Инвариантность параметры егэ

        Продолжаем знакомство с аналитическими способами решения сложных задач с параметрами, предлагающихся на различных пробниках и в настоящих вариантах ЕГЭ. В сегодняшнем материале будет рассмотрена новая группа задач, связанных с поиском значений параметра(ов), при которых имеется единственное решение задачи. Слово «единственное» в данной теме является ключевым. Один из самых распространённых методов решения таких задач — так называемый метод симметричных корней или, более научно, метод инвариантностей.

        Типичные формулировки таких задач следующие: «Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.» Или: «Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень.»

        Итак, пора познакомиться с инвариантностью. Что это за понятие? В переводе на русский язык слово «инвариантность» означает «неизменяемость». Неизменяемость чего-то по отношению к чему-то.)

        В математике под инвариантностью понимается неизменяемость каких-либо выражений с переменными или функций по отношению к каким-либо преобразованиям над этими самыми переменными. Это может быть замена одной переменной на другую, смена знака и т.п. На словах, быть может, звучит не совсем понятно, но на деле всё гораздо проще.

        Рассмотрим простой пример. Все мы с начальной школы знаем (я верю!) переместительное свойство сложения двух чисел:

        a + b = b + a.

        Кто бы спорил, верно? От перестановки слагаемых сумма не меняется.) По-научному этот факт означает, что выражение a + b инвариантно относительно замены а на b и b на а. Можно сколько угодно менять буквы местами, а суть всего выражения от наших перестановок не изменится.)

        Другой классический пример инвариантности – чётность. Если функция f(x) чётная, то, как мы знаем,

        f(-x) = f(x),

        и тогда можно сказать, что функция f(x) инвариантна относительно замены x на –x.

        Посмотрим на инвариантность в жизни?

        Допустим у нас есть вот такое крутое уравнение:

 x + y = 10

        Как нетрудно заметить, решений у него бесконечно много. Это, например, пары чисел (1;9), (5;5), (0;10), (-37;47), ну и так далее, можно писать до посинения.) Зачем, спрашивается? Пока — незачем. Бестолковое занятие, прямо скажем. Но, поскольку, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется, все эти решения объединяет одна важная особенность: если какая-то пара чисел (x₀; y₀) удовлетворяет данному уравнению, то автоматически и пара чисел (y₀; x₀) также обязательно ему удовлетворяет. Или в таких случаях говорят, что уравнение

x + y=10

       инвариантно относительно замены x на y и y на x. Например, если пара (1;9) — решение, то автоматически и (9;1) — тоже решение. Понятно, я думаю.)

Идём дальше. Допустим, перед нами вот такая красивая система:

       Кто умеет решать системы и в курсе, как раскрываются модули, тот без труда получит восемь её решений. Это пары:

(1; 2), (2; 1), (-1; 2), (2; -1), (1; -2), (-2; 1), (-1; -2); (-2; -1).

Чем красива эта система? А тем, что она обладает сразу тремя типами инвариантностей!

       Смотрите сами.

       Во-первых, суть системы не изменится от замены x на y и y на x. Это значит, что, помимо пары (x₀; y₀), система имеет своим решением и пару (y₀; x₀). Например, это пары (1; 2) и (2; 1) или (-1; -2) и (-2; -1). И так далее.

       Во-вторых, квадрат и модуль — чётные функции. Это значит, что суть системы не изменится от замены, например, x на -х. Поэтому, помимо пары (x₀; y₀) решением системы будет являться и пара (-x₀; y₀). Что выражается, например, парами (1; 2) и (-1; 2). Или (2; 1) и (-2; 1).

       То же самое можно сказать и про переменную игрек: суть системы не изменяется от замены y на -y, так как квадрат и модуль сжигают минус. И, помимо пары (x₀; y₀), решением нашей системы будет и пара (x₀; -y₀). Например пары (1; 2) и (1; -2).

 Идея ясна?

        А теперь представим, что у нас есть какая-нибудь ооочень страшная система. И мы каким-то чудом установили, что эта система инвариантна относительно, скажем, замены x на y. При этом в задаче требуется, чтобы решение было единственным. Тогда обязательно должно выполняться равенство x = y. То есть, таким единственным решением может быть только пара чисел (x₀; x₀) (или (y₀; y₀), что в данном случае одно и то же).

        И теперь во всей задаче мы всюду можем смело заменить игрек на икс (или наоборот) и перейти к одной переменной, что, скорее всего, сильно упростит дальнейшие выкладки.)

        Или если в какой-то задаче аргумент x всюду стоит под знаком чётной функции — квадрата, модуля, косинуса и т.п., а при этом требуется, чтобы решение задачи было единственным, то это будет возможно только в случае, когда

       x = —x,

       то есть,

       x = 0.

       Почему? Да потому, что при всех остальных x, отличных от нуля, число –x автоматически тоже будет решением, т.е. задача заведомо будет иметь более одного решения. И теперь можно подставить x = 0 в исходную задачу и существенно упростить её. Таким образом, в случае чётности имеет место так называемая симметрия относительно нуля.

        Но симметрия бывает не только относительно нуля. Если, скажем, уравнение не меняется относительно замены x на 2-x и должно иметь единственный корень, то обязательно должно выполняться равенство 

        x = 2 — x

        или

        x = 1.

       То есть, этим единственным корнем может быть только единица. И теперьуже можно подставить x = 1 в исходное уравнение и определить все значения параметра, при которых единица является корнем.

        А бывают и менее очевидные инвариантности. Например, относительно замены x на 1/x, откуда кандидатами на единственное решение могут быть только числа ±1. И так далее. Поиск таких закономерностей — порой процесс творческий и весьма интересный, и задачи такого типа предназначены для претендентов на высокие баллы.)

        Сам процесс решения таких задач состоит из четырёх ключевых шагов.

        1) Осмотр задачи и выявление инвариантных конструкций. Например, выражения x и -x, y и y-1 и т.п.

        2) Нахождение решений-кандидатов на единственность. Делается это путём приравнивания этих самых инвариантных конструкций друг другу и решения получившегося уравнения.

        3) Подстановка решений-кандидатов в исходную задачу и поиск соответствующих этим решениям значений параметра.

        4) Проверка каждого найденных значений параметра на удовлетворение условий задачи.

        Четвёртый шаг очень (ОЧЕНЬ!) важен в решении таких задач! Пояснения — ниже. На примерах.

        Ну ладно, длинное вступительное повествование закончено, перейдём теперь к конкретным задачам (в т.ч. и из ЕГЭ) и будем решать их по мере возрастания сложности. Начнём с малого — с уравнений.

        Пример 1

       Итак, речь идёт о единственном корне. Это явный призыв поискать в уравнении инвариантные конструкции.)

       От икса зависит только левая часть. Выпишем её отдельно: 

       3^х + 3^2-х.

       А теперь рассуждаем примерно так:

       «У нас слева стоит сумма двух показательных выражений. Основания у них одинаковые — тройка. Что очень хорошо.) А вот показатели — разные. «Икс» и «два минус икс». Но! Если в первом слагаемом показатель х заменить на 2-х, а во втором — наоборот, 2-х заменить на х, то слагаемые просто поменяются местами, а суть всего выражения при этом не изменится.»

       Совершенно верно! Данное уравнение инвариантно относительно замены х на 2-х! Другими словами, если какое-то число х₀ является корнем этого уравнения, то автоматически и число 2-х₀ также будет его корнем. )

       У нас же, по условию, корень должен быть единственным. Поэтому это возможно в том и только в том случае, когда

       х₀ = 2-х₀

       или

       х₀ = 1.

       Здесь выявлена так называемая симметрия относительно единицы.

       Это означает, что если данное уравнение имеет единственный корень, то им может быть только единица. И теперь уже можно подставить х = 1 в исходное уравнение и определить, при каких же значениях параметра а оно будет выполняться. Подставляем:

       Решаем данное квадратное уравнение. Проще всего по теореме Виета:

       Получили два значения параметра — единицу и пятёрку. Но (внимание!) это пока что ещё не ответ, а лишь два возможных кандидата на ответ.)  Теперь нам ещё предстоит сделать последний шаг — проверить каждое значение параметра а на выполнение условия единственности корня.

        Специально акцентирую внимание на этом последнем шаге решения. Пропускать его ни в коем случае нельзя. Почему?

        Казалось бы, всё классно: параметры найдены, и на этом решение задачи следовало бы закончить и записать ответ. Но… Вынужден открыть горькую правду. Всё дело в том, что найденные на третьем шаге значения параметра представляют собой лишь так называемое необходимое условие единственности решения. Но, к сожалению, не достаточное! Поясняю.

        Найденные два числа (1 и 5) — это значения параметра, необходимые для того, чтобы единица только лишь была корнем данного уравнения. И всё! Единственный это корень будет или нет — совершенно не факт!

        Поэтому последним (и обязательным!) шагом решения является проверка достаточности. Делается это так. Берётся каждое из найденных значений параметра и подставляется в исходную задачу. После чего решаем исходную задачу для каждого такого кандидата и устанавливаем, сколько решений в каждом случае получается. Тех кандидатов, при которых задача имеет более одного решения, безжалостно отсеиваем.)

        Следует сказать, что последний шаг в подобных задачах зачастую наиболее трудоёмкий, потому что далеко не всегда при этом получаются уравнения и системы, решаемые стандартными алгебраическими преобразованиями — разложением на множители, приведением подобных, формулами тригонометрии, логарифмов и т.п. А требующие порой значительной изобретательности и искусства, я бы даже сказал. В чём мы лично убедимся на дальнейших примерах.)

       Поэтому берём сейчас наши найденные значения параметра и подставляем в исходное уравнение.

       Начнём с а = 1. Просто берём и подставляем в уравнение уже вместо «а» (а не икс!) единичку:

       По правилам действий со степенями:

       

       Перепишем наше уравнение с учётом данного факта:

       Умножим обе части на знаменатель 3^х (это вполне безобидно, поскольку выражение 3^х положительно при любом x и никогда не равно нулю) и перенесём всё влево:

      

       Получили квадратное уравнение относительно 3^х.

       Здесь даже не нужно делать замену 3^х = t, а достаточно заметить, что слева стоит полный квадрат разности:

       

       Значит,

       .

       Итак, при a = 1 исходное уравнение действительно имеет своим единственным корнем единицу. Значит, a = 1 нас полностью устраивает и идёт в ответ.

       Теперь разбираемся с пятёркой a = 5. Берём и подставляем в исходное уравнение пятёрку вместо a:

       

       

       Получили уравнение, в точности эквивалентное случаю a = 1, имеющее, как уже установлено, единственный корень единицу. Значит, пятёрка нас также устраивает: a = 5.

       Итак, мы полностью обосновали, что оба найденных значения параметра удовлетворяют условию достаточности, т.е. исходное уравнение действительно имеет единственный корень, и этот корень x = 1. И вот теперь можно с чистой совестью записывать окончательный ответ.)

       Ответ: a=1; a=5.

       Кстати, эту же задачу можно, конечно же, решить и через упомянутую выше замену переменной 3^х = t, выйти на квадратное (уже относительно t) уравнение с параметром и составить условие единственности корня. Какое? Конечно же, равенство нулю дискриминанта.) Но, поскольку темой данного урока является инвариантность, то и решили мы её, используя именно инвариантность.) Всё же хорошо иметь несколько способов решения одной и той же задачи, согласитесь.)

       Здесь проверка достаточности никак не сказалась на ответе. Повезло, хороший пример.) Но, ещё раз повторю, что этот шаг является обязательной частью решения таких задач. На примерах ниже мы воочию в этом убедимся.)

       Пример 2

       

       Здесь в нагрузку добавились ненавистные многими модули, но и мы тоже поднялись на следующий уровень.) Поскольку в задаче снова речь идёт о единственном корне, поищем инвариантности. Замечаем, что икс везде стоит внутри чётных функций — либо под модулем, либо в квадрате.

       Напрашивается чётность. То есть, инвариантность относительно х и –х.)

