Интересные задания егэ по математике профиль

Здравствуйте, дорогие выпускники! Грустный факт — все задачи с кратким ответом на самом экзамене (профильный уровень) безошибочно решает лишь небольшая часть сдающих, а именно около 25 процентов школьников. К сожалению, почему-то, статистики по России найти не удалось, может у вас есть точные данные или официальный анализ, можете написать в комментариях.

Но факт остаётся фактом и при том пренеприятным. Да! Порой сразу после экзамена наступает озарение – ту же осознаются ошибки и хочется ударить от негодования по рядом стоящему дереву, но что толку. Драгоценные баллы уже бездарно потеряны …

Даже подготовленные ребята, допускают «смешные» ошибки, или на несложном примере теряют неоправданно много времени. Почему? Как говориться – есть причины и нюансы.

Разберём несколько «хитреньких» заданий. Конечно, на самом деле никаких ловушек для вас составители задач не планировали, просто так их называют в быту.

В этой статье сделан акцент на некоторых из них отдельно. Они просты, но почему-то при решении ребята частенько ошибаются. Итак!

26644. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Обратите внимание, что 9570 рублей это зарплата после удержания 13%. Значит разделив 9570 на 87 мы узнаем сколько рублей соответствуют 1 проценту, далее остаётся умножить полученный результат на 100, и мы определим заработную плату до удержания:

Многие привыкли решать через составление пропорции.

Всю зарплату (а она нам неизвестна) – это х рублей принимаем за 100%.  9570 рублей это зарплата после удержания и соответствует она 87 процентам. Пропорция:

9570  рублей     —    87%

х    рублей         —  100 %

Вычисляем:

Ответ: 11000

*В чём допускают ошибку и почему?

Многие очень привыкли к типу заданий, где данная в условии величина есть именно та, которую нужно принять за 100 процентов. И начинают «придумывать» такие пропорции как:

9570  рублей     —    100%

х    рублей        —    87 %

В результате получают величину меньше 9570 и записывают её как ответ. Просто оцените изначально – если сказано, что это зарплата после удержания, то понятно, что в итоге мы должны получить число больше чем 9750.

77349. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

25 процентов от 60 это:

Значит в октябре виноград стал стоить 60+15=75 рублей.

20 процентов от 75 это:

Значит в ноябре он стал стоить 75+15=90 рублей.

*Можно решить используя следующую форму записи (суть одна):

Определим цену килограмма после первого подорожания:

Определим цену после второго подорожания, при чём считать будем уже относительно цены 75 рублей:

Ответ: 90

*В чём допускают ошибку?

После первого подорожания считают, что второе  подорожание происходит относительно начальной цены в 60 рублей. И получают, что второй раз цена выросла на

В итоге получают 75+12=87 рублей.

Ребята, забудьте про начальную цену! Всё: второе подорожание происходит относительно 75 рублей. Это вроде бы и понятно, но начинаем чудить зачем-то.

77368. Решите уравнение

Используем формулу квадрата суммы (разности) двух чисел (выражений):

Вычисляем:

Проверка:

Верно.

Ответ: -1,5

*Что сказать?…

После того, как пример появился перед глазами, так и хочется приравнять выражения стоящие под знаками квадратов (и некоторые это делают):

Что получаем? Решения нет! Как нет? Так не бывает… И начинаем думать – как  же так? Может составители заданий ошиблись? А то и паника начинается.

Если видите, что у вас квадраты выражений, то сразу применяйте формулы сокращённого умножения.

Кстати, такая ошибка чревата. Будет у вас например задание:

Решить (2х+5)²=(6х+1)². Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Приравняете вы выражения под корнями и получите 1.  А верным ответом является совсем другое число.

