Интерференция егэ физика задачи

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

В нашей традиционной рубрике «Физика для чайников» сегодня решение задач. Тема – интерференция света. Разберем несколько типовых задач и ответим на вопросы.

Хотите читать не только о скучных задачах, но и получать актуальные студенческие новости? Подпишитесь на наш телеграм! А за скидками на услуги и акциями для клиентов добро пожаловать на наш второй канал.

Интерференция света: решение задач

Чтобы решать задачи, сначала нужно изучить теорию. Также мы собрали вместе формулы, которые пригодятся для решения задач по интерференции света, и не только. А тем, кто еще не знает, как вообще подступиться к физическим задачам, рекомендуем почитать общую памятку. А теперь, примеры решения задач по интерференции.

Задача №1 на интерференцию света

Условие

Высота радиомаяка над уровнем моря H = 200 м, расстояние до корабля d = 5,5 км. Определить оптимальную высоту мачты корабля для приема сигналов с длиной волны равной 1,5 м.

Решение

В данном случае волна, исходящая от радиомаяка, интерферирует с волной, отражённой от поверхности воды. Условие m-го максимума:

ym=2m-1dλ4H

Для нахождения оптимальной высоты мачты примем m=1:

y=dλ4H=5500·1,54·200=10,3м

Ответ: 10,3 м.

Задача №2 на интерференцию света

Условие

Источник света S с длиной волны 400 нм создает в схеме Юнга два когерентных источника, помещенных в бензол (n = 1,5). В точку А на экране луч от первого источника дошел за t1 =2,0000*10-10 c, а от второго за t2 =2,0002*10-10 c. Определить разность фаз колебаний в точке А и порядок интерференции k.

Решение

Найдем расстояния l1, пройденное лучом:

l1=v·t1=cn·t1l1=3·1081,5·2,0000·10-10=4 см

Найдем расстояние l2:

l2=v·t2=cn·t2l2=3·1081.5·2,0002·10-10=4,0004 см

Таким образом, разность хода составляет:

 ∆х=0,0004 см=4·10-6 м

Найдем разность фаз:

∆φ=2π∆хλ∆φ=2π·4·10-64·10-7=62,8

Условие максимума для интерференции:

∆φ=±2πk2πk=62,8

В данной точке порядок интерференции k=10.

Ответ: ∆φ=62,8 ; k=10.

Задача №3 на интерференцию света

Условие

Найти расстояние от точки 0 на экране P в установке бипризмы Френеля до m-ой светлой полосы, если показатель преломления бипризмы n = 1,5, длина волны 500 нм, преломляющий угол  альфа = 3 мин.26сек. (m = 6, а = 0,2 м, в = 1 м).

Решение

Условие максимума в данном случае:

∆=mλ

Из рисунка можно получить, что:

h=∆a+b2l=mλa+b2l

где 2l – расстояние между источниками, m-порядковый номер максимума.

Из рисунка:

2l=2a·sinφ=2aφ

Последнее предполоежение сделано вследстиве малости угла.

Тогда получаем:

h=mλa+b2aφ

Связь между преломляющим углом бипризмы Θ и φ определяется известной формулой: 

n-1θ=φ

В итоге:

h=mλa+b2an-1θ

Подставляя численные значения получаем:

h=6·5·10-7·0,2+12·0,21,5-1·9,99·10-4=1,8·10-2 м

Ответ: 1,8 см.

Задача №4 на интерференцию света

Условие

На стеклянный клин нормально к поверхности падает пучок света (λ = 582 нм). Угол клина равен 20″. Какое число интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла равен 1,5.

Решение

Ширина интерференционных полос при интерференции на прозрачном клине равна:

B=λ2nα=585·10-9·3600·1802·1,5·20·3,14=2·10-3 м

Найдем число интерференционных полос, приходящихся на один сантиметр клина:

N=10-22·10-3=5 см-1

Ответ: 5 полос на сантиметр

Задача №5 на интерференцию света

Условие 

Найти радиус кривизны стеклянной плоско-выпуклой линзы, примененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего светлого кольца равен 1,4 мм; длина волны 589 нм. Кольца наблюдаются в отраженном свете.

Решение

В отраженном монохроматическом свете радиусы светлых колец равны:

r=2m+1Rλ2

Радиус кривизны линзы R найдем из этой формулы:

R=4r22m+1λ=4·1,4·10-322·3+1·589·10-9=1,9 м
 

Ответ: 1,9 м. 

Нужно больше задач по оптике? У нас есть!

Вопросы на интерференцию света

Вопрос 1. Что такое интерференция?

Ответ. Интерференцией называется постоянное во времени явление взаимного ослабления и усиления колебаний в разных точках среды в следствии наложения когерентных волн.

Вопрос 2. Когда можно наблюдать интерференцию?

Ответ. Это явление наблюдается при наложении двух или нескольких световых пучков. Интенсивность света в области перекрытия пучков имеет характер чередующихся темных и светлых полос, причем в максимумах интенсивность больше, а в минимумах меньше суммы интенсивностей пучков.

Вопрос 3. Приведите примеры интерференции, с которыми мы часто сталкиваемся в жизни.

Ответ. Проявление интерференции света:

• цвета  масляных пятен и мыльных пузырей на асфальте;
• окраска замерзающих оконных стекол; 
• цветные рисунки на крыльях некоторых жуков и бабочек.

Вопрос 4. Что влияет на интенсивность света в конкретной точке интерференционной картины?

