображён график функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

4. На рисунке изображён график некоторой функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

5. На рисунке изображён график функции  , одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале   Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения   на отрезке  

6.  На рисунке изображён график функции  , одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале   Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения   на отрезке  

7. На рисунке изображён график функции  , одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале   Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения   на отрезке  

8. На рисунке изображён график функции  , одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале   Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения   на отрезке  

9. На рисунке изображён график функции  , одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале   Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения   на отрезке  

10. На рисунке изображён график функции  , одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале   Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения   на отрезке  

11. На рисунке изображён график функции  , одной из первообразных некоторой функции  , определённой на интервале   Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения   на отрезке  

12. . На рисунке изображён график некоторой функции . Пользуясь рисунком, вычислите  , где   — одна из первообразных функции  .

13. На рисунке изображён график некоторой функции . Пользуясь рисунком, вычислите  , где   — одна из первообразных функции  .

14. . На рисунке изображён график некоторой функции . Пользуясь рисунком, вычислите  , где   — одна из первообразных функции  .

15. На рисунке изображён график функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

16. На рисунке изображён график функции  .

Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

17. На рисунке изображён график функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

18. На рисунке изображён график функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

19. На рисунке изображён график функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

20. На рисунке изображён график функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

21. На рисунке изображён график функции  . Функция   — одна из первообразных функции  . Найдите площадь закрашенной фигуры.

22. На рисунке изображен график некоторой функции .  Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл  

23. На рисунке изображён график функции  — одной из первообразных функции  , определённой на интервале Найдите количество решений уравнения  на отрезке .

24. На рисунке изображён график функции  — одной из первообразных функции  , определённой на интервале . Найдите количество решений уравнения  на отрезке .

Предварительный просмотр:

• Мне нравится 

 

Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций

Вы в школе уже прошли интегралы? Поняли эту тему?:)

А вы знали, что в ЕГЭ тоже могут попасться интегралы? Да-да, открываем кодификатор и видим: 

4.3 Первообразная и интеграл

– 4.3.1 Первообразные элементарных функций

– 4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии)

Но не волнуйтесь. В школьной программе интегралы – не сложные. Это не проблема, это скорее возможность получить легкие баллы!!!

И это значит, что пора смотреть наше видео.

Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций

В этом видео мы расскажем вам, какие типы задач на интегралы и первообразную могут быть в ЕГЭ, и научим их решать.

И да, в институте без знания производной и интегралов делать нечего. Совсем. Там не будет времени разбираться с ней, так что лучше займитесь ей сейчас.

Важно: перед этим уроком повторите производную! 

Ведь проходить интегралы без производной – это как вычислять арксинус, не зная, что такое синус:)

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org – email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж – c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Что думаете об интегралах на ЕГЭ?

Попадутся или нет на экзамене?

Насколько сложно понять и научиться решать задачи именно для вас?

Будете ли вы учить эту тему перед ЕГЭ.

Напишите нам в комментариях прямо сейчас.

Файл к занятию 29.

Производная. Применение производной. Первообразная.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀ равен производной функции в точке х_0..

Т.е. производная функции в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке (х₀; f(x₀)).

Задание 1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Ответ: 0,25

Задание 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. Ответ: 0,6

Задание 3. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. Ответ: -0,25

Задание 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. Ответ: -0,2.

Механический смысл производной.

v ( t₀ ) = x’ ( t₀ )

 скорость – это производная координаты по времени.  Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: 

a = v’ ( t ).

Задание 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12 t²+4 t+27, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2 с. Ответ: 52

Задание 6. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=16 t³+t²−8 t+180, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 42 м/с? Ответ: 1

Достаточный признак возрастания (убывания) функции

1. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.

2. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.

Необходимое условие экстремума

Если точка х₀ является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то f `(x₀ )=0

Достаточное условие экстремума

Если f `(x₀) = 0 и при переходе через точку x₀ значение производной меняет знак с «+» на « — », то x₀ является точкой максимума функции.

Если f `(x₀) = 0 и при переходе через точку x₀ значение производной меняет знак с « — » на «+», то x₀ является точкой минимума функции.

Задание 7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].

Ре­ше­ние. Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4. Значит, такая точка 1. Ответ: 1.

Задание 8. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x​7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? Ответ: 3

Задание 9. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11 ; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7 ; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0. Ответ: -4

Задание 10. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (2 ; 13). Найдите точку максимума функции f(x). Ответ: 9

Задание 11. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 3; 8). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: -2

Задание 12. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2 ; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ: 3

Задание 13. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней. Ответ: 5

Задание 14. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=− 2x−10 или совпадает с ней. Ответ: 5

 Задание 15. Прямая y=5x-8 является касательной к графику функции 4x²-15x+c. Найдите c. Oтвет: 17.

Первообразная

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F‘ (x)= f(x).

Задание 16. На рисунке изображён график y=F (x) одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  f (x)=0 на отрезке  [2;11]. Ответ: 4

За­да­ние 17. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [0; 5]. Ответ:1

Задание 18. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? Ответ: 3

Задание 19. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x³−3x²+152x−92 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592

Алгоритм нахождения точек экстремума

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции  f ‘(x)

3. Найти точки, в которых f ‘(x) = 0.

4. Отметить на числовой прямой область определения функции и все нули производной.

5. Определить знак производной для каждого промежутка. (Для этого подставляем «удобное» значение  x из этого промежутка в f ‘(x)).

6. Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере (max или min) в каждой из этих точек.

Задание 20. Найдите точку максимума функции y=(2x−1)cosx−2sinx+5, принадлежащую промежутку (0 ; π/2). Ответ: 0,5

Задание 21. Найдите точку максимума функции y=. Ответ: 6

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке

1. Найти производную функции f ‘(x).

2. Найти точки, в которых f ‘(x) = 0. Проверить принадлежность этих точек отрезку

3. Найти значение функции на концах отрезка и в данных точках.

4. Выбрать из полученных значений наибольшее или наименьшее.

Задание 22. Найдите наименьшее значение функции y=x−6x+1 на отрезке [2 ; 25]. Ответ: -31

Задание 23. Найдите наименьшее значение функции y=8cosx+30x/π+19 на отрезке [− 2π/3; 0]. Ответ: -5

Дополнительно. 1. Найдите точку максимума функции y=(x−11)^2​⋅e ^x − 7.

2. Найдите наибольшее значение функции y=х⁵-5х³-20х на отрезке [− 9 ; 1]. Ответ:48