**Есть ещё вариант решения. Можно перенести выражение стоящее справа в левую сторону и использовать формулу разности квадратов:

77382. Решите уравнение log_х–549=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Всё вроде бы просто. По свойству логарифма:

Решаем квадратное уравнение:

*Можно было сразу определить, что выражение, стоящее под знаком квадрата равно 7 или –7, так как только эти два числа  при возведении в квадрат дают 49 и решить можно было так:

корни равны 12 и –2.

Важно! Обратите внимание, что при х = –2 основание логарифма имеет отрицательное значение (известно, что его основание должно быть положительным).  Если вы просто выберите меньший корень не проверив его по условию определения логарифма, то ответ запишите не верным. Решением является корень 12.

Ответ: 12

*В чём допускают ошибку? Не проверяют корни на соответствие условию логарифма. Получили два корня и выбрали меньший из них, и ошибка получилась.

27437. В параллелограмме АВCD sin A = (√21)/5. Найдите cos B.

Известно, что синусы смежных углов равны. Значит синусы двух любых соседних  углов параллелограмма равны, то есть:

Теперь из основного тригонометрического тождества остаётся найти cos B. Из sin²B+cos²B=1 следует, что

*Перед корнем мы поставили знак «–». Почему?

Из рисунка видно, что угол В тупой (он больше 90 градусов).  А  косинус  угла  от 90 до 180 градусов  отрицателен (см. тригонометрическую окружность).

*В чём допускают ошибку?

Перед  корнем упускают знак минус, и получают положительное число. Это происходит из-за того, что основное тригонометрическое тождество часто используется при решении прямоугольного треугольника и мы настолько привыкаем, что перед корнем у нас стоит плюс, что видимо это как-то отпечатывается в сознании.

**Понятно, в прямоугольном треугольнике углы острые, поэтому и значения тригонометрических функций углов положительны. Но вы помните! При выражении числа (выражения) стоящего под знаком квадрата перед корнем всегда будет «±» и что касается тригонометрического тождества, получим:

То есть сразу при прочтении условия смотрите, какую тригонометрическую функцию какого угла (острого или тупого) нужно найти.

Если это тупой угол, то косинус, тангенс и котангенс должны получиться отрицательными.

Если это острый угол, то все тригонометрические функции должны быть положительными.

Ответ: –0,4

В следующем задании никаких хитростей нет, но оно вызывает вопросы. Не паникуйте! Помните, что практически все логарифмические уравнения решаются через применение основных свойств логарифма.

315121. Найдите корень уравнения

Скажите, кому из вас знакомо свойство:

Если знакомо, то отлично! Вы можете использовать его смело:

И далее

*Только не забудьте о том, что выражение стоящее под знаком логарифма больше нуля, то есть проверьте корень.

А как быть если это свойство вы не знаете? Решаем по шагам используя «обычные» свойства (они вам должны быть знакомы):

Проверим выражение под знаком логарифма:

Ответ: 6

Ещё есть ряд задач без каких-то там «хитростей». И вероятность того, что вам они на ЕГЭ попадут мала, но она есть. Данные формулы в школьном курсе используются редко, поэтому имейте их ввиду.

27923. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Применим формулу радиуса окружности описанной около треугольника:

Площадь вычислим по формуле Герона:

Значит:

Вычисляем полупериметр:

Таким образом:

Ответ: 25

*Площадь треугольника также можно определить вычислив высоту опущенную из вершины С. Указанную высоту можно найти используя теорему Пифагора.

**Также зная данную высоту можно найти синус угла А, и далее для вычисления радиуса использовать следствие из теоремы синусов.

Но формулы указанные ниже помнить нужно!

1. Площадь треугольника (формула Герона):

2. Формула радиуса описанной окружности:

3. Формула радиуса вписанной окружности:

Данные задания включены вкнигу «Самые хитрые задачи ЕГЭ по математике». Там собрано более 180 заданий, которым следует уделить особое внимание. Рекомендуем к изучению!

Начала теории вероятностей

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Решение. В среднем без дефектов выпускают 92 сумки из каждых 100, поэтому искомая вероятность равна 0,92.