Ответ. Интенсивность света в данной точке пространства определяется разностью фаз колебаний световых волн.

Вопрос 5. Проявлением какой природы света является интерференция: волновой или корпускулярной?

Ответ. Интерференция – проявление исключительно волновой природы.

Проблемы с решением задач? Обращайтесь в профессиональный сервис помощи учащимся в любое время суток!

Слайд 1

Методические аспекты подготовки к ЕГЭ темы: ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА Учитель МОУ СОШ №41 Гусева Наталия Павловна

Слайд 2

Интерференция — явление сложения волн по амплитудам векторов и ( но не по интенсивностям !)

Слайд 3

Две волны, накладываясь друг на друга в точке пространства, интерферируют , при условии когерентности (одинаковые длины волн и разность фаз const ). В результате интерференции эти волны могут 1.«Убить» друг друга ( темное пятно, волны столкнулись в противофазе, суммарная интенсивность I=0 ) 2.Усилить друг друга (очень яркое пятно т.к. интенсивность результата сложения двух волн больше суммы интенсивности каждой отдельной волны)

Слайд 4

Результат сложения двух волн зависит от расстояний d 1 и d 2 . Условия интерференционных максимума Условия интерференционных минимума

Слайд 5

Интерференция света в тонких плёнках

Слайд 6

Типы задач в КИМ ах ЕГЭ на интерференцию света: Примеры явления интерференции (пленки, просветление оптики) Все возможные варианты применения условий max и min интерференции

Слайд 14

Два точечных источника расположены в вакууме и испускают световые волны с частотой 5·10 14 Гц и одинаковыми начальными фазами. Разность расстояний от источников до некоторой точки равна 0,9 мкм. В этой точке наблюдается: Интерференционный максимум. 2 . Интерференционный минимум. 3 . Промежуточная между максимумом и минимумом интенсивность света. 4 . Мало информации для ответа. S 1 S 2 Δ d P

Слайд 15

Плоская монохроматическая волна с длиной волны 550 нм падает на непрозрачную пластину с двумя очень маленькими отверстиями перпендикулярно пластине. За пластиной расположен экран, на котором наблюдается интерференционная картина. В точке А (см. рисунок) разность хода лучей, прошедших отверстия, составляет нм . В точке наблюдается : Интерференционный максимум. 2 . Промежуточная между максимумом и минимумом интенсивность. 3. Интерференционный минимум. 4 . Среди приведенных ответов нет правильного.

Слайд 16

www.en.edu.ru physics.ru elementy.ru physoptirf.ru Видеолекция Пенкина Михаила Александровича преподавателя кафедры общей физики МФТИ, заведующего кафедры физики ЦОО Фоксфорд , Интернетресурсы:

Интерференция света.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ:  интерференция света.

В предыдущей теме Интерференция волн мы разобрались с интерференцией волн, излучённых двумя одинаковыми когерентными точечными источниками. Теперь давайте включим электрическую лампочку, а затем — такую же вторую рядом с ней. Как вы хорошо знаете по опыту, освещённость окружающего пространства равномерно возрастёт, и никакой интерференционной картины вокруг лампочек не возникнет. Почему же?

Оказывается, что две лампочки, пусть и совершенно одинаковые, всегда будут некогерентными источниками света. А вот чтобы понять, почему лампочки некогерентны, надо немного поговорить об излучении света атомами.

к оглавлению ▴

Волновой цуг.

Откуда вообще берётся свет? Видимый свет излучается атомами различных тел. Механизм излучения света относится квантовой физике, но для понимания оптических интерференционных явлений знать хотя бы в общих чертах, как атомы излучают свет, надо обязательно. Поэтому обсудим вкратце этот вопрос.

Обычным состоянием атома, в котором он может пребывать неограниченно долго, является основное, или невозбуждённое состояние. Когда атом находится в основном состоянии, электроны, окружающие ядро атома, максимально заполняют ближайшие к ядру орбиты. Потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром принимает своё минимальное значение, и говорят, соответственно, что
в основном состоянии атом обладает наименьшей энергией.

Но атом обладает способностью поглощать энергию. Под действием внешних факторов — например, в результате соударений с другими атомами или поглощения света — атом может перейти в возбуждённое состояние. Это значит, что какой-либо электрон покидает «насиженное место» на своей основной орбите и переходит на орбиту, расположенную дальше от ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром при этом возрастает; соответственно, в возбуждённом состоянии энергия атома больше, чем в основном. Величина , на которую энергия возбуждённого состояния превышает энергию основного состояния, в точности равна энергии, поглощённой атомом.

Опыт показывает, однако, что в возбуждённом состоянии атом долго не пробудет и в итоге вернётся в основное состояние. В процессе этого перехода энергия атома уменьшится и снова примет своё минимально возможное значение. Куда же при этом денется энергия — ?

Атом вернёт поглощённую энергию в виде излучения. В результате перехода из возбуждённого состояния в основное атом излучает электромагнитный импульс — так называемый волновой цуг (рис. 1).

Рис. 1. Излучение атомом волнового цуга

Длительность цуга порядка ; соответственно, длина цуга м. Частота цуга может находиться в видимом диапазоне, и тогда цуг будет регистрироваться человеческим глазом.

Итак, свет — это поток цугов, излучённых атомами. Так, атомы спирали лампочки при прохождения электрического тока совершают интенсивное тепловое движение и сталкиваются друг с другом, переходя в возбуждённое состояние; затем, возвращаясь в основное состояние,они испускают цуги видимого света. Вот почему лампочка горит!