       Ну, с x² всё ясно — тут чётность очевидна. А вот с суммой модулей, стоящей в правой части, всё не так очевидно. Попробуем в выражение

        

       вместо «икс» подставить «минус икс» и посмотрим, что из этого выйдет:

       

       Как известно, модуль — тоже функция чётная и «сжигает» минус:

       

       Итак, что мы видим? Мы видим, что от замены x на –x правая часть уравнения также не изменилась (просто модули поменялись местами :)). А это значит, что уравнение действительно инвариантно относительно х и –х. И, если оно имеет какой-то корень х₀, то и число –х₀ автоматически также будет корнем этого уравнения.

       Поэтому для единственности эти два корня должны совпадать, т.е. необходимо выполнение условия

       

       Значит, если данное уравнение имеет единственный корень, то им может быть только ноль. Подставляем число 0 в исходное уравнение вместо икса:

       

       

       Для дальнейших упрощений воспользуемся чётностью квадрата и модуля:

       

       Перепишем наше уравнение с учётом этих фактов:

       

       

       Выносим один модуль за скобку:

       

       Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

       

       Итак, получены три кандидата на ответ. При этих значениях параметра a исходное уравнение обязательно будет иметь одним из своих корней число 0. А вот будет ли число 0 единственным корнем или нет, нам и предстоит сейчас проверить. Проверяем теперь достаточность: устраиваем нашим кандидатам конкурсный отбор.

       Порядок здесь роли не играет. Давайте начнём с четвёрки: a = 4. Подставляем вместо а в исходное уравнение четвёрку:

       

       Все четвёрки благополучно посокращались и осталось лишь:

       x² = |x| + |x| или x² — 2|x| = 0

       Снова заменяем x² на |x|² и выносим один модуль за скобку:

       

       Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

       

       Итак, что мы видим? Мы видим, что при a = 4 наше уравнение имеет не только корень x = 0, но и ещё два корня — два и минус два! О чём это говорит? О том, что при a = 4 уравнение имеет более одного корня (а именно — целых три). Стало быть, первый кандидат a = 4 не прошёл наш кастинг, поэтому с треском вылетает из дальнейшей борьбы и в ответ не идёт.

       Эстафета передаётся следующему претенденту a = 6. Подставляем в наше уравнение шестёрку вместо параметра a. Получаем:

       

       

       Получили типовое уравнение с модулями, решаемое путём раскрытия модулей по промежуткам. Предполагается, что народ, интересующийся нестандартными задачами с параметрами, решать такие уравнения уже умеет, поэтому здесь я опущу подробное описание решения этого уравнения (что, как, зачем и почему) и оформлю его достаточно сжато.

       Как обычно, разбиваем числовую ось на промежутки, границами которых являются нули подмодульных выражений. В нашем случае это 2 и -2.

       Раскроем модули на каждом промежутке и для наглядности подпишем их на рисунке.

       1) x ≤ -2. Оба модуля раскрываются со знаком «минус»:

Тогда имеем следующее:

Очевидно, левая часть положительна при любых икс, а значит, данное уравнение действительных корней не имеет. Итак, на интервале (-∞; -2] корней у нашего уравнения нет.

       2) -2 < x < 2. В этом случае первый модуль раскрывается по-прежнему с минусом, а вот второй — уже с плюсом:

В этом случае наше уравнение станет таким:

        Ноль принадлежит рассматриваемому интервалу (-2; 2) и, стало быть, является первым корнем нашего уравнения.

       И, наконец, на очереди третий случай.

       3) x ≥ 2. В этом случае оба модуля раскрываются с плюсом:

Тогда

        Понятно, что левая часть всегда положительна, а значит, как и в первом случае, корней при x ≥ 2 у нашего уравнения также нет.

       Итак, все случаи разобраны, и единственным корнем нашего уравнения является x = 0.

       А теперь вспоминаем, что это уравнение мы получили и решили для a = 6. А это значит, что при a = 6 исходное уравнение действительно имеет единственный корень x = 0, а других корней, кроме нуля, не имеет (мы только что это доказали). Всё, a = 6 нас полностью устраивает, и шестёрка пошла прямиком в ответ.)

       Третий пошёл!) Подставляем теперь a = 2:

       

       

       Кандидата a = 2 можно сразу принять на работу в ответ без предварительного собеседования решения полученного уравнения. Почему? А потому, что, если взглянуть на получившееся уравнение, то можно увидеть, что оно отличается от уравнения, полученного для a = 6 только порядком слагаемых в правой части. То есть, по своей сути — ничем.) И, ясное дело, оно также имеет своим единственным корнем число 0.          

       Итак, a = 2 тоже подходит.)

       Всё, задача полностью решена!

       Ответ: a = 2; a = 6.

       Так, с уравнениями более-менее потренировались. Двигаемся на следующий уровень и переходим теперь к системам.)

        Пример 3

       

       «Так-с… Модуль, тригонометрия — всё намешано в одну кучу, что как-то не особо обнадёживает. Можно, конечно, напрямую выразить из первого уравнения игрек

       

       и подставить во второе, только что это даст? Всю эту белиберду ведь ещё и в квадрат возводить придётся!

       

       Ну, хорошо. Подставляем теперь всё это барахло во второе уравнение вместо «игрек квадрат»:

          

       И что тут можно сделать? О-па! Да тут же основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, которое можно сократить с единичкой справа.)

       Останется:

       

       Ну, а потом что? Можно левую часть разложить на множители, отправив, к примеру, одну из скобок за скобки (да простит меня русский язык за тавтологию). Но что-то уж больно запутанно получается… Не факт, что удастся добраться до истины, совсем не факт… Стоп! Но у нас же говорится о единственном решении! А может, тут тоже есть что-то симметричное или инвариантное, что сделает решение куда проще?»

       Немного присмотревшись к системе, можно снова заметить, что икс везде тусуется внутри чётных функций — модуль, косинус, квадрат синуса….

       А это означает, что вместе с какой-то парой (x₀; y₀) данная система автоматически будет иметь своим решением и пару (-x₀; y₀). Что при требовании единственности решения означает, что

       

       Далее по проторенной дорожке — подставляем в нашу систему х = 0 и ищем необходимые значения параметра a:

       

       Получили два необходимых значения параметра a. Необходимых для чего? Для того, чтобы пара чисел (0; y₀) была решением нашей системы. И не более того. Сколько этих решений окажется на самом деле, ещё непонятно. Что ж, снова тестируем наших кандидатов, подставляя каждого в исходную систему.)

       Итак, проверяем a = 0.

       

       Ну,и что тут видно? Видно, что второе уравнение, после подстановки в него y = -cos x из первого уравнения, благополучно превратилось в основное тригонометрическое тождество, верное при любых значениях икса. О чём это говорит? Да! Система имеет бесконечно много решений: какой бы икс мы ни взяли, по нему всегда можно будет определить игрек из первого уравнения, а второе уравнение будет выполняться автоматически. Это значит, что при a = 0 наша система имеет бесконечно много решений. То есть, a = 0 нас заведомо не устраивает. Отметаем этого кандидата.)

       Следующий клиент, a = 2.

       

       Здесь уже так просто не выкрутиться (а я предупреждал, что проверка достаточности — очень часто самая сложная часть решения задач). В таких нестандартных ситуациях, когда в уравнении слева и справа стоят какие-то разнородные (и обычно ограниченные) конструкции (в нашем случае это модуль и косинус), чаще всего применяется метод оценок или, более научно и красиво, метод мажорант. Что ж попробуем оценить каждое из уравнений.

       Ну, во-первых, про модуль мы знаем, что он всегда неотрицателен:

       .

       Значит, про левую часть первого уравнения можно сказать следующее:

       .

       Итак, левая часть первого уравнения в любом случае не меньше двойки.

       Что ещё в первом уравнении можно оценить? Ну, очевидно, косинус:

       .

       А вот всю правую часть первого уравнения мы пока оценить не можем: у нас ещё нет никакого ограничения на игрек. Ничего, сейчас получим.)

       Для этого переключимся на второе уравнение:

       

       Смотрим на него и прикидываем: слева стоит сумма квадратов — двух неотрицательных слагаемых. И эта сумма квадратов даёт единицу.

       А теперь подумаем: какие такие два неотрицательных числа в сумме могут давать единицу? Как нетрудно догадаться, это могут быть либо какие-то дроби от нуля до единицы  (например, 0,5 или 1/3), либо же когда одно из слагаемых равно в точности нулю, а другое — в точности единице. Значит, по-любому

       0 ≤ sin²x ≤ 1 и 0 ≤ y² ≤ 1.

       Раз  0 ≤ y² ≤ 1, то тогда про сам игрек можно сказать, что -1 ≤ y ≤ 1.

       Итак, мы установили ограничения на косинус и на игрек. Они таковы:

-1 ≤ cos x ≤ 1 ;

-1 ≤ y ≤ 1.

       А это значит, что их сумма (т.е. вся правая часть первого уравнения) ограничена вот так:

-2 ≤ y + cos x ≤ 2.

       А теперь смотрим на первое уравнение системы

       

       и на наши ограничения.

       Для левой части: 2(|x|+1) ≥ 2, т.е. левая часть не меньше двойки.

       Для правой части: -2 ≤ y + cos x ≤ 2, т.е. правая часть не больше двойки.

       Как вы думаете, когда возможно равенство обеих частей уравнения? Да! Когда каждая из них одновременно в точности равна двойке!

       Значит, первое уравнение системы распадается на два условия:

       

       Вместе со вторым уравнением системы получим:

       

       Нетрудно убедиться (а это достаточно просто), что единственным решением этой системы (а значит, и исходной) является пара чисел (0; 1). Это значит, что значение параметра a = 2 нас полностью устраивает.          Всё, задача полностью решена, можно записывать окончательный ответ.

       Ответ: a = 2.

       Кстати, стандартный способ подстановки (размышления синим цветом в самом начале решения этого примера), который был нами прерван, здесь со скрипом, но тоже действует.) Кому интересно, попробуйте довести решение до конца, продолжив разложение на множители и приравняв каждый к нулю. А вот следующий пример уже куда серьёзнее будет.

       Пример 4

        

       Уже при первом взгляде на систему видно, что ничего никуда не преобразуется, переменные друг через друга «красиво» не выражаются — ни y через x, ни x через y. Значит, стандартные приёмы не катят. Но! Переменная икс у нас снова везде стоит под модулем или в квадрате, т.е. под чётными функциями! А это означает, что единственным решением данной системы может быть только пара вида (0; y₀). Почему это именно так, объяснять, думаю, уже не нужно.) Если всё же непонятно, просмотрите ещё раз хотя бы предыдущий пример.

       При подстановке x = 0 вся наша термоядерная система существенно упрощается:

       

       Если y = 1, то:                                   Если y = -1, то:

       3 = 5·1 — 5a                                      3 = 5·(-1) — 5a

       5a = 2                                                5a = -8

       a = 2/5                                               a = -8/5

       Итак, наши кандидаты — это две пятых и минус восемь пятых. Всего два.) Это — необходимые значения параметра «a» для того, чтобы пара (0; y) была одним из решений исходной системы. Теперь, как водится, проверяем достаточность, т.е. чтобы наша пара (0; y) была не просто одним из решений системы, а единственным её решением.

       Поехали, подставляем в систему a = 2/5. В этом случае вся система примет вид:

       

       В первом уравнении я, во-первых, сократил двойки, а во-вторых, все члены с пятёркой собрал слева, а с тройкой — справа. Зачем — станет ясно ниже.)

       Далее размышляем примерно так:

       «Перед нами страшная система, которую как-то необходимо решить. Точнее не столько решить, сколько выяснить, сколько именно решений она имеет — единственное или нет. Или, возможно, вообще не имеет решений.) Но есть одна проблемка. Как к ней подступиться?