Ответ: 0,92.

2.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

По условию из любых 100 + 8 = 108 сумок в среднем 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

 Ответ: 0,93.

3. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение. Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

…Д…Ш…Н…, …Д…Н…Ш…, …Ш…Н…Д…, …Ш…Д…Н…, …Н…Д…Ш…, …Н…Ш…Д…

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна

 Ответ: 0,33.

4. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение. Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна

Ответ: 0,498.

5. На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18 — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение. В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30 : 300 = 0,1.

 Ответ: 0,1.

6. В классе 26 учащихся, среди них два друга  — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

Ответ: 0,48.

7. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

Ответ: 0,25.

8. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

9. За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.

Решение. Рассмотрим сидящую за столом девочку. За столом есть два места через одно от нее, на каждое из которых претендует 200 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна 

Ответ: 0,01

 10. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

Решение. По результатам первой жеребьёвки команда «Барселона» находится в одной из 8 групп. Вероятность того, что команда «Зенит» окажется в той же игровой группе равна одной восьмой.

Ответ: 0,125.

11. У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Решение. У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Таких монет 12 + 6 = 18. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72. Ответ: 0,72.

12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение. Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:

OOO,  OОР,   ОРО,   ОРР,   РОО,   РОР,  РРО,   РРР

Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна  то есть 0,375. (Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)

Ответ: 0,375.

13. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,14.

14. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение. Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек. Тем самым, она равна

Ответ: 0,25

15. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение. На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра, равна 5 : 10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

16. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Решение. Натуральных чисел от 10 до 19 включительно десять, из них на три делятся три числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3:10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

17. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение. Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

18. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение. Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,375.

19. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение. Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Ответ: 4.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Решение. Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Вероятности сложных событий

1. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Тогда

Ответ: 1,2

Приведем решение Ирины Шраго.

Вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 5 орлов, к общему количеству вариантов:  Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 4 орла, к общему количеству вариантов:  Тогда отношение этих вероятностей 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно 

Тогда

2. В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение. Сначала найдём вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу. Заметим, что вероятность выбросить комбинацию 5 и 6 очков складывается из двух несовместных событий: на первом кубике выпало 5 очков, а на втором кубике выпало 6 очков или на первом кубике выпало 6 очков, а на втором кубике выпало 5 очков. Тогда вероятность того, что при броске двух игральных костей выпадет комбинация 5 и 6 очков, равна

Вероятность противоположного события, состоящего в том, что при одном броске костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет, равна

Каждое бросание костей не зависит от предыдущего. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу, равна  Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что при двух бросаниях игральных костей комбинация 5 и 6 очков выпадет хотя бы один раз, равна

Округляя до сотых, получаем ответ.

Ответ: 0,11.

3. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «Сумма очков превысила число 3 ровно за два броска». Красным цветом отмечены исходы, неудовлетворяющие этому.

Искомая вероятность равна

Округляя до сотых, получаем 0,42.

Ответ: 0,42.

4. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Решение. Вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток, равна сумме вероятностей того, что сообщение будет передано с первой попытки, и того, что сообщение будет передано со второй попытки. Вероятность неудачной отправки равна 1 − 0,4 = 0,6. Тогда искомая вероятность равна

Ответ: 0,64.

5. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение. Пусть событие A — пациент болен, событие B — тест выявляет наличие заболевания. Тогда P(A) = x — вероятность того, что пациент болен. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна P(AB) = x · 0,86. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна  Отсюда выразим x:

Тогда вероятность того, что тест оказался положительным у пациента, который действительно имеет заболевание, равна

Ответ: 0,43.

6. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Решение. Вероятность попадания в мишень равна 0,2. Вероятность противоположного события — промаха — равна 1 − 0,2 = 0,8. Заметим, что вероятность попадания с n-го раза равна 1 − 0,8n. Таким образом, задача сводится к решению неравенства

При n = 2 получаем  При n = 3 получаем  При n = 4 получаем  При n = 5 получаем  Таким образом, ответ — 5.