Ну а теперь самое главное. Из возбуждённого состояния в основное атом переходит в случайный, непредсказуемый момент времени. Это означает, что моменты испускания цугов различными атомами никак не согласованы между собой!

Цуги, образующие свет, даже если и обладают одной частотой, имеют совершенно произвольные начальные фазы и потому являются некогерентными. Вот почему от двух одинаковых лампочек не получается устойчивой интерференционной картины: излучаемые ими пучки света состоят из некогерентных цугов и не могут интерферировать друг с другом.

Как же тогда быть? Можно ли вообще наблюдать интерференцию света? Оказывается, можно! Замечательная идея, позволяющая «обхитрить» некогерентные цуги и добиться необходимой когерентности, состоит в том, чтобы использовать изображения одного и того же источника. Они-то будут когерентными! Давайте посмотрим, как работает эта идея, на примере одного из первых классических интерференционных опытов — зеркал Френеля.

к оглавлению ▴

Зеркала Френеля.

На рис. 2 изображена схема этого эксперимента. Два плоских зеркала и образуют почти развёрнутый угол и создают два близко расположенных изображения и точечного источника света . Вдали расположен экран; ширма закрывает экран от прямых лучей источника. На экран, таким образом, попадают лишь лучи, отражённые от зеркал.

Рис. 2. Интерференционный опыт с зеркалами Френеля

Световые лучи, как всегда, изображены зелёным цветом. Направления лучей мы уже не указываем, чтобы не загромождать рисунок. К тому же, у вас позади геометрическая оптика, так что вы легко поймёте ход лучей и без указания их направления

Лучи, отражённые зеркалом , образуют пучок , который как бы исходит из мнимого изображения источника . Аналогично, лучи, отражённые зеркалом , образуют пучок , как бы исходящий из мнимого изображения .

Эти пучки оказываются когерентными, поскольку когерентны мнимые источники и . Действительно, эти источники суть изображения одного и того же источника , поэтому их частоты совпадают и сдвиг фаз между ними равен нулю. Следовательно, в области , где перекрываются пучки, можно наблюдать устойчивую интерференционную картину! Фактически, в каждой точке данной области в каждый момент времени накладывается сам на себя один и тот же цуг — с одним и тем же, фиксированным для данной точки сдвигом фаз, определяемым разностью хода от источников и .

Теперь мы видим, что данная ситуация совершенно аналогична задаче об интерференции волн двух когерентных точечных источников, разобранной в конце предыдущего листка. В частности, ширина интерференционных полос, наблюдаемых в опыте с зеркалами Френеля, равна , где и — расстояние от прямой до экрана. Величины и несложно найти геометрически.

к оглавлению ▴

Интерференция в тонких плёнках

Глядя на переливающийся различными цветами мыльный пузырь, на радужные отблески масляных или бензиновых пятен на поверхности воды, вы, оказывается, наблюдаете не что иное, как интерференцию света!

Давайте посмотрим на рис. 3. На поверхность тонкой прозрачной плёнки падает световой луч .

Рис. 3. Интерференция в тонкой плёнке

Падающий луч расщепляется на два луча: отражённый луч и преломлённый луч . После вторичного отражения и преломления из плёнки выходит второй луч , параллельный отражённому лучу.

Оба луча фокусируются собирающей линзой в точке . Это может быть самая обычная линза (при наблюдении интерференционной картины на экране) или оптическая система нормального глаза (при непосредственном разглядывании).

Обе волны и , будучи частями одной и той же волны , являются когерентными. Действительно, в точке сходятся две копии одного цуга с некоторым фиксированным сдвигом фаз между собой; этот сдвиг фаз обеспечивается разностью хода между волнами и . Поэтому волны и интерферируют друг с другом, давая картину чередующихся максимумов и минимумов в окружающем пространстве.

Предположим, что плёнка освещается белым светом. Как вы знаете, белый свет является смесью волн с различными частотами; эти частоты отвечают цветам от красного до фиолетового. Пусть, например, разность хода между волнами и равна целому числу длин волн красного света. Тогда красная составляющая белого света усилит сама себя, и отражённый плёнкой свет нам будет казаться красным.

При небольшом изменении угла падения (или толщины плёнки) изменится и разность хода. Поэтому, если поверхность плёнки является неровной (или если мы посмотрим чуть с другого направления), то новая разность хода может стать равна целому числу длин волн, например, зелёного света. Теперь произойдёт усиление зелёной составляющей белого света, и отражённый от плёнки свет мы увидим зелёным.

Всё это мы наблюдаем, рассматривая мыльный пузырь. Перемещение его поверхности приводит к постоянному изменению разности хода для данного ракурса. Происходит усиление то одного цвета, то другого, и в результате пузырь переливается цветами радуги.

к оглавлению ▴

Кольца Ньютона.

Возьмём плоско-выпуклую линзу с достаточно большим радиусом сферической поверхности и положим её выпуклостью вниз на стеклянную пластину. Если глядеть сверху, то сквозь линзу можно увидеть интерференционную картину в виде концентрических колец (рис. 4)

Рис. 4. Кольца Ньютона в красном свете

Это кольца Ньютона; они изучались Ньютоном при освещении как белым, так и монохроматическим светом. Происхождение колец Ньютона вполне аналогично интерференции в тонких плёнках (рис. 5).