       Если традиционно выразить y через x из второго уравнения, то будет

        

       И что потом с этим плюс/минусом делать?! Непонятно…  

       А если выразить игрек из первого уравнения? Тогда вообще кошмар получится:

       

       А если икс через игрек из второго? Тоже не фонтан. Значит, стандартные приёмы здесь явно не работают. Так… Но у нас в обоих уравнениях фигурируют модули и квадраты — ограниченные (снизу) конструкции. А что, если попробовать оценить левую и правую части первого (самого страшного) уравнения?»

       Верные мысли! Итак, наша цель на данный момент – оценить обе части первого уравнения. Затяните потуже ремни на брюках, поскольку сейчас нам предстоит решать много неравенств. Точнее, не столько решать, сколько их выписывать, складывать, преобразовывать и т.д. Итак, перед оцениваем первое уравнение:

       .

       Но для начала обратим наш взор на второе уравнение:

       

       Снова, как и в примере 3, видим сумму квадратов, равную единице. О чём это говорит? О том, что каждый из этих квадратов сам по себе не превосходит 1.

       То есть, 0 ≤ x² ≤ 1 и 0 ≤ y² ≤ 1.

       То же самое можно сказать и про модули икса и игрека:

       0 ≤ |x| ≤ 1 и 0 ≤ |y| ≤ 1.

       Поэтому про сами x и y можно сказать, что -1 ≤ x ≤ 1 и -1 ≤ y ≤ 1.

       А теперь с помощью данных неравенств оцениваем левую часть первого уравнения, равную сумме выражений 5·2^|x| и -5y:

       Раз 0 ≤ |x| ≤ 1, то 2⁰ ≤ 2^|x| ≤ 2¹ или 1 ≤ 2^|x| ≤ 2.

       Здесь мы воспользовались монотонным возрастанием функции f(x) = 2^x.

       Если теперь все три части последнего неравенства помножить на 5, то получим:

       2 ≤ 5·2^|x| ≤ 10

       Далее, раз -1 ≤ y ≤ 1, то тогда

       -1 ≤ 5y ≤ 1 

        и, следовательно,

       -5 ≤ -5y ≤ 5.

       Возможно, кому-то непонятно, как именно из неравенства -1 ≤ 5y ≤ 1 получилось неравенство -1 ≤ -5y ≤ 1. Поясняю.

       -1 ≤ 5y ≤ 1 |·(-1) (умножаем обе части на -1);

       1 ≥ -5y ≥ -1 (все знаки изменились на противоположные);

       -5 ≤ -5y ≤ 5 (переписываем неравенство в привычной форме).

       Всё!

       Итак, мы установили ограничения на выражения 5·2^|x| и -5y:

          2 ≤ 5·2^|x| ≤ 10

       -5 ≤ -5y ≤ 5

       Теперь, сложив почленно эти два неравенства, получим ограничение на всю левую часть целиком:

       

       

       Запомним этот факт.) Обратимся теперь к правой части уравнения: 3x² — 3|x|.

       А вот её будем оценивать немного иначе.

       Как нами уже установлено, 0 ≤ x² ≤ 1.

       Далее воспользуемся одним весьма нетривиальным, но очень полезным сравнением:

       x² ≤ |x| при 0 ≤ |x| ≤ 1.

       Откуда я его взял? Как фокусник из рукава вытащил?)
       

       Чтобы разобраться, почему это именно так, нарисуем графики модуля («уголок») и параболы у = x². На отрезке [-1; 1] картинка будет вот такой:

       Видно, что на отрезке [-1; 1] «уголок» везде, кроме точек 0 и ±1 лежит выше параболы.

       Итак, x² ≤ |x| при 0 ≤ |x| ≤ 1.

       Тогда x² — |x| ≤ 0 (я просто перенёс модуль влево).

       Значит, если это неравенство умножить на 3, то получим:

       

       Таким образом, вся правая часть не больше нуля.

       А теперь вспоминаем, что же у нас с левой частью:

       

       Таким образом, левая часть не меньше нуля.

       Значит, равенство левой и правой частей возможно лишь в одном случае — когда каждая из них отдельно равна нулю:

       

       Решаем эту системку.)

       

       Отсюда легко получаем три пары: (0; 1), (-1; 2), (1; 2).

       Однако, решения этой системы — это на самом деле лишь решения первого уравнения нашей глобальной системы.) Вспоминаем про её второе уравнение: x² + y² = 1.

       Нетрудно убедиться, что из этих трёх пар ему удовлетворяет лишь пара (0; 1). А что это означает? В дебрях долгих выкладок и рассуждений, неволей, и про основной вопрос забываешь… ) Да! При a = 2/5 наша исходная система и вправду имеет единственное решение.

       Всё, a = 2/5 обводим как часть ответа.)

       А что же с a = -8/5? Делать нечего, подставляем его в нашу систему:

       

       А вот здесь так красиво провести оценку уже не получится: десятка справа всё испортила.( Как быть? В таких ситуациях, как правило, приходится прибегать к самой крайней мере — попытаться тупо подбором угадать два каких-нибудь решения и таким образом доказать, что система имеет более одного решения.) Как угадывать? Ну, тут уже всё от конкретного задания зависит. И немного от интуиции и иногда от везения. В нашем случае попробуем зацепиться за второе уравнение:

       x² + y² = 1.

       Понадеемся на гуманизм составителей задания и начнём с самого простого — поищем какие-нибудь целые решения этого уравнения и подставим их в первое. Их совсем немного. Ну, например, (1; 0):

       

       Что ещё можно проверить? Ха! У нас же симметрия по икс! Мы же как раз этот факт использовали для решения всей задачи! И думать не надо — тут же всплывает решение (-1; 0)!

       Всё! Мы подобрали два различных решения системы, а это значит, что второе значение параметра a = -8/5 нас точно не устраивает. Всё, задача решена!

       Ответ: a = 2/5.

       Что ж, мы уже набрались достаточно опыта, чтобы рассмотреть какую-нибудь откровенную жесть. Берём быка за рога!

       Пример 5

       

       Ничего не боимся и стараемся при виде подобных монстров мыслить примерно следующим образом: 

       «Ух, наворотили, ужас! Корень, тангенс, синусы… Точно не решить… Так, стоп! От нас хотят найти единственное решение. Значит, скорее всего, нас просят отыскать какую-нибудь инвариантную конструкцию и с её помощью решить всю задачу.

       Что тут сильнее всего бросается в глаза? Ну, во-первых, во втором и третьем уравнениях везде тусуются xy и x+y, а от перестановки множителей (слагаемых) результат не меняется. Это неспроста.) Так, ещё тут внутри косинуса затесалась разность x-y , которая от перемены икса и игрека местами сменит знак:

       y-x = -(x-y).

       Плохо… Так, секундочку! Но ведь косинус — чётная функция и сжигает минус! Всё отлично, под косинусом тоже ничего не поменяется!)

       Но есть ещё первое уравнение. В нём пока что никакой инвариантностью относительно перестановки икса и игрека и не пахнет. А вдруг, эту инвариантность и там удастся выявить? Ну-ка, посмотрим…

       

       И что тут можно сделать? Можно хотя бы пораскрывать все скобки:

       

       

       Вставляем всё в уравнение:

       

       Ну, хорошо, а дальше? Сгруппируем-ка в кучку квадраты и первые степени. Хуже не будет. Будет либо хорошо, либо никак.)

       

       Кажется, уже что-то вырисовывается:

       

       Ну, вот и выявилось то, чего мы так добивались: x²+y² и x+y – инвариантные конструкции. Относительно замены x на y и y на x. Ура!»

       Итак, вся система инвариантна относительно замены x на y (и наоборот). Это значит, что, если какая-то тройка чисел (x; y; z) является решением этой злой системы, то автоматически и тройка (y; x; z) также будет её решением! И единственность решения системы возможна только при x = y. Теперь можно во всей системе смело исключить игрек, заменив его на икс: xy превратится в x², x+y превратится в 2x. Ну, и так далее. )

       

       Так, система стала немного попроще, но ещё пока что довольно громоздка. Но… Переменная z везде тусуется под чётными функциями — либо в квадрате, либо внутри синуса в квадрате. А это значит, что единственность решения возможна только при z = 0. Прекрасно! Подставляем всюду ноль вместо z, и вся наша ужасная система ещё больше упростится и станет выглядеть вот так:

       

       Из второго уравнения сразу ясно, что х = 0. Третье уравнение при х = 0, очевидно, выполняется. А из первого уравнения при х = 0 получим:

       2a + 4 = 0, откуда a = -2.

       Ух ты, как интересно! Получено одно единственное допустимое значение параметра. Минус два. Но радоваться рано, т.к. это ещё не ответ: нам же ещё достаточность надо проверить (да-да!). Деваться некуда, подставляем минус двойку в исходную систему вместо «а»:

          

       По максимуму упрощаем каждое из уравнений. В первом раскроем все скобки:

        

        

        

        Во втором уравнении благополучно обнуляется самое ужасное слагаемое с корнем, сокращается двойка, оставшаяся от первой скобки, и остаётся лишь

        

        Ну, а третье уравнение так и оставим, без изменений. Итого:

        

        А теперь делаем такой финт ушами — подставляем в первое уравнение вместо x + y выражение 2sin²z из второго. Что получим:

        

        Проанализируем полученное уравнение. Чем оно примечательно? Тем, что слева стоит сумма каких-то квадратов, т.е. неотрицательных слагаемых! А когда возможно равенство нулю суммы неотрицательных слагаемых? Только в одном единственном случае — когда одновременно каждое слагаемое равно нулю! То есть:

       

       Итак, единственным решением первого уравнения является тройка чисел (0; 0; 0). Проверим эту тройку и по остальным уравнениям: вдруг, она там не пройдёт? Тогда ответом, очевидно, будет пустое множество.)

        

        

        Все равенства выполнены. Итак, мы полностью обосновали, что при a = -2 наша система действительно имеет единственное решение, и это решение — «три бублика», т.е. (0; 0; 0).

        Вот и всё!

        Ответ: a = -2.

        Разумеется, эти рассмотренные пять примеров далеко не исчерпывают всего многообразия параметрических задач на единственное решение и инвариантность. ) Но в них я постарался максимально подробно и доходчиво изложить, как действовать в ситуации, если, вдруг, где-то (в пробнике или в настоящем ЕГЭ) вам попалась подобная задача. Итак, подытожим тему:

        1) Как только видим словосочетание «единственный корень/единственное решение» — пробуем искать инвариантные конструкции или приходить к таковым путём предварительных преобразований. Чаще всего это чётность, симметрия относительно какого-нибудь числа, либо относительно перестановок (замен) переменных или выражений.

        2) Выявив тип инвариантности, составляем необходимое условие единственности решения и ищем допустимые (необходимые) значения параметра. Как правило, вся задача при этом существенно упрощается, и их поиск не составляет особого труда.

        3) Проверяем найденные допустимые значения параметра на достаточность. В случае, если получаемая задача не решается стандартными методами, применяем специальные приёмы — ограниченность, монотонность и т.п. Если и они не помогают — пробуем подобрать корень или решение. Чаще всего они лежат на поверхности и, как правило, являются целыми числами.

        4) Не боимся. Пробуем различные варианты.) И побольше тренируемся.) Только так можно выработать необходимый опыт в решении таких (да и вообще любых) задач с параметрами.

Всем успехов и до новых встреч!

Задание
№18. Математика, профиль. Подготовка к ЕГЭ. Дидактические
материалы. Основные типы задач на применение свойств функции: инвариантности
функций и выражений.

Утверждение.
Если в формулировке задачи требуется найти значение параметра, при которых
решение единственно, нужно проверить, не обладает ли уравнение или неравенство
или система свойством инвариантности, то есть неизменяемости относительно
замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной.

Утверждение:
примеры инвариантности:

1)
Четность функции. Если f(x) – четная
функция, то уравнение f(x)=0 инвариантно
относительно замены x на –x, так какf(-x)= f(x)=0 и
уравнение f(x)=0 имеет
единственный корень x₀, это означает,
что x₀ = — x₀, откуда x₀=0.
Подставим 0 в уравнение вместо x, найдем все
значения параметра, при которых число 0 будет корнем уравнения, после чего надо
проверить, при каких из найденных значений параметра это число будет
единственным корнем.