Ответ: 5.

7. В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Последовательность исходов, приводящая к событию «первый раз синий фломастер появится третьим по счету» выделена оранжевым цветом. Искомая вероятность равна

Ответ: 0,2.

8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение. Сначала найдём вероятность попасть в мишень с первого или второго выстрела:  Соответственно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, равна 1 − 0,84 = 0,16.

Вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» равна 0,845. Для нахождения вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени» воспользуемся формулой Бернулли:

Теперь найдём искомое отношение вероятностей:

Ответ: 1,05.

9. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

Решение. Поскольку команда A победила в первых трёх играх, она является либо сильнейшей среди всех команд, либо второй по силе, либо третьей по силе. Рассмотрим три случая.

Первый случай — команда A — сильнейшая. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxxA, где x — некоторая команда. Тогда есть 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 120 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку команда A является сильнейшей, вероятность выигрыша в четвёртом раунде равна 1.

Второй случай — команда A является второй по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxAx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A может располагаться одна из двух ещё не проигравших ей команд, значит, есть 2 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1 · 1 = 48 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, одна из которых слабее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0,5.

Третий случай — команда A является третьей по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxAxx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A могут располагаться две ещё не проигравшие ей команды, а слева — три проигравших ей команды, значит, есть 3 · 2 · 1 · 1 · 2 · 1 = 12 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, обе из которых сильнее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0.

Таким образом, поскольку известно, что некоторые три команды слабее команды A, всего имеется 120 + 48 + 12 = 180 способов расположить шесть команд по силе. Так как три вышеперечисленных случая — несовместные события, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна

Ответ: 0,8.

10. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Решение. Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.

Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна  Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна

Аналогично, вероятность события C:

Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:

Теперь найдём искомую вероятность:

Ответ: 0,125.

____________________________________________________________________

7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 

Ответ: 0,027.

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Ответ: 0,65.

9. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час, наносекунду и т. д. — равна нулю. Тогда:

P(A + B + С) = P(A) + P(B) + P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

11. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

Ответ: 0,31.

12. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна

Ответ: 0,02.

13. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

14. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Решение. 

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Ответ:5

16. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение. Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

Ответ: 0,32.

17. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

18. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

19. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому, по формуле полной вероятности, Джон промахнется с вероятностью 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

20. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019.

21. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно  и 

События быть больным или быть здоровым образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим: 

Ответ: 0,0545.

22. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате следующих событий: батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или батарейка исправна, но по ошибке забракована. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно  и 

События быть неисправной батарейкой или быть исправной образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим:

Ответ: 0,0296.

23. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Это решение можно записать коротко. Пусть x — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда  — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75.

 25. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

для вероятности поступления имеем:

Ответ: 0,408.

26. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

.

28. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение. Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок:  тарелок. Поскольку качественных из них  вероятность купить качественную тарелку равна

Округляя результат до сотых, получаем 0,98.

Ответ: 0,98.

29. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

30. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

31. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение. Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

32. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что первый раз стрелок промахнулся, а со второго выстрела поразил мишень. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B является произведением двух независимых событий, поэтому его вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91.

33. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.

Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Мотор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

34. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение. При двукратном бросании кубика 8 очков может получиться только в пяти случаях: 6 + 2, 5 + 3, 4 + 4, 3 + 5 и 2 + 6. При этом во второй раз только единожды выпало 3 очка. Значит, вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка при условии, что в сумме выпало 8 очков, равна одной пятой.

Ответ: 0,2.

35. При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 9 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?

Решение. При двукратном бросании игральной кости 9 очков может получится только в четырёх случаях: 6 + 3, 5 + 4, 4 + 5 и 3 + 6. При этом 5 очков выпадало в двух из этих случаев. Значит, вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков равна

Ответ: 0,5.

36. Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Решение. Условию, что при двукратном броске игральной кости три очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов (отмечены оранжевым цветом). Событию «сумма выпавших очков равна 8» соответствуют 3 из них (отмечены зелёным цветом). Значит, искомая вероятность равна

Ответ: 0,12.

37. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

Решение. Пусть событие A состоит в том, сумма всех выпавших в результате одного или нескольких бросаний очков равна 4. Построим дерево вариантов, приводящих к этому событию.

Найдем вероятность P(A):

Пусть событие B состоит в том, что был сделан один бросок. Тогда искомая вероятность P(B|A) события В при условии, что событие А наступило (вероятность того, что был сделан один бросок, при условии что выпало 4 очка) определяется по формуле условной вероятности  Вероятность произведения событий B и A, то есть события, в котором при первом бросании кости выпало 4 очка, равна  Тогда для искомой вероятности получаем:

Ответ просят округлить до сотых.

Ответ: 0,63.

Примечание.

Любознательный читатель наверняка обратит внимание на различие в способах решения этой задачи и задачи 508762. В задаче 508762 подсчитывалось общее количество вариантов, с помощью которых можно получить заданную сумму очков, а затем количество подходящих вариантов делилось на общее количество. В данной задаче общее количество вариантов равно 8: 4, 1 + 3, 3 + 1, 2 + 2, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1. Подходящий вариант только один. Однако эти варианты не являются равновероятными, поэтому нельзя делить количество подходящих вариантов на общее количество вариантов, а необходимо рассчитывать вероятности вариантов и использовать формулу, приведенную в решении данной задачи.

38. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «сумма выпавших очков равна 3». Оранжевым цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «сумма очков, выпавших ровно за два броска равна 3».

Тогда вероятность события «сделано два броска» при условии «в сумме выпало 3 очка» равна:

Ответ просят округлить до сотых.

Ответ: 0,24.

39. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,8.

40. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,9.

41. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,2.

42. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,1.

43. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 4 и 6 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,8.

44. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 4 и 6 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,2.

45. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 5 и 6 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 5 и 6 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,9.

46. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

Решение. Заметим, что вероятность получения новой принцессы равна  а вероятность противоположного события — получение старой принцессы —  Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 2 шоколадных яйца, равна  Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 3 шоколадных яйца, равна  Таким образом, искомая вероятность — 0,16 + 0,032 = 0,192.

Ответ: 0,192.

47. Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.

Решение. Чтобы выйти к фонтану Артёму нужно пройти три развилки. На первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — одну из двух, на третьей — одну из двух. Значит, вероятность выйти к фонтану равна 

Выйти к пруду Артём может двумя разными способами. Первый способ: на первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — одну из двух. Вероятность этого способа равна  Второй способ: на первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — две из четырёх. Вероятность этого способа тоже равна 

Значит, вероятность того, что Артём выйдет к пруду или фонтану, равна 

Ответ: 0,3125.

48. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Решение. При трёхкратном бросании игральной кости 6 очков может получится только в десяти случаях: 1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1, 3 + 1 + 2, 3 + 2 + 1, 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1 и 4 + 1 + 1. При этом 3 очка выпадает в шести из этих случаев. Значит, вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка равна

Ответ: 0,6.

49. В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение. Женщин среди взрослого населения 100 % − 48 % = 52 %, среди них 52 % · 0,15 = 7,8% пенсионерок. Всего в городе 12,6 % пенсионеров, поэтому мужчин-пенсионеров 12,6 % − 7,8 % = 4,8 % от взрослого населения города. Поскольку всего среди взрослого населения города 48 % мужчин и среди них 4,8 % пенсионеров, пенсионером является каждый десятый:  Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером равна 0,1.

Ответ: 0,1.

Приведём другое решение.

Пусть х  — доля мужчин-пенсионеров среди всех мужчин. Построим дерево вероятностей (см. рис.).