Рис. 5. Происхождение колец Ньютона

Падающий луч расщепляется на два луча 1 и 2, отражённых соответственно от сферической поверхности линзы и от пластины; между этими лучами возникает разность хода, и они интерферируют между собой. Все три луча, изображённые на рисунке, в реальности почти сливаются друг с другом из-за малой кривизны поверхности линзы.

Вычислим радиусы светлых колец Ньютона. Пусть точка падения луча на сферическую поверхность находится на расстоянии y от пластины (рис. 6).

Рис. 6. К расчёту радиусов колец

Пусть — радиус кривизны сферической поверхности линзы, — расстояние от точки
падения до оси симметрии линзы. Имеем:

.

Поскольку воздушная прослойка очень тонка (), величиной можно пренебречь по сравнению с :

.

Отсюда

.

Как видно из рис. 5, путь второго луча превышает путь первого луча примерно на 2y. Однако разность хода будет больше, чем 2y, поскольку вмешивается один важный эффект.

На рис. 7 слева показано отражение на границе воздух-стекло. Обратите внимание: фаза отражённой волны отличается на от фазы падающей волны. Оказывается, это общий факт:при отражении от оптически более плотной среды (то есть от среды с большим показателем преломления) происходит изменение фазы колебаний на , что равносильно сдвигу отражённой волны относительно падающей на половину длины волны.

Рис. 7. Отражение со сдвигом на полволны и без него

Справа на рис. 7 показано отражение на границе стекло-воздух. Изменения фазы нет! И это общий факт:при отражении от оптически менее плотной среды фазы отражённой и падающей волн совпадают.

Возвращаясь теперь к рис. 5 и 6, мы видим, что луч 2 не только проходит дополнительный путь 2y, но и сдвигается на полволны при отражении на границе воздух-пластина. Луч 1 не испытывает такого сдвига, поскольку отражается на границе линза-воздух. Поэтому разность хода d между лучами 1 и 2 оказывается больше, чем 2y, на половину длины волны:

.

Светлые кольца будут в местах интерференционных максимумов, когда разность хода равна целому числу длин волн. Имеем:

.

Отсюда получаем радиусы светлых колец:

.

Как видим, радиус растёт с увеличением номера кольца. Кроме того, радиус кольца с заданным порядковым номером возрастает при переходе от фиолетового цвета к красному (поскольку увеличивается длина волны).

Радиусы тёмных колец вычисляются аналогично — надо только разность хода d приравнять к нечётному числу длин полуволн. Проделайте это самостоятельно и получите выражение:

.

Радиусы тёмных колец увеличиваются пропорционально квадратному корню из номера кольца. Тёмное кольцо в центре картины — это интерференционный минимум, который возникает из-за полуволнового сдвига второго луча при отражении от стеклянной пластины. Здесь y= 0, и поэтому разность хода равна

к оглавлению ▴

Просветление оптики.

Пожалуй, самым широким на сегодняшний день применением интерференции света служит просветление оптики. Расскажем вкратце, что это такое.

Свет, падающий на линзу, частично отражается назад; доля отражённого света обычно составляет несколько процентов. Объективы современной оптической техники представляют собой системы линз (числом до нескольких десятков). В результате отражений на поверхности каждой линзы происходит значительное ослабление света: в сумме на отражениях может теряться до 90% световой энергии. Освещённость изображений предметов, даваемых такой оптической системой, будет чрезвычайно низкой.

Как уменьшить потери на отражение? Для этого на поверхность линзы наносят интерференционное покрытие в виде тонкой плёнки (рис. 8).

Рис. 8. Просветление оптики

Толщина покрытия подбирается так, чтобы отражённые волны 1 и 2 были сдвинуты на полволны и, интерферируя, погасили друг друга. Тогда не будет потерь на отражение, и вся световая энергия пройдёт через линзу. Изображение получится более ярким — оптика «просветляется».

Толщина интерференционного покрытия зависит, разумеется, от длины волны, и добиться полного гашения отражённых волн во всём видимом диапазоне не получается. Покрытие обычно подбирается так, чтобы при отражении гасилась средняя, жёлто-зелёная часть видимого спектра (в которой лежит максимум интенсивности солнечного излучения). Поэтому в отражённых лучах доминируют крайние части спектра — красная и фиолетовая; их смесью, например, является хорошо известный вам сиреневый отблеск объектива фотоаппарата.

Интерференция. Тонкие пленки

Предлагаю вашему вниманию несколько задач по волновой оптике. Задачи в основном на «просветление оптики».

Задача 1.

Синус предельного угла полного внутреннего отражения при переходе света из стекла в воду равен . Чему равен абсолютный показатель преломления стекла, если абсолютный показатель преломления воды равен ?

Решение. Известно, что

Следовательно,

А так как

То

Ответ: 1,5

Задача 2.

Два полупрозрачных зеркала расположены параллельно друг другу. На них перпендикулярно плоскости зеркал падает световая волна длиной 600 нм. Чему должно быть равно минимальное расстояние между зеркалами, чтобы наблюдался первый минимум при интерференции отраженных световых волн?

Решение. Разность хода лучей составит удвоенное расстояние между зеркалами (один луч отразится от первого зеркала, а второй проникнет сквозь первое, дойдет до второго, отразится от него и снова пройдет расстояние между зеркалами). Чтобы при интерференции этих двух лучей наблюдался минимум, нужно, чтобы в разности хода укладывалось нечетное число длин полуволн.