2)
Выражение f(x)+f(c—x), где
с—произвольное действительное число, отличное от нуля, инвариантно относительно
замены x на c—x. Значит,
уравнение  f(x)+f(c—x)=0 не
меняется при замене x на c—x и если
уравнение может иметь единственный корень x₀, это
означает, что x₀=с- x₀, откуда  Подставимв уравнение вместо x, найдем
все значения параметра, при которых число  будет корнем уравнения, после чего надо
проверить, при каких из найденных значений параметра это число будет
единственным корнем.

3)Если
выражение   при допустимых значениях переменной не
меняется при подстановке   , то есть является инвариантом
относительно такой подстановки.  Если уравнение не меняется при подстановке   и должно иметь единственный корень x₀, это
означает, что, откуда  при с>0; при с<0 единственность
невозможна. Подставим    в уравнение вместо x, найдем
все значения параметра, при которых число   будет корнем уравнения, после чего надо
проверить, при каких из найденных значений параметра это число будет
единственным корнем.

 Инвариантность
.

№ 3.1  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.2  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.3  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.4 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет нечетное число корней уравнение .

№ 3.5*  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.6 Найти все
значения параметра a, для каждого
из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.7 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.8  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.9 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

 Инвариантность.

№ 3.10  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.11 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

 Инвариантность
.

№ 3.12  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.13  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.14* Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение                

№ 3.15  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение                

№ 3.16  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение                

№ 3.17  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

№3.18  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение .

 Инвариантность
в тригонометрических функциях.

№ 3.19* Найти все
пары (a;b) 
действительных чисел a и b, для
каждой из которых имеет единственный корень уравнение 2.

№ 3.20 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение 2.

№ 3.21 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение 3.

№ 3.22 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственный корень уравнение 1.

№ 3.23  Найти все
пары (a;b) 
действительных чисел a и b, для
каждой из которых имеет единственный корень уравнение 3.

№ 3.24  Найти все
пары (a;b) 
действительных чисел a и b, для
каждой из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.25 Найти все
пары (a;b) 
действительных чисел a и b, для
каждой из которых имеет единственный корень уравнение .

№ 3.26 Найти все
пары (a;b) 
действительных чисел a и b, для
каждой из которых имеет единственный корень уравнение .

 Инвариантность
при решении систем уравненийc двумя
переменными.

№ 3.27 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственное решение система уравнений .

№ 3.28  Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственное решение система уравнений  .

№ 3.29 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственное решение система уравнений

№ 3.30 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственное решение система уравнений

№ 3.31 Найти все
значения параметра a, для
каждого из которых имеет единственное решение система уравнений

Ответы:

№
3.1{1;5};№ 3.2 {0;4}; № 3.3 {-5;-1}; № 3.4 {1;3:5}; № 3.5*{}; № 3.6  {}; № 3.7   {}; № 3.8  ; № 3.9   ;  № 3.10 {-4;0;4};  № 3.11 {-6;0;6};  №
3.12 {1;5}; № 3.13   {1;2};  № 3.14 ; № 3.15  ;  № 3.16  ; № 3.17  ;  №3.18 ;  № 3.19    ; № 3.20  ; № 3.21  ; № 3.22  ;  № 3.23    ; № 3.24  ; № 3.25    ;  № 3.26   ; № 3.27    № 3.28    ;  № 3.29    № 3.30    № 3.31    .

ЕГЭ Профиль №18. Применение инвариантности функций к решению уравнений и систем уравненийadmin2020-04-11T17:49:59+03:00

2017-01-13

Главная » СТАТЬИ » ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ » Задача с параметром. Задание 18. Метод инвариант

Инна |
Отзывов (2)

Инвариантность или метод симметричных корней

Продолжаем знакомство с аналитическими способами решения сложных задач с параметрами, предлагающихся на различных пробниках и в настоящих вариантах ЕГЭ. В сегодняшнем материале будет рассмотрена новая группа задач, связанных с поиском значений параметра(ов), при которых имеется единственное решение задачи. Слово «единственное» в данной теме является ключевым. Один из самых распространённых методов решения таких задач — так называемый метод симметричных корней или, более научно, метод инвариантностей.

Типичные формулировки таких задач следующие: «Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.» Или: «Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень.»

Итак, пора познакомиться с инвариантностью. Что это за понятие? В переводе на русский язык слово «инвариантность» означает «неизменяемость». Неизменяемость чего-то по отношению к чему-то.)

В математике под инвариантностью понимается неизменяемость каких-либо выражений с переменными или функций по отношению к каким-либо преобразованиям над этими самыми переменными. Это может быть замена одной переменной на другую, смена знака и т.п. На словах, быть может, звучит не совсем понятно, но на деле всё гораздо проще.

Рассмотрим простой пример. Все мы с начальной школы знаем (я верю!) переместительное свойство сложения двух чисел:

Кто бы спорил, верно? От перестановки слагаемых сумма не меняется.) По-научному этот факт означает, что выражение a + b инвариантно относительно замены а на b и b на а. Можно сколько угодно менять буквы местами, а суть всего выражения от наших перестановок не изменится.)

Другой классический пример инвариантности – чётность. Если функция f(x) чётная, то, как мы знаем,

и тогда можно сказать, что функция f(x) инвариантна относительно замены x на –x.

Посмотрим на инвариантность в жизни?

Допустим у нас есть вот такое крутое уравнение:

Как нетрудно заметить, решений у него бесконечно много. Это, например, пары чисел (1;9), (5;5), (0;10), (-37;47), ну и так далее, можно писать до посинения.) Зачем, спрашивается? Пока — незачем. Бестолковое занятие, прямо скажем. Но, поскольку, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется, все эти решения объединяет одна важная особенность: если какая-то пара чисел (x₀; y₀) удовлетворяет данному уравнению, то автоматически и пара чисел (y₀; x₀) также обязательно ему удовлетворяет. Или в таких случаях говорят, что уравнение

инвариантно относительно замены x на y и y на x. Например, если пара (1;9) — решение, то автоматически и (9;1) — тоже решение. Понятно, я думаю.)

Идём дальше. Допустим, перед нами вот такая красивая система:

Кто умеет решать системы и в курсе, как раскрываются модули, тот без труда получит восемь её решений. Это пары:

Чем красива эта система? А тем, что она обладает сразу тремя типами инвариантностей!

Во-первых, суть системы не изменится от замены x на y и y на x. Это значит, что, помимо пары (x₀; y₀), система имеет своим решением и пару (y₀; x₀). Например, это пары (1; 2) и (2; 1) или (-1; -2) и (-2; -1). И так далее.

Во-вторых, квадрат и модуль — чётные функции. Это значит, что суть системы не изменится от замены, например, x на -х. Поэтому, помимо пары (x₀; y₀) решением системы будет являться и пара (-x₀; y₀). Что выражается, например, парами (1; 2) и (-1; 2). Или (2; 1) и (-2; 1).

То же самое можно сказать и про переменную игрек: суть системы не изменяется от замены y на -y, так как квадрат и модуль сжигают минус. И, помимо пары (x₀; y₀), решением нашей системы будет и пара (x₀; -y₀). Например пары (1; 2) и (1; -2).

А теперь представим, что у нас есть какая-нибудь ооочень страшная система. И мы каким-то чудом установили, что эта система инвариантна относительно, скажем, замены x на y. При этом в задаче требуется, чтобы решение было единственным. Тогда обязательно должно выполняться равенство x = y. То есть, таким единственным решением может быть только пара чисел (x₀; x₀) (или (y₀; y₀), что в данном случае одно и то же).

И теперь во всей задаче мы всюду можем смело заменить игрек на икс (или наоборот) и перейти к одной переменной, что, скорее всего, сильно упростит дальнейшие выкладки.)

Или если в какой-то задаче аргумент x всюду стоит под знаком чётной функции — квадрата, модуля, косинуса и т.п., а при этом требуется, чтобы решение задачи было единственным , то это будет возможно только в случае, когда

Почему? Да потому, что при всех остальных x, отличных от нуля, число –x автоматически тоже будет решением, т.е. задача заведомо будет иметь более одного решения . И теперь можно подставить x = 0 в исходную задачу и существенно упростить её. Таким образом, в случае чётности имеет место так называемая симметрия относительно нуля .

Но симметрия бывает не только относительно нуля. Если, скажем, уравнение не меняется относительно замены x на 2-x и должно иметь единственный корень, то обязательно должно выполняться равенство

x = 2 — x

То есть, этим единственным корнем может быть только единица. И теперьуже можно подставить x = 1 в исходное уравнение и определить все значения параметра, при которых единица является корнем.

А бывают и менее очевидные инвариантности. Например, относительно замены x на 1/x, откуда кандидатами на единственное решение могут быть только числа ±1. И так далее. Поиск таких закономерностей — порой процесс творческий и весьма интересный, и задачи такого типа предназначены для претендентов на высокие баллы.)

Сам процесс решения таких задач состоит из четырёх ключевых шагов.

1) Осмотр задачи и выявление инвариантных конструкций. Например, выражения x и -x, y и y-1 и т.п.

2) Нахождение решений-кандидатов на единственность. Делается это путём приравнивания этих самых инвариантных конструкций друг другу и решения получившегося уравнения.

3) Подстановка решений-кандидатов в исходную задачу и поиск соответствующих этим решениям значений параметра.

4) Проверка каждого найденных значений параметра на удовлетворение условий задачи.

Четвёртый шаг очень (ОЧЕНЬ!) важен в решении таких задач! Пояснения — ниже. На примерах.

Ну ладно, длинное вступительное повествование закончено, перейдём теперь к конкретным задачам (в т.ч. и из ЕГЭ) и будем решать их по мере возрастания сложности. Начнём с малого — с уравнений. 🙂

Пример 1

Итак, речь идёт о единственном корне. Это явный призыв поискать в уравнении инвариантные конструкции.)

От икса зависит только левая часть. Выпишем её отдельно:

А теперь рассуждаем примерно так:

«У нас слева стоит сумма двух показательных выражений. Основания у них одинаковые — тройка. Что очень хорошо.) А вот показатели — разные. «Икс» и «два минус икс». Но! Если в первом слагаемом показатель х заменить на 2-х, а во втором — наоборот, 2-х заменить на х, то слагаемые просто поменяются местами, а суть всего выражения при этом не изменится.»

Совершенно верно! Данное уравнение инвариантно относительно замены х на 2-х! Другими словами, если какое-то число х₀ является корнем этого уравнения, то автоматически и число 2-х₀ также будет его корнем. )

У нас же, по условию, корень должен быть единственным. Поэтому это возможно в том и только в том случае, когда

Здесь выявлена так называемая симметрия относительно единицы.

Это означает, что если данное уравнение имеет единственный корень, то им может быть только единица. И теперь уже можно подставить х = 1 в исходное уравнение и определить, при каких же значениях параметра а оно будет выполняться. Подставляем:

Решаем данное квадратное уравнение. Проще всего по теореме Виета:

Получили два значения параметра — единицу и пятёрку. Но (внимание!) это пока что ещё не ответ, а лишь два возможных кандидата на ответ.) Теперь нам ещё предстоит сделать последний шаг — проверить каждое значение параметра а на выполнение условия единственности корня.

Специально акцентирую внимание на этом последнем шаге решения. Пропускать его ни в коем случае нельзя. Почему?

Казалось бы, всё классно: параметры найдены, и на этом решение задачи следовало бы закончить и записать ответ. Но… Вынужден открыть горькую правду. Всё дело в том, что найденные на третьем шаге значения параметра представляют собой лишь так называемое необходимое условие единственности решения. Но, к сожалению, не достаточное! Поясняю.

Найденные два числа (1 и 5) — это значения параметра, необходимые для того, чтобы единица только лишь была корнем данного уравнения . И всё! Единственный это корень будет или нет — совершенно не факт!