Пенсионеры составляют 0,126 взрослого населения города, откуда получаем:

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером, равна 0,1.

50. В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение. Заметим, что возможны два случая, когда выбраны один синий и один красный фломастер: сначала выбрали синий, потом красный; сначала выбрали красный, потом синий. Эти события несовместны, следовательно, искомая вероятность равна P(С; К) + P(К; С):

Ответ: 0,16.

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Тренировочные варианты профильного ЕГЭ 2023 по математике с ответами.admin2023-03-05T21:56:54+03:00

Используйте LaTeX для набора формулы

Сдай ЕГЭ! Бесплатные материалы для
подготовки каждую неделю!

null

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных
данных согласно 152-ФЗ. Подробнее

Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике базового и профильного уровня

Полный спектр материалов для подготовки к ЕГЭ по математике + решение задач по всем темам ЕГЭ. В каждой теме и каждой задаче есть свои секреты. О них вам может рассказать только очень хороший учитель или репетитор. Такой, как мы. Читайте, изучайте, скачивайте то, чего не найдёте в учебниках! Вы можете скачать весь курс бесплатно сразу или найти то, что ищете, на этой странице.

Справочник для подготовки к ЕГЭ Анны Малковой
Актуальные видео по математике

к оглавлению ▴

Полный курс для подготовки к ЕГЭ по математике

• ^New

  ЕГЭ-2022, математика. Все задачи с решениями

• ^New

  Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения

• ^New

  Тренировочная работа от 28.09.2021, Статград. Задача №18 (Числа и их свойства)

• ^New

  Новые задачи по теории вероятностей из Открытого Банка заданий ЕГЭ, 2021-2022 год

• ^New

  Комплексные числа на ЕГЭ по математике

• ^New

  ЕГЭ-2021, Математика. Все задачи

• ^New

  Тренировочная работа № 3. Задачи 13-19

• ^New

  Задача с секретом о пиратах и дукатах из сборника И. В. Ященко

• Стрим 20 августа 2020 года. Лучшие задачи ЕГЭ-2020

• ЕГЭ-2020 по математике. Сложные задачи, неравноценные варианты и одно неравенство для всей страны

• Тренировочная работа 18 декабря 2019 года. Задача 19
• Учителю и репетитору: Методика, программы подготовки к ЕГЭ, поурочные планы
• Тесты и варианты ЕГЭ с решениями и ответами
• Алгебра – основные понятия и формулы
• Теория вероятностей
• Текстовые задачи
• Решение уравнений
• Решение неравенств
• Тригонометрия
• Планиметрия
• Стереометрия
• Функции и графики. Производная и первообразная
• «Экономические» задачи на ЕГЭ по математике
• Задачи с параметрами
• Нестандартные задачи на числа и их свойства
• Советы и рекомендации для подготовки к ЕГЭ по математике

к оглавлению ▴

Профильный ЕГЭ по математике. Все задачи

• Задание 1. Планиметрия
• Задание 2. Стереометрия
• Задание 3. Теория вероятностей. Основные понятия
• Задание 4. Теория вероятностей, повышенный уровень сложности
• Задание 5. Простейшие уравнения
• Задание 6. Вычисления и преобразования
• Задание 7. Производная и первообразная
• Задание 8. Задачи с прикладным содержанием
• Задание 9. Текстовые задачи
• Задание 10. Функции и графики
• Задание 11. Исследование функций
• Задание 12. Уравнения на ЕГЭ по математике
• Задание 13. Стереометрия на ЕГЭ по математике
• Задание 14. Неравенства на ЕГЭ по математике
• Задание 15. «Экономические» задачи на ЕГЭ по математике
• Задание 16. Планиметрия на ЕГЭ по математике
• Задание 17. Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
• Задание 18. Задачи на числа и их свойства на ЕГЭ по математике Нестандартные задачи
• Таблица перевода баллов ЕГЭ, Профильный уровень

Как решалась задача №17 на ЕГЭ-2018?