Где . Так как нам нужно минимальное расстояние, примем .

Ответ: 150 нм.

Задача 3.

На поверхность стекла нанесена тонкая пленка толщиной 180 нм с показателем преломления пленки . На пленку нормально падает свет с длиной волны 504 нм. При каком значении показателя преломления пленки будет наблюдаться максимальное отражение света?

Показатель преломления пленки больше показателя преломления воздуха, значит, при отражении луча от этой границы раздела будет потеряна половина длины волны. Но показатель преломления стекла больше показателя преломления пленки, значит, на этой границе раздела тоже будет потеряна половина длины волны. Луч, проникший в пленку, проделает путь больший, чем луч, отразившийся от нее, на две толщины пленки.

Геометрическая разность хода равна , где — толщина пленки. А оптическая разность хода равна . И необходимо, чтобы в этой разности хода укладывалось четное число длин полуволн (чтобы наблюдался максимум освещенности).

Ответ: 1,4

Задача 4.

На поверхность стекла с показателем преломления нанесена пленка толщиной 110 нм с показателем преломления . Для какой длины волны видимого света  она будет просветляющей (т.е. отраженные лучи практически полностью гасятся)? Ответ выразите в нм.

Решение. Здесь отличие в том, что при интерференции должен наблюдаться минимум освещенности. Снова, как и в предыдущей задаче, полволны теряется на обеих границах раздела сред. Поэтому

Примем ,

Ответ: 682 нм.

2 комментария

Примеры решения задач к теме

8.2. Интерференция света Основные формулы и методические указания

1.
Оптическая длина пути, проходимого
световым лучом в однородной среде с
показателем преломления n

(8.
2. 4)

где l
—
геометрическая длина пути светового
луча.

2.
Оптическая разность хода двух световых
лучей

(8.
2. 5)

3.
Условия возникновения максимума и
минимума интенсивности света от 2-х
когерентных источников соответственно

(8.
2. 6)

и

(8.
2. 7)

где l
— длина световой волны в вакууме,

—
порядок соответствующего максимума
или минимума интенсивности света.

4.
Положение на экране (от его центра)
последовательно расположенных максимумов
и минимумов интенсивности света
соответственно

(8.
2.

и

(8.
2. 9)

где .

5.
Расстояние между интерференционными
полосами на экране, полученными от двух
когерентных источников света

(8.
2. 10)

где — расстояние от экрана до источников,

— расстояние между когерентными
источниками, причем

6.
Оптическая разность хода световых
лучей, отраженных от двух поверхностей
тонкой пластины или пленки, по обе
стороны которых одинаковые среды

(8.
2. 11)

где — толщина пластины или пленки,

— показатель их преломления,

— угол преломления,

— длина световой волны в вакууме.

7.
Условия образования максимумов и
минимумов интенсивности света в
отраженном свете от тонкой плоскопараллельной
пластины или пленки соответственно:

(8.
2. 12)

и

(8.
2. 13)

где — угол падения светового луча на пластину
или пленку.

8.
Радиусы темных и светлых колец Ньютона
в отражении света соответственно, при
условии, что между линзой и пластиной
вакуум (воздух)

(8.
2. 14)

(8.
2. 15)

Здесь
— радиус кривизны поверхности линзы,
соприкасающейся с параллельной пластиной,— длина световой волны в среде между
линзой и пластиной,— порядковый номер кольца (соответствует центральному темному
пятну).

Задачи
на интерференцию света делятся в основном
на две группы: на интерференцию волн от
двух когерентных источников и на
интерференцию в тонких пластинах
(пленках). К задачам первой группы
относятся случаи интерференции,
получаемые с помощью щелей Юнга (опыт
Юнга), зеркала Ллойда, зеркал Френеля,
а также бипризмы Френеля. Для расчета
интерференционной картины в этом случае
используются формулы (8.2.7), (8.2.8) и (8.2.9),
предварительно определив (если это
необходимо) положение двух когерентных
источников. Вторую группу составляют
задачи на интерференцию как в
плоскопараллельных, так и в клинообразных
тонких слоях, а так же задачи на кольца
Ньютона. В этом случае соотношение
(8.2.10) позволяет вычислить оптическую
разность 2-х интерферирующих лучей,
отраженных от обеих поверхностей слоя.
По условиям (8.2.11) и (8.2.12) определяют
результат интерференции.

При
интерференции света, известной под
названием колец Ньютона, роль тонкой
пленки играет прослойка (обычно воздушная)
между пластиной и выпуклой поверхностью
прижатой к ней линзы. Формулы (8.2.13) и
(8.2.14) для радиусов колец выведены в
предположении, что эта прослойка окружена
одинаковыми средами, то есть пластинка
и линза должны иметь одинаковые показатели
преломления.

В
качестве примера решения задач по этой
теме, рассмотрим следующие задачи.

З а д а ч а  8. 2. 1
Свет от точечного монохроматического
источника
с длиной волным
падает на экран «Э» (рис. 8.2), в
котором имеются два маленьких отверстияи(опыт Юнга), расположенных на расстоянии3 м
от экрана. Расстояние междуим
().
Определить расстояние между максимумами
интенсивности света смежных
интерференционных полос (ширину светлой
или темной полосы) на экране.

Дано: СИ м; м; 3 м.	Решение Рис. 8. 2
-?