Поэтому последним (и обязательным!) шагом решения является проверка достаточности. Делается это так. Берётся каждое из найденных значений параметра и подставляется в исходную задачу. После чего решаем исходную задачу для каждого такого кандидата и устанавливаем, сколько решений в каждом случае получается. Тех кандидатов, при которых задача имеет более одного решения, безжалостно отсеиваем.)

Следует сказать, что последний шаг в подобных задачах зачастую наиболее трудоёмкий, потому что далеко не всегда при этом получаются уравнения и системы, решаемые стандартными алгебраическими преобразованиями — разложением на множители, приведением подобных, формулами тригонометрии, логарифмов и т.п. А требующие порой значительной изобретательности и искусства, я бы даже сказал. В чём мы лично убедимся на дальнейших примерах.)

Поэтому берём сейчас наши найденные значения параметра и подставляем в исходное уравнение.

Начнём с а = 1. Просто берём и подставляем в уравнение уже вместо «а» (а не икс!) единичку:

По правилам действий со степенями:

Перепишем наше уравнение с учётом данного факта:

Умножим обе части на знаменатель 3 х (это вполне безобидно, поскольку выражение 3 х положительно при любом x и никогда не равно нулю) и перенесём всё влево:

Получили квадратное уравнение относительно 3 х .

Здесь даже не нужно делать замену 3 х = t , а достаточно заметить, что слева стоит полный квадрат разности:

.

Итак, при a = 1 исходное уравнение действительно имеет своим единственным корнем единицу. Значит, a = 1 нас полностью устраивает и идёт в ответ.

Теперь разбираемся с пятёркой a = 5. Берём и подставляем в исходное уравнение пятёрку вместо a:

Получили уравнение, в точности эквивалентное случаю a = 1, имеющее, как уже установлено, единственный корень единицу. Значит, пятёрка нас также устраивает: a = 5.

Итак, мы полностью обосновали, что оба найденных значения параметра удовлетворяют условию достаточности, т.е. исходное уравнение действительно имеет единственный корень, и этот корень x = 1. И вот теперь можно с чистой совестью записывать окончательный ответ.)

Кстати, эту же задачу можно, конечно же, решить и через упомянутую выше замену переменной 3 х = t , выйти на квадратное (уже относительно t) уравнение с параметром и составить условие единственности корня. Какое? Конечно же, равенство нулю дискриминанта.) Но, поскольку темой данного урока является инвариантность, то и решили мы её, используя именно инвариантность.) Всё же хорошо иметь несколько способов решения одной и той же задачи, согласитесь.)

Здесь проверка достаточности никак не сказалась на ответе. Повезло, хороший пример.) Но, ещё раз повторю, что этот шаг является обязательной частью решения таких задач. На примерах ниже мы воочию в этом убедимся.)

Пример 2

Здесь в нагрузку добавились ненавистные многими модули, но и мы тоже поднялись на следующий уровень.) Поскольку в задаче снова речь идёт о единственном корне, поищем инвариантности. Замечаем, что икс везде стоит внутри чётных функций — либо под модулем, либо в квадрате.

Напрашивается чётность. То есть, инвариантность относительно х и –х.)

Ну, с x 2 всё ясно — тут чётность очевидна. А вот с суммой модулей, стоящей в правой части, всё не так очевидно. Попробуем в выражение

вместо «икс» подставить «минус икс» и посмотрим, что из этого выйдет:

Как известно, модуль — тоже функция чётная и «сжигает» минус:

Итак, что мы видим? Мы видим, что от замены x на –x правая часть уравнения также не изменилась (просто модули поменялись местами :)). А это значит, что уравнение действительно инвариантно относительно х и –х. И, если оно имеет какой-то корень х₀, то и число –х₀ автоматически также будет корнем этого уравнения.

Поэтому для единственности эти два корня должны совпадать, т.е. необходимо выполнение условия

Значит, если данное уравнение имеет единственный корень, то им может быть только ноль. Подставляем число 0 в исходное уравнение вместо икса:

Для дальнейших упрощений воспользуемся чётностью квадрата и модуля:

Перепишем наше уравнение с учётом этих фактов:

Выносим один модуль за скобку:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Итак, получены три кандидата на ответ. При этих значениях параметра a исходное уравнение обязательно будет иметь одним из своих корней число 0. А вот будет ли число 0 единственным корнем или нет, нам и предстоит сейчас проверить. Проверяем теперь достаточность: устраиваем нашим кандидатам конкурсный отбор. 🙂

Порядок здесь роли не играет. Давайте начнём с четвёрки: a = 4. Подставляем вместо а в исходное уравнение четвёрку:

Все четвёрки благополучно посокращались и осталось лишь:

x 2 = |x| + |x| или x 2 — 2|x| = 0

Снова заменяем x 2 на |x| 2 и выносим один модуль за скобку:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Итак, что мы видим? Мы видим, что при a = 4 наше уравнение имеет не только корень x = 0, но и ещё два корня — два и минус два! О чём это говорит? О том, что при a = 4 уравнение имеет более одного корня (а именно — целых три). Стало быть, первый кандидат a = 4 не прошёл наш кастинг, поэтому с треском вылетает из дальнейшей борьбы и в ответ не идёт. 🙂

Эстафета передаётся следующему претенденту a = 6. Подставляем в наше уравнение шестёрку вместо параметра a. Получаем:

Получили типовое уравнение с модулями, решаемое путём раскрытия модулей по промежуткам. Предполагается, что народ, интересующийся нестандартными задачами с параметрами, решать такие уравнения уже умеет, поэтому здесь я опущу подробное описание решения этого уравнения (что, как, зачем и почему) и оформлю его достаточно сжато.

Как обычно, разбиваем числовую ось на промежутки, границами которых являются нули подмодульных выражений. В нашем случае это 2 и -2.

Раскроем модули на каждом промежутке и для наглядности подпишем их на рисунке.

1) x ≤ -2 . Оба модуля раскрываются со знаком «минус»:

Тогда имеем следующее:

Очевидно, левая часть положительна при любых икс, а значит, данное уравнение действительных корней не имеет. Итак, на интервале (-∞; -2] корней у нашего уравнения нет.

В этом случае наше уравнение станет таким:

Ноль принадлежит рассматриваемому интервалу (-2; 2) и, стало быть, является первым корнем нашего уравнения.

И, наконец, на очереди третий случай.

3) x ≥ 2. В этом случае оба модуля раскрываются с плюсом:

Понятно, что левая часть всегда положительна, а значит, как и в первом случае, корней при x ≥ 2 у нашего уравнения также нет.

Итак, все случаи разобраны, и единственным корнем нашего уравнения является x = 0.

А теперь вспоминаем, что это уравнение мы получили и решили для a = 6. А это значит, что при a = 6 исходное уравнение действительно имеет единственный корень x = 0, а других корней, кроме нуля, не имеет (мы только что это доказали). Всё, a = 6 нас полностью устраивает, и шестёрка пошла прямиком в ответ.)

Третий пошёл!) Подставляем теперь a = 2:

Кандидата a = 2 можно сразу принять на работу в ответ без предварительного собеседования решения полученного уравнения. Почему? А потому, что, если взглянуть на получившееся уравнение, то можно увидеть, что оно отличается от уравнения, полученного для a = 6 только порядком слагаемых в правой части. То есть, по своей сути — ничем.) И, ясное дело, оно также имеет своим единственным корнем число 0.

Итак, a = 2 тоже подходит.)

Всё, задача полностью решена! 🙂

Ответ: a = 2; a = 6.

Так, с уравнениями более-менее потренировались. Двигаемся на следующий уровень и переходим теперь к системам.)

«Так-с… Модуль, тригонометрия — всё намешано в одну кучу, что как-то не особо обнадёживает. Можно, конечно, напрямую выразить из первого уравнения игрек

и подставить во второе, только что это даст? Всю эту белиберду ведь ещё и в квадрат возводить придётся!

Ну, хорошо. Подставляем теперь всё это барахло во второе уравнение вместо «игрек квадрат»:

И что тут можно сделать? О-па! Да тут же основное тригонометрическое тождество sin 2 x + cos 2 x = 1, которое можно сократить с единичкой справа.)

Ну, а потом что? Можно левую часть разложить на множители, отправив, к примеру, одну из скобок за скобки (да простит меня русский язык за тавтологию). Но что-то уж больно запутанно получается… Не факт, что удастся добраться до истины, совсем не факт… Стоп! Но у нас же говорится о единственном решении! А может, тут тоже есть что-то симметричное или инвариантное, что сделает решение куда проще?»

Немного присмотревшись к системе, можно снова заметить, что икс везде тусуется внутри чётных функций — модуль, косинус, квадрат синуса….

А это означает, что вместе с какой-то парой (x₀; y₀) данная система автоматически будет иметь своим решением и пару (-x₀; y₀). Что при требовании единственности решения означает, что

Далее по проторенной дорожке — подставляем в нашу систему х = 0 и ищем необходимые значения параметра a:

Получили два необходимых значения параметра a. Необходимых для чего? Для того, чтобы пара чисел (0; y₀) была решением нашей системы. И не более того. Сколько этих решений окажется на самом деле, ещё непонятно. Что ж, снова тестируем наших кандидатов, подставляя каждого в исходную систему.)

Итак, проверяем a = 0.

Ну,и что тут видно? Видно, что второе уравнение, после подстановки в него y = -cos x из первого уравнения, благополучно превратилось в основное тригонометрическое тождество, верное при любых значениях икса. О чём это говорит? Да! Система имеет бесконечно много решений: какой бы икс мы ни взяли, по нему всегда можно будет определить игрек из первого уравнения, а второе уравнение будет выполняться автоматически. Это значит, что при a = 0 наша система имеет бесконечно много решений. То есть, a = 0 нас заведомо не устраивает. Отметаем этого кандидата.)

Следующий клиент, a = 2.

Здесь уже так просто не выкрутиться (а я предупреждал, что проверка достаточности — очень часто самая сложная часть решения задач). В таких нестандартных ситуациях, когда в уравнении слева и справа стоят какие-то разнородные (и обычно ограниченные) конструкции (в нашем случае это модуль и косинус), чаще всего применяется метод оценок или, более научно и красиво, метод мажорант. Что ж попробуем оценить каждое из уравнений.

Ну, во-первых, про модуль мы знаем, что он всегда неотрицателен:

.

Значит, про левую часть первого уравнения можно сказать следующее:

.

Итак, левая часть первого уравнения в любом случае не меньше двойки.

Что ещё в первом уравнении можно оценить? Ну, очевидно, косинус:

.

А вот всю правую часть первого уравнения мы пока оценить не можем: у нас ещё нет никакого ограничения на игрек. Ничего, сейчас получим.)

Для этого переключимся на второе уравнение:

Смотрим на него и прикидываем: слева стоит сумма квадратов — двух неотрицательных слагаемых. И эта сумма квадратов даёт единицу.

А теперь подумаем: какие такие два неотрицательных числа в сумме могут давать единицу? Как нетрудно догадаться, это могут быть либо какие-то дроби от нуля до единицы (например, 0,5 или 1/3), либо же когда одно из слагаемых равно в точности нулю, а другое — в точности единице. Значит, по-любому

0 ≤ sin 2 x ≤ 1 и 0 ≤ y 2 ≤ 1.

Раз 0 ≤ y 2 ≤ 1 , то тогда про сам игрек можно сказать, что -1 ≤ y ≤ 1 .

Итак, мы установили ограничения на косинус и на игрек. Они таковы:

А это значит, что их сумма (т.е. вся правая часть первого уравнения) ограничена вот так:

А теперь смотрим на первое уравнение системы

и на наши ограничения.

Для левой части: 2(|x|+1) ≥ 2, т.е. левая часть не меньше двойки.

Для правой части: -2 ≤ y + cos x ≤ 2 , т.е. правая часть не больше двойки.

Как вы думаете, когда возможно равенство обеих частей уравнения? Да! Когда каждая из них одновременно в точности равна двойке!