к оглавлению ▴

Варианты Статград

^New

Тренировочная работа № 3. Задачи 13-19

Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Восток

Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Восток

Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Запад

Тренировочная работа 24.01.19. Вариант Восток

Тренировочная работа 18.12.19 Вариант Запад

Тренировочная работа 30.09.20

Диагностическая работа 16.12.20

Досрочный ЕГЭ 2020 года, Профильная математика

Новая задача 18 Профильного ЕГЭ по математике (числа и их свойства), январь, восток

Новая задача 18 Профильного ЕГЭ по математике, Параметры, 24 января 2019, запад

Новая задача 16 Профильного ЕГЭ по математике, Геометрия, январь, запад

к оглавлению ▴

Задачи из сборника И. В. Ященко, 2021 год

• Вариант 1, Задача 13
• Вариант 6, Задача 13
• Вариант 11, Задача 13
• Вариант 17, Задача 13
• Вариант 22, Задача 13
• Вариант 28, Задача 13
• Вариант 1, Задача 15
• Вариант 3, Задача 15
• Вариант 5, Задача 15
• Вариант 12, Задача 15
• Вариант 17, Задача 15
• Вариант 24, Задача 15
• Задача 18. Пираты и дукаты

к оглавлению ▴

Задачи из сборника И. В. Ященко, 2020 год

• Вариант 6, задача 14
• Вариант 8, задача 15
• Вариант 32, задача 15
• Вариант 36, задача 15
• Вариант 2, задача 16
• Вариант 4, задача 16
• Вариант 6, задача 16
• Вариант 8, задача 16
• Вариант 12, задача 16
• Вариант 1, задача 17
• Вариант 5, задача 17
• Вариант 11, задача 17
• Вариант 26, задача 17
• Вариант 36, задача 17
• Вариант 27, задача 19

к оглавлению ▴

Новые варианты для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ с ответами и решениями:

к оглавлению ▴

Выберите раздел:

к оглавлению ▴

Необходимый минимум

• • Задача 1. Решается всегда!
  • Задача 2. Чтение графика функции

• Теория вероятностей. Основные понятия.

• ^{Видео бесплатно!}

  Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Полный курс.

• Текстовые задачи. Движение и работа
• Текстовые задачи. Проценты, сплавы, растворы…
• ЕГЭ без ошибок. Вычисляем без калькулятора

к оглавлению ▴

Планиметрия

• Геометрия. Формулы площадей фигур.
• Программа по геометрии. Список необходимых фактов и теорем.
• Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
• Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
• Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла
• Высота в прямоугольном треугольнике
• Сумма углов треугольника
• Углы при параллельных прямых и секущей
• Высоты, медианы, биссектрисы треугольника
• Четырёхугольники
• Параллелограмм
• Прямоугольник
• Ромб
• Квадрат
• Трапеция
• Окружность. Центральный и вписанный угол
• Касательная к окружности
• Вписанные и описанные треугольники. Теорема синусов
• Вписанные и описанные четырёхугольники
• Правильный треугольник
• Правильный шестиугольник
• Векторы и операции над ними
• Геометрия в школе: засада для абитуриента
• Геометрический парадокс: Прямой угол равен тупому
• Геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе

к оглавлению ▴

Алгебра

• Числовые множества
• Степени и корни.
• Что такое функция?
• Чтение графика функции
• Парабола и квадратные неравенства.
• Степенная функция
• Показательная функция
• Показательные уравнения
• Логарифмы
• Логарифмическая функция
• Элементарные функции и их графики
• Показательные и логарифмические неравенства. 1
• Показательные и логарифмические неравенства. 2
• Число e

• ^{Видео бесплатно!}

  Производная функции. Геометрический смысл производной

• Таблица производных и правила дифференцирования
• Модуль числа
• Уравнения и неравенства с модулем
• Метод интервалов