Искомое
расстояние между максимумами интенсивности
смежных интерференционных полос на
экране
определяется
как разность расстояний от центра
картины (т. 0) до двух соседних темных
полос с номерамии,
то есть

Для
нахождения
ивоспользуемся
условием образования минимума
интенсивности света от 2-х когерентных
источников для чего из рис. 8.2 найдем
геометрическую разность хода 2-х лучей

где:

Вычитая
из первого второе, получим

или

Откуда
так как

Из
условия минимума
находим, что

(для
).

Следовательно,
ширина темных и светлых полос одинакова,
и равна

.

Подставляя
числовые значения, рассчитаем

м.

Ответ:
м.

З а д а ч а  8. 2. 2
Два когерентных источника, расстояние
между которыми
мм
удалены от экрана нам.
На длине экранасм
располагаетсяполос. Чему равна длина волны
монохроматического света, падающего
на экран.

Дано: СИ м; м; м; .	Решение Так как ширина одной полосы (см. задачу 8.2.1) , то . Откуда
-?	м.

Ответ:
м.

З а д а ч а  8. 2. 3
В опыте Юнга на пути одного из лучей
монохроматического света с длиной волны
м
поместили перпендикулярно лучу тонкую
стеклянную пластину с показателем
преломления.
При этом центральная светлая полоса
сместилась в положение, первоначально
занимаемое пятой светлой полосой. Какова
толщина стеклянной пластины?

Дано: СИ м; ;	Решение Внесенная пластина изменяет оптическую разность хода световых лучей на величину Так, что теперь, условие возникновения максимума интенсивности света определяется выражением
-?

.

Откуда

м.

Ответ:

м.

З а д а ч а  8. 2. 4
На мыльную пленку с
падает под углом 60⁰
параллельный пучок белого света.
Определить наименьшую толщину пленки,
при которой в отраженном свете пленка
имеет желтую окраску (м).

Дано: СИ м;; 600.	Решение В пучке белого света, упавшем на пленку, лучи с длиной волны , отразившись от верхней и нижней поверхностей пленки (см. рис. 8.1) в результате интерференции усилят друг друга, если выполнится условие (8.2.10):
-?

Отсюда
толщина пленки равна

.

Минимальную
толщину пленки будем иметь при
.

м.

Ответ:
м.

З а д а ч а  8. 2. 5
Для уменьшения потерь света при отражении
от линзы фотоаппарата на поверхности
объектива (линзы) с показателем преломления
наносится тонкая прозрачная пленка с.
При какой наименьшей ее толщине произойдет
максимальное ослабление отраженного
света, длина волны которого приходится
на среднюю часть видимого спектра см.
Считать, что лучи падают нормально к
поверхности объектива.

Дано: СИ м; ; ; .	Решение Свет, падая на объектив, отражается как от передней, так и от задней поверхности тонкой пленки. Ход лучей для случая их наклонного падения (для ясности чертежа) показан на рис. 8.3, отраженные лучи 1 и 2 интерферируют. Так как , то оба луча 1 и 2 отражаются от оптически более плотной среды, а, следовательно, «теряют». Значит в выражении(8.2.1) теперь следует отбросить
-?

Рис.
8.3

величину

и тогда, с учетом того, что в задаче угол
падения равен нулю, полная разность
хода световых лучей составит,а
условие минимума интенсивности света
теперь будет таким

.

Откуда

Следовательно,
искомая минимальная толщина пленки
будет при условии
то есть

м.

Это
очень тонкая пленка, поэтому на практике
изготовляют пленку толщиной
,
естественно увеличиваяв нечетное число раз.

Ответ:
м.

З а д а ч а  8. 2. 6
На стеклянный клин с
нормально к его грани подает параллельный
пучок лучей монохроматического света
с длиной волным.
Числоинтерференционных полос приходящихся
насм
равно.
Определить уголклина.

Дано: СИ м; ; м; .	Решение Лучи падая нормально к грани клина, отражаются как от верхних, так и от нижних границ. Лучи 1 и 2 являются когерентными. Поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы. Так как угол <<1, то отраженные лучи 1 и 2 (рис. 8.4) будут практически параллельны
-?

Рис. 8.
4

Темные
полосы в отраженном свете видны на тех
участках клина, для которых полная
разность хода световых лучей кратна
нечетному числу половин длин волн, то
есть определяются тем же условием
минимума интенсивности света, что и для
плоскопараллельной пластины соответствующей
толщине клина

(1)

Здесь
учтено, что угол падения лучей равен
нулю.

Из
(1) следует, что

;. (2)

Искомый
угол
при основании клина найдем из прямоугольного
треугольника, с учетом (2):

Так
как угол
<<1,
то,
и тогда

рад.

Для
того, чтобы выразить
в градусах, воспользуемся соотношением
между радианом и градусом, получим

.

Используя
соотношение между радианом и секундой:

рад,

получим .

Ответ:
или.

З а д а ч а  8. 2. 7
Найти радиус кривизны плосковыпуклой
линзы, лежащей на плоскопараллельной
стеклянной пластине, освещаемая нормально
падающим на неё монохроматическим
светом длиной волны
м.
Радиус восьмого темного кольца Ньютона
в отраженном свете равен 2 мм.

Дано: СИ м; ; м.	Решение Пучок параллельных лучей монохроматического света падает нормально к границе воздушного клина, заключенного между выпуклой стороной линзы и стеклянной пластиной. Падающий луч отражается частично от воздушного зазора (рис. 8.5) на кривизне линзы (луч 1), а частично
-?