Значит, первое уравнение системы распадается на два условия:

Вместе со вторым уравнением системы получим:

Нетрудно убедиться (а это достаточно просто), что единственным решением этой системы (а значит, и исходной) является пара чисел (0; 1). Это значит, что значение параметра a = 2 нас полностью устраивает. Всё, задача полностью решена, можно записывать окончательный ответ.

Кстати, стандартный способ подстановки (размышления синим цветом в самом начале решения этого примера), который был нами прерван, здесь со скрипом, но тоже действует.) Кому интересно, попробуйте довести решение до конца, продолжив разложение на множители и приравняв каждый к нулю. 🙂 А вот следующий пример уже куда серьёзнее будет.

Пример 4

Уже при первом взгляде на систему видно, что ничего никуда не преобразуется, переменные друг через друга «красиво» не выражаются — ни y через x, ни x через y. Значит, стандартные приёмы не катят. Но! Переменная икс у нас снова везде стоит под модулем или в квадрате, т.е. под чётными функциями! А это означает, что единственным решением данной системы может быть только пара вида (0; y₀). Почему это именно так, объяснять, думаю, уже не нужно.) Если всё же непонятно, просмотрите ещё раз хотя бы предыдущий пример.

При подстановке x = 0 вся наша термоядерная система существенно упрощается:

Если y = 1, то: Если y = -1 , то:

Итак, наши кандидаты — это две пятых и минус восемь пятых. Всего два.) Это — необходимые значения параметра «a» для того, чтобы пара (0; y) была одним из решений исходной системы. Теперь, как водится, проверяем достаточность, т.е. чтобы наша пара (0; y) была не просто одним из решений системы, а единственным её решением.

Поехали, подставляем в систему a = 2/5. В этом случае вся система примет вид:

В первом уравнении я, во-первых, сократил двойки, а во-вторых, все члены с пятёркой собрал слева, а с тройкой — справа. Зачем — станет ясно ниже.)

Далее размышляем примерно так:

«Перед нами страшная система, которую как-то необходимо решить. Точнее не столько решить, сколько выяснить, сколько именно решений она имеет — единственное или нет. Или, возможно, вообще не имеет решений.) Но есть одна проблемка. Как к ней подступиться?

Если традиционно выразить y через x из второго уравнения, то будет

И что потом с этим плюс/минусом делать?! Непонятно…

А если выразить игрек из первого уравнения? Тогда вообще кошмар получится:

А если икс через игрек из второго? Тоже не фонтан. Значит, стандартные приёмы здесь явно не работают. Так… Но у нас в обоих уравнениях фигурируют модули и квадраты — ограниченные (снизу) конструкции. А что, если попробовать оценить левую и правую части первого (самого страшного) уравнения?»

Верные мысли! Итак, наша цель на данный момент – оценить обе части первого уравнения. Затяните потуже ремни на брюках, поскольку сейчас нам предстоит решать много неравенств. Точнее, не столько решать, сколько их выписывать, складывать, преобразовывать и т.д. Итак, перед оцениваем первое уравнение:

.

Но для начала обратим наш взор на второе уравнение:

Снова, как и в примере 3, видим сумму квадратов, равную единице. О чём это говорит? О том, что каждый из этих квадратов сам по себе не превосходит 1.

То же самое можно сказать и про модули икса и игрека:

Поэтому про сами x и y можно сказать, что -1 ≤ x ≤ 1 и -1 ≤ y ≤ 1 .

А теперь с помощью данных неравенств оцениваем левую часть первого уравнения, равную сумме выражений 5·2 |x| и -5y:

Здесь мы воспользовались монотонным возрастанием функции f(x) = 2 x .

Если теперь все три части последнего неравенства помножить на 5, то получим:

Далее, раз -1 ≤ y ≤ 1 , то тогда

Возможно, кому-то непонятно, как именно из неравенства -1 ≤ 5y ≤ 1 получилось неравенство -1 ≤ -5y ≤ 1 . Поясняю.

-1 ≤ 5y ≤ 1 |·(-1) (умножаем обе части на -1);

1 ≥ -5y ≥ -1 (все знаки изменились на противоположные);

-5 ≤ -5y ≤ 5 (переписываем неравенство в привычной форме).

Итак, мы установили ограничения на выражения 5 ·2 |x| и -5y:

Теперь, сложив почленно эти два неравенства, получим ограничение на всю левую часть целиком:

Запомним этот факт.) Обратимся теперь к правой части уравнения: 3x 2 — 3|x|.

А вот её будем оценивать немного иначе.

Как нами уже установлено, 0 ≤ x 2 ≤ 1 .

Далее воспользуемся одним весьма нетривиальным, но очень полезным сравнением:

Откуда я его взял? Как фокусник из рукава вытащил?)

Чтобы разобраться, почему это именно так, нарисуем графики модуля («уголок») и параболы у = x 2 . На отрезке [-1; 1] картинка будет вот такой:

Видно, что на отрезке [-1; 1] «уголок» везде, кроме точек 0 и ±1 лежит выше параболы.

Тогда x 2 — |x| ≤ 0 (я просто перенёс модуль влево).

Значит, если это неравенство умножить на 3, то получим:

Таким образом, вся правая часть не больше нуля.

А теперь вспоминаем, что же у нас с левой частью:

Таким образом, левая часть не меньше нуля.

Значит, равенство левой и правой частей возможно лишь в одном случае — когда каждая из них отдельно равна нулю:

Решаем эту системку.)

Отсюда легко получаем три пары: (0; 1), (-1; 2), (1; 2).

Однако, решения этой системы — это на самом деле лишь решения первого уравнения нашей глобальной системы.) Вспоминаем про её второе уравнение: x 2 + y 2 = 1.

Нетрудно убедиться, что из этих трёх пар ему удовлетворяет лишь пара (0; 1). А что это означает? В дебрях долгих выкладок и рассуждений, неволей, и про основной вопрос забываешь… ) Да! При a = 2/5 наша исходная система и вправду имеет единственное решение.

Всё, a = 2/5 обводим как часть ответа.)

А что же с a = -8/5? Делать нечего, подставляем его в нашу систему:

А вот здесь так красиво провести оценку уже не получится: десятка справа всё испортила.( Как быть? В таких ситуациях, как правило, приходится прибегать к самой крайней мере — попытаться тупо подбором угадать два каких-нибудь решения и таким образом доказать, что система имеет более одного решения.) Как угадывать? Ну, тут уже всё от конкретного задания зависит. И немного от интуиции и иногда от везения. В нашем случае попробуем зацепиться за второе уравнение:

Понадеемся на гуманизм составителей задания и начнём с самого простого — поищем какие-нибудь целые решения этого уравнения и подставим их в первое. Их совсем немного. Ну, например, (1; 0):

Что ещё можно проверить? Ха! У нас же симметрия по икс! Мы же как раз этот факт использовали для решения всей задачи! И думать не надо — тут же всплывает решение (-1; 0)!

Всё! Мы подобрали два различных решения системы, а это значит, что второе значение параметра a = -8/5 нас точно не устраивает. Всё, задача решена! 🙂

Что ж, мы уже набрались достаточно опыта, чтобы рассмотреть какую-нибудь откровенную жесть. Берём быка за рога! 🙂

Пример 5

Ничего не боимся и стараемся при виде подобных монстров мыслить примерно следующим образом:

«Ух, наворотили, ужас! Корень, тангенс, синусы… Точно не решить… Так, стоп! От нас хотят найти единственное решение. Значит, скорее всего, нас просят отыскать какую-нибудь инвариантную конструкцию и с её помощью решить всю задачу.

Что тут сильнее всего бросается в глаза? Ну, во-первых, во втором и третьем уравнениях везде тусуются xy и x+y, а от перестановки множителей (слагаемых) результат не меняется. Это неспроста.) Так, ещё тут внутри косинуса затесалась разность x-y , которая от перемены икса и игрека местами сменит знак:

Плохо… Так, секундочку! Но ведь косинус — чётная функция и сжигает минус! Всё отлично, под косинусом тоже ничего не поменяется!)

Но есть ещё первое уравнение. В нём пока что никакой инвариантностью относительно перестановки икса и игрека и не пахнет. А вдруг, эту инвариантность и там удастся выявить? Ну-ка, посмотрим…

И что тут можно сделать? Можно хотя бы пораскрывать все скобки:

Вставляем всё в уравнение:

Ну, хорошо, а дальше? Сгруппируем-ка в кучку квадраты и первые степени. Хуже не будет. Будет либо хорошо, либо никак.)

Кажется, уже что-то вырисовывается:

Ну, вот и выявилось то, чего мы так добивались: x 2 +y 2 и x+y – инвариантные конструкции. Относительно замены x на y и y на x. Ура!»

Итак, вся система инвариантна относительно замены x на y (и наоборот). Это значит, что, если какая-то тройка чисел (x; y; z) является решением этой злой системы, то автоматически и тройка (y; x; z) также будет её решением! И единственность решения системы возможна только при x = y. Теперь можно во всей системе смело исключить игрек, заменив его на икс: xy превратится в x 2 , x+y превратится в 2x. Ну, и так далее. )

Так, система стала немного попроще, но ещё пока что довольно громоздка. Но… Переменная z везде тусуется под чётными функциями — либо в квадрате, либо внутри синуса в квадрате. А это значит, что единственность решения возможна только при z = 0. Прекрасно! Подставляем всюду ноль вместо z, и вся наша ужасная система ещё больше упростится и станет выглядеть вот так:

Из второго уравнения сразу ясно, что х = 0. Третье уравнение при х = 0, очевидно, выполняется. А из первого уравнения при х = 0 получим:

Ух ты, как интересно! Получено одно единственное допустимое значение параметра. Минус два. Но радоваться рано, т.к. это ещё не ответ: нам же ещё достаточность надо проверить (да-да!). Деваться некуда, подставляем минус двойку в исходную систему вместо «а»:

По максимуму упрощаем каждое из уравнений. В первом раскроем все скобки:

Во втором уравнении благополучно обнуляется самое ужасное слагаемое с корнем, сокращается двойка, оставшаяся от первой скобки, и остаётся лишь

Ну, а третье уравнение так и оставим, без изменений. Итого:

А теперь делаем такой финт ушами — подставляем в первое уравнение вместо x + y выражение 2sin 2 z из второго. Что получим:

Проанализируем полученное уравнение. Чем оно примечательно? Тем, что слева стоит сумма каких-то квадратов, т.е. неотрицательных слагаемых! А когда возможно равенство нулю суммы неотрицательных слагаемых? Только в одном единственном случае — когда одновременно каждое слагаемое равно нулю! То есть:

Итак, единственным решением первого уравнения является тройка чисел (0; 0; 0). Проверим эту тройку и по остальным уравнениям: вдруг, она там не пройдёт? Тогда ответом, очевидно, будет пустое множество.)

Все равенства выполнены. Итак, мы полностью обосновали, что при a = -2 наша система действительно имеет единственное решение, и это решение — «три бублика», т.е. (0; 0; 0).

Разумеется, эти рассмотренные пять примеров далеко не исчерпывают всего многообразия параметрических задач на единственное решение и инвариантность. ) Но в них я постарался максимально подробно и доходчиво изложить, как действовать в ситуации, если, вдруг, где-то (в пробнике или в настоящем ЕГЭ) вам попалась подобная задача. Итак, подытожим тему:

1) Как только видим словосочетание «единственный корень/единственное решение» — пробуем искать инвариантные конструкции или приходить к таковым путём предварительных преобразований. Чаще всего это чётность, симметрия относительно какого-нибудь числа, либо относительно перестановок (замен) переменных или выражений.

2) Выявив тип инвариантности, составляем необходимое условие единственности решения и ищем допустимые (необходимые) значения параметра. Как правило, вся задача при этом существенно упрощается, и их поиск не составляет особого труда.