к оглавлению ▴

Тригонометрия

• Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
• Тригонометрические формулы. Необходимый минимум

• ^{Видео бесплатно!}

  Формулы приведения

• Тригонометрические формулы. Сводка для части 1
• Тригонометрические формулы. Сводка для части 2
• Тригонометрические функции
• Простейшие тригонометрические уравнения, 1
• Простейшие тригонометрические уравнения, 2
• Тригонометрические уравнения

к оглавлению ▴

Стереометрия

• Многогранники: формулы объема и площади поверхности
• Тела вращения: формулы объема и площади поверхности
• Задачи по стереометрии часть 1: Просто применяем формулы
• Задачи по стереометрии часть 2: Приемы и секреты
• Задача 14 (часть 2 ЕГЭ по математике). Программа по стереометрии
• Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей
• Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые
• Параллельность прямой и плоскости
• Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости
• Параллельность плоскостей
• Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей
• Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до плоскости
• Теорема о трёх перпендикулярах
• Параллельное проецирование
• Как строить чертежи в задачах по стереометрии
• Векторы и метод координат в задаче 14, часть 2 ЕГЭ по математике
• В.М. Мамаева. «Перпендикулярность. Книга для учащихся»
• В.М. Мамаева. «Перпендикулярность. Книга для учителя»
• В.М. Мамаева. «Тела вращения. Книга для учащихся»
• В.М. Мамаева. «Тела вращения. Книга для учителя»

к оглавлению ▴

Часть 2 (задачи 13 — 19) на ЕГЭ по математике.

^Видео

Задача 13: Уравнения на ЕГЭ по математике. Полный курс.

^Видео

Задача 14: Стереометрия на ЕГЭ по математике. Полный курс. Оба метода — классика и векторы. Более 3 часов видео.

^Видео

Задача 15: Неравенства на ЕГЭ по математике. Полный курс в двух частях.

^Видео

Задача 16: Геометрия на ЕГЭ по математике. Полный курс. Более 5 часов видео.

^Видео

Задачи по математике с экономическим содержанием. Задача 17 на ЕГЭ по математике и задачи олимпиад по экономике.

^{Видео бесплатно!}

Задача 18: Параметры на ЕГЭ по математике. Графический метод.

^Видео

Задача 18: Параметры на ЕГЭ по математике. Полный курс. Более 5 часов видео.
Задача 19 на числа и их свойства на ЕГЭ по математике.

Задача 19 на ЕГЭ по математике 2016 года. Решение.
Задача 19 на ЕГЭ по математике 2017 года. Решение.

^Видео

Впервые! Видеокурс «Ключ к С6». Нестандартные задачи на ЕГЭ по математике.

к оглавлению ▴

Советы и рекомендации по подготовке к экзамену

• Справочники для подготовки к ЕГЭ по математике
• Методика подготовки к ЕГЭ по математике Анны Малковой
• ЕГЭ по математике – советы и рекомендации
• Репетитор по математике
• Подготовиться к ЕГЭ самостоятельно и бесплатно
• Математика и жизнь. Из воспоминаний бывалого студента.
• Книги и учебники для подготовки к ЕГЭ по Математике
• Как подготовиться к ЕГЭ по математике?
• Как распределить время на ЕГЭ по математике
• Подготовка к ЕГЭ по Математике с нуля
• Самостоятельная подготовка к ЕГЭ по математике

к оглавлению ▴

Об этом сайте:

• Каждый год на этом сайте готовятся к ЕГЭ сотни тысяч учащихся. Нас рекомендуют учителя и репетиторы. Автор сайта, на котором вы находитесь, — репетитор-профессионал, ведущая курсов подготовки к ЕГЭ на высшие баллы, руководитель компании «ЕГЭ-Студия» Анна Георгиевна Малкова.
  Также вы можете выбрать базовый уровень подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.