о

Рис.
8.5

т стеклянной пластины (луч 2). Лучи
1, 2 когерентны. И в результате их положения
на выпуклой стороне линзы наблюдается
интерференция кольца. Темные кольца
видны в тех местах, где полная разность
хода этих лучейравна нечетному числу половин длин
волн, то есть

(1)

где – толщина
воздушной прослойки в том месте, где
видно интерференционное кольцо;

– длина
волны падающего света;

– номер темного кольца.

Величина
в (1) – добавочная разность хода,
возникающая при отражении луча 2 от
оптически более плотной среды (пластина).

После
упрощений, равенство (1) дает

. (2)

Из
прямоугольного треугольника ОАВ
(рис. 8.5) имеем

.

С
учетом того, что
,
получаем

. (3)

Из
(2) и (3) следует, что
,
откуда искомый радиус кривизны линзы
равен

м.

Ответ:
м.

Примеры решения расчетных задач:

Задача 1.В опыте Юнга два когерентных источника S₁ и S₂ расположены на расстоянии d = 1 мм друг от друга. На расстоянии L = 1 м от источника помещается экран. Найдите расстояние между соседними интерференционными полосами вблизи середины экрана (точка А), если источники посылают свет длины волны λ = 600 нм.

Решение:

Интерференционная картина на экране состоит из чередующихся темных и светлых полос, параллельных щелям S₁ и S₂. Интерференционная картина симметрична относительно центральной полосы, проходящей через точку А (рис. 1). Центральная полоса светлая, она соответствует разности хода Δ = 0.

В точках интерференционных максимумов оптическая разность хода

Δ=λ , где =0, 1, 2,… ; (1)

Условие интерференционных минимумов имеет вид:

; (2)

Предположим, что в точке В находится k-й максимум на расстоянии y_kот центральной полосы. Ему соответствует разность хода Δ= r₂ — r₁= k λ .

Из треугольника S₁BC видно, что , а из треугольника S₂BD видно, что .

Из двух последних уравнений получим:

.

Учтём , что ; . Тогда , откуда:

; (3)

Используя для максимумов условие (1), получим:

;

где k = 1, 2, 3, … соответствуют интерференционным максимумам, расположенным выше точки А, а максимумам, расположенным ниже точки А, соответствуют k = -1, -2, -3, … Точке А соответствует центральный максимум (k = 0).

Используя условие интерференционных минимумов (2), можно найти их расстояния от центральной полосы по формуле (3):

;

Расстояние между соседними интерференционными максимумами (минимумами) называется шириной полосы и соответствует изменению k на единицу, то есть :

;

Ширина темных и светлых полос одинакова.

Ответ:

;

Задача 2. В опыте Юнга интерференционная картина по мере удаления от середины размывается, и при k = 4 полосы исчезают. Почему?

Решение:

В опыте Юнга интерференционная картина представляет чередование интерференционных максимумов и минимумов в виде полос, параллельных щелям S₁ и S₂. В центре интерференционной картины расположена светлая полоса (k = 0). По обе стороны от центральной полосы расположены максимумы ±1, ±2, ±3, ±4 порядков интерференции. Разность хода между интерферирующими волнами по мере удаления от центральной полосы увеличивается. При этом по мере удаления от центра ухудшается видность и четкость интерференционной картины, полосы размываются и исчезают, по условию последний максимум наблюдается при k = 4. Исчезновение полос означает, что колебания, пришедшие от двух источников S₁ и S₂, некогерентны. Пока их разность хода не превышала 4 λ, они были когерентны. Следовательно, максимальная разность хода, при которой наблюдается интерференция, будет равна:

;

Величина называется длиной когерентности. Если оптическая разность хода превышает длину когерентности, интерференционная картина не наблюдается.

Задача 3.Покажите, что при преломлении в призме с малым преломляющим углом α и показателем преломления n луч отклоняется на угол δ ≈(n — 1)α независимо от угла падения, если угол падения также мал. Призма находится в воздухе, n₀ = 1.

Решение:

По построению δ-внешний угол треугольника DCB (рис. 2), он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

δ= φ- β+ β₁— φ₁;

Согласно закону преломления,

.

По условию угол φ, а значит и β малы, то есть Sinφ≈φ, Sinβ≈β, (выраженному в радианах), тогда nβ=φ, nφ₁=β₁. Подставив значения φ и β₁ в формулу для δ, получим :

.

Из треугольника СВК: β+φ₁=α (α- внешний угол, равный преломляющему углу призмы по построению). Таким образом,

.

Задача 4. Найдите число полос интерференции N, получающихся с помощью бипризмы, если показатель преломления бипризмы n = 1,5, преломляющий угол рад, длина волны источника λ=600 нм. Расстояние от источника до бипризмы равно а = 1 м, расстояние от бипризмы до экрана равно b = 4 м.

Решение:

Лучи от источника S, падающие на бипризму, после преломления отклоняются от первоначального направления на угол δ≈α(n-1) (см. Задача 3). Продолжение этих лучей до точки пересечения дает изображение двух мнимых источников S₁ и S₂ (рис. 3). Они являются когерентными источниками, поэтому в области перекрытия АВ когерентных волн, распространяющихся от этих источников, на экране наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся темных и светлых полос, как и в опыте Юнга. Центральный максимум интерференционной картины (k = 0) проходит через точку О экрана. Максимумы более высоких порядков находятся на расстоянии y_k от центра (см. Задача 1).

Ширина полосы :

.