3) Проверяем найденные допустимые значения параметра на достаточность . В случае, если получаемая задача не решается стандартными методами, применяем специальные приёмы — ограниченность, монотонность и т.п. Если и они не помогают — пробуем подобрать корень или решение. Чаще всего они лежат на поверхности и, как правило, являются целыми числами.

4) Не боимся. Пробуем различные варианты.) И побольше тренируемся.) Только так можно выработать необходимый опыт в решении таких (да и вообще любых) задач с параметрами.

Готовимся к олимпиаде. Инварианты

Разделы: Математика

Олимпиадные задачи на инварианты можно условно разбить на два вида: те, в которых требуется доказать некий инвариант, т. е. он явно определен, и те, в которых инвариант используется при решении и сразу не очевиден. Существует также класс задач, при решении которых используются полуинварианты – значения точной верхней и нижней граней для некоторой величины. Наиболее часто они используются в задачах на доказательство экстремума какой — либо величины. Рассмотрим способ решения задач по методу “Инвариант”.

В некоторых задачах по математике дается набор преобразований исходного объекта и спрашивается: можно ли, используя эти преобразования, получить из одного состояния объекта другое? Перебором вариантов часто легко убедиться в правильности ответа “нельзя”, однако обосновать этот ответ бывает трудно. Методом, позволяющим во многих случаях решать доказательную часть таких задач, является метод инвариант. Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях, например, число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое. Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого. Придумать инвариант должен ученик, самостоятельно решающий задачу; обычно это вызывает у него затруднения. В качестве инварианта чаще всего рассматриваются четность (нечетность) чисел и остаток от деления. Причем применение четности – одна из наиболее встречающихся идей при решении олимпиадных задач.

Вспомним определения четного и нечетного числа. Особое внимание надо уделить абстрактному понятию четности, объяснить, что такое “разная четность”. Например, число х =2 имеет ту же четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные), а при прибавлении единицы четность меняется. Применение идеи четности и нечетности основано на двух важных утверждениях (леммах):

Лемма 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Пример. Число 1 +2 + 3 + … + 10 – нечетное, так как в сумме 5 нечетных слагаемых. Пример 2. Число 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15 – четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых.

Лемма 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Рассматриваем с учащимися несколько примеров.

Арифметика, алгебра, комбинаторика.

Пример 1. Число (-1) *(-2) *(-3) *(-4) положительно, так как в произведении четное число отрицательных сомножителей.
Пример 2. Число (-1) *2 * (-3) * (-4) отрицательно, так как в произведении нечетное число отрицательных сомножителей.

После этого разбираем подробно следующие задачи.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Нужно предложить выполнить эту операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), заметить закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего — четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Решение. После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

В первой и во второй задачах инвариантом является четность суммы чисел.

Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно ( — 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен ( + 1).

Задача 4. Имеется набор чисел а, в, с. Данный набор чисел меняется на тройку чисел: а + в – с, в + с – а, а + с – в. Дан набор чисел 2000, 2002, 2003. Можно ли из него получить набор из чисел 2001, 2002, 2003?

Решение. Ответ: нельзя. Так как (а + в + с) и (а + в — с) +(в +с – а) +(а + с – в) равны, а сумма 2000+2002 +2003 и сумма 2001 + 2002 +2003 различны.

Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?

Решение. Нет, так как в любом случае перевернутых вверх дном стаканов будет числом нечетным.

Задача 6. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

Решение. Ответ: нет. Пусть а и b = 2а – полученные числа, S(a) и S(b) – суммы их цифр. По признаку делимости числа N и S(N) имеют одинаковые остатки при делении на 3. Поскольку число a + b = 3a делится на 3, то сумма S = S(a) + S(b) должна делиться на 3, что неверно, так как S = 2 + 3 + 4 + … + 9 = 44.

Задача 7. На доске написаны числа 1, 2, …, 1998. За один ход разрешается стереть любое количество чисел и вместо них записать остаток от деления их суммы на 11. Через несколько ходов на доске остались два числа, одно из которых – 1000. Чему равно второе число?

Решение. Так как в конечном итоге на доске оказались записанными два числа, то хотя бы одно из них является остатком от деления некоторого числа на 11, т.е. не превосходит 10.Число 1000 не может являться остатком от деления какого-то числа на 11, поэтому искомое число не больше 10. Заметим, что в результате выполнения указанных операций остаток от деления суммы всех написанных чисел не изменится, так как для любых чисел а и в (а + в)(mod p) (a(mod p) + b(mod p))(mod p), где р – произвольное простое число. Первоначально 1 + 2 + … +1998 = 1997001 6 (mod 11) 1000 (mod p) + второе число. Так как 1000 10 (mod 11), то второе число 7.

Задача 8. В некотором государстве было 10 банков. С момента перестройки общества все захотели стать банкирами. Но по закону открыть банк можно только путем деления уже существующего банка на 4 новых. Через некоторое время министр финансов сообщил президенту, что в стране действует 2007 банков, после чего был немедленно уволен за некомпетентность. Что не понравилось президенту?

Решение. Заметим, что в результате превращения одного старого банка в четыре новых общее количество банков увеличится на 3. Таким образом, в любой момент времени число банков равно Б = 10 + 3 k и остаток от деления числа банков на 3 постоянен. (Это и есть инвариант). То есть Б . Первоначально Б ( mod 3) >, а 2007 .

Задача 9. Разместите цифры 0,1,2,3, …, 9 по кругу так, чтобы сумма всех разностей (по модулю) между соседними числами оказалась равна 25.

Решение. Пусть заданные числа каким-то образом проставлены по кругу и a, b, c, d – четыре соседних числа. Поменяем местами числа a >и c. Исследуем, как изменилась сумма рассматриваемых в задаче разностей. Для расстановки a, b, c, d она равна , а для расстановки a , c, b , d – , где – сумма разностей для оставшихся чисел. Изменение общей суммы Если b >и c имеют одинаковую четность, то будет представлять собой сумму двух четных чисел, а если они разной четности, то является суммой двух нечетных чисел, но в любом случае четно. Следовательно, мы получили инвариант – при перестановке двух соседних чисел четность суммы разностей не изменится. Любую расстановку заданных чисел по кругу можно получить, переставляя несколько раз соседние числа, тем самым мы доказали, что для любой расстановки заданных чисел сумма разностей имеет одну и ту же четность. Рассмотрев произвольную расстановку чисел (от одного до девяти), мы получим, что сумма разностей четна, и, значит, требуемая в задаче расстановка невозможно.

Задача 10. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1998. За один ход разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. В результате многократного выполнения таких действий на доске окажется записанным одно число. Может ли оно быть нулем?

Решение. Не может. Так как вначале на доске 999 нечетных чисел. На каждом шаге их количество не меняется, если среди выбранных чисел не более одного нечетного числа. А если выбранные числа оба нечетны, то количество нечетных чисел уменьшается на два. Таким образом, инвариант преобразования: количество нечетных чисел нечетно. Поэтому в конце должно остаться нечетное число. А нуль – четное число.

Задача 11. Числа 0,1,2,3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?

Решение. Нельзя. При прибавлении одинаковых целых чисел к любым двум из имеющихся не меняет четность общей суммы всех чисел. Первоначально эта сумма равно 1 + 2 + 3 + … 9 = 45, следовательно, после каждого хода общая сумма полученных чисел должна быть нечетна, а нуль – четное число.

Задача 12. В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Решение. Нельзя. Предложенная операция обладает полуинвариантом: при любом переливании число нечетных сосудов (содержащих нечетное число литров воды) не увеличивается. Количество таких сосудов уменьшается при переливании из нечетного сосуда в нечетный, а в остальных случаях не изменяется. Следовательно, переход 1, 2, … 10 —> 3, 3, 3, 3, 3, 6,…,10 невозможен, поскольку увеличивает число нечетных сосудов.

При решении математических задач важную роль играет анализ задач. Успех решения задачи во многом определяется качеством анализа. Однако владение искусством анализа дается нелегко. Причина тому — творческий характер этого метода. Как научить ребят сознательному владению приемами анализа в решении математических задач? В чем состоит его суть? Смысл анализа состоит в извлечении из формулировки задачи полезных сведений. Однако объём извлеченных сведений иногда оказывается недостаточен для решения. Тогда возникает необходимость в повторном, более глубоком анализе. Почему в одних случаях достигается решение, а в других – лишь некоторые осознание проблемной ситуации? Что мешает этому осознанию?

Одна из причин состоит в отсутствии достаточных знаний у учащихся. Вторая причина связана со сложностью задачи. Сложность математической задачи зависит от многих факторов. Один из них – формулировка задачи. Для её решения может оказаться достаточным знание одной единственной теоремы или же одного-единственного её следствия. Необходимо только отыскать подходящий критерий для выявления этой теоремы или следствия. Рассмотрим пример.

Задача 13. Доказать, что уравнение 3x 2 – 4xy + 2y 2 – 21x + 12y – 3 = 0 имеет лишь конечное число целочисленных решений.

Анализ задачи. Заданное уравнение связывает определенными отношениями переменные x и y. Левая её часть представляет собой довольно громоздкий многочлен, а правая равна 0. О самих же переменных известно, что они целые числа. Это обобщенное понятие является и ключевым в нашей задаче. Если рассмотреть каждое слагаемое, легко заметить, что второе, третье, пятое из них всегда являются четными числами, а свободный член – нечетным. Перепишем уравнение в виде: 3x(x – 1) – 18x – 4xy + 2y 2 + 12y = 3.

Вспомнив свойство четности произведения двух последовательных целых чисел, установим четность первого слагаемого. Теперь мы знаем, что каждое слагаемое левой части уравнения всегда четно, следовательно, четна и их сумма. А в правой части –нечетное число. Приходим к выводу о том, что уравнение не имеет целочисленных решений. >

Задача 14. Найдите множество точек плоскости XOY, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Решение. Левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний OM + MC, где , . Для любых трех точек имеем полуинвариант, следующий из неравенства треугольника: . В нашем случае . Следовательно, точка должна лежать на отрезке .

Метод инварианта при решении математических задач

В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач – метод инварианта, основанной на идеи четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.

Просмотр содержимого документа
«Метод инварианта при решении математических задач»

МЕТОД ИНВАРИАНТА ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

( Самаркандский государственный университет)

При решении некоторых математических задач применяется совокупность преобразований искомого объекта и требуется, используя данные преобразования, получить из одного состояния объекта другое. С помощью перебора вариантов в многих случаях можно убедиться в правомерности ответа “нельзя”, но доказательство правильности полученного результата будет сложным. Таким математическим методом решения таких задач считается метод инвариант. Прежде всего определим что такое инвариант?

Определение 1. Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях.

К примеру, инвариантом могут быть число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое.

Свойство 1. Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого.

Во многих математических задачах инвариантом считаются четность (нечетность) чисел и остаток от деления.

Здесь прежде всего основывается на определения четного и нечетного числа, абстрактного понятия четности, чисел имеющие “разную четность”, а также на свойство о том, что при прибавлении единицы четность чисел изменяется. Использование принципа четности и нечетности требует применение следующих утверждений:

Утверждение 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Утверждение 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Решение. Предлагается выполнить данную операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), отмечается закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего — четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Решение. После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно ( — 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен ( + 1).

Задача 4. Имеется набор чисел Данный набор чисел меняется на тройку чисел: ,,. Дан набор чисел 2016, 2018, 2019. Можно ли из него получить набор из чисел 2017, 2018, 2019?

Решение. Ответ: нельзя. Так как и ++ равны, а сумма 2016+ 2018+ 2019 и сумма 2017+ 2018+ 2019 различны.

Задача 5. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

Решение. Ответ: нет. Пусть и – полученные числа, S(a) и S(b) – суммы их цифр. По признаку делимости числа N и S(N) имеют одинаковые остатки при делении на 3. Поскольку число a + b = 3a делится на 3, то сумма S = S(a) + S(b) должна делиться на 3, что неверно, так как S = 2 + 3 + 4 + … + 9 = 44.

Задача 6. Числа 0,1,2,3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?

