в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория:
Атрибут:
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Решите неравенство
Решите неравенство:
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292.
Решите неравенство:
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 384.
Решите неравенство
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 128.
Решите неравенство
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.
Решите неравенство
Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018
Решите неравенство:
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 382.
Решите неравенство:
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 383.
Решите неравенство:
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 401.
Решите систему неравенств
Решите неравенство
Решите неравенство
Решите неравенство
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 90.
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Метод интервалов
Теория к заданию 14 из ЕГЭ по математике (профиль)
Разбор сложных заданий в тг-канале:
Рациональные неравенства
Рациональным называется всякое неравенство, сводящееся к неравенству вида
где P(x), Q(x) — некоторые многочлены.
Поскольку |
то для решения рациональных неравенств удобно применять метод интервалов.
Пример. Решите неравенство
Решение.
Числитель последней дроби разложим на множители. Подбором находим, что x = 2 является корнем многочлена
x3 − x2 − 22x + 40; разделив данный многочлен (уголком или по схеме Горнера) на x − 2, получаем
x3 − x2 − 22 x + 40 = (x − 2)·(x2 + x − 20) = (x − 2)·(x − 4)·(x + 5). Значит, исходное неравенство равносильно системе
Решая первое неравенство этой системы методом интервалов (см. рис. 1)
и выкалывая точки $x = −1, x = 3$, получаем ответ
Определение модуля числа
2. Геометрически |x| есть расстояние от точки x числовой оси до начала отсчёта — точки O.
3. |x − a| есть расстояние между точками x и a числовой оси.
4. Модуль произведения, частного и степени.
14 задача ЕГЭ – это всегда неравенство. На реальных ЕГЭ бывают 3 вида неравенств: показательные, логарифмические и смешанные.
Что нужно знать?
- Метод интервалов
- Как решаются дробно-рациональные неравенства
- Как делается замена и обратная замена в неравенствах
- Как решаются показательные неравенства
- Свойства логарифмов
- Как решаются логарифмические неравенства
- Метод рационализации
Задачи, которые были на экзамене за последние 7 лет с решениями на полный балл
2022:
Решение
2021:
Решение
2020:
Решение
2019:
Решение
2018:
Решение
2017:
Решение
2016:
Решение
2015:
Решение
Процент выполнения
А вот данные сколько процентов пишущих экзамен решили задачу на неравенство в разные годы:
Сколько процентов из тех, кто решал экзамен в 2021 году*, набрал в задаче хотя бы 1 балл:
* так как в 2022 году ЕГЭ был сильно скорректирован, то некоторые задачи изменили свой номер, какие-то исчезли совсем, а другие добавились. В таблице приведены данные 2021 года, приведенные к формату экзамена 2022 (поэтому, например, в задачах 9 и 10 стоят прочерки – это новые задачи)
Типичные ошибки
1. Ошибки по невнимательности
Если вы будете готовиться к 14 задаче ЕГЭ, то практически наверняка одной из главных проблем станут ошибки по невнимательности. Из всех задач профильного ЕГЭ эта задача, пожалуй, самая опасная в плане мелких ошибок. Как научиться не допускать их написано в этой статье.
Примеры таких ошибок по невнимательности выделены желтым
2. Неправильно использовать метод интервалов
Метод интервалов – это база для 14 задачи ЕГЭ. Поэтому если вы хотите научиться решать неравенства на ЕГЭ – первым делом освойте метод интервалов, чтоб ошибок не было. Вот как «косячат» в нем школьники на реальном экзамене.
3. Умножить/делить на выражение с переменной
Почему в общем случае неравенство нельзя умножать или делить на выражение с переменной? Все дело в том, что если мы неравенство умножаем (делим) на положительное число, то должны оставить знак сравнения тем же, а если на отрицательное – перевернуть его.
(2x>4) (-2x>4)
(x>2) (x<-2)
Но чаще всего мы не знаем положительно или отрицательно выражение, на которое собрались умножать (делить), потому что при разных значениях переменной знак выражения может меняться. То есть, возникает неясность — переворачивать знак сравнения или оставить тем же? Поэтому в неравенствах так не делают. В уравнении можно, в неравенстве нет.
Уравнение (можно и нужно умножать на икс) |
Неравенство (нужно приводить к общему знаменателю) |
(frac{1}{x}=1) |(·x) | (frac{1}{x}>1) |
(1=x) | (frac{1}{x}-1>0) |
(x=1) | (frac{1-x}{x}>0) (|·(-1)) |
(frac{x-1}{x}<0) | |
(x∈(0;1)) |
Хотя бывают исключения, когда знак выражения с иксом определен. Например, на (2^x) умножить или разделить неравенство можно, потому что (2^x) положительно всегда, независимо от значения (x).
(frac{2^x-1}{2^x} ≥0) (|cdot2^x)
(2^x-1≥0)
Также бывает, что выражение положительно не всегда, но мы знаем, что в данном конкретном неравенстве это так, поскольку, например, таковы требования ОДЗ.
(log_2x+log_2frac{1}{x^2}≥0) (log_2x frac{1}{x^2} ≥log_21) (frac{1}{x}≥ 1) (|cdot x) (1≥x) (x≤1) |
Огр. (begin{cases} x>0 \ frac{1}{x^2} >0 end{cases}) |
Несколько примеров с ошибками:
4. Неправильно привести к общему знаменателю
Чаще всего такую ошибку допускают те ученики, которые ленятся написать лишнюю строчку, делают два, а то и три действия за один ход: сразу и домножаем, и раскрываем скобки, и тут же в уме приводим подобные слагаемые. Вот, например, в примере внизу пропущен шаг домножения дробей на недостающие множители и раскрытие скобок. Подозреваю, что из-за этого и возникла ошибка.
Сравните с этим бланком, где выпускник все сделал постепенно, по шагам и закономерно получил верный ответ.
5. Не сделать обратную замену
Это вообще классика – сделать замену и забыть вернуться к исходной переменной. Вот пример.
6. Неправильно снять квадрат
Такая ошибка редко совершается на самом ЕГЭ, потому что так обычно ошибаются те, кто только начал проходить неравенства. Но зато в начале пути ее делают практически все, поэтому я внесла её в список.