Здесь L=a+b расстояние от источников до экрана, d — расстояние между мнимыми источниками. Из треугольника SS₁K:

.

Тогда ширина интерференционной полосы:

.

Число интерференционных полос в области интерференции АВ равно:

.

Величину области перекрытия АВ найдем из подобных треугольников CS₁S и СОВ:

.

Число наблюдаемых полос интерференции будет равно:

.

Ответ: .

Задача 5. В опыте Ллойда (рис. 4) световая волна, исходящая непосредственно из источника S (узкой щели), интерферирует с волной, отраженной от зеркала 3. В результате на экране Э образуется система интерференционных полос. Расстояние от источника до экрана L = 100 см. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране Δу = 0,25 мм, а после того как источник отодвинули от плоскости зеркала на h = 0,6 мм, ширина полос уменьшилась в η= 1,5 раза. Найдите длину λ световой волны.

Решение: В точке М интерферируют две когерентные волны 1 и 2, исходящие из источника S. По построению волну 2 можно считать исходящей из источника , , являющегося мнимым изображением источника S в зеркале 3. Они симметрично расположены относительно плоскости зеркала, обозначим расстояние между ними . Если зеркало S отодвинуть на h, то новое расстояние между равно (рис. 5). Для определения длины волны λ используем выражение для ширины полосы из опыта Юнга, применив его для двух расстояний между источниками.

Δ y = λL / d; (4).

; (5).

По условию Δ y = η Δ y₁, тогда . Выразим от сюда

; (6)

Подстановка (6) в (4) дает:

;

Ответ:.

Задача 6.На рис. 6 показана схема интерферометра для измерения показателей преломления прозрачных веществ. Здесь S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом λ = 589 нм, К — коллиматор, дающий параллельный пучок лучей, 1 и 2 — две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых см, Д — диафрагма с двумя щелями S₁ и S₂ . Когда воздух в трубке 1 заменили аммиаком, то интерференционная картина на экране Э сместилась вверх на N = 17 полос. Показатель преломления воздуха n = 1,000277. Определите показатель преломления аммиака.

Решение: Волны, распространяющиеся от щелей S₁ и S₂, являются когерентными. На экране Э наблюдается интерференционная картина чередующихся темных и светлых полос. Центральная светлая полоса проходит через точку О и соответствует оптической разности хода Δ = 0, если трубки 1 и 2 заполнены воздухом. Если в трубке 1 воздух заменить аммиаком, показатель преломления n₁ которого больше n, то центр интерференционной картины сместится вверх на N полос в точку, соответствующую разности хода, равной нулю, то есть

.

Отсюда

.

Заметим, что интерференционный метод определения показателя преломления является высокоточным методом.

Ответ:.

Задача 7.Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 10 см разрезана пополам и половинки раздвинуты на расстояние d = 0,5 мм (билинза Бийе). Оцените число интерференционных полос на экране, расположенном за линзой на расстоянии D = 60 см, если перед линзой имеется точечный источник монохроматического света с длиной волны λ= 500 нм, удаленный от нее на расстояние а = 15 см.

Решение:

Каждая из половинок билинзы Бийе дает изображение источника S. Верхняя половина дает изображение S₁, нижняя дает изображение S₂ (рис. 7). Чтобы получить изображение S₁, выберем два луча: первый луч SC после преломления в линзе пересечет фокальную плоскость РР в точке К, получившейся от пересечения с фокальной плоскостью побочной оптической оси О₁О₁, параллельной лучу SC. Второй луч SA проходит, не преломляясь, через точку А до пересечения с первым лучом в точке S₁, являющейся изображением S в верхней половине билинзы Бийе. Аналогично построим изображение S₂.

Источники S₁ и S₂ когерентны, поэтому в области пересечения световых волн от этих источников на экране получим интерференционную картину как в опыте Юнга.

Число полос на экране будет равно :

.

Ширина полосы (см. Задача 1) ,), где L = D — b. Величину b найдем из формулы линзы , откуда , где а — расстояние от источника S до линзы, b — расстояние от линзы до изображения S₁, F — фокусное расстояние линзы.

Из подобия треугольников SAB и SS₁S₂ получим:

откуда .

Подставляя d₁ и L в формулу для Δy, получим:

.

Треугольники SAB и SMK подобны, отсюда величина области перекрытия волн

.

Тогда число наблюдаемых полос

.

Ответ:.

Задачи для самостоятельной работы

1. В опыте Юнга отверстия S₁ и S₂ освещались монохроматическим светом с длиной волны λ=600нм. Расстояние d между отверстиями равно 1 мм. Найдите положение трех первых светлых полос на экране, расположенном на расстоянии L = 3 м от отверстий.

Ответ: 1,8 мм; 3,6 мм; 5,4 мм.

2. В опыте Юнга отверстия S₁ и S₂ освещались монохроматическим светом с длиной волны λ=600нм. На пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки, показатель преломления которой n = 1,5. Какова толщина l пластинки?

Ответ: l = 6 10^-3 мм.

3. На пути одного из двух параллельных лучей, распространяющихся в вакууме, поставили плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,5) толщиной 6 см. Чему будет равно время запаздывания τ этого луча?

Ответ: τ = 0,1 нс.

4. Во сколько раз изменится расстояние между соседними светлыми (темными) полосами на экране в опыте Юнга, если зеленый светофильтр (λ₁=650нм).

Ответ: в 1,3 раза увеличится.