Решение. Нельзя. При прибавлении одинаковых целых чисел к любым двум из имеющихся не меняет четность общей суммы всех чисел. Первоначально эта сумма равно 1 + 2 + 3 + … 9 = 45, следовательно, после каждого хода общая сумма полученных чисел должна быть нечетна, а нуль – четное число.

Задача 7. В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Решение. Нельзя. Предложенная операция обладает полуинвариантом: при любом переливании число нечетных сосудов (содержащих нечетное число литров воды) не увеличивается. Количество таких сосудов уменьшается при переливании из нечетного сосуда в нечетный, а в остальных случаях не изменяется. Следовательно, переход 1, 2, … 10 — 3, 3, 3, 3, 3, 6,…,10 невозможен, поскольку увеличивает число нечетных сосудов.

Решения задач головоломок с использованием четности и нечетности чисел отличаются логической безупречностью и абсолютной обоснован-ностью выводов, которые требует знание на простейших свойств арифме-тических операций сложения и вычитания

Здесь действует следующие основные правила четности:

Сумма четных слагаемых — четна.

Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.

Если сумма двух чисел — четное число, то и их разность тоже четное число.

Если сумма двух чисел — нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.

Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.

Если один из множителей — четное число, то и произведение четно.

Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

Задача 8. Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000? Ответ: четно.

Задача 9. Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007? Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.

Задача 10..Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное. Ответ: первое — четное, второе — четное, третье — нечетное.

Задача 11. Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2? Ответ: нет, число 625 не делится на2.

Задача 12. Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог? Ответ: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.

Задача 13. Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место? Ответ: нет, чтобы вернуться на старое место общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1+2+3+…+25 нечетна.

Задача 14. Можно ли организовать шахматный турнир между 15 шахматистами так, чтобы каждый сыграл по 15 партий? Ответ: нет, 15х15 нечетно.

Задача 15. Может ли произведение суммы трех последовательных натуральных чисел на сумму трех следующих за ними натуральных чисел быть равным 33333? Ответ: нет, произведение должно быть четно, т.к. один из множителей четное число.

В заключении можно сказать, что применение идеи четности и нечетности позволяет учащимся опровержения тех фактов о которых спрашивается, и понять сходную логику с методом доказательства от противного. При самом распространенном ответе «не может» требуется объяснить почему именно этого не может быть. Если он говорит: «Может», то достаточно привести пример такого расклада, распределения или комбинации. Помимо прямых задач на четность и нечетность может включать в себя разбор близких по замыслу задач (на две противоположности), решаемых при помощи анализа отнесения объекта (или варианта) в ту или иную группу.

Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2001.

Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. — М.: Просвещение, 2003.

Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2004.

4. Медников Л.Е.Четность.-М.:МЦНМО,2009.

5. Бабич О.А. Сценарий внеурочного занятия по математике(в рамках предметной лаборатории).7 класс.«Инвариант»,г.Холмск, 2015.

В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач – метод инварианта, основанной на идеи четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.

Ключевые слова: инвариант, задача, идея, четность, число, правила, закномерность.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 6»

муниципального образования город Ноябрьск

«Готовимся к ЕГЭ по математике. Инвариант при решении задач с параметрами»

Подготовила учитель математики МБОУ СОШ №6

Милько Татьяна Васильевна

Город Ноябрьск ЯНАО

2013 год

Готовимся к ЕГЭ. Инвариант при решении задач с параметрами.

Успешная сдача ЕГЭ по математике зависит от умения решать задания уровня С. Основные трудности вызывают решения задач содержащих  параметры как в логическом, так и в техническом плане (и не только у учащихся). В литературе по элементарной математике и сети Интернет есть немало методических и практических пособий по решению задач с параметрами. Но на сегодняшний день  нет ни одного  школьного учебника по математике, который содержал бы систему подготовки к решениюзадач спараметрами.  

          Первые представления о  задачах с параметрами учащиеся получают при решении линейных, а затем квадратных уравнений (VII-VIII класс), и вместе с элементарными понятиями равносильности уравнений и неравенств, происходит закладка первичных навыков решения таких задач. И мы, учителя,  на  факультативных занятиях (если в программе не заложены часы на изучение задач с параметрами) в первую очередь дать знания о методах и  основных типах решения таких задач, научить специальной форме записи ответа.

        К основным типам задач с параметрами следует отнести: 1) задачи, в которых требуется найти количество решений в зависимости от параметра; 2) задачи, в которых находят множество решений, удовлетворяющих заданным условиям; 3) задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра из заданного промежутка; 4)задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений. К основным методам относим: алгебраический, графический, функциональный, функционально-графический, геометрический.

Остановлюсь на инварианте, одном из алгебраических методов при решении задач с параметрами, методе, который будет полезен для всех участников учебного процесса.

            Инвариантностьв математическом смысле – неизменность какой-либо величины по отношению к некоторым преобразованиям.

           Инварианты(от лат. invarians — неизменяющийся), числа, алгебраические выражения и т. п., связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определённых преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект.

При решении определённого типа задач  можно рассматривать следующие инварианты:

«симметрия относительно знака переменной» (условие задачи не изменится, если заменить знак одной или нескольких переменных  противоположным);

«симметрия относительно перестановки переменных» (условие задачи не изменится  при перестановке переменных, либо при замене переменной на некоторое выражение с переменной).

Алгоритм решения задач с параметрами с помощью инварианта:

1)проверить на инвариантность данное уравнение, неравенство, систему уравнений (неравенств);

2)найти допустимые значения параметра из проверки выполнения условий: при «симметрии   относительно знака переменной»  подставить её нулевое значение; при «симметрии относительно перестановки переменных» все переменные обозначают одной буквой;

3) проверкой убедиться, что найденные значения параметра удовлетворяют условию задачи;

4) записать ответ.              

При решении будем использовать  следующие утверждения:

Утверждение 1. Если выражение fинвариантно относительнопреобразования (-)  и  уравнение  f= 0 имеет корень ,то  — также корень этого уравнения.

Утверждение 2. Если выражение F() инвариантно относительно преобразования   (-) и уравнение  F(=0 имеет решение (), то и пара чисел (-) также решение этого уравнения.

Утверждение 3.Если выражение F( инвариантно относительно преобразования  и уравнение F(=0 имеет решение (), то и пара чисел () также решение этого уравнения.

Утверждение 4.Если выражение F(инвариантно относительно преобразования  и ,а  уравнение F(=0 имеет решение () то и пара чисел ( также решение этого уравнения.

Утверждение 5.Если выражение f инвариантно относительно преобразования  g(,    уравнение f() =0 имеет корень , то  g() также корень этого уравнения.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. При каких  значениях  параметра  система уравнений

        (1)  имеет  единственное решение?

Решение. Применяем алгоритм.

В  силу чётности   ,  и   данная  система  уравнений  инвариантна при замене  на (-.

Проверяем:

Пусть искомое значение параметра, –решение системы, тогда  также решение системы и т.к. по требованию задачи решение единственное, то  (Утверждение 2).

Подставим  в систему  (1).         Получим:

Проверим, имеет ли система при найденных значениях  параметра   единственное решение:

а) при  = 2  

Из первого уравнения системы следует, что а со второго ; ;

Если система имеет решение, то это пары вида (;1).        

Система имеет единственное решение: (0;1);        

б) при =0              

Как видно из графической интерпретации система имеет три решения:   (-1;0) , (0;-1) и (1;0). Значит, =0 не подходит.

Ответ: =2.

Пример 2. Прикаких значениях  уравнение  + 2+2=0 имеет единственное решение?

Решение.

1)Данное уравнение инвариантно при замене  на — в силу чётности и

+2+2=0, то есть  +2+2=0.

 2)Имеем «симметрию относительно знака». Значит, если – единственный корень данного уравнения, то  —   также корень этого уравнения при искомом . Значит,         = —=0. (Утверждение 1).

Если =0, то  2+2=0  (2+) =0

3)Проверим, имеет ли данное уравнение при найденных значениях  единственное решение:

а) при =0;      =0   =0       –  единственное решение;

б) при  = -2 получим:

         — 4= 0 или    + 4  (1)        

Так как — 1 ≤   ≤ 1,   то          (-1) ≤ () ≤ , т.е.   1 ≤ () ≤

0 ≤  1 — () ≤ > 0        

Значит, левая часть уравнения (1) неотрицательна, а правая – равна 0.

Значит, уравнение (1) равносильно системе:

         =0,                                         = 0,

         1 () = 0                         1 () = 0 (в).

= 0 – единственное решение уравнения.

        Ответ:  = 0;    = — 2 1.

Пример 3. При каких значениях параметра система неравенств        имеет единственное решение?

Решение.1. В данной системе наблюдаем «симметрию относительно замены переменных». Тогда, если –решение системы, то и также решение системы.    Единственность решения достигается при условии (Утверждение 4).

2. Обозначив все переменные через                                                                                                                                                    Из  неравенства   которое имеет единственное решение, если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, т.е.  

3. Проверим, имеет ли система единственное решение при найденных значениях параметра.

а) Подставим в данную систему неравенств   :

Сложим неравенства последней системы: +

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:  . Отсюда — единственное решение.

б) При подстановке  получим единственное решение

Ответ:

Пример 4. Найдите все значения параметра , при которых система уравнений    

имеет четыре  различных решения.

Решение.

Из вида системы  следует, что> 0.

1.Система инвариантна при замене на  —   и     на —.

Поэтому, если  искомое значение параметра  и пара чисел  ;— решение системы, то пары  ;,  ;и   ; — также решения системы. (Утверждения 2и3). Поэтому найдем решения при        ≥ 0,  ≥0.  Изобразим графики уравнений в одной системе координат. График первого уравнения – точки сторон квадрата АВСД, график второго — окружность с центром в начале координат и радиусом, равным . По рисунку видно, что система имеет ровно четыре решения в двух случаях: 1)  = 3 = 1;   = 1; 2) = 0E — радиус окружности, вписанной в квадрат, -его сторона по т. Пифагора из треугольника ВОС.

Значит,    0Е =  , тогда    = откуда     2 = 2; 2 =и     = .

Ответ:  = 1;    =.

Пример 5. При каких значениях  уравнение  имеет единственный корень?

Решение.  1. Так как

то уравнение инвариантно при замене х на -х. Имеем «симметрию относительно знака».

Если корень уравнения, то и  корень уравнения. (Утверждение 1). Значит, , т.е.         

2. Если  то данное уравнение принимает вид:

3. Если , то

Покажем, что при корень уравнения единственный. Запишем уравнение в виде        Левая часть этого уравнения  Оценим правую часть:

т.к.  , то  ;  . Значит,

Тогда данное уравнение равносильно системеСледовательно, других решений нет. Ответ:                 

Пример 6. При каких значениях параметра  система уравнений имеет ровно три решения?

Решение.1. Если пара чисел ;– решение системы, — искомый параметр, то пара

; — – также решение системы.  Значит, = — = 0.(Утверждение 3).

  2.Подставим = 0 в данную систему уравнений.

Получим:                                                          

                                                

Проверим, имеет ли данное уравнение при найденных значениях  единственное решение. При =-3 имеем:

 Решим второе уравнение системы:

        

        

        или  не имеет решений.    

Если у=0, то х=5 и   (-5; 0) – единственное решение системы. Значит,  не подходит.

б) При имеем:         

Из второго уравнения последней системы получим три корня: у=0, у=1,2; у=-1,2.        

   Система имеет ровно три решения.

        Ответ: .

Источники  информации:

1.Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С3:  учебное пособие/ А.Ж.Жафяров.- Новосибирск-2010.

2.Решение задач с параметрами. Теория и практика.  В.В.Мирошин — М.:Экзамен,2009-281с.

3.Математический энциклопедический словарь. Главный редактор Ю.В. Прохоров.       Москва. «Советская Энциклопедия». 1988

4.www.alexlarin. narod .ru

Подготовила  Милько Т.В., учитель математики МБОУ СОШ №6 ,г. Ноябрьск.